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XXXVII COMPETENCIA REGIONAL DE
MATEMATICAS
XI OLIMPIADA REGIONAL DE MATEMATICAS
Nivel Superior - GRADOS 10 y 11
MARTES, 12 DE SEPTIEMBRE, 2017
Organizadas por
Universidad Antonio Nariño
OLIMPIADAS
Colombianas de
MATEMÁTICAS
Instrucciones e Información
Generales.
1. No abra este cuadernillo hasta que el profesor se lo indique.
2. Los primeros veinticinco problemas de esta prueba son de selección múltiple. Cada uno de estos problemas está seguido por
cinco respuestas marcadas A, B, C, D y E. Sólo una de éstas
es correcta. Los últimos cinco problemas tienen una respuesta
numérica de a lo más tres dı́gitos.
3. Los diagramas no están necesariamente dibujados a escala. Se
ofrecen como ayudas visuales únicamente, a no ser que se indique lo contrario.
4. Se otorga entre 3 y 10 puntos a las respuestas correctas. Los
puntajes a otorgar por cada respuesta correcta aparecen en el
enunciado de la prueba.
5. No se permite el uso de calculadoras. Papel para operaciones,
papel cuadriculado, regla y compás sı́ son permitidos.
6. Lea cuidadosamente las instrucciones para llenar la hoja de respuestas (página 8). Es responsabilidad del concursante llenar
la hoja correctamente. Llene sus datos personales antes de que
comience la prueba.
(a) Toda respuesta debe ser consignada en la hoja de respuestas.
(b) Para marcar sus respuestas en la hoja, use únicamente
Lápiz No. 2.
(c) Si comete algún error al marcar sus datos personales o
alguna respuesta, borre la marca completamente.
7. Cuando su profesor dé la señal, usted tendrá 75 minutos para
desarrollar la prueba.
Integridad de la Competencia
Para asegurar la integridad de la competencia, cuyos objetivos incluyen promover el estudio de la matemática e identificar a estudiantes sobresalientes en matemáticas, el comité organizador de las
Olimpiadas Colombianas de Matemáticas se reserva el derecho de
reexaminar cualquier estudiante antes de aceptar su puntaje como
oficial.
Derechos Reservados por la AMT. Totalmente prohibida la reproducción
total o parcial del contenido de esta prueba por cualquier medio.
Nivel Superior
2
Nivel Superior
Preguntas de la 1 a la 10, 3 puntos cada una
1.
Ocho niños van a participar en una carrera de natación. Ellos
son Juan, Ignacio, Humberto, Ivan, Guillermo, Beatriz, Liz y
Elisa.
Ellos son puestos aleatoriamente en los carriles del 1 al 8 en una
piscina.
1 2 3 4 5 6 7 8
¿Cuál es la probabilidad que Beatriz, Liz o Elisa estén en el
carril 1?
(A)
2.
3
8
(B)
(B) 689
(B) 1
(B) 33
(B) 40◦
(D) 50◦
(E)
1
3
(C) 1720
(D) 2017
(E) 3737
(C) 10
(D) 100
(E) 1000
(D) 59
(E) 73
(C) 43
(C) 45◦
(E) 60◦
Alicia está jugando con palabras. Después de cada segundo ella
intercambia dos letras adyacentes. ¿Cuál es el menor número de
segundos en los que ella puede cambiar HORAS por SHORA?
(A) 3
7.
5
3
Este molinete está formado rotando
un triángulo rectángulo alrededor
de uno de sus vértices. ¿Cuál es la
medida del ángulo en cada uno de
los nueve lugares que están marcados con puntos?
(A) 30◦
6.
(D)
42 + 3 3 + 2 4 =
(A) 29
5.
3
5
1000% de 1 es
(A) 0.1
4.
(C)
¿Cuál es el valor de 17a + 20b cuando a = 20 y b = 17?
(A) 680
3.
1
2
(B) 4
(C) 6
(D) 7
(E) 8
200 − 199 + 198 − 197 + 196 − · · · + 2 − 1 es igual a
(A) 1
(B) 99
(C) 100
(D) 101
(E) 200
Nivel Superior
8.
