MANUAL SUI
SEMINARIO UNIVERSITARIO INGRESO
DIRECCIÓN INGRESO
UTN – FRLP – Seminario Universitario de ingreso
UNIDAD III:
GEOMETRIA
ANALITICA
Un diccionario entre el álgebra y la geometría
CLASE 13 FUNCIONES LINEALES
" Las ciencias matemáticas exhiben particularmente orden, simetría
y límites; y esas son las más grandes formas de belleza”
Aristóteles (384 – 322 AC)
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RECTAS
En geometría analítica uno de los conceptos básicos es la recta. Básicamente vamos a
trabajar en dos aspectos:
1)
2)
Dada una ECUACION encontrar su GRAFICA
Dada su GRAFICA encontrar su ECUACION
ECUACION LINEAL o de la RECTA
Si usamos un plano coordenado y trazamos una línea oblicua partiendo del origen,
veremos que la relación entre las coordenadas de cada punto se mantiene. Es decir, si en
un punto su coordenada y es el doble de la coordenada x en los demás puntos se
mantiene. Esto nos da una idea que la ecuación tiene variables están sin elevar, es decir
de grado 1.
Las ecuaciones de la recta se presentan de varias formas. Una de ellas es la llamada
PENDIENTE-INTERSECCIÓN que se muestra a continuación.
𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏
Fijate que a la izquierda pusimos 𝑓(𝑥). Esto significa que la ecuación se llama 𝑓 y depende
de 𝑥.
Aquí aparecen m, b que son constantes reales. Se llama pendiente intersección por esos
números indican justamente esos valores.
Definiremos m como la pendiente de la ecuación y a b como
el punto de corte con el eje de las y (ordenada al origen).
Las ecuaciones dependerán de cómo esté inclinada la recta,
por lo que empezamos por estudiar el concepto de pendiente.
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Ejemplo: Encuentre la pendiente e intersección de la siguiente ecuación lineal
𝑦 = 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 2
La pendiente
𝑚=3
La ordenada al origen
𝑏 = −2
Su gráfica se construye con una tabla de valores
𝑥
𝑦 = 3𝑥 − 2
−1
−5
0
−2
1
1
2
4
3
7
Ordenada
al origen
Cabe preguntarse:
Gráficamente ¿Puedo predecir qué valor de 𝑦
corresponde a 𝑥 = 4?
PENDIENTE DE UNA FUNCIÓN LINEAL
Necesitamos una forma de medir la
“inclinación” de una recta, o cuál es la
rapidez con la que sube (o baja) cuando
pasamos de izquierda a derecha.
Definimos el corrimiento como la
distancia que nos movemos a la
derecha y la elevación como la distancia
correspondiente que la recta sube (o
baja). La pendiente de una recta es la
relación entre la elevación y el
corrimiento.
Esa pendiente puede ser positiva en el
caso de la izquierda o negativa como en
el caso de la derecha. También puede ser
leve o muy pronunciada.
Notar que depende del valor m, el
coeficiente de la x. Si m es grande esta
muy inclinada, si es pequeño esta mas
acostada. Si es positivo sube hacia la
derecha, baja hacia la izquierda.
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Ahora aprenderemos a dibujar una pendiente a partir de una ecuación, y también teniendo
una gráfica deducir su ecuación.
COMO CALCULAR LA PENDIENTE
(m)
Como se aprecia en la figura tenemos
varios puntos. Entre ellos se dibujaron
triángulos
rectángulos.
Son
de
diferentes
tamaños,
pero
son
semejantes. Son semejantes por el
Primer Teorema de Thales
“Si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se
obtiene un triángulo que es semejante al triángulo dado”
Los triángulos semejantes tienen sus lados equivalentes con las mismas proporciones. Es
decir, si un cateto es igual al otro en uno de ellos, lo es en el triángulo semejante. Si es el
doble, también lo es en el otro. Es lo que vimos cuando trazamos una línea oblicua pasando
por el origen.
