Cinética de cuerpos rígidos
Energía y cantidad de movimiento
Mecánica Dinámica
Gerardo Chang
Basado en el libro Mecánica vectorial para ingenieros de Beer et al.
Ingeniería Civil
1
Métodos de energía para un cuerpo rígido
I.
II.
III.
Contenido
IV.
V.
VI.
Principio de trabajo y energía
Trabajo de las fuerzas actuando sobre un cuerpo
rígido
Energía cinética de un cuerpo rígido en movimiento
plano
Sistemas de cuerpos rígidos
Conservación de la energía
Potencia
Método de momentun para un cuerpo rígido
VII.
VIII.
Principio de impulso y cantidad de movimiento
Sistemas de cuerpos rígidos
Conservación del momentun angular
Impacto excéntrico
Universidad de Piura
3
METODOS DE ENERGIA PARA UN CUERPO RIGIDO
Universidad de Piura
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Principio de Trabajo y Energía
o
El trabajo y la energía cinética son magnitudes escalares.
o
Supongamos que el cuerpo rígido está formado por un gran número de partículas.
𝑇 +𝑈 → =𝑇
𝑇 , 𝑇 = Energía cinética total inicial y final de las partículas que forman el cuerpo
𝑈 → = Trabajo total de las fuerzas internas y externas que actúan sobre las partículas del cuerpo.
o
Las fuerzas internas entre las partículas A y B son
iguales y opuestas.
o
Por lo tanto, el trabajo neto de las fuerzas internas
es cero.
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7
Trabajo de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido
o
Trabajo de una fuerza durante el desplazamiento de
su punto de aplicación,
𝑈→ =
o
𝐅 ⋅ 𝑑𝐫 =
𝐹 cos 𝛼 𝑑𝑠
Consideremos el trabajo neto de dos fuerzas 𝐅 y − 𝐅
formando un par de momentos 𝐌 durante el
desplazamiento de sus puntos de aplicación
𝑑𝑈 = 𝐅 ⋅ 𝑑𝐫 − 𝐅 ⋅ 𝑑𝐫 + 𝐅 ⋅ 𝑑𝐫
= 𝐹𝑑𝑠 = 𝐹𝑟𝑑𝜃
= 𝑀𝑑𝜃
𝑈 → = ∫ 𝑀𝑑𝜃
Si M es constante 𝑈 → = 𝑀 𝜃 − 𝜃
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8
Energía cinética de un cuerpo rígido en movimiento plano
o
Consideremos un cuerpo rígido de masa m en
movimiento plano que consta de partículas
individuales i. La energía cinética del cuerpo se
puede expresar como:
1
1
𝑇 = 𝑚𝑣̄ +
Δ𝑚 𝑣
2
2
1
1
𝑚𝑣̄ +
𝑟 Δ𝑚 𝜔
2
2
1
1
= 𝑚𝑣̄ + 𝐼 𝜔
2
2
La energía cinética de un cuerpo rígido se puede
separar en:
• la energía cinética asociada con el movimiento del
=
o
centro de masa G y
• la energía cinética asociada con la rotación del
cuerpo alrededor de G.
• 𝑇 = 𝑚𝑣̄ + 𝐼 𝜔
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9
Traslación + Rotación
Energía cinética de un cuerpo rígido en movimiento plano
o
Considere un cuerpo rígido que gira alrededor de
un eje fijo a través de O
1
1
𝑇=
Δ𝑚 𝑣 =
Δ𝑚 𝑟 𝜔
2
2
=
1
2
𝑟 Δ𝑚
=
o
o
𝜔
1
𝐼 𝜔
2
Esto equivale a usar:
1
1
𝑇 = 𝑚𝑣̄ + 𝐼 𝜔
2
2
Recuerde usar solo
𝑇= 𝐼 𝜔
cuando O es un eje fijo de rotación
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10
Sistemas de Cuerpos Rígidos
o
o
Para problemas que involucran sistemas que constan de varios cuerpos rígidos, el principio de trabajo y
energía se puede aplicar a cada cuerpo.
También podemos aplicar el principio del trabajo y la energía a todo el sistema
𝑇 +𝑈 → =𝑇
T1,T2 = suma aritmética de las energías cinéticas de todos los cuerpos que forman el sistema
U1→ 2 = trabajo de todas las fuerzas que actúan sobre los diversos cuerpos, ya sean estas fuerzas internas o
externas al sistema en su conjunto.
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11
Conservación de la energía
o
o
Expresando el trabajo de las fuerzas conservadoras • masa m
como un cambio en la energía potencial, el principio • Liberado con velocidad cero
del trabajo y la energía se convierte en
• determine 𝜔
𝑇 +𝑉 =𝑇 +𝑉
Consideremos la vara delgada de masa m.
