ECUACIÓN DIFERÉNCIALES CON FACTOR INTEGRANTES
Definición.
𝑢(𝑥, 𝑦) tal que: 𝑢(𝑥, 𝑦)𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑢(𝑥, 𝑦)𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0 , es
Si existe una función
exacta, entonces 𝑢(𝑥, 𝑦) se llama factor de integración de la ecuación diferencial:
𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0
Conviene notar que una ecuación diferencial no exacta puede tener varios factores
integrantes; es decir puede convertirse en exacta multiplicándola por:
𝑦 𝑥
𝑥 2 , 𝑥𝑦, , 𝑥 2 𝑦 , etcétera
𝑥 𝑦
Métodos para encontrar un factor integrante 𝑭(𝒙, 𝒚)
1. Si el factor integrable u es solo función de x:
p ( x )dx
u ( x ) = e
Donde  p ( x ) =
M y − Nx
N
2. Si el factor integrable u es solo función de y:
p ( y )dy
u ( y ) = e
3. Si H ( x, y ) =
Donde  p
Nx − M y
xM − yN
M
solo depende del producto xy, el factor integrante u es una
función
z = ( x, y ) y este dado por:
H ( z )dz

u ( z) = e
( y) =
Nx − M y
EJERCICIOS
Resolver las ecuaciones diferenciales usando un factor apropiado
1. x2 senxdx + xydy = 0


ex
2. ( e + y ) dx +  xy − − 2 y 2  dy = 0
y


x
2
2x 

3.  xy + 1 + xy  dx + x 2 dy = 0
e 

4. 6 xydx + ( 4 y + 9 x2 ) dy = 0
5. ( − xysen + 2cos x ) dx + 2 x cos xdy = 0