stx
studentereksamen
Matematik A
Mandag den 22. maj 2023
Kl. 9.00-14.00
Opgavesættet er delt i to dele:
Delprøve 1:
2 timer kun med den centralt udmeldte formelsamling,
herunder vedlagte indstiksark til formelsamlingen.
Delprøve 2:
3 timer med alle tilladte hjælpemidler.
Delprøve 1 består af opgave 1-8.
Til delprøve 1 hører et bilag.
Delprøve 2 består af opgave 9-14.
Til delprøve 2 hører et digitalt bilag.
Der gives 10 point for hvert spørgsmål.
Der gives i alt 250 point.
En del af spørgsmålene er knyttet til mindstekravene.
Disse spørgsmål er markeret med grøn farve.
I bedømmelsen af besvarelsen af de enkelte spørgsmål og i helhedsindtrykket vil der blive lagt vægt på,
om eksaminandens tankegang fremgår klart af besvarelsen.
I bedømmelsen af helhedsindtrykket af besvarelsen af de enkelte opgaver lægges særlig vægt på følgende
fire punkter:
Redegørelse og dokumentation for metode
Besvarelsen skal indeholde en redegørelse for den anvendte løsningsstrategi med dokumentation i
form af et passende antal mellemregninger eller matematiske forklaringer på metoden, når et
matematisk værktøjsprogram anvendes.
Figurer, grafer og andre illustrationer
Besvarelsen skal indeholde hensigtsmæssig brug af figurer, grafer og andre illustrationer, og der
skal være tydelige henvisninger til brug af disse i den forklarende tekst.
Notation og layout
Besvarelsen skal i overensstemmelse med god matematisk skik opstilles med hensigtsmæssig brug
af symbolsprog. Hvis der anvendes matematisk notation, der ikke hører til standardviden, skal der
redegøres for betydningen.
Formidling og forklaring
Besvarelsen af rene matematikopgaver skal indeholde en angivelse af givne oplysninger og korte
forklaringer knyttet til den anvendte løsningsstrategi beskrevet med brug af almindelig matematisk
notation.
Besvarelsen af opgaver, der omhandler matematiske modeller, skal indeholde en kort præsentation
af modellens kontekst, herunder betydning af modellens parametre. De enkelte delspørgsmål skal
afsluttes med en præcis konklusion præsenteret i et klart sprog i relation til konteksten.
stx matematik A
22. maj 2023
Delprøve 1 kl. 9.00-11.00
Opgave 1
Funktionerne f og g er givet ved
a) Bestem
Opgave 2
a) Bestem integralet
Opgave 3
a) Løs ligningen
.
Funktionen f er givet ved
.
b) Bestem
Opgave 4
En funktion f er givet ved
a) Gør rede for, at f er en løsning til differentialligningen
b) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P (0, 2) .
Opgave 5
En ellipse er givet ved ligningen
a) Bestem koordinatsættet til hvert af ellipsens brændpunkter.
side 1 af 4
stx matematik A
Opgave 6
Figuren viser banekurven for en vektorfunktion givet ved
a) Bestem t-værdien til hvert af banekurvens to skæringspunkter med
førsteaksen.
side 2 af 4
(2)
1
b) Bestem koordinatsættet til det punkt
på banekurven, hvor den har en
vandret tangent.
Opgave 7
22. maj 2023
(1)
1
(2)
Bilag
vedlagt
A
B
0,1
(1)
1
Figuren viser graferne for tæthedsfunktionerne for to normalfordelinger A og B.
a) Gør for hver af følgende påstande rede for, om den er korrekt.
1. Normalfordeling A og B har samme middelværdi.
2. Normalfordeling A og B har samme spredning.
Benyt bilaget.
Opgave 8
z
Figuren viser grafen for funktionen f givet
ved
.
f
a) Bestem
b) Bestem koordinatsættet til hvert af
skæringspunkterne mellem grafen
for f og x-aksen.
x
Besvarelsen af delprøve 1 afleveres kl. 11.00
y
stx matematik A
22. maj 2023
side 3 af 4
Delprøve 2 kl. 9.00-14.00
Opgave 9
En funktion f af to variable er givet ved
a) Tegn grafen for f i området
Det oplyses, at f har netop ét stationært punkt P.
b) Bestem koordinatsættet til P.
