ANÁLISE TEMPORAL DE SISTEMAS ELÉTRICOS DINÂMICOS SISTEMAS DE PRIMEIRA E SEGUNDA ORDEM Eng. Me. Rafael Alex Vieira do Vale POLOS E ZEROS A resposta na saída de um sistema é a soma algébrica de duas respostas: ο Resposta Natural; ο Resposta Forçada; A dinâmica da resposta de saída é determinada com a solução de equações diferencias ou da aplicação de transformadas de Laplace; Porém, as técnicas utilizadas para a descoberta da resposta total do sistema pode ser bastante improdutiva; Para dirimir estas barreiras o estudo dos Polos e Zeros do sistema com relação a resposta no domínio do tempo é bastante satisfatória; POLOS E ZEROS Os Polos e os Zeros são determinados a partir da inspeção do sistema no domínio da frequência, a partir da Função de Transferência; Os Polos de uma função de transferência são as raízes do polinômio característico do denominador de uma função de transferência o que leva essa função ter valor infinito; Os Zeros da função de transferência equivale às raízes do polinômio do denominador da função de modo que a função seja nula; Nise (2013) ORDEM DO SISTEMA A ordem do sistema está relacionada a equação diferencial que define a dinâmica desse sistema; Essa ordem, geralmente, esta ligada ao numero de polos presentes no polinômio característico do denominador da função de transferência; A quantidade de raízes da função de transferência sejam elas distintas ou não define a ordem e a dinâmica do sistema; Será exposto nesta apresentação as características de sistemas de primeira e segunda ordem; SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM Os sistemas de primeira ordem são aqueles que apresentam somente um polo no plano complexo, geralmente, com valor real; Considerando a função genérica de para uma determinada resposta a uma entrada em degrau: π πΆ π =π π πΊ π = π π +π Nise (2013) SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM Para determinar os polo da função de saída basta igualar o denominador de C(s) a zero; Desse modo, os polos situado plano complexo serão iguais a s = -a e s = 0; Utilizando a transformada inversa de Laplace para o resultado de C(s) é determinada a resposta no domínio do tempo: π π‘ = 1 − π −ππ‘ = ππ (π‘) + ππ (π‘) Pode-se observar que o polo na origem gerou uma resposta forçada igual a 1 e o polo em –a determinou a resposta natural π−ππ ; SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM Fica evidente que o polo em –a é um valor necessário para o entendimento da resposta natural ou transitória do sistema; Analisando somente a resposta transitória do sistema anterior e determinando que t = 1/a: ππ 1 1 −ππ = π −1 = 0,37 =π π SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM Substituindo na resposta total do sistema: 1 1 −ππ = 1 − π −1 = 0,63 π =1−π π A relação 1/a é denominada Constante de Tempo; A interpretação dessa constante de tempo é a do tempo necessário para que a resposta seja reduzida em 37% de seu valor inicial ou para atingir 63% do valor final; SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM Alternativamente, o inverso da constante de tempo é denominada Frequência Exponencial com valor igual ao polo da função de transferência; A constante de tempo pode ser admitida como uma especificação da resposta transitória para sistemas de primeira ordem; Essa constante está diretamente relacionada com a velocidade do sistema em atingir o regime permanente; Como a constante de tempo é o inverso do polo real da função de transferência quanto mais distante do eixo imaginário mais rápida é a resposta