topologia-texto

O Topologı́a general G .R UB IA N [un primer curso] IA N .R UB G O O Topologı́a general G .R UB IA N [un primer curso] Gustavo N. Rubiano O. Profesor titular Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ciencias Sede Bogotá 1. Topologı́a general Gustavo N. Rubiano O. IA N Topologı́a general, 3a. edición Universidad Nacional de Colombia, Sede Bogotá Facultad de Ciencias, 2010 O vi, 284 p. : 3 il. 00 ISBN 978-958-719-442-5 Mathematics Subject Classification 2000: 00–00. .R UB c Edición en castellano: Gustavo Nevardo Rubiano Ortegón Universidad Nacional de Colombia. G Diagramación y diseño interior en LATEX: Gustavo Rubiano Tercera edición, 2010 Impresión: Editorial UN Bogotá, D. C. Colombia O Contenido IA N Prólogo 1. Conjuntos con topologı́a 1.1. Los reales —una inspiración— IX 1 . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2. Abiertos básicos (generación de topologı́as) . . . . . . . . 8 1.3. Vecindades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 .R UB 1.4. Nuevos ejemplos: subespacios de un espacio . . . . . . . . 22 2. Espacios métricos 28 2.1. Métrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2. Espacios unitarios o euclidianos . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.2.1. Caracterización de los espacios euclidianos . . . . . 42 2.3. Topologı́a para una métrica . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 . . . . . . . . . . . . . . . . 48 G 2.3.1. Métricas equivalentes 3. Bases y numerabilidad 57 3.1. 2-contable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.2. 1-contable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4. Funciones —comunicaciones entre espacios— 64 4.1. Funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.2. La categorı́a Top . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.3. Propiedades heredables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 v CONTENIDO vi 5. Filtros, convergencia y continuidad 74 5.1. Filtros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 5.1.1. Base de filtro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 5.2. Ultrafiltros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 5.3. Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 89 O 6. Homeomorfismos –o geometrı́a del caucho– 6.1. Homeomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 7. IA N 6.2. Invariantes topológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 Espacios de identificación –cociente– 102 7.1. Topologı́a cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 .R UB 7.1.1. Descomposición canónica por una función . . . . . 105 8. La topologı́a producto 112 8.1. Definición sintética de producto entre conjuntos . . . . . . 112 8.2. La topologı́a producto –caso finito– . . . . . . . . . . . . . 113 8.3. La topologı́a producto —caso infinito— . . . . . . . . . . 115 8.4. Propiedades productivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 8.5. La topologı́a producto —en los métricos— . . . . . . . . . 123 G 8.6. Continuidad para el producto . . . . . . . . . . . . . . . . 127 8.7. Topologı́as al inicio y al final . . . . . . . . . . . . . . . . 128 8.7.1. La topologı́a inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 8.7.2. La topologı́a final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 9. Posición de un punto respecto a un conjunto 133 9.1. Conjuntos cerrados y adherencia . . . . . . . . . . . . . . 133 9.1.1. Operadores de clausura . . . . . . . . . . . . . . . 138 9.1.2. La adherencia es productiva . . . . . . . . . . . . . 140 9.2. Puntos de acumulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 CONTENIDO vii 9.2.1. Puntos aislados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 9.3. Interior – exterior – frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 9.4. Subconjuntos densos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 10.Compacidad 156 10.1. Espacios compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 O 10.2. Dos caracterizaciones de la compacidad . . . . . . . . . . 163 10.2.1. Compacidad vı́a cerrados . . . . . . . . . . . . . . 163 IA N 10.2.2. Compacidad vı́a filtros . . . . . . . . . . . . . . . . 165 10.2.3. Compacidad vı́a ultrafiltros . . . . . . . . . . . . . 166 10.3. Producto de dos compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 10.4. Teorema de Tychonoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 .R UB 10.5. Compacidad y sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 10.6. Compacidad para métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 10.7. Ordinales como ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 10.8. Compacidad local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190 10.8.1. Compactación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 11.Espacios métricos y sucesiones —completez— 196 11.1. Sucesiones de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 G 11.1.1. Filtros de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 11.2. Espacios de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 11.3. Completez de un espacio métrico . . . . . . . . . . . . . . 204 11.4. Espacios de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 12.Los axiomas de separación 210 12.1. T0 , T1 y T2 o de Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 12.2. Regulares, T3 , Tychonoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 12.2.1. Inmersión en cubos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 CONTENIDO viii 12.3. Normales, T4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 12.4. Lema de Urysohn o existencia de funciones . . . . . . . . 227 12.5. Tietze o extensión de funciones . . . . . . . . . . . . . . . 232 13.Conexidad 238 13.1. La conexidad como invariante topológico . . . . . . . . . . 238 O 13.2. Subespacios conexos maximales . . . . . . . . . . . . . . . 246 13.3. El conjunto C de Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 IA N 13.4. Conexidad local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 13.5. Conexidad por caminos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 Bibliografı́a G .R UB Índice alfabético 264 266 Prólogo IA N O El tema central de esta tercera edición es presentar un texto que sirva como guı́a para un primer curso formal en topologı́a general o de conjuntos. Se han hecho cambios importantes que justifican que se trate de una nueva edición y no de una simple reimpresión de la anterior. La mayorı́a de las herramientas y conceptos utilizados en el estudio de la topologı́a se agrupan en dos categorı́as: invariantes topológicos y construcciones de nuevos espacios a partir de los ya conocidos. .R UB En la parte de invariantes, el énfasis en los espacios 1-contable o espacios que satisfacen el primer axioma de enumerabilidad, como espacios para los cuales las sucesiones son suficientes para describir la topologı́a, justifica la introducción del concepto de filtro como una adecuada noción de convergencia, que resulte conveniente para describir la topologı́a en espacios más generales; de paso, este concepto nos proporciona una manera cómoda para llegar al teorema de Tychonoff, imprescindible en cualquier curso no trivial, teorema que corresponde a la parte de construcciones. G Nuevos capı́tulos, secciones, demostraciones, gráficos y referencias históricas han sido introducidos a fin de motivar al lector y presentar de manera activa una de las áreas más prolı́ficas de la matemática y la ciencia. Como en casi todo libro de texto, poco o nada es original por parte del autor, excepto posiblemente la manera de manejar la influencia de varios clásicos sobre el tema o la introducción de algunos ejemplos nuevos. Agradezco a la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional de Colombia, Sede Bogotá, el darme ese tiempo extra que siempre necesitamos los docentes para plasmar de forma escrita la experiencia diaria. Gustavo N. Rubiano O. ix CONTENIDO x G .R UB IA N O gnrubianoo@unal.edu.co Conjuntos con topologı́a IA N 1.1. Los reales —una inspiración— O 1 .R UB No hay nada más familiar a un estudiante de matemáticas que el conjunto R de los números reales y las funciones f : R −→ R. Si únicamente tuviéramos en cuenta la definición usual de función de R en R, es decir, una colección de pares ordenados (x, y) ∈ R × R donde cada elemento de R es la primera componente de una y de solo una pareja ordenada, estarı́amos desperdiciando el concepto de intervalo que conocemos para los números reales y, aún más, el hecho de que en R podemos decir quiénes son los vecinos de un punto x ∈ R. G En efecto, los vecinos al punto x en una distancia menor que un ε > 0 son todos los y ∈ R tales que |x − y| < ε; es decir, el intervalo (x−ε, x+ε) es la vecindad básica de x con radio ε. Cuando a una función de R en R la obligamos a tener en cuenta el concepto anterior de vecindad básica, lo que estamos exigiendo es que se satisfaga la definición ε, δ de continuidad empleada en el cálculo. Revisemos esta definición de continuidad. La función f : R −→ R se dice continua en el punto c ∈ R si: “Para cada número positivo ε, existe un número positivo δ tal que |f (x) − f (c)| < ε siempre que |x − c| < δ”. Pero |f (x) − f (c)| < ε significa f (x) ∈ (f (c) − ε, f (c) + ε); ası́ mismo, |x − c| < δ significa x ∈ (c − δ, c + δ); luego la definición entre comillas la podemos reescribir como “Dado ε > 0 (ver fig. 1.1) se puede encontrar δ > 0 tal que si x ∈ (c − δ, c + δ) entonces f (x) ∈ (f (c) − ε, f (c) + ε)”. Hablando en términos de los intervalos abiertos como las vecindades 1 2 Conjuntos con topologı́a 2ε f (c) g(c) c 2δ c IA N básicas, esta definición es: O Figura 1.1: La continuidad en R. “Dada una vecindad básica de radio ε alrededor de f (c), podemos encontrar una vecindad básica de c y con radio δ tal que si x ∈ (c − δ, c + δ) entonces f (x) ∈ (f (c) − ε, f (c) + ε)”. .R UB Lo que de nuevo reescribimos como: “Dada una vecindad de f (c) podemos encontrar una vecindad de c con la propiedad que, la imagen por f de esta última se encuentra dentro de la vecindad de f (c)”. Informalmente decimos que: Un cambio ‘pequeño’ en c produce un cambio ‘pequeño’ en f (c). Hemos visto entonces que el concepto de continuidad en R está ligado esencialmente a la definición que podamos hacer de ‘vecindad’ para un punto y la relación entre las imágenes de las vecindades. Luego, si quisiéramos abstraer el concepto de continuidad para otros conjuntos que no sean nuestros números reales usuales, debemos remitirnos a obtener de alguna manera —pero con sentido— el concepto de ‘vecindad’ para estos conjuntos. G K Al definir un conjunto abierto en R como un conjunto que es unión de intervalos abiertos —nuestras vecindades básicas— es fácil verificar que: 1. ∅ es abierto —la unión de una familia vacı́a—. 2. R es abierto. 3. La unión de una colección de abiertos es un abierto. 4. La intersección de un número finito de abiertos es un abierto. 3 1.1 Los reales —una inspiración— Motivados por las anteriores propiedades damos la siguiente definición. Definición 1.1. Una topologı́a1 para un conjunto X es una familia T = {Ui : i ∈ I}, Ui ⊆ X O tal que: 1. ∅ ∈ T, X ∈ T. T i∈F Ui ∈ T para cada F subconjunto finito de I —F b I—. 3. S i∈J Ui ∈ T para cada J ⊆ I. IA N 2. .R UB Esto es, T es una familia de subconjuntos de X cerrada tanto para la unión arbitraria como para la intersección finita. La condición 1 es consecuencia de 2 y 3 cuando tomamos como conjunto de ı́ndices I = ∅. Los elementos de T se llaman abiertos y el par (X, T) es por definición un espacio topológico. Brevemente lo notamos X cuando no es necesario decir quién es T. Los elementos de X son los puntos del espacio. Las condiciones en la definición anterior se llaman los axiomas de una estructura topológica. G A menos que se especifique lo contrario, en este texto la palabra espacio significará espacio topológico. Los complementos de los conjuntos abiertos se llaman conjuntos cerrados. EJEMPLO 1.1 Ru . En R definimos una topologı́a T conocida como la usual (el espacio es notado Ru ) definiendo U ∈ T si U es unión de intervalos abiertos. O de manera equivalente, U ⊆ R es abierto si para cada punto x ∈ U existe un intervalo (a, b) que contiene a x y está contenido en U . 1 Se le acuña la invención de la palabra topologı́a al matemático alemán de ascendencia checa Johann B. Listing (1808-1882) en una carta dirigida a su viejo maestro de escuela Müller. 4 Conjuntos con topologı́a EJEMPLO 1.2 Orden. El ejemplo 1.1 lo podemos generalizar a todo conjunto X que sea linealmente —totalmente— ordenado por una relación ≤. Definimos T≤ la topologı́a del orden o la topologı́a intervalo sobre (X, ≤) tomando como abiertos todos los U ⊆ X que se pueden expresar como unión de intervalos de la forma 1. (x, y) := {t : x < t < y} —intervalos abiertos acotados—. O 2. (x, →) := {t : x < t} —colas a derecha abiertas—. IA N 3. (←, y) := {t : t < y} —colas a izquierda abiertas—. En el caso en que X no posea elementos máximo y mı́nimo, basta considerar tan solo los intervalos acotados (x, y) —¿por qué?—. .R UB EJEMPLO 1.3 Discreta: Dado un conjunto X definimos T = 2X —partes de X o ℘(X)—. Esta es la topologı́a discreta de X —permite que todo sea abierto—. Es la topologı́a sobre X con la mayor cantidad posible de abiertos. G Grosera: Contrario a lo anterior, dado un conjunto X definimos T = {∅, X}, conocida como la topologı́a grosera de X —prácticamente no permite la presencia de abiertos—. Es la topologı́a con la menor cantidad posible de abiertos. Nótese que toda topologı́a T para X se encuentra entre la topologı́a grosera y la topologı́a discreta, i. e., {∅, X} ⊆ T ⊆ 2X . EJEMPLO 1.4 Punto incluido. Sea X un conjunto y p un punto elegido en X. Definimos la topologı́a punto incluido Ip como U ∈ Ip si p ∈ U , o, U = ∅. La definición de esta topologı́a se puede extender a cualquier A ⊆ X y la notamos como IA . 5 1.1 Los reales —una inspiración— EJEMPLO 1.5 Extensión cerrada de (X, T). La anterior topologı́a permite la siguiente generalización. Dado un espacio (X, T) y p ∈ / X, definimos la extensión ∗ ∗ X = X ∪ {p} y T = {V ∪ {p} : V ∈ T} ∪ {∅}. (X ∗ , T ∗ ) es un espacio y los cerrados de X ∗ coinciden con los de X. O El ejemplo 1.4 es la extensión Y ∗ para el caso (Y = X − {p}, 2Y ). EJEMPLO 1.6 EJEMPLO 1.7 IA N Punto excluido. Sea X un conjunto y p un punto elegido en X. Definimos la topologı́a punto excluido Ep como U ∈ Ep si U = X, o, p ∈ / U. .R UB Sierpinski. En X = {0, 1} construimos todas las posibles topologı́as: J4 • 1. J1 = {∅, X}, 2. J2 = {∅, X, {0}}, 3. J3 = {∅, X, {1}}, J2 • •J3 4. J4 = {∅, X, {0}, {1}, {0, 1}}. G • J1 El diagrama muestra cómo es la contenencia entre estas cuatro topologı́as, ası́ que J2 y J3 no son comparables. J2 = {∅, X, {0}} se conoce como la topologı́a de Sierpinski2 . Es el espacio más pequeño que no es trivial ni discreto. 2 En honor al matemático polaco Waclaw Sierpinski (Varsovia,1882-1969). En 1920, Sierpinski, junto con Zygmunt Janiszewski y su ex alumno Stefan Mazurkiewicz, fundaron una influyente revista matemática, Fundamenta Mathematica, especializada en trabajos sobre teorı́a de conjuntos. Durante este periodo, Sierpinski trabajó sobre todo en teorı́a de conjuntos, pero también en topologı́a de conjuntos y funciones de una variable real. También trabajó en lo que se conoce actualmente como la curva de Sierpinski. 6 Conjuntos con topologı́a EJEMPLO 1.8 Complementos finitosa . Dado un conjunto X, definimos la topologı́a (T, cof initos) como U ⊆ X es abierto si su complemento U c es finito, o U = ∅. En este ejemplo —como en cada ejemplo donde los abiertos se definan en términos de cardinalidad— es interesante tener en cuenta los tres casos, dependientes de que X sea finito, infinito contable, o infinito no contable. También conocida como la topologı́a de Zariski en honor al matemático bielorruso Oscar Zariski (1899-1986). IA N EJEMPLO 1.9 O a Complementos enumerables. Dado un conjunto X, definimos la topologı́a (T, coenumerables) como U ⊆ X es abierto si su complemento U c es enumerable o contable —finito o infinito—, además del ∅, por supuesto. EJEMPLO 1.10 .R UB Espacio de Fort. Sea X un conjunto y p un punto en X. Definimos U ∈ Eωp si U c es finito, o p ∈ / U. La colección T op(X) de todas las topologı́as sobre un conjunto X es un conjunto parcialmente ordenado por la relación de inclusión: T1 ≤ T2 si T1 ⊆ T2 , caso en el cual decimos que T2 es más fina que T1 . Por tanto, sobre T op(X) tiene sentido hacer referencia a todos los conceptos relativos a conjuntos ordenados. G Dado un conjunto finito X con n elementos, notemos por T(n) el conjunto de topologı́as definibles sobre X. Una pregunta natural y formulada desde el inicio de la topologı́a es: ¿cuántas topologı́as existen sobre X? o ¿quién es el cardinal |T(n)|? La pregunta es difı́cil de contestar y por ello se trata de un problema abierto; más aún, para este problema de conteo no existe —a la fecha— ninguna fórmula cerrada ni recursiva que dé una solución. Tampoco existe un algoritmo eficiente de computación que calcule el total de T(n) para cada n ∈ N. Para valores pequeños de n el cálculo de |T(n)| puede hacerse a mano; por ejemplo, |T(1)| = 1, |T(2)| = 4, |T(3)| = 29. Pero el crecimiento de T(n) es exponencial, como lo muestra la tabla 1.1. De hecho, existen 261492535743634374805066126901117203 posibles topologı́as para 7 1.1 Los reales —una inspiración— IA N O Número de topologı́as en T(n) 1 4 29 355 6.942 209.527 9.535.241 642.779.354 63.260.289.423 8.977.053.873.043 1816846038736192 519355571065774021 207881393656668953041 115617051977054267807460 88736269118586244492485121 93411113411710039565210494095 134137950093337880672321868725846 261492535743634374805066126901117203 .R UB n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Cuadro 1.1: Número de topologı́as para un conjunto de n elementos. un conjunto con n = 18 elementos, y a la fecha este valor de n es el mayor para el cual el número de topologı́as es conocido. G Ejercicios 1.1 1. ¿Cómo son los cerrados para los espacios de los ejemplos anteriores? 2. Construya todas las topologı́as para X = {a, b, c}. 3. Muestre que, para un conjunto X, la intersección de topologı́as sobre X es de nuevo una topologı́a. 4. Muestre que la unión de dos topologı́as sobre un conjunto X no necesariamente es una topologı́a. 5. En cada uno de los ejemplos dados en esta sección, revise la pertinencia de la cardinalidad del conjunto X. 8 Conjuntos con topologı́a • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • O • IA N 6. Muestre que (T op(X), ⊆) es un retı́culo completo. En particular, para el caso de dos topologı́as T, I el sup ∨{T, I} está formado por todas las posibles uniones de conjuntos de la forma {U ∩ V : U ∈ T, V ∈ I}. .R UB 7. Revise el ejemplo 1.10 en términos del ejercicio anterior. 1.2. Abiertos básicos (generación de topologı́as) Entre los abiertos de un espacio, algunas veces —casi siempre— es importante resaltar algunos de ellos que en cierta manera generan o describen a los demás, i. e., toda la estructura topológica puede ser recuperada a partir de una parte de ella. G Definición 1.2. Si (X, T) es un espacio, una base para T es una subfamilia B ⊆ T con la propiedad que: dados un abierto U y un punto x ∈ U , existe un B ∈ B tal que x ∈ B ⊆ U . Cada abierto en T es unión de elementos en B. EJEMPLO 1.11 Los intervalos abiertos de R constituyen una base para la topologı́a en Ru . Revise la definición de la topologı́a del orden. Por supuesto, para un espacio (X, T), T en sı́ misma es una base de manera trivial; la palabra trivial se justifica porque una de las cualidades 9 1.2 Abiertos básicos (generación de topologı́as) más importantes para una base es exigir que su cardinalidad no sea muy grande —espacio 2–contable—. ¿Cómo reconocer que una colección B de subconjuntos de X pueda ser base para alguna topologı́a? O Teorema 1.3. Sea X un conjunto. B ⊆ ℘(X) es base de una topologı́a para X si y solo si se cumple que S 1. X = {B : B ∈ B}, i. e., B es un cubrimiento de X. IA N 2. Dados cualesquiera U, V ∈ B y x ∈ U ∩ V , existe B en B con x ∈ B ⊆ U ∩ V . Esto es, U ∩ V es unión de elementos de B para todo par U, V de B. Nótese que, en particular, un cubrimiento B ⊆ ℘(X) cerrado para intersecciones finitas es una base. .R UB Demostración. ⇒) 1) Supongamos que B es base para una topologı́a T S de X. Veamos que X = {B : B ∈ B}; en efecto, dado x ∈ X existe U ∈ T tal que x ∈ U , y como B es base, existe B con x ∈ B ⊆ U —la otra inclusión es obvia—. 2) Si U, V ∈ B entonces, dado x ∈ U ∩ V , por ser B una base, existe B tal que x ∈ B ⊆ U ∩ V —U, V están en T, y por tanto U ∩ V ∈ T—. G ⇐) Construyamos una topologı́a T para la cual B es una base. Definimos U ∈ T si U es unión de elementos de B. Por supuesto tanto X como ∅ están en T —∅ por ser la unión de la familia vacı́a—. Si tomamos la unión de una familia en T, ella finalmente es unión de elementos de B. Ahora veamos que B es base de T. Si U, V ∈ T y x ∈ U ∩ V , por la definición de T, existen BU , BV en B conteniendo a x y contenidos en U y V respectivamente; por la condición 2 sobre B, existe B tal que x ∈ B ⊆ BU ∩ BV ⊆ U ∩ V . La topologı́a dada por el teorema anterior se conoce como la topologı́a generada por la base B y la notamos T = hBi3 . EJEMPLO 1.12 Si X es un conjunto y p ∈ X, una base de la topologı́a Ip del punto incluido es B = {{x, p} : x ∈ X}. 3 Una misma topologı́a puede ser generada por bases diferentes. K 10 Conjuntos con topologı́a EJEMPLO 1.13 Partición. Dada una partición R sobre un conjunto X —o lo que es igual una relación de equivalencia R—, la colección R junto con el conjunto ∅ es una base para una topologı́a sobre X. Un subconjunto de X es entonces abierto si es unión de subconjuntos pertenecientes a la partición. EJEMPLO 1.14 IA N O Lı́nea de Khalinsky. En Z definimos la base [ B = {{2n − 1, 2n, 2n + 1} : n ∈ Z} {{2n + 1} : n ∈ Z}. En la topologı́a generada, cada entero impar es abierto y cada entero par es cerrado. EJEMPLO 1.15 .R UB Topologı́a a derecha. Para un conjunto (X, ≤) parcialmente ordenado, el conjunto de las colas a derecha y cerradas x ↑ := [x, →) := {t : x ≤ t}, es una base para una topologı́a ya que [ [x, →) ∩ [y, →) = [z, →) para z ∈ [x, →) ∩ [y, →). z G La topologı́a generada se nota Td y se conoce como la topologı́a a derecha —dualmente existe la topologı́a a izquierda—. La anterior topologı́a es saturada o de Alexandroff4 en el sentido que la intersección arbitraria de abiertos es de nuevo un abierto. Nótese que las colas abiertas son también abiertos para esta topologı́a. [ (a, →) = [b, →). b>a 4 En general una topologı́a se dice de Alexandroff o A–topologı́a si las intersecciones arbitrarias de conjuntos abiertos son de nuevo un abierto. Fueron estudiadas inicialmente por P. S. Alexandroff en 1937. Nótese que toda topologı́a finita es de Alexandroff. 11 1.2 Abiertos básicos (generación de topologı́as) EJEMPLO 1.16 Una topologı́a puede tener diferentes bases. En R2 definamos dos bases B1 , B2 que nos conducen a una misma topologı́a: la usual. 1/2 B1 : U ∈ B1 si U = {(x, y) : (x − u)2 + (y − v)2 < ε} para algún 2 ε > 0 y algún (u, v) en R . U se acostumbra denotar como Bε ((u, v)) —U es el interior de un disco en R2 de centro en (u, v) y radio ε—. IA N O B2 : V ∈ B2 si V = {(x, y) : |x − u| + |y − v| < ε} para algún ε > 0 y algún (u, v) en R2 —V es el interior de un rombo en R2 con centro en (u, v)—. .R UB Es un ejercicio verificar que lo que se puede expresar como unión de elementos de B1 , lo puedo expresar tambiéncomo unión de elementos de B2 , con lo cual las dos topologı́as generadas coinciden. EJEMPLO 1.17 De manera más general, en Rn definimos una base B de la manera siguiente: B = {Bε (x) : ε > 0, x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn } donde, G   Bε (x) = (y1 , . . . , yn ) ∈ Rn  n X i=1 !1/2 (xi − yi )2   <ε .  Bε (x) es la bola abierta de centro en x con radio ε. La topologı́a generada por esta base se conoce como topologı́a usual de Rn y notamos Rnu . No olvide en los dos ejemplos anteriores demostrar que efectivamente estas bases satisfacen la condición para serlo, y hacer los gráficos respectivos para las bolas abiertas en Ru y R2u . 12 Conjuntos con topologı́a Dado un conjunto X es posible obtener una cantidad de subfamilias de partes de X, de tal manera que ellas cumplan los requisitos de ser base para alguna topologı́a. Cuando dos bases generen una misma topologı́a las vamos a identificar, es decir, establecemos un criterio de ‘igualdad’ acomodado por nosotros para nuestros intereses. En otras palabras, definimos una relación de equivalencia y lo que llamamos equivalente es esa ‘igualdad’ acomodada. O Definición 1.4. Sean X un conjunto y B1 , B2 dos bases como en la definición 1.2. Decimos que B1 ≡ B2 —son dos bases equivalentes— si las topologı́as generadas son iguales, i. e., hB1 i = hB2 i. Demostración. Ejercicio. IA N Proposición 1.5. B1 ≡ B2 si y solo si dados B1 ∈ B1 y x ∈ B1 existe B2 ∈ B2 tal que x ∈ B2 ⊆ B1 , con lo cual hB1 i ⊆ hB2 i y viceversa. Dado un cubrimiento D de X, es posible crear la menor topologı́a sobre X que tenga entre sus abiertos la colección D. Para ello, creamos a partir de esta colección una base y luego generamos la topologı́a. Teorema 1.6. Dado un cubrimiento D de X, existe una única topologı́a T para la cual los elementos de D son abiertos y cualquier otra topologı́a H que contenga a D es más fina que T, esto es, T ⊆ H. G K .R UB El lector debe verificar que esta relación es de equivalencia sobre el conjunto de todas las posibles bases para un conjunto X fijo. Ası́ que, dada una topologı́a sobre X podemos escoger, de la clase de equivalencia que representa esta topologı́a, el elemento base que mejor se acomode a nuestro interés —canónico—. Demostración. Definimos la colección B como el conjunto de todas T las intersecciones finitas de elementos de D, es decir B ∈ B si B = ni=1 Di para Di ∈ D; B es una base de topologı́a y D ⊆ B. Sea T = hBi. En otras palabras, un elemento U de T es aquel que podemos expresar como una reunión de intersecciones finitas de elementos de D. Si H es una topologı́a para X tal que D ⊆ H , es claro que todo elemento de T también es elemento de H por la definición de topologı́a. En general definimos una subbase de la manera siguiente. 13 1.2 Abiertos básicos (generación de topologı́as) Definición 1.7. Sea (X, T) un espacio. Una subbase para la topologı́a T es una subcolección D ⊆ T con la propiedad que la familia formada por las intersecciones finitas de elementos de D es una base para T. EJEMPLO 1.18 O Los intervalos de la forma (a, →), (←, b) con a, b ∈ R forman una subbase para la topologı́a usual. Generalice a la topologı́a del orden. EJEMPLO 1.19 IA N Para un conjunto X la colección D = {X − {x} : x ∈ X} es una subbase para la topologı́a de los cofinitos. Ejercicios 1.2 .R UB 1. (R2 , verticales). Por cada x ∈ R sea Bx = {(x, y) : y ∈ R}. Muestre que B = {Bx : x ∈ R} es base de una topologı́a para R2 ¿Cómo son los abiertos? 2. (R2 , triangulares). Dados a, b, c ∈ R, con a > 0, definimos la región comprendida entre dos rectas Da,b,c = {(x, y) : y ≥ ax + b y y ≥ −ax + c} ⊆ R2 . G Sea D = {Da,b,c : a > 0, b, c ∈ R}. D es una colección de regiones triangulares infinitas. Muestre que D es base para una topologı́a. 3. Cuando tenemos un conjunto (X, ≤) totalmente ordenado y sin elementos máximo ni mı́nimo, es posible definir otras topologı́as diferentes de la usual para el orden. Consideremos las siguientes familias de subconjuntos y verifiquemos que efectivamente se trata de bases para nuevas topologı́as: a) Bd = {x ↑= [x, →) : x ∈ X} genera la topologı́a Td de las colas a derecha y cerradas, o topologı́a a derecha (ver ejemplo 1.15). b) Bi = {x ↓= (←, x] : x ∈ X} genera la topologı́a Ti de las colas a izquierda y cerradas. Al igual que la anterior, esta topologı́a es de Alexandroff. También se dice que la topologı́a 14 Conjuntos con topologı́a c• IA N O b• Figura 1.2: Las regiones del ejercicio 2. .R UB es generada por los inferiores x ↓ de cada elemento. En estos dos casos no es necesario que el orden sea total, basta tener una relación de orden parcial en X. Bi también genera los intervalos de la forma (←, a) = [ (←, b], b<a G con lo cual es inmediato ver que Tai ≤ Ti . c) Bad = {(x, →) : x ∈ X} genera la topologı́a Tad de las colas a derecha y abiertas. En este caso es necesaria la no existencia del mı́nimo. d ) Bai = {(←, x) : x ∈ X} genera la topologı́a Tai de las colas a izquierda y abiertas. Necesitamos de la no existencia de máximos. e) B+ = {[x, y) : x, y ∈ X} genera la topologı́a T+ de los intervalos semiabiertos a derecha. En el caso X = R, T+ es 15 1.2 Abiertos básicos (generación de topologı́as) B+ genera: (a, b) = O llamada topologı́a de Sorgenfrey o del lı́mite inferior5 . [ [t, b), IA N t>a [a, →) = [ [a, b), a<b (a, →) = [ (a, b), a<b [ (a, b). a<b G .R UB (←, b) = 5 Introducida por R. H. Sorgenfrey (1915-1996) en 1947 para los números reales, es una fuente de útiles contraejemplos. 16 Conjuntos con topologı́a f ) B− = {(x, y] : x, y ∈ X} genera la topologı́a T− de los intervalos semiabiertos a izquierda. [ B− genera: (a, b) = (a, x], x<b (←, a] = [ (b, a], b<a [ (a, b), b<a (←, b) = [ O (a, →) = (a, b). IA N a<b Verifique el diagrama 1.3, el cual muestra la relación de contenencia entre estas topologı́as y dice quiénes no son comparables. 2X.... .......... ...... ..... ..... ..... ..... ...... ........ ..... .... ..... ..... .... . .......... ..... .... . . . . .... ..... .... .. ........ ...... ..... . . . .... ..... .... ....... ......... .... ..... ..... .... ... .R UB . ........... ...... ..... . . . . .. ..... .... J− J . ........... ..... .... . . . ..... ..... .... ......... i .......... .... ... .... .... .... .... Jai J+ J0. ...... .......... ..... ..... ..... ..... .. . ....... ....... . . .. . . .... .... .... . . . ... Jd Jad Figura 1.3: Contenencia entre topologı́as. G 4. Sea B ⊆ ℘(X) un cubrimiento de X cerrado para las intersecciones finitas —propiedad de la intersección finita PIF—. Muestre que B es base para una topologı́a en X. 5. Dado el intervalo unidad I = [0, 1] ⊆ R, consideremos el conjunto X = M or(I, I) = {f | f : I −→ I}. Por cada S ⊆ I, definimos BS = {f ∈ X : f (x) = 0, para cada x ∈ S}. La colección B = {BS }S⊆I es base para una topologı́a en X. 17 1.3 Vecindades 1.3. Vecindades En la motivación de este capı́tulo utilizamos el término ‘vecindad’ en el contexto de los números reales; hagamos la generalización a espacios topológicos de acuerdo con la siguiente definición. O Definición 1.8. Sea (X, T) un espacio. Decimos que V ⊆ X es vecindad6 de x ∈ X —la notamos Vx — si existe U ∈ T tal que x ∈ U ⊆ Vx . Al conjunto de todas las vecindades del punto x lo notamos V(x). .R UB IA N ...................................... .... .... .......... ............. ................ . . . . . . . . . . . . . .... ........ ......... ................ V .... ... x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...... . ... ..... . . . ... ..... . ... . U . ... ... ... .... .. ... x • .. ... . ... . . ... ... . . . . ... . .... y • ... ... .... ....... ... .... ........................ . . . . .... ...... .... ....... ...... . . . . . ......... . ....... ............ ............................................................... Figura 1.4: Propiedad 4 de la axiomatización de vecindad. Proposición 1.9. Sean (X, T) un espacio y x ∈ X. El sistema V(x) de vecindades de x ∈ X posee las siguientes propiedades: 1. Si V ∈ V(x) entonces x ∈ V . G 2. Si V ∈ V(x) y V ⊆ W entonces W ∈ V(x). 3. Si V, W ∈ V(x) entonces V ∩ W ∈ V(x). 4. Para cada V ∈ V(x) existe U ∈ V(x) con U ⊆ V tal que V ∈ V(y) para todo y ∈ U . Demostración. La demostración se deja como ejercicio. 6 Fue el matemático alemán Felix Hausdorff quien en 1.914 introdujo la noción de espacio topológico en Grunzuge der Mengenlehre, Leipzig, Veit and Co., 1914, partiendo de una axiomatización del concepto de vecindad. También trabajó en teorı́a de conjuntos e introdujo el concepto de conjunto parcialmente ordenado. 18 Conjuntos con topologı́a En particular de 1, 2 y 3 podemos deducir que el sistema V(x) es un filtro para cada x ∈ X —el concepto de filtro se define en el capı́tulo 5, pág. 81—. Una manera informal de describir la propiedad 4 es decir que Una vecindad de un punto x es también vecindad de los puntos suficientemente cercanos a x. .R UB IA N O El siguiente teorema es interesante porque compara la axiomatización de Hausdorff con la dada por N. Bourbaki7 un cuarto de siglo más tarde, la cual es nuestra definición inicial de topologı́a. Felix Hausdorff G Teorema 1.10. Sea X un conjunto. Supongamos que a cada x ∈ X se le asigna un conjunto V(x) no vacı́o de subconjuntos de X que cumple 1, 2, 3 y 4 de la proposición 1.9; entonces existe una única topologı́a T para X tal que para cada x ∈ X la colección V(x) es precisamente el sistema de vecindades de x en el espacio (X, T). Demostración. Definimos U ∈ T si para cada x ∈ U se tiene que U ∈ V(x) —U es vecindad de cada uno de sus puntos—. Veamos que en efecto T es una topologı́a. Por vacuidad, vacı́o está en T. Por hipótesis, V(x) es 7 Un grupo de matemáticos, en su mayorı́a franceses, quienes bajo este seudónimo comenzaron a reunirse en 1930 con la intención de escribir de una manera unificada la matemática existente. 19 1.3 Vecindades diferente de vacı́o para x ∈ X, y por tanto X ∈ V(x). Dado x ∈ U ∩ V donde U, V ∈ T, tenemos U ∩ V ∈ V(x) S ya que U, V ∈ V(x). Dada {Ui }, (i ∈ I) una familia en T y x ∈ U = {Ui : i ∈ I}, existe i ∈ I tal que x ∈ Ui , y como Ui ∈ V(x), por la propiedad 2 tenemos U ∈ V(x). Veamos ahora que V(x) = W(x) donde W(x) es el sistema de vecindades de x en (X, T). Si Vx es una vecindad de x, existe U ∈ T tal que x ∈ U ⊆ Vx . Como U ∈ T, significa que U ∈ V(x) y ası́ Vx ∈ V(x). IA N O Mostremos finalmente que V(x) ⊆ W(x). Dada V ∈ V(x), definimos U = {y ∈ V : V ∈ V(y)}; claramente x ∈ U ⊆ V , ası́ que solo resta mirar que U ∈ T. Por definición, si y ∈ U entonces V ∈ V(y) y por 4 existe W en V(y) tal que V ∈ V(z) para cada z ∈ W , con lo cual W ⊆ U , y por 2, U está en V(y), pero como esto se tiene para cada y ∈ U , entonces U ∈ T por la definición de T. Es un ejercicio verificar que la topologı́a T es única. .R UB Definición 1.11. En un espacio (X, T) un SFV sistema fundamental de vecindades para un punto x ∈ X, es una familia W = {Wi }i de vecindades de x, tal que para cada vecindad Vx existe una Wi con Wi ⊆ Vx . Los elementos de un SFV son suficientemente finos para estar dentro de cada vecindad. Definición 1.12. Un espacio (X, T) se dice T1 si dado cualquier par de puntos x, y ∈ X existen Vx , Vy tales que y ∈ / Vx y x ∈ / Vy . G Definición 1.13. Un espacio (X,T) se llama espacio de Hausdorff, T2 , o separado, si dado cualquier par de puntos x, y ∈ X existen vecindades Vx , Vy con Vx ∩ Vy = ∅. Es decir, podemos separar los puntos por medio de vecindades disyuntas. El nombre de Hausdorff para esta propiedad se debe al hecho de haber sido F. Hausdorff8 quién la introdujo como un axioma adicional a los de la proposición 1.9. 8 F. Hausdorff (1868-1962) creció en la ciudad de Leipzig, Alemania, se graduó de la Universidad de Leipzig y fue docente allı́ hasta 1910. Comenzó su carrera de genial matemático como un astrónomo. Por su inmenso aporte es considerado como uno de los padres de la topologı́a. También escribió poesı́a y filosofı́a. En 1942 prefirió cometer suicidio (junto con su esposa) antes que ser deportado a un campo de concentración nazi. 20 Conjuntos con topologı́a EJEMPLO 1.20 En (X, discreta) el conjunto W(x) = {{x}} es un SFV de x. En Ru el conjunto W(x) = {(x − n1 , x + n1 )}n∈N es un SFV de x ∈ R. Ejercicios 1.3 O 1. Muestre que en un espacio X, U ⊆ X es abierto si y solo si es vecindad de cada uno de sus puntos. IA N 2. Muestre que en un espacio T1 los conjuntos unitarios {x} son cerrados. 3. ¿Cuáles espacios de los que hemos definido son T1 ? .R UB 4. ¿Cuáles de los espacios topológicos que hemos definido son Hausdorff? 5. B = {(a, b) : b − a ≤ 1} es base para la topologı́a usual de R. 6. ¿En (R2 , verticales) quiénes forman a V((0, 0))? 7. Muestre la unicidad en el teorema 1.10. 8. Sea (X, T) un espacio. Muestre que la topologı́a T es de Alexandroff o A–topologı́a si y solo si cada punto x ∈ X posee una vecindad Ax mı́nima, i. e., Ax está contenida en cualquier otra Vx . G 9. Muestre que toda topologı́a finita es de Alexandroff. 10. Lexicográfico. En R2 definamos el orden lexicográfico de la manera siguiente: (a, b) < (c, d) si a < c, o para el caso en que a = c tenemos b < d. Los intervalos abiertos y acotados ((a, b), (c, d)) en este espacio, resultan ser rectángulos infinitos hacia arriba y hacia abajo, con parte de los lados verticales incluidos, según sea el caso (ver figura). Luego un abierto para la topologı́a generada será todo lo que logremos expresar como unión de estos elementos básicos. Nótese que esta definición puede extenderse a Rn y coincide con la manera como ordenamos un diccionario. 21 1.3 Vecindades a) Dibuje al menos tres vecindades del punto (0, 0) para la topologı́a inducida por este orden. b) ¿Cómo es geométricamente el intervalo ((0, 0), (2, 3))? d c d ) ¿Cómo puede usted generalizar esta topologı́a a cualquier conjunto ordenado? IA N a O c) ¿Qué relación existe entre la topologı́a usual y la topologı́a de orden asociada al lexicográfico? b e) Trate de observar cómo es esta topologı́a si el conjunto X es el cuadrado unidad I × I. .R UB 11. Muestre que B = {((a, b), (a, c)) : b < c} es también una base para la topologı́a del orden lexicográfico. 12. La topologı́a del orden para N es la topologı́a discreta. 13. La topologı́a del orden para N × N con el orden lexicográfico no es la topologı́a discreta. 14. La topologı́a del orden para Z × Z con el orden lexicográfico es la topologı́a discreta. G 15. Sea X un conjunto. En los siguientes numerales definimos para cada x ∈ X un conjunto V(x). ¿En qué casos la colección de las V(x) constituye un sistema de vecindades? ¿Cuál es la topologı́a generada por este sistema? a) V(x) = {A ⊆ X : x ∈ A}. b) V(x) = {{x}}. c) V(x) = {X}. d ) Sea X = N ∪ {ω} donde ω ∈ / N. Por cada n ∈ N definamos 1) V(n) = {A ⊆ X : n ∈ A}, 2) V(ω) = {A ⊆ X : ω ∈ A y Ac es finito}. e) Sea X = (N × N) ∪ {ω} donde ω ∈ / N × N. Por cada (m, n) ∈ N × N definamos: 22 Conjuntos con topologı́a 1) V((m, n)) = {A ⊆ X : (m, n) ∈ A}, 2) V(ω) = {A ⊆ X : ω ∈ A, donde A contiene casi todos los puntos de casi todas las filas}. IA N O En otras palabras, a cualquier fila le pueden faltar finitos números, y solo a un número finito de filas le pueden faltar infinitos números. La fila k-ésima es por definición el subconjunto N × {k} la cual notamos Nk . A ∈ V(ω) si ω ∈ A y existe m ∈ N tal que Nk − A es finito para todo m < k. La topologı́a generada es la de Arens-Fort9 : un abierto contiene a ω si únicamente un número finito de filas contienen ‘huecos significativos’. Revise el ejemplo 1.10. 1.4. Nuevos ejemplos: subespacios de un espacio .R UB Esta sección presenta una ‘máquina’ de construcción para nuevos espacios a partir de espacios ya conocidos. Dados un espacio (X, T) y A ⊆ X, A hereda una estructura topológica TA de manera natural con respecto a T. Proposición 1.14. Sean (X, T) un espacio y A ⊆ X. La colección TA := {U ∩ A | U ∈ T} es una topologı́a sobre A. G TA se llama la topologı́a de subespacio inducida sobre A o la topologı́a asociada al subespacio A. Demostración. Claramente ∅ = ∅ ∩ A y A = X ∩ A son elementos de TA . Si M, N ∈ TA entonces M = U ∩ A, N = V ∩ A para U, V ∈ T, con lo cual (U ∩ A) ∩ (V ∩ A) = (U ∩ V ) ∩ A, y como U ∩ V ∈ T, tenemos que M ∩ N ∈ TA . Por inducción esto es válido para cualquier intersección finita de elementos de TA . Si {Mi }, (i ∈ I) es una familia de elementos de TA , cada Mi = Vi ∩A para un Vi ∈ T. Ası́ que M = ∪i∈I Mi = ∪i∈I (Vi ∩ A) = A ∩ (∪i∈I Vi ), y como ∪i∈I Vi ∈ T, tenemos M ∈ TA . 9 Marion K. Fort, Jr. (1921-1964) matemático estadounidense. Los espacios Fort y Arens-Fort son llamados en su honor. 23 1.4 Nuevos ejemplos: subespacios de un espacio Los abiertos en A se obtienen de interceptar los de X con A. EJEMPLO 1.21 1. Sea X = R2u . Entonces cualquier subconjunto del plano puede ser visto como un espacio topológico. En particular las figuras de la geometrı́a, como circunferencias, discos, polı́gonos, etc., pueden ser ahora vistas como espacios. IA N O Examinemos el caso de la recta real R = {(x, 0) : x ∈ R} ⊆ R2 . La topologı́a de subespacio es la topologı́a usual de R. En efecto, dado M abierto de R, M = R ∩ V para V abierto de R2 . Luego V = ∪i∈I Bi , donde cada Bi es una bola abierta; entonces M = R ∩ (∪i∈I Bi ) = ∪i∈I (R ∩ Bi ) .R UB y cada R ∩ Bi es un intervalo abierto o el ∅, luego M es reunión de intervalos abiertos, i. e., M es abierto de la topologı́a usual. G 2. Lo mismo sucede en R3 y Rn con la topologı́a usual, cuando consideramos alguno de sus subconjuntos. Por ejemplo, al dar topologı́a a las esferas S n . La siguiente proposición dice cómo obtener una base para la topologı́a inducida sobre A ⊆ X a partir de una base para la topologı́a en X. Proposición 1.15. Si B = {Bi }i∈I es una base para (X, T) entonces D = {Bi ∩ A : Bi ∈ B} es una base de TA . Demostración. Veamos que tenemos un cubrimiento. Si x ∈ A entonces x ∈ Bi para algún i y por tanto x ∈ Bi ∩ A. De otra parte, si x ∈ (Bi ∩ A) ∩ (Bj ∩ A), existe Bk ⊆ Bi ∩ Bj lo que implica x ∈ (Bk ∩ A) ⊆ (Bi ∩ A) ∩ (Bj ∩ A). 