Distribución
𝑝(𝑥) = (𝑛𝑥)𝑝 𝑥 (1 − 𝑝)𝑛−𝑥 , 𝑥 = 0,1, … 𝑛
Donde:
𝑛 = Es el numero de ensayos
𝑥 = Es el numero de éxitos
𝑝 = Probabilidad de éxito de cada
ensayo
Media: 𝑛𝑝
Varianza: 𝑛𝑝(1 − 𝑝)
•
•
•
•
•
•
•
•
Distribuciones Discretas
Características
Binomial
Los resultados de la variable
aleatoria se pueden agrupar en 2
clases o categorías
Solo existen 2 resultados para un
ensayo particular de un
experimento
Las variables con resultados
múltiples pueden ser tratadas
como binomiales cuando solo uno
de los resultados es de interés
Las 2 categorías se les conoce
normalmente como éxito y fracaso
Sirve para determinar la
probabilidad de cierto número de
resultados satisfactorios en un
numero de observaciones
Los datos de la muestra se
extraen con reemplazo para una
población finita o sin reemplazo
para una población infinita
La probabilidad de éxito debe
permanecer igual en cada ensayo
Los sucesos son mutuamente
excluyentes y colectivamente
exhaustivos
Ejemplo
Se sabe que los tornillos producidos por
cierta empresa serán defectuosos con
probabilidad . 01, independientemente
uno del otro. La empresa vende los
tornillos en paquetes de 10 y ofrece una
garantía de devolución de dinero de que,
como máximo, 1 de los 10 tornillos está
defectuoso. ¿Qué proporción de los
paquetes vendidos debe reponer la
empresa?
Solución: Si 𝑋 es el número de tornillos
defectuosos en un paquete, entonces 𝑋
es una binomial con parámetros (10, .01).
Por lo tanto, la probabilidad de que un
paquete tendrá que ser reemplazado es:
1 − 𝑃(𝑋 = 0) − 𝑃(𝑋 = 1)
10
= 1 − ( ) (. 01)0 (. 99)10
0
10
− ( ) (. 01)1 (. 99)9 ≈ .004
1
Por lo tanto, solo 0.4 paquetes serán
reemplazados.
•
𝑝(𝑥) = 𝑝(1 − 𝑝)𝑥−1 ,
𝑥 = 1,2, …
•
Donde:
Media:
1
𝑝
Varianza:
1−𝑝
𝑝2
•
•
•
•
N−s
(xs)(N−x
)
p(x)=
(N
)
n
•
•
Donde:
𝑁 = Tamaño de la población
𝑠 = Es el número de éxitos en la
población
Geométrica
Implica ensayos idénticos e
independientes
Cada uno de los cuales puede
resultar en uno de dos resultados:
éxito o fracaso.
La probabilidad de éxito es igual a
p y es constante de prueba a
prueba
La variable aleatoria geométrica 𝑋
es el número del ensayo en el que
se produce el primer éxito.
El experimento consiste en una
serie de ensayos que concluyen
con el primer éxito.
Y podría terminar con la primera
prueba si un el éxito se observa
en la primera prueba, o el
experimento podría continuar
indefinidamente.
Hipergeométrica
Busca el número de éxitos en una
muestra que contenga n
observaciones
Los datos de la muestra se
extraen sin reemplazo de una
población finita
Suponga que la probabilidad de un mal
funcionamiento de un motor durante
cualquier período de una hora es 𝑝 =
0,02. Encuentre la probabilidad de que un
motor dado sobreviva dos horas.
Solución: Si 𝑋 denota el número de
intervalos de una hora hasta el primer
mal funcionamiento, tenemos
𝑃(𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒𝑣𝑖𝑣𝑖𝑟 𝑑𝑜𝑠 ℎ𝑟𝑠) = 𝑃(𝑋 ≥ 3)
∞
= ∑ 𝑝(𝑥)
𝑥=3
∞
𝑐𝑜𝑚𝑜 ∑ 𝑝(𝑥) = 1, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠
𝑥=1
2
𝑃(𝑋 ≥ 3) = 1 − ∑ 𝑝(𝑥) = 1 − 𝑝 − 𝑞𝑝
𝑥=1
= 1 − 0.02 − (. 98)(. 02)
= .9604
De un grupo de 20 ingenieros con
doctorado, 10 son seleccionados al azar
para un empleo. ¿Cuál es la probabilidad
de que los 10 seleccionados incluyan a
los 5 mejores ingenieros en el grupo de
20?
