ציון_________________
ת.ז__________________
30106--96003חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי 2
בחינה לדוגמא תשפ"ד
המרצים :אבי לוי ,ד"ר חגית לסט ,ד"ר עמנואל רסין
משך הבחינה 180 :דקות
הבחינה בחומר סגור .מותר להיעזר רק בדף הנוסחאות המצורף ומחשבון 4פעולות בלבד.
בבחינה יש 2חלקים :חלק פתוח ( 60נק') וחלק רב ברירתי ( 42נק') .אין בחירה.
את הפתרונות של החלק הפתוח חובה לרשום במקומות המסומנים במחברת הבחינה ,לא ייבדקו תשובות שנרשמו במקום אחר.
בהצלחה!!
שאלות פתוחות ( 60נק')
עליכם לענות על 2מתוך 3השאלות הבאות .משקל כל שאלה הוא 30נק'.
ניקוד מלא יינתן רק על תשובות מפורטות ,מלאות ומנומקות היטב.
בפרט ,אם נעזרים במשפט יש לציין מהו ולבדוק שמתקיימים תנאיו.
השאלות לבדיקה (יש לסמן שתי שאלות):
.1תהי
א.
4
)− 2
y2
2
1
3
2
𝑓(𝑥, 𝑦) = (x 2 +
( 10נק') הוכיחו שכל קווי הגובה החיוביים של )𝑦 ( 𝑓(𝑥,כלומר קווי גובה ) 𝑓 = 𝑐 ≥ 0הם אליפסות או נקודה
y2
x2
בודדת .רשמו את המשוואות של האליפסות בצורה קנונית ,כלומר בצורה + b2 = 1
𝑎2
קו גובה 𝑐 = 𝑓 יופיע בה כמובן הפרמטר 𝑐 .הדרכה :שימו לב שאם 𝐵 ≥ 0אז
.כשאתם רושמים משוואה של
𝐵 = ⟺ 𝐴4
1
.𝐴 = ±𝐵 4
2
3
4
ב.
( 10נק') הוכיחו שאוסף כל (אינסוף) הנקודות הקריטיות של )𝑦 𝑓(𝑥,הוא נקודות האליפסה
y2
x2
2 + 4 = 1בתוספת הנקודה )(0,0
y2
x2
(כלומר+ 4 = 1} :
2
| )𝑦 .) {(0,0)} ∪ {(𝑥,
הדרכה :פתרו ⃗
𝛻⃗𝑓 = 0והראו שאוסף הפתרונות הוא אכן מה שרשמנו כאן.
5
ג.
( 10נק') אפיינו את שתי הנקודות הקריטיות ) (0,0ו. (0,2) -
הבהרה :אמנם יש אינסוף נקודות קריטיות אבל אתם מתבקשים לאפיין כאן רק שתיים.
המלצה :את ) (0,2לא ניתן לאפיין בעזרת משפט האפיון ,תצטרכו להפעיל שיקולים אחרים.
סמנו כאן בעיגול את תשובתכם הסופית (את החישובים יש לרשום במחברת):
) (0,0היא נקודת
מינימום מקומי \
מכסימום מקומי
\
אוכף
) (0,2היא נקודת
מינימום מקומי \
מכסימום מקומי
\
אוכף
6
7
8
.2
א 15( .נק') חשבו את 𝑙𝑛 1 . 2בעזרת פולינום מקלורן )𝑥( 𝑇3של )𝑥 . 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑛(1 +
מצאו חסם מלעיל לערך המוחלט של שגיאת הקרוב וקבעו האם הערך המקורב שמצאתם גדול או קטן יותר מהערך האמיתי.
9
ב 15( .נק') תהי
)(𝑥, 𝑦) ≠ (0,0
𝑒𝑠𝑖𝑤𝑟𝑒𝑜𝑡ℎ
𝑦⋅ 𝑎|𝑥|
𝑓(𝑥, 𝑦) = { 𝑥 2 +𝑦 2
0
𝑎 ∈ ℝפרמטר
(שימו לב לערך המוחלט בביטויי)
תנו דוגמא לערך של הפרמטר 𝑎 עבורו )𝑦 𝑓(𝑥,רציפה ב .(0,0) -הוכיחו את רציפות )𝑦 𝑓(𝑥,ב (0,0) -עבור הערך 𝑎 שרשמתם.
אם אתם טוענים שפונקציה מסויימת היא חסומה עליכם להוכיח את זה.