24 Conjuntos con topologı́a Un subconjunto abierto en (A, TA ) no tiene por qué serlo en (X, T). Un subespacio A ⊆ X cuya topologı́a de subespacio es la discreta se llama subespacio discreto de X. Esto es equivalente a decir que para cada punto a ∈ A existe un subconjunto abierto en X cuya intersección con A es solo el punto a. EJEMPLO 1.22 IA N O En Ru , la topologı́a inducida sobre los enteros es la discreta; {n} es ahora abierto en Z, pero no lo era en R. Por tanto, debemos tener cierta discreción cuando hablamos de abiertos en el contexto de espacios o subespacios. Ası́, Z es un subespacio discreto de R, mientras que Q pareciera que también lo es ya que entre cada par de racionales existe un número irracional; sin embargo, no lo es; de hecho, este subespacio es un ejemplo de un espacio con propiedades interesantes. .R UB EJEMPLO 1.23 Sea A = [0, 2] ∪ [3, 7) subconjunto de R y consideremos la topologı́a inducida de Ru . El subconjunto [3, 7) es abierto en TA pero no lo es en Ru . EJEMPLO 1.24 G Si B = { n1 : n ≥ 1}, la topologı́a inducida de Ru es la discreta. Si agregamos a B el punto 0 ya no obtenemos la discreta. EJEMPLO 1.25 En R3u consideremos el siguiente subconjunto T llamado el toro (ver fig. 1.6). Dados a > b, dos reales positivos, T está formado por todas las triplas de la forma ((a + b · cosφ)cosθ, (a + b · cosφ)senθ, b · senφ) cuando φ, θ varı́an en el intervalo [0, 2π]. Nótese que la parte (a + b · cosφ, b · senφ) = (x(φ), y(φ)) 25 1.4 Nuevos ejemplos: subespacios de un espacio IA N O parametriza la circunferencia centrada en (a, 0) y radio b y enseguida lo que hacemos es rotar esta circunferencia en torno al eje z, por medio de la ecuación (x(φ)cosθ, x(φ)senθ, y(φ)), la cual da una vuelta de radio x(φ) para cada φ. Los elementos de la base para la topologı́a de T inducida por la usual de R3 , serán las intersecciones de las esferas sin borde de R3 con T (ver fig. 1.6). G .R UB Figura 1.5: Parametrizaciones interrumpidas para θ y para φ respectivamente. Figura 1.6: Un abierto básico del toro. EJEMPLO 1.26 Sea M3×3 o M3 (R) el conjunto de todas las matrices reales de tamaño 3×3. Usando las 9 entradas (ai,j ) en cada matriz como coordenadas para un vector, podemos identificar M3×3 con R9 . El subconjunto GL(3, R) ⊆ R9 de las matrices invertibles es un espacio con la topologı́a de subespacio (ver ejemplo 2.7). 26 Conjuntos con topologı́a EJEMPLO 1.27 Aunque en R la topologı́a inducida por el orden usual coincide con la topologı́a usual, esto no sucede para los subespacios. IA N O El conjunto A = (5, 7) ∪ [8, 10) tiene el orden ≤ usual de los números y la topologı́a T≤ inducida por este orden es diferente a la topologı́a ‘usual’ TA inducida del orden usual de R. Por ejemplo, [8, 9) = (7, 9) ∩ A es un abierto en la ‘usual’, pero no lo es en la inducida por el orden de A porque no corresponde a ningún ‘intervalo’ de A, pues no existe 8 ∈ (a, b) ⊆ [8, 9). EJEMPLO 1.28 Sobre el cuadrado A = I × I = [0, 1] × [0, 1] podemos considerar y comparar tres topologı́as: .R UB La topologı́a TI×I inducida por la usual de R2 . La topologı́a T inducida por su orden lexicográfico. La topologı́a TI×I inducida del espacio (R2 , T ) donde T es la inducida por el orden lexicográfico de R2 . p • G p • (a) (b) Figura 1.7: (a) un abierto en TI×I , (b) un abierto en T . Estudie la contenencia entre estas tres topologı́as (ver fig. 1.7). 27 1.4 Nuevos ejemplos: subespacios de un espacio Los anteriores ejemplos motivan la siguiente pregunta: ¿cuándo los abiertos de un subespacio son también abiertos para el espacio? Proposición 1.16. Sean (X, T) un espacio y A ⊆ X. Entonces TA ⊆ T si y solo si A es abierto. IA N Ejercicios 1.4 O Demostración. Sea M ∈ TA es decir M = V ∩ A donde V ∈ T. Como A ∈ T tenemos V ∩ A ∈ T. 1. ¿Cómo es la topologı́a de subespacio para S 1 ⊆ R2 ? 2. En (R2 , verticales), pág. 13 ej. 1, ¿cómo son las topologı́as inducidas sobre R × {0} y {0} × R? .R UB 3. En Ru ¿cómo son las topologı́as heredadas para Q y para A = {1/n | n ∈ N} ∪ {0}? 4. En (R2 , lexicográfico) ¿cómo es la topologı́a inducida sobre la recta real y sobre I × I? 5. Sean (X, T) un espacio y A ⊆ X. Muestre que F ⊆ A es cerrado en (A, TA ) si y solo si F es la intersección de A con un subconjunto cerrado de X. G 6. En X = {1, 2} × N con el lexicográfico, todo unitario es abierto excepto uno; ¿de qué punto se trata? 7. Y ⊆ (X, ≤) se dice convexo si para todo a, b ∈ Y con a < b el intervalo (a, b) ⊆ Y . Muestre que en este caso las topologı́as TY y Y coinciden (ver ejemplo 1.28). T Espacios métricos O 2 .R UB IA N En este capı́tulo vemos los espacios métricos como una clase particular de espacios topológicos. Por supuesto que los espacios métricos, en sı́ mismos, son extremadamente importantes y dentro de la matemática merecen su propio espacio y por supuesto su propio texto. La presentación que aquı́ hacemos es con la finalidad de prepararnos —motivarnos, dar ejemplos— para las futuras definiciones en topologı́a concernientes a las nociones de cercanı́a y lı́mite, pero no pretendemos hacer una exposición tan siquiera incompleta. G Estos espacios —el concepto— fueron introducidos por el matemático francés Maurice René Fréchet (1878–1973) en 1906 y constituyeron uno de los pasos decisivos en la creación de la Topologı́a general. Se trataba de definir el concepto de ‘distancia’ de la manera más general posible para objetos matemáticos de naturaleza no especı́fica —no necesariamente puntos de Rn , curvas o funciones—. Con tan pocas condiciones (ver siguiente definición) Fréchet pudo introducir de nuevo todas las nociones topológicas introducidas hasta ese entonces para Rn , esto es, lı́mites, continuidad, vecindades para un punto, conjuntos abiertos, conjuntos cerrados, puntos de acumulación, compacidad, conexidad, etc. 2.1. Métrica Definición 2.1. Una métrica d para un conjunto X es una función d : X × X −→ R≥0 = [0, ∞) —toma valores en los números reales positivos— que satisface las siguientes condiciones para todo x, y, z ∈ X: 1. d(x, y) = 0 si y solo si x = y, 2. d(x, y) = d(y, x), 28 29 2.1 Métrica 3. d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y). El número d(x, y) se llama la distancia entre x y y. El par (X, d) se llama un espacio métrico. IA N Una consecuencia inmediata de 3 es O La desigualdad en 3, llamada la desigualdad triangular, nos recuerda el hecho de que la distancia más corta entre dos puntos es la que se toma directamente entre ellos —claro que el sentido del término distancia es algo que nosotros hemos definido por medio de d, a nuestro antojo—. |d(x, y) − d(z, y)| ≤ d(x, z) (2.1) .R UB puesto que d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) implica d(x, y) − d(z, y) ≤ d(x, z) e, intercambiando el papel de x por el de z, tenemos d(z, y) − d(x, y) ≤ d(z, x), con lo cual −d(x, z) ≤ d(x, y) − d(z, y) ≤ d(x, z). (2.2) Dados (X, d), x ∈ X y > 0, el conjunto de puntos y tales que d(x, y) < lo llamamos la bola abierta B (x). (Ver definición 2.8). EJEMPLO 2.1 G El conjunto R de los números reales, con la función d(x, y) = |x − y| es un espacio métrico. Este ejemplo incluye su curso de cálculo I en este texto. La desigualdad triangular es en este caso |x − y| ≤ |x − z| + |z − y|. Al reemplazar a = x − z, b = z − y tenemos la clásica desigualdad |a + b| ≤ |a| + |b|. EJEMPLO 2.2 Sea X el conjunto de pueblos en un mapa vial escogido; si definimos d(x, y) como la longitud del camino más corto entre todas las rutas que comunican a x con y, tenemos que d es una métrica. 30 Espacios métricos EJEMPLO 2.3 Métrica discreta. Si X es un conjunto cualquiera, la métrica discreta se define como: para x, y ∈ X ( 1 si x 6= y, d(x, y) := 0 si x = y. O EJEMPLO 2.4 IA N Dados x = (x1 , x2 , . . . , xn ), y = (y1 , y2 , . . . , yn ) dos puntos en Rn definimos d2 (x, y) = |x − y| = ((x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 + · · · + (xn − yn )2 )1/2 . (2.3) Esta métrica se llama distancia euclidiana —la manera de medir usual—. Para verificar la desigualdad triangular basta recordar las desigualdades de: .R UB Minkowski, n X (xi + yi )2 !1 n X 2 ≤ i=1 !1 xi 2 2 + i=1 n X !1 yi 2 2 (2.4) i=1 Bunjakovski-Cauchy-Schwartz, G n X i=1 |xi yi | ≤ n X !1 xi 2 i=1 2 n X !1 yi 2 2 (2.5) i=1 Para obtener la desigualdad triangular, aplicamos la desigualdad de Minkowski: d(x, y) + d(y, z) = |x − y| + |y − z| ≥ |(x − y) + (y − z)| = |x − z| = d(x, z). Podemos generalizar del ejemplo anterior y definir una métrica dp en Rn para cada número real p ≥ 1 —no necesariamente p = 2, i. e., tenemos una colección infinita de métricas— (ver fig. 2.4). 31 2.1 Métrica dp (x, y) := n X !1 |xi − yi | p p , (x, y ∈ Rn ). p ≥ 1, i=1 O El espacio métrico resultante es notado por algunos autores como lpn , de suerte que para el caso p = 2, que es la manera usual de medir en Rn , notamos l2n . EJEMPLO 2.5 IA N El espacio l∞ de todas las sucesiones acotadas. Sea l∞ el conjunto de todas las sucesiones acotadas de números reales, i. e., las sucesiones x = (x1 , x2 , ...) = (xn ) tales que supn |xn | < ∞. Si x = (xn ), y = (yn ) ∈ l∞ , definimos la métrica d∞ (x, y) = sup |xn − yn |. n .R UB Verifiquemos la desigualdad triangular. Si z = (zn ) ∈ l∞ , entonces |xn − yn | ≤ |xn − zn | + |zn − yn | ≤ sup |xn − zn | + sup |zn − yn | n n = d∞ (x, y) + d∞ (y, z). Por tanto, d∞ (x, y) = sup |xn − yn | ≤ d∞ (x, z) + d∞ (z, y). G n EJEMPLO 2.6 Sea C([0, 1], R) el conjunto de todas las funciones continuas de [0, 1] en R, y definamos la métrica d2 como d2 (f, g) = Z 1 0 (f (x) − g(x))2 dx 21 . Si tomamos el conjunto de todas las funciones, no necesariamente continuas, la fórmula anterior no define una métrica ¿por qué?. K 32 Espacios métricos EJEMPLO 2.7 Grupo lineal general GLn o GL(n, R). Denotemos por Mn (R) el conjunto de las matrices de tamaño n × n con entradas en R (ver ejemplo 1.26). Si cada matriz A = (aij ) se identifica con el punto 2 (a11 , . . . , a1n , a21 , . . . , a2n , . . . , an1 , . . . , ann ) ∈ Rn 2 IA N O entonces GL(n, R) queda identificado con Rn y por tanto lo podemos ver como un espacio métrico. Una matriz A es invertible (multiplicación) si existe una matriz B tal que AB = I = BA (donde I es la matriz identidad) o de manera equivalente Det(A) 6= 0 (determinante distinto de cero). En Mn (R) se distingue el subconjunto GL(n, R) o GLn (R) de las matrices invertibles. Por su sigla lo llamamos grupo lineal general. .R UB Recordemos que At denota la transpuesta de A, donde las filas de ij = Aji . Cada matriz define una función A : Rn → Rn como A(x) = Ax. At son las columnas de A, esto es, (At ) Una matriz A se llama ortogonal si es invertible con A−1 = At , i. e., AAt = I. EJEMPLO 2.8 G On o O(n, R). El subconjunto On ⊆ GLn de las matrices ortogonales, se llama grupo ortogonal y corresponde a las transformaciones lineales de Rn que preservan la longitud de los vectores, o de manera equivalente a las isometrı́as de Rn que fijan el origen. Si A ∈ On , entonces det(A) ∈ {1, −1} puesto que det(A)2 = det(A)det(At ) = det(AAt ) = det(I) = 1. EJEMPLO 2.9 El subconjunto SOn ⊆ On de las matrices A ∈ On con det(A) = 1 se llama grupo ortogonal especial y corresponde a las matrices que tienen determinante 1 y cuya inversa corresponde a su transpuesta. Este subconjunto coincide con las rotaciones de Rn alrededor del origen. 33 2.1 Métrica Para el caso 2–dimensional n = 2 tenemos SO2 . Dado un ángulo θ definimos las matrices cos θ −sen θ cos θ sen θ Rθ = Sθ = . sen θ cos θ sen θ −cos θ O Estas matrices son ortogonales y det(Rθ ) = 1, det(Sθ ) = −1. Por tanto Rθ ∈ SO2 y Sθ ∈ O2 − SO2 . Pero mucho más, cualquier matriz A ∈ SO2 es de la forma Rθ para algún θ y cualquier matriz A ∈ O2 −SO2 es de la forma Sθ para algún θ. IA N Rθ representa una rotación de medida θ en sentido contrario a las manecillas del reloj. Sθ representa una reflexión por la lı́nea que pasa por el origen en ángulo θ/2 con respecto al eje x. .R UB Una isometrı́a de Rn es una función f : Rn → Rn de la forma f (x) = Ax + a para alguna matriz ortogonal A ∈ On y algún vector a ∈ Rn . Denotamos por Isomn el conjunto de tales funciones. Como lo indica su nombre, una isometrı́a f preserva distancias, esto es, d(f (x), f (y)) = d(x, y) para todo x, y ∈ Rn . De manera recı́proca, para cualquier función f : Rn → Rn que preserva distancias existen A ∈ On y a ∈ Rn tal que f (x) = Ax + a para todo x ∈ Rn . Ejercicios 2.1 G 1. Dados (X, d),(Y, m) dos espacios métricos muestre que para x = (x1 , y1 ), y = (x2 , y2 ) con x, y ∈ X × Y las siguientes funciones definen métricas sobre X × Y : a) 1 d2 (x, y) := (d(x1 , x2 )2 + m(y1 , y2 )2 ) 2 . (2.6) Sugerencia: para la desigualdad triangular apóyese en la siguiente desigualdad: Si a, b, c, x,y, z son números reales no negativos con a ≤ b + c, x ≤ y + z, entonces (a2 + x2 )1/2 ≤ (b2 + y 2 )1/2 + (c2 + z 2 )1/2 . b) d∞ (x, y) := máx {d(x1 , x2 ), m(y1 , y2 )}. (2.7) 34 Espacios métricos c) d(x, y) := d(x1 , x2 ) + m(y1 , y2 ). (2.8) 2. Generalice las métricas del ejemplo anterior para un producto finito de espacios métricos. O 3. La métrica del mensajero. En el espacio euclidiano R2 , definimos la métrica m del mensajero como m(p, q) := d2 (0, p)+d2 (0, q) donde 0 = (0, 0), p, q ∈ R2 . Si p = q definimos m(p, q) = 0. IA N El mensajero reparte en p, vuelve a la oficina en 0 y sale nuevamente a repartir en q (figura 2.1). ¿Cómo es B1 (p), i.e., qué puntos pertenecen a esta bola? p• .R UB •q • Figura 2.1: La métrica del mensajero. 4. Sea X un conjunto no vacı́o. En X N definimos d, la métrica primeriza o de Baire como: dadas dos sucesiones x = (x1 , x2 , . . .), y = (y1 , y2 , . . .) en X, G d(x, y) := 1/k, si xn = yn para todo n < k y xk 6= yk . Es decir, k es la coordenada donde por primera vez las dos sucesiones difieren. Si xn = yn para todo n ∈ N, definimos d(x, y) = 0. Muestre que (X N , d) es un espacio métrico. En el caso en que X = N obtenemos la colección de todas las sucesiones de números naturales (el cual tiene la misma cardinalidad que R) y, como curiosidad, este espacio no es más que otra manera de describir al conjunto de los números irracionales vı́a ‘fracciones continuas’. 5. De acuerdo con el ejercicio anterior, el conjunto {0, 1}N de todas las cuerdas o palabras infinitas formadas con el alfabeto {0, 1} es un 35 2.1 Métrica espacio métrico. La distancia está dada en términos de la longitud k del primer prefijo que comparten. Algunos autores prefieren tomar para este caso concreto {0, 1}N la 1 distancia d(x, y) := k . 2 Veamos la desigualdad triangular para esta nueva métrica. Sean a, b, c sucesiones y mostremos que O d(a, b) ≤ max{d(a, c), d(c, b)}. .R UB Por tanto, IA N Sea k la longitud del mayor prefijo común entre a y c, y sea m la longitud del mayor prefijo común entre c y b. Si n = mı́n{k, m}, sabemos que las primeras n letras de a coinciden con las primeras n letras de c; y que las primeras n letras de c coinciden con las primeras n letras de b. Ası́, las primeras n letras de a coinciden con las primeras n letras de b. Luego, el prefijo común entre a y b tiene longitud al menos n. d(a, b) ≤ (1/2)n = (1/2)mı́n{k,m} k m (2.9) = máx{(1/2) , (1/2) } (2.10) = máx{d(a, c), d(c, b)}. (2.11) Esta última ultra–desigualdad implica la desigualdad triangular ya que máx{d(a, c), d(c, b)} ≤ d(a, c) + d(c, b). G 6. Un espacio ultramétrico X es un espacio métrico (X, d) en el cual la métrica d satisface la ultra-desigualdad triangular: d(x, z) ≤ máx{d(x, y), d(y, z)}. a) Muestre que los dos ejercicios anteriores son ejemplos de espacios ultramétricos. b) En un espacio ultramétrico cualquier punto de una bola (ver definición 2.8) puede ser su centro, i. e., si y ∈ Bε (x) entonces Bε (x) = Bε (y). Deduzca que dos bolas abiertas no disyuntas son comparables por la inclusión. c) Una bola cerrada es un conjunto abierto. d ) Una bola abierta es un conjunto cerrado. K 36 Espacios métricos 7. Sean (X, d) un espacio métrico y A ⊆ X. Muestre que la función d restringida a A × A define una métrica dA para A. Al espacio (A, dA ) lo llamamos subespacio métrico. 8. En X = ℘(N) defina d(A, B) = 0 si A = B, de lo contrario defina 1 donde k = mı́n{n : n ∈ (A ∪ B) − (A ∩ B)}. k 1 si y solo si A ∩ [1, m] = B ∩ [1, m]. m IA N Sugerencia: d(A, B) < O d(A, B) = 2.2. Espacios unitarios o euclidianos Recordemos que los espacios euclidianos Rn con la suma usual de vectores y el producto por escalar no son más que elementos canónicos de espacios vectoriales normados de dimensión finita. .R UB Definición 2.2. Un espacio vectorial —lineal— real es un conjunto V no vacı́o —los elementos de V se llaman vectores— sobre el cual está definida una operación binaria + llamada la adición de vectores, y una multiplicación escalar —multiplicación de un vector por un número real— que satisfacen las siguientes propiedades: para x, y, z ∈ V y α, β ∈ R tenemos 1. x + y = y + x. 2. x + (y + z) = (x + y) + z G 3. Existe un único 0 ∈ V —llamado el elemento cero— tal que x+0 = x para todo x. 4. A cada x corresponde un único elemento −x ∈ V —llamado el inverso aditivo de x— tal que x + (−x) = 0. Hasta aquı́, de 1, 2, 3 y 4 tenemos una estructura de grupo. 5. α(βx) = (αβ)x. 6. (α + β)x = αx + βx. 7. α(x + y) = αx + αy. 37 2.2 Espacios unitarios o euclidianos 8. 1x = x. Definición 2.3. Sea X un espacio vectorial real. Una norma para X es una función k k : X −→ [0, ∞) que a cada vector x le asocia el número real positivo kxk con las siguientes propiedades: 1. kxk = 0 si y solo si x = 0 —el vector módulo—. O 2. kλxk = |λ|kxk, para todo x ∈ X, λ ∈ R —homogeneidad absoluta– . IA N 3. kx + yk ≤ kxk + kyk, para x, y ∈ X —subaditiva o triangular—. Al par (X, k k) lo llamamos espacio —vectorial— normado. Como consecuencia de la subaditividad 3 tenemos .R UB kxk − kyk ≤ kx − yk, al tomar kxk = kx − y + yk ≤ kx − yk + kyk kyk = ky − x + xk ≤ ky − xk + kxk con lo cual −kx − yk ≤ kxk − kyk ≤ kx − yk. G Teorema 2.4. Si (X, k k) es un espacio vectorial normado, la fórmula d(x, y) := ky − xk define una métrica para X. Demostración. 1, 2 y 3 de la definición de métrica son inmediatas. Para la desigualdad triangular notemos que d(x, y) + d(y, z) = ky − xk + kz − yk ≥ k(y − x) + (z − y)k = kz − xk = d(x, z). Decimos que la métrica es inducida por una norma. 38 Espacios métricos Cada espacio normado es de manera intrı́nseca un espacio métrico. Esta métrica es invariante por traslaciones, i. e., d(x, y) = d(a + a, y + a) para todo vector x, y, a. O Por geometrı́a, los vectores de Rn también poseen un producto escalar o punto; es decir, no son más que ejemplos de espacios vectoriales con producto interior. IA N Definición 2.5. Un producto interior —o un producto escalar— para un espacio vectorial real X es una función h , i : X × X −→ R que a cada par (x, y) le asocia el número real hx, yi y satisface: 1. hx, xi ≥ 0, y hx, xi = 0 si y solo si x = 0 —definido positivo—. 2. hx, yi = hy, xi —simetrı́a—. .R UB 3. hλx + µy, zi = λhx, zi + µhy, zi, para x, y, z ∈ X, λ, µ ∈ R. Al par (X, h , i) lo llamamos espacio unitario o euclidiano o espacio pre-Hilbert. Teorema 2.6. Sea (X, h , i) un espacio unitario. La fórmula p kxk := hx, xi define una norma para X. G Demostración. Para la demostración basta verificar las siguientes dos desigualdades clásicas (Bunjakovski-Cauchy-Schwartz) |hx, yi|2 ≤ hx, xihy, yi, (2.12) |hx, yi| ≤ kxk kyk. (2.13) Decimos en este caso que la norma es inducida por el producto interior. EJEMPLO 2.10 En Rn veamos las siguientes normas y sus respectivas métricas inducidas: 39 2.2 Espacios unitarios o euclidianos 1. La métrica d1 conocida como métrica del taxista y definida por d1 (x, y) = |x1 − y1 | + |x2 − y2 | + · · · + |xn − yn |; la norma en este caso es kxk1 = |x1 | + |x2 | + · · · + |xn |. O 2. La métrica euclidiana d2 inducida por la norma IA N kxk2 = (x21 + x22 + · · · x2n )1/2 , la cual proviene del producto interior hx, yi = x1 y1 + x2 y2 + · · · + xn yn , con lo cual .R UB d2 (x, y) = ((x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 + · · · + (xn − yn )2 )1/2 . 3. Los subı́ndices 1, 2 de las anteriores métricas d1 , d2 no son en manera alguna fortuitos, son casos particulares de la siguiente definición más general. Para cada número real p ≥ 1 definimos kxkp := (|x1 |p + · · · + |xn |p )1/p . G Esta norma nos induce la métrica dp definida por (ver definición de la pág. 31) dp (x, y) := n X !1 |xi − yi |p p , (x, y ∈ Rn ). i=1 4. La métrica d∞ del sup definida como —¿por qué el sı́mbolo ∞?— d∞ (x, y) = máx{|x1 − y1 |, |x2 − y2 |, . . . , |xn − yn |} la cual es a su vez inducida por la norma kxk∞ := máx{|x1 |, |x2 |, . . . , |xn |}. 40 Espacios métricos EJEMPLO 2.11 El espacio l∞ de todas las sucesiones acotadas (ejemplo 2.5) es un espacio vectorial con la suma usual (xn )n + (yn )n = (xn + yn )n y multiplicación por escalar α(xn )n = (αxn )n . Si para x ∈ l∞ definimos kxk = sup |xn | n O entonces la métrica d∞ es inducida por esta norma. EJEMPLO 2.12 IA N El siguiente espacio métrico es un clásico de la topologı́a y del análisis funcional; por esto, lo discutimos de manera amplia y reiterada. El espacio de Hilbert H, también notado como l2 : .R UB Si en RN —el espacio vectorial formado por el conjunto de todas las sucesiones en R con las operaciones usuales de suma de sucesiones y multiplicación por escalar— quisiéramos definir una métrica modelando la métrica euclidiana para el caso finito Rn , tendrı́amos que dadas dos sucesiones x = (x1 , x2 , . . .), y = (y1 , y2 , . . .), la suma infinita ∞ X (xi − yi )2 !1 2 (2.14) i=1 G debe ser un número real y, por tanto, debemos restringirnos a un subconjunto H de RN . El espacio de Hilbert1 H está formado por el conjunto todas P∞ de 2 las sucesiones x = (xn ) de números reales tales que n=1 xn < ∞. H provisto de la adición y del producto escalar para sucesiones es un espacio vectorial real de dimensión infinita —subespacio de RN —. 1 El nombre dado a estos espacios es en honor al matemático alemán David Hilbert (1862, Königsbergl-1943, Göttingen, Alemania), quien los utilizó en su estudio de las ecuaciones integrales. Hilbert invitó a Einstein a Göttingen para que impartiera una semana de lecciones entre junio y julio de 1915 sobre relatividad general y su teorı́a de la gravedad en desarrollo. El intercambio de ideas llevó a la forma final de las ecuaciones de campo de la Relatividad General. Aunque Einstein y Hilbert no llegaron nunca a una disputa pública sobre prioridad, ha habido discusión sobre a quién corresponde el mérito del descubrimiento de las ecuaciones de campo. 41 2.2 Espacios unitarios o euclidianos La función h , i : H × H −→ R definida para x = (xn ), y = (yn ) ∈ H como ∞ X (x, y) 7→ hx, yi = xk yk (2.15) k=1 k=1 ∞ X !1/2 ∞ X !1/2 IA N hx, yi ≤ ∞ X O es simétrica, bilineal y definida positivamente, luego es un producto interior sobre H. Para verificar la buena definición, esto es, que efectivamente la serie correspondiente a hx, yi es un número, basta tomar lı́mites en la desigualdad (2.4) para los espacios Rn y obtenemos la siguiente desigualdad, la cual asegura que la serie converge absolutamente |xk ||yk | ≤ x2k yk2 . (2.16) k=1 k=1 Por tanto, el par (H, h , i) es un espacio euclidiano de dimensión infinita —será de Hilbert cuando demostremos que es completo—. .R UB De otra parte, tenemos canónicamente asociada a este espacio una métrica d inducida por la norma asociada a este producto interior d(x, y) = kx − yk = ∞ X !1/2 (xk − yk ) 2 (2.17) k=1 G Hablamos de el espacio de Hilbert —un espacio euclidiano, completo, separable y de dimensión infinita— en honor a David Hilbert; la unicidad por cuanto este espacio es único salvo isomorfismo. Este último hecho no es trivial, pues aunque todo espacio euclidiano n-dimensional siempre es isomorfo a Rn , no es verdad que todo par de espacios euclidianos infinito-dimensionales lo sea. Por ejemplo, el espacio (C 2 ([0, 1], R), m) con m definida como m(f, g) := Z 1 0 12 [f (t) − g(t)] dt 2 no es isomorfo a l2 pues el primero no es completo mientras que el segundo sı́ lo es. 42 Espacios métricos ..... ....... .. ... .. ... ....................... ....................... ... .. ....................... ... ...................... ... ....................... . . . . . . . . . . ... . ... . . . . . . . . . . . .. ................. . . . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . . . ..... . ... ..... ... ........ ... . ... ... ... ... .. .. . ... . . . . . ... ... ... ... ... ... .. ... ... .. ... ... . . . . . . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . ... .... ... .. ... ... .............. . ....................... .... .... .... ....................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ... . . . . ......... ....................... ....... ....................... .... ....................... .................................................................................................................................................................................................................................................................................. .. .... ... .. ...... .. .... ..f − g ... . . .. .... . . . .... .. .... .... .. .. ... ... .... .. . . . . .. .... . . .... .. ...f. ..+ g . . . .. .... . .. . . . . . . .. O .. .... .. ..... IA N Figura 2.2: La ley del paralelogramo. 2.2.1. Caracterización de los espacios euclidianos .R UB Dado V un espacio vectorial —lineal— real y normado, miremos bajo qué circunstancias V es euclidiano —posee un producto escalar—. En otras palabras, buscamos condiciones adicionales sobre la norma de V que nos garanticen que dicha norma es inducida por cierto producto escalar definido en V . Teorema 2.7. Una condición necesaria y suficiente para que un espacio lineal normado V sea euclidiano es que kf + gk2 + kf − gk2 = 2 (kf k2 + kgk2 ) (2.18) para cada f, g ∈ V . G Demostración. Si pensamos en f + g y f − g como las diagonales del paralelogramo en V con lados f y g la igualdad (2.18) puede ser interpretada como el análogo de la familiar propiedad del paralelogramo en el plano: ‘la suma de los cuadrados de las diagonales de un paralelogramo es igual a la suma de los cuadrados de sus lados’. La necesidad de (2.18) es clara, ya que si V es euclidiano entonces kf + gk2 + kf − gk2 = hf + g, f + gi + hf − g, f − gi = hf, f i + 2hf, gi + hg, gi + hf, f i − 2hf, gi + hg, gi = 2 (kf k2 + kgk2 ). (2.19) Para probar que (2.18) es suficiente, definamos hf, gi = 1 kf + gk2 − kf − gk2 4 (2.20) 43 2.2 Espacios unitarios o euclidianos y mostremos que si (2.18) se tiene, entonces (2.20) posee las propiedades de un producto escalar —la igualdad en (2.20) se tiene en todo espacio con producto interior y expresa el producto en términos de la norma—. Por (2.20) tenemos hf, f i = 1 k2f k2 + kf − f k2 = kf k2 4 (2.21) De (2.20) y (2.21) tenemos que O lo cual muestra que este producto escalar efectivamente genera la norma. IA N 1. hf, f i ≥ 0 donde hf, f i = 0 si y solo si f = 0, 2. hf, gi = hg, f i. La demostración de las propiedades de linealidad .R UB hf + g, hi = hf, hi + hg, hi hαf, gi = αhf, gi requiere de más trabajo y se deja como ejercicio de consulta. EJEMPLO 2.13 En C([0, 1], R) definimos la distancia d∞ entre dos funciones f, g por d∞ (f, g) = sup {|f (x) − g(x)| : x ∈ I}. G Lo que es equivalente a definir en C(I) la norma kf k∞ = sup{|f (x)| : x ∈ I}. d∞ es conocida como la distancia uniforme. La desigualdad triangular d∞ (f, h) ≤ d∞ (f, g) + d∞ (g, h) (2.22) se sigue del hecho que para cada x ∈ I se tiene |f (x) − h(x)| ≤ |f (x) − g(x)| + |g(x) − h(x)| (2.23) 44 Espacios métricos y por tanto, sup |f (x) − h(x)| ≤ sup |f (x) − g(x)| + sup |g(x) − h(x)| x x x (2.24) ya que sup(A + B) ≤ sup A + sup B. EJEMPLO 2.14 kf k∞ = kgk∞ = 1, O C([0, π/2], R) con la norma k k∞ no es euclidiano. Consideremos el par de funciones f (t) = cos(t) y g(t) = sen(t). Entonces kf − gk∞ = max0≤t≤π/2 : cos(t) − sen(t) := con lo cual √ 2, IA N kf + gk∞ = max0≤t≤π/2 : cos(t) + sen(t) := √ 1, kf + gk2∞ + kf − gk2∞ 6= 2(kf k2∞ + kgk2∞ ). .R UB Por lo tanto, la norma no puede ser generada por ningún producto escalar. Lo mismo es cierto para el espacio (C[a, b], R) para cada a < b. EJEMPLO 2.15 G De manera más general: sean (Y, d) un espacio métrico con una métrica J acotada d y J un Q conjunto cualquiera no vacı́o. Sobre el conjunto Y = Hom(X, Y ) = j∈J Y de todas las funciones de J en Y definimos la métrica uniforme d∞ (f, g) = sup{d(f (j), g(j)) : j ∈ J}. Ejercicios 2.2 1. Un segmento de recta ab en R2 puede ser descrito como {x : d2 (a, x) + d2 (x, b) = d2 (a, b)}. ¿Cómo luce esta definición, i. e. este conjunto, si la métrica involucrada es d1 ? Haga la misma reflexión con la definición de circunferencia, elipse, parábola, etc. 2. Muestre que una métrica d en un espacio vectorial real X proviene de una norma si y solo si es compatible con la estructura lineal del espacio, esto es, si se satisface: 45 2.3 Topologı́a para una métrica a) d(x + a, y + a) = d(x, y), para todo a, x, y ∈ X (invarianza por traslación). b) d(λx, λy) = |λ|d(x, y) para λ ∈ R, x, y ∈ X (homogeneidad ). Sugerencia: Defina kxk = d(x, 0). Por supuesto no toda métrica en un espacio vectorial proviene de una norma; ¿por qué? O Por lo anterior, dado un espacio vectorial, entre las normas arbitrarias y los espacios métricos homogéneos e invariantes por traslación, existe una correspondencia biunı́voca natural. IA N 3. Rnp o lpn no es euclidiano si p 6= 2 —la norma no puede ser generada por un producto escalar—. Sugerencia: considere el par de vectores u = (1, 1, 0, . . . , 0) y v = (1, −1, 0, . . . , 0). 4. El siguiente ejercicio generaliza los ejemplos 2.5 y 2.13. Sea X conjunto. La colección .R UB E = {f | f : X −→ R, acotada} es un espacio vectorial con las operaciones usuales de suma de funciones y multiplicación por escalar. Para cada f ∈ E definimos kf k = sup |f (x)|. (2.25) x∈X Muestre que en efecto se trata de una norma y dé una generalización. G 5. Hilbert generalizado. Para cada p ≥ 1 definimos el conjunto lp de todas las sucesiones números reales, x = (x1 , x2 , ...) = (xn )n Pde ∞ p tales que la serie n=1 |xn | < ∞. Si x, y ∈ lp , muestre que x − y ∈ lp y que la función dp es una métrica en lp , donde p d (x, y) = ∞ X !1 |xn − yn | p p . n=1 2.3. Topologı́a para una métrica Dado un espacio métrico (X, d), existen unos subconjuntos relevantes de él, capaces de describir a los vecinos de un punto controlando la 46 Espacios métricos distancia —grado de cercanı́a— y que además serán los encargados de definirnos la topologı́a inherente a la métrica. Definición 2.8. Sean x ∈ (X, d) y ε > 0 un número real. Los conjuntos (2.26) Bε (x) = {y : d(x, y) ≤ ε}, (2.27) Sε (x) = {y : d(x, y) = ε} (2.28) O Bε (x) = {y : d(x, y) < ε}, • • .R UB • IA N son respectivamente, la bola abierta, la bola cerrada y la esfera de centro en x y de radio ε en el espacio (X, d). G Figura 2.3: Bola abierta, bola cerrada y esfera en R2 . Figura 2.4: B1 ((0, 0)) para p = 1, 2, 7 en R3p . EJEMPLO 2.16 En R32 una bola tiene efectivamente la forma de una ‘bola usual’; pero esto está bien lejos de suceder cuando utilizamos en R2 otras métricas diferentes a la usual, como en R31 y R37 (fig. 2.4) donde una bola puede tener otras formas, pero al fin bolas. 47 2.3 Topologı́a para una métrica EJEMPLO 2.17 IA N f +ε O En el espacio (C([0, 1]), d∞ ) (ejemplo 2.13) las bolas abiertas toman una forma muy especial (fig. 2.5), son franjas abiertas llenas de todos los segmentos continuos imaginables —no se alza la mano del papel al trazarlos— i. e., dados ε > 0 y f ∈ C(I, R), la bola Bε (f ) consiste de todas las funciones que permanecen estrictamente dentro del área acotada por las funciones f − ε, f + ε. f f −ε .R UB Figura 2.5: Bola abierta en la métrica d∞ para C([0, 1], R). Contrario al caso anterior, para la métrica Z 1 d1 (f, g) = |f (x) − g(x)|dx 0 (2.29) sobre [0, 1], las bolas son muy difı́ciles de imaginar. Teorema 2.9. Si (X, d) es un espacio métrico, entonces el conjunto (2.30) G B = {Bδ (x) : x ∈ X, δ > 0} de todas las bolas abiertas es base para una topologı́a en X. Demostración. Sean Bδ (x), Bε (y) dos bolas y p ∈ Bδ (x) ∩ Bε (y). Si r > 0 es tal que r < m, donde m = mı́n{δ − d(p, x), ε − d(p, y)}, la bola Br (p) está contenida en la intersección de las dos bolas dadas (fig. 2.6). En efecto, veamos primero que Br (p) ⊆ Bδ (x); a partir de la desigualdad triangular tenemos que si d(t, p) < r entonces d(t, x) ≤ d(t, p) + d(p, x) < r + d(p, x) ≤ δ − d(p, x) + d(p, x) ≤ δ. 48 Espacios métricos x ◦• y • ε p • IA N O δ Figura 2.6: Las bolas en un espacio métrico forman una base. De manera similar se muestra la otra contenencia. .R UB Definición 2.10. La topologı́a T asociada a la base formada por la totalidad de las bolas abiertas se llama topologı́a inducida o generada por la métrica d, y la notamos T = hdi. La definición anterior nos permite crear una clase muy especial de espacios topológicos. Cuando un espacio topológico (X, T) tiene una topologı́a tal que T = hdi para alguna métrica d, decimos que el espacio (X, T) es metrizable, o que su topologı́a proviene de una métrica. Las preguntas obligadas son: G 1. ¿Todo espacio topológico es metrizable? 2. ¿Pueden métricas diferentes inducir la misma topologı́a? 3. ¿Cómo saber cuándo un espacio es metrizable? 2.3.1. Métricas equivalentes Una métrica induce una base, ası́ que la pregunta 2 puesta en términos de bases nos conduce a la siguiente definición. Definición 2.11. Dos métricas d, m en un conjunto X se dicen topoló- 49 2.3 Topologı́a para una métrica gicamente equivalentes —notamos d ≡ m— si generan la misma topologı́a; esto es, hdi = hmi. La primera contenencia hdi ⊆ hmi de la igualdad hdi = hmi implica que cada bola en d se puede expresar como una unión de bolas en m, y lo recı́proco para la otra contenencia. x O IA N y ε En términos más explı́citos, dada Bεd (x) —una bola ‘cuadrada’ en d— y un punto y con y ∈ Bεd (x), es posible encontrar una bola Bδm (y) —‘redonda’ en m y de centro en y— de tal manera que .R UB y ∈ Bδm (y) ⊆ Bεd (x). También debemos tener lo recı́proco para la otra contenencia. ¿Por qué podemos escoger la bola Bδm (y) de suerte que resulte centrada en y? Más aún, para la equivalencia topológica entre dos métricas nos podemos reducir a la respectiva contenencia de bolas centradas en el mismo punto; esto es, para cada x ∈ X dada Bεd (x) existe Bδm (x) ⊆ Bεd (x) y viceversa. G Definición 2.12. Un espacio métrico (X, d) es acotado si la función d es acotada. De manera más general, dado A ⊆ (X, d) definimos el diámetro de A como diam(A) := sup{d(x, y) : x, y ∈ A}. En caso que diam(A) < ∞ decimos que A es acotado. El diámetro de A es la distancia entre los puntos más distantes en A (si tales puntos existen). Por ejemplo, en R si A = [0, 1) su diámetro es 1 sin que tales puntos de A existan. 50 Espacios métricos EJEMPLO 2.18 Dado el espacio métrico (X, d), definimos dos nuevas métricas: 1. e(x, y) := mı́n{1, d(x, y)}. d(x, y) . 1 + d(x, y) 2. f (x, y) := B f r (x) ⊆ Brd (x) 1+r IA N O Tanto e como f son métricas acotadas por 1, y lo que es aún más interesante, d ≡ e y d ≡ f . En efecto, dada la métrica d y la métrica asociada e = mı́n{1, d} tenemos que para la bola Brd (x) —radio r en la métrica d— al tomar s = mı́n{1, r} se satisface Bse (x) ⊆ Brd (x). La otra inclusión d es obvia. Para el caso f = es fácil verificar que 1+d y B d r (x) ⊆ Brf (x), r < 1. 1−r .R UB Por tanto, toda métrica es topológicamente equivalente a una métrica acotada. El ejemplo anterior muestra que el espacio topológico asociado a X por medio de las métricas d y e es el mismo. Luego la propiedad de acotamiento es exclusivamente métrica, que la perdemos cuando pasamos a estructuras más generales, como es el caso de la topológica. G Definición 2.13. Decimos que dos métricas d, m para un mismo conjunto X, son métricamente equivalentes o fuertemente equivalentes (ver teorema 2.14) si existen dos números reales positivos s, t tales que para todo par de puntos x, y ∈ X se satisface d(x, y) ≤ s m(x, y) , m(x, y) ≤ t d(x, y). (2.31) Teorema 2.14. Ser métricamente equivalentes implica ser topológicamente equivalentes. Demostración. Sean d, m dos métricas que son métricamente equivalentes; por lo tanto, existen dos números s, t que satisfacen la definicim (x) ⊆ B d (x) lo ón 2.13. Dada la bola abierta Bεd (x) tenemos que Bε/s ε d (x) ⊆ B m (x) y por tanto cual muestra hdi ⊆ hmi. Similarmente Bε/t ε hmi ⊆ hdi. 51 2.3 Topologı́a para una métrica EJEMPLO 2.19 O El recı́proco del teorema anterior no es cierto. Sabemos que toda métrica d es topológicamente equivalente a la métrica e = mı́n{1, d}; pero claramente d, e no tienen por qué serlo métricamente. Por ejemplo, en el caso de Rnu no es posible encontrar s > 0 que satisfaga d(x, y) ≤ se(x, y) para todo par de puntos x, y ∈ Rnu . Sin embargo, la métrica e es métricad mente equivalente a la métrica f = pues tenemos la desigualdad 1+d f ≤ e ≤ 2f . IA N Normas equivalentes. Para el caso de un espacio vectorial normado, decimos que dos normas k k1 , k k2 son topológicamente o métricamente equivalentes si las respectivas métricas asociadas lo son. De otra parte, decimos que ellas son equivalentes si existen s, t ∈ R>0 tales que, k k1 ≤ sk k2 y k k2 ≤ tk k1 —las notamos k k1 ≡ k k2 —. .R UB En este caso de los espacios normados no tenemos necesidad de distinguir, como pasaba en los espacios métricos, entre distintas formas de equivalencia ya que estas tres definiciones de equivalencia son iguales, con lo cual podemos utilizar simplemente el adjetivo normas equivalentes. Más aún, es posible demostrar que en un espacio vectorial normado de dimensión finita, todas las normas son equivalentes. EJEMPLO 2.20 G n son topológicamente equivalentes. Para esto, Las métricas l1n , l2n y l∞ basta mostrar la desigualdad ∞√ Br/ (x) ⊆ Br1 (x) ⊆ Br2 (x) ⊆ Br∞ (x). 2 Para el caso del plano, al graficar las bolas B1 ((0, 0)) para cada una de las métricas dp , obtenemos la figura 2.7 donde, en la medida en que p crece, obtenemos una deformación continua del rombo de d1 al cuadrado de d∞ , en que la circunferencia en d2 no es más que un paso en el camino. La justificación de la notación d∞ para la métrica del sup la obtenemos del siguiente lema. K 52 Espacios métricos 1 0.5 -0.5 1 0.5 O -1 IA N -0.5 -1 .R UB Figura 2.7: B1 ((0, 0)) para p=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 en R2p . Lema 2.15. Para cada x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn se tiene que lı́m kxkp = máx{|x1 |, . . . , |xn |} = kxk∞ . p→∞ Demostración. Es claro que kxkp∞ ≤ |x1 |p + · · · + |xn |p ≤ nkxkp∞ . (2.32) G Si a cada lado de la desigualdad elevamos a la potencia 1/p, obtenemos kxk∞ ≤ kxkp ≤ n1/p kxk∞ . (2.33) Como n1/p → 1 cuando p → ∞, tenemos nuestro lı́mite. Notemos que la desigualdad en 2.33 muestra que para cada p la norma k kp es equivalente a k k∞ , con lo cual todas las k kp son equivalentes en Rn , esto es, inducen la misma topologı́a. En la definición de la métrica dp para los espacios Rn (ver recuadro pág. 30) la condición p ≥ 1 no debe pasar desapercibida, puesto que en el caso p < 1 no obtenemos una norma y por lo tanto no inducimos una métrica. Por ejemplo, para p = 1/2 y n = 2 la desigualdad triangular no se verifica en el caso de los puntos x = (1, 1), y = (0, 0), z = (1, 0) pues d(x, y) = 4 mientras que d(x, z) = d(z, y) = 1. 53 2.3 Topologı́a para una métrica EJEMPLO 2.21 O Una máquina para construir métricas equivalentes. Dados un espacio métrico (X, d) y una función f : R+ → R+ estrictamente creciente, con f (0) = 0 y f (u + v) ≤ f (u) + f (v), la compuesta f ◦ d es una métrica. Si además f es continua en 0, las dos métricas f y f ◦ d son topológicamente equivalentes. Verifiquemos, antes de todo, que m = f ◦ d definida como m(x, y) = f (d(x, y)) es una métrica. IA N 1. m(x, y) es positiva por la definición de f . Por ser f creciente tenemos que f (d(x, y)) = 0 implica d(x, y) = 0 con lo cual x = y. Para la recı́proca de ésta afirmación recordemos que f (0) = 0. 2. La simetrı́a en m es consecuencia de la simetrı́a en d. 3. La desigualdad triangular, m(x, z) = f (d(x, z)) ≤ f (d(x, y) + d(y, z)) .R UB ≤ f (d(x, y)) + f (d(y, z)) = m(x, y) + m(y, z)). G Para verificar que las dos métricas nos llevan a la misma topologı́a, debemos tener las contenencias entre las respectivas bolas. Como f es continua en 0, dado ε > 0, existe δ > 0 tal que x < δ implica f (x) < ε. Por tanto d(x, y) < δ implica m(x, y) = f (d(x, y)) < ε, lo cual no es más que contenencia entre bolas. Por ser f creciente se verifica que si m(x, y) = f (d(x, y)) < f (ε) entonces d(x, y) < ε, con lo cual tenemos la otra contenencia entre las bolas. A manera de ejemplo, notemos que las funciones αu (para α > 0), u , 1+u log(1 + u), mı́n{1, u}, arctan u satisfacen las condiciones para f . ¿Qué métricas son inducidas por estas funciones? 54 Espacios métricos 1 Para el caso X = R con la métrica usual del valor absoluto, y la función f (u) = arctan u tenemos que su compuesta produce la métrica f (d(x, y)) = | arctan x − arctan y|. IA N O Esta nueva métrica mide el ángulo (medido en radianes) entre las recy x tas descritas por la figura —en este caso se restan, pero si x y y tienen diferente signo entonces se suman—. Es una métrica acotada por π, y además resulta ser topológicamente equivalente con la usual ya que la función f es continua en 0. .R UB En el sentido contrario a como hemos desarrollado esta última sección, obtenemos una pregunta que ha influenciado el desarrollo de la Topologı́a: dado un espacio topológico (X, T) ¿existe una métrica d para X tal que la topologı́a T sea inducida por d? El estudio de la metrizabilidad, es decir, la búsqueda de condiciones necesarias y/o suficientes para que una topologı́a provenga de una métrica, es un capı́tulo abierto a la investigación con sus propios teoremas, algunos de ellos clásicos en la literatura matemática. G Ningún espacio topológico (X, T) donde X es un conjunto finito y T no es la discreta, es metrizable. En otras palabras, si (X, d) es métrico con X finito, siempre tenemos que hdi = discreta. Ejercicios 2.3 1. Muestre que la relación de equivalencia topológica para las métricas es en efecto una relación de equivalencia. 