Materiały dydaktyczne – Matematyka Dyskretna (Zestaw 1)
Matematyka Dyskretna
Zestaw 1
1. Z pomocą indukcji matematycznej udowodnić, że następujące zależności zachodzą dla dowolnej liczby naturalnej n:
n
n
n
P
P
P
1
n
i2 = n(n+1)(2n+1)
(6i − 2) = n(3n + 1);
(a)
; (b)
(c)
6
(4i−3)(4i+1) = 4n+1 ;
(d)
i=1
2n−1
P
(h)
n
P
(k)
i=1
n
Q
i=1
(2i + 1) = 3n2 ;
n
n
P
P
i3 = ( i)2 ;
(f)
i=1
1
n
i(i+1) = n+1 ;
1 + 1i
=n+1
(i)
n
P
1
(l)
i=1
n
P
√
i=1
i
2n
P
(−1)i−1
1
;
i =
i
i=n+1
i=1
n
P
i · 2i−1 = 2n (n − 1) + 1;
(j)
(g)
i=1
i=1
i=n
⩾
√
i=1
2n
P
n;
i=1
n
P
√
1
√
⩽
2
n − 1;
i
(m)
i2 · 2i−1 = 2n (n2 − 2n + 3) − 3.
i=1
2. Z pomocą indukcji matematycznej udowodnić, że następujące zależności zachodzą dla dowolnej liczby naturalnej n:
(a) 7 | 11n − 4n ;
(b) 16 | 5n − 4n − 1;
(d) 73 | 8n+2 + 92n+1 ;
(e) 3n+1 | 23 + 1;
(f) 30 | n5 − n;
(g) 546 | n13 − n;
(h) 11 | 26n+1 + 32n+2 ;
(i) p | np − n, p - liczba pierwsza.
n
(c) 8 | 5n+1 + 2 · 3n + 1;
3. Dla każdego z ciągów zdefiniowanych rekurencyjnie wyznaczyć trzeci, piąty i dziesiąty wyraz
oraz udowodnić podaną nierówność:
(a) a0 = 1, a1 = 2, a2 = 3 oraz an = an−2 + 2an−3 dla n ⩾ 3; an > ( 23 )n dla wszystkich n ⩾ 1;
(b) a0 = a1 = a2 = 1 oraz an = an−1 + an−2 + an−3 dla n ⩾ 3; an ⩽ 2n−1 dla wszystkich n ⩾ 1;
(c) a0 = 1, a1 = 3, a2 = 5 oraz an = 3an−2 + 2an−3 dla n ⩾ 3; 2n < an ⩽ 2n+1 dla wszystkich
n ⩾ 1.
4. W każdym z poniższych przykładów ciągów zdefiniowanych wzorami rekurencyjnymi obliczyć
a6 , a następnie korzystając z równania charakterystycznego wyznaczyć jawny wzór na n-ty wyraz
ciągu.
a) a0 = a1 = 1 oraz an = an−1 + 2an−2 dla n ⩾ 2,
b) b0 = b1 = 1 oraz bn = 2bn−1 + bn−2 dla n ⩾ 2.
5. W każdym z następujących przypadków podać jawny wzór na sn i udowodnić indukcyjnie
jego poprawność:
(a) s0 = 3, s1 = 6, oraz sn = sn−1 + 2sn−2 dla n ⩾ 2;
(b) s0 = 1, s1 = −3, oraz sn = 6sn−1 − 9sn−2 dla n ⩾ 2;
(c) s0 = c, s1 = d, oraz sn = 5sn−1 − 6sn−2 dla n ⩾ 2;
(d) s0 = 1, s1 = 2, oraz sn = 3sn−2 dla n ⩾ 2;
6. (a) Definiujemy rekurencyjnie s0 = 1 i sn+1 = s2n dla n ⩾ 0. Obliczyć piąty, dziesiąty i
piętnasty wyraz tego ciągu. Jaki jest zbiór wartości ciągu {sn }?
(b) Definiujemy rekurencyjnie a0 = 0, a1 = 1, a2 = 2 oraz an = an−1 − an−2 + an−3 dla n ⩾ 3.
Jaki jest zbiór wartości ciągu {an }?
7. Podać definicję rekurencyjną każdego z poniższych ciągów:
2
(22 )
a) (1, 3, 9, 27, 81, . . .); b) (2, 22 , (22 )2 , ((22 )2 )2 , . . .); c) (2, 22 , 2(2 ) , 2(2 ) ).
1
Materiały dydaktyczne – Matematyka Dyskretna (Zestaw 1)
8. Ciąg {an }n⩾0 jest zdefiniowany wzorem rekurencyjnym
an = 2an−1 + 3an−2 , n > 1.
a) Oblicz wartości a0 i a1 , jeśli a3 = 7 i a4 = 20.
b) Oblicz wartość a0 i a1 , jeśli a2 = 12 i a4 = 144
c) Oblicz wartość a0 i a1 , jeśli a2 = 4 i a5 = 200
9. Ciąg {an }n⩾0 jest zdefiniowany wzorem rekurencyjnym
1
1
an = an−1 + an+1 , n > 1.
