ANÁLISE TEMPORAL DE SISTEMAS ELÉTRICOS DINÂMICOS
SISTEMAS DE PRIMEIRA E SEGUNDA ORDEM
Eng. Me. Rafael Alex Vieira do Vale
POLOS E ZEROS
A resposta na saída de um sistema é a soma algébrica de duas respostas:
 Resposta Natural;
 Resposta Forçada;
A dinâmica da resposta de saída é determinada com a solução de equações
diferencias ou da aplicação de transformadas de Laplace;
Porém, as técnicas utilizadas para a descoberta da resposta total do sistema
pode ser bastante improdutiva;
Para dirimir estas barreiras o estudo dos Polos e Zeros do sistema com relação a
resposta no domínio do tempo é bastante satisfatória;
POLOS E ZEROS
Os Polos e os Zeros são determinados a partir da inspeção do sistema no domínio da
frequência, a partir da Função de Transferência;
Os Polos de uma função de transferência são as raízes do polinômio característico do
denominador de uma função de transferência o que leva essa função ter valor infinito;
Os Zeros da função de transferência equivale às raízes do polinômio do denominador da
função de modo que a função seja nula;
Nise (2013)
ORDEM DO SISTEMA
A ordem do sistema está relacionada a equação diferencial que define a dinâmica
desse sistema;
Essa ordem, geralmente, esta ligada ao numero de polos presentes no polinômio
característico do denominador da função de transferência;
A quantidade de raízes da função de transferência sejam elas distintas ou não define
a ordem e a dinâmica do sistema;
Será exposto nesta apresentação as características de sistemas de primeira e
segunda ordem;
SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM
Os sistemas de primeira ordem são aqueles que apresentam somente um polo no
plano complexo, geralmente, com valor real;
Considerando a função genérica de para uma determinada resposta a uma entrada
em degrau:
𝑎
𝐶 𝑠 =𝑅 𝑠 𝐺 𝑠 =
𝑠 𝑠+𝑎
Nise (2013)
SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM
Para determinar os polo da função de saída basta igualar o denominador de C(s) a
zero;
Desse modo, os polos situado plano complexo serão iguais a s = -a e s = 0;
Utilizando a transformada inversa de Laplace para o resultado de C(s) é determinada
a resposta no domínio do tempo:
𝑐 𝑡 = 1 − 𝑒 −𝑎𝑡 = 𝑐𝑓 (𝑡) + 𝑐𝑛 (𝑡)
Pode-se observar que o polo na origem gerou uma resposta forçada igual a 1 e o polo
em –a determinou a resposta natural 𝒆−𝒂𝒕 ;
SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM
Fica evidente que o polo em –a é um valor necessário para o entendimento
da resposta natural ou transitória do sistema;
Analisando somente a resposta transitória do sistema anterior e determinando
que t = 1/a:
𝑐𝑛
1
1
−𝑎𝑎
= 𝑒 −1 = 0,37
=𝑒
𝑎
SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM
Substituindo na resposta total do sistema:
1
1
−𝑎𝑎
= 1 − 𝑒 −1 = 0,63
𝑐
=1−𝑒
𝑎
A relação 1/a é denominada Constante de Tempo;
A interpretação dessa constante de tempo é a do tempo necessário para que a
resposta seja reduzida em 37% de seu valor inicial ou para atingir 63% do valor
final;
SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM
