volume
12A
edição
GEORGE B. THOMA S
MAURICE D. WEIR E JOEL HASS
volume
2
u~
volume
2
121
ediçào
GEORGE B. THOMAS
MAURICE D. WEIR
t
A r s-G ADl.JAT.E SCHOOL
JOEL HASS
JNIV flSITY OF CALIFORNJA, DAVIS
TRADUÇÃO
CARLOS SCALICJ
REVISÃO TÉCNICA
CLAUDIO HLROFUME ASANO
NSTI TUTO oi. MATEMATICA [ ESTATISTICA DA UNIVERSIDADE or SÃO PAUi.O
PEARSON
São Paulo
Brasil 1\rgentina Colô1nbia Costa Rica (~hilc l~spanha
Guatcn1a la ~léxico Pcn1 Porlo Rico enczncla
abd~
SUMÁRIO
, .
..
Pre f aao ................................................................................ Vil
10
SEQUÊNCIAS E SÉRIES INFINITAS .. .. . .. .... ......... . ... ... ...... ......... 1
10.1
Seqt1ên.cias ......................................................................................... 1
10.2
Séries infinitas ................................ ................................................. J3
10.3
10.4
Teste da integral ............................................................................... 22
Testes de comparação ...................................................................... 27
10.5 Testes da razão e da raiz ................................................................... 32
l 0.6 Séries alternadas, convergência absoluta e condicional .................. 3 7
1O.7
Séries de potências........................................................................... 44
10.8 Séries de Taylor e de Maclaurin ....................................................... 52
10.9 Convergência de séries de Taylor..................................................... 57
10.1 O Séries bino1niais e aplicações das séries de Taylor .......................... 64
QUESTÕES PARA GUIAR SUA REVISÃO ................................................. 72
EXERCÍCIOS f>RÁ1"1COS ...................................................................... 72
EXERCÍCIOS AOICIONAJS E AVANÇADOS ...•.............•.............•............. 74
11
12
EQUAÇÕES P1\RA.\1ÉTRIC1\S E COORDENADAS POL \RES ••.. ..•. 77
11. I
11.2
11.3
11.4
11.5
Parametrizações de curvas planas.................................................... 77
Cálculo com curvas paramétricas ... .. ............................................... 85
Coordenadas polares ......................................................... ............... 93
Desenhando gráficos em coordenadas polares ................................ 97
•
Areas e co1npri1nentos em coordenadas polares ............................ 1O1
11.6
Seções cônicas ............................................................................... 105
11.7
Cônicas em coordenadas polares ................................................... 113
Q UESTÕES PARA GUIAR SUA REVISÃO ............................................... 120
EXERCÍCIOS PRÁTICOS ........................................................•........... 120
EXERCÍCIOS 1\0ICTONAIS E AVANÇADOS ........................................... 122
V E"fORES E A GEO~tETRIA DO ESPAÇO ... ... ..... .. ... ....... .. ... . . 125
12. 1 Sistema de coordenadas tridimensiona 1. ........................................ 125
12.2
12.3
12.4
Vetores ........................................................................................... 129
Prodtito escalar .............................................................................. 138
Produto vetorial .............................................................................. 146
12.5
12.6
Retas e planos no espaço ............................................................... 151
Cilindros e supcrfíci.es quádricas ................................................... 159
QUESTÕES PARA GU IAR SUA REVISÃO ............................................... 164
EXERCÍCIOS PRÁTlCOS ............................ .. ......................................... 165
EXERCÍCIOS AD ICIONAJS E AVANÇADOS ........................................... 166
13
F u'l<; (>ES \ 'ETORf,\ JS E ~10\' f!\.1 EN'f{)S NO ESPAc;' O ... ... .... ... . 170
13. 1 Curvas no espaço e suas tangentes ................................................ 170
13.2 Integrais de funções vetoriais; movirnento de projétil. .................. 178
13.3 Comprin1ento de arco no espaço ................................................... 187
13.4 Curvatura e vetores nonnais de u1na curva ................................... 191
13.5 Componentes normal e tangencial da aceleração .......................... 197
13.6 Velocidade e aceleração em coordenadas polares .......................... 202
QUESTÕES PARA GUIAR SUA REVISÃO ............................................... 205
EXERC ÍCIOS PRÁTICOS .................................................................... 205
EXERCÍCIOS ADICIONAIS E AVANÇADOS ........................................... 207
•
V1
Cálculo
14
D ERl\'l\.0 1\S PARCIAIS .. . .... ..... . .. .. .. ... ... .. ... . ... ... . .. . ... ... . .. ... . 209
14.I
14.2
Funções de vârias variáveis ........................................................... 209
Limites e continuidade em dimensões superiores ............. ............ 217
14.3
14.4
Derivadas parciais ........................................................................... 226
Regra da cadeia .............. ................................................................ 23 7
14.5 Derivadas direcionais e vetores gradientes .................................... 245
14.6 Planos tangentes e diferenciais ...................................................... 253
14.7 Valores extremos e pontos de sela ................................................. 264
14.8 Multiplicadores de Lagrange ......................................................... 272
14.9 Fórmula de Taylor para duas variáveis ........................................... 281
14. l O Derivadas parciais con1 variáveis condicionadas ........................... 285
Q UESTÕES PARA GUIAR SUA REVISÃO .....................•.•.........•...•......... 290
EXERCÍCIOS PRÁTICOS .................................................................... 290
EXERCÍCIOS ADICIONAIS E AVANÇADOS ........................................... 294
15
J NTE(;RA lS ' fÚTT TPJ \<i ••••••• •••••••••••••••••••••••••••••••• ••••••••••••• • 297
15.1
15.2
15.3
15.4
15.5
15.6
15.7
15 .8
16
Integrais duplas e iteradas sobre retângulos .................................. 297
fntegrais duplas sobre regiões gerais ............................................. 302
Área por integração dupla .............................................................. 311
integrais duplas na fonna polar ..................................................... 3 14
Integrais triplas ern coordenadas retangulares ............................... 320
Mon1entos e centros de 1nassa ....................................................... 329
Integrais triplas en1 coordenadas cilíndricas e esféricas ................ 336
. .
.
. mu. ,t:Jp
. 1as ............................................. "48
em 1ntegra1s
.>
Subst1tu1çoes
Q UESTÕES PARA GUlAR SUA REVlSÀO ............................................... 357
Exr.Rcic1os PRÁncos .................................................................... 357
EXERCTClOS ADICIONA IS E AVANÇADOS ........................................... 359
~
JNTEGRA<,: ÃO El\f CAl\.IPOS VETORI Al S.... .. ......... . ........ ... ..... 362
16.1 Jntegrais delinha ........................................................................... 362
16.2 Campos vetoriais e integrais de linha: trabalho, circulação e fluxo .... 368
16.3 1ndependência do caminho, campos conserva ti vos
e funções potenciais........................................................................38 l
16.4 Teorema de Green no plano ........................................................... 392
16.5 St1perficies e área .......................................................................... 404
16.6 integrais de superfície ................................................................... 414
16. 7 Teoren1a de Stokes ......................................................................... 423
16.8 Teorema da divergência e teoria unificada .................................... 433
Q UESTÕES PARA GUIAR SUA REVISÃO ........................ .....................•. 444
EXERCÍCIOS PRÁTJCO·S ..... ·············· ················································· 44.4
ExeRCÍC IOS AOICIO AIS e AVA ÇA.DOS ........................................... 447
Apêndices...............................•............................. , .......... 451
Respostas
selecionadas ····················· ·-·················· ·· ········· 491
•
Indice remissivo ................................................................. 525
Breve tabela de integrais .................••....•...•..........•............ 535
P REFÁCIO
Con1 o propósito de atender às necessidades atuais de alunos e professores,
revisa1nos cuidadosa1nente esta edição de Cálculo. O resultado é um livro con1 un1a
variedade 1naior de exe1nplos, n1ais exercícios de nível médio. mais figuras e melhor
fluxo conceituai, ben1 como 1nais clareza e precisão. Como nas edições anteriores,
esta nova edição apresenta uma introdução moderna ao cálculo que apoia a compreensão conceituai e n1antén1 os ele1nentos essenciais de u1n curso tradicional.
Nesta décin1a segunda edição, apresentan1os as funções transcendentes
básicas no Capítulo 1. Após revisar as funções trigo1101nétricas básicas, apresentan1os a família de funções exponenciais, utilizando abordagen1 algébrica e gráfica, con1 a exponencial natural descrita co1no membro especifico dessa fan1ília.
Os logaritmos foram então definidos como funções inversas das exponenciais,
e as funções trigono1nétricas inversas também foran1 discutidas. Essas funções
forarn plenamente Lncorporadas ao nosso desenvolvin1ento de li1nites, derivadas e
integrais nos cinco capítulos seguintes do livro, incluindo exe1nplos e exercícios.
Essa abordage1n oferece aos alunos a oportunidade de trabalhar o quanto antes
com funções exponenciais e logarítn1icas juntan1ente com funçõe-S polinon1iais,
racionais e algébricas e funções trigonométricas, à medida que conceitos, operações e aplicações do cálculo de variáveis únicas são aprendidos. Mais adiante, no
Capítulo 7, revisita1nos a definição de funções transcendentes, agora com uma
apresentação mais acurada. Definimos a função logaritmo natural como uma integral que tem exponencial natural como sua inversa.
Muitos de nossos alunos estiveram en1 contato com a terrninologia e co111 os
aspectos computacionais do cálculo durante o ensino 1nédio. Apesar dessa fan1iliaridade, a destreza do estudante e1n álgebra e trigonon1etria 1nuitas vezes o impede
de ser bem-sucedjdo na sequência de cálculo na faculdade. Nesta edição. procuramos equilibrar a experiência prévia dos alunos e1n cálculo co1n o desenvolvimento
da habilidade algébrica que ainda pode ser necessária, sem prejudicar ou arruinar
a autoconfiança de cada u1n. Ton1amos o cuidado de fornecer 1naterial de revisão
suficiente, acrescido de soluções completas e exercícios que oferecessem suporte ao
entendimento completo de alunos de todos os níveis.
Tncentiva111os os alunos a raciocinar, en1 vez de 1nen1orizar fórn1ulas, e a generalizar conceitos à medida que eles são apresentados. Espera1nos que, depois de
aprenderem cálculo, eles se sinta1n confiantes em resolver problemas e e1n sua habilidade de raciocínio. A recompensa é o don1ínio de u1n belo assunto, com aplicações
práticas no inundo real, 1nas o verdadeiro presente são as capacidades de pensar e
generalizar. Esperamos que este livro forneça apoio e incentivo a a1nbas.
Inovações da décima segunda edição
CONTEÚDO Ao preparar esta edição, niantive111os a estn1tura básica do conteúdo
da déci1na pri1neira edição. Levan1os em conta as solicitações dos leitores atuais e
dos revisores cm aruar a introdução de equações para1nétricas até que as coordena-
•• •
Vlll
Cálculo
das polares fosse1n apresentadas. Efetuan1os várias revisões na maioria dos capítulos. detalhadas a seguir:
• Funções Resun1imos o Capítulo 1, Volume 1, para que ele tivesse como foco
a revisão dos conceitos de função e a apresentação das funções transcendentes.
Nos Apêndices 1 a 3, apresentatnos os pré-requisitos 1nateriais que abrange1n
números reais, intervalos, incrementos. retas, distâncias, círculos e parábolas.
• Lin1ites Para 1nelhorar o fluxo do capítulo, con1bina1nos as ideias de lin1ites
que envolvem infinin1de e as associações das assíntotas com gráficos de funções, dispondo-os juntos na seção final do Capítulo 3, Volume l.
• Derivadas Ao usar taxas de variação e tangentes às curvas cotno rnotivação
ao estudo do conceito de 1imite, fundin1os o conceito de derivada em um único
capítulo. Reorganizamos e aumcntarnos o nún1cro de exemplos relacionados a
taxas e acrescentamos outros exe1nplos e exercícios sobre gráficos de funções
racionais. A regra de L'Hôpital é apresentada con10 uma seção de aplicação,
coerente com a abrangência anterior sobre funções transcendentes.
• Primitivas e integração Mantiven1os a organização da déci1na primeira edição ao colocannos as prinlitivas como o tópico final do Capítulo 4, Volume 1,
passando pelas aplicações de derivadas. Nosso foco é a "recuperação de u1na
função a partir de sua derivada" con10 solução para o tipo n1ais si1nples de
equação diferencial de prin1eira orde1n. U1n ten1a novo que con1põe a essência
do Capítulo 5, Volume 1. são as integrais como "somas dos limites de Rien1ann", motivado a princípio pelo problema de dctern1inar as áreas de regiões
gerais co111 limites curvos. Após o desenvolvi1nento cuidadoso do conceito de
integral, voltamos nossa atenção ao cálculo dela e à sua ligação com as primitivas provenientes do teore111a funda1nental do cálculo. Assim, as aplicações
seguintes definem as várias ideias geométricas de área, volwne, co1npri111ento
de ca1ninhos e centroides como li1nites das son1as de Rien1ann que geram
integrais definidas que podem ser calculadas por meio da detenninaçào da
primitiva do integrando. Mais adiante, retornamos ao assunto de como solucionar equações diferenciais de pri1neira ordem mais complexas.
• Equações diferenciais Algumas universidades prefere1n que esse assunto
seja tratado en1 um curso à parte. Embora tenhan1os abrangido soluções para
equações diferenciais separáveis no Capitulo 7. Volume 1. ao tratam1os as
aplicações de crescin1ento e decain1ento exponencial de funções integrais e
transcendentes, a maior parte de nosso n1aterial foi organizada en1 dois capítulos (passíveis de serem omitidos na sequência de cálculo). No Capítulo 9,
Volu1ne 1, introduzi1nos as equações diferenciais de prin1eira ordem, incluindo uma nova seção sobre siste1nas e planos de fase con1 aplicações relativas
aos 1nodelos caçador competitivo e predador-presa.
• Séries Quanto à sequência e séries, rnantivernos a mcsn1a estrutura organizacional e o 1nes1no conteúdo da décima prin1cira edição. Adicionamos novas
figuras e exercícios às várias seções, e, para tornar o material mais acessível
aos alunos, revisrunos algu1nas das provas relacionadas à convergência de séries de potência. Uma das solicitações de um de nossos leitores, '"qualquer
tentativa de tomar esse material mais fáci l de ser compreendido por nossos
alunos será bem recebido por nosso corpo docente", guiou nosso pensan1ento
nas revisões do Capítulo 1O, Volu1ne 2.
• Equações paramétricas Vários leitores solicitara111 que passássemos esse
tópico para o Capítulo 11, Volu111e 2, e1n que incluímos ta1nbé1n coordenadas
polares e seções cônicas. Fizemos isso ao perceber que muitos departan1entos
escolhem abordar esses tópicos no inicio de Cálculo 111, ao se prepararem
para o assunto vetores e cálculo com 1nultivariáveis.
• Funções vetoriais Simplificamos os assuntos do Capítulo 13, Volun1e 2.
para enfatizar as ideias conceituais que apoiam o material posterior sobre derivadas parciais, vetores gradientes e integrais de linha. Condensamos as discussões do plano de Frenei e as três leis do movimento planetário de Kepler.
• Cálculo con1 n1ultivariável Nos capítulos que tratam desse assunto, reforça1nos ainda mais o projeto gráfico e adicionru11os figuras novas, exemplos e
exercícios. Reorganizamos o material de abertura em integrais duplas. e com-
Prefácio
•
lX
binamos as aplicações de integrais duplas e triplas para n1assas e momentos
em uma única se~ão, abrangendo casos bidimensionais e tridimensionais. Essa
reorganização pern1itiu um n1clhor fluxo dos conceitos básicos da n1atcn1ática,
em conjunto co1n suas propriedades e aspectos co1nputacionais. Assin1 como na
décima prin1eira edição, continuamos a fazer a conexão da ideia de multivariáveis con1 a ideia análoga de va1iáveis únicas abordada no inicio do livro.
• C an1pos vetoriais Devotamos um esforço considerável para aun1cntar a
clareza e a precisão mate1nática no trata111cnto de cálculo vetorial integral,
incluindo 111uitos exen1plos adicionais, figuras e exercícios. Os teoremas e
os resultados inlportantes são apresentados de forn1a n1ais clara e completa, juntamente con1 explicações avançadas de suas hipóteses e consequências
1nate1náticas. Agora, a área da superfície está organizada etn unia única seção,
e as superfícies definidas in1plícita ou cxplicíta111cntc são tratadas con10 casos
especiais de u111a representação paran1étrica 1nais geral. Em uma seção separada, são apresentadas as integrais de superfície e suas aplicações. O teorema
de Stokes e o tcorcn1a da divergência continuain sendo apresentados como
generalizações do teorerna de Green para três dünensões.
EXERCÍOOS E EXEMPLOS Sabemos que exercícios e exe1nplos são componentes
críticos para a aprendizagem de cálculo. Devido a essa importância, atualizamos,
1nelhora1nos e aun1enu11nos o nún1ero de excrcfcios cm quase todas as seções do
livro. Nesta edição, há mais de 700 exercícios novos. Con10 nas edições anteriores, continuamos a organizar e agrupar os exercícios por ten1as, progredindo de
problemas co111putacionais para problen1as aplicados e teóricos. Os exercícios que
requerem a utilização de sisten1as de software de con1putador (co1no o Maple® ou
Ma1/re111alica®) foran1 colocados ao final de cada seção de exercícios, sob o título
"Uso do computador". A n1aioria dos exercícios aplicados tên1 un1 subtítulo para
indicar o tipo de aplicação ao qual o problema se refere.
Muitas seções incluen1 novos exemplos para esclarecer ou aprofundar o signjfícado do tema que está sendo discutido e para ajudar os alunos a compreender
suas consequências 1natemáticas ou aplicações e1n ciência e engenharia. Ao mesrno
te1npo, foram excluídos os exe1nplos que repetian1 o n1aterial já apresentado.
PROJETO GRÁFICO Percebendo sua i1nportância na apre11dizage1n do cálculo,
continuamos a aprunorar as figuras atuais nesta nova edição, e cria1nos un1 número
significativo de novas figuras. Verificamos também as legendas, prestando 1nuíta
atenção à clareza e à precisão em frases curtas.
Não i111pona que
número positivo
seja E, o grólico
entra nesm banda
emx= !
E
e permanece.
1
•\' = -X
}
~ E
•
E 1---'"c--...r...;--
---'---....-''-0-1---'---,--- x
M=!
""---r----'"---1 ~
"
Niio impona que
número positivo
seja E. o gráfico
cntr.i nesta banda
em .r=- !
E
e permanece.
FIGURA 2.50 GeomeLria por trás do argumento no Exemplo 1.
-.J
•
/
'
~/; .
1
N =- -E
)'•-E
/
;:
./
X
~~\·
..
. ..
._
I
\
'
•
FIGURA 16.9 Superfície em um espaço
ocupado por u1n íluido móvel.
X Cálculo
Caracterfsticas preservadas
RIGOR O uivei de rigor é consistente com o de edições anteriores. Continua1nos
a distinguir entre as discussões formais e informais e apontar suas diferenças. Entendemos que a adesão a wna abordagem mais intuitiva e n1euos formal ajuda os
alw1os a con1preender u1n conceito novo ou difícil para que possam, então, apreciar
a precisão matemática e seus resultados de forma con1pleta. Tivemos cuidado ao
definir ideias e den1onstrar os teore111as de fonna adequada aos alunos de cálculo,
mencionando que questões mais profundas ou sutis devem ser estudadas etn um
curso mais avançado. A organização e a distinção entre as discussões formais e
infonnais oferecem ao professor um grau de flexibilidade en1 quantidade e profundidade na abrangência dos diversos tópicos. Por exe1nplo, enquanto não provamos
o teorema do valor intermediário ou o teorema do valor extren10 para funções contínuas no intervalo entre a < x < b. explicamos esses teoren1as de forma precisa,
ilustrando seus significados em inúmeros exen1plos e utilizando cada utn deles para
provar outros resultados i1nponantes. Além disso, para os professores que desejam
u1na abordage1n ainda mais profunda, discutiinos no Apêndice 6 a dependência da
validade desses teoremas em relação à con1pletude dos nún1cros reais.
'
EXEROCIOS
ESCRITOS O objetivo dos exercícios escritos encontrados ao longo do
texto é estimular os alunos a explorar e explicar uma variedade de conceitos de cálculo e aplicações. Além disso, ao final de cada capítulo há uma lista de perguntas
que ajudan1 os alunos a analisar e resumir o que aprenderan1.
REVISÕES E PROJETOS NO ANAL DE CAPÍTULO Além dos exercícios ao final de
cada seção. cada capín1lo é encerrado com questões de revisão. exercícios práticos
que abrangem todo o capítulo e un1a série de exercícios adicionais e avançados
que servem para incluir problenias mais desafiadores e abrangentes. A n1aioria dos
capítulos tan1bé1n inclui descrições de diversos projetos de aplicações de tecnologia que podem ser trabalhados individualn1ente ou en1 grupos durante um longo
período de ten1po. Esses projetos requerern o uso de urn computador que execute
Mathe111atica ou Maple.
REUAÇÃO EAPLICAÇÕES Como sempre, este livro continua fácil de ser lido. coloquial e n1aten1aticamente rico. Cada tópico novo é motivado por exemplos claros
e de fácil co1npreensão. e são reforçados por sua aplicação a problemas do mu11do
real de interesse in1ediato para os alunos. O que distingue este livro é a aplicação do
cálculo en1 ciência e engenharia. Os problemas aplicados foran1 atualizados. n1elhorados e estendidos continuamente ao longo das últimas edições.
TECNOLOGIA Em u1n curso que utilize texto. a tecnologia pode ser incorporada de
acordo con1 a vontade do professor. Cada seção contém exercícios que rcquere111 o
uso de tecnologia; eles estão 1narcados com u1n lii se foren1 adequados ao uso de
calculadora ou de con1putador, ou estão na seção "Uso do computador" se exigirem
urn sistema de álgebra computacional (SAC, tal co1no lvfaple ou Mathe111atica).
No site sv.pearson.com.br, professores e estudantes podetn acessar os seguintes 111ateriais adicionais:
Para professores:
• Apresentações e111 Po,verPoint.
• Ma11ual de soluções (en1 inglês).
• Resolução dos exercícios avançados.
Para estudantes:
• Exercícios de múltipla escolha.
• Biografias e ensaios históricos.
Prefácio
•
X1
• Capítulo adicional, exclusivamente on-line. sobre equações diferenciais de
segunda ordem.
• Exercícios avançados.
Agradecimentos
Agradecen1os às pessoas que fizeran1 inúrneras contribuições valiosas a esta
edição em suas 111uitas etapas de desenvolvin1ento:
Revisores técnicos
Blaise DeSesa
Paul Lorczak
Kathleen Pellissier
Lauri Semarne
Sarah Streett
Holly Zullo
Revisores da décima segunda edição
Meighan Dillon. Southern Polytechnic State University
Anne Dougherly. University ofColorado
Said Fariabi, San Antonio College
Klaus Fischer. George Mason University
Ti1n Flood, Pittsburg State University
Rick Ford, California State University - Chico
Roben Gardner, East Tennessee State University
Christopher Hei!. Georgia lnstitute ofTechnology
Joshua Brandon Holden. Rose-Hulman lnstitute ofTechnology
Alexander Hulpke, Colorado State University
Jacqueline Jensen. Sa1n l-Jouston State University
Jennifer M. Johnson, Princeton University
Hideaki Kaneko, Old Dominion University
Przemo .Kranz, University of Mississippi
Xin Li, University ofCentral Florida
Maura Mast, University of Massachusetts - Boston
Vai Mohanakumar, Hillsborough Co1rununity College - Oale Mabry Campus
Aaron Montgo1nery. Central Washington University
Christopher M. Pavone, California State University at Chico
Cynthia Piez, University of ldaho
Brooke Quinlan, Hillsborough Con11nunity College - Dale Mabry Campus
Rebecca A. Segai, Virginia Commonwealth University
Andrew V. Sills, Georgia Southern University
Alex Sn1ith, University of Wisconsin - Eau Claire
Mark A. Smith. Miami University
Donald Solon1on, University of\Visconsin - Milwaukee
John Sullivan, Black Hawk College
Maria Terrell. Corne!J University
Blake TI1ornton, Washington University in St. Louis
David Walnut, George Mason University
Adrian Wilson, University of Montevallo
Bobby Winters, Pittsburg State University
Dennis Wort1nan, University of Massachusetts - Boston
••
Xll
Cálculo
Agradecimentos dos editores brasileiros
Agradecemos às professoras Helena Maria Ávila de Castro e Sônia Regina Leite Garcia, pelos exercícios avançados contidos na Sala Virtual; ao professor Marivaldo Pereira Matos, pelo apêndice sobre sisten1as bidirnensionais co1n coeficientes
constantes, também contido na Sala Virtual; e ao professor Claudio Hirofume Asano, pelas suas ricas contribuições, sábias observações e explicações.
SEQUÊNCIAS E
,
SERIES INFINITAS
VISÃO GERAL Todos sabem como somar dois n(uneros, ou 1nesmo vários. Mas
como se soma1n infinitos números'? Neste capítulo, respondemos a essa questão,
que é parte da teoria de sequências e séries infinitas.
U1na importante aplicação dessa teoria é um 1nétodo para representar uma função derivável conhecidllf(x) como uma so1na infinita de potências de x, de forn1a
que se parece com un1 "polinômio com infinitos termos". Alén1 disso, o método estende nosso conhecin1ento de co1110 avaliar, derivar e integrar polinômios, de forma
que poden1os trabalhar com funções ainda mais gerais do que aquelas encontradas
até aqui. Essas novas funções são frequentes soluções para importantes problemas
na ciência e na engenharia.
10.1
ENSAIO HISTÓR.ICO
Sequências e séries
Sequências
As sequências são fundan1entais para o csn1do de séries infinitas e muitas aplicações da mate1nática. Já vimos anteriom1enle um exen1plo de u1na sequência quando estudamos o método de Newton na Seção 4.7. Produzi111os ali un13 sequência
de aproximações x11 que se tomou cada vez mais próxin1a da raiz de un1a função
derivável. Iremos agora explorar sequências de números gerais e as condições sob
as quais elas convergem.
Representando sequências
Uma sequência é uma lista de números
em u1na ordem determinada. Cada a 1, a 2. a 3, e assim por diante, representa un1 nún1ero. Esses são os ter1uos da sequência. Por exe1nplo, a sequência
2, 4, 6, 8, 10, 12, ... , 211, ...
ten1 o priJneiro termo a 1 = 2, o segw1do tenno a,- = 4, e o 11-ésiino termo ali = 211.
O nún1ero inteiro 11 é chamado de índice de a,, e indica em que posição an ocorre na
lista. A orde1n é in1portante. A sequência 2, 4, 6, 8... não é igual à sequência 4, 2. 6, 8...
Podemos pensar na sequência
como uma função que envia 1 paraª" 2 para a 2, 3 para a3, e, em geral, associa o
número inteiro positivo 11 ao 11-ési1no tem10 a,,. M.ais precisa1nente, un1a sequência
infinita de números é wna função cujo donúnio é o conjunto de nútneros inteiros
positivos.
A função associada com a sequência
2, 4, 6. 8. 10, 12, ... , 211, ...
atribui 1 para a 1 =2: 2 para a1 =4, e assim por diante. O comportamento geral dessa
sequência é descrito pela fórmula a,,= 2n.
2 Cálculo
Da mesma forma. pode1nos fazer con1 que o domínio seja os números inteiros
n1aiores do que tm1 detern1inado nún1ero n0 , e permitirnos sequências desse tipo
também. Por exen1plo, a sequência
12, 14, 16, 18. 20, 22 ...
é descrita pela fórnlula a,,= 1O+ 211. Essa sequência ta1nbém pode ser descrita pela
fóm1uJa mais si1nples b,, = 211, onde o índice 11 corneça em 6 e aumenta. Para pennitir
fóm1lLlas niais simples, dcixan1os o prin1eiro indi.ce da sequência ser qualquer número
inteiro. Na sequência acin1a, {a11 } começa com ai' enquanto {b,,} começa com b6 .
As sequências podem ser descritas pelas regras que especificam seus lennos, con10
b,, = (- 1)11 + 1 .!..
ti '
e,, =
n- 1
"
dli = ( - J )"+1'
,
ou listando os termos:
{a,,} - {ví. V2, \/3, ... , V,,, ... }
{ b,,}
{e,,}
~, ~, - !'... '(- 1) ~'
1
11
{ 1. -
-
••• }
- {o·i·t·%·~· ··· · ~ 1• ••• }
11
{ 1, - 1, l, - 1, 1, - 1, .. . , ( - 1)'1+ 1' ••• } •
{d,,}
Escreve1nos ainda, às vezes.
A Figura 10.1 den1onstra duas maneiras de representar sequências grafican1ente. A primeira nlarea os primeiros pontos a partir de a" a2, a 3, ... ,a,,, ... no eixo real.
O segundo 111étodo dernonstra o gráfico da função definindo a sequência. A função
é definida son1ente nos números inteiros, e o gráfico consiste de aJguns pontos no
plano ·'J' localizados em ( l, a 1), (2, a 2), •.•, (11. a,,), ....
(ln
•
º 2 0 3 04 05
º' • • •
J
2
•
o
3
•
a,,= \/;,
...• º'•
•
1
• • o.
li~
0
•
•
o
,,,, = ii1
ª2
•
•
2
l
n
3 4 5
lln
tl3 ª2
o
2
•
o
2
3
4
5
li
an
.
a,
sªJ
•
l
ti,,
= ( - 1)"+ 1 lli
•
o
•
li
FIGURA 10.1 As sequências podern ser representadas como pontos na reta real ou con10 pontos
no plano onde o eixo horizontal /1 é o índíce do tem10 e o eixo vertical an é o seu valor.
Convergência e divergência
Algun1as vezes os nún1cros cm uma sequência se aproximam de um único valor, confonne o índice n aumenta. lsso acontece na sequência
{1.~.~·!····,;p···}
Capítulo 10 Sequências e séries infinitas
3
cujos tennos se aproximatn de Oconforn1e 11 cresce, e na sequência
{O, t. ~. ~, ~ .... ,1- *· ... }
cujos termos se aproxima1n de l. Por outro lado, sequências como
{Vi, Vi, \/3, .... V,,, ... }
possuen1 termos que fican1 maiores do que qualquer niimero conforme 11 aumenta,
•
•
e sequencias
corno
o
{ l,-1, 1,-1, l,- l, .. .,(-J)11'rl, ... }
L + f.
L --- - --------(11.n,,)-.!- 0 - - •
•
•
•
•
•
•
--+--'--'~'-----'--'--__._
o
l 2 3
L- t
N
_ _ _ /1
n
FIGURA 10.2 Na representação de uma
st:quência como pontos no plano, a,, - L
se y = L for uma assintota horizontal da
sequência de pontos {(11. an)}.
Nesta figura, todos os an depois de aN
localizam-se a menos de e de l.
BIOGRAFIA HISTÓRICA
Nicole Oresrne
( 1320-1382)
alternan1 entre 1 e - 1, nunca convergindo para u1n valor único. A seguinte definição representa o significado de unia sequência convergir a uni valor lin1ite. Ela
estabelece que se formos longe o bastante na sequência. fazendo o índice 11 maior
do que algum valor N, a diferença entre a11 e o lin1ite da sequência torna-se menor
que qualquer número pré-selecionado E> O.
l oEFINIÇÕES A sequência {an} converge para o número L se para todo nútnero
positivo E corresponder um nún1ero inteiro N. de fom1a que para todo n,
11 > N
=>
lan - Ll < t:.
Se nenhum número L existir, dizemos que {a,,} diverge.
Se {a,,} converge para l, escrevemos lim,, ....00 a,, = l. ou simplesmente
a,, - .L, e chamamos l o limite da sequência (Figura 10.2).
A definição é muito se1nelhante à definição do litnite de uma função/(.\'), quando x tende a oo (limx-oo f(x) na Seção 2.6). Lre1nos explorar essa conexão para
calcular lin1ites das sequências.
EXEMPLO 1
(a) lin1
,,~oo
Mostre que
*
(b)
= O
lim k = k
(qualquer constante k)
li~
Solução
(a) Seja E> O dado. Deven1os 111ostrar que existe urn N inteiro de forma que, para
todo n,
11
1
> N
/j -
0 < E.
Essa implicação valerá se (l /11) < E ou n > l/t:. Se N for qualquer número inteiro rnaior que J/ t:, a implicação valerá para todo n > N. Isso prova que lirn11 _ 00
(l /11) = 0.
(b) Seja E> Odado. Devemos ntostrar que existe u111 N inteiro de forrna que, para
todo"·
11
>N
=>
lk- kl< E.
Urna vez que k- k = O. pode1nos utilizar qualquer nwnero inteiro positivo para
N e a implicação será verdadeira. Tsso prova que lim,,..... 00 k = k para qualquer
constante k.
EXEMPLO 2
Mostre que a sequência { 1, -1. 1, -1 , 1, -1 , .. ., (-1 )'r+t, ... } diverge.
Solução SuponJ1an1os que a sequência convirja para algum nú1nero L. Escolhendo
1/2 na definição do limite, todos os tem1os a,, da sequência com índice 11 maior
que um N devem se localizar a menos de E = 1/2 de l. Uma vez que o número 1
aparece repetidan1entc como tern10 sitn, termo não da sequência, deve1uos ter o
número 1 localizado a u1na distância a menos de E = 1/2 de L.
E=
4 Cálculo
"•
M
•
•• • • • •
o
•
•
•
•
•
•
••
t 11
1
123
N
n
A sequência { VÍi} também diverge, 111as por u1n motivo diferente. Conforme n
au1nenta, seus termos se tornan1 1naiores que qualquer número fixado. Descreven1os
o comportamento dessa sequência escrevendo
(u)
ª•
•
Tii
lim \Íti = oo .
•
o 12) •
Segue que IL- 1I< 1/2 ou, de forn1a equivalente. 1/2 < l < 3/2. Da 1nes1na forma, o número -1 aparece repetidamente na sequência com indice arbitrariamente
alto. Dessa fonna, devemos ainda ter que IL - (-1 )1< 1/2 ou, de forma equivalente,
- 3/2 < l < - 1/2. Entretanto, o número l não pode estar e1n ambos os intervalos
(1/2, 3/2) e (-3/2, - 1/2). unia vez que eles não possuetn u1na superposição. Dessa
fonna, não existe tal lim ite l e portanto a sequência diverge.
Observe que o 1nesmo argumento funciona para qualquer número positivo E
menor que l, não somente 1/2.
•
n
N
•
•
•
••
• •
•
•
(b)
FIGURA 10.3 (a) A sequência diverge a
oo porque não importa qual número M é
escolhido. os termos da sequência após
nlgu111 índice N estão todos na faixa cinza
acin1a de /vi. (b) A sequência diverge a -oo
porque todos os tennos após algun1 índice
N estão abaixo de qualquer número 111
escolhido.
Ao escrever que o li1nite da função é infinito, não estamos dizendo que as diferenças entre os termos a,, e oo se tornam pequenas confonnc /1 aumenta. També1n
não estamos afirmando que existe algum número infinito do qual a sequência se
aproxin1e. Esta1nos somente utilizando un1a notação que capta a ideia de que a,,
finalmente se torna e permanece .maior que qualquer nú111ero fixado à medida que n
cresce (veja a Figura 10.3a). Os termos de uma sequência poderiam ainda dimü1uir
para menos infin ito, conforme na Figura 10.3b.
DEFJNIÇÃO A sequência {a,,} diverge ao inf inito se para cada número M
houver un1 núinero inteiro 1V. tal que para todo 11 major do que N. a,, > !vi. Se
essa condição for verdadeira, escreve1nos
lim a,, = oo
n-oo
ou
a,, -
oo .
De maneira semelhante, se para cada nún1ero n1 existir um número inteiro
N, de fonna que, para todo 11 > N tenha1nos a,, < 111, então dize1nos que {a 11 }
diverge ao menos infinito e escrevemos
lin1 a11 = -oo
a,, - -oo .
ou
11-.00
Un1a sequência pode divergir sem divergir ao infmito ou menos infinito, conforme vimos no Exen1plo 2. J\s sequências { 1, - 2, 3, -4, 5. -6. 7, - 8, ... } e { 1, O, 2,
O, 3, O, ... } são também exe1uplos de tal divergência.
Calculando limites de sequências
Uma vez que sequências são funções com domínio restrito aos números inteiros positivos. não é surpresa que os teoremas sobre limites de fu11ções dados no
Capírulo 2 tcnhan1 versões para sequências.
TEOREMA 1 Sejam {a,,} e {b,,} sequências de números reais, e sejam A e B
números reais. As seguintes regras se aplicam se lin1,,-oc a,,=A e lim11-oo b,, = B.
4. Regra do produto:
lim,,_ (an + b'' ) = A + B
lim,,_, 00 (a,, - b,,) = A - B
li1n,,_. (k · b,,) = k · 8
(número k qualquer)
lim
(a11 · bn) =A · 8
'
5. Regra do quociente:
.
a,, A
hm11-.oo b,, = B se B
t. Regra da so111a:
2. Regra da diferença:
3. Regra da 1111t!riplicação por constante:
11~
A prova é semelhante àquela do Teorema 1 da Seção 2.2 e é 01nilida.
*O
Capítulo 10 Sequências e séries infinitas
EXEMPLO 3
5
Co1nbinando o Teorema 1 com os lin1ites do Exemplo 1, tere1nos:
·
( - -1) = - 1 · lnn
• -1 = - 1 · O = O Regra J:i n1ult1ph, •..,,iu p1ir
(a) ,,lin1
.....
n
-.
/1
co11,1.1111c e 1 Xl'lllplo 1a
00
(b) lim
11-+00
11
00
(n ~ 1) = lin1 (1 - ti)
li-+
=
lin1 1 li-+
lin1 }1 = 1 - O = 1 Régr.111.i <l1ícren\:t I! l 'crnrlu 13
ti-+
lim ~2 = 5 • lim J.. · lim J..
= 5 · O· O = O Hcgra <lo produto
/1
n
....,.00
fl
0
0
11
11
.
. 4 - 711 6
(4/ 116) - 7
o- 7
(d) lln1 6
= lln1
/ 6) = l + O = - 7. Rcgr." da •orna e <lo qU<x:1cnlo:
11-00 n + 3
11-+oo 1 + (3 n
(e)
11-+oo
Tenha cuidado ao aplicar o Teorema 1. Ele não diz, por exe1nplo. que cada uma
das sequências {a,,} e {b11} tem litnites se sua son1a {a,,+ b,,} tiver um litnite. Por
exemplo, {a,, }= { 1, 2, 3, ... } e {b,,} = {-1, - 2, - 3, ... }, ambas diverge1n, mas sua
soma {a,,+ b,,} = {O, O, O, ... } claran1ente converge para O.
Uma consequência do Teorema 1 é que todo 1núltiplo diferente de zero de uma
sequência divergente {a,,} diverge. Suponha. pelo contrário, que {ca 11 } converge
para algum nún1ero e :F O. Sendo assim, tomando k = l lc na regra da 1nultiplicação
por constante no Teorema I, vemos que a sequência
{ ~ · ca } = {an}
1
e,,
L
•••
• • •
- -• .J ... - - -- - - - ... 1- • • • •
• •• : • 1
b••
• •••
• ••••
••
a,:
-+----------+f/
o
FIGURA 10.4 Os tcnnos da sequência
{b,,} ficam "sanduichados entre'' aque les
de {n,,} e {e,,}, forçando-os ao 1nesmo
lin1ite comu1n L.
converge. Dessa fonna, {ca,,} não converge, a n1enos que {a,,} tan1bén1 convirja. Se
{a,,} não converge, então {ca11 } não converge.
O próximo teorema é a versão de sequência do teorema do confronto na Seção
2.2. Você será solicitado a provar o teorema no Exercício 109. (Veja a Figura 10.4.)
TEOREMA 2 - Teorema do confronto para as sequências Sejam {a,,},
{ b,, f e {e,,} sequências de nún1eros reais. Se a,, s. b11 s. e,, for verdadeira para
todo n alé111 de algu1n índice N, e se lim11 _ 00 a11 = lim,,_ e,, = l, então
lin1,,_00 b,, = L ta1nbém.
Uma consequência in1ediata do Tcoren1a 2 é que, se lh,,I s. e,, e e,, - O, então
h11 - O porque -c11 s. b11 s. c11 • Usainos esse fato no próximo exemplo.
EXEMPLO 4
(.a) cos"
n -
Uma vez que l/n - O, sabcn1os que
o
porque
1
(b) 2"--+0
porque
(e) ( - 1)" )1 -+O
porque
_ l.n <- cosTI li <- .!..
.
11 ,
- 1~ < (- 1)" )1 5
1
, .
1
A aplicação dos Teoremas 1 e 2 é ampliada por u1n teorema que enuncia que,
ao se aplicar u1na f1mção contínua a un1a sequência convergente. é produzida uma
sequência convergente. Enuncia111os o tcorc1na, deixando a prova con10 um exercício (Exercício 1 10).
1
TEOREMA 3 - Teorema da função contínua para sequências
Seja {a,,}
uma sequência de nún1eros reais. Se a,,--+ Lese/ for uma função que é contínua en1 L e definida cm todo a,,, entào/(a11)--+ /(l).
6 Cálculo
)'
EXEMPLO 5
Mostre que °\/(11 + 1)/ 11-+ 1.
2
Solução Sabemos que (11 + 1)/11 -+ 1. Tomando j(x) = Vx e l = l no Teoren1a 3
proporcionará Y(n + l )/n-+ Vt = l.
EXEMPLO 6 A sequência { l/11} converge para O. To1nando t1 11 = l /11, f(x) = 2x e
l = O no Teorema 3, vemos que 2 11" = f(l ln)-+.f (L) = 2° = 1. A sequência {2 11"}
converge para l (Figura 10.5).
Utilizando a regra de L'Hôpital
O próximo teoren1a formaliza a conexão entre lim,,_.00 a,, e lin111 _.00.f(x). Ele
o
-<•-t--••---·
--•
1
1
1
nos permite utilizar a regra de L:Hôpital para encontrar os limites de algumas sequenc1as.
A
o
X
3 2
FIGURA 10.5 Co1no 11- 00. l/11- Oe
2 1111 - 2° (Excn1plo 6). Os tcrn1os de { 1/n }
são exibidos sobre o eixo x; os 1ennos de
{2 1111 } são exibidos co1no os valores de y
no grâfico de/(x) = 2·'.
TEOREMA 4 Suponha que j{x) seja un1a função definida para todo x ~ 110 e
que {a,,} seja un1a sequência de núrneros reais tal que a11 = j(n) para 11 ~ 11 0 .
Então
Lim f(x ) = L
litn a,, = L.
.r -..OO
,,~ oo
Prova Suponha que limf._00 /(x) = L. Então, para cada nú1nero positivo E existe
um número !vi, tal que para todo x,
lf(x) - l i< E.
x> M
Seja N un1 nún1ero inteiro nlaior que Me maior ou igual a 110' Então
11 > N
EXEMPLO 7
~
a,,=} '(11)
e
la,, - LI= l/'(11) - l i< e.
Mostre que
. ln /1 _
(1m
11 - 0 .
n-oo
Solução A função (ln x)/x é definida para todo x ~ 1 e concorda corn a sequência dada ern números inteiros positivos. Portanto, pelo Teorema 4. fim,,_ (ln 11)/11
será igual a limx-+oo (ln x)lx se o último existir. Uma única aplicação da regra de
L'Hôpital n1ostra que
.
Ltrn
4\"_,.oo
ln X
x
.
1/X
Q
= - = O.
1
1
= ltm
~t-. ~
Concluímos que lirn,,_00 (ln n)/11 = O.
Quando utilizan1os a regra de L'f-lôpital para encontrar o limite da sequência,
frequentemente tratan1os n corno uma variável real contínua e derivamos diretamente co1n respeito a n. Isso nos salva de ter de reescrever a fórrnula para a,,, conforme
fizemos no Exemplo 7.
EXEMPLO 8
A sequencia cujo 11-ésüno tcrtno é
a,, =
+ l1) "
li
( 11 -
converge? En1 caso positivo, encontre 1in1,,_00 0 11.
Capítulo 10 Sequências e séries infinitas
7
Solução O lin1ite leva à fon11a indeterminada 100 • Poden1os aplicar a regra de
L'Hôpital se primeiro alteraru1os a forn1a para oo · O ton1ando o logarittno natural
de a li :
+ 1)"
ln a,, = ln ( li
li _
1
1)
= n ln ( ,, +
_
11
1
11
+
:)
-
•
Encào.
liin ln a,, = lim n ln (
11-+00
n-+OO
n
t<•nna '
ll
1n(n + 1)
= liln
J/li
11-+00
.
lttn
=
- 2/(n2 -
li ->
,
l)
- 1/ n -
11-00
.
= 1JITI
1
li -
?-11 2
11 2 -
1
R~i;ru .i~ l ' Hnr11.1I
thf.:r.:n.:1ar
nu111~n1dor e tkno1n1n.1dur
= 2.
Unia vez que ln a,, - 2 efl.t-r) =e< é contínua, o Teorema 4 nos diz que
a11 = e 1""• -
e2
A sequência {a11 } converge para e2.
Limites que ocorrem frequentemente
O próximo teore1na nos dá alguns limites que surgem frequentemente.
l rEOREMA 5
abajxo:
1.
liJn
,,_..oo
As seis sequências a seguir convergem aos limites listados
ln /1
li
4.
= O
s. ,,_oo
lim ( 1 + ~) = e·r (x qualquer)
11
li1n ef,; = 1
2. ,,_.oa
3.
(jxl < 1)
,,lim
..... x" = O
lin1 X l/ 11 = 1
,, ~oo
x"
6. ,,_.
lim 1n . = O (x qualquer)
(x > O)
Nas Fórmulas 3 até 6, x permanece fixado quando /1 __,. oo.
Prova O prin1eiro lirnite foi co1nputado no Exemplo 7. Os dois próxirnos pode1n
ser provados to1nando logaritn1os e aplicando o Teoren1a 4 (Exercícios 107 e 108).
As provas remanescentes são fornecidas no Apêndice 5.
EXEMPLO 9
(a)
ln (11 2)
/1
=
Estes são exemplos dos limites no Teorema 5.
2 ln n
li
__,. 2 • O =
{b) "W = 11 2/ n = (1t lln)2 -
O
( J )2 =
(e) ~ = 3 1f"(n 11'') _,. 1·1 = 1
f1>n11ul.1 1
1
F<'trmulJ 2
Fúnnula J t.:t11nx = 3 r: í\>nnula ~
1 ónnula -4 _.1111 \
1
~
8
Cálculo
-2)"
~ção fatorial
1A-n~tação 11 ! ("11 fatorial") significa o
+ -11
produto 1 · 2 · 3 ··· /1 dos inteiros de
1 a 11. Note que
(11 + l )! = (11 + l) · 11!. Então.
4 ! = 1 · 2 · 3 · 4 = 24 e
5! = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 = 5 ' 4! = 120.
Definimos O! como 1. Os fatoriais
crcscen1 ainda 111ais rapida111cntc que as
exponenciais, co1no a tabela sugere. Os
valores na ta bela estão arredondados.
li
100"
(f)
-
o
í"órnuWi 5 co111 _,
- ~
J(lftnUJ;.tf>(Olll \
lfl()
Defini~ões recursivas
Até aqui, calculamos cada a,, diretamente a partir do valor de 11. No entanto, as
sequências são frequentemente definidas recursivamente, fornecendo
1. O(s) valor(es) do termo inicial ou rennos iniciais, e
2. Urna regra, chamada fórmula de rccursão, para o cálculo de qualquer tern10
posterior a partir dos tennos que o precederen1.
li !
e''
li.'
-+e- 2
1
3
1
5
148
120
10
22.026
3.628.800
20
4.9 X 108
2,4 X JOl8
EXEMPLO 10
(a) As sentenças a 1 = 1 e a,, = a,,_1 + 1 para 11 > 1 definem a sequência 1, 2, 3, ..., 11, .••
de inteiros positivos. Con1a 1= l. ten1os a2 =a 1 + 1 = 2. a 3 = a2 + 1= 3. e assi1n
por diante.
(b) As sentenças a 1 = 1 e a,,= 11 · a,,..... 1 para 11 > 1 definen1 a sequência I, 2, 6, 24, ...,
n!, ... de fatoriais. Com a 1 = 1, temos a2 = 2 · a 1 = 2, a3 = 3 · a2 = 6, a4 = 4 · a3
= 24, e assim por diante.
(e) As sentenças a 1 = 1, a 2 = 1 e ªn+t =a,, +a,,_1 para11 > 2 definem a sequência
1, 1, 2, 3, S, ... dos números de Fibonacci. Com a 1 = 1 e a2 = I, temos a3 = 1 +
1 = 2, a4 = 2 + 1 = 3. a5 = 3 + 2 = S, e assi1n por diante.
(d) Como podemos ver na aplicação do método de Newton (veja o Exercício 133), as
scntençasx0 = 1 exn+ 1 = xn - [(senx11 - xn2)/(cosx11 - 2\,)] para n > Odefincn1 uma
sequência que, quando converge, fornece uma solução para a equação sen x -x2 =O.
Sequªncias monotônicas Lin1itadas
Dois conceítos que desen1penham un1 papel fundan1ental na detern1inação da
convergência de uma sequência são os de sequência li11âtada e sequência 111011otô11ica.
DEFINIÇÕES Uma sequência {a,,} é limitada superiorntente se existe um nún1cro AI/ tal que a,, 5 M para Lodo 11. O número M é um limitante superior para
{a,,}. Se M é wn lin1itante superior para {a,,}, nias nenhum nún1ero n1enor que M é
um limitante superior para {a,, }, então M é o menor linlitante superior para {a,, }.
Uma sequência {a,,} é limitada inferiormente se existe u1n número 111
tal que a,, ;:::; 111 para todo 11. O número 111 é u1n limitante inferior para {a,,}. Se
111 é um liinitante inferior para {a,,}, n1as ne11hu1n nú.mero n1aior que,,, é u1n
limitante superior para {a,,} , então 111 é o maior limitante inferior para {a,,}.
Se {a,,} é limitada superior e inferiormente, então {a,,} é limitada. Se
{a,,} não é limitada, então dizemos que {a,,} é unta sequência ilimitada.
EXEMPLO 11
(a) A sequência 1, 2, 3, ... , 11, ..• não te1n lin1itante superior, un1a vez que fina ln1ente
ultrapassa todo número M. No entanto, ela é li1nirada inferionnente por todo
número real nlenor ou igual a 1. O número 111 = 1 é o n1aior lin1itante inferior
da sequência.
• . 1 2 3
.
d
.
n
, . . d
(b) A sequencia 2• 3• 4• ... , + , ... e 11n11ta a supenom1ente por to o nun1ero
11
1
reaJ menor ou igual a l. O limitante superior M = 1 é o menor limitante superior
(Exercício 125). A sequência ta1nbém é limitada inferiormente por todo nún1ero
menor ou igual a
t.
que é o 1naior lin1itantc inferior.
Capítulo 10 Sequências e séries infinitas
1 Sequências co1r.,ergentes são limitadas
9
Se uma sequência {a"} converge para o nún1ero l, então, por definição, existe
urn nún1ero N tal que lan - l [ < l se 11 > N. Ou seja.
l - 1 <a,,< l + l para n > N.
Se M é um número 1naior que L + 1 e todos os (finitos) números a., a 2, ... , ªN•
então para cada índice n temos a,, < M de fonna que {a,,} é lin1irado superiormente.
De rnancira semelhante, se 111 é um número n1enor que l - 1 e todos os nú1ncros a 1,
a 2, ••• , af<~ então 111 é u1n lunitante inferior da sequência. Portanto, todas as sequências convergentes são limitadas.
E1nbora seja verdade que toda sequência convergente seja limitada, exis1e1n
sequências limitadas que deixan1 de convergir. Um exemplo é a sequência limitada
{(- 1)" + 1} discutida no Exen1plo 2. O problema aqui é que algumas sequências
Jin1itadas saltitam na faixa determinada por qualquer lin1itante inferior 111 e qualquer
limitante superior M (Figura 10.6). Um tipo de sequência importante que não se
comporta dessa forn1a é uma para a qual cada tem10 é ao menos tão grande, ou tão
pequeno, quanto seu predecessor.
a,,
M
•
•
••
•
. .
Ili
•
•
1 ti
o 123
•
li
• •
•
•. •
•
•
1
Algu111as sequências
limitadas saltitam entre seus lin1itantes e
deixam de converg1r para qualquer valor
limite.
r
DEFINIÇÃO Uma sequência {a,,} é crescente se a,. s; a,,+1para todo 11. Ou
. a -< a -a
<
<
• . e' d ecrescent e se a,, >
- .•• • A sequencia
seJa,
- a1,+1 para td
o o 11 • A
1
2
3
sequência {a,,} é monotônica se ela for crescente ou decrescente.
FIGURA 10.6
EXEMPLO 12
(a) A sequência 1, 2, 3 . .... n, ... é crescente.
• . 123
(b)A sequencia
2· 3· 4 , ...• /1 +li 1, . . . é crescente.
· · 11
()A
e . sequencia
, 2· 1, 1, ... , l,, .... e' d ecrescente.
4 8
2
(d) A sequência constante 3, 3, 3, .. ., 3.... é tanto crescente quanto decrescente.
(e) A sequência 1,-1, 1,-1, 1,-1, ... nàoé1nonotônica.
Uma sequência crescente que é limitada superiorn1ente sen1pre te1n un1 menor
limitante superior. Da mesma forma. uma sequência decrescente limitada superiormente sernpre te1n u1n n1aior limitante inferior. Esses resultados são baseados na
propriedade da co1np/e111de dos números reais, discutida no Apêndice 6. Provamos
agora que se l é o n1enor limitante superior de uma sequência crescente, então a
sequência converge para L. e que se L é o nlaior lin1itante inferior de tuna sequência
decrescente, então a sequência converge para l.
y = lVI
Mt-------------Lt-----------=-.
• ... . .,. -r.. .••••
y= l
••
•
••
•
••
••
~--------------x
o
Se os termos de uma
sequência crescente têm um Limitante
superior /o.f. eles tên1 u1n lin1itc L < /.1.
FIGURA 10.7
TEOREMA 6 - Teorema da sequência monotônica Se uma sequência {a,,}
é limitada e monotônica, então a sequência converge.
Prova Suponha1nos que {a 11 } seja crescente, l é o menor li1nitante superior, e desenhamos os pontos ( 1, a 1), (2, a2), •..• (11, an), ... no plano -~l'· Se M é um Li.Jnitante
superior da sequência. todos esses pontos estarão sobre ou abaixo da reta J' = 1\tl
(Figura 10.7). A reta.v= l é a reta n1ais inferior. Nenhum dos pontos (11, a,,) estará
acima de y = l , n1as alguns estarão acima de qualquer reta inferior y = L - €, se €
for um número positivo. A sequência converge para l porque
(a) a11 < l para todos os valores de 11, e
(b) dado qualquer€ > O, existe ao 111enos u1n inteiro N para o qual aN > l - €.
O fato de {a,,} ser crescente nos diz adicionalrnente que
a 11 2! aN> L - E
para todo /1 2! N.
Sendo assim, todos os números a,, alén1 do N-ési1no núrnero estão a 1nenos de
E de l. Essa é prccisrunente a condição para L ser o li nú te da sequência {a }.
11
A prova para as sequências decrescentes li1njtadas inferionnente é semelhante.
10
Cálculo
É importante perceber que o Teorema 6 não diz que sequências convergentes
são tnonotônicas. A sequê11cia {(-J)n+ 1/n } converge e é linlitada, tnas não é 1nonotônica, u1na vez que ela alterna entre valores positivos e negativos, à medida que
tende a zero. O que o teorema afirn1a é que uma sequência crescente converge quando é lirnitada superiorn1ente, n1as diverge ao infinito, caso contrário.
Exercidos 10.1
Encontrando termos de uma sequência
24.
Cada um dos Exercícios 1-6 dá uma fórmula para o n-ési1no termo
a,, de u1na sequência la,,I. Encontre os valores de a 1• a2, a3 e a4 •
1. a,, =
J -
'
•
li"
s. a,, = 2112"+ 1
( - 1)/ITI
a =---
6. a,. -
211 - 1
li
25. A sequência I, O. I, O. 1, ...
4. an = 2 +(-1)"
11
1
2• a,, = -11!
3
l
8 27 64
125
25' 125' 625' 3125' 15.625'ºº'
2• 2n
Cada um dos Exercícios 7-12 dã u1n ou dois tern1os iniciais de urna
sequência, bem como uma fórmula de rccursão para os termos remanescentes. Escreva os dez termos iniciais da sequência.
7. a 1 = 1, a,r+I = 0 11 +( 1/211)
,
. O
9. a 1 = 2,a,,u= (- l)n+1 a,,/2
11. ª1=a2=1. ª n+2=ª,,11+ a.
12. a 1 = 2. a 2 = - 1. a,r+2 = a,r+/ a,,
Ca1ta 1111.:ir11 po,itr1 n
Quais das sequências {an } nos Exercícios 27-90 convergcn1? E
quais divergetn? Encontre o li1njte de cada sequência convergente.
27. a,, = 2 + (0, 1)"
44. an = 111T cos (117T)
28. a,, =
+ (- 1)n
11
13. A sequência 1. - 1. 1. - 1. 1. ...
14. A sequência-!, l, - 1. I, - 1. ...
NLU]l,•f<h 1COlll ' "
'1t1J1' altcrn.1dos
Nu11lt:l'tJ~ l ~01 11 '-''
•ma" allc1nado, ,
Qu.11h ,11k" J1 '' lnh:ir11.•
IS. A sequência 1. -4. 9. -16, 25 ....
f'OStll\<)\ , COlll O'\
33. a,, =
11
2
11
4
511
811 3
+1
11
1 l
1
Rc.ip1 o.:ó' do' quadr.llkJ,
1
16• A sequencia , - 4• , - 16· .... U•h 1n1crro' p1i-lll\o,,
25
9
c1>1n
1 2 22 23 2
4
17. 9·12·J5·)8·2f•·"
18.
3
2'
1 3 5
6' 12' 20' 30' ...
19. A sequência O, 3, 8, 15. 24, ...
20. A sequência -3, -2, - 1, O, 1, ...
Poténc1Js de 2 <li\ ulu:ih
37. a,, =
5 8 11 14
17
23• l' 2• 6• 24• 120' ...
li
+
211
V,,
ln /1
ln 211
4 11
51 • ali = 8""
2
52. an = (0.03) 11"
*)
53. a,, = (1 + ;,)"
1) (1- l) 54. a,, = ( 1 - 1~)
li
n
pnr 111ulttplo' J..: \
lntc1r11s d1fi:nndo ix1r ~
1IÍ\ 1J11los p111 prodtllil'
de rnrcrro' cons.:c1111\ 1h
Qu.1.lmd1•' 1los rntcih»
55. ª" = ~
38. ª" =
(-1)11+1
39. a,. = 211 - 1
pos111vos mcno, 1.
lnl"lflh C<•mC\',IOll\l
1:11111
.\.
1111p.ir s1m. um 111h~1f\•
r1b1l11111111p:ir n.lo.
22. A sequência 2, 6, l O, 14. 18, ...
(
10 (11 + 1)
3
36. a,, = ( - l )" ( J -
~
40. ª• = (- ) "
l m rn1,·1n1 P•"llllil
2 J. A sequência 1,5, 9. 13.17 .. ..
50. a11 =
35. a11 = l + (- 1)"
º' srn.tts alccrn;u.111'
3"
=,,,.
49.
- 211
11 - 1
,1n.11s nllcmad•h
. 1
48. ª"
+ 511 + 6
134. a,, =
70 -
"
47. (ln = 2"
li + 3
32. a,,= - , - - - -
11·
sen 11
2
scn
/1
46. a,. = 2"
1 - 3y;,
31. a,, = 114 +
Nos Exercícios 13-26, encontre urna fórrnula para o 11-ési1110 termo
da sequência.
-
45. a,, =
li
1-
Encontrando uma fórmula para a sequencia
d11•1J1Jo, por porcncw~ Jc: 5
\h.,rnamln n1111i<•r1is
i C 11111T1Cflh 11
Convergência e divergência
30. a,, =
10. a 1 =-2, a,,...1 = 11a11/(11 + 1)
f'<'""""
26. A sequencia , 1. 1, 2• 2, 3, 3. 4• . . . n:pc11,1o.
1 - 2n
29. a,, =
1 + 211
211 + 1
8. a 1 = 1, a11+1 = a.1(11+1)
Cuh<b de» rn1c1ro'
Um 1111,•1111 Jl<'"111 ,, p.1r ,1111.
um 1n1ciro posilJ\O par não.
ltnc1n1, J1h:nnd1• por 3
J 11 rdi<l<" p1•r l.1t<•nJ1'
41. a,,=
\Flh
1
42. a,, = {0,9)"
56. Gn =
W
57. a,, =
(~)
1111
58. 0 11 = (11 + 4) 11(nl4)
59. (/n =
ln 11
11
1/ 11
60. a11 = ln 11 - ln (11 + 1)
61. a,,= ~
Capítulo 10 Sequências e séries infinitas
Teoria e el<emplos
V 3:ln+
J-· ' 1'
62. a,, -- -•G::;:-;
63. a,, =
64. an =
65.
4 (Sugestão: compare com 1111.)
(- 4 )"
77. a =
"
li!
ª" = 10 6"
li!
79. ~,, =
1
211 -
V,, sen
V,,
Aqui os nu1neradores forntam uma sequência. os denominadores formam unta segunda sequência e suas razões forman1 uma
terceira sequência. Sejant x,, e Yn' respectivamente, o numerador o o dc1101ninador da 11-ési1ua fração r,, = x 11 / y 11 •
a. Verifique que .r12 - 2y 12 =- 1, x 22 - 2y22 =+1 e, mais genericamente. que a2 - 2b 2 = -1 ou+ 1, então
1
82. lln = .V,,
tg 1"
f1
l)"
3,, - 1
(li~,)"
(
n
(c1 + 2b)2 - 2(" + b)2 =+ 1 ou - 1.
W
a,, = ( J1)" +
83.
1
respectivamente.
b. As frações r,, =x,.ly,. se aproximam de um lintite à 1nedida
que /1 aumenta. Qual é esse limite? (Sugestão: use o item
(a) para 1nostrar que r,,2- 2 = ± ( l ly,,)2 e que y 11 não é n1enor
que 11. )
1O1. Método de Ne\vton As seguinres sequências vêm da fónnula recursiva para o n1étodo de Ne,vton.
84. ª" = \/n2 + "
) 1111
2nx+ 1
'
(1 n fl ) 2C)()
x > O 85. a,, =
11
86.
311 • 6"
87. ª• = /1 -
73. a,, = 2-·• · n!
v,,
2
88. a,, = . ~
(10/ 1I)"
74. ª" = -(9-/10-)-"
- _+_(_1-1/_1_2-)"
V 11 2 -
-
1
1-
v11 2+ ,,
• 1
90. a,, =
76. a,,= senh (ln 11)
J
ll
-ptl'f. p > I
:r
93. a1 = - 4,
94.
ª' = o. a,, •
95. a 1 = S,
+ ª"
ª" + 6
a,, + 2
On+I =
-
b. xo = 1, .Y,, t 1 = x,, -
tgx,, - 1
,
sec· Xn
102. a. Suponha que Jlx) seja derivável para todo x em [O, 1] e
que /(0) = O. Defina a sequência {",,} pela regra a,, =
11((1 111). Mostre que lint,,_"° ",, = /'(O). Utilize o resultado do item (a) para encontrar os li1ni1es das seguintes
sequências (a,,} .
b. a,, -- /1 tg -1 J_
/1
V8 + 2a,,
e • ali = n(e 11" -
1)
1
<ln + I =
d. a,, = n ln ( 1 + ;, )
~
96. a 1 = 3. a,,+1 = 12 97. 2. 2 +
As sequências convergem? Em caso afi nnativo, para qual valor? E1n cada caso, co1nece identificando a função/ que gera
.
a sequencia.
x,,2 - 2 x,,
1
a. xo = 1, l",, .i 1 = "• =-+2
x,,
à ,,
e. x0 = l , xn+ 1=x,,- l
Nos Exercícios 91-98. assu1na que cada sequência convirja e encontre o linlite.
72
91. a1 = 2, a,,+ 1
lln+ I
1 = X,, -
f (x,,)
j ' (x,, ) ·
1
Sequências definidas recursivamente
92. Ot = -1.
X11 t
li
89. (111 = n1/" Xl dx
75. a11 = tgh 11
100. Uma sequência de nümcros racionais é descrita a seguir:
1 3 7 l7
a a + 2b
1' 2' 5' 12' .... b' (/ + b . . .. .
81. a,, = tg- 111
69. a,, = (311 +
Escreva os primeiros terntos da sequência suficientes par.1 deduzir uma fórm ula geral para x, que seja verdadeira para 11 ;:: 2.
1
/1
a,, = ln ( l + 1~)"
71. ª" =
x,t+ 1 =x 1 +x 2 + ... + x •.
1
sen li
80. a,, =(3" + 5")1 1n
= ( .!.) 1/ lln nl
70. ª• =
,, 2
78. a,, = /1 ( 1 - cos ), )
66. ª• = 2• . 3"
68.
99. O pri1neiro termo de uma sequência é x 1 = l. Cada um dos
termos seguintes é a soma de todos os seus antecedentes:
li
li!
67. a,,
Va,,
t. 2 + 2 +1 21. 2 +
1
2 +
, ...
1
l
103. Ternas pitagóricas Unta ten1a de inteiros positivos a, b e e
é chamada terna pitagórica se a 2 + b2 = c2. Seja a u1n inteiro
positivo hnpar e sejam
2+ 2
98.
11
ví. v'1 + Vi, V1 + VI + ví.
\/, + \/1 + v'1 + Vi,. ..
respectivrunente, o piso inteiro e o teto inteiro para a1 /2.
12 Cálculo
118. a,, =
11
119. (1,, = ((-1 )11 + 1)(
l~J
:
2n - 1
,,
3
1
)
120. O primeiro tenno de unia sequência é .r 1 = cos (I ). Os próxinios tennos sãox1 =x 1 ou cos (2), o que for maior; ex 3 = x2 ou
cos (3 ), o que for maior (n1ais à direita). Em geral,
xn+i= max {x,,,cos(11+ I)}.
1 + \,12,;
J2J. a,, =
a.
Mostre que a 2
+
b2 = C1. (Sugestão: considere que a = 211
+1
e expresse h e e en1 ternios de 11.)
b. Por cálculo direto, ou con1 auxílio da figura, encontre
123. a,, =
-../;i
411 1- 1
hm
104. Ra iz 11-ésin1a de n!
a. Mostre que limn_,,., (211'77") 1(2nl = 1 e, porranto, usando a
aproxin1açào de Stirling (Capitulo 8. Exercício Adicional
32a), que
Mostre que
se M 1 e M2 são os menores limitantes superiores para a sequência {a,,}. então .111 = 1\12• Sendo assini, unia sequência não
pode ter dois 1nenores limitantes superiores diferentes.
127. E verdade que unia sequência {a,,} de nún1cros positivos
deve convergir se for limitada superiormente? Justifique sua
resposta.
onde sua calculadora permitir.
105. a. Prcsun1indo que linin-oo ( 1hf) =O se e for qualquer cons-
tante positiva. mostre que
U8. Prove que se {lln} é uma sequência convergente. então para
cada nún1ero positivo E corresponde uni inteiro N. tal que, para
todo 111 e n,
Ln 11
O
).lffi e =
''
111
se e for qualquer constante positiva.
b. Prove que limn-<Xí (1 /nc) =O se e for qualquer constante
positiva. (Sugestão: se ~ = 0.001 e e= 0,04, quão grande
deve ser N para assegurar que j l/11'· - OJ < e se 11 > N?)
~
1
a ,,, - ali < E.
J
130. Limites e subsequências
Se os termos de unta sequência
aparecem em outra sequência na ordem dada. chan1amos a
primeira sequência de subsequência da segunda. Prove que se
duas subsequências de u1na sequência {a,.} têm limites diferentes L 1 L1, então {a,,} diverge.
*
,--+
107. Prove que lim,,_oo
.xy,; = 1•
108. Prove que lim11 _ 00
x 1"= 1. (x > O).
l32. Prove que a sequência {an f converge par.i O se, e son1cnte se, a
sequência de valores absolutos dt1,,I} converge para O.
110. Prove o Teoren1a 3.
133. Sequências geradas pelo método de Ne,vton
O método de
Ne\vtoo, aplicado a u1na função derivável f(x), começa com
u1n valor inicial x 0 e constrói a partir daí uma sequência de nú1neros {x11 } que, sob condições favoráveis, converge para um
zero de/ A fónnula recursiva para a sequência é
Nos Exercícios 1 11-1 14, determine se a sequência é nionotônica e
se é lin1itada.
311 + 1
2"3"
111. a,, =
+
11
3.
tln =
1
/1
1
f (xn)
11.
2
11 4. On = 2 - íj -
x,, .. 1 = x,, - /' (x,,).
1
2"
Quais das sequências nos Exercícios 115-124 convergen1. e quais
divergen1? Justifique suas respostas.
1
1
1J 6. a., = 11 - íi
115. a,, = 1 l i
--
>N
131. Para unia sequência {a11 } os termos de índice par são denotados por all: e os termos de índice ln1par por a2It+ 1• Prove que se
L e ª it+i--+ l, então 0 11 --+ l.
a2
converge para L.
+ J)I.
/1
Prove que os limites das sequências
são únicos. Ou seja, mostre que se L 1 e L2 são números tais que
a,,--+ 1~ 1 e 0 11 --+ L2, então L 1 = Lr
Prove o "lcorc1na da
sequência intercalada" para as sequências: Se {an} e {bn } convergcn1 para l , então a sequência
li
>N e
129. Unicidade de lin1ites
106. Teorema da sequência intercalada
(
,,
126. Unicidade dos menores lin1itantcs superiores
D b. Teste a aproxi1nação no itcn1 (a) para 11 = 40. 50, 60..... até
J12. (ln =
+ 3~
,
para valores grandes de 11.
(211 + 3)!
+
J
li
125. A sequência {11/(11 + 1)} tem um menor Un1itante superior
iguaJ a 1 Mostre que se M é um nú1nero menor que 1, então
os tern1os de {11/(11 + l )} finalmente excedem M. Sendo assi1n,
se M < 1, existe uni inteiro N tal que 11/(11 + 1) > /.4 sempre que
11 > N. Con10 11/(11 + 1) < 1 para cada 11, isso prova que l é um
menor li1nitante superior para {n/(11 + 1) }.
a-OIJ
109. Prove o Teorema 2.
4
li
124. a 1 = 1, an+ 1= 2a,, - 3
. l~(;2J
r l'
,,_,,,
122. On =
D
a. Mostre que a f6rn1ula recursiva paraj{x) = x2 - a. a > O.
pode ser escrita co1no xnH = (x. + alx,,)12.
b. Começando com x0 = 1 e a = 3, calcule termos sucessivos
da sequência até o resultado no visor começar a se repetir.
Qual níunero está sendo aproxin1ado? Explique.
Capítulo 10 Sequências e séries infinitas
D 134. Definição recursiva de 7T/2 Se você começar cornx1= 1 e de-
a. Calcule e então represente graficamente os 25 primeiros
tcnnos da sequência. A sequência parece ser lin1itada superior ou inferiorn1ente? Parece convergir ou divergir? Se ela
convergir, qual será o lin1ite l?
b. Se a sequência convergir, encontre um inteiro N tal que
la,, - LI s 0,0 1 para 11 2: N. Quão longe na sequência você
deve chegar para que os termos estejam a rnenos de 0.000 1
de l?
finir os termos subsequentes de {xn} pela regra xn = x,,...1 + cos
xn- 1' você gerará uma sequência que converge rapidamente
para 7r/2. (a) Tente isso. (b) Use a figura a seguir para explicar
por que a convergência é Lão rápida.
y
cos .r,,
... r
l
136. a,, =
135. a,. = V 11
137. a1 = J.
ª• +I = a,, +
(1 + n0.5)"
sn1
138. a 1 = l,a,,+1 = a,,+(-2)"
o
l
139. ª• = sen 11
143. ª" = (0,9999)"
140. li,, = 11 sen;;
144. a,, =( 123456) 1' "
= sen11
14 1. a,.
n
8"
145. a,, = li 1
1
USO DO COMPUTADOR
Use um SAC (sislema algébrico cornputacional) para seguir os passos indicados para as sequências nos Exercícios 135-146.
10.2
13
ln 11
142. a,, = 17
1141
146. a,, = l 9"
Séries infinitas
Uma série infinita é a son1a de urna sequência infinira de números.
ª 1 + ª2 + ª3 + ··· + 0 ,, + · ··
O objetivo desta seção é co1npreender o significado de tal son1a infinita e desenvolver métodos para calculá-la. Co1no há um número infinito de tennos a serem
somados em sequências infinitas, não podemos simplesmente son1ar repetidamente
para ver o que acontece. En1 vez disso, observamos o resultado da soma dos n primeiros rern1os da sequência e paran1os. A soma dos 11 priineiros tennos de
s,, = ª1 + ª 2 + ª 3 + ··· +a,,
é u1na soma finita ordinária e pode ser ca lculada por adição normal. É chan1ada de
11-ésima son1a parcial. A 111edida que n aun1enta, esperan1os que a soma parcial se
aproxime cada vez mais de u1n valor limite, da 1nesma maneira que os termos de
un1a sequência se aproxin1a1n de um limite, conforrne discuLido na Seção 10.1.
Por cxcn1plo, para atribu innos significado a uma expressão con10
1
1
1
1
1 +1+ 4 +g+(6+···
adicionamos os tcrn1os wn a un1 a partir do início e busca111os un1 padrão para o
crescimento dessas somas parciais.
Soma
parcial
Primeira
s 1= 1
Segunda
Sz =
Terceira
S3 = 1
1
Valor
Expressão sugerida
para soma parcial
1
2- 1
3
2- -1
2
7
4
.••
11-ésima
s,, = 1
2" - 1
211 - I
2
1
2 -4
14
Cálculo
Realmente existe um padrão. As son1as parciais forn1an1 uma sequência cujo
• •
11-es1
n10 termo e•
1
s• n = ')- - --'-211 - I '
Essa sequência de son1as parciais converge para 2 porque lim,,_ (L/211- 1) = O.
Dizemos
1
" a son1a da sene
.. '10f 1111
' ' ta 1 + 1 + 1 + · · · + ,,_
+
·
·
·
e..1gua1 a 2" .
1
4
2
2
A son1a de qualquer nún1ero finito de tennos nessa série é igual a 2? Não. Podemos rcahnentc adicionar un1 número infinito de tern1os um a um? Não. Entretanto,
poden1os aiJ1da defi11ir sua soma como o lin1ite da sequência de somas parciais
conforn1e 11 ~ oo, neste caso 2 (Figura 10.8). Nosso conhecin1ento de sequências e
liinites permite que nos liberten1os das limitações das somas finitas.
114
~
o
1
1/8
1/2
2
FIGURA 10.8 Conforme os comprimentos 1, 112, 1/4, 118 .... são adicionados wn a
u1n. a son1a se aprox in1a de 2.
BtoGRAFtA HISTÓRICA
DEFINIÇÕES
Dada a sequência de números {a,.}, tuna expressão da forma
Blaise Pascal
( 1623-1662)
ª 1 + ª2 + ª3 + ···+a,,+ · · ·
é uma série infinita. O número a,, é o 11-ésilno tenno da série. A sequência
{s,, } definida por
St = G1
s2 = a1
+ a2
li
S11
= 01 + a2 + · · · + ª" = ,2: ak
k- 1
é a sequência de somas par ciais da série, o n(unero s 11 sendoa 11-ésima soma
parcial. Se a sequência de so1nas parciais convergir para uo1 limi1e L. dizemos
que a série converge e que a soma é l. Nesse caso, tan1bén1 escrevemos
00
01
+ 0 2 + · · · + a,, + · · · = ,2: a,, = l .
11= 1
Se a sequência de somas parciais da série não converge. dizemos que a
série diverge.
Quando comcçan1os a estudar un1a determinada série a 1 + a2 + ·· · + 0 11 + .. ·,
talvez não saibamos se ela converge ou diverge. Em ambos os casos, é conveniente
.
. . como
usar a notac;ao sigma
para escrever a scne
-
00
00
112:
- 1 ª"'
'S'. (lk
t.::i
l 111.1 11111.1,ãn 111111111.1111!0
11 "'llMtón1• ú.: 1 a ;x esta
ou
,11h.,·n1cnd11I.,
Séries geométricas
Séries geométricas são séries da fonna
00
a + ar + ar 2 + · · · + ar11 - 1 + · · · =
2: ar"-
11 ~ 1
1
Capítulo 10 Sequências e séries infinitas
15
onde a e r são números reais fixos e a -:/= O. A série pode ainda ser escrita co1no
L:;-:..o a1J•. A razão r pode ser positiva, como em
+-+-+···+ ( ~ )
1
1
2
4
11 - I
+ ... .
r
12., u
1
ou negativa, co1no em
,. - 1 3.11
1
Se r = 1, a 11-ésima soma parcial da série geométrica é
s,, =a + a(I) + a(1) 2 + ··· + (1(!)11- 1= na,
e a série diverge porque lim11 _ 00 s11 = ± oo, dependendo do sinal de a. Ser= - 1, a
série diverge porque a 11-ésima soma parcial oscila entre a e O. Se l r I #:- 1. podemos
detenninar a convergência ou divergência da série da seguinte n1aneira:
s,, = a + ar + ar 2 + · · · + c11· 11 - 1
rs,, = ar + ar 2 + · · · + ar"- 1 + ar"
s,, - rs,, = a - ar"
\lu l11pliqu,· ·'• pur 1
~uhUmíl r.1. de ' •· A 111a11•na do'
l•'tlllll' à u1rc11a e ~.u11:él.11la.
s,,( 1 - r) = a( 1 - r")
s,, =
a( 1 - r 11)
l - ,. '
F11tnn;
(ri:- 1).
Se 1 r 1 < 1. então r" -+ O quando n -+ oo (conforme visto na Seção 10.1) e
s,,-+ ai ( 1 - r). Se l r I > 1, então l 1.11 I-+ oo e as séries divergem.
Se 1 r I < 1. a série geométrica a+ ar+ at2 + ··· + ar.- 1+ ·· · converge para
ai ( 1 - r):
00
,Lar" 1
11 = 1
a
- ,. '
lrl< I.
Se l r I ~ 1, a série diverge.
Já detenninan1os quando uma série geométrica converge ou diverge, e para
qual valor. Gerahnente podemos deterininar que u1na série converge se1n saber o
valor para o qual ela converge, conforme vere1nos nas próximas seções. A fórrnula
ai( 1 - r) para a so1na de u1na série geométrica se aplica so111ente quando o índice da
son1at6ria corneça corn /1 = 1 na expressão L~ 1 ar" 1 (ou o índice 11 = O se escrevermos a série como L::° o ar").
EXEMPLO 1
A série geométrica co1n a = 119 e r = 1/3 é
1/9
1 - ( 1/3)
EXEMPLO 2
A série
(-1)"5
5
s 5
= 5 - -+
- -+···
,, ~ o
4"
4
16
64
00
.L
é uma série geométrica com a= 5 e r =-1/4. Ela converge para
a
1 - ,.
5
4
1+(1/ 4)= ·
EXEMPLO 3 Você solta uma bola de uma altura de a n1ctros acima de uma superfície plana. Cada vez que a bola atinge a superfície depois de cair de unia distância h,
16
Cálculo
ela rebate a uma distância rh, onde ré positivo, n1as menor que 1. Encontre a distância total percorrida pela bola quicando para citna e para baixo (Pigura 10.9).
a
Solução A distância total é
ar
s = a + 2ar + 2ar 2 + 2ar 3 + · · · = a +
2ar
1 +r
=a - r•
1- r
1
Se a = 6 m e ,. = 2/3, por exemplo, a distância é
ar 3
1 + (2/3)
s = 6 1 _ ( 2/ 3 ) = 6
EXEMPLO 4
(a)
(5/ 3)
= 30 m.
113
.Expresse a dízin1a periódica 5.232323 ... con1 a razão de dois inteiros.
Solução A partir da definição de un1 nún1ero decin1al, temos un1a série geon1étrica
23
5.232323 . . . = 5 + 100 +
•
23 + _;;.2.;;..
3 - + ...
( 100)2
( 100)3
,, - 1
r= 1 IOI)
1 ( 1 - o.o1
( 1 )
23
518
= 5 + l23
5
00 0,99 = + 99 = 99
~
•
e
•
C>
c!-'~1\
~
•
••
'
•
•
•
.,
•
: •.~~
••
~~
-
(b)
(a) O Exe1nplo 3 n1ostra
como usar un1a série geométrica para
calcular a distância vertical total percorrida
por uma bola quicando se a altura de cada
rebatida for reduzida pelo fator r. (b) Uma
fotografia cstroboscópica de un1a bola
quicando.
FIGURA 10.9
Infelizmente, fórmulas co1no essa para a so1na de u111a série geo1nétrica convergente são raras e, de 111odo geral, te1nos de nos contentar con1 uma estimativa da
so1na de u1na série (tàlaren1os n1ais sobre isso posteriom1ente). O próxi1no exen1plo,
no entanto, é u111 outro caso no qual podemos encontrar a son1a exata.
00
EXEMPLO S Ellcontre a son1a da série "telescópica" L
n• I
(
1
).
n li + 1
Solução Procuramos um padrão na sequência de so1nas parciais que possa levar a
un1a fórmula para sk. A observação chave é a decomposição em frações parciais
1
1
1
11(11 + 1) = li - n + 1 '
de forn1a que
1
k ( '
l )
< + 1) = "2:
ii - 11 + 1
n >< I /1 11
"' '
k
:L
e
Sk =
(
+- f) + ~ - *) + (j -*) + ... + (i - k ~ [).
Removendo os parênteses e cancelando os tennos adjacentes de sinais opostos.
reduzimos a soma para
Sk =
Agora, vemos que s k -
1
1- k + l .
l quando k _. oo. A série converge, e sua soma é l:
00
2: 11(11 i+ 1) = i .
11= 1
Capitulo 10 Sequências e séries infinitas
17
Teste do n-ésimo termo para uma série divergente
Um motivo que pode levar a série a deixar de convergir é que seus tennos não
se tornam pequenos.
EXEMPLO 6 A série
00
1
2
3
4
/l + 1
+
=-+-+-+···+
+ ...
li
l
2
3
fl
" " f1
kl
11 •
I
diverge porque as somas parciais finalmente ultrapassam cada nú1nero predeterminado. Cada u1n dos tem1os é n1aior que 1 e, portanto, a soma de 11 tennos é n1aior
que 11.
Observe que lin111 ---oc. a,, deve ser igual a zero se a série ~:_ 1 a,, convergir. Para
saber por quê, faça S representar a sorna da série e s,, =a1+ a2 +···+a,, representar
a 11-ésin1a so1na parcial . Quando 11 é grande, tanto s11 qua11to s,,_ 1 estão próximas de
S, assi1n a diferença delas, t1 11 , estã próxima de zero. Mais fom1almente,
~1ção
1OTeore111a 7 não di= ~ue L:, an
Isso estabelece o seguinre teorema.
converge se a,, - O. E possível
para uma série divergir quando
00
1
a,,-o.
RCj,!r::t da dtkr~nça
ali =sli -s, ,... . -s - S=O.
TEOREMA 7
Se
2:I a,, converge, então a
11
-
par;i Sc'qU~ll<.'t.1'
O.
11•
O Teorerna 7 nos leva a um teste para a detecção do tipo de divergência ocorrida
no Exemplo 6.
Teste do n-ésimo termo para divergência
2: a,, diverge se lin1 a não existe ou é diferente de zero.
11 = 1
EXEMPLO 7
(a)
11
,,_
Os exemplos seguintes são todos de séries divergentes.
2: 112 diverge porque n2 ---+ oo.
11 =
1
~n + I .
n + I
(b) kl 11 diverge porque 11 ---+ 1.
11 ;
hn1._
"" ~ u
1
00
(e)
2: (- 1) +1 diverge porque li1n
11
11 = 1
11
(- J)11+1 não existe.
_..
00
00
(d)
L
-: diverge porque li1n
2
5
11 = 1 /1
EXEMPLO 8
1
2
11_ 00
-;
2li 5
A série
1
2
1
4
1
4
1
4
1
4
1
2"
1
2"
1
2"
1 +-+-+-+-+-+-+· .. +-+-+ ··· +-+···
diverge porque seus termos podem ser agrupados em infinitos blocos que son1an1 1
e, por isso, as sornas parciais au1nentam se1n limitações. No entanto, os tennos das
séries forma1n uma sequência que converge para O. O Exemplo 1 da Seção 10.3
mostra que a série hannônica tan1bém se co111porta dessa 1naneira.
18 Cálculo
Combinando séries
Sempre que tivermos duas séries convergentes. podemos adicioná-las termo
a termo. subtraí-las termo a tenno ou multiplicá-las por constantes para obtermos
' .
novas series
convergentes.
TEOREMA 8
Se 2.an =A e 'f-b,, = B são séries convergentes, então
1. Regra da so111a:
L(a11 + b11 ) = La11 + "2:.bn =A + B
2. Regra da diferença:
"2:.(a,, - b,,) =La,, - '5:b,, =A - B
3. Regra da 111ultiplícoção JJOr co11sta111e: Lkc1,, = k'La,,= kA (qualquer número k).
Prova As três regr'c1s para séries seguem as regras análogas para sequências no
Teorema 1. Seção 10.1. Para provar a regra da son1a para séries. faça
,.1li =a 1 +a2 +···+a11' Bli =b 1 +b2 +· .. +b.
li
Então, as son1as parciais de '2.(a11 + b,,) são
s,, = (01 + b1) + (a2 + b2) + · · · + (o,,+ b,,)
= (01 + · · · + a,,) + (b 1 + .. · + b,,)
=A,, + 8 11 •
Como A,,-+ A e 8 11 -+ B, temos s,,-+ A+ B pela regra da soma para sequências.
A prova da regra da diferença é semeU1ante.
Para provar a regra da multiplicação por constante, observe que as somas parciaís de 2:.ka 11 formam a sequência
s 11 = ko 1 + ka 2 + .. · + ka11 = k(a 1 +a2 + .. · +a11 ) = kA n'
que converge para kA pela regra da rnultiplicaçào por constante para sequências.
Como corolários do Teore1na 8, temos os seguintes resultados. 01nitimos as provas.
1. Todo 1núltiplo constante diferente de zero de urna séiie divergente diverge.
2. Se "La,, converge e 2.b11 diverge, então tanto 2.(a,, + b,,) quanto 2(a,, - bn)
divergen1.
Cuidado Lembre-se de que 2 (a,,+ b,,) pode convergir quando tanto 2.a,, quanto
2.b11 divergcn1. Por exemplo, La,,= 1 + 1 + 1 + .. · e 2.b,, = (-1) + (-1) + (-1) + .. ·
divergern, enquanto :L(o11 + b11 ) =O+ O+ O+··· converge para O.
EXEMPLO 9
Encontre as sornas das seguintes séries.
1
1
1 - ( 1/2)
1 - ( 1/6)
6 4
=2--=5
5
Se.ri.: e•'\?(lJll~lnca c,1rT1
11 = 1 .: r = 1 ~. 1 ()
19
Capítulo 10 Sequências e séries infinitas
=
~ 1/ 2) )
4( 1 -
= 8
Adicionando ou retirando termos
Pode1nos sempre adicionar um número finito de tennos a uma série ou remover
un1 número finito de tern1os se1n alterar a convergência ou a divergência da série,
ainda que, e1n caso
de convergência, isso geraln1ente altere a so1na. Se 2-c;:' 1 ali
00
converge, então L,,=ka1, converge para cada k > 1 e
ao
L a, =
+ a2 + · ·· + ak- 1 + L a,,.
a1
n = I.
" "" 1
Reciprocamente, se L~=k a,, converge para qualquer k > 1, então
verge. Dessa forma.
00
l
1
2: sn = s
n= 1
2-:, 1a con11
00
1
1
l
+ E + 125 + 11 = -l
2: sn
e
00
00
1 -1- 1
1
(
1)
2: -=
2: 125 .
5
25
5"
11 ~ 1 5
11
11 = 4
BIOGRAFIA lllSTÓRICA
Richard Dedekind
( 1831-1916)
Reindexação
Desde que preservemos a orden1 de seus termos, podemos reindexar qualquer
série sen1 alterar sua convergência. Para aumentar o valor inicial do indice ern h
unidades, substitua o 11 na fóm1ula para a11 por /1 - h:
'Xl
00
11 = 1
11= 1+/1
L ª" = 2: a,,_,, = a1 + a~ + a3 + · · ·.
Para diminuir o valor inicial do lodice em li unidades, substitua o /1 na fóm1ula
para a11 por 11 + /1:
""
00
L a11 = n =Ll - /r a,, ...,, = a1 + ai + a3 + ·· ·.
n= I
Vimos essa reindexação quando inician1os uma série geon1étiica con1 o índice
11 = Oem vez do índice /1 = 1. rnas podernos usar qualquer outro valor inicial como
índice. Geral111ente damos preferência às indexações que levam a expressões sirnples.
EXEMPLO 10
Pode1nos escrever a série geon1étrica
1
1
2
4
1 +-+-+ ···
como
00
1
2:
11 ,
2
11 = 0
00
1
L 2n- S
n= S
00
ou até nies1no
1
2: ?>•+" ·
n ~-4 -
As somas parciais pennanecen1 as mesrnas, não importando qual índice escolhamos.
20
Cálculo
Exercidos 10.2
Encontrando as n-ésimas somas pardais
Utilizando o teste do n-ésimo termo
Nos Exercícios 1-6. encontre a fónnula para a 11-ésima son1a parcial
de cada série e use-a para encontrar a soma da série se ela convergir.
Nos Exercícios 27-34, use o teste do 11-ési1110 termo para divergência para mostrar que a série é divergente ou afinnar que o teste não
é conclusivo.
1. 2 + l3 + ~9 + i+···
+ 31121 + ···
27
°"
9
9
9
9
2· 100 + 1002 + -10_0_3 + ... + 100" + ...
3. i - 21 + .!. - s' + ... + <- t )"
4
i
t i + ...
~
'
~-
11(11
29. '~li + 4
5
l + 1 + 1 + .. ·+
1
+ .. .
. 2.3
3 .4
4 .s
(11 + 1)(11 + 2)
""
30. "~"
5
5
5
Séries com termos geométricos
Nos Exercícios 7-14, escreva os pri1neiros termos de cada série para
mostrar coa10 a série con1eça. Então, calcule a soma da séríe.
7· '~
oc
8.
:L :;r;
n• O e
n
1
11 ~ 1
00
34.
, li
:L
cos
n=O
/l'TT
Nos Exercícios 35-40, encontre u1ua fórnnlla para a 11-ésima so1na
parcial da série e use-a para determinar se a série converge ou diverge. Se a série converge. encontre a soma.
(1
l
)
3s. :L " - +
3
)
2: (311
+
oc
n-= 1
i
11
00
36.
2
(11
1)2
L°" (ln v;+i - ln \!,;)
n- 1
7
:L •4
Js.
li °'=' 1
L cig (11) - rg <11 - ,))
n~I
:Lc- 1)"~
4
,,
e"
""
32. :L ,, +
33. :L ln-;;
+3
Séries tetes<:óp;cas
37.
00
10.
1
00
11 - 111·
11 • 1
1
,, ~ z
.
9.
()() ( 5
1)
l I. .~ 2" + 3"
( - 1)"
4"
+ 1)
1
4. l - 2 + 4 - 8 + " · + (- 1)'r- 121r-I + · · ·
s
rt =
11~ 1 (11 + 2)(11 + 3)
oc
6• 1 . 2 + 2 ._,
~ + ~_, . 4 + . . . + llll
( + 1) + .. .
31. L cos;;
:L "
27. 11= 1 /1 + 10
28
1
00
,~ (cos- 1( 11 ~ 1) - cos- 11 ! 2 ))
4o. :L (v;;+4 - v;+J)
1
39.
1)
(
00
Nos Exercicios 15-18, determine se a série geon1étrica converge ou
diverge. Se a série converge. encontre sua soma.
(~)ª + (t)3 + (;)4 + ...
J S. 1 + (;) +
n• I
Enco111re a son1a de cada série nos Exercícios 41-48.
41
42.
17•
(i) + (i) + (i) + (i) + (t)s+ ···
IS. ( ~2 )
2
1
3
4
+ ( ~2 ) + ( ~2 )~ + ( ~2
)s+ ( ~2 )6 + ...
4
""
6
· 11- 1 (411 - 3)(411 + 1)
16. 1 + (-3) + (-3)2 + (-3)3 + (- 3)4 + ...
2
~
/~ {211 - 1)(211 + 1)
""
43. ""
~
4011
•
,
11 = l (211 - 1)-(211 + 1)-
44 ~ 2211 + 1 2
· . .. 111 (11 + 1)
4s
:L ( \!,;
' - y,;-+)
i
)
• n= 1
46.
ti°" ('
21 /11 -
1)
21/ltl+ l l
~
(
1
1
)
• 11-1
ln(11 + 2)
ln(n + 1)
47
Dízimas periódicas
Expresse cada um dos números nos Exercícios 19-26 como a razão
de dois inteiros.
19. 0,23 = 0,23 23 23...
20. 0,234 = 0,234 234 234 ...
21. o.7 = 0,1111 ...
22. O.d= 0,dddd...• onde d é um digíto
23. 0.06 = 0,06666...
24. 1.414= 1,414 4 14 414 ...
25. 1,24123 = 1.24 123 123 123...
26. 3, 142857 = 3.142857 142857 ...
48.
L1 (tg (11) - 1g· •c" + 1)>
1
n>=
Convergência ou divergência
Quais séries nos Exercícios 49-68 convergem? E quais divcrgc1n?
Jusrífique suas respostas. Se a série converge, calcule sua soma.
49.
50.
~ (
.~ V2
1 )"
52.
(X
"" (V2)"
:L
53,
ll'TT
n U
n• O
~
Sl.
L cos
12...
:L<
1>"
2"
n- 1
<>O
"" cos tl'TT
54. ~
5"
n=O
Capítulo 10 Sequências e séries infi nitas
55.
2: e
ou
L-
62.
L ln ~n
n- 1
63.
ou 2" + 3"
n~ 4n
64.
2n + 4"
n~ 3" + 4"
.,.
56.
n - 1 li!
00
51.
L~
oo
11 ~ 1
~ tn( : 1)
00
58.
82. (Co11ti1111t1çào do Exercício 81.) Você é capaz de fazer unia
série infinita de tcn11os diferentes de zero que convirja para
qualquer número que quiser? Explique.
11"
Z1t
u - f,
L ~·
,,-.o
X
lxl > 1
65.
11
n- 1
59.
"" 2" - 1
3"
,~1
66.
L 1n
,,=1 2n + 1
60.
L~ ( 1 - 1)"
67.
~ (~)"
/1
00
n= I
00
6 1.
L
00
11 =()
/1
(
)
/HT
68. n~ ~"
111
1000"
Séries geométricas com uma variãvel x
Em cada uma das séries gcon1étricas nos Exercícios 69-72, escreva
os primeiros tennos das séries para encontrar u e recalcule a soma
das s6ries. A seguir. expresse a desigualdade Ir 1< 1 c1n tcnnos de x
e encontre os valores de x para os quais a desigualdade é válida e a
• •
serie
converge.
71. ~3(x;
00
69. L (- 1)nxn
n=O
n=CI
l)n
n~o
Nos Exercícios 73-78. encontre os valores de x para os quais a série
geométrica dada converge. Encontre ta1nbém a soma da série (con10
uma função de x) para esses valores de x.
""
73. L 2"xn
00
76. ~ ( - -1)"(x - 3}"
'
li ~ 1)
L"" (- 1)"x-i.,,
,,. o
u
2:<-1>"cx
n=O
2
77. :L- sen" x
IX)
75.
1 + e1• + e2h + elh + ... = 9.
91. Para quais valores der a série infinita
-
2: (-1)"
,_ ( 3 + 1senx )"
12.
,, .. tl
li
83. Mostre com um cxen1plo que "í.(a,/b11 ) pode divergir mesmo
quando :í:a,, e '2:-b,, converge1n e neohun1 b11 se iguala a O.
84. Encontre séries geométricas A = Ia. e B = 'f..b11 que ilustrem
o fato de que "i.a,.bn pode convergir sen1 que seja igual a AB.
85. Mostre co1n uni exen1plo que 'Z..(an/b11 ) pode convergir para
algum número diferente de AIB mesmo quando A = ~a,,.
B = 'Lb11 :t; Oe nenhum b• se iguala a O.
86. Se 'Z..011 converge e a11 >O para todo 11, pode-se dizer algo sobre
'Z..( lia,,)? Justifique sua resposta.
87. O que acontece se você adicionar um número finito de tem1os
a uma série divergente ou reHrar um nún1ero finito de termos
de u1na série divergente? Justifique sua resposta.
88. Se "i.011 converge e "ibn diverge, pode-se dizer algo sobre sua
so1na tern10 a tern10 'L(a,. + h11)'! Justifique sua resposta.
89. Crie uma série geométrica Xai"- 1 que convirja ao nún1ero 5 se
a. a = 2
b. a= 13/2.
90. Encontre o valor de b para o qual
00
"" (- 1)"x2"
70. L
74.
21
converge? Encontre a soma da série quando ela converge.
92. Mostre que o erro (L - s11 ) obtido substituindo-se unia série
gconié1rica convergente con1 unia das son1as parciais s,, é
a1"/( I - r).
93. A figura abaixo 111ostra os prin1eiros cinco quadrados de uma
sequência. O quadrado externo ten1 u111a área de 4 1n2. Cada
um dos outros quadrados é obtido ligando-se os pontos médios
dos lados do quadrado anterior. Calcule a soma das áreas de
todos os quadrados.
""
78. L (lnx)"
+ 1)"
n=O
Teoria e exemplos
79. A série no Exercício 5 també1n pode ser escrita como
°"'
00
1
/~ -(,-1-+-1)-(,-,_+_2_)
1
n~I (11 + 3)(11 + 4) ·
e
94. Cu1-va do noco de neve de li elga von Koch
Escreva-a como uma soma começando co1n (a) 11 = -2. (b)
t1 = O. (e) t1 = 5.
80. A série no Exercício 6 també1n pode ser escrita como
oc
5
n~ 11(11 + l)
""
e
,$>("
5
+ J)(n+2)º
Escreva-a co1no uma soma começando com (a) 11 = - 1, (b) 11=3.
(c) 11 = 20.
81. Componha u1na série infinita de tern1os diferentes de zero cuja
soma seja
a. 1
b. - 3
e. O.
A curva do
floco de neve de 1-lelga von Koch é u1na curva de co1npritnento
infinito que engloba un1a região de área finita. Para entender
a razão disso, imagine que a curva é gerada a partir de um
triángulo equilátero cujos lados tên1 comprin1ento igual a 1.
a. Encontre o co1nprimento Ln da 11-ési1na curva C,, e mostre
que tinin-nc. Ln =oo.
b. Encontre a área A,, da região circundada por C,, e 111ostre
que limn-oc An = (8/5) A 1•
e,
-
e~
22 Cálculo
10.3
Teste da integral
Dada u1na série, queren1os saber se ela converge ou não. Nesta seção e nas próximas duas, estudaremos séries que não possuem tennos negativos. Tal série converge se sua sequência de somas parciais é limitada. Se es1abcleccrn1os que u1na
detem1inada série converge, geralmente não teremos uma fórn1ula disponível para
sua soma, de forma que investigrunos métodos para. e1n vez disso. aproxin1ar a soma.
Somas parciais crescentes
ln1agine que ~,, _ 1 a,, é u1na série infinita co1n a,,~ O para todo 11. Então, cada
tuna das soinas parciais é n1aior ou igual a seu predecessor porque s,,+1= s,, + a11 :
s 1 ss2 s s3 s ·· ·:Ss11 ss,,+1< ···.
Como as somas parciais formam uma sequência crescente, o teorema da sequência mono tônica (Teorema 6, Seção l 0.1) nos dá o seg11inte resultado.
Uma série L::°-i a11 de termos não negativos
converge se, e son1ente se, suas somas parciais são lin1itadas superiormente.
COROLÁRIO DO TEOREMA 6
EXEMPLO l
A série
é chan1ada série bartnônica. A série harn1ônica é divergente, mas isso não segue
o teste do 11-ésimo termo. O 11-ésimo tenno 1ln tende a zero, n1as. ainda assi1n, a
série diverge. O motivo pelo qual isso ocorre é porque não há li1nitante superior para
suas somas parciais. Para co1npreendcr a razão disso, agrupe os termos da série da
.
.
seguinte 111aneira:
1 + .!_ +
2
(.!.3 + l)
+ (.!.5 + .!_6 + .!_7 + l)
+ (.!.9 + _1
+ ... + _1
) + ...
4
8
10
16
.
-
1
~
1
~
> -2'..t
'
-;
A soma dos dois primeiros terrnos é 1,5. A soma dos dois tern1os seguintes é
113 + 1/4, que é maior que 1/4 + 1/4 = 1/2. A soma dos próximos quatro termos é
115 + 1/6 + 1/7 + 1/8, que é n1aior que 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 = 1/2. A soma dos oito
rennos seguintes é 1/9 + 1I1O+ 1I l 1 + 1I 12 + 1/ 13 + 1I14 + 1I 15 + 1/ 16, que é 1na ior
que 8/16 = 1/2. A so1na dos próxi1nos 16 termos é n1aior que 16/32 = 112, e assim
por diante. De n1aneira geral, a soma dos 211 termos tem1inados en1 l/2n+1é n1aior
que 2"/211+1 = 1/2. A sequência de son1as parciais não é limitada superiormente: Se
11 = 2k, a so1na parcial s,, é n1aior que k/2. A série hannônica diverge.
Teste da integral
Introduzimos agora o teste da integral co1n un1a série que está relacionada à
série harmônica, 111as cujo 11-ési1no tern10 é 1/112 e111 vez de l/n.
EXEMPLO 2
A série a seguir converge?
1
1
1
1
+ -++
+
···
+
+ ···
4
9
16
172
Capítulo 10 Sequências e séries infinitas
23
Solução Detern1inamos a convergência de L~ 1 (1 /11 2 ) através da comparação com
)'
f 1 ( l/x2) cl'C. Para efetuar a con1paração. pensamos nos termos da série co1no valores da função./'(x) = 1/x 2 e interpretamos esses valores como as áreas de retângulos
sob a curvay = l!x 2•
Con10 01ostTa a figura 10. 1O,
1--t ( l ,/ ( I )}
Grúlico de/(x) = -!,
X-
1
s = _!_+_1 +_!_+ ... + !
(2./(2))
12
12
n
22
32
f/2
= /(1) + /(2) + /(3) + ... + f(n)
l
,
n-
11 - 111 ...
J.
< +
A so1na das áreas dos
retângulos abaixo do gráfico de/(x) = l/x2
~ção
1 A-~~rie e a integral não prccisan1 ter
o n1es1no valor no caso convergente.
Conforme observan1os no Exen1plo 2.
2
L;:" 1( l / 112) = 7r . enquanto
00
< l +
FIGURA 10.10
é 1ncnor que a área abaixo do gráfico
(Exemplo 2).
!.
< /(1) +
(n. f (rl))
1
li
l
- 2 dx
Som.i <las :írca, <Ili rcl~m!!ulo rncn<•r
qu.: n :\1.:a ,,.,b o i:rallco.
X
, < r llt"lc/i
•
J1" 11,·J.!1
1
2 dx
X
("'"''na Sc-çJo x 7. 1 \1:111rlo l ,
/ '11 \' 21,i. - 1
1 = 2.
Então, as somas parciais de L~ 1 ( l/112) são limitadas superiormente (por 2) e
a série converge. A soma da série é conhecida por ser 7r 2/6 ~ 1.64493.
r TEOREMA 9 - Teste da integral Seja {an} uma sequência de tenl1os positivos. Suponha que a11 - fi.n), onde/é uma função continua, positiva e decrescente
de x para todox2: N (sendo Num inteiro positivo). Então, tanto a série L;::Na,,
quanto a integral .[fie;' j(x) dx sin1ultaneamente convergem ou divergen1.
6
Ji""(llx ) dx = 1.
2
f>rova Estabelecemos o teste para o caso de N = 1. A prova para N geral é similar.
Começan1os com a premissa de que/seja uma função decrescente comj'(n) =
a,, para todo 11. Isso nos leva a observar que os retângulos na Figura 10. 11 a, que tê111
áreas a" a2, ... , ªn• coletivamente englobarn 1nais área do que aquela sob a curva y =
f(x) de x = 1 a x = /1 + 1. Isto é,
J.
y
n+ I
f(x)dx < a 1 + a2 + · ·· + a,,.
Na Figura 10.1 1b, os retângulos fora1n virados para a esquerda en1 vez de para
a direita. Se por un1 moLnento desconsiderarmos o prin1eiro retângulo, de área a 1,
veremos que
"= /(x)
a2 + a3+ ··· + a,, s
"'
_ __.__....___.._ ___,_ _.__.._..__-+X
a,,
•
o
1
2
3
li
11 + 1
"
!.
f(x)dx.
Se incluí1nos a., te1nos
(a)
ai + c12 + · · · + Cl11 <a, + ]." f(x) dx.
Con1binando esses resultados, te1nos
J.
«n
1
-+-----~---~~---+ x
o
2
3
11 - 1 11
(b)
FIGURA 10.11 Sob as condições do teste
da integral. tanto a série :L,,_ 1a,, quanto
a integral J;""'(x) d_r: simultaneamente
convergem ou divcrgcn1.
n+ I
f(x) dx < a, + a2 + · · · + a,, s c1 1 +
1"
f(x) dx.
Essas desigualdades são verdadeiras para todo /1 e se mantêm verdadeiras à
n1edida que 11 -+ oo.
Se
f(x) dx é infinita, o lado direito da desigualdade mostra que 'La,, é finita.
00
Se
./'(x) dx é infinita, o lado esquerdo da desigualdade mostra que 'Lo,, é infi nita.
Consequentemente. a série e a integral são ambas finitas ou a1nbas infinitas.
.fi
.fi°º
24 Cálculo
EXEMPLO 3
Mostre que a série l'
(sendo p un1a constante real) converge se p > 1 e diverge se p s 1.
Solução Se p > 1. entàoj(x) = ! /.,~é uma função decrescente positiva dex. Como
1
1);)
1
li dr =
100
X
x P dx = lim
b-
1
1
1·1n1 (
1 - p b-oo
l
1- p
~
co
1 A sériep
1
2: -;
n = l li
converge se p > 1. diverge se p s 1.
X-p+ I ]h
[- p + l 1
1
bp- 1
(0 - 1) =
1 1'
p -
/-1"" 1 • -..: •1ua11do /> •
porque!' 1 li
a sé1ie converge pelo teste da integral . Enfatizamos que a soma da série p não é
1/(p - 1). A série converge, n1as não saben1os para qual valor.
Se p < 1, então 1 -p >O e
00
1
1
-1.dx
=
lun(b 1-P- t) =oo .
xP
1 - p b-+OO
A série diverge pelo teste da integral.
Se p = 1, temos a série harmônica (divergente)
1 + l2 + l+
3 ... + lli + ... .
Ten1os convergência para p > 1, mas divergência para todos os outros valores de p.
A série p corn p = 1 é a série ha rmônica (Exemplo 1). O teste da série p mostra
que a série hannônica é divergente por tnn rri:z; se autnentamos p para 1,000000001,
por exemplo. a série converge!
A lentidão con1 a qual as somas parciais da série harmônica se aproximan1 do
infinito é in1pressionante. Por exen1plo, serian1 necessários ruais de 178 tnilbões de
termos da série har1nônica para n1over as somas parciais alén1 de 20. (Veja tan1bém
o Exercício 43b.)
L:::'
2 + 1)) não é tnna série p. mas ela converge pelo
A série
1
/(11
(
1
teste da integral. A função j(x) = 1l(x2 + 1) é positiva, contínua e decrescente para
x:::::J,e
EXEMPLO 4
00
1
1
x2
+ 1
dx =
=
li1n [ arctgx ]~
b-+
li1n [arctgb - arctg 1)
b-+OV
7T
7T
7T
=- - - - = 2
4
4.
Mais un1a vez, enfatizan1os que 7T/4 não é a soma da série. A série converge,
mas não sabemos o valor de sua soma.
Estimativa de erro
Se uma série Ia,, se n1ostra convergente pelo teste da integral. poderíamos esti1nar
o tan1anho do resto R,, entre a soma total S da série e sua 11-ésirna soma parcial s,,.
Ou seja, desejarnos estimar
R,, = S- s" = 0 1.+1 + ªn+2 + ªn+3 + ···
Capítulo 10 Sequências e séries infinitas
25
Para obtennos un1 limitante inferior para o resto, co111paramos a son1a das
áreas dos retângulos co1n a área sob a curva y = f(x) para x ~ n (veja a Figura
10.11 a). Ve1nos que
f f(x) dx.
ln~I
R,, = a,,+1 + a,,+1 + a,,+3 + · · · >
00
De nianeira semelhante, a partir da Figura l 0.1 l b, encontTa1nos w11 li1nitante
.
supenor co1n
l
R,, = a11 + 1 + a11 +2 + an+J + · · · <
f(x) dx.
li
Essas co1nparaçôes provam o resultado a seguir fornecendo limitantes para o
tan1anho do resto.
Limitantes para o resto no teste da integral
Va1nos supor que {ak} seja uma sequência de tcm1os positivos co1n a~ = f(k),
onde/é uma função contínua, positiva e decrescente de x para todo x ~ n, e que
~ª" converge para S. Então, o resto R,, = S-s,, satisfaz as desigualdades
1
f(x) dx :::; R,, s
+I
1
f(x) dx.
(1)
n
Se adicionarmos a soma parcial s,, para cada lado das desigualdades cm ( l ),
Lere1nos
1
00
s,, +
11+ 1
1
00
f(x) dx :::; S s s,, +
f(x) dx
(2)
li
pois s,, + R11 = S. As desigualdades en1 (2) são úteis para estimar o erro na aproximação da soma de uma série convergente. O erro não pode ser n1aior que o comprimento do intervalo contendo S, confonne dado por (2).
EXEMPLO 5
e11= 10.
Calcule a soma da série }:(J/112) utilizando as desigualdades em (2)
Solução Temos que
00
1
J_dx = lim [-~]" = lirn
x2
b-
J: n
b-+OO
(-J.b. + .!.) = J..
ti
11
Utilizando esse resultado com as desigualdades em (2). teremos
l
S10
1
+ TT < s < SJQ + Tõ·
Ton1ando s 10 = l + ( 1/4) + ( 1/9) + ( l/ 16) + .. · + ( 1/ J00):::::: 1,54977, essas últin1as desigualdades fornecen1
l ,64068 $
s $ 1,64997.
Se aproximarn1os a sorna S pelo ponto n1édio desse intervaJo. descobrimos que
~ -1i ~ 1,6453.
n=I 11
O erro nessa aproxímação é menor que a metade do comprimento do intervalo,
portanto o erro é 1nenor que 0,005.
26
Cálculo
Exercidos 10.3
Aplicando o teste da integral
Teoria e exemplos
Use o teste da integral para deterrninar se as séries nos Exercícios
1-1 Oconverge1n ou diverge1n. Cerii fique-se de que as condições do
teste da integral sejam satisfeitas.
Para quais valores de a, se houver algun1. as séries nos Exercícios
41 e 42 convergem?
eo
6.
2
""
·
3.
4
1
.~ 11º·2
1
,
n=2 11 ln 11 )-
1
2,I ( li +" 2
,, + 4
11 •
~(
1
)
00
42.
n-1 li "
43. a. Dc.senhe ilustr.ições como as das Figuras 1O.7 e 10.8 para
:L , ,,+ 4
11 ~ 3
11 -
1 - n "'
+ 1)
mostrar que as somas parciais da série bannónica satisfaz
as desigualdades
1
:L , + 4
n•I li"
""
•
1.
:L <
4 1.
li
J
ln (11 + 1) =
1
,f.t +
ll + 1 1
4
1
1
xrli: < 1 + 2 + ·· · + ;;
:S 1 +
!.
n 1
-;dx = 1 + ln11 .
•
10.
Db. Não existe absolutamente nenhuma evidência cn1pírica
para a divergência da série harmónica. n1es1no que saiban1os que ela diverge. As so1nas parciais simplesn1ente
Determinando convergência ou divergência
aumentam muito lentamente. Para compreender o que esQuais das séries nos Exercicios 11-40 converge1n? E quais divertamos dizendo, suponha que você tenha con1eçado com
gem? Justifique suas respostas. (Quando estiver checando uma
s 1 = 1 no dia ern que o universo foi criado, 13 bilhões de
resposta, lembre-se de que pode existir mais de uma forma para
anos atrás, e adicionado un1 novo tern10 a cada segundo.
detenninar a convergência ou divergência da série.)
Quão grande aproximada1nente a soma parcial s,, seria
°"
1
""
1
hoje. considerando um ano con1 365 dias?
23. 2, - 2
11 . 2, - ,,
17.
..
8
n=O li + 1
11=1 10
11=1
44. Existe algu rn valor de x para o qual L:: i ( l/(nx)) converge?
:).;
Justifique sua resposta.
00
-8
i
12. 2, e-"
18.
24. 2,
45. É verdade que, se L:::°=i an é uma série divergente de números
f1
n =I 211 - 1
,. , 1
n2 I
positivos. também existe uma série divergente
1 b,, de nú«>
meros positivos com b,, <a,, para cada 11? Existe uma "menor''
°"
2,
2n
2,
ln
11
li
25.
13.
19.
série divergente de números positivos? Justifique suas resposli
1
n-1 11 + 1
· - · li +
n-2
tas.
00
00
46. (Co11ti1111ar;ào do Exercício 45.) Existe un1a "maior'' série conlnn
i
26. 2,
14. 2, 5
20.
vergente de nún1eros positivos? Explique.
n : 1 11 +
li l Vn(
+ 1)
n=2 Vn
L --
2:
L::'
2:
L
00
]s. 2, 3
""' Vn
00
16.
J:
~
3 1. ,,e.,,
22.
5"
l
36.
(ln 3 )"
(l/ 11)
2
n~1 11(I + ln 11)
n•I
1
2, "sen n
e"
,e.,, l + e 21'
n•I
"" ""
~ _..;;;;..2_
47.
L::;" 1 { l /( v;;-+l)) diverge
a. Use o gráfico a seguir para mostrar que a so111a parcial
sso = L;,~ 1 ( I / (v;+I)) satisfaz
i
SI
J,50
- - - dx < sso <
1
v.;-+T
l
() v.;-+T
dx.
Conclua que 11,5 < s50 < 12,3.
y
,,e.,, 1 +e"
n-1
8 tg 1 li
,
37.
l + 11 ·
1
j(,T) = • ~
vx + 1
38.
1 1
"" sechn
39. 2,
o
...
1
2 3 4 5 ... 48495051
n= 1
n-1
34.
• ., 2 ln 11
"" ( 1 + ,,1)"
28. 2,
2, 4" + 3
•"' 1
35.
"°
1
32. 2,---2
33.
~ Vn
27.
00
1
11-J (lnn)YLn 11 - 1
00
2"
2,
11-1 3"
DO
~ (ln 2)"
00
30.
-2
...2,1llv;;
"O
29.
2 1.
v;;
40.
"" scch1 11
2,
n- 1
b. Qual deveria ser n para que a soma parcial
sn = 2:7- 1{t/ (Vf+l))satisfaças,, > 1000?
Capítulo 10 Sequências e séries infinitas
48. L~ 1 (l / 114) converge
a. Use o gráfico a seguir para determinar o erro se s 30 =
}:?,~ 1 ( l /114) é utilizado para estimar o valor de L::C:- 1( l /114).
ª· 2:
/(x) = -
1
O(>
"Ó
,~ n(ln 11)1.01
1
1
31
' 3
11=2 11(ln li )
32
1
l +2 +··· +/1
-+-~-~-~-~-~-+x
30
2:
d.
57. Constante de Euler Gráficos como aqueles na Figura 10.1 1
sugerc1n que, conforme n aun1enta, existe uma pequena alteração na diferença entre a son1a
x4
29
1
e. ~ 11 ln(11 3)
i
n•2 11( ln TI)
b.
y
QO
27
3J
e a integral
b. Encontre 11 de forma que a soma parcial s11 = L;'-
estime o valor de
0,000001.
1
11
1
1 ( 1ft )
ln 11 =
L:;: 1 (l/114) com un1 erro de no n1áxin10
-;;1 tix .
49. Calcule o valor de 2::;':. 1 ( l /113) co1n precisão de O.O 1 de seu
valor exato.
Para explorar essa ideia. siga os passos a seguir.
a. Tomandof(x) = l lx na prova do Teorema 9, mostre que
50. Calcule o valor de L~ 2 ( l/(11 4 + 4 )) com precisão de O, 1 de
seu valor exato.
51 . Quantos tcn11os da série convergente L:~ 1 (l / 111. 1) devem
ser ucilizados para es1i111ar seu valor com erro de no 1náxilno
0.00001?
52. Quantos termos da série convergente :Z::"=1 ( l/11(ln 11)3) deve111 ser
utilizados para estimar seu valor con1 erro de no n1áximo 0,01?
53. Teste de condensação de Cauchy O teste de condensação
de Cauchy diz: seja {a.} tuna sequência decrescente (a112::::a11.._1
para todo 11) de tem1os positivos que converge para O. Então
Ia converge se, e somente se. I2 11a,.
converge. Por exen1plo.
I( l/11) diverge porque ~2" • ( 112") = I 1 diverge. f\llostre por
que esse teste funciona.
54. Use o teste de condensação de Cauchy do Exercício 53 para
mostrar que
ln (11 + 1) s l + -+···
+ -li s 1 + ln 11
2
.
1
diverge:
n -2 11 1n11
a. _2:
.
1
b. _2: -;; converge se p > 1 e diverge se p s 1.
n• l 11
roo x {ldxnx)P (sendo puma constante positiva)
}2
converge se, e son1entc se, p > 1•
b. Que implicação o fato do ite1n (a) tem sobre a convergência
da série
1
À n(ln n)P?
Justifique sua resposta.
56. (Co111í1111açiio do Exercício 55.) Use o resultado do Exercício
55 para determinar quais das séries a seguir convergem e quais
divergem. Justifique a sua resposta em cada caso.
10.4
1
ou
O < ln (11 + 1) - Ln /1 :S 1
Portanto, a sequência
1
a" = ! +-21 + ···+-ln 11
li
é limitada inferior e superiormente.
b. Mostre que
1
+l <
11
l n+I
n
1
x cbc = ln (11 + 1) - ln 11.
e use esse resultado para 1nostrar que a sequência {a,, f no
itc111 (a) é decrescente.
Como uma sequência decrescente limitada inferiormente
converge, os nún1eros a,, definidos no ite1n (a) convergem:
1
1
1 + 2 + · · · + li - ln 11 __.,. y .
55. Série p logarítn1ica
a. !Vlostre que a integral i1npr6pria
00
1
O número y. cujo valor é 0,5772...• é chan1ado de co11s1a111e
de Euler.
58. Use o teste da integral para mostrar que a série
converge.
59. a. Para a série ~( l/113), use as desigualdades na Equação 2
com /1 = 1Opara encontrar um intervalo contendo a soma S.
b. Co1no no Excn1plo 5. use o ponto 1nédio do intervalo encontrado no item (a) para aproxin1ar a son1a da série. Qual
é o erro máximo para sua aproxúnação?
60. Repita o Exercício 59 utilizando a série ~( 1/n4 ) .
Testes de comparação
Vi1nos co1no deterrninar a convergência de séries geométricas, p séries e algun1as outras séries. Poden1os testar a convergência de muitas outras séries co1nparando seus termos àqueles de uma série cuja convergência seja conhecida.
28 Cálculo
TEOREMA 10 - Teste da comparação Sejam 'La,,, Lc,, e 'Ld,, séries com
termos não negativos. Suponha que para algum inteiro N
d11 <an < en
para todo
n > N.
(a) Se LC,, converge, então 'La,, ta1nbém converge.
(b) Se 2.d,, diverge, então La,, tan1bém diverge.
Prova
y
No icen1 (a), as sornas parciais de LC/11 são limitadas superiormente por
00
~
Nl = ar + a2 + · · · + a,v +
e,,.
11 = N+ I
Se a área torai Lc,, dos
retângulos rnais altos e,, for finita, então
FIGURA 10.12
da rncsma forn1a é a área total :i.n,, dos
retã11guJos n1ais baixos
ªn·
Portanto, elas forrnarn un1a sequência crescente com urn lin1ite l < lvt. Ou seja,
se Lc,, converge, então 2.a,, tan1bén1 converge. A Figura 10.12 retrata esse resultado,
onde cada termo de cada série é interpretado como a área de un1 retângulo (da mesma forma que fizemos para o teste da integral na Figura 10.1 l ).
No itetn (b), as somas parciais de 'f.a11 não são li1nitadas superior111ente. Se elas
fossem, as somas parciais para 'i.d,, serirun limitadas por
M• = d1 + d2 + · · · + dN + ~ a,,
11=N+ l
e 'i.d,, teria de convergir em vez de divergir.
EXEM PlO 1 Aplicamos o Teorema 1Opara diversas séries.
(a) A série
2:
5
11= I 511 - 1
diverge porque seu n-ésirno termo
l
5
5n - 1
li -
1
1 > íi
-
5
é rnaior que o 11-ésimo termo da série harmônica divergente.
(b) A série
~l..
=
1 +l.. + l..+l.. + ···
11- 0 11!
1!
2!
3!
BroGRAJ·L\ 1-0STÓRlCA
Alberto da Saxônia
(1316-1390)
converge porque seus termos são todos positivos e menores ou iguais aos termos correspondentes de
00
1
1 + 2: -;;
= 1+1 + -1 + 21 +· ...
11= 0 2
2
2
A série geométrica à esquerda converge e temos
1
CV
1+
1
,ft, 2-i = 1 + 1 - ( 1/ 2) = 3 .
O fato de 3 ser u1n lirnitante superior para as son1as parciais de L,,=o (l/n!)
não significa que a série convirja para 3. Confom1e veren1os na Seção 1O.9, a série
converge para e.
(e) A série
+
1
2 +
Vt
+
1
4 +
v'2
+
1
8 + ·\/3
+· ·· +
1
2" + Vri
+ .. .
converge. Para vermos isso, ignoramos os três prin1eiros tennos e comparan1os os
termos remanescentes co1n aqueles da série geornétrica convergente L~ 0 ( 1/2").
Capítulo 10 Sequências e séries infinitas
29
O tern10 1/(211 + -y';;) da sequência truncada é menor que o termo correspondente l /2" da série geométrica. Vcn1os que, tem10 a termo, tc1nos a con1paração
l +
1
+
2+\/Í
1
+
4 +v2
1
8 + v'.3
1
1
1
+ ···s; I +-+-+-+···
2
4
8
Assim, a série truncada e a série original convergetn por un1a aplicação do teste
da comparação.
Teste de comparação no lim;te
lntroduzire1nos agora wn teste de co1nparaçâo que é particulannente útil para
as séries nas quais a,, é u1na função racional de n.
TEOREMA 11 - Teste de comparação no limite Suponha que a,, > O e
b11 > Opara todo n > N (sendo Num inteiro positivo).
1. Se ,,~~~ =e> O. então tanto "f.a,, quanto 'Lb11 convergem ou divergem.
2. Se lin1 -bª" = Oe "2b,, converge, então 'La,, converge.
11-+00
11
3. Se lin1 -bª" = oo e "f.b,, diverge, então ~a,, diverge.
11-+00
PTova
li
Provare1nos a parte 1. As partes 2 e 3 foram deixadas para os Exercícios 55a e b.
Con10 c/2 > O. existe um inteiro N tal que. para todo 11,
Dei rn1\ão Jc hrnrt~
t.:(•111 f.
' 2.. 1 =' e ''n
a,,
- - e
n> N =
b,,
,ub,1it1111.lu 111•r 11 /t~
Então, para 11 > N.
e
a,,
- 2 < b,. -
e
C'
< 2'
e < ª" < 3c
2
b,,
2 '
(~)b,, < a,, < (1f )b,,.
Se "f.b11 converge, então "f.(3c/2)b,, converge e La,, converge pelo teste da comparação direta. Se 'Lb11 diverge, então 'L(c/2)b,, diverge e 2.a11 diverge pelo teste da
comparação direta.
EXEMPLO 2
Quais das séries a seguir convcrgen1? E quais divergem?
00
a
l + 1 + ]_ + _2._ + ... = L 211 + 12 = L
( ) 4
9
16
25
1t= 1 (11
+ 1)
n= 1 11 2
2n + 1
+ 211 + 1
~
1
(b) 1 + 3 + 7 + i5 + ... = .?..J 2" - l
1
1
1
1
i1 •
I
00
(e) 1 + 2 ln 2 + 1 + 3 ln 3 + 1 + 4 ln 4 + ... = 2: 1 + n 1n 11
2
14
21
9
f1 =2 11 + 5
30
Cálculo
Solução Aplican1os o teste de comparação no lin1ite para cada série.
(a) Seja (J" = (211 + 1)/(112 +211 + 1) . Para 11 grande. esperamos que a,, se comporte
como 2nln 2 = 2111, já que os tennos principais domina1n para n grande. assim
ton1a1nos b,, = lln. Como
00
°" t .
11= 1
11 = 1
_L b,, = .L ndiverge
e
.
a,,
hm -
,, ...oo b,,
.
2n 2 + 11
= lln1 -~---'"~
= 2
2
+ 211 + 1
11->00 11
'
~a,, diverge pela parte l do teste de comparação no limite. Poderia1nos também
ter tomado b11 = 2/n, mas l/11 é mais sitnples.
(b) Seja a,, = 1/(2" - 1). Para" grande. esperan1os que a11 se comporte como 1/2",
assitn tomamos b11 = 112". Como
l
,L b,, = ,L -2,, converge
n=I
11=1
00
e
. a,,
.
)1m
-b = 11111
11 -
2"
,,
n --+ 00 2 -
oo ,,
1
1
= lim --'---11--00 1 ( l / 2")
= I,
~a,, converge pela parte 1 do teste de comparação no lin1ite.
(c) Seja a,, = ( 1 + 11 ln 11)/(n 2 + 5). Para 11 grande, cspera1nos que a11 se compone
co1no (11ln11)/112 =(ln T1)!11, que é maior que l /11 para n ;::: 3, portanto dcfinitnos
que b,, = 1/n. Con10
e
. a,,
. /1 + 11 2 lnn
11111 -b = 1un
11~00 n
11~00 n 2 + 5
=00
,
~0 11 diverge pela parte 3 do teste de comparação no liJnite.
EXEMPLO 3
"" lnn converge?
_L
,, = J 11
312
Solução Como ln n cresce mais lentan1ente que 11" para qualquer constante positiva
e (Seção 10.1, Exercício 105), podemos con1parar a série a uma série p convergente.
Para to1nam1os a série p, vemos que
lnn
n•/4
1
113/2
113/2
li 5/4
-- < --
para /1 suficientemente grande. Então, tomando 0 11 = (ln 11)/113'2 e b,, = 1111514, ten1os
.
ln n
. a,,
11m - = 11m
11
-oo b,,
11
_.oo 11 1/ 4
1/ f1
= lim
,,__ ( 1/ 4)11- 3/4
=
lim ;/4 = O.
n-= n
Con10 'Lb11 = '2:( l / 11514 ) é uma série p com p > 1, ela converge, de fonna que 2:a,,
converge pela parte 2 do teste de comparação no ü1nite.
Capítulo 10 Sequências e séries infinitas
31
Exerácios 10.4
00
Teste da comparação
37.
Nos Exercícios 1-8. utilize o teste da con1par<1ção para detenninar se
cada uma das séries converge ou diverge.
2
OI.
1
cos n
s. 11•1
l. ~ 11 2 + 30
f 113/2
""
2. :L /1 - 1
n 1 11
4
6. :L 11~ 11
2:
n-2
2:
J"
l
n• 1
2: 2 + 1 . J_
li
42.
+ 311 511
112"
~
ln ( ~ 1)
n=
1
11
n~ l
43. "" 1
2: -
2: jffi
+4
8. ~ v;; + 1
1
7.
Vn -
n= l
00
4.
2:
n-1 11
"O
3.
2: 3" + 4"
•-1
""
41. 2: 2· - 11
"° 3n- I + 1
11•
39.
00
+ 2
38.
2" + 3"
40.
2
n=2 11 · - n
11, +
11
11=1
11 =2 li!
4
(Sugestão: niosLre prin1eiro que ( l/11!) s ( l/11(11 - 1)) para 11 a: 2.)
w+3
2: e,, - 1) t
44.
1
~
tg11
47.
50.
45.
48.
51.
46.
49.
52.
11-I (11
+ 2)!
n-1
,,1 .1
Teste de comparação no Limite
Nos Excrcicios 9- 16. utilize o teste de comparação no limite para
dcrenninar se cada unia das séries converge ou diverge.
""'
11 -
2
9. 11~
3
2 + 3
= 1 /1 - n
(Sugestão: con1par.ição no lin1ite com L,,m1 ( l/1i2).)
1o.
00
2: r;;+I"
53.
n=l v~
2: - - - n~I 1 + 2 + 3 + · · · +
/1
""
1
54. fr.
-1-+_2_2_+_3_1_+_·.-.-+-11-2
(Sugestão: con1paração no lin1ite co111L::"= 1 ( 1/ \1,;).)
~
~
+ 1)
11( 11
13' 11= 1 -./,; 411
l I. n-2 (11 2 + 1)(11 - 1)
12.
"'2"
L
11 - 13 + 4
14.
11
L (211 + 3 )n
11=1
2:
11 1 1n n
limite.
511 + 4
56. Se L:;': 1 a,, é uma série convergente de nínncros não negativos,
algo pode ser dito sobre }::,. 1 (a,,/11)? Explique.
~
(Sugestão: comparação no Lin1ite coo1
16.
55. Prove (a) a parte 2 e (b) a parte 3 do teste de co111paração no
1
00
IS.
Teoria e exemplos
5"
~ 1n(1 + J,)
11 -
11 = 1
(Sugesrão: coo1paraçào no liJnite com
L:-_ 2 ( l/11).)
57. Suponha que a,, > O e h,, > O para 11 > N (N un1 inteiro). Se
lim11 _."" (a,/h,,) = oo e ÜJ11 co11vergem, algo pode ser dito sobre
l.b,,? Justifique sua resposta.
L:= 1 ( \/112).)
58. Prove que, se 'S;a,, é uma série convergente de tennos não negativos, então "E.a,,2 converge.
Determinando convergência ou divergência
59. Suponha que a,, > Oe Lin1 a,, =oo. Prove que Ia,, diverge.
Quais das séries nos Exercicios 17-54 convergem? E quais di vergen1? Utilize qualquer método e justifique suas respostas.
00
1
00
2
00
2
""
17. ""'
~ . r
.1r 19. ""
~ sen
2" 11
2J. ~
3/1 11 1
60. Suponha que a,,> Oe ~m n2a,, = O. Prove que l.a,, converge.
11
2
1 2V11
....
+ >!t11
3
18. ,~li + V,,
23. 2:
00
25.
20.
li
)(11 + 2)
)"
"°
J
:L
-;::::::=
11 e 1 vn 3 + 2
1
00
27.
2:--
11 -J ln (ln 11)
">
28.
2:
".:r.
1
(ln 11)2
3
''
11 2
11-) 11
1
00
29.
30.
li
24. ~
1
11
26.
"" 1 + cos
2:
n- 1
~1 311 + 1
(
n= l
n- 1
1011 + 1
11 - 1 11(11 +
,,~oo
2: -'---
n :2 \{,;ln 11
oo (ln" )2
~ 113/Z
'"(!
31.
2:--
11=11 + ln n
~ ln (11 + 1)
32. ~
1
n =2
li
+
22.
-
"" 11+1
2:
11 00
61. Mostre que :L~= l ((ln n'flhf' ) converge parc1 -oo<q <oo cp > 1.
(Sugestão: con1pnração no limite com 1:;:" 2 l/11' para 1 < r < p.)
62. (Co11ti11uação do Exercício 61.) Mostre que L :
diverge para - oo < q < oo e O< p < 1. (Sugestão: con1paraçào
no li1nile co111 unia série p apropriada.)
n- 1 11l Vn
5n
2( 11 -
3
-
311
2)(11
2
+ 5)
1
00
~,,w-=t
34. ~ v;;
Nos Exercícios 63-68. use os resul tados dos Exercícios 61 e 62 para
determinar se cada uma das séries converge ou diverge.
33.
n• 1 11
2
"" (ln /1 ) 3
63.
2:
11=2
11
4
66.
00
2:
(ln 11) l/S
ow
n=2
11 •
co
1
+1
00
"" 1 - n
35. ~
i ((ln 11)'1/nP)
64.
67.
n2"
°" (ln 11) 1000
2:
65•
n-l
1 001
li '
68.
2:
n=Z ~
32
Cálculo
70. a. Use o Teorema 8 para n1os1rar que
USO DO COMPUTADOR
69. Não se sabe ainda se a série
S=
1
2:1 " J sen2 11
11=
converge ou diverge. Use utn SAC (sistcn1a algébrico computacional) para explorar o comportamento da série seguindo as
etapas a seguir.
a. Defina a sequência de somas parciais
+
1
'~ 11(11 + 1) ~
L 3scn1> •
n
nwl li
O que acontece quando você tenta encontrar o limite de sk
quando k-> oo? Seu SAC encontra uma resposta na fonna
fechada para esse li1nite?
b. Represente grafiean1ente os 100 pri1neiros pontos (k. s*)
para a sequência de somas parciais. Eles parecen1 convergir? Qual seria a estimativa do lin1ite?
e. Em seguida. represente os 200 pritnciros pontos (k. sk).
Discuta o con1por1a1nento com suas próprias palavras.
d. Represente grafican1entc os 400 pri1neiros pontos (k. sk).
O que acontece quando k = 355? Calcule o número 355/ 113.
Explique a partir de seu cálculo o que aconteceu quando
k = 355. Para quais valores de k você acha que esse comportamento poderia ocorrer novamente?
10.5
(
_!_ _
11 2
1
11(11
+ 1)
)
onde S = L~ 1 ( 1/ n 2). a son1a de utna série p convergente.
b. A partir do Exen1plo 5, Seção 10.2. niostrc que
«!
S=l+ L
1
,,=1 li 2(11 + 1)
k
Sk =
00
•
e. Explique por que lon1ar os prin1ciros M tern1os na série no
ite1n (b) nos dá uma 1nelhor aproxi111ação de S do que to111ar
2
os primeiros A1 termos na série original
1 ( 1/n ).
d. O valor exato de Sé conhecido co1no sendo 7r2/6. Qual das
somas
:L;
ººº _2_1__
2: ,.1 ou 1 + 12:
l 000000
11 • 1
ir
n - 1 li (11
+ 1)
nos dá unia nielhor aproxin1açào de S?
Testes da razão e da raiz
O teste da razão mede a taxa de crescimento (ou decrescimento) de uma série
examinando a razão a,,.../a,,. Para a série geon1étrica -:iar', essa taxa é uma constante
((ar 1.+1)/(a1J1) = r), e a série converge se, e somente se, sua razão é menor que 1 e1n
vaJor absoluto. O teste da razão é u111a regra poderosa que estende esse resultado.
TEOREMA 12 - Teste da razão
suponha que
Seja -:ia,, u1na série com termos positivos e
.
On + I
0n
11-+00
l un
= p.
Então, (a) a série converge se p < 1, (b) a série diverge se p > 1 ou pé infinito,
(e) o teste é i11concludenre se p = 1.
Prova
(a) p < 1. Seja r u1n nún1ero entre p e 1. Então o nún1ero e = r - p é positivo.
Como
On +l
a,, -
p,
a,,+/a 11 deve estar a menos de e de p quando n é grande o suficiente, digamos
para todo 11 > N. En1 particular,
011+ 1
a,,- < p + e = r' quando /1 ~ N.
Capítulo 10 Sequências e séries infinitas
33
Ou seja,
ªN + I < raN.
< r 2a,, ,
3
ªN+ 3 < raN+i < r a,v,
ªN+2 < raN+I
a,v+m < raN+m-1 < r"'a,v.
Essas desigualdades mostrarn que os termos de nossa série, depois do N-ésin10 tern10,
se aproximam de zero 1nais rapida1nente que os tennos em unia série geométrica com
razão r < l. Mais precisamente, considere a série !cn, onde e,,= a,, para n = 1. 2, ... , N
ec,v·H=raN' c11'+ 2 =12 a"~ .... cN~111 = 1Jl'a_,.,, .... Agora a,, :scn para todo /1 e
00
2
:Z: c,, = a 1 + a2 + · · · + ª N-1 + a.v + ra,v + r a"· + · · ·
11 = 1
=a i +a2+···+aN- 1 +a.v( I +r+r2 +···).
A série geométrica 1 + r + 12 + ... converge porque lrl < 1, de fonna que Lc,, conver-
ge. Como a,, :5 e,,, Lan també111 converge.
(b) 1 <psoo. A partir de algum índice M,
a,,+1 > 1
a,,
e
ªAI
< a,w+ 1 < G\f+2 < ....
Os terinos da série não se aproxi1na1n de zero quando 11 tende a infinito, e a série
diverge pelo teste do 11-ésirno termo.
(e) p = 1. As duas séries
e
mostram que algum outro teste para convergência deve ser utilizado quando p = 1.
~ .!.. a11 + 1 _ l/(11 + l ) _
Para nk.J
li .
=I
Para
a11
1/ /1
-
11
- '' + 1 ~ l .
L ~: a,,+1 = l/(11 + 1)2 = ( n
nz (
li
a,,
l / 112
/1
)2 ~ 12 = l.
+1
Em a1nbos os casos, p = 1, mas a pri1ncira série diverge. enquanto a segunda converge.
O teste da razão é frequent·en1e11te eficaz quando os termos de uma série contêm fatoriais de expressões envolvendo 11 ou expressões elevadas a uma potência
envolvendo 11.
EXEMPLO 1
(a)
,,2ti
Investigue a convergência das séries a seguir.
211 + 5
3"
(2n )!
00 411 11
<e> 2:
(b ) n~ 11!11!
n.11 .
11=1 (211)!
Solução Aplicamos o teste da razão para cada uma das séries.
(a) Para a série :L:-o (2" + 5)/3",
2
(2
ª11+1 = c2n+( + 5)/3/ITl = .!. • 11 +1 + 5 = l . + 5 . 2- n) 1. .1 = l
a,,
(2 + 5)/3"
3
2" + 5
3
1 + 5 · 2-n - 3 1 3 ·
11
A série converge porque p = 2/3 é menor que 1. Isso 11ão significa que 2/3 seja a
soma da série. Na verdade,
1
+ - - 5 - - = 11
- (2/3)
- ( 1/ 3)
2 .
34 Cálculo
(211)!
(b) Se a,, =
, entao a11 + 1
1 1
n.n.
(211 + 2)!
(n + l )!(n + I)! e
11!11!(211 + 2)(211 + 1)(211)!
(11+l)!(11+1)!(211)!
Dn+ I
a,,
=
(211 + 2)(211 + 1)
411 + 2
=
(n + 1)(n + 1)
/1
+ l -4 ·
A série diverge porque p = 4 é maior que 1.
(e) Se a,, = 4"11!11!/(211)!, então
4"+ 1{11 + 1)!{11 + I)!
. (211)!
{211 + 2)(211 + l )t2n)! 4 1111!11!
a 11 +1
a,.
4(11 + 1)(11 + 1)
2(11 + 1)
- ------- =
(2n + 2)(211 + l)
211 + 1
1
•
Como o linúte é p = 1, nâo podemos decidir a partir do leste da razão se a série
converge. Quando notamos que an+ 11a,, = (2n + 2)/(211 + 1), concluí1nos que
a,r+i é sempre maior que a,, porque (211 + 2)/(211 + l) é sempre maior que 1.
Portanto, todos os termos são 1naiorcs ou iguais a a1=2, e o n-ésimo termo não
se aproxima de zero quando 11 - oo. A série diverge.
Teste da raiz
Os testes de convergência vistos até agora para 'La,, funcionain 1nclhor quat1do
a fórmula para a,, é relativamente sitnples. No entanto, considere a série com os
termos
•
n 11npar
n par.
Para investigar a convergência escreven1os diversos tennos da série:
~a = J_ + J_ + ]_ + J_ + l_ + J_ + ]_ + ...
11=' ,,
2'
22
1
1
2~
23
3
1
2s
5
26
27
1
7
= 2 + 4 + 8 + T6 + 32 + 64 + 128 + ...
Claran1ente, não se trata de uma série geon1étrica. O 11-ési1no tem10 se aproxima de zero à medida que /1 --+ oo, de forma que o teste do 11-ésimo tern10 não nos
diz se a série diverge. O teste da integral não parece muito promissor. O teste da
raiz produz
On + I
ª11
1
211'
li
•
11 unpar
+
2
'
11 par.
À medida que 11--+ oo, a razão é alternativa1nente pequena e grande, e não possui limite. No entanto, veremos que o teste a seguir estabelece que a série converge.
TEOREMA 13 - Teste da raiz
suponha que
Seja ~a,, uma série co111 an 2 O para /1 2 N, e
. .11/
1un V a,, = p.
,,_,.oo
Então (a) a série co1n1erge se p < 1, (b) a série diverge se p > 1 ou pé infinito.
(e) o teste é i11conc/11dente se p = 1.
Capítulo 10 Sequências e séries infinitas
35
Prova
(a) p < 1. Selecione um e > O pequeno o suficiente para que p + e < 1. Como
%;; - p, os termos -ef;, finalmente se aproximam de p a menos de e. Em
outras palavras, existe um índice !vi ?::N tal que
%,,< p+e
quando 11 > M.
Portanto, també1n é verdade que
ªn < (p + e)"
para 11 > Nf.
Agora, .L~ ilf (p + e)", un1a série geon1étrica co1n razão (p + e) < 1, converge.
Por coo1paração, 2,,,=J\t a,, converge, o que nos leva a concluir que
00
00
í:a,, =
11- I
+ · · · + ª"''-' + 11=AI
L ª"
ª1
converge.
(b) 1 < p :Soo. Para todos os índices além de algun1 inteiro !vi, temos %,, > 1,
de forn1a que a,, > 1 para 11 > M. Os termos da série não convergen1 para zero.
A série diverge pelo teste do 11-ésimo tern10.
2
(e) p = l . As séries 2,~ 1 ( 1/11) e
1 ( 1/11 ) n10StTam que o teste é inconcludente
quando p = 1. A pri1neira série diverge c a segunda converge, mas cm ambos
os casos %,, - J.
.L::°
EXEMPL02
Considere novamente a série con1 os tem1osa,, = {
11/ 2"'
1/ 2".
11 í1npar
11 par.
2.a11 converge?
Solução Aplicamos o teste da raiz e descobritnos que
•
%/2,
.n/ _ {
V a,, -
11 unpar
1/ 2,
11 par.
Portanto,
l2 -< .11/
< ef,;
va,, - 2
Como -ef:i- l (Seção 10.1. Teorema 5), temos lin111 _,~;efa: = 1/2 pelo teoren1a
do confronto. O liJnite é menor que 1, portanto a série converge pelo teste da raiz.
EXEMPLO 3
"° f/ 2
<a> ,,2:
2"
=- 1
Quais das seguintes séries convergem? E quais diverge1n?
(b)
00
~ 2:
(e)
n= I ti
]i 1 +1 )"
(
li
Solução Aplicamos o teste da raiz em cada un1a das séries.
(a)
2: -211
11= 1
f/2 converge porque
2"
li~
(b) L 3 diverge porque -y-;;s =
11 =1 li
(e)
~
1
(
/1
1
!
(%)2
~·
112 =
211
2
12
- 2 < ).
J,3-23> 1.
("n)
J
11
11
)
converge porque " ( 1 1 )"
+ li
11
+ fl - 0 < 1.
36 Cálculo
Exercidos 10.5
(11 + 3)!
Utilizando o teste da razão
Nos Exercício~ 1-8, u11li1e o teste da razão para determinar se cada
uma das séries converge ou dl\ ergc.
.,.. .,.
L =" 11+2
2 L
3"
•
1.
6.
• 1
±(11- I )!
3.
4.
+ 1) 2
1 (n
2•• I
~ 113"
" 114
36.
"'- 3•~2
37.
5. L :f"
• 1
• 1 li!
•
35.
7.
8.
1
L
• - 2 ln /1
±
2
11 (11 +
40.
.li.
4 1.
"
fl'
L
• 1 (2n+ l )!
L'"
n! ln n
n-1 11(11 + 2)!
42.
-. (n! )2
38.
43.
L-
·-• (211)!
11! 32n
,, 1
,~
2) !
L 31 13•
·- 1
115"
(211 + 3) Ln (11 + 1)
~
li
n... i
n ''
39. 41 (1
(211 + 3 )(2" + 3)
44.
3 +2
,,_.
L ..:...._--,,-'--iQ
)"
Utilizando o teste da raiz
Termos definidos recursivamente
Nos Exercícios 9-16, utilize o teste da raiz para determinar se cada
un1a das séries converge ou di\ergc.
Quais das séries ~~ 1 a,, definidas pelas fónnulas nos Exercícios
45-54 converge1n'? E quais divergem'! Justifique suas respostas.
9
7
,ç_
• •~ (211 + 5)"
12.
~ (1n(e + -,1 ))"~
" 1
1
2
1
8
~
13. L
• 1 (3 + ( 1 11))""'
"
~ scn" ( ~)
14. •
IS. •~ (1 - *)n"
(Sugestão: lim ( 1 + x 11)" - e'.)
1
"
•-"'-'
Determinando convergência ou divergência
Nos Exercícios 17-44, utili7c qualquer n1é1odo para dctenninar se a
série converge ou diverge. Justifique suas respostas.
11.
,,
L
" 1 2
li \Í2
V
26.
,..,
18.
L"2e-"
27.
....
19.
Ln!e-•
20.
21.
22.
23
24.
,, 1 ir
2 + ( 1)"
L 11 tn,,
L1 ( ' - ;;3 )"
li
"·
2
;; ""
1
ef,;
"• 1= 2 ª•
5 1. 01 = 1•
ª•+I =
52. ª1 = 2'
1
<ln• 1
53. a1 = -
+ 1 ª"
1 + ln /1
11
a,,
- li++ 11111
1o ª"
li
3·
tln• 1 -
1
2'
lln~ 1
ef;;.Ir
= (a.)" 1
fi ;; -
.~(11~2 )"
11- 1 3"
49. (J 1 = 2.
li
(311 )!
56.
~ 11!(11 + 1)!(11 + 2 )!
3 1. L 1n 11
(-2)"
ª• 1
li
~ (*- ~)
L !Qn
±
48. a1 = 3,
55.
30. "(1
1.25"
311 - 1
a,, 1 - 211 + 5 (Jn
Quais das ~rics no~ l:xercieios 55-62 convergem'? E quais dh.ergem? Justifique suns respostas.
" 1110
• 1
.~
1
47. a1 = 3·
L •
·-1
li
1
"·
Convergénda ou diVPrg"'ncia
' (ln /1 )"
29.
•
/1
li
54. 01 = -
L in;'
')"
/12
L" 2•,,,,,,
11-1
58.
(211)!
....
59.
"-
• 1
li
57.
32.
n• I
33.
34.
~ (11' >:
1• 3 . ... . (211 - 1)
2"
61.
4"2"11!
~ (11 + 1)(n + 2)
1
•
2: e-"(n3 )
li
1
60.
1 (11")·
•
'-
"-
25.
1 - - 1 )"
3li
L' .!!.!..
1o•
"C
·
28.
1
•
(
"C
1
•
L
,, 1
<>.,
li
1
50. a1 = 5,
16. •~/li tn
1 + scn /1
ª• = 2, ""
ª•
1 + tg
46. a1 - 1, a,, 1=
1=
45.
1
/l.
~
62.
1 • 3 • •.. • (211 - 1)
.~ [2·4· ... ·(211)1(3" + 1)
Capítulo 10 Sequências e séries infinitas
Teoria e exemplos
(p constante)
63. Nem o teste da razão ne1n o teste da raiz ajudan1 quando lidatnos con1 séries p. Experi1nente-os e1n
00
•
•
se n e• um numero
pnmo
caso contr.irio.
112
La,, converge? Justifique sua resposta.
66. Mostre que Ln=J 21,,z>/n! diverge. Lc111bre-sc das leis dos expoentes que 2 1n21= (2")".
. - {11/2",,,,
65. SeJa ª" -
1
L -;;
11 = 1 li
e mostre que nenhum dos dois tes1es nos dá infonnações sobre
a convergência da série.
64. Mostre que nem o teste da razão nen1 o teste da raiz fornecen1
infonnações a respeito da convergência de
10.6
37
Séries alternadas, convergência absoluta e condicional
Uma série na qual os termos são alternadamente positivos e negativos é uma
série alternada. Aqui estão três exemplos:
[
1
1
1
2 + 3 - 4 + 5 - ... +
(-l)"+I
+ ...
(l)
(- 1)1'4
- 2 + 1 - 2 + 4 - 8 + ... +
2"
+ ...
(2)
1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + · · · + ( - 1)'1+ I n + · · ·
(3)
1-
1
l
/1
1
Veremos a partir desses exe1nplos que o 11-ési1no termo de unia série alternada
é da forma
a11 = (- 1)"41 un
ou
an =(- l)"u11
onde 1111 = 1 a,, 1 é un1 número positivo.
A Série 1, chamada série harmônica alternada. converge, como veremos
ern breve. A Série 2, u1na série geométrica com razão r = - 1/2, converge para
- 2/ [ 1 + ( 1/2)] = -4/3. A Série 3 diverge porque o n-ésimo termo não se aproxima
de zero.
Provan1os a convergência da série harn1ônica alternada aplicando o teste da
série alternada. O teste é para convergência de uma série alternada e não pode ser
utilizado para concluir que tal série diverge.
TEOREMA 14 - Teste da série alternada (teste de Leibniz)
A série
L c- 1)11 " 1u,, = u, - u2 + 113 - u4 + · · ·
11= 1
converge se todas as três condições a seguir fore111 satisfeitas:
1. Os 1111 fore1n todos positivos.
2. Os u,, forem (finahnente) decrescentes: un 2:: u,.+1 para todo 11 2:: N, para
algum inteiro N.
l 3. u,, - o.
Prova Assu111a que N = 1. Se n for u1n inteiro par, considere n = 2111, eotào a soma
dos pri1neiros 11 tennos é
sin, = (ui -
t12)
+ (u3 - u4) + · · · + (u2111- 1 - 112111)
= 111 - (112 - u3) - (t14 - tts) - · · · - (u2,,, - 2 - U2111- I) -
U2m·
38
Cálculo
A primeira igualdade mostra que s2"' é a soma de 111 cennos não negativos, un1a vez
que cada tenno entre parênteses é positivo ou zero. Consequentemente, s21,r+2?::. s2n, ,
e a sequência {s21,,} é crescente. A segunda igualdade 1nostra que s 21,, s u 1. Un1a vez
que {s2,,,} é crescente e limitada superiormente, ela ten1 um limite,
lun sim = L.
,,, _., ();;J
(4)
Se 11 é wn inteiro ímpar, digamos 11 = 2111 + 1, então a soma dos pritneiros 11
tcrn1os é s 2m+I = s2,,, + 112nr+ I . Como 1111 .._.O,
lin1 1121,,+ 1 = O
,,,~ oo
e, como 111 .._. oo,
(5)
Combinando os resultados das Equações 4 e 5, temos litn,,_00 s,, = l (Seção 10.1 ,
Exercício 131 ).
EXEMPLO 1
A série ham1ônica alternada
00
2: (- 1)".,. .!. = 1 - l2 + .!.3 - .!.4 + ...
1
11= 1
li
satisfaz claramente os três requisitos do Teorema 14 com N = 1; ela, portanto. converge.
Em vez de verificar diretan1ente a definição 1111 2: 11,r+ i· uma segunda fonna
de 1nostrar que a sequência {u,,} é decrescente é definir uma função derivável j{x)
satisfazendo/(n) = u,,. Isto é, os valores dej·correspondem aos valores da sequência
em todo inteiro positivo n. Sef(x) :5 O para todo x maior ou igual a algum inteiro
positivo N, então f (x) é decrescente para x ?!:. N. Segue que fin) ?!:. /(11 + 1) ou u,, ?!:.
",,.,.., para n ;:::: 1V.
Considere a sequência onde u,, = 1011/(11 2 + 16). Defina j{x)
1Ox/(x2 + 16). Então, a partir da regra derivativa do quociente,
EXEMPLO 2
l0( 16 - x 2 )
f'(x) = - 2- - < O
(x + 16)2 -
Segue que
li >
+ui
_,,?
+ 113
- 114
1
o
FIGURA 10.13 As somas parciais de unia
série alternada que satisfaz as hipóteses
do Tcore1.n a 14 para N= 1 cercam o lirnite
desde o inicio.
.1
sempre que x 2:: 4.
"n> 11,r+ i para /1 > 4. Ou seja, a sequência {un} é decrescente para
4.
U1na interpretação gráfica das so1nas parciais (Figura l 0.13) mostra con10 wna
série alternada converge para seu limite l quando as três condições do Tcore1na 14
são satisfeitas co1n N = 1. Iniciando a partir da orige1n do eixo x, assinalamos adistância positiva s 1= 11 1. Para encontrar o ponto correspondente a s2 = u1 - 112 , recuamos a uma distância igual a 112. Uma vez que u 2:s 11 1, não recuamos além da origc1n.
Continua1nos nesse mesmo processo, recuando ou avançando conforn1e os sinais
dos termos da série. Mas, para /1 2:: N, cada avanço ou recuo é mais curto (ou pelo
n1enos do 1nesmo co1npri1nento) que o passo anlerior, porque u,,... 1:s u11• E, wna vez
que o 11-ési1no termo se aproxima de zero conforn1e /1 aumenta, o ta1nanho do passo
que avançamos ou recuamos fica cada vez menor. Oscilan1os em torno do limite l,
e a arnplitude dessa oscilação se aproxima de zero. O limite l está entre quaisquer
duas somas sucessivas s,, e s,,+1 e, portanto, difere de s,, por un1valor111enor que un+ i ·
Dado que
para /1 ;;:: N,
poden1os fazer estimativas úteis das so1nas de séries alternadas convergentes.
Capítulo 10 Sequências e séries infinitas
39
TEOREMA 15 - Teorema da estimativa de séries alternadas Se a série
alten1ada L 11: 1 (- 1)11+ 11111 satisfaz as três condições do Teorema 14, então,
para n ;;;:;: N,
sli = u1 - /12 + · ·· + (- 1)11+ 111li
se aproxin1a da soma Lda série con1 uin erro cujo valor absoluto é n1enor que
11 + 1' o valor absoluto do pri1neiro tenno não utilizado. Alén1 disso, a son1a l
11
está entre quaisquer duas somas parciais sucessivas s,, e s,r+., e o resto, l - s11 ,
ten1 o mesn10 sinal do primeiro tenno não utilizado.
Deixamos a verificação do sinal do resto para o Exercício 61.
EXEMPLO 3
~
Testaremos o Teorema 15 em uma série cuja son1a conhecemos:
1
íf:'o(- l )" 2" = 1 -
J
l
L
J
l
1
2 + 4 - 8 + T6 - 32 + 64 -
1 :
l
128 + 256 - .. · ·
i
O teoren1a nos diz que se truncannos a série depois do oitavo tenno, jogaremos fora
um total que é positivo e n1enor que 1/256. A soma dos oito primeiros tennos é s8 =
0,6640625 e a sorna dos nove pri1neiros tennos é s9 = 0,66796875. A son1a da série
. . e'
geometr1ca
1
1
J - (- 1/ 2)
3/ 2
2
3'
e observa1nos que 0,6640625 < (213) < 0,66796875. A diferença, (2/3) - 0,6640625
= 0,0026041666.. ., é positiva e menor que ( 1/256) = 0,00390625.
Convergência absoluta e condicional
Poden1os aplicar os testes para convergência estudados antes à série de valores
absolutos de tuna série com termos tanto positivos quanto negativos.
r DEFINIÇÃO
Uma série -r.a,, converge absoluta mente (é absolutamente
L convergentc) se a série correspondente de valores absolutos, L!a11 Lconverge.
A série geométrica no Excn1plo 3 converge absolutamente porque a série correspondente de valores absolutos
00
1
1
1
2: -2"= ( +-21 + -+-+
4
8 ·· ·
11• 0
converge. A série ha1mônica alternada não converge absolutamente porque a série
correspondente de valores absolutos é a série harmônica (divergente).
- Uma série que converge, mas não converge absolutan1ente, con1 DEFINIÇAO
verge condicionalmente.
1
1
A série harn1ônica alten1ada converge condicionalmente.
A convergência absoluta é importante por dois n1otivos. Prüneiro, temos bons
testes para convergência de séries de termos positivos. Seg11ndo, se uma série converge absoluta1nente. então ela converge. conforme provare1nos agora.
40 Cálculo
Se _L la,,I converge. en-
TEOREMA 16 - Teste da convergência absoluta
00
11 = 1
tão _L an converge.
11-rr 1
Prova
Para cada n,
- la,,Is a,, s la,,],
.
O < a,,+ la,,I< 2la,,I.
assim
Se 2:::3 110111converge. então 2:::3 12la,,1converge e, pelo teste da con1paraçào
direta, a série não negativa
(a,,+ Ja,,I) converge. A igualdade a11 = (a,,+ la,,I) la,,I agora nos deixa expressar :Z,, 1a,, como a diferença de duas séries convergentes.
:L:,,
00
00
00
00
_L a = _L (a,, + la,,1 - la,,i) = _L(a,, + la,,I) - _L la,,I.
11
11e l
J
li
11 - I
11 - I
Portanto, L~- 1 a11 converge.
Cuidado Podemos reescrever o Teore1na 16 para dizer que toda série absolutamente convergente é convergente. No entanto, a afirmação recíproca é falsa: muitas séries convergentes não convergen1 absolutamente (como a série harn1ônica alternada
no Exemplo 1).
EXEMPLO 4
Este exemplo nos dá duas séries que converge1n absolutamente.
00
(a) Para _L (- 1)11 + 1
11_
1
J, = 1 - l4 + -91 - J__
+ · · ·, a série correspondente de va16
11 -
lores absolutos é a série convergente
~ ~= 1 +l4 + l9 + J_
+· ··.
16
11= 1 /1
A série original converge porque ela converge absolutan1entc.
00
(b) Para _L se~n = se~ 1 + se: 2 + se; 3 + · ··, que contém terD1os tanto positi,, - 1
/1
vos quanto negativos. a série correspondente de valores absolutos é
~ sen n = 1sen l I + 1sen 2 I + ...
11 • I
11 2
1
4
,
que converge por comparação com 2:::3 1( l/tr2) porque lsen 111s l para todo n.
A série original converge absolutamente; portanto, ela converge.
EXEMPLO 5 Se p é uma constante posiliva, a sequência {l /11"} é uma sequência
decrescente con1 lin1ite zero. Sendo assin1, a série p alternada
•
p > O
converge.
Se p > 1, a série converge absoluta1nente. Se O< p s 1, a série converge condicionalmente.
Convergência condjcional:
Convergência absoluta:
1-
1
V2
+
1
V3
l
1 - 23/2 + 33/2
1
-
1
v4
+···
l + ...
--
43/2
Capítulo 10 Sequências e séries infinitas
41
S~ries rearranjadas
Podernos sen1pre rearranjar os tennos de tuna son1afl11ita. O 1nesn10 resultado
é verdadeiro para uma série infinita que é absolutan1cnte convergente (veja o Exercício 68 para urn esboço da prova).
jTEoREMA 17 - Teorema do rearranjo para séries absolutamente convergentes Se ~"= 1 a,, converge absoluta1nente, e b1, b2, .•• , b,,• ... é qualquer
rearranjo da sequência {a,,}, então "f.b,, converge absolutamente e
00
00
11= 1
11= 1
'2:b,, = '2:a,,.
Se rearranjarmos os termos de urna série condicionalmente convergente, teremos resultados diferentes. De fato, pode ser comprovado que, para qualquer número
real r, u1na determinada série condicionalmente convergente pode ser rearranjada
de forma que sua son1a seja igual a r. (01nitimos a prova desse fato.) Segue un1
exemplo da soma dos termos de uma série condicionaln1ente convergente co1n ordens diferentes, com cada ordem proporcionando un1 valor diferente para a soma.
EXEMPLO 6 Saben1os que a série harnlônica alternada ~:_ 1 (-1 yr1- 1111 converge
para algum nú1nero l . Além disso, pelo Teoren1a 15. l está entre as somas parciais sucessivas s,- = 1/2 e s.J = 516, portanto L :#:O. Se 1nultiplicannos a série por 2, obteremos
00
2L = 2
=
'2:
n- 1
(- 1)"+ l
/1
2(1 _1.2 + !3 - J_4 + !5 _ l6 + !7 - l8 + J_9 - _L10 + _L11 - .. ·)
2
1
2
1
2
1 2
1
2
1
1
=
+ 3 - 2 + 5 - 3 + 7 - 4 + 9 - 5 + 11 - ···.
Agora alteran1os a ordem dessa últin1a sotna agrupando cada par de termos
com o mesmo denominador ímpar, mas deixando os tennos negativos com os deno1ninadores pares, confonne são posicionados (assi1n os denominadores são os
inteiros positivos em sua orde1n natural). Esse rearranjo nos dá
(? - 1) -
-
!
!) - l + ...
l2 + (13 - l)
- l4 + (l5 - l)
- 6 + (l7 - 7
3
5
8
- (1 - !2 + !3 - l4 + 1.5 - !6 + J_7 - !8 + l9 _ _L10 + _Lll - .. ·)
()() ( - 1)"+ l
2:
,, __ 1
li
= l.
Sendo assi1n, rearranjando os termos da série condicionahnente convergente
L'.:°=1 2(- 1yr1-11n, a série se toma ~;: 1 (- 1)11- 1/ 11. que é a série harn1ônica alternada
por si só. Se as duas séries forem a n1esn1a, implicaria 2l = l , o que é certa111ente
falso, uma vez que L * O.
O Exemplo 6 n1ostra que não podemos rearranjar os lermos de uma série condicionahnente convergente e esperar que a nova série seja a 1nesn1a que a original.
Quando estamos utilizando uma série condicionahnente convergente, os termos deve1n ser adicionados na ordem cn1 que são dados para obtermos um resultado correto.
Por outro lado. o Teorc1na 17 garante que os tcrn1os de wna série absolutamente convergente pode1n ser so111ados em qualquer ordetn, sem afetar o resultado.
Resumo dos testes
Descovol vemos uma variedade de testes para determinar a convergência ou
a divergência para uma série infinita de constantes. Existem outros testes que não
apresenta1nos, os quais são, às vezes, dados en1 cursos 1nais avançados. Aqui está
wn resumo dos testes que consideramos.
42
Cálculo
l . Teste do 11-ésimo tero10: a menos que a,,~ O, a série diverge.
2. Séries geométricas: Lar" converge se lrl < 1; caso contrário, divef(Je.
3. Série p: 'i.1 /nP converge se p > 1; caso contrário, djverge.
4. Séries com tern1os não negativos: experin1ente o teste da integral, o teste da
razão ou o teste da raiz. Tente co111parar a u111a série conhecida por meio do
teste da comparação.
5. Série com alguns termos negativos: Lia,,! converge? Eo1 caso afirn1ativo,
'La,, ta111bé1n converge, uma vez que a convergência absoluta implica a convergência.
6. Séries alternadas: ~a11 converge se a série satisfaz as condições do teste da
série alternada.
Exercícios 10.6
Nos Exercícios 1-14, detennine se as séries allcn1adas converge1n
ou divergem. Algumas das séries não salisfazen1 as condições do
teste da série allenlftda.
".>.>
1.
L (-t)"~ i i
V,,
11=1
8.
n=I
00
2. L <- 1y• +1 _!_
n= 1
+
1
3. 'Ç'
(1)"'
..t:.J
11 J li
n 1
4.
5.
f (-
.~2
9.
113/2
.X)
1)"
4 2
(ln n)
""'
2: e- 1l" 11 ,- "+ 1
n= 1
2
+5
112 + 4
11
1O"
(11 + ! )!
~ (- 1) +1 (.!.!....)"
10
n=I
""
28. L <- i >"+1
29. L <- 1>"
n= 1
30.
16.
~ ( - 1)"+1 (O~:)"
n 1
L e- 1,. 1n ( 1 + ,',)
v,; + l
13. L (-J)n +I
n=I
00
li
n=I
+1
33.
34.
'.);)
L1<- 1l" v,;
i
23.
( - 1)"
J8.
L
n=I [ + v,;
19. L""' (-1111+1
n=I
".>.>
,,3
li!
20. Í: (- 1)"+1 n=I
L ( - 1>" li +' 3
2•
1
+
L°" c- i J"+1 3 +
/1
5+n
°" (- 2)''+1
11
li
39.
+1
11
~ ( - 1)"11(11!}2
n~ I
(211)!
""
(211)!
.-1
li.li
í: C- t)" 2,, ,
(11! )2 3"
40. Í: (- l ) " - - fl = I
(2n + 1)!
L
(-100)"
n• I
1
ll.
cc
( - 1)n- 1
00
4 1. Í: (- 1)" (v,;+i" -
vi,;)
n• I
00
.~ 2 + 211 + 1
42.
2:
c-1
l" ( v'11 2+ ,, - ,, )
. .. 1
L <- 1>" (v11 + v,, - Vi;)
.
44.
( - 1)"
00
L-v;;+ v,;+j
45. L ( - L)" sech 11
n= J
11 = 1
L (- 1)" cosscch
11
n=I
1
1
l
1
1
48· l +
1
1
l
1
1
l
1
9 - T6 + 2s + 36 - 49 - 64 + ...
4-
Estimativa do erro
n-1
Nos Exercícios 49-52. estirne a n1agnitude do erro envolvido no uso
da soma dos quatro prin1ciros termos para aproxin1ar a soma da série inteira.
L <- i y•+1( '\'/iO)
"'
49. L (- t)•+I
O<'
26.
lllfl
(2n )"
47. 4 - 6 + 8 - iõ+12 - 14+···
11
li
,,
li -
~
00
l
11
.~ + 5
+ (/
25. 2: (- 1)"+1 1
n2
24.
38.
"' (- l)"(n + !)"
oc;
46.
L (_1)" scn2
nl
li
tn ,,
li
00
n=I
n
37.
cos 117T
" :;;; 1
oc
22.
'f n
n + 1
11
00
21.
n• I
32.
i 2.
.~1
17.
11 = 1
11 = 1
Nos Exercícios 15-48, detern1ine se as séries convergem absolutan1ente, convergen1 ou di vergem. Justifique suas respostas.
L
(
1)" (O, 1)"
n =I
nln11
L <_ 1>"
3 1. L (- 1)"
Convergências absoluta e condicional
15.
36. ..t:.J
00
ln n
43.
11
i
()()
"" - i >·+1 '~,"
i t. L <
00
'Ç'
1
10. L <- 1>11 + 1 _!_
n 2
00
n=l
C0$ /17T
n-1 11\i,;
li ... 1
oc
3yÇ+t
14. L <- 1».t'
n=I
V,,+ 1
11-
00
27. L <- 1>"11 2c2/3 >"
11
00
2·
7. L ( - 1y, +1 ,
n• I
L (- 1}"
L
35.