נקח לדוגמא:
)(𝑥, 𝑦) ≠ (0,0
𝑒𝑠𝑖𝑤𝑟𝑒𝑜𝑡ℎ
.𝑎 = 2
𝑦 ⋅ |𝑥|2
𝑓(𝑥, 𝑦) = {𝑥 2 + 𝑦 2
0
10
𝑦 ⋅ |𝑥|2
𝑦𝑥
𝑚𝑖𝑙 =
⏟
𝑥 ⋅ 2
)= 0 = 𝑓(0,0
2
2
𝑦 (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 +
)(𝑥,𝑦)→(0,0
𝑥 + 𝑦2
⏟ →0
𝑚𝑖𝑙
𝑑𝑒𝑑𝑛𝑢𝑜𝑏
לכן )𝑦 𝑓(𝑥,רציפה ב(0,0) -
•
𝑦𝑥
נראה כי 𝑥 2 +𝑦 2חסומה בסביבה נקובה של ):(0,0
. 0 ≤ (|𝑥| − |𝑦|)2 = |𝑥|2 − 2|𝑥𝑦| + |𝑦|2
נעביר אגפים:
2|𝑥𝑦| ≤ |𝑥|2 + |𝑦|2 = 𝑥 2 + 𝑦 2
1
לכן לכל )(𝑥, 𝑦) ≠ (0,0
𝑦𝑥
|𝑥 2 +𝑦 2| ≤ 2
אלטרנטיבה:
𝑦 ⋅ |𝑥|2
𝑥2
𝑚𝑖𝑙
𝑚𝑖𝑙 =
𝑦 ⋅ 2
)= 0 = 𝑓(0,0
⏟
(𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 2 + 𝑦 2
)(𝑥,𝑦)→(0,0
𝑥 + 𝑦2
⏟
𝑑𝑒𝑑𝑛𝑢𝑜𝑏
→0
לכן )𝑦 𝑓(𝑥,רציפה ב(0,0) -
•
𝑥2
נראה כי 𝑥 2 +𝑦 2חסומה בסביבה נקובה של ):(0,0
. 𝑥2 ≤ 𝑥2 + 𝑦2
לכן לכל )(𝑥, 𝑦) ≠ (0,0
𝑥2
0 ≤ 𝑥 2 +𝑦 2 ≤ 1
11
.3א 20( .נק') מצאו ערכי קיצון גלובלי של הפונקציה ℎ(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 2בהינתן האילוץ .𝑥 2 + 𝑦 2 = 1
יש לנמק מדוע ערכי הקיצון הגלובלי קיימים.
תשובה סופית:
2
ערך מינימלי− 3√3 :
√2
יש 2נקודות מינימום גלובלי:
ערך מכסימלי:
)
√3
,±
1
(𝑥, 𝑦) = (−
√3
2
3√3
√2
יש 2נקודות מכסימום גלובלי:
)
√3
,±
1
( = )𝑦 (𝑥,
√3
הפתרון:
הפונקציה רציפה ,האילוץ סגור וחסום ולכן ממשפט ווירשטראס נובע שקיימים ערכי קיצון גלובלים.
נסמן.𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 + 𝑦 2 − 1 :
ניתן להיעזר בשיטת כופלי לגרנ'ז כי :
2
ℎ(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 2 .1ו 𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑦 2 − 1 -הן פולינומים ולכן בעלות נ"ח רציפות בכל נקודה על האילוץ.
𝑥2
𝛻⃗𝑔 = [ ] = 0רק בנקודה ) (0,0ולכן ⃗
⃗ .2
𝛻⃗𝑔 ≠ 0בכל נקודה על האילוץ .𝑔(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 + 𝑦 2 − 1 = 0
𝑦2
)𝑦 𝛻⃗ℎ = 𝜆𝛻⃗𝑔(𝑥,
נפתור
𝑔=0
𝑥2
𝑦2
] [𝜆 = ]
𝑦2
𝑥𝑦2
{:
[
𝑥2 + 𝑦2 − 1 = 0
אם 𝜆 = 0אז ממשוואה 1נקבל ,𝑦 = 0וממשוואה ( 3משוואת האילוץ) נקבל .𝑥 = ±1
נקודות חשודות.(±1,0), 𝜆 = 0 :
אחרת. 𝜆 ≠ 0 ,
אם 𝑦 = 0אז ממשוואה 1ומכך ש 𝜆 ≠ 0נובע .𝑥 = 0מקבלים סתירה למשוואה .3
כעת ניתן להניח כי .𝑦, 𝜆 ≠ 0ממשוואה 2נובע שגם .𝑥 ≠ 0
𝑥𝜆2
𝑦2
𝑥
𝑦
כעת ניתן להניח כי 𝑥, 𝑦, 𝜆 ≠ 0ולכן ניתן לחלק את משוואה 1במשוואה 2ולקבל 2𝑦𝑥 = 2𝜆𝑦 :כלומר 𝑦 = 𝑥,2
.𝑦 = ±√2 ⋅ 𝑥 ,𝑦 2 = 2𝑥 2הצבה במשוואה 3תיתן 𝑥 2 + 2𝑥 2 − 1 = 0 :כלומר ,3𝑥 2 = 1
ממשוואה 2מקבלים 𝑥 = 𝜆.
