מרצה :לאוניד טרטקובסקי
תרמודינמיקה 1
תרמודינמיקה 1־ 034035־ הרצאות
גל ברקאי
8ביוני 2017
1
מרצה :לאוניד טרטקובסקי
תרמודינמיקה 1
תוכן עניינים
1
2
3
4
5
6
הקדמה ,מושגי יסוד והגדרות שיווי משקל . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
הקדמה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1
מושגי יסוד בתרמודינמיקה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2
הגדרות שיווי משקל . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3
עבודה ,חוק ראשון ,חוק האפס ,אנרגיה ,חום וטמפרטורה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
מדידת עבודה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1
עבודת שינוי גבולות ־ עבודה של מערכת דחיסה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2
עבודה בתהליך קוואזיסטטי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3
החוק הראשון של תרמודינאמיקה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4
אנרגיה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5
החוק הראשון עבור תהליך לא אדיאבטי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6
טמפרטורה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7
עקרון המצב ,מערכת פשוטה ,חומר טהור וטבלאות קיטור . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
הקדמה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1
עקרון המצב ־ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . State Postulate
3.2
מערכת דחיסה פשוטה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3
אנרגיה פנימית . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4
תהליך בנפח קבוע ־ תהליך איזוחורי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5
חום סגולי בנפח קבוע . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5.1
תהליך בלחץ קבוע ־ תהליך איזוברי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6
אנטלפיה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.1
חום סגולי בלחץ קבוע . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6.2
חומר טהור . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7
טבלאות קיטור . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8
כללי נוזל דחוס . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.9
משוואת המצב של גז אידאלי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
הקדמה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1
אנרגיה פנימית ואנתלפיה של גז אידאלי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2
הקשר בין cpל . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cv
4.3
תהליכים קוואזיסטטיים עבור גזים אידאלים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4
תהליך קוואזיסטטי פוליטרופי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5
נפח בקרה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
הקדמה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1
מעבר ממערכת סגורה לנפח בקרה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2
משפט שימור מסה עבור נפח בקרה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3
החוק הראשון עבור נפח בקרה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4
החוק הראשון כשינוי תכונה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.1
עבודת נפח בקרה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.2
ניסוח החוק הראשון עבור נפח בקרה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.3
אנטלפיית סטגנציה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5
תהליך תמידי ־ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Steady State Process
5.6
נפח בקרה עם שני פתחים בתהליך תמידי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.1
טורבינה ומדחס . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.2
מצערת ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (Throttle
5.6.3
נחיר )מאט( ־ ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nozzle (Diuser
5.6.4
דוד )מחליף חום( ־ ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Boiler (Heat Exchanger
5.6.5
נפח בקרה בתהליך לא תמידי ,מכונות חום והחוק השני של התרמודינמיקה )הרצאה . . . . . . . . . . . . . . . (6
נפח בקרה בתהליך לא תמידי ־ מיכל עם פתח אחד . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1
מילוי מיכל . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.1
ריקון מיכל . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.2
מכונות חום . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2
מבוא והגדרות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1
מאגר חום ־ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Heat Reservoir
6.2.2
מדי יעילות של מכונות חום . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.3
החוק השני של התרמודינמיקה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3
2
5
5
5
6
7
7
7
8
9
9
10
10
10
10
10
11
11
12
12
13
13
14
14
16
16
16
16
17
18
18
20
22
22
22
23
23
23
24
24
25
25
25
26
26
27
28
28
28
28
29
30
30
31
32
32
תרמודינמיקה 1
7
8
9
10
11
12
מרצה :לאוניד טרטקובסקי
הפיכות ,מנוע קרנו ,טמפרטורה תרמודינאמית )הרצאה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (7
הקדמה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1
דוגמאות להפיכות ואי הפיכות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2
דוגמא . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
7.2.1
דוגמא . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
7.2.2
דוגמאות לתהליכים הפיכים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.3
גורמי אי הפיכות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.4
תהליך הפיך עקרונית ותהליך הפיך פנימית . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3
מחזור ומכונת קרנו . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4
עקרונות קרנו . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5
הוכחת העקרון הראשון . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5.1
הוכחת העקרון השני . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5.2
טמפרטורה תרמודינאמית . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.6
אנטרופיה )הרצאה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (8
אי שוויון קלאוזיוס . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1
הגדרת האנטרופיה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2
שינוי אנטרופיה עבור תהליך כלשהוא . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3
עקרון גדילת האנטרופיה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4
חישוב שינוי אנטרופיה בתהליך לא הפיך . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5
דוגמא לחישוב ישיר . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5.1
משוואות אנטרופיה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.6
עבודה וחום בתהליך איזותרמי הפיך . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.7
החוק השני לנפח בקרה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.8
עבור תהליך תמידי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.8.1
שימושי אנטרופיה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
דוגמא קשה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1
עבודה בתהליכי התפשטות ודחיסה במערכת פתוחה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2
עבודת מדחס . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3
עבודת מדחס ־ דוגמא . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3.1
יעילות טורבינה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4
דרגת טיב אדיאבטית . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.5
אינטראקציית עבודה וחום בתהליכים איזותרמיים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.6
יעילות ומחליפי חום . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.7
מחזורי עבודה־קיטור )הרצאה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (10
תזכורות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.1
מנוע קרנו ־ קיטור . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2
מחזור רנקין סטנדרטי )אידאלי( . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3
חישוב נצילות של מחזור רנקין אידאלי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.4
מחזור רנקין סטנדרטי אמיתי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.5
דוגמא . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.5.1
מחזור רנקין עם חימום )שחון( ביניים ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (Reheat Cycle
10.6
מחזור רנקין עם הקזה ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (Regenerative Cycle
10.7
סיכום מחזור רנקין עם הקזות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.7.1
מחזורי עבודה ־ טורבינות גז )הרצאה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (11
מחזור ברייטון ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (Brayton
11.1
מחזור ברייטון אידאלי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2
מחזור ברייטון ריאלי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3
דוגמא . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3.1
נצילות מחזור ברייטון ריאלי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.3.2
מחזור ברייטון עם רגנרציה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.4
מחזור ברייטון למנוע סילון . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.5
מחזורי עבודה ־ מנועי שריפה פנימית )הרצאה . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (12
מבוא היסטורי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.1
מנוע ארבע פעימות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2
מנוע שתי פעימות . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.3
לחץ אפקטיבי ממוצע . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.4
3
33
33
33
33
35
35
36
36
37
38
38
39
39
41
41
42
43
43
44
44
45
46
47
47
48
48
50
52
53
54
55
56
56
56
56
56
57
58
59
59
61
62
64
65
65
66
67
68
69
70
71
72
72
73
75
76
תרמודינמיקה 1
13
מרצה :לאוניד טרטקובסקי
מחזור Otto־ מנוע הצתה חשמלית . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.5
מחזור דיזל ־ הספקת חום בלחץ קבוע . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.6
מחזור משולב . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.7
מחזורי עבודה ־ מחזורי קירור . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
תזכורת ־ מקרר ,מזגן בקיץ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.1
מחזור קירור אידאלי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2
דרישות לחומרי קירור . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.2.1
מחזור קירור ־ ביצועים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.3
דוגמאות ביניים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.4
מחזור קירור ־ דוגמא . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
13.4.1
מחזור קירור ־ דוגמא . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
13.4.2
מחזור קירור עם מחליף חום פנימי . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.5
מחזור קירור עם מחליף פנימי ־ דוגמא . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.5.1
מחזור קירור עם דחיסה בשני שלבים . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13.6
4
76
77
79
79
79
80
81
81
82
82
82
84
85
87
תרמודינמיקה 1
1
הקדמה ,מושגי יסוד והגדרות שיווי משקל
1.1
הקדמה
מרצה :לאוניד טרטקובסקי
• השם "תרמודינמיקה" הוא הלחם של שתי מילים יווניות :תרמו ־ חום ,ודינמיקה ־ כוח.
• לתרמודינמיקה השפעה מכרעת במגוון תחומי ההנדסה ,לדוגמא:
– מחזורי קיטור
– מחזורי קירור
– תחנות כוח הידראוליות
– מנועי בעירה פנימית
– למעשה כל נושא העוסק בעבודה ,נצילות ואנרגיה משתמש בעקרונות התרמודינמיקה
1.2
מושגי יסוד בתרמודינמיקה
.1מערכת תרמודינמית ) (Thermodynamic System־ כמות החומר הנמצא בתוך הגבולות אשר ניתן להגדיר אותם בצורה
מדוייקת .לרוב מסמנים מערכת בעזרת קווים מקווקווים.
• לדוגמא אוויר בגליל סגור ע"י בוכנה הוא מערכת ,בעוד שחמצן שבאוויר לא מהווה מערכת.
.2מערכת תרמודינמית סגורה ) (Closed System־ מערכת שגבולותיה לא מאפשרים כניסה ויציאה של חומר ,כלומר כמות
החומר שבתוך המערכת קבועה בזמן.
.3מערכת תרמודינמית פתוחה ) (Open System־ מערכת שגבולותיה כן מאפשרים כניסה ויציאה של חומר.
• לדוגמא אוויר הסגור בגליל בעל שסתום ביטחון.
.4נפח בקרה ) (Control Volume־ מערכת פתוחה אשר גבולותיה אינם משתנים בזמן.
.5סביבה ) (Environment־ כל דבר שמחוץ לגבולות המערכת ,סביבה בעצמה יכולה להיות מוגדרת כמערכת.
• גבולות המערכת :ממשיים ,מדומים ,קבועים או משתנים בזמן.
.6תכונה ראשונית ) (Primitive Property־ תכונה ראשונית היא גודל הקשור למערכת שניתן לבצע עבורה בוחן )מדידה(,
תוצאת הבוחן מהווה את ערך התכונה .הבוחן צריך להתבצע ללא מידע מוקדם על המערכת ואינו יכול לגרום לשינויים בה.
• נפח ־ ,Vאורך ־ ,Lמסה ־ ,mצפיפות ־ ,ρטמפרטורה ־ ,Tלחץ ־ p
.7תכונה נגזרת ) (Derived Property־ תכונה שאי אפשר למדוד אותה ע"י ניסוי ישיר בלי לגרום לשינויים במערכת.
• לדוגמא אנרגיה ,אנתלפיה ואנטרופיה )יוגדרו בהמשך(.
.8תכונה אקסטנסיבית ) (Extensive Property־ תכונה שערכה פרופורציונאלי להיקף המערכת.
• לדוגמא נפח או מסה.
.9תכונה אינטנסיבית ) (Intensive Property־ תכונה שערכה לא תלוי בהיקף המערכת )כמות החומר במערכת(.
V
,ρ = mטמפרטורה או נפח סגולי ־
v=m
• לדוגמא צפיפות )מסה סגולית( ־ V
• למעשה כל תכונה הנמדדת ביחס לנקודה כל שהיא בתוך המערכת )תכונות סגוליות( היא תכונה אינטנסיבית.
• כל תכונה סגולית ) (Specicמסומנת באות הקטנה המתאימה ,והיא התכונה הכללית )האקסטנסיבית( מחולקת במסה.
.10מצב מערכת ) (State of a System־ אוסף הערכים של כל התכונות הראשוניות מגדיר את מצב המערכת .שני מצבים זהים
־ כל התכונות זהות.
.11מסלול ) (Path־ רצף כל המצבים אשר המערכת עוברת דרכם בזמן שינוי מצב.
.12אינטראקציה ) (Interaction־ אם שינוי מצב המערכת קשור לשינוי מצב של מערכת אחרת )או שינוי בסביבה( ,אומרים
שאינטראקציה חלה בין שתי המערכות דרך המעטפת המשותפת.
5
מרצה :לאוניד טרטקובסקי
תרמודינמיקה 1
• אינטראקציה מוגדרת רק אם שתי המערכות מוגדרות.
• יתכן שינוי במצב המערכת גם ללא אינטראקציה.
• קיום אינטראקציה תלוי בבחירת המערכת.
.13מערכת מבודדת ) (Isolated System־ מערכת של מקיימת אינטראקציה עם סביבתה.
.14תהליך ) (Process־ תהליך מוגדר ע"י מצבי קיצון ,מסלול ואינטראקציות שבגבולות.
.15מחזור ) (Cycle־ תהליך בו מצבי הקיצון זהים.
.16תכונה )הגדרה כללית( ־ גודל ,Fששינויו אינו תלוי בתהליך אלא רק במצבי קיצון:
2
dF = 0
∧ dF = F2 − F1
1
• נובע מיד שהשינוי של Fבמחזור הוא אפס.
• תהנה X, Yתכונות .נרצה לבדוק מתי גודל דיפרנציאלי:
δF = M (X, Y ) dX + N (X, Y ) dY
מהווה שינוי בתכונה ,או בצורה מתמטית האם מתקיים:
2
2
M (X, Y ) dX + N (X, Y ) dY = F2 − F1
⇒⇐ δF = dF
= δF
1
1
כזכור מחדו"א ,2תנאי מספיק הוא:
∂N
∂M
=
∂Y
∂X
אם מתקיים תנאי זה ,נוכל לומר ש δFהוא דיפרנציאל שלם.
1.3
הגדרות שיווי משקל
• שיווי משקל הוא מצב מערכת אשר לא ניתן לשנותו ללא אינטראקציה עם הסביבה.
• מערכת יכולה להיות בשיווי משקל מכאני )המוכר לנו( אך לא בשיווי משקל תרמודינמי ־ לדוגמא גוף המורכב משתי מערכות,
אחת קרה והשנייה חמה.
– שיווי משקל מכאני מוכל בתוך שיווי משקל תרמודינמי ,שכן אם יפעל כוח חיצוני על מנת להפר את שיווי המשקל המכאני
הוא יבצע אינטראקציה עם המערכת.
• במערכת הנמצאת בשיווי משקל יציב ,כל שינוי סופי במערכת דורש שינוי סופי בסביבה.
• סוגי שיווי משקל:
.1שיווי משקל יציב :מצב שיווי משקל שכדי לשונותו דרוש בסביבה שינוי תמידי ובאותו סדר גודל.
.2שיווי משקל רופף :מצב שיווי משקל שכדי לשנותו מספיק שינוי זמני בסביבה ובסדר גודל קטן יותר.
.3שיווי משקל אדיש :מצב שיווי משקל שכדי לשנות מספיק שינוי זמני בסביבה ,אבל כדי ליצור קצב דרוש שינוי תמידי
בסביבה.
• שיווי משקל הדדי ־ מביאים שתי מערכות למגע ,אם אין אינטראקציה בינהן אומרים ששתי המערכות נמצאות בשיווי משקל
הדדי.
• חוק האפס של תרמודינמיקה ־ אם נתונות שלוש מערכות A, B, C ,וכל אחת מן המערכות Aו Bנמצאת בשיווי משקל הדדי
עם מערכת Cאזי גם מערכות Aו Bנמצאות בשיווי משקל הדדי אחת עם השניה )טרנזטיביות שיווי משקל(.
6
תרמודינמיקה 1
2
מרצה :לאוניד טרטקובסקי
עבודה ,חוק ראשון ,חוק האפס ,אנרגיה ,חום וטמפרטורה
*להוסיף את השיעור הראשון*
2.1
מדידת עבודה
איור :1המערכת
• עבודת המערכת על הסביבה:
syst
W12
– משקולת עולה ־ > 0
syst
w12
– משקולת יורדת ־ < 0
• גודל העבודה:
syst
W12
) = mg (x2 − x1
– מעטפת אדיאבטית ) (Adiabatic־ מעטפת שדרכה מתאפשרות אך ורק אינטראקציות עבודה.
– תהליך אדיאבטי ־ תהליך שאין בו אינטרקציות שונות מאינטרקציית העבודה נקרא תהליך אדיאבטי.
∗ חשוב לשים לב שעבודה יכולה להתקיים גם בתהליך לא אדיאבטי.
2.2
עבודת שינוי גבולות ־ עבודה של מערכת דחיסה
איור :2המערכת
7
תרמודינמיקה 1
מרצה :לאוניד טרטקובסקי
• עבודת הגז ־ עבודה של שינוי גבולות:
mg
) (x2 − x1 ) A = pe (V2 − V1
A
gas
= ) = mg (x2 − x1
W12
– כאשר peהוא לחץ חיצוני אקוויולנטי )הלחץ הפועל על המערכת ,משקל הבוכנה ,אטמוספרה ,קפיץ ,כל מה שפועל עליה(
ולאו דווקא זהה ללחץ בתוך המערכת:
mg Fspring
+
A
A
pe = Patm +
• סימן העבודה:
gas
> 0 : p > pe
W12
gas
W12
< 0 : p < pe
2.3
עבודה בתהליך קוואזיסטטי
איור :3המערכת
• בתחילת התהליך המערכת בשיווי משקל .נגלגל גרגיר של חול תרמודינאמי )חול דק בעל מסה זניחה( אחד למדף ־ דבר הגורם
למערכת לעבור למצב שיווי משקל חדש ־ הנפח יעלה מעט ,הלחץ החיצוני האקוויולנטי ירד מעט:
pe dVn,n+1
B
X
gas
δWn,n+1
=
B
X
A
gas
gas
δW12
= pe dV12 =⇒ WAB
=
A
תהליך זה נקרא תהליך קוואזיסטטי ,תהליך המורכב כולו ממצבי שיווי משקל ,ועבורו מתקיים ,p = peלכן נוכל לכתוב את
הסכום בצורת אינטגרל:
B
gas
=
WAB
pdV
A
• באופן כללי ,תמיד מתקיים:
2
2
≤ pe dV
pdV
1
= W
1
נוכיח את אי השיוויון בעזרת חלוקה למקרים:
.1
p > pe =⇒ dV > 0
.2
p < pe =⇒ dV < 0
8
מרצה :לאוניד טרטקובסקי
תרמודינמיקה 1
• בתהליך קווזיסטטי המערכת מבצעת עבודה מקסימלית.
• סוגי עבודה קוואזיסטטית:
– עבודה מכאנית:
δW = F dx
– עבודת שינוי נפח:
δW = pdV
– עבודת פיתול:
δW = M dφ
• תמיד ישנו כוח מוכלל ) (Driving Forceהמוכפל בפרמטר עבודה קוואזיסטטית.
2.4
החוק הראשון של תרמודינאמיקה
איור :4מסלולים שונים
• עבודה אדיאבטית בין 2מצבי קיצון נתונים אינה תלוייה במסלול:
A
B
C
W12
= W12
= W12
= ...
– השינוי באנרגיה שווה לשינוי בתכונה!
2.5
אנרגיה
• אנרגיה ־ תכונת מערכת ,פונקצייה של מצב ,כאשר שינוי אנרגיה בעזרת עבודה אדיאבטית בין שני מצבי קיצון:
adiab.
−W12
= E2 − E − 1
כאשר עבודה חיובית של המערכת מקטינה את האנרגיה שלה.
• למעשה החוק הראשון מאפשר מדידת שינוי האנרגיה של המערכת בין שני מצבים על ידי מדידת עבודה אדיאבטית בין מצבים
אלו.
• אנרגיה היא תכונה נגזרת ,לא ניתן למדוד אותה במצב נתון ,אלא רק את השינוי בה בין שני מצבים נתונים.
9
תרמודינמיקה 1
2.6
מרצה :לאוניד טרטקובסקי
החוק הראשון עבור תהליך לא אדיאבטי
• כעת העבודה כן תלויה במסלול הנבחר ,ולכן מתקיים:
W12 + (E2 − E1 ) = Q12 6= 0
כאשר Q12היא אינטראקציית חום .והניסוח המלא של החוק הראשון הוא:
E2 − E1 = Q12 − W12
• אינטראקציית חום אינה תכונה ,שכן היא תלויה במסלול הנבחר.
• אינטראקציית חום חיובית מגדילה את אנרגיית המערכת ,בעוד שאינטראקציית עבודה חיובית מקטינה את אנרגיית המערכת.
• אינטראקציית חום יכולה להתבצע בין שתי מערכות ,כאשר כל אחת מהן בשיווי משקל אך הן לא בשיווי משקל הדדי.
• אינטראקציית עבודה מתבצעת בין שתי מערכות ,רק אם אחת מהן לפחות לא בשיווי משקל.
• היות וחום הוא אינטראקצייה ולא תכונה ,לא ניתן לאגור אותה.
2.7
טמפרטורה
• תכונה המשותפת לכל המערכות הנמצאות בשיווי משקל הדדי תרמי.
• מערכת בעלת פרמטר עבודה קוואזיסטטית אחד )במקרה זה הגובה של הכספית( בשילוב של שני מצבים סטנדרטיים:
– נקודת רתיחת מים בלחץ אטמוספרי:
] 100 [C] = 212 [F
– נקודת קיפאון מים בלחץ אטמוספרי:
] 0 [C] = 32 [F
– נוסחאת המעבר בין שתי הסקאלות:
5
][T (F ) − 32
9
= )T (C
3
עקרון המצב ,מערכת פשוטה ,חומר טהור וטבלאות קיטור
3.1
הקדמה
• לאחר שביססנו את הגדרת המערכת והגדרת התכונות ,עולה באופן מיידי השאלה מהו האוס ,המינימאלי של תכונות אשר
מגדיר את מצב המערכת תמיד ובאופן חד־משמעי.
