Métodos numéricos para el análisis de los
sistemas vibratorios
MI-9A
Alumno
 Cruz Ramos Jonathan
Conceptos introductorios
Método numérico
Es un procedimiento mediante el cual se obtiene, casi siempre de manera
aproximada, la solución de ciertos problemas realizando
puramente aritméticos y lógicos.
Figura 1. Diferentes métodos numéricos
cálculos
Sistema vibratorio
Los sistemas vibratorios hacen referencia a todos aquellos mecanismos que
cuentan con un movimiento oscilante, el cual puede o no ser armónico y
además tienen la capacidad de almacenar y transformar la energía
cinética y el potencial.
Figura 2. Sistema vibratorio simple
(resorte vertical)
Álgebra
lineal
Series
de
Fourier
Diagrama de
cuerpo libre
Elementos
para la
modelación
matemática
Ecuaciones
diferenciales
Álgebra
Trigonometría
Segunda
ley de
Newton
Energía
cinética
Par de
torsión
Momentos de
inercia
Diagrama de cuerpo libre
Diagrama de cuerpo libre
Es un boceto o representación gráfica de un objeto de interés despojado de
todos los objetos que lo rodean y mostrando todas las fuerzas que actúan
sobre el cuerpo.
Figura 3. Diagrama de cuerpo libre a
partir de un esquema de física
Diagrama de
cuerpo libre
Nos sirve para:
Problemas que
impliquen
equilibrio de
fuerzas
Establecer
problemas
mecánicos
estándares
Diagrama de cuerpo libre (Ejercicio)
Un objeto suspendido de un resorte produce un
movimiento oscilatorio. La amplitud máxima del resorte
es 18 cm, la constante del resorte es 50 N/m y la masa
del objeto es 1.5kg. Escriba la ecuación que describe la
m
Figura 4. Esquema de
resorte (M.A.S.)
aceleración del objeto.
Datos:
A  18cm  0.18m
N
k  50
m
m  1.5kg
Diagrama de cuerpo libre (Solución)
x(t )  A cos( t )
x(t )   A sen( t )
Y
x(t )   A 2 cos( t )
Teniendo.en.cuenta.que :
k
X
(m)g)
Figura 5. Diagrama de
cuerpo libre del
problema
k
 
m
Sustituyendo.valores :
50
rad
 5.77
1.5
s
a  (0.18)(5.77) 2 cos(5.77  t )
a  5.993cos(5.77  t )
 
Segunda ley de Newton
Segunda ley de Newton
“El cambio de movimiento de un cuerpo es directamente proporcional a la
fuerza motriz impresa y ocurre según la línea recta a lo largo de la cual
aquella fuerza se imprime”.
Figura 6. Esquema de la segunda ley de
Newton
Segunda ley de Newton (Fórmula)
F  m a
Donde:
F =Fuerza. Newton (N)
m =Masa del cuerpo. S.I. (kg)
a =Aceleración. S.I. (m/s^2)
Figura 7. Relación entre fuerza, masa y
aceleración.
Segunda ley de Newton (Ejercicio)
Dos masas 𝑚1 y 𝑚2 están unidas por una cuerda ligera en
inextensible que pasa por una polea ideal fija al techo.
a) Calcula la aceleración del sistema.
Datos:
𝑚1 = 8kg
Figura 8. Esquema
(máquina de Atwood)
𝑚2 = 10kg
Segunda ley de Newton (Solución)
a
(m1)(g)
m1
m2
m2  m1
 F  m a
a
a
m2 g  m1 g   m1  m2  a
(m2  m1 ) g   m1  m2  a
(m2  m1 ) g
a
 m1  m2 
(m)(g)
(m)(g)
Figura 9. Esquema (máquina de
Atwood)
Sustituyendo
m
(10  8)9.81
 1.09 2
a
s
8  10 
(m2)(g)
Energía cinética
Energía cinética
Es aquella energía que posee un cuerpo debido a su movimiento. Se define
como el trabajo necesario para acelerar un cuerpo de una masa
determinada desde el reposo hasta la velocidad indicada.
Figura 10. Ejemplo básico de energía
cinética
Energía cinética Ec (Fórmulas)
En función de (x) elongación
En función de (t) tiempo
1
2
2
Ec  k ( A  x )
2
1 2 2
Ec  kA sin ( t   )
2
Valor máximo
Valor mínimo
1 2
Ec  kA
2
Ec  0
Donde:
Constante de recuperación
Ec =Energía cinética. Julio (J)
2
k