𝑥 = Es el número de éxitos que
son de interés (en la muestra).
Puede ser 0,1,2,3,..,n es el
tamaño de la muestra o el número
de ensayos
Media:
•
•
•
La probabilidad de éxito cambiara
en cada ensayo
Tamaño de población pequeño
Que el tamaño de la muestra n
sea mayor 5% de la población N
𝑁𝑠
𝑁
Solución: N=20, n=10, s=5. Buscamos
X=5, donde X es el número de los
mejores ingenieros dentro de los
seleccionados. Entonces
(5)(15)
15!
𝑃(5) = 5 20 5 = (
) = .0162
5! 10!
(10)
Varianza: 𝑛(𝑁𝑠 )(𝑁−𝑠
)(𝑁−𝑛
)
𝑁
𝑁−1
𝑝(𝑥) =
𝜇𝑥
•
𝑥! 𝑒𝜇
•
Donde:
𝜇= es el numero promedio de
ocurrencias (éxitos) durante un
intervalo especifico de tiempo se
puede calcular 𝑛𝑝
𝑒 = es la constante 2.71828 (base
del sistema de logaritmos
naturales)
𝑥 = es el numero de ocurrencias
(éxitos)
La media es igual a la varianza y
su valor es 𝜇
•
Poisson
Forma alternativa de utilizar la
binomial cuando n es muy grande
y 𝑝 es muy pequeña
Ley de los Eventos improbables,
lo que significa que la probabilidad
𝑝 de que ocurra un evento
especifico es muy pequeña
Tiene un solo parámetro
Suponga que el número de errores
tipográficos en una sola página de un
libro tiene una
distribución de Poisson con parámetro
𝜆 = 12. Calcular la probabilidad de que
haya al menos un error en la página.
Solución: Si X denota el número de
errores en la página. Entonces:
1
𝑃(𝑋 ≥ 1) = 1 − 𝑃(𝑋 = 0) = 1 − 𝑒 −2
≈ .393
Distribución
•
𝑓(𝑥) =
−(𝑥−𝜇)2⁄
2𝜎
𝑒
𝜎 √2𝜋
Donde:
Media: 𝜇
Varianza: 𝜎 2
, −∞ ≤ 𝑥 ≤ ∞
•
•
•
•
•
Distribuciones continuas
Características
Normal
La mayoría de las observaciones
tiende a agruparse en el centro,
existen algunas observaciones
que no cumplen con eso y por eso
se forman los extremos
La curva normal tiene forma de
campana
Es simétrica con respecto a la
media de la distribución
Cada distribución normal es
completamente definida por su
media y desviación estándar,
existe una distribución normal
para cada 𝜇 𝑦 𝜎
El área total bajo la curva normal
se considera igual a 1
El área bajo la curva entre dos
puntos es igual a la probabilidad
de que una variable distribuida
normalmente asuma un valor
entre ellos
Ejemplo
Las calificaciones para un examen de
ingreso a la universidad se distribuyen
normalmente con media 75 y desviación
estándar 10. ¿Qué fracción de las
puntuaciones se encuentra entre 80 y
90?
Solución: Estandarizando cada punto:
80 − 75
90 − 75
𝑧1 =
= .5 𝑦 𝑧2 =
= 1.5
10
10
Lo cual significa que el área debajo de la
curva, entre los puntos .5 y 1.5 es
𝐴 = 𝐴(. 5) − 𝐴(1.5) = .3085 − .0668
= .2417
Lo anterior puede verse ejemplificado en
los siguientes gráficos elaborados en la
aplicación Normal Distribution
•
𝑓(𝑥) =
𝑒
−𝑥 2⁄
2
√2𝜋
, 𝑍=
𝑋− 𝜇
𝜎
Normal Estándar
Tiene media igual a cero y
desviación estándar estar igual a
1
Los valores de los pesos de recién nacidos
en un hospital tienen una media de 7.2
libras con una desviación estándar de 0.6.
¿Cuál es la probabilidad de que un bebé
pese más de 9 libras?