• מתברר כי תמיד קיים סט של תכונות בלתי תלויות ,כשאר ערכיהן מגדירים את כל יתר התכונות של המערכת .תכונה אשר
הערך שלה מוגדר ע"י סט של תכונות בלתי תלויות נקראת תכונה תלויה.
3.2
עקרון המצב ־ State Postulate
• מצב שווי משקל יציב של כל מערכת נקבע באופן חד משמעי על־ידי אוסף פרמטרי עבודות קוואזיסטטיות והאנרגיה שלה.
• חשוב לשים לב שיכול להיות שעל המערכת תתבצע עבודה נוספת לא קוואזיסטטית )או שהמערכת תבצע אותה( ,אך פרמטר
העבודה הנ"ל לא נחוץ על מנת לקבוע לתאר את מצב שיווי המשקל היציב של המערכת.
• מערכת פשוטה היא מערכת שיש לה סוג אחד של עבודה קוואזיסטטית.
– מסקנה מיידית היא שעבור מערכת פשוטה דרושים רק שני פרמטרים ־ פרמטר העבודה הקוואזיסטטית והאנרגיה של
המערכת.
10
תרמודינמיקה 1
3.3
מרצה :לאוניד טרטקובסקי
מערכת דחיסה פשוטה
איור :5מערכת דחיסה פשוטה
• לפי עקרון המצב ,כל תכונה ) ηiכל עוד התכונות בלתי תלויות( היא פונקציה של Vו :E
– כלומר אם ניתן לפתור את:
) ηi = f1 (E, V
אזי מתקיים:
) E = fE (ηi
) V = fV (ηi
(
• ניצור את משוואת המצב כאשר:
η1 = p
η2 = T
(
מתקיים:
)V = fV (T, p
ועבור
V
m =v
(
m = const
נוכל לכתוב:
vm − fV (T, p) = 0 =⇒ F (T, p, v) = 0
וזו משוואת המצב.
– לדוגמא חוק הגזים האידאלי הוא משוואת מצב שכזו:
pv − RT = 0
3.4
אנרגיה פנימית
• אנרגיה פנימית של מערכת פשוטה U = Esimpleהיא תכונה אקסטנסיבית:
kz 2
1
+ mgz + mV̄ 2 + . . .
2
2
11
E=U+
תרמודינמיקה 1
מרצה :לאוניד טרטקובסקי
איור :6מערכת פשוטה לדוגמא
• נגדיר אנרגיה סגולית:
E
e= m
U
u= m
(
• נבחר את שני המשתנים שלנו ונכתוב את משוואת המצב:
(
η1 = T
η2 = v
)=⇒ u = u (T, v
אם נגזור את משוואת המצב ,הדיפרנציאל השלם של האנרגיה הפנימית יהיה:
∂u
∂u
dT +
dv
= du
∂T v
∂v T
• נחזור לביטוי הנ"ל בקרוב.
• עבור מערכת פשוטה ,נוכל לנסח את החוק הראשון בצורה הבאה:
δQ − δW = dU
חשוב לשים לב שבצד אחד יש דיפרנציאל שלם )שכן אנרגיה היא תכונה( ,ובצד השני דחפרנציאלים חלקיים בלבד.
תהליך בנפח קבוע ־ תהליך איזוחורי
3.5
• עבור מערכת פשוטה בתהליך איזוחורי ,לא יכולה להתקיים עבודה קוואזיסטטית.
– מדוע? מפני שפרמטר העבודה הקוואזיסטטית היחיד שיש לנו הוא ,dVאם הנפח קבוע הפרמטר שווה לאפס ,שכן אין
שינוי נפח כלל.
3.5.1
חום סגולי בנפח קבוע
• אם לא מתקיימת עבודה כלל )אין עבודות ציר( ,נוכל לרשום כי בנפח קבוע מתקיים:
Q12 = U2 − U1
• ועבור שינוי קטן ובשימוש במשוואה שפיתחנו עבור חום סגולי ,נוכל לרשום:
δQ = dU = mdu
dv
T
∂u
∂v
dT + m
v
12
∂u
∂T
δQ = m
מרצה :לאוניד טרטקובסקי
תרמודינמיקה 1
• חום סגולי בנפח קבוע:
2
cv (T, v) dT
2
δQ = m
1
= Q12
1
• במקרה ומתקיימים התנאים הבאים )התנאי השני תמיד נכון כי הנפח קבוע(:
(
∂u
∂T v = cv = const
dv = 0
נוכל לבטא את החום הסגולי בצורה פשוטה:
) Q12 = mcv (T2 − T1
kJ
◦ kg · C
= ] [cv
– חשוב לזכור שהמשוואה האחרונה נכונה אך ורק תחת הנחות מאוד מגבילות.
• חום סגולי בנפח קבוע cv־ חום הדרוש להעלאת טמפרטורה של 1ק"ג חומר במעלה אחת בתהליך בנפח קבוע .זו היא תכונה
אינטנסיבית.
– ניתן להכפיל את התכונה במסה ולקבל "קיבול חום" ,תכונה אקסטנסיבית ־ Cv = mcv
תהליך בלחץ קבוע ־ תהליך איזוברי
3.6
• במקרה זה הנפח כן ניתן לשינוי ,לכן מתקיימת עבודת שינוי נפח ,ומתקיים .p1 = p2 = pe
• נניח וקיימות עבודות לא קוואזיסטטיות W xכל שהן ,ננסח את החוק הראשון )הלחץ קבוע אז האינטגרל מיידי( כלהלן:
x
Q12 − W12
⇒= − pe (V2 − V1 ) = U2 − U1
x
Q12 − W12
= U2 − U1 + p2 V2 − P1 V1
• נגדיר אנטלפיה כ ,H = U + pVוננסח מחדש:
x
Q12 − W12
= H2 − H1
3.6.1
אנטלפיה
• אנטלפיה היא תכונה אקסטנסיבית ,ניתן להפוך אותה לאינטנסיבית:
H
= u + pv
m
= H = U + pV =⇒ h
• כמו כל תכונה במערכת פשוטה ,אנלפייה היא פונקציה של שתי תכונות:
)h = h (T, p
אם נגזור את הפונקציה )שוב דיפרנציאל שלם ,מפני שאנטלפיה היא תכונה(:
∂h
∂h
= dh
dT +
dp
∂T p
∂p T
13
מרצה :לאוניד טרטקובסקי
תרמודינמיקה 1
• נגדיר חום סגולי בלחץ קבוע:
= cp
p
∂h
∂T
δQ − δW x = dH
3.6.2
חום סגולי בלחץ קבוע
• תחת הנחות דומות לאלו שהנחנו עבור נפח קבוע:
dp=0
{|}z
dp =⇒ δQ = mcp dT
T
∂h
∂p
dT + m
p
∂h
∂T
δQ = m
2
Q12 = m
cp (T, p) dT
1
• אם cp = constואין עבודת ציר אזי:
) Q12 = mcp (T2 − T1
3.7
חומר טהור
• חומר בעל הרכב כימי אחיד ,יכול להיות בעל כמה מצבי צבירה.
• מצב אינטנסיבי :אוסף של כל התכונות האינטנסיביות של המערכת.
• מצב צבירה :כל חלקי המערכת בעלי אותו מצב אינטנסיבי
• תכונות חומר טהור:
– עבור מערכת דחיסה פשוטה ,לפי עיקרון המצב כל תכונה מקיימת:
)η = η (u, v
ולרוב נבחר:
) η = η (p, T
– בחירה זו לא תמיד אפשרית ,שכן לדוגמא עבור מים בלחץ של 1אטמוספרה ב 0מעלות צלזיוס ,החומר יכול להיות גם
נוזל וגם מוצק .מעבר לזאת ,אם נתבונן בדיאגרמת ,p − Tישנם אזורים מסויימים שעבורם יתבצע שינוי במערכת כאשר
הפרמטרים נותרים קבועים )במעברים בין הפאזות(.
• דיאגרמת p − Tו דיאגרמת p − vעבור חומר טהור:
14
מרצה :לאוניד טרטקובסקי
תרמודינמיקה 1
איור :7דיאגרמות
– השטח מתחת לגרף של דיאגרמת p − vמייצג עבודה ,לכן לעיתים נוח להתבונן דווקא בדיאגרמה זו.
– הקווים בדיאגרמת p − Tמייצגים מעברי פאזות.
• תיאור מצב דו־פאזי )אד־נוזל(:
איור :8דיאגרמה עבור מצב דו־פאזי
– נגדיר איכות אד:
mg
=x
m
ובהתאמה איכות הנוזל:
mf
=1−x
m
15
תרמודינמיקה 1
מרצה :לאוניד טרטקובסקי
– נגדיר את הנפח הסגולי בעזרת איכות האד ־ :x
mf
mg
vf +
vg = (1 − x) vf + xvg
m
m
=v
– בהתאמה ניתן לחשב תכונות של מערכת דו פאזית בעזרת הקשרים:
v = vf + xvf g , vf g = vg − vf
u = uf + xuf g , uf g = ug − uf
h = hf + xhf g , hf g = hg − hf
– מצב דו־פאזי של מערכת דחיסה לא מוגדר ע"י ) (p, Tאלא ע"י (p, x) , (T, x) , (u, x) , (u, v) . . .
3.8
טבלאות קיטור
• שתי תכונות בלתי תלויות נרשות על מנת להגדיר מצב .הטבלה בה יש צורך להשתמש תלויה במצב המערכת.
• אם ידועים pו־ :Tמחפשים את הערך של psatהמתאים ל Tהידוע ,טבלה A.1
– אם :p > psatמדובר בנוזל דחוס ,יש להשתמש בטבלה A.4
– אם :p < psatמדובר באד שחון ,יש להשתמש בטבלה A.3
– אם :p = psatמדובר במצב דו פאזי ,יש להשתמש בטבלאות A.1או A.2
∗ במקרה זה חייבים לדעת תכונה נוספת כדי להגדיר את המצב ,שכן Tו pתלויים.
3.9
כללי נוזל דחוס
.1נוזל דחוס לא ניתן לדחיסה נוספת:
v ∼ vf , dv = 0
.2אנרגיה פנימית של נוזל דחוס :פונקציה "חזקה" של טמפרטורה וכמעט לא תלויה בלחץ:
∂u
∂u
= du
dT +
dv =⇒ du ≈ cv dT
∂T v
∂v v
dh = d (u + pv) ≈ du + vdp =⇒ dh ≈ du + vdp
4
משוואת המצב של גז אידאלי
4.1
הקדמה
• למדנו בהרצאה הקודמת ,שניתן בעזרת טבלאות להשיג מידע רב ומדוייק על תכונות ,אך הן סבוכות ולא נוחות לשימוש.
• נעדיף תמיד להשתמש במשוואת מצב ,משוואה המקשרת בין T , pו־ .vבפרט עבור גזים:
pv = RT
– לגבי לכל כל גז ,קבוע הגזים שונה והוא מבוטא על ידי:
i
kJ
kgK
kJ
kmol·K
16
h
̄R
R= M
R̄ = 8.314
(
תרמודינמיקה 1
מרצה :לאוניד טרטקובסקי
• גזים המצייתים לחוק הגזים האידאלי נקראי גזים אידאלים ,לדוגמא אוויר ,ארגון ,הליום וחנקן.
• ניתן לכתוב את המשוואה במספר דרכם בהתאם לצורך:
i
m3
mol
h
= ]̄[v
pV = mRT
V
=⇒ pv̄ = R̄T,
m
pV = nRT
=v
– חשוב לשים לב ליחידות גם של קבוע הגזים כאשר משתמשים במשוואה!
– נשים לב שהיות והמאסה וקבוע הגזים עבור גז מסויים קבועים ,לכן ניתן להשוות בקלות בין שני מצבים עבור אותה
מערכת סגורה של גז:
p1 V1
p2 V2
=
T1
T2
• חשוב לציין שגז אידאלי לא קיים ,אך לגזים רבים ניתן להתייחס כגזים אידאלים כאשר השגיאה ≥ .%1
• עבור גזים דחוסים במיוחד ,לא ניתן להתייחס אליהם כגזים אידאלים .על מנת לבדוק זאת הגדרנו מקדם דחיסות )Compressibility
:(Factor
pv
RT
=Z
כאשר עבור גז אידאלי מקדם הדחיסות שווה לאחד.
– כאשר אנו עובדים בלחצים גבוהים ,להרבה מאוד גזים )לדוגמא קיטור ,אדי מים( לא ניתן להתייחס כגז אידאלי ,כעיקרון
ככל שהלחץ קרוב יותר ללחץ הקריטי )הלחץ בנקודה הקריטית( כך הסטייה של מקדם הדחיסות מ 1תגדל.
– נשים לב כי המשוואה )והגרף אותו ניתן לגזור ממנה( נכונים עבור כל גז.
4.2
אנרגיה פנימית ואנתלפיה של גז אידאלי
• ניתן להוכיח )בעזרת יחסי מקסוול( ,שעבור גז אידאלי האנרגיה הפנימית היא פונקציה של הטמפרטורה בלבד:
) u (T, v) = u (T
• לכן עבור גז אידאלי ,קיבול החום בלחץ קבוע )תהליך איזוברי( הופך לדיפרנציאל שלם:
du
=⇒ du = cv (T ) dT
dT
= ) cv (T
ולכן אם נבצע אינטגרציה בין T1אל T2נוכל להתחשב רק בנקודות הקצה:
T2
) cv (T ) dT = u (T2 ) − u (T1
= ∆u
T1
– נגלה בהמשך שעבור גזים מסויימים cvהוא קבוע )בקורס שלנו לפחות( ,אבל ככלל עלינו להשאיר אותו בתוך האינטגרל.
• באותו האופן ניתן להגיע לכך שגם האנתלפיה תלויה בטמפרטורה בלבד ,בדיוק באותה הצורה:
T2
) cp (T ) dT = h (T2 ) − h (T1
T1
17
dh
= ) cp (T
= =⇒ ∆h
dT
מרצה :לאוניד טרטקובסקי
4.3
תרמודינמיקה 1
הקשר בין cpל cv
• מהגדרת האנתלפיה ושימוש במשוואת הגז האידאלי:
h (T ) = u (T ) + pv = u (T ) + RT
• נגזור ביחס ל :T
dh
du
=
+ R ⇐⇒ cp = cv + R
dT
dT
• מכאן נגדיר יחס חום סגולי ):(Specic heat ratio
kR
cp (T ) = k−1
R
cv (T ) = k−1
(
) cp (T
⇒=
) cv (T
=k
– כמובן מדובר תמיד על אותו גז ספציפי ,המשוואות נכונות עבור כל גז אידאלי ,אבל ערכי הקיבול חייבים להיות ביחס
לאותו הגז.
• האם קיבולי החום באמת תלויים בטמפרטורה? נתבונן בגרף הבא:
איור :9גרף
– ניתן לראות כי ברוב הטווחים ההנדסיים ,קיבול החום של גזים חד ודו אטומיים קבועים.
• בשל עובדה זו ,נוכל לכתוב בפשטות:
∆U = mcv ∆T
∆H = mcp ∆T
4.4
(
תהליכים קוואזיסטטיים עבור גזים אידאלים
• ראשית נכתוב את הכללים הרלוונטיים אותם אנו מכירים עבור תהליכים שכאלו:
– עבודה בתהליך קוואזיסטטי:
2
= W
pdV
1
18
תרמודינמיקה 1
מרצה :לאוניד טרטקובסקי
– החוק הראשון:
∆U = Q − W
– משוואת המצב:
pV = mRT
• עבור תהליך איזוחורי )בנפח קבוע(:
2
]cv dT = mcv (T2 − T1 ) [J
dv = 0 =⇒ w = 0 =⇒ Q = ∆U = m
1
– עבור cvקבוע!
• עבור תהליך איזוברי )לחץ קבוע(:
– עבודה קוואזיסטטית:
) W = p (V2 − V1 ) = mR (T2 − T1
– החוק הראשון:
Q − p∆V = ∆U
– ולכן עבור cpקבוע:
2
]mcp dT = mcp (T2 − T1 ) [J
= Q = ∆H
1
• עבור תהליך איזותרמי )טמפרטורה קבועה(:
– במקרה זה מתקיים או
(
u (T ) = u
h (T ) = h
או
∆u = ∆h = 0
– ולכן מהחוק הראשון וחוק הגז האידאלי ,אם נבצע אינטגרציה נקבל:
p1
p2
= p1 V1 m · ln
V2
V1
=⇒ Q = W = mRT · ln
(
2
Q = W = 1 pdV
p = mRT
V
חשוב לשים לב לכך שהפכנו את האינדקסים במעבר בין הנפח ללחץ )זו לא טעות!(.
– ניתן לחשוב על זה בצורה אינטואיטיבית ,בכך שכל החום שנכנס למערכת יוצא מיד לעבודה ־ אין שינוי באנרגיה של
המערכת.
19
תרמודינמיקה 1
מרצה :לאוניד טרטקובסקי
• עבור תהליך אדיאבטי )אין אינטראקציית חום(:
– מהחוק הראשון ומשוואת הגז האידאלי :
cv dT
dV
=−
R T
V
⇒=
dU = −δW
mcv dT = −pdV
p = mRT
V
מכאן באמצעות אינטגרציה וההצבות הבאות נקבל:
k−1
T2
V1
⇒=
=
T1
V2
R = cp − cv
c
k = cvp
(
– קיבלנו קשר בין שתי תכונות שונות דרך קבוע אחד ,קשר כזה הוא רב עוצמה שכן הוא מאפשר לנו לגלות בקלות תכונות
החסרות לנו.
– נגזור קשרים כלליים מהביטוי בעזרת מניפולציות עם משוואת המצב:
T V k−1 = const.
−k
p2
v2
=
pV k = const.
p1
v1
k−1
p k−1
k
k
p2
T2
= const.
T
T1 = p1
– בעזרת הקשרים האלו נפתח מספר ביטויים עבור העבודה בתהליך אדיאבטי )נוכל לבחור את המתאים לנו לפי הנתונים(:
!
k−1
1
mRT1
p2 k
= ) W = −∆U = mcv (T1 − T2
= ) (p1 V1 − p2 V2
1−
k−1
k−1
p1
4.5
תהליך קוואזיסטטי פוליטרופי
הגדרה 4.1תהליך עבורו מתקיים:
∞ ≤ pv n = const, −∞ ≤ n
עבור nספציפי כלשהו
• חשוב לשים לב שהתהליך מוגדר לכל גז )וגם לנוזל( ,לאו דווקא עבור גז אידאלי.
• מקרים מיוחדים:
.1עבור תהליף איזוחורי:
n = ±∞ =⇒ pv ∞ = const
– נוכיח זאת :ניקח את הנתון שלנו ונוציא לו דיפרנציאל:
pv n = const =⇒ dpV n + p · n · V n−1 dV = 0
נחלק ב :pv n
dV
dp
+n
=0
p
V
וכאשר ∞ n −→ ±מתקבל כי בהכרח ,dV = 0כלומר הנפח קבוע.
20
תרמודינמיקה 1
מרצה :לאוניד טרטקובסקי
.2עבור תהליך איזוברי:
n = 0 =⇒ pv 0 = const
.3עבור תהליך איזותרמי:
n = 1 =⇒ pv = const
.4עבור תהליך אדיאבטי קוואזיסטטי:
cp
=⇒ pv k = const
cv
=n=k
• תהליכים אמיתיים של דחיסה או התפשטות של גז הם כמובן לא אדיאבטיים או איזותרמיים ,אבל נוכל להעריך אותם בצורה
נוחה למדי בעזרת תהליך פוליטרופי כאשר 1 < n < k
• ביטוי כללי עבור עבודה של תהליך פוליטרופי במערכת דחיסה פשוטה )וסגורה כמובן(:
dv
Vn
2
2
W = 1 pdV
pV n = p1 V1n = p2 V2n
=⇒ W = p1 V1n
1
(
נחלק למקרים:
– עבור :n 6= 1
p2 V2 − p1 V1
p1 V1n
= V21−n − V11−n
1−n
1−n
= W
– עבור ) n = 1תהליך איזותרמי(:
V2
V1
W = p1 V1 ln
• עד עכשיו הביטויים שפיתחנו היו עבור כל גז ,אם נציב פנימה את הביטויים המתאימים עבור גז אידיאלי נקבל:
n−1
V1
V2
n−1
n
=
p2
p1
T2
=
T1
– אלו ביטויים זהים לאלו שקיבלנו עבור תהליך אדיאבטי ,כאשר .n = k
• נציב את הביטויים המתאימים ממשואת המצב עבור גז אידאלי בביטוי עבור עבודה:
– עבור :n 6= 1
) mR (T2 − T1
p2 V2 − p1 V1
=
1−n
1−n
= W
– עבור ) n = 1תהליך איזותרמי(:
V2
V1
= mRT ln
21
V2
V1
W = p1 V1 ln
מרצה :לאוניד טרטקובסקי
תרמודינמיקה 1
• כעת נבצע את אותו התהליך עבור אינטראקציית חום בעזרת החוק הראשון :Q = ∆U + W
– עבור :n 6= 1
) (T2 − T1
n−k
n−1
Q = mcv
– עבור :n = 1
V2
V1
Q = W = mRT ln
• מומלץ מאוד לפתח את הנוסחאות לבד בבית בכדי להבין אותן ,הן ככלל פיתוחים הנובעים ממעט מאוד משוואות בסיסיות.
