15/02/2024
1. Richiami di probabilità
Giorgio Alleva
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Tre concetti primitivi: la probabilità, la prova, l'evento, uniti dalla seguente affermazione:
"L'evento si presenta come risultato della prova con una certa probabilità».
La PROVA è un concetto che si evolve insieme a quello di probabilità, caratterizzata da incertezza del risultato, ma
questi possono essere equiprobabili o meno e la prova può essere ripetibile o non ripetibile.
LA PROBABILITA'
DEF. CLASSICA (Laplace e altri)
La probabilità di un evento è data dal rapporto tra il numero di casi favorevoli a quell'evento e il numero di casi
possibili, posti che questi siano tutti egualmente possibili
Postulato empirico del caso
In un gran numero di prove la frequenza relativa con cui si presenta un certo evento tende ad approssimare la
probabilità dell'evento stesso.
DEF. FREQUENTISTA
La probabilità è il limite della frequenza relativa con cui si presenta un certo evento quando il numero delle prove
tende all'infinito
DEF. SOGGETTIVISTA
La probabilità è il grado di realizzabilità che un individuo coerente assegna ad un certo evento; cioè il grado di
fiducia che il soggetto, posto di fronte alla prova, ha nel verificarsi dell'evento.
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L'EVENTO
Può considerarsi evento sia un insieme di risultati, sia un singolo risultato di una prova (anche costituita da sottoprove, come più estrazioni con o senza ripetizione)
Si definisce spazio campionario l'insieme dei punti rappresentativi dei possibili risultati di una prova (discreto o
continuo).
Si definisce quindi evento un sottoinsieme dello spazio campionario.
Primo Postulato
Gli eventi formano un'algebra di Boole completa, ovvero sulla quale sono definite tre operazioni:
 negazione
 somma o unione
 prodotto o intersezione
Secondo Postulato
La probabilità P(A) è una funzione di insieme tale che P(A)  0 e che sia definita per ogni evento.
Terzo Postulato
La probabilità dell'evento certo è uguale a uno P(I) = 1
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Tipi di Eventi

Evento certo: si presenta sempre come risultato della prova (I)

Evento impossibile: non si presenta mai come risultato della prova ()

Evento condizionato BA: è l'evento che si verifica tutte le volte che, essendosi verificato nella prova l'evento
A, si verifica l'evento B.

Evento contrari: è la negazione di un evento

Eventi incompatibili: la loro intersezione è l’insieme vuoto ()

Eventi necessari: la loro unione è l’evento certo (I)
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Quarto Postulato (principio delle probabilità totali per eventi incompatibili)
Dati due eventi A e B tali che AB = , la probabilità dell'unione dei due eventi è
P(AB) = P(A) + P(B)
Se i due eventi non sono incompatibili la probabilità dell'unione dei due eventi è
P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB)
Quinto Postulato (principio delle probabilità composte)
La probabilità dell'intersezione di due eventi è pari al prodotto tra la probabilità di un evento e la probabilità
dell'altro evento condizionato al primo.
P(AB) = P(A) P(B|A)
oppure
P(AB) = P(B) P(A|B)
(da qui la definizione di probabilità condizionata).
Indipendenza tra due eventi
B è indipendente da A se P(B|A) = P(B|Ā) = P(B)
In tal caso P(AB) = P(A) P(B)
(se A è indipendente da B, anche B è indipendente da A)
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Teorema di Bayes (1764)
Si abbiano due cause A e Ā che possano entrambe dar luogo allo stesso evento E come
risultato di una certa prova.
Una volta verificatosi l'evento E, è possibile risalire alla probabilità che abbia agito la
causa A o la causa Ā nel determinarlo?
P(A|E) =
P(E  A)
P(A) P(E | A)
P(A) P(E | A)
=
P(E) =
P(E)
P(A)P(E | A) + P( A )P(E | A )
P( A ) P(E | A )
P(Ā|E)= P(A)P(E | A) + P( A )P(E | A )
Essendo:
 P(A|E) e P(Ā|E) le c.d. probabilità a posteriori, e dunque le probabilità che essendosi
verificato E abbia agito la causa A (o la causa Ā);
 P(A) e P(Ā) le probabilità a priori delle cause;
 P(E|A) e P(E|Ā) le probabilità probative, ossia le probabilità dell'evento avendo agito la
causa A (o Ā). Anche detta verosimiglianza.
Ar è la generica r-esima causa
P(Ar|E) =
P(A r ) P(E | A r )
r P(A r ) P(E | A r )
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15/02/2024
La disuguaglianza di Tchebycheff (1821-1894)
Sia X una v.c. con media m e varianza s2. Allora per ogni reale k>0, si ha:
1
P(X- m  ks)  k 2
1
o anche: P(m-ks  X  m+ks) ≥ 1 - k 2
Al crescere di k tale probabilità diminuisce.
Un'altra scrittura: posto ks = e:
s2
P(X- m  e)  e 2
o anche:
s2
P(m-e  X  m+e) ≥ 1 - e 2
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Dimostrazione
Sia X una v.c. con media m e varianza s2. Fissato un reale k>0, si considerino i valori di X esterni
all'intervallo m-ks , m+ks:
s
s
X
m
ms
ms
Sia A l'insieme di tali valori di X esterni all'intervallo, cioè :
A = (x: x-m  ks)
e
A = (x: x-m < ks)
s2 = E(X-m)2 = E(X-m)2A p(A) + E(X-m)2 A  p( A )  E(X-m)2A p(A)
poiché in A vale (x-m)  ks e dunque (x-m)2  k2s2
E(X-m)2A p(A)  k2s2 p(A)
allora s2  E(X-m)2A p(A)  k2 s2 p(A) da cui:
1
P(A) = P(X-m  ks)  k 2
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Altre disuguaglianze
Il lemma di Markov
Sia X una v.c. con media m. Allora per ogni reale k>0, si ha:
1
P(X  km )  k
La disuguaglianza di David - Barton
Sia X una v.c. con media m , varianza s2 e momento m4 finito. Allora per ogni reale k>0, si ha:
P(X-m  ks ) 
m 4 -1
( k 2  1) 2  m 4  1
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