Por lo tanto, no importa los puntos de la recta
que tomemos, el triángulo tendrá las mismas
proporciones. Veamos la gráfica.
Llamamos ∆𝑦 (diferencial y) a la
diferencia entre las coordenadas y de
ambos puntos
Llamamos ∆𝑥 (diferencial x) a la
diferencia entre las coordenadas x de
ambos puntos
¿Porque decimos la diferencia entre las
coordenadas x? Lo vimos en la clase anterior y
es la distancia entre esos puntos, o sea cuanto
mide cada lado.
Entre los puntos A y B se formó un
triángulo con sus catetos vertical de 2
unidades y un horizontal de 1. La medida
de ellos ahora llamamos diferenciales:
∆𝑦 2
= =2
∆𝑥 1
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Entre los puntos B y C se formó un
triángulo con sus catetos vertical de 4
unidades y un horizontal de 2.
∆𝑦 4
= =2
∆𝑥 2
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¿Notaste que las proporciones se mantiene? Ahora, estamos en condiciones de definir
PENDIENTE:
𝑚=
∆𝑦 𝑦1 − 𝑦2
=
∆𝑥 𝑥1 − 𝑥2
DE UNA GRAFICA A UNA ECUACION
Solo basta observar la ORDENADA AL
ORIGEN como el punto de intersección al eje y.
Cruza en 1, ese valor es b.
A partir de ese punto moverse una unidad
horizontalmente y luego subir. Lo que necesite
subir es la pendiente. Si se te dificulta busca
dos puntos que tengan coordenadas enteras y
aplicá la fórmula de pendiente.
En nuestro caso nos da que 𝒎 = 𝟐.
La ecuación es: 𝑦 = 2𝑥 + 1
Si fuera pendiente negativa bajamos en vez de
subir.
DE UNA ECUACION A UNA GRAFICA
Tres situaciones:
1) Usando los valores b y m de la ecuación
2) Calculando las intersecciones con los ejes
3) Teniendo dos puntos cualesquiera
Usando la ecuación
𝑦 = 3𝑥 − 5
Si observamos el valor de b quiere decir que la ordenada al
origen, lugar donde cruza y, es -5.
A partir de ahí nos movemos una unidad hacia la derecha
paralelo al eje x y luego tres unidades hacia arriba paralelo al
eje y. Si fuera negativa hubieramos bajado.
Cuando llegamos a un punto lo marcamos. Tomamos una regla y trazamos una línea desde
ese punto a la ordenada al origen.
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Usando las intersecciones con los ejes:
𝑦 = 2𝑥 − 2
Intersección y, ordenada al origen
𝐴 = (0, −2)
Intersección x, ecuación igualada a 0
2𝑥 − 2 = 0
2𝑥 = 2
𝑥=
2
2
𝐴 = (1; 0)
Una vez ubicado los dos puntos, simplemente los unimos
con una recta.
Teniendo dos puntos
Simplemente los ubicamos en el plano y los unimos con una recta.
DIFERENTES TIPOS DE
PENDIENTES
Una puntada final para
las pendientes
1) Pendientes
positivas: La recta sube hacia la derecha
2) Pendiente negativa: La recta baja a la derecha
3) Pendiente 0 (y = a): Es cuando aparece expresiones de tipo 𝑦 = 𝑎. No hay x. en
realidad existe, pero como m = 0 desaparece. Son rectas horizontales.
4) Pendiente indeterminada (x = a): Es cuando la m es indeterminada. Observa que
cuando es horizontal la diferencia de x es 0 y el denominador no puede ser 0.
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TIPOS DE ECUACIONES LINEALES
Las ecuaciones lineales pueden presentarse de diferentes formas. Desarrollamos tres.
ECUACIÓN PENDIENTE INTERSECCIÓN
Es la forma que estuvimos trabajando. Se llama así porque se ve claro la ordenada al
origen (intersección con el eje y) y la pendiente.
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏
ECUACIÓN PUNTO-PENDIENTE DE LA FUNCIÓN LINEAL
Esta forma es muy útil si tenemos un punto y la pendiente. Se conoce como YIYO - XIXO.
𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1 )
Se reemplaza lo valores 𝑥1 , 𝑦1 por el punto. Y m por la pendiente
Ejemplo: Tenemos una recta de pendiente 𝑚 = 3 que
pasa por el punto (1; 4)
Pasando a la forma pendiente intersección:
𝑦 − 𝑦1
=
𝑚(𝑥 − 𝑥1 )
𝑦−4
=
3(𝑥 − 1)
𝑦−4
=
3𝑥 − 3
𝑦
=
3𝑥 + 1
Ahora tenemos dos puntos: 𝐴 = (1; 4) y 𝐵 = (0; 1)
FORMA GENERAL
La forma general es una ecuación muy útil ya que prácticamente no se necesita hacer
cálculos extras para graficarla:
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐
Si buscamos expresarla como pendiente-intersección:
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𝑎𝑥 + 𝑏𝑦
=
𝑐
𝑏𝑦
=
−𝑎𝑥 + 𝑐
𝑦
=
𝑎
𝑐
− 𝑥+
𝑏
𝑏
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Lo que concluimos que
La ordenada al origen es:
𝑐
𝑏
𝑎
𝑏
La pendiente es: -
Ejemplo: Expresar la ecuación
pendiente intersección y graficar:
2𝑥 − 5𝑦 = 8
Donde las intersecciones son:
8
-La ordenada al origen es: − 5
-La pendiente es: −
2
2
=
−5
5
2
8
La ecuación queda: 𝑦 = 5 𝑥 − 5
CASOS DE RECTA
Hasta ahora vimos las ecuaciones de la recta, como pasar de ella a la gráfica y viceversa.
En esta parte giraremos alrededor del concepto de pendiente. Recordemos:
𝑚=
∆𝑦 𝑦1 − 𝑦2
=
∆𝑥 𝑥1 − 𝑥2
RECTAS HORIZONTALES
Son aquellas que el valor de y es invariante sin importar el valor de x que se considere. Es
claro que tiene una ordenada al origen. ¿Cómo podemos expresarla en una ecuación?
Recordemos que el valor de y siempre es el mismo no importa el punto que se considere.
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏
𝑚=
∆𝑦 𝑦1 − 𝑦2
0
=
→ 𝑦1 = 𝑦2 → 𝑚 =
=0
∆𝑥 𝑥1 − 𝑥2
𝑥1 − 𝑥2
𝑦 = 0𝑥 + 𝑏
𝑦=𝑏
O sea solo queda la ordenada al origen.
Es decir, una recta horizontal tiene una
pendiente 0. Veamos la gráfica:
𝑦=4
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RECTAS VERTICALES
En este caso lo que no varía es el valor de x. Si prestamos atención a la fórmula de
pendiente:
𝑚=
∆𝑦 𝑦1 − 𝑦2
𝑦1 − 𝑦2
=
→ 𝑥1 = 𝑥2 → 𝑚 =
= 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜
∆𝑥 𝑥1 − 𝑥2
0
Por lo cual no podemos usar la forma pendiente-intersección. La ordenada al origen no
existe, salvo que la recta coincida con el eje y, y la pendiente es indeterminada.
Tampoco podemos usar la forma punto-pendiente. Simplemente es un valor de x que
permanente constante.
𝑥=4
NOTA: Todas las rectas, menos las verticales, son FUNCIONES BIYECTIVAS.