5
נפח בקרה
5.1
הקדמה
• כזכור ,נפח בקרה היא מערכת פתוחה שגבולותיה אינם משתנים בזמן ־ אך חומר יכול להיכנס ולצאת ממנה.
• בזמן tשרירותי כלשהו אין הבדל בין נפח בקרה למערכת סגורה ,אך בעבור שינוי זמן קטן ־ t + dt־ יכול להתבצע שינוי
במסת החומר ־ δminאו δmoutאו שניהם.
• בגלל ששינוי זה תלוי בזמן ,נוכל לומר כי ספיקה מסית מסויימת נכנסת ṁinואחרת יוצאת .ṁout
• בעבור חומר הומוגני )רק במקרים כאלו נעסוק בקורס( נוכל להגדיר את הספיקה במפורש:
ṁ = AV̄ ρ
כאשר Aהוא שטח החתך של הפתח ρ ,היא הצפיפות החומר ,ו־ ̄ Vהיא מהירות הזרימה הניצבת לשטח החתך.
• כל תכונה סגולית מנורמלת ביחס למסה ,לכן שינוי במסה יגרור שינוי בתכונה הסגולית.
5.2
מעבר ממערכת סגורה לנפח בקרה
• נניח עבור תכונה אקסטנסיבית ,Bעבור מערכת סגורה הגדרנו שינוי תכונה בתור:
)dB = B (t + dt) − B (t
ובהתאמה עבור נפח בקרה:
)dBCV = BCV (t + dt) − BCV (t
• כעת נרצה דרך לקשור בין שתי המשוואות .היות ואנו יודעים שבזמן tהתחלתי המערכת ונפח הבקרה שקולים לכן נוכל לכתוב:
)dBCV = dB + BCV (t + dt) − B (t + dt
• אם נחשוב לרגע מה ההבדל בין נפח בקרה למערכת סגורה ,נראה כי ההבדל הוא מעבר חומר פנימה והחוצה ,לכן אם נתייחס
לגירסא הסגולית של ) bהתלויה בספיקה המסית( נוכל לרשום:
dBCV = dB + bin δmin − bout δmout
• כעת אם נחלק בפרק זמן קטן ,dtנוכל לרשום את המשוואה בצורה הבאה:
dB
dBCV
=
+ bin ṁin − bout ṁout
dt
dt
• ולכן באופן כללי עבור nכניסות ויציאות מנפח הבקרה ,שינוי תכונה בנפח בקרה יבוטא ע"י:
X
dBCV
dB
=
+
bi ṁi
dt
dt
in−out
22
מרצה :לאוניד טרטקובסקי
5.3
תרמודינמיקה 1
משפט שימור מסה עבור נפח בקרה
• נפתח בכללי סימון בסיסיים:
– חומר נכנסṁi > 0 :
– חומר יוצאṁi < 0 :
• עלינו לזכור כי נפח היא גם תכונה ,לכן אם נבחר:
(
B=m
b= m
m =1
נקבל את משפט שימור המסה עבור נפח בקרה:
n
X
dmCV
=
ṁi
dt
i=1
• ספיקה מסית עבור זרימה אחידה דרך פתח:
̄A · V
v
= ̄ṁ = ρA · V
כאשר השתמשנו בקשר ,ρ = v1כאשר vהוא הנפח הסגולי.
• מצב מתמיד ) :(Steady-State Operationמוגדר כמצב שעבורו תכונות בכל נקודה של נפח הבקרה אינן משתנות עם
הזמן:
dmCV
=0
dt
5.4
החוק הראשון עבור נפח בקרה
5.4.1
החוק הראשון כשינוי תכונה
⇒= ṁi = 0
n
X
i=1
• על מנת להפוך מערכת סגורה לפתוחה )ובפרט לנפח בקרה( ,עלינו ליצור פתחים ־ כלומר לגרום לשינוי נפח הנגרם מכניסת
ויציאת חומר .נתבונן במערכת הבאה:
איור :10מעבר בין מערכת סגורה לנפח בקרה
• הנפח בפתח 1מאפשר כניסה של מסה ,אבל הקטין את נפח המערכת ,בעוד שהנפח בפתח 2מאפשר יציאה של מסה לכן הנפח
חיובי) .מבלבל ולטענת לאוניד לא מאוד קריטי ,לברר(.
23
מרצה :לאוניד טרטקובסקי
תרמודינמיקה 1
• כזכור ,עבור מערכת סגורה ניסוח החוק הראשון היה:
dE = δQ − δW
• אם נבחר את התכונות שלנו כלדלהלן:
B=E
E
b= m
=e
(
נוכל להשתמש בביטוי שפיתחנו עבור שינוי תכונה בנפח בקרה:
ei ṁi dt
n
X
dECV = dE +
i=1
5.4.2
עבודת נפח בקרה
• ניתן לבטא את עבודת המערכת כסכום של שלוש עבודות :העבודה הנובעת כתוצאה משינוי נפח ,העבודה המתבצעת בפתחים
)כניסה ויציאה של חומר( והעבודה "הרגילה":
δW = δWports + δWx + δWvolume
• העבודה בפתחים )תחת אותה דוגמא של שני פתחים לעיל(:
(
δW1 = p1 δV1 = −p1 δm1 < 0
δW2 = p2 δV2 = −p2 δm2 > 0
כאשר הלחצים הם הלחצים בפתחים ,לא בתוך הנפח עצמו! מכאן נכליל:
pi vi ṁi dt
n
X
pi vi δmi = −
i=1
n
X
δWports = −
i=1
• מכאן סה"כ העבודה של מערכת פתוחה:
pi vi δmi
n
X
δW = δWx + δWvolume −
i=1
5.4.3
ניסוח החוק הראשון עבור נפח בקרה
• לכן מהחוק הראשון ושני הביטויים שפיתחנו ,נוכל לכתוב באופן מלא:
pi vi δmi
n
X
i=1
ei ṁi dt +
n
X
dEopen = δQ − δWvolume − δWx +
i=1
כאשר eiמוגדר בתור:
1
ei = ui + V̄i2 + gz + . . .
2
24
תרמודינמיקה 1
5.5
מרצה :לאוניד טרטקובסקי
אנטלפיית סטגנציה
• ניתן לחבר את שני הסכומים בביטוי של החוק הראשון עבור נפח בקרה ולקבל ביטוי פשוט יותר:
(ei + pi vi ) ṁi dt
n
X
dEopen = δQ − δWvolume − δWx +
i=1
• נשים לב לביטוי בתוך הסכום:
1
ei + pi vi = hi + V̄i2 + gz := hoi
2
כאשר לביטוי הזה אנו קוראים אנטלפיית סטגנציה.
• אם נחלק את כל הביטוי בפרק זמן קטן ,dtונקבל את קצב שינוי האנרגיה ,וחשוב לזכור שקצב ביצוע עבודה מוגדר בתור
הספק:
δQ
n
̇ dt = Q
X
dEopen
dVopen
δWx
⇒=
=
̇Q
−
p
−
̇W
+
hoi ṁi
=
̇W
e
x
x
dt
dt
dt
δWvolume
i=1
= pe dVdtCV
dt
• ועבור נפח בקרה ,שם הגבולות לא משתנים ,אין שינוי נפח ולכן:
n
X
dECV
= Q̇ − Ẇx +
hoi ṁi
dt
i=1
תהליך תמידי ־ Steady State Process
5.6
•
d
. dt
כזכור ,זהו תהליך בו התכונות בכל נקודה של נפח הבקרה אינן משתנות ־
• מכאן ניקח את הביטוי הקודם ונוכל לרשום:
hoi ṁi = 0
n
X
ṁi = 0 =⇒ Q̇ − Ẇx +
i=1
5.6.1
n
X
i=1
נפח בקרה עם שני פתחים בתהליך תמידי
• מערכת הנראת כלהלן:
איור :11מערכת לדוגמא
• מחוק שימור המאסה:
̇ṁi = ṁ1 + ṁ2 = 0 ⇐⇒ ṁ1 = −ṁ2 ≡ m
25
X
תרמודינמיקה 1
מרצה :לאוניד טרטקובסקי
• ניסוח החוק הראשון עבור מערכת שכזו:
Q̇ − Ẇx + ṁ (ho1 − ho2 ) = 0
• נגדיר אינטראקציית חום ליחידת מסה העוברת דרך נפח הבקרה:
δQ
δQ
̇Q
kJ
dt
= = δm
=q
̇m
δm
kg
dt
• באופן דומה ,נגדיר אינטראקציית עבודה ליחידת מסה העוברת דרך נפח הבקרה:
δWx
δWx
Ẇx
dt
= δm
=
= wx
̇m
δm
dt
• ומכאן:
q − wx + ho1 − ho2 = 0 =⇒ q − wx + hoin − hoout = 0
כאשר:
1
) V̄ 2 − V̄out + g (zin − zout
2 in
2
hoin − hoout = hin − hout +
כאשר האנרגיה הפוטנציאלית גובהים בד"כ זניחה בכל מכונות החום ,והאנרגיה הקינטית זניחה פרט לזרימה במאיצים\מאיטים
)נחירים\דיפוזורים(.
5.6.2
טורבינה ומדחס
• עבור טורבינה :כניסה בלחץ גבוה ויציאה בלחץ נמוך ,מייצרת חשמל כלומר ,Ẇx > 0מערכת אדיאבטית.
• במקרה זה אינטראקציית החום היא אפס ,וניתן לבצע את ההזנחות שהוזכרו בביטוי עבור אנתלפיית סטגנציה ,ונקבל:
wx = hin − hou
Ẇx = ṁwx
• מדחס פועל בדיוק הפוך מטורבינה ,מספקים לו עבודה ,לכן Ẇin > 0ונקבל:
win = −wx = hout − hin
Ẇin = ṁwin
5.6.3
מצערת )(Throttle
איור :12מצערת
• הצערה היא תהליך זרימה תמידי ,כאשר בו לחץ מופחת אדיאבטית ללא מעורבות.
26
מרצה :לאוניד טרטקובסקי
תרמודינמיקה 1
• במקרה זה אין עבודה כלל ,כמו גם אין אינטראקציית חום ,לכן:
hin − hout = 0 =⇒ hout = hin
• מקדם ג'אול־תומפסון : Joule-Thompson
h
∂T
∂p
= cJT
ועבור גז אידאלי מתקיים cJT = 0
5.6.4
נחיר )מאט( ־ )Nozzle (Diuser
• מערכת הממירה בין לחץ למהירות )מעבר אנרגטי(:
איור :13נחיר ומאט
• במערכות כאלו מניחים שהן אדיאבטיות וקשיחות ,כלומר אין אינטראקציית חום ואין אינטראקציית עבודה.
• לעומת זאת ,לא ניתן להזניח את המהירויות )האנרגיה הקינטית( המוכלת בתוך אנתלפיית הסטגנציה ,לכן:
1
1
ho1 = ho2 =⇒ h1 + V̄12 = h2 + V̄22
2
2
ומכאן נוציא ביטוי לנפח:
) v12 + 2 (h1 − h2
q
= v2
• במקרה הפרטי עבור גז אידאלי:
) v12 + 2cp (T1 − T2
27
q
= v2
מרצה :לאוניד טרטקובסקי
5.6.5
תרמודינמיקה 1
דוד )מחליף חום( ־ )Boiler (Heat Exchanger
איור :14דוד
• יש כניסת חום פנימה ,אין עבודה וניתן להזניח את המהירות ואנרגיית הגובה.
• מכאן:
q + hoin − hoout = 0 =⇒ q = hout − hin
Q̇ = ṁq
6
נפח בקרה בתהליך לא תמידי ,מכונות חום והחוק השני של התרמודינמיקה )הרצאה (6
6.1
נפח בקרה בתהליך לא תמידי ־ מיכל עם פתח אחד
• הערה חשובה לתרגילים באופן כללי ־ אם נתון מיכל קשיח לא תיתכן עבודת שינוי נפח ,ואם נתון מיכל מבודד לא תיתכן
אינטראקציית חום.
6.1.1
מילוי מיכל
איור :15מילוי מיכל
• באופן אינטואיטיבי ,אנו יודעים שהמסה משתנה ,ולמעשה גדלה.
• בקו הספקה אנו מניחים שהתכונות קבועות בזמן.
• בנוסף אנו מניחים שהאנתלפיה של החומר בקו ההספקה שווה לאנתלפיה של החומר בכניסה למיכל.
• כמובן שבמערכת אמיתית זה לא קורה אף פעם ,אך לצורך הקורס ניתן לפשט את המערכת ולהניח את ההנחות הללו.
28
מרצה :לאוניד טרטקובסקי
תרמודינמיקה 1
• אנו יודעים שהמערכת פשוטה ,לכן מתקיים .Ecv = Uנבצע אינטגרציה מנקודת ההתחלה aלנקודת הסיום :b
b
ṁin h0p dt
b
Q̇dt −
Ẇx dt +
a
b
a
= Ub − Ua
a
היות ואנתלפיית הסטגנציה קבועה )לפי ההנחה שלנו( ניתן להוציא אותה מהאינטגרל ,ומתקיים:
ṁin dt = dmcv = dm
ולכן באופן כללי:
) Ub − Ua = Qab − Wab + h0p (mb − ma
• במקרים בהם אין מהירויות זרימה גבוהות בקו האספקה ,hp = h0 ,נוכל לכתוב את החוק הראשון:
) U2 − U1 = Q − Wx + h0 (m2 − m1
• אם בנוסף המיכל קשיח ,נוסיף לשני האגפים ) ,V (p2 − p1ונוכל לרשום ביטוי נוסף:
) H2 − H1 = Q − Wx + h0 (m2 − m1 ) + V (p2 − p1
6.1.2
ריקון מיכל
איור :16ריקון מיכל
• מתקיים:
p0 < pa
h0p = h0
dm
dt = −ṁout
• הפעם לא נוכל להניח שהאנתלפייה קבועה בזמן ,לכן נישאר עם האינטגרל על האנתלפייה ,ועל מנת לפתור אותו נהיה חייבים
לדעת כיצב משתנה האנתלפייה כתלות בזמן.
– הנחת היסוד שלנו שהאנתלפיה מחוץ למיכל ובתוך המיכל שוות עדיין מתקיימת ,אך זה לא אומר שהן קבועות.
• החוק הראשון:
dU
= Q̇ − Ẇx − ṁout h0p
dt
29
מרצה :לאוניד טרטקובסקי
תרמודינמיקה 1
• מתקיים ,−ṁout dt = dmושוב לאחר אינטגרציה:
b
h0p dm
Ub − Ua = Qab − Wab +
a
• חשבו לזכור:
– מילוי dm > 0 :
– ריקוןdm < 0 :
6.2
מכונות חום
6.2.1
מבוא והגדרות
הגדרה 6.1מכונת חום היא מערכת סגורה הפועלת במחזור ,ועושה אינטרקציות חום ועבודה.
• יש מכונות חום המשתמשת באינטראקציית חום בכדי לבצע עבודה ,למכונה כזו אנו קוראים מנוע חום )לדוגמא מנוע בערה
פנימית(.
δW > 0
• כמובן קיימות מכונות חום העובדות בצורה הפוכה ,בהן אנו משקיעים עבודה ומקבלים חום ,למכונה כזו קוראים מקרר )לדוגמא
מקרר או מזגן(.
δW ≤ 0
איור :17הסכם סימון חיצים
• חיצים מכוונים אל המערכת מסמנים אינטראקצייות הגורמות להגדלת האנרגיה הפנימית שלה.
איור :18דוגמא למנוע חום
30
תרמודינמיקה 1
מרצה :לאוניד טרטקובסקי
• תיאור מחזור עהבודה של מנוע החום:
– (1שיווי משקל :מעמיסים את הבוכנה pe > p
– 2־ 1חימום בנפח קבוע עד ש p = pe
– 3־ 2חימום בלחץ קבוע עד שמגיעה הבוכנה למעצור העליון ,מתבצעת עבודה בהעלאת הבוכנה.
– (3מורידים את העומס מהבוכנה pe < p
– 4־ 3קירור בנפח קבוע עד ש p = pe
– 1־ 4קירור בלחץ קבוע ,עד שמגיעה הבוכנה למעצור התחתון .נעשית עבודה שלילית.
• ובאופן סכמטי:
איור :19תיאור סכמטי בדיאגרמת p − v
• כזכור ,חצים המכוונים אל הריבוע מסמנים אינטראקציות הגורמות להגדלת האנרגיה הפנימית של המנוע.
6.2.2
מאגר חום ־ Heat Reservoir
הגדרה 6.2מאגר חום היא מערכת סגורה באמצעותה ניתן לחמם\לקרר ,אשר עוברת רק דרך מצבי שיווי משקל ,והטמפרטורה שלה
נשארת קבועה כאשר היא עוברת אינטראקציות חום סופיות.
איור :20מנוע חום ומאגרי חום
• מנוע חום עובד במחזור ,לכן סך הכל ∆U = 0עבורו .מכאן ,ננסח את החוק הראשון:
QH − QC = W
31
תרמודינמיקה 1
6.2.3
מרצה :לאוניד טרטקובסקי
מדי יעילות של מכונות חום
• נגדיר נצילות מנוע חום כיחס בין התוצר להשקעה ,מכאן:
P roduct
W
QH − QC
QC
=
=
=1−
Investment
QH
QH
QH
=η
– ברור מיד מההגדרה שהנצילות תמיד קטנה או שווה לאחדη ≤ 1 :
• במקרה של מקרר )או מזגן( לא נשתמש בנצילות אלא במקדם ביצוע ־ : COP
P roducts
QC
QC
=
=
Investments
W
QH − QC
= COPc = β
– במקרה זה נשים לב ש βיכול להיות גדול מאחד או קטן מאחד.
– זו בדיוק הסיבה שלא קוראים למקדם הביצוע נצילות ,מפני שנצילות באופן כללי תמיד קטנה מאחד ,אז על מנת למנוע
בילבול אנו מבצעים את האבחנה הנ"ל.
• נגדיר מקדם ביצוע של משאבת חום )מזגן בחורף(:
P roducts
QH
QH
=
=
Investments
W
QH − QC
= COPH = β
– במקרה זה .β ≥ 1
6.3
החוק השני של התרמודינמיקה
• כיצד נוכל להגדיל את הנצילות של מנוע חום? לבטל את תוצר הלוואי )להשתמש רק במאגר החם ולא במאגר הקר( .במקרה
כזה .η = 1
• תיאור זה הוא למעשה תיאור של מכונה נצחית מסוג שני ,מכונה המחליפה חום רק עם מאגר אחד ומייצרת עבודה חיובית.
• האם אפשר לבנות מכונה שמחליפה חום רק עם מאגר אחד? כן ,אבל רק אם המכונה צורכת עבודה )העבודה שלילית (W < 0
ולא מייצרת עבודה ,לדוגמא תנור חשמלי.
• מכאן ננסח את החוק השני לפי קלווין ופלאנק ) :(Kelvin-Planckבלתי אפשרי לבנות מכונה שעובדת במחזור ,מייצרת עבודה
חיובית ,ומחליפה חום רק עם מאגר אחד.
• ננסח את החוק גם לפי קלאוזיוס ) :(Clausiusבלתי אפשרי לייצר מכונה אשר מעבירה חום ממאגר קר למאגר חם כתוצאה
יחידה של פעולתה.
• נרצה לבדוק ששני הניסוחים שקולים :נניח כי PMM2קיים ,ונראה כי הדבר סותר את הניסוח של קלאוזיוס:
איור :21דיאגרמה המתארת את הסתירה
כמובן ניתן להוכיח את השקילות בכיוון ההפוך.
32
מרצה :לאוניד טרטקובסקי
תרמודינמיקה 1
7
הפיכות ,מנוע קרנו ,טמפרטורה תרמודינאמית )הרצאה (7
7.1
הקדמה
• בהרצאה זו נתחיל לדון בנושא הכיווניות בתרמודינמיקה.
• תהליך הפיך הוא תהליך שקיים לו תהליך הופכי .אם התהליך ההפוך ל 2־ 1לא קיים ,אומרים ש 2־ 1לא הפיך.
• לדוגמא נפילה של חבילת מרגרינה )או מקל לצורך העניין( היא תהליך לא הפיך ,ספונטנית המקל לא יחזור ליד .תנודות
מטוטלת לעומת זאת הן דוגמא לתהליך הפיך.
הגדרה 7.1תהליך 1־ 2נקרא הפיך ,אם קיים עבורו תהליך משלים )הפוך(2 ,־ ,1אשר מביא את המערכת והסביבה למצבם הקודם דרך
כל אותם מצבי ביניים .כל אינטראקצייה של 2־ 1היא בעלת אותו גודל של האינטראקצייה המתאימה עבור 1־ ,2אך בסימן הפוך:
(
W12 = −W21
Q12 = −Q21
• על מנת להוכיח שתהליך 2־ 1הפיך ־ יש למצוא את התהליך ההפוך לו.