Opgave 10 En funktion f er bestemt ved
a) Løs ligningen
(2)
f
2
M
(1)
2
Figur 1
Figur 2
Grafen for f afgrænser sammen med førsteaksen et område M.
Figur 1 viser en legetøjskegle. I en model kan legetøjskeglen beskrives ved det
om førsteaksen.
omdrejningslegeme, der fremkommer ved, at 𝑀 drejes
I modellen på figur 2 har begge akser enheden cm.
b) Benyt modellen til at bestemme rumfanget af legetøjskeglen.
Opgave 11 I en model kan vægten af en bøffel af racen Murrah beskrives ved differentialligningen
hvor
er bøflens vægt i kg x døgn efter fødslen.
a) Med hvilken hastighed vokser bøflens vægt, når den vejer 100 kg?
Bøflens vægt efter 1 døgn er 59 kg.
b) Bestem en forskrift for f.
Kilde: Classical nonlinear models to describe the growth curve for Murrah buffalo breed.
stx matematik A
22. maj 2023
side 4 af 4
.
Opgave 12 En parabel er givet ved ligningen
a) Gør rede for, at punktet
ligger på parablen.
b) Bestem en ligning for tangenten til parablen i punktet P.
Sølvmyre.
Billedkilde: Harald Wolf
Opgave 13
Kilde: Pfeffer et al.:
”High-speed locomotion in the
Saharan silver ant”
Tabellen viser en række målinger af sammenhørende værdier af fart og skridtlængde for
sølvmyrer i Sahara-ørkenen.
Fart (mm/s)
59
63
782
857
Skridtlængde (mm)
5,3
6,5
19,3
18,2
Hele tabellen med alle 126 datapunkter findes i bilaget: Soelvmyrer.xlsx
I en lineær model kan sammenhængen mellem fart og skridtlængde beskrives ved
hvor x betegner farten (målt i mm/s), og f ( x) betegner skridtlængden (målt i mm).
a) Benyt alle tabellens data til at bestemme en forskrift for f.
b) Gør rede for, at residualerne i modellen med god tilnærmelse er normalfordelte.
Opgave 14 En vektorfunktion
er givet ved
(2)
a) Gør rede for, at punktet D (9, 4)
er et dobbeltpunkt på banekurven.
Figuren viser de to tangentvektorer til
banekurven i punktet D.
D (9, 4)
b) Undersøg, om de to tangentvektorer
1
står vinkelret på hinanden.
c) Bestem koordinatsættet til det punkt
på banekurven, der har den korteste
afstand til O(0,0) .
(1)
1
BILAG
stx matematik A 22. maj 2023
Bilaget indgår i opgavebesvarelsen
Skole
Hold
Navn
Ark nr.
Opgave 7
ID
Antal ark i alt
(2)
A
B
0,1
1
Besvarelsen af delprøve 1 afleveres kl. 11.00
(1)
Tilsynsførende
Indstiksark til formelsamlingen
stx matematik A 22. maj 2023
Den generelle andengradsligning i to variable
F(1)
(2)
r
(1)
Cirkel
Ligning på normalform for cirkel med centrum C (0,0)
og radius r
F(2)
(2)
b
a
(1)
Ellipse
Areal A af ellipse med halvakser a og b
F(3)
Ligning på normalform for ellipse med centrum
C (0,0), den halve storakse a og den halve lilleakse b
F(4)
Koordinatsæt til brændpunkter for ellipse med centrum
C (0,0), den halve storakse a og den halve lilleakse b
F(5)
til ellipsen
Ligning for tangenten i punktet
med centrum C (0,0), den halve storakse a og den halve
lilleakse b
F(6)
og
Indstiksark til formelsamlingen
stx matematik A 22. maj 2023
Ligning på normalform for parabel med ledelinje
F(7)
Koordinatsæt til brændpunkt F for parabel med ledelinje
F(8)
(2)
l
(1)
Parabel
Ligning på normalform for parabel med ledelinje
Koordinatsæt til brændpunkt F for parabel med ledelinje
Ligning for tangenten til parablen med ligningen
i punktet
F(9)
F(10)
F(11)