CÁLCULO DE PRIMITIVAS
TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS
p ≠ −1 ∫ x p dx =
x p +1
+C
p +1
1
∫ cos 2 x dx = tgx + C
−1
dx
∫ x = ln x + C
∫ sen x dx = cot gx + C
∫ e dx = e + C
∫ cosh x = tgh x + C
x
2
dx
x
a > 0, ∫ a x dx =
a > 0, ∫
2
ax
+C
ln a
dx
∫ 1 − x = arcsen x + C
2
− dx
dx
= log a x + C
x ln a
∫ 1 − x = arccos x + C
2
dx
∫ sen xdx = − cos x + C
∫ 1 + x = arctg x + C
∫ cos xdx = sen x + C
∫ x + 1 = arg senh x + C
∫ senh xdx = cosh x + C
∫ x − 1 = arg cosh x + C
∫ cosh xdx = senh x + C
∫ 1 − x = arg tgh x + C
2
dx
2
dx
2
dx
2
COMPOSICIÓN DE FUNCIONES
Si u = u( x ) , entonces
∫ u′( x ) f (u( x ))dx es inmediata siempre que lo sea
u′
u′
∫ f ( x ) dx . Por ejemplo, ∫ u dx = ln| u|+C , o bien, ∫ 1 + u dx = arctg u + C
2
ln x
(ln x ) 2
∫ x dx = 2 + C
∫
ex
x
dx
=
arcsen
e
+C
2x
1− e
MÉTODOS DE INTEGRACIÓN
1. - Cambio de variable:
Como todo cambio de variable se basa en la regla de la cadena.
∫ f ( x )dx donde f no tiene una
Queremos realizar la integral
primitiva inmediata. Debemos buscar un cambio de variable que transforme
la integral en una integral inmediata o composición de funciones.
Entonces,
dx = g ′(t )dt
x = g (t )
para el cambio,
∫ f ( x )dx = ∫ f ( g (t )) g ′(t )dt
Más adelante estudiaremos algunos cambios específicos.
2. - Integración por partes
Se basa en la derivada de un producto.
u = u(x )
y
v = v (x )
entonces
(uv )′ = u′v + uv ′ . Integrando en ambos lados de la igualdad
Sean
obtenemos
uv = ∫ u ′vdx + ∫ uv ′dx .
Por tanto,
∫ uv′dx = uv − ∫ u′vdx
Ejemplos:
u = x → du = dx

∫ xe dx = dv = e dx → v = e  = xe − ∫ e dx = xe − e + C = e ( x − 1) + C
x
x
x
x
x
x
x
x
dx 

u
=
ln
x
→
du
=
x  = x ln x − ∫ dx = x ln x − x + C = x (ln x − 1) + C
∫ ln xdx = 

 dv = dx → v = x 
3. - Integración de funciones trigonométricas:
Realización de cambios basados en las identidades trigonométricas:
Resultan:
1
(1 − cos( 2 x ))
2
1
cos 2 x = (1 + cos( 2 x ))
2
2
 x
cos  =
1 + cos x
 2
2
1 − cos x
 x
tg  =
 2
1 + cos x
sen 2 x =
sen x + cos x = 1
2
2
cos( 2 x ) = cos 2 x − sen 2 x
sen( 2 x ) = 2 sen x cos x
2
 x
sen   =
1 − cos x
 2
2
sen( x + y ) = sen x cos y + cos x sen y
cos( x + y ) = cos x cos y − sen x sen y
2 sen x cos y = sen( x + y ) + sen( x − y )
2 cos x cos y = cos( x + y ) + cos( x − y )
2 sen x sen y = − cos( x + y ) + cos( x − y )
Ejemplos:
i) ∫ sen 2 xdx =
1
1
1
1
1