• על מנת להוכיח שתהליך 2־ 1לא הפיך ־ יש להראות שהתהליך ההפוך סותר את החוק השני.
7.2
דוגמאות להפיכות ואי הפיכות
7.2.1
דוגמא 1
איור :22המערכת
• נוכיח כי תהליך התפשטות אדיאבטית חופשית לריק אינו הפיך.
• תהליך Aהוא אדיאבטי ולא מבצע עבודה ,לכן מהחוק הראשון :
=⇒ ∆U = Q12 − W12 ==⇒ U1 = U2
W12 = 0
Q12 = 0
(
• נניח כי קיים תהליך הופכי ,A−1 ,ונראה כי הוא סותר את החוק השני )השרטוט הוא רק לצורך המחשה ,אנו מניחים שהוא
עובר דרך אותם תהליכי ביניים(.
• נוסיף שני תהליכים אפשריים :
.1תהליך 3־ 1הוא התפשטות אדיאבטית כנגד הלחץ החיצוני )תהליך שאנו יודעים שאפשרי(:
33
מרצה :לאוניד טרטקובסקי
תרמודינמיקה 1
איור :23המערכת
המערכת "מרימה" את החול התרמודינאמי שסמנו לצורך בוחן ,לכן ,W13 > 0והיות והמערכת עדיין אדיאבטית מתקיים
כי .Q13 = 0מהחוק הראשון:
U3 = U1 − W31 < U2
.2תהליך 2־ 3־ חימום בנפח קבוע ,כשהפעם הסרנו את הבידוד )גם התהליך הזה אפשרי( :
איור :24תהליך 2־3
היות ואין שינוי נפח אין עבודה )זה הוא פרמטר העבודה הקוואזיסטטית היחיד במערכת( ,אך הפעם אנו מכניסים חום
למערכת לכן .Q32 > 0 :מהחוק הראשון:
Q32 = U2 − U3
• התהליך ההפוך שאת קיומו הנחנו A−1הפוך ל ,Aלכן בהכרח גם עבורו:
(
Q21 = 0
W21 = 0
• נתבונן במחזור שייצרנו:1 ← 2 ← 3 ← 1 :
34
מרצה :לאוניד טרטקובסקי
תרמודינמיקה 1
איור :25התהליך החדש שבנינו
נפעיל את החוק הראשון לאורך כל המחזור ונקבל:
Q32 = W13 > 0
קיבלנו למעשה מכונה הכוללת שלושה תהליכים ,ובינהם את A−1במחזורה ,המייצרת עבודה חיובית תוך אינטראקצייה עם
מאגר חום יחיד ־ וזו סתירה לחוק השני! היות ושניים מהתהליכים אפשריים בוודאות ,נקבל בהכרח כי ) A−1שאת קיומו רק
הנחנו( לא קיים ולכן תהליך Aלא הפיך.
7.2.2
דוגמא 2
איור :26המערכת
• כל חלק במערכת בשיווי משקל ,ומתקיים .T1 > T2האינטראקצייה היחידה היא מעבר חום מחלק 1לחלק ,2האם התהליך
הפיך?
• נניח כי קיים תהליך הפוך .A−1 ,קיבלנו מכונה הפועלת במחזור ,אשר אינה משפיעה על הסביבה בשום צורה ,ורק מעבירה
חום ממאגר קר למאגר חם ־ וזו סתירה לניסוח של קלאוזיוס לחוק השני.
• באופן כללי ,נוכל לומר כי" :מעבר חום עבור הפרש טמפרטורות סופי הוא תהליך לא הפיך".
7.2.3
דוגמאות לתהליכים הפיכים
.1התפשטות\דחיסה קווזיסטטיים )איזוטרמי ,אדיאבטי ,פוליטרופי (...־ כלומר כאשר הפרש הלחצים הוא אינפיטיסימאלי
)(p = pe + δ
.2התפשטות\דחיסה בטורבינה\מדחס הם הפיכים
.3התפשטות\דחיסה בנחיר\דיפוזר הם הפיכים )עבור מתקנים דמיוניים ללא חיכוך או הפסדים אחרים כמובן(.
.4דפורמציה אלסטית.
35
תרמודינמיקה 1
7.2.4
מרצה :לאוניד טרטקובסקי
גורמי אי הפיכות
.1התפשטות\דחיסה במערכת דחיסה בהפרש לחצים סופי )לא אינפיטיסימלי( ,כמו גם התפשטות לריק.
.2התפשטות דרך מצערת )שסתום(.
.3מעבר חום בהפרש טמפרטורות סופי.
.4תהליכים בהם יש חיכוך.
.5ערבוב חומרים במצבים שונים.
.6דפורמציה פלסטית.
.7זרם חשמלי דרך נגד.
.8תגובות כימיות )לא הפיכות(.
7.3
תהליך הפיך עקרונית ותהליך הפיך פנימית
• בטבע אין באמת תהליכים הפיכים ,אך לפעמים קיימת אפשרות להפחית את גורמי אי ההפיכות.
• תהליך בו ניתן להפחית את גורמי אי ההפיכות לכל רמה רצוייה ,נקרא תהליך הפיך עקרונית.
– מטוטלת היא דוגמא קלאסית ,יש איבוד אנרגיה בציר ־ אך בעזרת מיסוב נכון ניתן להפחית אותו ככל שנרצה.
• תהליך הפיך פנימי הוא תהליך שניתן להחליף אותו לתהליך הפיך על ידי שינויים\החלפת סביבה ,כך שבתוך המערכת לא יהיו
שינויים
• לדוגמא:
איור :27תהליך הפיך פנימית
גז המתפשט כנגד רפידות חיכוך .ברור לנו שלא נוכל לגרום לרפידות לעבוד בצורה הפוכה ,הרפידות יכולות לבלום את
התקדמות המוט ולהביא אותו להתפשטות קוואזיסטטית איטית ־ הן לא יכולות לעבוד בכיוון ההפוך .מצד שני ,הרפידות
נמצאות מחוץ למערכת שלנו ־ הן חלק מהסביבה ־ לכן אם נחליף אותן בחול תרמודינאמי ,התהליך ישאר אותו הדבר אך
עתה ניתן יהיה להפוך אותו .אם נוסיף חול נגדיל את הלחץ החיצוני ,ואם נסיר חול נקטין אותו.
36
מרצה :לאוניד טרטקובסקי
7.4
תרמודינמיקה 1
מחזור ומכונת קרנו
איור :28מחזור קרנו
• מחזור המורכב מארבעה תהליכים הפיכים ,שניים מהם הם איזותרמיים ,ומחברים בינהם שני תהליכים אדיאבטיים.
– תהליך :2 ← 1דחיסה איזותרמית הפיכה .קיימת אינטראקצייה עם מאגר קר ,המסלק את החום ,ומתבצעת עבודה
שלילית )הסביבה פועלת על המערכת(.
T = Tc = const
Q12 = Qc
W12 < 0
– תהליך :3 ← 2דחיסה אדיאבטית הפיכה .אין אינטראקציה עם מאגר ,לכן הטמפרטורה עולה ,אך אין אינטראקציית
חום .גם פה העבודה שלילית שכן המערכת מבצעת אותה.
T =⇒ Th
Q23 = 0
W23 < 0
– תהליך :4 ← 3התפשטות איזותרמית הפיכה .יש אינטראקצייה עם מאגר חם ,לכן חום נכנס למערכת .הטמפרטורה
קבועה בגלל המגע עם המאגר ,אך הפעם העבודה חיובית )הגז מתפשט כנגד הלחץ החיצוני(.
T = Th = const.
Q34 = Qh
W34 > 0
– תהליך :1 ← 4התפשטות אדיאבטית הפיכה .אין אינטראקציה עם מאגר ,לכן הטמפרטורה יורדת ,אך אין אינטראקציית
חום .גם פה העבודה חיובית שכן המערכת מבצעת אותה.
T =⇒ Tc
Q41 = 0
W41 > 0
• מדובר בתהליכים קוואזיסטטיים ,לכן סך העבודה היא השטח הכלוא בין העקומות .היות ומדובר במחזור ,אנו יודעים שסה"כ
שינוי התכונה הוא אפס ,מכאן:
∆U = Q − W = 0 =⇒ Q = W
37
מרצה :לאוניד טרטקובסקי
תרמודינמיקה 1
pdV = Qh − Qc
= Wnet
• מכאן ,אם נחשב את הנצילות של מנוע קרנו:
P roducts
W
QH − QC
=
=
Investment
QH
QH
=η
• כל מנוע קרנו אפשר להפוך למקרר קרנו.
עקרונות קרנו
7.5
.1נצילות מנוע חום הפועל בין שני מאגרים נתונים אינה עולה על נצילות מנוע חום הפיך הפועל בין אותם המאגרים.
.2נצילויות של כל מנועי חום הפיכים הפועלים בין שני מאגרים נתונים שוות.
7.5.1
הוכחת העקרון הראשון
• נניח שהעקרון הראשון לא נכון ,כלומר קיים מנוע חום Xשנצילותו גבוהה מהנצילות של מנוע הפיך Rהפועל בין אותם
המאגרים.
איור :29העקרון הראשון
• לפי הגדרת הנצילות ,המנוע התאורטי שלנו ,X ,מבצע עבודה גדולה יותר מאשר של המנוע ההפיך:
WX > WR
ומהגדרת החוק הראשון עבור מחזור נקבל כי אינטראקציית החום קטנה יותר ,מכאן:
(
WX = QH − QX
=⇒ QX < QR
WR = QH − QR
• בגלל שמנוע Rהפיך ,ניתן להפוך אותו למקרר ־ .R−1
• נבנה מערכת הכוללת את מנוע Xואת מקרר :R−1
38
מרצה :לאוניד טרטקובסקי
תרמודינמיקה 1
איור :30העקרון הראשון
• בגלל ש )WX > WRלפי ההנחה( ,מנוע Xמספק עבודה למקרר ,כאשר סך העבודה חיובית:
WX − WR = Wnet > 0
• היות ו QHמתבטל )פעם אחת חיובי ופעם אחת שלילי( ,קיבלנו מנוע חום שמתקשר עם מאגר יחיד ומספק עבודה חיובית ,זו
מכונה נצחית מסוג שני ־ סתירה לחוק השני ! מכאן ההנחה אינה נכונה ומתקיים:
ηX ≤ ηR
7.5.2
הוכחת העקרון השני
• יהיו Xו Rמנועים הפיכים .לפי העקרון הראשון:
ηX ≤ ηR
• מצד שני ,לפי אותו עיקרון:
ηR ≤ ηX
כלומר בהכרח .ηR = ηX
• מסקנה :נצילות של מנוע חופ הפיך אינה תלויה במבנה המנוע ,אופן הפעולה שלו או חומר העבודה ־ אלא אך ורק בטמפרטורות
המאגרים.
7.6
טמפרטורה תרמודינאמית
• סקלאת טמפרטורות שאינה תלויה במכשיר המדידה.
• נתבונן במנוע חום ומקרר הפיכים:
39
מרצה :לאוניד טרטקובסקי
תרמודינמיקה 1
איור :31המנוע והמקרר
• כזכור ,נצילות\מקדם בצוע של מכונת חום הפיכה תלויה אך ורק בטמפרטורת המאגרים ,מכאן ניתן להגדיר אות המנה הבאה
כפונקציה של הטמפרטורות:
QC
) = f (TC , TH
QH
• ננסה לחקור את הפונקציה הזו .נתבונן בשלושה מנועי חום הפיכים ,A, B, Cונגדיר איזה מאגר חום ביניים הנמצא בטמפרטורה
.TA
איור :32המערכת החדשה
• הפונקציות עבור המנועים השונים נתונות ע"י:
– מנוע :A
QC
) = f (TC , TH
QH
– מנוע :B
QA
) = f (TA , TH
QH
40
מרצה :לאוניד טרטקובסקי
תרמודינמיקה 1
– מנוע :C
QC
) = f (TC , TA
QA
• שלושת המנועים הפיכים ,ומקיימים:
QC QA
QC
=
·
) =⇒ f (TC , TH ) = f (TC , TA ) · f (TA , TH
QH
QA QH
• הפונקציה ) f (TC , THלא תלויה כלל ב ,TAהדרך היחידה לדאוג לכך היא שהפונקציה תהיה מנה של שתי פונקציות חדשות
במשתנים יחידים:
) F (TC
QC
=
) F (TH
QH
= ) f (TC , TH
• נבחר את F (T ) = Tלהיות סקלה בטמפרטורות קלווין ,ומכאן:
TC
QC
=
QH
TH
• הקשר הזה בצירוף מצב סטנדרטי יחיד )נסמן ∗ (Tמאפשר מדידת טמפרטורה של כל מערכת בעזרת מכונת חום הפיכה ־ .R
מודדים QHו QCומקבלים:
QH
QC
· ∗T = T
• המצב הסטנדרטי כפי שהוגדר היום הוא לפי הנקודה המשולשת של המים:
]T∗ = 273.16 [K
]T (C) = T (K) − 273.16 [k
• מכאן ניתן לכתוב את נצילות החום של מנוע הפיך:
QC
TC
=1−
QH
TH
8
אנטרופיה )הרצאה (8
8.1
אי שוויון קלאוזיוס
ηR = 1 −
• ראשית ,נוכיח משפט עזר:
משפט 8.1עבור מערכת סגורה אשר פועלת במחזור ומחליפה חום עם מאגר אחד ,קיים אי שוויון:
δQ ≤ 0
= δW
• ההוכחה היא מיידית מהחוק השני ,אם הוא לא מתקיים אזי יצרנו PMM2
41
תרמודינמיקה 1
מרצה :לאוניד טרטקובסקי
משפט ) 8.2קלאוזיוס( במערכת סגורה אשר פועלת במחזור ,מתקיים אי השוויון:
δQ
≤0
T
• השוויון מתקיים עבור תהליכים הפיכים במחזור.
הוכחה :מערכת Aמחליפה חום בטמפרטורות שונות עם מנוע חום\מקרר הפיך .עבורו היא משמשת מאגר חום .המאגר השני
בטמפרטורה קבועה .TRנשים לב כי מערכת + Aהמנוע ההפיך מהווים מערכת סגורה אשר פועלת במחזור ,ומחליפה חום עם מאגר
יחיד* .להוסיף תמונה*
• היות ו Rמנוע הפיך ,לפי משפט עזר 1ומה שאנו יודעים על מכונו הפיכות מתקיים:
(
δQR ≤ 0
δQE
TR
TR
δQ = T =⇒ δQR = δQ · T
הטמפרטורה TRקבועה ,לכן ניתן להוציא אותה מהאינטגרל ,והיות והיא חיובית נצמצם אותה ונקבל:
(
δQ
δQ
T = 0 Reversable
TR
⇒= ≤ 0
δQ
T
T < 0 Ireverseable
8.2
הגדרת האנטרופיה
• אם התהליך הפיך )יסומן בתור (Rלאורך מסלול ,אזי:
δQ
δQ
+
=0
T R
T R
• אם נהפוך את גבולות האינטגרציה ונעביר אגפים ,נקבל:
δQ
T R
=
1→b→2
δQ
⇒= = 0
T
1→a→2
2→b→1
R
δQ
T
R
1→a→2
• קיבלנו גודל שלא תלוי במסלול ומגדיר שינוי תכונה ,נגדיר זאת בתור השינוי באנטרופיה:
δQ
= S2 − S1
T R
1→2
– מבחינה אינטואיטיבית יותר )מאוחר יותר נדגים זאת( ,אנטרופיה מצביעה על רמת אי ההפיכות של התהליך.
S
• אנטרופיה ־ S־ היא תכונה אקסטנסיבית ,ניתן להגדיר אנטרופיה סגולית
,s = mומכאן:
δQ
δq
= ∆S12
=m
= m∆s12
T R
T R
1→2
1→2
• עבור חומר טהור ניתן להגדיר אותה כפונקציה של טמפרטורה ולחץ ,או של איכות האד:
(
) s = s (p, T
s = sf + xsf g
• מפני שאנטרופיה היא תכונה ,השינוי בה בין שתי נקודות קיצון לא תלוי במסלול כלל ,לכן השינוי באנטרופיה בתהליך הפיך
בין שתי נקודות ,או בתהליך לא הפיך בין אותן נקודות ־ זהה:
(∆S12 )rev = (∆S12 )Irev
42
תרמודינמיקה 1
8.3
מרצה :לאוניד טרטקובסקי
שינוי אנטרופיה עבור תהליך כלשהוא
משפט 8.3עבור מערכת סגורה המבצעת תהליך כל שהוא )לאו דווקא הפיך( ,מתקיים:
δQ
≤ ∆S12
T
1→2
הוכחה :נגדיר שני תהליכים בין הנקודות 1ו־ X12 ,2לא הפיך ו R12הפיך .לפי משפט עזר , 2אי שוויון קלאוזיוס ,מתקיים:
δQ
≤0
T
δQ
+
T
2−R−1
δQ
=
T
1−X−2
עבור תהליך Rשהגדרנו כהפיך נציב:
δQ
≤ ∆S12
T
−∆S
12
{ |} δQ z
⇒= + ∆S21 ≤ 0
T
1−X−2
1−X−2
כאשר אם X = Rמתקיים השיוויון.
• עבור תהליך אינפיטיסימלי כלשהוא:
δQ
≤ dS
T
• קודם ,טענו שהשינוי באנטרופיה בין שתי נקודות שווה ללא קשר להאם התהליך הפיך או לא ,מצד שני הרגע הוכחנו אי שוויון
שמראה אחרת עבור תהליכים לא הפיכים:
(
∆S12R = ∆S12
2
∆S12 ≥ 1 δQ
T
מה הגורם לסתירה לכאורה?
• השינוי באנטרופיה אכן קבוע ,מה שמשתנה עבור תהליך לא הפיך היא אינטראקציית החום עם הסביבה ,והיא שגורמת לאי
השוויון.
8.4
עקרון גדילת האנטרופיה
• כאשר מדובר בתהליך אדיאבטי ,כלומר ,δQ = 0האנטרופיה לא יכולה לקטון:
dS ≥ 0 =⇒ S2 − S1 ≥ 0 =⇒ S2 ≥ S1
• במילים מפורשות :אנטרופיה של מערכת סגורה בתהליך אדיאבטי אינה יורדת ,אם התהליך אדיאבטי והפיך אז האנטרופיה
קבועה.
• האנטרופיה כן יכולה לקטון כאשר התהליך אינו אדיאבטי ואינטראקציית החום שלילית ,נניח כאשר אנו מקררים את המערכת.
• תהליך אדיאבטי סמערכת סגורה נקרא תהליך איזנטרופי ,תהליך באנטרופיה קבועה.
• עבור מערכת מבודדת :אנטרופיה של מערכת סגורה ומבודדת אינה יורדת .במצב שווי משקל אנטרופיה מגיעה לערכה
המקסימאלי.
• מכאן ,הפיסיקאי הגרמני רודולף קלאוזיוס הגדיר מחדש את שני החוקים של התרמודינמיקה:
– הארנגיה של העולם נותרת קבועה.
– האנטרופיה של העולם נעה לכיוון ערכהה המקסימאלי.
• מסקנה המגיעה מכך היא תאוריית ה"מוות חומני של היקום" ).(Heat Death of the Universe
43
מרצה :לאוניד טרטקובסקי
8.5
תרמודינמיקה 1
חישוב שינוי אנטרופיה בתהליך לא הפיך
איור :33הדרך הישירה לחישוב
8.5.1
דוגמא לחישוב ישיר
• שינוי אנטלפיה בהפשרה של ] 1 [kgקרח ב ] 0 [Cולחץ ] 1.01 [barהוא
i
kJ
kg
h
.333.39מערכת הכוללת ] 2 [kgקרח ומים
בתנאים הנ"ל ,נמצאת במגע עם אוויר בטמפרטורה ] .20 [Cבמהלך התהליך הקרח נמס.
.1מצא את שנוי האנטרופיה בתהליך של הקרח.
.2מצא את שנוי האנטרופיה בתהליך של האוויר.
.3מצא את שנוי האנטרופיה בתהליך של היקום.
– כאשר שואלים על יקום ,מתכוונים לשינוי האנטרופיה במערכת שלה +שינוי האנטרופיה בסביבתה.
.4הצע כיצד ניתן לבצע הפשרה בתהליך הפיך.
• פתרון :ראשית ,במקרה זה אינטראקציית החום היא השינוי באנתלפייה:
]Q12 = ∆H12 = m∆h12 = 2 · 333.39 = 666.78 [kJ
שינוי הטמפרטורות הוא סופי ,לכן לפי מה שלמדנו בהרצאה הקודמת ־ ידוע כי התהליך לא הפיך.
