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t i c
Teoría de
co n ju n to s
para estudiantes
de ciencias
José Alfredo A m o r M ontano
a
s
José Alfredo Amor Montano
T e o r ía d e c o n ju n t o s
PARA ESTUDIANTES DE CIENCIAS
F a c u lta d d e C ie n cia s, U N A M
Amor Montano, José Alfredo.
Teoría de conjuntos para estudiantes de ciencias / José
Alfredo Amor Montano. — 2a ed., reimp. -- México : UNAM, Facultad
de Ciencias, 2011.
v i i i , 117 p. ; 22 cm. — (Las prensas de ciencias) (Temas de
matemáticas)
B ibliografía: p. 117
ISBN 378-970-32-2454-3
1. Teoría de los conjuntos. 2. Lógica simbólica y matemática.
I. Universidad Nacional Autónoma de México. Facultad de Ciencias.
I I . t . I I I . Ser. IV. Ser.
51i.322-scdd20
Biblioteca Nacional de México
Teoría de conjuntos para estudiantes de ciencias
T edición, 2005
l 4 reimpresión, 2008
2- reimpresión, 2 de agosto de 2011
© D.R. 2011. Universidad Nacional Autónoma de México.
Facultad de Ciencias.
Ciudad Universitaria. Delegación Coyoacán,
C. P. 04510, México, Distrito Federal.
editoriales@ciencias.unam.mx
ISBN: 978-970-32-2454-8
Diseño de portada: Laura Uribe.
Prohibida la reproducción parcial o total de la obra, por cualquier medio,
sin la autorización por escrito del titular de los derechos patrimoniales.
Impreso y hecho en México.
A Jitdith Márquez Guzmán
P r e f a c io
Este libro fue escrito pensando en ser usado como un texto introduc­
torio a la teoría de conjuntos, para estudiantes de ciencias. Sin embargo
el hecho de que sea introductorio no significa que sea fácil ya que los con­
ceptos se presentan con todo el rigor moderno, en un lenguaje preciso y
haciendo la distinción entre colección (determinada por una propiedad)
y conjunto.
Este texto nació de las notas de clase de un curso de Teoría de
Conjuntos I impartido por el autor en la Facultad de Ciencias de la
UNAM a un grupo de 18 excelentes estudiantes de matemáticas y física
en 1993. Este material ya organizado y revisado por el autor, fue escrito
en Scientific Word para lo cual se contó con la valiosa colaboración de
Favio Miranda. El texto fue usado y nuevamente revisado y ampliado,
en otro curso de Teoría de Conjuntos impartido en 1995. El resultado es
el presente texto.
La introducción es un desarrollo muy intuitivo pero muy riguroso del
concepto de conjunto, diferenciándolo del concepto de colección o clase
determinada por una propiedad, ya que todo conjunto es una colección
o clase pero no a la inversa. También se aclaran algunos prejuicios sobre
el concepto de conjunto; se precisa el concepto constructivo de conjunto
y se dan algunos teoremas básicos por ejemplo, que la colección de todos
los conjuntos no es un conjunto.
En el capítulo uno se desarrolla el álgebra de conjuntos: par orde­
nado, relaciones, particiones y funciones. Ordenes parciales, totales y
buenos; conjuntos bien fundados y conjuntos con inducción fuerte. Se
dan relaciones entre estos conceptos generales, por ejemplo un conjunto
con una relación, es bien fundado si y sólo si cumple inducción fuerte.
Esto generaliza la relación entre el Principio de Inducción Matemática
y el principio del Buen Orden.
El capítulo dos contiene la construcción de los números naturales, de
dos maneras, con el objeto de definirlos de un modo natural y probar
su existencia de un modo general. Se prueban los axiomas de Peano:
el Teorema de Recursión para números naturales es la parte central de
este capítulo, que incluye otras caracterizaciones de los naturales y su
aritmética.
En el capítulo tres se presenta la aritmética cardinal transfinita a
partir de los conceptos de equipotencia y de dominancia; el Teorema de
Cantor, la relación entre finitos, infinitos, Dedekind-iníinitos y el Teore­
ma de Cantor-Schróder-Bernstein. Quedan abiertas tres preguntas que
requieren del Axioma de Elección.
El capítulo cuatro está dedicado al Axioma de Elección, se presentan
diez equivalentes y se resuelven las tres preguntas pendientes del capítulo
tres: la dominancia es relación total, todo conjunto infinito es Dedekindinfinito y tiene un subconjunto numerable y para todo cardinal infinito
k, k ■k = k. Se ve más aritmética cardinal, se prueban el Lema de
Zorn y el Teorema del Buen Orden y termina con una aplicación y otras
versiones del Axioma de Elección muy usadas en muy diferentes ramas
de las matemáticas.
Todos los capítulos tienen variados ejercicios, algunos con sugeren­
cias.
Agradezco a. mis alumnos de los dos cursos mencionados pues me
permitieron tener esa extraordinaria, sensación de enseñarles teoría de
conjuntos y compartirla con ellos. Agradezco el apoyo de Fundación
UNAM para la mitad del proyecto y quiero agradecer especialmente a
Favio Miranda Perea. su valiosa colaboración, ya que él fue alumno en
1993 y profesor junto conmigo en 199-5 y sin él este texto no se hubiera
podido realizar como se pensó. Para la segunda impresión de este libro
se agregaron algunos comentarios y detalles de definiciones, ejemplos y
demostraciones, que complementan el original, para lo cual conté con
la valiosa colaboración de Mariana Martínez González quien corrigió las
erratas encontradas y elaboró el complemento en LaTex.
C o n t e n id o
IN T R O D U C C IÓ N
o.i A c l a r a c io n e s s o b r e el c o n c e p t o
DE CONJUNTO.......................................................................
0.2
C o n s t r u c c i ó n d e c o n j u n t o s ....................................
0.3
E l c o n j u n t o u n i v e r s o l o c a l ....................................
1
7
9
13
1 Á L G EB R A DE C O N JU N T O S
18
1.1 PAR ORDENADO................................................................... 19
1.2
R e l a c i o n e s ......................................................................... 20
1.3
Ó rd e n e s p a r c ia le s , t o t a l e s y b u en o s;
CONJUNTOS BIEN FUNDADOS E INDUCCIÓN FUERTE.
PARTICIONES....................................................................... 21
1.4 FUNCIONES ......................................................................... 24
2 LOS N Ú M ER O S N A TU R A LES, IN D U C C IÓ N
Y R E C U R SIÓ N
28
2.1 LOS NÚMEROS NATURALES............................................. 29
2.2 EL TEOREMA DE RECURSIÓN PARA NÚMEROS
NATURALES.......................................................................... 43
2.3 S is te m a s d e p e a n o ......................................................... 50
2.3.1. UNICIDAD DE SISTEMAS DE P E A N O ...................53
2.4 A r i t m é t i c a e n l o s n a t u r a l e s ................................. 55
2.5 V a r i a n t e s d e l t e o r e m a d e r e c u r s i ó n .............. 56
3 E Q U IPO T E N C IA , F IN IT U D , D O M IN A N C IA
Y A R IT M ÉT IC A C A R D IN A L
61
3.1 EQUIPOTENCIA................................................................... 61
3.2 FINITUD ................................................................................ 68
3.2.1 OTRAS PROPIEDADESDE FINITO S....................... 71
3.2.2. D e f in ic io n e s a l t e r n a t i v a s d e f i n i t u d . . 74
3.3 D o m in a n c ia ...................................................................... 78
3.4 A r i t m é t i c a c a r d i n a l .................................................... 82
4 EL A XIO M A DE ELECCIÓN
92
4.1 A lg u n o s e q u i v a l e n t e s d e l a x io m a
d e e l e c c ió n ( A E ) .............................................................. 95
4.2 MÁS ARITMÉTICA CARDINAL...........................................106
4.3 UNA APLICACIÓN DEL LEMADE Z O R N ......................... 114
B IB LIO G R A FÍA
117
I n t r o d u c c ió n
Un conjunto es una colección de objetos considerada como un todo;
es decir, considerada como una unidad. Brevemente, podemos decir que
un conjunto es una multiplicidad considerada como una unidad.
Los objetos que pertenecen a un conjunto se llaman sus elementos
y estos pueden ser cualquier tipo de objetos que no sean colecciones o
bien pueden ser conjuntos.
Con la palabra “objeto” . nos referimos a los objetos de estudio de la
Teoría de Conjuntos (T.C.).
Los objetos de estudio de la T.C. quedan intuitivamente descritos
con las siguientes ideas:
1 . Si x no tiene elementos, entonces x es un objeto de la T.C.
2. Si x es un conjunto, entonces x es un objeto de la T.C.
3. Los únicos objetos de la T.C. son los descritos en 1 y 2.
Una parte fundamental en el estudio de una teoría cualquiera, es el
lenguaje de esa teoría y en la teoría de conjuntos en particular, esto
es muy importante, por lo que daremos una descripción intuitiva de su
lenguaje como usualmente se presenta en la actualidad:
El lenguaje de la T.C. es un lenguaje de predicados que tiene como
símbolos lógicos a los siguientes: no (->); y (a ); o (v ); si... entonces...
(=»); si y sólo si (<£>); para todo (V); existe (3); símbolo de identidad (=);
variables individuales ( x i , x 2 ,xs,...). El lenguaje tiene como símbolo de
predicado de dos argumentos'a! símbolo de pertenencia (e).
En el lenguaje de la T.C., las variables x\, X2 , x-¿,...., que comúnmente
denotamos x,y,z,...., varían sobre los objetos de la T.C.. La relación
binaria que interpreta al símbolo de pertenencia es una relación que se
aplica entre objetos de la T.C.. Así pues, las únicas afirmaciones simples
del lenguaje son de dos tipos, la igualdad x — y y la pertenencia x £ y.
Una propiedad es una afirmación en el lenguaje de la T.C. que se
refiere obviamente a objetos de la T.C.; por ejemplo “3 y (y 6 x)”es una
propiedad que se refiere al objeto x, y que significa que x tiene al menos
un elemento.
Todo conjunto está determinado por una propiedad; es decir, para
todo conjunto A. hay una propiedad, digamos P, tal que:
x e A
x cumple P.
Con esta idea, denotamos o abreviamos A, como:
{x | x cumple P }
lo cual se lee: la colección de objetos x tales que x cumple la propiedad P.
Para tener algunos ejemplos, denotemos con 0 a un conjunto que no
tiene elementos y denotemos con {a, b) a un conjunto cuyos elementos
son exactamente los objetos a y b. Ejemplos de conjuntos caracterizados
por una propiedad son:
1.
0 = {x | x
x}, es una abreviatura para la caracterización:
x 60
x ^ x.
La propiedad es x ^ x.
2.
{a, b} — {x [ x = a V x = 6}, es una abreviatura para la caracteri­
zación:
x € {a, b} ^ (x — a V x = b).
La propiedad en este caso es (x = a V x — b).
Así. en general, si B es un conjunto (es decir, suponiendo ya,
que B es conjunto), la propiedad acerca objetos de la T.C. que
determina a B es la propiedad “x £ B y‘, es decir:
B = {x i x € B}.
Ahora bien, si P es una propiedad cualquiera (acerca de objetos
de la T.C.), la notación:
{a: | x cumple P }
es usualmente conocida como la colección o clase de todos los ob­
jetos que cumplen la propiedad P; es decir, es la colección o clase
determinada por la propiedad P.
Veamos otros ejemplos:
3.
Si P es la propiedad “x = x” , entonces {x | x = x} representa, la
colección o clase de todos los objetos x de la T.C. que cumplen
x = x; es decir, representa a la colección o clase de todos los
objetos de la T.C..
4.
Si P es la propiedad “x € y" donde y es un objeto fijo de la T.C.
entonces {x | x € y} representa la colección o clase de todos los
objetos que pertenecen al objeto fijo y. En este caso, si y tiene
elementos, la colección anterior representa al mismo objeto fijo y.
Si y no tiene elementos, la colección anterior representa al objeto
0 dado antes, ya que en este caso particular, para cualquier x se
cumple:
x€ y
(x
x)
pues y no tiene elementos.
Nótese en este último caso que si y es el conjunto vacío entonces
no tiene elementos y
{x | x e y} = y = 0,
pero si y no tiene elementos, no necesariamente es el conjunto vacío
pues es posible que sea un objeto que no sea conjunto y
{x | x G y} = 0 # y.
Así pues, ser vacío y no tener elementos no son conceptos
equivalentes si se permite la posibilidad de que existan objetos que
no sean conjuntos.
5.
Si P es la propiedad -‘x ^ x " . ésta determina a la colección
{x | x x} que representa a una colección que no tiene objetos la
cual es el conjunto 0.
6.
Si P es la propiedad “i = a V i = í)”l entonces {x \ x — a V x = b}
representa a la colección que tiene a los objetos a y 6 y nada más.
Tal es el conjunto denotado {a, b}.
Una colección o clase es pues, un modo de referirnos a todos los
objetos que cumplen una propiedad. Así pues, si
C — { x \ x cumple la propiedad P }
entonces, el decir “¡r 6 C” únicamente es un modo de decir "x cumple
la propiedad P."
Si C es un conjunto, entonces í:x G C” es una afirmación del lengua­
je de la T.C. Si C no es un conjunto, entonces ;‘x e C”no es una afir­
mación del lenguaje, sino un abuso de él, para abreviar: "x cumple la
propiedad P.”
Con este modo de hablar para referirnos a { x \ x cumple P }.
podemos decir entonces de acuerdo a lo aclarado al principio, que todo
conjunto es una colección o clase de objetos de la T.C. determinada por
una propiedad. De aquí no se sigue necesariamente la afirmación inversa,
de que toda colección o clase de objetos determinada por una propiedad,
sea un conjunto.
El concepto ingenuo de conjunto, consiste en considerar que toda
colección o clase determinada por una propiedad, sea un conjunto; es
decir: “para cualquier propiedad P, {x | x cumple P} es un conjunto” , o
bien, dicho en el lenguaje de T.C. y llamando A a la colección de los x que
cumplen P , considerar que: “para cualquier propiedad P, 3 AW x(x G A
<=> x cumple P ).”
Tal concepto es muy “intuitivo”, claro y útil, por ejemplo:
0 = {x | x
x}
{a, 6} = {x | x = o V x = b}
aU b — {x \ x e a V x €: b}
ac = {x | x ^ a}
a fll) = {x | x € a A x G b}
P(o) = {x \ Wy ( y € x => y € a)}
{a} = {x | x = a}
Ahora bien, si consideramos a la colección B = {x | x £ x}, que
abrevia i £ 5 » x ^ x , B está determinada por la propiedad “x ^ x” (no
pertenecer a sí mismo), ¿es B un conjunto?
La noción ingenua dice que sí. Sin embargo, si B fuera un conjunto
entonces tiene sentido preguntarse si 5 € B o si B ^ B.
Si B G B entonces B £ B. Pero, si B £ B entoncesB G B dedonde
necesariamente B G B y B ^ B. Lo cual es absurdo.De aquí que B no
es un conjunto. ¿Pero por qué sucede esto? ¿por qué razón este concepto
de conjunto tan “intuitivo”, tan claro y tan útil, es inconsistente?
Obsérvese que si B — {x | x ^ x} entonces V x ( x G B <=$■ x £ x) .
Sucede que hay una verdad lógica que niega la existencia de tal
conjunto B y que de hecho niega el principio del concepto ingenuo de
conjunto.
Una verdad lógica, es una afirmación que es verdad en todos los
casos posibles; es decir, es verdad independientemente del universo de
variación de las variables e independientemente de las relaciones involu­
cradas en ella. La verdad lógica a la que nos referimos anteriormente, es
la siguiente:
“En cualquier universo de individuos y para cualquier relación bi­
naria entre individuos de ese universo, no hay ahí. en ese universo, un
individuo que tenga esa relación con todos los individuos de ese
universo, que no tengan esa relación consigo mismos y sólo con esos.”
Simbólicamente, la verdad lógica anterior, se puede representar co­
mo sigue, si R denota la relación binaria cualquiera sobre el universo
cualquiera, entonces:
~‘3yVx(xRy <í=> ->(xi?x))
Es fácil probar, por reducción al absurdo, que tal afirmación debe
ser necesariamente verdadera en cualquier interpretación, para cualquier
universo y para cualquier relación R. En particular, si el universo es el de
los conjuntos y la relación que interpreta a i? es la relación de pertenencia
, tenemos entonces que:
-i3yVx(x € y
x ^ x)
Pero recuérdese que Vx(x € B -t» x ^ x), de donde la verdad lógica
mencionada nos garantiza que: no existe B en el universo de los conjun­
tos. Es decir, B no es un conjunto.
Compárese nuevamente el principio de la teoría ingenua de los con­
juntos para la propiedad x f x con la verdad lógica en el caso de los
conjuntos y la relación de pertenencia.
3yVx(x € y <=> x ^ x) Principio de la teoría ingenua,
para P = x £ x.
->3yVx(x 6 y ■$>x g x) Verdad lógica.
Queda entonces claro por qué la teoría ingenua de conjuntos, tan
intuitiva, clara y útil, es inconsistente ¡porque contradice a una verdad
lógica!. No es un problema teórico conjuntista.
Es sólo un problema de la intuición que contradice una verdad de la
lógica clásica elemental.
Por todo lo anterior, podemos concluir que todo conjunto es una
clase, pero no toda clase es un conjunto.
o .l
A c l a r a c io n e s s o b r e e l c o n c e p t o
d e c o n ju n t o
En lo que sigue, haremos la aclaración de algunos prejuicios sobre el
concepto de conjunto.
1) El concepto aislado de “elemento”no tiene sentido pues no sig­
nifica nada realmente, por lo que no debe existir la confusa división de
objetos de la teoría de conjuntos, en conjuntos y elementos. La clasifi­
cación que podríamos hacer de los objetos de la teoría de conjuntos es:
conjuntos y no conjuntos. El primer concepto intuitivo básico es el de
conjunto y el segundo es la relación de pertenencia o de “ser elemen­
to de” . A los objetos que forman un conjunto, los llamamos elementos
de ese conjunto. “Ser elemento de” es una relación de dos argumentos,
también llamada “pertenencia”de un objeto a otro, donde el segundo
objeto es un conjunto y el primero puede o no ser conjunto. Así pues,
ser elemento de. es una relación y no una propiedad.
2) Un conjunto puede tener como elementos suyos a conjuntos; de
hecho un conjunto puede tener solamente a conjuntos como sus elemen­
tos. ya que los objetos que pertenecen a un conjunto pueden ser cualquier
tipo de objeto de la T.C., en particular conjuntos. Debe observarse que
cualquier conjunto es elemento de otro conjunto, por ejemplo, del con­
junto unitario que lo tiene a él como su único elemento.
Si A es un conjunto, entonces {^4} denota al conjunto cuyo único
elemento es A y A 6 {^4}. El conjunto {,4} se llama el unitario de A.
3) Si A es un conjunto, A E A no es un concepto contradictorio.
Análogamente A 0 A no es contradictorio. La afirmación A € A significa
que A es un elemento de A, lo cual puede suceder, si A = {A}. La
afirmación A A significa que A no es elemento de A, es decir, que no
es elemento de sí mismo; esto sucede por ejemplo con 0 ya que 0 0 0.
¿Hay conjuntos A tales que A E A ? No se puede dar una respuesta
definitiva, pues ello depende de la teoría de conjuntos de que se trate,
pero sí podemos dar una respuesta parcial muy precisa e importante; una
respuesta parcial es que: es consistente suponer que los haya: es decir,
con la suposición de que existan no se llega a contradicción alguna. La
siguiente es una representación informal e intuitiva de un conjunto con
esta propiedad:
^ =
..... }}}}
Este es un conjunto, cuyo único elemento es un conjunto, cuyo único
elemento es un conjunto, cuyo único...
Así A € A. Desde luego, también es consistente suponer que no los
haya; es decir, suponiendo que no los hay no se llega a contradicción
alguna.
4) Si x ,w son objetos de la T.C., entonces el hecho de afirmar que
x € w es cierto, presupone necesariamente que w es un conjunto, pero
x puede ser o puede no ser un conjunto. Es posible que se esté abusan­
do del lenguaje y que w sea una clase que no es conjunto; entonces, si
w = {z \ z cumple P}, es decir, si P es una propiedad que determina a
w, entonces “x € tu” es simplemente un abuso de lenguaje que abrevia
la afirmación “x cumple P.”
5) Formalizar aclarando el lenguaje y precisar los enunciados básicos
o axiomas de la teoría de conjuntos, no necesariamente la vuelve anti­
intuitiva; al contrario, pues al precisar el lenguaje y las suposiciones
iniciales acerca de los conjuntos, se tiene más claro el concepto de con­
junto y se precisa con todo rigor lo qus se afirma y lo que se prueba
evitándose ambigüedades y confusiones acerca de una teoría tan básica
y tan poderosa como lo es la teoría de conjuntos.
6) La idea ingenua de conjunto es una idea equivocada por ser
contradictoria con la lógica elemental, pues confunde el concepto de
conjunto con el de clase o colección determinada por una propiedad.
El concepto correcto de conjunto se adquiere al dejar establecido cómo
construimos conjuntos.
Las respuestas naturales a la pregunta ¿cómo construimos conjuntos?
serán una serie de procedimientos constructivos mentales con los cuales
formamos conjuntos; estos procedimientos serán tomados como los
axiomas constructivos de la teoría. Otros axiomas no constructivos serán
los que nos especifiquen propiedades fundamentales acerca del concepto
de conjunto; así, la definición rigurosa de conjunto queda dada por los
axiomas de la teoría y por el concepto constructivo de conjunto.
0.2
C o n s t r u c c ió n d e c o n ju n t o s
Un conjunto que podemos construir sin usar objetos en lo absoluto es
el conjunto que no tiene elementos o conjunto vacío, al cual denotamos
con 0. (Axioma del Conjunto Vacío).
Ahora bien, dados dos objetos (conjuntos o no) A y B, podemos
construir el conjunto cuyos elementos son exactamente esos, al cual de­
notarnos como {*4, B} y lo llamamos el par de A y B. (Axioma del Par).
También podemos construir el conjunto cuyo único elemento es A al cual
denotamos como {,4} y lo llamamos el unitario de A (caso particular del
Axioma del Par con A = B). En general para cualquier número finito
de objetos A\,A<i,...,An construimos el conjunto
{A\,A2, ■■■■-4n}
cuyos elementos son exactamente esos.
Si x, y son conjuntos, decimos que x es un subconjunto de y si todo
elemento de x es elemento de y y esto lo denotamos x C y, en el lenguaje
de la T.C. esto lo decimos así:
\/z{z £ x =» z £ y)
en tal caso decimos también que x está incluido en y, o que x está con­
tenido en y. Por ejemplo:
{ A } C { A , B } , <DC{A}
0 C X , cualquiera que sea el conjunto X.
Los objetos x y y son iguales si son el mismo objeto y esto lo denota­
mos con x = y. Con x ^ y denotamos que no son el mismo. Como se ha
visto, lo único que interesa de los conjuntos son sus elementos, así que si
dos conjuntos tienen los mismos elementos, entonces serán iguales como
conjuntos. Así, si x y y son conjuntos, x = y significa que x y y son
el mismo conjunto, es decir, que tienen los mismos elementos: todo ele­
mento de x es elemento de y y todo elemento de y es elemento de x: por
lo tanto si x y y son conjuntos, entonces x — y significa x C y y y C x.