Alternativamente, o inverso da constante de tempo é denominada Frequência
Exponencial com valor igual ao polo da função de transferência;
A constante de tempo pode ser admitida como uma especificação da resposta
transitória para sistemas de primeira ordem;
Essa constante está diretamente relacionada com a velocidade do sistema em atingir o
regime permanente;
Como a constante de tempo é o inverso do polo real da função de transferência quanto
mais distante do eixo imaginário mais rápida é a resposta do sistema;
SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM
Ainda relativo ao comportamento dos sistemas de primeira ordem é interessante
definir o seguintes tempos:
 Tempo de Subida (Tr);
 Tempo de Acomodação (Ts);
Estes tempos são importante para determinar o intervalo temporal que o sistema
necessita para praticamente extinguir o regime transitório e acomodar-se em regime
permanente;
SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM
O Tempo de Subida é definido como intervalo de tempo necessário para que a
resposta transite entre 10% a 90% do seu valor final, então:
0,9 = 1 − 𝑒 −𝑎𝑡1
−0,1 = 𝑒 −𝑎𝑡1
ln(0,1) 2,31
=
𝑡1 =
𝑎
𝑎
SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM
Continuação:
0,1 = 1 − 𝑒 −𝑎𝑡2
−0,9 = 𝑒 −𝑎𝑡2
ln(0,9) 0,11
𝑡2 =
=
𝑎
𝑎
SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM
Desse forma o tempo de subida será:
2,31 0,11 2,2
−
=
𝑇𝑟 = 𝑡1 − 𝑡2 =
𝑎
𝑎
𝑎
O Tempo de Acomodação é o tempo necessário para que a resposta do sistema
atinja e permaneça a 98% do valor final
SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM
Dessa forma é possível calcular o tempo de acomodação por:
0,98 = 1 − 𝑒 −𝑎𝑡
−0,02 = 𝑒 −𝑎𝑡
ln(0,02) 4
𝑡 = 𝑇𝑠 =
≅
𝑎
𝑎
SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM
Para os sistemas de segunda ordem, o polinômio característico do denominador da
função de transferência apresenta duas raízes ou dois polos;
Os polos podem apresentar valores distintos reais, iguais ou complexos
conjugados;
Os polos dos sistemas de segunda ordem determinam a velocidade do sistema e a
forma de onda da resposta na saída;
SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM
A classificação da resposta temporal dos sistemas de segunda ordem de acordo com
a característica dos polos é:
 Resposta Superamortecida;
 Resposta Criticamente Amortecida;
 Resposta Subamortecida;
 Resposta Não-Amortecida ou Oscilante;
RESPOSTA SUPERAMORTECIDA
A Resposta Superamortecida é caracterizada por apresentar dois polos reais
distintos, resultado do polinômio característico do denominador da função de
transferência;
Tem regime transitório suave sem ondulações, porém, podem ser respostas mais
lentas;
A resposta natural para este tipo de sistema superamortecido é determinada pela
equação genérica:
𝑐𝑛 𝑡 = 𝐾1 𝑒 −𝜎1 𝑡 + 𝐾2 𝑒 −𝜎2𝑡
𝑠1,2 = 𝝈𝟏 , 𝝈𝟐
RESPOSTA CRITICAMENTE AMORTECIDA
A Resposta Criticamente Amortecida é caracterizada pelos seus polos ou raizes
iguais e reais;
Assim como a resposta superamortecida, não apresenta ondulações durante a