𝑇 = 0, 𝑉 = 0
1
1
𝑇 = 𝑚𝑣̄ + 𝐼 𝜔
2
2
1
1
1 1
1 𝑚𝑙
= 𝑚 𝑙𝜔 +
𝑚𝑙 𝜔 =
𝜔
2
2
2 12
2 3
1
1
𝑉 = − 𝑊𝑙 sin 𝜃 = − 𝑚𝑔𝑙 sin 𝜃
2
2
𝑇 +𝑉 =𝑇 +𝑉
1 𝑚𝑙
1
0=
𝜔 − 𝑚𝑔𝑙 sin 𝜃
2 3
2
3𝑔
𝜔=
sin 𝜃
𝑙
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13
Potencia
Potencia = velocidad a la que se realiza el trabajo
o
o
Para un cuerpo sobre el que actúa la fuerza 𝐅 y que
se mueve con velocidad 𝐯,
𝑑𝑈
Potencia =
=𝐅⋅𝐯
𝑑𝑡
Para un cuerpo rígido que gira con una velocidad
angular 𝜔 y bajo la acción de un par de momentos
𝐌 paralelo al eje de rotación,
𝑑𝑈 𝑀𝑑𝜃
Potencia =
=
= 𝑀𝜔
𝑑𝑡
𝑑𝑡
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14
Ejemplo
o
Para el tambor y el volante de inercia, 𝐼 = 10.5lb ⋅
ft ⋅ s .
o
La fricción del rodamiento es equivalente a un par
de 60 lb • ft. En el instante mostrado, el bloque se
mueve hacia abajo a 6 pies/s.
o
Determine la velocidad del bloque después de que
se haya movido 4 pies hacia abajo.
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Ejemplo
o
El sistema está en reposo cuando un momento de
M=6 N · m se aplica al engranaje B.
o
Despreciando la fricción, determine
o
a) el número de revoluciones del engranaje B antes
de que su velocidad angular alcance las 600 rpm, y
o
b) la fuerza tangencial ejercida por el engranaje B
sobre el engranaje A.
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16
Ejemplo
o
o
Una esfera, un cilindro y un aro, cada uno con la
misma masa y radio, se liberan del reposo en una
pendiente.
Determine la velocidad de cada cuerpo después de
haber rodado a través de una distancia
correspondiente a un cambio de elevación h.
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17
Ejemplo
o
Una varilla delgada de 30 libras pivota alrededor del
punto O. El otro extremo se presiona contra un
resorte (k = 1800 lb / in) hasta que el resorte se
comprime una pulgada y la varilla está en posición
horizontal.
o
Si la varilla se suelta de esta posición, determine su
velocidad angular y la reacción en el pivote a
medida que la varilla pasa por una posición vertical.
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18
Ejemplo
o
Cada una de las dos varillas delgadas tiene una
masa de 6 kg. El sistema se libera del reposo con
𝛽 = 60∘ . Determine
a) La velocidad angular en 𝛽 = 20∘ , y
b) la velocidad del punto D en el mismo instante.
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19
Ejercicios
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21
Método de momentun para un cuerpo rígido
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22
Impulso angular Momentum
Cuando dos cuerpos rígidos colisionan, normalmente usamos los principios del momento de impulso angular. A
menudo también usamos el momento lineal del impulso (como lo hicimos para las partículas).
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23
Principio de Impulso y Momentum
o
Muy adecuado para la solución de problemas que involucran tiempo y velocidad
o
El único método practicable para los problemas que involucran movimientos impulsivos e
impactos.
Sist Momenta1 + Sist Ext Imp1 to 2 = Sist Momenta2
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25
Principio de Impulso y Momentum
o
o
Los momentos de las partículas de un sistema pueden reducirse a un vector unido al centro de masa igual a su
suma,
𝐋 = ∑ 𝐯 Δ𝑚 = 𝑚𝐯
y un par igual a la suma de sus momentos sobre el centro de masas,
𝐇 =
o
Para el movimiento plano de un cuerpo rígido simétrico con respecto al plano de referencia,
𝐇 = 𝐼𝛚
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26
𝐫 × 𝐯 ∆𝑚
Principio de Impulso y Momentum
o
Para problemas de movimiento plano, dibuje un diagrama de impulso-momento (similar a un diagrama de
cuerpo libre).
o
Esto conduce a tres ecuaciones de movimiento:
• sumando e igualando momentos e impulsos en las direcciones x e y.
• sumando e igualando los momentos de los momentos e impulsos con respecto a cualquier punto dado (a
menudo elija G).
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Diagramas de momento y momento
o
Una esfera S golpea una barra estacionaria AB y se
adhiere a ella. Dibuja el diagrama de impulsomomento para la bola y la barra por separado; El
tiempo 1 es inmediatamente antes del impacto y el
tiempo 2 es inmediatamente después del impacto.
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28
Impulse Momentum Diagrams
Momentum de la pelota
antes del impacto
Impulso en
la pelota
Momentum de la pelota
después del impacto
Momentum de la barra
antes del impacto
Impulso en la
barra
Momentum de la barra
después del impacto
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29
Principio de Impulso y Momentum
Rotación del eje fijo:
o
o
El momento angular alrededor de O
𝐼 𝜔 = 𝐼 𝜔 + 𝑚𝑣̄ 𝑟̄
= 𝐼 𝜔 + 𝑚𝑟̄ 𝜔 𝑟̄
= 𝐼 + 𝑚𝑟̄ 𝜔
Equiparando los momentos del momento y los
impulsos sobre O,
𝐼 𝜔 +
o
Las fuerzas en el punto O ahora no aportan ningún
momento a la ecuación
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30
𝑀 𝑑𝑡 = 𝐼 𝜔
Sistemas de Cuerpos Rígidos
o
o
o
o
El movimiento de varios cuerpos rígidos se puede analizar aplicando el principio de impulso y momento a
cada cuerpo por separado.