2. ¿Cómo son las bolas en la métrica del mensajero? —ver pág. 34—. 3. A partir de la definición de elipse en la métrica usual, ¿cómo es una elipse, una circunferencia, una recta para la métrica del taxista? 4. Dados dos espacios métricos (X, m), (Y, n) muestre que las métricas d1 , d2 , d∞ (ejercicio 1 de 2.1) son equivalentes. 55 2.3 Topologı́a para una métrica Sugerencia: para todo par de puntos x, y ∈ X × Y se verifica d∞ (x, y) ≤ d2 (x, y) ≤ d1 (x, y) ≤ 2d∞ (x, y). 5. Generalice el problema anterior para un producto finito cualquiera de espacios métricos. O 6. Muestre que toda métrica sobre un conjunto finito genera la topologı́a discreta. IA N 7. Dé un ejemplo de una métrica sobre un conjunto enumerable que no genera la topologı́a discreta. 8. Ya hemos definido la métrica d∞ del sup para el conjunto de las funciones continuas C([0, 1], R). Pero la notación nos lleva a conjeturar la existencia de toda la gama de métricas dp para p ≥ 1 —notamos C p [0, 1] = ((C[0, 1], R), dp )— que mide la distancia entre dos funciones f, g asignándoles el número .R UB Z 1 dp (f, g) := 0 p |f (x) − g(x)| p1 . El estudio de estas métricas se sale de las pretensiones de este texto. Pero para el caso concreto de p = 1, 2 muestre que efectivamente se trata de métricas y que a) hd∞ i * hd2 i. b) hd2 i ⊆ hd∞ i. c) hd1 i * hd∞ i. G d ) hd∞ i * hd1 i. Sugerencia caso a: Para la desigualdad triangular en d2 apóyese en la desigualdad de Schwartz Z b a 2 Z b Z b 2 f (t)g(t)dt ≤ f (t)dt g 2 (t)dt. a a Para negar la contenencia considere la sucesión de funciones continuas {gn } —figura 1.5— definidas como ( 1 − nx si 0 ≤ x ≤ n1 gn (x) = 0 si n1 ≤ x ≤ 1 56 Espacios métricos ...... ........... .... ... ...................... ........... .... ... . .. ................. ...... .... .. ...... ... ... .. . .... .. ......... ..... ... .. ... .. ... .... ... ... ... ... .... ... ... ... ... ... .. ... ... ... .... . .. . .... ... .... .... ..... ... .. ... ... ... .... ... ... ... ... ... ... ... ... .... . ... .. ... ... . .... ... ... ..... ... ... .. ... . ... .... .. ... ... ... . ... ... .. .... . . .. ... .. ... ... . .. .... . ... .. ... ... ... .... ... .... ... ... ... . ... ... .. ... ... .... . ... ... ... ... . ... .... ... ... ... ... .. . . ... .. ... .... . . . ... ... ... ... .. .... . .. .. . .. 1 n 1 1 4 3 1 2 1 x IA N 1 O y Figura 2.8: Las funciones gn . .R UB Note que cada gn tiene un segmento de recta en el eje X cada vez más largo. Es fácil ver que r 1 d2 (0, gn ) = 3n mientras que d∞ (0, gn ) = 1. Luego la bola B1/2 (0) en d∞ de centro la función nula y con radio 1/2, no contiene a ninguna gn , con lo cual, no existe en d2 alguna bola centrada en la función nula, que pueda estar contenida en B1/2 (0) ya que 1/3n → 0 cuando n → ∞. Sugerencia caso c: tome δ = ε. G Sugerencia caso d : considere la sucesión de funciones continuas {gn } definidas como ( 1 −4nx + 4 si 0 ≤ x ≤ 2n gn (x) = 1 2 si 2n ≤ x ≤ 1. Para la función constante f (x) = 2 verifique que cada gn ∈ B 11 (f ) y gn ∈ / B1∞ (f ). n Esta contenencia no se tiene, pues siempre podemos encontrar funciones g tales que su integral (área bajo la curva) sea tan pequeña como queramos y sin embargo tengan una ‘punta’ tan larga como queramos. Bases y numerabilidad O 3 .R UB 3.1. 2-contable IA N Un espacio (X, T) puede poseer muchas bases, siendo la mayor de todas la misma T. Cuando en un espacio tenemos en cuenta la cardinalidad de las bases, motivamos las siguientes definiciones, cuyos nombres responden más a un carácter histórico que descriptivo. Definición 3.1. Un espacio (X, T) se dice 2-contable si entre sus bases existe alguna con un número enumerable —finito o infinito— de elementos. G Esta condición impone una cota al número de abiertos en la topologı́a (ver ejercicio 12 de la pág. 63). También nos dice que la topologı́a puede ser descrita en términos de un número contable de piezas de información. EJEMPLO 3.1 Ru es 2-contable. Por supuesto la base formada por todos los intervalos abiertos no es enumerable, pero de ella podemos extraer la subfamilia enumerable B = {(p, q) : p < q, p, q ∈ Q}. Esta subfamilia es de nuevo una base —verifı́quelo!— y es enumerable ya que su cardinal es el mismo de Q × Q. EJEMPLO 3.2 (R, cof initos) no es 2-contable. 57 58 Bases y numerabilidad Supongamos que existiera una base enumerable B = {B1 , BS 2 , . . .}. Cac es finito, con lo cual c da B es un abierto y por tanto B n i=1 Bn = T n (T i=1 Bn )c es un conjunto enumerable, luego existe un elemento y ∈ n=1 Bn y como R − {y} es un abierto, debe existir un j ∈ N para el cual Bj está contenido en él, pero esto es imposible ya que para todo n ∈ N se tiene y ∈ Bn . O EJEMPLO 3.3 X = (RN , primeriza) no es 2-contable (ver ej. 4 de la pág. 34). .R UB IA N Recordemos que en este espacio lo que importa es el comportamiento inicial de las sucesiones, a diferencia de lo ‘usual’ en sucesiones, donde importa el comportamiento final. Si existiera una base B = {B1 , B2 , . . .}, por cada n ∈ N tomamos un elemento (i. e., una sucesión) tn = (tnk )∞ k=1 ∈ n ∞ Bn . Ası́, la sucesión {t1 }n=1 está formada por la primera coordenada de cada sucesión tn . Construimos ahora una sucesión q = (qn ) en la cual q1 6= tn1 para cada n, con lo que la primera componente de q es diferente de la primera componente de cada una de las sucesiones tn , lo que implica tn ∈ / B1/2 (q) para todo n, puesto que al diferir q y tn en su primera componente, ya están lo más lejanas posible, esto es d(q, tn ) = 1. Ası́ que ninguna Bn de la base puede estar contenida en B1/2 (q). EJEMPLO 3.4 G El espacio H de Hilbert es 2-contable. Definimos una base B enumerable de la manera siguiente. S Sea D = Dn , (n ∈ N) donde Dn := {(xn ) ∈ H, xn ∈ Q : si k > n entonces xk = 0}. D está constituido de todas las sucesiones en H formadas por números racionales y a la larga constantes a cero. D es enumerable. Definimos B := {Br (d) : d ∈ D, r ∈ Q}. B es enumerable. Para verificar que B es una base, probaremos que cualquier abierto U ⊆ H es reunión de bolas en B. En efecto, dado 59 3.2 1-contable t = (tk ) ∈ U existe una bola Bε (t) ⊆ U . Ahora veamos que podemos encontrar una bola Br (q) (q ∈ D, r ∈ Q) P con 2la propiedad que t ∈ Br (q) ⊆ Bε (t). Como t ∈ H, sabemos que k=1 tk es convergente y por tanto existe un término xN en la sucesión, a partir del cual la suma de la serie es menor que ε2 /9, esto es X t2k < ε2 /9. k=N +1 ε2 , 9N IA N |qk − tk | < O De otra parte, para cada k = 1, 2, . . . , N existe qk ∈ Q tal que y por tanto q = {q1 , q2 , . . . , qN , 0, 0, 0, . . .} verifica que d(q, t) < ε/3. Nótese que t ∈ B2ε/3 (q) ⊆ Bε (t). Sea r ∈ Q con ε/3 < r < 2ε/3, entonces t ∈ Br (q) ⊆ Bε (t), pues si d(z, q) < r entonces .R UB d(z, t) ≤ d(z, q) + d(q, t) ≤ 2ε/3 + ε/3 = ε. 3.2. 1-contable El concepto de base para un espacio lo podemos localizar en un punto —tener una definición local— de la manera siguiente. G Definición 3.2. Sean (X, T) un espacio y x ∈ X. Decimos que Bx ⊆ T es una base local para x si dado U ∈ T con x ∈ U , existe B ∈ Bx tal que x ∈ B ⊆ U. Los conceptos de base y base local están relacionados por la siguiente proposición. Proposición 3.3. Sea (X, T) un espacio. B ⊆ T es una base si y solo si para cada x ∈ X el conjunto Bx = {B ∈ B : x ∈ B} es base local en x. Demostración. ⇒) Sea U ⊆ X un conjunto abierto con x ∈ U . Por la definición de base, existe B ∈ B con x ∈ B ⊆ U , pero por la definición de Bx tenemos B ∈ Bx . S ⇐) B = x∈X Bx es una base. 60 Bases y numerabilidad La clase de espacios topológicos que a continuación definimos es más amplia que la de los espacios métricos, y tendrá un comportamiento ideal cuando hagamos referencia a conceptos topológicos en los cuales intervenga la noción de convergencia de sucesiones. Y lo que es más, en esta clase de espacios 1-contables las sucesiones resultan ser adecuadas para describir la topologı́a. IA N EJEMPLO 3.5 O Definición 3.4. Un espacio (X, T) se dice 1-contable —o que satisface el primer axioma de enumerabilidad1 — si cada punto del espacio posee una base local enumerable. Todo espacio métrico es 1-contable. Dado x ∈ X, la familia de las bolas abiertas Bx = {B 1 (x) : n ∈ N}, n .R UB es una base local en el punto x. EJEMPLO 3.6 Todo espacio 2-contable es 1-contable. Si B ⊆ T es una base enumerable para un espacio (X, T) y p ∈ X, el conjunto Bx = {B ∈ B : p ∈ B} es una base local y enumerable en p. EJEMPLO 3.7 G El espacio de Sorgenfrey (R, [a, b)) es 1-contable. Dado x ∈ R el conjunto Bx = {[x, q) : q ∈ Q, q > x} es una base local enumerable. Muestre que no es 2-contable. EJEMPLO 3.8 El espacio Tωp del ejemplo 1.11 puede ser generado por una base constituida por dos clases de elementos: cualquier conjunto unitario diferente de {p}, o el complemento de cualquier conjunto finito de puntos. Este espacio falla en ser 1-contable tan solo por uno de sus puntos. Sea X un conjunto no contable y p un elemento elegido en X. Esta topologı́a para X no admite una base local enumerable en el punto p —pruébelo—. 1 Esta clasificación se debe al matemático estadounidense Robert L. Moore (Dallas, Texas 1882 -1974 Austin, Texas) en 1916 en su intento por dar fundamento a la topologı́a en una serie de axiomas. Moore es reconocido por su manera inusual de enseñar con un método llamado hoy por su nombre. 61 3.2 1-contable Definición 3.5. Dados un espacio (X, T) y un cubrimiento abierto U ⊆ T, decimos que D ⊆ U es un subcubrimiento para U si D es de nuevo un cubrimiento abierto de X. —Podemos descartar elementos en U—. Teorema 3.6 (Lindelöf2 ). Sea (X, T) un espacio 2-contable. De cada cubrimiento abierto U de X podemos extraer un subcubrimiento contable. O Demostración. Sea B = {B1 , B2 , . . .} una base para X. En B consideramos el siguiente subconjunto de ı́ndices: IA N S = {n : Bn ⊆ U, algún U ∈ U}. Sabemos que la colección enumerable C = {Bn : n ∈ S} cubre a X, pues dado x ∈ X, existe U ∈ U con x ∈ U . Como B es base, existe S Bk ∈ B con x ∈ Bk ⊆ U , luego k ∈ S y por tanto Bk ∈ C y ası́ x ∈ C. .R UB Por cada n ∈ S elegimos Un ∈ U tal que Bn ⊆ Un . Definimos D —el subcubrimiento contable— como D := {Un : n ∈ S}. Claramente S S C ⊆ D y por tanto D es un cubrimiento de X y D ⊆ U. Demos nombre a la propiedad anterior. Definición 3.7. Un espacio (X, T) se dice de Lindelöf o w-compacto si cada cubrimiento abierto de X se puede reducir a uno enumerable. EJEMPLO 3.9 G (R, coenumerables) es de Lindelöf y no es 2-contable. EJEMPLO 3.10 (R, [a, b)) es de Lindelöf y no es 2-contable. Dado un intervalo [q, s) con q irracional, solo otro intervalo de la forma q ∈ [q, a) con a < s puede contener al punto q y estar contenido en [q, s). por tanto, toda base debe tener un cardinal mayor o igual al cardinal de los números irracionales. √ 2 2 4 Ernst Leonard Lindelöf (1870-1946), matemático finlandés, nacido en Helsinki. 62 Bases y numerabilidad Corolario 3.8. Si el espacio (X, T) es 2-contable, entonces es de Lindeloff. Corolario 3.9. Sea (X, T) un espacio 2-contable. Entonces cualquier base Q = {Qi : i ∈ I} se puede reducir a una base enumerable. Esto es, no tan solo existe una base enumerable en el espacio, sino que cualquiera se puede reducir a una enumerable. IA N O Demostración. Sea B = {B1 , B2 , . . .} una base para X. S Por ser Q una base, cada elemento Bn ∈ B se puede escribir como Bn = i∈I Qi , (Qi ∈ Q) y esta colección se puede reducir a una contable para cada Bn , pues dado x ∈ Bn existe Qx ∈ Q tal que x ∈ Bx ⊆ Qx ⊆ Bn . Bx ∈ B y la colección {Bx : x ∈ Bn } es claramente contable y por tanto también lo es la colección Qn = {Qx : Bx ⊆ Qx }. Al variar n en Bn , obtenemos una colección enumerable de enumerables Qn , la cual es una base. .R UB Ejercicios 3.2 1. Muestre que Run es 2-contable. 2. Dada Bx = {B1 , B2 , . . .} una base local en x. Muestre que podemos construir {B1∗ , B2∗ , . . .} base local en x, tal que B1∗ ⊇ B2∗ ⊇ · · · , esto es, existe una base local encajada. 3. Muestre que (R, [a, b)) no es 2-contable. G 4. Sean T1 , T2 dos topologı́as para X tales que T1 ⊆ T2 . Si T2 es 2-contable (Lindeloff) ¿puede inferirse que T1 lo sea? 5. Muestre que la topologı́a (X, cof initos) en cualquier espacio métrico (X, d) es menos fina que la topologı́a inducida por la métrica. 6. Muestre que la topologı́a (X, cof initos) es la topologı́a menos fina que es T1 . 7. ¿(R2 , lexicográfico) es 2-contable? 8. (I × I, lexicográfico) es 1-contable y no es 2-contable. 9. ¿(R, cof initos) es 1-contable? 10. ¿(N, cof initos) es 2-contable? 63 3.2 1-contable 11. ¿Cuáles de los espacios considerados en los ejercicios 8, 9, 10 son de Lindelöf? 12. Si (X, T) es 2-contable entonces |T| ≤ |R| = 2ℵ0 . 13. Si (X, T) es 2-contable y T0 entonces |X| ≤ |R| = 2ℵ0 . O 14. Muestre que si el espacio (X, T) es 1-contable y |X| = ℵ0 entonces el espacio es 2-contable. 15. El espacio de Arens-Fort (pág. 22, ejercicio 15 de 1.3) no es 1contable ya que no es 2-contable. Pruébelo! IA N 16. Muestre que las propiedades 2-contable y 1-contable son hereditarias. 17. Muestre que en espacio métrico (X, d) las propiedades de 2-contable y Lindelöf son equivalentes. .R UB Sugerencia: para cada n ∈ N, considere el cubrimiento abierto consistente en todas las bolas de radio 1/n. La propiedad de Lindelöf dice que lo podemos reducir a uno enumerable Bn . Muestre que B = ∪n Bn es una base enumerable. 18. Muestre que si un espacio tiene un subespacio discreto no contable entonces no es 2-contable. Utilice este resultado para mostrar que (I × I, lexicográfico) no es 2-contable. G Sugerencia: considere A = {(x, y) : y = 1/2}. 4 Funciones —comunicaciones entre IA N O espacios— .R UB Hasta aquı́ hemos definido y tenemos lo que podrı́amos llamar los objetos de nuestra teorı́a, es decir, ası́ como en la teorı́a de conjuntos los objetos principales son los conjuntos, no basta el que ellos existan para que la teorı́a sea valorada: necesitamos contar con un medio o una manera de relacionar los conjuntos entre sı́, esto es, requerimos las flechas de las funciones, para que ası́ podamos llegar a conceptos como los de cardinalidad, infinito, isomorfismo, producto cartesiano, etc. G Por tanto necesitamos de flechas o medios de comunicación entre nuestros espacios topológicos. Como ellos primariamente son conjuntos, nuestras flechas, en su base, serán funciones entre estos conjuntos. Pero debemos enriquecerlas en el sentido que tengan en cuenta la estructura topológica adicional que hay en cada espacio; por eso, requerimos funciones con un adjetivo como lo da la siguiente definición. 4.1. Funciones continuas Definición 4.1. Sea f : (X, T) −→ (Y, H) una función entre espacios. Dado a ∈ X decimos que f es continua en a si dada una vecindad Vf (a) en Y existe una vecindad Ua en X tal que f (Ua ) ⊆ Vf (a) . Si f es continua en cada punto de X, decimos que f es continua. EJEMPLO 4.1 La definición de continuidad del cálculo coincide con esta definición cuando a los números reales les damos la topologı́a usual. 64 65 4.1 Funciones continuas La anterior definición —puntual— de continuidad es equivalente a la siguiente definición dada exclusivamente en términos de abiertos. Teorema 4.2. f : (X, T) −→ (Y, H) es continua si y solo si para cada V ∈ H se tiene que f −1 (V ) ∈ T, i. e., f −1 (H) ⊆ T. [ {Ux | x ∈ f −1 (V )}. IA N f −1 (V ) = O Demostración. ⇒) Sea f continua y V un elemento de H; para ver que f −1 (V ) es abierto, lo expresaremos como una unión de abiertos. Sea x ∈ f −1 (V ), por ser f continua existe Ux abierto tal que f (Ux ) está contenido en V , luego Ux ⊆ f −1 (V ) y ası́ .R UB ⇐) Sean x ∈ X y V ∈ H tales que f (x) ∈ V . Como x ∈ f −1 (V ) ∈ T y f (f −1 (V )) ⊆ V , tenemos que f es continua en x, y como x fue cualquiera, f es continua. Para verificar la anterior caracterización de continuidad es suficiente que verifiquemos la condición f −1 (B) ⊆ T para una base B cualquiera ¿por qué?; más aun, f −1 (S) ⊆ T de una subbase S cualquiera. Por supuesto la continuidad no es algo que dependa exclusivamente de la función en sı́; las topologı́as son determinantes como lo muestran los siguientes ejemplos. EJEMPLO 4.2 G 1. Cualquier función f : (X, 2X ) −→ (Y, H) es continua. 2. Cualquier función f : (X, T) −→ (Y, {∅, X}) es continua. 3. La función idéntica id : R −→ R, donde las topologı́as respectivas son la usual y la de complementarios finitos es una función continua, pero no lo es si invertimos las topologı́as. 4. La función idéntica idX : (X, T) −→ (X, H) es continua si y solo si T es más fina que H. 5. Toda función constante es continua. 6. La función f (x) = −x es continua para Ru pero no para (R, [a, b)). K 66 Funciones —comunicaciones entre espacios— Para el caso de los espacios métricos la definición de continuidad adopta la siguiente forma, más familiar en términos de distancias. Sean (X, d), (Y, m) dos espacios métricos. f : X −→ Y es continua en el punto a de X si y solo si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que, si x ∈ X satisface d(a, x) < δ entonces m(f (a), f (x)) < ε. En otras palabras, x ∈ Bδd (a) implica f (x) ∈ Bεm (f (a)). O Un tipo de continuidad más fuerte que la usual se define para los espacios métricos de la manera siguiente. IA N Definición 4.3. Sean (X, d), (Y, m) dos espacios métricos. Una función f : X −→ Y se llama uniformemente continua si para cada ε > 0, existe δ > 0 tal que si d(x, y) < δ entonces m(f (x), f (y)) < ε. En otras palabras, dado cualquier ε > 0, existe δ > 0 —δ dependiendo únicamente de ε, con lo que δ es uniforme para todos los puntos .R UB x ∈ X a diferencia de la continuidad usual— tal que para cualquier x ∈ X, f (Bδ (x)) ⊆ Bε (f (x)). EJEMPLO 4.3 Sean (X, d), (Y, m) dos espacios métricos. f : (X, d) −→ (Y, m) se llama Lipschitziana con factor de contracción k si para todo par de puntos x, y ∈ X se tiene m(f (x), f (y)) ≤ k d(x, y) con k > 0. G f es uniformemente continua. Dado ε > 0 tomemos δ = ε/k. Para d(x, y) < δ se tiene que m(f (x), f (y)) ≤ kd(x, y) < kδ < ε. Si k = 1, esto es, m(f (x), f (y)) = d(x, y) decimos que f es una isometrı́a —es continua e inyectiva—. Si f es sobreyectiva entonces f −1 es una isometrı́a con lo que los espacios resultan homeomorfos. EJEMPLO 4.4 Por supuesto toda función uniformemente continua es continua. Pero lo contrario no se tiene: Una función tan simple como f : Ru −→ Ru definida por f (x) = x2 es continua pero no lo es uniformemente. En efecto, para ε = 1 no existe 67 4.1 Funciones continuas δ tal que |x − y| < δ implique |x2 − y 2 | < 1 para todo par x, y; por 1 δ 1 ejemplo para x = + , y = . Pero si x2 es restringida a un intervalo δ 2 δ cerrado y acotado [−A, A] entonces sı́ es uniformemente continua, pues ε implica |x − y| < 2A + 1 |x2 − y 2 | = |x + y||x − y| ≤ 2A ε <ε 2A + 1 O para x, y ∈ [−A, A]. Contrario a la anterior función, las funciones x 7→ x x + 1 y x 7→ de R en R sı́ lo son. 1 + x2 IA N La propiedad de ser uniformemente continua es métrica —no topológica— en el sentido de que cambiando la métrica d sobre el espacio (X, d) por una métrica d∗ topológicamente equivalente, podemos hacer que una función continua f sea o no uniformemente continua. .R UB De acuerdo con el ejercicio 9 de la página 88, desde un punto de vista estrictamente topológico, todas las funciones continuas entre espacios métricos resultan ser en un sentido uniformemente continuas. Aunque parezca extraño, podemos cambiar la métrica del espacio en el dominio por una equivalente que nos produzca la uniformidad. EJEMPLO 4.5 Sea A ⊆ (X, d). Dado x ∈ X, definimos la distancia d(x, A) de x a A como d(x, A) := ı́nf{d(x, a) : a ∈ A}. G La función f : X −→ R definida como f (x) = d(x, A) es uniformemente continua. En efecto, dado ε > 0 encontremos δ > 0 tal que si d(x, y) < δ entonces |d(x, A) − d(y, A)| < ε. Para esto es suficiente probar que para cada par de puntos x, y ∈ X se tiene |d(x, A) − d(y, A)| ≤ d(x, y), con lo cual δ = ε satisface la condición —tenemos una contracción—. d(x, A) = ı́nf{d(x, a) | a ∈ A} ≤ ı́nf{d(x, y) + d(y, a) | a ∈ A} = d(x, y) + ı́nf{d(y, a) | a ∈ A} = d(x, y) + d(y, A), 68 Funciones —comunicaciones entre espacios— invirtiendo los papeles de x y y obtenemos d(y, A) ≤ d(x, y) + d(x, A) con lo cual d(x, A) − d(y, A) ≤ d(x, y) y d(y, A) − d(x, A) ≤ d(x, y) lo que implica |d(x, A) − d(y, A)| ≤ d(x, y). EJEMPLO 4.6 O Dado (X, d), la función d : X × X −→ R es uniformemente continua cuando a X × X lo dotamos de la métrica para x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ). IA N d∞ (x, y) = máx{d(x1 , y1 ), d(x2 , y2 )} En efecto, dado ε > 0 tomemos δ = ε/2. Si d∞ (x, y) < δ esto implica que d(x1 , y1 ) < δ, d(x2 , y2 ) < δ. Como d(x1 , x2 ) ≤ d(x1 , y1 ) + d(y1 , y2 ) + d(y2 , x2 ) entonces .R UB d(x1 , x2 ) − d(y1 , y2 ) ≤ d(x1 , y1 ) + d(x2 , y2 ) < 2d∞ (x, y) < 2δ = ε. Similarmente d(y1 , y2 ) − d(x1 , x2 ) < ε, con lo cual, |d(x1 , x2 ) − d(y1 , y2 )| < ε. EJEMPLO 4.7 G R R En (C(I, R), sup) la función I : C(I, R) −→ R definida por I (f ) = R1 0 f (t)dt es uniformemente continua. En efecto, basta verificar la siguiente desigualdad que muestra que tenemos una contracción, Z Z Z Z f − g ≤ |f − g| ≤ kf − gk∞ = kf − gk∞ . I I I I EJEMPLO 4.8 La función f : (R, (a, b]) −→ (R, usual) descrita en la figura es continua. Si en el dominio tuviéramos la topologı́a usual, ella es un clásico de no continuidad en un punto. 69 4.1 Funciones continuas EJEMPLO 4.9 Métricas exóticas para R. Sean X un conjunto y (Y, m) un espacio métrico. Dada una función inyectiva f : X −→ Y , definimos una métrica d∗ llamada la métrica inducida por la función f como d∗ (x, y) := m(f (x), f (y)), IA N O la cual hace de f una isometrı́a; si f es sobre entonces tanto f como f −1 resultan ser continuas. Para el caso X = Y = R y m = usual, obtenemos métricas exóticas según consideremos a f . Por ejemplo, d∗ (x, y) =| arctag(x) − arctg(y) |, | ex − ey |, o en el caso de considerar R>0 obtenemos | 1/x − 1/y |. Pero ¿cuáles de estas métricas resultan equivalentes a la usual? G .R UB Si f : (X, d) −→ (Y, m) es un homeof - (Y, m) (X, d) morfismo —f es biyectiva y tanto f como −1 f son continuas— entonces la métrica @ @ d∗ (x, y) := m(f (x), f (y)) es equivalente a f −1 @ id X la métrica d. Para ello basta ver que la fun@ R ? @ ción identidad idX : (X, d) −→ (X, d∗ ) es (X, d∗ ) un homeomorfismo —ejercicio 4 pág. 69— . En el caso de la función tan : (−π/2, π/2) −→ R y su inversa arctan, obtenemos que la métrica usual es equivalente a la métrica d∗ (x, y) = | arctan(x) − arctan(y) | (ver página 54). De manera similar para | ex − ey |. Ejercicios 4.1 1. La compuesta de funciones continuas es continua. 2. Muestre que f : (X, T) −→ (Y, H) es continua si f −1 (B) ⊆ T para una base B ⊆ H. 3. En Ru muestre la continuidad de f : R −→ R, f (x) = x2 observando cómo es f −1 ((a, b)). 4. Sean (X, d), (X, m) dos espacios métricos. Muestre que d y m son topológicamente equivalentes si y solo si las funciones identidad idX : (X, d) −→ (X, m) y idX : (X, m) −→ (X, d) son continuas. 70 Funciones —comunicaciones entre espacios— 5. Si X, Y tienen la topologı́a de los cofinitos, f : X −→ Y no constante es continua si y solo si f tiene fibras finitas. 6. Si X, Y tienen la topologı́a del punto incluido, f : X −→ Y es continua si y solo si f preserva los puntos incluidos. 7. Sea (X, J ) un espacio para el cual toda f : (X, J ) −→ Ru es continua. Muestre que J es la discreta. IA N O 8. Decimos que una función f : X −→ Y entre espacios es abierta (cerrada) si la imagen de un subconjunto abierto (cerrado) es un abierto (cerrado) en Y . Dé ejemplos de funciones abiertas que no sean continuas, de funciones continuas que no sean abiertas, de funciones continuas y abiertas, de funciones ni continuas ni abiertas. Sugerencia: considere las proyecciones de R2u en Ru . .R UB 9. Sean X, Y conjuntos linealmente ordenados. Toda f : X −→ Y estrictamente creciente —x < y implica f (x) < f (y)— y sobreyectiva es continua. 4.2. La categorı́a Top Las definiciones de espacio topológico y función continua satisfacen los siguientes numerales: G 1. Se definió una clase de objetos Top, llamada los espacios topológicos. 2. A cada par de objetos —espacios topológicos— le hemos definido un conjunto M or(X, Y ) = {f | f : (X, T) −→ (Y, H) es continua } llamado el conjunto de las flechas o el conjunto de los morfismos de X en Y . 3. Dados X, Y, W en Top existe una ley de composición M or(X, Y ) × M or(Y, W ) −→ M or(X, W ) definida por (f, g) 7→ g◦f. Además 1, 2 y 3 satisfacen: 71 4.2 La categorı́a Top 4. h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f —asociatividad —. 5. Dado X en Top, existe la función idéntica idX ∈ M or(X, X) la cual es una flecha y satisface f ◦ idX = f, idX ◦ g = g cada vez que las composiciones sean posibles. O Estas propiedades las podemos generalizar para llegar al concepto de categorı́a. IA N Definición 4.4. Una categorı́a (O, M)consiste en una colección O llamada los objetos de la categorı́a, y de una colección M de conjuntos cuyos elementos se llaman los morfismos o las flechas de la categorı́a, con la propiedad que para cada par de objetos A, B ∈ O existe un conjunto M or(A, B) ∈ M que satisface: .R UB 1. Para cada trı́o A, B, C de objetos existe la composición de morfismos denotada por ◦ tal que si f ∈ M or(A, B), g ∈ M or(B, C) entonces g ◦ f ∈ M or(A, C). 2. Dados los morfismos f, g, h entonces h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f cada vez que la composición esté definida. G 3. Para cada objeto A ∈ O existe un morfismo identidad idA ∈ M or(A, A) con la propiedad que es neutro para la operación de composición. EJEMPLO 4.10 1. La clase de todos los conjuntos y las funciones entre conjuntos es una categorı́a. 2. La clase de todos los grupos y los homomorfismos de grupos es una categorı́a. 3. Dado un conjunto X y un orden parcial ≺ sobre X, si tomamos como objetos los elementos de X y como morfismos M or(x, y) el conjunto unitario, o el conjunto vacı́o, según sea que x esté o no relacionado con y, obtenemos una categorı́a. K 72 Funciones —comunicaciones entre espacios— IA N 4.3. Propiedades heredables O El concepto de categorı́a puede ser visto como una abstracción a las propiedades compartidas por una gran variedad de sistemas en matemáticas. Ha llegado a ser también un área de las matemáticas puras con su propio interés. Brevemente, una ‘categorı́a’ es un campo del discurso matemático, caracterizado de una manera muy general y por lo tanto su teorı́a puede ser utilizada como un conjunto de herramientas que pueden atravesar un espectro muy amplio de la vida matemática. Cuando una propiedad del espacio también pasa a los subespacios, decimos que la propiedad es hereditaria; por ejemplo, la propiedad de poseer una base enumerable es hereditaria, al igual que poseer una base enumerable en un punto. Otro ejemplo de una propiedad que se hereda a los subespacios es la metrizabilidad. .R UB Proposición 4.5. Si (X, T) es un espacio metrizable, entonces para cada A ⊆ X la topologı́a TA de subespacio es de nuevo metrizable. G Demostración. Sea d : X ×X −→ R una métrica que genera la topologı́a T; la restricción d|A×A de d al subconjunto A × A es una métrica. Para ver que la topologı́a generada por d|A×A coincide con la topologı́a TA de subespacio, basta notar que un abierto V de S TA es de la forma V = U ∩A donde U es un abierto de T, esto es, U = i∈I Bi donde cada Bi es una bola para la métrica d, con lo cual U ∩ A = (∪i∈I Bi ) ∩ A = ∪i∈I (Bi ∩ A). Dado x ∈ Bε (y) ∩ A tomando δ = mı́n{d(x, y), ε − d(x, y)} tenemos d| Bδ A×A (x) ⊆ Bε (y) ∩ A; luego las bolas abiertas en d|A×A son base para la topologı́a inducida TA . EJEMPLO 4.11 Si X es un espacio discreto —grosero— entonces cualquier A ⊆ X hereda la discreta —grosera— como la topologı́a de subespacio, pues dado a ∈ A el conjunto {a} = A ∩ {a} es un abierto de la topologı́a inducida. 73 4.3 Propiedades heredables EJEMPLO 4.12 Sea (X, T) un espacio y (A, TA ) un subespacio de X. La función inclusión i : A ,→ X con i(x) = x es una función continua, pues claramente si U es abierto de X, i−1 (U ) = U ∩ A que es la forma como hemos definido los abiertos. IA N Ejercicios 4.3 O Nota. Parece que la topologı́a de subespacio de A fuese expresamente definida para hacer la función inclusión contı́nua de la mejor manera —¿por qué?—. 1. ¿Cuáles de las siguientes propiedades son hereditarias: discreto, 1-contable, 2-contable, T1 , Hausdorff, convergencia trivial, convergencia única, Alexandroff? G .R UB 2. Teorema del pegamiento. Sean (X, T) y A, B cerrados en X. Si f : A −→ Y , g : B −→ Y son funciones continuas tales que f |A∩B = g |A∩B entonces h : A ∪ B −→ Y es continua. K O 5 Filtros, convergencia y continuidad .R UB 5.1. Filtros IA N Los conceptos de filtro1 y ultrafiltro aparecen en un espectro amplio de ramas de la matemática: teorı́a de modelos, topologı́a, álgebra combinatoria, teorı́a de conjuntos, lógica, etc. En esta sección estudiamos su relación con la topologı́a y en especial con el concepto de convergencia. Recordemos que el conjunto V(x) de las vecindades de un punto x en un espacio (X, T) satisface las propiedades: 1) La intersección de dos vecindades es una vecindad —cerrado para intersecciones finitas— 2) Si Vx es una vecindad de x entonces cualquier conjunto W tal que Vx ⊆ W es de nuevo una vecindad —cerrado para superconjuntos—. La siguiente definición, que se debe a H. Cartan en 1937, es dada en el espı́ritu de estas dos propiedades. G Definición 5.1. Dado un conjunto X, un filtro F para X es una colección, no vacı́a, de subconjuntos, no vacı́os, de X tal que: 1. Si F1 , F2 ∈ F entonces F1 ∩ F2 ∈ F, 2. Si F ∈ F y F ⊆ G entonces G ∈ F. Si permitimos que ∅ ∈ F obtenemos ℘(X) o el filtro impropio. 1 Para el estudio de la convergencia en los espacios topológicos en general, las sucesiones ordinarias (i. e., funciones definidas sobre los números naturales) son demasiado restrictivas. Hoy en dı́a existen dos generalizaciones, una es el concepto de filtro, introducido por Henri Cartan, la otra es el concepto de red, introducido por Moore y Smith. Las dos teorı́as son equivalentes, pero si uno aprende la de filtros, estoy seguro que todo mundo estará de acuerdo que esta es de lejos la manera más natural y elegante de hacer las cosas. 74 75 5.1 Filtros EJEMPLO 5.1 Dados un espacio (X, T) y un punto x ∈ X, el conjunto V(x) de las vecindades de x es un filtro para X. 5.1.1. Base de filtro O Definición 5.2. Dado un filtro F decimos que B ⊂ F es una base de filtro para F si dado F ∈ F existe B ∈ B tal que B ⊆ F . IA N Usualmente los filtros se definen dando tan solo algunos de sus elementos, a partir de los cuales los demás pueden obtenerse por la contenencia de la propiedad 2 de la definición 5.1, i. e., los elementos del filtro son los superconjuntos de los elementos de la base. La definición de base de filtro no es puntual, como en el caso de la definición de base para una topologı́a. .R UB Teorema 5.3. B ⊆ 2X es una base para un único filtro F de X si y sólo si satisface: 1. ∅ ∈ / B y B 6= ∅, 2. Si B1 , B2 ∈ B entonces existe B3 ∈ B con B3 ⊆ B1 ∩ B2 . Al filtro F lo denotamos como F = hBi y lo llamamos el filtro generado por B. Es el filtro más pequeño que contiene a B. G Demostración. Definimos F := {F ⊆ X | B ⊆ F para algún B ∈ B} = h B i. F es el conjunto de todos los superconjuntos de los elementos en B. Que F es un filtro es inmediato. Si G también tiene como base a B, entonces es claro que G está contenido en F. Para la otra contenencia notemos que B ⊆ G. Luego dado F ∈ F sabemos que existe B ∈ B ⊆ G tal que B ∈ F con lo cual F ∈ G por ser G un filtro. La condición 2 garantiza que la colección B cumple: la intersección finita de elementos de la familia nunca es vacı́a —propiedad de la intersección finita PIF—. Inversamente, cualquier familia S de subconjuntos 76 Filtros, convergencia y continuidad de X que satisface la PIF es por definición una subbase para un filtro F en el sentido que la familia S junto con todas las intersecciones finitas de sus miembros forma una base de filtro. Esta condición dice también que una base de filtro con la relación ⊇ es un conjunto dirigido2 . EJEMPLO 5.2 IA N O 1. Sea A ⊆ X. B = {A} es una base de filtro. El filtro generado FhAi = hA i se llama filtro principal asociado a A. El caso en que A = {a} —un conjunto unitario— es un ejemplo interesante. 2. Para un punto x en un espacio, el conjunto de las vecindades abiertas es una base de filtro para el filtro V(x). Nótese que V(x) ⊆ hxi. 3. Sea B ⊆ 2N el conjunto de las colas de N, esto es B := {Sn | n ∈ N} con Sn := {n, n + 1, . . .}. .R UB El filtro generado se llama filtro de Frèchet. 4. En un conjunto infinito X, Fc = {A ⊆ X | Ac es finito} es el filtro de los complementos finitos. 5. En R la colección de las colas a derecha abiertas tiene la PIF. Nota. Análogo a como sucede con las bases en los espacios topológicos, es de esperarse que existan bases de filtro que generen un mismo filtro; en tal caso, también es útil definir una relación de equivalencia. G Definición 5.4. Sean X 6= ∅ y B1 , B2 dos bases de filtro en X. Decimos que son equivalentes si hB1 i = hB2 i —las notamos B1 ≡ B2 —. El ejemplo siguiente nos muestra que a cada filtro corresponde un espacio topológico el cual no puede ser de Hausdorff —¿por qué?—. 2 Un conjunto dirigido (D, ⩽) es un conjunto parcialmente ordenado con la propiedad adicional que para cada par de puntos a, b ∈ D existe un elemento c ∈ D que los supera, i. e., a ⩽ c y b ⩽ c. En particular, todo conjunto totalmente ordenado es un conjunto dirigido. Un ejemplo importante de conjunto dirigido es, el conjunto de las vecindades de un punto x en un espacio topológico, dotado de la relación de inclusión ⊇ donde un conjunto se dirá ’mayor´ que otro si está incluido en él. Los conjuntos dirigidos son importantes, entre otras cosas, porque dan origen al concepto de red, una generalización al concepto de sucesión. 77 5.2 Ultrafiltros EJEMPLO 5.3 Dado un filtro F en X, T = F ∪ {∅} es una topologı́a —filtrosa—. O En general, si F, G son dos filtros sobre X tales que F ⊆ G, decimos que G es más fino que F —este concepto corresponde al de subsucesión. Esta relación define un orden parcial sobre el conjunto F il(X) de todos los filtros sobre X, y por supuesto tendremos derecho de hablar de todas las definiciones conexas a un orden. .R UB 5.2. Ultrafiltros IA N En particular F il(X) es inductivo, esto es, toda cadena tiene una cota superior —¿por qué?— luego será posible ‘zornificar’ como en el teorema 5.6. Si admitimos el filtro impropio ℘(X) (a los demás filtros los llamamos propios) entonces F il(X) resulta ser un retı́culo completo. Definición 5.5. Dado un conjunto X, un ultrafiltro U para X es un elemento maximal de F il(X); esto es, ningún filtro es más fino que U. Teorema 5.6. Dado un filtro F en X, existe un ultrafiltro U en X tal que F ⊆ U. G Demostración. (Usaremos el lema de Zorn: ‘Si (P, ≺) es un conjunto parcialmente ordenado, con la propiedad que cada cadena —una cadena es un subconjunto de P que sea totalmente ordenado por ≺— tiene una cota superior en P , entonces P tiene un elemento maximal’). Sea M = {G | F ⊆ G y G un filtro en X}. M seSordena por la inclusión. Sea H una cadena en M. Si definimos H = M, i. e., H es la reunión de todos los filtros que están en M, vemos que H es un filtro y es cota superior para M; luego, aplicando el lema de Zorn, existe un elemento maximal U en M, es decir U es maximal en el conjunto de los filtros que contienen a F, por tanto es un ultrafiltro. 78 Filtros, convergencia y continuidad Si A ⊆ X con A = {a}, el filtro generado por A es un ultrafiltro llamado principal o fijo (los otros ultrafiltros se llaman no principales o libres). Fuera de este ejemplo no conocemos más ultrafiltros de manera concreta; los demás tendrán la garantı́a de existir pero no los conoceremos. ¿Cómo podemos reconocer si un filtro dado es un ultrafiltro? O Proposición 5.7. Un filtro U en X es un ultrafiltro si y solo si dado A ⊆ X entonces A ∈ U o Ac ∈ U. IA N Demostración. ⇐) Si F es un filtro tal que U ⊆ F, debemos mostrar que U = F. Si existiera F ∈ F tal que F ∈ / U entonces F c ∈ U y por tanto F c ∈ F, lo cual implica que ∅ ∈ F. ⇒) Supongamos que existe A tal que A ∈ / U y Ac ∈ / U. La colección B := {F ∩ A | F ∈ U} .R UB es una base de filtro en X, pues se tiene la PIF y si F ∩ A = ∅ para algún F esto implica F ⊆ Ac y por tanto Ac ∈ U. El filtro G = hBi contiene a U y es más fino ya que A ∈ G, lo cual contradice que U es un ultrafiltro. Proposición 5.8. Sean U un ultrafiltro en X y A, B ⊆ X. Si A∪B ∈ U entonces A ∈ U o B ∈ U. G Demostración. Si B ∈ U hemos terminado. Supongamos entonces que B ∈ / U y veamos que necesariamente A ∈ U. Si sucede que A ∈ / U, entonces F := {M ⊆ X | A ∪ M ∈ U} es un filtro en X más fino que U y estrictamente más fino ya que B ∈ F. La anterior demostración nos indica una manera de crear nuevos K filtros a partir de uno ya conocido y, de paso, refinarlo al tomar un elemento que no esté en él. EJEMPLO 5.4 El filtro de Frèchet en N no es un ultrafiltro, pues N = P ∪ I —los pares unidos con los impares— y tanto P como I no están en Frèchet. 79 5.2 Ultrafiltros Proposición 5.9. Un filtro F en X es la intersección de todos los ultrafiltros en X que lo contienen. Demostración. Sea D la colección de todos los ultrafiltros que contienen a F. Dado A ∈ ∩D veamos que A ∈ F. Si A ∈ / F entonces Ac ∩ F 6= ∅ para todo F ∈ F, luego existe un ultrafiltro D para el cual Ac ∈ D con lo que A ∈ / D, y esto contradice que A ∈ ∩D. IA N O Si un ultrafiltro U contiene al filtro Fc de los cofinitos entonces U es no principal o libre. Lo interesante es anotar que este es el único tipo de ultrafiltro libre. Teorema 5.10. Sea U un ultrafiltro sobre un conjunto infinito X. Entonces Fc ⊆ U o U es principal. .R UB Demostración. Si no se tiene la contenencia, existe A ∈ / U con A ∈ Fc . Como Ac es finito y Ac ∈ U existe x ∈ Ac con {x} ∈ U y ası́ U es principal. Si U no es principal, para todo {x}c ∈ U. Dado T x ∈c X tenemos A ∈ Fc , la intersección finita A = {{x} : x ∈ Ac } está en U. Ejercicios 5.2 G 1. Muestre que un filtro F sobre X es una familia de subconjuntos no vacı́os de X que satisface la condición A ∩ B ∈ F ⇔ A ∈ F y B ∈ F. 2. Dado un conjunto ordenado (X, ≺) las colas x ↑= {y : x y} son una base de filtro en X. 3. Dado un conjunto infinito X, sea X + = X ∪ {ω} con ω ∈ / X. Dado un filtro F sobre X muestre que a) T(F) := 2X ∪ {F ∪ {ω} | F ∈ F} es una topologı́a para X + . b) ¿Quién es V(x) para cada x ∈ X? c) ¿Quién es V(ω)? d ) Muestre que si F1 ⊆ F2 entonces T(F1 ) ⊆ T(F2 ). 80 Filtros, convergencia y continuidad 4. ¿Tiene la anterior construcción alguna relación con el espacio de Arens-Fort? (Pág. 29). 5. Dados un conjunto X y p ∈ X, muestre que para cada ultrafiltro U en X la siguiente familia de subconjuntos define una topologı́a G(p, U) := 2X−{p} ∪ U. IA N O 6. Sea F un filtro sobre X y A ⊆ X. Muestre que la traza de X sobre A, esto es, F ∩ A := {F ∩ A | F ∈ F} es una base de filtro en A si y solo si cada F ∩ A 6= ∅. ¿Cómo es la relación de contenencia entre estos filtros? (creando nuevos filtros). .R UB 7. * Sea U un ultrafiltro en un conjunto X. Si T ⊆ X y T ∩ S 6= ∅ para todo S ∈ U entonces T ∈ U. 8. Sea U un ultrafiltro en X. Si un miembro de U es particionado en finitas partes entonces una de las partes pertenece a U. 9. * Muestre que U ⊆ 2X es un ultrafiltro en un conjunto X si y solo si U es maximal en (2X , ⊆) con respecto a la PIF. 10. * Muestre que si un ultrafiltro posee un conjunto finito, entonces es principal. G 11. Encuentre —construya— un filtro en N más fino que el filtro de Fréchet. 12. * Consulte una demostración de la afirmación: existe un número no contable de ultrafiltros más finos que el filtro de Fréchet en N. 13. Muestre que la intersección de filtros es un filtro. 14. Sea f : X −→ Y una función sobreyectiva y F un filtro sobre Y . Muestre que f ∗ (F) := {f −1 (A) : A ∈ F} es un filtro sobre X. 81 5.3 Sucesiones 5.3. Sucesiones Recordemos que una función f : N −→ X se llama una sucesión en X y la denotamos por (xn ) donde xn = f (n). O Definición 5.11. Sean X un espacio y (xn ) una sucesión en X. La sucesión converge a un punto x ∈ X, i. e., xn → x si dada cualquier vecindad Vx , existe k ∈ N tal que si m ≥ k entonces xm ∈ Vx —a la larga o finalmente todos los términos de la sucesión están en la vecindad—. EJEMPLO 5.5 IA N Si una sucesión converge a un punto x, cualquier vecindad del punto es un superconjunto para alguna cola de la sucesión. Es como si las colas fuesen una base para un filtro más fino que las vecindades de x. .R UB En R con la topologı́a cofinita casi todas las sucesiones convergen, las únicas sucesiones no convergentes son las sucesiones en las cuales existe más de un punto que se repite de manera infinita —existe más de una subsucesión constante—. EJEMPLO 5.6 En (R2 , lexi) la sucesión ( n1 , n12 ) no converge al punto (0, 0). Para que una sucesión converja a (0, 0), debe hacerlo a lo largo de una recta vertical que pase por (0, 0). EJEMPLO 5.7 G El espacio del disco tangente, plano de Moore o semiplano de Niemytzki, se debe a Niemytzki, 1928 (ver fig. 5.1). Sea P = {(x, y) | y > 0} ⊆ R2 dotado de la topologı́a T de subespacio. Denotemos por L = {(x, 0) | x ∈ R} al eje real. Definimos una topologı́a T ∗ para X = P ∪ L añadiendo a T los conjuntos de la forma {a} ∪ D donde a ∈ L y D es un disco abierto en P , el cual es tangente a L justamente en el punto a. Notemos que (X, usual) ⊆ (X, T ∗ ) donde la usual es la de subespacio de R2 . La sucesión yn = ( n1 , 0), que en R2u es convergente al punto (0, 0) no lo es en el semiplano de Niemytzki. Una sucesión para poder converger a (0, 0) debe ‘aproximarse’ por ‘dentro’ de un disco. 