resposta transitória da saída, porém, são mais rápidas do que as superamortecidas;
A equação geral que determina a resposta natural dos sistemas criticamente
amortecidos é:
𝑐𝑛 𝑡 = 𝐾1 𝑒 −𝜎1𝑡 + 𝐾2 𝑡𝑒 −𝜎1 𝑡
𝑠1,2 = 𝝈𝟏
RESPOSTA SUBAMORTECIDA
Os Sistemas Subamortecidos denotam raízes ou polos complexos e conjugados;
Os complexos conjugados conservam o valor e o sinal da parcela real, mas são simétricos
na parcela imaginária;
São sistemas que imprimem ondulações durante o regime transitório e tendem a zero;
A resposta natural subamortecida pode ser escrita, matematicamente, por:
𝑐𝑛 𝑡 = 𝐴𝑒 −𝜎𝑑 𝑡 cos 𝜔𝑑 𝑡 − 𝜙
𝑠1,2 = 𝝈𝒅 ± 𝒋𝝎𝒅
RESPOSTA SUBAMORTECIDA
Essa resposta mostra algumas características peculiares com relação ao comportamento do
sinal de saída;
De acordo com os polos, o coeficiente da parte real, σd, representa a Frequência
Exponencial de Decaimento da resposta natural;
E os coeficientes da parte imaginária, ωd, representa a Frequência de Oscilação Senoidal;
Nise (2013)
RESPOSTA NÃO-AMORTECIDA
E por fim, a Resposta Não-Amortecida compreende a resposta em que as raízes ou
polos da função de transferência são conjugados imaginários;
Este tipo de resposta denota somente ondulações harmônicas no tempo, mas não
são consideradas respostas instáveis;
A equação da resposta natural no domínio do tempo é:
𝑐𝑛 𝑡 = 𝐴 cos 𝜔1 𝑡 − 𝜙
𝑠1,2 = ±𝒋𝝎𝟏
SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM
Nise (2013)
GENERALIZAÇÃO DOS SISTEMA DE SEGUNDA ORDEM
Os sistemas de segunda ordem apresentam quatro formas a depender da
característica dos polos;
Para determinar quantitativamente esses comportamentos distintos dois parâmetros
devem ser definidos:
 Frequência Natural (ωn);
 Fator de Amortecimento (ζ);
GENERALIZAÇÃO DOS SISTEMA DE SEGUNDA ORDEM
Para Nise (2013), a Frequência Natural é a frequência de oscilação de um sistema sem
amortecimento;
Ainda para Nise (2013), uma definição viável para o Fator de Amortecimento é a razão
entre a Frequência de Decaimento Exponencial e a Frequência Natural;
O fator de amortecimento é constante e não depende da escala de tempo da resposta;
𝜎𝑑
1 𝑇𝑛
1
𝑇𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑁𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑂𝑠𝑐𝑖𝑙𝑎çã𝑜
𝜉=
=
=
𝜔𝑛 2𝜋 𝜎𝑑 2𝜋 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑇𝑒𝑚𝑝𝑜 𝐸𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙
GENERALIZAÇÃO DOS SISTEMA DE SEGUNDA ORDEM
Considerando a forma geral de uma sistema de segunda ordem no domínio da
frequência:
𝑏
𝐺 𝑠 = 2
𝑠 + 𝑎𝑠 + 𝑏
Para a = 0, os polos estariam sobre o eixo complexo jω e sem amortecimento, então
G(s) será:
𝑏
𝐺 𝑠 = 2
𝑠 +𝑏
GENERALIZAÇÃO DOS SISTEMA DE SEGUNDA ORDEM
Calculando as raízes do denominador de G(s):
𝑠1,2 = ±𝑗 𝑏 = ±𝑗𝜔𝑛
𝜔𝑛2 = 𝑏
Com o resultado acima, é possível determinar a frequência natural a partir do
denominador da função de transferência de um sistema de segunda ordem;
GENERALIZAÇÃO DOS SISTEMA DE SEGUNDA ORDEM
Retornando à função geral:
𝑏
𝐺 𝑠 = 2
𝑠 + 𝑎𝑠 + 𝑏
Se o denominador for igual a zero as possíveis raízes poderão ser determinadas por:
