JAIME ENRIQUE LAIME LAIME
EJERCICIO 2
En una planta de procesamiento de leche, una tubería inclinada conduce el fluido desde
un tanque de precalentamiento hacia un intercambiador térmico. Para estudiar
matemáticamente el comportamiento local del flujo y del campo térmico, se adopta un
sistema fijo de coordenadas cartesianas x1, x2, x3, donde:
•
•
•
x1: dirección longitudinal horizontal,
x2: dirección transversal horizontal,
x3: dirección vertical.
La tubería sigue la dirección del vector que une los puntos:
A (0,0,0), B (2,3,6)
El campo de velocidad del fluido se modela por:
v1 = 2x1+ x2 − x3
v2 = −x1 + 3x2 + 2x3
v3 = x1 − x2 + 4x3
y el campo de temperatura local se aproxima por:
T (x1, x2, x3) = 300 +1/2x13 + 2x12x2 − x22x3 + x1x32
Se pide:
1.
2.
3.
4.
5.
Escribir el problema en notación índice e identificar índices libres y mudos.
Hallar el vector unitario en la dirección de la tubería y sus cosenos directores.
Verificar la ley de cosenos.
Calcular la velocidad en el punto P (1,0,2)
Hallar la proyección escalar de la velocidad sobre la dirección de la tubería
usando producto escalar.
6. Formar el tensor gradiente de velocidad:
𝜕𝑣𝑖
𝐴𝑖𝑗 =
𝜕𝑥𝑗
7. Hallar la divergencia usando delta de Kronecker:
∇⋅v = Aii = δijAij
8. Hallar la vorticidad usando el tensor alternante:
𝜕𝑣𝑖𝑗
𝜔𝑖 = 𝜀𝑖𝑗𝑘
𝜕𝑥𝑗
9. Obtener el tensor de tercer orden de derivadas térmicas:
𝐻𝑖𝑗𝑘 =
𝜕3𝑇
𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑥𝑗 𝜕𝑥𝑘
10. Interpretar físicamente cada resultado.
10.
Interpretación física
•
•
•
•
•
Divergencia = 9 → flujo expansivo (fluido se separa, no es incompresible).
Vorticidad ≠ 0 → hay rotación del fluido.
Proyección = 9 → el flujo está alineado fuertemente con la tubería.
Gradiente constante → campo de velocidad lineal (flujo tipo deformación
uniforme).
Tensor térmico de orden 3 → describe cambios de curvatura térmica →
importante para:
o transferencia de calor no lineal
o difusión anisotrópica
CODIGO MATLAB
clc; clear; close all;
%% Punto
P = [1 0 2];
%% Campo de velocidad
v = @(x1,x2,x3) [2*x1 + x2 - x3;
-x1 + 3*x2 + 2*x3;
x1 - x2 + 4*x3];
vP = v(P(1),P(2),P(3));
%% Dirección de la tubería
A = [0 0 0];
B = [2 3 6];
AB = B - A;
e = AB / norm(AB); % vector unitario
%% Proyección
v_proj = dot(vP,e)*e;
%% Gradiente de velocidad (tensor Aij)
Aij = [ 2 1 -1;
-1 3 2;
1 -1 4];
%% Divergencia
div_v = trace(Aij);
%% Vorticidad (rotacional)
omega = [ Aij(3,2) - Aij(2,3);
Aij(1,3) - Aij(3,1);
Aij(2,1) - Aij(1,2) ];
%% Campo de temperatura
syms x1 x2 x3
T = 300 + (1/2)*x1^3 + 2*x1*x2 - x2^2*x3 + x1*x3^2;
%% Tensor de tercer orden
H = sym(zeros(3,3,3));
vars = [x1 x2 x3];
for i=1:3
for j=1:3
for k=1:3
H(i,j,k) = diff(T, vars(i), vars(j), vars(k));
end
end
end
disp('Velocidad en P:')
disp(vP)
disp('Proyección:')
disp(v_proj)
disp('Gradiente Aij:')
disp(Aij)
disp('Divergencia:')
disp(div_v)
disp('Vorticidad:')
disp(omega)
disp('Tensor de tercer orden Hijk:')
disp(H)
%% GRAFICA 3D
figure
hold on
grid on
quiver3(P(1),P(2),P(3),vP(1),vP(2),vP(3))
quiver3(P(1),P(2),P(3),v_proj(1),v_proj(2),v_proj(3))
quiver3(P(1),P(2),P(3),omega(1),omega(2),omega(3))
xlabel('x1'); ylabel('x2'); zlabel('x3')
title('Velocidad, proyección y vorticidad')
legend('v','v proyectada','vorticidad')