.1התהליך הפיך פנימית ,לכן נרצה לשנות את הסביבה על מנת להפוך את התהליך להפיך .נחליף את הסביבה לסביבה
הנמצאת באותה טמפרטורה כמו המערכת שלנו ,לכן התהליך הפך להפיך .חשוב לשמור את אינטראקציית החום כפי
שהייתה! כעת נחשב את האנטרופיה בעזרת אינטגרציה:
δQ
Q12
]666.78 [kJ
kJ
=
=
= 2.441
T
Tice
]273.15 [K
K
2
system
∆S12
=
1
היות וחישבנו את אינטראקציית החום ,ונתון לנו שטמפרטורת הקרח קבועה ,לא היינו צריכים באמת לבצע את
האינטגרציה .האנטרופיה גדלה ,תוצאה זו הגיונית שכן המערכת קיבלה חום מהסביבה.
.2על מנת לחשב את שינוי האנטרופיה של האוויר ,נתייחס לאוויר כמערכת ונשנה את הסביבה כך שהטמפרטורה שלה תהיה
] ,20 [Cעל מנת שהפרש הטמפרטורות שוב יהיה קטן אינפיטיסימלית והמערכת תהיה הפיכה .גם כאן נזכור לשמור את
אינטראקציית החום ,כעת בסימן שלילי ,ונחשב את האנטרופיה:
−Q12
]−666.78 [kJ
kJ
δQ
=
=
= −2.2745
T
Tair
(273.15 + 20) K
K
2
air
∆S12
=
1
האנטרופיה קטנה .זו תוצאה הגיונית ,שכן האוויר מעביר חום החוצה.
44
מרצה :לאוניד טרטקובסקי
תרמודינמיקה 1
.3שינוי האנטרופיה ביקום היא סכום שינויי האנטרופיה של המערכת והסביבה:
kJ
system
universe
air
∆S12
>0
= ∆S12
+ ∆S12 = 0.1666
K
השינוי הכללי באנטרופיה גדול מאפס עבור מערכת מבודדת ,מכאן נוכל להסיק כי התהליך בהכרח אינו הפיך.
.4כיצד נבצע הפשרה הפיכה? נחבר מנוע הפיך שיקבל חום מהאוויר ,ויספק חום לאוויר .היות והמנוע הפיך ,כל פעולה בו
הפיכה ,לכן נחשב את השינוי באנטרופיה ישירות:
Q12
kJ
system
∆S12
=
= 2.441
T
K
לפי ההגדרות עבור מנוע הפיך מתקיים:
666.78 × 293.15
]= 715.60 [kJ
273.15
=
Th
Tc
Qc
Tc
=
=⇒ Qh = Qc
QH
TH
מכאן השינוי הכולל של האנטרופיה ביקום:
Qc
QH
−
= 2.441 − 2.441 = 0
Tc
TH
system
universe
air
∆S12
= ∆S12
+ ∆S12
=
כלומר התהליך החדש הפיך ,וקיבלנו "בונוס" של עבודה ,נחשב אותה:
293.15
TH
]− 1 = 48.82 [kJ
W12 = QH − Qc = QC
− 1 = 666.78
TC
273.15
– נשים לב שקיבלנו תהליך "טוב ׁיותר" או יעיל יותר ,האם תהליך הפיך תמיד יעיל יותר? נראה בשיעור הבא.
8.6
משוואות אנטרופיה
• לא תמיד נוכל למצוא תהליך הפיך בין שתי נקודות שנוכל לחשב ,לכן נפתח משוואות ישירות שיעזרו לנו.
• נתבונן במערכת דחיסה פשוטה העוברת תהליך הפיך:
(
(δQ)R = T dS
(δW )R = pdV
נציב בחוק הראשון ונחלק במאסה ,ונקבל:
du = T ds − pdv
– כזכור ,אנתלפיה סגולית מוגדרת:
dh = du + d (pv) = du + vdp + pdv
נציב את הביטוי עבור אנרגיה פנימית כתלות באנטרופיה שפיתחנו:
dh = T ds + vdp
– נשכתב את שתי המשוואות ,ונקבל:
(
p
ds = du
T + T dv
v
dh
ds = T − T dp
45
מרצה :לאוניד טרטקובסקי
תרמודינמיקה 1
• עבור גז אידאלי:
dh = cp dT
du = cv dT
pv = RT
dT
dv
ds = cv T + R v
dp
dT
=⇒ ds = cp T − R p
dp
ds = cp dv
v + cv p
כאשר את המשוואות עבור אנטרופיה קיבלנו בעקבות הצבה בביטויים הקודמים ,ולפי הקשר:
)R = cp − cv = cr (k − 1
– נבצע אינטגרציה:
v2
T2
+
R
ln
s
−
s
=
c
ln
2
1
v
T1
v1
s2 − s1 = cp ln TT21 − R ln pp21
s2 − s1 = cv ln TT21 + cp ln vv12
• עבור תהליך אדיאבטי מתקיים:
k
≥0
p2 v2
p1 v1k
=⇒ ln
v2
v1
cp
ln
cv
+
p2
p1
s2 − s1 ≥ 0 =⇒ ln
ומכאן:
p2 v2k ≥ p1 v1k
– השוויום מתקיים עבור תהליך אדיאבטי הפיך ־ תהליך איזאנטרופי.
8.7
עבודה וחום בתהליך איזותרמי הפיך
• התהליך הפיך ,לכן ניתן לכתוב את השיוויון:
δQ
=⇒ δQ = T ds
T
= ds
• בנוסף הטמפרטורה קבועה ,לכן ניתן לרשום:
2
) T dS = T (S2 − S1
= Q12
1
• ולכן צורת החוק הראשון :
W12 = Q12 − ∆U12 = T ∆S12 − ∆U12
• אם נתבונן בדיאגרמת ,p − vנראה שבתוך הפעמון "נשבר" לצורה אופקית כמעט ,היות וחלק מהאנרגיה עוברת למעבר פאזה
)חום כמוס(.
46
תרמודינמיקה 1
מרצה :לאוניד טרטקובסקי
איור :34הדיאגרמות
• *עכשיו הוא עשה שתי דוגמאות מהספר של שביט ,הוא רץ עליהן אז לא ניסיתי להעתיק אותן ,הן נמצאות במצגת*
החוק השני לנפח בקרה
8.8
• כזכור ,עבור תכונה ,Bשינוי בנפח בקרה נתון ע"י:
bi ṁi
X
dB
dt
dS
dt
+
system
dB
dt
dS
dt
=
cv
נבחר B = Sו־ ,b = sונקבל:
si ṁi
X
+
system
=
cv
• אנו יודעים שבמערכת סגורה מתקיים:
δQ
T
≥ dS
לכן עבור מערכת סגורה המחליפה חום עם מאגר Tבזמן ,t + dtנקבל את אי השוויון:
dS
̇Q
−Q̇dt
⇒= ≥ 0
≥
(dS)system +
T
dt system
T
• מכאן:
Q̇ X
+
si ṁi
T
8.8.1
≥
dv
dS
dt
עבור תהליך תמידי
• מתקיים:
̇Q
T
≥ si ṁi
X
= 0 =⇒ −
cv
• כזכור ,מתקיים:
– עבור כניסות ־ ṁi > 0
– עבור יציאות ־ ṁi < 0
47
dS
dt
מרצה :לאוניד טרטקובסקי
תרמודינמיקה 1
• מכאן:
̇S
}| X
{
si |ṁi | −
si |ṁi | ≥ 0
z
X
in
out
⇒= si ṁi ≥ 0
X
−
ו ̇ Sהוא רצב גדילת האנטרופיה של היקום כתוצאה מתהליכים בנפח בקרה.
• עבור המקרה הפרטי של תהליך תמידי בנפח בקרה בעל שני פתחים:
̇Q
T
≥ ) |ṁ| (sout − sin
• ועבור תהליך תמידי בנפח בקרה אדיאבטי ,תמיד:
sout ≥ sin
9
שימושי אנטרופיה
• בהרצאה זו נדבר על שימושי החוק השני של התרמודינמיקה ,ותכונות האנטרופיה למטרות ניתוח מערכות סגורות ופתוחות.
• החוק השני יעיל מאוד בפתרון של בעיות של תהליכים הפיכים פנימית .עבור תהליכים הפיכים מתקיים:
(
δQrev = T dS
δWrev = pdV
• בנוסף ,החוק השני מועיל גם בבדיקת האם תהליך נתון אפשרי או לא ,והפיך או לא.
• שאלה מעניינת שעולה ,היא אם הגדרנו את האנטרופיה )כמו גם האנטלפיה והאנרגיה לדוגמא( כשינוי בין שני מצבים ,כיצד זה
שבטבלאות קיטור יש לנו ערכים למצבים ספציפיים? בעיקרון תמיד מוגדר איזה שהוא מישור ייחוס בתור האפס שלנו ,והכל
מחושב ביחס אליו.
9.1
דוגמא קשה
איור :35דוגמא ־ שימושי אנטרופיה
• בשאלות תרמודינאמיות ,חשוב מאוד לשים לב לניסוח השאלה שכן הניסוח נותן "נתונים חבויים".
48
תרמודינמיקה 1
מרצה :לאוניד טרטקובסקי
– נתון כי המערכת מבודדת היטב ־ כלומר התהליך הוא אדיאבטי ,לכן בסך הכל:
∆S ≥ 0
– נתון כי זרימת הגז איטית מאוד ־ קוואזי סטטית.
• נסמן ארבעה מצבים:
– מצב :1התחלתי ב A
– מצב :2סופי ב A
– מצב :3התחלתי ב B
– מצב :4סופי ב B
• ידועות לנו שתי תכונות בת"ל בכל מיכל ,לכן אם נניח כי מדובר בגז אידאלי ,בעזרת משוואת המצב נוכל בקלות למצוא את
המסות:
pV
300×0.6
m1 = RT
= 8.3143
]= 9.005 [kg
( 28 )×674.15
1
200×1.0
m3 = pV
]= 1.592 [kg
= 8.3143
RT
( 28 )×423.15
3
• המיכלים קשיחים ,המערכת סגורה ואדיאבטית ,לכן .∆U = Q = W = 0נשתמש בביטוי שפיתחנו עבור גז אידאלי:
1
) (p2 V2 − p1 V1
k−1
= ∆U
ובמקרה שלנו:
) (p2 V2 + p4 V4 ) − (p1 V1 + p3 V3
=0
k−1
= ∆U
• במקרה שלנו ,בסוף התהליך הלחצים שווים ,ומתקיים V2 = V1ו־ V3 = V4מפני שהמערכת קשיחה ,אזי:
3.0 × 0.6 + 0.2 × 1.0
) (p1 V1 + p3 V3
=
]= 1.125 [M P a
V1 + V3
0.6 + 1.0
= p4 = p2
• *החלק החשוב* מצאנו פרמטר יחיד ,עלינו למצוא את הטמפרטורות בסוף התהליך על מנת לקבוע את מצב המערכת.
• נגדיר כמערכת את הגז שנשאר בחלק Aבסוף התהליך .בגלל שהגדרנו שהזרימה היא איטית ניתן להניח כי בכל רגע נתון הגז
במיכל מעורבב היטב ,לכן ניתן להתייחס למערכת שלנו כמבצעת התפשטות כנגד סביבה בלחץ וטמפרטורה זהים ־ כלומר ניתן
להגדיר את התהליך כהפיך פנימית .מכאן ,היות והתהליך הפיך ואדיאבטי האנטרופיה הסגולית לא משתנה:
s2 = s1
– היות והלחץ ב Aבתחילת התהליך הוא הגבוה יותר הזרימה היא לכיוון ,Bכמו כן יכולנו להניח כי הגז הסופי ב Aתופס
נפח קטן יותר במצב ההתחלתי .זו נקודה עדינה ,שכן התהליך ככלל לא הפיך ,אבל לפי ההנחה שהגז מעורבב היטב,
הפרש הלחצים והטמפרטורות הוא אינפיטיסימלית קטן לכן ניתן להגדיר את התהליך כהפיך פנימית.
• נחשב את הטמפרטורה הסופית במיכל ,T2 ,Aלפי המשוואה עבור התפשטות אדיאבטית:
1
3.5
]= 0.7787 =⇒ T2 = 673.15 × 0.7787 = 524.2 [K
49
1.25
3.0
k−1
k
=
p2
p1
T2
=
T1
תרמודינמיקה 1
מרצה :לאוניד טרטקובסקי
• מכאן ,דרך משוואת המצב נחשב את המסה שנותרה ב :A
]= 4.818 [kg
2
pV
RT
= m2
ולכן משימור מסה:
]m4 = m3 + ∆m = m3 + m1 − m2 = 5.779 [kg
• בהתאמה הטמפרטורה הסופית במיכל :B
1250 × 1.0
]= 728.4 [K
× 5.779
8.3143
28
• כזכור ,עבור גז אידאלי עם חום סגולי קבוע:
p2
p1
− R ln
T2
T1
=
4
pV
mR
= T4
s2 − s1 = cp ln
– נשים לב שמדובר באנטרופיה סגולית ,בתהליך שהגדרנו כהפיך פנימית באמת אין שינוי באנטרופיה הסגולית ,אך כשנכפיל
במסות השונות נקבל את השינוי באנטרופיות .השינוי באנטרופיה במיכל Aנובע משינוי המסה בלבד ,שכן הגז רק התפשט
ולא זרם לשום מקום ־ תוצאה של תהליך הפיך פנימית.
• לכן ,השינוי הכולל באנטרופיה:
∆S = (m1 − ∆m) s2 + (m3 + ∆m) s4 − m1 s1 − m3 s3
) ∆S = (s4 − s3 ) + ∆m (s4 − s1
T4
p4
T4
p4
∆S = m3 cp ln
− R ln
+ ∆m cp ln
− R ln
T3
p3
T1
p1
T4
T4
p4
k
p4
k
ln
ln
∆S = R m3
− ln
+ ∆m
− ln
k−1
T3
p3
k−1
T1
p1
8.3143
728.4
1.25
728.4
1.25
kJ
= ∆S
1.592 3.5 · ln
− ln
+ 4.187 3.5 · ln
− ln
= 1.4640
28
423.15
0.2
673.15
3.0
K
• חשוב לשים לב לבחירת המערכת לצורך יצירת תהליך הפיך פנימית ,זה קטע חשוב ועדין שבהחלט יכול להיות במבחן.
9.2
עבודה בתהליכי התפשטות ודחיסה במערכת פתוחה
איור :36מערכת לדוגמא עם שתי כניסות
50
מרצה :לאוניד טרטקובסקי
תרמודינמיקה 1
• כזכור ,ניסוח החוק ההראשון עבור מערכת בקרה הוא:
ṁi h0i
X
= Q̇ − Ẇ +
dE
dt
עבור מצב מתמיד אין שינוי באנרגיה ,ועבור שני פתחים בלבד נקבל:
Q̇ − Ẇ = ṁ h02 − h01
• במידה ושינויי הגובה והמהירות קטנים בהשוואה לשינויים באנתלפיה ,נוכל לכתוב בפשטות:
) Q̇ − Ẇ = ṁ (h2 − h1
נחלק את שני האגפים ב ̇ ,mונקבל:
q − wx = h2 − h1
• כזכור מהשיעור הקודם ,הפרש אנתלפיות הוא:
2
vdp
2
= h2 − h1
T ds +
1
1
ומכאן:
≤0
{
2
|}
2
wx = q −
T ds −
vdp
z
1
1
– עבור תהליך הפיך ,הביטוי בסוגריים מתאפס ,ונקבל:
2
(wx )rev = −
vdp
1
• במקרה הכללי:
2
wx ≤ −
vdp
1
כלומר קיבלנו חסם עליון לעבודה של מערכת פתוחה במצב מתמיד.
• במידה ונתון לנו תהליך עם נוזל ,ניתן לפשט את האינטגרל כי הנפח הוא כמעט קבוע:
) wx ≤ −v (p2 − p1
• עבור תהליך אדיאבטי הפיך )תהליך איזנטרופי( בגז אידאלי ,ידוע כי הנפח נתון על ידי הפונקצייה:
k1
p1
v = v1
p
נציב ופתור את האינטגרל ,ונקבל:
#
k−1
k
p2
p1
"
kRT1
1−
k−1
#
k−1
k
=
51
p2
p1
"
k
p1 v1 1 −
k−1
= (wx )rev
תרמודינמיקה 1
9.3
מרצה :לאוניד טרטקובסקי
עבודת מדחס
• השאלה עליה אנו רוצים לענות ,היא כמה עבודה צריך להשקיע על מנת לדחוס גז עד ללחץ מסויים.
• ככלל יש ארבע אפשרויות עיקריות:
– דחיסה אדיאבטית
– דחיסה איזותרמית
– דחיסה פוליטרופית )(1 < n < k
– דחיסה רב שלבית.
• כזכור מהשיעור הקודם ,בתהליך אדיאבטי טמפרטורת הגז עולה והוא מנסה להתפשט ־ למעשה הוא מנסה להתנגד לדחיסה
שלנו .לעומת זאת ,בתהליך איזותרמי אנו מסלקים את החום ,לכן הטמפרטורה לא תעלה והוא לא ינסה להתפשט ־ לכן תהליך
דחיסה איזותרמית ידרוש פחות עבודה .בתהליך פוליטרופי יש סילוק חום מסויים ,לכן הוא יהיה בין אדיאבטי לאיזותרמי
מבחינת יעילות.
• ככלל ,המסקנה ההנדסית המתבקשת היא שהמדחס היעיל ביותר הוא מדחס איזותרמי ,והמדחס הכי פחות יעיל הוא מדחס
אדיאבטי.
– תהליך הקירור הוא לא "חינם" ,יש עלויות אנרגטיות וכספיות במערכת כזו ,אבל ככלל נרצה שהמדחס יהיה כמה שיותר
איזותרמי.
• תהליך דחיסה רב שלבית הוא תהליך דחיסה אדיאבטי ,אך בין השלבים השונים אנו מקררים את המערכת עד לטמפרטורה
ההתחלתית )הטמפרטורה של הדחיסה האיזותרמית( .העבודה אותה משקיעים בדחיסה זו )בדחיסה בלבד ,לא בקירור( גדולה
יותר מאשר דחיסה איזותרמית ,אבל עדיין משמעותית טובה יותר מאשר האופציות האחרות .ככלל נוכל לקרב תהליך דחיסה
לתהליך איזותרמי ע"י צירוף של מספר רב מאוד של מצבי ביניים.
– גם פה יש עלות מסויימת לשלבי הקירור ,החל משלב כלשהו זה לא כדאי להוסיף עוד תהליכי ביניים ,זו שאלה הנדסית
ותלויה במצב הנתון.
• שאלה נוספת שעולה ,היא האם יש איזה שהוא לחץ ביניים אופיטמלי ,pi ,כך שהעבודה בדחיסה הדו שלבית תהיה מינימאלית?
נגזור את הביטוי לעבודה לפי ,piונשווה לאפס:
#
#
"
"
k−1
k−1
k
kRT1
kRT1
pi
p2 k
+
= wx = (wx )1i + (wx )i2
1−
1−
k−1
p1
k−1
pi
בסופו של דבר נקבל כי:
p1 p2
√
= (pi )opt
– זה הממוצע הגאומטרי של הלחץ ההתחלתי והסופי.
– העבודה הדרושה עבור ערך זה היא:
"
#
k−1
2kRT1
p2 2k
= wx
1−
k−1
p1
• בהתאמה עבור rשלבים:
"
#
k−1
rkRT1
p2 rk
= wx
1−
k−1
p1
52
מרצה :לאוניד טרטקובסקי
9.3.1
תרמודינמיקה 1
עבודת מדחס ־ דוגמא
איור :37השאלה
• עבור תהליך אדיאבטי הפיך:
k−1
k
]= 676.0 [K
p2
p1
T2 = T1
"
#
k−1
p2 k
kRT1
1−
] = −1508.5 [kW
̇vdp = m
k−1
p1
2
̇Ẇx = −m
1
• עבור תהליך איזותרמי הפיך:
]T2 = T1 = 300.15 [K
] = −978.1 [kW
p2
p1
2
̇Ẇx = −m
vdp = −ṁRT1 ln
1
וקצב שינוי החום לפי החוק הראשון:
] Q̇ = Ẇx + ṁ (h2 − h1 ) = Ẇx = −978.1 [kW
• עבור תהליך פוליטרופי:
n−1
n
]= 501.0 [K
p2
p1
T2 = T1
"
#
n−1
nRT1
p2 n
̇vdp = m
1−
] = −1277.6 [kW
n−1
p1
2
̇Ẇx = −m
1
וקצב שינוי החום:
)(n − k
] (T2 − T1 ) = −471.1 [kW
)(n − 1) (k − 1
Q̇ = ṁcn (T2 − T1 ) = ṁR
• עבור דחיסה דו שלבית הפיכה:
kJ
kg
k−1 #
2k
= −330.25
53
p2
p1
"
2kRT1
1−
k−1
= wx
מרצה :לאוניד טרטקובסקי
תרמודינמיקה 1
נשים לב שזו העבודה הסגולית ,נמצא את ההספק הכללי:
] Ẇx = ṁwx = −1321.0 [kW
חום מסולק במהלך הקירור ממצב Tiחזרה ל :T1
k−1
2k
]= 450.44 [K
p2
p1
k−1
k
= T1
pi
p1
Ti = T1
ולכן קצב שינוי אינטראקציית החום:
ṁkR
] (T1 − Ti ) = −603.2 [kW
k−1
9.4
= ) Q̇ = ṁcp (T2 − T1
יעילות טורבינה
• בהינתן טורבינה אדיאבטית ,כאשר נתון מצב הזורם בכניסה ולחץ ביציאה ,מה היא הטורבינה שבתנאים האלו תעשה עבודה
מירבית?
