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Proyectivización y Dimensiones Homológicas
Juan Carlos Bustamante§ , François Huard† , David Smith‡
Resumen—Estudiamos propiedades homológicas del álgebra
de endomorfismos EndΛ (P ∞ )op , donde Λ es un álgebra de artin
de dimensión global infinita, y P ∞ es la suma directa de los
rpresentantes de la clases de isomorfismo de los Λ-módulos
proyectivos indescomponibles tales que P/rP tiene dimensión
proyectiva infinita.
I.
I NTRODUCCIÓN
Sea Λ un álgebra de artin y Λ−mod la categoría de
Λ−módulos izquierdos finitamente generados. Dado un Λmódulo proyectivo Λ P , denotemos por P −mod la subcategoría plena de Λ−mod formada por los Λ−módulos Λ M
que admiten presentaciones de la forma
P1
/ P0
/M
/0
donde P0 , P1 , son sumas de sumandos directos de P .
Sea Γ = EndΛ (P )op , la opuesta del álgebra de endomorfismos de P . El teorema de proyectivización de Auslander (ver
[2, I, (2.1), (2.5), y (Ejercicio 2)] establece que las categorías
P −mod y Γ−mod son equivalentes mediante los funtores
HomΛ (P, −) y P ⊗Γ −:
HomΛ (P, −) : P −mod o
/
Γ−mod : P ⊗Γ −.
II.
Dado un Λ−módulo M , su dimensión proyectiva será
denotada por dpΛ M , y su top es top M = M/rM. Además,
add M denotará la subcategoría plena de Λ−mod formada
por los módulos que son sumas de sumandos directos de M .
La dimensión finitística de Λ es:
fin dim Λ = sup{dpΛ X| X ∈ Λ−mod, dpΛ X < ∞},
y su dimensión global es
dim gl Λ = sup{dpΛ X| X ∈ Λ−mod}.
El siguiente resultado, bien conocido (ver por ejemplo [1,
X, 1.4]), nos será de utilidad más adelante.
Lema 2.1: Si se tiene una sucesión exacta corta en Λ−mod
0
Sin embargo, en general no hay relación entre las dimensiones homológicas de las categorías Λ−mod y Γ−mod.
En este trabajo consideramos el caso particular en que
P = P ∞ es la suma directa un representante de cada clase de
isomorfismo de los Λ−módulos proyectivos indescomponibles
P tales que el cociente de P por su radical es un módulo simple de dimensión proyectiva infinita. En particular mostramos
que si M es un Λ−módulo tal que la dimensión proyectiva
del Γ−módulo HomΛ (P ∞ , M ) es finita, entonces se tiene
que la dimensión proyectiva de M también lo es. Como
consecuencia, si es que Λ tiene dimensión global infinita, todos
los Γ−módulos simples tienen dimensión proyectiva infinita.
El artículo está estructurado de la siguiente manera: en la
sección 2, sección de preliminares, hacemos un breve recuento
de notaciones, construcciones y resultados necesarios para los
resultados principales, que serán expuestos en la sección 3, en
donde además daremos algunos ejemplos.
§ Departamento de Matemáticas Universidad San Francisco de Quito. Quito,
Ecuador. Correo electrónico:juanb@usfq.du.ec
† Department of Mathematics Bishop’s University. Sherbrooke, Québec,
Canada. Correo electrónico: fhuard@ubishops.ca
‡ Department of Mathematics Bishop’s University. Sherbrooke, Québec,
Canada. Correo electrónico: dsmith@ubishops.ca
P RELIMINARES
Si bien recordamos algunas nociones y notaciones, referimos al lector a [1], [2], por ejemplo, para mayores detalles de
álgebra homológica y teoría de representaciones de álgebras.
En todo este trabajo Λ designará un álgebra de artin, cuyo
radical de Jacobson será r. El radical de la categoría Λ−mod
es el ideal rΛ = r(Λ−mod) de ésta última definido, para
cada par X, Y de Λ−módulos, mediante rΛ (X, Y ) = {f ∈
HomΛ (X, Y )| hf g no es un isomorfismo para ningunos g ∈
HomΛ (U, X), y h ∈ HomΛ (Y, U )}.