FORMA GENERAL PARA RECTAS HORIZONTALES Y VERTICALES
Básicamente “permanece” en la ecuación la variable que tiene valor constante y
“desaparece” la otra. La forma de anularla es que su coeficiente sea 0. El valor que es
constante es el coeficiente de la variable dividido por c:
¿Y las que coincide con los ejes? Tienen
c=0
𝐻𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙: 𝑎𝑥 + 𝟎𝑦 = 𝑐 → 𝑥 =
𝑐
𝑎
𝐸𝑗𝑒 𝑥: 𝑎𝑥 + 𝟎𝑦 = 𝟎 → 𝑥 =
𝟎
=0
𝑎
𝑉𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙:
𝑐
𝑏
𝐸𝑗𝑒 𝑦: 𝟎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝟎 → 𝑥 =
𝟎
=0
𝑏
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𝟎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 → 𝑥 =
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RECTAS PARALELAS
Sabemos que las rectas pueden cruzar el eje 𝑦 por diferentes puntos, digamos diferente
ordenada al origen. Si dos rectas cruzan por puntos diferentes y son paralela, deberían
tener la misma inclinación. Por lo tanto:
“Dos rectas son PARALELAS si tienen MISMA PENDIENTE y
DIFERENTE ORDENADA AL ORIGEN”
¿Y si además coinciden en la ordenada al origen? No se dice paralela, se dice COLINEAL
Veamos este ejemplo:
Ejemplo: Determinar si las siguientes dos rectas son paralelas:
𝑓: 4𝑥 + 2𝑦 = −2
𝑔: 12𝑥 + 6𝑦 = −20
Dos formas de resolverlo. Pasarlas a forma pendiente-intersección.
𝑓: 4𝑥 + 2𝑦
=
−2
𝑔: 12𝑥 + 6𝑦
=
−21
2𝑦
=
−4𝑥 − 2
6𝑦
=
−12𝑥 − 20
𝑦
=
−2𝑥 − 1
𝑦
=
−2𝑥 −
10
3
f y g tienen misma pendiente y distinta ordenada al origen, por lo tanto, son PARALELAS
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Notar los siguientes detalles:
1) La ecuación original está en la forma general.
2) Los coeficientes de a y b de ambas ecuaciones mantienen la misma proporción
3) No en el caso del coeficiente c que no tiene la misma proporción.
Si tenemos la forma general se deberá cumplir
𝑟1 : 𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦
=
𝑐1
𝑟2 : 𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦
=
𝑐2
𝑟2 : 12𝑥 + 6𝑦
=
−20
𝑎1 𝑏1 𝑐1
=
≠
𝑎2 𝑏2 𝑐2
En nuestro caso
𝑟1 : 4𝑥 + 2𝑦
=
−2
4
2
−2
= ≠
12 6 −20
¿Y si también tuviera la misma proporción? Entonces, tenemos una forma especial de
paralela, la COLINEAL. Es decir, coinciden sus gráficas. Probalo en una calculadora
gráfica.
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PERPENDICULARES
Veamos la siguiente gráfica:
𝑟2
∆𝑦 𝑑𝑒 𝑟2
∆𝑦 𝑑𝑒 𝑟1
𝑟1
∆𝑥 𝑑𝑒 𝑟1
∆𝑥 𝑑𝑒 𝑟2
Sabemos que la relación de los catetos del
triángulo rectángulo determina su pendiente.
Cateto paralelo al eje y dividido cateto
paralelo al eje x.
Si rotamos uno de los rectángulos hasta
coincidir con el otro, vemos que son
semejantes.
Si usamos el Teorema de Thales para triángulos semejantes, tenemos:
𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑥 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 1 ∆𝑥 𝑑𝑒 𝑟1 ∆𝑦 𝑑𝑒 𝑟2 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑦 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 2
=
=
=
𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑦 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 1 ∆𝑦 𝑑𝑒 𝑟1 ∆𝑥 𝑑𝑒 𝑟2 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑥 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 2
∆𝑥 𝑑𝑒 𝑟1
= 𝑚2
∆𝑦 𝑑𝑒 𝑟1
El lado derecho es claro, el diferencial de y sobre el de x define la pendiente de la recta 2.
¿Pero qué pasó del lado izquierdo?
