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GLOBALEDITION
Munson
FLUIDE
MÉCANIQUE
PHILIP M. GERHART
ANDREW L. GERHART
JOHN I. HOCHSTEIN
■ Tableau 1.5
Propriétés physiques approximatives de quelques liquides courants (unités BG)
Spécifique
Température
Dynamique
Densité,
Poids,
Viscosité,
ρ
γ
μ
Cinématique
Surface
Vapeur
En gros
Viscosité,
Tension,un
Pression,
Module,b
ν
σ
pυ
Eυ
Liquide
(°F)
(limaces)-pieds3)
(kg-pieds3)
(kg∙s-pieds2)
(pi)2-s)
(kg-pi)
[kg-dans.2(abs)]
(kg-dans.2)
tétrachlorure de carbone
68
68
60
68
68
60
60
60
3.09
1,53
1,32
2.44
26.3
1,77
1,99
1,94
99,5
49,3
42,5
78,6
847
57.0
64.0
62,4
2,00 E − 5
2,49 E − 5
6,5 E − 6
3,13 E − 2
3,28 E − 5
8,0 E − 3
2,51 E − 5
2,34 E − 5
6,47 E − 6
1,63 E − 5
4,9 E − 6
1,28 E − 2
1,25 E − 6
4,5 E − 3
1,26 E − 5
1,21 E − 5
1,84 E − 3
1,56 E − 3
1,5 E − 3
4,34 E − 3
3,19 E − 2
2,5 E − 3
5,03 E − 3
5,03 E − 3
1,9 E + 0
8,5 E − 1
8.0 E + 0
2.0 E − 6
2,3 E − 5
1,91 E + 5
1,54 E + 5
1,9 E + 5
6,56 E + 5
4,14 E + 6
2,2 E + 5
3,39 E + 5
3,12 E + 5
Dynamique
Cinématique
alcool éthylique
Essencec
Glycérine
Mercure
Huile SAE 30c
eau de mer
Eau
—
2,56 E − 1
2,56 E − 1
Au contact de l'air.
un
bModule de compressibilité isentropique calculé à partir de la vitesse du son.
cValeurs typiques. Les propriétés des produits pétroliers varient.
■ Tableau 1.6
Propriétés physiques approximatives de quelques liquides courants (unités SI)
Spécifique
Température
Densité,
Poids,
Viscosité,
ρ
γ
μ
Surface
Vapeur
En gros
Viscosité,
Tension,un
Pression,
Module,b
ν
σ
pυ
Eυ
Liquide
(°C)
(kg-m3)
(kN-m3)
(N∙s-m2)
(m2-s)
(N-m)
[N-m2(abs)]
(N-m2)
tétrachlorure de carbone
20
20
15.6
20
20
15.6
15.6
15.6
1 590
15.6
7,74
6,67
12.4
133
8,95
10.1
9,80
9,58 E − 4
1,19 E − 3
3,1 E − 4
1,50 E + 0
1,57 E − 3
3,8 E − 1
1,20 E − 3
1,12 E − 3
6,03 E − 7
1,51 E − 6
4,6 E − 7
1,19 E − 3
1,15 E − 7
4,2 E − 4
1,17 E − 6
1,12 E − 6
2,69 E − 2
2,28 E − 2
2,2 E − 2
6,33 E − 2
4,66 E − 1
3,6 E − 2
7,34 E − 2
7,34 E − 2
1,3 E + 4
5,9 E + 3
5,5 E + 4
1,4 E − 2
1,6 E − 1
1,31 E + 9
1,06 E + 9
1,3 E + 9
4,52 E + 9
2,85 E + 10
1,5 E + 9
2,34 E + 9
2,15 E + 9
alcool éthylique
Essencec
Glycérine
Mercure
Huile SAE 30c
eau de mer
Eau
Au contact de l'air.
un
bModule de compressibilité isentropique calculé à partir de la vitesse du son.
cValeurs typiques. Les propriétés des produits pétroliers varient.
789
680
1 260
13 600
912
1 030
999
—
1,77 E + 3
1,77 E + 3
■ Tableau 1.7
Propriétés physiques approximatives de quelques gaz courants à pression atmosphérique standard (unités BG)
Cinématique
Viscosité,
Viscosité,
Constante,un
(°F)
(limaces)-pieds3)
(kg-pieds3)
(kg∙s-pieds2)
(pi)2-s)
(pi)∙kg-limace∙ °R)
k
59
68
68
68
68
68
68
2,38 E − 3
3,55 E − 3
3,23 E − 4
1,63 E − 4
1,29 E − 3
2,26 E − 3
2,58 E − 3
7,65 E − 2
1,14 E − 1
1,04 E − 2
5,25 E − 3
4,15 E − 2
7,28 E − 2
8,31 E − 2
3,74 E − 7
3,07 E − 7
4,09 E − 7
1,85 E − 7
2,29 E − 7
3,68 E − 7
4,25 E − 7
1,57 E − 4
8,65 E − 5
1,27 E − 3
1,13 E − 3
1,78 E − 4
1,63 E − 4
1,65 E − 4
1,716 E + 3
1,130 E + 3
1,242 E + 4
2,466 E + 4
3,099 E + 3
1,775 E + 3
1,554 E + 3
1,40
1.30
1,66
1.41
1.31
1,40
1,40
Spécifique
Gaz
Air (standard)
dioxyde de carbone
Hélium
Hydrogène
Méthane (gaz naturel)
Azote
Oxygène
Gaz
Poids,
Dynamique
Densité,
Température
ρ
γ
μ
ν
R
Spécifique
Rapport thermique,b
unLes valeurs de la constante des gaz sont indépendantes de la température.
bLes valeurs du rapport des chaleurs spécifiques ne dépendent que légèrement de la température.
■ Tableau 1.8
Propriétés physiques approximatives de quelques gaz courants à pression atmosphérique standard (unités SI)
Spécifique
Gaz
Air (standard)
dioxyde de carbone
Hélium
Hydrogène
Méthane (gaz naturel)
Azote
Oxygène
Température
Densité,
ρ
Poids,
γ
Dynamique
Cinématique
Viscosité,
Viscosité,
μ
ν
Gaz
Constante,un
R
Spécifique
Rapport thermique,b
(°C)
(kg-m3)
(N-m3)
(N∙s-m2)
(m2-s)
(J-kg∙K)
k
15
20
20
20
20
20
20
1,23 E + 0
1,83 E + 0
1,66 E − 1
8,38 E − 2
6,67 E − 1
1,16 E + 0
1,33 E + 0
1,20 E + 1
1,80 E + 1
1,63 E + 0
8,22 E − 1
6,54 E + 0
1,14 E + 1
1,30 E + 1
1,79 E − 5
1,47 E − 5
1,94 E − 5
8,84 E − 6
1,10 E − 5
1,76 E − 5
2,04 E − 5
1,46 E − 5
8,03 E − 6
1,15 E − 4
1,05 E − 4
1,65 E − 5
1,52 E − 5
1,53 E − 5
2,869 E + 2
1,889 E + 2
2,077 E + 3
4,124 E + 3
5,183 E + 2
2,968 E + 2
2,598 E + 2
1,40
1.30
1,66
1.41
1.31
1,40
1,40
unLes valeurs de la constante des gaz sont indépendantes de la température.
bLes valeurs du rapport des chaleurs spécifiques ne dépendent que légèrement de la température.
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Munson
Fluide
Mécanique
Édition mondiale
Munson
Fluide
Mécanique
Édition mondiale
Philip M. Gerhart
Faculté d'ingénierie et d'informatique,
Université d'Evansville
Evansville, Indiana
Andrew L. Gerhart
A. Leon Linton, Département de génie mécanique,
Université technologique Lawrence
Southfield, Michigan
John I. Hochstein
Département de génie mécanique,
Université de Memphis
Memphis, Tennessee
Mécanique des fluides de Munson,Édition mondiale
Huitième édition
Auteurs : Philip M. Gerhart, Andrew L. Gerhart et John I. Hochstein
Publié par Wiley India Pvt. Ltd.
4436/7, Ansari Road, Daryaganj, New Delhi-110002
eISBN : 978-93-90395-66-8
Droits d'auteur © Le contenu de ce manuel est basé sur l'ouvrage « Fundamentals of Fluid
Mechanics » de Munson, Young et Okiishi, 8e édition [2017]. John Wiley & Sons Singapore Pte.
Ltd.
Fondée en 1807, John Wiley & Sons, Inc. est depuis plus de 200 ans une source précieuse de connaissances et de savoir, aidant
les personnes du monde entier à satisfaire leurs besoins et à réaliser leurs aspirations. Notre entreprise repose sur des
principes fondamentaux, notamment la responsabilité envers les communautés que nous servons et celles où nous vivons et
travaillons. En 2008, nous avons lancé une Initiative de Citoyenneté d'Entreprise, un effort mondial visant à relever les défis
environnementaux, sociaux, économiques et éthiques auxquels nous sommes confrontés dans le cadre de nos activités. Parmi
les enjeux que nous abordons figurent l'impact carbone, les spécifications et l'approvisionnement en papier, la conduite
éthique au sein de notre entreprise et chez nos fournisseurs, ainsi que le soutien aux communautés et aux œuvres caritatives.
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documentaire ou transmise sous quelque forme ou par quelque moyen que ce soit, électronique, mécanique,
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Drive, Danvers, MA 01923, site web www.copyright.com. Les demandes d'autorisation à l'éditeur doivent être
adressées au service des autorisations, John Wiley & Sons, Inc., 111 River Street, Hoboken, NJ 07030, (201)
748-6011, télécopie (201) 748-6008, site web http://www.wiley.com/go/permissions.
Édition autorisée pour l'Inde
À propos des auteurs
Philip M. GerhartDoyen de la faculté d'ingénierie et d'informatique et professeur de génie
mécanique et civil à l'Université d'Evansville, il a obtenu son diplôme BSME du Rose-Hulman
Institute of Technology en 1968 et ses diplômes de maîtrise et de doctorat en génie mécanique de
l'Université de l'Illinois à Urbana-Champaign en 1969 et 1971. Avant de devenir directeur du
département de génie mécanique et civil à l'Université d'Evansville, il a enseigné le génie
mécanique à l'Université d'Akron de 1971 à 1984.
Le Dr Gerhart a enseigné de nombreux cours de mécanique des fluides et d'autres sciences thermofluidiques. Il a mené
de nombreuses missions de conseil dans les secteurs de la production d'énergie et des procédés industriels et est l'auteur ou le
coauteur de deux ouvrages sur la mécanique des fluides et les machines hydrauliques.
Depuis 1975, il s'est fortement impliqué dans l'élaboration des codes d'essais de performance de
l'American Society of Mechanical Engineers (ASME). Il a été vice-président de l'ASME chargé des codes d'essais de
performance de 1998 à 2001 et est actuellement membre et vice-président du Comité sur les ventilateurs,
président du Comité sur les générateurs de vapeur à combustion et membre du Comité permanent sur les codes
d'essais de performance.
Le Dr Gerhart est membre de l'American Society for Engineering Education et membre à vie de
l'American Society of Mechanical Engineers. Parmi ses distinctions, on compte le prix du meilleur
enseignant décerné par le Sénat de la Faculté de l'Église méthodiste unie et la médaille des codes d'essais
de performance de l'ASME.
Andrew L. Gerhart, professeur agrégé de génie mécanique à l'Université technologique
Lawrence, a obtenu son diplôme BSME de l'Université d'Evansville en 1996, son MSME de
l'Université du Wyoming et son doctorat en génie mécanique de l'Université du NouveauMexique.
À Lawrence Tech, le Dr Gerhart a conçu des cours de premier cycle et de cycles supérieurs en mécanique des
fluides visqueux, turbulence, résolution créative de problèmes et introduction à l'ingénierie en première année. Il a
participé à l'élaboration du programme d'études en conception technique à l'échelle de l'établissement et du
programme d'études en leadership à l'échelle de l'université. Il supervise les laboratoires de sciences thermiques et
d'aérodynamique, coordonne la mineure/le certificat en génie aéronautique, préside le comité du programme d'études
en première année d'ingénierie et conseille la section étudiante de l'American Institute of Aeronautics and Astronautics
et l'équipe de conception aéronautique de la SAE.
Le Dr Gerhart anime des ateliers dans le monde entier et a formé des centaines d'enseignants à
l'apprentissage actif, collaboratif et par problèmes, ainsi qu'à la résolution créative de problèmes et à
l'innovation auprès d'ingénieurs et d'étudiants. Il est membre de l'American Society for Engineering
Education et a reçu quatre prix du meilleur article lors de leurs conférences annuelles.
Le Dr Gerhart a reçu le prix de Professeur de l'année 2010 du Michigan, décerné par la Fondation
Carnegie pour l'avancement de l'enseignement et le Conseil pour le développement et le soutien de l'éducation.
Il a également reçu le prix d'excellence en enseignement Henry et Barbara Horldt de Lawrence Tech, le prix du
Jeune ingénieur exceptionnel de la Société d'ingénierie de Détroit (ESD) et le prix de leadership du Conseil de
l'ESD. Il a été élu membre émérite de l'ESD et est activement impliqué au sein de l'American Society of
Mechanical Engineers, où il siège au comité du code d'essai de performance des condenseurs refroidis par air.
John I. HochsteinProfesseur de génie mécanique à l'Université de Memphis, il a obtenu un
diplôme d'ingénieur (BE) du Stevens Institute of Technology en 1973, une maîtrise (MS) en génie
mécanique de la Pennsylvania State University en 1979 et un doctorat (PhD) en génie mécanique de
l'Université d'Akron en 1984. Il enseigne au département de génie mécanique de l'Université de
Memphis depuis 1991 et a été directeur de département de 1996 à 2014.
Travaillant comme ingénieur hors du milieu universitaire, le Dr Hochstein a contribué à la conception des
sous-marins de classe Ohio au sein de la division Electric Boat de General Dynamics, ainsi qu'à celle du réacteur
surgénérateur de Clinch River lorsqu'il était ingénieur chez Babcock & Wilcox Company. Ses études doctorales
portaient sur la modélisation informatique des systèmes de gestion des propergols cryogéniques des engins
spatiaux, et il a continué à collaborer avec la NASA sur ce sujet depuis lors.
ix
x
À propos des auteurs
Le Dr Hochstein a été deux fois boursier du programme NASA Summer Faculty Fellow pendant deux étés consécutifs :
une fois au Centre de recherche Lewis (aujourd’hui Glenn) de la NASA, et une fois au Centre de vol spatial Marshall de la
NASA. Ses recherches actuelles portent principalement sur la capture de l’énergie hydrocinétique pour produire de
l’électricité.
Le Dr Hochstein est membre associé de l'AIAA et siège au comité technique des processus spatiaux
en microgravité depuis 1986. Il a rejoint l'ASME dès ses études de premier cycle et a siégé pendant quatre
ans au comité K20 sur le transfert de chaleur numérique. Il est membre de l'ASEE et contribue à la
profession en tant qu'évaluateur de programme ABET depuis 2002.
À propos des nouveaux auteurs
Un quart de siècle d'excellence
xi
Bruce R. Munson, professeur émérite de mécanique de l'ingénierie à l'Université d'État de l'Iowa, a
obtenu ses diplômes de licence et de maîtrise à l'Université Purdue et son doctorat au département de
génie aérospatial et de mécanique de l'Université du Minnesota en 1970.
Avant de rejoindre la faculté de l'Iowa State University en 1974, le Dr Munson a enseigné le génie
mécanique à l'université Duke de 1970 à 1974. De 1964 à 1966, il a travaillé comme ingénieur au département de
contrôle du carburant des moteurs à réaction de la Bendix Aerospace Corporation, à South Bend, dans l'Indiana.
L'activité professionnelle principale du Dr Munson concerne l'enseignement et la recherche en
mécanique des fluides. Il a conçu de nombreux cours de mécanique des fluides destinés aux étudiants en
génie civil, génie mécanique, sciences de l'ingénieur et génie agricole. Il a reçu le prix d'excellence en
enseignement de l'ingénierie de l'Université d'État de l'Iowa ainsi que la distinction de l'Association des
anciens élèves de cette même université.
Il est l'auteur et le coauteur de nombreux articles techniques, théoriques et expérimentaux, portant sur la
stabilité hydrodynamique, les écoulements à faible nombre de Reynolds, les écoulements secondaires et les applications
des écoulements visqueux incompressibles. Il est membre de l'American Society of Mechanical Engineers.
Donald F. YoungProfesseur émérite distingué Anson Marston en ingénierie, M. Young a obtenu sa
licence en génie mécanique, sa maîtrise et son doctorat en mécanique théorique et appliquée à
l'Université d'État de l'Iowa. Il y a enseigné la mécanique des fluides aux niveaux licence et master
pendant de nombreuses années. Outre son titre de professeur émérite au sein de la Faculté d'ingénierie,
M. Young a reçu le prix d'excellence en enseignement de la Fondation Standard Oil et la distinction
honorifique de l'Association des anciens élèves de l'Université d'État de l'Iowa. Ses recherches en
mécanique des fluides durent plus de 35 ans, avec un intérêt particulier pour la similitude et la
modélisation, ainsi que pour le domaine interdisciplinaire de la mécanique des fluides biomédicale. M.
Young a contribué à de nombreuses publications techniques et est l'auteur ou le coauteur de deux
manuels de mécanique appliquée. Il est membre de l'American Society of Mechanical Engineers.
Ted H. Okiishi, professeur émérite de génie mécanique à l'Université d'État de l'Iowa, a rejoint le corps professoral de
cette université en 1967 après avoir obtenu ses diplômes de premier et de deuxième cycles dans cet établissement.
De 1965 à 1967, le Dr Okiishi a servi comme officier de l'armée américaine, affecté au Centre de
recherche Lewis de la NASA à Cleveland, dans l'Ohio, où il a participé à des recherches sur le transfert de
chaleur des tuyères de fusée, et au Centre de renseignement combiné de Saigon, en République du SudVietnam, où il a étudié les problèmes d'inondations fluviales saisonnières.
Le professeur Okiishi et ses étudiants mènent des recherches actives sur la dynamique des fluides des
turbomachines. Certains de ces projets ont impliqué une collaboration importante avec des chercheurs de laboratoires
gouvernementaux et industriels, et deux de leurs articles ont été récompensés par la médaille Melville de l'ASME (en
1989 et 1998).
Le Dr Okiishi a reçu plusieurs prix pour son enseignement. Il a mis au point des cours de premier cycle et de
cycles supérieurs en dynamique des fluides classique ainsi qu'en dynamique des fluides des turbomachines.
Il est ingénieur professionnel agréé. Il a été vice-président de l'American Society of
Mechanical Engineers (ASME) et de l'American Society for Engineering Education. Il est
membre à vie de l'ASME et ancien rédacteur en chef de sa revue.Journal de
turbomachines.Il a récemment reçu le prix ASME R. Tom Sawyer.
Wade W. HuebschProfesseur agrégé au département de génie mécanique et aérospatial de
l'université de Virginie-Occidentale, il a obtenu sa licence en génie aérospatial à l'université d'État
de San José, où il jouait au baseball universitaire. Il a obtenu sa maîtrise en génie mécanique et son
doctorat en génie aérospatial à l'université d'État de l'Iowa en 2000.
Le Dr Huebsch est spécialisé dans la recherche en dynamique des fluides numérique et a publié de nombreux articles dans des
revues scientifiques portant sur le givrage des aéronefs, les phénomènes d'écoulement induits par la rugosité et les interfaces.
xi
xii
Un quart de siècle d'excellence
Contrôle des écoulements par couches. Il a enseigné la mécanique des fluides aux niveaux licence et master et a créé un
nouveau cours de licence en dynamique des fluides numérique. Il a reçu de nombreuses distinctions pédagogiques,
notamment le prix du Meilleur Enseignant et celui d'Enseignant de l'Année décernés par la Faculté d'Ingénierie et des
Ressources Minérales de l'Université de Virginie-Occidentale (WVU), ainsi que le prix Ralph R. Teetor de la SAE (Society of
Engineers). Il a également été nommé Jeune Chercheur de l'Année par la WVU. Il est membre de l'American Institute of
Aeronautics and Astronautics (AIAA), de la société de recherche Sigma Xi, de la Society of Automotive Engineers (SAE) et
de l'American Society of Engineering Education (ASE).
Alric P. RothmayerProfesseur de génie aérospatial à l'Université d'État de l'Iowa, il a obtenu ses
diplômes de premier et de deuxième cycles au département de génie aérospatial de l'Université de
Cincinnati. Durant ses études, il a également travaillé au Centre de recherche Langley de la NASA et a été
étudiant-chercheur invité à l'Imperial College of Science and Technology de Londres. Il a rejoint le corps
professoral de l'Université d'État de l'Iowa (ISU) en 1985 après une bourse de recherche financée par
l'Office of Naval Research à l'University College de Londres.
Le Dr Rothmayer enseigne depuis plus de 25 ans un large éventail de cours de mécanique des fluides et de propulsion de
premier cycle, allant des écoulements classiques à basse et haute vitesse à l'analyse du cycle de propulsion.
Le Dr Rothmayer a reçu le prix de leadership du Conseil étudiant d'ingénierie de l'ISU, le prix de la
Fondation ISU pour ses débuts prometteurs en recherche, le prix de recherche pour jeunes professeurs
d'ingénierie de l'ISU et le prix présidentiel de la Fondation nationale pour la science (NSF) destiné aux jeunes
chercheurs. Il est membre associé de l'American Institute of Aeronautics and Astronautics (AIAA) et a présidé la
3e conférence de l'AIAA sur la mécanique des fluides théorique.
Le Dr Rothmayer est spécialisé dans l'intégration de la dynamique des fluides numérique (CFD) aux méthodes
asymptotiques et à la modélisation d'ordre réduit des écoulements visqueux. Ses recherches ont trouvé des applications
dans divers domaines, allant des écoulements internes dans des tubes flexibles au contrôle des fluides et au givrage des
aéronefs. En 2001, il a reçu le prix TGIR (Turning Goals into Reality) de la NASA en tant que membre de l'équipe du projet
sur le givrage des aéronefs, et le prix NASA Group Achievement Award en 2009 en tant que membre de l'équipe de
développement du logiciel LEWICE sur l'accrétion de glace. Il a également été membre du sous-comité SAE AC-9C sur les
technologies de givrage des aéronefs, rattaché au comité des systèmes environnementaux des aéronefs de la SAE, ainsi
que du comité technique de dynamique des fluides de l'AIAA.
Préface
Ce livre vise à aider les étudiants de premier cycle en ingénierie à acquérir les notions fondamentales de la mécanique
des fluides. Il a été conçu pour un premier cours de mécanique des fluides, d'une durée d'un ou deux semestres. Bien
que les principes de ce cours soient bien établis depuis de nombreuses années, l'enseignement de la mécanique des
fluides a évolué et s'est perfectionné.
Une nouvelle équipe d'auteurs s'attelle à perpétuer la tradition d'excellence de cette édition internationale, qui s'appuie
sur l'ouvrage américain actuel : *Fundamentals of Fluid Mechanics*, 8e édition. Forts de notre longue expérience d'enseignement,
nous avons cherché à enrichir ce texte de référence. Grâce à notre expérience et aux suggestions de nos collègues et étudiants,
nous avons apporté plusieurs modifications à cette édition. Ces modifications (listées ci-dessous et signalées par le mot
« modification ») sont indiquées par un astérisque.NouveauLes descriptions figurant dans cette préface visent à clarifier,
actualiser et développer certaines idées et certains concepts.
Nouveautés de cette édition
Outre les efforts constants déployés pour actualiser le contenu présenté et améliorer la présentation de
l'ensemble du matériel, les éléments suivants sont nouveaux dans cette édition.
Autonome :Les éléments qui avaient été retirés du texte et n'étaient disponibles qu'en ligne ont été réintégrés.
Il s'agit notamment de la section 5.4 sur le second principe de la thermodynamique et les pertes d'énergie utile,
ainsi que de l'annexe E contenant les facteurs de conversion d'unités.
Écoulement compressible :Le chapitre 11 sur l'écoulement compressible a été largement remanié et une quantité limitée de
nouveauDu matériel a été ajouté. Il y en a dixnouveauDes exemples de problèmes, dont certains remplacent des exemples
précédents, sont présentés. Tous mettent l'accent sur les applications techniques du matériau. Les solutions proposées utilisent
des tableaux de fonctions d'écoulement compressible ainsi que des graphiques.
Annexes :L'annexe A a été étoffée. Des tables de fonctions d'écoulement compressible ont été ajoutées à
l'annexe D.nouveauUn ensemble complet de facteurs de conversion d'unités dans un format utile et compact
figure à l'annexe E.
Dynamique des fluides numérique (CFD) :Une question encore ouverte dans les manuels d'introduction à la
mécanique des fluides concerne le traitement de la dynamique des fluides numérique (CFD). Un développement
complet du sujet dépasse largement le cadre d'un ouvrage d'introduction ; néanmoins, des logiciels de CFD très
performants et complexes sont utilisés pour la conception et l'analyse en ingénierie dans un nombre croissant
de secteurs industriels. Nous avons choisi de décrire nombre des défis et des pratiques qui caractérisent les
logiciels de CFD les plus utilisés. Notre objectif est double : montrer comment calculer des écoulements
relativement complexes et encourager un esprit critique chez le non-spécialiste. Ces informations sont
présentées dans une annexe A enrichie.
Problèmes et exemples :BeaucoupnouveauLes exemples et les problèmes mettent l'accent sur les applications en
ingénierie. Environ 30 %nouveauDes exercices supplémentaires ont été ajoutés pour cette édition, et il y a des
problèmes supplémentaires dansWileyPLUS.
Valeur:Presque tout le monde s'inquiète de la flambée des prix des manuels scolaires (oui, même les auteurs et
les éditeurs !). Nous avons pris quelques mesures modestes pour maintenir un prix raisonnable pour cet
ouvrage. La plupart de ces mesures consistent à supprimer les éléments superflus. Par exemple, les vignettes
qui accompagnaient les icônes vidéo dans la 7e édition ont été supprimées. Wiley a également développé
différents produits pour répondre aux besoins et aux budgets variés des étudiants.
xiii
xiv
Préface
y
Caractéristiques principales
Fr < 1
Fr = 1
Fr > 1
Illustrations et photographies
La mécanique des fluides a toujours été une discipline visuelle : l’observation des différentes manifestations de
l’écoulement des fluides permet d’apprendre beaucoup. Heureusement, cette dimension visuelle s’intègre de plus
en plus facilement dans l’environnement d’apprentissage, tant pour l’accès que pour la diffusion des
connaissances, et constitue une aide précieuse pour l’apprentissage de la mécanique. C’est pourquoi cet ouvrage
comprend de nombreuses photographies et illustrations. Certaines sont intégrées au texte ; d’autres servent à
illustrer les exemples ; et d’autres encore sont insérées en marge, comme dans la marge de gauche, afin de mieux
comprendre certains points abordés dans le texte.
(© Photo courtoisie de
du District d'Utilité
Publique de Pend Oreille.)
Exemples
L'un de nos objectifs est de présenter la mécanique des fluides telle qu'elle est réellement : une discipline
passionnante et utile. À cette fin, nous proposons l'analyse de nombreux exemples concrets de phénomènes
d'écoulement de fluides, auxquels étudiants et enseignants peuvent facilement s'identifier. Cette édition
contient de nombreux exemples offrant des solutions détaillées à divers problèmes. Nombre d'entre eux
illustrent des applications de la mécanique des fluides en ingénierie, comme il se doit dans un manuel
d'ingénierie. Plusieurs exemples montrent l'impact de la modification d'un ou plusieurs paramètres, permettant
ainsi à l'étudiant de mieux appréhender certains principes fondamentaux. De plus, de nombreux exemples sont
accompagnés de photographies du dispositif ou de l'objet concerné. Enfin, tous les exemples sont présentés et
résolus selon la méthodologie « Données, Trouver, Solution, Commentaire », comme indiqué dans la « Note à
l'utilisateur » précédant l'exemple 1.1.
Le vaste monde des fluides
La collection d'une soixantaine de nouvelles intitulée « Le vaste monde des fluides » illustre des aspects importants et inédits de
l'influence de la mécanique des fluides sur notre quotidien. Plusieurs de ces nouvelles proposent des exercices pratiques. Le titre
de cette rubrique a été modifié par rapport à la 7e édition, qui s'intitulait « Les fluides dans l'actualité », car les nouvelles abordent
des sujets plus vastes que les seules dernières avancées en mécanique des fluides.
Problèmes de devoirs
Une grande variété de problèmes de devoirs (environ 30%)nouveauCette édition met l'accent sur
l'application pratique des principes. Les problèmes sont regroupés et classés par thème.
Développement bien rythmé des concepts et de la résolution de problèmes
Ce manuel étant une introduction, nous avons conçu la présentation des notions pour permettre
aux étudiants de développer progressivement leur confiance en la résolution de problèmes de
mécanique des fluides. Chaque concept important est abordé dans des situations simples et faciles
à comprendre avant d'introduire des concepts plus complexes. De nombreuses pages contiennent
un bref résumé en marge, servant à préparer le lecteur ou à lui rappeler un concept important
traité sur la page.
Plusieurs éléments concis ont été intégrés à chaque chapitre pour aider l'étudiant à appréhender le
sujet dans son ensemble et à identifier les points clés qui y sont développés. Une brève section « Objectifs
d'apprentissage » figure au début de chaque chapitre. Il est conseillé de consulter cette liste avant de
commencer la lecture du chapitre afin d'avoir un aperçu des concepts principaux présentés. Une fois le
chapitre terminé, il est utile de se référer aux objectifs d'apprentissage initiaux. Un résumé et un guide
d'étude, situés à la fin de chaque chapitre, viennent renforcer ces objectifs. Cette section propose un bref
résumé des concepts et principes clés introduits dans le chapitre.
Préface
xv
Il comprend également une liste des termes importants que l'étudiant doit connaître. Ces termes sont mis en
évidence dans le texte. Tous les éléments des objectifs d'apprentissage et du guide d'étude sont des « actions
concrètes » indiquant ce que l'étudiant doit être capable de faire.faireUne liste des principales équations du
chapitre figure dans le résumé du chapitre.
Système d'unités
Trois systèmes d'unités sont utilisés dans tout le texte : le Système international d'unités (newtons,
kilogrammes, mètres et secondes), le système britannique de mesure (livres, slugs, pieds et
secondes) et le système d'unités d'ingénierie anglais, parfois appelé système américain (livres (ou
livres-force), livres-masse, pieds et secondes). La répartition des exemples et des exercices entre
ces trois systèmes d'unités est d'environ 50 %, 40 % et 10 %.
Prérequis et organisation thématique
Un premier cours de mécanique des fluides est généralement dispensé en troisième année d'un cursus d'ingénierie classique. Les
étudiants doivent avoir étudié la statique et la dynamique, et la résistance des matériaux doit être au minimum un prérequis.
Leurs connaissances préalables en mathématiques doivent inclure le calcul différentiel et intégral, avec au moins les notions de
base du calcul vectoriel et des équations différentielles.
Dans les quatre premiers chapitres de cet ouvrage, l'étudiant est initié aux principes fondamentaux de la
mécanique des fluides, notamment les propriétés importantes des fluides, les régimes d'écoulement, les variations de
pression dans les fluides au repos et en mouvement, la cinématique des fluides, ainsi que les méthodes de description et
d'analyse des écoulements. L'équation de Bernoulli est introduite au chapitre 3 afin de mettre en lumière, dès le début,
certains effets et applications intéressants de la relation entre le mouvement d'un fluide et la pression dans un champ
d'écoulement. Nous sommes convaincus que cette introduction précoce à la dynamique élémentaire des fluides favorise
l'intérêt des étudiants pour les notions plus complexes qui suivent. Le chapitre 4 présente les éléments essentiels de la
cinématique des fluides, y compris les descriptions eulérienne et lagrangienne des champs d'écoulement, et souligne le
lien fondamental entre ces deux approches. Pour les enseignants souhaitant aborder la cinématique en détail avant la
dynamique élémentaire des fluides, les chapitres 3 et 4 peuvent être suivis indifféremment sans rupture de continuité.
Les chapitres 5, 6 et 7 développent les méthodes fondamentales généralement utilisées pour résoudre ou
aborder la résolution des problèmes de mécanique des fluides. L'accent est mis sur la compréhension de la description
mathématique des phénomènes d'écoulement et sur l'utilisation appropriée des volumes de contrôle infinitésimaux ou
finis. Les effets du frottement du fluide sur la pression et la vitesse sont également étudiés en détail. Bien que le chapitre
5 traite de l'énergie des fluides et de sa dissipation, un cours formel de thermodynamique n'est pas requis. Le chapitre 7
présente les avantages de l'analyse dimensionnelle et de la similitude pour l'organisation des données et la planification
des expériences, ainsi que les techniques de base associées.
Compte tenu de l'importance croissante de la dynamique des fluides numérique (CFD) dans la conception et
l'analyse en ingénierie, des informations sur ce sujet sont incluses dans l'annexe A. Ces informations peuvent être
omises sans que cela n'affecte la continuité du reste du texte.
Les chapitres 8 à 12 offrent aux étudiants la possibilité d'approfondir les principes abordés précédemment. De plus, le cas
échéant, des notions importantes supplémentaires telles que les couches limites, la transition d'un écoulement laminaire à un
écoulement turbulent, la modélisation de la turbulence et le décollement de l'écoulement sont introduites. Des aspects pratiques
comme l'écoulement en conduite, l'écoulement à surface libre, la mesure des débits, la traînée et la portance, les effets de la
compressibilité et les principes fondamentaux de la mécanique des fluides des turbomachines sont également traités.
Les étudiants qui étudieront ce manuel et résoudront un ensemble représentatif de problèmes auront acquis une
connaissance utile des principes fondamentaux de la mécanique des fluides. Les enseignants qui utilisent ce manuel
disposent d'un large choix de sujets pour répondre aux objectifs de leurs cours. La matière abordée dépasse largement
ce qu'il est possible de couvrir en un seul semestre. Elle est suffisante pour un second cours, probablement intitulé
« Mécanique des fluides appliquée ». Nous rappelons à tous l'existence d'une riche collection de ressources
complémentaires. Tout au long du texte, nous avons cité divers articles et ouvrages permettant d'approfondir le sujet.
XVI
Préface
Ressources pour les enseignants
WileyPLUSCe manuel propose des ressources pour les enseignants, comme le corrigé des exercices, qui contient des solutions
complètes et détaillées à tous les problèmes du manuel, ainsi que des figures extraites du manuel et utilisables dans les
diapositives de cours. Inscrivez-vous pour y accéder sur www.wileyplus.com.
Ressources pour les étudiants :
Par le biais d'un processus d'inscription,WileyPLUSIl offre également aux étudiants l'accès à des ressources appropriées telles que
des vidéos sur les fluides et des problèmes supplémentaires, entre autres.
Exploiter pleinement la puissance deWileyPLUS:
Si un éducateur choisit d'exigerWileyPLUSpour leur cours, l'enseignant mettra en place leWileyPLUS Le cours est proposé
à l'avance et les étudiants sont invités à s'inscrire et à l'utiliser. L'accès se fait grâce à un code d'inscription qui peut être
ajouté à la version imprimée ou acheté pour un accès exclusivement en ligne.
WileyPLUSrenforce la confiance des étudiants car elle élimine les incertitudes liées aux études en leur
fournissant une feuille de route claire :Que faire, comment le faire, s'ils ont bien fait les chosesCette
approche interactive se concentre sur :
CONFIANCE:Les recherches montrent que les étudiants ressentent beaucoup d'anxiété face aux études. C'est pourquoi
nous proposons un environnement d'apprentissage structuré qui aide les étudiants à se concentrer surce qu'il faut
faire, ainsi que le soutien de ressources immédiates.
MOTIVATION:Pour accroître et maintenir la motivation tout au long du semestre,WileyPLUSaide les élèves à apprendre
comment faireà leur propre rythme. Nos ressources intégrées, disponibles 24 h/24 et 7 j/7, fonctionnent comme un
tuteur personnel, répondant directement aux besoins spécifiques de chaque élève grâce à des techniques de résolution
de problèmes adaptées.
SUCCÈS:WileyPLUSCela contribue à garantir l'efficacité de chaque séance d'étude en donnant aux étudiants le contrôle. Grâce à
un retour d'information immédiat et à des rapports sur les objectifs d'étude, les étudiants savents'ils l'ont fait correctement,et
sur quels points concentrer leurs efforts ensuite, afin d'obtenir les meilleurs résultats.
AvecWileyPLUS, nos recherches sur l'efficacité montrent que les élèves améliorent leurs résultats jusqu'à une
note.WileyPLUSCela aide les élèves à prendre davantage d'initiatives, ce qui vous permettra d'avoir un impact
plus important sur leur réussite en classe et au-delà.
Qu'est-ce que les étudiants reçoivent avecWileyPLUS?
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problèmes, des animations « Ce que voit un ingénieur », des questions de lecture pratique et bien plus encore — qui offrent de
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du texte adaptées aux diapositives de cours, des vidéos sur les phénomènes des fluides, des questions de lecture
autocorrectives pouvant être utilisées dans les quiz de pré-cours, des questions de compréhension de concepts
autocorrectives, des problèmes de devoirs autocorrectifs, et bien plus encore.
Inscrivez-vous pour accéder au contenu sur www.wileyplus.com.
Préface
XVII
Remerciements
Nous tenons tout d'abord à exprimer notre gratitude à Bruce Munson, Donald Young, Ted Okiishi, Wade Huebsch et Alric
Rothmayer pour leur contribution à la réalisation des sept éditions de cet excellent ouvrage. Nous remercions également
les équipes de Wiley, et plus particulièrement Don Fowley, Linda Ratts et Jenny Welter, de nous avoir fait confiance en
nous confiant la responsabilité de ce texte. Enfin, nous remercions nos familles pour leur soutien indéfectible tout au
long de la rédaction de cette édition.
Notre collaboration avec les étudiants et nos collègues au fil des ans nous a beaucoup appris sur l'enseignement
de la mécanique des fluides. Nous avons mis à profit cette expérience pour enrichir cet ouvrage. Bien entendu, nous
continuons d'apprendre et nous accueillons avec plaisir vos suggestions et commentaires.