m

A =Amplitud. Metro (m)
 =Frecuencia angular. (rad/seg)
 =Fase inicial. Radian (rad)
k =Constante de recuperación. N/m (kg/s^2)
Energía cinética (Ejercicio)
Un cuerpo de 200g oscila según un M.A.S. de ecuación,
en unidades del S.I. Determina:
a)La frecuencia del oscilador
b)La constante de recuperación
m
Figura 11. Esquema de
un M.A.S.
c)Ec en t=0.5s
Datos a partir de la ecuación:
m  200 g  0.2kg
A  0.1m
rad
  25
s
x  0.1cos(25t )
Energía cinética (Solución)
2
m
Figura 12. Esquema de
un M.A.S.
2

 0.251s
T
 25
k  m  2
N
2
k  (0.2)(25)  125
m
1 2 2
Ec  kA sen ( t   )
2
1
Ec  (125)(25)2 sen2 (25  0.5)  1.71103 J
2
Par de torsión
Par de torsión
Un par torsional es producido por un par de fuerzas aplicadas a un cuerpo a
una distancia perpendicular de un eje, tal que se genere en él una rotación
alrededor del mismo. La magnitud de este par torsional es calculado como
el producto vectorial de la fuerza por una distancia.
Figura 13. Ejemplo común de torque
Par de torsión (Fórmula)
  F d
Donde:
 =Par torsional o torque. S.I. (Nm)
F =Fuerza. S.I. (N)
d =Distancia S.I. (m)
Figura 14. De acuerdo al sentido del
momento de torsión es el signo que toma
Par de torsión (Ejercicio)
Encuentre el momento de torsión neto sobre la rueda de
la figura alrededor del eje que pasa por O, si a=10cm y
b=25cm
Datos a partir del problema:
Figura 15.Esquema del
problema a solucionar
a  10cm  0.1m
b  25cm  0.25m
Par de torsión (Solución)
Figura 16. Esquema del
problema a solucionar
  F d
1  (10)(0.25)  2.5Nm
 2  (9)(0.25)  2.25Nm
 3  (12)(0.1)  1.2 Nm
 neto  1   2   3  2.5  (2.25)  1.2
 neto  3.55 Nm
Momentos de inercia
Momento de inercia
El Momento de Inercia también denominado Segundo Momento de Área, es
una propiedad geométrica de la sección transversal de los elementos
estructurales.
Tomando en cuenta, un cuerpo alrededor de un eje, el momento de
inercia, es la suma de los productos que se obtiene de multiplicar cada
elemento de la masa por el cuadrado de su distancia al eje.
Figura 17. Momento de inercia de un
circulo
Momento de inercia
Momento de inercia:
la rotación en la
inercia
Cualquier cuerpo que
efectúa un giro alrededor
de un eje, desarrolla una
resistencia a cambiar su
velocidad de rotación y la
dirección de su eje de
giro.
Segundo momento de
inercia
Es una propiedad
geométrica de la sección
transversal de elementos
estructurales relacionado
con las tensiones y
deformaciones máximas
que aparecen por flexión
en un elemento
estructural.
Se
clasifica
en:
Momento de inercia (Fórmulas)
Para una masa puntual
n
   mi  r i
A partir de la segunda ley de
Newton
   
2
i 1
Donde:
 =Momento de inercia
m =Valor de la masa
r 2 =Distancia (radio)
 =aceleración angular
L =Momento angular
Donde :