∆𝑦 𝑑𝑒 𝑟2
∆𝑥 𝑑𝑒 𝑟2
es la inversa de
∆𝑦 𝑑𝑒 𝑟1
∆𝑥 𝑑𝑒 𝑟1
Si agregamos que al dar vuelta el triángulo estamos cambiando el signo de la pendiente,
tenemos la relación entre dos rectas perpendiculares
𝑚2 = −
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1
𝑚1
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Ejemplo 1: Determinar si las siguientes rectas son perpendiculares
𝑟1 : 𝑦 = 2𝑥 − 2
1
𝑟1 : 𝑦 = − 𝑥 + 2
2
𝑚1 = 2 → −
1
1
1
=− →−
= 𝑚2
𝑚1
2
𝑚1
Lo que se hizo es tomar la primera pendiente, invertirla y cambiar de signo. Como coincide
con la segunda pendiente se concluye que ambas son perpendiculares.
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EJERCICIOS CLASICOS
3
Ejemplo 1: Graficar 𝑦 = 2 𝑥 + 2
1) Viendo b (la ordenada al origen) determinamos
que la recta cruza el eje y en (0; 2)
2) Viendo la pendiente nos movemos, a partir de
la ordenada al origen, 2 unidades horizontales
y 3 verticales. Por ser positivo las verticales es
hacia arriba.
VERIFICACION
Claramente vemos que la recta que dibujamos pasa por el punto 𝐴 = (2; 5). Debemos ver
si al reemplazar los valores, verifica la ecuación que nos dieron.
3
𝑦 = 𝑥+2
2
3
𝟓 = 𝟐+2
2
5=5
Ejemplo 2: Encontrar la ecuación de la siguiente recta
1) Vemos que cruza el eje y en y = 2 por lo que la
ordenada al origen (b) es igual a 2. El punto exacto
es 𝐴 = (0; 2)
2) Vemos que cruza el eje x en -1 por lo que el otro
punto es 𝐵 = (−1, 0)
3) Con ambos puntos se puede calcular la
pendiente (m)
𝑚=
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∆𝑦 𝑦𝐴 − 𝑦𝐵 2 − 0
=
=
=2
∆𝑥 𝑥𝐴 − 𝑥𝐵 0 + 1
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4)
Con b y m se puede armar la ecuación pendiente-intersección.
𝑦 = 2𝑥 + 2
VERIFICACION
Vemos que la recta que dibujamos pasa por el punto 𝐴 = (−1; 0). Debemos ver si al
reemplazar los valores verifica la ecuación que armamos.
𝑦 = 2𝑥 + 2
𝟎 = 2(−𝟏) + 2
0=0
Ejemplo 3: Encontrar la forma general de la recta que pasa por el punto 𝐴 = (1; −3) y tiene
pendiente ½.
Teniendo un punto y una pendiente se usa la fórmula punto-pendiente. Notar que al final
se cambió el signo multiplicando ambos lados por (-1). No altera la gráfica hacerlo y así
es más legible.
𝑦 − 𝑦1
=
𝑚(𝑥 − 𝑥1 )
𝑦+3
=
1
(𝑥 − 1)
2
𝑦
=
𝑥 1
− −3
2 2
𝑥
− +𝑦
2
=
−
1
𝑥−𝑦
2
=
7
2
7
2
VERIFICACION
Sabemos que la recta buscada pasa por el punto 𝐴 = (1; −3).
1
7
𝑥−𝑦 =
2
2
1
7
𝟏 − (−𝟑) =
2
2
1 6 7
+ =
2 2 2
7 7
=
2 2
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Ejemplo 4: Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (−1; 2) y (3; −4)
1) La ecuación de la recta que mejor podríamos usar es la punto-pendiente. Tenemos
dos puntos para elegir uno de ellos, nos falta la pendiente. Pero justamente
podemos usar ambos puntos para calcularla
𝒎=
∆𝑦 𝑦1 − 𝑦2
2+4
6
𝟑
=
=
=
=−
∆𝑥 𝑥1 − 𝑥2 −1 − 3 −4
𝟐
2) Teniendo la pendiente, elegimos uno de los puntos para usarlo en la forma puntopendiente. Vamos a usar los dos para que se aprecie que no importa el elegido,
llegamos a la misma conclusión. Pero basta con uno solo.