Philip M. Gerhart
Andrew L. Gerhart
John I. Hochstein
Contenu
1INTRODUCTION1
2.13Résumé du chapitre et guide d'étude73
Objectifs d'apprentissage1
1.1
1.2
Références75,Problèmes75
3
Quelques caractéristiques des fluides
Dimensions, homogénéité dimensionnelle et unités
4
1.2.1 Systèmes d'unités6
1.3
1.4
Objectifs d'apprentissage82
Analyse du comportement des fluides11
11
Mesures de la masse et du poids des fluides
1.4.1 Densité11
1.4.3 Densité relative
1.5
1.6
1.7
3.5Pression statique, de stagnation, dynamique et
totale94
Viscosité14
20
3.6Exemples d'utilisation de l'équation de
Bernoulli98
1.7.1 Module de compressibilité20
1.7.2 Compression et détente des gaz21
1.8
1.9
3.6.2 Écoulements confinés101
3.6.3 Mesure du débit107
23
Tension superficielle 24
Pression de vapeur
3.7La ligne énergétique et la ligne de niveau
hydraulique112
27
1.10Un bref retour sur l'histoire
1.11
3.6.1 Jets gratuits99
22
1.7.3 Vitesse du son
29
Résumé du chapitre et guide d'étude
3.8Restrictions relatives à l'utilisation de l'équation de
Bernoulli115
3.8.2 Effets instables
3.8.3 Effets de rotation
2STATIQUE DES FLUIDES
3.8.4 Autres restrictions
34
Pression en un point
34
Références120,Problèmes121
35
2.2Équation fondamentale du champ de pression
37
2.3Variation de pression dans un fluide au repos
38
40
2.3.1 Fluide incompressible
2.3.2 Fluide compressible
4CINÉMATIQUE DES FLUIDES
4.1
44
2.5Mesure de la pression
2.6.1 Tube piézométrique46
4.1.2 Écoulements à une, deux et trois
dimensions130
2.6.2 Manomètre à tube en U47
49
53
2.8Force hydrostatique sur une surface plane
2.9Prisme de pression59
4.1.4 Lignes de courant, lignes de stries et
lignes de trajectoire131
4.2Le champ d'accélération135
4.2.1 Accélération et dérivée matérielle135
2.10Force hydrostatique sur une surface
courbe62
64
2.11Flottabilité, flottaison et stabilité
2.11.1 Principe d'Archimède64
4.2.2 Effets instables
4.2.3 Effets convectifs
138
138
4.2.4 Coordonnées de la ligne de courant
2.11.2 Stabilité67
141
4.3Volume de contrôle et représentations
du système143
2.12Variation de pression dans un fluide avec
mouvement de corps rigide 68
4.4Le théorème de transport de Reynolds
69
2.12.2 Rotation d'un corps rigide
131
4.1.3 Écoulements permanents et non permanents
Dispositifs de mesure de pression
mécaniques et électroniques50
2.12.1 Mouvement linéaire
Le champ de vitesse126
4.1.1 Descriptions des écoulements eulériens
et lagrangiens129
2.6manométrie46
2.6.3 Manomètre à tube incliné
126
Objectifs d'apprentissage126
2.4Atmosphère standard42
2.7
116
118
119
3.9Résumé du chapitre et guide
d'étude119
Objectifs d'apprentissage34
2.1
115
3.8.1 Effets de compressibilité
31
Références30,Problèmes
La deuxième loi de Newton82
3.2F =mle long d'une ligne de courant85
3.4Interprétations physiques et formes alternatives de
l'équation de Bernoulli91
Loi des gaz parfaits12
Compressibilité des fluides
3.1
3.3F =mUne normale à une rationalisée89
12
12
1.4.2 Poids spécifique
3DYNAMIQUE DES FLUIDES ÉLÉMENTAIRE —
L'ÉQUATION DE BERNOULLI82
71
145
4.4.1 Démonstration du théorème de
transport de Reynolds147
xix
xx
Contenu
4.4.2 Interprétation physique152
152
4.4.3 Relation avec le dérivé matériel
4.4.4 Effets constants153
Objectifs d'apprentissage227
4.4.5 Effets instables154
6.1
4.4.6 Déplacement des volumes de contrôle155
4.4.7 Sélection d'un volume de contrôle
4.5Résumé du chapitre et guide d'étude
6ANALYSE DIFFÉRENTIELLE DE
L'ÉCOULEMENT DES FLUIDES227
Cinématique des éléments fluides228
6.1.1 Réexamen des champs de vitesse et
d'accélération229
156
157
229
230
6.1.2 Mouvement linéaire et déformation
6.1.3 Mouvement angulaire et déformation
Références158,Problèmes158
6.2Conservation de la masse233
6.2.1 Forme différentielle de l'équation de
continuité233
6.2.2 Coordonnées polaires cylindriques236
5ANALYSE DES VOLUMES DE CONTRÔLE
FINIS161
6.2.3 La fonction de flux236
6.3L'équation de la quantité de mouvement linéaire239
Objectifs d'apprentissage161
5.1
6.3.1 Description des forces agissant sur
l'élément différentiel240
Conservation de la masse — L'équation de
continuité162
6.3.2 Équations du mouvement242
5.1.1 Dérivation de l'équation de continuité
162
6.4Écoulement non visqueux243
6.4.2 L'équation de Bernoulli243
6.4.3 Écoulement irrotationnel245
5.1.3 Volume de contrôle mobile et
indéformable170
6.4.4 L'équation de Bernoulli pour
Flux irrotationnel247
5.1.4 Volume de contrôle de déformation172
6.5Quelques flux de potentiel plan de base
250
5.2.1 Dérivation de l'équation de la quantité
de mouvement linéaire175
6.5.1 Flux uniforme251
5.2.2 Application de l'équation de la quantité
de mouvement linéaire176
6.5.3 Vortex
6.5.4 Doublet
6.6.1 Source dans un flux uniforme — Demicorps259
5.3Première loi de la thermodynamique —
L'équation de l'énergie198
6.6.2 Ovales de Rankine262
198
201
5.3.3 L'équation de l'énergie mécanique et
l'équation de Bernoulli205
6.7Autres aspects de l'analyse des flux potentiels
269
6.8.1 Relations contraintedéformation270
5.3.5 Combinaison de l'équation de l'énergie
et de l'équation du moment cinétique
214
6.8.2 Les équations de Navier-Stokes
271
6.9Quelques solutions simples pour les écoulements
laminaires, visqueux et incompressibles272
5.4Deuxième principe de la thermodynamique —
Écoulement irréversible215
5.4.3 Combinaison des équations des première et
deuxième lois de
Thermodynamique216
6.6.3 Écoulement autour d'un
cylindre circulaire264
6.8Écoulement visqueux270
5.3.4 Application de l'équation de l'énergie aux
écoulements non uniformes211
5.4.2 Volume de contrôle semi-infinitésimal Énoncé
de la deuxième loi de la thermodynamique
215
254
257
6.6Superposition des flux de potentiel plan de
base259
5.2.4 Application de l'équation du moment
cinétique191
5.4.1 Énoncé du volume de contrôle semiinfinitésimal de l'équation de l'énergie
252
6.5.2 Source et destination
5.2.3 Dérivation de l'équation du moment
cinétique190
5.3.2 Application de l'équation de l'énergie
247
6.4.5 Le potentiel de vitesse
5.2Deuxième loi de Newton — Équations de la quantité de
mouvement linéaire et du moment cinétique175
5.3.1 Dérivation de l'équation de l'énergie
243
6.4.1 Équations du mouvement d'Euler
5.1.2 Volume de contrôle fixe et
indéformable164
6.9.1 Écoulement laminaire permanent entre plaques
parallèles fixes
273
215
6.9.2 Flux de Couette
275
6.9.3 Écoulement laminaire permanent
dans les tubes circulaires277
6.9.4 Écoulement axial laminaire
permanent dans un anneau280
6.10Autres aspects de l'analyse différentielle
6.10.1 Méthodes numériques282
5.5Résumé du chapitre et guide d'étude217
6.11Résumé du chapitre et guide d'étude283
Références219,Problèmes220
Références284,Problèmes285
282
xxi
Contenu
7ANALYSE DIMENSIONNELLE,
SIMILITUDE ET MODÉLISATION
8.4Analyse dimensionnelle de l'écoulement dans une conduite
8.4.2 Pertes mineures
Objectifs d'apprentissage289
7.1
7.2
7.3
7.4
8.5Exemples d'écoulement dans les tuyaux
292
293
Théorème Pi de Buckingham
Détermination des termes Pi
8.5.1 Tuyaux simples
8.6Mesure du débit dans une conduite
8.6.1 Débitmètres de conduite
298
8.6.2 Débitmètres volumiques
7.4.2 Détermination des dimensions de
référence300
Détermination des termes Pi par
inspection302
7.6
Groupes adimensionnels courants en
mécanique des fluides304
7.7
Corrélation des données expérimentales
9COULÉE SUR LES CORPS
IMMERGÉS407
309
309
7.7.1 Problèmes avec One Pi Term
Objectifs d'apprentissage407
7.7.2 Problèmes liés à deux termes
Pi ou plus310
7.8.1 Théorie des modèles
9.1
Caractéristiques générales du flux externe
408
9.1.1 Concepts de portance et de traînée409
313
313
9.1.2 Caractéristiques de l'écoulement
autour d'un objet412
7.8.2 Échelles de modèles316
7.8.3 Aspects pratiques de l'utilisation des modèles
7.9
401
Références402,Problèmes403
7,5
Modélisation et similitude
391
395
395
400
8.7Résumé du chapitre et guide d'étude
7.4.3 Unicité des termes Pi301
7.8
381
381
8.5.2 Systèmes de tuyauterie multiples
Quelques commentaires supplémentaires
sur l'analyse dimensionnelle298
7.4.1 Sélection des variables
378
8.4.3 Conduits non circulaires
290
Nécessité d'une analyse dimensionnelle
362
363
368
8.4.1 Pertes majeures
289
317
9.2Caractéristiques de la couche limite416
9.2.1 Structure et épaisseur de la couche
limite sur une plaque plane
Quelques études de cas typiques319
7.9.1 Écoulement dans les conduites fermées
7.9.2 Écoulement autour des corps immergés
319
321
416
9.2.2 Solution de couche limite de
Prandtl/Blasius420
7.9.3 Écoulement avec une surface libre325
9.2.3 Équation intégrale de quantité de mouvement de
la couche limite pour une plaque plane
7.10Similitude basée sur les équations
différentielles régissant le système328
424
9.2.4 Transition d'un écoulement laminaire à un
écoulement turbulent429
331
7.11Résumé du chapitre et guide d'étude
9.2.5 Écoulement turbulent de la couche limite
Références332,Problèmes333
431
9.2.6 Effets du gradient de pression435
9.2.7 Équation de la couche limite intégrale de quantité de
mouvement avec pression non nulle
Pente439
8ÉCOULEMENT VISQUEUX DANS LES TUYAUX336
9.3Traîner
Objectifs d'apprentissage336
8.1
Caractéristiques générales de l'écoulement dans les conduites
8.1.1 Écoulement laminaire ou turbulent
337
9.3.2 Traînée de pression
338
8.1.2 Zone d'entrée et débit pleinement
développé340
8.1.3 Pression et contrainte de cisaillement
341
440
9.3.1 Frottement
441
442
9.3.3 Données et exemples relatifs au
coefficient de traînée444
9.4Ascenseur458
9.4.1 Distribution de la pression en surface
8.2Flux laminaire pleinement développé342
460
9.4.2 Circulation466
8.2.1 À partir deF =munAppliqué directement à un
élément fluide343
9,5Résumé du chapitre et guide d'étude
8.2.2 À partir des équations de NavierStokes347
Références471,Problèmes472
470
8.2.3 À partir de l'analyse dimensionnelle348
8.2.4 Considérations énergétiques350
8.3Flux turbulent pleinement développé352
8.3.1 Transition d'un écoulement laminaire à un
écoulement turbulent352
10FLUX À CANAL OUVERT
Objectifs d'apprentissage
10.1
Caractéristiques générales de l'écoulement à surface
libre475
10.2
Vagues de surface
8.3.2 Contrainte de cisaillement turbulente354
8.3.3 Profil de vitesse turbulente
8.3.4 Modélisation de la turbulence
8.3.5 Chaos et turbulence
358
362
362
475
475
477
10.2.1
Vitesse de l'onde477
10.2.2
Effets du nombre de Froude480
xxii
10.3
10.4
10,5
10.6
Contenu
Considérations énergétiques
10.3.1
Équilibre énergétique
10.3.2
Énergie spécifique
Flux uniforme
482
482
483
11.10Analogie entre les écoulements compressibles et les
écoulements à surface libre579
11.11Écoulement supersonique bidimensionnel
11.12Résumé du chapitre et guide d'étude
486
10.4.1
Approximations d'écoulement uniforme : les
486
10.4.2
équations de Chézy et de Manning ; exemples
10.4.3
d'écoulement uniforme
Flux graduellement varié
Flux rapidement variable
487
490
Le saut hydraulique
10.6.2
Barrages à crête acérée
10.6.3 Déversoirs à crête large
Objectifs d'apprentissage587
498
503
506
12.1Introduction588
12.2Considérations énergétiques de base589
12.4La pompe centrifuge595
510
Résumé du chapitre et guide d'étude
Références
12.4.1 Considérations théoriques596
12.4.2 Caractéristiques de performance de la pompe
512,Problèmes512
12.4.3 Hauteur d'aspiration nette positive (NPSH)
11ÉCOULEMENT COMPRESSIBLE
Thermodynamique des gaz parfaits
12,5Paramètres sans dimension et lois de
similitude608
517
11.2Propriétés de la stagnation522
11.3Nombre de Mach et vitesse du son
12.5.1 Lois spéciales sur l'entartrage des pompes
524
12.5.3 Vitesse spécifique d'aspiration
11,5ondes de choc533
11.5.1 Choc normal534
12.7Les fans615
11.6.1 Écoulement isentropique permanent
d'un gaz parfait539
12.8Turbines616
12.8.1 Turbines à impulsion
11.6.2 Écoulement incompressible et
équation de Bernoulli542
12.8.2 Turbines à réaction
617
624
12.9Turbomachines à flux compressible
11.6.3 L'état critique543
12.9.2 Turbines à flux compressible
11.7.1 Considérations générales544
12.10Résumé du chapitre et guide d'étude
11.7.2 Écoulement isentropique d'un gaz parfait
avec variation de section547
Références634,Problèmes635
UNDynamique des fluides numérique
559
11.8.1 Considérations préliminaires : Comparaison avec un
écoulement incompressible dans une conduite559
(écoulement de Fanno) d'un gaz parfait564
11.9Écoulement sans frottement dans un conduit à section
constante avec chauffage ou refroidissement572
11.9.1 La ligne Rayleigh572
CPropriétés de l'atmosphère standard
américaine662
DFonctions d'écoulement compressible pour
un gaz parfait aveck=1.4664
ETableau complet des facteurs de conversion672
avec chauffage ou refroidissement
(écoulement de Rayleigh)574
639
BPropriétés physiques des fluides657
11.9.2 Écoulement sans frottement d'un gaz parfait
11.9.3 Lignes de Rayleigh, lignes de Fanno et
amortisseurs normaux578
631
633
553
11.7.4 Fonctionnement d'une tuyère
convergente-divergente555
11.8.3 Écoulement adiabatique avec frottement
627
12.9.1 Compresseurs627
11.7Écoulement unidimensionnel dans un conduit à
section variable544
11.8Écoulement dans un conduit à section constante avec frottement
612
12.6Pompes à flux axial et à flux mixte613
11.6Flux isentropique538
11.7.3 Fonctionnement d'une buse convergente
610
12.5.2 Vitesse spécifique611
11.4Régimes d'écoulement compressible529
11.8.2 La ligne Fanno560
600
602
12.4.4 Caractéristiques du système,
adéquation pompe-système,
et sélection de la pompe604
516
Objectifs d'apprentissage516
11.1
593
12.3Considérations relatives au moment angulaire
10.6.4 Vannes de sous-verse (vannes d'écluse)
509
10.7
Références585,Problèmes585
12TURBOMACHINES587
495
497
10.6.1
580
582
IndiceI-1
1
Introduction
Objectifs d'apprentissage
Après avoir terminé ce chapitre, vous devriez être capable de :
■
Indiquez les dimensions et les unités des grandeurs physiques.
■
identifier les principales propriétés du fluide utilisées dans l'analyse de son comportement.
■
calculer les valeurs des propriétés courantes des fluides à partir des informations appropriées.
■
expliquer les effets de la compressibilité des fluides.
■
utiliser les concepts de viscosité, de pression de vapeur et de tension superficielle.
La mécanique des fluides est la discipline, au sein du vaste domaine de la mécanique appliquée, qui étudie le
comportement des liquides et des gaz au repos ou en mouvement. Elle couvre une vaste gamme de phénomènes
naturels (avec ou sans intervention humaine), en biologie, et dans de nombreuses situations techniques, inventées
ou manufacturées. Rares sont les aspects de notre vie qui n'impliquent pas de fluides, directement ou
indirectement.
p
L'immense variété des conditions d'écoulement est stupéfiante et dépend fortement des valeurs des
nombreux paramètres qui décrivent l'écoulement des fluides. Parmi la longue liste de paramètres figurent
(1) la taille physique de l'écoulement,ℓ; (2) la vitesse du débit,V; et (3) la pression, indiquée sur la figure en
V
marge pour un système de récupération par parachute d'avion léger. Ce sont là trois des paramètres
importants qui, avec beaucoup d'autres, sont abordés en détail dans différentes sections de cet ouvrage.
Pour se faire une idée de l'étendue des valeurs de certains paramètres et des situations d'écoulement générées,
considérons ce qui suit.
(Photographie courtoisie de
■
Taille,ℓ
Chaque écoulement possède une longueur caractéristique (ou typique). Par exemple, pour l'écoulement d'un fluide dans des
de CIRRUS Design
Corporation.)
canalisations, le diamètre de la canalisation est une longueur caractéristique. Les écoulements dans les canalisations
comprennent l'écoulement de l'eau dans nos maisons, le flux sanguin dans nos artères et nos veines, et le flux d'air dans nos
bronches. Ils concernent également des canalisations de dimensions qui ne font pas partie de notre expérience quotidienne. On
peut citer comme exemples le transport du pétrole à travers l'Alaska dans une canalisation de 1,2 mètre de diamètre et de 1 286
kilomètres de long et, à l'autre extrémité de l'échelle, le nouveau domaine d'intérêt concernant l'écoulement dans des
canalisations nanométriques dont le diamètre est de l'ordre de 10⁻¹⁵ mètre.−8m. Chacun de ces écoulements en conduite
possède des caractéristiques importantes qui ne se retrouvent pas dans les autres.
Les longueurs caractéristiques de certains autres écoulements sont illustrées à la figure 1.1.un.
■
Vitesse,V
Comme le souligne The Weather Channel, la vitesse du vent peut varier considérablement d'une
journée à l'autre, allant d'une légère brise de 8 km/h à un ouragan de 160 km/h, voire à 400 km/h.
1
Chapitre 1■ Introduction
tornade. Cependant, cette vitesse est faible comparée à celle du flux presque imperceptible du
magma fluide situé sous la surface de la Terre, qui entraîne la dérive des continents et le
mouvement des plaques tectoniques à une vitesse d'environ 2×10−8m/s ou le flux d'air
hypersonique autour d'un météore lorsqu'il traverse l'atmosphère à 3×104MS.
Les vitesses caractéristiques de certains autres écoulements sont illustrées à la figure 1.1.b.
■
Pression,p
La pression à l'intérieur des fluides couvre une gamme de valeurs extrêmement large. Nous sommes habitués à 35 psi
(lb/in.2) la pression à l'intérieur des pneus de notre voiture, la pression artérielle typique de « 120 sur 70 », ou la
pression atmosphérique standard de 14,7 psi. Cependant, la pression élevée de 10 000 psi dans le vérin hydraulique
d'une machine de terrassement ou la minuscule pression de 2×10−6La pression en psi d'une onde sonore générée à
des niveaux de conversation ordinaires n'est pas facile à appréhender.
Les pressions caractéristiques de quelques autres écoulements sont illustrées à la figure 1.1.c.
La liste des applications de la mécanique des fluides est interminable. Vous l'aurez compris, la mécanique
des fluides est une discipline très importante et concrète qui trouve des applications dans de nombreuses
situations. Il est fort probable que, durant votre carrière d'ingénieur, vous soyez amené à analyser et à concevoir
des systèmes nécessitant une bonne compréhension de la mécanique des fluides. Bien qu'il soit impossible de
traiter de manière exhaustive tous les aspects importants de la mécanique des fluides dans un seul ouvrage,
nous espérons que ce texte introductif vous fournira une base solide sur les principes fondamentaux de cette
discipline.
108
diamètre de la tache rouge de Jupiter
106
diamètre du courant océanique
106
Diamètre de l'ouragan
104
Panache du mont Saint Helens
104
106
rentrée atmosphérique de la navette spatiale
Découpe au jet d'eau
Vitesse du son dans l'air
moyen du Mississippi
102
Météore entrant dans l'atmosphère
Échappement de la tuyère de fusée
Largeur moyenne du cours
102
Boeing 787
Soufflerie NACA Ames
Fosse des Mariannes dans l'océan
Tornade
104
L'eau jaillissant de la lance à incendie
Pacifique
Bélier hydraulique
bouteille de plongée
s'écoule près d'un cycliste
combustion du moteur automobile
Diamètre du jet d'échappement du
Hélice de moteur hors-bord
10-2
100
moteur principal de la navette spatiale
diamètre du tuyau d'eau
102
Fleuve Mississippi
Ambiance standard
10-2
Sirop sur crêpe
Goutte de pluie
« Pression excessive » sur la main
100
Épaisseur de la couche d'huile
Nage microscopique
animal
10-2
Pression à 64 kilomètres d'altitude
Diamètre du plus petit vaisseau
10-6
10-6
Écoulement glaciaire
10-4
pompe à vide
taille des pores du filtre rénal
artificiel
10-8
Pression acoustique lors d'une conversation
Dispositifs à l'échelle nanométrique
(un)
■ Figure 1.1
Changement de pression provoquant un
« claquement » des oreilles dans l'ascenseur
lubrifiante dans le palier lisse
sanguin
km/h
Mars
10-4
Amibe
tenue hors de la voiture roulant à 96
Pression atmosphérique sur
largeur de découpe au jet d'eau
10-4
borne d'incendie
Pneus de voiture
p, lb/po.2
100
V, MS
,m
2
10-8
Dérive des continents
(b)
10-6
normale
(c)
Valeurs caractéristiques de certains paramètres d'écoulement de fluide pour une variété d'écoulements : (un) taille de l'objet, (b) fluide
vitesse, (c) pression du fluide.
1.1 Quelques caractéristiques des fluides
1.1
3
Quelques caractéristiques des fluides
L'une des premières questions à explorer est : qu'est-ce qu'un fluide ? Autrement dit, quelle est la différence entre un
solide et un fluide ? Nous avons une idée générale, mais vague, de cette différence. Un solide est « dur » et difficilement
déformable, tandis qu'un fluide est « mou » et facilement déformable (nous pouvons nous déplacer aisément dans l'air).
Bien que descriptives, ces observations sommaires des différences entre solides et fluides ne sont pas très satisfaisantes
d'un point de vue scientifique ou technique. Un examen plus approfondi de la structure moléculaire des matériaux
révèle que la matière que nous considérons généralement comme un solide (acier, béton, etc.) est composée de
molécules très rapprochées, liées par d'importantes forces de cohésion intermoléculaires qui permettent au solide de
conserver sa forme et d'être difficilement déformable. En revanche, pour la matière que nous considérons
habituellement comme un liquide (eau, huile, etc.), les molécules sont plus espacées, les forces intermoléculaires sont
plus faibles que pour les solides et les molécules ont une plus grande liberté de mouvement. Ainsi, les liquides sont
facilement déformables (mais difficilement compressibles) et peuvent être versés dans des récipients ou acheminés par
un tube. Les gaz (air, oxygène, etc.) présentent une plus grande liberté de mouvement et un espacement moléculaire
Les liquides et
Les gaz sont des fluides.
encore plus important, avec des forces de cohésion intermoléculaires négligeables. De ce fait, ils sont facilement
déformables (et compressibles) et occupent tout le volume du récipient qui les contient. Les liquides et les gaz sont des
fluides.
LE VASTE MONDE DES FLUIDES
Ce qui fonctionne dans l'air fonctionnera-t-il dans l'eau ?Depuis quelques
Un sous-marin doit être conçu pour résister à des pressions externes supérieures
années, une entreprise de San Francisco travaille sur de petits sous-marins
de près de 700 livres par pouce carré à la pression interne. En revanche, à haute
manœuvrables conçus pour se déplacer dans l'eau grâce à des ailes, des
altitude, là où volent les avions de ligne, la pression extérieure est de 3,5 psi, contre
commandes et des propulseurs similaires à ceux des avions à réaction. Après tout,
14,7 psi au niveau de la mer ; l’appareil doit donc être pressurisé pour le confort
l'eau (pour les sous-marins) et l'air (pour les avions) sont tous deux des fluides ; on
des passagers. Dans les deux cas, la conception de l’engin, visant une traînée
s'attend donc à ce que nombre des principes régissant le vol des avions
minimale, une portance maximale et une poussée efficace, repose sur les mêmes
s'appliquent également au « vol » des sous-marins à ailes. Bien sûr, il existe des
principes de dynamique des fluides.
différences. Par exemple,
F
Surface
Bien que les différences entre solides et fluides puissent s'expliquer qualitativement sur la base de la structure
moléculaire, une distinction plus spécifique repose sur la manière dont ils se déforment sous l'action d'une charge
externe. Plus précisément,unfluideest définie comme une substance qui se déforme continuellement lorsqu'elle est
soumise à une contrainte de cisaillement de toute ampleur.Une contrainte de cisaillement (force par unité de surface) est
créée lorsqu'une force tangentielle agit sur une surface, comme illustré par la figure en marge. Lorsqu'un solide courant,
tel que l'acier ou d'autres métaux, est soumis à une contrainte de cisaillement, il se déforme initialement (généralement
de façon très faible), mais ne se déforme pas continuellement (il ne s'écoule pas). En revanche, les fluides courants, tels
que l'eau, l'huile et l'air, répondent à la définition d'un fluide : ils s'écoulent lorsqu'ils sont soumis à une contrainte de
cisaillement. Certains matériaux, comme les boues, le goudron, le mastic, le dentifrice, etc., sont difficiles à classer car ils
se comportent comme un solide si la contrainte de cisaillement appliquée est faible, mais si cette contrainte dépasse une
certaine valeur critique, la substance s'écoule. L'étude de ces matériaux est appelée fluidique. rhéologieet ne relève pas
du domaine de la mécanique des fluides classique. Par conséquent, tous les fluides que nous étudierons dans ce texte
seront conformes à la définition d'un fluide.
Bien que la structure moléculaire des fluides soit importante pour les distinguer les uns des autres,
il n'est pas encore pratique d'étudier le comportement des molécules individuelles pour décrire celui des
fluides au repos ou en mouvement. On caractérise plutôt ce comportement en considérant la valeur
moyenne, ou macroscopique, de la grandeur d'intérêt, cette moyenne étant calculée sur un petit volume
contenant un grand nombre de molécules. Ainsi, lorsqu'on indique que la vitesse en un point donné d'un
fluide est de telle valeur, on exprime en réalité la vitesse moyenne des molécules dans un petit volume
entourant ce point. Ce volume est petit comparé aux dimensions physiques du système étudié, mais
grand comparé à la distance moyenne entre les molécules. Cette description du comportement d'un
fluide est-elle pertinente ? La réponse est généralement oui, car l'espacement entre les molécules est
typiquement très faible. Pour les gaz à pression et température normales, cet espacement est de l'ordre
de 10⁻¹⁰ Å.−6mm, et pour les liquides, c'est de l'ordre de 10−7mm. Le nombre de
4
Chapitre 1■ Introduction
le nombre de molécules par millimètre cube est de l'ordre de 1018pour les gaz et 1021pour les liquides. Il est donc
clair que le nombre de molécules dans un volume infime est énorme et l'idée d'utiliser des valeurs moyennes
calculées sur ce volume est tout à fait raisonnable. Nous supposons donc que toutes les caractéristiques du
fluide qui nous intéressent (pression, vitesse, etc.) varient continûment dans tout le fluide — c'est-à-dire que
nous traitons le fluide comme un milieu continu.continuumNous désignons ce très petit volume comme un point
dans l'écoulement. Ce concept reste valable dans tous les cas étudiés ici. Un domaine de la mécanique des
fluides où le concept de milieu continu n'est plus applicable est l'étude des gaz raréfiés, tels que ceux rencontrés
à très haute altitude. Dans ce cas, l'espacement entre les molécules d'air peut devenir important et le concept de
milieu continu n'est plus valable.
1.2
Dimensions, homogénéité dimensionnelle et unités
Étant donné que notre étude de la mécanique des fluides nous amènera à traiter de diverses caractéristiques
des fluides, il est nécessaire de développer un système permettant de décrire ces caractéristiques.
qualitativementetquantitativement.L'aspect qualitatif sert à identifier la nature, ou le type, des caractéristiques
(telles que la longueur, le temps, la contrainte et la vitesse), tandis que l'aspect quantitatif fournit une mesure
numérique de ces caractéristiques. La description quantitative requiert à la fois un nombre et un étalon
permettant de comparer différentes quantités. Un étalon pour la longueur pourrait être le mètre ou le pied,
Caractéristiques du fluide
pour le temps l'heure ou la seconde, et pour la masse le slug ou le kilogramme. Ces étalons sont appelésunités,
Les tics peuvent être
Plusieurs systèmes d'unités sont couramment utilisés, comme décrit dans la section suivante. La description
décrit
qualitativement dans
conditions de certains
quantités de base
comme la longueur,
temps et masse.
qualitative est utilement donnée en termes de certainsquantités primaires,comme la longueur,L, temps, T,
masse,Met la température, ϴ. Ces grandeurs primaires peuvent ensuite être utilisées pour fournir une
description qualitative de toute autre grandeur.quantité secondaire: par exemple, une zone≐L2, vitesse≐LT−1,
densité≐ML−3, et ainsi de suite, où le symbole≐est utilisé pour indiquer ledimensionsde la grandeur secondaire
en fonction des grandeurs primaires. Ainsi, pour décrire qualitativement une vitesse, V, nous écririons
V≐LT−1
et affirment que « les dimensions d'une vitesse sont égales à une longueur divisée par le temps ». Les grandeurs primaires sont
également appeléesDimensions de base.
Pour une grande variété de problèmes impliquant la mécanique des fluides, seules les trois dimensions de base,L
, T, etMsont requis. Sinon,L,T, etFpourrait être utilisé, oùFLes dimensions fondamentales de la force sont les suivantes.
Puisque la loi de Newton stipule que la force est égale à la masse multipliée par l'accélération, il s'ensuit que F≐MLT−2ou
M≐FL−1T2Ainsi, les quantités secondaires exprimées en termes deMpeut être exprimé en termes deFpar le biais de la
relation ci-dessus. Par exemple, le stress,σ, est une force par unité de surface, de sorte que σ≐FL−2, mais une équation
dimensionnelle équivalente estσ≐ML−1T−2Le tableau 1.1 fournit une liste de dimensions pour un certain nombre de
grandeurs physiques courantes.
Toutes les équations dérivées théoriquement sontdimensionnellement homogène— c’est-à-dire que les
dimensions du membre de gauche de l’équation doivent être identiques à celles du membre de droite, et que tous les
termes additifs distincts doivent avoir les mêmes dimensions. Nous admettons comme prémisse fondamentale que
toutes les équations décrivant des phénomènes physiques doivent être dimensionnellement homogènes. Si cela n’était
pas vrai, nous tenterions d’égaliser ou d’additionner des grandeurs physiques différentes, ce qui n’aurait aucun sens. Par
exemple, l’équation de la vitesse,V, d'un corps uniformément accéléré est
V=V0+à
(1.1)
oùV0est la vitesse initiale,unl'accélération, ettl'intervalle de temps. En termes de dimensions,
l'équation est
LT−1≐LT−1+LT−2T
et donc l'équation 1.1 est dimensionnellement homogène.
Certaines équations reconnues valides contiennent des constantes ayant des dimensions. L'équation de la
distance,d, parcouru par un corps en chute libre peut s'écrire comme
d=16.1t2
(1.2)
5
1.2 Dimensions, homogénéité dimensionnelle et unités
■ Tableau 1.1
Dimensions associées aux grandeurs physiques courantes
Accélération
Angle
Accélération angulaire
Vitesse angulaire
Zone
Densité
FLT
MLT
FLT
MLT
Système
Système
Système
Système
LT−2
F0 LT
0
0
T−2
T−1
LT−2
FLT−1
T−2
T−1
FL−2
Chaleur spécifique
L2T−2ϴ− 1
ML2T−3
ML−1T−2
L2T−2 −1ϴ
L2
L2
poids spécifique
FL−3
ML−2T−2
FL−4T2
ML
FL−2
FL−1
ϴ
ML−1T−2
M0L0T0
Pouvoir
Pression
−3
Stresser
FL
F
T−1
T−1
Chaleur
FL
ML2T−2
Temps
Longueur
L
L
M
Vitesse
Énergie
Forcer
Fréquence
Masse
Module d'élasticité
Moment d'une force
Moment d'inertie (aire)
Moment d'inertie (masse) Quantité
de mouvement
FL−1T2
FL−2
FL
L4
FLT2
FT
F0L0T0
Souche
ML2T−2
MLT−2
ML−1T−2
ML2T−2
L4
Tension superficielle
Température
T
FL
LT−1
Couple
Viscosité (dynamique)
Viscosité (cinématique)
FL−2T
L2T−1
L3
FL
Volume
Travail
ML2
M0LT
0
0
MT−2
ϴ
T
ML2T−2
LT − 1
ML−1T−1
2
LT
−1
L3
ML2T−2
MLT−1
et une vérification des dimensions révèle que la constante doit avoir les dimensions deLT−2si l'équation doit être
dimensionnellement homogène. En fait, l'équation 1.2 est une forme particulière de l'équation bien connue de la
physique pour les corps en chute libre.
d=
gt2
2
(1.3)
dans lequelgest l'accélération de la gravité. L'équation 1.3 est dimensionnellement homogène et valable dans n'importe
quel système d'unités.g=32,2 pi-s2L'équation se réduit à l'équation 1.2 et, par conséquent, l'équation 1.2 n'est valable
que pour le système d'unités utilisant les pieds et les secondes. Les équations qui ne sont valables que pour un système
Homogène général
équations néeuses
sont valables dans n'importe
quel système d'unités.
d'unités particulier peuvent être notées commeéquations homogènes restreintes,par opposition aux équations valides
dans n'importe quel système d'unités, qui sontÉquations homogènes générales.La discussion précédente met en
lumière une utilisation assez élémentaire, mais importante, du concept de dimensions : la détermination d’un aspect de
la généralité d’une équation donnée, simplement en considérant les dimensions des différents termes de cette équation.
Le concept de dimensions constitue également la base de l’outil puissant de…analyse dimensionnelle,qui est examiné en
détail au chapitre 7.
Note aux utilisateurs de ce texte.Tous les exemples présentés dans le texte utilisent une méthodologie de résolution de
problèmes cohérente, similaire à celle employée dans d'autres cours d'ingénierie comme la statique. Chaque exemple met en
évidence les éléments clés de l'analyse :Étant donné, trouver, solution,etCommentaire.
LeDonnéetTrouverCe sont des étapes qui permettent de s'assurer que l'utilisateur comprend ce qui est demandé dans le problème
et qui listent explicitement les éléments fournis pour aider à résoudre le problème.
LeSolutionCette étape consiste à formuler les équations nécessaires à la résolution du problème et
à le résoudre concrètement. Elle comprend généralement plusieurs tâches préparatoires indispensables
à la mise en place de la solution. La première est la représentation graphique du problème ; un schéma,
le cas échéant, est toujours utile. Ce schéma doit inclure la géométrie et le système de coordonnées
pertinents, ainsi que des éléments tels que les volumes de contrôle, les forces et pressions, les vitesses et
les débits massiques. Cela permet de mieux comprendre le problème. La deuxième tâche consiste à
formuler des hypothèses appropriées. Dans un contexte réaliste de résolution de problèmes d'ingénierie,
ces hypothèses sont élaborées comme partie intégrante du processus de résolution. Elles peuvent
apporter des simplifications pertinentes ou imposer des contraintes utiles.
6
Chapitre 1■ Introduction
ce qui peut contribuer à la résolution du problème. Dans tous les exemples de ce texte, les hypothèses
nécessaires sont implicites.Solutionétape par étape, comme lorsqu'ils résolvent un problème concret. Cela offre
une expérience de résolution de problèmes réaliste.
Le dernier élément de la méthodologie est leCommentaire.Dans les exemples du texte, cette section permet
d'approfondir la compréhension du problème ou de la solution. Elle peut également servir de point de départ à l'analyse
pour soulever des questions pertinentes. Par exemple : la réponse est-elle raisonnable et physiquement cohérente ? Les
unités finales sont-elles correctes ? Si un paramètre était modifié, comment la réponse évoluerait-elle ? Adopter cette
méthodologie contribuera au développement des compétences en résolution de problèmes en mécanique des fluides,
ainsi que dans d'autres disciplines de l'ingénierie.
EXEMPLE 1.1
H restreint et général
questions
DONNÉUn liquide s'écoule à travers un orifice situé sur le côté d'un
réservoir, comme illustré sur la figure E1.1. Une équation couramment
utilisée pour déterminer le débit volumique,Q, à travers l'orifice est
h
Q=0,61UN√2gh
Q
oùUNest la surface de l'orifice,gest l'accélération de la gravité, eth
est la hauteur du liquide au-dessus de l'orifice.
UN
TROUVERÉtudier l'homogénéité dimensionnelle de cette formule.
(un)
(b)
■ Figure E1.1
SOLUTION
Les dimensions des différents termes de l'équation sontQ=
volume/temps≐L3T−1,UN=zone≐L2,g=accélération de la gravité
≐ LT−2, eth=hauteur≐L.
Ces termes, lorsqu'ils sont substitués dans l'équation, donnent la forme
dimensionnelle :
(L3T−1)≐ (0,61) (L2) ( √2 ) (LT
− 2)1-2(
L)1-2
ou
(L3T−1)≐ [0,61√2](L3T−1)
Il ressort clairement de ce résultat que l'équation est dimensionnellement
homogène (les deux membres de la formule)un ont les mêmes dimensions
et, par conséquent, l'équation exprimée par l'équation 1 ne peut
être dimensionnellement correcte que si le nombre 4,90 a les
dimensions deL1-2T−1Lorsqu'un nombre figurant dans une
équation ou une formule est exprimé en dimensions, cela signifie
que sa valeur précise dépend du système d'unités utilisé. Ainsi,
dans le cas présent où les pieds et les secondes sont utilisés
comme unités, le nombre 4,90 s'exprime en pieds (ft).1-2-s.
L'équation 1 ne donnera la valeur correcte que pourQ(en pieds3-s)
quandUNest exprimé en pieds carrés ethen pieds. Ainsi, l'équation
1 est unelimitééquation homogène, alors que l'équation originale
est unegénéralÉquation homogène valable pour tout système
d'unités cohérent.
deL3T−1), et le nombre 0,61√2 est sans dimension.
Si nous devions utiliser cette relation de manière répétée, nous
pourrions être tentés de la simplifier en la remplaçantgavec sa valeur
standard de 32,2 pi -s2et en réécrivant la formule comme
Q=4,90UN√h
Une vérification rapide des dimensions révèle que
L3T−1≐ (4,90) (L5-2)
COMMENTAIREVérifier rapidement les dimensions des différents termes
d'une équation est une pratique utile et permet souvent d'éliminer les
erreurs, c'est-à-dire, comme indiqué précédemment, tous les
(1)Les équations ayant un sens physique doivent être dimensionnellement
homogènes. Nous avons brièvement évoqué les unités dans cet
exemple ; ce sujet important sera abordé plus en détail dans la section
suivante.
1.2.1 Systèmes d'unités
Outre la description qualitative des différentes quantités d'intérêt, il est généralement nécessaire de disposer d'une
mesure quantitative de chaque quantité. Par exemple, si l'on mesure la largeur de cette page du livre et que l'on affirme
qu'elle est de 10 unités de large, cette affirmation est dénuée de sens tant que l'unité de longueur n'est pas définie. Si
l'on indique que l'unité de longueur est le mètre et que l'on définit le mètre comme une longueur de référence, un
système d'unités de longueur est établi (et une valeur numérique peut être attribuée à la largeur de la page). Outre la
longueur, une unité doit être définie pour chacune des autres grandeurs fondamentales.
7
1.2 Dimensions, homogénéité dimensionnelle et unités
Les grandeurs (force, masse, temps et température) sont exprimées en unités de mesure. Plusieurs systèmes d'unités sont
utilisés ; nous examinerons trois systèmes couramment employés en ingénierie.
Système international (SI).En 1960, la XIe Conférence générale des poids et mesures,
l'organisation internationale chargée de maintenir des normes de mesure précises et uniformes, a
formellement adopté laSystème international d'unitésLe Système international d'unités (SI) est la
norme internationale. Ce système, largement adopté dans le monde entier, est notamment utilisé
aux États-Unis (mais pas exclusivement). À terme, tous les pays devraient adopter le SI comme
norme, et il est donc essentiel que les étudiants en ingénierie se familiarisent avec ce système.
Dans le SI, l'unité de longueur est le mètre (m), l'unité de temps est la seconde (s), l'unité de masse
est le kilogramme (kg) et l'unité de température est le kelvin (K). Il est à noter qu'aucun symbole de
degré n'est utilisé pour exprimer une température en kelvins. L'échelle de température Kelvin est
une échelle absolue et est liée à l'échelle Celsius (°C) par la relation suivante :
K = °C + 273,15
Bien que l'échelle Celsius ne fasse pas partie du SI, il est courant d'indiquer les températures en degrés
Celsius lorsqu'on utilise les unités SI.
L'unité de force, appelée newton (N), est définie par la deuxième loi de Newton comme suit :
1 N = (1 kg) (1 ms2)
En mécanique, il est
très important de
distinguer entre
poids et masse.
Ainsi, une force de 1 N agissant sur une masse de 1 kg communiquera à cette masse une accélération de 1 m/s².2La gravité
standard dans le SI est de 9,807 m/s².2(généralement approximé à 9,81 ms)2Ainsi, une masse de 1 kg pèse 9,81 N dans les
conditions de gravité standard. Notez que le poids et la masse sont différents, tant qualitativement que quantitativement ! L'unité
detravailDans le système international d'unités (SI), le joule (J) représente le travail effectué lorsque le point d'application d'une
force de 1 N est déplacé sur une distance de 1 m dans la direction de cette force. Ainsi,
1 J = 1 N∙m
L'unité depouvoirLe watt (W) est défini comme un joule par seconde. Ainsi,
1 W = 1 Js = 1 N∙MS
Les préfixes permettant de former des multiples et des fractions d'unités SI sont donnés dans le
tableau 1.2. Par exemple, la notation kN se lit « kilonewtons » et représente 10⁻¹⁰.3N. De même, mm se lit
« millimètres » et signifie 10−3Le centimètre n'étant pas une unité de longueur acceptée dans le système
SI, la plupart des problèmes de mécanique des fluides utilisant les unités SI seront exprimés en
millimètres ou en mètres.
Système gravitationnel britannique (BG).Dans le système BG, l'unité de longueur est le pied (ft),
l'unité de temps est la seconde (s), l'unité de force est la livre (lb) et l'unité de température est le degré
Fahrenheit (°F) ou l'unité de température absolue est le degré Rankine (°R).
°R = °F + 459,67
■ Tableau 1.2
Préfixes des unités SI
Facteur par lequel l'unité
est multipliée
1015
1012
109
106
103
102
10
10−1
Facteur par lequel l'unité
Préfixe
Symbole
peta
tera
giga
méga
kilo
P
T
G
M
k
h
da
d
hecto
deka
décision
est multipliée
10−2
10−3
10−6
10−9
10−12
10−15
10−18
Préfixe
Symbole
centi
c
m
μ
n
p
f
un
milli
micro
nano
pico
femto
atto
8
Chapitre 1■ Introduction
L'unité de masse, appeléelimace,est définie à partir de la deuxième loi de Newton (force = masse)×accélération) comme
1 lb = (1 slug) (1 pi -s2)
Cette relation indique qu'une force de 1 lb agissant sur une masse de 1 slug communiquera à cette masse une
accélération de 1 pi-s.2.
Deux systèmes d'unités
Le poids, (qui est la force due à la gravité,g), d'une masse,m, est donnée par l'équation
largement répandus
=mg
utilisé en ingénierie
sont les Britanniques
gravitationnel
et en unités BG
(lb) =m(limaces)g(pi-s2)
(BG) Système et
l'International
Système (SI).
Étant donné que la gravité terrestre standard est considérée commeg=32,174 pi-s2(généralement approximé à 32,2 pi-s)
2), il s'ensuit qu'une masse de 1 slug pèse 32,2 lb sous la gravité standard.
LE VASTE MONDE DES FLUIDES
Quelle est la longueur d'un pied ?Aujourd'hui, aux États-Unis, la longueur
Une commission française proposa de définir une nouvelle unité de longueur
couranteunitéest lepied,Mais, tout au long de l'Antiquité, l'unité de mesure de
universelle, le mètre, comme la distance d'un quart du méridien terrestre (du pôle
longueur a une histoire riche. Les premières unités de longueur étaient basées sur
Nord à l'équateur) divisée par 10 millions. Malgré la controverse, le mètre fut
la longueur de différentes parties du corps. L'une des plus anciennes fut la coudée
adopté en 1799 comme étalon. Avec le développement des technologies avancées,
égyptienne, utilisée pour la première fois vers 3000 avant notre ère.B.C. et définie
la longueur du mètre fut redéfinie en 1983 comme la distance parcourue par la
comme la longueur du bras, du coude au bout des doigts étendus. D'autres
lumière dans le vide pendant un intervalle de temps de 1/299 792 458 s. Le pied est
mesures suivirent, le pied étant simplement défini comme la longueur du pied d'un
aujourd'hui défini comme étant égal à 0,3048 mètre. Nos simples règles et mètres
homme. Puisque cette longueur varie évidemment d'une personne à l'autre, elle
ont donc une histoire fascinante.
était souvent « standardisée » en utilisant la longueur du pied du membre de la
famille royale régnante. En 1791, une mesure spéciale fut instaurée.
Système d'ingénierie anglaise (EE).Dans le système EE, les unités de forceetLa masse et la force sont
définies indépendamment ; il convient donc d'être particulièrement vigilant lorsqu'on utilise ce système
conjointement avec la deuxième loi de Newton. L'unité de base de la masse est la livre-masse (lbm), et l'unité de
force est la livre (lb).1L'unité de longueur est le pied (ft), l'unité de temps est la seconde (s) et l'échelle de
température absolue est le degré Rankine (°R). Pour que l'équation exprimant la deuxième loi de Newton soit
dimensionnellement homogène, on l'écrit comme suit :
F=
mun
gc
(1.4)
oùgcest une constante de proportionnalité, ce qui nous permet de définir des unités pour la force et la masse.