/L
/M
/N
/0
Entonces:
a) dpΛ N ⩽ sup{dpΛ M, dpΛ L + 1}, y se da la igualdad
si y solamente si es que dpΛ M 6= dpΛ L.
b) dpΛ L ⩽ sup{dpΛ M, dpΛ L − 1} y se da la igualdad
si y solamente si es que dpΛ M 6= dpΛ N .
c) dpΛ M ⩽ sup{dpΛ L, dpΛ N } y se da la igualdad si y
solamente si es que dpΛ N 6= dpΛ N + 1.
Denotaremos por S ∞ a la suma directa de los Λ−módulos
simples de dimensión proyectiva infinita (uno por cada clase
de isomorfismo). De este modo, P ∞ es la cobertura proyectiva
de S ∞ .
De manera análoga, S <∞ denotará a la suma directa de los
módulos simples de dimensión proyectiva finita (uno por cada
clase de isomorfismo). Además, definamos αΛ mediante:
dpΛ S <∞ si S <∞ 6= 0,
αΛ =
0
si S <∞ = 0.
Finalmente el índice de M en S ∞ , [M : S ∞ ], es el número
de factores de composición (no necesariamente distintos) de
M cuya dimensión proyectiva es infinita. El índice [M : S <∞ ]
se define de manera análoga. Es inmediato entonces observar
los siguientes hechos, que usaremos libremente en adelante
(ver también el Lema (2.3)):
2
Observación 2.2: Dado un Λ−módulo M , entonces:
a) [M : S ∞ ] = 0 implica que dpΛ M ⩽ αΛ ,
b) [M : S ∞ ] = 0 si, y solamente si es que
HomΛ (P ∞ , M ) = 0.
Dada una subcategoría F ⊆ Λ−mod, diremos que un
Λ−módulo M es filtrado por F si es que existe una cadena
finita de submódulos de M :
0 = M0 ⊆ M1 ⊆ · · · ⊆ M n = M
En lo que sigue construiremos concretamente el módulo M 0 ,
y veremos que además tiene algunas propiedades adicionales:
Proposición 3.1: Dado un Λ−módulo M , existe M 0 ∈
P −mod, tal que
∞
a) HomΛ (P ∞ , M ) ≃ HomΛ (P ∞ , M 0 )
b) dpΛ M < ∞ si y solamente si es que dpΛ M 0 < ∞, y,
en este caso
tales que Mi /Mi−1 ∈ F para i ∈ {1, 2, . . . , n}.
dpΛ M 0
Recordemos ahora la construcción del funtor
/ Λ−mod de [3].
S : Λ−mod
En Λ−mod la relación ⩾ definida por C1 ⩾ C2 si y
/ / C2 es una
solamente si es que existe un epimorfismo C1
relación de orden. El Lema (3.3) de [3] establece que, dado un
Λ−módulo M , la familia de cocientes de M filtrados por S <∞
admite un único elemento maximal, que denotamos por C(M ).
Notemos que por construcción se tiene [C(M ) : S ∞ ] = 0.
Dado que C(M ) es un cociente de M , existe un epimorfismo
/ / C(M ) . Por definición, S(M ) es el núcleo de
pM : M
pM . Esto define S en los objetos de Λ−mod. Por otro lado,
/ N , tenemos que pN f (M ) es
para un morfismo f : M
un cociente de M contenido en C(N ), que es filtrado por
S <∞ . De este modo obtenemos la existencia de un epimor/ / pN f (M ), lo que, por paso al núcleo
fismo C(f ) : C(M )
/ S(N ).
proporciona un morfismo S(f ) : S(M )
0
/ S(M )
0
/ S(N )
S(f )
/M
pM
/ C(M )
/0
pN
/ C(N )
/ 0.
f
/N
El siguiente Lema ([3, 3.4]) resume algunas propiedades del
funtor S que utilizaremos más adelante.