• משפט הטורבינה ההפיכה :בין כל הטורבינות האדיאבטית הפועלת בין שני לחצי זורם נתונים )ומצב בכניסה נתון( ,טורבינה
הפיכה תעשה עבודה מקסימלית.
הוכחה R :הפיכה X ,כל שהיא .נניח כי .Wx > WRנהפוך את Rלמדחס:
איור :38המערכת ההפוכה
• הנחנו כי העבודה של Xגדולה יותר מאשר של ,Rוהיות ועבודת טורבינות מוגדרת בעזרת הפרש האנתלפיות ,נוכל לומר
בוודאות כי .h3 > h1
• נותרנו עם מחזור המקיים אינטראקצייה עם מאגר חום יחיד ,ויוצרת עבודה חיובית ־ .PMM2
• קיבלנו סתירה לחוק השני ,לכן לא ייתכן כי ,Wx > WRלכן עבודת טורבינה הפיכה היא המקסימלית.
• אם נתבונן בדיאגרמת ,h − sנקבל כי טורבינה הפיכה אדיאבטית היא תהליך איזנטרופית )באנטרופיה קבועה(:
54
מרצה :לאוניד טרטקובסקי
תרמודינמיקה 1
• איור :39דיאגרמת h − s
– החוק השני:
s2s = s1
– החוק הראשון:
ws = h1 − h2s
– חשוב לזכור כי זו עבודה סגולית ,אם נרצה הספק נכפיל בשינוי המאסה:
Ẇ = ṁw
• כזכור ,אנטרופיה היא מדד לאי־הפיכות של תהליך ,מהדיאגרמה ניתן לראות שכאשר הפרש האנתלפיות קטן )כתוצאה מגידול
באנטרופיה( העבודה קטנה.
הגדרה 9.1דרגת טיב ) (Isentropic Eciencyשל טורבינה:
w
h1 − h2
=
≤1
ws
h1 − h2s
= t
למרות שדרגת טיב נקראת באנגלית "נצילות" ,היא למעשה מתארת יעילות ־ היא משווה בין המכונה הקיימת שלנו למכונה היעילה
ביותר האפשרית ,חשוב לא להתבלבל בהגדרות האלו.
9.5
דרגת טיב אדיאבטית
• עבור משאבה\מדחס ההגדרה דומה ,אך הפוכה.
– מהחוק השני:
s2s = s1
– מהחוק הראשון:
wsin = h2s − h1
• לכן דרגת הטיב עבור משאבה\מדחס:
ws
h1 − h2s
=
≤1
w
h1 − h2
= c
• שימו לב שהפכנו מונה ומכנה מההגדרה הקודמת.
• ככל בתרגילים בנושא דרגת טיב ,אנו משווים את התהליך הנתון לתהליך האידאלי .בתהליך אידאלי האנטרופיה קבועה ,כך
שבנוסף לאחד מנתוני השאלה יש לנו שתי תכונות בת"ל וניתן למצוא את כל שאר התכונות .אז משתמשים בהגדרת דרגת
הטיב על מנת לחלץ את h2של התהליך הנתון .
55
מרצה :לאוניד טרטקובסקי
תרמודינמיקה 1
9.6
אינטראקציית עבודה וחום בתהליכים איזותרמיים
9.7
יעילות ומחליפי חום
• מחליף חום טיפוסי מכיל שני זורמים ־ קר וחם ־ כאשר הקר מתחמם והחם מתקרר.
• האם זורם קר יכול להתחמם מעבר לטמפרטורת הזורם הראשון בכניסה? או להפך ,החם להתקרר מעבר לטמפ' הזורם הקר
בכניסה? לא! זו סתירה לחוק השני לפי הגדרת קלאוזיוס.
• כלומר אינטראקציית החום שווה בערכה המוחלט בין שני הזורמים:
) ṁc (h2 − h1 ) = ṁh (h3 − h4
• כאשר קיבולת החום של שני זורמים שווה ,מחליף החום יקרא מאוזן.
• גם למחליף חום ניתן להגדיר דרגת טיב ,ובאותו האופן ־ היחס בין החום שבאמת עובר לבין המקסימלי:
T2 − T1
T3 − T4
=
T3 − T1
T3 − T1
10
מחזורי עבודה־קיטור )הרצאה (10
10.1
תזכורות
=
Q
Qmax
=
• מנוע חום עובד במחזור ומבצע אינטראקציה עם שני מאגרי חום )ומספק עבודה(.
• נצילות:
W
P roducts
QH − QC
=
=
,η≤1
Investment
QH
QH
=η
– עבור מנוע חום הפיך מתקיים:
QC
TC
=1−
QH
TH
ηR = 1 −
• מנוע חום הפיך הוא היעיל ביותר.
• במערכת אדיאבטית האנטרופיה רק גדלה ,אם המערכת לא אדיאבטית היא כן יכולה לקטון )לדוגמא ע"י קירור(.
• מנוע קרנו עובד במחזור קרנו המורכב משני תהליכים אדיאבטיים ושני תהליכים איזותרמיים )דחיסה והתפשטות(.
10.2
מנוע קרנו ־ קיטור
איור :40מחזור קרנו עבור קיטור
56
מרצה :לאוניד טרטקובסקי
תרמודינמיקה 1
• מדוע לא כדאי לעבוד עם גז אידאלי במחזור קרנו? *להשלים ממישהו*
• עדיין יש שתי בעייות בעבודה עם קיטור:
.1בעיה ראשונה היא במשאבה .משאבה מתקשה לעבוד היטב כאשר יש חומר דו־פאזי ,לדוגמא כאשר יש אד בנוסף לנוזל.
.2בעיה שנייה היא בטורבינה .בטורבינה הגז זורם במהירות גבוהה מאוד ,כאשר יש חומר דו־פאזי בטורבינה ,טיפות הנוזל
הנעות במהירות גבוהה גורמות לארוזיה )שחיקה( של להבי הטורבינה.
10.3
מחזור רנקין סטנדרטי )אידאלי(
איור :41מחזור רנקין סטנדרטי
• במאה ה־ 19רנקין ניסה לשפר את התהליך של קרנו.
• למעשה מה שהוא עשה זה "להזיז" את הנקודות בדיאגרמה:
– כעת כל תהליך הדחיסה 1 → 2מתבצע מחוץ לפעמון ,כלומר במצב של נוזל בלבד.
– המעבר הבא ,תהליך החימום בדוד )מחליף חום ,הנחת מוצא היא שהוא עובד בלחץ קבוע( 2 → 3חוצה את כל הפעמון
עד שהחומר כולו הפך לאד שחון.
– התהליך הבא ) 3 → 4איזותרמי( דרך הטורבינה )טורבינה אידאלית הפיכה ־ התפשטות איזנטרופית המסתיימת בקו
הרוויה(.
– וסוף המחזור הוא קירור דרף המעבה עד שחוזרים לנקודת ההתחלה.
• כעת המשאבה שואבת רק נוזל ובטורבינה מתפשט רק גז ,כך "פתרנו" את הבעיות של קרנו.
• הנחה :כל התהליכים במחזור אידאלי הם הפיכים )(o = t = 1
• נתונים שחשוב לזכור:
T3 = Tboiler
p3 = pboiler
p4 = pcondenser
כאשר מצב 1הוא מצב של נוזל רווי )גם אם לא נתון בשאלה ,ניתן להניח זאת(.
• בנוסף חשוב לזכור את ההנחות הבאוץ:
– הלחץ בדוד קבוע.
– הלחץ במעבה קבוע.
– ספיקת הקיטור )̇ (mקבועה.
57
תרמודינמיקה 1
10.4
מרצה :לאוניד טרטקובסקי
חישוב נצילות של מחזור רנקין אידאלי
• חישוב אינטראקציות ליחידת מסה עוברת )הפעלת חוק ראשון עבור נפח בקרה עם שני פתחים על כל רכיב(:
– עבור משאבה )איזנטרופית(:
) q12 = 0 , −w12 = h2 − h1 = v1 (p2 − p1
∗ הביטוי שלעיל נכון אך ורק עבור תהליך הפיך ,אחרת נאלץ לחלק בדרגת הטיב ) (pאו לפתור את האינטגרל
)בהרצאה הקודמת(.
– עבור דוד:
w23 = 0 , qH = q23 = h3 − h2
– עבור טורבינה )אדיאבטית והפיכה(:
q34 = 0 , wt = w34 = h3 − h4
– עבור מעבה )שוב מדובר במחליף חום ,אין עבודה(:
w41 = 0 , −qc = q41 = h4 − h1
∗ הסיבה שהביטוי הוא h4 − h1ולא h1 − h4הוא בגלל סימן המינוס ,סימון לנוחות בלבד.
• ובאופן כללי ,החוק הראשון למחזור עבור מערכת סגורה ופשוטה:
⇒= ∆U = 0 = Q − W =⇒ Q = W
qh − qc = wt − wp
• אם נרצה לנתח מתקן נתון ,נהיה חייבים להתייחס לכמות החומר העוברת דרכו ,כלומר נרצה את קצב ביצוע האינטראקציות:
– הספק עבור משאבה:
) Ẇpin = ṁwpin − ṁv1 (p2 − p1
– הספק חום עבור דוד:
) Q̇H = ṁq23 = ṁ (h3 − h2
– הספק עבור טורבינה:
) Ẇt = ṁwt = ṁ (h3 − h4
– הספק סילוק חום עבור מעבה:
) Q̇c = ṁqc = ṁ (h4 − h1
• מכאן ,נוכל לרשום נוסחא מפורשת עבור נצילות מחזור רנקין אידאלי היא:
wt − wpin
qc
=
η =1−
qh
qh
58
מרצה :לאוניד טרטקובסקי
10.5
תרמודינמיקה 1
מחזור רנקין סטנדרטי אמיתי
איור :42מחזור רנקין אמיתי
• במציאות ,גם המשאבה וגם הטורבינה לא הפיכים באמת ־ לכן יש להם דרגת טיב )כזכור ,תמיד קטנה מאחד!(.
• כאשר משרטטים גרפים כאלו חייבים לזכור ולהבין שנקודות 2ו־ 4תמיד יהיו מימין לנקודות 2sו־) 4sבהתאמה( ,שכן במערכת
אדיאבטית האנטרופיה תמיד תגדל.
• תמיד נרצה שנקודה 3תהיה כמה שיותר גבוהה ,על מנת שנקודה 4לא תיפול בתוך הפעמון .אם היא תיפול בתוך הפעמון יהיו
לנו טיפות מים בטורבינה ,וחזרנו לבעיה של קרנו.
• במקרה האמיתי:
– עבודת משאבה:
h2 − h1
) v1 (p2 − p1
=
p
p
= wpin
– עבודת טורבינה:
wt = (h3 − h4 ) · t
• ונצילות המחזור הריאלי:
) v1 (p2 −p1
p
(h3 − h4 ) t −
wt − wpin
=
qh
h3 − h2
=η
• ניתן להעלות את הנצילות ע"י הגדלת לחץ וטמפרטורה בדוד )עלות גבוהה יותר עקב חומרים ואחזקה( או הקטנת הלחץ במעבה
) p1נקבע ע"י טמפ' מי עיבוי(.
10.5.1
דוגמא
• *דוגמא מהספר ,יש גם במצגת*
• נתון כי הנוזל יוצא רווי ,לכן ניתן מייד לרשום שנקודה 1היא בדיוק על קו הרוויה.
59
מרצה :לאוניד טרטקובסקי
תרמודינמיקה 1
• מבקשים בסעיף הראשון לצייר דיאגרמת T − sעבור המחזור ,ככלל מומלץ תמיד לצייר לפחות סכמטית גם אם לא מבקשים
במפורש ־ זה עוזר להבין את התהליך ולבדוק שהתוצאה שיצאה לנו בחישוב הגיונית.
• בסעיף fיש נתון על ההספק ,מדובר בהספק הכולל ,כלומר:
] Ẇnet = Ẇt − Ẇp = 100 [M W
• נקודה 1היא על קוו הרוויה ,אד רווי גורר איכות אד אפס ,X = 0יחד עם הלחץ הנתון יש שתי תכונות בלתי תלויות ־ ניתן
למצוא תא שאר התכונות.
• עבור נקודה 2sנשתמש כמובן באנטרופיה )שכן זה הוא תהליך איזנטרופי(.
– הטמפרטורה בנקודה 2sהיא לא מדוייקת שכן הנחנו שהנפח בין 1ל 2sנותר קבוע )כי מדובר בנוזל לא דחיס( ,לכן
החישוב לטמפרטורה יהיה מקורב בלבד.
– חשוב לשים לב שמותר לנו להניח רק שהנפח קבוע ,ככל שנוסיף עוד הנחות מקלות נגדיל את השגיאה המצטברת שלנו.
מעבר לכך ,במקרים אחרים )בקורסים מתקדמים יותר( ההנחות האלו בכלל לא נכונות )לדוגמא במנועי דיזל ,לחץ
ההזרקה מאוד גבוה לכן הטמפרטורה תגדל משמעותית אבל הנפח עדיין יוותר בקירוב טוב קבוע(.
• בדוד הלחץ לא משתנה ,לכן ] . p2 = 20 [barאת h2ניתן להוציא בעזרת h1ודרגת הטיב הנתונה.
• בכניסה לטורבינה )נקודה (3נתון לחץ וטמפרטורה ־ מיידית ניתן למצוא את כל שאר התכונות.
• עבור 4sבעזרת לחץ )נתון( ואנטרופיה של נקודה ) 3כי מדובר בתהליך איזנטרופי( ניתן לחשב את כל התכונות עבור הנקודה.
• נקודה 4נגזרת בעזרת האנתלפיה ודרגת הטיב הנתונה.
– בספר מופיע ביטוי לאנתלפיה עם טעות סימן ,הביטוי הנכון הוא:
) h4 = h3 − t (h3 − h4s
ניתן להבין זאת פיסיקלית שכן h4 < h3תמיד.
• חשוב לזכור תמיד את היחידות ,מה סגולי ומה לא ,כמו גם את סדרי הגודל של התוצאות שלנו.
• אנו מצפים כי ) qh > 0הכנסת חום( בעוד ש ) qc < 0סילוק חום(.
• הטמפרטורה של המאגר הקר היא הטמפרטורה בנקודה 1ושל החם היא זו בכניסה לטורבינה )נקודה .(3חשוב לזכור לנרמל
לסקאלת קלווין!
• ברגע שהבנו מה אומר הנתון על ההספק ,החישוב הוא טריוואלי.
i
h
kJולא ביחידות של קילו וואט! ניתן לראות זאת מיידית,
– בספר יש טעות ביחידות wnet ,הוא אמור להיות ביחידות של kg
ביחידות הכתובות שם אנו מקבלים גודל חסר יחידות וזה לא הגיוני.
60
תרמודינמיקה 1
10.6
מרצה :לאוניד טרטקובסקי
מחזור רנקין עם חימום )שחון( ביניים )(Reheat Cycle
איור :43מחזור רנקין עם חימום ביניים
• מחממים את הנוזל בדוד ומעבירים אותו לטורבינה בלחץ גבוה ,ומחזירים אותו בדוד לחימום נוסף.
• לאחר החימום הנוסף מעבירים אותו לטורבינה בלחץ נמוך יותר ומשם כרגיל למעבה ולמשאבה.
• הכוונה ההנדסית היא שגזי הפליטה מהדוד יצאו בטמפ' נמוכה יותר מפני שהם משמשים פעמיים לחימום )בשני המעברים
מהדוד לטורבינות( .בקיצור ,זה נותן חיסכון מסויים בדלק אבל דורש השקעה בטורבינה נוספת.
• גם פה ,חשוב לשים לב שהקווים נוטים ימינה ,קו שנוטה שמאלה מעיד על חוסר הבנה משווע של החוק השני.
• הנצילות נתונה ע"י:
wt1 + wt2 − win
qh1 + qh2
61
=η
מרצה :לאוניד טרטקובסקי
10.7
תרמודינמיקה 1
מחזור רנקין עם הקזה )(Regenerative Cycle
איור :44תיאור סכמטי של מחזור עם הקזה
• העיקרון הבסיסי הוא שאחרי ההתפשטות בטורבינה הראשונה ,חלק מהקיטור לא עובר לטורבינה הבאה ,אלא למחליף חום
המבצע preheatingלמי ההזנה.
• אנו מאבדים חלק מהקיטור שלנו )לכן ההספק הסופי קטן( ,אבל חוסכים בדלק הדרוש לחימום )הקיטור מסייע לחימום לפני
הדוד(.
• שימו לב שהלחץ בכניסה למעבה חייב להיות זהה ,כלומר p1 = p7וגם ,p6 = p8היות ו p6גבוה מאשר הלחץ הנכנס למעבה,
חייבים להעביר אותו דרך מצערת ) (Throttleעל מנת להוריד את הלחץ.
איור :45דיאגרמת T − s
• נקודה 8היא נקודת רוויה )לעיתים יש הפרש של מספר מעלות בודדות ,אם לא נתון אחרת ניתון להניח שהיא נחה בדיוק על
הקו(.
62
תרמודינמיקה 1
מרצה :לאוניד טרטקובסקי
• כאשר מחמם מי הזנה סגור ,מהחוק הראשון:
) ṁγ (h6 − h8 ) = ṁ (h3 − h2
ומכאן ניתן לחשב במהירות את γ־ יחס ההקזה.
• הנצילות באופן כללי:
in
in
wt1 + (1 − γ) wt2 − w12
− w34
h5 − h4
=η
• המקרה הנוסף האפשרי הוא עבור מחמם מי הזנה פתוח.
איור :46מחזור הקזה עם מחמם מי הזנה פתוח
איור :47דיאגרמת T − sמחמם מי הזנה פתוח
• עבור מחמם מי הזנה פתוח ,מהחוק הראשון:
ṁγh6 + ṁ (1 − γ) h2 = ṁh3
63
מרצה :לאוניד טרטקובסקי
תרמודינמיקה 1
ומכאן ניתן לחשב את γיחס ההקזה.
• הנצילות:
in
in
wt1 + (1 − γ) wt2 − w12
− w34
h5 − h4
10.7.1
=η
סיכום מחזור רנקין עם הקזות
.1עבודת המשאבות היא:
) v1 (p2 − p1
p
in
w12
=
.2אנתלפיה ביציאה ממשאבה נקבעת מהחוק הראשון.
.3עבודת הטורבינה נקבעת מהחוק הראשון.
.4יש למצוא את כל המצבים לפני חישוב הנצילות.
.5לחץ הקזה ) (p6הוא נתון נוסף.
.6יחס ההקזה נובע מהחוק הראשון בשני המקרים.
• עבור ממה"ס )מחממי מי הזנה סגור(:
.1מצב 8־ נוזל רווי )ברירת מחדל ,אלא אם נתון אחרת( ,כמו גם .h9 = h8
.2מצב 3נקבע מהתנאי:
T3 = T8 − δ
כאשר δ = 0אלא אם נתון אחרת.
.3לחץ p2לא בהכרח שווה ל־ p6
.4חובה משאבה ) (1 − 2אחרי המעבה ,למה? למים מקדם מעבר חום טוב יותר מאשר לגז ,לכן אם נשים שם משאבה
יהיה לנו מעבר חום טוב יותר כי יהיה יותר נוזל.
)א( לא באמת חובה ,אבל מאוד מאוד כדאי.
.5משאבה ) (3 − 4אחרי ממה"ס אינה חובה.
• עבור ממה"פ )מחמם מי הזנה פתוח(:
.1לחצי הזרמים המתערבבים בממה"פ שווים ,p6 = p2 = p3 :לכן חייבים משאבה בין המעבה לבין הממה"פ.
.2ביציאה מ־ממה"פ )מצב (3־ ברירת המחדל היא נוזל רווי.
• מומלץ לעיין בתרגילים 11.1 − 11.3בספר הלימוד.
64
מרצה :לאוניד טרטקובסקי
תרמודינמיקה 1
11
מחזורי עבודה ־ טורבינות גז )הרצאה (11
11.1
מחזור ברייטון )(Brayton
איור :48סכמה כללית
• התהליך מורכב מארבעה תהליכים:
.1דחיסה אדיאבטית במדחס.
.2אינטראקציית חום בלחץ קבוע )הספקת חום( בתא שריפה.
.3התפשטות אדיאבטית בטורבינה.
.4אינטראקציית חום בלחץ קבוע )סילוק חום( במצנן.
• נשים לב שזה תהליך סכמתית זהה למחזור רנקין ,ההבדל בין שניהם הוא שבמחזור רנקין יש שינוי מצבי צבירה )גז ונוזל( ,בעוד
שבמחזור ברייטון אנו עובדים עם גז בלבד.