Pour le système BG, seule l'unité de force a été prescrite et l'unité de masse définie de manière cohérente, de
sorte quegc=1. De même, pour le SI, l'unité de masse a été prescrite et l'unité de force définie de manière
cohérente, de sorte quegc=1. Pour le système EE, une force de 1 lb est définie comme la force qui donne à une
masse de 1 lbm une accélération de gravité standard, soit 32,174 ft/s².2Ainsi, pour que l'équation 1.4 soit à la fois
numériquement et dimensionnellement correcte
1 lb =
(1 lbm) (32,174 pi-s)2)
gc
de sorte que
gc=
(1 lbm) (32,174 pi-s)2)
(1 lb)
1Il est également courant d'utiliser la notation lbf pour indiquer la force en livres.
1.2 Dimensions, homogénéité dimensionnelle et unités
1.0
m
3
pieds
1.0
0,06
kg
2
1
0
Longueur
lbm
1.0
N
0,2
kg
0,04
0,5
0,5
0
limace
2
9
1
0,5
0,1
0,02
0
0
Masse
0
0
Forcer
■ Figure 1.2Comparaison des unités
SI, BG et EE.
Dans le système EE, le poids et la masse sont liés par l'équation suivante :
=
mg
gc
oùgest l'accélération locale de la gravité. Dans des conditions de gravité standard (g=gcLe poids en livres et la
masse en livres-masse sont numériquement égaux. De plus, puisqu'une force de 1 lb donne à une masse de 1
lbm une accélération de 32,174 ft/s².2et une masse de 1 slug, une accélération de 1 ft/s2, il s'ensuit que
1 slug = 32,174 lbm
Lors de la résolution
problèmes, c'est
il est important d'utiliser
un système cohérent
par exemple, ne mélangez
pas les unités BG et SI.
unités.
On ne saurait trop insister sur l'importance de prêter une attention particulière aux unités lors de la
résolution de problèmes. Il est très facile d'introduire des erreurs importantes dans les solutions en
utilisant des unités incorrectes. Prenez l'habitude d'utiliser des unités correctes.cohérentLe système
d'unités utilisé dans toute la solution est indifférent, pourvu qu'il soit cohérent ; par exemple, n'utilisez
pas simultanément les slugs et les newtons. Si les données du problème sont exprimées en unités SI,
utilisez-les dans toute la solution. Si elles sont exprimées en unités BG, utilisez-les également. La figure
1.2 illustre les proportions relatives des unités SI, BG et EE de longueur, de masse et de force.
Des tableaux détaillés de facteurs de conversion entre systèmes d'unités, et au sein d'un même système,
figurent à l'annexe E. Pour votre commodité, des tableaux abrégés de facteurs de conversion pour certaines
grandeurs couramment rencontrées en mécanique des fluides sont présentés dans les tableaux 1.3 et 1.4, à
l'intérieur de la couverture arrière (dans un format légèrement différent de celui de l'annexe E). Veuillez noter
que les nombres de ces tableaux sont présentés en notation exponentielle informatique. Par exemple, le
nombre 5,154 × 10⁺² s'écrit 5,154 × 10⁻³.×102En notation scientifique. Il est important de noter que chaque
facteur de conversion peut être considéré comme une fraction dont le numérateur et le dénominateur sont
égaux. Par exemple, l'entrée « Longueur » du tableau 1.4 indique : « Pour convertir de … m … en … pi …,
multipliez par 3,281. » Ainsi, 1 m équivaut à 3,281 pi. Par conséquent, une fraction dont le numérateur est 1 m et
le dénominateur 3,281 pi est, par définition, une fraction égale à 1, tout comme son inverse. Cela peut paraître
évident lorsque les unités du numérateur et du dénominateur sont de même dimension. C'est également vrai
pour les facteurs de conversion plus complexes qui incluent plusieurs dimensions et donc un plus grand nombre
d'unités. Vous savez déjà que vous pouvez multiplier n'importe quelle quantité par 1 sans en changer la valeur.
De même, vous pouvez multiplier (ou diviser) n'importe quelle quantité par n'importe quel facteur de conversion
des tableaux, à condition d'indiquer à la fois le nombre et son unité. Le résultat ne sera pas incorrect, même s'il
ne correspond pas à vos attentes.
10
Chapitre 1■ Introduction
EXEMPLE 1.2
Unités BG et SI
DONNÉUn réservoir de liquide d'une masse totale de 36 kg repose sur un
support dans la soute à équipements de la navette spatiale.
TROUVERDéterminez la force (en newtons) que le réservoir exerce sur le
support peu après le décollage, lorsque la navette accélère vers le haut
comme illustré sur la figure E1.2.unà 15 pieds -s2.
SOLUTION
Un diagramme de corps libre du réservoir est présenté sur la
figure E1.2.b, où est le poids du réservoir et du liquide, etFfest la
réaction du sol sur le réservoir. L'application de la deuxième loi de
Newton à ce corps donne
∑F=mun
ou
(1)
Ff− =ma
où nous avons considéré le sens ascendant comme positif. =mg,
l'équation 1 peut s'écrire comme
(2)
Ff=m(g+un)
Avant de substituer un nombre quelconque dans l'équation 2, nous devons choisir un
système d'unités, puis nous assurer que toutes les données sont exprimées dans ces
unités. Puisque nous voulonsFfEn newtons, nous utiliserons les unités SI afin que
Ff=36 kg [9,81 ms2+ (15 pi -s2) (0,3048 m-ft)]
=518 kg∙MS2
■ Figure E1.2un
Puisque 1 N = 1 kg∙MS2, il s'ensuit que
Ff=518 N (vers le bas sur le sol)
(Photographie courtoisie de la NASA.)
(Réponse)
La direction est vers le bas puisque la force représentée sur le
diagramme des forces est la force du support.sur le réservoirde sorte
que la force exercée par le charsur le soutienest de même magnitude
mais de direction opposée.
un
COMMENTAIREEn résolvant les nombreux problèmes de ce texte, vous
constaterez que les unités jouent un rôle essentiel dans l'obtention d'une
réponse numérique. Attention ! Il est facile de confondre les unités et de
commettre des erreurs importantes. Si, dans l'exemple ci-dessus,
Ff
l'accélération avait été laissée à 15 ft-s², le résultat aurait été erroné.2avecmet
gExprimée en unités SI, nous aurions calculé la force comme étant de 893 N
■ Figure E1.2b
et la réponse aurait été 72 % trop grande !
LE VASTE MONDE DES FLUIDES
Unités et voyages spatiauxLa sonde Mars Climate Orbiter de la NASA a été lancée
Des commandes de manœuvre envoyées depuis la Terre ont fait que la sonde a
en décembre 1998 afin d'étudier la géographie et le climat martiens. Sa mise en
survolé la surface à 60 kilomètres au lieu des 150 kilomètres prévus. L'enquête qui
orbite autour de Mars était prévue pour le 23 septembre 1999. Cependant, les
a suivi a révélé que ces erreurs étaient dues à une simple confusion.unitésUne
responsables de la NASA ont perdu le contact avec la sonde tôt ce jour-là. On
équipe chargée de la mission Orbiter utilisait le système international d'unités (SI),
suppose qu'elle s'est désintégrée ou a surchauffé en s'approchant trop près de la
tandis qu'une autre utilisait le système bidimensionnel (BG). Cette expérience
surface de Mars.
coûteuse illustre l'importance d'utiliser un système d'unités cohérent.
11
1.4 Mesures de la masse et du poids des fluides
1.3
Analyse du comportement des fluides
L'étude de la mécanique des fluides fait intervenir les mêmes lois fondamentales que celles rencontrées en
physique et dans d'autres cours de mécanique. Parmi ces lois figurent les lois du mouvement de Newton, la
conservation de la masse et les premier et deuxième principes de la thermodynamique. Il existe donc de fortes
similitudes entre l'approche générale de la mécanique des fluides et celle de la mécanique des solides (corps
rigides et corps déformables). Ceci est particulièrement utile, car nombre des concepts et techniques d'analyse
utilisés en mécanique des fluides vous seront déjà familiers.
Le vaste domaine de la mécanique des fluides peut généralement être subdivisé enstatique des fluides,
dans lequel le fluide est au repos, etdynamique des fluides,dans lequel le fluide est en mouvement. Dans les
chapitres suivants, nous examinerons ces deux domaines en détail. Auparavant, il sera toutefois nécessaire de
définir et d'analyser certains fluides.propriétésqui sont intimement liées au comportement des fluides. Il est
évident que différents fluides peuvent présenter des caractéristiques très différentes. Par exemple, les gaz sont
légers et compressibles, tandis que les liquides sont lourds (relativement) et relativement incompressibles. Un
sirop s'écoule lentement d'un récipient, alors que l'eau s'écoule rapidement lorsqu'on la verse du même
récipient. Pour quantifier ces différences, on utilise certaines propriétés des fluides. Les sections suivantes
examinent les propriétés qui jouent un rôle important dans l'analyse du comportement des fluides.
1.4
Mesures de la masse et du poids des fluides
1.4.1 Densité
La densité d'un fluide
Ledensitéd'un fluide, désigné par le symbole grecρLa masse volumique (ρ) est définie comme sa masse par unité de volume. La densité est
est définie comme sa
généralement utilisée pour caractériser la masse d'un système fluide. Dans le système BG,ρ a pour unités des slugs-pieds3et dans le système
masse par unité de
international d'unités (SI), les unités sont le kg-m3.
La valeur de la densité peut varier considérablement d'un fluide à l'autre, mais pour les liquides, les variations de
volume.
pression et de température n'ont généralement qu'un faible effet sur cette valeur.ρLa faible variation de la masse
volumique de l'eau en fonction des variations importantes de température est illustrée par la figure 1.3. Les tableaux 1.5
et 1.6 présentent les valeurs de masse volumique de plusieurs liquides courants. La masse volumique de l'eau à 60 °F est
de 1,94 slugs-ft³.3ou 999 kg-m3La différence numérique importante entre ces deux valeurs illustre l'importance de prêter
attention aux unités ! Contrairement aux liquides, la densité d'un gaz est fortement influencée par la pression et la
température, et cette différence sera abordée dans la section suivante.
Levolume spécifique, υ, est levolumepar unité de masse et est donc l'inverse de la densité,
c'est-à-dire,
υ=
1
ρ
(1.5)
Cette propriété n'est pas couramment utilisée en mécanique des fluides, mais elle l'est en thermodynamique.
1000
990
Densité,ρkg/m3
@ 4°Cρ = 1000 kg/m3
980
970
960
950
0
20
40
60
Température,°C
■ Figure 1.3
Densité de l'eau en fonction de la température.
80
100
12
Chapitre 1■ Introduction
1.4.2 Poids spécifique
poids spécifique
est le poids par unité de
Lepoids spécifiqued'un fluide, désigné par le symbole grecγ(gamma), est défini comme sonpoids par
unité de volume. Ainsi, le poids spécifique est lié à la masse volumique par l'équation
γ=ρg
volume ; spécifique
La gravité est le rapport
(1.6)
de la densité du fluide
oùgest l'accélération locale de la gravité. De même que la densité sert à caractériser la masse d'un fluide, le
à la densité de l'eau
poids spécifique sert à caractériser le poids du système. Dans le système BG,γl'unité de mesure est la livre-pied.3
à une certaine
température.
et dans le système international d'unités (SI), les unités sont le Nm3. Dans des conditions de gravité standard (g=
32,174 pi-s2= 9,807 ms2L'eau à 60 °F a un poids spécifique de 62,4 lb-pi³.3et 9,80 kN-m3Les tableaux 1.5 et 1.6
présentent les valeurs de poids spécifique de plusieurs liquides courants (calculées à partir de la densité
standard). Des tableaux plus complets pour l'eau figurent à l'annexe B (tableaux B.1 et B.2).
1.4.3 Densité relative
Ledensitéd'un fluide, désigné commeSGLe coefficient de frottement interne (ou coefficient de frottement interne) est défini
comme le rapport de la masse volumique du fluide à celle de l'eau à une température donnée. Cette température est
généralement fixée à 4 °C (39,2 °F), et à cette température, la masse volumique de l'eau est de 1,94 slugs-ft³.3ou 1000 kg-m3Sous
forme d'équation, la densité relative s'exprime comme suit :
SG=
ρ
ρH2O@4 °C
(1.7)
et puisque c'est lerapportde densités, la valeur deSGne dépend pas du système d'unités
utilisé. Par exemple, la densité du mercure à 20 °C est de 13,55. Ceci est illustré par la figure
en marge. Ainsi, la densité du mercure peut être facilement calculée en unités BG ou SI à
l'aide de l'équation 1.7.
13,55
Eau
ρHg= (13,55) (1,94 slugs-pi)3) = 26,3 slugs-pi3
Mercure
1
1.5
ou
ρHg= (13,55) (1000 kg-m3) = 13,6×103kg-m3
Il est clair que la densité, le poids spécifique et la densité relative sont tous interdépendants, et que
la connaissance de l'un des trois permet de calculer les autres.
Loi des gaz parfaits
Les gaz sont beaucoup plus compressibles que les liquides, et les variations de densité d'un gaz sont directement liées
aux variations de pression et de température par l'équation suivante :
ρ=
p
RT
ou, sous sa forme plus courante,
p=ρRT,
(1.8)
oùpest la pression absolue,ρla densité,Tla température absolue,2etRest une constante des gaz parfaits. L'équation 1.8
est communément appeléeidéalouparfaitloi des gaz,ou leéquation d'étatpour un gaz parfait. On sait que ce modèle se
Dans la loi des gaz
rapproche étroitement du comportement des gaz réels dans des conditions typiques, lorsque les gaz ne sont pas
parfaits, l'absolu
proches de la liquéfaction.
pressions et
les températures doivent
être utilisé.
La pression dans un fluide au repos est définie comme la force normale par unité de surface exercée sur
une surface plane (réelle ou imaginaire) immergée dans le fluide et est créée par le bombardement de cette
surface par les molécules du fluide. D'après cette définition, la pression a la dimension deFL−2et en unités BG
2Nous utiliseronsTpour représenter la température dans les relations thermodynamiques bien queTest également utilisé pour désigner la dimension fondamentale du temps.
13
1.5 Loi des gaz parfaits
est exprimé en lb-ft2(psf) ou lb-po.2(psi) et en unités SI sous forme de Nm2Dans le système international d'unités (SI), 1
Nm2défini comme un pascal,L'abréviation Pa indique que la pression est couramment exprimée en pascals. Dans la loi
44,7 30
des gaz parfaits, la pression doit être exprimée comme une unité de mesure.pression absolue,La pression est notée «
abs », ce qui signifie qu'elle est mesurée par rapport au zéro absolu (une pression qui n'existerait que dans le vide
parfait). La pression atmosphérique standard au niveau de la mer (selon les normes internationales) est de 14,696 psi
(abs) ou 101,33 kPa (abs). Pour la plupart des calculs, ces pressions peuvent être arrondies à 14,7 psi et 101 kPa,
respectivement. En ingénierie, il est courant de mesurer la pression par rapport à la pression atmosphérique locale ; on
14,7 0
parle alors de pression relative.pression manométrique.Ainsi, la pression absolue s'obtient à partir de la pression
relative en y ajoutant la valeur de la pression atmosphérique. Par exemple, comme illustré dans la figure ci-contre, une
0
– 14,7
(abs)
(jauge)
pression de 30 psi (relative) dans un pneu équivaut à 44,7 psi (absolue) à pression atmosphérique normale. La pression
est une caractéristique particulièrement importante des fluides et sera abordée plus en détail dans le chapitre suivant.
p,psi
EXEMPLE 1.3
Loi des gaz parfaits
DONNÉLe réservoir d'air comprimé est représenté sur la figure E1.3.una un
volume de 0,84 pi³3La température est de 70 °F et la pression atmosphérique
est de 14,7 psi (abs).
TROUVERLorsque le réservoir est rempli d'air à une pression manométrique de 50
psi, déterminez la densité de l'air et le poids de l'air dans le réservoir.
SOLUTION
La densité de l'air peut être obtenue à partir de la loi des gaz parfaits (Éq. 1.8).
p
RT
ρ=
de sorte que
(50 lb-po.2+ 14,7 lb-po.2) (144 po.2-ft2)
ρ=
(1716 pieds∙lb-slug∙°R)[(70 + 460)°R]
=0,0102 slugs/pi3
(Réponse)
Notez que la pression et la température ont été converties en
valeurs absolues.
Le poids, ,de l'air est égal à
=ρg× (volume)
■ Figure E1.3un
Produits, Inc.)
= (0,0102 slug-ft3) (32,2 pi-s2) (0,84 pi3) =
(Photo gracieuseté de Jenny)
0,276 slug∙pi/s2
0,5
Puisque 1 lb = 1 slug∙pieds -s2
=0,276 lb
W, kg
0,4
0,3
COMMENTAIREEn répétant les calculs pour différentes valeurs de la pression,p
, les résultats sont présentés dans la figure E1.3bOn obtient ainsi les
(50 psi, 0,276 lb)
0,2
résultats suivants. Notez que doubler la pression relative ne double pas la
quantité d'air dans la bouteille, mais doubler la pression absolue, si. Par
0,1
– 20
0
(Réponse)
conséquent, une bouteille de plongée sous-marine à une pression relative de
100 psi ne contient pas deux fois plus d'air que lorsqu'elle affiche 50 psi.
0
20
40
p, psi
■ Figure E1.3b
60
80
100
14
Chapitre 1■ Introduction
La constante des gaz,RLa constante des gaz parfaits, qui apparaît dans l'équation 1.8, dépend du gaz considéré et
est liée à sa masse molaire. Les valeurs de cette constante pour plusieurs gaz courants sont données dans les tableaux
1.7 et 1.8. Ces tableaux indiquent également la masse volumique et le poids spécifique du gaz à pression atmosphérique
normale, à la gravité normale et à la température indiquée. Des tableaux plus complets pour l'air à pression
atmosphérique normale se trouvent dans l'annexe B (tableaux B.3 et B.4).
1.6
Viscosité
La masse volumique et le poids spécifique sont des mesures de la « densité » d'un fluide. Il est clair, cependant, que ces propriétés
ne suffisent pas à caractériser de manière univoque le comportement des fluides, puisque deux fluides (comme l'eau et l'huile)
peuvent avoir une masse volumique approximativement identique mais se comporter très différemment à l'écoulement.
Apparemment, une propriété supplémentaire est nécessaire pour décrire la « fluidité » du fluide.
Pour déterminer cette propriété supplémentaire, considérons une expérience hypothétique dans laquelle un
matériau est placé entre deux plaques parallèles très larges, comme illustré sur la figure 1.4.unLa plaque inférieure est
fixée rigidement, mais la plaque supérieure peut se déplacer librement. Si un solide, tel que de l'acier, était placé entre
les deux plaques et soumis à la forcePcomme indiqué, la plaque supérieure serait déplacée sur une petite distance,δun(
(en supposant que le solide soit fixé mécaniquement aux plaques). La ligne verticale ABserait pivoté selon un petit angle,
δβ, au nouveau posteAB′.Nous constatons que pour résister à la force appliquée,P, une contrainte de cisaillement,τ, se
développerait à l'interface plaque-matériau, et pour que l'équilibre se produise,P=τAoùUNest la surface effective de la
plaque supérieure (Fig. 1.4bIl est bien connu que pour les solides élastiques, tels que l'acier, le petit déplacement
angulaire,δβ(appelée déformation de cisaillement), est proportionnelle à la contrainte de cisaillement,τ, qui se développe
De vrais fluides, même
bien qu'ils puissent
bouger, toujours
« s’en tenir » aux
limites solides qui
les contenir.
dans le matériau.
Que se passe-t-il si le solide est remplacé par un fluide comme l'eau ? Nous remarquerions immédiatement une
différence majeure. Lorsque la forcePsi elle est appliquée à la plaque supérieure, elle se déplacera continuellement à une
certaine vitesse,U(Après la disparition du mouvement transitoire initial (comme illustré sur la figure 1.5), ce
comportement est conforme à la définition d'un fluide : lorsqu'une contrainte de cisaillement est appliquée à un fluide,
celui-ci se déforme continuellement. Une analyse plus approfondie du mouvement du fluide entre les deux plaques
révèle que le fluide en contact avec la plaque supérieure se déplace à la vitesse de cette dernière.Uet le fluide en contact
avec la plaque fixe inférieure a une vitesse nulle. Le fluide entre les deux plaques se déplace à la vitesse vous=vous(y) qui
varierait de manière linéaire,vous=Uy-b, comme illustré sur la figure 1.5. Ainsi, ungradient de vitesse, du-dy, se
développe dans le fluide entre les plaques. Dans ce cas particulier, le gradient de vitesse est constant puisquedu-dy=U-b
Mais dans des situations d'écoulement plus complexes, comme celle illustrée par la photographie en marge, cela n'est
pas vrai. L'observation expérimentale selon laquelle le fluide « adhère » aux parois solides est très importante en
mécanique des fluides et est généralement appelée… Surface antidérapante.Tous les fluides, liquides et gazeux,
satisfont à cette condition pour les écoulements typiques.
δa
B
P
P
B'
τA
b
UN δβ
■ Figure 1.4(un) Déformation d'un matériau placé
Plaque fixe
entre deux plaques parallèles. (bForces agissant sur
(un)
(b)
la plaque supérieure.
δa
U
P
vous
b
B
B'
UN
δβ
y
Plaque fixe
■ Figure 1.5
plaques parallèles.
Comportement d'un fluide placé entre deux
15
1,6 Viscosité
y
Dans un petit laps de temps,δt, une ligne verticale imaginaireABdans le fluide tournerait à travers l'angle,
vous=vous(y)
δβ, de sorte que
vous=0 en surface
Corps solide
δβ≈tannéδβ=
δa
b
Depuisδun=U δt, il s'ensuit que
δβ=
U δt
b
Nous constatons que dans ce cas,δβest une fonction non seulement de la forceP(qui régitU) mais aussi du temps. Il n'est
donc pas raisonnable de tenter de relier la contrainte de cisaillement,τ, àδβcomme on le fait pour les solides. Nous
considérons plutôt letauxà laquelleδβest en train de changer et de définir letaux de déformation de cisaillement,γ̇,
comme
γ̇=limite
δβ
δt→0δt
qui, dans ce cas précis, est égal à
γ̇=
U du
=
b dy
La poursuite de cette expérience révélerait que, lorsque la contrainte de cisaillement,τ, est augmenté en
augmentantP(rappelez-vous queτ=P/UN), le taux de déformation par cisaillement augmente en proportion directe, c'està-dire,
τ∝γ̇
ou
τ∝
du
dy
Ce résultat indique que, pour les fluides courants tels que l'eau, l'huile, l'essence et l'air, la contrainte de cisaillement et le taux de
déformation par cisaillement (gradient de vitesse) peuvent être liés par une relation de la forme suivante :
τ=μ
du
dy
(1.9)
où la constante de proportionnalité est désignée par le symbole grecμ(mu) et est appelé le viscosité absolue,viscosité
dynamique,ou simplement leviscositédu fluide. Conformément à l'équation 1.9, les graphiques deτcontredu-dyLa
relation devrait être linéaire, avec une pente égale à la viscosité, comme illustré sur la figure 1.6. La valeur réelle de la
viscosité dépend du fluide considéré et, pour un fluide donné, la viscosité est également fortement dépendante de la
température, comme le montrent les deux courbes de l'eau sur la figure 1.6. Les fluides pour lesquels la contrainte de
viscosité dynamique
cisaillement estlinéairementles paramètres liés au taux de déformation par cisaillement (également appelé taux de
est la propriété fluide qui
déformation angulaire) sont désignés parfluides newtoniensD'après Isaac Newton (1642-1727). Heureusement, la
se rapporte
plupart des fluides courants, liquides et gazeux, sont newtoniens. Une formulation plus générale de l'équation 1.9,
contrainte de cisaillement et
applicable aux écoulements plus complexes de fluides newtoniens, est présentée dans la section 6.8.1.
mouvement fluide.
LE VASTE MONDE DES FLUIDES
Un fluide extrêmement visqueuxLe brai est un dérivé du goudron autrefois
Elle est extrêmement petite. En fait, à ce jour, seules sept gouttes sont tombées de
utilisé pour imperméabiliser les bateaux. À haute température, il est très fluide. À
l'extrémité de la cheminée, bien que la huitième soit sur le point de tomber. Si
température ambiante, il a la consistance d'un solide ; on peut même le briser d'un
personne n'a encore vu une goutte tomber, un bécher placé en dessous conserve
coup de marteau. Pourtant, c'est un liquide. En 1927, le professeur Parnell a
les gouttes tombées au fil des ans. On estime que le poix est environ 100 milliards
chauffé du brai et l'a versé dans un entonnoir. Depuis, on le laisse s'écouler
de fois plus visqueux que l'eau.
librement (ou plutôt, goutte à goutte) de cet entonnoir. Le débit
16
Chapitre 1■ Introduction
Chuile brute (60°F )
Contrainte de cisaillement,τ
μ
1
Water (60° F)
Weau (10 0°F)
Air (60°F)
■ Figure 1.6Variation linéaire de la contrainte de
cisaillement en fonction du taux de déformation par
Taux de déformation par cisaillement,
Pour les fluides non newtoniens
fluides, l'apparent
La viscosité est une
d_vous_
dy
cisaillement pour les fluides courants.
Les fluides pour lesquels la contrainte de cisaillement n'est pas linéairement liée au taux de déformation par cisaillement
sont désignés commeFluides non newtoniens.Bien qu'il existe différents types de fluides non newtoniens, les plus simples et les
plus courants sont illustrés à la figure 1.7. La pente du graphique de la contrainte de cisaillement en fonction du taux de
fonction de la
déformation de cisaillement est notée θ.viscosité apparente, μapPour les fluides newtoniens, la viscosité apparente est identique à
taux de cisaillement.
la viscosité et est indépendante du taux de cisaillement.
Pourfluides rhéofluidifiantsLa viscosité apparente diminue avec l'augmentation du taux de cisaillement :
plus le fluide est cisaillé, moins il est visqueux. De nombreuses suspensions colloïdales et solutions polymères
de non-newtoniens
les fluides sont
distingué par
comment leur apparent
changements de viscosité
avec taux de cisaillement.
présentent un comportement rhéofluidifiant. Par exemple, la peinture au latex ne coule pas du pinceau car le
taux de cisaillement est faible et sa viscosité apparente élevée. En revanche, elle s'étale facilement sur le mur car
la fine couche de peinture entre le mur et le pinceau induit un taux de cisaillement élevé et une faible viscosité
apparente.
Pourfluides rhéoépaississantsLa viscosité apparente augmente avec le taux de
cisaillement : plus le fluide est cisaillé, plus il devient visqueux. Les mélanges eau-amidon de
maïs et eau-sable (sables mouvants) en sont des exemples courants. Ainsi, la difficulté à
retirer un objet des sables mouvants augmente considérablement avec la vitesse de retrait.
L'autre type de comportement indiqué sur la figure 1.7 est celui d'unplastique Bingham,qui n'est ni un fluide ni un solide.
Un tel matériau peut résister à une contrainte de cisaillement finie et non nulle.τrendementLa contrainte seuil, à l'arrêt (donc ce n'est
pas un fluide), est atteinte lorsque la contrainte seuil est dépassée, mais le matériau s'écoule alors comme un fluide (donc ce n'est
pas un solide). Le dentifrice et la mayonnaise sont des exemples courants de plastiques de Bingham.
Bingha m plasti c
τrendement
Contrainte de cisaillement,τ
Les différents types
Cisaillement t
hérisson
NEwtonian
μap
1
Elleun
r épais ning
Taux de déformation par cisaillement,
du
dy
■ Figure 1.7Variation de la contrainte de cisaillement en fonction du
taux de déformation par cisaillement pour plusieurs types de
fluides, y compris les fluides non newtoniens courants.
1,6 Viscosité
17
4.0
2.0
1.0
8
6
4
G
ly
2
H
ui
le
1 × 10-1
viscosité dynamique,μ, N•s/m2
SA
E
8
6
4
cé
rin
e
10
W
2
1 × 10-2
8
6
4
2
1 × 10-3
8
6
4
Eau
2
1 × 10-4
8
6
4
Air
2
Hydrgène
1 × 10-5
8
6
- 20
0
20
40
60
80
100
120
Température,°C
τ<τrendement
■ Figure 1.8
Dynamique (absolu)
Viscosité de quelques fluides courants en
fonction de la température.
Comme indiqué sur la figure en marge, la mayonnaise peut rester en tas sur une tranche de pain (contrainte de
cisaillement inférieure à la limite d'élasticité), mais elle s'étale en une fine couche lorsque le couteau exerce une
contrainte supérieure à la limite d'élasticité.
τ>τrendement
À partir de l'équation 1.9, on peut facilement déduire que les dimensions de la viscosité sontFTL−2Ainsi, en
unités BG, la viscosité est donnée en lb∙s-ft2et en unités SI comme N∙sm2Les valeurs de viscosité de plusieurs
liquides et gaz courants sont répertoriées dans les tableaux 1.5 à 1.8. Un simple coup d'œil à ces tableaux révèle
la grande variabilité de la viscosité entre les fluides. La viscosité dépend peu de la pression, et l'effet de celle-ci
est généralement négligé. Cependant, comme mentionné précédemment et illustré par la figure 1.8, la viscosité
est très sensible à la température. Par exemple, lorsque la température de l'eau passe de 60 à 100 °F (15,5 à 38
°C), sa masse volumique diminue de moins de 1 %, tandis que sa viscosité diminue d'environ 40 %. Il est donc
clair qu'une attention particulière doit être portée à la température lors de la détermination de la viscosité.
La figure 1.8 illustre plus en détail la variation de la viscosité d'un fluide à l'autre et, pour un fluide donné,
sa variation en fonction de la température. On constate que la viscosité des liquides diminue lorsque la
température augmente, tandis que pour les gaz, une augmentation de température entraîne une augmentation
de la viscosité. Cette différence d'effet de la température sur la viscosité des liquides et des gaz s'explique par la
différence de structure moléculaire. Les molécules des liquides sont très proches les unes des autres, avec de
fortes forces de cohésion intermoléculaires, et la résistance au mouvement relatif entre les couches adjacentes
de fluide est liée à ces forces. Lorsque la température augmente, ces forces de cohésion diminuent, entraînant
une réduction de la résistance au mouvement. La viscosité étant un indicateur de cette résistance, elle diminue
donc avec l'augmentation de la température. Dans les gaz, en revanche, les molécules sont très espacées et les
forces intermoléculaires sont négligeables. Dans ce cas, la résistance au mouvement relatif résulte de l'échange
de quantité de mouvement des molécules de gaz entre les couches adjacentes. Lorsque des molécules sont
transportées par mouvement aléatoire d'une région à faible vitesse d'écoulement global vers une région à
vitesse d'écoulement global plus élevée (et vice versa), il existe un effet
18
Chapitre 1■ Introduction
L'échange de quantité de mouvement s'oppose au mouvement relatif entre les couches. Lorsque la
température du gaz augmente, l'activité moléculaire aléatoire s'accroît, de même que la viscosité.
L'effet de la température sur la viscosité peut être approximé avec précision à l'aide de deux formules
empiriques. Pour les gaz,Équation de Sutherlandpeut être exprimé comme
La viscosité est
μ=
très sensible à
température.
CT3-2
(1.10)
T+S
oùCetSsont des constantes empiriques, etTest la température absolue. Ainsi, si la viscosité est connue à deux
températures,CetSpeut être déterminé. Ou, si plus de deux viscosités sont connues, les données peuvent être
corrélées avec l'équation 1.10 en utilisant une méthode d'ajustement de courbe.
Pour les liquides, une équation empirique qui a été utilisée est
μ=DeB-T
(1.11)
oùDetBsont des constantes etTest la température absolue. Cette équation est souvent appelée L'équation
d'Andrade.Comme pour les gaz, la viscosité doit être connue à au moins deux températures afin de
déterminer les deux constantes. Une analyse plus détaillée de l'influence de la température sur les fluides
est disponible dans la référence 1.
EXEMPLE 1.4
Viscosité et dimensionnalité
DONNÉUne combinaison sans dimension de variables, importante dans
l'étude des écoulements visqueux dans les conduites, est appelée…
nombre de Reynolds,Re, défini commeρMDS-μoù, comme indiqué sur
la figure E1.4,ρest la densité du fluide,Vla vitesse moyenne du fluide,Dle
diamètre du tuyau, etμla viscosité du fluide. Un fluide newtonien ayant
V
une viscosité de 0,38 N∙sm2et une densité de 0,91 s'écoule dans un
ρ,μ
tuyau de 25 mm de diamètre à une vitesse de 2,6 m/s.
TROUVERDéterminez la valeur du nombre de Reynolds en utilisant (a) les
unités SI et (b) les unités BG.
D
SOLUTION
(un)La densité du fluide est calculée à partir de la densité relative comme suit :
ρ=SG ρH2O@4 °C= 0,91 (1000 kg-m3) = 910 kg/m3
■ Figure E1.4
et d'après la définition du nombre de Reynolds
Re =
ρVD (910 kg-m3) (2,6 ms) (25 mm) (10−3m-mm)
=
μ
0,38 N∙sm2
=156 (kg∙MS2)-N
Re =
(1,77 slugs-pi)3) (8,53 pi-s) (8,20×10−2pi)
7,94×10−3kg∙s-ft2
=156 (slug∙pieds-s2)-lb = 156
Cependant, comme 1 N = 1 kg∙MS2Il s'ensuit que le nombre de
Reynolds est sans unité, c'est-à-dire,
Re = 156
et la valeur du nombre de Reynolds est
(Réponse)
Puisqu'une livre équivaut à un slug∙pieds-s2.
(Réponse)
La valeur d'une grandeur sans dimension est indépendante du système
COMMENTAIRESLes valeurs des parties (a) et (b) sont identiques,
d'unités utilisé si toutes les variables qui la composent sont exprimées
comme prévu. Les grandeurs sans dimension jouent un rôle
important en mécanique des fluides, et la signification du nombre
de Reynolds ainsi que d'autres combinaisons sans dimension
importantes seront abordées en détail au chapitre 7. Il convient de
noter que le nombre de Reynolds est en réalité le rapportμ-ρC'est
important, et c'est cette propriété que l'on définit comme la
viscosité cinématique.
dans un même système d'unités. Pour le vérifier, nous allons calculer le
nombre de Reynolds en utilisant les unités BG.
(b)Nous commençons par convertir toutes les valeurs SI des variables apparaissant
dans le nombre de Reynolds en valeurs BG. Ainsi,
ρ= (910 kg-m3) (1.940×10−3) = 1,77 slugs-ft3
V= (2,6 ms) (3,281) = 8,53 pi-s D= (
0,025 m) (3,281) = 8,20×10−2pieds
μ= (0,38 N∙sm2) (2.089×10−2) = 7,94×10−3kg∙pi²2
19
1,6 Viscosité
EXEMPLE 1.5
Contrainte de cisaillement du fluide newtonien
DONNÉLa distribution des vitesses pour l'écoulement d'un fluide
newtonien entre deux plaques parallèles larges et fixes (voir Fig. E1.5)
un) est donné par l'équation
vous=
TROUVERDéterminer : (a) la contrainte de cisaillement agissant sur la paroi
y2
3V
oùVest la vitesse moyenne. Le fluide a une viscosité de
0,04 lb∙s-ft2. Aussi,V=2 pieds eth=0,2 po
inférieure, et (b) la contrainte de cisaillement agissant sur un plan parallèle
2 [1 −(h) ]
aux parois et passant par la ligne médiane (plan médian).
SOLUTION
y
h
vous
Pour ce type d'écoulement parallèle, la contrainte de cisaillement est obtenue à partir de l'équation
1.9,
τ=μ
h
du
dy
■ Figure E1.5un
(1)
Ainsi, si la distribution de vitessevous=vous(y) étant connue, la contrainte de
cisaillement peut être déterminée en tous points en évaluant le gradient de
vitesse,du-dyPour la distribution donnée
Pouvez-vous expliquer le changement de signe ? [Indice : Dessinez une particule de fluide
cisaillée à proximité de la plaque supérieure.]
3Vy
du
=−
dy
h2
(2)
vous
(un)Le long du mur inférieury= −hde sorte que (d'après l'équation 2)
du 3V
=
dy
h
■ Figure E1.5b
et par conséquent la contrainte de cisaillement est
τbas=μ
mur
(0,04 lb)∙s-ft2) (3) (2 pi-s)
3V
=
(h)
(0,2 po) (1 pi - 12 po)
=14,4 lb-pi2(dans le sens du flux)
15
(Réponse)
10
Une contrainte de cisaillement positive semble intuitivement satisfaisante. Pour
vérifier votre intuition, dessinez une particule de fluide cisaillée adjacente à la
plaque inférieure (Fig. E1.5).bLe mouvement du fluide semble entraîner la plaque
dans le sens de l'écoulement. La section introduisant la notion de viscosité, et
5
notamment la figure 1.4, montre clairement que la contrainte de cisaillement
exercée sur le fluide à la paroi est effectivement positive. L'équation 2 et les
cisaillement varie linéairement dans le champ d'écoulement.
(b)Le long du plan médian oùy=0 découle de l'équation 2 que
T(lb/pi2)
réponses aux questions a et b de cet exemple confirment que la contrainte de
0
– 0,2
– 0,1
0
du
=0
dy
–5
et donc la contrainte de cisaillement est
τplan médian= 0
(Réponse)
COMMENTAIREL'équation 2 a été évaluée au niveau de la plaque inférieure et du
– 10
plan médian afin de répondre aux questions a et b de cet exemple. Si vous l'utilisez
pour calculer la contrainte de cisaillement au niveau de la plaque supérieure, vous
constaterez qu'elle produit une contrainte de cisaillement de même magnitude
qu'au niveau de la plaque inférieure, mais de signe opposé. Un graphique deτ
contre yentre les plaques, Fig. E1.5b, confirme à la fois la différence de signe et
l'observation antérieure de la relation linéaire.
– 15
y(dans.)
■ Figure E1.5c
0,1
0,2
20
Chapitre 1■ Introduction
La viscosité apparaît assez souvent dans les problèmes d'écoulement des fluides, combinée à la densité, sous la forme
ν=
viscosité cinématique
est défini comme
le rapport de la
viscosité absolue
à la densité du fluide.
μ
ρ
Ce rapport est appelé leviscosité cinématiqueet est désigné par le symbole grecν(nu). Les dimensions de la viscosité
cinématique sontL2-Tet les unités BG sont des pieds2-s et les unités SI sont m2-s. Les valeurs de viscosité cinématique de
certains liquides et gaz courants sont données dans les tableaux 1.5 à 1.8. Des tableaux plus complets donnant à la fois
les viscosités dynamique et cinématique de l'eau et de l'air se trouvent dans l'annexe B (tableaux B.1 à B.4), et des
graphiques montrant la variation de la viscosité dynamique et cinématique en fonction de la température pour divers
fluides sont également fournis dans l'annexe B (figures B.1 et B.2).
Bien que ce texte utilise principalement les unités BG et SI, la viscosité dynamique est souvent
exprimée dans le système métrique CGS (centimètre-gramme-seconde) en dynes.∙s-cm2Cette
combinaison est appelée uneéquilibre,abrégé P. Dans le système CGS, la viscosité cinématique a pour
unités le cm2-s, et cette combinaison est appelée unalimenter,abrégé St.
1.7
Compressibilité des fluides
p
1.7.1 Module de compressibilité
Une question importante à laquelle il faut répondre lorsqu'on étudie le comportement d'un fluide donné est celle de la facilité
avec laquelle le volume (et donc la densité) d'une masse donnée de ce fluide peut être modifié en cas de variation de pression.
V
Autrement dit, quelle est la compressibilité du fluide ? Une propriété couramment utilisée pour caractériser la compressibilité est
la…module de compressibilité,Eυ, défini comme
E υ= −
p+dp
dp
dV-V
(1.12)
oùdpest la variation différentielle de pression nécessaire pour créer une variation différentielle de volume,dV, d'un
volumeVCeci est illustré par la figure en marge. Le signe négatif est présent car une augmentation de la pression
V–dV
entraîne une diminution du volume. Puisqu'une diminution du volume d'une masse donnée, m=ρV, entraînera une
augmentation de la densité, l'équation 1.12 peut également être exprimée comme
Eυ=
dp
dρ-ρ
(1.13)
Le module de compressibilité (également appelémodule d'élasticité volumique) a les dimensions d'une pression, FL−2. En unités
BG, valeurs deEυsont généralement exprimés en lb-po.2(psi) et en unités SI sous forme de Nm2(Pa). Des valeurs élevées du module
de compressibilité indiquent que le fluide est relativement incompressible ; autrement dit, une variation de pression importante
est nécessaire pour obtenir une faible variation de volume. Comme prévu, les valeurs deEυLes coefficients de compressibilité des
liquides courants sont élevés (voir tableaux 1.5 et 1.6). Par exemple, à pression atmosphérique et à une température de 60 °F, il
faudrait une pression de 3 120 psi pour comprimer un volume unitaire d'eau de 1 %. Ce résultat est représentatif de la
compressibilité des liquides. Étant donné que des pressions aussi importantes sont nécessaires pour provoquer une variation de
volume, nous concluons que les liquides peuvent être considérés commeincompressiblePour la plupart des applications pratiques
en ingénierie, le module de compressibilité est généralement utilisé. Lorsqu'un liquide est comprimé, son module de
compressibilité augmente, mais c'est généralement celui à proximité de la pression atmosphérique qui nous intéresse.
L'utilisation du module de compressibilité comme propriété décrivant la compressibilité est surtout répandue pour les liquides,
bien qu'il puisse également être déterminé pour les gaz.