00
Determinando convergência ou divergência
n•I
" "' 1
+
00
5o.
2: e- 1>"+ ___!.,;
n=I
[Q
1
Capítulo 10 Sequências e séries infinitas
( onlonn<! \en:mu' na S.:~:111 10.7,
a -;<1111:1 t: ln ( 1 O11
52. 1 ~
=
1
2: (-1 )"1•. o < 1 < l
11-0
Nos Exercícios 53-56, dctcnninc quantos termos dcven1 ser utilizados para calcular a soma da série inteira con1 uni erro de ntenos
de 0.001.
00
00
1
53. 2: <- t)"
/12 + 3
n= I
2: (- 1 )"~ 1
55. ,,_ 1
1
é a mes1na dos primeiros /1 tennos da série
1
1
1 . 2 + 2. 3
Essas séries convergetn? Qual é a soma dos prin1eiros 211 + 1
termos da primeira série? Se as séries convergen1, qual é sua
so1na?
63. Mostre que se 2::;': t a,, diverge. então 2::;':. 1 la,,I diverge.
64. Mostre que se 2::;': 1 a11 converge absolutan1ente. então
(n + 3 \i,;)3
00
""
Lª" 5 n:L.. la,, 1.
n- 1
""
54. 2: (-1)"" '
n= I
56.
+ 1
2: (-1 )" ln (ln (111 + 2))
,,:.: 1
O Aproxime as somas nos Exercícios 57 e 58 co1n um erro de 1nagni1ude 111enor que 5 x 1Q-6.
,, ~ o
1
(211 )!
00
1
Cnnlorn1c \crcn111s n.1
Seção 10.4. ;1 ,oma.: r 1
58. 2: (- 1)"n• O
n!
Teoria e eKemplos
59. a. A série
1
111
1
1
1
1
---+---+---+···+---+···
3
2
9
4
27
8
3"
2"
não satisfaz uma das condições do Teorema 14. Qual delas?
b. Use o Tcorcnta 17 para encontrar a soma da série no item (a).
D 60. O Limite l de unia série alternada que satisfaz as condições
do Tcore1na 14 está entre os valores de quaisquer duas so1nas
parciais consecutivas. Isso sugere o uso da ntédia
Sn
+ Sn + I
2
1
n i•
= s,, + 2 (-1) ·a,,+1
para estin1ar L. Calcule
ex;
00
65. Mostre que se tanto 2:11= 1 ª•quanto Ln=I bn convergem abso-
lutamente, então isso ta1nbé1n acontece com as séries a seguir.
a.
L (a,, + b
11 )
11=
l <111l<1nn.: \cr.:11111, na scc;;Jo 10 'l. a 'uma
'-. 1,;11-.. 1, '-1 ......,;'\ ... ..:J1c.1 Jc l rnd1.111,1.
57. f( - 1)"
I
00
li
112
43
1
00
e.
L ka,, (qualquer número k)
11 -= 1
66. Mostre con1 exen1plo que 2:~ 1 a,, b,, pode divergir, 1nes1no se
L:.1a,, e L::: 1 b convergirem.
11
O 67. Na série harmônica alternada. suponha que o objetivo seja rearranjar os termos para conseguir unta nova série que convirja
para - 1/2. Inicie o novo rearranjo co1n o prin1eiro tenno negativo. que ê -1 /2. Sempre que você tiver uma so1na que seja
menor ou igual a - 1/2. co1nece a introduzir termos positivos,
tomados e1n orde1n, até que o novo total seja maior que - 112.
En1 seguida, adicione termos negativos atê que o total seja nienor ou igual a-1/2 novamente. Continue esse processo atê que
suas somas parciais estejan1 aci1na do objetivo ao menos três
vezes e finalize ai ou abaixo dele. Se sn for a soma dos primeiros 11 termos de sua nova série, marque os pontos (11, s,,) para
ilustrar con10 as so1nas estão se co1nportando.
68. Resumo da prova do teorema do rearra njo ("feorema 17)
a. Seja E um nt'unero real positivo. seja L =
1 a,, e seja
sk = 2:!- 1c111• Mostre que para algum índice N 1e para al1:,'111n
índice N2 ~ N1•
L:
e
1
1
s20 + - · 2 21
como uma aproximação da soma da série harmônica alten1ada. A soma exata é ln 2 = 0,69314718....
61. Sinal do resto de uma série alternada que satisfaz as condições do Teorema 14 Prove a afirn1ação do Tcorerna 15 de
que se1npre que u1na série alternada que satisfaça as condições
do Tcoren1a 14 for aproximada por unia das suas somas parciais, então o resto (soma dos 1ermos não utilizados) tem o
mesmo sinal que o primeiro ten110 não utilizado. (Sugestão:
agrupe os termos do resto e1n pares consecutivos.)
62. Mostre que a soma dos primeiros 211 tem1os da série
1
l
1
1
1
1
l
· --2l +-21--+----+---+---+
···
3
3
4
4
5
5
6
Is,,, - LI
Uma vez que todos os tennos a 1, a2 , ••., a,v,. aparecem em
algum lugar na sequência {b"), existe um índice N3 ~ iV2
tal que, se 11 ~ N 3, então (
1 bA) - s~·, é no mãxirno uma
son1a dos tern1os a,,, com 111 > N 1• Portanto, se n > N3,
Lt=
11
&ib~
- Ls
'()
s :L lakl + lsNi - LI < E.
ÕJ\ '1
L:
b. O argumento no item (a) 1nostra que se
10 11 converge
absolutatncnte, então L,,- 1 b11 converge e L~ 1 b,, = L ,,- 1
a,,. Agora. mostre que }::';° 1 lb,,I converge para L:'- 1lanl•
porque ""n=1 lanl converge.
"'""
44
Cálculo
Séries de potências
10.7
Agora que pode1nos testar a convergência de n1uilas séries infinitas, podemos
estudar so1nas que se parecem com "pol inômios infinitos". Chamamos essas somas
de séries de potências, porque elas são definidas co1no séries infinitas de potências
de alguma variável, en1 nosso caso x. Assim con10 os polinôn1ios, séries de potências podem ser son1adas, subtraídas, n1ultiplicadas, derivadas e integradas de forma
a resultar e1n novas séries de potências.
Séries de potências e convergência
Começan1os con1 a definição forn1al. que especifica a notação e termos utilizados para a série de potências.
DEFINIÇÕES Uma série de potências centrada em x = Oé unia série da fom1a
00
2: c,,x" = co + c 1x + c2x 2 + ·· · + c,,x" + · · ·.
(1)
11 • 0
Unia série de potências centrada cm .\" = a é uma série da forn1a
00
2: c,,(x - a)" = co + c (x - a) + c2(x - a)2 + · · · + c,,(x - a)"+ · · · {2)
1
11=0
na qual o centro a e os coeficientes c0, e" c2, •••,e,,• ... são constantes.
A Equação l é o caso especial obtido tomando-se a= Ona Equação 2. Veren1os
que un1a série de potências define urna função f{x) ern u1n certo intervalo onde ela
converge. Alén1 disso, essa função será provada continua e derivàvel sobre o interior
desse intervalo.
EXEMPlO 1 Tomar todos os coeficientes eo1no sendo 1 na Equação 1 nos dá a
série de potências geométrica
00
2:
x " = 1 + x + x 2 + · · · + x'' + · · · .
11=0
Essa é a série geométrica com o pri1neiro tern10 1 e a razão x. Ela converge para
1/(1 - x) para lxl < 1. Expressamos esse fato escrevendo
1
1- x
1 Sêrie de potências recíprocas
1
1
00
_ •=
J
L
x". lxl < 1
" o
1 + x + x2 + · · · + x " + · · · .
- l < x < J.
(3)
Até agora. utiliza1nos a Equação 3 como u1na fórn1ula para a soma da série à
direita. Pode1nos agora n1udar o foco: pense1nos nas somas parciais da série à direita
como poünôrnios Pn(x) que se aproximam da função à esquerda. Para valores de x
próxi1nos a O, precisa1nos tomar son1ente alguns tennos da série para conseguir uma
boa aproxin1açào. Conforme move1nos em direção a x = 1, ou - 1, deven1os to1nar
mais tern1os. A Figura 10.14 exibe os gráficos de j"(x) = 1/( 1 - x) e os polinô1nios
aproxin1adores y 11 = Pn(x) para /1 = O, 1, 2 e 8. A função/(x) = 1/( 1 - x) não é continua en1 intervalos contendo x = 1. onde existe un1a assintota vertical. As aproxi1nações não se aplican1 quando x > 1.
Capítulo 10
.\'
)' =
9
Sequências e séries infinitas
45
1
1 -r
8
7
."8 = J + x + x2 + .r3 + .r4 + _r; + xh + x1 + r~
5
4
Y2 = 1 + x + x-'
3
Y1 = 1 +X
2
1
Yo = l
X
o
- 1
l
FIGURA 10.14 Gráficos dc/(x) = li( l -x) no Exemplo 1 e
quatro de suas aproximações polinomiais.
EXEMPLO 2
A série de potências
1-
i
(x - 2) +
!
11
(x - 2)
2
+ · · · + (- ~) (x - 2)" + ·· ·
(4)
co1nbina con1 a Equação 2 com a= 2, c0 = 1, c 1 = -1 /2, c2 = 1/4 ..... e,,= (-1 /2)".
Essa é uma série geométrica co1n o primeiro termo 1 e razão r = - x ;
converge para
2
. A série
x - 2
< 1ou O<x < 4. A soma é
2
1
1- r
2
x- 2 =X'
l +
2
.
ass1n1
2
x= I
2
(x - 2)
J )"
(
(x - 2)
2
+
4
- · .. + - 2 (x - 2)" + .. "
0 <X< 4.
A Série 4 gera aproxin1ações polinon1iais úteis de/(x) = 2/x para valores de x
próximos de 2:
3.t + .\'2
Yz= 3 - 2
2
!
4
Po(x) = 1
:r
P 1(x) = 1 -
t
-!---'-----'----'---.::...._-----+ x
Pz(x) = 1 -
l (x - 2) + _1 (x - 2)2 = 3 - 3x + x 2
1
(2. 1)
1
~
);;;--;-r~~===/
1
X
/-"' = 2 - Í
Yo=
o
y
2
3
(x - 2) = 2 -
2
4
~
2
4 '
FIGURA 10.15 Gráficos de f(x) = 2/x
e suas três prin1eiras aproximações
e assim por diante (Figura 10. 15).
polino1niais (Exen1plo 2).
O exemplo a seguir ilustra como testamos a convergência de tuna série de potências utilizando o teste da razão para vermos onde ela converge e onde ela diverge.
EXEMPLO 3
Para quais valores de x as séries de potências a seguir convergen1?
46
Cálculo
(b)
oo
211-1
2: (-1)"- 1 - ''-·11=
1
· = x -
211 - 1
.rs
,.. 3
-" + - - · ··
3
5
r"
2:
~=
n-O !
(e)
/1
00
(d) 2: 11!x 11 = 1 + x + 2!x 2 + 3!x3 + · · ·
n~o
Solução Aplique o teste da razão à série I 111,,I, onde 11,, é o 11-ésimo termo da série
de potências em questão. (Len1bre-se de que o teste da razão se aplica a séries com
termos não negativos.)
u,,+ 1
r" 1 1 n
11
(a) U11 = ,; + 1 • x = n + l lxl-lxl.
A série converge absolutamente para lxl < 1. Ela diverge se lxl > 1 porque o 11-ési1no
tenno não converge para zero. Em x = 1, obtemos a série harmônica alternada 1 - l/2
+ 1/3 - J/4 +···, que converge. Emx= - J, temos - J - 1/2 - l/3 - J/4- ···,o negativo
da série harn1ônica, ela diverge. A série (a) converge para - 1<x:s 1 e diverge em
qualquer outro lugar.
- -0----"'-----_._--+ x
-1
o
(b)
11,,+ 1
11,,
2n _
.X211 + I
211 + 1
•
211 - 1
- 2n + 1x2 -+xi
X2t1-I
li
'111
1
,,,
1
A série converge absolutamente para x2 < 1. Ela diverge para x2 > 1 porque o
11-ési1no tem10 não converge para O. E1n x = 1 a série se torna 1 - 1/3 + 1/5 - l/7 + ···.
que converge pelo teorema da série alten1ada. Ela tambén1 converge e1n x = - 1 porque é novamente uma série alternada que satisfaz as condições para convergência.
O valor em x = - 1 é o negativo do valor em x = 1. A série (b) converge para -1 :s x
s 1 e diverge em qualquer outro lugar.
_
_ ._ _ _ _.r...._ _ __.__,.x
o
- 1
(e)
u,,+ l
LIli
x"+ 1
lxl
11!
·-
(n + 1) ! x"
li
+ 1
-
1
,,.
Ü para todo X. < • i t I r,
1 ·~ · 3
Jl'llf t
1)
A série converge absolutamente para todo x.
+------..._-----~X
o
11 + 1
(d) 11111- - =
n
(11 + l )!x"+I
11 !x"
=
(
li
+ 1)lx1- oo, a 01enos que x = O.
A série diverge para todos os valores de x, exceto x =O.
-------o -------+.(
O exemplo anterior ilustrou con10 u1na série de potências pode convergir. O
próximo resultado mostra que se uma série de potências converge en1 mais do que
u1n valor, então ela converge sobre um intervalo inteiro de valores. O intervalo pode
ser finito ou infinito e conter uma, ainbas, ou nenhuma das extremidades. Veremos
que cada extremidade de un1 intervalo finito deve ser testada indepe11denten1ente
para convergência ou divergência.
TEOREMA 18 - Teorema de convergência para séries de potências
Se a
00
série de potências 2: a11 x 11 = a0 + a 1x + a2x 2 + ···converge e1n x =e :f:: O,
n-0
então ela converge absoluta1nente para todo x com lxl < lcl. Se a série diverge
em x =d, então ela diverge para rodo x com lxl > ldl.
Capítulo 10
Sequências e séries infinitas
47
A prova usa o teste da con1paração con1 a série dada comparada a uma série
geométrica convergente.
Suponha que a série L: o a,,c'' converge. Então 1in111 _ 00 a,,c'' = O pelo teste
do 11-ésimo termo. Assim, existe um inteiro N cal que la,,c"I < 1 para todo /1 > N,
portanto
Prova
para n > N.
(5)
Agora torne qualquer x tal que !xi < lcL de modo que lxl / lei< 1. Multiplicar ambos
os lados da Equação 5 por lxl" nos dá
para n > N.
-·~ - -- - e
- ldl - R -lei
O
e - --- - e
lei R ittl
' X
FI&URA 10.16 Convergência de 'i.-att\"'
c1n :e = e ilnplica coJlvcrgência absoluta no
intervalo - lei< x <lei: a divergência em
x = d implica divergência para lxi> idl. O
corolãrio do Teorema 18 declara a existência
de u1n raio de convergência R > O.
Con10 lx!cl< 1, segue que a série geornérrica .L::° o~\'/cf converge. Pelo teste da
con1paraçào (Teorema 10), a série .L~ 0 la,,llx"I converge, de forma que a série de
potências original L~ oa,,r" converge absolutamente para -lcl < x < lcl conforn1e
afirmado pelo teoren1a. (Veja a Figura 1O.l6.)
Agora suponha que a série L 11 -o a,,r'' diverge em x = d. Se x é um número com
lxl > ltil e a série converge em x, então a prin1eira metade do teorema 111ostra que
a séiie também converge em d, contrário à nossa suposição. Sendo assun, a série
diverge para rodo x com lxl> ldl.
Para simplificar a notação, o Teoren1a 18 lida con1 a convergência da série da
forma 2.a,,x". Para as séries da forma "i.a 11(x - a)n, podemos substituir x - a por x' e
aplicar os resultados à série La 11(x') 11•
Raio da convergência de uma série de potências
O teore1na que acaban1os de provar e os exemplos que estudamos nos levam
a concluir que uma série de potências Lc,,(x - a)" se comporta de uma dentre três
n1aneiras possíveis. Ela pode convergir son1ente ern x = a, convergir ern toda parte
ou convergir em algum intervalo do raio R centrado em x = a. Provamos isso no
corolário do Teorema 18.
COROLÁRIO DO TEOREMA 18 A convergência da série Lc,.(x-a)1' é descrita
por urn dos três casos a seguir:
l . Existe un1 nú1nero positivo R tal que a série diverge para x corn lx - ai > R,
mas converge absolutamente para x com lx - ai < R. A série pode ou não
convergir em u1na das extrernidades x = a - R ex = (t + R.
2. A série converge absolutamente para todo x (R = oo).
3. A série converge en1 x = a e diverge ern todos os outros pontos (R =O).
-'
Considerarnos prirneiro o caso e1n que a = O, de fom1a que temos urna série
de potências .L,,=o C,f" centrada em O. Se a série converge em toda parte, estamos
no Caso 2. Se ela convergir so1nente em x =O. então esta1nos no Caso 3. En1 outras
situações, existe um número d diferente de zero tal que L 11 ,,.0 c11d11 diverge. Seja S o
conjunto de valores de x para os quais L,,=o c,,r' converge. O conjunto S não inclui
nenhun1 x com lxl > ldl uma vez que o Teorerna 18 irnplica que a série diverge em
todos esses valores. Assin1, o conjunto Sé 1itnitado. Pela propriedade de completude
dos números reais (Apêndice 7), S te1u u1n rnenor lirnitante superior R. (Este é o
menor nún1ero corn a propriedade de que todos os elementos de S são n1enores ou
iguais a R.) Unia vez q11e não esta1nos no Caso 3. a série converge em algurn número
b ri: O e. pelo Teorema 18, també1n no intervalo aberto (-lb I, lb 1
). Portanto. R > O.
Se lxl< R, então existe um n(unero e em S con1lxl < e < R. unia vez que de outra
forma R não seria o n1enor lin1itante superior para S. A série converge em e, unia vez
que e e S, portanto pelo Teoren1a 18 a série converge absolutamente ern x.
Prova
48 Cálculo
Agora suponha que lxl > R. Se a série converge ern x, então o Teoren1a 18 i1nplica que ela converge absolutamente no intervalo aberto (-lxL lxb, de forma que S
contén1 esse intervalo. Co1no Ré urn lin1itante superior para S, segue que lxl s R, o
que é uma contradição. Portanto, se lxl > R, então a série diverge. Isso prova o teoren1a para séries de potências centradas em a= O.
Para un1a série de potências centrada em um ponto arbitrário x =a, definiinos
x' = x - a e repetirnos o argumento acima substituindo x por x'. Uma vez que x' = O.
quando x =a, a convergência da série 2:~ 0 lcn(x')"I e1n um intervalo aberto de raio
R centrado cm x' = Ocorresponde à convergência da série 2:,,_0 lc,,(x - a)"I en1 un1
intervalo aberto de raio R centrado ern x = a.
R é denon1inado raio de convergência da série de potências. e o intervalo de
raio R centrado em x = a é denominado intervalo de convergência. O intervalo
de convergência pode ser aberto. fechado ou se1niaberto. dependendo da série em
particular. Nos pontos x com lx - ai < R, a série converge absolutan1ente. Se a série
converge para todos os valores de x, dizernos que seu raio de convergência é infinito. Se ela converge son1ente en1 x =a, dizen1os que seu raio de convergência é zero.
Como testar uma série de potências para convergência
r;=;;e cada exlremidade do intervalo
1 (n~1lto) de convergência.
1. Urilize o leste da razão (ou leste tia rttiz) para encontrar o intervolo onde o
série converge absoluta1ne11re. Geralmente, esse é uni intervalo aberto
lx-aJ < R
ou
a-R <x<a+ R.
2. Se o intervalo de convergência absoluta é .finiro, teste para convergência ou
divergência de cada exrre111idade, confonne os Exemplos 3a e 3b. Utilize tun
teste de comparação, o teste da integral ou o teste da s6rie ahemada.
3. Se o interralo de conl'ergência absoluta é a - R < x < a + R. a série diverge para lx - oi> R (ela nem 111esn10 converge condicionabnente) porque o
11-ésüno termo não se aproxima de zero para esses valores de x.
Operações em séries de potências
Na intersecção de seus intervalos de convergência. duas séries de potências
pode1n ser adjcionadas e subtraídas termo a termo, da mesma forma que as séries
de constantes (Teoren1a 8). Elas podern ser nlultiplicadas da mesn1a forrna que 1nultiplicrunos polinômios, mas geralmente Limitamos a computação do produto aos
primeiros ter1nos. que são os 1nais importantes. O resultado a seguir nos dá uma
fórmula para os coeficientes no produto, 111as omitirnos a prova.
TEOREMA 19 - Teorema da multiplicação de séries para séries de potências
Se A(x) = 2:11 = 0 a,;"' e B(x) =
lxl< R, e
2:: b/' convergen1 absolutan1ente para
0
li
Cn =
aob,, + a,b,, - 1 + aihn-2 + · · · + a11-1b1 + a,.bo = "2, akbn-J. ,
.(=O
então
2::. 0 c,,x'' converge absoluta1nente para A(x)B(x) para lxl < R:
2:,a,,x") · (~b,,x") = rr~c,,x".
( 11=0
=O
n~O
Encontrar o coeficiente geral e,, no produto de duas séries de potências pode ser
n1uito tedioso e o termo pode ser volumoso. A seguinte con1putação fornece u1na
ilustração de um produto onde encontran1os os primeiros termos através da 1nultiplicação dos tern1os da segunda série por cada termo da pri1neira série:
Capítulo 10 Sequências e séries infinitas
(~ x") .(~ (\,;= O
ns O
= () + X + x
2
49
I )"-xn+I )
li + 1
x2
~3
+ · · ·) ( X - 2
+
J - ···)
('l>r •
f'"
11<~
t.
.: JUlllc as •lllJltr'' pt un-.:ira, potcnci.:u
Podemos ainda substituir unia função .fl..x) por x e1n uma série de potências
convergente.
L:
!TEOREMA 20 Se
0 a,,(' converge absolutamente para lxl < R, então
2::::, 0 a,,(f(x)Y' converge absolutan1ente para qualquer função contínua f en1
1
V<x)< R.
Coino 1!(1 -x) = L~o ,T" converge absolutan1entc para ~ 1< 1, segue do Teorc1na 20
que 1/( 1- 4x2) = 2:::0 (4.i2Y' converge absoluran1ente para l4x21< 1 ou ~ri < 1/2.
Un1 teoren1a do cálculo avançado diz que u1na série de potências pode ser derivada tenno a termo em cada ponto interior de seu intervalo de convergência.
j rEOREMA 21 - Teorema da derivação termo a termo Se 2.c,,(x-a)" possui um raio de convergência R > O. isso define luna função
00
no intervalo
f(x) = L Cn(X - a)"
a-R <x<a +R.
11 • 0
Essa função f possui derivadas de todas as ordens dentro do intervalo, e
obtcn1os as derivadas através da derivação da série original termo a tcn110:
.:>:)
f '(x) = :Lnc,.(x - a)"- 1,
11 =
1
00
f"(x) = :Ln(n - 1)c,,{x - a)"- 2 ,
11 • 2
e assim por diante. Cada uma dessas séries derivadas converge e1n todo ponto
do intervalo a - R < x < a + R.
1
EXEMPLO 4
Encontre a série paraf(x) ef'~r) se
1
J(x) = - -
1
-x
+ x + x 2 + x 3 + x 4 + ·· · + x" + · · ·
- l <x< l
:Lx".
tr =- 0
Solução Derivamos a série de potências à direita tern10 a termo:
f'(x) = (
1
= 1 + 2'1" + 3x 2 + 4x 3 + · · · + 11x 11 - 1 + · · ·
1 - x)2
00
- L llX"- 1,
- 1 <x< I ,·
11= 1
f"(x) =
2
2
=
2
+
6x
+
12x
+ · · · + 11(11 ( 1 - x) 3
""
>x"-2,
= L 11<11 - 1
n=2
- 1 <X< 1
l )x"- 2 + ···
50
Cálculo
Cuidado A derivação tern10 a tern10 pode não funcionar para outros tipos de séries. Por exemplo, a série trigonométrica
~ scn (~i!x)
n= 1
li
converge para todo x. Mas se derivam1os termo a lermo chegan1os à série
"" n!cos (n !x)
kJ
11= 1
li
2
'
que diverge para todo x. Essa não é uma série de potências, já que não é a soma das
potências positivas inteiras de x.
E' tan1bém verdade que urna série de potências pode ser integrada termo a termo
ao longo de todo o seu intervalo de convergência. Esse resultado é provado em un1
curso mais avançado.
TEOREMA 22 - Teorema da integração termo a termo
Suponha que
00
f (x) = 2: c,,(x - a)"
11=0
converge para a - R < x < a + R (R > 0). Então
(x _ a)n tt
oo
2:c,, " + 1
11-0
converge para a - R < x < a + R e
00
!
(x - a)" ... 1
"' e - - - + e
f (x) dx = :f1i
" n+ I
.
para a - R < x < a + R.
EXEMPLO 5
Identifique a função
oo ( -
f (x) = 2:
11 =O
I )" x 2n-t t
211 +
)
x3
= X -
-::;-..>
r5
+ :._
- ·· · ,
5
- t s x s l.
Solução Derivamos a série original termo a tem10 e obten1os
f(x) = 1 - x 2 + ,0 - x 6 + ...,
- [<X < l.
1COH'l113 ~ 1
Essa é u1na série geo1nétrica com o prin1eiro termo 1 e razão-x2 , portanto
f' (x) = - 1- 1 - (- x 2 )
1
J + xi ·
Pode1nos agora integrar f(x) = 11( 1 + x2) para obtermos
l
f' (x) dx =
•
Íf
= tg
1
''2:.){.) -(--
r)"
1=
n • ll 211 + 1
I
•
dx 2 = tg- 1 X + e.
1+x
A série paraj{x) é zero quando :e= O, portanto C = O. Cousequente1nente,
/ (x) = x -
x3
\.s
r1
3 + 5 - 7 + · · · = rg- x ,
1
- 1 < x < 1.
(6)
Pode ser demonstrado que a série lan1bétn converge para tg- 1 x nas extremidades
x = ± 1. n1as omitimos a prova.
Note que a série original no Exemplo 5 converge nas duas extremidades do
intervalo de convergência original, mas o Teore1na 22 pode garantir a convergência
da série derivada somente dentro do intervalo.
Capítulo 10 Sequências e séries infinitas
EXEMPLO 6
51
A série
_ !_ = 1 - I + / 2 - 13 + ...
1+I
converge no intervalo aberto - 1 < t < 1. Sendo assim,
lu ( 1 + x) =
l
l
.t
2
3
/4
2
3
4
dt = t - f_ + f_ - -
I + t
x2
x3
+ ·· ·
]X
o
JCtlfC"fl l..l ~ 2
x4
= x-2 + 3 - 4 + ·· ·
ou
_
'»>
~1
-
(- l )n-1
00
ln(! + x ) =
li
n
1)n- l x"
( -
L
li
,, .. 1
- l <x< I.
'
Pode ser ta1nbén1 den1onstJ·ado que a série converge e1n x = 1 ao número ln 2,
mas isso não é garantido pelo teorema.
Exerácios 10. 7
00
Intervalos de convergência
24. L:on /1 )x •
Nos Exercícios 1-36. (a) encontre o raio e o intervalo de convergência da série. Para quais valores de x a série converge (b) absoluca1nente'! E (e) condicionalmente'?
t.
26. :2:11!(x - 4 )"
n- 1
li
""
25. 2:11"x
o<> ( -
11
27.
n=I
~(-l) x•
2:-r•
11. L.J
naO
11!
n-0
Pt'\!uC ~ in!orm;11;Õ..'> nc.:.:.,:inJs
L:<x + 5)"
""
3. L:(- t )"(4x + 1)"
~ 4"x 211
13. L.J
. ~o
14.
n
10
30.
nhrc ~ 1 (n ln nl d.1 S~\'ilo 1O \
1 \CíCICIO $.1
°" (x - 1)"
2:
n= I
2)"
P~'llC 3..' inf\\ffil;t\\;C, 11CC~'.\°'•Ín.l-,
/1
n-1
~ (x -
,uhrc ::S 1 (11(in 111' 1 dJ Scl,"ào
I0.3, F\Cn1.:10 55
29.
n • (J
n=ll
li
"" - 2>"<11 + 1><x - 1>"
2s. L:<
00
5. .L.J
2:
n- 1
1)" ... 1(x + 2)"
2"
11
n • I•
2.
o
00
")'
l
li
3"
31.
n• I
~·"
15. n-=i1 ~
~ t4x - 5)211 + 1
(3x + 1y•+ 1
00
2:I 211 + -
32.
f/3/2
?
11•
2: 2 · 4 • 8 1· · • ( 211) x"
33. ""
n= 1
6. .'2:(2x)"
~ 3 • 5 . 7 ... (211
11 •0
34. L.J
,
n· · 2"
n=l
00
i 1. ,,<;;:.,
L:
00
21
n(x + 3)"
5"
( - 1)"(x + 2)"
8. •
(x -
10.
1)"
2: \/,;
.~1
/1
Nos Exercícios 37-40. encontre o raio de convergência da série.
""
20. L:%(2x + 5)"
37
""
~
00
38
li 1
.
• 11.f( 3 · 6 · 9 · · • 3n X
n= I
2:
• n• I
(
n
2 • 4 • 6 .. . (211) ) 2
2 • 5 • 8 · · · (311 - 1) .r"
I
00
22.
2: (v;;-+I - \/,;)(x - 3)"
n-1
2: (2 + (- 1)") • (x + 1y•- 1
11 -
ou
~ __;1
n x''
L.J
_ +2+3+···+
_.;;;.._....;;;...______
35.
• ~ 1 12 + 22 + 32 + ... + "z
36.
...,
21.
x""" 1
00
li
"" x''
""
9. L.J • r
n z l 11 v 113"
!lO
+ 1)
23.
,~; ( 1 + li1 ) " x"
39.
40.
2: ( ~ 1)'?x"
li
(Sugestão: aplique o teste da raiz.)
1
li
52 Cálculo
Nos Exercícios 41-48. utilize o Teorema 20 para encontrar o intervalo de convergência da série e, dentro desse intervalo, a so1na da série
como unia função de x.
4 1.
L
3"xn
tt-0
45.
~
(\/'.; - 1) "
n-0
2
<'O
42.
2: <e"' - 4 >"
46. :Í:On x)"
n ~O
J
b. Encontre uma série para e' dx. Você obtém a série para e''!
Explique sua resposta.
e. Substitua x por - x na série para e' para encontrar uma série
que convirja para e-x para todo x. En1 seguida. n1ultiplique
a série para e• e e , para encontrar os seis prin1ciros termos
de un1a série para e-x · e'.
53. A série
n~o
62x9
x3
2x5
17x7
+ ...
tgx = X+-+-+ J 15 +
3
15
2835
43.
"" (x + 1y111
44.
9"
n•O
2:
Teoria e exemplos
49. Para quais valores de x a série
l -
~ (x - 3) + ! (x - 3) 2 + .. · + ( - ~) n(x - 3 )" + ·· ·
converge? Qual é sua soma? Qual série você obtén1 se derivar
a série dada termo a tenno? Para quais valores de x a nova
série converge? Qual é sua soma?
50. Se você integrar tenno a termo a série do Exercício 49, qual
nova série você obtém? Para quais valores de x a nova série
converge? E qual é o outro non1e para sua soma?
SI. A série
sen x = x -
x3
x5
x1
x9
x 11
3T + 5! - 7T + 9i - TiT + · ··
converge para sen x para todo x.
a. Encontre os seis primeiros termos de uma série para eos x.
Para quais valores de x a série deve convergir?
b. Substituindo x por 2x na série para sen x, encontre uma
série que convirja para sen 2x para todo x.
e. Uti lizando o resultado no item (a) e a 1nultiplicaçào de
séries, calcule os seis prin1eiros tennos de unia série para
2 sen x cos x. Compare sua resposta com a resposta no
item (b).
52. A série
e.r =
converge para e' para todo x.
a. Encontre a série para (dldx) e'. Você obté1n a série para e''?
Explique sua resposta.
10.8
converge para tg x para -rrn < x < .,,.12.
a. Encontre os cinco primeiros tem1os da série para ln lscc xi.
Para quais valores de x a série deve convergir?
b. Encontre os cinco prin1eiros tern1os da série para sec2 x.
Para quais valores de x a série deve convergir?
c. Confira seu resultado no itcn1 (b) elevando ao quadrado a
série dada para sec x no Exercício 54.
54. A série
secx =
277 8
8064 X + ...
converge para sec x para -rr/ 2 < x < 'Trn.
a. Encontre os cinco prin1eiros terinos de uma série de potências para a função ln jsec x + tg xj. Para quais valores de x a
série deve convergir?
b. Encontre os quatro pri1neiros termos de unia série para
sec x tg x. Para quais valores de x a série deve convergir?
e. Confira seu resultado no iten1 (b) n1ultiplicando a série
para sec x pela série dada para tg x no Exercício 53.
55. Unicidade da série de potências converge nte
a. Mostre que se duas séries de porências L,,=oa,,t" e L: ob,,t•
são convergentes e iguais para todos os valores de x en1 um
intervalo aberto (-e, e), então 1111 = h,, para todo 11. (Sugestão:
sejaftx) = L 11-o a,,1""= L~o b,r". Derive termo a termo para
n1ostrar que tanto an quanto b,, são iguais a.f1"l(0)/(11!).)
b. Mostre que se Ln=Oa,;."= O para todo x em un1 intervalo
aberto (-e, e), então a,, = Opara todo 11.
56. Soma da série "i.";'=0 ( 112/ 211 ) Para encontrar a son1a dessa
série, expresse l/( 1 - x) como u1na série geométrica, derive
an1bos os lados da equação resultante e1n relação a x. multiplique ambos os lados do resultado por x, derive nova1nente,
1nultiplique por x novainente e faça x igual a 1/2. O que você
obtém?
Séries de Taylor e de Maclaurin
Esta seção mostra co1no as funções que são infinitan1ente deriváveis gera1n séries de potências chan1adas de séries de Taylor. Em muitos casos. essas séries podc1n
fornecer aproximações polinomiais das funções geradoras. Por seren1 usualmente
utilizadas por 111ate1náticos e cientistas, as séries de Taylor são consideradas como
utn dos 1nais importantes tópicos deste capítulo.
Representações das séries
Saben1os a partir do Teorema 21 que, dentro de seu intervalo de convergência,
a son1a de unia série de potências é u1na função contínua com derivadas de todas
as ordens. Mas e quanto ao oposto? Se un1a função f(x) tem derivadas de todas as
ordens e1n un1 intervalo !, ela poderá ser expressa como un1a série de potências em
n Se puder, quais serão seus coeficientes?
Capítulo 10 Sequências e séries infinitas
53
Podemos responder à últin1a questão prontamente se assumirn1os que/(x) é a
son1a de urna série de potências
f(x) =
2:
a,,(x - a)"
11=0
= ao + a1 (x - a) + a2(x - a ) 2 + · · · + a,,(x - a)" + · · ·
con1 u1n raio de convergência positivo. Repetindo a derivação termo a termo dentro
do intervalo de convergência !, obtemos
f'(x) = ai + 2a2(x - a) + 3a3(x - a) 2 + · · · + 11a11 (x - a)'1- 1 + · · ·,
f"(x) = l · 2a2 + 2 · 3t13(x - a) + 3 · 4a4(x - a) 2 + · · ·,
!"' (x) = 1 • 2 · 3a3 + 2 · 3 • 4a.i(x - a) + 3 · 4 · 5a5(x - a) 2 + · · · .
com a n-ésima derivada, para todo 11, sendo
j '<11 l(x) = n !a,, + a soma de termos com (x - a) con10 un1 fator.
Uma vez que essas equações são todas válidas em x = a, temos
/'(a) = a 1,
j'"(a) = 1 • 2a2 ,
f º111(a) = 1 · 2 · 3a3,
e. em geral,
f '"'(a) = 11!011•
Essas fónnulas revelam um padrão nos coeficientes de qualquer série de potências
0 a,,(x- aY' que converge aos valores dej'e1n f (''representa/ em/"). Se
ex.istir essa série (ainda uma questão en1 aberto), então haverá somente uma série
desse tipo, e seu 11-ésimo coeficiente será
L::°
t">(a)
a,, = n.'
Se/tiver uma representação e1n série, então a série deverá ser
f"(a )
f(x) = f(a) + f '(a) (x - a)+
! (x - a} 2
2
f'"l(a)
+ · · · + n.1 (x - a)11 + · · ·.
{1)
Mas se começam1os com uma fin1ção arbitrária/que é infinitan1ente derivável em
urn intervalo I centrado en1 x = a e usarmos para gerar a série na Equação 1, será que a
série então irá convergir paraj(x) para cada x no interior de n A resposta é talvez - para
algurnas funções, isso ocorrerá, mas para outras fi1nções. não, conforme vere1nos.
Séries de Taylor e de Maclaurin
A série à direita da Equação l é a mais importante e útil que iremos estudar
neste capítulo.
BtOGRAflAS lllSTÓRJCAS
~~~~~~~~
Brook Taylor
l DEFINIÇÕES Seja/uma função com derivadas de todas as ordens en1 algun1
intervalo contendo a corno urn ponto interior. Então, a série de Taylor gerada
por f en1 x = a é
( 1685-1731)
Colin Maclaurin
( 1698-1746)
J lkl(a)
À k!
f"(a)
(x-a)k=f(a)+f(a)(x-a)+
! (x-a) 2
.
,
2
+ · ·· +
j <">(a)
li.1
(x - a)" + · · · .
A série de Maclaurln ger ada por/ é
1
2:
k- 0
/ Ckl(O)
.r
k.
/ 11 (0) 2
! '"1(0)
xk = /(O) + f'(O)x +
x + ·· · +
r x" + · · ·,
2.1
11.
1 a série de Taylor gerada porf em x =O.
1
54
Cálculo
A série de Maclaurin gerada por j"cosnLma ser sin1plesmente chan1ada de série
de Taylor de/
EXEMPLO 1 Encontre a série de Taylor gerada porflx) = llx em a = 2. Onde, se
em algu1n lugar, a série converge para llx?
Solução Precisamos encontrarj{2),j"'(2),/"(2), ... Ton1ando as derivadas. temos
f{x) = x- 1, f'(x) = - x- 2 , f"(x) = 2 L\·- 3, ... , j "<11>(x) = (- 1)'111!x-<11"'" ll,
de forma que
/(2) = 2- 1 = ~'
/'(2) = -~.
/"(2) = 2- 3 = ...!_
2!
23'
n!
'
211+1 ·
A série de Taylor é
,
/"(2)
'
f"l(2)
li
/(2) + f (2)(x - 2) +
(x - 2)- + · · · +
(x - 2) + · · ·
2!
11!
(x - 2)
(x - 2 ) 2
,, (x - 2 )"
222 +
23
-··· + (-I ) 211+1 +·· -.
l
Essa é u1na série geo1nétrica con1 o primeiro termo 1/2 e razão r = -(x - 2)/2.
Ela converge absolutamente para lx- 21< 2 e sua soma é
1/ 2
1 + (x - 2)/2
l
l
=
x·
2 + (x - 2)
Nesse exe1nplo, a série de Taylor gerada por j{x) = 1/x cm a = 2 converge para
l/x para lx - 21<2 ou O< x < 4.
Polinômios de Taylor
A linearização de uma função derivávelj"em um ponto a é o polinômio de grau
u1n dado por
P1(x) = j{a) + f'(a) (x - a).
Na Seção 3.11 utiliza1nos essa linearização para aproxin1ar/(x) en1 valores de x
próxin1os de a. Se/tem derivadas de orden1 superior em a, então ela terá tan1bém
aproxin1ações polinon1iais, tuna para cada derivada disponível. Esses polinôn1ios
são denon1inados polinômios de Taylor de/
DEFINIÇÃO Seja_f un1a função con1 derivadas de orde1n k para k = 1. 2, ... , N
e1n algun1 intervalo contendo a corno wn ponto interior. Então, para qualquer
inteiro 11 de O a N, o polinôn1io de Taylor de ordent /1 gerado porf em x = a
é o polinômio
P,,(x) = f(a) + f'(a)(x - a) +
!"(a)
, (x - a) 2 + · · ·
2
1<1.l(a)
11t1l(a)
+ kt (x - a )k + ... +
' (x - a)".
.
li.
Falamos de uni polinômio de Taylor de orden1 n en1 vez de grau n porque
J <11>(a) pode ser zero. Os dois prin1eiros polinôn1ios de Taylor de f{x) = cos x em
x = O, por exernplo. são P0(x) = 1 e P 1(x) = 1. O polinômio de Taylor de pri1neira
ordem ten1 grau zero. não um.
Assin1 co1no a linearização de/ en1 x =a fornece a rnelhor aproxin1ação linear
de/ao redor de a, os polinômios de Taylor de maior ordem fornecem as "melhores"
aproxin1ações de polinõrnios de seus respectivos graus. (Veja o Exercício 40.)
Capítulo 10 Sequências e séries infinitas
EXEMPLO 2 Encontre a série de Taylor e os polinômios de Taylor gerados por
fi.x) = e' en1 x = O.
y
3.0
55
y = l' ~y = P3(X)
? -
-.:>
Solução Como / 111l(x) = e-' e / <11 >(0) = 1 para todo /1 = O. 1, 2, .... a série de Taylor
gerada porf en1 x =O (veja a Figura 10.17) é
.l' = P1(X)
/(O) + j ' (O)x + f"(O) x 2 + · · · + f ">(O) x" + · · ·
2!
11!
2.0
= I
1.5
1.0
0.5
Essa é tan1bé111 a série de Maclaurin para e<. Na próxi111a seção, vere1nos que a
série converge para et en1 todo x.
O polinô1nio de Taylor de orde1n 11 ern x =O é
,-2
x"
P,,(x) = 1 + x +=2 + .. · + 1.
li.
Gráfico deflx) =e' e seus
polinô1nios de Taylor
FIGURA 10.17
P 1(x)=l + x
P 2(x) = J +x+(xl/2!)
P 3(x) = 1 + x + (x2/2!) + (.rl/3!)
Note a proximidade dos gráficos perto do
centro x = O(Excn1plo 2).
EXEMPLO 3 Encontre a série de Taylor e os polinôn1ios de Taylor gerados por
.fCx) = cos x etn x = O.
Solução O cosseno e suas derivadas são
f(x) =
cosx,
f'(x) =
f"(x) =
- cosx,
f )1(x) =
f 211>(x) = ( - 1)" COS X,
- senx
'
senx,
f 211+ tl(x) = (- l)"+t senx.
E1n x = O. os cossenos são l e os senos são O, portanto
J <2nl(O) = (- l )",
1 ·<2'rH >(Q) = 0.
A série de Taylor gerada por/en1 Oé
/"(O) 1
J"' (O) 3
/ " 1(0)
/ (O) + f'(O)x +
x" + · · ·
, x + 31 x + · · · +
2•
•
11.1
,
4
,
x-"
:__ + 0 · x 3 + ::_ + .. · + ( - 1)"
+ .. ·
2!
4!
(211 )!
r-
l + Ü' X .
oo ( - I )kx 2k
r
~ (2k)!
Trata-se também da série de Maclaurin para cos x. Observe que son1ente potências pares de x ocorrem na série de Taylor gerada pela !'unção de cosseno, o que é
consistente co1n o fato de que se trata de uma função par. Na Seção 10.9, verernos
que a série converge para cos x e1n todo x.
Como/f2n+1>(0) = O, os polinô111ios de Taylor de ordens 211 e 211 + 1 são idênticos:
x 2 x4
' x .?"
P211(x) = P 2,,+ 1(x) = l - 2 ! + 4! - ··· + (- 1)' ( n)! ·
2
A Figura 10.18 n1ostra o quão ben1 esses pol inôn1ios aproximan1 j{x) = cos x
perto de x = O. Somente as partes à direita do gráfico são d.adas, uma vez que os
gráficos são sin1étrieos e1n relação ao eixo y .
56
Cálculo
)'
FIGURA 10.18
Os polinômios
n
Pi,,(J:) =
(- J)kxlk
.f.t, (2k)!
converge111 a cos x conforme 11 -+ oo. Pode1nos deduzir o con1portan1ento de
cos x arbitrariamente longe sornenle a partir do conhecin1en10 dos valores do
cosseno e suas derivadas en1 x = O(Exernplo 3).
EXEMPL04
)'
Pode-se n1ostrar (embora não facihnente) que
x=O
x;it:O
-2
-l
o
2
FIGURA 10.19 O gráfico da extensão
continua de y = e- 11"' é tão plano na origen1
que todas as suas derivadas nesse ponto
são zero (Exernplo 4). Sendo assin1, sua
série de Taylor não é a própria função.
A série converge para todo x (sua son1a é 0), nias converge paraf(x) sarnente en1
x = O. Isto é, a série de Taylor gerada por f(x) neste exemplo não é igual à própria
função f(x).
Duas quesiões ainda permanecem.
1. Para quais valores de x podemos normaln1ente esperar que uma série de Taylor
convirja para sua função geradora?
2. Com que precisão os polinômios de Taylor de uma função se aproximan1 da
função em dado intervalo?
As respostas são fornecidas pelo teoren1a de Taylor na próxi1na seção.
Exercícios 10.8
Encontrando polinômios de Taylor
Encontrando st?ries de Taylor em x= O (séries de Maclaurin)
Nos Exercícios 1-1 O. encontre os polinômios de Taylor de ordens O,
1, 2 e 3 gerados por/em a.
.1. .f(x) =~.a = O
6. /(x) = l/(x + 2), a = O
2. /(x) = sen x, a = O
7. /(x) = sen x. a = TT/4
8. /(x) = tg x. a = TTl4
3 . .f(x) = lo x. a = L
4 • .f(x) = ln (1 + x). a = O
9 . .f(x) = Vx. u = 4
Encontre a série de Maclaurin para as funções nos Exercicios 1l -22.
11. e-.r
15. sen 3x
5. .f(x) = 1/x, a = 2
1O. ./{x) = ~. a = O
12. x e'
1
X
16 . sen 2
13. 1 + X
17. 7 cos (- x)
2 +X
14. 1 - X
18. 5 COS 1TX
Capítulo 10 Sequências e séries infinitas
19. coshx =
20. senhx =
e• + e-•
2
38. (Co11tin11aç<io do Exercício 37.) Encontre a série de Taylor gerada por e' em x = 1. Con1parc sua resposta com a fórn1ula no
Exercício 37.
2 1. .0 - 2x3 - Sx + 4
e.r - e-•
x -'
39. Suponha quc/(x) tenha derivadas até orden111 en1 x = a. Mos-
22. X+ J
2
tre que o polinômio de Taylor de ordem n e suas 11 primeiras
Encontrando séries de Taylor e de Maclaurin
Nos Exercícios 23-32. encontre a série de Taylor gerada por f em
x= a.
23. j'(.r:) = x3 - 2x + 4. a = 2
24. /(x) = 2.r1 + .il- + 3x- 8, a = 1
25. f(x) =x" + .rl + 1. a = - 2
26. f(x) = 3.~ - x4 + 2.,y-1 + x2 - 2, a = - 1
derivadas tên1 os n1esn1os valores que f e suas 11 prin1ciras derivadas tê1n em x = a.
40. Propriedades de aproxin1ação dos polinômios de Taylor
Supoaba que Jtx) seja derivável em wn intervalo centrado em
x = a e que g(x) = b0 + b 1(x - a) + ·· · + b,,(x - a)" seja lun
polinôn1io de grau 11 com coeficientes constantes b0 , .... b,,. Seja
E(x) - j"(.x) - g(x). Mostre que se impusermos en1 g as condições
i) E(a) = O
o ~ rro LI~ JJ" ,1x 11 1.1\ ~o .: ;.:ro .:111 , 11
27• •f(x) = l/x2, a = 1
28. f(x)= l/(l -
.. .
E(x)
11) hm ( .
)" = O.
.r -<1 .,t - a
x) 3, a=O
29. .f(x) = e', a = 2
O crio e: 1n,ign1ficantc qunnJo
~<•1n1•ar.nll> a C1 - a 1· .
então
30. f(x) = 2X, a= 1
g(x) = /(a) + f'(a) (x - a ) +
31. .f(x) = cos (2x + ('1Tl2)), a = '1Tl 4
32. f(x) = \h+J'.a = O
Nos Exercícios 33-36, encontre os três pri1nciros termos diferentes
de zero da série de Maclaurin para cada função e os valores de x
para os quais a série converge absolutan1ente.
33. f(x) = cos x - (2/( 1 - x))
34. f(x) = ( 1 - x +.\..?)e'
35. f(x) = (sen x) ln (J + x)
36. f(x) = x sen2 x
Teoria e exemplos
37. Utilize a série de Taylor gerada por~ en1x=a para mostrdr que
2
e·' = eº
10.9
57
[1 + (x - a) + (x;,ª> + ... ] .
/"(a)
,
(x - a )· +
21
+
J'">(a)
li 1
(x - a)".
Dessa forma, o polinôniio de Taylor P11(x) é o único polinõ1nio
de grau menor ou igual a n cujo erro é zero em .t = a e insignificante quando comparado com (x - a)".
Aproxin1ações quad ráticas O polinôn1io de Taylor de ordem 2
gerado por uma função duas vezes derivãvel.f(x) em x = t1 é chamado de aproxi1naç<io q11adrá1ica de/cm x = a. Nos Exercícios 41-46,
encontre (a) a linearização (polinô1nio de Taylor de orde1n 1) e (b) a
aprox_imação quadrática def em x = O.
41. /(x) = ln(cosx)
44. /(x) = cosbx
45 • ji(X ) = SCO X
42. ji(,,.v) = e-Mii l
43. j '(x) = 1 /~
46. /(x) = tgx
Convergência de séries de Taylor
Na últi1na seção. perguntamos quando poden1os esperar que un1a série de
Taylor para urna função convirja para aquela função (geradora). Responderemos a
essa questão nesta seção, com o seguinte teoren1a.
Se f e suas primeiras n derivadas
.f •.f' , ... ,/<11' forem conünuas no intervalo fechado entre a e b, e.f <111 for derivável no intervalo aberto entre a e b, então existe um nú1nero e entre a e b, tal que
TEOREMA 23 - Teorema de Taylor
f" (a)
f(b) = f(a) + J'(a)(b - a) +
! (b - a) 2 + .. ·
2
s<n+ 1'(e)
/ (11l(a)
+ 11.' (b - a. )" + (Jn + 1)'. (b - a )"+ 1 .
O teorema de Taylor é uma generalização do teorema do va lor médio (Exercício 45). Há un1a prova para o teorerna de Taylor ao ténnino desta seção.
Quando aplicamos esse teore1na, geraltnente deseja111os n1anter o valor de a
fixo e tratar b con10 uma variável independente. A fórmula de Taylor é mais fáci l de
ser utilizada em circunstâncias co1no essa se substituirmos b por x. Aqui está un1a
versão do teorema com essa alteração.
58
Cálculo
Fórmula de Taylor
Se/tem derivadas de todas as ordens em u1n intervalo aberto I contendo a,
então para cada inteiro positivo 11 e para cada x em!,
!"(a)
f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) +
(x - a) 2 + · · ·
21
/"l(a)
+
onde
(x - a)n + R (x)
n
11!
;·<11+1l(c)
.
1
R,,(x) = (n + l)! (x - a)" ...
(1)
'
para algun1 e entre a ex.
(2)
Quando enu11cia111os o teore1na de Taylor dessa forma, ele nos djz que para
cada x e /,
f(x) = P11(x) + R,,(x).
A.função R,,(Y) é detenninada pelo valor da (11 + J)-ésilna derivadajintlJ no ponto e que
depende tanto de a quanto dex e que está em algum ponto entre eles. Para qualquer valor de
11 que desejannos, a equação nos dá tanto unia aproxi1naç.1o polino1nial def daquela orde1n,
quanto un1a fónnula para o erro envolvido no uso daquela aproximação sobre o mtervalo /.
A Equação 1 é chan1ada fór1nula de Taylor. A função R11(x) é deno1ninada resto de ordem 11 ou tcrn10 do erro para a aproximação de/por P,,(x) sobre/.
Se R,,(x) - O conforme 11 - oo para todo x e i, dizemos que a série de Taylor
gerada porf e1u x = c1 co nvcrge paraf e1n 1, e escrevemos
oo jkl(a)
J(x) = ~ k! (x - a)~.
Sempre podemos estimar o valor de R,, sem saber o valor de e, confon11e ilustra
o exemplo a seguir.
EXEMPLO 1 Mostre que a série de Taylor gerada por f(x) =ex em x = Oconverge
para.f(x) para todo valor real de x.
A função te1n derivadas de todas as ordens no intervalo I = (-oo, oo). As
Equações 1 e 2 com/(x) =e' e a= Oresultam en1
Solução
"2
r"
+ x + '-2!
+ · · · + '-n!
+ R"(x)
Puhn,111111> da S..:t;à11 lIJ li,
E\~11111111::?
e
e"
R,,(x) = (n + l)!x +
11
1
paraalgumcentreOex.
Con10 e.ré urna fw1ção crescente de x, é está entre e0 = 1 e e\. Quando x é negativo, e tan1bén1 é, e e·< 1. Quando x é zero, er = 1 e R,,(x) =O. Quando x é positivo,
e també1n é, e é< ex. Desse modo. para R11(x) dado acirna.
lxl"+I
IR11(x) I < (l1 + I)!
quandox<O,
.~
quando x > O,
. ,.
e
~
J
x"+'
R,,(x) J < e· (n + )!
1
Por fin1, uma vez que
lim
X
·
11 ..... 00 ( n
11+ I
+ l )!
= O para todo x,
lim R,,(x) = O, e a série converge para e\ para todo x. Assin1,
11--<>00
.
e'~ =
xk
x2
xk
2: - = 1 + + -2! + ··· + -k! + · ··
J; : o k!
X
(3)
Capítulo 10 Sequências e séries infinitas
59
Podemos utilizar o resultado do Exen1plo 1 con1 x = l para escrever
1
1
e= 1 + 1 +- + .. ·+ - + R ( I)
2!
n!
n
'
onde, para algun1 e entre Oe 1,
1 O nú1nero e co n1 0 uma série
e=
"' 1
2:11=ó li!
R,,( 1) = e" (n
1 <
I)!
3
(11 + 1)!.
Estimando o resto
Frequenten1ente é possível estimar R,,(x) con10 fize1nos no Exe1nplo 1. Esse método
de estunativa é tão conveniente que o considera1nos um teorema para referência funir.i.
TEOREMA 24 - Teorema da estimativa do resto Se existir uma constante
positiva M tal que 1(<11+1>(1)1 < Nl para todo t entre x e a, inclusive, então o ter1110 do resto R,,(x) no teoren1a de Taylor satisfaz a desigualdade
lx - al "+t
IR,,(x)I s; M (n + I )! .
Se essa desigualdade for válida para todo n e as outras condições do teoren1a de Taylor foren1 satisfeitas porf, então a série converge paraj{x).
Os dois próximos exemplos utilizam o Teorema 24 para 1nostrar que as séries
de Taylor geradas pelas funções de seno e cosseno, na verdade. converge1n às pró-
prias funções.
EXEMPLO 2
Mostre que a série de Taylor para sen x em x = O converge para todo x.
Solução A função e suas derivadas são
f(x) =
sen x,
f' (x) =
COS X,
J"(x) =
- senx,
/"'(x) =
- COS X,
j 2">(x) = (-1 )k scn x.
portanto
j12'l(O) =oe/<2' + ''{O) = (- 1)t.
A série tem somente termos de ordem ímpar e, para /1 = 2k + 1, o teorema de
Taylor dá
x3
xs
( - I )kx2k+ t
senx = x - 3! + 5! - · · · + (2k + l)!
+ Rik-r 1(x).
Todas as derivadas de sen x possuem valores absolutos menores ou iguais a 1, de
foriua que pode1nos aplicar o teorema da estin1ativa do resto com M = 1 para obter
lxl2,1;+2
IR2.1:+ 1(x)I < 1. (2k + 2)!.
A partir do Teore1na 5, Regra 6, te1nos (lxl2k+2/(2k + 2)!) - O quando k - oo,
qualquer que seja o valor de x, de forn1a que R2k+ 1(x) - O e a série de Maclaurin
para sen x converge para sen x para todo x. Portanto.
(- l )kx2k+I
x3
xs
x1
sen.r = ~ (2 k+ l)! =x-3!+ 5! - 7! +· ··.
(4)
EXEMPLO 3 Mostre que a série de Taylor para cos x em x = O converge para
cos x para todo valor de x.
Solução Ad.icionan1os o resto ao polinôtnio de Taylor para cos x (Seção 10.8, Exen1plo 3) para obtermos a fórn1ula de Taylor para cos x com n = 2k:
60 Cálculo
x2
cosx = 1 -
x2k
,.-1
2T + 4T - ··· + (-1)* (Ík)! + R2A(x).
Como as derivadas do cosseno têm valores absolutos menores ou iguais a 1, o
teorema da estimativa do resto con1 M = 1 dá
lx1ik+ 1
1R2k(X) 1 < 1 • ( 2k + l ) ! .
Para todo valor de x, R2k(x)-+ O conforn1e k-+ oo. Po1tanto, a série converge
para cos x para todo valor de x. AssiJn,
oo ( - l )kx2*
cosx =
2: (?k)'
k= O
-
(5)
•
Utilizando a série de Taylor
Como toda série de Taylor é uma série de potências, as operações de adição,
subtração e n1ultiplicaçào das séries de Taylor são todas válidas na intersecção de
seus intervalos de convergência.
EXEMPLO 4 Utilizando sé1ies conhecidas, encontre os prin1eiros termos da série
de Taylor para a função determinada, urilizando operações de séries de potências.
1
(a) 3 (2t + x cos x)
(b) e' COS X
S-0lução
x4
k x1k
)
2 X + 3l X ( 1 - x2
(a) 31 {2t + X cos x) = 3
2! + 4! - ... + (- I) (2k)! + ...
2
l
= 3X + 3X -
x5
x3
3T + 3 ' 4! - ...
~ lulltpltqu~ 3 rr1111..-1ra
~.:nc por ~.1J.1 1cr111" d.1
~guri<la ..Cn,·
=
1
Pelo Teorema 20, podemos utilizar a série de Taylor da função f para encontrar
a série de Taylor de .f<u(x)) onde u(x) é qualquer função continua. A série de Taylor
resultante dessa substituição irá convergir para todo x tal que 11(x) fica dentro do intervalo de convergência da série de Taylor de.f Por exemplo, podemos utilizar a série de
Taylor para cos 2~· substituindo 2x por x na série de Taylor para cos x:
O., ( [ )k{"\ v)2/i:
(2x}2 {"\LA··)4 (2v)6
""
L+•
'
Equ:u;âo 5 Colll
cos2x = ,L.i
(2k)'
1 - 21 + 41 61 + .. . :?.' p.ua'
k~O
·
·
26x6
_6_!_ + ...
JO
22.t 2k
""
X
~(-l
) k (2k)!
.
•
Capítulo 10 Sequências e séries infinitas
61
EXEMPLO 5 Para quais valores de x podemos substituir sen x por x - (.r3/3 l) con1
um erro de 1nagnitude inferior a 3 X 10-4?
Solução Aqui podemos tirar vantagem do fato de que a série de Taylor para sen x é
un1a série alternada para todo valor de .x diferente de zero. De acordo com o teoren1a
da estimativa de séries alternadas (Seção 10.6), o erro no truncamento
sen x = x -
x3 '
xs
3! + 5! - · · ·
depois de (x3/3 !) não é 1naior que
xs
lxl5
-5! - -120 .
Portanto o erro será n1enor ou igual a 3 X 1O 4 se
lxls < 3 X J0--4
120
ou
\n..:nlk>ndadu Jl•tr.i
lxl < ~360 X J0- 4 ~ 0,514. m..:n•"·
por
'cgur;in~
O teorema da estirnativa de séries alternadas nos diz algo que o teorema da estimativa não diz: que a estimativa x - (x3/3!) para sen x é un1a subestimativa quando
x é positivo, porque então l.s/ 120 é positivo.
A Figura 10.20 mostra o gráfico de sen .x, junto com os gráficos de um número
de seus polinôrnios aproxi1nadores de Taylor. O gráfico de P3(x) = x -(x3/3!) é quase indistinguível do gráfico da curva seno quando O<x < l.
2
o
8
-1
-2
FIGURA 10.20
Os polinô1nios
• (-l)kx21* I
P2,,+1(x) = .<~ (ik + 1)!
convergem para sen x confonne 11 - oo. Observe o quão próximo
P 3(x) chega da curva seno para x ~ 1 (Exemplo 5).
Uma prova do teorema de Taylor
Provamos o teorema de Taylor assun1indo a< b. A prova para a> b é quase a mesma.
O polinôn1io de Taylor
f" (a)
/ (n)(él)
2
, (x - a) + · · · +
P,,(x) = f(a) + f'(a)(x - a) +
(x - a)n
2.
li 1
.
e suas pritneiras 11 derivadas co1nbinan1 co1n a função f e suas n prirneiras derivadas
en1 x = a. Não alteramos essa con1binação se acrescentannos outro ter1no na forma
K(x - a),,.,.1, onde K é algun1a constante, porque tanto esse termo quanto suas 11 pri1neiras derivadas são todos iguais a zero em x = a. A nova ftmção
cf>,,(x) = P,,(x) + K(x - a)11+1
e suas /1 primeiras derivadas ainda concordam com/ e suas n primeiras derivadas
em x = a.
62
Cálculo
Escolhe1nos agora o valor en1 particular de K que faz a curva y = <P,,(x) concordar com a curva original y = j(x) em x = b. Em símbolos,
f(b) = Pn(b) + K(b - a)11 +I
ou
f(b) - P11(h)
K=----1
(b - a)"+
(7)
•
Com K definido pela Equação 7. a função
F(x) =.f(x) - <P11(x)
mede a diferença entre a função original f e a função aproximativa <j)11 para todo x
e1n [a. b].
Utilizan1os agora o teore1na de Rolle (Seção 4.2). Primeiro, dado que F (a) =
F(b) = Oe tanto F quanto F' são contínuas e111 [a, b], saben1os que
para algun1 c 1 e1n (a, b).
Depois, Luna vez que F'(a) = F'(c1) = O e tanto F' quanto F" são continuas em
[a, c 1], sabemos que
para algum c2 em (a, c 1)
O teorema de Rolle, aplicado sucessivamente a F", F"', ... , F <n- 1), implica a
existência de
c3 em (a, c2)
tal que F '''(c3) = O,
C4 em (CI, C3)
tal que fi4}(c4 ) =O.
•
•
.
tal que fi 11l(cli ) =O •
Finaln1ente, sendo P") contínua em [a, c11] e derivável en1 (a, e,,), e Fi11>(a) =
ff.11 l(cn) =O, o teoren1a de Rolle implica que existe um nún1ero c,,+1 en1 (a. e,,) tal que
eli em (a • e1~1 )
F CirH >(c,.+1) =O.
(8)
Se derivarn1os F(x) =f(x)- P,,(x) - K(x - a)n+I um total de 11 + 1 vezes, teremos
pv•+l>(x) = f( 11+ 1>(x) - 0 - (11 + l)!K.
(9)
As Equações 8 e 9, juntas, dão
fn+ll(c)
K = (n + )!
1
para algum núrnero e= c,,+ 1 en1 (a, b).
(10}
As Equações 7 e 1Odão
j11+1>(e)
11
1
/(b) = P,,(h) + (n + l)! (b - a) + •
Isso conclui a prova.
Exercicios 10. 9
Encontrando a série de Taylor
Utilize a substituição (co1no no Exemplo 4) para encontrar a série de
Taylor er11 x = Odas funções nos Exercícios 1-1 O.
1
1. e-5.T
5. cos 5x1
9. 1 + x-'
2. e-xiz
6. cos(xll3/\/2)
i
3. 5 sen (-x)
7. ln (1 +.r2)
8. tg- 1 (3x4 )
1
10. 2 -
X
Utilize operações de séries de potências para encontrar a série de
Taylor en1 x = Opara as funções nos Exercícios 11-28.
11. xe'
12. x2 senx
x-'
13. 2'" - 1 + cosx
f;
14. scnx - x + )!
15. X COS 7TX
16. .r2 cos (Ã.2)
17. cos2 x (Sugestão: cos2 x = ( 1 + cos 2x)/2.)
Capítulo 10 Sequências e séries infinitas
18. sen 2 x
xi
19. 1 - 2x
20. x ln ( 1 + 2x)
1
21.
( 1 - x)2
2
22.
( 1 - x) 3
23. X lg- 1x2
24. scn:r · cosx
1
25. e• + l+x
26. cos x -senx
27. xln(J+x2)
3
28. ln ( 1 + x) - ln ( 1 - x)
EncontTe os quatro prin1ciros tcrn1os diferentes de zero na série de
Maclaurin para as funções nos Exercícios 29-34.
29. e' sen:r
31. (tg- 1x) 2
33. e'°" .r
ln ( 1 + x)
34. scn (tg 1x)
32. cos 2 x · sen x
30.
1- X
Estimativas de erros
35. Calcule o erro se Pi,x) = x - (x3/6) é utilizado para estimar o
valor de sen x em x = 0.1.
36. Calcule o erro se P 4(x) = 1 + x + (.r2/2) + (.r3/6) + (x4/24) é
utilizado para estimar o valor de e• e1n x = 112.
37. Por aproxin1adamente quais valores de x você pode substituir
sen x por x - (x316) cotn um erro de n1agnitude não superior a
5 )( 1o-4 ? Justifique sua resposta.
38. Secos x é substituído por l - (x2/2) e lxl< 0,5, qual estimativa
de erro pode ser feita? 1 - (x112) tende a ser muito grande ou
tnuito pequeno? Justifique sua resposta.
39. Quão prÓX.tlllll é a aprOXÍl11açào sen X= X quando !xi< J o-J7
Para quais desses valores de x é x < sen x?
40. A estimativa~ = 1 + (x/ 2) é utilizada quando x é pequeno. Calcule o erro quando lxl < 0,01.
4l. A aproxhnaçào e• = l + x + (.r2/2) é utilizada quando x é pequeno. Utilize o teorema da estima1iva do res10 para estimar o
erro quando !xi< 0. 1.
42. ( Co111i1111ação do Exercíclo 41.) Quando x < O, a série para e' é
u1na série alternada. Utilize o teoren1a da estirnativa de séries
alternadas para estimar o erro que resulta da subSlituição de e'
por 1 + x + (x2n) quando --0, 1 < x < O. Compare sua esti1nativa com aquela obtida no Exercício 41.
Teoria e exemplos
43. Utilize a identidade sen2 x = ( 1 - cos 2r)/ 2 para obter a série
de Maclaurin para sen 2 x. Então derive essa série para obter a
série de Maclaurin para 2 sen x cos x. Verifique que se 1rata de
unia série para sen 2.r.
44. (Co111i1111aç,io do Exercício 41.) Utilize a identidade cos2 x =
cos 2r+ sen 2 x para obter u1na série de po1ências para cos 2 x.
45. Teoren1a de Taylor e o teorema do valor médio Explique
con10 o teoren1a do valor médio (Seção 4.2. Teore1na 4) é um
caso especial do teorema de Taylor.
46. Linearizações nos pontos de inflexão Mostre que. se o gráfico de uma função /(x) duas vezes derivável possui un1 ponto
de inflexão x =a, então a linearização de/ em x =a é 1an1bém
a aproximação quadrá tica de/ cm x = a. Isso explica por que
as retas tangentes se ajustan1 tão be1n aos pontos de irtílexào.
47. (Segundo) teste da derivada segunda
f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) +
Utilize a equação
j"(ci)
2
(x - a) 2
para estabelecer o teste a . eguir.
Seja f con1 pri1neira e segunda derivadas contínuas e suponha quej'(a) = O. Enlào
63
a. f tem um n1ãxia10 local e1n a se f' :5 Ocm um intervalo
cujo interior contenha a;
b. f ten1 u1n 1nínin10 local em a se/'?:. Oe1n un1 intervalo cujo
interior con1enha li.
48. Aproximação cúbica Utilize a fórmula de Taylor com a= O
e /1 = 3 pan1 encontrar a aproxin1açào cúbica padrão de f(x) =
11( l - x) en1 x= O. Dê um limitante superior para a n1agnitude
do erro na aproxin1ação quando lxl <O, 1.
49. a. Utilize a fórn1ula de Taylor com 11 = 2 para enconLrar a
aproximação quadrática de/(x) = (1 + x'f em x = O(k sendo unia constante).
b. Se k = 3. para aproximadamente quais valores de x no intervalo [O, l] o erro na aproximação quadrática será 1nenor
que 1/100?
50. Aperfeiçoando aproxin1ações para r.
a. Seja Puma aproximação de 7T precisa até n casas decimais.
Mostre que P + sen P dá uma aproximação correta para 311
casas decin1ais. (SugeStão: considere P = rr + .r.)
D b. Tente fazer isso com uma calculadora.
51. Série de Taylor gerada por f(x ) = L:-oanx " é L::"-o a,,x"
Uma função definida por uma série de po1êneias Ln wOa,,x"
com um raio de convergência R > O ten1 unia série de Taylor
que converge para a função em todos os pontos de (- R, R).
Mostre que isso é verdade de1nons1rando que a série de Taylor
!')()
,, é
. . serie
. . "'
00
li
gera da porji(x ) = ~
L,,,,,0 ll,,x
a propna
~ .. =o llnX .
Uma consequência irnediata disso é que séries con10
,
.~
•'
.t'
6
..\
.8
xsenx = x- - - , + -=r - -71 + · · ·
) .
.
3.
e
r~
x5
x 2e' = x i + x 3 + :__ + - + ...
2!
3!
•
ob1idas pela multiplicação de séries de Taylor por potências de x,
be111 co1110 séries obtidas pela in1egração e derivação de séries
de potências convergentes. são as próprias séries de Taylor geradas pelas funções que elas representa1n.
52. Séries de Taylor para funções pares e funções impares
(Co11ti1111açào da Seção 10.7. Exercício 55.) Suponha que
j '(x) = L: oa,,x" converge paro todo x cn1 um intervalo aberto
(- R. R). Mos1re que
a. Se/é par, então a 1= ll 3 = a 5 =···=O, isto é, a série de Taylor
para/crn x = O contém so1ncntc potências pares de x.
b. Se/é ímpar, entãoa0 = a 2 = a 4 = ··· = O, isto é, a série de Taylor
para_fen1 x =O contém so1nente potências ímpares de x.
USO DO COMPUTADOR
A fórmula de Taylor co1n /1 = 1 e a = O fornece a linearização de
uma função em x = O. Com /1 = 2 e /1 = 3 ob1e1nos as aproximações
quadráticas e cúbicas padrão. Nestes exercícios, ire1nos explorar os
erros associados com essas aproxi.mações. Buscamos rcspos1as para
duas questões:
a. Para quais valores de x a função pode ser subs1ituida por
cada aproxirnação com un1 erro menor que 1o-2?
b. Qual é o erro máxin10 que poderemos esperar se trocarmos
n função por cada aproximação no in1ervalo especificado?
Util izando u1n SAC. execute os passos a seguir para ajudar
nas respostas dos itens (a) e (b) para as funções e intervalos nos
Exercícios 53-58.
Passo 1: Faça o gráfico da função no intervalo especificado.
64 Cálculo
Passo 2: Encontre os polinôrnios de Taylor P 1(x), P2(x) e
P3(x) en1 x = O.
Passo 3: Calcule a derivada.ffn+ll(c) de ordem (11 + 1) associada ao resto para cada polinômio de Taylor. Faça o gráfico
da derivada con10 uma função de e no intervalo especificado e
estime seu máximo valor absoluto. 1\1/.
Passo 4: Calcule o resto R,,(x) para cada polinômio. Uiilizando o M estimado do Passo 3 no lugar de/ln+l>(c). represente
grafica1nente R11(x) no intervalo especificado. En1 seguida.
calcule os valores de x que respondem à questão (a).
Passo 5: Compare seu erro estin1ado con1 o erro real E,,(x) =
lf(x) - Pn(x)I representando graficamente En(x) ao intervalo
especificado. Isso irá ajudar a responder ao iten1 (b).
Passo 6: Faça o gráfico da função e suas três aproxi.mações
de Taylor juntas. Discuta os gráficos en1 relação às inforn1a-
ções descobertas nos Passos 4 e 5.
1
53. f(x) = • ~·
v l +x
54. /(x) = ( 1 + x) 312 •
55. /(x) =
, x
3
lxl s -4
-t
s x s 2
. lxJ s 2
x- + 1
56. j(x) = (eos x)(sen 2\"), ~:i:I s 2
57. j(x) = e-:c cos 2r, µ-1 s l
58. j(x) = e''3 sen 2\-. µ1s 2
1O.1 O1--S_é_r_ie_s_b_in_o_m_1_·a_is_e_a_p_L_ica_ço_-e_s_d_a_s_s_é_ri_e_s_d_e_Ta_y_Lo_r_ _ _ _ _ __
Nesta seção, introduz.iren1os a série binon1ial para a estimativa de potências e
raízes de expressões bino1niais ( 1+ x)"'. Mostraretnos també1n como as séries podem
ser utilizadas para avaliar integrais não ele1nentares e li1nites que levam a fonnas indeterminadas e forneceremos uma dedução da série de Taylor para tg 1x. Esta seção
conclui com uma tabela de referência de séries frequentemente utilizadas.
Séries binomiais para potências e raízes
A série de Taylor gerada por/(x) = (1 + x)111 , quando 111 é constante. é
+ /lt_r +
111 ( 111 -
2!
1)
2
X
+
+
1)(111 - 2) 3
X + ··'
3!
111( 111 -
111( 111 -
1)(111 - 2) .. . (111 - k + 1) k
k!
X + · ··
(1)
Essa série, chamada de série binomial, converge absolutamente para lxl < 1.
Para deduzir a série, primeiro listan1os a função e suas derivadas:
f(x) = ( l + x)"'
f '(x) = 111( 1 + x)"'- 1
/"(x) = 111(111 - 1)( 1 + x)"'- 2
J"'(x) = 111(111 -
1)(111 - 2)( 1 + x)m- 3
..
•
/(1.l(x) = 111(111 - 1)(111 - 2) · · · (n1 - k + 1)( 1 + x)"' - ".
E1n seguida, as avalian1os cn1 x = O e substituímos esses valores na fórmula da
série de Taylor para obtermos a Série 1.
Se 111 é wn inteiro maior ou igual a zero. a série para depois de (111 + 1) tcm1os,
porque os coefi cientes a partir de k = 111 + 1 são zero.
Se 1n não é un1 inteiro positivo ou zero, a série é infinita e converge para lxl < 1.
Para saber por quê, considere uk o tem10 envolvendo J..J.. En1 seguida, aplique o teste
da raz.ão para convergência absoluta para ver que
Uk+I
u"
=
k
k + 1x
111 -
-+
lx1 conforme k-+ oo.
Nossa dedução da série binon1ial n1ostra apenas que ela é gerada por ( 1 + x)"' e
converge para lxl < l . A dedução não mostra que a série converge para ( L+ x)"'. Ela
o faz, 1nas omitin1os a prova. (Veja o Exercício 64.)
Capítulo 10 Sequências e séries infinitas
65
Série binomial
Para - 1< x < 1,
( J + x)m = t +
onde defini1nos
(Ili)
1
111)
2:
.
x",
(
k• I
k
1)
111(111 -
= 1n,
2!
e
(';) =
EXEMPLO 1
111(111 -
1)(111 - 2) ... (111 - k + 1)
k!
parak ~3.
Se 111 = -1,
- 1(-2)
2!
e
-1)
(
k
=
1
(k!)
- 1(- 2)( - 3)···{ - I - k + 1)
= ( - 1)* k!
k!
.
= ( - 1)k .
Com esses valores de coeficientes e corn x substituído por -x, a fónnula da
série binon1ial fon1ece a série geométrica fan1iliar
( 1 + x)- 1 = 1 +
L (-1 )kxk = 1 - x + x 2 - x 3 + · · · + (-1 )kxk + · · ·
k= 1
EXEMPL02 SabemosapartirdaSeçâo3.l l.Exemplol , que~ ~ 1 + (x/ 2)
para Jx J pequeno. Com 111 = 1/2, a série binon1ial também fornece aproximações
quadráticas e de ordem maior, junta1nente con1 estin1ativas de e1To obtidas a partir
do teorema da estimativa de séries alternadas:
( 1 + x)'/2 = 1 +
~ + (t) ~-t) x + (t) (-:.)(-%) x'
2
+
(t)(- t)(- ~)(-%) x + ...
4
4!
4
2
3
x
x
x
5x
= l +---+-+ ···
2
8
16
128
A substituição de x ainda dá outras aproximações. Por exemplo,
v'1 -
x2 ~
2
x
r4
1- - - ~
2
8
para Jx21 pequeno
1
para -X pequeno. ou seja, Jxl grande.
Às vezes, podemos utilizar as séries binon1iais para encontrar a son1a de un1a
determinada série de potências em termos de u1na função conhecida. Por exemplo,
x6
x2 -
.
x1 0
\' 1-1
3! + =-5! - =-7!
-
+ · · · = (t2) .
(x 2) 3
3!
+
(x 2)5
5!
-
(x2) 7
7!
Excn1plos adicionais são fornecidos nos Exercícios 59-62.
+ · · · = sen -r 2
66 Cálculo
Avaliando integrais não elementares
As séries de Taylor podem ser util izadas para expressar integrais não elementares
cm termos de séries. Integrais con10 sen .il dx aparece1n no estudo de difração da luz.
J
EXEMPLO 3
Expresse}' sen x1 dx como uma série de potências.
Soluçào A partir da série para sen x substituin1os x 2 por x para obtern1os
.,
x6
x3
x7
x'º
x l4
x lS
senx 2 = ,:lê" - -3! + -5! - -7! + -9! - · · · .
Portanto,
j
.
sen x 2 dx =
EXEMPLO 4
X 11
...
15 . 7! + 19 . 9!
e + ;_
- 7. 3! + 11• 5!
3
Calcule
X 10
X 15
f 01 sen x2 dx com um erro menor que 0.001.
Solução A partir da integral indefinida do Exemplo 3,
r
1
1
1
1
1
}o senx dx=3 - 7 · 3! + 11·5! - 15 · 7! +-19_ ·_9_! -· · ·
1
2
A série se alterna, e encontran1os por experimentação que
11 ~ 5! ::::,; 0.00076
é o primeiro termo a ser numericamente 111enor que 0,00 l. A son1a dos dois termos
precedentes dá
1
1
o
1
1
2
::::: O31 O
Sen x dx ::::: - - 42
3
'
.
Com mais dois termos, podemos esti1nar
l
'sen x 2 dx ::::: 0,310268
com um erro menor que 10-6. Corn so1nente um icrmo alé1n, teinos
{'
}
0
º
J
senx dx - 3 - 42 + 1320 - 75600 + 6894720 ~ 0,3 l0 2683 3·
2
,..._,
1
1
1
1
con1 u1n erro de cerca de 1,08 x 10-'9. Garantir essa precisão con1 a fónnula de erro
para a regra dos trapézios exigiria que cerca de 8.000 subintervalos fossem utilizados.
Arco tangentes
Na Seção l O. 7, Exemplo 5, encontramos uma série para tg 1x através da derivação para chegarmos a
-d tg -1 X =
dx
1
, = 1 - x2 + x4 - x 6 + ···
1 + x-
e ern seguida, através da integração, obtermos
tg-1 .~· = X -
"3
x5
x1
J + S - 7 + ...
No entanto, não provan1os o teoren1a da integração tenno a tern10, do qual
depende essa conclusão. Agora, deduzirnos a série novarnente integrando a1nbos os
lados da fónnula finita
Capítulo 10 Sequências e séries infinitas
1
1 + (2
(
= l - (2 + 14 -
1y•+•1211+2
+ ... + ( - 1)"1 2" + - - - 2
(6
67
1+t
(2)
'
na qual o últt1no tenno surge da adição dos tennos restantes co1no unia série geométrica com o primelío tera10 a = (- 1)n+11211+2 e razão r = - t2. Integrando ambos os
lados da Equação 2 a partir de t = O a t = x nos dá
x3
xs
,.1
x 211+1
1
tg- x = x - ;__ + ;;__ - ;;__ + · · · + (- J )"
+ R " (x) '
3
5
7
211 + L
onde
-lr
(-1 y1 + 11211+2
R,,(x) -
1+ t
o
2
dt.
O denominador do integrando é maior ou igual a l; consequentemente,
1.rl
I R,,(x) j -<
1
1X1211+ 3
2 2
1· " ' d1 = 2n +3·
Se lxl s 1. o lado direito dessa desigualdade se aproxima de zero confon11e
11 ~ oo. Portanto, li1n _. R,,(x) = O se lxl s 1 e
11
oo (-1)"x2" ~1
tgx - 2': 2 + 1 '
- 1
-
11- 0
li
lxl s 1.
lxl s l.
(3)
Ton1amos esse ca1ninho en1 vez de encontrarn1os a série de Taylor diretamente
porque as fórn1ulas para as derivadas de orden1 n1ais alta de tg- 1x são intratáveis.
Quando colocamos x = 1 na Equação 3, chegan1os à fórmula de Leibniz:
7T
4 = 1-
1
1
1
1
( - 1)"
3 + 5 - 7 + 9 - · · · + 2n + 1 + · · ·
Co1no essa série converge muito lenta1nente, ela não é utilizada na aproxi1nação
de 7T para muitas casas decimais. A série para tg- 1 x converge mais rapidamente
quando x está próximo de zero. Por esse motivo, as pessoas que utilizam a série para
tg- 1x para co111putar 7T usam várias identidades trigonon1étrícas.
Por exen1plo, se
a = tg- 1 1
2
e
então
tg (a + {3) =
tg a + tg f3
1- tg a tg f3
1
1
2+3
1. -
-61
7T
= tg 4
e
47T = a + f3 = tg- 1 z1 + Lg-1 31 .
Agora a Equação 3 pode ser utilizada con1 x = 1/2 para avaliar 1g 1( 1/2) e co1n x =
1/3 para chegar a tg 1 (1 /3). A soma desses resuJtados, n1ultiplicada por 4, nos dá 7T.
Avaliando formas indeterminadas
Podemos algumas vezes avaliar fonnas indetennioadas expressando as funções
envolvidas con10 séries de Taylor.
EXEMPLO 5
Avalie
•
Jn X
11m
.
x-1 X - 1
68 Cálculo
Solução Representamos ln x con10 u1na série de Taylor en1 potências de x- l. Pode-
mos conseguir isso calculando a série de Taylor gerada por lnx em x = 1 dLretamente
ou substituindo x por x - 1 na série para ln ( 1 + x) na Seção 1O.7, Exemplo 6. Com
qualquer das duas fóm1ulas obten1os
~ (x -
ln x = (x - 1) a partir do qual concluí111os que
1•un
lnx = 1.1111
.r-+ 1 X -
EXEMPLO 6
1
X-+ 1
(i ~
1) 2 + · · ·,
(x - 1) + ·· ·)
-
1•
Avalie
• senx - tgx
11m
x-o
x3
Solução As séries de Taylor para sen x e tg x, até terinos e1n x 5 , são
x3
xs
senx = x - 3T + 5T - · · ·,
1gx = x +
x3
2 \.s
3 + 15 + · ··.
Portanto,
3
senx - tgx =
-~ - -~ - · · • = x ( - ~ - x8 - •. ·)
2
3
e
2
.
senx
Lgx
x
)
.
(
1
1tm
= 1un - - - - - · ··
x-0
2
.T-0
XJ
8
Se aplicarmos séries para calcular li1n.r-o (( J/sen x) - ( l/x)), não apenas encontraremos o Jitnite con1 sucesso, mas tan1bém descobriremos uma fórmula de
aproxin1açào para cossec x.
EXEMPLO 7
1
Encontre lim (
.r ..... o senx
~) •
Solução
1 senx
-X
(x - fi + t -.. ·)
(x - ~3! + ~5 - •.·)
-
X -
x - senx
xsenx
X •
!
(+,- - ~). + .. ·)
x3
~-
~~~~~~~'-
·\'. 2 (1 -
::!.. .32!
1.. - _x2 + ...
3!
5!
1 -
~
+ ...
3!
=x ~----
+ .. ·)
Portanto,
. (
11m
1 - rJ ) = 1·101
x-o senx
·
.1-.0
l
x2
-3! - -5! + ...
X..;...;...-~-X2
1- -
3!
+ ...
=o.
Capítulo 10 Sequências e séries infinitas
69
A partir do quociente à direita, podemos ver que, se lxl é pequeno, então
J
1
1
X
x ~ x · 3T = 6
sen x -
l
X
cossec x ~ x + 6.
ou
Identidade de Euler
Como você pode se len1brar, un1 número complexo é um nú1nero da forn1a a + bi,
onde a e b são números reais e i = v'=I. Se substituirmos x = i(J (8 real) na série
de Taylor para e< e utilizarmos as relações
e assin1 por diante. para sirnplificar o resultado. obtemos
.8
.2 2
.3 3
.4,,.i
.slls
8
8
e
íli= t +!._+ I
1!
+'
2!
·6n6
+ 1!7 +/17 +IV +· ··
3!
4!
5!
6!
~ - -~ + · · ·) + i ( e - -~ + -e' - · · ·) = cos 8 + i sen 8
- -ez
+
2!
4!
6!
3!
5!
.
Isso não prova que<!º = cos O+ i sen 8 porque ainda não identifica1nos o que
significa elevar e a uma potência imaginária. Em vez disso, ela diz co1no definir ei8
como sendo consistente com outras coisas que saben1os.
DEFINIÇÃO
Para qualquer número real 8, ei11 = cos () + i sen 8.
(4)
A Equação 4, chamada de identidade de Euler, nos permite definir ea+bi co1no
sendo e 0 • e 1H para qualquer número complexo a + bi. Uma consequência da identidade é a equação
<!" = - 1.
Quando escrevemos a forma ei" + 1 = O. essa equação cotnbina cinco das constantes n1ais in1portantes da 1naten1ática.
TABELA 10.1
Séries de Taylor frcquenternen1e utili7..adas
l
1 -x
~x -
1 + x + x 2 + · · · + xn + · · · = 2:x",
11= 0
lxl < 1
00
1 - x + x2 -
•••
lxl < 1
+ (-x)" + ··· = ,L: (-l)"x",
""'º
r2
x"
~ x"
e<= 1 + X + ·2.1 + ... + 111. + ... = L.J 1'
.. =o li.
xJ
x5
\" 211+ 1
3!
5!
(211+ ! )!
x2
x4
lxl < oo
senx = x - -· + -· - · · · + (-1 )" - · - - - + · · · =
x2l•
oo (- 1)''x2n-" t
L
---,,- (2n+I)!'
0
oo (-1 )nx2"
. - + ... - 2:
cosx = 1 - :..._ + - - ... + <- i >" _._
2!
4!
(211)!
- ,,- o {2n)!
'
lxl < oo
ln ( 1
-l <x::5 1
x3
tg- 1X= X -
lxl < oo
\.5
x211+ t
-3 + ::.....5 - ... + (-l)"-2n_+_I + ... =
oo ( -
I )"x2n+ t
2:
---n=O 211 + 1 '
l x 1 ::::; 1
70
Cálculo
Exercícios 10.10
Séries binomiais
33.
Enco11tre os quatro prin1eiros termos da série binomial para as funções nos Exercícios 1-1 O.
l. (1 + x)l 1'2
7. (l+x3) - 112
8. ( 1 + x2)- P3
2. (1 + x) 1'3
lirn ·
y- 0
37. lj111
·
38. lim x '- - 4
.1-2 ln (x - 1)
1)
39. r1n1
tg- 1 v - sen ,.
34. Lim
·
y 3 cosy
y- o
4. (1 - 2.-) 112
1
35. lim x 2(e - lf.• -
36.
X
. V'i+x
ln ( 1 + x2)
x-o 1 - cosx
sen3x 2
.•-O 1 - cos 2x
.r->
3. (1 - x) I r.?
10
tg- I )'
·
yl
I' -
~
X
lim (x + 1)sen
.\ -oo
40. lim
x-0
Ln ( 1 + x 3)
,
x · senx-
Utilizando a Tabela 10.1
Encontre a série binomial para as Funções nos Exercícios 11-14.
11. ( 1+ x)4
13. ( 1- 2x)3
12. (1 +x2)3
14.
(1 - Í)
Nos Exercícios 41-52, utilize a Tabela 10.1 para encontrar a soma
de cada u1na das séries.
4
41
.
1 + 1 + J_ + J_ + J_ + ...
2!
3!
4!
Apr<>"ximações e integrais não elementares
0 Nos Exercícios 15-18. utilize séries para estimar os valores das integrais con1 u111 erro de n1agnitude 111cnor que 10- 3. (A seção de
respostas apresenta os valores das integrJis arredondados para cinco
casas deci1nais.)
15.
10.2 senx dx
2
16. l º;J. e . 1
t X
17.
18.
dx
10.1 1
\/1 + x4
1º~
'
19.
1
1'
enxdi;
X
20.
1
(
e-x' d.x
22. }u
dx
x2
dx
,s
.
na integral ./ 0 cos V t d1.
Nos Exercícios 25-28. encontre o polinômio que irá aproxin1ar F(x) ao
longo do intervalo dado corn um erro de rnagnitude rneuor que 10-3.
26. f "(x ) = 1~1 2 e-r dt.
[O, 1)
27. F(x) =
1"
r·
28. F(x) = J o
ln (1 + t)
1
(a) [O, 0,5]
(b) (O, l]
Util ize séries para avaliar os lin1itcs nos Exercícios 29-40.
. e·' - ( 1 + x)
. 1 - cos t - (1 2/ 2)
29. lrm
3 l. hm
2
4
x
.
e..- - e-x
x-o
.
30. lrm
r
-721- + ...
46. J - 33 . 3 + 35 . 5
3 •7
47. .r3 + .\"' + x3 + .rl' + ...
.
34 4
, '
1 - 3-x- + X 2!
36 b
X
6!
4!
,,
2x + -;~
+ , ..
•••
~
50. x
2
52.
+ :!. +;!_+;!_+-+ ···
-
3
•
.2
.J
x4
2
3
4
5
Teoria e exemplos
(b) [O. I]
Formas indeterminadas
,_ o
•
53. Substitua x por -x na série de Taylor para ln ( 1 + x) para obter
unia série para ln ( 1 - x). Ern seguida. subtraia da série de
Taylor para ln ( 1 +:<)para mostrar que, para lxl < 1.
(a) [O. 0,5]
dt,
7
•
25
ln
tg- t / d1,
7r1
49. x3-x5 + x1 -x9 +x 11 -
.
r
1
12
13
24. Estime o erro secos v t é aproximado por 1 - - + - - 2
4!
6!
·1
• r
} ()
+ ".
3
7!
3 5!
23
2
+ ..1Adx
1 - cosx
1 + ...
4 . 24
~
5
23. Estirne o erro secos r2 é aproxirnado por 1 - - + - na 1112
4!
1
tegrJI .( 0 cos t2 dr.
[0, 1)
+ 44 • 4!
'-Y'1 + x 2 dt
14
25. F(x ) = f "sen1 2dt,
4 2 • 2!
36
+ ...
6
4 • 6!
-1 - 2.12 2 + 3 .123
48
0.1
34
;-
10.1 Yl
21.
s
32
44. 2
0 Udlizc séries para aproxin1ar os valores das integrais nos Exercícios
19-22 corn um erro de magnitude menor que 1o-8.
0. 1
43. 1-
1-0
/
senfJ - 8 + (ff/ 6)
32. lim - - - - - - o-u
();
1 +x
XJ
.'< 5
)
= 2 ( 'l' + - + -=- + · · · .
1- X
J
)
54. Quantos termos da série de Taylor para ln (l + x) deven1 ser
adicionados para se ter certeza de que se está calculando
ln ( 1, 1) corn un1 erro de 111agninrde n1enor que 10-8? Justifique
sua resposta.
55. De acordo con1 o teorerna da cstirnativa de séries alternadas.
quantos lern1os da série de Taylor pard tg- 1 1 terian1 de ser
adicionados para se ter certeza de encontrar 7714 eou1 uni erro
de 1nagnitude rnenor que 1o-3? Justifique sua resposta.
56. Mostre que a série de Taylor para /(x) = tg- 1 :< diverge para
lxl > 1.
Capítulo 10 Sequências e séries infinitas
71
D 57. Estimando Pi Cerca de quantos termos da série de Taylor66. Série para l g- 1x para lxl > J Deduza as séries
para tg- 1x teria1n de ser utilizados para avaliar cada termo do
lado direito da equação
1T =
1
58. Integre os três prin1eiros termos diferentes de zero da série de
Taylor para tg 1 de O a x para obter os três primeiros termos
diferentes do zero da série de Taylor para ln sec x.
sen-1x = ( 1 - x 2 ) - 1 2
para gerar os quatro pri.meiros termos diferentes de zero da
série de Taylor para sen 1x. Qual é o raio de convergência?
b. Série para cos- 1 x Utilize seu resultado no item (a) para
encontrar os cinco primeiros termos diferentes de zero da
série de Taylor para cos- 1x.
1
60. a. Série para senh- x Encontre os quatro prinleiros 1ennos
diferentes de zero da série de Taylor para
.
dt
~
.
D b. Utilize os trê.s prÍlneiros tennos da série no itern (a) para
esti n1ar senh-1 0.25. Dê um limitante superior para a magnitude da estimativa do erro.
61 . Obtenha a sêrie de Taylor para 1/( 1 + x)2 a partir da série para
- 1/(1 +x).
62. Utilize a série de Taylor para 1/(1 - x2) para obter urna série
para 2.\"f( 1 - .~)2 •
D 63. Estirnando Pi O 1na1e1nático inglês Wallis descobriu a fónnula
64. Utilize as etapas a seguir para provar a Equação 1.
a. Derive a série
5x
.!. + ~ - __!._5 + "·, X < - 1
x
3x·
'
5x
integrando a série
1
1
1
1
1
--'---=·
--'-----=---+---+···
1 + ,2
/2
1 + ( 1/ 12)
/2
/4
/6
,s
no pri1neiro caso, de x a oo e, no segundo caso. de -1)0 a x.
67. Utilize a Equação 4 para escrever as potências de e a seguir
na forma u + bi.
e. e "''2
a. e '"
68. Utilize a Equação 4 para 01ostrar que
cos8 =
e'l1 + e -10
2
69. Estabeleça as equações no Exercício 68 combinando a série de
Taylor forn1al para e'11 e e-'°.
70. Mostre que
a. cosh i8 = cos e.
b. senh i8 = i sen 8
71. Multiplicando a série de Taylor por e' e sen x, encontre os tcrn1os até x 5 da série de Taylor para e• sen x. Essa série é a parte
imaginária da série para
UtiJize esse fato para conferir sua resposta. Para quais valores
de x deve a série para e' sen x convergir?
72. Quando a e b são reais, definimos e<a+•blr com a equação
eCn+ibl<
= <!'' · e'bx = <!'''(cos bx + i sen bx) .
clr
Dessa fonna. a regra farniliar (dldx)eh = keb valerá para k
con1plexo, bem como real.
73. Utilize a definição de eiº para mostn1r que, para quaisquer números reais 8. 91 e 82 ,
a. e1''1,!ll?=ei(ú1+02>,
b. e 111 = li<!".
74. Dois números complexos a + ib e e + id são iguais se, e somente se. a= e e b = d. Utilize esse foto para avaliar
para mostrar que
111/(x)
1
f (X) = l + X,
-
J
1 < X < 1.
e"·' cosbxdx
b. Defina g(x) = ( 1 + x)-"' j(x) e 1nostre que g'(x) = O.
J
e (t1+1b).r d\" =
j{x) = ( 1+ x)"'.
65. Série para sen- 1x Integre a série binon1ial para ( 1 - x2) - 112
para mostrar que. para lx 1< 1.
°" 1 • 3 • 5 • "• • (211 - 1) .\'2n+ 1
2:
n- 1
2 · 4 · 6 · ··· · (211)
2n + 1
e
J
ea:tsenbxdx
a partir de
e. A partir do itenl (b), moslre que
:i: = x +
3x'
d e<a +lllb = ( 0 + ib )ela+lhh.
Enconcre o vaJor de 1T co1n duas casas decin1ais a partir dessa
fórmula.
scn
·'
> l
Derive o lado direito dessa equação para mostrar que
2 ·4·4· 6·6 · 8 · ...
-=
4
3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7 · ...
1T
_1
2
X
Identidade de Euler
59. a. Utilize a série binornial e o fato de que
[
1
= -7T - -;1 + --:
- - 15 + · · ·,
2
L::°-
r
X
tg - I X= _2!:_ -
con1 um erro de 1nagnilude rnenor que 1o-6? Em contrapartida,
2
2
a convergência de
1(1 /11 ) a 7r /6 é tão lenta que nenl mesmo 50 tem1os conseguirão nos dar a precisão de duas casas.
senh- 1x =
1
1
48 tg 1 118 + 32 tg 1 - - 20tg 1 57
239
!
tg
.
(/ - ib e(u+ibh +
ª2 + b2
e'
onde C = C1+ iC2 é unia constante complexa de integração.
72
Cálculo
Questões para guiar sua revisão
Capítulo
J. O que é wna sequência infinita? O que significa a convergência dessa sequência? E a divergência? Dê exemplos.
18. O que é un1a série aliernada? Qual teoren1a está disponível
para determinar a convergência de tal série?
2. O que é unia sequência monolônica'! Sob quais circunstâncias
esse tipo de sequência tem um lin1itc? Dê exen1plos.
19. Con10 você pode estirnar o erro envolvido na aproximação da
sorna de uma série alternada co1n unia das somas parciais da
série? Qual é o raciocínio por trás da estimativa?
3. Quais leore1nas estão disponíveis para calcular li1nites de sequência? Dê exemplos.
4. Qual teore111a às vezes nos permite usar a regra de L'Hôpítal
para calcular o limite da sequência? Dê un1 exen1plo.
5. Quais são os seis lin1ites que ocorrcn1 cornumcntc no Teorema 5 que surge1n frequente 111ente quando você trabalha con1
sequências e séries?
6. O que é uma série infinita? O que significa a convergência
dessa série? E a divergência? Dê cxc111plos.
7. O que é wna série geométrica? Quando esse tipo de série converge? Quando diverge? Quando ela converge. qual é a soma?
Dê exemplos.
8. Além das séries geo1né1ricas, que outra série convergen1e e
divergente você conhece?
9. O que é o teste do 11-ésimo 1ermo para divergência? Qual é a
ideia por trás desse leste?
10. O que pode ser dito sobre somas e diferenças termo a termo
de séries convergentes? E sobre n1í11tiplos constantes de séries
convergentes e divergentes?
11. O que acontece se você adiciona um nú1nero finito de termos
a u111a série convergente? E a uma série divergente? O que
acontece se você ren1over um número finito de ter111os de uma
série convergente? E de uma série divergente'?
12. Con10 se reindexa un1a série? Por que você pode querer fazer isso?
13. Sob quais circWlstâncias uma série inimita de termos não negativos convergirá? E sob quais circunstâncias divergirá? Por
que estudar séries de tennos não negativos?
20. O que é convergência absoluta? E convergência condicional?
Como as duas estão relacionadas?
21. O que você sabe sobre rearranjo de tennos de un1a sequência
absolutamente convergente? E de urna série condicionalmente
convergente?
22. O que é urna série de potências? Con10 você testa unia série
de potências para convergência? Quais são os possíveis resultados?
23. Quais são os fatos básicos sobre:
a. somas. diferenças e produtos de séries de potências'!
b. substituição de urna função por x en1 wna série de potências?
e. derivação tenno a termo de séries de potências?
d. integração tcnno a tcnno de séries de potências?
Dê exemplos.
24. O que é a série de Taylor gerada por uma função /(x) cn1 un1
ponto x = a? Quais infonnações você precisa saber sobre f
para construir a série? Dê u1n exe1nplo.
25. O que é uma série de Maclaurin?
26. U1na série de Taylor sempre converge para sua função geradora? Explique.
27. O que são polinômios de Taylor? Qual é a aplicação deles?
28. O que é a fórmula de Taylor? O que ela diz sobre os erros
envolvidos na utilização dos polinô1nios de Taylor para aproximar as funções? Em parucular, o que a fóm1ula de Taylor
diz sobre o erro em u1na linearização'! E uma aproximação
quadrática?
14. O que é o teste da integral? Qual é o raciocínio que ele contén1? Dê urn exemplo de sua aplicação.
29. O que é unia série bino1nial'? En1 que intervalo essa série converge? Como ela é utilizada?
15. Quando uma série p converge? E quando diverge? Como você
sabe? Dê exen1plos de série p convergentes e divergentes.
30. Como é possível utilizar eventuahnente séries de potências
para estimar os valores de integrais definidas não elementares?
16. O que são teste da comparação direta e leste de co1nparação
no limite? Qual é o raciocínio que esses testes contên1? Dê
exemplos de seu uso.
17. Quais são os testes da rdzão e da raiz? Eles scn1pre fomcce111
as informações de que você precisa para determinar a convergência ou a divergência? Dê cxe1nplos.
Capítulo
Exercidos práticos
ll'ií
Determinando a convergência de sequências
5. a., = scny
Quais das sequências cujos 11-ésin1os termos aparecen1 nos Exercicios 1-18 convergem? E quais divergem'? Encontre o li111ite de cada
tuna das sequências convergentes.
( - 1)"
l - 2"
3.
a,,
=
1. ª" = 1 +
2"
li
2. a,, =
31. Quais são as séries de Taylor para 1/( 1 - x). 1/( 1 + x). e' ,
sen x. cos x, ln ( 1 + x) e tg- r x? Como você esti1na os erros envolvidos na substituição dessas séries co1n suas so1nas
parciais?
- (- 1)"
Vn
4. a = 1 + (0 9)n
"
.
6. a,, = sen nrr
7. a,, =
8. a,, =
ln (11 2)
li
9. a,, =
o. a,, =
1
11
12.
li
ln (211 3 + 1)
11
5)
ª" ( + /~ )-"
JJ . On =
ln (211 + 1)
11 + ln11
=
(li~
1
11
Capítulo 10 Sequências e séries infinitas
l3. a,, =
f.-
14. ª• =
15.
) 6. a,, = ~211 + 1
(l)1/n
(11 +
17. Un =
(/ =11(2 1
1)
li -
"
Séries de Maclaurin
Cada tnna das séries nos Exercícios 5 1-56 é o valor da série de
Taylor en1 x = O de uma função f(x) en1 uni ponto e111 particular.
Qual função e qual ponto? Qual é a soma da série?
1) 1
11 !
ll
( - 4)"
18. ª• =
51
li!
Encontre as somas das séries nos Exercícios 19-24.
~
20. 2:
19
·
l
(211 - 3)(211 - 1)
22
°"
'
n~
8
(411 - 3l(411 + 1)
00
9
1)(311 + 2)
24.
.Lc- 1>" 4~.
56.
Determinando a convergência de séries
Nos Exercícios 25-40, detemline se as séries convergem absolu1a111cnte. convergen1 condícionaln1ente ou divergem. Justifique suas
respostas.
25.
33.
ôC
.:2
26. ~
~ li
00
21.
34.
1
11 =
( - !)"
35 .
29.
36.
( - 1)"
~ ln (11 + 1)
30.
3 1.
39 •
32. L
00
ln,,
,, _3 ln (ln 11)
40.
.L
li
l
li
42.
43.
()O
(-
.~ 211 2 +
+ 1)
/1 -
3 )"
( -
44.
45.
"" x''
.L n
11 = 1 li
2r
61. cos (x5' 3 )
x3
64. e-xl
'
Séries de Taylor
Nos Exercícios 65-68. encontre os quatro primeiros termos di ferentes de zero da série de Taylor gerada porf enl x = a.
65. f (x) = ~ emx= - 1
li.
2" 3"
66. f(x)
= 11( 1 - x) cm x =2
1
.L
n~I V11(11 + 1)(11 + 2)
68. /(x) = llx en1 x = a > O
°"
Integrais não elementares
1
2:--11~2 w-=-1
''
67. f (x)= 1/(x + l)emx=3
Ulilize séries para aproximar os valores das integrais nos Exercícios
69-72 com um erro de magnitude menor que l o-8. (A seção derespostas fornece os valores das integra.is arredondados para 1O casas
decimais.)
1/2 tg- 1X
71.
69. Jo e-x' dx
o
.r dx
'
la
r•12
2
(2n + 1)2"
72.
41.
.L
n O
3"
"" (- l)''(x - 1)211 + '
48. ,~, ---2,-,-+-,-49.
L"" (cossecb 11)x"
11 ~ 1
50.
L"' (cotgh 11)x11
n=I
-•x
S dx
1 v;;
1/64 t
/1
"" (11 + 1)x2'1- 1
1)ln-2
~ (11 + 1)(2~ + 1)"
n=O
1
1
2: ,, .
n•I
li
Encontre a série de Taylor e1n x = O para as funções nos Excrcicios
46. 2: v;;
"" ( - 1)" 1(3x - 1)11
.L
(211 - 1)( vJ)2'1- I
60. sen 3
11
).·
,~ (211 - I )!
n~ I
+ .. .
1
1) (11 2
11 •
00
3"
oo (x _
+ (- J)n-1
63. IÍ'1T.<121
li
+ 1
Nos Exercícios 41-50, (a) encontre o raio e o intervalo de convergência da série. E1n seguida. identifique os valores de x para os
quais a série converge (b) absolutan1ente e (e) condicionalmente.
4t .
v'3
59. scn 1TX
.L
3
li
(x + 4)"
+ ···
,,,
~ i
li
Séries de potências
00
+ ··· +
62. cos Vs
.L
n~ l
00
)' ln n
,t.;1 113
2!
(ln 2)"
1 +
1 _ ,,,
9vJ
45vJ
1
57.
n• I
-o
(ln 2)2
1 - 2.t
1
58.
+ x3
00
,f; 11 (ln 11 )2
9 · 2! + 81 · 4! - ... + (- ! )" 3211(211)! + .. .
"" (- 1)11 311 2
31. .2:
.. ,
38.
1Tut
57-64.
00
1
ou
7T~
.L
11= 111W+I
n= 1
28.
"'
( - 1)"
00
2:
.
r
n= J V 11
1T2
,,~ 1
,..,
~
55. 1 + ln 2 +
00
2:
.,rz11+I
+ .. .
53. 1T - - + - - .. ·+ ( - I)"
3!
5!
(211 + 1) !
54. 1
-2
n-2 11(11 + 1)
' n= 1 (311 -
1- l4 + i.
- ... + ( - l )"_L
+ . ..
16
4"
1T3
00
21
.
52 -2 - -4 + -8 - .. . + (- l )" 1 - 2"11 + .. .
. 3
18
81
113
Séries convergentes
00
73
Utihz.amlo séries para encontrar limites
Nos Exercicios 73-78:
a. Utilize séries de potências para avaliar o lin1ite.
D b. Em seguida. utilize um gráfico para provar seus cálculos.
.
7 scn x
. (
1
73. 11n1
75 11m
- -1 )
x-.O e 2t - l
• 1-0 2 - 2 cos 1
,2
e 0 - e- 0 - 20
74. hn1 - - - - - o-o o - seno
.
.
(senh)/'1 - cos h
h-.O
h2
76. hn1
74 Cálculo
1 - Cos.,2 -=~O la(I - ;) + senz
)'2
78. li1u _ _.;,...__ _
1·-0 cos y - cosh y
77. lim
b. Mostre que a função definida pela série satisfaz a equação
diferencial da forn1a
d 2,.
__.:_ = x"y + h
Teoria e exemplos
dx 2
79. Utilize uma representação em série de sen 3x para encontrar
valores deres para os quais
lim (sen 33x + !'.,, + s) = O.
•-O
x
x-
D 80. Compare as precisões das aproximações sen x ::::: x e sen x :::::
6x/(6 + x2) comparando os gráficos de/(.x) = senx- x eg(x) =
senx-(6x/(6 + x 2)). Descreva o que você encontrar.
81. Encontre o raio de convergência da série
""' 2 • 5 . 8 • . . . . ( 311 - 1)
L
3 • 5 • 7 . ... . (211 + 1)
L
rr-1 4·9 · 14 · ••• ·(511 - 1)
L:;:
88. Se L::"=i an e 2 ~ 1 h,, são séries dive~cntes de números não
negativos, algo pode ser dito sobre Ln=1 a;,h,,? Justifique sua
resposta.
89. Prove que tanto a sequência {x,,J quanto a série ~':'- 1 (x4+ 1 xk) convergen1 ou divergem, sinniltaneamente.
ex - 1)".
90. Pr~ve que L:;"- 1 (aj(I + a.)) converge seu,,> Opara todo 11 e
Ln• I a,, converge.
91. Suponha queª" a 2• a3 , ...,a,, são nú meros positivos satisfazendo as seguintes condições:
82. Encontre o raio de convergência da série
ô(}
L:;:
87. Se
1 a,, e
1 b,, são séries convergentes de números não
negativos, algo pode ser dito sobre L;::_ 1 a,,b,;? Justifique sua
resposta.
x" '
2 · 4·6 · · .. · (211)
nml
e encontre os valores das constantes a e b.
86. a. Encontre a série de Maclaurin para a função .rl/( 1 + x).
b. A série converge e1n x = 1? Explique.
.)
>
>
> ... :
1 ª1-ª2-('3-
83. Encontre un1a fónnula fechada para a 11-ésin1a son1a parcial da
L:
2
série
2 ln ( 1 - ( l/11 )) e utilize-a para detenninar a convergência ou divergência da série.
ii) a série a 2 + a4 + a8 + a 16 + ··· diverge.
Mostre que a série
a1
84. Avalie 2,';'_ 2 ( l/(k2 - 1)) encontrando os limites confonnc
11 __. oo da 11-ésin1a son1a parcial da série.
85. a. Encontre o intervalo de convergência da série
y = 1+
+
l
6l x3 + 180
x6 + ...
1 . 4 . 7 . .... (311 - 2)
(311)!
..~J// + .. ·.
Capítulo
a2
a3
-+-+-+···
1
2
3
diverge.
92. Utilize o resultado do Exercício 91 para 1nostrar que
i +
"" i
L
n= 11 ln n
2
diverge.
Exerdcios adicionais e avançados
Determinando a convergência da s~ri:e
Escolhendo centros para a série de Taylor
Quais das séries L::'~ 1 a,, definidas pelas fórniulas nos Exercícios
l-4 converge1n? E quais divergem? Justifique suas respostas.
A fónnula de Taylor
1.
2·
L (311 - 2)1 + c1/.,1-
3.
11
n=I
L e- 1>" tgh n
/"(a)
, (x - a) 2 +
f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) +
2
n=I
"" (tg 1n)l
L ..;...;;;;.2- ·= • n + l
4
. ~ log,, ~11!)
n=l
li
2::
Quais das séries
1 a,, definidas pelas forniulas nos Exercícios
5-8 eonvcrgcn1? E quais diverge1n'? Justifique suas respostas.
11(11
+ 1)
S. ai = J, ª• •I =(li + 2)(11+3)ª"
(Sugestão: escreva vários cennos. veja quais fatores eancela1n,
e então generalize.)
6. a1 = " 2 = 7,
a,,11
7. a1 = ai = 1,
a,, + 1 -
8. ª• = 1/3" se 11 é inipar,
li
(n -
1)( /1 + l)
---
1 +a,,
a,,
se /1 õ:!: 2
se n õ:!: 2
ª• = 11/3"
se /1 é par
+
f"1(a)
I/.1
f"+ 11(c)
(x - a)"+ (
li
+ 1)I. (x - a)•+I
expressa o valor de f em x em termos dos valores de f e suas derivadas cm x =a. Em computações numéricas, precisamos. portanto.
que li seja um ponto onde conheçamos os valores de f e suas derivadas. Precisamos també1n que a esteja próximo o bastante dos
valores dej'en1 que estamos interessados para que (x - tl)n+ 1seja tão
pequeno que possan1os desprezar o resto.
Nos Exercícios 9-14. quais séries de Taylor você escolheria pan1
representar a função pr6xin1a do valor dado de x? (Pode haver mais
de unia boa resposta.) Escreva os quatro primeiros terinos diferentes
de zero da série que você escolher.
9. cos x próxitno de x = 1
12. lo x próximo de x = 1.3
1o. sen x próximo de x = 6,3
13. cos x próximo de x = 69
l I. e' próximo de x = 0.4
14. tg 1x próxi1no de x= 2
Capítulo 10 Sequências e séries infinitas
Teoria e exemplos
15. Scja1n a e b constantes con1 O < a < b. A sequência
{(a"+ b") 11" J· converge? Se ela convergir, qual é o li1nüe?
16. Encontre a son1a da série infinita
1 +1-+2-+_l_+-1...+2-+_l_+-1...
10
102
103
104
105
106
10 7
onde l./{11)1< K para n ~ N, então L::C:. 1 u. converge se C > 1
e diverge se e< 1.
Mostre que os resultados do reste de Raabe concordan1
corno que você sabe sobre as séries
1 ( I/ 11 2) e
1 ( l/11).
26. (Co111i1111açào do Exercício 25.) Suponha que os termos de
L:% 1 1111 sejam definidos recursivamente pelas fórmulas
'L:._
+2-+_l_+···
8
10
111
= 1,
1OQ
17. Avalie
75
L:,
(211 - 1)2
11 1
11
"= (211 )(2n + l ) " •
Aplique o teste de Raabe para detern1inar se a série converge.
l
- - - , dx.
1 + x-
18. Encontre todos os valores de x para os quais
O<.
ni:"
2
:
-n= I (li + 1)(2r + 1)n
converge absolutamente
O 19. a. O valor de
1in1
cos (a/ 11) )"
(1-
11
11-00
27. Se
r:..1 ª•converge, e se a,,#: 1e >O para todo
cos (a/11))"
lim
1
bti
, a eh constantes, b *O.
,,_.oo (
parece depender do valor de b? Em caso positivo, como?
e. Utilize cálculo para confim1ar seus achados nos itens (a) e (b).
20. M ostre que se~,,=
"'"" 1 c1 converge, entao
-
28. (Co11ti1111ação do Exercício 27.) Se 00
L~ 1 ali converge. e se
1 > a,,> Opara todo 11, mostre que 2:,,- 1 ln ( 1 - 11.) converge.
(Sugestão: n1ostre prin1eiro que l ln ( l - a 0 )l <aj( 1 - 011 ).)
29. Teorema de Nicole O res1ne Prove o teorema de Nicole
Oresme, que diz
(Sugestão: derive an1bos os lados da equação 1/(1 - x) = 1 +
" 00
li )
"'-11- I X •
30. a. Mostre que
~ 11(11
+ 1) _
f1
x"
converge.
21. Encontre o valor para a constante b que fará co111 que o raio de
convergência da série de potências
,
2: x11+I =
,,~ t
x) -
X
duas vezes. 1nultiplicando o resultado por x e cm seguida substituindo x por l/x.
b. Utilize o item (a) para encontrar a solução real niaior que 1
da equação
2: b"x"
00
,, ~ 2
.\' =
ln /1
. sen (ttx) - senx - x
11111
3
•-0
X
é finito e avalie o limite.
24. Encontre os valores de a e b para os quais
cos (ax) - b
,
= -1.
2.;1""
25. Teste de Raabe (ou Gauss) O seguinte teste. que apresentamos sem prova, é uma extensão do teste da razão.
Teste de Raabe: Se L,,- 1 1111 é un1a série de constantes
positivas e existirem constantes C, K e N tais que
e
l +fi+
f
11 ~ 1
seja igual a 5.
22. Con10 você sabe que as funções sen x. Ln x e e• não são polinôn1ios? Justifique sua resposta.
23. Encontre o valor de a para o qual o limite
lln+ 1
(x - 1)3
2
n- 1
,,,,
2x 2
para lx 1> l derivando a identidade
f (1 + scn(n,,))n
•-O
+ ... = 4.
1 +l · 2+l.3+ .. ·+
2
4
11
litn
11,
a. Mostre que L:;':. 1 a,,2 converge
b. 2:~ 1 a.I( 1 - a,,) converge? Explique.
, a constante,
parece depender do valor de a? En1 caso positivo. como?
b. O valor de
t1n
/(11)
2 '
li
11(11 .:
1)
·'
3 1. Controle de qualidade
a. Derive a série
1
2
1
+
x + x + · · · + x" + · · ·
1- x
para obter unia série para 1/( 1 - x)2.
b. Jogando-se dois dados de uma vez. a probabilidade de se
obter 7 ê p = l /6. Se você jogar os dados repetidamente,
a probabilidade de que um 7 apareça na pri1neira vez na
11-ésima jogada é q'.-1p. onde q = 1 - p = 516. O nún1ero
esperado de jogadas até que un1 7 apareça pela primeira vez
é L::;_ 1 11q" 1p. Encontre a sorna dessa série.
e. Como um engenheiro aplicando controle eslatístico a uma
operação industrial, você inspeciona itens to1nados aleatorian1ente a parlir da linha de 1non1agem. Você classifica
cada item da an1ostra co1no "bom,. ou "n1im". Se a probabilidade de u1n item ser bo1n é pede urn iten1 ser ruim é
q = 1 - p. a probabilidade de que o prin1eiro iten1 ruim seja
o 11-ésin10 inspecionado é 1r1q. O nú1nero 1nédío de itens
76 Cálculo
inspecionados incluindo o pri1neiro item ruim encontrado,
é
111qr1p. Avalie essa soma. assumindo que O<p < 1.
32. VaJor esperado Suponha que uma variável aleatória X
possa assun1ir os valores 1. 2. 3..... com probabilidades
pi' p 2, p 3, .. ., onde p 4 é a probabilidade de que X seja igual
•
00
a k (k = 1, 2. 3....).Suponha ainda qucpk ~O e que L4~ 1 pk =
1. O valor esperado de X, denotado por E(X), é o nú1nero
1/..pk, contanto que a série convirja. En1 cada um dos casos
a seguir, mostre que ~ Ir 1pk = 1 e encontre E().') se ele existir.
(Sugestão: veja o Exercício 31.)
a. PA = z-k
L:
'L:r
5k-l
b. Pt =
e. Se k = 0,01 b- 1 e 10 = 1O h, encontre o 1nenor /1 tal que
Rn>( l/2)R.
(Fonte: HORELlCK, B.; KOONT. S. Presc:ribing Saj'e and
Ejjécrive Dosage, COMAP. lnc., Lexington, MA.)
34. Tempo entre doses de n1edicamentos (Co11ti11uaçào do
Exercício 33.) Se um 1ncdican1ento é conhecido por ser ineficaz abaixo de uma concentração Cl e perigoso acin1a de certa
concentração 111ais alta C11• é preciso encontrar valores de C0
e 10 que produzirão uma concentração que seja segura (não
acima de C11) 1nas eficaz (não abaixo de Cl). Veja a figura a
seguir. Portanto, queremos encontrar os valores para C0 e 10
para os quais
G*
R= C/,
D 33. Dosagem seg11ra e eficaz A concentração uo sangue resultante de uma dose única de um medicantento nonnaJn1ente
din1inui co1n o ren1po à n1cdida que o medican1ento é eli1ninado do corpo. As doses poden1. portanto, precisar ser repetidas
pcriodican1ente para evitar que a concentração fique abaixo de
um nível ern particular. Um modelo para o efeito de repetidas
doses fornece a concentração residual imediatamente antes da
dose de orden1 (n + 1) como
Rli = eoe- t1u + eoe- 2t1u + ... + Coe-"''º•
onde C0 = alteração na concenlração provocada por un1a dose
única (1ng.linL), k= co11s1an1e de eliT11i11açào (h- 1) e t 0 = tempo
entre as doses (h). Veja a figura a seguir.
e
e
<>
~
=
""
"''o" CH
=
o
l:U
-8"' cL
E
<:
Nível seguro rnais alto
1
Co
l
1 Nível eficaz mais baixo
<:
-10- ~
u
1
o
/
o
Tempo
Assi111, C0 = CH - CL. Quando esses valores são substituídos
na equação para R obtida no iten1 (a) do Exercício 33, a equação resultante fica sin1plificada para
C11
to = k ln Ci.
1
e
::J
e,. '
E
Õb
E
.._
o
""""
e
~
e
1:!
e
Co
uo
o
'º
Ternpo (h)
a. Escreva Rn na forma fechada con10 u111a única fração e encontre R = lin1._ 00R11 •
b. Calcule R1 e R10 pan1 C0 = 1 mg/1nL, k = O, I h 1e10 = 10 h.
Até que ponto R10 é u1na estimativa boa de R?
Capitulo
Para encontrar um nível eficaz rapida1nente, pode-se 1ninistrar
un1a dose alta que iria produzir uma concentração de Cu n1g/n1L.
Isso poderia ser seguido a cada 10 horas por wna dose que eleve a concentração por C0 = C11 - Cl n1g/mL.
a. Verifique a equação anterior para 10 .
b. Se k = 0,05 h- 1 e a concentração segura é e vezes a concen1ração eficaz mais baixa, encontre o período de tempo
entre as doses que irá assegurar concentrações seguras e
eficazes.
e. Dados C11 = 2 n1g/nl.L, CL = 0.5 tng/tnL e k = 0,02 h- 1.
determine un1 esquema para a adn1inistração do medica111ento.
d. Suponha que k 0,2 h 1 e que a mais baixa concentração
eficaz seja 0,03 mg/mL. Uma dose única que produz wna
concentração de 0. 1 mg/n1L é administrada. Por quaoto
tempo o medicamento permanecerá eficaz?
=
Projetos de aplicação de tecnologia
Módulos Mathematica/ Maple
Bola quicauda
O inodelo prevê a altura de unia bola quicando e o te1npo que ela levará para parar de quicar.
Aproxi111ar ões de 111110 f1111ç1io par poli11ô111io.~ de Taylor
Un1a anin1ação gráfica n1ostra a coovergêocia dos polinô.mios de Taylor para funções co111 derivadas de todas as ordens ao longo de un1
intervalo em seus domínios.
EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS
E COORDENADAS POLARES
VISÃO GERAL Neste capítulo, estudaremos novas maneiras de definir curvas no
plano. Em vez de pensar e1n uma curva como um gráfico de uma função ou equação,
considera1nos uma forn1a 1nais geral de pensar em uma curva como a trajetória de
un1a partlcula e1n movimento, cuja posição está mudando ao longo do tempo. Então,
cada unia das coordenadas de x e y da posição da partícula se torna uma função de
uma terceira variável t. Podemos ainda alterar a forma na qual os pontos no plano
são descritos utilizando coordenadas polares em vez das retangulares ou cartesianas.
Essas duas novas ferramentas são úteis para a descrição de n1ovimentos. corno os
dos planetas e satélites, ou projéteis se deslocando no plano ou espaço. Além disso,
revisaremos as definições geon1étricas e equações padrão de parábolas, elipses e hipérboles. Essas curvas são denon1inadas seções cónicas. ou cônicas, e modelam as
trajetórias percorridas por projéteis, planetas ou qualquer outro objeto se movendo
sob a iníluência exclusiva de urna força gravitacional ou eletrotnagnética.
11.1
Parametrizações de curvas planas
Nos capítulos anteriores. estudamos as curvas como gráficos de funções ou
equações envolvendo as duas variáveis x e y. Agora, introduziremos outra fom1a
de descrever un1a curva expressando ambas as coordenadas con10 funções de un1a
terceira variável t.
Equações paramétricas
no tempo r
A Figura 11. I mostra a trajetória de u1na parrícula en1 1novin1ento no plano x.v.
Observe que a trajetória falha no tesre da reta vertical, de foma que ela não pode
ser descrita como o gráfico de uma função da variável x. No entanto, podemos às
vezes descrever a trajetória por meio de un1 par de equações, x = f(t) ey = g(t). e1n que
f e g são funções continuas. Quando estudan1os 111ovi111entos, t gerahnente denota
o tempo. Equações co1no essas descrevem curvas mais gerais do que aquelas co1no
y = f(x) e fornecem não somente o gráfico da trajetória delineada, mas também a
localização da partícula (x, ; 1) = (j(t), g(t)) em qualquer tempo t.
- Se x e .Y são dados coino funções
DEFINIÇAO
X= j(t),
FIGURA 11.1 A curva ou trajetória
traçada por unia partícula se rnovendo no
plano xy não é sen1pre o gráfico de u1na
única função ou equação.
y = g(t)
sobre um intervalo 1 de valores de t, então o conjunto de pontos (X,J') = (f(t),
g(t)) definido por essas equações forma uma curva paramétrica. As equaL ções são equações paramétricas para a curva.
A variável t é um parâmetro para a curva, e seu domínio 1 é o intervalo do
parâmetro. Se I é un1 intervalo fechado, a s t s b, o ponto (/(a), g(a)) é o ponto inicial da curva e (/(b), g(b)) é o ponto final. Quando fornecemos equações
78 Cálculo
paramétricas e um intervalo para uma curva, dize1nos que parametrizamos a curva.
As equações conJ o respectivo intervalo constituern un1a parametrização da curva.
Uma detern1inada curva pode ser representada por diferentes conjuntos de equações
paramétricas. (Veja os Exercícios 19 e 20.)
EXEMPLO 1 Trace a curva definida pelas equações paramétricas
--oo< t<oo.
y=t+I,
Solução Fazemos uma breve tabela de valores (Tabela 11.1 ), representamos graficamente os pontos (x, y) e desenhamos uma curva suave por eles (Figura 1J.2). Cada
valor de t fornece un1 ponto (X,J' ) na curva, corno t = 1 fornece o ponto ( 1, 2) registra-
do na Tabela 11.1 . Se pensarmos na curva como a trajetória de tuna partícula em movimento, então a partícula se n1ove pela curva na direção das setas exibidas na fi&rura
11.2. Ainda que os intervalos de tempo na tabela sejam iguais, os pontos consecutivos
representados grafica1nente ao longo da curva não estão a distâncias de co1nprimento
de arco equivalentes. O motivo pelo qual isso ocorre é que a partícula diminui a sua
velocidade à n1edida que se aproxima do eixo y ao longo do ramo inferior da curva
conforme t aumenta, e então acelera depois de alcançar o eixo J' em (O, 1) e se mover
ao longo do ramo superior. Como o intervalo de valores para t é o conjunto de todos os
nú1neros reais, não existe nen11u1n ponto inicial e nenhurn ponto terminal para a curva .
.V
TABELA 11.1 Valores
de .x = r2 e y = 1 + 1 para
valore::s selecionados de 1.
I
X
t = 3
1= 2
t=I
1= 0
y
~
- --~·;:--(9,4)
(1. 2)
(0.1)
( 1. 0)
~-!-_,,..::-'-1--'-'--='L..-.L.,--'---'---'--L-'--+ X
-3
-2
9
-2
4
- 1
- 1
1
o
o
o
1
1
'l-1
4
3
3
9
4
/=~
-
(9.-2)
-
Curva dada pelas equações
paratnétricas x = t2 e y = 1+ 1 (Exemplo 1).
FIGURA 11.2
2
2
(4, -1)
EXEMPLO 2 Identifique gco1netrican1entc a curva no Exemplo 1 (Figura 112)
eliminando o parâmetro te obtendo uma equação algébrica ctn x e y.
Solução Resolvemos a equação J' = / + l para o parâmetro f e substituímos o resultado na equação paramétrica para x. Esse procedi1nento nos dá t = y - 1 e:
.\'
X = 12 = (v I =
7T
2
1)2 =
y- 2y + 1.
A equação x = y2 - 2y + 1 representa u1na parábola, eon10 exibido na Figura
11.2. Algumas vezes é muito difícil, ou mesmo i1npossível, eliminar o parâmetro a
partir de un1 par de equações paramétricas, conforme fizemos aqui.
/ =
~
2
FIGURA 11.3 As equações x = cos r e
y = sen 1 descrevern o movin1cn10 no
círculo x 2 + ),2 = 1. A seta niostra a direção
do awnento de 1 (Exe111plo 3).
EXEMPLO 3 Represente as curvas pararnétricas por rneio de un1 gráfico:
(a) x= cos t,
y =sen 1,
O-< 1 -<?-1'.
QS/ S 27T.
(b) x=a cos t,
y =a sen t,
Solução
(a) Como.rl+ Jil=cos2t+ scn2t= 1, a curva pan1métrica está ao longo do circulo unitário ,rl +.1;i = 1. Conforme t aun1enia de Oa 27T, o ponto (X,J') = (cos /, sen t) começa
em ( 1, O) e traça o círculo inteiro ltnla vez em sentido anti-horário (Figura l 1.3 ).
Capítulo 11
Equações paramétricas e coordenadas polares
79
(b) Para x = a cos t,y = a sen t, Os t s 27r, temosx2 +y2 = a2 cos 2t + a2 sen 2t = a 2• A
parametrização descreve um movimento que começa no ponto (a, O) e percorre
o círculo x 2 + f1 = a 2 u1na vez e1n sentido anti-horário, retornando a (a , O) cn1
I = 27r. O gráfico é um círculo centrado na orige1n com raio r = a e pontos de
coordenadas (a cos 1. a sen r) .
.\ '
2 >O
y= x.x
EXEMPLO 4 A posição P(x, y) de uma partícula se 1novendo no plano x;1é dada
pelas equações e respectivo intervalo de parâmetro:
I = 4/(2, 4)
X =
P(Vi, 1)
O Começacm
1
FlGURA ll.4
= x-'
(- 2. 4 )
1 = -2
1=2
Y,)2 = X 2.
Assim, as coordenadas de posição da partícula satisfazen1 a equação y = _,.i, de forn1a que a partícula se n1ove ao longo da parábola J' = x2 .
Seria um erro, no entanto, concluir que a trajetória da partícula é a parábola
inteira y = x 2; ela é somente a metade da parábola. A coordenada x da partícula
nunca é negativa. A partícula co1neça em (0, O), quando t = Oe sobe para o pri1neiro
quadrante conforme r aurnenra (Figura 11.4). O intervalo de parâmetro é [O, oo) e
não existe un1 ponto final.
O gráfico de qualquer função J' = f(x) pode se1npre ter unia parametrização natural
x = / e J' = f (t). O domínio do parfunetro nesse caso é o mesmo donúnio da função /.
EXEMPLO 5
A paran1etrização do gráfico da função /(x) = x 2 é dada por:
x = r,
FIGURA 11.5 A trnjetória definida por
x= t,y = t2• -oo < / <oo é a parábola
inteira y = x2 (Excn1plo 5).
t >o.
Solução Tentamos identificar a trajetória eliminando t entre as equações x = Vi e
y = t. Com alguma sorte, isso irá produzir uma relação algébrica reconhecível entre
x e y. Descobrin1os que:
)' = I = (
e o intervalo t ~ O descreven1 a trajetória
de un1a partícula que traça a n1ctade direita
da parábola y =.ri (Exemplo 4 ).
~)'
)' = 1,
ldenti fique a trajetória traçada pela partícula e descreva o n1ovimento.
=o
Asequaçõesx= Vr e y= r
\'
•
Vt,
y= f(t) = t1 ,
-00< 1<00.
Quando r 2::: O, essa pararnetrização fornece a 111es1na trajetória no plano .ry que
tivernos no Exemplo 4. No entanto, uma vez que o parâmetro t aqui pode agora ser
tatnbém negativo, obternos a parte esquerda da parábola; ou seja, temos a curva parabólica inteira. Para essa paran1etrizaçào, não existe uin ponto inicial ou um ponto
final (Figura 11.5).
Observe que a pararnetrização também especifica quando (o valor do parârnetro) uma partícula se movendo está localizada em utn ponto específico ao longo da
curva. No Exemplo 4, o ponto (2, 4) é alcançado quando / = 4; no Exemplo 5, ele é
alcançado "n1ais cedo", quando t = 2. Você pode ver as in1plicações desse aspecto
das parametrizações ao considerar a colisão de dois objetos: eles devern estar no
1nesn10 exato ponto de localização P(x, y ) para alguns (possiveln1ente diferentes)
valores de seus respectivos parân1etros. Falaremos n1ais sobre esse aspecto das parametrizações quando cstudannos n1ovi1nento no Capitulo 13.
EXEMPLO 6 Encontre urna paran1etrização para a reta que passa pelo ponto (a, b),
con1 inclinação nz.
Solução Uma equação ca11esiana da reta é y- b = rn(x - a). Se fizermos o parân1etro t = x - a, descobrimos quex = a + te y- b = 1n1. isto é:
x = a + 1,
y= b + 1111,
-oo< t <oo
paran1etriza a reta. Essa parametrização difere daquela que obterían1os por meio da
técnica utilizada no Exemplo 5. quando t = x. No entanto, ambas as parametrizações
dão a mesn1a reta.
80
Cálculo
EXEMPLO 7
TABELA 11.2 Valores de x = t +
(l/1) e y = 1- ( l/1) para valores
X =
selecionados de 1.
I
Vt
X
y
O, I
10,0
5.0
2,5
1,0
0,5
0.2
0,1
1O,1
- 9.9
- 4.8
-21
'
o.o
1.5
4.8
9,9
0,2
0,4
1.0
2.0
5,0
10.0
5,2
2,9
2,0
2,5
5,2
1o,1
Esboce e identifique a trajetória traçada pelo ponto P(x, )') se:
1
1
t + -f '
Y = I - -f •
t>
o.
Solução Fazemos un1a breve tabela de valores na Tabela 11.2, representamos gra-
ficamente os pontos e desenhan1os tuna curva suave por eles, conforine fize1nos no
Exemplo 1. E111 seguida, elin1ina1nos o parân1etro t das equações. O procedi1nento é
mais complicado que o envolvido no Exemplo 2. To1nando a diferença entre x e J\
conforme dada pelas equações paramétricas, descobrin1os que:
X- J = (1 +
+) - (1 - +) 7.
=
Se adicionarmos a1nbos os lados das duas equações paran1étricas, teremos:
X
+ .J' = (1 +
+) + (1 - +) 21.
=
Podemos, então, eli1ninar o parâmetro t multiplicando os dois lados destas últimas
equações:
(x - y) (x + J') =
1= 10
10
.,./'êio.1. 99)
r= 5
5
ou, 1nultiplicando os termos do lado esquerdo, obtemos un1a equação padrão para
u1na hipérbole (ri.~visado na Seção 11.6):
(5.2, 4.8)
x 2 - ,.i = 4.
-,.i---4- - - ' - - - - - - ' , , . . - --. .(
10
5
(29. - 2.1 )
1= 0,4
-5
(5 .2. - 4.8)
t=0,2
- 10
(1)
'
1= 2
1= 1 (2.5.1 .5)
o (2.0)
(~ )<21) = 4,
~0. 1. -9.9)
1 = 0.1
FIGURA 11.6 Curva para x = 1 + ( 1/1),y
= 1- ( l/1), 1> Ono Exemplo 7. (A parte
mosLrada é para O, 1 ::= t s 1O.)
Assi1n, as coordenadas de todos os pontos P(x,J') descritas pelas equações paran1étricas satisfazem a Equação 1. No entanto, a Equação L não necessita que a
coordenadax seja positiva. Sendo assim. existem pontos (x,y) na hipérbole que não
satisfa2en1 a equação paran1étrica x = t +( 1/t), t > O, para a qual x é se1npre positivo.
Ou seja, as equações paramétricas não fornecem nenhum ponto no ramo esquerdo
da hipérbole dada pela Equação 1. pon1os onde a coordenada x seria negativa. Para
pequenos valores positivos de 1, a trajetória está no quarto quadrante e sobe para
o primeiro quadrante confonne t aun1enta, cruzando o eixo x quando t = L(veja a
Figura 11.6). O do1ninio do parâmetro é (O, oo) e não existe tun ponto inicial ou um
ponto final para a trajetória.
Os Exemplos 4, 5 e 6 ilustram que u1na detenninada curva, ou parte dela. pode
ser representada por diferentes parametrizações. No caso do Exen1plo 7, podemos
ainda representar o ran10 direito da hipérbole por nleio da parametrização
x = ~,
,\1 = 1'
- 00
< 1 < oo,
que é obtida solucionando a Equação 1 para x ~ Oe sendo .v o parã1ne1ro. Ainda,
outra paran1etrizaçào para o ramo direito da hipérbole dada pela Equação 1 é:
x = 2 sec t,
y = 2 tgt,
Essa para1netrizaçào segue da identidade trigonon1étrica sec 2 t- tg2 1 = 1. portanto:
BIOGRAFIA HISTÓRICA
Christian Huygens
(1629-1695)
x 2 - y = 4 sec 2 t - 4 tg2 / = 4(sec 2 1 - tg2 t) = 4.
Conforme / varia entre -rr/2 e 7T/2, x = sec / permanece positivo e y = tg / varia entre
-oo e oo. de fom1a que P percorre o ramo direito da hipérbole. Ele chega pelo ramo
inferior conforme 1-+ o-, alcança (2, 0) crn t = O e se distancia para o prünciro quadrante à 1nedida que t aumenta cm direção a 7T/2. Esse é o 1ncsmo ramo da hipérbole
da qual uma parte é mostrada na Figura 11.6.
Capítulo 11
Equações paramétricas e coordenadas polares
81
Cicloides
Anteparo da
Anteparo da
cicloide
cicloide
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Cicloide
•
• • •
•
•
•
fJGURA 11. 7 No relógio de pêndulo de
l·luygcns, o prun10 oscila cn1 uma cicloide,
de forma que a frequência é independente
da ampl itude.
O proble1na de un1 relógio cujo pêndulo se n1ove em un1 arco circular é
que a frequência do balanço depende da amplitude da oscilação. Quanto maior
essa oscilação, n1ais tempo o pêndulo leva para retornar ao centro (sua posição
mais baixa) .
Isso não aconteceria se o pêndulo pudesse oscilar em uma cicloide. Em 1673,
Christian Huygens projetou u1n relógio cujo pêndulo podia oscilar en1 tuna cicloide,
u1na curva que definire1nos no Exen1plo 8. Ele pendurou o pêndulo e1n un1 fio restrito por anteparos que o fazian1 descrever a cicloide, conforme ele oscilava a partir
do centro (Figura 11. 7).
EXEMPLO 8
y
Uma roda de raio a rola ao longo de u1ua reta horizontal. Encontre
equações paran1étricas para a trajetória traçada por tun ponto P na circunferência da
roda. A trajetória é chamada de cicloide.
P(x. y) ~ (at + "co~ 8. a + " sen 8)
.- ~
Solução Fazen1os que a reta seja o eixo x e 1narcamos un1 ponto P na roda; iniciamos co1n o P da roda na origem e a rolan1os para a direita. Con10 parâ1netro, utilizamos o ângulo / pelo qual a roda gira. medido em radianos. A Figura 11.8 1nostra a
roda um pouco n1ais tarde. quando sua base estã a ai unidades da origem. O centro
da roda C está c1n (at, a) e as coordenadas de P são:
FlGURA 11.8 Posição de P(x, y) na roda
girada en1 uni ângulo t (Exemplo 8).
x = ai + a cos 8,
y = a+ a sen 8.
Para expressarmos 8 em termos de t, observamos que t + 8 = 37T/2 na figura, de
fom1a que:
•~·
Isso faz que:
o
21Ttl
3
cose = cos ( ; -
FIGURA 11. 9 Curva cicloide
x = a(t - sen t), y = a( J - cos 1),
para t ~ O.
1) = - sen 1,
"
2a
2wt1
TTtl
1) = - cosr.
As equações que buscamos são:
x = at - a sen t,
o
3
sen8 = sen ( ; -
x
P(a1 - " sen 1. 11 - 11 cos1)
(J
2a
J' = a - a cos t.
Elas geralmente são escritas co1n o a fatorado:
x = a( t - sen /),
y = a( 1 - cos t).
(2)
A Figura 11 .9 1nostra o primeiro arco da cicloide e parte do seguinte.
8 (a1T. 2a)
)'
FIGURA 11.10 Para estudarmos o
111ovimen10 ao longo de uma cicloide de
cabeça para baixo sob a influência da
gravidade. viramos a Figura 11.9 de cabeça
para baixo. Isso faz o eixo y ficar voltado
para a djreçào da força gravitacional e as
coordenadas y para baixo sere111 positivas.
As equações e o intervalo de parfunetro
para a cicloide são ainda
x = a(r - sen t).
y = a( 1 - cos 1),
t > O.
A seta indica a direção de aumento de 1.
Braquistócronas e tautócronas
Quando viramos a Figura 11.9 de cabeça para baixo, as Equações 2 ainda se
aplicam e a curva resultante (Figura l l. I O) tem duas propriedades físicas interessantes. A pri111eira é relativa à origem O e ao ponto B na parte n1ais baixa do
primeiro arco. Entre todas as curvas suaves que ligan1 esses pontos, a cicloide é
aquela ao longo da qual iuna bolinha sen1 atrito, sujeita apenas à força da gravidade, irá deslizar de O até 8 o niais rapidamente possível. Isso faz da cicloide uma
braquistócrona, ou a curva de tempo mais curto para esses pontos. A segunda
propriedade é que mesmo se você começar com a bolinha em parte da trajetória
abaixo da curva, e1n direção a B, ela ainda assi1n levará o n1esmo te1npo para alcançar B. Essa propriedade faz da cicloide u1na tautócrona, ou a curva de nies1no
tempo para O e B.
82 Cálculo
Existen1 outras braquistócronas de O até B ou a cicloide é a única? Poden1os
fo1111ular essa questão 1natematicamente da seguinte forn1a. No início, a energia
cinética da bolinha é zero, u1na vez que sua velocidade é zero. O trabalho realizado
pela gravidade na 1novin1entação da bolinha de (0, O) a qualquer outro ponto (x, y)
no plano é 111gy, e isso deve ser igual à a variação de energia cinética. Isto é:
n1gy = ~ 1nv 2 -
~ 111(0)2.
Assim, a velocidade da bolinha, quando ela atinge (x, y ), len1 de ser:
V=
VigY.
Ou seja,
,/,.:a d1ti:r~n~1.1I d•• ~umpruncnh• Jc ;ircu
ª" lonl!o <la 1ra1c111na tia t>ulinha
ds
dt
ou
dt =
ds
Vig;;
VI + (dy/dx) 2 dx
vígY
O tempo 1j que a bolinha leva para deslizar ao longo de LILna trajerória particular
y = f(x) de O até B(a7T, 2a) é:
1 + (dy/dx)
dx.
2gy
(3)
Que curvas y = j(x), se existir alguma, mjnimizam o valor dessa integral?
À pruneira vista, poderían1os pensar que a reta ligando O e B proporcio11aria
o n1enor te111po, n1as talvez não. Pode haver alguma vantageLn se a bolinha cair
verticahnente no início para adquirir 1nais velocidade. Con1 unia velocidade n1aior.
a bolinha poderia viajar por u1na trajetória mais longa e ainda assim alcançar B
primeiro. De fato. essa é a ideia correta. A solução, de um ramo da matemática
conhecido como cálculo de variações. é que a cicloide original de O a B é a única
braquistócrona entre O e 8.
Enquanto a solução do problema braquisrócrono está além de nosso alcance
atual, podemos ainda mostrar por que a cicloide é uma tautócrona. Na próxima
seção iren1os mostrar que a derivada dyldx é simplesmente a derivada t~vlclt dividida
pela derivada dxldl. Fazendo os cálculos da derivada e substituindo na Equação 3
(01nitin1os os detalhes dos cálculos aqui) temos:
X=f1 rr
Tcicloide =
1
=O
1 + (dy/ dx)
- - - - - d\·
2gv
r/-7T 1
a 2(2 - 2 cos t)
- - - - - -dt
- ./1=0 2ga( 1 - cos t)
Da' l 11ua\c'>~, 2.
Jy ./t - oi 1 cos 11
,/1• ,{t
1
ti(
</ 'Clt t C
1
<'OS /)
Assim, a quantidade de tempo que llLna bolinha sem atrito leva para deslizar na
cicloide até B, depois de ter sido liberada do repouso em O. é 7T \/;;g.
Suponha que, e1n vez de co1neçar con1 a bolinha en1 O, a inicia1nos em algum
ponto inferior na cicloide, um ponto {x0 , y 0} que corresponde ao valor de parâtnetro
10 > O. A velocidade da bolinha em qualquer ponto posterior (x, y) na cicloide é:
v = V2g(y -yo) = V2ga(coslo - cosi).
•
"'' - ~"''!
Capítulo 11
Equações paramétricas e coordenadas polares
83
De forrna correspondente, o tempo necessário para que a bolinha deslize de
(x0 , y 0 ) até B é:
2
a (2 - 2 cos t) dt - ~1·"'
T = { "' , ________
2ga(cos to - cos t) - \ g ,1)
J,o
=
Jil"
ra11T
(2cos2 (t0/ 2) -
1) -
(2cos2 (t/ 2) -
=
Íaf
\j g.
= 2
dt
dt
l)
sen(t/ 2) dt
'V g 'n Vcos2 (t0/ 2) - cos2 (t/ 2)
1=1u
COSI
cos io - cos I
2 sen 2 (t/ 2)
=
t-w
1-
li
- 2 du
-v'----;:c=2= - =11=2
- 2 r/11
t
~(!> I /
2)
..cn (t 2 l t/1
co~ (1,, ~1
/a
[-sen- 1 ~ ]'- "'
'V g
1=10
o......--- - - - - - - - - . . , . - - --+ X
/a [-sen t cos (t/ 2) ]"'
'V g
cos ( 10/2) ,
= 2
0
=
V
•
2\~(-scn- 1 O + sen 11) = 7T/j.
Esse é precisa111ente o ten1po que a bolinha leva para deslizar de 8 para O. Ela leva a
1nesn1a quantidade de tempo para alcançar B de qualquer lugar que ela parta. Bolinhas partindo si1nultanearnente de O, A e C na Figura 1 1. 11 , por exemplo, chegarão
a B ao mes1110 ten1po. Esse é o motivo pelo qual o relógio de pêndulo de Huygens é
independente da amplitude da oscilação.
Bolinhas liberadas
simultanearnente na cicloide de cabeça
para baixo em O, A e C alcançar-ao 8 ao
1nesmo ten1po.
FIGURA 11.11
Exefcfcios 11.1
Encontrando equações cartesianas a partir de equações
paramétricas
16. x = -sec t, y = tg 1, -rr/2 < r <1Tl2
Os Exercícios 1-18 fornecem equações paran1étricas e intervalos de
18. x = 2senht, y = 2cosht, -00< 1<00
parân1erro para o movitncnto de uma partícula no plano .\:11. Identifique a trajetória da partícula encontrando a equação cartesiana para
ela. Desenhe o gráfico de cartesiana (os gráficos irão variar confor1ne a equação utilizada). Indique a parte do gráfico percorrida pela
partícula e a direção do 111ovimento.
1. x=31. y=9t2, --oo< r<oo
2. X = -Vt, )' = 1, I ;::: 0
3. x=2t -5. y= 41-7. -oo<t<oo
4. .r = 3 - 31, y=2t, Os t s 1
S. x = cos 2t. y = scn 21, O< t < 1T
6. x=cos(7T-/). y=sen(7T-I), O< t<1T
7. x=4cost, y= 2sen t, Os 1< 21T
8. x=4sent. y=5cosl, O<r<21T
?
y-cos ~I.
- 1T s / s 1T
9. x-scnt,
2
1O. x = 1+ sen 1. y = cos 1 - 2.
2
Os t s 1T
y= t6 -2r, -oo< t <oo
1
( - 2
12. X = I _ I " y = t + l ' - 1 < I < f
11. x=t2,
= ~. - 1 :S 1 :S 0
14. X = v'l+I, )' = Vt, I ;::: 0
13. X = 1,
)'
I S. x = sec2 1- l , y = tg 1,
-rr/2 < 1<'TTl2
17. x= - cosh/, y=senhl.
-oo< t < oo
Encontrando equações paramétricas
19. Encontre equações pa111n1étricas e un1 intervalo de parâmetro
para o movi1nenro de uma panícula que parte e1n (a. 0) e traça
o circulo x2 + y 2 = a 2:
a. uma vez em sentido horário.
b. un1a vez em sentido anti-horário.
e. duas vezes cn1 sentido horário.
d. duas vezes e1n sentido anti-horário.
(Pode haver 1nuitas fom111s de resolver este exercício, de forma que suas respostas podcn1 não ser as 111esmas que estão no
final do livro.)
20. Encontre equações pararnétricas e un1 intervalo de parâ1netro
para o rnovimento de uma partícula que parte e1n (a, O) e traça
a elipse (.rllet2) + ú ;i/b2) = 1:
a. uma vez e1n sentido horário .
b. uma vez e1n sentido anti-horário.
e. duas vezes e1n sentido horário.
d. duas vezes cn1 sentido anti-horário.
(Assin1 co1no no Exercício 19, pode haver 1nuitas respostas
corretas.)
Nos Exercícios 21-26, encontre uma paran1etrizaçào para a curva:
21 . o segmento de reta co1n extreniidades (- 1, - 3) e (4. 1).
22. o SC{,'lllento de reta com extremidades (- 1, 3) e (3, - 2).
84 Cálculo
34. Encontre wna parametrização para o circulo x 2 + y 2 = 1 ini-
23. a metade inferior da parábola x - 1 = _1.2.
24. a 1netadc esquerda da parábola y = x2 + 2x.
25. o raio (se1nirre1a) com ponto inicial (2, 3) que passa pelo ponto
(-l,-1).
ciando em ( l. O) e se 1novendo en1 sentido anti-horário até o
ponto final (O, 1), com o ângulo O na figura a seguir como
parân1etro.
26. o raio (semirreta) cotn ponto injcial (-1. 2) que passa pelo
ponto (0. 0).
27. Encontre equações paramétricas e um intervalo de parân1etro
para o movimento de runa parlicula que começa no ponto (2, O)
e traça a n1etadc superior do circulo x2 + J,2 = 4 quatro vezes.
28. Encontre equações paramétricas e um intervalo de parâmetro
\'
(0. 1)
(x, y)
, IÍ
(1. 0) X
-2
para o 111ovi1nento de unia particula que se niove ao longo do
gráfico de y = x2 da seguinte forma: começa em (0, 0), inove-se para (3, 9) e em seguida se desloca para frente para trás de
(3, 9) para (- 3, 9) infinitamente.
29. Encontre equações para1nétricas para o sen1icirculo
x2 +.~.i=a 2 •
y>O.
utilizando co1no parâmetro o coeficiente angular 1 = dyldx da
tangente da curva en1 (x, y).
30. Encontre equações paramétricas para o círculo
x2 + J2 = a2.
utilizando como parâmetro o con1pri1nento de arcos merudo en1
sentido anti-horário a partir do ponto (a. O) alé o ponto (x,y).
3 1. Encontre uma paran1ctrizaçào para o scgn1ento de reta que une
os pontos (0. 2) c {4. 0) utilizando o ângulo 8 na figura a seguir
como parfunetro.
y
35. C un·a de Maria Agncsi A curva e111 fonnato de sino de
Maria Agncsi pode ser feita da seguinte fonna: inicie co1n um
círculo de raio 1. centrado no ponto (0, l ), conforn1e exibido
na figura a seguir. Escolha un1 ponto A na reta y = 2 e conecte-o à origem co1n um segmento de reta. Designe por B o ponto
onde o segmento cruza o círculo. Seja P o ponto em que a
rela vertical por A cruza a reta horizontal que passa por B. A
curva de A1:,111esi é a curva traçada por P confonne A se n1ove
ao longo da reta y = 2. Encontre equações paramétricas e um
intervalo paran1étrico para a curva de Agnesi expressando as
coordenadas de P em tennos de 1. a n1cdida cm radianos do
ângulo que o segmento O A faz com o eixo x positivo. As seguintes igualdades (que você pode assumir) irão ajudar.
a. x=AQ
b. y=2 - ABsent
e. AlJ · OA = (AQ)2
)'
\' = 2
Q
A
/ IJ
o
4
(0. 1)
Vx
8
/
I
32. Encontre uma pannnetrizac;ão para a curva y =
com ponto final (0, 0) util izando o ângulo 8 na figura a seguir co1no
o
parân1ctro.
y
y= v;
(.1. y)
o
33. Encontre uma parametrização par.to circulo (x - 2)2 + y 2 = l
iniciando em ( 1, 0) e se movendo em sentido horário uma vez
ao redor do circulo, co1n o ângulo central O na figura a seguir
como parâmetro.
36. Hi pocicloidc Quando um círculo rola dentro de tun círculo
fixo. qualquer ponto P na circunferência do círculo que rola
descreve uma hipocicloitle. Seja x 2 + y2 = (1 2 o círculo fixo,
seja b o raio do circulo que rola, e seja A (a, 0) a posição inicial
do ponto P traçado. Encontre equações pararnétricas para a
rupocicloidc, utilizando COlllO parâ1nctro O ângulo 0 a partir do
eixo x positivo até a reta que une os centros dos circulos. Em
particular, se b = a/4, assim con10 na figura a seguir, n1ostrc
que a hipocicloide é a astroide
x =a cos3 O
'
y= a sen 3 0.
\'
•
)'
1
1
o
A(a,0)
o
I
.f
Capítulo 11
37. Conforme o ponto N se move ao longo da reta y =a na figura
a seguir. P se cnove de fom1a que OP = MN. Encontre equações paramétricas para as coordenadas de P con10 funções do
ângulo t que a reta ON faz con1. o eixo y positivo.
•\'
A(O.u)
Equações paramétricas e coordenadas polares
85
42. Ramo de hipérbole x = sec 1 (entre co1no 1/cos (1)), y = tg t
(entre con10 scn (t)/cos (/)). no intervalo:
a. - 1,5 S / S 1,5
b. - 0,5 SIS 0.5
e. - 0.1 s t s 0.1.
43. Parábola x = 21 + 3, y = 12 - 1, - 2 :5 t s 2
44. Cicloide x = 1- sen 1. y = 1 - cos t, no intervalo:
a. 0 < I < 27T
b. 0 < 1< 47T
c. 7T :5 / S 31T
45. Deltoide
x = 2 cos 1 + cos 2t, y = 2 sen 1- sen 21: O< 1< 2'1T
38. l 'rocoides
U1na roda de raio t1 rola ao longo de urna reta horizontal sen1 deslizar. Encontre equações paramétricas para a
curva traçada por um ponto P en1 um raio da roda a b unidades
de seu centro. Co1no parân1etro. utilize o ângulo Oatravés do
qual a roda gira. A curva é chamada de trocoide, que é u1na
cicloide quando b = a.
"° < 1 < oo,
o mais próximo do ponto (2, l /2). (Sugestão: minimize o quadrado da distância como uma função de t.)
40. Encontre o ponto da elipse x = 2 cos 1, ." = sen t, Os / s 27T,
o mais próximo do ponto (3/4, 0). (Sugestão: minimize o quadrado da distância como uma função de 1.)
O USO DE FERRAMENTAS GRÁFICAS
Se você possui unia ferran1enta que esboça gráfícos de equações
paran1étricas, desenhe os gráficos das equações sobre os intervalos
determinados nos Exercícios 41-48.
41. EUpse x = 4 cos t, y = 2 sen 1. no intervalo:
a. Os t < 27T
b. Os t s 7T
e. -rr/2 s 1 s ?T/2
11.2
x=3cost+cos3t. ,11=3sen1-scn 31; 0< 1:527T
O que acontece se você substituir 3 por-3 nas equações para
x e y'! Desenhe os gráficos das novas equações e descubra.
47. a. Epicicloide
X= 9 COS 1 - COS 9t.
Distância utilizando equações paramétricas
39. Encontre o ponto sobre a parábola x = 1, y = fl.
O que acontece se você substituir 2 por - 2 nas equações para
x e y? Desenhe os gráficos das novas equações e descubra.
46. Uma curva interessante
.v = 9 sen 1- sen 91'' Os t :5 2'7T
b. Hipocicloide
x = 8 cos t + 2 cos 41. y = 8 scn 1 - 2 sen 41: O:5 t s 27T
e. Hipolrocoide
x "'" cos t + 5 cos 3t.
y = 6 cos 1 - 5 scn 3t;
Os t s 2;r
48. a. x=6cos1+5cos31, y=6sen 1-5sen31;
0 :5 t S27T
b. x = 6cos2t+5cos6t. y=6sen2t - 5sen61:
0 </< 77
c. x=6cos1+5cos31. y=6sen21 - 5sen 31;
o:5 / s 27T
d. x=6cos21+5cos6t, y=6sen4t-5scn6t;
0 S t !i ?T
Cálculo com curvas paramétricas
Nesta seção, aplicare1nos cálculo às curvas paramétricas. Especificamente, encontraremos coeficientes angulares. comprimentos e áreas associadas con1 curvas
paran1etrizadas.
Tangentes e áreas
Uma curva parametrizada x = f(t) e y = g(t) é derivável en1 t se f e g toren1
deriváveis em t. En1 um ponto e1n u1na curva para1netrizada derivável c1n que y é
latnbém uma função derivável de x, as derivadas dyldt, dxldt e d_vldx estão relacionadas pela regra da cadeia:
Se dxldt::;:. O, podemos dividir ambos os lados dessa equação por dxldt para solucionar para dy/d.x.
86 Cálculo
fórmula paramétrica para dy/dx
Se todas as três derivadas existem e d>:l<lt "# O,
dy
dy/dt
dx
dx/ dt ·
(1)
Se equações paramétricas define1n y como urna função de x duas vezes derivável, pode1nos aplicar a Equação 1 à função dyldx = J'' para calcu lar d 2y/d:r2 corno
u1na função de t:
d 2) '
d
,
dy'/ dt
dx 2 = dX(y) = dx/ dt ·
Equação 1 ~om 1 no luj!.u <l.: ,.
Fórmula paramétrica para d2y/dx2
Se as equações x = f(t), y = g(t) definem y como uma fw1ção de x duas vezes
diferenciável, então em qualquer ponto onde tlY/dt "#O e y' = d_v/dx,
d 2y
d,v'/ dl
(2)
dx 2
dx/ dt ·
y
2
EXEMPLO 1
o
Encontre a tangente à curva
2
.r = sec 1.y :: tg 1.
1T
1r
-<
1<
-2
2
A curva no Exen1plo 1 é o
ran10 direito da hipérbole .\.i - y 2 = 1.
FIGURA 11.12
x = sec /,
1T
1T
-<
f <2
2.
y = tg /.
no ponto {Vi, 1), crn que t = 7T/4 (Figura 11.12).
Solução O coeficiente angular da curva em 1 é
dy
dy/ dt
dX = dx/ dt
sec2 t
sec r tg t
sec t
tg ( .
Equação t
Fazendo t igual a 7T/4, ten1os:
dJ'
dx t ='tt/4
sec (7r/4)
- tg (7T/ 4)
~ = Vi.
A reta tangente é:
y -
1 = \/Í (x -
\/2)
y=v'2x-2+ 1
y=V2x- I.
EXEMPLO 2
Encontre cfl.v/d,:i. como urna função de t se x = t - t1. y = t - 13.
Si>lução
1. Expresse J'' = dyldx c1n term.os de /.
dv
y' =
1 Encontrando tfly/d;\;z em termos de t
l . Expresse y' = dy/dx e1n termos de 1.
2. Encontre y'/dt.
3. Divida dy'ldt por clrldt.
d;
1 - 31 2
dy/ dr
= dx/ dt
1 - 2f
2. Diferencie _v' em relação a 1.
2
dy' = 1.. ( 1 - 3t ) = 2 - 61 + 6t
dt
dt
1 - 2r
( t - 2r)2
2
87
Capítulo 11 Equações paramétricas e coordenadas polares
3. Divida dy'ldt por dxldt.
d 2y
dy'/dt
dx 1 = dt/ dt
EXEMPLO 3
y
x=cos3 t
y = scn 3 t
0 < I :5 217'
-1
2 - 61 + 61 2
( 1 - 2t)3
Encontre a área delimitada pela astroide (Figura 11.13)
x= cos3 t.
y= sen 3 t,
Solução Por simetria, a área delimitada é quatro vezes a área sob a curva no pri111eiro quadrante, e1n que O< t < w/2. Podemos aplicar a fórmu la da integral definida
para a área estudada no Capítulo 5, utilizando substituição para expressar a curva e
a diferencial dx em te1mos do parã1netro t. Portanto:
A=41
1
,vdx
'11/ 2
-1
FIGURA 11.13
(2 - 6t + 6t 2 )/( l - 2t) 2
1 - 2r
= 4
Astroide no Exen1plo 3.
1
= 12
y
=
sen3 t • 3 cos2 t sen t dt
12
fo "' ( 1 - ~os 2t)
12
r
2J
3
1T
(1 -
2
( 1
S11hs1nuu;Jn 1.._.r.1 1· ,. ,/f
+ ~os 21) dt
2 cos 2t + cos 2 2t}( l + cos 21) dt
0
12
f
"'
= 2}
(1 - cos 21 - cos2 2t + cos3 21) dt
3
B = P"
0
e
=
r
2 J
,,,12
3 [
(1 -
cos 21) d1 -
0
=
-of - - - - - - - - - - - - -- x
fIGURA 11.14 Curva suave C dcfmida
parametricamente pelas equações .\· = f( 1)
e y = g(t). a s 1 s b. O con1primento da
curva de A a B é aproximado pela son1a
dos comprimentos da trajetória poligonal
(segmentos de reta), iniciando em
A = P0, seguindo para P 1, e assi1n por
diante, terminando cn1 B = P,, .
.V
'
1
1 Í1J1c
_________ ..J1
Axi:
P1. - 1 =
<J(lt- 1). ,11(11. - 1))
-f--------------+x
o
fIGURA 11.15 O arco P11- 1 Pké
aproximado pelo se1:,rmcnto de reta
exibido aqui, que ten1 comprimento
LA = V(!\x1J2 + ( 6 y! )2 •
=
3 [(T 2
r
J
fT/2
2
cos 21 dt
0
r
+J
.,, 2
3
cos 21 dt
]
0
12
,emplo 3
21 scn 2 t) - 21 ( / + 41 sen 21) + 21 (~cn 21 - 3l sen 3 2~~ ]"' 1'C\iill~.2.
0
1[(2j - O - O - O) - t (f + O - O - O) + t(O - O- O+ O) ]
,\\aliar
37T
= g-·
Comprimento de uma curva definida parametricamente
Seja e lUna curva dada parametricamcnte pelas equações
x = / (1)
e y= g(1).
a s. t s. b.
Assun1irnos que as funções f e g são continuamente deriváveis (o que significa que
elas possuem primeiras derivadas contínuas) no intervalo [a, b]. Assunún1os lan1bém
que as derivadas f '(t) e g'(t) não são simultanean1ente zero, o que previne que a curva
e tenha quaisquer cantos ou cúspides. Essa curva é chamada de Clln'8 lisa. Subdividin1os a trajetória (ou arco) AB e1n n partes nos pontos A = P0, P" P2, .... Pn = B
(Figura 11.14). Esses pontos corresponde1n a uma partição do intervalo [a, b] por
a = 10< t 1 < r2< ··· < t,, = b. em que P1. = (/(tk), g(tk)). Una pontos sucessivos dessa
subdivisão através de segmentos de reta (Figura 11 . l 4). Um segmento de reta representativo ten1 compritnento:
L1. = V ( d.x1c)2 + ( dyk)2
2 + [g(1k) - g(1i.- 1)J2
= vuc1*) - J <r.1:- 1)J
(veja a Figura 11.15). Se 6.t1. é pequeno, o comprimento Lk é aproximadamente o
con1prin1ento do arco P1. _ 1Pk. Pelo teorema do valor médio, cxisten1 nú1neros tk• e
rk•• em [tk- 1, tk] , tal que:
88
Cálculo
lhk = f(r,,) - f(t1<-1 ) = f ' (r,,") ó.r",
tly1. = g(f1<) - g(l1<- 1) = g'(l1< •• ) Ó.f/, .
Assumindo que a trajetória entre A e B é percorrida exatamente uma vez conforme r
aumenta der = a para t = b, sem voltar ou retraçar, un1a aproxin1ação para o (ainda
não definido) "comprimento•· da curva AB é a sorna de todos os co1nprin1en1os Lk:
,,
=
2: v'[J'Ctt • ll 2 + [g'(1,,··)1 2 6.r11: .
1. ~ 1
Ainda que essa úJtin1a so111a à direita não seja exatamente uma soma de Riemaru1
(porque/' e g' são avaliados em pontos diferentes), pode ser den1onstrado que seu
lirnite, à 1nedida que a norma da partição tende a zero e o número de segmentos
11 ~ oo, é a integral definida:
Portanto. 6 razoável definir o con1primcnto da ct1rva de A até 8 con10 essa integraJ.
Se uma curva C é defmida parametricamentc por x = /(t) e
y = g(t), a s 1 s b, en1 que /'e g' são contínuas e não simultaneamente zero
en1 [a, b], e C é percorrida exatamente u1na vez conforn1e r aw11enta de t = a
para f = b, então o compri111ento de e é a in1egral definida:
DEFINIÇÃO
L =
i
h
V[/' (1)]2 + [g' (t)] 2 dt.
11
Unia curva suave C não volta ou n1uda o sentido do movin1ento sobre o intervalo de ten1po [a, b], uma vez que (/') 2 + (g') 2 > Oao longo de todo o intervalo. Em um
ponto em que uma curva co1neça a voltar sobre si própria, ou a curva deixa de ser
derivável ou ambas as derivadas devem ser si1nultaneamente iguais a zero. !reinos
exa1ninar esse fenômeno no Capítulo 13, em que estudare1nos vetores tangentes às
curvas.
Se x = /(1) e y = g(r), então, utilizando a notação de Leibniz, teren1os o sei:,,ruinte
resultado para o con1primento do arco:
!.b (dr) + (ªy)
2
2
l =
dt
ti
dt
dt.
(3)
E se existirem duas parametrizações diferentes para uma curva C cujo comprin1ento quere1nos encontrar - faz diferença qual delas utilizare111os? A resposta é não,
contanto que a parametrização que escolhermos satisfaça as condições estabelecidas
na definição para o comprimento de C (veja o Exercício 41 para um exemplo).
EXEMPLO 4 Utilizando a definição, encontre o perímetro do circulo de raio r
definido parametricamente por
X = r COS l
e
v= r sen /
-
'
O-< 1 -< 27T.
Solução Conforrne t varia de O a 21T, o circulo é percorrido cxatan1ente uma vez,
portanto a circunferência é
1
211'
L =
o
dt
+ (:2)2
dt dt.
(~)2
Capítulo 11
Equações paramétricas e coordenadas polares
89
Encontramos:
dy
- = rcost
dt
dx
- = - rsen 1
dt
)
e
d
)2
(dy)2
+
(dt -dt = r (sen t + cos' t) = .
2
___:!.
2
2
r2
Portanto:
f 2tr
L =lo W dt = r [1]~1r = 2'1Tr.
EXEMPLO 5
Encontre o compri111ento da astroide (Figura 11 . 13)
x= cos3 t
y = scu3 t,
e
o s t s 2'1T.
Solução Por causa da sin1etria da curva co1n relação aos eixos coordenados, seu con1-
primento é quatro vezes o compri1nento da porção do primeiro quadrante. Te1nos:
x = cos 3 t.
y = scn3 t
(1fi) = [3cos t (-sent)] = 9cos tsen t
2
2
4
2
2
dy)2= [3 sen r(cos t)] = 9 sen-l rcos r
(dt
2
2
2
d )2+ (dv)2
-f,
d,
= V9 cos2 r sen 2 r(cos 2 t + sen 2 t)
(
1
=
V9 cos2 t sen2 t
= 3 I cos t sen t 1
' ' " I ...:n 1 ,,. n p.11 n
= 3 cos t sen / .
11" ,..- rr2
Portanto:
Con1primento da porção
do primeiro quadrante =
1
7T/ 2
3 cos 1 sen 1 dr
0
l 1r/2 sen2t dt
3
2 . (1
= -
C<)~
l . . \:"n / -
( 1 l) ~"n~/
12
= -
~ cos 2t ]~ = t.
O comprimento da astroide é quatro vezes isto: 4(3/2) = 6.