(Axioma de Extensionalidad). Por ejemplo:
{A, B} = {B, A }, {A} = {A, .4}, {3,4} = {3 + 1,5 —2}
0 {4}, 0 yí {0}, Si A B entonces {A} ^ {4, B}
Por esta razón, el conjunto vacío denotado 0 es único.
Si x G A decimos que x es elemento de A o que x pertenece a A
o que A tiene como elemento a x o simplemente que A tiene a x. Si
A C B decimos que A esta contenido en B o que B contiene a A o que
A está incluido e n B , o que A es subconjunto de B.
Por lo anterior la expresión “tiene” . es diferente de la expresión “con­
tiene” . Veamos algunos ejemplos:
Sea A — {6, {0}} con 6 ^ 0 . Entonces A tiene a {0} porque
{0} G {b, {0}}, pero A no contiene a {0} pues {0} no esta contenido en
A ya que 0 ^ 4 . Por otro lado A contiene a 0, pues 0 C A , pero A no
tiene a 0 , es decir 0 ^ A . Así pues, A tiene a {0} pero no lo contiene
y A contiene a 0 pero no lo tiene.
Hemos usado la notación:
{x | x tiene tal propiedad}
para referirnos a la colección de todos los objetos x tales que cumplen
esa propiedad. Si un conjunto está descrito de esta manera diremos que
está descrito por comprehensión. Por ejemplo, dados los conjuntos A y
B , podemos construir los nuevos conjuntos:
A U B = {x \ x € A o x E B ) llamado unión de A y B.
A C \B = { x \ x E A y x £ B } llamado intersección de A y B.
Un conjunto de conjuntos es un conjunto cuyos elementos son todos
conjuntos. Es común llamar “familia de conjuntos” a un conjunto de
conjuntos.
En general dado un conjunto de conjuntos C, podemos construir los
nuevos conjuntos:
(J C — {x | hay un A 6 C tal que x G A} llamado unión de C
(Axioma de Unión).
Si C 0. Pl C = {x ¡ para todo A € C , x € A} llamado intesección
de C (posteriormente probaremos que podemos construir este conjunto
usando los axiomas) debe ser claro con estos conceptos y esta notación,
que:
A u B = \J{A,B} y A n B = f){A ,B}.
O tra manera de denotar conjuntos es con un conjunto I de índices o
indicadores, por ejemplo
C = {Ai | i € 1}
denota al conjunto de los objetos A t donde i es el índice, elemento del
conjunto I, que indica a qué objeto Ai se hace referencia. Si C = {Ai \
i £ 1} donde cada A z es un conjunto, entonces (J C se puede denotar
también como:
} J C = \ j A i = {x | hay i G I tal que x G Ai}
íei
t
Análogamente, s r f r- 0 :
C — P |Ai = {x | para todo i G / . i S -4t }.
i€l
Una manera muy importante y útil de construir conjuntos es la
siguiente: dado un conjunto A y una propiedad P, expresada en forma
precisa con el lenguaje, construimos el conjunto:
{ x G A \ x cumple P}.
(Axioma de Separación o de Comprchcnsión).
Aquí es necesario hacer una observación muy importante, debe ser
clara la diferencia entre este proceso constructivo que llamamos Axioma
de Separación, y el concepto ingenuo de conjunto como colección deter­
minada por una propiedad; pues aquí está ya dado un objeto A que es un
conjunto y consideramos la colección de elementos de A. determinados
por la propiedad dada P.
Simplemente estamos separando de A, a los elementos suyos que
cumplen la propiedad P. Al aplicar lo anterior, A puede ser un conjunto
suficientemente grande para que se considere como universo local o uni­
verso del discurso, pero A debe ser un conjunto ya sea por suposición o
porque se haya probado antes.
En todos los ejemplos descritos por comprehensión debe haber un
conjunto previo del cual se hace la separación de los elementos suyos
que cumplen la propiedad que describe al conjunto. Este es el modo
más común de describir conjuntos en matemáticas; sólo debe quedar
claro que la colección de la cual se separa el conjunto, sea un conjun­
to (posiblemente muy grande como para considerarlo nuestro conjunto
universo), para tener la seguridad de que la colección separada sea un
conjunto por el axioma de separación.
Otro conjunto que podemos construir, dado un conjunto A. es el
conjunto
P{A) = {x \ x C A }
llamado potencia de A o partes de A. (Axioma del Conjunto Potencia).
Nótese que los elementos de este conjunto P(A) son únicamente conjun­
tos ya que son los subconjuntos de A. Nótese también que el símbolo
C no es un símbolo original del lenguaje, sino que se definió como un
símbolo de relación binaria tal que:
x Q y <=*>Vz{z G x =>• 2 € y)
E je m p l o s
P(0) = {0}, P ( { 0 } ) = { 0 , { 0 } } , P ( { ü ,6}) = { 0 , { a } , { 6 } , { a , 6 } }
Como para todo conjunto A se cumple que 0 C A y que A C A
entonces 0 6 P(A) y A € P(A).
Si A y B son conjuntos podemos construir el conjunto ‘'diferencia de
.4 menos B ”denotado con A — B:
A — B = {x \ x E A y x tfí B}
Nótese que {A —B) C A, es decir, (A — B) e P(A). Nótese también
que-*4 —B = {x € A I x £ B j queda construido a partir del axioma de
separación, al separarlo de A con la propiedad x f B.
0.3
EL CONJUNTO UNIVERSO LOCAL
Cuando se usa la teoría de conjuntos, se tiene como referencia, ex­
plícita ó implícitamente, un universo del discurso; es decir, un marco
de referencia dentro del cual se trabaja. Este universo del discurso de los
conjuntos es lo que se conoce como conjunto universal o universo local y
debe ser un conjunto. Este concepto es relativo al área de interés en que
se trabaja; por ejemplo en el análisis real, este universo es el conjunto:
R U P(R) U P (1 U P (1 ))U P (P (S )) U ... U l 2 U P (R 2) U P(P{ M2))
U ... U Rn U P( Rn) UP{P(Rn)) U ...
Ahora podemos definir la operación "complemento relativo”, relativa
al universo del discurso. Si X es el universo local o conjunto universal y A
es un conjunto de ese universo, es decir A € X definimos el complemento
relativo X — A de A respecto al universo X como A c :
A c = X - A = { z € X \ z <¿A}
Aquí, si suponemos que A £ A. tenemos que A € X —A — A c.
Obsérvese que X — A C X. Si X es nuestro universo local, debemos
suponer que A C X, pues todos los elementos de A deben ser de nuestro
universo, si no, no estarían en nuestro discurso.
Algunas veces, X está implícito o sobreentendido; en este caso se
escribe A c = {z | z A] pero debe entenderse que cada z tal que 2 G A c
está en X, es decir, que A c está incluido en el conjunto universal X.
E je r c ic io i
a) A U (f) B) —
'J C) \ C e B} suponiendo B # 0.
b ) ' A n (U-B) = U Í ( ^ n C ) \ C e B ) .
c)
Si 6 € A entonces b C |J A y f"| A C b.
d) Si A C B entonces U A C U B e n - ^ C p l A
e) \ j P ( A ) = A y A C P ( \ J A ) .
Obsérvese que P((J .4) A pues si A — { {a, 6}, {c, d} } y
a 7^ b, a ^ c,.
b d,b c entonces {b, c} € P ([J A) pero {6, c} ^ A.
f) A C B si y sólo si P(A) C P(B).
g) (A - B) U (B - 4 ) = ( i 4 U B ) - ( i n B ) .
h) X - U A = C\{X - C | C e A}. X es el conjunto
universo local.
i) X - C \ A = U { X - C \ C & A } .
j) A C B c si y sólo si A Pi B = 0.
k) A n ( B u C ) = { A n B ) u ( A n C n B c).
1) A = { A C \ B ) \ j { A C \ B c).
m) Si a 6 B entonces P(a) € -P(-P(U &))•
Sugerencia: Usar (c) y (f).
n) P ( A ) n P ( B ) = P ( A H B ) .
o) P ( A ) u P ( B ) C P ( A u B ) .
Obsérvese que P(A U B) £ P(A) U P(B).
Sean A = {a, b} B — {b,c} (a 7^ b, b ^ c, a ^ c) entonces
se tiene
{a, c} € P{A U B), pero {a,c} $ P{A) y {a, c}
P{B)
p) X - ( X - A) = A.
q) X - Ü ) = X y X - X = <t).
. r)
A u ( X - A ) = X y A n ( X - A )
= 0.
s) A C j5 si y sólo si X - S C X - A .
t) U ^ - U 5 C U ( . A - B ) p e r o U ( A - B ) ^ U > l - U S .
u)
n (¿ u B ) = ((V )n (n ¿ ? )
y
U ( ^ n 5 ) c ( U A ) n ( U S ) .
v) n U C = f ] { C ] D \ D e C } y
U C \C C C ) { { J D \ D e C } V t D y D ^ Q .
Probar la equivalencia de las siguientes afirma­
ciones acerca de un conjunto 2 cualquiera. Tales afirmaciones pueden
ser ciertas o no, dependiendo del conjunto z; si z las cumple, decimos
que 2 es transitivo.
E J E R C IC IO I I .
a) 'ix'iy(si x € y y y £ z entonces x G z)
b) Vy (si y € 2 entonces y C z)
c) [ j z C z
d) z C P(z)
e) U P ( z ) C P ( z )
f) VxVj/(si x E y y y Q z entonces x C z)
g) Z £ P ( P ( Z ) )
Algunos ejemplos de conjuntos 2 que cumplen lo anterior son:
i- ( M 0 M W } }
II. { 0 , { 0 } 1{ 0 , { 0 } } }
Algunos ejemplos de conjuntos z que no cumplen lo anterior son:
i- ( M W U M ® } } }
II. { 0 , { 0 } , { 0 . { 0 } , { { 0 } } } }
III. {0,{0, {0}},{{0, {0}}}}Se deja como ejercicio al lector verificar que los ejemplos anteriores
cumplen con lo que se afirma de ellos.
Consideramos de fundamental importancia que haya quedado claro
que el universo local o universo del discurso es un conjunto, ya que no
hay que confundirlo con la colección o clase de todos los conjuntos, pues
dicha colección no es un conjunto, es una colección o clase que no es
conjunto, a las que se llama también clases propias. Para enfatizar la
importancia de este hecho, lo demostraremos en seguida.
TEOREMA 1. P ara todo conjunto, hay un conjunto que no le
pertenece.
P ru e b a : Sea A un conjunto cualquiera. Sea
B = {x | x E Ay x £ x}
Entonces B es un conjunto por el Axioma de Separación, ya que
está separado de A con la propiedad de no pertenecer a sí mismo.
Obsérvese que:
x EB
x E A y x S: x. (*)
Entonces B 0 A, pues si B GA entonces se tiene que:
B é B
B E B. pero además
B€A (*)
B 6 B =►B i B.
Como B E B o B f. B. entonces tenemos que:
BEByBgBo
Por lo tanto B ^ A.o
COROLARIO. Ningún conjunto puede tener como elementos suyos
a todos los conjuntos. Es decir, el universo de todos los conjuntos no es
un conjunto. Es una clase que no es conjunto, o sea una clase propia.
TEOREMA 2. P ara to d a clase no vacía C de conjuntos,
p| C = {:r | Vy G C (x € y) }
es un conjunto único.
Prueba: Como C # 0, sea w G C. Entonces w es un conjunto y
P |C = {x | Vy € C{x G y)} = {x G w ¡ Vy G C(x G y)} es un
conjunto por el Axioma de Separación. Q C es único por el Axioma de
Ext ensionalidad.□
Obsérvese que no se pidió que la clase o colección de conjuntos C,
fuera un conjunto; sino únicamente que sea no vacía. De hecho C puede
ser una clase propia y sin embargo p |C es un conjunto, si C 7^ 0.
TEOREMA 3. No hay un conjunto x tal que P(x) G P(x).
P ru e b a : Supongamos lo contrario y sea x tal que P(x) € P{x)
g<
>
o P(x) C x. Sea R = {y € x \ y £ y}. Si x es conjunto. R lo es por
el Axioma de Separación.
Obsérvese que:
R —C x.' O Oo R G P(x)
C x, OoO R E x.
X
'
Pero:
R £ R => R £ R y además
R ^ R ^ R é x o R ^ R
f~
r-
oR g R
OO
Así pues R £ R ^ R £ R. T¿ Por lo tanto no hay tal conjunto £.□
C o r o l a r i o . No hay un conjunto al que le pertenezcan todos
sus subconjuntos. Es decir, no existe un conjunto x tal que cumple
V y{ y C x —> y G x). Así pues, si una clase x cumple esto,
sería una clase propia.
1
A l g e b r a d e c o n ju n t o s
l.l
P a r ordenado
El par ordenado de x y y denotado < x, y > debe construirse de tal
modo que cumpla:
< x, y > = < z, w > si y sólo si x = 2 y y = w
es decir, si x 7¿ y entonces < x , y > ^ < y , x > lo cual signifi­
ca que el orden es esencial. Hay varias definiciones que cumplen lo
anterior, cualquiera de ellas sirve; la usual es la siguiente, debida a
Kuratovuski, 1921 :
< x ,y > = {{x}, {x,y}}
Se puede verificar que si x, y € A, < x, y > € P(P(A))
En general, la n-ada ordenada se define para n > 2 como:
<
X i , . . . , X „
>
=
< <
X i j . . . , X n —i
> , X n
>
y para el caso n = 1, se define < x > = x. Otras posibles definiciones
del par ordenado de x, y son:
< x, y > = { {x, 0}, {y, {0}}} (Hrbacek Jech, 1978)
< x ,y > = { { {x}.0 }, { {y} }} (Wiener 1914)
Si se intenta generalizar la definición de Kuratowski para una terna
ordenada (x ,y , z ) como:
( x , y , z ) = {{x},{x,y},{x,y,z}}
no se tendrá éxito, pues fracasa la idea de ordenado; por ejemplo:
( 0,{ 0},0 ) = {{0}, {0, {0}}, {0, {0}}} = {{0},{ 0,{ 0}}}.
( 0, 0, {0}) = {{0},{ 0},{ 0,{ 0}}} = {{0},{ 0, {0 }}}.
por lo tanto. ( 0, {0}, 0 ) - ( 0, 0, {0} ) pero los segundos y los terceros
elementos de las ternas son diferentes: {0} 0 y 0 {0}. Además, para
cualquier a, (a, a, a) — < a, a >; un par sería igual que una terna!.
En lo que sigue, usaremos la definición de par ordenado de Kuratowski.
Obsérvese que < a, a > = {{a}}.
1 .2
R e l a c io n e s
A partir de los conjuntos A y B podemos construir el conjunto A x B
de todos los pares ordenados < x, y > tales que x 6 A y y € B. Se puede
verificar que A x B C P ( P (A U B)).
A n es el conjunto de todas las n-adas ordenadas de elementos de .4:
A n = (...((.4 x A) x A)... x A) x .4 (n veces A)
Una relación binaria es un conjunto de pares ordenados. Si r es una
relación, el dominio de r es el conjunto:
Dom(r) = {x \ hay y tal que < i , ¡ / > £ r }
y la imagen de r es el conjunto:
Im(r) — { y \ hay x tal que < x . y > £ r).
Obsérvese que el dominio de una relación es el conjunto formado por el
primer elemento de cada par ordenado de la relación y la imagen es el
conjunto formado por el segundo elemento de cada par ordenado de la
relación.
El campo de r es el conjunto Carn(r) — Dom(r) U Im(r).
Dada una relación r con Dom(r) C A y Im(r) C 5 , se tiene asociada
una relación inversa r -1 tal que resulta de invertir los pares ordenados
que pertenecen a r:
r ~l = {< b,a > € B x A \< a,b > e r}
y se tiene que Dom(r~l ) — I m [ r ) C B y /m ( r _1) — Dom(r) C A
D E F IN IC IÓ N . Sean r C A x B, s C B x C relaciones binarias
entonces definimos la relación composición s o r como s o r — {< x, z >|
< x , y > € r y < y, z > E $ para alguna y £ B} C A x B.
Una relación de n-argumentos, n-aria o de aridad n sobre A es un
subconjunto de A n. Sea r una relación binaria o de aridad 2 sobre un
conjunto A. es decir r C A 2. Obsérvese que:
r C i 2 « Cam(r) C A
A C Cam(r) <=> Vx € ^4 3y € j4(< x,y > € r o < y , x > 6 r)
Si < z.y > e r, decimos que 2 está r-relacionado con y y también lo
escribimos como z r y.
1.3
Ó R D E N E S PA R CIA LES, TOTALES Y BUENOS;
CONJUNTOS BIEN FUNDADOS E INDUCCIÓN FUERTE.
P a r t ic io n e s
Con “sii”abreviamos “si y sólo si". En lo que sigue, r C A x A.
Definimos:
i) < A, r > es un Conjunto Parcialmente Ordenado (COPO) sii para
todo x € A, < x, x ><£ r (r antirreflexiva en A) y para todo x , y , z € A,
si < x, y > E r y < y , z > E r entonces < x, z > G r, (r es transitiva en
A).
ii) < A. r > es un Conjunto con Tricotomía (C O T R I ) sii para todo
x . y € A, x = y o < x, y > e r o < y, x > £ r , y sólo una.
iii) < A, r > es un Conjunto Totalmente (o linealmente) Ordenado
{COTO) sii < A, r > es COPO y es COT RI .
iv) < A , r > es un Conjunto Bien Ordenado (COBO) sii < A, r >
es COPO y para todo x C A, si x ^ 0 entonces ha}' y G x tal que para
todo z £ x: < y, z > G r o y — z\ tal y se llama el r-mínimo de x.
v) < A , r > es un Conjunto Bien Fundado (C O B F ) sii para todo
x C A, si x 0 entonces hay y <Ex tal que para todo z E x , < z , y >£ r;
tal y se llama un r-minimal de x. Obsérvese que puede no sor único.
vi) < A , r > es un Conjunto con Inducción Fuerte (C O I F ) sii para
todo x C A, si para todo y € A, el hecho de que todos los elementos de
A r-relacionados con y estén en x, implica que y G x entonces A C x.
Las seis anteriores propiedades de conjuntos con una relación binaria
quedan relacionadas entre sí en la forma que indica el siguiente diagrama
donde las flechas representan implicación:
COIF
------- CO BO ------- *
COPO
C O BF
COTRI
Relación entre órdenes parciales, totales y buenos
con relaciones bien fundadas e inducción fuerte.
Como ejemplo probaremos dos de las implicaciones anteriores:
C O I F =» COBF.
Sea < A, r > COIF. Sea X C A y X ± 0.
Veamos por reducción al absurdo que X tiene un elemento
r-minimal. Supongamos que X no tiene un r-minimal. Probaremos que
(*) Vy G A(yw G A[wry =$■ w G (A — X )) => y G (A — X ) ) :
Sea pues y G A tal que Vio G A(wry =>■ w G (A — X)). Si y G X
entonces como \/w G A{wry => w £ X) , tendremos que y será un
r-minimal en X , contra la suposición; de aquí que y <£. X , es decir,
y € A — X con lo que queda probado (*).
Ahora, como < A , r > C O I F y (A - X ) C A, se tiene por (*) que
A = A — X de donde, como X C A, X — 0 o" .
Así pues, X sí tiene un r-minimal y < A , r > es un COBF.a
C O B F => COIF.
Sea < A, r > COBF. Sea X C A. Queremos probar que:
(V y € A(Vw € A(w r y ^ w E X ) ^ y E
X) ) => A C X.
Supongamos que no se cumple A C. X. Entonces A — X ^ 0 y
además ( A - X ) C A . Sea pues y un r-minimal en ( A - X ) : entonces
i w G A(w r y => w f (A - A)); entonces Vw G A(w r y => w G X ), pero
y $ X, entonces tenemos que 3y G A(Vw G A(w r y =» w G X ) A y ^ X )
de donde se tiene por contrapositiva que < A . r > es COIF.a
Sea r C A x A :
i)
r es la relación diagonal o identidad sii para todo
x , y G A, < x , y >G r sii x = y.
Si I cIa denota la relación identidad en A, Id a — {< x , x > \ x G ^4}.
ii) r es reflexiva sii para toda x G A, < x . x >G r. En este caso
A C Cam(r) y por lo tanto Cam(r) = A. Obsérvese que r es reflexiva
¿ii Id a Q r.
iii) r es simétrica sii para todo x. y G A, si < x, y > G r entonces
< y . x > E r.
Obsérvese que r es simétrica sii r = r _1.
iv) r es transitiva
< y, z > € r entonces
r o r C r.
sii para todo x , y , z € A , si
< x, z > G r. Obsérvese que r
< x,y > G r y
estransitiva sii
v) r es antisimétrica sii para toda x , y €. A , si < x . y > E r y
< y, x > E r entonces x — y.
vi) r es una relación de equivalencia sobre A sii r es reflexiva, simétri­
ca y transitiva. En este caso Cam{r) - A. Si r es una relación de
equivalencia sobre
A, definimos para cada x E A, el conjunto
[x] = {y |< x, y > € r} llamado la clase de equivalencia de x módulo
r. Es inmediato que [x] = [y] sii < x , y > E r, pues y E ¡y] y r es
simétrica y transitiva. El conjunto cociente de A módulo la relación de
equivalencia r, es
A / r — {[x] | x € A}.
vii) r es “sin puntos aislados” sii para toda x E A hay y E A tal qucf
< x . y > € r o < y . x > E r. Es decir, para todos, o están r-relacionados
con alguien o alguien con ellos.
viii) r es euclidiana sii para todo x, y, z E A. si < x ,y >E r y
< x, 2 > € r entonces < y , z >E r.
Una partición de A es un conjunto P , P C P(A) que cumple:
1) Para todo x, y E P, si x ^ y entonces x D y = 0.
2) U P = A
3) Para todo x € P, x
0.
Si r es una relación de equivalencia sobre A, entonces
A / r — {[x] | x E A} es una partición de A. donde [x] = {y j< x, y >E r}.
Si P es una partición de A, entonces
r = {< x . y > E A x A \ hay a E P tal que x ,y E a} C A x A
es una relación de equivalencia sobre A.
1.4
F u n c io n e s
Una función es una relación F con la propiedad de que
para todo x € Dom(F) hay una única y tal que < x . y > E F. Es usual
llamar a tal única y, el valor de F en x y denotarla y = F(x);
I m ( F ) — {F(x) | x E Dom(F)}, también se denota como F[Dom(F)\.
Decimos que F es función de A en B y lo escribimos F : A —> B,
si Dom(F) = A. Irri(F) = F[^4] C B y F es una función. Si F es una
función de A en B, decimos que B es el codominio o contradominio de
F. Obsérvese que Im (F ) C B: así pues, el contradominio de una función
es cualquier conjunto que contenga a la imagen.
F es uno a uno o invectiva sii para cada y € Im(F ) hay una única x
tal que < x . y > € F (es decir F(x) = y).
Es decir, si x . z € Dom(F) y x ^ z entonces F(x)
F(z)\ o bien,
si x, z 6 Dom(F) y F(x) = F(z) entonces x — z.
F es sobre B o suprayectiva sii Im (F ) = B. Claramente toda función
F es sobre Im(F).