LE VASTE MONDE DES FLUIDES
Ce jet d'eau est une explosionEn général, les liquides peuvent être considérés
Sous une pression de 3 000 à 4 000 atmosphères, l’eau est comprimée (son volume
comme des fluides incompressibles. Cependant, dans certaines applications,
est réduit) d’environ 10 à 15 %. L’ouverture d’une vanne à ouverture rapide située
compressibilitéLa nature d'un liquide peut jouer un rôle clé dans le fonctionnement
dans le récipient sous pression provoque la détente de l’eau, qui produit un jet
d'un dispositif. Par exemple, un générateur d'impulsions d'eau utilisant de l'eau
d’eau à l’impact sur le matériau cible, un effet similaire à la force explosive des
comprimée a été développé pour les opérations minières. Il peut fracturer la roche
explosifs conventionnels. L’exploitation minière par jet d’eau permet d’éliminer
en produisant un effet comparable à celui d'un explosif conventionnel tel que la
divers risques liés à l’utilisation d’explosifs chimiques conventionnels, tels que ceux
poudre à canon. Le dispositif utilise l'énergie stockée dans un accumulateur rempli
associés au stockage et à l’utilisation de ces explosifs, ainsi qu’à la production de
d'eau pour générer une impulsion d'eau à ultra-haute pression éjectée par une
gaz toxiques nécessitant une ventilation importante. (Voir le problème 1.110.)
vanne de décharge de 10 à 25 mm de diamètre. Aux ultra-hautes pressions
utilisées (300 à 400 MPa,
21
1.7 Compressibilité des fluides
1.7.2 Compression et détente des gaz
Lorsque des gaz sont comprimés (ou détendus), la relation entre la pression et la densité dépend
de la nature du processus. Si la compression ou la détente a lieu à température constante (
processus isotherme), puis à partir de l'équation 1.8
p
=constante
ρ
isentropique
(k=1.4)
(1.14)
Si la compression ou l'expansion se fait sans frottement et qu'aucun échange de chaleur n'a lieu avec l'environnement (
p
processus isentropique), alors
isotherme
p
=constante
ρk
ρ
(1.15)
oùkest le rapport de la chaleur spécifique à pression constante,cp, à la chaleur spécifique à volume constant,cυ(
c'est-à-dire,k=cp-cυLes deux chaleurs spécifiques sont liées à la constante des gaz parfaits.R, par l'équationR=cp−c
υComme pour la loi des gaz parfaits, la pression dans les équations 1.14 et 1.15 doit être exprimée en pression
absolue. Valeurs dekLes valeurs pour certains gaz courants sont données dans les tableaux 1.7 et 1.8 et celles
pour l'air sur une plage de températures, dans l'annexe B (tableaux B.3 et B.4). Les variations de pression et de
densité en conditions isothermes et isentropiques sont illustrées dans la figure en marge.
La valeur du module
de compressibilité
Cela dépend du type de
À partir d'équations explicites reliant la pression et la densité, le module de compressibilité des gaz peut être
déterminé en calculant la dérivée.dp-dρà partir de l'équation 1.14 ou 1.15 et en substituant les résultats dans l'équation
1.13, il s'ensuit que pour un processus isotherme
processus impliqué.
et pour un processus isentropique,
Eυ=p
(1.16)
Eυ=kp
(1.17)
Notez que dans les deux cas, le module de compressibilité varie directement avec la pression. Pour l'air dans des
conditions atmosphériques normales,p=14,7 psi (abs) etk=1,40, le module de compressibilité isentropique est de 20,6
psi. Une comparaison de cette valeur avec celle de l'eau dans les mêmes conditions (Eυ=La valeur de 312 000 psi indique
que l'air est environ 15 000 fois plus compressible que l'eau. Il est donc clair que, pour les gaz, il convient d'accorder une
attention particulière à l'influence de la compressibilité sur le comportement des fluides. Cependant, comme nous le
verrons plus loin, les écoulements de gaz peuvent souvent être considérés comme incompressibles si les variations de
pression sont faibles.
EXEMPLE 1.6
Compression isentropique o
DONNÉUn pied cube d'air à une pression absolue de 14,7 psi
est comprimé de manière isentropique à12pieds3par la pompe à pneus illustrée dans
Fig. E1.6un.
TROUVERQuelle est la pression finale ?
SOLUTION
Pour une compression isentropique
pje pf
=
ρjek ρfk
où les indicesjeetfse réfèrent respectivement aux états initial et final.
Puisque nous nous intéressons à la pression finale,pf, il s'ensuit que
pf=(ρ)
ρfk
je
pje
■ Figure E1.6un
22
Chapitre 1■ Introduction
En termes de volume,V. est réduite de moitié, la densité doit
doubler, puisque la masse,m=ρ V. du gaz reste constant. Ainsi,
aveck=1,40 pour l'air
pf= (2)1,40(14,7 psi) = 38,8 psi (abs)
400
350
300
(Réponse)
COMMENTAIREEn répétant les calculs pour différentes valeurs du
rapport entre le volume final et le volume initial,Vf-Vje, les résultats sont
présentés dans la figure E1.6bsont obtenus. Notez que même si l'air est
souvent considéré comme facilement compressible (du moins comparé
aux liquides), il faut une pression considérable pour réduire
significativement un volume d'air donné, comme c'est le cas dans un
moteur automobile où le taux de compression est de l'ordre deVf-Vje=
1/8 = 0,125.
pf,psi
250
200
150
100
(0,5, 38,8 psi)
50
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
Vf/Vje
■ Figure E1.6b
1.7.3 Vitesse du son
Une autre conséquence importante de la compressibilité des fluides est que les perturbations introduites en un
point donné du fluide se propagent à une vitesse finie. Par exemple, si un fluide s'écoule dans une conduite et
La vitesse
à quel petit
qu'une vanne à la sortie est fermée brusquement (créant ainsi une perturbation localisée), l'effet de la fermeture
de la vanne n'est pas ressenti instantanément en amont. Il faut un temps fini pour que l'augmentation de
perturbations
pression créée par la fermeture de la vanne se propage jusqu'à un point situé en amont. De même, la
se propager dans un
membrane d'un haut-parleur provoque une perturbation localisée lorsqu'elle vibre, et la faible variation de
Le fluide est appelé
pression créée par le mouvement de la membrane se propage dans l'air à une vitesse finie. La vitesse à laquelle
la vitesse du son.
ces petites perturbations se propagent est appelée la vitesse de propagation.vitesse acoustiqueou levitesse du
son,c.Le chapitre 11 montrera que la vitesse du son est liée aux variations de pression et de densité du fluide par
l'équation suivante :
6000
eau
c=
4000
dp
Bdρ
(1.18)
Eυ
Bρ
(1.19)
c,pi/s
ou en termes de module de compressibilité défini par l'équation 1.13
c=
2000
air
Comme la perturbation est faible, le transfert de chaleur est négligeable et le processus est considéré comme isentropique. Par
0
conséquent, la relation pression-densité utilisée dans l'équation 1.18 est celle d'un processus isentropique.
0
100
T,°F
200
Pour les gaz subissant un processus isentropique,Eυ=kp(Éq. 1.17) de sorte que
c=
kp
Bρ
et en utilisant la loi des gaz parfaits, il s'ensuit que
c=√kRT
(1.20)
Ainsi, pour les gaz parfaits, la vitesse du son est proportionnelle à la racine carrée de la température
absolue. Par exemple, pour l'air à 60 °F aveck=1,40 etR=1716 pieds∙lb-slug∙°R, il s'ensuit que c=1117 pi-s.
La vitesse du son dans l'air à différentes températures se trouve à l'annexe B (tableaux B.3 et B.4).
L'équation 1.19 est également valable pour les liquides, et les valeurs deEυpeut être utilisé pour
déterminer la vitesse du son dans les liquides. Pour l'eau à 20 °C,Eυ=2,19 GN-m2etρ= 998,2 kg-m3
de sorte quec=1481 m/s ou 4860 pi/s. Comme le montre la figure en marge, la vitesse du son est beaucoup plus
élevée dans l'eau que dans l'air. Si un fluide était véritablement incompressible (Eυ=∞) la vitesse du son
23
1.8 Pression de vapeur
serait infinie. La vitesse du son dans l'eau à différentes températures se trouve à l'annexe B
(tableaux B.1 et B.2).
EXEMPLE 1.7
Vitesse du son et nombre de Mach
DONNÉUn avion à réaction vole à une vitesse de 550 mph à une altitude de
35 000 pieds, où la température est de −66 °F et le rapport des chaleurs
TROUVERDéterminez le rapport de la vitesse de l'avion,V,à celle
de la vitesse du son,c, à l'altitude spécifiée.
spécifiques est dek=1.4.
SOLUTION
0,9
À partir de l'équation 1.20, la vitesse du son peut être calculée comme suit :
c=√kRT
=√(1,40) (1716 ft lb/slug °R) (−66 + 460) °R =
973 pi/s
0,8
(–66°F, 0,829)
V=
(550 mi/ hr) (5280 pi/mi)
(3600 s / heure)
Ma =V/c
Puisque la vitesse de l'air est
=807 pi/s
0,7
le ratio est
V 807 pi/s
=0,829
=
c
973 pi/s
0,6
(Réponse)
COMMENTAIRECe rapport est appelé lenombre de Mach,Ma. Si Ma <
1,0, l'avion vole àsubsoniquevitesses, alors que pour Ma > 1,0, il
vole àsupersoniqueLes vitesses. Le nombre de Mach est un
paramètre sans dimension important utilisé dans l'étude de
l'écoulement des gaz à haute vitesse et sera abordé plus en détail
dans les chapitres 7 et 11.
En répétant les calculs pour différentes températures, on obtient
les résultats présentés sur la figure E1.7. En effet, la vitesse de
1.8
0,5
– 100
– 50
0
T,°F
50
100
■ Figure E1.7
Le son augmente avec la température ; à vitesse d'avion
constante, le nombre de Mach diminue lorsque la
température augmente.
Pression de vapeur
Il est courant d'observer que des liquides comme l'eau et l'essence s'évaporent s'ils sont simplement placés dans
un récipient ouvert à l'atmosphère. L'évaporation se produit car certaines molécules de liquide à la surface
possèdent une quantité de mouvement suffisante pour vaincre les forces de cohésion intermoléculaires et
Liquide
s'échapper dans l'atmosphère. Si le récipient est fermé en laissant un petit espace d'air au-dessus de la surface,
et que cet espace est vidé pour former un vide, une pression se développe dans cet espace en raison de la
vapeur formée par les molécules qui s'échappent. Lorsqu'un état d'équilibre est atteint, de sorte que le nombre
de molécules quittant la surface est égal au nombre de molécules y entrant, on dit que la vapeur est saturée et la
pression que la vapeur exerce sur la surface du liquide est appelée pression de vapeur.pression de vapeur, pv
Vapeur,pυ
De même, si l'on déplace l'extrémité d'un récipient entièrement rempli de liquide comme indiqué sur la figure cicontre sans laisser entrer d'air dans le récipient, l'espace entre le liquide et l'extrémité se remplit de vapeur à
Liquide
Un liquide bout
lorsque la pression
est réduite à la
pression de vapeur.
une pression égale à la pression de vapeur.
Le développement de la pression de vapeur étant étroitement lié à l'activité moléculaire, la valeur
de la pression de vapeur d'un liquide donné dépend de la température. Les valeurs de la pression de
vapeur de l'eau à différentes températures figurent à l'annexe B (tableaux B.1 et B.2), et celles de
plusieurs liquides courants à température ambiante sont données dans les tableaux 1.5 et 1.6.
Ébullition,La formation de bulles de vapeur au sein d'une masse fluide, qui débute lorsque la pression absolue
dans le fluide atteint la pression de vapeur saturante, est un phénomène courant. Comme on l'observe souvent en
cuisine, l'eau bout à pression atmosphérique normale lorsque sa température atteint 100 °C (212 °F).
Température d'ébullition,°F
24
Chapitre 1■ Introduction
250
Autrement dit, la pression de vapeur de l'eau à 100 °C (212 °F) est de 14,7 psi (abs). Cependant, si l'on tente de faire
bouillir de l'eau à une altitude plus élevée, par exemple à 9 144 m (30 000 pieds) au-dessus du niveau de la mer (l'altitude
approximative du mont Everest), où la pression atmosphérique est de 4,37 psi (abs), on constate que l'ébullition
150
commence lorsque la température atteint environ 69 °C (157 °F). À cette température, la pression de vapeur de l'eau est
de 4,37 psi (abs). Pour l'atmosphère standard américaine (voir section 2.4), la température d'ébullition est fonction de
50
0
0
20
40
Altitude, milliers
pieds
l'altitude, comme illustré dans la figure ci-contre. Ainsi, l'ébullition peut être provoquée à une altitude plus élevée.
60 une pression donnée agissant sur le fluide par élévation de température, ou à une température de fluide donnée
en abaissant la pression.
L'intérêt que nous portons à la pression de vapeur et à l'ébullition s'explique notamment par le constat que, dans
Dans les liquides en mouvement
les fluides en mouvement, une très basse pression peut se développer. Si cette pression atteint la pression de vapeur,
il est possible que
l'ébullition se produit. Ce phénomène peut se produire, par exemple, lors de l'écoulement à travers les passages
la pression dans
irréguliers et étroits d'une vanne ou d'une pompe. Lorsque des bulles de vapeur se forment dans un fluide en
régions localisées
mouvement, elles sont entraînées vers des zones de pression plus élevée où elles implosent brutalement avec une force
pour atteindre la vapeur
suffisante pour causer des dommages structurels. La formation et l'implosion subséquente de bulles de vapeur dans un
pression, par conséquent
fluide en mouvement sont appelées ébullition.cavitation,est un phénomène important d'écoulement de fluide auquel il
provoquant la cavitation.
convient de donner une attention plus approfondie dans les chapitres 3 et 7.
1.9
Tension superficielle
À l'interface entre un liquide et un gaz, ou entre deux liquides non miscibles, des forces se développent à la
surface du liquide, lui conférant un comportement similaire à celui d'une « peau » ou d'une « membrane »
tendue sur la masse fluide. Bien qu'une telle peau n'existe pas réellement, cette analogie conceptuelle permet
d'expliquer plusieurs phénomènes courants. Par exemple, une aiguille en acier ou une lame de rasoir flotte sur
l'eau si on les y dépose délicatement, car la tension développée dans cette peau hypothétique les soutient. De
petites gouttelettes de mercure prennent forme sphérique lorsqu'elles sont déposées sur une surface lisse, car
les forces de cohésion à la surface du mercure tendent à maintenir toutes les molécules ensemble, leur
conférant une forme compacte. De même, des bulles distinctes se forment dans un liquide. (Voir la photographie
au début du chapitre 1.)
Ces différents types de phénomènes de surface sont dus aux forces de cohésion déséquilibrées qui
s'exercent sur les molécules du liquide à la surface du fluide. Les molécules à l'intérieur de la masse fluide sont
entourées de molécules qui s'attirent mutuellement de manière égale. Cependant, les molécules situées à la
Tension superficielle, lb/pi
surface subissent une force nette dirigée vers l'intérieur. La conséquence physique apparente de cette force
6
déséquilibrée à la surface est la création d'une peau ou d'une membrane hypothétique. Une force de traction
× 10−3
peut être considérée comme agissant dans le plan de la surface, le long de n'importe quelle ligne de celle-ci.
L'intensité de l'attraction moléculaire par unité de longueur le long d'une ligne quelconque de la surface est
4
Weau
donné, la tension superficielle dépend de la température ainsi que du fluide avec lequel il est en contact à
2
0
appelée force d'attraction.tension superficielle et est désigné par le symbole grecσ(sigma). Pour un liquide
l'interface. Les dimensions de la tension superficielle sont :FL−1Les valeurs de tension superficielle de l'eau à
différentes températures sont données dans l'annexe B (tableaux B.1 et B.2), en unités BG (lb-ft) et SI (Nm).
0
50 100 150 200
Comme l'indique la figure en marge, la tension superficielle diminue lorsque la température augmente.
Température,°F
LE VASTE MONDE DES FLUIDES
Marcher sur l'eauLes gerris sont des insectes que l'on trouve couramment sur les
Des vidéos accélérées ont permis d'examiner en détail le mouvement des gerris.
étangs, les rivières et les lacs et qui semblent « marcher » sur l'eau. Un gerris
Les chercheurs ont découvert que chaque battement de pattes de l'insecte crée des
mesure en moyenne 1 cm de long et peut parcourir 100 fois sa longueur en une
creux à la surface de l'eau, générant des tourbillons sous-marins suffisants pour le
seconde. On sait depuis longtemps que…tension superficiellece qui empêche la
propulser vers l'avant. C'est le mouvement de ces tourbillons vers l'arrière qui
gerris de couler sous la surface. Ce qui restait un mystère, c'était comment elle se
assure la propulsion du gerris. Pour étayer davantage leur explication, l'équipe du
propulsait à une telle vitesse. Elle ne peut pas percer la surface de l'eau, sinon elle
MIT a construit un modèle fonctionnel de gerris, appelé Robostrider, qui crée des
coulerait. Une équipe de mathématiciens et d'ingénieurs du Massachusetts
ondulations à la surface et des tourbillons sous-marins lorsqu'il se déplace. Les
Institute of Technology (MIT) a appliqué des techniques conventionnelles de
créatures aquatiques, comme le gerris, constituent un monde fascinant dominé
visualisation des écoulements et des modèles à haute résolution.
par la tension superficielle. (Voir le problème 1.131.)
25
1.9 Tension superficielle
R
σ
σ
ΔpπR2
■ Figure 1.9Forces agissant sur la moitié d'une goutte de liquide.
La pression à l'intérieur d'une goutte de fluide peut être calculée à l'aide du diagramme des forces de la
figure 1.9. Si la goutte sphérique est coupée en deux (comme illustré), la force développée autour du bord en
raison de la tension superficielle est de 2πRσCette force doit être équilibrée par la différence de pression, Δp,
entre la pression interne,pjeet la pression externe,peagissant sur la zone circulaire,πR2. Ainsi,
2πRσ= Δp πR2
ou
Δp=pje−pe=
2σ
R
(1.21)
Ce résultat montre clairement que la pression à l'intérieur de la goutte est supérieure à la pression
qui l'entoure. (La pression à l'intérieur d'une bulle d'eau serait-elle la même qu'à l'intérieur d'une
goutte d'eau de même diamètre et à la même température ?)
Parmi les phénomènes courants associés à la tension superficielle figure la montée (ou la descente) d'un liquide
h~_1_
R
h
dans un tube capillaire. Si un petit tube ouvert est plongé dans l'eau, le niveau de l'eau à l'intérieur du tube s'élèvera audessus du niveau de l'eau à l'extérieur du tube, comme illustré sur la figure 1.10.un.Dans cette situation, nous avons une
interface liquide-gaz-solide. Dans le cas illustré, il existe une attraction (adhésion) entre la paroi du tube et les molécules
du liquide, suffisamment forte pour vaincre l'attraction mutuelle (cohésion) des molécules et les attirer le long de la
paroi. Par conséquent, on dit que le liquidemouilléla surface solide.
R
La hauteur,h, est régie par la valeur de la tension superficielle,σ, le rayon du tube,R, le poids
spécifique du liquide,γet leangle de contact, θ, entre le fluide et le tube. D'après le diagramme de corps
libre de la figure 1.10bon constate que la force verticale due à la tension superficielle est égale à 2πRσcos
θet le poids estγπR2het ces deux forces doivent s'équilibrer pour qu'il y ait équilibre. Ainsi,
γπR2h=2πRσcosθ
de sorte que la hauteur est donnée par la relation
h=
2σcosθ
(1.22)
γR
L'angle de contact dépend à la fois du liquide et de la surface. Pour l'eau en contact avec du verre propreθ≈0°. Il
ressort clairement de l'équation 1.22 que la hauteur est inversement proportionnelle au rayon du tube et, par
Action capillaire dans
petits tubes, qui
implique un liquide–
conséquent, comme l'indique la figure en marge, la montée d'un liquide dans un tube à la suite d'une action
capillaire devient de plus en plus prononcée à mesure que le rayon du tube diminue.
Si l'adhésion des molécules à la surface solide est faible par rapport à la cohésion entre les molécules, le
interface gaz-solide,
liquide ne mouillera pas la surface et le niveau dans un tube placé dans un liquide non mouillant sera en fait
est causé par
abaissé, comme le montre la figure 1.10c.Le mercure est un bon exemple de liquide non mouillant lorsqu'il est
tension superficielle.
en contact avec un tube de verre. Pour les liquides non mouillants, l'angle de contact est supérieur à 90°, et pour
le mercure en contact avec du verre propreθ≈130°.
θ
2πRσ
θ
h
γπR2h
h
■ Figure 1.10
Effet de la capillarité dans les petits
tubes. (un) Montée de la colonne pour un liquide qui mouille le tube. (b
Diagramme de corps libre pour le calcul de la hauteur de la colonne.c)
2R
(un)
Dépression de la colonne pour un liquide non mouillant.
(b)
(c)
26
Chapitre 1■ Introduction
EXEMPLE 1.8
Ascension capillaire dans un tube
DONNÉOn détermine parfois la pression en mesurant la hauteur
TROUVERQuel diamètre de tube en verre propre est nécessaire pour
d'une colonne de liquide dans un tube vertical.
que la montée de l'eau à 20 °C dans un tube due à la capillarité (par
opposition à la pression dans le tube) soit inférieure àh=1,0 mm ?
SOLUTION
On obtient ce résultat. Il est à noter que lorsque la remontée capillaire admissible
D'après l'équation 1.22
h=
diminue, le diamètre du tube doit être considérablement augmenté. Un certain
2σcosθ
effet de capillarité subsiste toujours, mais il peut être minimisé en utilisant un tube
γR
de diamètre suffisamment grand.
de sorte que
R=
2σcosθ
100
γh
Pour l'eau à 20 °C (d'après le tableau B.2),σ= 0,0728 Nm et γ=
9,789 kN-m3. Depuisθ≈0° il s'ensuit que pourh=1,0 mm,
D, mm
2(0,0728 Nm) (1)
R=
(9,789)×103Nm3) (1,0 mm) (10−3m-mm)
=0,0149 m
60
40
(1 mm, 29,8 mm)
20
et le diamètre minimal requis du tube,D, est
D=2R=0,0298 m = 29,8 mm
80
(Réponse)
COMMENTAIREEn répétant les calculs pour différentes valeurs de la
montée capillaire,h, les résultats présentés dans la figure E1.8 sont
0
0
0,5
1
1.5
2
h, mm
■ Figure E1.8
Les effets de la tension superficielle interviennent dans de nombreux problèmes de mécanique des fluides,
notamment le mouvement des liquides à travers les sols et autres milieux poreux, l'écoulement des films minces,
la formation de gouttes et de gouttelettes, et la fragmentation des jets liquides. Par exemple, la tension
superficielle est un facteur déterminant dans la formation des gouttes d'un robinet qui fuit, comme le montre la
photographie ci-contre. Les phénomènes de surface associés aux interfaces liquide-gaz, liquide-liquide et liquidegaz-solide sont extrêmement complexes et une discussion plus détaillée et rigoureuse dépasse le cadre de ce texte.
Heureusement, dans de nombreux problèmes de mécanique des fluides, les phénomènes de surface, tels que
caractérisés par la tension superficielle, sont négligeables, car les forces d'inertie, de gravité et de viscosité sont bien
plus importantes.
(Droits d'auteur de la photographie)
2007 par Andrew
Davidhazy, Rochester
Institut de Technologie.)
LE VASTE MONDE DES FLUIDES
Propagation des marées noiresLe trafic important de pétroliers engendre un vif
De nombreux facteurs influencent la capacité d'une marée noire à s'étendre,
intérêt pour la prévention et la gestion des déversements d'hydrocarbures. Comme
notamment l'étendue du déversement, la vitesse et la direction du vent, ainsi que
en témoigne le célèbreExxon ValdezLa marée noire survenue dans le détroit du
les propriétés physiques du pétrole. Ces propriétés incluent tension superficielle,
Prince-William en 1989 illustre les conséquences environnementales désastreuses
densité relative, etviscositéPlus la tension superficielle est élevée, plus une nappe
que peuvent avoir les déversements d'hydrocarbures. Plus récemment, la marée
de pétrole a de chances de rester en place. Comme la densité du pétrole est
noire du golfe du Mexique en 2010 en est un exemple frappant. Il n'est donc pas
inférieure à un, il flotte à la surface de l'eau, mais sa densité peut augmenter si les
surprenant que la vitesse de propagation d'une marée noire suscite autant
substances plus légères qu'il contient s'évaporent. Plus la viscosité du pétrole est
d'attention. En général, le pétrole s'étale horizontalement et forme une nappe
élevée, plus il a tendance à rester en place.
glissante, appelée « slow ».
1.10 Un bref retour sur l'histoire
1.10
27
Un bref retour sur l'histoire
Avant d'entamer notre étude de la mécanique des fluides, il convient de s'attarder un instant sur l'histoire de
cette science fondamentale de l'ingénierie. Comme pour toutes les disciplines scientifiques et techniques
fondamentales, ses origines exactes restent floues, noyées dans la brume de l'Antiquité. On sait toutefois que
l'intérêt pour le comportement des fluides remonte aux civilisations antiques. La nécessité impérieuse a
engendré une préoccupation pratique quant à la propulsion des lances et des flèches, au développement des
systèmes d'adduction d'eau et d'irrigation, ainsi qu'à la conception des bateaux et des navires. Ces
développements reposaient, bien entendu, sur une approche empirique. Cependant, c'est l'accumulation de ces
Certains des écrits les
connaissances empiriques qui a jeté les bases des développements ultérieurs lors de l'émergence de la
plus anciens qui
civilisation grecque antique et de l'essor subséquent de l'Empire romain. Parmi les premiers écrits relatifs à la
se rapportent au moderne
mécanique des fluides moderne figurent ceux d'Archimède (287-212 av. J.-C.).B.C), un mathématicien et inventeur
mécanique des fluides
grec qui a le premier énoncé les principes de l'hydrostatique et de la flottaison. Des systèmes
on peut en faire remonter
d'approvisionnement en eau élaborés ont été construits par les Romains à partir du IVe siècle.B.C.durant la
l'origine à l'Antiquité
période chrétienne primitive, et Sextus Julius Frontinus (UN.D.Entre 40 et 103 av. J.-C., un ingénieur romain a
La civilisation grecque
et par la suite
Empire romain.
décrit ces systèmes en détail. Cependant, pendant les mille années suivantes, au Moyen Âge (aussi appelé l'Âge
des ténèbres), peu de progrès semblent avoir été réalisés dans la compréhension du comportement des fluides.
Comme le montre la figure 1.11, dès la Renaissance (vers le XVe siècle), une série de contributions
relativement continues a jeté les bases de ce que nous considérons aujourd'hui comme la science de la
mécanique des fluides. Léonard de Vinci (1452-1519) a décrit, par des croquis et des écrits, de nombreux
phénomènes d'écoulement. Les travaux de Galilée (1564-1642) ont marqué le début de la mécanique
expérimentale. Après la Renaissance, et durant les XVIIe et XVIIIe siècles, de nombreuses contributions
importantes ont été apportées. Parmi celles-ci figurent les avancées théoriques et mathématiques associées aux
noms célèbres de Newton, Bernoulli, Euler et d'Alembert. Les aspects expérimentaux de la mécanique des
fluides ont également progressé durant cette période, mais malheureusement, les deux approches, théorique et
expérimentale, se sont développées de manière distincte.HydrodynamiqueLe terme était associé à l'étude
théorique ou mathématique du comportement idéal d'un fluide sans frottement, avec le termehydrauliqueElle
servait à décrire les aspects appliqués ou expérimentaux du comportement des fluides réels, en particulier celui
de l'eau. Au XIXe siècle, des contributions et des perfectionnements importants ont été apportés à
l'hydrodynamique théorique et à l'hydraulique expérimentale, notamment avec l'élaboration des équations
différentielles générales décrivant les mouvements des fluides et utilisées en mécanique des fluides moderne.
L'hydraulique expérimentale s'est affirmée comme une science à part entière, et nombre de résultats
d'expériences menées au XIXe siècle sont encore utilisés aujourd'hui.
Au début du XXe siècle, l'hydrodynamique théorique et l'hydraulique expérimentale étaient deux
domaines très développés, et l'on s'efforçait de les unifier. En 1904, Ludwig Prandtl (1875-1953), professeur
allemand, présenta un article fondamental dans lequel il introduisit le concept de « couche limite fluide », jetant
ainsi les bases de l'unification des aspects théoriques et expérimentaux de la mécanique des fluides. L'idée de
Prandtl était que, pour un écoulement à proximité d'une surface, une couche limite se forme.
GéofFrey Taylor
Théodore vo n Karman
Ludwi g Prandtl
Osborne Rey nvieux
Ernst Mach
George Stok es
Je un
à Poiseuille
Lointerface utilisateur Navier
LeEuler surdur
Daniel Bernoulli
Isaac Ne wton
Galile o Galilée
Léonard de Vinci
1200
1300
Vinci
1400
1500
1600
1700
1800
Année
■ Figure 1.11Chronologie de quelques contributeurs à la science de la mécanique des fluides.
1900
2000
28
Chapitre 1■ Introduction
La riche histoire
de la mécanique des fluides
est fascinant,
et beaucoup de
contributions de
À la limite d'un fluide solide, une fine couche (couche limite) se forme, dans laquelle le frottement (force
visqueuse) est important. En dehors de cette couche, le fluide se comporte comme un fluide sans frottement. Ce
concept relativement simple a permis de résoudre le conflit entre hydrodynamiciens et hydrauliciens. Prandtl est
généralement considéré comme le fondateur de la mécanique des fluides moderne.
Par ailleurs, au cours de la première décennie du XXe siècle, le vol motorisé a été démontré avec succès pour la
les pionniers dans
première fois, ce qui a suscité un intérêt considérablement accru pour…aérodynamique.Parce que la conception des
les champs sont
notés dans la suite
aéronefs exigeait une compréhension de l'écoulement des fluides et la capacité de prédire avec précision l'effet du flux
chapitres.
mécanique des fluides qui ont eu lieu au cours du XXe siècle.
d'air sur les corps, le domaine de l'aérodynamique a fortement stimulé les nombreux développements rapides de la
Dans la poursuite de notre étude des principes fondamentaux de la mécanique des fluides, nous aborderons les
contributions de nombreux pionniers du domaine. Le tableau 1.9 en présente une liste chronologique.
capable 1.9
Liste chronologique de quelques contributeurs à la science de la mécanique des fluides mentionnés dans le texteun
HIMÈDES(287– 212B.C.)
principes élémentaires de flottabilité et autres.
Antoine Chezy(1718–1798)
Paramètre de similarité formulé pour prédire les caractéristiques
d'écoulement d'un canal à partir de mesures effectuées sur un
TUS JULIUS FRONTINUS(UN.D.40–103) le traité
sur les méthodes romaines de distribution de
l'eau.
NARDO DA VINCI(1452–1519) a établi le principe élémentaire de
continuité ; a observé et dessiné de nombreux phénomènes
Léona
d'écoulement de base ; a conçu des modèles pour les machines
hydrauliques.
ILÉ GALILÉ(1564–1642) a effectivement stimulé
l'hydraulique expérimentale ; a repris le concept
aristotélicien du vide.
NGELISTA TORRICELLI(1608–1647) ed hauteur
barométrique au poids de l'atmosphère, forme du
jet liquide à la trajectoire de chute libre.
BLAISE PASCAL(1623–1662)
Principes du baromètre et de l'hydraulique enfin clarifiés
et la transmissibilité de la pression.
Isaa
AC NEWTON(1642–1727)
autre.
GIOVANNI BATTISTA VENTURI(1746–1822) A effectué
des tests sur diverses formes d'embouchures, en
particulier des contractions et des expansions coniques.
LOUIS MARIE HENRI NAVIER(1785–1836) Extension des
équations du mouvement pour inclure les forces «
moléculaires ».
AUGUSTIN LOUIS de CAUCHY(1789–1857) A
contribué au domaine général de l'hydrodynamique
théorique et à l'étude du mouvement des vagues.
GOTTHILF HEINRICH LUDWIG HAGEN
(1797–1884)
Réalisation d'études originales sur la résistance et la transition
entre les régimes d'écoulement laminaire et turbulent.
JEAN LOUIS POISEUILLE(1799–1869) A effectué des tests
méticuleux sur la résistance à l'écoulement dans les
tubes capillaires.
a étudié divers aspects de la résistance des fluides, de la
HENRI PHILIBERT GASPARD DARCY
(1803–1858)
viscosité et des ondes ; a découvert l'action des jets.
Réalisation de tests approfondis sur la filtration et la résistance des
tuyaux ; lancement d'études en canal ouvert menées par Bazin.
RI de PITOT(1695–1771)
Dispositif à double tube rainuré pour indiquer la teneur en
JULIUS WEISBACH(1806–1871) A intégré l'hydraulique dans un
eau à travers une hauteur différentielle.
traité sur la mécanique de l'ingénierie, basé sur des expériences
IEL BERNOULLI(1700–1782) A mené des expériences et
écrit sur de nombreuses phases du mouvement des fluides,
inventant le terme « hydrodynamique » ; a conçu
Danie
coefficients adimensionnels, le déversoir et les équations de
résistance.
technique de métrie et modèle d'énergie primitive
WILLIAM FROUDE(1810–1879) A développé de nombreuses
adapté pour expliquer l'indication vitesse-cap ;
techniques de bassin de remorquage, en particulier la conversion
propulsion par jet sed.
de la résistance des vagues et de la couche limite de l'échelle du
NHARD EULER(1707–1783) a expliqué le rôle de la pression
dans l'écoulement des fluides ; a formulé les équations
modèle à l'échelle du prototype.
ROBERT MANNING(1816–1897)
fondamentales du mouvement et le théorème dit d'Oulli ; a
Plusieurs formules ont été proposées pour la résistance en canal ouvert.
introduit le concept du principe de cavitation des machines
GEORGE GABRIEL STOKES(1819–1903) A dérivé
centrifuges.
analytiquement diverses relations d'écoulement allant de la
JEAN LE ROND D'ALEMBERT(1717–1783) A introduit la notion
de composantes de vitesse et d'accélération, l'expression
Ernst Mach
originales ; remarquable pour les modèles d'écoulement, les
mécanique des vagues à la résistance visqueuse, en particulier
celle de la sédimentation des sphères.
différentielle de la continuité et le paradoxe de la résistance
ERNST MACH(1838–1916)
nulle au mouvement non uniforme stationnaire.
L'un des pionniers dans le domaine de l'aérodynamique
supersonique.
1.11 Résumé du chapitre et guide d'étude
29
capable 1.9((suite)
ORNE REYNOLDS(1842–1912) a réalisé des expériences originales dans de
nombreux domaines, notamment sur la similarité des modèles de rivière
et la résistance des conduites ; a modifié deux paramètres pour
LUDWIG PRANDTL((1875–1953) A introduit le concept
de couche limite et est généralement considéré comme
le père de la mécanique des fluides moderne.
l'écoulement visqueux ; a adapté les ions du mouvement d'un fluide
visqueux aux ions moyens de l'écoulement turbulent.
JOHN WILLIAM STRUTT, LORD RAYLEIGH
2–1919)
hydrodynamique tigée de l'effondrement des bulles, des vagues, de l'instabilité
Osborn
des jets, des analogies avec les écoulements laminaires et de la similarité
microscopique.
CENZ STROUHAL(1850–1922)
innovations dans le domaine des machines hydrauliques. A proposé
une méthode de corrélation des données de résistance des conduites
qui est largement utilisée.
THÉODOR VON KÁRMÁN((1881–1963) L'un des chefs de file
reconnus de la mécanique des fluides du XXe siècle. Il a
apporté des contributions majeures à notre compréhension
de la résistance de surface, de la turbulence et des
a déclenché le phénomène des « fils chantants ».
phénomènes de sillage.
AR BUCKINGHAM(1867–1940) a suscité un intérêt
accru aux États-Unis pour l’utilisation de l’analyse
PAUL RICHARD HEINRICH BLASIUS
(1883–1970)
dimensionnelle.
Un des étudiants de Prandtl a fourni une solution analytique
MORITZ WEBER(1871–1951) A souligné l'utilisation des
principes de similitude dans les études d'écoulement des
fluides et a formulé un paramètre de similitude de
Ludwig Prandtl
LEWIS FERRY MOODY((1880–1953) A apporté de nombreuses
aux équations de la couche limite. Il a également démontré
que la résistance des conduites était liée au nombre de
Reynolds.
capillarité.
unUtilisé avec l'autorisation de l'IIHR—Hydroscience & Engineering, Université de l'Iowa.
Cette liste, qui présente certains de ces contributeurs, retrace le long parcours de l'histoire de la
mécanique des fluides. Elle n'est certes pas exhaustive, mais elle inclut les personnes mentionnées dans
cet ouvrage. Les chapitres suivants faisant référence aux différentes personnes citées dans le tableau 1.9,
un simple coup d'œil à ce tableau permettra de situer leur rôle dans l'histoire de la mécanique des fluides.
Il est bien sûr impossible de résumer la riche histoire de la mécanique des fluides en quelques paragraphes. Nous n'en proposons
ici qu'un bref aperçu, en espérant qu'il éveillera votre curiosité. Les références 2 à 5 constituent d'excellents points de départ pour
approfondir le sujet, et la référence 2, en particulier, offre une excellente présentation, complète et accessible. N'hésitez pas à la consulter :
vous pourriez même y prendre goût !
1.11
Résumé du chapitre et guide d'étude
Ce chapitre introductif a abordé plusieurs aspects fondamentaux de la mécanique des fluides. Les
méthodes de description des caractéristiques des fluides, tant quantitatives que qualitatives, y sont
examinées. Une description quantitative requiert des unités. Le concept de dimensions est introduit,
notamment les dimensions de base telles que la longueur,L, temps,Tet la masse,MLes dimensions servent
à décrire différentes grandeurs d'intérêt. Leur utilisation est utile pour vérifier la généralité des équations
et constitue le fondement de l'analyse dimensionnelle, un outil puissant présenté en détail au chapitre 7.
Diverses propriétés importantes des fluides sont définies, notamment la masse volumique, le poids spécifique, la
densité relative, la viscosité, le module de compressibilité, la vitesse du son, la pression de vapeur et la tension
superficielle. La loi des gaz parfaits est introduite pour établir la relation entre la pression, la température et la masse
volumique des gaz courants, ainsi qu'une brève discussion sur la compression et la détente des gaz. La distinction entre
pression absolue et pression relative est présentée. Cette notion importante est approfondie au chapitre 2.
La liste de contrôle suivante constitue un guide d'étude pour ce chapitre. Une fois l'étude complète du
chapitre et les exercices de fin de chapitre terminés, vous devriez être capable de :
■
Notez en marge la signification des termes énumérés ici et comprenez chacun des concepts associés.
Ces termes sont particulièrement importants et sont définis dansitalique, gras et couleurSaisissez le
texte.
■
déterminer les dimensions des grandeurs physiques courantes.
■
déterminer si une équation est une équation homogène générale ou restreinte.
30
Chapitre 1■ Introduction
fluide
■
Utilisez correctement les unités et les systèmes d'unités dans vos analyses et calculs.
unités
■
calculer la densité, le poids spécifique ou la gravité spécifique d'un fluide à partir de la connaissance de deux de ces
dimensions de base
dimensionnellement
homogène
densité
poids spécifique
densité
loi des gaz parfaits
pression absolue
pression manométrique
trois valeurs.
■
connaissance de deux de ces trois paramètres.
■
souche
viscosité absolue
fluide newtonien
relier la pression et la densité d'un gaz lorsqu'il est comprimé ou dilaté en utilisant les équations 1.14
et 1.15.
■
utiliser le concept de viscosité pour calculer la contrainte de cisaillement dans les écoulements de fluides simples.
■
calculer la vitesse du son dans les fluides en utilisant l'équation 1.19 pour les liquides et l'équation 1.20 pour les gaz.
■
déterminer si l'ébullition ou la cavitation se produira dans un liquide en utilisant le concept de pression de
vapeur.
condition antidérapante
taux de cisaillement
calculer la densité, la pression ou la température d'un gaz parfait (avec une constante de gaz donnée) à partir de la
■
utiliser le concept de tension superficielle pour résoudre des problèmes simples impliquant des interfaces liquide-gaz
ou liquide-solide-gaz.
Voici quelques-unes des équations importantes de ce chapitre :
non newtonien
fluide
viscosité cinématique
module de compressibilité
vitesse du son
poids spécifique
densité
pression de vapeur
tension superficielle
γ=ρg
SG=
(1.6)
ρ
(1.7)
ρH2O@4 °C
loi des gaz parfaits
p=ρRT
contrainte de cisaillement du fluide newtonien
τ=μ
du
dy
(1.9)
Eυ= −
dp
dV-V
(1.12)
module de compressibilité
(1.8)
Vitesse du son dans un gaz parfait
c=√kRT
Ascension capillaire dans un tube
h=
2σcosθ
γR
(1.20)
(1.22)
Références
1. Reid, RC, Prausnitz, JM et Sherwood, TK,Les propriétés des gaz et des liquides,3e édition,
McGraw-Hill, New York, 1977.
2. Rouse, H. et Ince, S.,Histoire de l'hydraulique,Institut de recherche hydraulique de l'Iowa, Iowa City, 1957,
Dover, New York, 1963.
3. Tokaty, Géorgie,Histoire et philosophie de la mécanique des fluides,GT Foulis and Co., Ltd., Oxfordshire, GrandeBretagne, 1971.
4. Rouse, H.,L'hydraulique aux États-Unis 1776–1976,Institut de recherche hydraulique de l'Iowa, Iowa City,
Iowa, 1976.
5. Garbrecht, G., éd.,Hydraulique et recherche hydraulique — Un aperçu historique,AA Balkema,
Rotterdam, Pays-Bas, 1987.
6. Brenner, MP, Shi, XD, Eggens, J. et Nagel, SR,Physique des fluides,Vol. 7, n° 9, 1995.
7. Shi, XD, Brenner, MP et Nagel, SR,Science,Vol. 265, 1994.
Problèmes
31
Problèmes
Remarque : À moins que des valeurs spécifiques des propriétés du fluide
requises ne soient données dans l'énoncé du problème, utilisez les valeurs
figurant dans les tableaux à l'intérieur de la couverture.
Section 1.2Dimensions, homogénéité dimensionnelle et
unités
1.10Un objet pèse 450 N à la surface de la Terre. Déterminez sa
masse en kilogrammes et son poids en newtons lorsqu'il se
trouve sur une planète où l'accélération de la pesanteur est de
23,0 ft/s².2
1.11La bouteille d'oxygène d'un alpiniste contient 1,8 lb d'oxygène lorsqu'elle est
remplie au niveau de la mer, où l'accélération de la gravité est de 32,174 ft/s².2Quel
1.1Déterminez les dimensions, dans les deux casFLTsystème et le
MLTsystème, pour(un)le produit de la masse par la vitesse,(b)le
produit de la force par le volume, et(c)énergie cinétique divisée par
la surface.
1.2Déterminez les dimensions, dans les deux casFLTsystème et le MLTsystème,
pour(un)le produit de la force par l'accélération,(b)le produit de la force par la
vitesse divisé par la surface, et(c)quantité de mouvement divisée par le
volume.