82 Filtros, convergencia y continuidad O • IA N Figura 5.1: La topologı́a del disco tangente. Definición 5.12. Decimos que el espacio X es de convergencia única si dada cualquier sucesión (xn ) que converge, ella lo hace a un único punto. .R UB Proposición 5.13. Si X es un espacio de Hausdorff entonces X es de convergencia única. Demostración. Si (xn ) converge tanto a x como a y para x, y ∈ X, por ser X de Hausdorff existen Vx , Vy con Vx ∩ Vy = ∅. Pero de otra parte, casi toda (xn ) está en Vx y casi toda (xn ) está en Vy , y esto no puede suceder a menos que x = y. El recı́proco de la proposición anterior no se tiene —¿puede dar un ejemplo?— a menos que el espacio sea 1-contable. G Proposición 5.14. Sea X un espacio 1-contable. Si X es de convergencia única entonces X es de Hausdorff. Demostración. Si X no es de Hausdorff existen x, y ∈ X tales que para todo par Vx , Vy tenemos Vx ∩ Vy 6= ∅. En particular para las bases locales enumerables Bx = {B1x , B2x , . . .}, By = {B1y , B2y , . . .} tenemos Bnx ∩ Bny 6= ∅ para cada n. Por cada n ∈ N elegimos xn ∈ Bnx ∩Bny (podemos suponer que cada una de estas dos bases locales está encajada —¿por qué?—) lo cual nos produce una sucesión (xn ) que converge tanto a x como a y, y nos contradice la convergencia única. Definición 5.15. Un espacio (X, T) se dice de convergencia trivial si las únicas sucesiones convergentes son las sucesiones a la larga constantes; es decir, no convergen sino las inevitables. 83 5.3 Sucesiones EJEMPLO 5.8 Un espacio discreto es de convergencia trivial. EJEMPLO 5.9 El espacio de Arens-Fort X = (N × N) ∪ {w} (pág. 22) es un espacio de convergencia trivial: IA N O 1. Ninguna sucesión puede converger a un punto de N × N a menos que a la larga sea constante, ya que para estos puntos los conjuntos unitarios son abiertos. 2. Ninguna sucesión puede converger a w. Si xn → w entonces cada fila contendrá, a lo más, finitos términos de la sucesión. Excluyendo estos términos en cada una de las filas, obtenemos un conjunto abierto que contiene a w y no contiene los términos de la sucesión. .R UB Por supuesto, este espacio no es discreto y además no es 1-contable precisamente en el punto w, pues de existir una base local Bw = {B1 , B2 , . . .}, por cada i ∈ N existe xi = (mi , ni ) ∈ Bi con mi , ni > i; esto es, cada elemento de la base posee un punto tan arriba y tan a la derecha de la diagonal como queramos. Luego el conjunto Uw = (X − {xi | i ∈ N}) ∪ {w} es un abierto y por supuesto ningún Bn satisface Bn ⊆ Uw . Las funciones continuas tienen la propiedad que respetan la convergencia en el sentido de la siguiente proposición. G Proposición 5.16. Sea f : (X, T) −→ (Y, H) una función continua entre espacios. Si xn → x entonces f (xn ) → f (x). Demostración. Si (f (xn )) no converge a f (x), existe Vf (x) tal que para infinitos n ∈ N, f (xn ) ∈ / Vf (x) ; luego no existirı́a Vx tal que f (Vx ) ⊆ Vf (x) , puesto que cada Vx contiene a partir de algún xk todos los demás términos de la sucesión. Cuando una función f satisface la propiedad de la proposición anterior se llama secuencialmente continua o continua por sucesiones. Para los espacios métricos tenemos la siguiente caracterización de la continuidad. 84 Filtros, convergencia y continuidad Teorema 5.17. Una función f : (X, d) −→ (Y, m) entre espacios métricos es continua si y solo si dada xn → x entonces f (xn ) → f (x). IA N O Demostración. Por el teorema anterior basta probar que si la condición se tiene para f entonces f es continua. Si f no fuera continua, existirı́a un punto x ∈ X y una vecindad Vf (x) de f (x) para la cual no existe Vx con f (Vx ) ⊆ Vf (x) . En otras palabras, ninguna bola Bε (x) satisface que f (Bε (x)) ⊆ Vf (x) , luego para cada n ∈ N existe un elemento xn de X tal que xn ∈ B1/n (x) y f (xn ) ∈ / Vf (x) . Claramente, para la sucesión ası́ definida tenemos que xn → x, y de otra parte Vf (x) no contiene a ningún f (xn ), lo que niega la propiedad. .R UB En la demostración anterior lo realmente básico para esta caracterización de continuidad es el hecho de que en (X, d) existe una base local contable en cada punto, i.e., 1-contable; luego podemos generalizar el teorema anterior. Teorema 5.18. Para los espacios 1-contable, la continuidad secuencial es equivalente a la continuidad en general. Demostración. Como el espacio de dominio de la función es 1-contable, por cada x ∈ X existe Bx = {B1 , B2 , . . .}, base local encajada para el punto x. Para ella razonamos como en el teorema anterior y extraemos la sucesión (xn ) conveniente. G EJEMPLO 5.10 La identidad idR : (R, coenumerables) −→ (R, usual) es secuencialmente continua pero no es continua. ¿Qué sucesiones convergen en (R, coenumerables)? La siguiente definición extiende la noción de convergencia hasta el concepto de filtro. Definición 5.19. Sea F un filtro en (X, T). Decimos que F converge al punto x ∈ X si F es más fino que el filtro de vecindades de x. Lo notamos F → x. 85 5.3 Sucesiones EJEMPLO 5.11 1. Si X es un espacio y x ∈ X, el filtro principal Fx → x. Si X tiene la topologı́a discreta, Fx converge no solo a x sino a cualquier otro punto. 2. En Ru el filtro Fcof initos no converge, pues todo punto tiene vecindades que no pertenecen al filtro. IA N O Nota. En un espacio métrico (X, d) la topologı́a generada por la métrica puede describirse completamente en términos de la convergencia de sucesiones; esto es, un subconjunto A ⊆ X es cerrado si y solo si, dada (xn ) una sucesión de puntos en A con xn → x, entonces debemos tener que x ∈ A. Este resultado no se generaliza a espacios topológicos arbitrarios. Por ejemplo el conjunto A = (0, 1) no es cerrado en (R, coenumerables) y sin embargo satisface la propiedad, i. e., toda sucesión en A que es convergente lo hace a un punto en A —solo convergen las sucesiones constantes—. .R UB En los espacios topológicos, en general, no podemos caracterizar el ser de Hausdorff —al menos sobre los que no son 1-contable— en términos de la convergencia usual de sucesiones. Necesitamos entonces de un mecanismo de convergencia no en términos de sucesiones. Veremos que los filtros nos proporcionan este mecanismo. G La razón por la cual las sucesiones no son adecuadas es que, al tomar un punto xU por cada vecindad U de x, estamos en general forzados a hacer un número no contabl e de escogencias. Esto no serı́a necesario si el espacio fuera 1-contable. Es decir, en los espacios 1-contable las sucesiones son adecuadas para describir la topologı́a, en particular para los espacios métricos. Pero para espacios más generales necesitamos cambiar la palabra sucesión por filtro. Sea x un punto en un espacio X. Por Conv(x) notamos el conjunto de todos los filtros F convergentes a x. Todos los filtros en Conv(x) son más finos que V(x) el T filtro de vecindades de x, y como V(x) ∈ Conv(x), tenemos que V(x) = F Conv(x). Esto significa que la topologı́a de un espacio puede ser determinada por la convergencia de los filtros. A cada sucesión en un espacio se le asocia de manera canónica un filtro de la manera siguiente. Definición 5.20. Sea (xn ) una sucesión en el espacio X y para cada K 86 Filtros, convergencia y continuidad n ∈ N consideremos la cola Xn = {xn , xn+1 , . . .}. Definimos F(xn ) el filtro asociado a la sucesión como F(xn ) := {A ⊆ X | Xn ⊆ A para algún n ∈ N}. F(xn ) está constituido por todos los subconjuntos de X que contienen a casi toda la sucesión. O Teorema 5.21. Sean X un espacio y (xn ) una sucesión en X. xn → x si y solo si F(xn ) → x. IA N Demostración. ⇒) Si xn → x entonces dada Vx tenemos por la definición de convergencia de sucesiones que Vx está en el filtro asociado. ⇐) Si cada vecindad está contenida en el filtro asociado a la sucesión, entonces dada una Vx existe una cola Xn tal que Xn ⊆ Vx . .R UB El hecho que el concepto de filtro sea más general que las propiedades de vecindad tiene reflejos en la continuidad entre los espacios topológicos, ya que esta continuidad se puede caracterizar en términos de filtros, ası́ como la caracterizamos en términos de convergencia de sucesiones. Proposición 5.22. Sea f : X −→ Y una función entre conjuntos. Dado un filtro F en X, la colección f (F) := {f (F ) | F ∈ F} G es una base para un filtro en Y notado f∗ (F). Si f es sobre f (F) = f∗ (F). Además f∗ preserva el orden –la contenencia– entre filtros. Demostración. Es claro que cada elemento de f (F) es no vacı́o. Dados G1 , G2 elementos de f (F), existen F1 , F2 ∈ F con f (F1 ) = G1 , f (F2 ) = G2 . Como F1 ∩ F2 ∈ F tenemos f (F1 ∩ F2 ) ⊆ f (F1 ) ∩ f (F2 ). Si f es sobre, veamos que f (F) es un filtro. Supongamos que H ⊆ Y es tal que G ⊆ H para algún G ∈ f (F). Existe F ∈ F para el cual f (F ) = G. Luego F ⊆ f −1 (G) y f −1 (G) ∈ F, ası́ pues, F ⊆ f −1 (H) y por tanto f −1 (H) ∈ F. Pero f (f −1 (H)) = H por ser f sobre y esto muestra que H ∈ f (F). Para mostrar que f∗ es monótona, es suficiente mostrar que para todo filtro F se tiene A ∈ f∗ (F) si y solo si f −1 (A) ∈ F. (Ejercicio) 87 5.3 Sucesiones Teorema 5.23. f : (X, T) −→ (Y, H) es continua en el punto x ∈ X si y solo si para cada filtro F de X tal que F → x el filtro hf (F)i → f (x). Demostración. ⇒) Supongamos que f es continua y que F → x. Dada Vf (x) vecindad de f (x), existe Vx con f (Vx ) ⊆ Vf (x) . Como Vx ∈ F, tenemos que Vf (x) ∈ hf (F)i. IA N O ⇐) Si f no fuera continua en el punto x existirı́a Vf (x) para la cual ninguna vecindad Vx satisface f (Vx ) ⊆ Vf (x) . Claramente el filtro V(x) de las vecindades de x converge a x; luego, hf (F)i deberı́a converger a f (x) y esto no puede suceder ya que Vf (x) ∈ / hf (V(x))i. Ejercicios 5.3 1. Un espacio X es de Hausdorff si y solo si todo filtro F que converge es de convergencia única. .R UB 2. Muestre que (R, coenumerables) y (R, discreta) tienen el mismo tipo de convergencia de sucesiones. 3. Muestre que si (X, T) es de convergencia trivial entonces es T1 . ¿Se tiene el recı́proco? 4. Muestre que si (X, T) es más fino que (X, coenumerables) entonces es de convergencia trivial. G 5. Muestre que (X, Tp ) —punto elegido— es de convergencia única excepto para la sucesión constante a p. 6. Sea (X, ) un conjunto linealmente ordenado y considere la topologı́a Tad . Si X tiene un elemento mı́nimo, entonces todo filtro es convergente. 7. Muestre que en (R, cof initos) todo ultrafiltro es convergente. 8. Sea F un ultrafiltro en N más fino que el filtro de Frèchet. En el conjunto RN de todas las sucesiones en R, definimos la siguiente relación: (an ) ≡ (bn ) si y solo si {n | an = bn } ∈ F. Muestre que ≡ es de equivalencia. El conjunto R∗ := RN / ≡ de las clases de equivalencia es un modelo de los números reales no estándar. Demuestre que esta relación es consistente con las operaciones de 88 Filtros, convergencia y continuidad suma, multiplicación y orden asociado a las sucesiones. R∗ es un modelo de un cuerpo ordenado no completo. 9. Sea f : (X, d) −→ (Y, m) una función continua entre espacios métricos. Si definimos d∗ (x, y) := d(x, y) + m(f (x), f (y)) O muestre que d, d∗ son topológicamente equivalentes y, además, d∗ hace de f una función uniformemente continua. Sugerencia: muestre que d, d∗ son equivalentes si G .R UB IA N xn → x en (X, d) si y solo si xn → x en (X, d∗ ). 6 Homeomorfismos –o geometrı́a del IA N O caucho– En teorı́a de conjuntos, dos conjuntos A, B se definen equivalentes —iguales en algún sentido y el sentido es precisamente la definición de la relación de equivalencia— si ellos tienen el mismo cardinal, es decir, si existe una biyección f : A −→ B. Que f sea una biyección también se puede expresar diciendo que existe g tal que f ◦ g = 1B y g ◦ f = 1A . .R UB Al querer generalizar este concepto a los espacios topológicos, a más de la cardinalidad, parte inherente a los conjuntos, debemos pedir una relación entre las topologı́as de los dos espacios. En una categorı́a cualquiera D dados dos objetos A, B decimos que son equivalentes isomorfos si existen f ∈ M or(A, B) y g ∈ M or(B, A) tales que f ◦ g = 1B y g ◦ f = 1A . Modelando esta definición para el caso de los espacios topológicos obtenemos la siguiente definición. G 6.1. Homeomorfismos Definición 6.1. Dados dos espacios (X, T), (Y, H) decimos que X es homeomorfo a Y —o que X es topológicamente equivalente a Y y notamos X ≈ Y — si existe una biyección f : X −→ Y con f y f −1 continuas. La función f se llama un homeomorfismo y U ∈ T ⇐⇒ f (U ) ∈ H. Un homeomorfismo f no es tan solo una relación biunı́voca entre los elementos de los espacios, sino que también lo es entre los elementos abiertos de las topologı́as respectivas. 89 90 Homeomorfismos –o geometrı́a del caucho– Por tanto, cualquier afirmación sobre un espacio que se exprese solo en términos de conjuntos abiertos, junto con las relaciones y operaciones entre estos, es cierta para (X, T) si y solo si lo es para (Y, H). O La relación de homeomorfismo definida en la clase de todos los espacios topológicos es de equivalencia —demuéstrelo—. Y el gran objetivo de la topologı́a es determinar qué espacios pertenecen a una misma clase de equivalencia. A cambio de estudiar cada espacio de manera individual, estudiamos su clase de equivalencia. EJEMPLO 6.1 IA N La redondez —es una sensación— no afecta para nada el hecho que dos subespacios topológicos de Rn sean homeomorfos. Dado el segmento de recta L y el arco de circunferencia S, ellos son homeomorfos y el homeomorfismo f es definido como en el dibujo que muestra la proyección desde p. ............ ........ ...... ....... . .... ..... ...... ..... ..... ....... ... ....... . . . . ... . ... ...... ... ..... ...... ...... ... . . . . . ... . .. . ....... . . . . .. . . . .. .. ....... . . . . . . . ..................................................................................................................................... ....... . .. ...... . . ... ....... .. .. ....... . . . . ....... . . ....... .... ... ....... ... ... ...... . . . ....... .... ..... ....... . ....... ....... . .... ..... ......... .. ... ............. L S .R UB p• EJEMPLO 6.2 G El tamaño —es subjetivo— no interesa en topologı́a, por ejemplo el intervalo (−1, 1) y R, cada uno con la topologı́a usual, son homeomorfos x mediante f : R −→ (−1, 1) definida como f (x) = , la cual es 1 + |x| un homeomorfismo. Note que f tiene como inversa a g : (−1, 1) −→ R x . donde g(x) = 1 − |x| Los dos ejemplos anteriores se pueden combinar en el siguiente. EJEMPLO 6.3 La proyección estereográfica de S 2 −{p} en R2 , donde el punto p = (0, 0, 1) es el polo norte. La función F es un homeomorfismo de S 2 −{p} en R2 , y x F (x, y, z) = , ,0 . 1−z 1−z 91 6.1 Homeomorfismos F tiene como inversa a 2u 2v u2 + v 2 − 1 G(u, v, 0) = . , , u2 + v 2 + 1 u2 + v 2 + 1 u2 + v 2 + 1 p ◦ O La proyección estereográfica envı́a a una circunferencia ‘paralela’ al ecuador en una circunferencia del plano y si la circunferencia es cada vez más cercana al polo su imagen será cada vez más grande en el plano. Un meridiano se envı́a en una lı́nea recta. ............................................................................................................................... ... ... .......... ... .................... ... .... ....... .... ... . ........... ... .. . ...... . ... .... ..... . ... . . . ... . . . . . ... ..... ... ... ... . . . ... . . . ... . ... ... ... ... . . . . . . . ...... .. .... . . .. . . . . . . . . ... . ..... .. . . .... . . . . . . . . . . . . . . .... . . . . . . . . . . . . . . . .. ...... . .. . .. ... . . . . . . . . . ... . . .... ..... ... ... ...... ..... . . . . .. ... ...... . .. . . . ... . . . . .... ...... .. .... . .... ... . . . . . . . . . . . ...... . .. ... . ..... ... . ... . . . ... . . . . ... . .. . . . . . . . . . . . . . . .... ... . . . . . . . ... ... ... .. .. . . .... . . . . ..... .. .. . ... . . . . .... .. ... . . ... . . . .................................................................................................................................................................................................................................................................. . ...... .... . ........ . . . . . ..................................... S2 IA N ◦ (x, y, z) ◦ ! • • F (x, y, z) R2 G .R UB Figura 6.1: La proyección estereográfica Hay que estar atentos a los espacios involucrados. La función f : [0, 1) −→ S 1 que ‘dobla’ al intervalo sobre la circunferencia —como si fuesen de alambre— f (x) = (cos 2πx, sin 2πx) es biyecctiva y continua pero no un homeomorfismo: la imagen de [0, 21 ) no es un abierto en S 1 . 92 Homeomorfismos –o geometrı́a del caucho– Las deformaciones realizadas sobre una estructura de goma o caucho en el sentido de poder moldearla y darle una forma arbitraria con tal de no perforarla, ni cortar de ella pedazos para suprimirlos o trasladarlos de lugar, son tan solo una manera vulgar —en el sentido de vulgo— de cómo construir espacios homeomorfos a partir de uno dado. El sentido de homeomorfismo es mucho más amplio y formal. IA N O Por ejemplo, esta figura como subespacio de R3 es homeomorfa al toro sin que sea posible deformar la una en la otra —a la manera del caucho—. Se trata simplemente de un Toro enredado como una manguera —no nos importa el número de vueltas— donde la única manera de desenredarlo serı́a cortando, lo que es interpretado como un paso no continuo. .R UB Otro ejemplo es pensar en la cinta de Möbius1 , una tira de papel donde los bordes más pequeños se pegan —identifican— después de dar un giro de media vuelta. (Ver ejemplo 7.2). G Figura 6.2: Cinta de Möbius. Dos cintas de Möbius (ver fig. 6.3) son homeomorfas si ambas tienen un número impar de giros. Ellas son homeomorfas aunque en este mundo real —de tres dimensiones— nos sea imposible deformar la una en la otra a menos de romperlas. Si el número de giros es par, obtenemos un espacio no homeomorfo a la cinta de Möbius; se trata en efecto de un cilindro. 1 August Ferdinand Möbius (1790-1868), matemático y astrónomo alemán. Hizo el descubrimiento de esta superficie cuando era profesor en la Universidad de Leipzig. El nombre de Möbius está ligado con muchos objetos matemáticos importantes, como la función de Möbius, que introdujo en su artı́culo de 1831 Über eine besondere Art von Umkehrung der Reihen (Sobre una forma especial de invertir las series), y la fórmula de inversión de Möbius. 93 O 6.1 Homeomorfismos IA N Figura 6.3: Cintas de Möbius homeomorfas con diferente número de giros. .R UB Claro que la posibilidad o no de deformación manual en estos ejemplos tiene relación directa con la dimensión del espacio en que los hemos construido y el espacio 3-dimensional en que actuamos. Figura 6.4: Anillos homeomorfos. G Ası́ como un nudo no se puede desatar en dos dimensiones sin romperlo, es por ello que su representación sobre una hoja de papel necesariamente da el sentido de autointersección, mientras que en tres dimensiones sı́ lo podemos desatar o su representación no se intercepta, seguramente en un mundo de cuatro dimensiones podrı́amos desdoblar la cinta de Möbius sin romperla para deformar una de tres giros a una de tan solo un giro. Algunas veces los autores prefieren eliminar este problema de la dimensión y la realización, suponiendo que en un modelo 3dimensional la autointersección no existe, por ejemplo la representación de una botella de Klein (ver fig. 6.5). Es como si el grosor no existiese; en efecto, son verdaderas superficies de espesor igual a cero y, la botella pudiera pasar a través de sı́ misma. Por esto no es nada nuevo que, al pintar un nudo en dos dimensiones, su intersección la representamos como pasar por encima un trazo de lı́nea sobre el otro —uno de los dos es interrumpido—. 94 IA N O Homeomorfismos –o geometrı́a del caucho– .R UB Figura 6.5: Botella de Klein. Una de las construcciones más famosas en cuatro dimensiones es el hipercubo —algo como un cubo de cubos— el cual fue imaginado en tres dimensiones —desdoblado— y utilizado por Salvador Dalı́ en su pintura del año 1954 Hipercubo de Cristo (figura 6.6). EJEMPLO 6.4 G La circunferencia se deforma en un cuadrado. Sean la circunferencia S 1 = {(x1 , x2 ) : x21 + x22 = 1} y el rombo R = {(x1 , x2 ) | |x1 | + |x2 | = 1}. Definimos f : S 1 −→ R como f ((x1 , x2 )) = ... .... ................. ....................... .... ...... ...... ........ ... .... ..... ...... .... .... ..... ..... .... .... .... .... .... ... .... ... .... ... ... ... . . . . . .... ... .... ... .... . . . . . . . ... .... .. .... ... .... . . . ..... .... .. ... .... ... .. ................................................. ........ ... .. . ... .... . . .... ... .... .... ... .... .. . . . . .. ... .... . .... .... ... . ... . . . . .... ... ... ... . . . ... . . . . .... . .. ... .... .... ... .... .... ..... .... .... ...... ..... .... .... ........ ...... .... ...... .............. ..................... ...... ......... f x2 x1 , |x1 | + |x2 | |x1 | + |x2 | la cual es una biyección continua, con inversa también continua f−1 ((x1 , x2 )) = x1 x2 , . (x1 2 + x2 2 )1/2 (x1 2 + x2 2 )1/2 Verifique que las compuestas de estas dos funciones corresponden a la identidad respectiva. 95 .R UB IA N O 6.1 Homeomorfismos Figura 6.6: Hipercubo de Cristo. EJEMPLO 6.5 G El plano punteado se deforma en un cilindro infinito. Sean el plano punteado X = R2 − {(0, 0)} y el cilindro infinito Y = {(x1 , x2 , x3 ) | x1 2 + x2 2 = 1}. Definimos h : X −→ Y como h((x1 , x2 )) = x1 x2 1 , , log(x1 2 + x2 2 ) 1/2 1/2 2 2 2 2 2 (x1 + x2 ) (x1 + x2 ) donde h−1 ((x1 , x2 , x3 )) = (x1 ex3 , x2 ex3 ) . 96 Homeomorfismos –o geometrı́a del caucho– ... . .. .. . .......... .. .. .. .. ... .. .. .. ... . . .. . .. . ..... . . . .. . .. . .. .. .. .. . . .... .. .. .. .. .. . . ... .. .. .. .. .. .. .. ...... . .. .. .. . .. .. . . . . . . . .. . . . . ... .. .. .. .. .. .. .... .. .. .. .. .. .. ... . . .. . . .. .. .. ... . .. . . . . . . . . . . . ............................................................................................................................................................ . . . .. . .. .. .. .. . . ... .. .. .. .. . . ... .. . .. .. .. .. .. .. ..... .. .. .. .. .. .. . . . . . . . . . . .. . .. .. .. .. .. .... .. .. .. .. .. .. .. .. .... . . .. .. .. .. .. ... . . . . . . . . .. ...... .. .. .. .. . . ... .. .. .. . . ... . .. .. .. .. .. .. .. .. ... . .. . .. .. .. .. . .. .. .. .. . . .. .. h ...................... . .... .... .... .... .... .... .... .... . ... ... .. .... ... . ... .... .. .. .... .. ... .... ..... ... ... . .... .... . . .... .... .... . ... . .... .... .... .. ... .... .. .... .... .... .... .... .... .... .... .. . ..... ..... .... .... ... ... ..... ..... .. .. .... .... .... .... . . ..... ..... ... ... .... .... .... .... .... .... .... ... ..... .... .... .... . . . . . . . . .... . .... . .... ... ... ...... .... ..... .. ..... ... ... . .... . .... . . .. ... .... ... ... .... .... .... .... .... .... .... .... .... .... . IA N Ejercicios 6.1 O Figura 6.7: Del plano punteado al cilindro infinito. 1. En un espacio la función idéntica es un homeomorfismo. 2. La composición de homeomorfismos es un homeomorfismo. .R UB 3. Una biyección f : X −→ Y entre espacios es un homeomorfismo si y solo si a) Para cada x ∈ X, f transforma la colección V(x) exactamente en la colección V(f (x)). b) f envı́a la colección de todos los conjuntos abiertos de X exactamente en la colección de todos los conjuntos abiertos en Y . G c) Si B es una base para la topologı́a en X entonces f (B) := {f (B) | B ∈ B} es una base para el espacio Y . 4. Muestre que toda isometrı́a f —d(x, y) = m(f (x), f (y))— de un espacio métrico sobre otro es un homeomorfismo para las topologı́as inducidas por las respectivas métricas. 5. Considere las veintinueve topologı́as posibles para X = {a, b, c}. ¿Cuántas clases de equivalencia existen en T op(X)? (ver pág. 8). 6. Para X = {0, 1, 2, 3} considere las topologı́as a) U = {X, ∅, {0}, {0, 1}, {0, 1, 2}, {1}} 97 6.2 Invariantes topológicos b) V = {X, ∅, {0}, {0, 1}, {0, 1, 2}}. La función idX : (X, U) −→ (X, V) es biyectiva, continua, pero no es un homeomorfismo. 7. Muestre que dos espacios discretos son homeomorfos si y solo si tienen la misma cardinalidad. O 8. Sea f : (X, T) −→ (Y, H) un homeomorfismo y sea (A, TA ) un subespacio de X. Muestre que la restricción es un homeomorfismo. IA N f |A : (A, TA ) −→ (f (A), Hf (A) ) 9. Sean (X, ≤), (Y, E) espacios totalmente ordenados. Una biyección f : (X, T≤ ) −→ (Y, TE ) es un homeomorfismo si y solo si f es estrictamente creciente. .R UB 6.2. Invariantes topológicos Algunos autores definen la topologı́a como el estudio de las propiedades del espacio que permanecen invariables cuando el espacio se somete a homeomorfismos. Llamamos a estas propiedades invariantes topológicos. Por ejemplo, la propiedad que tiene la circunferencia de dividir el plano en dos regiones —teorema de Jordan2 — es un invariante topológico; si transformamos la circunferencia en una elipse, o en el perı́metro de un triángulo, etc., esta propiedad se mantiene. G Por el contrario, la propiedad que tiene la circunferencia de poseer en cada punto una única recta tangente no es una propiedad topológica, pues el triángulo no la posee en cualquiera de sus puntos vértices, a pesar de poderse obtener como una imagen homeomorfa del cı́rculo. Definición 6.2. Una propiedad P del espacio X se llama un invariante topológico si todo espacio Y ≈ X también satisface a P . 2 Camille Jordan (Lyon 1838-Parı́s 1922), matemático francés, conjeturó y creyó haber demostrado el teorema que llevarı́a su nombre, pero dicha demostración era incorrecta y no pudo vencer esta dificultad. Murió sin haberlo demostrado rigurosamente. La primera demostración satisfactoria del teorema de Jordan debió esperar hasta 1905, y se debe a O. Veblen. Más tarde surgieron generalizaciones para n dimensiones con E. J. Brower, demostradas por J. W. Alexander en 1922. 98 Homeomorfismos –o geometrı́a del caucho– Cualquier propiedad que sea definida en términos de los miembros del espacio y de la topologı́a será automáticamente un invariante topológico. Formalmente, la topologı́a es el estudio de los invariantes topológicos. EJEMPLO 6.6 O La propiedad de ser 2-contable es un invariante topológico. IA N En efecto, sean (X, T), (Y, H) espacios homeomorfos y X 2-contable; si h : X −→ Y es un homeomorfismo y B = {B1 , B2 , . . .} es una base para X, veamos que h(B) = {h(B1 ), h(B2 ), . . .} es una base para Y . Sean V un abierto de Y y y ∈ V , entonces existe U tal que h−1 (y) ∈ U y h(U ) ⊆ V . Por ser B una base, existe Bi tal que h−1 (y) ∈ Bi ⊆ U . Luego y ∈ h(Bi ) ⊆ h(U ) ⊆ V . .R UB Nota. La propiedad de ser Lindeloff es un invariante topológico, pero aún más: tan solo utilizamos la continuidad de h para demostrar la invarianza topológica —es decir, la imagen continua de un espacio de Lindeloff es de nuevo de Lindeloff —. Sin embargo, este no siempre es el caso, es decir, existen propiedades donde no es suficiente la continuidad en un solo sentido; por ejemplo idR : Ru −→ (R, grosera) es continua, mientras que el primer espacio es de Hausdorff y el segundo no. Demuestre que sin embargo ser Hausdorff es un invariante topológico. G La utilidad de los invariantes topológicos es obvia en el sentido que, si pretendemos saber cuándo dos espacios topológicos son equivalentes, basta encontrar una propiedad que sea invariante y uno de los dos espacios la posea mientras que el otro no, lo cual establece que no pertenecen a una misma clase. Las siguientes son algunas de las preguntas elementales con respecto a las propiedades que son invariantes: ¿Cuándo los subespacios heredan la propiedad? ¿Cómo se comportan las funciones continuas con respecto a la propiedad? 99 6.2 Invariantes topológicos ¿La propiedad se comporta de manera especial en los espacios métricos? ¿La propiedad es productiva? —comportamiento en el producto de espacios—. El hecho de que un espacio sea metrizable obliga a que todos sus espacios equivalentes también lo sean. O Teorema 6.3. Sean (X, T), (Y, H) espacios homeomorfos y h : X −→ Y un homeomorfismo. Si X es metrizable entonces Y es metrizable. IA N Demostración. Sea d una métrica en X que genera la topologı́a T. Definimos d∗ : Y × Y −→ R, como d∗ (y1 , y2 ) := d(h−1 (y1 ), h−1 (y2 )). .R UB d∗ es una métrica, ¡demuéstrelo!. Veamos que si W = hd∗ i entonces W = H. Primero verifiquemos que H ⊆ W, i. e., que si V ∈ entonces V se puede expresar como reunión de bolas en V ∈ H y y ∈ V ; como d. Sean −1 −1 d −1 −1 h (y) ∈ h (V ) ∈ T, existe Bε h (y) ⊆ h (V ) —una bola según ∗ ∗ d— y para este ε se tiene que Bεd (y) ⊆ V , pues dado z ∈ Bεd (y) —lo que es igual a decir que d∗ (y, z) < ε— tenemos d(h−1 (z), h−1 (y)) < ε, lo que implica h−1 (z) ∈ Bεd (h−1 (y)) ⊆ h−1 (V ), es decir z ∈ V . ∗ G Para ver que W ⊆ H tomemos W ∈ W y z ∈ W . Existe Bεd (y) con ∗ z ∈ Bεd (y). Como h−1 (z) ∈ Bεd h−1 (y) tenemos z ∈ h Bεd (h−1 (y)) . Pero Bεd (h−1 (y)) ∈ T implica h(Bεd (h−1 (y))) ∈ H pues h es homeo∗ morfismo y además h(Bεd (h−1 (y)) está contenido en Bεd (y); por tanto, ∗ Bεd (y) es unión de elementos de H y esto implica que W también es unión de elementos de H. La siguiente definición da una propiedad invariante bajo homeomorfismo, la cual es tema central de muchos y diversos tópicos en matemáticas. Definición 6.4. Un espacio X tiene la propiedad del punto fijo PPF si cada función continua f : X −→ X deja al menos un punto fijo; esto es, existe un x ∈ X tal que f (x) = x. Encontrar una condición necesaria y suficiente para que un espacio X tenga la PPF no es fácil; en cambio, esta propiedad nos ayuda a decidir en algunos casos no triviales si dos espacios son equivalentes o no. 100 Homeomorfismos –o geometrı́a del caucho– Teorema 6.5. La PPF es un invariante topológico. IA N EJEMPLO 6.7 O Demostración. Sea h : X −→ Y un homeomorfismo entre espacios. Si X tiene la PPF, veamos que Y también la tiene. Dada la función continua f : Y −→ Y queremos encontrar un y ∈ Y tal que f (y) = y. La función h−1 ◦ f ◦ h de X en X es continua y por tanto tiene un punto fijo a, (h−1 ◦ f ◦ h)(a) = a, con lo que f (h(a)) = h(a); tomando y = h(a) obtenemos el punto fijo para f . El intervalo unidad I = [0, 1] con la topologı́a de subespacio de los reales tiene la PPF. .R UB En efecto, dada f : I −→ I continua, definimos g : [0, 1] −→ R como g(x) = f (x) − x; lo que g hace es medir la distancia entre (x, x) y (x, f (x)). Luego necesitamos ver que g(x) es igual a cero en algún punto de [0, 1]. Si f (0) = 0 o f (1) = 1 ya lo hemos encontrado. Si f (0) > 0 y f (1) < 1, tenemos que g(0) > 0 y g(1) < 0. Como g es continua, por el teorema de Bolzano del cálculo elemental, existe x tal que g(x) = 0. EJEMPLO 6.8 G Los subespacios [0, 1] y (0, 1) de R no son homeomorfos, ya que el segundo no posee la PPF —¿por qué?—. Uno de los teoremas del folklore de la teorı́a de puntos fijos —su demostración usual utiliza técnicas de la topologı́a algebraica— conocido como el teorema del punto fijo de Brower asegura que un disco cerrado —homeomorfo al cuadrado [0, 1] × [0, 1]— tiene la PPF. Una manera fı́sica de interpretar este teorema es la siguiente: tome una taza de café, revuelva suavemente el contenido y espere hasta que el café deje de moverse. Cada partı́cula de café tiene una posición inicial y una final. Como el movimiento fue suave, los puntos de la superficie, homeomorfa a I × I, permanecen superficiales, de tal suerte que debe existir un punto que regresa a la posición inicial, esto es, su café no quedó bien revuelto. 101 6.2 Invariantes topológicos Ejercicios 6.2 1. ¿S 1 y (0, 1) con la topologı́a usual son homeomorfos? 2. Muestre que S n no tiene la PPF para cada n ∈ N. O 3. Sea X un espacio discreto (resp. indiscreto) y sea Y un espacio. Demuestre que Y ≈ X si y solo si Y es discreto (resp. indiscreta) y X y Y tienen el mismo cardinal. IA N 4. Muestre que en R, Tx ≈ Ty para todo x, y ∈ R. 5. Muestre que (R, [a, →)) y (R, Tx ) no son homeomorfos. 6. * Sea f : (X, T) −→ (Y, H) una biyección. Muestre que f es un homeomorfismo si y solo si H es la topologı́a más grande sobre Y de las que hacen continua a f . G .R UB 7. Considere en el producto N × [0, 1) el orden del diccionario o lexicográfico y en R≥0 la topologı́a inducida por la usual de R. Pruebe que estos espacios son homeomorfos. IA N O 7 Espacios de identificación –cociente– En un curso de álgebra se encuentran los conceptos de grupo cociente o anillo cociente, en los cuales la idea es dar una estructura algebraica al conjunto de coclases de un subgrupo o un ideal. Estos conceptos (basados en una relación de equivalencia) dan una estructura algebraica a una partición del grupo o del anillo. .R UB En lo concerniente a la topologı́a, el concepto equivalente es el de espacio cociente al dar una topologı́a a una partición del espacio donde los elementos serán ahora las clases de equivalencia inherentes a la partición. Si R es una relación de equivalencia en el espacio X, ¿cómo dar una topologı́a al conjunto cociente X/R (de las clases de equivalencia o elementos de la partición) a partir de la topologı́a de X? G 7.1. Topologı́a cociente Dados un espacio (X, T) y una relación R de equivalencia en el conjunto X, queremos ante todo que la función cociente q : X −→ X/R definida por x 7−→ [x] sea por supuesto continua y de la mejor manera, i. e., de manera que X/R tenga la mayor cantidad posible de abiertos y q sea continua. Definición 7.1. Dados un espacio (X, T) y una relación R definimos la topologı́a cociente T/R para X/R como T/R := {V ⊆ X/R : q −1 (V ) es un abierto de X}. 102 103 7.1 Topologı́a cociente Un subconjunto de X que es unión de elementos de una partición se llama saturado. El conjunto saturado más pequeño que contiene a A ⊆ X se llama la saturación de A. A es saturado si q −1 (q(A)) = A, i. e., A es igual a su saturación. V ⊆ X/R es abierto si y solo si V = q(A) con A ⊆ X abierto y saturado. O EJEMPLO 7.1 .R UB IA N 1 En el intervalo [0, 1] S identificamos 0 ≡ 1. [0, 1]0≡1 ≈ S . Tenemos que la partición es {0, 1} {{a} : a ∈ (0, 1)}. Figura 7.1: Esquema para la construcción de S 1 . EJEMPLO 7.2 Cinta de Möbius a . Muchos espacios se construyen a través de otro identificando algunos puntos; por ejemplo, M la cinta de Möbius. Esta superficie fue encontrada en 1858 por el matemático y astrónomo alemán, August Möbius (1790-1868). Möbius fue estudiante y profesor de la Universidad de Leipzig. Curiosamente, el escrito que Möbius presentó a la ‘Académie des Sciences’ en el cual discutı́a las propiedades de una superficie de una sola cara solo fue encontrado después de su muerte. G a Figura 7.2: Esquema para la construcción de una cinta de Möbius. A partir del rectángulo X = [0, 3] × [0, 1] con la topologı́a T de subespacio de R2 hacemos la identificación R esquematizada por la figura 104 Espacios de identificación –cociente– 7.2 (observe la orientación de las flechas) donde (0, y)R(3, 1 − y) y los demás puntos sólo se relacionan con sı́ mismos. (0, y) O (3, 1 − y) IA N Figura 7.3: La imagen inversa de un abierto en la cinta de Möbius. .R UB La preimagen de un disco abierto en la cinta es, o bien el conjunto formado por los dos semidiscos abiertos, o un disco abierto interior al rectángulo. En todo caso se trata de un abierto en X/R pues su preimagen por q corresponde a un abierto en la topologı́a del rectángulo (fig. 7.3). La construcción anterior, hecha sobre una relación de equivalencia, puede ser también descrita en términos de la partición. G Definición 7.2. Sea (X, T) un espacio y sea R = {Ai } una partición o descomposición de X. Formamos un nuevo espacio Y , llamado el espacio identificación o cociente, como sigue. Los puntos de Y son los miembros de R y si q : X −→ Y es la función cociente q(x) 7→ Ai si x ∈ Ai , la topologı́a para Y es la más grande para la cual q es continua, es decir, U ⊆ Y es abierto si y solo si q −1 (U ) es abierto en X. Esta topologı́a se llama identificación o cociente para la partición R y notamos T/R : T/R := {U ⊆ Y : q −1 (U ) es un abierto de X}. Pensemos en Y como esos subconjuntos de X que han sido identificados a un solo punto por medio de R. Como cada partición R genera una relación de equivalencia R (notada de la misma manera), el conjunto Y también es notado como Y = X/R . De suerte que S U es abierto en X/R si y solo si q −1 (U ) = [x]∈U [x] ∈ T. 105 7.1 Topologı́a cociente La continuidad para estos espacios identificación está determinada por la continuidad desde el espacio inicial, como afirma el siguiente teorema de gran utilidad en topologı́a. q X - X/R @ @ f ◦q @ f R ? @ Z O Teorema 7.3. Sean X/R un espacio identificación, Z un espacio y f : X/R −→ Z. f es continua si y solo si f ◦ q es continua –donde q : X −→ X/R . (Si el domino es un cociente lo podemos remplazar por el espacio). IA N Demostración. Si f es continua claramente f ◦q también lo es. En el otro sentido, asumamos que f ◦ q es continua y sea U ⊆ Z con U ∈ T. Para ver que f −1 (U ) es un abierto de X/R debemos tener que q −1 (f −1 (U )) sea abierto de X, es decir, (f ◦ q)−1 (U ) lo sea. .R UB 7.1.1. Descomposición canónica por una función Dada una función sobreyectiva f : X −→ Y entre conjuntos, la colección de las fibras Rf := {f −1 (y)}y∈Y determina una partición en X. q X - X/R f @ @ hf f @ R ? @ Y G La función cociente q : X −→ X/Rf satisface q(x) = [x] = f −1 (f (x)); luego la función hf : X/Rf −→ Y dada por hf ([x]) := f (x) o hf (f −1 (y)) = y está bien definida y es una biyección. Teorema 7.4. Si X, Y son espacios y f : X −→ Y es continua, entonces hf : X/Rf −→ Y es continua. (Como f = hf ◦q decimos que el diagrama representa la descomposición canónica de f ). −1 (U )), Demostración. Dado U un abierto de Y , tenemos h−1 f (U ) = q(f con lo cual −1 −1 q −1 (h−1 (U )) = f −1 (U ), f (U )) = q (q(f y como f −1 (U ) es abierto en X, tenemos que h−1 f (U ) es abierto en X/Rf por la definición de la topologı́a cociente. 106 Espacios de identificación –cociente– Podemos ahora preguntarnos qué tanto se identifica, i. e., ¿cuándo hf es un homeomorfismo? (teorema 7.5), esto es, ¿cuándo h−1 f (y) = −1 f (y) es continua? Teorema 7.5. Sean X, Y dos espacios y f : X → Y continua y sobreyectiva. Si f es abierta o cerrada entonces hf : X/Rf −→ Y es un homeomorfismo. IA N O Demostración. Supongamos que f es abierta y veamos que hf también lo es. Sea U un subconjunto abierto en X/Rf , entonces hf (U ) = f (q −1 (U )) el cual es un abierto. En caso que f sea cerrada, la demostración se deja como ejercicio. La siguiente clase de funciones generaliza a las funciones cociente q : X −→ X/R . .R UB Definición 7.6. Sean (X, T) un espacio, Y un conjunto y f : X −→ Y una función sobreyectiva. La topologı́a cociente o identificación sobre Y es la colección TYf = {V ⊆ Y | f −1 (V ) ∈ T}. La topologı́a cociente algunas veces se llama la topologı́a final con respecto a la función f . G La topologı́a TfY es mucho más que requerir la continuidad, pues la requiere de la ‘mejor’ manera (la más fina sobre Y que hace que f sea continua), por eso algunas veces se conoce como topologı́a de continuidad fuerte. El siguiente teorema es la razón por la cual los espacios de identificación son también llamados cociente. El siguiente teorema generaliza al teorema 7.3. Teorema 7.7. Supongamos que Y tiene la topologı́a cociente TYf para la función f : (X, T) −→ Y . Entonces f X @ 1. f : X −→ Y es continua, y 2. Una función g : Y −→ Z es continua si y solo si g ◦ f lo es. - Y g @ @ R ? g◦f Z La topologı́a cociente es la única topologı́a sobre Y con estas dos propiedades. 107 7.1 Topologı́a cociente Demostración. Por la definición de TYf la continuidad de f es inmediata pues f −1 (TYf ) ⊆ T (teorema 4.2). Si g es continua entonces lo es la compuesta g ◦ f . En el otro sentido, supongamos que g ◦ f es continua y tomemos un abierto U ⊆ Z, entonces (g ◦ f )−1 (U ) = f −1 (g −1 (U )) es abierto pues g ◦ f es continua, con lo cual g −1 (U ) es abierto por definición de la topologı́a identificación. O Finalmente, nótese que la función idéntica idY : (Y, TYf ) −→ (Y, H) es un homeomorfismo si Y está equipado de una topologı́a H con estas propiedades. IA N Definición 7.8. Una función sobreyectiva f : (X, T) −→ Y es una función cociente si la topologı́a sobre Y es la topologı́a cociente. Esto significa que una función sobreyectiva f : (X, T) −→ Y es una función cociente si y solo si para todo V ⊆ Y . .R UB f −1 (V ) es abierto en X si y solo si V es abierto en Y. En este caso decimos que Y es un espacio de identificación —la razón para este nombre es que Y puede ser mirado como un espacio cociente, teorema 7.9—. Teorema 7.9. Sean X, Y espacios y f : X −→ Y una función cociente. Entonces Y ≈ X/Rf —Y es homeomorfo a identificar puntos en X—. G Demostración. Veamos que hf es abierta, esto es, h−1 f es continua. Sea U un subconjunto abierto de X/Rf . Como f es una función cociente, basta mostrar que f −1 (hf (U )) es abierto en X. Pero f −1 (hf (U )) = q −1 (U ) y como q es continua, tenemos que q −1 (U ) es abierto. Si observamos que hf ◦ q = f obtenemos que h−1 f ◦f = q es continua y como f es una cociente, por el teorema anterior h−1 f es continua. X q - X/R f @ @ ≈hf f @ R ? @ Y ¿Cómo podemos reconocer las funciones cociente? i. e., ¿bajo qué condiciones una topologı́a dada proviene de una función cociente? Parte de la respuesta la da el siguiente teorema. K 108 Espacios de identificación –cociente– Teorema 7.10. Sea f : (X, T) −→ (Y, H) continua y sobre. Si además f es abierta o cerrada, entonces f es una función cociente, i. e., H= TfY . Demostración. Debemos ver que H = TYf . Claramente H ⊆ TYf por la definición de TYf . O Para la contenencia TYf ⊆ H tomemos U ∈ TYf ; como f −1 (U ) es abierto entonces U = f (f −1 (U )) es un abierto en H, puesto que la función f es abierta y sobreyectiva. IA N Si f es cerrada, el mismo argumento se aplica cambiando ‘abierto’ por ‘cerrado’. Corolario 7.11. Sea f : (X, T) −→ (Y, H) continua y sobre. Si además X es compacto y Y es de Hausdorff, entonces f es una función cociente. .R UB Demostración. El concepto de compacto se define en el capı́tulo 7 donde además se muestra que con la hipótesis del corolario 7.11 f es cerrada. EJEMPLO 7.3 G Sean X = [0, 2π] y Y = S 1 . f : X −→ Y definida como f (x) := (cos(x), sen(x)) es una identificación, con lo cual S 1 ≈ [0, 2π]/R donde R identifica los extremos, i. e., a 0 con 2π. EJEMPLO 7.4 El toro. Sea X = [0, 1] × [0, 1] con la topologı́a de subespacio usual de R2 . Particionamos a X en cuatro clases mediante la siguiente relación R (ver figura 7.4). 