/ Λ−mod es un funtor aditivo
Lema 2.3: S : Λ−mod
que tiene las siguientes propiedades:
a) dpΛ M < ∞ si y solamente si es que dpΛ S(M ) < ∞,
b) Si [M : S ∞ ] 6= 0, entonces top S(M) ∈ add S∞ ,
c) dpΛ M ⩽ sup{dpΛ S(M ), αΛ },
d) S preserva los epimorfismos y los monomorfismos,
e) Si [M : S ∞ ] = 0 entonces S(M ) = 0.
III.
HomΛ (P ∞ , M )
0
P ∞ ⊗Γ HomΛ (P ∞ , M ) ≃ P ∞ ⊗Γ HomΛ (P ∞ , M 0 )
0
≃ M.
0
(1)
/M
/ S(M )
/ C(M )
/ 0.
(2)
Como C(M ) es filtrado por S <∞ , tenemos que [C(M ) :
S ] = 0. En virtud de la exactitud de HomΛ (P ∞ , −) y la
Observación (2.2), tenemos entonces
∞
HomΛ (P ∞ , S(M )) ≃
HomΛ (P ∞ , M ).
(3)
Además el Lema (2.3), parte b), da que la cobertura proyectiva
de S(M ), que llamaremos P0 , está en add P ∞ . Tenemos
entonces un diagrama cuya línea y columna son exactas:
0
SΩΛ S(M )
P ∞ ⊗Γ HomΛ (P ∞ , M0 ) ≃ M0 .
Consecuentemente tendremos entonces
=
con lo que podemos tomar M 0 = 0 y no hay nada que
demostrar.
Podemos entonces suponer que [M : S ∞ ] 6= 0. Consideremos la sucesión exacta corta
Dado M0 ∈ P ∞ −mod, el resultado de Auslander mencionado en la introducción garantiza que
HomΛ (P ∞ , M ) ≃ HomΛ (P ∞ , M 0 ).
max{dpΛ S(M ), αΛ }
max{dpΛ M − 1, αΛ }.
Demostración: La demostración de a) es la discusión que
precede el enunciado de la Proposición. El enunciado de b)
seguirá de la construcción de M 0 y del Lema (2.1). Tenemos
dos casos distintos a tratar, según [M : S ∞ ] sea cero o no.
Supongamos primero que [M : S ∞ ] = 0, es decir que
M no tiene factores de composición de dimensión proyectiva
infinita. En virtud de la Observación (2.2), tenemos que
R ESULTADOS
Si M es un Λ−módulo arbitrario, esto no es cierto. Sin embargo HomΛ (P ∞ , M ) sigue siendo un Γ−módulo, de modo
que, de nuevo gracias al resultado de Auslander, debe existir
un Λ−módulo M 0 ∈ P ∞ −mod tal que
⩽
⩽
i
0
/ ΩS(M )
f
/ P0
/ S(M )
/0
CΩΛ S(M )
0
Sea M 0 = Coker f i, j obtenido de i por paso a los conúcleos,
y K = Ker j. El lema de la serpiente nos da un diagrama
3
Demostración: a) Notemos primero que, de nuevo, si
[M, S ∞ ] = 0, tendríamos, por la Observación (2.2), parte
b) que HomΛ (P ∞ , M ) = 0; y por el Lema (2.3), parte
e), S(M ) = 0, con lo que no habría nada que demostrar.
Sin pérdida de generalidad podemos entonces suponer que
[M, S ∞ ] 6= 0. Recordemos además que la Ecuación (3)
nos dice que HomΛ (P ∞ , M ) ≃ HomΛ (P ∞ , S(M )). Sea
/ S(M ) la cobertura proyectiva de S(M ). Tenemos
f : P0
entonces una sucesión exacta corta:
conmutativo con líneas y columnas exactas:
0
GF
@A
ED
/0
/K
/ SΩΛ S(M ) f i / P0
/ M0
/0
/ P0
/ S(M )
/0
/0
/0
0
i
0
/ ΩΛ S(M )
f
/ CΩΛ S(M )
BC
0
/0
de modo que K ≃ CΩΛ S(M ).
