stx studentereksamen Matematik A Mandag den 22. maj 2023 Kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele: Delprøve 1: 2 timer kun med den centralt udmeldte formelsamling, herunder vedlagte indstiksark til formelsamlingen. Delprøve 2: 3 timer med alle tilladte hjælpemidler. Delprøve 1 består af opgave 1-8. Til delprøve 1 hører et bilag. Delprøve 2 består af opgave 9-14. Til delprøve 2 hører et digitalt bilag. Der gives 10 point for hvert spørgsmål. Der gives i alt 250 point. En del af spørgsmålene er knyttet til mindstekravene. Disse spørgsmål er markeret med grøn farve. I bedømmelsen af besvarelsen af de enkelte spørgsmål og i helhedsindtrykket vil der blive lagt vægt på, om eksaminandens tankegang fremgår klart af besvarelsen. I bedømmelsen af helhedsindtrykket af besvarelsen af de enkelte opgaver lægges særlig vægt på følgende fire punkter: Redegørelse og dokumentation for metode Besvarelsen skal indeholde en redegørelse for den anvendte løsningsstrategi med dokumentation i form af et passende antal mellemregninger eller matematiske forklaringer på metoden, når et matematisk værktøjsprogram anvendes. Figurer, grafer og andre illustrationer Besvarelsen skal indeholde hensigtsmæssig brug af figurer, grafer og andre illustrationer, og der skal være tydelige henvisninger til brug af disse i den forklarende tekst. Notation og layout Besvarelsen skal i overensstemmelse med god matematisk skik opstilles med hensigtsmæssig brug af symbolsprog. Hvis der anvendes matematisk notation, der ikke hører til standardviden, skal der redegøres for betydningen. Formidling og forklaring Besvarelsen af rene matematikopgaver skal indeholde en angivelse af givne oplysninger og korte forklaringer knyttet til den anvendte løsningsstrategi beskrevet med brug af almindelig matematisk notation. Besvarelsen af opgaver, der omhandler matematiske modeller, skal indeholde en kort præsentation af modellens kontekst, herunder betydning af modellens parametre. De enkelte delspørgsmål skal afsluttes med en præcis konklusion præsenteret i et klart sprog i relation til konteksten. stx matematik A 22. maj 2023 Delprøve 1 kl. 9.00-11.00 Opgave 1 Funktionerne f og g er givet ved a) Bestem Opgave 2 a) Bestem integralet Opgave 3 a) Løs ligningen . Funktionen f er givet ved . b) Bestem Opgave 4 En funktion f er givet ved a) Gør rede for, at f er en løsning til differentialligningen b) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P (0, 2) . Opgave 5 En ellipse er givet ved ligningen a) Bestem koordinatsættet til hvert af ellipsens brændpunkter. side 1 af 4 stx matematik A Opgave 6 Figuren viser banekurven for en vektorfunktion givet ved a) Bestem t-værdien til hvert af banekurvens to skæringspunkter med førsteaksen. side 2 af 4 (2) 1 b) Bestem koordinatsættet til det punkt på banekurven, hvor den har en vandret tangent. Opgave 7 22. maj 2023 (1) 1 (2) Bilag vedlagt A B 0,1 (1) 1 Figuren viser graferne for tæthedsfunktionerne for to normalfordelinger A og B. a) Gør for hver af følgende påstande rede for, om den er korrekt. 1. Normalfordeling A og B har samme middelværdi. 