2
2
Oblicz wartości a1 i a2 , a3 , a4 , a5 , jeśli a0 = 0 i a6 = 1.
10. Ciąg {an }n⩾0 jest zdefiniowany wzorem rekurencyjnym
an = 3an−3 + 2an−2 + an−1 , n > 2.
a) Oblicz wartości a0 i a1 , a2 , jeśli a3 = 4, a4 = 11, a5 = 25.
Oblicz wartości a0 i a1 , a2 , jeśli a3 = 4, a5 = 11, a7 = 25.
Oblicz wartości a0 i a1 , a2 , jeśli a3 = 4, a6 = 11, a7 = 25.
11. Udowodnić następującą nierówność Bernoulliego: dla dowolnej liczby rzeczywistej a ⩾ −1
oraz dowolnego n ∈ N zachodzi
(1 + a)n ⩾ 1 + na.
√
12. Niech x będzie taką liczbą rzeczywistą, że x + x1 jest liczbą całkowitą (np. x = 2 − 3).
Udowodnić udowodnić, że dla dowolnej liczby naturalnej n liczba xn + x1n jest liczbą całkowitą.
12. Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej n ⩾ 8 istnieją liczby całkowite nieujemne a i b
takie, że n = 3a + 5b.
13. Niech F0 = 0, F1 = 1 i dla n ⩾ 2 Fn = √Fn−1 + Fn−2
√ . Wszystkie wyrazy tego ciągu
nazywamy liczbami Fibonacciego Niech dalej φ = 1+2 5 i φb = 1−2 5 .
(a) Udowodnić że Fn+1 Fn−1 − Fn2 = (−1)n , dla dowolnej liczby naturalnej n.
2
(b) Czy dla dowolnej liczby naturalnej n, Fn2 + Fn+1
jest liczbą Fibonacciego?
n
P
(c) Czy dla dowolnej liczby naturalnej n,
Fk jest liczbą Fibonacciego?
k=0
(d) Udowodnić, że dla dowolnej liczby naturalnej n zachodzą następujące zależności
(1) φn−2 ⩽ Fn+1 ⩽ φn ,
(2) φn = Fn+1 φ + Fn−1 ,
(3) φbn = Fn+1 φb + Fn .
14. Udowodnić, że dla dowolnej liczby naturalnej n liczba
n4 n3 11n2 n
+
+
+ jest całkowita.
24
4
24
4
15. n-tą liczbą harmoniczną nazywamy liczbę postaci Hn = 11 + 12 + . . . + n1 . Przyjmujemy
ponadto, że H0 = 0. Udowodnić, że dla dowolnej liczby naturalnej n
n+1
⩽ H2n ⩽ n + 1.
2
16. Niech
P
= {a, b}.
2
Materiały dydaktyczne – Matematyka Dyskretna (Zestaw 1)
P
(a) Niech sn oznacza liczbę słów długości n w alfabecie
niezawierających ciągu ab. Obliczyć
pięć pierwszych wyrazów ciągu sn , znaleźć jawny wzór na sn i go udowodnić.
P
(b) Niech tn oznacza liczbę słów długości n w alfabecie , w których jest parzysta liczba liter
a. Obliczyć pięć pierwszych wyrazów ciągu tn , znaleźć jawny wzór na tn i go udowodnić.
P
17. Niech
= {a, b, c}.
P
(a) Niech sn oznacza liczbę słów długości n w alfabecie , w których nie występuje ciąg aa.
Obliczyć pięć pierwszych wyrazów ciągu sn i znaleźć dla niego wzór rekurencyjny.
P
(b) Niech tn oznacza liczbę słów długości n w alfabecie
, w których nie występuje żaden
z ciągów: aa, bb, cc, ba. Obliczyć pięć pierwszych wyrazów ciągu sn i znaleźć dla niego wzór
rekurencyjny.
n−1
18. Obliczyć a4 , a5 i a6 jeżeli a0 = α, a1 = β oraz an = 1+a
an−2 dla n ⩾ 2. Podać jawny wzór
na an . Jakie warunki muszą spełniać α i β, jeżeli ten ciąg jest nieskończony?
19. Udowodnić, że dla dowolnej liczby naturalnej n i dla dowolnych liczb rzeczywistych nieujemnych x1 , x2 , . . . , xn zachodzi nierówność
√
x1 + x2 + · · · + xn
⩾ n x1 · x2 · . . . · xn
n
(1)
Wskazówka: najpierw udowodnić, że nierówność jest prawdziwa dla n ⩽ 2. Następnie pokazać,
że z prawdziwości dla n wynika prawdziwość dla 2n i w końcu, że z prawdziwości dla n wynika
+···+xn−1
prawdziwość dla n − 1 dokonując podstawienia xn = x1 +x2n−1
.
3