F : A —* B es bivección sii F es uno a uno y es sobre B.
Si F : A —’ B es una función invectiva, la relación inversa de F
denotada F -1' es una función cuyo dominio es Dom(F~1) = Ivi(F) y
cuya imagen es I m ( F ~ 1) = Dom(F), es decir:
F - 1 : Im( F ) -» Dom{F).
Además, F _1 es función invectiva. Si F no es inyectiva, entonces la
relación inversa de F es una relación que no es función.
Si F : A —* B y G : D —* C, tales que I m ( F ) C Dom(G), entonces
podemos definir la composición de las funciones F y G, que es una
función de A en C denotada G o F : A —*• C y tal que para toda x <E A :
■G o F(x) = G(F(x)). Es decir,
G o F = {< x. y > e Dom(F) x Im(G) | < F ( x ) ,y > e G }
Es fácil verificar que, si F y G son invectivas, entonces (G o F) es
inyectiva, y también que si F y G son suprayectivas, entonces (Go F) es
suprayectiva. Por lo tanto, si F y G son bivectivas. (G o F) es biyectiva.
Es fácil ver que la composición es asociativa sobre las funciones, pero no
es conmutativa.
Una operación n-aria o de n argumentos en A es una función de An
en A.
Si A es un conjunto de funciones, entonces |J A es una función sii
V F, G € A: V x € (Dom(F) n Dom,(G)), F(x) = G(x). Esto último
significa que las funciones de A son compatibles dos a dos.
Es inmediato que Dorn({J A) = y Dorn(F) y que Im(\J A) =
F£ A
U Im (F ) en el caso de que U A sea función. Un caso particular es
F€A
el siguiente: si A es un conjunto de funciones y < A. C> es COTO.
entonces (JA es una función.
/
E j e r c ic io i i i
1) Pruebe que con las definiciones dadas de producto cartesiano
y de par ordenado:
a) < x, y > = < z, w > sii x — z y y — w.
b) < x. y > = < y, x > sii x = y.
c) A x B = U {A x { b } \ b e B}.
d) ^ x U JB = U { - 4 x c | c e S } .
e) Pruebe que :
[(W - A) x y] U [W x (■Y - B)] — W x Y - A x B .
f) Sean ^ 4 ^ 0 y C j ¿ 0 entonces: A C B y C C D sii
A x C C B x D.
2) Verifique que si x . y € A entonces < x . y > G P(P(A)).
3) Verifique que A x B C P(P( A U B )).
4) Pruebe que toda relación de equivalencia sobre un conjunto A
determina una partición de A. c inversamente. De hecho, dé usted
una biyección entre el conjunto de todas las relaciones de equi­
valencia sobre A y el conjunto de todas las particiones de A.
5) Toda relación r sobre A cumple lo siguiente:
a) r es relación de equivalencia sii r es simétrica, transitiva y
sin puntos aislados.
b) r es simétrica y antisimétrica sii r está incluida en la
relación diagonal o identidad.
c.) r es relación de equivalencia sii r -1 es relación de
equivalencia.
d) Vx e Dom(r) < x, x > € r _1 o r y Vy € Im(r)
< y , y > £ r o r ' 1.
e) r es relación de equivalencia sii r es reflexiva y euclidiana.
6) Sea r una relación binaria sobre A , pruebe que:
a) r reflexiva, antisimétrica y transitiva (r orden reflexivo) =>
r — {< a, a > \ a € A} es antirreflexiva y transitiva (orden
estricto).
b) r es antirreflexiva y transitiva (r orden estricto) =>
r U {< a, a >\ a € .4} es reflexiva, antisimétrica y
transitiva (orden reflexivo).
7) Pruebe las relaciones de implicación entre órdenes parciales, to­
tales y buenos con relaciones bien fundadas e inducción fuerte,
dadas en el diagrama correspondiente y que no fueron probadas.
8) Sean F : A -> B y G : B -> C:
a) Si Go F : A —* C es biyectiva. entonces F es invectiva, y
G es suprayectiva..
b) Dar un ejemplo en el cual G o F : A —>C sea biyectiva
pero F sea no suprayectiva y G sea no invectiva.
c) Dar un ejemplo en el cual F sea invectiva y G sea
suprayectiva. pero G o F sea no inyectiva y no
suprayectiva.
9) Si < A. r > es COBO, B C A y r' = rD B x B, entonces < B ,r ' >
es COBO.
2
L O S NÚM EROS NATURALES,
IN D U CCIÓ N Y RECU RSIÓ N
2.1
LOS NÚMEROS NATURALES
Idea intuitiva: que cada natural sea el conjunto de los naturales
anteriores a él y en ese caso el orden sea la pertenencia.
0= 0
1 = {0} = {0}
2 = {0,1} = {0, {0}}
n = {0,1,2,.... n —1}
n + 1 = {0,1,2 ,...,n}
O b s e r v a c io n e s .
De los ejemplos anteriores, basados en la
idea intuitiva, las siguientes propiedades deben de cumplirse si n , m son
números naturales:
i) < n, €> es un orden total (COTO), (E es una relación
antirreflexiva, transitiva y total dentro de n).
ii) n € m=> n Q m (rn transitivo).
iii) n < m = > n E m y n C m .
7í
iv) n + 1 = n U {n}.
v) n tiene “n” elementos.
Las siguientes definiciones son para cualquier conjunto de con­
juntos x:
D
e f in ic ió n
.
D E F IN IC IÓ N ,
El sucesor de x es x u {x}.
x es transitivo si y sólo si Vy(y G x => y C x).
Probar las siguientes equivalencias de la definición de
conjunto transitivo para un conjunto z:
E J E R C IC IO .
a) VxVy (si x G y y y € z entonces x G z).
b) Vy (si y G 2 entonces y C z).
c) 1J z C. z.
d) z C P ( z ) .
e) U P(z)<ZP(z).
f) Va:Vy( s i x G y y y C z entonces x C z).
P R O P IE D A D E S D E L O S C O N J U N T O S T R A N S IT IV O S
P R O P O S IC IÓ N
1.
A es transitivo si y sólo si P{A) es transitivo
P ru e b a :
=í>) Sea A transitivo. Sea x G P{ A), entonces x C A.
Sea y € x => y €A ^ y C A o y € P ÍA ). Así, x C P(A ).
■4=) Sea P ( A) transitivo. Sea y €A, entonces {y} C A de donde
{y}€ P (A ) =4> {y} C P(A ) ^ y € P{ A), así que y C A .n
Si A es transitivo entonces U A es transitivo.
P r u e b a : Supongamos que A es transitivo. Sea x € U A o 3 y € .4
tal que x G y. Por hipótesis y C A de donde x G A. De aquí es inmediato
que x C (J A. Así pues |J A es transitivo.
P R O P O S IC IÓ N
2.
Se observa que el inverso no es cierto, como contraejemplo se tiene
el siguiente:
Sea A = {0. {{0}}. {0. {0}}}- Entonces (JA = {{0}, 0} es transitivo
pero A no.
P R O P O S IC IÓ N
3. x es transitivo si y sólo si (J(x U {x}) = x.
P ru e b a :
=>) Supongamos que x es transitivo.
C) Sea z G U í21 u
3 y G x U {x} tal que z e y
i) y e x
z € x (Transitividad de x)
ii) y = x => z € x (Pues z & y)
Así pues, z G x.
2 ) Sea z G x. Como x G x U {x} entonces 2 € [J(x U {x}).
<=) Sea y G x. Entonces y G x U {x}.
Sea z € y
z e (J(^ U {x}) y por hipótesis z 6 x. Así y C x
y x es transitivo. □
E je m p lo s d e c o n ju n t o s t r a n s it iv o s
(TI) { 0 . {0} , {{0}} } Donde G no es total ni transitiva.
(T2) { 0 , {0} , { 0 , {0} } } Donde
G es total y transitiva.
(T3) { 0 , {0} . { 0 . {0} } . O } Donde fí = {ft}, € es no total
transitiva.
(T4) {g. b, c, b', 0} donde a — {0, b, b'}. b — {0. c. b'}, b' = {0, c}.
c = {0, a}, con c ^ b , c ^ b ' , G es to tal y no transitiva.
E je m p lo s d e c o n ju n t o s n o t r a n s it iv o s
(NT1) { 0 , {{0}} , {0 , {0}} } Donde € es no total transitiva.
(NT2) { 0 , {0} , { 0 . {0} . {{0}} } } Donde G es total y transitiva.
(NT3) { 0 , { 0 , {0} } . { { 0 . {0}
} } } Donde G no es total ni
transitiva.
(NT4) {d , {{d. 0}}, {d: 0}} Donde d = {{{d, 0}}} y G es total no
transitiva. Aquí d es un conjunto raro, pues pertenece a un
elemento de un elemento suyo, es decir d € (J U d-
Los ejemplos anteriores muestran que:
i) A transitivo no implica que 6 sea transitiva en A (TI). Y E tran­
sitiva en A no implica que A es transitivo (N Tl), (NT2).
ii) A transitivo no implica que E sea total en A (TI). Y E total en
A no implica que A sea transitivo (NT2)
iii) € transitiva en A 110 implica que E sea total en A (NTl). Y £
total en A 110 implica que € sea transitiva en A (NT4).
P R O P O S I C I Ó N 4 . Si A es transitivo y € es transitiva en A entonces
para cualquier x £ A, x es transitivo.
P ru e b a : Sea- A transitivo tal que E es transitiva en A. Sea x E A. Sean
z E y y y Ex-,
z E y E x => y E A, z E A
oO z € x A
pues £ es transitiva en A OoO x es transitivo.n
O
¿Cómo caracterizar a los números naturales? Los números naturales
deben ser conjuntos transitivos y bien ordenados por £. Si pedimos sólo
que sean transitivos no basta. (TI). Si pedimos sólo que 6 sea transitiva
o total no basta por (NT2).
Para que un conjunto sea un natural pediremos entonces que sea
transitivo y que la relación £ sea un COBO.
Pero aún con esto no basta pues
{1,2,..., n, n U {n},...}
de ser un conjunto, sería transitivo y € sería un buen orden en él. pero
es infinito y los naturales no lo son. o
Pediremos entonces que todo subconjunto no vacío tenga máximo
respecto a la relación €, es decir:
Ww[w C a i A t u ^ 0 4 - 3 y E uNz E w(z 6 y V z = y)}
con lo que se tendrá la finitud.
D E F IN IC IÓ N ,
x
es un número natural si y sólo si:
i) x es conjunto transitivo (Vy € x(y C x ))
ii) < x, G> es un Conjunto Bien Ordenado (COBO).
iii) Todo subconjunto no vacío de x tiene un G máximo, es
decir:
Vtu[u) C x A w
0 =>■ 3y G w V2 6 ui(z G y V z = y)]
T eorem a 4
a) Los números naturales no se pertenecen a sí mismos, es decir:
Si x es un número natural entonces x £ x.
b) Los números naturales son conjuntos de números naturales; es
decir:
Si x -es un número natural,
entonces para cualquier y G x, y es un número natural.
P ru e b a :
a) Sea x un natural. Si x G x =>■ 3 y G x tal que y G y pero esto
contradice el hecho de que < x . G> COPO. Así pues x x.
b) Sea x un natural. Sea y G x.
i) y es transitivo: Sea u € v G y. Como x es transitivo se
tiene v G x, y u G x, por ser G transitiva en x se tiene u G y.
ii) < y , G> es C O B O , pues y G x =i> y C x (por ser x transitivo)
y como < x, G> es COBO y ser COBO se hereda, para
subconjuntos entonces < y, G> es COBO.
Ver ejercicio III, 9).
iii) Dado un subconjunto no vacío de y, es un subconjunto no
vacío de x por lo que ahí tiene un G-máximo (es decir, que
todo subconjunto tenga un máximo, se hereda).'
Así pues y es un número natural.□
Consideremos la propiedad "ser número natural” y consideremos la
clase:
N = {x ¡ x es un número natural}
¿N es un conjunto? No lo sabemos, lo veremos más adelante. Obsérvese
que si N fuera conjunto, sería transitivo pues: x € N =>■ x C N (Teorema
4.b).
Recordemos los Axiomas de Peano. para caracterizar a los números
naturales:
1) 0 es número natural.
2) Si n es número natural, el sucesor de n es número natural.
3) 0 no es sucesor de ningún número natural.
4) Si el sucesor de n es igual al sucesor de m entonces n — rn.
5) Si A es un conjunto de naturales tal que 0 £ i y para todo
número natural n. si n G A entonces (sucesor de n) € A, entonces
todos los naturales están en A, es decir, N = A.
Este último axioma se puede ver también como:
5’) Si P es una propiedad acerca de números naturales tal que 0
cumple P y para todo número natural n, si n cumple P entonces (suce­
sor de n) cumple P, entonces todos los naturales cumplen P.
O bservación. La equivalencia de las dos versiones se tiene así:
5’) => 5)
Dado A, P es “x 6 A''.
5) => 5’) Dada P, A es {x | x 6 N y x cumple P}, y A es conjunto,
si N lo es.
T eorem a 5
a) 0 es número natural.
b) Si x es número natural entonces S'(x) = x U {x} es número
natural.
P ru e b a :
a) Es trivial pues 0 = 0 cumple la propiedad ser número natural,
por vacuidad.
b) Sea x un número natural. Veamos que x U {x} es número
natural.
i) x U {x} es transitivo. Sea y € x U {x}, hay dos casos:
y 6 x; por ser x transitivo se tiene i / C i C x u {x}
y — x; con lo que y — x C x U {x}
ii) € es antirreflexiva en x U {x}. Si y E x U {x}, se tienen los
casos:
y € x\ con lo que y 0 y por ser 6 antirreflexiva en x.
y = x; por el Teorema 4 x £ x, es decir y £ y.
iii) € es transitiva en iu { x } . Si u, v, w E x U {x} y suponemos
que u E v E w, entonces hay cuatro casos:
u, v ,w E x =$■u E w por ser E transitiva en x.
u, v E x y w = x =>• u E x por ser x transitivo con lo
que u E w.
Los otros dos casos no son posibles:
v = x =£■ x € tü, x transitivo y w 6 x => x € x.
u — x => x € v. x transitivo y v € x => x € x.
Pero x E x es una contradicción por ser E antirreflexiva en
x U {x} por ii).
iv) Todo subconjunto no vacío de x U {x} tiene máximo y
mínimo.
Sea y C x U {x}, y ^ 0. entonces:
y n x = 0 = > y = {x} donde x es máximo y mínimo
de {x}.
y fl x 0, se tiene j / f l i C x ^ j / f l x tiene máximo
y mínimo y y n x — y — {x} de donde el mínimo de
y fl x es el E-mínimo de y, aún si x € y. Ahora
bien, si x E y, entonces el E-máximo de y es x y si
x £ y. entonces el E-máximo de yD x es el €-máximo
de y, ya que en este caso y C x y y fl x = y.a
Ya sabemos que 0 E N y que: x S N ^ i U {x} E N. pero
N = {x | x es número natural }
es una. clase que no sabemos si es un conjunto. Esto motiva la siguiente
D E F IN IC IÓ N .
Un conjunto A se llama inductivo si y sólo si:
i) 0 E A.
ii) Vy (y E A => y U {y} E A).
¿Hay conjuntos inductivos? Obsérvese que si N fuera un conjunto,
sería conjunto inductivo por el Teorema 5.
O bservación. No se puede probar, con los axiomas que tenernos,
que haya conjuntos inductivos. Obsérvese que intuitivamente un conjun­
to inductivo es infinito, pues debe tener los siguientes elementos:
0 ;{0};{0,{0}} ;{0,{0},{0,{0}}}
AXIOMA DE INFINITO. “Hay un conjunto inductivo.” Es decir:
3x [0 € £ A y y ( y € x => y Li {y} 6 x)] o bien:
3 x V z [z = 0 V 3 iu (w € x A z = w U {w}) => z e x]
Obsérvese que por el Teorema 2, la intersección de todos los conjuntos
inductivos, es un conjunto, es decir:
D i x | x es inductivo }
es un conjunto, suponiendo que hay un conjunto inductivo. Por el Teo­
rema 2, únicamente requerimos que haya conjuntos inductivos, no que
la colección de los conjuntos inductivos fuera un conjunto, pues no lo es
realmente.
D e f i n i c i ó n . Sea u = p){ x \ x es conjunto inductivo}.
u>es un conjunto por dos razones: el Axioma de Infinito y el Teorema
2; es inmediato que es un conjunto inductivo, es el menor conjunto in­
ductivo (con el orden de C) y está contenido en todo conjunto inductivo.
TEOREMA 6. Todo número natural pertenece a u>. O bien: Todo
número natural pertenece a todo conjunto inductivo. 0 bien:
Vx[x número natural => VA(A inductivo
O abreviado:
y x £ N V A inductivo (x € A).
x € A)].
O más breve:
N C u) — P ) {x | x es inductivo}.
P ru e b a : Por reducción al absurdo. Supongamos que existe x número
natural y existe A conjunto inductivo, tales que x A. Entonces S(x) —
x U {x} € N, x G (S ( x ) —A) ^ 0 y S(x) - A C S(x).
x e N
x $ A
z = max{ y ]
y = m¡n( S(x) - Aj
S{ x ) - A
Sea pues y el G-mínimo de S(x) — A ; se tiene y C S(x) pues
y € S(x) y 5(x) es transitivo, además y C A ( pues Vio 6 y(w € A ),
pues w ¿ S ( X ) — A ya que y es el G-mínimo de S(x) — A).
Como y G S(x) , por el Teorema 4 b) tenemos que y G N. Si y — 0
entonces, por ser A inductivo, y G A "o. o y ^ 0. Sea z el G-máximo de
y; como y C A, z G A =? S(z) G A por ser A inductivo.
Veamos que y — S(z), con lo que tendríamos y = S(z) G A o.
C) Sea u G y- u £ ¿>(z) = > u £ z y u ^ z .
Como u, z G y y G es orden total en y. por tricotom ía se tiene
2 G u. lo cual contradice el hecho de que z es G-máximo de. y.
Así pues: u G y
u G S'(z).
2 ) z £ y y y transitivo => z C y, <
>o S( z ) = z U {z} C y.D
COROLARIO. N es un conjunto, N = u>, N es transitivo e inductivo.
P ru e b a : Debe ser claro que N = {x G ui \ x es número natural }
es un conjunto por el axioma de separación, ya que u> es conjunto. N es
transitivo por el Teorema 4 (b).
La otra contención, u> C N, se da automáticamente pues N es inducti­
vo por el Teorema 5, y í¿ está contenido en todos los conjuntos inductivos
(ya que lj es la intersección de todos los conjuntos inductivos). Así pues
N C u por el teorema 6 y lo C N, por lo ya dicho, por lo tanto N = u>.
COROLARIO (Principio de Inducción Matemática)
Si A C N tal que 0 € A y Vn G N(n € A => S(n) G A) entonces
A = N.
Debe ser claro que las hipótesis significan que A es un conjunto
inductivo por lo que u = N C A y entonces A = N.
TEOREMA 7 (Axiomas de Peano)
1) 0 € N.
2) Si x € N entonces S ( x ) = x U {x} G N.
3) Vx G N (0 ¿ S(x)).
4) Vx, y G N (S ( x ) = S(y) => x = y). Es decir, 5 es invectiva.
5) Si A C N, 0 G A y Yn(n G A
S ( n ) G ^4) entonces N Cj A y por
lo tanto A = N.
P ru e b a :
1) y 2) son una reformulación del Teorema 5.
3) Sea x g N. S(x) —x U { x } 0, pues x G S(x) y x £ 0 .
4) Supongamos S(x) — x U {x} — y U {y} — S(y). Si x ^ y entonces
v
l e j / y j / G x ^ x e x o Por ser x transitivo.
De otro modo, si suponemos S(x) = xU{x} = yL){y} = S(y). Como
sabemos que si x es transitivo, x = U (x u {x }) Y como x . y transitivos
tenemos:
x = y (x U {x}) = |J ( y U {y}) = y
de donde x — y.
5) Sea A C N tal que 0 G A y Vn G A(S(n) G A). Entonces A es un
conjunto inductivo, de donde N C A y por tanto N = A.
Sean m . n elementos de N. Entonces m G n si y sólo si
S(m) G S(n). Es decir, la operación sucesor es compatible con G en N.
P r u e b a : La prueba es por inducción (inciso 5 del teorema 7):
=£•) Sea A = {n E N [ Vm E N(m E n => S(m) G S(n))}.
0 G A. por vacuidad Vm G N (m. £ 0). Sea n 6 A. Sea m E N tal que
m G S(n) = n U {n}
LEM A.
m En
=$■ S ( m ) € S'(n) C S ( S ( n )) ^ S{m) E S(S(n)).
m = n => S ( m ) —S(n) E S(S{n)) ^ S(m) G S(S(n)).
oO S(n)
O
V ' E A.
<=) Sea B = {n G N | Vm € N (S(m) E S(n) => rn E n)}.
O g B . pues Vm G N(5(m) ^ 5,(0)) yaque S(m) G 0u{0} => S { m ) = 0 'o.
Sea n G B. Sea. m E N tal que S ( m ) G S(S(n)) = S(n) U {5(n)}.
S(rn) E S{n)
=> m E n C S{n).
neB
S(m) = S ( n ) => m — n E 5(n) (inciso 4 del teorema 7).
oO S(n)x E B .□
O
Para todo n elemento de N. n = 0 o existe un elemento p
de N tal que n = S(p).
P ru e b a : Sea T = {n € N | n = 0 V 3p E N (n = 5(p))}. Es claro
que 0 G r .
Supongamos k E T .
Entonces k E N y obviamente 5(fc) G T. Por inducción se llega a
que T = N.
LEM A.
T e o r e m a 8 . N con la relación G es un Conjunto Bien Ordenado
(COBO).
P ru e b a :
i) V« G N (n ^ n). Es el teorema 4.
ii) Vn, m ,p 6 N(n E m A m E p => n E p). Si n E m y rn € p como p
es transitivo porque p E N, entonces n E p.
iii) m , n E N => m E n V n E rn V m = n; y sólo uno de los tres.
Aunque ser relación total o sea < N, G> C O T R I , se sigue de que
todo subconjunto no vacío tenga primer elemento, es necesario probarlo;
lo probaremos usando inducción:
- Sólo uno de los tres:
m € n y n E m = $ - m E m ( por ser m transitivo) 'o .
v
m £ n y m = n=>m€rno .
- Al menos uno: Sea A = {n E N | Vm 6 N ( m £ n V n € r a V n = rn)}.
Veamos que A es inductivo.
• 0 E A. Sea Q = {rn € N | ü E m V m = 0}. Veamos que Q es
inductivo:
0 6 Q. púas 0 = 0.
Supongamos que m E Q.
0 E m => 0 E m C rn U {rr¿} — S(m) o 0 E S(m).
m = 0 = ¿ > 0 e 0 U {0} = 5(0) = S(m) ^ 0 G S(m).
Así pues S(rn) E Q. Entonces N = Q, es decir,
V m 6 N (v0 € m V m = 0).
oOgA
y oo
• Supongamos que n E A. Sea m E N
m En
=> rn E n U {n} — S(n).
nCS(n)
m = n = ¥ m — n E n U {n} = S(n).
nErri
S(n) E S(m) = m U {m}
(LE M A )
o 5(n) G m V S(n) — m.
