UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
FACULTAD DE INGENIERIA AMBIENTAL Y DE RECURSOS NATURALES
GUÍA DE PRÁCTICA
Curso: Matemática Básica
Sem.:
Ciclo:
Tema: MATRICES Y DETERMINATES
Ejercicios:
1. Escribir explícitamente las siguientes matrices:
a) A = aij 
3x 2
b) A = aij 
c) A = aij 
,donde aij = i + 3 j
3 x3
,donde aij = 2i + 3 j
3x 4
,donde aij = max i , j
1 2 2
2. Si A = 2 1 2 hallar A 2 − 4 A + 5 I


2 2 1
3. Dadas las siguientes matrices:
 
A = aij 3 x 4 , si aij = 2i + (−1) j
min i, j si i + j  3
B = bij 3 x3 , si bij = 
i+ j
si i + j  3
ij − (−1)
a) Escribir las matrices en forma explícita
b) Hallar At y Tr (B )
 
 
4. Sea A = aij 3x3 , tal que
i + j
 −1/ 2
 2 si i  j
aij = 
y
B =  x + y + z
 i − 2 j si i  j
2 x + y − z
 2
Si A = B , hallar el valor de x + 2( y + z ) .
5. Dadas las matrices:
− 1 − 3
 3

A= 2
0 − 1 ,
− 1 / 2 1
2 
Hallar A2 , ABC y B t At
2 − 1 
B = 1 0 
3 − 2
x − y + 3z
2 
−1
5 / 2 
−1/ 2
− 3 / 2
− 1
y C= 
2
6. Dadas las matrices:
− 1 1 0 
− 1 1 − 1
A =  0 1 0  , B =  2 − 2 2 
 0 1 − 1
 4 − 4 4 
a)
Verificar que la matriz A es involutiva y B es una matriz idempotente.
b)
Calcular A3 B 6 + A5 B 7
(
)
7. Hallar la forma general de An , n  1
1 1 0
A = 0 1 1
0 0 1
 1 5 − 3
 1 −4 2 


8. Dadas las matrices A = 3 0 6 y B = − 3 1 − 5




− 2 1 2 
 3
2
1 
i)Hallar X de la ecuación ( A + B + X ) t = 2( A t − B)
ii) Hallar la traza de la matriz C = AX
iii)AB
iv)BA
 3 2 − 1
 x


9. Dadas las matrices A = 2 5 − 3 , B =  y  yC = 1 − 2 3


 
− 1 0 1 
 z 
Si B t A = C . Hallar E = x + y + z
a b 
10. Demostrar que la matriz A = 
 satisface a la ecuación:
c d 
A 2 − (a + d ) A + ad − bc = 0
a − b − 1
 1

11. Si la matiz A = 2
3
b  es simétrica. Hallar A 2

b − x a − x 4 
12. Determinar si las siguientes matrices son simétricas ( At = A) o antisimétricas
( At = − A) :
 0 3 2
 1 0 − 2


M = 0 3 1 
B =  − 3 0 − 1
− 2 1 0 
− 2 1 5 
13. Probar por inducción que:
cos
B=
 sen
− sen 
cos n
=

cos 
 senn
n
− senn 
, n N
cos n 
14. Hallar la matriz inversa, en caso exista:
3 4 5 
B =  2 3 1 
 3 5 −1
2 8 
A=

 3 12
0
1
C=
2

2
1
1
2
3
2
3 
3

3
2
2
2
3
2 1
3 2
E=
1 1

2 − 1
1 3 3
D = 1 4 3
1 3 4
0
0
3
2
0
0
4

3
3
3

M = 2

2
4
1 − 1 2 3 
4 1 2 0 

F =
2 − 1 3 1 


4 2 1 − 5
1 2
3 4
1 1 − 2 3
0 − 1 1 2

1 1 − 1 2
1 2
3 5
1 + x
G=
 x
x 
x − 1
15. Hallar la matriz X, tal que:
 1 2 0
 0 −1
 0 1 1  . X . 1 2  =  −1 2 

 0 −1 

  −5 −5
 −1 3 1  


16.- Calcular el determinante de las siguientes matrices:
40 51 
 0

A =  −30 60 −68
 60 100 119 
5 4 3
D =  2 1 2 
 4 4 2 
n
1 1 1 
B = 1 2 3
1 3 6
1
1 
 1

E = cos x cos y cos z 
 senx seny senz 
 1 0 −1 −1
 0 −1 −1 1 

C=
a b c d


 −1 −1 1 0 
4
3
1 10
11 12 −4 2
𝐹=[
]
7 −2 3
5
6
8 −3 9
17. Sea la matriz A 4 x 4 simétrica e inversible, tal que:
i)
A. ( 15 A ) = 5I
ii)
3 A5 − A A = (−5 A4 )T − 3 AT A4 + 4 6 AT A .
T
Hallar: A y det(A)
18. Demostrar:
a) A
n −1
= Adj ( A)
 4 −8 4 


19. Sea la matriz Adj ( A) =  −7 9 −5  ,
 −6 10 k 


b) A .I = A. Adj ( A)
A = −4 , hallar k , A .
20. Sea A una matriz simétrica no singular( A  0 ), si se conoce
1 x y

1 1 1 r
Adj ( A) = 
4 1 −1 1

1 −1 −1
z

s
. Hallar A
q

1 
Matriz triangular superior:
Una matriz cuadrada A = aij de orden n se dice que es triangular superior si
 
aij = 0 para i  j , es decir:
a11 a12
0 a
22

A= 0
0



 0
0
a13  a1n 
a23  a2 n 
a33  a3n 



 
0 0 ann 
Matriz triangular inferior:
Una matriz cuadrada A = aij de orden n se dice que es triangular inferior si
 
aij = 0 para i  j , es decir:
 a11 0
a
 21 a22
A = a31 a32


 
an1 an 2
0
0
a33

an 3
 0
 0 
 0


 
 ann 