Yo digito 360 caracteres por minuto. Estoy digitando un documento largo que tiene exactamente 50 caracteres por lı́nea. Después de 8 minutos digitando, ¿en qué número de lı́nea estoy?
(A) 54
9.
3
(B) 55
(C) 56
Hago una tabla de multiplicación para los números de 1 a 5. ¿Cuál es la
suma de los 25 números
dentro de esta tabla?
×
(A) 100
(B) 200
3
(C) 225
(D) 250
4
√
1
2
(E) 58
3
4
5
1
2
(E) 256
10. Evalúe
(D) 57
5
√
√
√
2 × 4 2 × 800 × 4 8.
(A) 2
(B) 4
(C) 8
(D) 80
(E) 800
Preguntas de la 11 a la 20, 4 puntos cada una
11. Los números de cada fila, columna y diagonal de esta cuadrı́cula deberı́an sumar 30.
¿Cuál número va en la esquina inferior derecha?
(A) 3
(B) 15
(C) 5
(D) 13
2
8
?
(E) 4
1
12. Los vértices del cuadrado blanco más interior tocan a los lados
del cuadrado sombreado en sus
puntos medios.
¿Cuál es el área del cuadrado
blanco más interior?
(A) 6
(B) 4
(D) 3
(C) 10
12
3
1
3
3
1
(E) 5
3
1
13. Dos automóviles que están incialmente a una distancia de 240 m
comienzan a desplazarse en la misma dirección a 60 km/h. Cuando
cada uno de ellos pasa un aviso que señala 80 km/h de velocidad
máxima, comienza a desplazarse a 80 km/h. ¿Cuán separados
están una vez que ambos ya pasaron la señal?
(A) 180 m
(B) 240 m
(C) 360 m
(D) 300 m
(E) 320 m
Nivel Superior
4
14. En el triángulo mostrado, P Q = SQ = SR = QR y ∠ST R =
90◦ .
S
P
Q
T
R
La razón T R : P S es igual a
√
√
(A) 1 : 3
(B) 1 : 2 3
√
√
(D) 1 : 2
(E) 1 : (3 3)/2
(C) 1 : 2
15. La solución de la ecuación 2017x2 − 20172017 = 0 es
(A) x = ±2017
(B) x = ±20172017
(C) x = ±20171008
√
(E) x = ± 20172017
(D) x = ±20171009
16. Un tazón semiesférico se llena hasta la mitad de su profundidad.
El ángulo más grande que se puede inclinar al tazón desde la
posición horizontal sin derramar es
(A) 22 12
◦
(B) 30◦
(C) 45◦
(D) 60◦
(E) 67 12
◦
17. Gasté exactamente $4 000 000 en libros que costaban cada uno
$25 000 y $26 000. Compré al menos un libro de cada precio.
¿Cuál es el máximo número de libros que yo podrı́a haber comprado?
(A) 153
(B) 157
(C) 155
(D) 159
(E) 161
18. Se usan todos los dı́gitos de 0 a 9 para formar dos números de
5 dı́gitos. ¿Cuál es la menor diferencia posible entre esos dos
números?
(A) 1
(B) 9
(C) 99
(D) 247
(E) 315
Nivel Superior
5
19. Dos cı́rculos de diámetro 12 cm se
superponen, formando la figura mostrada con perı́metro 14π cm.
¿Cuál es el área de la figura, en
cm2 ?
√
(A) 42π + 18
(B) 42π + 9 3
√
(C) 72π − 18
(D) 72π − 9 3
√
(E) 24π 3
20. Cinco bolas esféricas de diámetro 10 cm caben dentro de una lata
cilı́ndrica cerrada con diámetro interno 16 cm.
¿Cuál es la menor altura que podrı́a tener la lata?
(A) 39 cm
(B) 42 cm
(C) 45 cm
(D) 48 cm
(E) 50 cm
Preguntas de la 21 a la 25, 5 puntos cada una
21. Se dibuja un cuadrado en la esquina de un triángulo rectángulo con lados de longitudes a,
b y c, como se muestra.
