Master Mécanique, parcours MFS et MAREENE
Formation : M2
Numerical Methods for UQ
Transformation of random variables and random vectors
Problème 1— Transformations de variables aléatoires
Soit X une variable aléatoire à valeur dans R de loi PX admettant une densité pX . Soit Y
une variable aléatoire définie par
Y = f (X)
où f : R 7→ R est une fonction bijective. PY admet une densité pY qui s’exprime
pY (y) =
pX (x)
pX (f −1 (y))
= ′
′
−1
|f (f (y))|
|f (x)| x=f −1 (y)
Remarque – Si f n’est pas bijective mais est telle que pour y donné, l’équation y = f (x)
admette un ensemble de solutions {xi }i∈I , où I est un ensemble au plus dénombrable, et que
f ′ (xi ) ̸= 0, alors
∑ pX (xi )
pY (y) =
|f ′ (xi )|
i∈I
Q1 – Soit X une variable aléatoire de loi uniforme sur [0, 1]. Déterminer la fonction de répartition
et la densité de probabilité (si elle existe) de la variable aléatoire X définie par
(a) Y = (2X − 1)2
1
(b) Y = 1+X
Q2 – Déterminer pour chacun des cas précédents l’espérance et la variance de Y .
Problème 2— Transformation linéaire de variables aléatoires
Transformation de vecteur aléatoire
Soit X un vecteur aléatoire à valeur dans Rn , de loi PX admettant une densité pX . Soit Y
un vecteur aléatoire à valeur dans Rn défini par
Y = f (X)
où f : Rn 7→ Rn est une fonction bijective. Pour y donné et x tel que y = f (x), si on suppose que
f admet en x une différentielle inversible, on montre que la loi PY admet une densité définie par
pY (y) =
pX (x)
|det(∇f (x))| x=f −1 (y)
(1)
∂fi
où (∇f )ij = ∂x
désigne la matrice gradient de la transformation f . det(∇f (x)) est donc le
j
jacobien de la transformation en x.
Remarque – Si f n’est pas bijective mais est telle que pour y donné, l’équation y = f (x)
admette un ensemble de solution {xi }i∈I , où I est un ensemble au plus dénombrable, et que de
plus la différentielle de f soit inversible en tout point xi , alors
pY (y) =
∑
i∈I
pX (xi )
|det(∇f (xi ))|
On considère un vecteur aléatoire X de dimension n et de densité de probabilité pX (x).
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Master Mécanique, parcours MFS et MAREENE
Formation : M2
Q1 – Déterminer la densité de probabilité du vecteur aléatoire
Y = AX + b
où A ∈ Rn×n est une matrice inversible et b ∈ Rn .
Q2 – Exprimer la moyenne µY et la matrice de covariance CY de Y en fonctions de la moyenne
µX et la matrice de covariance CX de X.
Q3 – En considérant que X est un vecteur gaussien, déterminer A et b de telle sorte que Y soit
un vecteur gaussien centré réduit à composantes indépendantes.
Problème 3— Somme, produit et quotient de variables aléatoires
On considère deux variables aléatoires X1 et X2 de densité de probabilité jointe pX1 X2 .
Q1 – Donner la densité de probabilité de Y = X1 + X2 . Montrer que dans le cas où X1 et X2
sont indépendantes, la densité de Y s’obtient par un produit de convolution des densités de X1
et X2 :
pY (y) = (pX1 ∗ pX2 )(y)
Q2 – Exprimer la densité de probabilité de Y = X1 X2
Q3 – Exprimer la densité de probabilité de Y = X1 /X2
Problème 4— Transformation de Rosenblatt
Soit X un vecteur aléatoire de dimension n. On définit la transformation de Roseblatt Y =
f (X) de la manière suivante :
y1 = Φ−1 ◦ FX1 (x1 )
y2 = Φ−1 ◦ FX2 |X1 (x2 |x1 )
...
yn = Φ−1 ◦ FXn |X1 ,...Xn−1 (xn |x1 , . . . , xn−1 )
où Φ est la fonction de distribution gaussienne centrée réduite.
Q1 – Montrer que le vecteur Y est gaussien centré réduit et à composantes indépendantes.
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