Entonces como m € n V n € rn V n — m, tenemos que:
m £ S{n) V m = S(n) V S(n) £ m.
o 5(n)
oo
V ' 6 A.
Por lo tanto N = A (pues N = u> está contenido en todo inductivo)
es decir:
Vn £ N Vm £ N (m £ n V m —n V n £ m).
iv) V M C N , M ^ 0 3 A: £ M Vn £ M (A; £ n V k = n).
Podemos abreviar (k € n V k = n ) como k £ n.
Sea Ai C N y Ai ^ 0. Sea m £ Ai, si consideramos S(m) flA f CS(m),
claramente m £ S'(m) n Aí ^ 0 y 5(m ) £ N ya que m £ N. Sea /c
el
mínimo de S(m) C\M, con el orden £ en S(m). Entonces k es el £-mínimo de Ai, pues sea n £ M, entonces por la tricotomía ya demostrada
(iii), n £ 5(m ) o n = S(m) o S(m) e n :
n € S(rn)
=> n € ¿>(m)' H Ai O=O k € n V fc = n.
v
S(m) £ n => A: £ m. £ S(m) £ n (pues m £ S(m) Pl M)
de donde se tiene A: £ n.
5(rn) = n => k € m € 5(rn) —n o A: € n.
En todos los casos A: £ n. por lo que A: es el 6-mínimo de M .o
COROLARIO. N con £ es un Conjunto con Inducción Fuerte.
P ru e b a : Se demostró anteriormente que COBO => COIF.a
Así pues, se cumple Inducción Fuerte para los números naturales, la
cual podemos expresar como:
VA C N [Vy £ N[Vz(z £ y => z 6 X ) => y £ A] =► N C A ]
donde el segundo símbolo £ expresa la relación “menor” y los demás €
representan pertenencia, aún cuando significan exactamente lo mismo.
O bien como:
WX C N [Vy G N[y
COROLARIO. Sean m. n elementos de N. Entonces m 6 n si y sólo
si m C n y m ^ n.
P ru e b a : Sean m, n € N.
=>) m € n => m C n (por ser n transitivo) pero m # n pues m G n
o
m
OO C n y m ' n.
<=) m C n y m = ^ n = > - m € n V n G m (Teorema 8, iii)).
Pero n € m C n = > n € n o
0 m G n.o
OO
Usaremos indistintamente N y w ya que N = u; se probó en el Coro­
lario del Teorema 6. Todo lo dicho para N se puede reescribir con u.
E j e r c i c i o . Usando que < u , e > es un COBO o que es un COIF.
pruebe el siguiente Principio Especial de Inducción para w.
'i X C o>[Vn € uiBm 6 X (n € m) A Vn 6 u>(s(n) G X => n G X ) =>
u; C X j.
E je r c ic io s
1) Probar que para todo conjunto A:
a) P{A) transitivo => A transitivo.
b) A transitivo e inductivo
[JA — A.
2) Sean:
^ = { { W ,0 } ,{{«}}}
a) Calcular |J fl A fl U A Y U f ) f l U •'4'b) Para cualquier conjunto B, en general no se tiene ninguna
de las dos contenciones entre U fl P e D U P3) Sea T un conjunto no vacío de relaciones transitivas, es obvio
que fl T, |J T son relaciones.
a) ¿Es p| T relación transitiva?
b) ¿Es U T relación transitiva?
4) Sea < A, r > COTO, / : A — » A tal que:
\fx,y G A[x r y
f ( x) r f(y)}
a) Probar que / es inyectiva.
b) Probar el inverso: Vx. y G A[f(x) r f (y) => x r y).
5) Sea S(x) = x U {x}. Pruebe que:
a) Vm, n G u>(S(rri) = S ( n )
rri — n).
b) V m ,n G oj(S(rn) € S ( n ) 4» m E n ).
2.2
E l T E O R E M A D E R E C U R SIÓ N PA R A N Ú M ERO S
NATURA LES
TEOREMA DE RECURSIÓN PARA NATURALES
Sea A un conjunto, a € A y sea / : A — >A. Entonces hay una única
función h : u> — >A, tal que:
h( 0) = a
h(s(n)) = f{ h ( n ))
Consideremos lo que queremos probar:
0) h existe, es decir, que h es un conjunto.
1) Para todo elemento n d e u existe un x € A tal que
< n, x > G h\ es decir
Dorriih) — w, Im(h) C A.
2) Si < n, x > G h y < n, y > 6 h entonces x = y, es decir que h
es función.
3) < 0, a > G h: es decir que /i(0) = a
4) Si < n, x > G h entonces < s (n ),/(x ) > £ h\ es decir, que
5) Que tal función sea única.
Dicho algebraicamente: Para cualquier aplicación 0 — » a, y cualquier
/ : A — » A hay una única extensión que es un homomorfismo
h < u>, s, 0 > — ’< A, f, a >,
es decir
h(s(n)) — f{ h ( n )) para toda n 6 u y h( 0) = a
DEFINICIÓN. Diremos que v es una función adecuada con
respecto a / si :
i) v es función, dorn(v) C u>,im(v) C ,4.
ii) Si 0 6 dom(v) entonces t/(0) = a.
iii) Si s(n) G dom(v) entonces n € dorn(v) y v{s(nj) = f(v(n)).
En lo que resta de la demostración diremos que v es función adecuada
si lo es con respecto a /.
Sea A = { v G P( u x A) \ v es función adecuada }
Observación 1. {< 0, a >} € Á con lo que A 0.
Observación 2. A es un conjunto por Axioma de Separación.
Observación 3. h — [ JÁ es un conjunto por la Observación 2) y
por el Axioma de 1a. Unión.
Observación 4. Aunque (JA es único por Axioma de Extensionalidad, este no prueba la unicidad de una función h que cumpla
el enunciado del teorema, ya que podría haber sido construida de otro
modo.
Probaremos ahora que tal conjunto h es una función con dominio u; y
cuya imagen está contenida en A y que cumple lo pedido en el enunciado
del teorema.
LEMA 1. Cualesquiera dos funciones adecuadas son compatibles,
es decir, para todas v, w € A y para toda n £ u) se tiene que:
n 6 dom[y) fl dorn(w) =►v(n) = w(n).
P ru e b a : Sean v, w G Á. Es suficiente mostrar que
D = { n € u > \ n £ dom(v) fl dom(w) => v(n) = w(n)}
es un conjunto inductivo, pues entonces N = u; — D y v ,w serán com­
patibles.
- 0 € D. pues supongamos que 0 € dom(v)C\dom(w) como v y w son
funciones adecuadas se tiene que v(0) — a — t¿>(0).
- Supongamos n G D y que s(n) € dom(v) Pl dom(w), entonces
n G dom(y) H dom(w) y por hipótesis inductiva v(n) = w(n). Como
v, w son funciones adecuadas v(s(n)) —
= f(w(n)) — w(s(n)).
Así s(n) G D.a
LEMA 2. La unión arbitraria de funciones adecuadas es una función
adecuada.
P ru e b a : Sea B C A. Veamos que (J B es función adecuada:
i) Por el Lema 1, B es un sistema compatible de funciones por lo
que 1J B es una función.
Además 1J B es una función que cumple:
d o m ( \ j B ) = (J dom{v) C u>
v €.B
im (\ J B ) = [J im(v) C A
v (zB
ii)
Supongamos que 0 G dom(lJB) =
1J dom(v), esto implica
v£.B
que 0 G dom(v) para alguna v G B, de ahí que v(0) = a, por lo tanto
como v C U B, tenemos que (U ^)(0 ) —y(0) —aiii) Supongamos que s(n) G dom([JB) — 1J dom(v), esto imv£B
plica que s(n) G d o m (v o) para alguna vo 6 B C A, de ahí que
n G dom(vo) y vq(s(n)) — f{vo(n)). Como vo G B se tiene tío C (J-B y
además d o m (v o) C (J d o m (v ) = d o m ( \ J B ) , por lo cual n G d o m ( { J B )
y U # 0 0 ) ) = «o(s(n)) = f(vo(n)) = f({ J B ( n)) .a
LEMA 3. Todo número natural está en el dominio de alguna función
adecuada. Es decir: para cualquier n € u> existe v G A tal que n 6
dom(v).
P ru e b a : Basta ver que E — {n G u> |
G A(n G dom(v))} es un
conjunto inductivo.
- ü G E pues {< 0, a >} G A y 0 € dom({< 0, a >}) = {0}.
- Supongamos n G E: sea v € A tal que n G dom(v). Sea
v' - v U {< s(«).
>}
es obvio que s(n) e dom(v'). Veamos que v’ G A y en conclusión que
s(n) G E.
i) v' es función:
- Si s(n) dom(v) entonces v y {< s(n). f (v(n)) >} son funciones
compatibles y su unión, que es v' es función.
- Si s (n) G dorn(v) entonces n G dorn(v) y ií(s(n)) = f(v(n)) por lo
que v1 — v G A, es función, además de la definición de v' , dom(v') C u; y
im(v') C A.
0
ii) Supongamos 0 € dom(v') — dom(v) U {s(n)}. Entonces como
s(n) tenemos que 0 G dom(v), de donde -¡/(O) — v(0) — a.
iii) Sea s(m) € dom(v') = dom(v) U {s(n)}. Hay dos casos:
- Si s(m) G dom(v) entonces m G dom(v) C dorn(v') y además
v'(s(m) = v(.s(m)) = f{v{m)) = f(v'{m)).
- Si s(m) — s(n) entonces m = n, por lo tanto por hipótesis inductiva,
tenemos que m = n € dom(v) C dom(v') y de ahí.
v ' ( s ( m )) =
i/(s(n )) =
f(v(n)) = f{v(m)) = f(v '(m )).a
P r u e b a del T eo rem a de R ecu rsió n (p rim e ra versió n ). Sea
h = U ^ - Ya se vió que como A es conjunto, h = (JA es conjunto por
Axioma de Unión. Así pues, < n, m > G h si y sólo si existe v
€ Á tal que (n = 0 y m = a) o existe p €
n = s{p) y 7Ti = f(v(p))
u que cumple p € dom{v),
Por Lema 2, h es función adecuada y por Lema 3, dom(h) = u j .
Así h : uj — *■A cumple:
h(0) = a
h(s(n)) = f(h(n))
Unicidad Sean h, h! : u¡ — » A que cumplen
h{0) = h'{0) - a
h{s(n)) = f(h{n)), h'(s(n)) = f( ti(n))
Entonces como dom{h) = dom(h') — u j , para cualquier n £ ¡j. se
tiene n € dom(h) n dom(h!) de donde por Lema 1, h(n) = h!(n) para
toda n 6 u j . Así pues h — h'a
E J E R C I C I O . Sea f : A — * A y a e A. Entonces por el Teorema, de
Recursión existe una única función h : u — >A tal que
h( 0) = a
h(s(n)) = f{h(n))
Pruebe que si / es inyectiva y a f. im (f ) , entonces h es inyectiva.
E j e r c ic io
a) Probar que hay una única función g : w — ►u tal que,
5(0) = 2
g{s{n)) = 3 + (g(n))
para toda n € w.
b) Dar un definición explícita de la función g anterior (es decir,
una definición no recursiva) que debe ser de la forma
g(m) = n 4^ ....
o bien
9 = { < rn, n > |
donde “...."indica una expresión rigurosa y precisa, donde no
ocurre “<?”.
Prueba del Teorema de R ecursión (segunda versión).
Sea
B — {G € P(w x A) |< 0, a > G G y Vn G ¿jVt g A
(< n . x >G G =í>< s ( n ) ,f ( x ) > 6 G)}
O bservación 1. B ^ 0 pues (ui x ,4) € i3. por lo tanto p| B es un
conjunto.
O bservación 2. B es un conjunto. Aunque esto no es necesario
para que p| B sea un conjunto, por Teorema 2.
Observación 3. Si definimos g : u x A — > u x A tal que para
toda n € u> y x £ A, g(< n , x >) = < s ( n ) , f ( x ) >, es claro que
es función pues s, f son funciones respectivamente. Podemos pensar a
cada G e B, como un conjunto generado o que contiene a lo generadoa
partir de {< 0, a >} por la operación g, es decir como el mínimo conjunto
generado por g a partir de < 0, a > . Sea h = p |i?. Es fácil ver que h
satisface < 0, a > G h y que < n , x > G h implica < s(n), f ( x ) > G h.
Obsérvese que: h(x) = y <s> < x . y > 6 G para todo G G B. Es obvio
que im(h) C A.
Sólo resta mostrar que 1) dom(h) = w y 2) h es función.
1) Es obvio que dom(h) C u. Veamos que dom(h) es inductivo:
i) 0 G dom(h) pues < 0, a > 6 h.
ii) Supongamos n G dom(h) entonces podemos encontrar x G A
tal que < n, x > 6 h pero entonces por la propiedad
satisfecha por h, < s ( n ) , f ( x ) > G h de donde s(n) G dom(h).
Así pues u = dom(h).
2) Es suficiente ver que
F = {n G uj | V s c , y < n, x > € h y < n , y > € h
x — y}
es un conjunto inductivo:
i) 0 € F pues si hubiese x y tales que < 0, x > € h y también
< 0,y > G h entonces a ^ x o a ^ y.
Supongamos sin pérdida de generalidad que a ^ x y sea
h! = h — {< 0, x >}. Se observa que h! C h.
h' cumple < 0, a > G h' pues < 0, a > G h —{< 0. x >} ya que
x a.
h' satisface < n ,w > G h => < s (n) ,f( w) > € h! pues
supongamos < n ,w > € bl entonces < n ,w > € h por lo tanto
< s ( n ) , f ( w ) > 6 h, pero como < s(n), f(w) > ^ < 0,x >
pues 0 s(n) para toda n € u>, se tiene < s (n ),f (w ) > G b!.
Así pues hl G B y /i' C h y h' t- h. o (Contradice la definición
de /i = H B ). Por lo tanto 0 G F.
ii) Supongamos n G F. Entonces n G w y por 1) n G dom(h)
por lo tanto hay un único x G A tal que < n, x > E h.
Sabemos que < s(n).f{x ) > G h. Supongamos ahora
< s(n),w > G h y w ^ f(x).
Sea h! = h —{< s(n), >}. Veamos que h' G 5 :
h' satisface < 0. a > G h' pues < s(n),w > ^ < 0, a >.
h' satisface < m , v > G =£• < s(m), f ( v ) > £ b! pues
supongamos < m , v > G h', entonces < m , v > G h por lo cual
< s(rri). f(v ) > G b!.
- Si s(m) # s(n) entonces < s ( m ) , f ( v ) > ^ < s(n),w > por
lo tanto < .s(m). f ( v ) >G /i'.
- Si s(m) = s(n) entonces m — n. por lo tanto
< m, v > = < n. v > pero n G F, entonces v = x,
< s{m), f(v ) > — < $(m), f ( x ) > por ser / función. Como
f ( x ) w entonces < s(m), /(u ) > G h'. Así pues h! G B y
/í'C / i = f) B pero h! ^ h o Por lo tanto w = f ( x ) y s(n) G F.
De lo anterior, F es inductivo, u — F y h es función.
Unicidad: Sean h, t í funciones que cumplen:
0) h existe; es decir, que h es un conjunto.
1) Para todo elemento n £ ui existe < n , y > € tí, es decir,
dom(h) = u, im (h ) C A
2) Si < n, x > E h y < n, y > € h entonces x = y; es decir que /i es
función.
3) < 0, a > € /i; es decir que h(0) = a.
4) Si <
> e h entonces < s(ri),f(x) > € h; es decir, que
/i(s(n)) = f(h(n))
Sea D = {n € lo \ h(n) = h'(n)} C
Veamosque D es inductivo:
- 0 € D ; por 3, h(0) = a = h'(0).
- Si k e D entonces h(k) = h'(k)\ por 4, h{s(k)) = h'(s(k)) pues
f(h(k)) = f(h'(k)) por lo tanto s(k) £ D.
Así D es inductivo, w = D y para toda n £ D, h(n) = h!{n) por lo
que
h = tí
□
EJERCICIO. Sea h — f ] B . como en la prueba anterior; demuestre
que:
i) < 0, a > £ h
ii) < n , x > E h => < s(n), f ( x ) > E h
E j e r c i c i o . Sean < A , r >,< B , s > C O T R I y COPO respecti­
vamente, y sea / : A — » B tal que V x, y £ A(x r y => f ( x ) s f(y))Entonces probar que:
i) / es inyectiva.
ii) Vx,y £ A ( x r y o f ( x ) s f(y))
2.3
Si s t e m a s d e p e a n o
Un sistema de Peano es una terna < N,7 , e > constituida por un
conjunto N de objetos, una función 7 de un argumento y un elemento e
£ N que se comportan como los números naturales: cualquier elemento
es; o "el cero”o es “un sucesor” . Pero podría pensarse así, si e es "el
cero”y 7 es la “función sucesor” :
e — ♦ 7(e)
Z1
\
7 n+1 (e)
7Í7(e))
\
/
7n (c) .... «- 7 3(e)
o asi
e — ♦ 7(e) — ►72(e)— * ..... — ♦ 7n (e)
/
™+ 1 (e )
\
7 ” + 1 (e )
T
7 m (e) .... <—
I
7 n + 2 (e)
o así
e— ■
>7 (e) — ♦72 ( e ) — * 7 3 ( e ) — - ......— > 7 n (e)
o así
e— + 7(e)— ♦ 7 2(e)— >7 3(e)— ♦ 7 4(e)--- — ♦ 7n (e)— +
7n+1(e)— ♦ .........
¿Qué queremos?
1) Que e GN
2) Que 7 esté definida en todo N y que sea función con valores en
N, es decir:
Vx € N 3 !j/ £ N tal que < x. y > € 7.
Además:
3) Vx eN e
4) 7 n(e)
inyectiva.
7(x), es decir e ^ ¿771(7).
7 m(e) si n 7^ m ó 7 (1)
7(2/) si x ^ </. Es decir, 7
5) VA C N [e € A y 7 [.A] C A => A = N] (Inducción).
Para que sea único salvo isomorfismo, i.e. sea como los naturales.
Observación. Si se cumple 1), 2), 3) y 4), N será infinito.
Consideremos u>, s : u — >u, 0 e u; entonces podemos considerar la
terna < í¿ ,s ,0 >. Ya sabemos que esta terna cumple 1), 2), 3), 4) y 5).
Cabe recordar que s — {< n, n U {n} >| n £ u>} y 0 = 0 .
DEFINICIÓN. Un sistema de Peano es una terna <N ,7,e> tal que:
N es un conjunto, 7:N — >N ( es decir 7 C NxN y 7 es función con
dom( 7) = N y im ( 7) C N ), y e GN tales que:
i) e ^ im ( 7).
ii) 7 es inyectiva.
iii) YA C N[e G A y 7 [A] C A =$> N = A}.
Si se cumple e £ A y 7 [A] C A, decimos que A es e-7-inductivo.
TEOREMA 9. < w ,s,0 > es un sistem a de Peano.
Y a se probó: Teorema 7 . Además se probó que < w,€> es COBO, y
que s es compatible con £: n £ m o s(n ) £ s(m).
2 .3 .1 .
U NICIDAD DE SISTEMAS DE PEA N O
TEOREMA 10. Sea < N , 7 , e > un sistema de Peano, entonces
< u, s. 0 > es isomorfo a < N , 7 , e >. Es decir, hay una función
h : ui — • N tal que es inyectiva y suprayectiva y “preserva la estructura” ,
es decir:
1 ) h(s(n)) —7 (h(n))
2) h{0) - e
P ru e b a : Como 7 :N— >N y e G N, por el Teorema de Recursión
para naturales, hay una única h : u — * N tal que:
i) h( 0) = e
ii) Vn G ui(h(s(n)) ~ 7 (/i(n)))
Como 7 es inyectiva y e ^ im( 7 ), por un ejercicio anterior (después
de la prueba del Teorema de Recursión), la h es inyectiva. Sólo falta ver
que h es suprayectiva, es decir. im(h) = N. Sabemos que im(h) C N,
veamos que im{h) es e-7 -inductivo:
i) e G im(h). pues e = h( 0).
ii) Sea x G im{h), de aquí x — h(n) para algún n 6 lo . Entonces
como 7 es función 7 (x) = 7 {h(n)) = h(s(n)) G im(h).
Así pues, por el inciso iii) de la deñnición de Sistema de Peano, se
tiene im(h) — N
E J E R C IC IO .
Si < N . 7 , e > es un Sistema de Peano, entonces:
7m(7) — N —{e}
Veamos ahora una caracterización del orden de los números natura­
les, utilizando el Teorema de Recursión.
T e o r e m a 1 1 . Sea A ^ 0, T C A x ,4. Si < A . t > cumple:
i) A no tiene r-máximo, es decir Vx G A 3 y G A(x r y).
ii) < A . t > es COBO.
iii) Todo subconjunto no vacío acotado de A. tiene r-máximo. Es
decir, VB C A si B ^ 0 tal que 3y G AVx G B ( x t y o x - y), entonces
3x e B Vz € B( z t x o z = x).
Entonces < A , t > = < lü,E>
Prueba: Sea a el r-mínimo de A. Sea / : A — >A tal
Vx 6 A, f ( x ) es el r-mínimo de {y € A I x t y} C
que
A.
Obsérvese que a existe y / está bien definida por las hipótesis i) y
ii). Por el Teorema de Recursión, existe una única h : u> — >A tal que:
i) h(ü) = a.
ii) h(s(n)) = f(h(n)).
Obsérvese que: Vx e A, x r f ( x ) por definición de f(x ), por lo tanto
Vn € u)[h(ri) r f(h(n)) — h(s(n))}
dado que Vn € u>(h(n) € A) y por la propiedad recursiva de h. Así pues
tenemos [h(n) r /i(s(n))] para toda n € u.
Veamos que h es isomorfismo:
1) Vm,n € oj [m € n => h(m) r h(n)]. Basta ver que el conjunto
D = {n € u) |
Vm (m € n => /i(m) r /2-(n))}
es inductivo:
i) 0 € D pues Vm € u>(m ^ 0).
ii) Supongamos n € £>. Sea m g w tal que m S s(n) = n U {n}.
- S i m g n entonces como n £ D se tiene /i(m) r h(n) r h(s(n))
- Si m = n entonces por ser /i función h(m) = /i(n) r /i(s(n))
en cualquier caso se tiene s(n) € D.
2) /i es inyectiva y Vm. n G a;(m G n
h(m)Th(n)) por 1) y por ser
< u>,€> y < A, r > COTOS. Véase ejercicio anterior a
la sección 2.3.
3) Veamos finalmente que h es suprayectiva; es decir, irn(h) = A.
Si no fuese así, A — im(h) ^ 0. Sea pues p el r-mínimo de
A —im(h). Entonces B = {q € A \ q t p} está acotado
superiormente por p y B C im(h). Además B ^ 0 (si no. p sería
m ín im o de A y entonces p = a = h ( 0) G im(h) o ).
Sea pues q el r-máximo de B (existe por hipótesis iii)). Como
q t p. ya sabemos que q € irri(h), es decir, q — h(m) para algún
m G lo. Pero obsérvese que p es el mínimo elemento de A mayor
que q.