Al aplicar el funtor HomΛ (P ∞ , −) se obtiene otro diagrama
conmutativo de líneas exactas. El hecho que [CΩΛ S(M ) :
S ∞ ] = 0, nos dice que:
HomΛ (P ∞ , K) ≃ HomΛ (P ∞ , CΩΛ S(M ))
≃ 0.
Consecuentemente
HomΛ (P ∞ , M ) ≃ HomΛ (P ∞ , S(M ))
≃ HomΛ (P, M ).
Supongamos que [ΩΛ SM : S ∞ ] 6= 0. Esto implica que
top SΩΛ S(M) ∈ add S∞ , de nuevo gracias al Lema
(2.3). Esto a su vez implica que la cobertura proyectiva de
SΩΛ S(M ) está en add P ∞ . Como también es el caso para P0 ,
tenemos efectivamente M 0 ∈ P ∞ −mod, tal como queríamos.
El Lema (2.3), parte c) y la sucesión exacta (2) dan que
dpΛ M < ∞ si y solamente si dpΛ S(M ) < ∞. Además,
como K ≃ CΩΛ S(M ), tenemos, gracias a la Observación
2.2, a), que dpΛ K ⩽ α. Así, gracias el Lema (2.1), aplicado
a la tercera columna del diagrama precedente, nos dice que
dpΛ S(M ) < ∞ si y solo si es que dpΛ M 0 < ∞. Las
desigualdades deseadas siguen del Lema (2.1).
Si, al contrario, tenemos que [ΩSM : S ∞ ] = 0 tenemos, por el enunciado b) de la Observación 2.2, que
HomΛ (P ∞ , ΩΛ S(M )) = 0, lo que implica que
HomΛ (P ∞ , P0 ) ≃ HomΛ (P ∞ , S(M ))
≃ HomΛ (P ∞ , M )
con lo que P0 es el módulo M 0 que buscábamos.
Observación 3.2: Las sucesiones exactas en P ∞ −mod no
necesariamente son exactas en Λ−mod, incluso si la primera
es una subcategoría plena de la segunda. Es más, el funtor
/ P ∞ −mod es exacto, pero el funtor
P ∞ ⊗Γ : Γ−mod
∞
/ Λ−mod no.
P ⊗Γ : Γ−mod
Proposición 3.3: Sea M ∈ Λ−mod, entonces:
a) Si P0 es la cobertura proyectiva de S(M ),
HomΛ (P ∞ , P0 ) es la cobertura proyectiva de
HomΛ (P ∞ , M ) en Γ−mod.
b) ΩnΓ HomΛ (P ∞ , M ) ≃ HomΛ (P ∞ , (ΩΛ S)n M ).
/ ΩΛ S(M )
g
/ P0
f
/ S(M )
/0
Aplicando el funtor HomΛ (P ∞ , −) obtenemos una sucesión
exacta corta
/ HomΛ (P ∞ , ΩΛ S(M ))
0
GF
@A
f∗
/ HomΛ (P ∞ , P0 )
ED
BC
/0
(3)
g∗
/ HomΛ (P ∞ , S(M ))
Donde f∗ = HomΛ (P ∞ , f ), y g∗ = HomΛ (P ∞ , g).
Como vimos en la demostración de la Proposición (3.1),
P0 ∈ add P ∞ , de modo que HomΛ (P ∞ , P0 ) es un
Γ−módulo proyectivo. Para demostrar que HomΛ (P ∞ , g)
es una cobertura proyectiva, debemos demostrar que es un
morfismo superfluo ([1, VIII, (2.1)]), o, de manera equivalente, que Ker HomΛ (P ∞ , g), está contenido en el radical de
HomΛ (P ∞ , P0 ). Dada la exactitud de la sucesión precedente,
esto es equivalente a mostrar que HomΛ (P ∞ , f ) está en rΓ .