2. Normalfordeling A og B har samme spredning. Benyt bilaget. Opgave 8 z Figuren viser grafen for funktionen f givet ved . f a) Bestem b) Bestem koordinatsættet til hvert af skæringspunkterne mellem grafen for f og x-aksen. x Besvarelsen af delprøve 1 afleveres kl. 11.00 y stx matematik A 22. maj 2023 side 3 af 4 Delprøve 2 kl. 9.00-14.00 Opgave 9 En funktion f af to variable er givet ved a) Tegn grafen for f i området Det oplyses, at f har netop ét stationært punkt P. b) Bestem koordinatsættet til P. Opgave 10 En funktion f er bestemt ved a) Løs ligningen (2) f 2 M (1) 2 Figur 1 Figur 2 Grafen for f afgrænser sammen med førsteaksen et område M. Figur 1 viser en legetøjskegle. I en model kan legetøjskeglen beskrives ved det om førsteaksen. omdrejningslegeme, der fremkommer ved, at 𝑀 drejes I modellen på figur 2 har begge akser enheden cm. b) Benyt modellen til at bestemme rumfanget af legetøjskeglen. Opgave 11 I en model kan vægten af en bøffel af racen Murrah beskrives ved differentialligningen hvor er bøflens vægt i kg x døgn efter fødslen. a) Med hvilken hastighed vokser bøflens vægt, når den vejer 100 kg? Bøflens vægt efter 1 døgn er 59 kg. b) Bestem en forskrift for f. Kilde: Classical nonlinear models to describe the growth curve for Murrah buffalo breed. stx matematik A 22. maj 2023 side 4 af 4 . Opgave 12 En parabel er givet ved ligningen a) Gør rede for, at punktet ligger på parablen. b) Bestem en ligning for tangenten til parablen i punktet P. Sølvmyre. Billedkilde: Harald Wolf Opgave 13 Kilde: Pfeffer et al.: ”High-speed locomotion in the Saharan silver ant” Tabellen viser en række målinger af sammenhørende værdier af fart og skridtlængde for sølvmyrer i Sahara-ørkenen. Fart (mm/s) 59 63 782 857 Skridtlængde (mm) 5,3 6,5 19,3 18,2 Hele tabellen med alle 126 datapunkter findes i bilaget: Soelvmyrer.xlsx I en lineær model kan sammenhængen mellem fart og skridtlængde beskrives ved hvor x betegner farten (målt i mm/s), og f ( x) betegner skridtlængden (målt i mm). a) Benyt alle tabellens data til at bestemme en forskrift for f. b) Gør rede for, at residualerne i modellen med god tilnærmelse er normalfordelte. Opgave 14 En vektorfunktion er givet ved (2) a) Gør rede for, at punktet D (9, 4) er et dobbeltpunkt på banekurven. Figuren viser de to tangentvektorer til banekurven i punktet D. D (9, 4) b) Undersøg, om de to tangentvektorer 1 står vinkelret på hinanden. c) Bestem koordinatsættet til det punkt på banekurven, der har den korteste afstand til O(0,0) . (1) 1 BILAG stx matematik A 22. maj 2023 Bilaget indgår i opgavebesvarelsen Skole Hold Navn Ark nr. Opgave 7 ID Antal ark i alt (2) A B 0,1 1 Besvarelsen af delprøve 1 afleveres kl. 11.00 (1) Tilsynsførende Indstiksark til formelsamlingen stx matematik A 22. maj 2023 Den generelle andengradsligning i to variable F(1) (2) r (1) Cirkel Ligning på normalform for cirkel med centrum C (0,0) og radius r F(2) (2) b a (1) Ellipse Areal A af ellipse med halvakser a og b F(3) Ligning på normalform for ellipse med centrum C (0,0), den halve storakse a og den halve lilleakse b F(4) Koordinatsæt til brændpunkter for ellipse med centrum C (0,0), den halve storakse a og den halve lilleakse b F(5) til ellipsen Ligning for tangenten i punktet med centrum C (0,0), den halve storakse a og den halve lilleakse b F(6) og Indstiksark til formelsamlingen stx matematik A 22. maj 2023 Ligning på normalform for parabel med ledelinje F(7) Koordinatsæt til brændpunkt F for parabel med ledelinje F(8) (2) l (1) Parabel Ligning på normalform for parabel med ledelinje Koordinatsæt til brændpunkt F for parabel med ledelinje Ligning for tangenten til parablen med ligningen i punktet F(9) F(10) F(11)