10601
Algèbre vectorielle et linéaire avec applications en gestion
Nom
Quiz 1 _Séance 3 : P44-P45 11h-11h30
Prénom
Automne 2021
Directives:
•
•
•
•
•
•
Les exercices 1, 2 et 3 sont indépendants
Répondre directement sur la copie
−1 point pour une copie sans nom
Attention au plagiat !
Documentation, ordinateur, tablette, cellulaire et calculatrice : interdits
TOUTE RÉPONSE NON JUSTIFIÉE NE SERA PAS COMPTÉE
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
Exercice 1 (5,5 points) Considérons l’équation matricielle :
(𝑋 𝑇 − 𝐶 𝐴)𝑇 + 2𝐷𝐵 = 0
(1)
a) (1,5 point) On suppose que toutes opérations sont définies dans l’équation (1), exprimer la matrice X en
fonction des matrices A, B, C et D, en développant toutes les parenthèses.
(𝑋 𝑇 − 𝐶 𝐴)𝑇 + 2𝐷𝐵 = 0 ⇒ (𝑋 𝑇 )𝑇 − (𝐶 𝐴)𝑇 + 2𝐷𝐵 = 0
⇒ 𝑋 − 𝐴𝑇 𝐶 𝑇 = −2𝐷𝐵
⇒ 𝑋 = 𝐴𝑇 𝐶 𝑇 − 2𝐷𝐵
b) (4 points) On suppose que :
1
𝐴=[
−1
0
2
−1
]
0
1 −2
𝐵=[
]
−1 0
1
𝐶=[
2
0
]
1
0
𝐷=[ 2
−1
−2
1]
1
Si elle est définie, trouver la matrice 𝑿 exprimée en (a).
Si elle n’est pas définie, expliquer pourquoi.
0
𝐷𝐵 = [ 2
−1
1
0
𝐶𝑇 = [
1
𝐴𝑇 = [ 0
−1
−2
2
1 −2
]=[ 1
1 ][
−1 0
1
−2
𝑇
4
2𝐷𝐵 = [ 2
−4
0
−8]
4
2
]
1
−1
2]
0
1 −1
1
𝐴 𝐶 =[ 0
2 ][
0
−1 0
𝑇
0
−4]
2
1
2
]= [ 0
1
−1
1
2]
−2
1
1
4
𝑋 = 𝐴𝑇 𝐶 𝑇 − 2𝐷𝐵 = [ 0
−
]
[
2
2
−1 −2
−4
−3
0
=
]
[
−8
−2
3
4
1
10 ]
−6
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
10601
Quiz 1 – A21
Page 1 sur 6
1
Exercice 2 (5 points) La matrice 𝑀 = (2
1
0 5
0 0) est-elle inversible ? Si oui trouver la matrice inverse de M.
−1 0
Développement suivant la 3ème colonne (on peut développer selon une autre ligne ou colonne):
2
det(𝑀) = 5 |
1
0
| = −10
−1
M est carrée et det(M) 0 Donc M-1 existe.
La matrice des cofacteurs (les cofacteurs peuvent aussi être calculés par cij =….) :
0 0
2 0
2 0
| −|
| +|
|
−1 0
1 0
1 −1
1 0
0 5
1 5
| +|
| −|
|
𝐶 = −|
1 −1
−1 0
1 0
1 0
0 5
1 5
[ + |0 0| − |2 0| + |2 0| ]
+|
0
𝐶 = [−5
0
0 −2
−5 1 ]
10 0
La matrice Adjointe
0
𝐴𝑑𝑗(𝑀) = 𝐶 𝑇 = [ 0
−2
−5
−5
1
0
10]
0
La matrice inverse de M
𝑀
−1
0
=
𝐴𝑑𝑗(𝑀) = − [ 0
det(𝑀)
10
−2
1
1
−5
−5
1
0
1/2
0
1/2
10] = [ 0
1/5 −1/10
0
0
−1]
0
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
3
0
Exercice 3 (3,5 points) Soit la matrice A = (
2
0
1
1
0
−1
1
1
0
2
2
0
).