¿Qué expresión da la razón del
área no sombreada al área sombreada en todos los casos?
|
|
|
(A) 1 : 1
c
b
|
(B) c : (a + b)
a
(C) ab : c2
(D) (a + b)2 : 2c2
(E) c2 : 2ab
22. Jovi y Eduar han decidido compartir una torta de una manera
poco usual. Jovi toma primero alguna fracción de la torta. De
ahı́ en adelante, Eduar y Jovi se alternarán tomando la mitad
de lo que queda cada vez. Eventualmente sobra tan poco que
ellos deciden haber terminado. ¿Qué fracción deberá tomar Jovi
primero para asegurarse que cada uno terminará con la mitad?
(A)
1
6
(B)
1
4
(C)
2
5
(D)
1
3
(E)
1
2
23. Cada estudiante en una clase envı́a diez tarjetas de navidad, una
a cada uno de otros diez estudiantes en la clase. Se sabe que no
hay dos estudiantes que envien mutuamente tarjetas el uno al
otro. ¿Cuál es el menor número de estudiantes que podrı́a haber
en la clase?
(A) 15
(B) 20
(C) 21
(D) 25
(E) 30
Nivel Superior
6
24. Un cı́rculo toca un lado de un cuadrado y pasa por los vértices
del lado opuesto. El cı́rculo tiene circunferencia c y el cuadrado
tiene perı́metro s.
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta al uno por ciento
más cercano?
(A) c es aproximadamente 5% mayor que s.
(B) c es aproximadamente 2% mayor que s.
(C) c y s son iguales.
(D) c es aproximadamente 2% menor que s.
(E) c es aproximadamente 5% menor que s.
25. Tengo dos medias azules, dos medias rojas y dos medias amarillas
en un cajón. El Lunes, elijo aleatoriamente para llevar dos de
las medias. El Martes, elijo aleatoriamente para llevar dos de las
medias restantes. El Miércoles, uso las dos medias restantes del
cajón.
¿Cuál es la probabilidad que yo no haya usado un par de medias
del mismo color en ninguno de los tres dı́as?
(A)
1
8
(B)
2
5
(C)
1
2
(D)
64
125
(E)
8
15
Para las preguntas de la 26 a la 30, sombree la respuesta
como un número entero de 0 a 999 en el espacio previsto
en la hoja de respuestas.
La pregunta 26 da 6 puntos, la 27 da 7, la 28 da 8, la 29 da
9 y la 30 da 10.
26. Un rı́o que tiene una catarata corre de oeste a este. El sombrero
de Juan ha caı́do 28 metros rı́o arriba de la catarata. Sasha, el
perro maravilla, está admirando la vista 36 metros exactamente
al sur de la catarata. Sasha puede correr exactamente tres veces
tan rápido como el sombrero está siendo llevado rı́o abajo. ¿Cuál
es la mı́nima distancia en metros que el sombrero de Juan debe
recorrer antes que Sasha pueda cogerlo?
27. Miguel multiplicó algunos enteros consecutivos (al menos dos).
El obtuvo un número N de seis dı́gitos. Los primeros dos dı́gitos
de N son 47 y los dos últimos dı́gitos de N son 74. ¿Cuál es la
suma de los enteros que Miguel multiplicó?
Nivel Superior
7
28. Para n ⩾ 3, se construye la sucesión de números centrados nágonos comenzando con un punto central, luego se añaden capas consistentes de n-ágonos de puntos alrededor de este centro,
donde el número de puntos en cada lado aumenta en 1 para cada
capa. La sucesión está formada por el número de puntos en cada
una de las figuras obtenidas.
Por ejemplo, la sucesión de números centrados 7-ágonos empieza
con 1, 8, 22, 43, . . . como se muestra.
¿Cuál es el menor n para el cual 2017 está en la sucesión de
números centrados n-ágonos?
