MAD - GRAżYNA MIRKOWSKA- MATEMATYKA DYSKRETNA
25.08.2024, 21 :44
Wyk/ad II. Relacje (KURS MAD)
CD Syllabus
Ca)
t5' Wykłady
I. Rachunek Zbiorów
II. Relacj_g
Streszczenie
1. Iloczyn kartezjański
2. Relacje dwuczłonowe
3. Rodzaje relacji
4. Algebra relacji
5. Relacje wieloargumentowe
Podsumowanie
Ćwiczenia
III. Grafy
IV. Funkcje
V. Relacje równoważności
VI. Zbiory uporządkowane
VII. Rachunek zdań
VIII. Rachunek kwantyfikatorów
IX. Indukcja i rekursja
X. Moce zbiorów
XI. Elementy kombinatoryki
XII. Zliczanie
XIII. Rachunek prawdopodobieństwa
XIV. Rachunek prawdopodobieństwa c.d.
XV. Systemy algebraiczne
\.,_ Skorowidz
◄ Wyjście
(b)
Rys. 2.3.1 Relacja podzielności w zbiorze {l,2,3,4,5,6,7,8,9}.
Zauważmy, że relacja binarna może nie być ani zwrotna ani
przedstawiliśmy przykład takiej relacji:
przeciwzwrotna: te pojęcia nie są przeciwstawne. Na rysunku 2.3.2
nie jest ona zwrotna, bo np. para (6,6) do niej nie należy,
nie jest ona przeciwzwrotna, bo np. para (1,1) należy do tej relacji.
1 2 3 4 5 6 7
1 ++
+++
+++
++
5
++
6
+
2
3
4
+
7
Rys. 2,3,2 Przykład relacji, która nie jest zwrotna i nie jest przeciwzwrotna.
Pytanie 2.3.1: Dana jest tablica kwadratowa T (macierz), której wiersze i kolumny są ponumerowane liczbami naturalnymi od O do
9. Elementami tej tablicy są jedynie zera lub jedynki. Jaką własność relacji reprezentowanej przez macierz T, sprawdza następujący
algorytm?
{i:=O; wynik:= true;
while (i<lO and wynik) do
if T[i,i] = O then wynik : = fal se; fi;
i:= i+l;
od}
I
Zobacz odpowiedź
I
Definicja 2.3.2
Relację binarną r s; X x X nazywamy symetryczną wttw dla dowolnych x, y E X, jeśli para (x, y) należy do r , to para (y,x) też
należy do r. Relację r nazwiemy przeciwsymetryczną (inaczej asymetryczną) wttw dla dowolnych x, y E X z tego, że (x, y) E r
wynika, że (y, x) ,;. r.
Przykładem relacji symetrycznej jest relacja 11 równoległości prostych na płaszczyźnie:
Il 11 12 wttw prosta Il jest równoległa do 12
Przykładem relacji przeciwsymetrycznej jest relacja < w zbiorze liczb rzeczywistych: jeśli x < y, to nie jest prawdą by y < x.
Zarówno relację symetryczną jak i przeciwsymetryczną bardzo łatwo rozpoznać, jeśli mamy jej macierz lub graf relacji. Macierz
relacji symetrycznej jest symetryczna względem głównej przekątnej, por. Rys. 2.3.3(a). Natomiast, graf relacji symetrycznej ma
wszystkie krawędzie w obu kierunkach, por. Rys.2.3.3(b).
1
1
2
+
3
+
2
+
4
+
+
4
+
+
+
+
+
Rys. 2.3.3 (a) Macierz relacji symetrycznej i (b) jej graf.
Zauważmy, że relacja może nie być ani symetryczna ani przeciwsymetryczna, jak to ma miejsce w przypadku relacji przedstawionej
na rysunku 2.3.2. Nie jest to relacja symetryczna, bo para (5,4) należy do relacji a para (4,5) nie należy. Nie jest to relacja
przeciwsymetryczna, bo para (4,3) należy do relacji i para (3,4) też należy do relacji.
Definicja 2.3.3
Relację binarną r !;;; X x X nazywamy antysymetryczną wttw dla dowolnych x, y E X, jeśli obie pary (x, y) i (y, x) należą do r,
to X = y.
Przykładem relacji antysymetrycznej jest relacja :5 w zbiorze liczb rzeczywistych i relacja podzielności w zbiorze liczb naturalnych.
Definicja 2.3.4
Relację binarną r r;; X x X nazywamy przechodnią wttw dla dowolnych x, y, z EX, jeśli (x,y) Er i (y,z) E r, to (x, z) E r.
Przykładem relacji przechodniej jest relacja < lub relacja :5 w zbiorze liczb rzeczywistych. Wiele innych przykładów poznamy w
dalszych częściach wykładu.
Pytanie 2.3.2: Czy każda relacja przeciwzwrotna i przechodnia jest przeciwsymetryczna?
Zobacz OdROWiedź
Przykład 2.3.2
Niech p będzie ustaloną liczbą całkowitą większą od 1. Zdefiniujemy relację
dowolnych x, y całkowitych,
= przystawania liczb modulo p następująco: dla
x - v (mod o) wttw fx - v) iest wielokmtnościa o
....
pjwstk © 2004
https://gakko.pjwstk.edu.pl/materialy/203/lec/Skorowidz/indexSkoro.html
1/1