0
0
a) (2 points) Peut-on évaluer det(𝐴)? Justifier. Si la réponse est oui, le calculer.
A est une matrice carrée (d’ordre 4) , on peut donc évaluer det (A).
En développant suivant la 4ème colonne, qui possède 3 zéros, on obtient
0 1 1
det (A) = −2 |2 0 0|
0 −1 2
On obtient ce dernier déterminant en développant suivant la première ligne
1 1
= −2 (−2 |
|)
−1 2
= −2 (−6) = 12
b) (1,5 point) Peut-on évaluer det( −𝐴𝑇 )? Justifier. Si la réponse est oui, le calculer.
A est une matrice carrée donc ( −𝐴𝑇 ) est aussi une matrice carrée. Par conséquent, l’évaluation du det( −𝐴𝑇 )
est possible .
𝑑𝑒𝑡 (−𝐴𝑇 ) = (−1)4 𝑑𝑒𝑡(𝐴𝑇 ) = 𝑑𝑒𝑡(𝐴) =12.
Si l’étudiant évalue le det (−𝐴𝑇 ) par le développent en ligne ou en colonne, on donne 1 point pour les étapes
et 0,5 pour le résultat.
10-601
Quiz 1 – A2021
Page 2 sur 6
10601
Algèbre vectorielle et linéaire avec applications en gestion
Nom
Quiz 1 _Séance 3 : P40 18h-18h30
Prénom
•
•
•
•
•
•
Automne 2021
Les exercices 1, 2 et 3 sont indépendants
Répondre directement sur la copie
−1 point pour une copie sans nom
Attention au plagiat !
Documentation, ordinateur, tablette, cellulaire et calculatrice : interdits
TOUTE RÉPONSE NON JUSTIFIÉE NE SERA PAS COMPTÉE
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
Exercice 1 (5,5 points) Considérons l’équation matricielle :
2(𝐴𝐷𝑇 )𝑇 − 𝐵𝑇 𝐶 − 𝑋 = 0
(1)
a) (1,5 point) On suppose que toutes les opérations sont définies dans l’équation (1), exprimer la matrice X
en fonction des matrices A, B, C et D, en développant toutes les parenthèses.
2(𝐴𝐷𝑇 )𝑇 − 𝐵𝑇 𝐶 − 𝑋 = 0 ⇒ 𝑋 = 2(𝐴𝐷𝑇 )𝑇 − 𝐵𝑇 𝐶
⇒ 𝑋 = 2(𝐷𝑇 )𝑇 𝐴𝑇 − 𝐵𝑇 𝐶
⇒ 𝑋 = 2𝐷𝐴𝑇 − 𝐵𝑇 𝐶
b) (4 points) On suppose que :
−1
𝐴=[
2
1
]
0
−1
1
𝐵=[
0
−2
1
]
0
𝐶=[
1 2
]
0 1
0
𝐷=[ 2
−1
−2
1]
1
Si elle est définie, trouver la matrice 𝑿 exprimée en (a).
Si elle n’est pas définie, expliquer pourquoi.
𝐴𝑇 = [
−1
1
−1
𝐵𝑇 = [ 0
1
2
]
0
1
−2]
0
0
𝐷𝐴 = [ 2
−1
−2
−1
1 ][
1
1
−1
𝐵𝑇 𝐶 = [ 0
1
1
1
−2] [
0
0
𝑇
−2
2
] = [−1
0
2
−1
2
]= [ 0
1
1
−4
𝑋 = 2𝐷𝐴𝑇 − 𝐵𝑇 𝐶 = [−2
4
0
4]
−2
−1
−2]
2
0
1
8 ]+[ 0
−4
−1
−4
2𝐷𝐴 = [−2
4
𝑇
1
−𝐵𝑇 𝐶 = [ 0
−1
−3
1
2 ] = [−2
3
−2
0
8]
−4
1
2]
−2
1
10 ]
−6
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
.