1. {(0, 0), (1, 0), (0, 1), (1, 1)}: las esquinas se identifican. 2. {(x, 0), (x, 1)} para cada x ∈ (0, 1): ‘pegamos’ el borde inferior con el borde superior. 3. {(0, y), (1, y)} para cada y ∈ (0, 1): ‘pegamos’ los lados. 4. {(x, y)} para x ∈ (0, 1) y y ∈ (0, 1): el interior no cambia. 109 O 7.1 Topologı́a cociente IA N Figura 7.4: Una partición sobre I × I que conduce al Toro El espacio T asociado a esta partición es el toro, también descrito como T = S 1 × S 1 , el producto de dos circunferencias. Estas dos descripciones coinciden. Definimos .R UB f : [0, 1] × [0, 1] → S 1 × S 1 como f (x, y) = e2πix , e2πiy donde e2πix := (cos 2πx, sin 2πx) y e2πiy := (cos 2πy, sin 2πy). La relación Rf en [0, 1] × [0, 1] definida por la función f , es decir Rf = {f −1 (a) : a ∈ T } es exactamente la partición inicial R; luego, por el corolario 7.11 G [0, 1] × [0, 1]/Rf ≈ S 1 × S 1 ya que como [0, 1] × [0, 1] es compacto y S 1 × S 1 es de Hausdorff, f resulta ser una identificación. Figura 7.5: Un famoso homeomorfismo entre una taza y el toro. 110 Espacios de identificación –cociente– EJEMPLO 7.5 .R UB IA N O Nuevamente en X = [0, 2π] × [0, 2π] —nuestra hoja de papel— consideramos una relación definida como en el esquema de la figura 7.6, donde los lados verticales nos producen el cilindro y los lados horizontales identifican la base de la botella con su boca pero en sentido contrario —como lo habı́amos hecho en la cinta de Möbius— y es aquı́ donde surge la imposibilidad de realización en tres dimensiones; y hablamos de botella ya que esta construcción se conoce como botella de Klein Figura 7.6: Botella de Klein. G Curiosamente, si una botella de Klein sufriera una caı́da que produjera una rotura en dos partes y a lo largo, ¡obtendrı́amos dos cintas de Möbius! Esto es, la botella de Klein es obtenible vı́a sutura para los dos bordes de dos cintas de Möbius, pero el coser estos dos bordes es imposible en nuestro universo tridimensional, aunque cada borde no sea más que una circunferencia —¡inténtelo!— Ejercicios 7.1 1. Muestre que la topologı́a cociente es en efecto una topologı́a y que es la más fina para la cual la función proyección es continua. 2. Muestre que un subconjunto es cerrado para la topologı́a cociente si es la imagen de un conjunto saturado y cerrado. 111 O 7.1 Topologı́a cociente IA N Figura 7.7: Botella de Klein partida por la mitad. 3. Sean ≡, ∼ relaciones de equivalencia sobre los espacios X, Y respectivamente. Dada una función continua f : X −→ Y tal que a ≡ b implica f (a) ∼ f (b) entonces fb : X/≡ −→ Y /∼ definida por fb([x]) = [f (x)] es una función bien definida y continua. .R UB 4. Sea f : X −→ Y una función cociente. Decimos que A ⊆ X es f -saturado o f -inverso si f −1 (f (A)) = A. a) Muestre que A es f –saturado si existe B tal que A = f −1 (B). b) ¿Cómo caracterizar los abiertos en una función cociente? Los abiertos de Y son precisamente las imágenes por f de los subconjuntos abiertos f -saturados de X. c) ¿Puede caracterizar los cerrados en una función cociente? G 5. ¿Es la composición de funciones cociente una función cociente? 6. Sea f : X −→ Y sobreyectiva. Muestre que f es una función cociente si para todo V ⊆ Y se tiene f −1 (V ) es cerrado en X si y solo si V es cerrado en Y. 7. Muestre que una biyección continua es una función cociente si y solo si es un homeomorfismo. 8. Muestre que la topologı́a TYf es la mejor —más fina— que hace a f continua. La topologı́a producto IA N Dados dos conjuntos X, Y , una construcción familiar es su producto cartesiano, el cual se define —de manera analı́tica— como X × Y := {(x, y) | x ∈ X, y ∈ Y }. O 8 f X H Y H pX H H g HH j [f,g] Y * ? pY X ×Y .R UB Visto X × Y de otra manera — sintética y no analı́tica— tenemos lo siguiente. C 8.1. Definición sintética de producto entre conjuntos G Si tomamos a X, Y como objetos en la categorı́a de los conjuntos, este producto cartesiano es un objeto que tiene asociadas de manera natural dos flechas o morfismos, las proyecciones pX : X × Y −→ X y pY : X × Y −→ Y . La propiedad fundamental de este objeto X × Y y de las flechas pX , pY que además lo caracteriza es: si existe otro conjunto C con dos funciones f : C −→ X, g : C −→ Y entonces estas funciones las podemos factorizar por medio de pX , pY . En otras palabras, existe una única función [f, g] : C −→ X × Y tal que el diagrama conmuta, i. e., f = pX ◦ [f, g] y g = pY ◦ [f, g]. K Posiblemente para el lector no sea familiar esta propiedad del producto cartesiano. Su valor consiste en que no hace referencia a la parte intrı́nseca del conjunto, sino a las propiedades que este objeto y sus flechas tienen dentro de la categorı́a de los conjuntos —factoriza tanto a f como a g— lo cual nos da una visión sintética del concepto. Otro ejemplo en esta lı́nea de pensamiento —no analı́tico— es el de las funciones inyectivas y sobreyectivas. Dados dos conjuntos A, B una función f : A −→ B notada como f ∈ M or(A, B) es inyectiva si 112 113 8.2 La topologı́a producto –caso finito– dados cualquier conjunto C y cualquier par de flechas m, n que satisfacen f ◦ m = f ◦ n podemos concluir m = n (cancelación a izquierda). O La ventaja de mirar estos conceptos en términos de flechas y diagramas consiste en que los podemos generalizar a categorı́as donde el concepto no depende de la definición puntual —por elementos— de un conjunto. 8.2. La topologı́a producto –caso finito– .R UB IA N Una tarea importante en topologı́a es construir nuevos espacios a partir de los ya conocidos. La sección anterior motiva la definición de producto para dos espacios topológicos, donde además de mirar la parte conjuntista debemos hacer intervenir la estructura topológica; es decir, dados (X, T), (Y, H) dos espacios topológicos, el producto X × Y de los dos espacios debe tener una topologı́a que haga que las dos proyecciones sean morfismos topológicos, es decir, las dos funciones pX : X ×Y −→ X y pY : X × Y −→ Y ‘deben’ ser continuas. Como pX debe ser continua, dado un abierto U ⊆ X, p−1 X (U ) = U ×Y (V ) = X ×V debe ser abierto debe ser abierto en X ×Y ; similarmente p−1 Y si V lo es en Y . Ası́ que tanto U × Y como X × V deben ser abiertos, y puesto que queremos una topologı́a en X × Y la intersección de los abiertos tendrá que ser un abierto, i. e., (U × Y ) ∩ (X × V ) = U × V debe ser un abierto de X × Y . G Proposición 8.1. Dados (X, T), (Y, H) espacios, la colección B = {U × V : U ∈ T, V ∈ H} es base para una topologı́a en X × Y . Demostración. Claramente B es un cubrimiento. Sean B1 , B2 en B con B1 = U1 × V1 , B2 = U2 × V2 . Dado (m, n) ∈ B1 ∩ B2 existe B3 = (U1 ∩ U2 ) × (V1 ∩ V2 ) tal que (m, n) ∈ B3 ⊆ B1 ∩ B2 con B3 ∈ B. La topologı́a de la proposición anterior se llama topologı́a producto en X × Y para los espacios (X, T), (Y, H). 114 La topologı́a producto La topologı́a producto es la ‘mejor’, la que posee la menor cantidad posible de abiertos de tal manera que las proyecciones sean continuas, o en otras palabras, la topologı́a producto es la intersección de todas las topologı́as en X × Y que hacen las proyecciones continuas. O Definimos la topologı́a producto para un número finito de espacios topológicos X1 , . . . , Xn como la topologı́a generada por la subbase S formada por la colección de las imágenes inversas de abiertos por medio de las proyecciones S = {p−1 i (Ui ) : Ui abierto de Xi , i = 1, . . . , n}. IA N Los conjuntos p−1 i (Ui ) = X1 × X2 × · · · × Ui × · · · × Xn = Ui × Y Xj j6=i .R UB se denominan cilindros abiertos. De suerte que los elementos de la base generada (llamados cajas abiertas) son de la forma B = U1 × U2 × · · · × Un . (8.1) Ejercicios 8.2 1. ¿Es el producto de dos espacios groseros un espacio grosero? G 2. ¿Cómo es la topologı́a para el producto de dos espacios, uno con la topologı́a discreta y el otro con la topologı́a grosera? 3. Sean (X, T), (Y, H) dos espacios topológicos. Muestre que si BX , BY son bases para X, Y respectivamente, entonces BX × BY = {BX × BY : BX ∈ BX , BY ∈ BY } es una base para el espacio producto. 4. ¿Se puede localizar el anterior ejercicio para obtener una base local en el punto (x, y) ∈ X × Y a partir de bases locales para x y y respectivamente? 5. Muestre que el producto finito de espacios 2–contable es un espacio 2–contable. 115 8.3 La topologı́a producto —caso infinito— 6. Muestre que si A es cerrado en X y B es cerrado en Y entonces A × B es cerrado en X × Y . ¿Se tiene la recı́proca?, i. e., ¿es todo cerrado un producto de cerrados? Sugerencia: (X × Y )/(A × B) = ((X/A) × Y ) ∪ (X × (Y /B)). 7. Muestre que X × Y es ‘canónicamente’ isomorfo a Y × X. 8. Muestre que (R, usual) × (R, usual) = (R2 , usual). O 9. ¿Es pX : X ×Y −→ X una función abierta? ¿Una función cerrada? IA N 10. * Sean (X, <), (Y, <) dos conjuntos ordenados linealmente. Muestre que si Y no tiene máximo ni mı́nimo entonces la topologı́a del orden (X × Y )< es igual a la producto Xd × Y< donde Xd es X con la topologı́a discreta y Y< es Y con la del orden. Esta topologı́a (X × Y )< es más fina que la producto X< × Y< . Sugerencia: muestre que ! {x} × Y .R UB (←, (a, b)) = [ [ ({a} × (←, b)) . x<a 11. Cuando (X, <), (Y, <) son dos conjuntos ordenados linealmente tenemos dos topologı́as para (X × Y ), la producto X< × Y< y la del orden para el producto (X × Y )< , donde Y< es Y con la del orden. Estas topologı́as en general no son iguales, más aún, ni siquiera comparables. G Considere el caso de N con el orden usual. 8.3. La topologı́a producto —caso infinito— Recordemos que paraQuna familia indizada de conjuntos {Xi }, (i ∈ I) su producto cartesiano Xi , (i ∈ I) se define como el conjunto de las funciones ( ) [ x : I −→ Xi x(i) ∈ Xi i∈I donde normalmente escribimos xi a cambio de x(i) y la llamamos la coordenada i -ésima de x = (xi )i∈I . El axioma de elección nos dice que este conjunto producto es no vacı́o si cada factor Xi no lo es. 116 La topologı́a producto Este concepto conjuntista del producto se puede caracterizar en términos sintéticos por medio de las funciones proyección ‘que seleccionan una coordenada especı́fica de cada (xi )’. pj : Y Xi −→ Xj , pj ((xi )) = xj para cada j ∈ I. i∈I O De manera análoga al caso finito, la topologı́a producto para una familia {(Xi , Ti )}, (i ∈ I) de espacios topológicos debe garantizar que las proyecciones sean continuas; es decir, dados i ∈ I yQcualquier Ui abierto de Xi el subconjunto p−1 i∈I Xi . i (Ui ) debe ser abierto en IA N Ası́ que definimos como topologı́a producto la generada por la subbase S conformada por los cilindros abiertos p−1 i (Ui ), exactamente S = {p−1 i (Ui ) | Ui ∈ Ti , i ∈ I}. .R UB De suerte que los abiertos U que conforman la base son las cajas abiertas formadas por la intersección de finitos cilindros, i. e., U = Tn −1 p (U ik ) o, de manera equivalente, k=1 ik U = Ui1 × Ui2 × · · · × Uin × Y Xi , i 6= i1 , i2 , . . . , in . i∈I G Esto es, U es un producto donde todos los espacios coordenados son los Xi salvo para un número finito de ı́ndices ik donde tenemos abiertos propios de cada uno de los espacios indizados. Finalmente, un abierto de la topologı́a producto algunas veces llamada topologı́a producto de Tychonoff 1 , será todo lo que podamos expresar como unión de cajas abiertas. Una manera práctica de visualizar los elementos de la subbase es presentar cada espacio Xi como un segmento de recta —¿mirarlo de lado?— y observar que p−1 i (Ui ) consiste de todas las funciones (xi ) en el producto que asignan a cada ı́ndice j 6= i un punto cualquiera de Xj pero a la coordenada i le debe asignar un punto dentro del abierto Ui ; esto es, tenemos todas las funciones que pasan a través del intervalo Ui ubicado en la recta vertical que representa al espacio coordenado Xi . (Ver fig. 8.2). 1 Andrey Nikolayevich Tychonoff (1906-1993), matemático ruso, célebre por introducir esta topologı́a en 1929 y demostrar el teorema que lleva su nombre, el cual también está asociado a una clase de espacios. 117 IA N O 8.3 La topologı́a producto —caso infinito— Figura 8.1: Andrei N. Tychonoff y Pavel S. Alexandroff. .. .. .R UB . ........ ......... . . .......... . ......... .... .... .... .... ... ........... ......... ....... ......... .... .... .... ... .... ...... ........ . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... . . . . . . . . . . . . . . . .... . . . . . . . . . . . ............ . .. .. ........... ......... ....... ..... .... ..... .................................. ............... ............ ........... .... ........ .. ....... ..... . .................... ...... ... ... ....... . ........ .................................................................... ................................................... ... . ......... ....... .... .............. ........ .. ....................... ...................... ... ........... .... . ............... .... .................. ...... ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................... . . . . ..... ......... .... . . . . . . . . . . . .... . ................................................................ ........................ ............ . .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..... . . . . . ... ... . . . . . . . . ...... ..... .. .. ... . .................. ....... ....... ..... .......................................................................... .... .... ... .. ...... . ....... ... . ..... ......... ................................. .... ................ .... .... ... ..... ........ ................... ................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... . . . . . ..... ... . ..... ...... .... .......... .......... .............. ............................ .... .... ... ..... ........... . ........... .... .... .... ..... ........................................................ .. ....... ......................................................... ...... ...... .... ... ... ... ....... ....... .... .... ... .... ...... .... ...... .. .... .... ... ... ....... .... .... .... ... ...... .... .... ..... ... ... ... .... .... ... ... ... .... .... .... ... ... .... .... .... ... ... .... .... ... ... ... .... ... ... ... ... .... .... .... ... ... .... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . . . . ◦ ◦ ··· X1 X2 X3 ··· Xi . ..... .... .. .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. G Figura 8.2: Un elemento en la subbase de la topologı́a producto de Tychonoff. EJEMPLO 8.1 Topologı́a caja. Para el caso infinito el producto arbitrario de abiertos —cajas infinitas— no tiene por qué ser un abierto en la topologı́a producto de Tychonoff, pues solo para finitos ı́ndices estos factores abiertos pueden ser diferentes del espacio. Si tomamos como base para una nueva topologı́a los conjuntos que sean producto arbitrario de abiertos, esto es, definimos ×Ui una caja, como Y ×Ui := Ui , con Ui abierto en Xi i∈I 118 La topologı́a producto obtenemos la llamada topologı́a caja2 , la cual posee más abiertos que nuestra topologı́a producto y por tanto la contiene. Por supuesto, en el caso de un número finito de ı́ndices, la topologı́a caja coincide con la topologı́a producto. O A menos Q que se especifique otra cosa, cuando hablemos del espacio producto i∈I Xi entendemos que la topologı́a involucrada es la producto de Tychonoff. Y la hemos preferido ya que la topologı́a caja adolece de ciertos defectos como: IA N Posee demasiados abiertos si lo que queremos es hacer a las proyecciones continuas. No siempre el producto de espacios compactos es compacto. No siempre el producto de espacios conexos es conexo. .R UB La continuidad de una función que llega a un espacio producto no puede ser caracterizada en términos de la continuidad de las funciones coordenadas. Aun en el caso de productos enumerables no se garantiza que el producto de espacios 1-contable es 1-contable. La siguiente proposición realza las propiedades de las funciones proyección. Q Proposición 8.2.QSi i∈I Xi es un espacio producto, para cada i ∈ I la proyección pi : i∈I Xi −→ Xi es continua, abierta y sobreyectiva. G Demostración. Por la definición de producto cartesiano es inmediato que cada proyección es sobre. La continuidad se sigue de la definición de la topologı́a producto. Para mostrar que cada proyección pi es abierta basta considerar los abiertos básicos de X, puesto que para toda función la imagen de la unión de una familia es la unión de la familia de las imágenes. Sea Y U = Ui1 × Ui2 × · · · × Uin × Xi , i 6= i1 , i2 , . . . , in un abierto básico; si i = ik entonces pi (U ) = Uik ; si i 6= i1 , i2 , · · · , in entonces pi (U ) = Xi . En cualquier caso pi (U ) es abierto en Xi . 2 Introducida por H. Tietze en Beitrage zur allgemeinen topologie I, Math. Ann. 88, 280-312, (1923), e históricamente anterior a la introducida por Tychonoff. 119 8.4 Propiedades productivas 8.4. Propiedades productivas Las propiedades topológicas poseı́das por un espacio producto dependen, por supuesto y en gran medida, de las propiedades poseı́das por los espacios factores. O Definición 8.3. Una propiedad Q P de un espacio se dice productiva si un espacio producto X = i∈I Xi tiene a P cuando cada espacio coordenado Xi tiene a P. IA N A continuación veremos varios teoremas concernientes a propiedades productivas. Q Teorema 8.4. Un espacio producto i∈I Xi satisface la propiedad Tk de separación (k = 0, 1, 2) si y solo si cada factor Xi es un espacio Tk . .R UB Demostración. ⇒) Supongamos que Xj no es un espacio Tk para algún j ∈ I. Existe entonces un par de puntos aj , bj ∈ Xj para los cuales el axioma Tk no se tiene. Por cada ı́ndice i 6= j escojamos un punto xi = ai = bi ∈ Xi , con lo que los puntos a = (ai ), b = (bi ) son idénticos excepto por la coordenada j–ésima. La propiedad Tk falla entonces para el par de puntos a, b del producto ya que no los podemos separar. G ⇐) Si a = (ai ), b = (bi ) son dos puntos diferentes existe al menos un ı́ndice j ∈ J tal que aj 6= bj . Si Xj es T2 existen vecindades Vaj , Vbj −1 abiertas y disyuntas. Los abiertos Ua = p−1 j (Vaj ) y Ub = pj (V Qbj ) son disyuntos en el producto y además a ∈ Ua , b ∈ Ub ; por tanto, i∈I Xi es de Hausdorff. Si lo que tenemos en cada espacio factor es la propiedad T0 o T1 , procedemos de manera similar. Si el conjunto de ı́ndices I es enumerable —finito o infinito—, la propiedad 1–contable es productiva. Q Teorema 8.5. Un espacio producto X = i∈I Xi es 1-contable si y solo si cada factor Xi es 1-contable y, a excepción de un número contable de ı́ndices, todos los espacios tienen la topologı́a grosera. Añadir a un producto de espacios, nuevos factores con la topologı́a grosera, es como añadir nada. 120 La topologı́a producto Demostración. ⇒) Cada espacio factor Xi es 1-contable, ya que esta propiedad se transmite por funciones continuas, abiertas y sobreyectivas, como es el caso de las proyecciones. O Supongamos que existe J ⊆ I, J no enumerable para el cual la topologı́a en cada Xj (j ∈ J) no es la grosera, i. e., existe una vecindad abierta no trivial Vj 6= Xj . Definimos x = (xi ) con la condición que para las coordenadas j ∈ J, xj ∈ Vj . Como X es 1–contable, existe una Bx base local enumerable, y por cada Bn ∈ Bx tenemos pi (Bn ) = Xi excepto para finitos ı́ndices i, ya que Bn contiene a un elemento de la base de la topologı́a. IA N Al variar n en los Bn , la unión enumerable de estos finitos ı́ndices es enumerable, y como J no es enumerable, existe un ı́ndice j ∈ J para el cual pj (Bn ) = Xj para todo Bn ∈ Bx . Pero para este j sabemos que existe Vj 6= Xj , luego p−1 j (Vj ) es una vecindad abierta de x para la cual −1 no existe algún Bn ⊆ pj (Vj ) y esto contradice a Bx como base local. .R UB ⇐) Supongamos que cada espacio factor Xi es 1–enumerable y que además existe K ⊆ I subconjunto enumerable tal que si i ∈ I − K entonces Xi es grosero. Dado x = (xi ) ∈ X veamos que existe una base local enumerable Bx de x. Por cada xi sea Bxi una base local enumerable en Xi —claramente Bxi = {Xi } si i ∈ I − K—. Sea B = {p−1 i (U ) | i ∈ I, U ∈ Bxi } G la colección de las preimágenes de todas las bases locales que hemos considerado. B es enumerable ya que para i ∈ I − K tenemos p−1 i (U ) = X. Definimos Bx como la familia de todas las intersecciones finitas de elementos de B con lo cual Bx es enumerable y es base local en x. Q Cuando en un producto i∈I Xi todos los factores Xi son iguales a un mismo espacio A, i. e., Xi = A para todo I ∈ I, notamos Y [ AI = Xi = {f | f : I −→ A = Xi }. i∈I i∈I 121 8.4 Propiedades productivas EJEMPLO 8.2 El conjunto de las sucesiones de números reales con la topologı́a caja. ! Y N X = (R , caja) = Ri , caja donde cada Ri = (R, usual). i∈N IA N O Cada factor Ri es 1–contable pero el espacio producto X no lo es. Pues de existir una base local B0 = {B1 , B2 , . . .} Q en el punto 0 = (0)n —la sucesión constante a cero— con cada Bn = i∈N (ani , bni ), se tiene que para la vecindad Y an bn n V0 = , n 2 2 n∈N no existe Bn ⊆ V0 . .R UB El siguiente espacio producto —conjunto de las sucesiones digitales— es toda una fuente de contraejemplos. EJEMPLO 8.3 El producto infinito de espacios discretos no necesariamente es discreto. G Sean ({0, 1}, discreta) y X = {0, 1}N . Veamos que el conjunto unitario B cuyo único elemento es la sucesión constante a cero B = {0} = {(0)n } no es un abierto en la topologı́a producto. Como QB es un conjunto unitario lo podemos expresar como B = n∈N Bn , con Bn = {0} para cada n. Pero por otra parte, si B fuese de la base, los Bn podrı́an ser unitarios únicamente para un número finito de naturales. EJEMPLO 8.4 El cubo X = [0, 1][0,1] no es 1-contable. Dado y ∈ X, supongamos que tenemos una base local contable {B1 , B2 , . . .} en el punto y. Como cada Bm es un abierto, pi (Bm ) = I excepto para un número finito de ı́ndices i ∈ I, digamos im1 , . . . , imk ; cuando m varı́a en los enteros positivos, obtenemos una colección enumerable de conjuntos enumerables de números y como I no es enumerable, existe io tal que pio (Bm ) = I para todo m. Ası́, si U es una vecindad abierta de yio —la 122 La topologı́a producto coordenada io de y— con U 6= I, p−1 io (U ) es una vecindad abierta de y, la cual no puede contener a ningún Bm puesto que en la coordenada io , Bm tiene a I mientras que p−1 io (U ) tiene a U . Ejercicios 8.4 O 1. Muestre que la topologı́a producto es en efecto ‘la mejor’ que hace las funciones proyección continuas. IA N 2. Muestre que la imagen por una función continua y abierta de un espacio 1–contable es un espacio 1–contable. 3. Muestre que la imagen por una función continua y abierta de un espacio 2–contable es un espacio 2–contable. .R UB 4. ¿Es el producto de espacios groseros un espacio grosero? 5. Muestre que el producto de espacios discretos es discreto si y solo si el número de factores es finito. G 6. Muestre que el producto de subespacios es un subespacio del espacio producto. Q Sugerencia: considere el espacio i (X Q i , Ti ). Si Ai ⊆ Xi (i ∈ I) existen dos maneras de dar topologı́a a i Ai . Una como la inducida de Q la topologı́a producto en i Xi y otra al tomar la topologı́a producto de todas las topologı́as Ti |Ai . Muestre que estas dos topologı́as coinciden. Q 7. Sea X = i∈I Xi un espacio producto. Entonces X es 2–contable si y solo si cada factor Xi es 2–contable y, a excepción de un número contable de ı́ndices, todos los espacios tienen la topologı́a grosera. Sugerencia: muestre que si Bi = {Bin }n es una base enumerable en Xi (para cada i), entonces las cajas de la forma Ui1 n1 × Ui2 n2 × · · · × Uik nk × Y Xi , i 6= i1 , i2 , . . . , in i∈I son una base enumerable en el espacio producto. 123 8.5 La topologı́a producto —en los métricos— 8. Sean (Xi , Ti ), (i ∈ I) una colección de espacios topológicos y F un filtro en el conjunto de ı́ndices I. Muestre que el conjunto de todas las cajas ×Ui tales Q que {i | Ui = Xi } ∈ F forman una base para una topologı́a en i∈I Xi llamada F -topologı́a (depende de F). a) Si F = 2I es el filtro trivial entonces la F-topologı́a es la topologı́a caja. O b) Si F es el filtro de los cofinitos para I, la F-topologı́a es la topologı́a producto de Tychonoff. IA N c) Si F, G son filtros con F ⊆ G entonces la F-topologı́a está contenida en la G-topologı́a. d ) La U-topologı́a en el caso de un ultrafiltro U es una ultratopologı́a en el sentido que solo es superada por la discreta. .R UB 8.5. La topologı́a producto —en los métricos— La topologı́a usual de los espacios euclidianos Rn es precisamente la topologı́a producto cuando cada espacio coordenado es Ru . Teorema 8.6.QSea H la topologı́a usual de Rn y sea T la topologı́a producto para ni=1 Ri , Ri = Ru para cada i. Entonces H = T. G Demostración. Veamos que H ⊆ T. Sea U ∈ H un elemento de la base, U = Bεd (x) donde x = (x1 , x2 , . . . , xn ) y d es la métrica usual. Por cada coordenada xi tomemos ε Ui = y ∈ R : |xi − y| < √ = Bε/√n (xi ) ⊆ R. n Es claro que x ∈ U1 × U2 × · · · × Un y además U1 × U2 × · · · × Un ⊆ Bεd (x) pues u = (u1 , u2 , . . . , un ) ∈ U1 × U2 × · · · × Un implica d(x, u) = n X (xi − ui )2 i=1 !1/2 < n ε √ n 2 !1/2 = ε. Para verificar T ⊆ H tomemos U1 × U2 × · · · × Un un elemento de la base de la topologı́a producto y x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ U1 × U2 × · · · × Un . Para cada xi existe B εi (xi ) ⊆ Ui donde B εi (xi ) es una bola de la métrica 124 La topologı́a producto usual de Ri = R. Si ε = mı́n{ε1 , ε2 , . . . , εn }, veamos que Bεd (x) ⊆ U1 × U2 × · · · × Un . En efecto, si y = (y1 , y2 , . . . , yn ) ∈ Bεd (x) entonces para cada coordenada i tenemos !1/2 n X 2 |xi − yi | ≤ |xi − yi | < ε ≤ εi , i=1 O y por tanto cada yi ∈ Bεd (x) ⊆ Ui , es decir y ∈ U1 × U2 × · · · × Un . El siguiente teorema muestra que el producto finito de espacios métricos es de nuevo un espacio métrico. IA N Teorema 8.7. Sean (X1 , d1 ), (X2 , d2 ), . . . , (Xn , dn ) espacios métricos. Q Entonces la topologı́a producto proviene de una métrica en X = ni=1 Xi . Demostración. Consideremos la métrica d : d(x, y) = n X Qn i=1 Xi × Qn i=1 Xi −→ R !1/2 2 di (xi , yi) .R UB i=1 donde x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ). Procediendo como en el teorema anterior se tiene el resultado. G En general la metrizabilidad no es una propiedad productiva, i. e., el producto de una familia infinita de espacios métricos no necesariamente es metrizable, lo cual implica que en la categorı́a de los espacios métricos con las funciones continuas como morfismos, no siempre el producto es de nuevo un objeto de la categorı́a; pero cuando el conjunto de ı́ndices es enumerable, tenemos el siguiente teorema. Teorema 8.8. Sea {(Xi , di )}, (i ∈ N) una familia enumerable de esQ pacios métricos. Entonces el espacio producto X = X con la i=1 i topologı́a producto es metrizable. Demostración. Recordemos que dos métricas equivalentes generan la misma topologı́a; ası́ que, podemos reemplazar cada métrica di por la métrica acotada d∗i (x, y) = mı́n{1, di (x, y)}. Q Q Definimos la función d : i=1 Xi × i=1 Xi −→ R como d(x, y) = ∞ X d∗ (xi , yi ) i i=1 2i 125 8.5 La topologı́a producto —en los métricos— donde x = (xn ), y = (yn ). Veamos que d es una métrica: 1. Por cada i ∈ N tenemos 2−i mı́n{1, di (xi , yi )} = 2−i mı́n{1, di (yi , xi )} ≥ 0, luego O d(x, y) = d(y, x) ≥ 0. IA N 2. d(x, y) = 0 si y sólo si 2−i mı́n{1, di (xi , yi )} = 0 para cada i ∈ N, esto es, para cada i se tiene di (xi , yi ) = 0 lo cual sucede si y solo si xi = yi por cada i. En otras palabras, x = y. 3. Por cada i ∈ N tenemos d∗i (xi , zi ) ≤ d∗i (xi , yi ) + d∗i (zi , yi ), .R UB luego 2−i d∗i (xi , zi ) ≤ 2−i d∗i (xi , yi ) + 2−i d∗i (zi , yi ), lo que implica d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z). Notemos además que d es una métrica acotada G d(x, y) ≤ ∞ X 1 i=0 2i = 2. Veamos ahora que la topologı́a generada por esta métrica es la topologı́a producto. Primero veamos que la topologı́a generada está contenida en la producto. Sea Bεd (x) un elementoPde la base. Escojamos p ≥ 1 lo −i < ε/2. Para cada i ∈ N suficientemente grande para satisfacer ∞ i=p 2 definimos una bola abierta Bεi (xi ) ⊆ Xi de la siguiente manera: si i ∈ {0, 1, 2, . . . , p − 1} entonces εi = ε/4; y si i ≥ p, tomamos Bεi (xi ) = Xi . El conjunto V = Bε0 (x0 ) × Bε1 (x1 ) × · · · × Bεp−1 (xp−1 ) × Xp × Xp+1 × · · · es un abierto de la topologı́a producto que contiene al punto x. Además 126 La topologı́a producto V ⊆ Bεd (x) pues dado y ∈ V d(x, y) = X 2−i di (xi , yi ) i≥0 ≤ p−1 X 2−i di (xi , yi ) + i=0 X 2−i i≥p p−1 X IA N O ε X −i 2−i + 2 4 i=0 i≥p ε X ε ε ≤ 2 + 2−i < + = ε. 4 2 2 < i≥p Para la otra inclusión, consideremos un abierto básico de la topologı́a Q producto U = n∈N Un y un punto x ∈ U . Un = Xn excepto para finitos ı́ndices n1 , n2 , . . . , nk donde d∗n .R UB Uni = Bεi i (xni ) ⊆ Xni . Para ε = mı́n{ε1 /2, . . . , εk /2k } la bola Bεd (x) ⊆ U , pues si y es tal que d(y, x) < ε entonces d∗i (xi , yi ) < 2i ε ≤ εi para cada i = 1, 2, . . . , k d∗n y esto implica yni ∈ Bεi i (xni ) para cada i = 1, · · · , k; luego y ∈ U . G Q Corolario 8.9. Para cada n ∈ N sea In = [0, 1]. El producto n∈N In = I N —llamado el cubo de Hilbert— es metrizable. Otra presentación del cubo de Hilbert es mostrarlo como el producto de intervalos cerrados Y 1 1 ,− . n n n∈N EJEMPLO 8.5 Q Para Xi = ({0, 1}, discreta), (i ∈ R) el espacio i∈R Xi no es metrizable. Muestre que este espacio producto no es 1–contable, verificando que no existe una base local contable en 0 = (xi ), donde xi = 0 para cada i. 127 8.6 Continuidad para el producto 8.6. Continuidad para el producto O Q Dada una función f : X −→ i∈I Yi , usualmente f se nota Q f = (fi ) por medio de las funciones coordenadas fi = pi ◦ f : X −→ i∈I Yi −→ Yi . La estrecha relación entre la continuidad de f y la de las fi resulta de la siguiente proposición. Q Proposición 8.10. f : X −→ i∈I Yi es continua si y solo si las aplicaciones coordenadas fi son continuas. .R UB IA N Demostración. ⇒) Si f es continua, claramente lo son las fi = pi ◦ f para cada i ∈ I. Q abierto básico V = i∈I Vi = T ⇐)−1Si cada fi es continua, dado un −1 que cada fT i∈I pi (Vi ) ⊆ Y tenemos i (Vi ) es un abierto en X y por T −1 −1 −1 tanto, f (V ) = f ( i∈I pi (Vi )) = i∈I fi−1 (Vi ) es también un abierto —nótese que casi todos los fi−1 (Vi ) son iguales a X excepto para finitos ı́ndices i—. Como es suficiente este criterio sobre los abiertos básicos, tenemos que f es continua. Los espacios coordenados heredan en general muchas propiedades del espacio producto. Por el teorema 8.2, heredan cualquier propiedad que sea invariante bajo sobreyecciones que sean continuas y abiertas. Un problema más difı́cil e importante es deducir información acerca del espacio producto a partir de los espacios coordenados, como hemos visto en los teoremas anteriores. G La siguiente proposición nos dice aún más: cada espacio factor se puede sumergir en el espacio producto sin alterar su topologı́a, de suerte que cualquier propiedad que se hereda a los subespacios de un espacio, también se hereda a los espacios coordenados cuando el espacio producto la posea. Q Proposición 8.11. Sea X = i∈I Xi un espacio producto. Dados a = (ai ) ∈ X y un ı́ndice i ∈ I, existe un subespacio Xia ⊆ X tal que a ∈ Xia con Xia homeomorfo a Xi . Demostración. Definimos Xia := {(xi ) : xj = aj , si j 6= i}. Consideremos la función restricción pi |Xia : Xia −→ Xi . Esta función es continua y biyectiva. Resta ver que es abierta —ejercicio—. 128 La topologı́a producto EJEMPLO 8.6 Podemos identificar a R con el subespacio R × {0} de R2 , etc. Ejercicios 8.6 IA N O 1. Sean {Xi }i∈I y {Yi }i∈I familias de espacios y fi : Xi → Yi una función continua para cada i. Entonces la función Y Y Y f= fi : Xi → Yi definida por f ((xi )) = (fi (xi )) es continua. 2. Si Xi ≈ Yi para cada i ∈ I (homeomorfos) entonces Q Xi ≈ Q Yi . 3. Muestre el teorema 8.8 utilizando la métrica .R UB 1 d((xn ), (yn )) = sup{ d∗n (xn , yn )} n 4. Muestre que la proposición 8.10 junto con el hecho que las proyecciones son continuas caracteriza a la topologı́a producto. 8.7. Topologı́as al inicio y al final G En esta sección generalizamos la construcción de las topologı́as producto y cociente respectivamente. 8.7.1. La topologı́a inicial Dados un espacio (X, T) y A ⊆ X, la topologı́a de subespacio para A se puede definir como la mejor topologı́a —con menos abiertos— que hace de la inclusión i : A ,→ X una función continua. Similarmente, dada una familia de espacios topológicos {Xi }, (i ∈ I), la topologı́a producto Q para el conjunto i∈I Xi fue definida como la mejor —la solución más eficiente— que hace cada una de las funciones proyección pi continua. Si generalizamos el párrafo anterior, queremos que dada una familia de espacios {(Xi , Ti )}i∈I y un conjunto X junto con una colección de funciones G = {fi : X −→ Xi }i∈I , se pueda encontrar la ‘mejor’ topologı́a 129 8.7 Topologı́as al inicio y al final f1 X .. . f2 X1 X2 fi X3 O X4 IA N Xi Figura 8.3: Objeto inicial. .R UB inicial para X que haga continuas las funciones fi (la topologı́a discreta es una solución, pero no es la mejor); esto es, la topologı́a menos fina o más gruesa —como se trata del dominio será la menor en el orden de inclusión, la que menos abiertos posea—. Lo que entonces queremos es que cada fi−1 (Vi ) sea abierto cuando Vi lo sea en Xi ; esta topologı́a inicial T G (notada T si no hacemos referencia a la familia) es la generada por la subbase B = {fi−1 (Vi ) | Vi ∈ Ti , i ∈ I}. T G también es conocida como la topologı́a débil, inducida por la colección de funciones G. G La topologı́a inicial nos sirve para caracterizar las funciones continuas que llegan a X; en efecto, tenemos el siguiente teorema. Teorema 8.12. Sea (X, T) un espacio donde T es la topologı́a inicial — débil— inducida por la familia G = {fi : X → Xi | i ∈ I}. Una función g : Y → X donde Y es un espacio, es continua si y solo si la compuesta fi ◦ g : Y → X → Yi es continua para cada i ∈ I. Demostración. ⇒) Si g es continua claramente también lo son las funciones compuestas fi ◦ g. ⇐) Sea U un abierto en X; podemos asumir que U sea un abierto de la subbase, esto es, U = fi−1 (Vi ) para algún i ∈ I con Vi abierto en Xi . Ası́ g −1 (U ) = g −1 (fi−1 (Vi )) = (fi ◦ g)−1 (Vi ) es abierto por hipótesis. 130 La topologı́a producto La anterior propiedad de la topologı́a inicial de ninguna manera es circunstancial; por el contrario, se llama universal en el sentido que caracteriza la topologı́a inicial. O Proposición 8.13. Sea X un conjunto y G = {fi : X −→ (Xi , Ti )}i∈I una colección de funciones continuas. Una topologı́a H para X es igual a la topologı́a inicial T = T G si y solo si H satisface las condiciones del teorema anterior —propiedad universal—. Demostración. ⇒) Ya hemos demostrado que T satisface la propiedad universal. .R UB IA N ⇐) Supongamos entonces que H también satisface la propiedad universal y veamos que H = T. Al aplicar la propiedad de H para idX : (X, H) −→ (X, T) tenemos que fi es una función continua fi = fi ◦ idX : (X, H) −→ (X, T) −→ (Xi , Ti ); luego, si cada fi es continua, T ⊆ H por definición de T. Para la otra contenencia tomemos la función idX : (X, T) −→ (X, H). Como cada fi ◦ idX = fi es continua, por la propiedad de H tenemos que idX es continua, luego H ⊆ T. EJEMPLO 8.7 G Sean (X, d) un espacio métrico y f : Y −→ X una biyección. La topologı́a inicial para Y inducida por f se puede caracterizar como la topologı́a inducida por la métrica df : Y × Y −→ R donde df (m, n) := d(f (m), f (n)). Para la demostración revise el teorema que muestra la metrizabilidad como un invariante topológico. df es conocida como la métrica inducida por f. Ejercicios 8.7 1. Sea X un conjunto y G = {fi : X −→ (Xi , Ti )}i∈I una colección de funciones continuas. a) Muestre que T G —de la definición de topologı́a débil— hace cada fi continua y que en efecto es la ‘mejor’. b) Una sucesión (xn )n → x en X si y solo si (fi (xn ))n → fi (x) para cada i. c) Muestre que F → x si y solo si el filtro hfi (F)i → fi (x). 131 8.7 Topologı́as al inicio y al final 2. Muestre que f : (X, J) −→ (Y, H) es continua si y solo si T G ⊆ J. 3. Dados (X, d) y a ∈ X, la función da : X −→ R definida como da (x) = d(a, x) es continua. Muestre que la topologı́a inicial sobre X inducida por la colección {(da )}, (a ∈ X) es la topologı́a inducida por d. O 4. Dada una colección {(X, Ti )}i∈I de topologı́as, ¿cómo se puede expresar el ı́nf de estas topologı́as en términos de la topologı́a inicial? IA N 5. Para la función f : R −→ Ru , f (x) = x2 , ¿cómo es la topologı́a inicial? Sugerencia. Los abiertos serán los abiertos en el sentido usual que además son simétricos con respecto al origen. .R UB 8.7.2. La topologı́a final X1 f1 f2 X2 X3 X .. . fi G X4 Xi Figura 8.4: Objeto final. De manera dual a la subsección anterior, queremos que dado un conjunto X junto con una colección de funciones G = {fi : (Xi , Ti ) −→ X}i∈I , se pueda encontrar la ‘mejor’ topologı́a final para X (la topologı́a indiscreta {∅, X} es una solución, pero no es la mejor); esto es, la topologı́a más fina o menos gruesa —como se trata del codominio será la mayor en el orden de inclusión, la que más abiertos posea— que garantice la continuidad de cada fi ; lo que queremos entonces es que el conjunto U sea abierto en X si para cada i se tiene que fi−1 (U ) es abierto en Xi . 132 La topologı́a producto Esta topologı́a final TG se define como TG = {U ⊆ X : fi−1 (U ) ∈ Ti , para cada i ∈ I}. TG se conoce como la topologı́a final inducida por la colección G. La topologı́a final nos sirve para caracterizar las funciones continuas que salen de X; en efecto, tenemos el siguiente teorema. IA N O Teorema 8.14. Sea (X, T) un espacio donde T = TG es la topologı́a final inducida por G = {fi : Xi −→ X}i∈I . Una función g : (X, T) −→ (Y, H) es continua si y sólo si g◦fi : (Xi , Ti ) −→ (X, TG ) −→ (Y, H) es continua para cada i ∈ I. Demostración. ⇒) Si g es continua claramente también lo son las funciones compuestas g ◦ fi ya que TG hace cada fi continua. .R UB ⇐) Sea U un abierto en Y . Como fi−1 (gi−1 (U )) = (g ◦ fi )−1 (U ) es abierto para cada i, entonces g −1 (U ) es un abierto en X. Ejercicios 8.7 1. Dado un conjunto X junto con una colección de funciones G = {fi : (Xi , Ti ) −→ X}i∈I , muestre que: a) TG es una topologı́a sobre X. G b) TG es la topologı́a más fina sobre X que hace continua a cada una de las fi : Xi −→ X. c) Caracterice los cerrados en TG en términos de la colección G. 2. Enuncie una proposición para las topologı́as finales que sea dual a la proposición 8.13. 9 Posición de un punto respecto a un IA N O conjunto .R UB Con conceptos relativamente simples como los de abierto y continuidad, hemos podido crear una gran variedad de espacios topológicos y, a partir de estos, otros espacios teniendo en mente algunas construcciones conjuntistas. Para continuar desarrollando nuevos espacios y poderlos analizar, es necesario que tengamos más herramientas. En esta sección discutiremos otras maneras de dotar de una topologı́a a un conjunto, entre ellas el operador de adherencia en el sentido de K. Kuratowski. También se podrı́an usar otros operadores como interior, exterior, frontera o derivado dado que cualquiera de ellos determina completamente la topologı́a sobre el conjunto. 9.1. Conjuntos cerrados y adherencia G Definición 9.1. Sean (X, T) un espacio y F ⊆ X. F se llama cerrado si su complemento F c es abierto. EJEMPLO 9.1 En Ru los intervalos cerrados [a, b] son conjuntos cerrados. Por supuesto un conjunto no tiene por qué ser abierto o cerrado, por ejemplo, el subconjunto N en (R, cof initos). Tampoco estos adjetivos son excluyentes, pues en un espacio discreto todo conjunto es simultáneamente abierto y cerrado, i. e., aberrado. En (R, Sorgenf rey) los miembros de la base [a, b) son aberrados. 133 134 Posición de un punto respecto a un conjunto EJEMPLO 9.2 En un espacio (X, T), a partir de las leyes de De Morgan podemos inferir: 1. ∅ y X son cerrados. 2. Si {Ai }i∈I es una colección de cerrados entonces T i Ai es cerrado. O 3. Si S {Aj }j∈J —J finito— es una colección de cerrados entonces j Aj es cerrado. IA N El concepto de topologı́a se puede introducir a partir del concepto de cerrado. Dado un conjunto X y una familia C de subconjuntos cerrada para intersecciones arbitrarias y uniones finitas, definimos la topologı́a T como la colección de todos los Ac con A ∈ C. Las funciones continuas se pueden caracterizar en términos de los conjuntos cerrados. .R UB Proposición 9.2. Sean (X, T), (Y, H) espacios y f : X −→ Y . f es continua si y solo si la imagen inversa por f de un subconjunto cerrado de Y es un subconjunto cerrado de X. Demostración. Es inmediata, si recordamos que para cualquier U subconjunto de Y se tiene f −1 (U c ) = (f −1 (U ))c . EJEMPLO 9.3 G Los cerrados del subespacio A son las intersecciones de los cerrados de X con A. Sean (X, T) un espacio y A ⊆ X donde A hereda la topologı́a de subespacio. Un M ⊆ A es cerrado en A si M = F c para un F abierto de A, esto es M = F c = (A ∩ U )c donde U es abierto de X; luego, M = Ac ∪ U c y por tanto M ∩ A = (Ac ∪ U c ) ∩ A = U c ∩ A con lo cual M = N ∩ A donde N = U c es cerrado de X. Definición 9.3. Sean (X, T) un espacio y A ⊆ X. Decimos que b ∈ X es un punto adherente o adherido a A, si b no puede ser separado del conjunto A por ninguna de sus vecindades. Esto es, para toda Vb se tiene Vb ∩ A 6= ∅ —efectivamente b está adherido a A—. El conjunto de todos los puntos adherentes a A lo notamos A y lo llamamos adherencia de A, i. e., A = {x : x es adherente a A}. 