Materiały dydaktyczne – Matematyka Dyskretna (Zestaw 1) Matematyka Dyskretna Zestaw 1 1. Z pomocą indukcji matematycznej udowodnić, że następujące zależności zachodzą dla dowolnej liczby naturalnej n: n n n P P P 1 n i2 = n(n+1)(2n+1) (6i − 2) = n(3n + 1); (a) ; (b) (c) 6 (4i−3)(4i+1) = 4n+1 ; (d) i=1 2n−1 P (h) n P (k) i=1 n Q i=1 (2i + 1) = 3n2 ; n n P P i3 = ( i)2 ; (f) i=1 1 n i(i+1) = n+1 ; 1 + 1i =n+1 (i) n P 1 (l) i=1 n P √ i=1 i 2n P (−1)i−1 1 ; i = i i=n+1 i=1 n P i · 2i−1 = 2n (n − 1) + 1; (j) (g) i=1 i=1 i=n ⩾ √ i=1 2n P n; i=1 n P √ 1 √ ⩽ 2 n − 1; i (m) i2 · 2i−1 = 2n (n2 − 2n + 3) − 3. i=1 2. Z pomocą indukcji matematycznej udowodnić, że następujące zależności zachodzą dla dowolnej liczby naturalnej n: (a) 7 | 11n − 4n ; (b) 16 | 5n − 4n − 1; (d) 73 | 8n+2 + 92n+1 ; (e) 3n+1 | 23 + 1; (f) 30 | n5 − n; (g) 546 | n13 − n; (h) 11 | 26n+1 + 32n+2 ; (i) p | np − n, p - liczba pierwsza. n (c) 8 | 5n+1 + 2 · 3n + 1; 3. Dla każdego z ciągów zdefiniowanych rekurencyjnie wyznaczyć trzeci, piąty i dziesiąty wyraz oraz udowodnić podaną nierówność: (a) a0 = 1, a1 = 2, a2 = 3 oraz an = an−2 + 2an−3 dla n ⩾ 3; an > ( 23 )n dla wszystkich n ⩾ 1; (b) a0 = a1 = a2 = 1 oraz an = an−1 + an−2 + an−3 dla n ⩾ 3; an ⩽ 2n−1 dla wszystkich n ⩾ 1; (c) a0 = 1, a1 = 3, a2 = 5 oraz an = 3an−2 + 2an−3 dla n ⩾ 3; 2n < an ⩽ 2n+1 dla wszystkich n ⩾ 1. 4. W każdym z poniższych przykładów ciągów zdefiniowanych wzorami rekurencyjnymi obliczyć a6 , a następnie korzystając z równania charakterystycznego wyznaczyć jawny wzór na n-ty wyraz ciągu. a) a0 = a1 = 1 oraz an = an−1 + 2an−2 dla n ⩾ 2, b) b0 = b1 = 1 oraz bn = 2bn−1 + bn−2 dla n ⩾ 2. 5. W każdym z następujących przypadków podać jawny wzór na sn i udowodnić indukcyjnie jego poprawność: (a) s0 = 3, s1 = 6, oraz sn = sn−1 + 2sn−2 dla n ⩾ 2; (b) s0 = 1, s1 = −3, oraz sn = 6sn−1 − 9sn−2 dla n ⩾ 2; (c) s0 = c, s1 = d, oraz sn = 5sn−1 − 6sn−2 dla n ⩾ 2; (d) s0 = 1, s1 = 2, oraz sn = 3sn−2 dla n ⩾ 2; 6. (a) Definiujemy rekurencyjnie s0 = 1 i sn+1 = s2n dla n ⩾ 0. Obliczyć piąty, dziesiąty i piętnasty wyraz tego ciągu. Jaki jest zbiór wartości ciągu {sn }? (b) Definiujemy rekurencyjnie a0 = 0, a1 = 1, a2 = 2 oraz an = an−1 − an−2 + an−3 dla n ⩾ 3. Jaki jest zbiór wartości ciągu {an }? 7. Podać definicję rekurencyjną każdego z poniższych ciągów: 2 (22 ) a) (1, 3, 9, 27, 81, . . .); b) (2, 22 , (22 )2 , ((22 )2 )2 , . . .); c) (2, 22 , 2(2 ) , 2(2 ) ). 1 Materiały dydaktyczne – Matematyka Dyskretna (Zestaw 1) 8. Ciąg {an }n⩾0 jest zdefiniowany wzorem rekurencyjnym an = 2an−1 + 3an−2 , n > 1. a) Oblicz wartości a0 i a1 , jeśli a3 = 7 i a4 = 20. b) Oblicz wartość a0 i a1 , jeśli a2 = 12 i a4 = 144 c) Oblicz wartość a0 i a1 , jeśli a2 = 4 i a5 = 200 9. Ciąg {an }n⩾0 jest zdefiniowany wzorem rekurencyjnym 1 1 an = an−1 + an+1 , n > 1. 2 2 Oblicz wartości a1 i a2 , a3 , a4 , a5 , jeśli a0 = 0 i a6 = 1. 