Es decir p — mínimo d e {x £ A \ q t x} (pues si hubiese
p' r p con p' el m ín im o se te n d ría q r p' r p y q no sería m áxim o
V
de B o ). Por lo anterior,
P ~ /(<?) — f{ h{ m )) - h(s(m)) € i m (h ) o
así que im(h) — A.
Tenemos pues que h es un isomorfismo y < u, € > = < A. r > .□
2 .4
A R ITM ÉTIC A EN LOS NATURALES
T E O R E M A 12.
H ay una única operación + : w x u> — » lo ta l que:
Vm € ui(m + 0 = m)
Vm, n G u ( m + s(n) —s(m + n)).
P ru e b a : Sea m € lo . Inmediato del Teorema de Recursión
con A — lo , a = m> f = s
3! m + ( ) : lo — ►lo
tal que lo cumple.
Ahora definimos + : lo x lo — * lo tal que
Vn, m G Lo(m + n = m + (n))
Queda claro que esta función es única también por el Teorema de Re­
cursión. □
C o r o l a r i o . Vm e w(m + 1 = s{m)).
P ru e b a : Considérese m + ( ) : u> — * lo. Se tiene entonces:
m -)-1 = m + (1) = s(m -I- 0) = s(m).
T E O R E M A 13.
Hay una única operación • : u X ÜJ --- ►(ju tal que:
Vm € u)(m -0 = 0)
Vm, n e u)(m ■s(n) = m + (m ■n ))
P ru e b a : Sea m € w.
Inmediato del Teorema de Recursión con A = u, a = 0, f — m + ( ),
3! m • ( ) : uj — >u
tal que lo cumple.
Ahora definimos • : u x ui — >u> tal que Vn. m £ ¡¿{m ■n = m ■(n)).
C O R O L A R IO .
V m 6 w (m ■ 1 =
rn).
P ru e b a :
m ■ 1 = m ■ (1) = m ■ (s(0)) = m + ( m ■0) = m + 0 = m.
E j e r c ic io s
1) La operación + : u x lo — >u> es conmutativa, asociativa y
0 es neutro.
2) La operación • : u¡ x ui — ■> es conmutativa, asociativa y 1
es neutro.
3) Distributividad: Vm, n ,p 6 u(rri ■(n + p) = m ■n + m ■p).
4) Compatibilidad de + con el orden:
Vm ,n ,p e
m < n =í> m + p < n + p).
5) Justificar la definición Exp: w x o ) — » w tal que
Exp[m, 0) = 1 y
E x p (m , s(n)) = m ■Exp(m, n).
2.5
V a r ia n t e s d e l t e o r e m a d e r e c u r s ió n
V a ria n te 1. (Cuando depende de s ( n ) ). Sean A un conjunto, a £ A,
y g : A x u — > A. Entonces hay una única función h : u — ►A tal
que:
h( 0) = a
h(s(n)) = g(h(n),s(n))
P ru e b a : Como la de la versión anterior, adaptando la definición de
función adecuada, □
Compárese esta variante con la versión .primera y obsérvese que es
más general en el hecho de que permite que la función para .s(n) pueda
depender del mismo s(n), además de depender del valor de la función
para n.
Aplicación: con A = u>,a = 1 y g(m,n) = rri-n, 3Ih llamada función
factorial tal que:
h{ 0) = 1
h(s(n)) = h(n) ■s(n)
V a ria n te 2 (Cuando depende de dos anteriores). Sea A un conjunto,
ao,a\ G A y g : A x A — » A. Entonces hay una única función h : u> — >
A tal que:
/i(0) = a0
^(1) = a\
h(s(s(n))) = g(h(s(n)),h(n))
P ru e b a : Como la original, adaptando la definición de función adecuada.^
Aplicación: la Sucesión deFibonacci. con A — cu, cío — “ i = 1> g{m >n ) =
m -f n, 3! h tal que:
h(0) = 1
H 1) = 1
h(s(s(n))) = h(n) + h(s(n))
La sucesión h es: 1,1,2, 3, 5,8,13, 21,34,...
O bservación. La variante 1 implica la versión primera, con g definida
como g(x,n) — f{x). La variante 2 también implica la versión primera,
con g definida como g(x, y) = f(x),ao = a y a* = /(ao).
V ersión general. Sean .4 un conjunto, S = 1J nA (todas las sucen£ ui
siones finitas de elementos de A). Sea g : 5 — » A función. Entonces
existe una única h : w — » A tal que:
Vn G u){h(n) = g(h |„)).
En particular:
h(0) = g(h |o) = 5(0) € A
h{s{0)) = g[h |s(0)) = í({ < 0,p(0) >}) € A
h(s(s(0))) = g(h U(s(o))) =
p({< 0,^(0) > ,< s(0),p({< 0,5(0) >}) >})
P ru e b a : Considérese 0 € 5 y definamos G : 5 x u — ♦ S tal que:
Dado < x, m > 6 S x u>,
{
{<m .g(x)> }
x U {< n,g(x) >}
Si rn — 0
Si m —s(n) y x €
nA
0
Si m = s(n) y x £
nA
Por Teorema de Recursión (Variante 1) hay una única función
F : u) — * 5 tal que:
F(0) = 0
F(s(n)) = G(F(n),s{n)) = F(n) U {< n,g(F{n)) >}
Sea h — (J F (n ),s e puede verificar por inducción que:
n € uj
Vn € uj(F(n) : n — >A)
así que dom(h) = dom( (J F(n)) — (J dom(F(n)) = IJ n = u y
n£
n £ uj
ti £ uj
im (h ) = im( |J F{n)) = (J im(F(n)) C A.
n 6u
nEiA»
Así F(n) = h |„ y h(n) = [( U F (™))](™) = F(s(n))(n) = g(F(n)) =
n£w
!«)•□
O b se rv a c ió n . La variante 2. del Teorema de Recursión se puede
demostrar a partir de esta versión General.
Algunas veces definimos funciones de dos variables usando recursión.
por ejemplo funciones de N x N en un conjunto A, una de las variables
se considera un parámetro.
TEOREMA DE RECURSIÓN (V ersió n p a r a m é tr ic a ) . Sean A y
P conjuntos cualesquiera y a : P — >A y g : P x A x u — » A funciones.
Entonces hay una única función
h : P x u — >A tal que:
Yp G P(h(p,0) = a(p))
Yp e P(h(p, s(n)) = g(p,h(p,n),s(n)))
P r u e b a 1: Versión paramétrica de la prueba original con una defini­
ción paramétrica de función adecuada. □
P r u e b a 2: Consideremos
a g PA = { / | / : P — * A}, G : FA x u> — ♦ PA
tal que
G(x,n){p) = g(p,x(p),n)
Entonces por el Teorema de Recursión (Variante 1) hay una única
función
F : u> — » p A tal que:
F (0 ) = o
F (s (n )) = G(F(n),.s(n))
Ahora sí. definimos:
Vp G P Vm G a >(h{p, m ) = F ( m ) ( p ) )
Así Vp € P(/l(P>0) = F(0)(p) = o(p)).
Vp e PV n G u> (/i(p, s(n)) = F(s(n))(p) =
G (F(n),s(n))(p) = g(p, F(n)(p), s{n)) = ff(p,/i(p,n),s(n))).D
Unicidad
Sean /i,
que cumplen lo anterior. Entonces
dom(h) = u> = dom(h'). Veamos que Vn € w, /i(n) = h'(n)\
( n = 0)
ft(0) = .9 (/i |o) = <?(0) = <?(^' lo) - h'{0)
H.I. Suponemos Vm < n, /i(m) = h'(m). En particular como Vm < n
h(m) = h'(m) tenemos que h |„ = h! \n y para n tenemos h(n) — h'(n).
(Para n + 1)
h(n + 1) = g{h |„+i) = g(h |n U{< n,g{h |„) >})
= g(tí |„ U{< n,g(h' |n) >}) = g(tí |„+i)
= h'(n + !)■□
3
E q u ip o t e n c ia , f in it u d ,
D O M IN A N CIA Y A R ITM ÉTIC A
CARDINAL
3.1
EQ U IPO TEN CIA
¿El conjunto de todos los espectadores de una función de teatro, tiene
el mismo número de elementos que el conjunto de todos los asientos del
teatro?
Para saber la respuesta, el acomodador no necesita contar a los es­
pectadores ni a los asientos !
Podemos definir la relación ;'los conjuntos A y B tienen el mismo
número de elementos”sin saber nada, acerca de números.
Lo único que necesitamos hacer es establecer una correspondencia
uno a uno entre todos los elementos de A y todos los elementos de B.
DEFINICIÓN. Un conjunto A es equipotente a un conjunto B sii
hay una biyección de A sobre B.
NOTACIÓN. Si A es equipotente a B, lo denotamos A ~ B.
En símbolos:
A~ B
3 / ( / es función inyectiva A dorn(f) = A A i m ( f ) = B).
E je m p l o s
• R+ ~ R~ con f ( x ) = —x Vx € K+
r-n
r, \
• u>~ Z con f i n ) — {
’ \
„¿
§
Si n es impar
Si n es par
• uj ~ {2n | n € w} (Pares) con f(n ) — 2n
• w ~ {n2 | n G w} con /(n ) = n 2 (Galileo, 1638)
i\
ira
• (0 , 1) ~ R con
g(x) = tan
O bservación
*/• \ f
/(x) =
)=
g( |) =
1“ ¿
Si 0 < X <
i
| _ L Í ' ! S i i < 1 < 21. o »
tan (níx - i))
£ Irracionales
• uj x uj ~ uj con: J (< m, n >) — *((m + 7z)24- 3m 4- n)
í?(< m , n > ) — 2m(2n + 1)— 1
ó con:
PROPOSICIÓN 1. Para cualesquiera conjuntos A. B. C :
a) A ~ A
b) Si A B entonces B
A.
c) Si A ~ B y B ~ C entonces A ~ C.
P ru e b a :
a) /(¿4 es biyección de A sobre A
b) Si A ~ B entonces f ~ l es biyección de B sobre A
c) Si A ~ B v 5 ~ C entonces 5 0 / es biyección de
/
9
A sobre C.D
Así 1a. relación ~ es una relación de equivalencia sobre el universo V
de todos los conjuntos.
Debe ser claro que:
{< A , B > | A ~ B )
no es un conjunto, pues si lo fuera, su campo, su dominio y su imagen
que es V sería conjunto o
Así pues, es una clase propia y podemos llamarle relacional para
diferenciarla de las relaciones, que son conjuntos.
O tro s eje m p lo s
• (0,1) ~ R
Otras formulaciones de la misma
/O )
1 -4 = ^
= ^ ,
Siocr<i
12x 1 = 2—
2e=I
: x Si ¿2 <— x < 1
2—
2x = ^ 14 —
tr ^
2a: ~ 1
/ ( l ) = 1— I 2x —1
O b se rv a c ió n . / lleva racionales en racionales e irracionales en
irracionales.
oE—i
X G Q =►f ( x ) = 2^ i = ^ _ = f a € Q . ¡p g € z q # o
<7
1
f ( x ) G Q =►/(x ) = ^
= f
f
2xp = 2 x q - q = >
H P-.
2x(p - q) = - q ^ x =
• (0 , 1 ) ~ ( - 1 , 1 ) ~ R
<i #
0
GQ
g(x) = 2x - 1 , /¿(x) =
f = h o g : (0,1) --- * R
/, <?, h son bivecciones y llevan racionales en racionales.
• [o, i] ~ (0, 1 ) , donde h esta definida como sigue:
h
n +2
h (x ) = S H+2
X
• LJ ~ Q
S ix = 0
Si x —
n > 0
Si x 0, x
n > 0
Biyección: 0,1,§, - y s - 1 , - 2 , - | , - 3 , 3 , 5 ,
-4
-3
-2
1
T
1
I
I
T
i
I
1
i
2
-4
3
-4
4
I
-4
5
6
-1
1
T
—i
1
i
0
T
2
T
T
1
1
3
1
3
2
T
2
2
T
1
T
3
3
4
3
i
5
3
T
1
2
-2
3
-i
n
3
3
3
2
3
T
-3
4
-2
4
—i
0
4
1
4
2
4
i
3
4
-3
5
-2
5
-i
5
o
1
Ó
2
5
3
5
-3
3
-3 ,
6
-2
2
-2
6
4
*
1
5
-i
0
6
6
2
1
6
5
1
T
0
2
-3
2
4
1
2
6
3
6
4
2
4
4
T
4
ú
4
6
I
5
2
5
4
1
5
5
1
5
6
• (0 ,1) x (0 ,1) ~ (0,1)
Donde la idea para / es que para cada (a, b) E (0,1) x (0,1) en
notación decimal (a. b) = (O.aoa-i^asaiag.... , O.bobibobsb.ib5...),
/ ( < a. b> ) — 0.ao&o^ií>ia 2^2....
EJERCICIO. Justificar con detalle esta idea; por ejemplo, que la
representación decimal sea única.
EJERCICIO. Verificar que u x lj ~ u. donde
g
g(< m, n >) = 2m(2n + 1)— 1
PROPOSICIÓN 2. Para todo conjunto A , P(A) ~ a 2
P r u e b a : Denotamos A2 = { f \ f : A — »
2}
Definimos una función h : P{Á) — * A2 que sea biyección:
Para cada B C A, sea h(B) la función característica de B , \ B ■es
decir la función x s ■A — * 2 tal que:
. ,
X b {x )
Sea pues h(B) = x b -
í 1 Si x G B
I o
Si x ^ B
-S i
B', 3 x e B — B' ó 3 x E B' — B, por lo tanto.
H B ) — X b í X b >= h(B')
- S i g e a 2 entonces g = h({ x G A \ g(x) =
l}).o
PROPOSICIÓN 3. Para todo conjunto A y todo z, se cumple:
A ~ A x {z}
P ru e b a :
con f(y) —< y, z >, Vy € A.
P r o p o s ic ió n 4
a)
Si A ~ B y C ^ D entonces A x C ~ B x D.
Sean
Entonces definimos:
/
“
9
h :A x C — * B x £>, como h(< x . y >) = < f(x ),g (y) > .
Claramente es biyección.
b) Si A ~ B y C ~ D entonces AC ~ BD
Si A ~ J5 y C ~ Z?, definimos G :
— *BD. comoG(/i) :
/
9
B — * D, G(h) = g o h o f ~ \ así AC ~ B£ .
G Invectiva: h ^ V =» 3x G A, h(x)
tí(x), por lo tanto:
G{h)(f{x)) = g o h o f ~ \ f ( x ) ) — g(h(x)) ± g ( tí { x ) ) =
g o tí o f ~ 1(f(x)) = G(h')(f(x))
por lo tanto G(tí) ^ G(h').
G Suprayectiva: Si j G BD entonces g~l oj o f g a C,
G(g~l o j o / ) = g o c/-] o j o f o f ~ l = j
c)
y
Si A ~ B y C ~ D entonces A x {0} U C x { l } ~ 5 x {0} U
D x {1}. Sean A ~ B y C ~ D .
f
"
9
Definimos h : A x {0} U C x {1} — > B x {0} U D x {l},tal
que.
V < X , b > e A x {0} U C x {1},
h ( < r r h ^ \ - ¡ < / ( 2:)>ü >
{
'
} - \ < g(x), 1 >
Si < x.b >e A x {0}
Si < x, b > e C x {1}
Es fácil ver que h es biyección.o
d) Si A ~ B entonces P(A) ~ P(B).
Si A ~ B, sea g : F(A) — » P(B), tal que Ve C A. g(c) = f[c\.
Entonces, si c ^ c! => 3.x G (c — c! U c! — c), por lo tanto,
/(x ) 6 f[c] - f[d] 6 /(x ) € f[c'} - f[c], así que g(c) = f[c] #
fW) = g{d).
Y si c e P{B) => c C B. Así c — f[{x \ f ( x ) 6 c}] = g({x ¡
/(x ) G c}).a
O bservación. La afirmación inversa de d) es un indecidible; es
decir, si suponemos que P(A) ~ P{B) no se puede probar ni refutar que
A ~ B. La prueba de esto queda fuera del alcance de este libro.
E jem plos de no-equ ip o ten cia:
«2
3, Es decir {0, {0}} + {0, {0}, {0, {0}}}
• uj
R (Cantor 1873)
Veamos que para toda / : w — > R, hay r e M tal que r 0 vm{f).
expresemos /(n ) para toda n, como una lista de valoresen R ennotación
decimal; sea / : u> — » R
/(O ) =
a o . a oo « o í <i02 a o 3 «04 • • • •
/ ( 1) =
a 1 . a x o a i 1 a i 2 a i 3 a i 4 .. ..
/(2 ) = ai. ®20®21®22^23<2'24—
Sea r — b.bobibib^b^..... , donde b = 0 y
i
f 7 Si ann 7
n ~ \ 5 Si ann - 7
Entonces Vn, r f ( n ) en el lugar decimal n-ésimo (contando desde
0). por tanto r 0
Así pues no hay biyección posible entre u>y R.a
Para todo conjunto A. A / P( A) .
Prueba: Sea g : A — * P ( A ) cualquiera.
Sea B = {y G A ¡ y £ g ( y )}, B G P( A) .
Pero B £ i m ( g ) pues si B = g(z) para algún z G A. tendríamos que:
T e o re m a d e
C a n to r.
z € B
z £ g(z) «=> 2 ^ B
o
Así pues g no es suprayectiva y como fue arbitraria, no hay biyección
posible entre A y P ( Á ) . q
Observación. Hay / : A — >P(A) inyectiva; por ejemplo tal que
Vx G A , f ( x ) — {x} G P{A).
Obviamente, x ^ y ■=> f( x ) = {x} ^ {y} = f(y).
Observación. ->3zVw[w R g(z)
->(w R g{w))} Es Universalmente
Verdadera (U.V.) para toda g función y para toda R relación binaria.
Obsérvese que con la interpretación de conjuntos. R como G y g
cualquier función, el enunciado U.V. afirma que no hay un conjunto tal
que su imagen bajo g sea el conjunto de todos los conjuntos que no
pertenecen a su propia imagen bajo g.
TEOREM A 14. R no es biyectable con u.
Esta prueba es diferente a la anterior, y está basada en las siguientes
propiedades de R:
(R, <) es denso:
Vx, y G R[x < y =» 3 2 G R(x < 2 A 2 < y) ].
(R, <) es sin extremos:
Vx G R[3 y G R(x < y) A 3 2 G R (2 < x)]
(R. <) es completo:
\¡B C R[j? 7^ 0 A 3 y € R Vx G B (x < y) =>•
3 w 6 R[Vx G B (x < w)A Vj € R( V i g B ( x < z) =£>
w < z)]].
(■i.e. w — Mínima Cota Superior de B).
Prueba: Supongamos que M fuera contable, digamos M = {cn ¡
n G w}. Encontraremos un real a tal que a 7= cn Vn G u j .
Definimos por recursión para u> :
i) Sean üq = cq, bo — c.k donde k es el mínimo índice natural tal que
ao < Cfc (R sin extremo derecho).
ii) a„+i = c/~, donde k es el mínimo índice natural tal que
an < Ck < bn (R denso).
bn+i — Ck >donde k es el mínimo índice natural tal que
on+i < Cfc < bn (R denso).
Observación. Vn G u( an < an+j
A
bn+\ < bn).
Observación. {an | n G w} está acotado superiormente por todos
los bn''s y no tiene último, por lo tanto Vn, m G u; (an # ¿>m), {bn j n G ^'}
acotan a todos los an's y no tiene mínimo.
Sea a = Sup{an | n G w}, entonces a ^ c* V/c G w o"
o ^ Cf c Vi Gw pues Vn G u>( an < a < bn) y Vfc3n(c*; < an V bn < c¿),
es imposible que Vn(an < ck < bn) pues tal c* se seleccionará como
an+j ó bn+1 a lo más en k pasos.o
M editación. Como Q es denso y sin extremos, la completud de R
es la que determina su no numerabilidad.
E j e r c i c i o . Verificar que u> x u> ~ u> donde
F
F (< m, n >) = \[{m + n )2 + 3m + n]
3 .2
FINITUD
DEFINICIÓN. Un conjunto A es finito
número natural.
A es equipotente a algún
D E F IN IC IÓ N .
Un conjunto A es infinito
no es finito.
Así pues, A es infinito <=>• no es biyectable con ningún número natural.
Observación. Todo número natural es finito.
Si A ~ n, decimos que A tiene n elementos y lo denotamos con
| A |= n, y decimos que el cardinal de A es n.
Observación. Vn € w (| n | = n) y A finito A A ~ B =$>B finito.
LEMA d e FINITUD. Para todo n € o; y para todo x Cn, n
x.
(Es decir, ningún número natural es equipotente a un subconjunto
propio suyo.)
Prueba: inducción sobre n
n — 0 se cumple por vacuidad ya que 0 no tiene subconj untos
propios.
H.I. Supongamos para n: Vu» C n (n tu)
-L
T
P.D. para s(n) = n + 1 : Vz C n + 1 (n + 1 ^ z)
Supongamos que hay z C n + 1 tal que n + 1 ~ z
5/
/
Hay dos casos:
- Si n ^ z entonces z C n y / |nbiyecta n con
z —{/(n)} C z C n así n ~ z —{/(n)} C n o
#
/l«
#
contra la H.I.
- Si n € z entonces n = f (k ) para algún k 6 n + 1. Definimos
.9 : n — >z como:
Vi € n, p(i) =
/(?:)
/(n )
Vz /c, i < 71
S\i = k y k < n
O bservación. Si k = n, entonces g = f \n •
Entonces g es 1 a 1 de n sobre z - {n} C n o Contra la H.I.
Por lo tanto se cumple para toda n. □
C O R O L A R IO .
Ningún número natural es equipotente a un subcon­
junto propio suyo.
C O R O L A R IO
(Principio del Palomar). Si n objetos son colocados
en menos de n lugares, algún lugar tendrá más de un objeto.
C
o r o l a r io
a) Si n m entonces n ■*>m.
b) Si | A | = n y | A | = m entonces n = m.
O bservación. Esto justifica la definición formal de cardinal de A
para todo A finito, que cumple A ~ \ A \ y \ A \ = \ B \ ^ A r'w' B.
C o r o l a r i o . u> es infinito.
P ru e b a : Supongamos que 3 k € ui 3 / tal que u ~ k. Entonces / ¡¿t
biyecta k con un subconjunto propio.?
C O R O L A R I O . Ningún conjunto finito es equipotente a un subcon­
junto propio. Es decir, si A es finito y Z C A entonces Z r>o A.
P ru e b a : Supongamos que A es finito y sea n tal que A ~ n.
9
Supongamos que hay una biyección / de A sobre un subconjunto
propio, consideremos la composición g o f o g~l ; n — >n ; es invectiva y
es sobre un subconjunto propio de n o ( Pues si a 6 A —im (f )
(i m ( f ) C l ) , entonces g(a) 6 n — im(g o f o g~l ).por lo tanto
*
im(g o / o y-1 ) C n). n
~
im-{g ° / c g~1) Q n 'o (Lema).o
9 ° f ° 9 ~1
#
DEFINICIÓN. Se dice que un conjunto A es Dedekínd Infinito, si
es biyectable con un subconjunto propio.
C O R O L A R IO . Si un conjunto es Dedekind Infinito, entonces es In­
finito. Veremos más adelante que el inverso es cierto con el Axioma de
Elección.