135 9.1 Conjuntos cerrados y adherencia Teorema 9.4. Sean (X, T) un espacio y A ⊆ X. A es el menor cerrado que contiene a A, i. e., \ A = {F : F es cerrado y A ⊆ F }. IA N O T Demostración. Sea x ∈ {F : F es cerrado y A ⊆ F } y veamos que x ∈ A. Dada Vx vecindad de x existe U abierto con x ∈ U ⊆ Vx . Si Vx ∩ A = ∅ entonces U ∩ A = ∅ luego A ⊆ U c , ası́ que U c es un cerrado que contiene a A y por hipótesis x ∈ U c , lo cual es una contradicción. Ası́ que Vx ∩ A 6= ∅ para toda Vx . T En el otro sentido, sea x ∈ A. Si x ∈ / {F | F es cerrado y A ⊆ F } existe F cerrado tal que A ⊆ F y x ∈ / F . Luego x ∈ F c con F c abierto y además F c ∩ A = ∅ lo cual contradice que x ∈ A. Corolario 9.5. Sean (X, T) un espacio y A, B ⊆ X. Entonces 1. ∅ = ∅. .R UB 2. A ⊆ A, para cada A ⊆ X. 3. A es cerrado. 4. A = A si y solo si A es cerrado. 5. A = A. 6. Si A ⊆ B entonces A ⊆ B. 7. A ∪ B = A ∪ B. G 8. A ∩ B ⊆ A ∩ B. Demostración. Se deja como ejercicio. EJEMPLO 9.4 La propiedad 7 del corolario 9.5 no es verdad más allá del caso finito, aún en el caso de una unión enumerable. Por ejemplo, si cada An = { n1 } entonces [ [ [1 1 :n∈N = An 6= An = {0} :n∈N , n n n n pues en R con la usual A = { n1 : n ∈ N} tiene como punto adherente, a más de los del propio A, el punto 0. 136 Posición de un punto respecto a un conjunto EJEMPLO 9.5 Si X es un espacio infinito con la topologı́a de los cofinitos y A ⊆ X entonces A = X si A es infinito. EJEMPLO 9.6 EJEMPLO 9.7 IA N En (I × I, lexi), la lı́nea A sobre el x-eje, i. e., O La topologı́a para R determina la adherencia de [0, 1]. Por ejemplo, cofinitos o coenumerables satisfacen [0, 1] = R. A = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, y = 0}, G .R UB tiene como puntos adherentes, a más del propio A, los que están en la lı́nea de la parte superior del cuadrado excepto la esquina (1, 1), esto es, A = A ∪ {(x, y) : 0 ≤ x < 1, y = 1}. Figura 9.1: Adherencia en la topologı́a del orden lexicográfico. EJEMPLO 9.8 Sean T1 , T2 dos topologı́as sobre un conjunto X con T1 ⊆ T2 . Para i A ⊆ X notemos por A la clausura de A con respecto a Ti . Entonces 2 1 A ⊆A . En T1 hay menos abiertos y por tanto menos cerrados que en T2 . Por esta razón, la intersección de todos los cerrados en T1 que contienen a A no puede ser más pequeña que la intersección de todos los cerrados en T2 que contienen a A. 137 9.1 Conjuntos cerrados y adherencia En los espacios métricos el concepto de punto adherente se puede caracterizar en términos de la distancia. Proposición 9.6. Sean (X, d) un espacio métrico y A ⊆ X. Para x ∈ X, x ∈ A si y solo si d(x, A) = 0. Demostración. ⇒) Si x ∈ A entonces B1/n (x) ∩ A 6= ∅ para cada n ∈ N. Luego d(x, A) < 1/n para cada n, i. e., d(x, A) = 0. IA N O ⇐) Sea d(x, A) = 0 Si existe Vx con Vx ∩ A = ∅, entonces existe n ∈ N tal que B1/n (x) ⊆ Vx –estas bolas forman una base local– y ası́ B1/n (x) ∩ A = ∅, lo cual contradice d(x, A) = 0. Si el espacio es 1-contable, las sucesiones caracterizan la adherencia. Proposición 9.7 (Lema de las sucesiones). Sean (X, T) un espacio 1– contable y A ⊆ (X, T). x ∈ A si y solo si existe una sucesión (xn ), (n ∈ N) con xn ∈ A tal que xn → x. .R UB Demostración. ⇒) Si x ∈ A por cada n ∈ N tomamos xn con xn ∈ Bn (x) ∩ A para {B1 , B2 , . . .} una base local en x —¡encajada! Es claro que la sucesión ası́ definida satisface xn → x. ⇐) Si existe una sucesión (xn ) en A con xn → x, entonces dada cualquier vecindad Vx tenemos Vx ∩ A 6= ∅ pues por la convergencia existen infinitos xn elementos de A con xn ∈ Vx ∩ A. EJEMPLO 9.9 G Si el espacio no es 1-contable, la anterior caracterización de la adherencia no siempre es cierta. Este es el caso para los números irracionales I si consideramos a (R, coenumerables) —no es 1-contable— I = R pero no existe una sucesión (xn ) en I con xn → 2. El siguiente ejemplo muestra la utilidad de la proposición 9.7. EJEMPLO 9.10 (RN , caja) no es metrizable ya que no se tiene el lema de las sucesiones. En efecto, sea A = {(xn ) : xn > 0, n ∈ N} el conjunto de las sucesiones de términos positivos. El punto 0 = (0) —la sucesión constante a cero— 138 Posición de un punto respecto a un conjunto pertenece a A, pero no existe una sucesión —de sucesiones— (xn ) con ∞ xn = (xm n )m=i convergente a 0. El producto de intervalos U = (−x11 , x11 ) × (−x22 , x22 ) × (−x33 , x33 ) × · · · 9.1.1. Operadores de clausura En 1922 el matemático polaco K. Kuratowski1 reconoció las propiedades que tenı́a la adherencia y las resumió en el siguiente operador llamado de clausura. Para un conjunto X la adherencia es una función K : 2X −→ 2X tal que para cada A ⊆ X, K(A) := A con las siguientes propiedades: .R UB 1. K(∅) = ∅. IA N K O es una vecindad abierta del punto 0 pero no contiene ningún elemento de la sucesión. 2. A ⊆ K(A) —expansión—. 3. K(A ∪ B) = K(A) ∪ K(B). 4. K(K(A)) = K(A) —idempotente—. G Teorema 9.8. Cualquier función K : 2X −→ 2X que satisfaga 1, 2, 3, 4 del párrafo anterior se llama un operador de clausura y determina una única topologı́a sobre X, en la cual los conjuntos cerrados son los conjuntos para los cuales K(A) = A —puntos fijos del operador—. Demostración. Definimos la colección T = {U ⊆ X | K(U c ) = U c }. Verifiquemos que T es topologı́a. Por 1, 2 tenemos ∅, X ∈ T. 1 Kazimierz Kuratowski (Varsovia, 1896-1980), matemático y lógico polaco. La investigación de Kuratowski se basó en estructuras abstractas topológicas y métricas. Junto con Alfred Tarski y Waclaw Sierpinski, construyó casi toda la teorı́a de los espacios polacos, ası́ llamados en honor a estos tres matemáticos. En teorı́a de grafos, hizo la caracterización de los grafos planares llamada teorema de Kuratowski. 139 9.1 Conjuntos cerrados y adherencia S Dada {Vi }, (i ∈ I) con Vi ∈ T, veamos que i∈I Vi está en T. Nótese que A ⊆ B implica K(A) ⊆ K(B) y por tanto !c ! ! [ \ K =K Vi Vic ⊆ Vic para cada i, i∈I i∈I T c) ⊆ c junto con la con lo cual K i∈I Vi ⊆ i∈I K(V i c i∈I VSi y esto S c. V ) V = ( contenencia en 2 nos dice que K i i i∈I i∈I T c T O Si U, V ∈ T, veamos que su intersección es un abierto, es decir, su complemento es un punto fijo. IA N K ((U ∩ V )c ) = K(U c ∪ V c ) = K(U c ) ∪ K(V c ) = U c ∪ V c = (U ∩ V )c . La unicidad de T es clara, pues la definición determina la unicidad de los cerrados, que son aquellos para los cuales F = K(F ). EJEMPLO 9.11 .R UB Sea X un conjunto con más de un elemento. Dado p ∈ X definimos K(A) = A ∪ {p}, K(∅) = ∅. K satisface los axiomas del teorema anterior. ¿Cómo es la topologı́a generada? El siguiente teorema nos muestra que la continuidad se puede caracterizar en términos de la adherencia. Teorema 9.9. Sean (X, T), (Y, H) espacios y f : X −→ Y . f es continua si y solo si para cada A ⊆ X se tiene f (A) ⊆ f (A). G ‘Si x es arbitrariamente cercano a A entonces f (x) lo es a f (A)’. Demostración. ⇒) Sean A ⊆ X, y ∈ f (A). Tomemos x ∈ A tal que y = f (x). Dada cualquier Vy , existe Vx tal que f (Vx ) ⊆ Vy —por la continuidad—. Como x ∈ A, sea p ∈ Vx ∩ A, con lo cual f (p) ∈ f (Vx ∩ A) ⊆ f (Vx ) ∩ f (A) ⊆ V y ∩ f (A) y por tanto y ∈ f (A). ⇐) Consideremos un cerrado C de Y y veamos que f −1 (C) es un cerrado. Como f f −1 (C) ⊆ f (f −1 (C)) ⊆ C, al aplicar f −1 obtenemos f −1 (C) ⊆ f −1 (C) y como C = C tenemos f −1 (C) ⊆ f −1 (C), luego por las propiedades de la adherencia f −1 (C) = f −1 (C), con lo cual f −1 (C) es un cerrado, es decir f es continua. 140 Posición de un punto respecto a un conjunto 9.1.2. La adherencia es productiva Teorema 9.10. Sean {(Xi , Ti )}i∈I una colección de espacios topológicos y Ai ⊆ Xi , Ai 6= ∅ para cada i. Entonces Y Ai = Y Ai i∈I i∈I i∈I Q i∈I i∈I i∈I Ai . i∈I .R UB luego x ∈ IA N O Q Q Q Demostración. Veamos que i∈I Ai ⊆ i∈I Ai . Sea x ∈ i∈I Q Ai y Vx una vecindad abierta del punto x = (xi ). Q Existe un abierto i∈I Ui de la base de la topologı́a producto con x ∈ i∈I Ui ⊆ Vx . Como xi ∈ Ai tenemos Ui ∩ Ai 6= ∅ para cada i y ası́ ! ! Y Y Y Y Vx ∩ Ai ⊇ Ui ∩ Ai = (Ui ∩ Ai ) 6= ∅, .. .. . p (A). .. .. A .... . . . . . . . ........ .... ........... .................. ...................................................... ..................................... ..................................... ..................................... ..................................... ................................. . ........................... ..................... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ........................................ ...... ...................... ..... ..... ........ ........ .... .... ..... ..... ....... ... .... ......................... ... ... . ... .. . ... .... ... ... .. ... .... .... .. .... ..... . .. .. .... ... . .. ..... ... .. ... . .. ...... ..... ... . ...... . . .. . ... ...... ... .. ........ ....... ......... ....... .. . . ......... ... ... ... ... ... ........ ... ... ... ... ... ... ........................................................................ .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 2 G .................p.....(A) ................................ 1 Figura 9.2: A ⊆ Q i∈I pi (A). Recı́procamente, como cada proyección pi es continua, ! ! Y Y pi Ai ⊆ p i Ai = Ai i∈I i∈I para Q cada i, luego i∈I Ai ⊆ A ⊆ i∈I pi (A) (ver fig. 9.2). Q Q i∈I Ai pues si A ⊆ Q i∈I Xi entonces 141 9.1 Conjuntos cerrados y adherencia Corolario 9.11. Sean {(Xi , Ti )}i∈I una colección de espacios topológicos y Ai ⊆ Xi , Ai 6= ∅ para cada i. Entonces Y Ai es cerrado si y solo si cada Ai es cerrado. (9.1) i∈I Q i∈I Ai un cerrado en el espacio producto. Como Y Ai = i∈I Y Ai = Y i∈I i∈I IA N tenemos Ai = Ai para cada i. Ai (9.2) O Demostración. ⇒) Sea ⇐) Como cada Ai = Ai entonces, Y Y i∈I Ai = Y Ai . (9.3) i∈I .R UB i∈I Ai = Ejercicios 9.1 1. Dada Bε (x) en Rnu , ¿quién es su adherencia? 2. Dada Bε (x) en un espacio métrico, muestre que su adherencia no siempre coincide con la bola cerrada. G 3. La adherencia se comporta respecto a los subespacios de la siguiente manera. Si A ⊆ B ⊆ X entonces A como subespacio de B es igual a la intersección de A —como subespacio de X— con B, es decir AB = AX ∩ B. 4. Sean (R2 , verticales) y A = {(x, y) : x2 + y 2 = 1, x ≤ 0, y ≤ 0} —ver ejercicio 2 de 1.2— Calcule: a) A con respecto a S 1 . b) A con respecto a R2 . ¿Qué relación existe entre estos dos conjuntos? 142 Posición de un punto respecto a un conjunto 5. Muestre que en un espacio cualquiera el conjunto de puntos lı́mites de una sucesión es cerrado. 6. * Sean X un espacio y A ⊆ X. Muestre que x ∈ A si y solo si existe un filtro F en el espacio X con A ∈ F y F → x. 7. Una función f : X −→ Y entre espacios topológicos es continua si y solo si para cada B ⊆ Y se tiene f −1 (B) ⊆ f −1 B . O 8. Una función f : X −→ Y entre espacios topológicos es cerrada si y solo si para todo A ⊆ X se tiene f (A) ⊆ f A . IA N 9. Una función inyectiva f : X −→ Y entre espacios es un homeomorfismo si y solo si para cada A ⊆ X se tiene f A = f (A). 9.2. Puntos de acumulación .R UB Si A ⊆ (X, T) es claro que todo punto que está en A es un punto adherido a A. Pero ¿cómo caracterizar aquellos puntos que están adheridos a A no solo por el hecho de pertenecer al conjunto? Estos son puntos donde el conjunto A se acumula en el sentido de la siguiente definición. G Definición 9.12. Sean (X, T) un espacio y A ⊆ X. Decimos que b ∈ X es un punto de acumulación de A (A se acumula en b) o que b es un punto lı́mite del conjunto A, si para cualquier Vb se tiene (Vb − {b}) ∩ A 6= ∅. Es decir, cada vecindad del punto b contiene puntos de A diferentes de b mismo, i. e., b ∈ A − {b}. El conjunto de puntos de acumulación de A lo notamos Aa y lo llamamos derivado de A, Aa = {x | x es un punto de acumulación de A}. Claramente todo punto de acumulación de un conjunto es un punto adherente del conjunto. Teorema 9.13. Si (X, T) es un espacio y A ⊆ X entonces A = A ∪ Aa . 143 9.2 Puntos de acumulación Demostración. Veamos que A ∪ Aa ⊆ A. Si x ∈ / A, existe Vx tal que Vx ∩ A = ∅, es decir x ∈ /Ayx∈ / Aa . Para la otra contenencia sea x tal que x ∈ / A ∪ Aa ; luego existe Vx con (Vx − {x}) ∩ A = ∅, y como x ∈ / A podemos concluir que Vx ∩ A = ∅, con lo cual x ∈ / A. O Corolario 9.14. Sean (X, T) un espacio A ⊆ X. A es cerrado si y solo si Aa ⊆ A. EJEMPLO 9.12 IA N Demostración. A = A = A ∪ Aa , lo que implica Aa ⊆ A. 1. En el subespacio A = (0, 2] ∪ {3} ⊆ Ru se tiene que 3 ∈ / Aa aunque esté en A, mientras 0 ∈ Aa aunque no esté en A. 2. En el ejemplo anterior 3 ∈ A − Aa es un punto ‘aislado’ de su comunidad. .R UB 3. En (X, 2X ) se tiene X a = ∅. 4. En un espacio X el conjunto {a} es abierto si y solo si a ∈ / X a. 5. En general Aa no es conjunto cerrado. Para X = {x, y, z}, T = {∅, X, {x, y}, {z}} y A = {x} tenemos Aa = {y}. Aunque Aa no siempre es cerrado, en los espacios de Hausdorff si lo podemos garantizar. G Proposición 9.15. Si (X, T) es un espacio de Hausdorff, entonces Aa es cerrado para todo A subconjunto de X. Demostración. De acuerdo con el corolario 9.14 veamos que (Aa )a ⊆ Aa . Sean x ∈ (Aa )a y Vx vecindad de x. No hay pérdida de generalidad si tomamos Vx como abierta, ya que si no lo es, existe Ux abierto con Ux ⊆ Vx y trabajamos con este Ux . Sea y ∈ (Vx − {x}) ∩ Aa , luego y 6= x con y ∈ Aa . Por tanto, Vx que es vecindad tanto de x como de y satisface (Vx − y) ∩ A 6= ∅ por estar y ∈ Aa . De otra parte, Uy = (Vx − {x}) es un abierto que contiene a y — puesto que {x} es cerrado—. Luego ((Vx − {x}) − {y}) ∩ A 6= ∅, y por tanto podemos tomar z ∈ (Ux − {y}) ∩ A; claramente z ∈ (Vx − {x}) ∩ A con lo que x ∈ Aa . 144 Posición de un punto respecto a un conjunto Las funciones continuas e inyectivas respetan los puntos de acumulación. Proposición 9.16. Sean (X, T), (Y, H) espacios y f : X −→ Y continua e inyectiva. Si A ⊆ X y x ∈ Aa entonces f (x) ∈ f (A)a — f (Aa ) ⊆ f (A)a —. O Demostración. Sea x ∈ Aa y veamos que f (x) ∈ f (A)a . Como f es continua, dada Vf (x) existe un abierto Ux con f (Ux ) ⊆ Vf (x) . Luego f (Ux − {x}) ⊆ Vf (x) − {f (x)} ya que f es 1-1 y no puede existir otro punto distinto de x cuya imagen sea f (x). Por tanto con lo cual f (x) ∈ f (A)a . 9.2.1. Puntos aislados IA N ∅= 6 f ((Ux − {x}) ∩ A) ⊆ f (Ux − {x}) ∩ f (A) ⊆ (Vf (x) − {f (x)}) ∩ f (A) .R UB Como Aa ⊆ A, ¿qué podemos decir de los puntos en el otro espectro, es decir, los puntos que están en A − Aa ? Estos son puntos x de A para los cuales existe una Vx que no contiene puntos de A diferentes de x mismo —puntos aislados—. Definición 9.17. Sean (X, T) un espacio y A ⊆ X. Decimos que b ∈ X es un punto aislado de A si existe una vecindad Vb en X para la cual Vb ∩ A ⊆ {b}. Es decir, existe una vecindad del punto b que no contiene puntos de A diferentes de b mismo. EJEMPLO 9.13 G En Ru consideremos: 1. El subconjunto Z. Si n ∈ Z entonces 1 1 {n} = Z ∩ (n − , n + ). 2 2 Por tanto la topologı́a de subespacio para Z es la discreta. 2. Los subconjuntos P = {1/n | n ∈ N} y P ∗ = P ∪ {0}. Como cada punto en P es aislado, el subespacio es discreto; mientras que, al agregarle un punto y obtener P ∗ , el nuevo subespacio tiene al punto 0 como punto de acumulación, con lo cual deja de ser un espacio discreto. 145 9.2 Puntos de acumulación Proposición 9.18. Dado (X, T) un espacio y A ⊆ X. (A, TA ) es discreto si y solo si cada punto de A es aislado. Demostración. En el subespacio (A, TA ) un punto a ∈ A es aislado si y solo si {a} es abierto en la topologı́a del subespacio. O Ejercicios 9.2 IA N 1. Si (X, T) es un espacio y A, B ⊆ X, muestre que el conjunto derivado posee las siguientes propiedades: a) Si A ⊆ B entonces Aa ⊆ B a . b) (A)a = Aa para A ⊆ X. .R UB c) (A ∪ B)a = Aa ∪ B a para A, B ⊆ X. S S d ) i∈I Aai ⊆ ( i∈I Ai )a , Ai ⊆ X. 2. En contraposición a la clausura, el segundo conjunto derivado no tiene por qué ser igual al original. Dé un ejemplo donde Aaa * Aa . 3. Demuestre el teorema 9.15 con la condición que el espacio sea T1 a cambio de T2 . 4. Sea R con la topologı́a generada por la base formada por las colas (a, →). Muestre que {0}a no es cerrado. G 5. Sea f : X −→ Y una función uno a uno entre espacios topológicos; f es continua si y solo si f (Aa ) ⊆ f (A)a para todo A ⊆ X. 6. Sea f : X −→ Y una función entre espacios. f es un homeomorfismo si y solo si f (Aa ) = f (A)a para todo A ⊆ X. 7. Muestre que el conjunto de puntos de acumulación de una unión de conjuntos no es necesariamente la unión de puntos de acumulación de cada uno de los conjuntos. 8. Sean (X, T) un espacio de Hausdorff y A ⊆ X. x ∈ Aa si y solo si cada Vx contiene infinitos puntos de A. 9. Sean A ⊆ (X, T) y Ais(A) su conjunto de puntos aislados. Se tiene entonces que: 146 Posición de un punto respecto a un conjunto a) Ais(A) ∩ Aa = ∅. b) Ais(A) ∪ Aa = A. c) Ais A ⊆ Ais(A). d ) Ais(A) = ∅ si y solo si A ⊆ Aa . IA N 9.3. Interior – exterior – frontera O 10. * El filtro de las vecindades Vx es un ultrafiltro si y solo si el punto x es un punto aislado de X. .R UB Definición 9.19. Sean (X, T) un espacio y A ⊆ X. Decimos que b ∈ X es un punto interior de A si existe U ⊆ X abierto tal que b ∈ U ⊆ A. Al conjunto de puntos interiores de A lo llamamos el interior de A y lo notamos A◦ A◦ = {x : x es interior a A}. Proposición 9.20. Sean (X, T) un espacio y A ⊆ X. A◦ es el mayor abierto contenido en A. Demostración. Veamos que A◦ = S A donde la familia A = {Ui ⊆ X : Ui ⊆ A y Ui es abierto}. G Si x ∈SA◦ , existe un abierto Ux con x ∈ Ux ⊆ A con lo cual Ux ∈ A y ası́ x ∈ A. S Si x ∈ A existe i para el cual x ∈ Ui ⊆ A y por tanto x ∈ A◦ . Corolario 9.21. Sean (X, T) un espacio y A ⊆ X. A ⊆ X es abierto si y solo si A◦ = A. Demostración. Es equivalente a decir que A es abierto si y solo si A es vecindad de cada uno de sus puntos. Las propiedades del interior se describen en la siguiente proposición, la cual resume lo que llamamos un operador de interior. 147 9.3 Interior – exterior – frontera Proposición 9.22. Si (X, T) es un espacio y A, B ⊆ X entonces 1. A◦ ⊆ A. 2. (A ∩ B)◦ = A◦ ∩ B ◦ . 3. (A◦ )◦ = A. 5. A◦ ∪ B ◦ ⊆ (A ∪ B)◦ . IA N Demostración. Se deja como ejercicio. O 4. X ◦ = X. Cualquier operador I : 2X −→ 2X que satisface las propiedades de la anterior proposición genera una topologı́a G sobre X definida por G = {A ⊆ X : I(A) = A} y para esta topologı́a I(A) = A◦ . .R UB Dual al concepto de punto interior está el concepto de punto exterior. Definición 9.23. Sean (X, T) un espacio, A ⊆ X y b ∈ X. Decimos que b es un punto exterior a A si existe una vecindad Vb tal que Vb ⊆ Ac . El conjunto de los puntos exteriores a A se llama exterior de A y lo notamos Ext(A): Ext(A) = {x | x es exterior a A}. G Nótese que Ext(A) es el interior de Ac . Un punto que no pertenece al interior ni al exterior de un conjunto se llama punto frontera. Definición 9.24. Dados A ⊆ (X, T) y b ∈ X decimos que b es un punto frontera de A si para toda Vb se tiene Vb ∩ A 6= ∅ 6= Vb ∩ Ac . El conjunto de los puntos frontera de A lo notamos F r(A): F r(A) := {x | x es un punto frontera para A}. Un subconjunto A de un espacio genera una partición sobre el espacio de la siguiente manera. 148 Posición de un punto respecto a un conjunto Proposición 9.25. Sean (X, T) un espacio y A ⊆ X. X es la unión disyunta X = A◦ ∪ F r(A) ∪ Ext(A). Demostración. Las definiciones son excluyentes. EJEMPLO 9.14 IA N O Para Q como subconjunto de Ru se tiene Q◦ = ∅, Ext(Q) = ∅, F r(Q) = R. ¿Cómo es la partición si tomamos a (R, cof initos)? Ejercicios 9.3 1. Continuidad en términos del interior. Una función f : X −→ Y es continua si y solo si f −1 (B ◦ ) ⊆ (f −1 (B))◦ para cada B ⊆ Y . .R UB 2. Muestre que: a) A = Ext(A)c . b) A = (X − M )◦ . c) A◦ = X − (X − A). d ) F r(A) = A ∩ Ac . e) F r(A) = F r(Ac ). G f ) F r(A) ⊆ F r(A). g) F r A◦ ⊆ F r(A). h) F r(A ∪ B) ⊆ F r(A) ∪ F r(B). c i ) F r(A) = {x | x ∈ / A◦ y x ∈ / (Ac )◦ } = A◦ ∪ (Ac )◦ . 3. Muestre que: a) A es abierto si y solo si A ∩ F r(A) = ∅. b) A es cerrado si y solo si F r(A) ⊆ A. c) A es aberrado si y solo si F r(A) = ∅. 4. Continuidad en términos de la frontera. La función f : X −→ Y es continua si y solo si F r(f −1 (B)) ⊆ f −1 (F r(B)) para cada B ⊆ Y . 149 9.4 Subconjuntos densos 5. Para (R2 , verticales) y (R2 , lexicográfico) ¿cómo es la adherencia, interior, frontera y exterior de los siguientes conjuntos? a) {(0, 0)}. b) {(x, y) : x2 + y 2 < 1}. c) S 1 . d ) {(x, y) | y > 0}. O e) {(x, y) | x > 0}. f ) {(0, y) | y > 0}. h) {0} × R. IA N g) R × {0}. 6. Si (X, T) es un espacio y A, B ⊆ X entonces A◦ × B ◦ = (A × B)◦ . ¿Qué sucede si el conjunto de ı́ndices es arbitrario? ◦ 7. Muestre que Cl Int Cl Int A = Cl Int A, i. e., A◦ =A◦ . .R UB 8. Problema de Kuratowski, 1922. Dado un subconjunto A de un espacio, existen a lo más 14 conjuntos diferentes que pueden ser construidos aplicando cualquier permutación de la clausura, el interior y el complemento sobre A. Sugerencia: recurra a la literatura. Muestre que en Ru el conjunto A = [0, 1] ∪ (2, 3) ∪ [(4, 5) ∩ Q] ∪ [(6, 8) − {7}] ∪ {9} satisface el problema. G 9. Si (X, T) es un espacio y A ⊆ X, muestre que la función caracterı́stica Ξ|A : X −→ Ru es continua en el punto x si y solo si x∈ / F r(A). 9.4. Subconjuntos densos Un subconjunto A que está por todas partes del espacio (X, T) merece un nombre especial. Definición 9.26. Sean (X, T) un espacio y A, B ⊆ X. A se llama denso en B si B ⊆ A. Si A es denso en X, i. e., A = X, lo llamamos denso en toda parte o simplemente denso —no hacemos referencia a ningún subconjunto—. En otras palabras, A es denso si para cualquier Vx de cualquier x ∈ X tenemos Vx ∩ A 6= ∅. 150 Posición de un punto respecto a un conjunto EJEMPLO 9.15 Los números irracionales I son densos en R con la topologı́a usual. EJEMPLO 9.16 Un espacio X es discreto si y solo si tiene un único subconjunto denso. IA N O ⇒) Si el espacio es discreto, cada subconjunto es cerrado y por tanto el único denso es X. ⇐) Si X no fuera discreto, existe un punto x tal que {x} no es abierto, y por tanto X − {x} es denso. Si el conjunto denso no es muy grande, el espacio merece un adjetivo. Definición 9.27. Sea (X, T) un espacio. Decimos que X es separable si existe A ⊆ X enumerable y denso. .R UB EJEMPLO 9.17 Cada Rn es separable —basta considerar a Qn —. Proposición 9.28. Si X es 2-contable entonces X es separable. G Demostración. Sea B = {B1 , B2 , . . .} una base enumerable. Por cada Bn tomamos un xn ∈ Bn y formamos el conjunto D = {x1 , x2 , . . .}. D es denso, pues dado cualquier abierto U , por ser B una base, existe Bi con xi ∈ Bi ⊆ U . El recı́proco de la proposición anterior no es cierto en general como se muestra en el siguiente ejemplo; pero en el caso de los espacios métricos sı́ se tiene la equivalencia entre los conceptos 2–contable y separable. EJEMPLO 9.18 (R, cof initos) es un espacio separable pues N = R, pero ya sabemos que (R, cof initos) no es 2-contable. (R, coenumerables) no es separable. Si D ⊆ R fuera denso y enumerable, entonces R−D es abierto, y por tanto para x ∈ R−D se tiene que x ∈ / D. 151 9.4 Subconjuntos densos Proposición 9.29. Si (X, d) es un espacio métrico y separable, entonces es 2-contable. Demostración. Sea D = {d1 , d2 , . . .} un subconjunto denso en X. La colección B = {B 1 (dm ) : m, n ∈ N} es una base enumerable para la n topologı́a generada por d. Dado un abierto U y x ∈ U existe Bε (x) ⊆ U . Sea dm ∈ D con dm ∈ B 4ε (x). La bola B 2ε (dm ) satisface O x ∈ B 2ε (dm ) ⊆ Bε (x) ⊆ U IA N pues si t ∈ B 2ε (dm ) entonces d(t, x) ≤ d(t, dm ) + d(dm , x) ≤ 2ε + 4ε . La utilidad de la equivalencia de estos dos conceptos en los espacios metrizables se muestra en el siguiente ejemplo. EJEMPLO 9.19 .R UB (R, [a, b)) no es metrizable, ya que es separable pero no es 2-contable. EJEMPLO 9.20 La propiedad de separabilidad no es hereditaria (no se hereda a los subespacios); por ejemplo, en R2 la siguiente colección B de ‘cuadrados semiabiertos’ forma una base B = {[a, b) × [c, d) | a < b, c < d, a, b, c, d ∈ R}. G Un abierto básico para la topologı́a generada tiene la forma descrita por la figura 9.3. Esta topologı́a, conocida como topologı́a de Sorgenfrey, es separable pues Q × Q = R × R. El subconjunto formado por la recta diagonal L = {(x, −x) : x ∈ R} es un subconjunto cerrado pues su complemento es abierto. La topologı́a de subespacio es la discreta y, por lo tanto, L no es separable. Notemos que el cubrimiento abierto de R2 [ {R2 − L} {[−a, 1) × [a, 1) : a ∈ R} no se puede reducir a uno enumerable y por tanto el espacio no es de Lindeloff. 152 Posición de un punto respecto a un conjunto ◦.................................. .. . . . . . . .... . . . . .. ..... ..... .......... .. . .. . .. . .. . .. .... ..... ...... . . . . . . . . . ... ..... ...... . . . . . . . . . .. .........................................................◦. y IA N O ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... ..... x ..... ..... ... Figura 9.3: Un abierto en la topologı́a de Sorgenfrey. En caso que el subespacio sea abierto la separabilidad sı́ se hereda. .R UB Proposición 9.30. Sean (X, T) un espacio separable y A ⊆ X con A abierto. El subespacio (A, TA ) es separable. Demostración. Si D es denso y contable en X, D ∩ A lo es en TA . La propiedad de separabilidad es productiva para una cantidad enumerable de factores. G Teorema 9.31. Si {(Xn , Tn )},Q (n ∈ N) es una colección de espacios separables, el espacio producto n∈N Xn es separable. Demostración. Sea Dn un subconjunto denso en Xn , Dn = {xn0 , xn1 , . . .}. Consideremos el conjunto M de todos los subconjuntos finitos de N. M es un conjunto contable. Para cada K ∈ M definimos SK = {f | f : K −→ N}. S SK es enumerable y por tanto F := K∈M SK es también enumerable. Q Dada f ∈ F definimos xf ∈ n∈N Xn como xf (n) = ( xnf(n) , xf (n) = xno si n está en el dominio de f , si n no está en el dominio de f . 153 9.4 Subconjuntos densos Sea U = Un1 × · · · × Unj × Y Xn i6=nj un abierto básico. Por cada ni escogemos mi tal que xnmii ∈ Uni (densidad de Dni ). Para f definida como f (ni ) = mi , (i = 1, . . . , k) se tiene que xf ∈ U . Luego D := {xf : f ∈ F } es denso. O EJEMPLO 9.21 El producto arbitrario de espacios separables no siempre es separable. IA N Para cada i sea Xi = ({0, 1}, discreta) donde I = 2R es el conjunto de ı́ndices. Veamos que el producto Y R X = {0, 1}2 = Xi i∈I .R UB con la topologı́a producto no es separable. Supongamos que existe D ⊆ X denso y enumerable. Por cada ı́ndice i ∈ I consideramos el subconjunto Di := D ∩ p−1 i (1). Para cada i 6= j se verifica que Di 6= Dj . Esto define una función inyectiva h : I −→ 2D dada por h(i) := Di ; con lo cual el cardinal de I resulta menor o igual que el cardinal de 2D . Por supuesto, la separabilidad es un invariante topológico. G Teorema 9.32. La separabilidad es un invariante topológico. Demostración. Sean f : (X, T) −→ (Y, H) un homeomorfismo, D ⊆ X denso y enumerable; veamos que f (D) es denso en Y . Dado V ∈ H, para f −1 (V ) existe d ∈ D con d ∈ f −1 (V ) y ası́ f (d) ∈ V —solo utilizamos que f es continua y sobre—. Concluimos esta sección con un teorema de unicidad, en el sentido que solo hay una manera de extender una función continua a todo el espacio una vez esté definida sobre un subconjunto denso. Teorema 9.33. Sean f, g : (X, T) −→ (Y, H) continuas, donde Y es de Hausdorff. Si f (x) = g(x) para cada x ∈ D, D denso en X, entonces f = g. 154 Posición de un punto respecto a un conjunto Demostración. Si f 6= g sea z ∈ X para el cual f (z) 6= g(z). Tomamos dos abiertos disyuntos U, V vecindades de f (z) y g(z) respectivamente. Como z ∈ f −1 (U ) ∩ g −1 (V ), que es un abierto que no corta a D, tendrı́amos que z ∈ / D, lo cual contradice la densidad de D. EJEMPLO 9.22 Ser 2–contable tiene consecuencias interesantes. IA N O Por ejemplo, si (X, T) es 2–contable y de Hausdorff, la cantidad de abiertos en X puede ser acotada; en efecto, el cardinal de T es a lo más el cardinal del continuo 2ℵ0 . Como cada U ∈ T es unión de elementos de la base, hay tantos abiertos como uniones de elementos en la base enumerable; esto es, tantos como subconjuntos de un conjunto enumerable. .R UB También podemos acotar el número de elementos en X. Como X es de Hausdorff, la función f : X −→ T con f (x) := X − {p} es inyectiva y por tanto el cardinal del dominio es menor o igual al cardinal del codominio. EJEMPLO 9.23 Si debilitamos aún más las hipótesis sobre los espacios del ejemplo anterior, es decir, exigimos que (X, T) sea 1–contable, separable y Hausdorff, 2ℵ0 = 2ω es todavı́a una cota para la cardinalidad de X. G Como X es separable, sea S un subconjunto denso y contable de X. Como X es 1-contable, para cada p ∈ X construimos una sucesión (sp ) en S que converge a p. Entonces, para p 6= q, el ser de Hausdorff implica (sp ) 6= (sq ). El número de tales sucesiones es a lo más S N = ω ω = 2ω , con lo cual #(X) ≤ 2ω . El argumento anterior muestra que en un espacio X de Hausdorff, 1contable y con un subconjunto denso de cardinalidad menor o igual a 2ω , el conjunto X tiene cardinalidad menor o igual a 2ω puesto que #(cN ) = c. Dado que #(X) ≤ 2ω y X es 1–contable, X tiene una base —la unión de todas las bases locales— de cardinalidad menor o igual a N · 2ω = #(N) · c = c = 2ω . 155 9.4 Subconjuntos densos ω Luego el número de conjuntos abiertos en X es a lo más 22 . Además, ω 2 2 es la mejor cota sobre el número de conjuntos abiertos para estos espacios. Por ejemplo R2 con la topologı́a de Sorgenfrey (ver ej. 9.20). Si solo asumimos que (X, T) es un espacio de Hausdorff y separable, ω la mejor cota para la cardinalidad de X es 22 y la mejor cota para el ω 2 número de abiertos en X es 22 . IA N O De otra parte, 2ω es una cota para el número de funciones continuas de X en R. En efecto, sea S un subconjunto denso y contable de X. El número de funciones de S en R es a lo más (2ω )ω = 2ω . Si f, g son funciones continuas de X en R, que coinciden sobre S, entonces f = g. El hecho de que X sea de Hausdorff no se usa en este argumento. Ejercicios 9.4 .R UB 1. Muestre que A ⊆ X es denso si y solo si A intercepta a todo abierto no vacı́o de X. 2. Sean A, B subconjuntos densos en X, Y respectivamente. Muestre que A × B es denso en X × Y . 3. Muestre que C([0, 1]) con la topologı́a hd∞ i del sup es separable. Sugerencia: Teorema de aproximación de Weierstrass 1.885. Los polinomios con coeficientes racionales forman un conjunto denso. 4. Muestre que en el espacio X + = X ∪ {ω} generalizado de ArensFort —ejercicio 4 de 5.3 pág. 94— X es denso en X + . G 5. Para el caso de R+ = R ∪ {ω} con el filtro de Frèchet, este espacio no es separable pero sı́ es de Lindeloff. 6. Muestre que en (X, Tp ) cada abierto no vacı́o es denso. 7. ¿En (X, T p ) qué subconjuntos son densos? 8. Dado un espacio (X, T), decimos que M ⊆ X es diseminado o denso en ninguna parte si (M )◦ = ∅. a) Muestre que Z es diseminado en (R, usual). ¿En (R, cof initos)? b) M es diseminado si y solo si (M )c es denso. 9. Muestre que (I × I, lexi) no es separable. Compacidad O 10 IA N Iniciamos este capı́tulo recordando el célebre teorema del cálculo conocido con el nombre de Heine-Borel-Lebesgue1 el cual resalta una propiedad importante (si no la más) de los intervalos cerrados y acotados de R que permite restringir el estudio de los cubrimientos abiertos de estos intervalos a cubrimientos finitos; esto es, tenemos una condición sobre el cardinal. .R UB Definición 10.1. Dados un espacio (X, T) y A ⊆ X decimos que una colección U = {Ui }i∈I de abiertos (cerrados) de X es un cubrimiento abierto (cerrado) de A si A⊆ [ U= [ Ui . i∈I Si existe J ⊆ I tal que {Uj }, (j ∈ J) es también cubrimiento de A, a la familia {Uj }j∈J la llamamos un subcubrimiento de U. G Teorema 10.2 (Heine-Borel-Lebesgue). Un intervalo [a, b] ⊆ R tiene la propiedad que cada cubrimiento abierto U de [a, b] admite un subcubrimiento finito. Demostración. Consideremos a [a, b] con la topologı́a usual inducida de R y sea U un cubrimiento abierto de [a, b]. Definimos M = {x ≤ b : [a, x] está contenido en un subcubrimiento finito de U}. 1 Introducido por el matemático alemán Heinrich Heine (Berlı́n 1821-Halle 1881) en 1872 (quien también formuló el concepto de la continuidad uniforme), modificado por el matemático y polı́tico francés Félix Borel (Saint-Affrique 1871-Parı́s 1956) en 1894 y por Henri Léon Lebesgue (Beauvais 1875-Parı́s 1941), matemático francés que formuló la teorı́a de la medida en 1910. 156 157 10.1 Espacios compactos O M es no vacı́o y está acotado superiormente por b. Ası́, M admite una mı́nima cota superior s. Veamos que s ∈ M y s = b. Sea U un elemento de U que contiene a s. Como U es abierto, existe ε > 0 tal que (s−ε, s] ⊆ U si s = b o para s < b tendrı́amos (s − ε, s + ε) ⊆ U y por ser s un sup existe δ > 0 tal que δ < ε y s − δ ∈ M . Luego el intervalo [a, s − δ] está contenido en la unión de un subcubrimiento finito de U, llamémoslo M. Por tanto M ∪ {U } es un recubrimiento finito de [a, s], es decir s ∈ M . Si s fuese menor que b entonces (∪M) ∪ U contendrı́a a [a, s + ε] y contradice que s es sup de M . IA N Esta propiedad de los intervalos cerrados y acotados de R la generalizamos a los espacios topológicos y con la siguiente definición2 le damos nombre. .R UB 10.1. Espacios compactos Definición 10.3. Un espacio (X, T) se dice compacto si cada cubrimiento abierto de X admite un subcubrimiento finito. A ⊆ X es compacto si A como S subespacio deSX es compacto; i. e., dado un cubrimiento abierto A ⊆ i∈I Vi —A = i∈I (Vi ∩ A) es reunión de abiertos del subespacio—, existe una subfamilia finita Vi1 , Vi2 , . . . , Vik S S tal que A ⊆ ki=1 Vik ; esto implica A = nk=1 (Vik ∩ A). G La siguiente visualización de la compacidad s debe a John D. Baum: Supongamos que una gran multitud de personas —posiblemente infinitas— están afuera bajo la lluvia, y que cada una de estas personas usa su sombrilla, claramente ellas permanecerán sin mojarse. Pero por supuesto es posible que ellas estén juntas de manera tan compacta, que no sea necesario sino que un número finito de ellas abran sus sombrillas y todavı́a permanezcan sin mojarse. En este caso pensamos que ellas forman una especie de espacio compacto. 2 Fue introducida en 1923 con el nombre inicial de bicompacto y de manera independiente por el gran topólogo ruso Pavel Alexandroff (1896-1982 Moscú) y por el matemático ucraniano Pavel Urysohn (Odessa, Ucrania 1898–Francia 1924). 158 Compacidad EJEMPLO 10.1 1. Si X es un conjunto finito toda topologı́a es compacta. 2. (R, cof initos) es compacto pues dado un cubrimiento abierto U, tomemos U ∈ U; como U c es finito necesitamos adjuntarle a U tan solo finitos miembros de U para obtener un subcubrimiento abierto. O 3. Ru no es compacto pues el cubrimiento abierto formado por la colección (n − 1, n + 1) para n ∈ Z no tiene un subcubrimiento finito. EJEMPLO 10.2 IA N 4. Para un conjunto infinito X y a ∈ X, (X, T a ) es compacta mientras (X, Ta ) no lo es. .R UB La compacidad no se hereda. Por ejemplo, el intervalo (0, 1) ⊆ [0, 1] no es compacto pues {(0, 1 − 1/n)}n∈N es un cubrimiento abierto de (0, 1) que no se puede reducir a un subcubrimiento finito. K En caso que el subespacio sea cerrado, la compacidad si es hereditaria. Teorema 10.4. Sean (X, T) un espacio compacto y A ⊆ X un cerrado, entonces A es compacto. G S Demostración. Sea U una familia de abiertos de X tal que A ⊆ U. Si añadimos a U el conjunto Ac obtenemos un cubrimiento abierto de X. Luego existen U1 , . . . , Un en U tales que X = U1 ∪ U2 ∪ . . . ∪ Un ∪ Ac y por tanto A ⊆ U1 ∪ U2 ∪ . . . ∪ Un . EJEMPLO 10.3 En (R, [a, b)) el subespacio [0, 1] no es compacto, pues [0, 1) no lo es y es un cerrado en [0, 1]. La compacidad es un invariante topológico; más aún, es preservada por las funciones continuas y esta es otra manera de mostrar si un espacio es compacto: viéndolo como una imagen continua de un compacto. 159 10.1 Espacios compactos Teorema 10.5. Sea f : (X, T) −→ (Y, H) sobre y continua. Si X es compacto entonces Y es compacto. Demostración. Sea U un cubrimiento abierto de Y . La familia f −1 (U) = {f −1 (U ) : U ∈ U} IA N O es un cubrimiento abierto de X. Como X es compacto, existe un subcubrimiento {f −1 (U1 ), . . . , f −1 (Un )} de f −1 (U) y por ser f sobre tenemos f (f −1 (Uk )) = Uk para 1 ≤ k ≤ n. Ası́, Y = f (X) = U1 ∪ . . . ∪ Un y por tanto U admite un subcubrimiento finito. Corolario 10.6. No existe f : [0, 1] −→ (0, 1) continua que sea sobreyectiva. Por tanto estos espacios no pueden ser homeomorfos. .R UB Los subconjuntos compactos de un espacio de Hausdorff tienen propiedades deseables, que pueden faltarles a los espacios compactos en general. Esta es una razón para que algunos autores llamen ‘compacto’ a lo que nosotros hemos definido, exigiendo además que el espacio sea de Hausdorff —bicompactos para la antigua escuela rusa y aun para la escuela Bourbaki—. Una de estas propiedades es que ellos se pueden ‘separar’ de los puntos que no contienen. ........................................... .................. ........ .......... ...... ..... ..... .... ..... .... .... ... ... ... ... .... .... ... ... . . . . . ... .. ... . .... . .. . .. .... .. . ... .... ... . . .... ... . ... ... . . ... .... . . . . . . . . .. .... .. .... .. . ... . x . ... . . ... a ... ... .. ... .. ... ... .. . . . . ... ... ..... ......... ..... .... ...... ...... ........ ........... ............................. G A a • U .... .... .... .... .... .... ... ... . ... . ... ... ... ... ... . . ... ... .... .... .... ... . .... .... • x Uxa Figura 10.1: Los compactos en un espacio de Hausdorff son cerrados. Teorema 10.7. Sean (X, T) un espacio de Hausdorff y A un subespacio compacto de X. Dado x ∈ X con x ∈ / A, existen vecindades disyuntas Vx , VA de x y de A respectivamente. —En particular esto implica que A es cerrado—. 160 Compacidad Demostración. Sea a ∈ A. Como X es de Hausdorff, existen abiertos disyuntos Uax , Uxa de a, x respectivamente. Cuando a varı́a en A, obtenemos un cubrimiento de A dado por U = {Uax | a ∈ A} T y de él extraemos unSsubcubrimiento finito {Uax1 , .S. . , Uaxn }. Si Ux = ni=1 Uxai entonces Ux ∩ ( ni=1 Uaxi ) = ∅ y además A ⊆ ni=1 Uaxi . IA N O El hecho de que una función continua f sea una biyección asegura la existencia de su inversa, pero no la continuidad de esta última, i. e., no podemos tener la certeza de que f sea una función abierta. El teorema 10.8 muestra que bajo ciertas circunstancias, como en el caso de los espacios compactos, todas las biyecciones continuas son funciones abiertas. En general compacidad y Hausdorff son una buena combinación, de hecho forman una propiedad óptima (realmente minimal, ejercicio 18). Una topologı́a que es más fina que una topologı́a de Hausdorff es de Hausdorff, mientras que una topologı́a que es más gruesa que una topologı́a compacta es a su vez compacta. .R UB Teorema 10.8. Sean (X, T), (Y, H) espacios con X compacto y Y de Hausdorff. Si f : X −→ Y es una biyección continua entonces f es un homeomorfismo. Demostración. Solo nos resta verificar que f −1 es continua, i. e., f es cerrada. Si C en un cerrado de X entonces C es compacto y por tanto f (C) es compacto en Y , y como Y es Hausdorff, f (C) es además cerrado. G EJEMPLO 10.4 Un camino sobreyectivo f : [0, 1] −→ [0, 1] × [0, 1]. Estos caminos existen3 aunque la intuición nos falle y se construyen mediante un proceso iterativo como en la figura 10.2— no puede ser inyectivo, i.e., el camino pasa dos veces por el mismo punto, pues de lo contrario serı́a una biyección y por el teorema anterior un homeomorfisK mo, y ya sabemos que estos espacios no son homeomorfos. 3 Fue el matemático italiano Giuseppe Peano (Spinetta 1858–Turı́n 1932) el primero en descubrir una de ellas, y se llaman desde entonces curvas de Peano. La famosa curva de Peano que llena el espacio apareció en 1890 como un contraejemplo que usó para mostrar que una curva continua no puede ser encerrada en una región arbitrariamente pequeña. Este fue un ejemplo temprano de lo que se conoce como fractal. 161 O 10.1 Espacios compactos IA N Figura 10.2: Construcción de una curva de Peano. Ejercicios 10.1 .R UB 1. Sean (X, T), (Y, H) espacios con X compacto y Y de Hausdorff. Si f : X −→ Y es continua entonces f (A) = f (A) para todo A ⊆ X. 2. ¿Es la intersección de espacios compactos un compacto? Sugerencia: considere el espacio producto X = (R, usual) × ({0, 1}, grosera). G Grafique los subespacios S a) A = [a, b] × {0} (a, b) × {1}, S b) B = (a, b) × {0} [a, b] × {1}. Como cada abierto que contiene al punto (a, 0) contiene al punto (a, 1), entonces A y B son compactos. Pero A ∩ B = (a, b) × {0, 1} no es un compacto ya que el intervalo (a, b) no lo es. 3. ¿Es la unión de espacios compactos un compacto? 4. Muestre que ([0, 1), usual) no es compacto. 5. Considere a (0, 1) con la base {(0, 1/n)}n∈N . ¿Quién es la adherencia de (0, 1/2)? ¿Es (0, 1/2) compacto? 6. Muestre que en un espacio de Hausdorff, A es compacta si A lo es. 162 Compacidad 7. Sea (X, T) un espacio 1-contable. X es de Hausdorff si y solo si cada subconjunto compacto es cerrado. 8. Sea X = ([0, 1), usual). Muestre que la función e : X −→ S 1 definida por e(t) = (cos 2πt, sen 2πt) —la restricción de la función exponencial— es una biyección continua que no es un homeomorfismo. O 9. Muestre que el conjunto [0, 1]×[0, 1] como subespacio de (R2 , lexico) no es compacto. IA N 10. Sea (X, ≤) un conjunto parcialmente ordenado con un primer elemento y dotado con la topologı́a de colas ↑ x a derecha (filtros de orden principales). Muestre que X es compacto. 