MAT1905
Automne 2015
Intra 1
30/09/2015
Durée : lh50
Cet examen contient 2 pages et 4 questions. Le total des points est 100.
•
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1. (25 points) Soient les matrices :
[~ ~ ~]
1
A=
1
2
,B =
0 1
[~ ~
2
0
0
~ ~ ~]
1
] ,C= [
- 1
2
, D = (1 0] .
3
Calculez, quand cela est possible, les expressions suivantes. Si l'opération n'est pas
définie, donnez·en la raison.
(a) (4 points) A+ B,
{d) (4 points) D2 ,
(b) (4 points) A+ cr,
(e) (4 points) BADr,
(c) (4 points) Br(A +cr),
(f) (5 points) CAB.
2. (30 points) On considère le système linéaire suivant, où a est un paramètre :
(a) (3 points) Écrire le système sous la forme AX = B .
(b) (6 points) Calculer le déterminant de A. Pour quelle(s) valeur(s) de a la matrice A
est-elle inversible ?
(c) (8 points) Lorsque A est inversible, calculer A- 1 à l'aide de la matrice adjointe.
(d) (5 points) Lorsque A est inversible, résoudre le système à l'aide de la matrice inverse.
(e) (8 points) Pour a = 1, résoudre le système à l'aide de la. règle de Cramer.
MAT1905
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3. (28 points) On considère la matrice :
A ""'
a
e
b c d
f g h
"L
J
k
L
m n
0
]J
On suppose que det(A) = 2. Que valent les déterminants des matrices suivantes ?
Justifiez vos réponses.
(a) (4 points) det( - A),
(b) (4 points) det(A 2 ),
(c) (5 points) B ::::
(e) (5 points) D =
a+d
f
e+h
i +l
a
e
i
m
J
b
f
J
k
n
n m+p
l
p
c g
d h
0
c d
2e 2/ 2g 2h
3a 3b 3c 3d
m n
0
p
(f) (5 points) E =
b
a
(d) (5 points) C =
b
1
1 0
0 a
2 e
0 l
3 m
c d
g h
k
0
p
0 0 0
b c d
f g h
j k
n 0 p
4. (17 points) Vrai ou faux. Toute réponse mal ou non justifiée ne rapporte aucun point.
3 7
(a) (3 points) Soit A =
[~ ~ ~~]. Alors det(A) 722670.
=
0
0
2
(b) (3 points) Soient A une matrice 2 x 3 et B une matrice 3 x 2 telles que AB = / 2 .
Alors A est inversible.
. ) L e systeme
.
l'mea1re
, . { 3x
(c ) (3 pomts
+ 2y - z =
y + 3z =
.v -
1 peut etre
• reso
, 1ua, l' a1'd e
0
de la règle de Cramer.
(d) (4 points) Soit A une matrice de format mx n telle que le produit A2 soit défini.
Alors m = n.
(e) (4 points) Soit A une matrice 2 x 2 telle que
A[~] ; [~] . Alors det(A) = O.