1.3SiVest une vitesse, déterminez les dimensions deZ,α, etG, qui
apparaissent dans l'équation dimensionnellement homogène
V=Z(α−1) +G
serait le poids de l'oxygène contenu dans le réservoir au sommet du mont Everest, où
l'accélération de la pesanteur est de 32,082 pieds/seconde milliseconde ?2?
1.12Le poids spécifique d'un certain liquide est de 85,3 lb/pi³3
Déterminez sa densité et sa masse volumique.
1.13Un liquide versé dans une éprouvette graduée pèse 8 N
lorsqu'il occupe un volume de 500 ml. Déterminez son poids
spécifique, sa masse volumique et sa densité relative.
1.14La densité du carburant pour réacteurs est de 685 kg/m³.3Quelle est sa
densité et son poids spécifique ?
Section 1.5Loi des gaz parfaits
1.4D'après les informations trouvées dans un ancien ouvrage d'hydraulique, la perte
d'énergie par unité de poids de fluide s'écoulant à travers une buse reliée à un tuyau
1,15Déterminez la masse d'air contenue dans un volume de 2 m³.3réservoir si l'air est
peut être estimée par la formule suivante :
à température ambiante, 20 °C, et la pression absolue à l'intérieur du réservoir est de
h= (0,04 à 0,09)(D/d)4V2/2g
200 kPa (abs).
1.16Un pneu d'un volume de 3 pieds3Le pneu contient de l'air à une pression
oùhest la perte d'énergie par unité de poids,Dle diamètre du tuyau,d le diamètre de
manométrique de 26 psi et à une température de 70 °F. Déterminez la masse
l'extrémité de la buse,Vla vitesse du fluide dans le tuyau, etgL'accélération de la
volumique de l'air et le poids de l'air contenu dans le pneu.
gravité. Pensez-vous que cette équation soit valable dans n'importe quel système
d'unités ? Expliquez.
1.5La force,PLa force exercée sur une particule sphérique se déplaçant
lentement dans un liquide est donnée par l'équation suivante :
P=3 DV
où est une propriété du fluide (viscosité) ayant les dimensions deFL−2T, D
est le diamètre des particules, etVest la vitesse de la particule. Quelles
sont les dimensions de la constante 3 ? Cette équation serait-elle une
équation homogène générale ?
1.6Pour le tableau 1.3, vérifiez les relations de conversion pour :(un)zone,
(b)densité,(c)vitesse, et(d)Poids spécifique. Utilisez les relations
de conversion de base : 1 ft = 0,3048 m ; 1 lb = 4,4482 N ; et
1 slug = 14,594 kg.
1.7Pour le tableau 1.4, vérifiez les relations de conversion pour :(un)
accélération,(b)densité,(c)pression, et(d)Débit volumique. Utilisez les
relations de conversion de base : 1 m³ = 3,2808 pi ; 1 N = 0,22481 lb ; et 1
kg = 0,068521 slug.
1.17Utilisez les données de l'annexe B pour déterminer la viscosité
dynamique du mercure à 75 °F. Exprimez votre réponse en unités BG.
1.18Le dioxyde de carbone est comprimé à une densité de 6,5 kg/m³.3
sous une pression absolue de 400 kPa. Déterminez la température en
degrés Celsius.
1.19Un réservoir d'un volume de 7 pieds3Un réservoir contient 1
livre de gaz. Un manomètre fixé au réservoir indique une pression
de 18 psi lorsque la température du gaz est de 65 °F. On ignore s'il
s'agit de dioxyde de carbone, d'oxygène ou d'azote. À votre avis, de
quel gaz s'agit-il ? Justifiez votre réponse.
1.20Un réservoir rigide contient de l'air à une pression de 90 psia et à
une température de 60 °F. De combien la pression augmentera-t-elle
lorsque la température passera à 110 °F ?
1.21L'oxygène, initialement à 30 °C et à une pression absolue de 300 kPa, subit une
détente isotherme jusqu'à une pression absolue de 120 kPa. Déterminez la masse
volumique finale du gaz.
Section 1.6Viscosité
Section 1.4Mesures de la masse et du poids des fluides
1.22Déterminez le rapport des viscosités dynamiques de l'eau et de l'air à une
1.8Un réservoir contient 375 kg d'un liquide dont la densité relative est
3.5. Déterminer le volume du liquide dans le réservoir.
1.9Un réservoir de pétrole a une masse de 47 slugs.(un)Déterminez son
poids en livres et en newtons à la surface de la Terre.(b)Quelle serait sa
masse en slugs et son poids en livres si elle se trouvait à la surface de la
Lune, où l'attraction gravitationnelle est environ six fois plus faible qu'à la
surface de la Terre ?
température de 60 °C. Comparez cette valeur au rapport correspondant des
viscosités cinématiques. On suppose que l'air est à la pression atmosphérique
normale.
1.23Une fine couche de glycérine s'écoule le long d'une plaque inclinée et
large, la distribution des vitesses étant illustrée sur la figure P1.23.h=0,3
po et,α= 20° déterminer la vitesse de surface,UNotez que, pour
l'équilibre, la composante du poids agissant parallèlement à la plaque
32
Chapitre 1■ Introduction
La surface doit être équilibrée par la force de cisaillement développée le long de la surface de
1,27Calculez les nombres de Reynolds pour l'écoulement de l'eau et de l'air à
la plaque. Dans votre analyse, supposez une largeur de plaque unitaire.
travers un tube de 9 mm de diamètre dans des conditions de vitesse moyenne
de 1,5 m/s, une température de 20 °C et une pression atmosphérique (voir
l'exemple 1.4).
1,28De l'huile SAE 30 à 95 °F s'écoule dans un tuyau de 1,2 pouce de diamètre
U
_vous_
h
U
avec une vitesse moyenne de 6 pieds/s. Déterminez la valeur du nombre de
s
vou
Reynolds (voir l'exemple 1.4).
y
α
1,29Dans un système de plaques parallèles comme celui représenté sur la
figure 1.5, lorsque la distance entre les plaques est de 3 mm, une contrainte de
2
= 2 _y_ – _y_
hh2
cisaillement de 275 Pa apparaît sur la plaque supérieure lorsqu'on la tire à une
vitesse de 1,2 m/s. Déterminez la viscosité du fluide entre les plaques.
Exprimez votre réponse en unités SI.
1.30Un arbre de 50 mm de diamètre est tiré à travers un palier cylindrique, comme
illustré sur la figure P1.30. L'huile utilisée a une viscosité cinématique de 2 × 10−4m2
■ Figure P1.23
Un fluide de 0,72 g/cm² remplit l'espace de 0,25 mm entre l'arbre et le palier.
Déterminez la force.PIl est nécessaire de tirer l'arbre à une vitesse de 2,5 m/s. On
1.24Un type de viscosimètre à cylindre rotatif, appeléStormer
viscosimètre, utilise un poids en chute libre, ,pour faire tourner le
cylindre avec une vitesse angulaire, , comme illustré sur la figure P1.24.
Pour ce dispositif, la viscosité, , du liquide est liée à et à travers
l'équation =K , oùKest une constante qui dépend uniquement de la
géométrie (y compris la profondeur du liquide) du viscosimètre. La valeur
deKest généralement déterminée à l'aide d'un liquide d'étalonnage (un
liquide de viscosité connue).
suppose que la distribution de vitesse dans l'entrefer est linéaire.
Palier
Lubrifiant
P
Arbre
(un)Les données relatives à un viscosimètre Stormer donné, obtenues avec de la
glycérine à 20 °C comme liquide d'étalonnage, sont présentées ci-dessous.
0,5 m
Représentez graphiquement les valeurs du poids en ordonnée et les valeurs de la
vitesse angulaire en abscisse. Tracez la courbe optimale passant par les points
obtenus et déterminez…Kpour le viscosimètre.
(kg)
0,22
0,66
1.10
1,54
2.20
(rév./s)
0,53
1,59
2,79
3,83
5,49
(b)On place un liquide de viscosité inconnue dans le même viscosimètre que
■ Figure P1.30
1.31Un piston ayant un diamètre de 4,3 pouces et une longueur de 6,7 pouces.
glisse vers le bas à une vitesseVà travers un tuyau vertical.
Le mouvement descendant est freiné par un film d'huile entre le piston et la paroi du
tube. L'épaisseur du film est de 0,038 mm (0,0015 pouce) et le cylindre pèse 159 g
(0,35 lb). EstimationVsi la viscosité de l'huile est de 0,0075 lbf s/ft2Supposons que la
celui utilisé dans la partie (a), et on obtient les données ci-dessous. Déterminez
distribution de vitesse dans l'espace soit linéaire.
la viscosité de ce liquide.
1,32Une couche d'eau à 25 °C s'écoule le long d'une surface fixe inclinée,
selon le profil de vitesse représenté sur la figure P1.32. Déterminez
l'amplitude et la direction de la contrainte de cisaillement exercée par
l'eau sur la surface fixe.U=1,8 m/s eth=0,08 m.
(kg)
0,04
0,11
0,22
0,33
0,44
(rév./s)
0,72
1,89
3,73
5.44
7.42
h
ω
Poids
y
vous
_vous_
U
Tournant
intérieur
Liquide
U
cylindre
2
= 2 _y_ – _y_
hh2
extérieur fixe
cylindre
■ Figure P1.32
■ Figure P1.24
Section 1.7Compressibilité des fluides
1,25Lors d'un test visant à déterminer le module de compressibilité d'un
1,33Calculez la vitesse du son en m/s pour(un)essence,(b)
mercure et(c)eau de mer.
liquide, il a été constaté que lorsque la pression absolue passait de 15 à 3000
psi, le volume diminuait de 10,240 à 10,138 pouces.3Déterminez le module de
1,34Comparez le module de compressibilité isentropique de l'air à 101 kPa
compressibilité de ce liquide.
(abs) avec celui de l'eau à la même pression.
1.26La viscosité cinématique et la densité relative d'un liquide sont de 7
10−3m2/s et 1,4, respectivement. Quelle est la viscosité dynamique du
liquide en unités SI ?
1,35Les avions de ligne à réaction volent généralement à des altitudes comprises
entre environ 0 et 40 000 pieds. Utilisez les données de l’annexe C pour montrer sur
un graphique comment la vitesse du son varie dans cette plage.
Problèmes
Section 1.8Pression de vapeur
33
La plus grande variation due à la capillarité est-elle observée ? On suppose que l'angle de contact est
le même pour les deux tubes.
1,36Lorsqu'un fluide s'écoule dans un coude prononcé, des zones de basse
pression peuvent se former localement. Estimez la pression absolue minimale
(en psia) pouvant se développer sans provoquer de cavitation si le fluide est de
1.41Estimez la surpression à l'intérieur d'une goutte de pluie ayant un
diamètre de 3 mm.
l'eau à 60 °C (140 °F). La pression sera-t-elle plus faible ou plus élevée si la
1.42Quelle est la différence entre la pression à l'intérieur d'une bulle de savon et la
température est inférieure ?
pression atmosphérique pour une bulle de 7,6 cm de diamètre ? On suppose que la
1,37Un réservoir fermé partiellement rempli contient du tétrachlorure de
tension superficielle du film de savon est égale à 70 % de celle de l'eau à 21 °C (70 °F).
carbone à 100 °F. Si l'air au-dessus de l'alcool est évacué, quelle est la pression
absolue minimale qui se développe dans l'espace ainsi libéré ? La pression
1,43Pour mesurer la profondeur de l'eau dans un grand réservoir ouvert à parois
sera-t-elle plus faible ou plus élevée si la température est inférieure ?
opaques, un tube de verre vertical ouvert est fixé sur la paroi du réservoir. La hauteur
1,38Estimer la pression absolue minimale (en pascals et atmosphères)
qui peut être développée à l'entrée d'une pompe pour éviter la cavitation
si le fluide est de l'alcool éthylique à 30 °C.
1,39Lorsqu'un fluide à 45 °C s'écoule dans une section convergente d'une
conduite, la pression diminue dans le sens de l'écoulement. Estimez la
pression absolue minimale pouvant se développer sans provoquer de
cavitation. Exprimez votre réponse en unités BG et SI.
Section 1.9Tension superficielle
1,40Un tube ouvert de 2 mm de diamètre est plongé dans un récipient contenant de
l'éthanol, et un tube similaire de 4 mm de diamètre est plongé dans un récipient contenant
de l'eau. Dans quel tube la hauteur de la colonne de liquide sera-t-elle la plus importante ?
de la colonne d'eau dans le tube sert alors à mesurer la profondeur de l'eau dans le
réservoir.(un)Pour une profondeur d'eau réelle de 3 pieds dans le réservoir, utilisez
l'équation 1.22 (avec ≃ 0°) pour déterminer l'erreur en pourcentage due àcapillarité
lorsque le diamètre du tube de verre change.Supposons une température de l'eau de
80 °F. Représentez vos résultats sur un graphique du pourcentage d'erreur en
fonction du diamètre du tube.D, dans la plage 0,1 po < D < 1,0 po.(b)Si vous souhaitez
que l'erreur soit inférieure à 1 %, quel est le plus petit diamètre de tube autorisé ?
2
Statique des fluides
Objectifs d'apprentissage
Après avoir terminé ce chapitre, vous devriez être capable de :
■
déterminer la pression en différents points d'un fluide au repos.
■
Expliquer le concept des manomètres et appliquer les équations appropriées pour déterminer les pressions.
■
calculer la force de pression hydrostatique sur une surface immergée plane ou courbe.
■
calculer la force de flottabilité et déterminer la stabilité des objets flottants ou immergés.
Dans ce chapitre, nous examinerons une classe importante de problèmes où le fluide est soit au repos, soit en
mouvement de telle sorte qu'il n'y ait pas de mouvement relatif entre les particules adjacentes. Dans les deux cas, il n'y a
pas de contraintes de cisaillement dans le fluide, et les seules forces s'exerçant sur les surfaces des particules sont dues
à la pression. Ainsi, nous nous intéresserons principalement à l'étude de la pression et de sa variation au sein du fluide,
ainsi qu'à la force exercée sur les surfaces immergées par cette variation de pression. L'absence de contraintes de
cisaillement simplifie considérablement l'analyse et, comme nous le verrons, nous permet d'obtenir des solutions
relativement simples à de nombreux problèmes pratiques importants.
2.1
Pression en un point
Comme nous l'avons brièvement évoqué au chapitre 1, le termepressionOn utilise la force normale par unité de surface
en un point donné, agissant sur un plan donné au sein de la masse de fluide considérée. Une question se pose
immédiatement : comment la pression en un point varie-t-elle en fonction de l’orientation du plan passant par ce point ?
Pour y répondre, considérons le diagramme des forces, illustré à la figure 2.1, qui représente un petit coin triangulaire
de fluide provenant d’un emplacement quelconque au sein de la masse de fluide. Puisque nous considérons une
situation en l’absence de contraintes de cisaillement, les seules forces extérieures agissant sur le coin sont la pression et
la gravité. Par souci de simplification, les forces dans lexLes directions ne sont pas indiquées, et lezL'axe étant considéré
comme l'axe vertical, le poids agit dans le sens négatif.zBien que nous nous intéressions principalement aux fluides au
repos, afin de généraliser au maximum l'analyse, nous autoriserons l'élément fluide à avoir un mouvement accéléré.
L'hypothèse de contraintes de cisaillement nulles restera valable tant que la masse fluide se déplace comme un corps
rigide ; autrement dit, il n'y a pas de mouvement relatif entre les éléments adjacents.
34
2.2 Équation fondamentale du champ de pression
35
z
θ
psδx δs
δs
pyδx δz
y
δz
θ
δx
δy
x
■ Figure 2.1
δx δy δz
γ________
2
pzδx δy
Forces agissant sur un élément de fluide arbitraire en forme de coin.
Les équations du mouvement (deuxième loi de Newton,F=mun) dans leyetzLes directions sont
respectivement,
δx δy δz
∑Fy=pyδx δz−psδx δspéchéθ=ρ
2
δx δy δz
∑Fz=pzδx δy−psδx δscosθ−γ
2
uny
=ρ
δx δy δz
2
unz
oùps,py, etpzce sont les pressions moyennes sur les faces,γetρsont respectivement le poids spécifique et la masse
volumique du fluide, etuny,unzles accélérations. Notez qu'une pression doit être multipliée par une surface
appropriée pour obtenir la force due à la pression. Il découle de la géométrie que
δy=δscosθ
δz=δspéchéθ
de sorte que les équations du mouvement peuvent être réécrites comme
py−ps=ρay2
La pression en un point
d'un fluide au repos est
indépendante
δy
pz−ps= (ρaz+γ)
direction.
δz
2
Comme nous nous intéressons réellement à ce qui se passe à un point donné, nous prenons la limite commeδx,δy,
etδz chaque zéro (tout en maintenant l'angleθ), et il s'ensuit que
py=ps
pz=ps
=py=pzL'angleθa été choisi arbitrairement, nous pouvons donc conclure queLa pression en un point d'un fluide au
repos ou en mouvement est indépendante de la direction tant qu'il n'y a pas de contraintes de cisaillement.Ce
résultat important est connu sous le nom deLa loi de Pascal,Nommé en l'honneur de Blaise Pascal (1623– ),
py=pz
mathématicien français ayant apporté d'importantes contributions à l'hydrostatique. Ainsi, comme le montre la
photographie en marge, à la jonction du côté et du fond du bécher, la pression est la même sur le côté et sur le
py
pz
fond. Au chapitre 6, il sera démontré que pour les fluides en mouvement où il existe un mouvement relatif entre les
particules (entraînant le développement de contraintes de cisaillement), la contrainte normale en un point, qui
correspond à la pression dans les fluides au repos, n'est pas nécessairement la même dans toutes les directions. Dans de
tels cas, la pression est définie comme lamoyennede trois contraintes normales mutuellement perpendiculaires
quelconques au point.
2.2
Équation fondamentale du champ de pression
Bien que nous ayons répondu à la question de la variation de la pression en un point en fonction de la direction, nous
sommes maintenant confrontés à une question tout aussi importante : comment la pression dans un fluide sans
contraintes de cisaillement varie-t-elle d’un point à l’autre ? Pour y répondre, considérons un petit rectangle
36
Chapitre 2■ Statique des fluides
( ∂z ) δxδy
∂p δ z
p+ ––– –––
2
z
δz
( ∂y ) δxδz
( ∂y∂p δy )
p+ ––– – – – δxδ z
2
∂p δy
p– ––– –––
2
γδx δyδ z
δx
δy
( ∂z ) δxδy
∂p δ z
p– ––– –––
2
k̂
y
^
je
j
x
■ Figure 2.2Forces de surface et de volume agissant sur un petit élément de fluide.
La pression peut
varient au sein d'une
particule fluide.
élément de fluide retiré d'une position arbitraire au sein de la masse de fluide d'intérêt, comme illustré
sur la figure 2.2. Deux types de forces agissent sur cet élément :forces de surfaceen raison de la pression
et d'unforce corporelleégale au poids de l'élément. D'autres types de forces volumiques, comme celles
dues aux champs magnétiques, ne seront pas abordés dans ce texte.
Si l'on désigne par la pression au centre de l'élémentp, alors la pression moyenne sur les différentes faces
peut être exprimée en fonction depet ses dérivées, comme illustré sur la figure 2.2. Nous utilisons en fait un
développement en série de Taylor de la pression au centre de l'élément pour approximer les pressions à courte
distance et négligeons les termes d'ordre supérieur qui s'annulent lorsque l'on tend vers zéro.δx,δy, etδztendent
vers zéro. Ceci est illustré par la figure en marge. Par souci de simplicité, les forces de surface dans lexLes
∂p δy
directions ne sont pas indiquées. La force de surface résultante dans leyla direction est
––––––
∂y2
δFy=(p−
p
ou
∂p δy
∂y2)
δy
–––
2
y
δx δz−
δFy= −
∂p δy
( p+ ∂y2)δz δx
∂p
δx δy δz
∂y
De même, pour lexetzles directions des forces de surface résultantes sont
δFx= −
∂p
δx δy δz
∂x
δF=
z −
∂p
δx δy δz
∂z
La force de surface résultante agissant sur l'élément peut être exprimée sous forme vectorielle comme suit :
δFs=δFˆ xje+δFyĵ+δFzk̂
Le résultat
force de surface agissant
dépend d'un petit
élément fluide
uniquement sur le
gradient de pression
s'il n'y a pas
contraintes de cisaillement
présent.
ou
δFs= −(∂x
∂p
∂p
∂p
ˆje+ ĵ+
k̂δx δy δz
∂y
∂z)
(2.1)
oùje,ĵ, etk̂sont les vecteurs unitaires le long des axes de coordonnées représentés sur la figure 2.2. Le groupe de termes entre
parenthèses dans l'équation 2.1 représente sous forme vectorielle lesgradient de pressionet peut s'écrire comme
∂p
∂p
∂p
je+
ĵ+
k̂=∇p
∂x
∂y
∂z
37
2.3 Variation de pression dans un fluide au repos
où
∇()=
∂( )
∂( )
∂( )
je+
ĵ+
k̂
∂x
∂y
∂z
et le symbole∇est lepenteou l'opérateur vectoriel « del ». Ainsi, la force surfacique résultante par unité de volume
peut être exprimée comme
δFs
δx δy δz
= −∇p
DepuiszL'axe est vertical, le poids de l'élément est
− δ k̂= −γ δx δy δzk̂
où le signe négatif indique que la force due au poids est dirigée vers le bas (dans le sens négatif)z (dans cette direction).
La deuxième loi de Newton, appliquée à l'élément fluide, peut s'exprimer comme suit :
∑δF=δmun
où∑δFreprésente la force résultante agissant sur l'élément,unest l'accélération de l'élément, etδm
est la masse de l'élément, qui peut s'écrire commeρ δx δy δzIl s'ensuit que
∑δF=δFs−δ k̂=δmun
ou
− ∇p δx δy δz−γ δx δy δzk̂=ρ δx δy δzun
et, par conséquent,
− ∇p−γk̂=ρun
(2.2)
L'équation 2.2 est l'équation générale du mouvement d'un fluide en l'absence de contraintes de
cisaillement. Nous l'utiliserons dans la section 2.12 pour étudier la distribution de pression dans un fluide
en mouvement. Pour l'instant, nous nous concentrerons toutefois sur le cas particulier d'un fluide au
repos.
2.3
Variation de pression dans un fluide au repos
Pour un fluide au reposun=0 et l'équation 2.2 se réduit à
∇p+γk̂=0
ou sous forme de composants
∂p
=0
∂x
Pour les liquides ou
gaz au repos, le
gradient de pression
∂p
=0
∂y
∂p
= −γ
∂z
(2.3)
Ces équations montrent que, pour les coordonnées définies, la pression n'est pas une fonction dexouyAinsi, lorsque nous nous déplaçons
d'un point à l'autre dans un plan horizontal (tout plan parallèle au plan horizontal), nous obtenons un résultat différent.x–yavion), la pression
ne change pas. Puisquepdépend uniquement dez, la dernière des équations 2.3 peut être écrite comme une équation différentielle ordinaire
dans la verticale
dans n'importe quelle direction
Le point dans un fluide
dépend uniquement de
le poids spécifique
du fluide à ce
point.
dp
= −γ
dz
(2.4)
L'équation 2.4 est l'équation fondamentale des fluides au repos et permet de déterminer la variation de
pression en fonction de l'altitude. Cette équation et la figure en marge indiquent que le gradient de pression
vertical est négatif ; autrement dit, la pression diminue lorsqu'on s'élève dans un fluide au repos. Il n'y a aucune
condition queγsoit une constante. Ainsi, cela est valable pour les fluides à poids spécifique constant, tels que les
liquides, ainsi que pour les fluides dont le poids spécifique peut varier avec l'altitude.
38
z
Chapitre 2■ Statique des fluides
p
dp
– – – = –Δ–– = −γ
dz Δz
comme l'air ou d'autres gaz. Cependant, pour procéder à l'intégration de l'équation 2.4, il est nécessaire de
préciser comment le poids spécifique varie avecz.
Si le fluide est en mouvement (c'est-à-dire non au repos)un=0), alors la variation de pression est généralement
beaucoup plus complexe que celle donnée par l'équation 2.4. Par exemple, la répartition de la pression sur votre voiture
lorsqu'elle roule sur la route varie de manière complexe avecx,y, etzCette idée est abordée en détail dans les chapitres 3,
6 et 9.
p
2.3.1 Fluide incompressible
La pression augmente avec
altitude décroissante
Étant donné que le poids spécifique est égal au produit de la masse volumique du fluide et de l'accélération due à la gravité (γ=ρg
), changements dansγsont causées par un changement dans l'un ou l'autre desρougPour la plupart des applications d'ingénierie,
la variation degLa variation de la densité du fluide est négligeable, notre principale préoccupation porte donc sur les variations
possibles de sa masse volumique. En général, un fluide de densité constante est appelé un fluide isostatique.fluide
incompressible.Pour les liquides, la variation de densité est généralement négligeable, même pour de grandes variations de
pression ; l’hypothèse d’un poids spécifique constant est donc généralement valable. Dans ce cas, l’équation 2.4 peut être
directement intégrée.
∫ dp= −γ∫
p2
p1
z2
z1
dz
céder
p2−p1= −γ(z2−z1)
ou
p1−p2=γ(z2−z1)
(2.5)
oùp1etp2sont les pressions aux élévations verticalesz1etz2, comme l'illustre la figure 2.3.
L'équation 2.5 peut être écrite sous forme compacte
Pennsylvanie=0
UN=1 pouce2
p1−p2=γh
(2.6)
p1=γh+p2
(2.7)
ou
oùhest la distance,z2−z1, qui est la profondeur du fluide mesurée vers le bas à partir de l'emplacement dep2Ce type de
23,1 pieds
répartition de la pression est communément appelé unedistribution hydrostatique,L'équation 2.7 montre que, dans un
=10 lb
fluide incompressible au repos, la pression varie linéairement avec la profondeur. La pression doit augmenter avec la
profondeur pour maintenir le fluide situé au-dessus.
On peut également observer, d'après l'équation 2.6, que la différence de pression entre deux points peut être
spécifiée par la distance.hdepuis
Eau
h=
p1−p2
γ
Pennsylvanie=10 lb
surface libre
(pression =p0)
p2
z
h=z2–z1
z2
p1
z1
y
x
■ Figure 2.3
Notation pour la variation de pression
dans un fluide au repos avec une surface libre.
39
2.3 Variation de pression dans un fluide au repos
Dans ce cashest appelé letête de pressionet est interprétée comme la hauteur d'une colonne de fluide de poids
spécifiqueγnécessaire pour donner une différence de pressionp1−p2Par exemple, une différence de pression de
10 psi peut être spécifiée en termes de hauteur manométrique comme étant de 23,1 pieds d'eau (γ=62,4 lb pi3),
ou 518 mm de Hg (γ=133 kN m3). Comme l'illustre la figure en marge, une colonne d'eau de 23,1 pieds de haut
avec une section transversale de 1 pouce.2pèse 10 lb.
LE VASTE MONDE DES FLUIDES
La pression artérielle de la girafeLe long cou de la girafe lui permet de brouter jusqu'à 6 m au-
Au niveau des pattes, les girafes possèdent une épaisse couche de peau recouvrant leurs
dessus du sol. Elle peut également baisser la tête pour boire au niveau du sol. Ainsi, son système
membres inférieurs, agissant comme un bandage élastique, à l'instar des combinaisons
circulatoire présente un impact significatif. pression hydrostatiqueL'effet de ce changement
anti-G des pilotes de chasse. De plus, des valves situées dans la partie supérieure du cou
d'altitude est important. Pour maintenir la circulation sanguine vers sa tête malgré cette variation
empêchent le sang de refluer vers la tête lorsque la girafe baisse la tête au niveau du sol.
d'altitude, la girafe doit conserver une pression artérielle relativement élevée au niveau du cœur,
On pense également que les vaisseaux sanguins des reins de la girafe sont dotés d'un
environ deux fois et demie supérieure à celle de l'homme. Afin d'éviter la rupture des vaisseaux
mécanisme spécifique permettant de limiter les variations importantes du débit de
sanguins dans cette zone de haute pression, la girafe doit maintenir une pression artérielle
filtration lorsque la pression artérielle augmente ou diminue en fonction des mouvements
relativement élevée au niveau du cœur.
de sa tête. (Voir Problème 2.17.)
Lorsqu'on travaille avec des liquides, il existe souvent une interface liquide-vapeur que l'on appelle
surface libre, comme illustré sur la figure 2.3, et il est pratique d'utiliser cette surface comme plan de référence.
La pression de référencep0correspondrait à la pression agissant sur la surface libre (qui serait fréquemment la
pression atmosphérique). Si nous laissonsp2=p0L'équation 2.7 indique que la pressionpà n'importe quelle
profondeurh sous la surface libre est donnée par l'équation :
p=γh+p0
(2.8)
Comme le démontrent les équations 2.7 et 2.8, la pression dans un fluide homogène et
incompressible au repos ne dépend que de la profondeur du fluide par rapport à un plan de référence.
pasinfluencé par letailleouformedu récipient contenant le fluide. Ainsi, sur la figure 2.4, la pression est la
même en tout point de la ligneAB, même si les récipients ont des formes très irrégulières. La valeur réelle
de la pression le longABdépend uniquement de la profondeur,h, la pression de surface,p0et le poids
spécifique,γ, du liquide contenu dans le récipient.
surface du liquide
(p=p0)
h
UN
B
Poids spécifique γ
■ Figure 2.4Pression des fluides dans des
récipients de forme quelconque.
40
Chapitre 2■ Statique des fluides
EXEMPLE 2.1
Relation pression-profondeur
DONNÉEn raison d'une fuite dans un réservoir de stockage d'essence
Ouvrir
enterré, l'eau s'est infiltrée jusqu'à la profondeur indiquée sur la figure E2.1.
La densité de l'essence est de :SG=0,68.
TROUVERDéterminez la pression à l'interface essence-eau et au
fond du réservoir. Exprimez la pression en lb-pi.2, lb en.2et
sous forme de hauteur de pression en pieds d'eau.
17 pieds
Essence
SOLUTION
(1)
Eau
(2)
Puisqu'il s'agit de liquides au repos, la distribution de pression sera
3 pieds
■ Figure E2.1
hydrostatique, et par conséquent la variation de pression peut être
déterminée à partir de l'équation :
p=γh+p0
On note qu'une colonne d'eau rectangulaire mesure 11,6 pieds de haut et 1 pied de large.2
sa section transversale pèse 721 lb. Une colonne similaire avec un diamètre de 1 pouce.2
Avecp0correspondant à la pression à la surface libre de
l'essence, alors la pression à l'interface est
la section transversale pèse 5,01 lb.
Nous pouvons maintenant appliquer la même relation pour déterminer la
p1= (SG) (γH2O)h+p0
pression au fond du réservoir ; c'est-à-dire,
p2=γH2OhH2O+p1
= (62,4 lb pi3) (3 pi) + 721 lb pi2
=908 lb pi2
= (0,68) (62,4 lb pi)3) (17 pi) +p0
=721 +p0(lb pi)2)
Si l'on mesure la pression par rapport à la pression atmosphérique (pression
relative), il s'ensuit quep0= 0, et par conséquent
p1= 721 lb pi2
p1 =
p1
γH2O
La transmission
de pression
tout au long d'un
fluide stationnaire
est le principe
=
(Réponse)
721 lb pi2
144 pouces2
721 lb
=5,01 lb en2
(Réponse)
pieds2
p2=
908 lb pi2
144 pouces2
=6,31 lb en.2
(Réponse)
(Réponse)
pieds2
p2=
908 lb
γH2O
62,4 lb pi3
pieds2
=14,6 pieds
(Réponse)
COMMENTAIRERemarquons que si nous voulons exprimer ces pressions en termes deabsoluPour
tenir compte de la pression, il faudrait ajouter la pression atmosphérique locale (exprimée dans les
pieds2
62,4 lb pi3
=11,6 pieds
(Réponse)
unités appropriées) aux résultats précédents. Une discussion plus approfondie de la pression
relative et de la pression absolue est présentée dans la section 2.5.
L'égalité requise des pressions à des altitudes égales dans l'ensemble d'un système est importante pour le
fonctionnement des vérins hydrauliques (voir Fig. 2.5).un), des ascenseurs et des presses, ainsi que des commandes
hydrauliques sur les aéronefs et autres types de machines lourdes. Le principe de base de ces dispositifs et systèmes est
illustré à la figure 2.5.bUn piston situé à une extrémité d'un système fermé rempli d'un liquide, tel que de l'huile, peut
être utilisé pour modifier la pression dans l'ensemble du système et ainsi transmettre une force appliquée. F1à un
sur lesquels beaucoup
deuxième piston où la force résultante estF2. Étant donné la pressionpL'action agissant sur les faces des deux pistons
dispositifs hydrauliques
étant identique (l'effet des variations d'altitude est généralement négligeable pour ce type de dispositif hydraulique), il
sont basés.
s'ensuit queF2= (UN2UN1)F1La zone du pistonUN2peut être fabriqué beaucoup plus grand queUN1On peut ainsi obtenir
un avantage mécanique important ; autrement dit, une faible force appliquée sur le petit piston permet de générer une
force importante sur le grand piston. Cette force peut être appliquée manuellement à l’aide d’un dispositif mécanique,
comme un cric hydraulique, ou par de l’air comprimé agissant directement sur la surface du liquide, comme c’est le cas
pour les ponts élévateurs hydrauliques que l’on trouve couramment dans les stations-service.
2.3.2 Fluide compressible
On considère généralement que les gaz tels que l'air, l'oxygène et l'azote sontfluides compressiblesEn effet, la
densité du gaz peut varier considérablement pour de faibles variations de pression et de température. Ainsi,
bien que l'équation 2.4 s'applique en un point du gaz, il est nécessaire de tenir compte des variations possibles
deγavant que l'équation puisse être intégrée. Cependant, comme indiqué au chapitre 1, le cas particulier
41
2.3 Variation de pression dans un fluide au repos
UN2
F2=Pennsylvanie2
F1=Pennsylvanie1
UN2
UN1
UN1
(un)
(b)
■ Figure 2.5(un) Cric hydraulique, (b) Transmission de la pression du fluide.
Le poids des gaz courants est faible comparé à celui des liquides. Par exemple, le poids spécifique de l'air
au niveau de la mer et à 60 °F est de 0,0763 lb pi³3, alors que le poids spécifique de l'eau dans les mêmes
conditions est de 62,4 lb pi³3Étant donné que le poids spécifique des gaz est relativement faible, l'équation
2.4 implique que le gradient de pression vertical est également faible, et que, même sur des distances de
plusieurs centaines de mètres, la pression d'un gaz reste pratiquement constante. On peut donc négliger
l'influence de l'altitude sur la pression des gaz stationnaires dans les réservoirs, les canalisations, etc.,
lorsque les distances concernées sont faibles.
Dans les situations où les variations de hauteur sont importantes, de l'ordre de plusieurs
milliers de pieds, il convient de tenir compte de la variation du poids spécifique. Comme décrit au
chapitre 1, l'équation d'état d'un gaz parfait est :
p=ρRT
Si le spécifique
Le poids d'un fluide varie
oùpest la pression absolue,Rest la constante des gaz parfaits, etTest la température absolue. Cette relation peut
être combinée avec l'équation 2.4 pour donner
dp
gp
=−
dz
RT
de manière significative
à mesure que nous passons de
point par point, la
pression ne sera pas
plus de variation linéaire
avec de la profondeur.
et en séparant les variables
∫ dpp =ln pp = − Rg∫ dzT
p2
p1
Est
othermique
p2/p1
1
z1
(2.9)
oùgetRsont supposées constantes sur la variation d'altitude dez1àz2Bien que l'accélération de la gravité,g,
varie avec l'altitude, mais la variation est très faible (voir les tableaux C.1 et C.2 de l'annexe C), etgon
suppose généralement qu'elle reste constante à une valeur moyenne pour la plage d'altitude concernée.
1
0,8
0,6
z2
2
Avant de procéder à l'intégration, il faut préciser la nature de la variation de température
avec l'altitude. Par exemple, si l'on suppose que la température a une valeur constanteT0sur la
gammez1àz2(isothermeconditions), il découle alors de l'équation 2.9 que
Incomp responsable
0
5000 10 000
z2–z1,ft
p2=p1exp[−
g(z2−z1)
RT0
]
(2.10)
42
Chapitre 2■ Statique des fluides
Cette équation fournit la relation pression-altitude recherchée pour une couche isotherme. Comme illustré dans
la figure en marge, même pour une variation d'altitude de 3 048 m (10 000 ft), la différence entre les résultats à
température constante (isotherme) et ceux à densité constante (incompressible) reste relativement faible. Pour
des conditions non isothermes, une procédure similaire peut être appliquée si la relation température-altitude
est connue, comme expliqué dans la section suivante.
EXEMPLE 2.2
Incompressible et isoth
ariations
DONNÉEn 2010, le plus haut bâtiment du monde, le gratte-ciel
Burj Khalifa, a été achevé et inauguré aux Émirats arabes unis.
Sa hauteur finale, restée secrète jusqu'à la fin des travaux, est
de 828 mètres (2 717 pieds).
TROUVER(un)Estimez le rapport entre la pression au sommet du
bâtiment (à 2717 pieds) et la pression à sa base, en supposant que l'air
soit à une température commune de 59 °F.(b)Comparez la pression
calculée dans la partie (a) avec celle obtenue en supposant que l'air est
incompressible.γ= 0,0765 lb pi3à 14,7 psi (abs) (valeurs pour l'air dans
des conditions standard au niveau de la mer).
SOLUTION
(un)Dans les conditions isothermes supposées, et en considérant l'air comme un fluide
compressible, l'équation 2.10 peut être appliquée pour obtenir
p2
g(z2 − z1)
=exp [−
p1
RT0 ]
=exp {−
(32,2 pi s2) (2717 pieds)
(1716 pieds)˙lb slug˙°R)[(59 + 460)°R]}
=0,906
(Réponse)
(b)Si l'air est considéré comme un fluide incompressible, on peut appliquer
l'équation 2.5. Dans ce cas
p2=p1−γ(z2−z1)
■ Figure E2.2
ou
(Figure reproduite avec l'aimable autorisation de
Emaar Properties, Dubaï, Émirats Arabes Unis.)
p2= 1 −
p1
=1 −
γ(z2 − z1)
p1
(0,0765 lb pi)3) (2717 pieds)
(14,7 lb en.2) (144 po.2pieds2)
On constate que, pour les deux calculs, la pression diminue d'environ 10 %
=0,902(Réponse)
lorsqu'on passe du niveau du sol au sommet de ce plus haut bâtiment. Une faible
différence de pression suffit à maintenir en équilibre une colonne de fluide aussi
légère que l'air, haute de 828 mètres (2 717 pieds). Ce résultat confirme
COMMENTAIRES
Notez qu'il y a peu de différence entre
l'affirmation précédente selon laquelle les variations de pression dans l'air et les
Les deux résultats sont cohérents. La différence de pression entre le
autres gaz dues aux changements d'altitude sont très faibles, même sur des
bas et le haut du bâtiment étant faible, la variation de densité du fluide
distances de plusieurs centaines de mètres. Par conséquent, les différences de
l'est également et, par conséquent, les analyses de fluide compressible
pression entre le haut et le bas d'une conduite horizontale transportant un gaz, ou
et de fluide incompressible aboutissent à un résultat sensiblement
dans un réservoir de stockage de gaz, sont négligeables, les distances en jeu étant
identique.
très faibles.
2.4
Atmosphère standard
Une application importante de l'équation 2.9 concerne la variation de pression dans l'atmosphère terrestre. Idéalement,
nous souhaiterions disposer de mesures de pression en fonction de l'altitude sur une plage spécifique, pour des
conditions particulières (température, pression de référence) permettant de déterminer la pression.
43
2.4 Atmosphère standard
Cependant, ce type d'information est généralement indisponible. C'est pourquoi une « atmosphère standard » a été
La norme
définie, utilisable pour la conception d'aéronefs, de missiles et d'engins spatiaux, ainsi que pour la comparaison de leurs
l'atmosphère est
performances dans des conditions standard. Le concept d'atmosphère standard a été développé dans les années 1920,
un idéal
représentation de
et depuis lors, de nombreux comités et organisations nationaux et internationaux ont œuvré à son élaboration.
conditions moyennes
L'atmosphère standard actuellement acceptée repose sur un rapport publié en 1962 et mis à jour en 1976 (voir
dans la terre
références 1 et 2), définissant ce que l'on appelle l'atmosphère standard.atmosphère standard américaine,qui est une
atmosphère.
représentation idéalisée des conditions moyennes annuelles de l'atmosphère terrestre aux latitudes moyennes.
Plusieurs propriétés importantes des conditions atmosphériques standard àniveau de la mersont répertoriées dans le
tableau 2.1, et la figure 2.6 montre le profil de température de l'atmosphère standard américaine. Comme le montre
cette figure, la température diminue avec l'altitude dans la région la plus proche de la surface terrestre (troposphère),
puis devient essentiellement constant dans la couche suivante (stratosphère), et augmente ensuite dans la couche
300
suivante. Les phénomènes typiques qui se produisent dans l'atmosphère sont illustrés dans la figure en marge.
Navette spatiale
Puisque la variation de température est représentée par une série de segments linéaires, il est possible d'intégrer
150
l'équation 2.9 pour obtenir la variation de pression correspondante. Par exemple, dans la troposphère, qui s'étend
jusqu'à une altitude d'environ 11 km (∼36 000 pieds), la variation de température est de la forme
T=Tun−βz
(2.11)
oùTunest la température au niveau de la mer (z=0) etβest letaux de gradation(le taux de variation de la
température avec l'altitude). Pour l'atmosphère standard dans la troposphère,β= 0,00650 K/m ou 0,00357
°R ft.
100
Météore
■ Tableau 2.1
50
Propriétés de l'atmosphère standard américaine au niveau de la mer*
couche d'ozone
orage
Avion commercial
Propriété
Unités SI
Unités BG
Température,T
288,15 K (15 °C)
Pression,p
101,33 kPa (abs)
518,67 °R (59,00 °F)
2116,2 lb pi2(abs)
[14,696 lb po.2[abs]
Mont.
Densité,ρ
1,225 kg m3
Poids spécifique,γ
12,014 N m3
Viscosité,μ
1,789×10−5N∙sm2
0,002377 slugs ft3
0,07647 lb pi3
3,737×10−7kg∙s pieds2
- 2.5°C
* Accélération de la gravité au niveau de la mer = 9,807 m/s2= 32,174 pi s2.