𝑦 − 𝑦1
=
𝑚(𝑥 − 𝑥1 )
𝑦 − 𝑦1
=
𝑚(𝑥 − 𝑥1 )
𝑦−𝟐
=
3
− (𝑥 + 𝟏)
2
𝑦+𝟒
=
3
− (𝑥 − 𝟑)
2
𝑦
=
3
3
− 𝑥− +2
2
2
𝑦
=
3
9
− 𝑥+ −4
2
2
𝑦
=
3
1
− 𝑥+
2
2
𝑦
=
3
1
− 𝑥+
2
2
VERIFICACION
Sabemos que la recta buscada pasa por el punto (-1; 2).
3
1
𝑦=− 𝑥+
2
2
3
1
𝟐 = − (−𝟏) +
2
2
2=
3 1
+
2 2
2=2
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Ejemplo 5: Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto 𝐴 = (5; 2) y es paralela
2
5
a la recta 3 𝑥 + 6
1) La ecuación de la recta que mejor podríamos usar es la punto-pendiente. Tenemos
una recta paralela por lo que LAS PENDIENTES SON IGUALES
𝑚=
2
3
2) Ahora que tenemos el punto y la pendiente usamos la ecuación
𝑦 − 𝑦1
=
𝑚(𝑥 − 𝑥1 )
𝑦−𝟐
=
2
(𝑥 − 𝟓)
3
𝑦
=
2
10
𝑥−
+2
3
3
𝑦
=
2
4
𝑥−
3
3
VERIFICACION
Sabemos que la recta buscada
pasa por el punto (5; 2).
2
4
𝑦= 𝑥−
3
3
2
4
𝟐 = 𝟓−
3
3
2=
10 4
−
3 3
2=2
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Ejemplo 6: Demuestre que los puntos 𝑃(3, 3), 𝑄(8, 17) 𝑦 𝑅(11, 5) son los vértices de un
triángulo rectángulo.
Este ejercicio invita a tratar de armar las ecuaciones de las rectas que pasan por cada
punto. Para eso primero determino la pendiente. Luego con la pendiente y un punto… Pero
¿Para que seguir? Basta saber si dos de esas rectas son perpendiculares. Recordemos:
“Dos rectas son perpendiculares si sus pendientes son inversas y de signo
contrario entre sí”
1) Recta que pasa por P y Q y llamamos 𝑟1
𝒎𝟏 =
∆𝑦 𝑦𝑃 − 𝑦𝑄
3−8
−5
𝟓
=
=
=
=
∆𝑥 𝑥𝑃 − 𝑥𝑄 3 − 17 −14 𝟏𝟒
2) Recta que pasa por P y R y llamamos 𝑟2
𝒎𝟐 =
∆𝑦 𝑦𝑃 − 𝑦𝑅
3−5
−2 𝟏
=
=
=
=
∆𝑥 𝑥𝑃 − 𝑥𝑅 3 − 11 −8 𝟒
2) Recta que pasa por Q y R y llamamos 𝑟3
𝒎𝟑 =
∆𝑦 𝑦𝑄 − 𝑦𝑅 17 − 5 12
=
=
=
= −𝟒
∆𝑥 𝑥𝑄 − 𝑥𝑅 8 − 11 −3
Como
𝒎𝟑 = −
1
𝒎𝟐
Entonces los tres puntos son los vértices de un triángulo rectángulo
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RESUMEN
ECUACIONES LINEALES: Tienen variables sin elevar o sea de grado 1
FORMAS DE ECUACIONES LINEALES:
Pendiente-intersección
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏
𝑦 − 𝑦0 = 𝑚(𝑥 − 𝑥0 )
Punto-pendiente
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐
Forma general
RECTA HORIZONTAL
𝑦=𝑏
RECTA VERTICAL
𝑥=𝑎
RECTAS PARALELAS
𝑚1 = 𝑚2
RECTAS PERPENDICULARES
𝑚1 = 𝑚
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1
2
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EJERCICIOS PARA PRACTICAR EN CASA
12.1) Traza la recta que pasa por los
siguientes puntos y determinar su
pendiente
a) 𝐴 = (−1; 4), 𝐵 = (3; 2)
b) 𝐴 = (2; 5), 𝐵 = (−2; −1)
12.5) Escribe la ecuación 2𝑥 − 5𝑦 = 8 en
forma pendiente-intersección y
trazar su gráfica.