Comprimento de uma curva y = /(x)
BlOGRAFIA HISTÓRJCA
Gregory St. Vincent
( 1584- 1667)
A fórmula de co1nprimento 11a Seção 6.3 é un1 caso especial da Equação 3.
Dada unia função continuamente derivável .Y = /(x), as x s b, pode1nos detern1inar
X = f COnlO Ulll parân1etro. Ü gráfico da fuJ1ÇâO
f é então a curva C definida para-
metricamente por:
x= r
e
a < r< b,
) ' = f(t),
um caso especial que consideran1os antes. Então:
5k = 1
dt
e
dy
dt = J'(t).
90
Cálculo
A partir da Equação 1, te1nos
<~Y
dy/ dr
d; -- dx/ dt -- f'(t) ·
resultando e111
(~~ )2+ (d;)2= 1 + l/'(1)]2
= 1 + l/'(x)J 2 .
,
,
Uma substituição na Equação 3 nos dá a fórmula do comprimento de arco para o
gráfico dey = j(x), consistente com a Equação 3 na Seção 6.3.
Dtferenàal do comprimento de arco
Consistente co1n nossa discussão na Seção 6.3, podemos definir a função de
comprimento de arco para uma curva definida parametricamente x = f(t) e y = g(r),
a< t < b, por:
s(t) =
1'
Vl/'(=)] 2 + [g'(z)] 2 clz.
Então, pelo teoren1a fundan1ental cio cálculo:
ÉJ.. = v'l/'(1)]2 + [g'(/)]2 =
dt
A diferencial do co1nprimenro de arco é:
ds =
(4)
A Equação 4 é frequentemente abreviada para:
ds = v'dx 2 + d;12 .
Da 1nes1na forma que na Seção 6.3, podemos integrar a diferencial ds entre lin1ites
apropriados para encontrar o compri1nento total de uma curva.
Segue um exemplo de onde utilizamos a fórmula de con1primento do arco para
encontrar o ccntroide de um arco.
y
EXEMPLO 6
Exen1plo 5.
8(0. 1)
(i, .Y) = (cos} 1. seu 3 1)
'
/
ly
'
1
1
~---'1 ~~~--=="""'----+ x
o
Solução Toma1nos a densidade da curva como sendo S = 1 e calcula1nos a 1nassa e os
movimentos da curva em relação aos eixos coordenados. confonne fizemos na Seção 6.6.
A distribuição de tnassa é simétrica em torno da reta y = x, portanto x =y. Um
segmento típico da curva (Figura 11 .16) possui massa:
ds 1
1_
Encontre o centroidc do arco do pri1neiro quadrante da astroide no
A( 1. 0)
FIGURA 11.16 Centroide (c.n1.) do arco
m
)2
(dy)2
d;
+
dt
dt = 3 cos t sen t dt.
(
dn1 = 1 · ds =
A 1nassa da curva ê:
da astroide no Exen1plo 6.
( "'12
t'vl =
J0
( "'/2
d111 =
J0
3
3 cos t sen / dl = 2 .
O 01omento da curva eo1 relação ao eixo x é:
M.r =
J
y c/111 = }
r rr/ 2
sen 3 I • 3 cos t scn I dt
0
1
2
5
"'1
sen
r]"''
4
=3
sen t cos t dt = 3 ·
o
5 o
2
= -3 .
5
Capítulo 11 Equações paramétricas e coordenadas polares
91
Segue que:
3/ 5
2
=Y = M = 3/ 2
-
/vft
O centroide é o ponto (2/5, 2/5).
Áreas de superfícies de revolução
Na Seção 6.4, encontran1os fórn1ulas integrais para a área de uma superfície
en1 que uma curva é girada em torno de un1 eixo coordenado. Especificamente,
descobrimos que a área da superfície é S = f 27Ty ds para rotação em tomo do eixo x
e S = f 27Tx ds para rotação em torno do eixo)'· Se a curva é parametrizada pelas
equações x = f(t) e y = g(t), a s I s b, en1 que f e g são continuamente deriváveis e
(f') 2 + (g') 2 > O em [a , b], então a diferencial do co1nprimento de arco ds é dada
pela Equação 4. Essa observação nos leva às seguintes fórmulas para a ãrea das
superfícies de revolução das curvas pararnetrizadas suaves.
~
Area de superfície de revolução para curvas parametrizadas
Se u1na curva suave x = f (t), y = g(t), as t s b, é percorrida exatamente uma vez
conforn1e / aumenta de a para b, então as áreas das superfícies obtidas girando-se
a curva em torno dos eixos coordenados são contorme segue:
1. Revolução em torno do eixo .t' ú1 ~ O) :
1
b
s = " 27T)I \
(dIt )2+ (dy)2
dt dt
(5)
2. Revolução em torno do eixo y (.t' 2: O):
S=
11
EXEMPLO 7
A parametrização padrão do círculo de raio l centrado no ponto
(O, 1) no plano xy é:
/
x = cos t,
.,
(6)
Assim co1no co1n o co1nprimento, podemos calcular a área da supe1fície a partir de qualquer parametrização conveniente que satisfaça os critérios estabelecidos .
Círculo
.~ = cos 1
y= 1 + •Clll .........0 < / S 2?T J>
-
dy)2
(<t
)2
27TX \
d; + (dt dt
1
h
....._ , "
.v = 1 + sen t,
os ( < 27T .
Utilize essa paran1etrização para encontrar a área da superfície varrida pelo giro do
círculo ern torno do eixo x (Figura l l . 17).
X
Solução Avalian1os a fórmula
E<JU.i\-iio 5 p.ira T<.:\ 11h1t;à.>
Clll h•T111> ilü Cl\O ~ ,
1·
( 2rr
2 + (cost) 2 d1
+
sent)V(
sent)
=lo 27T(l
No Exemplo 7 calcula1nos
a área da superfície de revolução varrida
por essa curva paran1etrizada.
FIGURA 11.17
1
fo
= 27T
211
( l + sent) dt
= 27T[ ( - cos (]~lT = 41r2•
1 + seu t
li
92
Cálculo
Exercidos 11.2
Tangentes às curvas pMametrizadas
29. x = 8cost+81sen1. y = 8sen1 - 81cos1, 0 S t :S 7T/2
Nos Exercícios 1-14, encontre uma equação para a reta tangente á
curva no ponto definido pelo valor dado de t. Encontre tambén1 o
valor de d1-yldx2 nesse ponto.
30. x=ln (sec t + tg 1) - sen 1,
1. x = 2 cos t.
y = 2 sen t.
3l. x = cost. y = 2 + scnt, O<t < 27r; eixox
3. x=4sent. y =2cost, t=TT/4
VJ COS /,
)' =
5. X = f , )' = Vt,
6.
x = sec 2 1 -
1
VJ; eixoy
33. .\' = 1 + v'2, y = (1 2/ 2) + \/Í1, - v'2 s t :S VÍ: eixoy
32. x = (2./3)t3 2•
I = 27T/3
= 1/4
1. y = rg 1,
7. x = sect, y= tgt,
y = 2Vt.
Os t s
34. x=ln(sect + tgt) - sent, y = cost.
t = --rr/4
Os 1:S -rr/3 ; eixox
35. Tronco de cone O segmento de reta unindo os pontos (0, 1) e
(2, 2) é girado crn tomo do eixo x par.i gerar um tronco de cone.
Encontre a ãrea de superfície do tronco de cone utilizando a paramctrizaçào x = 21.y=t+ 1. os 1s 1. Verifique seu resultado con1
a fóm1ula geon1étrica: Area = -rr(r 1 + r2) (altura de inclinação).
36. Cone O segmento de reta que une a origem ao ponto (h, r) é
girado sobre o eixo x para gerar uni cone de altura li e base de
raio r. Encontre a área de superfície do cone con1 as equações
paran1étricas x = ht. y = rt, Os t :S \. Confira seu resultado com
a fórmula geométrica: Área = -rrr (geratriz).
t = TT/6
8. X = -v'f+l, •1' = \/3Í, I = 3
9. x = 2t2 +3, y= t4. t =- 1
10. x = llt. y= -2+1nt, 1= 1
lJ . x = t-seo t, y= 1 - cos 1. t = TT/3
12. x = cos 1, y = 1 +·sen t, t = TT/2
1
Área da superfície
Encontre as áreas das superfícies geradas girando as curvas nos
Exercícios 31-34 cm torno dos eixos indicados.
1 = TTl4
2. x = sen 27Tt. y = cos 27Tt, t =-116
4. X = COS 1.
1•=cos 1, 0 S JS 7T/3
I
JJ. X = f + I ' y = 1 - 1' ( = 2
14. x = t + e', y= l - e', 1= 0
Centroides
Parametrizações definidas implicitamente
37. Encontre as coordenadas do ccntroidc da curva:
Assumindo que as equações nos Exercícios 15-20 defínen1 x e y
in1pl ieitan1ente corno fw1ções deriváveis x = j (t), y = g(I), encontre
o coeficiente a11gular da curva x = j(t). y = g(t) no valor derem1inado de 1.
15. x3 + 212 = 9, 2J.3- 3t2 = 4.
16. x =
1= 2
.
J8. x sen t + 2.x = t
yVt+I + 2tyY = 4, t = 0
t sen t - 2r = .I''
I = 7T
38. Encontre as coordenadas do centroide da curva:
x=e'cos r.y = e'sen r, 0 :S t :S 7T.
D 40. A maioria dos cálculos de centroide para curvas 6 feita com
uma calculadora ou computador que possua um prograina de
avaliação de integrais. Como apl icação disso. encontre, con1
precisão centesin1al, as coordenadas do ceniroide da curva
19. x = t3 + t, y+ 2t3 = 2x + i2, t = 1
20. r = ln (x - /), y = te', t = O
X
Área
'° = a(t - sen 1), y = a( 1 - cos 1).
22. Encontre a área delirnitada pelo eixo y e a curva:
x = 1-t2, y= l +e-1•
23. Encontre a ãrca delin1itada pela elipse:
r=bsenl, 0St S 27T.
24. Encontre a área sob y = x l sobre [O. l] utilizando as seguintes
pararnetrizações.
b. X = iJ, )'
= t 3•
)' =
3t 2/2.
Ú S 1S
v'J.
Teoria e exemplos
2 1. Encontre a área sob uni arco da cicloide:
x=acosi,
Os t :S TT/2.
39. Encontre as coordenadas do centroide da curva:
x=cost. y=1 + sen1, 0 S t S 7T.
Vs - Y,. y(1 - 1) = Vi, , = 4
17. X + 2.;r l/l = t 2 + 1,
x = cos t+t sen 1. y = sen 1- 1cos1,
4 1. O comprimento é independente da parantetrização Para
ilus1rar o fato de que os núrneros que obtemos para comprin1cnto não dependem da fomia que parametrizamos nossas
curvas (exceto pelas leves restrições que pn::vi nern a volta 111encionada anteriom1ente), calcule o con1primento do semicirculo
2
y = V 1 - x com essas duas pararnetrizações diferentes:
a. x= cos 21, •)I = sen 2t. Os t s 7Tn.
b. x = scn7TI, y= coS7T/. -l/2 S t :S 1/2.
42. a. Mostre que a fórmula cartesiana
1 + (-dx) dy
2
= t9
d11
•
Comprimentos das curvas
Encontre os comprimentos das curvas nos Exercícios 25-30.
25. x = cost, y = t+sent,
Os t S 7T
26. X= t3, ." = 3f1/2, 0 S IS
VJ
27. x = t2/2. y= (2t+ 1)12/3, 0 S / :S 4
28. X = (21 + 3)312/3, )' = I + 12/2, 0 :S f :S 3
para o con1primento da curva x = g(y). e :::;; y s d (Seção
6.3. Equação 4 ). é urn caso especial da fórmula paran1étrica
para con1pri1nento
l =
i
a
b I(dx)2
(dy)2
di + dt dr .
\
Capítulo 11
Utilize esse resultado para encontrar o comprimento de cada
curva.
b. x= y 32• 0 ::S:y:S 4/3
C. X =
~ )'l/J,
Equações paramétricas e coordenadas polares
93
46.
45.
•I'
)'
x = sen1
y = scn 21
x = scn21
\' = ;.en 31
•
0 < J' ::S: 1
43. A curva com equações paramétricas
x = ( 1 + 2 sen 8) cos 8,
y = ( 1 + 2 sen 8) sen 8
é chatnada de li1naço11 e é exibida na figura a seguir.
Encontre os pontos (x, y) e os coeficientes angulares das retas
tangentes a esses pontos para:
a. O= O.
b. O= 7T/2.
c. 8 = 47T/3.
47. Cicloide
a. Encontre o con1pri1nento de u1n arco da cicloide
x = a(t - sen /), y =
a( 1 - cos t).
b. Encontre a área da superfície gerada ao girar um arco da
cicloide no item (a) em tomo do eixo x para a = 1.
3
48. Volume
Encontre o volun1e percorrido pelo giro da região
limitada pelo eixo x e um arco da cicloide:
x = / - sen t, y = 1 - cos 1
en1 torno do eixo x.
USO DO COMPUTADOR
44. A curva co1n equações para1nétricas:
x=t, y= 1- cosi. O::s: 1::s:27T
é denon1inada se11oide e é exibida na figura a seguir. Encontre
o ponto (x, y) em que o coeficiente angular da reta tangente é:
a. o n1a1or
b. o menor.
)'
0 As curws nos Exercícios 45 e 46 são denominadas curl'as
de Bo11'dilch ou figuras de lissajous. En1 cada un1 dos casos,
encontre o ponto no interior do primeiro quadrante em que a
1angcntc à curva é horizontal, e encontre as equações das duas
tangentes na orige1n.
11.3
1
0 ::S: I S 1
50. X= 213- 1612 + 251 + 5. J' = /? + / - 3, 0 < I < 6
51. x = t - cost. y= l +sen1, -rrS./STT
52. x=e'cost, i•=e'sent, O<t<7T
Nesta seção, estudaremos as coordenadas polares e sua relação co1n coordenadas cartesianas. Você verá que as coordenadas polares são muito úteis para calcular
muitas integrais n1últiplas estudadas no Capitulo 15.
Definição de coordenadas polares
Orige1n (polo)
L-------->x
Raio inicial
Para definir coordenadas
polares para o plano, iniciamos co1n un1a
origem. chamada de polo, e un1 raio inicia 1.
FIGURA 11.18
1 3
49. X = 31 , J' = 21 2,
Coordenadas polares
P(r. 0)
J
Nos Exercícios 49-52, utilize un1 SAC par.1 realizar os seguintes
passos para a curva detenninada sobre o intervalo fechado.
a. Represente graficamente a cuJva co1n as aproxi1naçõcs do
trajeto poligonal para 11=2. 4, 8 pontos de partição sobre o
intervalo. (Veja a Figura l l . 14.)
b. Encontre a aproximação correspondente ao co111primento
da curva por n1cio da so1na dos con1prin1cntos dos seginentos de reta.
e. Avalie o compri1nento da curva ulilizando uma integral.
Compare suas aproximações para n = 2, 4, 8 con1 o comprimento real dado pela integral. Como o comprimento real se
con1para co111 as aproxi111ações conforn1e /1 aun1enta? Explique sua resposta.
Para definirn1os coordenadas polares, primeiro fixa1nos un1a origem O (chamada de polo) e um raio inicial a partir de O (figura l l.18). Então, cada ponto P
pode ser localizado associando a ele u1n par de coordenadas 1>olares (r, 8), no qual
r fornece a distância orientada de O a P e () dá o ângulo orientado a partir do raio
inicial até o raio OP.
94
Cálculo
Coordenadas polares
11
-6
?T
P(r. 8)
/~
D1 1.111~1.1 oncmaJJ
o~---..---L---------+x
\nguh> onl"mail11110
rJh• '""Lll )'arn CJ/'
c111rc:<Jc /'
Raio inicial
0=0
FIGURA 11.19
As coordenadas polares
não são únicas.
o= 1T/6
Assi1n coino na trigono1netria, O é positivo quando n1edido em sentido anti-horário e negativo quando n1edido em sentido horãrio. O ângulo associado a
um detennioado ponto não é único. Embora u1n ponto no plano só possua u1n
par de coordenadas cartesianas. ele possui infinitos pares de coordenadas polares. Por exetnplo, o ponto a 2 unidades da origen1 ao longo do raio () = TTl6
ten1 coordenadas polares r = 2, O = 17/6. Ele també1n possui coordenadas r = 2,
li = - 11 TT/6 (Figura 11.19). Em algumas situações, permitin1os quer seja negativo.
Esse é o motivo pelo qual uiilizamos a distância orientada Da definição de P(r. O). O
ponto P(2, 777/6) pode ser alcançado girando 77T/6 radianos e1n sentido anti-horário
a partir do raio inicial e avançando 2 unidades (Figura 11.20). Ele ta1nbén1 pode ser
alcançado girando 77/6 radianos em sentido anti-horário a partir do raio inicial e
voltando 2 unidades. Então o ponto te1n coordenadas polares r = - 2, O= 77/6.
EXEMPLO 1
Encontre todas as coordenadas polares do ponto P(2, Trl6).
As coordenadas polares
podem ter valores de r negativos.
Solução Esboçamos o raio inicial do siste1na de coordenadas, desenhamos o raio a
partir da origem que forma un1 ângulo de 77/6 radianos co1n o raio inicial e 1narcan1os o ponto (2, 7rl6) (Figura l J.21 ). Detenninamos então os ângulos para os oulros
pares de coordenadas de P, nos quais r = 2 e r =-2.
Parar= 2, a lista co1npleta dos ângulos é:
(1.~) = (-2.-?f)
= (-2. Zf)
71T/6
7r
1T
6
±
477'
6
± 61T, ...
6· 6 ± -1T,
FIGURA 11.20
1T
7T
?
Para r = - 2, os ângulos sâo:
5.,,.
-6'
5'1T
- - ± 27T
6
'
51T
- -
6
± 477
'
6
o
Os pares correspondentes de coordenadas de P são:
Raio inicial x
(1, i +
FIGURA 11.21 O ponto P(2. 1T'/6) tc1n
infinitos pares de coordenadas polares
(Excn1plo 1}.
r=a
2n1T ).
11 =
O, ± 1. ±2, ...
e
577
-2
(
'
6 + 21177) •
11 =
O, ± 1, ±2, ....
Quando 11 = O, as fórmulas fornece1u (2, 77/6) e (- 2, - 5.,,./6). Quando 11 = 1, eles
fornecem (2, 1377/6) e (- 2, 7;r/6), e assim por diante.
Equações e gráficos polares
FIGURA 11.22 A equação polar para u1n
círculo é r =a.
Se mantivermos r fixo etu u1n valor constante r = a ::F O, o ponto P(r, 8) estará a
lal unidades a partir da orige1n O. Conforme 8 varia em qualquer intervalo de co1nprimento 277, P traça um circulo de raio lal centrado em O (Figura 11.22).
Se ma111ivern1os 8 fixo e1n u1u valor constante 8 = 80 e fizermos r variar entre
~e oo. o ponto P(r, 8) traça a reta que passa por O. que forma u1n ângulo de 111edida 00 com o raio inicial.
Capítulo 11
Equações paramétricas e coordenadas polares
95
(a)
Equação Gráfico
Círculo de raio lal centrado em O.
Reta através de O fonnando llLn ângulo de medida 00 com o raio inicial.
r =a
(} = (}
o
2
,
(b)
o
EXEMPLO 2
/
" O=!!
4'
-3<rs2
(a) r :::. 1 e r= - 1 são equações para o círculo de raio 1 centrado e1n O.
(b) fJ = 7T/6, fJ = 77T/6 e O=-57T/6 são equações para a reta na Figura 11 .2 1.
Equações da forma r =a e 8 = 80 podem ser co1nbinadas para definir regiões,
segmentos e rruos.
27T
3
(e)
-51T6
EXEMPLO 3 Represente grafican1ente os conjuntos de pontos cujas coordenadas
polares satisfaçam as seguintes condições.
y
211" s os 511"
3
6
(a) 1 < r :5 2
(b) -3 s r < 2
< ll < 57T
(e) 27T
3 - v - 6
AGURA 11.23 Grãficos de desigualdades
típicas e1n r e O( Exe1nplo 3).
Solução
O <f}<7T
-2
e
7T
o=4
e
(se1n restrição em r)
Os gráficos são exibidos na Figura 11.23.
Relacionando coordenadas polares e cartesianas
Quando utilizamos coordenadas polares e cartesianas em um plano, posicionamos as duas origens juntas e toma1nos o raio polar inicial como o eixo x positivo.
O raio 8 = 7T/2, r > O, toma-se o eixo y positivo (Figura 11.24). Os dois sistemas de
coordenadas estão, portanto, relacionados pelas equações a seguir.
y
Equações rel11cionando coordenadas polares e cartesianas
Raio 8 = ?!
2
ftGURA 11.24 Maneira usual para
relacionar as coordenadas polares e
canesianas.
X :::. /' COS 8.
,r = r sen fJ '
rg fJ =
y
x
As duas primeiras equações determinam unícamcnte as coordenadas cartesianas
x e y, dadas as coordenadas polares r e e. Por outro lado, se x e y são dadas, a terceira
equação fornece duas possíveis escolhas par-ar (um valor positivo e urn valor negativo). Para cada (X,J') '# (0, 0), existe um único() E [O, 27T) satisfazendo as duas prin1eiras equações, cada uma delas então fornecendo un1a representação em coordenadas
polares do ponto cartesiano (x, y). As outras representações do ponto em coordenadas polares podem ser determinadas a partir dessas duas, como no Exemplo 1.
EXEMPLO 4 Aqui ten1os al1:,'1.11nas equações equiva lentes expressas e1n tern1os de
coordenadas polares e coordenadas cartesianas.
Equação polar
Equação cartesiana equivalente
,. cos 8 = 2
cos 8 sen f) = 4
,-' cos·' o - r-' sen-' o= t
r = 1 + 2r cos 8
x=2
1= 4
x1
•
,,.i - y2 = 1
;:i - 3x2 - 4x - 1 = O
r
r = 1-cos/J
_'(' +)A
+ 2\.2)'2 + 2x3 + D.:V1 - y1 = Q
Algumas curvas são expressas de forma 1nais simples com coordenadas polares,
outras não.
96
Cálculo
y
x 2 + (y - 3) 2 = 9
ou
r = 6 sen 8
EXEMPLO 5
Encontre u1na equação polar para o círculo x2 + (y- 3)2 = 9 (Figura
11.25).
Sotuçio Aplican1os as equações relacionando coordenadas polares e cartesianas:
~.2 + (y - 3 )2 = 9
(0. 3)
x2 +y2 -6y+9 = 9
x 2 + ),2 - 6y = O
r2 - 6r sen 8 = O
r = O ou r - 6sen8 = 0
RGURA 11.25 Círculo no Exemplo 5.
c.mcdam.:ntt>
EXEMPLO 6 Substitua as equações polares a seguir por equações cartesianas
equivalentes e identifique seus gráficos.
(a) r cos O=-4
(b) 12 = 4r cos O
4
( e) ,. - - - - - - 2 cos O - sen O
Solução Uti lizamos as substituições r cos () = x, r sen O= y, r1 = x2 +.v2 .
(a) r cos 8 =-4
A equação cartesiana:
O gráfico:
(b) r2 = 4r cos 8
r cos fJ = -4
x=-4
Reta vertical passando por x =-4 no eixo x.
A equação cartesiana:
12 = 4r cos 8
x2 + v2 = 4x
x 2 - 4x +y1= 0
x2 - 4x + 4 + y2 = 4
(x-2) 2 +y2=4
O gráfico:
Círculo, raio 2, centro (h, k) = (2, O)
4
(e) r = 2 cos 8 - sen 8
A equação cartesiana:
r(2 cos 8 - sen B) = 4
2r cos O- r sen O= 4
2x-y=4
J>= 2.x-4
O gráfico:
Reta, coeficiente angular 111 = 2, intercepto do eixo y crn b = -4
Exerácios 11.3
Coordenadas polares
1. Quais pares de coordenadas polares reprcsentan1 o mesmo
ponto?
a. (3. O)
d. (2, 7'1T/3)
g. (-3, 2'1T)
b. (- 3, 0)
e. (-3. 'TT)
h. (-2, -rr/3)
e. (2, 2'1T/3)
f. (2. 'IT/3)
2. Quais pares de coordenadas polares rcpresentan1 o 111csn10
ponto?
a. (-2, 'IT/3)
d. (r, 8 + 7r)
g. (-r, 8 + 7T)
b. (2. - 'TT/3 )
e. (r. 8)
e. (-r, 8)
f. (2. -27f/3)
h. (-2, 27T/3)
Capítulo 11 Equações paramétricas e coordenadas polares
3. Represente graficamente os pontos (dados em coordenadas
polares). Em seguida. encontre rodas as coordenadas polares
de cada um dos pontos.
a. (2. 7T/2)
e. (-2, 7T/2)
b. (2, 0)
d . (- 2, 0)
4. Represente graficamente os pontos (dados em coordenadas
polares). Em seguida, encontre todas as coordenadas polares
de cada um dos pontos.
a. (3, 7T/4)
e. (3. -ir/4)
b. (- 3, 7T/4)
d. (- 3, -rr/4}
Coordenadas polares para cartesianas
5. Encontre as coordenadas cartesianas dos pontos do Exercício 1.
6. Encontre as coordenadas cartesianas dos seguintes pontos (dados ern coordenadas polares).
e. (-3, 57T/6)
a. (V2,7T/ 4)
r. cs. tg 1 (4/3))
b. ( 1. O)
g. (- 1. 77T)
e. (O, 7T/2)
h. ( 2\/3. 27T/ 3 )
d. (- \/2, 7T/ 4)
Co"°rdenadas cartesianas para polares
7. Encontre as coordenadas polares, O< O< 27T e r >O, dos pontos a seguir dados em coordenadas cartesianas.
a. (1, 1)
b. (- 3, 0)
e. (VJ, - 1)
d. (-3, 4)
8. Encontre as coordenadas polares. -rr :S () < 7T e r 2: O. dos
pontos a seguir dados em coordenadas cartesianas.
a. (- 2, - 2)
b. (0, J)
e. (- VJ, 1)
d . (5, -12)
9. Encontre as coordenadas polares, Os 8 < 2'lT e r s O. dos pontos a seguir dados en1 coordenadas cartesianas.
a. (3. 3)
b. (- 1, 0)
e. (- 1, VJ)
d . (4, - J)
10. Encontre as coordenadas polares. - i r s 8 < 2'lT e r s O, dos
pontos a seguir dados em coordenadas cartesianas.
a. (-2. O)
e. (0. -3)
b. ( 1, O)
d. (
~, ~)
Desenhando gráficos em coordenadas polares
Desenhe os gráficos dos conjuntos de pontos cujas coordenadas polares salisf.1çam as equações e desigualdades nos Exercícios 11-26.
11 . r=2
IS. 0 :S fJ S 7r/6, ,.;=: O
12. 0 :S r :S 2
16. (J = 27T/3, r s-2
13. ,. 2: 1
17. fJ = 7T/3 - ] S r :S 3
'
14. 1S r :S 2
18. (J = 1l 7T/4. r S-1
11.4
97
19. (} = Tr/2, r 2: 0
21. 0 S 6 < 'lT. r = 1
22. o < 9 < 'Tr. ,. = -1
20. 9 = 7T/2. ,. < o
23. 7r/4 s (} s 3Tr/4, O:S r :S 1
24. -ir/4 <O< 'lT/4, -1 < r < 1
25. -rr/2 < I} < 7r/2. 1 < /' ::; 2
26. o:S () s 'lTl 2, 1 s ld < 2
Equações polares para cartesianas
Substitua as equações polares nos Exercícios 27-52 por equações cartesianas equivalentes. En1 seguida, descreva ou identifique o gráfico.
27. rcos8 = 2
40. r = 4 tg Osec 8
28. r sen 8 = - 1
41. r = cossec fJ é <0> 0
29. rsen 6=0
42. r sen O= ln r + ln cos (}
30. ,. coso = o
43. 12 + 2r2 cos Osen 9 = 1
44. cos2 (} = sen 2 (}
31. r= 4 cossec O
32. r =-3 seco
45. 12 = -4r cos O
33. r cos () +r sen 8 = 1
46. r2 = -6r sen /)
34. r sen O= r cos 8
47. r=8 sen O
35. ,:i = 1
48. r = 3 cos O
36. ,:i = 4r sen O
49. r = 2 cos O+ 2 sen 8
37. ,. =
5
50. r = 2 cos O- sen ()
seno - 2 coso
38. 12 sen 20 = 2
51. rsen (o
+i) = 2
39. r = cotg Ocossec O
2
52. r sen ( ;
- O) = 5
Equações cartesianas para polares
Substitua as equações cartesianas nos Exercícios 53-66 por equações polares equivalentes.
53. X = 7
60. X)' = 2
61. •,.i = 4x
54. •V = 1
55. x = y
62. .r2 +XI' + 1,2 = J
63. •r2+(y- 2)2= 4
56. x - y = 3
57. .r2 + y 2 = 4
64. (x - 5)2 + y 2 = 25
58. •r2 -y2 = 1
65. (x - J )2 + (y + 1)2 = 4
x ·'
y ~·
59. 9 + 4 =
66. (x + 2)2+ (r - 5)2= 16
- -
67. Encontre todas as coordenadas polares da origem.
68. Retas verticais e horizontais
a. Mostre que toda reta vertical no plano -~v tem uma equação
polar da formar = a sec O.
b. Encontre a equação polar análoga para retas horizontais no
plano .\)'·
Desenhando gráfi cos em coordenadas polares
Geralmente é de grande auxílio ter o gráfico de utna equação em coordenadas
polares. Esta seção descreve técnicas para desenhar gráficos dessas equações utilizando simetrias e tangentes ao gráfico.
Simet ria
A Figura 11.26 ilustra os testes de sin1etria padrão em coordenadas polares. O
resun10 a seguir nos diz co1no os pontos sin1étricos estão relacionados.
98
Cálculo
)'
Testes de simetria para gráficos polares
)' (r. 0)
l . SitnelritJ e111 relação ao eixo x: se o ponto (r. 8) está no gráfico. então o ponto
(r, -8) ou (- r, w - 8) está no gráfico (Figura l l .26a).
/
/
- - - - + - - - - - + .1
o
2. Sin1etria e111 r elação ao eixo y: se o ponto (r, B) está no gráfico, então o ponto
(r. w - 8) ou (- r , - 8) está no gráfico (Figura l l .26b).
1
1
• cr.-O>
ou (-r, 1T - 0)
(a) Em relaçiio ao eixo x
(r.'1T- 0) Y
ou (- r. - 0)
3. Sin1etria e111 relação à orige111: se o ponto (r. 0) está no gráfico, então o ponto
(-r. 8) ou (r. (} + w) está no gráfico (Figura 1 l .26c).
Coeficiente angular
(r.0)
~- --- 7
O coeficiente angular de uma curva polar r = f(O) no plano X)' é dado a inda por
dy/d~. que não é r' = djldO. Para saber por quê, pense no gráfico de f como o das
. .
~
equaçoes paran1etncas:
---~----• X
o
X=/' COS (J = f(fJ) COS Ü,
Se fé uma função derivável de 8, então x e y também o são e, quando dxldO :F- O,
podcrnos calcular c~vldx a partir da f6rn1ula para1nétrica:
(b) Em relação ao eixo y
dy
dy/ d8
e&= dx/d(}
)'
/
Sei;~" 11 :!. l'<lLl3\âo 1
'"nl 1 li
(r.0)
____
/ º
___..,.._/
J' = r sen 8 = /(0) sen 8.
d
dfj (f(O) · sen O)
,,.
d
dó
(f(O) · cos 8)
(- r. O) ou (r, O + 11')
df
dõ sen 8 + f(O) cos fJ
(e) En1 relação à origem
df cos (:} - /(8) sen fJ
dõ
Três testes para simetria
<.:m coordenadas polares.
FIGURA 11 .26
Portanto, podemos observar que dy!d.x não é o mes1no que djldfJ.
Coeficiente angular da curvar= f(O )
dy
dx (r.O)
f'(8)sen8 + f(8)cos8
f'(O) cos (} - /(8) senfJ ·
contanto que dxldfJ '#O e1n (r, 8).
Se a curva r = /(0) passa pela origen1 em fJ = 80, então f(fJ0) =O, e a equação do
coeficiente angulor nos dá:
f'(Oo)sen8o
= ,
= tg Oo.
dx co,Ool J (Oo) cos Oo
dy
Se o gráfico der= f(B) passa pela orige1n no valor 8 = 00, o coeficiente angular da
curva nesse ponto é tg 60. O motivo pelo qual dize1nos "coeficiente angular e1n (0, 80)''.
e não so111ente "coeficiente anguJar na origen1", é que uma curva polar pode passar pela
origem (ou qualquer ponto) mais de uma vez, co1D diferentes coeficientes angulares em
diferentes valores de 8. Contudo, esse não é o caso e1n nosso primeiro exen1plo.
EXEMPLO 1
Desenhe a curvar= 1 - cos O.
Solução A curva é simétrica en1 relação ao eixo x. porque:
(r, 8) no gráfico~ r = 1 - cos fJ
~ r = 1-
cos (-8)
~ (r. -8) no gráfico.
co' li
c•h 1 /IJ
Capítulo 11
1 9_ 1' = 1 - coso;
o o
-3 -21
2T
-2
1
-21T3
-23
1T
2
1T
(a)
(l. 271") )'
' 2
3
(1. ~)
Equações paramétricas e coordenadas polares
99
Conforn1e () aumenta de O a 7T, cos 8 di1ninui de 1 para - 1. e r = 1 - cos 8 aumenta de um valor mínimo de O para um valor máximo de 2. Conforme () continua
de 7T para 2'7T, cos 9 aun1enta de - 1 de volta para 1 e r din1inui de 2 de volta para O.
A curva começa a repetir quando 8 = 2'1T porque o cosseno tem período 2'1T.
A curva parte da origen1 com coeficiente angular tg (O) = O e retorna à origetn
con1 coeficiente angular tg (27T) = O.
Fazemos u1na tabela de valores de fJ = O a O= 'IT, representamos grafican1ente
os pontos, desenhamos uma curva suave que passa por eles co1n uma tangente horizontal na origem e refletirnos a curva en1 relação ao eixo x para completar o gráfico
(Figura 11.27). A curva é chan1ada cardioide porque te1n a fonna de un1 coração.
EXEMPLO 2
Desenhe a curva r2 = 4 cos 8.
Soluç.lo A equação r 2 = 4 cos (J requer cos () 2: O, de 1nodo que obternos todo o grá-
fico variando ()de -rr/2 para Tr/2. A curva é silnétrica cm relação ao eixo x porque:
(r, fJ) no gráfico => 12 = 4 cos 8
(b)
=> 1.2 = 4 COS (- fJ)
l ~).l'
r= l -cosO
\ ( 2. 3
cos (1
CV~ (- llJ
=> (r, - 8) no gráfico.
(1. ~)
A curva é lrunbém simétrica em relação à origem porque:
(r, 8) no gráfico=> 12 = 4 cos 8
=> (- r 2) = 4 cos 8
=> (- r, 8) no gráfico.
Juntas. essas duas simetrias implicru11 a simetria ern relação ao eixo J'·
A curva passa pela origem quando O= -rr/2 e 8 = '1Tl2. Ela tem uma tangente
vertical nas duas passagens, pois tg eé infinito.
Para cada valor de 8 no illtervaJo entre -rr/2 e '7T/2. a fórmula 12 = 4 cos 8 fornece dois valores der:
FIGURA 11.27 Passos para desenhar a
cardioidc r = 1 - cos O(Excn1plo 1). A seta
1nos1ra a direção de crescimento de 8.
r= ±2~.
Fazemos uma breve tabela de valores, marcamos os pontos correspondentes e
utilizan1os as informações a respeito da sin1ctria e tangentes para nos guiar na conexão dos pontos com u1na curva suave (Figura 11.28).
y
(J
co~ /1
o
1
±2
-v'3
"° ±1 .9
± !!'
6
r = ±2 VCõ$õ
2
1
-Vi
:1:!!'
3
-1
2
"° ±1.4
-
o
o
1T
2
2
+---.::..----,.0+---:;_-~._.. X
:1:!!'
4
r 2 = 4 co~ 9
":l
(a )
± 1.7
/
Laço parar = - 2\/Cõsõ,
1
Laço pan1 r = 2'\/Cõ!:õ.
< " < '!!
2 _.,_
2
- '!!
2 -< !"1<- 'IT
2
1T
(b)
FIGURA 11.28 Gráfico de 1.2 = 4 cos 8. As setas n1os1ram a direção de
cresci1ncnto de 8. Os valores der na tabela são arredondados (Exemplo 2).
100
Cálculo
(a} r·•
Técnica para desenhar gráficos
Unia maneira de desenhar o gráfico de unia equação polar r = f(()) é fazer urna
tabela de valores (r. O), marcar os pontos correspondentes e cm seguida conectá-los
na orde1n de crescirnento de O. (sso pode funcionar ben1 se foren1 marcados pontos
suficientes para revelar todos os laços e reentrâncias do gráfico. Outro método de
desenhar o gráfico, geralmente mais rápido e confiável, é:
1. prÍ!neiro esboce o gráfico r = j(8) no plano cartesiano r8,
- 1
Nüo existem raízes quadradas
de números negativos
r = + Vsen 28
~ partes:r
y
rr
3
2
· 8
gráfico eLn coordenadas polares.
Esse rnétodo é rnelhor do que si1nplesn1ente n1arcar pontos, pois o prirneiro
gráfico cartesiano, mesmo quando desenhado apressadarnente, rnostra em um relance onde r é positivo, negativo e não existente, bem co1no onde r é crescente e
decrescente. Aqui está u1n exemplo.
(b) r
0
2. em seguida utilize o gráfico cartesiano como uma "tabela" e guia para esboçar o
dai. rJJzes
quadradas
EXEMPLO 3
Desenhe a curva /e11111iscata
r2 = sen 20.
- t
r = - Vseri 20
(e)
S1>1ução Aqui con1cçamos esboçando o gráfico de 12 (e não r) como uma função de
(} no plano cartesiano 12 (}. Vej a a Figura l l .29a. Passamos deste para o gráfico de
_\'
r = ±~no plano rO (Figura l l .29b). e em seguida desenhamos o gráfico
polar (Figura l l.29c). O gráfico na Figura l 1.29b ·•cobre" o gráfico polar fina l na
Figura l l .29c duas vezes. Poderían1os ter lidado com qualquer uru dos laços sozinho, con1 as duas metades superiores ou con1 as duas metades inferiores. A cobertura dupla não traz nenhun1 prej uízo. e dessa fonna aprenden1os um pouco mais sobre
o comportamento da função.
,,..-, r 1 = sen28
UTIUZANOO ATECNOLOGIA
Para esboçar o gráfico
der = /(8) no plano cartesiano rfJ em (b).
FIGURA 11.29
pri1nciro csboçan1os o gráfico de
r2 = sen 28 no plano ,.i.9 em (a) e em
seguida ignoramos os valores de Opara
os quais sen 28 é negativo. Os raios do
esboço cn1 (b) cobrem o gráfico polar da
lemníscata em (c) duas vezes (Exen1plo 3).
Desenhando curvas polares parametricamente
Para fazer curvas polares con1plicadas, podemos precisar de uma calculadora gráfica ou computador. Se o dispositivo não representa gráficos polares diretan1ente,
podernos converter r =/(()) para a fom1a pararnétrica utilizando as equações:
x = r cos O= /(O) cos O.
y = r sen () = /(O) sen ().
E1n seguida, utilizamos o dispositivo para desenhar urna curva parametrizada no
plano cartesiano xy . Pode ser necessário utilizarmos o parâmetro tem vez de()
para o dispositivo de representação gráfica.
Exercidos 11.4
Simetrias e gráficos polares
Identifique as sin1etrias das curvas nos Exercícios 1-12. Em seguida. esboce as curvas.
1. r = 1 + cos e
7. r =sen (8/2)
2. r = 2 - 2 cos O
8. r=cos (812)
3. r = 1- scnfJ
9. ,:i =cos 8
4. r = 1 + sen (}
1o. r = sen 8
5. r = 2 + sen (J
11. 12 = -scn O
6. r = 1 + 2scn0
12. r =-cos (J
Desenhe as lc1nniscaias nos Exercícios 13-16. Quais si1nctrias essas
curvas 1êm?
r = -scn 28
13. ,:i = 4 cos 28
15.
14. r2 = 4 sen 28
16. ,.i = -cos 28
Coeficientes angulares de curvas polares
Encontre os coeficientes angulares das curvas nos Exercícios 17-20
nos pontos determinados. Esboce as curvas co1n suas tangentes nesses pon1os.
17. Cardioide
r =- 1 +cos8;
8 = ± 'fr/2
J 8. Cardioide
r = - 1 + sen 8;
O= O, 'fT
19. llosa d e quatro p étalas r = sen 28;
20. Rosa de q uat ro pétalas r = cos 29;
fJ = ± 'tr/4, ±371'/4
9 = O, ± 77'/2, 'fT
Desenhando limaçons
Desenhe os lin1açons nos Exercícios 21-24. Limaçon é uma palavra
francesa antiga para "caracol". Você entenderá o norne quando dese11har os lin1açons no Exercício 21. As equações para linmçons têm a
fon11a r = a ± b cos 6 ou r = a + b sen 8. Existem quatro fonnas básicas.
Capítulo 11
2 L Lin1açons com um laço interno
1
1
a. r = 2 + cos8
b. r = 2 + sen 8
22. Cardioides
a. r = 1 - cos 8
b. r = -1 + sen O
23. Liln açons co1n reentrâncias
a. r =
3
+ cos O
2
b. r =
3
2
- scn O
Equações paramétricas e coordenadas polares
D 30. Qual da opções a seguir tcn1 o mesmo gráfico que r "" cos 20?
a. r = -sen (28 + '1rl2)
b. r =-cos (8/2)
Confira sua resposta com cálculos algébricos.
0 31. Uma rosa em uma rosa Desenhe o gráfico da equação
r = 1 - 2 sen 38.
32. NeJroide de f reeth Desenhe o gráfico da nefroide de Freeth:
D
f)
r = 1 + 2 sen 2"
24. L inu1çons ovais
a. r = 2 + cos O
b. r "" - 2 + sen O
Desenhando curvas e regiões polares
D 33. Rosas Desenhe o gráfico das rosas r = cos
111 =
25. Esboce a região definida pelas desigualdades - 1 s r s 2 e
-rrl2 s 8 < -rr/2.
26. Esboce a região definida pelas desigualdades Os r s 2 sec 6
c -rr/4 < O< 'Tr/4.
Nos Exercícios 27 e 28. esboce a região definida pela desigualdade.
27. o s /' s 2 - 2 coso
28. o s ,.is cos o
29. Qual das opções a seguir te1n o nlesmo gráfico que,..,, 1- cos 8?
a. r =-1- cosO
b. r = 1+ cos8
Confira sua resposta con1 cálculos algébricos.
D
11.5
101
1118,
para
1/3, 2. 3 e 7.
D 34. Espirais As coordenadas polares são perfeitas para definir
espirais. Desenhe as espirais a seguir.
a. r = O
b. r =- 8
e. U111a espiral logarít111ica: r = e8 1º
d . Urna espiral hiperbólittJ: r
=810
e. U111a hipérbole equilátero: r = ± 1O
/W
(Utilize cores diferentes para cada um dos dois ramos.)
Áreas e comprimentos em coordenadas polares
Es1a seção rnostra como calcular áreas de regiões planas e con1primentos de
curvas em coordenadas polares. As ideias de definição são as 111esmas de antes, mas
as fónnulas são diferentes en1 coordenadas polares e cartesianas.
o=(3
Área no plano
. / ' r = / (0)
A região OTS na Figura 11.30 é delinútada pelos raios 8 =a e 8 = (3 e a curva
r = /(9). Aproximamos a região com n setores circulares em forma de leque que não
se sobrepõent, com base em un1a partição P do ângulo TOS. O setor típico tern raio
rk = f(Ok) e o ângulo central mede 68k radia11os. Sua área é 68,/2TT vezes a área de
un1 círculo de raio rk, ou:
()=a
T
A área da região OTS é aproximadamente:
Para derivar uma fónnula
para a área da região OTS, aproximamos
a região co1n setores circulares e1n forma
de leque.
FIGURA 11.30
Se fé contínua, esperamos que as aproxin1ações melhorem conforme a norma
da partição P tende a O, onde a non11a de Pé o n1aior valor de A9k. Somos então
levados à seguinte fórmula que define a área da região:
n
A =
=
1
,
lin1 ~ - (JC9k) )- ~8k
llPIJ~O ~ 2
1{J~(J(8)) 2 d8.
102
Cálculo
)'
Área da região em formato detequeentrea origem e acurva r= /(IJ), a s.Os. {3
dO
1
ª
A =
P(r , O)
/3 1
2 ,.2 d() .
Esta é a integral da diferencial d a área (Figura 11.31 ):
\
\
dA =
FIGURA 11.31 DiferenciaJ da ãrea dA
para a curva r = / (9).
ir
2
dB =
i (/(8))
2
d8.
EXEMPLO 1
Encontre a área da região no plano delimitada pela cardioide
r = 2(1 + cos O).
Solução Desenhamos o gráfico da cardioide (Figura 11.32) e determina1nos que o raio
OP percorre a região exatamente uma vez, confonne 8 vai de Oa 27T. A área é, portanto:
r = 2( 1 + cos 8)
2
-
-
r
l
P(r.0)
0=2tr 1
- r 2 d8 =
2
• 11=0
o=o. 27T
=
4
-2
Cardioidc no Exe1nplo 1.
- · 4(1 + cos8 ) 2 d8
2
o
l
fo
= fo
=
FIGURA 11.32
1 21T 1
1
1T2( 1 + 2 cos () + cos2 ())d()
21T ( 2
+ 4 cos 8 + 2 1 + ~os 28 ) d8
21T (3
+ 4 cos () + cos 2()) d()
2
sen 2() ] 1T
= [38 + 4 scn O +
= 67T - O = 67T.
2
0
Para encontrarmos a área de uma região como a da Figura 11.33, que está entre
duas curvas polares r 1 = r 1(8) e r 2 = r 2(8) de e=a e fJ = {3, subtraímos a integral de
( l/2)r12d8 da integral de ( l/2)r22d0. Isso nos leva à seguinte fó1m11la:
(1)
o
A área e.la região
sombreada é calculada subtraindo-se a área
da região entre r 1 e a orige1n da área da
região entre r 2 e a orige1n.
FIGURA 11.33
EXEMPLO 2 Encontre a área da região que está dentro do circulo r = 1 e fora da
cardioide r = 1 - cos 8.
Esboçamos a região para detern1inar suas fron teiras e encontrar os limjtes
da integração (Figura 11.34). A curva externa é r 2 = 1, a cw-va interna é r 1= l - cos 8
e () vai de -rr/2 a 7T/2. A área, da Equação 1. é:
Solução
y
r 1 = 1 - cos O
Lin1i1c: superior
o=7T/2
. - (r22 - ,.,2)
1
/2 1
A =
d{I
rr/ 2 2
1
1Tí2 l
= 2
o
- (r22 - r1 2) dfJ
Sim.:1na
2
[ rr/2
=lo ( 1 - (1 - 2cos8 + cos2 0 ) )d(}
Linli1e inferior
o= --rr/2
FIGURA 11.34 Região e litnitcs de
integração no Exen1plo 2.
=
12
(2 cos () - cos 2 O) dfJ =
17T
/)
sen 28 ]"
= [ 2 sen8 - 2 4
0
1" (2
12
= 2 -
QuaJraJo r 1
12
7T
4·
cos O -
Capítulo 11
Equações paramétricas e coordenadas polares
103
O fato de que podemos representar um ponto de diferentes nianeiras e111 coordenadas polares requer um cuidado adicional na decisão de quando u1n ponto está no
gráfico de unia equação polar e na determinação dos pontos nos quais os gráficos
polares têm u1na intersecção. (Precisamos de pontos de intersecção no Exemplo 2.)
Em coordenadas cartesianas, pode1nos se1npre encontrar os pontos en1 que duas
curvas se cruzam resolvendo suas equações siinulraneamente. Em coordenadas polares, a história é diferente. Uma resolução sin1ultâ11ea pode revelar alguns pontos de
intersecção sem revelar outros, de forma que algumas vezes é diflcil encontrar todos
os pontos de intersecção de duas curvas polares. U1na fon11a de identificar todos os
pontos de intersecção é esboçar u1u gráfico das equações.
Comprimento de uma curva polar
Podetnos obter u1na fórmula de coordenadas polares para o con1prune11to de
uma curva r = f(f:J), as(}< {:3, parametrizando a curva como:
x= rcos O= /(O) cos 8, y=r sen O= /(0) sen O,
a <O < /3.
(2)
A fónnula paramétrica para comp1imento, Equação 3 da Seção 1 1.2, então nos
dá o comprimento como:
. )2 (dv)2
j fe + de
fJ
L=
(
a
d
d8.
Essa equação fica:
L=
!
(''")2
ª fJ ,.-' + (iõ
dO
quando as Equações 2 são substituídas por x e J' (Exercício 29).
Comprimento de uma curva polar
)'
r = l -cosO
Se r = /(8) tem u1na primeira derivada continua para a < 8 < {:3 e se o ponto
P(r, 8) traça a curva r = /(8) exatamente un1a vez confom1e 8 vai de a a f3, então
o con1primento da curva é:
L =
EXEMPLO 3
Calculando o con1primcnto
de uma cardioide (Exemplo 3).
FIGURA 11.35
!
fJ
ª \ ,.2 +
(dr)
dfJ
d8.
2
(3)
Encontre o co1npri1nento da cardioide r = 1- cos O.
Solução Esboça1nos a cardioide para detcnnmar os li1nites da integração (Figura
11.35). O ponto P(r, 8) traça a curva wna vez, em sentido anti-horário conforme
vai de Oa 27T. de forma que esses são os valores que to111an1os para a e f3.
e
Con1
,. = 1 -
cos fJ,
dr
d(J = sen (J,
ten1os
(dr)
2
,
,.- + dê = ( 1 - cos 0)2 + (sen 8) 2
= 1 - 2 cos 8 + cos2 8 + sen2 O = 2 - 2 cos 8
104
Cálculo
e
l =
1
1>
r2
" \
(d )2 = 121T
'\/2 o
+ _..!_
d8
d()
- f 2"' 4 scn 2 %dO
.fo
-
1
2TT
=
2cos8d8
::!scn' (112)
1
o
2 sen - d()
o
2
i.
·2.,,
.o
()
scn tH 2l > li para O - li ~ 2rr
2 sen 2d6
2
e
]
1T
4cos2
= 4 + 4 = 8.
[
0
Exerdcios 11.5
Encontrando áreas polares
Encontre as áreas das regiões nos Exercícios 1-8.
1. Delimitada pela espiral r= (}para Os(}$ ri.
\'
•
o
(1T.1T)
2. Delimitada pelo circulo r = 2 sen Opara 7T /4 :S Os 1Tl 2.
)'
r = 2 :;en (1
7. Dentro de u111a alça da len1niscata? = 4 sen 20.
8. Dentro de u1na rosa de seis pétalas ,.i = 2 sen 38.
Encontre a área das regiões nos Exercícios 9-18.
9. Dividida pelos circulas r = 2 cos (}e r = 2 scn 8.
1O. Dividida pelos círculos r = 1 e r = 2 scn O.
11. Dividida pelo circulo r = 2 e pela cardioide r = 2( 1 - cos 0).
12. Dividida pelas cardioidcs r = 2( 1 + cos 8) e r = 2( 1 - cos O).
13. Dentro da lernníscata ,:i = 6 cos 28 e fora do circulo r = \/3.
14. Dentro do circulo r = 3a cos O e fora da cardioide
r = a(I + cos8), a> O.
15. Dentro do círculo r = - 2 cos Oe fora do círculo r = 1.
16. Dentro do círculo r = 6 acin1a da reta r = 3 cossec 8.
17. Dentro do circulo r = 4 cos 8 e à direita da reta vertical
r=sccO.
18. Dentro do circulo r = 4 scn 8 e abaixo da reta horizontal
r = 3 cosscc 8.
19. a. Encontre a área da região so1nbreada na figura a seguir.
"\ I
o
r=tg8
- '!! < o< '!!
~
2
2
(l.1T/4)
3. Dentro do limaçon oval r = 4 + 2 cos 8.
4. Dentro da cardioide r =a( 1 + cos 8). a >O.
/
r = (W2) cossec O
5. Dentro de uma fo lha da rosa de quatro pétalas r= cos 28.
6. Dentro de unia folha da rosa de três pétalas r = cos 30.
b. Parece que, se o gráfico de r = tg 8. -rr/2 < O< 7T/2, poderia ser assintótico às retas x = 1 ex = - 1. Sin1 ou não'?
r = cos30
Justifique sua resposta.
20. A área da região que está dentro da curva cardioide r = cos O+ 1
e fora do circulo r = cos 8 não é
[,2"
[{cose+
2. o
l
1)2 - cos2 0]d9 = 7T.
Por que não? Qual é a área? Justifique suas respostas.
Capítulo 11
Encontrando comprimentos de curvas pt>lares
Encontre os comprin1cntos das curvas nos Exercícios 21-28.
2 1. A espiral r = 82, O s 9 s Vs.
22. A espiral r = e11/Vl, O < O < 'IT.
23. A cardioide r = 1 + cos 9.
24. A curva 1· = (/ scn 2 (8/2), O< es 7T. a> O.
25. O segrnento parabólico r = 61( 1 + cos 8), Os 8 s 7Tn.
26. O segmento pa.rabólico r = 2/( 1 - cos 8), 'IT/2 s 8 s 'IT.
27. A curvar= cos3 (8/3), Os O< Tr/4.
28. A curvar = VI + sen 28, O s 8 ::> Tr\/2.
29. Comprin1cnto da curva r = / (0), a :s O :s fJ Assumindo
que as derivadas necessárias são contínuas. mostre como as
substituições
(Equações 2 no texto) 1ransfom1an1
1/3 (~)2 + (2)2
,,
d(J
d(J
d8
cm
l =
11.6
1/3 ,. 2+ (!!!.)2
..
dfJ
105
30. Circunferências dos circulos Como é usual diante de unia
nova fón11ula, é u111a boa ideia testá-la em objetos farni 1iares
para ter a certeza de que ela fornece resultados consistentes
com a experiência passada. Utilize a fóm1ula para con1prin1cn10 na Equação 3 para calcular as circunferências dos círculos
a seguir (a> O).
a. r = a
b. r = a cos 8
e. r = a sen O
Teoria e exemplos
31. Valor médio Se fé contínua, o valor médio da coordenada
polar r sobre a curva r = /(8). a :s 8 s {3. com relação a 8 é
dado pela fónnula:
1
l (J
r,,, = f3 _ a. ª /(8) d8.
Util izc essa fónnula para encontrar o valor médio de r com
relação a 8 sobre as curvas a seguir (a > 0).
a . A cardioidc r = a( l - cos 0).
b. O círculo r = a.
e. O círculo r = a cos O. -rr/2 s Os 7T/2.
32. r = /(6) contra r = 2Jl6) Alguma coisa pode ser dita sobre
os comprimentos relativos das curvas r = /(0), a s Os {3. e
,. = 2fi9), a s {} ::; /3? Justifique sua resposta.
x= /(0) cos O, y= /(O) sen O
l =
Equações paramétricas e coordenadas polares
d(J.
Seções cônicas
Nesta seção, defini1nos e revisamos parábolas. elipses e hipérboles geometricamente e derivamos suas equações cartesianas padrão. Essas curvas são chamadas
de seções cônicas ou cônicas, porque elas são formadas pela secção de urn cone
duplo com um plano (Figura 11.36). Esse 1nétodo geornétrico foi a única fonna que
os matemáticos gregos encontraram para descrevê-las, pois eles não dispunham de
nossas ferramentas de coordenadas cartesianas ou polares. Na próxima seção, expressare1nos as cônicas em coordenadas polares.
Parábolas
-
OEFINIÇOES U1n conjunto que consiste de todos os pontos cm um plano
equidistantes de um ponto fixo e de uma dada reta fixa no plano é un1a pará~ola . O ponto fixo é o foco da parábola. A reta fixa é a diretriz.
Se o foco F está na diretriz l, a parábola é a reta que passa por r~ perpendicular
a l. Considera1nos isso como um caso degenerado e assumimos de agora em diante
que F não está ern l .
Uma parábola te1n sua equação rnais simples quando seu foco e a diretriz estão
transpostos a um dos eixos coordenados. Por exemplo, suponha que o foco está no
ponto F(O. p) no eixo y positivo e que a diretriz é a reta)' = -p (figura 11.3 7). Na
notação da figura, um ponto P(x, y) está na parábola se, e so1nente se. PF = PQ. A
partir da fórmula de distância:
PF = V(x - 0) 2 + (y - p) 2 = v'x 2 + (y - p) 2
PQ = V(x - x) 2 + (y - (-p)) 2 = V(y + p) 2 •
106 Cálculo
Círculo: pl:ino perpendicular
ao eixo do cone
Elipse: plano obliquo
no eixo do cone
Hipérbole: o plano corta
as duns metades do cone
Parábola: plano paralelo
à lmcrnl do cone
(a)
\
\
\
\
\
\
•
\
\
Unia reta: tangente
do plano ao cone
Ponto: plano passando
so1ncnte pelo vértice do cone
Pnr de reta.~ que se
interceptam
( b)
RGURA 11.36 As seções cónicas padrão (a) são as curvas nas quais un1 plano corta un1 cone duvlo. As hipérboles vêm em duas partes,
chmnadas de ra111os. O ponto e as retas obtidas passando-se o plano pelo vértice do cone (b) são seções cônicas degeneradas.
Quando igualamos essas expressões, elevamos ao quadrado e simplifican1os,
temos:
xi
y =
4P
ou
?
x- = 4py.
(1)
.,.
Essas equações revelam a sin1etria da parábola en1 relação ao eixo y. Cha1nan1os o
eixo y de eixo da parábola (forn1a curta para ··eixo de simetria").
O ponto em que uma parábola cruza seu eixo é o vértice. O vértice da parábola
x 2 = 4py está na origem (Figura 11.3 7). O número positivo pé o con1primento foca l
Foco F(O, p)
da parábola.
vértice está na
P
Se a parábola se abre para baixo, co1n seu foco em (O. -p) e sua diretriz como
0
metade do trajeto entre·::;~.-:::::::.._ _ _ __. x a reta y = p, então as Equações 1 se tornam :
a diretriz e o foco.
P
Diretriz: y = -r1
Q(x. - p)
FIGURA 11.37 Forma padrão da parábola
x 2 = 4fJ.l'. p >O.
L
xi
y =-4p
e
x 2 = -4py.
Trocando as variáveis x e y, obten1os equações se1nelhantes para parábolas se
abrindo à direita ou à esquerda (Figura 11.38).
Capítulo 11
Equações paramétricas e coordenadas polares
107
,,
)'
Direlriz
.\' = -p
Diretriz
y 2 = -4px
x = p
Vértice
- - - L -.,:+----ii.,_- - - - + X
Foco
O
F(-p. 0)
(a)
(b)
Foco
F(p.0)
FIGURA 11.38
EXEMPLO 1
Solução
.r
(a) Parábola y2 = 4px. (b) Parábola J;i. = -4px.
Encontre o foco e a diretriz da parábola .v2 = 1Ox.
Encontratnos o valor de p na equação padrão .111- = 4px:
4p = 10,
portanto
10 - -5
P
4
2·
Em seguida, encontramos o foco e a clirctriz para esse valor de p:
Foco:
Vértice
Foco
Centro
Foco
(~,O)
Vén ice
Diretriz:
Ei;110 focal
flGU RA 11.39
un1a elipse.
(p, O) =
Pontos no eixo focal de
b
ou
X=
5
-2·
Elipses
1
y
X= -p
DEFINIÇÕES Elipse é um coujunto de pontos e1n un1 plano cujas distâncias
a partir de dois pontos fixos nesse plano têm unia soma constante. Os dois
pontos fixos são os focos da el ipse.
A reta que passa pelos focos de u111a elipse é o eixo focal da elipse. O
ponto no eixo na 1netade do trajeto entre os focos é o centro. Os pontos onde
o eixo focal e a elipse se cruzan1 são os vértices da elipse (Fi!,rura 1 l.39).
Se os focos são F1(-c, O) e F2(c, O) (Figura 11.40), e PF1 + PF2 é denotado por
2a. então as coordenadas de um ponto P na elipse satisfazen1 a equação:
FIGURA 11.40 A elipse definida pela
equação PF1 + PF2= 2a é o gráfico da
equação (.i1/a 2) + (1;J./b2) = l, cm que
bl=a2 - c2.
Y{x + c) 2 + ,v 2 + Y(x - c) 2 + y 2 = 2a.
Para simplificar essa equação. move111os o segundo radical para o lado direito,
elevamos ao quadrado, isola1nos o radical restante e elevamos ao quadrado novan1cnte, obtendo:
(2)
U1na vez que PF1 + PF2 é maior que o con1primento F 1 F2 (pela desigualdade do
triângulo PF1F2), o núrnero 2a é 1naior que 2c. Co.nseque.ncemente, a> e e o número
a 2 - c2 na Equação 2 é positivo.
Os passos algéb1icos que levarn à Equação 2 pode1n ser invertidos para mostrar que todo ponto P cujas coordenadas satisfaze1n urna equação dessa fonna con1
108
Cálculo
O< e< a tan1bén1 satisfaz a equação PF1 + PF2 = 2a. Un1 ponto, portanto, está na
elipse se, e sotnente se, suas coordenadas satisfazem a Equação 2.
Se
Va 2 - c 2 '
b=
(3)
então a 2 -c2 = b2• e a Equação 2 to1na a forma:
y2
x2
-;;i +[;i = 1.
(4)
A Equação 4 revela que essa elipse é simétrica em relação à origem e a an1bos
os eixos coordenados. Ela está dentro do retângulo delineado pelas retas x =±a e
y = ±b. Ela cruza os eixos nos pontos (±a. O) e (0, ±b). As tangentes nesses pontos
são perpendiculares aos eixos porque:
d)'
b 2x
ílht1J<1 li rart tr <la 1 qu.11;Ju ~
cb:
ª 2."
por J~nvu.,uo 1111111t~11a
-=---
é zero se x = O e infinita se y = O.
O eixo maior da elipse na Equação 4 é o seginento de reta de co1nprimento 2a que
une os pontos (±a, 0). O eixo menor é o segmento de reta de co1nprirnen10 2b
que ltnc os pontos (O, ±b). O nún1ero a é o semieixo maior, o número b é o sen1ieixo menor. O número e, encontrado na Equação 3 como:
e = 'Va 2 - b 2 ,
é a d istância entre o centro e o foco da elipse. Se a = b, a elipse é um círculo.
EXEMPLO 2
A elipse
.2
(0 . 3)
Vériice
(4. 0)
Foco
v2
~ +·- =
16
9
(5)
(Figura 11.41) tem:
Foco
Se1nieixo n1enor: b = \/9 = 3
Se1nieixo n1aior: a = \!i6 = 4,
Centro
Distância entre centro e foco: e = V 16 - 9 = \17
(O. - 3)
Focos: (±e, O) = (±V7. o)
Vértices: (± a, O) = (±4, O)
FIGURA 11.41 Elipse com seu eixo maior
horizontal (Exemplo 2).
Centro: (O. O).
Se trocarmos x e y na Equação 5. tercinas a equação
(6)
O eixo 1naior da elipse é agora vertical, en1 vez de horizontal, com os focos e
vértices no eixo y. Não existe confusão ao anaHsarmos as Equações 5 e 6. Se encontrarmos os ínterceptos nos eixos coordenados, sabere1nos qual é o eixo maior,
porque é o mais longo dos dois eixos.
Equações de forma padrão para elipses centradas na origem
2
x
Focos 110 eixo x: -;?
+.v~
bi=
l
2
(a > b)
Distância entre centro e foco: e = Va
Focos: (±e, 0)
Vértices: (.±:a, O)
Focos no eixo y:
2
-
b
2
Nos dois casos, a é o se1nieixo 1naior e b é o sen1ieixo iuenor.
y :!
:!_ + -
= 1 (a > b)
b2 ª2
Distância entre centro e foco:
Focos: (O. ±e)
Vértices (O, ±a)
lº =
va
2
-
b2
Capítulo 11
Equações paramétricas e coordenadas polares
109
Hipérboles
Vértices
-
. .j -
Poco
"""
/
Centro
-
omNIÇÕES
Poco
Eixo focal
flGURA 11.42 Pontos no eixo focal de
uma hipérbole.
l
Uma hipérbole é o conjunto de pontos em UITI plano cujas distâncias a partir de dois pontos fixos nesse plano têrn uma diferença constante.
Os dois pontos fixos são os focos da hipérbole.
A reta que passa pelos focos de uma hipérbole é o eixo focal. O ponto no
eixo na metade do trajeto entre os focos é o centro da hipérbole. Os pontos
onde o eixo focal e a hipérbole se cruzam são os vértices (Figura 1 1.42).
Se os focos são F 1(-c. O) e F2(c. O) (Figura 11.43) e a diferença constante é 2a,
então um ponto (x, y ) está na hipérbole se, e somente se:
v'Cx + c)2 + J' 2 - v'(x - c) 2 + y 2 = ±2a.
y
·' =-a
.l = (/
Para simplificar essa equação, movemos o segundo radical para o lado direito,
elevamos ao quadrado, isolan1os o radical restante e elevainos ao quadrado novamente, obtendo:
0
b =
y2
.2
_
. +
\
flGURA 11.43 As hipérboles tê1n dois
ramos. Para pontos no ran10 direito da
hipérbole mostrados aqui, PF, - PF2
= 2a. Para pontos no ramo esquerdo da
hipérbole, PF2 - PF1=2a. Seja, então.
(7)
2
ª 2 _ c2 =
1
(8)
·
Até agora, isso parece ser igual à equação para uma elipse. Mas agora a2 - c2 é negativo porque 2a, sendo a diferença de dois lados do triângulo PF1F2, é n1enor que
2c, o terceiro lado.
Os passos algébricos que levam à Equação 8 podem ser invertidos para n1ostrar que todo ponto P cujas coordenadas satisfazen1 un1a equação dessa fonna com
O< a < e também satisfaz a Equação 7. Urn ponto, portanto, está na hipérbole se, e
somente se, suas coordenadas satisfazem a Equação 8.
Se denotarn1os por b a raiz quadrada positiva de c2 - a2:
Vc 2 - a 2•
b =
v'c2 - a 2 ,
(9)
então, a2 - c2 = - b 2 e a Equação 8 toma a forma mais compacta
y2
b1 = 1.
x2
ª 2 -
(10)
As diferenças entre a Equação 1O e a equação para uma elipse (Equação 4) são o
sinal negativo e a nova relação:
c2 = a 2 + h2•
D.1 t-.1u;1ç;in li
Como a elipse. a hjpérbole é simétrica em relação à orige1n e aos eixos coordenados. Ela cruza o eixo x nos pontos (±a, 0). As tangentes nesses pontos são
verticais porque
Ot>11do u ran1r da l:qu:.1.;àl• 1o
por J~ri' 11~·.1.:> 1111rh~11;i
é infinito quando y = O. A hipérbole não tem interceptações no eixo y ; de fato, nenhurna parte da curva estã entre as retas x =-a ex = a.
As retas:
b
y = ±ãx
são as duas assíntotas da hipérbole derlllidas pela Equação 1O. A maneira mais
rápida de descobrir as equações das assintotas é substituir o 1 na Equação 1Opor O
e resolver a nova equação para y:
X
2
v2
.
l
y2
-
b
= O --+ y = ±-;;i-/;i= l --+ ~
0 x.
al
b2
h1pcrbolc
li por 1
;tSSIJllOIJ<
110 Cálculo
EXEMPLO 3 A equação
y
y= -'(/:x
\'=
•
\13.x
'
2
' 2
F(-3, 0) ' '
,
?
y- - - =I
4
5
X
f'(3. 0)
2
;·-
4 - 5 = 1
/.
/
,
x2
{11)
é a Equação 1Ocom a 2 = 4 e b2 = 5 (Figura 11.44). Temos:
Distância entre centro e foco:
Va 2 + b 2 = -v4+5 = 3
c =
Focos: (±e, O) = (±3. O), Vértices: (±a, O) = (±2, O)
Centro: (0, O)
x-,
Assíntotas: 4 FIGURA 11.44
Hipérbole e suas
V
2
5
r:
V5
= O ou y = ± 2 x.
-
assíntotas no Exemplo 3.
Se perinutarmos x e y na Equação 1 1. os focos e vértices da hipérbole resultante
estarão ao longo do eixo y. Ainda pode1nos encontrar as assíntotas da mes1na fonna
que antes, 1nas agora suas equações serão y = ±2x/ Vs.
Equações de forma padrão para hipérboles centradas na origem
'
i;-
)12
)' 2
Focos no eixo x: =-- -b2 =
(12
Distância entre centro e foco:
Focos: (±e, O)
Vértices: (±a, 0)
,
i; -
V
Focos 110 eixo v:
1
2
:._ - x- =
b2
ª2
J
Distância entre centro e foco: c = Va 2 + h 2
Focos: (O. ±e)
Vértices: (0, ±a)
y2
xi
Assíntotas: - - - = O ou
c = Va 2 + b 2
b
:...._2 - =-2 = O ou J' = ± 0 x
a
b
Observe a diferença nas equações das assíntotas (bla na primeira. alb na segunda).
Assíntotas:
,
ª 2
b2
Transladamos as cônicas utilizando os princípios analisados na Seção 1.2,
substituindo x por x + h e y por _v + k.
EXEMPLO 4 Mostre que a equação x 2 - 4y2 + 2v + 8y - 7 = Orepresenta uma
hipérbole. Encontre seu centro, assíntotas e focos.
Solução Reduzimos a equação para a forma padrão completando o quadrado e1n x
e y conforme segue:
(x 2 + 2x) - 4( y 2 - 2y) = 7
(x 2 + 2x + 1) - 4( y 2 - 2y + 1) = 7 + 1 - 4
(x + 1) 2
4
- (y - 1)2 = 1.
Essa é a Equação 1O na forma padrão de u1na hipérbo.le, co1n x substituído por x + 1
e y substituído por y - l. A hjpérbole é deslocada un1a unidade para a esquerda e uma
unidade para cima, e te1n seu centro x + 1 =O e y- 1 =O, ou x =- 1 e _v = 1. Alé1n disso:
c2 = a 2 + b2 = 5,
a2 = 4,
assim, as assintotas são as duas retas:
X ; ) - (.V - 1) = 0
e
X; 1 + (y - 1) = 0.
Os focos deslocados tê1n coordenadas ( - 1 ± Vs, 1).
Capítulo 11 Equações paramétricas e coordenadas polares
111
Exerdcios 11.6
Identificando gráfiros
Associe as parábolas nos Exercícios 1-4 co1n as segujntes equações:
.r2 = 2v, .r2 = -6y, _1..2 = 8x, y 2 = -4x.
En1 seguida, encontre o foco e a diretriz de cada parábola.
1.
3.
•\'
Parábolas
Os Exercícios 9-16 dão equações de parábolas. Encontre o foco e a
diretriz de cada un1a das parábolas. E1n se&'Uida, esboce a parábola .
lnclua o foco e a diretriz en1 seu esboço.
9 . .1,2 = 121·
12. y 2 = - 2.x
15. x =-3;.?
LO. x2= 6y
13. y= 4x2
16. x = 2y2
11. .v2 = - 8y
14. y= - 8x2
Elipses
2.
Os Exercicios 17-24 nos dão equações para elipses. Coloque cada
u1na das equações na forrna padrão. E1n seguida. esboce a elipse.
lnclua os focos em seu esboço.
17. 16.t2 + 25y2 = 400
21. 3x2 + 2.v-2 = 6
18. 7.r2 + 16y2 = 112
22. 9x2 + 1o,.i = 90
4.
\'
19. 2r2+.r2 = 2
23. (u2 + 9y2 = 54
20. 2x2 + y 2 = 4
24. 169..t..2 + 25y2 = 4225
Os Exercícios 25 e 26 nos dão informações sobre os focos e vé1tíces das elipses centradas na origen1 do plano xy. Em cada um dos
casos, encontre a equação na fonna padrão da elipse a partir das
infom1ações dadas.
Associe cada umn das seções cônicas nos Exercícios 5-8 co1n estas
equações:
25. Focos: {± VÍ, O) Vértices: (±2, O)
26. Focos: (0. ±4) Vértices: (0, ±5)
Hipérboles
Os Exercícios 27-34 fornecem equações para hipérboles. Coloque
cada equação na forn1a padrão e encontre as assintotas da hipérbole.
E1n seguida, esboce a hipérbole. Inclua as assintotas e focos no seu
esboço.
En1 seguida. encontre os focos e vértices da seção cônica. Se a seção
cônica for uma hipérbole. encontre 1arnbém suas assíntotas.
5.
7.
\'
•
,.
•
27. •r2-J.2 = 1
31. &x2 - 2J.2 = 16
28. 9x2- 16y2 = 144
32. •v2 - 3.\.? = 3
29. y 2 -x2 = 8
33. 8.v1 - 2\.2 = 16
30. •v2 - x2 = 4
34. 64x2 - 36v2
= 2304
•
Os Exercícios 35-38 fornecen1 informações sobre os focos. vértices
e assintotas de hipérboles cenrradas na origem do plano xy . En1 cada
um dos casos, encontre a equação na fom1a padrão da hipérbole a
partir das informações fornecidas.
JS. Focos: {O, ±
8.
6.
v'2)
Assintotas: y = ::i.x
36. Pocos: (±2. 0)
.
1
AsSlll!Otas: J' = ± VJ X
y
37. Vértices: (±3, O)
.
4
ASSUlrOtas: y = ±3,,.
38. Vértices: (0, ±2)
Assíntotas: y =
±-}x
-
Transladando seções cônicas
Você pode querer revisar a Seção 1.2 antes de resolver os Exercícios
39-56.
39. A parábola ) ,2 = &x é deslocada 2 unidades para baixo e 1 unidade para a d ire ira para gerar a parábola (V+ 2}2 = 8(x - l ).
a. Encontre o vértice, foco e diretriz da nova parábola.
b. Represente grafican1ente os novos vértice, foco e diretriz e
esboce na parábola.
112
Cálculo
40. A parábola .Y2 = -4y é deslocada 1 unidade para a esquerda e 3
unidades para cima para gerar a parábola (x + 1)2 =-4(J• - 3).
a. Encontre o vértice. foco e diretriz da nova parábola.
b. Represente graficamente os novos vértice, foco e diretriz e
esboce na pan\bola.
4 1. A elipse (x2/ 16) + (}2 /9) = 1 é deslocada 4 unidades para a
direita e 3 unidades para cin1a para gerar a elipse:
(x - 4 )2
(y - 3 )2
16
+ 9
= I.
a. Encontre os focos, vénices e centro da nova elipse.
b. Represente grafica1nente os novos focos, vértices e centro
e esboce na nova elipse.
42. A elipse (.~/9) + ().2/25) = 1 é des locada 3 unidades para a
esquerda e 2 unidades para baixo para gerar a elipse:
(x+3)2
(y+2)2
9
+
25
= I.
a. Encontre os focos, vértices e centro da nova elipse.
b. Represeute grafíca111ente os novos focos, vértices e centro
e esboce na nova elipse.
43. A hipérbole (x2/ l 6) - (1rl/9) l é deslocada 2 unidades para a
direita para gerar a hipérbole:
=
(x - 2)2
Yz
16
-9= l .
a. Encontre o centro, focos. vértices e assjntotas da nova hipérbole.
b. Represente grafican1ente os novos centro, focos. vértices e
assintotas e esboce na nov~1 hipérbole.
44. A hipérbole (),2/4) - (.l.2/5) = 1 é deslocada 2 unidades para
baixo para gerar a hipérbole:
(y + 2)2
x2
4
-5 = I .
a. Encontre o centro. focos, vértices e assintotas da nova hipérbole.
b. Represente graficamente os novos centro, focos. vértices e
assintotas e esboce na nova hipérbole.
Os Exercícios 53-56 fornecem equações para hipérboles e nos di2e1n
quantas unidades para cin1a ou para baixo e para a direita ou para a
esquerda cada hipérbole deve ser deslocada. Encontre uma equação
para a nov.i hipérbole e determine os novos centro, tbcos, vértices e
assíntotas.
y·'
x-'
53. 4 -5= 1. direita 2. cima 2
x·,
54. 16 -
,,2
9 = 1, esquerda 2. baixo 1
55. y 2 - x 2 = J,
esquerda 1. baixo 1
'
y-
56. 3 - -·v2 = ) •
-
direita I, cima 3
Encontre o centro, focos, vértices, assin totas e raio, conforme apropriado. das seções cônicas nos Exercícios 57-68.
57. r+4x+J 2 = 12
58. 2x2 + 2y2 - 28x + 12,v + 114 = O
59. x2 + 2x + 4y - 3 =O
60. ,}.2 - 4y - 8.T - 12 = Q
61. .r-2 + 5y2 + 4x = 1
65. x2 - y 2 - 2.r + 4y = 4
62. 9x2 + 6y2 + 36y = O
63. x2 +21.2-2r4v
•
• =-l
66. x 2 - .12 + 4x - 6y = 6
64. 4.i-2 + J.2 + 8.r - 2y=-l
67. 2x2 - y 2 + 6y= 3
68. y2- 4À..? + 16x = 24
Teoria e exemplos
69. Se retas são traçadas paralelas aos eixos coordenados passando por um ponto P na parãbola y 2 = kx, k> O, a parábola divide
a região retangular delimitada por essas retas e os eixos coordenados cm duas regiões n1cnores, A e B.
a. Se as duas regiões nienores são giradas en1 tomo do eixo y,
nlostrc que elas gcra111 sólidos cujos volun1cs tê1n a razão 4 : 1.
b. Qual é a r'.izão dos volumes gerados pelo giro das regiões
em torno do eixo x?
.v2 = kx
p
Os Exercícios 45-48 fomecen1 equações para parábolas e nos dizen1
quantas unidades para ci1na ou para baixo e para direita ou para esquerda cada parábola deve ser deslocada. Encontre uma equação par.i
a nova parábola e derenninc os novos vértices, focos e dirctiizcs.
45. y 2 = 4x, esquerda 2, baixo 3
47. x 2 = 8y. direita 1, baixo 7
46. J,2 = -l 2x, direita 4, ci1na 3
48. x1 = 6y. esquerda 3. baixo 2
Os Exercícios 49-52 fornccen1 equações para elipses e nos dizem
quantas unidades para cima ou para baixo e para a direita ou para
a esquerda cada elipse deve ser deslocada. Encontre urna equação
para a nova elipse e detern1ine os novos focos, vértices e centro.
49.
,
r-
y2
6 + 9 = 1,
esquerda 2, baixo 1
\"2
50.
2 + y 2 = 1.
xz
J'z
direita 2, ci1na 3
f6 + 25 = 1, esquerda 4, baixo 5
2
o
70. Cabos de pontes suspensas pcnd Qrados em parábolas
O cabo de ponte suspensa exibido na figur.i a segtúr suporta
un1a carga uniforme de"' libras por pé horizontal. Pode ser demonstrado que, se H é a tensão horizontal do cabo na origem,
então a curva do cabo satisfaz a equação:
dy
li'
tL'f - Hx.
Mostre que o cabo é pendurado em unia parábola resolvendo
essa equação diferencial sujeita à condição inicial de que y =O
quando x = O.
y2
51. 3 + 2 = I,
52.
direita 3. ci1na 4
---------~- .1·
Cabo da ponte
Capítulo 11 Equações paramétricas e coordenadas polares
71. Largura da parábola no foco Mostre que o número 4p é
a largura da parábola x2 = 4py (p > O) no foco, n1ostrando
que a reta y = p corta a parábola e1n pontos separados por 4p
unidades.
72. Assintotas de (.\2 /a 2) - (J1-/b2) = 1 Mostre que a distância
vertical entre a reta y = (b/a'p: e a nietade superior do ran10
direito y = (b/ a)Vx 2 - a 2 da hipérbole (x2/a 2) -(J..l/bl) = 1
se aproxima de O, demonstrando que:
lin1 (!2. x - b Vx 2 - a 2 ) = Ê. lirn (x T-+OC a
a
a .T-+OO
Vx2 - a 2 ) = O.
Resultados sernelhantes valen1 para as porções rernanescentes
da hipérbole e as retas y = ±(b/a)x.
73. Área Encontre as dimensões do retângulo de maior área que
podem ser inscritos na elipse .,.z + 4y2 = 4 con1 seus lados paralelos aos eixos coordenados. Qual é a área do retângulo?
74. Volume Encontre o volume do sólido gerJdO pelo giro da região delirnitada pela elipse 9.,.:z + 4y2 = 36 ern torno do (a) eixo
x, (b) eixo y.
75. Volun1e A região "triangular" no prin1ciro quadranre delirnitado pelo eixo x, a reta x = 4 e a hipérbole 9.rl - 4y2 = 36 é
girada cm torno do eixo x para gerar un1 sólido. Encontre o
volume do sólido.
76. Tangentes Mostre que as rangentes à curva y 2 = 4px a partir
de qualquer ponto na reta x = - p são perpendiculares.
77. Tangentes Encontre equações para as tangentes do circulo
(x - 2)2 + (J• - 1) 2 = 5 nos pontos e1n que o circulo cruza os
eixos coordenados.
78. Volume A região delin1itada à esquerda pelo eixo y, à direita
pela hipérbole .r2 - J2 = 1 e aci111a e abaixo pelas retas y = ±3.
é girada ern torno do eixo y para gerar um sólido. Encontre o
volume do sólido.
79. Centroide Encontre o centroide da região que é dclin1itado
abaixo pelo eixo x e acin1a pela elipse (,r2/9) + (J.Z/ f 6) = 1.
11.7
113
A curva y = Vx 2 + 1, O ::; x ::; v'2.
que é parte do ran10 superior da hipérbole y 2 - x 2 = 1, é girada
em torno do eixo x para gerar tuna superfície. Encontre a área
da superfície.
80. Área da superfície
81. Propriedade refletiva das parábolas
A figura a seguir rnosIT'cl um ponto típico P(x0• y 0 ) na parábola .VZ = 4px. A reta L é
rangenre à parábola ern P. O foco da parábola está en1 F(p. O).
O raio L' que se estende de P à direita é paralelo ao eixo x. Mostrarnos que a luz de F a P será refletida ao longo de l ', mos-
trando que f3 é igual a a. Estabeleça essa igualdade realizando
os seguintes passos.
a. Mostre que tg f3 = 2ply0 .
b. Mostre que tg if> = yif(:r0 - p ).
e. Utilize a identidade:
tget =
tgc/> - tgf3
1 + tg e/> tg f3
paro demonstrar que tg a= 2pf.v0•
Uma vez que a e f3 sào agudos, tg f3 = tg a implica que f3 = a.
Essa propriedade refletiva das parábolas é utilizada en1 aplicações co1no faróis de auton1óvcis, radiotelescópios e antenas
de TV via satélite.
.l'
/
L
f3--- L•
.l'o
o
).2"' 4px
Cônicas em coordenadas polares
As coordenadas polares são especialmente i1nportantes na astronoinia e na engenharia astronáutica, porque os satélites, luas. planetas e cometas 1nove1n-se todos
aproximadamente ao longo de elipses, parábolas e hipérboles que poden1 serdescritas com uma única e relativamente simples equação e1n coordenadas polares.
Desenvolvemos essa equação aqui depois de prin1eiro introduzirmos a ideia de excentricidade de uma seção cônica. A excentricidade revela o tipo da seção cônica
(circulo, elipse, parábola ou hipérbole) e o grau ao qual está "achatada" ou aplanada.
Excentricidade
Ainda que a distância entre centro e foco e não apareça na equação
2
v2
ª 2
b2
~ + '.'. . ._ = 1
•
(a > b)
para u111a elipse, podemos ainda determinar e a partir da equação e = Va 2 - b 2 .
Se fixarn1os a e alteran11os e sobre o intervalo O< e :S a. as elipses resultantes irão
variar de forrnato. Eles são círculos se e= O (de forn1a que a= b) e fican1 aplanados conforrne e au111enta. Se e= a, os focos e vértices se sobrepõen1 e a elipse se
degenera para un1 segn1ento de reta. Assin1, so1nos levados a considerar a razão
114 Cálculo
e= ela. Utilizan1os essa razão tambén1 para hipérboles; apenas nesse caso e é igual
a v'a 2 + b 2 em vez de Va 2 - b 2 , e definimos essas razões con1 un1 tenno de
alguma forrna familiar - excentricidade.
DEFINIÇÃO
A excentricidade da elipse (x2/a 2) + (jl!b2 ) = 1 (a> b) é:
va a
2
-
b2
A excentricidade da hipérbole (x2/a 2) - (jl!b2 ) = 1 é:
2
e
v'a
+ b2
e= a =
a
A excentricidade de wna parábola é e = 1.
\'
Direrriz l
Diretriz 2
1X = - ~
x= li-I'
b
Enquanto un1a parábola tcn1 u1n roco e urna diretriz, cada elipse te1n dois focos
e duas diretrizes. Estas são as retas perpendiculares ao eixo maior nas distâncias
±ale a partir do cenlro. A parábola te1n a propriedade de que:
PF = 1 · PD
--
-+
L-+----,.+-----=~ --+-----'--+ .r
D1
-
P(x. y)
-. D 2
para qualquer ponto P nela, em que F é o foco e D é o ponto rnais próxi1no de P
na diretriz. Para un1a elipse. pode ser 1nostrado que as equações que substituen1 a
Equação l são:
(2)
- 1> -e = ae-
Focos e diretrizes da
elipse (,,.l/a 2) + (J,l/b2) = 1. A diretriz 1
corresponde ao foco F 1, e a diretriz 2, ao
foco F, .
FIGURA 11.45
-
Dirc1riz 1
Y
Diretriz 2
X=~
(J
X=
-e
D2
(1)
,, ,,,. '
P(x. y)
J ,, '
1
1
Aqui, e é a excentricidade, Pé qualquer ponto na elipse, F 1 e F2 são os focos e D1 e
D2 são os pontos nas diretrizes 1nais próximos de P (Figl.lra 11.45).
Em ambas as Equações 2, a diretriz e o foco devem corresponder; isto é, se
utilizarrnos a distància entre P e F" deve1nos usar tan1bé1n a distância entre P e a
diretriz na 1nesn1a extren1idade da elipse. A diretriz x =-ale corresponde a F 1(-c, 0),
e a diretriz x =ale corresponde a F2 (c, 0).
Assi1n como na elipse, pode ser n1ostrado que as retas x =±ale atuarn como
diretrizes para a hipérbole e que:
PF1 =e· PD 1
e
(3)
Aqui , Pé qualquer ponto na hipérbole, F 1 e F 2 são os focos e D 1 e D2 são os pontos
nas diretrizes mais próximos de P (Figura 1 1.46).
Tanto na elipse quanto na hipérbole. a excentricidade é a razão da distância
enLrc os focos e a distância entre os vértices (porque ela= 2cl2a).
,,
-,..-(-e...
O...;;)+.;f--,o+.!:!-.-l~~F-(-c. 0-) .1
1
e
2
_,,_.
Excentricidade = distância entre os focos
distância entre os vértices
e= ae
Focos e diretrizes ela
hipérbole (x2/a 2) - (v21b2) = 1. Não
in1porta onde P esteja na hipérbole.
PF1 =e· PD 1 e PF1 =e · PD1 .
FIGURA 11.46
Em u1na elipse, os focos estão mais próxi1nos un1 do outro que os vértices, e a ra7lío
é menor que 1. Em uma hipérbole. os focos estão mais distantes entre si que os
vértices, e a razão é maior que 1.
A equação " foco-diretriz" PF= e· PD une a parábola, a elipse e a hipérbole da
seguinte maneira. Suponha que a distância PF de um ponto P a partir de um ponto
fixo F (o foco) é u111 rnúltiplo constante de sua distância a partir de un1a reta fixa (a
diretriz). Ou seja, suponha que:
PF= e·PD
(4)
Capítulo 11
Equações paramétricas e coordenadas polares
115
em que e é a constante de proporcionalidade. Então a trajetória traçada por Pé:
(a) un1a parábola se e= 1,
(b) uma elipse de excentricidade e se e< 1 e
(e) wna hipérbole de excentricidade e se e> 1.
Não existem coordenadas na Equação 4 e, quando rentamos traduzi-la em forn1a
de coordenada, ela o faz em diferentes formas, dependendo do tamanho de e. Pelo
menos, isso é o que acontece nas coordenadas cartesianas. Entretanto, conforme
veren1os, em coordenadas polares a equação PF =e · PD se traduz em urna única
equação, independente do valor de e.
Dados o foco e a diretriz correspondente de uma hipérbole centrada na origem
e com os focos no eixo x. poden1os utilizar as dimensões exibidas na Figura 11.46
para encontrar e. Sabendo o valor de e, poden1os derivar uma equação cartesiana
para a hipérbole da equação PF = e· PD. como no próxi1no exemplo. Podemos encontrar equações para elipses centradas na origem e con1 focos no eixo x de maneira
sen1elhante, utilizando as dirnensões rnostradas na Figura 11.45.
\"
'
,,.'
3
6
\' ..
'--~ = I
x= I
D( 1. y)
EXEMPLO 1 Encontre uma equação cartesiana para a hipérbole centrada na origem
que tem um foco em (3. O) e a reta x = 1 como a diretriz correspondente.
Solução Primeiro uti lizarnos as din1ensões n1ostradas na Figura 11.46 para encon-
P(.r. y)
trar a excentricidade da hipérbole. O foco é:
---+--..,,.Q+-1-1-11--- F(3. 0)
X
c=3.
portanto
(e, 0) = (3, 0),
A diretriz é a reta:
X
=
ea = 1.
portanto
a = e.
Quando con1biuados conl a equação e= ela que define a excentricidade, esses resultados nos dão:
FIGURA 11.47
Hipérbole e diretriz no
e = -ea = -3e•
Exemplo L
portanto
e2 = 3
e
e=
\13.
Sabendo o valor de e. poden1os agora derivar a equação que desejamos a partir
da equação PF = e · PD. Na notação da Figura 11.47, ternos:
PF = e·PD
V(x - 3)2 + (y - 0) 2 = v31x - l I
('
x2 - 6x + 9 + y 2 = 3(x 1 - 2x + 1)
2x 2 - y 2 = 6
Diretri1
2
)'2
}- - 6 = 1.
'llt-p- - - - T I D
Foco na
origem
Equações polares
rcos O
x=k
Para encontrar equações polares para elipses, parábolas e hipérboles, colocamos um foco na origem e a diretriz correspondente à direita da origem ao longo da
reta vertical x = k (Figura 11.48). Em coordenadas polares. isso faz com que:
PF = r
FIGURA 11. 48
Se uma seção cônica
é colocada na posição com seu foco
posicionado na origern e un1a diretriz
perpendicular ao raio inicial e à direita
da origen1. podemos encontrar sua
equação polar a partir du equação foco-diretriz da cônica.
e
PD = k -FB = k -reos (}.
A equação foco-diretriz da seção cônica PF= e· PD então se torna:
,. = e(k - r cos (J),
que pode ser resolvida parar a fim de obter a expressão a seguir.
116
Cálculo
Equação polar para uma seção cônica com excent ricidade e
ke
r = - - - --
(5)
1 + ecos O'
e1n que x = k > Oé a diretriz vertical.
EXEMPLO 2 Aqui estão equações polares para três cônicas. Os valores de excenLricidade identificando a cônica são os mesmos para as coordenadas polares e
cartesianas.
e=
l
2:
k
2 +coso
k
r=
1 + cos8
,. =
elipse
e = 1:
parábola
e= 2:
hipérbole
,. =
2k
1 + 2 coso
Você pode ver as variações da Equação 5, dependendo da localização da diretriz. Se a diretriz é a reta x =-k à esquerda da orige1n (a orige1n ainda sendo o foco),
substituímos a Equação 5 por:
ke
r=-----
1 - ecos 8 ·
O denominador agora ten1 un1 (-)em vez de um(+). Se a diretriz é uma das retas
y = k ou y = -k, as equações tên1 senos e111 vez de cossenos, confonne exibido na
Figura 11.49.
ke
r = _...;.;.;;;.._
l +e cosO
r = - --:J:..;.::·e'--1 -ecos fl
Foco na origern
Foco na origem
-+-+---- - - - + X
X
Oi reiriz x = -k
(a)
{b)
ke
kt:
r = -"'-'-"-1+esen0
r = -'""""--1 - e scn O
y
\"
/
• Foco na orig,cm
Oi rc1ri1. .1• = k
Foco nn'-,..::::!""--
~
Diretriz y = - J..
(d)
(C)
FIGURA 11.49 Equações para seções cônicas com
excentricidade e> O, mas diferentes localizações ua diretriz.
Os gráficos aqui cxiben1 unia parábola, portanto e= 1.
EXEMPLO 3 Encontre uma equação para a hipérbole co1n excentricidade 3/2 e
diretriz x = 2.
Solução Utilize a Equação 5 com k = 2 e e= 3/2:
2(3/2)
r =---'---1 + (3/2) cos f)
ou
r = __..;;..._
6 __
2 + 3 cos 8.
Capítulo 11 Equações paramétricas e coordenadas polares
Diretriz
EXEMPLO 4
117
Encontre a diretriz da parábola:
x=k
25
,. = -1o
- +- 1O_co_s_e ·
Centro origen1
- - - - - - -+--+--!----+ .\
Solução Dividimos o nun1erador e o denominador por 1O para colocar a equação
ea
e1n fonua polar padrão:
1 - -a - - 1
5/ 2
1 + cos (J .
(1
1-------1
r = ----
t!
FIGURA 11.50
En1 uma elipse con1
semieixo niaior a, a distância foco-diretriz
é k = (ale) - ea, portanto ke = a( 1 - e2).
Esta é a equação:
ke
r=----
1 + ecos fJ
com k = 5/2 e e= 1. A equação da diretriz é x = 512.
A partir do diagrama da elipse na Figura 1 1.50, vemos que k está relacionado à
excentricidade e e o semieixo maior a pela equação:
k=
ea - ea.
A partir disso. descobrimos que ke = a( 1 - e2). Substituir ke na Equação 5 por
a( 1 - e2) nos dá a equação polar padrão para u1na elipse.
Equação polar para a elipse com excentricidade e e semieixo maior a
a( 1 - e 2 )
r =
1 + ecos O
(6)
Observe que. quando e = O, a Equação 6 se torna r = a, o que representa u1n círculo.
."
Retas
Suponha que a perpendicular a partir da origem para a reta l encontra l no
ponto P0(r0 , 80 ), com r 0 >O (figura 11 .5 l ). Então, se P(r, ())é qualquer outro ponto
e1n l , os pontos P. P0 e O são os vértices de u1n triângulo retângulo, a partir do qual
podemos ler a relação:
Equação polar padrão para retas
Poden1os obter uma
equação polar para a reta l lendo a relação
r0 = r cos (8 - 80 ) a partir do triângulo
retângulo OP0P.
FlGURA 11.51
Se o ponto P0(r0 , fJ0) é a base da perpendicular a partir da origen1 para a retal, e
r 0 2:: O, então wna equação para L é:
r cos (8 - 00 ) = r0 .
(7)
Por exen1plo, se 80 = ?T/3 e r 0 = 2. descobrin1os que:
r ( cos 8 cos ;
r cos ( 8 -
~) = 2
+ scn () sen
I)
= 2
~ r cos O + '{3 r sen 8 = 2
ou
x +vJy= 4.
118
Cálculo
Círculos
y
,,---;,.;,..P(r. 1))
Para encontrar u1na equação polar para o círculo de raio a ccntntdo e1n P0(r0 ,
90 ), determinamos que P(r, 0) é um ponto no círculo e aplicamos a lei dos cossenos
ao triângulo OP0P (figura 11 .52). Isso dá:
(/
C1 2 = r 2
0
+ 12 - 2r0r cos (O - 00 ).
Se o círculo passa pela origem, enrão r0 =a, e essa equação é simplificada para:
a2 = a 2
Pode111os obter uma
equação polar par.lesse círculo aplicando a
lei dos cossenos ao triângulo OP0P.
FIGURA 11.52
+ r - 2ar cos (8 - 80)
2
1 = 2ar cos (O -
90 )
r = 2a cos (O - 00 ).
Se o centro do círculo está no eixo x positivo, 00 =O e temos ainda a si1nplificação:
r=2a cos O.
(8)
Se o centro está no eixo)' positivo, 8 = '1Tl2, cos (8 - 'TT/2) = sen (),e a equação
r = 2a cos (O - 00) se toma:
r = 2a sen O.
(9)
As equações para círculos através da origem. centrados nos eixos x e y negativos
poden1 ser obtidas substituindo r por - r nas equações anteriores.
EXEMPLO 5 Aqui estão diversas equações polares fornecidas pelas Equações 8 e 9
para os círculos através da origem e tendo centros que estão no eixo x ou y.
Ra io
Centro
(coordenad as polares)
Equação
polar
3
(3, 0)
r=6 cos O
2
(2, 7T/2)
r = 4 sen O
1/2
(-J / 2. O)
r=-cos 8
(-1, 7T/2)
r =-2 sen O
Exercicios 11. 7
s. 3.r2 + 2v2
- =6
Os Exercícios 13-16 fornecem os focos e as diretrizes correspondentes das elipses centradas na orige111 do plano xy. Em cada um
dos casos, utilize as dimensões na Figura 11.45 para encontrar a
excentricidade du elipse. Em seguida, encontre a equação de fonna
padrão da elipse nas coordenadas cartesianas.
6. 9.r2+ IOy2 = 90
13. Foco:
Elipses e excentricidade
Nos Exercícios 1-8. encontre a excentricidade da elipse. Em seguida, encontre e desenhe os focos e diretrizes da elipse.
.
J. 1fu.2+ 25),2 = 400
2. 7.\.i+ 16y2 = 112
3. zr + y 2 = 2
4. 2-r? + ),l = 4
7. 6x2 + 9.v2 = 54
8. 169.xl + 25y2 = 4225
Diretriz:
14. Foco:
Os Exercícios 9-12 fornecem os focos ou vértices e as excentricidades das elipses centradas na origcn1 do plano .\:v. Em cada un1 dos
casos, encontre a equação de forma padrão da elipse nas coordenadas cartesianas.
9. Focos: (0, ±3)
Excentricidade: 0,5
Jo. Focos: (±8, 0)
Excentricidade: 0,2
11. Vértices: (0. ± 70)
Excentricidade: O, 1
12. Vérlices: (:r 1O, 0)
Excentricidade: 0,24
{
Vs, O)
x =
IS. Foco:
9
v'5
(4, 0)
Diretriz:
(-4, O)
16. Foco:
16
x=3
x = - 16
Diretriz:
{-\/2, O)
Diretriz:
x = -2\/Í
Hip-érboles e excentricidade
os Exercícios 17-24, encontre a excentricidade da hipérbole. Em
seguida, encontre e desenhe os focos e diretrizes da hipérbole.
17. >.4 -y2 = 1
18. 9.r2- 161.2
= 144
•
19. _v2 - .r2=8
20. •,,i-x2= 4
Capítulo 11
21. 8x2 - 2y2 = 16
22. J,2 - 3x2 = 3
23. 8.r2 - 2x2 = 16
24. 64.rl - 36r = 2304
Equações paramétricas e coordenadas polares
Encontre equações polares para os círculos nos Exercícios 57-64.
Esboce cada circulo no plano coordenado e classifique-o com suas
equações cartesianas e polares.
Os Exercícios 25-28 fornecem as excentricidades e os vértice.s ou
focos das hipérboles centradas na origem do plano .\y. Em cada um
dos casos, encontre a equação de forn1a padrão da hipérbole nas
coordenadas cartesianas.
25. Excentricidade: 3
27. Excentricidade: 3
Vértices: (0. ± 1)
Focos: (±3, 0)
57. (x-6) 2 + .v2= 36
61. .~+ 2x+ J,i = O
58. (x + 2) 2 + .v2 = 4
62. )..i-16x+>il = O
59. x 2 + (J• - 5)2 = 25
63. x 2 +_,;z+ y=O
60. x 2 + (J• + 7) 2 = 49
4 = O
64. x-' + y 2 - ]Y
26. Excentricidade: 2
Vér1íces: (±2, O)
Exemplos de equações polares
28. Excentricidade: 1,25
Focos: (0, ±5)
& Desenhe as retas e seções cônicas nos Exercícios 65-74.
Excentricidades e diretrizes
65. r = 3 sec (8 - 'Tr/3)
70. r=8/(4+sen0)
Os Exercícios 29-36 fornecem as excentricidades das seções cónicas
com u1n foco na orige1n, co111 a diretriz correspondente àquele foco.
Encontre wna equação polar para cada seção cônica.
29. e = I x=2
33. e= 1/2, x=I
'
34. e= 1/4. x= - 2
30. e=! .\1=2
'
35. e= l/5, y=- 10
3 1. e=5, y=-6
36. e= l/3, y = 6
32. e =? x = 4
66. r = 4 sec (8 + 'Tr/6)
71. r = 1/(1 - scn 8)
67. r = 4 SCll 8
72. ,. = l/(l + cos 8)
68. r= - 2 cos 8
73. r = l /( 1 + 2 sen 8)
69. ,. = 8/(4 + cos 1:1)
74. r = J/( 1 + 2 cos O)
-·
Parábolas e elipses
Esboce as parábolas e elipses nos Exercícios 37-44. Inclua a direLriz
correspondente ao foco na origem. Rotule os vértices com coordenadas polares apropriadas. Rotule tan1bén1 os centros das elipses.
37. ,. =
1
l + cos 8
41. r=
12
42. ,. =
3 + 3 sen8
6
38. r =
2 + cose
39. ,. =
400
16 + 8sen0
25
10 - 5 cos 8
4
40. r=
2 - 2 cos 8
43. r =
8
2 - 2sen8
44. ,.
4
2 - seno
:::::
119
75. Periélio e afélio Um planeta dã lUna volta e1n tomo do Sol
em u1na elipse cujo sc1nieixo maior tem comprimento a. (Veja
a figura a seguir.)
a. Mostre que r = a( 1 - e) quando o planeta estâ n1ais próxi1110 do Sol e que r = a( l + e) quando o planeta está 111ais
distante do Sol.
b. Utilize os dados da tabela no Exercício 76 para determinar o
quão próximo cada um dos planetas cm nosso sistema solar
chega do Sol e o quão distante cada planeta chega do Sol.
Afélio
Periélio
(o 1nais distante
(o mnis próximo
do Sol)
do Sol)
. -- - - -..:.Planeta
a
Sol
Retas
Esboce as retas nos Exercícios 45-48 e encontre equações cartesianas para elas.
45. rcos
(e - ; ) = V2
(
27T) = 3
47. rcos O - 3
76. Órbitas planetá rias Utilize os dados da tabela a seguir e a
Equação 6 para encontrar equações polares para as órbitas dos
planetas.
Planeta
Sen1ieixo n1aior
(unidades astronômjcas)
Excentricidade
Encontre uma equação polar na forma ,. cos (O - 80) = r 0 para cada
uma das retas nos Exercícios 49-52.
Mercúrio
0.387 l
0.2056
Vênus
0,7233
0,0068
49. \/2.r + v'2y = 6
50. YJ .\' - 1' = 1
SI. y =-5
Terra
l ,000
0,0167
52. X = -4
Marte
l .524
0,0934
Circt.1los
Júpiter
5,203
0,0484
Esboce os círculos nos Exercícios 53-56. Dê coordenadas polares
para seus centros e identifique seus raios.
53. r = 4cos8
SS. r =-2cos0
54. r = 6 sen 6
56. r =-8 sen 8
Saturno
9,539
0.0543
Ura110
l 9, 18
0,0460
Netuno
30,06
0,0082
3
46. r cos ( 8 + : ) =
J
48. r cos ( 6 +
~) = 2
120
Cálculo
Capitulo
Questõ-es para guiar sua revisão
1. O que é uma parametrização de uma curva no plano xy? U1na
função y = /~>:) sen1pre tem uma parametrização? São parame-
trizações de uma curva única? Dê exen1plos.
2. Dê algun1as parametrizações típicas para retas. círculos, parábolas. elipses e hipérboles. Quanto un1a curva paran1etrizada
poderia ser diferente do gráfico de sua equação cartesiana?
3. O que é uma cicloide? Quais são as equações paramétricas
tipieas para eicloides? Quais propriedades físicas contam para
a importância das cicloides?
4. Qual é a fórmula para o coeficiente angular dy/dx de urna curva para1netrizada x = f(t), y = g(t)? Quando a fórmula é aplicada? Quando você pode esperar conseguir encontrar dly!dx2
tanibém? Dê exemplos.
5. Como você pode algumas vezes encontrar a área delimitada
por u1na curva paran1etrizada e um dos eixos coordenados?
6. Con10 você encontra o co1nprimento de urna curva parametrizada suave x = j(t), y = g(r), a < t s b'? O que a sua característica de ser suave ten1 a ver com o cornprin1ento? O que mais
vocé precisa saber sobre a para1netri1,açào para poder encontrar o con1primento da curva? Dê exemplos.
7. Qual é a função de con1primcnto de arco para unia curva para111etrizada suave? Qual é a diferencial de comprimento de arco?
8. Sob quais condições você pode encontn1r a área da superfície
gerada por 1neio do giro de uma curvax= f(t). y= g(t), a :5 t s b
en1 tomo do eixo x? E do eixo y? Dê exe1nplos.
9. Con10 você encontra o centroide de unia curva paranictrizada
suave x = j(t), y = g(t), a :5 t :5 b? Dê u1n exemplo.
10. O que são coordenadas polares? Quais equações relaciona1n
coordenadas polares a coordenadas cartesianas? Por que você
poderia desejar mudar de um siste1na de coordenadas para outro?
Capitulo
lares tc1n para o esboço de gráficos? Dê uni exemplo.
l2. Como você desenha equações em coordenadas polares? Inclua
e1n sua discussão: sinietria. coeficiente angular. comportamento na origem e o uso de gráficos cartesianos. Dê exe1uplos.
13. Co1110 você determina a área da região O:5 r 1( 8) :S r < r 2( 8),
a s 9 s {3. no plano de coordenadas polares? Dê exemplos.
14. Sob que condições você pode encontrar o comprimento de
tuna curvar = j(8). as 9 s {3. no plano de coordenadas polares? Dê un1 exemplo de cálculo tipico.
1S. O que é unia parábola? Quais são as equações cartesianas para
parábolas cujos vértices estão na origern e cujos focos estão
nos eixos coordenados'? Como vocé pode dcternlinar o foco e
a diretriz de tal parábola a partir de sua equação?
16. O que é u1na elipse? Quais são as equações cartesianas para
elipses centmdas na origem com focos em un1 dos eixos coordenados? Con10 você pode delenninar os focos. vértices e diretrizes de tal elipse a partir de sua equação'?
.17. O que é urna hipérbole? Quais são as equações cartesianas
para hipérboles centradas na origen1 com focos en1 um dos
eixos coordenados? Co1no você pode determinar os focos,
vértices e diretrizes de tal elipse a partir de sua equação?
18. O que é excentricidade de uma seção cônica? Como você pode
classificar as seções cônicas pela excentricidade? Como a forn1a de uma elipse e sua excentricidade estão relacionadas?
19. Explique a equação PF = e· PD.
20. Quais são as equações padrão par:. as retas e seções cônicas
en1 coordenadas polares? Dê exen1plos.
Exercidos práticos
Identificando equações paramétricas no plano
Os Exercícios 1-6 fornecem equações paran1etricas e intervalos paran1étricos para o n1ovin1cnto de unia partícula no plano ·D" Identifique a trajetória da partícula encontrando unia equação cartesiana
para ela. Desenhe a equação cartesiana e indique a direção do movimento e a porção traçada pela partícula.
1. x= t/2, y= r + 1: -00< 1 <00
2. X = Vt, y = 1 - Vt; I > 0
3. X = ( 1/2) tg 1, y= ( 1/2) sec t; -tT/2 < 1 <'11'12
4. x =-2 cos t, .v = 2 sen /'' O < t < rr
S. x = -cos 1. y = cos2 t: Os r::;; 7T
6. x = 4 cos t.
11. Quais consequências a falta de unicidade de coordenadas po-
y = 9 sen 1;
Os t s 2rr
Encontrando equações paramétricas e retas tangentes
7. Encontre equações paran1étricas e um intervalo de parâmetro para o 111ovin1ento de u1na partícula no plano .\)' que trace
a elipse 16x2 + 9y2 = 144 uma vez cm sentido an ti-horário.
(Existem muitas formas de fazer isso.)
8. Encontre equações paramétricas e wn intervalo de parfunetro
para o movi111ento de uma partícula que parta no ponto (-2, O)
no plano .\Y e trace o círculo .\2 +.1.Z = 4 três vezes cm sentido
horário. (Existe1n niuitas formas de fazer isso.)
Nos Exercícios 9 e 1O, encontre uma equação para a reta no plano ·':V
que seja tangente à curva no ponto correspondente ao valor detenninado der. Encontre tan1bé1n o valor de dlyldil nesse ponto.
9. x= (l /2)tgt,
y=( l/2)sec1;
10. x= 1 + L/t2,
y= 1 - 3/1;
t = 7Tl3
t=2
11. EIiinine o parâmetro para expressar a curva na forma y = f(x).
a. x = 4t2. y= 13- I
b. x = cost, y= tgt
12. Encontre equações paramétricas para a curva dada.
a. Reta passando por ( 1, - 2) con1 coeficiente angular 3
b. (x - 1)2 + ()' + 2)2 = 9
e. y= 4x2 - x
d. 9x2 + 4;.i = 36
Capítulo 11
Equações paramétricas e coordenadas polares
121
Comprimentos das curvas
Gráficos em coordenadas polares
Encontre os comprin1cntos das curvas nos Exercícios 13- 19.
13. y=x 1'2 - ( l/3)xl•2 , 1 :Sx:S4
Esboce as regiões definidas pelas desigualdades de coordenadas polares nos Exercícios 37 e 38.
38. -4scn9<r<O
37. O<r<6cos9
14. x=vW, 1 <y<8
IS. y=(5/ 12).\·"' 5-(5/8~'s,
16. X= (},.3/ \ 2) + ( l ~y),
1 sxs32
1 S )' < 2
17. x=5cost-cos51.
18. X = rl- 612 ,
y=5sent-sen5t.
)' = r3 + 612,
0 :S 1S l
19. x= 3 cos 6,
.v=J sen 6 '
Ost:51T/2
20. Detcnnine o con1prin1ento do laço deli1nitado x = t2.y= (f/3)-1
mostrado aqui. O laço começa en1 / = - \/3 e termina em
I =
vJ.
Relacione cada u1n dos gráficos nos Exercícios 39-46 con1 a equação apropriada (a)-(1). 1-16 mais equações do que gráficos, portanto
algumas equações não serão relacionadas.
a. r = cos 20
g. r = 1 + cos O
b. r cos 6 = 1
h. r = 1 - sen O
6
. ,. 2
e. r = 1 - 2 cos O
I.
1 - coso
d. r = sen 28
e. r= O
r. ,:i = cos 26
39. Rosa de quatro pétalas
j.
r2 = sen 28
k. r "" - sen fJ
1. r =2cos8+ 1
43. Círculo
•\'
)'
40. Espiral
44. Cardioide
41. Limaçon
45. Parábola
- 1
Âreas de superfície
Deiennine as áreas das superfícies geradas girando as curvas nos
Exerclcios 21 e 22 em tomo dos eixos indicados.
21. x=t212, y=2t. O< / < v!S; eixox
22. x=12 + 11(21). y = 4VÍ. l/ V2 s t s 1: e1xoy
y
)'
Equaçõ.es polares para equações cartesianas
Esboce as retas nos Exercicios 23-28. Detem1ine també1n u1na
equação cartesiana para cada reta.
23. r cos
24. rcos
(O + f) = 2 vJ
(o - 3; ) = '{2
25. r=2sec8
26. ,. = -\/2 sec8
27. r=- (3/2) cossec 8
42. Lcn1niscata
46. Lemniscata
y
28. r = ( 3 v3) cossec 8
Encontre equações cartesianas para os circulos nos Exercícios 29-32.
Esboce cada circulo no plano coordenado e rotule-o com as equações cartesianas e polares.
29. r=-4sen0
30. r = 3 \/3 sen 8
31. r = 2Vícos8
32. r = - 6 cos 8
Equações cartesianas para equações polares
Encontre equações polares para os círculos nos Exercícios 33-36.
Esboce cada círculo no plano coordenado e rotule-o com suas equações cartesianas e polares.
35. x2 +1.2
- 3x = O
33. x2+y2 +5y=O
•
34. x 2 +J,2 - 2y = O
36. ;t.i+y2 +4x=O
Área em coordenadas polares
Encontre as áreas das regiões no plano de coordenadas polares descritas nos Excrcicios 47-50.
47. Deli1nitada pelo limaçon r= 2 - cos 8.
48. Delin1itada por unia pétala da rosa de três pétalas r = sen 30.
49. Dentro da "figura oito" r = l + cos 28 e foro do circulo r = 1.
50. Dentro da cardioide r= 2( 1+ sen O) e fora do círculo r= 2 sen O,
122
Cálculo
Comprimento em coordenadas polares
Encontre os cornprirneatos das curvas dadas pelas equações de
coordenadas polares nos Exercícios 51-54.
51. r =- 1 +cos8
52. r = 2 sen 8 + 2 cos 8, Os (J s 7T/2
53. r = 8 sen3 (813), Os 8 < 7T/4
54. ,. = V 1 + cos 28.
_,,,12 <os 7T12
(conforme apropriado). Se a curva for uma parábola, encontre tan1bé1n sua diretriz.
69. .r2 - 4x - 4v2=0
•
70. 4.r2 -J-2 + 4y = 8
74. 25.r2+9y2 - IOOx+54y=44
71. J,2- 2y+ 16.t=-49
72. •rl-2x+ 8y=- l 7
75. .r2 +J,.2 - 2r - 2y =O
73. 9x2 + 161'
. 2 +54x-64,.. = -l 76. x2+.i.2+ 4x+ 2y = 1
Desenhando seções cônicas
Conicas em coordenadas polares
Esboce as parábolas nos Exercícios 55-58. inclua o foco e a diretriz
cm cada esboço.
Esboce as seções cônicas cujas equações de coordenadas polares são
fornecidas nos Exercícios 77-80. Forneça coordenadas polares para
os vértices e. no caso de elipses, para os centros ta1nbém.
57. .Vl = 3x
55. x 2 = -4y
58. .r2 = - (8/3i\°
56. x 2 = 2y
Encontre as excentricidades das elipses e hipérboles nos Exercícios
59-62. Esboce cada seção cônica. Inclua os focos, vértices e assintotas (conforme apropriado) en1 seu esboço.
59. 16x1 +71.2
= 112
•
61. 3x2 -y1 = 3
60. x 2 + 2v
. 2 =4
62. 5y2 - 4x1=20
Os Exercícios 63-68 fomccen1 equações para seções cõnicas e nos
dizen1 quantas unidades para cima ou para baixo e para a direita
ou para a esquerda cada curva será deslocada. Encontrc un1a equação para a nova seção cônica e descubra os novos focos, vértices,
cenfros e assintotas. conforn1c apropriado. Se a curva for u1na parábola, encontre tan1bém a nova diretriz.
63. x 2 = - l 2y,
direita 2, cin1a 3
64. y 2 = IOx.
esquerda 1/ 2. baixo 1
2
65. -~ +
)'2
= 1, esquerda 3, baixo 5
25
x-'
y-,
66.
+
= 1, direita 5, cin1a 12
144
169
2
67.
68.
,
s- - 2
V
x-
x-'
V2
1.
direita 2. cima 2 \/2
36 - 64 = 1. esquerda 1O, baixo 3
Identificando seções cónicas
Con1plete os quadrados para identificar as seções cônicas nos Excrcicios 69-76. Encontre seus focos, vértices. centros e assíntotas
Capítulo
2
77• r = 1 + cos (}
78.
,. = _ __;:;
8_ _
2 +coso
6
79· r = 1 - 2 cos 6
12
80. ,. = _.....:..::...__
3 +seno
Os Exercícios 81-84 fomecen1 as excentricidades das seções cônicas con1 un1 foco na origern do plano de coordenadas polares, con1
a diretriz para aquele foco. Encontre uma equação polar para cada
' . .
scçao con1ca
81. e= 2. r cos O= 2
83. e= 112. r sen 8 = 2
82. e= 1. r cos O= -4
84. e= 1/3, r sen O= -6
-
Teoria e exemplos
85. Encontre o volun1c do sólido gerado girando a região dclin1itada pela elipse 9x2 + 4.1.! = 36 em tomo (a) do eixo x, (b) do
.
erxo y.
86. A região ·'triangular" no primeiro quadrante delirnitado pelo
eixo x, a reta x = 4 e a hipérbole 9x2 - 4_1.2 = 36 é girada em
relação ao eixo x para gerar u1n sólido. Encontre o volu1ne do
sólido.
87. Mostre que as equações x = r cos 8, y = r sen (} transformam
a equação polar:
k
,. =
+ ecos(}
na equação cartesiana
( 1 - e2)x2 + y 2 + 2ke.x - ~=O.
88. Espirais de Arquimedes O gráfico de urna equação da forma r = a8, em que" é uma constante diferente de zero, é chamado de espiral de Arquin1edes. Existe algo de especial sobre
as larguras entre as voltas sucessivas de tal espiral?
Exercícios adicionais e avançados
Encontrando seções cônicas
1. Encontre urna equação para a parábola com foco (4, O) e dire-
=
triz x 3. Esboce a parábola eo1n seu vértice, seu foco e sua
diretriz.
2. Encontre o vértice, o foco e a diretriz da parábola:
x2 -
6.r - 121•
, + 9 =O
3. Encontre uma equação para a curva traçada pelo ponto P(x,y)
se a distância entre P e o vértice da parábola .r-1= 4y for duas
vezes a distância entre P e o foco. Identifique a curva.
4. Urn segmento de reta de con1primcnto a + b vai do eixo x ao
eixo y. O ponto P no segrnento está a unidades a partir de
urna extren1idade e b unidades a partir da outra extremidade.
Mostre que P traça urna elipse co11forrne as extremidades do
segrncnto deslizan1 ao longo dos eixos.
5. Os vértices de u1ua elipse de excentricidade 0,5 estão nos pontos (O, ±2). Onde os focos estão'!
6. Encontre uma equação para a elipse de excentricidade 2/3 que
tenha a reta x = 2 con10 w11a diretriz e o ponto (4, 0) co1no o
foco correspondente.
Capítulo 11
7. Uai foco de 111na hipérbole está ao ponto (0. - 7) e a diretriz
correspondente é a reta y = -1. Encontre uu1a equação para a
hipérbole se sua excentricidade for (a) 2. (b) 5.
8. Encontre unia equação para a hipérbole co1n focos (0. - 2) e
(0, 2) que passa pelo ponto (12, 7).
Equações paramétricas e coordenadas polares
a cpicicloid.e, utilizando co1no parâmetro o ângulo 8 a partir do
eixo .r positivo até a reta que passa pelos centros dos círculos.
24. Encontre a centroide da região delimitada pelo eixo x e o arco
da cicloide
y = a(l - cost);
x = a(1 - senr),
9. Mostre que a reta:
2 2
b2xx1 + a;,,.
• J 1- a b = O
é tangente à elipse b2x2 + a2y 2 - a 2h2 = O no po1110 (xp y 1) na
elipse.
10. Mostre que a reta:
b2xx1 - a 2J'.l'i - a2b2 = O
é tangente à hjpérbole b 2.1-2 -a 2y 2 -a2b 2 =O no ponto (x 1,y1)
na hipérbole.
Equaçõ.es e desigualdades
123
Os t ::5 2?T.
Ângulo entre o raio velor e a reta tangente a unia cun a de coordenadas polares Em coordenadas canesianas. quando desejamos
discutir a direção de lnna curva en1 un1 ponto, utilizan1os o ângulo <f>
medido cm sentido anti-horário a partir do eixo x positivo até a reta
tangente. En1 coordenadas polares. é mais conveniente calcular o ângulo~' a partir do raio 1·e1or até a reta tangente (veja a figura a seguir).
O ângulo <P pode então ser calculado a partir da relação:
1
</> = B+ t/I.
(1)
que ven1 da aplicação do teore1na de ângulo externo ao triãngulo na
figura a seguir.
)'
Quais pontos no plano xy satisfazem as equações e desigualdades
nos Exercícios 11- 16? Desenhe uma figura para cada exercício.
11. (.r2 - y 2 - l)(.r2 + ) ,2 - 25)(x2 + 4y2 -4) = o
r = f\O)
12. (x +y)(.r2 +y2- l) = O
13. (x2 /9) + (1.2/ 16) s 1
14. (x2/9)-(J.2/J6) s 1
15. (9.i-2 + 4_v1 - 36)(4x2 + 9y2 - 16) s o
16. (9x2 + 4y 2 - 36)(4.r2 + 9y2 - 16) > o
Coordenadas polares
17. a. Encontre uma equação em coordenadas polares para a curva:
x =e21 cost,
y =e21 sent:
Supo11ha que a equação da curva seja dada na forina r = /(8), cn1
que /(8) é unia função derivável de 8. Então:
x = r cos 8
-00< 1 < 00.
b. Encontre o co1nprin1cnto da curva de t = Oa / = 2?T.
18. Encontre o comprirnento da curva r = 2 sen 3 (8/3 ). Os 8 s 3?T,
no plano de coordenadas polares.
e y = r sen O
são funções deriváveis de Ocon1
dr
dr
dõ = - rsen8 + coso dO ,
dy
Os Exercícios 19-22 fornecen1 as excentricidades das seções cônicas con1 uni foco na orige1n do plano de coordenadas polares. com
a diretriz para aquele foco. Encontre unia equução polar para cada
..
seçao coruca.
21. e = 112, r sen O= 2
19. e= 2, l'COS 0 = 2
20. e = 1, r cos O= -4
22. e = l/3, rsen0 = -6
.
dr
dõ = r cos O + sen Odõ .
tg t/I = ig ( </> - O) =
tg </> - tg o
1 + lg </> tg 8
Além disso,
dy
dy/ dO
tg </> = dx = dx/ dO
23. Epicicloides
y
porque tg <P (:o coeficiente angular da curva cm P. Ainda:
Consequente1ncntc
p
y
tlr/ d(I
X
dy/ d8
tgt/f = - - - - 1' dv/ d(J
l +
I
~--11'--"--~--i!-'-----+ X
O
(3)
Uma vez que t/I = <f> - 8. da Equação 1.
Teoria e exemplos
Quando um círculo gira externan1ente ao longo
da circunferência de um segundo círculo fixo, qualquer ponto
P na circunferência do círculo que gira descreve urna epicicloide. conforinc mostr.ido aqui. Suponha que o círculo fixo
lenha seu centro na orige1n O e mio a.
(2)
A(u,O)
Seja b o raio do círculo que gira e seja a posição inicial do
ponto P traçado A(a. 0). Encontre equações paran1é1ricas para
:rdx/c/8
(~V
tl>:
d8
d(J
x--ydx
d1•.
x- + y -·
d()
(4)
d(J
O nwnerador na últin1a expressão na Equação 4 é encontrado a partir das Equações 2 e 3 como sendo:
<11•
d8
dx
= r2
, d8
x -=- - v-
124
Cálculo
De maneira se1nelhantc. o denominador é:
dx
dy
dr
x+ y -dfJ = rd8.
dO
Quando substituín1os esses valores na Equação 4. obtemos:
,.
tg "' = --'-dr/ d8.
Quando ocorrerá a intersecção das duas curvas c1n ângulos retos?
26. Encontre o valor de tg ~'para a curvar = sen4 (0/4).
27. Encontre o ângulo entre o raio vetor da curva r = 2a sen 38 e
sua tangente quando 8 = 7T/6.
D 28. a. Desenhe a espiral hiperbólica r8 = 1. O que parece acontecer a t/I confornle a espiral gira ao redor da origen1?
(5)
b. Confirme seu achado no item (a) analiticamente.
Essa é uma equação que utilizan1os para deten11inar t/J con10 uma
função de 8.
25. J\lloslre, por referência a uma figura, que o ângulo f3 entre as
tangentes a duas curvas en1 u1n ponto de intersecção pode ser
encontrado a partir da fóriuula:
t
g {3
Capitulo
=
tg 1/12 - tg 1/11
1 + Lg 1./12 tg 1./11 .
29. Os círculos r =
VJ cos Oe r = sen Ose intersectam no pon-
to ('\/3/ 2. 7T/ 3). Nlostre que suas tangentes são perpendiculares ali.
30. Encontre o ângulo no qual a cardioide r = a( 1 - cos 9) cruza
o raio O= 7T/2.
(6)
Projetos de aplicação de tecnologia
Módulos Mathematica/ Maple
Ra!ítrea111e11to por radar tle 11111 objeto en1 111ovi111e11to
Parte 1: converta coordenadas polares para coordenadas cartesianas.
Equações parac11étricas e polares de 11111a pati11açtio anlçfica
Parte 1: visualize posição, velocidade e aceleração para analisar o n1ovu11ento definido por equações para1nétricas.
Parle 11: deterinine e analise as equações de movimento para um patinador descrevendo uma trajetória polar.
VETORES E A GEOMETRIA
DO ESPAÇO
VISÃO GERAL Para aplicar o cálculo en1 muitas situações do mundo real e na
n1aten1ática avançada, precisamos de uma descrição matemática de espaços tridimensionais. Neste capítulo, introduzimos os vetores e siste1nas de coordenadas
tridimensionais. Com base no que já sabe1nos sobre coordenadas no plano xy, estabelecen1os as coordenadas no espaço adicionando um terceiro eixo que mede a
distância acima e abaixo do plano ·'Y· Os vetores são utilizados para estudar a geometria analítica do espaço, na qual eles fornecetn formas simples de descrever retas,
planos, superfícies e curvas no espaço. Utilizarernos essas ideias geon1étricas posteriormente no livro para estudar o movimento no espaço e o cálculo de funções de
várias variáveis, com suas aplicações importantes na ciência, engenharia, econon1ia
e na matemática avançada.
Sistema de coordenadas tridimensional
12.1
1
..,1
~
(0. o.:)
= consrnnte
/
(0,y.~)
(x. O,:)
O
P(x.y.~)
---(0,y.0)
(x/ /
x
x =constante
""'
.V
v=conswntc
(;t. I' . O)
FIGURA 12.1 O sistema de coordenada~
cartesianas é positivo.
Para localizar uni ponto no espaço, utilizan1os três eixos coordenados perpendiculares entre s~ org<uúzados como na Figura 12.1. Os eixos exibidos na imagem
forrnan1 um sistema de coordenadas positivo. Se você posicionar sua mão direita de for111a que seus dedos se dobrem a partir do eixo positivo x e1n direção ao eixo positivo y,
o seu polegar apontará na direção do eixo posi6vo z. Dessa maneira, quando, a partir
da posição positiva do eixo z, você olha para baixo no plano .ry, os ângulos positivos
no plano são medidos en1 sentido anti-horário a panir do eixo x positivo e ao redor do
eixo z. (En1 u1n sistema de coordenadas negativo, o eixo z apontaria para baixo na Figura 12.1 e os ângulos no plano seriam positivos quando medidos no sentido horário a
pa1iir do eixo x. Sistemas de coordenadas positivos e negativos não são equivalentes.)
As coordenadas cartesianas (x. JI, z) de um ponto P no espaço são os valores
nos quais os planos através de P perpendiculares aos eixos cortam os eixos. As
coordenadas car1esianas tan1bém são denominadas coordenadas retango.lares, un1a
vez que os eixos que as definem se encontrain em ângulos retos. Os pontos no eixo x
têm coordenadas y e z iguais a zero. Ou seja, eles possuem coordenadas no fonnato
(x, O, O). De 111aneira sen1clhante, os pontos no eixo y possuen1 coordenadas no
formato (O, y, O) e os pontos no eixo z possuen1 coordenadas no fonnato (O, O, z).
Os planos determinados pelos eixos coordenados são o plano .\'y, cuja equação
padrão é z = O; o plano yz, cuja equação padrão é x = O; e o plano .xz, cuja equação padrão é y =O. Eles se encontran1 na 01·igem (O, O, 0) (Figura 12.2). A origem
também é identificada simplesmente por Oou, algu1nas vezes, pela letra O.
Os 1rês planos coordenados x = O, y = O e z = O divide1n o espaço en1 oito
células chamadas octantes. O octante no qual todos os pontos coordenados são
positivos é denominado primeiro octante: não há convenção para numeração dos
outros sete octantes.
Os pontos em un1 plano perpendicular ao eixo x têm a 1nesma coordenada x,
sendo este o valor no qual o plano corta o eixo x. As coordenadas y e z podem ser
quaisquer núrneros. De maneira semelhante, os pontos e1n Llln plano perpendicular
ao eixo J' possuem uma coordenada J' comum, e os pontos em um plano perpendi-
126
Cálculo
- -- y.(2, 3, 5)
plano x:: y = O
.
Reta \' = 3.: = 5
/
/
plano y:: x = O
-- Remx = 2.z = 5
Plano x = 2
plano xy: ~ ~--------
,...... Origem
(0. O. O)
Plano}'=
3
•
-1
\
<....:.._
"-. Plano·~ = 5
y
(O. 3, 0)
(2. 0. 0>r-- .
y
-·
'
X
1
X
Rem x = 2. y = 3
FIGURA 12.2 Os planos x =O, y = O e z =O dividem o
espaço em oito octantes.
FIGURA 12.3 Os planos x = 2, y = 3 e z = 5
detcnninam três retas através do ponto (2. 3, 5).
cular ao eixo : possuem un1a coordenada z comu111. Para escrever equações para
esses planos, nomearnos o valor comum das coordenadas. O plano x = 2 é o plano
perpendicular ao eixo x em x = 2. O plano y = 3 é o plano perpendicular ao eixo y
e111 y= 3. O plano: = 5 é o plano perpendicular ao eixo z en1: = 5. A Figura 12.3
n1ostra os planos x = 2, J' = 3 e z = 5, co1n seu ponto de interseção (2. 3, 5).
Os planos x = 2 e y = 3 na Figura 12.3 se encontram cn1 u1na reta paralela ao
eixo z. Essa reta é descrita pelo 11ar de equações x = 2 e y = 3. Utn ponto (x, y . z) está
na reta se, e so1nente se, x = 2 e)'= 3. De maneira sen1elhante, a reta de interseção
dos planos y = 3 e z = 5 é descrita pelo par de equações y = 3, z = 5. Essa reta corre
paralela ao eixo x. A reta de interseção dos planos x = 2 e z = 5, paralela ao eixo y ,
é descrita pelo par de equações x = 2, z = 5.
Nos exemplos a seguir, associamos equações coordenadas e desigualdades com
os conjuntos de pontos que elas definem no espaço.
EXEMPLO 1
Interpretamos essas equações e desigualdades gco1nctricamente.
O se1niespaço que consiste dos pontos sobre e acima do
plano X)'.
(b) x =-3
O plano perpendicular ao eixo x e1n x =-3. Esse plano
corre paralelo ao plano yz e está 3 unidades atrás dele.
(e) : = O, x s O,,v2 0 O segundo quadrante do plano .\y .
(d) X 2: Ü. J 2: Ü.: 2: Ü O prin1eiro octante.
(e) - l < J1< I
A fatia entre os planos J' = - 1 e y = 1 (planos incluídos).
A reta na qual os planos y = - 2 e z = 2 se encontran1. De
(f) y= - 2, = = 2
maneira alternativa, a reta que passa pelo ponto (0, - 2, 2)
paralela ao eixo x.
(a) : 2: O
-- Círculo
xl
+ y2 = 4 , : = 3
/
(0.2. 3)
1
(2.
q.3) 1
1
1
: \
1 Plano
1
·- --:~ 11 : = 3
1
1
1
EXEMPLO 2
(0.2. 0)
(2, O. O) ~;t-...!..--<
y
Quais pontos P(x, y, z) satisfazen1 a equação
e
z= 3?
x 2 + y 2 = 4, <: = O
FIGURA 12.4 Circulo .f 2 + y 2 = 4 no
plano z = 3 (Exemplo 2).
Solução Os pontos estão no plano horizontal z = 3 e. nesse plano, fonna1n o círculo
x2 +y2 = 4. Chan1an1os esse conjunto de pontos de "círculo x2+ y2 = 4 no plano z = 3"
ou, mais simples1nente, "círculo x + y 2 = 4, z = 3" (Figura 12.4).
Capítulo 12 Vetores e a geometria do espaço
127
Distância e esferas no espaço
A fónnula para a distância entre dois pontos no plano xy vale tambérn para
pontos no espaço.
Adistância entre P1 (x1, y 1 , z1 ) e P2 (x2,y2 , z2) é
IP1P2l = \/(x2 - X1)
:.:
FIGURA 12.5
Encontramos a distância
entre P 1 e P2 aplicando o teorema de
Pitágoras aos triângulos retâ ngulos P 1AB
2 + (J2 - Y1 ) 2 + (.z2 - z1) 2
Prova Construhnos uma caixa retangular con1 faces paralelas aos planos coordenados e os pontos P 1 e P 2 nos cantos opostos da caixa (Figura l2.5). Se A (x 2,yi' z1) e
B(x2,y2• z 1) são os vértices da caixa indicada na figura, então as três arestas da caixa
P 1A, AB e BP2 têrn co1nprín1cntos:
e P1BP2•
Urna vez que os triângulos P1BP2 e P 1AB são retângulos, duas aplicações do teorema de Pitágoras nos dão:
IP1P212 = IP 1Bl2 2 + IBP212
e
(veja a Figura 12.5).
Sendo assi n1,
2
IP1P2l = IP1B l
2
+ IBP21 2
IP11112 + IAB l2 + IBP2l2
Suh,111u1r
f>1Hl 1 = lf>1 1 ?
IH '
- lx2 - xil 2 + IJ'2 - Yrl 2 + lz2 - z1 12
= (xi - x1) 2 + (; 2 - J11)2 + (: 2 - z1) 2
1
Portanto,
EXEMPLO 3
A distância entre P1(2, 1, 5) e P2(- 2, 3, 0) é
IP1P2I = V (-2 - 2) 2 + (3 - 1)2 +(O - 5)2
= \ /16 + 4 + 25
=
v'4s ~ 6,708 .
Podemos utilizar a fórn1ula da distância para escrever equações para esferas no
espaço (Figura 12.6). Un1 ponto P(:r, .v. z) está sobre a esfera de raio a centrada en1
P0(x0, y 0, z0) precisan1ente quando IP0PI =a ou
--
(x - xo)2 + (y - Yo)2 + <= - zo>2= a2.
P(x. ~" :)
t1 I
,,
I
Equação padrão para a esfera de raio o e centro (x0 , y0 , z0)
I
(x - xo)2 + (y - yo)2 + (z - zo)2= a2
o
EXEMPLO 4
Encontre o centro do raio da esfera
y
x1 + .r 2 + z2 + 3x - 4= + 1 = O.
X
FIGURA 12.6
Esfera de raio a centrada
no ponto (x0, y 0 , z0).
Solução Encontramos o centro e o raio de urna esfera da mesma maneira que encontramos o centro e o raio de um círculo: complete os quadrados nos termos x, )' e =
128
Cálculo
conforn1e necessário e escreva cada equação quadrática co1no uma expressão linear
ao quadrado. En1 seguida, a partir da equação Da fonna padrão, descubra o centro e
o raio. Para a esfera, temos:
x 2 + y-, + z-' + 3x - 4z + l = O
(x 2 + 3x) + y 2 + (z 2 - 4z) = - 1
2
(x2 + 3x +
(~) )
3)
( X+ 2
2
2
+ )'2 + (z2 - 4z + (-; ) ) = - 1 +
4
2
(~) + ( 24)
2
21
+ J' 2 + (= - 2) 2 = - 1 + 49 + 4 = 4·
A partir dessa forma padrão, ven1os que ·'·o =-3/2, y 0 = O, =o = 2 e a = Vii/ 2. O
centro é (- 3/2, O, 2). O raio é Vii/ 2.
EXEMPLO 5
A seguir ten1os algun1as interpretações geon1étricas de desigualdades e equações envolvendo esferas.
(a) ,\.2 +.v2 + z2 < 4
O interior da esfera .\.2 +.i/l + z2 = 4
A bola sólida delimitada pela esfera x2 + y2 + z2
= 4. Alter11ativan1ente, a esfera ,il + •v2 + z2 = 4
con1 seu interior.
O exterior da esfera x 2 + );i + z2 = 4.
O hemisfério inferior da esfera x2 + j1+z2 = 4
cortado pelo plano xy (o plano:;= 0).
(b) x 2 +y2+ z2 <4
(e) x2 +y2+z2 > 4
(d) x 2 +.v2+.:z 2 =4,:<0
Assi1n co1no as coordenadas polares nos oferecem outra forma de locaJ izar
pontos no plano X)' (Seção 11.3), eitistern sisten1as de coordenadas alternativos para
o espaço tridimensional diferentes do sisten1a de coordenadas cartesianas que desenvolve1nos aqui. Exan1inamos dois desses sistemas na Seção 15.7.
Exerácios 12.1
Interpretações geométricas de equações
Nos Exercícios 1-16, forneça uma descrição geo1nétrica do conjunto de pontos do espaço cujas coordenadas satisfazc1n os pares de
equações fornecidos.
z=O
1. x= 2 '
) •= .>~
2. x=-1,
z= O
:=O
3. y= O,
4. x= 1,
6. x2 + •v2 = 4.
7. .rl + z2 = 4,
8. .i-.2+z2= 1'
y= O
9• •t2+.v2+r= 1,
x =O
1o. x2 + y2 + z2 = 25,
== -4
11. .t2 + .v2 + (.:z + 3)2 = 25.
12. x2 + ()' -
1)2 +
13. .t2+.l,2= 4,
z1 = 4'
y=O
x=O
==o
.I' = o
z=y
14. .r2+y2 +:2 =4,
15. J' = x2.
16. : = ),2,
- 2
-- --
y= x
== o
X= 1
Interpretações geométricas de desigualdades e equações
Nos Exercícios 17-24, descreva os conjuntos de pontos no espaço
cujas coordenadas satisfazem as desigualdades ou combinações de
equações e desigualdades fornecidas.
J7. a. x2:0. y2:0. : = O b. x 2: 0, y< O. : = O
18. a. O< x s 1
e. Os x s 1,
b. 0 S X S 1,
Os y s 1, Os : s 1
19. a. .i.2 + ).2 + z2 s 1
20. a. x2 + y2 s 1.
e. x2 + y 1 s 1,
QS 1' S 1
b. x2 + .l,2 + ~ > l
z= O
:=3
nenhuma restrição par.i z
2 1. a. 1 s x2 + y 2 + ::2 s 4
b. x 2 + y2 + ::2 s 1, -> O
22. a. x= y. ==O
b. x = y . nenhun1a restrição para =
,
23. a. y>x2 , z>O
b• X -< ..lt-,
--
24. a.
== 1 - y,
- .
b. - =;.3
nenhuma restrição para z
V=')
....
. \
Nos Exercícios 25-34, descreva o conjunto fornecido com tuna única equação ou co111 um par de equações.
25. O plano perpendicular ao:
a. eixo x en1 (3, O, 0)
b. eixo y em (0, - 1, 0)
e. eixo z em (O, O. -2)
26. O plano pelo ponto (3, - 1. 2) perpendicular ao:
.
a. eixo x
b. eixo y
C. CIXO:
27. O plano pelo ponto (3, - 1. 1) paralelo ao:
b. plano yz
e. plano xz
a. plano XJ'
28. O círculo de r.iio 2 centrado e1u (0, O, 0) e posicionado sobre o:
b. plano yz
e. plano xz
a. plano X)'
Capítulo 12 Vetores e a geometria do espaço
29. O círculo de raio 2 cenirado em (0. 2. 0) e posicionado sobre o:
a. plano xy
b. plano yz
e. plano y = 2
30. O círculo de raio 1 cenirado em (- 3, 4, 1) e posicionado sobre
u111 plano paralelo ao:
a. plano xy
b. plano y=
e. plano xz
31. ;\reta pelo ponto (1, 3, - 1) paralela ao:
a. eixo x
b. eixo y
e. eixo:
32. O conjunto de pontos no espaço equidistante da origc1n e do
ponto (O, 2, 0).
33. O círculo no qual o plano que passa pelo ponro ( 1, 1. 3) perpendicuJar ao eixo ;; encontra a esfera de raio 5 centrada na
.
ongem.
3 4. O conjunto de ponios no espaço que está a 2 unidades do ponto
(0. O, 1) e. ao mesmo tcn1po. a 2 unidades do ponto (0, O, - 1).
Desigualdades para descrever conjuntos de pontos
Escreva desigualdades que descrevan1 os conjuntos nos Exercícios
35-40.
35. A fatia lilnitada pelos planos: = Oe z = 1 (planos incluídos).
36. O cubo sólido no prin1eiro octante definido pelos planos coordenados e pelos planos x = 2, y = 2 e z = 2.
37. O semiespaço que consiste nos pontos sobre o plano .xy e abaixo dele.
38. O hen1isfério superior da esfcrJ de raio 1 centrada na orige1n.
39. (a) O interior e (b) o exterior da esfera de raio 1 centrada no
ponto ( 1, 1, 1).
40. A região fechada delimitada pelas esferas de raios 1 e 2 centradas na origem. (Fechada significa que as esferas deven1 ser
incluídas. Se quiséssemos deixá-las de fora, teríamos pedido
a região aberru delimitada pelas esferas. Essa maneira é anãIoga à que usamos aberto e fechado para descrever intervalo,:
jécltado signiJica extremidades incluídas. aberto significa extrcn1idades deixadas de fora. Os conjuntos fechados incluem
fronteiras: os abertos as deixam de fora.)
Distância
Nos Exercícios 4 1-46, encontre a disiãncia entre os pontos P 1 e Pi-
129
Esferas
Encontre os centros e os raios das esferas nos Exercícios 47-50.
47. (x + 2) 2 + y 2 + (z - 2) 2 = 8
(v + ~) + (: +
2
2
48. (x - 1) +
49.
J )2 = 25
(x - V2") 2 + (y - \12) 2 + (: + \/2) 2 = 2
2
50. x2 + ( y + 31)
2
+ ( : - 31)
= 916
Encontre as equações para as esferas cujos centros e raios são fornecidos nos Exercícios 51-54.
Centro
Raio
2,
(-11' 2' _2)3
5 1. (1.
J)
52. (0. - 1.5)
53.
ví4
2
4
9
54. (O, -7, O)
7
Encontre os centros e os raios das esferas nos Exercícios 55-58.
55. x2 + .v2 + : 2 + 4x - 4: = O
56. x 2 + y 2 + z2 -6y+ 8z =O
57. 2r2 + 2y2 + 2:2 +X +y+ := 9
58. 3x2 + 3y2 + 3:2 + 2y - 2z = 9
Teoria e exemplos
59. Encontre uma fórrnula para a distância do pon10 P(x, y, z) ao:
.
.
a. ClXOX
b. eixo <I '
C. CIXO Z
60. Encontre un1a fónnula para a distância do ponto P(x. J\ :) ao:
a. plano xy
b. plano y:
e. plano x:
61. Encontre o perimetro do 1riànguJo con1 vértices A(-1, 2, 1),
B( 1, - 1. 3) e C(3. 4, 5).
62. Mostre que o ponto P(J. 1, 2) é equídisiante dos pontos
A(2, - 1, 3) e 8(4, J, 1).
63. Encontre uma equação para o conjunto de 1odos os pontos
equidistantes dos planos y = 3 e y = - 1.
4 1. P 1( 1, I, 1),
P 2(J, 3, O)
42. P 1(- l. 1. 5).
P1(2. 5, O)
64. Encontre uma equação para o conjunto de lodos os pootos
equidistantes do ponto (0, O, 2) e o plano .xy.
43. P 1( 1, 4, 5),
P 2(4, -2, 7)
65. Encontre o ponto na esfera x1 + (>· - 3)2 + (: + 5) 2 = 4 mais
44. P 1(3, 4, 5).
P 2(2. 3, 4)
45. P 1(0. O. O),
p 2(2, -2, -2)
46. P 1(5, J, - 2).
P 2(0. O. O)
12.2
próxia10 do
a. plano .,:11.
b. ponto (O, 7. -5).
66. Encontre o ponto equidistante dos pontos (0, O, 0), (O. 4, 0),
(3. O, 0) e (2. 2. 3).
Vetores
Alguns dos objetos que medinios são detenninados sin1plesniente por sua magnitude. Para registrar a massa, o comprimento ou o tempo, por exemplo, precisamos
apenas escrever um nún1ero e especificar uma unidade de medida apropriada. Precisanios de nlais inforn1ações para descrever unia força, u111 deslocan1ento ou unia
velocidade. Para descrever uma força. prccisan1os registrar a direção e o sentido na
qual ela atua, be1n como seu tan1anho. Para descrever o deslocamento de u1n corpo,
ten1os que dizer en1 qual direção e sentido ele se moveu, assi1n como a distância percorrida. Para descrever a velocidade de uni corpo, temos que saber aonde o corpo
está indo, bem como e1n qual rapidez. Nesta seção, mostraremos con10 representar
objetos que tên1 tanto n1agnitude quanto direção e sentido no plano ou espaço.
130 Cálculo
Forn1a de componente
Pomo
final
Uma quantidade como a força, o deslocan1ento ou a velocidade é denominada
um vetor e é representada por utn segmento de reta orientado (Figura 12. 7). A seta
aponta na direção e ao sentido da ação, e seu co1nprin1cnto fornece a 1nagnítude da
ação em termos de un1a unidade adequada escolhida. Por exetnplo, uni vetor força
aponta na direção e no sentido em que a força atua. e seu con1primento é urna medida
da sua intensidade: um vetor velocidade aponta na direção e sentido do movimento
e seu comprirnento é a rapidez do objeto que se move. A Figura 12.8 mostra o vetor
velocidade vem determinada posição para uma partícula n1ovendo-se por u1n percurso no plano ou no espaço. (A aplicação desses vetores será estudada no Capítulo 13.)
Ponto
FIGURA 12.7 O segmento de reta
orientado AR representa u111 vetor.
-
V
•
-
--11-----------+ x
ô
X
(a) <lua~ dimensões
-
(b) três dimen~õe~
FIGURA 12.8 O vetor velocidade de unia partícula movendo-se por un1
percurso (a) no plano (b) no espaço. A ponta da seta no percurso indica o
sentido do movimento da panícula.
.I'
B
__..
A
DEFINIÇÕES
O vetor representado pelo segrnento de reta orientado__..AB tern
ponto inicial A e ponto finaJ B, e seu comprimento é denotado por IABI. Dois
vetores são iguais se têrn o 1nesmo comprimento e a mesma direção e sentido.
D
e
p
X
o
F
E
FIGURA 12.9
As quatro setas no plano
(seg1nentos de reta orientados) mostradas
aqui possucn1 o n1cs1no co1nprirnento
e a mesina direção e sentido. Dessa
forma. elas representam
o mesmo
vetor. e
_:::...
-""'
eserevernos AB = CD = OP = EF.
~
o
Posiçüo do vetor (1'1· "2· v.J
de''º
~r
- X
~
1
: 1'1
1
As setas que utilizamos quando desenhamos vetores são compreendidas como
representando o mes1no vetor se têm o 111esmo cornprirnento, são paralelas e apontam para o n1esn10 sentido (Figura 12.9), independentemente do ponto inicial.
Nos Uvros, os vetores são geralmente escritos coln letras tninúsculas e em negrito, por exen1plo, u, v e \V. Algu1nas vezes uti lizamos letras niaiúsculas en1 negrito, como F, para denotar o vetor força. Na fom1a 1nanuscrita, é costume desenJ1ar
pequenas setas sobre as letras. por exemplo, li, v, we F.
Precisamos de urna n1aneira para representar vetores algebricamente,_aara que
possamos ser mais precisos com relação à sua dirs_ão e sentido. Seja v = PQ. Existe urn segmento de reta orientado equivalente a PQ, cujo ponto inicial é a origem
(Figura 12.1 O). Ele representa v na posição padrão e é o vetor que nonualn1ente
utilizan1os para representar v. Podernos especificá-lo escrevendo as coordenadas
de seu ponto finaJ (v" v2, v3 ) quando v está na posição padrão. Se v é um vetor no
plano. seu ponto final (v 1, v2) tern duas coordenadas.
~
~
DEFINIÇAO Se v é urn vetor bidimensional no plano igual ao vetor co1n ponto inicial na origern e ponto final (vi' v2), então a forma componente de v é:
v = (vi' 112 ).
1
•'? -... . . . - ~', ,v, .)"
~
U1n vetor PQ em posição
padrão te1n seu ponto inicial na o~e1n.
Os segmentos de reta orientados PQ
e v são paralelos e possuem o mesmo
comprin1ento.
Se v é um vetor tridin1ensional igual ao vetor corn ponto inicial na origem e
ponto final (111> v2, v3 ). então a forn1a componente de v é:
v = (v" v2• v3 ).
FIGURA 12.10
Assin1, um vetor bidirnensional é utn par ordenado v = ( v., v2} de núrneros reais, e
u1n vetor tridimensional é uma tripla ordenada v = ( v2, v3 ) de nú1neros reais. Os
núrneros v1, v2 e v3 são os componentes de v.
v.,
Capítulo 12 Vetores e a geometria do espaço
131
~
Se v = (v., v2• v3 ) é representado pelo segmento de reta orientado PQ, cm que o
ponto inicial é P~tp)' 1 • z 1) e o ponto fmal é Q(x2,y2, z2), então x 1 +v1 =x2,y1 + v2 = y 2
e z 1 + v3 = z2 (veja a ~gura 12. l O). Assin1, 11 1 = x2 - xi' v2 = y 2 - y 1 e v3 = z2 - z 1 são
os con1ponentes de PQ.
Em reswno, dados os po~s P(xp yl' =1) e Q(x2, y 2, =2), o vetor de posição
padrão v = ( v1, v2, 113 ) igual a PQ é:
V=
(x2 -XpJli -y 1• z2 -z1).
Se v é bidimensional com P(x" J' ,) e Q(x2, y 2) como pontos no plano, então
v = (x2 - x 1, y 2 - y 1). Não existe W11 terceiro componente para vetores planos.
Com essa compreensão, iremos desenvolver a álgebra de vetores tridi1nensionais e
simplesmente excluir o terceiro cotnponcntc quando o vetor for bidin1cnsional (un1
vetor plano).
Dois vetores são iguais se. e somente se, seus vetores de posição padrão foren1
idênticos. Assin1 sendo, ( 11., 112, u3) e (vi. v2, v3} são iguais se, c son1ente se, u 1=vi'
11 2 = \12 e 113 = V3·
____,.
A n1agnitude ou con1primc.nto do vetor PQ é o con1priinento de qualquer
un1a das suas representações em segmentos de reta orientados equivalentes. En1
particular. se v = (x2 -Xp)'i - J' i · z2 -=1} é o vetor de posição padrão para PQ, então
a fónnula da distância fornece a n1agnitude ou con1primento de v, denotada pelo
símbolo lvl ou Uvll.
~
~
A magnitude ou comprimento do vetor v = PQ é o número não negativo
lvl = V1•12 + v12 + 1132 = \/(x2 - x1)2 + ()'2 -y,) 2 + (z2 - z1) 2
(veja a Figura J 2. 10).
O único vetor com comprin1ento Oé o vetor nulo O= (0,0} ou O= (O, O, O).
Esse vetor ta1nbé1n é o único sen1 direção específica.
EXEMPLO 1 Encontre (a) os con1ponentes e (b) o con1pri111ento do vetor con1
ponto inicial P(-3, 4, l) e ponto final Q(- 5, 2, 2).
Solução
(a) O vetor de posição padrão v que representa PQ te1n componentes:
V 1 =x2 - X 1 = - 5 -
(- 3) = - 2,
V2 = -V2 - .Y 1 = 2 - 4 = - 2
e
~
A forma de componente de PQ é:
v = (- 2, - 2, 1).
~
(b) O comprin1ento ou magnitude de v = PQ é:
•V
lvl = v( - 2)2 + c-2>2 + (1)2 = v'9 = 3.
EXEMPLO 2 Um carrinho está sendo puxado ao longo de tuna superfície horizontal lisa com uma força F de 20 lb que fonna um ângulo de 45° con1 a superfície
(Figura 12. 1l). Qual é a força efetiva que move o carri11bo para a frente?
Solução A força efetiva é o co1nponentc horizontal de F =(a, b) fornecido por:
FIGURA 12.11 A força que puxa o
carrinho para a frente é representada pelo
vetor F, cujo componente horizontal é a
força efetiva (Exe1nplo 2).
a = 1 FI eos 45° = (20) (
Observe que F é um vetor bidimensional.
';2) ~
14, 14 lb .
132
Cálculo
Operações algébricas com vetores
Duas operações principais que envolve1n vetores são a adição de vetores e a
11111/tiplicação por escalar. U1n escalar é simples1nente un1 número real, e tem esse
nome porque quere1nos eha1nar a atenção para suas diferenças em relação aos vetores. Os escalares poden1 ser positivos, negativos ou nulos e são utilizados para
"escalar" um vetor por meio da n1ultiplicação.
DEFINIÇÕES Sejam u = ( 11" 112, 113 ) e v = (vp 112, 113) vetores com k u1n
escalar.
Adição:
Multiplicação por escalar:
u + v = ( 111+"1 • 112 + v2, 113 +v3}
ku= (J.11 1• J.1,2, k113)
Somamos vetores por meio da adição dos seus componentes correspondentes.
Multiplicamos u1n vetor por urn escalar obtendo o produto de cada uni de seus con1pooentes pelo escalar. As definições se aplican1 a vetores planos, e a exceção surge
quando há somente dois componentes, ( 11 1. u2) e ( 11 1• 112).
A definição de adição de vetores é ilustrada geo1netrica1nente para vetores planos na Figura J2. l 2a, em que o ponto inicial de un1 vetor é colocado no ponto final
do outro. Outra interpretação é exibida na Figura 12. l 2b (chamada de lei do paralelogramo da adição), em que a soma, denominada vetor resuJtantc, é a diagonal
do paralelogramo. Na física , as forças são so1nadas vetoriahnente, assim co1no as
vel.ocidades, as acelerações etc. Portanto, a força que atua sobre uma partícula sujeita a duas forças gravitacionais, por exen1plo, é obtida por meio da soma dos dois
vetores de força.
y
--I
I
I
----'
"1
'"
•
(b)
(a)
FIGURA 12.12 (a) Interpretação geométrica da son1a de vetores. (b) Regra do
paralelogramo de adição de vetores.
A Figura 12.13 apresenta uma interpretação geométrica do produto 1..-u do escalar k
e do vetor u. Se k > O, então 1.-u tem o 1nesmo sentido de u; se k < O, então o sentido
de J.-u é oposto ao sentido de u. Comparando os comprimentos de u e ku, vemos que:
ikul
V (ku1)2 + ( J.112) 2 + (ku3)2 = Vk 2(u r2 + 1122 + 1132 )
Wvu , +
2
FIGURA 12.13
Múltiplos escalares de u.
2
11 2
+ 11 32 = lkl lul.
O compri1nento de ku é o valor absoluto do escalar k vezes o compri1nento de u. O
vetor (- 1)u = - u possui o n1esn10 cornprimento que u, 1nas aponta para o sentido
oposto.
A diferença u - v de dois vetores é definida por:
li -
V= U
+ (- v) .
Se u = (u1, 112 • u3 } e v = (v" v2, 113 } , então:
u - v = ( 11 1 - 11 1, u 2 - v2 , u3 - 113 ) .
Capítulo 12
Vetores e a geometria do espaço
133
Observe que (u - v) + v = u, então a so1na do vetor (u - v) e v dá u (Figura
12. 14a). A Figura l 2. l4b rnostra a diferença u - v corno a sorna u + (- v).
V
EXEMPLO 3
Sejam u = (-1, 3. L} e v = (4, 7. O}. Encontre os componentes de:
u
(a) 2u + 3v
(a)
(b) li - V
(e)
21 u .
Solução
(a) 2u + 3v = 2(- 1,3,1 }+ 3(4.7.0}=(- 2.6, 2}+ ( 12,21.0}=( 10,27.2}
(b) u - v =(- 1,3, l )-(4, 7, 0}=(-J - 4, 3 - 7, l - 0}=(-5,-4, l}
(e)
-v
~ u = (- ~· ~·~) = )(- ~)2 + (~)2 + (~)2 = ~Vil.
As operações com vetores têm muitas das propriedades da aritmética comum.
Propriedades de operações com vetores
(b)
FIGURA 12.14 (a) O \letor u - v, quando
somado a v, fornece u. (b) u - v = u + (- v).
Sejam u, v. ~· vetores e a e b escalares.
1. u + v = v+ u
6. lu = u
2. (u + v) + ,v = u + (v + ,v)
7. a(bu) = (ab)u
3. u + o= u
8. a (u + v) = a u + av
9. (a + b)u = au + bu
4. u + (- u)= O
5. Ou = O
Essas propriedades podem ser prontamente verificadas utilizando as definições
de adição de vetores e multiplicação por urn escalar. Por exemplo, para estabelecermos a Propriedade 1, temos:
u + v = (u1 , u2, 113) + (v1, 1·2. 113)
= (u1 + v,. u2 + vi , L/3 + 113)
= ( \11 + Ui, V2 + 112, \13 + 113}
= (vi, 112, v3) + (t11 , L12, 113)
= "
+ u.
Quando três ou n1ais vetores no espaço estão no n1es1no plano. dizemos que se trata de vetores coplanares. Por excn1plo, os vetores u. v e u + v são sernprc coplanares.
Vetores unitários
Um vetor v de con1prin1ento 1 é charnado de um vetor unitário. Os vetores
unitários padrão são:
i = ( l, O, O},
j =(O, l, O}
e
k =( O, O, L}.
Qualquer vetor v = ( v1, ''i• v3 ) pode ser escrito con10 uma con1bi11ação linear dos
vetores unitários padrão, conforme segue:
v = (111 , 112. v3) = (v1, O, O) + (O, v2. O} + (O, O. 113)
= 111 ( 1, 0, 0} + 112(0.1,0) + v3(0, 0, l}
Chamamos o escalar (ou número) v 1 de con1ponente i do vetor v; v2 é o com1>onente j ; e 113 é o con1ponente k. Na forn1a componente, o vetor P 1(x., y 1, z1) a
P2Cx2• Y2· Z2) é:
X
~
P1P2 = (x2 - .x1)i + (.v2 - J1 1)j + (=2 - z1)k
_..
FIGURA 12.15 O \letor de P 1 a P2 é P1P2 =
(Xz - X1)Í + lv2 - yl )j + (Zz - .!1 )k.
(Figura 12.15).
134
Cálculo
Sen1pre que v * O, seu co1npri rnento lvl não é zero e:
1
1
!vi v = lvl lvl = 1.
Ou seja, v/lvl é um vetor unitário na direção de v, charnado de versor do vetor não
nulo v.
EXEMPLO 4
Encontre um vetor unitário u na direção de ? 1(1, O, 1) a P 2(3. 2, 0).
-
Solução Dividirnos P 1P 2 por seu co1nprin1ento:
.......
P 1P2 = (3 - 1)i + (2 - O)j + (O -
J )k =
2i + 2j - k
IP-;1>21 = V(2)2 + (2) 2 + (- 1) 2 = V4 + 4 + 1 = v'9 = 3
u=
-
O vetor unitário u é o versor de P1P2 •
EXEMPLO 5 Se v = 3i - 4j é um vetor de velocidade, expresse v como um produto
de sua rapidez vezes um vetor unitário no sentido do n10vin1ento.
Solução
A rapidez é a n1agni1ude (comprimento) de v:
!vi= V(3)2 + <- 4)2 = v'9 + 16 = s.
BIOGRAFIA HISTÓRICA
O vetor unitário v/lvl tem o n1esrno sentido de v:
Hermaon Grassmaon
( 1809-1877)
V
31 - 4j
1V1
5
Portanto,
4·
v = 3i. - J
/
( ompr11ncnto
1'chi\:111.ak)
·)
/ 5 (3
5 .• - 54 J·
~
...,.
J
Sc1111do do
1110\ 101clll••
Em resumo, podemos expressar qualquer vetor v que não seja nulo em termos de
duas caracteristicas importantes, cornprimento e versor, escrevendo v =
1v l IvV I .
Se v :F O, então:
I: I é um vetor unjtârio na direção e sentido de v;
2. a equação v = lv l I: I expressa v corno seu con1primento vezes seu versor.
l.
EXEMPLO 6 Unia força de 6 N é aplicada na direção do vetor v = 2i + 2j - k.
Expresse a força F corno um produto de sua rnagnitude e versor.
Solução O vetor de força possui n1agnitude 6 e versor I: I' portanto:
2i + 2j - k
F =6-=6
= 6---lvl
v 22 + 22 + (- 1)2
3
v
=
2 i + 2j - k
6(l.3 i + l.3 j - l.3 k).
Capítulo 12
Vetores e a geometria do espaço
135
Ponto médio de um segmento de reta
Os vetores são frequentemente úteis na geometria. Por exe1nplo, as coordenadas do ponto médio de u1n segmento de reta são encontradas tirando-se a 1nédia.
O ponto 01édio A.f do segmento de reta que une os pontos P 1(x., Yp :: 1) e
P2(x2, .v2, ::2) é o ponto:
x1 + x2 Y1 + Y2 z1 + z2)
(
2 '
2 '
2
.
Para saber por quê, observe (Figura 12.16) que:
~
1
~
l ~
~
OJ'vl = OP1 + 2 (P1P2) = OP1 + 2 (OP2 - OP1)
__::a.
__::a.
1 __..
__..
= 2 (OP1 + OP2)
o
FIGURA 12.16 As coordenadas do ponto
1nédio são as 1nédias das coordenadas de
P 1 e P2 .
-
EXEMPLO 7
X1
+ X2 1•
2
+
) '•
=·
+ =2
J +
2
k.
+ Y2 .
2
O ponto 1nédio do segmento que une P 1(3, - 2, 0) e P2(7. 4, 4) é:
(3 ;7 -22+ 4,0;4)= (5, l , 2).
Aplicações
Uma aplicação de vetores importante ocorre na navegação.
N
EXEMPLO 8
V
U + V
500
---u
Um avião de passageiros, voando para leste a 500 mi/h sem vento,
encontra um vento de popa de 70 mi/h atuando no sentido 60° norte de leste. O
avião n1anté1n-se seguindo rumo a leste, mas, por causa do vento. adquire uma rapidez e1n relação ao solo e uma direção novas. Quais são elas?
'
E
NÃO Al'KESl!NTADO l:.M ESCALA
FIGURA 12.17 Verores que representam
as velocidades do avião u e o vento de
cauda v no Exetnplo 8.
Solução Se u =a velocidade do avião sozinho e v =a velocidade do vento de popa,
então lul = 500 e lvl = 70 (Figura 12. 17). A velocidade do avião em relação ao solo
é fornecida pela n1agnitude e pela direção e sentido do vetor resultante u + v. Se o
eixo x positivo representar o leste e o eixo y positivo representar o norte, então os
co111ponentcs de u e v serão:
u = (500, O)
e
v = (70 cos 60°, 70 sen 60°) = (35, 35VJ).
Portanto.
li
+ V = (535, 35YJ) = 535i + 35YJ j
lu + v i = V535 2 + (35v'3)2 i:::: 538.4
e
- 6 5º
() = tg -1 35VJ
535 - . .
l'igur;i 12 17
A nova rapidez do avião em relação ao solo é de aproximada111ente 538,4 rni/h, e sua
nova direção é 6,5° norte de leste.
Outra apljcação iinportantc ocorre na física e na engenharia, quando diversas
forças estão aluando sobre um único objeto.
136 Cálculo
EXEMPLO 9 Un1 peso de 75 N é suspenso por dois fios, conforme demonstrado
na Fit:.11.1ra l 2. l 8a. Encontre as forças F1 e F2 que agem en1 a1nbos os fios.
Sotuçio Os vetores de força F 1 e F2 possuem magnitudes IF il e IF21 e co1nponentes
111ensurados em newtons. A força resultante é a soma F 1 + F 2 e deve ser igual e111
n1agnitude e atuar no sentido oposto (ou para eiina) ao vetor de peso w (veja a Figura l 2. l 8b). Segue. a partir da figura. que:
75
(a)
F 1= (-JF il cos 55º, IF il sen 55°)
e
F 2 = (IF21 cos 40º, IF21 sen 40°).
Uma vez que F 1+ F 2 =(O. 75}, o vetor resultante nos leva ao sistema de equações:
- IFiJcos55º + IF21 cos40º = O
IFd sen55º + IF21 sen40º = 75.
Resolvendo para IF,I a prirneira equação e substituindo o resultado na segunda
equação. temos:
-
1
l
IFJ!cos55º
1F2 I = cos 40°
w =(O. - 75)
IFiJsen 55° +
IF " cos 55º
sen 40° = 75.
cos 400
Segue que:
( b)
FIGURA 12.18
Exemplo 9.
e
75
:::::: 57,67 N
sen 55° + cos 55° tg 40°
IF1I =
Peso suspenso no
e
I
F
21
_
-
75cos55º
sen 55° cos 40º + cos 55º sen 40º
75 cos 55°
sen(55º + 40°) :::::: 43 •18 N.
Os vetores de força são, então, F 1=(-33,08;47,24) e F2 = (33,08; 27,76}.
Exerácios 12.2
Vetores no plano
Nos Exercícios 1-8, sejam u = (3. - 2) e v = (-2, 5). Encontre (a)
a forma de componente c (b) a magnitude (co1nprimen10) do vetor.
J. 3u
5. 2u - 3v
2. - 2v
6. - 2u + 5v
3
4
7. S U + S V
3. U + V
5
12
8. - 13" U + TI" V
4. U - \ '
Nos Exercícios 9-16, encontre a fon11a con1ponente do vetor.
16. O vetor unitá.rio obtido com a rotação do ve1or ( 1, O) de 135°
no sentido an ti-horário en1 tomo da origetn.
Vetores no espaço
Nos Exercícios 17-22. expn.'SSc cada vetor na fonua v = v 1i + v2j + v3k.
-"
17. P 1P1. seP 1 foro ponto (5. 7, - l)e P2 o ponto(2, 9. - 2).
-
18. P1P2, se P 1 for o ponto (1 , 2, O) e P2 o ponto (- 3. O. 5).
_,,
-
19. AB, se A for o ponto (- 7. - 8, l) e B o ponto (- 1O. 8, 1).
20. AB. se A for o ponto ( 1, O, 3) e B o ponto (-1, 4, 5).
21. 5u - v,se u =( I, 1, l ) ev =(2, 0,3}.
9. O vetor PQ. en1 que P= (l , 3) e Q = (2, - 1).
22. - 2u + 3v.se u = (-J, 0.2) ev= ( l, l , I).
1O. O vetor OP. ern que O é a origem e Pé o ponto n1édio do segmento RS, com R = (2, - 1) e S = (-4, 3).
1.1. O vetor a partir do ponto A = (2, 3) até a origem.
Representações geométricas
~
-
--
12. A sonta de AB e CD, en1 que A = (1. - 1). B= (2, 0). C = (- 1, 3)
eD = (- 2, 2).
Nos Exercicios 23 e 24. concatene os vetores u. v e \V conforme
necessário para esboçar o vetor indicado.
23.
13. O vetor unitário que fonna un1 ângulo 8 = 27T/3 com o eixo x
positivo.