נקודות חשודות:
1
√3
√2
),
=𝜆
√3
,±
1
√3
(,.
1
√3
),
𝜆=−
√2
√3
,±
1
√3
1
√3
.𝑥 = ±
.(−
מצאנו סה"כ 6נק' חשודות .מכיוון שמובטח (ע"י ווירשטראס) קיום קיצון גלובלי ,צריך להציב את 6הנקודות שמצאנו
בפונקציה כדי לקבוע אלו מהן נק' קיצון גלובלי.
2
√2
) = 3√3 ,ℎ(±1,0) = 0
√3
תשובה סופית רשמנו למעלה.
,±
1
2
√2
( ) = − 3√3 , ℎ
√3
√3
𝑥
,±
1
√3
.ℎ (−
ב 10( .נק') שרטטו את תחום ההגדרה של הפונקציה ) 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛 (𝑦 2וקבעו האם הוא קבוצה:
פתוחה ,סגורה ,לא פתוחה ולא סגורה ,קשירה ,חסומה.
12
זוהי קבוצה לא סגורה ולא פתוחה ,לא חסומה ,לא קשירה.
שאלות רב ברירתיות ( 48נק')
יש לענות על כל 6השאלות הבאות.
לכל שאלה יש תשובה נכונה אחת בלבד.
בחירה בתשובה הנכונה מזכה בניקוד מלא ( 8נק') ,בתנאי שיש במחברת הבחינה טיוטה שבה רשמתם בקצרה את החישובים
והשיקולים שעשיתם בבחירת התשובה .תשובה נכונה בלי קובץ טיוטה תקבל ניקוד .0התשובה שבחרתם נקבעת ע"פ התשובה
שסימנתם בטופס התשובות המצורף לבחינה (גם במקרה של סתירה בינה לבין הרשום בטיוטה) .לשאלות בחלק זה לא יינתן
ניקוד חלקי.
.1רשמו את משוואת המישור המשיק למשטח 𝑥 3 + 4𝑦 − 𝑧 2 = 3בנקודה )(2,1,3
א6𝑥 + 2𝑦 − 3𝑧 = 5 .
ב2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = −2 .
ג3𝑥 + 2𝑦 − 4𝑧 = 4 .
ד4𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 1 .
ה .אף תשובה לא נכונה
13
14
. 2בשאלה זו אתם מבצעים החלפת סדר אינטגרציה באינטגרל כפול .המלצה :ראשית שרטטו לעצמכם את תחום האינטגרציה.
האינטגרל
𝑥𝑑𝑦𝑑)𝑦 𝑓(𝑥,
א𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 .
ב𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 .
√5−𝑥 2
1
𝑥 ∫0 ∫2שווה ל:
√5−𝑦 2
√5
√5−𝑦 2
√5
√5−𝑦2
√5
𝑦
2
∫0 ∫02 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 + ∫2 ∫0
𝑦
1
∫0 ∫02 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 + ∫1 ∫0
𝑦2
1
ג.
𝑦𝑑𝑥𝑑)𝑦 𝑓(𝑥,
ד.
2
√5 √5−𝑦 2
𝑦𝑑𝑥𝑑)𝑦 𝑓(𝑥,
∫0 ∫22 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 + ∫1 ∫√5
∫0 ∫1 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦 + ∫0 ∫√5
𝑦
ה .אף תשובה לא נכונה
15
.3נתונה פונקציה
. 𝑓(𝑥, 𝑦) = √𝑥 2 + 𝑦 4היעזרו בהגדרת הנגזרת החלקית כדי למצוא את הנגזרות החלקיות
)( 𝑓𝑦 (0,0) , 𝑓𝑥 (0,0או להוכיח שהן לא קיימות).
מי מהטענות הבאות היא נכונה?
א 𝑓𝑥 (0,0) .לא קיימת ו𝑓𝑦 (0,0) = 0 -
ב𝑓𝑥 (0,0) = 0 .
ו 𝑓𝑦 (0,0) -לא קיימת
ג 𝑓𝑥 (0,0) = 0 .