Momento angular
L  

t
Energía cinética con
la variable inercia
1 2
Ec  
2
Momentos de inercia mas comunes (Fórmulas)
Cilindro sólido; eje
simétrico
Anillo sobre eje
simétrico
Esfera sólida
Varilla sobre el
centro
1
  mr 2
2
  mr
2 2
  mr
5
1
  mL2
12
Delgada capa
esférica
Varilla sobre un
extremo
2
  mr 2
3
1
  mL2
3
2
Donde : L.en.estos.casos.  longitud
Cilindro sólido;
diámetro central
Anillo sobre un
diámetro
1 2 1
  mr  mL2
4
12
1 2
  mr
2
Momento de inercia (Ejercicio)
Cada una de las 3 palas de rotor del helicóptero que se
muestra en la figura tiene 5.2m de longitud y una masa
de 240kg. El rotor gira a 350rev/min, ¿Cuál es la inercia
de rotación del conjunto en torno al eje de rotación?
(tome cada una pala como una varilla) ¿Cuál es la
Figura 18. Esquema del
problema a solucionar
energía cinética de rotación?
Datos:
L  5.2m
m  240kg
rev
f  350
min
Momento de inercia (Solución)
Figura 19. Esquema del
problema a solucionar
1 2
  mL
3
1

  3  240(5.2)2 
3

  6489.6kgm2
rev rad
Para.convertir.
a
min s
rev 2 1min


350
min 1rev 60s
Entonces :
1
Ec   2
2
1
Ec  (6489.6)(36.65)2  4365kJ
2
Trigonometría
Trigonometría
Es el estudio de las razones trigonométricas: seno, coseno; tangente,
cotangente; secante y cosecante. Interviene directa o indirectamente en
las demás ramas de la matemática y se aplica en todos aquellos ámbitos
donde se requieren medidas de precisión.
Figura 20. Trigonometría
Trigonometría
Nos sirve para realizar los
siguientes estudios:
Curva de análisis de
tendencia que
representa la variación
de la amplitud de la
vibración total en el
tiempo.
Curvas de análisis de
tendencia de
frecuencias típicas y
armónicos más
significativos del
espectro.
Mapas espectrales en
función de las
condiciones de
operación.
Trigonometría (Fórmulas)
Teorema de Pitágoras
c  a b
2
2
2
Razones trigonométricas
de un ángulo agudo
cos( x) sec( x)  1
sen( x) csc( x)  1
tan( x) ctg ( x)  1
sen2 ( )  1  sec2 ( )
cos2 ( x)  sen2 ( x)  1
2
2


x
1
tan
(
)
sec
( x)
1  (contg ) ( )  (cos ec) ( )
2
a
sen( ) 
h
b
cos( ) 
h
a
tan( ) 
b
Identidades trigonométricas
2
Conversión de
grados
sexagesimales a
radianes

n 

180
 radianes
1  ctg 2 ( x)  csc2 ( x)
sen(2 x)  2sen( x)cos( x)
sen( x)
cos( x)
cos( x)
ctg ( x) 
sen( x)
sec( x)
tan( x) 
csc( x)
csc( x)
ctg ( x) 
sec( x)
tan( x) 
2 tan 2 ( x)
tan(2 x) 
1  tan 2 ( x)
cos(2 x)  cos2 ( x)  sen2 ( x)  1  2sen2 ( x)  2cos 2 ( x)  1
1 1
cos2 ( x)   cos(2 x)
2 2
1 1
2
2
sen ( x)  1  cos ( x)   cos(2 x)
2 2
Trigonometría (Ejercicio)
Una pelota de 200g gira en un péndulo cónico con una cuerda
de 50cm de longitud que forma un ángulo de 10°con la
vertical, describiendo una trayectoria circular con rapidez
constante. Encuentra:
a)La tensión de la cuerda
Figura 21. Esquema del
problema a solucionar
b)La rapidez con la que se mueve la pelota
c)El periodo de giro de la pelota
Datos a partir de la ecuación:
  10
l  0.5m
m  0.2kg
Trigonometría (Solución)
Y
F
X
F*Sen
F *cos( )  m * g
m* g
F
cos( )
(0.2)(9.81)
 1.99 N
F
cos(10 )