14. O vetor unitário que forma uni ângulo (;) = - 37T/4 com o eixo
x positivo.
15. O vetor unitário obtido com a rotação do vetor (O, 1) de 120°
no senlido anti-horário em torno da origen1.
V
a. u + v
b. U+ V+ \ \1
e. u - v
d. U - \ V
Capítulo 12 Vetores e a geometria do espaço
P2 (2.3,4)
37. P1 (3, 4, 5)
38. P 1 (0, O, 0)
24.
13 7
----
Pz (2, - 2. - 2)
39. Se AB = i + 4j - 2k e 8 é o ponto (5, 1. 3). encontre A.
40. Se AB =-1i + 3j + 8k e A é o ponto (-2. -3, 6), encontre B.
Teoria e aplicações
u
Combinação linear Sejan1 u =2i + j , v = i + j e \\' = i - j .
Encontre escalares a e b, 1a is que u = av + lnv.
42. Combinação linear Sejam u = i - 2j. v = 2i + 3j e " '= i + j .
Escreva u = u 1 + ul, en1 que u 1 é paralelo a v e u2 é paralelo a " ·
(Veja o Exercício 41.)
43. Velocidade Um avião está voando na direção 25º oeste de
norte a 800 kln/h. Encontre a forn1a co1nponente da velocidade do avião, considerando que o eixo x positivo representa
o sentido leste e o eixo y positivo representa o sentido norte.
44. (Continuação do Exe111plo 8.) Qual velocidade e direção o
avião no Exe1nplo 8 deve ter para que o vetor resultante seja
500 mi/h sentido leste?
45. Considere um peso de 100 N suspenso por dois fios. conforn1c
mostrado na figura a seguir. Encontre as 111agnitudes e componentes dos vetores de força F 1 e F 2•
41.
a. u - v
e. 2u - v
b. U - V + \V
d . U + V + \V
Comprimento eversor
Nos Exercicios 25-30. expresse cada vetor eon10 urn produto de seu
comprimento e versor.
25. 2i + j - 2k
1 k
26. 9i - 2j + 6k
V6
27. 5k
30.
i
v3
+
j
+ k
v3 v3
31. Encontre os vetores cujos comprimentos e versares são fon1ecidos. Tente fazer o cálculo sem escrever.
Compri111cnto
a. 2
b. V3
1
c. 2
Versor
.
1
-k
46. Considere um peso de 50 N suspenso por dois fios, conforme
n1ostra a figura a seguir. Se a magnitude do vetor F 1 é 35 N,
encontre o ângulo a e a magnitude do vetor F2 .
1 j + ik
5
5
2 . +3
-6 1. - -1
- k
7
7
7
d. 7
too
32. Encontre os vetores cujos comprimentos e vcrsores são fon1c-
cidos. Tente fazer o cálculo seo1 escrever.
Comprirnento
Versor
50
~l.
7
-j
b.
Vi
_l i _ i k
5
e. 13
12
47. Considere um peso de w N suspenso por dois fios, conforme
mostra a figur.i a seguir. Se a magnitude do vetor F, é 100 N,
•
encontre o ângulo 11· e a magnitude do vetor F1•
5
l... i - ..i. j - .!l k
13
13
1 •+
d. a>O
13
1 •
l
Vi ' v3J - \/6
k
33. Encontre uni vetor de magnitude 7 na direção e no sentido de
v = 12i 5k.
34. Encontre un1 vetor de 1nagnitude 3 no sentido oposto ao de v
= (1/2)i - ( l/2)j - ( 1/2)k.
Versor e pontos médios
40°
48. Considere um peso de 25 N suspenso por dois fios, conforo1e
n1ostra a figura a seguir. Se as magnitudcs dos vetores F 1 e F2
são a1nbas 75 N, então os ângulos a e f3 são iguais. Encontre a.
Nos Exercícios 35-38 encontre:
~
a. o versor de P1P2 e
b. o ponto médio do segn1ento de reta P 1 P2•
35. p i (- 1, 1, 5)
36. p i (1. 4, 5)
P2 (2, 5, 0)
P2 (4. -2. 7)
25
138
Cálculo
49. Localização Um pássaro voa do seu ninho 5 km na direção
60º norte de leste, e pousa cn1 un1a árvore para descansar. E1n
seguida, ele voa 1Okm na direção sudeste e pousa em um poste telefônico. Estabeleça um sistc1na de coordenadas xy de tal
n1aneira que a origem seja o ninho do pássaro. o eixo x aponte
para o leste e o eixo y aponte para o norte.
a. Em que ponto está localizada a árvore'?
b. Em que ponto está localizado o poste telefônico?
50. Utilize triângulos sen1elhantes para encontrar as coordenadas do
ponto Q que divide o segmento de P1(x 1,y" =1) a P2(x2, y 2, z2)
em dois comprimentos cuja razão seja p/q = r.
SI. l\'ledianas de Ulll triângulo Suponha que A. 8 c e scjarn os
vértices da placa triangular fina de densidade constante mostrada a seguir.
a. Encontre o vetor de C ao ponto médio M do lado AB.
b. Encontre o vetor de C ao ponto que está localizado a dois
terços do ca1ninho enu-e C e M na n1ediana CM.
e. Encontre as coordenadas do ponto no qual as medianas do
M BC se cruzam. De acordo com o Exercício 17, Seção 6.6,
esse ponto é o centro de massa da placa.
52. Encontre o vetor con1 ponto inicial na origem e ponto final na
interseção das 1nedianas do rriângulo cujos vértices são:
A( l, - 1.2).
8(2.1.3) e C(- 1.2. - 1).
53. SejaABCD um quadrilátero qualquer, não necessarian1ente pla-
no, no espaço. Mostre que os dois segmentos que ligam os pontos n1édios dos lados opostos de ABCD se cortam ao meio. (Sugestão: n1ostrc que os segmentos tê1u o mesmo pooto médio.)
54. Vetores são desenhados a partir do centro de um polígono regular de 11 lados no plano até os vértices do poligono. Mostre
que a soma dos vetores é zero. (Sugestão: o que acontece com
a son1a se girarmos o polígono ao redor de seu centro?)
55. Suponha que A, B e C seja1n os vértices de urn triângulo e que
a, b e e sejan1. respectiva1nente, os pontos médios dos lados
opostos. !Vlostre que Ao + Bh + Cc = O.
56. Vetores unitários no plano Mostre que um vetor unitário no
plano pode ser representado por u = (cos 8)i + (seu 6)j , obtido
co1n a rotação de i de um ângulo 8 no sentido anti-horário.
Explique por que essa fon11a nos fon1ece todos os vetores unitários no plano.
~
~
~
C(t. 1.3)
•c.m.
)'
8(1,3.0)
X
A(4, 2. O)
12.3
Produto escalar
V
Cornpri 111cn10 = 11' I cos O
FIGURA 12.19
A 111agnitude da força F na
direção do vetor v é o co1npri1nento IFJcos 9
da projeção de F' en1 v.
Se uma força F é aplicada a uma particula que se move ao longo de uma trajetória, precisamos frequentemente conhecer a 1nagnitude da força na direção do
movu11ento. Se v é paralelo à reta tangente à trajetória no ponto ern que F é aplicada, então queremos a magnjtude de F na djrcção de v. A Figura 12. 19 mostra que a
quantidade escalar que procuramos é o co1npriroe11to IFI cos e, em que e é o ângulo
entre os dois vetores F e v.
Nesta seção. 1nostraremos corno calcular de maneira fácil o ângulo entre dois vetores diretamente a partir de seus componentes. Utna parte importante do cálculo é a
expressão ehan1ada de produto escalar. Os produtos escalares tan1bén1 denominados
produtos internos são assim chamados porque o produto resulta em un1 escalar, e não
en1 um vetor. Depois de investigarmos o produto escalar, nós o aplicaren1os para encontrar a projeção de u111 vetor c1n outro (conforme exibido na Figura 12.19) e para descobrir o trabalho realizado por wna força constante que atua durante um deslocamento.
Ângulo entre vetores
V
FIGURA 12.20
Ângulo entre u e v.
Quando dois vetores não nulos u e v são colocados de tal modo que seus pontos
iniciais coincidam, eles formam um ângulo ede 111edida Os 8 s '1T (Figura 12.20). Se
os vetores não estão ao longo da 1nesma reta, o ângulo Oé medido no plano que contém
os dois. Se eles estivere1n sobre a mesn1a reta, o ângulo entre eles é Ono caso de ambos
apontare111 no mesrno sentido, e '1T se apontarem crn sentidos opostos. O ângulo e é o
ângulo entre u e v. O Teoren1a l fornece u111a fórmula para dctenninar esse ângulo.
Capítulo 12
Vetores e a geometria do espaço
139
TEOREMA 1 - Ângulo entre dois vetores O ângulo e entre dois vetores
não nulos u =(ui' 112, 113 ) e v = (1111 v2,113 ) é fornecido por:
_ -I(UI
l
0-
COS
111
+ 112112 + 1131'3)
1U
li V 1
.
Antes de provar o Teorema 1, focaliza1nos nossa atenção na expressão 11 1v 1 +
u2v2 + u3v3 no cálculo de O. Essa expressão é a son1a dos produtos dos con1ponentes
correspondentes para os vetores u e v.
OEFINIÇÀO O produto escalar u · v ("u escalar v") dos vetores u = (up u2 • u3)
e V= (v1, 112, v3) é:
'
EXEMPLO l
(a) ( J,-2,- l ) · (-6,2,-3) = ( J)(-6) + (-2)(2) + (- 1)(-3)
=-6- 4+3= -7
(b)
(±i
+
3j + k ) · (4i - j + 2k ) = (±) (4) + (3)(- 1) + ( 1)(2) = 1
O produto escalar de un1 par de vetores bidi1nensionais é definido de 1naneira sen1elhante:
( 111' 112 ). (vi' v2 ) = 11 1v1 + 11 2112.
Vcrc1nos no restante do livro que o produto escalar é un1a ferramenta-chave para
n1uitos cálculos físicos e geométricos i1npo11antes no espaço (e no plano), e não
somente para encontrar o ângulo entre dois vetores.
Aplicando a lei dos cossenos (Equação 8, Seção l.3) ao triângulo
da Figura 12.21 , encontramos:
Prova do Teorema 1
1\V1 2 ::; 1U 12 + 1V12 - 2 IU 11 V1 COS {)
u
2 IU 11V 1 COS 0 = 1U 12 + 1V 12 -
l l l Llil>- CO"~ClllS
0
2
l\V 1 .
Urna vez que \V = u - v, a forn1a con1ponente de \V é (u 1- 111, u2 - v2, u3 - 1'3). Portanto:
lul2 = (v'1112 + U 22 + 1132)2 = 11 12 + 11 22 + 1132
lvl2 = ( v'11i2 + v22 + 1132 ) 2 = 11 i2 + 1122 + 1132
l'vl2 = (v'cu, - 11,) 2 + (112 - 112)2 + (113 - 113)2 ) 2
FIGURA 12.21 Lei do paralelogran10 de
adição de vetores nos dá \V = u - v.
= (u, - 111)2 + (u1 - v2) 2 + ( u 3 - 113)2
2
= 11 1 - 2u1v1 + 111
2
+ u 22 - 2 112112 + 1122 + 11 32 - 2u3v3 + 1132
e
Então:
2luJJvl cos8 = JuJ2 + lvl2 - Jlv j2 = 2(u1 v1 + 112r2 + u3v3)
1U 11 V 1 COS 0 = 11 I li [ + 112 112 + 113 \13
1111'1+112112 + !13\13
cos 8 = - - - - - - 1ui lvl
140
Cálculo
Unia vez que Os 8 < 7T, ternos:
- -1 (Ili +1 11 1+
Ll21'2
l'J
f:) -
COS
U
ll3 V3 )
V
.
Na notação do produto escalar, o ângulo entre dois vetores u e v é:
9 = cos- 1 ( ; · : ).
1 11 1
EXEMPLO 2
Solução
Encontre o ângulo entre u = i - 2j - 2k e v = 6i + 3j + 2k.
Utilizamos a fórmula acÍlna:
u ·v = (1)(6) + (-2)(3) + (-2)(2) = 6 - 6 - 4 = -4
1u 1 =
v'(1)2 + (- 2)2 + (- 2)2 = V9 = 3
!vi = V(6) 2 + (3)2 + <2>2 = v'49 = 1
1
1
O = cos- ( I; · : I) = cos-
11
(c3)~)) ~ 1,76 radiano.
A fórmula do ângulo tan1bén1 se aplica a vetores bidimensionais.
EXEMPLO 3 Encontre o ângulo 8 no triângulo ABC determinado pelos vértices
A = (O, O), B = (3, 5) e C = (5, 2) (Figura 12.22).
.l'
8(3, 5)
__,.
__,.
Solução O ângulo 9 é o ângulo entre os vetores CA e CB. As fonnas coJnponentcs
C(5. 2)
desses dois vetores são:
__..
__,.
CA = (-5. - 2)
e
CB = (-2, 3) .
Primeiro calcula1nos o produto escalar e as magoitudes desses dois vetores.
FIGURA 12.22 Triângulo no Exemplo 3.
__,.
__,.
CA · CB = (- 5)( - 2) + (- 2)(3) = 4
2
ICÂ I = v c-s>2 + <-2>
= V29
1Câ1 = v c-2>2 + (3)2 = Vl3
Então. aplica11do a fórmula do ângulo, te1nos:
:::::: 78, lo
ou
1,36 radiano.
Vetores perpendiculares (ortogonais)
Dois vetores nào nulos u e v são perpendiculares ou ortogonais se o àngulo
entre eles é 7T/2. Para tais vetores, temos u · v = O porque cos (Tr/2) = O. A recíproca
também é verdadeira. Se u e v são vetores não nuJos com u · v = lul !vi cos O= O,
então cos () = Oe f:J = cos- 1O= 7T/ 2.
Capítulo 12 Vetores e a geometria do espaço
141
- Os vetores u e v são ortogonais (ou perpendiculares) se, e
OEFINIÇAO
son1ente se, u · v = O.
EXEMPLO 4
Para detenninar se dois vetores são ortogonais, calcule seu produto
escalar.
(a) u = (3, - 2) e v = (4. 6) são ortogonais porque u · v = (3)(4) + (- 2)(6) = O.
(b) u = 3 i - 2j + k e v = 2j + 4 k são ortogonais porque u · v = (3)(0) + (- 2)(2) +
(1)(4) = 0.
(e} Oé ortogonal para todo vetor u , uma vez que:
O· u = {O. O, O} · (ui. ui . 113)
= (O)(u1) + (0)(112) + (0)(113)
= O.
Propriedades do produto escalar e projeções ortogonais
O produto escalar obedece a n1uitas das leis que valem para os produtos co-
muns de oú1neros reais (escalares).
Propriedades do produto escalar
Se u, v e w fore1n quaisquer vetores e e for um escalar, então:
BIOORAFIA lllSTÓRlCA
-
4.
2. (cu ) · v = u · (cv) =c(u · v)
S. O· u = O
3.
Carl Friedrich Gauss
( 1777-1855)
u · u= lul2
1. o ·v = v· u
U · (v + \V) = U º V + U º ~\'
As propriedades são faciln1en te provadas ao se utilizar
a definição. Por exernplo, aqui estão as provas das Propriedades 1 e 3.
Provas das Propriedades 1 e 3
Q
V
p
R
s
= 111 v1 + 111 iv1 + 112 v2 + u 2 1v2 + u 3 1•3 + u 3 11·3
V
p
s
Agora retornaremos ao proble1na da projeção de um vetor em outro, proposto
__,.
no inicio desta seção. A projeção
ortogonal de u = PQ em um vetor não nulo v = PS
_,.
(Figura 12.23) é o vetor PR, detern1inado ao se baixar urna perpendicular de Q até
a reta PS. A notação para esse vetor é:
~
FIGURA 12.23
Projeção ortogonal de
u em v.
projvu
V
FIGURA 12.24 Se puxam1os a caixa co1n
força u, a força eficaz que n1ove a caixa para
a frente na direção v é a projeção de u en1 v.
("a projeção ortogonal do vetor u em v" ).
Se u representa uma força, então proj,. u representa a força eficaz na direção de v
(Figura 12.24).
Se o ângulo 9 entre u e v é agudo. proj" u tc1n con1prin1cnto lnl cos (} e versor
v/lvl (Figura 12.25). Se Oé obtuso, eos fJ < O e proj,, u te1n con1prin1cnto - lol cos Oe
versor - v/lvl. Em ambos os casos:
142
Cálculo
proj, u = Cl u l cose)
:
1 1
u ·v ) v
( lv l lv l
U
•V
)
( lv l2
u I'
"º' "
u •'
1\ 1
\
V.
1
1
1
1
1
o
1
1
1
proj, u
proj, u
~
Co1nprin1cnto = lul cos (J
V
Co1nprimento = -lul cos O
(a)
FIGURA 12.25
(b)
O co1nprin1ento de proj, u é (a) lul cos Osecos () ;:::O e (b) -juj cos 8
secos O< O.
O número Jul cos fJ é chamado de componente escalar de u na direção de v (ou de
u em v). Em resumo:
A projeção ortogonal de u em v é o vetor
.
(U
lv•V)
l2 v.
prOJ, u =
(1)
O componente escalar de u na djreção v é o escalar:
1 U 1 COS 8 =
U ·V
V
1
1
V
= U • fvT·
(2)
Observe que tanto a projeção ortogonal de u ern v quanto o componente escalar de u
em v dependem somente do versor do vetor v. e não de seu comprimento (un1a vez
que n1ultiplican1os escalannente u com v/lvl, que é o versor de v).
Encontre a projeção ortogonal de u = 6i + 3j + 2k ern v = i - 2j - 2k
e o componente escalar de u na direção de v.
EXEMPLO 5
Solução Encontra111os proj,, u a partir da Equação 1:
.
u ·v
6 - 6 - 4 ..
proj,. u = V. V V = 1 + 4 + 4 (1 - 2J - 2k)
4
-ª-
-ª-
= _ i (i - 2j - 2k) = i + j + k
9
9
9
9 .
Encontra111os o cornponente escalar de u na direção de ,, a partir da Equação 2:
(li_
l u l cos9 = u · lvv l = (6i + 3j + 2k ) · 3
l_ j _ l_ k )
3
3
4
= 2 - 2 - 34 =- 3.
As Equações 1 e 2 tarnbém se aplicam a vetores bidin1ensionais. Dernonstrare1nos
essa afinnação no próximo exe1nplo.
Capítulo 12 Vetores e a geometria do espaço
143
EXEMPLO 6 Encontre a projeção ortogonal de un1a força F = Si + 2j em v = i - 3j
e o con1ponente escalar de F na direção de v.
Solução A projeção ortogonal é
proj, F = (
~,: 1~ )v
6 (º1 - 3")
= 5J = - -1 (º1 - 3")
J
1+9
10
1 .+ 3 .
IõJ·
= -lõ l
O con1ponente escalar de F na direção de v é:
F·v
5 - 6
1
1 F 1 cos O =
I J = • r;--:-;: = - • r.-;:. .
V
V 1+ 9
V 10
Utn cálculo de rotina (veja o Exercício 29) verifica que o vetor u - projv u é
ortogonal à projeção proj" u (que possui a n1esn1a direção de v). Portanto, a equação:
u = projv u + {u - projv u) =
( 1uV1·~)v + ( u - ( u·1V1;)v)
-
expressa u corno urna son1a de vetores ortogonais.
Trabalho
-----~
p
D
Q
IFIcos o
FIGURA 12.26 Trabalho realizado
por un1a força consrante F durante urn
deslocamento D é (IFI cos O)IDI, que é o
produto escalar F · O.
No Capítulo 6, calculamos o trabalho realizado por un1a força constante de
n1agnitude F ao mover tun objeto ao longo de uma distância d coroo W = Fel. Essa
fóm1ula é verdadeira somente se a força for direcionada ao longo da reta de 01ovi__..
n1ento. Se unla força F n1ovendo um objeto ao longo de um deslocarncnto D = PQ
te1n algu1na outra direção, o trabalho é realizado pelo componente de F na direção
de D. Se 9 é o ângulo entre F e D (Figura 12.26), então:
componente escalar de
Trabalho = ( na direção de 0
F)(compnn1cnto
. de
D)
- ( JF cos 8) JDJ
J
F · D.
DEFINIÇÃO O trabalho __..
realizado por uma força constante F agindo através
de u1n deslocamento D = PQ é:
W = F · D.
j
EXEMPLO 7 Se IFI= 40 N (newtons), IDI = 3 n1 e (J = 60°. o trabalho realizado por
F atuando de P a Q é:
Trabalho = F ·D
lklini~·ão
= 1F 11 D 1 cos 9
= (40)(3 ) cos 60°
= ( 120)( 1/ 2) = 60 J {joules).
Encontraremos proble1nas 1nais desafiadores sobre trabalho no Capítulo 16,
quando aprenderernos a encontrar o trabaU10 realizado por uma força variável ao
longo de un1a trajetória no espaço.
144
Cálculo
Exercícios 12.3
Produtos escalares e projeções ortogonais
b. Os vetores unitários são construídos a partir de cossenos diretores Mostre que, se v = a i + bj + ck é uni vetor
unitário, então a. b e e são os cossenos direiores de v.
16. Construção de tubulação de água Unia tubulação de água
será construída com uni desnível de 20% na direção norte e um
desnível de 10% na direção leste. Ociem1ine o ângulo (J necessário na tubulação de água para o co1ovelo de norte para leste.
Nos Exercícios 1-8, encontre:
a. v · o, jvf, !ui;
b. o cosseno do ângulo entre v e u:
e. o componente escalar de u na direção de v;
d. o vetor projv u.
1. V = 2i - 4j + Vsk,
2. V= (3/S)i + (4/S)k.
= - 2i + 4j - Vsk
U
u = Si + l 2j
j
3. v = IOi + llj - 2k,
u =3j +4k
4. V= 2i + 1Oj - 11 k,
u = 2i + 2j + k
5. v =5j - 3k,
u= i+ j + k
6. V = - j + j .
VÍi + v3j + 2k
u = 2í + W j
Les1c
, ··b-------------'
U =
7. \' = Si + j .
8. \' = (
~· ~)' u
= \
~· ~)
Teoria e exemplos
-
17. Somas e diferenças Na figura a seguir parece que v 1 + v2 e
Angulos
entre vetores
U = 2i
+ j,
V= j
+ 2j - k
10. u = 2i - 2j + k .
v =3i + 4k
11. U = v3i - 7j .
V =
12.
U =
i + VÍj -
v2 são ortogonais. É mera coincidência ou exis1em circunstâncias nas quais podemos esperar que a soma de dois vetores seja ortogonal à sua diferença? Justifique sua resposta.
\' 1 -
1i1 Encon1rc os ângulos entre os vetores nos Exercícios 9-12 corn precisão de centésimo de radiano.
9.
1
1
fo-1/,(}
v3i + j - 2k
VÍk.
V =
- j
+j +k
13. Triângulo
Encontre as medidas dos ângulos do triângulo
cujos vértices são A= (-1, O), B = (2, l) e C = ( 1, -2).
Encontre as medidas dos ângulos entre as diagonais do retângulo cujos vértices são A = ( 1, 0). B = (O. 3),
14. Retângulo
C=(3, 4) e D = (4. 1).
J 5. Ângulos diretores e cossenos diretores Os lingulos diretores a, f3 e 'Y de um vetor v = ui + bj + c k são definidos da
seguinte forma:
a é o ângulo entre v e o eixo x positivo (0 s a s 1T)
f3 é o ângulo entre v e o eixo y posi1ivo (0 s f3 s 7T).
'Y é o ângulo entre v e o eixo;: positivo (0 < y < 1T).
18. Ortogonalidade em um círculo Suponha que AB seja o diâmetro de um circulo com centro O e que C seja um ponto sobre
_,.
--
A
X
a. Mostre que
a
N'
h
cos /3 = 1vi
COS')' =
_ ,.__ _ _+ 18
-u
u
19. Diagonais de uni losango
\'
•
cosa=
-
um dos dois arcos que unem A e 8. Mos1re que CA c CB são
ortogonais.
He
e cos2 cr + cos1 f3 + cos 2 'Y = 1. Esses cossenos são chan1ados cossenos diretores de v.
o
Mostre que as diagonais de um
losango (paralelogran10 con1 lados de co1nprín1ento igua1) são
perpendiculares.
20. Diagonais perpendiculares Mostre que os quadrados são os
únicos retângulos corn diagonais perpendiculares.
21. Quando paralelogramos são retângulos Prove que uni paralelogramo é u1n retângulo se, e son1en1e se, suas diagonais são
iguais cm comprimento. (Esse fa10 é explorado com frequência por carpinteiros.)
Capítulo 12 Vetores e a geometria do espaço
22. Diagonal do paralelogramo
Mostre que a diagonal indicada no paralelogran10 determinado pelos vetores u e v é a
bissetriz do ângulo en1re u e v se lul = lvl.
------V
145
32. lteta paralela a um vetor Mostre que o vetor v = ai + bj
é paralelo à reta bx ay =e, estabelecendo que o coeficiente
angular do seg1nento de reta representando v é o 111es1110 que o
coeficiente angular da reta dada.
Nos Exercícios 33-36. utilize o resultado do Exercício 31 para encontrar uma equação para a reta que passa por P perpendicularn1ente a v. E1n seguida. esboce a reta. Inclua vem seu esboço corno u111
ve1or iniciando na orige111.
23. Movimento de un1 projétil
Urna anna corn velocidade de
saida de 1.200 pés/s é disparada a un1 ângulo de 8º acima
da borizontal. Encontre os componentes horizontal e vertical da
velocidade.
24. Plano inclinado Suponha que uma caixa esteja sendo carregada sobre um plano inclinado, conforme mostra a figura.
Encontre a força '" necessária pa.ra fazer que o componente da
força paralela ao plano inclinado seja igual a 2.5 lb.
33. P(2, 1),
V=
i + 2j
34. P(- 1,2),
v =-2i - j
35. P(- 2, - 7), v = - 2i + j
36. P(I l , 10), v =2i -3j
Nos Exercícios 37-40. utilize o resultado do Exercício 32 para encontrar uma equação para a reta que passa por P paralelamente a v.
E111 seguida. esboce a reta. Inclua v cm seu csboÇo con10 11111 1·e1or
i11icia11do 11a orige111.
\I'
37. P(-2, 1).
38. P(O, 2),
V =
i- j
39. P(l,2),
2i + 3j
v = -i -2j
40. P( 1, 3),
v = 3i - 2j
15°
V=
Trabalho
25. a. Desigualdade de Caucby-Sc h\vart.1; Uma vez que u · v =
lul lvl cos 8. mostre que a desigualdade lu · vi :S iul lvl é
verdadeira para quaisquer vetores u e v.
b. Sob quais circunstâncias, se existircrn. lu ·vi é igual a lul lvl'?
Justifique sua resposta.
26. Copie os eixos e o vetor n1ostrados aqui. Ern seguida, so111breie os pontos (.r, y) para os quais (xi + yj ) · v :S O. Justifique
sua resposta.
,.
-----~----+ X
o
27. Vetores unitários ortogonais Se u 1e u2 são vetores unitários
ortogonais e v = au 1+ bu2 , encontre v · u 1.
28. Cancelarnento en1 produtos escalares Na tnultiplicação de
números reais, se 11111 = uv2 e11 :F O. podemos cancelar 11 e concluir que v1= v2• A rnesma regra se aplica ao produto escalar?
Isto é, se u · v 1= u · ,,2 e u :F O, poden1os concluir que v1= v2?
Justifique sua resposra.
29. Utilizando a definição da projeção ortogonal de u en1 '" 111osrre por meio de cálculo direto que (u - proj, u) · projv u = O.
30. Uma força F = 2i + j - 3k é aplicada a tuna espaçonave com
vetor velocidade v = 3i - j . Expresse F como a son1a de un1 ve1or
paralelo a v e wn vetor ortogonal a v.
41. TrabaJho ao longo de uma reta
Encontre o trabalho realizado
porunl<l força F = 5i(magnitude 5 N)ao mover um objc1oao longo
da reta a partir da origem até o ponto (1, 1) (distância cm rnctros).
42. Locon1otiva A loco1no1iva Big Boy da Union Pacific podia
puxar trens de 6.000 1oncladas com un1 esforço de tração de
602.148 N (135.375 lb). Nesse nível de força. aproximadamente
quanto trabalho a Big Bo..v realizou na jornada de 605 km (en1
linha reta) de São Francisco a Los Angeles?
43. Plano inclinado Quan10 trabalho é necessário para deslizar
um engradado 20 rn ao longo de um cais, puxando-o com uma
força de 200 N em um ângulo de 30° a partir da horizontal'?
44. Barco a \!ela O vento passando sobre a vela de um barco
exerce u1na força F' de magnitude de 1.000 lb, confom1e mostrado aqui. Quanto trabalho é realiz.1do pelo vento para mover
o barco para a frente 1 n1ilha? Dê a resposta em pés-libras.
- - - - - Força de
magnitude
1.000 lb
F
~
Angulos entre retas no plano
O ângulo agudo entre retas que se intersectan1 e que não cruzam
em ângulos retos é o mesmo que o ângulo determinado por vetores
nonnais às retas ou por vetores paralelos às retas.
,_ ,
•
Equações para retas no plano
3 1. Reta perpendicular a um vetor Mostre que o vetor v =ai
+ bj é perpendicular à reta <Lr + by = e. estabelecendo que o
coeficiente angular do vetor v é o recíproco negativo do coeficieo1c angular da reta dada.
146
Cálculo
Utilize esse fato e os resuhados do Exercício 31 ou 32 para encontrar os ângulos agudos entre as retas nos Exercícios 45-50.
45. 3x +y= 5, 2x -y= 4
46. y =
V3x - J' = - 2, X - YJy = l
48. X + YJy = 1.
(J -
YJ)x + ( 1 + v3)y = 8
49. 3x - 4y=3, x - y = 7
VJx - 1, y = - v'3x + 2
12.4
47.
50. 12x + 5y= 1, 2x - 2.1'=3
Produto vetorial
No estudo de retas no plano, quando precisávan1os descrever con10 tuna reta
estava inclinada, utilizávamos as noções de coeficiente angular e ângulo de inclinação. No espaço, quere1nos uma maneira de descrever corno un1 plano está inclinado.
Conseguimos tal descrição por tneio da n1ultipLicação de dois vetores no plano para
chegar a u1n terceiro vetor perpendicular ao plano. A direção desse terceiro vetor
nos diz a "inclinação" do plano. O produto que utilizamos para multiplicar os vetores é o produto vetorial ou cruzado, o segundo dos dois n1étodos de 1nultiplicaçào
de vetores. Esn1daremos o produto vetorial nesta seção.
Produto vetorial de dois vetores no espaço
u x v
Começamos com dois vetores não nulos u e v no espaço. Se u e v não são paralelos, eles detem1inan1 um plano. Seleciona1nos uni vetor unitário n perpendicular
ao plano pela regra da mão direita. Isso significa que escolhen1os n como sendo
o vetor unitário (nonnal) que aponta no 1nesmo sentido que nosso polegar direito
quando os dedos se fecha1n através do ângulo () de u a v (Figura 12.27). Então o
produto vetorial u X v ("u vetorial v") é o ve1or definido a seguir.
DEFINIÇÃO
FIGURA 12.27 Construção de u >< v.
u X v = (Jul Jvl sen 0) n
Diferente do produto escalar, o produto vetorial é un1 ve1or. Por esse motivo ele é chan1ado de produto vetorial de u e v e se aplica so111en1e a vetores no espaço. O vetor
u X v é ortogonal tanto a u quanto a v, porque é um múltiplo escalar de n.
Exjste uma forma direta de calcular o produto vetorial de dois vetores a partir
de seus componentes. O n1étodo não exige que saibamos o ângulo entre eles (conforme sugerido pela definição), mas adjamos esse cálculo momentanean1eote, de
fonna que possamos nos focar primeiro nas propriedades do produto vetorial.
Uma vez que os senos de O e 7T são ambos zero, faz sentido definir o produto
vetorial de dois vetores paralelos não nulos como O. Se u, v ou ambos foren1 zero,
também definimos u X v con10 zero. Dessa maneira, o produto vetorial de dois vetores
u e v será zero se, e so1nente se, u e v fore1n paralelos ou um deles ou an1bos foren1 zero.
Vetores paralelos
Os vetores não nulos u e v são paralelos se, e somente se, u X v = O.
O produto vetorial obedece às regras a seguir.
Propriedades do produto vetorial
Se u, v e \V foren1 quaisquer vetores e r e s foren1 esca lares, então:
J. (ru)X(sv)=(rs)(u X v)
4. (v + ,v)X u = v X u + w X u
2. u X {v + \V) = u X V+ u X \\'
5. 0 X u = 0
3. v X u =-(u X v)
6. u X(v X w)=(u · \v)v - (u ·v)\v
Capítulo 12 Vetores e a geometria do espaço
,.
-n
vxu
FIGURA 12.28
Cons1rução de v X u.
-- k =
/
147
Para visualizarmos a Propriedade 3, por exernplo, notan1os que, quando os dedos da nossa n1ão direita se fechatn através do ângulo O de v a u, nosso polegar
aponta para o sentido oposto; o vetor unitário que escolhemos ao formar v X u é o
negativo daquele que escolhemos ao forn1ar u X v (Figura 12.28).
A Propriedade 1 pode ser verificada aplicando-se a definição de produto vetorial a ambos os lados da equação e comparando-se os resultados. A Propriedade 2 é
provada no Apêndice 8. A Propriedade 4 segue pela n1ultiplicação de an1bos os lados da equação na Propriedade 2 por - 1 e inversão da ordem dos produtos, utilizando a Propriedade 3. A Propriedade 5 é uma definição. Como regra, a n1tiltiplicação
do produto vetorial 11ão é associativa, porque (o X v) X ,,. geralmente não é igual a
u X (v X w). (Veja o Exercício A.dicional 17.)
Quando aplica1nos a definição para calcular os produtos vetoriais de i. j e k
dois a dois, encontramos (Figura 12.29):
i X j = - (j X i)
i X j = -(j X i) = k
j X k = -(k X j ) = i
.
-J
j = k X i = -(i X k)
k X i = - (i X k ) = j
i
Diagrama para lembrar
desses produtos
e
-k
i X i = j Xj = k X k = O
X
1 = j X k = - (k X j )
1u X v 1é a área de um paralelogramo
Produtos vetoriais de i, j e
FIGURA 12.29
k dois a dois.
'
Area
= bnsc · ulturn
= lul · l'•l!scn OI
= lu xvl
\
Como o é um vetor unitário, a magnitude de u X v é:
1
1 u X v 1= 1u 11 v 11 sen 8 11 o 1= 1 u 11 v 1sen O.
Essa é a área do paralelogramo detenninado por u e v (Figura 12.30), sendo !ui a
base do paralelogramo e lvl lsen OJ a altura.
1
1
1
1/r= lvllsenOI
1
1
1
u
FIGURA 12.30 Paralelogra1no
deLenninado por u e v.
Fórmula do determinante para u x v
Nosso próxi1no objetivo é calcular u X v a partir dos componentes de u e ,,
relativos ao sisten1a de coordenadas cartesianas.
Suponha que:
u = u 1i + u 2j + u3k
v = v1i + v 2j + v3k .
e
Então as leis distributivas e as regras para 1nulliplicação de i, j e k nos dizem que:
u X V = (u 1i + 112j + 113k ) X (vi i + v2 j + v3 k )
= u1v1 i X i + 111v2i X j + 111113 i X k
+ 112V1 j X i + 112 112 j X j + 112 113 j X k
+ 113 111 k X i + 113 112 k X j + 113 113 k X k
= ( 112113 - 113v2) i - (111113 - u 3 v1) j + ( u 1112 -
u2v1) k.
Os termos componentes na últi1na linha são difíceis de ser lembrados. 1nas eles
são os mesn1os que os tc1mos na expansão do determinante sitnbóljco:
i
j
k
"•
112
113
VJ
112
113
Portanto, reescrevemos o cálculo nessa forma fácil de ser le1nbrada.
148
Cálculo
~rm.inantes
1 0~ detertninantes 2 X 2 e 3 X 3 são
Cálculo do produto vetorial como um determinante
Se u = 11 1i + 112j + u3k e v = v1i + v2j + v3k, então:
avaliados conforme segue:
: ~I
=
ad - bc
u X v =
EXEMPLO
2
-4
= (2)(3) - ( 1)(-4)
.>
= 6 + 4 = 10
e,
c2
02
111
ui
113
111
vi
v3
3
1
3
Encontre o X v e vX u se u = 2i + j + k e v = -4i + 3j + k.
b2 b3
= ª' C2
C3
1
J
•
k
2
1
1
-4
3
1
•
CJ
u X v =
b1 b3
e,
EXEMPLO 1
C3
+ a3
b,
b2
Ct
c2
1
3
1.
1 1
V X u = -(u X v) = 2i + 6j -
1
3
1
+ ( 1)
2
1
1
- 4
= -5( 1 - 3) - 3(2 + 4 )
+ 1(6 + 4)
= 10 - 18 + 10 = 2
3
= (-5)
1
2
1
- (3) - 4
2
1
-4
1
j +
2
1
-4
3
k
= - 2i - 6.i + lOk
EXE MPLO
2
- 4
k
Solução
(13
ª'b, b2 b3
-5
j
~
ª2
-
i
IOk
EX.EM PLO 2
Encontre um vetor perpendicular ao plano de P( 1. - 1. O). Q(2, 1, - 1)
e R(- 1, 1, 2) (Figura 12.31 ).
- .......
Solução O vetor PQ X PR é perpendicular ao plano porque é perpendicular a an1bos
os vetores. En1 termos de con1ponentes:
_....
PQ = (2 - 1)i + ( 1 + 1)j + (- 1 - O)k = i + 2j - k
_...
(Para n1ais infonnações. consulte o endereço
na \veb, em inglês: \VW\V.aw.cornfthornas.)
PR = (-1 - l )i + ( 1 + 1)j + (2 - O)k = -2i + 2j + 2k
•
.......
1
_....
PQ X PR =
1
-2
•
J
2
2
k
-1
2
2
2
- 1 .
2
1 -
l
-2
-1
1
·+ - 2
2J
= 6i + 6k.
EXEMPLO 3 Encontre a área do triângulo con1 vértices P(l , - 1, O), Q(2, 1, - 1) e
R(- 1, 1, 2) (Figura 12.31).
R(- 1. t .2}
So.t11ção A área do paralelogramo delerminado por P. Q e R é:
....... _....
\aiores tio E\cnipk> 2
IPQ X PRI = l6i + 6k l
= v (6) 2 + (6) 2 =
~ = 6V2.
P( l. - 1.0)
A área do triângulo é a metade desta, ou 3 \/2.
Q(2. l. - l)
- -
O vetor PQ X PR é
perpendicular ao plano do triángulo PQR
(Exemplo 2). A área do triângulo PQR é
metade de IPQ X PRI (Exemplo 3).
FlGURA 12.31
~
EXEMPLO 4 Encontre un1 vetor unitário perpendicular ao plano de P( 1, - 1, 0),
Q(2, 1,-1) e R(- 1, 1, 2).
~
~
Urna vez que PQ X PR é perpendicular ao plano. sua direção n é u1n vetor
unitário perpendicular ao plano. Tomando os valores dos Exemplos 2 e 3. ten1os:
Solução
_...
~
n =
_....
PQ X PR
6i + 6k
1 .
1
1
IPQ X PRI = 6\/2 = \/2 + V2 k.
Para facilitar o cálculo do produto vetorial utilizando determinantes, nonnaln1ente
escrevemos os vetores no formato v = 11 1i + v2j + v3k e1n vez de escrevê-los como
triplas ordenadas v = ( •'p v2, v3} .
Capítulo 12 Vetores e a geometria do espaço
Torque
Torque
0
'\
7
7'
Quando giramos u1n parafi.1so aplicando uma força F a urna chave inglesa (FigLtra 12.32). produzi1nos u1n Iorque que faz o parafi.1so girar. O vetor torque aponta na
direção do eixo do parafuso, de acordo con1 a regra da mão direita (de fonna que a
rotação acontece em sentido anti-horMio quando visualizada a partir da pont.:1 do vetor).
A 1nagnitudc do Iorque depende da distância na chave inglesa cm que a força é aplicada
e do quanto de força é perpendicular à chave no ponto de aplicação. O nú1nero que
utilizrunos para 1nedir a 1nagnitude do Iorque é o produto do co1nprimento do braço da
alavanca r e do componente escalar F perpendicular a r . Na notação da Figura 12.32:
Con1poncntc de F
perpendicular a r .
Seu comprimento é............_
Magnitude do vetor torquc = lrl IFI sen (),
F
IFlsenO.
FIGURA 12.32 O vetor torque descreve
a tendência da força F para conduzir o
parafuso para a frente.
Barra d.: 3
p
149
é~
Q
Força de
1nagni1ude
201b
ou Ir X FI. Se n é um vetor unitário ao longo do eixo do parafuso na direção do torque, então u1na descrição completa do vetor Iorque é r X F, ou:
Vetor torque = (irl IFI sen O) n.
Len1bre-se de que definimos u X v corno Oquando u e v são paralelos. lsso também
é consistente co1n a interpretação do torque. Se a força F na Figura 12.32 é paralela
à chave inglesa, o que significa que estamos tentando girar o parafuso empurrando
ou puxando ao longo da reta do cabo da chave inglesa, o torque produzido é zero.
EXt:MPLO 5 A 1nagnitude do torque gerado pela força F no ponto pivô P na Figura 12.33 é:
......
__.
IPQ X FI
FJGURA 12.33 A rnagnirude do torque
exercido por F e111 P é de cerca de
56.4 pés-lb (Exemplo 5). A barra gira
cm sentido anti-horário ao redor de P.
IPQI IFI scn70º
~ (3)(20)(0,94)
~ 56,4 pés-lb.
Nesse exen1plo, o vetor torque está apontando para fora da página en1 sua direção.
Produto escalar triplo ou produto misto
'" é
O produto (u X v) ·
chamado de produto escalar triplo ou produto misto
de u, v e ,,. (nessa ordem). Co1no pode ser visto co1n a fóm1ula:
i(u X v) · \VI= lu X vi l'vl icos OI.
o valor absoluto desse produto é o volume do paralelepípedo (caixa com lados em
forma de paralelogramos) detenI1u1ado por u. v e 'v (Figura 12.34). O nún1ero iu X vi
é a área da base do paralelogramo. O n(m1ero l' vl lcos 81 é a altura do paralelepípedo.
uxv
-----T
lwl icos
w
Altura =
OI (}
Área da base
- - - - = lux vl
u
Volume = área da base· altura
= iu X vf lwJ lcos OJ
= j(u X v) ·
FIGURA 12.34
wf
O número l(u X v) · \VI é o volume de um paralelepípedo.
Tratando os planos de v e \V e de l V e u con10 os planos da base do paralelepípedo detenninado por u, " e \V, ven1os que:
(u X v). \V= (v X " '). u ={\V X u). V.
150
Cálculo
~calar e o vetorial podem ser trocados
1 ~a~ um produto n1isto sen1 alterar seu
Con10 o produto escalar é con1utativo, ta1nbé1n temos:
(u X v). \V = u . (v X \V).
valor.
O produto n1isto pode ser calculado como um detcm1inante:
( u X V ) • \V = [ 112
1/3
Vz
V3
u2
113
Vz
V3
= W1
i -
U3
li 1
l' I
-
~112
ll1
l/2
l/3
Vt
vi
V3
~, , ,
1112
l\13
j +
V3
1/1
113
"'
1'3
111
Uz
1•1
112
k].
\V
+ 11!3 111
111
Cálculo do produto misto como um determinante
( U X V) • \V =
Vt
11'1
1'1'2
IV3
EXEMPLO 6
Encontre o volu1ne da caixa (paralelepípedo) determinado por
U = Í + 2j - J<. V = - 2i + 3 k e \V = 7j - 4 k.
Solução
Utilizando a regra para o cálculo de determinantes, encontramos:
{u X v) ·\V =
J
- 2
o
2
O
7
- J
3
-4
= - 23.
O volun1e é l<u X v) · 'vi= 23 unidades cúbicas.
Exerácios 12.4
Cálculos de produto vetorial
Triângulos no espaço
Nos Exercícios 1-8, encontre o comprimen10 e a direção (quando
definida) de li X v e " X a .
Nos Exercícios 15- 18:
a. Encontre a área do triângulo determinado pelos pontos P.
Qe R.
b. Encontre u1n vetor unit.írio perpendicular ao plano PQR.
1. u = 2i - 2j - k, " = i - k
2. u = 2i + Jj . ,, = - i + j
3. u = 2i 2j + 4 k, v = i + j
2k
4. U = i + j - 14 V = 0
5. u = 2i, ,, = 3j
6. U = i X j. V = j X k
i
j + k.
Q(2. O. - 1).
R(O, 2. 1)
16. P(l , 1, 1).
Q(2, 1. 3).
17. P(2. - 2. 1).
Q(3. - 1. 2),
R(3, - 1, 1)
18. P(- 2, 2, 0).
Q(O, 1,-1),
R(- 1, 2,-2)
R(3. - 1, 1)
Produtos mistos
7. u = - 8i - 2j - 4k, v = 2i + 2j + k
8. u = ~ i -
15. P(l ,-1, 2).
" = i + j + 2k
Nos Exercícios 9-14, esboce os eixos das coordenadas e inclua os
vetores li , v e u X v como vetores co1n inicio na origcn1.
Nos Exercícios 19-22. verifique que ( u X v) · \ V = (v X \V) • u =
(\\' x u) · v e encontre o volun1c do paralelepípedo (caixa) dctcm1inado por u, v e \V.
u
19. 2i
"
\V
2j
2k
9. u = 1. v = J
12. u = 2i - j, V = Í + 2j
20. í - j + k
2i + j - 2k
- i + 2j - k
1
o. u = i - k. v = j
13. u = í + j . v = i• - J•
21. 2i + j
2i - j + k
i + 2k
11. u = i - k, v = j + k
14. u = j + 2k, v = 1
22. i + j - 2k
- i - k
2i + 4j - 2k
Capítulo 12 Vetores e a geometria do espaço
Teoria e exemplos
23. Vetores paralelos e perpendiculares
Seja1n u = 5i - j + k.
v = j - 5k, " ' = - 1Si + 3j - 3k. Quais vetores, se é que existe111,
são (a) perpendiculares'? (b) Paralelos? Justifique suas respostas.
24. Vetores paralelos e perpendiculares Sejan1 li = i + 2j - k,
v = - i + j + k, \V = i + k, r = - (7T/2)i - 7Tj + (rr/2)k, Quais vetores, se é que existen1. são (a) perpendiculares? (b) Paralelos?
Justifique suas respostas.
e. U111 vetor ortogonal a u X v e u X '"·
f . Um vetor de comprimento lul na direção de v.
30. Compute (i X j) X j e i X (j X j). O que se pode concluir sobre
a associatividade do produto vetorial?
31. Sejam u. ,, e \V vetores. Quais dos itens a segtúr fazem sentido
e quais não fazem? Justifique suas respostas.
a. (u X v) · \V
b. u X (v · \V)
e. u X (v X \\')
d. u · (\" \V)
32. Produto vetorial de três vetores
-
Nos Exercícios 25 e 26, encontre a n1agnitude do torque exercido por
F sobre o parafuso en1 P se IPQI = 8 pol. e IFI = 30 libras. Resposta
em pés/libras.
25.
151
26.
Mostre que, exceto cm casos degenerados, (o X v) X " ' está no plano de n e v, enquanto
u X (v X \V) estâ no plano de v e \V. Quais são os casos degenerados?
33. Cancela1nento em produtos vetoriais Se u X v = u X " ' e
n '# O. então v = \V? Justifique sua resposta.
34. Cancelamento duplo Se u * Oe u X v = u x ,,. e u · v = u · \V,
então v = \v? Justifique sua resposta.
Área de um paralelogramo
27. Quais das igualdades a seguir são sernpre verdadeiras. e quais
ne111 se111pre s<io verdadeiras? Justifique sua resposta.
Encontre a área dos paralelogramos cujos vértices são dados nos
Exercícios 35-40.
35. A( 1, O).
8(0, 1),
C(- 1, 0),
D(O. - 1)
a. J u J = ~
e. u X O= OX u = O
36. A(O, O),
8(7,3),
C(9. 8),
D(2, 5)
b. u · li = iul
e. u X v = v x u
d. u X (-a)= O
37. A(- 1, 2),
8(2, 0),
C(7, 1),
D(4, 3)
f.
C(3, 1). D(-4, 5)
39. A(O, O, 0), 8(3, 2, 4). C(5, 1, 4), D(2 , - 1. O)
40. A( 1. O. - 1). B( l, 7. 2). C(2. 4, - 1), D(O. 3. 2)
38. A(-6. 0).
U X (v + \V)= u X V+ U X \\'
g. (u Xv)· v = O
h . (u X v). \V = u . (v X \V)
28. Quais das igualdades a seguir são se111pre verdadeiras? Quais
111?111 se111pre são ve1dc1deiras? Justifique sua resposta.
3. U · V = \ ' · li
b. u X v =-(v X u)
e. (- u)Xv = - (u X v)
d. (cu)· v = u · (cv) = c(u · v) (qualquer número e)
e. c( u X v) =(cu) X v = u X (cv) (qualquer nú1nero e)
8(1,-4),
•
Area
de um triângulo
Encontre a área dos triângulos cujos vértices sào dados nos Exercícios 41-47.
8(-2, 3),
C(3. 1)
42. A( 1, - 1),
8(3. 3),
C(2, 1)
43. A(- 5, 3).
B( 1, - 2),
C(6, -2)
44. A(-6, O).
B( 10, - 5),
41. A(O. 0),
r. u . o = iui2
45. A( 1, O. 0),
C(-2, 4)
8(0. 2, 0), C(O, O, - 1)
g. (u X u) · u = O
h. (u X v) · u = v · (u X v)
46. A(O, O, 0),
8(- 1, 1. - 1),
C(3, O, 3)
47. A( I. 1, 1).
8(0. 1, 1).
C(I. 0, - 1)
29. Dados os vetores não nulos u. v e ''" utilize as notações do
produto escalar e do produto vetorial. confonne apropriado.
para descrever o seguinte:
a. A projeção ortogonal de o em v.
b. Um vetor onogonal a u e v.
e. Um vetor ortogonal a u X v c \V.
d. O volume do paralelepípedo determinado por u, v e \V .
12.5
48. Enco111re o volwne de um paralelepípedo se quatro dentre seus
oito vcrticcs são A(O, O, 0). 8( 1, 2, 0). C(O. - 3. 2) e D(3. -4, 5).
49. ,\ rca do triângulo Encontre uma fórmula para a ãrea do
triângulo no plano ·'J' con1 vêrticcs cm (O, 0), (a 1• a 2) e (bi. b2).
Explique seu trabalho.
50. Área do triângulo Encontre uma fórmula concisa para a área de
um triângulo no plano ~V cotn vértices (u 1, a 2). (b1, b2) e (e1• c 2).
Retas e planos no espaço
Esta seção nos mostra como utilizar produtos escalares e vetoriais para escrever
equações para retas, seg111cntos de reta e planos no espaço. [reinos utilizar essas
representações ao longo de todo o restante do livro.
Retas e segmentos de reta no espaço
No plano, un1a reta é dctcrn1inada por u1n ponto e u1n nú1nero que fornece o
coeficiente angular da reta. No espaço, un1a reta é dctcnnjnada por u1n ponto e uJn
vetor que fornece a direção da reta.
152
Cálculo
•
Suponha que l seja uma reta no espaço que passa por un1 ponto P0(x0, .v0• z0)
paralelo a u1n vetor v ......!' 1i + vi,j + 113k, Então L é o cot\junto de tod~ os pontos
P(x, .F· z) para os quais P0 Pé paralelo a v (Figura 12.35). Sendo assi1n. P0 P = 1v para
algum parâ1nctro escalar t. O valor de t depende da locali.zação do ponto
_.. P ao longo da
reta. e o domínio de t é (-oo. oo). A forina expandida da equação PoP = tv é:
V
(x - x0 )i + (y - _110 )j + (z - z0 )k = t(v 1i + v2j + v3 k),
.v
que pode ser reescrita como
xi + yj + : k = x0i + ytJ + : 0 k + t(v1i + v2j + v3 k).
FIGURA 12.35 Um ponto P está e1n l
passando por P0 paralelo a " se, e somente
se, P0 P é um múltiplo escalar de"·
~
(1)
Se r (t) é o vetor de posição de um ponto P(x,_y. z) na reta e r 0 é o vetor posição
do ponto P0(x0• .l'o· : 0). então a Equação 1 fornece a seguinte forma vetorial para a
equação de uma reta no espaço.
Equação vetorial para uma reta
Un1a equação vetorial para a reta L que passa por P 0(,i:0,y0 • z0 ), paralela a v, é:
r (t) = r 0 + rv,
-00< 1<00,
(2)
e1n que r é o vetor posição de un1 ponto P(x, y , z) sobre L e r0 é o vetor posição
de Po<xo· Yo· =o).
Ao igualarmos os componentes correspondentes dos dois lados da Equação 1,
teremos três equações escalares que envo.lven1 o parân1etro t:
x = x0 + rv.,
y=y0 + 1112,
z = z0 +fl13.
Essas equações fornece1n a para1netrização padrão da reta para o intervalo de parâmetro -oo < / < oo.
Equações paramétricas para uma reta
A parametrização padrão da reta que passa por P0(x0 • y 0, zo). paralela a
v = v1i + v2j + v3k , é:
-oo< t <oo
y = )ºo+ IV2,
(3)
-
EXEMPLO 1 Encontre equações paramétricas para a reta que passa por (- 2, O, 4),
paralela a v = 2i + 4j - 2k (Figura 12.36).
\.Poc-2.0. 4)
Solução Com P0 (x0 ,_v0 , =
0 ) igual a (- 2, O, 4) e 1 1i + v2j + v3 k igual a 2i + 4j - 2 k,. as
\'
4 _
1
\-t=O
2
Equações 3 tornam-se:
x = - 2 + 21,
''•'º· r
4. 2)
y = 4t,
: = 4 - 2/.
::--... , =
EXEMPLO 2
Encontre equações para1nétricas para a reta que passa por P(- 3, 2, -3)
cQ(l, - 1, 4).
V = 2i + 4j -
2k
Solução O vetor:
\
AGURA 12.36 Pontos selecionados e
valores de parâJnetrO na reta no Exemplo 1.
As setas n1ostram a direção de t crescente.
__..
PQ = ( 1 - (- 3 ))i + ( - 1 - 2)j + (4 - (- 3))k
= 4i - 3j + 7k
é paralelo à reta, e as Equações 3 com (x0, y 0 , : 0) = (- 3, 2, - 3) fornecem:
x= - 3+41,
y=2 - 3r,
z= - 3 + 1r.
Poderían1os ter escollúdo Q( 1, - l, - 4) con10 o ·'ponto base·· e escrito:
x = l + 4t,
y=- l - 3t.
z = 4 + 11.
Essas equações nos servem tão be1n quanto a primeira: elas simplesmente nos posicionam e1n u1n ponto diferente da reta para determinado valor de t.
Cap11ulo 12 Vetores e a geometria do espaço
153
Note que as parrunetrizações não são únicas. Não so1nente o "ponto base·• pode
n1udar, 111as tan1bém o parân1etro. As equaçõesx =-3 + 4t3, y= 2- 3t3 e z =-3 + 7t3
ta1nbém para1netriza1n a reta do Exemplo 2.
Para paratnetrizar um segmento de reta que une dois pontos, primeiro parrunetriza1nos a reta que passa pelos pontos. Em seguida, encontran1os valores de / para
as extre1nidades e restringi1nos t ao intervalo fechado li1nitado por esses valores. As
equações da reta com essa restrição adicional parametrizam o seg1nento.
EXEMPLO 3 Paran1etrize o segmento de reta que liga os pontos P(- 3, 2, - 3) e
Q( 1. - 1. 4) (Figura 12.3 7).
Q( l. - 1.4)
Solução Con1eçrunos con1 equações para a reta que passa1n por P e Q, to1nando-as,
nesse caso, do Exe1nplo 2:
y=2 - 3t,
x= - 3 + 4t,
z= - 3+71.
Observamos que o ponto:
~
'\. r=O
(x. y , z) = (- 3 + 4t, 2 - 3t, - 3 + 71)
J'
P(-3. 2. - 3)
FIGURA 12.37 O Exemplo 3 deriva u1na
parametrização do segmento de reta PQ. A
seta n1ostra a direção de t crescente.
na reta passa por P(- 3, 2, - 3) e1n t = Oe Q( 1, - 1, 4) em t = 1. Adicionamos a restrição O< t :::;: 1 para parametrizar o segmento:
x =-3 + 41 •
y= 2 - 31,
z =-3 + 7t,
O< t < 1.
A forma vetorial (Equação 2) para wna reta no espaço é rnais reveladora se pensarmos crn unia reta como a trajetória de unia partícula partindo da posição P0(x0 , y 0 , :o)
e n1ovendo-se na direção e no sentido do vetor v. Reescrevendo a Equação 2, te1nos:
r(t) = ro + '''
V
=
/
ro + tl vl Ff
(4)
/ Rapidez
\"' D1rct;.10
Pt»1o;üo Tcmp•>
•nic;al
En1 outras palavras, a posição de unia partícula no instante t é sua posição inicial
mais sua distância percorrida (rapidez X tempo) na direção v/jvl de seu 1novimento
em linha reta.
EXEMPLO 4 Um helicóptero voará diretan1ente de um heliponto na origen1 em
direção ao ponto ( l, 1, 1) a uma velocidade de 60 pés/segundo. Qual é a posição do
helicóptero depois de 1O segundos?
Solução C0Joca1nos a origeu1 na posição iojcial (heliponto) do helicóptero. Então,
o vetor unitário:
fornece a direção de voo do helicóptero. A partir da Equação 4, a posição do helicóptero em qualquer instante t é:
r (t) = r 0 + t(rapidez)u
= o + 1(60)(
.hi+ ~j + ~ k)
= 20VJt( i + j + k).
Quando r = 1Osegundos,
r{LO) = 200VJ (i + j + k)
= \ 200\!3. 200\!3, 200\!3) .
154 Cálculo
Depois de 1Osegundos de voo a partir da ori~m en1 direção a ( 1, 1, 1), o helicóptero está localizado no ponto (200\/3, 200\/3, 200VJ) no espaço. Ele percorreu
u1na distância de (60pés/segundo)(10 segundos) = 600 pés, que é o co1nprin1ento
do vetor r( LO).
Distância entre um ponto e uma reta no espaço
Para encontrar a distância entre um ponto Se un1a reta que passa por um ponto
____,.
P paralelo ao vetor v, eocontra1nos o valor absoluto do co1nponente escalar de PS
na d.ireção de um vetor normal à reta (Figura 12.38). Na notação da figura, o valor
~
~
absoluto do componente escalar é IPSI sen 6, que é
IPS X vi
.
1V1
s
Distância entre um ponto Se uma reta que passa ~or P paralela a v
1
l.Psl sco o
.......
d =
IPS X vi
(5)
I" 1
p
EXEMPLO 5
FIGURA 12.38
Encontre a distância entre o ponto S( 1, 1, 5) e a reta:
A distância entre Se a reta
-
......
que passa por P paralela a v é !PSI sen O.
en1 que Oé o ângulo entre PS e v.
x= 1 + t,
l:
;•= 3 - 1,
z = 21.
Solução A partir das equações, ven1os que l passa pelo ponto P(l , 3, O), paralela a
v = i - j + 2k. Com:
.......
PS = ( 1 - 1)i + ( 1 - 3)j + (5 - O)k = - 2j + Sk
e
i
____,.
PS X V =
j
2
- l
o 1
k
5 = i + 5j + 2k,
2
a Equação 5 fornece:
.......
IPS X vJ
d =
lvl
V I + 25 + 4
v'1+1 + 4
1f Vs.
=
Equação para um plano no espaço
11
Plano M
/
P(.A. y. Z)
FIGURA 12.39
A equação geral para um
plano no espaço é definida en1 termos de
um vetor normal ao plano: um ponto P está
no plano que passa por P0 norn1al a o se, e
......
son1ente se, n · P0 P = O.
Un1 plano no espaço é detern1inado conhecendo-se um ponto sobre o plano e
sua '·inclinação" ou orientação. Essa "inclinação" é defin ida especificando-se um
vetor que seja perpendicular ou nonnal ao plano.
Suponha que o plano M passe por n1eio de um ponto P0(x0, y 0 , : 0 ) e seja nor1nal ao vetor não nulo n_.
=Ai + Bj + Ck. Então M é o conjunto de todos os pontos
P(x, y, z) para os quais PoP é ortogonal a n (Figura 12.39). Sendo assim. o produto
escalar n · PoP = O. Essa equação é equivalente a:
(A i + Bj + Ck) · [(x - x 0)i + (v - ) 10 )j + (z - : 0)k) = O
ou
A(x - x0) + B(J1- yo) + C(z - z0) = O.
Cap11ulo 12 Vetores e a geometria do espaço
155
Equação para um plano
O plano que passa por P0(x0 ,.y0 , z0 ), normal a n = Ai + Bj + Ck, tem:
___,.
Equação vetorial :
Equação geral:
Equação geral si1nplificada:
o · PoP = O
A(x - xo) + B(y - yo) + C(z - zo) = O
+ By + C= = D ,
Ax
en1 que
D = Axo + 8.vo + Czo
EXEMPLO 6 Encontre uma equação para o plano que passa por P 0(- 3, O, 7) perpendicular a n = 5i + 2j k.
Solução A equação geral é:
5(x - (- 3)) + 2(,v - 0) + (- 1)(= - 7) = O.
Simplificando, obtemos:
Sx + 15 + 2y - z + 7 = O
5x + 2 y - z = -22.
Observe no Exemplo 6 con10 os componentes de n = 5i + 2j - k tornaram-se
os coeficientes de x, y e z na equação 5x + 2y - z = - 22. O vetor n =Ai + Bj + Ck é
nonnal ao plano A ,Y + 8)1+ Cz =D.
EXEMPLO 7
Encontre uma equação para o plano que passa por A(O, O, 1), 8(2, O, O)
e C{O, 3, O).
Solução Encontramos u1n vetor nonnal ao plano e o utilizamos com un1 dos pontos
(não in1porta qual) para escrever uma equação para o plano.
O produto vetorial:
i
j
AB X AC = 2
O
3
___,.
___,.
o
k
- 1 = 3i + 2j + 6k
- 1
é nonnal ao plano. Substituímos os componentes desse vetor e as coordenadas de
A(O, O, 1) pela fonna componente da equação para obter:
3(x - O) + 2(y - O) + 6(= - 1) = O
3x + 2y + 6z = 6.
Retas de interseção
Da n1es1na forn1a que retas são paralelas se, e so111ente se, tiveren1 a n1esn1a direção, dois planos são paralelos se, e so111ente se, suas norn1ais forem paralelas, ou
n 1 = ~TI 2 para algum escalar k. Dois planos que não são paralelos se cruzam em uma reta.
EXEMPLO 8
Encontre um vetor paralelo à reta de interseção dos planos 3x - 6y -
2z = 15e2x +y- 2==5.
Solução A reta de interseção de dois planos é perpendicular aos vetores n 1 e "i nor-
mais a an1bos os planos (Figura 12.40) e, portanto, paralela a n 1X n2• Reciprocamente,
o 1 X n2 é tun vetor paralelo à reta de interseção dos planos. E1n nosso caso:
.
D t X D2 =
Co1no a tinha de interseção
de dois planos está relacionada aos vetores
normais dos planos (Exemplo 8).
FIGURA 12.40
.
1
J
3
-6
2
1
k
- 2 - 14i + 2j + 15k.
-2
Qualquer múltiplo escalar de o 1X n2 11ão nulo também servirá.
156 Cálculo
EXEMPLO 9 Encontre equações paramétricas para a reta na qual os planos 3x- 6y
- 2= = 15e2x+1·
, - 2z= 5 se cruzam.
Solução Encontramos um vetor paralelo ã reta e u1n ponto sobre a reta e utilizamos
as Equações 3.
O Exemplo 8 identifica v = l 4i + 2j + l Sk como um vetor paralelo à reta. Para
encontrarmos um ponto sobre a reta, podemos tomar quaJqucr ponto comum aos
dois planos. Substituindo z =O nas equações do plano e resolvendo-as si1nultancan1ente para x e y, identi licamos un1 desses pontos como (3. - 1, 0). A reta é:
x=3 +14t.
y= - 1+21.
== 15/.
A escolha dez = O é arbitrária e 1ambén1 poderíamos ter escolhido= = 1 ou z = - 1.
Poderían1os ainda ter deixado x = O e resolvido para)' e z. As diferentes escolhas
fomecerian1 sin1plesmente paran1etrizações diferentes da niesn1a reta.
A lgiunas vezes desejamos saber onde un1a reta e um plano se cruza1n. Por exemplo, se estamos observando un1a placa plana e un1 segmento de reta que passa por ela,
podemos nos interessar e1n saber qual parte do segmento de reta está escondida da
nossa visão pela placa. Essa aplicação é usada e1n computação gráfica (Exercício 74).
EXEMPLO 10
Encontre o ponto em que a reta
X =
J8 + 21.
y = - 21,
z = J +l
cruza o plano 3x + 2;' + 6z = 6.
Solução O ponto
(~+21. -21,1+1)
encontra-se no plano caso suas coordenadas satisfaçan1 a equação do plano, ou seja, se:
3(~ + 21) + 2( - 21) + 6( 1+ f) = 6
8 + 61 - 4t + 6 + 61 = 6
81 = - 8
l
= - 1.
O ponto de interseção é:
(x,_v,z)l1=- 1 =
(~ - 2,2, 1 - 1) =
(t,2.0).
Distância entre um ponto e um plano
Se Pé um ponto no plano con1 nonnal n. então a distância entre qualquer ponto
Se o plano é o co1npri111c11to da projeção ortogonal de PS e1n n. Ou seja, a distância
de S até o plano é:
~
.......
n
d = PS· -'I0'-I
(6)
e1n que n = Ai + Bj + Ck é nonnal ao plano.
EXEMPLO 11
Encontre a djstância entre S( 1, 1, 3) e o plano 3x + 2y + 6z = 6.
Solução Encontramos um ponto P no plano e calculamos o con1primento da projc~
çào ortogonal de PS no vetor n normal ao plano (Figt.1ra 12.41 ). Os coeficientes na
equação 3x + 2y + 6z = 6 fornecem:
n = 3i + 2j + 6k.
Capitulo 12 Vetores e a geometria do espaço
157
n = 3 i + 2j + 6k
S{l,1,3)
Jx + 2y + 6: = 6
-
(0,0,1)
'~
Distância entre
o
S o; o plano
P(O. 3.0)
X
A distância entre Se o plano é o con1primcnto
da projeção ortogonal de PS e1n n (Exemplo 11).
FIGURA 12.41
~
Os pontos no plano 1nais fáceis de ser localizados a partir de uma equação do
plano são os interceptas. Se tomarmos P como o interceptar do eixo y (0, 3, 0), então:
___,.
PS = (1 - O)i + (1 - 3)j + (3 - O)k
= i - 2j + 3k ,
lnl = v'(3) 2 + (2)2 +(6) 2 =v49= 1 .
A distância entre Se o plano é:
__..
n
-
d = pS · 1n 1
( omprum:ntt• o.lc proJ 0 /''i
( i - 2j + 3k ) . (
~ i + ~j + ~ k)
l - 4 + _!-ª. = ll.
7
7
7
7
Ângulos entre planos
O ângulo entre dois planos que se cruza1n é definido co1110 o ângulo agudo
entre seus vetores normais (Figura 12.42).
EXEMPLO 12
Encontre o ângulo entre os planos 3x - 6y -2z = IS e 2t+ y-2z= S.
Solução Os vetores
(}
" 1=3i - 6j - 2k
e
são non11ais aos planos. O ângulo entre eles é:
FIGURA 12.42
O ângulo entre dois
planos é obtido a partir do ângulo entre
.
suas normais.
_
e - cos
1(
n 1• n2 )
1n d1n2I
= cos-1 (241)
~
1,38 radiano.
158
Cálculo
Exercícios 12.5
Retas e segmentos de reta
Encontre equações para1nétricas para as retas nos Exercícios 1-12.
1. A reta que passa pelo ponto P(3 , - 4. - 1) paralela ao vetor i + j + k.
3 1. Encontre um plano que passa por P 0(2. 1, 1) perpendicular
ã reta da interseção dos planos 2x + y - z = 3, x + 2y + == 2.
32. Encontre u111 plano que passa pelos pontos P 1( 1, 2. 3), Pz(3, 2, 1)
e perpendicular ao plano 4x - y + 2= = 7.
2. A reta que passa por P( 1, 2, - 1) e Q(- 1, O, 1).
3. A reta que passa por P(- 2, O, 3) e Q(3. 5. - 2).
Distâncias
4. A reta que passa por P( 1, 2, O) e Q( 1. 1, - 1).
Nos Exercícios 33-38, encontre a distância entre o ponto e a reta.
5. A reta que passa pela origcn1 par.ilela ao vetor 2j + k.
33. (0. 0, 12);
6. A reta que passa pelo ponto (3, -2. 1) paralela à reta x = 1+ 21.
)' = 2 - t. z = 31.
7. A reta que passa por ( 1, 1. l) paralela ao eixo z.
34. (0.0, 0): x = 5 + 31. y=5+41, : = - 3 - 51
8. A reta que passa por (2, 4. 5) perpendicular ao plano 3x +
1y - 5= = 21.
9. A reta que passa por (O, - 7, O) perpendicular ao plano x + 2y
+2z= l3.
X= 41, y = - 21.
Z = 21
35. (2, 1. 3); X = 2 + 21, J' = 1 + 61,
36. (2, 1, - 1):
x=21. y= 1 + 21,
Z= 3
z = 21
37. (3, - 1.4); x = 4 - t, y= 3 + 2t, z= - 5 + 31
38. (- 1.4.3):
x = l0+41. y= - 3.
:= 41
Nos Exercícios 39-44, encontre a distância entre o ponto e o plano.
1O. A reta que passa por (2. 3. 0) perpendicular aos vetores u = i +
2j +3k e v = 3i +4j +5k.
11. O eixo x.
12. O eixo=·
Encontre para1netrizaçõcs para os segmentos de reta que unenl os
pontos nos Exercícios 13-20. Desenhe eixos coordenados e esboce
cada segmenio, indicando a direção de I crescente para a sua pararnetri:zação.
13. (0, O, 0).
(1. 1, 3/2)
17. (0, 1, 1),
(0,-1, 1)
14. (O, O. 0).
(1.
o. 0)
18. (O. 2. 0).
(3. O, O)
15. (1, O, 0),
( 1, 1, 0)
19. (2, O, 2),
(O, 2, O)
16. ( 1, 1. O).
(1. 1. 1)
20. ( 1. O, - 1),
(0. 3, 0)
39. (2, - 3.4), x + 2y + 2z= 13
40. (0, O, 0),
3x + 2y + 6: = 6
41. (O, 1, !),
4y + 3z= - 12
42. (2.2.3),
2r + y + 2z = 4
43. (0, - 1.0),
2r +y+ 2: = 4
44. (1 ,0,-1).
- 4x + y + ==4
45. Encontre a distância entre o plano x + 2y + 6= = 1 e o plano
x+ 2v
. + 6z = 10.
46. Encontre a distância entre a reta x = 2 + 1, y = 1 + 1. z = - ( 1/2)
- ( 1/2)1 e o plano x + 2y + 6z = 1O.
Ângulos
Planos
Encontre os ângulos entre os planos nos Exercícios 47 e 48.
2,·+y - 2z = 2
47. x+y= 1,
Encontre equações para os planos nos Exercícios 21 -26.
48. 5x +y-z= lO.
21. O plano que passa por P0(0, 2. - 1) normal a n = 3i - 2j - k.
22. O plano que passa por ( 1, - 1, 3) paralelo ao plano
3x +y+ ==1.
23. O plano que passa por ( 1, 1. - 1), (2, O, 2) e (0, - 2, 1).
24. O plano que passa por (2. 4, 5), (1, 5, 7) e (- 1, 6, 8).
25. O plano que passa por P 0(2. 4, 5) perpendicular à reta:
X= 5+1.
y= 1 + 31.
== 41.
26. O plano que passa por A( 1. 2. 1) perpendicular ao vetor da
origem até A.
27. Encontre o ponto de interseção das retas x = 21 + 1. y = 31 + 2,
== 41 + 3 e x =s+ 2,y = 2s+4. z= - 4s - I e.em seguida.
defina o plano dctcm1inaclo por essas relas.
28. Encontre o ponto de interseção das retas x = 1, y = -1 + 2,
== / + 1 ex= 2s+ 2,y = s + 3. z= 5s + 6 e, en1 seguida, defina
o plano determinado por essas retas.
Nos Exercícios 29 e 30, encontre o plano dctenninado pelas retas
en1 interseção.
29. Ll:x = - 1+1, v= 2+1. == 1- t; -00< 1<00
L2:x= l - 4s, y= 1 + 2s, == 2 - 2s; -oo< s <oo
30. Ll:x = 1, y=3 31, z= 2 1; -00< 1<00
L2: x= 1 + s, y =4 +s, z= - 1 +s; -oo<s<oo
x-2y + 3z=-l
D Utilize unla calculadora para encontrar os ângulos agudos entre os
planos nos Exercícios 49-52 com a precisão de centésimos de um
radiano.
49. 2x+2y + 2z = 3.
2x 2y : = 5
50. x + y + == l, z =O (plano xy)
S I. 2r+2y == 3.
x+2y + == 2
52. 4y+3z=-12.
3x + 2y + 6= = 6
Interseção de retas e planos
Nos Exerclcios 53-56. encontre o ponto no qual a reta encontra o
plano.
53. x = l - 1, •v=31. z= l + 1; 2x - •v+3z=6
54. x=2, y = 3+2t. : =-2 - 21; 6.l' + 3y - 4= =- 12
55.x = l + 21, y= l+5t, z=31; x+y+==2
56. x =- 1 + 31, y=-2, == 5t;
2r - 3z=7
Encontre parametri7..ações para as retas nas quais os planos nos
Exercicios 57-60 se cruza1n.
57. x + y + == 1,
x+y=2
58. 3x - 6y - 2z = 3, 2x + )' - 2= = 2
59. x-2y+ 4z = 2. x +y- 2= = 5
60. 5x - 2y = ll , 4y - 5z = - 17
Cap11ulo 12
Dadas duas retas no espaço, ou e.las são paralelas. ou se cruzam ou são
reversas (in1agine, por exen1plo, a rrajetória de voo de dois aviões no céu).
Os Exercícios 61 e 62 fornecem três retas cada um. Eni cada exercício.
determine se as retas, tomadas duas a duas, sào paralelas. se cruzam ou
são reversas. No caso de se cruz.are1n. encontre o ponto de interseção.
61. ll :x=3+ 21. y=- 1 +41. z=2 - 1; -00< 1<00
L2:x= l + 4s, I' = 1 + 2v, == - 3 + 4s; -oo < s < oo
L3:x = 3+2r. y = 2 + r. z = - 2 + 2r: -oo < r < oo
62. l l: X= 1 + 21. r= - l - 1 z=3r -00< 1 <00
'
'
l2: x=2-s, y=3s, ==l+s; -oo<s<oo
l3:x=5 +2r, y= l - r . z=8+3r; -oo<r<oo
-
.
Teoria e exemplos
Vetores e a geometria do espaço
72. Suponha que l 1 e l 2 sejam retas não paralelas d.isjuntas (que
não se cruzarn). É possível para um vetor não nulo ser perpendicular tanto a l 1 quanto a L 2? Justifique sua resposta.
73. Perspectiva em computação gráfica En1 computação
gráfica e desenho cm perspectiva, precisamos representar objetos vistos pelo olho no espaço con10 in1agens em
urn plano bidimensional. Suponha que o olho esteja e1n
E(x0 , O, 0). confonne mostrado aqui. e que desejamos representar um ponto P1(x 1, y 1, =1) con10 um ponto no plano
yz. Fazen1os isso projetando P 1 no plano com um raio a
partir de E. O ponto P1será representado como o ponto P(O,
y, z). O problcn1a para nós, con10 designers gráficos, será
encontrar y e z, dados E e P 1•
_,.
63. Utilize as Equações 3 para gerar u1na para1nctrização da reta
que passa por P(2, -4, 7) paralela a v1 = 2i - j + 3k. E1n seguida. gere outra parametri7.ação da reta utilizando o ponto
P 2(-2. -2, 1) e o vetor v1 = - i + ( l/2)j - (3/2)k.
64. Utilize a forma eon1ponente para gerar uma equação para o plano que passa por P1(4. 1, 5) norn1al a n 1 = i - 2j + k. E1n seguida, gere outra equação para o 1nesmo plano utilizando o ponto
P 2(3. - 2. 0) e o vetor nonnal n2 = - \/Íi + 2\/2j - V2k.
P(O. y. ;:)
contra os planos coordenados. Descreva o raciocínio pc1ra a sua
resposta.
66. Encontre equações para a reta no plano z = 3 que fonna u1n ângulo de 7T/6 rad com i e um ângulo de 7T/3 rad con1 j . Descreva
o raciocínio para a sua resposta.
67. A reta x = 1 - 21, y = 2 + 51, z = - 31 é paralela ao plano 2x +
y - z = 8? Justifique sua resposta.
o ,'
:
y
1
e(x , ·Y1. O)
68. Como se pode dizer que os dois planos A1x + 8 1y + C1== D 1 e
A?r + 8 2y + Cç = D2 são paralelos? E perpendiculares? Justifique sua resposta.
12.6
-
a. Escreva uma equação vetorial entre EP e EP 1 que seja verdadeira. Utilize a equação para expressar)' e .: em tennos
de x0 , xi' y 1 e z1•
b. Teste as fónnulas obtidas paro y e= no itc1n (a) investigando seu comporta1nento em x 1 = O e x 1 = x0 e vendo o que
acontece quando x0 ~ oo. O que você encontra?
65. Ache os pontos nos quais a reta x = 1+ 21, y = - 1- 1. z = 31 en-
69. Encontre dois planos diferentes cuja interseção seja a reta
x= 1+ t,y= 2 - t, z= 3 + 21. Escreva equações para cada plano
na fonnaAx+By+Cz= D.
70. Encontre um plano que passa pela origen1 que seja perpendicular ao plano 1\11: 2.r + 3y + == 12. Con10 você sabe que o
plano é perpendicular a M?
71. O gráfico de (xla) + (ylb) + (z/c) = 1 é um plano para quaisquer nún1eros não nulos a. b e e. Quais planos térn uma equação dessa forma?
159
X
74. Retas escondidas en1 co111putação gráfica Temos aqui outro problema típico de co1nputaçào gráfica. Seu olho está e111
(4. O, O). Você está olhando para unia placa triangular cujos
vértices estão ern ( 1, O, 1). ( 1, 1, O) e (- 2, 2, 2). O segmento
de reta de ( 1. O. O) até (0. 2. 2) passa pela placa. Que parte do
segn1ento de reta está escondida da sua visão, encoberta pela
placa'! (Este é um cxcrcicio para encontrar interseções de retas
e planos.)
Cilindros e superfícies quádricas
Até agora. estudamos dois tipos especiais de superfícies: esferas e planos. Nesta seção. ampliaremos nossa lista para incluir u1na variedade de cilindros e superfícies quádricas. Superfícies quádricas são definidas por equações de segundo grau
en1 x,y e z. Esferas são superfícies quádricas. mas existetn outras de igual interesse,
que serão necessárias nos Capítulos l 4-1 6.
Cilindros
O cilindro é uma superfície gerada por 1ncio do n1ovimento de uma linha reta
ao longo de u1na curva plana dada enquanto 1nantida paralela a utna reta fixada. A
curva é denon1inada curva geradora para o cilindro (Figura 12.43). En1 geon1etria
sólida, em que cilindro significa cilindro circular, as curvas geradoras são círculos,
nias agora permiriren1os curvas geradoras de qualquer tipo. O cilindro do nosso
pri1neiro exe1nplo é gerado por uma parábola.
160
Cálculo
l.
EXEMPLO 1 Encontre uma equação para o cilindro forrnado pelas retas paraJelas
ao eixo= que passa1n pela parábola y = x2, = = O (Figura 12.44).
Curva geradora
(no plano yz)
O ponto P0(x0 , x02, O) está localizado na parábola y =_,.i no plano ·'Y· Então,
para qualquer valor de:, o ponto Q(x0 , x02, =)estará localizado no cilindro porque
está sobre a reta x = ,,-0, y= x02 que passa por P 0 paralela ao eixo::. Reciprocan1ente,
qualquer ponto Q(x0 , x 0 2 , z), cuja coordenada y é o quadrado de sua coordenada x,
está JocaJizado sobre o cilindro porque está sobre a reta x = .\·0, y = x 01 que passa por
P0 paraJela ao eixo z (Figura 12.44).
Independentemente do valor de z, portanto, os pontos sobre a superfície são
aqueles cujas coordenadas satisfazem a equação ,v = x2. Isso faz de.'' = J....2 u1na
equação para o cilindro. Por esse motivo, chamamos o cilindro de "cilindro y = x2".
So~o
Reias que passa1n
pela curva geradora
pur:llelas ao eixo x
FIGURA 12.43
geradora.
Utn cilindro e un1a curva
--
Confonne sugerido pelo Exemplo 1, qualquer curva f(x, y) =e no plano J.)' define um cilindro paralelo ao eixo z cuja equação também é /(x, y) =e. Por exe1nplo, a
equação x2 + j2 = 1 define o cilindro circular forn1ado pelas retas paralelas ao eixo z
que passan1 pelo circulo x 2 + ;.2 = 1 no plano xy.
De 1naneir<1 semelhante, qualquer curva g(x, z) =e no plano x:: define um cilindro
paralelo ao eixo y cuja equação espacial é ta1nbén1 g(x, z) =e. Qualquer curva h(y, z) =e
define u1n cilindro paralelo ao eixo x cttia equação espacial tan1bêm é h(y, =)=e. Entretanto, o eixo de wn cilindro não precisa ser paralelo a um eixo coordenado.
Sup~rfícies quádricas
Superficie quádrica é o gráfico no espaço de uma equação de segundo grau
em x, y e=· Focamos a equação especial:
A.x2 + B,V2+ Cz2 + Dz = E,
em que A. 8, C, D e E são constantes. As superfícies quádricas básicas são elipsoides,
paraboloides, cones elípticos e hiperboloides. Esferas são casos especiais de elipsoides. Apresentamos alguns exen1plos que ilustra1n como esboçar u1na superfície quádrica e, em seguida, fomecernos u1na tabela com os gráficos dos tipos básicos.
y=x·'
EXEMPLO 2
O elipsoide
xi
FIGURA 12.44 Todos os pontos
do cilindro no Exemplo 1 possuem
coordenadas da forma (x0 , x02, :).
Chaman1os o conjunto de ..cilindro y = .,.i".
y2
,.2
=--+-+=-= I
b 2 c2
02
(Figura 12.45) corta os eixos coordenados ern (±a, O, O), (0, ± b, 0) e (O, O, ± e). Ele
está dentro da caixa retangular definida pelas desigualdades ~ri::; a, ~11 :S b e lzl::; e.
Seção 1ransvcrsal clíplica
--
~
no plano : = :o
/e
\
,
.,
l' -
a·
b·
• 11pse
·
x· + ·-; = 1
"'e
-;
/
no plano xy
l!LJPSI!
, ...·-_
1
, ,,
·-
oi
--
1
....
1,
~,2
+ .!:.... = I
ci
no plano xz
'
'
,
,-
.....
'
1
1
1
1
~2
FIGURA 12.45
---·---.;.\
- , ,, ' - - 1
y
A elipse
\'2
1
1
.2
1
1
I
,
I
I
A elipse ·- + .!:.... = 1
bi
c1
no plano y.::
O elipsoide
'
2
2
~+L+~=
1
bi
c2
02
no Exemplo 2 possui seções tr'.insversais elípticas cin cada um dos três planos coordenados.
\'
•
Capítulo 12 Vetores e a geometria do espaço
161
A superfície é sin1étrica em relação a cada u1n dos planos coordenados, porque cada
variável na equação de definição está elevada ao quadrado.
As curvas nas quais os três planos coordenados cortam a superfície são elipses.
Por exernplo:
quando
;; = O.
A curva cortada da superfície pelo plano:; = z0 , lz01<e, é a elipse:
2
l
X
+
2
a (1 - (zo/c))
y
2
2
2
= 1
b ( 1 - (zo/c))
.
Se dois dos semieixos a, b e e são iguais, a superfície é urn elipsoide de revolução. Se todos os três são iguais, a superfície é un1a esfera.
EXEMPLO 3
O paraboloid e hi1>c r bólico
c> O
possui sin1etria ern relação aos planos x =O e y =O (Figura 12.46). As seções transversais nesses planos são:
X = O:
a parábola z = - e v2 .
(1)
b2·
a parábola z = - c2 x 2 •
y =O:
(2)
a
No plano x = O, a parábola se abre para cirna e1n relação à origem. A parábola no
plano J' =O se abre par<1 baixo.
Se cortarmos a superfície por um plano== z0 > O, a seção transversal será un1a
hipérbole:
,1'
2
b2 -
zo
x2
(./ 2
=
e"
corn seu eixo focal paralelo ao eixo y e seus vértices na parábola na Equação 1. Se z0 é
negativo, o eixo focal é paralelo ao eixo x e os vértices estão na parábola oa Equação 2.
Perto da origem. a superfície tem o formato de uma sela ou de uma passagem
entre rnontanhas. Para uma pessoa que percorre a superfície no plano yz. a 0Iigen1
parece ser 1un rninimo. Para uma pessoa que percorre o plano x..:, a origen1 parece
ser un1 máxirno. Tal ponto é chamado de ponto d e sela de uma superfície. Falaremos mais sobre os pontos de sela na Seção 14. 7.
,.
A parábola • = ...
2
1·
. , ...
b-
no plano 1•·
#
...
!:
, ..'
2
bl
a2
-'
Pane da hipérbole ~ - ~ e 1
,,_., no /plano ~= r
Pon10
de .ela
y
/
A parábola : = - r~ .rz
no plano xz
a-
X
Paraboloide hiperbólico /,j!lb2) - (.r2/u2) = z/c, e> O. As seções transversais nos planos perpendiculares ao eixo= acin1a e
abaixo do plano xy são hipérboles. As seções transversais nos planos perpendiculares aos outros eixos são parábolas.
FIGURA 12.46
162
Cálculo
A Tabela 12.1 exibe gráficos dos seis tipos bás icos de superfícies quádricas.
Cada superfície LTiostra sua sinJetria en1 relação ao eixo z. n1as outros eixos coordenados ta1nbé1n podem servir (com alterações apropriadas conforme a equação).
TABELA 12.1
Gráficos de superfícies quádricas
..
Scç4o 1run_<>ct'i:tl
,.2
l!Ji pw ;. • '-! ~ 1
.l
cl ÍJMk• no plano:
\
''
/1
n~' p1..int> : .: r
; = ('
\
.....
--·1-- . . "!J...
\
' , ' )
--... ... ,
\
- ~...
...
1
\
' ;
\
~~-...........,--.\"
t
'
no pluno \tZ
•
Fh~ ~ + ~
/r
-
.,
\
-· = 1
>
}'...
\
4
,J
~...
Ir
Pnmbola :: •
\
c2
no pi •no .1-:
ELIPSOIDE
e
Rem: --;;•
f>;;ne d• hil*tbol<
,....•
Elipse -·1 - ~ = 1
u
b!
no pl:tno : • e
... - f
no plnno '': .. - \
"
- l
•
\..
.
•
PARABOLOIDE ELÍPTI CO
:•r
\
\
b
11<•
/
:
:
x:,,..• - ,=:•.. = 1 plun<>.•:
l
\l
Elll'-c :!-;
+ '-;
- 2
,,~
b·
no plnno: = ,.
/b,fí
El vS'
I
\
;
Rctn,
1
'1,1 1
,
•
,
X
\
"t 1
1
l 1
1 1
t
t
1
·'
t
1
m tPSE
110 p lllllO )'~
1
1-llPERBOLOíDE DE Ul\'1A FOLHA
CO NE ELÍPTICO
2
2
2
z__ + L - z
az
?' =
bz
i
. ..
,,. ,,.
,...
l ..
"'111t do hipérbole ~ - ..., - 1
no plano : - ,.
.-r--. _ /
.•
1
Pon10
Jc >Cio
I
/
I.' ,
Partlbolu •• • - - ••r
u•
no plo.nox:
\'
•
•
,,
:.:-
-
HIPERBOLOIDE DE DUAS FOLHAS
z2
x z Yz
----- = )
cz
,;
bi
PARABOLOrDE HIPERBÓLICO
y2
.Y2
z
bl
ª 2
C'
-- -
e>O
.l
Capítulo 12 Vetores e a geometria do espaço
163
Exerácios 12.6
k.
Associando equações com superfícies
Nos Exercícios 1- l 2. associe a equação com a superfície que ela define. Além disso. identifique cada superfície pelo tipo (paraboloide.
elipsoide etc.) As superfícies vão de a-1.
1. ,r + y2 + 4=1 = 1o
7. xl + 2z2 = 8
2. z2+ 4y'- 4x1 = 4
8. z2+.r-y2 = 1
3. 9J,2+=2= 16
9. x=7--y2
4. J,2 + z 2 = x2
10. z= - 4.r - •v'
S. x= j'-::2
11. x2 + 4.zl = ),2
6. x =-y2 - zl
12. 9.r + 4.v2 + i..... = 36
--
•
"
(h
I
A~
•
1·
1
Desenhando
r.
a.
1.
Desenhe as superfícies nos Exercícios 13-44.
CIUNDROS
13 . .\.2 + y 1 = 4
IS. .,.i + 4=2 = 16
•
"
14. z=v2- I
1
l \,,..
'
~ .I'
.\
b.
.V
g.
•\'
e.
h.
.
-
16. 4x2 + y 2 = 36
ELIPSOIDES
17. 9x2 +1i2+z2=9
J8. 4.r2 + 4y2 + z2 = 16
19. 4_y2 + 9y2 +4z2=36
2 + 36.il = 36
20. 9.r2 + 4r
•
PARABOLOIDES ECONES
21. z=x2+41.2
24. )' = 1 - ,,.i - =2
22. z = 8 - x2 - y2
25. .r2 + 1.l =:?
23. x = 4 - 4v2-=2
•
26. 4x1 + 9=2 = 9y2
HIPERBOLOIDES
27• •r2+y2 - z2= 1
29. z2 - x2 - y2 = 1
28. y 2 + :?-.\.2 = 1
30. (r2/4)-(y2/4)-=2=l
PARABOLOIDES HIPERBÓLICOS
31. ;l--x2 =z
32. _,.i - .v2 = =
FIGURAS VARIADAS
33. == 1 + J;z - x2
\'
d.
X
34. 4x2 + 4y1 = z2
39. .r2+=2= 1
40. 161.Z
. + 9z1 = 4.r
/ J
35. y =
41. z =
36. l 6.r2 + 4.v2 = 1
42. ,1.2 -.r2-z2 = 1
" ; - ( .I'
37. x2 + y2-=2 = 4
43. 4.v1 + z2 - 4.r2 = 4
38. x2 + z2 = y
44. .r2 + •1.2 = ::
•
1.
X
45. a. Expresse a área A da seção transversal cortada a partir do
elipsoide:
yl
x2
)'
,.2
+4 +9 = 1
pelo plano :: =e con10 unia função de e. (A área de uma
elipse con1 scn1ieixos o e bê 1TC1b.)
b. Utilize cortes perpendiculares ao eixo : para encontrar o
volunte do elipsoide no ite111 (a).
e. Encontre o volume do elipsoide
.
J·
X
(.yl+y2 )
Teoria e exemplos
-
Y ' -
(x2 + z2)
-J
~y
x2
)'2
72
-+-+=-=
1.
a2
h2 c2
Sua fónnula da o voluine de unia esfera de raio a se a= b =e?
164
Cálculo
46. O barril m.ostrado aqui tem o fonnato de um elipsoide com
partes iguais cortadas a partir das extrcniidades por planos perpendiculares ao eixo z. As seções transversais perpendiculares
ao eixo z são circulares. O barri 1 tem 2/i unidades de altura, o
raio de sua seção média é R e os raios de suas extremidades são
arnbos r. Encontre uma fórmula para o volume do barril. En1
seguida. verifique dois pontos. Pri1neiro. suponha que os lados
do barril sejam endireitados para torná-lo uni cilindro de raio
R e altura 211. Sua fónnula fornece o volume do cilindro? Em
segundo lugar, suponha quer = Oe li = R. de forma que o barril
seja uma esfera. Sua fórmula fornece o volume da esfera?
b. Expresse a sua resposta no item (a) e1n ternios de li e as
arcas A0 e Ah das regiões cortadas pelo hiperboloide dos
planos: = Oe: = h.
e. Mostre que o volun1e no item (a) também é fornecido pela
fórmula
"
V = (;(Ao + 4A,,, + A,,) .
em que A"' é a área da região cortada pelo hiperboloide do
plano : = 1112.
Visualizando superfícies
O Represente graficamente as superfícies nos Exercicios 49-52 sobre
Ir
os domínios indicados. Se puder, gire a superfície para obter diferentes posições de visualização.
49. : =y, - 2 S x S 2, - 0,5 Sy:S 2
r
50. : = 1 - _)12 ,
~. \1
•
47. Mostre que o volu1ne do se&'lllento cortado do paraboloide
=
y2
b-'
xi
-+-=a-'
e
pelo plano: = li é igual à metade da base do seg111ento multiplicada por sua altura.
48. a. Encontre o volume do sólido limitado pelo l1iperboloide
x2
-
ª 2
)'2
+-
bi
51. : =.\,z+J.z, - 3 s x s 3, - 3 s.y < 3
52. :i = x" + 21.2
sobre
•
a. - 3 s x < 3, - 3 :5. •V S 3
b. - 1 :5. X :5. 1, - 2 Sy:5. 3
c. - 2 S x s 2. -2 < •v s 2
US-0 DO COMPUTADOR
Utilize um SAC para representar graficamente as superfícies nos
Exercícios 53-58. Identifique o tipo de superfície quádrica a partir
do seu gráfico.
- - = I
c2
,
)'2
-53. ~ + =-- = 1 - 2
1'2
~
9
36
25
56. - = 1
16
xi
z2
)'2
.\" -
z2
e pelos planos : = Oe: = li. h > O.
Capitulo
- 2 < X < 2, - 2 < )' < 2
54. -
9
- - = l - 9
16
55. 5x2 = :l - 3y2
,
57. -
9
58.
I' -
x2
- 9 +:
yl
- 1=-
16
=2
+-
2
v'4 - : 2 = o
Questões para guiar sua revisão
1. Quando segmentos de reta orientados no plano representan1 o
10. Qual é a fónnula do detenninante para cálculo do produto ve-
tnesn10 vetor?
2. Como os vetores são somados e subtraídos geometricamente?
E algcbrica1nente?
3. Como são encontradas a n1agnitude e o versor de un1 vetor?
4. Se um vetor é multiplicado por um escalar positivo, como o
resultado estará relacionado ao vetor original? E se o escalar
tbr zero'/ E negativo?
5. Defina o produto escalar de dois vetores. Quais leis algébricas
são satisfeitas pelos produtos escalares? Dê exemplos. Quando
o produto escalar de dois vetores é igual a O?
6. Qual interpretação geométrica o produto escalar possui? Dê
exemplos.
7. O que é a projeção ortogonal de u1n vetor u em uni vetor v? Dê
exemplo de unia apfjcaçào útil de projeção ortogonal.
8. Defina o produto 1'etorial (produto cru:iado) de dois vetores.
Quais leis algébricas são satisfeitas pelos produtos vetoriais
e quais não são? Dê exemplos. Quando o produto vetorial de
dois vetores é igual a zero?
9. Quais interpretações geométricas ou físicas tê1n os produtos
vetoriais? Dê exen1plos.
1orial de dois vetores cm relação ao sistenia de coordenadas
cartesianas i, j , k? Utilize-a en1 un1 exe1nplo.
11. Co1no encontramos equações para retas, segmentos de reta c
planos no espaço? Dê exen1plos. Poden1os representar un1a
reta no espaço por uma única equação? E um plano?
12. Corno encontran1os a distância entre uni ponto e unia reta no
espaço? E entre um ponto e um plano? Dê exe1nplos.
13. O que são produtos nlistos? Que significado eles tê1n? Co1no
são avaliados? Dê um exen1plo.
14. Como encontramos equações para esferas no espaço? Dê
exemplos.
15. Como encontramos a interseção de duas retas no espaço? E de
11111a reta e wn plano? E de dois planos? Dê exe1nplos.
16. O que é un1 cilindro? Dê exemplos de equações que definem
ci 1indros em coordenadas cartesianas.
17. O que são superfícies quádricas? Dê exe1nplos de diferentes
tipos de elipsoides. paraboloides. cones e hiperboloides (equações e esboços).
Capítulo 12 Vetores e a geometria do espaço
Capitulo
165
Exercidos práticos
Cálculos vetoriais em duas dimensõl!s
Retas, planos e distâncias
Nos Exercícios 1-4, sejam u = (-3. 4) e v = {2, - 5). Encontre (a) a
forma componente do vetor e (b) sua n1agnitude.
1. 3u - 4v
2. u + v
3. - 2u
4. 5v
Nos Exercícios 5-8, encontre a forn1a cornponentc do vetor.
5. O vetor obtido por 1neio da rotação de (O, 1) por um ângulo
de 27T/3 radianos.
6. O vetor unitário que forma um ãnguJo de 7T/6 radianos con1 o
eixo x positivo.
7. O vetor com 2 unidades de con1primento na direção 4i - j .
8. O vetor con1 5 unidades de comprin1cn10 con1 sentido oposto
ao do vetor (3/5)i + (4/5)j .
Expresse os vetores nos Exerclcios 9- J2 cm termos de seus comprin1entos e versores.
27. Suponha que n seja nonnal a um plano e v seja paralelo ao
plano. Descreva como encontrar uni vetor n que seja tanto perpendicular a v quanto paralelo ao plano.
28. Encontre um vetor no plano parc1lelo à reta ax + by =e.
9. VÍi + VÍj
10.
i- j
11. O vetor velocidade de v = (- 2 sen 1)i + (2 cos r)j . quando
I = 7T/2.
12. O vetor velocidade de v =(e' cos 1- e!- sen r)i + (e!- sen r +é cos r)j .
quando t ln 2.
Nos Exercícios 29 e 30. encontre a distância entre o ponto e a reta.
29. (2, 2, O); .Y = t, y = 1, z = 1 + I
30. (0,4, 1); x = 2+t, y = 2 + t, z = I
3 1. Parametri7.e a reta que passa pelo ponto ( 1, 2, 3) paralela ao
vetor v =-3i + 7k.
32. Paran1etrize o segmento de reta que liga os pontos P( 1. 2. 0)
e Q(I, 3, - 1).
Nos Exercícios 33 e 34. encontre a distância e11tre o poDto e o plano.
33. (6. 0, - 6), X - y = 4
34. (3, O. 1O), 2t + 3y + : = 2
35. Encontre unia equação para o plano que passa pelo ponto
(3. 2, 1) normal ao vetor n = 2i + j + k.
36. Encontre wna equação para o plano que passa pelo ponto
(- 1, 6, 0) perpendicular à reta x =-1 + t, y= 6 - 21.: = 31.
=
Cálculos vetoriais em três dimensões
Expresse os vetores nos Exercícios 13 e 14 em terrnos de seus con1primentos e versorcs.
13. 2i - 3j + 6k
14. i +2j - k
15. Encontre un1 vetor com 2 unidades de con1primento na direção
de V= 4i - j + 4k.
16. Encontre u1n vetorcon15 unidades de comprimento no sentido
oposto ao sentido de v = (3/5)i + (4/5)1<.
Nos Exerclcios 17 e 18. encontre lvl, JuJ, v · u, u · v. v X u, u X v.
Jv X ui, o ângulo entre v e u, o componente escalar de u na direção
de v e a projeção ortogonal de u sobre v.
17. v = i + j
18. v = i + j + 2k
li = 2i + j - 2k
u =-i - k
Nos Exercícios 19 e 20. encontre proj,, u.
19. v = 2i + j - k
20. u = i - 2j
li = i + j - 5k
v= i + j + k
Nos Exercícios 2 1 e 22, desenhe eixos coordenados e, em seguida,
esboce u, v e u X v como vetores oa orige1n.
21. li = i, V = Í + j
22. U = i - j , V= Í + j
23. Se JvJ = 2, j\vJ= 3 e o ângulo entreve \V é 7T/3. encontre lv - 2n•J.
24. Para qual valor ou valores de a os vetores u = 2i + 4j - 5k e
v =-4j - 8j + ak serão paralelos?
Nos Exercícios 25 e 26, encontre (a) a área do paralelogramo de1ern1inado pelos vetores u e v e (b) o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores u. v e \\'.
25. u = i + j - k, \ = 2i + j + k, \V =- i - 2j +3k
26. u = i + j. v = j , \v = i + j + k
1
Nos Exercícíos 37 e 38, encontre uma equação para o plano que
passa pelos pontos P. Q e R.
37. P(I , - 1, 2), Q(2, 1, 3), R(- 1. 2,-1)
38. P( l, O, 0). Q(O. 1. O), R(O. O. l)
39. Encontre os pontos nos quais a reta x = 1 + 21, y =-1- 1, z = 31
cnconí ra os três planos coordenados.
40. Encontre o ponto no qual a reta que passa pela origen1 perpendícular ao plano 2x - y : = 4 encontra o plano 3.x - 5y + 2z = 6.
41. Encontre o ângulo agudo entre os planos x = 7 e x + y +
= -3.
v2z
42. Encontre o ângulo agudo entre os planos x + y = 1 e y + z = 1.
43. Encontre equações paramétricas para a reta na qual há interseçào dos planos x + 2y + z = 1 ex -y+ 2..:= - 8.
44. Mostre que a rcra na qual os planos
x + 2y - 2z = 5 e 5x - 2y - z = O
se cruzam é paralela à reta
X = - 3 + 21.
)' = 3/, : = 1 + 4/.
45. Os planos 3x + 6z = 1 e 2x + 2y- z = 3 se cruza1n em u1na reta.
a. Mostre que os planos são ortogonais.
b. Encontre equações para a reta de interseçào.
46. Encontre unia equação para o plano que passa pelo ponto
( 1. 2, 3) paralela a u = 2i + 3j + k e v = i - j + 21<.
47. Existe alguma relação especial entre"= 2i - 4j + k e o plano
21' +y = 5? Justifique sua resposta.
-
-
48. A equação n · P0 P = O representa o plano que passa por P0 normal a n. Qual conjunto a desigualdade n · P0 P > O represenla?
49. Encontre a distância entre o ponto P( 1, 4, 0) e o plano que
passa por A(O, O. O). 8(2. O. - 1) e C(2, - 1, 0).
166
Cálculo
50. Encontre a distância entre o ponto (2, 2, 3) e o plano 2x + 3y
+5.: = 0.
SJ. Encontre wn vetor paralelo ao plano 2.\'. - y - == 4 e ortogonal
a i + j + k.
52. Encontre um vetor unitário ortogonal a A no plano de B e C se
A = 2i - j + k, .8 = i + 2j + k e C = i + j - 2 k.
A(2 , - 1. 4)
53. Encontre wn vetor de magnirude 2 paralelo à reta de interseção dos planosx + 2y + =- 1 = Oex - y+2z + 7 = 0.
54. Encontre o ponto no qual a reta que passa pela origem perpendicular ao plano 2x - y - == 4 encontra o plano 3x - Sy +
2= = 6.
56. Que ângulo a reta de interseção dos planos 2x + y - z = O e
x + y + 2z = O torrna con1 o eixo x positivo?
57. A reta
L:
x=3 + 21, y =21.
z=I
cruza o plano x + 3y - z = - 4 cm um ponto P. Encontre as
coordenadas de P e as equações par.1 a reta no plano que passa
por P perpendicular a L.
58. f\llostre que, par.1 todo nú1nero real k. o plano
X
2y + Z + 3 + k(2x )'
Z
+ 1) = 0
contém a reta de interseção dos planos
x - 2y + =+ 3 = 0 e 2x -y - z + 1 = O.
59. Encontre u1na equação para o plano que passa por A(- 2, O,
- 3) e B( 1. - 2, 1), que é paralelo à reta que passa pelos pontos
(.'( 2. - 13/5. 26/5) e D( 16/5, 13/5, 0).
60. A reta x = 1+ 21, y = - 2 + 31, z = - 51 está relacionada de algun1a forma ao plano -4.r - 6y + 1Oz=9? Jus tifique sua resposta.
61. Quais das opções a seguir são equações para o plano que passa
pelos pontos P(I. 1. - 1), Q(J, O. 2)e R(- 2, 1, 0)'?
a. (2j - Jj + 3k) · ((x+2)i + (v - l)j +:k ) = O
b. x = 3 - 1. y = - 111. : = 2 - 3t
e. (x + 2) + ll(y-1)=3z
d. (2i - 3j + 3k)X((x + 2)i + (r - l)j + : k) = O
e. (21- j + 3k) X (- 3i + k) · ((x + 2)i + (y - l)j + =k) = O
62. O paralelogramo mostrado a seguir te1n vénices ern A(2, - 1, 4),
8(1 , 0,- 1). C(I, 2, 3) e D. Encontre:
Capftulo
~'
/
55. Encontre o ponto no qual a reta que passo por P(3, 2. 1) normal ao plano 2.Y y + 2.: = -2 encontra o plano.
).'
8 ( 1.0,-1)
a. as coordenadas de D;
b. o cosseno do ângulo interno de B:
____,.
____,.
e. a projeção ortogonal de BA e1n BC;
d. a área do paralelogramo:
e. uma equação para o plano do paralelogramo;
f. as áreas das projeções ortogonais do paralelogramo sobre
os três planos coordenados.
63. Distância entre retas Encontre a distância entre a reta L1que
passa pelos pontos A( 1, O, - 1) e 8(- 1, 1, 0) e a reta L 2 que passa pelos pontos C(3, 1, - 1) e 0(4, 5, - 2). A distância deve ser
medida ao longo da reta perpendicular às duas retas. Primeiro
encontre urn_.
vetor n perpendicular a a1nbas as retas. Etn seguida. projete AC sobre n.
64. (C'o11ri1111açào do E.rercicio 63 .) Encontre a distância entre a
reta que passa por A(4. O. 2) e 8(2, 4. I) e a reta que passa por
C( 1, 3. 2) e D(2. 2. 4).
Superfícies quádricas
ldcnrifiquc e esboce as superfícies nos Exercícios 65-76.
6s. l -i+y 2 +.z2 =4
11. .r + y"= r
»
66. .r + ú· 1 + .:2 = 1
67. 4_,.i + 41,?
+ z2 = 4
•
12. .r2 + .r = y"
73. x2 + •v2 - z2 = 4
68. 36x2 + 91"
• + 4=2 = 36
74. 4y1 + .:2 - 4x2 = 4
69. z = - (.r + Y2>
10. v = -(.r + .:")
75. •vi - .r - .:3 = 1
Exercícios adicionais e avançados
1. Caça ao submarino Dois navios em manobras estão tentando detem1inar o curso e a velocidade de um submarino para
preparar u1na interceptação aérea. Corno n1ostrado aqui. o navio A está localizado em (4, O, 0). enquanto o navio B está
localizado em (0, 5. 0). Todas as coordenadas são fornecidas
em nti lhares de pés. O navio A localiza o sub1narino na direção
do vetor 2i + 3j - ( l/J)k. e o navio B o localiza na direção do
vetor l 8i - 6j - k. Quatro minutos antes, o submarino estava
localizado cn1 (2. - 1, - 1/3 ). A aeronave deve chegar cm 20
minutos. Presumindo que o submarino se mova em linha reta
cm uma velocidade constante, para qual posição os navios deveriam direcionar a aeronave?
avio B
(4,0.0)
(0,5.0)
)'
X
•
Subn1:1rino
NÃO APRESl:XfADO
EM ESCALA
Capítulo 12 Vetores e a geometria do espaço
2. Resgate com helicóptero Dois belicóp1eros. H 1 e H2, estão
voando j untos. No instante t = O, eles se separan1 e seguen1
1rajetórias diferentes e1n linha reta. dadas por:
167
b.
H1: x=6+ 401, y= - 3+ 101, z= - 3+21
112: x=6+ l l01.
y= - 3 + 41. == - 3 + 1
O instante / é medido e1n horas e todas as coordenadas são
medidas em milhas. Por causa de unia pane. H , cessa seu voo
•
e1n (446, 13, 1) e, em u1na quan1ídade de te1npo desprezível.
aterrissa en1 (446, 13, 0). Duas horas depois, H 1 é avisado sobre esse fato e vai em direção a H 2 a 150 mi/h. Quanto tempo
H 1 levarã para alcançar H2?
200 lbs
(Sugestão: esse é un1 triângulo relânguJo.)
6. Considere um peso de 11· N suspenso por dois fios no diagrama, e1n que T 1e T 2 são vetores de força direcionados ao longo
dos fios.
- - -- -- -- - - - -- -
3. Torque O 111auual de operação do cortador de grama Toros
2 1 pol. diz "aperte a vela de ignição a 15 pés-lb (20,4 N · 1n)".
Se você estiver insialando a vela co1n un1a chave de encaixe de
10,5 pol. que coloca o centro da sua n1ão a 9 pol. do eixo da
vela, quanto deverá apertar? Responda em libras.
1
1
f3
1
---º
IV
~
9 pol.
a. Encontre os vetores T 1e T 2 e den1onstre que suas magnitudes são:
111 COS {3
ITd = sen (a + {3)
e
T
_
11· cosa
1 2 I - sen (a + {3)
4. Corpo girando A reta que passa pela origen1 e pelo ponto
A( 1, 1, l ) é o eixo de rotação de um corpo rígido que gira
con1 uma velocidade angular constante de 3/2 rad/s. A rotação
parece ser em sentido horário quando olhamos pnra a origen1
a partir de A. Encontre a velocidade " do ponto do corpo que
está na posição B( 1. 3, 2).
b. Para Ulll f3 fixo, detenninc o valor de a que minimiza a
magnitude lT11.
e. Para um a fixo, determine o valor de f3 que 111inimiza a
n1agni1ude jT,j.
•
7. Determinantes e planos
a. Mostre que
-'A~c_'.:1.~1.:..
, ~1>_ _ _ _ _, no.3. 2)
M!::::- 1
1
1
1
1
1
o
1
1
/
/
/
1~
---
--
1
1
1
--
1
- - - - J../
Y2 - y
=1 - z = o
X3 -
Y3 - )'
-"l - --
X
ZJ -
Z
equação
1
---
X2 - X
Y
=
1
V
)'1 -
é un1a equação para o plano que passa por três pontos não
colineares P1(xl' yl' :: 1), P2(x2.,112, 2 ) e P3(x3 , y 3 , z3 ).
b. Qual conjunto de pontos no espaço é descrito por meio da
1
- - ---.1./
I/
--
X1 - X
/
y
,,/
/
,
S. Considere o peso suspenso por dois fios ern cada diagrama.
Encon1re as 111agnitudes e os con1ponentei> dos vetores F' 1 e F2•
além dos ângulos a e f3.
a.
X
y
--
X1
,...\ 1
l
=1
X2
Y1
:2
X3
Y3
Z3
1
1
= O?
8. Determinantes e retas Mostre que as reias
e
x=c 1t+d1• y=cit+d2, z=c3t +d3,
--00<1<00
se eruza111 ou são paralelas se, e somente se,
100 lbs
01
Ct
a2
c2
(13
C3
b1 - d1
bi - di = O.
b3 - d3
168 Cálculo
9. Considere u1n tetraedro regular corn arestas de co1nprimento 2.
a. Utilize vetores para encontrar o ã11gulo O formado pela base
do letraedro e qualquer uma de suas outras arestas.
D
""'
ao plano P. Então proj,, v é a ''so111bra" de v sobre P. Se Pé o
plano x + 2y + 6z = 6 e v = i + j + k, encontre projp v.
16. A figura a seguir mostra os vetores não nulos v, \V ez, co1n z
ortogonal à reta l. e v e '" formando ângulos iguais a f3 com
L. Assumindo que !vi= l'vt, encontre \V em cermos de v e z.
2
'l.
-- - ------ e
---
A
B
b. Uti lize vetores para encontrar o ângulo (J fonnado por
quaisquer faces adjacentes do tetraedro. Esse ângulo é co-
mumente chamado de um ângulo diedro.
1O. Na figura a seguir, D é o ponto n1édio do lado A 8 do triângulo
ABC. e E está a um terço do trajeto entre C e B. Utilize vetores
para provar que Fé o ponto nlédio do segn1cnto de reta CD.
17. Produtos vetoriais triplos Os produtos vetoriais triplos
(u X v) X \V e u X (v X 'v) geralmente não são iguais, ainda que
as fórmulas par.i avaliá-los a partir dos cornponentes sejam
sernelhantcs:
(u X v) X w = (u · \v)v-(v · \V)u .
e
u X (v X \ V)= (u · w )v - (u · v),v.
Verifique cada uma das fónnulas para os seguintes vetores
avaJiando seus dois lados e comparando os resultados.
A
11.
8
D
Utilize vetores para 1nostrar que a distância entre P 1(xl' y 1) e
a reta ax + by = e é
12. a. Utilize vetores para 1nostrar que a disiância entre P1(x.,y1, z 1)
e o plano A.v + B.i· + C;:. = D é
IAx1 + By1 + C;:.1 -
DI
d = ---:=====--2
2
VA1 + s
+c
u
V
\V
a.
2i
2j
2k
b.
e.
i- j + k
2i + j - 2k
- i +2j - k
2i + j
2i - j + 2k
i +2k
d.
i + j - 2k
-i - k
2i + 4j - 2k
18. Produtos vetoriais e escalares
Mostre que, se u. v, 'v e r são
vetores quaisquer, então:
a. u X(vX \V) + vX ( w X u) + \V X(u X v) = 0
b. u X v =(u · v X i)i +(u · vX j)j +(u · v X k)k
b. Encontre uma equação para a esfera que seja tangente aos
planos x + y + z = 3 ex+ y + z = 9 se os planos 2x - y = O
e 3x - ==O passarem pelo centro da esfera.
13. a. Mostre que a distância entre os planos paralelos Ax f By +
Cz = D1 eAx + By + C:: = D2 é
e. ( u X V ) • ( \ V X r ) =
ll ' \ V
u·r
19. Produ tos vetoriais e escalares
craexcmplo para a fórn1ula:
li X ( u X (u X v)) ·
V • \V
v·r
Prove ou forneça um con-
"' =-lui2 u · v X '"·
20. Fonnando o produto vetorial de dois vetores apropriados. derive a identidade trigonométrica:
ID1 - D2I
d = -------'-IAi + Bj + Ck l.
en (A - B) = sen A cos 8 - cos A sen 8 .
b. Encontre a distância entre os planos 2x + 3y - == 6 e
2x+3y - == 12.
e. Encontre u1na equação para o plano paralelo ao plano
2x y + 2= = - 4 se o ponto (3, 2, - 1) for equidistante dos
dois plano .
d. Escreva equações para os planos que são paralelos a e estão
a 5 unidades de distância do plano x - 2y +: = 3.
14. Prove que quatro pontos, A, B. C e D. são coplanares l estão em
um plano em comum) se. e somente se, AD · (AB X BC) = O.
15. Proj eção de um vetor en1 um plano Seja P u1n plano no
espaço e seja v utn vetor. A projeção ortogonal de v no plano
P, proj,, v, pode ser definida confom1e segue. Suponha que o
Sol esteja brilhando de forma que seus raios sejam normais
- - -
21 . Utilize vetores para provar que:
(a2 + b2 ) (c2 + <f-) 2!: (ac + bd) 2
para quaisquer quatro nú1neros a, b, e e d. (Sugestão: seja111
u = a i +bj e v = ci +dj .)
22. O produto escalar é positivo definido Mostre que o produto escalar de vetores é positivo defi11idn; ou seja, mostre que
u · u <:::: O para cada vetor li e que u · u = O se. e so1nente
se. 11 = O.
23. Mostre que l u + v 1s 1u 1+ 1v l para quaisquer vetores u e v.
24. Mostre que '"= 1v 1u + 1u 1 v bissecta o ângulo entre u e v.
25. Mostre que 1v 1li + 1u 1''e 1v 1li - 1u 1v são ortogonais.
Capítulo 12
Capitulo
Vetores e a geometria do espaço
169
Projetos de aplicação de tecnologia
Módul<>s Mathemati.ca/ Maple
Utilizando 1•etores para represe11tilr retas e e11co11trar distâncias
Partes l e li: aprenda as vantagens de interpretar retas como vetores.
Par te Ili: utilize vetores para encontrar a distância entre um ponto e uma reta.
Coloca11do 11111a ce11a tridbne11sio11a/ e111 11111a tela bidi111e11sio1u1/
Utilize o conceito de planos no espaço para obter un1a imagem bidimensional.
l11icia11do a p/01age111 1ridit11e11sio11a/
Parte 1: urilize a definição vetorial de retas e planos para gerar gráficos e equações, e para con1parar difere1ues formas para as equações de
un1a só reta.
Parte 1.1: esboce funções que são definidas impl icita1nente.
FUNÇÕES VETORIAIS E
MOVIMENTOS NO ESPAÇO
VISÃO GERAL Agora que aprendemos sobre vetores e geometria do espaço, podemos
con1binar essas ideias com nosso estudo anterior de funções. Neste capítulo, ire1nos
introduzir o cálculo de funções vetoriais. Os donunios dessas funções são números
reais, con10 antes, mas suas ünagens são vetoriais, não escalares. Utilizrunos esse
cálculo para descrever as trajetórias e n1ovimentos de objetos que se deslocan1 en1 utn
plano ou no espaço, e veremos que as velocidades e acelerações desses objetos ao longo
de suas trajetórias são vetores. Lremos também introduzir novas quantidades que descreven1 corno a trajetória de u1n objeto pode virar e torcer no espaço.
13.1
Curvas no espaço e suas tangentes
Quando uma partícula se move pelo espaço durante u1n intervalo de te1npo /.
pensamos nas coordenadas da partícula como funções definidas em/:
X= f(I),
y = g(I),
t E /.
Z = fi(f),
(1)
Os pontos (x, y, z) = (f(t), g(t), h(t)), te /, forrnam a curva no espaço. a qual
chan1a1nos de trajetória da partícula. As equações e o intervalo na Equação l parametrizam a curva.
A curva no espaço ta1nbém pode ser representada na forma vetorial. O vetor
.......
r (t) = OP = f(t)i + g(t)j + /i(t)k
~
O vetor posição r = OP de
uma partícula e1n 1novimento no espaço é
uma função do tempo.
FIGURA 13.1
(2)
a partir da origem até a posição da partícula P(f(t), g(t), h(t)) no instante t é o vetor
posição da partícula (Figura 13.1). As funções f,g eh são as funções componentes
(componentes) do vetor posição. Pensan1os na trajetória da partícula con10 a curva
traçada por r durante o intervalo de tempo/. A Figura 13.2 exibe diversas curvas
espaciais geradas por u1n progran1a gráfico cornputacional. Não seria fácil desenhar
essas curvas 1nanualmente.
•-
X
X
)'
r (1) = (sci131)(cos 1)1 +
(scn 31Xscn l)j 1k
+
r (I) = (COS l)i + (SCll l)j + (sen 21)k
r (1) = (4 + sen201)(co,1) i +
(4 + sen201)(sen1)j +
(cos201) k
(a)
FIGURA 13.2
(b)
(e)
As curvas no espaço são definidas pelos vetores posição r(I).
Capítulo 13
171
Funções vetoriais e movimentos no espaço
A Equação 2 define r co1no un1a função vetorial da variável real / no intervalo/.
De maneira rnais geral, urna função vetorial ou função a valores vetoriais sobre
um domínio D é uma regra que associa un1 vetor no espaço a cada elemento em D.
Por enquanto, considerare1nos os domínios como os intervalos de números reais que
resultam em un1a curva espacial. Posteriorn1ente, no Capítulo 16, os don1ínios serão
regiões no plano. As funções vetoriais, então, representarão superfícies no plano.
Funções vetoriais sobre un1 domínio no plano ou no espaço também dão origem a
"campos vetoriais", que são iJ11portantes para estudar o escoamento de um fluido,
campos gravitacionais e fenômenos elelrornagnéticos. Estudaremos carnpos vetoriais e suas aplicações no Capitulo 16.
As fi.1nções a valores reais são charnadas funções escalares para distingui-las das
funções vetoriais. Os componentes de r na Equação 2 são funções escalares de t. O
dornínio de un1a função a valores vetoriais é o domínio comum de seus componentes.
EXEMPLO 1
z
Represente graficamente a função vetorial
r(t) = (cos t)i + (sen t)j + tk.
Solução A função vetorial
r(t) = ( cos t)i + (sen r)j + tk
2'7T
é definida para todos os valores reais de 1. A curva traçada por r gira ao redor do
cilindro circular x 2 + y2 = 1 (Figura 13.3 ). A curva está localizada sobre o cilindro
porque os con1ponentes i e j de r, sendo as coordenadas x e y da extremidade de r,
satisfazem a equação do cilindro:
l = '7T
t = 21T
x2 + y 2 = (cos t)2 + (sen t) 2 =1.
'7T
r
p
,.__..-..., .;:
º ~--1
(1 , O,
1= -
2
•
O~)l/~1".:lo~-:x:i2-::+~y~2;-:--;-,----. Y
A curva sobe à medida que o con1ponente cm k , z = 1, awncnta. Cada vez que
t aumenta 2'7T, a curva completa uma volta ao redor do cilindro. A curva é chamada
de hélice (a partir de uma palavra grega antiga para "espiral"). As equações
x = cost,
X
Merade superior da hélice
r(1) = (cos t)i + (sen t)j + tk (Exen1plo 1).
FIGURA 13.3
v= sent,
;; = t
parametrizam a hélice, com o incervalo -oo < / < oo sendo subentendido. A Figura
l3.4 exibe mais hélices. Observe corno múltiplos constantes do parân1etro t podem
alterar o nírmero de voltas por unidade de tempo.
--
..
--
•
,,,,.-.........
~
~
~
~
'
..r -
"
--- ----:-. y
r(t) = (co~ t )i + (~en 1)j + tk
r(t) = (cos 1)i 1- (sen 1)j + 0.31k
FIGURA 13.4
"' "'
X
~
"'
~
\1
•
r (1) = (cos 51) i + (sen 51)j + t k
Hélices espirala111 subindo ao redor de u1n cilindro, como molas helicoidais.
Lim;tes e continuidade
A maneira como definimos os lí1nites de funções a valores vetoriais é seme-
lhante à forma como definimos JiJnites de funções a valores reais.
172 Cálculo
- Sejam r (t) = f(t)i +g(t)j + h(t)k u1na função vetorial com don1íDEFINIÇAO
nio D e L um vetor. Dizemos que r possui limite L à medida que t se aproxima
de t 0 e escrevemos
lim r(t) = L
1-+To
se, para todo número € > O, existir um número correspondente o> O, tal que
para todo t E D
lr(t) - LI < €
sempre que
O< lt- t01< 8.
Se L = L 1i + L 2j + L 3k, então pode ser de1nonstrado que lin1,_ 10r(t) = L , precisrunente quando
lin1 f(t) = li,
lim g(t) = li
c
r-•
1-~
lirn h(t) = l 3.
r-~
Ü1J1itin1os a prova. A equação
lirn r(r) = ( 1irn /(t))i + (1i1n g(t)) j + (1in1 h(r)) k
1-+lo
/-+lo
1-10
1-10
(3)
oferece unia 1naneira prática de calcular os lin1ites das funções vetoriais.
EXEMPLO 2
Se r(t) = (cos t)i + (sen t)j + tk , então
lin1 r(t) = ( li1n cos
1~1Tf4
l->17( 4
1)i + ( lin1 sen >Jj + ( lirn r) k
t-1T/ 4
l-+ 1T/ 4
V2.
1 + Vi j + :!I.. k
2
2
4 .
Definin1os continuidade para funções vetoriais da mesn1a forn1a que definimos
continuidade para funções escalares.
DETINIÇÃ.O
Urna função vetorial r(t) é continua em um ponto t = t0 no seu
dominio se li1n,_,}"Ct) = r(t0). A função é contínua se for continua em todos
os pontos do seu don1Jnio.
A partir da Equação 3. verernos que r(t) será contínua etn r = 10 se, e somente
se. cada função componente for contínua nesse ponto (Exercicio 31 ).
EXEMPLO 3
(a) Todas as curvas espaciais n1ostradas nas Figurc1s 13.2 e 13.4 são contínuas porque
suas funções componentes são continuas para lodos os valores de tem {-oo, oo).
(b) A função
g(t) = (cos t)i + (sen t)j + lt jk
é descontinua em todos os inteiros em que a função maior inteiro lt J é descontínua.
Derivadas e movimento
Supo11ha que r(t) = /(t)i + g(t)j + h(t)k seja o vetor posição de uma parlicula
que se move ao longo de urna curva no espaço e que /, g e h sejam funções deriváveis de t. Então, a diferença entre as posições da partícula no instante I e no instante
t + ílté
ô r = r (r + ôr) - r (I).
Capítulo 13
Funções vetoriais e movimentos no espaço
173
(Figura 13.5a). Em tern1os de co1nponentes,
ó. r = r (L + ó. t) - r(t)
r (r + ~t) - r (t)
= [f(r + Ó.t)i + g(t + Ât)j + h(t + Âl)k]
Q
- [f(t)i + g(t)j + h(t)k]
= [f(t + Ât) - f(t)) i + [g(I + Ât) - g(t)]j + ['1(1 + Ât) - h(t))k.
À medida que 6.t se aproxin1a de zero, três coisas parecen1 acontecer simultaneamente. Pri1neiro, Q se aproxima de P ao longo da curva. Depois. a reta secante
PQ parece se aproxi1nar de u1na posição li1nite tangente à curva en1 P. E1n seguida,
o quociente ó.r/6.t (Fibrura l 3.5b) se aproxi1na do lin1ite
(n)
r (1 + .lt) - r {1)
~/
. Âr
[ . f(t + 6.t) - f(t)] ·
[ . g{t + 6.r) - g(I)
lim - = Lim
1 +
ltm - - - - - - ar-.o ó.t
a1- o
ó.t
.l1..... o
6.t
.
+ [õ.1-+0
ltnl
~=:::;; Q /
h(t + 6.r) - h(t)
A
ui
p
Jk
["g]·
].1+ - J+[dlt
]
=[df
k.
dr
dt
dt
- - - - - - - - - -- )'
(b)
.r
Portanto, somos levados à definição a seguir.
~EFINIÇÃO A função vetorial r(I) = f(t) j + g(t)j + h(t)k possuj ucna derivada (é derivá\ el) em t se/, g e h possuem derivadas en1 /. A derivada é a
função vetorial
1
FIGURA 13.5 Confonne llt--+ O, o ponto
Q se aproxÍlna de p ao longo da curva e.
No linute, o vetor PQl!:lt se transfonna no
vetor tangente r'(r).
-
e~
FIGURA 13.6 Curva suave por panes
formada por cinco curvas suaves
conectadas continuamente de extrenlidade
a extremidade. A curva aqui não é suave
nos pontos de conexão entre as cinco
curvas suaves.
. r(t + ili) - r{t) = df • + dg.J + dh k
'( )
dr
r r = - = 11m - - - - - - 1
dt
~1~0
6.1
dr
dr
dr ·
Uma função vetorial r é derivável se for derivável em todos os pontos de seu
domínio. A curva traçada por r é suave se dr/dr for contínua e nunca O, ou seja. se
/, g e li tiveren1 prin1eiras derivadas contínuas que não sejan1 simultanea1nente O.
A significância geométrica da definição da derivada é exibida_..
na Figura 13.5.
Os pontos P e Q possue1n vetores posição r(t) e r (/ + 6.t}, e o vetor PQ é representado por r(t + ÂI) - r(t). Para 6.t_..
> O, o múltiplo escalar ( l/flt)(r(r + ó.r) - r(t)) aponta
na 1.11esma direção do vetor PQ. Quando 6.1--+ O, esse vetor se aproxi1na de un1
vetor que é tangente à curva e1n P (Figura 13.5b). O vetor r'(t). quando diferente de
O, é definido como sendo o vetor tangente à curva em P. A reta tangente à curva
en1 un1 ponto (f(t 0) , g(t0), h(t0 )) é definida co1no sendo a reta que passa pelo ponto
paralelo a r'(10 ). Necessitamos de dr/dr ~ O para unia curva suave, de fonna a nos
certificarn1os de que a curva tenha uma tangente em cada ponto. Em un1a curva 1isa,
não existe1n cantos ou extrenlidades agudas.
Uma curva que é feita de u1n número finito de curvas suaves ligadas continuamente é denorninada suave (lisa) por pa rtes (Figura 13.6).
Observe n1ais tuna vez a Figura 13.5. Desenhan1os a figura para 6.t positivo, de
forma que á r aponta para a frente, na direção do movimento. O vetor 6.r/llr, tendo
a mesma direção de Âr. tambén1 aponta para a frente. Sendo Ât negativo, 6.r estaria
apontando para trás. contra a direção do n1ovi1nento. O quociente D.r /6.t, no entanto, sendo um nlúltiplo escalar negativo de flr, estaria apontando novamente para a
frente. Não i1nporta co1no 6.r aponta, 6.r/6.t aponta para a frente, e espera1nos que
o vetor dr/dt = lirn.li--.o 6.r!llt. quando diferente de O, faça o 1nesmo. Isso significa
que a derivada drldt, que é a taxa de variação da posição em relação ao tempo, sempre aponta na direção do movimento. Para cada curva suave, d r/d/ nunca é zero; a
partícula não para nem inverte o seu sentido.
174
Cálculo
DEFINIÇÕES
Se r é o vetor posição de uma partícula que se inove ao longo
de uma curva suave no espaço, então
v(t) = d r
dt
é o vetor velocidade da partícula, tangente à curva. En1 qualquer instante 1,
a direção e sentido de v é a direção e sentido de movimento, a magnitude
de v é a rapidez da partícula e a derivada a = d vldt, quando existe, é o vetor
aceleração da pa1tícula. E1n resumo.
dr
1. A velocidade é a derivada de posição:
V =
2. A rapidez é a n1agnitude da velocidade:
Rapidez= lvl.
3. Aceleração é a derivada da velocidade:
2
d
v
d
r
a ---2
-
d/.
dt - dt •
4. O vetor unitário v~ vl é a direção e sentido de movin1ento no instante 1.
EXEMPLO 4 Encontre a velocidade, o 1nódulo de velocidade e a aceleração de
uma partícula cujo 1novimento no espaço seja dado pelo vetor posição r(t) = 2 cos t i
+ 2 sen t j + 5 cos2 t k . Esboce o vetor velocidade v(71T/4).
r'(Lf)
Sotução Os vetores velocidade e aceleração no instante t são
y
v(t) = r ' (1) = - 2sen/ j + 2cost j - lOcostsent k
= - 2 sen / i + 2 cos / j - 5 sen 2r k,
a(t) = r " (t) = - 2cos1 i - 2scnt j - l0cos2tk,
e o módulo de velocidade é
FIGURA 13.7
Curva e vetor velocidade
quando / = 7'TT/4 para o niovimento dado
no Exemplo 4.
jv(t)I = V( - 2seni)2 + (2cost) 2 + (- 5sen21)2 = V4 + 25sen 2 2t.
Quando t = 7'1Tl4 , temos
V (
1
; ) = v'2 Í + v'2 j + 5 k,
a(,7) -v'2 + v'2 j.
7
=
i
v (7;) = \/29.
Un1 esboço da curva de movimento e o vetor velocidade quando t = 71Tl4 poden1 ser vistos na Figura 13. 7.
Pode1nos expressar a velocidade de uma partícula e1n movinlento como o produto do seu módulo da velocidade e versor:
Velocidade= lv1( : ) =(1nódulodevelocidade) (versor).
11
Regras de derivação
Uma vez que as derivadas de funções vetoriais podem ser computadas componente por componente, as regras para derivar funções vetoriais têm a 1nesma forma
das regras para derivação de funções escalares.
Capítulo 13
Funções vetoriais e movimentos no espaço
175
Regras de derivação para fu nções vetoriais
Seja1n u e v funções vetoriais deriváveis de t, C um vetor constante, e qualquer
escalar e f qualquer função escalar derivável.
d
l . Regra da .função constante:
(jj C = O
2. Regras da 11111/riplicaçào por escalai~
7Ji [cu(t}] = c u'(t)
1, (j(1)u(1)] = f'(t) u(t) + /(t)u'(t)
1r [ + v(t)) = u'(t) + v'(t)
3. Regra da so111a:
~do utilizar a regra do produto
1 ~t~rial. lembre-se de preservar a orden1
u(t)
5. Regra do produto escalar:
d
- . [u{t)- v(t)) = u'(t)- v'(t}
'1
I
d
dt [ u(t) · v(t)) = u'(t) · v(t) + u(t) · v'(t)
6. Regra do produto vetorial:
d
di
[u(t) X v(1)] = u'(t} X v(t) + u(1) X v'(t)
7. Regra da cadeia:
; [u(f(t))] = /'(t) u'(/(t)}
4. Regra tia d{ferença:
dos fatores. Se u ve1u prin1eiro do lado
esquerdo da equação, ele também deve
vir prin1eiro do lado direito. ou os sinais
estarão errados.
Iremos provar as regras do produto e a regra da cadeia, n1as deixaremos as
regras para constantes, múJtiplos escalares, so1nas e diferenças co1no exercícios.
Prova da regra do produto escalar Suponha que
U = 11 1(/)Í + 112(f)j + u 3(t) k
e
Então
d
d
dt( u ·v) = dt(UtU 1 + 112u2 + u3u3)
= 11'1u1 + 11íu2 + uju3 + t1 1uí + 112uí + 1t3u}.
u' ·V
u · v'
Prova da regra do produto vetorial i\!Jodelarnos a prova segundo a dernonstração
da regra do produto para funções escalares. De acordo com a definição de derivada,
d(
)
-
.
u(t+h)X v(t+h)- u(1)X v(t)
u X v = fim - - - - - - - - - - - - ~
h-O
h
Para substituir essa fração por uma equivalente que contenJ1a os quocientes da
diferença para as derivadas de u e v, subtraín1os e adícionan1os u(t) X v(t + h) no
nun1erador. Ent.cio
d
dt ( u X v)
. u(t + li) X v(t + h) - u(t) X v(t + li) + u(t) X v(t + li) - u(t) X v(t)
= hm - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ' - - - - - - - - - - ' -
li
h-O
. [ u(/ +li) - u(1)
(
(
v(t + li) - v(t)]
= 11111
/
X V f + h) + u t) X
/
11~0
,,
1
u(1 + h) - u(t)
v(t + h) - v(1)
= h-O
lin1
X liin v(t + h) + li1n u(I) X lim
/1
/1
h-O
h-O
h-O
A última dessas igualdades se aplica porque o limite do produto vetorial de
duas funções vetoriais é o produto vetorial de seus limites se o último existir (Exercício 32). Conforme h se aproxima de zero. v(t + h) se aproxima de v{t) porque v,
176 Cálculo
sendo derivável en1 r, é contínua en1 r (Exercício 33). As duas frações se aproximatn
dos valores de duldt e dvldt en1 t. E1n resurno,
d
dv
du
(ji ( U X V) = dt X V + U X dt .
Prova da regra da cadeia Suponha que u(s) = a(s)i + b(s)j + c(s)k seja u1na função
vetorial derivável de se que s = j(t) seja uma função escalar derivável de t. Enrão
a, b e e são funções deriváveis de/, e a regra da cadeia para funções deriváveis a
~o uma conveniência algébrica,
1 ;lg~as vezes escrevemos o produto
de un1 escalar e e um vetor v eon10 vc.
e1n vez de cY. Isso nos pennite, por
exemplo, escrever a regra da cadeia en1
u1n formato fan1iliar:
valores reais fornece
.{ [u(s)) = da i + db j + de k
dt
d u d u ds
=ds- dt
dt ·
dt
= f!E. !!! i
dr dt
en1 que s = f (t).
dt
dt
+ çj_Q !!! . + !:!E. !!! k
dr dt J
ds dt
= ds (da i + db . + de
dt ds
ds J
ds
k)
u
=ds-cldt ds
= /'(t) u'(/(t}).
'
/ l/I
Funções vetoriais de comprimento constante
Quando rastrean1os utna partícula e1n 111ovimento en1 un1a esfera centrada na
origem (Figura 13.8), o vetor posição te1n um comprimento constante igual ao raio
da esfera. O vetor velocidade d r/dt, tangente à trajetória do 1novimento. é tangente
à esfera e, consequentemente, perpendicular a r. Esse é sempre o caso para u1na
função vetorial derivável de comprimento constante: o vetor e sua primeira derivada
são ortogonais. Por cálculo direto,
r (/) · r (t) = c2
y
~ [r (t) · r(t)] = O
X
r '(t) · r (t) + r(t) · r '(t) = O
Rci:r.i 5 con1 r (tl
url)
' '''
2 r '(r) · r (t) = O.
Se wna partícula se move
sobre uma esfera, de modo que sua posição
r seja unia função derivável de tempo,
então r · (dr /dr) = O.
FlGURA 13.8
Os vetores r'(t) e r(t) são ortogonais, porque seu produto escalar é O. Em resu1no,
Se r é ua1a função vetorial derivável de t de comprimento constante. então
dr
r ·71 =0.
(4)
Utilizaremos essa observação repetidamente na Seção 13.4. O inverso também
é verdadeiro (veja o Exercício 27).
Exerdcios 13.1
Movimento no plano
Nos Exercícios 1-4, r(/) é a posição de uma partícula no plano ·'J'
no instante /. Encontre wna equação em x e y cujo gráfico seja a
trajetória da partícula. E1n seguida, encontre os vetores velncidade e
aceleração da partícula no valor detenninado de t.
1. r(t) =(t-1 l)i +(t2 - l)j, t= 1
2. r (t)=
1 ~ 1 i ++ j, 1= - 1/2
3. r(t) = e' i + ~ e 21 j . t = ln3
4. r (r) = (cos 2t)i + (3 sen 2t)j,
1= O
Capítulo 13 Funções vetoriais e movimentos no espaço
Os Exercícios 5-8 fornecem os vetores posição de partículas que se
nioven1 ao longo de diversas curvas no plano .\y. En1 cada caso, encontre os vetores velocidade e aceleração da partícula nos instantes
indicados e esboce-os como vetores na curva.
5. Movimento no círculo x 2 + y ? = 1
r = 7T/4 e rr/2
r(t) = (sen t)i + (cos t)j;
6. Movimento no círculo x 2 + y 1 = 16
r(t) = (4 cosi ) i + (4 sen i
)j;
t = ,,, e 37T/ 2
7. Mo,1in1ento na cicloide x = 1 - sen t. y = 1 -cos /
r(t) = (/ - scn t)i + ( 1 - cos t)j: t = 7T e 37T/2
8. Movln1ento na parábola y = x 2 + 1
r(t)=ti + (r2 + l)j: t= - 1,0e 1
Movimento no espaço
Nos Exercícios 9- 14, r(t) é a posição de urna partícula no espaço no
instante t. Encontre os vetores velocidade e aceleração da partícula.
En1 seguida, encontre o módulo da velocidade e a direção do n1ovi1nento da partícula no valor determinado de t. Escreva a velocidade da
partícula naquele instante con10 o produto de sua velocidade e versor.
9. r(I) = (1 + l )i + (F - 1)j + 2tk, / = l
•
(2
•
/)
10. r(r) = (! + 1)1 + VÍ J + J k'
1
1=
11. r(t) = (2 cos t)i + (3 sen l}j + 4tk, t = 7T/2
12. r(t) = (sect)i + (tg 1)j
+;
tk,
2
13. r(t) = (2ln (t+ l))i +1 j +
r = 7r/ 6
,2
,-k. t = 1
~
14. r(1) = (e ' )i + (2 cos 3t)j + (2 se113t)k, t = O
Nos Exercícios 15-18, r(1) é a posição de uma partícula no espaço
no instante 1. Encontre o ângulo entre os vetores velocidade e aceleração no instante 1= O.
15. r(r) = (31 + 1)i + \/31 j + t 2k
16. r(1) =
(i'21)i+ (~1 - 2)j
16t
17. r(1) = (ln (1 2 + 1)) i + (tg- 11)j + V1 2 + 1 k
18. r(1) = ~ ( 1 + 1) 312 i + : ( 1 -
31
l) 1 j
+ ~ /k
Tangentes a curvas
Conforme mencionado no texto. a reta ta ngente a uma curva suave
r(1) = /(1)i + g(1)j + /r(r) k cm t = 10 é a reta que passa pelo ponto
(f(tiJ, g(10), li(ru)) paralela a v(t0 ), o vetor velocidade da curva em 10.
Nos Exercícios 19-22, encontre equações paramétricas para a reta que
é tangente à curva determinada no valor dado do parâmetro t = 10.
19. r(1) = (scn 1)i + (F - cos 1)j + c'k, 10 = O
20. r (f) = 12i + (21 - 1)j + l3k,
21. r(r) = ln 1 i + ~ ~
i+
j
1 = 2
0
t ln / k,
Teoria e el<emplos
23. Movimento ao longo de um circulo Cada uma das seguintes equações nos itens (a) a (e) descreve o 1novi1nento de uma
partícula que tem a mes1na trajetória, a saber, o círculo unitário x2 + J ,2 = 1. Ainda que a trajetória de cada partícula nos
itens (a) a (e) seja a nies1na, o co1nportamento, ou "dinán1ica",
de cada partlcula é diferente. Para cada partícul:i, responda às
seguintes questões.
i) A pariícula 1e1n módulo de velocidade constante? Em caso
positivo. qual é sua velocidade constante?
ü) O vetor aceleração da partícula é sempre ortogonal a seu
vetor velocidade?
iii) A partícula se rnove en1 sentido horário ou antí-horârio ao
redor do circulo?
iv) A partícula parte do ponto ( 1, 0)?
a. r(1) = (cos t)i + (sen 1)j , 1~ O
b. r(I) = cos (21)i + scn (21)j, 1~O
c. r(1) = cos (t - 7T/2)i + sen (1 - 7T/2)j , t ~ O
d. r(I) = (cos l)i - (sen 1)j . / ~ O
e. r(t) = cos (t2)i + scn (P)j . 1~ O
24. lovin1ento ao longo de uni círculo Mostre que a função a
valores vetoriais
r(I) = (2i + 2j + k)
+ cos / (
~ i - ~j) + sen ~ i + V31 j + V31 k)
1(
descreve o movimento de unia partícula que se n1ove no círculo de raio 1 centr..rdo no ponto (2. 2. 1) e pern1anece no plano
x +y - 2z = 2.
25. Movi1nento ao longo de un1a parábola Un1a partícula se
move ao longo do topo da parábola ; .2 = 2x da esquerda para a
direita co1n n1ódulo de velocidade constante de 5 unidades por
segundo. Encontre a velocidade da partícuJa quando ela passa
pelo ponto (2, 2).
26. i\'lovin1ento ao longo de un1a cicloide Uma partícula se
n1ove no plano xy. de tal forn1a que sua posição no tempo / seja
r(I) -= (t scn t)i + ( 1 - cos t)j .
O a. Desenhe r(/). A curva resultante é unia cicloide.
b. Encontre os valores máxi1no e mini1no de !vi e lal. (Dica:
encontre primeiro os valores extremos de jvj2 e lal2 e tire as
raízes quadradas depois.)
27. Seja r un1:1 função vetorial derivável de 1. Moslre que se
r · (drldt) = Opara todo 1, então lrl é constante.
28. Derivadas dos produ tos nlistos
a. Mostre que. se u, v e '" são funções vetoriais deriváveis de
t, então
d
du
dv
- (u ·v X \V)= - ·v X \V + u · - X ,,.+
dr
d1
=
22. r (1) = (cost)i + (sen 1)j + (sen 21)k, r0 = ~
dt
b. Mostre que
!!...
10
177
dr
(r.dr r) r. (dr dr).
dr
X tl
2
d1 2
=
X
dt
3
d1 3
(Dica: derive à esquerda e procure por vetores cujos produtos
scjain zero.)
178
Cálculo
29. J>rove as duas regras da multiplicação por escalar para funções
vetoriais.
30. Prove as regras da soma e da diferença para funções vetoriais.
3 1. Teste de con1ponente para continuidade em un11>onto l\llostn: que a função vetorial r. definida por r (I) = /(l)i + g(l)j + lt(l)k,
é continua en1 1= 10 se, e somente se./, g e li são continuas em 10 .
32. Limites de produtos vetoriais de funções vetoriais Suponha que r 1(1) = J;(t)i + J;_(1)j + hV)k, r 2(t) = g 1(t)i + g 2(1)j +
g 3(1)k, lin11_,0 r 1(t) = A, e lim,_ r2(t) = B. Utilize a fónnula
.
o . .
do detern11nante para produtos vetona1s e a regra do produto do
limite para funções escalares para mostrar que
li1n (r 1(t) X r 2{1)) = A X 8 .
, ...... f(I
33. As funções vetoriais deri váveis são contínuas
Mostre que,
se r(/) = /(1)i + g(l)j + h(t) k é derivável em t = 10 , então ê continua em 10 tainbém.
34. Regra da função constante Prove que, se u ê a função vetorial co1n valor constante C, então d ufdr = O.
US-0 DO COMPUTADOR
Utilize um SAC para realizar as seguintes etapas nos E,xereicios 35-38.
a. Represente gralica1nente a curva espacial traçada pelo vetor posição r .
b. Encontre os componentes do vetor velocidade drfdt.
e. Avalie drl dt no ponto determinado 10 e defina a equação da
reta tangente à curva em r(/0 ).
d. Represente graficamente a reta rangente com a curva ao
longo do intervalo dado.
13.2
35. r (t) = (sen t - t cos t)i + (cos / + t sen t)j + 12k.
Os t s 6'1T, 10 = 3'1712
36. r(t) = VÍt i + e 1j + e- 1 k,
- 2 s 1 s 3,
lo= 1
37. r(1) = (sen 21)i + (ln ( 1 + 1)}j + tk, O< t s 47T,
38. r (t) = (ln (1 2 + 2))i + (lg- 1 31)j +
- 3 ::5 I ::5 5.
1 = 'ITl4
0
Vt 2 + 1 k,
to= 3
Nos Exercícios 39 e 40. você irá explorar graficamente o comporla1nento da hélice
r(t) = (cos a1)i + (sen at)j + brk
confonne você altera os valores das constantes a e b. Utilize um
SAC para realizar as etapas em cada um dos exercícios.
39. Defina b = 1. Represente graficamente a hélice r(t) com a
reta tangenle à curva en1 t = 37T/2 para a = l, 2, 4 e 6 sobre o
intervalo O < t < 4?T. Descreva con1 suas próprias palavr.is o
que acontece ao gráfico da bêlice e à posição da reta tangente
conforn1c a awnenta passando por esses valores positivos.
40. Defina a = 1. Represente graficamente a hélice r (/) co1n a reta
tangente à curva e1n 1 = 3'17/2 para b = 1/4, 1/2, 2 e 4 durante
o intervalo Os t s 47T. Descreva con1 suas próprias palavras o
que acontece ao grálico da hélice e à posição da reta tangente
conforme b aumenta passando por esses valores positivos.
Integrais de funções vetoriais; movimento de projétil
Nesta seção iremos investigar integrais de funções vetoriais e sua aplicação ao
n1ovi1nento ao longo de uma trajetória no espaço ou no plano.
Integrais de funções vetoriais
Uma função vetorial deri vável R (t) é uma primitiva ou antider;vad a de u1na
função vetorial r (t) em um intervalo 1, se dRldt = r etn cada ponto de / . Se R é
u1na antiderivada de r en1 /.pode ser den1onstrado, traba lhando u1n con1ponente
de cada vez, que toda antiderivada de r em f possui a forma R + C para algum
vetor constante C (Exercício 41 ). O conjunto de todas as antiderivadas de r em I
é a integra l indefinida de r em /.
~
DEFINIÇAO
A integral indefinida de r com relação a l é o conjunto de todas as
antíderivadas de r , denotado por f r(t) dt. Se R é qualquer antiderivada de r, então
; · r (I) dt = R(I) + C .
As regras aritméticas us uais para integrais indefinidas se aplicam.
Capítulo 13
EXEMPLO 1
ponentes.
j ((cost)i +
Funções vetoriais e movimentos no espaço
179
Para integrar uma função vetorial, integramos cada um de seus com-
j - 2t k )dt = ( / costdt) i + ( / dt)j - ( / 2tdt) k
(1)
= (sen t + C1 )i + (t + C2)j - (t 2 + C3)k
= (sen t)i + tj - f 2k +
e
( - ( ,1
( :j
(2)
ek
Assim como na integração de funções escalares, recomendamos que você ignore as etapas nas Equações 1 e 2 e vá diretamente à fonna final. Encontre wna
antiderivada para cada co1nponente e adicione urn vetor co11stc111te no final.
Integrais definidas de tlmções vetoriais são melhor definidas em termos de
con1ponentes. A definição é consistente con1 a fonna con10 con1putan1os limites e
derivadas de funções vetoriais.
1 OEFINlÇÃO Se os co1nponentes de r(t) = f(t)i + g(t)j + h(t)k são integráveis
sobre [a. b], então r tan1bém é, e a integral definida de r de a até b é
EXEMPLO 2
Assim como no Exemplo 1, integramos cada componente.
1"'((cos t)i + j - 2t k ) dt (1" cos t dt)i + (1"' dt )j - (11T21 dt)k
=
= [ sen /
l: + ( l:
i
t
j - (/
= [O - O]i + [1T - O]j -
2
l:
k
[7r 2 - 02] k
= 'l'Tj - 7T 2k
O teorema fundamental de cálculo para funções vetoriais contínuas diz q11e
lh
}a r(l) dt = R(t) ]! = R(b) - R(a)
e111 que R é qualquer antiderivada de r, de forn1a que R'(t) = r(t) (Exercício 42).
EXEMPLO 3 Suponha que não conheçan1os a trajetória de urna asa-delta, rnas
somente seu vetor aceleração a(l) = - (3 cos 1)i - (3 sen /)j + 2k. Sabemos ainda que
iniciaunente (no instante / = O) a asa-delta parriu do ponto (3, O, 0) con1 velocidade
v(O) = 3j . Encontre a posição da asa-delta con10 un1a função de 1.
Solução Nosso objetivo é encontrar r(t), sabendo
2
A equação diferencial:
a = d ~ = -(3 cos t)i - (3 sen l)j + 2k
As condições iniciais:
v(O) = 3j
dr-
e
r{O) = 3i + Oj + Ok.
Integrando os dois lados da equação diferencial corn relação a t, te1uos
v(t) =-(3 sen 1)i + (3 cos 1)j + 2tk + C 1.
Utilizamos v(O) = 3j para encontrar C 1:
3j = -(3 sen O)i + (3 cos O)j + (O)k + C1
3j = 3j + C1
C 1 = O.
180
Cálculo
A velocidade da asa-delta con10 uma função do ten1po é
!/t, = v(1) = - (3 sent)i + (3 cos t)j + 2t k.
.__...-
- r----
A integração de ambos os lados dessa última equação diferencial fornece
r (t) = (3 cos t)i + (3 sen r)j + t 2k + C 2.
Então utilizamos a condição inicial r (O) = 3i para encontrar C 2 :
3 i = (3 cos O)i + (3 sen O)j + (0 2 )k + C 2
3i = 3i + (O)j + (O) k + C2
FIGURA 13.9 Trajetória da asa-della no
Exen1plo 3. Ainda que a trajetória realize
um movimento de espiral ao redor do eixo
=, não se trata de w11a hélice.
C2 = O.
A posição da asa-delta como u1na função de t é
r(t) = (3 cos t)i + (3 sen /)j + t2 k .
Essa é a trajetória da asa-delta exibida na Figura 13.9. Ainda que a trajetória
se pareça com aquela da hélice por espiralar ao redor do eixo z, não se trata de u1na
hélice. por causa da maneird co1110 ela está subindo. (Con1entare1nos 1nais sobre isso
na Seção 13.5.)
Nota: foi revelado neste exemplo que an1bos os vetores constantes de integração, C 1 e C 2, são O. Os Exercícios 15 e 16 fo111ecem exe1nplos para os quais os
vetores constantes de integração não são O.
Equações vetoriais e paramétricas para movimento de projétil ideal
J
___
/ .,,..__...._
r = Ono
lCmPo
1 =O
.....__ _ _ X
lvol coo a i
ª = - gj
(a )
y
(x. y)
V
Um exemplo clássico de integração de funções vetoriais é a dedução das equações para o 1novimento de u1n projétil. Na física, o movimento de projétil descreve
con10 um objeto disparado en1 detem1inado ângulo a partir de unia posição inicial, e
influenciado somente pela força da gravidade, n1ove-sc cm wn plano de coordenada
vertical. No cxctnplo clássico, ignoramos os efeitos de qualquer resistência sobre o
objeto, que pode variar com seu módulo de velocidade e altitude, e ta111bém o fato
de que a força da gravidade niuda ligeiramente confonne a altura do projétil. Além
disso, ignora1nos os efeitos de longa distância da Terra girando abaixo do projétil,
con10 em un1 lançamento de foguete ou un1 disparo do projétil de Lun canhão. Ignorar esses efeitos nos fornece unia aproximação razoável do 111ovimcnto na maioria
dos casos.
Para produzir equações para movi1nento de projéti l, assu111imos que este se
co1nporta co1no u111a partícula que se desloca em um plano de coordenada vertical
e que a única força agindo sobre o projétil durante seu voo é a força constante da
gravidade, que sempre aponta diretamente para baixo. Assu1nimos que o projétil é
lançado a partir da origem no instante t = Opara o primeiro quadrante com uma velocidade inicial v0 (Figura 13. 10). Se v0 forma u111 ângulo a con1 a horizontal, então
v0 = (lv01 cos a)i + (lv01 sen a)J.
Se utilizan11os a notação 1nais simples v 0 para o 1116dulo de velocidade inicial
lv01, então
v0 = (u0 cos a)i + (u0 sen a)j .
-=-""-------------''-+
X
0
1------R------i
Fu L~a horiz.ontal
(b)
FIGURA 13.10 (a) Posição. velocidade,
aceleração e ângulo de lançaincnto cn1
t = O. (b) Posição, velocidade e aceleração
cn1 um instante r posterior.
(3)
A posição inicial do projétil é
r 0 = Oi + O.i = O.
(4)
A segunda lei de n1ovitnento de Newton diz que a força que age sobre o projétil
é igual à massa n7 do projétil vezes sua aceleração. ou 1n(d1rld12) se r for o vetor
posição do projéti l e t for o te1npo. Se a força for exclusivan1ente a força gravitacional - 111gj , então
e
.
-gJ
Capítulo 13 Funções vetoriais e movimentos no espaço
181
em que g é a aceleração da gravidade. Encontramos r con10 uma função de t resolvendo o segu inte problen1a de valor injcial.
d 2r
.
Equação diferencial :
dt 2 = -gJ
Condições iniciais:
r = ro
dr
dt
quando r = O
- = Vo
e
A prin1eira integração fornece
dr
dt
= -(gf)j + Vo.
A segunda integração fornece
r = - ~ gt2j + vol + r o.
Substituir os valores de v0 e r0 nas Equações 3 e 4 fornece
r = -~gr 2j + (uocosa)r i +(uosena)tj + O.
1 /
Agrupando os termos, temos
Equação de movimento de projétil ideal
r = (vocoscr)t i + (<vosena)I -tg1
)j.
2
(5)
A Equação S é a equação vetorial para movin1ento de projétil ideal. O ângulo
a é o ângulo de lançamento do projétil (ângulo de disparo, ângulo de elevação)
e v 0 • confonne dito anterionnente, é o n16dulo de velocidade inicial do projétil. Os
componentes de r fornece1n as equações paramétricas
x = (vo cos a)t
e
)' = (vo sen a)t -
~ gt 2,
(6)
em que x é a distância ao longo da trajetória e y é a altura do projétil no instante t > O.
EXEMPLO 4 Um projétil é disparado da origem sobre u1n plano horizontal co111
um módulo de velocidade iniciàl de SOO m/s e u111 ângulo de lançamento de 60º.
Onde o projétil estará 1Osegundos depois?
Solução Utilizan1os a Equação 5 co1n v0 = 500, a= 60°, g =
trar os componentes do projétil 1O segundos após o disparo.
r = (uo cos a)t i + (<vo sen a)t -
9,8 e t = 1Opara encon-
~ gr2)j
= (soo>(i)<1o)i + (csoo>("'{3)10 - (t)c9,8)(1oo))j
~
2500i + 3840j
Dez segundos após o disparo, o projétil estará cerca de 3.840 111 acima do solo
e terá percorrido a distância de 2.500 m desde o local de orige1n.
Projéteis ideais se 1noven1 ao longo de parábolas, como pode1nos agora deduzir
das Equações 6. Se substituinnos t = xl(u0 cos cr) da priineira equação para a segunda, obtemos a equação de coordenadas cartesianas
)' = - (
~
2vo cos- a
g
2
)x +
2
(tga)x.
Essa equação ten1 a fonna y = ax2 + bx, portanto seu gráfico é Luna parábola.
182
Cálculo
Un1 projétil alcança seu ponto mais alto quando seu co1nponente de velocidade
vertical é zero. Quando disparado sobre un1 plano horizontal, o projétil atinge o solo
no instante em que seu componente vertical é igual a zero na Equação 5, e o alcance
Ré a distância entre a origem e o ponto de impacto. Resu1nimos os resultados aqui,
os quais você é solicitado a verificar no Exercício 27.
)'
Altura, tempo de voo e alcance para movimento de projétil ideal
Para movimento de projétil ideal quando um objeto é lançado a partir da orige1n
sobre urna superfície horizontal com módulo de velocidade inicial u0 e ângulo
de lançamento a:
(uo sen a) 2
Altura 111áxi1na:
)'m"~ =
2g
Tetnpo de voo:
-l-----------_._
.l
o
AGURA 13.11 Trajetória de utn projétil
disparado de (x0 ,y0 ) com uma velocidade
inicial v0 em tun ângulo de a graus
com a horizontal.
2uosen a
g
I =----
vo2
Alcance:
R = -gsen 2cr.
Se disparannos nosso projétil ideal a partir do ponto (x0 , y 0 ) e1n vez da origem
(Figura 13.11 ), o vetor posição para a trajetória do 1novi1nento é
,. = (xo + (uocoscr)t)i
+~o+ (uosen a)t - Ig1 2 ) j ,
(7)
conforme você será solicitado a mostrar no Exercício 29.
Movimento de projétil com rajadas de vento
O próximo exemplo 111ostra como levamos em consideração outra força agindo
sobre un1 projétil, por causa de Ullla rajada de vento. Também assumimos que a trajetória de uma bola de beisebol no Exemplo 5 está e111 uni plano vertical.
EXEMPLO 5
Uma bola de beisebol é atingida quando está 3 pés acin1a do solo.
Ela deixa o taco co1n n1ódulo de velocidade inicial de 152 pésls, formando um ângulo de 20° com a horizontal. No instante em que a bola é atingida, u1na rajada de
vento instantânea sopra na direção horizontal diretan1ente oposta à que a bola está
tomando ao can1po externo, adicionando uLn componente de - 8,8i (pés/s) à velocidade inicial da bola (8,8 pés/s = 6 milhas/hora).
(a) Encontre uma equação vetorial (vetor posição) para a trajetória da bola de beisebol.
(b) Qual a altura 1náxin1a atingida pela bola e quando ela atinge essa altura?
(e) Assu111i:ndo que a bola não é pega, encontre seu alcance e te1npo de voo.
Soluçá.o
(a) Utilizando a Equação 3 e levando em conta a rajada de vento, a velocidade
inicial da bola de beisebol é
vo = (uo cos a)i + (vo scn a)j - 8,8i
= ( 152 cos 20°)i + ( 152 sen 20º)j - (8,8)i
= ( 152 cos 20º - 8,8)i + ( 152 sen 20º)j .
A posição inicial é r0 = Oi + 3j . A integração de <f-rldt1 =
dr = - (g(·)·J + Vo.
dt
gj fornece
Capítulo 13
Funções vetoriais e movimentos no espaço
183
U1na segunda integração fornece
l 7 . + vot + ro.
r = -2gt-J
Substituir os valores de v0 e r 0 na (Llti1na equação fornece o vetor posição da
bola de beisebol.
l 2·J + vot + ro
r = -2gt
= - 16t 2j + (152 cos 20° - 8,8)t i + ( 152 sen 20º)tj + 3j
= ( 152cos20º - 8.8)ti
+ (3 + (152sen20º )1 - 161 2)j.
(b) A bola de beisebol atinge seu ponto mais alto quando o componente vertical da
velocidade é zero ou
152 sen 20° - 321 = O.
Solucionando para /, encontnunos
1
= 152 sen 20° ~
32
1.62 s.
Substituir esse tempo pelo co1nponentc vertical para r fornece a altura máxin1a
Jlma,x = 3
+ (152 sen 20°)( 1.62) - 16( 1,62)2
::::: 45,2 pés
Ou seja. a altura n1áxima da bola de beisebol é de cerca de 45,2 pés, atingida
cerca de 1,6 segundo após ter deixado o taco.
(e) Para descobrir quando a bola atinge o solo, definimos o con1ponente vertical
para r igual a Oe soluciona1nos para 1:
3 + (152 sen 20º )t - l 6t2 = O
3 + (5 1.99)1 - l 612
=o.
Os valores da solução são de cerca de / = 3,3 s e / = - 0,06 s. Substituindo o
tempo positivo no componente horizontal para r. encontmi11os o alcance
R = ( 152 cos 20º - 8,8)(3,3)
::::: 442 pés.
Assim, o alcance horizontal é de cerca de 442 pés e o tetnpo de voo é de cerca
de 3,3 segundos.
os Exercícios 37 e 38, considern1nos o movimento do projétil quando existe
resistência do ar desacelerando o voo.
Exercidos 13.2
Integrando funções a valores vetoriais
4.
1"
5.
j [+ i + 5~ ,J + ;, k]d1
13
Avalie as integrais nos Exerci cios 1-1O.
l.
1 +
'[r 3i
2
2.
j [(6r./4
3.
1
-fr/ 4
({sec 11g t) i + (tg t}j + (2 sen 1 cos t)k] dr
4
7j + (1 + 1)k] dr
6t)i + 3Vtj +
(~)k ]t11
({sen 1)i + ( 1 + cos 1)j + (sec2 t) k] dt
11 [
6. º vi2- r2 .• + i v3
k]
d
+ ,z '
1.
l\1e +e-• +
12
i
j
k) dt
184
Cálculo
2.1. Allu ra e tempo de voo Um projétil é disparado co1n uma velocidade inicial de 500 nlls con1 u1n ângulo de elevação de 45°.
ln 3
8.
[te' i + e' j + ln t k] dr
./.
f "'l [cos t i - sen 21 j + sen2 t k] dr
9. }o
l0. 1
1114
[secr i + tg2 1j - rsen r k]dt
Resolva os problen1as de valor inicial nos Exercícios 1 1-16 para r
corno uma função vetorial de t.
Condição inicial:
12. Equação diferencial:
Condição inicial:
~~ = - li - rj - t k
r(O) = i + 2j + 3k
~ = (180t)i + (180/ - 16r2 )j
r(O) = IOOj
13. Equação diferencial: d r = }._(t+
dt
2
Condição inicial:
J4. Equação diferencial:
Condição inicial:
Condições iniciais:
G1
r(O) = i + j
d r = -32k
dr 2
r(O) = IOOk e
dI
I
o
= 8i + 8j
?
16. Equação diferencial: d· 2r = -(i + . + k )
dt
J
Condições iniciais:
Uma máquina no nível do solo
dispara uma bola de golfe con1 um ângulo de 45". A bola atinge o solo a 1Om de distância.
a. Qual o n1ódulo de velocidade it1icial da bola?
b. Para o 1ncs1no n1ódulo de velocidade inicial. encontre dois
ângulos de disparo que forn1en1 un1 alcance de 6 111.
24. En1issão de elétrons U1n elétron e1n um tubo de TV é cn1itido
horizontaln1ente com uo1 módulo de velocidade de 5 X 1Ob mls
cn1 direção à fTentc do tubo, a 40 cn1 de distância. Quanto o
elétron cairá antes de atingir a face do n1bo?
25. Angulos de t·iro de alcances iguais
dlr = (t 3 + 4r)i + tj + 2t 2 k
dr
23. Lançando bolas de golfe
•
r(O) = k
2
IS. Equação diferencial:
Un1a bola de beisebol é
lançada da arquibancada, 32 pés acima do campo, en1 um ângulo de 30" a partir da horizontal. Quando e quão longe a bola irá
atiugir o solo se seu módulo de velocidade inicial for de 32 pés/s?
22. Arremessando uma bola de beisebol
Problemas de valor inicial
l l. Equação diferencial:
a. Quando e a que distância o projétil irá atingir o solo?
b. Que alrura a partir da superfície o projétil terá alcançado quando tiver percorrido 5 km na horizontal do ponto de lança1nento?
c. Qual é a altura do ponto mais alto alcançado pelo projétil?
r(O) = 1Oi + 1Oj + 1Ok e
dr
"' o
d/ I 0
Movimento ao longo de uma reta
17. No instante t = O, uma partícula está localizada no ponto
(1, 2. 3). Ela se des loca cn1 linha reta até o ponto (4. 1. 4),
ten1 rnódu lo de velocidade 2 en1 ( 1, 2. 3) e aceleração constante 3i - j + k. Encontre uma equação para o vetor posição
r(t) da partícula no instante t.
Quais dois ângulos de
elevação perinitirâo a un1 projétil atingir u1n alvo a 16 k1n de
distância no 1nesmo nivel que o canhão se o 111ódulo de velocidade inicial do projétil for de 400 nvs?
26. Alcance e altura versus módulo de velocidade
a. Mostre que dobrar o 1nódulo de velocidade inicial de um
projétil e111 uni detenninado ângulo de Jança1nen10 multiplica seu alcance por 4.
b. Aproxi1nadamente cn1 que porccntagen1 você deveria aun1entar o módulo de velocidade inicial para dobrar sua alrura e seu alcance?
27. Verifique os resultados fornecidos no tex10 (após o Exemplo 4)
para a altura máxima, tempo de voo e alcance para um n1ovimento de projétil ideal.
28. Bolinhas de gude en1 colisão A figura a seguir mostra um
experimento com duas bolas de gudc. A lx>la A foi lançada em
direção â bola B com ângulo de lançamento a e n1ódulo de velocidade inicial 110• No mesn10 instante, a bola B foi derrubada a
partir do repouso e1n R tg a unidades diretamente acin1a de um
ponto a unta distância de R unidades de A. As bolas colidiriam
independentemente do valor de v0. Isso foi mera coincidência
ou deveria n1esmo ter acontecido? Justifique sua resposta.
8
18. Uma partícula que se desloca em linha reta esta localizada
no pooto ( l. - l. 2) e teiu módulo de velocidade 2 no instante
t = O. A particula se move cm direção ao ponto (3, O. 3) com
aceleração constante 2i + j + k. Encontre seu vetor posição
r(/) no instante 1.
Movimento de projétil
Os voos de projéteis nos exercícios a seguir deven1 ser tratados con10
ideais, a n1enos que de outra forma orientado. Todos os ângulos de
lançan1ento são rnedidos a pariir da horizontal. Todos os projéteis
são lançados a partir da origem sobre uma superfície horizontal, a
n1enos que de outra forma orientado.