11. Sea (X, ≤) un conjunto totalmente ordenado. La topologı́a del orden es compacta si y solo si X es un retı́culo completo. Revise la demostración del teorema 10.2. .R UB 12. Muestre que un espacio discreto es compacto si y solo si es finito. 13. Sean T1 , T2 dos topologı́as para X. Muestre que si T1 es compacta y T2 ⊆ T1 entonces T2 es compacta. 14. Regularidad–compacidad local. Muestre que en un espacio Hausdorff y compacto, dado x ∈ X y cualquier vecindad Vx , existe una vecindad abierta Ux tal que Ux ⊆ Ux ⊆ Vx . 15. No abundan los compactos. Si (X, T) es de Hausdorff y todos los subconjuntos de X son compactos entonces la topologı́a es discreta. G 16. Sea (X, T) un espacio. La familia Gcompacto := {U ∈ G : U c es compacto} ∪ {∅} es una topologı́a compacta para X. 17. Muestre que en un espacio métrico todo subconjunto compacto es cerrado y acotado. ¿Se tiene la recı́proca? 18. Muestre que compacto–Hausdorff es una propiedad minimal: si X es compacto y de Hausdorff con respecto a una topologı́a T, entonces cualquier otra topologı́a que sea estrictamente más fina que T es de Hausdorff pero no compacta, mientras que toda otra topologı́a más gruesa que T es compacta pero no de Hausdorff. Sugerencia: aplique el teorema 10.8 a la función idéntica de X. 163 10.2 Dos caracterizaciones de la compacidad 10.2. Dos caracterizaciones de la compacidad 10.2.1. Compacidad vı́a cerrados O Sean X un conjunto y A = {Ai }i∈I , una familia de subconjuntos de X. A tiene la propiedad de la intersección finita PIF si la intersección de cualquier subfamilia finita de A es no vacı́a, i. e., si para todo T J ⊆ I finito se tiene j∈J Aj 6= ∅. El siguiente teorema da una caracterización de la compacidad en términos de los subconjuntos cerrados del espacio. IA N Teorema 10.9. Un espacio (X, T) es compacto si y solo si cada colección C = {Ci }i∈I de cerrados que posee la PIF satisface que ∩C 6= ∅. .R UB T Demostración. ⇒) Para cada i ∈ I, sea Ui = X − Ci . Si i∈I Ci = ∅ S entonces i∈I Ui = X y por tanto {Ui }i∈I es un cubrimiento abierto de X. Sn Como X es compacto existe Ui1 , Ui2 , . . . , Uin un subcubrimiento finito k=1 Uik = X y al tomar complementos en esta igualdad se contradice la PIF para C. ⇐) Si X no es compacto existe {Ui }i∈I cubrimiento abierto que no se puede reducir a uno finito. Sea Ci = X − Ui para cada i ∈ I. Claramente C = {Ci }i∈I tiene la PIF pero ∩C = ∅, lo que contradice la hipótesis. Corolario 10.10 (Encaje de Cantor). Sea (X, T) un espacio compacto. Si C = {Ci }, (i ∈ I) es una cadena descendente —encaje— de cerrados no vacı́os entonces ∩C 6= ∅. G Demostración. C satisface la PIF. EJEMPLO 10.5 Ru no es compacto, ya que la familia de cerrados {[z, ∞)}z∈R tiene la PIF, y sin embargo la intersección de todos los elementos de esta familia es vacı́a. La siguiente proposición generaliza el clásico teorema de B. Bolzano4 dado en 1830 en el contexto de los números reales: cada subconjunto infinito y acotado de números reales tiene un punto de acumulación. 4 Matemático checo (1781 Praga-1848 Praga). Bolzano liberó de manera exitosa al cálculo del concepto de infinitesimal. También dio ejemplos de funciones 1-1 entre elementos de un conjunto infinito y elementos de un subconjunto propio. Se adelantó a 164 Compacidad Proposición 10.11 (Bolzano-Weierstrass). Todo subconjunto infinito de un espacio compacto X tiene un punto de acumulación. IA N O Demostración. Si A es un subconjunto de X que no tiene puntos de acumulación, veamos que A es finito. Como A no tiene puntos de acumulación, entonces para todo x ∈ X existe Vx tal que Vx ∩ A = ∅ ó Vx ∩ A = {x} en el caso que x ∈ A. La colección {Vx }, (x ∈ X) forma un cubrimiento abierto de X (compacto) elScual admite un subcubrimiento finito Vx1 , . . . , Vx2 . Claramente A ⊆ ni=1 Vxi = X y por tanto A tiene a lo más {x1 , x2 , . . . , xn } puntos. En un espacio compacto todo subconjunto que no tenga puntos de acumulación es finito, i. e., todo se acumula excepto lo finito. Si el espacio compacto es además de Hausdorff, el siguiente teorema da condiciones para su cardinalidad. .R UB Teorema 10.12. Sea X un espacio compacto y de Hausdorff, con la propiedad que cada uno de sus puntos es de acumulación, i. e., no posee puntos aislados. Entonces X es incontable. Demostración. Dado A = {a1 , a2 , . . .} ⊆ X mostremos que existe x ∈ X tal que x ∈ / A. Para encontrar tal x construiremos un encaje de cerrados no vacı́os C1 ⊇ C2 ⊇ C3T⊇ · · · con la propiedad que an ∈ / Cn y como X C . es compacto existe x ∈ ∞ n=1 n G Para la construcción de {Cn }n utilizamos de manera inductiva el siguiente hecho: dados un abierto U 6= ∅ y b ∈ X, existe una vecindad W contenida en U y tal que b ∈ / W (b puede estar o no en U ). En efecto, sea y ∈ U con y 6= b (si b ∈ U utilizamos que b es de acumulación, si b∈ / U tomamos y ∈ U pues U 6= ∅). Como el espacio es de Hausdorff, existen vecindades Vby ∩ Vyb = ∅; luego, Wy = Vyb ∩ U satisface b ∈ / W. La construcción: sea X el primer abierto y escojamos W1 ⊆ X con a1 ∈ / W1 . Hagamos C1 = W1 . Sea W2 ⊆ W1 con a2 ∈ / W 2 y C2 = W 2 . los analistas rigurosos del siglo XIX, a saber: en el concepto de función continua y en la demostración de sus propiedades, en el criterio de convergencia de series, y en la existencia de funciones continuas sin derivadas; pero por haber publicado sus escritos de análisis en Praga, ciudad entonces alejada de los centros cientı́ficos, o por permanecer inéditos, como su importante Teorı́a de Funciones, que apareció en 1930, la influencia de sus ideas fue escasa. Definió lo que hoy se conoce como sucesiones de cauchy. 165 10.2 Dos caracterizaciones de la compacidad Continuamos este proceso escogiendo Wn+1T⊆ Wn con an+1 ∈ / Wn+1 y C nos proporciona el hacemos y Cn+1 = Wn+1 . La intersección ∞ n=1 n punto x ∈ / A. Corolario 10.13. R es incontable. O 10.2.2. Compacidad vı́a filtros IA N Definición 10.14. Sea F un filtro en el espacio (X, T). Un punto x ∈ X es adherente al filtro si para toda Vx y todo F ∈ F se tiene Vx ∩F 6= ∅. Es decir, V(x) ∩ F es una base de filtro. Definimos F la adherencia del filtro como el conjunto de puntos que son adherentes al filtro; en particular F= \ {F | F ∈ F}. .R UB Teorema 10.15. Un espacio X es compacto si y solo si cada filtro en X tiene un punto adherente. Demostración. ⇒) Sean X compacto, F un filtro en X y veamos que T {F | F ∈ F} 6= ∅. La colección C := {F | F ∈ F} posee la PIF, pues dada F1 , F2 , . . . , Fn una subfamilia finita de C n \ n \ Fi i=1 G i=1 Fi ⊆ T T y como F es un filtro tenemos ni=1 Fi 6= ∅, con lo cual ni=1 Fi 6= ∅. Por tanto ∩C 6= ∅ y ası́ F = ∩C 6= ∅. ⇐) Para verificar que X es compacto tomemos una familia C de cerrados con la PIF. C es una subbase de un filtro F pues el conjunto M de todas las intersecciones finitas de elementos de C es una base de filtro ya que 1. La intersección no vacı́a de dos elementos de M contiene a un elemento de M. 2. M es no vacı́o y el conjunto vacı́o no es un elemento de M. 166 Compacidad Sea F el filtro generado por M, i. e., F := hMi = {F ⊆ X : M ⊆ F, algún M ∈ M}. T Sabemos que F = 6 ∅ y por tanto existe x ∈ X con x ∈ {F | F ∈ F} y como C ⊆ F tenemos \ \ \ {F : F ∈ F} ⊆ {C : C ∈ C} = {C : C ∈ C}, {C : C ∈ C}. O EJEMPLO 10.6 T IA N pues cada C es cerrado. De tal manera que x ∈ (R, cof initos) es compacto (vı́a los filtros). .R UB Sea F un filtro en R y supongamos que a ∈ R satisface que a ∈ / F, i. e., existen Va y F ∈ F para los cuales Va ∩ F = ∅. Luego F ⊆ X − Va y como la topologı́a es la de los cofinitos F es un conjunto finito, digamos F = {x1 , x2 , . . . , xn }. Afirmamos que existe un ı́ndice i ∈ {1, 2, . . . , n} para el cual se satisface que el punto xi está en todos los elementos del filtro, pues en caso contrario existen F1 , . . . , Fn ∈ F (uno por cada ı́ndice) tales que xk ∈ / Fk , (k = 1, . . . , n) y ası́ F ∩ (F1 ∩ . . . ∩ Fn ) = ∅ lo cual no puede suceder. Para este ı́ndice i se tiene entonces que xi ∈ F. 10.2.3. Compacidad vı́a ultrafiltros La compacidad tiene una definición en términos de los ultrafiltros. G K Teorema 10.16. Un espacio (X, T) es compacto si y solo si cada ultrafiltro en X es convergente. Demostración. ⇒) Sea U un ultrafiltro en X y supongamos que U no es convergente; para cada x ∈ X existe Vx abierta tal que Vx ∈ / U, y como U es un ultrafiltro entonces Vxc ∈ U. Por supuesto {Vx }, (x ∈ X) es un cubrimiento abierto de X y por la compacidad S lo podemosTreducir a un subcubrimiento finito Vx1 , Vx2 , · · · , Vxn . Ası́, ( ni=1 Vxi )c = ni=1 Vxci = ∅, con lo cual ∅ estarı́a en U y esto no puede suceder. ⇐) Consideremos una familia C = {Ci }i∈I de cerrados en X con la PIF y veamos que ∩C 6= ∅. C es una subbase de filtro, en el sentido que 167 10.3 Producto de dos compactos la colección de las intersecciones finitas de elementos de C forman una base de filtro. O Sea U un ultrafiltro que contiene al filtro generado por esta subbase, hCi ⊆ U. Como U es convergente, sea p ∈ X tal que U → p. Tenemos que p ∈ ∩C pues de lo contrario existe C ∈ C con p ∈ C c , luego C c ∈ U por ser vecindad de p y tendrı́amos que tanto C como C c están en U, lo cual no puede suceder. EJEMPLO 10.7 IA N (R, cof initos) es compacto (vı́a los ultrafiltros). .R UB Sea U un ultrafiltro en R y veamos que él es convergente. Si U es principal entonces claramente es convergente. Si no es principal todos sus elementos son infinitos, y por tanto dado un x y una vecindad Vx cualquiera se tiene que Vx ∈ U pues de lo contrario Vxc ∈ U, pero sabemos que U no la admite por ser finita. Por tanto U converge a todo punto. 10.3. Producto de dos compactos G Teorema 10.17. Sean (X, T), (Y, H) dos espacios. La topologı́a producto para X × Y es compacta si y solo si X y Y son compactos. Demostración. ⇒) Si X × Y es compacto, las proyecciones nos garantizan que tanto X como Y también son compactos. 168 Compacidad ⇐) Sea O = {Oi }, (i ∈ I) un cubrimiento abierto de X × Y . Por cada (x, y) ∈ X × Y existen abiertos Vxy ⊆ X, Vyx ⊆ Y tales que (x, y) ∈ Vxy × Vyx ⊆ Oi para cada Oi que contenga a (x, y). Luego es suficiente mostrar que los rectángulos básicos Vxy × Vyx construidos de esta manera contienen una subfamilia finita que recubre a X × Y , ya que para cada elemento de esta subfamilia tomamos uno de los Oi que lo contiene. IA N O Dado y ∈ Y , consideremos la familia {Vxy }x∈X , la cual es un cubrimiento abierto de X y por tanto existe un subcubrimiento Vxy1 , Vxy2 , . . . , Vxym —m(y) es un entero que depende de y—. Por cada i = 1, . . . , m(y) conTm(y) sideremos el respectivo Vyxi y construyamos Qy = i=1 Vyxi una vecindad abierta de y. Nótese que {Vxy1 × Qy , Vxy2 × Qy , . . . , Vxym(y) × Qy } es un cubrimiento abierto de X × Qy . Como este Qy fue construido para un y dado, la familia {Qy }y∈Y es cubrimiento abierto de Y . Sea Qy1 , . . . , Qyn un subcubrimiento finito; luego la familia .R UB {Vxykt × Qyt }t=1,2,...,n k=1,2,...,m(yt ) es un cubrimiento abierto y finito de X × Y . Como Qy ⊆ Vyxk la familia {Vxy × Vyx }(x,y) , (x, y) ∈ X × Y admite un subcubrimiento finito. ¿Cómo caracterizar los subespacios en Rnu que son compactos? G Teorema 10.18. A ⊆ Rnu es compacto si y solo si A es cerrado y acotado. Demostración. ⇒) Si A es compacto entonces A es cerrado. Para ver que es acotado notemos que {Bn (0)}, (n ∈ N) con 0 = (0, 0, . . . , 0) es un cubrimiento abierto de A. Como A es compacto, está contenido en la unión de un número finito de estas bolas, pero esta unión es precisamente la bola de radio m para m el mayor de los radios. ⇐) Si A es acotado lo podemos colocar dentro de un cubo n–dimensional, i. e., existe un t ∈ N tal que A ⊆ [−t, t] × [−t, t] × · · · × [−t, t] —n copias de [−t, t]— y como cada [−t, t] es compacto, tenemos que A es un cerrado contenido en un compacto, luego A es compacto. 169 10.3 Producto de dos compactos EJEMPLO 10.8 Los subconjuntos de matrices On y SOn (ejemplo 2.8) son compactos 2 por ser subconjuntos cerrados y acotados de Rn , mientras que GLn no lo es pues se trata de un subconjunto abierto; tampoco es conexo por cuanto es la unión disyunta de los abiertos formados por las matrices con determinante positivo y negativo respectivamente. O EJEMPLO 10.9 EJEMPLO 10.10 IA N El toro T y la cinta de Möbius son compactos por ser cerrados y acotados. Note que T tiene una representación en R3 que equivale a pegar en cada punto de S 1 al mismo S 1 algo más reducido, luego lo podemos ver como el producto S 1 × S 1 de dos compactos. .R UB Una función numérica y continua sobre un espacio compacto es acotada y tiene valores tanto máximo como mı́nimo. En otras palabras, si X es compacto y f : X −→ Ru es continua, entonces existen a, b ∈ X tales que f (a) ≤ f (x) ≤ f (b) para todo x ∈ X. Esto es consecuencia directa del hecho que el conjunto f (X) ⊆ R es cerrado y acotado. G Proposición 10.19. Sean (X, T), (Y, H) espacios topológicos con Y compacto. Si M ⊆ X × Y es un cerrado entonces la proyección pX (M ) es un cerrado en X —la función proyección pX es cerrada—. Demostración. Veamos que el complemento de pX (M ) es un conjunto abierto. Si a ∈ / PX (M ) entonces {a} × Y ⊆ M c . Por cada (a, y) existe un abierto básico Vay × Vya ⊆ M c . La colección {Vya }, T (y ∈ Y ) cubre a Y y la reducimos a una finita {Vyai }ni=1 ; entonces Va = ni=1 Vayi satisface Va ∩ PX (M ) = ∅ y ası́ Va ⊆ PX (M )c . EJEMPLO 10.11 En la proposición 10.19, si Y no es compacto pX (M ) no necesariamente es cerrado; por ejemplo, si M = graf o(f ) ⊆ R2u y f (x) = 1/x. 170 Compacidad Proposición 10.20 (Wallace). Sea A × B un subespacio compacto de un espacio producto X × Y . El conjunto {V1 × V2 : V1 ∈ V(A), V2 ∈ V(B)} es un sistema fundamental de vecindades del conjunto A × B. A×B .... ......... .. .. ............................................................................................................................................................ .... ...... ... ... . ... ... .. ... . . . ... ... .... . . ...... ...... ...... ...... .................. ...... ...... ...... ................. ...... ...... .... ....... ... ... ... ... ... .... ... . . ... . ... . ... . .............................................................. ................................ ............. ... . . ... . ..... ..... ... .. ... . ... .. ...... ..... ..... ...... ... . . . . ... . ... .. .... .. ........ ...... .... ...... ...... ...... ..... ..... . ... . . . . .... ....... . .... ..... ..... ...... .. . ... . . . ... . ... ...... ..... ... ......... ..... ...... ..... ... .. .. . ... . . ... . . ........ ....... ........ ........... ............ ......... ... ......... ......... ........ . . ... ... ............ . . . . . . ... ... ............ .... .... .......... ...... .... ............ ...... ....... ....... ..... . . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ........ . . . . ... . ..... ........ .. ..... ...... ...... ........ .. . . .. . . . ... . . . . . . .. .... .... .. .. .... ... .... ... .. ... .............. ... .... ... ...... ....... ...... ....... ....... ...... ....... ...... .. ... ... . ... . . . . . ... ... .... .......... ...... .... ... ... ............ ...... ....... ....... .... . . ... .... .... . .... ... .... ... ... . . ... . . . ... ... ... . .... .... .... ....... . .. . ... ... ... . . . . . . .. ........ ...... ... .. ........ ...... ...... ...... ... ... . ... . . . ... ..... .... .... ....... ... ..... ..... .. . ... ... . . . .. .. ... ...... ...... ... .. ... ...... ...... ...... ..... ... ... . ... . . . .... ..... .... ... ..... ..... ..... .... .. . ... . . ... . . . . . .. . . ... ... ... .... ...... ...... .... .... .... ...... ...... ...... .......... ... ...................................... ................ ... ... ..................................................................... ... . . .. ... ... ... .. . . .... . . ... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... ...... .. .... .. . ... ... . .. ..... . . ... . . ..................................................................................................................................................... ... ... ...... ...... ...... ...... ............................................................................................................................................................................................................................................ ...... ...... ...... ...... ... ... ......... A × {y} . .......... V B. ......... ........ ...... W U ×V IA N ◦ O ◦.. ............... ....... .R UB ◦................................................................◦ A U G Demostración. Sea W un abierto con A × B ⊆ W . Por cada (x, y) ∈ A×B existe Uxy ×Vyx ⊆ W . La colección {Uxy }, (x ∈ A) es un cubrimiento de A × {y} el T cual reducimos a uno finito {Uxyi }ni=1 ; consideremos la vecindad Vy = ni=1 Vyxi . S Para los abiertos U y = ni=1 Uxyi y Vy tenemos que A×{y} ⊆ U y ×Vy , luego la colección {Vy }, (y ∈ B) es un cubrimiento abierto de T B el cual n yi podemos Sn reducir a uno finito Vy1 , . . . , Vym ; de suerte que U = i=1 V , V = i=1 Vyi satisfacen A × B ⊆ U × V ⊆ W . EJEMPLO 10.12 Si A, o B no son compactos, la proposición 10.20 deja de ser verdad; por ejemplo, en (R2 , usual) considere el subconjunto [1, ∞) × [1, 2]. El abierto W es asintótico a A × B y por tanto no podemos encontrar U × V ⊆ W . 171 10.4 Teorema de Tychonoff Corolario 10.21 (Teorema del tubo). Considere el espacio producto X × Y , donde Y es compacto. Si W es un abierto que contiene a la fibra {x0 } × Y entonces W contiene un tubo Vx0 × Y . Demostración. {x0 } × Y es un compacto en el espacio X × Y . O Ejercicios 10.3 IA N 1. Muestre que la caracterización en el teorema 10.18 no se puede extender a los espacios métricos en general. 2. La distancia o métrica de Hausdorff mide cuan lejos están uno de otro dos subconjuntos compactos de un espacio métrico. Sea (X, d) un espacio métrico. En H = {A ⊆ X | A es compacto} .R UB definimos la distancia entre dos conjuntos como dH (A, B) := máx{d(A, B), d(B, A)} donde d(a, B) := ı́nf{d(a, b) : b ∈ B} d(A, B) := máx{d(a, B) : a ∈ A}. G Muestre que dH es una métrica para H conocida como métrica o distancia de Hausdorff . En general d(A, B) 6= d(B, A) —en R2u considere dos discos, fig. 10.3—. Es la máxima distancia de un conjunto al punto más cercano en el otro conjunto. 3. Sean X, Y espacios de Hausdorff con Y compacto. f : X −→ Y es continua si y solo si graf o(f ) es cerrado en X × Y . 10.4. Teorema de Tychonoff Los siguientes párrafos están encaminados a demostrar el resultado que A. Tychonoff presentó en 1930, el cual ha sido descrito algunas veces 172 Compacidad d(A, B) d(B, A) B O A IA N Figura 10.3: Distancias d(A, B) 6= d(B, A) entre dos discos A y B. G .R UB como el resultado —individualmente— más importante de la topologı́a general. Lo que sı́ es cierto sin ninguna duda, es que es uno de los medios más poderosos para garantizar la compacidad de ciertos espacios clásicos del Análisis, ya que asegura la compacidad para el producto arbitrario de espacios compactos5 . Figura 10.4: .... 5 J. L. Kelley mostró en 1950 que el teorema de Tychonoff es equivalente al axioma de elección; no es de extrañar ası́ que toda demostración de este teorema involucre al Lema de Zorn o alguna otra forma equivalente al axioma de elección. 173 10.4 Teorema de Tychonoff Ya vimos como caracterizar la convergencia de una sucesión en un espacio producto en términos de la convergencia de las proyecciones. Veamos ahora cómo caracterizar la convergencia para los filtros. Q Lema 10.22. Sean X = i∈I Xi un espacio con la topologı́a producto, x = (xi ) un punto en X y F un filtro en X. F → x si y solo si para cada i ∈ I el filtro —dado por la proyección— pi (F) → xi en Xi . O Demostración. ⇒) Como pi es continua y F → x entonces pi (F) → xi . IA N ⇐) Consideremos Vx ⊆ X una vecindad de x. No perdemos generalidad si suponemos que Vx es un abierto básico: Y Vx = Ui1 × Ui2 × · · · × Uin × Xi , i 6= i1 , . . . , in . .R UB Luego pik (Vx ) = Uik es una vecindad de xik puesto que las proyecciones son abiertas. Como pik (F) → xik , pik (Vx ) ∈ pik (F), Qy por tanto existe F ∈ F tal que pik (F ) ⊆ pik (V ), luego F ⊆ U × ik i6=ik Xi . Por ser F Qx un filtro tenemos que Uik × i6=ik Xi está en F para cada k = 1, . . . , n. Por tanto, la intersección finita n \ (Uik × k=1 Y Xi ) = Vx ∈ F i6=ik lo que significa F → x. G Q Teorema 10.23 (Tychonoff 6 ). Sea X = i∈I Xi un espacio con la topologı́a producto. Entonces X es compacto si y solo si cada espacio coordenado Xi es compacto. Demostración. ⇒) Si X es compacto, por ser cada proyección pi continua tenemos que cada Xi es compacto. ⇐) Veamos que cada ultrafiltro U de X es convergente. Ya que las proyecciones son sobreyectivas, por cada i ∈ I, pi (U) es un ultrafiltro en Xi y como cada Xi es compacto, pi (U) → xi para algún xi ∈ Xi . Por el lema 10.22, U converge al punto x = (xi ), (i ∈ I) de X. 6 El teorema recibe su nombre de Andrey Nikolayevich Tychonoff, quien en 1930 lo demostró para el producto del intervalo unidad [0, 1] y en 1935 lo enunció de manera más general pero anotando que la demostración en este caso discurrı́a como en el caso anterior. La primera demostración publicada se debe a Eduard Čech en un artı́culo de 1937. 174 Compacidad La prueba del teorema de Tychonoff que hemos presentado es, por supuesto, diferente a la original, la cual en su tiempo no contaba con las herramientas de los filtros —concepto que fue introducido para estudiar la convergencia—, lo que hoy la hace tan sencilla. EJEMPLO 10.13 El cubo I N = producto. Q i∈N [0, 1]i es compacto si lo dotamos de la topologı́a .R UB EJEMPLO 10.14 IA N O Es posible encontrar al menos otras diez demostraciones diferentes de este teorema, una de ellas en términos de subbases, Lema de Alexander, y otra en términos de la teorı́a de convergencia de redes. Parece que el teorema de Tychonoff marchara en contra del sentido común, pues compacidad es una propiedad de ‘finitud’ (cubrimientos abiertos finitos) y no se esperarı́a que una construcción involucrando infinitud de espacios compactos fuese de nuevo compacta. Sean ({0, 1}, Sierpinski) y (X, T) un espacio topológico cualquiera. Consideremos el espacio producto Y σ(X) = {0, 1}U con {0, 1}U = {0, 1} para cada U ∈ T. U ∈T G σ(X) con la topologı́a producto es compacto. Ahora definamos la función b : X −→ σ(X) como x 7→ x b(U ), donde x b(U ) = 0 si x ∈ U o x b(U ) = 1 si x ∈ / U . Claramente b es continua ya que ası́ lo son las funciones proyección (pU ◦ b)−1 ({0}) = {x ∈ X : x b(U ) = 0} = {x : x ∈ U } = U ; o más aun, ya que X tiene la topologı́a inicial dada por b. Además b es abierta pues b = {b b U x : x ∈ U } = {b x:x bU = 0} = p−1 U ({0}) ∩ X. En caso que X sea T0 tenemos que b es inyectiva y por tanto un homeb i. e., omorfismo sobre X, Y b⊆ X≈X {0, 1}U . U ∈T 175 10.5 Compacidad y sucesiones 10.5. Compacidad y sucesiones O Históricamente la primera noción de ‘compacidad’ se dio en términos de la convergencia de sucesiones. Esta propiedad no implica ni es implicada por la noción de compacidad que hemos definido en términos de cubrimientos abiertos. Veremos que esta noción de compacidad es más fuerte que la compacidad contable pero resultan ser equivalentes en la clase de los espacios 1-contable. EJEMPLO 10.15 IA N Definición 10.24. Un espacio (X, T) se dice compacto por sucesiones si cada sucesión en X contiene una subsucesión convergente. 1. Todo subconjunto finito de un espacio es compacto por sucesiones (la topologı́a de subespacio). .R UB 2. Ru no es compacto por sucesiones y tampoco lo es el espacio (R, coenumerables). En ambos casos la sucesión (xn ) = N no admite ninguna subsucesión convergente. G Los conceptos de compacto y compacto por sucesiones no son equivalentes. En general existen espacios compactos que no son compactos por sucesiones y viceversa, aunque como veremos unas lı́neas adelante, los ejemplos son más bien esotéricos. Claro está que en el contexto de los espacios métricos estos conceptos son equivalentes (sección 10.6). La compacidad por sucesiones es preservada por la continuidad; de aquı́ que sea un invariante topológico. Proposición 10.25. Sea f : (X, T) −→ (Y, H) una función continua y sobre. Si X es compacto por sucesiones, también lo es Y . Demostración. Sea (yn ) una sucesión en f (X). Definimos (xn ) en X tomando xn ∈ f −1 (yn ). Como X es compacto por sucesiones, existe una subsucesión (xnk ) y x0 ∈ X tal que xnk → x0 . Por ser f continua, en particular es secuencialmente continua y ası́ yn → f (x0 ). 176 Compacidad O Una forma de compacidad más débil que la compacidad usual y la compacidad por sucesiones es exigir tan solo que los cubrimientos abiertos que deben tener subcubrimientos finitos sean los cubrimientos contables. Esta compacidad contable posee muchas de las propiedades topológicas que posee la compacidad; más aún, en el contexto de los espacios metrizables o aun en espacios de Lindeloff ellas son equivalentes. IA N Definición 10.26. Un espacio (X, T) se dice compacto contablemente o ω–compacto si cada cubrimiento abierto y enumerable de X admite un subcubrimiento finito. Si recordamos que un espacio es de Lindelöf si cada cubrimiento abierto admite un subcubrimiento enumerable, entonces los espacios compactos son los que son tanto de Lindelöf como ω–compacto .R UB La diferencia entre compacidad secuencial y compacidad contable es tan fina que prácticamente se necesita la opinión de un experto. Veamos la implicación de una de ellas sobre la otra y posteriormente en 10.16 un refinado contraejemplo para la otra implicación. El corolario 10.32 muestra que en el marco de los espacios 1– contable los dos conceptos son equivalentes. G Teorema 10.27. Si (X, T) es un espacio compacto por sucesiones entonces X es compacto contablemente. Demostración. Si X no es contablemente compacto existe un cubrimiento abierto U = {U1 , U2 , . . .} con la propiedad que no se puede S reducir a un subcubrimiento finito, i. e., para cada n ∈ N existe xn ∈ ( ni=1 Ui )c . Sea (xnk ) una subsucesión convergente de (xn ) y sea x el punto de convergencia. Tomemos Uj T ∈ U tal que x ∈ Uj . Para m > j sabemos S c m c c que xm ∈ ( m U ) = i=1 i i=1 Ui luego xm ∈ Uj . Ası́ que, para todos los elementos xnk con nk > j se tiene xnk ∈ / Uj , lo cual contradice la convergencia de la subsucesión. 177 10.5 Compacidad y sucesiones EJEMPLO 10.16 El cubo X = [0, 1][0,1] es un espacio compacto y por tanto contablemente compacto, pero no es compacto por sucesiones. EJEMPLO 10.17 IA N O X no es compacto por sucesiones —miramos a X como el conjunto de todas las funciones de I = [0, 1] en I—. Definimos una sucesión de funciones (αn )n∈N con αn ∈ X de la manera siguiente: dado x ∈ I, αn (x) es el n-ésimo dı́gito en la expansión binaria de x. (αn )n∈N no tiene ninguna subsucesión convergente; en efecto, si (αnk )nk ∈N es una subsucesión que converge al punto α ∈ X, entonces para cada x ∈ I, αnk (x) → α(x) —recordemos que la convergencia en la topologı́a producto para X es puntual—. Sea t ∈ I con la propiedad que αnk (t) = 0 si nk es impar, αnk (t) = 1 si nk es par. La sucesión (αnk (t)) = {0, 1, 0, 1, 0, 1, . . .} no puede converger. En el ejemplo 8.4 mostramos que no es 1-contable. .R UB (R, cof initos) es contablemente compacto y además compacto por sucesiones. EJEMPLO 10.18 (R, coenumerables) no es compacto por sucesiones. El siguiente ejemplo muestra que en general, la propiedad de ser contablemente compacto no se hereda a los subespacios. G EJEMPLO 10.19 [0, 1] con la topologı́a usual es compacto; luego en particular es contablemente compacto. Pero (0, 1) ⊆ [0, 1] no es contablemente compacto, ya que el cubrimiento abierto {(0, 1 − 1/2n)}, (n ∈ N) no admite algún subcubrimiento finito. En caso que el subespacio sea cerrado, el lector debe verificar que la propiedad sı́ se hereda.También se debe mostrar que ser contablemente compacto es un invariante por medio de las funciones continuas. Con la ayuda del siguiente concepto, más débil que el concepto de punto lı́mite, podemos obtener una forma equivalente a la definición de compacidad contable; ver teorema 10.29. K 178 Compacidad Definición 10.28. Sean (X, T) un espacio y (xn ) una sucesión en X. Decimos que x ∈ X es un punto adherido, de adherencia o de acumulación de la sucesión (xn )n∈N si toda Vx tiene infinitos términos de la sucesión. O Si una sucesión (xn ) tiene una subsucesión convergente entonces tiene un punto adherido. Pero el hecho de que la sucesión posea un punto de clausura no significa que posea una subsucesión convergente, como lo muestra el siguiente ejemplo. EJEMPLO 10.20 IA N El espacio X = (N × N) ∪ {(0, 0)} de Arens-Fort posee una sucesión que tiene un punto de clausura y no tiene una subsucesión convergente. .R UB Observemos que el conjunto X − {(0, 0)} es enumerable, i. e., existe una biyección f : N −→ X −{(0, 0)}. f es una sucesión que tiene a (0, 0) como punto de clausura ya que toda vecindad de este punto tiene infinitos términos de la sucesión, pero ninguna subsucesión es convergente a (0, 0) pues ya hemos visto que este espacio es de convergencia trivial. Por supuesto que en los espacios métricos no tendrı́amos este problema. Más aún, en los espacios 1–contables tampoco lo tenemos; si x es un punto de acumulación de (xn ) y {B1 , B2 , . . .} es una base local encajada para x, por cada k ∈ N podemos encontrar nk ≥ k tal que xnk ∈ Bk y la subsucesión xnk → x. EJEMPLO 10.21 G Dados (X, T) un espacio y una sucesión (xn ) en X, un punto x es un punto de clausura para la sucesión si y solo si x es adherente al filtro asociado a la sucesión. EJEMPLO 10.22 En Ru , 0 es un punto de clausura para la sucesión {0, 1, 0, 1 . . .}. Teorema 10.29. (X, T) es un espacio contablemente compacto si y solo si cada sucesión tiene un punto adherido en X. Demostración. ⇒) Sea (an ) una sucesión en X que no tiene un punto de adherencia, es decir, para cada x ∈ X existen una vecindad abierta 179 10.5 Compacidad y sucesiones Wx y un N ∈ N tales que Wx ∩ {aN +1 , aN +2 , . . .} = ∅. Por cada n ∈ N definimos [ Un = {Wx : Wx ∩ {an+1 , an+2 , . . .} = ∅, x ∈ X}. O Cada Un es un conjunto abierto y la colección {Un }, (n ∈ N) es un cubrimiento abierto de X que no admite un subcubrimientro finito, o de lo contrario para X = Ui1 ∪ . . . ∪ Uim y m = máx{i1 , . . . , im } se tiene que Um solamente puede tener finitos términos de la sucesión que estén antes de am+1 y ası́ am+2 no pertenece al subcubrimiento finito; luego X no serı́a contablemente compacto. .R UB IA N ⇐) Si X no fuera contablemente compacto, existe un cubrimiento abierto {Un }, (n ∈ N) queSno admite un subcubrimiento finito. Por cada n ∈ N, el conjunto X − ni=1 Ui 6= ∅. Sea x1 ∈ X − U1 . Definimos S 1 Un1 como el primer Ui donde x1 está. Ahora tomemos x2 ∈ X − ni=1 Ui . Supongamos que x ha sido escogido y x ∈ U ; escogemos x nk k k k+1 ∈ Snk X − i=1 Ui . Con estas definiciones, la sucesión (xk ) de infinitos términos diferentes debe poseer un punto x adherente a la sucesión y además x ∈ Un para algún n ∈ N. Pero si N ∈ N es suficientemente grande, digamos N > n, tenemos que xk ∈ / Un para k > N . Luego Un ∈ V(x) y contiene tan sólo finitos términos de la sucesión, es decir, x no es un punto de clausura. La siguiente noción de punto de ω-acumulación para un subconjunto A —una clase particular de punto de acumulación— fue introducida por Hausdorff. G Definición 10.30. Dado A ⊆ (X, T), decimos que a ∈ X es un punto de ω-acumulación para A y notamos Aaω si para toda vecindad Va se tiene que Va ∩ A es un conjunto infinito. Nótese que Aaω ⊆ Aa . EJEMPLO 10.23 En un espacio compacto X todo subconjunto infinito A ⊆ X posee al menos un punto de ω-acumulación. Pues de lo contrario, por cada x ∈ X podemos encontrar una Vx abierta con Vx ∩ A finito; esta colección de vecindades forma un recubrimiento abierto el cual reducimos a uno finito Vx1 . . . Vxn . Por tanto A = A ∩ X = A ∩ (∪nk=1 Vxk ) = ∪nk=1 (A ∩ Vxk ) serı́a finito. 180 Compacidad Corolario 10.31. Un espacio (X, T) es compacto contablemente si y solo si para cada A subconjunto infinito se tiene Aaω 6= ∅. Demostración. ⇒) Sea A ⊆ X infinito que no admite un punto de ωacumulación. Una sucesión (an ) en A de términos diferentes, no tiene un punto adherido o de lo contrario A lo tendrı́a. O ⇐) Aplicamos literalmente el teorema 10.29. EJEMPLO 10.24 IA N En N consideremos la topologı́a generada por la base {{1, 2}, {3, 4}, {5, 6}, . . .}. .R UB En este espacio todo A ⊆ N posee un punto de acumulación; pero, por ejemplo, los números pares no poseen un punto de ω-acumulación. Note que este espacio no es compacto por sucesiones, ya que la sucesión {1, 2, 3, 4, . . .} no contiene ninguna subsucesión convergente y tampoco admite un punto de clausura. Finalmente este espacio no es contablemente compacto, pues la base misma es un cubrimiento abierto que no admite un subcubrimiento finito. Corolario 10.32. En un espacio 1-contable, los conceptos de compacidad contable y compacidad por sucesiones coinciden. G Demostración. ⇒) Sea (xn ) una sucesión en X. Si A = {xn : n ∈ N} es finito existe una subsucesión constante convergente. Si A es infinito, por el corolario 10.31 existe un punto a de ω-acumulación, y al considerar una base encajada obtenemos una subsucesión convergente al punto a. ⇐) Como en el teorema 10.29. Ejercicios 10.5 1. Muestre que la compacidad por sucesiones es cerrada-hereditaria, i. e., se hereda a los subespacios cerrados. 2. Si un espacio 1–contable es compacto, entonces es compacto por sucesiones. 181 10.6 Compacidad para métricos 3. Muestre que la compacidad contable se hereda a los subespacios cerrados. 4. Muestre que el producto de dos espacios compactos por sucesiones es de nuevo compacto por sucesiones. 5. Muestre que la compacidad contable es un invariante topológico. 6. Dé un ejemplo donde Aaω = Aa . O 7. Muestre que en un espacio 2-contable los conceptos de compacidad, compacidad contable y compacidad secuencial son equivalentes. IA N 8. Estudie los conceptos de compacidad para la lı́nea de Khalinsky del ejemplo 1.14 (página 10). 10.6. Compacidad para métricos .R UB El estudio de la compacidad en los espacios métricos se facilita dado el gran número de formas equivalentes a las cuales se puede recurrir y que no se dan para los espacios en general. No olvidemos que el concepto primario de compacidad viene del estudio de espacios de funciones de subespacios de Rn en Rm . El propósito principal de esta sección es mostrar que en los espacios métricos los conceptos de compacidad, compacidad contable, compacidad por sucesiones y la propiedad B-W son equivalentes. G Definición 10.33. Un espacio métrico (X, d) se dice totalmente acotado si dado ε > 0 existe un subconjunto finitoSF = {x1 , x2 , . . . , xn } —dependiendo de ε— llamado ε-red tal que X = ni=1 Bε (xi ), (xi ∈ F ). Lo de ε-red se justifica porque dado x ∈ X tenemos d(x, F ) < ε; esto es, una bola de radio ε no pasa sin tocar a F . Como el concepto de totalmente acotado depende de la función métrica, es de esperarse que no sea una propiedad topológica. En efecto (0, 1) y (1, →) son homeomorfos por medio de f (x) := 1/x, pero el segundo espacio no es totalmente acotado. ¿por qué? El concepto de totalmente acotado implica el de acotado para los espacios métricos en general; pero no todo espacio métrico acotado es necesariamente totalmente acotado. 182 Compacidad ... .......... .... ................................................ ... ............ ......... .... ........ ....... ....... ....... .... ...... ...... ...... ..... .... ...... ..... . . . .... .... .... . .... . .... ... ... . . ... ... ... ... . . ... .... ... . ... . ... ... ... ... .. ... ... ... .... ... ..... .... .. .. ... .... .. ......... .. .. ...... .. ......... .. ... ....... .. .... ......... . .............. . . . . . . . . . . ... .... . . . . .... . ......... ..... . ... ..... ..... ... . ..... ... ... .... ... . .. .. . .... . . ... .... ..... ... . . .. .. ... .... . . ... . . . . . . ... .. . ... . .... .... . ... ... .... ... ...... ....... ... . .... ... ....... ... . .... ......... . . ....... .... ... ............. . ..... . ..... ........................ . . . ..... .. ...... ...... ...... ... ....... ....... .. ......... ....... ............ ......... ... ... ............. ................................................................................................................................................................................................................................................................ .. ..... . • • • • • • • • • • • • ε• • • • • (1, 1) • • • • • • • • • IA N • O • Figura 10.5: Un disco es totalmente acotado. EJEMPLO 10.25 .R UB R con la métrica d0 (x, y) = ı́nf{1, |x − y|} no admite una ε-red finita para ε < 1. En el caso de (Rn , usual) estos dos conceptos coinciden. La compacidad por sucesiones en los espacios métricos, se relaciona con la propiedad de totalmente acotado de acuerdo con el siguiente teorema. Teorema 10.34. Todo espacio métrico (X, d) compacto por sucesiones es totalmente acotado. G Demostración. Si X no es totalmente acotado, existe un ε > 0 para el cual no existe ninguna ε-red finita. Construimos de manera inductiva una sucesión que no admite una subsucesión convergente. Sea x1 ∈ X, como {x1 } no es ε-red, existe x2 con d(x1 , x2 ) ≥ ε. Supongamos que hemos construido {x1 , x2 , . . . , xn } en X con la propiedad que d(xi , xj ) ≥ ε para todo i, j ≤ n, (i 6= j). Como {x1 , x2 , . . . , xn } no es una ε-red existe xn+1 con d(xi , xn+1 ) ≥ ε, (i = 1, . . . , n). Es claro que la sucesión (xn ) no admite una subsucesión convergente. Corolario 10.35. Todo espacio métrico (X, d) compacto por sucesiones es 2-contable y separable. Demostración. Como X es totalmente acotado, para cada n existe una familia de bolas abiertas B1/n (xn1 ), . . . , B1/n (xnk ) que cubre a X, donde Fn = {xn1 , . . . , xnk } es una n1 –red. La colección de todas estas bolas nos 183 10.6 Compacidad para métricos produce una base enumerable para X y la reunión D := un subconjunto enumerable y denso en (X, d). S n=1 Fn nos da Para el caso de los espacios métricos ya tenı́amos otra manera de caracterizar la compacidad contable. IA N Demostración. Por el corolario 10.32. O Corolario 10.36. Sea (X, d) un espacio métrico. X es contablemente compacto si y solo si es compacto por sucesiones. Teorema 10.37. Todo espacio métrico (X, d) compacto es 2-contable. .R UB Demostración. Para cada (n ∈ N) la colección Bn = {B1/n (x) : x ∈ X} es un cubrimiento abierto S el cual se puede reducir a uno finito An ⊆ Bn . La colección A := n=1 An es contable. Dado un abierto U y x ∈ U tomemos Bε (x) ⊆ U y consideremos n tal que 1/n < ε/4. Existe B1/n (y) ∈ An con x ∈ B1/n (y). Veamos que B1/n (y) ⊆ Bε (x). Si t ∈ B1/n (y) entonces d(t, x) ≤ d(t, y) + d(y, x) ≤ 1/n + 1/n < ε/4 + ε/4 = ε. Número de Lebesgue G Dado un cubrimiento abierto {Uα }α de un espacio métrico, el número de Lebesgue para este cubrimiento es un número > 0 tal que cada bola B (x) en X está contenida en al menos un conjunto Uα del cubrimiento. Este número depende del cubrimiento que se tome y nos informa que un cubrimiento no puede tener todos sus elementos por debajo de cierto diámetro. El siguiente teorema nos garantiza la existencia del número de Lebesgue para los espacios métricos compactos. Teorema 10.38. Sea U un cubrimiento abierto del espacio métrico (X, d) donde X es compacto por sucesiones. Entonces existe un δ > 0 —δ es el número de Lebesgue— tal que para cada x ∈ X existe U ∈ U con la propiedad que Bδ (x) ⊆ U . Decimos que el cubrimiento {Bδ (x)}x∈X es más fino que U. 184 Compacidad O Demostración. Razonando por contradicción, supongamos que para U no existe tal número; es decir, por cada n ∈ N existe xn tal que B1/n (xn ) no está contenida en ningún miembro de U. Como X es compacto por sucesiones, la sucesión (xn ) tiene un punto adherido x. Sea U ∈ U con x ∈ U . Tomemos r = d(x, U c ), ası́ r > 0 y escogemos N ∈ N el cual satisfaga simultáneamente que d(xN , x) < r/2 y 4/N < r. Con estas condiciones B1/N (xN ) ⊆ U ya que si d(y, xN ) < 1/N entonces y ∈ U puesto que d(x, y) ≤ d(x, xN ) + d(xN , y) ≤ r/2 + 1/N < r/2 + r/4 < r IA N y esto finalmente contradice la manera como escogimos a xN . Con el anterior teorema podemos probar la equivalencia entre las diferentes definiciones de compacidad, cuando nos restringimos a la categorı́a de los espacios métricos. .R UB Corolario 10.39. Sea (X, d) un espacio métrico. X es compacto si y solo si X es compacto por sucesiones. Demostración. ⇒) Si X es compacto, entonces lo es contablemente compacto y ası́, es compacto por sucesiones. ⇐) Si X es compacto por sucesiones, dado un cubrimiento U abierto de X, sea δ el número de Lebesgue. Al ser X totalmente acotado tomamos una δ-red ={x1 , x2 , . . . , xn } y por cada Bδ (xi ) escogemos un Ui ∈ U tal que Bδ (xi ) ⊆ Ui . Luego {U1 , U2 , . . . , Un } es un subcubrimiento finito de U. G Corolario 10.40 (Continuidad para compactos). Una función continua f : (X, d) −→ (Y, m) de un espacio métrico compacto X a un espacio métrico Y es continua uniformemente. Demostración. Dado ε > 0, la colección {Bε/2 (y)}y∈Y es un cubrimiento abierto de Y y por tanto {f −1 (Bε/2 (y))}y∈Y lo es para X. Si δ es el número de Lebesgue asociado a este cubrimiento, cada bola Bδ (x) satisface f (Bδ (x)) ⊆ Bε/2 (y) para alguna bola Bε/2 (y). Por tanto, si d(x, a) < δ entonces m(f (x), f (a)) ≤ m(f (x), y) + m(y, f (a)) < /2 + /2 = . 185 10.7 Ordinales como ejemplo Ejercicios 10.6 1. Muestre que en un espacio métrico los conceptos de compacidad, compacidad contable y compacidad secuencial son equivalentes. 