c) 𝐴 = (4; 3), 𝐵 = (−2; 3)
d) 𝐴 = (4; −1), 𝐵 = (4; 4)
12.2) Trazar la recta que pasa por
𝑃 = (2; 1) y tiene pendiente
a)
12.3) Determinar la ecuación de rectas
paralelas al eje x y al eje y que pasa
por 𝐴 = (−1; 4)
12.4) Encuentra la recta que pasa por
𝐴 = (1; 7) y 𝐵 = (−3; 2)
12.6) Encontrar una ecuación de la recta
que pasa por 𝑃 = (5; −7) que es
paralela a la recta 6𝑥 + 3𝑦 = 4
12.7) Encuentre la fórmula pendienteintersección para la recta que pasa
por el punto 𝐴 = (5; −7) y es
perpendicular a la recta 6𝑥 + 3𝑦 = 4
5
𝑚=3
5
b) 𝑚 = − 3
TP 12 (A RESOLVER EN CLASE)
1) Representar gráficamente las
rectas
5) Dadas las rectas 𝑟: 4𝑥 − 𝑘𝑦 = 0 y
𝑠: 𝑦 − 3𝑥 + 2 = 0, determinar k de
modo que:
a) 𝑦 − 𝑥 = 4
a) r y s sean paralelas
b)
2
𝑦 = 3𝑥 − 1
c) 2𝑦 + 𝑥 = −4
d) 𝑥 − 3 = 2
e) 𝑦 − 3 = 1
2) Hallar la ecuación de la recta
cuya pendiente es -3 y corta el
eje y en 9. Graficar
3) Hallar la ecuación de la recta que
pasa por el punto (0; −2) y es
paralela al eje x. Graficar
4) Determinar la ecuación de la
recta que corta el eje x en -7 y es
paralela al eje y. Graficar
20 | P á g i n a
b) r y s sean perpendiculares
6) Hallar la ecuación de la recta
que:
a) Pasa por los puntos (1/2; −1)
y (1; −1/2)
b) Pasa por el punto (−2; 5) y su
pendiente es -3
c) Su pendiente es la tercera
parte de 12 y pasa por el
origen de coordenadas
d) Su abscisa al origen es 5 y su
coordenada al origen es -3
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RESULTADOS EJERCICIOS PARA CASA
12.1) Traza la recta que pasa por los siguientes puntos y determinar su pendiente
1
a) 𝑚 = − 2
b) 𝐴 = (2; 5), 𝐵 = (−2; −1)
c) 𝐴 = (4; 3), 𝐵 = (−2; 3)
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d) 𝐴 = (4; −1), 𝐵 = (4; 4)
12.2) Trazar la recta que pasa por 𝑃 = (2; 1) y tiene pendiente
5
c) 𝑚 = 3
5
d) 𝑚 = − 3
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12.3) Determinar la ecuación de rectas paralelas al eje x y al eje y que pasa por
𝐴 = (−1; 4)
12.4) Encuentra la recta que pasa por
𝐴 = (1; 7) y 𝐵 = (−3; 2)
12.5) Escribe la ecuación 2𝑥 − 5𝑦 = 8 en forma pendiente-intersección y trazar su
gráfica.
DIRECCIÓN INGRESO
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MANUAL SUI
12.6) Encontrar una ecuación de la recta que pasa por 𝑃 = (5; −7) que es paralela a la
recta 6𝑥 + 3𝑦 = 4
12.7) Encuentre la fórmula pendiente-intersección para la recta que pasa por el punto
𝐴 = (5; −7) y es perpendicular a la recta 6𝑥 + 3𝑦 = 4
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