do sistema; SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM Ainda relativo ao comportamento dos sistemas de primeira ordem é interessante definir o seguintes tempos: ο Tempo de Subida (Tr); ο Tempo de Acomodação (Ts); Estes tempos são importante para determinar o intervalo temporal que o sistema necessita para praticamente extinguir o regime transitório e acomodar-se em regime permanente; SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM O Tempo de Subida é definido como intervalo de tempo necessário para que a resposta transite entre 10% a 90% do seu valor final, então: 0,9 = 1 − π −ππ‘1 −0,1 = π −ππ‘1 ln(0,1) 2,31 = π‘1 = π π SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM Continuação: 0,1 = 1 − π −ππ‘2 −0,9 = π −ππ‘2 ln(0,9) 0,11 π‘2 = = π π SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM Desse forma o tempo de subida será: 2,31 0,11 2,2 − = ππ = π‘1 − π‘2 = π π π O Tempo de Acomodação é o tempo necessário para que a resposta do sistema atinja e permaneça a 98% do valor final SISTEMAS DE PRIMEIRA ORDEM Dessa forma é possível calcular o tempo de acomodação por: 0,98 = 1 − π −ππ‘ −0,02 = π −ππ‘ ln(0,02) 4 π‘ = ππ = ≅ π π SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM Para os sistemas de segunda ordem, o polinômio característico do denominador da função de transferência apresenta duas raízes ou dois polos; Os polos podem apresentar valores distintos reais, iguais ou complexos conjugados; Os polos dos sistemas de segunda ordem determinam a velocidade do sistema e a forma de onda da resposta na saída; SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM A classificação da resposta temporal dos sistemas de segunda ordem de acordo com a característica dos polos é: ο Resposta Superamortecida; ο Resposta Criticamente Amortecida; ο Resposta Subamortecida; ο Resposta Não-Amortecida ou Oscilante; RESPOSTA SUPERAMORTECIDA A Resposta Superamortecida é caracterizada por apresentar dois polos reais distintos, resultado do polinômio característico do denominador da função de transferência; Tem regime transitório suave sem ondulações, porém, podem ser respostas mais lentas; A resposta natural para este tipo de sistema superamortecido é determinada pela equação genérica: ππ π‘ = πΎ1 π −π1 π‘ + πΎ2 π −π2π‘ π 1,2 = ππ , ππ RESPOSTA CRITICAMENTE AMORTECIDA A Resposta Criticamente Amortecida é caracterizada pelos seus polos ou raizes iguais e reais; Assim como a resposta superamortecida, não apresenta ondulações durante a resposta transitória da saída, porém, são mais rápidas do que as superamortecidas; A equação geral que determina a resposta natural dos sistemas criticamente amortecidos é: ππ π‘ = πΎ1 π −π1π‘ + πΎ2 π‘π −π1 π‘ π 1,2 = ππ RESPOSTA SUBAMORTECIDA Os Sistemas Subamortecidos denotam raízes ou polos complexos e conjugados; Os complexos conjugados conservam o valor e o sinal da parcela real, mas são simétricos na parcela imaginária; São sistemas que imprimem ondulações durante o regime transitório e tendem a zero; A resposta natural subamortecida pode ser escrita, matematicamente, por: ππ π‘ = π΄π −ππ π‘ cos ππ π‘ − π π 1,2 = ππ ± πππ RESPOSTA SUBAMORTECIDA Essa resposta mostra algumas características peculiares com relação ao comportamento do sinal de saída; De acordo com os polos, o coeficiente da parte real, σd, representa a Frequência Exponencial de Decaimento da resposta natural; E os coeficientes da parte imaginária, ωd, representa a Frequência de Oscilação Senoidal; Nise (2013) RESPOSTA NÃO-AMORTECIDA E por fim, a Resposta Não-Amortecida