Giảng viên ra đề:
Người phê duyệt:
TS. Huỳnh Thị Hồng Diễm
TS. Nguyễn Tiến Dũng
Học kỳ/ Năm học
THI CUỐI KỲ
TRƯỜNG ĐH BÁCH KHOA
Ngày thi
I
2022 - 2023
26/12/2022
Môn học
Giải tích 1
ĐHQG-HCM
Mã môn học
MT1011
KHOA KHUD
Thời lượng
100 phút
Mã đề
Ghi chú: - Đề thi gồm 05 câu trên 01 tờ giấy thi
- Không được sử dụng tài liệu
- Nộp lại đề thi cùng với bài làm.
Câu hỏi 1) (L.O.0.2): Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
1
y = (1 + x) x
Câu hỏi 2) (L.O.0.1): a) Tính thể tích của khối vật thể tròn xoay được tạo nên
khi quay miền phẳng được giới hạn bởi
1
D : y = (1 + x) x , 0 ≤ x ≤ 10, y = 0
quay quanh Ox.
b) Tính thể tích của khối vật thể được tạo nên khi quay miền phẳng
1
D : y = (1 + x) x , 0 ≤ x ≤ 10, y = 0
quay quanh Oy.
Z+∞
Câu hỏi 3) (L.O.0.3): a) Tính tích phân suy rộng
1
Z+∞
b) Khảo sát sự hội tụ của tích phân
Zx
Câu hỏi 4) (L.O.0.4): Giả sử
1
dx
√
.
x 1 + x5 + x10
ln xdx
√
.
x x2 − 1
f (t)dt = xf (θx). Tìm θ nếu f (t) = tn (n > 1).
0
Câu hỏi 5) (L.O.0.2): Giải các phương trình vi phân sau:
a) y 0 + y cot x = y 4 sin x.
b) y 00 − 2y 0 + y = 2ex .
— HẾT —
MSSV: ........................ Họ và tên SV:........................................
Đáp án
1
Câu 1. (2.0 đ) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = (1 + x) x
TXĐ:x> −1, x 6= 0.
(0.25
đ)
ln(1
+
x)
ln(1
+
x)
1
1
1
y0 = y
−
= (1 + x) x
−
(0.25 đ)
x(x + 1)
x2
x(x + 1)
x2
Sinh viên có thể làm nhiều cách để chứng tỏ hàm số luôn giảm trên TXĐ, làm đúng
sinh viên được (0.5 đ). Sau đây là một cách gợi ý.
∀x > −1, x 6= 0
1
ln(1
+
x)
x
< ln(1 + x) < x ⇒ y 0 = y
−
< 0.
1+x
x(x + 1)
x2
Tiệm cận (Xác định đúng mỗi tiệm cận được (0.25 đ))
lim y = ∞ ⇒ Tiệm cận đứng x = −1
(0.25 đ)
x→−1+
lim y = e ⇒ Không có tiệm cận khi x → 0.
x→0
lim y = 1 ⇒ Tiệm cận ngang y = 1
x→+∞
(0.25 đ)
(0.5 đ)
Vẽ đúng đồ thị được
Câu 2. (2.0 đ)
a) Vx = π
Z10 h
(1 + x)
1
x
i2
dx = 78.1488
(1.0 đ)
x(1 + x) x dx = 483.054
(1.0 đ)
0
Z10
b) Vy = 2π
1
0
MSSV: ........................ Họ và tên SV:........................................
Câu 3. (3.0 đ)
1
Z+∞
Z+∞
d
dx
1
x5
√
s a)
=−
2
5
x 1 + x5 + x10
1
1
1
1
+1
+
x5
x5
1
2x5
1
2
√
= ln
|+∞
= ln 1 + √
5
10
5
5 2+x +2 x +x +1 1
5
3
Z2
b) I =
1
Z2
I1 =
1
ln x
√
dx +
x x2 − 1
Z+∞
2
(0.5 đ)
(0.5 đ)
ln x
√
dx = I1 + I2
x x2 − 1
ln x
√
dx
x x2 − 1
ln x
x−1
1
Xét f (x) = √
, khi x → 1 ⇒ f (x) ∼ √
=√
x−1
2(x − 1)−1/2
x x2 − 1
1
α = − < 1 ⇒ I1 hội tụ
2
Z+∞
I2 =
2
(1.0 đ)
ln x
√
dx
x x2 − 1
ln x
1
Xét f (x) = √
, g(x) = 3/2 ,
x
x x2 − 1
f (x)
Ta có lim
= 0 mà
x→+∞ g(x)
Z+∞
g(x)dx hội tụ
2
⇒ I2 hội tụ ⇒ I hội tụ.
(1.0 đ).
Câu 4. (1.0 đ)
Zx
1 n+1 x xn+1
t dt =
t
|0 =
n+1
n+1
n
(0.5 đ)
0
1 n+1
1 n+1
t
= x.(θx)n ⇔
t
= θn .xn+1 .
n+1
n+1
MSSV: ........................ Họ và tên SV:........................................
r
1
1
⇔θ= n
⇔ θn =
n+1
n+1
(0.5 đ)
Câu 5. (2.0 đ)
a) y 0 + y cot x = y 4 sin x
Đặt z = y
−3
3y 0
⇒z =− 4
y
0
⇒ z 0 − 3z cot x = −3 sin x
(0.5 đ)
13
⇒ z = (3 cot x + C) sin x ⇒ y =
sin x
3
r
1
3 cot x + C
(0.5 đ)
b) y 00 − 2y 0 + y = 2ex
PTĐT k 2 − 2k + 1 = 0 ⇔ k = 1 (nghiệm kép)
y0 = C1 ex + C2 xex
(0.5 đ)
f (x) = 2ex , α1, β = 0, ⇒ α ± iβ = 1, s = 0
Nghiệm riêng yr = x2 .A.ex ⇒ yr0 = Aex (2x + x2 ), yr00 = Aex (x2 + 4x + 2).
⇒ Aex (x2 + 4x + 2) − 2Aex (2x + x2 ) + x2 .A.ex = 2ex
⇔ A = 1 ⇒ yr = x2 ex
Nghiêmh TQ là:
y = C1 ex + C2 xex + x2 ex = ex (C1 + xC2 + x2 ).
(0.5 đ)
——Hết——
MSSV: ........................ Họ và tên SV:........................................