(1 − cos( 2 x ))dx = ∫ dx − ∫ cos( 2 x )dx =  x − sen( 2 x ) + C
∫

2
2
2
2
2
ii) ∫ sen( 4 x ) cos( 2 x )dx =
1
11
1

(sen( 6 x ) + sen( 2 x ))dx =  ( − cos( 6 x )) + ( − cos( 2 x )) + C
∫

2
26
2
1
4
iii) ∫ cos x sen 3 xdx = ∫ sen 3 x (sen x )′dx = sen 4 x + C
∫ sen x cos xdx = ∫ sen x cos x sen xdx = − ∫ (1 − cos x ) cos x(cos x )′ dx =
5
iv)
4
2
2
1
2
2
2
1
∫ (1 − 2 cos x + cos x ) cos x(cos x )′ dx = 3 cos x − 5 cos x + 7 cos x + C
2
4
1
2
3
1
5
7
∫ sen x cos xdx = 4 ∫ (1 − cos( 2 x ))(1 + cos( 2 x ))dx = 4 ∫ (1 − cos (2 x ))dx =
2
v)
2
=
2
2
1
1
1
1
1
1
1
dx − ∫ 1 + cos( 4 x )dx = x − x − sen( 4 x ) = x − sen( 4 x ) + C
∫
4
8
4
8
32
4
32
dx
dx
dx
sen 2 x + cos 2 x
vi) ∫ 2
=∫
dx = ∫
+∫
= tg x − cot x + C
2
2
2
2
sen x cos x
sen x cos x
cos x
sen 2 x
5. - Integración de funciones hiperbólicas:
Son integrales del tipo ∫ R(senh x, cosh x )dx y se resuelven de alguna de
las siguientes formas:
e x − e− x
e x + e− x
; cosh x =
1) Teniendo en cuenta la definición: senh x =
2
2
2) Teniendo en cuenta las relaciones:
cosh 2 x − senh 2 x = 1
senh( 2 x ) = 2 senh x cosh x
cosh( 2 x ) = senh 2 x + cosh 2 x
1
2
1
2
de donde se deduce: senh 2 x = (cosh( 2 x ) − 1); cosh 2 x = (cosh( 2 x ) + 1)
2
Ejemplo:
1
∫ cosh xdx = 2 ∫ (cosh(2 x ) + 1)dx,
1
1
∫ cosh xdx = 4 ∫ ( e + e ) dx = 4 ∫ (e + e
2
x
−x 2
2x
−2 x
+ 2)dx
6. - Integración de funciones irracionales:
p1
pk


q1
qk
+
ax
+
b
ax
b





1) Integrales del tipo ∫ R x, 
 dx
 ,..., 
 cx + d  
  cx + d 


donde a, b, c, d ∈ R y
p1
p
,..., k son funciones irreducibles.
q1
qk
Consideramos el cambio: t n =
Ejemplos:
ax + b
donde n = m. c. m.( q1 ,..., qk )
cx + d
i) ∫
6
x
x+ x
3
2
dx = ∫
x
1
6
1
2
x +x
dx como m.c.m.(6,2,3)=6
2
3
cambio t 6 = x
1
ii) ∫
2x
 2x  2
dx = ∫ 
 dx
 x + 1
x +1
cambio t 2 =
2x
x +1
2) Integrales del tipo:
∫ R( x, a − x )dx
∫ R( x, a + x )dx
∫ R( x, x − a )dx
cambio: x = a sen t
cambio: x = a senh t
cambio: x = a cosh t
dx = a cos tdt
dx = a cosh tdt
dx = a senh tdt
queda una trigonométrica.
queda una hiperbólica.
queda una hiperbólica.
2
2
2
2
2
Ejemplos:
(a ) I = ∫
 x = 2 sen t 
4 − x2
cos 2 t
1 − sen 2 t
=
=
dx
=
dt
 dx = 2 cos tdt  ∫ sen 2 t
∫ sen 2 t dt =
x2


x
x
− cot t − t + C = − cot(arcsen( )) − arcsen( ) + C
2
2
 x = cosh t 
1
2
dx
=
=
cosh
tdt
=
(cosh( 2t ) + 1)dt =


∫
2∫
x2 −1
 dx = senh tdt 
1 1
1
1
( senh( 2t ) + t ) + C = senh( 2 arccos hx ) + arccos hx + C
2 2
4
2
( b) I = ∫
x2
2