𝑎
𝑎2 − 4𝑏
𝑠1,2 = − ±
2
2
GENERALIZAÇÃO DOS SISTEMA DE SEGUNDA ORDEM
A partir das raízes determinadas é possível constatar que a parte real dos polos ou
a frequência de decaimento exponencial apresenta o valor de –a/2;
Com este parâmetro determinado pode-se substituir na equação geral do fator de
decaimento:
𝐹𝑟𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝐷𝑒𝑐𝑎𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝐸𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙
𝜎𝑑
𝑎
𝜉=
=
=
𝐹𝑟𝑒𝑞𝑢ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑁𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙
2𝜔𝑛
𝜔𝑛
𝑎 = 2𝜉𝜔𝑛
GENERALIZAÇÃO DOS SISTEMA DE SEGUNDA ORDEM
Assim, também é possível determinar o fator de decaimento apenas tendo como base
os valores de a e b referentes a análise do polinômio dos polos;
Substituindo os valores de a e b na equação geral de G(s):
𝜔𝑛2
𝐺 𝑠 = 2
𝑠 + 2𝜉𝜔𝑛 𝑠 + 𝜔𝑛2
𝑠1,2 = −𝜉𝜔𝑛 ± 𝜔𝑛 𝜉 2 − 1
GENERALIZAÇÃO DOS SISTEMA DE SEGUNDA ORDEM
Com a equação geral dos polos é possível definir qual o comportamento da saída,
para uma entrada em degrau, analisando somente o fator de decaimento;
 Para ζ = 0; Sistema Não-Amortecido
 Para 0 < ζ < 1; Sistema Subamortecido
 Para ζ = 1; Criticamente Amortecido;
 Para ζ > 1; Sistema Superamortecido;
GENERALIZAÇÃO DOS SISTEMA DE SEGUNDA ORDEM
Nise (2013)
SISTEMAS SUBAMORTECIDOS
Definida a generalização dos sistemas de segunda ordem é possível determinar,
completamente, o comportamento das respostas com entrada em degrau;
Em particular, o sistema subamortecido apresenta dinâmica única nos sistemas físicos
e deve ser atenuado;
Para Nise(2013), um estudo detalhado sobre um sistema subamortecido para
realização da análise e do projeto de sistemas de controle;
SISTEMAS SUBAMORTECIDOS
Considerando agora a resposta de um sistema subamortecido para uma entrada em degrau:
𝜔𝑛2
𝐾1
𝐾2 𝑠 + 𝐾3
𝐶 𝑠 =
2 = 𝑠 + 2
2
𝑠(𝑠 + 2𝜉𝜔𝑛 𝑠 + 𝜔𝑛 )
𝑠 + 2𝜉𝜔𝑛 𝑠 + 𝜔𝑛2
Determinando K1, K2 e K3 e determinando a resposta no tempo:
𝑐 𝑡
= 1 − 𝑒 −𝜉𝜔𝑛 𝑡
cos 𝜔𝑛
1 − 𝜉2𝑡
+
𝜉
1 − 𝜉2
sen 𝜔𝑛 1 − 𝜉 2 𝑡
SISTEMAS SUBAMORTECIDOS
A equação da saída mostra que o grau de oscilação da resposta ao degrau
dependerá diretamente do valor de ζ;
A frequência natural não afeta a natureza da resposta subamortecida;
Nise (2013)
SISTEMAS SUBAMORTECIDOS
Outros parâmetros são analisados para esse tipo de resposta e que são
parâmetros de tempo e amplitude do sinal em função de ζ e ωn:
 Tempo de Pico (Tp);
 Ultrapassagem Percentual (UP%);
 Tempo de Acomodação (Ts);
 Tempo de Subida (Tr);
SISTEMAS SUBAMORTECIDOS
O Tempo de Pico é o tempo necessário para que a resposta subamortecida atinja o
primeiro pico ou pico máximo do sinal;
O cálculo desse tempo é realizado derivando a equação de saída da resposta e,
posteriormente, igualando a zero, então:
ሶ =
𝑐(𝑡)
𝜔𝑛
1 − 𝜉2
𝑒 −𝜉𝜔𝑛 𝑡 sen 𝜔𝑛 1 − 𝜉 2 𝑡 = 0
𝜔𝑛 1 − 𝜉 2 𝑡 = 𝑛𝜋
𝒕=
𝒏𝝅
𝝎𝒏 𝟏 − 𝝃𝟐
= 𝑻𝑷
SISTEMAS SUBAMORTECIDOS
A Ultrapassagem Percentual é o valor percentual de ultrapassagem da maior
amplitude do sinal com relação a resposta em regime permanente:
𝑐 𝑇𝑝 − 𝑐𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙
𝑥100
𝑈𝑃% =
𝑐𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙
Substituindo o resultado do tempo de pico na equação de c(t):
𝑐 𝑇𝑝 = 1 + 𝑒
−𝜉𝜋/
1−𝜉 2
SISTEMAS SUBAMORTECIDOS
Com o resultado de C(Tp) determinado e substituindo na equação da ultrapassagem
percentual para uma entrada em degrau unitário:
𝑈𝑃% =
1+𝑒
−𝜉𝜋/
1
1−𝜉 2
−1
𝑥100 = 𝑒
−𝜉𝜋/
1−𝜉 2
𝑥 100
Observando a equação é possível concluir que quanto maior o fator de decaimento
menor será o valor de pico na resposta do sistema;
SISTEMAS SUBAMORTECIDOS
O Tempo de Assentamento assim como sistemas de primeira ordem é o tempo
necessário para que a resposta do sistema se encontre dentro da faixa de 2% em
torno do valor final;
É o tempo necessário para que o sistema fique praticamente sem ondulações, então
para uma entrada em degrau unitário:
0,02 = 𝑒
𝑇𝑠 ≈
−𝜉𝜔𝑛 𝑡
1
1 − 𝜉2
− ln 0,02 1 − 𝜉 2
𝜉𝜔𝑛
4
≈
𝜉𝜔𝑛
SISTEMAS SUBAMORTECIDOS
E o Tempo de Subida é definido com o mesmo conceito para sistemas de primeira
ordem;
É a faixa temporal para que a resposta do sistema se parta de 10% do valor final
atingindo 90% desse valor;
Segundo Nise (2013), métodos analíticos que relacione o tempo de subida e o valor
de ζ não pode ser obtida;
Contudo, sistemas computacionais utilizando a equação geral da resposta
subamortecida conseguem determinar este valor como variável de tempo
normalizado em ωnt escolhendo um valor para ζ;
SISTEMAS SUBAMORTECIDOS
O computador calcula os valores de tempo normalizado quando c(t) se encontra a
0,9 e 0,1;
A subtração resulta em um tempo de subida normalizado para um valor de ζ e o
processo é realizado para os demais valores de ζ;
Nise (2013)
SISTEMAS SUBAMORTECIDOS
Diante dos resultados conseguidos a respeito da dinâmica dos sistemas
subamortecidos algumas conclusões podem ser enxergadas;
A medida que o polos se movem em direção crescente e vertical do plano complexo
o valor do módulo da Frequência de Oscilação Senoidal segue o crescimento e
ocorre alterações no tempo de pico;
O Tempo de Pico (Tp) tem relação inversamente proporcional com a parcela
imaginária das raízes;
𝑇𝑃 =
𝜔𝑛
𝜋
𝜋
=
2
𝜔𝑑
1−𝜉
SISTEMAS SUBAMORTECIDOS
Logo, crescendo o valor do polo no sentido vertical o tempo de pico será menor e a
velocidade para alcançar o valor de ultrapassagem é maior;
Porém, este raciocínio leva a maiores oscilações retardando o regime permanente
bem como elevação da ultrapassagem ou Overshoot;
Nise (2013)
SISTEMAS SUBAMORTECIDOS
Mantendo a estabilidade do sistema, o movimento crescente dos polos para a esquerda
a frequência de oscilação permanece inalterada visto que somente a parcela real é
modificada;
No entanto, o Tempo de Assentamento decresce com o deslocamento do valor real
para a esquerda:
𝑇𝑠 ≈
− ln 0,02 1 − 𝜉 2
𝜉𝜔𝑛
4
4
≈
=
𝜉𝜔𝑛 𝜎𝑑
SISTEMAS SUBAMORTECIDOS
Com isso, o tempo necessário para que o sistema se apresente em torno do regime
permanente diminui alcançando mais rapidamente a resposta forçada;