50
47,3 km
(p = 0,1 kPa)
- 44,5 °C
Everest
40
32,2 km (p = 0,9 kPa)
30
20
Stratophoreavant
- 56,5°C
0
Altitudez, km
Altitudez, km
Aurore
10
20,1 k m (p=5,5 k
Pennsylvanie)
11,0 k m (p=22.6
kPa)
p=101,3 kPa (abs)
15 °C
Troposph avant
0
- 100
- 80
- 60
- 40
TempératureT,°C
- 20
0
+ 20
■ Figure 2.6
Variation de
température en fonction de l'altitude dans
l'atmosphère standard américaine.
44
Chapitre 2■ Statique des fluides
L'équation 2.11 utilisée avec l'équation 2.9 donne
p=pun(1 −
βz g Rβ
T)un
(2.12)
oùpunest la pression absolue àz=0. Avecpun,Tun, etgobtenu à partir du tableau 2.1, et avec la constante des gaz parfaitsR=
286,9 J kg∙K ou 1716 pieds∙lb slug∙La variation de pression dans la troposphère peut être déterminée à partir de
l'équation 2.12. Ce calcul montre qu'à la limite extérieure de la troposphère, où la température est de −56,5 °C (−69,7 °F),
la pression absolue est d'environ 23 kPa (3,3 psia). Il est à noter que les avions de ligne modernes volent à une altitude
de croisière proche de cette altitude. Les pressions à d'autres altitudes sont présentées sur la figure 2.6, et les valeurs
tabulées de la température, de l'accélération de la pesanteur, de la pression, de la masse volumique et de la viscosité
pour l'atmosphère standard américaine sont données dans les tableaux C.1 et C.2 de l'annexe C.
La pression est
désigné comme
soit absolu
pression ou manomètre
pression.
Mesure de la pression
De nombreux dispositifs et techniques ont été mis au point pour mesurer la pression, car celle-ci est essentielle à
la compréhension de la mécanique des fluides et à la résolution de problèmes pratiques. Comme indiqué
brièvement au chapitre 1, la pression en un point d'une masse de fluide est exprimée soit en…absolu pression
ou unjaugepression.La pression absolue se mesure par rapport au vide parfait (zéro absolu), tandis que la
pression relative se mesure par rapport à la pression atmosphérique locale. Ainsi, une pression relative nulle
correspond à une pression égale à la pression atmosphérique locale. Les pressions absolues sont toujours
positives, mais les pressions relatives peuvent être positives ou négatives selon qu'elles sont supérieures (valeur
positive) ou inférieures (valeur négative) à la pression atmosphérique. Une pression relative négative est
également appelée pression relative négative.succionou videpression.Par exemple, une pression de 10 psi (abs)
peut s'exprimer comme −4,7 psi (relative) si la pression atmosphérique locale est de 14,7 psi, ou encore comme
une dépression de 4,7 psi ou un vide de 4,7 psi. La notion de pression relative et de pression absolue est illustrée
graphiquement sur la figure 2.7 pour deux pressions typiques, mesurées aux points 1 et 2.
Outre la référence utilisée pour la mesure de la pression, leunitésLes unités utilisées pour exprimer la valeur sont
évidemment importantes. Comme décrit dans la section 1.5, la pression est une force par unité de surface, et son unité
dans le système BG est le lb-ft.2ou lb en.2, généralement abrégés respectivement psf ou psi. Dans le système SI, les
unités sont N m2; cette combinaison est appelée le pascal et s'écrit Pa (1 N m2≡1 Pa). Comme indiqué précédemment, la
pression peut également être exprimée en fonction de la hauteur d'une colonne de liquide. Dans ce cas, les unités se
réfèrent à la hauteur de la colonne (pouces, pieds, millimètres, mètres, etc.) et il faut également préciser la nature du
liquide dans la colonne (H).2O, Hg, etc.). Par exemple, la pression atmosphérique standard peut être exprimée comme
760 mm Hg (abs).Dans ce texte, les pressions seront considérées comme des pressions relatives, sauf indication
contraire expresse.Par exemple, 10 psi ou 100 kPa correspondent à des pressions relatives, tandis que 10 psia ou 100
kPa (abs) correspondent à des pressions absolues. Il est à noter quedifférences de pressionsont indépendantes de la
référence, de sorte qu'aucune notation spéciale n'est requise dans ce cas.
1
Pression manométrique à 1
Pression
2.5
Atmosphère locale
référence de pression
2
Pression manométrique
Pression absolue
@1
à 2 (aspiration ou vide)
Pression absolue
@2
Référence au zéro absolu
■ Figure 2.7Représentation graphique de la pression
relative et de la pression absolue.
45
2.5 Mesure de la pression
pvapeur
UN
h
pATM
B
Mercure
■ Figure 2.8Baromètre à mercure.
La mesure de la pression atmosphérique s'effectue généralement à l'aide d'un manomètre à mercure.
baromètre, Ce dispositif, dans sa forme la plus simple, consiste en un tube de verre fermé à une extrémité, l'autre
Eau
extrémité étant immergée dans un récipient de mercure, comme illustré sur la figure 2.8. Le tube est initialement rempli
de mercure (son extrémité ouverte vers le haut), puis retourné (extrémité ouverte vers le bas), l'autre extrémité étant
alors plongée dans le mercure. La colonne de mercure atteint une position d'équilibre où son poids, augmenté de la
force due à la pression de vapeur (qui se développe dans l'espace au-dessus de la colonne), compense la force due à la
pression atmosphérique. Ainsi,
pATM=γh+pvapeur
(2.13)
oùγest le poids spécifique du mercure. Dans la plupart des applications pratiques, la contribution de la pression
de vapeur peut être négligée car elle est très faible [pour le mercure, le fluide le plus couramment utilisé dans
les baromètres,pvapeur= 0,000023 lb po.2(abs) à une température de 68 °F], de sorte quepATM≈γhIl est d'usage
d'exprimer la pression atmosphérique en fonction de l'altitude.hLa hauteur de la colonne de mercure est
exprimée en millimètres ou en pouces de mercure. Notez que si l'on utilisait de l'eau à la place du mercure, la
Mercure
hauteur de la colonne serait d'environ 34 pieds (10,4 m) au lieu de 29,9 pouces (76 cm) pour une pression
atmosphérique de 14,7 psia (1 bar). Ce calcul est à l'échelle sur la figure en marge. Le principe du baromètre à
mercure est ancien ; son invention est attribuée à Evangelista Torricelli vers 1644.
EXEMPLE 2.3
Pression barométrique
DONNÉUn lac de montagne a une température moyenne de 10 °C et
TROUVERDéterminez la pression absolue (en pascals) à l'endroit le plus
une profondeur maximale de 40 m. La pression barométrique est de
profond du lac.
598 mm Hg.
SOLUTION
La pression dans le lac à n'importe quelle profondeur,h, est donnée par l'équation
p=γh+p0
oùp0est la pression à la surface. Puisque nous voulons la pression
absolue,p0sera la pression barométrique locale exprimée dans un
D'après le tableau B.2,γH2O= 9,804 kN m3à 10 °C et donc
p= (9,804 kN m3) (40 m) + 79,5 kN m2
=392 kN m2+ 79,5 kN m2
=472 kPa (abs)
(Réponse)
système d'unités cohérent ; c'est-à-dire
pbarométrique= 598 mm = 0,598 m
γHg
et pourγHg= 133 kN m3
p0= (0,598 m) (133 kN m3) = 79,5 kN m2
COMMENTAIRECe simple exemple illustre la nécessité de porter une attention
particulière aux unités utilisées dans le calcul de la pression ; autrement dit, veillez
à utiliser une unité appropriée.cohérentsystème d'unités, et veillez à ne pas ajouter
une hauteur de pression (m) à une pression (Pa).
46
Chapitre 2■ Statique des fluides
LE VASTE MONDE DES FLUIDES
Météo, baromètres et barsL'un des indicateurs les plus importants des conditions
1914 et défini comme 105N/m2La définition d'un bar est probablement liée au fait
météorologiques estpression atmosphérique.En général, une baisse de pression
que la pression atmosphérique standard au niveau de la mer est de 1,0133 bar.×10
atmosphérique indique du mauvais temps ; une hausse de pression, du beau
5N/m2Autrement dit, légèrement supérieure à un bar. En conditions
temps. Lors des bulletins météo télévisés du soir aux États-Unis, la pression
météorologiques typiques, la pression atmosphérique « équivalente au niveau de
atmosphérique est exprimée en pouces (généralement autour de 30 pouces). Cette
la mer » reste proche d'un bar. Cependant, lors de phénomènes météorologiques
valeur correspond en réalité à la hauteur de la colonne de mercure dans un
extrêmes tels que les tornades, les ouragans ou les typhons, des variations
thermomètre à mercure.baromètreajustée au niveau de la mer. Pour déterminer la
importantes peuvent survenir. La pression atmosphérique la plus basse jamais
pression atmosphérique réelle à un endroit précis, il faut connaître l'altitude par
enregistrée au niveau de la mer a été associée au typhon Tip, dans l'océan
rapport au niveau de la mer. Une autre unité utilisée par les météorologues pour
Pacifique, le 12 octobre 1979. Sa valeur était de 0,870 bar (25,8 pouces de mercure).
indiquer la pression atmosphérique est le mètre cube (m³/s).bar, utilisé pour la
(Voir le problème 2.24.)
première fois dans les bulletins météorologiques en
2.6
manométrie
Les manomètres sont utilisés
vertical ou incliné
colonnes liquides à
mesurer la pression.
Une technique standard de mesure de la pression consiste à utiliser des colonnes de liquide dans des
tubes verticaux ou inclinés. Les appareils de mesure de pression basés sur cette technique sont appelés
manomètres.Le baromètre à mercure est un exemple de manomètre, mais il existe de nombreuses
autres configurations possibles selon l'application. Parmi les manomètres les plus courants, on trouve le
manomètre piézométrique, le manomètre en U et le manomètre à tube incliné.
1 Tube piézométrique
Tube ouvert en haut
Le type de manomètre le plus simple se compose d'un tube vertical, ouvert à son extrémité supérieure, et
fixé au fluide dans lequel on souhaite mesurer la pression, comme illustré sur la figure 2.9.
La figure montre un appareil important dont le fonctionnement repose sur ce principe. Il s'agit d'un
sphygmométeur, l'instrument traditionnel utilisé pour mesurer la pression artérielle.
Colonne de
mercure
Étant donné que les manomètres impliquent des colonnes de fluides au repos, l'équation fondamentale décrivant leur fonctionnement est
l'équation 2.8.
Conteneur de
mercure
Manchette de bras
p=γh+p0
h donne la pression à une altitude quelconque au sein d'un fluide homogène en fonction d'une
pression de référence. p0et la distance verticalehentrepetp0N'oubliez pas que dans un fluide au
repos, la pression augmenter avec la profondeurL'application de cette équation au tube piézométrique
de la figure 2.9 indique que la pressionpUNpeut être déterminé par une mesure deh1à travers la relation
pUN=γ1h1
oùγ1est le poids spécifique du liquide dans le récipient. Notez que, puisque le tube est ouvert en haut, la
pressionp0peut être égal à zéro (nous utilisons maintenant la pression relative), avec la hauteurh1
mesuré depuis la surface supérieure jusqu'au point (1). Puisque le point (1) et le pointUNÀ l'intérieur du conteneur, les éléments
sont à la même altitude.pUN=p1.
Ouvrir
h1
γ1
UN
(1)
■ Figure 2.9
Tube piézométrique.
47
2.6 Manométrie
Ouvrir
γ1
UN
h2
(1)
h1
(2)
(3)
γ2
(jauge
fluide)
■ Figure 2.10Manomètre simple à tube en U.
Bien que le tube piézométrique soit un appareil de mesure de pression très simple, il présente
plusieurs inconvénients. Il ne convient que si la pression dans le récipient est supérieure à la pression
atmosphérique (sinon, de l'air serait aspiré dans le système), et la pression à mesurer doit être
relativement faible afin que la hauteur de la colonne soit raisonnable. De plus, le fluide contenu dans le
récipient où la pression doit être mesurée doit être un liquide et non un gaz.
2.6.2 Manomètre à tube en U
La fabrication du tube manométrique en forme de U, comme illustré sur la figure 2.10, offre la possibilité d'introduire un
jauge de fluideavec un poids spécifique supérieur à celui du fluide contenu dans le récipient où la pression doit être
mesurée. La première et la plus évidente des fonctionnalités offertes par l'introduction de la forme en U avec un fluide
manométrique est la possibilité de mesurer la pression d'un gaz. Là encore, la pression à mesurer,pUNest lié à la hauteur
des colonnes. Une valeur numérique peut être calculée par application répétée de l'équation 2.8. La séquence
d'équations suivante est générée en effectuant un parcours imaginaire à travers le manomètre.pUNà l'extrémité ouverte,
et en appliquant à plusieurs reprises l'équation 2.8.
étape 1 :
p1=pUN(même altitude)
étape 2 :
p2=p1+γ1h1=pUN+γ1h1
étape 3 :
p3=p2
étape 4 :
pATM=p3+γ2(−h2) =pUN+γ1h1−γ2h2
ou
pUN=pATM−γ1h1+γ2h2
Ce processus peut être codifié en un simplerègle du manomètreen rappelant les implications de l'équation 2.8 :
1.Inscrivez la pression à chaque extrémité du manomètre ;
2.Passez par le manomètre en ajoutantγhsi l'on descend plus profondément ou si l'on soustraitγhsi vous descendez à
une profondeur moindre ;
3.Arrêtez-vous à l'extrémité opposée, ou à n'importe quel point intermédiaire, et égalisez l'expression à la pression locale.
La contribution
colonnes de gaz
dans les manomètres
généralement négligeable
car le poids du gaz
est très faible.
Si vous commencez à appliquer la règle du manomètre à l'extrémité « absente » de celui-ci, l'équation
recherchée s'obtient en une seule étape. Pour le manomètre de la figure 2.10 :
pATM+γ2h2−γ1h1=pUN
(2.14)
Une réflexion sur ce résultat permet de dégager rapidement deux conclusions utiles. Premièrement, si la
pression à mesurer s'exerce sur un gaz,γ2>>γ1, donc à une très bonne approximation :pUN=pATM+γ2h2, le même
résultat que celui obtenu pour le piézomètre. Deuxièmement, nous pouvons ajuster la sensibilité, et donc la
résolution et la plage de mesure, de l'appareil de mesure de pression. Augmenter la densité du fluide
caloporteur permet de mesurer des pressions beaucoup plus élevées, mais au détriment de la résolution.
Diminuer la densité du fluide caloporteur limite la plage de mesure de pression, mais augmente la résolution.
Les fluides caloporteurs les plus courants sont l'eau, le mercure (SG≈13,6), et le pétrole (SG≈0,8).
48
Chapitre 2■ Statique des fluides
EXEMPLE 2.4
Manomètre simple en tube en U
Pression
DONNÉUn réservoir fermé contient de l'air comprimé et de l'huile (SGhuile=
jauge
0,90) comme le montre la figure E2.4. Un manomètre à tube en U utilisant
du mercure (SGHg= 13,6) est relié au réservoir comme indiqué. Les hauteurs
Air
des colonnes sonth1= 36 pouces,h2= 6 pouces, eth3= 9 pouces
TROUVERDéterminez la lecture de pression (en psi) du manomètre.
Ouvrir
h1
SOLUTION
Huile
En appliquant la règle du manomètre, en commençant par l'extrémité ouverte du
h3
manomètre :
h2
pATM+γHgh3−γhuileh2−γhuileh1=pAir
(1)
La variation hydrostatique de pression dans l'air a été négligée
car sa densité est bien inférieure à celle des liquides. Par
convention, sauf indication contraire, les pressions sont
exprimées en pression relative.
pAir= 0 + (SGHg) (γH2O) h3+ (SGhuile) (γH O) (−h2−h1)
kg
9
6 + 36
pAir=(62,4
. 6)
ft) − (0,9)( 12
ft)]
pieds3)[(13
(12
kg
1 pied
pAir= 440
×
=3,06 psi
(Réponse)
du manomètre qui importe.
Supposons que la pression relative reste à 3,06 psi, mais que le
manomètre soit modifié pour ne contenir que de l'huile. Autrement dit, le
2
mercure est remplacé par de l'huile. Un calcul simple montre que, dans ce
144 pouces2
cas, le tube vertical rempli d'huile devrait être deh3= 11,3 pieds de haut, au
Notez que la pression de l'air est fonction de la
hauteur du mercure dans le manomètre et profondeur de l'huile
COMMENTAIRES
Manomètres
sont souvent utilisés
pour mesurer le
différence dans
Hg
(aussi bien dans le réservoir que dans le tube). Ce n'est pas seulement le mercure
2
pieds2
■ Figure E2.4
(2)
lieu de la taille d'origineh3= 9 pouces. L'utilisation d'un fluide lourd comme le
mercure dans les manomètres présente un avantage évident.
Le manomètre en U est également largement utilisé pour mesurer la différence de pression entre deux récipients ou
deux points d'un système donné. Prenons l'exemple d'un manomètre connecté entre deux récipients.UNet Bcomme le
montre la figure 2.11. L'application de la règle du manomètre permet d'obtenir une équation pour la différence de
pression entre les récipients. En partant depB:
pression entre
pB+γ3h3+γ2h2−γ1h1=pUN
deux points.
ou
pUN−pB=γ3h3+γ2h2−γ1h1.
Veillez à bien inclure les unités lorsque vous remplacez des symboles par les informations fournies dans l'énoncé du problème
afin de garantir une solution correcte.
B
(5)
h3
γ3
(4)
γ1
γ2
UN
(1)
h2
h1
(2)
(3)
■ Figure 2.11Manomètre différentiel à tube en U.
49
2.6 Manométrie
La capillarité due à la tension superficielle aux interfaces entre les deux fluides dans le manomètre est généralement
négligeable pour les fluides de jauge courants, les matériaux de tubes courants et les diamètres de tubes typiques (voir section
1.9). Pour des mesures de haute précision, il peut être nécessaire de tenir compte de la variation de la densité des fluides en
fonction de la température.
EXEMPLE 2.5
Manomètre à tube en U
DONNÉComme nous le verrons au chapitre 3, le débit volumique,QLe
débit dans un tuyau peut être déterminé au moyen d'une buse
d'écoulement située dans le tuyau, comme illustré sur la figure E2.5.un
La buse crée une chute de pression,pUN−pB, le long dutuyau e t ce qui
est lié au flux à travers l'équationQ=K√pUN−pB, oùKCette valeur est
TROUVER(un)Déterminer une équation pourpUN−pBen termes de
poids spécifique du fluide en écoulement,γ1, le poids spécifique du
fluide de jauge,γ2, et les différentes hauteurs indiquées.(b)Pour γ1=
9,80 kN m3,γ2= 15,6 kN m3,h1= 1,0 m, eth2= 0,5 m, quelle est la
valeur de la chute de pression ?pUN−pB?
constante et dépend du diamètre du tuyau et de la buse. La perte de
charge est souvent mesurée à l'aide d'un manomètre différentiel à
γ1
tube en U du type illustré.
h2
(1)
SOLUTION
(2)
UN
Couler
γ1
γ2
(un)Bien que le fluide dans la conduite soit en mouvement, les fluides dans les
les tubes du manomètre est hydrostatique. En appliquant la loi du manomètre, en
(5)
(3)
h1
colonnes du manomètre sont au repos, de sorte que la variation de pression dans
(4)
B
partant de A :
Buse d'écoulement
pUN−γ1h1−γ2h2+γ1(h1+h2) =pB
ou
pUN−pB= (γ2−γ1)h2
■ Figure E2.5un
(Réponse)
COMMENTAIREIl convient de noter que la seule hauteur de colonne
importante est celle de la lecture différentielle.h2Le manomètre
différentiel pourrait être placé à 0,5 ou 5,0 m au-dessus du tuyau (
h1= 0,5 m ouh1= 5,0 m), et la valeur deh2resterait inchangé.
h2peut être suffisamment grande pour fournir une lecture précise à condition que
la valeur deγ2−γ1est également petite.
3
(15,6 kN/m3, 2,90 kPa)
pUN−pB= (0,5 m) (15,6 kN m3− 9,80 kN m3)
=2,90 kPa
(Réponse)
COMMENTAIREEn répétant les calculs pour des fluides manométriques de
poids spécifiques différents,γ2, les résultats sont présentés dans la figure
pUN–pB, kPa
(b)La valeur spécifique de la chute de pression pour les données fournies est
2
1
E2.5bsont obtenues. Notez que des différences de pression relativement
γ2= γ1
faibles peuvent être mesurées si le fluide manométrique a un poids
spécifique presque identique à celui du fluide en circulation. C'est la
0
différence entre les poids spécifiques,γ2−γ1, c'est important.
Par conséquent, en réécrivant la réponse commeh2= (pUN−pB) (γ2−γ1)
on constate que même si la valeur depUN−pBest faible, la valeur de
8
10
12
14
16
γ2, kN/m3
■ Figure E2.5b
2.6.3 Manomètre à tube incliné
Pour mesurer de faibles variations de pression, on utilise fréquemment un manomètre du type représenté sur la figure
2.12. L'une des branches du manomètre est inclinée selon un angleθet la lecture différentielleℓ2est mesurée le long du
tube incliné. La différence de pressionpUN−pBpeut être exprimé comme
pUN+γ1h1−γ2ℓ2péchéθ−γ3h3=pB
ou
pUN−pB=γ2ℓ2péchéθ+γ3h3−γ1h1
(2.15)
50
Chapitre 2■ Statique des fluides
γ3
B
γ1
h3
UN
(2)
γ2
h1
ℓ2
(1)
θ
■ Figure 2.12Manomètre à tube incliné.
Tube incliné
les manomètres peuvent
où il convient de noter que la différence de pression entre les points (1) et (2) est due àverticaledistance entre les points,
être utilisé pour mesurer
qui peut être exprimée commeℓ2péchéθAinsi, pour des angles relativement petits, la lecture différentielle le long du tube
de faibles pressions
incliné peut être importante même pour de faibles différences de pression. Le manomètre à tube incliné est souvent
différences
utilisé pour mesurer de faibles différences de pression de gaz, notamment dans les canalisations.UNetBcontiennent un
avec précision.
gaz, alors
pUN−pB=γ2ℓ2péchéθ
ou
ℓ2~
ℓ2
0
30
1
sinθ
60
θ, deg
2.7
ℓ2=
90
pUN−pB
γ2péchéθ
(2.16)
où les contributions des colonnes de gazh1eth3ont été négligés. L'équation 2.16 et la figure en marge
montrent que la lecture différentielleℓ2(Pour une différence de pression donnée), la précision du
manomètre à tube incliné peut être supérieure à celle obtenue avec un manomètre en U classique par un
facteur de 1-sinθRappelez-vous ce péchéθ→ 0 commeθ→ 0.
Dispositifs de mesure de pression mécaniques et électroniques
Les manomètres sont largement utilisés car ils sont simples, peu coûteux et fiables. Cependant, leur plage de
mesure est limitée, leur temps de réponse relativement long, ils ne conviennent pas aux environnements
susceptibles d'entraîner une fuite de fluide manométrique et leur intégration aux systèmes d'acquisition de
Un tube de Bourdon
utilisation du manomètre
un creux, élastique,
et un tube courbé pour
mesurer la pression.
données automatisés est complexe. Pour pallier ces problèmes, de nombreux autres types d'instruments de
mesure de pression ont été développés. La plupart reposent sur le principe selon lequel, lorsqu'une pression
s'exerce sur une structure élastique, celle-ci se déforme, et cette déformation est proportionnelle à l'intensité de
la pression. L'appareil de ce type le plus connu est probablement le…Bourdonmanomètre,ce qui est illustré à la
figure 2.13unL'élément mécanique essentiel de cette jauge est le tube creux, élastique et courbé (tube de
Bourdon), qui est relié à la source de pression comme indiqué sur la figure 2.13.bLorsque la pression à l'intérieur
du tube augmente, celui-ci tend à se redresser. Bien que la déformation soit faible, elle se traduit par le
déplacement d'une aiguille sur un cadran, comme illustré. Le déplacement du tube étant dû à la différence de
pression entre l'extérieur (pression atmosphérique) et l'intérieur, la pression indiquée est la pression relative. Le
manomètre de Bourdon doit être étalonné afin que la lecture du cadran indique directement la pression dans
des unités appropriées telles que le psi, le psf ou le pascal. Une lecture nulle indique que la pression mesurée est
égale à la pression atmosphérique locale. Ce type de manomètre peut être utilisé pour mesurer aussi bien les
pressions négatives (vide) que les pressions positives.
LeanéroïdeLe baromètre est un autre type d'instrument de mesure mécanique utilisé pour
mesurer la pression atmosphérique. Celle-ci étant exprimée en pression absolue, le manomètre de
Bourdon classique ne convient pas à cette mesure. Le baromètre anéroïde courant contient un élément
élastique creux et fermé, mis sous vide de sorte que la pression à l'intérieur soit proche du zéro absolu.
Lorsque la pression atmosphérique extérieure varie, l'élément se déforme, et ce mouvement est converti
en déplacement d'un cadran. Comme pour le manomètre de Bourdon, le cadran peut être gradué pour
indiquer directement la pression atmosphérique, généralement exprimée en millimètres ou en pouces de
mercure.
(un)
(b)
■ Figure 2.13(un) Manomètres de Bourdon à liquide pour différentes plages de pression. (bÉléments internes des
manomètres de Bourdon. Le tube de Bourdon en forme de « C » est représenté à gauche, et le tube de Bourdon à
ressort enroulé pour les hautes pressions de 1 000 psi et plus est représenté à droite.
(Photographies reproduites avec l'aimable autorisation de Weiss Instruments, Inc.)
Pour de nombreuses applications nécessitant des mesures de pression, il est indispensable de mesurer la
pression à l'aide d'un appareil qui la convertit en un signal électrique. Par exemple, il peut être souhaitable de surveiller
en continu une pression variable dans le temps. Ce type d'appareil de mesure de pression est appelé un capteur de
pression.transducteur de pression,De nombreux modèles différents sont utilisés. L'un d'eux consiste à connecter un
tube de Bourdon à un transformateur différentiel linéaire variable (LVDT), comme illustré sur la figure 2.14, afin de
réaliser un capteur de pression. Le noyau du LVDT est relié à l'extrémité libre du tube de Bourdon. Lorsqu'une pression
est appliquée, le mouvement de cette extrémité entraîne celui du noyau à travers la bobine, générant ainsi une tension
de sortie. Cette tension est une fonction linéaire de la pression et peut être enregistrée sur un oscillographe ou
numérisée pour être stockée ou traitée sur ordinateur.
LE VASTE MONDE DES FLUIDES
Avertissement concernant la pression des pneusUn gonflage correct des pneus
Le système s'insère à l'intérieur du pneu et contient untransducteur de pression Un
est important pour bien plus que la simple longévité de la bande de roulement. Il
capteur (généralement piézorésistif ou capacitif) et un émetteur transmettent
est crucial pour prévenir les accidents, notamment les renversements causés par
l'information à un calculateur embarqué. L'information relative à la pression des
un sous-gonflage. La National Highway Traffic Safety Administration (NHTSA)
pneus et un avertissement de sous-gonflage s'affichent sur le tableau de bord. Les
élabore actuellement une réglementation concernant les systèmes de surveillance
conditions environnementales (chaleur, froid, vibrations) dans lesquelles ces
de la pression des quatre pneus, capables d'avertir le conducteur lorsqu'un pneu
dispositifs doivent fonctionner, leur taille réduite et le faible coût requis constituent
est sous-gonflé de plus de 25 %. Certains de ces dispositifs sont déjà installés sur
des contraintes importantes pour l'ingénieur concepteur.
certains véhicules ; leur utilisation devrait bientôt devenir obligatoire sur tous les
véhicules.
Tube en C de Bourdon
Cœur
LVDT
Sortir
Montage
bloc
Ligne de pression
■ Figure 2.14Transducteur de pression combinant
un transformateur différentiel linéaire variable
Saisir
Printemps
(LVDT) et une jauge de Bourdon. (D'après la réf. 4,
reproduite avec autorisation.)
52
Chapitre 2■ Statique des fluides
Il est relativement
compliqué à
exercer une pression
transducteurs pour
la précision
mesure de
pressions qui varient
rapidement avec le temps.
L'un des inconvénients d'un capteur de pression utilisant un tube de Bourdon comme élément
sensible élastique est sa limitation à la mesure des pressions statiques ou quasi-statiques. En raison de la
masse relativement importante du tube de Bourdon, il ne peut réagir aux variations rapides de pression.
Pour pallier cette difficulté, on utilise un autre type de capteur, dont l'élément sensible est une fine
membrane élastique en contact avec le fluide. Lorsque la pression varie, la membrane se déforme ; cette
déformation est mesurée et convertie en tension électrique. Une solution consiste à placer des jauges de
contrainte soit sur la surface de la membrane non en contact avec le fluide, soit sur un élément fixé à la
membrane. Ces jauges détectent avec précision les faibles déformations induites dans la membrane et
fournissent une tension de sortie proportionnelle à la pression. Ce type de capteur permet de mesurer
avec précision les pressions faibles et élevées, statiques et dynamiques. Par exemple, les capteurs de
pression à jauges de contrainte du type illustré à la figure 2.15 sont utilisés pour mesurer la pression
artérielle, une pression relativement faible qui varie périodiquement à une fréquence fondamentale
d'environ 1 Hz. Le capteur est généralement relié au vaisseau sanguin par un tube de petit diamètre
rempli de liquide, appelé cathéter de pression.
très bonne réponse en fréquence
(un)
Cas
Diaphragme
arrêt
connexions électriques
Armature
Diaphragme
Lien de la broche
Poutre (jauges de contrainte déposées sur la poutre)
(b)
■ Figure 2.15(un) Photographie d'un transducteur de pression typique avec un raccord fileté mâle
à l'avant du diaphragme pour le raccordement au système et un connecteur électrique à l'arrière
de l'appareil. (bSchéma d'un capteur de pression typique (connecteur fileté mâle non représenté).
La déformation du diaphragme sous l'effet de la pression est mesurée à l'aide d'une poutre en
silicium sur laquelle sont déposés des jauges de contrainte et un circuit de pont associé.
2.8 Force hydrostatique sur une surface plane
53
Jusqu'à environ 10 kHz, leur sensibilité diminue aux hautes fréquences, car la membrane doit être
rigidifiée pour obtenir une réponse en fréquence plus élevée. Une alternative consiste à utiliser une
membrane en cristal piézoélectrique, servant à la fois d'élément élastique et de capteur. Lorsqu'une
pression est appliquée sur le cristal, une tension apparaît en raison de sa déformation. Cette tension est
directement proportionnelle à la pression appliquée. Selon sa conception, ce type de transducteur permet
de mesurer des pressions très basses et très élevées (jusqu'à environ 100 000 psi) à hautes fréquences.
Des informations complémentaires sur les transducteurs de pression sont disponibles dans les références
3, 4 et 5.
2.8
Force hydrostatique sur une surface plane
Lorsqu'une surface est immergée dans un fluide, des forces s'exercent sur elle sous l'effet de ce fluide. La détermination
de ces forces est essentielle à la conception des réservoirs de stockage, des navires, des barrages et autres ouvrages
hydrauliques. Pour un fluide au repos, on sait que la force doit êtreperpendiculaireà la surface puisqu'il n'y a pas de
contraintes de cisaillement. Nous savons également que la pression varie linéairement avec la profondeur, comme
illustré sur la figure 2.16, si le fluide est incompressible. Pour une surface horizontale, telle que le fond d'un réservoir
rempli de liquide (figure 2.16),un), l'amplitude de la force résultante est simplementFR=Pennsylvanie, oùpest la pression
uniforme sur le fond etUNest la surface du fond. Pour le réservoir ouvert représenté, p=γhNotez que si la pression
atmosphérique s'exerce des deux côtés du fond, comme illustré, le résultantLa force exercée sur le fond est simplement
due au liquide contenu dans le réservoir. La pression étant constante et uniformément répartie sur le fond, la force
résultante agit au centre de gravité de la surface, comme illustré sur la figure 2.16.un. Comme le montre la figure 2.16b
La pression aux extrémités du réservoir n'est pas uniformément répartie. La détermination de la force due à la pression
hydrostatique sur ces extrémités est plus complexe car la pression n'est pas constante, les extrémités peuvent ne pas
être des plaques rectangulaires et, en général, elles ne sont pas verticales.
Le résultat
La force exercée par un
fluide statique sur une
surface plane est due à la
La figure 2.17 représente une surface plane inclinée immergée et indique les positions et les distances
nécessaires à la détermination de la force résultante et de sa ligne d'action. Nous supposerons pour l'instant que
la surface du fluide est ouverte à l'atmosphère. Soit le plan dans lequel se trouve la surface l'intersection de la
surface libre avec cette dernière en 0 et formant un angle θ.θavec cette surface comme sur la figure 2.17.x–y Le
force hydrostatique.
système de coordonnées est défini de sorte que 0 soit l'origine ety=0 (c'est-à-dire lexL'axe est dirigé le long de la
pression
surface comme indiqué. La surface peut avoir une forme quelconque pourvu qu'elle reste dans lex–yplan. Nous
la distribution sur le
souhaitons déterminer la direction, la position et l'intensité de la force résultante agissant sur un côté de cette
surface.
zone du fait du liquide en contact avec cette zone. À une profondeur donnée,h, la force agissant surdA(l'aire
différentielle de la figure 2.17) estdF=γh dAet est perpendiculaire à la surface. Ainsi, l'intensité de la force
résultante peut être déterminée en sommant ces forces différentielles sur toute la surface. Sous forme
d'équation
∫
FR=
∫
γh dA=
UN
γypéchéθdA
UN
surface libre
surface libre
Poids spécifique =γ
Poids spécifique =γ
p=0
h
FR
p=0
p=γ h
p=γ h
p=0
(unPression au fond du réservoir
p=0
(bPression aux extrémités du réservoir
■ Figure 2.16(un) Répartition de la pression et force hydrostatique résultante au fond d'un réservoir ouvert. (b)
Répartition de la pression aux extrémités d'un réservoir ouvert.
54
Chapitre 2■ Statique des fluides
surface libre
0
θ
hc
h
y
yc
yR
dF
FR
x
x
UN
dA
c
xc
y
xR
CP
Centroïde,c
Emplacement de
force résultante
(centre de pression, CP)
■ Figure 2.17
Notation de la force hydrostatique sur une surface plane inclinée de
forme arbitraire.
oùh=ypéchéθPour une constanteγetθ
∫ et dA
FR=γpéchéθ
L'ampleur de
le fluide résultant
(2.17)
UN
La force dépend de
L'intégrale apparaissant dans l'équation 2.17 est lapremier moment de la zoneen ce qui concerne lexaxe, donc nous pouvons
seule la profondeur et
écrire
∫ et dA=y UN
est égale à la
pression agissant à
le centroïde de la
zone multiplié par
la superficie totale.
c
UN
oùycest leycoordonnées du centre de gravité de la zoneUNmesuré à partir duxaxe, qui passe par 0.
L'équation 2.17 peut donc s'écrire comme
FR=γAycpéchéθ
ou plus simplement comme
γ
hc
FR= γhcUN
c
UN
FR=γhcUN
(2.18)
où, comme le montre la figure en marge,hcest la distance verticale entre la surface du fluide et le centre
de gravité de la zone. Comme indiqué par la figure en marge, elle dépend uniquement du poids
spécifique du fluide, de la surface totale et de la profondeur du centre de gravité de la zone sous la
surface. En effet, l'équation 2.18 indique que l'intensité de la force résultante est égale à la pression au
centre de gravité de la zone multipliée par la surface totale. Toutes les forces différentielles ont été
sommées pour obtenirFRsont perpendiculaires à la surface, la résultanteFRdoit également être
perpendiculaire à la surface.
55
2.8 Force hydrostatique sur une surface plane
Bien que notre intuition puisse suggérer que la force résultante devrait passer par le centre de gravité de
la surface, ce n'est pas le cas.ycoordonner,yRLa partie de la force résultante peut être déterminée par la
sommation des moments autour de laxaxe. Autrement dit, le moment de la force résultante doit être égal au
moment de la force de pression répartie, ou
∫
FRyR=
∫ γ
et dF=
UN
péchéθy2dA
UN
et, notant queFR=γAycpéchéθ,
∫ y dA
2
UN
y R=
ycUN
L'intégrale au numérateur est lamoment d'inertie de la surface (moment d'inertie), Ix, par rapport à un
axe formé par l'intersection du plan contenant la surface et de la surface libre (xaxe). Ainsi, nous pouvons
écrire
jex
ycUN
yR=
On peut maintenant utiliser le théorème des axes parallèles pour exprimerjexcomme
jex=jexc+Ay2 c
yc
FR
oùjexcest le moment d'inertie de l'aire par rapport à un axe passant par son axe.centroïdeet
parallèlement auxaxe. Ainsi,
yR=
c
jexc
ycUN
jexc
+ yc
ycUN
(2.19)
Comme le montrent l'équation 2.19 et la figure en marge, la force résultante ne passe pas par le centre de gravité, mais
pour les surfaces non horizontales, elle est toujoursci-dessousil, depuisjexc-ycUN>0.
Lexcoordonner,xR, car la force résultante peut être déterminée de manière similaire en sommant
les moments autour deyaxe. Ainsi,
∫
Le fluide résultant
la force ne
traverser le
centroïde du
FRxR=
γpéchéθxy dA
UN
et, par conséquent,
zone.
xR=
∫ xy dA
UN
ycUN
=
jexy
ycUN
oùjexyest le produit de l'inertie par rapport àxetyaxes. Encore une fois, en utilisant le théorème des axes
parallèles,1nous pouvons écrire
xR=
jexyc
+ xc
ycUN
(2.20)
oùjexycest le produit de l'inertie par rapport à un système de coordonnées orthogonal passant par le
centroïdede la zone et formée par une translation de lax–ysystème de coordonnées. Si le submergé
1Rappelons que le théorème des axes parallèles pour le produit d'inertie d'une aire stipule que le produit d'inertie par rapport à un ensemble d'axes orthogonaux (x–y
(système de coordonnées) est égal au produit de l'inertie par rapport à un système d'axes orthogonaux parallèles au système d'origine et passant par le centre de
gravité de la surface, plus le produit de la surface et duxetycoordonnées du centre de gravité de la zone. Ainsi,jexy=jexyc+Hachecyc.
56
Chapitre 2■ Statique des fluides
c
–un–
2
x
–un–
2
y
–b–
2
–b–
2
UN=ba
UN=π R2
––1–ba3
jexc= 12
πR4
R
x
c
– –ab3
jeyc= –1
12
jexyc=0
y
jexyc=0
(b) Cercle
(un) Rectangle
d
UN=πR
– – – –2–
2
UN= –un–b–
2
jexc=0,1098R4
c
y
R
jexc= jeyc= –––––
4
jeyc=0,3927R4
x
jexyc=ba
– – 2– – – (b–2d)
72
un
c
R
x
y
– 4–R–
3π
jexyc=0
– –3– –
jexc=ba
36
–un–
3
d–
–b––+
–––
3
b
(dTriangle
(cDemi-cercle
UN=–π–2R–––
4
– 4–R–
3π
– 4–R–
3π
c
jexc=jeyc=0,05488R4
x
R
jexyc= –0,01647R4
y
(eQuart de cercle
■ Figure 2.18Propriétés géométriques de quelques formes courantes.
La zone est symétrique par rapport à un axe passant par le centre de gravité et parallèle soit à l'axe principal,
soit à l'axe secondaire.x ouyaxe, la force résultante doit se situer le long de la lignex=xc, depuisjexycest
identiquement nulle dans ce cas. Le point par lequel agit la force résultante est appelé lecentre de pression.Il
Grille
est à noter d'après les équations 2.19 et 2.20 que,ycPlus la pression augmente, plus le centre de pression se
rapproche du centre de gravité de la zone.yc=hc-péchéθ, la distanceycaugmentera si la profondeur d'immersion,h
c, augmente, ou, pour une profondeur donnée, la zone est pivotée de sorte que l'angle,θLa force hydrostatique
c
FRdroite
FRgauche
s'exerce donc plus près du centre de gravité de la porte, du côté droit (voir figure en marge), que la force
s'exerçant du côté gauche. Les coordonnées du centre de gravité et les moments d'inertie de certaines zones
courantes sont donnés sur la figure 2.18.
LE VASTE MONDE DES FLUIDES
Le barrage des Trois GorgesEnjambant le fleuve Yangtsé en Chine, le barrage des
Le barrage mesure 483 m de long et comporte 23 vannes de fond et 22 vannes de
Trois Gorges est devenu la plus grande centrale hydroélectrique du monde lorsque
surface. Sa capacité de décharge maximale est de 102 500 m³.3Après plus de dix
la dernière de ses turbines principales a été mise en service en juillet 2012. Ce
ans de travaux, les vannes du barrage ont finalement été fermées et, le 10 juin
barrage-poids en béton mesure 2 309 m de long et 185 m de haut. Les principaux
2003, le réservoir a atteint son niveau provisoire de 135 m. Compte tenu de la
éléments du projet comprennent le barrage lui-même, deux centrales
grande profondeur d'eau au niveau du barrage et de l'immense capacité du
hydroélectriques et des installations de navigation, notamment une écluse et un
réservoir,forces de pression hydrostatiqueont été un facteur majeur pris en compte
ascenseur à bateaux. Les centrales hydroélectriques sont équipées de 26 turbines
par les ingénieurs. Une fois rempli à son niveau normal de 175 m, le réservoir a une
Francis, d'une capacité unitaire de 700 mégawatts. Le déversoir, qui constitue la
capacité totale de stockage de 39,3 milliards de m³.3(Voir le problème 2.111.)
partie centrale du barrage,
57
2.8 Force hydrostatique sur une surface plane
EXEMPLE 2.6
Force hydrostatique sur une surface circulaire plane
DONNÉLa porte circulaire de 4 m de diamètre de la figure E2.6unest
0
0
9,80 kN-m3La vanne est montée sur un axe le long de son diamètre
60°
horizontal, et la profondeur de l'eau est de 10 m au niveau de l'axe.
Arrêt
yc=
(un)l'amplitude et l'emplacement de la force résultante exercée
sur la porte par l'eau et
––1
––
pé 0––m
10 m
TROUVERDéterminer
x
y
Arbre
(b)le moment qu'il faudrait appliquer à l'arbre pour ouvrir
la porte.
FR
UN
4m
yR ché 60–°– –
situé dans la paroi inclinée d'un grand réservoir contenant de l'eau (γ=
c
c
SOLUTION
(b)
UN
(un)Pour déterminer l'intensité de la force de l'eau, nous pouvons appliquer
Oy
Centre de
pression
l'équation 2.18.