C o r o la r io ,
u es in fin ito .
2a P ru e b a : Sea s : u — » w —{0} C u>, la función sucesor, así s es
biyección por lo tanto cu es infinito.
3 .2.1
O t r a s p r o p ie d a d e s d e f in it o s
Usaremos fin (x ) para abreviar “x es finito” .
1) S i x ~ n + l y & € x = > x —{6} ~ n.
Sea x ~ n + 1. Definimos g' : x —{6} — » n tal que:
g'(y) =
g(y)
g(b)
Si g(y) ± n
Si g(y) = n
Entonces x —{6} ~ n.
2) Para cualquier y , fi n ( x ) => f i n ( x U {y})
-S i y £ x,entonces iU { t/} = x,por lo tanto f i n ( x U {y}).
-Si y x y dado n ~ x, definimos g ■n + 1 — >x U {y} tal que:
...
f f(i)
= { y
S ii< n
Si i = n
Así, n + 1 ~ x U {y}, y f i n ( x U {y}).
9
3) n e lo A z C n ^ fin(z)
Sea T = { r a € u > | Vz C n ,f in ( z )} , veamos que T es inductivo:
- 0 € T por vacuidad.
- Supongamos que n G T, sea z C n + 1. Hay 2 casos:
-
z Cn
fin(z).
- Si n G 2 . Sea w —z — { n } C n
=>fin(v:), y
2 = tí; U {n}, entonces por (2). fin(z).
Así pues. T es inductivo.
4) fin[x) A z C x => fin(z). i.e. Subconjuntos de finitos son finitos.
Sea x ~ n y z C x. Entonces f[z) C n y por (3). fin(f[z}) .pero
z ~
fU
f[z], a s í fin(z).
5) fi n ( x )
A fin(y)=> f i n ( x U y).
Supongamos f i n ( x ) . Sea. T = {n G u> |Vy(y ~ n —> f i n ( x Uy)}
Veamos que T es inductivo:
- 0 G T, pues y ~ 0 => y = 0. por lo tanto xUy = xU0 = x que
es finito.
- Supongamos que n G T. Sean, y ~ n -f 1. 2 = / _1(n) G y así:
V
~ {z } ~ n (Por l)? Y Por H..I. x U (y —{2}) es finito.
Entonces x ü y = x U( y —{2 }) U {2 } es finito por (2).
6) fi n ( x ) y Vj / Gx , f i n ( y ) => /-m(Ux) i.e. Union finita de finitos
es finito.
Sea T — {n. G w i [n ~ x A Vy G x, /'in(y)] =*> /m (U x)}, veamos
que T es inductivo:
- 0 G T. pues O~ x = r * x = 0 y U 0 = 0 y /m (0 ).
- Supongamos que n G T. Sea x ~ n + 1.
2 = / -1 (n) G x => x —{2 } ~ n, por H.I. U(x —{2 }) es finito
(3)
y como 2 G x, fin (z ) => (U(x —{2 })) U 2 = Ux es finito.
(5 )
7) fi n ( A ) A f i n ( B )
f i n ( A x 5 ).
Sea h : A x {z} — >A tal que h(< x, z >) = x. Claramente
.-4 x {z} ~ A.
h
Así, fi n ( A ) => f i n ( A x {2 }) Vz.
Ahora A x B = U{A x {2 } I z 6 P} = U A x {z} => A x B es
z€B
J (6)
finito.
8)
fi n ( x ) A n € lo => f i n ( nx )
Supongamos fin(x), Sea T — {n 6 w | f i n ( nx)}.
- 0 G T, pues °x = {0}, que es finito.
- Supongamos que n G T , veamos que f i n ( n+1x).
V g G nx. Vz G x, sea gz = gU {< n , z >}. así gz G n+ 1x.
Vy € nx. sea 5 = { gz j 2: € x}. Como g ~ x, 5 es finito.
Ahora n+1x = U{ g ¡ g G nx }. Pero nx es finito por H.I.,
y Vg G nx (5 es finito )
=> 71+1x es finito.
( 6)
9) fi n ( A )
fin (P(A)). i.e. Potencia de finitos es finito.
Ya se mostro que P(A) ~ A2.
Como fin( A), sea A ~ n. Sea P : A2 — + n2 tal que
#0?) = 9 0 / -1
. o + g' =*> P (s ) = y o / - 1 ± g' o / - 1 = #(<?')•
- / i G n2 => h O f G A2 y H{h O f ) = h o / o / " x = fc, así
a 2 ~ n2 => f i n ( TL2), por lo tanto f i n ( A2), por lo tanto
/tn (P (A )).
10) f in (A ) A f i n ( B ) => f i n ( ÁB).
a B C P(A x P); pero f i n ( A x B) por (7), f i n ( P ( A x B)) por (9)
y f i n ( AB ) por (4).
11) f i n ( x ) y f función => fin(f[x}). i.e. Imagen bajo función de
finitos, es finito.
/[*] = i f ( y ) I y e x} = U{ i f ( y ) } ! y <5 x} => fin(f[x}).
(6)
M editación. Toda construcción posible, sin axioma de infinito,
aplicada a conjuntos finitos genera conjuntos finitos. El Axioma de In­
finito es necesario.
A es numerable <=> A ~ u>.
A es contable <?=> fi n ( A ) V A ~ u>.
D E F IN IC IÓ N .
3 .2 .2 .
D e f in ic io n e s a l t e r n a t iv a s d e f in it u d
1) A es finito <=>3 n e u ( A ~ n). Esta es nuestra definición.
Tenemos como alternativas las siguientes definiciones:
2) A es r-finito <=*• 3 r C A x A, relación tal que:
i) < A, r > COTO
ii) V5 C A. £? 7^ 0 => 3 a 3 b(a = mín B A b = máxB).
r
r
3) A es Tarski-finito ó simplemente T-finito <=>
V X C P(A), X # 0 ^ 3 y & X (Vw e X{w ¿ y => y <£ w))
(i.e. y es C-maximal en X )
i.e. “Toda colección no vacía de subconjuntos de A tiene un elemento
tal que no está contenido propiamente en ningún otro elemento de la
colección.”
4) A es Dedekind-finito ó simplemente D-finito <=>\/ B C A
(B '*>A), i.e A no es bivectable con ninguno de sus subconj untos propios.
5)
A es D'-finito
V B C A (B
lo), i.e. A no tiene un subconjunto
numerable.
Ejem plos de conjuntos infinitos: uj, Z, Q ,R . P(u>), P ( R).
Observación. Un conjunto A es Dedekind-Infinito sii A es biyectable
con algún subconjunto propio. Un conjunto A es D-finito sii no es DInfinito.
Ejem plos de Conjuntos D-Infinitos: u , Z , Q , R .
TEOREMA 15. A es Dedekind-Infinito => A es Infinito.
Prueba: Ya se probó la contrapuesta: A es finito =r- A es D-finito,
en los corolarios del Lema de Finitud.o
La implicación inversa, se prueba con Axioma de Elección (AE) y la
veremos después. Sin Axioma de Elección, no se puede demostrar.
Para cualesquiera A. B conjuntos:
i) ¡A| — \B\ o A ^ B
D E F IN IC IÓ N .
ii) fi n ( A ) =$> |Aj = n, donde n € u> es el único n tal que A ~ n.
Observaciones
• Vr¿ € o; y VA finito \A j~ A y |n| —n. |u;| = \Z\ — \ Q \ .
N o ta c ió n .
| w ¡ = N0
• |P(w)| = |R| = |R x R| = \Rn\.
N O T A C IÓ N .
| R |= c
• |A| 7= |P(A )|, en particular |u¡ ^ |R| por el Teorema de
Cantor.
T e o r e m a 16. A es Dedekind-infinito
A tiene un subconjunto
numerable.
Prueba: =£•) Supongo A ~ B C A. Sea z € A —B j=- 0, así
z ^ y [A] = B, y g es invectiva. Por recursión para u>, defino
/ : w — ♦ A tal que:
/(O) = 2
/( * ( n ) ) -
g(f(n))
Claramente f[u>] C .4 y como g es inyectiva y z £ g[Á\, porun resul­
tado general anterior, / es inyectiva. Así pues u ~ f[u>] C A y /[w] es
un subconjunto numerable de A.
<=) Sea C C A, tal que w ~ C C ,4.
Definimos y : .4 — * A tal que :
( \ - j f ( n + X) Si x =
- \
x
6 ^
x e A- C
y es inyectiva pues si x 7¿ y € A entonces:
i) x € A - C , y e A - C ^ g(x) = x ± y = g(y).
ii) x — f(n) e C, y e A - C
g(x) = f ( n + 1) € C y
g(y) = y i C, así g{x) ¿ g{y)
iii) x = fi n) , y — f ( m ) => n ± rn, pues / es función. Entonces
A
A
f(0)
n + 1 m + 1 (sucesor es inyectiva) y así
g(x) = f ( n 4- 1) /(m + 1) = g(y) pues / es inyectiva.
Entonces A ~ g\A] C A pues /(O) € A y /(O) ^ 5 [A]. □
E je r c ic io s
1) Si r es un orden total en un conjunto finito A, entonces r es
un buen orden en A; es decir, si < A, r > COTO y A finito
entonces < A, r > COBO.
2) Si r C A x A, r antirreflexiva. transitiva y que cumple la
propiedad Vx G A 3y e A
y y < x, y > € r), entonces A es
infinito.
3) Si r C A x A, r es reflexiva, transitiva y cumple tricotomía
entonces:
a) Si A es finito, hay un b G A tal que Vx € A,
< b, x > € r. (Pongamos como ejemplo de r, la relación
“conocer a”sobre un conjunto (finito) de personas; entonces,
si se cumplen las hipótesis, ahí hay alguien que conoce a to­
dos). Se sugiere inducción matemática sobre el número de
elementos de A.
b) Dar un ejemplo infinito de A donde se cumpla loanterior
y otro ejemplo infinito de A donde no se cumpla que hay un
b € A tal que Vx € A. < b, x > e r.
4) Probar las siguientes equivalencias entre las definiciones alter­
nativas de finitud:
a) Def 1)
Def 2)
Def 3)
b) Def 4) <£> Def -5)
c) Def 1) => Def 4), Def 1) =4> Def 5). (Los inversos requieren
del Axioma de Elección).
3 .3
DOM INANCIA
Un conjunto A está dominado por un conjunto B <=•
hay una función inyectiva de A en B.
D E F IN IC IÓ N .
Si A está dominado por B se denota: A < B, y si f es l a
función inyectiva de A en B. se denota: A < B.
f
O bservaciones
N O T A C IÓ N .
a) Las siguientes condiciones son equivalentes:
i) A < B
ii) ] C C £ tal que A ~ C.
i) => ii) Si A < B . sea C = f[Á\ C B.
f
ii)
i) Si A ~ C C B. A < B.
9
9
b) A ~ B = $ > A - < B y B < A. (Si A ~ B = > A ^ < B y
B < A).
f'1
c) A < A ; con Id¿.
d) A < B y B < C =í> A < C. (Si A < B y
/
B ^ C => A < C ) .
9
gof
e) A r< P(A) ; con f ( x ) — {x} € P{A), V x € .4.
f) A C B =$>A < B : con Id¿
g) A ^ B =* P(A) ^ P (P )
Si A ^ -B. Sea y : P(.A) — * P (P ) tal que Ve C A«?(c) = f[c],
f
así P(A) ^ P(B)
9
h) A ± B , A ~ C y B ~ D ^ C < D .
Si C ~ A < B ~ D ^ C < D
f
9
h
hogof
i c i ó n . Para cualesquiera A, B conjuntos:
i) | A | < | B i «• A ■< B.
ii) ¡ A I < ¡ B |
A < B y A * B.
D e f in
Si A < B v A
B lo denotamos A < B y decimos
que A está estrictamente dominado por B.
N
o t a c ió n
.
P r o p o s i c i ó n . VA, A -< P(A), es d ecir | A \ < \ P(A) |.
P ru e b a : Por observación e) y Teorema de Cantor.
C O R O L A R IO . P a ra to d o co n ju n to ex iste o tro co n ju n to de ca rd in a l
e s tric ta m e n te m ayor.
T E O R E M A (C a n t o r - S c h r ó d e r - B e r n s t e in )
A ■< B y B ■< A=> A ~ B.
P ru e b a : Sean / : A — » B. g : B — > A
J
1-1
^
i-i
Si g[B] = A , g es la biyección; si no y[B] C A.
Definimos por recursión para u> :
Co = A - g[B]
Cn+1 = 9 0 f[cn]
A
g
B
O bservación. A —y ¡5] € P{A). Sea J : P{A) — » P{A) tal que
V D C A , J(D)=g[f[D}}=gof[D]
Definimos h : A — * B como h(x) —
entonces h es la función buscada.
i) h es función pues / es función y x £ (J Cn => x
t
Co = A —g[B\ =>
por lo tanto x 6 dom(g l ) y g 1 es función.
ii) h es inyectiva: Sean x ^ x' £ A
Si x. x ‘ £ U C'n o x , x ' $ U Cn entonces h(x) ± h(x') pues
/ y g~l son invectivas
Si x E Cn para algún n £ u> y x' £ IJ Cn entonces
h(x) - f{x ) E f[Cn\ y h(x') = g ~ \ x ' ) f f[Cn\ pues si g~1(x/) £ f[Cn]
entonces x' = gg~1(x') E g[f[Cn\] — C n+1
por lo tanto h(x) ^ h(x').
iii) h es suprayectiva: Sea y £ B. y £ [j f[Cn] =$> y = f(xo) para
algún xo £ Cn, por lo tanto h(xo) = f { x o) —y.
y € B - U f[Cn] => g(y) <£{JCn ( pues g{y) <£ C0 y g(y) ± g(x)
V x € (J f[Cn], pues y £ (J f[Cn] y g es inyectiva, por lo tann€ui
n 6 u>
to 9 (y) £ 9[f[Cn\] = Cn+i) así. por la definición de h, h(g(y)) =
9 ~ l (9{y)) = Z/-d
C o r o l a r io
a)A ^5iC yA ~ C ^A ~ B -C .
b )A C 5 C C y 4 -C ^ y l~ 5 -a
c)A ^£^C ^A
d)
=> A ~ B ~ C.
[0,1] ~ R y (0,1) ~ [0,1].
P ru e b a : a) Sup. A ■<B < C, por lo tanto A < B y B < C , y como
A ~ C , A < C y C < A entonces B < C ^ A y C < A < B , B < A y
C B =$■ A ~ B v B ~ C.
~
C -B
b) Es un caso particular de a), ya que A C. B => A < B
c) Ejercicio.
d) Como (0,1) C [0,1] C 1
y (0,1) ~ R,
por
[0; 1] ~ R y además (0,1) ~ [0,1].
lo tanto
C o r o l a r io
VA, 5 (| A | < | £ | y | B | < | A | = H A\ = \ B\ ) .
La relación < entre cardinales de conjuntos es un
orden. Es decir, es reflexiva, antisimétrica y transitiva.
C O R O L A R IO .
P R E G U N T A : ¿VA, B, \ A | < | B | o | B \ < | A | ?, es decir
¿VA, B. A zí B o B ^ A ?, es decir
¿La relación de dominancia entre conjuntos es total?
R E S P U E S T A :
Se verá mas adelante con Axioma de Elección.
A p l ic a c io n e s d e l t e o r e m a d e
C a n t o r -S c h r ó d e r - B e r n s t e i n
1) No existe A tal que P(A) € P{A).
Supongamos que sí, sea A tal que P{A) € P ( A ), por lo tanto
P(A) C A, por lo tanto P(A) < A y claramente A -< P ( A ), entonces por
el Teorema de Cantor-Bernstein, tenemos que A
el Teorema de Cantor).
P(A) o (Contradice
2) Probar que u> x u ~ u;
Damos g : u x u — > u ,g(n,m) = 5" • Tm, por Teorema Funda­
mental de la Aritmética g es 1 —1. por lo tanto u x uj ■< ui, y además
9
u ■< oj x u> donde f( n ) = < n ,n >, claramente invectiva. Por lo tanto
/
por Teorema de Cantor-Schróder-Bernstein tenemos que u> x u>~ u;.
3 .4
A r it m é t ic a c a r d in a l
D E F IN IC IÓ N .
Para cualesquiera A , B conjuntos definimos las opera­
ciones:
| A | + | B \ = | A x {0} U B x {1} |
\A \-\B \ = \A x B\
|A P H
| , donde BA = { / | / : £ — >A}
NOTACIÓN. Denotamos con /t, A, ^ a los cardinales; donde, « es
cardinal significa que hay un conjunto A tal que k, — j A \ .
Con esta notación, si k , A, ¡x son cardinales tales que k■— | K | A =
| L ¡, ¡j, = | M | entonces definimos:
k + A= | K x { 0}uLx
k ■X = \ K x L \
Kx = I l K I
{1} |
PROPOSICIÓN. Las operaciones están bien definidas, es decir:
Si A ~ A' y B ~ B' entonces
i) A x {0} ü B x {1} ~ A! x {0} U B' x {1}
ii) A x B ~ A! x B'
iii) b A ~ b' A'
P ru e b a : ya se hizo: Proposición 4.
Sean k , X, ¡i cardinales y K , L, M conjuntos tales que k = \ K \,
X — ¡ L |. ¡i= \ M \. Podemos suponer K , L, M ajenos o ajenizarlos con
el producto cartesiano con {0} y con {1}.
TEOREMA 17. Propiedades de la Suma:
i) k + A = A + K
ii) k + (X + fj.) = (k + X) + fJ,
iii) k + 0 — K
iv) k < X => k + ¡i < X + H
v) K<X =>K + I1 < X + H
vi) K < K + X
vii) K0 =
+ Ko
viii) c = c + c.
P ru e b a :
i) K x {0} ü L x { l } ~ L x {0} U K x {1} tal que
9
. .f < x. 1 > Si b = 0
s i x ’b) = \ < x ,0 > Si 4 = 1
ii) K x {0} U [{L x {0} U M x {1}) x {1}] ~
[{K x {0} U L x {1}) x {0}] U M x {1}
con g definida, dados, k € K , l € L. m € M, así:
< k, 0
k, 0 > ,0 >
< < 1,0 >, 1 >^-*<< 1,1 > , 0 >
« m, 1 >, 1
m, 1 >
iii) K x {0} U 0 = K x {0} ~ K
iv) Sea K ■< L, de aquí tenemos que
/
K x {0} U M x {1} -< L x {0} U M x {1}
y
donde g esta definida de la siguiente manera:
v) Análogo a iv). Ejemplo: No < c y No + c = c 4- c. Justificado así:
cu —
^ M.
R ~ R x {1} C u x {0} UR x {1} C
s---------- ------------ No + c
R x {0} U R x {1} = R x {0.1} C R x R ~ IR
>---J
Por lo tanto todos son biyectables.
vi) K < K x {0} U L x {!}, donde h(x) = < x, 0 >
h
vii) u ~ w x {0} Uw x {!}, donde
9
j < |. 0 >
[ <
,1 >
Si n es par
Si n es impar
viii) K j l x {0} U K x { l } = R x { 0 , 1} C R x R ~ R
R ~ ( K x { 0 } U l x {1}).
PROPOSICIÓN. Dados A, B cualesquiera, si A'. B ’ son tales que
A ~ A ' , B ~ B' y A' fl B' — 0 entonces:
A x {0} U B x {1} ~ A! U B' y | A \ + | B \ = \ A' U B' |
P ru e b a : Sean A ~ A '. B ~ B ' .
f
9
Sea h : A x {0} U B x {1} — + A' U B' tal que
Afirmación: h es biyección
- h e s inyectiva:
<
x, b > 7^< x ' , b' >=>
í f ( x) = h(x,b) € A'
< g(x) = h(x', tí) £ B'
^
(o al revés)
í Si b — tí
h(x,b) ^ h (x' ,tí)
| sí b ¿ t í h(x, b) € A ' , h { x ' , t í ) £ B'
b ^ tí
<
, ,
x ^ rr
(*) Como Al fl B' = 0, entonces f ( x) 7^ g(x).
(**) h(x, b) h(x', tí), porque / es 1 —1 , g es 1 —1 o porque
A ' n f l ' = 0.
- h es suprayectiva:
y € A' L¡ B' =$■
{
y = f ( x) para algún x € A
así que h(x, 0) — /(x ) = y
0
y = g{x) para algún x £ B
así que h(x, 1) —g{x) = y
COROLARIO. Dados k , A, y A, B tales que « = | A \ , A =
| B |, podemos suponer sin perdida de generalidad que A n B — 0.
TEOREM A 18. Propiedades del Producto. Sean k, X, ¡1 cardinales.
i) k • A = A • K
ii) k ■(A • fi) = (k • A) ■fi
iii) k ■1 = k , k ■0 = 0, A + A = 2A, A + A + A = 3A
iv) k -(X + ¡i ) — n - X + K-fi (en particular, « • (A + 1 ) = « ■A + /c)
v) /í > 2 , A > 2 = > k + A < k -A
V Í)
K < \ = $ >K - f L <\ - f l
VÜ)
K,<X=>K, f í <X-f J,
viii)
^0 • Hq = Ko, c • c = c
ix) A ^ O =>• K < K ■A
P ru e b a :
i) K x L ~ L x K con / ( < x . y >) — < y ,x >
ii) K x (L x M) ~ (K x L) x M con
/ ( < x, < y., z » ) = < < x . y > .z >
iii) .fif x {0} ~ K con /(x , 0) = x ; K x 0 = 0
iv) ÜT x (¿ x {0} U M x {1}) ~ (K x L) x {0} U(K x M) x {1} con
/ ( < x, < y, 6 > > ) = < < x, y >, b >
O bservación. K x (L U M ) = (ií x L) U ( K x M).
v) Suponemos s.p.g K fl L = 0, sean ao.a-¡ G /C 6o, G
tenemos que K U L < K x L con
entonces
h
< x.bo >
h(x) = ^ < oo, x >
< ai, í>i >
Si x £ K
Si x G L —{6o}
Si x = 6o
vi) Sea K < L. entonces K x M < L x M con
/
9
s(< X , y >) = < f ( x ) . y >
vii) Análogo a vi).
Ejemplo: No < c y No • c = c • c con w ^ S i / w x R ^ S x S pues
¡R ~ {0} x E C w x R C R x K ~ l
y por el teorema de Cantor-Bernstein todos son biyectables.
viii) uj x lo ~ lo , R x R ~ 1 ya se probó.
ix) Sea L
0 y Z G L. Entonces K ■<K x L donde
h
/i(x) = < x, Z>□
TEOREMA 19. Propiedades de la Exponenciación.
i) V«, k° = 1, k 1 = k , 1K = 1; Vk ^ O, O'1 — 0.
ii) K ■K — K2, C = 2^°
iii) (k ■A)** = K? • A^
iv) ka • = «A+^ (Enparticular /cA+1 = kx ■n)
v)
= kx »
vi) fl < A =>•
< KX
(si no ambos k y ¡i son cero, pues 0o = 1, O1 = 0)
vii) /x < A => fj,K < Xk
viii) k < 2K (Reformulación del Teorema de Cantor)
Prueba:
i)
— { / | / : 0 —-> K } = {0} = {0} — 1. En particular 0o = 1.