10-601
Quiz 1 – A2021
Page 3 sur 6
0
Exercice 2 (5 points) La matrice 𝑀 = [−3
2
𝑀.
1 −1
2 0 ] est-elle inversible ? Si oui trouver la matrice inverse de
0 0
Développement suivant la 3ème colonne (on peut développer selon une autre ligne ou colonne):
−3
det(𝑀) = (−1) |
2
2
|=4
0
M est carrée et det(M)  0 Donc M-1 existe.
La matrice des cofacteurs (les cofacteurs peuvent aussi être calculés par cij =….) :
2 0
−3 0
−3 2
+|
|
−|
| +|
|
0 0
2 0
2 0
1 −1
0 −1
0 1
𝐶 = −|
| +|
|
−|
|
0 0
2 0
2 0
1 −1
0 −1
0 1
[+ |2 0 | − |−3 0 | + |−3 2|]
0
𝐶 = [0
2
0
2
3
−4
2]
3
La matrice Adjointe
0
𝐴𝑑𝑗(𝑀) = 𝐶 𝑇 = [ 0
−4
0 2
2 3]
2 3
La matrice inverse de 𝑀.
𝑀
−1
0
=
𝐴𝑑𝑗(𝑀) = [ 0
det(𝑀)
4
−4
1
1
0
2
2
0
2
3] = [ 0
−1
3
0
1/2
1/2 3/4]
1/2 3/4
…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………..
1
2
Exercice 3 (3,5 points) Soit la matrice A = (
2
1
0
2
0
0
3
0
0
−1
1
−1
).
0
2
a) (2 points) Peut-on évaluer det(𝐴)? Justifier. Si la réponse est oui, le calculer.
A est une matrice carrée (d’ordre 4) , on peut donc évaluer det (A).
En développant suivant la 2ème colonne, qui possède 3 zéros, on obtient
1 3 1
det(A) = 2 |2 0 0|
1 −1 2
Ce deuxième s’obtient par développement selon la deuxième ligne qui a un zéro :
3 1
= 2 (−2 |
|)
−1 2
= 2 (−14) = −28
b) (1,5 point) Peut-on évaluer det( 2𝐴−1 )? Justifier. Si la réponse est oui, le calculer.
Comme 𝑑𝑒𝑡(𝐴) ≠ 0 donc A est inversible
Et det( 2𝐴−1 ) = 24 det( 𝐴−1 ) =
10-601
24
𝑑𝑒𝑡(𝐴)
=
24
−28
=−
Quiz 1 – A2021
22
7
=−
4
7
Page 4 sur 6
10601
Algèbre vectorielle et linéaire avec applications en gestion
Nom
Quiz 1 _Séance 3 : P43 14h30-15h
Prénom
Automne 2021
Directives:
•
•
•
•
•
•
Les exercices 1, 2 et 3 sont indépendants
Répondre directement sur la copie
−1 point pour une copie sans nom
Attention au plagiat !
Documentation, ordinateur, tablette, cellulaire et calculatrice : interdits
TOUTE RÉPONSE NON JUSTIFIÉE NE SERA PAS COMPTÉE
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
Exercice 1 (5,5 points) Considérons l’équation matricielle :
(𝐴𝐶 T )T − 2𝐵𝑇 𝐷 − 𝑋 = 0
(1)
a) (1,5 point) On suppose que toutes les opérations sont définies dans l’équation (1), exprimer la matrice X
en fonction des matrices A, B, C et D, en développant toutes les parenthèses.