איור :49דיאגרמות p − vו־ T − sלמחזור ברייטון
• שימו לב שהאנטרופיה בסכמה קבועה ,זו היא סכמה אידאלית בלבד ־ במציאות כמובן יהיה שוני מסויים.
– האם יכול להתקיים תהליך איזנטרופי ראלי? כן! בתהליך אדיאבטי ריאלי האנטרופיה תגדל ,אבל אם נוסיף קירור
מתאים )ואז התהליך לא אדיאבטי באמת( ניתן יהיה לדאוג שהאנטרופיה תישאר קבועה ־ תהליך איזנטרופי.
• מחזור ברייטון מהווה את הבסיס למנועי טורבינת גז ולמנועי סילון.
65
תרמודינמיקה 1
מרצה :לאוניד טרטקובסקי
• שימו לב שאין חץ של עבודה פנימה בסכימה ,מדוע? מפני שהטורבינה יושבת על ציר אחד עם המדחס ,עבודת הטורבינה גדולה
מהעבודה הדרושה להפעלת המדחס וחלק ממנה משמש להפעלת המדחס ,בעוד שהשאר משמש לעבודה חיובית.
• דוגמא נוספת לשימוש בטורבינת גז היא טנק אברמס ,אשר משתמש בטורבינת גז להנעה.
• מנוע סילון עובד בצורה מעט שונה מאשר טורבינת גז ,אבל גם עובד על מחזור ברייטון .במנוע סילון אוויר נכנס ,מואץ ונפלט
החוצה ,כאשר התנאי לעבודה הוא שמהירות הגז היוצא גדולה ממהירות המטוס.
• למעשה ,לרוב אין לנו מצנן ־ אנו משתמשים באטמוספירה כמאגר קר ,שכן אינטראקציות סופיות לא משנות את הטמפרטורה
שלה.
איור :50סכימה יותר ריאלית של מחזור ברייטון
• כלומר "תכלס" אין לנו מחזור אמיתי ,אבל ניתן להתייחס אליו כאל מחזור בדיוק בשל ההתייחסות לאטמוספירה כמאגר קר.
11.2
מחזור ברייטון אידאלי
• נתבונן באינטראקציות החום והעבודה במחזור האידאלי:
– דחיסה איזנטרופית :1 − 2
(
q12 = 0
) (wx )12 = h1 − h2 = cp (T1 − T2
במעבר בין אנתלפיות לטמפרטורה מתחבאות ההנחות ש cpקבוע ושמדובר בגז אידאלי.
– חימום איזובארי :2 − 3
) q23 = cp (T3 − T2
(wx )23 = 0
(
– התפשטות איזנטרופית :3 − 4
q34 = 0
) (wx )34 = cp (T3 − T4
(
העבודה בטורבינה חיובית ו־ ,T3 > T4לכן הביטוי הוא T3 − T4ולא הפוך.
– צינון איזובארי :4 − 1
) q41 = cp (T1 − T4
(wx )41 = 0
66
(
מרצה :לאוניד טרטקובסקי
תרמודינמיקה 1
• כרגיל ,נצילות מוגדרת בתור:
P roduct
W
=
Investment
QH
=η
ובמקרה שלנו:
wt − win
) h3 − h4 − (h2 − h1
T4 − T1
=
=1−
qh
h3 − h2
T3 − T2
=η
• מפני שמחליף חום לא משנה את הלחץ ,אנו יודעים כי:
(
p2 = p3
p1 = p4
היות ותהליך הדחיסה הוא אדיאבטי ,ניתן לרשום גם:
T3
=λ
T4
k−1
k
=
p2
p1
T2
=
T1
• בעזרת הפיתוח שלעיל ,ניתן לכתוב את הנצילות של המחזור האידאלי בצורה מעט יותר נוחה:
T
T1
T1 T14 − 1
=1−
= 1 − λ−1
T2 TT3 − 1
T2
ηideal = 1 −
2
– חשוב לשים לב כי η < ηidealכמו תמיד.
11.3
מחזור ברייטון ריאלי
איור :51דיאגרמת T − sעבור מחזור ריאלי
• תהליכי דחיסה והתפשטות אינם הפיכים במציאות ,לכן הקווים לא אנכיים באמת )לא איזנטרופי( אלא בהטייה ימינה
)האנטרופיה גדלה(.
• עבודת הדחיסה גדלה ועבודת ההתפשטות קטנה.
• קיימים מפלי לחץ בתא השריפה ,בכניסה למדחס ,וביציאה מהטורבינה ־ אך הם קטנים מאוד וניתן להזניח אותם.
67
מרצה :לאוניד טרטקובסקי
11.3.1
תרמודינמיקה 1
דוגמא
• *להוסיף שאלה*
• כאשר מתעסקים עם טורבינות גז ,נהוג להתייחס ליחס הלחצים pp21ולא ללחצים עצמם )בניגוד לכאשר מתעסקים במנועי ביערה
פנימית( .סתם בתור טיפ לעתיד ,תמיד כדאי להשתמש בסלנג המקצועי הנכון בראיונות עבודה ־ לפעמים זה יותר חשוב מאשר
השאלות עצמן בראיון.
• בסעיף ,cלמעשה מבקשים מאיתנו לדרוש שעבודת הטורבינה תהיה שווה לעבודת המדחס.
• ראשית נחשב את T2sואת ,T4sזה יהיה יעיל לסעיפים הבאים:
k−1
k
0.4
]= 300 · 4 1.4 = 445.8 [K
]= 807.5 [K
1
0.4
4 1.4
p2
p1
k−1
k
· = 1200
p4
p3
T2s = T1
T4s = T3
• הנצילות האידאלית ניתנת לחישוב ישיר:
300
T1
=1−
= 0.3271
T2
445.8
η =1−
• על מנת לחשב את ההספק ,נחשב את סך העבודה:
kR
kJ
= ) wnet = (h3 − h4s ) + (h1 − h2s
(T3 − T4s + T1 − T2s ) = 247.6
k−1
kg
ומכאן ההספק:
] P = ṁwnet = 5 · 247.6 = 1238 [kW
• כזכור ,התנאי לכך שהמחזור לא יבצע עבודה היא שעבודת הטורבינה תהיה שווה לעבודת המדחס ,נביע את התנאי בעזרת
דרגות הטיב:
h2s − h1
h2s − h1
T2s − T1
= =⇒ c e
=
= 0.3715
c
h3 − h4s
T3 − T4s
= (h3 − h4s ) e
נניח כי דרגות הטיב האיזנטרופיות שוות )אחרת לא ניתן לפתור את התרגיל ,חייבים ליצור יחס בינהן ,במבחן יהיה כתוב שניתן
להניח זאת( ,ולכן:
√
e = c = 0.3715 = 0.6095
• בסעיף האחרון עלינו למצוא את T2ואת ,T4מהביטוי לדרגת טיב:
T2s − T1
)(445.8 − 300
= 300 +
]= 539.2 [K
c
0.6095
T2 = T1 +
]T4 = T3 + e (T4s − T3 ) = 1200 + 0.6095 (807.5 − 1200) = 960.8 [K
68
תרמודינמיקה 1
11.3.2
מרצה :לאוניד טרטקובסקי
נצילות מחזור ברייטון ריאלי
• התנאים בכניסה למדחס תלויים בסביבה ולרוב ידועים.
• יחס הלחצים במחזור הוא פרמטר הנובע מתכן המערכת ,כמו גם הטמפרטורה בכניסה לטורבינה.
• לרוב הפרמטרים הידועים הם p1 , T1 , pp21 , T3 , c , e
• בתהליך דחיסה אידאלי מתקיים השוויון:
k−1
k
k−1
=r k =λ
p2
p1
T2s
=
T1
• תוך הנחת cpקבוע ,הביטוי לטמפרטורה הריאלית ביציאה מהמדחס היא:
T2s − T1
λ−1
T2 = T1 +
= T1 1 +
c
c
• באון דומה עבור הפתשטות בטורבינה נמצא את :T4
T4s
1
=
T3
λ
1
T4 = T3 + e (T4s − T3 ) = T3 1 + e
−1
λ
• לכן הנצילות של מחזור ריאלי ,נתונה ע"י *יש פה טעות בספר ,הביטוי הסופי נכון אבל הדרך לא*:
T3 T4
[1−e (1− λ1 )]T3
−1
T1 T3 − 1
T4 − T1
η =1−
=1−
)= 1 − T T1 (λ−1
3
T3 T1
T3 − T2
−1
T1 − 1 − c
T T
2
1
ומכאן *כן נכון*:
!
c e T3
−λ
T1
c T3
T1 + (1 − c ) − λ
1
η = 1−
λ
• נשים לב שהביטוי 1 − λ1היא הנצילות האידאלית ,מוכפלת בביטוי קטן מאחד.
• על מנת לדרוש שהעבודה במחזור לא תהיה שלילית עלינו לדרוש:
c e T3
T1
− λ ≥ 0 =⇒ e c ≥ λ
T1
T3
69
מרצה :לאוניד טרטקובסקי
11.4
תרמודינמיקה 1
מחזור ברייטון עם רגנרציה
איור :52סכמה של מחזור ברייטון עם רגנרציה
• מחזור ברייטון בעל "מיחזור חום" ) ,(Waste Heat Recovery - WHRמנסים לנצל חלק מהחום הנפלט.
• כיצד אנו מנצלים את החום הנפלט? חלק מהחום הנפלט מהטורבינה עובר למחליף חום הנמצא בין המדחס לתא השריפה,
ומנוצל לחימום התחלתי מסויים.
• כמובן שלא ניתן להשתמש בכל החום הנפלט ,מפני שהדבר יצור מכונה המייצרת עבודה חיובית ומתקשרת עם מאגר חום יחיד
־ הפרה של החוק השני של התרמודינמיקה.
• עבודת הטורבינה חסומה ע"י עבודת טורבינה אידאלית )התפשטות איזנטרופית( ,למחליף חום אין את המגבלה הזו .זו הסיבה
שעדיף להשתמש בגזי הפליטה לצורך חימום ,ולא להוסיף טורבינה נוספת בלחץ נמוך יותר לאחר הטורבינה הראשית.
איור :53דיאגרמת T − sעבור מחזור ברייטון עם רגנרציה
• החוק הראשון עבור מחליף חום:
) ṁcp (T4 − T4∗ ) = ṁcp (T2∗ − T2 ) =⇒ (T4 − T4∗ ) = (T2∗ − T2
עבור מחליף חום אידאלי:
(
∗T4 = T2
∗T2 = T4
70
מרצה :לאוניד טרטקובסקי
תרמודינמיקה 1
• מכאן הנצילות:
wt − win
) cp (T3 − T4 ) − cp (T2 − T1
T2 − T1
=
=1−
qh
) ∗cp (T3 − T2
T3 − T4
=η
– עבור מחזור אידאלי:
T2
T3
T2
=
=⇒ ηideal = 1 −
T1
T4
T3
ומכאן:
k−1
k
11.5
p2
p1
T2 T1
T1
T2
=1−
=1−
ηideal = 1 −
T3
T3 T1
T3
מחזור ברייטון למנוע סילון
איור :54מחזור ברייטון עבור מנוע סילון
• מנוע זה זול יותר מאשר שימוש בטורבינה ומדחס אקווילנטים ,שכן טורבינה ומדחס הם רב־שלביים.
• לחץ היציאה מהטורבינה נקבע מהתנאי:
win = wt
• הדחף המתקבל מוגדר ע"י:
) F = ṁ (v5 − v0
כאשר v0היא מהירות המטוס.
• חשוב לשים לב שבמנועי סילון אי אפשר לקרב:
h0 ≈ h
מהירות הזרימה משמעותית מאוד! נניח אם נתון לנו:
hmi
v1 = v2 = v3 = v4 = 40
s
ניתן כן לקרב ,מפני שהאנרגיות הקינטיות בקרוב טוב יקזזו את עצמן.
71
תרמודינמיקה 1
12
מרצה :לאוניד טרטקובסקי
מחזורי עבודה ־ מנועי שריפה פנימית )הרצאה (12
• אנו מכירים הרבה סוגי מנועי בעירה פנימית מחיי היום־יום ־ מנועי דיזל ,שתי פעימות ,אוטו ,ארבע פעימות וכו'.
• אפילו מנועי טורבינה ומנועי סילון הם מנועי בעירה פנימית ,אבל מסיבות היסטוריות נהוג להתייחס רק למנועי אוטו ודיזל
בתור מנועי בעירה פנימית .
12.1
מבוא היסטורי
איור :55מנוע שריפה פנימית ראשון
• זו היא סכמה של מנוע הבעירה הפנימית הראשון.
• מנוע הזז בין שני מצבי קיצון ,פועל בעזרת בוכנה הנעה בצילינדר.
• שני המצבים נקראים נקודה מתה עליונה ) (TDC - Top Dead Centerונקודה מתה תחתונה (BDC - Bottom Dead
) ,Centerבנקודות אלו הבוכנה מחליפה כיוון תנועה לכן מהירותה אפס )בהתאמה בקירבת הנקודות מהירות הבוכנה מאוד
נמוכה(.
• המנוע פועל על לחץ אטמוספרי ,כאשר נוצר הפרש לחצים האוויר בלחץ האטמוספרי "נינק" )מלשון ייניקה( פנימה ואז נישרפת
תערובת הדלק.
• העבודה החיובית נוצרת כמובן בעת תהליך התפשטות הבוכנה.
• הגלגל הגדול באיור הוא גלגל תנופה ,מטרתו היא לצבור מספיק אינרציה על מנת למשוך את הבוכנה חזרה וליצור מחזור.
• המנוע היה בעל הספק של עד 6כוחות סוס ,ובעל נצילות של בערך .5%
• לאחר מכאן התפתחנו למנוע אוטו ,המיוחס לאוטו הגרמני בשנת .1876
• למעשה ,מנוע הפועל על אותם עקרונות של אוטו הומצא 14שנים קודם על ידי הצרפתי אלפונס דה רושה (Alfonse de
).Roches
• היה מנוע בעל ארבע פעימות ,הספק של 2כוחות סוס ויעילות של בערך .14%
72
מרצה :לאוניד טרטקובסקי
תרמודינמיקה 1
• נבנו בערך 50, 000יחידות עד שנת .1890
• לאחר מכאן רודולף דיזל המציא את מנוע הדיזל.
12.2
מנוע ארבע פעימות
איור :56תיאור סכמטי בסיסי
• מושגי יסוד:
– כאשר הבוכנה נמצאת בנקודה מתה תחתונה ,הנפח מעליו הוא הנפח המירבי ־ נקרא הנפח הכולל:
V1 = Vt
– נפח חלל השוא ) (Clearance Volume־ הנקודה השנייה במחזור:
V2 = Vc
– נפח המהלך ) (Displaced Volumeמסומן בתור ,Vdומתקיים בהכרח:
Vt = Vc + Vd
– את יחס הדחיסה )יחס הנפחים ,לא הלחצים כמו במחזור ברייטון( מגדירים בתור:
Vt
Vc
73
=r
מרצה :לאוניד טרטקובסקי
תרמודינמיקה 1
;
איור :57ארבע הפעימות במנוע
• בפעימה ראשונה נפתח שסתום הכניסה ,בשל הפרש לחצים נכנסת )בעזרת פעולת יניקה( תערובת אוויר ודלק ,הבוכנה נעה
לנקודה המתה התחתונה.
• בפעימה השנייה יש פעולת דחיסה ,כל השסתומים סגורים והבוכנה מחליפה כיוון ונעה כלפי מעלה כתוצאה מאינרציית גלגל
התנופה.
• בפעימה השלישית התערובת מוצתת )או מתחילה לבעור מסיבה אחרת ־ בהמשך( ,הגז מתפשט בבוכנה ומייצר עבודה חיובית,
אותה אנו רותמים בעזרת טלטל ) (Piston Rodוגל ארכובה ,על גל הארכובה מורכב גלגל התנופה הצובר את האינרצייה.
– אנו רוצים שגל הארכובה ינוע בקצב אחיד ,גלגל התנופה מייצב את קצב התנועה בנוסף לשאר תפקידיו.
• בפעימה הרביעית נפתח שסתום הפליטה ,וגזי הפליטה נפלטים החוצה ,כאשר הבוכנה עולה חזרה מעלה ־ אינטראקציית חום
עם מאגר קר )האטמוספירה היא המאגר הקר(.
• חשוב לשים לב שבמנוע כזה אנו מקבלים עבודה חיובית כל שני סיבובים!
• הספיקה נתונה ע"י:
1 RP M V1 − V2
2 60
v1
= ̇m
סיבובים לדקה חלקי 60כלומר סיבובים לשנייה ,מוכפל בהפרש הנפחים )חלקי נפח סגולי( כפול חצי ,מפני שאנו מקבלים חומר
חדש כל שני סיבובים ולא כל סיבוב.
• בהתאמה ,ההספק:
1 RP M
1 RP M V1 − V2
= = ṁw
·w
2 60
2 60
v1
החצי הוא רק במנוע ארבע פעימות!
74
· Ẇ = Wcycle
תרמודינמיקה 1
12.3
מרצה :לאוניד טרטקובסקי
מנוע שתי פעימות
איור :58תיאור מחזור מנוע שתי פעימות
• להבדיל ממנוע ארבע פעימות ,במנוע זה מנצלים גם את הנפח מתחת לבוכנה.
• הבוכנה מתפשטת וגזים נפלטים החוצה ,בשלב מסויים נחשפת תעלה המחברת בין החלל תחת הבוכנה לחלל מעליה.
• מהחלל התחתון יונקים את התערובת אל חלל התנועה של הבוכנה ,כאשר הבוכנה עולה חזרה נפתחת תעלה דרכה נוצרת יניקה
לחלל התחתון של חומר חדש.
• רק במצב האחרון ,כאשר כל הפתחים חסומים ,מתבצעת ההצתה של התערובת.
• הפעם ,אינטראקציית העבודה מתרחשת כל סיבוב.
• ספיקה:
RP M V1 − V2
60
v1
= ̇m
• ובהתאמה הספק:
RP M
RP M V1 − V2
= = ṁw
·w
60
60
v1
75
· Ẇ = Wcycle
מרצה :לאוניד טרטקובסקי
12.4
תרמודינמיקה 1
לחץ אפקטיבי ממוצע
איור :59דיאגרמת p − v
• נגדיר לחץ אפקטיבי ממוצע ): (mep
w = (mep) · ∆v
W
w
=
∆v
Vd
= mep
כאשר ∆v = vBDC − vT DC
– חשוב לא לבלבל בין ההגדרות!
• זה הוא מדד שמטרתו להשוות בין תיכנון המנועים )או יעילותם( ללא תלות בהספק או מומנט.
12.5
מחזור Otto־ מנוע הצתה חשמלית
איור :60דיאגרמות p − vו־ T − s
• מנוע זה נקרא SI engine - Spark Ignition Engine
• מנוע בו הספקת החום נעשית בנפח קבוע.
• תהליכים 1 − 2וגם 3 − 4הם אדיאבטים ,תהליכים 2 − 3וגם 4 − 1הם איזוחורים )בנפח קבוע(.
76
מרצה :לאוניד טרטקובסקי
תרמודינמיקה 1
• נמצא את נצילות המחזור .כזכור נצילות מוגדרת בתור:
P roducts
Investment
=η
במקרה שלנו:
T4
qc
) cv (T4 − T1
T1 T1 − 1
=1−
=1−
qh
) cv (T3 − T2
T2 T3 − 1
η =1−
T2
• כזכור ממחזור ברייטון:
T2
T3
T3
T4
=
⇒= = rk−1
=
T1
T4
T1
T2
כאשר במנוע בעירה פנימית ) rיחס הדחיסה( הוא יחס הנפחים ,ולא הלחצים כמו במזור ברייטון ־ הפיתוח הוא אותו הפיתוח.
מכאן עבור הנצילות:
k−1
1
rk−1
=1−
V2
V1
T1
=1−
η =1−
T2
• כמו כן ניתן להגיע גם לביטוי ללחץ אפקטיבי ממוצע:
w
T3 − T2
· = η · cv
v1 − v2
v1 − v2
= mep
• כמה הערות לגבי מחזור :Otto
– אינטראקציית החום )השריפה( אינה רגעית ,היא מתרחשת בפרק זמן מסויים ־ כלומר לא באמת בנפח קבוע.
– תהליך קירור 4 − 1לא באמת קיים ,יש פליטה של גזים החוצה ויניקת תערובת חדשה ,כמו בברייטון ־ האטמוספירה
מנוצלת כמאגר קר.
– נצילות המנוע גדלה עם הגדלת יחס הדחיסה.
– יש מגבלה על הגדלת יחסי דחיסה ־ עלולה להיווצר הצתה מוקדמת לא מבוקרת של התערובת )"צילצולים" או "נקישות"
במנוע( .זה הוא תחום מתקדם ,בספר של שביט דובר על יחסים גדולים מ־ 9כקשים להגעה ,במצגת הקורס היחס המצויין
הוא ,13ולאוניד אומר שהיום כבר אפילו למאזדה 3חדשה יש יחס דחיסה של 14־ כלומר המספרים משתנים באופן
תדיר.
