Hoja de Fórmulas - Cálculo II (MM-202)
Coordinación: E. P.
Esta hoja muestra parte de las fórmulas usadas en el curso, el estudiante está en la obligación de memorizar las que no aparecen o cualquier
Fórmulas básicas de integración.
información faltante en las dadas.
Z
Z
k dx = kx + C
01
02
Algunas identidades trigonométricas.
01 sen(x ± y) = sen x cos y ± cos x cos y
02 cos(x ± y) = cos x cos y ∓ sen x sen y
05 cos 2x = 2 cos2 x − 1 = 1 − 2 sen2 x
04 sen 2x = 2 sen cos x
07 sen2 x =
1 − cos 2x
08 cos2 x =
2
10 sen x cos y =
1
2
[sen(x − y) + sen(x + y)]
06 tan 2x =
1 + cos 2x
1
2
[cos(x − y) + cos(x + y)]
tan x ± tan y
1 ∓ tan x tan y
Z
03
2 tan x
05
1 − tan x
1
2
[cos(x − y) − cos(x + y)]
12 A cos x + B sen x =
p
A2 + B 2 cos(x − θ)
dx
x
Z
2
09 sen x sen y =
2
11 cos x cos y =
03 tan(x ± y) =
Z
04
dx = ln |x| + C
ax dx =
ax
Z
09
xn+1
n+1
+ C, n ̸= −1
ex dx = ex + C
Z
ln a
+ C, a > 0 ∧ a ̸= 1
sen x dx = − cos x + C
06
Z
07
xn dx =
Z
cos x dx = sen x + C
08
csc2 x dx = − cot x + C
10
sec2 x dx = tan x + C
Z
sec x tan x dx = sec x + C
Fórmulas básicas de derivación, considerar a f y g como funciones diferenciables de varibale x.
Z
02 Dx (c f ) = c f ′
01 Dx (c) = 0
04 Dx (f g) = f ′g + f g ′
05 Dx
f
g
′
=
11
03 Dx (f ± g) = f ′ ± g ′
f g − fg
Z
csc x cot dx = − csc x + C
12
cot x dx = ln |sen x| + C
14
sec x dx = ln |sec x + tan x| + C
16
cosh x dx = senh x + C
18
Z
′
13
06 Dx (xn ) = nxn−1
g2
Z
Z
07 Dx (f (g(x))) = f ′(g(x))g ′(x)
10 Dx (ln f ) =
08 Dx ef = f ′ef
f′
11 Dx (loga f ) =
f
′
09 Dx
15
af = f ′af ln a
′
17
12 Dx (sen f ) = f cos f
′
Z
′
2
2
14 Dx (tan f ) = f sec f
15 Dx (cot f ) = −f csc f
16 Dx (sec f ) = f ′ sec f tan f
17 Dx (csc f ) = −f ′ csc f cot f
f′
18 Dx sen−1 f = p
1 − f2
19
dx
1
x
= tan−1 + C
a2 + x2
a
a
Z
√
21
dx
a2 + x2
p
= ln x + a2 + x2 + C
= senh−1
f′
19 Dx cos−1 f = − p
1 − f2
20 Dx tan−1 f =
f′
21 Dx cot−1 f = −
f′
1 + f2
1 + f2
Z
23
22 Dx sec−1 f =
f
f
p
′
′
f
23 Dx csc−1 f = − p
f f2 − 1
f2 − 1
p
a2 − x2 : x = a sen θ,
x
2
dx
x
= sen−1 + C
√
a
a2 − x2
Z
1
x
dx
+C
dx = sec−1
√
2
2
a
a
x x −a
Z
p
dx
= ln x + x2 − a2 + C
√
x2 − a2
x
= cosh−1 + C, a > 0
a
x
a
Z
f (ax + b) dx = a1
20
22
+ C, a > 0
1
x−a
=
ln
+ C, a > 0
x2 − a2
2a
x+a
dx
24
Funciones de varias variables, algunas fórmulas.