19. Tempo de percurso Um projétil é disparado a uma velocidade de 840 rn/s corn urn ângulo de 60". Quanto tempo ele irã
levar para atingir 2 l kin de distância do local de disparo?
20. Encontrando o n1ódulo da velocidade de saída Enconlre a
velocidade de saida de u1n canhão cujo alcance n1àxi1no seja
de 24,5 kn1.
A
i--~~~~R~~~~-
29. Atirando de (x0,y0)
Deduza as equações
x = x0 + (110 cos a)t,
1
y = Yo + (11osen a)t - 2gt 2
(veja a Equação 7 no texto), resolvendo o seguinte problcn1a
de valor inicial para um vetor r no plano.
Capítulo 13
Equação diferencial:
Condições iniciais:
d 2r
.
- 2 = -g1
dt
;
r(O) = x0i + ycJ
2)1 = ~
u4
,
4g
4g·
em quex~ ().
)'
Elip~e
,
I
,, "
/:. .__
----r--.
.
, --...
Trajetória
/
parabólica
--t--:
1
\
---
Bandeira
Oree11
;/
30. Onde trajetórias atingenl o ápice Para u1n projétil disparado do solo con1 um ângulo de lançamento a co1n 1116dulo
de velocidade inicial v 0 , considere a conto uma variável e 110
co1no uma constante fixa. Para cada a, O< a < 'TT/2. obtemos
uma trajetória parabólica conforme mostrado na figura a seguir. Mostre que todos os pontos no plano que fornecem as
alturas 111áximas dessas trajetórias parabólicas estão na elipse
u
x 2 + 4 ( y - .J!_
,,,.
, ,,,.
,. //
Tt(O) = (vocosa)i + (110 sen a)j
o
3 1. Atira ndo um proj étil em um declive Um projétil ideal é
lançado direta111ente ao longo de un1 plano inclinado, conforme mostrado na figura a seguir.
a. Mostre que o 1naior alcance no declive é atingido quando o
vetor velocidade inicial bissecta o ângulo AOR.
b. Se o projétil fosse atirado em um aclive em vez de um declive, que ângulo maximizaria seu alcance? Juslifique sua
resposta.
1
116 pés/h
45º
--"--1-'-- -
l
1
/
-
185
Funções vetoriais e movimentos no espaço
:
1
-
-
-
- -
-
-
-
- -
-
__ __l
Teel -------------~
369 pés
FORA DE F.SCAl..A
33. Voleibol Uma bola de voleibol é golpeada quando está 4 pés
aci1na do solo e 12 pés da rede, de 6 pés de aln1ra. A bola deixa
o ponto de irnpacto com velocidade inicial de 35 pés/s corn
um ângulo de 27º e passa pelo tin1c adversário scn1 ser tocada.
a. Encontre uma equação vetorial para a trajetória da bola.
b. Qual a ahura alcançada pela bola e quando ela atinge sua
altura máxima'?
e. Encontre seu alcance e tcn1po de trajetória no ar.
d. Quando a bola está 7 pés acin1a do solo'? A que distância
(no solo) a bola está do ponto onde atingirá o solo?
e. Suponha que a rede seja elevada para 8 pés. Isso 1nuda as
coisas? Explique.
34. Lançamento de peso En1 J\lloscou, 1987. Natalya Lisovskaya bateu o recorde mundial feminino lançando um peso de
8 lb 13 oz a 73 pés e 1O pol. Considerando que ela tenha lançado o peso a um àngltlo de 40º com a horizontal 6,5 pés acima do solo. qual era o nlódulo de velocidade inicial do peso?
35. Trcn1 em miniatura A fotografia ff111/1ijlash a seguir n1ostra
unia miniatura de locomotiva que se n1ove con1 un1 1116dulo de
velocidade constante em um trilho reto e horizontal. Enquanto
a locomotiva se n1ovia. unia bola de gudc foi lançada no ar por
tuua mola na chaminé da locomotiva. A bola, que continuou
se movendo co1n a mesn1a velocidade para a frente com a loconiotiva, reuni u-se com esta 1 s depois de ter sido atirada.
Meça o ângulo da trajetória da bola com a horizontal e utilize
as informações para descobrir a altura atingida pela bola e a
velocidade em que a locomotiva estava se rnovendo.
• •
A
•
•
•
"3
u
t:
·-
•
•
•
~
•
- .
•
o
32. Gree11 elevado U1na boln de golfe é atingida com um n1ódulo de velocidade inicial de 116 pés/s cn1 um ângulo de elevação de 45° a partir do tee para um green (ârea onde fica o buraco), que está elevado 45 pés acin1a do tee, confonnc mostrado
no diagrama.Assumindo que a bandeira. localizada a 369 pés
de distância, não esteja no caminho, onde a bola aterrissará en1
relação à bandeira?
cu
&
•
.&
,_-'''
36. Atingindo uma bola de beisebol sob uma rajada de vento
Uma bola de beisebol é rebatida quando está 2.5 pés acirua do
solo. Ela deixa o taco com velocidade inicial de 145 pés/s co1n
um ângulo de lançan1en10 de 23°. No instante em que a bola é
atingida, u1na rajada de vento instantânea sopra contra a bola.
adicionando un1 componente de - 14i (pés/s) à sua velocidade
inicial. U1n alambrado de 15 pés de altura está a 300 pés do
ponto inicial da trajetória da bola no ar na direção do voo.
a. Encontre un1a equação vetorial para a trajetória da bola.
b. Que altura a bola atinge e quando alcança sua altura 1náxin1a?
e. Encontre o alcance e o 1cn1po de voo da bola, considerando
que a bola não é pega.
186 Cálculo
d. Quando a bola atinge 20 pés de altura? A que distância
(n1edida pelo solo) a bola está do ponto inicial nessa altura?
e. O rebatedor fez um ho111e run'? Explique.
(Obserl'ação: se a bola passar por cima do alambrado, o
jogador poderá dar uma volta no campo e n1arcar o ponto,
conhecido como ho111e r11n.)
Movimento de projétil com resistência linear
A principal força que afeta o movimento de uni projétil, além da
gravidade, é a resistência do ar. Essa força retardadora é a força
de resistência, e atua em sentido oposto à da velocidade do projétil (veja a figura a seguir). Para projéteis se movendo pelo ar coo1
módulos de velocidade relativa.mente baixos, no entanto. a força de
resistência é (aproxi111ada1nente) proporcional ao 1nódulo de velocidade (na primeira potência}, e assim é chainada linear.
)'
Velocid:tde
Força de
resistência
Teoria e exemplos
39. Estabeleça as seguintes propriedades das funções vetoriais integráveis.
a. A regra da 11111/tiplicaçào por escalar co11s1a11te:
lb
lb
k r(f) dr = k
r (r) dr
A regra para negativos.
.lh(- r(t))dr = - lhr(r)dr ,
é obtida ton1ando k =-1.
b. As regras da so111a e da diferença:
l "(r1(t) ± ri(r)) dr =
-
Grnvidadc
/
(k qualquer escala)
1"
r 1(t) dt ±
l br (t) dt
2
c. As regras de 111tt!tiplicaçào por l'efor co11s1aure:
1"
1" d1
C · r(r) dt = C ·
.l"
r(I) tlt (qualquer vetor constante C)
e
C X r(r)
37. Força de resistência linear
vo
Deduza as equações
_, 1
x = y(I - e " )cosa
Uo
g
1
) ' = - ( 1 - e - k )( sen a) + - ( 1 - k r - e- k ')
k
k2
resolvendo o problen1a de valor inicial a seguir para um vetor
r no plano.
ti 2r
.
,,
.
,, d r
Equação diferencial: -dt 2 = - gj - r{ \I = - gJ - r<dt
Condições iniciais:
r(O) = O
!!_ir
= v0 = (vo cos c:r)i + (uo scn cr)j
t r t=O
O coeficiente de resistência k é uma constante positiva que
representa a resistência decorrente da densidade do ar, u0 e a
são o n1ódulo de velocidade inicial e o ângulo de lançamento
do projéLil, e g é a aceleração da gravidade.
38. Atingindo unia bola de beisebol con1 resistência linear Considere o proble1na de beisebol no Exemplo 5, en1 que existe urna
resistência linear (veja o Exercício 37). Assuma uni coeficiente
de resistência k = 0.1 2, mas nenhu1na rajada de vento.
a. A partir do Exercicio 37, encontre unia forn1a vetorial para
a trajetória da bola.
b. Que altura a bola alcança, e quando ela atinge a altura máxima?
e. Encontre o alcance e ten1po de voo da bola.
d. Quando a bola está a 30 pés de altura? A que dislància (medida pelo solo) a bola de beisebol está do rebatedor nessa altura?
e. Um alan1brado de 1O pés de altura está a 340 pés do rebatedor na direção do voo da bola. O jogador do outTo tin1e
pode pular e apanhar qualquer bola a uma altura de até 11
pés aei1na do solo para impedir que ela ultrapasse o alan1brado. O rebatedor fez um hon1e r11n?
(Obser1•açào: se a bola passar por cin1a do alan1brado. o
jogador poderá dar uma volta no campo e marcar o ponto,
conhecido como ho111e 11111. )
Xihr(r) dr (qualquer vetor constante C)
= C
40. Produtos de funções escalares e vetoriais Suponha que a
função escalar 11(1) e a função vetorial r (t) sejam ambas definidas para a :S r :S b.
a. Mostre que 11r é contínua em [a, b] se 11 e r forem contínuas
em [a, b].
b. Se 11 e r forem an1bos diferenciáveis cn1 [a, b], nlostrc que
ur é diferenciável em [a, b] e que
d
dr
du
- (11 r ) = 11 - + r - .
dr
dt
dr
41. Antiderhradas de fun ções vetoriais
a. Utilize o corolário 2 do teorenia de valor n1édio para funções escalares para mostrar que, se duas funções vetoriais
R 1{t) e Ri{t) têm deriv-.idas idênticas em um intervalo /,
então as funções diterc1n por u1n valor vetorial constante
por todo/.
b. Utilize o resultado no iten1 {a) para mostrar que se R(I) é
qualquer antiderivada de r(r) e1n /, então qualquer outra antiderivada de r em I é igual a R(t) + C para qualquer vetor
constante e.
42. Teore1na Fundan1ental do Cálculo O Teoren1a Fundan1ental do Cálculo para funções escalares de u1na variável real
ta1nbé1n é v:ílido para funções vetoriais de un1a variável real.
Prove que essa afirmação é verdadeira utilizando o teorema
para funções escalares para 1nostrar prin1eiro que, se uma flmção vetorial r(r) é contínua para a s t :S b, então
-dl' r (-r) d-r = r (f)
t1r a
en1 todo ponto r de (a, b). Em seguida, uLilize a conclusão no
item (b) do Exercício 41 para mostrar que, se R é qualquer
antiderivada de r em [a, b], então
"
1
r (/)dr = R(b) - R(a).
Capítulo 13
43. ~\tingindo unia bola de beisebol com resistênci.a linear sob
uma rajada de vento Considere novan1cntc o problcn1a sobre beisebol no Exemplo 5. Desta ve7_ considere um coeficiente de resistência de 0,08 e uma rajada de vento instantânea
que adicione wn con1ponen1e de - 17.6i (pés/s) à velocidade
inicial no instante cm que a bola é atingida.
a. Encontre uma equação vetorial para a trajetória da bola.
b. Que alrura a bola alcança e quando atinge sua alrura máxima?
e. Encontre o alcance e o tempo de voo da bola.
d. Quando a bola está a 35 pés de altura? A que distância (1nedida pelo solo) a bola está do rebatedor a essa altura?
13.3
Funções vetoriais e movimentos no espaço
187
e. U1n alambrado de 20 pés de altura está a 380 pés do rebatedor
na direção do voo da bola. O rebatedor fez uni ho111e l"ln1? En1
caso afírn1ativo. qual alteração no con1ponente horizontal da
velocidade inicial faria a bola se manter no campo? En1 caso
negativo, qual alleraç.'io pennitiria que fosse um ho111e r1111?
(Obserl'a\tio: se a bola passar por cin1a do alan1brado, o
jogador poderá dar uma volta no ca1npo e marcar o ponto,
conhecido cou10 llo111e r1111.)
44. Altu ra 1•ers11s tempo Mostre que um projétil alcança três
quartos de sua altura máxima na n1etade do tempo cm que
alcança sua altura máxima.
Comprimento de arco no espaço
Nesta e nas duas próxin1as seções, estudaremos as características matemáticas
do fom1ato de un1a curva e descreveremos a precisão de suas voltas e torções.
Comprimento de arco ao longo de uma curva espacial
fl GURA 13.12 Curvas suaves pode1n
ser marcadas con10 retas nun1éricas, a
coordenada de cada ponto sendo sua
distância orientada ao longo da curva a
partir de um ponto-base pré-selecionado.
Uma das características de curvas planas e espaciais suaves é que elas tên1
un1 co1npri1nento 1nensurável. lsso nos pem1ite localizar pontos ao longo dessas
curvas fornecendo sua distância orientada s ao longo da curva a partir de algum
ponto-base, da forn1a co1no localizamos pontos e1n eixos coordenados fornecendo
sua distância orientada a partir da origem (Figura 13. J 2). Isso é o que fizemos para
curvas planas na Seção 11.2.
Para n1edir a distância ao longo de urna curva suave no espaço, adicionamos um
termo:: à fórn1ula que utilizamos para curvas no plano.
r
DEFINIÇÃO O comprimento de uma curva suave r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t) k ,
a :5 t :5 b, que é traçada exatan1ente uma vez conforme t aumenta de t = a para
I = b. é
(1)
Da rnesrna fonna que para curvas planas, podemos calcular o con1prirnento de
uma curva no espaço a partir de qualquer paran1etrização conveniente que satisfaça
as condições declaradas. Orniti111os a prova.
A raiz quadrada na Equação 1 é lvJ, o comprimento de um vetor velocidade drldt.
isso nos permite escrever a fórmula para comprimento de unia forma mais curta.
Fórmula de comprimento de arco
/'/'
l = }u lvldt
(2)
EXEMPLO 1 Uma asa-delta está levantando voo ao longo da hélice r(t) = (cos l)i
+ (sen t)j + tk. Qual o comprimento da trajetória do planador entre t = O e t = 271'?
188
Cálculo
Solução A trajetória durante esse ternpo corresponde a un1a volta completa da héli-
ce (Figura 13.13). O comprin1ento dessa parte da curva é
I
, . . _,
27T
1T
'
'
r21r
la lv lc/J = lo V(-sen1)2 +(cos t)2 +( 1)2 d1
r211
= lo \/Í dt = 27T'\/Í unidades de con1primento.
L=
--=
rb
\
Esse valor é \/Í vezes a circunferência do círculo no plano XJ' sobre o qual a
hélice está.
1T
t = -
2
1
Se escolhern1os o ponto-base P(t0) em uina curva suave C paran1etrizada por t. cada
valor de t detennina u1n ponto P(t) = (x(1), y(r), z(t)) em C e urna "distância orientada"
=o
s(r) = ( 'l v{-r)l d-r ,
RGURA 13.13 Hélice no Exemplo l. r(I)
= (cos r)i + (scn r)j + 1k.
110
medida ao longo de C a partir do ponto-base (Figura 13. 14). Essa é a função de
co1nprirnento de arco que definirnos na Seção 1J .2 para curvas planas que não possuem componente z. Se t > t0 , s(t) é a distância ao longo da curva a partir de P(t0 )
até P(t). Se t < 10• s(r) é o negativo da distância. Cada valor de s detem1ina um ponto
e1n C, e este para1netriza C co1n relação a s. Chan1amos s de um parâmetro de
con1prin1ento de arco para a curva. O valor do parâmetro aun1enta na direção de t
crescente. Veremos que o parân1etro comprimento de arco é particularmente eficaz
para investigarmos a natureza das voltas e torções de uma curva espacial.
Parâmetro de comprimento de arco com ponto-bas.e P(t0 )
r
o
1
P (t)
s(t) =
Ponto-base
/ - P(lo)
FIGURA 13.14 Distância orientada
ao longo da curva entre P(10) e
qualquer ponto P(1) é
s(I) =
J.
lo
1
J.. V[x'(-r)] + [y'(-r)] + [z'(-r)] d-r = f 'l v(T)ld'T
2
-
2
2
~
(3)
Utilizan1os a letra grega T ("tau") como a variável de integração na Equação 3
porque a letra t jâ é utilizada como o limite superior.
Se urna curva r(t) já é dada cn1 termos de algum parâmetro r e s(/) é a função de
cornprimento de arco dada pela Equação 3, então poderemos solucionar para t como
u1na função de s: t = t(s). Então a curva pode ser repararnetrizada em termos de s
substituindo por t: r = r(t(s)). A nova parametrização identifica um ponto na curva
co1n sua distância orientada ao longo da curva a partir do ponto-base.
iv(r)ldr.
EXEMPLO 2 Este é um exen1plo para o qual poden1os encontrar reaJn1ente a paran1etrização por con1primento de arco de uma curva. Se t0 = O, o parâJnetro de
co1nprimcnto de arco ao longo da hélice
r(t) = (cos t)i + (sen t)j + tk
de 10 a t é
r
110
=lo'\/Í
1
S( f) =
=
I v(T) 1
c/7'
1 qu:içju 3
d'T'
\/Í t.
A resolução dessa equação para t dá 1 = sAfi.. A substituição no vetor posição
r fornece a seguinte parametrização por comprin1ento de arco para a hélice:
r(t(s)) = ( cos
~)i + (sen ~)j + ~ k.
Capítulo 13
Funções vetoriais e movimentos no espaço
189
Diferente1nente do Exen1plo 2, a parametrização por comprin1ento de arco é
geraln1ente difícil de ser encontrada na forn1a analítica para un1a curva já dada en1
termos de algu1n outro parân1etro r. Por sorte, no entanto, raramente precisamos de
un1a fórmula exata para s(r) ou seu inverso t(s).
Rapi dez em uma curva suave
BIOGRAFIA HISTÓRICA
Josiab Willard Gibbs
Uma vez que as derivadas dentro do radical na Equação 3 são contínuas (a
curva é suave), o Teore111a Fundan1ental do Cálculo nos diz que s é uma função
diferenciável de / com derivada
( 1839-1903)
ds
, . = lv(r) I.
(4)
( 1/
A Equação 4 diz que o módulo de velocidade com o qual uina partícula se move
ao longo de sua trajetória é a 1nagnitude de v, consistente co1n o que sabemos.
E1nbora o ponto-base P(t0 ) descn1penhe um papel na definição de s na Equação
3, ele não desempenha nenl1u1n papel na Equação 4. A taxa na qual u1na partícula
e1n movimento cobre uma distância ao longo de sua trajetória é independente da
distância que ela está do ponto-base.
Observe que d5/dt > O u1na vez que. por definição. lvl nunca é zero para un1a
curva suave. Vemos novamente que sé u1na função crescente de t.
--
Vetor tangente unitário
Já sabemos que o vetor velocidade v = d r/dt é tangente à curva r(t) e que o vetor
V
T =-
1V1
------_\'
é. portanto. u1n vetor tangente unitário à curva (suave). chan1ada de vetor tangente
unitário (Figura 13.15). O vetor tangente unitário T é uma função diferenciável de
t sen1pre que v é u1na função diferenciável de t. Conforn1e veren1os na Seção 13.5,
T é um dentre três vetores unitários en1 um referencial móvel que é utilLzado para
descrever o n1ovimento de objetos deslocando-se em três di111ensôes.
EXEMPLO 3
Encontre o vetor tangente unitário da curva
Encontrarnos o vetor
1angente unitário 'r dividindo v por lvl.
FIGURA 13.15
2
r (t) = (3 cos t)i + (3 sen t)j + t k.
representando a trajetória da asa-delta no Exemplo 3, Seção 13.2.
Solução Naquele exen1plo, encontramos
v = dlr = -(3 sen t)i + (3 cos t)j + 2t k
ti
e
1v1= V9 + 41 2 .
y
Sendo assi1n,
T = _..!.._ = _
lvl
o
3 sen t
'\/9 + 41 2
i +
3cost
V9 + 412 J
Para o movin1ento em sentido anti-horário
( 1.0) X
r(t) = (cos t) i + (sen /)j
ao redor do círculo unitârio, vcn1os que
Movimento em sentido
anti-horário ao redor do círculo unitário.
FIGURA 13.16
. +
v = (-sen t)i + (cos t)j
já é u1n vetor unitário, portanto T = v (Figura 13. J6).
2/
k
V9 + 41 2 •
190
Cálculo
O vetor velocidade é a variação no vetor posição f' com relação ao te1npo r,
n1as cotno o vetor posição rnuda e1n relação ao con1prin1ento de arco? Mais precisan1en1e, qual é a derivada dr/ds? Uma vez que dsldr > O para as curvas que estamos
considerando, sé injetora e possui u1n inverso que fornece t como uma função diferenciável de s (Seção 3.8). A derivada da inversa é
dr
J
1
ds = ds/ dr = j;j·
Isso faz com que r seja luna função diferenciável de s, cuja derivada pode ser
calculada co1n a regra da cadeia, como sendo
!J..!.. = !J..!.. dt = v _L = ~ = T
ds
dt d'>
1v 1
j v1
·
(5)
Essa equação nos dá drlds como o vetor tangente unitário na direção do vetor
velocidade v (Figura 13.15).
Exercícios 13.3
Encontrando vetores tangentes e comprimentos
Teoria e exemplos
Nos Exercícios 1-8, encontre o vetor tangente ULtitário da curva. Encontre tan1bém o comprimento da parte indicada da curva.
J. r(t) = (2cost)i + (2seLtt)j + Vst k. O s t s rr
15. Con1prirnento de arco
2. r(1) = (6 sen 2r)i + (6 cos 2r)j + 51k . Os f s 7i'
3 . r(I) = /i + (2/3)f3'2k,
r (t) = (v/21)i + (v/21)J + ( l - 12 )k
de (0. O. 1) a ( VÍ. VÍ, O).
0 :S f :S 8
4. r(t)=(2+t)i -(l + l)j + lk. o s 1< 3
5. r(t) = (cosl t)j + (sen 3 t)k, O:s r s r./2
6. r(!) = 6t3i - 213j - 3t3k, 1 s t < 2
7. r(1) = (1cos1)i + (1 sen t)j + {2 V2/ 3 )r312 k,
Encontre o con1prin1e11to da curva
O s / s r.
8. r(1) = (1 sen t + cos l)i + (1 cos I - sen 1)j , v/2 :S 1 :S 2
9. Encontre o ponto na curva
r(I) = (5 sen 1)i + (5 cos t)j + l 2tk
a un1a distância de 267T unidades ao longo da curva a partir do
ponto (0, 5, 0) na direção do con1primento de arco crescente.
1O. Encontre o ponto na curva
r(r) = ( 12 seo t)i - ( 12 cos l)j + 51k
a uma distância de 13rr unidades ao longo da curva a partir do
pouco (0. - 12. O) na direção oposta à do con1priinento de arco
crescente.
Parâmetro de comprimento de arco
Nos Exercícios 11 -14. encontre o parâmetro de con1prin1ento de
arco ao longo da curva a partir do ponto em que / = O. avaliando
a integral
da Equação 3. Em seguida, encontre o con1prin1ento da parte indicada da curva.
11. r(I) = (4 eos t)i + (4 scn l)j + 31k, O:S t s -rr/2
12. r(I) = (cos 1+1 sen 1)i + (sen / / cos t)j, 7r/2 < r < 7T
13. r(1) = (e' cos r)i + (e 1 sen 1)j + e' k. - ln 4 s t s O
14. r(1) = ( I +21)i + (I + 31)j + (6 - 61)k. - 1 < 1s o
16. Con1primento da hélice O con1prin1ento 2r. Vi da volta
da hélice no Exemplo 1 tan1bém é o compri1neoto da diagonal
de un1 quadr-.ido com 27T unidades de lado. Mostre como obter
esse quadrado cortando e aplainando uma parte do cilindro ao
redor do qual a hélice gira.
17. Elipse
a. Mostre que a curva r(1) = (cos r)i + (sen t)j + ( 1 - cos 1)k,
Os / s 27T, é uma elipse, tnostrando que é a interseção de
um cilindro circular reto e un1 plano. Encontre equações
para o cilindro e o plano.
b. Esboce a elipse sobre o cilindro. Adicione os vetores tangentes unitários em r = O. 7T/2. 7T e 3r./2 ao seu esboço.
e. Mostre que o vetor aceleração sempre está paralelo ao plano (ortogonal a un1 vetor nonnaJ ao plano). Assim, se você
desenhar a aceleração como um vetor pregado na elipse, ela
estará no plano da elipse. Adicione os vetores aceleração
para I = O, r.12, 1T e 37r/2 ao seu esboço.
d. Escreva u1na integral para o comprimento da elipse. Não
tente avaliar a integral; ela é não elc1nentar.
Integrador nunu~rico Estime o co1nprin1ento da elipse
co1n duas casas decimais.
18. Con1primento é independente da paran1etrização Para
ilustrar que o comprimento de urna curva espacial suave não
depende da parametrização utilizada para co1nputã-lo. calcule
o con1prin1ento de uma volta da hélice no Exemplo 1 con1 as
seguintes para1netrizações.
a. r(1) = (cos 41)i + (sen 4t)j + 41k, Os 1s 7T/2
b. r(1) = [cos (r/2)]i + [sen (1/2)]j + (1/2)k, Os 1s47T
e. r(1) = (cos l)i - (sen 1)j - tk - 2rr s t s O
De.
Capítulo 13
19. lnvolula de um círculo Se wna linha enrolada ao redor de
uni círculo fixo for desenrolada enquanto é n1antida esticada
no plano do círculo, sua extremidade P Lraça wna ínvo/11111 do
circulo. Na figura a seguir, o círculo cn1 questão é o círculo
x 2 + j1 = I, e o ponto do traçado inicia em ( I, O). A parte desenrolada da 1inha é tangente ao circulo cn1 Q. e t é a n1edida cm
radianos do ângulo a partir do eixo x positivo ao segn1ento OQ.
Deduza as equações para1nétricas
x = cos t + t scn /, y = seo t - t cos t, t > O
Funções vetoriais e movimentos no espaço
191
20. (Co11tí11uaçâo do Exercício 19.) Encontre o vetor tangente unitário à involuta do circulo no ponto P(x. y ).
2 1. Distância ao longo de uma reta Mostre que. se u é um vetor
unitário. então o parâmetro de co1nprin1cnto de arco ao longo
da reta r (I) = P11+ tu a partir do ponto P0(x0, y 0• z0), e111 que r = O,
,
. .
e o propno r.
22. Utilize a regra de Simpson con1 n = 10 para aproximar o compri1nento do arco de r(t) = ti + Fj + t3k a partir da origem ao
ponto (2. 4, 8).
do ponto P(x, y ) para a involuta.
Q
~-r-..:;;__ ,.._
Linha
/
P(x. y)
I
13.4
Curvatura e vetores normais de uma curva
)'
Nesta seção. estudaremos con10 tuna curva gira ou dobra. Observamos pri1neiro as curvas no plano coordenado e, em seguida, as curvas no espaço.
Curvatura de uma curva plana
Conforme uma partícula se rnove ao longo de uma curva suave no plano, T =
drlds vira conforme a curva dobra. Un1a vez que T é um vetor unitário, seu con1pri1nento permanece constante e somente sua direção 1nuda. conforn1e a partícula
se move ao longo da curva. A taxa na qual T vira por unidade de comprimento ao
longo da curva é charnada de c11111at11ra (Figura 13. 17). O símbolo tradicional para
a função curvatura é a letra grega K (''kappa").
o
Conforine P se niove no
longo da curva na direção do comprimento
de arco crescente, o vetor tangente unitário
vira. O valor de ld T ldsl en1 Pé chamado
de c url'atura da curva e1n P.
FIGURA 13.17
r DEFINIÇÃO
Se T é o vetor unjtário de u1na curva suave, a função curvatura
da curva é
K =
-dT
dr
Se ldT /dsl é grande, T vira agudan1ente confonne a partícula passa por P, e a
curvatura em Pé grande. Se ld.f /dsl é próximo de zero, T vira 1uais lentamente e a
curvatura ern P é menor.
192 Cálculo
Se uma curva suave r(t) já é dada en1 tern1os de algun1 parâ1netro / exceto o
parân1etro de co1nprin1ento de arcos, pode1nos calcular a curvatura como
dT
ds
K =
d T dt
dt (i;
=
1
dT
lds/dt l dt
1
=
dT
dt
Fri
Fórmula para o cálculo da curvatura
Se r (t) é uma curva suave, então a curvatura é
l
K
=
dT
M dt ,
(1)
e1n que T = vil v J é o vetor tangente unitário.
Testando a definição, vemos nos Exemplos 1 e 2 abaixo que a curvatw·a é constante para linhas retas e círculos.
EXEMPLO 1 Uma linha reta é parametrizada por r (t) = C + rv para os vetores
constantes C e v. Assi1n, r'(t) = v e o vetor tangente unitário T = v/Jvl é um vetor
constante que se1npre aponta na n1esma direção e possui derivada O(Figurei 13.18).
Segue que, para qualquer valor do parân1etro t, a curvatura da linha reta é
f1GURA 13.18 Ao longo de uma linha
reta, 1' se111pre aponta na niesma direção.
EXEMPLO 2 Aqui, encontran1os a curvatura de tun círculo. Con1eçan1os con1 a
.
parametr1zaçao
~
A curvatura ldT/c/sl é zero (Exemplo l ).
r(t) = (a cos t)i + (a sen t)j
de un1 círculo de raio a. Então,
v = ddtr = - ( a sen t)'1 + ( â cos /, )J.
lvl = V( - asent) + (acost) = W = lal = a.
2
2
l 1na \ l'Z <JHC t1
,, = (/
O,
A partir disso, descobrin1os que
T =
: = -(sen r)i
1 1
-dT = - (cos t )'1 -
dt
~~
=
+ (cost)j
( sen t )J.
Vcos2 t + scn 2 t = 1•
Conscquente1ncnte, para qualquer valor do parâmetro/, a curvatura do círculo é
Ainda que a fórmula para o cálculo de K na Equação 1 tambétn seja válida para
curvas espaciais. oa próxima seção encontraren1os unia fórmuJa con1putacionaJ que
é geralmente n1ais conveniente de ser aplicada.
Capítulo 13
ldT
N= te ds
T
Funções vetoriais e movimentos no espaço
193
Entre os vetores ortogonais ao vetor tangente Ullitário, 'f é u1n de significância
particular, porque aponta 11a direção na qual a curva está virando. Uma vez que T
possui comprimento constante (ou seja, 1). a derivada d T/ds é ortogonal a T (Equação 4, Seção 13. I ). Portanto, se dividirmos d 1'/ds por seu con1primento K. obte1nos
un1 vetor unitário N ortogonal a T (Figura 13.19).
,\
DEFINIÇÃO
Em un1 ponto en1 que K "#O, o vetor norn1al unitário principal
para u1na curva suave no plano é
FIGURA 13.19 O vetor dT/ds. normal à
curva. sempre aponta na direção na qual T
está virando. O vetor norn1al unitário N
é o versor de dT!ds.
1 dT
N =K ds.
O vetor d T /ds aponta na direção na qual T vi.ra confonne a curva dobra. Portanto, se olhannos na direção do con1pri1nento de arco crescente, o vetor d T !ds
aponta para a direita. se T virar e1n sentido horário, e para a esquerda, se T virar en1
sentido anti-horário. Em outras palavras, o vetor nonnal pri.ncipal N irá apontar na
direção do lado côncavo da curva (Figura 13.19).
Se uma curva Lisa r(t) é sempre dada em termos de algum parâmetro t exceto
o parâmetro de compri.mento de arco s, podemos utilizar a regra da cadeia para
calcular N diretamente:
d T / tlv
N = ld T/ dsl
(dT / dt)(dt/ ds)
ldT/ dt ll dt/ dsl
d T/ dt
dt
ldT/ dtl'
O<an.:cla.
Essa fórmula nos permite encontrar N sem precisannos encontrar K e s primeiro.
Fórmula para o cálculo de N
Se r (r) é uma curva suave, então o vetor normal unitário principal é
d T / dt
N = ldT / dt j'
en1 que T = v/lvl é o vetor tangente unitário.
EXEMPLO 3
Encontre T e N para o movi1nento circular
r (I) = ( cos 2/)i + {sen 2t)j .
Solução
PriJneiro encontran1os T:
v = -(2 scn 2t)i + (2 cos 2t)j
1v1= V4 sen2 21 + 4 cos2 21 = 2
T = : = -(sen 2t)i + (cos 2t)j .
11
A partir disso, descobrin1os que
~1; = -(2 cos 2t)i - (2 scn 2t)j
dT
dt
, /
= v 4 cos 2 21 + 4 sen 2 2/ = 2
{2)
194
Cálculo
e
d T / d1
N = ld T / d1 !
= -(cos 21)i - (sen 2t)j .
Observe que T · N = O, verificando que N é ortogonal a T. Observe tan1bén1
que, para o n1ovi1nento circular aqui, N aponta de r (I) en1 direção ao centro do círculo na origem.
Círcu lo de
curvaturJ
Centro de
curvatura
Circulo de curvatura para curvas planas
O círculo de curvatura. ou circulo osculador, em um ponto P cm uma curva
plana cm que K ;é Oé o circulo no plano da curva que
1. é tangente à curva em P (possui a 1nesma reta tangente que a curva possui);
•
Raio de
curvaturn
N
FIGURA 13.20 O circulo oscuJador cm
P(x, y) esta no lado interno da curva.
2. possui a mesma curvatura que a curva possui em P:
3. está na direção do lado côncavo ou interno da curva (co1no na Figura 13.20).
O raio de curvatura da curva en1 Pé o raio do círculo de curvatura, o qual, de
acordo co1n o Exemplo 2, é
.Raro
. de curvatura = p = "K·
I
Para encontrarmos p, deterroina1nos K e calculamos a recíproca. O centro de
curvatura da curva ern Pé o centro do circulo de curvatura.
EXEMPLO 4
Encontre e desenhe o círculo osculador da parâbola y = x2 na orige1n.
S.olução Pararnetrizamos a parábola utilizando o parâmetro I = x (Seção 11.1,
Exc1nplo 5)
r(1) =ti + r1j.
Primeiro encontramos a curvatura da parábola na orige1n, utilizando a Equação 1:
dr = 1. + 2IJ.
dl
V = -
!vi =
vt + 41
2
de forn1a que
A partir disso. descobrin1os que
d T = -41( 1 + 41 2 ) - 312 i + [2( 1 + 41 2 ) - 112 - 81 2 ( 1 + 41 2 ) - 312] j .
dt
Na origen1, 1 = O, portanto a curvatura é
K(O) =
y
=
Círculo
osculador \
=
t
2
1
dT
1
1Oi + 2j 1
1v(O)1 dt (O)
VI
c1>vo2 + 22 = 2.
Portanto, o raio de curvatura é l/K= 1/2. Na orige1n, ten1os 1=0 e T = i, logo N = j .
Sendo assi1n, o centro do círculo é (0, 1/2). A equação do círculo osculador é, então,
(x - 0)
FIGURA 13.21 Circulo osculador para a
parábolay =x2 na origem (Exemplo 4).
Equa.;àl• 1
2
+
0,- ~)
2
2
=
(~) •
Pode1nos ver a partir da Figura 13.21 que o círculo osculador é uma 1nelhor aproxin1açào para a parábola na origen1 que a aproxi1nação da reta ta11gente y =O.
Capítulo 13 Funções vetoriais e movimentos no espaço
.-.
---- ,,
/ -
1 = 211'
195
Curvatura e vetores normais para curvas espaciais
Se uma curva suave no espaço é especificada pelo vetor posição r(t) como un1a
função de algurn parâmetro/, e ses é o parâmetro de comprimento de arco da curva,
então o vetor tangente unitário T é dr/ds = v/lvl. A curvatura no espaço é. portanto,
definida con10 sendo
d'f
1 dT
' -...! = 71'
''
'\
K= (/S
=N dt
(3)
\
da mesma forrna que para curvas planas. O vetor d T /ds é ortogonal a T e definirnos
o vetor normal unitário principal coino sendo
t=O
,
x· + y· = a·
,
,
1 dT
dT/ dt
N =--=--K ds
ldT/ dtl.
}'
•
X
FIGURA 13.22 Hélice r(r) =(a cos t)i
+ (a scn t)j + b1k , dcsenbada con1 a e b
positivos e t ~ O (Exemplo 5).
EXEMPLO 5
(4)
Encontre a curvatura para a hélice (Figura 13.22)
r(t) = (a cos t)i +(a sen t)j + btk,
a, b >O,
a 2 + b2 ':!- O.
Solução Calculamos T a partir do vetor velocidade v:
v = -(a sen r)i + (a cos t)j + bk
lv l = Va 2 sen 2 1 + a2 cos 2 t + b 2 = Va 2 + b 2
1
=
V
[-(asen1)i + (acosr)j + bk].
V
(l 2 + b 2
T = _l
vl
Então, utilizando a Equação 3,
1 dT
K=N d/
= Va 21+ b2 Va21+ b 2[- (acost)i - (asent)j]
ª 2 1- (cos t)i - (sen t)j
a + b
2
=
1
2
ª
V(cos
1) + (sen 1)2 =
, ª ,.
2
2
a +b
a- + b-
A partir dessa equação. vernos que um aumento de b para urn a fixo diminui a
curvatura. Din1inuir a para urn b fixo acaba dirninuindo a curvatura Lrunbém.
Se b = O. a hélice se reduz para um círculo de raio a, e sua curvatura se reduz
para 1/a. como deve ser. Se a = O, a hélice se torna o eixo=· e sua curvatura se reduz
para O, novarnente con10 deve ser.
EXEMPLO 6
apontando.
Encontre N para a hélice no Exemplo 5 e descreva como o vetor está
Solução Temos
1
ddTI = - V ,
·
dT
dt
a-+ b 2
1
Va 2+ b 2
[(a cos t)i + (a sen /)j]
v'a 2 cos2 t + a2 sen2 t =
"
Vai+ b 2
dT / dt
N =---
l:.quaçãn 4
ldT / dt l
va + b
2
a
2
· ~
1
V/ a 2 + b l
[(a cos f) i + (a sen r)j]
= -(cos t)i - (scn t)j .
Assim, N é paralelo ao plano .\'y e sempre aponta na direção do eixo z.
196
Cálculo
Exercícios 13.4
Curvas planas
Encontre T , N e K para as curvas planas nos Exercícios 1-4.
1. r(t) = ti + (ln cos 1)j , - 7T/2 < t < 7T/2
2. r(1} =(ln sec t)i + 1j, -7T/2 < t < 7T/2
3 . r(t) = (2t + 3)i + (5 - t2}j
4. r(t) = (cos t + t sen Ili + (sen 1- 1 cos t)j, t > O
5. Fórmula para a curvatu ra do gráílco de uma função no
1>lano ·\".V
a. O gráfico y = /(x) no plano ~I' automaticamente possui a
parametrização x = x. y = /(x). e a fónnula vetorial r(x) =
xi + f(x)j. Utilize essa fórn1ula para niostrar que se/ é uma
função duas vezes di ferenciávcl de x, então
K(x) =
l /"(x ) 1
[ 1 + (/'(x))2]3/2
.
b. Utilize a fónnula para K no item (a) para encontrar a curvatura de y = ln (cos .r), -'TT'/2 < x < 7T/2. Compare sua
resposta com a do Exercício 1.
e. Mostre que a curvatura é zero cn1 um ponto de inflexão.
6. Fórrnula para a curvatura de urna curva plana paran1etrizada
a. Mostre que a curvatura de wna curva suave r(t) = /(l)i +g(1)j
definida pelas funções duas vezes difcrenciàvcis x = f(t) e
y = g(I) é dada pela f6rn1ula
li :i• - >; :r 1
K =
(.r-' + .i·23/2º
)
l I. r (t) = (e' cos t)i + (e' scn t)j + 2k
12. r(1) = (6 sen 2t)i + (6 cos 2t)j + 5tk
13. r(1) = (t3/3)l + (12/2)j. t > O
14. r(1) = (cos 3 1)i + (sen 3 t)j , O< t < 7T/2
15. r(I) = ti + (a cosb (t/a))j. a > O
16. r(1) = (cosh t)i - (scnh t)j + 1k
Mais sobre curvatura
17. Mostre que a parábolay = a.rl, a""° O, tem sua maiorcurvarura
en1 seu vértice e não possui curvatura míniina. (Nota: uma vez
que a curvatura de unia curva pcn11anccc a mcsn1a se a curva é
trasladada ou girada, esse resultado é verdadeiro para qualquer
parábola.)
18. Mostre que a elipse x = a cos t. y = b sen 1, a > b > O. tem sua
curvatura 1naior cm seu eixo maior e sua curvatura menor cm
seu eixo menor. (Con10 no Exercício 17. o mesn10 é verdadeiro pard qualquer elipse.)
19. l\llaximizando a curvatura de uma hélice No Exen1plo 5.
encontra1nos a curvatura da hélice r(t) = (a cos 1)i + (a sen t)j
+ btk (a. b ~ 0) como sendo K = al(a 2 + b2). Qual é o maior
valor K que podemos ter para um valor determinado de b? Justifique sua resposta.
20. C urvatura total Encontramos a curvatura total da parte de
luna curva suave que vai de s=s0 a s =s 1 > s0 integrando K de
s0 a .\·1• Se a curva possui outro parân1etro, digarnos t, então a
curvarura total é
K =
.
,1, 1''º '
K ds =
d5 dt =
K~
dt
1''
'•
KI v 1dt.
Os pontos na fórmula denotam diferenciação com relação a 1.
en1 que 10 e 11 correspondem a s0 e s1• Encontre as curvaturãS
uma derivada para cada ponto. Aplique a fórmula pan1 enconlotais da
trar as curvaturas das seguintes curvas.
a. parte dn hêlice r (t) = (3 cos t)i + (3 sen t)j + tk, O ::S t :s: 47T.
b. r(t) = ti + (ln sen t)j. O< t < 1T
b. parábolay = x2, -oo< x <oo.
e. r(t) = (tg 1 (senh t)Ji + (ln cosh l)j .
2 l. Encontre unia equação para o círculo de curva1ura da curva
7. Normais a curvas planas
r(1) = li + (sen t)j no ponto (7T/2, 1). (A curva parametriza o
a. Mostre que n(1) = -g'(t)i + f(t)j e - n(1) = g'(t)i - f'(t)j são
gráfico de y = sen x no plano xy.)
a1nbos nonnais à curvn r(t) = /(t)i +g(t)j no ponto (/(1), g(t)).
22. Encontre uma equação para o círculo de curvatura da curva
Para obtermos N para un1a curva plana em particular. poder(I) = (2 ln t)i - [1 + ( llt)]j, e-2 ::S t ::S t?, no ponto (0, - 2), ern
n1os escolher n ou - n do iten1 (a), que aponta na direção do
que t = 1.
lado côncavo da curva. e torná-lo uni vetor unitário. (Veja a
Figura 13.19.) Aplique esse método para encontrar N para as D A fóm1ula
curvas a seguir.
i<(x) =
l/"(x) 1
b. r(t) = ti + e2'j
e. r (t) =
V4=f2 i + tj,
[ 1 + (/' (x))2]3r-'
-2 :s: t :s: 2
8. (Co111in11açào do E.xercício 7.)
a. Utilize o método do Exercício 7 para encontrar N para a
curva r(t) = ti + ( 1/3 )t3j quando / < O: idem, quando t > O.
b. Calcule N para t ""°O diretamente de T utilizando a Equação
4 para a curva no item (a). N existe cn1 t = O? Desenhe a
curva e explique o que está acontecendo a N confonne t
passa de valores negativos para positivos.
deduzida do Exercicio 5. expressa a curvarura K(x) de urna curva
plana duas vezes diferenciável y = /(x) como uma função de x. Encontre a função de curvatura de cada uma das curvas nos Exercícios
23-26. Ern seguida, desenhe /(x) corn K(X) sobre o intervalo dado.
Você encontrará algumas surpresas.
23. y =.,.i. - 2<x<2
25. y = senx, ()<x<27T
24. y = x414.
-2S xS 2
26. y = e',
- 1 :S X S 2
Curvas espaciais
USO 00 COM PUTADOR
Encontre T. N e K para as curvas espaciais nos Exercicios 9- 16.
9. r(t) = (3 scn 1)i + (3 cos t)j + 4tk
1O. r(t) = (cos / + t sen f)i + (sen 1- t cos t)j + 3k
Nos Exercícios 27-34 você utilizarà um SAC para explorar o circulo
osculador no ponto P en1 uma curva plana cn1 que K *O. Utilize un1
SAC para realizar as etapas a seguir:
Capítulo 13 Funções vetoriais e movimentos no espaço
e. Represente graficamente a equação implícita (x - a) 2 +
(1' - b)2 = 1IK2 do circulo osculador. En1 seguida. represen-
a. Represente graficainente a curva dada em forma paramétrica ou de função sobre o intervalo especificado para ver
co1no ela se parece.
b. Calcule a curvatura K da curva no valor dado 10 utilizando a
fórn1ula apropriada do Exercício S ou 6. Utilize a paran1etrizaçào x = 1 e y = /(1) se a curva é dada co1no unia função
y= f(x).
e. Encontre o vetor nonnal unitário N em t0• Observe que os
sinais dos componentes de N dcpendcn1 do vetor tangente
unitário T virar em sentido horário ou anti-horário e1n 1 =
10. (Veja o Exercício 7.)
d. Se C = a i + bj é o vetor da origem ao centro (a, b) do
círculo osculador. encontre o centro C a partir da equação
vetorial
C = r (to) +
197
te graficarnente a curva e o circulo osculador juntos. Você
pode precisar experimentar com o tan1anho da janela de visualização. mas se certifique de que ela seja un1 quadrado.
27. r(I) = (3 cos /)i + (5 sen /)j . Os 1s 27i, 10 = 7i/4
28. r(t) = (cos3 1)i + (sen 3 l)j , Os 1 s 21T. 10 = 1T/ 4
29. r(1) = t2i + (13 - 31)j . -4 < I < 4. t0 = 3/5
30. r (/) = (1 3 -
21 2 -
t)i +
31
\/1 + 1
2
j.
- 2 s t s 5,
10 =
31. r(1) = (21 - sen 1)i + (2 2 cos 1)j , O< 1 :S 31T, 10 = 3'TT/2
32. r(r) = (e-1 cos t)i +(e 1 sen 1)j , Os t s 61T, 10 = .,,/4
33. y=x2 -x, -2:Sx<5, x0 = 1
1
(
) N(10).
K lo
34. y= ,r( I - x)21S,
- 1 s x s 2,
x 0 = J/2
O ponto P(x0 .y0) sobre a curva é dado pelo vetor posição r(t0 ).
Componentes normal e tangencial da aceleração
13.5
B = T XN
lc/T
= IC els
~
r
Se você está se niovendo ao longo de un1a curva espacial, o sistema de coordenadas
cartesianas i, j e k usado para representar os vetores descrevendo seu movimento não
é verdadeirrunente relevante para você. O que é significativo, por outro lado, são os
vetores que representam a direção para a frente (o vetor tangente unitário "I}, a direção
na qual sua trajetória está virando (o vetor normal unitário N) e a tendência do seu
n1ovi1nento de "torcer" para fora do plano criado por esses vetores na direção perpendicular a esse plano (definido pelo vetor bi11orn1al unitário B = T X N). Expressar o vetor
aceleração ao longo da curva como uma cornbinação linear desse rriedro ·r N"B de vetores unitários 1nutua111entc ortogonais deslocando-se con1 o movirnento (Figura 13.23) é
µarticulannente revelador da natureza da trajetória e do 111ovimento ao longo da curva.
s
l'o
Triedro TNB
X
Triedro TNB de
vetores w1itârios niutuamente ortogonais
deslocando-se ao longo de uma curva
no espaço.
FIGURA 13.23
O vetor binormal de un1a curva no espaço é B = 'f X N, um vetor unitário ortogonal tanto a T quanto a N (Figura 13.24). JLu1tos, T, N e B definen1 u.111 sistc1na de
coordenadas positivo e1n n1ovi111cnto que desempenha uma fw1çào significativa no
cálculo das h·ajetórias de partículas que se inovem pelo espaço. É chrunado triedro
de Frenet (Jean-Frédéric Frenet, 1816-1900), ou o triedro TNB.
Componentes normal e tangencial da aceleração
Quando um objeto é acelerado pela gravidade, freios ou un1a combinação de
111otores de foguete, gcraln1entc desejamos saber quanto da aceleração atua na direção do 111ovin1ento, na direção tangencial T. Podemos calcular esse valor utilizando
a regra da cadeia para rcescrcvennos v con10
v = f!..! = f!..! ds = T ds
dt
ds dt
dtº
fIGURA 13.24 Os vetores 'f . N e B
(nessa orde1n) fonnam u1n siste1na
positivo de vetores u11itários 1nu1uamente
ortogonais no espaço.
Então diferenciamos as extre1nidades dessa sequência de igualdades para obtennos
2
a = dv = .!!.. ( T ds) = d s T + !f!..dT
dr
dr
dt
2
(dT
= dis T +
d/ 2
K(!!!..)2
N
.
dt
c11 2
dl dt
2
s +ds
s T +ds
ds)
=d -T
- - -ds)
- =d - ( KNdt2
d1 ds dt
dt2
d1
dr
"r
1
198 Cálculo
DEFINIÇAO
/
/
a
Se o vetor aceleração é escrito como
a = a,.T + aNN,
N
>
a '= ~
N
{1)
então
ds -
( dl )
d 2s
d
ªT = - 2 = - lvl
dt
d!
e
(2)
são os co1nponentes escalares tangencial e normal da aceleração.
flGURA 13.25 Con1ponentes tangencial
e nonnal de aceleração. A aceleração
a sempre está no plano de T e N,
ortogonal a B.
Observe que o vetor binormal B não aparece na Equação 1. Não iinporta como
a trajetória do objeto en1 n1ovimento que esta1nos observando pode parecer torcer
e virar no espaço, a aceleração a sen1pre está 110 plano de T e N ortogonal a B. A
equação também nos diz cxatan1ente quanto da aceleração ocorre tangente ao 1novimento (d 2s!dt 2 ) e quanto ocorre nonnal ao movin1ento [K(ds/dt) 2] (Figura 13.25).
Quais informações podemos descobrir a partir das Equações 2? Por definição,
a aceleração a é a taxa de variação da velocidade v, e, c1n geral, tanto o comprin1ento quanto a direção de v variam conforme u1n objeto se move ao longo de sua
mede a taxa de variação do
trajetória. O con1ponente tangencial da aceleração
con111rin1enro de v (ou seja, a variação no n1ódulo da velocidade). O componente
norn1al de aceleração aN mede a taxa de variação do versor de v.
Observe que o componente escalar normal da aceleração é a curvatura vezes
o quadrado do módulo da velocidade. Jsso explica por que deven1os nos segurar
quando o carro faz u1na curva acentuada (K grande) cm alta velocidade (!vi grande).
Se você dobrar a velocidade do seu carro, terá quatro vezes o cornponente nonnal
de aceleração para a 1nes1na curvatura.
Se urn objeto se move cm um circulo a uma velocidade constante, d 2s/dt 2 é
zero e toda a aceleração aponta ao longo de N e1n direção ao centro do círculo. Se
wn objeto está acelerando ou reduzindo sua velocidade, a possui wn con1ponente
tangencial diferente de zero (Figura 13.26).
Para calcular ªN' geraln1ente utilizamos a fórmula ªN = VÍ a 12 - a ...2, que
vem da equação Jal2= a · a = a,.2 +aN2 para ªN· Con1 essa fórmula , podemos encontrar aN se1n termos de calcular K primeiro.
a,.
\.
li
"'-
2
KJvJ N= 1~ N
2
e/
FIGURA 13.26 Co1nponentes tangencial
e normal da aceleração de uni objeto que
está aumentando sua velocidade conforme
se ruove em sentido anti-horário ao redor
de um círculo de raio p.
Fórmula para calcular o componente normal da aceleração
ªN =
VÍ al2 - a,.2
(3)
EXEMPLO 1 Sem encontrar T e N, escreva a aceleração do 1novimento
r (t) = (cos t + t sen f)i + (sen t - t cos t)j,
t> O
na forma a = aTT + aNN . (A trajetória do 1novi1nento é a involuta do circulo na
Figura 13.27. Veja també1n a Seção 13.3, Exercício 19.)
Solução
Utilizan1os a pri1neira das Equações 2 para encontrar a,.:
v = ~~ =(-senf + sen1 + tcost)i +(cosi - cose +tsent)j
= (t cos t)i + (t sen t)j
lvl = Vt 2 cos2 f + t 2 sen2 t = ·V/2 = ltl = t
d
d
ar = -dt
1v 1 = - ( 1) = 1 .
dr
'
()
Capítulo 13 Funções vetoriais e movimentos no espaço
199
Conhecendo ªT· utilizan1os a Equação 3 para encontrar aN:
a = (cosi - 1sen1)i +(sen/ + tcost)j
1a12 = ,2+ 1
aN = Vl al2 - ar 2
/
\
a
fli.'.f'O" Jc :ilgtlll'
~·.1lt.:t1ll,, ,1Jg\!bn~')'
vc1 2+ 1> - e1> = W = 1.
Ern seguida, utilizamos a Equação 1 para encontrar a:
a = a,·r + aNN = ( l)T + (l)N = T + tN.
Torção
Como d Blds se co1nporta en1 relação a T , N e B? A partir da regra para diferenciação do produto vetorial, ten1os
dB
d( T X N)
dT
dN
ds =
ds
= ds X N + T X ds .
FIGURA 13.27 Co1nponentes iangencial e
norn1al da aceleração do movimento
r(t) = (cos t + t sen t)i + (scn 1 - t cos /)j ,
para t > O. Se unia linha enrolada ao redor
de u1n círculo fixo é desenrolada enquanto
é mantida esticada no plano do círculo.
sua extre1nidade P traça uma involuta do
circulo (Exemplo 1).
Uma vez que N é a direção de d T /ds. (dT /ds) X N = O e
d B = O + T X d N = T X dN.
ds
ds
ds
A partir disso, ven1os que d Blds é ortogonal a T, u1na vez que o produto vetorial é ortogonal a seus fatores.
Como d Blds tan1bén1 é ortogonal a B (este último tem con1prin1ento constante), segue que d B/ds é ortogonal ao plano de B e T. Em outras palavras, d B/ds é
paralelo a N, de forma que d Blds é um 1núltiplo escalar de N. En1 símbolos.
áB
ds = -TN.
O sinal negativo nessa equação é tradicional. O T escalar é denominado torção
ao longo da curva. Observe que
d B · N = - TN . N = - T(l) = - T.
els
-
Utilizamos essa equação para nossa próxima definição.
Plano
Plano norn1al
DEFINIÇÃO Seja B = T X N. A função torção de un1a curva suave é
(4)
B
N
T
Normal
principal
-<...._
/
/(
Tangente unitário
Nomes dos três planos
determinados por T , N e B.
FIGURA 13.28
Diferentemente da curvatura K, que nunca é negativa, a torção T pode ser positiva, negativa ou zero.
Os três planos detenninados por T. N e B são denon1inados e exibidos na Figura 13.28. A curvatura K = ltl T/clsl pode ser considerada a taxa na qual o plano normal
vira conforn1e o ponto P se n1ove ao longo de sua trajetória. De n1aneira sen1elhante,
a torção T = -{c! Blds) · N é a tax.a na qual o plano osculador vira en1 torno de T
conforn1e P se n1ove ao longo da curva. A torção n1ede o quanto a curva se torce.
Observe a Figura 13.29. Se Pé um trem subindo um percurso sinuoso. a troca
na qual o farol dianteiro vira de um lado para o outro por unidade de distância é a
curvatura do percurso. A taxa na qual a locomotiva tende a torcer para fora do plano
forn1ado por T e N é a torção. En1 uni curso 1nais avançado pode ser n1ostrado que
uma curva espacial é u1na hélice se, e somente se, ela tiver curvatura não nula constante e torção não nula constante.
200
Cálculo
dB
ds
Torção
/
cm P é-(dBtds) ·N.
B
'
~urvarura cm P é
~ kdT fds)I.
s aumenta
~
N
p
1
s=O
FIGURA 13.29 Todo corpo cm movimento se desloca com un1 triedro
TNB que caracteriza a geornetria de sua rrajetória de movin1ento.
Fórmulas computacionais
A fónnula 1nais arnpla111ente utilizada para torção, derivada em textos mais
avançados, é
.
..
X
X
~r·
r =
y•
..
y
"ji
-...
z
...
z
{sc v X a ~ O ).
1V X a 12
(5)
Os pontos na Equação 5 denotam diferenciação com relação a t, un1a derivada
para cada ponto. Assin1, .r ("x ponto") significa dxldr; .r ("'x dois pontos") significa
d2x/dt2 ; e:\: ("x três pontos") significa d3xldt3 • De maneira semelhante. j1= dy!dt, e
assim por diante.
Existe tan1bé111 uma formula fácil de ser utilizada para curvatura, confonnc
dado no resuino a seguir (veja o Exercício 21 ).
Fórmulas de computação para curvas no espaço
V
Vetor tangente unitário:
T =R
Vetor normaJ unüârio principal:
d T / dt
N =--ldT / dt l
Vetor binormal :
B= T XN
Curvatura:
K =
d'r
ds
-
lv X ai
1V13
X
.
y
X
)'
..
Torção:
Co111ponentes escalares tangencial
e nor111al da aceleração:
dB
-r = - - ·N =
ds
..
ª N
-
x· :y· ·z·
V X al2
1
a = aTT + aNN
OT =
--.
..
dl vj
dt
= Klvl2 = Vlal2 - ªT2
Capítulo 13
Funções vetoriais e movimentos no espaço
201
Exerácios 13.5
Encontrando componentes tangenciais e normais
Nos Exercicios 1 e 2, escreva a na forma a = aTT + aNN sem encontrar T e 1 .
1. r (t) = (a cos l) i + (a sen t)j + btk
2. r (I) = ( 1 + 3t)i + (1 - 2)j - 31k
Nos Exercícios J-6, escreva a na forn1a a = aTT + t1N N no valor
dado de / sem encontrar T e N.
3. r (I) = (1 + 1}i + 21j + 12 k,
t=O
5. r (I) = t2i + (t + ( l/J)rl)j + (1 - ( l/3)t3)k, / = 0
1k, / = O
6. r(1} = (e' cos 1)i + (e' sen 1)j +
Yle
Encontrando o triedro TNB
Nos Exercícios 7 e 8. encontre r, ·r , N e B no valor dado de 1. Em
seguida. enconrre equações para os planos osculador, normal e retificador naquele valor de/.
7. r(t) = (cos 1)i + (scn 1}j
k,
1= 7T/4
8. r{I) = (cos 1)i + (sen t)j + 1k, / =O
Nos Exercícios 9-16 da Seção 13.4, você encontrou T , N e K. Agora, nos Exercícios 9- 16 a seguir. encontre B e ., para essas curvas
cspac1a1s.
9. r(1) = (3 sen t) i + (3 cos t)j + 4/k
10. r(1) = (cos 1+ 1 sen /)i + (sen t - 1cos1}j + J k
11. r (t) =(e' cos t)i + (e' sen 1)j + 2k
12. r(1) = (6 sen 21)i + (6 cos 21)j + 51k
13. r (I) = (t3/J)i + (F/2)j , 1> 0
14. r(t) = (cos3 1)i + (sen3 1)j, O< t < 7T/2
IS. r(1) = ri + (a cosh (t/ a))j. a > O
16. r(1) = (cosh i)i - (senh /)j + 1k
Aplicações físicas
17. O velocímetro do seu carro lê lUlla velocidade de 35 milhas/h
estável. Você poderia estar acelerando'? Explique.
18. Algo pode ser dito sobre a aceleração de uma pardcula que
está se 1novendo a un1a velocidade constante'! Justifique sua
resposta.
19. Algo pode ser di10 sobre a velocidade de un1a partícula cuja
aceleração é sempre ortogonal à sua velocidade? Justífique
sua resposta.
20. Un1 objeto de nlassa 111 se move ao longo da parábola y = x2
con1 um módulo de velocidade constante de 1O unidade..'lls.
Qual é a força sobre o objeto decorrente de sua aceleração em
(0, O)? E en1 (2 112• 2)? Escreva suas respostas em ter.mos de i e
j . (Len1bre-se da lei de Newton. F = 111a.)
Teoria e exemplos
21. Fórn1ula vetorial para curvatura Para uma curva suave.
utilize a Equação 1 para deduzir a fóm1ula da curvatur-.:1
K =
lv X ai
1V13
23. Atalho eventual para curvatura Se você já conhece lt1NI
e !vi, então a fórn1ula ªN = Kjv!2 fornece u1na maneira conveniente de encontrar a curvatura. Utilize-a para encontrar a
curvatura e o raio de curvatura da curva
r(t) = (cos 1+1sen1)i + (sen 1- 1cos1)j, 1> O.
(Totnc ª N e lvl do Exen1plo 1.)
/= 1
4. r (r) = (/ cos t)i + (t sen 1)j + 12 k.
22. Mostre que unia partícula c111 n1ovimento irá se mover cn1 unia
linha reta se o componente nonnaJ de sua aceleração for zero.
24. Mostre que K e T são ambos zero para a reta
r(1) = (x0 + Ar)i + (y0 + Bt)j + (:z0 + Ci)k.
25. O que poden1os dizer sobre a torção de u1na curva plana suave
r(f) = /(t)i + g(l}j ? Justifique sua resposta.
26. Torção de uma hélice
Mostre que a torção de uma hélice
r(1) = (a cos r)j +(a sen t)j + btk ,
a. b ~O
é., = b/((12 + b2) . Qual é o 1naior valor que T pode ter para uni
determinado valo r de li? Justifique sua resposta.
27. Curvas diferenciáveis co1n torç.'io zero estão em planos
U1na curva suficicntcn1ente diferenciável con1 torção zero
estar e1n u1n plano é um caso especial do fato de que uma
partícula cuja velocidade perinanece perpendicular a un1 vetor
fixo C se move e1n um plano perpendicular a C. Isso. por sua
vez, pode ser visualizado como o resultado a seguir.
Suponha que r (t) = /(1)i +g(t)j + h(t)k é duas vezes diferenciável para rodo 1 em um intervalo [a, b], que r = Oquando
1 = a e que v · k = O para todo t en1 [a, b]. Mostre que h(1) = O
para todo r em [a, b]. (Sugestão: comece com a = d2rldt 2 e
aplique as condições iniciais em ordem inversa.)
28. FórmuJa q ue calcula -r a partir de B e v Se corneçarmos
com a definição ., = - (cl Bfds) · N e aplicannos a regra da
cadeia para reescrever d B/ds co1no
dBdt = dB1
-d B = ds
d1 ds
dr !vi '
chegaren1os ã fórmula
T =-~(~ · N).
A vantagem dessa fórmula sobre a Equação 5 é que ela é n1ais
fácil de ser deduzida e escrita. A desvantagem é que pode dar
bastante trabalho avaliá-la sen1 un1 computador. Utilize a nova
fórmula para encontrar a torção da hélice no Exercicio 26.
USO DO COMPUTADOR
Arredondando as respostas para quatro casas decin1ais, utilize u1n
SAC para encontrar v. a, módulo da velocidade, T . N, B. K. r e os
componentes tangencial e nonnaJ de aceleração paro as curvas nos
Exercícios 29-32. nos valores dados de 1.
29. r (1) = (1 cos r) i + (1sen1)j + 1k,
1 = V3
30. r(t) = (e1cos1)i + (e' sen t)j + e'k.
t = ln 2
31. r (1) = (1 - sen 1)i + ( 1 - cos 1)j +
V-i k. 1 = -31T
32. r(r) = (31 - r2)i + (3r2)j + (31 + 13)k, 1= 1
202
Cálculo
Velocidade e aceleração em coordenadas polares
13.6
Nesta seção, fomeceren1os equações para velocidade e aceleração en1 coordenadas polares. Essas equações são úteis para calcular as trajetórias de planetas
e satélites no espaço, e as utilizamos para exa1ninar as três leis de Kepler do movin1ento planetário.
.I'
Movimento em coordenadas polares e cilíndricas
u,
Quando uma partícula em P(r, 8) se move ao longo de uma curva no plano de
coordenadas polares, expressamos sua posição, velocidade e aceleração em termos
dos vetores unitários cm movin1ento
P(r. 0)
u,= (cos B)i + (sen B)j ,
FIGURA 13.30
O comprimento de r é
a coordenada polar positiva ,. do ponto
P. Dessa forma, u,. que é r/jrj. é tan1bé1n
rir. As Equações 1 expressarn u, e "ue1n
tcn11os de i e j .
u0 = - (sen 8)i + (cos B)j ,
(1)
_...
mostrados na Figura J3.30. O vetor u, aponta ao longo do vetor posição OP, portanto r = ru,. O vetor u0 , ortogonal a u,. aponta na direção de 8 e1n crescimento.
Descobrimos a partir das Equações 1 que
ddf)
u, = -(sen fJ) i + (cos () )j = u
0
duu
d() =
-(cos B)i - (sen fJ)j = - u,.
Quando derivamos u, e u8 con1 relação a t para descobrir como eles variam com
o tempo, a regra da cadeia nos dá
}'
.
d u,. .
.
u, = d() 8 = 8 "º'
.
duo .
.
u0 = d() e = - eu, .
(2)
•
r0u0
.
r o,
E111 coordenadas polares,
FIGURA 13.31
o vetor velocidade é
Consequentemente, podemos expressar o vetor velocidade en1 termos de u, e u0 como
d ( r u, ) = r. u, + r u,
. = r. u, + 10.ii u11 •
v = r. = dt
Veja a Figura 13.31 . Con10 na seção anterior, poden1os utilizar a notação com
pontos de Nev;ton para derivadas en1 relação ao ten1po a fin1 de manter as fónnulas
n1ais simples possível: ü, significa du/dt, iJ sign ifica dfJ/dt, e assim por diante.
A aceleração é
a = ,, = (i'u, + r iar) + (i-buo + r8 uo + 1-húo).
v = i· u, + réUQ.
Quando as Equações 2 são utilizadas para avaliar ür e ú0 e os componentes são
separados, a equação para aceleração em termos de ur e u11 se torna
Uq
Para estendennos essas equações de movi1nento no espaço, adicionan1os =k ao
lado direito da equação r = ru,. Então. nessas coordenac/(1S cilíndricas, temos
o
u,
------,.
:k
r = r u, + z k
v = i· u,. + rô uli + ±k
a = (t' - ri.1 2)u, + (r8 + 2r8)uo + z k.
FIGURA 13.32
Vetor posição e vetores
unitários básicos ca1 coordenadas
cilíndricas. Observe que lrl ~ r, se=~ O.
(3)
Os vetores u,. u0 e k formam uma tripla positiva de vetores unitários (Figura
13.32). no qual
Capítulo 13 Funções vetoriais e movimentos no espaço
203
Planetas se movem em planos
A lei da gravidade de Ne\vton diz que, se r é o raio vetor do centro de um sol
de massa Mao centro de urn planeta de massa 111, então a força F da atração gravitacional entre o planeta e o sol é
M
F = _ G111M .!..
F = _ G1nM _r_
lrl' lrl
1r 12 1r1
A força de gravidade
FIGURA 13.33
(Figura 13.33). O número G é a constante gravitacional universal. Se medirmos
a massa em qui logramas, a força ern ne\vtons e a distância em rnetros, G é cerca de
6,6726 X 1O 11Nn12 kg-2.
Combinando a lei da gravidade com a segunda lei de Newton, F = 1nr, para a
força que atua sobre o planeta, temos
é direcionada ao longo da reta que
w1e os centros de n1assa.
..
111 r
= -
..
r =-
G111Alf r
I
., -
,
r i· 1 r 1
GM r
-
lrl lrr
2
O planeta é acelerado e1n direção ao centro de massa do sol ern todos os instantes.
Uma vez que r é um rnúltiplo escalar de r. temos
r x ·r = o.
A partir dessa úllima equação,
1, (r X r) = r X r + r X 'r' = r X r = 0.
o
Segue que
r X r = C
para algum vetor constante e.
A Equação 4 nos diz que r e r estão sempre e1n un1 plano perpendicular a C.
Consequentemente. o planeta se move ern um plano fixo pelo centro de seu sol
(Figura 13.34). Vereinos a seguir como as leis de Kepler descrevem o movünento
de u1na forma precisa.
e=rxr
Sol
r
(4)
Planeta •
r
Planeta que obedece à
lei da gravidade e movimento de Newton
viaja no plano que passa pelo centro de
1nassa do sol e perpendicular a C .. r X r.
Prime;ra lei de Kepler (lei da elipse)
FIGURA 13.34
A pri111eira lei de Kepler diz que a trajetória de um planeta é uma eljpse con1 o
sol em um foco. A excentricidade da elipse é
rouo2
e= GM - 1
(5)
8IOGRJ\l'IA HISTÓRICA
e a equação polar (veja a Seção 11.7, Equação 5) é
Johannes Kepler
( 1571-1630)
r=
Planeta
/
( 1 + e )ro
1 + ecos e.
(6)
Aqui, u0 é o módu lo de velocidade quando o planeta está posicionado à sua
distância míni1na r0 con1 relação ao sol. Ornitimos a prova, que é n1ui to longa. A
massa M do sol é J.99 X 103º kg.
Sol
Segunda lei de Kepler (lei das áreas iguais)
FIGURA 13.35
A reta que une um
planeta ao seu sol varre áreas iguais
cm tempos iguais.
A segunda lei de Kepleraf1m1a que o raio vetor do sol até un1 planeta (o vetor r e1n
nosso n1odelo) varre áreas iguais em tempos iguais (Figura 13.35). Para deduzir a lei.
utilizainos a Equação 3 para avaliar o produto vetorial C = r X r a partir da Equação 4:
204
Cálculo
C= r X r = r X v
= r ur X (i·ur + rÓ uo)
= ri'( Ur X u,.) + r (ré)( Ur X uo)
o
k
= r (rfJ) k.
(7)
Fazendo t igual a zero nos mostrc1 que
C = [r(rfJ)],=o k = rovok .
Substituir esse valor por C na Equação 7 nos dá
ou
,
E nesse ponto que a área ent;a. A diferencial da área em coordenadas polares é
dA = _!_ r 2 d()
2
(Seção 11.5). Consequenten1en1e, dA/dt possui o valor constante
dA
l ,.
1
dr = 2
= 2 rovo.
,.-o
(8)
Portanto, dA/dt é constante, fornecendo a segunda lei de Kepler.
Terceira lei de Ke pler (lei do tempo-distância)
O ten1po T que leva um planeta para dar uma volta em tomo de seu sol é o período orbital do planeta. A terceira lei de Kepler diz que Te o semieixo maior a da
órbita estão relacionados pela equação
r2 4-n-1
-=
GAlf.
Uma vez que o lado direito dessa equação é constante cm un1 dado siste1na
solar, a razão de T1 a a3 é a niesn1a para rodos os planetas no siste111a.
Aqui, temos uma dedução parcial da terceira lei de Kepler. A área delimitada
pela órbita elíptica do planeta é calculada conforme se segue:
Área =
1T
dA
l.qu.11,.t<' S
1
= 2 Trovo.
Se b é o se1nieixo menor, a área da elipse é 1Tab. portanto
21Ta '- • r,----i
T = rovo = rovo v l - e- .
Par:i qualquer chp,c,
27Tab
,,
t1\/ 1
(
(9)
Resta somente expressar a e e em tennos de r 0, v 0, G e M. A Equação 5 faz isso
para e. Para a, observan1os que fazendo 8 igual a 7T na Equação 6 nos dá
Planeta
I
!"ma.~ =
l+ e
ro 1 - e .
Consequentemente, a partir da Figura 13.36,
Sol
FIGURA 13.36 O comprimento do eixo
maior da elipse é 2c1 = r 0 + rma.~·
2ro
2a = ro + l"max = 1 -e
2roGM
2.
2GM - rovo
(10)
Elevar ambos os lados da Equação 9 ao quadrado e substituir os resultados das
Equações 5 e 1Oproduz a terceira lei de Kepler (Exercício 9).
Capítulo 13
Funções vetoriais e movimentos no espaço
205
Exerácios 13.6
Nos Exercícios 1-5. encontre os vetores velocidade e aceleração em
termos de u, e u0•
d8 = 3
dt
1. r = n( 1 - cos 8)
e
2. r = n sen '2J}
e
d8 = 21
dt
3. r = e"Q
!!.!
= 2
d1
e
4. r = a( 1 + sen t)
S. r = 2 cos 41
8. Suponha que r seja o vetor posição de uma partícula que se
move ao longo de uma curva plana e dA!dt seja a Laxa na qual
o vetor varre a área. Sem introduzir coordenadas e assumindo
que as derivadas necessárias cxistern, dê urn argumento geométrico com base nos incrcrnentos e limites para a validade
da equação
e 8 = 1 - e-'
e 8 = 2t
6. Tipo de órbita Para quais valores de v0 na Equação S a órbita
na Equação 6 é urn círculo? Uma elipse? Unia parábola? Uma
hipérbole?
7. Órbitas circulares Mostre que un1 planeta cm uma órbita
circular se move coLn módulo de velocidade constante. (Sugestão: essa é uma consequência de uma das leis de Kepler.)
Capitulo
9. Terceira lei de Kepler Complete a deduç,io da terceira lei de
Kepler (a pane seguinte à Equação l O).
1O. Detennine o cornprirnento do eixo rnaior da órbita da Terra utilizando a terceira lei de Kepler e o fato de que o período orbital
da Terra é de 365,256 dias.
Questões para guiar sua revisão
1. Escreva as regras para derivação e integração de funções veto-
riais. Dê exemplos.
2. Como você define e calcula a velocidade, o módulo de velocidade, a direção de niovimcnto e a aceleração de um corpo
que se move ao longo de uma curva no espaço suficientemente
derivável? Dê um exen1plo.
3. O que há de especial sobre as derivadas de funções vetoriais de
comprimento constante'? Dê un1 exemplo.
4. Quais são as equações vetorial e paramétrica para urn rnovin1enlO de projétil ideal"! Como você encontra a altura rnáxin1a, o tempo de trajetória no ar e o alcance de um projétil? Dê exemplos.
5. Como você define e calcula o co111prin1ento de um segmento
de curva suave no espaço? Dê uni exemplo. Que suposições
mate1náticas estão envolvidas na definição?
6. Corno você mede a distância ao longo de unia curva lisa no eSpaço a parúr de um ponto-base pré-selecionado? Dê um exe1nplo.
7. O que é um vetor tangente unitário de uma curva derivável? Dê
urn exe111plo.
Capitulo
8. Defina curvatura. círculo de curvatura (circu.lo osculador),
cenrro de curvatura e raio de curvatura para curvas duas vezes
deriváveis no plano. Dê exemplos. Quais curvas têrn curvatura
zero'! E curvatura constante?
9. O que é um vetor normal principal de uma cUCV"a plana? Quando
ele é definido? Para qual direção ele aponta? Dê wn exemplo.
1O. Corno definin1os i'l e K para curvas no espaço? Corno essas
quantidades estão relacionadas? Dê exen1plos.
11. O que é o vetor binorn1al de uma curva? Dê un1 excrnplo.
Con10 esse vetor está relacionado à torção de urna curva? Dê
llln exen1plo.
12. Quais fórniulas estão disponíveis para escrever a aceleração
de um corpo en1 n1ovin1ento con10 uma soma de seus componentes tangencial e normal? Dê um exen1plo. Por que alguém
poderia desejar escrever a aceleração dessa maneira? E se o
corpo se move cm uma rapidez constante'' E cm uma rapidez
constante ao redor de un1 circulo?
13. Enuncie as leis de Kepler.
Exercícios práticos
Movimento no plano
Nos Exercícios 1 e 2, desenhe as curvas e esboce seus vetores velocidade e aceleração nos valores fornecidos de t. Ern seguida, escreva
a na fonna a = ªrT + aNN scn1 dctcnninar T e N e encontre o valor
de K nos valores detenninados de t.
1. r(t) = (4cos1)i + {V2sent)j ,
1 =O e 7r/ 4
2. r(1) = { v'3 scct)i + ( v'3 tg 1)j. t = O
3. A posição de unia partícula no plano no ternpo t é
r =
l
Vl+f2
. +
a
I
V I + 12
•
J.
Encontre o n16dulo de velocidade rnais alto da partícula.
4. Suponha que r(I) =(e' eos t)i +(e' sen t)j . Mostre que o ângulo
en1re r e a nunca 1nuda. Qual é o ângulo?
S. Encontrando a curvatura No ponto P, a velocidade e aceleração de un1a partícula que se n1ovc no plano são v = 3i + 4j e
a = Si+ lSj . Encontre a curvatura da trajetória da partícula em P.
6. Enconirc o ponto na curva y =e'. en1 que a curvatura rnãxima
é alcançada.
7. Uma partícula se move ao redor de un1 circulo unitário no plano xy. Sua posição no ternpo t é r =xi + Jj . em que x e y são
funções deriváveis de /. Encontre dyldt se v · í = y. O movimento é en1 sentido horário ou anti-horário?
8. Você envia urna n1ensagem através de um tubo pneuniático que
segue a curva 9y = .r3 (distância em 1netros). No ponto (3, 3),
v · i = 4 e a · i = - 2. Encontre os valores de v · j e a · j ern (3, 3).
206
Cálculo
9. Caracterizando o movimento circular Uma partícula se
niove no plano de forn1a que seus vetores de velocidade e posição são sernpre ortogonais. Mostre que a partícula se move
cm um circulo centrado na origcn1.
JO. l\llódulo de velocidade ao longo de ama cicloide Uma roda
circular COnl raio de 1 pé e centro C gira para a direita ao longo
do eixo x a 1neia-volra por segundo. (Veja a figura a seguir.)
No tempo I segundos, o vetor posição do ponto P na circunferência da roda é
r = (7Tl - SCl11Tl) Í + (J - COS 1Tl)j .
a. Esboce a curva traçada por P durante o intervalo Os t s 3.
b. Encontre v e a em / = O. 1. 2 e 3 e adicione esses vetores ao
seu esboço.
e. E111 qualquer instante detern1inado, qual é o módulo de velocidade de avanço do pon10 1nais alto da roda? E de C?
Nos Exercicios 17-20. encontre T. N. B. K e T no valor determinado
der.
17. r (r) = ~( I + r) 312 i + ~ (1 -
3
1) 12j
+ ~ rk,
r - O
18. r (t) =(e' sen 21)i +(e' cos 21)j + 2e'k. t = O
19. r(r) = ri +
ie
2'j .
t = ln2
20. r (1) = (3 cosh 2t)i + (3 senh 2t)j + 61k, / = ln 2
Nos Exercícios 21 e 22, escreva a na forma a = aTT + aNN em t = O
sem encontrar T e N.
21. r(I) = (2 + 31 + 3r2)i + (41 + 4l2)j - (6 cos r) k
22. r(I) = (2 + t)i + (1 + 212)j + (J + 12)k
23. Encontre T, N, 8 , K e T co1no funções de 1 se
r (1) = (sen 1)i + (
V2 eos t ); + {sen t) k.
24. Em quais instantes no intervalo Os 1s11 os vetores velocidade
e aceleração do n1ovinien10 r(t) = i + (5 cos 1)j + (3 sen 1)k
siio ortogonais?
25. A posição de uma partícula que se rnove no espaço em r 2= Oé
e
7TI
r
r(t) = 2i + (4senf ) ; +
t....;._ _-1.._::::;...__ __,.
o
.r
Movimento de projétil
11 . Lançamento de peso
Um peso sai dn rnão do arren1essador
a 6.5 pés acima do solo a un1 ângulo de 45° e a 44 pés/s. Onde
o peso estará 3 segundos depois?
12. Dardo Um dardo sai da mão do arrernessador a 7 pés acima
do solo a um ângulo de 45" e a 80 pés/s. Qual é a sua altura
máxima alcançada?
13. Unia bola de golfe é atingida coni uma velocidade inicial v0
a um ôngulo a eni relação à horizontal a partir de um ponto
localizado na base de um morro inclinado a uni ângulo</> con1
a horizonial, cn1 que
Encontre o primeiro instante en1 que r é ortogonal ao vetor i - j.
26. Encontre equações para os planos osculador, nonnal e retificador da curva r(t) = ri + t 2j + t3k no ponto ( 1. 1, 1).
27. Encontre equações panunétricas para a reta tangente à curva
r (1)=e'i +(sen 1)j + ln (J -t)k en1 t=O.
28. Encontre equações pararnétricas para a reta tangente à hélice
r(1)= ( \/Í cos t}i + ('\/2 scn 1)j + rk no pontoemquet = ?T/4.
Teoria e exemplos
29. Curvas simultâneas
ideal
1T
2
2vo cosa
g cos2 <f>
(
)
scn a - <f> ,
medida da base do niorro. Consequentemente. mostre que a
niaior distância que p0de ser alcançada para determinado valor
de v0 ocorre quando a = (cf>/2) + (1114), ou seja. quando o vetor
velocidade inicial bissecta o ângulo entre a vertical e o n1orro.
O 14. Dardo En1 Postdan1. e1n 1988, Petra Felke da (então) Ale1nanha Orienial, quebrou o recorde mundial feminino arremessando u1n dardo a 262 pés e 5 pol.
a. Considerando que Felke lançou o dardo a u1n ângulo de 40°
corn a horizontal, 6,5 pés acima do solo, qual fo i a velocidade inicial do dardo?
b. Qual a altura a1ingida pelo dardo?
Movimento no espaço
Encontre os co1nprimentos das curvas nos Exercícios 15 e 16.
1S. r(t) = (2 cos 1)i + (2 sen 1)j + t2k, Os / s 7T/4
16. r(t) = (3 eos t)i + (3 sen t)j + 2t312k. Os / s 3
Eliminando a das equações de projétil
1
x = (vo cos c:r)1, J ' = (v o sen a)1 - 2 gt 2,
O<</><a<2.
Mostre que a bola toca o solo a unia distância
(3 - :fr) k.
mostre que x2 + (!' + g11/2)2 = v02r2 . Essa fórmula mostra que
projéteis lançados simultaneamente a panir da origem na mesn1a velocidade inicial irão, en1 qualquer dado instante, estar no
círculo de raio v 1/ cenlrado em (0, -gt2/2), independen1emen1c
de seu ângulo de lançarncnto. Esses círculos são as curvas si"1u/tã11ens do lançamento.
30. Raio de curvatura Mostre que o mio de curvatura de u1na
curva plana duas vezes derivável r(t) = f(t)i +g(1)j é fornecido
pela fórm ula
p =
.,
X. 2 + v,vx
f.·2+·"'
y- - ..
s·1'
onde
..s = -dv'·'+·l
x· V .
dl
31. Definição alternativa de curvatura no plano
.
Urna definição alterna1iva fornece a curvatura de unia curva plana
suficienternentc derivável como sendo ld<f>ldsj, cni que </> é o
ângulo entre T e i (Figura 13.37a). A Figura l 3.3 7b n1ostra a
distâncias medida em sentido anti-horário ao redor do circulo
x2 + y2 = n2 a partir de um ponto (a, 0) a un1 ponto P, com o
ângulo </> en1 P. Calcule a curvatura do circulo utilizando a
definição alternativa. (Sugestão: </> = 9 + 71"/2.)
Capítulo 13
)"
Funções vetoriais e movimentos no espaço
207
cr.
ao girar o arco circular
rnostrado aqui, cm tomo do eixo y .
En1 seguida. execute as seguintes etapas:
1. Utilize triângulos se1nelhantes na figura para mostrar que
yof6.380 = 6.380/(6.380 + 437). Resolva para y 0 •
2. Con1quatro dígitos significativos, calcule a área visível como
T
o
VA =
(a)
l
6J80
1+
21TX
• )O
.l'
tlx '-
(dy ) dy.
3. Expresse o resultado como uma porcenrage111 da área da
superfície da Terra_
.''
S (Skylabl
437
G
X=
Y(6.380) 2 -
yZ
T
(b)
FIGURA 13.37
Figuras para o Exercício 31.
o
32. Vist a do ,<;J.y lab 4 Qual porcentagc1n da área da superfície
terrestre os astronautas puderam ver quando o Skylab 4 estava
na sua altura máxima, 437 km acima da superfície? Para des-
cobrir, modele a superfície visível con10 a superfície gerada
Exercidos adicionais e avançados
Capitulo
ApUcações
1. U111a partícula sem atrito P. partindo do repouso no instante
t = O no ponto (a. O. 0). desce pela hélice
r (O) =(a cos 8)i +(a sen O)j + b()k
(a, b >O)
sob influência da gravidade. confonne a figura a seguir. O ()
nessa equação é a coordenada cilindrica () e a hélice é a curva
r = a.: = b8, () 2: O, en1 coordenadas cilindricas. Assumin1os 8
co1no sendo u1na função derivável de 1 para o n1ovimen10. A lei
de conservação de energia nos diz que o 1nôdulo da velocidade
da partícula depois de ter caído em linha reta a unia distância
: é \/2g;. c111 que g é a aceleração conStante da gravidade.
a. Encontre a velocidade angular de d<f>ldt quando() = 277.
b. Expresse as coordenadas 8 e =da partícula co1no funções
de t.
e. Expresse os componentes normal e rangcncial da velocidade drldt e aceleração d1r!di1 como funções de t. A aceleração possui co1nponente não nula na direção do vetor
binormal B?
2. Suponha que a curva no Exercício 1 seja substituída pela hélice cônica r = a8. = b8 n1ostrada na figura a seguir.
a. Expresse a velocidade angular d8/d1coo10 uu1a funç.'io de O.
b. Expresse a distância que a partícula percorre ao longo da
=
hélice con10 u1na função de O.
X
Hélice cônico
r = au, z = bO
eone =nb r
1
~
l
1
-
Eixo :: positi
"º aponrundo para baixo.
•
~
Movimento em coordenadas polares e cilíndricas
~'
y
3. Deduza a partir da equação de órbita
X
p
,.
,.~
,. =
que u1n planeta está mais prôxin10 do sol quando() = Oe nlostre quer = r0 naquele instante.
-- -
-l -/
------
( 1 + e)ro
1 + ecos O
J
Eill.o : poi.itivo
__.-apontando para baixo.
Equação de Kepler O problcn1a de tocali1.ar um planeta cm
sua órbita e1n determinado 1non1enco e data acaba levando à
resolução de "equações de Kepler·· da forma
1
/(x) = x - L-2senx = O.
208
Cálculo
a. Mostre que essa equação em panicular possui uma solução
entre x = Oex= 2.
b. Com seu computador ou calculadora no modo radiano,
uti lize o 1nétodo de Ne\vton para encontrar a solução co1n
quantas casas decimais puder.
5. Na Seção 13.6. encontramos a velocidade de un1a partícula
que se move no pla110 co1no sendo
e k (veja a figura a seguir). O vetor posição da partícula é
então r = ru, + zk, cnt que ré a coordenada de distância polar
positiva da posição da partícula.
-•
k
+ )Í j = i· U r + rfJ Uo.
a. Expresse.\' e .i1 e1n termos de ;·e riJ avaliando os produtos
V =
.\- i
escalares v · i e v · j .
b. Expresse i· e ró en1 termos de :é e .Í' avaliando os produtos
escalares v · u, c v · u 0•
6. Expresse a curvatura de uma curva duas vezes derivável r =
/(9) no plano de coordenadas polares e111 ter111os de f e suas
derivadas.
7. Unia vara fina passando pela origen1 do plano de coordenadas
polares gira (no plano) ao redor da origem na taxa de 3 rad/min.
Um besouro partindo do ponto (2. O) se desloca ao longo da vara
ent direção à origent na taxa de 1 pol.hnin.
a. Enc-0ntre a aceleração e velocidade do besouro na forma polar
quando estiver n:i n1etade do cantinho ( 1 pol.) par-.i a origem.
Ob. Com a precisão de um décin10 de polegada, qual será o
co1npri1nento do caminho percorrido pelo besouro no ntomento cnt que ele chega à origem?
8. Comprilnento do arco en1 coordenadas cilíndricas
a. Mostre que. quando você expressa ds2 = d,.i. + d.1;. + d::2 e1n
termos de coordenadas cilfndricas, você obté1n ds2 = dt2 +
,.1. d(J2 + d:?.
b. 1nterprete esse resultado geontetrica1nente e1n terntos das
arestas e uma diagonal de uma caixa. Esboce a caixa.
e. Utilize o resultado do item (a) para encontrar o compri1nento da curvar= eft, == eft. O!Só O!Só O ln 8.
9. Vetores uni tários para posição e movintcnlo ent coordenadas cilíndricas Quando a posição de urna partícula que se
ntove no espaço é fornecida en1 coordenadas cilíndricas. os
vetores unitàrios que utilizamos par-.i descrever sua posição e
ntovunento são
u,
1~
-------)'
)-_
!'
X
e (r. 8. 0)
a. Mostre que u,, u0 e k. nessa ordem. forn1an1 um conjunto
positivo de vetores unitários.
b. Mostre que
d u,
- = uo
d(J
e
d uo
d(J =
- u,.
e. Assumindo que as derivadas necessãrias com relação a t
existen1. expresse v = i· e a =·r em temtos de u,, u0• k. i·e 8.
10. Conservação de mon1cnto ang1llar Seja r(t) a posição no
espaço de u1n objeto e1n movimento no instante t. Suponha
que a força agindo no objeto no instante t seja
e
F( t) = - 1r( t) 1J r(').
cm que e é uma constante. Na física. o mo1nento angular de um objeto no tempo t é definido como sendo L (t) =
r(t) X rnv(t). cn1 que 111 ê a massa do objeto e v(t) é a velocidade. Prove que o 1nomento angular é uma quantidade
conservada: isto é, prove que L(1) é um vetor constante, independente do tempo. Lembre-se da lei de Newton F = 111 a.
(Este é u1n problema de cálculo. não urn problema de física.)
u, = (cos 8)i + (sen 9)j , u0 = -(sen t9)i + (cos 9)j
Capitulo
Projetos de aplicação de te<:nologia
Módulos Mathematica/ Maple
Rastrean1e11to por radar ele 11111 objeto e111 111ovÍ111en/(}
Visualize os vetores posição, velocidade e aceleração para ana(jsar o movimenio.
Equações par(l111étric11s e polares co111 uni pali11ador artlçtico
Visualize os vetores posição, velocidade e aceleração para analisar o ntovimento.
M o11i111e1110 e111 três di111e11sões
Calcule a distância percorri~ n1ódulo de velocidade. curvatura e torção para um ntovin1c11to ao longo de unta curva espacial. Visualize e
calcule os vetores tangente, normal e binorn1al associados com o movi111ento ao longo de wt1a curva espacial.
DERIVADAS PARCIAIS
VISÃO GERAL Muitas funções dependem de mais do que uma variável independente. Por exen1plo, o volume de u1n cilindro circular reto é a função V = 7Tr2h de
seu raio e sua altura, portanto é uma função V(r, h) de duas variáveis r eh. Neste
capítulo, estendemos as ideias básicas do cálculo de un1a variável a funções de várias variáveis. Suas derivadas são 1nais variadas e interessantes, devido às maneiras
diferentes com que as variáveis podem interagir. As aplicações dessas derivadas são
ta1nbém mais variadas do que para o cálculo de uma variável. No próximo capítulo,
veremos que o mesrno é verdadeiro para integrais envolvendo várias variáveis.
14.1
Funções de várias variáveis
Nesta seção, dcfiniren1os fu11ções de mais de uma variável independente e discutiren1os fonnas de desenhar seus gráficos.
As funções reais de várias variáveis reais independentes são definidas da n1csma forma que as funções no caso de uma variável. Os pontos no domínio são pares
ordenados (triplas. quádruplas, n-uplas) de nú1neros reais, e os valores na imagem
são nún1cros reais con10 trabalhamos até agora.
-
DEFINIÇOES SuponJ1a que D seja u1n conjunto de 11-uplas de números reais
(x 1, x,,
.... x n). Unia função a va.lores reais/ em D 6 un1a regra que associa
um único nú1ncro real
H ' = f(x I' x
2 , .. ., x,,)
a cada elernento en1 D. O conjunto D é o don1ínio da função. O conjunto de
valores de'" assumidos por/ é a imagem da função. O símbolo 11• é a variável
dependente de/, e dizen1os que/ é uma função de n variáveis independentes
x 1 a x,I" Também eha1nan1os os xi de variáveis de entrada da função, e denominamos »' a variável de saída da função.
1
Se fé uma função de duas variáveis independentes, nonnalmentc denominamos
essas variáveis independentes x e y. e a variável dependente z. e representamos o
don1ínio de.f'como wna região no plano xy (l;igura 14.1 ). Sej"é u1na função de três
variáveis independentes, denominamos as variáveis independentes x, y e z, e a variável dependente 1v, e representamos o don1ínio como un1a região no espaço.
E1n aplicações, tenden1os a utilizar letras que nos lcmbran1 o que as variáveis
significam. Para dizer que o vollLn1e de u1n cilindro circular relo é unla função de
seu raio e altura, poderia1nos escrever V = f(r , li). Para sermos n1ais específicos, poderíamos trocar a notação.f(r, h) pela fórmula que calcula o valor de Va partir dos
valores der e li , e escrever V = 7T1 2 '1. E1n an1bos os casos, r eh seriam as variáveis
independentes e V seria a variável dependente da função.
210 Cálculo
y
J
\
,,.
D
j(a.b)
(.\,y)
\
o
FIGURA 14.1
X
o j(x. y)
(á, b)
•
•
~
Diagrama de setas par.ia função z = f(x, y).
Como de costun1e. calculamos funções definidas por fórmulas substituindo os
valores das variáveis independentes na fórmula e calculando o valor correspondente
da variãvel dependente. Por exe1nplo, o valor de f(x, y, z) = v'x 2 + ;• 2 + =2 no
ponto (3, O, 4) é
f(J, O, 4) = V(J) 2 + (0) 2 + (4) 2 = v'2S = 5.
Domínios e imagens
Ao definir funções de mais de tuna variável, seguimos a prática habitual
de excluir entradas que leve1n a nú1neros complexos ou à divisão por zero. Se
f(x, y) = Yy - x 2,y não pode ser menor que .t2. Sef(x, J' ) = l l(x, y), -'Y não pode
ser zero. Consideramos que o don1ÍrÚo de uma função seja o maior conjunto para
o qual a regra de definição gera nún1eros reais, a menos que esses domínios sejan1
especificados de outra forrna explicitan1ente. A i1nagen1 consiste no conjunto de
valores de salda para a variável dependente.
EXEMPLO 1 (a) Estas são funções de duas variáveis. Observe as restrições que
podem ser aplicadas a seus dotnínios para que seja obtido um valor real para a variável dependente z.
Função
Oon1ínio
Imagem
== Vv - x2
)' ;;:;; X 2
[O, oo)
1
z = X\I
z = senxv
.
,\)1
*o
(-oo, O) U (O, oo)
Todo o plano
[- 1, 1)
(b) Estas são funções de três variáveis com restrições em alguns de seus do1nínios.
Função
li' =
Domínio
vx2+vi+ =i Todo o espaço
* (0,0,0)
11'
= x2 + y21 + z2
(x,y. z)
11 •
= xy ln =
Semiespaço z > O
Lmagem
[O. oo)
(O, oo)
(-00,00)
Funções de duas variáveis
As regiões no plano podem ter pontos interiores e pontos de fronteira, da rnesn1a forn1a que intervalos na reta real. Os intervalos fechados [a, b] incluem seus
211
Capítulo 14 Derivadas parciais
pontos de fronteira, os intervalos abertos (a, b) não incluem seus pontos de fronteira
e os intervalos como [a, b) não são nem fechados nen1 abertos.
r DEFINIÇÕES
Um ponto (x0 , J'o) em uma região (conjunto) R no plano -'Y é
um ponto interior de R se é o centro de um disco de raio positivo que está
inteiramente etu R (Figura 14.2). U1n ponto (x0,y0) é um ponto de fronteira
de R se todo disco centrado eu1 (x0, y 0) contém ao n1esn10 te1npo pontos que
estão em R e fora de R. (0 ponto de fronteira propriamente dito não precisa
pertencer a R.)
(a) Pooio interior
l
Os pontos interiores de uma região, con10 un1 conjunto, fonnan1 o interior da região. Os pontos de fronteira da região formam sua fronteira. U1na
re&,rião é aberta se consiste inteiramente en1 pontos interiores. Uma região é
fechada se contén1 todos os seus pontos de fronteira (Figura 14.3).
(.ro. Jul
R
y
J
(b) Po1110 de fronteira
FIGURA 14.2 Pontos interiores e pontos
de fronteira de uma região plana R. Um
ponto interior é necessariamente um ponto
de R. Uni ponto de fronteira de R não
precisn pertencer a R.
\
----i----x
o
-i----t---r-x
- t - - - i - - -....... ).'
{(x.y) l x 2 + y~ < 1}
{ (x. y) 1x2 + yl = I}
Fronteira do di$CO
unitário. (Círculo
{(.t. y) j xz + y 2 s I}
Disco unitário aberto.
Todo pomo é um ponto
interior.
FIGURA 14.3
o
unitário.)
o
Disco uni1ário fechado.
Comém todos os pomo~
de fronteira.
Pontos interiores e pontos de frontei.ra do disco unitário no plano.
Assim con10 acontece com intervalos de números reais [a , b). algu1nas regiões
no plano não são nen1 abertas nen1 fechadas. Se você co1neçar co1n o disco aberto na
Figura 14.3 e adicionar a ele al&,runs pontos de fronteira. mas não todos, o conjunto
resultante não será nem aberto nem fechado. Os pontos de fronteira que est<io lá
impede1n que o conjunto seja aberto. A ausência dos pontos de fronteira restantes
impede que o conjunto seja fechado.
DEFINIÇÕES U111a região no plano é lintitada se está dentro de um disco de
L io fixo. Caso contrário, ela é não limitada.
y
Pontos interiores.
ondcy -x 2 > O
/
Exemplos de conjuntos li1nitados no plano incluem segrnentos de reta, triângulos. interiores de triângulos, retângulos. circunferências e discos. Exemplos de
conjuntos não li111ilados no plano incluem as retas, os eixos coordenados, os gráficos de funções definidas e1n intervalos infinitos. quadrantes, se1niplanos e o plano
propria1nente dito.
EXEMPLO 2
Fora.
A parábola
y-x- < 0
y -.\ 2= 0
é a fronteira.
,
- 1
o
Descreva o domí1iio da função f(x,y) =
Vy - x 2 .
Urna vez que fé definida somente onde J' - x 2 ~ O, o do1ninio é a região
fechada, não lin1itada, 111ostrada na Figura 14.4. A parábola y = x 2 é a fronteira do
don1ínio. Os pontos aci1na da parábola con1põem o interior do domínio.
Solução
1
Gráficos, curvas de nível e contornos de funções de duas variáveis
FIGURA 14.4 O don1inio de.f(x,y) no
Exemplo 2 consiste na região son1breada
e sua parábola de fronteira.
Existem duas maneiras padrão de visualizar os valores de u1na função f{x, y).
U1na delas é desenhar e identificar curvas no don1ínio nas quaisfpossui wn valor
constante. A outra é esboçar a superfície z = f(x, y) no espaço.
212 Cálculo
A superfície
: = j(:i.. y}
= 100 ~.2 y 1
y' .! o grálioo de f
/(x.y) = 75
---
j(x,y) "' 51
(uma curva
de nível 1ípica
no domínio
da funç1i.o )
~;--....-.
y
j(x. y) = O
Gráfico e curvas de nível
selecionadas da função/(x,y) no
Exe1nplo 3.
FIGURA 14.5
DEFINIÇÕES O conjunto de pontos no plano onde un1a função /(,i:, y) possui
um valor constante f(x, y) =e é denominado curva de nível def O conjunto de
todos os pontos (x,y,f(x,y)} no espaço, para (x.y) no domínio def, é denominado gráfico def O gráfico de j ' também é conhecido como superfície e;= f(x, y).
EXEMPLO 3 Represente graficamente f(x. y) = l 00 - x2 - .v2 e trace as curvas de
nivelf{x, y) = O,f(x, y) = 51 e f(x, ,r) = 75 no don1inio def no plano.
Solução O domínio de/ é o plano ~Y inteiro, e a i1nagem de}' é o conjwlto de ní11neros reais menores ou iguais a 100. O gráfico é o paraboloide z = 100 - x1 - )?-, cuja
parte positiva é rnostrada na Figura 14.5.
A curva de nível/(x, y) = O é o conjunto de pontos no plano Ày nos quais
.f(x,y) = IOO - x 2 - y2 = O ou
,r2 +.v2 = JOO,
o qual é a circunferência de raio 1Ocentrada na origem. Similarmente, as curvas de
nível/(x,y) = 51ef(x.y) = 75 (Figura 14.5) são as circunferências
f(x.y) = l00 -x1-y2=5 1 ou x1+y2 = 49
Jtx, y) = IOO - x2 - J,2 = 75
.
A curva de contomoftf.y) = 100 - x 2 - y 2 = 75
,
é o circulo .r + y- = 25 no plano : = 75.
--
r
100 - .r 2 - y 1
t =
100 -
Plano := 75
,,1 -------'
75
)
-- ...---
,,,,,,- ---o - ...,
'
1
/
--------
/
'
--~-
----.)'
r
A curva de nívelftt. y) = 100 - .\-• - y •• = 15
é o círculo x 2 + y2 = 25 no pl:mo xy.
Um plano: = e panilclo ao
plano ·\'." cruzando uma superfície z =.f\x, y)
produz uma curva de contorno.
FIGURA 14.6
ou .r2 + y2 = 25.
A curva de nível.f(x,y) = 100 consiste na origem apenas. (Mas ainda assirn é
uma curva de nível.)
Se x1 + y2 > J00, então os valores de f(x, y) são negativos. Por exemplo, a circunferência x 2 + )(! = 144, que é a circunferência centrada na origcrn con1 raio 12,
fornece o valor constante f(x, y) = - 44 e é uma curva de nível de f
A curva no espaço na qual o plano z =e corta wna superfície z =.f(x,,11) collsiste
em todos os pontos que representam o valor da função f(x, y) =e. Ela é chan1ada
curva de contorno j~x. y) = e para distingui-la da curva de nível f(x, .!') = e no
domínio de f A Figura 14.6 n1ostra a curva de contorno f{x, y) = 75 na superfície
z = 100 - x2 - y 2 definida pela função .f(x, y) = l 00 - x2 - y. A curva de contorno
está diretamente acima da circunferência .r2 + .VJ. = 25, que é a curva de nível /(X,J') = 75
no dominio da função.
No entanto. nen1 todo mundo faz essa distinção, e você pode preferir chamar
ambos os tipos de curvas por um único nome e se basear no contexto para especificar qual delas você ten1 cm nlentc. Na maioria dos mapas. por exe1nplo, as curvas
que representam altitude constante (altura acima do nível do n1ar) são denorninadas
contornos, e não curvas de nível (Figura 14.7).
Funções de três variáveis
No plano, os pontos onde uma Função de duas variáveis independentes ten1 um
valor constante j'(x, y) = e formam u1na curva no donúnio da função. No espaço,
os pontos onde uma função de três variáveis independentes te1n tun valor constante
f(x,y. z) = e forn1run u1na superfície no do1nínio da função.
DEFINIÇÃO O conjunto de pontos (x, y, z) no espaço onde uma função d:-i
três variáveis independentes ten1 um valor constante J(x, y, z) = e é chan1ado
superfície de nível de.f.
Uma vez que os gráficos de funções de três variáveis consisten1 em pontos
(x,y, z, .f(x,.v, :)) ero um espaço quadridi1nensional, não podemos esboçá-los de maneira
eficaz em nosso sisten1a tridimensional de coordenadas de referência. Podemos ver como
a função se co1nporta, entretanto, analisando suas superfícies de 11ÍVel tridimensionais.
EXEMPLO 4
Descreva as superfícies de nível da função
f(X,J', z) = Vx 2 + y 2 + z 2 .
Capítulo 14
Derivadas parciais
213
Vx2 + r 2 + z2 = 1
z
FIGURA 14.7 Contornos sobre o Monte Washington e1u Ne\v 1-lampshirc. (Reproduzido
com a permissão do Appa/achian Mo11111ai11 C/ub .)
y
X
Solação O valor defé a distância entre a origem e o ponto (x, y, z). Cada superfície
flGURA 14.8 As superfícies de nível de
f(x.y. ::) = Vx 2 + y 2 + 2 são esferas
concêntricas (Exemplo 4).
=
X
de nível Vx 2 + y 2 + z 2 = e, e > O, é un1a esfera de raio e centrada na origen1.
A Figura 14.8 1nostra un1a vista de corte de três dessas esferas. A superfície de nível
Vx 2 + y 2 + z 2 = Oconsiste sotnente na origem.
ão estamos representando grafican1entc a função aqui; estamos olhando as
superfícies de nível no domínio da função. As superfícies de nível mostran1 con10
os valores da função mudan1 à medida que nos inovemos por seu don1ínio. Se pern1anece1nos e1n unia esfera de raio e centrada na origen1, a função nlantén1 un1 valor
constante, sendo ele e. Se nos movemos de um ponto em uma esfera para um ponto
em outra esfera. o valor da função muda. Ele aumenta se nos rnovemos para longe
da origern e din1inui se nos movemos ern direção à origen1. A maneira como os
valores 111udam depende da direção que segui1nos. A dependência da variação en1
relação à direção é importante. Voltaremos a isso na Seção 14.5.
As definições de interior, fronteira, aberto, fechado, limitado e não limitado
(a} Pon1 0 in1erior
para regiões no espaço são similares àquelas para regiões no plano. Para acomodar
a dimensão extra, utilizamos esferas sólidas em vez de discos.
1
.I'
-
''\
(b) Ponto de fronteira
Pontos interiores e pontos
de fronteira de uma região no espaço.
Assim como as regiões no plano, um
ponto de fronteira não precisa pertencer à
região no espaço R.
DEFINIÇÕES Um ponto (x0, y 0 , zo) em uma região R no espaço é u111 ponto
interior de R se é o centro de wna esfera sólida que está inteiramente em R (Figura 14.9a). U1n ponto (x0, y0, z0 ) é um ponto de fronteira de R se toda esfera
centrada em (x0 , y 0, z0 ) contérn pontos que estão fora de R, bcrn corno pontos que estão dentro de R (Figura 14.9b). O interior de Ré o conjunto dos pontos
interiores de R. A fronteira de R é o conjunto dos pontos de fronteira de R.
Uma região é aberta se consiste intciran1entc de pontos interiores. Un1a
região é fechada se ela contém toda a sua fronteira.
FIGURA 14.9
Exen1plos de conjuntos abertos no espaço incluen1 o interior de unia esfera. o
semiespaço aberto z > O, o prin1eiro octante (onde x, .'' e z são todos positivos) e o próprio espaço. Exen1plos de conjuntos fec hados no espaço incluem retas, planos e o
se1uiespaço fechado = 2: O. Uma esfera sólida con1 parte da sua fronteira ren1ovida ou
u1n cubo sólido sen1 uma face, aresta ou vértice não são ne111 abertos ne1nfecltados.
214 Cálculo
As funções de mais de três variáveis i~ndependentes tan1bén1 são in1portantes.
Por exen1plo, a ten1peratura en1 uma superfície no espaço pode não depender son1ente da localização do ponto P(x, y, z) na superfície. 1nas também do instante / no
qual ele é visitado, de n1odo que poderían1os escrever T = f(x, y, z, t).
Gráficos por computador
Programas de gráficos tridin1ensionais para computadores c calculadoras torna1n possível desenhar funções de duas variáveis com apenas alguns cornandos. Em
geral, é rnais rápido obter informações a partir de um gráfico do que a partir de urna
fónnula.
EXEMPLO 5 A temperatura 1v abaixo da superfície da Terra é urna função da profundidade x abaixo da superfície e da época do ano 1. Se medirmos x em pés e /
co1no o número de dias decorridos a partir da data esperada da n1aior temperatura
anual da superfície, poden1os n1odelar a variação da temperatura con1 a função
li' =
1
Es1e gráfico mostra a
variação sazonal da te1npera1ura abaixo do
solo como uma fn1çào da temperatura da
superfície (Exemplo 5).
FIGURA 14.10
COS ( (, 7 X (
o-2/ - Ü.2\') e- 0.2r.
(A ten1peratura a O pés é representada en1 escala para variar entre + 1 e - 1, de 1nodo
que a variação a x pés pode ser interpretada como uma fração da variação na superfície.)
A Figura 14. l O mostra u1n gráfico da função. A uma profundidade de 15 pés,
a variação (alteração na arnplitude vertical na figura) é de cerca de 5% da variação
na superfície. A 25 pés, não existe pratica1nente nenhun1a variação durante o ano.
O gráfico também mostra que a temperatura 15 pés abaixo da superfície é de
cerca de meio ano fora de fase con1 a te1nperatura da superfície. Quando a temperatura é mais baixa na superfície (final de julho. djgamos). ela está ern seu máximo
a 15 pés abaixo da superfície. A 15 pés abaixo do solo, as estações são invertidas.
A Figura 14.11 mostra gráficos gerados por computador de u1n grupo de fun-
ções de duas variáveis, juntan1ente com suas curvas de nível.
.1
y
y
)'
~::u
-P:25
(à) ~ = sen .r + 2 ~eny
FIGURA 14.11
(e) : = xye-•-'
Gráficos gerados por cornputador e curvas de nível de funções de duas variáveis úpicas.
Capítulo 14
Derivadas parciais
215
Exerácios 14.1
Domínio, imagem e curvas de nfvel
24. J<x.y) = V9 - x 2 -
Nos Exercícios 1-4. determine os valores de função específicos.
25. f(x. y) = ln (.rl + y2)
26. .f(x. y) = e-<·1? _.~,
t. )'(x. y) = x1 t l'.1,3
a. .f(O. O)
e. /(2. 3)
d . /(- 3. - 2)
b. /(- 1, 1)
2. .f(x. y) = sen (xy)
a.
b.
1(2. ~)
1(-3. ~)
e. f ( 7T,
!)
d./( ~.-1)
27. .f(x. y) = sen- 1 (y-x)
28. f(x. y) = tg- 1 (~:)
.v 2
29. j'(x, y) = ln (x2 + y2 - 1)
30. j'(x. y) = ln (9 - xi -y2)
Identificando superfícies e curvas de nível
Os Exercícios 31-36 exibe1n curvas de nível para as funções cujos
gráficos são apresentados em (a)-(f) na página a seguir. Associe
cada conjunto de curvas à função apropriada.
31.
34.
\'
•
x-v
3. f(x, y . z) =
,
·
y- + =1
a. ,((3. 1. 2)
b. f ( 1.
e.
i' -i)
1(0. -t. O)
d. /(2, 2, 100)
4. f(x,y, z) = V49 - x 2 - y 2 -
a. /(O. O, O)
=2
e. .f(- 1, 2, 3)
5
6 )
4
(
d. f Vi' \/2' V2
b. ,{(2, - 3, 6)
32.
35.
33.
36.
Nos Exercícios 5-12, encontre e esboce o don1inio para cada função.
5. f(x. _r) =
Vv - x - 2
6. f(x, y) = ln (x2 + y 2 - 4)
(x - 1)(y + 2)
7. f(x, 1•) = - - - - - 3
.
8. f(x, y) =
(y - x)(y - x )
,
sen (.\y)
,
x- + v- - 25
9. f(x. y) = cos-• (y - .r2 )
10. /(x,y) = ln(xy + x - y - 1)
lJ . f(x,y) = V(x 2 - 4)(y 2 - 9)
12. f (x. y) =
1
y
ln (4 - X 2 - ,V2 )
Nos Exercícios 13-16, encontre e esboce as curvas de nivel/tx. y) =e
no mcsn10 conjunto de eixos de coordenadas para os valores deteruúnados de e. Referin10-nos a essas curvas de nível con10 um mapa
de coniomo.
13. f(x.y) x+y- 1, c - -3, - 2, - 1.0, 1.2.3
14. j"(x,y)=x2 +y2, c=O, 1,4,9, 16,25
I S. f(x.y) =xy, e= 9.-4, - 1,0. 1.4,9
16. f(x,y) = V25 - x 2 - y 2 , e = O, 1. 2, 3. 4
Nos Exercícios 17-30, (a) encontre o don1inio da função: (b) encontre a imagem da função; (e) descreva as curvas de nível da função:
(d) encontre a fronteira do donúnio da função; (e) dcrcnnine se o
do1nínio é urna região aberta. un1a região fechada ou nenhu1na das
duas e (1) decida se o domínio é limitado ou não limitado.
17. j '(x,y) = y - x
18. j(x,y) =
y;=-:;
19. j(x, y) = 4x2 -t 9y2
20. j '(x, y) = :r2 - ),2
r;::: - -
a.
--
2 1. f(x,y)=xy
22. /(x.y)=y!:x2
1
23. f(x,y> = v16 - xi - >'2
.: = (cosxJ(cosy)l' -\/, 2 •.r/4
X
216 Cálculo
Funções de duas variáveis
b.
Apresente os valores das funções nos Exercícios 37-48 de duas nianeiras: (a) esboçando a superfície z =.((x,y) e (b) desenhando várias
curvas de nível do do1nínio da função. Identifique cada curva de
nível com o seu respectivo valor da função.
37. /(x, y) = J,2
38. f(x,y) =
Vx
39. j(x. y) = x2 + );i
e.
--
2 -+-.1"""·2
40. / (x •.r> = V.,_x"""
41. f(x. )') = -~ - Y
42. j(x, y) = 4 - x2 - ;.2
43. /(x. ,r) = 4x2 + ).2
44. j'(x. y) = 6
2.x- 3y
45. f(x . .r) ~ t - b·I
46. f(x. y) = 1 - ~'fl - Lvl
2 _+_
47. f(x,y) = V.,...x"'2"-+-y"'"
4
48. f(x,y) =
--
Encontrando C1Jrvas de nível
' + y-,
4.~-
d.
Vx 2 + y 2 - 4
Nos Exercícios 49-52. encontre uma equação e esboce o gráfico da
curva de nível d.1 função f(x, y) que passa pelo ponto dado.
--
49. f(x,y) = 16 - x 2 - y 2• (2\/2, \/2)
50. J(x.y) = Vx 2 - l,
(L,0)
SI. f(x,y) = Vx + y 2 - 3, (3, - 1)
2y - X
52. f(X, )') = X
+ l . (- 1, 1)
+)'
)'
~=e'cos.1
e.
Esboçando superfícies de nível
Nos Exercícios 53-60, esboce unia superfície de nível Lípica para a
função.
SJ. f(x. )'. z) = x2 + y2 + z2
54. j(x. y, :) = ln (.r2+ y2 + =1)
-
55. f(X, )'. ;) =X + Z
56. f(x . .'~ :) =:
X
~
1
__ .ry<x- - y-)
...
., .,
-
x- + y-
r.
57. f(x. y. :) = x2 + y2
58. f(x. y. :) = y 2 + :1
59. /(x. y. :) = z - x2 - }.2
60. f(x. y. :) = (x2/25) ~ (y2/t 6) + (:2/9)
Encontrando superfícies de nivel
Nos Exercícios 61-64, encontre unia equação para a supcrficie de
nível da função que passa pelo ponto dado.
61. f(x,y,z)= ~- lnz, (3,- 1, 1)
62. j'(x. y. z) = ln c~.i y l- :2). (- 1, 2, 1)
..
63. g(x,y, z) = Vx 1 + y 2 + : 1 ,
( 1, -
1. v'Í)
x-y+z
64. g(x, •1', .!) = 2;I'. + y-z , ( 1, 0, -2)
os Exercícios 65-68, encontre e esboce o domínio de/. Em seguida. encontre uma equação para a curva de nivel ou superfície da
função passando pelo ponto dado.
•
4
?
V - .,\...
- = .\' - - .
~
65. f(x, y) =
~
(~)".
( 1, 2)
n- o ·
66. g(x,y, z) =
oo (x + y)"
L
n.,.O
! ,,
li Z
,
(ln 4, ln 9, 2)
Capítulo 14
67. f(x,y) =
i
68. g(x. y. z) =
r
V
1
dO
1-
1'
.
e2
dr
2
1+r
d8
lo ~·
(o. 1. V3)
75. X+ J'l - 3z2 "' [
USO DO COMPUTADOR
76.
Utilize um SAC para execular as seguintes etapas para cada uma das
funções nos Exercícios 69-72.
a. Trdce a superfície sobre o retângulo fornecido.
b. Trace vârias curvas de nível no retângulo.
e. Trace a curva de nível de/ passando pelo ponto dado.
69. j(x, y) = xsen
)'
2
+ ysen2x. O < x < 5Tr, O s y s 57'.
P(37r, 37r)
70. f(x ,y) = (senx)(cosy)eV.r'+.1 '18, O s x s 57r.
O s y :S 57r, P( 47r. 47r)
7 1. .f(x. y ) - seu (x + 2 cos y). - 27T < x < 2'71',
- 27r < y < 2;r, P(rr, 7r)
72. f(x.y) - el 1 -°·'-.1>sen (,.i + ,v2), OS x < 27T.
- 27r < y < 7T. P(Tr, -7r)
14.2
217
Utilize um SAC para representar graficamente as superfícies de nível definidas in1plicitan1cntc nos Exercícios 73-76.
73. 4 ln (x2 + y 2 + =2) = l
74. x2+z2= 1
, (O, 1)
+ r=
Derivadas parciais
sen(~) - (cosy)Vx 1 + z2 = 2
Superfícies parametrizadas Da 1ncsma 111aneira que você descreve curvas no plano paran1etricamente com um par de equações
.~ = /(t), y = g(r) definidas cm algum intervalo /, você algumas vezes pode descrever superfícies no espaço coo1 uma tema de equações
x = j{u, v), y = g(11. v), == h(u, 1') definidas en1 algun1 retângulo
a < 11 < b, e < v < d. Muitos sistemas de álgebra por computador
pcrn1itcm traçar essas superfícies no 111odo para111érrico. (Superfícies
para1nelri7..adas serão discutidas em detalbes na Seção 16.5.) Use uni
SAC para representar grafican1ente as supcrficics nos Exercícios 77-80.
Trace também diversas curvas de nível no plano XJ'.
77. x = 11 cos u, y = 11 sen v, : = li, O < /1 :5 2. O < v :5 2r.
78. X = li cos v. y = li scn V. ==V, o:5 LI < 2, o < \1 < 2'71'
79. x = (2 + cos 11) cos u. y = (2 + cos 11) sen u, ;: = sen 11.
o:$ /( :$ 2?T, o:$ u $ 21T
80. x = 2 cos li cos v, y = 2 cos 11 sen v, == 2 sen 11,
0 S li S 27', 0 S V :$ '71'
Limites e continuidade em dimensões superiores
Esta seção trata de lin1ites e continuidade para funções de várias variáveis. Essas ideias são análogas a limites e continuidade para funções de urua variável, mas
a inclusão de n1ais variáveis independentes leva a un1a con1plexidade adicional e
diferenças in1portantes, demandando algu1nas novas ideias.
Limites para funções de duas variáveis
Se os valores de f(x , y) estão arbitrariamente próximos de um número real fixado L para todos os pontos (x, .Y) suficientemente próxi n1os de un1 ponto (x0, .J'o),
dize1nos que/se aproxima do litnite L quando (x.y) se aproxin1a de (x0 ,y0). rsso é
semelhante à definição informal para o limite de uma função de uma única variável.
Observe, entretanto, que, se (x0, _110) está no interior do domínio de f, (x,,y) pode se
aproximar de (x0 , y 0} a partir de qualquer direção. Para o litnite existir, o 1nes1no
valor li1nitante deve ser obtido, qualquer que seja a di reção de aproxin1açâo to1nada.
llustra1nos essa questão em diversos exen1plos após a definição.
l oEFlNIÇÃO Dizemos que un1a função/(x,; se aproxin1a do lin1ite L à medida que (x, ;1) se aproxin1a de (x0 , y 0 ) e escreven1os
1)
lim
(x, y)-. (xu. Yol
f(x, y) = l
se, para todo número € > O, existe um número 8 > O correspondente tal que,
para todo (x,y) no do1nínio de/,
lf(x,y) -
LI < €
setnpre que
O < V(x - xo)1 + (y - ;10)2 < S.
1
218 Cálculo
A definição de lin1ite diz que a distância entre f(x, y) e l se torna arbitrarian1ente pequena se1npre que a distância entre (x, y) e (x0, y 0 ) se faz suficienten1ente
pequena (1nas não igual a O). A definição aplica-se tanto a pontos interiores (x0 , y 0 )
como a pontos de fronteira do do1nínio de .f. ainda que um ponto de fronteira não
precise estar no don1ínio. Os pontos (x,y) que se aproxin1a1n de ~r0 ,;10) são sen1pre
ton1ados co1no estando no don1ínio de j: Veja a Figura 14. 12.
)'
.
.
.
.
:
l-E l
l + E
_,_
1 --~<-·•--)-1---
0
FIGURA 14.12 Na definição de limite, 8 é o raio de um disco
centrado em (.r0 • y 1,). Para todos os pontos (x. y) dentro desse
disco, os valores da funçãoj'(x, y) estão dentrO do intervalo
correspondente (l - i:, L + i:).
Analogan1ente a funções de unia variável, pode ser demonstrado que
lin1
x = xo
lim
J' = Yo
lim
k = k
(.r, y)-+f.ro. Yo)
(x. y) - (xo. yo)
(para todo nú1nero k).
(x. y)-(.1·0••1·0)
Por exe1nplo, na pri111eira afirmação sobre lin1ite acima•.f(x, J') = x e l = x0.
Urilizando a definição de limite, suponha que E > Oseja escolhido. Se igualar1nos
8 a E, veremos que
O < V(x - xo)2 + (y - Yo) 2 < S = E
implica que
V(x - xo) 2 < €
( l
•nl •
(1 -
lx - xol < E
a
lf(x,y) - xol < €
1 = / ( 1,11
1 1'
t
h - 1 1'
Ou seja.
l/(x, y) - xol < E
setnpre que
O < V(x - xo) 2 + (y - J'o) 2 < 8.
Portanto um S foi encontrado satisfàzendo a exigência da definição e
lim
(.r.y) .... (XQ•.l'O)
f(x. r) =
•
lim
(.t,)')->(Xg.yg)
x = xo.
Assim como nas funções de Ull1a variável, o limite da soma de duas funções é
a sotna de seus limites (quando ambas existirem), com resultados semelhantes para os li1nites das diferenças, múltiplos por constantes. produtos, quocientes, potên.
'
ctas
e ratzes.
Capítulo 14 Derivadas parciais
219
TEOREMA 1 - Propriedades dos timites de funções de duas variáveis
As regras a seguir são verdadeiras se l, /vi e k foretn números reais e
lin1
(.t.yl-(xo..rn)
1.
J(x, v) = l
•
Regr(I da so111a:
li1n
e
(x.y\-(xo.yol
lim
(/(x,y) + g(x,y)) = L + M
lim
(/(:r,y) - g(x,y)) = L -
lim
k/(x, v) = kl (para todo nún1ero k)
lim
(f(x,y) · g(x,y)) = l · M
.
/(x,y)
(.t. y)-+{xo, .l'o)
2. Regra da diferença:
tr. y)-+(.to ..1·0)
3. Regra da 11111/tiplicaçào
(x.y)-+(xo . .rol
por co11sra11te:
4. Regra do produto:
g(x,y) = lllf.
1\f
·
(.t.y) ..... (.ro. J'o)
l1m
5. Regr(I do quociente:
(.t.y)-+(.ro.,rol g(x, y)
6. Regra da potência:
M *O
lim
[f(x. y)]" = L". 11 u1n inteiro positivo
lin1
~ = 'efl. = L 1111 ,
(.r• .r)-(.ro. J'll)
7. Regra da r(liz:
L
ll1
= -,
(.t._1')-+(X<). 1•0)
n um inteiro positivo, e, se 11 for par,
assumimos que L > O.
Embora não provernos aqui o Teorerna 1, oferece1nos un1a discussão infonnal
da razão para ele ser verdadeiro. Se (x, ,v) está suficientemente perto de (x0 , y 0 ),
então f(x, y) está próximo de l e g(x, y) está perto de M (a panir da interpretação
inforn1al de limites). Paz sentido, então, dizer quej(x,J1) + g(x,y) estã perto de L + M;
j{x, y) - g(x,_y) está perto de L - M; kf(x, y) está perto de kl;f(x,y)g(x,y) está perto
de LM e f(x, y)lg(x, y) está perto de L//\1 se M *O.
Quando aplicamos o Teoren1a 1 a polinômios e funções racionais, obte1nos o
resultado útil de que os li1nites dessas funções quando (x, y)-+ (x0 , y 0) podem ser
calculados avaliando-se as funções em (x0 , y 0 ). A única exigência é que as funções
racionais sejam definidas em (.r0 , _110 ).
EXEMPLO 1 Neste exemplo, podernos combinar os três resultados si1nples, seguindo a definição de lin1ire con1 os resultados no Teorema 1 para calcular os lin1ites. Simplesmente substituímos os valores de x e .v do ponto sendo aproxi1nado na
expressão funcional para encontrar o valor limite.
(a)
lim
x-.\y+3
(x.y)-+(0.1) x
(b)
.v + 5.\y - .v 3
2
0 - (0)(1) +3
= -)
(0) 2( l ) + 5(0)( 1) - ( 1) 3
2
Vx
+ y 2 = Y(3) 2 + (-4)2 = \/2s = 5
(x. .I')--+ (J, -4)
lim
EXEMPLO 2
Encontre
x-? - xy
lim
. r
(x.y) .....(O. O) V X -
~ r .
V )1
Solução Co1no o deno1ninadorVx - \/),se aproxima de Oquando (X,J')-+ (O, O),
não podemos utilizar a regra do quociente do Teorema 1. No entanto, se multiplica111os nu1nerador e denon1inador por Vx + yJ. produzi1nos unia fração equivalente, cujo limite poflernos encontrar:
220
Cálculo
(x 2 - x:v)(Vx + vY)
hm
(.r,y)- (0. 0) ( Vx - vY)( Vx + vY)
.
x 2 - xy
lim
yY
(.r, J')-+(0. O) \ ( ; -
x(x - y)( Vx + vY)
lim
(.r, r)-(0, 0)
=
lim
(r.,1·1-co, 0)
\11-?.:hra
x-y
x{Vx
Can~ck <> f.uor
+ \/;)
diferente de /c1,1
-
(1
• 1
\ ;ilurc~ hm1tc
= o( Vã + Vã) = o
C4..\ll11\.:'t.: 1J1l'
Poden1os cancelar o fator (x - y) porque o caminho y =x (ao longo do qual x - y = O)
não está no domínio da função
EXEMPLO 3
Encontre
4xy2
lim
·
• se existir.
2
2
(.r. y)-+{O. O) X + )'
Solução Prirneiro, observan1os que, ao longo da reta x = O, a função tem se1nprc
valor Oqua11do y-:f:. O. Da mesn1a forma , ao longo da reta y = O, a função tern valor O
contanto que x #-O. Dessa fonna, se o lin1ite existe à rnedida que (x, y) se aproxirna
de (0, 0), o valor do linúte deve ser O. Para verificar se isso é verdadeiro, aplicamos
a definição de limite.
Seja E > Odado, 1nas arbitrário. Desejamos encontrar S > O tal que
4xv 2
'
x2
- 0
<
4lxly 2
, <
2
X + y-
E
+ yi
sempre que
E
O < Vx 2 + y 2 < S
ou
O < Vx 2 + y 2 < 8.
sempre que
U1na vez que j1 s x 2 + j1, temos que
2
~lxb'
s 4lxl = 4W
2
x- + y
s 4 Vx 2 + y 2 .
-
'-
1
+
1
Portanto, se escolhemos S = e/4 e fizennos O < Vx 2 + y 2 < 8 obtemos
1
4
2
xy
x i + J'2
-
O
s 4 Vx 2 + y 2 < 48 = 4 (~)
= e.
4
A partir da definição, sabemos que
4xy 2
lim
(.r, 1')-.(0. 0)
EXEMPLO 4
Sef(x, y) =~.o
li1n
x-, + y 2 = O
(.r,y)-(0. 0)
f(x, y) existe?
Solução O domínio de f não inclui o eixo y, portanto não consideramos nenhum
ponto (x, y ) onde x = O na aproxi1naçâo à origem (0, O). Ao longo do eixo x, o valor
da função é/(x. O) = O para todo x -:f:. O. Portanto, se o li1njte existe quando (x, y) ~
(0, 0), o valor do 1in1ite deve ser L = O. Por outro lado, ao longo da reta y = x, o valor
da função é /(x, x) = xlx = 1 para todo x -:f:. O. Isto é. a função f se aprox irna do valor
Capítulo 14 Derivadas parciais
221
1 ao longo da reta y = x. Isso significa que, para todo disco de raio 5 centrado em
(O. O), o disco irá conter pontos (x, O) no eixo x onde o valor da função é O, e também
pontos (x, x) ao longo da reta y = x onde o valor da função é l. Portanto, não importa o quão pequeno escolhetnos o raio 5 do disco na Figura 14.12, havení pontos
110 disco para os quais os valores de função diferen1 por 1. Portanto. o limite não
pode existir, porque pode1nos to1nar E con10 sendo qualquer nún1ero rnenor que 1 na
definição de litnite e negar que l = Oou 1, ou qualquer outro nú111ero real. O limite
não existe. porque temos valores limite diferentes ao longo de diferentes trajetórias
se aproxi1nando do ponto (0, 0).
Continuidade
Assim como para funções de un1a variável, a conti11uidade é definida em tern1os de limites.
DEFlNIÇÃO Urna função j'(x, )') é continua no ponto (.~0, y 0) se
1• .f for definida em (x0 , ,1·0);
2.
3.
lim
f(x. y) existe:
li1n
f(x,y) =f(x0 ,y0 ).
(.r. .vl-C.ro._1•ol
(x. y)-. (xu. yo)
U1na função é contínua se for continua en1 todos os pontos de seu domínio.
Como acontece na definição de limite. a definição de continuidade aplica-se
tanto a pontos de fionteira quanto a pontos interiores do don1ínio de/ A única exigência é que todo ponto (x,y) próxin10 de (x0 ,J'o) esteja no don1ínio de/
Un1a consequência do Teorema 1 é que combinações algébricas de funções
contínuas ão continuas em todo ponto onde as funções envolvidas são definidas.
Isso significa que somas, diferenças, n1ultiplicação por constantes, produtos, quocientes e potências de funções contínuas são contínuos onde definidos. Em especial,
polinôrnios e funções racionais de duas variáveis são contínuos e1n todo ponto onde
são definidos.
-
EXEMPLO 5
Mostre que
(a)
f (x,y) =
>'
o
-O •8
(x,y)-:!- (O, O)
O,
(x,y) = (O. O)
0.8
-1
é contínua en1 todo ponto, exceto a origen1 (Figura 14.13).
- 0.8
0.8
0.8
o
(b)
FIGURA 14.13 (a) Gráfico de
2xy
j(x,y) =
-'.2 + y2'
x·' + '" 2'
O,
(x,y) :F (O. O)
(x,y) = (0. O).
A função é contínua en1 todos os pontos
com exceção da origem. (b) Os valores dej'
são constantes diferentes ao longo de cada
reta y = 111x. x #O (Exe1nplo 5).
Solução A função 1·é contínua em qualquer ponto (x. y) -:!- (O, O), porque seus valores são dados por uma função racional de x e .v e o valor limite é obtido através da
substituição dos valores de x e y na expressão funciona 1.
Em (O, 0), o valor de.fé definido, mas afumatnos que/ não te1n lunites quando
(x, .v) ~ (0, 0). A razão é que diferenres can1inhos de aproximação da origen1 poden1
levar a resultados diferentes, conforme veremos a seguir.
Para todo valor de 111, a ftu1ção f te1n um valor constanie na reta "furada''
y = Ili.X. x :F O, porque
f(x,y)
2xy
2x(111x)
x2 + vl
x 2 + (nu)2
-
2111x 2
2111
1 + 111 2 •
Portanto, f tem esse número co1110 seu limite quando (x, y) se aproxin1a de
(O, O) ao longo da reta:
lim
(.r. y)-+ (O. OJ
ao longo de y=m.r
f(x, y) =
lirn
f\. y)->{0, O)
f(x, y)
[
2111
y=ntr
= --]
2
1
+ 111 •
222
Cálculo
Esse lin1ite muda com cada valor do coeficiente angular 111. Não existe, portanto. um único nún1ero que podernos denomjnar li11ute dej'quando (x,y) se aproxüna
da origem. O limite não existe e a função é não contínua.
Os Exemplos 4 e 5 ilustran1 um ponLo irnpottante sobre liniites de funções de
duas ou mais variáveis. Quando un1 limite existe em um ponto. o lirnite deve ser o
mesmo ao longo de todos os caminhos que se aproxima1n do ponto. Esse resultado
é análogo ao caso de uma variável na qual ambos os li1nites laterais devem ter o
n1csmo valor. Para funções de duas ou 1nais variáveis, se eucontrannos ca1ninhos
com lin1ites diferentes, saberernos que a função não tem lin1ite no ponto em que elas
.
se aproximam.
Teste dos dois caminhos para a não existência de um limite
Se uma função.f\x,y) tem limites diferentes ao longo de dois can1inhos diferentes
no dornínio de.f quando (x, y) se aproxima de (x0,Ji0), então lim<.r. 1,1_ <xo.J'ol .f(x, y)
não existe.
EXEMPLO 6
Mostre que a função
2.x-11
'
f(x,y) =
4
X
·
+ )'
2
(Figura 14.14) não tern lirnite quando (x, y) se aproxima de (0, 0).
O limite não pode ser encontrado por meio de substituição direta, o que nos
dá a forma indeterminada 0/0. Examinamos os valores de f ao longo de curvas que
terminan1 em (O, O). Ao longo da curvaJ1= kx2.x* O. a função possui o valor constante
Solução
2
f(x,y)
2.x y
x 4 + y 2 .1·-kx2
.r - k.t 2
2r 2(kx 2)
2kx 4
2k
x 4 + (k.Y 2) 2
x 4 + k 2x 4
1 + k2 ·
Portanto,
lin1
(x.y)-(0, O)
f(x •.v) =
li1n
(.t,y)-(0. 0)
[/(x,y)
] =
i•=k.rz
2k
1 + k2 '
ao longo de y= kxª
(a)
y
o
Esse limite varia com o caminho de aproxin1ação. Se (x,y) se aproxitna de (O, O)
ao longo da parábola y = .r2, por exen1plo, então k = 1 e o 1imite é 1. Se (x, y) se aproxima de (0, O) ao longo do eixo x, k = Oe o limite é O. Pelo teste dos dois caminhos,
.fnão tem limite quando (x,;1) se aproxüna de (0, 0).
Pode ser mostrado que a função no Exemplo 6 te1n liJníte O ao longo de todo o
caminho y = 111x (Exercício 53). Concluirnos que
Ter o n1es1no limite ao longo de todas as linhas retas se aproximando de (x0, y 0)
não implica que uni limite exista e1n (x0 , ) ' 0 ).
o
(b)
(a) Gráfico de/(x,y)=
2x2y/(x4 + .1J). (b) Ao longo de cada
caminho y = kx2 o valor de j 'é constante.
mas varia com k (Exe1nplo 6).
FlGURA 14.14
Sempre que corretan1ente definida, a composta de funções contínuas é ran1bém
contínua. A única exigência é que cada função seja contínua onde for aplicada.
A prova, omitida aqui, é semeU1ante àquela para funções de uma variável (Teorema 9,
na Seção 2.5).
Continuidade de compostas
Se fé contínua em (x0 , .v0) e g é urna função continua de tuna variável en1/(x0, y 0),
então a função composta h = g o f definida por h(x, y) = g(f(x, J')) é contínua e111
(xo, Yo>·
Capítulo 14 Derivadas parciais
Por exen1plo, as funções con1postas
xy
e·' - '',
cos 2
+ 1
X
223
,
são contínuas e1n todos os pontos (x, y ).
Função de mais de duas variáveis
As dcfiníções de lj1nite e continuidade para funções de duas variáveis e as conclusões sobre limites e continuidade para somas, produtos, quocientes, potências e
composições eslendcn1-se a funções de três ou n1ais variáveis. Funções como
y senz
ln (x + y + z)
e
x - 1
são conrinuas 11os seus domínios, e limítes como
e x+:
lín1
P-( l. 0,-1) 2 2 + cos
e1 1
yry
1
- ----- - 2
( - 1) + cos0 - 2'
onde /> índica o ponto (x, y, z), podem ser encontrados por 1neio de substituição
direta.
Valores extremos de funções contínuas em conjuntos fecha.dos e limitados
O teorema de valor extremo (Teorema l , Seção 4.1) afinna que uma função de
uma variável única que é contínua e1n um intervalo fechado e limitado [a, b] assun1e
uo1 valor máximo absoluto e u1n valor mtnimo absoluto pelo menos uma vez em
[a, b]. O 111esmo vale para uma função z =_((x,y) que é contínua en1 um conjunto R
fechado e limitado no plano (como um segmento de reta, un1 disco ou um triângulo
cheio). A função assume um valor máximo absoluto en1 algum ponto R e um valor
mínimo absoluto em algu1n ponto em R.
Resultados semelhantes são verdadeiros para funções de três ou 1nais variáveis.
ULna função contínua 1-11 = f(x, y, z), por exe1nplo. deve assumir valores máxilno e
n1ínin10 absolutos en1 qualquer conjunto fechado e lin1itado (esfera sólida ou cubo,
casca esférica, sólido retangular) no qual é definida. Aprenderen1os co1no encontrar
esses valores extremos na Seção 14.7.
Exercidos 14.2
Limites com duas variáveis
13.
Encontre os lirnites nos Exercícios 1-12.
3x 2 - y 2 + 5
e x-•·.
lim
1.
Lim
7.
(x..r)- (0. ln 2)
(x. r>-10. OI X ~ + y 2 + 2
2.
3.
lim
(.l'.J')-(0. 4)
lim
h ..•·l-13. -1 )
5.
9.
6.
( -1 + -1)
{Y.)')-(2. ·) ) X
J'
lim
lin1
(x.yl-(0, rr/ 4)
secxtg y
x 2
lin1
(x,yl- (0. OI
14.
Vx 2 + y 2 -
(x.y)-> (0. 0)
cos
+ YJ
x+y + 1
10.
11.
lim
c.-.yJ-l l. 1,
.
X I' -
.)' - 2\" + 2
x - 1
.t;t 1
lin1
cos~
lim
xseny
,
(.r••r)- ( 1, w/ 61 X ·
x-y
C.t.)'l-( 1, 1) •
)'
X
(.r ,yl-11 / 27. ,,..,
li1n
)'!
.....
15.
e> senx
2
4.
xi -
vY
lim
x-y
(.r. yl- ( 1. 1)
T.. ,1'
lim ln l 1 + x 1 v 2 I
8. (.r, l')-.(1
,1)
.
X
lin1
x 2 - 2xy + y 2
,
)' + 4
16.
lin1
~
,
(.r. .l')-(2. -li x -.v - .n. • + 4x · - 4x
.1'1'-4. nl'.r
+
cos y +
J2.
lin1
(x.yl-+ lr./ 2.0 \ y - scnx
Limites de quocientes
Encontre os limites nos Exercícios 13-24 reescrevendo primeiro as
frações.
17.
lin1
C.r.yl-IO. Ol
.....,.
18.
lun
x -y + 2Vx -2 vY
v:; - v;:
•
X + l' -
• ,-:.-.
4
(x. yl-(2.21 VX + V - 2
:c+.11 '64
·
224
19.
Cálculo
lii11
(.r,y)-(2, O)
v2x - r -4 2
2.;
;r -
39. a. lt(x,y, :) = ln(: - x 2 - y 2 1
b. h(x. 1•. z) = --\/:-;:::;:::::=:;:
zx-? + y-'
)' -
2x-y.04
20.
~-v;+l
lim
.l' -
X -
(<,yl - (4, 3)
.t>"v+ 1
21.
22.
24.
1
b. h(x, y, z) =
liin
xi + J'2
(r. r1-ro. Ol
Sem limite em um ponto
1 - cos (xy)
lirn
Considerando can1inhos diferentes de aproximação, 1nos1re que as
funções nos Exercícios 41-48 nào tên1 lin1He qu1u1do (x. y)--. (O. O).
xy
(T,)') - (0. Ol
X
+y
41. J(x, y) = -
X -
)'
42. f(x,y ) =
li1n
(.r, y) ..... (1.-1)
lirn
Vx2 + •112 + z2 - 9
4 -
sen (x 2 + y 2)
x3 + YJ
23.
V4 - x 2 - y 2 - z 2
40. a. h(x. y,z) =
f
1)
- . - -4
C.r. d-(2. li x 4 - y
vx-, + J'°,
X
..\A
X
4
+ )' 2
Limites com três variáveis
Encontre os lin1ites nos Excrcicios 25-30.
25.
.
(1
1
1)
1
1n1
-r
+
"
+
-::
r•-n.
J. 4)
26
•
28.
29.
30.
"
2.\y + yz
li1n
. p__.(l. - l. - l l
27.
•
lin1
P-Crr. ,,., 0)
-,-2
x-+:
(sen2 x + cos2 y + sec2 :)
1Ím
ª
. z
43. f(x,y) =
tg -I XI':!'
+ J'
Xl'
•
44. f (x, v) = ....::...•
: e- 2>· cos 2.r
P-(rr.0, 31
lin1
1'2
X
p__.(- 1/4, w/2. 2)
lim
x4 _
P-.(2. -3. 6)
X)'
1
-1Y" -
45. g(x r) =
lnVx 2 + y 2 + z 2
1
'•
)'
·
X+)'
x2 - y
46. g(x,y) = X
Continuidade no plano
Em que pontos (x, y) no plano as funções nos Exercícios 31-34 são
conLinuas?
31. a. /(x,y)=sen(x+y)
b. /(x.y) = ln (x 2 + y 2)
x 2 + 1'
47. h(x,y) =
I' .
•
x 2 1•
48. !t(x, l') =
32. a. f(x. y ) = x _
•
+ )' 2
X4
•
.\'+V
.\'
\'
:I'
b. /(x. y) = - -'-·-
x2 + 1
1
33. a. g(x.y) = seo xy
b. g(x,v)
. =
\" + \'
2
'+ cosx
'
+ y2
1
34. a. g(x,y) = - , - - - - b. g(x,y) = - 2 - ,\. - )'
x- - 3x + 2
x2
Teoria e exemplos
Nos Exercícios 49 e 50, mostre que os limites não existem.
xy 2 - 1
lim
49.
(.r.y~(l. l ) y - 1
;
l"·.1'1-(1.-l ) x
b. f(x,y,z) =
Vx 2 + y 2 - 1
36. a. f(x, y, z) = ln xyz
5 1. Seja /(x. y) =
a.
1
e.
38. a. h(x, .l ', z) = 1)' 1+ 1;: 1
1
b. lt(x, •)1, z) = 1.\'.1 1 1+ 1Z 1
lim
(-'._\')-
b.
,
,
x- + =- 1
1·-
I,
y e:: x4
1,
y :S O
O.
de outra fonna.
Encontre cada um dos lin1i1.es a seguir ou explique que o limite não
existe.
b. j{x, y, z) =e<+-" cos z
1
37. a. h(x, y . z:) = .\J' sen z
b. h(x, y, z) =
,
-
Continuidade no espaço
Em q1te pontos (x, y. :) no espaço as funções nos Exercícios 35-40
são continuas?
35. a. /(x, y, z) = .\.2 + >,2 - 2z2
+ 1
.\')I
lim
50.
f (x,y)
(0. 1)
lin1
f(x. v)
lim
f (x,y)
(.r,y)-(J. 3)
•
(X.)')-(0, 0)
52. Seja f (x, )') =
{x:. X< 0 .
X :::>
0
X,
Encontre os lin1ites a seguir.
225
Capítulo 14 Derivadas parciais
a.
b.
e.
lim
/(x, 1')
lin1
f(x.y)
lim
/(x. y)
(x. y)- ( 3. -2)
lx.y)~ (-2. 1)
(.1 . r )- (O. 0)
b. Utilize a fórmula que você obteve no item (a) para 1nostrar que
o lin1itc de f quando (x, y) - (O. 0) ao longo da reta y = 111x
varia de - 1 a 1, dependendo do ángulo de aprox.i1nação.
60. Extensão contínua Dcfina/~O. 0) de maneira a estender
•
xi -
53. Mostre que a função no Exe1nplo 6 tem li1nite O ao longo de
cada linha reta se aproximando de (O, O).
54. Se .f(x 0 , y 0 ) = 3. o que você pode dizer sobre
li1n
f(x, y)
(A. y ) -('<!. l'o)
se.fé contínua em (x0 , y 0)'? E se/não é contínua em (x0 , y 0)?
Justifique suas respostas.
Teorema do coníronto para funções de duas variáveis afim1a que,
se g(x, y ) Sf(x. y) s h(x. y), para todo (x, y) -:f. (x0 , y 0) em uni disco
centrado e1n (x0,y0 ) e se g e lt tivcrc1n o niesn10 lin1itc finito l quando (x. y) ~ (xcr y 0 ), então
lim
(.l,y)- ~•u. ,l'o)
f(x, v) = l.
•
f(x.y) = ·~11 z
X
•
1un
tg- I X)'
\"''
..J
!x. y)- (0. OJ
.
?
.
21..l'.vl -
( ' • l')- (0. OJ
f(x. y) = lim / (r cos 8, r sen 8) = L.
r -+O
Por exemplo,
~- 3
.
,
r-
lim r cos 3 () = O.
r-o
=Ir cos
3
8 - 01 < E.
Como
x 2v 2
6 < 4 - 4cos Vj;yj < 2lxyl
4 - 4 cos
lxy 1
(x.yJ- (0. O)
Vj;yj
. 'I
Justifique sua resposta.
57. Sabendo que 1 sen ( l/x) 1 < 1. você pode dizer algo sobre
.m
11
~'· v)- {0, 0)
y sen -:1 '?
.t
Justifique sua resposta.
58. Sabendo que 1 cos ( 1 ~11) l < 1. você pode dizer algo sobre
lim
(.<. 1•)-(0, 0 )
Ir cos381= Jrllcos381$ f1i · 1 "" 111.
a in1plicação é verdadeira para todo,. e() se toman1os 8 = E.
E1n c-0nirapar1ida,
você pode dizer algo sobre
Jin1
r 3 COS3 8
Para verificar a última igualdade, precisamos n1ostrar que a Equação 1 é satisfeita conij"(r, 8) = r cos3 8 e L = O. Isto é, precisan1os
n1ostrar que, dado qualquer E > O. existe un1 ó > Otal que, para todo
,. e e.
Ir] < 8
Justifique sua resposta.
56. Sabendo que
(1)
Se tal l existir. ent.ão
,'
- Lun
(;r.y)- !O. Ol x· + y 2
r-0
você pode dizer algo sobre
+ y·
111 <8= lf(r, O) - LI< E
Lim
1
•1
a unia função contínua na origem.
Mudando para coordenadas polares Se você não pode fazer
progresso con1 limcx. 1,1_ 10• 0 ,_f(x, y) em coordenadas retangulares, tente n1udar para coordenadas polares. Substitua x = r cos 8,
y = r sen O e investigue o limite da expressão resultante quando
r~ O. Em outras palavras. tente decidir se existe um nún1ero l que
satisfaça o seguinte critério:
Dado E > O, existe um 8 > Otal que, para todo r e 8.
lim
Utilize esse resultado para confirn1ar as suas respostas nos Exercícios 55-58.
55. Sabendo que
vi
xcos~?
)
xz
assun1e todos os valores de Oa 1 por n1enor que seja !11. de modo que
liin1,. •i-co. 01 x2/(x2 + y2) não existe.
En1 cada u1n desses exemplos, a existência ou inexistência do li1nile
quando r-> Oé razoavelmente clara. Entretanto. a niudança para
coordenadas polares nem scrnprc ajuda e pode até nos levar a conclusões falsas. Por exen1plo. o li1nite pode existir ao longo de toda
reta (ou raio) 8 = constante e nics1no assim não cx.is1ir cn1 u1n sentido n1ais an1plo. O Exen1plo 5 ilustra esse ponto. Em coordenadas
polares,/(x, y ) = (2r2y)/(x4 + y2) torna-se
f(r cos fJ, r SCLl O) =
Justifique a sua resposta.
r cos (} sen 28
2
,. 2 cos4 8 + serre
59. (Continuaçcio do Exe111plo 5.)
a. Releia o Exen1plo 5. Substitua 111 = 1g 9 na fórmula
f (x,y)
.•·· l'L\
para r :F- O. Se deixamos 8 constante c fazen1os r--+ O, o li1nitc é O.
No caminho y = _yl, entretanto, ten1os r sen 8 - r 2 cos2 8 e
2111
1 + 1112
e sin1pli fique o resultado para n1ostrar como o valor de 1·
varia de acordo com o ângulo de inclinação da reta.
f(rcos 8, rsen 9) =
rcos8 scn 28
r 2 cos4 (} + (r cos2 8) 2
2r cos 2 8 sen 8
2r 2 cos4 8
r sen8
2
2
r cos 8
-
1.
226
Cálculo
Nos Exercícios 61-66, encontre o limite de f quando (x. y) - (O. 0)
ou n1ostre que o lin1ite não existe.
X3 -
6 1. f(x, y) =
X
2
+
X)' l
,
l' "
•
XJ -
V:c 2 + y 2 < /j
=>
69. f(x,y) = x 2 + y 2•
E =
J'J)
72. /(x,y) = (x + y)/(2 + cosx).
,
)' 2
,
X
74. f(x.y) =
,
2 +
~
+ _r
2
E
= 0.04
e /(O. 0) = O.
E
= 0,02
,
v•
•
Vx 2 + y 2 + z 2 < l>
.
,
(3x2
x2y2 + 3y2)
67. /(.X,}) - hl
l
X
75. f(X. y, =)
+ )' 2
77. f(x,y,z) =
3x y
,
X 2 + 1•·
=>
=r + )'2 + z2,
76. f(x. y. =) = xy:,
2
E=
l/(x, y, z) - /(O, O, 0) 1< E.
E = 0,015
0.008
x+y+z
,
,
,
2
X + y· + z• + 1
78. f(x. y, z) = tg2 x + tg2 y + tg2 z,
Usando a defin;ção de limite
Cada um dos Exercícios 69-74 fornece unia função /(.r, y) e un1
número positivo E. Em cada exercício, 1nostre que existe urn l> > O
tal que, para lodo (x. y).
14.3
2
e /(0, 0) = O,
=»
Nos Exercícios 67 e 68, dcfina/(0, O) de maneira que/se estenda
a unia função contínua na origeni.
68. f(x,y) =
+ )'
2
E = 0,02
Cada u1n do Exercícios 75-78 aprescn1a u1na função/(x,y. z) e um
número positivo e . E1n cada exercício, niostre que existe um l> >O
1al que, para todo nú1ncro (x, )'.
x- + •11·
x- - y·
X
2
x3 + 1,4
X
Lvl)
65. /(.\,. y) -_ tg-• (lxl+
,
,
66. j(x.y) =
xy-
73. f(x,y) =
x· + y 2
1\'
64. J(x,y) = 2
2
X +x +y
,
0,01
70. /(x, y) = y / (x 2 + 1). E = 0,05
71. f(x,y) = (x + y)/(x 2 + 1), E = O.OI
62. /(x.y) = cos ( ,
,
x• + y 63. f(x,y) =
lf(.x,y) - /(O. O) j <E.
E =
0.015
€ = 0.03
79. Mostre que j(x. .I~ z) = x + y-= é continua em qualquer ponto
(xo, Yo, Zol·
80. Mostre que.f{x. y. z) = .r2 + .112 + z2 é continua na origen1.
Derivadas parc;ais
O cálculo de várias variáveis é sernelhante ao cálculo de unia variável aplicado
a várias variáveis, u111a de cada vez. Quando fixatnos todas as variáveis independentes de un1a função - menos un1a - e derivamos em relação a essa variável, obtemos
urna derivada "parcial'·. Esta seção mostra conio as derivadas parciais são definidas
e interpretadas geon1etricamente e como calculá-las aplicando as regras para derivação de funções de u1ua variável. A ideia de diferenciabilidade para funções de várias
variáveis necessita de mais do que a existência de derivadas parciais, mas verernos
que as funções deriváveis de várias variáveis se comportam da mesma forma que as
funções de uma variável derivável.
Derivadas parciais de uma função de duas variáveis
Se (x0 , y0) for uni ponto no domínio de u1na função f(x, .v), o plano vertical y = J'o
cortará a superfície z = f(x, y} na curva z = f(x, y 0 ) (Figura 14.15). Essa curva é o
gráfico da função z = /~t. y 0 ) no plano y = y 0 • A coordenada horizontal nesse plano
é x; a coordenada vertical é z. O valor de y se 111antém constante em y 0 , portanto y
não é u1na variável.
Oefinin1os a derivada parcial de f en1 relação a x no ponto (x0 , yo) con10 a
derivada ordinária de f(x, J'o) em relação a x no ponto x = x 0 . Para distinguir as derivadas parciais das derivadas ordinárias, utilizamos o sí1nbolo à no lugar da letra d
empregada anteriormente. Na definição, h representa um número real. positivo ou
negativo.
Capítulo 14 Derivadas parciais
227
Eixo venicul
,.....no plano .v = .l'o
~ = f(x. 1•)
Curva:: = j(x,y0 )
no plano y = .l'o
/
Reta tangente
()
(xo + lt, Yn)
y
Cxo. Yo>
Eixo horizontal no plano y = y 0
FIGURA 14.15 Interseção do plano y = y 0 com a
supcrficie z = f(x, y) vista de um ponto acitna do
prin1eiro quadrante do plano xy.
OfFINIÇAO
A derivada parcial de f (.\:,y) em relação a x no ponto {x0 ,;10) é
af
ax
. f(xo + h,yo) - f(xo,yo)
= hn1 - - - - - - - - - - ,
1i-o
(.\O, _1\l)
h
desde que o lirnite exista.
Uma expressão equivalente para a derivada parcial é
d
dx f(x, yo)
EiJto vertical
no pla:no
x=x0
-
4
.
O coeficiente angular da curva z = /(x,y0) no ponto P(x0,y0, f(x0,y0 )} no plano
J' = y 0 é o valor da derivada parcial de f em relação a x ern ~l:0 , yo). (Na Figura 14.15
esse coeficiente angular é negativo.) A reta tangente à curva em Pé a reta no plano
)' = Yo que passa por p COl11 esse coeficiente angular. A derivada parcial of/ox etn
(x0, y 0) fornece a taxa de variação de f em relação a x quando y é mantido fixo no
valor .v0 .
Utilizamos diversas notações para a derivada parcial :
:: =f(x.y)
àf
i)z
ãX' (xo,_vo) ouf.1(xo,,vo),
o
--Yo
(xo·Yol
.t..a:cu
)'
e
A definição da derivada parcial dej(x, ;1) com relação a y en1 urn ponto (x0,,v0)
é semelhante à definição da derivada parcial de f con1 relação a x. Mantemos x fixo
no valor x0 e tornamos a derivada ordinária de /(x0 , y) co1n relação a y em )'o·
(xo·.Vo + k)
Cu rva::= f(.\·0 , y)
no plano x = x 0
Eixo horizontal
noplunox =x0
l oEFINIÇÃO
é}j
A derivada parcial de / (,x,J1) em relação a J' no ponto
d
-ay
=d f(xo.;
(~u. J'u)
V
FIGURA 14.16 Interseção do plano x =- x0
com a superfície z = f(x, y), vista de cima
do prin1eiro quadrante no plano xy.
1)
~l:0,_v0) ~
f(xo, Yo + h) - f(xo. Yo)
= hLim '---"-----'---'-o
h
,
.
desde que o limile exista.
O coeficiente ang11lar da curva z = f (x0 , y) no ponto P(x0,J•0, f (x0 , y 0 )) no plano
vertical x = x 0 (Figura 14.16) é a derivada parcial de f em relação a y em (x0 , J'o).
A reta tangente à curva en1 P é a reta no plano x = x0 que passa por P corn esse coe-
228 Cálculo
ficiente angular. A derivada parcial fornece a taxa de variação de f em relação a y
em (x0, y0 ) quando x é 1nantido flJ<o no valor x0.
A derivada parcial em relação a J' é denotada da mes1na maneira que a derivada
parcial e1n relação a x:
êJf
ÕJ' (xo, Yo),
êJf
()y,
Observe que agora ternos duas retas tangentes associadas à supe1fície z = f(x, y)
no ponto P(x0 , y 0 , f(x 0 , y 0 )) (Figura 14.17). O plano que elas determina1n é tangente
à superfície em P? Veremos que é para as funções diferenciá11eis definidas ao térn1ino desta seção, e aprenderemos corno encontrar o plano tangente na Seção 14.6.
Prirneiro temos de aprender n1ais sobre as próprias derivadas parciais.
-..
Estn rela tnngen1c
possui coeficiente
P(xo . .l'o-/(.ro·.l'o))
angular./).(.t 0 . y0 ). ~
E.~ta reta tangente
pos~ui cooficicnte
/
Curva == /(.A·0 • y)
no plono x = xo
angular/,(x0 ,y0 ).
- -- - Cu rva == /(x, y0)
no plano y = ."o
/
== /(,\._\')
X--.I' = Yo
(.l"o •.\'o)
x = xo
Figuras 14.15 e 14. 16 combinadas. As retas
tangentes no ponto (x0 ,y0 , f(x0,y~) determinam u1n plano que.
nesLa figura. pelo menos. parece ser rangente à superffcie.
FIGURA 14.17
Cálculos
As definições de ôf/ôx e ôflôy fornecein duas maneiras diferentes de derivar f
e1n um ponto: em relação a x, da 1na11eira usual, tratando y como uma constante e,
em relação a y . da maneira usuaJ. tratando x como uma constante. Como mostram
os exen1plos a seguir, os valores dessas derivadas parciais geraln1ente são diferentes
no ponto dado (x0 , y 0 ).
EXEMPLO 1
Encontre os valores de ôflôx e àjlô_1 no ponto (4, - 5) se
1
f(x. y) = x 2 + 3.\)1 + )" - 1.
S1>lução Para enco11trar ôf làx, tratamos .F con10 uma constante e deriva1nos em re-
lação a x:
af il (x 2 + 3xv + y - 1) = 2t + 3 · l · r + O - O = 2x + 3y.
-ax = ax
.
O valor de ôflôx em (4, - 5) é 2(4) + 3(- 5) = - 7.
Capítulo 14
Derivadas parciais
229
Para encontrar qf/ây, tratarnos x co1no un1a constante e derivamos em relação a y:
2
?/.=
~
(x + 3X)' + y - l ) = O + 3 •x · 1 + 1 - O = 3x + l.
O)'
cJ)I
O valor de ôflâ,v em (4, - 5) é 3(4) + l = 13.
EXEMPLO 2
Encontre âf lâ;1se j(x, y) = y sen ~v.
Solução Trata1nos x co1no urna constante e f como u1n produto de y e sen .\y:
af
a
a
é1
- = -(ysenx1•) = y-:-senxy + (senxv)-:-(y)
ay
ay
•
ay
. iJy
= (.v cos .~J') ;~ (.\y) -f- sen "Y = "Y cos XJ' + sen "Y·
EXEMPLO 3
Encontre f x e f" como funções se
2y
f(x,y) = y + cosx ·
Solução Tratamos f como un1 quociente. Con1 y n1antido constante. obternos
f~
2.v
= j_ (
a
a
) = (y + cosx)ã;(2y) - 2yã;(Y + cosx)
ax y + cosx
(;• + cosx) 2
(y + cosx)(O) - 2y( - senx)
2y sen x
( v + cosx) 2 ·
(y + cosx) 2
Com x fixo, obte1nos
a
a(
a
(;1 + cosx)ãY(2y) - 2yd_Y(J' + cosx)
2y
f.~ = ~V y + COS X
)
(y + cosx) 2
= (y + cosx)(2) - 2y(I) =
(y + cosx) 2
2cosx
(y + cosx)2 ·
A diferenciação in1plíci1a funciona para derivadas parciais da mesma maneira
que para derivadas ordinárias, con10 mostra o exen1plo a seguir.
EXEMPLO 4
Encontre âzlâx se a equação
y: - ln Z = X+)'
define= como uma função de duas variáveis independentes x e y e a derivada parcial
existir.
Solução Diferenciamos runbos os lados da equação ern relação a x, mantendo y
constante e tratando= como uma função derivável de x:
à
é)
àx
él,11
-(vz) - -:- ln z = - + iJX '
<}X
àx
iJX
(/;; - l r)z = 1 + O
y ilx
z ax
01- !) :~ = 1
é)z
z
âr = ;1z- 1 ·
Coin 1 constante,
,,
fl:
,1,
"'
-(1·=> - \ -
230
Cálculo
.
EXEMPLO 5 O plano x = 1apresenta interseção com o paraboloide z = x1 + jl em
u1na parábola. Encontre o coeficiente angular da tangente à parábola em ( 1, 2, 5)
(Figura 14.18).
•
i
/
1
Plano/
.t = 1
Superfície
,
~ =x· + ,..
~
•
Reta
I
-
Soluçao O coeficiente angular é o valor da derivada parcial àz/ôy em (1, 2):
( I. 2 . S) . . . - truigcntc
iJz
il_v 11.21
= ~ (x 2 + y 2 )
ily
= 2J'
11.21
11.21
= 2(2) = 4.
Como un1a verificação, poden1os tratar a parábola como o gráfico da função de un1a
variável z = ( 1)2 + Y. = 1 +y2 no plano x = 1 e procurar o coeficiente angular e1n J' =
2. O coeficiente angular, calculado agora como uma derivada eomu1n. é
2
_\'
~
dy ~·=2
X
FIGURA 14.18 Tangente à curva de
interseção do plano x = 1 e a superficie
== x 2 + J,l no ponto ( l, 2, 5)
(Exernplo 5).
=
.!!.. ( 1 + v2 )
d)•
-
= 2y
\'=2
•=2
= 4.
Funções de mais de duas variáveis
As definições de derivadas parciais de funções de mais de duas variáveis independentes são eon10 as defu1ições para f11nções de duas variáveis. Elas são derivadas ordinárias em relação a un1a variável, lo1nadas enquanto as outras variáveis
independentes são 1nantidas constantes.
EXEMPLO 6
Se X,)' e z fore1n variáveis independentes e
f(x. y, z) = x sen (y + 3z),
então
af
+ 3z)] = x!--sen(y
+ 3z)
n= = ~[xsen(v
i)z
,
i)z
iJ
= x eos (y + 3z) âZ (J1 + 3z) = 3x eos ()' + 3z).
EXEMPLO 7 Se resistores elétricos de RI' R2 e R3 ohms são conectados em paralelo para formar um resistor de R ohms, o valor de R pode ser encontrado a partir
da equação
J_=J_+J_+...L
R
Ri
R1
R3
(Figura 14.1 9). Encontre o valor de àR/ôR 2 quandoR 1 = 30, R2 = 45 e R3 = 90 ohms.
RJ
Solução Para encontrarmos aRJàR 2, tratan1os R1 e R3 co1no constantes e, uLilizando
derivação implicita, deriva1nos ambos os lados da equação en1 relação a R2:
l ____+_,l
a
é>R2
1-----/
FIGURA 14.19 Dizemos que resistores
dispostos desta maneira estão conectados
em paralelo (Exemplo 7). Cada resistor
deixa passar unia parte da corrente. Sua
resistência equivalente Ré calculada
com a fórmu la
(J.)
- ..L (J_ + J_Ri + ...L)
R iJR2
R1
R3
Quando R1 = 30, R2 = 45 e R3 = 90,
J...=J_+J_+...L=3+2+ 1 = - 6 = - 1
R
30
45
90
90
90
15 '
Capítulo 14
Derivadas parciais
231
porta11to R = 15 e
(1l) (1) = l
éJR =
éJR2
45
2
2
=
3
9.
Assim, nos valores dados, uma pequena alteração na resistência R2 leva a uma
alteração em R de cerca de 1/9 do seu tamanho.
Derivadas parciais e continuidade
Uma função f(x,y) pode ter derivadas parciais en1 relação a x e J' cn1 urn ponto
sem ser continua nesse ponto. isso é diferente de uma função de urna variável. onde
a existência da derivada i1nplica continuidade. Entretanto, se as derivadas parciais
de f(x, y) existire1n e forem continuas en1 um disco centrado em (x0 , y 0 ), entãof será
continua em (x0 • y 0 ), confonne veremos ao término desta seção.
.._-_{º·1, xxyy "'O
= O
EXEMPLOS
Seja
-f(x. J'l = {
01
/
1
~
•1
X/
L,
1
~·.1·
1
-
~: ,\)1 = o
XI'
:f. 0
•
(Figura 14.20).
(a) Encontre o limite de/quando (X,J') se aproxima de (0, 0) ao longo da retay = x.
(b) Prove que fé não continua na origem.
(e) Mostre que a1nbas as derivadas parciais, ôfliJx e ôflôJJ, cxistcn1 na origem.
Solução
FIGURA 14.20
(a) Como f(x, y) é constanten1ente zero ao longo da reta y = x (exceto na origen1),
O gráfico de
/ (x,y) =
{º·
1,
temos
*
xy
O
.\V = 0
consiste em duas retas L 1 e L 2 e nos quatro
quadrantes abertos do plano .t;v. A função
tem derivadas parei.ais na origetn, mas não
é contínua lá (Exen1plo 8).
li1n
(x, y) -+(0. O)
O = O.
(b) Como /(O, O) = J, o limite no item (a) prova que fé não contínua crn (0, 0).
(e) Para encontrarmos ôflox en1 (0, O), manten1os .11 fixo en1 y =O. Então /(x•.r) = 1
para todo x, e o gráfico de fé a reta l 1 na Figura J4.20. O coeficiente angular
dessa reta em qualquer x é ôjlôx = O. Especifica1nente. ôflôx = Oe1n (O. O). De
maneira se1nelhanre, ôflôy é o coeficiente angular da reta L2 en1 qualquer _v,
de modo que af lày = Oem (O, O).
Apesar do Exemplo 8, ainda é verdade. em dimensões maiores, que a diferenciabilidade e1n um ponto implica continuidade. O que o Exen1plo 8 sugere é que
precisan1os de uma exigência n1ais forte para a diferenciabilidade em di1nensões
n1aiores do que a mera existência das derivadas parciais. Definimos diferenciabilidade para funções de duas variáveis (que é ligeiramente rnais co1nplicado que para
funções de urna variável) no final desta seção e, en1 seguida, revemos a conexão
con1 a continuidade.
Derivadas parciais de s-egunda ordem
Quando derivamos u1na função f(x , y) duas vezes, produzi111os suas derivadas
de segunda ordem. Essas derivadas são, en1 geral, denotadas por
a21
ai/
---;
ay- OU J.,.,
.,
- 2 OU /:u,
ax
e
ou f ry·
232 Cálculo
As equações de definição são
2
(ª!)
a
f
a
ax2 = ãX ih ·
e assim por diante. Observe a ordem na qual as derivadas são tomadas:
a11
Derive prin1eiro em relação a y, depois cm relação a x.
axay
f yx = (/1.)r Significa a mesma coisa.
EXEMPLO 9
Se f (x, y) = x cos y + ye'. encontre as derivadas de segunda orde1n
e
BIOGRAFu\ HISTÓRICA
Picrrc-Sin1on Laplace
( l 749-1827)
Solução O prirneiro passo é calcular as duas derivadas parciais de prirneira ordem.
~
a (x cos J' + ver)
-ax
= -ax
.
.