(𝐴𝐶 T )T − 2𝐵𝑇 𝐷 − 𝑋 = 0 ⇒ 𝑋 = (𝐴𝐶 𝑇 )𝑇 − 2𝐵𝑇 𝐷
⇒ 𝑋 = (𝐶 𝑇 )𝑇 𝐴𝑇 − 2𝐵𝑇 𝐷
⇒ 𝑋 = 𝐶𝐴𝑇 − 2𝐵𝑇 𝐷
b) (4 points) On suppose que :
2
−1
𝐴=[
1
]
−1
𝐵=[
1
0
−1
2
0
]
1
1
𝐶 = [2
1
−2
−1]
0
𝐷=[
−1
1
0
]
1
Si elle est définie, trouver la matrice 𝑿 exprimée en (a).
Si elle n’est pas définie, expliquer pourquoi.
𝐴𝑇 = [
2
1
1 −2
2
𝐶𝐴 = [2 −1] [
1
1 0
𝑇
1
𝐵 𝐷 = [−1
0
𝑇
1 0
𝐵𝑇 = [−1 2]
0 1
−1
]
−1
0
−1
] = [3
−1
2
0
−1
2] [
1
1
0
𝑋 = 𝐶𝐴𝑇 − 2𝐵𝑇 𝐷 = [3
2
1
−1]
−1
−1 0
0
] = [ 3 2]
1
1 1
1
2
+
]
[
−1
−6
−1
−2
2
−2𝐵 𝐷 = [−6
−2
𝑇
2
0
=
]
[
−4
−3
0
−2
0
−4]
−2
1
−5]
−3
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
10-601
Quiz 1 – A2021
Page 5 sur 6
0 0 3
Exercice 2 (5 points) La matrice 𝑀 = ( 5 0 0) est-elle inversible ? Si oui trouver la matrice inverse de M.
−3 2 1
Développement suivant la 1ère ligne (on peut développer selon une autre ligne ou colonne):
5
det(𝑀) = 3 |
−3
0
| = 30
2
M est carrée et det(𝑀) ¹0 donc 𝑀−1 existe.
La matrice des cofacteurs (les cofacteurs peuvent aussi être calculés par cij =….) :
0
2
0
𝐶 = −|
2
0
[+ |0
0
|
1
3
|
1
3
|
0
+|
5 0
5 0
−|
| +|
|
−3 1
−3 2
0 3
0 0
+|
| −|
|
−3 1
−3 2
0 3
0 0
−|
|
+|
|
5 0
5 0 ]
0
𝐶 = [6
0
−5
9
15
10
0]
0
La matrice Adjointe :
0
𝐴𝑑𝑗(𝑀) = 𝐶 𝑇 = [−5
10
6 0
9 15]
0 0
La matrice inverse de 𝑀.
𝑀
−1
0
=
𝐴𝑑𝑗(𝑀) = [−5
det(𝑀)
30
10
1
1
6
9
0
0
1/5
0
15] = [−1/6 3/10
1/3
0
0
0
1/2]
0
……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
1
0
Exercice 3 (3,5 points) Soit la matrice A = (
2
−1
2
−1
2
0
1
0
0
2
2
0
).
0
3
a) (2 points) Peut-on évaluer det(𝐴)? Justifier. Si la réponse est oui, le calculer.
A est une matrice carrée (d’ordre 4) , on peut donc évaluer det (A).
En développant selon la 2ème ligne qui contient 3 zéros, on a :
1 1 2
det(A) = −1 | 2 0 0|
−1 2 3
Ce deuxième s’obtient par développement selon la deuxième ligne qui a un zéro :
1 2
= − (−2 |
|)
2 3
= 2 (−1) = −2
b) (1,5 point) Peut-on évaluer det (2 𝐴𝑇 𝐴−1 )? Justifier. Si la réponse est oui, le calculer.
Comme 𝑑𝑒𝑡(𝐴) ≠ 0 donc A est inversible et
10-601
det (2 𝐴𝑇 𝐴−1 ) = det (2 𝐴𝑇 ) det( 𝐴−1 ) = 24 𝑑𝑒𝑡(𝐴 ) ×
1
= 24 = 16
det(𝐴)
Quiz 1 – A2021
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