Facultad de Ciencias Fı́sicas y Matemáticas
Universidad de Chile
18 de Marzo de 2022
IN3171 - Modelamiento y Optimización
Auxiliar No 1 - Repaso Probabilidades
Profesor: Cirstóbal Huneeus
Auxiliares: Evelyn Silva, Matı́as Muñoz
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Resumen
1.1
definiciones
Variable aleatoria: Función que asigna un valor (generalmente numérico) al resultado de un experimento
aleatorio.
Valor esperado: Promedio ponderado de todos los posibles valores numéricos que puede tomar una variable
aleatoria. Los ponderadores son las probabilidades asociadas a cada valor. También se le conoce como Media.
Varianza: Es el valor esperado del cuadrado de la distancia entre una variable aleatoria y su media. De manera
informal, mide qué tan dispersos están los valores de una variable aleatoria con respecto a su media.
1.2
distribuciones
Distribución Binomial:
n x
P(X = x) =
p (1 − p)n−x
x
x = 0, 1..., n
(1)
Donde n corresponde al número de veces que se realiza el experimento, p a la probabilidad de éxito y X la v.a
que representa el número de éxitos obtenidos en las n realizaciones.
Nota: Esta distribución se denota como B(n, p)
n
n!
=
(2)
x
(n − x)!x!
Distribución Poisson:
P(X = x) =
e−λ λx
x!
x = 0, 1, 2, ...
(3)
Suele representar sucesos independientes que ocurren en un intervalo de tiempo, donde X representa el número
de ocurrencias por unidad de tiempo.
Distribución Normal:
Z t
√
P(X < t) =
−∞
(x−µ)2
1
e− 2σ2 dx
2πσ
(4)
Es la distribución continua más común en la vida diaria. Permite modelar múltiples procesos aleatorios con
cierto grado de exactitud. Esta al ser una integral dificil de calcular, se encuentra tabulada en una tabla N(0, 1)
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18 de Marzo de 2022
Pregunta 1
1. Sea X una V.A que distribuye Binom(n,p). Es decir,
P(X = k) =
n k
n−k
k p (1 − p)
k=0,1,...,n
Demuestre que E(X) = np y que V(X) = np(1 − p)
2. Sea X una V.A que distribuye exp(λ). Es decir
f (t) = λe−λt
t>0
Demuestre que E(X) = λ1 y que V(X) = λ12
Pregunta 2
Sea X una V.A que distribuye N (µ, σ). Es decir:
P(X < t) =
−
√1
−∞ 2πσ e
Rt
1. Encuentre la distribución de Y = a + bX con a,b ∈ R
2. Encuentre la distribución de Z = X−µ
σ
3. Para µ = 75 y σ = 10, Calcule P(80 ≤ X ≥ 90)
2
(x−µ)2
2σ 2
dx
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Tabla valores normal
[H]
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