L
 Fx  m * a
F*Cos 

 Fy  0
F * sen( )  m * ac
Donde.ac (aceleración.centrípeta)
V2
ac 
r
Entonces :
mg
Figura 22. Diagrama de
cuerpo libre
V 2 
mg
sen( )  m 

cos( )
 r 
r
Figura 23. Esquema
para determinar (r).
V2
g  tan( ) 
r
DespejandoV
.
V 
r  g  tan( )
r  L * sen( )
r  0.5* sen(10)
r  0.0868m
Entonces.
V 
(0.0868)  (9.81)  tan(10)  0.387
m
s
Trigonometría (Solución)
v(tan gencial )   r
Figura 24. Esquema del
problema a solucionar
v 0.387
rad
 4.5
 
r 0.086
s
2

T
2 2
T

 1.5s
 4.5
Álgebra
Álgebra
Rama de la Matemática que emplea números, letras y signos para poder
hacer referencia a múltiples operaciones aritméticas.
Figura 25. Formulas básicas de álgebra.
Álgebra (Fórmulas)
Leyes de exponentes
x m x n  x m n
( x m )n  x m n
1
n
x  n
x
( xy )m  x m y m
Productos notables
a 2  b2  (a  b)(a  b)
a3  b3  (a  b)(a 2  ab  b2 )
xm  x
m
n
(a  b)2  a 2  2ab  b2
n
(a  b)3  a3  3a 2b  3ab2  b3
xm
mn

x
xn
( x  a)( x  b)  x 2  (a  b) x  ab
Figura 26. Jerarquía de
operaciones.
n
x
xn
   n
y
 y
x
xn
n
n y
y
n
xy  n x n y
Álgebra (Ejercicio)
La velocidad en m/s de un M.A.S. Esta dada por la
siguiente ecuación. ¿Cuál es la frecuencia y la amplitud
del movimiento? (Las unidades son en S.I.)
v(t )  0.36sen(24t  1)
Figura 27.
Representación del
problema a solucionar
Datos a partir de la ecuación:
rad
  24
s
  1rad
Álgebra (Solución)
Figura 28.
Representación del
problema a solucionar
v(t )  0.36sen(24t  1)
rad
  24
s
  1rad
A  0.36
A(24)  0.36
0.36
A
 0.015m
24
2 2
T

 0.262s
 24
1
1
f  
 3.82 Hz
T 0.262
Entonces :
x(t )  0.015sen(24t  1)
Ecuaciones diferenciales
Ecuación diferencial
Es una ecuación matemática que relaciona una función con sus derivadas.
Figura 29. La trayectoria de
un proyectil lanzado desde un cañón sigue
una curva definida por una ecuación
diferencial ordinaria que se obtiene a partir
de la segunda ley de Newton.
Ordinarias
Con respecto a una
variable independiente
Parciales
Con respecto a dos o
mas variables
independientes
Primer orden
f ( x, y, y)  0
Tipo
Pueden
ser:
Ecuación
diferencial
De
acuerdo a:
Orden
Segundo
Orden
Tercer orden
Pueden
ser:
f ( x, y, y, y)  0
f ( x, y, y, y, y)  0
Lineales
La variable dependiente y
todas sus derivadas son de
1er grado
No lineales
Las que no cumplen con la
propiedad anterior
Grado
Ecuaciones diferenciales (Fórmulas)
Ecuación con variables
separables
f ( x)dx  ( y)dy  0
 f ( x)dx  ( y)dy  C
Ecuación
homogénea
Mdx  Ndy  0
y  vx
Despejando
dy
M

dx
N
dy  vx
Se.obtiene :
dv
dy
x v 
dx
dx
Ecuaciones exactas
df
N
dy
df
M
f ( x, y)   Ndy  h( x) 
dx
f ( x, y)   Mdx  g ( y) 
Transformada de Laplace