ו𝑓𝑦 (0,0) = 0 -
ד 𝑓𝑥 (0,0) .לא קיימת וגם ) 𝑓𝑦 (0,0לא קיימת
ה𝑓𝑥 (0,0) = 1 .
ו 𝑓𝑦 (0,0) -לא קיימת
16
.4יהי 𝐷 התחום המוכל ב0 ≤ 𝑦} -
1
𝑥) (𝑦 = −
. 𝑦 = (√3)𝑥,
חשבו את האינטגרל
𝑦𝑑𝑥𝑑 𝑦 𝐷∬.
√3
{(𝑥, 𝑦} | 𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 4,והחסום בין הישרים
המלצה :שרטטו לעצמכם את 𝐷 והיעזרו בהחלפת משתנים לקואורדינאטות קוטביות.
ערך האינטגרל הוא:
א(1 + √3) .
ב+ √3) .
1
√3
4
3
8
(
3
ג(√3) − 1) .
ד) .
1
√3
(1 +
ה .אף תשובה לא נכונה
פתרון:
בשלב הראשון נשרטט את 𝐷:
כעת נחשב את האינטגרל:
𝜋5
2
1
8
𝜋
𝜋5
8 1 (−√3
∫ 𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝜃 ⋅ 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃 = − 𝑐𝑜𝑠 𝜃 |𝜋6 ⋅ 𝑟 3 |20 = (𝑐𝑜𝑠 − 𝑐𝑜𝑠 ) = ( −
)
3
3
3
6
3 2
2
0
3
𝜋5
6
4
)(1 + √3
3
∫ = 𝑦𝑑𝑥𝑑 𝑦 ∬
𝜋
3
=
𝐷
17
1
.5בשאלה זו נסתמך על כך שהמשוואה 𝑥𝑦𝑒 𝑧 − 2𝑧(𝑥 2 + 𝑦 2 ) = 2 (𝑥 + 7𝑦) − 3מגדירה פונקציה סתומה )𝑦 𝑧 = 𝑓(𝑥,
בסביבה של הנקודה ) (1,1,0ושמתקיימים תנאי משפט הפונקציה הסתומה.
𝑓𝜕
באיזה כיוון ̂𝑛 (וקטור יחידה) הנגזרת המכוונת ) 𝜕𝑛̂ (1,1מקסימלית?
1
1
= ̂𝑛
[
א] .
√26
−5
−1
ב] .
−5
[
7
ג] .
−1
[
1
ד] .
7
[
1
= ̂𝑛
√26
1
= ̂𝑛
√50
1
= ̂𝑛
√50
ה .אף תשובה לא נכונה
פתרון:
1
נגדיר . 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦𝑒 𝑧 − 2𝑧(𝑥 2 + 𝑦 2 ) − 2 (𝑥 + 7𝑦) + 3
נראה שמתקיימים תנאי משפט הפונקציה הסתומה (למרות שאתם לא נדרשתם לעשות זאת):
1
2
𝑔(1,1,0) = 1 − 2 ⋅ 0 − ⋅ 8 + 3 = 1 − 4 + 3 = 0 .1
.2
1
2
7
𝑔𝑦 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑒 𝑧 − 4𝑦𝑧 − 2
𝑧
2
2
,𝑔𝑥 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑦𝑒 𝑧 − 4𝑥𝑧 −
) 𝑦 𝑔𝑧 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑦𝑒 − 2(𝑥 +
הנגזרות החלקיות הן פונקציות אלמנטריות שתחום הגדרתן ,ℝ3לכן הן רציפות .כלומר 𝑔(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝐶 1 ,ב ℝ3 -ובפרט בסביבת