compreende a resposta em que as raízes ou polos da função de transferência são conjugados imaginários; Este tipo de resposta denota somente ondulações harmônicas no tempo, mas não são consideradas respostas instáveis; A equação da resposta natural no domínio do tempo é: ππ π‘ = π΄ cos π1 π‘ − π π 1,2 = ±πππ SISTEMAS DE SEGUNDA ORDEM Nise (2013) GENERALIZAÇÃO DOS SISTEMA DE SEGUNDA ORDEM Os sistemas de segunda ordem apresentam quatro formas a depender da característica dos polos; Para determinar quantitativamente esses comportamentos distintos dois parâmetros devem ser definidos: ο Frequência Natural (ωn); ο Fator de Amortecimento (ζ); GENERALIZAÇÃO DOS SISTEMA DE SEGUNDA ORDEM Para Nise (2013), a Frequência Natural é a frequência de oscilação de um sistema sem amortecimento; Ainda para Nise (2013), uma definição viável para o Fator de Amortecimento é a razão entre a Frequência de Decaimento Exponencial e a Frequência Natural; O fator de amortecimento é constante e não depende da escala de tempo da resposta; ππ 1 ππ 1 πππππ πππ‘π’πππ ππ ππ ππππçãπ π= = = ππ 2π ππ 2π πΆπππ π‘πππ‘π ππ πππππ πΈπ₯πππππππππ GENERALIZAÇÃO DOS SISTEMA DE SEGUNDA ORDEM Considerando a forma geral de uma sistema de segunda ordem no domínio da frequência: π πΊ π = 2 π + ππ + π Para a = 0, os polos estariam sobre o eixo complexo jω e sem amortecimento, então G(s) será: π πΊ π = 2 π +π GENERALIZAÇÃO DOS SISTEMA DE SEGUNDA ORDEM Calculando as raízes do denominador de G(s): π 1,2 = ±π π = ±πππ ππ2 = π Com o resultado acima, é possível determinar a frequência natural a partir do denominador da função de transferência de um sistema de segunda ordem; GENERALIZAÇÃO DOS SISTEMA DE SEGUNDA ORDEM Retornando à função geral: π πΊ π = 2 π + ππ + π Se o denominador for igual a zero as possíveis raízes poderão ser determinadas por: π π2 − 4π π 1,2 = − ± 2 2 GENERALIZAÇÃO DOS SISTEMA DE SEGUNDA ORDEM A partir das raízes determinadas é possível constatar que a parte real dos polos ou a frequência de decaimento exponencial apresenta o valor de –a/2; Com este parâmetro determinado pode-se substituir na equação geral do fator de decaimento: πΉππππ’êππππ ππ π·ππππππππ‘π πΈπ₯πππππππππ ππ π π= = = πΉππππ’êππππ πππ‘π’πππ 2ππ ππ π = 2πππ GENERALIZAÇÃO DOS SISTEMA DE SEGUNDA ORDEM Assim, também é possível determinar o fator de decaimento apenas tendo como base os valores de a e b referentes a análise do polinômio dos polos; Substituindo os valores de a e b na equação geral de G(s): ππ2 πΊ π = 2 π + 2πππ π + ππ2 π 1,2 = −πππ ± ππ π 2 − 1 GENERALIZAÇÃO DOS SISTEMA DE SEGUNDA ORDEM Com a equação geral dos polos é possível definir qual o comportamento da saída, para uma entrada em degrau, analisando somente o fator de decaimento; ο Para ζ = 0; Sistema Não-Amortecido ο Para 0 < ζ < 1; Sistema Subamortecido ο Para ζ = 1; Criticamente Amortecido; ο Para ζ > 1; Sistema Superamortecido; GENERALIZAÇÃO DOS SISTEMA DE SEGUNDA ORDEM Nise (2013) SISTEMAS SUBAMORTECIDOS Definida a generalização dos sistemas de segunda ordem é possível determinar, completamente, o comportamento das respostas com entrada em degrau; Em particular, o sistema subamortecido apresenta dinâmica única nos sistemas físicos e deve ser atenuado; Para Nise(2013), um estudo detalhado sobre um sistema subamortecido para realização da análise e do projeto de sistemas de controle; SISTEMAS SUBAMORTECIDOS Considerando agora a resposta de um sistema subamortecido para uma entrada em degrau: ππ2 πΎ1 πΎ2 π + πΎ3 πΆ π = 2 = π + 2 2 π (π + 2πππ π + ππ ) π + 2πππ π + ππ2 