FR
(un)
FR=γhcUN
c
Ox
M
et puisque la distance verticale entre la surface du fluide et le centre de
gravité de la zone est de 10 m, il s'ensuit que
(c)
FR= (9,80×103Nm3) (10 m) (4πm2)
=1230×103N = 1,23 MN
(Réponse)
■ Figure E2.6un–c
Pour localiser le point (centre de pression) par lequelFRactes, nous
utilisons les équations 2.19 et 2.20,
xR=
jexyc
+ xc
ycUN
yR =
jexc+y
etc A
(b)Le moment nécessaire à l'ouverture du portail peut être obtenu à l'aide du
c
diagramme de corps libre de la figure E2.6.cDans ce diagramme est le poids
du portail etOxetOysont les réactions horizontale et verticale de l'arbre sur la
Pour le système de coordonnées représenté,xR=0 puisque la zone est
symétrique par rapport à lay-axe, et le centre de pression doit se situer le
porte. Nous pouvons maintenant sommer les moments par rapport à l'arbre.
long du diamètreAA. Pour obteniryR, d'après la figure 2.18
∑Mc=0
πR4
jexc=
4
et, par conséquent,
M=FR(yR−yc)
= (1230×103N) (0,0866 m) =
1.07×105N˙m
etycest illustré dans la figure E2.6b. Ainsi,
yR=
(π-4) (2 m)4
(10 m sin 60°) (4πm2)
+
10 m
sin 60°
(Réponse)
=0,0866 m + 11,55 m = 11,6 m
0,5
et la distance (le long de la porte) sous le puits jusqu'au centre de
pression est
0,4
(Réponse)
Cette analyse nous permet de conclure que la force exercée par l'eau sur la
vanne a une intensité de 1,23 MN et s'applique en un point situé le long de
son diamètre.AAà une distance de 0,0866 m (le long de la porte) sous l'arbre.
La force est perpendiculaire à la surface de la porte, comme illustré sur la
figure E2.6.b.
COMMENTAIREEn répétant les calculs pour différentes valeurs de la
profondeur du centre de gravité,hc, les résultats sont présentés dans la
figure E2.6d sont obtenues. Notez que plus la profondeur augmente, plus la
distance entre le centre de pression et le centroïde diminue.
yR–yc, m
yR−yc=0,0866 m
0,3
0,2
(10 m, 0,0886 m)
0,1
0
0
5
10
15
hc, m
■ Figure E2.6d
20
25
30
58
Chapitre 2■ Statique des fluides
EXEMPLE 2.7
Force de pression hydrostatique sur une surface triangulaire plane
DONNÉUn aquarium contient de l'eau de mer (γ=64,0 lb-pi3) à une profondeur de 1
TROUVERDéterminer
pied comme indiqué sur la figure E2.7unPour réparer des dommages à un coin du
(un)l'intensité de la force exercée par l'eau de mer sur cette zone
réservoir, une section triangulaire est remplacée par une nouvelle section, comme
triangulaire, et
illustré sur la figure E2.7.b.
(b)l'emplacement de cette force.
SOLUTION
(un)Les différentes distances nécessaires à la résolution de ce problème sont
illustrées dans la figure E2.7.c. Puisque la surface d'intérêt se situe dans un
plan vertical,yc=hc=0,9 pi, et d'après l'équation 2.18, l'amplitude de la force
est
FR=γhcUN
= (64,0 lb/pi3) (0,9 pi)[(0,3 pi)2-2] = 2,59 lb
(Réponse)
COMMENTAIRENotez que cette force est indépendante de la longueur du réservoir.
Le résultat est le même que le réservoir mesure 0,25 pied, 25 pieds ou 25 miles de
0,3 pi
1 pied
0,3 pi
0,9 pi
long.
2,5 pieds
(b)LeyLes coordonnées du centre de pression (CP) sont trouvées à partir de
(b)
l'équation 2.19,
je
ycUN
yR=xc+y
x
c
y
et d'après la figure 2.18
jexc=
(0,3 pi) (0,3 pi)3
36
=
yc
0,0081
36
pieds4
1 pied
yR=
(0,9 pi) (0,09-2 pi)2)
δUN
0,2 pi
de sorte que
0,0081-36 pi4
Ligne médiane
yR
c
+ 0,9 pi
=0,00556 pi + 0,9 pi = 0,906 pi
c
0,1 pied
(Réponse)
CP
CP
xR
0,1 pied
0,15 pi 0,15 pi
(c)
De même, à partir de l'équation 2.20
xR=
jexyc
+ xc
ycUN
(d)
■ Figure E2.7b–d
d de la figure 2.18
jexyc=
(0,3 pi) (0,3 pi)2
72
(0,3 pi) =
0,0081
72
pieds4
que
xR=
0,0081 à 72 pieds4
(0,9 pi) (0,09-2 pi)2)
+ 0 = 0,00278 pi
(Réponse)
COMMENTAIRENous en concluons donc que le centre de pression est
0,278 pi à droite et 0,00556 pi en dessous du centre de gravité de la zone. Si ce
point est reporté sur un graphique, on constate qu'il se situe sur la ligne médiane
de la zone, comme illustré à la figure E2.7.dPuisque l'on peut considérer la surface
totale comme constituée d'un certain nombre de petites bandes rectangulaires de
surfaceδUN(et la force fluide sur chacune de ces petites zones agit à travers son
■ Figure E2.7un
Tanks, Inc.)
(Photographie courtoisie de Tenecor)
centre), il s'ensuit que la résultante de toutes ces forces parallèles doit se situer le
long de la médiane.
59
2.9 Prisme de pression
2.9
Prisme de pression
On peut donner une interprétation graphique instructive et utile de la force développée par un fluide agissant
sur une surface rectangulaire plane. Considérons la distribution de pression le long d'une paroi verticale d'un
réservoir de largeur constante.b, qui contient un liquide ayant un poids spécifiqueγ. Puisque la pression doit
varier linéairement avec la profondeur, nous pouvons représenter cette variation comme indiqué sur la figure
2.19un, où la pression est nulle à la surface supérieure et égale àγhau fond. Ce diagramme montre clairement
que la pression moyenne se situe à la profondeurh-2 et, par conséquent, la force résultante agissant sur la
surface rectangulaireUN=bhest
h
FR=pavUN=γ(2)UN
ce qui correspond au même résultat que celui obtenu à partir de l'équation 2.18. La distribution de pression est illustrée
à la figure 2.19.un s'applique à la surface verticale, nous pouvons donc dessiner la représentation tridimensionnelle de la
distribution de pression comme indiqué sur la figure 2.19bLa base de ce « volume » dans l'espace pression-surface est la
surface plane considérée, et son altitude en chaque point correspond à la pression. Ce volume est appelé leprisme de
pression,et il est clair que l'intensité de la force résultante agissant sur la surface rectangulaire est égale au volume du
prisme de pression. Ainsi, pour le prisme de la figure 2.19bla force du fluide est
L'ampleur de
le fluide résultant
la force est égale au
volume du prisme de
pression et
passe par son
centroïde.
1
h
(γh) (bh) =γ
UN
(2)
2
FR=volume =
oùbhest l'aire de la surface rectangulaire,UN.
La force résultante doit passer par lecentroïdedu prisme de pression. Pour le volume considéré, le
centroïde est situé sur l'axe vertical de symétrie de la surface et à une distance deh-3 au-dessus de la base
(puisque le centre de gravité d'un triangle est situé àh-3 au-dessus de sa base). On peut facilement
démontrer que ce résultat est cohérent avec celui obtenu à partir des équations 2.19 et 2.20.
Cette même approche graphique peut être utilisée pour les surfaces rectangulaires planes qui ne s'étendent pas
jusqu'à la surface du fluide, comme illustré sur la figure 2.20.unDans ce cas, la section transversale du prisme de
pression est trapézoïdale. Cependant, la force résultante est toujours égale en magnitude au volume du prisme de
pression, et elle passe par le centre de gravité de ce volume. Des valeurs spécifiques peuvent être obtenues en
décomposant le prisme de pression en deux parties.ABDEetBCD, comme le montre la figure 2.20b. Ainsi,
FR=F1+F2
où les composants peuvent être facilement identifiés par inspection visuelle des surfaces rectangulaires.
L'emplacement deFRpeut être déterminé en sommant les moments autour d'un axe approprié, tel qu'un axe
passant parUNDans ce cas précis
FRyUN=F1y1+F2y2
ety1ety2peut être déterminé par inspection.
h
p
h
CP
FR
h–
3
h
–
3
FR
b
γh
■ Figure 2.19
γh
Pression
prisme pour une surface rectangulaire
(un)
(b)
verticale.
60
Chapitre 2■ Statique des fluides
h1
γh1
B
UN
y1
h2
yUNy2
F1
FR
p
F2
C
D
E
(un)
L'utilisation de
la pression
concept de prisme
déterminer
■ Figure 2.20Graphique
Représentation des forces
γ(h2-h1)
hydrostatiques sur une surface
(b)
rectangulaire verticale.
Pour les surfaces rectangulaires inclinées, le prisme de pression peut toujours être développé, et la
section transversale du prisme sera généralement trapézoïdale, comme le montre la figure 2.21. Bien qu'il soit
généralement pratique de mesurer les distances le long de la surface inclinée, les pressions développées
dépendent des distances verticales comme illustré.
la force sur un
L'utilisation de prismes de pression pour déterminer la force exercée sur des surfaces planes immergées est
zone submergée
pratique lorsque la surface est rectangulaire, car le volume et le centre de gravité peuvent alors être facilement calculés.
convient parfaitement aux
Cependant, pour les formes non rectangulaires, une intégration est généralement nécessaire pour déterminer le volume
surfaces planes rectangulaires
et le centre de gravité. Dans ce cas, il est plus commode d'utiliser les équations développées dans la section précédente,
surfaces.
dans lesquelles les intégrations nécessaires ont été effectuées et les résultats présentés sous une forme simple et
compacte, applicable aux surfaces planes immergées de toute forme.
L'effet de la pression atmosphérique sur une zone immergée n'a pas encore été pris en compte, et l'on
peut se demander comment cette pression influencera la force résultante. Considérons à nouveau la distribution
de pression sur une paroi verticale plane, comme illustré sur la figure 2.22.un, la pression varie de zéro à la
surface àγhen bas. Puisque nous fixons la pression de surface à zéro, nous utilisons la pression atmosphérique
comme référence, et donc la pression utilisée pour la détermination de la force du fluide est la pression relative.
Si nous souhaitons inclure la pression atmosphérique, la distribution de pression sera celle illustrée à la figure
2.22.bNous constatons que dans ce cas, la force exercée sur un côté du mur se compose désormais deFRdu fait
de la distribution de la pression hydrostatique, plus la contribution de la pression atmosphérique,pATMUN, oùUN
est l'aire de la surface. Cependant, si l'on tient compte de l'effet de la pression atmosphérique sur une face du
mur, il faut considérer que cette même pression s'exerce sur la surface extérieure (en supposant qu'elle soit
Le fluide résultant
force agissant sur une
zone submergée
est influencée par la
pression à la surface
libre.
exposée à l'atmosphère), de sorte qu'une force égale et opposée se développe, comme illustré sur la figure.
Ainsi, nous concluons querésultantLa force exercée par le fluide sur la surface est uniquement due à la pression
relative du liquide en contact avec cette surface ; la pression atmosphérique n'intervient pas dans cette
résultante. En approfondissant cette étude, si la pression à l'interface liquide-vapeur n'est pas la pression
atmosphérique, l'amplitude et la ligne d'action de cette force différeront de celles prédites en ne considérant
que la pression relative. Une analyse quasi identique à celle présentée sur la figure 2.20 et décrite dans le texte
associé est alors nécessaire.
γh1
h1
h2
γh2
■ Figure 2.21Variation de pression le long d'une
zone plane inclinée.
61
2.9 Prisme de pression
pATM
h
p
FR
pATM
pATM
pATMUN
pATMUN
FR
γh
(un)
(b)
■ Figure 2.22Effet de la pression atmosphérique sur la force résultante agissant sur une
paroi verticale plane.
EXEMPLE 2.8
Utilisation du concept de prisme de pression
DONNÉUn réservoir sous pression contient de l'huile (SG=0,90) et comporte
TROUVERQuelle est l'intensité et la position de la force résultante
une plaque carrée de 0,6 m sur 0,6 m boulonnée sur son côté, comme
sur la plaque fixée ?
illustré sur la figure E2.8unLe manomètre situé sur le dessus du réservoir
indique 50 kPa, et l'extérieur du réservoir est à la pression atmosphérique.
p=50 kPa
γh1
ps
surface de l'huile
Air
h1= 2 m
h2= 2,6 m
Huile
2m
F1
0,6 m
F2
0,6 m
FR
0,2 m
yO
O
γ(h2–h1)
(un)
0,3 m
Plaque
(b)
■ Figure E2.8
SOLUTION
La répartition de la pression agissant sur la surface intérieure de la
et
plaque est illustrée sur la figure E2.8.bLa pression en un point donné
de la plaque est due à la pression de l'air.ps, à la surface de l'huile et la
pression due à l'huile, qui varie linéairement avec la profondeur comme
indiqué sur la figure. La force résultante sur la plaque (ayant une
surfaceUN) est dû aux composants,F1etF2, oùF1etF2sont dues
respectivement aux portions rectangulaire et triangulaire de la
distribution de pression. Ainsi,
F1= (ps+γh1)UN
= [50×103Nm2
+ (0,90) (9,81×103Nm3) (2 m)](0,36 m2)
=24.4×103N
F2=γ(
h2−h1
UN
2 )
= (0,90) (9,81×103
Nm3)(
0,6 m
2
) (0,36 m2)
=0,954×103N
L'amplitude de la force résultante,FR, l'est donc
FR=F1+F2= 25,4×103N = 25,4 kN
(Réponse)
La position verticale deFRpeut être obtenu en sommant les moments
autour d'un axe passant par le pointOde sorte que
FRyO=F1(0,3 m) +F2(0,2 m)
62
Chapitre 2■ Statique des fluides
ou
COMMENTAIREIl convient de noter que la pression d'air utilisée pour le calcul de la
yO=
force est la pression relative. La pression atmosphérique n'a aucune incidence sur
(24.4×103N) (0,3 m) + (0,954×103N) (0,2 m)
la force résultante (ni en intensité ni en position), puisqu'elle s'exerce de part et
25.4×103N
=0,296 m
d'autre de la plaque, annulant ainsi son effet.
(Réponse)
La force agit donc à une distance de 0,296 m au-dessus du bas de la
plaque, le long de l'axe vertical de symétrie.
2.10
Force hydrostatique sur une surface courbe
Les équations établies dans la section 2.8 concernant l'amplitude et la position de la force résultante agissant sur
une surface immergée ne s'appliquent qu'aux surfaces planes. Or, de nombreuses surfaces d'intérêt (telles que
celles des barrages, des canalisations et des réservoirs) ne sont pas planes. Le fond bombé de la bouteille de
boisson illustré dans la figure en marge constitue un exemple typique de surface courbe. Bien que la force
résultante exercée par le fluide puisse être déterminée par intégration, comme cela a été fait pour les surfaces
planes, ce processus est généralement fastidieux et ne permet pas d'obtenir des formules simples et générales.
En guise d'alternative, nous considérerons l'équilibre du volume de fluide délimité par la surface courbe
considérée et les projections horizontale et verticale de cette surface.
Par exemple, considérons une portion incurvée de la piscine illustrée à la figure 2.23.unNous souhaitons déterminer la
force résultante du fluide agissant sur la sectionColombie-Britannique(qui a une longueur unitaire perpendiculaire au plan de la
feuille) représentée sur la figure 2.23bNous isolons d'abord un volume de fluide délimité par le
ce qui nous intéresse, dans ce cas précis, la sectionColombie-Britannique, la surface plane horizontaleABet la
surface verticale eACLe diagramme des forces s'exerçant sur ce volume est représenté sur la figure 2.23.c
L'amplitude et la localisation des forcesF1etF2peut être déterminé à partir des relations pour les surfaces planes. Le
ht, ,Il s'agit simplement du poids spécifique du fluide multiplié par le volume qu'il contient, et il agit par
l'intermédiaire du centre de gravité (CG) de la masse de fluide contenue dans ce volume.FHetFV
a envoyé les composants de la force que le charexerce sur le fluide.
Pour que ce système de forces soit en équilibre, la composante horizontaleFHdoit être de même
amplitude et colinéaire avecF2et la composante verticaleFVégaux en magnitude et colinéaires
la résultante des forces verticalesF1et .Cela découle du fait que les trois forces agissant sur la masse fluide (F2, le
résultat deF1et ,et la force résultante que le réservoir exerce sur la masse) doit former uneconcurrentsystème de forces.
Autrement dit, d'après les principes de la statique, on sait que lorsqu'un corps est maintenu en équilibre par trois forces
non parallèles, celles-ci doivent être concourantes (leurs lignes de force sont parallèles).
F1
UN
B
UN
F2
(un)
O
C
C
FH
+ (F)V2 B
O
C
FV
(b)
■ Figure 2.23
FR=√(F)2 H
B
CG
Force hydrostatique sur une surface courbe. (Photographie courtoisie d'Intex Marketing, Ltd.)
(c)
(d)
63
2.10 Force hydrostatique sur une surface courbe
(les actions se croisent en un point commun) et sont coplanaires. Ainsi,
FH=F2
FV=F1+
et la magnitude de la résultante est obtenue à partir de l'équation
FR=√(FH)2+ (FV)2
Le résultatFRpasse par le pointO, que l'on peut localiser en sommant les moments autour d'un axe
approprié. La force résultante du fluide agissantsur la surface courbe BCest égale et de direction opposée
à celle obtenue à partir du diagramme de corps libre de la figure 2.23c.La force fluide souhaitée est
illustrée sur la figure 2.23.d.
EXEMPLE 2.9
Force de pression hydrostatique sur une surface courbe
DONNÉUn conduit de drainage de 6 pieds de diamètre du type illustré
TROUVERDéterminez l'intensité et la ligne d'action de la force résultante que
dans
l'eau exerce sur une longueur de 1 pied de la section courbe.Colombie-
st, comme indiqué dans
Fig. E2.9
Britanniquede la paroi du conduit.
1,27 pi
3 pieds
UN
UN
B
B
UN
FR=523 lb
CG
F1
FH
32,5°
O
1 pied
1 pied
C
(un)
■ Figure E2.9
C
FV
(b)
(c)
(d)
(Photographie courtoisie de CONTECH Construction Products, Inc.)
SOLUTION
Nous isolons d'abord un volume de fluide délimité par la section
courbe Colombie-Britannique, la surface horizontaleABet la surface
verticaleAC, comme le montre la figure E2.9cLe volume a une longueur
de 1 pied. Les forces agissant sur le volume sont la force horizontale,F1,
qui agit sur la surface verticaleAC, le poids, ,du fluide contenu dans le
volume, et des composantes horizontale et verticale de la force exercée
par la paroi du conduit sur le fluide,FHetFV, respectivement.
L'ampleur deF1se trouve à partir de l'équation
et l'amplitude de la force résultante est
FR=√(FH)2+ (FV)2
=√(281 lb)2+ (441 lb)2= 523 lb
(Réponse)
La force exercée par l'eausurla paroi du conduit est égale, mais
sens opposé,aux forcesFHetFVillustré dans la figure E2.9cAinsi, la
force résultantesur le mur du conduitest illustré dans la figure E2.9
dCette force agit par l'intermédiaire du point.Oà l'angle indiqué.
F1=γhcUN= (62,4 lb-pi3) (3 2pi) (3 pi2) = 281 lb
et cette force agit à 1 pied au-dessusCcomme indiqué. Le poids =γV, où
Vest le volume du fluide, est
=γV= (62,4 lb-pi3) (9π-1,2 m2) (1 pi) = 441 lb
et agit par l'intermédiaire du centre de gravité de la masse de fluide, qui,
selon la figure 2.18, est situé à 1,27 pied à droite deACcomme indiqué. Par
conséquent, pour satisfaire l'équilibre
FH=F1= 281 lb
FV= =441 lb
COMMENTAIREL'examen de ce résultat montre que la ligne
d'action de la force résultante passe par le centre du
conduit. Ce résultat n'est pas surprenant, car en tout point
de la surface courbe du conduit, la force élémentaire due à
la pression est normale à la surface, et chaque ligne
d'action doit passer par le centre du conduit. Il s'ensuit que
la résultante de ce système de forces concourantes doit
également passer par le centre de concours des forces
élémentaires qui le composent.
64
Chapitre 2■ Statique des fluides
Cette même approche générale peut également être utilisée pour déterminer la force s'exerçant sur les surfaces
courbes de réservoirs fermés sous pression. Si ces réservoirs contiennent un gaz, le poids de ce dernier est
généralement négligeable par rapport aux forces développées par la pression. Ainsi, les forces (telles queF1etF2dans la
figure 2.23c) sur les projections horizontales et verticales de la surface courbe d'intérêt peut simplement être exprimé
comme la pression interne multipliée par la surface projetée appropriée.
LE VASTE MONDE DES FLUIDES
Réservoirs miniatures explosifsNotre vie quotidienne est plus sûre grâce aux
L'enveloppe spéciale et imperméable (récipient sous pression) qui, chauffée à la
efforts déployés par les ingénieurs pour concevoir des récipients sous pression
température adéquate, se transforme en vapeur, provoque l'éclatement du grain
sûrs et légers, tels que les chaudières, les réservoirs de propane et les bouteilles de
et son retournement. Tous les grains de maïs à éclater ne possèdent pas les
boissons gazeuses. Sans une conception adéquate, les risques d'accidents de
propriétés requises. Premièrement, le grain doit contenir environ 13,5 % d'eau. Un
grande ampleur seraient considérables. forces de pression hydrostatique sur les
taux d'humidité trop faible ne permettra pas la formation de vapeur suffisante
surfaces courbesDe tels récipients pourraient provoquer l'explosion du navire et
pour l'éclatement ; un taux trop élevé donnera un grain compact et sphérique au
avoir des conséquences désastreuses. En revanche, le monde est un endroit plus
lieu du léger et aéré escompté. Deuxièmement, pour permettre à la pression de
sûr grâce à des récipients sous pression miniatures conçus pour exploser dans
s'accumuler, les grains ne doivent être ni fendus ni endommagés.
certaines conditions : les grains de maïs à éclater. Chaque grain de maïs à éclater
contient une petite quantité d'eau.
2.11
Flottabilité, flottaison et stabilité
1. Principe d'Archimède
Lorsqu'un corps immobile est complètement immergé dans un fluide (comme la montgolfière illustrée dans la
figure en marge), ou qu'il flotte de sorte qu'il n'est que partiellement immergé, la force résultante du fluide g sur
le corps est appelée force de poussée.force de flottabilité.Une force verticale nette ascendante résulte du fait que
la pression augmente avec la profondeur et que les forces de pression agissant par le bas sont supérieures aux
forces de pression agissant par le haut, comme illustré par la figure en marge. Cette force peut être déterminée
par une approche similaire à celle utilisée dans la section précédente pour les forces s'exerçant sur des surfaces courbes.
Considérons un corps de forme quelconque, de volume donné.V, c'est-à-dire immergé dans un fluide comme illustré sur
la figure 2.24unNous enfermons le corps dans un parallélépipède et dessinons un diagramme de corps libre du
(Photographie gracieuseté
parallélépipède sans le corps, comme illustré sur la figure 2.24.bNotez que les forcesF1,F2,F3, etF4sont simplement les
de Cameron Balloons.)
forces exercées sur les surfaces planes du parallélépipède (par souci de simplicité, les forces dans lex(les directions ne
sont pas indiquées), est le poids du volume de fluide ombré (parallélépipède moins corps), etFBest la force exercée par le
corpssur le fluideLes forces agissant sur les surfaces verticales, telles queF3etF4, sont tous égaux et s'annulent, donc
l'équation d'équilibre qui nous intéresse est dans lezdirection et peut être exprimé comme
FB=F2−F1−
(2.21)
Si le poids spécifique du fluide est constant, alors
F2−F1=γ(h2−h1)UN
oùUNest l'aire horizontale de la surface supérieure (ou inférieure) du parallélépipède, et l'équation 2.21 peut
s'écrire comme
FB=γ(h2−h1)UN−γ[(h2−h1)UN−V]
En simplifiant, on obtient l'expression recherchée pour la force de flottabilité.
FB=γV
(2.22)
oùγest le poids spécifique du fluide etVLe volume du corps est noté V. Les effets du poids spécifique (ou de la densité) du
corps par rapport à celui du fluide environnant sont illustrés par la figure en marge. La direction de la poussée
d'Archimède, qui est la force exercée par le fluide, est indiquée par le symbole de cette poussée.sur le corps,est
65
2.11 Flottabilité, poussée et stabilité
c
Centroïde
h1
h2
UN
FB
z
B
de déplacés
volume
(d)
y
x
D
C
Centroïde
(un)
c
y1
F1
y2
UN
F3
FB
B
yc
F4
FB
D
(c)
C
F2
(b)
■ Figure 2.24
γ1< γ
Force de flottabilité sur les corps immergés et flottants.
Contrairement à ce qui est représenté sur le diagramme des forces, la poussée d'Archimède a une intensité
égale au poids du fluide déplacé par le corps et est dirigée verticalement vers le haut. Ce résultat est
γ2= γ
communément appeléLe principe d'Archimèdeen l'honneur d'Archimède (287–212B.C.), un mécanicien et
mathématicien grec qui a énoncé pour la première fois les idées fondamentales associées à l'hydrostatique.
La position de la ligne d'action de la force de flottabilité peut être déterminée en sommant les moments des
forces représentées sur le diagramme de corps libre de la figure 2.24.bpar rapport à un axe convenable. Par exemple, la
γ
γ3> γ
somme des moments par rapport à un axe perpendiculaire au plan de la feuille et passant par le pointDnous avons
FByc=F2y1−F1y1− y2
Archimède'
États principaux
que le flotteur
et en substitution des différentes forces
V yc=VTy1− (VT−V)y2
la force a une
magnitude égale
au poids du
fluide déplacé
par le corps et est
dirigée verticalement
vers le haut.
(2.23)
oùVTest le volume total (h2−h1)UNLe membre de droite de l'équation 2.23 représente le premier moment
du volume déplacéVen ce qui concerne lex–zavion pour queycest égal àycoordonnées du centroïde du
volumeVDe la même manière, on peut démontrer quexla coordonnée de la force de flottabilité coïncide
avecxcoordonnées du centroïde. Ainsi, nous concluons que lela force de flottabilité passe par le centre de
gravité du volume déplacécomme le montre la figure 2.24cLe point par lequel s'exerce la force de
flottabilité est appelé lecentre de poussée.
LE VASTE MONDE DES FLUIDES
canoës en bétonUn bloc de béton massif jeté dans un étang ou un lac coulera,
Organisé par l'American Society of Civil Engineers et Master Builders Inc., ce
c'est évident. Mais si ce béton est moulé en forme de canoë, il peut flotter. Bien sûr,
concours de canoës exige que leur structure soit composée à 90 % de béton. Les
la raison pour laquelle le canoë flotte est le développement de…force de flottabilité
canoës sont généralement conçus par ordinateur par des étudiants en génie civil.
en raison du volume d'eau déplacé. Avec une conception appropriée, cette force
La notation finale repose sur quatre critères : un rapport de conception, une
verticale peut être utilisée pour équilibrer le poids du canoë et de ses passagers ; le
présentation orale, le produit final et la compétition. En 2011, l'Université
canoë flotte. Chaque année depuis 1988, une compétition nationale de canoës en
polytechnique d'État de Californie à San Luis Obispo a remporté le championnat
béton pour équipes universitaires est organisée conjointement par…
national, qui s'est déroulé à l'Université d'Evansville, avec un canoë de 94 kg
(208 livres) et de 6,10 m (20 pieds) de long. (Voir le problème 2.147.)
66
Chapitre 2■ Statique des fluides
Ces mêmes résultats s'appliquent aux corps flottants qui ne sont que partiellement immergés, comme illustré sur la figure
2.24.dSi le poids spécifique du fluide situé au-dessus de la surface du liquide est très faible par rapport à celui du liquide dans
lequel le corps flotte, alors cette condition est remplie. Comme le fluide situé au-dessus de la surface est généralement de l'air,
cette condition est généralement satisfaite.
Dans les calculs présentés ci-dessus, on suppose que le fluide a un poids spécifique constant.
γSi un corps est immergé dans un fluide dans lequelγLorsque la force de flottabilité varie avec la
profondeur, comme dans le cas d'un fluide stratifié, son intensité reste égale au poids du fluide
déplacé. Cependant, cette force ne passe pas par le centre de gravité du volume déplacé, mais par
son centre de gravité.
EXEMPLE 2.10
Force de flottabilité sur un objet immergé
DONNÉUn gilet de sauvetage de type I (dispositif de flottaison individuel) utilisé en mer, tel que
Force ascendante nette minimale de 22 lb exercée sur l'utilisateur.
porté par les pêcheurs professionnels, est illustré sur la figure E2.10.unIl est conçu pour une survie
Envisager un gilet de sauvetage en mousse d'une densité de 2,0 lb/pi³.3
prolongée en eaux agitées et en haute mer. Conformément à la réglementation des garde-côtes
pour le matériau de flottaison principal. Le reste du matériau (tissu,
américains, le gilet de sauvetage doit offrir une protection contre les naufrages.
sangles, attaches, etc.) pèse 1,3 lb et son volume est négligeable.
TROUVERDéterminer le volume minimal de mousse nécessaire pour ce gilet de
sauvetage.
SOLUTION
Un diagramme de corps libre du gilet de sauvetage est présenté sur la
figure E2.10.b, oùFBest la force de flottabilité agissant sur le gilet de
sauvetage, Fest le poids de la mousse, S=1,3 lb représente le poids du
matériau restant, etFU=La force requise sur l'utilisateur est de 22 lb.
Pour l'équilibre, il s'ensuit que
FB= F+ S+FU
(1)
où, d'après l'équation 2.22
FB=γeauV
Iciγeau= 64,0 lb/pi3est le poids spécifique de l'eau de mer et V
est le volume de la mousse. mousse=γmousseV,où γmousse= 2,0 lb/pi3
est le poids spécifique de la mousse. Ainsi, d'après l'équation 1
γeauV=γmousseV+ S+FU
Facebook
■ Figure E2.10un
ou
V= ( S+FU)-(γeau−γmousse)
= (1,3 lb + 22 lb)-(64,0 lb/pi3− 2,0 lb/pi3) =
0,376 pi3
(Réponse)
COMMENTAIRESDans cet exemple, plutôt que d'utiliser la force de pression
hydrostatique, difficile à calculer, s'exerçant sur le gilet de sauvetage de
forme irrégulière, nous avons utilisé la poussée d'Archimède. L'effet net des
forces de pression à la surface du gilet est égal à la poussée d'Archimède.
N'incluez pas simultanément la poussée d'Archimède et la pression
hydrostatique dans vos calculs ; utilisez l'une ou l'autre.
La conception d'un gilet de sauvetage ne se limite pas au volume
S
nécessaire à la flottabilité requise. Conformément à la réglementation, un
F
gilet de sauvetage de type I doit également être conçu de manière à assurer
une protection adéquate à l'utilisateur en retournant une personne
inconsciente dans l'eau sur le dos, comme illustré à la figure E2.10.unCela
fait intervenir la notion de stabilité d'un objet flottant (voir section 2.11.2). Le
gilet de sauvetage doit également offrir un minimum de gêne dans des
FU
■ Figure E2.10b
conditions de travail normales afin d'encourager son utilisation par les
pêcheurs professionnels.
2.11 Flottabilité, poussée et stabilité
67
Les effets de la poussée d'Archimède ne se limitent pas à l'interaction entre un corps solide et un fluide.
Ils peuvent également être observés au sein même des fluides, dès lors qu'il existe une différence de densité.
Considérons la partie ombrée de la figure 2.24.cIl s'agit d'un volume de fluide plutôt que d'un solide. Ce volume
de fluide est immergé dans le fluide environnant et subit donc une poussée d'Archimède due au fluide qu'il
déplace (comme le solide). Si ce volume contient un fluide de densité…ρ1, alors la force descendante due au
poids est =ρ1gVDe plus, si le fluide environnant a la même densité, alors la force de flottabilité exercée sur le
volume par le fluide déplacé sera :FB=γV=ρ1gVComme prévu, dans ce cas, le poids du volume est exactement
compensé par la poussée d'Archimède qui s'exerce sur lui, de sorte qu'il n'y a pas de force résultante.
Cependant, si la densité du fluide dans le volume estρ2, alors etFBne s'équilibrera pas et il y aura une force nette
vers le haut ou vers le bas selon que la densité dans le volume (ρ2La densité d'un fluide est respectivement
inférieure ou supérieure à celle du fluide environnant. Cette différence peut provenir de deux fluides de densités
différentes ou de variations de température au sein d'un même fluide, entraînant des variations spatiales de
densité. Par exemple, la fumée d'un incendie monte car elle est plus légère (du fait de sa température plus
élevée) que l'air ambiant.
LE VASTE MONDE DES FLUIDES
Lac explosifEn 1986, une explosion massive de dioxyde de carbone (CO₂) s'est produite.2
Lorsque des bulles se forment, elles remontent, grossissent et provoquent la
Une explosion survenue au lac Nyos, à l'ouest du Cameroun, a fait plus de 1 700 victimes
formation d'autres bulles, alimentant ainsi une réaction en chaîne. Un phénomène
parmi les personnes et le bétail. Cette explosion était due à une accumulation de CO₂.2
similaire se produit souvent lorsqu'on secoue une bouteille de soda puis qu'on
qui s'infiltrait dans l'eau à haute pression au fond du lac depuis des sources
l'ouvre. Le liquide gicle alors violemment. Lorsque ces événements se sont produits
chaudes de CO22-eau porteuse de CO. Le CO2L'eau riche en CO₂ est plus lourde que
dans le lac Nyos, le lac entier s'est renversé sous l'effet d'une colonne d'eau
l'eau pure et peut contenir un volume de CO₂.2plus de cinq fois le volume d'eau.
montante et en expansion.flottablebulles. Le CO2, plus lourd que l'air2Le gaz s'est
Tant que le gaz reste dissous dans l'eau, le lac stratifié (c'est-à-dire de l'eau pure en
ensuite répandu dans les longues et profondes vallées entourant le lac, asphyxiant
surface, CO₂)2L'eau au fond est stable. Mais si un mécanisme quelconque provoque
les hommes et les animaux pris au piège dans le nuage. Une victime se trouvait à
le gaz
27 km en aval du lac.
2.11.2 Stabilité
Écurie
Un autre problème intéressant et important lié aux corps immergés ou flottants concerne leur stabilité.
Comme l'illustre la figure en marge, un corps est dit être en…équilibre stableune position est une position
d'équilibre si, lorsqu'elle est déplacée, elle revient à sa position d'équilibre. Inversement, elle est dans une
position deéquilibre instableLa stabilité d'un corps immergé ou flottant dépend de sa position d'équilibre,
même après un léger déplacement. Les considérations de stabilité sont particulièrement importantes car
leurs centres de poussée et de gravité ne coïncident pas nécessairement. Une petite rotation peut
engendrer un couple de rappel ou de renversement. Par exemple, pour lecomplètementcorps immergé
représenté sur la figure 2.25, dont le centre de gravité est situé en dessous du centre de poussée, une
rotation à partir de sa position d'équilibre créera un couple de rappel formé par le poids, ,et la force de
flottabilité,FBce qui provoque la rotation du corps vers sa position initiale. Ainsi, dans cette configuration,
le corps est stable. Il est à noter que tant que le centre de gravité estci-dessousle centre de poussée, cela
sera toujours vrai ; c'est-à-dire que le corps se trouve dans unéquilibre stableposition par rapport aux
petites rotations. Cependant, comme illustré sur la figure 2.26, si le centre de gravité du
Instable
La stabilité de
un corps peut être
c
CG
FB
c
FB
CG
déterminé par
compte tenu de ce
cela se produit quand
est déplacé de
son équilibre
position.
CG
c
CG
c
FB
FB
Renversement
Restauration
Écurie
couple
Instable
■ Figure 2.25Stabilité d'un corps
■ Figure 2.26Stabilité d'un corps
gravité sous le centre de gravité.
au-dessus du centre de gravité.
complètement immergé — centre de
couple
complètement immergé — centre de gravité
68
Chapitre 2■ Statique des fluides
CG
c
CG
c'
FB
FB
c=centroïde de l'original
c'=centre de gravité du nouveau
volume déplacé
volume déplacé
Restauration
couple
Écurie
■ Figure 2.27Stabilité d'un corps flottant — configuration stable.
CG
CG
c
FB
Limite stable
c=centroïde de l'original
volume déplacé
c'
FB
c'=centre de gravité du nouveau
volume déplacé
Instable
Renversement
couple
■ Figure 2.28
Stabilité d'un corps flottant — instable
configuration.
Si un corps complètement immergé se trouve au-dessus de son centre de poussée, le couple résultant du poids et de la poussée
d'Archimède provoquera son renversement et son déplacement vers une nouvelle position d'équilibre. Ainsi, un corps
complètement immergé a son centre de gravité situé au-dessus de son centre de poussée.au-dessus deson centre de poussée se
situe dans unéquilibre instableposition.
PourflottantPour les corps, le problème de stabilité est plus complexe, car la rotation du corps peut
Très stable
© RiverNorthPhotography/
iStockphoto
modifier la position de son centre de poussée (qui correspond au centre de gravité du volume déplacé). Comme
illustré sur la figure 2.27, un corps flottant tel qu'une barge naviguant bas sur l'eau peut être stable même si son
centre de gravité se situe au-dessus de son centre de poussée. Ceci s'explique par le fait que, lors de la rotation
du corps, la poussée d'Archimède…FB, se déplace pour passer par le centre de gravité du volume déplacé
nouvellement formé et, comme illustré, se combine avec le poids, ,Un couple se forme, ramenant le corps à sa
position d'équilibre initiale. Cependant, pour le corps relativement haut et élancé représenté sur la figure 2.28,
un faible déplacement rotationnel peut engendrer, par la force de poussée et le poids, un couple de
renversement, comme illustré.
Même ces exemples relativement simples montrent que, si le concept de stabilité des corps
flottants est facile à comprendre, déterminer la stabilité de corps flottants spécifiques peut s'avérer
fastidieux. Même pour des formes simples, la détermination du centre de gravité de volumes déplacés
irréguliers peut nécessiter de nombreux calculs, tout comme la détermination du centre de masse de
corps non homogènes. Bien que le kayak relativement étroit et la péniche large représentés sur les
figures en marge soient tous deux stables, le kayak chavirera beaucoup plus facilement que la péniche. Le
problème peut être encore complexifié par la prise en compte d'autres types de forces extérieures, telles
que celles induites par les rafales de vent ou les courants. Les considérations de stabilité sont
évidemment primordiales dans la conception des navires, sous-marins, bathyscaphes, etc. ; elles jouent
un rôle important dans le travail des architectes navals (voir, par exemple, la référence 6).
2.12
Variation de pression dans un fluide avec mouvement de corps rigide
Bien que dans ce chapitre nous nous soyons principalement intéressés aux fluides au repos, l'équation générale du
mouvement (Eq. 2.2)
− ∇p−γk̂=ρun
69
2.12 Variation de pression dans un fluide avec mouvement de corps rigide
Même si un fluide est en
mouvement, s'il se
déplace comme un
Cette équation a été développée pour les fluides au repos et en mouvement, la seule condition étant l'absence
de contraintes de cisaillement. L'équation 2.2 peut être exprimée en coordonnées rectangulaires, le vecteur
gravité étant orienté vers le bas.z-direction, comme
corps rigide là
∂p
∂x
− =ρun
Il n'y aura pas de
contraintes de cisaillement.
x
∂p
∂y
− =ρun
∂p
∂z
− =γ+ρun
y
(2.24)
z
Une catégorie générale de problèmes liés au mouvement des fluides, en l'absence de contraintes de cisaillement,
se rencontre lorsqu'une masse de fluide subit un mouvement de corps rigide. Par exemple, si un récipient contenant un
fluide accélère en ligne droite, le fluide se déplacera comme une masse rigide (après l'amortissement du mouvement de
ballottement initial), chaque particule subissant la même accélération. En l'absence de déformation, il n'y a pas de
Il n'y a pas
contraintes de cisaillement
dans un corps fluide
subissant une rigidité
traduction du corps ou
rotation.
contraintes de cisaillement et, par conséquent, l'équation 2.2 s'applique. De même, si un fluide est contenu dans un
réservoir en rotation autour d'un axe fixe, le fluide tournera simplement avec le réservoir, qui se comporte comme un
corps rigide. L'équation 2.2 peut alors être appliquée pour obtenir la distribution de pression dans le fluide en
mouvement. Les résultats spécifiques à ces deux cas (mouvement uniforme de corps rigide et rotation de corps rigide)
sont développés dans les deux sections suivantes. Bien que les problèmes relatifs aux fluides en mouvement de corps
rigide ne soient pas, à proprement parler, des problèmes de « statique des fluides », ils sont inclus dans ce chapitre car,
comme nous le verrons, l'analyse et les relations de pression qui en résultent sont similaires à celles des fluides au repos.
2.12.1 Mouvement linéaire
Nous considérons d'abord un récipient ouvert contenant un liquide qui se déplace le long d'une trajectoire rectiligne
avec une accélération constante.uncomme illustré à la figure 2.29. Puisqueunx=0, il découle de la première des équations
2.24 que le gradient de pression dans lexla direction est zéro (∂p ∂x=0). Dans leyetzinstructions
∂p
= −ρay
∂y
(2.25)
∂p
= −ρ(g+un) z
∂z
(2.26)
La variation de pression entre deux points très proches situés ày,z, ety+dy,z+dzpeut être
exprimé comme
dp=
∂p
∂p
dy+
dz
∂y
∂z
uny
p1 Constante
p2 pression
p3
lignes
z
x
(un)
unz
surface libre
pente =dz/dy
g+unz
y
(b)
■ Figure 2.29Accélération linéaire d'un liquide à surface libre.
un
uny
(c)
70
Chapitre 2■ Statique des fluides
z
ou en fonction des résultats des équations 2.25 et 2.26
dp= −ρaydy−ρ(g+unz)dz
dy
dz
uny
(2.27)
Le long d'une ligne deconstantepression,dp=0, et par conséquent, d'après l'équation 2.27, la pente de
cette droite est donnée par la relation
g+unz
uny
dz
=−
dy
g+unz
y
(2.28)
Cette relation est illustrée par la figure en marge. Le long d'une surface libre, la pression est constante, de sorte
que pour la masse en accélération représentée sur la figure 2.29, la surface libre sera inclinée siuny≠0. De plus,
toutes les lignes d'isopression seront parallèles à la surface libre, comme illustré.