Outro ponto observado é o amortecimento que ocorre mais rapidamente mesmo com
o mesmo instante de pico, mas com menor ultrapassagem;
SISTEMAS SUBAMORTECIDOS
Outra observação a ser feita é do deslocamento radial constante dos polos sobre o
plano complexo;
Sendo este deslocamento constante o valor do fator de amortecimento é constante
não implicando no valor da ultrapassagem percentual;
Apesar do mesmo amortecimento a velocidade da resposta aumenta quanto mais
afastados os polos estiverem da origem:
Nise (2013)
RESPOSTA COM POLOS ADICIONAIS
A depender do sistema é possível que ele apresente mais de dois polos
característicos;
As equações conseguidas para os sistemas de segunda ordem já não apresenta mais
validade;
Entretanto, em certas ocasiões os sistemas com mais de dois polos ou com zeros
podem ser aproximados para sistemas de segunda ordem com Polos Dominantes;
Com a possibilidade de realizar esta aproximação as equações para sistemas de
segunda ordem serão validas de acordo com esses polos;
RESPOSTA COM POLOS ADICIONAIS
Considerando a resposta em frequência de um sistema com três polos excitados por
uma entrada em degrau na forma de frações parciais:
𝐴 𝐵 𝑠 + 𝜉𝜔𝑛 + 𝐶𝜔𝑑
𝐷
+
𝐶 𝑠 = +
2
2
𝑠
𝑠 + 𝑎𝑟
𝑠 + 𝜉𝜔𝑛 + 𝜔𝑑
Em que –ar seria um terceiro polo adicional e a resposta temporal será:
𝑐 𝑡 = 𝐴𝑢 𝑡 + 𝑒 −𝜉𝜔𝑛 𝑡 𝐵 cos 𝜔𝑑 𝑡 + 𝐶 sen 𝜔𝑑 𝑡
+ 𝐷𝑒 −𝑎𝑟𝑡
RESPOSTA COM POLOS ADICIONAIS
Para esse tipo de resposta deve-se ter em mente as seguintes situações:
 O polo ar não muito maior que ζωn;
 O polo ar muito maior que ζωn;
 O polo ar = ∞;
Iniciando pelo segundo caso, o comportamento exponencial da resposta será
exaurida mais rapidamente do que a resposta subamortecida;
RESPOSTA COM POLOS ADICIONAIS
Os parâmetros de ultrapassagem e de velocidade do comportamento oscilatório
será determinado pelos parâmetros da resposta subamortecida;
Desse modo, a aproximação é valida para um sistema de segunda ordem;
Se o terceiro polo for muito próximo dos polos complexos a aproximação não é
permitida e a dinâmica do terceiro polo deve ser considerada;
Em termos de projeto, a influência de polos adicionais pode ser desconsiderada caso
esse polo esteja a uma distância cinco vezes maior que a posição dos polos de
segunda ordem;
RESPOSTA COM POLOS ADICIONAIS
Nise (2013)
RESPOSTA COM ZEROS ADICIONAIS
Acrescentando um zero ao sistema de segunda ordem ocorre mudança na
amplitude do sinal, mas não afeta a característica exponencial e senoidal da
resposta;
Acrescentando um zero ao eixo real para uma resposta de segunda ordem:
𝑠+𝑎
𝐴
𝐵
𝐺 𝑠 =
=
+
𝑠+𝑏 𝑠+𝑐
𝑠+𝑏 𝑠+𝑐
RESPOSTA COM ZEROS ADICIONAIS
Determinando os resíduos da função de transferência G(s):
−𝑏 + 𝑎 Τ −𝑏 + 𝑐
−𝑐 + 𝑎 Τ −𝑐 + 𝑏
+
𝐺 𝑠 =
𝑠+𝑏
𝑠+𝑐
Para o valor de muito maior que b e c:
𝐺 𝑠 ≈
𝑎
𝑠+𝑏 𝑠+𝑐
RESPOSTA COM ZEROS ADICIONAIS
De acordo com a aproximação realizada o zero adicional no sistema tem por
função um fator de ganho do sistema:
Nise (2013)
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
NISE, Norman S. Engenharia de Sistemas de Controle. Sexta Edição. LTC, 2013.