01 Criterio de la segunda derivada: z = f (x, y), fx (a, b) = fy (a, b) = 0
p
a2 − x2 = a cos θ



 a tan θ
p
p
2
2
2
2
03
x − a : x = a sec θ, x − a =


−a tan θ
04 z = tan
Z
⇒ x = 2 tan−1 z, dx =
2dz
1+z
02
p
p
x2 + a2 : x = a tan θ, x2 + a2 = a sec θ
si x > a, 0 ≤ θ < π/2
Si la integral es indefinida usaremos
a) f tiene un máximo local en (a, b), si H(a, b) > 0 y fxx (a, b) < 0
p
x2 − a2 = a tan θ.
2z
1+z
, cos x =
2
1 − z2
2z
1+z
1 − z2
, tan x =
2
b) f tiene un mínimo local en (a, b), si H(a, b) > 0 y fxx (a, b) > 0
c) f tiene un punto de silla en (a, b), si H(a, b) < 0
si x < −a, π/2 < θ ≤ π
, sen x =
2
Z
f (u) du,
con u = ax + b ∧ a ̸= 0
Algunas sustituciones
01
senh x dx = cosh x + C
f ln a
13 Dx (cos f ) = −f sen f
csc x dx = ln |csc x − cot x| + C
Z
Z
f′
tan x dx = ln |sec x| + C
d) No se concluye si H(a, b) = 0
donde H = fxx fyy − (fxy )2 .
1
Algunas superficies. En la gráficas mostradas h = k = l = 0.
01 Elipsoide:
(x − h)
2
+
a2
02 Paraboloide Elíptico:
2
(y − k)
(z − l)
+
b2
2
2
(x − h)
=1
c2
a2
2
+
(y − k)
b2
=
z−l
Límites Importantes:
c
01
02
03
04
05
03 Paraboloide Hiperbólico:
(x − h)
a2
2
−
(y − k)
2
b2
=
2
z−l
(x − h)
c
a2
05 Hiperboloide de dos hojas:
−
(x − h)
a2
2
−
(y − k)
2
b2
2
+
(y − k)
b2
−
(z − l)
2
=1
c2
(z − l)
c2
2
(x − h)
=1
a2
2
+
(y − k)
b2
2
=
07
(z − l)
c2
n→∞
Razón para sucesiones
lı́m
Media aritmética
√
lı́m n x = 1, x > 0
Media geométrica
n
lı́m x = 0, si |x| < 1
x n
= ex
lı́m 1 +
n→∞
n
xn
lı́m
=0
n→∞ n!
n
n
lı́m
=∞
n→∞ n!
√
n
lı́m
n! = ∞
n-ésima suma parcial:
Sn =
Series básicas de Taylor
∞
X
1
01
=
xn , |x| < 1
1−x
n=0
∞
X
xn
, |x| < ∞
02 ex =
n!
n=0
∞
X
(−1)n x2n+1
03 sen x =
,|x| < ∞
(2n + 1)!
n=0
∞
X
(−1)n x2n
04 cos x =
, |x| < ∞
(2n)!
n=0
∞
X
(−1)n−1 xn
05 ln(x + 1) =
,
n
n=1
∞ X
p
n
n
x
lı́m an = L ∈ R
(ρ, θ, ϕ).
lı́m an = L ∈ R
05 r = ρ sen ϕ, θ = θ, z = ρ cosϕ
p
06 ρ = r 2 + z 2 , θ = θ, ϕ = cos−1 √
lı́m
n→∞
n→∞
∞
X
{Sn } converge a S
∞
X
ar n−1
n=1
∞
X
=L
√
n
a1 · a2 · . . . · an = L
an converge a S
an diverge
converge a S =
si |r| ≥ 1
la serie diverge
Criterio del n-ésimo término
si
∞
X
an converge
Primer término
1 − razón
lı́m an = 0
n→∞
n=1
si lı́m an ̸= 0 o no existe
n→∞
∞
X
an diverge
n=1
∞
X
Tanto la serie
an como la integral
n=N
Z ∞
f (x) dx convergen, o bien, ambas diver-
Criterio de la integral: Sea
an = f (n), donde f es una función
{an } una sucesión de térmi-
decreciente, positiva y continua de
nos positivos.