~
a (x cosy· + ver)
=
iJy
Ô)'
•
7""
= - x sen y + e ,.
= cosy + yex
Agora, encontre as duas derivadas parciais de cada derivada parcial de primeira
ordem
(ª!)
+
axay ax ay
1) - xcos y.
ªay-< j_
(ª
ay ay
.aif = -"
-
= - sen y
e·T
2
=
=
Teorema das derivadas mistas
Você pode ter notado que as derivadas parciais de segunda ordem "mistas"
e
no Exemplo 9 são iguais. Não se trata de coincidência. Elas devem ser iguais sempre que/, f t• ( ,.. f x.• e fl'J, forem contínuas, conforme afirn1ado no teore1na a seguir.
TEOREMA 2 - Teorem~ das derivadas mistas Se j(x, y) e suas derivadas
parciajs f x, / 1,, f xi• e / ,,r forem de·finidas por toda uma região aberta contendo
um ponto (a, b) é todãs forem continuas en1 (a, b), então
/
BJOGRAFLA i11s·ró1UCA
Alexis Clairaut
( 1713-1765)
9
,(a, b) = fvx(a. b).
O Teorerna 2 tambérn é conhecido como tcore1na de Clairaut, em homcnage1n
ao matemático francês Alcxis Clairaut, que o descobriu. Un1a prova desse teorema
é dada no Apêndice 9. O Teorema 2 diz que, para calcular u1na derivada de segunda
ordem n1ista, podemos diferenciar e1n qualquer ordem, contanto que as condições
de continuidade sejam satisfeitas. Essa capacidade de proceder e1n diferentes ordens algumas vezes sin1plirica nossos cálculos.
EXEMPLO 10
Encontre a211•taxôy se
e-'
~v=xy+ --­
v2 + 1
Capítulo 14 Derivadas parciais
233
Solução O sí1nbolo o21vloxà_v nos diz para diferenciar pri1neiro en1 relação a y e depois
ern relação a x. Contudo, se trocarmos a ordenJ da diferenciação e diferenciam1os
primeiro em relação a x. obteremos a resposta 1nais rapidamente. Em duas etapas,
011'
-
iJx
!17
=y
v - \.\,'
--= 1
e
ily<Jx
·
Se diferenciarmos pri1neiro e1n relação a J'· ta1nbé1n va1nos obter iJ2.,v/oxoy = 1.
Poden1os diferenciar em quaJquer ordem. porque as condições do Teoren1a 2 são
verdadeiras para H' em todos os pontos (x0, .Y0).
Derivadas parciais de ordem superior
Apesar de lidarmos na n1aioria das vezes com derivadas parciais de pri1neira
e segunda ordens, por elas apareceren1 con1 n1aior frequência em aplicações, não
existe limile teórico para o número de vezes que podemos diferenciar u111a função
desde que as derivadas envolvidas existam. Assirn, obte1nos derivadas de terceira e
quarta ordens, que denotamos por sí1nbolos co1no
a3f
:i
'>
~ = f ..l''X•
aXdy -
a4f
ax 2ay 2 = !1~'.0•
··
e assi1n por diante. Con10 acontece cotn derivadas de segunda ordem, a orde1n de definição é irrelevante, contanto que todas as derivadas na ordem em questão seja1n continuas.
EXEMPLO 11
Encontre ( i:•yz se f (x, y , z) = 1 - '.b:i,2z + x 2.v.
Solução Diferenciamos primeiro en1 relação a y, depois em relação a x, en1 seguida
em relação a y novrunente e, por fim, em relação a=:
f,. = - 4..\'.YZ + x 2
f y-< =
- 4yz + 2r
f yxy =
- 4z
/ 1·.n-: = - 4
Diferenciabilidade
O ponto de partida para a diferenciabilidade não é o quociente da diferença
que vimos ao estudar fu11çôes de un1a variável. n1as sim a ideia de increo1ento. Você
deve lembrar o nosso trabalho co1n funções de uma variável na Seção 3.11. que, se
y = f(x) for diferenciável e1n x = x0 , então a variação no valor de f que resulta da
variação en1 x de x0 para x0 + 6.x é dada por uma equação da forma
6.y = j'(x0 )6.x + EÂ.x
na quaJ E~ Oquando 6.x ~O. Para funções de duas variáveis. a propriedade análoga torna-se a definição de diferenciabilidade. O teorema do incre1nento (provado no
Apêndice 9) nos diz quando esperar que a propriedade seja verdadeira.
TEOREMA 3 - Teorema do incremento para funções de duas variáveis Suponha que as derivadas parciais de prin1eira orde1n de f(x, y ) sejam definidas
por roda un1a região aberta R que contenha o ponto (..\·0, y 0) e que f x e/,. sejam
contínuas em (x0 , y 0 ). Então a variação
l
6.z = ! Cxo + 6.x, Yo + ÂJ') - f (r.o•Yo>
no valor de f que resulta do movimento de (x0 • y 0) para outro ponto (x0 + 6.x,
y 0 + ó.y) e1n R satisfaz uma equação da forma
ó.= = f x(x0 , y 0)6.x + f _..(x0 , y 0 )ó.y + E 1i:l.t + e 2ó.y
na qual e 1, e2~ Oquando .ix, ó.y ~O.
234
Cálculo
Você verá de onde os épsilons vên1 na prova fornecida no Apêndice 9. Resultados sin1ilares são verdadeiros para funções de 1nais de duas variáveis independentes.
DEFINIÇÃO Uma função z = f (x, y) é diferenciável en1 (x0, y 0 ) se f .(x0• y 0 )
e (v(.x0 , y 0 ) existe1n e fiz satisfaz uma equação da forma
~ - fx(x 0 ,y0 )th +J;Jx0 , y 0).ô.J' + E 1ó..r + E2 ily
na qual E P E2 ~ Oquando LU. à.y ~ O. Dizen1os que./ é diferenciável se ela
é diferenciável c111 todos os pontos de seu do1nínio, e dizcn1os que seu gráfico
é uma superfície lisa.
Devido a essa definição. um corolário imediato do Teoren1a 3 diz que uma função é diferenciável em (x0,yo) se suas prin1eiras derivadas parciais são contínuas ali.
COROLÁRIO DO TEOREMA 3 Se as derivadas parciais f~ e f Y de un1a função
j(x, y) são contínuas ao longo de tuna região aberta R, então.( é diferenciável
e1n todos os pontos de R.
Se z = f(x, y) é difcrenciavel, então a definjção de ditcrenciabiljdade assegura
que~ = j(x0 + ó..r, y 0 + à.y) - f(x0 , y 0 ) se aproxi1na de O quando ó..r e .Ô.J' se aproxin1an1 de O. Isso nos diz que un1a função de duas variáveis é contínua e1n todos os
pontos onde ela é diferenciável.
TEOREMA 4 - Diferenciabilidade implica continuidade Se u1na função
j(x, y) é diferenciável e1n (x0 , y 0 ), então ela é continua em (x0 , y 0).
Como podemos observar a partir do Corolário 3 e do Teoren1a 4, uma função
f(x, y) deve ser continua em um ponto {x0. y 0) se f x e / 1• forem contínuas por toda
urna região aberta contendo (x0 , y 0 ). Entretanto, lembre:se de que ainda é possível
que tuna função de duas variáveis não seja contínua en1 un1 ponto no qual suas
primeiras derivadas parciais existam, como vimos no Exemplo 8. A existência por
si só das derivadas parciais em um ponto não é suficiente, n1as a continuidade das
derivadas parciais garante a di ferenciabilidade.
Exerácios 14.3
Calculando derivadas parciais de primeira ordem
Nos Exercícios l-22. encontre ôf /ôx e ôf lôy.
1. f(x. y) = 2Y2 - 3y- 4
11. /(x, y) = (x + y)/(.\J' - 1)
2. j(x, y) = x2 - xy + y 2
3. f(x.y) = (.\.2 - 1)()' + 2)
12. j(x. y) = tg- 1 (v!.r)
13. f(.r, y) = ef·r+y• IJ
4. f(x. y) = 5xy - 7x2 - _1,2 +
3x - 6y + 2
5. f(x. Y) = (xy - 1)2
14. f(x. y) =e x sen (x + y)
15. j(x, y) - ln (x + y)
16. f (x. y) =e'-' ln y
6. f(x. y)
(2..r - 3y)3
Vx 2
17. f(x, y) = sen2 (x - 3y)
2
7. /(.r.y) =
+y
8. j(x. y) = (x3 + (v/2)) 2 J
18. j(.r. y) = cos2 (3x - _1,2)
t9. j(x, y) = xY
9. f(x. y) = l /(x + J')
1O. j(x. y) = xl(.\.J. + ),2)
20. f(x. y) = lo~,,r
1
l'
2 l. /(x, y) =
g(t) clt (g contínua para todo 1)
00
22. f(x. y) = ~ (xy)"
Cl-'~1·1 < 1)
Nos Exercícios 23-34, encontre/,. Ir e/,.
23. f (x, y , :) = 1 + xy2 - 2:2
24. f(x. y, z) = ~)' + yz + xz
1
2 _+_z....,,
25. f(x, y, z) = x - V,....y.,....
26. f (x, y, z) = (.yl + yi + z2)- l 7.
27. f(x.y, :) = scn 1(.\JIZ)
28. f(x, y, : ) = sec- 1 (x + y.::)
29. f(x. y, z) = ln (x + 2y + 3z)
30. /(.r, y. z) = )'= ln (l)')
Capítulo 14
-{ ._
.,
Derivadas parciais
.2)
3 1. f(x, y, => =e I"" +.i•+ _
59. /(x.y) =
32. f(x. y, ;:) = e •)'=
sen (x 3 t- y 4 )
33. j(x. y, =) = tgh (x + 2y + 3z)
34. f (x. y, =) = senh (xy- =
60. f(x. y) =
2)
Nos Exercícios 35-40, encontre a derivada parcial da função em relação a cada variável.
35. j(t, a) = cos (27Tf - a)
36. g(li, u) = 1i2el211 1!)
x2
+Y2
ilx
e
à/
ily
iJy
ein( - 2.3)
• (x,y) ~(O.O)
o.
à/
iJ/
-
(x,y) = (O, O),
em (O. 0)
61 . Seja f(x, y) = 2.x + 3y - 4. Encontre o coeficiente angular da
reta tangente a essa superfície no ponto (2, - 1) que está no
a. plano x = 2 b. plano y = - 1.
37. h(p, </>. 0) = p sen e/> cos (J
38. g(1: O.z) = r(l-cos8)-;:
39. Trabalho feito pelo coração (Seção 3.11, Exercício 61)
W(P. V, 5. v. g) = PV +
Vôu 2
g
2
40. Fórmula do tan1anho do lote de \.\lilson (Seção 4.6, Exercício 53)
k111
A(c. h, k, 111, q) = q
hq
+ c111 + T
Calculando derivadas parciais de segunda ordem
Encontre todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções
nos Exercícios 41-50.
46. s(x. y) = tg 1 (ylx)
41. /(x. y) =x + y + xy
42. /(x. y) = sen xy
47. IV = .t2 tg (.~\')
43. g(x. y ) = .t2y + cos y +y sen x 48. IV = ye"2 '
44. h(x. y) - xe' + y + 1
49. li' x sen (x2y)
X I'
45. r(x, y) = ln ~r + y)
'
50. 11' =
x2+ y
Derivadas parciais mistas
62. Seja JVr:. y) = x 2 + J.J. Encontre o coeficiente angular da
reta tangente a essa superfície no ponto (- 1, 1) que está no
a. plano x = - 1 b. plano y = 1.
63. Três variáveis Seja 11• - /(x. y. z) u1na função de trés variáveis independentes, e escreva a definição fonnal da derivada
parcial õjlõ= e1n (.x0 ,y0 , =0 ). Utilize essa definição para encontrar éJ//éJz en1(1,2, 3) paraj(x,y,z) = x~1'z2.
64. Três va1iáveis Seja w = f(x, y. => lnna função de três variáveis independentes, e escreva a definição fom1al da derivada
parcial õflõy em (x0 • y 0• z0 ). Utilize essa definição para encontrar iJ/ lày c1n (- 1. O, 3) para /(x, y, z) = - 2.r.i.i + y:1.
Diferenciando implicitamente
65. Encontre o valor de õzléJx no ponto ( 1, 1. 1) se a equação
xy + =3x - 2y= = O
define= coino uma função de duas variáveis independentes x e
y e se a derivada parcial existe.
66. Encontre o valor de éJxlà= no ponto ( 1, - 1. - 3) se a equação
x= + ylnx - x 2 + 4 = 0
Nos Exercícios 5 1-54, verifique que " 'w = 11:,,..
51. 11• = Ln (2x + 3y)
53. 111 =.\J.2 + .r2y3 + ,\-3)'"
52. 11• = e'+ x ln y + y ln x
Vâ + 3y - I, ilf
e
ilx
235
54. 11' = x sen J' + y sen x + -\\'
55. QuaJ orden1 de derivação calculará f xv mais rapidan1ente: pri-
meiro x ou y? Tente responder sem fazer anotações.
a. /(x, y ) = xseny + &'
b. f (x, y ) = l/x
e. /(x. y) = y + (x1 ')
d. /(x, y) - y + .t2y + 4y3 - ln (1'2 + 1)
e. f (x. y) = x 2 + 5.\)' +sen x + 7e'
f. f (x. y) - X ln .9 •
56. A derivada parcial de quinta orde1n ô5f /õ_iliJy3 é zero para cada
un1a das funções a seguir. Para mostrar isso o niais rapidamente possível, en1 relação a qual variável você diferencia prin1eiro: x ou y? Tente responder sem fazer anotações.
a. /(x. y) = y2.0e• + 2
b. f(x. y) = J2 + y(sen x - x 4 )
e. /(x. y) = .rl + 5.9 •+ sen x + 7e•
l
d. /(x, y) = xe" 12
Utilizando a definição de derivada parcial
Nos Exercícios 57-60. utilize a definição lin1ite de derivada parcial para
calcular as derivadas parciais das funções nos pontos especificados.
,
57. j(x J') = 1 - x + v - Jx-1'
'
·
-'
58. /(x,y) = 4 + 2.x - 3y - ..lJ•2,
il/
-;élx
ilf
(Jx
él/
e
-
ily
e
à/
e1n ( 1 2)
'
'h7
e1n ( - 2, 1)
.,,.
define .x como utna função de duas variáveis independentes y
e z e se a derivada parcial existe.
Os Exercicios 67 e 68 estão relacionados con1 o Lriângulo rnostrado
a seguir.
8
67. Expresse A implicitan1ente com uma função de a, b e e e cal-
cule éJA!éJa e éJA!Õb.
68. Expresse a implicitamente como u111a função de A, b e B e
calcule àalôA e õa/õB.
69. Duas variáveis dependentes Expresse v, c1n termos de 11
e y se as equações x = v ln 11ey = 11 ln v defincn1 11 e v con10
funções das variãveis independentes x e y e seu~ existe. (Sugestão: diferencie ambas as equações cm relação n x e resolva
para u$ eliminando 11.-)
70. Dua · varh\veis dependentes Encontre ôx/011 e oy/011 se as
equações 11 = x2 - y2 e v = x2 - y definern :r: e y con10 funções
das variáveis independentes u e v, e as derivadas parciais existem. (Veja a sugestão do Exercício 69.) Em seguida. sejas =,rl
+.~e encontre õsléJu.
\1 3.
71. Seja /(:r:. y) = { ·
-y 2 .
o
y < o.
y ;:::
Encon1rcf.,J;.. .1.;, ef,,, e diga qual é o don1inio para cada derivada parcial.
236
Cálculo
Vx,
72. Seja f (x ,y) =
{ X,2
Verernos 1.novimento periódico vertical no tempo. Na física, essa
bela sin1ctria é exi>ressa pela equação de onda unidimensional
x ~ O
X < O.
i!2
w
, c)2 u•
=c· -
f. e.f;., e diga qual é o doniinio para cada de-
Encont ref..,~ ..
,
1
rivada parcial. ·
iJt 2
·
iJx2 '
em que w é a altura da onda, x é a distância. 1 é o tempo e e é a velocidade corn a qual as ondas se propagan1.
Teoria e exemplos
A equação de Laplace tridimensional
a21
J2f
a21
ilx
ily
oz
li'
- 2 + -+
-=
O
2
2
é satisfeita pelas distribuições de teniperatura no estado estacionário
T = f(x. y, z) no espaço, pelos potenciais gravitacionais e pelos potenciais eletrostáticos. A equação de Laplace bidimensional
aif
fiz/
éJ.r-
<Jy-
---;- + ---;- = O,
obtida eliniinando-se o termo ()2 f /az2 da equação anterior. descreve
potenciais e distribuições de 1e1npera1ura no estado estacionário no
plano (veja a figura a seguir). O plano (a) pode ser tratado como
uma fatia fina do sólido (b) perpendicular ao eixo;.
2r
az1
a
--r--'-= 0
axz
i.)y2
/
(a)
En1 nosso exemplo, x é a distância ao longo da superficie do n1ar.
rnas CJn outras aplicações x pode ser a distância ao longo de urna
corda vibrando. a distância no ar (ondas sonoras) ou a distância no
espaço (ondas luminosas). O número e varia de acordo com o meio
e o tipo de onda.
Mostre qlle as funções nos Exercícios 8 1-87 são todas soluções da
equação de onda.
8 l. 111 = sen (x 'i ct)
82.
11' = COS (2T
+ 2c/)
83. 1v = sen (.,. + ct) + cos (2x + 2c/)
84. 11· = ln (2t + 2ct)
85.
1~· = tg (2x -
2ct)
86. 11• = 5 cos (3x + 3ct) + e,..,.,
87. 1v = /(u). onde fé unia função derivável de 11, e 11 = a.(x + ct),
onde a é unia constante.
(b)
I
~-
--
-
/
Temperaturas de fronteiru controladas
Mostre que cada função dos Exercícios 73-80 satisfaz uma equação
de Laplace.
x 2 + J.2 - 2....2
74. f(x, y . =) = 2z3 - 3(x2 + y2)z
73. f(x, y , z)
75. f (X,)') = e· 21' COS 21:
88. Urna função /(x. y) coni derivadas parciais de pri1ncira ordem
contínuas em unia região aberta R deve ser contínua eni R?
Justifique sua resposta.
89. Se unia função /(x. y ) tiver derivadas parciais de seguuda ordem contínuas em urna região aberta R, as derivadas parciais
de primeira ordem de f devem ser continuas en1 R? Justifique
sua resposta.
90. Equação do calor Unia equação diferencial parcial importante que descreve a distribuição do calor en1 uma região no
te111po t pode ser representada pela equação do calor 11nicli111e11sional
- = iJt
iJx 2 .
Mostre que 11(x, t) = sen (ax) · e· f3 1satisfaz a equação de calor
para constantes cr e f3. Qual é a relação entre cr e f3 para essa
função ser uma solução?
76. / (x. y ) = lnYx 2 + y 2
77. f(x. y ) = 3x + 2y-4
78. f (x '.11) = tg- I )'X
79. f(x. .r. ;) = (x2 + y2 + =2)-112
80. f (x. )', z) = e3:r•4 1• COS 5:
Equação da onda Se ficarmos e1n uma praia e tirarn1os uma fotografia das ondas, essa foto niostrará uni padrão regular de picos
e depressões eni dado instante. Veremos n1ovimento venical periódico no espaço em relação à distância. Se ficarmos na água, podercn1os sentir a subida e descida da água com o passar das ondas.
xyª
91. Seja f (x,y) =
x 2 + y 4·
(x. y)-# (O.O)
o.
(x, y ) = (0, O).
Mostre que/~.(O, O) eJ;JO, 0) ex.is1en1, mas/não é diferenciável
en1 (0, 0). (S ugestão: ·utilize o Teorerna 4 e n1ostre que/ não ê
contínua em (0. 0).)
92. Seja f(x , y ) =
{º,:.
xi< J' < 2r2
caso contrário.
Mostre que J.(0, O) e .l;JO. 0) existem. mas;· não é diferen·
ciável etn (O, 0).
Capítulo 14 Derivadas parciais
14.4
23 7
Regra da cadeia
A regra da cadeia para fi.1nções de unia variável estudada na Seção 3.6 diz que,
quando 1v = f(x) é uma função derivável de x ex = g(1) é uma função derivável de/,
~v é uma função derivável de te d~11/d1 pode ser calculada pela fórmula
d11• dH' dx
dr = dx di ·
Para funções de duas ou mais variáveis, a regra da cadeia possui diversas for111as. A fonna depende da quantidade de variáveis envolvidas, 111as unia vez que isso
seja levado en1 conta, ela funciona como a regra da cadeia da Seção 3.6.
Funções de duas variáveis
A fórmula da regra da cadeia para u1na função derivável 1>1' = f(x, y). quando
tanto x = x(t) quanto y = .v(I) são funções deriváveis de t. é dada no teore1na a seguir.
í"'ii{'""
éJu• eJ." 1n
· d.1cam a denva
· da pareia
· 1d e
ifx· :élx
1
/ com relação a x.
TEOREMA 5 - Regra da cadeia para funções deu ma variável independente e duas variáveis intermediárias Se 1>1' = j(x, y) é diferenciável e se x =
x(I), y = y(t) fore1n funções deriváveis de t, então a co1nposta 111 = f(x(t) , y(t))
será uma função derivável de t e
~ = f .\ (x(l),y(t)) · x'(1) + f y(x( t ),;1(1)) · y'(t)
ou
d11
ôf clr
iJf dy
-=--+-dt
iJx dr
ây dt ·
1
Prova
A prova consiste e111 1nostrar que, se x e y forem diferenciáveis c1n t = 10,
então 111 será diferenciável cm 10 e
= (~) (!!!..) + (~) (:!!_) '
(!!:i.)
dt
dX
10
dl
Po
10
ày Po
dl ro
onde P0 = (x(t0), y(r0)). Os índices indican1 onde cada urna das derivadas deve ser
calculada.
Sejam ó.x, Â.Y e Â111 os incren1entos que resultam da variação en1 Ia partir de 10
a t0 + ó.t. Co1no fé diferenciável (veja a definição na Seção 14.3).
Ó.IV= (~H·)
vX
Ó.X +
Po
(~W) Po Ó.J + E tlll + E2ll)",
(})'
onde E 1, E 2 -+ O quando ó.x, 6.y-+ O. Para encontrar chvldt, dividimos os dois lados
dessa equação por 6.r e fazemos 6.t tender a zero. O resultado da divisão é
6.~v =
D.t
(ª"')
6.x +
àx P~ 6.1
ihv)
ó.y
6.x
lly
( A + A + A.
-d. 1
'.> p 0 ui
E1
ui
E?
- ui
fazendo ó.t tender a zero, obtemos
div)
J'.i,1·
.
1m
1
( d/
D.t
(d-")
= (-àl1') (dx)
+ (<.hv)
+ O· (dx)
+ O· (dJ')
.
dt
dt
dl
d/
-
10
â1->0
dX
Pu
lo
d)'
Pu
lu
ro
lo
238
Cálculo
Geralmente. escreve1nos 011\lôx para a derivada parcial àflàx, de forn1a que podemos reescrever a regra da cadeia no Teorema 5 na forma
[-;:: se lembrar da regra da cadeia,
1 ~~~~alize o diagrc1ma abaixo. Para
enconrrar du!/dr, co1nece corn 11· e
leia cada rota parar, n1ultiplicando as
de rivadas ao longo do can1inho. Depois.
adicione os produtos.
Regra da cadeia
Variável
dependente
11· =/(x,y)
/
d,r
.
"' V
/
"
·
dy
dt
I
dw
fill' dx
d1
êJ,r dt
Variílveis
intennediárias
ilw dv
ày d1
Variável
independente
d}V
ÕW d'C
Q\V cf.y
=
+
-dt
ax dt
ay
dr .
No entanto, o significado da variável dependente w é diferente en1 cada lado
da equação anterior. Do lado esquerdo, ela se refere à função con1posta 111 = f(x(1) ,
y(t)) como u111a função da variável t. Do lado direito, ela se refere à função 1r =
/(x, y ) como uma função das duas variáveis x e ,v. Além disso, as derivadas
d1vldt, dxldt e dyldt são avaliadas no ponto 10• enquanto as derivadas parciais
~~· e ~; são avaliadas no ponto (x0 , ;10) , con1 x0 = x(t0 ) e y 0 = y(t0 ). Con1 esse
entendirnento, iremos utilizar as duas formas alternadarnente ao longo do texto,
sempre que não seja passível de confusão.
O diagran1a de árvore na margem propõe uma n1aneira conveniente de se lembrar da regra da cadeia. A "verdadeira" variável independente na função co111posta
é t, enquanto x e y são 11ariáveis inter111ediárias (controladas por 1) e 111 é a variável
dependente.
Un1a notação mais precisa para a regra da cadeia rnostra co1no as várias derivadas do Teorema 5 são avaliadas:
d1v
af
dx
<Jf
dy
-d1 (to)= -;-(xo,
vo) · -dI (10) + -;-(xo,yo)
· - (to).
C1X
'
uy
C.1t
- = -- + -~
EXEMPLO 1
Utilize a regra da cadeia para encontrar a derivada de
u•=xy
co1n relação a t ao longo do caminho x = cos t, y = sen t. Qual é o valor da derivada
em I = 7T/2?
Solução Aplicamos a regra da cadeia para encontrar d1vldt conforn1e segue:
d1 v = ()w dr + 1) ll' ~
dr
ax dt
d
éJ(.\')I) d
. dt (cos 1) + ay . dt (sen t)
a(xy)
ax
=
ay d1
= (y)( - scn t) + (x)(cos t)
= (sen 1)(-sen t) + (cos t){cos t)
= -sen 2 t + cos 2 t
= cos 21.
Neste exe1nplo, podemos verificar o resultado com un1 cálculo 1nais direto.
Como u1na função de 1,
~r
= xv = cos t sen / = -1 seu 2t
•
2
'
•
assun
-d"· = -d
dt
dr
(t
- sen 21
2
)
= -1 · 2 cos 21 = cos 2t
2
·
En1 ambos os casos. para dado valor de t.
)
(div
dt
-
t • 'fT/2
= cos
(2 · -7T)
2
= cos ,,, = - 1 •
Capítulo 14 Derivadas parciais
239
Funções de três variáveis
Você provavehnentc pode prever a regra da cadeia para funções de três variáveis intcnnediárias, Lllna vez que ela envolve somente a adição do terceiro termo
esperado à fórn1ula de duas variáveis.
Í noREMA 6 - Regra da cadeia para funções de uma variável independente
~três variáveis intenru!diárias Se '"' = f(x, y, z) for diferenciável ex, y e z
forem funções diferenciáveis der, então H ' será uma função diferenciável de / e
a111 d~
a111 dy
a11: dz
-dv.·
=
+
+
-dr
ax dt
()y dt
az dt .
~' len1os três rotas de i1' a 1, em
A prova é idêntica à prova do Tcorcn1a 5, exceto pelo faro de que agora temos
três variáveis intermediárias, em vez de duas. O diagran1a que utilizamos para lembrM a nova equação ta1nbém é se1nelbante, com três rotas de 11· a t.
1 vc;dc duas, mas encontrar dwl dr
ainda é a niesn1a coisa. Leia cada rota,
rnultiplicando as derivadas ao longo do
can1inho; em seguida. some.
Regra da cadeia
11· =/(x.y.;;)
~ li'~...!.!:
flx/
1
illl'
11y
dependente
1)w dx
dt
il.r dr
ilw d )'
ily d1
z = 1.
d11• = iJ1v dx + dll' dy + a11· d=
"'
_ Variáveis
•
intermediárias
ax dt
õ= dt
= (y)(-sen r) + (x)(cos 1) + (1)(1)
dJ' dt
= (sen t)( - sen 1) + (cos t)(cos 1) + 1
independente
ilw dz
-=--+-~+--
il;; dr
Suh<lllul ~la~
\:tíla\cis intcnn~Jiana;.,
= - scn2 t + cos2 t + J = 1 + cos 2t,
Variável
dll'
y = sen 1,
Solução Utilizando a regra da cadeia para três variáveis intennediárias, ten1os
ti;;
dr
I
+ z, x = cos 1,
Neste exemplo. os valores de iv(t) estão variando ao longo da trajetória da hélice (Seção l 3.1 ), confonne I nluda. Qual é o valor da derivada en1 I = O?
dy
dx
dt
Encontre dil'/dr se
~v = xy
il;;
t.v
.t i
Variável
EXEMPLO 2
'
ass1111
d111)
(
dt
1
o
= l + cos(O) = 2.
Para uma interpretação física de variação ao longo de uma curva, pense em um
objeto cuja posição esteja variando com o te1npo t. Se H' = T(x, y, z) é a temperatura en1 cada ponto (x. y, z) ao longo de u1na curva C com equações para1nétricas
x = x(t), y = y(t) e z = z(t), então a função composta w = T(x(t), y(t), z(t)) representará a temperatura relativa a r ao longo da curva. A derivada tl1v/d1 é, então, a taxa
de variação instantânea da ten1peratura devido ao movimento ao longo da curva,
conforn1e calculada no Teoren1a 6.
Funções definidas em superfícies
Se estivern1os interessados na ten1peratura 1v = f(x, J', z) nos pontos (x, J', z) na
superfície terrestre, podemos preferir pensar em x, y e= como funções das variáveis
r e s que fornecem as longitudes e latitudes dos pontos. Se x = g(r, s), y = h(r. s) e
z = k(r, s), podemos então expressar a ten1peratura co1no uma função dere s con1
a função co1nposta
11' =
f(g(r, s), h(r, s), k(r, s)).
Sob condições ideais, 111 teria derivadas parciais e111 relação a r e s que podenl
ser calculadas da 1nancira a seguir.
240
Cálculo
TEOREMA 7 - Regra da cadeia para duas variáveis independentes e três
variáveis intermediárias Suponha que ~" = f(x, y, z), x = g(r, s), y = h(r, s)
e == k(r , s). Se todas as quatro funções forem diferenciáveis. então 111 terá
derivadas parciais cn1 relação a r e s. dadas pelas fórmulas
() 1v ()x
é) }V
é}lv 1Jy
é)}\I ()z
--i)r = ax
é!r+ éJy
ar+àz- iJr
éhv = éhv ~ + é.hv ~ + aw ~
as
ax as
ày às
az iJs .
A priineira dessas equações pode ser deduzida a partir da regra da cadeia no
Teorema 6, inantendo-sc s fixo e tratando r como t. A segunda pode ser deduzida
da 1nesn1a maneira, n1ante11do-se r 1ixo e tratando s como/. Os diagramas de árvore
para ambas as equações são mostrados na Figura 14.21 .
w = /(x.y.z)
Variável
depcndcn1e
Variáveis
X•'
.X
intcm1ediárias
à.X
-i111·
iJy
r
ily
-iis
ils
élw ílx
élx ar
ilw
il11• élx
élw õv
iiw iJ:
=
+
+
-ils
ilx os
iJy às
il: ils
(b)
(e)
iJr
(a)
ih•• ili•
a,· ilr
i111• n:
-=--+-~+--
ilw
11• = /( g(r, s), ft(r, s). k(r, s))
:r;
y
ils
Variii veis
independentes
FIGURA 14.21
ii"'
ii:
.
a-- ílr
Função cotnposta e diagran1as de árvore para o Teoren1a 7.
EXEMPLO 3
Expresse à11·/or e 0111/às em termos deres se
lV = X
St>lução
2
+ 2y + z ,
,.
x=-
s•
.v = r 2 + ln s,
z = 2r.
Utilizando as fórrnulas no ·reorema 7, encontrarnos
d \\I
d\1' ax
d\1' ay
dll' az
=
+
+
ar ax àr ª>' é!r az- ar
= ( 1) (
t) +
(2)(2r) + (2z)(2)
= ls + 4r + (4r)(2) = ls + 12r
Suh,11111~ ,1 1anavd
ull.:1 mooi;ina =·
Oll'
a11• ax
ª'"'
Q)I
d\1' ciz
=
+
+
iJs
ax as ay as i)z- ils
2
r
- +(2z)(O)=--( sªr) +(2) (t)
s
s sª
=( I ) - -
Se fé urna função de duas variáveis, en1 vez de três, cada equação no Teorerna
7 fica con1 un1 tern10 a n1enos.
Capítulo 14 Derivadas parciais
Regra da cadeia
Se 1v = f(x. ,1' ), x = g(r, s) e y = lt(r. s ), então
"' = j(x. y)
2
(h11 = d\11 ~ + é/111
or
iJx iJr
dl'
, ilr
A ª"'7iY
ª"'
"ii/
.\'
ilx
Expresse a1vl or e 0111/os en1 termos de r e s se
111
r
iJw iJx+º'"
tly
à.r àr
ély itr
Diagrama de árvore para
a equação
ihv
ih1• ilx
(J11• ily
=
+
-ilr
i)x itr
(ly i!r ·
dl>I'
él11• ÕX
iJl<I' ~V
=
+
-f>s
ax ils
iJy as ·
e
A Figura 14.22 mostra o diagran1a de árvore para a prin1eira dessas equações.
O djagran1a para a segunda equação e semelhanLe; basta trocar r por s .
EXEMPLO 4
(Ir
FIGURA 14.22
241
=x2 + y 2• x = r -s.
y = r +s.
Solução A discussão anterior nos fornece o seguinte.
Õ\11
Q\V ÍJX
éht•
0111 i)x
él1v <1y
-=--+-as ax as <J; as
()IV d)I
= ax
-+ily- ar
i)r
ilr
1
= (2x)(I) + (2y)(l)
= (2x )(- 1) + (2y )( 1)
Suh>tllua
= 2(r - s) + 2(r + s)
= - 2(r - s) + 2(r + s)
1nt~mu:.Ji,1rfa,.
= 4r
= 4s
Se fé un1a fw1çâo de unia variável intem1ediária única x, nossas equações são
ainda mais sin1ples.
Se 1v = f(x) ex= g(r, s), então
e
Regra da cadeia
w =j(x)
dw
dx
ilx
/
/"
r
Nesse caso, poden1os utilizar a derivada ordinária (uma variável), d1vldx. O
diagra1na de árvore é 1nostrado na Figura 14.23.
Diferenciação implícita revist a
A regra da cadeia de duas variáveis do Teorema 5 leva a u1na fónnula que retira
parte da álgebra da diferenciação in1plicita. Suponha que
l. A função F(x,;') seja diferenciável e
2. A equação F(x, y) = O defina y i1nplicitarnente corno uma função diferenciável
de x, diga111os .v = h(x).
U1ua vez que 1v = F(x. y) = O, a derivada d1v/dx deve ser zero. Calculando aderivada a partir da regra da cadeia (diagrama de árvore na Figura 14.24), encontrrunos
O= d111 = F !!.!... + F . dy
dx
Diagran1a de árvore para
diferenciar f como urna função con1posta
deres con1 unia variável intennediária.
FIGURA 14.23
.r dx
·' dx
f <.'tll'Clna ~ <.'t>lll I
.:.j = f
.1
dv
= F · 1 + F1• • .; • •
"
.
(u
Se F_,. = a1v/oy #-O, poden1os resolver essa equação para dJ•lclx para obter
dy
Enunciamos esse resultado fom1aln1ente.
242 Cálculo
11• =
F(.r.y)
TEOREMA 8 -
fórmula para diferenciação implícita Suponha que
F(x, y) seja di fercnciável e que a equação F(x, y) = O defina y como uma fun-
ção diferenciável de x. Então, em qualquer ponto onde F_,, :F O,
)' = h(,,·)
.t
(1)
dv
d.t = 1
dx
tÍ.1 = /r'(x)
EXEMPLO 5
dw
dr
- • F·l + F
·
·
1
tlx
~
'
tl.1
Utilize o Teorema 8 para encontrar dy/dx se y-x2 - sen .XJ' = O.
Solução Torne F(x, y) = J,2 - x2 - scn xy. Então
(~)'
AGURA 14.24 Diagran1a de árvore
para diferenciação de n•= F(x. y) co1n
relação a x. Definir d1v/dx = O nos leva a
uma fórn1ula co1nputacional simples para
derivação implícita (Teore1na 8).
d:c
F.v
--
-2y - ycosxy
2)' - X cos ..\)'
Fy
2Y + ycos.\y
- 2y - X COS .~)' •
Esse cálculo é significativamente mais curto que o cálculo de uma variável
utilizando diferenciação implícita.
Esse resultado no Teoren1a 8 é facilmente estendido a três variáveis. Suponha
que a equação F(x, y, z) = O defina a variável z i1nplicitarnente como un1a função
z = f(x, y). Então, para todo (x, J') no do1nínio de f, ten1os F(x, ;1, f(x, y)) = O. Assun1indo que F e f sejam funções diferenciáveis, podemos utilizar a regra da cadeia
para diferenciar a equação F(x, y, z) = Ocom relação à variável independente x:
O= qf_~ + ftf.~ + ftf.fk
é)x ()x
av ax
i):z i)x
1 .: c(ln~1ant~. o 1.hti:rcn1:1ar
c111 rdaç:i1' :i '
portanto
()z
F... + F.-;;= O.
- "X
Uni cálculo se1nelhante para diferenciação com relação à variável independente y
fornece
i)z
F,. + F: ãV =
,
O
.
Se1npre que F= =F O, poden1os resolver essas duas últin1as equações para as derivadas parciais de z= f(x, y) para obter
e
(2)
Um resultado in1portante do cálculo avançado, deno1ninado teorema da função
í1nplícita, estabelece as condições para as quais nossos resultados nas Equações 2 são
válidos. Se as derivadas parciais Fx, ~· e F= são contínuas sobre uma região aberta R
no espaço contendo o ponto (x0, ; :0, z0). e, se para algun1a constante e, F(x0 ,y0, z0 ) =e
e F=(x0 , y 0, =o) -::f:. O, então a equação F(x, )', =) =e define z in1plicita1nente como u1na
função diferenciável de x e J' perto de (x0 , y 0 , z0), e as derivadas parciais de :: são
fornecidas pelas Equações 2.
Capítulo 14 Derivadas parciais
EXEMPL06
243
EnconLrc !k e ~ crn (O, O, O) se x3 + z2 + yr + z cos y = O.
uy
dX
Solução Seja F(x, y, =) = .A.3 + z2 + ; 1er: + :z cos y. Então
F:c- = 3.rl + Z"ec,
...J
F,\· = rr: -
=sen y
e
F... = 2z + .rver.:
+ cos J'·
;·.r
Con10 F(O, O, O) = O, F:(O, O, 0) = 1 #:-O e todas as derivadas parciais de primeira
orde111 são contínuas, o teore111a da função i1nplícita atim1a que F(x, y, z) = Odefine z
co1no uma função diferenciável de x e y perto do ponto (O, O. 0). A partir das Equações 2,
3x2 + zver.
.
ilx = - F: = - 2z + xyex: + cos y
F.r
é)z
iJz
e·r. - z sen y
ily = - F: = - 2= + xye·\·= + cos y·
e
F,.
Ern (O, O, O), encontran1os
O
é)z
- = -- = o
iJx
1
- 1.
e
Funções de várias variáveis
Vi1nos várias formas diferentes da regra da cadeia nesta seção. mas cada uma
delas é urn caso especial de un1a fórmula geral. Ao resolver problemas específicos.
pode ser útil desenhar o diagrama de árvore apropriado. colocando as variáveis
dependentes 110 topo, as variáveis intertnediárias no meio e as variáveis independentes selecionadas embaixo. Para encontrar a derivada da variável dependeDte em
relação à variável independente selecionada, con1ece com a variável dependente
e leia cada rota do diagrama de árvore para a variável independente, calculando e
nlultiplicando as derivadas ao longo de cada rota. En1 seguida, adicione os produtos
encontrados para as diferentes rotas.
Ern geral, suponha que 1v = f(X,J' . ... , v) seja uma função derivável das variáveis
x,y. ... , u (urn conjunto finito) ex, y . .... u sejam funções deriváveis de p , q, .... t (outro conjunto finito). Então iv será un1a função derivável das variáveis p a/. e as derivadas parciais de H' con1 relação a essas variáveis são dadas por equações da forn1a
a1v
dll' clx
éhr iJy
éh1• iJu
= - - + - - + ··· + - -
ap
ax éJp
ay éJp
au ap ·
As outras equações são obtidas substitujndo-se p por q, ... , 1, un1a de cada vez.
Uma maneira de len1brar essa equação é pensar no lado direito como o produto
escalar de dois vetores com componentes
iJ iv)
( ax · iJy ' . .. ' iJu
c111· c111 1
e
ax ily
au)
(ãii' ãfl' ... ' ãji .
l>.;11\,1\la' 1k" •1•.11
rel.1~Jo " '.1n.1\ ""
m1.:rmcd1.1na~ .:om rd.1,-i11> it
11\lcnn~-di:\r~as
'ariâ\ d 1111.kpenJ<!llh! ,\!l.:auna<la.
n~r1\ ,1tl.1.,. tl.t!\ '-lr1.i\ \,')~
Exerácios 14.4
Regra da cadeia: uma variável independente
Nos Exercícios 1-6, (a) expresse d111/d1 como uma função de 1, utilizando a regra da cadeia, expressando 1v em 1er111os de t e diferenciando dirctarncntc com relação a/. En1 seguida. (b) calcule d11·/dt
no valor dado de 1.
1. 1v =x1 + ),2.
x= cos/, y = sen 1: t=-rr
2. li'= .t2 + ).z.
x = cos t + sen t, •1· = cos 1 - seu t• t = o
3.
li' =
X
11
=.; + 7, x = cos2 t. y = scn 2 r, z = l/ r;
- -
1=
3
4. 11· = ln (x 2 + y 2 + z 2 ), x = cos /, y = sen t, : = 4 Vf:
, .. 3
5. 1v = 2ye' - ln ::,
x = ln (F + 1),
y = tg- 1 t. z =e' :
6. 11• = =- scn .\\'.
x= t, y= lnt,
z=e' 1: / = 1
1=
l
Regra da cadeia: duas e três variáveis independentes
Nos Exercícios 7 e 8, (a) expresse ôz/011 e oz/av como funções de 11 e
v utilizando a regra da cadeia e também expressando: djretamente
em terrnos de 11 e v antes de diferenciar. E111 seguida, (b) calcule
az/ê!u e azlov 110 ponto dado (11. v).
244
Cálculo
7. == 4e' ln J',
x = ln (li cos u),
y = u sen u;
(u. u) = (2, ?T/4)
8. :=tg 1 (XD'» x=11cos11, y=11seo u: (li. 11) =( 1,3;1T/6)
Nos Exercícios 9 e l O, (a) expresse &111/Ôll e éh1·/élu con10 funções
de 11 e u uti lizando a regra da cadeia e tambên1 expressando 111 diretainenic em termos deu e 11 antes de diferenciar. Em seguida, (b)
calcule iJ1vlôu e 011•/iJ11 no ponto dado (li. 11).
9. \i'= .\J•+y= +xz, x=ll +v. y=ll-V, : =11v; (li, v)=(l/2. 1)
1O. li' = Ln (,yl + .1.2 + z2), x = ue" scn 11. y = lle" cos u. z = ue":
(11, v) = (- 2. 0)
p- q
p = X + y + Z, q = X -
r = x + y - z:
)'
+ :.
\13, 2, l)
(x. y, z) = {
12. 11 = e'I' sen- 1p. p = sen .l', q = =2 ln y . r = l/::
(x, J'. :) = (1T/4. l/2, - 1/2)
Utilizando um diagrama de ãrvore
Nos Exercícios 13-24. desenhe um diagran1a de árvore e escreva
uma fónnula da regra da cadeia para cada derivada.
13.
!ffi para: = j(x.y). x = g(r), y = li(t)
d:
l4. dr para:: = /(11, u, 1v),
8111
t'l11•
(li/
( li
li =
g(r).
11 = h(r),
,,. = k(r)
: = k(ll. u)
011
•
= f(r, s, t),
r = g(x.y),
s = h(x,y),
t = k(x,y)
illl'
17. ilu e iJv para w = g(x, y),
x = h(11, 11), y = k(u. v)
cJ11•
dl1'
18• iJx e fJy para H ' = g(11, 11),
11 =
h(x. y).
a=
19. a:
iJT e us para z = j(x,y), x = g(t. s),
dll'
21. -
as
() li'
e -
cif
li =
3 1. sen (x +y) + sen (v + z) + sen (x + :) = O, (1T, 1T, 1T)
32. :ce1 +y~+ 2 lnx - 2 - 3ln2=0, (1,ln2,ln3)
33. Encontre 011•/or quando r = 1. s = - 1 se w = {.\' ~ y + =)2•
x = r - s. y = cos (r + s ), == sen (r + s).
34. Enconrre 811•/811 quando li = 1, v = 2 se li'= xy + ln:, x = v2/ll,
)' = LI + li, Z = COS li.
35. Encontre 8111/éJv quando 11 = O. 11 = Ose'" = x2 + (ylx), x = 11 2u
+ l,y= 2u + 11 - 2.
36. Enconrre az1a11 quando li = O. 11 = 1 se z = sen .\J' + x sen y,
~ + v·".y• llV.
X= 11•
37. Encontre éJz/011 e iJzliJ11 quando u = ln 2, u = l se z = 5 tg- 1x e
X = f!' + J.n 11.
38. Encontre oz/011 e ôzlôv quando 11 = l e 11 = - 2 se z = ln q e
q = Vv + 3 tg 1 11.
39. Asswna que 11• = f(:.3 -t F) e f'(x) =e'. Encontre ihv e
ilt
40. Assu111a que li'= !(rs 2•
ª"'
22. iJp para w = f(x, y. z. v ),
li =
ª"'
11
'
às
4 t . Variações de vollagc1n co1 urn circuito A vohage1n V em
un1 circuito que satisfaz a lei V= fR vai caindo lentamente à
medida que a bateria descarrega. Ao 1ncs1no tempo. a resistência R vai aun1cntando conforme o resistor esquenta. Utilize a
equação
para descobrir conto a corrente está variando no instante em
que R = 600 ohms. I = 0.04 A, dR/dt = 0,5 ohm/s e dV!dt =
- O.OI Vis.
V
+ -
~et-ri-a-.......
= g(p. q), .J' = h(p, q),
I
k(p, <1)
23. -il11• e -:--- para w = f(x )•)
ilr
ils
' '
f). ~ (x,y) = xy e :;, (x,y) = ~·
ªoi e illl' .
u = h(s . 1)
X
ª"'.
ils
y = h(t, s)
g(r. s)
para w = g(11),
z = j(p. q).
(2. 3. 6)
u = k(x,y)
i)y
20. àr para y = f(u),
l
•
Encontre
i11v
1111'
16. iJr e
para w
dll'
1
Teoria e exemplos
x = f(u. 11), y = g(11. u),
IS. -;- e -íl para w = h(x,y. :).
•
l
30. "i + v + z - 1 = O,
Encontrando derivadas parciais em pontos especificados
Nos Exercícios 11 e 12, (a) expresse 011/ôx, 811/ôy e Ôll/Ô;; co1no funções de x, y e z utilizando a regra da cadeia e também expressando li
direta1nente cm tern1os de x. y e= antes de diferenciar. Em seguida,
(b) calcule ôu/ôx, ôuloy e ôuloz no ponto dado (x. y, =>·
11. li = q _ r·
28. xct' + scn xy + y- ln 2 = O, (0. ln 2)
Encontre os vaJores de 8zlox e ôzloy nos pontos nos Exercícios
29-32.
29. =3 -.\J'+yz+.1·' - 2 = 0. (1. 1, 1)
x = g{r),
y = h(s)
1)1i•
R
24. as para 11' = g(x, y), x = h(r, s. t), )' = k(r, s, 1)
Diferenciação implícita
Considerando que as equações nos Exercícios 25-28 definem y
cotno uma função derivável de :e. utilize o Teorema 8 para enconrrar
o valor de dyldx no ponto dado.
25. x 3 - 2y2 + .\y = O, ( 1, 1)
26. •\y+y2 - 3x - 3 = 0, (- 1. l)
27. -~ + ·' Y t- ) ,2 _ 7 =o. ( !, 2)
42. Variação das din1ensões de uma caixa Os compri1nentos
a, b e e das arestas de uma caixa retangular variam com o
te1npo. No instante en1 questão, " = l 1n, b = 2 ni, e = 3 m,
da/dr= dhldt = 1 ni/s e de/dr= - 3 1n/s. A quais ta'Cas o volwne
V e a área S da caixa variam nesse instante? As diagonais do
interior da caixa estão aun1cntando ou din1i nuindo de comprimento?
43. Se j(u. 11. 11•) é diferenciável e li = x -y. 11 = y - : e 11• = : - x,
mostre que
Capítulo 14
a/
ilf
a/
44. Coordenadas polares Suponha que substituamos as coordenadas polares x = r cos 8 e y = r sen Oen1 uma função derivâvel 11' = f(x, y).
11.
Mostre que
<111·
iJr = f, cos O + / 1• sen 8
a. Descubra onde ocorrem as temperaturas n1áxin1a e n1íni111a
na circunferência examinando as derivadas dT/dt e d2 Tldt2 .
b. Suponha que T = 4x2 - 4xy + 4),1. Encontre os valores máxi1110 e míni1no de T na cireunfercncia.
50. Ten1peratura e1n uma elipse Seja T= g(x,y) a tcn1peratura
no ponro (.r. y) na elipse
x = 2Vicos1,
e
1 011'
r ao = - f scn 8 + J,.cos 8.
1• =
.
Vi scn t '
ar
ãY = X.
àT
i'Jx = y.
45. Equações de Laplace Mostre que, se 1v = /(11. 11) satisfaz a
equação de Laplace fuu + f "''= O c seu = (.rl- J;i)/2 e v = ·"..'"
então 111 satisfaz a equação de Laplace 1v·" + 11:1 ~. =O.
46. Equações de Laplace Seja 11•= /(11) + g(11), onde" = x + i,J:
11 = x - ~V e i = V-1. Mostre que 11• satisfaz a equação de
Laplace 11.o + 1v1'\ = O se todas as funções necessárias forem
di fcrenciáveis. · ·
47. Valores extremos cm uma hélice Suponha que as derivadas
parciais de u1na função /(x, y. z) nos pontos da hélice x = cos /,
y = sen 1. z = / sejam
a. Localize as 1c1npcratllras mâxima e minima na elipse cxa1ninando dT/dt e d2T!dt2•
b. Suponha que T = .I)' - 2. Encontre os valores máximo e
1níaiino de T na elipse.
Diferenciando integrais
Sob certas condições con1 relação à
continuidade, é verdade que. se
F(x)
então F'(x) =
1
/
=cos1. / 1.=sen1. f : =r1 +t-2.
1
E1n que pontos na curva, caso exista algurn. f assume un1 valor
extremo?
48. Curva no espaço Seja 11· = x2e2-' cos 3.::. Encontre o valor de d1v/dt no ponto ( 1. ln 2, 0) na curva x = cos 1,
y = ln(/+ 2).z = t.
49. Ten1peratura em unia circunferência Seja T= /(x.y) a temperatura no ponto (x. y) na circunferência .r = cos t, y = scn /,
O < t < 27T e suponha que
14.5
o < 1 < 27T,
e suponha que
1
b. Resolva as equações no iten1 (a) para expressar f, e/, em
tern1os de âll'!Ôr e ô11·/ô8.
•
e. Mostre que
245
ilT
-ày = 8J. 1 - 4x.
ilT
-=8x4y ,
iJx
ôx+ ôy+ ôz= O.
Derivadas parciais
1""g~(t,
=ih
g(t,x) dt.
x) dt. ULiJizando esse fato e a regra da ca-
deia, podemos encontrar a derivada de
}(,r)
F{x) =
1
g(t,x)dt
fazendo
1
11
G(11.x) =
g(t,x) dt.
onde 11 = f (x). Encontre as derivadas das funções nos Exercícios
51 e 52.
1
51. F(x) =
52. F(x) =
•
1 -Vt~ + x 3 dt
L' Yt
3
+ x 2 dt
Derivadas direcionais e vetores gradientes
Se você olhar o niapa (Figura 14.25 ), que mostra os conLornos do Parque Nacional Yose1nite na Califórnia, notará que os córregos correm perpendicularn1ente
aos contornos. Os córregos seguen1 os caininhos de n1aior inclinação, de n1aneira
que as águas atinja1n as e levações n1ais baixas o mais rapidamente possível. Dessa
forma, a taxa de variação instantânea mais rápida na altitude do rio acima do nível
do 1nar tem u1na direção definida. Nesta seção, você verá por que essa direção, deno1ninada direção "descendente", é perpendicular aos contornos.
246
Cálculo
l
"'"' .
,
!
FIGURA 14.25 Contornos do Parque Nacional Yosemite na Califónúa 1nostram córregos
que seguen1 ca1ninhos de maior inclinação. correndo perpendicularmente aos contornos.
(Disponível e1n: <hnp://\V\V\V.usgs.gov>)
Derivadas direcionais no plano
Sabcn1os pela Seção 14.4 que, se f(x,y) é diferenciável, então a taxa co1n que f
varia em relação a t ao longo de uma curva dj ferenciável x = g(t), y = h(t) é
d/
éif cl\·
êi/ dy
-=--+-dr
ax dr
é)y dt .
•I'
Rcta x= xo + Y111·.I' = Yo + ,ç112
~
.
Em qualquer ponto P0 = (x0 , y 0 ) = P0(g( r0 ) . '1(10 )), essa equação fornece a taxa
de variação de / ein relação a t e portanto depende, entre outras coisas, do sentido
do 1novimento ao longo da curva. Se a curva é u1na linha reta e t é o parâ1netro de
co1nprimento de arco ao longo da reta medida de P0 na direção de un1 dado vetor
unitário u, então dfldt é a taxa de variação de f con1 relação à distância e1n seu don1ínio na direção de u. Variando u, encontra1nos as taxas con1 que f varia en1 relação
à distância quando nos movemos por P0 em direções diferentes. Definimos agora
essa ideia mais precisamente.
Suponha que a função /(x, J') seja definida por toda u1na região R no plano xy,
que P0(x0, y 0 ) seja u1n ponto en1 R e que u = u 1i + u 2j seja um vetor unitário. Então
as equações
u = 111 i + 11, j ..,
X = Xo + Sll p
11'/ s crescen1e
R
\
) ' = Yo
+ Slli
parametrizam a reta que passa por P 0 paralela1nente a u. Se o parâ1netro s 1nede o
comprimento de arco de P0 na direção de u, encontramos a taxa de variação de/ e1n
P0 na dil·eção de u calculando d//ds em P 0 (Figura 14.26).
Po<-'o· Yo)
-+----------------+X
o
FlGURA 14.26 A taxa de variação de f
na direção de u no ponto P0 é a taxa com
que f vi1ria ao longo dessa reta c1n P0.
DE.FINIÇÃO A derivada de f em P0(x0 , y 0) na direção do vetor unitário
u = 11 1i + 112j é o número
d/)
_
.
(
ds
u. Po
f(xo + s11i,yo + su2) - f(xo,yo)
- 11111
s
'
s->0
con1an10 que o 1i1nj1e exista.
(1)
Capítulo 14 Derivadas parciais
247
A derivada direcional definida pela Equação 1 é denotada tan1bén1 por
(D J
u
)po
· \ dcri\ ada ,1c j em
l',, •1.11lor~~.il J,• 11"'
As derivadas parciais f ,(x0 ,y0 ) e f v(x0 , y 0 ) são as derivadas direcionais de f en1
P 0 nas direções i e j . Isso pode ser observado comparando a Equação 1 às definições
das duas derivadas parciais fornecidas na Seção 14.3.
EXEMPLO 1
Utilizando a definição, encontre a derivada de
j(x, y ) = x 2 + ,;\)'
cm P0(l , 2) na direção do vetor unitário u =( 1/ \/2) i + ( 1; \/2)j .
Solução Aplicando a deíu1ição na Equação 1, obteinos
.
f(xo + s11i. Yo + s112) - f(xo, Yo)
s-.O
'
hm
\'
lim /( 1 + s •
~· 2 + -' · ~) - /( I, 2)
s-o
s
2
•
11111
( I + s ) + (1 +
V2
s-.O
s )(2 + s ) - (1 2 + 1· 2)
V2
V2
s
_+_~_s_2_+_~_)_+_..;.(2_+_~_s2_+_:..__;2-)'-_-_3
= li1n _(;_1
s
•- O
5s +si
= lim \/2
S-> 0
s
= lim (
.<_.0
~2 + s) = ~2 .
A taxa de variação de/(x, y) =x2 +,,:y cn1P0 (1 , 2) na direção de u é 5/Vi.
Interpretação da derivada direcional
Supe/ rfíde S: l1<xo + su,,yo + s 1i,) - /(.ro,Jo)
:; = (X, y)
-
\
,/
X
FIGURA 14.27 O coeficiente angular da
curva C cm P0 é lin1 inclinação (PQ);
A equação z = f(x, y ) representa u111a superficie S no espaço. Se z0 = f(x0 , y 0).
então o ponto P(x0• y 0, : 0 ) estará em S. O plano vertical que passa por P e P0(x0 , y 0)
paralelo a u tem interseção com Sem uma curva C {Figura l4.27). A taxa de variação de f na direção de u é o coeficiente angular da tangente a C en1 P no sistema
positivo formado pelos vetores u e k.
Quando u = i , a derivada direcional em Po é of/õx avaliada em (Xo•.Vo)· Quando
u = j, a derivada direcional en1 P0 é ôf lôy avaliada em (x0 , y 0 ). A derivada direcional
generaliza as duas derivadas parciais. Agora podemos procurar a taxa de variação
de f em qualquer direção u, e não apenas nas direções i e j .
Para uma interpretação f'LSica da derivada direcional, suponha que T = f (x, y )
seja a temperatura etn cada ponto (x, y ) sobre rnna região no plano. Então f(x0 , y 0)
é a ten1peratura no ponto P0(x0 , y 0 ) e (Du/)J>0 é a taxa de variação instantânea da
te1nperatura em P0 na direção de u.
Cálculos e gradientes
esta é a derivada direcional
Agora van1os desenvolver uma fórmula mais eficiente para calcular a derivada
direcional para unia função diferenciável /. Começamos com a reta
(~)
x = x0 + s11 1, y=y0 +su2
Q-P
= (Duf)Po·
u. Po
{2)
248 Cálculo
por P 0(x0• ) •0), paran1etrizada con1 o con1primento de arcos au1nentando na direção
do vetor unitário u = u 1i + u2j . Então, pela regTa da cadeia. encontran1os
_
( d/)
els u. Po -
(ª!)
(ª!)
iJx
Pn ds
!l
11 1
Pn
vX
[
(ª/) dy
+ (ª!)
R.:g.ra d.1 ~'1<k1a para/ 1hl«r.:11ci,l\cl
dx +
(Jy Po ds
!l
CJ)'
112
Pn
(~) i + (%f) Poj] · [u1 i + u2j ].
(3)
Po
( 11· 11licnlc de· j cm/>,
A Equação 3 diz que a derivada de u1na função diferenciável f na direção de
u e1n P0 é o produto escalar de u co1n o vetor especial denon1inado gradiente de f
em P0 •
DEFINIÇÃO O vetor gradiente (gradiente) de /(x, J') e1n u1n ponto
P 0(.,·0, y 0) é o vetor
õf
éJf
V/ = - i + - j
ax
<ly
obtido por tneio do cálculo das derivadas parciais de f em P0.
A notação V fé lida con10 "grad f', assin1 co1no "gradiente de/" e "nabla f'.
O sln1bolo V isolado é lido con10 "nabla". Outra notação para o gradiente é grad.f.
lida da maneira co1no é escrita.
TEOREMA 9 - Derivada direcional é um produto escalar Se f(x, y) for
diferenciável em unia região aberta contendo P0(x0, y 0 ), então
= ( V/)p u,
(:!.!_)
ds u, Po
0
(4)
•
o produto escalar do gradiente Vf em P0 e u.
EX.EMPLO 2 Encontre a derivada de f(x, y) = xeY + cos (..ly) no ponto (2. O) na
direção de v = 3i - 4j .
Solução O versor de v é o vetor unitário obtido dividindo v por seu comprimento:
2
V
" =
u = -J .1 - -4. - 5
5
J,____--.,
/
FIGURA 14.28
3.
4.
J.
N =s = s s
1 -
As derivadas parciais de f são contínuas e1n todos os pontos e em (2, 0) são
dadas por
/~(2, O) = (eJ'- J' sen (xy))( 2,oi = e0 - o= 1
f .v(2. O) = (xe'' - x sen (xy))(2,0) = 2e0 - 2 · O= 2.
o
-1
V
Imagine\'f como um
vetor no do1:nínio de/. A tigura 1nostra
curvas de nível de/. A uua com que f
varia cm (2, O) na direção de
u = (3/5)i - (4/5)j é 'ilf · u = - 1 (Exe1nplo 2).
O gradiente de f e1n (2, O) é
V/ Ic2. oi= / ,.(2. O)i + (,.(2. O)j = i + 2j
(Figura 14.28). A derivada de f em (2, O) na direção de v é, portanto.
(Duf) 1(2, Ot = Vf 1(2. O) · u
l •11i.1çao
*
4 .)
3
8
1
. + 2.)
J · (35 •. -5J
=s-s=·
= (•
Capítulo 14
Derivadas parciais
249
Avaliar o produto escalar na fórn1ula
D0 / = Vf · u =IV/llul cos O= IV/ 1cos8,
onde(} é o ângulo entre os vetores u e Vf , revela as propriedades a seguir.
Propriedades da derivada diferencial Duf = Vf · li "' 1Vf1 cos H
l . A função f aumenta mais rapidamente quando cos (} = 1 ou quando (} = O
e u é a direção de V/. lsto é, a cada ponto P no seu domínio, f cresce mais
rapidamente na direção do vetor gradjente Vf em P. A derivada nessa
direção é
D11f = jV/1 cos (0) = IV.fl.
2. De maneira se1nelhante, f decresce n1ais rapidamente na direção de - V/.
A derivada nessa direção é D 11/ = IV/ 1eos (7T) =-IV/ 1
.
3. Qualquer direção o ortogonal ao gradiente V f #O é uma direção de varia-
ção zero em f. porque (} é então igual a 7T/2 e
D 11 / =IV/ 1cos (7T/2) =IV/ 1·O= O.
Conforme diseutiren1os posteriormente, essas propriedades são verdadeiras
t"ànto em três dimensões como em duas.
EXf MPLO 3
Encontre as direções nas quais f(x, y) = (x2/2) + (jí2/2)
(a) cresce mais rapida1nente no ponto ( 1, 1).
(b) decresce 111ais rapidamente em(!, 1).
(e) Quais são as direções de variação zero de f e1n ( l , 1)?
Soluçáo
(a) A função aurnenta roais rapida111ente na direção e no sentido de Vf em ( 1, 1).
O gradiente lá é
(Vf)(I, IJ = (xi + yj )tl. I) = i + j .
Seu versor é
: =/(x.y)
.r 2
1.2
= -+"___
2
2
i + J·
u
· + J·
l
1
·+
= 1i + j 1 = -Y-;::(=I)=2=+=(=I)=2 = v'2 '
1 .
V2 J.
(b) A função decresce n1ais rapidamente na direção de - Vf en1 ( 1, 1), que é
(l,1,1)
1
- u = -- :- ,~
- V'f
~
X
Redução mais
rápida em/ /
1
1
( 1>'
!j
./
---
y
Variação 1.ero
cm/
V/= í + j
Aumento mai~
rápido em/
FIGURA 14. 29
A direção na qual f(x, y)
aurnenta mais rapidarnente en1 ( 1, 1) é a
direção de VJ10 • l) = i + j . Ela corresponde
à direção de ascensão mais inclinada na
superfície en1 ( 1, 1, 1) (Exemplo 3).
1 •
V2
1 -
1 •
V2
J.
(e) As direções de variação zero en1 ( 1, 1) são as direções ortogonais a\! f:
n =- 1 1• +
V2
1 • e - n =
J
v'2
1 •
V2
1 -
1 •
J.
V2
Veja a Figura 14.29.
Gradientes e tangentes a curvas de nivel
Se uma Função diferenciável j(x, y) tiver un1 valor constante e ao longo de
uma curva lisa r = g(1)i + h(t)j (fazendo da curva iuna curva de nível de/), então
f(g(1), '1(1)) = e. Derivar ambos os lados dessa equação em relação a I leva às
equações
250
Cálculo
d
d
di
f(g(t). h(t)) = di (e)
~
~ + ~!!!!.
=o
élx dt
éJy dt
i + !!.!!.. ·) = o.
(~
ax i + i}l
ay J.) . (:!!
dt
dt J
(5)
dr
dt
A Equação 5 diz que Vfé normal ao vetor tangente drldt, portanto é nonnal
à curva.
En1 todo ponto (x0, .v0 ) no do1ninio de uma função diferenciável j(x, y), o gradiente de fé nor111al à curva de nível por (x0 ,y0 ) (Figura 14.30).
Curva de nível/(x. y} = f(xo ·Yo)
V/(xo.Jo)
FIGURA 14.30 O gradiente de uma
função diferenciável de dua~ variáveis ern
un1 ponto é scrnpre normal ã curva de nível
da função que se passa por aquele ponto.
A Equação 5 confirma nossa observação de que os córregos corren1 perpendicular1nente às curvas de nível em 1napas topográficos (veja a Figura 14.25). Co1no o
córrego deve alcançar seu destino da maneira niais rápida, ele deve correr no sentido oposto à dos vetores gradientes pela Propriedade 2 para a derivada direcional. A
Equação 5 nos diz que essas direções são perpendiculares às curvas de nível.
Essa observação ta1nbém nos permite encontrar equações para retas tangentes
às curvas de nível. Elas são retas norn1ais aos gradientes. A reta passando por u1n
ponto P0(x0, y 0) nonnal a uni vetor N = Ai + Bj ten1 a equação
A(x - x 0 ) + B(y - y 0 ) = O
(Exercício 39). Se N é o gradiente (Vf) (ro.J'o) = f v(x0, y 0 )i + f 1.(x0 , y 0 )j , a equação é
a reta tangente dada por
(6)
EXEMPLO 4
Encontre un1a equação para a tangente à elipse
x2
-4 + y2 = 2
i·
•
V/(-2. 1) = - i + 2j
,T -
2y = -4
(Figura 14.31 ) no ponto (- 2, 1).
S1>luçio
A elipse é unia curva de nível da função
x2
j(X, J•) = 4
--1~_~2~~.'---01---'1 ~~
2~+2-\!2-2-+ X
+ .Y2·
O gradiente de f en1 (- 2, 1) é
FIGURA 14.31 Poden1os encontrar a
tangente à elipse (x2/4) + J,2 = 2 tratando a
elipse corno uma curva de nível da função
.f(x, y) = (x2/4) + y 2 (Exetnplo 4).
Vf l<-2. 11 = ( E2 i + 2yj ) (-2. 1) = - i + 2j .
A tangente é a reta
( - 1){x + 2) + (2){;• - l) = O
X -
2y = - 4.
Se conhecer1nos os gradientes de duas funções f e g, auton1atica1nente saberemos os gradientes de sua so1na, diferença, multiplicação por u1na constante, produto
e quociente. Você deverá estabelecer essas propriedades no Exercício 40. Observe
que essas regras tên1 a mesma forma que as regras correspondentes para derivadas
de funções de urna variável.
Capítulo 14
Derivadas parciais
251
Regras algébricas para gradientes
V(/ + g) = VJ + Vg
J. Regra da so111a:
2. Regra da diferença:
V(/ - g)= V/ - Vg
3. Regra <la 111ulliplicarào por co11stante: V(k/) = kV f (qualquer nú1nero k)
4. Regra do produto:
V(/g) = JVg + gVJ
L)
(
Regra do quociente:
EXEMPLO 5
V g
= g V/ -
g
2
/Vg
Ilustramos duas das regras com
f(x,y) = x - y
g(x,y) = 3y
V/ = i - j
Vg = 3j .
Te1nos
1.
V(/ - g) = V(x - 4y) = i - 4j = V/ - Vg
2.
V(/g) = V(3xy - 3y2 ) = 3yi + (3x - 6y)j
= 3y( i - j ) + 3)1j + (3x - 6y)j
= 3y( i - j ) + (3x - 3;•)j
= 3;·(i - j ) + (x - y)3j = g'ilf
+ f'ilg
Funções de t rês variáveis
Para uma função diferenciável f(x.y, z) e utn vetor unitário u = u 1i + u2j + 113k
no espaço, ten1os
a/
a/
a/
i + - 1· + -:- k
QX
<Jy
dZ
V/ = -
e
cJf
a/
iJf
D,J = Vf · u :: ãX 111 + av u 2 + ãZ 113•
•
A derivada direcional pode ser escrita novamente na forma
0 0 / = VJ · U = l'ilJllul COSO = IVfl COS 8,
assi1n as propriedades listadas anteriormente para funções de duas variáveis se estende1n a três variáveis. Em qualquer ponto dado. f aumenta mais rapidamente na
direção e sentido de Vf e decresce n1ais rapidamente na direção e sentido de -V/.
En1 qualquer direção 01togonal a V/. a derivada é zero.
EXEMPLO 6
(a) Encontre a derivada de f(x, ;1, z) = -~ - xy2 :z em P 0( 1, 1, O) na direção de v =
2i - 3j + 6k.
(b) E1n quais direções f varia mais rapidan1ente em P0 , e quais são as taxas de
variação nessas direções?
Solução
(a) O versor de v é obtido dividindo-se v por seu co1nprimenlo:
lvl = vc2)2 + <- 3)2 + (6)2 = v'49 = 1
u = ..;!__ = l i - l j +§. k
lvl 7
7
7 ·
252 Cálculo
As derivadas parciais de f e1n P0 são
!,. = (3x1 - J,2)(1. 1. O>= 2, (,.= -2x:rlc1. 1. oi= -2, f == -Ilc1. 1. oi= - 1.
O gradiente de f em P0 é
V/ 1(1. 1. oi = 2i - 2j - k.
A derivada de f em P0 na direção de v é, portanto,
(D 0 /)(l.l.O) = V/lu.1.0) ·0 = (2i - 2j - k) · (t i - t j +
4
6
6
~ k)
4
=7 +7-7 =7.
(b) A função aumenta mais rapidamente na direção e sentido de Vf = 2i - 2j - k e
decresce mais rapidamente na direção e sentido de - V/. As taxas de variação
são, respectivan1ente,
IV7/ J=VC2)2 +(-2)2 +(- J) 2 =V9=3
e
-I V/J=-3.
Exercícios 14.5
Cálculo de gradientes
Nos Exercícios 1-6, encontre o gradiente da função no ponto determinado. Em seguida. esboce o gradiente juntan1e11te com a curva de
nível que passa pelo ponto.
1. f (X, )') y - X. (2. 1)
2. f(x. y) =ln (.y2 + .1..2), ( 1, l)
J. g(x. )') = X),2, (2. - l )
'
4. g(x, y) = -~- s.
Nos Exercícios 19-24, encontre as direções nas quais as funções aun1entan1 e di1ninue111 rnais rapidamente en1 P0 . Em seguida, encontre
as derivadas das funções nessas direções.
19. /(x.y) =.rl+.\J'+.1.2.
P 0(- I. l )
20. f(x. y) = -~.I' + e'> sea y,
21. f(x. y . :) = ~>:ly) y:.
P0( 1, O)
P0(4, 1. l )
2.2. g(x.y,:) =xe•·+z2. P 0(1. ln2, J/2)
23. /(x.y,z)= ln .\J'+ ln yz+ ln xz.
:!f. (Vi. 1)
2
P 0(1, l, l)
24. h(x. y.:) = ln (x2 + y2- 1) +y+6z,
t<x.y> = vix + 3y, c- 1,2>
P 0(J, 1, O)
Retas tangentes a curvas de nível
v; (4. - 2)
. -- tg-1 y ,
6. !(.\,y)
Nos Exercícios 7-1 O. encontre vf no ponto dado.
7. f(x,y,:)=x1+y2 -2=2+z lnx, (1.1. I)
8. f(x. y, :) = 2z3 - 3(.r2 + .v2)z + tg- 1 x:. ( 1. 1, 1)
9. f(x. y, :) = (.t2 + .l.2 + zl) 112 + ln (.l'.!'Z), (- 1, 2, -2)
1O. /(x. y. z) = eMJ cos: + Ú' + 1) sen- 1 x. (0, O. 7T/6)
Nos Exercícios 25-28, esboce a curva/(x,y) =e junta1nente con1 vf
e a reta rangente no ponto dado. En1 seguida. escreva uma equação
para a reia tangente.
(Vi. Vi)
25. x 2 + ,r2 = 4,
=
26. x 2 - .r
l, ( \12. 1)
27. X)'= -4, (2, -2)
28. x 2 - xy+y 2 =7,
( - 1.2)
Encontrando derivadas direcionais
Nos Exercícios 11-18, encontre as derivadas da função en1 P0 na
direção de u.
11. f(x,y) = 29• - 3y2• P0(5, 5), u = 4i + 3j
12. f(x,y) = 2x 2 + y 2,
X - )'
13. g(x,y) = xy + .
2
u = 3i - 4j
Po(- 1, l ),
Po( l, - l),
14. h(x,y) = tg- 1 (y/x) +
u = 3i - 2j
u = l2i + Sj
\/3 scn- 1(.,J•/2), Po( l. l ),
15. f{x,y. z) = .\)' + yz + :x, Po( l, - 1, 2), u = 3i + 6j - 2k
1.6. f(x. y, z) = x 2 + 2y 2 - 3z 2• Po( l. 1. l ),
17. g(x,y, z) = 3e' eosyz.
P0(0, O. O).
18. h(x,y.z) = cosxy +e•=+ ln::x.
u = i + 2j + 2k
u = i +j +k
u = 2i + j - 2k
Po( l ,O, 1/ 2),
Teoria e exemplos
29. Seja /(x. y) = x2 - ,t y + y 2 - y. Encontre as direções u e os
valores de 0 11/ ( l. - 1) para os quais
a. D0 /(l ,-l)é 1náximo
b. D,j( l,-l)é1ninimo
e. D 11/( l ,-I) = O
(x - 1')
d. D0 /( l,-l) =- 4
e. D,j(l ,- l) =-3
30. Seja /(x. y) = (x + :i•)' Encontre as direções u e os valores de
-t. ~) para os quais
a. Duf (-t, f) é 1nàxin10
b.
1(-t. f) é minimo
Du f (
Du
Capítulo 14
c.
0. 1(-~. ~)=O
0.1(-t.t)
e.
f ( -t. ~)
d.
Ou
= -2
= 1
31. Derivada direcional zero E1n qual direção a derivada de
f(x, y) = xy + -1.2 cm P(3, 2) é igual a zero'!
32. Deri vada direcional zero Em quais direções a derivada de
f(x. y) = (.\.i - y)l(.\.i + J,2) em P( l , 1) é igual a zero?
33. Existe unia direção u na qual a taxa de variação de ftx. y) =
x2 - 3,\J' + 4y2 em P( 1, 2) é iguaJ a 14? Justifique sua resposta.
34. Variação de temperatura ao longo de unia circunferência
Existe uma direção u na qual a taxa de variação da função de
te111peratura T(x. y. =) = 2ry - yz (lcn1peratura em graus Celsius, distância em pés) em P(I, - 1. 1) é - 3ºC/pés'! Justifique
sua resposta.
35. A derivada de f(x, y) en1 P0( 1, 2) na direção de i + j é 2 \/2 e
na direção de - 2j é - 3. Qual é a derivada de f na direção de
- i - 2j ? Jus ti fique sua resposta.
253
Derivadas parciais
36. A derivada de f (x. y. =>em um ponto Pé 1náxima na direção de
v = i + j - k . Nessa direção, o valor da derivada é 2\/3.
a. Quem é \if em P'? Justifique sua resposta.
b. Qual é a derivada de f em P na direção de i + j?
37. Derivadas direcionais e componentes escalares Co1no é a
derivada de un1a f11nção diferenciável f(x. y, z) em un1 ponto
P0 na direção de um vetor unitário u relacionado ao con1ponentc escalar de (V/)p0 na direção de u? Justifique sua resposta.
38. Derivadas direcionais e derivadas parciais Assun1indo
que as derivadas necessárias de /(x, y, z) são definidas. como
DJ. OJ e O~f estão relacionadas a f ,. f y e f:'? Jus1ifique sua
resposta.
39. Retas no plano xy fVlostre que A(x - x 0 ) + B(y - y 0) = O
é un1a equação para a reta no plano xy passando pelo ponto
(x0 ,y0 ) normal ao vetor N = Ai + Bj.
40. Regras algébricas para gradientes Dada uma constante k
e os gradientes
fJf .
õf .
fJf
v ..i:
v.l'
vZ
fJg
éJg
()g
· +- k
vg = -:i +-:- 1
i)x
dy ·
fJz '
V/ = ;;- 1 + ;;- J + ;;- k,
estabeleça as regras algébricas para gradientes.
Planos tangentes e diferenciais
14.6
Nesta seção, definire1nos o plano tangente em um ponto em uma superfície
lisa no espaço. E1n seguida, n1ostraren1os como calcular uma equação do plano
tangente a partir das derivadas parciais da função definindo a superfície. Essa ideia
é semelhante à definição da reta tangente e1n wn ponto em uma curva no plano de
coordenadas para funções de un1a variável (Seção 3.1 ). Na sequência, estudaren1os
a diferenciaJ totaJ e a linearização de funções de várias variáveis.
Planos tangentes e retas normais
Se r = g(t)i + h(t)j + k(t) k é un1a curva lisa na superfície de nível f(x, y, z) =e
de u1na função diferenciável/, então f(g(I), li(t), k(t)) =e. Diferenciando ambos os
lados dessa equação con1 relação a 1. temos
.s!_I f(g(t) , li(t), k(t)) = _dd (e)
af dg
af dh
af dk
-+- + -az-dt= o
éJx dt
ày dt
/
- f ( x . y. :} =e
(~/éix i + &fav J. + ôfi)z k).(dgdt i + dlidt J. + dkdt k) = o.
O gradiente V fé
onogonal ao vetor velocidade de toda
curva lisa na superfície pa~sando por P0 .
O vetor velocidade e1n P0, portanto. está
em wn plano comum, que denominamos
plano tangente cm P0.
(1)
•
\ /
FIGURA 14.32
f
GI
'ilf
dr dt
En1 todo ponto ao longo da curva, Vfé ortogonal ao vetor velocidade da curva.
Vamos agora restringir nossa atenção às curvas que passarn por P0 (Figura
14.32). Todos os vetores velocidade em P0 são ortogonais a V/ em P0, portanto
as retas tangentes das curvas estão todas no plano passando por P0 normais a Vj.
Definiremos agora esse plano.
254 Cálculo
~
DEFINIÇOES
O plano tangente ao ponto P0(x0 ,}10 , z0) na superfície de nível
/(x, y, z) = e de u1na função diferenciável fé o plano passando por P0 normal
a V/lp0 ·
A reta normal da superfície em P0 é a reta passando por P0 paralela a V/IPo'
Da Seção 12.5, o plano tangente e a reta nonnal tên1 as seguintes equações:
Plano tangente a /(x, y, z) =e em P0 (x0 , y 0 , z0 )
f .r(P0)(x x0) + f,.CP 0)(;' y 0 ) + f:(P 0)(z : 0) = O
(2)
Reta normal a/(x, y , z) =e em P0 (x0 , y 0 , z0 )
x = x0 + fr(P0 )t, y =y0 + f y(P0 )t, z = z0 +f:(P0 )t
(3)
EXEMPLO 1 Encontre o plano tangente e a reta nonnal da superfície
j (X, ,V. z) = x2 + y +: - 9 = 0
l'•1r.1bolo1J.: c1n:ular
no ponto P 0(1, 2, 4).
Solução A superfície é mostrada na Figura 14.33.
O plano tangente é o plano passando por P0 perpendicular ao gradiente de f em
P0 . O gradiente é
Vf lp0 = (2xi + 2yj + k)(I. 2. 4) = 2i + 4j + k.
O plano tangente é, portanto, o plano
2(x - 1) + 4(y - 2) + (: - 4) = 0
ou 2x+ 4J•+ : = 14.
A reta normal à superfície em P0 é
X =
Superfície
, ,
o
.r + •v- +4- 9=
P0(1.2.4)
_ Re1:1 normal
J + 21, y = 2 + 41,
Z = 4
+ 1.
Para encontrar uma equação para o plano tangente a uma superfície lisa == f (x, y)
em u111 ponto P0(x0 , y 0 , z0 ) onde z 0 = f(x 0 , J'o), observan1os primetro que a equação
z = /(x, y) é equivalente a /(x, y) - :: = O. A superfície== /(x, y) é, portanto, a superfície de nível zero da função F(x, y . z) = f(x, y) - z. As derivadas parciais de F são
éJ (f(x. 11) - z) = r - O = r.
Fx = -àx
.
Jx
J .1
1
2
a
\_ Plano tungen1e
Fy = ày (f(x ..v) - z) = h· - O = h·
-----)'
F: = az(f(x, )1) - z) = O - 1 = - l.
a
A fónnula
FIGURA 14.33 Plano tangente e reto nonnal
a essa superfície em P0 (Exemplo 1).
F_,(P0 )(x - x0) + F_,.(P0)(v- y 0) + F=(P0 )(z - z0) = O
para o plano tangente à superfície de nível cm P 0 , portanto, é reduzida para
f x<xo, .l'o)(x - xo) + fy<xo, Yo)(y - Yo> - (z - =o)= O.
Capítulo 14 Derivadas parciais
255
Plano tangente a uma superffcie z = f(x, y) em (x0, y 0, f (x0 , y0 ) )
O plano tangente à superfície z = f(x, y) de un1a função diferenciável f no
ponto P0(x 0 ,y0 , z0 ) = (x0,_110, /(x0,.11r)) é
f r(x0 , Ji0 )(x - x 0) + f,.(x 0• ) 0 )()' - ,V0 ) - (z - z0) = 0.
1
L
EXEMPLO 2
(4)
Encontre o plano tangente à superfície z = x cos y - ye' en1 (0, O, 0).
Solução Calculrunos as derivadas parciais de f(x, y ) = x cos y - .ver e utilizan1os a
Equação 4:
f x(O, 0) = ( cos J' - ye~)<O. Ol = 1 - O · 1 = 1
(
.(0. O) = (-x sen J'-e")(O.O> = O- 1 = - 1.
1
O plano tangente é. portanto,
Plano
x+:-4=0
l ·(x-O)- l · (v - 0) -(z- O) = O
ou
x - y - z=O .
...
-
EXEMPLO 3
As superfícies
f(x. y, z) = x 2 + y 2 - 2 = O (1l1ndro
e
Elipse E
g(x, )', =) =x+ : - 4 = O
( 1.1. 3)
V/
V/ X Vg
X
/
l'l~no
se encontram em uma elipse E (Figura 14.34). Encontre equações pararnétricas para
a reta tangente a E no ponto P0( 1, l , 3).
Solução A reta tangente é ortogonal tanto a Vf qua11to a \lg e1n P0 e, portanto, paralela a v = \7f X Vg. Os con1ponentes deve as coordenadas de P0 nos fon1ecem
equações para a reta. Temos
Cilindro
x 1 +y1 - 2=0
V/1 (1.1.J) = (2ri + 2yj )c1, t,31 = 2i + 2j
fl.x.y . ;:)
Vgl r1.1. 3J = (i + k )11 . 1. J1 = i + k
.
FIGURA 14.34 Cilindro e plano se
cruzam em u1na elipse E (Exemplo 3).
V
.
k
= (2i + 2j ) X (i + k ) = 2
J
2
o = 2i - 2j - 2k.
1
o
1
1
A reta tangente é
X =
f + 21,
y = 1-21,
z = 3 - 21.
Estimando a variação em uma direção especifica
A derivada direcional dese1upenha o papel de u1na derivada cotnun1 quando
desejarnos estimar quanto o valor de urna fu11ção f varia se nos rnoven1os por un1a
pequena distância ds a partir de un1 ponto P0 até u1n outro ponto próxin10. Se f fosse
u1na função de urna variável, teríamos
df = f'(P0 ) ds.
Para Luna função de duas ou mais variáveis, utiliza1nos a fóm1uJa
df = (V/1Po • u) ds,
onde u é a direção do 1novin1ento para longe de P<r
256 Cálculo
Calculando a variação em f em uma direção u
Para calcular a variação no valor de uma função diferenciável f quando nos
moven1os por uma pequena distância ds de utn ponto P0 em uma direção em
particular u, utilizamos a fórmula
df = (VflPa • u) ds
EXEMPLO 4
-
n~r \ad;1
lt'k:l<!lh:lllLl
d11.!•ional
Ja d1,1.lncr.1
Calcule quanto o valor de
j(x, )', z) = y sen x + 2y::
irá variar se o ponto P(x, y, z) se move O, l unidade de P0(0, 1, O) diretan1ente a
pi (2, 2, - 2).
~
Solução Encontra1nos primeiro a derivada de f en1 P0 na direção do vetor P 0 P 1 =
21+ j - 2k. O versor desse vetor é
O gradiente de f e1n P0 é
V/ 110• 1. º> = ((y cos x)i + (sen x + 2z)j + 2yk)(o. 1• 01 = i + 2k.
Portanto,
Vf 1p0 • u = (i + 2k ) · (
t + t t k) t -1 t ·
i
j -
=
= -
A variação d/ cm f que resulta do 1novin1ento ds = O, 1 unidade para longe de
P0 na direção de u é aproxi1uadan1ente
df = (V'flp0 ·u )(ds) =
(-t)co.1) ~
- 0,067unidade.
Como linearizar uma função de duas variáveis
Um ponto
(.r, y)
próximo de (.l"p. Yo)
Do)'= Y - Yo
Um ponro onde
f é diferenciável
/
Funções de duas variáveis podem ser cornpljeadas, e algumas vezes precisamos
aproxirná-las con1 funções mais si111ples que proporcione1n a precisão necessária
para aplicações específicas setn apresentar dificuldade para se trabalhar co1n elas.
Fazernos isso de forn1a sen1elhante à tnaneira que encontran1os substituições lineares para funções de un1a variável (Seção 3.1 1).
Suponha que a função que desejan1os aproxin1ar seja z = f(x, y) próximo a um
ponto (x0,y0) no qual conhecernos os valores de/, f .• e f" e nos quais fé diferenciável. Se nos move1nos de (x0, y0 ) a qualquer ponto próximo (x, J') pelos incren1entos
ó.x = x - x 0 e AJ' = y - J'o (veja a Figura 14.35), então a definição de di ferenciabi !idade da Seção 14.3 fornece a variação
f(x, y) - f(x0 , y 0 ) = f x(x0 , y 0)Âx + f y(x0 , y 0 )ó.,v + E 1ÂX + E 2Ây.
FIGURA 14.35 Se fé diferenciável em
(x0• y 11), então o valor de f em qualquer
ponto (x, y ) próximo é aproximadamente
f (xo, Yo) + f .<xo, Yo)~-r + f ,.<xo, .l't>)6.y.
onde e 1, e 2 - O quando .1..Y, Â)' - O. Se os incrementos .1.,y e Â)' forem pequenos,
os produtos E 1ÂX e E2ó.y serão menores ainda. e temos a aproxi1nação
f(x,y) ~ /(xo,J'o) + f x(xo,yo}(x - xo) + J,.(xo,J1o)(y - J'o).
li\, 1 l
Em outras palavras, desde que ÂX e ÂJ' sejam pequenos, f terá aproxin1adan1ente o mesmo valor que a função linear l.
Capítulo 14
Derivadas parciais
257
- A linearização de uma função f(x, y) em um ponto (x , y )
OEFINIÇOES
0
0
onde fé diferenciável é a função
l~Y, Y) = f(xo, Yo) + f x<xo. Yo)(x -xo) + f,.Cxo, Yo)(v-yo)·
(5)
A aprox.imação
f(x, y):::: L(x, J')
L..:_a aproximação linear padrão de f e111 (x y
0,
0).
A partir da Equação 4, descobrimos que o plano z = l(x, ;1) é tangente à superfície == f (x. ;•) no ponto (x0 • y 0 ). Assitn, a linearização de uma função de duas
variáveis é uma aproxi1nação por plano rangente, da 1nesma forma que a linearização de uma função de uma variável é uma aproxi1nação por reta tangente. (Veja o
Exercício 63.)
EXEMPLO 5
Encontre a Linearização de
f(x._v) = x 2 - .ry +
ty +
2
3
no ponto (3, 2).
Solução
Primeiro avaliamos f, fx e f,.no ponto (x0 , y 0) = (3, 2):
/(3, 2) =
(x
2 - AJ' + l y2 +
2
3)
= 8
(3. 2)
íJ ( x 2 - .X:Y + 2
1y 2 + 3 )
/r(3, 2) = àx
= (2x - )')(3.2) = 4
(3, 2)
f,.(3, 2) =
1 2
2
!,
(x
- xy + - y + 3)
2
vy
=
(3. 21
(-x + ;1)13,i1 = -1,
proporcionando
l(x. y) = f<xo, Yo) + f.vC.to, .Vo)(x - Xo) + lr<xo. Yo)(V - Yo )
= 8 + (4)(x - 3) + (-1)(y- 2) = 4x - y - 2.
A lineaiização de f e1n (3, 2) é l(x, y) = 4x - y - 2.
Ao aprox.únar uma fw1ç-ào diferenciável f(x, ; 1) por sua Linearização l(x, J') em
(x0 , y 0 ), uma questão i111portante é quão precisa a aproximação pode ser.
Se poden1os encontrar urn lin1itante superior co1num lvf para 1/ xxl' 1/,,,1e1/nol em
un1 rei.ângulo R centrado em (x0 ,y0 ) (Figura 14.36). então pode1nos delimitar erro
E por todo R utilizando uma fónnula simples (deduzida na Seção 14.9). O erro é
definido por E(r._v) = f(x. y) - l(x._v).
o
Erro na aproximação li near padrão
1
k
~
"
<·1o· Yo)
R
Se f possui primeira e segunda derivadas parciais sobre um conjunto aberto
contendo u1n retângulo R centrado em (x0 , y0 ) e se tvf é qualquer limitante superior para os valores de lfxxl· I/,~ e l/."J em R. então o erro E(x, _y) incorrido
na substituição de f(x, y) em R por sua 'linearização
l(x. y) = f(xo, .110) + f.«·'·o, Yo)(x - Xo) + (,.Cxo, Yo)(y - J10)
--i---------+X
o
FIGURA14.36 Região retangular R:
~Y - -'·oi < '1. p' - Yol < k no plano.\)'·
satisfaz a desigualdade
IE(x, y) 1:s
t M(lx - xol + Lv - YO 1)
2
•
258 Cálculo
Para ton1ar IE(x, y)I pequeno para um !vi determinado, sin1plesn1ente fazen1os
~\'.-x01 e lv-y01pequenos.
EXEMPLO 6 Encontre um limitante superior para o erro na aproximação f(x, y) ::::
L(x, J') no Exetnplo 5 sobre o retângulo
R: lx - 31< O,I ,
ty- 21 < O,l.
Expresse o ILtnitante superior como un1 percentual de /(3, 2), o valor de f no
centro do retângulo.
Solução
Utilizamos a desigualdade
IE(x,y) I :5 ~ M(l x - xo l + l.11 - yoi) 2 .
Para encontrar um valor adequado para M, calculamos f u ' f XJ' e f,,., descobrindo, após uma diferenciação de rotina. que todas as três derivadas são constantes,
com valores
lfl'_.I = 121 =2, 1/,) = 1-11= 1, lf .,.I = 111= 1.
O n1aior deles é 2, portanto podemos seguramente ton1ar M con10 sendo 2. Con1
(x0 , y 0 ) = (3, 2), saben1os que, sobre R,
jE(x,y) j :5 ~ (2)(1x - 31 + IY - 21) 2 = (ix - 31 + IY - 21) 2•
Por fin1, un1a vez que lx- 31~O. l e [y- 21 s O, 1 en1 R, te1nos
IE(x, y)I < (0, 1 + o, 1)2 = 0,04.
Co1no um percentual de f(3. 2) = 8, o erro não é maior que
0~4 X 100 = 0,5%.
Diferenciais
Lembre-se da Seção 3.1 1 que para tuna função de unia variável, y = /(x), definin1os a variação em f quando x varia entre a e a + ó.x por
6./ = j(a + 6.x) - f(a)
e a diferencial de f como
df = f'(a)ó.x.
Consideramos agora a diferencial de uma função de duas variáveis.
Suponha que uma função diferenciável f(x, y) e suas derivadas parciais existam
en1 un1 ponto (x0 , y 0). Se nos 1novern1os a um ponto próximo (,\"0 + !:J.x, y0 + 6.y), a
variação e1n f é
6.f = f(xo + 6.x, J'o + 6.y) - f(xo, Yo)·
Um cálculo direto a partir da definição de L(x,y), utilizando a notação x - x0 = 6.x
e y- y 0 = 6.y, mostra que a variação correspondente ern l é
6.l = l (xo + 6.x,yo + 6.y) - l (xo,)'o)
= J..(xo,Jo) 6.x + f y(xo,yo) !:J.y.
As diferenciais dx e dy são variáveis independentes, de fonna que a elas pode1n ser atribuídos quaisquer valores. Geralmente, tomamos dx = 6.x = x - x 0 e dy =
!:J.y = )' - y 0 • Etn seguida, ten1os a seguinte definição da diferencial ou diferencial
total de f.
Capítulo 14 Derivadas parciais
259
-
OEFINIÇAO Se nos inovermos de (x0 , J'o) a um ponto (x0 + tL,-, y 0 + dy) próximo, a variação resultante
df = f x(Xo,,l'o) dx + / 1.(xo, .l'o) dy
L1ª
linearização de fé denon1inada diferencial total de/.
EXEMPLO 7 Suponha que Luna lata em forn1ato cilíndrico seja projetada para ter
uni raio de 1 pol. e uma altura de 5 pol.. mas que o raio e a altura estejam com erros
de dr = +0,03 e dh = O, 1. Calcule a variação absoluta resultante no volume da lata.
Solução Para calcular a variação absoluta em V= 7Tr2h, utiJ izau1os
AV
=dV = Vr(r0 , h0) dr + V"(r0, h0) dh .
Com V,. =27Trh e V1, = 1T,:1., obte1nos
dV = 27Troho dr + 7Tro2dh = 27T( 1)(5)(0,03) + 1T( 1)2(- 0, 1)
= 0,37T - O, 1rr = 0,27T ~ 0,63 pol.3
EXEMPLO 8 Sua ernpresa fabrica tanques cilíndricos circulares retos para o armazenamento de melaço, com 25 pés de altura e raio de 5 pés. Qual a suscetibilidade
dos volumes dos tanques a pequenas variações na altura e no raio?
Solução Con1 V = 7T11 h, a diferencial total fornece a aproximação para a variação
no volume como
dV = Vr(5. 25) dr + V,1(5 , 25) dh
= (27Trh)< 5• 251 dr + (7Tr2)(5• 25 ) dh
= 25Ü7T dr + 257T dlt.
r=5
-./
,, = 25
----
r = 25
...,
1
(a)
h= 5
(b)
FIGURA 14.37 O volun1c do cilindro (a)
é mais suscetivel a uma pequena variação
en1 r do que a uma igualmente pequena
variação e1n h. O volun1e do ci lindro (b)
é mais suscetível a pequenas alterações
em h do que a pequenas alterações e1n r
(Exen1plo 8).
Assi1n, uma variação de 1 unidade em rirá variar Vem cerca de 2507T unidades.
Uma variação de 1 unidade e1n h irá variar V em cerca de 257T unidades. O volume
do tanque é J Ovezes rnais sensível a uma pequena variação e1n r do que para un1a
pequena variação de igual din1ensão ein h. Como u1n engenheiro do controle de
qual idade responsável por certificar-se de que os tanques tenharn o volume correto,
você desejaria prestar atenção ern especial aos seus raios.
En1 contraste. se os valores der e lt fore1n invertidos para formar r = 25 eh = 5,
então a djferencia1 total em V se toma
dV = (27rrh )(2S. S) dr+ (7Tr2)(25. S) dh = 2507T dr+ 6257T dh.
Agora o volun1c é rnais suscetível a variações en1 h do que e111 r (Figura 14.3 7).
A regra geral é que fi.1nções são mais suscetíveis a pequenas variações nas variáveis que geram as maiores derivadas parciais.
EXEMPLO 9 O volun1e V = 7Tr2h de um cilindro circular reto será calculado a
partir de valores 1nensurados der e li. Suponha quer seja mensurado com um erro
que não seja superior a 2% e h com um erro que não seja superior a 0,5%. Calcule
o possível percentual de erro resultante no cálculo de V.
Solução Somos informados de que
!Íf- X 100 s 2
e
ç!jJ_
5
h X 100 s 0..
Uma vez que
dV
v
21Trh dr + rrr 2 dh
=
1Tr21i
2dr + dh
/'
h ,
260
Cálculo
ten1os
dV
2 [fJ:. + !f.}J_
fl
,.
<
-
"
21!:.
+ ç!!!_
r
h
s 2(0,02) + 0.005 = 0.045.
Estima1nos o erro no cálculo de volun1e co1no sendo no n1áxin10 4,5% .
Funções de mais do que duas variáveis
Resultados análogos são aplicáveis para funções diferenciáveis de mais do que
duas variáveis.
1. A linearização de /(x, y , z) e1n um ponto P(l(x0 , y 0 , z0) é
L(x, y . z) = f(P 0 ) + f r(P0)(x - x 0) + ( ,.(P0 )(.)1-y0 ) + f :(P0 )(z - z0 ).
2. Suponha que R seja um sólido retangular fechado centrado em P 0 e contido em
wna região aberta na qual as segundas derivadas parciais de f sejam continuas.
Suponha também que lfxxl' 1/11.I , 1
/ :zl' lf.t), IJ.~I e lf~-::1 sejatn todos menores ou
iguais a M en1 R. Então, o erro E(x, y , =) ·_ f(x, 31, zf- L(x. y , z) na aproxi1naçào
de f por L é limitado en1 R pela desigualdade
IEI s ~ M(ix - xo l + IY - Yol + lz - zol)2.
3. Se as segundas derivadas parciais de f forem contínuas e se x. y e z variarem
entre x0, J'o e =o por pequenas quantidades dx, d3 e d::, a diferencial total
1
df = f ..(P0) dx + f ,JP0 ) dy + f :(P0 ) dz
fornece tuna boa aproxin1açào da variação resultante em/.
EXEMPLO 10
Encontre a linearização L(x, J', z) de
j(x, y, z) =.r2 -xy + 3 sen =
no ponto (x0 , y 0• z0) = (2, 1, 0). Encontre u1n limite uperior para o erro incorrido na
substituição de f por L no retângulo
R: ~t
21s 0,01, lv- J1s 0,02, FI s 0,0 l.
Solução Cálculos de rotina proporciona1n
/(2, 1, O) = 2,
/ l(2, 1, 0) = 3,
1.,.(2, 1, 0) = - 2,
1:(2, 1, 0) = 3.
Assim,
L(x, y , z) = 2 + 3(.x - 2) + (- 2)(y - 1) + 3(z - 0) = 3x - 2y + 3.: - 2.
Uma vez que
Í r.r= 2,
( 1,.= 0,
f== =-3 senz.
/ XJ.= -J,
f r.= O,
f ,-::= O
e 1-3senz 1< 3 sen 0,01 ~ 0,03, pode1nos determinar M = 2 como un1 limitante nas
segundas derivadas parciais. Consequenten1ente, o erro incorrido pela substituição
de f por l ern R satisfaz
IEI s !(2)(0,01 + 0,02 + 0.01) 2 = 0,0016.
Capítulo 14
Derivadas parciais
261
Exerdcios 14.6
Planos tangentes e retas normais a superfícies
Nos Exercícios 1-8. encontre equações para
a. o plano tangente e
b. a reta norn1al no ponto P 0 na superfície detenninada.
1. x 2 + y 2 + z 2 = 3, Po( I. 1, 1)
2. x 2 + y 2 -
:
2
3. 2z - x 2 = O,
= 18,
Po(3, 5, -4)
P 0(2, O. 2)
4. x 2 + 2xy-y 2 + : 2 = 7,
P0 ( 1, - l , 3 )
5. cos 7TX - x 2y + e"' + yz = 4.
6. x 2 - ·\J' - y 2 - : = O,
7. x + J' + : = l,
Po(O, I, 2)
Po( 1. 1, - 1)
Po(O, 1. O)
8. x 2 + y 2 - 2xy - x + 3y - z = - 4,
Po(2, - 3, 18 )
Nos Exercícios 9-12, encontre uma equação para o plano tangente à
superfície determinada no ponto dado.
9. : = ln (x2 + .1,2), ( 1. O, 0)
11. : = ~. ( 1. 2. 1}
1. 0. z = ('- (yJ ......!). (0, 0, 1)
12. : = 4.\.i +y, (1 , 1, 5)
Retas tangentes a curvas espaciais
Nos Exercícios 13-18, encontre equações paramétricas para a reta
tangente à curva de interseção das superílcies no ponto determinado.
13. Superfícies: x + ,1 .2 + 2: = 4, x = 1
Ponto:
( 1. 1. 1)
14. Superficics: ,\y: = 1, x2 + 2.1.2 + 3:2 = 6
Ponto:
( 1, 1. 1)
15. Superficies: ,\.i+ 2y+2: = 4. y = 1
Ponto:
( 1, 1, 1/2)
16. Superfícies: x + .v2 + : = 2, y = 1
Ponto:
( 1/2, 1, l/2)
17. Superfícies: .\.J + 3,r2y 2 + ) ,3 + 4xy - =2 = O,
.r2 + y 2 +.z2= li
Ponto:
( 1, 1, 3)
18. Superfícies: .r2 + J;z = 4. x2 + _,.i - = = O
Ponto:
( \/2, \/2, 4)
Estimativa da variação
19. Em cerca de quanto
f (x,y,:) = lnV x 2 1- y 1 + :: 2
irá variar se o ponto P(x. y. z) se 1nover de ? 0(3, 4, 12) unia
distância de d~ = O, 1 unidade na direção de 3i + 6j - 2k?
20. Em cerca de quanto
j(x, y. z) = e' cos yz
irá variar se o ponto P(x. y. :) se n1over, a partir da origem.
unia distância de ds = O, I unidade na direção de 2i -" 2j - 2k?
21. Em cerca de quanto
g(x, y, :) = x + x cos : - y scn z + y
irá variar se o ponto P(x. y , z) se mover de ? 0(2. - 1, O) urna
distância de ds = 0,2 unidade na direção de P 1(0. 1, 2)?
22. Em cerca de quanto
h(x. y . z) = cos (7T.r)') + x:?
irá variar seo ponto P(x, y,z) se mover de ? 0(- 1, - l. - I) uma
distância de ds = O, 1 unidade na direção da origem?
23. Variação de ten1pcratura ao longo de unia circunf erência
Suponha que a lemperarura em Cclsius no ponto (x, y ) no plano .1)' seja T(x. y) = x sen 2y e a distância no plano .\)' seja
mensurada cn1 n1ctros. Uma partícula está se movendo en1
sentido horário ao redor de u1na circunferência de raio de 1 1n
centrada na origcn1 na taxa constante de 2 ni/s.
a. Qual é a velocidade da variação de ten1peratura apresentada pela ~rticula. cn1 graus Cclsius por 1nctro, no ponto
P( 1/ 2, V3/2)?
b. Qual é a velocidade da variação de te1npcratura apresentada pela partícula em graus Cclsius por segundo cn1 P?
24. Variação de ten1 peratura ao longo de u1n a cur va espacial
A temperatura e1n Cclsius cm uma região no espaço é
dada por 7\x,y, :) = 2x2 - .ry:. Uma particula está se movendo
nessa região e sua posição no tempo 1 é dada por x= 212 ,y = 31,
:: = - fl, onde o ternpo é mensurado em segundos e a distância,
cn1 metros.
a. Qual é a velocidade da variação de temperatura apresentada pela partícula em graus Celsius por n1etro quando a
partícula está no ponto P(8, ó, -4)?
b. Qual é a velocidade da variação de tcn1pcratura apresentada pela partícuJa em graus Celsius por segundo em P'l
Cálculo de linearizaçõ1!s
Nos Exerci cios 25-30, encontre a linearização l(x, y ) da função ern
cada ponto.
25. f(x. y) = x 2 +.v2 + 1 cm
a. (O. 0).
b. (1. 1)
26. f(x. y) = ~\' + y + 2)2 e1n
a. (0, O).
b. ( 1, 2)
27. f(x.y)=3x - 4y + 5em
a. {O, 0).
b. ( 1, 1)
28. J(x, y) = x 3y 4 cn1
a. ( 1, 1).
a. (0, 0).
b. (0, 0)
a. (O, 0),
b. (1. 2)
29. f(x. y} = e' cos )' en1
30. f(x. y) = e2y-xem
b. (0, 7T/2)
3 1. Sensação térmica
A sensação térmica, 1nedida da temperatura aparente sentida na pele exposta. é uma função da temperatura do ar e velocidade do vento. A fórmula precisa. an1alizada pelo Serviço Nacional de Mctercologia nortc-an1cricano
etn 2001 e baseada na teoria 111oderna de transferência de calor,
um modelo de face humana e resistência do tecido da pele, é
W = 11'(11, J) • 35.74 + 0,6215 T - 35. 75 110.16
+ O•4275 T · 11º·16•
onde T é a temperatura do ar en1 ºF e 1• é a velocidade do vento
en1 rnilhas/h. Uma tabela parcial da sensação térn1ica é fornecida.
26 2 Cálculo
T (ºF)
30 25 20
10
s
o - s - 10
-5 - 11 - 16 -22
19
13
7
1
10 2 1 15
9
3
- 4
15
19
13
6
o
- 7 - 13
20
17
11
4
-2
-9 -15 -22 -29 -35
25
16
9
3
- 4
- 11 - 17
- 24
30 15
8
1 -5
- 12
-26 -33
5 25
E
......
JS
35
14
7
o -7
- 14
- 10
-19
39. f(x ,y, ;) = .\J' + yz + xz em
a. ( l, 1, 1)
b. ( 1. O, 0)
40. f(:r, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 e1n
a. ( 1. l, 1)
b. (O, 1. 0)
- 16 -22
-28
4 1. f(x, y,z) =
Vx 2 + y 2 + ; 2 em
- 19
- 32
a. ( l, O. O)
b. ( 1. l, O)
- 2 1 - 27
- 26
- 3 1 - 37
e. ( 1, O, 0)
e. ( 1, 2, 2)
42. j(x,y. ;) = (sen xy)/z c1n
a. (7r/ 2, 1, 1)
b. (2, O. l)
43. f(x. y . z) = e .. + cos (y + ; ) e1n
-39
- 34 - 41
e. (0. O. 0)
a. (O, O, O)
b.
(O, T, O)
44. f(x,y, ;) = tg- 1(A:v::') em
a. Utilize a tabela para encontrar JV(20. 25), 1V(30. - 10) e
W( 15, 15).
b. Utilize a fórmula para encontrar IV( 1O. -40), W(50. -40) e
W(60. 30).
e. Encontre a linearização L(v, T) da função ~V(v, 1) no ponto
(25, 5).
d. Utilize l(u, 7) do ite1n (c) para calcular os valores da sensação térn1ica a seguir.
i) W(24, 6)
ii) ~V(27, 2)
ijj) W(5. - 10) (Explique por que esse valor é bcn1 diferente
do valor encontrado na tabela.)
32. Encontre a linearização L(u, 7) da função IV(u. 1) no Exercício 3 1 no ponto (50. - 20). UtiJjzc-a para calcular os valores da
sensação térmica a seguir.
a. fV(49, - 22)
b. ~1'(53, 19)
e. iV(60, - 30)
Limitação de erro em aproximações lineares
Nos Exercícios 33-38, encontre a linearização L(x,y) da função f(x,y)
em P0 . Em seguida, encontre um limitante superior par.i a rnagnitude IEl do erro na aproximação f(x, y) :::: l(x, y) sobre o retângulo R.
33. f(x. y) = x2 - 3AJ' + 5 en1 P0(2, 1).
R:lx-2IS0, l,
b•- l l SO, I
34. j(x.y) = (1 /2~,.:? + xy+( l/4)J,2+ 3x-3y+ 4 en1 P 0(2, 2),
R: ~r- 21sO, 1 ,
L1• - 21s0, 1
35. f (x. y) = 1 + y + x cos y en1 P0(0. 0),
R: ~ri < 0,2. b1 s 0.2
(Utilize 1cosy 1s 1 e 1seny 1s 1 ao estimar E.)
36. f(x, y) = x_1/l + y cos (x - 1) en1 P0( l, 2),
IY - 21< O, I
R: lx- l I < O, l.
37. f(x. y ) - e' cos y em P0(0. 0).
R: ~"I S O, I , b1 s 0.1
(Utilize e' :5 l, 11 e 1cosy1 s 1 ao esti1nar E.)
38. /(x.y) = ln x + ln yem P0( l. 1).
R: ~" - l I < 0.2,
Ir- li< 0,2
Linearização para três variáveis
Encontre as lineari1.açõcs l(x. y, ;) das funções nos Exercícios 39-44
nos pontos detern1jnados.
a. ( 1, O, 0)
b. ( l , 1, 0)
e. ( 1, 1. 1)
Nos Exercícios 45-48, encontre a linearização L(x, y, z) da função
f(x. y, ; ) e1n P0 . En1 seguida. encontre um limitante superior para
a magnitude do en·o E na aproxi1nação /(x, y, z) :::: l(x. y. ::) sobre
a região R.
45. j(x.y. ;) = xz - 3y; + 2 cm Po( 1. 1. 2).
R:
lx - 11< 0,01 , IY - 1I < 0,01. 1; - 2 I < 0,02
46. f(x,y,;) = x 2 + ,9 • + y:: + ( 1/ 4 ): 2 ea.1 Po( l.1 ,2).
lx - 11s 0,01, IJ' - l I s 0,01, 1=- 2 I s 0,08
47. f(x,y, ::) = xy + 2yz - 3xz em P0( 1, 1, O),
R:
R:
lx - 11s 0,01. IY - 11s O.O 1, 1z1:S 0,0 1
48. f(x.y. z) =
R:
v'i cosx scn (y + z) cn1 Po(O, O, 7r/ 4 ).
lxl s 0,01. l.vl s 0,01. lz - 7r/ 41 s 0,01
Estimativa dt> erro; suscetibilidade a variações
49. Cálculo do erro máxhno
Suponha que T seja encont rado a
partir ela fórmula T = x(e" + e "). onde seja determinado que
x e .r são 2 e ln 2 com erros mfuômos possíveis de ldxl = 0,1 e
ldJ'I = 0,02. Calcule o erro 1nâximo possível no valor computado de T.
50. Cálculo do volume de um cilíndro Cerca de quão precisan1ente V "' 7T1J /i pode ser calculado a panir de mensurações de
r e h que cstcja1n cm erro de 1º/o?
51. Considere tuna caixa retangular fechada com u1na base quadrada, conforme mostnido na figura a seguir. Se x é n1edido
com erro de no mâxin10 2% e y é 111edido co1n erro de no máximo 3%, utilize un1a diferencial para calcular<> erro percentual
correspondente no cálculo
a. da superfície da área da caixa
b. do volu1ne da caixa.
X
52. Considere um recipiente fechado no formato de um cilindro de
raio 10 cm e alrura 15 cn1 com um he1nisfério em cada extren1idade, conforme exibido na figura a se!,.>uir.
Capítulo 14
O recipiente está coberto co1n un1a camada de gelo de 1/2
c1n de espessura. Utilize unia diferencial para calcular o volun1e total de gelo. (Sugestão: considere quer seja o raio com
dr= l /2 e li seja a altura con1 dh = 0.)
53. Máxin10 percentual de erro Ser = 5,0 cm e li = 12.0 cm
arredondado ao n1ilímetro 111ais próximo, qual seria o máxirno
percentual de erro que poderírunos esperar ao calcular V= 7T?'1?
54. Variação na resistência elétrica
A resistência R produzida
por resistores de R1 e R2 ohn1s en1 paralelo (veja a figura a
seguir) pode ser calculada a partir da fónnula
_1 = ..!.. + ..!..
R
R1
Ri.
Derivadas parciais
263
a. Se x = 3 ± 0,0 1 e y = 4 ± 0,01. conforme mostrado, com
aproxin1adan1ente qual precisão você pode calcular as
coordenadas polares r e fJ do ponto P(x. y) a partir das fórn1ulas ,:i. = x2 + ).2 e O= tg 1 (r/x)? Expresse seus cálculos
co1110 variações percentuais dos valores quer e(} possuem
no ponto (x0 ,y0 ) = (3, 4).
b. No ponto (x0 , y 0 ) = (3, 4 ). os valores der e fJ são mais suscetíveis a variações en1 :e ou a variações cm y? Justjfiquc sua
resposta.
58. P1·ojctando uma lata de refrigerante Urna lata de refrigerante padrão de 12 fl-o.: é essencialinente um cili11dro de raio
r = 1 pol. e altura h = 5 pol.
a. Com essas di111ensões, quão suscetível é o vol u111e da lata
a u1na pequena variação no raio contra uma pequena variação na altura?
b. Você poderia projetar urna lata de refrigerante que pareça
conter 1nais refrigerante. mas na verdade contenha as mesmas 12 noz? Quais poderiam ser essas dimensões? (Existe
n1ais de uma resposta correta.)
59. \ 7alor de um determinante 2 X 2 Se 1 a 1 é nurito n1aior que
1b 1.1 e 1e1d1, para qual dentre a, b, e e d o valor do determinante
a. Mostre que
dR =
b. Você projetou utn circuito com <lois resis1ores, co1no aquele que demonstrou ter resistências de R1 = 100 ohms e
Ri = 400 oluns, mas sempre existe n.lgu1na variação na
fabricação e os resistorcs recebidos por sua en1presa não
tedio provavehnente esses valores exatos. O valor de R será
mais suscetível à variação em R1 ou à variação em R2? Justifique sua resposta.
. .
.. ..
oll ..
R1 • .. R...:.·· ..
e. En1 un1 outro circuito. con10 aquele 1nostrado, você planeja
a.Iterar R 1 de 20 para 20. 1 ohms e R2 de 25 para 24.9 obnlS.
En1cerca de qual percentual essas alterações irão alterar R?
55. Você planeja ca.lcular a área de llln retângulo longo e fino a partir
de 1nedidas de seu compri1nento e largura. Qual din1ensâo você
deverá mensurar mais cuidadosan1ente? Justifique sua resposta.
56. a. Ao redor do ponto ( 1, 0), j(x, y) = .~(.Y + 1) é mais suscetível a variações en1 x ou a variações en1 y? Justifique sua
resposta.
b. Qual proporção de tlr para dy fará df ser igual a zero en1
b
j<'e
f(a, b, e, d) =
d
é mais suscetível? Justifique sua resposta.
60. Cálculo do er1·0 ntáximo Suponha que /1 = xeY + y sen z e
que x. y e= possan1 ser medidos con1 erros máximos possíveis
de ±0.2, ±0.6 e ±?r/180, respectivamente. Estime o erro niáxin10 possível no cálculo de /1 a partir dos valores mensurados
X= 2, )'=ln 3, Z = 1íf2.
61. Fórruula do ta rnanho do lote de Wilson A fórmula do tamanho do lote de Wilson na econotnia afirma que a quantidade 1nais econômica Q de bens (rádio. sapatos. vassouras, o que
quer que seja) para uma loja pedir é fornecida pela fórmula
Q = V2KM/ h. onde K é o custo do pedido, lvf é o número de
itens vendidos por semana e '1 é o custo de cstocagc111 sen1anal
para cada iten1 (custo do espaço, serviços, segurança e assim
por diante). Para qua.I das variáveis K, Me '1, Q é n1ais suscetível próximo do ponto (K0 . A10 , h0 ) = (2. 20, O.OS)? Justifique
sua resposta.
62. J\llcdíndo um ca1npo triangular A área de um triângulo é
( 1/2)ah sen e. onde a e b são os con1prirneotos de dois lados
do triângulo e C é a medida do ângulo formado por eles. Ao
aV'.il iur uma pi.anta triangular. você mediu a, b e C como sendo
150 pés. 200 pés e 60°. respectivamente. Qual será o erro do
cálculo da sua área se seus valores de a e b tiveren1 um erro
de meio pé cada e sua medida de C tiver urn erro de 2°? Veja a
figura a seguir. Lcn1brc-sc de utilizar radianos.
( 1, 0)?
1
57. Erro carregado na n1udança de coordenadas
{J
= 150 ± 2pé
)'
P(3±O.O 1. 4 ±O.OI)
C = 60º± 2º
1
b = 200±:; pé
-
Teoria e exemplos
o
3
63. A linearização de / (,.'1:, y) é uma aproximação do plano tangente
Mostre que o plano tangente no ponto P0(x0• y 0, j(x0• y0)) na
superficie z = j(x, y) definida por unia função diferenciável f
é o plano
264
Cálculo
65. Variação ao longo de uma hélice Encontre a derivada de
f(x, y, z) = x~ + _1..2 + z2 na direção do vetor tangente unitário
da hélice
ou
== J<xo.Yo) + f x<xo· Yo)(x - Xo) + f y<xo, Yo)(Y -Yol·
r(1) = (cos 1)i + (sen 1)j + 1k
Assim, o plano tangente em P0 é o gráfico da linearização de f
em P0 (veja a figura a seguir).
aos pontos onde / - -1Tl4, Oe 7T/4. A função f fornece o quadrado da distância de un1 ponto P(x, y, :) na hélice cm relação
à origen1. As derivadas calculadas aqui fornecem as taxas nas
quais o quadrado da distância está variando co1n relação a / à
rnedida que P se niove pelos pontos onde 1= - 7T/4. Oe 1Tf4.
66. Cun •as normais Uma curva l.isa é 11or111al a uma superfície
f(x, y, :) = e em um pooto de interseção se o vetor velocidade da curva é u1n 1núltiplo escalar diferente de zero de Vf no
ponto.
Mostre que a curva
.__z = /( x,y)
(xo, Yo• f(.~o• Yo))
z
1
•
1
:
1 1
1 1
1
1
1
1 1
1 1
z = L (x. y )
--:-,
----,-:--)'
1 1
l
1
r(t) = Vti + Vtj - ~(1 + 3)k
1
1
1
1
1
1
1
(xo• Yo)
é normal à superfície x2 + y 2 - == 3 quando 1 = 1.
1
1
1
1
X
64. Variação ao longo da involuta de uma circunferência Encontre a derivada de /(x, y ) = x 2 + y 2 na direção do vetor
tangente unitário da curva
r(t) = (cos 1+ 1scn1)i + (sen 1- 1 cos l) j , t > O.
67. Cun•as tangentes U111a curva lisa e1a11ge111e à superfície en1
um ponto de interseção se seu vetor velocidade é ortogonal a
Vfa li.
Mostre que a curva
r(l) = Vti + Vtj + (21 - l)k
é tangente à superfície x2 + y 2 - z = 1 quando 1 = 1.
Valores extremos e pontos de sela
14.7
Funções contínuas de duas variáveis assumen1 valores extremos em domínios
fechados e limitados (veja as Figuras 14.38 e 14.39). Veren1os nesta seção que podemos restringir a procura desses valores extremos exa1ninando as derivadas parciais
de primeira ordem das funções. Uma função de duas variáveis pode assumir valores extremos apenas nos pontos de fronteira do domínio ou nos pontos interiores
do domínio onde an1bas as derivadas parciais são zero ou onde unia ou ambas as
derivadas parciais não existe1n. No entanto. a anulação das derivadas etn un1 ponto
interior (a, b) nen1 sempre denuncia a presença de um valor extremo. A superfície
que é o gráfico da função pode ter o fonnato de uma sela aci1na de (a, b) e cruzar
seu plano tangente ali.
BIOGRAFIA HISTÓRICA
Sin1éon-Dcnis Poisson
( 1781-1840)
Testes de derivada para valores extremos locais
Para encontrar os valores extremos locais de uma função de un1a variável, procura1nos por pontos onde o gráfico tenha uma reta tangente horizontal. En1 tais
pontos, procuramos então por niáxi1nos e niínimos locais e pontos de intlex.ão. Para
utna função f(x, J') de duas variáveis, procuramos pontos onde a superfície z = f(x, y )
tenha um plano tangente horizontal. Nesses pontos, procuramos máximos e mínin1os locais e pontos de sela. Começan1os definindo máxin1os e mínimos.
DEANIÇÕES Seja f(x,y) definida e1n wna região R que contén1 o ponto (a, b).
Então
flGURA 14.38
A função
== (cosx)(cosy )e-V•'+y
1
tem u1n valor n1áxin10 de 1 e un1 valor
111ínin10 de cerca de - 0,067 na região
quadrada ~\'I :5 371'/ 2, lvl ~ 37T/2.
J. f(a, b) é u1n valor máxin10 local de f se f(a , b) > f(x, J') para todos os
pontos (x, y) do domínio etn un1 disco aberto centrado em (a. b).
2. f(a , b) é um valor mlnjmo local de f se f(a, b) S f(x, y) para todos os
pontos (x, y) do domínio cn1 LLn1 disco aberto centrado cm (a, h).
Capítulo 14 Derivadas parciais
265
Máximos locais correspondem a picos de montanhas na superfície == f(x, y)
e n1íojn1os locais corresponden1 a vales (Figura 14.40). Ern tais pontos, os planos
tangentes, quando existem, são horizontais. Extremos locais também são denominados extremos relativos.
Corno acontece co1n funções de urna variável. a chave para identificar os extremos locais é o teste da derivada de primeira orde111.
Máximo tocai
1/ não te1n valor superior próxirno)
j ~
'---'
FlGURA 14.39
A "superfície telhado"
Mínimo tocai
(j' não tem valor inferior próximo)
Un1 máxin10 local ocorre
c1n un1 pico da montanha e um míni1no local
ocorre e1n u111 ponto baixo de vale.
FIGURA 14.40
tem um valor 1náxin10 de Oe u1n valor míni1110 de - a na região quadrada lxl:; t1, l~~ :; a.
-•
l
Y..=o
itr
/
TEOREMA 10 - Teste da derivada de primeira ordem para valores extremos locais Se j(x, y ) tiver un1 valor de 1náxin10 ou mínin10 local em u1n
: = j(x. y)
iJf
-
ily
=O
~
1
g(x) = /Cx. b)
o
:_z
1
1
-- .....
X
FIGURA 14.41
ponto interior (a, b) do seu domínio e se as derivadas parciais de primeira
L orde1n existiren1 ali, então f :c(a, b) = Oe f ,..(a, b) = O.
,
h(y) =/ta. y)
------... "
(a. b,0)
Se f te111 um valor extremo local em (a, b), então a função g(x) = f(x, b) tem
wn valor extremo local em x = a (Figura 14.41). Sendo assim, g'(a) = O(Capítulo 4,
Teorema 2). Agora g'(a) = f :c(a, b); portanto f x(a. b) = O. Urn argumento semelhante
com a função h(v) = f(a, y) mostra que f y(a, b) = O.
Prova
Se substituirinos os valores J«a, b) = O e / .,(a, b) = O na equação
Se um máximo local de
f ocorre em x - a. y - b. então a1nbas as
derivadas parciais de primeira orden1
f .:(t1. b) e f,.(a. b) são iguais a O.
fia, b)(x - a) + fr(a. b)(y - b)- (z - f(a, b)) = O
para o plano tangente à superfície z = f(x, y) em (a, b), a equação se reduz a
O· (x - a) + O· (y - b) - z + /(a. b) = O
ou
z = f(a, b).
Dessa forma, o Teoren1a 1Odiz que a superfície tem de fato um plano tangente
horizontal em um extremo local, contanto que exista u1n plano tangente Já.
r-;EflNlÇÃO Um ponto interior do domínio de un1a função f(x,y) onde tanto
f y cotno f y seja1n zero ou onde f x ou f s ou ambas não existam é u1n ponto
crítico de f.
J
O Teorema 1Odiz que os únicos pontos onde uma função /(x, y) pode assumir
valores extremos são os pontos críticos e os pontos de fronteira. Como ocorre com
funções diferenciáveis de uma variável. ne1n todo ponto crítico é um extremo local.
Uma função diferenciável de unia variável pode ter urn pooro de inflexão. Unia
função diferenciável de duas variáveis pode ter un1 ponto de sela.
266 Cálculo
z
DEFJNIÇÃO
y
Uma função djferenciável f(x, y) posslÜ u1n ponto de sela ern
um ponto crítico (a, b) se ern todo disco aberto centrado em (a, b) existirern
pontos (x,y) do do1nínio onde f(x,y) >/(a, b) e pontos (x,y) do don1ínio onde
f(x, y) < f(a, b). O ponto correspondente (a, b, f(a, b)) na superfície z = f(X,J')
é denon1inado ponto de sela da superfície (Figura 14.42).
.IJ•(x2 _ y2)
... - ---'
.r + y~-
")
EXEMPLO 1
Encontre os valores locais de j(x,y) = x 2 +J,2 - 4y + 9.
Solução O domínio de fé plano inteiro (portanto. não existem pontos de fronteira)
e as derivadas parciais f y = 2x e/~= 2y- 4 existen1 en1 toda parte. Portanto, valores
extren1os locais poden1 ocorrer so1nente onde
f x= 2x = O e
f,. = 2y-4 = O.
•
A única possibilidade é o ponto (O, 2), onde o valor de fé 5. Como f(x. y) =
:x2 + (y - 2)2 + 5 nunca é menor que 5, vemos que o ponto critico (0, 2) fornece um
nlinimo local (Figura 14.43 ).
:: = )' ..' - )'4 - .l"'.'
FIGURA 14.42
Pontos de sela na origcn1.
15
10
EXEMPLO 2
Encontre os valores extrem.os locais (se exjstirem) de f(x,y) = Ji2 - x2•
Solução O domínio de f é o plano inteiro (dessa fonna, não existern pontos de
rronteira) e as derivadas parciais f x = - 2Y e /,, = 2y existen1 em toda parte. Sendo
assin1, extre1nos locais poden1 ocorrer somente na origen1 (0, 0), onde fx = Oe/,.= O.
Ao longo do eixo x positivo, entretanto, f te1n o valor f (x, 0) =-x 2 <O; ao longo do
eixo J' positivo, f te1n o valor /(O •.v) = J 2 > O. Portanto, todo disco aberto no plano xy
centrado e1n (0, O) contém pontos onde a função é positiva e pontos onde é negativa.
A função tem um ponto de sela na orige1n e nenhun1 valor extremo local (Figura
l4.44a). A Figura l 4.44b exibe as curvas de nível (elas são hipérboles) de f e mostra
a função decrescente e crescente de forma alternada entre os quatro agn1pamentos
de hipérboles.
O fato de que/., = f = O em um ponto interior (a, b) de R não garante que f
FIGURA 14.43 O gráfico da função
f(x, y) = ,,.i +y2 - 4y + 9 é un1 paraboloide
que possui um valor de n1íni1no local de 5
no ponto (0. 2) (Exernplo 1).
tenha uni valor extre1no local ali. Se f e suas derivadas de prin1eira e segunda ordens forem contínuas cm R, contudo, podemos aprender 1nais a partir do teorema a
seguir, provado na Seção 14.9.
TEOREMA 11 - Teste da derivada de segunda ordem para valores ext remos Locais Suponha que f(x, y) e suas derivadas parciais de prin1eira
e seglu1da orden1 sejan1 contínuas sobre um disco centrado en1 (a, b) e que
f ,. (a, b) = f,.(a, b) = O. Então
i) f ten1 um máximo local e1n (a, h) se!. .,< Oe f.rr(•r - Í.ry2 > O em (a. b).
ii) f tem um mínimo local em (a. b) se f ;o.> Oc ! ...{ .' '' - f .ry2 > O em (a. b).
iii) f tem um ponto de sela cn1 (a. b) se f ..xfJJ' - f,y <O em (a, b).
iv) o teste é inconcludente en1 ~ª· b) se fJ.,?. - f.,,.2 = Oem (a, b). Nesse caso, deve1nos encontrar outra maneira de detcrm1nar o comportamento de f em (a, b).
A expressão f .uf,,- f.~2 é chamada discriminante ou hessiano de/. Algumas
vezes, é mais fácil lembrar dela na fonna de detern1inante,
2 _
f \:!f ..1J' - f X)' -
Í XX
Í.tJ'
f .\)' J.IJ' •
Capítulo 14 Derivadas parciais
-- . - .
-, - \'2
.,.2
.
/
~ ,.
•
O Teorema 11 diz que, se o discri1ninante é positivo e1n un1 ponto (a, b), então
a superfície se curva da n1esma 111aneira e1n todas as direções: para baixo se f 0 . < O,
dando orige1n a um máximo local, e para cima se f .r.T > O, dando un1 n1íni1110 local.
Por outro lado, se o discriminante é negativo en1 (a, b), então a superfície se curva
para cin1a em algu1nas direções e para baixo e1n outras, tendo assi1n um ponto de sela.
EXEMPLO 3
Encontre os valores extremos locais da função
X
f(x . .") = -'Y - x 2 - J?- - 2x - 2y + 4.
(a}
f ere.,,,;;
267
Solução A função é defUlida e diferenciável para todo x e J'. e seu dornínio não ten1
pontos de fronteira. Portanto. a função tem valores extre1nos somente nos pontos
onde/..., e(,. são zero si1nultanean1ente. Isso resulta en1
f·
l'
f r= y- 2.x - 2 = O,
ou
-
x= y =-2.
/decrc~c
Portanto, o ponto (- 2, - 2) é o único onde f pode ter um valor extremo. Para
verificarmos se isso acontece, calcularnos
f :ex =-2'
f ..,.,. =-2,
O discrin1inante de f e1n (a, b) = (- 2, - 2) é
t Jcresc
Cbl
FIGURA 14.44 (a) A origen1 é um ponto de
sela da função f(x,y) =.1.2 - :r2. Niio cxiste1n
valores extremos locais (Exe1nplo 2).
(b) Curvas de nível parn a função f no
Excn1plo 2.
! .'<)' = 1.
!o:(,,. - f.'<).2 = (- 2)( - 2) - ( 1)2 = 4 - 1 = 3.
A combinação
/,_.!_,,. - 1.n.2 > o
Í x.r < o e
nos diz que f ten1 um 1náxin10 local e1n (- 2, - 2). O valor de f nesse ponto é
f (- 2, - 2) = 8.
EXEMPLO 4
Encontre os valores extremos locais de/(x •.v) = 3.1i2- 2y3-3x2 + 6xy .
Solução Con10 fé diferenciável en1 toda parte, pode assun1ir valores ex'tremos so-
1nentc onde
f ., = 631- 6x= O
e
f ,.= 6.v - 6y2 + 6x = O.
A partir da prin1eira dessas equações encontramos x = y, e a substituição por y
na segunda equação então nos dâ
6x - 6x2+ 6x = O ou
10
Os dois pontos críticos são, portanto, (O. O) e (2. 2).
Para classificar os pontos críticos, calculamos as seg11adas derivadas:
f x.r = - 6,
-
_ _,_,.r
3
.
2
3
X
AGURA 14.45 A superfície z = 3y 2 2,1J - 3x2 + 6xy tem u1n ponto de sela na
origcn1 e uni máxin10 local no ponto (2, 2)
(Exemplo 4).
6x(2 - x) = O.
JJ,. = 6 - 12.v,
!..,. = 6.
O discri1ninantc é dado por
1)•
f XXf ),. - ! .t)'2 = (- 36 + 72J') - 36 = 72'··V
No ponto crítico (O. 0) ven1os que o valor do discriminante é o número negativo - 72,
portanto a função tem um ponto de sela na origem. No ponto crítico (2, 2) ve1nos
que o disc1iminante te1n o valor positivo 72. Co1nbinando esse resultado com o valor
negativo da segunda derivada parcial f .u = -6, o Teorema 11 diz que o ponto critico
(2. 2) fornece un1 valor máxi1no local de f(2, 2) = 12 - 16 - 12 + 24 = 8. Un1 gráfico
da superfície é exibido na Figura 14.45.
268 Cálculo
Máximos e mínimos absolutos em regiões fechadas e limitadas
Organizamos a procura por extre1nos absolutos de un1a função contínua f(x.y)
cm uma região fechada e limitada R em três passos.
l . Liste os pontos interiores de R onde f possa ter máximos e 1ninin1os locais e
calcule/ nesses pontos. Esses são os pontos críticos de/.
2. Lisre os po111os da fronteira de Ronde J tem 1náximos e 1níaimos locajs e calcule
f nesses pontos. Mostraremos como fazer isso a seguir.
3. Procure nos listas pelos valores máximo e mínimo de f. Estes serão os valores
n1áximo e mínin10 absolutos de f em R. Como máximos e mínimos globais são
também máximos e niíoimos locais, os primeiros aparecetn em algum lugar das
listas construídas nos passos 1 e 2.
EXEMPLO 5
8 (0.9)
Encontre os valores máximo e minimo absolutos de
/(x, ;·) = 2 + 2x + 2y-.\.i - jl
na região triangular no pri1neiro quadrante limitada pelas retas x = O, y = O, y = 9 - x.
Co1no fé djferenciável, os únicos lugares nos quais f pode assumir esses
valores são pontos no interior do triângulo (Figura 14.46), onde /.t = f,.= O, e pontos
na fronteira.
(a) Pontos interiores. Para estes, temos
Solução
x=O
(1 • 1)
•
---+---V-=
~0----=111--- X
O
FIG URA 14.46
•
A(9.0)
Esta região triangular é o
f,.= 2 - 2x = O, !_,.= 2 - Zv = O,
resultando no único ponto (x, J') = ( 1, l ). O valor de/ ali é
dorninio da função no Exen1plo S.
f( I, 1) = 4.
(b) Pontos de fronteira. Consideramos um lado do triângulo de cada vez:
i. No segmento OA, y = O. A função
f(x, ,v) = /(x, O)= 2 + 2x - x 2
pode ser agora considerada uma função de x definida no intervalo fechado
O$ x $ 9. Seus valores extremos (como vimos no Capitulo 4) pode1n ocorrer
oas exlremídades
x = O onde
f (O, O) = 2
x = 9 onde /(9,0) = 2+ 18 -81 =-61
e nos pontos interiores onde/'~,., O) = 2 - 2x = O. O único ponto interior onde
f '(x, O) = Oé x = 1, onde
/(x. 0) = f( 1, O) = 3.
ü. No segn1ento OB, x = O e
f(x. y) = /(O,J') = 2 + 2y - J,2.
Sabemos pela si1netria de f em x e .I'. e a partir da análise que acabamos de
fazer. que os candidatos nesse segn1ento são
/(0,0) = 2, f(0,9) =- 61,
j(O, 1) = 3.
iii. Já lcvan1os c1n consideração os valores de f nas extren1idadcs de AB, assi1n
precisamos son1ente examinar os pontos interiores de AB. Con1 y = 9 - x ,
te1nos
f(x.y) = 2 + 2Y + 2(9 x) -,r2 - (9 - x)2 =- 61 + 18x - 2x2 .
Fazer f '(x, 9 - x) = 18 - 4x = O resulta
18
X=
9
4 = 2·
Capítulo 14 Derivadas parciais
269
Nesse valor de x,
e
f(x,y) =
1(%.%) = -1L·
Resumo Relacionamos todos os candidatos: 4. 2. - 61. 3. - (41 /2). O máximo é 4,
que f assume en1 ( 1, 1). O 1ninin10é -61, que f assume em (O, 9) e (9, O).
A resolução de problemas de valores extremos cotn condições algébricas nas
variáveis geralinente exige o método dos 1nulliplicadores de Lagrange, que será
inlroduzido na próxima seção. Mas às vezes podemos resolver esses problemas dircta1nente, como no exemplo a seguir.
EXEMPLO 6 U1na e1nprcsa de entregas aceita son1entc caixas retangulares cuja
soma do comprimento e cintura (perímetro de u1na seção transversal) não ultTapasse
108 pol. Encontre as dimensões de uma caixa aceitável de maior volwne possível.
Pcrímc1ro da scçiio
trans versal = di;tância
ao redor daqui
Solução Suponha que x, y e z representem o compri1nento, a largura e a altura da
caixa retangular, respectivamente. Então o perímetro da seção transversal é 2y + 2:.
Quere1nos n1aximizar o volume V = xyz da caixa (Figura 14.47) satisfazendo x +
2y + 2z = 108 (a 1naior caixa para entregas aceita pela empresa). Assim, pode1nos
escrever o volu1ne da caixa como uma função de duas variáveis:
\,-;: e
V(y,z) = (108 - 2y- 2z)yz
l
l Ol\ - 2 1• - ~
= 108.vz - 2y 2z - 2.vz 2 •
-
'
Fazendo as derivadas parciais de primeira orde1n iguais a zero,
V1.(y, =) = 108z - 4yz - 2z 2 =(108 - 4y - 2=)= = 0
FIGURA 14.47 Caixa no Exe1nplo 6.
V=(y. z) = 108y - 2y2-4y..: = (108-2)•-4z))1= 0,
te1nos os pontos críticos (0, O), (O, 54), (54. O) e ( 18, 18). O volun1e é zero e1n (O, O),
(O, 54), (54, O). os quais não são os valores máximos. No ponto ( 18, 18), aplica111os
o teste da derivada de segunda orden1 (Teorema L1):
.
V) ) ' = - 4z
V = - 4y
-
'
"'.i-: = l 08 - 4,v - 4=.
Então,
Portanto,
~~1(18, 18) =-4( 18) < O
e
[v,,.v== - v>\.r2Jci s. isi = 16( 18)( 18) - 16(- 9)2 > o
in1plica que ( 18, 18) fornece um volu111e niáxin10. As di1nensões da caixa são
x = 108 - 2(18) - 2(18) = 36 pol, y = 18 pol e= = 18 pol. O volwue 1náximo é
V = (36)(18)( 18) = 11.664 pol. 3 ou 6,75 pés3 •
Apesar do poder do Teorema 1O, insistimos na importância de lembrar de suas
limitações. Ele não se aplica a pontos de fronteira no do1nínio de uma função, onde
é possível que a função tenha valores extre1nos com derivadas diferentes de zero.
Também não se aplico a pontos onde/_. e f ,. não existen1.
270 Cálculo
Resumo dos testes máximos e mínimos
Os valores extremos de j(x, y) podem ocorrer so1nente em
i) pontos de fronteira do don1ínio de/;
ü) pontos críticos (pontos interiores onde f .r = / 1• = Oou pontos onde f .r ou / 1
não existem).
·
Se as derivadas parciais de prin1eira e segunda ordens de f fore1n contínuas en1 u1n
disco centrado em um ponto (a, b) e f .1 (a, b) = f ) ,(a, b) = O, a natureza de f(a, b)
pode ser testada com o teste da derivada de segunda ordem:
i) f xs < O e f xJ1,. - f ,..2 > Oem (a, b) == máximo local;
ii) f :cx > O e /.vxfJ:;,- f.~2 > Oen1 (a, b) == mínimo local;
iii) /'t:.1/ 1, . - f x.r1 < O em (a, b) == ponto de sela;
iv) f xxf v.•· - f xy2 =O e1n (a. b) == teste inconcludente.
Exerácios 14.7
Encontrando extremos locais
Encontre todos os niáxin1os locais. 1nínin1os locais e pontos de sela
nas funções dos Exercícios 1-30.
l. f (x. y ) = x2 + xy 1 ;il + 3x - 3y 1 4
2.
/(x, y) = 2xy - 5x2 - 2y2 + 4x + 4y- 4
3. f(x. y ) = x2 + -Ãy + 3x + 2y + 5
4. / (x, y ) = 5xy - 7x2 + 3x - 6y + 2
5. / (x. y ) = 2.\}' -x2 - 2y2 + 3x + 4
6. /(x, y) = x 2 - 4xy + y 2 + 6y + 2
7. /(x. y ) = 2.rl + 3xy + 4.v2 - 5x + 2y
8. / (x, y) = x 2 - 2l")' + 2y2 - 2l" + 2y + 1
9. /(x.y) = x2 y2 - 2x + 4y+6
J O. /(x, y) = x 2 + 2,:1·
11. J<x.y) = v~s6x-2---s.1-,2---1-6.-~---3-1 + 1 - 8x
12. /(x,y) = 1 -
\Y'.'"1 + y 1
13. /(x, y) = x 3 - y 3 - 2\r + 6
14. j(x. y) = x 3 + 3xy + .vl
15. j(x. y ) = 6.r2 - 2r3 + Jy2 + 6xy
16. f(x,y)=x1 + ,1;;~3.~ - J.i,Z - 8
28. f (x. y) = e'(x2 - .v2)
29. f(x. y) = 2 ln x + ln y - 4x - y
30. f(x. y) = ln (x + y) +x2 - y
Encontrando extremos absolutos
Nos Exercícios 31-38, encontre os n1áxin1os e n1ínimos absolutos
das funções nos domínios dados.
31. /(x. y) = 2r2 - 4x + y 2 - 4y + 1 na placa triani;,'lllar fechada e
limitada pelas retas x = O, y = 2. y = 2r no primeiro quadrante.
32. D(x, y) = x 2 - .'J' + y 2 ~ 1 na placa triangular fechada e lin1i1ada
pelas retas x = O. y .. 4, y = x no prí1neiro quadrante.
33. /(x, y) = -~ +.111 na placa triangular fechada e limitada pelas
retas x O, y O. y + 2x 2 no primeiro quadrante.
34. T(x. y) = x 2 + .ry + ),2 - 6x na placa retangular O < x < 5,
- 3 $ •l' $ 3.
35. T(x. y) = .~ + ·'J' + y 2 - 6x + 2 na placa retangular Os x s 5,
- 3sys0.
36. /(x. y) = 48xy - 32r3 - 24y2 na placa retangular O $ x ::; 1,
0 Sy S 1.
37. f(x. y) = (4x - x2) cos y na placa retangular 1 $ x $ 3.
-'TT/4 < y < TT/4 (veja a figura a seguir).
J 7. /(x, y) = x3 + 3xy2 - l Sx + y 3 - l 5y
18. /(x, y ) = 2\..l + 2;•1 - 9x2 + 3y2- 12y
19. /(x, y) = 4.\J' - x'1- y 4
20. j(x. y ) .. xi+ ),.i + 4.\:i'
1
2 1. f(x,y) = 2
•
X + J'- 22. j(X 11) = .!._ + X 1' + J_
'·
X
..
23. f (x. y) = y sen x
.l'
I'
24. j(x. y ) = e21-' cos y
25. f (x. y ) = ~ • _,.l 4"
26. f (x, y ) .. e' - ye•
27. /(x. y ) =e Y(xl + J.2)
38. j(x, .r) .. 4x - 8xy + 2y + 1 na placa triangular limitada pelas
retas x =O, y =O, x + y = 1 no prin1eiro quadrante.
Capítulo 14
,
}a (6 - x - x·) dx
tenha seu valor 1náximo.
40. Encontre dois números a e b com a ~ b. tais que
i
h
(24 - 2x - x 2 ) 113 dr
tenha seu valor n1áximo.
41. Ten1peratu ras Uma placa circular plana te1n o formato da região ,tl + 1 < 1. A placa, incluindo a fronteira onde x2 + y 2 = 1.
é aquecida de tal modo que a temperatura no ponto (x, y) é
T(x, y) = .\.i + 2y2 - x.
Encontre as temperaturas nos pontos niais quentes e niais frios
da placa.
42. Encontre o ponto critico de
f(x, y ) = xy + 2.\' - ln x2y
no primeiro quadrante aberto (x > O, y > 0) e mostre que f
assuinc um valor mínimo ali.
Teoria e exemplos
43. Encontre os 1náxin1os, 1nínin1os e pontos de sela de j(x, y). se
existiren1. dados
a. f r = 2x-4v
e
•
/,,= 2y- 4x
b. /, = 2x 2 e f,.= 2y - 4
e . f r =9x2-9 e f ,. = 2y + 4
Descreva seu raciocínio em cada caso.
44. O discriminante f
x.J,,. f ~ é zero na origem para cada uma
2
das funções a seguir. de n1odo que o teste da derivada de segunda orden1 falha. Deterrninc se a função tem uni máximo, un1
n1ini1no ou ncnhun1 dos dois na orige111. imaginando con10 é
a superfície: = f (x, y). Descreva seu raciocínio cm cada caso.
a. j(x. y) = x 2y 2
b. f (x. y) - 1 x2;,2
e. f(x, y) = x.1.l
d. f (x, y) • x3,1.2
e. f (x, y) = .t3y3
f . f(x. y) = x 4y1
Y..
45. Mostre que (0, 0) é um ponto critico de f(x, y) ,.(! + kxy +
não importando qual o valor da constante k. (Sugestão: considere dois casos: k = Oe k :#: 0.)
46. Para quais valores da constante k o teste da derivada de segunda orde111 gara11te que f(x. y) = .rl + kxy + _1>2 terá um ponto de
sela cn1 (O. O)? U1n máxi1no local cm (O, O)? Para quais valores
de k o teste da derivada de segunda ordem é inconcludente?
Justifique suas respostas.
47. Se f ,(a, b) = f,.(a. b) =O, f deve ter u1n valor máximo ou n1inimo local cn1 (a, b)? Justifique sua resposta.
48. Você pode concluir algo sobre f(a. b) se f e suas derivadas
parciais de primeira e segunda ordens forem continuas e1n um
disco centrado no ponto crítico (c1, b) e /~,(a, b) e JJ'."(a, b)
diferem no sinal? Justifique sua resposta.
49. Dentre todos os pontos no gráfico de: = 10 - x2 - J,2 que estão
acin1a do plano x + 2y + 3:: - O, encontre o ponto 1nais distante
no plano.
271
50. Encontre o ponto no gráfico de: = ,\:z + y 2 + 1O n1ais próximo
do plano x + 2y - z =O.
51. E11contrc o ponto 110 plano 3x + 2y + : = 6 que está mais próximo da origem.
52. Encontre a distância mini111a entre o ponto (2, - 1, 1) e o plano
39. Encontre dois números a e b com a ~ b tais que
r"
Derivadas parciais
.\' + y - :: = 2.
53. Encontre rrês nú111eros cuja soma seja 9 e cuja so1na de quadrados seja u111 niínimo.
54. Encontre três nú1ncros positivos cuja son1a seja 3 e cujo produto seja um máxí1no.
55. Encontre o valor n1áxin10 de s= ~:v + y.: + x:: onde x + y+: = 6.
56. Encontre a distância mínima entre o cone: = Yx 2 + y 2 e o
ponto (- 6, 4, O).
57. Encontre as dirnensões da caixa retangular de máximo volume
que pode1n ser inscritas dentro da csfcrd .rl + .1r2 t =1- = 4.
58. Dentre todas as caixas retangulares de volun1e 27 cm 3, qual é
a menor área de superfície?
59. Você construirá uma caixa retangular aberta a partir de 12 pés2
de material. Quais dimensões resultarão em urna caixa de 1náxin10 volun1c?
60. Considere a função f(x. y) = .rl + ),:i + 2.\:1• - x - y + 1 sobre o
quadrado O5 x ~ 1 e O~ y ~ 1.
a. Mostre que f ten1 u1n 1nínimo absoluto ao longo do seg1nento de reta 2.\' + 2y = 1 nesse quadrado. Qual é o valor
1nínin10 absoluto?
b. Encontre o valor mã.x_i1no absoluto de f sobre o quadrado.
Valores extremos cm cun11s parametrizadas Para encontrar os
valores extre1nos de un1a fttnção f(x, y) en1 uma curva x = x(t),
y = J~l). tTata1nos f como unia função da variável f e utili7a1nos a
regra da cadeia para encontrar onde dfldr é zero. Co1110 en1 qualquer
outro caso de un1a variável. os valores cxtrernos de f são então encontrados entre os valores nos
a. pontos criticas (pontos onde dfldr é zero ou não existe) e
b. pontos extremos do domínio do parâmetro.
Encontre os valores máxi1nos e mínilnos absolutos das seguintes
funções nns curvas dadas.
6 J. Funções:
a. f (x. y) = x f- y
b. g(x, y) = xy
e. h(x. y) = ü.l + ;.2
Curvas:
i) O sen1icirculo ),..l + y 2 = 4, y 2: O.
ii) O quarto de circunferência .r2 + y2 = 4. x 2: O, y 2: O
Utilize as equações paramétricas x = 2 cos t, y = 2 sen t.
62. Funções:
a. / (x. y) = 2x + 3y
b. g(x. y) = :1y
e. h(x, y) = .rl + 3y2
Curvas:
i) A sen1ielipse (.rl/9) + (1.2/4) = 1. y 2: O.
ii) O quarto de elipse (.A.l/9) + {114) = 1, x 2: O, y > O.
Utilize as equações paramétricasx = 3 cos t1 y = 2 scn t.
63. Funções f(x. y) ="'.V
Curvas:
i) A reta x = 21, y = t + 1.
ii)O segmcnioderetax = 2t. y t+ l, - 15tSO.
iii)O scgn1cnto de reta x = 2t, y = t + 1, O< 1 < 1
272 Cál.culo
64. funções:
a. /(x. y) = x2 + .v2
b. g(x, y) = l /(,r2 +.v2)
ou reta de tendência para os dados em estudo. Encontrar a
reta de n1inin1os quadrados pern1ite
l. resumir os dados com uma expressão simples:
Curvas:
i) A reta x = 1. •)'= 2 - 21
ii) O seginento de reta x = 1,
,. = 2 - 2t.
•
os; 1 s; 1.
65. Mínimos quadrados e retas de regressão Quando teotan1os ajustar uma reta y = llL" + b a um conjunto de pontos de
dados numéricos (x.,y 1), (x1,y2). •••, (x,,,y,,) (Figura 14.48),
.\"
y=111x+b
2. pn:ver valores de y para outros valores de x ainda não testados
experimentalmente:
3. manipular dados analiticarnenLe.
Nos Exercícios 66-68, utilize as Equações 2 e 3 paro encontrar a reta
de n1ínhnos quadrados para cada conjunto de pontos de dados. En1
seguida, utilize a equação linear obtida para prever o valor de y que
iria corresponder a x = 4 .
66. (- 2, 0).
(0, 2).
(2. 3)
67. (- 1, 2),
(O, 1).
(3, - 4)
68. (O, O).
( 1. 2).
(2. 3)
USO DO COMPUTADOR
o
Para ajustar uma reta a
pontos não colineares, escolhemos a reta
que minimiza a soma dos quadrados dos
desvios.
FIGURA 14.48
ger.iln1cnte cscolhen1os a reta que n1inin1iza a soma dos quadrados das distâ11cias vertic.'lis a partir dos pontos até a reta.
Em teoria. isso significa encontrar os v-.ilores de 111 e b que
minin1izan1 o valor da função
li'= (111." t + b - •V 1) 2 + ··· 1- (111."11 + b - Jn
" )2•
(1)
Mostre que os valores de 111 e b que fazem isso são
(2:x1) (2:Y.t) - 2:x.<YA
/1
Ili
2
("Zxk) - "Zx42
=
'
(2)
Nos Exercícios 69-74. você irá explorar funções para identificar
seus extremos locais. Utilize um SAC para executar os passos a
.
seguir:
a. Trace a função sobre o retângulo dado.
b. Trace algumas curvas de nível no retângulo.
e. Calcule ns deri vadas parciais de primeira ordem da função
e utilize o solucionador de equações do SAC para encontrar
os pontos críticos. Como os pontos críticos estão relacionados às curvas de nível representadas no item (b)? Quais
pontos cri1icos. se hou ver, parecem fornecer um ponto de
sela? Justifique sua resposta.
d. Calcule as derivadas parciais de segunda ordern da função
e encontre o discri111inante f j - f 2•
.t: ·' ''
,..,
e. Utilizando os testes de n1áxin10 e rninimo, classifique os
pontos críticos encontrados no item (e). Seus achados são
consistentes corn sua discussão no iren1 (e)?
69. f(x. y)=x2+y3 - 3.\y, - 5<x<5,
70. f (X. y) = .~
/1
3.ry2 + y 2 ,
- 5<y<5
-2 <X s; 2, - 2 S )' S 2
71. /(x.y)=.0 + .v2-8..T2 -6y + !6, -J,S;x<3. -6<y<6
b =
t (L Y4 -
Ili
L Xk ).
(3}
com todas as so1nas variando de k = 1 a k = n. Muitas calculadoras cientificas tên1 incltúdas essas fórn1ulas, per111itindo que
encontrernos '" e b con1 apenas alguns co111andos depois de
inseridos os dados.
A reta y = nLT + h detenninada por esses valores de 111 e b é
denominada reta de mínimos quadrados, reta de regressão
14.8
810GRAFLA HtSTÓRJCA
Joseph Louis Lagrange
( 1736- 18 13)
72. /(x. y) = 2Y' + .v'
-3/2 < y < 3/2
2x2 - 2y2 + 3. - 3/2 s ,y s; 312,
73. f(x. y) = 5x6 + l 8x5 -JOx-1 + JOxJ.2 - l 20x3, -4 < x < 3,
-2<
- ,,. s 2
. . _ {X$ln (x 2 + y 1 ).
74. /(.t,J) -
º·
- 2 <X S 2,
(x, y)
'* (O, 0)
(..r. y) = (0, 0) '
- 2 S •V S 2
Multiplicadores de Lagrange
Algun1as vezes, precisa111os encontrar os valores extremos de l1111a fw1ção cujo
domínio esteja restrito a algum subconjunto específico no plano - u111 disco, por
exemplo, unia região triangular fechada ou ao longo de u111a curva. esta seção,
explorare1nos lLn1 n1étodo poderoso para encontrar valores extre1nos de funções restritas: o 1nétodo dos 11111/tip/icadores de Lagrange.
Máximos e mini mos condicionados
Primeiro consideramos un1 problen1a onde uni rnínirno condicionado pode ser
encontrado elí1ninando uma variável.
Capítulo 14
Derivadas parciais
273
EXEMPLO 1 Encontre o ponto P(x,y. z) no plano 2x+;·-=-5 = Oque esteja mais
próximo à origem.
Solução O problen1a nos pede que encontremos o valor n1ínimo da função
-
IOPI = V(x - 0)2 + (y - 0)2 + (z - 0)2
=
Vx2 + y2 + z2
sujeita à restrição
2-r + J'- =- 5 =O.
Como 1õP1 possui u1n valor mínin10 onde a função
f(x. )', z) = x 2 + ; >2 + z2
possui um valor mínimo, podemos resolver o problen1a encontra11do o valor n1ínimo
de /(x, J', z) sujeita à restrição 2x + y- =- 5 = O (evitando assi1n raízes quadradas).
Se considerarmos x e ;1 como variáveis independentes nessa equação e escrevern1os
=como
z = 2x + y-5,
nosso problema se reduz a encontrar os pontos (x, y) nos quais a função
h(x. y) = f(x. y . 2x + ,v
5) = x 2 +Y. + (2Y +y
5)2
te1n seu(s) valor(es) mínimo(s). U1na vez que o doininio de h é todo o plano xy, o
teste da derivada primeira da Seção 14.7 nos diz que qualquer mínin10 que h possa
ter deve ocorrer nos pontos onde
h:r = 2x + 2(2x + .v- 5)(2) = O,
lz_1• = 2y + 2(2r + y- 5) = O.
lsso nos leva a
1Ox + 43 = 20,
1
4x + 4y = 10,
e à solução
5
X =
J'
5
.Y = 6.
Podemos aplicar u1n argun1eDto geo1nétrico co1n o teste da derivada segunda
para mostrar que esses valores 1nini1nizam li. A coordenada z do ponto correspondente no plano z = 2x + .v - 5 é
z
z=
2(t) + ~ -
5= -
~.
Sendo assi1n. o ponto que buscamos é
. . p(53• 6• - 5)6 .
Ponto 1na1s. prox1mo:
5
A distância entre P e a origem é 5/ \./6 ~ 2,04.
{- 1. o. 0)
(1.0.0)
As tentativas de resolver um problema de máxi1no e mínimo condicioDado através da substituição. como poderia1nos chrunar o método do Exemplo 1, ne1n sempre
funciona1n tão bem. Esse é u1n dos n1otivos para aprender o novo 1nétodo desta seção.
1
.\
I
xl -
~1 = 1
EXEMPLO 2 Encontre os pontos no cilindro hiperbólico x2 - z2 - 1 = Oque estão
. prox1mos
"' .
.
mais
a.. onge1n.
Solução 1 O cilindro é exibido na Figura 14.49. Buscamos os pontos no cilindro
FIGURA 14.49 Cilindro hiperbólico
x1 - ::2 - 1 = O no Exemplo 2.
n1ais próximos à origem. Esses são os pontos cujas coordenadas minimizrun o valor
da função
274 Cálculo
f(x. y, z) = x2 + ;.2 + : 2
Quadr.ulo d.1 Jrsl;Ínt:ia
sujeita à restrição x 2 - z2 - l = O. Se considerarmos x e y co1no variáveis independentes na equação da condição, então
z2 =x2 - l
e os valores de f (x, y, z) = x 2 + ;.2 + z2 no cilindro são dados pela fu nção
h(x, y) =x2 + jl + (x2 - 1) = 2x2 + y 2 -1.
Para encontrar os pontos no cilindro cujas coordenadas 1ninimiza1n /,procuramos os pontos no plano ·' Y cujas coordenadas minimizam h. O único valor extremo
de h ocorre quando
ou seja, no ponto (O, O). Mas não existen1 pontos no cilindro onde tanto x quanto y
sejan1 zero. O que deu errado?
O que aconteceu foi que o teste da derivada primeira encontrou (con10 deveria)
o ponto no do1nínio de h onde 11 tem L101 valor mini1no. Por outro lado. desejainos os
pontos no cilindro onde h tem um valor míni1no. Ainda que o domínio de h seja Lodo
o plano xy, o don1inio a partir do qual pode1nos selecionar as duas prirnciras coordenadas dos pontos (x, y, =)no cilindro é restrito à ·•sombra'' do cilindro no plano xy;
ele não inclui a faixa entre as retas x = - 1 ex = 1 (Figura 14.50).
Pode1nos evitar esse proble1na se tratarn1os .l' e z como variáveis independentes
(em vez de x e ; 1) e expressarmos x ern termos de y e z como
Cilindro hiperbólico x 2 - z 2 = 1
Nesta parte,
Nesta parte,
x = \fz2 + 1
z x = - -vz•
~
+ 1
/
\
x= I
y
x2=:2 + 1.
X= -J
Com essa substituição, f(x. y, z) = x2 + ;.2 + z2 se ton1a
k(y. ;:) = (z2 + 1) + ) 1 + z2 = 1 + .ii2 + 2z2
FIGURA 14.50 A região no plano
xy a partir da qual as duas primeiras
coordenadas dos pontos (x. y. z) no cilindro
hiperbólico x 2 - z2 1 são selecionadas
exclui a faixa - ! < x < 1 no plano xy
(Excinplo 2).
e procuramos os pontos onde k assu1ne seu menor valor. O do1ninio de k no plano
yz agora é o mesmo domínio do qual seleciona1nos as coordenadas y e z dos pontos
(x, y, :) no cilindro. Consequentemente, os pontos que n1inin1izan1 k no plano terão
pontos correspondentes no cilindro. Os 1nenores valores de k ocorre1n onde
~,. = 2y = O
e k== 4z = O,
ou onde y = z = O. Isso leva a
x2 =z2+1=1, x= ± I.
Os pontos correspondentes no cilindro são (±1, O, 0). Pode1nos ver a partir
dessa desigualdade
k(y. z) = 1 + y 2 + 2z2 > 1
2
.r -
z2 - 1 =o
\
(12
=o
que os pontos (±1, O, 0) fornecem un1 vaJor mínimo para k. Poden1os ainda ver que
a distância mínima entre a origen1 e un1 ponto no cilindro é 1 unidade.
Un1a outra forma de encontrar os pontos no cilü1dro n1ais próximos da
origem é i111aginar un1a pequena esfera centrada na orige1n que se expande con10
u1na bolha de sabão até tocar o cilindro (Figura 14.51 ). Em cada ponto de contato, o
cilindro e a esfer-cl têm o n1esn10 plano tangente e reta norn1al. Portanto, se a esfera e
o cilindro são representados como as superfícies de nível obtidas fazendo-se
Solução 2
f(x, y, z) = x 2 + j1 + z2
.r
FIGURA 14.51 Esfera se expandindo
corno uma bolha de sabão centrada na
origen1 até que toque o cilindro hiperbólico
x2 - : 2 - 1 = O(Exen1plo 2).
a2
e
g(x, )'. z) = x2
z2 - J
iguais a O, então os gradientes Vf e Vg serão paralelos onde as superfícies se tocam. Em qualquer ponto de contato, deven1os, portanto, conseguir encontrar um A
(''lambda") escalar tal que
'ilf = AVg
ou
2xi + 2yj + 2zk = A(h; - 2zk ).
Capítulo 14 Derivadas parciais
275
Assi1n, as coordenadas x, y e z de qualquer ponto de tangência terão de satisfazer as três equações escalares
2r = 2Àt,
2y = O,
2z = - 2Az.
Para quais valores de A um ponto (x, y, z) cujas coordenadas satisfaçan1 essas
2 - 1 = O? Para responder a
equações escalares tan1bé1n estará na superfície x2 - =
essa questão, utilizamos nosso conhecimento de que nenhut11 ponto sobre a superfície
tenha uma coordenada x zero para concluir que x :f:: O. Consequentc1nente, 2x = 2À~
son1entc se
2= 2A
ou
A= 1.
Para A = 1, a equação 2z = - 2Az se torna 2z = - 2z. Se essa equação também for
satisfeita, z deve ser zero. Como y = O ta1nbém (a partir da equação 2y = 0), concluí1nos que todos os pontos que buscan1os tê1n coordenadas da forma
(x, O, O).
Quais pontos sobre a superfície x 2 - z2 = 1 possuem coordenadas dessa fonna?
A resposta são os pontos {x, O, O) para os quais
x1 - (0)2 = 1, .t2 = 1
OU
X = ± 1.
Os pontos no cilindro mais próximos à orige1n são os pontos(± 1, O, O).
Método dos multiplicadores de Lagrange
Na Solução 2 do Exemplo 2, utilizan1os o método dos multiplicadores de
Lagrange. O 1nétodo diz que os valores extre1nos de uma função f(x. y. z) cujas
variáveis estejam sujeitas a uma restrição g(x, y. z) = O devem ser encontrados na
superfície g = O entre os pontos onde
\lf = A'Vg
para algum escaJar A (denominado 01ultiplicador de Lagrange).
Para explorar un1 pouco n1ais o n1étodo e vermos por que ele funciona , prin1eiro
fazen1os a seguinte observação, que enunciaremos co1no um teorema.
1 TEOREMA 12 - Teor-ema do gradiente ortogonal Suponha que f(x, .Y. z)
seja diterenciável e1n uma região cujo interior contenha uma curva lisa
C:
r(t) = g(t)i + h(t)j + k(t)k .
Se Po é Ul11 ponto CITI e onde f possua um n1áxin10 ou n1ínimo loca l relativo a
seus valores em C, então \1fé ortogonal a Cem P0 .
Prova Mostramos que 'V fé ortogonal ao vetor velocidade da curva cn1 P0. Os
valores de f em C são fornecidos pela composta/(g(I), h(I), k(t)) , cuja derivada con1
relação ar é
~ = í}j_ ~ + í}j_ 1J2. + í}j_ 15_ = \7 . V
dt
<Jx dt
ày dt
82 dt
f ·
E1n qualquer ponto P0 onde f tenha un1 n1áximo ou mínin10 local relativo a seus
valores na curva, d/ldt = O. portanto
'Vf · v = O.
Desconsiderando os termos e1n 2 no Teorema 12, obten1os um resultado sen1clhante para funções de duas variáveis.
276 Cálculo
COROLÁRIO DO TEOREMA 12 Nos pontos em uma curva lisa r(/) = g(t)i +
/r(t)j onde uma função diferenciável f(x, J') assume seus locais máxin10 e mínimo relativos a seus valores sobre a curva, Vf · v = O, onde v = drldt.
O Teore1na 12 é a chave para o método dos n1ultiplicadores de Lagrange. Suponha que f(x ,y, =)e g(x, y, z) sejan1 diferenciáveis e que P0 seja um ponto na superfície g(x, y, =) = O onde f tenha um va lor máxin10 ou mínin10 local relativo a seus
outros valores na superfície. Assurnimos ainda que Vg * Onos pontos na superfície
g(x, y. z) = O. Então f assurne um valor n1áximo ou 1nínin10 local em P0 relativo aos
seus valores em toda curva diferenciável passando por P0 na superfície g(x, y. z) = O.
Portanto, V fé ortogonal ao vetor velocidade de toda curva diferenciável desse tipo
que passa por P0 . O n1esn10 ocorre con1 Vg (un1a vez que Vg é ortogonal à superfície de nível g = O, confor111e vi111os na Seção 14.5). Portanto, e1n P0 , Vf é algu1n
múltiplo escalar A de \'g.
Método dos multiplicadoras de Lagrange
*
Suponha que f(x , ,\1, z) e g(r, y, =) sejam diferenciáveis e Vg O quando
g(x, y, z) = O. Para encontrar os valores máxi1no e 111ini1no locais de f sujeitos
à restrição g(x. y, z) = O (se existir), encontre os vaJores de x, J', z e A que satisfaçan1 si111ultanearncnte as equações
V/ = AVg
e
g{X,J',z) = O.
(1)
Para funções de duas variáveis independentes, a condição é sen1elhante, 1nas
sem a variável ;;.
Deve ser tomada certa cautela ao aplicar esse n1étodo. U111 valor extremo pode
não existir na verdade (Exercício 41 ).
EXEMPLO 3
y
Encontre o tnaior e o 1uenor valores que a função
,.2
___.....;Yi
..;;;2-r--~s + 2 = 1
..t~
f (x. y) = xy
assurne na elipse (Figura 14.52)
-t------t------t--+ X
o
FIGURA 14.52
2\/2
O Exen1pl o 3 mostra
Solução
Desejamos encontrar os valores extrernos de f(x,y) = xy sujeitos à reslriçào
g(x,y) =
y2
T + 2 - 1 = O.
2
como encontrar o maior e n1enor valores
do produto xy nessa elipse.
Para isso, primeiro encontramos os valores de x, y e À para os quais
\lf = A\ig
e g(x,y) = O.
A equação gradiente nas Equações 1 fornece
· + XJ·=À
·· .
4 XI. + l\yj
)'I
a partir da qual encontramos
À
y = 4x,
X= ÀJ'
de fonna que y = Oou À = ±2. Considera1nos agora esses dois casos.
Caso J : Se y = O. cotão x = y = O. Mas (O. O) não está na elipse. Consequentementc, .v *O.
Capítulo 14
y
.\')' = - 2
Çf
1 t- :!j
Derivadas parciais
277
Caso 2: Se y -:f:. O, então A = ±2 e x = ±2y. Substituir esses valores na equação
g(x, y ) = O fornece
(± 2y )2
1. -1 •
;; 1
J
8
,v2
4y 2 + 4_v 2 = 8
+ -2 = 1,
e
.v = ± L
~
A função f(x, y ) = -'Y, portanto, assume seus valores extremos na elipse nos quatro
pontos (±2, l), (±2, - 1). Os valores extren1os são .>:J•= 2 e.\y=-2.
xy= 2,..
'xy = - 2
Quando sujeita à
restrição g(,Y, y ) x 218 + jl/2 - 1 O.
a função f (Y, y ) = xy assume valores
fIGU RA 14.53
extremos nos quatro pontos (±2. ± 1).
Esses são os pontos na elipse quando Vf
(azul) é un1 n1últiplo escalar de Vg (preto)
(Exen1plo 3).