הנקודה )(1,1,0
𝑧
2
2
𝑔𝑧 (1,1,0) = 𝑥𝑦𝑒 − 2(𝑥 + 𝑦 )|(1,1,0) = 1 − 4 = −3 ≠ 0 .3
הראנו שמתקיימים תנאי משפט הפונקציה הסתומה ולכן המשפט מבטיח שהמשוואה
1
𝑥𝑦𝑒 𝑧 − 2𝑧(𝑥 2 + 𝑦 2 ) = 2 (𝑥 + 7𝑦) − 3מגדירה פונקציה סתומה )𝑦 𝑧 = 𝑓(𝑥,בסביבה של הנקודה ).(1,1,0
)𝑦 𝑓(𝑥,היא בעלת נגזרות חלקיות רציפות בסביבה של ).(1,1ובסביבה זו מתקיים
1
𝑦𝑒 𝑧 − 4𝑥𝑧 − 2
))𝑦 𝑔𝑥 (𝑥, 𝑦, 𝑧(𝑥,
𝑓𝑥 (𝑥, 𝑦) = −
=−
))𝑦 𝑔𝑧 (𝑥, 𝑦, 𝑧(𝑥,
) 𝑥𝑦𝑒 𝑧 − 2(𝑥 2 + 𝑦 2
7
𝑥𝑒 𝑧 − 4𝑦𝑧 − 2
))𝑦 𝑔𝑦 (𝑥, 𝑦, 𝑧(𝑥,
𝑓𝑦 (𝑥, 𝑦) = −
=−
))𝑦 𝑔𝑧 (𝑥, 𝑦, 𝑧(𝑥,
) 𝑥𝑦𝑒 𝑧 − 2(𝑥 2 + 𝑦 2
.𝑓𝑥 (1,1),
נחשב את הנגזרות החלקיות )𝑓𝑦 (1,1
1
1
(2) 1
𝑦𝑒 𝑧 − 4𝑥𝑧 − 2
))𝑦 𝑔𝑥 (𝑥, 𝑦, 𝑧(𝑥,
𝑓𝑥 (1,1) = −
|
|
=−
=
) =−
⏟
)𝑔𝑧 (𝑥, 𝑦, 𝑧(𝑥, 𝑦)) (1,1,𝑧(1,1
)𝑥𝑦𝑒 𝑧 − 2(𝑥 2 + 𝑦 2 ) (1,1,0
−3 6
0
5
7
) (−
𝑥𝑒 𝑧 − 4𝑦𝑧 −
))𝑦 𝑔𝑦 (𝑥, 𝑦, 𝑧(𝑥,
2 = −5
2
𝑓𝑦 (1,1) = −
|(1,1,0) = −
|
=
−
)(1,1,0
))𝑦 𝑔𝑧 (𝑥, 𝑦, 𝑧(𝑥,
) 𝑥𝑦𝑒 𝑧 − 2(𝑥 2 + 𝑦 2
−3
6
1
1 1
] [ 𝛻𝑓(1,1) = [ 6 5] = 6
−5
−6
18
)𝑦 𝑓(𝑥,היא בעלת נגזרות חלקיות רציפות בסביבה של הנקודה) (1,1ולכן דיפרנציאבילית בנקודה זו.
𝑓𝜕
לכן הכיוון ̂𝑛 (וקטור יחידה) שבו הנגזרת המכוונת ) 𝜕𝑛̂ (1,1מקסימלית הוא כיוון הגראדיאנט:
1
1
= ̂𝑛 (נירמלנו את וקטור הגראדיאנט )
[
]
√26
−5
.6נתבונן באינטגרל המוכלל
𝑥𝑑
∞
𝑥
√𝑥 𝑏 +2
𝐼 = ∫1
( 𝑏 > 0פרמטר)
רשמו את אוסף כל הערכים החיוביים של 𝑏 עבורם האינטגרל מתכנס
א𝑏 > 4 .
1
ב𝑏 > 2 .
ג𝑏 > 3 .
ד𝑏 > 5 .
ה.
𝑏>1
האינטגרנד,
𝑥
√𝑥 𝑏 +2
= )𝑥(𝑓 הוא פונקציה רציפה וחיובית בתחום האינטגרציה.
נבצע מבחן השוואה גבולי עם
1
𝑏
−1
𝑥2
=
𝑥
𝑏
𝑥2
= )𝑥(𝑔:
𝑥
𝑏
𝑏
(
)
𝑏
𝑥2
𝑥2
1
𝑥√
+
2
𝑚𝑖𝑙
𝑚𝑖𝑙 =
𝑚𝑖𝑙 =
𝑚𝑖𝑙 =
= 1≠0
∞→𝑥
𝑥→∞ √𝑥 𝑏 + 2
) 𝑏𝑥→∞ √𝑥 𝑏 (1 + 2𝑥 −
𝑥→∞ √1 + 2𝑥 −𝑏 1 →0
1
𝑏
𝑥
) 𝑏 (
−1
2
𝑥
𝑒𝑠𝑎𝑢𝑐𝑒𝑏
לכן 𝑥𝑑
𝑥
√𝑥 𝑏 +2
∞
𝑏>0
( 𝐼 = ∫1כאשר𝑏 > 0
𝑏
∞ 1
פרמטר) מתכנס אם ורק אם 𝑥𝑑 𝑏 𝐼 = ∫1מתכנס,
−1
𝑥2
אם ורק אם , 2 − 1 > 1כלומר .𝑏 > 4לכן תשובה א' נכונה.