Para problemas que involucran no más de tres incógnitas, puede ser conveniente aplicar el principio de
impulso y momento al sistema como un todo.
Para cada parte móvil del sistema, los diagramas de momentos deben incluir un vector de momento y/o un
par de momento.
Las fuerzas internas se producen en pares de vectores iguales y opuestos y generan impulsos que se cancelan.
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31
Práctica – Diagrama para sistema combinado
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32
Conservación del momento angular
o
Los momentos que actúan a través del centro de gravedad de la patinadora son insignificantes, por lo que su
momento angular permanece constante. Puede ajustar su velocidad de giro cambiando su momento de
inercia.
𝐼 𝜔
=
𝐼 𝜔
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Conservation of Angular Momentum
o
Cuando ninguna fuerza externa actúa sobre un cuerpo rígido o un sistema de cuerpos rígidos, el sistema de
momentos a t1 es equipolente al sistema en t2. Se conservan el momento lineal total y el momento angular
alrededor de cualquier punto,
𝐋 =𝐋
𝐇
o
Cuando la suma de los impulsos angulares pasa a través de O, el momento lineal puede no conservarse, pero el
momento angular alrededor de O se conserva,
o
Se pueden escribir dos ecuaciones adicionales sumando las componentes x e y de los momentos y se pueden
usar para determinar dos impulsos lineales desconocidos, como los impulsos de los componentes de la
reacción en un punto fijo.
𝐇
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34
= 𝐇
= 𝐇
Ejemplo
o
El sistema está en reposo cuando se aplica un
momento de M = 6N • m al engranaje B.
Despreciando la fricción, determine
a) el tiempo necesario para que el engranaje B
alcance una velocidad angular de 600 rpm, y
b) la fuerza tangencial ejercida por el engranaje B
sobre el engranaje A.
m A  10 kg k A  200 mm
mB  3 kg
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35
Ejemplo
o
La esfera uniforme de masa m y radio r se proyecta
a lo largo de una superficie horizontal rugosa con
una velocidad linealv̄ y sin velocidad angular. El
coeficiente de fricción cinética es μk. Determine
a) el tiempo t2 en el que la esfera comenzará a
rodar sin deslizarse y
b) las velocidades lineales y angulares de la esfera
en el tiempo t2.
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36
k B  80 mm
Ejemplo
o
o
o
Dos esferas sólidas (radio = 3 pulg., W = 2 lb) están
montadas en una varilla horizontal giratoria I =
0,25 𝑙𝑏 ⋅ 𝑓𝑡 ⋅ 𝑠2, 𝜔 = 6 𝑟𝑎𝑑/𝑠𝑒𝑔) como se muestra.
Las bolas se mantienen unidas por una cuerda que
se corta repentinamente. Determinar
a) velocidad angular de la varilla después de que las
bolas se hayan movido a A y B , y
b) la energía perdida debido al impacto plástico de
las esferas y los topes.
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37
Ejercicios
Universidad de Piura
39
Impacto excéntrico
Universidad de Piura
40
Impacto excéntrico
𝑢
= 𝑢
Período de deformación
Impulso =
𝑅𝑑𝑡
Impulso =
o
El principio de impulso y momento se complementa con
o
Coeficiente de restitución 𝑒 =
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𝑃⃗𝑑𝑡
∫
∫
=
41
Período de restitución
𝑣
𝑣
− 𝑣
− 𝑣
Estas velocidades son para
los puntos de impacto
Ejemplo
o
Una bala de 0,05 libras se dispara en el costado de
un panel cuadrado de 20 libras que inicialmente
está en reposo. Determinar
a) la velocidad angular del panel inmediatamente
después de que la bala se incrusta y
b) la reacción impulsiva en A, suponiendo que la
bala se incrusta en 0,0006 s.
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Ejemplo
o
Una esfera de 2 kg con una velocidad inicial de 5
m/s golpea el extremo inferior de una barra AB de 8
kg. La varilla está articulada en A e inicialmente en
reposo. El coeficiente de restitución entre la varilla
y la esfera es de 0,8.
o
Determinar la velocidad angular de la varilla y la
velocidad de la esfera inmediatamente después del
impacto.
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43
Ejemplo
o
Un paquete cuadrado de masa m se mueve por la
cinta transportadora A con velocidad constante. Al
final del transportador, la esquina del paquete
golpea un soporte rígido en B. El impacto es
perfectamente plástico.
o
Derive una expresión para la velocidad mínima de la
cinta transportadora A para la cual el paquete girará
alrededor de B y alcanzará la cinta transportadora
C.
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