Geometria da solução As curvas de nível da função f(x , .v) = -'J' são as hipérboles xy =e (Figura 14.53). Quanto mais distantes as hipérboles estão en1 relação
à origem, maior o valor absolu10 de /. Desejamos encontrar os vaJores extremos
de f (x, y ), dado que o ponto (x. y) tambéD1 está na elipse x2 + 4y 2 = 8. Quais hjpérboles apresentando interseção con1 a elipse estão n1ais distantes da orige1n? As
hipérboles que sornente tocam leven1ente a elipse, aquelas que são tangentes a ela,
são as mais distantes. Nesses pontos, qualquer vetor normal à hipérbole é normal
à elipse, de fonna que Vf = yi + xj é um múltiplo (À = ±2) de Vg = (x/4)i + yj . No
ponto (2. l), por exemplo,
vg = 2I 1. + J.
e
V/ = 2Vg.
..,
vg = - I .t + J.
e
V/ = -2Vg.
V/ = i + 2j,
t'7
No ponto (- 2, J),
V/ = i - 2j ,
2
Encontre os valores máxi1no e 1nini1no da função f (x, y ) = 3x + 4y
na circunferêncja x2 + )?- = 1.
EXEMPLO 4
Solução Modelamos isso como u1n problen1a de 1nultiplicadores de Lagrange com
f (x. y ) = 3x + 4;1. g(x. J') = x2 + r - 1
e procuramos pelos valores de x, J' e À que satisfaçam as equações
3i + 4j = 2rAi + 2yAj
V/ = AVg:
g(x. y ) = O:
x2 + >?- - l = O.
A equação gradiente nas Equações 1 in1plica que A =F Oe nos dá
3
X =
2A'
Essas equações nos dizen1, entre outras coisas, que x e .Y possue1n o mesmo
s Lnal. Com esses valores para x e J', a equação g(x, y) = Onos dá
(3) + (2)
2
2
À
2A
- I = O,
.
assnn
9 + 16 = 4A 2 •
4A2 = 25
.Dessa fonna,
X =
-
3 = ±3
2,\
2
4
= ±A
5'
V = -
•
5'
e f(x . .Y) = 3x + 4y tem valores extremos cm (x, y) = ±(3/ 5, 4/5).
Calculando o valor de 3x + 4,v nos pontos ±(3/5, 4/5), ve1nos que seus valores
n1áxin10 e mínin10 na circunferência x 2 + = 1 são
r
25
= --.s = 5
e
278 Cálculo
~,
Get>metria da solução As curvas de nível de j(x, y) = 3x + 4;1são as retas 3x + 4;1= e
(Figura 14.54). Quanto mais distantes as retas estão en1 relação à origen1, maior o valor
absoluto de /. Deseja1nos encontrar os valores extremos de f(x, .v), considerando
que o ponto (x,y) também está na circunferência x2 + y2 = l. Quais retas apresentando interseção com a circunferência estào 1nais distantes da oiigen1? As retas tangentes à circunferência estão mais distantes. Nos pontos de tangência, qualquer vetor
norn1al à reta é nom1al à circunferência, de forma que o gradiente Vf = 3i + 4j é u1n
múltiplo (A= ±5/2) do gradiente Vg = 2xi + 2J1j . No ponto (3/5, 4/5), por exemplo,
r
• 1
y
3x + 4y = 5
""'~ 3x + 4y= -5
FIGURA 14.54 A função J(x,y) = 3x + 4y
assu1ne seu maior valor na circunferência
uni 1ária g(x. y) ~ .\.i + y 2 - t Ono ponto
(3/5, 4/5) e seu 1nenor valor no ponto
(- 315. - 4/5) (Exeniplo 4). Etn cada um
desses pontos, Vfé un1 1núltiplo escalar
de Vg. A figura mostra os gradientes no
primeiro ponto, mas não no segundo.
82
..,f
3· + 4J,
·
v = 1
..,
6.+S
8 J.
vg = S 1
e
..,!
5 ..,
v =
vg.
2
Multiplicadores de Lagrange com duas restriçâes
Muitos problemas exigem que encontren1os os valores exiremos de unia função
diferenciável f(x, y , :) cujas variáveis estão sujeitas a duas restrições. Se as restrições são
g 1(x, )'·:) = O e
g2(x, y . z) = O
e g 1e g 2 são diferenciáveis, con1 Vg1não paralelo a Vg2, encontramos os máximos e
n1ini1nos locais condicionados de f introduzindo dois n1ultiplicadores de Lagrange
A eµ. ("mi"). Ou seja, local iz.a1nos os pontos P(x, y , z) onde f assun1e seus valores
extre111os condicionados encontrando os valores de x, y. :. À e µ. que simultaneamente satisfazem as equações
=o
/
e
FIGURA 14.55 Os vetores Vg 1 e Vg 2
estão em tun plano perpendicular à curva
C porque Vg 1 é normal à supcrflcic g 1 = O
e Vg 2 é normal à superflcieg 2 = O.
(2)
As Equações 2 possuem uma interpretação geométrica interessante. As super-
fícies g 1 = Oe gl = O se interseciona1n (geralmente) em uma curva lisa, digamos
C (Figura 14.55). Ao longo dessa curva, buscamos os pontos onde f possui valores 1náximo e mínimo locais relativos a seus ou1:ros valores na curva. Esses são
os pontos onde 'i/fé normal a C, conforme vi1nos no Teoren1a 12. Mas Vg 1 e Vg2
são lambé1n normais a e nesses pontos porque e está nas superfícies gl = oe g2= o.
Portanto, Vf está no plano determinado por Vg1e Vg2 , o que significa que Vf =
AVg1+ µ. 'i/g2 para algu1n A eµ.. Unia vez que os pontos que buscan1os tambén1 estão
em an1bas as superfícies, suas coordenadas dcve1n satisfazer as equações g 1(x, y . z) = O
e g 2(x, y, z) = O. que são as exigências restantes nas Equações 2.
EXEMPLO 5 O plano x + y + z = 1 corta o cilindro x 2 + .l,2 = 1 em uma elipse
(Figura 14.56). Encontre os pontos na elipse que estão o mais próxilno e o 1nais
distante da origern.
Solução Encontra1nos os valores extren1os de
f(x, y, z) = x 2 + .v2 + z2
(o quadrado da distância entre (x,y, :) e a origem) sujeitos às restrições
g 1(x, y,z) =x2+ y 2 - l = O
(3)
g 2(x..v. z) = x +y +z- 1 = O
(4)
A equação gradiente nas Equações 2, então, nos dá
\Jf = AVg, + µ.Vg2
2xi + 2yj + 2zk = A(2xi + 2;1j ) + µ.( i + j + k)
2xi + 2yj + 2zk = (2Ax + µ.) i + (2Ay + µ.)j + µ. k
Capítulo 14 Derivadas parciais
..
279
ou
T
Cilindro x 2 + y 2 = 1
2x = 2Ax + µ..
- -t-._;;,,;,:.:.:..·
2.v = 2Ay + µ..
2= = µ..
(5)
As equações esca lares nas Equações 5 resultam cn1
2'7 = 2,\x + 2z => ( 1 - ,\)x = z,
-- ...
2y = 2A;1+ 2z => ( l - ,\)y =
=·
As Equações 6 são satisfeitas sin1ultanean1ente se A = 1 e z = O ou A
(O, 1. 0)
r ---v
•
X
* 1 ex =
y = zl( 1 - À).
Então, se z = O. resoJver as Equações 3 e 4 simultaneamente para encontrar os
pontos correspondentes na eJipse nos dá os dois pontos ( l, O, O) e (O. l, 0). Isso faz
sentido quando você observa a Figura 14.56.
Se x = y, então as Equações 3 e 4 nos dão
Plano
x-? + x-? - 1 = o
.r+y +::= 1
x +.x+z- 1 = O
2x 2 = 1
x=±v'2
2
FIGURA 14.56 Na elipse onde o plano e
o cilindro se encon1ra1n, encontramos os
pontos mais próximo e mais distante da
origem (Exemplo 5).
(6)
-7= J - 2x
"'- -- 1 =F v'í.
Os pontos correspondentes na elipse são
Aqui, no entanto, precisamos ter cuidado. Ainda que tanto P1 quanto P2 forneça1n o máxi1no local de f na elipse, P2 está mais distante da origem do que P1•
Os pontos na elipse mais próximos da origem são ( 1. O. O) e (O, 1. 0). O ponto
na elipse mais distante da origem é P2.
Exercidos 14.8
Duas variáveis independentes com uma restrição
1. Extrentos em llma ellpse Encontre os pontos na elipse-~ +
2y 2 = 1 onde /(x, y) = xy tem seus valores extremos.
2. Extremos e1n llnta circu11ferê.ncia EnconLre os valores extren1os de /(x, y) = xy sujeitos à restrição g(x. y) = x 2 + y 2 - 1O= O.
3. Máximo cnt unta reta
Encontre o valor máxin10 de.f(x,y) =
49 - x2 - y 2 na reta x +· 3y = 1O.
4. Extrentos cnt uma reta Encontre os valores ex1ren1os locais
de /(x. y) = .1.iy na reta x + y = 3.
5. Mínimo condicionado Encontre os pontos na curva .\J.i = 54
n1ais prôxin1os à orige1n.
6. l\1ínin10 condicionado Encontre os pontos na curva .i:Zy = 2
1nais próxin1os da origen1.
7. Utilize o rnétodo dos tnultiplicadores de Lagrange para encontrar:
a. Minimo ent unia hipérbole O valor n1inimo de x + y.
sujeito às restrições ..\J' = 16. x > O, y> O.
b. Máxin10 en1 unia reta O valor ntáxirno de xy, sujeito à
restrição x + y 16.
Co111ente sobre a geometria de cada soluçiío.
8. Extremos em uma curva Encontre os pontos na curva
x2 + xy + y2 = 1 no plano .\I' que estão mais próximos e mais
distantes da origem.
9. Área de superfície rnínima com volume fixo Encontre as
dimensões da lata cilíndrica circular reta fechada de menor
área de superfície cujo volume seja l 67T cm3•
l O. Cilindro em uma esfera Encontre o raio e a altura do cilindro circular reto aberto de ntaior área de superfície que pode
ser inscrito em uma esfera de mio a. Qual é a maior área de
superficie?
11. Retângulo de 1naior área em unia elipse Utilize o 1nétodo
dos n1ultiplicadores de Lagrange para encontrar as dimensões
do relângulo de ntaior área que pode ser inscrito na elipse
xl! 16 + J;i/9 = 1 co1n lados paralelos aos eixos coordenados.
12. Retângulo de perhnetro ntais longo em uma elipse Encontre as dimensões do retângulo de 1naior pcrimetro que pode
ser inscrito na elipse .-r2/o2 + ):1/b2 = 1 corn lados paralelos aos
eixos coordenados. Qual é o maior perunetro'l
13. Extren1os en1uma circunferência Encontre os valores n1áximo e minin10 de x2 +y2 sLticitos à rcs1riçào x2 - 2\' + :l - 4y = O.
14. Extremos em unia circunferência Encontre os valores 1náxi1no e niinin10 de 3x - y + 6 sujeitos à restrição x2 + _,,i = 4.
15. For1niga e1n unta placa de 1netal A tentperatura e1n u1n
ponto (x, y) e1n uma placa de metal é T(x. y) = 4.xl - 4xy + y 2.
Uma fonniga sobre a placa anda ao redor de uma circunferência de mio 5 centrado na origen1. Quais são as 1e1nperaturas
mais alta e mais baixa encontradas pela formiga'?
16. Tanque de arn1azenamento mais barato Sua ernpresa foi
solicitada a proje1ar u1n tanque de annazenarnento para g-Js
liquefeito de petróleo. As especificações do cliente exigem um
tanque cilindrico co111 exlremidades he1nisféricas. e o tanque
deve ter capacidade para 8.000 m3 de gás. O cliente deseja
també1n utilizar a ntenor quantidade possivel de material na
280 Cálculo
fabricação do tanque. Qual raio e qual altura você recomenda
para a parte cilíndrica do tanque?
Três variáveis independentes com uma restrição
então os diretores da empresa quere111 maximizar U(x,y), dado
que ax + by = e. Dessa fom1a, eles precisam resolver uni proble111a típico de multiplicadores de Lagrange.
Suponha que
17. Mínima dist ância a um ponto Encontre o ponto no plano
x + 2y + 3z = 13 mais próxi1no ao ponto ( l, J, L).
18. l\:láxin1a distâ ncia a un1 ponto Encontre o ponto na esfera
x 2 + _,,i + z1 =4 mais distante do ponto ( l , - 1, 1).
19. Mínima distâ ncia à origem Encontre a mínima distância da
superfície x 2 - J,2 - =2 = 1 à origem.
20. J\ll lnima distância à origem Encontre o ponio na supcrílcic
.: = :r:y + 1 n1ais próximo da orige1n.
2 1. Míni1na distância à origem Encontre os pontos na superfície ::2 = xy + 4 mais próximos à origem.
22. J\1inirua distância à origem Encontre o(s) ponto(s) na superflcie xy.: = l 1nais próximo(s) à orige1n.
23. Extremos en1 uma esfera
niínimo de
Encontre os valores nláxin10 e
f(x, y . .:) = x - 2y + Sz
na esfera .,.:i + J,i I· z2 = 30.
24. Extremos cm un1a esfera Encontre os pontos na esfera x 2
+ y 2 + :2 = 25, onde /(:r:. y, .:) = x + 2y + 3z tenha seus valores
1náximo e nlinimo.
25. J\1inimizando uma soma de quadrados Encontre três núrlleros reais cuja soma seja 9 e a son1a de seus quadrados seja
a menor possível.
26. J\1aximizando um produto Encontre o n1aior produto que
os números positivos x, y e.: podem ter se x + y + z2 = 16.
27. Caixa retangular de 1naior volume en1 unia esfera Encontre as dimensões da caixa retangular fechada co1n n1áximo volun1e que pode ser inscrita na esfera unitária.
28. Caixa com vé rtice e1n um plano Encontre o volu1ne da
n1aior caixa retangular fechada no primeiro octante, tendo três
faces nos planos coordenados e um vértice no plano xl t1 + ylb
+ zlc = 1. onde a > O. b > Oe e > O.
29. Ponto 01aís quente em ttma sonda espacial Uma sonda espacial no forn1aco do elipsoide
4x2 + y 2 + 4=2 = 16
entra na acmosfera terrestre e sua superfície começa a se aquecer. Depois de .1 hora, a tcn1pcratura no ponto (x, y, z) na superl1cie da sonda é
T(x, y, z) = &.~ + 4.vz - 16.: + 600.
Encontre o ponto n1ais quente na superfície da sonda.
30. Temperaturas extre1nas em uma esfera Suponha que a
temperatura cm Celsius no ponto (x, y, .:) na esfera x 2 + y 2 +
.:2 = 1 seja T = 400xJ·=2. Localize as temperaturas mais alta e
mais baixa na esfera.
31. J\llaxin1iza11do unia fttnção de utilidade: um exemplo da
econon1ia Na econo1nia, a utilidade das quantidades x c y
de dois bens capitais G1 e G2 é algumas vezes 1nedida por uma
função U(x. y ). Por exemplo, G1 e G2 poderia1n ser duas substâncias químicas que uma e1npresa farn1acêucica necessiia ter
em 1nãos e U(x. y), o ganho a partir da fabricação de um produto cuja síntese requer diferentes quantidades das substâncias quimicas, dependendo do processo utilizado. Se G1custa
a dólares por quilo, G2 custa b dólares por quilo e a quantidade
total alocada para a aquisição de G 1 e G2 juntos é e dólares.
U(x. y) = ·'Y + 2r
e que a equação ax -+ hy = e seja shnplificada para
2r+ Y "" 30.
Encontre o valor máximo de U e os valores correspondentes
de x e y sujeitos a essa última restrição.
32. Localizando um radiotelescópio Você está encarregado de
montar u1n radiotelescópio cm um planeta recé1n-descobcrto.
Para mini1llizar interferências. você deseja posicioná-lo onde
o campo magnético do planeta é 1nais fraco. O planeta é esférico, com u1n raio de 6 unidades. Com base e1n um sisten1a de
coordenadas cuja origem seja no centro do planeta, a intensidade
do campo magnético é fornecida por Jvf(x,y. z) = 6x - J.i +xz + 60.
Onde você deve posicionar o radiotelescópio?
Valores extremos sujeitos a duas restrições
33. Maxi111izc a função/(>:, y, z) "" .r2 + 2y- =2 sujeita às restrições
2r - y=Oey +z=O.
r
34. Mini1nize a função f(x. y. :) = :r2 + + z2 sujeita às restrições
x + 2y + 3z = 6 ex + 3y + 9.: = 9.
35. MJnima distância à origem Encontre o ponto mais próximo à origem na reta de interseção dos planos y + 2z = l2 e
x + y = 6.
36. Máxin10 valor na reta de interseção Encontre o valor máxin10 que f(x, y, :r) = .r2 + 2y - ::2 pode ter na reta de interseção
dos planos 2x - y = Oe y + .: = O.
37. Extremos em unia curva de interseção Encontre os valores
extre1nos de f(x, y. :) = ,,.iy.: + 1 na interseção do plano : = 1
com a esfera x2 +.vi- + .:2 = 1O.
38. a. i\'láximo en1 uma reta de interseção Encontre o valor
máx in10 de 11• = ·'Jiz na reta de interseção dos dois planos
X + .1' + Z = 40 e X+ .V - .: = 0.
b. Forneça u111 argu1nento geométrico para justificar sua afirmação de que você encontrou um valor rnãxi1no, e não oúnimo. de 11·.
39. Extren1os en1 uma circunferência de interseção Enconcre
os valores extremos da função f(x. y. z) = xy + :?na circunferência na qual o plano y - x "' O cruza a esfera x 2 + J,z + .:2 ~ 4.
40. t\'l ínima distâ ncia à origen1 Encontre o ponto n1ais próximo à origem na curva de interseção do plano 2y + 4z = 5 e o
cone =2 = 4x2 + 4Ji2.
Teoria e exemplos
4 1. A condição 'ílf • A.Vg não é suíiciente Ainda que Vf =A.Vg
seja uma condição necessária para a ocorrência de um valor extremo de f(x, y) sujeito às condições g(x, y) =O e Vg ~ O, ela
não garante por si só que ele exista. Con10 exen1plo. tente utili:zar o 1nétodo dos multiplicadores de Lagrange para eDcontmr
un1 valor n1ãximo de f(x, y) = x + y sujeito i\ rescrição xy = 16.
O método irá identificar os dois pontos (4, 4) e (-4, -4) como
candidatos para a localização de valores extremos. Ainda assinl,
a soma (x ~ y) não possui valor niâxin10 na hipérbole x;v = 16.
Quanto mais distante você vai con1 relaç.'io à orige1n nessa hipérbole no primeiro quadrante, maior fica a soma f(x,y) = x + y.
42. Plano de mioimos quadrados O plano z = Ax + By + C sera
"ajustado" aos seguintes pontos (xk,yk, .:k):
Capítulo 14 Derivadas parciais
(0,0.0),
(0.1,1)
( 1.1,1).
(1,0,-1).
Encontre os valores de A, B e C que 1nini1niza1n
4
L<Ax• + By1. + e - :Ãl2•
kz 1
a so1na dos quadrados dos desvios.
43. a. Máximo en1 uma esfera Moslre que o valor n1áximo de
a2b2cJ. en1 u1na esfera de raio r cenrrado na origen1 de um
sisle1na de coordenadas canesianas abc é (r2/3 )3 .
b. Médias geométrica e aritmética Utilizando o irem (a),
rnostre que, para nún1eros não negativos a. b e e,
b+e.
(a bc) 1/ 3 <- a + 3
.
ou seja, a 111édia geo111érrica de três nú1neros não negativos
é 1nenor ou igual à sua n1éflia ariflnérica.
44. Soma de produtos Sejam a., a 2, ..., an números positivos. Encontre o n1áxi1no de l: j. 1a,x1 sujeito à restrição~ 7. 1x/ - 1.
USO DO COMPUTADOR
Nos Exercícios 45-50, utilize urn SAC para realizar as seguinies
ciapas, in1plementando o n1éiodo dos n1ultiplicadores de Lagrange
para encontrar os extrc1nos condicionados:
14.9
281
a. Forme a função li = f - ,\ 1g 1- AiJI2, onde f é a função para
otin1izar sujeita às restrições g 1 = Oe g 2 = O.
b. Detern1ine iodas as prhneiras derivadas parciais de li, incluindo aquelas con1 relação a ,\ 1 e ,\ 2, e iguale-as a O.
e. Resolva o sistema de equações encontrado no ite111 (b) para
iodas as variáveis. incluindo A1 e ,\ 2•
d . Calcule f em cada un1 dos pontos de solução encontrados
no item (c) e selecione o valor ext.remo sujeito às restrições
solicitadas no exercício.
45. Minimize f(i:. y , :) = xy + yz sujeita às restrições x2 + y~ - 2 =
Oe x2 + z1 - 2 =O.
46. Minimize /(x. y. ;) = .\:\': sujeita às restrições .\.i + .1.i - 1 = O
cx - z = O.
47. Maximjze f(x. y . z) = x2 + ;.l + :2 sujeita às restrições 2y + 4:
- S = Oe 4.r2 + 4y2 - ::2 =O.
48. Minimize j(x. y, z) = x 2 + J,2 + :2 sujeita às restriçõesx2 - xy+
y2 - :2=0ex2 + y2 - 1 =O.
49. Minimize f(x. y, :, \I') = x2 + ; .2 + z2 + 11.2 sujeita às restrições
2x - )' + : - li' - 1 = 0 e X + )' - Z + lt' - 1 = 0.
50. Determine a distância entre a reta y = x + 1 e a parábola ),1 = x.
(Sugestão: seja (x, y) um ponto na reta e (11', ;) uni ponto na
parábola. Você deseja minimizar (x - 11')2 + (y - z)2.)
Fórmula de Taylor para duas variáveis
Nesta seção, utilizaren1os a fónnula de Taylor para obter o teste da derivada
segunda para valores extremos locais (Seção 14.7) e a fórmu la de erro para linearizações de funções de duas variáveis independentes (Seção 14.6). O uso da fórmula
de Taylor nessas deduções leva a urna extensão da fórmula que fornece aproxin1ações polinomiais de todas as ordens para funções de duas variáveis independentes.
Dedução do teste da derivada segunda
1= 1
S(" + li. b + k)
Segmento
parnmc1ri1.t1do
ernR \
(a+ Ili. h + lk).
,
.
Suponha que f(x, ,v) tenha derivadas contínuas en1 uma região aberta R contendo um ponto P(a. b) onde fx = J, = O (Figura l 4.57). Sejarn h e k incrementos
pequenos o bastante para colocar o ponto S(a + h, b + k) e o segmento de reta
ligando-o a P dentro de R. Parametrizamos o segmento PS co1no
um ponto 11p1co
X = a + th,
no segmento
y = b + tk,
0 ~ I < 1.
Se F(t) = /(a + t/J, b + tk), a regra da cadeia fornece
,
dx
dy
F (t) = f, dt + f y dt = hfx + k/,..
r= O
P(a.b)
Parte da região abena R
FIGURA 14.57 Con1eçarnos a dedução
do reste da derivada segunda ern P(a. b)
parametrizando um segmento de reta típico
de P até um ponto S próxirno.
Uma vez que /.t e f, ,são diferenciáveis (elas possuem derivadas parciais contínuas), F' é uma função diferenciável de / e
F" = a_F' !!!.. + àF' :!!:_ = l_ (hf + kf .) · '1 + l_ (hf + kf .) · k
ax dt
= '1
2
ày dt
iJx
Ju + 2hkfxy + k 2fJ:t"
x
J
iJ;1
.<
>
/, = f •
Uma vez que F e F' são contínuas em [O, 1] e F' é diferenciável em (0, 1). podemos aplicar a fórn1ula de Taylor com /1 = 2 e a = O para obter
F(l) = F(O) + F'(O)(J - O) + F"(c)
F(I) = F(O) + F'(O) + tF''(c)
0) 2
(1
2
(1)
282
Cálculo
para algun1 e entre Oe 1. Escrever a Equação 1 em termos de f nos dá
f (a + h, b + k) = / (a, b) + hf,(a, b ) + kfy(a , b)
+
t (h f xx + 2hkf.f). + k J),.)
2
.
2
(2)
(a+ ch. h+l'k)
Como f x(a , b) = f y(a. b) = O, isso se reduz a
f (a + h, b + k) - /(a, b) =
i (11 /.u + 2hkfn + k J,,)
2
2
. (3)
(a +t•f1, b + ck)
A presença de um extrerno de f em (a. b) é determinada pelo sinal de
f(a + h, b + k) - f(a. b). Pela Equação 3, isso é o mes1no que o sinal de
Q(c) = (h Jrx + 2hk/X). + 12/_~,.)I (a •ch. b 4 ck).
2
Agora, se Q(O) :F O, o sinal de Q(c) será o n1csmo que o sinal de Q(O) para
valores sufícienten1ente pequenos de h e k. Podemos prever o sinal de
(4)
a partir dos sinais de f n: e f_.0J~,. - f n,2 e1n (a, b). Multiplique ambos os lados da
Equação 4 por f .u e rearranje o lado positivo para obter
! ª Q(O) = (hfx.y + kfXJ.)2 + (fo:f,,.- f r.,.2)12.
(5)
A partir da Equação 5, ve1nos que
J.,,. -
1. Se f xx < O e f
f x,v2 > O e1n (a , b), então Q(O) < Opara todos os valor~s diferentes de zero sufic1enten1ente pequenos de h e k, e f tem u1n valor n1ax in10
local en1 (a, b).
2. Se f x., > O e f xxÍ n - / .11.2 > O e1n (a, b), então Q(O) > O para todos os valores
diferentes de zeró.suficlcnte1nente pequenos de h e k, e f te1n u111 valor 111íni1110
local e111 (a, b).
3. Se f xxf J,. - f n,2 < O cm (a, b), existem con1binações de valores diferentes de
zero arbltrarián1entc pequenos de h e k, para os quais Q(O) > O, e outros valores
para os quais Q(O) < O. Arbitraria111entc próxin1os ao ponto P 0(a , b, f(a, b)) na
superfície z = f(x, y ) existem pontos acin1a e abaixo de P0• de forma que f te1n
u1n ponto de sela en1 (a, b).
4. Se f x.J rv- f .n 2 = O, um outro teste é necessário. A possibilidade de que Q(O) seja
igual a·zero nos impede de tirar conclusões quanto ao sinal de Q(c) .
Fórmula de erro para aproximações lineares
Desejan1os Lnostrar que a diferença E(x, J') entre os valores de uma função
f(x, y ) e sua linearização l(x, J') em (x0, y 0 ) satisfaz a desigualdade
IE(x,.r)I < ÍM< lx - xol + l.v - roD 2.
Assun1in1os que a função f tcrn derivadas parciais de segunda ordem contínuas
por todo un1 conjunto aberto contendo u1na região retangular fechada R centrada em
(x0 ,y0 ). O número M é um limitante superior para 1
1.ul. lfY.1.I e lf.".•.I e1n R.
A desigualdade que desejamos ven1 da Equação 2. Substituín1os x0 e y 0 por
a e b, ex - x0 e y - y 0 por h e k. rcspectivan1ente, e rean·anja1nos o resultado con10
f (x ,y) = f(xo, yo) + f x(xo,yo)(x - xo) + f y(xo,yo)(y - Jlo)
hrn.:.1n1.:1~ ilo l ( t . 11
(.ro+c(x- xo). J\1+dy-_1•u))·
erro /:'( 1. 1 1
283
Capítulo 14 Derivadas parciais
Essa equação revela que
±
IEI :S (lx - xol 2 lf~xl + 2lx - xoll.v - J oll!.i:1·I + IY - Yol 2 1/>,.I).
1
Consequentemente, se M é um li1nitante superior para os valores de lful' lfx>J e
1 f~,,1 em R,
IEI <
t (lx - xol M + 2lx - xollY - Yo lA!f + IY - Yol M)
2
2
= ~ M(lx - xol + IY - Yol ) .
2
Fórmula de Taylor para funções de duas variáveis
As fórmulas deduzidas anteriorrnente para F' e F" poden1 ser obtidas aplicando
a f(x, y) os operadores
a + ka- ) 2= h 2 - a2 + 2hk a2 + k 2 - a2., .
ax
ày
ax2
ax iiy
é)_11-
( li ..E_ + k ..E....) e
ax
(h -
ay
Esses são os primeiros dois exen1plos de uma fónnula 1nais geral,
d"
( a
a
p(n)(t) = dt" F(t) = h iJx + k éiy
)nf(x ,y),
(6)
que diz que aplicar dnldt'' a F(t) nos fornece o mesn10 resultado que se aplicar o
operador
(
") )"
+ k .L.
h -é)
ª''
éJx
a /(x, y) após a sua expansão pelo teorema bino1nial.
Se derivadas parciais de f até ordem /1 + 1 forem contínuas sobre uma região
retangular centrada eln {a, b), podemos estender a fórn1ula de Taylor de F(t) para
F"(O) 2
F 1111(0)
t (1tl + resto
, t + ··· +
F(t) = F(O) + F'(O)t +
2
11 !
e tornarmos t = 1 para obter
F(I) = F(O) + F'(O) +
F"(O)
,,
-·
+ · ·· +
pl11)( o)
li!
+ resto
Quando substituímos as pri1neiras /1 derivadas à direita dessa últin1a série por
suas expressões equivalentes da Equação 6 avaliadas en1 t = O e adicionan1os o termo restante apropriado, chegamos à seguinte fórmula.
Fórmula de Taylor para /(x, y) no ponto (o, b)
Suponha que f(x, y ) e suas derivadas parciais até orden111 + 1 sejan1 contínuas sobre urna região retangular aberta R centrada
no ponto (a, b). Então, por todo R,
/(a+ '1,b + k) = /(a, b) + (hf" + kfv)lcu.bl + d! ('1 2/.cr + 2/ikf.,,, + k2f.,~·)l111.b)
1 ( ha + k-:a )"f
+ ~! ('1 3/.-.:xx + 3h 2k/u,i• + 3hk2f x..1y + k3f,,,,.)l(<1,b) + ... +-,
n.
ax
éJy
(11. h)
+
1
(n + 1) !
(11..E.... + k..!!_)n+IJ
ax
dJ'
.
lu+ch, h+t'k)
(7)
284 Cálculo
Os primeiros /1 tennos derivados são avaliados em (a, b). O último termo é avaliado en1 algum ponto (a+ eh, h + ck) no segmento de reta unindo (a, b) e (a+ h, b + k).
Se (a, b) = (0, O) e trata1nos h e k como variáveis independentes (denotando-as
agora por x e .v), então a Equação 7 assume a fornia a seguir.
Fórmula de Taylor para f (x, y) na origem
f(x,J 1) = f(O, O) + xf., + YÍ.v +
ft (x ft.t 2.xyf,.,, + y f,~.)
2
2
+
1
n
anf
+xiJ ,+nx
n.1 (
x
1
1
+ (n + J )!
(
x"+ 1
a''+11àx"
+t
•1)
ª"~_
+ (11 + 1~r"y éJx"ély + ... +y11+1 _
'lu"+ t
il''+1 1
"J
an1·
n-1
y
ilx"- 1iJy
+
(8)
(C.f. c;i·)
Os pri111eiros /1 termos derivados são avaliados em (O. O). O últirno termo é
avaliado em um ponto no seginento de reta unindo a origem e (x,_y).
A fónnula de Taylor fornece aproxin1açôes polinomiais de funções de duas
variáveis. Os pritneiros /1 termos derivados dão o polinômio; o último tern10 fornece
o erro de aproximação. Os três primeiros termos da fórmula de Taylor fornece1n a
linearização da função. Para melhorar a linearização, adicionamos tern1os de ordem
.
maior.
EXEMPLO1 Encontre u1na aproxin1açào quadrática para f(x, y) = seo x sen y próxima à origem. Qual é a precisão da aproxi1naçào se ~ri s; O, 1 e lYI s; O, 1?
S1lluçi o To1nan1os /1 = 2 na Equação 8:
f(X,JI) = f(O, 0) + (xf, + yf,.) + ~ (x 2/.u + 2'YÍ•:i- + )'2f,y)
Calculando os valores das derivadas parciais,
/(0, 0) = sen x sen Ylco, O)= O, f .tx(O, 0) = -sen x sen Ylco. O)= O.
f x(O, 0) = cos x sen J'l(o, OJ = O. f X),(O. O) = cos x cos Yl(o. O)= 1.
(l'(O. O) = sen x cos Yl(o. O> = O. /1~.(0, O) = - sen x sen Ylco. 01 = O.
temos o resultado
senxseny:::: O+ O + O+ ~(x 2 (0) + 21y(l) + y 2(0)) ou senx seny ~ xy.
O erro na aproximação é
E(x, }') = ~ (x / .t.t.-r + 3x .vf .-c..1y + 3xy f xyy + y
3
2
2
f,:,,,)1 <cx. <-rl.
3
As terceiras derivadas nunca cxceden1 1 em valor absoluto, porque são produtos de senos e cossenos. Ainda, ~ri < O, l e b'l < O, 1. Consequenten1ente,
IE(x,y)I
:si
((0,1) 3 + 3(0,1 )3 + 3(0, 1)3 + (0,1 )3 ) = ~ (0,1 )3 < 0,00134
(arredondado para ci1na). O erro não irá exceder 0,00134 se lxl <O, 1 e IYI <O, 1.
Capítulo 14
285
Derivadas parciais
Exerdcios 14.9
Encontrando aproximações quadráticas e cúbicas
Nos Exercícios 1-1 O, utilize a fórn1ula de Taylor para f(x. y) na origem para encontrar aproximações quadráticas e cúbicas de f próximas à origem.
1. j(x. y) = xe'
5. f(x. y) = e' ln (J + y)
2. f(x, y ) = e' cos y
6. f (x. y) ln (2x + y + 1)
3. J(x. y) = y sen x
7. J(x. y) = sen (x2 + .1.Z)
4. f (x. y) = sen x cos y
8. f (x, y) '"' cos (x2 + J,2)
14.10
9. f(x. )') = I _ X _ y
11.
10. j(x,y) = 1 -
1
X -
y + XJ'
Utilize a fórmula de Taylor para eneontrc1r uma aproximação
quadrática de f(x, y) = cos x cosy na origem. Calcule o erro na
aproxhnaçào se ~fl < O, 1 e bi < 0.1 .
12. Utilize a f6rinula de Taylor para cncon1rc1r uma aproxímação
quadrática de e' sen y na origem. Calcule o erro na aproximação se µ1 !:>0,1eb1i!:>0.1.
Derivadas parciais com variáveis condicionadas
Ao encontrar derivadas parciais de funções co1no 1v = f(x, y), assu1nimos que
x e y sejan1 independentes. E111 1nuitas aplicações. entretanto, esse não é o caso.
Por exemplo, a energia interna U de un1 gás pode ser expressa como un1a função
U = f(P, V, 7) de pressão P, volu1ne V e temperatura T. No entanto, se as 1noléculas
individuais do gás não interage111, P, V e T obedecem à lei do gás ideal (e são condicionados por ela)
PV = nRT (11 e R constantes)
e deixam de ser independentes. Nesta seção, aprendere1nos cotno encontrar derivadas parciais en1 situações como essa. que ocorren1 na economia, na engenharia e na
f1sica. *
Decida quais variáveis são dependentes e quais são independentes
Se as variáveis e111 uma função "' = f(x, y , z) são condicionadas por u111a relação
COn10 a imposta em X, J' e Z pela equação Z = x2 + T, OS significados geométriCOS e
os valores nun1éricos das derivadas parciais de f dependerão de quais variáveis são
escolhidas para sere1n dependentes e quajs são escolhidas para serern independentes. Para venuos con10 essa opção pode afetar o resultado, consideratnos o cálculo
de ô1v/ôx quando lV = x2 + J,.2 + z2 e= = x2 + _1i2.
EXEMPLO 1 Encontre 01.vfôx quando }V= x 2 + jl + z2 e z = _yi + jl.
Solução São dadas duas equações e quatro variáveis x, )'. z e 1v. Como 1nuitos sis-
te111as se1nelhantes, este pode ser resolvido para duas das variáveis (as variáveis
dependentes) en1 tennos das outras (as variáveis independentes). Aos sennos perguntados sobre Ôll•!ôx, somos informados de que 11' será uma variável dependente
e x un1a variável independente. As possíveis escolhas para as outras variáveis se
resurne1n a
Dependente
Independente
"''' :z
\V, JI
x,y
""') z
Em qualquer dos dois casos, podemos expressar 11' explicita1nente e111 tennos
das variáveis independentes selecionadas. Fazemos isso utilizando a segunda equação z = ;i.2 + y 2 para eliminar a variável dependente restante na primeira equação.
*Esta seção foi feita com base nas notas escritas por Anhur P. Maltuck para o MIT.
286
Cálculo
No primeiro caso, a variável dependente restante é z. Nós a elin1inamos da prin1eira equação substituindo-a por x1· + jl. A expressão resultante para 11• é
111 = x1 + J,2 + z2 = x2 + ),:1 + (x2 + J,2)2
= x2
+ y2 + x4 + 2x2y2 + y4
e
ÔH'
ax = 2x + 4x·1 + 4.\)'2 .
(1)
Essa é a fórmula para a1v!ax quando X e y são variáveis independentes.
No segundo caso, onde as variáveis independentes são x e z e a variável dependente restante é y, eliminamos a variável dependente J' na expressão para 111 substituindo Jll- na segunda equação por z - .il. Isso nos dá
H 1 = ,y2
+ _I J. + =2 = x2 + (= - .\.2) + z2 = Z + z2
e
--
-
éhv = O
-
ilx
,.' \' - (l
...- - ....
,
,
'- • ..\·- + .rp
.l
J~
1
' + y·' = 1
Cfr~ulo .r·
no plnno ~ = 1
y
FIGURA 14.58 Se P está restrito ao
paraboloide= = x 2 .._ ; .2, o valor da derivada
parcial de 1v = x1 + y 2 + z2 corn relação a x
em P depende da direção do movimento
(Exernplo 1). ( 1) Conforme x varia. com
y = O. P se n1ove para cit11a ou para baixo
da superfície na parábola== _,.i no plano
xy corn ô1v/ax = 2r + 4.rl. (2) Conforme
x varia. con1 z = 1. P se move sobre a
circunferência .r2 + 1.l = 1. z = 1 e a1v/ar = O.
·
(Z)
Essa é a fórmula para ô1vlõx quando x e= são variáveis independentes
As fórn1ulas para 0111/ox nas Equações 1 e 2 são genuinamente diferentes. Não
poden1os trocar u1na fórmula pela outra utilizando a relação z = .t2 + J~. Não existe
sorncnte uma õ1vlox; existen1 duas. e vemos que a instrução original para encontrar
fJ1vlox estava incompleta. Qual Õ11V'àx?, perguntamos.
As interpretações geométricas das Equações 1 e 2 nos ajudan1 a explicar por
que as equações diferen1. A função iv = x2 + J,J. + z2 111ede o quadrado da distância
do ponto (x, J'. z) à orige1n. A condição z = x 1 + j2 diz que o ponto (x, y, => está no
paraboloide de revolução ilustrado na Figura 14.58. O que significa calcular 011·/ox
em um ponto P(x.y, z) que pode se mover somente sobre essa superfície? Qual é o
valor de êhvlôx quando as coordenadas de P são, digan1os, (1 , O, 1)?
Se tornamos x e .l' independentes, então encontramos oivlox 111antendo y fixo
(em J' = O nesse caso) e pern1itindo que x varie. Consequente1nente, P se rnove ao
longo da parábola == x2 no plano xz. Conforme P se move nessa parábola, H', que
é o quadrado da distância entre P e a origem, muda. Calcula1nos 011•/ox nesse caso
(nossa pri111eira solução acima) co1no sendo
ª"'
- = 2x + 4x 3 + 4xy 2.
ax
No ponto P( 1, O, 1), o valor dessa derivada é
~
= 2 + 4 +o = 6.
ôx
Se ton1arrnos x e =independentes, então encontran1os Õivlôx n1antendo z fixo
enquanto x varia. Unla vez que a coordenada z de P é l, o x variando move P ao
longo de un1a circunferência no plano z = 1. Conforme P se move ao longo desse
círculo, sua distância da orige1n permanece constante, e 111, sendo o quadrado dessa
distância, não muda. Ou seja,
a~v = o
iJx
•
conforme observamos e1n nossa segunda solução.
Como encontrar õw/ àx quando as variáveis em w =f (x, y, z) sào
condicionadas por uma outra equação
Conforme vimos no Exemplo 1, u111 procedimento ti pico para encontrar 8111/ox
quando as variáveis na função 1v = f(x, y, z) estão relacionadas por outra equação
possui três passos. Esses passos se aplica1n para encontrar 0~1,!õy e êhvlõz da mesma
fo1ma.
Capítulo 14 Derivadas parciais
287
1. Decida quais variáveis serão dependentes e quais serão independentes.
(Na prática, a decisão é baseada no contexto físico ou teórico de nosso
trabalho. Nos exercícios ao término desta seção, diremos quais variáveis
serão dependentes e quais serão independentes.)
2. Eli111i11e a(s) outra(s) variável( is) dependente(s) na expressão para 111.
3. Derive como de costume.
Se não pudennos reaJizar o passo 2 após decidir quais variáveis são dependentes, diferencia1nos as equações conforme elas são e tenta1nos resolvê-las para ô1vlôx
posteriormenle. O próxirno exemplo rnostra corno isso é feito.
EXEMPLO 2
Encontre ô1vlôx no ponto (x, y. z) = (2, - 1, 1) se
1v = x 2 + .i.2 + z2,
=3 -.\)' + yz + J,3 = 1,
ex e y são variáveis independentes.
Não é conveniente eliminar z na expressão para'"· Portanto, diferenciamos
os dois lados de ambas as equações implicita1nente com relação a x. tratando x e y
con10 variáveis independentes e ~vez como variáveis dependentes. Isso nos fornece
Solução
~ 11 • = 2x + 2z !!!.
ax
éJx
(3)
e
2
az - y + y -=il.,.
+ O = O.
3z -
Dx
éJx
(4)
Essas equações podem agora ser co111binadas para expressar âivlâx em terrnos
de x •.v e z. Resolvemos a Equação 4 para ôzlôx para obter
az
)'
ãX = )' + 3z2
e substituímos na Equação 3 para obter
2yz
= 2x+--éJx
y + 3z2.
éJ1v
-
O valor dessa derivada c1n (x, y, z) = (2, - 1. 1) é
= 2(2) + 2( - 1)(1)' = 4 + - 2 = 3.
( éJ11·)
ôx (2.-1.1 )
-1+3(1)2
BIOGRAFIA HISTÓRICA
Sonya Kovalevsky
( 1850-1891)
Notação
Para mostrar que as variáveis são assun1idas independentes no cálculo de unia
derivada, podemos utilizar a seguinte notação:
ô1v/ôx com x e y independentes
(i)iv)
ax y
(?I)
()y x. I
ôflêJy con1X, )' e1 independentes
288
Cálculo
EXEMPLO 3
Encontre (àw/àx)r.= se iv = -~ + y- z + sen 1 ex + y = t.
Solução Com x, y, z independentes. te1nos
(ª''')
-iJ
X
)',:
2
111 = x
I = X+ y,
+ y - z + seu (x + y)
O + cos (x + y) -iJ
a. (x + )')
= 2x + O -
.i\
= 2.x + cos (x + y ).
Diagramas de setas
Para resolver proble1nas con10 o contido no Exe1nplo 3, geralmente ajuda iniciarmos con1 um diagran1a de setas, que 111ostra co1no as variáveis e funções estão
relacionadas. Se
11• = x
2 + y - z + sen t
e x ~y = I
e somos solicitados a encontrar ô1v/àx quando x, y e z são independentes, o diagra1na
apropriado é con10 este:
Para evitar confusão entre as variáveis independentes e intermediárias com os
mesmos non1es simbólicos oo diagra1na. ajuda muito se renomearmos as variáveis
intennediárias (de fonna que elas sejam vistas como funções de variáveis independentes). Assim, sejatn 11 = x, v = y e s = z as variáveis intermediárias renon1eadas. Com
essa notação. o diagrama de setas se torna
li
X
y
V
-+
w
s
z
(6)
I
\
\ :lfltl\ ets
1m~rmcd1an,1~
111.t~p~ntknr,.,;
Vun.1\ d
n,1\ c1;,
Jcrcntlcmc
.: rcl.1~,;c,
li
li
\
1
1
·'-
•
=\ 1 l
O diagrama mostra as variáveis independentes à esquerda, as variáveis intern1ediárias e sua relação com as variáveis independentes no 1neio, e a variável dependente à direita. A função 111 agora se torna
2
'" = 11 + v - s + sen t.
onde
li = X,
V = y,
s =z
e
t = x + y.
Para encootrar ô1vlôx. aplica111os a forma de quatro variáveis da regra da cadeia
para 111, guiada pelo diagra1na de setas na Equação 6:
Capítulo 14
dll' =
i:lx
Derivadas parciais
289
éJIV éJll + ÕH' àU + àll' f!§_ + éJ~V E!..
dll dX
dV i:Jx
ÕS fJx
ÔI dX
= (211)( 1) + (1)(0) + ( - 1)(0) +(COSI)( ! )
= 2u +COS I
= 2x + COS (X + JI).
Subs11111ind1> a~ 'a ria\"" 111dcpcndcntc>
onguiais 11
1e /
t + 1.
Exercidos 14.10
Encontrando derivadas parciais com variáveis
condicionadas
Nos Exercicios 1-3. con1ece desenhando un1 diagran1a que n1ostre
as relações entre as variáveis.
1. Se 11' = .\.i + y 2 + z2 e z = -~ + ).i, encontre
a.
b. (ih~·)
a~ "
('.iJyh"):
c. (
fornece ô1vliJx, dependendo de quais variáveis são escolhidas
como dependentes e quais variáveis são escolhidas como independentes. Identifique as variáveis independentes em cada un1
dos casos.
Teoria e exemplos
9. Estabeleça o fato, an1plamente utilizado na hidrodinã1nica. de
que. se j(x, y, :) = O. então
~~·) ,:
2. Se 11 ' = ..\.2 + y - : + sen te x + y = t. encontre
a. (~)
U)' .r.:
b.
e. (~)
():
(~"')
ily
d.
:.1
e.
X. l'
(ª"')
Õ:!
f,
''·'
(Qll'
)
ilt x.:
(ai;')
.
a ':
.~·.
3. Seja U = f(P, V, 7) a energia interna de um gãs que obedece à
lei do gás ideal PV = nRT(11 e R constantes). Encontre
a.
(~),,
b.
(~),,-
.l' =
X
- 1.
(Sugestão: expresse todas as derivadas nos termos das derivadas parciais formais õjlõx, àjlôy e iJjlàz..)
1o. Se z = x +/(11), onde /1 = xy, n1ostre que
éJ:
il:
x - - v-=x.
ilx · ~1·
*
(!!.!!:)
ilx ,.
b.
(~)
iJZ
Mostre que
(ª=)
I'
ay .t
no ponto (x, y, z) = (O, 1, 7T) se
li' = x2 + r 2 + :1
e y scn z + z. scn x =O.
5. Encontre
a.
(ily)
ãZ (ºz)
ãX
11. Suponha que a equação g(x. y, :) = Odetermina z con10 função derivável das variáveis independentes x e y e que g= O.
4. Encontre
a.
ilx)
(~
:
(Yf)
b.
<'.)' _'(
.t2J;z +
12. Suponha que/(x, y, :, 111) =O e g(x, y, :, 11•) =O. detern1ine z e
H ' corno fu11ções deriváveis das variáveis independentes x e y
flf éJg
iJf fig
--- #0 •
i:!= i:!1v
ih•· e):::
ª'' .
no ponto (1v. x. y, :) = (4. 2. 1. - 1) se
li' =
e
x2
+ ,,.i + z2 = 6.
Mostre que
6. Encontre (ôulôy)Ano ponto (11, u) = (Vi, 1). se x = 112 + u2 e
(~~))'
)' = llU.
7. Suponha que x2 + y 2 = 12 ex = r cos 9, como nas coordenadas
polares. Encontre
{Jr)
(
(~)n e ãX ,·
8. Suponha que
11' = x2 - y 2 + 4: + 1 e x + 2z + t = 25.
Mostre que cada uma das equações
(111·
-
ax
= .,~ - 1 e ~li'= 2x - 2
-
<)gj (Jz •
e suponha que
(~)
. .
3
,1·: - z
= - ilg/éiy
i:IX
uf ag
af ag
iJf iJg
af ag
af ilg
ilf i.lg
- - éhv
-iJx ihv
ax
- - ilw
-ÍJZ QIV
ô=
e
----i!z éJy
iJy f>z
(~) r =- iJ/ ilg
Ô)'
(J/
õg
- - a1v
-()z a1v
a:
.
290
Cálculo
Capitulo
Questões para guiar sua revisão
1. O que é u1na função real de duas variáveis independentes? E
de rrês variáveis independentes? Dê excn1plos.
2. O que significa conjuntos no plano ou no espaço serem aberros'! E fechados? Dê cxc1nplos. Dê cxcn1plos de conjuntos que
não são nem abertos nem fechados.
3. Como você pode mostrar os valores de uma função f(x, y) de
duas variáveis independentes grafican1ente? Con10 você faz o
nies1no para uma função /(x, y , z) de três variáveis independentes?
4. O que significa uma função f(i:, y) ter limite L quando
(x, y) _. (x0 , y 0)? Quais são as propriedades bãsicas de limites
de funçõe.s de duas variáveis independentes?
5. Quando u1na função de duas (três) variáveis independentes é
continua eLn wn ponto em seu domlnio? Dê exemplos de funções que são continuas en1 alguns pontos, 1nas não c1n outros.
6. O que pode ser dito sobre combinações algébricas e composras de funções contínuas?
7. Explique o teste dos dois ca1ninhos para a não existência de
limites.
8. Corno são definidas as derivadas parciais ôflàx e ôflôy de uma
função /(x, y)? Como elas são interpretadas e calculadas?
9. Como a relação entre as prin1eiras derivadas parciais e a continuidade das funções de duas variáveis independentes difere da
relação entre as primeiras derivadas e a continuidade para funções
re~is de uma variável independente? Dê uni exemplo.
1O. O que é o teorema da derivada n1ista para derivadas parciais
de segunda ordetn niistas? Con10 ele pode ajudar no cãlculo
de derivadas parciais de segunda ordcni e ordens 1nais altas?
Dê exemplos.
11. O que significa para uma função f(x, y) ser diferenciável?
O que o teore1na do incremento diz sobre a diferenciabilidade?
12. Como você pode algumas vezes decidir, ao examinar f x e/,,,
que uma função f(x, y) é diferenciável? Qual é a relação entre
a diferenciabilidadc de f e a continuidade de f eo1 um ponto?
13. O que é a regra da cadeia geral? Que fonna ela ton1a para
funções de duas variáveis independentes? E para três variáveis independentes? E para funções definidas em superfícies?
Como você representa através de um diagran1a essas diferentes fonnas'! Dê exen1plos. Qual padrão nos pennite len1brar de
todas as for111as diferentes?
Capítulo
14. O que é a derivada de unia função /(x, y) e1n un1 ponto P0 na
direção de uni vetor unitário u? Que taxa ela descreve'? Que
interpretação geornétrica ela possui? Dê exe111plos.
15. O que é o vetor gradiente de utna função diferenciável f(x, y)?
Como ele está relacionado às derivadas direcionais da função?
Estabeleça os resultados análogos para funções de três varhíveis independentes.
16. Co1no você encontra a reta tangente e1n u111 ponto em uma curva de nível de urna função diferenciável f(:r, y)? Co1no você
encontra o plano tangente e a reta norn1al em urn ponto en1 uma
superflcie de nivel de unia função diferenciável f(x. y. =)? Dê
exemplos.
17. Corno você pode utilizar derivadas direcionais para estin1ar a
variação?
18. Como você lineariza u1na função f(x, >» de duas variáveis
independentes en1 um ponto (x0, y 0 )? Por que você desejaria
fazer isso? Con10 você lineariza u1na função de três variáveis
independentes?
19. O que você pode dizer sobre a precisão de aproximações lineares de ftmções de duas (três) variáveis independentes?
20. Se (x,y) se move de (x0.y0 ) a um ponto (x0 + dx,y0 + dy) próxirno, como você pode estimar a variação resultante no valor de
tuna função diferenciável j(x, y)? Dê um exen1plo.
21. Corno você define m.áxin10 local, rnínimo local e pontos de
sela para urna função diferenciável /(x,y)? Dê exemplos.
22. Quais restes de derivada esrão disponlveis para determinar os
valores extrernos locais de uma função /(x, y)? Como eles nos
pennite1n litnitar a procura por esses valores? Dê exe1nplos.
23. Como você encontra os extremos de u1na fw1çâo continua f(x,y)
cm unia região 1in1itada fechada no plano -t:r? Dê um cxc1nplo.
24. Descreva o método dos multiplicadores de Lagrange e dê
cxen1plos.
25. Como a fórn1ula de Taylor para uma função /(x, y) gera aproximações polinomiais e esti1nativas de erro?
26. Se 111 = f(x, y. z), onde as variáveis x. y e z são condicionadas
por uma equação g(x, y, =l = O, qual é o significado da notação (Ô1v!ôx),? Con10 u1n diagrama de setas pode ajudar você
a calcular essa derivada parcial COlll variiíveÍS condicionadas?
Dê exemplos.
Exerácios práticos
Dominio, 1magem e curvas de nivel
Nos Exercícios 1-4. encontre o domínio e a image1n da função dada
e identifique suas curvas de nível. Esboce unia curva de njvcl típica.
1. f(x. y ) = 9x2 + .l;z
3. g(x, y) "' J/,9 •
2. J<x. yl = e....'
4. g(x, y) = V~x2--r
Nos Exercícios 5-8. encontre o dorninio e a in1agen1 da função dada
e identifique suas superfícies de nível. Esboce un1a curva de nível
ti pica.
5. /(x, y, .::) = x2 + _,;z - z
6. g(x. y, z) = A.2 + 4y2 + 9z2
7. h(x,y. .::) =
1
,
2
2
X
+ .J' + .::•
1
8. k(x,y,:r) =
X
2
2
,
+ y +::- +
Cálculo de limites
Encontre os li1nítcs nos Exercícios 9-14.
Capítulo 14
x 3y3 - 1
9.
10.
11.
lim
e-' cos x
(x, y)-•(1T. ln 2)
12.
2 + I'
+
li1n
C.r. rl~IO, OJ X
·
J"
X -
li111
13.
COS )'
•
~x. .,.)-0. U x· -
•
14.
.1· ·
li1n
(.t. 1•)-fl. I )
_,IJI -
f
li1n
lnlx + y + .:1
lim
tg- 1 (x + y + z)
P-(1, - 1. <'l
P-(1. 1. - 1)
Considerando diferentes caminhos de aproximação. mostre que os
limites nos Exercícios 15 e 16 não cxistc111.
15º ( lin~
1 \ 1>)
•• 1
-
• .,._,t
•
X2
I'
'
\"
-
2 -
16. i..1•1-lin140 Ili
y
1'T
'º
+ )'2
xv
••
17. Extensão contín ua Seja /(:e. y) = (x2 - ; '2 )/(x2 + y 2) para
(x. y) ~ (O. 0). É possível definir /(0, O) ele forma a tomar f
contínua na origem? Por quê?
18. Extensão conlínua Seja
lxl + IYI ~ O
lxl + l.vl
(x.y) = (O, O).
O,
fé coniinua na origern? Por quê?
Derivadas parciais
Nos Excrcicios 19-24. enc-0ntre a derivada parcial da funç;io com
relação a cada variável.
33. Encontre o valor da derivada de f (x, y, => = xy + y= + xz com
relação a / na curva x = cos t, y = scn t, ; = cos 2/ en1 / = 1.
34. Mostre que se 11• = f(s) é qualquer função difercnciâvel de se
ses= y + 5x. então
élw
-ax - 5 -iJy
iiw
t
ln (x 2 + y 2) + 1g- 1
2 1. /(Ri, Ri . R3) =
1
R.
f
1
1
+ /?;, + R
3
22. lt(x, y, z) = sen (2'1Tx + y - 3;)
11
23. P(n. R, T. V) =
24. f(r, /, T, 1v) =
= o.
Diferenciação implícita
Considcr.1ndo que as equações nos Exercícios 35 e 36 defíne1n )'
como uma função diferenciável de x. enco11tre o valor de d,yltlr no
ponto P.
35. 1 - x - y 2 - sen xy = O, P(O, 1)
36. 2ly + ett1•- 2 =O, P(O, ln 2)
Nos Exercícios 37-40, encontre as direções nas quais f cresce e
decresce mais rapidan1ente enl P0 e e11contre a derivada de f e111
cada direção. Encontre també1n a derivada de f em P0 na direção
do vetor v.
37. j(x. y) = cos x cos y. P0 ( '71"/4, '71"/4), v = 3í + 4j
38. f(x. y) = )..Ze- 2·''. Po( 1, O). V = i + j
39. f(x.y,.:)= ln (2x + 3y + 6z), P 0(- 1, - l, 1), v= 2i + 3j + 6k
40. f(x.y.z) =x2 + 3xy-z2+ 2y+; + 4. P 0 (0.0.0). v = i + j + k
41. Derivada na díreção da velocidade Encontre a derivada de
f(x. y, :) = xy: na direção do vetor velocidade da hélice
19. g(r,O) = rcosO + rsen9
20. /(x,y) =
291
Derivadas direcionais
sen(x - y)
f(x,y) =
Derivadas parciais
7,T (lei do gás ideal)
2~1 .jlv
Parciais de segunda ordem
Encontre as derivadas parciais de segunda orde1n das funções nos
Exercícios 25-28.
r (t) = (cos 3t)i + (sen 3t)j + 3tk
em t = 7T/3.
42. Derivada direcional máxinta
Qual é o n1aior valor que a derivada direcional de /(x. y, ;) = .\yz pode ler no ponto ( 1, 1, 1)?
43. Derivadas direcionais com valores dados No ponto ( 1, 2),
a função f(x.y) tem uma derivada de 2 na direção (2, 2) e un1a
derivada de - 2 na direção ( 1, 1).
a. Enconire f r ( 1. 2) e/,.( 1, 2).
b. Encontre a derivada de f em ( 1, 2) na direção do ponto (4, 6).
44. Quais das seguintes afirmações são verdadeiras se /(:r. y) é
diferenciável em (x0.y0)? Justifique suas respostas.
a . Se u é u1n vetor unitário, a derivada de f em (x0 , y 0 ) na
direção de u é (f.(x0 ,y0)i + / J,(x1i, y0)j ) · u.
X
b. A derivada de f en1 (x0 , y 0 ) na direção de u é um vetor.
•
e. A derivada de f cn1 (x0 , y0 ) te1n seu valor niais alto na dire-
25. g(x,y) = y + ii
26. g(x,y) = e' + ysenx
27. j(x,y) = x + xy - Sx 3 + ln (x 2 + 1)
ç.fío de '\f.
d. Ern (x0, y 0). o vetor V fé nonnal à curva f(x, y) = f(x0, y 0).
28. f(x ,y) = y 2 - 3.l J' + cosy + 7e'"
Gradientes, planos tangentes e retas normais
Cálculos com a regra da cadeia
Nos Exercicios 45 e 46, esboce a superfície /lT,J', :) = c juntamente
con1 '\if nos pontos dados.
29. Encontre d1vldt em t = O se 11• = sen (xy + '1T), x = e' e
45. x 2 + .r + :2 =O;
y = ln (1 + 1).
30. Encontre d11•/d1ern1 = 1 se 11• = xe•·+,l' sen z-cos ;, x = 2Vt.
y = t - 1 + ln te;= '1Tt.
3 1. Encontre éhi•Jôr e ô1v!ôs quando r = 1T e s = Ose 11• = sen (2x -y),
x = r + scn s,y=rs.
32. Encontre ô11t/ô11 e Ôlt'IÕV quando /1 = v =O se li'= Ln V 1 + x 2
- tg 1 X e X= 2e" cos V.
(0, - 1. ± 1),
(0. O, O)
46. .~ + z1 = 4; (2. ±2. 0). (2. O, ±2)
Nos Exercícios 4 7 e 48, encontre tnna equação para o plano tangente à superfície de nível f(x, y . z) = e no ponto P0 . Encontre tambérn
equações para1nétricas para a reta que é nonnal à superfície em P0 .
47. x 2 -y-5z = O,
P 0(2,-l. l)
48. x2 +y2+z= 4.
P0(1. 1.2)
292
Cálculo
Nos Exercícios 49 e 50. encontre uma equação para o plano tangente à superfície:: = f~r. y) no ponto dado.
49. : = ln (x2 + ;il).
b. Mostre que o erro percentual no valor calculado de= é 1nenor que o erro percentual no valor de y.
64. indice cardíaco
(0. 1. 0)
==
5o.
11<x1 +y 2>.
( 1, 1, 112>
Nos Exercícios 5 1 e 52. encontre equações para as retas tangentes e
normais à curva de nível f(x,y) =e no ponto P0 . Em seguida, esboce
as retas e a curva de nivel jw11as com Vf em P0 .
51. y-senx = I, P 0(7í, 1)
3
112
.:i:-,
52.
2 = 2· Po( 1, 2)
2-
Para comparar pessoas diferentes em estudos de débito cardíaco, pesquisadores dividiram o débito cardíaco mensurado pela ãrea da superfície corporal para encontrar o índice cardíaco C:
débi10 cardíaco
e = área da superficic corporal.
A área da superfície corporal 8 de urna pessoa com peso 11• e
altura h é aproxi1nada pela fórmula
Retas tangentes a curvas
B = 7 l ,8411.0A 2s1t0•72 $,
Nos Excrcicios 53 e 54. encontre equações pararnétricas para a reta
tangente à curva de interseção das superfícies no ponto dado.
53. Superfícies: ,\.2 .f 2y + 2: = 4,
Ponto:
(1, 1, 1/2)
54. Superfícies: x + .';i + :z = 2,
Ponto:
(112, l, 1/2)
y= 1
.v=I
Extremos locais
Linearizações
Nos Exercícios 55 e 56. encontre a lineari1..ação l(x. y) da função
f(x. y) no ponto P0 . E1n seguida, encontre un1 lin1itn11te superior
para a 1nagnitude do erro E na aproximação j(x. y) "' l(x, y) sobre
o retângulo R.
55. f(x,y)=senxcosy. Po(7T/ 4,7T/4)
R:
1'(
X -
-
4
:S 0, 1,
56. f(x. y) = xy - 3y2 + 2,
7r
11 -
.
que fornece B c1n ccntín1etros quadrudos quando 11• é n1edido
en1 quilogramas e h em centímetros. Você está prestes a calcular o índice cardíaco de uma pessoa com 180 cm de altura,
pesando 70 kg, com débito card íaco de 7 L/mín. O que terá um
efeito maior sobre o cálculo: um erro de 1 kg na n1edida do
peso ou un1 erro de l c1n na medida da altura?
-
4
:S Q 1
'
P0( 1, 1)
R: ~r - li::; 0.1, [1 1 - li s 0.2
Encontre as linearizações das funções nos Exercícios 57 e 58 nos
pontos dados.
57. f(x.y.z) = xy + 2y: - 3x:em(l.0,0)c(I, 1,0)
58. f(x,y, :) = v'2 cosxsen(y + z) en1(0. O. rr/ 4) e (TT/4,7T/ 4. 0)
Estimativas e suscetibilidade a variação
59. l\1edindo o volu me de uma tu bulação Você planeja calcular o volun1e dentro de un1 trecho de tubulação que tem cerca
de 36 pol. de diârnetro e 1 milha de comprimento. Con1 qual
n1edida você deve ter 1nais cuidado; o compri111ento ou o diâ111ctro? Por quê?
Teste as funções nos Exercícios 65-70 para máxin10 e 111ínimo locais
e pontos de sela. Enconrre o valor de cada função nesses pontos.
65. /(r, )') = .r2 - .')' + )'2 + 2Y + 2y - 4
66. f(x. y) = 5x2 + 4xy - 2y2 + 4.\· - 4y
67. j(x, y) = 2i:3 + 3xy + 2y3
68. f (x. y) = .r1 + y 3 - 3~\)' + 15
69. f(x, y) - .r3 + ),J + 3.r' - 3y2
70. /(x. y) = xJ - 8x2 + 3y2 - 6y
Extremos absolutos
Nos Exercícios 71-78, encontre os valores 1náxin1os e n1ínimos absolutos de f na região R.
7 1. f(x, y) = .r2 + xy + y 2 3x + 3y
R: A região triangular cortada do primeiro quadrante pela reta
x+y = 4
72. f (x. y) = .r-2 - y 2 - 2x + 4y + 1
R: A região retangular no primeiro quadrante limitada pelos
eixos coordenados e as retas x = 4 e y = 2
73. f(x. y) = ),2 X)' 3y + 2x
R: A região quadrada limitada pelas retas x = ±2 e y = ±2
60. Suscetibilidade a \'ariação f(x,y) = x2- .\'Y + ;il - 3 é mais
suscetível a variações e111 x ou a variações en1 y quando está
próxima do ponto ( l, 2)? Como você sabe?
74. f(x. y) = 2x + 2y- x2 -y2
6 1. Variação em un1 circuito elétrico Suponha que a corrente I
(em an1péres) cm u1n circuito elétrico esteja relacionada à voltage1n V (volts) e à resistência R (ohms) pela equação I = VIR.
Se a voltagem cai de 24 para 23 volts e a resistência cai de 100
para 80 ohn1s, /aumentará ou diminuirá? Em cerca de quanto'!
A variação e1n I é n1ais suscetjvel à variação na voltagen1 ou ã
variação na resistência'! Co1no você sabe?
62. Erro máxirno na estirnati\la da á rea de unia elipse Se
a = 1O cm e b = 16 cm ao milímetro mais próximo. qunl é o
erro percenn1al máximo que você pode esperar no cálculo da
área A = 7Tab da elipse .r2/a2 1;;J./b2 = 1?
63. Erro na estimativa de 11m produto Scjamy = 11v e:: = 11 + v.
onde 11 e v sejrun varüiveis independentes positivas.
a. Se /1 é medido co111 u1n erro de 2% e v c-0n1 um erro de 3°/o.
qual é o erro percentual aproximado no cálculo do valor de JI?
75. f (x. y) = .r-2 - J,2 - 2r + 4y
R: A região triangular limitada abaixo pelo eixo x. acinJa pela
reta J' = x + 2 e à direita pela reta x = 2
R: A região quadrada li1nitada pelos eixos coordenados e as
retas x = 2, y = 2 no primeiro quadrante
76. f(x, y) 4xy - .\A - y 4 + 16
R: A região triangular lín1itada abaixo pela reta y = - 2, ací111a
pela retay = x e à direita pela reta x = 2
77. f(x. y) = .t.J + y3 + Jxl - 3y2
R: A região quadrada deli1nitada pelas relas x = ± 1 e y = ± l
78. f (x. y) = .:r-3 + 3.\)' + ),3 + 1
R: A região quadrada deli1nitada pelas retasx =±1 ey = ± 1
Multiplicadores de Lagrange
79. Exircmos sobre u1na circu nferência Encontre os valores
extre1nos de f (x. y) = .r 3 + .1.2 sobre a circunferência ,,;i +y2 = 1.
Capítulo 14
80. Extremos sobre uma circ1u1fcrência Encontre os valores
cxtrc1nos de f(x. y) = xy sobre a circunferência .r2 + y 2 = 1.
81. Extren1os cm um disco Encontre os valores extremos de
j(x. y) = x2 + 3y2 + 2y sobre o disco unitário -".1 + .1.l s 1.
82. Ei"trcn1os cm uni disco Encootre os valores extremos de
f(x. y) = x2 + ),2 - 3x - -t:v sobre o disco .r2 + y S 9.
83. Extreo1os sobre uma esfera Encontre os valores extre1nos
de f(x, y. => = x - y +=sobre a esfera u11iuiria x2 + I + z2 = 1.
84. Oistância nlíni ma à origem Encontre os pontos sobre a superfície x 2 - .:!J' = 4 n1ais próxhnos da orige1n.
85. Minínli7,ando o custo de un1a caixa Unia caixa retangular fechada deve ter um volume V cm'. O custo do 1naterial
utilizado na caixa é a ccntavos/cn12 para a 1an1pa e o fundo,
b centavos/cm2 para a frente e a parte de trás e e centavos/c1n 2
para os lados restantes. Quais dimensões mini111izam o custo
total de materiais?
86. Volume mínimo Encontre o plano xla + y/b + zlc = 1 que
passe pelo ponto (2, 1. 2) e cone o volume n1ínin10 cio primeiro octante.
87. Extrco1os sobre u111a curva de interseção de superfícies Encontre os valores extren1os ele f(x. y, z) = xlv + =>
sobre a curva de interseção do cilindro circular reto x2 + ,V2 = 1
e o cilindro hiperbólico xz = 1.
88. Oistância mínin1a da origen1 até a curva de interseção de
um plano e um cone Encontre o ponto n1ais próximo à origem sobre uma curva de interseção do plano x+ y + z = 1 e o
cone =2 = 2x2 + 2y2•
Derivadas parciais com variáveis condicionadas
Nos Exercícios 89 e 90, con1cce desenhando um diagran1a que mostre as relações enlre as variáveis.
89. Se "" = x2e•-= e : = .\.2 - y 2. encontre
a.
(~)
•
:
b.
(~)
();
$
e.
(~) .
-
)
90. Seja U= /(P, V, 7) a energia in1crna de um gás que obedece ã
lei do gás ideal PI'= 11RT (11 e R constantes). Calcule:
a. (~~)p
b.(:~)T.
Teoria e exemplos
91. Sejan1 1v = f(r, O). r = Vx~ + y 2 e(} = tg- 1 (l'/x). Deten11ine ô1vlôx e éhvl~)' e expresse suas respostas e1n tern1os der e O.
92. Sejan1 z = /(11. v). 11 = ax + by e v = ax - by. Expresse z.T e z,.
e1n tern1os de f,,. f" e as constantes a e h.
93. Se a e b são constantes, w = 1r3 + tgh 11 + cos 11 e 11 = a:r + b)\
mostre que
Derivadas parciais
293
94. Utilizando a regra da cadeia Se 1v = ln µ.i + J,2 + 2:), x= r + s.
y = r - se== 2rs, calcule w, e 1v, através da regra da cadeia.
Em seguida, veri lique sua resposta de outra forn1a.
95. Ângulo entre vetores As equações e'' cos v - x = O e e'1 sen
v - y = O definem 11 e v como funções diferenciáveis de x e y.
Mostre que o ângulo entre os vetores
au . + flu .
ã_YJ
ã; •
e
i!u . + i!u .
ã; '
Õl' J
é constante.
96. Coordenadas polares e derivadas de segunda ordem
A inlroduçào de coordenadas polares x = r cos ()e J' = r sen fJ
altera /(.>:, y) para g(r, 0). Encontre o valor de ô2g/ô82 no ponto
(r, O)= (2, rr/2), dado que
fl 2/
é!x = ii; = ax2 = <Jy2 =
af
iJf
a21
naquele ponto.
97. Reta norn1al paralela a um plano
bre a superficie
Encontre os pontos so-
(y -1-:) 2 +(z-x)2 = 16
onde a reta normal é paralela ao plano y:.
98. Reta tangente paralela ao plano xy Encontre os pontos sobre a supcrficie
XI'
, + ,VZ + .:x - X -
=2 = Q
onde o plano langente é paralelo ao plano .\J'·
99. Q uando o vetor gradiente é paralelo ao vetor posição
Suponha que \7 f(x, y, =) seja sempre paralelo ao vetor posição x í + yj + zk. Mostre que /(O, O, a) = f (O. O, -a) para
qualquer o.
100. Derivada direcional unilatera.I en1 todas as direções, n1as
sem gradiente A derivada direcio11al u11ilateral de f e111
P (x0 ,y0• =0) 11a dire('<io u = 11 1í + 112j + 113 k é o número
Um fº(xo + s1q ,yo + su1, zo + s113) - j'(xo,yo, zo)
s-o·
s
Mostre que a derivada direcional unilateral de
f(x,y,=) =
Vx2 + J'2 + z2
na origem é igual a 1 em qualquer direção, mas que f não te1n
vetor gradiente na oríge1n.
1O1. Reta norn1al pela origen1 Mostre que a reta nom1al à superílcie .\)' ; == 2 no ponto ( 1, 1, 1) passa pela origem.
102. Plano ta ngente e reta oorn1al
a. Esboce a superficie x 1 - .v2 + ::2 = 4.
b. Encontre un1 vetor norn1al à superfície e111 (2, - 3, 3). Adicione o vetor ao seu esboço.
c. Encontre equações para o plano tangente e reta normal em
(2. - 3, 3).
294 Cálculo
Capitulo
Exercidos adicionais e avançados
Derivadas parciais
6. Supcrficie em coordenadas pola.res
1. Função con1 sela na origem Se você fez o Exercício 60 da
Seção 14.2, sabe que a função
J(r, 8) =
xi _ yi
!(X,)' ) =
.\J' ,
x- + )'
O.
2
•
sen6r
6r '
r :F O
1,
r =O,
(x.y) 7" (O. O)
onde r e (:} são coordenadas polares. Encontre
a. lim f(r, 8)
b. f , (0. O)
e. / 8(1: 9), r ~O.
r-o
(x.y) = (O, O)
(veja a figura a seguir) é continua cn1 (0, 0). Determine
f xy(O, O) e f,"'(O, O).
~ = f(r. 0)
Gradientes e tangentes
)'
7. Propriedades de vetores posição
r =
2. Encontrando uma função a partir de derivadas parciais
de segunda orden1 Encontre u1na função "' = f(x, y) cujas
derivadas parciais de primeira ordem são ôwlõx = 1 + e' cos y
e õiv!ôy = 2y - e' sen y e cujo valor no ponto (ln 2, O) é ln 2.
3. Un1a prova da regra de Leibniz A regra de Leibniz diz que
se fé continua etn [a. b] e se 11(x) e u(x) são funções diferenciáveis de x cujos valores estejam en1 [a, b], então
d {.u(.11
dv
du
- .
/(1) dt = j(v(x))7 - f(u(x))-l ·
l 1.X. uh)
uX
tX
r j(f) (/(,
J..
V
ti = rt(X),
u = v(x)
e calculando dgldx com a regra da cadeia.
4. Encontrando uma função com derivadas parciais de segunda ordem condicionadas Suponha que f seja un1a função
Jrl.
a. Mostre que \Jr = rir.
b. Mostre que v(r'') = nrn-lr.
e. Encontre un1a função cujo gradiente seja igual a r.
d. Mostre que r · dr = r dr.
e. Mostre que \J(A · r) = A para qualquer vetor constante A.
8. Gradiente ortogonal à tangente Suponha que uma função
diferenciável /(:r, y ) tenha o valor constante e ao longo de uma
curva diferenciável x = g(r), y = lt(r) ; ou seja.
para todos os valores der. Diferencie os dois lados dessa equação con1 relação a r para n1ostrar que Vf é ortogonal ao vetor
tangente da curva en1 todo ponto sobre a curva.
9. Curva tangente a un1a superficie Mostre que a curva
r(r) = (ln r)i + (1 ln r)j + rk
é tangente à superfície
duas vezes diferenciável der, quer = Yx 2 + r 2 + z2 e que
f n: + f,)' + f _ = o.
ra + b.
r(r) =
5. Funções hon1ogêneas Unia função f(x, y) é ho111ogê11ea tle
grau 11 (n um inteiro não negativo) se f(rx, ry) = 111/(x, y) para
todo r, x e y. Para uma tal função (suficie11te1nente diferenciável), prove que
fl/
;Jf
b. x
2
1f)
a
-:--z
(<Jx
xcy
(
l'vlostre que a curva
~ - 2)1+ (1 - 3 )j + cos (r - 2)k
é tangente à superfície
x3+.i,J+=3 - xyz=O
Clll (0, - 1, 1).
Valores extremos
a. X ÕX + )' ily = 11j(x, )')
2
/ ) + üy ( aa 3
.tr - )'Z + COS X)' = 1
enl (Q, 0, l ).
1O. Curva tangente a unia superficie
Mostre que para algumas constantes a e h,
f(r) =
Seja r = .\i + yj +i:k e seja
f(g(r), h(r)) = e
Prove essa regro defi1úndo
g(ll, V) =
Seja
(ª2!) =
+ y 2 :---.;
dy·
n(n -
1)/.
l 1. Extremos sobre un1a superfície Mostre que os únicos 1nâxin1os e 111ínin1os possíveis de z sobre a superfície z = x3 +
_r3 - 9.\J' + 27 ocorren1 cn1 (0, O) e (3, 3). Mostre que nem um
Capítulo 14
máxi1no nem um minirno ocorre em (0, 0). Deterinine se z tem
un11náxin10 ou un1 niínirno cm (3, 3).
.12. Má xin10 no primeiro quadrante fccb ado Encontre o valor
1náxi1no de /(x. y ) = fuJ•e <2.r+l.1•) no prin1eiro quadrante fechado (incluindo os eixos não negativos).
13. Mínimo volume cortado do primeiro octante Encontre o
01ínirno volume para tuna região Jirnitada pelos planos :r = O.
y =O, :!= Oe un1 plano tangente ao elipsoide
,
2
l
x· Y
"
-2 + -,+=,= 1
a
b- een1 um ponto no primeiro octante.
14. Distância mínima de unia reta a uma parábola no plano..\}'
Minirnizando a função f(x, y, 11, u) = (x - 11)2 + (v - 11)2 sujeita
ãs condiçõcsy = x + 1e11 = ,.i, encontre a distância 1nínin1a no
plano .'J' entre a rela y = x + 1 e a parábola y 2 = :r.
Teoria e exemplos
IS. Limitação das derivadas parciais d e prin1eira ordem implica contin1tidade Prove o seguinte teore1na: Se j(x. y) é
definida em uma região aberta R do plano ,1y e se f , e f . são
li1nitadas e1n R, então f(x, y ) é contínua en1 R. (A suposiç~o da
li1nitaçào é essencial.)
16. Suponl1a que r(1) = g(1)i + h(l)j + t."(1)k é tuna curva 1isa no
dorninio de u1na função diferenciável f(x, y, :). Descreva a
relação entre df/d1. V f e v = drldt. O que pode ser dito sobre
Vf e v em pontos interiores da curva onde f possui valores
extremos relativos a seus outros valores sobre a curva? Justifique sua resposta.
17. Encontrando funções a partir de derivadas parciais Suponha que f e g seja1n funções de x e y , tais que
e
e suponha que
(Jj
-iJx = O,
Derivadas parciais
29 5
ponto (x, y) no plano, mover-se na direção de máximo aumento da te1npcratura. Se a tcn1peratura c111 (x, y) é T(x. y) =
- e- 2Y cos x. encontre uma equação y = f(x) para o caminho de
UJ11a partícula atraída pelo calor no ponto (71'/4 , O).
20. Velocidade depois de um ricochete Unia partícula que viaja en1 linha reta corn velocidade constante i + j - Sk passa pelo
ponto (O, O. 30) e atinge a superfície z = 2.\.2 + 3y2. A partícula
ricocheteia na superfície o ângulo de ret1exão sendo igual ao
ângulo de incidência. Assumindo que não haja perda ele velocidade, qual 6 a velocidade da partícula depois do ricochete'!
Simplifique sua resposta.
21. Derivadas direcionais tangentes a uma superfície Seja S
a superfície que é o gráfico de f(x, y) = 1O - x2 - y 2• Suponha que a te1nperatura no espaço en1 cada ponto (x, y. :) seja
T(x.y,=) =.,.zy+.0: +4x+ 14y + =.
a. Entre todas as direções possíveis tangentes à supc1ficie S
no ponto (O, O. 10). qual direção tomará máxin1a a raxa de
variação de ten1pcratura en1 (0. O. 10)?
b. Qual direção tangencial a S no ponto ( 1, 1, 8) tomará n1áxima a taxa de variação da ternperatura?
22. Perfurando o solo Ern uma superfície plana de terra. geólogos fizeran1 u1n furo dircta1nente parJ baixo e atingira1n
un1 depósito mineral a 1.000 pés. Eles fi2era1n um segundo furo 100 pés ao norte do primeiro e a1ingiran1 um depósito mineral a 950 pés. Um terceiro furo 100 pés a leste
do p.rin1ciro furo atingiu o depósito rnineral a 1.025 pés. Os
geólogos têm motivos para acreditar que o depósito mineral tem o formato de uni don10 e. por razões de economia,
eles desejam descobrir onde o depósito está mais próximo da
superfície. Considerando a superfície sendo o plano xy, en1
qual direção a partir do prirneiro furo você sugeriria que os
geólogos fizesscn1 seu quarto furo'?
Equação do calor unidimensional Se 11·(x, 1) representa atemperatura na posição x no tempo 1 cm um fio uniforme con1 lados perfeitan1ente isolados, então as derivadas parciais "'.o e w, satisfa2e111
unia equação diferencial da forma
1
f( l ,2) = g( l , 2) = 5
e /(0, 0) = 4.
Encontre /(x. y) e g(x, y ).
18. l àxa de variação da ta.xa de variaçiio Sabemos que, se f (x, y)
é unia função de duas variáveis e se u =ai +- bj é uni vetor lll1itário. então D,j(x.y) = f ,(x,y)<1 + f,.( x,y)b é a taxa de variação
de /(t.y) em (x,y) na direção de u. Dê uma fórinula semelhante
para a taxa de variação da f(l.Xa de ''ariaç<io tle f (x, y) en1 (x, y)
na direção u.
19. Caminho de uma particula atraída pelo calor Uma partícula arraida pelo calor tern a propriedade de, cm qualquer
'''.t.1' = 2
e
\\'1 •
Essa equação é deno1ninacla equação do calor u11idi111e11sio11al. O
valor da constante positiva cl é delern1inado pelo material a partir
do qual o fio é feito.
23. Encontre todas as soluções da equação do calor unidilnensional da fonna 11• = e'' sen 7TX. onde ré unia constante.
24. Encontre todas as soluções da equação do calor unidirnensional que tém a forma 1v = e" sen kx e satisfazem as condições
11~ O. 1)
O e 1t'(L. 1) = O. O que acontece con1 essas soluções
quando 1 -+ oo?
296
Cálculo
Capitulo
Projetos de aplicação de tecnologia
Módulos Mathematica/ Maple
Esb(u,·a11do superfícies
Esboce com eficiência superfícies, contornos e curvas de nível.
&\-plorr111do a 111ate11uítica por trás do skate: análise da derivadll tlirecio1ull
A trajetória de un1 skatisla é introduzida, prin1eiro cm uni plano nivelado. e111 seguida cm u1na rampa e finalmente c111 un1 paraboloide. Calcule, esboce graficamente e analise a derivada direcional ern tennos do skatista.
Proc·urllntlo padrões e aplicando o 1nétodo cios 111í11i111os q11tldrados a dados reais
Ajuste uma reta a u111 conjunto de pontos numéricos, escolhendo a reta que minirniza a so1na dos quadrados das distâncias verticais entre os
pontos e a reta.
Lagrange antla de sk<1te: quão alto ele consegue e/legar?
Revisite e analise as aventuras dos skatistas para alturas n1áxima e n1inima. a partir de unia perspectiva f,'TIÍfica e analítica, utilizando os
multiplicadores de Lagrange.
INTEGRAIS MÚLTIPLAS
-
VISAO GERAL Neste capítulo, abordaremos a integral de uma função de duas
va1iâveis f(x. J') sobre uma região no plano e a integral de urna função de três variáveis f(x, J', :) sobre tuna região no espaço. Essas integrais nniltiplas são definidas
como o limite de aproxi1nação das sotn.as de Rie1nann, basicamente con10 as integrais de uma variável apresentadas no Capítulo 5. llustramos diversas aplicações
de integrais múltrplas, incluindo câJculos de volumes, áreas no plano. momentos e
centros de massa.
Integrais duplas e iteradas sobre retângulos
15.1
o Capitulo 5, definin1os a integral definida de u1na função contú1ua /(x) sobre
um intervalo [a, b] como uo1 limite das somas de Riemann. Nesta seção, ampliamos
esse conceito para definir a integral dupla de uma função continua de duas variáveis
f(X,J') sobre u1n retângulo R lin1itado no plano. Em a1nbos os casos, as integrais são
limites de aproximação das so1nas de Rien1ann. Para a integral de unia função de
urna variável f(x), as somas de Riemann são calculadas particionando un1 intervalo
finito e1n subintervalos, multiplicando o co1nprimento de cada subintervalo pelo
valor de f e1n urn ponto ck dentro do subintervalo e somando todos os produtos.
Um método semelhante de particionamento, multiplicação e soma é utilizado na
construção de integrais duplas.
Integrais duplas
Comcçan1os nossa investigação sobre integrais duplas considerando o tipo
1nais simples de região plana: um retângulo. Considcra1nos u1na função /(x, y) definida em uma região retangular R,
R:
)'
d
R
A1;
I
..ly4
' • -{.~.t •Yt)
.ixk
e
a < x s b, e < y s d.
Subdividimos R em retângulos n1enores utilizando uma rede de retas paralelas aos
eixos x e y (Figura 15. I ). Essas retas dividem R em /1 pedaços retangulares, sendo
que o número de tais pedaços n aumenta à n1edida que a largura e a altura de cada
parte diminuem. Esses retângulos fom1an1 uma pa rtição de R. Um pedaço retangular pequeno de largura ó.x e altura õ.y possui área M = ..1.xô.y. Se euumerarLnos
esses pedaços particionando R em alguma ordem, suas áreas passan1 a ser dadas
pelos números M 1, M 2, .•.• M n' onde Mk é a área do k-ésin10 pequeno retângulo.
Para formar un1a soma de Riemann sobre R, escolhemos um ponto (xk, yk) no
k-ésimo pequeno retângulo, tnultiplicamos o valor de f nesse ponto pela área de Mk
e soma1nos os produtos:
li
FIGURA 15.1 Grade retangular
parricionando a região R cm pequenos
retângulos de área tvl 1 = á\:* ~>'•·
S,, =
2: f(xk,J'i.) tlA k.
k~ I
Os valores de S,, vão depender da forn1a como acontece a escolha de (xk,yk) no
k-ésin10 retângulo.
298
Cálculo
Esta111os interessados em saber o que acontece às somas de Rien1ann confonne
as larguras e alturas dos pequenos retângulos na partição de R se aproxirnarn de
zero. A norn1a de uma partição P, representada por llPll. é a n1aior largura ou altura
de qualquer retângulo na partição. Se llPll = O, 1, então todos os retângulos na partição de R tên1 altura e largura iguais a, no rnáxin10, 0.1. Algu1nas vezes, as son1as
de Rietnann convergern à medida que a norma de P se aproxima de zero, escrito
llPll -+ O. O limite resultante é, então, escrito co1no
A medida que llPll-+ Oe os retângulos dirninuem em altura e largura, seu núrnero n
aumenta. o que nos permite escrever esse limjte como
li
L f(x1;. Yk) ~Ak,
fim
n-> 00 Ir= 1
sabendo que llPll - Oe consequentemente t:..A k - O. confonne 11-+ oo.
Existern muitas escolhas envolvidas em um limite desse tipo. Essa coleção de
pequenos retângulos é detem1inada pela grade de retas horizontais e verticais que
determinam wna partição retangular de R. Em cada um dos pequenos retângulos
resultantes, existe unia escolha de un1 ponto (xk,yk) arbitrário, no qual fé calculada.
Juntas, essas escolhas definem uma única sorna de Riemann. Para fonnar un1 lirnite,
repetimos todo o processo diversas vezes, escolhendo partições onde a altura e a
largura tendam a zero e cujo nún1ero tenda ao infinito.
Quando un1 lin1ite da sorna S,, existe, dando sempre o mesmo valor limite independenlementc das escolhas feitas, a função fé considerada integrável e o limite é
denotninado integral dupla de f sobre R, escrito con10
JJ
fj
ou
f(x,y) dA
R
f(x,y) dxdy.
R
Podemos 1nostrar que se f(x, y) é uma função contínua em R, enlão fé integrável,
assim como no caso de uma variável, discuLido no Capítulo 5. tvluitas funções descontínuas são tambén1 integráveis, inclusive funções que são descontinuas son1ente
em um nútnero finito de pontos ou curvas lisas. Deixamos a prova desses fatos para
um texto 1nais avançado.
Integrais duplas como volumes
z
r
z =j{x, y)
/
)'
X
/
Quando f(x, y) é uma ftmção positiva em uma região retangular R no plano ·\J',
podemos interpretar a integral dupla de f sobre R co1no o volun1e da região sólida tridimensional sobre o plano xy lirnitada inferiormente por R e superiormente pela superfíciez = j(x,y) (Figura 15.2). Cada tenno j(x,,,yk) t:..A,, na son1a sn = I f<..x}(',vk)t:,Ak é o
volume de uma caixa retangular vertical que se aproxima do volume da porção do
sólido que está diretamente acuna da base t:..Ak. A soma S11 , assim, se aproxima do
que querernos chamar volu1ne total do sólido. Defl11i111os esse volun1e corno sendo
Volun1c = litn S,, = /jJ(x,y)dA,
11-+00
FIGURA 15.2 Sólidos de aproxi1nação
com caixas retangulares nos levam a
definir o volu1ne de sólidos mais gerais
como integrais duplas. O volume do sólido
mostrado aqui é a integral dupla de f(x,y)
na região base R.
•
R
onde t:..A k-+ Oquando n - oo.
Como você talvez espere. esse nlétodo mrus geral para o cálculo de volu1nes
está de acordo com os métodos do Capitulo 6. mas não provamos isso aqui. A Figura
15.3 mostra as aproximações das somas de Riernann ao volume tornando-se mais
precisas conforme o número 11 de caixas awnenta.
Capítulo 15 Integrais múltiplas
(a) /1 = 16
(b) li = 6-t
299
(e) n = 256
FIGURA 15.3 Conforme 11 au1nenta, as aproximações das son1as de Riemann chegam
mais próximas do volun1e cota] do sólido mostrado ua Figura 15.2.
Teorema de Fubini para o cálculo de integrais duplas
Suponha que desejernos calcular o volume sob o plano z = 4 - x - _v sobre a
região retangular R: O~ x $ 2, O $ ·" $ 1 no plano .x:v. Se aplicarn1os o método do
fatia1nenro da Seção 6. 1, com fatias perpendiculares ao eixo x (Figura 15.4), então
o volu1ne será
4
( x-i A(x) dx,
(1)
JxmO
onde A(x) é a área da seção transversal em x. Para cada valor de x, podemos calcular
A(x) coo10 a integral
X
y
A(x) =
2
(2)
,~.
X
A(x) =
!
1 y=\4 - x - y) dy.
y=O
\ .. <l
(4 -x-v) lÍ}'
.
•
FIGURA 1S.4 Para obtennos a área da
seção transversal A(x). mantemos ,,. fixo e
integramos com relação ay.
que é a área sob a curva z = 4 -x - )'no plano da seção transversal ern x. Ao calcularmos A(x), x é rnantido fixo e a integração ocorre e1n relação a ,v. Combinando as
Equações 1 e 2, vemos que o volun1e do sólido inteiro é
1
=
1
Volun1e =
r=2
=O
A(x) dx
1•=2
1
)
= _,=o (i'~
y=O (4 - x - J' )dy dx
1x=2 (-7 - ) dx
=O
y2]"=1
4y - .ry - d'K =
2 y-0
.r=O
7
\' 2]2
x=2 [
= [2.r - 2 o= 5.
2
X
(3)
Se quiséssemos apenas escrever uma fónnula para calcular o volume, sem executar nenhuma das integrações, poderíamos ter escrito
A expressão à direita, chamada integral iterada ou repetida, diz que o volume é
obtido integrando-se 4 - x - y em relação a y de y = O a y = 1, niantendo-se x fixo
e, en1 seguida, integrando-se a expressão resultante em x en1 relação a x de x = O
até x = 2. Os limites de integração Oe 1 são associados a y, portanto são colocados
na integral próximos a dy. Os outros limites de integração, Oe 2, estão associados
à variável x, de fom1a que são colocados no sírnbolo externo da integral con·espondente a dx.
300 Cálculo
O que teria acontecido se tivéssemos calculado o volu1ne fazendo o fatian1ento
con1 pla11os perpendiculares ao eixo y (figura 15.5)? Como uo1a função de y . a área
da seção transversal típica é
4
z= 4 - x -y
A(y) =
1
\' = ~
. -(4 - x - y) dx =
~o
[
4x -
X
2
2 - xy ]
x=Z
= 6 - 2y.
(4)
x• O
O volwne do sólido inteiro. portanto, é
Volume =
1
-1
1
.
A(y) dy =
11.·-1
(6 - 2.1•) t~v = [6y - y 2 ]~ = 5,
. =O
.\'
1
y
2,
\ j' •l
A(y) =
r- 0
r=O
o que está de acordo com nosso cálculo anteri.or.
Nova1nente, podemos fornecer un1a fórmula para o cálculo do volun1e como
unia integral iterada, escrevendo
FIGURA 15.S Para obter a área da seção
transversal A(y). 111anten1os y fixo e
inlegra1nos en1 relação a x.
11
1
(4 - X - y) d~
Volunie =
2
(4 - x ·- y) dxdy.
A expressão à direita diz que podemos encontrar o volume integrando 4 - x - ,v
co1n relação a x de x = Oa x = 2, como na Equação 4, e integrando o resultado co1n
relação a y de y = Oa J' = 1. Nessa integral iterada, a orde111 da integração é prirneiro
x e depois y. a ordem inversa da integral na Equação 3.
O que esses dois cálculos de volume co1n integrais it·eradas tê1n a ver com a
integral dupla
//(4 -
x - y) dA
R
BIOGRAFIA HISTÓRICA
Guido Fubiní
( 1879-1943)
sobre o retângulo R: O < x < 2, O < y < 1? A resposta é que an1bas as integrais dão
o valor da integral dupla. Isso é esperado, unia vez que a integral dupla n1ede o volun1e da 1nesma região através de duas integrais iteradas. U1n teorerna publicado en1
1907 por Ouido Fubini diz que a integral dupla de qualquer função contínua sobre
t11n retângulo pode ser calculada como u1na integral iterada en1 qualquer orde1n de
integração. (Fubini provou seu teorema de 1nodo mais geral. nias é assin1 que ele se
traduz no que esta1nos faze ndo agora.)
TEOREMA 1 - Teorema de Fubini (primeira forma)
nua na região retangular R: a $ x s b, e $ J' $ d. então
Se f(x, y) for contí-
O teoren1a de Fubini diz que integrais duplas sobre retângulos podeni ser calculadas conio integrais iteradas. Assin1, podemos calcular uma integral dupla integrando unia variável de cada vez.
O teorema de Fubini tanibém diz que pode1nos calcular a integral dupla integrando e1n qualquer ordeni, o que é verdadeiraniente conveniente. Quando calculamos um volu1ne por fatian1ento, podemos utilizar tanto planos perpendiculares ao
eixo x quanto planos perpendiculares ao eixo y.
EXEMPLO 1
Calcule
Íh J(x, y) dA para
/(x,y) = J00 - 6.r2y
e R:
Osxs2, - l s_v:::;; 1.
Capitulo 15 Integrais múltiplas
;: = 100 -
301
Solução A Figura 15.6 n1ostra o volu1ne abaixo da superfície. Pelo teore1na de Fubini,
6x2>·
fJ
1,'1
1
2
f(x,y) dA =
R
(100 - 6x 2y) dx dy =
1,' [
IOOx -
1
=
50
(200 - 16y)dy = [200y -
- 1
2.r3,v]:;:~ dy
8y2 ]~, = 400.
lnvertendo a orden1 de integração, obtemos o mesmo resultado:
2
j''
(100 1
2
6x 2y) dydx =
- 1
12
[ l OOy - 3x 2y 2 J:::~, dx
o
.
1
1
2
=
fIGURA 15.6 A integral dupla
,{{R f(x. y) dA dá o volu111e sob esta
superfície sobre a região retangular R
(Exen1plo 1).
((100 - 3x 2) - (-100 - 3x2 ) ] dx
2
=
200 dx = 400.
EXEMPLO 2 Encontre o volun1e da região delin1itada superiorn1ente pelo paraboloide elíptico= = 1O +x2+3y2 e inferiormente pelo retãnguloR: Os x s 1, Os y s 2.
Solução A superfície e o volume são mostrados na Figura 15. 7. O volu1ne ê dado
pela integral dupla
,1·
fi----=-R-
y
2
V=
fJ (
1'1
2
10 + x 2 + 3y 2) dA =
( 10 + x
2
+ 3y 2 ) d,vdx
R
1
1
FIGURA 15.7 A integral dupla
ÍÍR f (x, y) dA d<\ o volun1e sob esta
superfície sobre a região retangular R
(Exen1plo 2).
=
[ IOy
+ x 2y + y 3 J;:_~ dx
r·
= )o (20 + 2.r 2 + 8) dx =
[20x + 3x2 + 8x ] ' = T·
86
3
0
Exerácios 15.1
Cálculo de integrais iteradas
1 1.
Nos Exercícios 1-12, calcule a integral iterada.
jf
2
1.
2.
3.
y scn x dx dy
12.
l
21111T (senx + cosy)dxdy
."
'· o
o
Cálculo de integrais duplas sobre retãngulos
2xydydx
r2
r
}o .J_,
1 (x -
Nos Exercícios 13-20, calcule a integral dupla sobre a região R dada.
y) dy <b;
13.
Li:
Jf
(6y 2 - 2x) dA,
R: O s x s 1. O <
vs 2
R
(x + y + l)drt(v
4.
1'1' (
-"2) dr dy 9. 1ln211n5
s.
J1
l0.11
1 - xi ;
3
!
2[1112
1
2
2
(4 - y )dydx
14.
R
e?..r•y dy dx
1
.,ye"dydx
JJ ('J)
JJ
15.
dA,
S yS2
R: - 1 s X s 1.
o s y s 'TT
•
xycosydA,
R
o s X s 4,
R:
302
Cálculo
lf
16. .
yse11(x. + y )dA,
0 S y S 7T
R
JJ e'-"
17.
Q <X< ln 2.
R:
dA.
Q <V< ln 2
R
.!!
18.
A)•e-") dA,
R:
o s X < 2. o :S )' < 1
R:
o :S X :S 1 o :S )' :S 2
R
\)'3
/Jr x- + 1
19.
;
dA ,
>
R
rr y - +
20.
}} X 2
R
; ·
1
dA.
R:
o s X :5 1, o :S J' :S
Nos Exercícios 21 e 22. integre f sobre a região dada.
21. Quadrado /(x. y) = l/(.\J') sobre o quadrado 1 s x s 2,
1 Sy S 2.
f(x , y ) = y cos A:v sobre o retângulo O S x s 7T,
22. Retângulo
0<1•
<!.
•
Volume sob uma superfície z= f (x,y)
23. Encontre o volume da região delimi tada superionnentc
pelo paraboloide z .,, x 2 + y 2 e inferiormente pelo quadrado
R: - 1 <X< 1, - 1 < )' < 1.
24. Encontre o volun1e da região dclin1itada superiormente pelo
paraboloide elíptico z = 16 - x1 - .1.2 e inferionncnte pelo quadrado R: Os x s 2. O Sy s 2.
25. Encontre o volume da região delitnitada superioanente pelo plano == 2 x y e infcrionnente pelo quadrado R: O S x S 1,
O<y<I.
26. Encontre o volun1c da região dclin1itada superiormente pelo
plano r = y/2 e inferiormente pelo retângulo R: O < x < 4.
os \' s 2.
27. Encontre o volume da região deli1nitada superiormente pela
supcrficie : = 2 scn x cos y e infcriorn1cntc pelo retângulo
R: o < X < 7T/2. o s )' < 7T/4.
28. Encontre o volu111e da região deli1nitada superionnente pela superfície;; 4 - y 2 e inferiorn1ente pelo retângulo R: O < x < 1,
0 Sy< 2.
Integrais duplas sobre regiões gerais
15.2
Nesta seção, definiremos e calcularemos integrais duplas sobre regiões lin1itadas no plano que são 1nais gerais que retângulos. Essas integrais duplas são também
calculadas como integrais iteradas, sendo o principal problc1na prático o de determinar os limites de integração. Uma vez que a região de integração possa ter limites
outros que não os seginentos de reta paralelos aos eixos coordenados, os limites de
integração n1uitas vezes envolvem variáveis. não apenas constantes.
Integrais duplas sobre regiões não retangulares limitadas
,
/
"
"
~At
R
óy4
'
' • -<.1t' )',()
ilx4
' ""
......_
/
J
Grade retangular dividindo
en1 células retangulares unia região não
retangular li1nitada.
RGURA 15.8
Para definir a integra.! dupla de tm1a função f(x,y) sobre wna região não retangular limitada R, como a mostrada na Figura 15.8, novamente imaginamos R sendo
coberta por uma grade retangular cuja união contém todos os pontos de R. Desta
vez, entretanto, não podemos preencher R com um nútnero finito de retângulos do
interior de R, já que sua extremidade é curva e alguns dos pequenos retângulos estão
parcialmente fora de R. Uma partição dcR é formada tomando-se os retângulos que
estão totalmente dentro de R e desprezando-se todos aqueles que estão parcial ou
co1npletamente fora da região. Para regiões que surgem co1n frequência, uma parte
cada vez 1naior de Ré incluída â medida que a norma da partição (a maior largura
ou aHura de qualquer retângulo utilizado) se aproxima de zero.
Uti1a vez que tenhamos uma partição de R, enumeramos os retângulos de forma ordenada de 1 a 11, consideramos tlA k como a área do k-ésimo retângulo. E1n
seguida, escolhemos u1n ponto (xk, yk) no k-ésiino retângulo e fonnamos a so1na de
Riemann
li
S,, =
L f(xk, Y.<:) 6.Ak.
k= I
À medida que a norma da partição que fonna S11 se aproxi1na de zero, llPll -+ O, a
largura e a altura de cada um dos retângulos delimitados vão a zero e seu número vai
ao infinito. Se j(x. y) é uma função contínua, essas somas de Riemann convergem
para um valor-lin1ite que não depende das escolhas que fizermos. Chamamos esse
li1níte de integral dupla de f(x, y) obre R:
±
111'11--0
lim
f(,'·k .Yk) ÂÀ.<: = {{ f(x, y ) dA.
k= 1
JJR
Capítulo 15
Integrais múltiplas
303
A natureza da fronteira de R levanta questões não encontradas e1n integrais
ao longo de um intervalo. Quando R ten1 un1a fronteira curva, os 11 retângulos de
uma partição estão dentro de R. mas não cobrem toda a região de R. Para que unia
partição se aproxin1e ben1 de R, as partes de R cobertas por pequenos retângulos
parcialn1ente fora de R deve1n se tornar desprezíveis à medida que a norma da partição se aproxi1na de zero. Essa propriedade de estar quase toda preenchida por unia
partição de norma pequena é satisfeita por todas as regiões que iremos encontrar.
Não há problernas co111 as fronteiras feitas de polígonos, círculos, elipses e gráficos
contínuos sobre um intervalo que seja1n ligadas pelas extrem idades. Curvas do tipo
''fractal" seria1n problen1áticas, porérn elas surgern raramente na maior parte das
aplicações. Deixan1os para un1 texto 111ais avançado u1na discussão cuidadosa sobre
quais tipos de região R pode1n ser utilizados no cálcu lo de integrais duplas.
Volumes
Se f(x,y) é positiva e contínua sobre R, definin1os o volun1e da região sólida entre
R e a superfície z = f(x, y ) como
f(x, Y) dA. como anteriom1ente (Figura 15.9).
Se Ré uma região como aquela 1nostrada no plano xy na Figura 15.1 O, delimitada "acima" e "abaixo" pelas curvas y = g 2(x) e J' = g 1(x) e nos lados pelas retas x = a,
x = b, pode1nos novan1ente calcular o volun1e pelo método do fatia1uento. Pri1neiro,
calculan1os a área da seção transversal
JJR
.1·=g2(x)
A(x) =
1
. -g,(.1')
f(x,y) dy
e em seguida integramos A(x) de x =a a x = b para obter o volu1ne con10 uma integral iterada:
V=
i
h
1
1
>
1
g1(x)
A(x) dx =
f (x,y) dy dx.
O
(1)
g1(.T)
R
A área da fatia vertical
n1ostrada aqui é A(x). Para calcular o
volume do sólido. integramos essa área de
x = a ax = b:
FIGURA 15.10
Volume = lin1 ~.ftxÃ,y~} ~Ak =
JJ j(x. y) dA
R
Definimos o volume de sólidos
com bases curvas con10 u1n limite de caixas
retangulares de aproxi1nação.
FIGURA 15.9
1>
1
1"
1g,
(
.
r
)
A(x)dx=
f(;c,y)dydx.
a
g,(x)
304
Cálculo
De nlaneira similar. se R é unla região conlo aquela n1ostrada na Figura 15. 11,
dei irnitada pelas curvas x = h2(y) ex = h 1()•) e pelas retas)' = e e y = d, então o volun1e calculado por meio do fatiamento é dado pela integral iterada
A( .1·)
z = f (x. y ),..__
\_
Volurne =
---- ,!!._d_.
y
O volurne do sólido
mostrado aqui é
d
1
A(y) t~v =
i dlhll 'l
.. J(x,y) dxdy.
(2)
h 1(J•)
O fato de as integrais iteradas nas Equações l e 2 dare1n o volume que definin1os
co1no a integral dupla de.f sobre Ré unia consequência da fonna 111ais forte do teoren1a de Fubini, a qual é exposta a set,ruir.
./
FIGURA 15.11
l
dl h,(1•)
f(x, y ) dx dy.
e • h1l1"
Para um sólido detenninado, o Teoren1a 2
diz que podemos calcular o vol un1c como
na Figura 15. IO, ou da fonna demonstrada aqui. Ambos os cálculos tên1 o 1nesmo
resultado.
TEOREMA 2 - Teo~ma de Fubini (forma mais forte)
nua en1 tuna região R.
Seja j(x, .v) contí-
1. Se R lor definida por a $ x $ b, g 1(x) $ y $ g 2(x), com g 1 e g 2 contínuas
em [a, b], então
8
{{ f(x,y)dA = rbr i(X) f(x,y)dydX.
JjR
}a } g,!:i.J
2. Se R for definida por e < y $ d, h 1(y) $ x < h2( 1•), com h 1 e h 2 contínuas
ern [e, d], então
if
f(x,y) dA =
1h·..( rl f(x,y) dxdJ'·
1
r
R
/11( 1•)
•
EXEMPLO 1
Encontre o volurne do prisma cuja base é o triângulo no plano xy
dclitnitado pelo eixo x e pelas retas y = x ex = l e cujo topo está no plano
z = f(x, y) = 3 - x - y.
Solução Veja a Figura L5. L2. Para qualquer x entre O e L, )' pode variar de y = O a
y = x (Figura l5. l 2b). Consequentemente,
V=
'
1
·
•
1
(3 -
X -
y) dy dx =
O
1
=
1
11[
3y - X)' -
O
v211·=x dx
::._
2
1·=0
1
)
x3
]·•=
( 3x - 3x2
?
dx = T - = 1.
[3r2
-
-
2
.r: O
Quando a ordem de integração é invertida (Figura 15.12c), a integral para o volume é
V=
1
1
[ (3 - x - J') dx dy =
•
.I '
1
=
li[
3x - :!....2 - ·'J'
• 0
2
/' ( 3 - 2
1 - y - 3y + Y2 + Yi ) d_v
Jo
As duas integrais são iguais, con10 deveriarn ser.
2
lr=Id;1
x=y
Capítulo 15 Integrais múltiplas
y
305
x= I
(3.0.0)
~ = flx, y) = 3 - X -
y
/
- - - I L - - - - - - - ' - - - - - ' - - - - - - - .r
O
( 1.0. 2)•
y= O
1
(b)
y
--
.r = 1
• (1. 1.1 )
X =\'
( 1.0,0)
' )'-- --4 .....~ = 1
( 1. 1. 0)
R
R
x=I
--IL---------'
-------x
o
X
."=X
(e)
(a)
FIGURA 15.12 (a) Pris1na com base uiangular no plano.>.)'. O volume desse pris1na ê definido
con10 uma integral dupla sobre R. Para o calculam1os co1no uma integral iterada, poden1os
integrar primeiro com relação a y e depois em relação a x. ou vice-versa (Exernplo 1). (b)
Lin1iles de integração de
x~ {·'~.i f(x. y) c(v dx.
l
1
cio } , .•o
Se integrarmos primeiro com relação a y, integrare1nos ao longo de utna reta vertical
através de R e depois integrare1nos da esquerda para a direita. pa!ll i11clujr todas as retas
verticais em R. (e) Limites de integração de
· 1~l l.r- I
/
. ,. o. f"•.1·
f(x, y) dx dy .
Se integrarmos pri1neiro co1n relação a x, integrare1nos ao longo de uma reta horizontal
através de R e depois intcgrnrc1nos de baixo para cima. para incluir todas as retas horizontais em R.
Ernbor'c1 o teorema de Fubini nos assegure que uma integral dupla pode ser calculada como unia integral iterada e111 qualquer orde111 de integração, pode ser 1nais
fáci l calcular o valor de uma integral que o valor de outra. O próxin10 exemplo
mostra co1no isso acontece.
EXEMPLO 2
Calcule
JJ
se;x dA ,
R
onde R é o triângulo no plano XJ' delimitado pelo eixo x, pela reta y = x e pela reta
x = 1.
306
Cálculo
A região de integração é rnostrada na Figura 15.13. Se integrarmos primeiro em relação a y e depois e111 relação a x, encontra1nos
Solução
y
x= I
1
1
senx r·=x
(lo.\senx
) dx = ['sen x dx
x dy ) dx = 1o·1 (
x
J'
O
~=O
•O
•O
= - cos ( 1) + 1 ~ 0,46.
Se invertennos a ordem de integraç.ão e tentarmos calcular
'11'
Região de integração do
FIGURA 15.13
senx
,, d) 1,
X u.X
.I'
Exen1plo 2.
.f
encontraren1os problemas porque ((sen x)lx) d'< não pode ser expressa em tern1os
de funções elementares (não há primitivas simples).
Não existe regra para prever que orden1 de integração será a melhor en1 circuns•
tâncias con10 essa. Se a orden1 que você escolher não funcionar, tente a outra. As
vezes, nenhuma das ordens funciona e ternos de utiliza.r aproxin1açôes nurnéricas.
y
Encontrando limites de integração
Agora, fornecemos um procedin1ento para encontrar limites de integração que
se apliquen1 a 1nuitas regiões no plano. Regiões niais co1nplicadas, para as quais
esse procedi1nento não funciona, pode1n sempre ser divididas ern pedaços menores
para os quais o procedimento funciona.
- + - - - - --"'--
o
x
Utilização de seções transversais verticais Quando estiver diante da avaliação de
JJR. f(x, y)dA,
. co1n integração
. primeiro en1 relação a y e ein seguida e1n relação a
(n)
x. siga os tres passos a seguir:
y
1. Esboço. Faça um esboço da região de integração e identifique as curvas li1nitantes (Figura 15.14a).
2. Encontre os li111ítes de integração de y . Imagine uma reta vertical L, que corta R
Entn1 cm
.r c l - .1
L
X
o
X
(b)
na direção de valores de y crescentes. Marque os valores de J' onde L entra e sai
de R. Esses são os lin1ites de integração de y e gcraln1ente são funções de x (ein
vez de constantes) (Figura l 5.14b).
3. Encontre os lí111íies de integração de x. Escolha limites de integração de x que
inclua1n todas as retas verticais através de R. A integral mostrada aqui (ver Figura 15.14c) é
if
f (x,y)dA =
1
.r - ()
R
\'
•
t""i11-'-'i'=? f(x. y )d;1dx.
.1 =.. l - r
1
Utilização de seções transversais horizontais Para calcular a mes1na integral duEntnl CIU
.v ::a l -~r
l
1º
X
O mcnor x
~ .r • O
/1
O maior x
é ,1 :. J
(e)
pla como uma integral iterada con1 a orde1n de integração invertida, utilize retas
horizontais em vez de retas verticais nas etapas 2 e 3 (ver Figura 15. 15). A integral é
if
f(x , .v) dA =
R
O maior y Y
éy = l
"
lk'--.
'iv'
I
-?
lo
o 1- .1·
f (x, y) dx dy.
Entra em
.r = 1 - y
Encontrando os lin1ites de
integração ao integrar priniei.ro em relação
a y e depois cn1 relação a x.
FJGURA 15.14
Encontrando os limites de
integração ao integrar primeiro em relação
a x e depois e1n relação a y .
RGURA 15.15
Capítulo 15 Integrais múltiplas
EXEMPLO 3
y
4
307
Esboce a região de integração para a integral
r,r
(2,4)
{2
Jo }xi- (4x + 2)dydx
e escreva un1a integral equivalente con1 a orden1 de integração invertida.
Solução A região de integração é dada pelas desigualdades x2 < y < 2x e O $ x < 2.
Esta é, portanto, a região deli1nitada pelas curvas y = x 2 e y = 2x entre x = Oex = 2
o
(figura l 5. l 6a).
Para encontrar limites para integrar na ordeo1 invertida, in1aginamos un1a reta
horizontal passando. da esquerda para a direita, através da região. Ela entra em
x = y/2 c sai e1n x =
Para incluirmos todas essas retas, fazemos y variar de y =
Oay=4 (Figura 15.16b). A integral é
2
\/Y.
(a)
41y;;
4
1
(2,4)
. (4x + 2)dxdJ>.
v/2
O valor comum dessas integrais é 8.
-
Propriedades de integrais duplas
X = V.r
Con10 integrais de uma variável, integrais duplas de funções continuas tén1
propriedades algébricas que são úteis em cálculos e aplicações.
u
2
Se /(x, y) e g(x, J') são continuas na região limitada R, então as propriedades
a seguir se aplican1:
(b)
FIGURA 15.16
JJ
Região de integração para
1. Múltiplo constante:Jf cf(x, y) dA = e
o Exemplo 3.
R
f (x, y) dA (qualquer número e)
R
2. So111a e diferença:
11·(/(x.y) ± g(x,y)) dA =
JJ
R
R
f(x . .l') dA ±
JJ
g(x,J'} dA
R
3. Dominação:
(a)
Jf
/(:t,J') > Oem R
se
f(x, .v)dA >O
R
R2
(b)
/
--1-------'------x
o '---""
Jj1cx.y)dA = Jfl·cx.y)dA +Jf1cx.y)dA
R
fIGURA 15.17
R1
R2
A propriedade de
aditividade para regiões retangulares é
válida para regiões delimitadas por curvas
lisas.
JJ
f(X,J') dA >
R
4. Aditividade:
L
JJ
g(x,y) dA
R
JJ
R
f(x,;•) dA =
li
R1
se
f(x,y) ciA +
f(x,y) > g(x,y) em R
li
f(x,Ji) dA
~
se R for a união de dois retângulos não sobrepostos R1 e R2
A Propriedade 4 supõe que a região de integração R é decomposta ern regiões
não sobrepostas R 1 e R2 com lin1ites consistindo em un1 nú1ncro finito de segmentos
de reta ou curvas lisas. A Figura 15.17 ilustra um exemplo dessa prop1iedade.
308
Cálculo
A ideia por trás dessas propriedades é que as integrais se comportam como
so1nas. Se a função /(x, y) for substituída por seu n1últiplo constante cf (x , y), então
a soma de Rie1nann para f
é substituída pela soma de Riemann para cf
16
~ = 16 - x2 - y 2
''
,,
L
cf {,tk ,Jk) t.A~ = e L f(xk,_Y~) Ó.Àk = cS,, .
k=I
k: I
e
2
1
.1· = 4.r -
Y
ya2V";°
2
(al
\'
•
1• = 4x - 2
•
2
( 1, 2)
cJ/;
Tomando li1nites qua.ndo /1 -+ oo mostra que lim,,_.oo S,, =
f dA e
li1n 11 ~00 cS,, = JfR ef dA são iguais. Assin1 sendo, a propriedade de múltiplo constante pode ser aplicada desde so1nas até integrais duplas.
Trunbém é fácil verificar as outras propriedades para so1nas de Riemann, que se
aplicarn a integrais duplas pelo mesn10 1notivo. En1bora a discussão já dê uma ideia,
urna prova real de que essas propriedades são verdadeiras requer un1a análise mais
cuidadosa da forma co1no as sornas de Riernann converge1n.
EXEMPLO 4 Encontre o volutne do sólido em forn1a de cunha que está abaixo da
superfície= = 16 - x 2 - l e acin1a da região R delimitada pela curva y = 2\.(;.
a reta y = 4x - 2 e o eixo x.
Solução A Figura l 5. l 8a rnostra a superficie e o sól ido "en1 forma de cunha" cujo
R
---<'-----"'--------'------+ X
o
0.5
(b)
(a) Região do sólido ''em
forn1a de cunha" cujo volun1e é encontrado
no Exemplo 4. (b) Região de integração R
mostrando a orde1n dx tly.
FIGURA 15.18
volume desejamos calcular. A Figura l 5.18b mostra a região de integração no plano
xy . Se integrarn1os na ordem dy dx (pri1neiro cn1 relação a y e depois e1n relação a
x). duas integrações serão necessárias. porque y varia entre J' = Oe y = 2 VX para O
$ x $ 0,5, e então varia entre y = 4x - 2 e Jº = 2VX para 0,5 $ x $ l. Dessa forma,
escolhernos integrar na ordem dx dy, que exige son1ente u1na integral dupla, cujos
U1nites de integração estão indicados na Figura 15. l 8b. O volume é então calculado
como a integral iterada:
JJ
(16 - x 2 - .J1 2 ) dA
R
1
2 J.'(y-+ 2)/4
=
.1.l/ 4
·2 [
=
=
( 16 - x 2 - y 2)dxdy
la
\'3
l 6x -
o
1
2 [
o
=-3 - XJ•
4(y + 2) -
19ly
63;12
[ 24 + 32
2
]r=(
1•+ 2)/ 4
dx
.t =.1)/4
(y + 2)3
(y + 2)y.2
y6
)14]
..
- 4)12 +
+
-4 dy
.> · 64
4
3 · 64
145y 3
96
Exercícios 15.2
Esboço de regiões de integração
5. O < x $ 1, e' $ y < e
Nos Exercícios 1-8. esboce e descreva as regiões de integração.
1. 0 < X$ 3, 0 < )' $ 2x
2. - 1 < X$ 2, X - 1 $ )' < x 2
3. - 2 $ )' < 2, y 2 $X < 4
4. 0 < )' :S l. .V < X < 2y
6. 1 :S x $ e2,
OSyS ln x
7.0< 1• < 1, O<x< sen 1 y
8. Q S )' S: 8.
]2 20803
Ys
y7
768 + 20 + 1344 ()
49y 4
t
y S: X S: )' l/J
1680 ~ 12•4·
Capítulo 15
Encontrando limites de integração
JJR
Nos Exercícios 9-18, escreva a integra 1 iterada de
dA sobre a
região descri1a R utilizando (a) seções 1ransversais verticais, (b) seções transversais horizontais.
9.
11 .
29.
Integrais múltiplas
309
01-u2 (o plano
1
r1rvR
lo l o
dt
plano sr)
dp du
u
pu)
2
30.
81
31. 1-rrf3lo
1
ds
(o
1113
{ '''"'3cos 1d11d1
•\ '
\' = I!
•
32.
3fl;:4-2u 4 - ?11
(oplano111)
- - ,--- dv du
u-
1
(o plano uv)
Invertendo a ordem de integração
Nos Exercícios 33-46, esboce a região de integração e escreva uma
integral dupla equivalente com a ordem de integração invertida.
10.
12.
33.
40.
34.
41.
35.
42.
y
~\' = I!'~
x=3
36.
.r. = 2
13. Litnitadapory =
37.
vX,y = Oex = 9
43.
ri
r··
l o li
1
15. Liniitadapory=e-r. y= 1 e x= ln3
16. Lin1itada por y = O, x = O, y = 1 e y = ln x
39.
17. Lin1itada por y = 3 - 2x,y =x ex = O
18. Limitada por y = x2 e y =x .,.. 2
Encontrando regiões de integração e integrais duplas
Nos Exercícios 19-24, esboce a região de integração e calcule a integral.
2
3/2Ji 9-~•'
1 o
47.
"1"
1
11
20.
22.
48.
dx dy
I'
1"1~"'
y dy dx
0
21.
11'"
2
2
x senydydr
jln81ln1
. e•+• dxdy
0
23.
24.
[1
1
'
"
. o
jfov;
v;,
() 2
. 3y 3e~".l dr dy
-3 e "1
dy dx
Nos Exercícios 25-28, integre f sobre a região dada.
25. Quadrilátero f(x. y) = xly sobre a região no primeiro quadrante limitado pelas retas y = x, y = 2x. x = 1 ex = 2.
26. Triângulo /(x, y ) = .-2 + ;il sobre a região triangular com
vértices (O, O). ( 1, O) e (0, 1).
f(11. v ) = v - ~ sobre a região triangular
cortada do primeiro quadrante do plano uv pela reta 11 + v = 1.
27. Triângulo
28. Região curvada /(s. f) = e' ln r sobre a região no primeiro quadrante do plano sr que está acirna da curva s = ln r de
1 = 1 a I = 2.
Cada uni dos Exercícios 29-32 fornece uma integral sobre unia região ern uni plano de coordenadas cartesianas. Esboce a região e
calcule a integral.
1[3{'"
1'(61 1/2
45.
l6x ~l' dx
46.
-'J' 2 dy dx
lo l i (x + y ) dx <6'
1 lo v;;.
v1 {'' '•
clr dy
Nos Exercícios 47-56, esboce a região de integração, inverta a ordcu1 de integração e calcule a integral.
seny
l' dy dx
l
1"1:r
X)'
scn x
38.1 "~[. dxdy
14. Lin1itada por y = tg x , x = Oe y = 1
19.
44.
dy dx
rr
rln.
li lo c~v cLr
2
50.
-
2
2y seoxy dy dr
J, j
51.
1
49.
53.
1&!
1
l
.o
xe 2·••
- y d!'- dx
2\fln>l
v'Íni
3
1 x 2e·•.I' dx dy
1/161,1/2
2[4-r 4
52.
{
1
e' dxdy
y/2
f
1
lo lv;ji
e-•" dydx
COS ( l 67TXS) dr d)'
).' 1 1
54.
1
2
dvdx
---V"; J'4 + 1
55. Região quadrada
./JR(y - 2x2 ) dA onde R é a região deli-
1nitada pelo quadrado ~tj + lYI = 1.
56. Região triangular J{R.IJ' dA onde R é a região delimitada
pelas rctas y = x, y = 2f e x+ y = 2.
Volume sob uma superfície z = f (1t, y)
57. Encontre o volurnc de unia região delimitada supcriomicnte
pelo paraboloide == x2 + ;.2 e inferionnente pelo triângulo
delin1itado pelas retas y = x, x = Oc x + y = 2 no plano .IJ'.
58. Encontre o volume do sólido delimitado superiormente pelo
cilindro z = .\.2 e inferiormente pela região dcli111itada pela parábola y-= 2 - x 2 e pela reta y = x no plano .9 •.
310
Cálculo
59. Encontre o volu1ne do sólido cuja base seja a região no plano
xy que é delin1i tada pela parábola _v = 4 -x'- e pela reta y = 3x,
enquanto o topo do sólido é delinlitado pelo plano z = x + 4.
60. Encontre o volume do sólido no primeiro octante delin1itado
pelos planos coordenados, pelo cilindro x 2 + y2 = 4 e pelo plano= + y = 3.
61. Encontre o volwnc do sólido no prin1eiro octante dclimi1ado
pelos planos coordenados, pelo plano x = 3 e pelo cilindro
parabólico z m 4 - ;.2.
62. Encontre o volun1e do sólido cortado do primeiro octanlc pela
superficie == 4 - :1-2 - y.
63. Encontre o volume da cunha cortada do prin1eiro octante pelo
cilindro= = 12 - 3.1.2 e pelo plano x + y = 2.
64. Encontre o volun1e do sólido cortado da coluna quadrada lxl +
b•I < 1 pelos planos== O e 3x + == 3.
65. Encontre o volume do sólido que é delirnitado na frente e atrás
pelos planos x = 2 ex= I, nas laterais pelos eil indros y = ± llx
e acirna e abaixo pelos planos;: = x + 1 e z = O.
66. Encontre o volume do sólido delimitado na frente e atrás pelos
planos x = ±?T/3, rias laterais pelos cilindros y = ±sec x, acin1a
pelo cilindro z = 1 + .v2 e abaixo pelo plano xy.
Nos Exercícios 67 e 68. esboce a região de integração e o sólido
cujo volume seja dado pela integral dupla.
73. f(x. y) = x + y sobre a região R delimitada acima pelo semicírculo y = v'i - xl e abaixo pelo eixox, utilizando a partição
x = 1, 1/2, O, 1/4. 1/2. 1 e y = O. 112. 1 co1n (xk, yk) no canto
inferior esquerdo no k-ésin10 sub-retângulo (contanto que o
sub-retângulo esteja dentro de R)
74. j(x. y) = x + 2y sobre a região R dentro do circulo (x - 2)2 +
(r - 3 ) 2 = 1 utilizando a partição x = 1, 3/2, 2, 5/2, 3 e y = 2.
5/2, 3. 7/2, 4 com (xk.yk) no centro (centroide) do k-ésimo sub-retângulo (contanto que o sub-retângulo esteja dentro de R)
Teoria e exemplos
ctor circular Integre f(x, y) = V4 - x 2 sobre o setor 1nenor cort.1do do disco x2 + y 2 ~ 4 pelos raios O= ?T/6 e 8 = ?T/2.
76. Região não limitada Integre f(x, y) = l/[(.,.i -x)(I'- J)2' 3]
sobre o retângulo infinito 2 < x < oo, O < y < 2.
77. Cilindro não circular U1n cilindro sólido reto (não circular)
tcn1 sua base R no plano XJ' e é delimitado supcriom1ente pelo
paraboloide z = ..\.2 + y1. O volun1e do cilindro é
75.
V=
1'1-'
(x2 + yl) dx dy +
1212
.1·(x2 + yl) d>.: dy.
Esboce a região da base de R e expresse o volun1e do cilindro
co1no uma única integral i1erada con1 a ordem de integração invertida. Em seguida, calcule a integral para encontrar o volume.
78. Convertendo cm uma integral dupla Calcule a integral
1
2
Integrais sobre regiões não limitadas
Integrais duplas i1npr6prias podem geralmente ser calculadas de
maneira sen1elhante a integrais impróprias de u1na variável. A primeira i1eração das integrais impróprias a seguir é feita con10 se elas
fossem integrais próprias. Avaliamos, então, uma integral in1própria
de u1na variável to1nando lin1ites apropriados. con10 na Seção 8.7.
Calcule as integrais in1próprias nos Exercícios 69-72 co1no integrais
iteradas.
1·
l
00
69.
10.
e-• X y
•
j l1f1-1; '111?
1
v.:::;'i (2y + 1) dy dr
11"
-oo -ôc> (X 2
,
1
+ l )(y+ 1)
dr dr
.
00
72.
f { "° xe-i.r+l.>) dx dy
./o ./o
Aproximando integrais com somas finitas
Nos Exercícios 73 e 74, aproxime as integrais duplas de f(x, y) sobre a região R particionada pelas retas verticais dadas x = a e retas
horizontais y =e. Em cada sub-retângulo. utilize (xk, yk) conforme
indicado para sua aproxin1ação.
li
R
11(4 - x
f(x,y) dA ""
~ f(Xk,J'k) ÂA t
2
-
2y 2) dA?
R
Justifique sua resposla.
80. Minimizando uma integral dupla
xi· 1nininliza o valor de
Jl(x +
2
00
71.
(Sugestão: escreva o integrando como wna integral.)
79. l\'la ~im izando umíl integral dupla Que região R no plano
X)• 1naxi1n iza o valor de
-
- l3- dy dx
(tg- 1?Tx - tg 1x) dx.
Que região R no plano
y 2 - 9) dA?
R
Justifique sua resposta.
8J. É possivel calcular a integral de uma função continua f(x, y)
sobre unia região retangular no plano .~v e obter respostas diferentes dependendo da orde1n de integração? Justifique sua
resposta .
82. Como você calcularia a integral dupla de urna função continua
f(x. y) sobre a região R no plano xy deli111itada pelo triângulo
co1n vértices (0, 1), (2, O) e ( I, 2)? Jus1ifique sua resposta.
83. Região não limitada Prove que
,.z dx dy =
lim
jbjb 1~
h-oo -b - b
e •'
<lr c{r
Capítulo 15
84. lntegra.I dupla intprópria
Calcule a integral imprópria
311
Ulili2e o avaliador de integral dupla de um SAC para encontrar as
integrais nos Exercícios 89-94. En1 seguida, inverta a ordem da integração e calcule nova1nente. utilizando u111 SAC.
1 3 Xz
1
Integrais múltiplas
- - -- d1' dx.
o (y - 1)213 •
USO DO COMPUTADOR
Utilize o avaliador de integral dupla de um SAC parc1 dc1em1inar os
valores das integrais nos Exercícios 85-88.
85.
!
JiA1 dr
XI' t/y
1 '
•
86.
87.
88.
11
1
1
e -(•'+,,:) dy cb:
1 1
f f tg- 1xydydx
,/o./o
11Vt::;;3v'1 - x
1
-1
o
15.3
2 - y 2 dy tL>:
Área por ;ntegração dupla
esta seção, mostrare1nos con10 utiliz.ar integrais duplas para calcular as áreas de
regiões limitadas no plano e para encontrar o valor médio de urna Função de duas variáveis.
Áreas de regiões limitadas no plano
Se tomarmos /(x, y) = Lna definição da integral dupla sobre u1na região R na
seção anterior, as so1nas de Rien1ann se reduzen1 a
{1)
Esta é siinplesmentc a soma das áreas dos pequenos retângulos na partição de
R, e se aproxin1a do que gostaríamos de chan1ar de área de R. Como a nonna de uma
partição de R se aprox in1a de zero, a altura e a largura de todos os retângulos na partição se aproximam de zero e a cobertura de R vai ficando cada vez mais completa
(Figura 15.8). Definimos a área de R con10 sendo o lirnite
±
lim
!lA11 = {{ dA.
llPJl-0 k: I
} }
(2)
R
DEFINIÇÃO
A área de uma região plana fechada e limitada Ré
A =
JJ
dA.
R
Assi1n co1no as outras definições neste capítulo, a definição aqui se aplica a
urna variedade maior de regiões do que a defi11ição de área por uma variável anterior, entretanto concorda com a definição anterior sobre regiões às quais ambas se
aplican1. Para avaliar a integral na definição de área, integrrunos a função constante
/(x,y) = 1 sobre R.
EXEMPLO 1
quadrante.
Encontre a área da região R lirnitada por y = x e y = x2 no primeiro
312 Cálculo
Solução Esboçamos a região (Figura LS.19), observando onde as duas curvas apre-
)'
sentam interseção na origern e ( J, l ), e calcularnos a área con10
FIGURA 15.19
Região no Exernplo 1.
Observe que a integral de uma variável f J(x - x 2) dx, obtida da avaliação da integral
iterada interna, é a integraJ para a área entre essas duas curvas, utilizando o método
da Seção 5.6.
EXEMPLO 2 Encontre a área da região R lin1itada pela parábola y = x 2 e a reta
11 = X+ 2.
Solução Se dividinnos R nas regiões R 1e R2 mostradas na Figura l 5.20a, poden1os
calcular a área como
)'
l
,._\.' = ..,-
A = {{ dA +
}}R,
(2. 4)
4J y~
· dx dy
J.
1
R.
_ J . --
---~~:....__
\'-2
{{ dA =
}}R2
A =
f- [v],.+
2
,
(2. 4 )
2t x+2
1
.-2
c~v dx.
Esse segundo resultado, que exige sotnente uma integral, é 1nais sio1ples e é o único
que nos daríamos ao trabalho de escrever na prática. A área é
(n)
y =.r
f
dxdJ· +
{ VY dxdy.
lo V..
1 Í1
·-2
1
Jo -\ r
o
4
Por outro lado, invertendo a orden1 de integração (Figura 15.20b), ren1os
( I í' • dx dy
____ X
1
JV,.
1
A =
1
,.i
2
2
dx =
f 2(x + 2 - x 2 ) tlr = [~ + 2r - >.~ ]
i·
-1
3 2
./-1
.>
=
Valor médio
O valor médio de uma função integrável de un1a variável em um intervalo
t- + 2
r-r, dy dx
?
J_r),.
_ _ __:,,,.~~-----+X
o
(b)
FIGURA 15.20 O cálculo dessa área
necessita de (a) duas integrais duplas se
a primeira integração for corn relação
a x, mas (b) sarnente urna se a primeira
integração for com relação a y (Excn1plo 2).
fechado é a integral da f1.1nção sobre o intervalo, dividido pelo con1prin1ento do
intervalo. Para 1.1ma função integrável de duas variáveis definida en1 uma região
lin1itada no plano, o valor n1édio é a integral sobre a região, dividida pela área da
região. Poden1os visualizar esse procedin1ento in1aginando que a função nos dá
a altura en1 dado instante de u1n pouco de água balançando dentro de um tanque
cujas paredes verticais delimitam as fronteiras da região. A altura média da água
no tanque pode ser encontrada deixando que a água se estabilize em urna alt1.1ra
constante. Dessa for111a. a altura é igual ao volun1e de água no tanque dividido
pela área de R. Somos levados a definir o valor 1nédio de un1a função integrável f
sobre uma região R conforme segue:
Valor médio de f sobre R =
1
{{ f dA
área deR JJ
·
(3)
R
Se f 6 a temperatura de uma placa fina cobrindo R, então a integral dupla de
f sobre R dividida pela área de R é a temperatura média da placa. Se f(x, y ) é a
distância entre o ponto (x, y ) e o ponto fixo P. então o valor médio de f sobre R é
a distância média de pontos cm R a partir de P.
Capítulo 15 Integrais múltiplas
313
EXEMPLO 3 Encontre o valor 1nédio de f(x, y) = x cos xy sobre o retângulo
R: o< X< 1T, o< y < 1.
Solução O valor da integral de f sobre Ré
l
r.'11 x cos.l)' dy dx = 1"'' [scn~v ]'. '=Idx
O
O
y=O
= lr.(senx - O) dx = -cosx ]~
1 + 1 = 2.
A área de Ré 1T. O valor 1nédio de f sobre Ré 2/7r.
Exercidos 15.3
Área por integrais duplas
Encontrando valores médios
Nos Exercícios 1-12, esboce a região dei in1i1ada pelas retas e curvas
dadas. E111 seguida, expresse a área da região como uma integral
dupla iterada e calcule a integral.
19. Encontre o valor 1nédio de f(x, y) = sen (x + y) sobre:
a. O retângulo 0 <X < 11'. 0 S )' S 71'.
b. o retângulo Os x s 11', Os y s 7T/2.
1. Os eixos coordenados e a reta x + y = 2.
2. As retas x = O. y = 2r e y = 4.
-r
3. A parábola x =
e a reta y = x + 2.
4. A parábolax =y-y2 ea retay =-x.
5. A curva y = e" e as retas y = O, x = Oex = ln 2.
6. As curvas.'' = ln x e y = 2 ln x e a reta x =e, no primeiro quadrante.
7. As pariíbolas x = .1.2 ex = 2y .1.2.
8. As parábolas x = y 2 - 1 e x = 2y2 - 2.
9. As retasy=x,y=x/3 ey=2.
10. As retas y 1 - x ey- 2 e a curva.r = e'.
11. As retas .1• = 2r. 1· = x/2 e l' = 3 - x.
12. Asretasy = x - 2ey = -x cacurvay = Vx
.
-
Identificando a região de ;ntegração
As integrais e somas de integrais nos Exercícios 13-18 fornecem
as áreas das regiões no plano xy. Esboce cada região. 111arque cada
curva líniitante con1 sua equação e forneça as coordenadas dos pontos onde as curvas apresentan1 interseção. Em seguida, encontre a
área da região.
r
ri··
}o J r'/J ·
6
13.
3
14.
16.1
r2r•-xdydx
loÍ -x/2
210, dy dx + 141,v; dy dr
1
.--4
Jo ./scn.r
2('•l dx dy
1),;
1 1~ ., dy dr
dydx +
18.
15.
12
11.1º11-2.J:r1 -x
f '"' { """' '~" dx
4
dx d11
o
li
20. O que você acha que será maior, o valor médio de f(x, y) = xy
sobre o quadrado O s x s 1, O < y < 1, ou o valor médio de
f sobre o quarro de circulo x2 + y 2 s 1 no primeiro quadrante?
Calcule-os para descobrir.
2 l. Encontre a altura rnédia do paraboloide
quadrado O< x s 2. O< y < 2.
== x2 + J,2 sobre o
22. Encontre o valor 1nédio de f(x. y) = l/(xy) sobre o quadrado
ln 2 s x s 2 ln 2, ln 2 s y s 2 ln 2.
Teoria e e><emplos
23. População de bactérias Se f(x, y) = ( 1O.OOOe1")/(1 + µ-1/2)
representa a "densidade populacional" de certo tipo de bactéria no plano X)'. onde x e y são n1cdidos em centimetros,
encontre a população total de bactérias dentro do retângulo
- 5 S X S 5 C- 2 < )' < 0.
24. População regional Se f(x, y) = 100 (y + 1) representa a
densidade populacional de wna região plana na Terra. onde x
e y são nicdidos en1 n1ilhas, encontre o número de pessoas na
região delimitada pelas curvas x = .v2 ex= 2y- ,v2.
25. Ternperatura média no Texas De acordo com o Texas tll111a11ac. o Texas tem 254 condados e unia est..'lção do Serviço
Nacional de Meteorologia e111 cada un1 deles. Considere que.
no instante 10, cada uma das 254 estações meteorológicas tenha registrado a ternpcratura local. Encontre uma fórmula que
daria uma aproxin1ação razoável para a ten1peratura n1édia no
Texas no instante 10 . Sua resposta deve envolver infonnaçôes
provavel111ente disponíveis no Texas A/111a11ac.
26. Se y = /(x) é urna função contínua não negativa sobre um intervalo fechado a s x s b. n1ostre que a definição de integral
dupla da área para a região plana fechada delimitada pelo gráfico de f , as retas verticais x - a ex - b e o eixo x concorda
com a definição para a área abaixo da curva na Seção 5.3 .
314 Cálculo
15.4
Integrais duplas na forma polar
As integrais, algun1as vezes, são mais fáceis de calcular se n1udara1os para
coordenadas polares. Esta seção mostra como realizar a n1udança e con10 calcular
integrais sobre regiões cujas fTonteiras sejam dadas por equações polares.
Integrais em coordenadas polares
Quando definin1os a integral dupla de un1a função sobre uma região R no plano
-'Y· começa1nos cortando R em retângulos cujos lados são paralelos aos eixos coordenados. Esses era1n os formatos naturais para usar, porque seus lados têm valores
constantes de x ou y . Em coordenadas polares, o formato natural é tun '·retângulo
polar" cujos lados tên1 valores constantes der e O.
Suponha que u111a função /(r, 9) seja definida sobre un1a região R que é delimitada pelos raios 8 = a e O= f3 e pelas curvas contínuas r = g 1(9) e r = g 2(8). Suponha
também que O < g 1(8) < g2 (9) <a para todo valor de() entre a e {3. Então Restá
cm uma região com formato de leque Q definida pelas desigualdades O :::; r s a e
a < 8:::; {3. Ver Figura l5.2 I.
r =a
o
A região R: g 1(8) $ r < g 2(8). a< e s {3, está contida na região cm
formato de leque Q: O::; r $"·a$ 8 $ (3. A partição de Q por arcos circuJares e raios
induz uma partição de R.
FIGURA 15.21
Cobrin1os Q por u1na grade de arcos circulares e raios. Os arcos são cortados
a partir de circunferências cenrradas na origem, com raios ór, 2ór, ... , 111llr, onde
tJ.r = a/111. Os raios são dados por
o=a, 8 = a + tJ.8, () = a + 2tJ.8. ... , e = a + 111 1),.8 = /3,
1
onde t.f) = (/3 - a)/111'. Os arcos e os raios divide1n Q em pequenos pedaços chamados "retângulos polares".
Enumeran1os os retângulos polares que estão dentro de R (a ordern não irnporta), denominando suas áreas t.A 1• t.11 2, ••• , t.A,,. Seja (rk, 81) qualquer ponto no
retângulo polar cuja área é Mk. Então, forman1os a soma
li
S,, =
L f (rk, fJk} tlA1:.
k=I
Se f for contínua e1n R, essa son1a se aproxirnará de um lin1ite conforn1e refinannos
a grade para fazer tJ.r e t.(J tenderem a zero. O li1nite é denominado integr<1l dupla
de f sobre R. En1 sín1bolos,
li1n S,, = {{ f(r, 8) dA.
,,_.oo
}}
R
Capítulo 15 Integrais múltiplas
315
Para avaliar esse li1nite, primeiro te1nos de escrever a soma S" de fonna que
expresse M k em termos de ór e ó(). Para facilitar, escolhernos r"corno a 1néd ia dos
raios dos arcos interno e externo delimitando o k-ésimo retângu lo polar Mk. O raio
do arco interno delin1itando Mké então r"- (ór/2) (Figura 15.22). O raio do arco
externo é rk + (ór/2).
A área do setor e1n formato de cunha de unia circunferência tendo raio r e
ângulo Oé
A= lo .,.2
Setor maior
2
A observação de que
FIGURA 15.22
'
con10 pode ser visto pela multiplicação de 7Tl.2, a área da circunferência, por ()/ 27T, a
fração da área da circunferência contida no setor. Assi1n sendo, as áreas dos setores
circulares subentendidos por esses arcos na origen1 são
( área do )
área do )
àAt = ( setor n1aior setor 1nenor
2
Raio interno:
nos leva à fórmula t.11 k = ,.,. ô.r 68.
21 ( rk -
tl ,. ) tlO
1
tlr
2
2
2 ( l'k + 2 )
Raio externo:
tl().
Portanto,
M k = área do setor maior - área do setor menor
6.r) -
2
2
T
= 6.() [(1'k +
y
T
( l'k -
T6.r) ] = T6.8 (2rk tlr) = r 11 tlr 6.0.
Con1binando esse resultado co1n a soma que define Sn, temos
S,, =
2::" J(r11, 8k)r11 Âr 6.8.
k= I
oo e os valores de ór e l:lO se aproxin1am de zero. essas so1nas
convergem para a integral dupla
À medida que /1 -
n~n S,, = Jf J(r. ()) r dr d8.
- o+-------x
R
(a)
Uma versão do teorema de fubini diz que o limite aproximado por essas somas
pode ser calculado por repetidas integrações sin1ples con1 relação a r e (J cotno
Sní cm r = 2
~;' l
{ f f(r. 8) dA = f º=/3 f r=g,(oJf(r, O) r dr dO.
JJ
}o=&J r• g i(IJ)
2 r -....
R
r sen O= .1· = V2 ~___,,\
,____~
ou
R
Enlra em r = V2 co~..'ec ()
r = V2 cosscc O
o
(b)
y
/
. o e· 'IT .
M a1or
•L
2
2r--........1
,/ y =.t
R
,,
.1
2 ~---.,,.---,,~
.1
.1
/
/
/ McnorOé~ .
o
(e)
FIGURA 15.23 Encontrando os lin1itcs de
integração cm coordenadas polares.
Encontrando limites de integração
O proceditnento para encontrar limites de integração e1n coordenadas retangulares tambén1 funciona para coordenadas polares. Para caJcular Í~f(r, 8) dA sobre
uma região R em coordenadas polares, integrando pri1neiro com relação a r e em
seguida com relação a O, siga os passos a seguir.
1. Esboço. Faça um esboço da região e identifique as curvas Limitantes (Figura
l 5.23a).
2. Encontre os litnites de integração de r. Suponha u1n raio L a partir da origem
cortando R no sentido de r crescente. Marque os valores der onde L entra e sai
de R. Esses são os limites de integração de r. Eles geralmente dependem do
ângulo() que l forn1a com o eixo x positivo (Figura l 5.23b).
3. E11co11n·e os li111ites de integração de O. Encontre o menor e o maior valor de
(} que delin1itarn R. Esses são os limites de integração de (} (Figura l 5.23c). A
integral iterada polar é
if
R
f(r. 9) dA =
[
O- tt/11rm2
O=wf-1
r= Vi cosscc O
f(r, 8) r dr dO.
316 Cálculo
I'
r=l+cosO
EXEMPLO 1 Encontre os li1nites de integração pan1 a integração de f(r, fJ) sobre
a região R que está dentro da cardioide r = 1 + cos () e fora da circunferência r = 1.
Solução
1. Primeiro esboçamos a região e identificamos as curvas U1nitantes (Figura 15.24).
2. Em seguida, encontramos os /i111ites de integração de r. Um raio tipico a partir
da origem entra e1n R onde r = 1 e sai onde r = 1 + cos e.
/
o= _ E:_2
Sai e1n
Encra
3. Por fin1, encontramos os liinites de integração ele e. Os raios a partir da origem
que apresentan1 interseção com R varian1 de O= -'1Tl2 a O= 7T/2. A integral é
r=l+cosO
em
rr/2; · I +coslJ
1
r= I
flGURA 15. 24 Encontrando os 1iniites de
integração enJ coordenadas polares para a
região no Exe1nplo 1.
- TT/ 2
/ (r , 8) ,. dr dfJ.
1
Se f(r , O) é a função constante cujo valor é 1, então a integral de f sobre R é a
área de R.
•
Area em coorden~das polares
í"Dii:rencial de área en1 coordenadas
1 ;oÍ;res
dA = reir d(}
A área de uma região fechada e limitada R no plano de coordenadas polares é
A =
JJ
r dr dO.
R
Essa fórmula para a área é consistente com todas as fónnulas anteriores. en1bora não provemos esse fato.
Sai cm
r = V~4cc>s_2_
0
y
7T
'
Entra em
r=O
L
',------'1T
r 2 = 4 1.:0S 28
~
flGURA 15.25 Para integrar sobre a
região so111breada. variamos r en1re Oe
V4 cos 20 e fJ entre Oe TTl4 (Exemplo 2).
EXEM PlO 2 Encontre a área delimitada pela lemniscara 12 = 4 cos 20.
Solução Representamos graficamente a lemniscata para determinar os limites de
integração (Figura 15.25) e vemos a partir da sirnetria da região que a área total é 4
vezes a área da porção no pri1neiro quadrante.
rr/4[ V4cos20
A = 4[
•
= 4
, O
l
.
TT/ 4
l rr/4 [r 2]r=Y4cos20
r dr e/O = 4
dO
•O
2 r =-0
2 cos 20 d(J = 4sen2fJ
]rr/4
o
= 4.
Mudando integrais cartesianas para integrais polares
O procedimento para 1nudar tuna integral cartesiana J~ f(x, y) dx d)' para u1na
integral polar é con1posto por dois passos. Primeiro, substitua x = r cos ()e y = r sen
Oe troque dx dy por r dr d(} na integral cartesiana. Ern seguida, estabeleça os limites
polares de integração para a fronteira de R. A integral cartesiana então se torna
JJ
R
f (x,y)clrdy =
.ff
f (rcos8, rsen8) rdrd8,
G
onde G denota a 111esn1a região de integração agora descrita en1 coordenadas polares. lsso é igual ao n1étodo da substituição no Capítulo 5, exceto que agora temos
duas va1iáveis para substituir, en1 vez de un1a. Observe que a diferencial de área
dx dy não é substituída por dr d(J, e sim por r dr c/8. U1na discussão mais geral sobre
n1udanças c.Je variáveis (substituições) em integrais múltiplas será apresentada na
Seção 15.8.
Capítulo 15 Integrais múltiplas
EXEMPLO 3
317
Avalie
Jf e~ d.v
:+yi
d.-:,
R
onde Ré a região se1nicircular limitada pelo eixo x e a curva y = ~(Figura
15.26).
Solução Em coordenadas cartesianas, a integral e1n questão é uma integral não elen1entar e não existe maneira direta de integrar e•2...Y2 corn relação ax ou y. Ainda assim,
y
y=v'1 - x 2
o= 7T
essa integral e outras se1nclhantes são i1nportantes na rnaternática - en1 estatística, por
exemplo - e precisamos encontrar un1a maneira de calculá-la. As coordenadas polares
serven1 como u1na luva para isso. Substituindo x = r cos 6. y = r sen () e trocando
dy dl: por r dr d(J poden1os calcular a integral corno
li
0=0
-~~-----+----~--+X
o
-1
1"1
1
e·'iT_,.i d.v dx =
1
e' r dr d(} =
17T [~ e' ]~d(}
1
R
{ 11 l
ftGURA 15.26 A região semicircular no
Exemplo 3 é a região
os,. s 1. o s (J s 7T,
=lo 2(e - l )dO= ;(e - 1).
O ,. e1n r dr dfJ era justamente o que precisávamos para integrar e'2. Sem isso, não
podería1nos encontrar uma anliderivada para a prin1eira (1nais interna) integral iterada.
EXEMPLO 4
Avalie a integral
{' {~
lo lo
(x2 + y2) dy dx.
Solução A integração con1 relação a y nos dá
ri
(
(1 - x2)3/2)
lo xi~+
3 dr,
uma integral difícil de calcular se1n tabelas.
As coisas ficam n1ais fáceis se trocarmos a integral original por coordenadas
polares. A região de integração em coordenadas cartesianas é dada pelas desigualdades O s; y :S V1 - x 2 e O S x S l. o que corresponde ao interior do quano de
circunferência unitário x 2 +J,2 = J no prin1eiro quadrante (ver Figura 15.26, prin1eiro
quadrante). Substituindo as coordenadas polares x = r cos 9,y = r sen O, O< 8 < 7T/2
e O S r S 1 e trocando dx dy por r dr d8 na integral dupla, te1nos
1
'1~ (x2 + y 2) d,v dr =
o
=
1r./2[1
o
l
.o
r./2 [
(r 2) r dr df)
4]'= 1
~
d8 = !u'7T/2-1 d8 = !!..
4 r=O
o 4
8
Por que a transformação en1 coordenadas polares é tão eficaz aqui? Um dos motivos
é que x2 + J;z é simplificada para r2 . Outro motivo é que os limües de integração se
loman1 constantes.
R
•
1
x- + y- = 1
y
X
FIGURA 15.27
Região sólida no Exen1plo 5.
EXEMPLO S Encontre o volume da região sólida delin1itada superiorn1ente pelo
paraboloide z = 9 - x2 - y2 e inferiormente pela circunferência unitária no plano .\)'.
Solução A região de integração Ré a circunferência unitária x2 + y2 = 1, que é descrita crn coordenadas polares por r = 1, Os 9 s 27T. A região sólida é 1nostrt1da na
Figura 15.27. O volume é dado pela integral dupla
318
Cálculo
=
2., 11 (9r - r dr d()
1
3)
()
EXEMPLO 6 Utilizando a integração polar, encontre a área da região R no plano
xy delin1itada pela circunferência x 2 + .r2 + 4, superiorn1ente pela reta y = 1 e inferiormente pela reta V3x.
y
2
r--\' D. 1•
ou
~ 1
.,
,
3 ' x- + y- = 4
o
FIGURA 15.28
2
Região R no Exernplo 6.
Solução Un1 esboço da região Ré mostrado na Figura 15.28. Prin1eiro, observan1os
que a reta .v = V3x possui coeficiente angular V3 = tg 8, portanto 9 = ?T/3. En1 seguida, observanios que a reta y = 1 apresenta interseção com a circunferência x 2 +
y2 = 4 quando x2 + 1 = 4, ou x = V3. Além disso, a reta radial que vai da origem até
o ponto (VJ, 1) possui coeficiente angular IM= rg e, fornecendo seu ângulo de
inclinação como 8 = '1Tl6. Essas infonnações são exibidas na Figura l 5.28.
Agora, para a região R, à n1edida que fJ varia entre ?T/6 e 7T/3, a coordenada
polar r varia entre a reta horizontal y = 1 e a circunferência x2 +;.2 = 4. Substituindo
r sen (J por y na equação pela reta horizontal, temos r sen () = 1, ou r = cossec (J, que
é a equação polar da reta. A equação polar para a circunferência é r = 2. Assin1, em
coordenadas polares, para 7T/6 < O < 7T/3, r varia entre r = cossec fJ e r = 2. Assim
sendo, a integral iterada para a área nos dá
{{ dA =
}}
R
1.,,/3{ 2 r
dr d()
7r/ 6 ./cosscc8
=
l
l 2
r./ J [ _1 ,.1
Tr/6
2
7r/ 3 1
=
]r=2
d()
r=cos;eeO
[4 - cossec 2 e] d(J
. /6
= 21 [ 48 + cotg8Jrr/3
,,,16
(~
+ 1 ) - J_(47T + V3)
2 3
V3
2 6
= J_
Exercidos 15.4
Regiões em coordenadas polares
Nos Exercícios 1-8, descreva a região dada em coordenadas polares.
'1T - v'3
3
Capítulo 15 Integrais múltiplas
5.
~
Are.a em coordenadas polares
6.
y
-
')
2 1--------.
- --+-- -+---1-- - -2
o
.T
----1---~----~--+ x
o
2\/3
2
7. A região delimitada pela circunferência~ + y 2 = 2,.\·.
8. A região delin1itada pela semicircunferência x 2 + J,2 = 2,v•.1• >O.
Calculando ;ntegrais polares
Nos Exercícios 9-22. substitua a integral cartesiana por uma integral
equivalente. En1 seguida, calcule a integral polar.
11·•'
14.
X dx dy
2
16.
11. 1~
1:,_. 1 -1 -+-V--;::~-=2=+=)=,z
"
=?
'1Vi
+
+
1
1
-vt=:;l ( 1
X
22
i
21)'
. v'2 v'4=?
dxdy
22.
t(V d'C
2 2 dy dr
y )
34. Altura média de un1 cone Encontre a altura média do cone
2 + y 2 acima do disco ,.:i +J:i :;; a2 no plano -~l'.
(si1nples): =
37. Convertendo em uma integral polar Integre f(x . .1') =
[ln (x2 + J..2))~ sobre a região 1 < _
,.i + J,2 s e.
r'lxr../2-? (x + 2y) dy dx
lo
1
21~
o
,
1
,
(x - + y -) 2
dy dx
3
f -rrf2 [«"'~:2 cos Odr dO
l rr/6
11
[rrf4
26.
33. Altura média de un1 hen1isfério Encontre a altura 1nédia da
superfície hcn1isférica == Va 2 - x2 - y 2 acima do disco
-~ + y 2 < a 2 no plano xy.
Teoria e exemplos
{11/2
l'
23. lo
lo r sen (J cos Odr d8
25.
R
35. Distância média entre o interior do disco e o centro Encontre
a distância ntédia entre un1 ponto P(-r, y ) no disco ,,:i + y 2 :;; a2
.
e a origem.
36. Distância média quadrática entre un1 ponto en1 um disco e
um ponto em sua fronteira Encon1re o valor n1édio do quadrado da distância entre o ponto P(x, y ) no disco x2 + J,2 $ 1 e o
ponto de fronteira A( L, O).
Nos Exercícios 23-26, esboce a região de integração e converta cada
unia das integrais polares ou so1na de integrais a unia integral cartesiana ou soma de integrais. Não calcule as integrais.
24.
Are! (R) jf/(r, O) r dr dfJ.
Vx
20.
21 .
Ern coordenadas polares, o valor médio de uma função sobre uma
região R (Seção 15 .3) é dado por
1 'y dydr
rv'
J
rx
15. li li dy dx
11.
18.
J.
27. Encontre a área da região cortada do primeiro quadrante pela
curvar = 2(2 - sen 28) 112.
28. Cardioide sobrepondo-se a uma circunferência Encontre
a área da região que está dentro da cardioide r = 1 + cos O e
fora da circunferência r = 1.
29. Uma pétala de rosa Encontre a área delimitada por uma pétala da rosa r = 12 cos 30.
30. Concha de caracol Encontre a área da região delin1itada
pelo eixo x positivo e a espiral r = 4013. O< fJ $ 21T. A região
se asse1nelha a un1a concha de caracol.
31. Cardioide no primeiro quadrante Encontre a área
da região cortada do pri111eiro quadrante pela cardioide
r = l + sen 8.
32. Cardioides sobrepostas Encontre a área da região comun1
aos interiores das cardioides r = 1 + cos Oc r = 1 - cos O.
Valores médios
6
13.
319
38. Convertendo e1n uma integral polar Integre /(x. y) =
[ln (x2 + .1.?))/(x2 + .1.2) sobre a região 1 $ x2 + y 2 s; e2.
39. Volun1e de um cilindro reto não circular A região dentro
da cardioide r = 1 + cos 8 e fora da circunferência r = 1 é a
base de um ci lindro sólido reto. O topo do cilindro está no
plano;; = x. Encontre o volun1e do cilindro.
40. Volume de um cilindro reto não circular A região delimitada pela lemniscata ,.i = 2 cos 20 é a base de um cilindro
sólido reto cujo topo é delunitado pela esfera z = V2 - r 2•
Encontre o volume do cilindro.
41. Convertendo en1 integrais polares
a. A n1aneira usual de calcular a integral i1nprópria
1
/ = 0"° e-x dx é pri111eiro calcular seu quadrado:
J
[ 2$cc 0
lo Jo
,
l 1
,.s seril 8 dr d(J
/
11112 1~ ca<114'<D1
r dr dO +
r dr d(J
"'º o 1
•s 1j
o
(1""' e-.r1 (1"<> e->· ~v) = 1""1 e-<.r1+,.i1
00
1g ·• ~
o
2
=
d"f)
1
d,- dy.
Avalie a úllinta integral utilizando coordenadas polares e
resolvendo a equação rcsulíante para /.
320
Cálculo
b. Calcule
).j;
1
2 -1'
lim erf(x) = lirn
x- oo
.'(-+
42. Convertendo em uma integral polar
""[
1
o .o
1T
46. Área
Suponha que a ãrea de uma região no plano de coordenadas polares seja
dl.
,.f =
rr/~
Calcule a integral
- - -1- -- dx dv.
2 2
( l +x 2 +y)
·
lntegre a função f(x, y) = 1/( 1 -x2 - ;.2) sobre o
disco x2 + -~ s 3/4. A integral de f(x. y) sobre o disco x 2 r y 2
< 1 existe? Justifique sua resposta.
44. Fórn1ula da área en1 coordenadas polares Ulilize a integral dupla ern coordenadas polares para deduzir a fónnula
43. Existência
para a área da região em formato de leque entre a origem e a
curva polar r = /(8). a S 6 S {3.
45. Distância média a um determinado ponto dentro de um
disco Seja P0 un1 ponto dentro de uma circunferência de raio
a e h a distância entre P0 e o centro da circunferência. Seja
d a distância entre um ponto arbitrário P até P0• Encontre o
valor médio de d~ sobre a região delimitada pela circunferência. (Sugestão: simplifique seu trabalho colocando o centro da
circunferência na orige1n c P0 no eixo x.)
15.5
1
3-rr/~1 2 """º
r dr d6.
cos."'c O
Esboce a região e encontre sua área.
USO DO COMPUTADOR
Nos Exercícios 47-50, utilize urn SAC para mudar as integrais cartesianas para uma integral polar equivalente e calcular a integral polar.
Realize as etapas a seguir e1n cada exercicio.
a. Represente grafícan1ente a região cartesiana de integração
no plano -i.:v.
b. Troque cada curva-li1nite da região cartesiana no iten1 (a)
por sua representação polar, resolvendo sua equação cartesiana para r e 9.
e. Utilizando os resultados do ite1n (b), represente graficamente a região polar de integração no plano rO.
d. Mude o integrando de coordenadas cartesianas para polares. Determine os limites de integração a partir de seu
gráfico no itcrn (c) e calcule a integral polar utilizando a
ferramenta de integração do SAC.
47.
{'
1
'
lo
.<
48.
X
2 Y
+J
2 dydx
'
/
2
'
1
1 + )'
l X
O
l dy dx
X
1 Vx2 +
'J.'1•/3
49.
-.1·/3
)'
--;::;:::==;dx dr
Yz
•
50.
Integrais triplas em coordenadas retangulares
Assin1 como as integrais duplas nos per111ite1n lidar co111 situações mais gerais
do que utilizando integrais si1nples, as integrais triplas nos pern1iten1 resolver problen1as ainda mais gerais. Utilizamos integrais triplas para calcular os volumes de
fonnas trirumensionais e o valor médio de uma função sobre un1a região trirumensional. As integrais triplas tan1bém surge1n no estudo de can1pos vetoriais e escoan1ento de fluidos cm três dirnensões. confom1e veremos no Capítulo 16.
-
~
r
Integrais triplas
ex, ..1·,.::.)
D
1,---..\~Í
/
Se F(x. y, z) é uma função definida em un1a região D fechada e limitada no
espaço, como a região ocupada por u1na bola sólida ou tuna pelota de argila, então a
integral de F sobre D pode ser definida da maneira a seguir. Particionan1os uma região cm forn1ato de caixa retangular contendo D cn1 pequenas células retangulares
por planos paralelos aos eixos coordenados (Figura 15.29). Enu1neramos as células
que estão co1nplcra1ncnte dentro de D de 1 até n e1n alguma ordem, a k-ésima célula
tendo dimensões &k por Ó.)'k por õ=k e volun1e ó.Vk = !!..~kó.y1<ô.z1... Escolhen1os un1
ponto (xk, yk, =k) en1 cada célula e fonnarnos a son1a
n
FIGURA 15.29 Particionando um sólido
com células retangulares de vol11n1e 6V".
S,, =
2: F(xi..Yk· Zk) Á Vk.
(1)
k~ I
Esta1nos interessados no que acontece à medida que D é particionada em células cada vez menores, de forma que t:1.xk, ó.yk, ô.z~ e a norma de partição llPll, o maior
valor entre ó.x", ó.yk, ô.zk, se nproxi1na111 de zero. Quando un1 valor-Ji1nite único é
alcançado, não importa con10 as partições e pontos (xt• yk, zk) são escolhidos, dizen1os que Fé integrável sobre D. Assin1 como anteriormente, podemos mostrar que
Capítulo 15 Integrais múltiplas
321
quando Fé contínua e a superfície limitante de D é formada por u1n nú1nero finito
de superfícies lisas ligadas ao longo de um nún1ero finjto de curvas lisas, então F
é integrãvel. Confonne llPll - Oe o nú1ncro de células /1 tende a oo, as son1as S,, se
aproximam de u1n lin1ite. Cha1nan1os esse Limite a integral tripla de F sobre D e
escreven1os
lim Sn = {{{ F(x,y. 2) dV
11~00
}}}
li1n S = {{{ F(x. y, z) dx dr dz.
llPll->O 11 j j j
.
.
ou
D
D
As regiões D sobre as quais funções contínuas são integráveis são aquelas tendo
fronteiras "razoavelmente lisas".
Volume de uma região no espaço
Se F é a função constante cujo valor é l, então as son1as na Equação 1 são
reduzidas para
Amedida que ~xA, ti.yk e t:.zk se aproximam de zero, as células ti. Vk se tornam menores e 1nais nun1erosas e preenchem D cada vez mais. Portanto, definimos o volwne
de D como sendo a integral tripla
±
n-=
Li1n
llVk =
k= I
DEFINIÇÃO
{{{ dV.
) }}
D
O volume de uma região D fechada e limitada no espaço é
V=
J/J
dV.
/)
Essa definição está de acordo co1n nossas definjções anteriores de volun1e, embora
onlitindo a verificação desse fato. Como veren1os logo a seguir, essa integral nos
per111ite calcular os volu1nes de sólidos delimitados por superfícies curvas.
Encontrando limites de integração na ordem dz dy dx
Avaliamos uo1a integral tripla aplicando un1a versão tridimensional do teorema
de Fubini (Seção 15.2), para avaliá-la por três integrações simples repetidas. Assin1
como para as integrais duplas, existe um procedimento geométrico para encontrar
os 1i1nites de integração para essas integrais simples.
Para calcular
JIJ
F(x, )', z) dV
l
sobre un1a região D. integran1os prin1eiro co1n relação a z, em seguida co1n relação
a J' e, por fim, com relação a x. (Você pode escolher u1na ordem diferente de integração. mas o procedirnento é sernelhante, confonne ilustramos no Exemplo 2.)
1. Esboço. Faça um esboço da região D juntan1ente co1n sua ·'so1nbra" R (projeção
vertical) no plano .1y. Identifique as superfícies lin1itantes superior e inferior de
D e as curvas limitantes superior e inferior de R.
322 Cálculo
V:; = f,(x.
- .I')
D
:: = f1(x. )')
r---.:__,.
•
: Y = 81(X)
-1
1
1
1
b
---
X
2. Encontre os lirnites de integração de :. Desenhe uma reta M passando por um
ponto típico (x. ;·) en1 R paralela ao eixo z. À 1nedida que z cresce, M entra cm
D cm z = f 1(x, y) e sai em z = f 2(x, J'). Esses são os lin1ites de integração de z.
-
•
M
-
- - - ,,.._
_-~Sai cm
.... , :: = f 1(X. y)
D
'l----f::;:.-Entra em
:: = f,(x, y)
\'
(1
b
--
X
.I'"" 82(.r)
3. Encontre os lirnites de integração de J'- Desenhe unia reta l passando por (x, y)
paralela ao eixo y. À medida que y cresce, L entra em R em y = g 1(x) e sai en1
y = g2(x). Esses são os limites de integração de J'.
--
M
D
,--'
1
J.. - - -
"
1
-
1
Entra em
Y = g,(x)
X
b
.\
-- --
Sui em
Y = 82(X)
Capítulo 15
Integrais múltiplas
3 23
4. E11co111re os lin1ices de integração de x. Escolha limites dex que inclua1n todas as
retas passando por R paralelas ao eixo y (x = a ex = b na figura anterior). Esses
são os limites de integração de x. A integral é
rehl y=gi(r)1 ==
1
/2(.t.•1')
_,, • y-g 1(t)
F(x, y. =) d: dv dx.
: - /1(x,y)
'
Siga procedilnentos semelhantes se você trocar a ordem de integração. A "sombra" da região D está no plano das duas últimas variáveis e1n relação às quais a
integração iterada é realizada.
O procedi1nento anterior se aplica se1npre que u1na região sólida D é deli1nitada
superior e inferiormente por uma superfície, e quando a região "sombra" Ré delimitada por uma curva inferior e superior. Esse procedilnento nào se aplica a regiões
contendo orifícios muito complexos, aindn que algun1as vezes tais regiões possam
ser subdivididas em regiões mais sin1ples para as quais o procedin1ento se aplica.
EXEMPLO 1 Encontre o volun1e da região D dejjmitada pelas superfícies z = i1- + 3y2
e= = 8 - x2 -.r 2.
Solução O volume é
V=
fJJ
d= d_v dx.
D
a integral de F(x, y, z) = l sobre D. Para encontrar os limites de integração para
o cálculo da integral, pri1neiro esboçatnos a região. As superfícies (Figura 15.30)
apresentam interseção no cilindro elíptico .t2 + 3y2 = 8- x 2 - y2 ou x2- + 2y2 = 4, z > O.
A fronteira da região R. a projeção de D sobre o plano .:iJ1. é uma elipse co1n a mesma
equação: x 2 + 2;,2 = 4. A fronteira "superior" de R é a curva y = V (4 - x2)/ 2. A
fronteira inferior é a curva J' = - V( 4 - x2)/ 2.
Agora, encontramos os limites de integração dez. A reta M passando por um
ponto típico (x, y ) e111 R paralela ao eixo =entra cm D cm z = .t2 + 3y2 e sai cm z =
8- x2 -v2
.
•
M
Sai em
..
,
.