Supongamos que no es el caso. Dado que los Γ−módulos
proyectivos son de la forma HomΛ (P ∞ , P 0 ) con P 0 ∈
add P ∞ esto equivale a suponer que existe un factor directo
indescomponible P00 de P0 tal que la composición de f con
la proyección canónica π de P ∞ en P00
ΩΛ S(M )
f
/ P0
π
/ / P0
0
/
induce un morfismo HomΛ (P ∞ , πf ) : HomΛ (P ∞ , P0 )
HomΛ (P ∞ , P00 ) que no está en rΓ . Como HomΛ (P ∞ , P00 )
es proyectivo indescomponible, tenemos que HomΛ (P ∞ , πf )
/ P00 se
es una retracción con lo que todo morfismo P ∞
0
∞
factoriza por πf . Pero P0 es factor directo de P , de modo
/ P00 . Decir
que tenemos una proyección canónica p : P ∞
que ésta se factoriza por πf implica que πf no está en rΛ lo
que contradice el hecho que f si está en rΛ .
b) Para n = 0 no hay nada que probar, y para n = 1, el
resultado sigue inmediatamente de la parte a) y la sucesión
(3). Para n ⩾ 2 se procede por inducción obvia.
Proposición 3.4: Sea M ∈ Λ−mod. Entonces:
a) dpΛ M ⩽ max{n + dpΛ (ΩS)n M, αΛ + n − 1}
b) Si es que dpΓ HomΛ (P ∞ , M ) ⩽ s < ∞, entonces
dpΛ M ⩽ αΛ + s + 1 < ∞.
Demostración: a) Por el Lema (2.1) tenemos que
dpΛ M
⩽ sup{dpΛ S(M ), αΛ }
⩽ sup{1 + dpΛ ΩSM, αΛ },
4
de modo que el enunciado es verdadero para n = 1. Supongamos ahora que la desigualdad se cumple para n − 1 ⩾ 1.
Tenemos entonces:
dpΛ M
⩽ sup{n − 1 + dpΛ (ΩS)n−1 M, αΛ + n − 2}
⩽ sup{n − 1 + sup{dpΛ S(ΩS)n−1 M, αΛ },
αΛ + n − 2}
⩽ sup{n + 1 + αΛ , dpΛ S(ΩS)n−1 M + n − 1}
β tal que dpΛ M ⩽ s implica dpΓ HomΛ (P ∞ , M ) ⩽ s + β,
tendríamos
fin dim Λ < ∞ ⇐⇒ fin dim Γ < ∞.
En efecto, supongamos que tenemos una tal constante β y
que fin dim Λ < ∞. Sea X ∈ Γ−mod con dpΓ X < s.
Como X = HomΛ (P ∞ , M ) para algún M ∈ P ∞ −mod con
dpΛ M ⩽ fin dim Λ, tendríamos entonces
dpΓ X = dpΓ HomΛ (P ∞ , M ) ⩽ fin dim Λ + β
⩽ sup{n + 1 + αΛ , 1 + dpΛ (ΩS)n M + n − 1}
= sup{dpΛ (ΩS)n M + n, αΛ + n + 1}
b) Supongamos que dpΓ HomΛ (P ∞ , M ) ⩽ s < ∞, de
∞
modo que Ωs+1
Γ HomΛ (P , M ) = 0, así que en virtud de
la Proposición (3.3) tenemos que
La otra implicación se muestra de la misma manera.
Desafortunadamente, no es posible obtener una tal constante
β, como el siguiente ejemplo muestra:
Ejemplo 3.8: Sea Q el carcaj
oo 1
1
5O
α xx
2
x
δ
x
x{
2 FF
4
;
FF
xx
F# xxxγ
β
3
HomΛ (P ∞ , (ΩS)s+1 (M )) = 0
lo que implica que dpΛ (ΩS)s+1 M ⩽ αΛ . Por la parte a)
tenemos entonces que
dpΛ M
⩽
sup{s + 1 + dpΛ (ΩS)s+1 , αΛ + s
⩽ sup{s + 1 + αΛ , αΛ + 1}
⩽ αΛ + s + 1.