12.6
מחזור דיזל ־ הספקת חום בלחץ קבוע
איור :61דיאגרמות עבור מחזור דיזל
• אינטראקציית החום מתרחשת בלחץ קבוע ,לעומת מחזור אוטו בו המחזור בנפח קבוע.
77
מרצה :לאוניד טרטקובסקי
תרמודינמיקה 1
• ההבדל הזה מאפשר למנועי דיזל לעבוד ביחסי דחיסה הרבה יותר גבוהים ,שכן אין צורך בהצתה חשמלית ־ מנועים מסוג זה
נקראים מנועי הצתה עצמית .Self Ignition Engine
• התהליכים:
– תהליך 1 − 2דחיסה אדיאבטית של אוויר בלבד
– תהליך 2 − 3הספקת חום )הזרקה הדרגתית ובעירה(
– תהליך 3 − 4התפשטות אדיאבטית
– תהליך 4 − 1קירור )ריקון ויניקת אוויר חדש
• נגדיר יחס דחיסה באותו האופן:
v1
v2
=r
ויחס חיתוך ): (Cut O Ratio
v3
v2
= rc
עבור מחזור אוטו .rc = 1
• נחשב את הנצילות עבור מחזור דיזל:
qc
qh
η =1+
ניתן להפוך את סימן הפלוס למינוסת אם הופעים את הסימנים בביטויים הבאים )המינוס מגולם בביטויים גם ככה(
) qout = q41 = cv (T1 − T4
) qin = q23 = cp (T3 − T2
פעם אחת תהליך איזובארי ופעם איזוחורי ,בגלל זה cpוגם .cv
• בנוסף:
T2
k−1
T1 = r
T3
T2 = rc
k−1
T3
r
=
T4
rc
ולכן הנצילות סך הכל:
rck − 1
)k (rc − 1
1
·
k−1
r
η =1−
• נשים לב שמחזור דיזל פחות יעיל ממחזור אוטו עבור אותו יחס דחיסה ,אז מדוע אנו יודעים מחיי היום יום שמנוע דיזל יותר
יעיל ממנוע בנזין )שהוא מנוע אוטו( רגיל?
• כפי שהזכרנו ,עבור מחזור אוטו יחס הדחיסה מוגבל ,עבור מחזור דיזל ניתן להגיע גם ליחסי דחיסה של 22ויותר ־ לכן יעילותו
גבוהה יותר.
• הערות על מחזור דיזל:
– נצילות המחזור עולה עם עליית יחס הדחיסה והקטנת יחס החיתוך
– דוחסים אוויר ,לכן ניתן להגיע ליחסי דחיסה גדול מאוד יחסית ,של 20ומעלה.
– מצד שני ,יחס הדחיסה מוסיף מגבלות לבנייה ־ חומרים טובים יותר ,חוזק ומשקל.
78
מרצה :לאוניד טרטקובסקי
12.7
תרמודינמיקה 1
מחזור משולב
איור :62דיאגרמות עבור מחזור משולב
• מחזור זה יותר דומה לפעולתו האמיתית של מנוע דיזל.
• שלושה פרמטרים משפיעים על נצילות המחזור המשולב:
– יחס דחיסה:
v1
=r
v2
– יחס חיתוך:
v4
v3
= rc
– יחס לחצים:
p3
p2
= rp
כאשר rp ≈ 1מדובר במחזור דיזל.
• באותו האופן כמו קודם ,נצילות המחזור נתונה על ידי:
rp rck − 1
)krp (rc − 1) + (rp − 1
13
מחזורי עבודה ־ מחזורי קירור
13.1
תזכורת ־ מקרר ,מזגן בקיץ
1
·
k−1
r
η =1−
• מכונה המבצעת אינטראקצייה עם שני מאגרי חום.
• מכניסים עבודה פנימה ,וחום מסולק מתא הקירור וחלקו עובר אל הסביבה.
• החום המסולק )אינטראקציית חום שלילית( הוא התוצר הרצוי ,והחום העובר לסביבה הוא תוצר נלווה.
• העבודה תמיד שלילית:
δW ≤ 0
– אם העבודה במסלול סגור הייתה חיובית ,היינו מקבלים הפרה של החוק השני לפי קלאוזיוס ־ מכונת חום המעבירה חום
ממאגר קר למאגר חם ומייצרת עבודה חיובית.
79
מרצה :לאוניד טרטקובסקי
תרמודינמיקה 1
• כזכור ,עבור מקרר )או מזגן בקיץ( הגדרנו מקדם ביצוע ולא נצילות מפני שהביטוי יכול להיות < :1
P roduct
QC
QC
=
=
Investment
W
QH − QC
= COPc = β
חשוב לזכור כי β > 1וגם β < 1הם מקרים אפשריים!
• בצורה דומה עבור משאבת חום )או מזגן בחורף( התוצר הרצוי הוא חימום החדר )לא סילוק החום( ,לכן מקדם הביצוע שלו
נתון ע"י:
P roduct
QH
QH
=
=
Investment
W
QH − QC
= COPh
במקרה זה תמיד מתקיים כי .β ≥ 1
– β ≈ 1כאשר בחוץ קר מאוד ,כלומר ההבדל בין הטמפרטורות שואף לאפס .זו בדיוק הסיבה מדוע במקומות קרים
מאוד )לדוגמא ברוסיה( לא משתמשים במזגנים לקירור ,כמות החום שניתן למשוך ממאגר פרופורציונאלית לטמפרטורת
המאגר ,לכן כאשר הפרשי הטמפרטורה זניחים ניתן למשוך מעט מאוד חום .יעילות המזגן מתקרבת לזו של מחמם חשמלי
רגיל )תנור סלילים לדוגמא( ,אבל עלות השימוש של המזגן גבוהה כמעט בסדר גודל.
13.2
מחזור קירור אידאלי
איור :63מחזור קירור אידאלי
• תהליך :1 − 2מדחס דוחס גז )בעבר פריאונים( בצורה אדיאבטית ,הגז יוצא בצורת אד שחון בטמפרטורה ולחץ גבוהים.
• תהליך :2 − 3במעבה מתבצע סילוק חום החוצה והאד השחון הופך כולו לנוזל רווי ,כלומר מתקיים .x3 = 0
• תהליך :3 − 4במשנק\מצערת ) (Throttling valveמתבצעת הפלת לחץ )אנתלפיה קבועה במשנק!( ,על מנת לחזור ללחץ
כניסה למדחס.
– משתמשים במשנק ולא בטורבינה מפני שהיא הרבה הרבה הרבה יותר זולה ,אומנם טורבינה מסוגלת גם לבצע עבודה ־
אבל זה לא כלכלי במערכות ביתיות פשוטות.
• תהליך :4 − 1במאדה )מחליף חום( מתבצע אידוי של התערובת הדו פאזית בטמפרטורה מאוד נמוכה )שימו לב ,הטמפרטורה
יותר נמוכה מאשר טמפרטורת היעד של חלל הקירור( עד שכל התערובת הופכת לגז )על מנת שהמדחס לא ידחוס טיפות
ויהרס( ,כלומר מתקיים .x1 = 1
80
תרמודינמיקה 1
13.2.1
מרצה :לאוניד טרטקובסקי
דרישות לחומרי קירור
• אנו רוצים שלחומר קירור יהיה חום כמוס גבוה ,על מנת שבתהליך 4 − 1בו אנו לוקחים חום מהסביבה ־ זה התוצר שלנו ־
נוכל "למשוך" כמות חום מקסימלית.
• אנו רוצים שבטמפרטורה הכי נמוכה במחזור ,לחץ האדים יהיה גבוה מהלחץ האטמוספרי .בתאוריה המערכת מבודדת ,בפועל
אנו רוצים שבמקרה וכן יש דליפה הפריאון יצא החוצה והאוויר לא יכנס פנימה ,שכן האוויר לא יכול להתנזל והמזגן יהרס.
• יציבות כימית טובה ־ זה די ברור.
• אי־דליקות ־ המערכת נמצאת בסביבה של מערכות חשמליות ,לא רוצים שבמקרה של ניצוץ הגז ישמש כחומר בעירה מהיר.
• רעילות נמוכה ־ הגז נמצא בסביבת אנשים ,לטובת בטיחות אנו רוצים שיוכלו לנשום אותו במקרה של דליפה.
• התאמה לחומרי סיכה וחומרי מבנה של המדחס.
• עלות סבירה.
• ידידותי לסביבה ־ חומרי קירור כדוגמאת R12ו־ R22הוחלפו על ידי R134Aו־ R410Aעקב פגיעתם בשכבת האוזון .מפני
שאנו רוצים שבמקרה של מערכת לא מבודדת לחלוטין תהיה דליפת גז החוצה ולא אוויר פנימה ,עלינו לדאוג שהגז הדולף לא
יפגע בסביבה.
13.3
מחזור קירור ־ ביצועים
• קצב הצאת החום ממאגר קר נקרא קיבולת הקירור של מערכת קירור )(capacity of the cooling system
• לרוב נמדוד ביחידות של קילו־וואט ,kWאך קיימות יחידות מסויימות:
–
–
kcal
hour
Btu
hour
– טון קירור ־ כמות החום שיש להוציא כדי להפוך טון מים לקרח תוך 24שעות.
– ההמרה עבור טון־קירור אחד:
Btu
kJ
= 211
min
min
איור :64דיאגרמות
81
200
מרצה :לאוניד טרטקובסקי
תרמודינמיקה 1
13.4
דוגמאות ביניים
13.4.1
מחזור קירור ־ דוגמא 1
• דוגמא מהספר ,נמצאת גם במצגת .אין שום דבר חדש או שונה מדוגמאות אחרות במקרה זה ,אני מציין רק הערות שעולות
במהלך הפתרון.
• המעבה תמיד עובד בלחץ גבוה יותר מאשר המאדה.
• בנקודה הראשונה אנו יודעים שהחומר שלנו הוא במצב של אד רווי ,כלומר ,x1 = 1והלחץ נתון לנו ־ מכאן המצב מוגדר
היטב וניתן לפתרון בעזרת טבלאות.
• מצב 2sלא באמת נחוץ במקרה הזה ,אבל לו רצינו האנטרופיה נותרת קבועה כמו בנקודה 1והלחץ נתון לנו )זהה ללחץ
בנקודה (2־ גם כאן המצב מוגדר היטב.
• נקודה 3היא אחרי המעבה לכן יש לנו נוזל רווי ,כלומר ,x3 = 0הלחץ נותר קבוע וגם המצב הזה מוגדר היטב.
• בנקודה 4ידוע הלחץ הסופי ,והפעם נשמרת לנו האנתלפיה ביחס למצב )3מעבר דרך מצערת\משנק משמר אנתלפיה( ,לכן גם
מצב זה מוגדר היטב.
• הטבלה שלנו מוגדרת היטב ,לכן ניתן לחשב את מקדם הביצוע במהירות:
Qc
h1 − h4
=
W
h2 − h1
= COP
• קיבולת קירור היא קצב סילוק החום מהחלל המקורר )זה שאנחנו מקררים( ,חישבנו אותה בסעיף הקודם .היות ומדובר בגודל
חסר יחידות ,ניתן להשתמש גם בנגזרות:
Q̇c
=⇒ Ẇ = Q̇c · COP
̇W
= COP
• כזכור ,יעילות קרנו תלויה רק בטמפרטורת המאגרים ,לכן:
Tc
268.15
= 7.243
=
Th − Tc
))((32 + 273.15) − (−5 + 273.15
= COPcarnot
חשוב לזכור שהטמפרטורה נכונה רק בסקאלת קלווין! במכנה מדובר בהפרש ,אז אין צורך באמת בתוספת ,אבל כדאי לכתוב
אותה רק כדי לא להתבלבל.
13.4.2
מחזור קירור ־ דוגמא 2
• גם הפעם יש פתרון מלא בספר ובמצגת ,אני מוסיף כאן את ההערות שעולות במהלך הפתרון.
• מדובר במקרה לא סטנדרטי ,שכן המעבה מקורר ע"י מים הנכנסים בטמפרטורה של ] 20◦ [Cויוצאים בטמפרטורה של ].41◦ [C
• בנוסף נתונה לנו דרגת טיב של המדחס ,ויעילות מכנית מסויימת )איבוד אנרגיה במייסבים ,בגירים וכו'(.
• על מנת לצייר את דיאגרמת p − hהמתאימה ,חשוב לסמן את נקודות 3ו־ 1על הפעמון מיידית .נקודות 1ו־ 2sנמצאות על
אותו קו של אנטרופיה קבועה .בנוסף נקודות 2s ,2ו־ 3על אותו קו אופקי ,מפני שהן באותו הלחץ )כנ"ל לגבי נקודות 1ו־
.(4במקרים של קירור בין נקודה 3ל־ 4האנתלפיה קבועה לכן הן על קו ניצב.
– חשוב מאוד! טעויות בשרטוט הנ"ל )או הטייה לא נכונה של האנטרופיה( מצביעה על חוסר הבנה של התהליך ויעלו
בהרבה נקודות בבחינה!
82
מרצה :לאוניד טרטקובסקי
תרמודינמיקה 1
איור :65הדיאגרמה הסופית
• בנקודה הראשונה ידוע כי מדובר באד רווי ) (x1 = 1והטמפרטורה ידועה ־ המצב מוגדר.
• בנקודה 3מדובר בנוזל רווי ) (x3 = 0ונתונה הטמפרטורה ־ המצב מוגדר.
• נקודות 4ו־ 1הן באותו הלחץ ובאותה הטמפרטורה ,שכן הן נמצאות בתוך הפעמון ועל אותה האיזוברה )אלו לא תכונות
בלתי תלויות כי מדובר במצב דו־פאזי! האנתלפיה לדוגמא לא תהיה זהה(.
• נקודה 2sנמצאת באותו הלחץ של נקודה ,3והאנטרופיה שלה זהה לזו של נקודה .1
• נקודה 2נמצאת באותו הלחץ של מצבים 2sושל ,3ובעזרת דרגת הטיב ניתן לחשב את הנתלפיה:
h2s − h1
c
h2 = h1 +
• בעזרת אנתלפיות ניתן לחשב במהירות את אינטראקציות העבודה והחום:
w = h2 − h1
qc = h1 − h4
qh = h2 − h3
כאשר wהיא העבודה ליחידת מסה של המדחס qc ,היא אינטראקציית החום ליחידת מסה הנספגת במאדה ,ו qhהיא סילוק
החום ליחידת מסה במאדה.
• מכאן לפי הגדרה ניתן לחשב את ספיקת המסה:
Q̇c
qc
= ̇m
ואת הספק המנוע האמיתי:
ṁ · w
ηm
= ̇W
שימו לב כי אנחנו מחלקים ביעילות המכאנית ,כי העבודה האמיתית של המנוע שלנו גדולה מזו שקיבלנו בפועל ,בדיוק בשל
האיבודים האלו.
• מכאן לפי הגדרה ניתן לחשב את מקדם הביצוע:
Q̇c
̇W
= COP
83
תרמודינמיקה 1
מרצה :לאוניד טרטקובסקי
• את ספיקת נוזל הקירור נגלה ממאזן אינטראקציות חום על המעבה )החום שנלקח מהמים שווה לחום הנכנס למערכת(:
ṁqh
) cpcw (Tout − Tin
13.5
= Qcw = Qh =⇒ ṁcw · cpcw (Tout − Tin ) = ṁ · qh =⇒ ṁcw
מחזור קירור עם מחליף חום פנימי
איור :66סכמת המערכת
• מהמאייד יוצא גז קר מאוד ,מצד שני מהמעבה יוצא נוזל חם .אם נקרר את הנוזל בעזרת הגז הקר )ע"י מיקום נכון של מחליף
החום(.
איור :67דיאגרמת T − s
• גז שיוצא ממחליף החום יתחמם ) ∗ ,(1והנוזל יתקרר ) ∗.(3
• "נפילות" אלו מגדילות את חלק המחזור הנמצא בתוך הפעמון ,ולכן יש לנו יותר זמן לסלק חום החוצה.
84
מרצה :לאוניד טרטקובסקי
תרמודינמיקה 1
• מתקיים:
T1∗ = T3 − δ
עבור מחליף אידאלי מתקיים ,δ = 0אם לא נתונה לנו δניתן להניח זאת .אף פעם לא יתקיים .T1∗ > T3
• מקדם הביצוע של מערכת כזו נתון ע"י:
∗h1 − h4
qc
=
win
∗h2∗ − h1
=β
• האם בהכרח ה COPיעלה במקרה של קונפיגורציה כזו? לא! אומנם אנו מעלים את סילוק החום מהמאגר הקר )וגם מבטיחים
שהמדחס יקבל אד שחון\יבש( ,אבל אנו גם מגדילים את עבודת המדחס.
13.5.1
מחזור קירור עם מחליף פנימי ־ דוגמא
• כרגיל ,מהספר וגם במצגת ־ כותב רק הערות.
• נתון לנו שגם במעבה וגם במאייד נדרש הפרש טמפרטורות של ,3◦ Cכלומר במקרה שנתון לנו טמפרטורה במאגר קר של
−7◦ Cטמפרטורת הנוזל במאדה תהיה ) −10◦ Cירידת טמפרטורה( ומעבה תהיה עליית טמפרטורה.
– קובעים עליה או ירידה לפי כיווני זרימת החום הרצויים.
– אנו רוצים שתתקיים אינטראקציית חום בין החלל המקורר לנוזל )מהחלל אל הגז\נוזל( ,מהחוק השני כיוון אינטראקציית
החום הוא מהחם אל הקר ,לכן טמפ' הנוזל חייבת להיות נמוכה מזו של החלל.
• נשרטט שתי דיאגרמות p − h ,הדרושה ו־ T − sלצרכי עזר והבנה.
איור :68הדיאגרמות לשאלה
• שני המצבים אותם אנו יודעים הם 3ו־ ,1לפי טמפרטורות ואכויות אד .משני המצבים האלו ניתן להגיע ל ,2sומשם ל .2
• נתונה הטמפרטורה בסוף )זהה לטמפרטורה במצב ,(1ומשימור אנתלפייה בין מצב 4למצב 3קיבלנו שתי תכונות וניתן להשלים
את הטבלה.
• מהטבלה ניתן ישירות לחשב את מקדם הביצוע ,חשוב לזכור שהיעילות המכאנית מגדילה את העבודה ,לכן מקטינה את מקדם
הביצוע:
qc
h1 − h4
= COP = w
ηm
h2 − h1
ηm
85
מרצה :לאוניד טרטקובסקי
תרמודינמיקה 1
• ההספק הדרוש נתון ע"י:
Q̇c
COP
= ̇W
• עבור המקרה עם מחליף חום פנימי ,אנו יודעים כי הלחצים לא משתנים ־ לכן נקודות 1ו־ 3אינן משתנות.
• מאחר וקיבול החום של זרם הנוזל לתוך מחליף החום גדול מאשר זה של האד ,טמפרטורת האד ביציאה נמוכה באותן 3מעלות
מאשר זו של הנוזל ,כלומר .41 − 3 = 38◦ C
• מכאן ניתן לחשב את נקודות 1a, 2as, 2aבאותה הצורה שעשינו במקור.
• את נקודה 3aניתן לגלות בעזרת מאזן אנתלפיות על מחליף החום:
) h3a = h3 − (h1a − h1
• ובמקרה זה מקדם הביצוע הוא:
ηm
h1 − h4a
h2a − h1a
=
qc
w
ηm
= COP
והוא אכן השתפר מאשר המכונה המקורית.
• ובאותו האופן כמקודם ,ההספק הדרוש הוא )עם הערכים המתאימים לעבודה ,הספק חום ומקדם ביצוע(:
Q̇c
COP
= ̇W
– התוצאה הסופית לא ממש נכונה פיסיקלית ,ראינו כי qcהחדש גדל ,אבל הם טענו כי Q̇cנותר זהה בין שני המקרים ־
זה אפשרי רק אם השתנתה ספיקת המאסה בין שני התהליכים וזה לא היה נתון.
86
תרמודינמיקה 1
13.6
מרצה :לאוניד טרטקובסקי
מחזור קירור עם דחיסה בשני שלבים
איור :69סכמת המערכת
• כזכור דחיסה איזותרמית היא היעילה ביותר ־ וניתן להשיג אותה בעזרת דיחסה רב שלבית עם קירור ביניים.
• בגלל שרוצים לקרר ,הטמפרטורה צריכה להיות גבוהה מטמפרטורת הסביבה.
87
מרצה :לאוניד טרטקובסקי
תרמודינמיקה 1
איור :70דיאגרמת T − sמתאימה
• מערכת כזו מקטינה את צריכת החשמל ־ עבודת הדחיסה ־ עקב הקירוב לדחיסה איזותרמית .חשוב לשים לב שקיבולת הקירור
לא משתנה ,אנו רק מקטינים את ההשקעה התרמודינאמית שלנו.
• כמובן שבתור מהנדסים אנו חייבים לבדוק האם ההקטנה בהשקעה התרמודינאמית לא מגדילה יותר מדי את ההשקעה הכלכלית
שלנו במערכת.
88