,
- = 8 -x· - v-
,
;; = 8 - x- - l'-
/
1
1
Curva de interseção
1
1
/
1
1
1
D
~
1
1
•
'(-2. o. 4)
\ ,__ _ ;; = x2 + 3y2
(2, 0.4)
Entra cm
z = xl + 3yl --i-~:---i
Entr.1 ein
y = - Ví~(4----~
~ 1-)/-2
(-2. O, O)
-
<-x
2 +2y1 = 4
(2, 0.0)
R
Entracn1 /
)' = Yc4 - .r 2 )/2
l
J
FlGURA 15.30 O voluntc da região dcl.inútada por dois paraboloides.
calculado no Exen1plo 1.
324
Cálculo
En1 seguida, encontran1os os limites de integração de J'. A reta l passando por (x, y) paralela ao eixo y entra em R em J' = -V(4 - x 2)/ 2 e sai em
y = V(4 - x 2)/ 2.
Por fin1. encontramos os limites de integração de x. Conforme l varre R, o valor de x varia entre x = - 2 en1 ( 2, O, O) ex = 2 e1n (2, O. O). O volume de D é
V=
.lf!
dz dy dx
o
=
·2
/2
/2
]
[
(
2
)3
(
2
)3
4' r.:/_2
g 4 ~X
~
4 ~X
<b;
=
~ 2 - z ( 4 _ x 2)3/2 dx
;
=
s7TV2.
-i
_
No exernplo a seguir, projetamos D no plano x=, cm vez de no plano xy, para
mostrar con10 utilizar un1a orde1n de intc1:,rração diferente.
EXEMPLO 2 Detennine os limites de integração para avaliação da integral tripla de
uma função F(x. y , z) sobre o tetraedro D com vértices (0, O, 0), ( 1, 1, O), (0, 1, O) e (0,
1, 1). Utilize a ordem de integração d;• dz d.x.
1
---------,,.<º· 1.1 )
Esboçamos D junto con1 sua "son1bra•· R no plano xz (Figura 15.31 ).
A superfície limitante superior (à direita) de D está no plano y = 1. A superfície
li1nitante inferior (à esquerda) está no plano y = .>.· + z. A fronteira superior de Ré a
reta z = 1 - x. A fronteira inferior é a reta z = O.
Pri meiro encontramos os Limites de integração de y. A reta passando por um
ponto típico (x, z) e1n R paralela ao eixo J' entra e1n D em y = x + z e sai en1 J' = 1.
E1n seguida, encontramos os limites de integração de =· A reta l passando por
(x. y ) paralela ao eixo z entra em R em,;;: = O e sai em= = 1 - x.
Por fim, encontran1os os limites de integração de x. Confom1e l varre R, o
valor de x varia entre x = Oex = 1. A integral é
Solução
""' i:- y
\•= x+ z
.
Reta
x +:= I
= 1
~
R
(0 , 1.0)
- -- .'·
r
X
Entra em
~· =
.r + :
-- ~ --- ----
j
Sui en1
y= I
( 1. 1. 0)
{' {' -xll F(x , y , z)d_vdzdr.
lo./o . ,,·-r:
.r
FIGURA 15.31 Encontrando os limites de
integração para o cálculo da integral tripla
de uma função definida sobre o tetraedro
D (Exernp los 2 e 3).
EXEMPLO 3 Integre F(x, y, =) = 1 sobre o tetraedro D no Exen1plo 2 na ordem
dz dy d\' e em seb'l1ida integre na ordem dy dz dx.
Prirneiro encon1ran1os os li1nites de integração de=· Unia reta 1\1 paralela
ao eixo =passando por u1n ponto ti pico (x, y ) na "sombra" no plano XJ' entra no tetraedro e1n z =O e sai onde z = y - x (Figura 15.32).
Em seguida, encontran1os os limites de integração de y. No plano xy, onde
z = O, o lado inclinado do tetraedro cruza o plano ao longo da reta y = x . Uma reta
l passando por (x, y) paralela ao eixo y entra na so1nbra no plano .lY em y = x e sai
em y = 1 (Figura 15.32).
Solução
Capítulo 15 Integrais múltiplas
: = )' -
M
o
X
Finalrnente, encontramos os limites de integração de x. À 1nedida que a reta l
paralela ao eixo y no passo anterior varre a sornbra, o valor de x varia entre x = Oe
x = 1 no ponto ( 1, l , O) (ver Figura 15.32). A integral é
X
l
lil
'
T
i
(0. 1. 1)
1
.
>(:r~_v) I
Por exemplo, se F(x, J', z) = 1, encontraríamos o volume do tetraedro con10 sendo
(0. 1. 0)
V = 1 11 11 _,.-., dz d;1d."<
\'
•
- •l
)' = 1
f
=
)' = .r
_______ ___ J
1
11 (J' - x) có• dx
lo
'R
( 1. 1. O)
X
1
]v= 1
1 [ l
=
•
X
A GURA 15.32
F(x,y, z) dz d_y dx.
o
. .r
D
/
325
-y2 - .\Y
cl"<
2
···~.\
O tetraedro no Exemplo 3
n1os1ra corno os li111ites de integração são
encontrados para a orden1 d= dy dx.
Obteremos o n1esmo resultado integrando corn a ordern dy dz dx. A partir do Exemplo 2,
V=
1r r
11 1-.ri l
o
1
=
=
=
.. +:
dydzd~·
1-.t
lo }o (1 - x - z) dz dr
]:-1-x
d.x
11 [c1-x)z--zI ,
2
1' [c1
- x) 2 -
t
:• O
( 1 - x) 2 ] dx
Valor médio de uma função no espaço
O valor médio de uma função F sobre uma região D no espaço é definido pela
fóm1uJa
Valor médio de F sobre D =
I I d D ( (( F dV.
vo ume e
lJl
D
(2)
Por exemplo, se F(x, y , z) = Vx 2 + y 2 + z 2• então o valor médio de F sobre D é
a distância 1nédia de pontos ern D a partir da origem. Se F(x, y, z) é a ternperatura
em (x,y, .;;) em um sólido que ocupa a região D no espaço, então o valor 1nédio de F
sobre D é a temperatura 111édia do sólido.
326 Cálculo
EXEMPLO 4 Encontre o valor médio de F(x, y, z) = xyz sobre a região cúbica D
dei imitada pelos planos coordenados e pelos planos x = 2. _v = 2 e z = 2 no pritneiro
octante.
Solução Esboçamos o cubo com detalhes suficientes para mostrar os lin1ites de
integração (Figura 15.33 ). En1 seguida, utilizamos a Equação 2 para calcular o valor
médio de F sobre o cubo.
O volume da região D é (2)(2)(2) = 8. O valor da integral de F sobre o cubo é
D
2
2
X
/
-"
2
2
[4
2
f 2 f f X)IZ dx dy dz = f rz
lo lo lo
lolo
=
Região de integração do
Exen1plo 4.
x=O
2
f f 2yz d)' dz
lo lo
1 ~· z 1::~: = 1 = [ J:
2
FIGURA 15.33
yz]x• l dy dz =
2
2
2
4z d=
dz
2z
2
= 8.
Co1n esses valores. a Equação 2 nos dá
(t)<8) - I.
Valormédiodexyz =
1
{{{ :r -dV =
sobre o cubo
volun1e
-Y-
111
cubo
Ao calcular a integral, escolhemos a ordem dx dJ' dz, mas qualquer uma das outras
cinco ordens possíveis também funcionaria.
Propriedades de integrais triplas
As integrais triplas têrn as mesmas propriedades algébricas que as integrais duplas e sin1ples. Substitua simplesmente as integrais duplas nas quatro propriedades
apresentadas na Seção 15.2.
Exerácios 15.5
Integrais triplas em ordens de iteração diferentes
1. Calcule a integral no Exernplo 2 fazendo F(x, .''· =) = 1 para
Calculando integrais triplas iteradas
Calcule as integrais nos Exercícios 7-20.
encontrar o volurne do tetraedro na ordern d= dx dy.
2. Volun1e de um sólido retangular Escreva seis diferentes
integrais triplas iteradas para o volwne do sólido retangular
no prin1ciro ocrante, delimitado pelos planos coordenados e os
planos x = 1, y = 2 e;; = 3. Calcule uma das integrais.
3. Voluon~ do tetraedro Escreva seis diferentes integrais triplas iteradas para o volurne do tetraedro cortado a partir do
primeiro octante pelo plano 6x + 3y + 2z = 6. Calcule uma das
integrais.
4. Voluo1e de uo1 sólido Escreva seis diferentes integrais triplas iteradas para o volwne da região no pri1neiro octante, delimitado pelo cilindro.x-2 + z2 = 4 e o plano y = 3. Calcule uma
das inrcgrais.
5. Voluo1e limitado por paraboloides Seja D a região delimitada pelos paraboloides= = 8 - x2 .V1 e : = x2 + .v2. Escreva
seis diferentes integrais triplas iteradas para o volun1e de D.
Calcule u1na das integrais.
6. Volume dentro de um paraboloide abaixo de uo1 plano
Seja D a região delimitada pelo paraboloide: = x2 + y 2 e o plano z = 2y. Escreva integrais triplas iteradas na ordern d= dx dy
c d= dy dx que forneçam o volume de D. Não calcule nenJ1uma
das integrais.
3..1- .1 3x
1·
o
dz dydr
1T/blll3y scnz dx dz
1
13.
1o
31~[~ d: dv d,·
.o
f Jv'4-?12r+_v dz d'< dv JS.
2
14.
o . -2
l o -\ 4 y' o
·
1'1'-·1
l1 2-.•1o2-r-y d= dy d1:
1
o
.o
4
16.
c~v
-r'-.1 x dz dy cb:
17.1"'1"1"
f 'jv;}ir~
cos(11 + u + 111) dudut/111 (espaço 11u)
18. }o
1
se' ln r
(ln 1) 2
1
dr dr tis
(espaço rst)
Capítulo 15 Integrais múltiplas
L9.
1"'lo'º.ecu/~ e·' dx dt du (espaço tux)
{ ' {2{ vR
20. } o ./o
./o
327
24. A região no priineiro octante delimitada pelos pla11os coordenados e os planos x + == 1, y + 2= = 2
q
,. + 1 dp dq dr (espaço pqr)
Encontrando integrais iteradas equivalentes
21. Aqui está a região de integraç.'io da integral
'
1
'
ll-y
1
..-1
1
y
d;: dv dx.
.0
·
25. A região no prin1eiro octante delimitada pelos plwos coordenados, o plano y + z = 2 e o cilindro x = 4 - ) ,2
Topo: y + : = l
/..
Lado:
y = .r'
1t
""'---- ~:
- 1
:;---
{ 1.
X
,
(-1. 1. O)
f----_ )'
f. 0)
Reescreva a integral como uma integral iterada equivalente na
orden1:
d . dY e/;: dy
a. dv
. dz dx
b. <~1 1 tlr dz
e. d= dx c~1·
e. dxdydz
26. A cu11ha cortada do cilindro x1 + y 2 - 1 pelos planos z = - y
e z= O
22. Aqui está a região de integração da integral
1·1~1 ~ dz ~1' tlr.
{0. - 1.1)
X
(l.- 1. l )
27. O tetraedro no pri1neiro octante deli1nilado pelos planos coordenados e o plano passando por ( l. O. 0), (0, 2, 0) e (O, O, 3)
~~/
(l.-1.0)
l
o )'
(0, o, 3)
.f
Reescreva a integral con10 un1a integral iterada equivalente na
orde1n:
a. úy dz dx
d. clr d; t(I'
b. dydxdz
e. dzdxdv
e. d< <(1• d;
Encontrando volumes utilizando integrais triplas
Encontre os volumes das regiões nos Exercícios 23-36.
------\'
(0.2.0)
28. A região no prirneiro octante delimitada pelos planos coordenados, o plano y,... 1 - x e a superfície z = cos (1Tx/2). O~ x < 1
23. A região entre o cilindro= = y 2 e o plano .\1 ' que é dclin1itada
pelos planos x = O. x = 1. y = - 1, y = 1
/1
--~ y
.t
y
X
328 Cálculo
29. A região comum aos interiores dos cilindros x 1 + y 1 =. 1 e x2 +
z2 = 1, un1 oitavo do qual é exibido na figura a seguir
33. A região entre os planos x .,. y + 2z = 2 e 2x + 2y +
== 4 no
primeiro octante.
34. A região finita dclirnitada pelos planos= = x, x + == 8. z = y.
y = 8 e z = O.
35. A região cortada do cilindro elíptico sólido x1 + 4y 1 < 4 pelo
plano .\J' e o plano= = x + 2.
36. A região deli1nitada atrás pelo plano x = O. na frente e nos
lados pelo cilindro parabólico ;r = 1 - J.i. no topo pelo paraboloide: = x2 + J,2 e no fundo pelo plano .\J'·
Valores médios
/
30. A região no primeiro octante delintitada pelos planos coorde-
nados e a superfície; = 4 - x 2 - y
Nos Exercícios 37-40, encontre o valor 1nédio de F(x, y, z) sobre a
região determinada.
37. F(x,y, z) = x 2 + 9 sobre o cubo no primeiro ociante, delin1ilado
pelos planos coordenados e os planos .\" = 2. y = 2 e= =2.
38. F(x, y. :) "" x + y - z sobre o sólido retangular no primeiro octante. dcli1nitado pelos planos coordenados e os planos x = 1.
y= 1 c: = 2.
39. F(x, y, z) =x2 +y 2 +z2 sobre o cubo no pri1neiro octante, delimitado pelos planos coordenados e os planos x = 1. y = 1 e== 1.
40. F(x, y, ;:) = XJ'= sobre o cubo no primeiro octante. delimitado
pelos planos coordenados e os planos x = 2. y =- 2 e: = 2.
Alterando a ordem de integração
Calcule as integrais nos Exercícios 4 1-44 alterando a ordem de integração de 1naneira apropriada.
l
o
'l,
r
1
r
r
r
:
2t;e=>' dx
./o./o}'"'
4
41.
1
42.
3 1. A região no primeiro octante delimitada pelos planos coordenados, o plano x + y = 4 e o ci lindro j1+4z1 = 16
2
4 cos (x )
•
dx dyd=
2 V;
O 2..
•\'
X
2
<(l'
l
1
43.
1
1
d::
hl 11nl
7Te2«sen7Ty2
o
y·
r
\~:
dr dy d=
'
4
44.
1Jo -~l.r ~ei~~ t(1•d= dx
Teoria e exemplos
.r
45. Encontre uni limite superior de uma integral iterada
Encontre a em:
X
32. A região cortada do cilindro x2 + _r2 = 4 pelo plano;: = O e o
plano x + z = 3
--
46. Elipsoide Para qual valor de e o volume do elipsoide x 2 +
(.r/2) 2 + <=lc)2 = 1 é igual a 877?
47. t\'linin1izando uma intcgraJ tripla Que do1nínio D no espaço n1inimiza o valor da integral
jjf
(4x 2 + 4y 2 + : 2 - 4) dV?
D
Justifique sua resposta.
48. Maxi1nizando uma integral tripla
ço n1aximiza o valor da integral
JJJ(1 - x
2
- y
D
Jusrifique sua resposta.
2
-
Que domínio D no espa2
;; ) dV?
Capítulo 15 Integrais múltiplas
USO DO COMPUTADOR
51. F(x,y. z) =
(x
Nos Exercícios 49-52, utilize a fcrra111enta de integração de um
SAC para calcular a integral tripla da função dada sobre a região
sólida especificada.
49. F(x,y, => =,rly2z sobre o cilindro sólido delimitado por ).;i + y 2 = 1
e os planos z = Oe == 1.
2
+ •I'
:
,
+ z·) 312
3 29
sobre o sólido delin1itado in-
feriorn1ente pelo cone : = Vx 2 + y 1 e superiormente pelo
plano z = 1.
52. F(x. y, z) = x 4 + y2 + z2 sobre a esfera sólida .\ J. + y 2 + :2 $ 1.
50. Ftx, y, z) = l)..J'ZI sobre o sólido de linlitado inferiorrnente pelo
paraboloide z = .\;i + J.i e superiom1ente pelo plano z = 1.
15.6
Momentos e centros de massa
Esta seção 1nostra como calcular as n1assas e os mo1nentos de objetos bi e tridimensionais em coordenadas cartesianas. A Seção 15. 7 fornece os cálculos para
coordenadas cilíndricas e esféricas. As definições e ideias são semelhantes ao caso
de tnna variável que estudamos na Seção 6.6, mas agora podemos considerar situações 1nais realistas.
Massas e primeiros momentos
Se 8(X.J'· z) é a densidade (massa por volume ui:titário) de u1n objeto ocupando
uma região D no espaço, a integral de 8 sobre D dá a n1assa do objeto. Para saber
por quê, imagine o objeto sendo dividido em 11 elementos de massa como aquele na
Figura 15.34. A massa do objeto é o limite
D
J.tf = litn :± 6111* = lim :±scxk,}'k.zk) óVk= fffscx.y, z)dv.
11-00 Ir-= 1
y
X
FIGURA 15.34 Para definir a niassa
de un1 objeto, primeiro a in1agina1nos
sendo dividida em uni número finito de
ele1nentos de n1assa t.J11t.
,, ..... oo Ã' "" I
}//
D
O pri1neiro 1no111e11lo de uma região sólida D em relação a um plano coordenado é definido como a integral tripla sobre D da distância entre u1n ponto (x,y, => cn1
D e o plano multiplicada pela densidade do sólido naquele ponto. Por exernplo. o
prirneiro momento sobre o plano y= é a integral
M1:
=li!
x8(x,y, z) d V.
D
~ =
o
.,
O centro tle 111assa é encontrado a partir dos prirneiros 111omentos. Por exe111plo,
a coordenada x do centro de 111assa é x = M,j M.
Para u1n objeto bidiinensional, como ·uma placa fina e plana, calculamos os
pritneiros mon1entos em relação aos eixos coordenados simplesmente suprimindo a
coordenada z. Dessa forma, o prin1eiro momento etn relação ao eixo y é a integral
dupla, sobre a região R formando a placa. da distância ao eixo multiplicada pela
densidade, ou
'
4 - .r ' - y-
M_,. =
R
Jf
x8(x, y) dA.
R
y
A Tabela 15.1 resu111e as fórn1u las.
x- + )'" = .+
X
FIGURA 15.35 Encontrando o centro de
1uassa de um sólido (Exemplo 1).
EXEMPLO 1 Encontre o centro de massa de um sólido de densidade constante 8
deli111itado inferiormente pelo disco R: x2 + .v2 < 4 no plano z = O e superiormente
pelo paraboloide:; = 4 - x2 -1 (Figura 15.35).
330
Cálculo
TABELA 15.1 Fórmulas de massa e primeiro momento
SÓLIDO TRlOIMENSIONAL
Massa: J\1 =
JJf
8dV
81 r. r. =l l' ",1cns1.l.1dc c111 1" ,. = 1
i'J
D
Prin1eiros mon1entos cm relação aos pla nos coordenados:
~-= = J!J xBdV,
11!
M.r= =
M.,_.. =
J' 8 dV,
D
D
.fff =a dv
D
Centro de massa:
-
_
Nf:c
y= lvf'
M,"
M'
X =
- = M.n•
.
~
-
M
M:.. =
JJ
PLACA BIDIMENSIONAL
Massa: M =
Jf
8 dA
R
Primeiros n1on1entos: M,. =
11· x 8 dA,
R
_
1W_,.
y8 dA
R
_
Mx
J' = M
Centro de massa: X= /11'
Solução Por simetria, .X = ji = O. .Para encontrar
z, prin1eiro calcula1nos
rrr=
=
4
-.
..--vrr
[
1]==
4
-.
..--V"
1\11,y = jjj==O
. z 8 dz d_y dx = }} T ==O . 8 tly dx
"1
.,.,
R
=
R
%jj'(4 - x
2 -
y 2 )2 dydx
R
ªi2.,,.12
(4 2 o o
= -
r 2 ) 2 rdrdf)
5i2.,,. [- -1 (4 -
= -
2O
6
r 2) 3
]r==2 d(J =
r=O
Um câlculo semelhante fornece a massa
rrr 4-r-1~
. 8 dz dy dx = 87T8.
A1 = }}}
R
0
Portanto, z = (lvf_Yl/M) = 4/3 e o centro de 1nassa é (X. j\ ::) = (O, O, 4/3).
.
Quando a densidade de un1 objeto sólido ou placa é constante (corno no Exet11plo 1}, o centro de rnassa é chamado de centroide do objeto. Para encontrar u1n
centroide, defi1limos 5 sendo igual a 1 e prosseguimos para encontrar x, )' e z como
anteriormente, dividjndo os primeiros mo1nentos pelas massas. Esses cálculos tarnbém são válidos para objetos bidimensionais.
EXEMPLO 2 Encontre o cenrroide da região no pri1neiro quadrante que está delimitada superionnente pela reta y = x e inferionnente pela parábola y = .r2.
Capítulo 15
Integrais múltiplas
331
Esboça1nos a região e incluín1os detalhes suficientes para detenninar os
limites de integração (Figura 15.36). Em seguida, definin1os l> sendo igual a 1 e
avalia1nos as fór1nulas apropriadas da Tabela 15.1:
Solução
y
1
·
'
1
1•[ lr=x 1•
llr
1
1' [ 1•·=.t
1
1\1
=
. l d,v dx =
.r
o
xi
x3Jt
(x - x 2) rl\· = [- - 2
3 o
o
dx =
y
y=,.l
1
6
n GURA 15.36 O centroide dessa região é
encontrado no Exe111plo 2.
M 1• =
x d;1dx =
.r2
la' (x 2 - x 3 ) dx =
I
• dx =
-'Y
y=.r
O
o
A partir desses valores de M, Mx e M,,. temos
_
A11'
1/ 12
J
J;· - - -- M - 1/ 6 - 2
M,
J' = M =
e
l/ LS
1/ 6
O centroide é o ponto ( 1/2. 2/5).
Momentos de ;nércia
Os primeiros momentos de um objeto (Tabela 15. 1) nos dizem a respeito de
equilíbrio e do torque sofrido por objetos etu torno de diferentes eixos em un1 campo gravitacional. Se o objeto for uma haste que gira, no entanto, estaremos mais
interessados na quantidade de energia armazenada na haste ou na quantidade de
•
energia que é gerada por un1a haste girando a uma velocidade angular especifica. E
aqui que entra o momento de segunda ordem. ou mo1nento de inércia.
Suponha que a haste esteja dividida e1n pequenos blocos de 1nassa t.1111; e seja
rk a distância entre o centro de 1nassa do k-ési1no bloco e o eixo de rotação (Figura
15.37). Se o eixo gira a u1na velocidade angular constante de w = d()/dt radianos por
segundo, o cenrro de massa do bloco irá traçar sua órbita a urna velocidade linear de
d
d()
vk = dt (r1.0) = rk dt = r kw.
L
A energia cinética do bloco será aproximada1nente
flGURA l S.37 Para encontrar uma
integral para a quantidade de energia
arn1azenada e1n uma haste girando,
prin1ciro in1aginamos a haste sendo
dividida e1n pequenos blocos. Cada bloco
lcm sua própria energia cinética. Son1amos
as contribuições dos blocos individuais
para encontrar a energia cinética da haste.
Ió.n11;vk = ~ ó.1111.(rkw ) = tw r k
2
2
2
1
ó.1nk.
A energia cinética da haste será aproxin1adamente
.,e.;" ' w2rk 2 u.1111c.
"
A
2
A integral aproximada por essas so1nas à medida que a haste é dividida cm blocos
cada vez menores fornece a energia cinética da haste:
EC haste =
J
J
.!.2 w 2r 2 dn1 = l2 w2
O fator
I =
J
2
r d111 ·
(1)
2
r dnz
é o 1no111e11to de inércia da haste ern relação ao seu eixo de rotação, e vemos com a
Equação l que a energia cinética da haste é
2
Echa<tc -- .!.1w
·
2
332
Cálculo
\ x2 + yl
dV
)'
X
o
/
/
/ ~~
\ y- + :.y
FIGURA 15.38 Distâncias entre d V e os
planos e eixos coordenados.
O 1nomento de inércia de u1na haste len1bra, e1n alguns pontos, a n1assa inercial
de un1a locomotiva. Para dar a partida em un1a loconJotiva co111 massa 111 movendo-se a uma velocidade linear v, precisamos fornecer tuna energia cinética de EC =
( l/2)rnv2. Para parar a locomotiva, te1nos de ren1over essa quantidade de energia.
Para fazer u1na haste con1 n101nento de inércia 1 começar a girar a u1na velocidade
angular w, precisamos fornecer uma energia cinética de EC = ( 1/2)/w2• Para parar a
haste, ten1os de remover essa quantidade de energia. O mo1nento de inércia da haste
é análogo ao da n1assa da locon1otiva. O que faz co1n que a locomotiva seja difícil
de 1nover ou parar é sua massa. O que faz com que a haste seja difícil de mover ou
parar é seu 1non1ento de inércia. O n1omento de inércia depende não só da n1assa
da haste, 111as tan1bém de sua distribuição. A n1assa que está n1ais longe do eixo de
rotação contribui mais com o 1nomento de ínércia.
Deduzi1nos agora uma fórmula para o mon1ento de inércia para u1n sólido no
espaço. Se r(x, y, =)é a distância entre o ponto (x, y. z) em D a u1na reta l, então o
n101nento de inércia da 1nassa 6.J11k = 8(xk, ,vk, zk)L\Vk en1 relação à reta L (como na
Figura l 5.37) é aproximadamente L\lk = 12 (xk,yk, zk)D.J111,. O mon1ento de inércia cm
relação a L do objeto inteiro é
Il = lim
n r 2(xk, Yk· =A) 8(xk. Yk, Zk) A v,, = ~w r 28 dV.
2:n Ó.Ít = n->
.lim 2:
k= 1
11-+00 k - 1
D
Se L é o eixo x, então 12 = J;i + =ª (Figw·a 15.38) e
!.~ = JJJ (y 2 + =2) B(x••11, =) dV.
D
De rnaneira sen1elhante, se l é o eixo J' ou o eixo z, temos
JJJ
1.- =
(x 2 + z 2 ) 8(x, y, z) d V
e
/= =
JJJ
(x
2
+ y 2) 8(x, ·'" z) dV.
D
D
A Tabela 15.2 resume as fórmulas para esses mon1entos de inércia (tnon1entos de
segunda orden1, porque eles invocam os quadrados das distâncias). Ela tan1bém
niostra a definição do 1110111ento polar e1n relação à origen1.
Encontre /,., 11.. != para o sólido retangular de densidade constante 8
niostrado na Figura 15.39. ·
EXEMPLO 3
S1>1uçio
A fórmu la para 1.\ fornece
c/21b/2
l
a
/2
lx =
(.v 2 + z2) 5 dx t(I' d=.
1 c/2 -b/2, - a/2
e
)'
Centro do
bloco
X
Podemos evitar un1 pouco do trabalho de integração observando que ()i2 + z2)8 é
uma função par de x. )' e z. uma vez que 8 é constante. O sólido retangular consiste
de oito pedaços simétricos. um em cada octante. Podemos calcular a integral cm um
desses pedaços e em seguida inuhíplicar por 8 para obter o valor total
c/
2
[b
/
2
1u/2
i
c/
2
1,b/
2
f, = 8
(y + z )8dxdydz = 4a5
(y + z )dydz
1 c/2 [)13
l (b3 _2b)
2
FIGURA 15.39 Encontrando 1,. / 1, e 1=
para o bloco exibido aqui. A origén1 está
no centro do bloco (Exen1plo 3).
.o
o
2
()
]·'·~b/2
:.__ + z y
dz
3
i•= O
' c/2
lao
=
2
o
2
= 4a8
= 4a8
2
=-- dz
- +
24
2
8
4a5(~i + ~;) = ª~~ (b 2 + c 2 ) = 1f (b 2 + c 2 ).
1/
<1/>tfi
Capítulo 15 Integrais múltiplas
TABELA 15.2
333
Fórn1ulas de mo1uentos de inércia (n1on1entos de segunda ordem)
SÓLlDO TRIDIMENSIONAL
Em relação ao eixo x:
/\
E1n relação ao eixo y :
~,. =
E1n relaçã.o ao eixo z:
f: =
E1n relação à reta L:
IL =
Jff +
(x 2
J!f
[>{\, 1',Z)
z 2) ô d V
(x 2 + y 2) ô dV
Jff S
r2
ri 1 , 1, z 1 - tfj,1.111,·1:1 entre o
dl/
f't•n1t1 (.1 , ,., =l •' ,1 r.:t;i f.
PLACA BIDIMENSIONAL
Em relação ao eixo x:
lx =
E1n relação ao eixo y :
~v =
J! )'
1
Jf
ô dA
x 1 S dA
rei, rl
E1n relação à reta l:
d1s1anc1,1 entre
(1. ) )Cl
Em relação à origem
(n1omento polar):
lo =
JJ +
(x 2
y 2 ) S dA = !,.. + /,.
De fonna se1nelhantc,
1: -_ M (a 2 + b 2) .
12
e
EXEMPLO 4 Uma placa fina cobre a região triangular delimitada pelo eixo x e
pelas retas x = 1 e y = 2t no priJneiro quadrante. A densidade da placa no ponto
(x, y) é S(x, y ) = 6x + 6J' + 6. Encontre os 1nomentos de inércia da placa en1 relação
y
2
aos eixos coordenados e a orige1n .
( 1. 2)
Solução Esboçamos a placa e colocamos detalhes suficientes para determinar os
limites de mtegração para as integrais que temos de calcular (Figura 15.40). 0 tnOmento de inércia e1n relação ao eixo x é
x= I
l:r =
- 0- f - - - - - ' --
-+ X
=
FIGURA 15.40 Região triangular coberta
pela placa no Exen1plo 4.
t
1
l
r
1
1
[
1
o
y 2ô(x,y)dy<lx =
3
2..\)1
1l[2r
o•o
(6.tJ' 2 + 6y 3 + 6y 1 )dy dx
+ -3 y 4 + 2y 3 11·=2\ Jx =
2
[8x 5 + 4x 4 ]~ = 12.
1·=0
11
o
(40x 4 +
334
Cálculo
De 1naneira semelhante, o momento de inércia e1n relação ao eixo y é
Viga A
r1
r2.t
39
~,. = lo lo x2S(x,;1) dy dx = T·
Eixo
Observe que intcgran1os y vezes a densidade ao calcular l_, e x2 vezes a densidade
para encontrar i r.
Unia vez q'ue conheçan1os '·• e ! 1,, não precisan1os calcuJar uma integral para
encontrar 10 ; podemos, em vez disso, 'utilizar a equação !0 =1, + 1>· da Tabela 15.2.
1
'º
Viga B
Eixo
FIGURA 15.41 Quanto 111aior o mornento
de inércia polar da seção transversal
de uma viga em relação ao seu eixo
longitudinal, mais rigida é a viga. As
vigas A e B tên1 a n1esma área de seção
transversal, mas A é mais rígida.
= 12 + 39 = 60 + 39 = 99
5
5
5·
O rno1nento de inércia tan1bén1 desen1penha um papel na deterrninação de
quanto uma viga metálica horizontal cederá sob uma carga. A rigidez da viga
é uma constante vezes 1, o momento de inércia de uma seção transversal típica
da viga e1n relação ao eixo longitudinal da viga. Quanto maior o valor de /,
n1ais rígida é a viga e Lnenos ela cederá sob uma carga deter1ninada. Esse é o
n1otivo pelo qual utilizamos vigas e1u I em vez de vigas cujas seções transversais são quadradas. Os tlanges, ou bordas, no topo e no pé da viga mantê1n a
maior parte da sua massa longe do eixo longitudinal para aumentar o va lor de
I (Figura J 5.41 ).
Exercícios 15.6
Placas de densidade constante
1. Encontrando uni centro de massa
1O. Primeiro 1no1nento de uma placa infinita Encontre o primeiro momento em relação ao eixo y de uma placa fina de
densidade 8(x, y) = 1 que cobre a região infinita sob a curva
y .. e-•21! no pri1neiro quadrante.
2. Encontrando nlon1entos de ínércia
Placas com dens1dade variável
Encontre o centro de
n1assa de uma placa fina de densidade ô = 3 deli111itada pelas
retas x =O, y = x e a parábola y = 2 - x2 no primeiro quadrante.
Encontre os momentos
de inêrcia ein relação aos eixos coordenados de wna placa fina
retangular de densidade constante 8 dclin1itada pelas rcras x = 3
e y = 3 no primeiro quadrante.
3. Encontrando um centroide Encontre o ccntroidc da região
no primeiro quadrante delimitado pelos eixos x. a parábola
.Vl = 2x e a reta x + y = 4.
4. Encontrando um centroide Encontre o centroide da região triangular cortada do primeiro quadrante pela reta
X +)'= 3.
5. Encontrando um centroide Encontre o centroide da região
cortada do primeiro quadrante pelo círculo x2 + ; il ... a 2.
6. Encontrando un1 centroide Encontre o centroide da região
entre o eixo x e o arco y = sen x, O=;; x =;; 7T.
7. Encontrando inon1eotos de inércia Encontre o 1nomento de
inércia ern relação ao eixo x de un1a placa fina de densidade 8 = 1
delirnitada pela circunferência x2 + ) ,l = 4. Em seguida, utilize
seu resultado para encontrar t,. e /0 para a placa.
8. Encontrando un1 momento de inércia Encontre o 1non1ento
de inércia cm relação ao eixo y de unia folha fina de densidade
constante 8 = 1 delin1itada pela curva y = (sen 2 x)/r e o intervalo 7T s x s 27T do eixo .Y.
9. Centroide de uma região infinita Encontre o centroide de
uma região infinita no segundo quadrante delimitado pelos eixos coordenados e pela curva y - e<. (Utilize integrais in1próprias nas fórn1ulas de 01omcnto de n1assa.)
11. Encontrando uni momento de inércia
Encontre o mo1neoto
de inércia e111 relação ao eixo x de u111a placa fina dcli111itada
pela parábola x = y - y2 e pela reta x + y = Ose 8(x, y) = x + y.
12. Encont rando 111assa Encontre a massa de uma placa fina
ocupando a região nienor cortada da elipse x2 .,.. 4y2 = 12 pela
parábola x = 4y2 se c5(x, y ) = 5x.
13. Encontrando um centro de massa Encontre o centro de
massa de uma placa triangular fina delimitada pelo eixo y e
pelas retas y = x e y - 2 - x se 8(x. y ) - 6.r + 3y + 3.
14. Encontrando u1n centro de n1assa e momento de inércia
Encontre o ceu1ro de 111assa e tnotncnto de inércia cm relação
ao eixo x de un1a placa fina delimitada pelas curva x = ) ,2 ex =
2y - y 2 se a densidade no ponto (x. y) for ô(x. y ) = y + l.
15. Centro de tuassa, momento de inércia Encontre o centro
de 1nassa e o rnomcnto de inércia cn1 relação ao eixo y de urna
placa retangular fina cortada do prirneiro quadrante pelas reias
x = 6cy = 1 scc5(x, y )= x +y+ l.
16. Centro de 111assa, n1on1ento de inércia Encontre o centro
de 1nassa e o n1omcnto de inércia cn1 relação ao eixo y de un1a
placa fina delimitada pela reta y = 1 e a parábola y = x2 se a
densidade for 8(.r, y) = y + 1.
17. Centro de 1nassa, mon1cnto de inércia Encontre o centro
de niassa e o 111on1ento de inércia en1 relação ao plano y de
uma placa fina delin1itada pelo eixo x. pelas reias x == ± 1 e pela
parábola y = .\.:1 se c5(x, y) = 7y + 1.
Capítulo 15 Integrais múltiplas
335
18. Centro de massa, ntomento de inércia Encontre o centro de
niassa e o mo1ncnto de inércia c1n relação ao eixo x de uma
placa retangular fina delimitada pelas retas x = O, x = 20,y =-1
e y = 1 se B(x, y) = 1 + (x/20).
19. Centro de massa, momento de inércia Encontre o centro de
rnassa e o mon1ento de inércia en1 relação aos eixos coordenados e o momento de inércia polar de uma placa triangular fina
deliinitada pelas retas y = x, y =-x e y = 1 se ô(x.y) = )' + 1.
20. Centro de n1assa, momento de inércia
19 para ô(x, y) = 3x2 + l.
-=?- - .1·
~
""- 2
~x= -2
---
Repita o Exercício
Sólidos com densidade constante
21. Momentos de inércia Encontre os momentos de inércia do
sólido retangular mostrado aqui con1 relação a suas arestas
calculando ~r /1 e /=.
-e
.I'
(J
.r
22. Momentos de inércia Os eixos coordenados na figura passam pelo centroide de uma cunha sólida paralelos às arestas
identificadas. Encontre ' •' '·" e'= se a = b = 6 e e = 4.
"-2
e
Centro ide
cm (0. O. 0)
·-
Sólidos com variação de densidade
"
.~
23. Centro de massa e momentos de inércia Uma "tina'' sólida de densidade constante é delimitada abaixo pela superfície
== 4y 2, acin1a pelo plano z =- 4 e nas extren1idades pelos planos
x = 1 ex= - 1. Encontre o centro de massa e o momento de
inércia com relação aos três eixos.
24. Centro de massa Um sólido de densidade constante é delinutado abaixo pelo plano ;; = o, dos lados pelo cilindro eliptico :t2 t- 4y2 = 4 e acin1a pelo plano z = 2 - x (veja a figura a
seguir).
a. Encontre x e y.
b. Calcule a integral
kl ,.,, =
.
25. a. Centro de massa Encontre o centro de massa de urn sólido de densidade constante delimitado inferiormente pelo
paraboloide= = x2 + y 2 e superiorn1cnte pelo plano z = 4.
b. Encontre o plano := e que divide o sólido en1 duas partes de
igual volume. Esse plano não passa pelo centro de massa.
26. Mon1entos Um cubo sólido. 2 unidades de lado. é delirnitado pelos planos x = ± 1, z = ± l, y = 3 e y = 5. Encontre o centro de massa e os nlomentos de inércia em relação aos eixos
coordenados.
27. Mon1ento de inércia e111 relação a un1a re ta Urna cunha
como a do Exercicio 22 le1n a = 4, b = 6 e e = 3. Faça um
esboço rápido para verificar para si mesrno que o quadrado da
distância de um ponto típico (x. y, => da cunha à reta L: z =O,
y = 6 é ,2 = Ú' - 6)2 + z2• Em seguida, calcule o momento de
inércia da cunha em relação a L.
28. l\1on1cnto de inércia en1 relação a u1ua reta Urna cunha
como a do Exerclcio 22 tem a = 4, b = 6 e e = 3. Faça um
esboço rápido para verificar para si mesmo que o quadrado da
distância de uni ponto típico (x, y, z) da cunha à reta L: x = 4,
y = O é ,2 = (x - 4)2 + J.i. Em seguida, calcule o momento de
inércia da cunha cm relação a L.
Nos Exercícios 29 e 30. encontre
b. o centro de 111assa.
a. a massa do sólido.
29. Uma região sólida no prinleii·o octante é delinlitada pelos planos coordenados e pelo plano x + y + == 2. A densidade do
sólido é B(x. y. => = 2\'.
30. Um sólido no prin1eiro octante é delimitado pelos planos y =O
e z O e pelas superfícies= 4 - x2 ex = y 2 (veja a figura a
seguir). Sua função de densidade é 6(x. y, => = Jo.:y, sendo k
constante.
.: = 4 - x·
'
'\
21 (1/2)~l2 z ti= dy cb·
1
~
2 -1 1/2) \. 4-.r' . o
utilizando tabelas integrais para realizar a integração finaJ en1
relação a x. Em seguida. divida M., por M para certificar-se
de que z= 514.
.V
/
.,
336
Cálculo
Nos Exercícios 3 1 e 32, encontre:
a. a massa do sólido.
b. o centro de massa.
e. os n101nen1os de inércia en1 relação aos eixos coordenados.
l c.m.
l
V =
31. Un1cubo sólido no prin1eiro octante é dcli111itado pelos planos
coordenados e pelos planos x = l. y = 1 e= = l. A densidade do
cuboé8(x.y, =) = x +y+ .:+ 1.
(x,y. z)
t c.m.
'
32. Unia cunha co1no a do Exercício 22 possui din1cnsões a = 2,
b = 6 e t· 3. A densidade é 6(x, y, =) = x + 1. Observe que se a
densidade é constante. o centro de rnassa será (0, O, O).
Vz.
Encontre a n1assa da região sólida delimitada pelas
superfícies parabólicas= = 16 - 2.r2 - 2y2 e = = 2r2 + 2y 2 se a
densidade do s6Hdo for 8(x. y , =>= Vx 2 + y 2 •
34. !\-lassa
-+ )'
D
b. Para provar o teorema dos eixos paralelos. situe o corpo com
seu centro de massa na origen1, con1 a reta l c.m ao longo do
eixo: e a retal perpendicular ao plano .\'.:Vno ponto (h. O, 0).
Seja D a região do espaço ocupada pelo corpo. Então, na
notação da figura.
ft. =
Teoria e exemplos
Teoren1a dos eixos paralelos Seja Lc"' uma reta que passa pelo
centro de massa de um corpo de massa 111 e seja L unia reta paralela
ll h unidades de distância de l c.m: O teore111a dos eixos paralelos diz
que os mo1ue11tos de inércia /c.m. e JL do corpo e1n relação a Lc.m. e L
satisfazen1 a equação
(2)
" ·1 •
jJf
1V -
hi 12 t/111.
D
Expanda o integrando nessa integral e con1plete a prova.
36. O rnon1ento de inércia ern rela~io a urn diãmeiro de urna esfera sólida de densidade constante e raio a é (2/5)11101. onde 111 é
a massa da esfera. Encontre o n101nen10 de inércia em relação
a uma reta rangente à esfera.
37. O rnon1ento de inércia do sólido do Exercicio 21 e1n relação ao
eixo zé = abc(a2 + b 2)/3.
a. Utilize a Equação 2 para encontrar o momento de inércia
do sólido cm relação à reta paralela ao eixo z passando pelo
centro de massa do sólido.
b. Utilize a Equação 2 e o resultado no iten1 (a) para encontrar o
momento de inércia do sólido en1 relaç,io à reta x = O, y = 2b.
38. Se a = b = 6 e e = 4, o niomento de inércia da cunha sólida
do Exercício 22 cm relação ao eixo x é 1.. "' 208. Encontre o
momento de inércia da cunha em relação à reta y = 4. z = -4/3
(a cxtre111idadc estreita da cunha).
'=
Corno no caso bidimensional. o teorerna nos proporciona uma maneira rápida de calcular um 111ornento, quando o outro mornento e a
n1assa são conhecidos.
35. Prova do teorema dos eixos paralelos
a. Mostre que o prin1eiro mornento de u111 corpo no espaço
em relação a qualquer plano passando pelo centro de niassa do corpo é zero. (Sugestão: situe o centro de massa do
corpo na origem e defina o plano corno sendo o plano yz. O
que a fónnula x = M.'-) 1\1 então lhe diz?)
15.7
- --
.r
33. J\1assa Encontre a n1assa do sólido delin1itado pelos planos
x + == 1, x - == - 1, y = Oe pela superfície y =
A densidade do s6Hdo é 8(x. y, =) = 2y + 5.
/L = / , n + 111//2•
XÍ + yj
Integrais triplas em coordenadas cilíndricas e esféricas
Quando um cálculo em física, engenharia ou geometria envolve um cilindro,
u1n cone ou uma esfera, poden1os frequenten1enle simplificar nosso trabalho utilizando coordenadas cilíndricas ou esféricas, que são introduzidas nesta seção. O
procedimento para transforn1ação dessas coordenadas e cálculo das integrais triplas
resultantes é semelhante ao da transfonnação para coordenadas polares no plano,
estudado na Seção 15.4.
P(r. 8. ~)
Integração em coordenadas cilíndricas
Obten1os coordenadas cilíndricas para o espaço combinando coordenadas polares no plano •\J' co1n o eixo z usual. Isso associa a cada ponto no espaço u1na ou mais
triplas coordenadas da fonna (r. 8, z). conforme rnostrado na Figura 15.42.
--->' -FIGURA 15.42 As coordenadas
cilíndricas de um ponto no espaço são r,
8 e:.
.I'
DEFlNIÇÃO
As coordenadas cilindricas representam un1 ponto P no espaço por triplas ordenadas (r, 8. z), nas quais
l. r e B são coordenadas polares para a projeção vertical de P no plano .\y.
2. z é a coordenada vertical retangular.
Capítulo 15
Integrais múltiplas
337
Os valores de x, .Y, r e () em coordenadas retangulares e cilíndricas são relacionados pelas equações usuais.
Equações relacionando coordenados rctnngularcs (.l.·,.r. z) e cilíndrica'l
(r, fJ, ::)
X
= r COS (),
y = rsenO,
tg 8 = y/x
z
.
re z vanarn
rc O variam
I
Zo -
-
Em coordenadas cilíndricas, a equação r = <1 descreve não apenas uma circunferência no plano ,\)1, mas um cilindro inteiro e1u relação ao eixo= (Figura 15.43). O
eixo zé Fornecido por r =O. A equação 8 = 80 descreve o plano que contém o eixo z
e forma um ângulo 80 com o eixo positivo x. E, como em coordenadas retangulares,
a equação z = z 0 descreve u1n plano perpendicular ao eixo z.
As coordenadas cilíndricas são boas para descrever cilindros cujos eixos coincidem com o ei.xo z e planos que contêm o eixo z ou são perpendiculares ao eixo =·
Superfícies como essas possuem equações de valor de coordenadas constantes:
C. 111111.J o raro -1, l.!l'IO "oiJ11:11k .. on • .l ci\o =
r = 4
y
r = ª~
O e z \1 uri~lm
Equações de coordenadas
constantes cm coordenadas cilíndricas
produzem cilindros e planos.
FIGURA 15.43
8 = :!!..
3
z = 2.
No cálculo de integrais triplas sobre uma região D em coordenadas ciLi_ndricas,
dividimos a região en1 n pequenas cunhas cilíndricas, e1n vez de caixas retangulares.
Na k-ési1na cunha cilíndrica, r, 9 e z são substituídos por D.rk, D.91. e D.zk, e o 1naior
dentre esses números entre todas as cunhas cilíndricas é denominado norma da partição. Definúnos a integral tripla como um limite das somas de Riemann utilizando
essas cunhas. Seu volun1e D.Vk é obtido tomando-se a área D.Ak de sua base no plano
rB e niultiplicando pela altura D.z (Figura 15.44).
Para u1n ponto (rk, Ok, =k) no centro da k-ésima cunha, calcula1nos e1n coordenadas polares que D.A k = r k D.rk D.Ok' Assim, D. Vk = 6.::k rk D.rk D.()k e uma so1na de
Riemann para f sobre D tem a forma
S11 =
" f(rt. 8k, ZJ:) LÍ=k '"k D.rk 6.81<.
L
k-1
A integral tripla de uma função f sobre D é obtida tomando-se um lin1ite de cais
somas de Riemann co1n partições cujas normas se aproximam de zero:
íõifurc~cial de volume cm coordenadas
1 ~ill~dncas
d V = dz r dr d(J
r ilr AO
I
1A;:
1
1----,.-1-ru--l
FIGURA 15.44 Etn coordenadas
cilíndricas, o volurne da cunha é
aproxirnado pelo produto
e,. V= !!.=. r fll· ó.O.
D
D
As integrais triplas em coordenadas cilíndricas são então avaliadas como integrais
iteradas, con10 no exen1plo a seguir.
-r AO
}~~ S,, = JJJ f d V = JJJ f dz r dr d8.
EXEMPLO 1 Encontre os li1nites de integração e1n coordenadas cilíndricas para a
integração de u1na função f(r, 8, z) sobre a região D delitnitada inferiorn1ente pelo
plano z = O, lateralmente pelo cilindro circular x2 + ()1- 1)2 = 1 e superiom1ente pelo
paraboloide z = xl + y2.
Solução A base de D é também a projeção da região R no plano .ty. A fronteira de R
é a circunferência x 2 + (11- 1)2 = 1. Sua equação em coordenadas polares é
x 2 + (y - 1)2 = 1
x 2 + y 2 - 231 + 1 = 1
2
1· - 2r scn e = o
,. = 2 sene.
338
Cálculo
-• Topo
A região é esboçada na Figura 15.45.
. .: = .1-• + >
eartesiana:
~,..
Cilíndrica: : = ?
M
D
EncontranJos os lin1ites de integração. começando con1 os linutes de z. Uma
reta M passando por um ponto típico (r, fJ) em R paralela ao eixo z entTa e1n D cm
;; = Oe sai en1 ;; = x 2 + J,2 = r2.
Em seguida, encontran1os os litnites de integração der. Um raio l passando por
(r, 9) a partir da origem entra em R em r = Oe sai em r = 2 sen 8.
Por fim, encontramos os lin1ites de integração de(). À 1nedida que L varre R.
o ângulo fJ que ele forma con1 o eixo positivo x varia de(} = Oa (J = 7T. A integral é
rrr
1"12s.:n8Jor,.2 J(r, (), z) dz r dr dO.
./}} J(r, fJ, z) dV =
)o:------- y
2
0
D
0
O Exemplo l ilustra un1 bo1n procedimento para encontrar os li1nites de integração e1n coordenadas cilínd1;cas. O procedi1nento é resu1nido a seguir.
x
Canesiana: .12 + (." - 1)2 = 1
Polar:
r = 2 sen O
FIGURA 15.45 Encontrando os limites de
integração para calcular uma integral e1n
coordenadas cilindricas (Exemplo 1).
Como integrar em coordenadas cilíndricas
Para calcular
JJJ f(r, z)
8.
dV
D
sobre uma região D no espaço en1 coordenadas cilíndricas, integrando primeiro com
relação a z, depois con1 relação a r, e finalmente con1 relação a fJ, siga os passos a
.
seguir:
l . Faça 11111 esboço. Esboce a região D juntamente com sua projeção R no plano ~J'.
Identifique as superfícies e curvas que delin1itan1 D e R.
-------
--~
' = li1 (9l
-- - -
D ,
-
ll
--
}'
X
R
2. Encontre os /ir11i1es de integração de ::. Desenhe urna reta M passando por um
ponto típico (r, 8) de R paralela ao eixo z. À 111edida que z cresce, }.;/ entra en1
D e1n z = g 1(r, 8) e sai e1n z = g2 (r, 8). Esses são os limites de integração dez.
.-
M
D
--
---1
--
1
V
•
R
(r. 0) •
r = 11 2(8)
Capítulo 15 Integrais múltiplas
339
3. E11con1re os /ilnites de integração de r. Desenhe u1n raio L passando por (r, 8) a
partir da origem. O raio entra em R em r = h 1( 0) e sai em r = h2( O). Esses são os
litnites de integração de r .
-..
M
D
o
R
,. = h 1( 0) __.~....:<::..:'·...::º.!..)·~
O= ir
•
l
4. Encontre os linli1es de integração de O. À 1nedida que l varre R, o ângulo Oque
ele forma com o eixo posi1ivo x varia de O= a a 8 = {3. Esses são os li1nites de
integração de 8. A integral é
i0if
f (r, 8, z) d V =
z= r
?
+ y?
= ,2
I
• t.I
4
l
1
1
1
1
Centroide
!
1
•
1
1
R
X
(r, O)
~y
L
FIGURA 15.46
O Excn1plo 2 mostra
co1no encontrar o centroide desse sólido.
1
º""'ª
D
z
0-{J1 r-lh(llJ1 ==112(r, li)
•
T""'lt 1(0)
J(r, O, z)
dz r dr d(}.
:=g1(r. O)
EXEMPLO 2 Encontre o centroide (8 = 1) do sólido delin1itado pelo cilindro x2 +
)/l = 4, delimitado superiormente pelo paraboloide z = x2 + y 2 e delimitado inferior111ente pelo plano .\y.
Solução Esboçamos o sólido, deliinitado superiom1ente pelo paraboloide z "" 12 e
inferiormente pelo plano:: = O (Figura 15.46). Sua base Ré o disco Os r s 2 no
planoxy.
O centroide do sólido (x, y, z) está em seu eixo de simetria, aqui o eixo z. Isso
faz x = y = O. Para encontrar z, dividimos o primeiro mon1cnro M_,1• pela n1assa M.
Para encontrar os lin1ites de integração para as integrais de n1assa e mo1nento,
continuamos com os quatro passos básicos. Concluín1os nosso esboço inicial. Os
passos restantes fornecem os liinites de integração.
Li111ites dez. Uma reta M passando por un1 ponto típico (r, 0) na base paralela
ao eixo z entra no sólido e1n ==O e sai e1n z = 12 •
li111ites de r. Um raio l passando por (r, 0) a partir da origem entra em /? cm
r = Oe sai en1r = 2.
li111ites de 8. À rncdida que l varre a base cm sentido anti-horário, o ângulo (J
que ele fonna com o eixo x positivo varia entre O= Oe O= 2'1T. O valor de /lt/XJ, é
12"12[;2J:irdrd0
M~y = 1 2"1 21 riz dzrdrdf) =
=
21T1 2Ls dr d8 =
1
o 2
12 6]2 12
71
71
[
o
L
d() =
12 o
o
-16 d(J = 32'1T.
3
3
O valor dcMé
21T[
2
1
r
12
"'[2
[
]r
dz
r
dr
df)
=
z
r dr d8
[
2
2
/vi =
=
.. o o
o .o
o
21'1 2 dr d8 = 12'" [L4]2 d8 = [ 21T4 d8 =
1
o
r3
o
4 o
.o
87T.
340 Cálculo
Portanto,
M.·c,1·
z=
M
P(p. </>. 9)
e o centroide é (0, O. 4/3). Observe que o centroide está fora do sólido.
== p co:. </>
,.
-~
.Y
-
F1GURA 15.47 Coordenadas esféricas p.
e/> e 8 e sua relação com x, y,:: e r.
Coordenadas esféricas e integração
Coordenadas esféricas posicionam pontos no espaço co111 dois ângulos e
uma distância, conforme de1nonstrado na Figura 15.47. A prin1eira coordenada.
-"'
p = 1OPI , é a distância do ponto à origc1n. Diferenten1en~ de r. a l'ariáve/ p
nunca é negativa. A segunda coordenada, </>, é o ângulo que OP fonna com o eixo
=positivo. É necessário que esteja no intervalo [O, 7T). A terceira coordenada é o
ângulo e, como medido em coordenadas cilindricas.
- Coordenadas esféricas representam un1 ponto P no espaço por
DEFINIÇAO
triplas ordenadas (p, </>, (J), nas quais
1. pé a distância entre P e a origem.
-"'
2. cf> é o ângulo que OP forma com o eixo z positivo (O <e/> < 7T).
3. e é o ângulo das coordenadas cilíndricas (O se s 27T).
Nos 1napas da Terra, (J está relacionada ao meridiano de um ponto na Terra c </>
à sua latitude, enquanto p está relacionada à elevação acin1a da superfície terrestre.
A equação p =a descreve a esfera de raio a centrado na origem (Figura 15.48).
A equação </> = </>0 descreve u1n cone simples cujo vértice está na origem e cujo
eixo está ao longo do eixo z. (Amplia1nos nossa interpretação para incluir o plano
.t)' co1no o cone</>= 7T/2.) Se </>0 é niajor que 7T/2, o cone </> = </>0 te1n sua abertura
para baixo. A equação (J = 80 descreve o semiplano que contén1 o eixo z e forn1a un1
ângulo (J 0 COm O CiXO X positivo.
</> = !/>o.
p e (} variam
-
/
EquaçÕt's relacionando coordenadas c<;féricas a coordenadas
ca1·tcsiunas e coord<.•nadas cilíndrica-.
X
p =li.
</> e 8 varian1
/
o=ºº'
r = psen e/>,
x = r cos (J = psen </> cos 8,
== p cos </>,
y = rsenO = psen</>senO,
p =
(1)
v'x2 + )'2 + z2 = y',.2 + z2.
p e <b varian1
FIGURA 15.48 Equações de coordenadas
constantes e1n coordenadas esféricas
resuJtrun em esferas, cones siJnples e
sc1niplanos.
EXEMPLO 3 Encontre uma equação em coordenadas esféricas para a esfera x2 +
y2 + (z - 1) 2 = 1.
Solução Uti 1iza1nos as Equações 1 para substituir x. y e z:
x-' + y-' + ( z - 1) 2 = 1
p2 sen2 </> cos 2 (J + p2 sen2 </>scn2 fJ + (p cos </> - 1) 2 = 1
p2 sen2 </>( cos 2 (J + sen2 e) + p2 cos 2 </> - 2p cos <f> + 1 = 1
1
p2( sen2 </> + cos 2 <f>) = 2p cos </>
1
p2 = 2p cos </>
p = 2 cos <f> •
,,
()
Capítulo 15 Integrais múltiplas
•
•
.r, + y·' + (;: - 1) 1 = J
2
341
O àngulo </> varia entre Ono polo norte da esfera e 7T/2 no polo sul; o ângulo() não aparece na expressão para p, refletindo a simetria em relação ao eixo z (ver a Figura 15.49).
p = 2cos</>
EXEMPLO 4 Encontre uma equação em coordenadas esféricas para o cone
== vx2 + y2.
Solução 1 Utilize a geonzetria. O cone é simétrico em relação ao eixo z e corta o
pri1neiro quadrante do plano)'= ao longo da reta z = y. O ângulo entre o cone e o eixo
=positivo é, portanto, 7T/4 radianos. O cone consiste nos pontos cujas coordenadas
esféricas têm</> igual a 7T/4, portanto sua equação é</> = 7T/4. (Ver a Figura 15.50.)
/ T------)'
Solução 2 Utilize a álgebra. Se utilizarmos as Equações 1 para substituir x, y e=·
X
obte1nos o 1nes1no resultado:
FIGURA 15.49
Esfera no Exe1nplo 3.
Vx 2 + ..v 2
2
2
p cos </> = V p sen <f>
E\<:mplo 1
p cos <!> = p sen <!>
,. º·'~" t/1
z =
o
cos </> = sen <f>
7T
<1> = 4 .
As coordenadas esféricas são úteis para descrever esferas centradas na origem, sen1iplanos com fronteira no eixo z e cones cujos vértices estão na origen1 e cujos
eixos estão ao .longo do eixo z. Superfícies con10 essas têm equações de valor de
coordenada constante:
p = 4
"
X
•
FIGURA 15.50
Cone no Exe1nplo 4.
C. one .1hnnd,1·'-'! da ongcn1, lvnn~nJo um
llllgUlll JI." 7r 3 f,IJl,IJl!lS Cllm li C:l\O ; l'U'lll\•I
'1T
</> = -
3
O = :!!.. .
3
f[}ii;rencial de volun1e en1 coordenadas
1 ~fincas
dV = p2 sen <f> dp d<f> dfJ
p scn ti>
j
S.:nupl.1110, ,,1111 lrumc1r:1 ao longo J11 c:1:1.<• :.
lhrm:uu.11• 11111 '1ngulo tlc r. 1 r~tli:m"' .:v1n C' cL", ' po>llJ\"
Quando calculamos integrais rriplas sobre unia região D em coordenadas esféricas, particionamos a região e1n n cunhas esféricas. O tamanho da k-ésima cunha
esférica, que contém um ponto (pk. </>k, Ok). é dado pelas variações t:.pk, t:.fJk e t:.</>k
en1 p. 8 e <f>. Tal cunha esférica ten1 uma aresta forinada por um arco circular de
con1primento pk t:.<P1. e outra aresta formada por um arco circular de con1prirnento
P1r sen c/>k t:.81. e espessura t:.p1" A cunha esférica se aproxin1a de um cubo dessas
dimensões quando t:.p". t:.8" e t:.<{Jk são todos pequenos {Figura 15.51 ). Pode1nos
1nostrar que o volu1ne dessa cunha esférica t:. V1; é t:.Vk= pk2 sen </>4 t:.pk t:.</>kt:.{)" para
(p,,, <Pi.• {Ji.)· u111 ponto escolhido dentro da cunba.
A son1a de Rien1ann correspondente para unia função /(p, </>, 8) é
p scn 1b t:.O
S,, =
2:" f(pk, </>k, 8k) Pk2 sen<J>i. llp1. Ã</>k 11()k·
k2 I
A n1edida que a nom1a de u1na partição se aproxin1a de zero, e as cunhas esféricas
di1ninue1n, as son1as de Riemann têm tu11 li1nite quando fé contínua:
1 ~~ S,, =
JfJ
f (p, </>, O) dll =
D
jfj
f(p. <f>. 8) p2 sen </> dp d</> d8.
D
Em coordenadas esféricas, temos
8
O + t:.O
.t
FIGURA 15.51
E1n coordenadas esféricas
e/V = dp · p d</> · p sen </> dfJ
= p2 sen </> dp d<f> dfJ.
d V= p 2 sen </> dp d<f> dfJ.
Para calcular integrais e1n coordenadas esféricas, gerahnente integra1nos primeiro com relação a p. O procedimento para encontrar os limites de u1tegração é
mostrado a seguir. Limitamos nossa atenção à integração sobre domínios que são
sólidos de revolução sobre o eixo z (ou porções destes) e para os quais os limites
para e e </> são constantes.
342 Cálculo
Como integrar em coordenadas esféricas
Para calcular
JJJ f(p, </>, fJ) dV
D
sobre un1a região D no espaço em coordenadas esféricas. integrando prinleiro com
relação a p. en1 seguida com relação a</> e por fim com relação a fJ. siga os seguintes
passos:
1. U111 esboço. Esboce a região D juntamente con1 sua projeção R no plano XJ'.
Identifique as superfícies que delimita1n D.
X
2. Encontre os li111ites de integração de p. Desenhe uma reta /Ili a partir da origem
passando por D e formando urn ângulo </> co1n o eixo z positivo. Desenhe ta1nbérn a projeção de M no plano xy (chan1e a projeção de L). O raio L fon11a u1n
ângulo fJ con1 o eixo x. À 1nedida que p cresce, M entra en1 D e1n p = g 1(</>, 0) e
sai em p = g2 (</>, 8). Esses são os lin1ites de integração de p.
M
- -- 8 =/3
IJ =a
R (J
X
3. Encontre os linzites de integração de </>. Para qualquer dado fJ, o ângulo </> que
M forma com o eixo z vai de </> = <l>min atê <./> = <f>mnx· Esses são os li1nites de
integração de </>.
Capítulo 15 Integrais múltiplas
343
4. E11con1re os /i111iles de integração de 8. O raio L varre R à rnedida que 8 varia de
a a {3. Esses são os limites de integração de 8. A integral é
rrr
1·11={1 r"'=<J>.ru,jp=g~(<b.O)
lJJ f(p, </>, 8) dV =lo-a 1<1>-<1>.... p= xil!/i.O) f(p, </>, 8) p 2 senc/> dp d</> d8.
D
EXEMPLO 5 Encontre o volu1ne da "casquinha de sorvete" D cortada da esfera
sólida p :S 1 pelo cone</> = 7T/3.
Solução O volun1e é V = Jff,,p 2 sen </> dp d</> d(), a integral de /{p, <f>, 8) = 1 sobre D.
FIGURA 15.52
Casquinha de sorvete no
Para encontrar os lirnites de integração para calcular a integral. corncçarnos
esboçando D e sua projeção R no plano~ (Figura J 5.52).
Lin1iles de integração de p. Desenhamos un1 raio Jvf a partir da orige1n passando
por D e forn1ando urn ângulo </> con1 o eixo positivo z. Tambén1 desenhamos L, a
projeção de 1\4 no plano -'~V, juntarnente com o ângulo 8 que L forma corn o eixo x
positivo. O raio Jvf entra em D e1n p = Oe sai em p = I.
Li1niJes de integraçiio de </>. O cone </> = 7T!3 fonna um ângulo de 7T/3 com o
eixo= positivo. Para qualquer dado 8, o ângulo</> pode variar entte </>=O e</>= 7i/3.
Linlites de integração de fJ. O raio L varre R à medida que(:) varia entre Oe 27T.
O volume é
Exe1nplo 5.
2
2
V = Jl!p sen<f>dpd</>d0 =
1
fo ~1i·n/J1 p2 sen</>dptlcb<l8
D
{ 2'" { r./3
[PJ]'
{ ir. ( rrfJ 1
- ./o lo 3 osen </>d</> d8 = lo lo 3sen </>d</> d()
(-.
!
.
+ l) d() = l(27T)
lo
[21T [- lcos</>]rr/3de = r 2rr
=
3
}0
0
6
3
6
= :!!...
3
EXEMPLO 6 Um sólido de densidade constante S = 1 ocupa a região D no Exenlplo 5. Encontre o 1non1ento de inércia do sólido e1n relação ao eixo=·
Solução Ern coordenadas retangulares, o mon1cnto é
f: =
JJJ
(x
2
+ J' 2) dV.
En1 coordenadas esféricas, .i'- +;,2 = (p sen </> cos 8)2 + (p sen </> sen 8)1 = pi sen2 </>.
Consequentemente,
f: =
.!JJ sen
(p
2
2
2
</>) p sen </> dp d</> d8 =
!!! serr~
p
4
</> dp d</> dO.
Para a região no Exemplo 5, isso se torna
1 21T1'Tr/3[p5] 3
3
'= = . 2'Tr[1T/3!o
p scn </> dp d</> df) =
5 scn </> d</> d8
.o o
o o
o
l
=
1. {21T {"''
Slo ./o
1 4
1
7
( 1 - cos- <J>)sen<J>d<f>d8 =
1. {2'" [
5Jo
- cos<J> +
cos3 q, ]11/l
3
0
d8
344
Cálculo
f.'órn1ulas de con' l'r!>ão d~ coordenadas
CuJNDR ICAS l'ARA
EsFÉRICAS PARA
fSFÉRICAS PARA
RETANGULARES
R ETANG lfLARE
C 1L INORICAS
rCOS fJ
)' = r sen ()
X
y = p sen </> sen e
r = p sen </>
z = p cos </>
z - ,,-
z = p coscp
() = (:J
X =
= p SCn </> COS 8
F6m1ulas correspondentes para dVe.m integrais triplas:
dV = dxdydz
= clz r drd8
= p2 sen </> dp d<f> d8
Na pr6xirna seção, veremos um procedimento mais geral para determinar dV
em coordenadas cilíndricas e esféricas. Os resultados serão os mesmos.
Exerdcios 15. 7
Calculando integrais em coordenadas cilíndricas
Calcule as integrais eni coordenadas cilindricas nos Exercícios 1-6.
J.
2,,1. 11
1
12'"10/21'13. dz r dr df)
3.
2
\ ' 2- r'
o ,.
24r
d= r dr d8
2. J,2'" { 3{ V18-T'l d= r dl' dO
4.
lo),.,,~
s.1 "f, f 1~3
2
o
o
o
{"
fº'Trf J\1'4-"T'l =d= r dr dO Encontrando integrais iteradas em coordenadas cilíndricas
13. Dê os limites de integração para calcular a integral
1
JJf
dz rdrd8
j
lo
- 112
Mudando a ordem de integração em coordenadas
cilíndricas
As integrais que vi1nos até agora sugcre1n que existem ordens preferenciais de integração para coordenadas cilíndricas, mas outras
ordens em geral funciona1n bem e são ocasionahnente mais fáceis
de calcular. Calcule as integrais nos Exercícios 7-1 O.
1112
'
"
11
+
cosl
l
8.
~~·••
2r.
[
3
[:13
7. [
r ~d:!•
3
.o.o
- 1 o
ri
r\Í:
!'"
9. lolo Jo . (r cos 9 + = rd9 dr tlz
2
10.
2
o
2
)
2
1
\!'4-"T'll (rsen O + 1)
J, o
2"'
e. d(J d: dr
lo lo . v:i=?
2 1 112
6. J, " f
(r 2sen28 + z 2 )dzrdrd0
.
triplas em coordenadas cilíndricas que fornecem o volume de
D , utilizando as ordens de intcgraç.'io a seguir.
a. dz dr d(J
b. drd=d9
r dO d: dr
f(r. O. =l dz r dr d(J
corno urna integral iterada sobre a região que está deliinitada
acinia pelo plano z = O. do lado pelo cilindro r = cos 8 e no
topo pelo paraboloide= = 3r2.
14. Converta a integral
l ,11 Vt71:r(:r2+ y 2) dz dr <~V
en1 u111a integral equivalente em coordenadas ciliudricas e calcule o resultado.
Nos Exercícios 15-20. monte a integral iterada para calcular
,{ff0 f(r, 8, =l d:! r dr d() sobre a região D dada.
JS. D é o ci lindro circular reto cuja base é a circunferência r =
2 sen O no plano xy e cujo topo está no plano: = 4 - y.
r-2
t = 4 -
11 . Seja D a região delimitada abaixo pelo plano z = O, acima pela
esfera x 2 + y 2 + z2. = 4 e dos lados pelo cilindro ,\~ + J,2 = l.
Monte as intei:,rr.iis triplas em coordenadas cilíndricas que
fornecem o volume de D, utilizando as seguintes ordens de
integração.
a. d= dr d8
b. dr d2 dO
e. d9 dz dr
12. Seja D a região deli1nitada abaixo pelo cone= = V.~
x-2 _+_y_2
e acima pelo paraboloide: = 2 - x1 - y2. Monte as integrais
~
X
\
\'
·
·>---+ )'
r - 2 ~cn0
Capítulo 15 Integrais múltiplas
16. D é o cilindro circular reto cuja base é a circunferência r =
3 cos Oe cujo topo está no p.lano :z = 5 - x.
345
__ ., _ ,.
4. -
~
2
~;: = 5-x
-
A
/ -.
t---+Y
·.- - + )'
1
y=x
17. D é o cilindro circular reio sólido cuja base é a região no plano
xy que está dentro da cardioidc r = 1 + cos O e fora da circunferência r = 1 e cujo topo está no plano: = 4.
Calculando integrais em coordenadas esféricas
Calcule as integrais em coordenadas esféricas nos Exercícios 21-26.
2J.
1"i""1
J, 1"'1
2
2
s.;o.t>p sen </> dp d</> d6
2
2
22.
j--+ y
:::>( r= 1
.1
"""
r = l +cos8
18. D é o cilindro circular reto cuja base é a região entre as circunferências r = cos O e r = 2 cos () e cujo topo está no plano
:: = 3 -y.
(p cos </>) p 2 sen </> dp dcf> dO
rr
[2Tr {TT r (l - C0></>)/2 2
lo lolo
p sen </> dp d</> d()
{ Jrr/ 2 f r1
3
3
24. lo lo lo 5p sen </> dp d</> dO
23.
'1T
25.
26.
1
2,,-1~/312
o
3p2 sen </> dp d</> d8
""'</>
{ 2" f "'J r sec,P
lo lo lo
2
(p cos <f>) p sen </> dp d<f> d6
Mudando a ordem de integração em coordenadas esféricas
-1
l/,'(
?
1 -
Y
As integrais anteriores sugerem que existetn ordens preferenciais de
integração para coordenadas esféricas, mas outras ordens fornecem
o niesmo valor e são ocasionalmente n1ais fáceis de calcular. Calcule as integniis nos exercícios 27-30.
1
12
p3 sen2<f>d</>d8dp
27. f
{
º1
"
lol-.r
TT/4
x
\r=cosO
r=2cos(}
19. D é o pris1na cuja base é o triângulo no plano-':.''• deliniitado
pelo eixo x e as retas y = x e x 1, e cujo topo está no plano
== 2 - y.
13
28.
f " f 2 <b f 2"p2 sen </> dO dp d<f>
l :r/ 6 lcrM« tf> ./o
29.
Í, '.[Trl l 2psen </>d</> dO dp
COS<C<:
1114
1
30.1"'
1'/ 6
_,.
;
•
1.
20. D é o prisma cuja base é o triângulo no plano xy. delimitado
pelo eLxo y e as retas y =- x e y 1, e cujo topo está no plano
; =2 - x.
1" f
2
2
1
5p4 sen 3 </> dp d8 dcb
-,,/llcot..~C r/>
31. Seja D a região no Exercício 1 1. Monte as integrais triplas em
coordenadas esféricas que forneçam o volu1ne de D, uti 1izando as ordens de integração a seguir.
a. dp d</> dO
b. de/> dp d8
32. Seja D a região dcli1nitada abaixo pelo cone z
Vx2 + y 2
e aci1na pelo plano z = 1. Monte as integrais triplas e1n coordenadas esféricas que forneçam o volu1ne de D, utilizando as
ordens de integração a seguir.
a. dp dcf> d6
b. d</> dp d8
=
346 Cálculo
Encontrando integrais iteradas em coordenadas esféricas
Nos Exercícios 33-38, (a) encontre os lin1itcs cn1 coordenadas esféricas para a integn1I que calcula o volu1ne do sólido dado e en1 seguida
(b) calcule a integral.
33. O sólido entre a esfera p = cos <f1 e o beu1isfério p = 2, z ~ O
p= 2
4 t. Seja D a calota 1nenor cortada de unia esfera sólida de raio de
2 unidades por un1 plano a unia distância de 1 unidade do centro da esfera. Expresse o volume de D con10 un1a integral tripla
iterada cm coordenadas (a) esféricas, (b) cilíndricas e (e) retangulares. Em seguida, (d) encontre o volume, calculando uma
das três integrais triplas.
42. Expresse o mo1nen10 de inércia !_ do hemisfério sólido .\.i +
y + ::2 < l,:: ~ O. con10 unia intci,rral iterada en1 coordenadas
(a) cilíndricas e (b) esféricas. En1 seguida, (e) encontre'=·
Volumes
Encontre os volumes dos sólidos nos Exercícios 43-48.
46.
43.
- ~= vx2,. ,12
--
y
~
34. O sólido dclin1itado abaixo pelo hemisfério p = 1,:: >O e acima
pela curdioide de revolução p = 1 + cos <P
-
p = l + cos</>
~....._-
/\
p= I
X
r = -3 cos (}
~
1
y
.,
,, .,
;: = (x- + y·)- - 1
44.
47.
y
X
z =VI - X~ - y 2
/
35. O sólido dclin1itado pela cardioide de revolução p = 1 - cos </>.
36. A porção superior cortada do sólido no Exercício 35 pelo planoxy.
37. O sólido delin1itado abaixo pela esfera p = 2 cos </>e acima pelo
cone:: = Yx 1 + y 2
vxz 1- "
'\'--_L-=--=i~
;: =
'
!'
r = sen fi
.t
2
.
:=-Vt-r
45.
X
.
y
48.
-z = JV1
)'
38. O sólido deli1nitado abaixo pelo plano xy, dos lados pela esfera
p = 2 e acin1a pelo cone</> = rri3
I
,......._
~
,. = 3 coso, ~
\'
•
r = cosfJ
49. Esfera e cones
p=2
X
y
Encontrando integrais triplas
39. Monte integrais triplas para o volume da esfera p = 2 en1 coordenadas (a) esféricas, (b) cilíndricas e (e) retangulares.
40. Seja D a região no primeiro octante delimitada abaixo pelo
cone cp = rr/4 e acima pela esfera p = 3. Expresse o volurne de
D como uma integral tripla iterada em coordenadas (a) cilíndricas e (b) esféricas. Em seguida, (e) cnconh·c V.
Encontre o volwne da porção da esfera sólida
p Saque está entre os cones</> = rr/3 e <P - 2rr/3.
50. Esíera e sen1iplanos Encontre o volume da região cortada
da esfera sólida p < a e pelos sen1iplanos 8 = O e (} = rr/6 no
prin1ciro octante.
51. Esfera e plano Encontre o volume da região nienor cortada
da esfera sólida p s 2 pelo plano z = 1.
52. Cone e planos Encontre o volume do sólido dclin1itado pelo
cone:: = Vx 2 + y 2 entre os planos:: = J e z = 2.
53. Cilindro e paraboloide Encontre o volurne da região deli111itada inferiormente pelo plano z = O, lateralmente pelo cilindro
x2 + y = 1 e superiormente pelo paraboloide z = x 2 + y2.
Capítulo 15 Integrais múltiplas
54. Cilindro e paraboloides
Encontre o vol ume da região delin1itada infcriom1cnte pelo paraboloide z = x 2 + y2, latcrahnente pelo cilindro .\.i + .vz = 1 e superiorn1ente pelo paraboloide
z = x 2 + J.:t + 1.
55. CiJjndro e cones Encontre o volwne do sólido cortado do
2 + y 2•
cilindro espesso 1 s; x2 +;.2::; 2 pelos cones; = ±
Vx
56. Esfera e cilindro
Encontre o volurne da região que está dentro da esfera x2 + .1.2 + .:2 = 2 e fora do cilindro x2 + y2 = 1.
57. Cilindro e planos Encontre o volun1e da região del in1itada
pelo cilindro x 2 + y 2 = 4 e os planos z = Oe y + z = 4.
58. Cilindro e planos Encontre o volun1e da região deli1nitada
pelo cilindro x2 + y 2 = 4 e os planos z = Oex+ y + == 4.
59. Região delimitada por paraboloides Encontre o volu1ne da
região dcli n1itada superiorn1entc pelo paraboloide z = 5 - x2 - y 2
e inferiormente pelo paraboloide; = 4x2 + 4y2•
60. Paraboloide e cilindro Encontre o volurnc da região delitnitada superiormente pelo paraboloide ; = 9 - .r1 - J,2. inferiormente pelo plano xy e.fora do cilindro x2 +y 2 = 1.
61. Cilindro e esfera Encontre o volume da região cortada do
cilindro sólido .-r2 + y 2 < 1 pela esfera x 2 + .1.2 + : 2 = 4.
62. Esfera e paraboloide Encontre o volun1e da região deliniiLada acima pela esfera x2 + .v2 + z2 = 2 e abaixo pelo paraboloide; x2 + .r.i.
Valores médios
63. Encontre o valor médio da função f(r, 8, ;) = r sobre a região
delimitada pelo cilindro r = 1 entre os planos== - 1 e z = 1.
64. Encontre o valor n1édio da funç,1o f(r, 8, ;) .. r sobre a esfera
sólida delin1itada pela esferd 12 + =2 = 1. (Esta é a esfera x2 + y 2
+ z2
1.)
65. Encontre o valor médio da função f(p, </>,O)= p sobre a esfera
sólida p s 1.
66. Encontre o valor 1nédio da função f (p, e/>. fJ) = p cos </>sobre a
semiesfera sólida p $ 1. O$</>$ 7T/2.
Massas, momentos e centroides
67. Centro de massa Um sólido de densidade constante é delimitado abaixo pelo plano z =O, acima pelo cone z = r, r > O,
e dos lados pelo cilindro r = 1. Encontre o centro de n1assa.
68. Centroide Encontre o centroide da região no prin1eiro octante que é delimitado acima pelo cone z = Vx 2 + y 2 , abaixo pelo plano z = Oe dos lados pelo cilindro xl + y 2 "" 4 e os
planos x = Oe y = O.
69. Ceotroide Encontre o ceotroide do sólido ao Exercício 38.
70. Ceutroide Encontre o centroide do sólido delimitado superionnente pela esfera p = a e inferionnente pelo cone</> = 7T/4.
71. Centroide Encontre o centroide da região delimitada superiorn1ente pela superfície z = \Íi-, dos lados pelo cilindro r ...,. 4
e inferiormente pelo plano .\J'.
72. Centroidc Encontre o cenlroide da região cortada da esfera
sólida 12 + ::2 s 1 pelos semiplanos 1) = -7T/3, r 2: Oe fJ = 7Tf3.
,. 2:
o.
73. Momento de inércia de um cone sólido Encontre o momento de inércia de un1 cone circular reto co1n raio de base 1
e altura 1 e1n relação ao eixo passando pelo vértice paralelo à
base. (Tome 8 = 1.)
74. Mon1cnto de inércia de unia esfera sólida Encontre o 1nomento de inércia de un1a esfera sólida de raio a en1 relação ao
diâmetro. (To1ne ô = 1.)
347
75. Mon1cnto de inércia de um cone sóHdo
Encontre o niomcnto de inércia de un1 cone circular reto con1 raio de base a
e altura li e111 relação ao seu eixo. (Sugestão: situe o cone com
seu vértice na origem e seu eixo ao longo do eixo;.)
76. Densidade variável Um sólido é delúnitado aci1na pelo paraboloide== 1.i. abaixo pelo plano z =O e dos lados pelo cilindro r = 1. Encontre o centro de massa e o 1no1nento de inércia
en1 relação ao eixo :. se a densidade for
a. l>(r, 8, z) = ;
b. 8(r, O,;) = 1:
77. Densidade variável
Un1 sólido é delimitado abaixo pelo
cone ; = V-i: 2 + y 2 e acima pelo plano ; = 1. Encontre o
centro de massa e o 1nomento de inércia cm relação ao eixo z,
se a densidade for
a. l>(r, 9, z) "' ;
b. l>(r, 8. ;) = z2•
78. Densidade variável Unui bola sólida é delirnitada pela esfera p = a. Encontre o mo1nento de inércia em relação ao eixo z,
se a densidade for
a. ô(p. e/>. 8) = p 2
b. S(p. <(>, 8) = r = p scn </>.
79. Centroide de um senlielipsoide sóJido Mostre que o centroide do semielipsoide de revolução (1.2/0 2) + (z2/'1 2) s 1,
: 2: O. está no eixo z a três oitavos da distância entre a base e
o topo. O caso especial li = a fornece um hen1isfério sólido.
Assi1n, o centroidc de u111 hcn1isfério sólido está no eixo de
simetria a três oitavos da distância entre a base e o topo.
80. Centroide de un1 cone sólido tvlostrc que o centroide de um
cone circular reto sólido está a uni quarto da distância entre a
base e o vértice. (Em geral. o ccntroide de um cone sólido ou
pirâinide está a u111 quarto da distância entre o centroide da
base e o vértice.)
81. Densidade do centro de un1 planeta Uni planeta ten1 o
formato de uma esfera de raio R e n1assa total M. com distribuição de densidade esfericamente silnétrica que au1nenta linearmente à n1edida que nos aproxim:unos de seu centro. Qual
é a densidade no centro desse planeta se a densidade em sua
margem (superfície) for zero?
82. l\llassa da atn1osfera de un1 planeta U1n planeta esterico de
rc1io R 1e1n u1na atmosfera cuja densidadeµ, = µ, 0e-<11, onde h é
a altitude acitna da superfície do planeta, µ, 0 é a densidade no
nível do mar e e é u1na constante positiva. Encontre a massa da
aunosfera do planeta.
Teoria e exemplos
83. Planos verticais e1n coordenadas cilíndricas
a. Mostre que os planos perpendiculares ao eixo x possuem
equações da formar = a sec Oem coordenadas ciUndricas.
b. Mostre que os planos perpendiculares ao eixo y possueni
equações da formar= b cos ec O.
84. (Continuação do Exerciclo 83.) Encontre u1na equação da fon11a
r = f(O) cm coordenadas cilíndricas para o plano ax + by = e,
e ·-:t: O.
85. Simetria Que sinietria você encontrará em u1na superfície
que 1e111 u1na equação da fonna r f(z) e1n coordenadas cilíndricas? Justifique sua resposta.
86. Sin1etria Que sin1etria você encontrará em u1na superfície
que tem uma equação da forma p = f(<f>) em coordenadas esféricas? Justifique sua resposta.
348 Cálculo
Substituições em integrais múltiplas
15.8
V
•(11. v)
G
----+---------.11
o
O objetivo desta seção é apresentar a você as ideias envolvidas nas transforn1açõcs de coordenadas. Você verá como calcular integrais múltiplas por substituição,
de forn1a a substituir integrais cornplicadas por aquelas que são mais fáceis para
calcular. As substituições realiza1n isso sin1plifi.eando o integrando, os lin1ites de integração, ou a1nbos. .É melhor deixar un1a discussão meticulosa de transformações
e substituições de várias variáveis, e o jacobiano, para u1n curso mais avançado,
depois de um estudo de álgebra linear.
Substituições em integrais duplas
A substituição em coordenadas polares da Seção 15.4 é urn caso especial de
Plano cnrte~iano 11v
X= g (11, V)
y = /z(11, v)
um niétodo de substituição mais geral para integrais duplas, urn método que ilustra
mudanças de variáveis como formações de regiões.
Suponha que uma região G no plano uv seja transfonnada biunivocamente na
região R no plano.\}' para equações da forma
x = g(u, v). y = h(11, v).
,\'
•
(,\'. )')
- - + - - + - - - - - il------. X
o
conforme sugerido na Figura 15.53. Denon1inamos R a imagem de G sob a transformação e G a pré-imagem de R. Qualquer função f(x, y) definida em R pode ser
in1aginada como uma função f(g(u, u), h(u, v)) definida tambétn em G. Con10 a
integral de f(x,y) sobre Restá relacionada à integral de f(g(u, 11), h(u, v)) sobre G?
A resposta é: se g. h e f têm derivadas parciais contínuas e J(u. v) (a ser discutido a seguir) é zero somente em pontos isolados, quando for. en1ào
JJ
Plano cartesiano xy
FIGURA 15.53 As equações x = g(u, 11)
e y = h(11. v) nos permitem 1nudar urna
integral sobre unia região R no plano -~"
para unia integral sobre unia região G no
plano u11, u1ilizando a Equação 1.
f(x,_y)dxdy =
R
JJ
f(g(u,v),Íl(11,v)) l.!(11,v)lc!udv.
(1)
G
O fator J(u, u), cujo valor absoluto aparece na Equação 1, é o jacobía110 da
transformação de coordenadas, em ho1nenagem ao 1natemático alcn1ão Carl Jacobi.
Ele mede o quanto a transformação está expandindo ou contraindo a área ao redor
de um ponto em G, à n1edida que este se transforma em R.
~
DEflNIÇAO O detern1inante jacobiano ou jacobiano da transformação de
coordenadas x = g(11. v), y = h(u, v) é
iJx
iJu
J(u, v) =
iJy
ilu
éJx
iJv
éJy
av
ax õy
ay ax
-- - -i111 àu
av .
ª"
(2)
O jacobiano també1n pode ser denotado por
à(x, .Y)
J(11, u) = a( U. V )
BrOGRAI'lA HJSTÓRICA
Carl Gustav Jacob Jacobi
( 1804-185 1)
para nos ajudar a le1nbrar como o detenninante na Equação 2 é construído a partir
das derivadas parciais de x e y. A dedução da Equação 1 é intrincada e, apropriadamente, pertence a um curso de cálculo avançado. Não dare1nos a dedução aqui.
EXEMPLO 1 Encontre o jacobiano para a 1ransformação de coordenadas polares
x = r cos O, y = r sen 8 e utilize a Equação 1 para escrever a i11tegral cartesiana
JJR fti:. JI) dx 'Ú' como uma integral polar.
Capítulo 15 Integrais múltiplas
349
Solução A Figura 15.54 mostra co1no as equações x = r cos O, y = r sen O transfornlaru o retângulo G: O< r < l , O<()< 'TTl2, no quarto de círculo R delin1itado por
;2- + y2 = 1 no primeiro quadrante do plano X)'.
Para coordenadas polares, temos r e() no lugar deu e v. Corn x = r cos Oe y =
(1
-2
7T
r sen O, o jacobiano é
G
ax
dX
élr
J(r, 8) =
o
1
-
iJO
âv
•
d)'
-()(}
iJr
r
cose - r sen8
= r(cos 2 8 + sen2 O) = r.
sen O ,. cos ()
Plano canesiano rll
!
.v = rcosO
y = r ~en {}
Uma vez que poden1os supor que r ~ O quando integrrunos em coordenadas
polares, IJ(r, O)I = lrl = r. de forrna que a Equação l dá
jf
)'
f(x, y) dx dy =
R
jJ
J(r cos 8, rsen 8) r dr t/8.
(3)
G
7r
0=2
Plano cartesiano .ry
FIGURA 15.54 As equações x = r cos 8 e
y = r sen O transforman1 G en1 R.
Essa é a mesma fórmula que deduzin1os independentemente, utilizando u1n argumento geométrico para a área polar na Seção 15.4.
Observe que a integral ã direita da Equação 3 não é a integral de /(r cos 8, r sen 8)
sobre uma região no plano de coordenadas polares. Ela é a integral do produto de
f(r cos O, r sen O) e r sobre uma região G no p/0110 cartesiano rO.
Aqui está un1 exemplo de uma substituição na qual a imagem de um retângulo
sob a transfonnação de coordenadas é u1n trapézio. Transfonnações como essa são
cha1nadas de transformações lineares.
EXEMPLO 2
Calcule
1
41·~ =(y/2J+ 1 2:r -
y
?
x=•·/2
dX d)I
-
aplicando a transfonnação
2r - y
LI :::
2 •
y
lJ
= .2
(4)
e integrando sobre uma região apropriada no plano uv.
Solução Esboçamos a região R de integração no plano X)' e identificamos suas fronteiras (Figura l 5.55).
y
V
v= 2
2 t----.
11
=O
G
4
li
= 1
_ _ _ ___. _ _ _ _ li
o
IJ
=o
y= 4
.r= 11 + v
y = 211
y = 2x- 2
/
-oi---'-------+ X
o \ 1
\' = (}
•
FIGURA 15.55 As equações x = 11 + v e y = 2u transforman1 G cn1
R. Inverter a 1.ransforn1açào pelas equações 11 = (2x - y)/2 eu = y/2
lransfbrina R cin G (Exemplo 2).
350
Cálculo
Para aplicar a Equação 1, precisan1os encontrar a região uv correspondente G e
o jacobiano da transformação. Para encontrá-los. primeiro resolvemos as Equações
4 para x e J' ern terrnos de u e v. A partir dessas equações, é fácil vem1os que
X = ti + V,
y = 2u.
(5)
Então. cncontran1os as fronteiras de G substituindo essas expressões nas equações
para as fronteiras de R (Figura 15.55).
Equações nas
.. .
var1ave1s -~Y pa.ra a
fronteira de R
Equações correspondent.es
.,
nas var1ave1s 11v para a
fronteira de G
.
x = v/2
x = (y/2) + J
Equações nas variáveis
uv simplificadas
2u/2 = V
li+ V = (211/2) + l = U + )
2v = O
211 = 4
li + U =
y= O
1• = 4
•
LI =
Q
li =
1
u =O
u= 2
O jacobiano da transformação (novan1ente a partir das Equações 5) é
ax ax
J(u,v ) =
au
élJ•
iJ
av
ay -
au -au
a
a-(u
+ v)
u
aij(11 + u)
~(2u)
au
o
ai; (2u)
1
o
1
= 2.
2
Agora ternos tudo de que precisamos para aplicar a Equação 1:
1
111=
2111=
1
' dx dy =
11iJ(11, v) ldu du
41.\'"l••/2)+ 1 2x - \/
.t =y/2
2
EXEMPLO 3
Calcule
u=O
tt= O
IJ
{'
rr
-x
lolo \,/;+y (y - 2x)2 dy cLr.
o
li
v=-211(\
= 1
Esboçamos a região R de inregração no plano X)' e identificamos suas fronteiras (Figura 15.56). O integrando sugere a transformação 11 = x + y e v = y - 2x.
Álgebra rotineira produz x e y como funções de 11 e v:
Solução
-21
li
X =
y
V
J - J'
2u
V
Y = T + 3·
(6)
A partir das Equações 6, poden1os encontrar as fronteiras da região nas variáveis uu
G (Figura 15.56).
x+y= I
x= O
R
Equações nas
••
•
var1ave1s
.\y para a
fronteira de R
Equações correspondentes
••
•
nas var1avets
11v ·p ara a
fronteira de G
Equações nas variáveis
uv simplificadas
-º~--,---"'-]--+X
y =O
FIGURA 15.56 As equaçõesx
(11/ 3) - (u/3 ) e y = (211/3) + (u/3)
traJ1sforrnam G en1 R. Jnverter a
transformação pelas equaçõe u = x + y e u
= J' - 2x transforn1a R en1 G (Exen1plo 3).
LI =
x +y = I
(
x=O
li
ti
---=
O
3
3
V= ti
y = O
211 + E. = o
3
3
V =
- 2u
Capítulo 15 Integrais múltiplas
3 51
O jacobiano da transforrnaçào nas Equações 6 é
J(u,u) =
éJx
-ax
au éJu
-31 --31
iJy
2
iJy
éJu
ª"
1
=-
3·
1
-3
-3
Aplicando a Equação l, calcula1nos a integral:
111 v;+y
1
.r
(y - 2r)2 dy dx =
1 1 =llv=1 11 112 u2 IJ(u,v)1 du d11
O
=
1'1'
11~ 0
u 112 u 2
- 211
(')
-
3
i
1
. u=-2u
1
]"#"
dv du = u 1!2 [ -' u3
du
3 O
3
u= - 211
No próximo exemplo, demonstramos uma transfonnaçào não linear de coordenadas resultando da simpliticação da forn1a do integrando. De n1aneira sernelhante
à transformação das coordenadas polares, as transforn1ações não lineares podem
mapear un1a fronteira en1 linha reta de un1a região e111 uma fronteira curva (ou vice-versa com a transformação inversa). E1n geral, as tTansformaçõcs não lineares são
mais complexas para analisar do que as Lineares, e un1 tratan1ento completo é deixado para um curso 1nais avançado.
}'
\' = ~f
•
EXEMPLO 4
Calcule a integral
j .1."ft~e Yri'
2
.
<lr dy.
l/y
1 --
xy = 1
o
2
FIGURA 15.57
Região de integração R no
Solução Os termos de raiz quadrada no integrando sugerem que poderíamos sim-
plificar a integração substin1indo u = \/.; e u = -vy/;:. Elevando ambos os
lados dessas equações ao quadrado, teríamos itnediatamente 112 = xy e v 2 = J>fx, o
que itnplica que u2 v2 = J.l e 11 2!v2 = ,yl, Assim. ob1en1os a transformação (na mesma
ordem das variáveis, conforme discutido anteriorn1ente)
)' = llV.
e
Exemplo 4.
Vamos ver primeiro o que acontece ao próprio integrando com essa transformação.
O jacobiano da transformação é
11
2~----IJ =
1 (::).ty =
J(u,u) =
t --
ax
dll
-av
-V
-11
ày
éJy
li
li
/
--+---..___ __.__,.li
o
2
211
u·
Se G é a região de integração no plano uv, então pela Equação 1 a integral dupla
transforn1ada com a substituição é
JJ .Jix ,rx_r
e
R
As fronteiras da região
G correspondem àquelas da região R na
Figura 15.57. Observe que, à medida que
nos movemos en1 sentido anti·horàrio ao
v ·~
au
ª"
u = 1 (::))'=X
1
iJx
dx dy =
JJ
G
ue"
2
~' du du =
JJ
2ue" du du.
G
FlGURA 15.58
redor da região R, 01ovcmo-nos também
em sentido a111i-horârio ao redor da região
G. As equações de transformação inversas
11 = \IX.Y. u = '\ii!X produzem a região
G a parür da região R.
A função do integrando transfonnado é rnais fácil de ser integrada do que a original. então prossegui1nos para determinar os limites de integração para a integral
transformada.
A região de integração R da integral original no plano .x:1' é mostrada na Figura
15.57. A partir das equações de substituição 11 = v'.ry e v = ~- vemos que
a imagern da fronteira â esquerda xy = 1 para R é o segn1ento de reta vertical /1 = 1,
2 2: u > 1, em G (ver Figura 15.58). Da mesrna fonna, a fronteira à direita)' = x de
352 Cálculo
R 1napeia ao segmento de reta horizontal v = 1, 1 $ u $ 2, en1 G. Por fim, a fronteira
superior horizontaly = 2 de R n1apeia a u11 = 2, 1 < v < 2, en1 G. À medida que nos
nioven1os e1n sentido anti-horãrio ao redor da fronteira da região R, tan1bém
nos inovemos en1 sentido anti-horário ao redor da fronteira de G, conforme mostrado na Fi!,>ura 15.58. Conhecendo a região de integração G no plano 11v. poden1os
agora escrever integrais iteradas equivalentes:
ly
Jf
1
2
x e ViY d:<: dy =
• 1/.•·
1212/112ue" dv du.
1
l
Avalian1os agora a integral transfonnada à direita,
1
1
f 2f 2 2ue" dv clu = 2f2 vue"]~:;111 d11
2
= 2
1
(2e" - ue") c/11
2f2 (2 - u )e" du
=
= 2[ (2 - u)e" + e 11 ]:=~
lnl~'}!rur porpa11.:;.
= 2(e 2 - (e + e)) = 2e(e - 2).
Substituições em integrais triplas
As substituições em coordenadas cilíndricas e esféricas na Seção 15.7 são casos especiais de um método de substituição que descreve mudanças nas variáveis
ern integrais triplas como transforn1ações de regiões tridin1ensionais. O método é
co1no aquele para integrais duplas, exceto que agora trabalhamos em três din1ensões, em vez de duas.
Suporlha que unia região G no espaço 11v\11 seja transfonnada biunivocamen1e
na região D no espaço -~''Z por equações diferenciáveis da forma
X = g(11, V, ~-v),
y = h(u, v. \1'),
== k(u. v, ~v).
como sugerido na Figura 15.59. Então, qualquer função F(x, y, z) definida em D
pode ser considerada uma função
F(g(u, v, 11'), h(tt, v, 11•), k(u. v, ~v)) = 11(11, 11, 1v)
definida ern G. Se g, h e k tên1 as primeiras derivadas parciais contínuas, então a
integral de F(x, y, z) sobre D estã relacionada à integral de H(u, v, 111) sobre G pela
equação
JJf
Flx,y, z) dx dy d= =
D
JJJ
ff(11, u, 1v) IJ(11, v, 1v) 1du dv dw.
G
z
.r = ~(u. 11. w)
y ... 11(11. 11. 11')
;: = ~(11. li. 11')
G
D
y
li
li
Espaço cartesiano 111111·
Espaço cartesiano .tyt
As cquaçõcs.r = g(u, u. 11'),y = '1(11, v, 111) e: = k(11. 11, 1v) nos
permitem niudar unia in1egral sobre uma região D no espaço cartesiano .~1·z
para uma integral sobre u1na região G no espaço cartesiano uuw utilizando
a Equação 7.
FIGURA 15.59
(7)
Capítulo 15 Integrais múltiplas
--
Cubo com lados
paralelos nos eixos
coordenados
O fator J(u, 11, }V), cujo valor absoluto aparece nesta equação, é o detern1inante
jacobiano
J(u, u, 11-) =
G
r
àx
-õu
ax
àx
()u
éhv
i:Jy
iJy
ày
ii(x,y, z)
ª"
éJu
d l1'
éJ(ll, V, 11•).
éJz
õu
à=
az
-i!u
Espaço cartesiano rO;:
'111·
Esse detenninante tnede quanto o volume próxi1110 de utn ponto e1n G está sendo
expandido ou conlraído pela transformação das coordenadas (11, u, 111) e1n coordenadas (x ••v, z). Assitn como no caso bidimensional. a dedução da fórmula de mudança
de variável na Equação 7 é omitida.
Para coordenadas cilíndricas, r, 8 e z to1na1n o lugar de 11, 11 e 1~'. A transforn1ação do espaço cartesiano rO::: no espaço cartesiano ~z é dada pelas equações
.r= rcos (J
y = r scn 11
-- ---
: =consumtc
/
3 53
D
)' =,. sen fJ,
x=,. cos 8,
= =z
(Figura 15.60). O jacobiano da transforn1açào é
r =consumte
O= conMante
x
.\ '
Espaço cartesiano xy:
FIGURA 15.60 As equações x =- r cos 6,
y = r scn () e z = h·ansforn1am o cubo G
em uma cunha cilindrica D.
=
A versão correspondente da Equação 7 é
fJJ
fJJ
F(x,;1, z)dxd;'d= =
D
H(r,8,z)lrldrd8dz.
G
Podemos descartar os sinais de valor absoluto sempre quer ; : : O.
Para coordenadas esféricas, p, <P e fJ toman1 o lugar deu, v e 111. A transfonnação
do espaço cartesiano p</JfJ no espaço cartesiano ..lJ'Z é dada por
y = p sen </> seu e,
x = p sen </> cos 8,
z = p cos </>
(Figura 15.61 ). O jacobiano da transfonnação (ver o Exercício 19) é
iJx
éJx ôx
-(Jp
-iJ<f>
-(){)
J(p, </>, O) =
i:Jy
i></>
d)'
-
-
iJp
ày
-
ao
= p 2 sen <f>.
àz
az -az
-(lp
-ô<b
()8
A versão correspondente da Equação 7 é
fJJ
D
F(x,y.z)dxd;•d= =
fJJ
G
ll(p,</>,8)lp 2 sen<f>ldpd<f>d8.
354 Cálculo
(J
p = con,tante
Cubo com lados
paralelos ao$ eixos
coordenados
O = constant
/
""'
D
: (x.y.z)
x = pscntf>cosO
.,,,,,,.----
'\
y = p scn </> sco IJ
•
:= pcos</>
</> = constante
G
)'
Espaço cartesiano {X/>O
p
Espaço cartesiano xy:
X
As equações x = p scn </> cos 8. y = p scn </> scn (}e z = p cos </>
transformam o cubo G na cunha esférica D.
FIGURA 15.61
Podemos ignorar os sinais de valor absoluto. porque sen </> nunca é negativo para
Os</> s 'lr. Observe que esse é o mcs1no resultado obtido na Seção 15.7.
Temos aqui um exemplo de outra substituição. Ainda que possarnos calcular a
integral no exemplo diretamente, nós a escolhernos para ilustrar o n1étodo de substituição en1 um contexto si111ples (e razoavel111ente intuitivo).
li'
EXEMPLO 5
il
Calcule
1
3!o41x=t1-/2)-1-I
G
2
---. y
)
O
(2x _y + 3z) dxdydz
2
x=y/2
aplicando a transfor111açào
li
- .
11 = (2x - y)/2,
x=11+y
)' = 2.v
4 = 311'
Sowção Esboçamos a região D de integração no espaço x_v= e identifican1os suas
fronteiras (Figura 15 .62). Nesse caso. as superfícies limitantes sào planas.
Para aplicar a Equação 7. precisamos encontrar a região G correspondente oo
espaço 11u11• e o jacobíano da transforn1açào. Para encontrá-los, pri1neiro resolva as
Equações 8 para x, y e z em termos deu, u e 1v. Álgebra rotineira dâ
)'
x = -2 ou1•=
2x
.
J
X= li + U,
y
Plano ele frente:
X =
2+ 1
I'
OU .\' =
(8)
e integrando sobre unia região apropriada no espaço 11u11'.
Plano de tnís:
D
111 = z/3
u =v/2
2.r - 2
FIGURA 15.62 As equações :r = 11 + v,
y= 2u e; = 3111 lransfonnam G em D.
Inverter as transforn1açõcs pelas equações
u = (2.x - y)/2. u = y/2 e 11· = z/3 transforma
D e1n G (Exemplo 5).
.v=2u'
z= 3w.
(9)
Então, encontran1os as fronteiras de G substitujndo essas expressões nas equações
para as fronteiras de D:
Equações nas
variáveis xyz para a
fronteira de D
Eqllações correspondentes
. ' . uv1v para a
nas var1ave1s
fronteira de G
Equações nas
variáveis uv1v
simplificadas
11 + v = 2u/2 =
+ u = (2v/2) + 1 = u + 1
u=O
li = 1
•
v=O
2u = O
u=O
v=4
2v = 4
u=2
-- o
=o
311• = 3
11•= o
li'= 1
x=yn
X= (1 1/2) + 1
•
~ -
z=3
11
3111
u
Capítulo 15
Integrais múltiplas
355
Agora, temos tudo de que precisan1os para aplicar a Equação 7:
r
{ 4 x=(l•/ 2)+ 1
}o Jo l r=y/2
{3
(2x 2- y + t) dx dy dz
1'1 1
2
=
'(u + w) l.!(u, u, 11') 1du du d1v
2
61 1[f 11111]~
61 [~ u~vJ: 61
=
1'1 1\11 + 1v)(6)d11dud111 =
=
6.['1 (t + 1v)dud1v =
2
1 2
+
1
+
d11· =
dvchv
1
(1 + 21v)du•
= 6[ ~,, + 111 2 ]~ = 6(2) = 12.
Exercidos 15.8
Jacobianos e regiões transformadas no ptano
1. a. Resolva o sistcn1a
eixo y e a reta x + y = 1. Esboce a região transformada no
plano 11u.
4. a. Resolva o siste1na
11 = x-y.
u = 2.~+y
para x e y em tcrn1os de 11 e u. Ern seguida, encontre o valor
do jacobiano à(x, y)lô(u. u).
b. Encontre a imagem pela transfonnaçào 11 = x - y, u = 2i: + y
da região triangular corn vértices (O. O). ( 1. 1) e (l. - 2) no
plano .\J'· Esboce a região transfon11ada no plano uu.
2. a. Resolva o sisterna
u =x + 2y,
u=.t-\'
u = -x + ;·
para x e y ern termos de 11 e u. En1 seguida. encontre o valor
do jacobiano à(x, y)lô(u, v).
b. EncontrC a imagen1 pela transfom1açào 11 = 2r - 3y, u = x +y
do paralelogramo R no plano:\}' com fronteirasx=-3. x = O,
y = x e y = x + 1. Esboce a região transformada no plano 11v.
Substituições em integrais duplas
•
para x e y cm tennos de 11 e u. Ern seguida. encontre o valor
do jacobiano ô(x,y)Jô(u. u).
b. Encontre a in1agem pela transformação 11 "' x + 2y. v - x - y
da região triangular no plano -'J' delin1itada pelas retas y = O.
y = x ex + 2y -= 2. Esboce a região transfonnada no plano 11u.
3. a. Resolva o sistema
li = 3x + 2y,
u = 2x - 3y,
U =X l
4y
para x e y e111 termos de 11 eu. E1n seguida. encontre o valor
do jacobiano ô(x, y)lô(11, u).
b. Encontre a in1agem pela transformação 11 3x + 2y, u = x +
4y da região triangular no plano -'Y delimitada pelo eixo x,
5. Calcule a integral
41 ·•-ly/2J+ I 2.i: - )'
1
x~.v/2
- - - dxdy
2
do Exen1plo 1 direta1nente pela integração co1n relação a x e y
para confirmar que seu valor é 2.
6. UtiUzc a transfonuação 110 Exercício 1 para avaliar a i111egral
41•~l>'/2IH 2x -
l
X
v/2
2
)'
d~dy
parc'I a região R no primeiro quadrante deli1nirada pelas retas y
=-2.x+4,y =-2.r+7.y = x - 2 ey = x + J.
356
Cálculo
7. Utilize a transformação no Exercicio 3 para calcular a integral
.!f
(3x 1 + 14xy + 8y 2) tlr dy
16. Utilize a transformação x = 11 2 - vi . y = 2t1u para calcular a
integral
r'
r2vr=x
lo lo Vx2 + y2 dy dx.
R
para a região R no p1imeiro quadran1e de lin1itada pelas retas .r
=- (3/2)x + 1, .I' = - (3/2~r + 3,y = - (1 /4)x e y =- ( 114)x + 1.
8. Utilize a transfonnaçào e o paralelogran10 R no Exercício 4
para calcular a integral
fJ
(Sugestão: n1ostre que a imagem da região triangular G com
vértices (0, 0), ( 1, O), ( 1. 1) no plano uu é a região de integração
R no plano xy definida pelos limites de integração.)
Encontrando jacobi-anos
2(x - y) dx dy.
17. Encontre o jacobiano â(x, y)fâ(u. u) da transforn1açâo:
R
9. Seja R a região no primeiro quadrante do plano .T)' deHmitada
pelas hipérboles X)' = 1, xy = 9 e as retas y = x, y = 4x. Utilize a
transformação x = 11/u, y = uu com 11 > Oe u > O para reescrever
a. x = 11 cos u, y = u sen u
b. x = 11 sen u. y = 11 cos v.
J 8. Encontre o jacobiano a(x, )'. =)l a(u' I'. 11') da transformação:
a. x = 11 cos v,
y = /1 sen u, == 1v
b. X= 211 - J,
y= 3u - 4,
==(l /2)(w - 4).
19. Calcule o dctenninante apropriado para mostrar que o jacobia-
como uma integral sobre uma região apropriada G no plano uv.
Em seguida, calcule a integral uv sobre G.
JO. a. Encontre o jacobiano da transformação x = 11, J' ~ uu e esboce a região G: 1 s; 11 s; 2, 1 s; uu $ 2, no plano uu.
b. Em seguida, utilize a Equação 1 para trans formar a integral
2
1
2y
j -; dy dr
1
no da transforniação do espaço cartesiano p</J(} par.i o espaço
cartesiano .IJ'Z é p 2 scn </>.
20. Substituições crn integrais de uma variá,•el Como as substituições en1 integrais definidas de uma variável podem ser vistas como transformações de regiões? Qual é o jacobiano nesse
caso? Il ustre com un1 cxc1nplo.
Substituições em integrais triplas
X
em uma integral sobre G e calcule ambas as intc&rrais.
11. J\'lomeoto de inércia polar de u1na placa elíptica Uma placa fina de densidade constante cobre a região delimitada pela
elipse x2fo 2 +.1;lfb2 = 1, o > O, b > O, no plano xy. Encontre o
primeiro n10111ento ela placa en1 relação à origen1 (Sugestão:
utilize a transfonnação x =arcos O. y = br sen 0.)
A área Trab da elipse x2/a 2 + .J,2/,,Z = l
pode ser encontrada integrando a função f(x, y) = 1 sobre a
região delimitada pela elipse no plano ;\)'· Calcular a integral
diretamente exige u1na substituição trigono111étrica. Un1a maneira ruais fáci l de calcular a integral é utilizar a transformação
x =ou, y = bu e calcular a integral transfo1111ada sobre o disco
G: 112 + u2 s; 1 no plano 11v. Encontre a área dessa forma.
12. Área de unia elipse
13. Utilize a transformação no Exercício 2 para calcular a integral
21. Calcule uma integral no Exemplo 5 integrando com relação a
x, J' e=·
22. Volume de 111n elipsoide Encontre o volun1c do elipsoide
J'2
_2
ª 2
b2
c2
:...-+-+=-= 1
23. Calcule
jff'1.\Jzl
c1x dy dz
sobre o elipsoide sólido
2
l/2
.,.2
:!._2 + ~2 + =-2 s
)'
a
escrevendo-a prin1eiro como u111a inte!,'TJI sobre uma região G
no plano 11u.
14. Utilize a transfom1ação x = 11 + ( l/2)v, y = u para calcular a
integral
·
(Sugestão: sejan1 x = au, y = bv e z = c111. Então encontre o
volume de uma região apropriada no espaço 11u111.)
2/31 2-21•
(x + 2y)ev·-.r> dx dy
1
t'2
'1
e
l.
(Suges1ão: scjan1 x = 011, y = bu e z = cw. Então integre sobre
uma região apropriada no espaço uulv.)
24. Seja D a região no espaço xy:: definida pelas desigualdades
1 S X S 2.
Os -~r s 2.
0S::$ I.
Calcule
escrevendo-a primeiro como uma integral sobre u1na região G
no plano 11u.
15. Utilize a transforn1ação x = 11/ 11, y = uu para calcular a soma
integral
1
2
f,1
. ' (x + J' dx dy + 1414/1.• (x + y dx dJ•.
. l/y
2
2)
2
.r/4
2
2)
aplicando a transformação
11 =x.
IJ =X)'.
111 = 3=
e integrando sobre uma região apropriada no espaço 11v11·.
Capítulo 15
25. Centroide de um se111ielipsoide sólido Considerando o
resultado de que o ccntroide de uni hcniisfério sólido está
no eixo de simetria a três oitavos da distância da base ao
topo. mostre. transformando as integrais apropriadas, que
o centro de niassa de utn semielipsoide sólido (x2/a 2) +
(y2!b 2 ) + (i1/c 2 ) < 1, : > O, está no eixo z a três oitavos
da distância da base ao topo. (Você pode fazer isso sem
calcular nenhunia integral.)
Capítulo
Integrais múltiplas
357
26. Cascas cilíndricas Na Seção 6.2. aprendemos como encontrar o volunie de uni sólido de revolução utilizando o 111étodo
das cascas: a saber, se a região entre a curva y = /(x) e o eixo x
entre a e b (O < a < b) for girada c1n torno do eixo y, o volume do sólido resultante é .fi,b 2Trx/(x) dx. Prove que encontrar
os vohnnes utilizando integrais triplas dá o mes1no resuhado.
(Sugestão: utilize coordenadas cilíndricas com os pap.;is de y
e =trocados.)
Questões para guiar sua revisão
1. Defina a integral dupla de uma função de duas variáveis sobre
wna região liniitada no plano coordenado.
2. Como as integrais duplas são avaliadas cooio integrais iteradas? A ordeni da integração importa? Como os li1nites de integração são detenninados? Dê exeniplos.
3. Como as integrais duplas são utili:i:adas para calcular áreas e
valores médios? Dê exen1plos.
4. Co1110 você pode alterar uma integral dupla en1 coordenadas
retangulares para unia integral dupla c111 coordenadas polares'!
Por que pode valer a pena fazer isso? Dê um exe1nplo.
5. Defina a integral tripla de uma função /(x, y, z) sobre urna
região deli1ni1ada no espaço.
6. Como são avaliadas integrais triplas em coordenadas retangulares? Conio são deterniinados os lin1ites de integração? Dê
uni exemplo.
Capítulo
7. Como as integrais duplas e triplas em coordenadas retangulares
são utilizadas para calcular volun1cs. valores niédios. massas,
momentos e centros de massa? Dê exemplos.
8. Co1no as integrais triplas são definidas em coordenadas cilindricas e esféricas'? Por que algué1n poderia preferir trabalhar
cm uni desses sistemas de coordenadas a trabalhar cm coordenadas retangulares?
9. Conio são avaliadas integrais triplas eni coordenadas cilindricas e esféricas? Como são encontrados os li1nites de integração? Dê exemplos.
1O. Conio as substituições em integrais duplas são descritas como
transfom1açõcs de regiões bidiniensionais'! Dê uni excn1plo
com cálculo.
11 . Coino as substituições em integrais triplas são descrilas conio
transformações de regiões tridiniensionais? Dê uni exemplo
com cálculo.
Exercícios práticos
•
Avaliando integrais íteradas duplas
Areas e volumes utilizando integrais duplas
Nos Exercícios 1-4, esboce a região de integração e avalie a integral
dupla.
13. Área entre r eta e parábola Encontre a área da região
delin1itada pela reta y = 2x + 4 e a parábola y = 4 - x 2 no
plano .\:v.
1.
i tºl
l '1''
' h· ye·'" d,· dy
ey/x dy dx
2. .
J.
( 312 { V9- 4r' ds dt
lo l -v'Y-411
4.
1
112-\í," xydxdy
1
.,;;
Nos Exercícios 5-8. esboce a região de integração e escreva uma integral equivalente com a orde1n de integração inverlida. En1 seguida,
avalie anibas as integrais.
5.
6.
( 4r tr-4)/2 dx di•
lo1-v:i::;
r
·1:
v;
la ,..
·
dy d,·
r
lol2J'
2
10.
,
rs
(~ ;)!:'(.
lo l~.r )
{'
4cos(x 2)dxdy
11.
l2!1
e·' : d,"Cdy
1 2.1 1~1 2Trse1:7Tx2 dxdy
,,
. )' -
.v=4 .
15. Volume da região sob uni paraboJoide Encontre o volum.e
sob o paraboloide z = .t2 + J;z acima do triângulo deli111itado
pelas retas y = x. x = Oex + y = 2 no plano~\'.
16. Volume da região sob um cilind ro parabólico Encon1re o volume sob o ci lindro parabólico z = x2 acinia da
região deli1nitada pela parábola y = 6 - x 2 e a reta y = x
no plano xy.
Valores médios
Avalie as in1egrais nos Exercícios 9- 12.
9.
14. Área limitada pelas relas e parábola Encontre a área da
região "triangular'' no plano ..\)' que é delin1itada à direita pela
parábola y = x2, â esquerda pela reia x + y = 2 e acima pela reta
..V r,~l
x·
Encontre o valor n1édio de /(x. y) = -'J' sobre as regiões nos Exercícios 17e 18.
17. O quadrado delitnitado pelas retas x = l, y = 1 no primeiro
quadrante
18. O quarto de circulo x2 + .v2 < 1 no prinieiro quadrante
358
Cálculo
Coordenadas polares
Avalie as integrais nos Exercícios 19 e 20 niudando para coordenadas polares.
J9.
20.
1
'1 ~
2d1•dx
1 - v'i""=? ( 1
' '
+ x·~ + •v·)-
. ln (x 2 + y 2 + 1) d-e dy
31. Coordenadas cilíndricas para retangulares
1
21. l ntcgraJ sobre a len1niscata Integre a função f(x, y) = l/( 1
+ x2 + _1.2) 2 sobre a região dclin1iiada por uni laço da lcn1niscata
(x2 + ; .2)2 - (x2 - ,1.2) = O.
22. Integre f(x. y) = 1/( 1 + x2 + J,2)2 sobre
a. Região triangular O triângulo com vértices (0. 0). ( l, O)
e(1,V3).
b. Prin1eiro quadrante O primeiro quadrante do plano-':''·
Avaliando integrais iteradas triplas
24.
(
rfT (" cos (x + )' + ;) tl'C dy dz
l o ./1n4
['l·'Jo'+'c2.x - y -
26.
o
32. Coordenadas retangulares para coordenadas cilíndricas
(a) Converta en1 coordenadas cilindricas. Em seguida. (b) avalie a nova intei:,tTal.
2
v'1 x 1
-(.1-'+1·'1
dz dv dx
'1~!'
,:-+
)
....
1
=} d:dydx
2
- )'3 dy d: dx
Volumes e valores médios utilizando integrais triplas
27. Volun1e Encontre o volume da região em formato de cunha
delin1itada na lateral pelo cllindro x = -cos y. -7rl2 < .1' < TT/2,
no topo pelo plano z = - 2x e abaixo pelo plano xy .
~ <;; -2\'
=
\/......
.l
35. Coordenadas cilíndricas para coordenadas retangulares
Monte uma integral em coordenadas retangulares equivalentes à inte&rral
.t 1
X = - COS )'
/
•
34. Coordenadas retangulares, cilíndricas e esféricas Escreva uma integral tripla iterada para a integral de f(x, y, z) =
6 + 4y sobre a região no prin1eiro octante deli1nitada pelo cone
z = Vx 2 + y 2 , o cil indro :A.2 + y 2 = 1 e os planos coordenados em (a) coordenadas retangulares, (b) coordenadas cilínd1icas e (c) coordenadas esféricas. En1 seguida. (d) encontre a
integral de f avaliando u1na das integrais triplas.
1112
\
,. >
e111 (a) coordenadas retangulares co111 a orde1n de integração
d= dx dy e (b) coordenadas esféricas. Etn seguida, (e) avalie
u111a das integrais.
1 - ~
;:·1·1=
o :
1
3 dz r dr dfJ,
33. Coordenadas retangulares para coordenadas esféricas
(a) Converta cm coordenadas esféricas. Em seguida, (b)
avalie a nova integral.
J.lo 7{'" 2{ '" 5 e lv+v+:I d; dy dx
25. •
\/4::;J
r
O
1
./o l o Ío
n6
Vi
i
1
2171
Converta
1/ Vi:::;I 1 (•'+1·'>2 J-':r d: dy clr
Avalie as integrais nos Exercícios 23-26.
23.
30.:r: Vx 2 + y sobre o sólido retangular no prin1eiro octante delimitado pelos planos coordenados e os planos x = 1, y = 3, z = 1.
30. Valor n1édio Encontre o valor niédio de p sobre a esfera sólida p <a (coordenadas esféricas).
Coordenadas dlindricas e esféricas
'j
\11-?
J v'l7
11
Encontre o vnlor médio de f(x, y, =l =
29. Valor médío
V3;: ..,;:;:::;:J r 3(scn Ocos
(~)=2 dz dr df).
Arranje a orde111 de integração eo1no sendo : primeiro, depois y
e e1n seguida x.
.r
36. Coordenadas retangulares para coordenadas cilíndricas
O volume de u1n sólido é
2'.lo v'2.<-< 2! \f4-rl-.ri
28. Volume Encontre o volume do sólido que está delimitado acin1a pelo cilindro z = 4 - .l2 , nas laterais pelo cilindro x2 + y2 = 4
e abaixo pelo plano .~v.
:= 4 - ;.J.
,.
'
'
x- +.\~= 4
•
1
o
~--dzdyd>:.
v'~ -...-' _,.i
a. Descreva o sólido, fornecendo equações para as superfícies
que foro111111 sua fronteira.
b. Converta a integral para coordenadas cilindrica~. mas não
avalie a integral.
37. Coordenadas esféricas versus coordenadas cilíndricas Integrais triplas envolvendo tormatos esféricos nen1 sen1pre neccssitai11 de coordenadas esféricas para avaliação conveniente. Alguns
cálculos poden1 ser efetuados niais faciln1cDte con1 coordenadas
cilindricas. Corno exemplo disso, encontre o volume da n..-gião dei ínlitada acima pela esfera x2 + y 2 +i- = 8 e abaixo pelo plano= = 2
utilizando (a) coordenadas cilíndricas e (b) coordenadas esfericas.
Massas e momentos
38. Encontra ndo/. en1 coordenadas esféricas Encontre o momento de inércia sobre o eixo z de um sólido de densidade
-
Capítulo 15
constante 8 = 1 que é del.i1nitado acima pela esfera p = 2 e
abaixo pelo cone</>= 'TTl3 (coordenadas esfcricas).
39. Mon1cnto de inércia de unia esfera espessa
Encontre o
1non1ento de inércia de um sólido de densidade constante 8.
delimitado por duas esferas concêntricas de raios a e b (a < b)
en1 relação a um diâ1nctro.
40. Mo1nento de inércia de uma ntaçã
Encontre o nlon1ento
de inércia en1 relação ao eixo z de u1n sólido de densidade
8 .. 1, delimitado pela superfície ern coordenadas esféricas p
= 1 - cos </>. O sólido é representado pela curva azul girada cm
torno do eixo z na fígura a seguir.
•-
I
1
't
'\
•1•
, t -,,'
; ,. ,
1
t
1
'
t
t
3 59
46. Placa com densidade variável Encontre o centro de massa
e os 1110111cntos de inércia cn1 relação aos eixos coordenados
de un1a placa fina delimitada pela retay = x e a parábolay = x2
no plano xy. se a densidade for fi(x, y ) = x + 1.
47. Placa com densidade variável Detennine a massa e os primeiros 1nomcntos em relação aos eixos coordenados de un1a
placa quadrada fina delimitada pelas retas x = ± 1, y = ± 1 no
plano ~v. se a densidade for ô(x. y ) = x2 + ) ;i + l /3.
48. Triângulos com o mesmo momento de inércia Encontre o
momento de inércia em relação ao eixo x de uma placa triangular fina de densidade constante 8, cuja base esteja ao longo do
intervalo [O. h] no eixo x e cujo vé11ice esteja na reta y = h acima
do eixo x. Confonne você verá, não importa ern que ponto na
reta eSteja esse vértice. Todos esses triângulos tê1n o n1esn10
momento de inércia em relação ao eixo x.
49. Centroidc Encontre o centroide ela região no plano de
coordenadas polares definido pelas desigualdades O ~ r $ 3,
-r.13 < 8 < 7T/3.
-
50. Centroide
/ :,, !
... ,,___ "'
' '
Integrais múltiplas
,,,,,.
Encontre o ccntroidc da região no prin1eiro quadrante delin1itado pelos raios O= Oe O= 'iT/2 e as circunferências r = 1 e r == 3.
,
t
41. CcntToide Encontre o centroide da região "triangular"' delimitada pelas retas x = 2, y = 2 e a bjpérbole ,\y = 2 no plano .ty.
42. Centroide Encontre o centroidc da região entre a parábola
x + .VZ- 2y = Oe a reta x + 2y = O no plano .YJI.
43. Momento polar Detenninc o mon1ento de inércia polar cm
relação à orige1n de u1na placa triangular fina de densidade
constante 5 = 3, delimita.da pelo eixo y e as retas y = 2x e y = 4
no pl:tno xy.
S 1. a. Cenlroide Encontre o centroide da região no plano de
coordenadas polares que está dentro da carclioide r = 1 +
cos (J e fora da circunferência r = 1.
b. Esboce a região e mostre o centroidc cn1 seu esboço.
52. a. Centroide Encontre o eentroide da região plana definida pelas desigualdades en1 coordenadas polares O < r $ a.
-a $O$ a (O < a $ 1T). Con10 o centroide se n1ove quando
a-.'TT?
b. Esboce a região para a = 5'TT/6 e mostre o centroide em seu
esboço.
Substituições
53. Mostre que se 11 = x - y e v = y, então
r·
1xroe
44. tvlon1ento polar Encontre o mon1cnto de inércia polar crn
relação ao centro de uma folha retangular fina de densidade
constante ô = 1, deli1nitada pelas reias
a. x = *2, .I' = ± 1 no plano.\)º
b. x = ±a. y = -:J;b ao plano .\)'.
(Sugestão: encontre 1, e. e1n seguida, utilize a fórmula para I,
para encontrar /.l' e son1e os dois resultados para encontrar I 0).
54. Que relação deve existir entre as constantes a. b e e para fazer
45. Momento de inércia Encontre o momento de inércia en1 relação ao eixo x de ur11a placa fina de densidade constante 8 que
cobre o triângulo com vértices (0. 0). (3. 0) e (3. 2) no plano .YJ'·
(Sugestão: sejam s = ax + {3y e t = -yx + fiy. onde (aô - {3-y)2 =
ac - b2 . Então 1u.:J. + 2bxy + c,1/l = s2 + 12.)
Capitulo
1
00
lo e -•r f(x - y, y ) dy dx =
l o e -s<u+v ) f(u, 11} du dv.
0
1""'/º°"
-oc. -oo e ·<ar •lh.i:i· '"') tlx 1.f.11 = I '?
Exercidos adicionais e avançados
Volum~s
1. Monte de areia: integrais duplas e triplas A base de um monte de areia cobre a região no plano -'Y que é delimitada pela parábola x2 + y = 6 e a reta y = x. A altura da areia acirna do ponto
(x. y) é x1·. Expresse o volwne de areia como (a) urna integral
dupla. (b) un1a integral tripla. Em seguida, (e) encontre o volu1ne.
2. Água em uma vasilha hemisférica Uma vasilha hemisférica de raio 5 cm contém um vol un1e de água cuja altura fica
J cm abaixo do topo. Encontre o volume de água na vasil11a.
3. Região cilindrica sólida entre dois planos Encontre o volume da porção do cilindro sólido _,.i + ) ,l s 1 que está entre os
planos : = Oe .r + y + == 2.
4. Esfera e paraboloide Encontre o volume da região delin1itada supcrionncntc pela esfera x 2 + .v2 + =2 = 2 e infcrionnente
pelo paraboloide= = x l + y2.
5. Dois paraboloides Encontre o volun1e da região deli1nitada
superiormente pelo paraboloide;: - 3 -x2- )/l e inferiormente
pelo paraboloide= = 2r2 + 2y2•
360
Cálculo
6. Coordenadas esféricas Encontre o volume da região deli111itada pela superfície c111 coordenadas esféricas p = 2 scn </>
(veja a figura a seguir).
--
p = 2 senef>
De maneira se1nelhante. pode ser mostrado que
'11vi"
o o (1
emt. - i) f(t) dt du du =
lx
(x -
o
2
1
) 2 e"'<x-i) /(1) dt.
14. Transformando uma integ1·al dupla para obter Umites
constantes Algumas vezes, uma integral múltipla com limites variáveis pode ser mudada para uma con1 limites constantes. Mudando a orden1 de integração, mostre que
_r
1' J(x)(i·,g(x -
y )f(y) dy ) dx
=
=
7. Buraco en1 un1a esfera Um buraco cilíndrico é feito através
de tuna esfera sólida, o eixo do buraco sendo um diân1etro da
esfera. O volu1ne do restante do sólido é
[ 2" {V) {~
V = 2} }o },
rdrdzd8.
0
a. Encontre o mio do buraco e o raio da esfera.
b. Calcule a integral.
8. Esfe ra e cilindro Encontre o volume do niaterial cortado da
esfera sólida ,:i + z1 < 9 pelo cilindro r = 3 sen 8.
9. Dois paraboloides Calcule o volu rne da região delimitada
pelas superílcies z =i2 + y2 e z = (x2 + ) :i + 1)/2.
1O. Cilindro e superfície;= xy
Encontre o volu111e da região no
primeiro octante que está entre os cilindros r = 1 e r = 2 e que
está delin1itada inferion11ente pelo plano .lJ' e superiorn1ente
pela superfície z = .ry.
f(y )
1
1
1 g(x -
1
g(
0
y)f(x) dx) dy
)/ (x)j(y) dl( dy.
0
Massas e momentos
15. Minimizando a inércia polar Uma placa fina de densidade
constante deve ocupar a região triangular no primeiro quadrante do plano .\}' que tem vértices (O, O), (a. O) e (a. lia).
Qual valor de a irá mi11i1nizar o 1nomento de inércia polar da
placa en1 relação à orige1n?
16. Inércia polar de uma placa triangular
Encontre o momento de inércia polar em relação à origem de uma placa triangular fina de densidade constante S = 3 delin1itada pelo eixo y e
as retas y = 2x e y = 4 no plano .i.y.
17. [\lassa e inércia polar de un1 contrapeso O contrapeso de
Lun volante de densidade constante l tem a forma da parte
nienor cortada de un1 circulo de raio a por urna corda a u111a
distância b do centro (b < a). Encontre a massa do contrapeso e
seu mon1ento de inércia polar en1 relação ao centro do vo tante.
18. Centroidc de um bumerangue Encontre o centroide
da região cm forma de bumerangue entre as parábolas y 2 =
-4(x - 1) e y 2 = - 2(x - 2) no plano xy .
Mudando a ordem de integração
"'
1
1' (f
2
l l lx - YI
11. Calcule a integral
e -ux - e - b.,
.'f
d'í .
Teoria e exemplos
19. Calcule
(Sugestão: utilize a relação
e-"" - e
X
b.,- i he dy
- XJ
-
"
onde a e b são níuneros positivos e
para fonnar uma integral dupla e calcule a integral mudando a
ordem de integração.)
J 2. a. Coordenadas polares
se b 2x2 ~ o 2y2
se b 2.'r2 < a2yz.
Mostre, mudando para coordena-
das polares, que
1
asen{3Jv;;q.
(
)
. ln (x 2 + y 1 ) clr <~v = a 1f3 !na - ~ ,
20. Mostre que
r co1g {3
onde" > Oe O < f3 < 7r/2.
b. Reescreva a integral cartesiana com a ordem de integrc1çào
invertida.
Mudando a ordem de integração, mostre que a integral dupla a seguir pode
ser reduzida para uma intebrral simples:
sobre o retângulox0 Sx Sx1. y 0 sy <_v., é
13. Reduzindo uma integral dupla a simples
1·lo"
emlx-t) f(t) dt d11 =
1'(x -
l)em«-il f(t) dt .
21 . Suponha que /(x, y ) possa ser escrita con10 um produto
f(x , y ) = F(x)G(v) de uma função de x e u1na função de y.
Então a integral de J sobre o retângulo R: a 5 x ::; b. e 5
y < d pode ser ca lculada também como um produto. pela
fónnula
Capítulo 15 Integrais múltiplas
Jf
J(x.y) dA = (
1b dx) (ld
G(y)
F(x)
d.1·).
(1)
I =
r()J
.
Jo e _.. dy =
361
v;
2 .
R
b. Substitua y = Vt na Equação 2 pnra mostrar que
f( 1/ 2) = 21 =
O argumento é que
Jf
f(x. y) dA =
R
=
=
.ld(1·1>
v:;,
F(x)G(y) dx) <(r
ld (
J" (1"
G(y)lb F(x) dx) dy
F (x) dx
= (
)ctv) dy
.!." d.'()i'''
G(y) <Í.I"
F(x)
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
a. Justifique as etapas de (i) a (iv).
Quando for aplicável. a Equação 1 pode nos ajudar a reduzír o
trabalho. Utilize-a para calcular as integrais a seguir.
b.
i
ln217'/2 e• cos y dy cl\·
.
tl
c.12l-1
r 3....)'
1
1
2
dx dy
22. Suponha que D J denote a derivada de f (x, y) = (.\.i -r j )/2 na
direção do vetor unitário u = 11 1i + 112j .
a. Encontrando o valor 1nédio Encontre o valor médio de
Duf sobre a região triangular cortada do prin1eiro quadrante
pela reta x + y = 1.
b. Valor médio e ce ntroide Mostre que. em geral. o valor
n1édio de Duf sobre un1a região no plano.\)' é o valor de DJ
no cc1ltroide da região.
23. O valor de f ( t /2)
24. Carga elétrica total sobre un1a placa circ ular A distribuição de carga elétrica sobre un1a placa circular de raio R metros
é u(r, 9) = k1~ 1 - sen O) coulomb/nl 2 (sendo k uma constante).
Integre u sobre a placa para encontrar a carga total Q.
25. ~'l cdidor parabólico d e chu va U1na vasilha te1n o formato
do gráfico de== x 2 + y2 dez = O a z = 10 pol. Você planeja
calibrar a vasilha para transfonnã-la em um medidor de chuva. Que altura na vasilha corresponderia a 1 pol. de chuva? E
3 pol. de chuva?
26. Água em un1a antena parabólica Un1a antena parabólica
tem 2 1n de largura e 1/2 n1 de profundidade. Seu eixo de simetria eslã inclinado 30 graus na vertical.
a. Monte, mas não calcule. uma integral tripla en1 coordenadas
retangulares que dê a quantidade de água que a antena parabólica co1nportarã. (Sugestão: situe seu sistema de coordenadas de fom1a que a antena p::trdbólica esteja na "posição
padrão" e o plano do nível de água seja inclinado.) (Atenção: os limites de integrdçiio não são "fáceis''.)
b. Qual seria a menor inclinação da antena parabólica para que
ela não acu1nulasse água?
27. Semicilindro infinito Seja D o interior de um semicilindro circular relo infinito de raio 1. con1 sua extremidade suspensa a u1na
unidade acima da origeLn e seu eixo igual ao raio entre (0, O, 1) e
oo. Utilize coordenadas cilíndricas para calcular
JJJ
A função gama.
z(r2 + =2)-Sfl dV.
D
J:
estende a função fatorial de inteiros não negativos para outros
valores reais. De particular interesse na teoria das equações diferenciais é o número
(1) 1"o "
r -
=
1l l /l)- I e- 1 dr =
2
1·V,
o
..!!__dr.
- 1
(2)
a. Se você ainda não fez o Exercício 41 na Seção 15.4. faça-o
agora. para n1ostrar que
Capitulo
28. Ripervolume Aprendemos que
1 d.r é o con1prin1cnt.o
do intervalo [a, b] na rera real (espaço unidirnensionaJ). Jj R
1 dA é a área d::t região R no plano xy (espaço bidin1ensional) e
,[[{0 1 d/I é o volume da região D no espaço lridimensional
(espaço x,1•::). Poderíamos continuar: Se Q fosse uma r~~iào
no espaço quadridi1nensionaJ (espaço X_l'.:ll'}, então
Q 1
d/I é o "hipcrvolu1nc" de Q. Utilize suas habilidades de generalização e urn sistema de coordenadas cartesianas do espaço
quadridin1cnsíonal para encontrar o hipervolunlc dentro da
esfera tridimensional unitária x 2 + •,,i. + =2 + 11.2 = 1.
Projetos de aplicação de tecnologia
Módulos Mathematica/ Maple
Arrisque: Tente aplicar o 1nétodo de A1011te Cario para a integração 1111111érica e111 três di111ensões
Utilize a técnica de ·Monte Cario para integrar numerican1ente cm três dimensões.
M édias e 1110111e11fos e expfora11tfo 1101'as téc11icas de esboço, par te IT
Utilize o 1nétodo de n1on1entos, de forma a fazer uso tanto de simetria geo1nétrica quanto de integração múltipla.
JJfJ
INTEGRAÇÃO EM CAMPOS VETORIAIS
VISÃO GERAL Nes1e capítulo, estenderemos a teoria de integração para curvas e
superfícies no espaço. A teoria resultante de integrais de linha e de superfície fornece ferran1entas n1aten1áticas poderosas para a ciência e a engenharia. As integrais
de linha são utilizadas para encontrar o trabalho realizado por uma força ao n1ovin1enrar u1n objeto ao longo de u1na trajetória e para encontrar a niassa de um fio curvado com densidade variável. lntegrais de superfície são utilizadas para encontrar a
taxa de escoamento de um fluido através de uma superfície. Apresentaremos os teoren1as fundan1entai s de cálculo vetorial integral e discutiren1os suas consequências
niate1náticas e aplicações físicas. Na análise final, os teore1nas-chave são nlostrados
como interpretações generalizadas do Teorema Fundamental do Cálculo.
16.1
Integrais de Linha
Para calcular a 1nassa total de um fio ao longo de uma curva no espaço, ou para
encontrar o trabalho realizado por uma força variável agindo ao longo dessa curva,
precisamos de uma noção mais geral de integral do que a definição no Capitulo 5. Precisrunos integrar sobre u1na curva C, e não sobre wn intervalo [a, b]. Essas integrais
n1ais gerais são denon1inadas integrais de linha (ainda que integrais de ca111i11ho talvez
fosse mais descritiva). Faze1nos nossas definições para curvas no espaço, com curvas
no plano .x:v sendo o caso especial co1n coordenada z identicamente zero.
Suponha que /(x, y, z) seja uma função de valores reais que desejamos integrar
sobre a curva C que está dentro do don1inio de f e parametrizada por r(t) = g(r)i +
h(r)j + k(r)k, a < e< b. Os valores de f ao longo da curva são fornecidos pela função
composta f(g(t), h(t). k(t)). Va1nos integrar essa composta com relação ao co1npri111ento de arco de t = a a e = b. Para co1neçar, primeiro particiona1nos a curva Cem
u1n número finito /1 de subarcos (f it,>ura 16.1). O subarco típico ten1 comprin1ento
t:..sk. Em cada subarco escolhen1os um ponto (xk, yk, =k) e forma1nos a so1na
li
S,, = ~f(xk,)'k· :") ó.sk,
X
Curva r(t) particionada
cn1 pequenos arcos de 1 = a a 1 = b. O
compri1nenro de um subarco típico é f).sk.
FIGURA 16.1
que é semelhante a u1na so1na de Riemann. Dependendo de co1no particiona1nos
a curva C e selecionamos (xk. yk. z1,) no k-ésímo subarco. podemos obter valores
diferentes para S,,. Se f é contínua e as funções g, h e k tê1n derivadas de prin1eira
orden1, então essas somas se aproxima1n de um li111ite à medida que /1 cresce e os
comprimentos ó.si. se aproximam de zero. O Umite fornece a definição a seguir,
semelhante àquela para uma integral sí1nples. Na definição, consideramos que a
partição satisfaz ó.sk-+ Oquando 11-+ oo.
DEFINIÇÃO Se fé definida en1 u1na curva C fornecida parametricamente por
r (t) = g(t)i + h(t)j + k(t) k, o $ t s b, então a integral de linha de / sobre C é
{ f (x, y, ::) ds =
Jc
concanto que esse limite exista.
i
1in1
f (xk, Yk, ;k) Ó.Sk ,
,,_,.oo A= I
(1)
Capitulo 16 Integração em campos vetoriais
363
Se a curva C é lisa para a $ 1 $ b (portanto v = d rldt é contínua e nunca O) e a função fé contÍJ1ua en1 C, então pode ser mostrado que o Li1nite na Equação l existe.
Podemos então aplicar o Teoren1a Funda1nental do Cálculo para derivar a equação
de comprimento de arco,
s(I) =
r.-
l~
= lvl =
dt
2
dx) + (dy) + (dz)2
(
2
dt
dt
1'
ÍAjlla~·ilo 3 tf,1 Scçno 11 3
1V('T)1 JT,
4.!c.>ttl lu - ''
para expressar ds na Equação 1 como ds = jv(t)j dt e calcular a integral de f sobre
Cpor
l
dt
{"
} e f(x, Y· z) ds = }u f(g(t), h(t), k(t)) J v(t) J dt.
(2)
Observe que a integra l do lado direito da Equação 2 é somente uma integral definida
(sunples), conforme definido no Capítulo 5, onde esta1nos integrando com relação
ao parâmetro 1. A fónnula calcula a integral de linha do lado esquerdo corretan1ente,
não unporta qual a parametrização utilizada, contanto que a parametrização seja
lisa. Observe que o parân1etro t define uma direção ao longo da trajetória. O ponto
inicial e1n e é a posição r(a) e o movimento ao longo da tr'djetória é na direção de f
crescente (veja a Figura 16.1 ).
Como calcular uma integral de linha
Para integrar unia função contínua f(x, y, z) sobre uma curva C:
1. Encontre un1a parametrização lisa de C,
r (t) = g(t)i + h(1)j + k(1)k,
2. Calcule a integral con10
Jc.f(x ..v, z) ds =
a :5 I :5 b.
1
11
/(g(t), h(t), k(t)) 1v(t)1 til.
Se f te1n o valor constante 1, então a integral de f sobre C fornece o comprimento de C de t =a a t = b na Figura 16.1.
EXEMPLO 1 Jntegre f(x, y. z) = x - 3_v2 + z sobre o segmento de reta C unindo a
origen1 ao ponto ( 1, 1, 1) (Figura 16.2).
( 1.1 , 1)
Solução Escolhemos a parametrização 1nais si1nples que pudermos imaginar:
r ( I) = li + tj + tk ,
0<1< t.
Os componentes possuem derivadas de prin1eira ordem contínuas e lv(t)I = ji + j + kl =
''
V l2 + 12 + 12 = \13 nunca é O, portanto a pararnetrização é lisa. A integração
de J sobre e é
'~
( 1.1.0)
FIGURA 16.2
Exe1nplo 1.
l
f(x. y, z) ds =
Caminho de integração no
=
1'
1'
/(1. 1,
1)( \13) dt
(t - 3t 2 + 1)\/3 dl
364 Cálculo
Aditividade
Integrais de linha tê111 a propriedade útil de que se u1na curva lisa definida e1n
trechos C for feita ligando-se urn número finito de curvas lisas
C2, •.• , C,, pelas
extremidades (Seção 13.1 ). então a integral de uma função sobre C é a soma das
integrais sobre as curvas que a compõe1n:
e.,
r
f
k
"
---r
k,
~
(3)
~
EXEMPLO 2
A Figura 16.3 n1ostra outra trajetória a partir da origeLn a ( 1, 1. 1. ), a
w1ião dos segmentos de reta e, e C2· Integre f(x, y, =)=X - 3;.2 + z sobre e, u C2·
(1.1.1)
(0. o. 0)
t f ds + rJ ds + ... + rJ dv.
d-; =
Solução Escolhemos as parametrizações mais si111ples para C 1 e C2 que pudennos
)'
encontrar, calculando os comprimentos dos vetores velocidade à medida que pros.
seguimos:
lvl = \/12 + 12 = VÍ
C1:
r(t) = li + tj ,
C2:
r(t)= i + j + tk, Os1< I;
O< t < 1;
!vi= V0 2 +0 2 + 12 = 1.
(1. 1.0)
Con1 essas paran1etrizações, descobrin1os que
FlGURA 16. 3
Exemplo 2.
Caminho de integração no
tk,u~ j(x,y,z)ds = ~rj(X,Jl,z)ds + ~r f(x,y,z)ds
=
=
=
fo
1
1'
1c1,1,o)Vid1 +
fo
1
1<1.1,1)(1)d1
l quai;àt• l
(1- 31 2 +o)Vid1+1 ' ( 1 - 3+1)(1)d1
v2 [i!_ - r3]1 + [{!_ - 21]1 = - v'2 - l.
2
o
2
o
2
2
Observe três coisas sobre as integrações nos Exe1nplos 1 e 2. Pri1neiro. logo que
os componentes da curva apropriada foran1 substituídos na fórmula para f, a integração se tornou un1a integração padrão con1 relação a f. Em segundo lugar. a
integral de f sobre C1 U C2 foi obtida atr.ivés da integração de f sobre cada seção
do caminho e da son1a desses resultados. Em terceiro lugar, as integrais de f sobre
C e C 1 U C2 tinham valores diferentes.
Ü valor da Ílltegral de linha ao longo de Ulll CamÍllbO unindo dois pontos pode
mudar se você mudar o caminho entre eles.
Investigaremos essa terceira observação na Seção 16.3.
Cálculos de massa e momento
Nós trata1nos 1nolas e fios co1no 1nassas distribuídas ao longo de curvas lisas
no espaço. A distribuição é descrita por uma função de densidade contínua S(x. y,
z) representando 01assa por unjdade de comprin1ento. Quando uma curva C é paran1etrizada por r(t) = x(t)i + y(t)j + z(/)k, a ~ t ~ b. então x, y e z são funções do
parâ111etro t, a densidade é a função S(x(f),; (1), z(t)), e a diferencial de co1nprimento
de arco é fornecida por
1
ds =
(
d )2
Íi
+ (dv)2
di + (d-/i)2 dt.
Capitulo 16 Integração em campos vetoriais
365
(Veja a Seção 13.3.) A 1nassa, o centro de n1assa e os 1non1entos da n1ola ou do fio
são então calculados com as fórn1ulas na Tabela 16. l, co1n as integrações e1n tern1os
do parâmetro t sobre o intervalo [a, b]. Por exemplo, a fórmula para massa torna-se
M=
.lb
2
ô(x(t),y(t).z(t))
2
2
(~;) + (d~) + (~~) dt..
Essas fór1nulas se aplica1n também a hastes finas. e suas deduções são semelhantes àquelas da Seção 6.6. Observe como as fórmulas são semelhantes àquelas nas
Tabelas 15. l e 15.2 para integrais duplas e triplas. As integrais duplas para regiões
planas e as integrais triplas para sólidos tornam-se integrais de linha para molas
helicoidais, fios e hastes finas.
TA.BELA 16.1 Fórmulas de massa e momento para molas helicoidais, lios e hastes
finas distribuídos ao longo de uma curva lisa C no espaço
Massa: M =
1
ô ds
(Í
(\(.1 I' =l é a tklhld."l(,k Clll ( t , \ , :)
Primeiros n1on1entos em relação aos eixos coordenados:
M_,-z = 1x8ds,
M )-: = 1
Mn· = 1 z8ds
yôds,
Coordenadas do centro de n1assa:
x=M..v: /M•
ji = M:c/M,
Momentos de inércia en1 relação aos eixos e outros caminhos:
fx =
1
(y 2 + z 2 )8ds,
11. = [ r
2
ôds
rl.\ . 1, :I
~r = [ (x 2 + z 2 )ô ds,
f: =
1 +
(x 2
y 2 )8ds,
J1Ma1K1acntrcopo11to l 1. 1, : I ca rela l
Observe que o elemento de 1nassa d111 é igual a 5 ds na tabela, e não ô dV com.o
na Tabela 15.1. e que as integrais são tomadas sobre a curva C.
EXEMPLO 3 U1n arco nietálico fino, mais denso na base que no topo, encontra-se
ao longo do senucirculo J,2 + z2 = 1,: ~O, no plaJlO .vz (figura 16.4). EDcontre o
centro de massa do arco se a densidade no ponto (x,y, z) no arco for ô(x,y. :) = 2 - :.
Solução Sabemos que x = O e y = O porque o arco está no plano .vz com sua massa
1
X
FIGURA 16.4
y
y-1 + :·' = I, z <:!: O
O Excn1plo 3 rnostra co1no
distribuída sin1et:ricamente crn relação ao eixo z. Para encontrar:;, parrunctriza1nos
a circunferência como
r (t) = (cos 1)j + (sen t)k ,
0 $ I < 7T.
Para essa parametrização,
encontrar o centro de massa de um arco
circular de densidade variável.
V(0) 2 + (-sen/)2 + (cos/) 2 = 1,
portanto ds = jvj dt = dt.
366
Cálculo
As fónnu las na Tabela 16. l então fornecem
lvf =
Mxy =
=
l
S ds =
l
(2 - z) ds = 17T(2 - sent) dt = 211" - 2
( z5 ds = ( z(2 - z) ds = {7T(sent)(2 - senr) dt
}e
lc
./o
f,
1T
2
(2sent - sen 1) dt =
1
-- -- M~,.
M
8 - 11"
l
·2
2?T - 2
8 - ?T
2
8411" -
11"
4 ~ 0,57.
Com z arredondado ao centêsin10 mais próximo. o centro de 111assa é (0, O, 0,57).
Integrais de linha no plano
Existe uma inlerprecação geo1nétrica interessante para as integrais de linha no
plano. Se C for u1na curva lisa no plano .\)' paran1etrizado por r(t) = x(t)i + y(t)j, a
< / < b, gerrunos uma superfície cilíndrica ao mover u1na linha reta ao longo de C
ortogonal ao plano, mantendo a reta paralela ao eixo z, como na Seção 12.6. Se z =
f(x. y) for un1a função contínua não negativa sobre uma região no plano contendo a
CLuva C, então o gráfico de f é tuna superfície que está acima do plano. O cilindro
corta essa superfície. formando nela tuna curva que está acima da curva C e segue
sua natureza espiralada. A parte da superfície cilindrica que está abaixo da curva na
superfície e acima do plano xy é con10 urna parede ou cerca "sinuosa" ereta na curva
C e ortogonal ao plano. Em qualquer ponto (x, y) ao longo da curva, a altura da parede é /(x, y). Mostrarnos a parede na Figura 16.5, onde o "topo" da parede é a curva
contida na superfície== f(x, y). (Não exibimos a superfície formada pelo gráfico de
f na fígura , somente a curva nela que é cortada pelo cilindro.) A partir da definição
altura/(.~. r)
.
,-...._,/
i.t---+ y
I = ª·'::"':'.~,,}
(x. , •
•
~ás~ Curva plana C
X
t=b
FIGURA 16.5 A integral de linha Íc f ds
fornece a área da porção da superfície
ciJJndrica ou ''parede" abaixo de z =
f (x, y) <?: O.
onde Ãsk-+ O conforme n-+ oo, vemos que a integral de linha Íc f ds é a área da
parede exibida na figura.
Exercidos 16.1
Gráficos de equações vetoriais
Associe as equações vetoriais nos Exercícios 1-8 utilizando os gráficos (a)-(h) fornecidos aqui.
a.
b.
e.
d.
.-.
2
-1
1
(2. 2, 2)
1
1
2
:~,.•
)'
1
X
X
- X
1 ,,
1 - - - j;
367
Capítulo 16 Integração em campos vetoriais
e.
g.
z
..
.
•
co. o. 1)
(1,1 , 1)
(1. 1. 1)
)'
1
~.I'
(0 . 1.1 )
------ ,.
.
(
(O.O.O)
•
.\
)'
r
(1. 1.- 1)
( 1. 1. 0)
r.
(b)
(a)
b.
.
Caminhos de integração para os Exercicios 15 e 16.
•
2
16. Integre /(x. y , z) = x + vY - z 2 sobre o caminho entre (0. O. 0)
e ( 1, 1, 1) ( ''cja a figura acin1a) dado por
cl: r (I) = /k. o< r < 1
C2: r(t) = rj + k,
y
Os / $ 1
C3, r (I) = tí + j + k, O < / < 1
y
17. Integre /(x, y. :) = (x + y + z)l(x2 + y2 + =2) sobre o can1inho
r (t) = ri + tj + ik, O < à $ 1 $ b.
X
-2
18. Integre /(x. y, z) = - Vx 2 + : 2 sobre a circunferência
1. r (r) =ti + ( 1 - r)j ,
O< r < 1.
2. r (t) = i + j + tk,
- 1 S t S 1.
3. r (I) = (2 cos t)i + (2 sen r)j .
r(t) = (t1 cos l)j + (a sen 1)k,
Integrais de linha sobre curvas planas
O S t < 21T.
4. r (t) = ti, - 1 S t < 1.
5. r (t) = ti + tj + rk.
19. Calcule .fc x ds, onde C é
O S t s 2.
a . o segn1ento de reta x = l.y = t/2. entre (0, O) e (4. 2).
b. a curva parabólica x = 1, y = i2, entre (0, 0) e (2, 4).
6. r (t) = lj + (2 - 2r)k. O < t s 1.
7. r (r) = (12 - l)j + 21k.
- 1 srs1.
8. r (t) = (2 cos t)i + (2 sen t)k,
Os t < 1T.
Calculando integrais de linha sobre curvas espaciais
9. Calcule
O< t S 21T.
Je (x + y) ds onde e é o segmento de reta = 1.
X
y = (I -t), z = O, de (0, 1, O) a ( l, O, 0).
f
10. Calcule e (x - y + : - 2) ds onde C é o segmento de reta
x = t. y = ( 1 - 1).: = 1, de (0, 1. l) a ( 1. O. 1).
11. Calcule J 'c (xy + J' + z) d.s ao longo da curva r (r) = 2ri + tj +
(2 - 2r)k . O sr s 1.
Vx
1
12. Calcule .fc
+ y 2 ds ao longo da curva r(f) = (4 cos t)í +
(4 seu t)j + 3tk. - 2rr s t s 21T.
13. Encontre a integr.il de linha de /(x, y, z) = x + y + z sobre o
seginento de reta de ( 1. 2, 3) a (0,-1, 1).
20. Calcule./~· VX + 2y ds, onde e é
a. o segmento de reta x - 1, y = 41, entre (0, O) e ( 1. 4 ).
b. C 1 U C 2: C 1 é o segmento de reta entre (0, O) e ( 1, 0) e C 2 é
o segmento de reta enlre ( 1, O) e ( 1, 2).
21 . Encontre a integr.il de reta de f(x, y) = J'f'"' ao longo da curva
r(I) = 4ti - 31j , - 1 SIS 2.
22. Encontre a integral de linha de /(x, y) = x - y + 3 ao longo da
curva r (t) - (cos r)í + (scn l)j . Os r s 27T.
23. Calcule
1·:;J
ds. onde e é a curva X = 12, y = r3. para 1 < I < 2.
(' ,l'
24. Encontre a integral de linha de Jl.x, y ) = 'l./Y/x ao longo da
curva r(/) = 13j + r j , 1/2 $ 1 s 1.
25. Calcule fc (x + vY) tlf. onde C é dado na figura a seguir.
14. Encontre a intcgraldelinhadc/(x.y.x) = vJ/ (x 2 + y 2 + z 2)
sobre a curva r (t) = ti + lj + tk, 1 s r s oo.
vy -
( 1• 1)
15. Integre /~t, y. z) = x +
z sobre o ca1ninho e11trc (O, O, O)
a ( 1, 1. 1) (veja a figura a seguir) dado por:
2
e,: r (I) = ti + t2j . os r s 1
C2: r(t) = i + j + tk.
Os t s 1
(O, 0)
368 Cálculo
26. Calcule
1
1
,
cX 2 + y- + 1
ds. onde C é dado na figura a seguir.
y
38. l nércia de uma haste fina Uma haste fina com densidade constante encontra-se ao longo do scgn1cnto de reta r(I) =
lj + (2 - 21)k, Os / s 1. no plano y:. Encontre os n1omentos de
inércia da haste em relação aos três eixos coordenados.
39. Duas molas de densidade constante Uma 1uola de densidade constante ô encontra-se ao longo da hélice
(0, l). . _ - f - -__ (I. 1)
r(I) = (cos l)i + (sen l)j + 1k,
-:--:--...- - - - + : -----+ X
(O . 0)
{ 1. 0)
Nos Exercícios 27-30, integre f sobre a curva dada.
27. j(x,y) = x3/y,
C: y = x2/2.
28. j(x. y) = (x + y2)~.
29. j(x, y) = x + y.
(2, O) e (0, 2).
Os x s 2.
C: y = x2/2 entre ( 1, 112) e (O. O).
C: x 2 + J~ = 4 no pri1neiro quadrante entre
30. j(x, y) = x1 - y, C: x 2 + y 1 = 4 no primeiro quadrante entre
(O, 2) e (\/2. \/2).
3 1. Encont re a área de u1n dos lados da "'parede curva'' de pé ortogonaln1ente sobre a curva y = .r2, O< x $ 2, e abaixo da curva
na superfície j(x, y) = x + V),.
32. Encontre a área de u1n lado da "parede" de pé ortogonalmente
sobre a curva 2\'+ 3y = 6. Os x < 6, e abaixo da curva na superfície j(x, y) = 4 + 3x + 2y.
Massas e momentos
a. Encontre /•.
b. Suponha que você tenha ourra n1ola de densidade constante
8 com o dobro do co1nprin1ento da mola no item (a) e que
esteja ao longo da hélice para O s / s 41T. Você espera
que'= para a mola mais longa seja o n1csmo que para a mola
niais curta ou que ele seja diferente? Verifique sua previsão
calculando '=para a niola niais longa.
40. Fio de densidade constante Uni fio de densidade constante
ô= 1 encontra-se ao longo da curva
r(1) = (t cos t)i + (1 sen t)j + (2Yl/3 )1 312k ,
O S t S I.
Encontre:: e /_.
.
41. Arco do Exemplo 3
Encontre l,, para o arco do Exemplo 3.
42. Centro de n1assa e n1omentos de inércia para fios com densidade va riável Encontre o centro de massa e os momentos
de inércia cn1 relação aos eixos coordenados de um fio fi no que
se encontra ao longo da curva
.
r ( t ) = /1 +
2\/2 I 3/2·J + '"f
12 k
.
3
o < I < 2.
se a densidade for ô= l/(1+ 1).
33. JVlassa de um fio Encontre a n1assa de um fio que se encontra ao longo da curva r (t) = (1 2 1)j + 2tk, O s t < 1. se a
densidade for ô= {3/ 2)t.
34. Centro de massn de um fio curvo Uni fio con1 densidade
ô(x, y, =) = 15v').+2 se encontra ao longo da curva r(t) =
2 - 1)j + 2tk, - 1 s t s 1. Encontre o cenrro de n1assa. Em
v
seguida, esboce a curva indicando o centro de massa.
35. J\1assa de um fio de densidade variável Encontre a massa de um fio fi no que se encontra ao longo da curva r{t) =
\/Íri + v'2tj + (4 - t 2)k, Os t s 1, se a densidade for {a)
ô=3te (b) ô= l.
36. Centro de n1assa de u1n fi o com densidade variável Encontre o centro de massa de u1n fio lino que se encontra ao longo
da curva r(t) · ti + 2tj + (213 )t312k. O< t < 2. se a densidade for
ô=3V5+t.
37. Mon1ento de inércia de un1a argola de arame Un1a argola
de ara1ne circular con1 densidade constante ô encontra-se ao
longo da circunferência .\.i + .v2 = a 2 no plano -'Y· Encontre o
nlomento de inércia da argola em relação ao eixo z.
16.2
O< t < 21T.
USO DO COMPUTADOR
Nos Exercícios 43-46. utilize u1n SAC e execute os passos a seguir
para calcular as integrais de linha.
a. Encontre ds = 1''(1)1d1 para o caminho r(1) = g(1)i + lt(t)j +
k(1)k.
b. Expresse o integrando j(g(t), h(t), k(1)) lv(1) 1 co1no u1na
função do parâmetro t.
e. Calcule f'c j ds utilizando a Equação 2 dada no texto.
43. j(x,y, :) =VI + 30x2 + IOy;
r(1) = ti + t 2j + 31 2 k.
O:st:s2
44. j(x,y.z) =VI +x 3 + 5y 3 ;
r(t) = ti + tilj + Vtk,
O :s t s2
45. f(x,y. :) =xv'.Y- 3z2 ;
o $ t $ 2r.
r(t) = (cos2t)i + (sen2t)j + 5tk.
~ =l/J) ; r (t) = (cos 2t)i + (sea 2t)j +
114
46. j(x,y. :) = ( 1 +
1512k.
O :s 1 :s 21T
Campos vetoriais e integrais de linha: trabalho, circulação e fluxo
Forças gravitacionais e elétricas tê1n direção, sentido e magnitude. Elas são
representadas por u1n vetor em cada ponto em seu dominio, produz.indo um ca111po
vetorial. Nesta seção, 1nostraretnos cotno con1putar o trabalho realizado na movin1entação de u111 objeto por esse campo, utili.zando a integral de linha envolvendo
o campo vetorial. lremos também discutir campos de velocidade, con10 o can1po
Capitulo 16 Integração em campos vetoriais
-
-
369
vetorial representando a velocidade na qual un1 liquido escoa ao longo de seu domínjo. Unia integral linha pode ser usada para calcular a taxa na qual o líquido escoa
ao longo ou através de un1a curva em seu do1nínio.
Campos vetoriais
-Vetores velocidade de urn
escoan1ento ao redor de um aerofólio e1n
uni túnel de vento.
FIGURA 16.6
=-
~
Linhas de lluxo em um
canal que se estreita. A água corre mais
rápido à medida que o canal se estreita
e os vetores velocidade crescem cn1
comprimento.
Suponha que uma região no plano ou no espaço seja ocupada por u1n fluido em
nlovimento, co1no ar ou água. O fluido é composto de uni grande número de partículas, e em qualquer instante, u1na partícula tem velocidade v. Ecn pontos diferentes
da região em u1n dado (n1esmo) tempo, essas velocidades pode1n variar. Pode1nos
imaginar um vetor velocidade sendo ligado a cada ponto do fluido representando
a velocidade de uma partícula naquele ponto. O escoa1nento de un1 fluido é un1
exe1nplo de ca1npo veroriaf. A Figura 16.6 n1ostra um campo vetorial de velocidade
obtido a partir do escoamento de ar em volta de um aerofólio en1 um túnel de vento.
A Figura 16. 7 1nostra un1 can1po vetorial de vetores velocidade ao longo do curso
da água e1n n1ovimento através de uni canal que vai se estreitando. Os campos vetoriais estão ainda associados a forças como a atração gravitacional {Figura 16.8) e a
can1pos magnéticos, can1pos elétricos e ta1nbém a ca111pos puramente rnatemáticos.
Geralmente, un1 campo vetorial é uma função que designa um vetor a cada
ponto em seu do1nínio. U111 campo vetorial en1 un1 domínio tridimensional no espaço pode ter un1a fórmula como
FIGURA 16.7
F(x, y. z) = M(x. }', z)i + JV(x, _l', z)j + P(x, y, z)k.
O campo é continuo se as funções componentes M, N e P forem continuas; diferenciável se cada uma das funções componentes for diferenciável. Um campo de
vetores bidimensionais pode ter unia fónnula como
F(x, ,v) = M(x,y)i + N(x, _y)j .
•
•
~
•
•
•
I
r /
•
•
--
.
~\'-
1
\
•
Vetores e1n un1 ca1npo
gravitacional apontam na direção do centro
de massa que proporciona a fonte do
campo.
FIGURA 16.8
Encontramos um outro tipo de campo vetorial no CapítuJo 13. Os vetores tangentes T e os vetores norn1ais N para uma curva no espaço. ambos forn1am can1pos
vetoriais ao longo da curva. Ao longo de uma curva r(r) eles podem ter unia fónnu la
de componente se1nelhan1e à expressão de ca1npo de velocidade
v(r) = f(r) i + g(r)j + h(t)k .
Se anexam1os o vetor gradiente Vf de uma função escalar f(x , y. z) a cada
ponto de u111a superfície de nível da função, teremos um campo tridimensional na
superfície. Se anexarmos o vetor velocidade a cada ponto de urn fluido em escoan1ento, tere1nos un1 campo tridin1ensional definido ern un1a região no espaço. Esses
e outros ca1npos são ilustrados nas Figuras 16.9-16.15. Para esboçar os campos,
escolhemos un1a seleção representativa de pontos do domínio e esboçan1os os vetores anexados a eles. As setas são desenhadas co1n suas caudas, e não suas pontas,
anexadas aos pontos onde as funções vetoriais são calculadas.
/
1
•
•
\
•
/ .
•
~
•
.
/
I
•
/
•
..
~·
\
"y
•
\
·-- I
Superfície. con10 unia rede de malha ou paraquedas, e1n uni campo
vetorial representando vetores velocidade de escoarnento de água ou ar. As setas
demonstram a direção e seus co1nprin1entos indicam o módulo da velocidade.
FIGURA 16.9
370
Cálculo
\ i
•
i
r
•
)'
)'
/
1/
"\
" - . ' ~~
'! I
-'*
~
f(.r,y. z) = e
Campo de vetores
gradientes Vf c1n un1a superficie f (x, y, z)
= e.
FIGURA 16.10
--
--l--
.
- x-, + y-' s a·
:: = 0 2 _ , 1
........
1
,
1o
X~
.,,
~
......._,.
..,
•
/
X
/; \"
FIGURA 16.11 Campo radial
F = xi + y.i de vetores posição
de pontos no plano. Observe
a convenção de que u1na seta
é desenhada con1 sua cauda, e
não sua ponta, no ponto onde
F é calculado.
./
·-
•
t
. . /'
'\
4
1
/
-
.1
/
Ca1npo de
"rotação" de vetores unitários
FIGURA 16.12
F = (- y í + xj )/(r + ) .2) 112
no plano. O ca1npo não é definido
na origem.
Campos gradientes
O vetor gradiente de urna função a valores escalares diferenciável en1 un1 ponto
fornece a direção e sentido de tnaior crescimento da função. Um tipo itnportante de
can1po vetorial é fonnado por todos os vetores gradientes da função (veja a Seção 14.5).
~.I'
Escoamento de um lluido
en1 uma tubulação cillndrica longa. Os
vetores v = (a2-12 )k dentro do cilindro
que tê1n suas bases no plano xy têm suas
extremidades no paraboloide z = a2 - r1 .
FIGURA 16.13
.\'
-t------x
o
Os vetores velocidade v{1)
do movitnento de um projétil formam um
campo vetorial ao longo da trajetória.
FIGURA 16.14
Velocidade do vento, M/S
o 2
4
6
8 10 12 14 16+
O satélite Seasat da Nasa utilizou um radar para tornar 350.000
medidas de vento sobre os oceanos do n1undo. As setas indican1 a direção do
vento; seu comprimento e tons indican1 o n1ódulo da velocidade. Observe a
te1npestade ao sul da Groenlândia.
FIGURA 16.15
Capítulo 16 Integração em campos vetoriais
371
Definimos o campo gradiente de unia função derivável f(x,y, z) con10 o campo de
vetores gradiente
à/ .
à/ .
à/
\7/ = :;1 + ;;- J + -í) k.
v,t
•i)'
Z
E1n cada ponto (x. y. z), o carnpo gradiente fornece un1 vetor apontando na direção
e sentido do maior crescimento de /, con1 a magnitude sendo o valor da derivada
direcional naquela direção. O carnpo gradiente nern sempre é u1n ca1npo de força
ou um can1po de velocidade.
EXEMPLO 1
Suponha que a te111peratura Tem cada ponto (x, y. =) en1 uma região
do espaço seja fornecida por
T = 100 - .:t2 - ,v1 - z2
e que F(x, y, ;:) seja deftnido pelo gradiente de T. Encontre o campo vetorial F.
Solução O campo gradiente F é o can1po F = \7T=-2.\i - 2yj - 2zk. Em cada ponto
no espaço, o can1po vetorial F fornece a direção para qual o crescin1ento na temperatura é maior.
Integrais de linha de campos vetoriais
a Seção 16. 1, definimos a integral de 1inha de urna função escalar /(x, )', z)
sobre u1n ca111inho C. Volta1nos nossa atenção agora à ideia de uma integral de linha
de u1n campo vetorial F ao longo da curva C.
Suponha que o campo vetorial F = M(x, y, z)i + N(x, y, =)j + P(x, y, =)k tenha
con1ponentes contínuas e que a curva C tenha uma paran1etrizaçào lisa r(t) = g(t)
i + h(t)j + k(t) k, a < t < b. Conforme discutido na Seção 16. 1, a parametrização
r(t) define uma direção (ou orientação) ao longo de que chamatnos de direção
de avanço. En1 cada ponto ao longo da trajetória C, o vetor tangente T = d r!ds =
v/lvl é um vetor unitário tangente à trajetória e apontando nessa direção de avanço.
(O vetor v = dr/dr é o vetor velocida