La pression
distribution dans une
masse de fluide qui
accélère le long
Dans les circonstances particulières oùuny=0,unz≠0, qui correspond à la masse de fluide accélérant
verticalement, l'équation 2.28 indique que la surface du fluide sera horizontale. Cependant, l'équation
2.26 montre que la distribution de pression n'est pas hydrostatique, mais est donnée par l'équation
dp
= −ρ(g+unz)
dz
Un trajet rectiligne n'est
pas hydrostatique.
Pour les fluides de densité constante, cette équation montre que la pression variera linéairement avec la
profondeur, mais cette variation est due aux effets combinés de la gravité et de l'accélération induite de
l'extérieur. ρ(g+unz), plutôt que simplement le poids spécifiqueρgAinsi, par exemple, la pression au fond d'un
réservoir rempli de liquide et reposant sur le plancher d'un ascenseur en accélération ascendante sera
supérieure à celle qui existe lorsque le réservoir est immobile (ou se déplace à vitesse constante). Il est à noter
que pour unchute libremasse fluide (unz= −gDans ce cas, les gradients de pression sont nuls dans les trois
directions, ce qui signifie que si la pression autour de la masse est nulle, la pression en son sein le sera
également. La pression dans une goutte de jus d'orange flottant dans une navette spatiale en orbite (une forme
de chute libre) est uniforme et légèrement supérieure à la pression ambiante grâce à la tension superficielle qui
assure sa cohésion (voir section 1.9).
EXEMPLE 2.11
Variation de pression dans un réservoir d'accélération
uny
DONNÉLa section transversale du réservoir de carburant d'un véhicule
Vent
expérimental est représentée sur la figure E2.11. Le réservoir rectangulaire
z
est ventilé à l'atmosphère et la densité du carburant est deSG=0,65. Un
Air
capteur de pression est situé sur son côté, comme illustré. Lors des essais du
y
véhicule, le réservoir est soumis à une accélération linéaire constante.uny.
z1
Carburant
TROUVER(un)Déterminez une expression qui relieunyet la pression (en lb ft2)
au niveau du transducteur.(b)Quelle est l'accélération maximale qui peut se
(2)
produire avant que le niveau de carburant ne descende en dessous du
transducteur ?
(1)
0,75 pi
0,5 pi
Transducteur
0,75 pi
■ Figure E2.11
SOLUTION
(un)Pour une accélération horizontale constante, le carburant se déplacera comme un
ou
corps rigide, et à partir de l'équation 2.28, la pente de la surface du carburant peut être
z1= (0,75 pi)(g)
exprimée comme
uny
dz
=−
g
dy
uny
Puisqu'il n'y a pas d'accélération verticale,zDans cette direction, la pression le
long de la paroi varie de manière hydrostatique, comme le montre l'équation
depuisunz=0. Ainsi, pour un certain arbitraireuny, le changement de profondeur,z1La
2.26. Ainsi, la pression au niveau du transducteur est donnée par la relation
quantité de liquide du côté droit du réservoir peut être calculée à partir de l'équation.
suivante :
−
z1
0,75 pi
=−
uny
g
p=γh
71
2.12 Variation de pression dans un fluide avec mouvement de corps rigide
ou
oùhest la profondeur du carburant au-dessus du transducteur, et par conséquent
p= (0,65) (62,4 lb pi)3)[0,5 pi − (0,75 pi) (unyg)]
=20,3 − 30,4
(uny)max=
uny
(Réponse)
g
2g
3
et pour l'accélération standard due à la gravité
pourz1≤0,5 pi. Tel qu'écrit,pserait exprimé en livres-pieds2.
(uny)max=32(32,2 pi s2) = 21,5 pi s2
(b)La valeur limite pour (uny)max(lorsque le niveau de carburant atteint le
transducteur) peut être déterminé à partir de l'équation
(Réponse)
COMMENTAIRENotez que la pression dans les couches horizontales
(uny)max
n'est pas constante dans cet exemple puisque∂p ∂y= −ρay≠0. Ainsi, par
0,5 pi = (0,75 pi) [g]
exemple,p1≠p2.
2.12.2 Rotation d'un corps rigide
Un fluide contenant
dans un réservoir
Après une phase transitoire initiale de « démarrage », un fluide contenu dans un réservoir qui tourne à une vitesse angulaire
constanteωLa rotation autour d'un axe, comme illustré sur la figure 2.30, entraînera la rotation du réservoir, considéré comme un
corps rigide. On sait, d'après la dynamique des particules élémentaires, que l'accélération d'une particule de fluide située à une
qui tourne avec un
constante angulaire
distance donnée est proportionnelle à cette distance.r la distance par rapport à l'axe de rotation est égale en magnitude àrω2
vitesse autour d'une
L'accélération est dirigée vers l'axe de rotation, comme illustré sur la figure. Les trajectoires des particules de fluide étant
L'axe tournera comme un
circulaires, il est commode d'utiliser les coordonnées cylindriques polaires.r,θ, etz, défini dans l'encart de la figure 2.30. Il sera
corps rigide.
démontré au chapitre 6 que, en coordonnées cylindriques, le gradient de pression∇ppeut être
exprimé comme
∇p=
∂p
1∂p
∂p
ê+
êθ +
êz
r
∂r
r ∂θ
∂z
(2.29)
Ainsi, dans ce système de coordonnées
unr= −rω2êr
unθ=0
unz=0
et d'après l'équation 2.2
∂p
=ρrω2
∂r
∂p
=0
∂θ
∂p
= −γ
∂z
(2.30)
Axe de
rotation
z
ω
r
unr=rω2
r
θ
ω
y
ez
eθ
x
er
(un)
■ Figure 2.30
(b)
Rotation d'un liquide dans un réservoir, sous l'effet d'un corps rigide. (Photographie reproduite avec l'aimable autorisation de Geno Pawlak.)
(c)
72
Chapitre 2■ Statique des fluides
Ces résultats montrent que, pour ce type de rotation de corps rigide, la pression est fonction de deux variables.r
etz, et par conséquent la pression différentielle est
∂p
∂p
docteur+
dz
∂r
∂z
dp=
ou
dp=ρrω2docteur−γ dz
p
(2.31)
Sur un plan horizontal (dz=0), il découle de l'équation 2.31 quedp/docteur=ρω2r, qui est supérieure à zéro. Par
z=constante
conséquent, comme illustré dans la figure ci-contre, en raison de l'accélération centrifuge, la pression augmente
dans la direction radiale.
dp
dp
Le long d'une surface de pression constante, telle que la surface libre,dp=0, de sorte que d'après l'équation 2.31 (en
utilisantγ=ρg)
docteur
– – – =ρω2r
dz
docteur
r
=
docteur
rω2
g
L'intégration de ce résultat donne l'équation pour les surfaces à pression constante :
z=
La surface libre d'un
ω2r2
+ constante
2g
(2.32)
Cette équation révèle que ces surfaces de pression constante sont paraboliques, comme illustré sur la figure 2.31.
L'intégration de l'équation 2.31 donne
liquide en rotation est
∫ dp=ρω ∫ r dr−γ∫ dz
courbe plutôt que
plat.
2
ou
p=
ρω2r2
2
− γz+constante
(2.33)
où la constante d'intégration peut être exprimée en fonction d'une pression spécifiée à un point arbitrairer0,z0Ce
résultat montre que la pression varie avec la distance par rapport à l'axe de rotation, mais à un rayon fixe, la
pression varie de manière hydrostatique dans la direction verticale comme le montre la figure 2.31.
z
p1
p1
Constante
pression
lignes
p2
p2
p3
p3
p4
p4
_ω_2_r_2
2g
r
y
x
■ Figure 2.31Répartition de la pression dans un liquide en rotation.
73
2.13 Résumé du chapitre et guide d'étude
EXEMPLE 2.12
Forme de la surface libre d'un liquide dans un réservoir en rotation
r
DONNÉIl a été suggéré que la vitesse angulaire,ωLa viscosité d'un corps ou
d'un arbre en rotation peut être mesurée en fixant un cylindre ouvert de
R
liquide, comme illustré sur la figure E2.12.unet en mesurant, à l'aide d'un
type de jauge de profondeur, la variation du niveau du fluide,H−h0, causée
par la rotation du fluide.
Profondeur
Initial
jauge
profondeur
r
TROUVERDéterminez la relation entre cette variation du niveau de
docteur
fluide et la vitesse angulaire.
h
SOLUTION
La hauteur,hLa hauteur de la surface libre au-dessus du fond du réservoir peut être
h0
z
H
h
0
déterminée à partir de l'équation 2.32, et il s'ensuit que
ω
ω2r2
h=
+ h0
2g
(un)
Le volume initial de fluide dans le réservoir,Vje, est égal à
(b)
■ Figure E2.12
Vje=πR2H
Le volume du fluide avec le réservoir rotatif peut être déterminé à
l'aide de l'élément différentiel représenté sur la figure E2.12.bCette
coque cylindrique est prise à un rayon arbitraire.r, et son volume
est
dV=2πrh dr
∫
V=2π
0
ω2r2
r(2g
H−h0=
COMMENTAIRE
ω2R2
4g
(Réponse)
C'est la relation que nous recherchions.
cela montre que la variation de profondeur pourrait effectivement être
Le volume total est donc,
R
ou
utilisée pour déterminer la vitesse de rotation, bien que la relation entre la
+ h0) docteur=
πω2R4
4g
+ πR2h0
variation de profondeur et la vitesse ne soit pas linéaire.
Puisque le volume du fluide dans le réservoir doit rester constant (en
supposant qu'il n'y ait pas de débordement), il s'ensuit que
πR2H=
πω2R4
4g
+ πR2h0
LE VASTE MONDE DES FLUIDES
Télescope à miroir à mercure rotatifLe miroir d'un télescope a la même forme
Lors de sa mise en service, il s'agissait du troisième plus grand télescope optique
que la surface libre parabolique d'unliquide dans un réservoir rotatif.Le télescope à
d'Amérique du Nord. D'un diamètre de 1,8 m et d'une vitesse de rotation de 7 tours
miroir liquide (LMT) est constitué d'un bac contenant un liquide (généralement du
par minute, ce télescope utilise 30 litres de mercure pour son miroir parabolique
mercure en raison de son excellente réflectivité) en rotation afin de produire la
d'un millimètre d'épaisseur. L'un des principaux avantages d'un télescope à miroir
forme parabolique requise pour le miroir à surface libre. Grâce aux récents progrès
mobile (comparativement à un télescope à miroir classique) est son faible coût. Son
technologiques, il est possible d'obtenir la rotation sans vibration et la vitesse
principal inconvénient est peut-être qu'il ne peut observer que le ciel droit devant,
angulaire constante nécessaires à la production d'une surface de miroir liquide
alors que de nombreuses galaxies, explosions de supernovae et débris spatiaux
suffisamment précise pour l'astronomie. La construction du plus grand LMT, situé à
sont visibles dans toutes les parties du ciel. Les télescopes à miroir mobile de
l'Université de Colombie-Britannique, s'est achevée en 2003.
nouvelle génération pourraient être équipés de miroirs secondaires mobiles afin
d'élargir le champ d'observation. (Voir le problème 2.163.)
2.13
Résumé du chapitre et guide d'étude
Ce chapitre traite de la variation de pression dans un fluide au repos, ainsi que de certaines conséquences importantes
de ce type de variation. Il est démontré que, pour les fluides incompressibles au repos, la pression varie linéairement
avec la profondeur. Ce type de variation est communément appelé distribution de pression hydrostatique. Pour les
fluides compressibles au repos, la distribution de pression ne sera généralement pas linéaire.
74
Chapitre 2■ Statique des fluides
Bien que l'équation 2.4 soit hydrostatique, elle reste valable et permet de déterminer la distribution
de pression à condition de préciser la variation du poids spécifique. La distinction entre pression
absolue et pression relative est abordée, ainsi que l'utilisation des baromètres pour la mesure de la
pression atmosphérique.
La loi de Pascal
Les manomètres, appareils de mesure de pression utilisant des colonnes de liquide statiques, sont
force de surface
analysés en détail. Un bref exposé des manomètres mécaniques et électroniques est également présenté. Des
force corporelle
fluide incompressible
pression hydrostatique
distribution
tête de pression
fluide compressible
norme américaine
équations permettant de déterminer l'intensité et la position de la force résultante exercée par le fluide sur une
surface plane en contact avec un fluide statique sont établies. Une méthode générale pour déterminer l'intensité
et la position de cette force résultante agissant sur une surface courbe en contact avec un fluide statique est
développée. Enfin, pour les corps immergés ou flottants, le concept de poussée d'Archimède et l'application du
principe d'Archimède sont abordés.
La liste de contrôle suivante constitue un guide d'étude pour ce chapitre. Une fois l'étude complète du
chapitre et les exercices de fin de chapitre terminés, vous devriez être capable de :
■
atmosphère
Ces termes sont particulièrement importants et sont définis dansitalique, gras et couleurSaisissez le
texte.
pression absolue
pression manométrique
pression du vide
baromètre
manomètre
Pression de Bourdon
jauge
centre de pression
■
calculer la pression en différents points d'un fluide incompressible au repos.
■
calculer la pression à différents endroits dans un fluide compressible au repos en utilisant l'équation
2.4 si la variation du poids spécifique est spécifiée.
■
principe
centre de flottabilité
utiliser le concept de distribution de pression hydrostatique pour déterminer les pressions à partir de mesures
effectuées à l'aide de différents types de manomètres.
■
déterminer l'amplitude, la direction et l'emplacement de la force hydrostatique résultante agissant sur
une surface plane.
■
force de flottabilité
Archimède'
Notez en marge la signification des termes énumérés ici et comprenez chacun des concepts associés.
Déterminer l'amplitude, la direction et l'emplacement de la force hydrostatique résultante agissant sur
une surface courbe.
■
Utiliser le principe d'Archimède pour calculer la force hydrostatique résultante agissant sur les corps flottants
ou immergés.
■
analyser, sur la base de l'équation 2.2, le mouvement des fluides se déplaçant avec un mouvement linéaire simple de corps
rigide ou une rotation simple de corps rigide.
Voici quelques-unes des équations importantes de ce chapitre :
Gradient de pression dans un fluide stationnaire
dp
= −γ
dz
(2.4)
Variation de pression dans un fluide incompressible stationnaire.
p1=γh+p2
(2.7)
Force hydrostatique sur une surface plane.
FR=γhcUN
(2.18)
Localisation de la force hydrostatique sur une surface plane
jexc
+ yc
yR=
ycUN
(2.19)
xR=
Force de flottabilité
jexyc
+ xc
ycUN
FB=γV
∂p
∂p
Gradient de pression dans le mouvement d'un corps rigide −
=ρunx, −
=ρuny,
∂x
∂y
∂p
∂p
Gradient de pression en rotation de corps rigide
=ρrω2,
=0,
∂r
∂θ
∂p
−
=γ+ρunz
∂z
∂p
= −γ
∂z
(2.20)
(2.22)
(2.24)
(2.30)
Problèmes
75
Références
1.L'atmosphère standard américaine,1962Imprimerie du gouvernement américain, Washington, DC, 1962.
2.L'atmosphère standard américaine,1976Imprimerie du gouvernement américain, Washington, DC, 1976.
3. Benoît, RP,Principes fondamentaux de la température,Pression,et mesures de débit, 3e éd., Wiley, New
York, 1984.
4. Dally, JW, Riley, WF et McConnell, KG,Instrumentation pour les mesures d'ingénierie, 2e éd.,
Wiley, New York, 1993.
5. Holman, JP,Méthodes expérimentales pour ingénieurs, 4e éd., McGraw-Hill, New York, 1983.
6. Comstock, JP, éd.,Principes de l'architecture navaleSociété des architectes navals et des ingénieurs
maritimes, New York, 1967.
7. Hasler, AF, Pierce, H., Morris, KR et Dodge, J., « Les champs de données météorologiques « en perspective » »,
Bulletin de la Société américaine de météorologie, Vol. 66, n° 7, juillet 1985.
Problèmes
Remarque : À moins que des valeurs spécifiques des propriétés du fluide
En marchant au niveau de la mer, déterminez le rapport entre la masse
requises ne soient données dans l'énoncé du problème, utilisez les valeurs
d'oxygène inhalée à chaque respiration à cette altitude et celle inhalée au
figurant dans les tableaux à l'intérieur de la couverture.
niveau de la mer.
Section 2.3Variation de pression dans un fluide au repos
2.1Un réservoir fermé de 5 m de haut est rempli d'eau jusqu'à une profondeur
de 4 m. La partie supérieure du réservoir est remplie d'air qui, selon un
manomètre situé en haut du réservoir, est à une pression de 20 kPa.
Déterminez la pression que l'eau exerce sur le fond du réservoir.
2.2Le niveau d'eau dans une colonne montante ouverte est de 80 pieds au-dessus du
2.9Le pic Denali en Alaska culmine à 20 308 pieds d'altitude.
(un)Déterminez la pression à cette altitude, en vous basant sur l'équation 2.12.
(b)Si l'on suppose que l'air a un poids spécifique constant de 0,07647 lb/
ft3, quelle serait la pression à cette altitude ?(c)Si l'on suppose que la
température de l'air est constante à 59 °F, quelle serait la pression à cette
altitude ? Dans les trois cas, on suppose les conditions atmosphériques
standard (voir tableau 2.1). Quelles valeurs correspondent le mieux à
celles de l'atmosphère standard (tableau C.1) ?
sol. Quelle est la pression statique à une borne d'incendie raccordée à cette colonne
montante et située au niveau du sol ? Exprimez votre réponse en psi.
Section 2.5Mesure de la pression
2.3À quelle pression, exprimée en pascals, un plongeur en apnée sera-t-il soumis à
une profondeur de 40 m dans l'eau de mer ?
2.4Aux grandes profondeurs que l'on peut rencontrer dans l'océan, la
compressibilité de l'eau de mer peut devenir un facteur important à prendre
2.10Du côté aspiration d'une pompe, un manomètre de Bourdon indique un
vide de 40 kPa. Quelle est la pression absolue correspondante si la pression
atmosphérique locale est de 100 kPa (abs) ?
en compte.(un)Supposons que le module de compressibilité de l'eau de mer
2.11Le réservoir cylindrique à extrémités hémisphériques représenté sur la
soit constant et établissons une relation entre la pression et la profondeur qui
figure P2.11 ci-dessous contient un liquide volatil et sa vapeur. La masse
tient compte de la variation de la densité du fluide avec la profondeur.(b)
volumique du liquide est de 800 kg/m³.3La densité de la vapeur est
Utilisez la partie(un)pour déterminer la pression à une profondeur de 6 km en
négligeable. La pression dans la vapeur est de 151 kPa abs, et la pression
supposant que l'eau de mer a un module de compressibilité de 2,3 × 109Pa et
atmosphérique est de 101 kPa abs. Déterminer(un)la lecture de la pression
une densité de 1030 kg/m3à la surface. Comparez ce résultat avec celui obtenu
manométrique sur le manomètre et(b)la hauteur,h, du manomètre à mercure.
en supposant une densité constante de 1030 kg/m³.3.
2.5Élaborer une expression pour la variation de pression dans un liquide
dont le poids spécifique augmente avec la profondeur.h, commeγ=Kh+γ0,
oùKest une constante etγ0est le poids spécifique à la surface libre.
2.6Bien que l'eau soit difficilement compressible, sa densité au fond
de l'océan est supérieure à celle de la surface en raison de la
pression plus élevée en profondeur. Estimez de combien le niveau
de la surface de l'océan s'élèverait si la densité de l'eau de mer était
instantanément uniformisée et égale à celle de la surface.
Ouvrir
Vapeur
1m
Liquide
1m
h
1m
Section 2.4Atmosphère standard
2.7Une pression absolue de 7 psia correspond à quelle pression relative pour
une pression atmosphérique standard de 14,7 psia ?
2.8Supposons qu'une personne fasse de la randonnée en montagne à une altitude de
À 14 000 pieds, on inspire le même volume d’air à chaque respiration que lorsque…
Mercure
■ Figure P2.11
76
Chapitre 2■ Statique des fluides
Section 2.6manométrie
pour de faibles différentiels de pression. Déterminez la relation entre hmainp1
−p2lorsque le rapport de surfaceUNt/UNrest faible et montre que la lecture
2.12Un manomètre en U rempli d'eau sert à mesurer la pression à l'intérieur
différentielle,h, peut être amplifiée en faisant la différence dans les poids
d'un réservoir contenant de l'air. Le niveau d'eau dans le tube en U, du côté
spécifiques, γ2− γ1, petit. Supposons qu'initialement (avecp1=p2) les niveaux de
relié au réservoir, est de 1,5 m (5 pieds) au-dessus du fond de celui-ci. Le
fluide dans les deux réservoirs sont égaux.
niveau d'eau dans l'autre extrémité du tube en U (ouverte à l'atmosphère) est
de 0,6 m (2 pieds) au-dessus du fond. Déterminez la pression à l'intérieur du
réservoir.
p1
p2
γ1
γ1
2.13Un manomètre à mercure en forme de U est relié à un réservoir pressurisé
fermé, comme illustré sur la figure P2.13. Si la pression de l'air est de 2 psi,
déterminez la lecture différentielle.hLe poids spécifique de l'air est négligeable.
pAir=2 psi
h
g2
Air
Eau
2 pieds
■ Figure P2.15
2 pieds
2.16Une coquille hémisphérique remplie d'air est fixée au fond de l'océan à
une profondeur de 25,4 cm (10 pouces), comme illustré sur la figure P2.16. Un
baromètre à mercure placé à l'intérieur de la coquille indique 765 mmHg, et un
2 pieds
manomètre à mercure en U, conçu pour mesurer la pression de l'eau
extérieure, indique une pression différentielle de 735 mmHg, comme illustré.
h
D'après ces données, quelle est la pression atmosphérique à la surface de
l'océan ?
Mercure (SG=13.6)
surface de l'océan
■ Figure P2.13
Mur de coquillage
eau de mer
2.14Un réservoir ouvert inversé est maintenu en place par une forceRcomme
indiqué sur la figure P2.14. Si la densité du fluide manométrique est de 2,5,
735 mm
360 mm
déterminez la valeur deh.
10 m
1 pouce de diamètre
tube
Mercure
Coquille
R
2 pieds
diamètre
h
Air
réservoir
3 pieds
■ Figure P2.16
2 pieds
2.17De l'eau, de l'huile et de l'eau salée remplissent un tube comme indiqué sur la
1 pied
Eau
figure P2.17. Déterminez la pression au point 1 (à l'intérieur du tube fermé).
densité de l'huile
■ Figure P2.14
= 1,20 slugs/pi3
1 pouce de diamètre
2 pouces de diamètre
3 pieds
2.15Les petites différences de pression des gaz sont généralement mesurées à
(1)
l'aide d'unmicromanomètredu type illustré à la figure P2.15. Ce dispositif se
2 pieds
compose de deux grands réservoirs ayant chacun une section transversale de
UNrqui sont remplies d'un liquide ayant un poids spécifique γ1
et reliés par un tube en U de section transversaleUNtcontenant un liquide de
poids spécifique γ2Lorsqu'une différence de pression de gaz se produit p1−p2,
est appliquée, une lecture différentielle,h, se développe. Il est souhaitable que
ce texte soit suffisamment grand (pour être facilement lisible).
Eau
■ Figure P2.17
1,20 m
Eau salée,
SG=1.20
Problèmes
2.18Trois liquides différents, dont les propriétés sont indiquées, remplissent le
77
UN
réservoir et les tubes du manomètre comme illustré sur la figure P2.18.
Déterminez la densité du fluide 3.
2 pieds
Eau
Eau
Fluide 1 : poids spécifique = 62,4 lb/pi³3
Fluide 2 : densité = 1,60 slugs/pi³3
Fluide 3 : densité relative = ?
1 pied
B
Fluide 2
1 pied
7 pieds
UN
Fluide de jauge
(SG=3.46)
Fluide 1
Fluide 3
1,83 m
1,5 m
3 pieds
■ Figure P2.21
■ Figure P2.18
2.19Déterminez la pression de l'eau dans la conduiteUNcomme indiqué dans la figure P2.19
si la pression manométrique de l'air dans le réservoir est de 2 psi.
2.22Le manomètre différentiel à mercure de la figure P2.22 est
raccordé à la conduiteUNcontenant de l'essence (SG=0,65), et à la
conduite Bcontenant de l'eau. Déterminer la lecture différentielle,h,
correspondant à une pression enUNde 15 kPa et un vide de 110 mm
Hg dansB.
p=2 psi
SG=0,9
Air
UN
0,3 m
1 pied
Eau
Essence
1,20 m
h
2 pieds
0,3 m
UN
Mercure
Eau
■ Figure P2.19
B
■ Figure P2.22
2.20Dans la figure P2.20 tuyauUNcontient du tétrachlorure de carbone (SG=
1.60) et le réservoir de stockage ferméBcontient une saumure (SG=
1.15) Déterminer la pression d'air dans le réservoirBsi la pression dans le tuyau est de
2.23Une ventouse est utilisée pour supporter une plaque de poidsWa été
illustré à la figure P2.23. Pour les conditions indiquées, déterminerW.
25 psi.
Air
B
Ouvrir
1,20 m
Eau
1,20 m
UN
3 pieds
0,4 pi
Saumure
3 pieds
Carbone
tétrachlorure
1,6 pi
SG=8
■ Figure P2.20
Ventouse
rayon de 0,5 pied
2.21Le fluide manométrique du manomètre de la figure P2.21 a une densité de
3,46. TuyauxUNetBLes deux contiennent de l'eau. Si la pression dans le tuyau
UNLa pression dans la conduite diminue de 1,3 psi. BSi la pression augmente
de 0,9 psi, déterminez la nouvelle lecture différentielle du manomètre.
2 pieds de diamètre
■ Figure P2.23
Plaque
78
Chapitre 2■ Statique des fluides
Section 2.8Force hydrostatique sur une surface plane
Les fentes et la porte ont une valeur de 0,03. Déterminez la force verticale minimale requise
pour soulever la porte lorsque le niveau d'eau est de 4 pieds au-dessus du bord supérieur de
2.24Deux tuyaux, l'un de 0,3 m de diamètre et l'autre de 0,02 m de diamètre,
sont solidaires et maintenus en place. Ces deux tuyaux sont horizontaux et
munis de pistons à leurs extrémités. Si l'espace entre les pistons est rempli
d'eau, quelle force faut-il appliquer au piston le plus grand pour compenser
une force de 90 N appliquée au piston le plus petit ? Négligez les frottements.
la porte.
2.30Une porte rectangulaire de 1,83 m de haut et 1,52 m de large, située sur le côté
d'un réservoir ouvert, est maintenue en place par la force.Fcomme indiqué sur la Fig.
P2.30. Le poids de la porte est négligeable et la charnière en O est sans frottement.
(un)Déterminer la profondeur de l'eau,h, si la force hydrostatique résultante de l'eau
agit à 2,5 pieds au-dessus du bas de la vanne, c'est-à-dire qu'elle est colinéaire avec la
2,25Un cylindre circulaire inversé de 0,1 m de diamètre est partiellement
force appliquéeF.(b)Pour la profondeur de la partie (a), déterminez l'amplitude de la
rempli d'eau et maintenu en place comme illustré sur la figure P2.25. Une force
force hydrostatique résultante.(c)Déterminez la force que la charnière exerce sur le
de 20 N est nécessaire pour extraire une plaque plane du cylindre. Déterminez
portail dans les conditions décrites ci-dessus.
la pression de l'air à l'intérieur du cylindre. La plaque n'est pas fixée au cylindre
et sa masse est négligeable.
0,1 m
Eau
Air
Charnière 0
h
Grille
Eau
0,2 m
F
1,83 m
Plaque
2,5 pieds
■ Figure P2.30
F=20 N
■ Figure P2.25
2.26Une vanne carrée (4 m x 4 m) est située sur la face inclinée à 45° d'un
barrage. Son bord supérieur se trouve à 8 m sous la surface de l'eau.
Déterminez la force exercée par l'eau sur la vanne et le point d'application de
cette force.
2.27Un grand réservoir ouvert contient de l'eau et est relié à une conduite de 1,83 m
de diamètre (voir figure P2.27). Un bouchon circulaire assure l'étanchéité de la
conduite. Déterminez l'intensité, la direction et le point d'application de la force
exercée par l'eau sur le bouchon.
2.31Une surface en forme de triangle isocèle, de base 6 pieds et d'angle
au sommet 8 pieds, est située dans le plan formant une paroi d'un
réservoir contenant un liquide dont le poids spécifique est de 79,8 lb/pi³.3
Le côté du triangle est incliné vers le haut, formant un angle de 60° avec
l'horizontale. Sa base est horizontale et son sommet est situé au-dessus
de la base. Déterminez la force résultante exercée par le fluide sur la
surface lorsque sa profondeur est de 20 pieds au-dessus de la base du
triangle. Représentez schématiquement la position du centre de
pression.
2,32Une surface plane verticale de la forme représentée sur la figure P2.32 est
immergée dans un bain d'huile (poids spécifique = 8,75 kN/m³).3Déterminez
l'intensité de la force résultante agissant sur un côté de la zone à la suite de la
présence d'huile.
4m
9 pieds
Eau
Prise
4m
Ouvrir
45°
1,83 m
bain d'huile
■ Figure P2.27
2.28Une porte circulaire de 2 m de diamètre est installée sur le côté
incliné d'une piscine. Ce côté forme un angle de 60° avec le fond
horizontal, et le centre de la porte se situe à 3 m sous la surface de
l'eau. Déterminez l'intensité de la force exercée par l'eau sur la porte
et le point d'application de cette force.
■ Figure P2.32
2,33Deux vannes carrées obturent deux ouvertures dans un conduit relié à un
réservoir d'eau ouvert, comme illustré sur la figure P2.33. Lorsque la profondeur de
l'eau,hLorsque la hauteur atteint 5 m, on souhaite que les deux portes s'ouvrent
simultanément. Déterminez le poids de la porte horizontale homogène et la force
horizontale.RUn dispositif agissant sur la vanne verticale est nécessaire pour
2.29Une vanne rectangulaire verticale mesure 2,44 m de large et 3,05 m de long et
maintenir les vannes fermées jusqu'à ce que la profondeur requise soit atteinte. Le
pèse 2722 kg. La vanne coulisse dans des rainures verticales pratiquées sur la paroi
poids de la vanne verticale est négligeable et les deux vannes sont articulées à une
d'un réservoir d'eau. Le coefficient de frottement entre les deux vannes est de 1,5 m.
extrémité, comme illustré. Le frottement dans les charnières est négligeable.
Problèmes
79
2,36Une porte rectangulaire de 2 m de large est située dans la paroi verticale
d'un réservoir contenant de l'eau comme indiqué sur la figure P2.36. On
Portail horizontal, 4 m × 4 m
Charnière
souhaite que la porte s'ouvre automatiquement lorsque la profondeur de l'eau
h
au-dessus du haut de la porte atteint 10 m.(un)À quelle distance,d, faut-il
3m
R
Eau
Porte verticale,
situer l'arbre horizontal sans frottement ?(b)Quelle est l'intensité de la force
exercée sur le portail lorsqu'il s'ouvre ?
4m×4m
Charnière
■ Figure P2.33
Eau
10 m
2,34Une vanne dont la section transversale est représentée sur la figure P2.34 ferme
une ouverture de 1,5 m de large et 1,2 m de haut dans un réservoir d'eau. La vanne
d
pèse 227 kg et son centre de gravité se situe à 30 cm à gauche de l'ouverture.ACet 60
4m
cm au-dessusColombie-BritanniqueDéterminez la réaction horizontale qui s'exerce
sur la porte àC.
Eau
■ Figure P2.36
8 pieds
2,37La face inclinéeANNONCELa surface plane du réservoir de la figure P2.37
Charnière
contient une porte.abc, qui est articulée le long de la ligneColombie-
UN
1,20 m
BritanniqueLa forme de la vanne est représentée sur le plan. Si le réservoir
contient de l'eau, déterminez l'intensité de la force exercée par l'eau sur la
vanne.
Grille
C
B
3 pieds
D
Charnière
■ Figure P2.34
Eau
B, C
2 pieds
UN
2,35La porte rigide,OAB, de la figure P2.35 est articulée àOet repose contre un
support rigide àBQuelle force horizontale minimale,PQuelle force est
nécessaire pour maintenir le portail fermé si sa largeur est de 3 m ? Négligez le
30°1,20 m
C
y′
Arrêt
poids du portail et le frottement au niveau des charnières. L'arrière du portail
est exposé aux intempéries.
B
UN
Ouvert à l'atmosphère
y′ =4(x′)2
Plan de
x′
grille
■ Figure P2.37
3m
O
2,38Un réservoir rectangulaire ouvert mesure 2 m de large et 4 m de long. Le réservoir
Eau
contient de l'eau jusqu'à une profondeur de 2 m et de l'huile (SG=0,8) à la surface de l'eau
Charnière
jusqu'à une profondeur de 1 m. Déterminez l'amplitude et l'emplacement de la force
résultante du fluide agissant sur une extrémité du réservoir.
4m
2,39Un bloc de béton de 1,2 m de haut et 20 cm de large (150 lb/pi²)3Le mur de
soutènement est construit comme indiqué sur la figure P2.39. Lors de fortes
B
UN
2m
■ Figure P2.35
pluies, l'eau remplit l'espace entre le mur et le sol situé derrière lui jusqu'à une
P
certaine profondeur.hDéterminer la profondeur d'eau maximale admissible
sans que le mur ne bascule. Le mur repose simplement sur le sol sans y être
ancré.
2,40L'eau s'accumule derrière un barrage en béton, comme illustré sur la figure P2.40. Les
fuites sous les fondations engendrent une répartition de la pression sous le barrage.
80
Chapitre 2■ Statique des fluides
le barrage comme indiqué. Si la profondeur de l'eau,hSi la pression est trop
forte, le barrage s'effondrera sur sa base (pointe).UNPour les dimensions
h1= 69 mm eth=101 mm, quelle est la valeur de la force appliquée ?
Pagissant sur le piston ? Le poids du piston est négligeable.
données, déterminez la profondeur d'eau maximale pour les largeurs de
barrage suivantes :ℓ =20, 30, 40, 50 et 60 pieds. Basez votre analyse sur une
longueur unitaire du barrage. Le poids spécifique du béton est de 150 lb/pi³.3.
P
Piston
h
8 pouces
h1
Eau
Mercure
1,20 m
■ Figure P2.42
h
Section 2.10Force hydrostatique sur une surface courbe
2,43Deux coques hémisphériques sont boulonnées ensemble, comme illustré
sur la figure P2.43. Le récipient sphérique ainsi formé, d'une masse de 300 lb,
■ Figure P2.39
est rempli de mercure et suspendu par un câble, comme indiqué. Le récipient
est ventilé à son sommet. Si huit boulons sont disposés symétriquement sur sa
circonférence, quelle est la force verticale que chaque boulon doit supporter ?
Eau
80 pieds
Câble
h
hT=10 pieds
Eau
UN
B
Vent
Diamètre de la sphère = 3 pieds
pUN=γhT
pB=γh
ℓ
■ Figure P2.40
2.41Le barrage en béton de la figure P2.41 pèse 23,6 kN/m³.3Le barrage repose
sur une fondation solide. Déterminez le coefficient de frottement minimal
entre le barrage et la fondation nécessaire pour empêcher son glissement à la
profondeur d'eau indiquée. On néglige la pression de soulèvement du fluide à
la base. L'analyse se base sur une longueur unitaire du barrage.
■ Figure P2.43
2.44Une vanne courbe de 4 m de long est située sur le côté d'un réservoir
d'eau, comme illustré sur la figure P2.44. Déterminez l'intensité des
composantes horizontale et verticale de la force exercée par l'eau sur la vanne.
Cette force passera-t-elle par le point indiqué ?UN? Expliquer.
2m
Eau
5m
4m
Eau
6m
UN
2m
6m
Grille
■ Figure P2.41
■ Figure P2.44
2.42Un piston ayant une section transversale de 0,11 m²2est placé dans un
2,45La paroi d'un réservoir a la forme illustrée à la figure P2.45. Déterminez les
cylindre contenant de l'eau, comme illustré sur la figure P2.42 ci-dessous. Un
composantes horizontale et verticale de la force exercée par l'eau sur une
manomètre à tube en U ouvert est relié au cylindre, comme indiqué.
section courbe de 4 pieds de longueur.AB.
Problèmes
81
2.51Le réservoir à parois minces de 1 m de diamètre représenté sur la figure
P2.51 est fermé à une extrémité et a une masse de 90 kg. L'extrémité ouverte
du réservoir est immergée dans l'eau et maintenue dans la position indiquée
Eau
Réservoir
par un bloc d'acier d'une masse volumique de 7840 kg/m³.3Supposons que l'air
mur
emprisonné dans le réservoir soit comprimé à température constante.
Déterminez :(un) la lecture sur le manomètre situé en haut du réservoir, et(b)
18 pieds
UN
le volume du bloc d'acier.
Réservoir
1,83 m
B
0,6 m
Air
■ Figure P2.45
Eau
3,0 m
2,46Un tuyau de 12 pouces de diamètre contient un gaz sous une pression de 140
psi. Si l'épaisseur de la paroi du tuyau est1
en, quelle est la circonférence moyenne ?
4
contrainte essentielle développée dans la paroi du tuyau ?
2,47Un réservoir cylindrique à axe horizontal a un diamètre de 2,0 m et une
longueur de 4,0 m. Ses extrémités sont des plans verticaux. Un tuyau vertical
de 0,1 m de diamètre est raccordé au sommet du réservoir. Le réservoir et le
Extrémité ouverte
tuyau sont remplis d'éthanol jusqu'à un niveau de 1,5 m au-dessus du sommet
Acier
bloc
du réservoir. Déterminez la force résultante exercée par l'éthanol sur une
extrémité du réservoir et indiquez son point d'application.
Section 2.11Flottabilité, flottaison et stabilité
2,48Un cube en bois de 3 pi × 3 pi × 3 pi (poids spécifique = 37 lb/pi³)
3Un cube flotte dans un réservoir d'eau. Quelle partie du cube
émerge de l'eau ? Si le réservoir était pressurisé de sorte que la
pression atmosphérique à la surface de l'eau soit augmentée de
1,0 psi (soit 1 psig), quelle partie du cube émergerait encore ?
Expliquez votre raisonnement.
2,49Le bois homogèneABLa section transversale de la pièce de bois
Câble
■ Figure P2.51
Section 2.12Variation de pression dans un fluide avec mouvement de corps
rigide
2,52Un réservoir rectangulaire ouvert de 1 m de large et 2 m de long contient de
l'essence jusqu'à une profondeur de 1 m. Si la hauteur des parois du réservoir est de
1,5 m, quelle est l'accélération horizontale maximale (le long de l'axe longitudinal du
réservoir) qui peut se développer avant que l'essence ne commence à se répandre ?
représentée sur la figure P2.49 est de 0,15 m sur 0,35 m. Déterminez le poids
spécifique du bois et la tension dans la corde.
2,53Le tube en U ouvert de la figure P2.53 est partiellement rempli de liquide.
Lorsque ce dispositif est accéléré par une accélération horizontaleun, une
2m
8m
0,15 m
lecture différentiellehse développe entre les branches du manomètre qui sont
B
espacées d'une distanceℓà part. Déterminez la relation entre un,ℓ,eth.
Eau
UN
h
Corde
un
■ Figure P2.49
2,50Une masse cylindrique de 1 m de diamètre,M, est relié à une vanne rectangulaire
de 2 m de large, comme illustré sur la figure 2.50. La vanne doit s'ouvrir lorsque le
niveau d'eau,h, chute en dessous de 2,5 m. Déterminez la valeur requise pourM
ℓ
■ Figure P2.53
Négligez le frottement au niveau de la charnière du portail et de la poulie.
2,54Un réservoir ouvert de 2 pieds de diamètre contient de l'eau jusqu'à une
profondeur de 3 pieds au repos. Si le réservoir est mis en rotation autour de
son axe vertical à une vitesse angulaire de 180 tr/min, quelle est la hauteur
minimale des parois du réservoir pour empêcher l'eau de déborder ?
4m
h
1m
Eau
diamètre
1m
■ Figure P2.50
3
Élémentaire
Dynamique des fluides —
Le Bernoulli
Équation
Objectifs d'apprentissage
Après avoir terminé ce chapitre, vous devriez être capable de :
■
Discuter de l'application de la deuxième loi de Newton aux écoulements de fluides.
■
Expliquer le développement, les utilisations et les limites de l'équation de Bernoulli.
■
utiliser l'équation de Bernoulli (seule ou en combinaison avec l'équation de continuité simple) pour
■
appliquer les concepts de pression statique, de stagnation, dynamique et totale.
■
calculer différentes propriétés d'écoulement à l'aide des lignes de charge énergétique et hydraulique.
résoudre les problèmes d'écoulement.
Dans ce chapitre, nous étudions de manière élémentaire certains mouvements de fluides typiques (dynamique des
fluides). Nous aborderons en détail l'utilisation de la deuxième loi de Newton (F=munNous allons l'appliquer au
mouvement de particules fluides « idéal » en un certain sens. Nous obtiendrons la célèbre équation de Bernoulli et
Le Bernoulli
L'équation peut être
l'équation la plus utilisée
et la plus mal utilisée
en mécanique des fluides.
3.1
l'appliquerons à divers écoulements. Bien que cette équation soit l'une des plus anciennes en mécanique des fluides et
que sa dérivation repose sur de nombreuses hypothèses, elle permet de prédire, de comprendre et d'analyser
efficacement une grande variété d'écoulements. Cependant, son application sans respecter scrupuleusement ses
restrictions peut entraîner de graves erreurs. De fait, l'équation de Bernoulli est considérée, à juste titre, comme
l'équation la plus utilisée et la plus mal interprétée en mécanique des fluides.
Une bonne compréhension de l'approche élémentaire de la dynamique des fluides
présentée dans ce chapitre sera utile en soi. Elle constitue également une base solide pour
aborder les chapitres suivants, où certaines restrictions sont levées et où des résultats plus
précis sont présentés.
La deuxième loi de Newton
Considérons un volume de fluide infime, mais suffisamment grand pour contenir un nombre significatif
de molécules. Ce volume est appelé particule de fluide (voir section 4.1 pour plus de détails). Lorsqu'une
particule de fluide se déplace, elle subit généralement une accélération ou une décélération. Selon la
deuxième loi de Newton, la force résultante agissant sur la particule de fluide considérée est égale au
produit de sa masse par son accélération.
F=mun
Dans ce chapitre, nous étudions le mouvement des fluides en négligeant les effets de frottement. Dans un fluide en écoulement,
le frottement est lié à la contrainte de cisaillement, elle-même liée à la viscosité. La méthode la plus simple consiste à…
82