29. Un amigo y yo jugamos un juego. Cada uno comienza con dos
monedas. Luego nos turnamos para arrojar una moneda; si cae
cara, nos la quedamos, si cae sello, se la damos al otro. Yo
siempre voy primero, y el juego termina cuando uno de nosotros
gana teniendo las cuatro monedas. Si jugamos este juego 840
veces, ¿cuál es el número esperado de juegos que yo ganarı́a?
30. Los cuadrados de una cuadrı́cula de 8 × 8 están coloreados negro o blanco. Una coloración se llama balanceada si cada subcuadrı́cula de 2 × 2 contiene exactamente dos cuadrados de cada
color. Un ejemplo de una una cuadrı́cula de 3 × 3 con coloración balanceada se muestra en la izquierda. La coloración
desbalanceada de la derecha falla este requerimiento pues la subcuadrı́cula de 2 × 2 en la parte inferior derecha contiene tres
cuadrados blancos.
balanceado
desbalanceado
Contando rotaciones y reflexiones de una coloración como configuraciones diferentes, ¿cuántas coloraciones balanceadas hay de
una cuadrı́cula de 8 × 8?
Nivel Superior
8
INSTRUCCIONES PARA LLENAR LA HOJA DE RESPUESTAS
Al llenar información en la hoja de respuestas USE UNICAMENTE LAPIZ NUMERO 2. De otro modo la lectora no podrá leer
su hoja. No doble ni arrugue la hoja de respuestas.
DATOS PERSONALES.
Antes de comenzar la prueba escriba su apellido, nombre y grado en
la cara 1 de la hoja de respuestas. En el lado 2 su dirección personal, ciudad, departamento, teléfono personal, edad. Luego sombree los cı́rculos apropiados. Al sombrear un cı́rculo asegúrese de
llenarlo completamente con marca negra en lápiz. En el cuadro
de APELLIDO escriba primero su(s) apellido(s) de izquierda a
derecha. Luego, en cada columna sombree el cı́rculo correspondiente
a la letra escrita en el respectivo cuadro superior. Proceda similarmente con el cuadro NOMBRE.
En el cuadro GRADO, sombree el cı́rculo correspondiente al grado
que actualmente cursa. Si usted ya completó estudios secundarios
sombree el cı́rculo correspondiente a 12. Si usted no marca correctamente su grado, el computador no sabrá si usted es de primer nivel,
de nivel intermedio o de nivel superior y no podrá calificar su prueba.
En el cuadro EDAD, sombree el cı́rculo correspondiente a su edad,
en años cumplidos.
En el cuadro SEXO, sombree el cı́rculo apropiado (Femenino o Masculino).
Proceda de manera similar con los cuadros DIRECCION, CIUDAD, DEPARTAMENTO y TELEFONO.
En el recuadro que está encima de los cuadros APELLIDO NOMBRE firme asegurando que las respuestas corresponden a su propio
trabajo.
RESPUESTAS. Mientras desarrolle la prueba marque su respuesta
a cada pregunta sobre el mismo cuestionario. Luego, en los últimos
10 minutos de la prueba, marque las respuestas escogidas en la hoja
en el cuadro RESPUESTAS. Si por ejemplo usted ha decidido que
la respuesta correcta de la pregunta 1 es A usted debe sombrear el
cı́rculo correspondiente a A en la fila marcada con 1. Y si por ejemplo
usted ha decidido que la respuesta correcta de la pregunta 26 es 325
usted debe sombrear los cı́rculos correspondientes a 3 en la primera
columna, a 2 en la segunda columna y a 5 en la tercerca columna del
campo correspondiente a la respuesta 26. Si se equivocó o cambia
de opinión en alguna respuesta, debe borrar la marca totalmente y
luego marcar la nueva respuesta. Dé una sola respuesta por cada
pregunta. Si señala más de una respuesta ésta será calificada como
incorrecta. Todas las respuestas de las preguntas de la 26 a la 30
son de tres digı́tos. En caso de que su respuesta tenga menos de tres
digı́tos rellene su respuesta con ceros a la izquierda hasta completar
tres dı́gitos.