x para toda x ≥ N, N ∈ Z+
gen.
si p ≤ 1
diverge
si p > 1
converge
N
Serie p:
∞
X
n=1
1
np
Comparación directa:
∞
∞
X
X
an ≥ 0,
cn ≥ 0
n=1
∞
X
dn ≤ an ≤ cn , ∀n > N .
∞
X
si
cn converge
n=1
dn ≥ 0
si
Comparación en el límite:
an > 0, bn > 0 para toda
n=1
∞
X
dn diverge
n=1
si lı́m
an
n→∞ bn
si lı́m
an
n→∞ bn
si lı́m
an
n→∞ bn
si
∞
X
n=1
∞
X
=c>0
=0y
Criterios de la
∞
X
bn converge
n=1
∞
X
=∞y
bn diverge
n=1
|an | converge
razón y raíz:
n=1
∞
X
n=1
∞
X
n=1
∞
X
an converge
an diverge.
an y
∞
X
bn tienen la misma naturaleza
n=1
an converge
an diverge
an converge absolutamente
n=1
an+1
=ρ
an
p
lı́m n |an | = ρ
lı́m
∞
X
n=1
∞
X
n=1
1. Absolutamente conv. si p > 1
n
si |r| < 1
n=1
Convergencia absoluta:
Criterio serie p alternante:
∞
X
(−1)n+1
La serie
es
np
n=1
a1 + a2 + . . . + an
n=1
si n ≥ 1
01 x = r cos θ, y = r sen θ, z = z
03 x = ρ sen ϕ cos θ, y = ρ sen ϕ sen θ, z = ρ cosϕ
p
y
04 ρ = x2 + y 2 + z 2 , tan θ = ,
x
z
−1
p
ϕ = cos
x2 + y 2 + z 2
lı́m
n→∞
{Sn } diverge
ai
n ≥ N, N ∈ Z+
n!
,z=z
lı́m an = 0
n→∞
n→∞
n=1
donde
p
|x| < 1, p ∈ R y
=
n
p(p − 1)(p − 2) · · · (p − n + 1)
n=1
n
X
Serie geométrica:
lı́m
07 (1 + x) = 1 +
y
<1
i=1
n→∞
p
x
an
n→∞
n→∞
|x| ≤ 1
02 r 2 = x2 + y 2 , tan θ =
an+1
Conclusión
n→∞
−1 < x ≤ 1
∞
X
(−1)n x2n+1
−1
,
06 tan x =
2n + 1
n=0
Relación entre las coordenadas rectangulares (x, y, z), cilíndricas (r, θ, z) y esféricas
Hipótesis
√
lı́m n n = 1
√
n
ln n = 1
n→∞
Z 1
n
Xf i
n
f (x) dx
09 lı́m
=
n→∞
n
0
i=1
08
06 Cono elíptico:
2
+
06
04 Hiperboloide de una hoja:
Criterio (Sucesión / Serie)
n→∞
n→∞
la serie converge absolutamente si ρ < 1
la serie diverge si ρ > 1 o ρ = ∞
el criterio no concluye si ρ = 1
2. Condic. conv. si 0 < p ≤ 1
Serie alternante:
∞
X
(−1)n+1 bn
3. Divergente si p ≤ 0
z
n=1
r2 + z 2
2
bn > 0 ∀n, lı́m bn = 0
n→∞
bn+1 ≤ bn ∀n ≥ N, N ∈ Z+
converge