DISTRIBUCIONES DE
PROBABILIDAD
DISTRIBUCIONES DISCRETAS
• Distribución de probabilidad binomial
• Distribución de probabilidad hipergeométrica
• Distribución de probabilidad Poisson
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
• Esta distribución calcula las probabilidades de cualquier proceso binomial.
• Un proceso binomial, es aquel caso en el que:
• Solo hay dos resultados posibles en cualquier repetición: éxito y fracaso ,
éxito: es la característica de interés.
• La probabilidad de éxito (p) es constante en cada repetición
• Las repeticiones son independientes entre ellas.
• Estamos interesados en el numero de éxitos (x) en las n repeticiones (x:0,1,…n)
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD
BINOMIAL
• Fórmula binomial
𝑛 𝑥 𝑛−𝑥
• 𝑏 𝑥 =
𝑝 𝑞
= nCx 𝑝 𝑥 𝑞 𝑛−𝑥
𝑥
• Donde:
n: numero de repeticiones del experimento
•
x: numero de éxitos en la n repeticiones (0,1,2,…n)
•
p:probabilidad de éxito en una repetición
•
q: probabilidad de fracaso en una repetición q=1-p
• Parámetros: E(x) = np
• V(x)=npq
(media)
(Varianza)
EJEMPLO
• Si lanzamos una moneda tres veces, cual es la probabilidad de obtener 2 caras.
• Éxito: numero de caras
• 𝑏 𝑥 =
n=3
éxito: cara
x=2 caras
𝑛 𝑥 𝑛−𝑥
3
𝑝 𝑞
=
0.52 0.53−2 =0.375
𝑥
2
• E(np)=3(.5)=1.5
V(x)=npq=3(.5)(.5)=0.75
• Ccc ccs csc scc sss ssc scs css
•
p=0.5
x: 0
p(x)
1
1/8 3/8
2
3/8
3
1/8
EJEMPLO
Una máquina empaquetadora produce 12% de paquetes defectuosos. Se extrae
una muestra aleatoria de 8 paquetes. Calcular:
A) La media y la desviación estándar de la distribución
B) La probabilidad de obtener 3 éxitos
C) Una persona comprará un lote de 2mil paquetes si la muestra tiene a lo más 2
defectuosos. Cuál es la probabilidad de que haga la compra.
SOLUCION: n=8
p=0.12 q=0.88
a)
E(x)=np=8*0.12=0.96
V(x)=npq=8*0.12*0.88=0.8448
b)
P(3)=8C3*0.12**3*0.88**5=0.05
c)
P(x<=2)=P(x=0)+P(x=1)+P(x=2)=0,93921
DE(x)=0.919
DISTRIBUCIONES CONTINUAS
• Distribución normal
• Distribución normal estándar
DISTRIBUCION NORMAL
• La distribución normal es, la más importante de todas las distribuciones de probabilidad . Es
una distribución de variable continua.
• Su función de distribución es:
• 𝑓 𝑥 =
1 𝑥−𝜇 2
1
− (
)
2 𝜎
𝑒
𝜎 2𝜋
−∞ < 𝑥 < ∞
• Sus parámetros son:
• 𝐸 𝑥 = 𝜇
Media aritmética
• 𝑉 𝑥 = 𝜎2
Varianza
• 𝐷𝐸 𝑥 = 𝜎 2 = 𝜎
Desviación estándar
CARACTERÍSTICAS DE LA GRAFICA
• Tiene forma de campana
• El área bajo la curva es igual a UNO
• Es simétrica con respecto a la media
• P(x>U)=P(x<U)=0.5
• Para hallar probabilidades deberíamos debemos
calcular área usando integrales.
𝑏
• 𝑃 𝑎 < 𝑥 < 𝑏 = ‫𝑥𝑑 𝑥 𝑓 𝑎׬‬
• Esta distribución ya esta tabulada para valores estandar
DISTRIBUCION NORMAL ESTANDAR
• Para facilitar el calculo de probabilidades de variables que tienen distribución normal se estandarizan los
valores y con ellos se calculan las áreas que ya están tabuladas para valores estandarizados.
• Se usa la siguiente formula
•
𝑍=
𝑥−𝜇
𝜎
• Para calcular la probabilidad
𝑃(𝑥 > 𝑥0)= 𝑃(𝑧 > 𝑧𝑜)
• Parámetros
𝐸 𝑧 =0
Media aritmética
•
𝑉 𝑧 =1
Varianza
luego de estandarizar el valor de Xo.
EJEMPLO
• Si la estatura de los alumnos de la FCEAC tiene distribución normal con media 1.58m y desviación
estándar 0.09m. Si se elige un alumno al azar, calcular la probabilidad que tenga una estatura:
• DATOS
U=1.58m
DE=0.09m
• A) mayor que 1.58m
• B) menor que 1.58
• C) menor a 1.65 m
•
P(x<1.65)
estandarizamos 1.65
• Tendremos la probabilidad
Z=(1.65-1.58)/0.09=0.78
P(x<1.65)=P(z<0.78)=0.7823 (tabla)
USO DEL APLICATIVO PROBABILITY DISTRIBUTIONS
DISTRIBUCIÓN
NORMAL ESTÁNDAR
• Primera columna: entero y primer decima.
• Primera fila: segundo decimal
• Para z=1,27 ir a la fila de 1.2 y a la columna
0.07 y anotar el valor del área igual a 0.8980
• Esta tabla proporciona el área a la izquierda de Z
cuyo valor mínimo es 0.00
EJERCICIOS
1. El peso de los 9500 estudiantes de la UNSCH tiene distribución normal con media de 55
kg y desviación estándar de 4.7 kg.
Si se elige un alumno al zar, cuál es la probabilidad que:
a)
Pese más de 55kg
b) Pese a lo mas 59.7kg
c)
Pese al menos 50.3kg
d) Pese entre 59.7 y 50.3 kg
CONTINUA…
e) Pese al menos 47kg o a lo mas 64kg
f) Peso a lo mas 47 o al menos 63kg
g) Cual es el peso mínimo del 2.5% de estudiantes de mayor peso
h) Cual es el peso mínimo del 5% de estudiantes de mayor peso
i) Cual es el pero mínimo del tercio superior (los de mas peso)
j) Cual es el peso máximo del tercio inferior.
VALORES USUALES DE Z
α
Z
0.025 (2.5%)
1.96
0.05
(5%)
1.645
•FIN