L F t    e st f (t )dt
0
Ecuación linean orden 2
(coeficientes constantes)
ye
rx
Donde:
M=función de x
N=función de y
L=símbolo de Transformada
de Laplace
Ecuaciones diferenciales (Solución)
m
Figura 30.
Esquema de
un M.A.S.
Si.suponemos.que.el.cuerpo.está.en.equilibrio. por.la.2a.ley.de.Newton.se.tiene.que :
F  m* g
donde.F  kdy.es.la. fuerza.dada. por.la.ley.de.Hooke
kdy  m * g
Si.ahora.tiramos.del.cuerpo.hacia.abajo.desplazándolo.de.su. posición.de.equilibrio. y.lo.soltamos.tenemos :
F  m*g  my
donde.ahora.F    dy  y  .donde. y.es.la separación.del.cuerpo.de.su. posición.de.equilibrio
k  dy  y   mg  my
deducimos.que.el.movimiento.del.cuerpo.viene.dado. por.la.ecuación.diferencial
my  ky  0
Series de Fourier
Series de Fourier
Las series de Fourier son series de términos coseno y seno y surgen en la
tarea práctica de representar funciones periódicas generales. Son
herramienta muy importante en la solución de problemas en los que
intervienen ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales.
Figura 31. Suma de los 5 primeros
armónicos.
Serie de Fourier (Fórmula)
a0 
f ( x)     an cos(n x)  bn sen(n x)
2 n1
Donde:
a0 ; an ; bn =coeficientes de Fourier
Serie de Fourier (Ejercicio)
Expresar la siguiente función en una serie de Fourier:
f  x   x ;   x  
f ( x  2 )  f ( x), para    x  
Serie de Fourier (Solución)
En.este.caso.loscoeficientes.de.Fourier.son :
an 
1

x cos(nx)dx  0, n  0

 


2
(1)n1
bn   xsen(nx)dx   cos(nx)  2
,n  1
n
n
 
1
Si.la.serie.de.Fourier.converge.hacia : f ( x)de.cada. punto.x.donde. f .es.diferenciable :
a0 
f ( x)     an cos(nx)  bn sen(nx)
2 n1

(1)
f ( x)  2
sen(nx), para.x    2 Z
n 1 n
Álgebra lineal
Álgebra lineal
Rama de las matemáticas que estudia conceptos tales como vectores,
matrices, espacio dual, sistemas de ecuaciones lineales y en su enfoque de
manera más formal, espacios vectoriales y sus transformaciones lineales.
Figura 32. El espacio euclídeo tridimensional R3 es un
espacio vectorial y las líneas y los planos que pasan por
el origen son subespacios vectoriales de R3.
Matrices
Sistema de
ecuaciones
lineales
Determinantes
Álgebra
lineal
Valores y
vectores
propios
Transformaciones
lineales
Espacios
vectoriales
Álgebra lineal (Fórmulas)
Suma y resta de
matrices
 a1 a2   b1 b2   a1  b1 a2  b2 
 a a   b b    a  b a  b 
3 4
4
 3 4  3 4  3
 a1 a2   b1 b2   a1  b1 a2  b2 
 a a  b b    a  b a  b 
3 4
4
 3 4  3 4  3
Producto de un número
real por una matriz
 a1 a2    a1  a2 




a
a
a
a


4
 3 4  3
Producto de matrices
 a1 a2   b1 b2 b3   a1  b1  a2  b4 a1  b2  a2  b5 a1  b3  a2  b6 
 a a b b b    a  b  a  b a  b  a  b a  b  a  b 
1
2
4
5 3
3
4
6
4
4 3
 3 4  4 5 6  3
Álgebra lineal (Fórmulas)
Suma y resta de
vectores 


u  (u1 , u2 )  v  (v1 , v2 )..... u  v (u1  v1 , u2  v2 )

A( x1, y1 ); B( x2, y2 )
Modulo de un vector

AB  ( x2  x1 )2  ( y2  y1 )2


u  (u1 , u2 )... u  u12  u22
Distancia entre
dos puntos
d ( A, B) ( x2  x1 )2  ( y2  y1 ) 2

u  v (u1  v1 , u2  v2 )
Producto de un numero
por un vector
k (u1 , u2 )(ku1 , ku2 )
Álgebra lineal (Ejercicio)
j
Calcular el vector resultante de los siguientes vectores

A
unitarios:
i

A  3i  4 j


B
Figura 33.
Representación del
problema a solucionar
B  2i  16 j
Álgebra lineal (Solución)
j

A
i

B


u v
Figura 34.
Representación del
problema a solucionar






u  v (3i  4 j )  (2i  16 j )
u  v  3i  4 j  2i  16 j )
u  v  5i  12 j
Gracias