Donde:
Z = Es el número de desviaciones
estándar a las que se encuentra el
valor de interés a partir de la
media
X = Valor de interés
𝜎= Desviacion estándar
𝜇=Media de la distribución normal
Solución:
Queremos saber 𝑃(𝑋 ≥ 9)
Primero se obtiene el valor de Z
𝑋− 𝜇
9 − 7.2
𝑍=
=
= 3
𝜎
0.6
El valor de tabla para Z=3 es de 0.4987
Entonces, 𝑃(𝑋 ≥ 9) = 0.4987 = 49.87%
Pero considerando que Z = 3 se encuentra
en la cola derecha de la distribución se
utiliza el siguiente cálculo para hallar la
verdadera probabilidad
𝑃(Z = 3) = 50% − 49.87% = 0.13%
Es decir, que la probabilidad de que un
recién nacido pese 9 o más libras es de
0.13%
Para ejemplifica esto se utilizó la
aplicación Normal Distribution, obteniendo
el siguiente gráfico:
𝑥̅ − 𝜇
𝑡= 𝑠
⁄ 𝑛
√
•
•
•
•
•
t-student
El tamaño de la muestra no es tan
grande
No es posible conocer el valor de
la desviación estándar poblacional
Es una distribución continua
Es acampanada y simétrica
suponiendo que la población de
interés es normal o casi normal
Hay una distribución t para cada
tamaño de muestra
Una empresa que fabrica juguetes
electrónicos afirma que las baterías que
utiliza en sus productos duran un
promedio de 30 horas. Para mantener
este promedio se prueban 16 baterías
cada mes, si el valor t calculado cae entre
t -0.025 y t 0.025 , la empresa queda
satisfecha con su afirmación. Considérese
que la distribución de las duraciones de las
baterías se aproxima a una normal.
¿Qué se puede concluir a partir de una
muestra que tiene una media de 27.5
horas y una desviación estándar de la
muestra de 5 horas?
Solución:
Primero debe obtenerse el estadístico de
la muestra
𝑥̅ − 𝜇
27.5 − 30
t = 𝑠
=
= -2
5⁄
⁄ 𝑛
√
√16
Consultando ahora la tabla de
distribución, con este dato obtenido, se
puede verificar que el estadístico de
prueba tiene el valor de 2.131.
Por lo que se puede concluir que,
efectivamente la media es 30, por lo que
la empresa está en lo correcto.
1 −𝑥
𝑒 𝛽,
0≤𝑥<∞
𝑓(𝑥) = {𝛽
0, 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜
•
•
Donde:
Media: 𝛽
Varianza:𝛽 2
•
Exponencial
Esta distribución es un caso
particular de la distribución
Gamma
Dentro de la distribución Gamma,
cuando 𝛼 = 1, entonces tenemos
la distribución exponencial
Esta distribución se utiliza para
modelar el tiempo de vida de
componentes electrónicos
Suponga que la duración de una llamada
telefónica en minutos se distribuye de
forma exponencial con parámetro 𝛽 =
1
. Si alguien llega inmediatamente
10
antes que usted a un lugar público
(cabina telefónica de calle), encuentre la
probabilidad de que tenga que esperar
más de 10 minutos.
Solución. Sea X la duración de la llamada
de la persona. Entonces buscamos
P(X>10)
𝑃(𝑋 > 10) = 1 − 𝑓(10) = 𝑒 −1 ≈ .368
Referencias
Asesorías, E. [EmmanuelAsesorías]. (2021, May 24). DISTRIBUCION NORMAL ESTANDAR | Ejercicios resueltos paso a paso de
Probabilidad. Youtube. https://www.youtube.com/watch?v=G3tPX3dZokk
Ingeniero, T. A. [TuAmigoIngeniero]. (2018, February 8). T de Student (Ejercicio). Youtube.
https://www.youtube.com/watch?v=vNnakZ5oJTc
Mendenhall, W., Wackerly, D.D., Scheaffer, R.L. (2008) Mathematical Statistics with Applications. 7th Edition, Thomson Learning,
Inc., USA.
Normal Distribution Applet/Calculator. (n.d.). Uiowa.edu. Retrieved August 1, 2022, from
https://homepage.divms.uiowa.edu/~mbognar/applets/normal.html
Ross, S. M. (2014). A first course in probability. 9th Edition, Upper Saddle River, N.J: Pearson Prentice Hall.