Determinando K1, K2 e K3 e determinando a resposta no tempo: π π‘ = 1 − π −πππ π‘ cos ππ 1 − π2π‘ + π 1 − π2 sen ππ 1 − π 2 π‘ SISTEMAS SUBAMORTECIDOS A equação da saída mostra que o grau de oscilação da resposta ao degrau dependerá diretamente do valor de ζ; A frequência natural não afeta a natureza da resposta subamortecida; Nise (2013) SISTEMAS SUBAMORTECIDOS Outros parâmetros são analisados para esse tipo de resposta e que são parâmetros de tempo e amplitude do sinal em função de ζ e ωn: ο Tempo de Pico (Tp); ο Ultrapassagem Percentual (UP%); ο Tempo de Acomodação (Ts); ο Tempo de Subida (Tr); SISTEMAS SUBAMORTECIDOS O Tempo de Pico é o tempo necessário para que a resposta subamortecida atinja o primeiro pico ou pico máximo do sinal; O cálculo desse tempo é realizado derivando a equação de saída da resposta e, posteriormente, igualando a zero, então: αΆ = π(π‘) ππ 1 − π2 π −πππ π‘ sen ππ 1 − π 2 π‘ = 0 ππ 1 − π 2 π‘ = ππ π= ππ ππ π − ππ = π»π· SISTEMAS SUBAMORTECIDOS A Ultrapassagem Percentual é o valor percentual de ultrapassagem da maior amplitude do sinal com relação a resposta em regime permanente: π ππ − ππππππ π₯100 ππ% = ππππππ Substituindo o resultado do tempo de pico na equação de c(t): π ππ = 1 + π −ππ/ 1−π 2 SISTEMAS SUBAMORTECIDOS Com o resultado de C(Tp) determinado e substituindo na equação da ultrapassagem percentual para uma entrada em degrau unitário: ππ% = 1+π −ππ/ 1 1−π 2 −1 π₯100 = π −ππ/ 1−π 2 π₯ 100 Observando a equação é possível concluir que quanto maior o fator de decaimento menor será o valor de pico na resposta do sistema; SISTEMAS SUBAMORTECIDOS O Tempo de Assentamento assim como sistemas de primeira ordem é o tempo necessário para que a resposta do sistema se encontre dentro da faixa de 2% em torno do valor final; É o tempo necessário para que o sistema fique praticamente sem ondulações, então para uma entrada em degrau unitário: 0,02 = π ππ ≈ −πππ π‘ 1 1 − π2 − ln 0,02 1 − π 2 πππ 4 ≈ πππ SISTEMAS SUBAMORTECIDOS E o Tempo de Subida é definido com o mesmo conceito para sistemas de primeira ordem; É a faixa temporal para que a resposta do sistema se parta de 10% do valor final atingindo 90% desse valor; Segundo Nise (2013), métodos analíticos que relacione o tempo de subida e o valor de ζ não pode ser obtida; Contudo, sistemas computacionais utilizando a equação geral da resposta subamortecida conseguem determinar este valor como variável de tempo normalizado em ωnt escolhendo um valor para ζ; SISTEMAS SUBAMORTECIDOS O computador calcula os valores de tempo normalizado quando c(t) se encontra a 0,9 e 0,1; A subtração resulta em um tempo de subida normalizado para um valor de ζ e o processo é realizado para os demais valores de ζ; Nise (2013) SISTEMAS SUBAMORTECIDOS Diante dos resultados conseguidos a respeito da dinâmica dos sistemas subamortecidos algumas conclusões podem ser enxergadas; A medida que o polos se movem em direção crescente e vertical do plano complexo o valor do módulo da Frequência de Oscilação Senoidal segue o crescimento e ocorre alterações no tempo de pico; O Tempo de Pico (Tp) tem relação inversamente proporcional com a parcela imaginária das raízes; ππ = ππ π π = 2 ππ 1−π SISTEMAS SUBAMORTECIDOS Logo, crescendo o valor do polo no sentido vertical o tempo de pico será menor e a velocidade para alcançar o valor de ultrapassagem é maior; Porém, este raciocínio leva a maiores oscilações retardando o regime permanente bem como elevação da ultrapassagem ou Overshoot; Nise (2013) SISTEMAS SUBAMORTECIDOS Mantendo a estabilidade