1K = { f \ f : 1 — * K } ~ K con g(f) = /(0 ) G K\
9
K l = { f \ f \ K — » 1} = {{ < x, 0 > | x G K } } ~ 1 (es el
unitario de la función constante 0)
Sea k + 0, * 0 = { / | / : K — * 0} = 0 = 0.
ii) K x K ~ 2K con g(< x . y >) : 2 — ♦ K tal que
g(< x, y >)(0) = x y g(< x , y >)(1) = y. E - “2 pues E ~ (0.1) ~ “ 2
9
donde g(r) = < ai >¿gw,
binaria.
€ {0,1} y r = 0.aoaia 2a 3.... expansión
iii) M( K x L) ~ Mi(r x mL con
G (/) = < n K o f , i r L o f > , \ / f GM (AT x L)
donde 7T/^,
son las proyecciones izquierda y derecha respectivamente
de K x L, es decir ttk : K x L — * K, tt/<(< z , y >) = x,
wL : K X L — ♦ L, ttl (< X,y >) = y.
iv) Supongamos s.p.g. L n M — 0, (LK x MK) ~ ¿uAÍ K
H
con
H (< f,g> ) = fU g
obsérvese que / y g son compatibles pues dorri(f) — L y dom(g) — M,
por lo tanto dom(f) fl dom(g) = 0 y así / U g : L U M — » K.
v) m (l K ) ~ <
■
donde
V / € m (l K ), H{ f) : L x M — >K
tal que
VZ € L, Vm € M, # ( / ) ( < Z,m >) = (/(ro))(Z)
• Si f ¿ f ' € M(LK), 3 m € M, tal que
/(™ ) í / '( m ) = ^ 3 ¡ E L tal que (/(m))(Z) # (/'(m))(Z),
por lo tanto 3 < !,m > £ ¿ x M tal que
1,'rn >)
tí H ( f ' ) ( < l , m > ) ) por lo tanto H( f ) ^ H(f').
• Si <? G LxM K, sea / : M — > LK tal que, si m G M,
f ( m ) : L — * K , con
— g(< l .m >), VZ € L.
Entonces H ( f ) = g.
vi) Veamos que M < L => MK < LK (M ¿ % o K + 0)
O bservación. Si K — 0, entonces M ^ 0, por lo tanto
=
lK
trivialmente. Supongamos pues K ^ 0.
Sea M -<L. ao € K ^ 0. entonces MK < LK donde
'
9
H
v/e
í f ( / ) : L — >K tal que
W )(0 =
/(m )
ao
Si Z= y(rn) para algún m 6 M
en otro caso
Obsérvese que si Z= </(m) para m € M tal m es único por la inyectividad de g, de donde H ( f ) está bien definida.
• Si /
f , drn € Ai,tal que f{m ) ^ f ' ( m ) por lo tanto
g{m) E L y
H{f)(g(m)) = f ( m ) 7é /'(m ) = H{f')(g{m))
por lo tanto i í ( / )
H(f ') .
vii) Supongamos M < L, entonces ^ M ^
<7
y fe
k M,
donde
h
H( f ) : K — >L tal que V k 6 ÜT, i/(/)(fc) = s(/(*0).
por lo tanto i í ( / ) = g ° fviii) Como ^ 2 ~ P( K) y K < P ( K ) ,tenemos K -< K2, por lo
tanto
K < 2* = | K2 |.
E jem plos e n vi) y en vii):
vi) N0 < 2^° y (2Hc) Hu = 2h°'n° = 2K» < 22*0 = 2K°'2t<ü = (2Í'*°)2'<0
N0 < c pero (2c)Kü = 2c Hu = 2C= 2CC = (2C)C
vii) c < 2C y
cí<ü —. (2ku) H° = 2k°'n° == 2^() = c < 2C= 2c K° = (2C)^°
N0 < 2Kü y
Nq° = 2N° = 2Ko Ko = (2H°)^°.
O tro s ejem plos:
a) 2 < N0
2Ko < Nq°
N0 < c
Ng° < cN° = (2Hü)Wu = 2*° *° = 2h°
Nq° = 2^°
b) 2 < c
2C < cc
c < 2°
cc < (2°)° = 2CC = 2C
cc = 2C
E j e r c ic io
s
1) «1 < K2 y Al < A2 =>
1 < K2 2
2) Probar que Nq° = 2Kü
3) Probar que cc = 2C recuérdese que c abrevia 2N° = | M ¡ .
4) ¿Cuántas funciones continuas de 1 en I hay?
5)
Probar lo siguiente:
a) k < k ■ H o
b) « < A =►2K < 2a
c) A < 2a
d) (A1" )2 - A2''
e) A • No • 2 = A • No (usandoque No •No = No)
6)
Para cada cardinal k existeuncardinal Atal que k < A v
A2 = A
Sugerencia.: Sea A = 2k Ko y usar el ejercicio 5.
7) Probar que si A tiene un subconjunto numerable, entonces A
es infinito.
PENDIENTES CON AXIOMA DE ELECCION:
Las siguientes afirmaciones han quedado pendientes en este capítulo
y se probarán con Axioma de Elección.
1) La dominancia es relación total, es decir V A, B, A < B o B < A.
V7í, A cardinales, k < A o A < k.
C O R O L A R IO .
2) VA infinito. A x A
C
o r o l a r io
1.
A.
V«, cardinal infinito, «• k — k.
COROLARIO 2.
otro no cero,
V/í , A cardinales, al menos uno infinito y el
k + A = k ■A = máx{K. A}
3) VA A infinito => A tiene un subconjunto numerable.
AE
COROLARIO.
A infinito => A Dedekind-infinito.
AE
Recordar que: A D edekind-infinito^ A tiene un subconjunto
numerable.
4
E l a x io m a d e e le c c ió n
¿Dada una colección infinita de conjuntos no vacíos, se puede elegir
un elemento de cada uno de los conjuntos?
Desde luego supondremos que la colección infinita de conjuntos no
vacíos, es un conjunto (de conjuntos no vacíos). Veamos dos ejemplos:
1) Dado un conjunto infinito de conjuntos no vacíos donde cada
conjunto no vacío consta de un par de zapatos, el izquierdo y el derecho.
¿Se puede elegir un elemento de cada uno de los conjuntos? La respuesta
es clara, sí se puede porque incluso se puede dar una regla: de cada
conjunto (que es un par de zapatos); elíjase el zapato izquierdo.
2) Dado ahora un conjunto infinito de conjuntos no vacíos donde
cada conjunto consta de un par de calcetines, ¿Se puede elegir un
elemento de cada uno de los conjuntos? Aquí la respuesta es diferente;
si respondemos que sí, lo haremos sin decir una regla de cómo hacer la
elección. Estaremos respondiendo simplemente que existe una elección
sin definirla.
Esto último es lo que afirma el llamado Axioma de Elección.
El Axioma de Elección (AE) es una afirmación muy especial en
Teoría de Conjuntos, ya que afirma la existencia de algo para lo cual
no se da una definición.
DEFINICIÓN. Sea A un conjunto. Una función de elección para A
es una función / : A — » (J A tal que
Vx € A x
0 (f (x) G x)
Daremos primero las dos versiones más usuales y sencillas del ax­
ioma y luego daremos otras versiones equivalentes.
1. A x i o m a d e e l e c c i ó n (AE).
Para todo conjunto de conjuntos no vacíos existe una función de
elección; es decir:
VA[0
A =>• 3 / ( / es función A dom(f) — A A V.x G A ( f ( x ) £ x))]
2. A x i o m a d e e l e c c i ó n c o n j u n t i s t a (A E C ).
Para todo conjunto A de conjuntos no vacíos y disjuntos . hay un
conjunto que tiene uno y sólo un elemento de cada elemento de A, es
decir:
V4(0 G A A Vz, w G A(z
w =>• z fl w — 0)
unitario ))
3 B Vx G ^4(x n i? es
Probaremos la equivalencia entre 1 (A E ) y 2 (AE'C).
¿JS =►A E C
Sea A conjunto de conjuntos no vacíos y disjuntos 2 a 2. Sea / una
función de elección para .4, entonces B — f[A] es el conjunto buscado,
pues Vx G A, /(x ) G x fl f[A) y si y G x fl /[.4j entonces y — f ( z ) para
algún z G A y f ( z ) G 2 , por lo tanto y = f ( z ) G z f 1 x ^ 0 , por lo tanto
2 = x d e donde y = f ( z ) = /(x ). Así pues Vx G .4. x fl /[.4] = {/(x)}.q
A E C => A E
Sea A conjunto de conjuntos no vacíos. Los ajenizamos de la sigu­
iente manera: sea A' tal que A' — {w x {w} | w G ^4}: sea B dado por
A E C para A', entonces definimos / : A — >(J A tal que
Vio G A , f(w ) — z o < z , w > G (w x {u;}) fl B
f ( w ) es el elemento izquierdo del único par ordenado de (w x {tt’} )riB.c
4 .1
A LG U N O S EQUIVA LEN TES DEL A XIOM A
DE ELEC C IÓ N ( A E )
3. A x i o m a d e e l e c c i ó n m u l t i p l i c a t i v o ( AEM)
El Producto Cartesiano de un conjunto de conjuntos no vacíos es
no vacío.
4. A x i o m a d e e l e c c i ó n i n f i n i t o ( AEI )
Para todo conjunto infinito de conjuntos no vacíos, existe una
función de elección.
5. A x i o m a d e e l e c c i ó n p a r a e l c o n j u n t o
POTENCIA (AEP)
Para todo conjunto A , hay una función F tal que
dom{F) = P(A) - 0 A V B C A, F( B) € B
es decir, hay una función de elección para P(A) —{0}.
6. A x i o m a d e e l e c c i ó n r e l a c i o n a l (AER)
Para toda relación R, hay una función F C R con dom(F) =
dom(R).
DEFINICIÓN.
Si < A , r > es COPO, una cadena, en A es un
subconjunto C C A tal que < C, r ¡e> es COTO.
7. L e m a d e Z o r n (.Z O R N )
Para todo < A. r > COPO no vacío tal que toda cadena C C A
está, acotada, superiormente en A (i.e. 3b € A V x € C, x r b V x = b),
hay un elemento m € A r-maximal en < .4,r > (i.e. Vy e A, m / y ) .
8. L a d o m i n a n c i a e s t o t a l (D T )
Para cualesquiera A, B conjuntos A < B V B -< A.
9. T e o r e m a d e l b u e n o r d e n (T B O )
Para todo conjunto hay un buen orden, es
decir,
V.4 3 r C A x A tal que < A, r > COBO.
10. TEOREMA DE TYCHONOFF ('T T )
El producto topológico de espacios compactos es compacto.
EJERCICIO. Probar las equivalencias de 1 (AE) con 3 (AEM). 4
(AEI), 5 (AEP) y 6 (AER).
El esquema de equivalencias que consideramos, está representado en
la siguiente figura:
A E M AEC
3 2
9T B O
Z t ^
ít
A E M <s> 1AB & 7 Z O R N => VA infinito, A x A ~ A
í í
5 6
AEP AER
!
8DT
PROPOSICIÓN 1 (Sin AE). Para todo conjunto finito de conjuntos
no vacíos hay una función de elección.
P ru e b a : Sea A conjunto finito de conjuntos no-vacíos. Entonces .4
tiene n elementos, para algún n € u. Es decir ¡4¡= n. Procedemos por
inducción sobre n £ u.
n = 0) A = 0 y entonces 0 es una función de elección para 0.
H.I.) Suponemos que para todo conjunto con n conjuntos no vacíos
hay una función de elección y sea A tal que |A |= n + 1 y 0 ^ A. Fijemos
c € A y consideremos el conjunto A - {c} que tiene n elementos y por
lo tanto hay para él una función de elección, digamos g. Como c J- 0 sea
b G c, b cualquiera y entonces definimos f = g L) {< c.b >}. Debe ser
claro que / es una función de elección para A n
P r o p o s i c i ó n 2 (AE). Si / : A —►B es supraj'ectiva. (es decir,
f[A] — B ) entonces existe una función inyectiva de B en A.
P ru e b a : Sea h una función de elección para P(A) —{0}. Definimos
g : B —>A tal que Vf> 6 B.
g(b) = h({a G A \ f(a) = b}).
Es claro que V6 g B. {a G A \ f ( a ) = 6} 0 ya que / es suprayectiva,
por lo que g está bien definida, usando la función de elección h. Es fácil
ver que g es inyectiva pues si b ^ b' entonces
{q G A \ f(a) — b} H {a G A ¡ /(a ) = b'} = 0
ya que / es una función, de donde g(b)
9 ÍP').q
PROPOSICIÓN 3 (AE). La. unión numerable de conjuntos nu­
merables es numerable.
P ru e b a : Sea S = {Ai \ i G N} donde Vi G N, \Ai\— Ho; es decir,
Ai = {ütj | j 6 N} donde
G A¿ y es el j-ésimo elemento de A r en una
enumeración de A¿ y esto para cada i. Así pues,
U S = {an \ i . j 6 N}.
Definimos / : N x N —» 1J5 tal que / ( < i , j >) = a%j € 1J5. Es claro
que / es suprayectiva sobre (J S de donde, por la proposición anterior,
hay una función inyectiva de |J S en N x N y de aquí que (J S ^ N x N.
Ahora, usando que N x N ~ N tenemos. S < N.
Por otro lado, como para todo i, N ~ Ai C (J S, tenemos que N ^ U 5.
De estas dos dominancias, por el teorema de Cantor-Schróder-Bernstein,
tenemos que (J S ~
PROPOSICIÓN 4. Z O R N => DT.
P ru e b a : Sean A, B conjuntos cualesquiera.
Sea. E — { f | / es inyectiva A dom(f) C A A I m ( f ) C B }.
Entonces < E, C > es COPO no vacío pues 0 6 £ y toda cadena
C en < E, C > tiene una cota superior en E. que es la unión de la
cadena (obsérvese que la unión de una cadena de funciones invectivas
es una función inyectiva y dom(\JC) C A, I m (\ J C ) C S ) , así que por
Z O R N hay un elemento maximal digamos F G E.
Se afirma que dom(F) = A o Im(F') = B\ pues si dom(F) C
A y Im{F) C B, habría un a G A — dom(F) y un b G B — Irri(F) v
*
entonces
G = F L! {< a, b >}
es una función inyectiva. dorn(G) C A, Im{G) C B, por lo tanto
G G E y F C G 'o (F es C-maximal); así pues, dom{F) — A
o
Im (F ) = B.
- Si dom(F) — A , como F es inyectiva. A < B
F
- Si Im( F ) — B, como F es inyectiva, F -1 es inyectiva y
dom(F~1) = B , por lo tanto B ^ A
F -1
Así pues A ^ B ó B < A y l & relación dominancia es total, o
P r o p o s i c i ó n 5. Z O R N o AE.
P ru e b a : =>) Sea A conjunto de conjuntos no vacíos. Sea
E = { / I / es función A dom(f) C A A f ( x) € x , V x G dom(f ')}.
< E , C > es COPO, £ / 0 pues si x € A y y G x
0 entonces
{< x. y >} G E, si A = 0, 0 G E (0 lo cumple por vacuidad).
Sea C una. cadena en < E, C>; entonces (J C es cota-superior
de C y es una función ya que C es un conjunto compatible de funciones,
por ser una cadena.
Claramente dom(\JC) — (J dom(f) C A y \/x e dom(\JC),
fec
3 / G C tal que f ( x) G x y f ( x) = (1J C)(x) G x. Así, (J C G E.
Por Z O R N , sea g € E
un elemento C-maximal de E:
entonces dom(g) C A y si 3x G A — dom(g), sea y G x ^ 0 y
g' = g U {< x-, y >} e E y g C g’(contra la maximalidad de g). Así pues
dom(g) = A y Vx € A, g(x) € x, por lo que g es una función de elección
para A.a
<=) Sea A
0, < A , r > COPO tal que toda r-cadena en A tiene
una r-cota superior cn A.
P.D. A tiene un elemento maximal.
Sea R — {D C A j D es r-cadena en A}, < R, C > es COPO.
Obsérvese que:
1) R. ^ 0 pues si x € A ^ 0, {x} e R. Además 0 € i?.
2) Si D £ R y x es la r —cota superior de D , entonces x € A y
D C x r — {y € A | y r x } .
3) Si C es una cadena en R (meta-cadena o cadena de cadenas)
entonces U O € R obviamente y es cota superior con el orden C .
4)MD € R..\fB C D (B 6 R) (Todo subconjunto de una r —cadena
en A es una r —cadena en .4).
Veremos que en< R, C >, cuyas cadenas están acotadas superior­
mente por su unión, hay un elemento C-maximal, usando AE.
Si D es un C-maximal en R, entonces x la r-cota superior de D (que
existe por hipótesis)es un elemento r-maximal en
A. pues si
3 y e A(x r y con x
y) entonces D C D U {y} € R
o(contra la
C-ínaximalidad de D).
Así pues, si R tiene un C-maximal D , entonces x = r-cota superior
de D es un r-maximal en A. Veamos pues, usando A E que R tiene una
cadena C-maximal:
Sea / una función de elección para P(A) — {0} (AE).
Es decir, / : P(A) — {0} — > A = (JP (A ) y V£ ^ 0, B C .4,
f ( B ) 6 B.
Para cada D e R, sea D = {x 6 A \ D U {x} 6 R} C A
(D es el conjunto de elementos de A cuya adjunción a D proporciona
una r-cadena en R). Obsérvese que D C D y D - D C A .
O bservación. D — D = 0 «=> D es C-maximal en R.
Sea g : R — >R tal que WD G R
f Du{f(D-D)}
SiD-D^V
{ J
[ D
SiD-D
Obsérvese que: VD G R D C g(D), y g(D) — D es unitario o vacío.
Veamos que hay un D € R tal que g{D) — D\ esdecir, tal que
D — D = 0, es decir tal que D es C-maximal en R.
Sea J c R. J es una torre sii
i) 0 6 J
ii) D G J =$>g(D) G J
iii) C es C -cadena en
(J C € J
D e f in ic ió n .
(m eta-cadena)
O bser vaciones
a) Ser torre es ser un conjunto {0} —{g, (J }—inductivo.
cad
b) R es una torre; cumple i) por observación 1) o 4), ii) por definición
de D y de g, y iii) por la observación 3).
c) La intersección de cualquier colección no vacía de torres es torre
(obviamente).
d) Jo — D U I J es torre} es torre por c) y b) y es la mínima torre,
Jo C R.
(*)'Veamos que: J q es una cadena (metacadena), esto bastará pues
si J q es una cadena, por definición de torre tendremos que por iii):
D = U Jo G Jo pero entonces por ii) g{D) G Jo, por lo tanto
g(D) C ( J J 0 = D. Así g(D) C D y como siempre D C g(D), se tiene
g(D) = D y D = [J Jo es un C-maximal en R. y así terminamos, sólo
resta ver que(*) la torre mínima Jo C R es una cadena:
D e f i n i c i ó n . Sea C e Jq:C es comparable sii V D e J q,
D C. C ó C C D; es decir. C € Jo es comparable sii C es C-comparable
con todas las cadenas de Jq.
Obsérvese que: 0 es comparable de Jo y
Jo es
cadena
<=> Todas las cadenas de J q son comparables.
(m etac a d en a )
Sea CompJo = {C € Jo | C es comparable } C J 0.
Veamos que CompJo es una torre y entonces J q C CompJo, de
donde todas las cadenas de Jo son comparables y Jo es cadena.
i) Ya sabemos que 0 6 Jo y que 0 es comparable, por lo tanto
0 £ CompJo.
ii) Supongamos que D € CompJo; P-D- g(D) £ CompJo
Sea U = { B e Jo \ B C D o g{D) C B } C J 0 (Recordar que siempre
D C g(D))
U es torre pues:
a) 0 € U, ya que 0 € Jo y 0 Q D.
b) Sea B £ U, entonces B C D o B = D o g(D) C B.
/
• Si B C D , entonces como D £ CompJo y g{B) € J q.
-J-
g{B) C D o D C g(B). pero D C <?(i3) => B C .D C § (5) y <?(£?) —B
*
¿
¿
*
es unitario o vacío o
Así pues g{B) C D y g(B) e U.
• B — D ^ g(B) = g(D), por lo tanto g{D) C
. 5(JD) C B =»
<?(£) C 5 (5 ) y g(B) £ Í7
p(J5)y g(7?)£
BCg(B)
Así pues B e U =$■ g{B) £ ¡7.
c) Sea C una cadena en U, entonces C es una cadena en Jo y
(J C e Jo. Ahora, como VB € C , B £ U entonces: VB £ C, (B C D) o
-WB e C, (B C D)
• Si VB £ C, (B C D) entonces (JC C D y U C £ 17.
• Si -.VB 6 C , ( B C D ) , sea 5 0 £ C tal que g(D) C B 0 C [J C,
por lo tanto (J C £ U.
U.
Así pues , C cadena en U
(J C € U.
De a), b), c) tenemos que U es una torre, contenida en Jo ia mínima
torre, por lo tanto U = Jo- Así pues, H e J q <=$■ H e U y entonces:
H C D C g(D) o bien g(D) C H , por lo tanto g(D) € Comp J q.
iii)
Es fácil ver que la unión de una C-cadena (metacadena) de
conjuntos comparables de J q es comparable de J q: Sea C una cadena.
En particular, C es una cadena en J q y U C € Jo- Sea
H € Jo => VD e C (D C H) o ~VD e C { D C H)
• Si VJD € C (D C H) entonces 1J C C H
• Si ->VD € C (D C H), sea Do € C tal que
H C D0 C \ J C . Así
VH e J 0, \ J C C H o H C \ J C ,
por lo tanto, IJ C G Comp Jo.
Esto termina la prueba de que Comp J q es una torre y por lo tanto
Jo Comp J 0, de donde Jo es una cadena (*).
De aquí, como ya vimos antes, D = (J Jo es C-maximal en R y de
allí como se vió al principio x = r-cota sup D (que existe por hipótesis)
es un r-maximal en A.a
T B O =» AE.
P ru e b a :
Sea A un conjunto de conjuntos no-vacíos. Considero
[JA. Por T B O , sea r C [J.4 x 1J.4 un buen orden para 1J.4, es decir
< U A, r > COBO.
Definimos una función de elección para A , f : A — * |J A tal que
P r o p o s ic ió n 6.
V x € A, f ( x) — el m ín im o de x C (J A (x ^
0).c
7. Z O R N => TBO.
P ru e b a : Sea A un conjunto, mostraremos que existe rC A x A tal
que < A, r >es COBO
Sea A = {< B , r >\ B C A, r C B x B, < B , r > COBO}.
A C P(A) x P(P(P(B)))
P r o p o s ic ió n
A 0 pues < 0,0 > € A.
Definimos 1a. relación < sobre A como:
< B , r > < < B ' , r' > sii
B C B \ r C r' y Vx G £? Vy G B' —B
< x , y > 6 r'
es decir, todo elemento de B es r'-anterior a todo elemento de B' —B.
i) < es reflexiva: Sea < B , r > G A, como B C B, r C r y B —B = 0,
se cumple que < B . r > < < B , r > .
ii) < es antisirnétrica: Si < B , r > < < B ' , r ’ > y
< B \ r' > < < B . r > => B = B ' , r = r'. Por lo tanto
Def <
< B. r > = < B'. r' > .
iii) < es transitiva: Si < B , r > < < B ’.r1 > y
< B'. r' > < < B " , r" > entonces B C B' y B ' Q B " , por lo
tanto B C S "; r C r' y r ; C r" por lo tanto r C r";
Vx G B Vy G B' — B < x . y > E r1y Vx € B' Vy € B" — B'
< x , y > G r". Sea x E B, por lo tanto x E B ' . Sea
y E B"
— B ^ y E B ' o y ^ B ' por lotanto y £ B' —B o
y E B"
- B por lo tanto < x. y > E r' Cr" o < x, y > G
lo tanto < x, y > E r ". Entonces < B , r > < < B " , r" > .