Corolario 3.5: Para todo Γ−módulo simple Γ S se tiene
dpΓ S = ∞.
Demostración: Es claro que Γ S ≃ HomΛ (P ∞ , ΛS 0 ) para
algún Λ−módulo simple S 0 que es factor directo de S ∞ , de
modo que dpΛ S 0 = ∞. Por el resultado precedente se tiene
que dpΓ S = ∞.
Notemos que el corolario precedente es válido solamente en
el caso en que P ∞ es la suma directa de todos los Λ−módulos
proyectivos indescomponibles cuyo top tiene dimensión global
infinita. El siguiente ejemplo muestra que al dejar de lado
alguno de estos proyectivos, se puede obtener un álgebra de
dimensión global arbitraria.
e n el ciclo orientado de
Ejemplo 3.6: Sean k un cuerpo, A
e
longitud n, I el ideal de kAn generado por los caminos de
e n /I. Tenemos que dp Si = ∞ para
longitud dos y Λ = kA
Λ
i ∈ {1, . . . , n}.
=2
zz
zz
1 aDD
DD
no
/ ···
···
o
/ j−1
j+1
JJJ
JJ%
j
tt
ytt
Si tomamos P = P1 ⊕· · ·⊕Pn−1 , entonces Γ = EndΛ (P )op ≃
kAn−1 /J (donde J es el ideal generado por los caminos de
longitud dos) es un álgebra triangular tal que dim gl Γ =
dpΓ HomΛ (P ∞ , Sn−1 ) = n − 2.
Observación 3.7: En la Proposición (2.1) mostramos que si
es que dpΓ HomΛ (P ∞ , M ) ⩽ s, entonces dpΛ M ⩽ αΛ +s+
1. En el otro sentido, si pudiésemos encontrar una constante
Consideremos el ideal I =< αβγ, βγδ1 , βγδ2 , δ2 ,
γδ1 αβ, 2 αβ >, y sea Λ = kQ/I. Un cálculo directo
muestra que dpΛ S2 = dpΛ S3 = dpΛ S4 = dpΛ S5 =
∞, y dpΛ S1 = 3, de modo que P ∞ = P2 ⊕ P3 ⊕
P4 ⊕ P5 , y αΛ = 3. Si, como antes, denotamos por Γ
al álgebra EndΛ (P ∞ )op , tenemos que dpΛ P1 = 0, pero
dpΓ HomΛ (P ∞ , P1 ) = ∞.
Terminemos determinando el Λ−módulo M 0 tal que
P ∞ ⊗Γ HomΛ (P ∞ , P1 ) ≃ M 0 .
1
Notemos que P1 = 2 . De acuerdo a la construcción de
3
la Proposicón (3.1) tenemos:
S(P1 ) = 23 , ΩΛ S(P1 ) = 45 , y S(ΩΛ S(P1 )) = 45 .
2
Así, el conúcleo del morfismo
4
5
f
/ 3
4
5
es
2
3
, de
modo que
P ∞ ⊗Γ HomΛ (P ∞ , P1 ) = 23 .
El módulo 23 tiene dimensión proyectiva 2. En efecto, su
resolución proyectiva es:
0
/
1
2
3
/
4
5
1
2
3
2
/ 3
4
5
/ 2
3
/0.
R EFERENCIAS
[1] I. Assem. Algèbres et modules: cours et exercices. Enseignement des
mathématiques. Les Presses de l’Université d’Ottawa–Masson, Ottawa–
Paris, 1997.
[2] M. Auslander, I. Reiten, and S.O. Smalø. Representation Theory of Artin
Algebras. Number 36 in Cambridge Studies in Advanced Mathematics.
Cambridge University Press, Cambridge, 1995.
[3] F. Huard, M. Lanzilotta, and O. Mendoza. Finitistic dimension through
inifnite projective dimension. preprint, 2007.