do sistema, o movimento crescente dos polos para a esquerda a frequência de oscilação permanece inalterada visto que somente a parcela real é modificada; No entanto, o Tempo de Assentamento decresce com o deslocamento do valor real para a esquerda: ππ ≈ − ln 0,02 1 − π 2 πππ 4 4 ≈ = πππ ππ SISTEMAS SUBAMORTECIDOS Com isso, o tempo necessário para que o sistema se apresente em torno do regime permanente diminui alcançando mais rapidamente a resposta forçada; Outro ponto observado é o amortecimento que ocorre mais rapidamente mesmo com o mesmo instante de pico, mas com menor ultrapassagem; SISTEMAS SUBAMORTECIDOS Outra observação a ser feita é do deslocamento radial constante dos polos sobre o plano complexo; Sendo este deslocamento constante o valor do fator de amortecimento é constante não implicando no valor da ultrapassagem percentual; Apesar do mesmo amortecimento a velocidade da resposta aumenta quanto mais afastados os polos estiverem da origem: Nise (2013) RESPOSTA COM POLOS ADICIONAIS A depender do sistema é possível que ele apresente mais de dois polos característicos; As equações conseguidas para os sistemas de segunda ordem já não apresenta mais validade; Entretanto, em certas ocasiões os sistemas com mais de dois polos ou com zeros podem ser aproximados para sistemas de segunda ordem com Polos Dominantes; Com a possibilidade de realizar esta aproximação as equações para sistemas de segunda ordem serão validas de acordo com esses polos; RESPOSTA COM POLOS ADICIONAIS Considerando a resposta em frequência de um sistema com três polos excitados por uma entrada em degrau na forma de frações parciais: π΄ π΅ π + πππ + πΆππ π· + πΆ π = + 2 2 π π + ππ π + πππ + ππ Em que –ar seria um terceiro polo adicional e a resposta temporal será: π π‘ = π΄π’ π‘ + π −πππ π‘ π΅ cos ππ π‘ + πΆ sen ππ π‘ + π·π −πππ‘ RESPOSTA COM POLOS ADICIONAIS Para esse tipo de resposta deve-se ter em mente as seguintes situações: ο O polo ar não muito maior que ζωn; ο O polo ar muito maior que ζωn; ο O polo ar = ∞; Iniciando pelo segundo caso, o comportamento exponencial da resposta será exaurida mais rapidamente do que a resposta subamortecida; RESPOSTA COM POLOS ADICIONAIS Os parâmetros de ultrapassagem e de velocidade do comportamento oscilatório será determinado pelos parâmetros da resposta subamortecida; Desse modo, a aproximação é valida para um sistema de segunda ordem; Se o terceiro polo for muito próximo dos polos complexos a aproximação não é permitida e a dinâmica do terceiro polo deve ser considerada; Em termos de projeto, a influência de polos adicionais pode ser desconsiderada caso esse polo esteja a uma distância cinco vezes maior que a posição dos polos de segunda ordem; RESPOSTA COM POLOS ADICIONAIS Nise (2013) RESPOSTA COM ZEROS ADICIONAIS Acrescentando um zero ao sistema de segunda ordem ocorre mudança na amplitude do sinal, mas não afeta a característica exponencial e senoidal da resposta; Acrescentando um zero ao eixo real para uma resposta de segunda ordem: π +π π΄ π΅ πΊ π = = + π +π π +π π +π π +π RESPOSTA COM ZEROS ADICIONAIS Determinando os resíduos da função de transferência G(s): −π + π Τ −π + π −π + π Τ −π + π + πΊ π = π +π π +π Para o valor de muito maior que b e c: πΊ π ≈ π π +π π +π RESPOSTA COM ZEROS ADICIONAIS De acordo com a aproximação realizada o zero adicional no sistema tem por função um fator de ganho do sistema: Nise (2013) REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS NISE, Norman S. Engenharia de Sistemas de Controle. Sexta Edição. LTC, 2013.