Así pues. < A, < > es COPO (en sentido reflexivo).
Zornifiquemos a < A, < >:
Sea F = {< Bi,ri >}iei una cadena en A.
Sean B = I J B t, r — 1Jr¿. Veamos que < B , r > £ A.
¿e/
iei
Como Vz G I , Bi C A, es claro que B = (J B{ C A
ie l
Como Vz G I . C
x B¡, es cZaro que
r = U ri ^ U ( 5 í x 5 í ) C U Bi x [j Bi C B x B
iei
iel
iei
iel
i) r es reflexiva: Sea x £ B => x G
p.a i £ I => < x , x > £ ri C r.
ii) r es antisimétrica: Sean < x , y >, < y , x > E r => < x . y > £ ri
y < y . x > £ r3 para algunas i . j E I, pero F es cadena en A por
lo tanto r» C r¿ ó rj C
digamos que
C rj
< x, y > 6 rj
y < y, x > £ rj pero < Bj. rj >es COTO por lo
tanto x = y.
r". por
iii) r es transitiva: Sean < x, y >, < y, z > £ r => < x , y > fe r¿
y < y, z > £ Tj p.a. i , j £ J
=>■ S.P.G. r.L C r-j, por lo tanto
F Cadena
< x , y > £ rj y < y . z > E Tj => < x , z > E Tj C. r por lo tanto
< x , z > £ r.
iv) Todo subconjunto no vacío de B tiene mínimo.
Sea D C B , D j ¿ 0 = > í ) n B ¡ ^ 0 para algún i £ T y
D H B i C B i , sea pues b el r¿-mínimo de D n Bi en el
COBO < Bi,ri >; entonces,
Vy E D n B i , < b,y >£ r<.
Afirmamos que 6 es el r-mínimo de D en < B . r >. pues sea
x € D, entonces x 6 5 , ó x ^ B¿.
i) x € J5¿ =>• < b, x > € r¿ C r.
ii) x Bi => x £ B j para algún j € I tal que B j
<t B 1
(x € B j , x £ Bi) por lo tanto
<c B j , Tj ^ <C Bi, ri >
=7^ <c Bj, r¿ > ^
B j . v^ i> .
r Cadena
Ahora bien, tenemos que
b£ Bt y
x £ B j — Bi y
< B í ,Tí > < < B j , r j >
=> < 6.x > fe.r, C r
£>e/ <
'
J
por lo tanto 6 es el r-mínimo de D, en < B , r >.
Así concluimos que < B , r > £ A. Veamos que < B . r > es cota
superior de T :
Sea < Bi. ti > £ F. Claramente 5¡ C (J Bt = 5 y rt C (J r t = r.
Sean x £
Bi, y £ B — Bi. Ciertamente y £ B j , para algún j € I tal que
Bj
Bi (pues y £ Bj y y £ Bi) así pues, < Bj. rj > ^
> por
lo tanto < Bi,rt > < < Bj, t j > y además tenemos x fe Bi y
y £ B; —
Bi => < x, y >£ r,- C r por lo tanto <
£ ,, r¿> <3< B . r >
J
Def < -
—
Así pues, < B , r > es cota superior de la cadena F. en A.
Así que cualquier cadena en A tiene una cota superior en A
=> A
ZORN
tiene un elemento maxirnal < B q. tq > . Veamos que B q — A
C) Trivial ,< B q, ro > € A ==> B q C A.
2 ) Supongamos que 3xo G (A — B q) y podemos definir
r* = r 0 U {< y . x 0 >| y G S 0}
donde claramente
S 0 C S 0 U {x0}, 7-0 C r* y
Vy G S 0,Vx G S 0 U {x0} - B q = {x0}, < y , x >G r* y
< So U {xo}, r* > G A y
< So,ro > < < So U {xo}.r* > o
Contradiciendo la maximalidad de < B q, tq >. Así pues So = A y
< A, ro > COBO y hay un buen orden para A.a
E je r c ic io s
1) Sea A infinito. Sin usar AE. dar un subconjunto numerable de
P{P{A)).
Observación. Para probar que A infinito
A Dedekindinfinito, se necesita A E , sin embargo, se puede probar sin A E
que: A infinito
P(P(A )) Dedekind-infinito, dando un sub­
conjunto numerable de P(P (A )), sin usar AE.
2) Probar que la unión numerable de conjuntos numerables es
numerable es decir, si Vx G A ( | x \ = Kq) y \ A \ — No entonces
| UA |= No- Aclarar en donde se usó AE.
TEOREMA 20 (AE). P ara todo conjunto A, A infinito ^ A tiene
un subconjunto numerable
P ru e b a :
<;=) E j e r c i c i o
=») {AE) Sea A infinito. Definiremos una función g inyectiva,
g : u> — >A, de donde u ~ g[wj C A y p[tj] es el subconjunto numerable
de A .
La idea es la siguiente: Sea a G A ^ 0 pues es infinito y
g : lo — >A tal que
g( 0) = a
g(s(n)) — un elemento de A — { < ? ( 0 ) ,g{n)}
Sea F una función de elección para P{A) (tal F existe por AE).
así VB C A, F( B) € B.
Sea J : {x C. A \ f i n ( x )} — * {x C A | fi n ( x )} tal que
J(x) = x U { F( A — x)}.
Antes de la g definimos h : u — > {x C A \ fin {x )} por recursión
para lo:
h{0) - 0
h(s(n)) — J{h(n)) = h(n) U {F(.4 —/i(n.))}.
Obsérvese que: A — h(n) ^ 0 pues h(n) es finito para toda n G u
(por inducción y Propiedad 2 de finitos, sección 3.2) ( A - h(n) — 0
=> A C h(n) y fin(h(n)), por lo tanto fi n ( A ) ^)
Obsérvese también que: m < n => h(m) C h(n) (*)
Ahora sí definimos g : u — » A como :
g(n) = F (A - h{n)) = F(A - { g ( 0 ) , g ( n - 1)}) , Vn G w.
Observación. g(n) es el elemento agregado a. h{n) para formar
h ( n + 1), por lo tanto g(n) G h(n+l), además h(n) C h ( n + 1). Obsérvese
que g(0) = F(A) donde F(A) puede ser o no el a elegido en la idea de
la prueba pero es un elemento de A.
Veamos que g es inyectiva:
- Sean m ^ n. Podemos suponer sin pérdida de generalidad que
m < n y s(m) < n, entonces g(m)
G
h(s(m)) Ch(n), por
e
( D e f g,h) *( )
lo tanto g(m) G h(n), pero g(n) h(n) pues
g(n) — F (A — h(n)) G A — h(n) por ser F función de elección.
Por lo tanto gim) g(n) y así u>~ g[u] C A.a
9
COROLARIO. A Dedekind-infinito -é» A infinito.
Prueba: A Dedekind-infinito 4^- A tiene un subconjunto numerable
A infinito.
4 .2
M Á S A R IT M É T IC A CA RD IN A L
21. Si k es cardinal infinito entonces « •« = «. Es decir,
si A es conjunto infinito entonces A x i ~ A
P ru e b a : Sea A tal que \ A \ — k P.D. A x A ~ A
Sea H = { f \ B x B ~ B , B C A y \ B \ > i < o o / = 0},
T E O R E M A
H ± 0 pues 0 € H
<
H ,C > es COPO. Aplicaremos Lema de Zorn a < H,Q> para
obtener una / maximal en H. es decir Zornificaremos a
< H,Q> .
O bservación. V/ e H , d o m ( f ) = I m ( f ) x I m ( f ) .
Sea C una cadena en H, entonces (J C es cota superior de C.
- Si C = 0, U C = U 0 = 0 € H.
- s í c = {0}, u c —U(®} = 0 € ií.
- Si C 7^ 0 y C
{0}, (JC es una unión de funciones compatibles
por ser C COTO e inyectivas, por lo tanto |J C es inyección.
Sea B — Im([J C) — |J Irn(f) C A. B es infinito pues
fec
3/o6C#{0},CCF,
de donde /0 0 y | Im(fo) \ > K0.
- Veamos que dom([J C) = B x B
C) dom({JC) = U dom(f) = |J \Im (f ) x I m ( f ) \
f eC
f eC
£
U
I m( f )
X
U
fec
I m{ f ) = B x B
fec
3 ) Sea < 6i , b2 > € B x B => bi 6 Im { f\ ) .b 2 € I m { f 2) con
/i? f l € C, y como C es COTO podemos suponer s.p.g. / i C / j , por lo
tanto
< b i ,b 2 ><E I m ( f 2) x I m ( f 2) = dom{f2) C (J dom{f) = dom(U C).
fec
Así pues dom (lJC ) = B x B y i>n((JC) = fí, por lo tanto
B xfi-B yN C É ÍÍ.
UC
Por lo tanto en cualquier caso, (J C £ H es cota superior de C.
Por ZORN, sea /o maximal en H.
- /o 7^ 0 pues como A es infinito, tiene un subconjunto numerable
S i C A (AE) y como No ■No — No, hay una biyección gtal que
S i x B\ ~ S i de donde g 6 H y 0 C <?, por lo tanto /o
0. pues /o es
9
*
maximal.
- Así , hay un So infinito, So C A tal que So x B q ~ S 0
/o
Sea A = | So |, A es infinito y A • A = A , por lo tanto
A =i S 0 |
<
\A\=k
(Bo c A)
es posible B q C. A pero veremos que X — k , es decir que Sq ~ A.
r
Para ver que | S o | = A = « = | A | , veamos que | A — Sq | < A, pues
con eso tendríamos :
k = \ A |=| So U (A -
S 0) |= | S 0 | + | A —So |
< A + A = 2-A <
A•A= A< k
(2 < A)
de donde A = k y como A • A = A, tendríamos k ■k — k .
Veamos pues que | A — So | < A.(Usaremos reducción al absurdo y
DT.)
Supongamos que A < | A — So |, por lo tanto So < A - So y
h
D = h[Bo] C A - S 0 con | D | = | So j = A, es decir, A - B 0 tiene un
subconjunto D tal que | D | = A.
Daremos una extensión propia de /o, contradiciendo así su maximalidad.
Obsérvese que So íi D = 0 pues D C (A —So).
Sabemos que So x B q /■NyBo (1)
(S 0US>)x(S 0US>) = (B q x B q) u [(Bo x D ) U ( D x B q) u ( D x D)}
(2)
Ahora bien:
| (B q x D) U (D x B q) U (D x D) \ > A y
|
(B q x J 5 ) D
( D x B o ) u ( í ) x J } ) |
=
A-A + A- A + A- A = A-bA + A = 3- A
< A • A —A
(3<A)
por lo tanto es iguala A y 3 <7 biyección tal que:
(S 0 x D) U (D x B0) u (D x I?) ~ £
(3)
Así. por (1), (2), (3) tenemos que:
(B q U D) x (B0 U D)
(B 0 U £>) C A
~
(Como BQñD — d. f o y 3 son compatibles) por lo tanto foUg € ií,
entonces /o C /o U 5 ^ (Contra la maximalidad de /o).
Así pues \
\ A — B q \, por lo tanto | A — B q \ < A pues la
dominancia es total (AE).o
COROLARIO 1. Sean «. A cardinales; uno infinito y el otro no cero.
Entonces,
k + A = k ■A =
A
P ru e b a : supongamos s.p.g. que
0, entonces
K<K + X
<
K-t-K
(A < k)
<
Prop.V Prod.
K-K
ináx{/c, A}
A < «, por lo tanto k infinito y
—
« in fin ito
K < K •A <
A ;¿0
K •K — K
(A < k )
por lo tanto k + A = k ■A = máx{«, A}. □
COROLARIO 2.
\ B - A \ = \B\.
Si A C B, B infinito y I A | < I B | entonces
P ru e b a :
| B |=| ( B - A ) U A |=| B - A | + | A \ =* {| B - A |, | A\ }
(*)O bservación. Si | A ¡ infinito, ya. Si no, | A | finito =*| B - A \
infinito (pues B — A U (B —A)) Entonces como máx{ | B — A \. \ A ¡ }
= ¡ B |, y como | A \ < \ B | se tiene | B —A \ = | B \ .□
E j e m p l o s Q c r y | Q | = | u \ = K0 < 2K° = | R | = c, por lo
tanto | M —Q | = | R | . El cardinal de los irracionales es c.
j {x € M | x es algebraico} | = | w | = N o < c = | ] R | por lo tanto
| {x € R | x es trascendente} ¡ = | R | . El cardinal de los trascendentes
es c.
O bservación. Sabemos que los cardinales forman un orden total
por AE.
SUPOSICIÓN. Supondremos (se puede probar) que los cardinales
además forman un buen orden.
Con esa suposición, damos la siguiente
DEFINICIÓN. Si K es cardinal infinito, /Í+ es el menor de los car­
dinales mayores que k . Obsérvese que V «3 A (k < A).
Así k + = mín{A | A > «} 0. Por lo tanto, k < A => k + < A.
En particular, como A < 2A (Teo. Cantor) entonces A+ < 2a.
C o r o l a r i o 3. Si A > N0 y 2 < k < A entonces 2A = kx = \ x =
(A + )\
P ru e b a : 2 < k < A < A + < 2a , por lo tanto
2a < kx < AA < (A+)A < (2a)a = 2a a
“
=
2a
(TEO)
Así pues, 2X — kx — Xx = (A+ )A, para todo A infinito y
2 < k < A.
e je m p l o s
= 2Ko = 8k° = n H°, Vn G w.
H*u = 2^0
cc = 2C =
= Kf =
C o r o l a r i o 4. Si A es infinito, hay una partición
A = Ai U A 2 donde | A\ |=| A 2 |= | A |.
P r u e b a : Ejercicio.
COROLARIO 5. Si A es un conjunto infinito, hay una partición de
A en | A | subconjuntos de A ajenos dos a dos, y cada uno de cardinal
| A |.
P r u e b a : Sea k —| A | , como k ■k — k , 3 / (A x A ~
Obsérvese que A x A = U ( ^ x {^})
z EA
Vb G A , sea
= f [A x {6}] = { /(< y, b >) | y € A}, y sea
P — {Ai¡ \ b £ A} entonces
V6 € A. Ak C A y
i) Ví> G A, A},
0 (Si a G A, / ( < a, 6 >) G -4¡>)
ii) Vb, b' € A, si 6
Ab fl 4b' = 0 , x € AbP\ Ay =>
x = / ( < a, 6 >) para alguna a, x = / ( < a', b' >) para alguna a', pero
< a, b >
< a', 6' >pues b
b' o contra 1a. inyectividad de /.
iii)
U 4 = U /[-4 x {6}] - U { /(< V,b >) | y G A} = A
í>e.4
6eA
/*»?•
Por lo tanto P es una partición de A. además
iv) como b
b' =>■Af,
Ay tenemos que | P \ — \ A \
v) V¿> G A, | A b | = | A |, pues A b ~ A donde g( f ( < y, b >)) =
y
9
/ ( < V, b>) + f ( < y ' , b > ) => < y , b > ¿ < y', b >, por lo
/
fu n c ió n
tanto g( f ( < y,b >)) = y ^ y' = g( f ( < y 6 >))
-
Si y € A entonces < y, b > e A x A y / ( < y.b >) e
y
<?(/(< 2/>&>)) = y-n
Todo proceso de elección para el cual se cumplan
dos hechos: que el número de elecciones a realizar es infinito y que no
se pueda definir de modo general cómo se efectúan esa infinidad de elec­
ciones. carece de justificación teórica, aunque se crea posible. El Axioma
de Elección es necesario.
M E D IT A C IÓ N .
E j e r c ic io s
1) Pruebe el Corolario 4.
2) Dar explícitamente una partición de N en No subconjuntos
ajenos de N, cada uno de cardinal N0.
3) Dar ejemplos fj,, A. « cardinales infinitos tales que:
a) ¡j, < X y km <
b) fx < A y
c) ¿i < A y /j,k < XK
d) n < X y ¡jlk = XK
4) Si k < | A | y A es infinito. ¿Cuántos subconjuntos de A,
de cardinal k , hay?
Sugerencia Definimos [A]fc = {B C A 11 B \ = «}. la pregunta
es | [A]fc | =? Si k = | K | y / : K —* A entonces | / |= k y
f C K x A.
5) Probar la equivalencia de las siguientes dos afirmaciones: ¿Se
necesita AE?
a) VS C M[S - < N o 5 ~ N o 5 ~ M ] i.e. S es finito o S es
numerable o 5 es del cardinal de R
b) fiY [N < Y y Y -<R].
6) Sea A un conjunto infinito. Probar la equivalencia de las
siguientes dos afirmaciones:
a) VS C P(A)[S ~< A o S ~ A o S ~ P(A)j.
b) £ Y [ A -< Y y Y -< P(A)}.
¿Se necesita AE?
7) Para todo cardinal infinito k, probar la equivalencia de las
siguientes dos afirmaciones:
a) VA < 2* [ A < k o A = 2k].
b) /3 A [ / t < A y A < 2k}.
Un exam en
s o b r e e l a x io m a d e e l e c c ió n
El Axioma de Elección es una afirmación muy especial porque asegu­
ra la existencia de algo (un conjunto de elección o una función de elección
o un buen orden) para lo cual no se da una definición. La disyuntiva
sobre si se necesita o no el Axioma de Elección debe ser clara: si se
puede definir de algún modo la elección, ésta existe y el axioma no es
necesario. Si no se puede definir de ningún modo la elección, el axioma
es necesario para justificar que la elección existe. Pruébese el lector a
sí mismo: ¿cuándo el Axioma de Elección es realmente necesario? Las
respuestas serán “si” o “no” en cada caso.
Si usted está trabajando en la teoría de conjuntos Zermelo-Fraenkel
sin el Axioma de Elección, ¿puede u ste d elegir u n elem en to de . . .
1. un conjunto finito?
2. un conjunto infinito?
3. cada miembro de un conjunto infinito de conjuntos unitarios?
4. cada miembro de un conjunto infinito de pares de zapatos?
5. cada miembro de un conjunto infinito de pares de calcetines?
6. cada miembro de un conjunto finito de conjuntos si cada uno de los
miembros es infinito?
7. cada miembro de un conjunto infinito de conjuntos si cada uno de los
miembros es finito?
8. cada miembro de un conjunto infinito de conjuntos de racionales?
9. cada miembro de un conjunto numerable de conjuntos si cada uno de
los miembros es numerable?
10. cada miembro de un conjunto infinito de conjuntos finitos de reales?
1 1 . cada miembro de un conjunto infinito de conjuntos si cada uno de
los miembros es infinito?
12 . cada miembro de un conjunto numerable de conjuntos si cada uno
de los miembros es infinito?
13. cada miembro de un conjunto infinito de conjunto de reales?
14. cada miembro de un conjunto infinito de conjuntos de dos elementos
cuyos miembros son conjuntos de reales?
4 .3
U n a a p l ic a c ió n d e l l e m a d e Zo r n
Todo Espacio Vectorial V tiene una base.
Sea p la familia de conjuntos de vectores de V linealmente indepen­
dientes, es decir
P=
C V | x es conjunto de vectores linealmente independientes}
Sea C una cadena en < 3, C> COPO. IJ C es una cota superior y
claramente es un conjunto de vectores linealmente independientes pues
a i, 02, •••• otn € IJ C => 3x £ C (a i.a 2, .... ocn € x), por ser C cadena.
Así pues (J C € 8 .
Por ZORN, hay un maximal 3q 6 ¡3 y entonces Po es un conjunto
linealmente independiente que genera a V , pues:
Si a £ Po, hay &i,..., bn ± 0, a y a i,« 2, •••, a n £ Po tales que cti6i +
0:262 + ••• + Oínbn + aa — 0, por lo tanto a ^ 0 (a = 0 =*> aií>i + a 2^2 +
... + anbn — 0 o). Así pues, como a i=- 0 tenemos:
+ ••• +
= a, por lo tanto a
a i, 02, ...,a n £ poAsí pues, Po es una base para V.a
es generado por
Unicamente a manera de ejemplificar la gran importancia del
Axioma de Elección en diversas áreas de la matemática, mencionaremos
varios teoremas importantes de diversas ramas matemáticas en cuya
prueba es necesario usar el Axioma de Elección en alguna de sus
formas equivalentes:
1) Cualquier unión numerable de conjuntos numerables, es nu­
merable.
2) Todo conjunto infinito tiene un subconjunto numerable.
3) Para todo cardinal infinito re, re ■re — re; en Aritmética Cardinal
Transfinita.
4) Todo espacio vectorial tiene una base; en Algebra Lineal.
5) Teorema de Tychonoff, el producto topológico de espacios com­
pactos es compacto; en Topología.
6) Teorema de Compacidad; de Lógica Matemática.
7) Teorema de Lowenheim-Skolem-Tarski; de Lógica Matemática.
8) El Teorema del Ideal Maximal; en Algebra.
9) El Teorema del Ultrafiltro; en Algebras de Boole.
10) El Teorema de Hahn-Banach. en Análisis Funcional.
Algunos de los teoremas anteriores son en realidad, equivalentes al
Axioma de Elección: es sorprendente la cantidad de versiones
equivalentes muy distintas, que existen del AE. Algunos otros, son “más
débiles", es decir el A E los implica, pero ellos no implican al AE; estos
se conocen como Formas Débiles del Axioma de Elección.
B ib l io g r a f ía
[Bolzano B.] Las Paradojas del Infinito, Mathema, 1985.
[Cantor Georg] Contributions to the Founding of the Theory of Transfinite Numbers, Dover, 1955.
[Crossley J. et al] W hat is Mathematical Logic?, Dufdod University,
1972.
[Devlin K.] The Joy of Sets: fundamentáis of contemporary set
theory, Springer Verlag, 1993.
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[Hernández F.] Teoría de Conjuntos, Aportaciones Matemáticas
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[Hrbacek K. Jech T.] Introduction to Set Theory, Marcel Dekker Inc.,
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[Kamke E.] Theory of Sets, Dover, 1950.
[Malitz J.] Introduction to Mathematical Logic Part I: an introduc­
tion to Set Theory, Springer Verlag, 1984.
Teoría de conjuntos para estudiantes de ciencias,
editado por la Facultad de Ciencias de la
Universidad Nacional Autónoma de México,
se terminó de imprimir el 30 de julio de 2011
. en ios talleres de Tipos Futura, S. A. de C. V.
Francisco González Bocanegra No. 47-B, Colonia Peralvillo,
Delegación Cuauhtémoc. C. P. 06220, México, D. F.
El tiraje fue de 500 ejemplares.
Está impreso en papel cultural de 90 grs.
En su composición se utilizó tipografía Computer modern
de 12:14 y 16:18 puntos de pica.
Tipo de impresión: offset.
El cuidado de la edición estuvo a cargo de
Mercedes Perelló Valls