10. Ciąg {an }n⩾0 jest zdefiniowany wzorem rekurencyjnym an = 3an−3 + 2an−2 + an−1 , n > 2. a) Oblicz wartości a0 i a1 , a2 , jeśli a3 = 4, a4 = 11, a5 = 25. Oblicz wartości a0 i a1 , a2 , jeśli a3 = 4, a5 = 11, a7 = 25. Oblicz wartości a0 i a1 , a2 , jeśli a3 = 4, a6 = 11, a7 = 25. 11. Udowodnić następującą nierówność Bernoulliego: dla dowolnej liczby rzeczywistej a ⩾ −1 oraz dowolnego n ∈ N zachodzi (1 + a)n ⩾ 1 + na. √ 12. Niech x będzie taką liczbą rzeczywistą, że x + x1 jest liczbą całkowitą (np. x = 2 − 3). Udowodnić udowodnić, że dla dowolnej liczby naturalnej n liczba xn + x1n jest liczbą całkowitą. 12. Udowodnić, że dla każdej liczby naturalnej n ⩾ 8 istnieją liczby całkowite nieujemne a i b takie, że n = 3a + 5b. 13. Niech F0 = 0, F1 = 1 i dla n ⩾ 2 Fn = √Fn−1 + Fn−2 √ . Wszystkie wyrazy tego ciągu nazywamy liczbami Fibonacciego Niech dalej φ = 1+2 5 i φb = 1−2 5 . (a) Udowodnić że Fn+1 Fn−1 − Fn2 = (−1)n , dla dowolnej liczby naturalnej n. 2 (b) Czy dla dowolnej liczby naturalnej n, Fn2 + Fn+1 jest liczbą Fibonacciego? n P (c) Czy dla dowolnej liczby naturalnej n, Fk jest liczbą Fibonacciego? k=0 (d) Udowodnić, że dla dowolnej liczby naturalnej n zachodzą następujące zależności (1) φn−2 ⩽ Fn+1 ⩽ φn , (2) φn = Fn+1 φ + Fn−1 , (3) φbn = Fn+1 φb + Fn . 14. Udowodnić, że dla dowolnej liczby naturalnej n liczba n4 n3 11n2 n + + + jest całkowita. 24 4 24 4 15. n-tą liczbą harmoniczną nazywamy liczbę postaci Hn = 11 + 12 + . . . + n1 . Przyjmujemy ponadto, że H0 = 0. Udowodnić, że dla dowolnej liczby naturalnej n n+1 ⩽ H2n ⩽ n + 1. 2 16. Niech P = {a, b}. 2 Materiały dydaktyczne – Matematyka Dyskretna (Zestaw 1) P (a) Niech sn oznacza liczbę słów długości n w alfabecie niezawierających ciągu ab. Obliczyć pięć pierwszych wyrazów ciągu sn , znaleźć jawny wzór na sn i go udowodnić. P (b) Niech tn oznacza liczbę słów długości n w alfabecie , w których jest parzysta liczba liter a. Obliczyć pięć pierwszych wyrazów ciągu tn , znaleźć jawny wzór na tn i go udowodnić. P 17. Niech = {a, b, c}. P (a) Niech sn oznacza liczbę słów długości n w alfabecie , w których nie występuje ciąg aa. Obliczyć pięć pierwszych wyrazów ciągu sn i znaleźć dla niego wzór rekurencyjny. P (b) Niech tn oznacza liczbę słów długości n w alfabecie , w których nie występuje żaden z ciągów: aa, bb, cc, ba. Obliczyć pięć pierwszych wyrazów ciągu sn i znaleźć dla niego wzór rekurencyjny. n−1 18. Obliczyć a4 , a5 i a6 jeżeli a0 = α, a1 = β oraz an = 1+a an−2 dla n ⩾ 2. Podać jawny wzór na an . Jakie warunki muszą spełniać α i β, jeżeli ten ciąg jest nieskończony? 19. Udowodnić, że dla dowolnej liczby naturalnej n i dla dowolnych liczb rzeczywistych nieujemnych x1 , x2 , . . . , xn zachodzi nierówność √ x1 + x2 + · · · + xn ⩾ n x1 · x2 · . . . · xn n (1) Wskazówka: najpierw udowodnić, że nierówność jest prawdziwa dla n ⩽ 2. Następnie pokazać, że z prawdziwości dla n wynika prawdziwość dla 2n i w końcu, że z prawdziwości dla n wynika +···+xn−1 prawdziwość dla n − 1 dokonując podstawienia xn = x1 +x2n−1 . 3