2. Muestre que en un espacio métrico los conceptos de separable, 2-contable y Lindelöff son equivalentes. O 3. Muestre que un espacio métrico compacto es Lindelöff y por tanto es 2-contable y separable. IA N 4. Muestre que todo cerrado de un espacio Lindelöff es de nuevo Lindelöff. 5. Muestre que un espacio métrico (X, d) es separable S si y solo si dado ε > 0 existe D ⊆ X, D contable tal que X = Bε (d), (d ∈ D). .R UB 6. Sea (X, T) un espacio compacto. Dada una sucesión (xn ) con un único punto de clausura, muestre que ella converge a este punto. 7. Sea A ⊂ (X, d). A es totalmente acotado si y solo si A lo es. 8. Si U es un cubrimiento abierto del espacio métrico (X, d), el número δ de Lebesgue para U satisface: para cada A ⊆ X con diam(A) < δ existe un elemento del cubrimiento que contiene a A. G 9. Muestre que toda función continua de un espacio compacto en un espacio métrico es acotada. 10.7. Ordinales como ejemplo Los números ordinales son la consecuencia inmediata al concepto de conjunto bien ordenado —conjuntos totalmente ordenados en los cuales cada subconjunto no vacı́o tiene un primer elemento— adjudicando a cada conjunto bien ordenado un número ordinal; dos conjuntos A, B bien ordenados tienen el mismo número ordinal, i. e., son equivalentes, si son isomórficamente ordenados, es decir, existe un isomorfismo f en su categorı́a: f : A −→ B biyectiva y a ≤ b si y solo si f (a) ≤ f (b). Usualmente se utilizan las letras griegas minúsculas α, β, γ, . . . para denotar los números ordinales y la letra O para denotar la colección 186 IA N O Compacidad .R UB Figura 10.6: Números ordinales. total. Introducimos un orden en O de la manera siguiente. Sean α, β números ordinales y A, B conjuntos bien ordenados que los representan; escribimos α β si A es isomorfo con un ideal7 I en B. Este orden sobre O es total y además cualquier subconjunto de O es bien ordenado. G El conjunto de los números ordinales es útil en la construcción de ejemplos en topologı́a. O es no contable y bien ordenado por . El conjunto (O, ) contiene un elemento Ω con la siguiente propiedad: si α ∈ O y α ≺ Ω entonces {β | β α} es contable. Ω se llama primer ordinal no contable. Por ω denotamos el primer elemento en O con la propiedad que el conjunto {α | α ≺ ω} es contable pero no finito; ω es llamado primer ordinal infinito. Los números ordinales pueden representarse como O = 0, 1, 2, . . . , ω, ω + 1, ω + 2, . . . , 2ω, 2ω + 1, 2ω + 2, . . . , 3ω, . . . . . . , ω 2 , ω 2 + 1, . . . , ω 3 , . . . , ω 4 , . . . , ω ω , ω ω + 1, . . . , Ω, . . . 7 Recordemos que I ⊆ B es un ideal si dados x, y ∈ B con x ∈ I, y ≤ x implica y ∈ I; es decir, para cualquier elemento y ∈ I se tiene ↓ y ⊆ I (todos los precedentes a él también pertenecen a I). 187 10.7 Ordinales como ejemplo Las notaciones se deben a G. Cantor pues fue él quien nos enseñó a contar. Note que ω, ω + 1 son ordinales contables —es decir, su cardinalidad es la misma de N—; además ω = 0, 1, 2, . . . es diferente de ω + 1 = ω ∪ {ω} = 0, 1, 2, . . . , ω O ya que el primero no tiene un último elemento, mientrasque el segundo sı́. IA N En general llamamos a un número ordinal un ordinal lı́mite si no tiene un predecesor8 inmediato. ω es el primer ordinal lı́mite, el segundo ordinal lı́mite es 2ω = 0, 1, . . . , ω, ω + 1, . . . Ası́ también lo son 3ω, . . . , ω 2 , . . . , ω 3 , .. y llegamos a ω ω donde su cardinal no es NN =c, ¡él todavı́a es un ordinal contable —insomnio—! Si un número ordinal no es lı́mite lo llamamos ordinal sucesor. ω .R UB Existe un significado natural para ω ω , . . . y al final de esta hilera arribamos a un ordinal el cual Cantor llamó ξ. ¡Este es todavı́a un ordinal contable! Ahora aparece Ω, el primer ordinal no contable. Finalmente, y como curiosidad, sea R = {x | x es un número ordinal}. R es un número ordinal y R no es un conjunto; de paso, R es el único número ordinal que no es un conjunto. La siguiente propiedad de los números ordinales nos será útil. G Proposición 10.41. Si A ⊆ O es contable y Ω ∈ / A entonces sup A ≺ Ω. Demostración. Sea X = {β | β α, para algún α ∈ A}; es decir, X está formado por los elementos de A o cualquier elemento de O que preceda alguno de A. X es contable ya que por cada α ∈ A el conjunto de sus predecesores es contable. Como O es bien ordenado, existe un primer elemento µ de X c . Ası́ µ es una cota superior para X y además es la menor de las cotas superiores. Por otra parte, {δ | δ µ} es contable ya que si δ µ entonces δ ∈ X. Por tanto µ no puede ser Ω; es decir, sup A ≺ µ ≺ Ω. 8 Una justificación para este nombre es que un ordinal lı́mite es en efecto un lı́mite en el sentido topológico de todos sus ordinales más pequeños (respecto a la topologı́a del orden). K 188 Compacidad En lo que sigue, los conjuntos Ω = [0, Ω) y Ω + 1 = [0, Ω] son dotados de la topologı́a del orden para la relación de orden inducida. Proposición 10.42. [0, Ω] es compacto. IA N O Demostración. Esto es consecuencia de que [0, Ω] es completo, es decir, cada subconjunto no vacı́o posee tanto sup como inf —completez—. En efecto, dado U un cubrimiento abierto de [0, Ω], sea A el subconjunto formado por todos los t tales que [0, t) puede ser cubierto por un subcubrimiento finito de U. Sean α = sup A y U ∈ U tal que α ∈ U , por tanto U ⊆ A —¿por qué?—. Luego existe (η, ζ) ⊆ U tal que α ∈ (η, ζ) (a menos que α = Ω), pero como α es el sup de A, tenemos que (α, ζ) = ∅, luego ζ ∈ A, pero esto no puede suceder, con lo cual A = [0, Ω]. Note que cada subespacio cerrado [0, β] ⊆ [0, Ω] es ahora compacto. Proposición 10.43. [0, Ω] no es 1-contable. .R UB Demostración. Por la proposición 10.41 el punto Ω no posee una base local contable, pues si (αn , Ω], (n ∈ N) es una base local, entonces para β = sup{αn } tenemos β ≺ Ω, luego no existirı́a ningún elemento de la base contenido en (β + 1, Ω]. Proposición 10.44. [0, Ω) es 1-contable. Demostración. Basta verificar que el único punto en [0, Ω] que no posee una base local contable es Ω. G Proposición 10.45. [0, Ω) y [0, Ω] no son separables. Demostración. Demostremos que [0, Ω) no lo es. Dado un subconjunto A contable, sea α = sup A. Por 10.41, α ≺ Ω y por tanto existe un intervalo (α + 1, Ω) ⊆ Ac , con lo cual A no puede ser denso. Proposición 10.46. [0, Ω) no es compacto ni de Lindelöff. Demostración. Sea U = {[0, ζ) : ζ ≺ Ω}. U es un cubrimiento abierto donde cada elemento del cubrimiento es contable y U no admite un subcubrimiento finito o contable, pues si C ⊆ U es contable entonces ∪C es contable y no puede contener a [0, Ω). 189 10.7 Ordinales como ejemplo Corolario 10.47. [0, Ω) no es compacto pero sı́ es contablemente compacto y compacto por sucesiones. Demostración. Si no es contablemente compacto, existe U = {U1 , U2 , . . .} un cubrimiento abierto para el cual no existe un subcubrimiento finito; por tanto, para cada n existe xn ∈ / U1 ∪. . .∪Un . Si α = supn αn entonces por el teorema 10.41, α ∈ [0, Ω) y ninguna subcolección finita de U cubre al compacto [0, Ω]. IA N Ejercicios 10.7 O Como es 1-contable y de Hausdorff, es compacto por sucesiones. 1. Revise el argumento en la demostración de la proposición 10.42 y el utilizado en el teor. 10.2 para mostrar que [0, 1] es compacto. .R UB 2. Sea (X, ≺) un conjunto bien ordenado con la topologı́a del orden. Muestre que X es compacto si y solo si contiene un elemento maximal. 3. Muestre que los ordinales finitos y ω son espacios discretos, y ningún ordinal mayor que ellos es discreto. 4. Muestre que el conjunto de puntos de acumulación (o puntos lı́mite) de un ordinal α es precisamente el conjunto de ordinales lı́mite menores que α. G 5. El espacio [0, ω) es precisamente N con la topologı́a discreta, mientras que [0, ω] es el compactado de Alexandroff de N. 6. Muestre que [0, Ω] coincide con N ∪ {w} donde la topologı́a es T(F) = 2N ∪ {F ∪ {w} : F ∈ F} para F el filtro de Frèchet en N. 7. Muestre que los ordinales sucesores (y el cero) menores que α son puntos aislados en α. 8. Muestre que el ordinal α es compacto como espacio si y solo si α es un ordinal sucesor. 9. Muestre que cualquier ordinal es, por supuesto, un subconjunto abierto de cualquier ordinal mayor. 190 Compacidad 10.8. Compacidad local Aunque el espacio no sea compacto, el concepto de compacidad lo podemos localizar en un punto. O Definición 10.48. (i) Un espacio (X, T) es localmente compacto si cada punto del espacio posee una vecindad compacta, i. e., si cada x ∈ X está en el interior de un subconjunto compacto. EJEMPLO 10.26 IA N 1. Todo espacio compacto es localmente compacto. 2. (Rn , usual) es localmente compacto, pues las cajas cerradas son compactas. .R UB 3. Si X es infinito, la topologı́a discreta es localmente compacta (para cada x, {x} es una vecindad compacta) pero no es compacta. 4. Para X infinito, la topologı́a Ix del punto incluido es localmente compacta (pero no compacta). 5. (R, (a, →)) no es localmente compacto. Es común en la literatura de este tema encontrar la siguiente definición de compacidad local, diferente a la def. 10.48. G Definición 10.49. (ii) Dados un espacio (X, T) y x ∈ X, decimos que X es localmente compacto en x si dada una vecindad abierta Ux existe otra vecindad Vx abierta con V compacta que satisface x ∈ Vx ⊆ Vx ⊆ Ux . Esta definición exige que para el punto x exista un sistema fundamental de vecindades cerradas y compactas. Si X es localmente compacto en cada punto decimos que es localmente compacto. EJEMPLO 10.27 (R, cof initos) es localmente compacto según (i) pero no lo es según (ii) pues la adherencia de una vecindad de un punto es todo R. 191 10.8 Compacidad local Sobre los espacios de Hausdorff estas dos definiciones coinciden; es decir, la existencia de una sola vecindad compacta para el punto, asegura la existencia de todo un sistema fundamental de vecindades compactas para el punto. EJEMPLO 10.28 O Sea X un espacio de Hausdorff. X es localmente compacto si, y solo si, todo filtro convergente en X tiene un miembro compacto. IA N ⇒) Si X es localmente compacto y F es un filtro en Xconvergente a x, por definición toda vecindad de x pertence a F. Pero entonces basta tomar una vecindad compacta de X (que existe porque X es localmente compacto) y se concluye que F contiene un miembro compacto. .R UB ⇐) Sea x un punto cualquiera de X. Como la colección de todas las vecindades de x es un filtro que converge a x, por hipótesis debe contener algún miembro compacto, ası́ que x posee una vecindad compacta Vx . EJEMPLO 10.29 La topologı́a de intervalos encajados. Para X = (0, 1) ⊆ R definimos T = {(0, 1 − n1 )}n (n = 2, 3, 4, . . .) y por supuesto añadimos el ∅ y X. G Esto nos da un ejemplo de un espacio que satisface la definición 10.48 pero no la definición 10.49 puesto que la adherencia de cualquier vecindad es todo el espacio el cual no es compacto. Muestre que en este espacio el único subespacio cerrado que es compacto es el vacı́o y que todo subespacio abierto es compacto, excepto X mismo. Proposición 10.50. El espacio de Hilbert H no es localmente compacto. Demostración. Dados x ∈ H y ε > 0 veamos que la bola cerrada Bε (x) no es compacta. Sea x = (x1 , x2 , . . .) y por cada n ∈ N definimos yn = (x1 , x2 , . . . , xn−1 , xn + ε, xn+1 , . . .). √ yn ∈ Bε (x) y además d(yi , yj ) = 2ε para todo i, j ∈ N. Ası́, la sucesión (yn ) no admite una subsucesión convergente; es decir, Bε (x) no es compacta por sucesiones, lo que es equivalente en este espacio métrico a decir que no es compacta. 192 Compacidad EJEMPLO 10.30 O La compacidad local en general no es hereditaria. Q con la topologı́a de subespacio de Ru no es localmente compacto en el punto 0 pues ninguna vecindad de 0 es compacta. En efecto, dado un intervalo [p, q] en Q que contenga a 0, podemos obtener un cubrimiento abierto de [p, q] no reducible a uno finito; basta tomar t ∈ R − Q con p < t < q y considerar la colección {[p, t − 1/n) ∪ (t + 1/n, q]}, (n ∈ N) trazada con Q —algunas intersecciones pueden resultar vacı́as—. IA N Claro que esto no sucede en caso que los subespacios sean abiertos o cerrados, es decir, la compacidad local es hereditaria–cerrada (¡demuéstrelo!). 1 .R UB 0.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 -0.5 G -1 Figura 10.7: Grafo de f (x) = sen(1/x). EJEMPLO 10.31 Sea D el grafo de la función f (x) = sen(1/x) para 0 < x ≤ 1/π. El conjunto D∗ = D ∪ {(0, 0)} dotado de la topologı́a de subespacio de R2u no es localmente compacto en el punto (0, 0) ya que cualquier vecindad V de este punto contiene una sucesión de puntos —sobre una recta paralela al x–eje que no posee un punto de acumulación en V , i. e., V no es cerrada. 193 10.8 Compacidad local EJEMPLO 10.32 La compacidad local no se preserva por funciones continuas en general. La función idQ : (Q, discreta) −→ (Q, usual) es continua pero no preserva la compacidad local. Pero si f además de continua es abierta sı́ se preserva. O 10.8.1. Compactación IA N La esfera S 2 es una compactación del plano R2 ya que la proyección estereográfica identifica al plano con la esfera punteada (el polo norte es removido). Hemos identificado un espacio no compacto con uno que sı́ lo es al añadirle un punto —S 2 es compacto—. .R UB Definición 10.51. Sea (X, T) un espacio. Un espacio (Y, H) compacto se llama un compactado de X si existe una función f : X −→ Y continua e inyectiva tal que f : X −→ f (X) ⊆ Y es un homeomorfismo con f (X) denso en Y . En particular decimos que f realiza la compactación de X. Si además Y − f (X) se reduce a un conjunto unitario, decimos que Y es un compactado de Alexandroff o compactado por un punto. La siguiente construcción es un método general de construir desde X un espacio compacto X ∗ = X ∪ {∞} que tenga a X como un espacio inmerso. G Proposición 10.52. Sean (X, T) un espacio y un punto ∞ ∈ / X. Para X ∗ = X ∪ {∞} definimos la topologı́a T ∗ que tiene tanto a T como a los W ⊆ X ∗ tales que ∞ ∈ W y W c es un cerrado y compacto en X. El par (X ∗ , T ∗ ) se llama compactado (por un punto) de Alexandroff de X. Demostración. Claramente ∅ y X ∗ están en T ∗ pues ∅ es trivialmente compacto. Veamos que T ∗ es cerrada para la intersección finita. Si U, V ∈ T ∗ y ambos están en T entonces U ∩ V ∈ T ∗ ; si U ∈ T y ∞ ∈ V , V c es cerrado y compacto en T luego V ∩ X es abierto en X y ası́ U ∩ V ∈ T ⊆ T ∗ . Si ∞ está tanto en U como en V entonces U c , V c son cerrados y compactos en X, luego (U ∩ V )c = U c ∪ V c también es cerrado y compacto en X por ser unión de dos compactos, con lo que U ∩ V ∈ T ∗ . K 194 Compacidad la unión de una familia V = {Vi }i ⊆ST ∗ . Si ∞ ∈ / S Ahora examinemos S ∗ . Pero si ∞ ∈ V ∈ V entonces ( V)c ⊆ V c ; V entonces V ∈ T ⊆ T i i S S c es compacto tenemos que ( V)c es cerrado como ( V)c es cerrado y V i S y compacto, esto es V ∈ T ∗ . Proposición 10.53. El espacio (X ∗ , T ∗ ) es compacto. IA N O Demostración. Sea U un cubrimiento abierto de X ∗ . Existe U0 ∈ U con ∞ ∈ U0 y U0c compacto. Claramente U es también cubrimiento abierto de U0c , luegoSlo podemos reducir a un subcubrimiento finito U1 , . . . , Un y ası́ X ∗ ⊆ ni=0 Ui . Proposición 10.54. X es denso en X ∗ si y solo si X no es compacto. Demostración. ⇒) Si X = X ∗ entonces X no es compacto, pues de lo contrario X serı́a cerrado y compacto con lo cual {∞} serı́a un abierto y {∞} ∩ X = ∅, negando que ∞ ∈ X. .R UB ⇐) Basta ver que ∞ ∈ X. Sea V∞ una vecindad de ∞ en T ∗ . Enc es un subconjunto cerrado y compacto de X, con lo cual V c tonces V∞ ∞ no puede ser todo X, ası́ que V∞ ∩ X 6= ∅, y por tanto ∞ ∈ X, lo que implica X = X ∗ en T ∗ . En el caso de partir en la construcción desde un espacio de Hausdorff, tenemos el siguiente teorema. G Teorema 10.55. (X, T) es Hausdorff y localmente compacto si y solo si (X ∗ , T ∗ ) es Hausdorff. Demostración. ⇒) Sea X localmente compacto y de Hausdorff. Dados x, y ∈ X ∗ veamos que los podemos separar. Si x, y ∈ X no hay nada que demostrar puesto que X es T2 . Si x = ∞, como X es localmente compacto y Hausdorff, existe Vy compacta y por tanto cerrada, luego ∞ ∈ (X ∗ − Vy ) ∈ T ∗ y (X ∗ − Vy ) ∩ Vy = ∅. ⇐) Supongamos que (X ∗ , T ∗ ) es Hausdorff. X como subespacio de X ∗ es de nuevo Hausdorff. Veamos que X es localmente compacto. Sea x ∈ X y encontremos una vecindad compacta. Existen Vx , V∞ abiertas en T ∗ con Vx ∩ V∞ = ∅, esto es, X ∗ /V∞ es un subconjunto cerrado y compacto de X con Vx ⊆ X ∗ − V∞ ; luego Vx ⊆ X ∗ − V∞ y por ser Vx un cerrado dentro de un compacto, es compacta. 195 10.8 Compacidad local Corolario 10.56. Cada espacio localmente compacto y Hausdorff es homeomorfo a un subespacio de un espacio compacto y de Hausdorff. Demostración. Basta considerar la inclusión i : X ,→ X ∗ . Dado U ⊆ X, U es abierto en x si y solo si lo es en X ∗ . Luego G ∗ induce la topologı́a original G de X. (X, T) no se pierde en (X ∗ , T ∗ ). O En resumen, hemos demostrado el siguiente teorema. IA N Teorema 10.57. Sea X un espacio localmente compacto y no compacto. Entonces i : X ,→ X ∗ —la inyección canónica— es una compactación de Alexandroff para X. Ejercicios 10.8 .R UB 1. Muestre que en los espacios de Hausdorff la compacidad local se hereda a los subconjuntos cerrados o abiertos. 2. Muestre que la compacidad local es un invariante topológico. 3. Muestre que un espacio producto de espacios es localmente compacto si y solo si cada espacio coordenado es localmente compacto y todos excepto un número finito de espacios coordenados son compactos. 4. Sea X = Ru . Muestre que X ∗ (la compactación de Alexandroff) es homeomorfo a S 1 con la topologı́a usual. G Sugerencia: la función f : X ∗ −→ S 1 es un homeomorfismo si es definida por  2  1 − x , 2x , x∈X 1 + x2 1 + x2 f (x) =  (−1, 0) x = ∞. 5. Sea (X, T) un espacio Hausdorff y localmente compacto. Si A ⊆ X yx∈ / A, existen vecindades disyuntas de A y x —podemos separar puntos de cerrados—. 11 Espacios métricos y sucesiones IA N O —completez— .R UB Una manera clásica de presentar al espacio Ru es la siguiente: es el menor espacio métrico completo que contiene a Q como subespacio. El sentido de ‘completo’ y su generalización es lo que estudiamos en este capı́tulo. Intuitivamente un espacio métrico es completo si cada sucesión que ‘quiere’ converger realmente tiene a dónde hacerlo. 11.1. Sucesiones de Cauchy Definición 11.1. Sea (X, d) un espacio métrico. Una sucesión (xn ) en X se dice sucesión de Cauchy si dado un ε > 0 existe un entero positivo N (depende de ε) tal que si m, n ≥ N entonces d(xm , xn ) < ε —podemos controlar la distancia entre los puntos a partir de un momento dado y controlarla tanto como queramos—. G Definición 11.2. Un espacio métrico (X, d) es completo si cada sucesión de Cauchy en X es convergente a algún punto de X. (Las sucesiones que quieren converger encuentran a quién hacerlo). Proposición 11.3. En un espacio métrico (X, d) una sucesión de Cauchy es un conjunto acotado. Demostración. Existe N1 tal que para m, n ≥ N1 , d(xm , xn ) ≤ 1. En particular para todo n ≥ N1 tenemos d(xn , xN1 ) ≤ 1, y tomando para los términos que están anteriores a xN1 el máximo M = máxk≤N1 d(xk , xN1 ), tenemos que todo xn satisface d(xn , xN1 ) ≤ máx{M, 1}. Proposición 11.4. Si una sucesión de Cauchy en un espacio métrico (X, d) tiene una subsucesión convergente entonces la sucesión converge. 196 197 11.1 Sucesiones de Cauchy Demostración. Sea (xn ) una sucesión de Cauchy para la cual existe una subsucesión xnk → l ∈ X. Para ε > 0 existen Nε y kε en N tales que para todo m, n ≥ Nε , d(xm , xn ) < 2ε y para todo k ≥ kε , d(xnk , l) < 2ε . Si M = máx{Nε , nkε } entonces para n ≥ M tenemos y ası́ xn → l. O d(xn , l) ≤ d(xn , xnkε ) + d(xnkε , l) ≤ ε, IA N Las proposiciones 11.3, 11.4 implican que los espacios métricos que son compactos son completos. Pero esto no significa que haya escasez de espacios métricos completos que no sean compactos, por ejemplo Ru . Desafortunadamente la propiedad de completez no es un invariante topológico. Por ejemplo Ru ≈ (0, 1) pero el segundo no es completo. .R UB Como la definición de sucesión de Cauchy no es una cualidad topológica sino que depende de la métrica usada en particular, podemos tener la misma topologı́a proveniente en un caso de un espacio completo y en otro de un espacio no completo —la noción de sucesión de Cauchy no es topológica—. Por ejemplo, si sobre R definimos la métrica d(x, y) = x y − , 1 + |x| 1 + |y| tenemos que (R, d) es homeomorfo a Ru —métricas exóticas— pero la sucesión (n)n∈N es de Cauchy en la métrica d y no lo es en la usual. G Esta situación, más bien estresante, puede ser remediada de manera parcial con la introducción del concepto de completez topológica. Definición 11.5. Un espacio métrico (X, d) es completo topológicamente si existe una métrica m equivalente a d y (X, m) es completo. Por supuesto, los espacios métricos completos son completos topológicamente. La pregunta es si todo espacio métrico puede tener una métrica equivalente que lo haga completo topológicamente. Aunque la respuesta es no, por ejemplo Q, veremos en la sección 11.3 cómo completar cualquier espacio métrico. K 198 Espacios métricos y sucesiones —completez— EJEMPLO 11.1 (RN , d) con d la métrica primeriza o de Baire (ver pág. 34) es completo. 11.1.1. Filtros de Cauchy IA N O Si x = (xn )n∈N es una sucesión de Cauchy en R con xn = (xkn )k y donde xkn es la k-ésima coordenada del término n-ésimo de la sucesión x— entonces, por la definición de la métrica de Baire, para cada k la sucesión (xkn )n es a la larga constante, digamos a xk , pues dado > 0 existe N1 con d(xn , xm ) < N1 para n, m > N , lo que implica que las dos sucesiones se igualan a partir del ı́ndice N en adelante. Claramente xn → (xk ). Esta es una métrica que harı́a de Q ∩ (0, 1) un espacio completo al tomar cada racional en su expansión decimal. .R UB Ası́ como para las sucesiones en un espacio métrico, también existe una versión de Cauchy para los filtros. Definición 11.6. Sea (X, d) un espacio métrico y F un filtro en X. Se dice que F es de Cauchy en X si para cada > 0 existe un F ∈ F tal que F × F ⊆ {(x, y) ∈ X × X : d(x, y) < }. El filtro posee elementos con diámetro tan pequeño como queramos. G Proposición 11.7. Si una sucesión (xn )n∈N es de Cauchy, entonces el filtro asociado también es de Cauchy. Demostración. Para abreviar, diremos que F ⊆ X es –pequeño si satisface la condición del enunciado, a saber F × F ⊆ {(x, y) ∈ X × X : d(x, y) < }. El filtro asociado F(xn ) tiene como base a las colas Sk = {xn : n ≥ k}. Fijado > 0, como (xn ) es de Cauchy existe r ∈ N tal que si n, m ≥ r tenemos d(xn , xm ) < . Ası́ pues la sección Sr (y todas las Sk , con k < r) son –pequeñas y por tanto F es de Cauchy. Proposición 11.8. Si F es un filtro de Cauchy en (X, d) entonces F converge a cada uno de sus puntos adheridos. 199 11.1 Sucesiones de Cauchy Demostración. Sean F un filtro de Cauchy en X y x un punto adherente de F, es decir, x ∈ F para cada F ∈ F. Para ver la convergencia es suficiente mostrar que las bolas abiertas B (x) pertenecen al filtro. Pero esto se tiene ya que dada B (x) existe F ∈ F que es /2–pequeño y esto implica F ⊆ B (x). En efecto, dado y ∈ F tomemos z ∈ B/2 (x) ∩ F y como F es /2–pequeño, tenemos d(y, x) ≤ d(y, z) + d(z, x) < . O En los espacios métricos completos los filtros de Cauchy caracterizan a los filtros convergentes. IA N Proposición 11.9. Sea (X, d) un espacio métrico completo. Un filtro F es convergente si y solo si es de Cauchy. Demostración. ⇒) Supongamos que F converge a x. Entonces B/2 (x) ∈ F y además B/2 (x) es –pequeña. .R UB ⇐) Sea F de Cauchy. Construyamos una sucesión (xn ) de Cauchy y mostremos que F converge al punto que converge tal sucesión. Dado n tomamos Fn que sea n1 –pequeño y elegimos xn ∈ F1 ∩ · · · ∩ Fn . La sucesión (xn ) ası́ definida es la que necesitamos. EJEMPLO 11.2 G La completez no es hereditaria. R es completo ya que toda sucesión de Cauchy al ser acotada está contenida dentro de un subespacio compacto y por lo tanto compacto por sucesiones, con lo cual se admite una subsucesión convergente y por 11.4 tenemos la completez. En Q con la topologı́a de subespacio usual de R la sucesión (1, 1,4, 1,41, √ 1,414, 1,4142, . . .) es de Cauchy y no converge —quiere converger a 2 que no está en Q—. Teorema 11.10. En un espacio métrico completo (X, d), los subespacios que son completos son los cerrados. Demostración. ⇒) Sea A un subespacio de X. Si A es cerrado, dada (xn ) de Cauchy en (A, dA ), ella también lo es en (X, d) y su lı́mite pertenece a A ya que A es cerrado. ⇐) Si (A, dA ) es completo, todo punto b adherente a A admite una sucesión (xn ) en A que es convergente a b, pero como (xn ) es de Cauchy y A es completo, b ∈ A. 200 Espacios métricos y sucesiones —completez— O La propiedad de completez es más débil que la de compacidad; una evidencia de esto son los espacios métricos Rn . Algo más interesante aún es que, tomando separadamente la completez y la propiedad de totalmente acotado, ellas no son propiedades topológicas, pero al tomarlas simultáneamente dan un invariante topológico que es la compacidad (teorema 11.11). Ya vimos en la página 197 que la compacidad en un espacio métrico implica su completez. El siguiente teorema da condiciones para garantizar la inversa. IA N Teorema 11.11. Sea (X, d) un espacio métrico. X es compacto si y solo si X es completo y totalmente acotado. Demostración. ⇒) Proposiciones 11.3, 11.4. .R UB ⇐) Sea (xn ) en X. Si un término se repite un número infinito de veces, ella contiene una subsucesión convergente —constante—. Si este no es el caso, veamos que de todas formas existe una subsucesión convergente, lo cual muestra que X es compacto por sucesiones; lo que para nuestro caso métrico es equivalente a compacidad. Dado un ε > 0 existe una ε-red finita y por tanto un cubrimiento Bε —finito— por bolas de radio ε. Ası́, para cada ε existe una bola Bε (tε ) en Bε —algún tε — que contiene infinitos términos de la sucesión (xn ). Sea xn1 el primer término de la sucesión contenido en B1 (t1 ). Similarmente escogemos a xnj como el primer elemento de {xk : k > nj−1 } contenido en B1/j (t1/j ). La subsucesión (xnj ) es de Cauchy y como X es completo ella converge a algún x ∈ X. G La siguiente es una propiedad importante de los espacios métricos completos. Es una generalización de la propiedad de Cantor en Rn . Teorema 11.12 (Encaje de Cantor). Sea (X, d) un espacio métrico completo. Si A1 ⊃ A2 ⊃ A3 ⊃ . . . es un encaje decreciente de subconjuntos cerrados deTX con lı́m(diam(An )) = 0 (el lı́mite de los diámetros es cero) entonces n∈N An = {x} para algún x ∈ X. Demostración. Por cada entero positivo n seleccionamos un x Tn ∈ An . Veamos que (xn ) es de Cauchy y que su lı́mite es el punto en n∈N An . Dado ε > 0, existe un entero positivo N tal que diam(AN ) < ε. Como la sucesión {An }n es decreciente, para xm , xn con m, n > N tenemos d(xm , xn ) < ε, con lo cual (xn ) es de Cauchy y convergente digamos 201 11.2 Espacios de Baire al punto x. Para cada j ∈ N, la sucesión (xj+i ), (i = 1, 2, . . .) es una sucesión en Aj con xj+i → x; T ası́, x ∈ Aj para cada j pues Aj es cerrado. Si existiera otro punto y ∈ n∈N An entonces diam(An ) ≥ d(x, y) > 0. 11.2. Espacios de Baire IA N O El siguiente teorema fue introducido por B. Baire1 en 1889 para los números reales y por F. Hausdorff en 1914 para los espacios métricos completos. Teorema 11.13. Supongamos que (X, d) es un espacio métrico completo y sea {Dn }n∈N una T colección enumerable de conjuntos abiertos y densos en X. Entonces n∈N Dn es densa en X. .R UB Demostración. Veamos que para cualquier abierto U se tiene ! \ U∩ Dn 6= ∅. n∈N Como U ∩ D1 6= ∅ entonces existe una bola abierta B1 con B1 ⊆ U ∩ D1 y diam(B1 ) ≤ 1. De manera inductiva se puede construir una sucesión (Bn )n∈N de bolas abiertas con la siguiente propiedad: Bn ⊆ (Bn−1 ) ∩ Dn y diam(Bn ) ≤ 1/n, Entonces G \ n∈N Bn ⊆ U ∩ \ (n ∈ N). ! Dn , n∈N y como las Bn forman un encaje que satisface las del teorema T T condiciones T 11.12 tenemos n∈N Bn 6= ∅ lo que implica U n∈N Dn 6= ∅. La anterior propiedad no es exclusiva de los espacios métricos completos, más aún, puede ser poseı́da por espacios topológicos no metrizables. Los espacios que comparten esta propiedad se conocen como espacios de Baire. 1 René-Louis Baire (Parı́s, 1874-Chambéry, 1932) matemático francés, notable por sus trabajos sobre continuidad de funciones, los números irracionales y el concepto de lı́mite. Su libro Leçons sur les théories générales de l’analyse (1908) se convirtió en un clásico de la didáctica del análisis matemático. 202 Espacios métricos y sucesiones —completez— Definición 11.14. Un espacio (X, T) se dice espacio de Baire si dada una familia enumerable {Dn }n∈N de abiertos densos en X su intersección es densa en X. Proposición 11.15. Sea (X, T) un espacio de Baire. Si {Cn }n∈N es un cubrimiento por cerrados de X, entonces al menos uno de los Cn contiene un conjunto abierto (tiene interior no vacı́o). IA N O Demostración. Es una aplicación de las leyes Morgan. Si X = T de De S c = ∅ y como el esC C tomando complementos se tiene n∈N n n∈N n pacio es de Baire, alguno de los Cn c no es denso, i.e., Cn contiene un abierto. .R UB En un espacio topológico se puede pensar que los conjuntos cerrados con interior vacı́o son como ‘puntos’ en el espacio (son demasiado delgados para contener ‘algo’). Ignorando los espacios con puntos aislados, que son su propio interior, un espacio de Baire es grande en el sentido que no puede construirse como una unión enumerable de estos conjuntos ‘delgados’. Por ejemplo en R2u cualquier colección enumerable de lı́neas, sin importar que lı́neas escojamos, no pueden cubrir al espacio. Los conjuntos del párrafo anterior reciben un nombre especial. Definición 11.16. Sean (X, T) un espacio y M ⊆ X. Se dice que M es ◦ magro, delgado o diseminado en X si M = ∅ G EJEMPLO 11.3 Los subconjuntos finitos y Z son diseminados en Ru . Q no lo es. Ejercicios 11.2 1. Muestre que (xn ) es sucesión de Cauchy si d(xn , xm ) → 0 cuando n, m → ∞. 2. Muestre que la definición de sucesión de Cauchy es equivalente a decir que el filtro F generado por la sucesión (xn ) satisface que, 203 11.2 Espacios de Baire dado ε > 0, existe F ∈ F tal que el diámetro de F sea menor que ε; esto es, diam(F ) = sup d(F × F ) = sup{d(x, y) : x, y ∈ F } < ε. O 3. Muestre que en Rn una sucesión converge si y solo si es de Cauchy. Este ejercicio muestra que la clase de las sucesiones de Cauchy es la misma que la de las sucesiones convergentes. Pero en general esto no es ası́ para los espacios métricos, y da origen a la definición de completez. IA N 4. Muestre que el recı́proco del teorema 11.12 es cierto; es decir, si tenemos la propiedad para cada encaje es porque el espacio es completo. 5. Sea (xn ) una sucesión en el espacio métrico (X, d). Muestre que (xn ) es de Cauchy si y solo si lı́mn→∞ diam(Xn ) = 0 donde Xn = {xn , xn+1 , . . .}. .R UB 6. Muestre que H —el espacio de Hilbert— es completo. Sugerencia: si (qm ) es una sucesión de Cauchy en H con qm = {qm1 , qm2 , . . . , qmn , . . .}, muestre que a) Para cada j, (qmj )m∈N es una sucesión de Cauchy en los reales. Luego existe su lı́mite zj . b) z = (z1 , z2 , . . .) ∈ H. G c) qm → z. 7. Muestre que un espacio (X, T) de Hausdorff y localmente compacto es de Baire. 8. Si (X, T) es un espacio de Baire entonces a) La unión de cualquier familia numerable de subconjuntos diseminados o densos en ninguna parte tiene interior vacı́o. b) X no se puede expresar como una unión enumerable de conjuntos densos en ninguna parte. c) Toda unión enumerable de subconjuntos cerrados con interior vacı́o, tiene interior vacı́o. 204 Espacios métricos y sucesiones —completez— 9. Si (X, T) es Hausdorff y compacto entonces X es de Baire. 10. Si M es diseminado en (X, T) también lo es M . 11. Si M es diseminado en (X, T) entonces ext(M ) es denso en X. O 11.3. Completez de un espacio métrico IA N Uno de los métodos —introducido por Hausdorff en 1914— de construir los números reales es a partir de los números racionales, usando clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy en los números racionales. Por supuesto, existen otros métodos como el propuesto por Dedekind utilizando sus llamadas cortaduras y luego extendido por MacNeille para conjuntos parcialmente ordenados. .R UB Lo que haremos en esta sección no es más que resaltar la belleza de la técnica utilizada por Hausdorff, para mostrar una de las formas clásicas de abstraer en matemáticas y de paso ‘completar’ un espacio métrico cualquiera. Recordemos que una isometrı́a es una clase particular de función continua f : (X, d) −→ (Y, m) entre espacios métricos que, como su nombre lo indica, no cambia la medida, esto es m(f (x), f (y)) = d(x, y) para todo x, y ∈ X. Por ejemplo, R está isométricamente inmerso en R2 a través del eje ordenado x, precisamente f : R −→ R2 con f (x) = (x, 0). G En general decimos —cuando existe una isometrı́a— que el espacio métrico X está inmerso isométricamente en Y por medio de f . Lo que mostraremos en estos párrafos es: si nuestro espacio métrico (X, d) no es completo podemos obtener un espacio métrico X ∗ de tal modo que X ∗ es completo y X está inmerso en X ∗ de una manera representativa; esto es, la copia de X por medio de la isometrı́a es un subconjunto denso en X ∗. Teorema 11.17. Sea (X, d) un espacio métrico. Existe un espacio métrico (X ∗ , d∗ ) completo y una isometrı́a f : X −→ X ∗ tal que f (X) es denso en X ∗ . El par (f, (X ∗ , d∗ )) se llama un completado del espacio (X, d). 205 11.3 Completez de un espacio métrico Demostración. Notemos por S el conjunto de todas las sucesiones de Cauchy en X. Sobre S definimos la siguiente relación: (xi ) ≈ (yi ), si y solo si lı́m d(xi , yi ) = 0, (i ∈ N). i i O Es inmediato ver que ≈ es de equivalencia. Sea X ∗ = S/ ≈ el conjunto de todas las clases [(xi )] de equivalencia. Definimos una métrica sobre X ∗ como d∗ ([(xi )], [(yi )]) = lı́m d(xi , yi ), (i ∈ N). Para ver que d∗ es una métrica basta notar que si (xi ), (yi ) ∈ S entonces IA N (d(xi , yi )) es de Cauchy en R, por lo cual su lı́mite existe. Cada elemento x ∈ X lo identificamos en X ∗ con la sucesión x = (x) constante al punto x, con lo cual f : (X, d) −→ (X ∗ , d∗ ) definida por f (x) = x = [(x)] es una isometrı́a con X := f (X). .R UB Para verificar que X = f (X) es denso en X ∗ consideremos (xn ) ∈ S y veamos que [(xn )] ∈ X. Dado ε > 0, sea [xi ] = [(xi , xi , . . .)] para cada i —note que [xi ] = f (xi ) pertenece a f (X)—. Como (x1 , x2 , · · · ) es de Cauchy, existe un entero N tal que d(xi , xj ) < ε para cada i, j ≥ N . Luego d([(xn )], f (xN ) = limn d(xn , xN ) < ε, ası́, [(xn )] es un punto adherente a X (f (xN ) es un punto en f (X)), luego X = f (X) es denso en X ∗ . G Finalmente revisemos la completez. Sea (xn ) una sucesión de Cauchy en X ∗ donde xn = [(xn1 , xn2 , xn3 , . . .)]. Podemos asumir que el diámetro del conjunto {xni | i ∈ N} es menor que 1/n ya que para algún K, d(xni , xnj ) < 1/n, para i, j ≥ K y ası́ (xn1 , xn2 , . . .) es equivalente a (xnk , xnk+1 , . . .) con lo cual (xn ) puede ser representada por ésta última sucesión. Veamos que x = (x11 , x22 , x33 , . . . ) es una sucesión de Cauchy. Dado ε > 0 existe N tal que d(xm , xn ) = lı́mk d(xkn , xkm ) < ε para m, n > N . K Luego para algún K fijo K ≥ N , tenemos d(xK n , xm ) < ε/3 para m, n > N . Escojamos M tal que 1/M < ε/3. Entonces para m, n ≥ N tenemos n m K K K K n d(xm m , xn ) ≤ d(xm , xm ) + d(xm , xn ) + d(xn , xn ) < 3ε/3 = ε. K Como d(xm , [x]) = lı́mK d(xK n , xK ) < ε/3 para n ≥ N entonces (xn ) → ∗ [x], es decir X es completo. 206 Espacios métricos y sucesiones —completez— Corolario 11.18. Un espacio métrico X es completo si y solo si X ≈ X ∗ —homeomorfos—. Demostración. ⇒) Si X ≈ X ∗ entonces X es completo. IA N O ⇐) Si X es completo, dado x ∈ X ∗ con x representado por la sucesión de Cauchy (x1 , x2 , . . .) entonces (x1 , x2 , . . .) → x, (x ∈ X) y ası́ (x1 , x2 , . . .) es equivalente a (x, x, . . .), con lo cual x puede representarse por (x, x, . . .) y por tanto x ∈ X. 11.4. Espacios de funciones .R UB Recordemos que si X es un conjunto y (Y, d) es un espacio métrico, sobre el conjunto B(X, Y ) de todas las funciones acotadas de X en Y , definimos la métrica d∞ (f, g) = supx∈X {d(f (x), g(x))}. Esta métrica genera la topologı́a del sup o topologı́a de la convergencia uniforme. Definición 11.19. Sean (X, T) un espacio, (Y, d) un espacio métrico y (fn )n∈N una sucesión de funciones fn : (X, T) −→ (Y, d). Supongamos que para cada x ∈ X el lı́mn (fn (x)) existe. Si definimos f (x) como el valor de este lı́mite, entonces f (x) define una f : (X, T) −→ (Y, d). En este caso decimos que (fn ) converge puntualmente a f . G Si suponemos en la definición anterior que cada fn es continua, en general no podemos esperar que f también sea continua. Necesitamos entonces un tipo de convergencia más fuerte para una sucesión de funciones —evoquemos lo que es la continuidad uniforme para una función f — de tal manera que la función lı́mite pueda heredar la continuidad a partir de las fn . Definición 11.20. Sean (X, T) un espacio, (Y, d) un espacio métrico y (fn ) una sucesión de funciones con fn : (X, T) −→ (Y, d). Decimos que (fn )n converge uniformemente a una función f si para cada ε > 0 existe N ∈ N tal que si n ≥ N entonces d(fn (x), f (x)) < ε para cada x ∈ X. 207 11.4 Espacios de funciones Si (fn ) → f uniformemente, en particular lo hace puntualmente; esto es, la continuidad uniforme de funciones implica la convergencia puntual, pues el N de la definición de convergencia uniforme depende únicamente de ε mientras que en la puntual también debe depender del punto x. O Teorema 11.21. Sean (X, T) un espacio, (Y, d) un espacio métrico y (fn ) con fn : (X, T) −→ (Y, d) una sucesión de funciones continuas. Si fn → f uniformemente entonces f es continua. IA N Demostración. Dados a ∈ X y ε > 0 veamos que existe una Va tal que para cada x ∈ Va se tiene d(f (x), f (a)) < ε. Como fn → f , existe N ∈ N tal que d(fN (x), f (x)) < ε/3 para todo x ∈ X. De otra parte, d(f (x), f (a)) ≤ d(f (x), fN (x)) + d((fN (x), f (N (a)) + d(fN (a), f (a)) < d(fN (x), fN (a)) + 2ε/3 .R UB y como fN es continua, existe Va tal que para x ∈ Va , d(fN (x), fN (a)) < ε/3, con lo cual se satisface que, x ∈ Va implica d(f (x), f (a)) < ε. La siguiente es la razón por la cual la métrica d∞ sobre B(X, Y ) se llama la distancia de la convergencia uniforme. Teorema 11.22. Sean (X, T) un espacio, (Y, d) un espacio métrico y (fn ) una sucesión en B(X, Y ). En (B(X, Y ), d∞ ), fn → f si y solo si la convergencia es uniforme. G Demostración. ⇒) Como fn → f en la topologı́a del sup, dado ε > 0 existe N ∈ N tal que para n ≥ N se tiene d∞ (f, fn ) < ε. Luego en particular para cada x ∈ X tenemos que d(f (x), fn (x)) ≤ sup{d(fn (x), f (x))} = d∞ (fn , f ) < ε. x ⇐) Dado ε > 0 existe N ∈ N tal que para n ≥ N se tiene d(fn (x), f (x)) < ε/2 para cada x ∈ X. Luego si n > N entonces supx {d(fn (x), f (x))} ≤ ε/2 < ε con lo cual d∞ (f, fn ) < ε para n > N . Proposición 11.23. Sean (X, T) un espacio y (Y, d) un espacio métrico completo. El espacio B(X, Y ) de las funciones acotadas con la métrica d∞ de la convergencia uniforme es completo. 208 Espacios métricos y sucesiones —completez— Demostración. Sea (fn )n∈N una sucesión de Cauchy en B(X, Y ), i. e., dado ε > 0, existe Nε ∈ N tal que para m, n ≥ Nε se tiene sup d(fn (x), fm (x)) ≤ ε. x∈X En particular para un x fijo, la sucesión (fn (x))n es de Cauchy en el espacio completo (Y, d) y por tanto existe su lı́mite, el cual notamos como f (x) = lı́mn (fn (x)). IA N O Hemos definido ası́ f : X −→ Y . Veamos que ella es acotada. Existe N1 ∈ N tal que d∞ (fN1 , fn ) ≤ 1 para todo n ≥ N1 . Sea a ∈ Y y notemos por a la función a : X → Y constante a a. Para todo x ∈ X y n ≥ N1 , d(a, fn (x)) ≤ d(a, fN1 (x)) + 1 ≤ d∞ (a, fN1 ) + 1. Fijando x y tomando el lı́mite cuando n → ∞ obtenemos d(a, f (x)) ≤ d∞ (a, fN1 ) + 1 .R UB y como esto es independiente de x, tenemos que f ∈ B(X, Y ). Veamos por último que efectivamente fn → f . Para ε > 0 y x ∈ X tenemos la desigualdad d(fn (x), fm (x)) ≤ ε si m, n ≥ Nε . Tomando el lı́mite cuando m → ∞ y fijando a x obtenemos d(fn (x), f (x)) ≤ ε para todo x y n ≥ Nε . Como Nε no depende de x, tenemos d∞ (fn , f ) ≤ ε. Por tanto, lı́mn→∞ d∞ (fn , f ) = 0 y ası́ fn → f . G Corolario 11.24. Sean (X, T) un espacio y (Y, d) un espacio métrico completo. El espacio CB (X, Y ) de las funciones continuas y acotadas con la métrica d∞ de la convergencia uniforme es completo. Figura 11.1: La convergencia uniforme. Demostración. Sea (fn )n∈N una sucesión de Cauchy en CB (X, Y ). Solo nos falta verificar que f de la demostración del teorema 11.23 es continua. 209 11.4 Espacios de funciones Sea a ∈ X y veamos que f es continua en a. Dado ε > 0 existe un entero N tal que d(fn (x), f (x)) < ε/3 para n ≥ N y cada x ∈ X. Como fn es continua existe una vecindad abierta Ua de a, tal que para cada x ∈ Ua , d(fn (x), fn (a)) < ε/3. Luego ε d(f (x), f (a)) ≤ d(f (x), fn (x))+d(fn (x), fn (a))+d(fn (a), f (a)) < 3 = ε. 3 O Ası́, f es continua en a. En particular, CB (X, Y ) es un subconjunto cerrado de B(X, Y ). G .R UB IA N Corolario 11.25. Sean (X, T) un espacio compacto y (Y, d) un espacio métrico completo. El espacio C(X, Y ) de las funciones continuas con la métrica d∞ de la convergencia uniforme es completo. Los axiomas de separación O 12 IA N La definición de espacio topológico es en sı́ muy general: una colección de subconjuntos con dos propiedades de clausura, una para la unión y otra para la intersección; por tanto, no muchos teoremas pueden demostrarse a menos que limitemos las clases de espacios a considerar. Para obtener estas clases especı́ficas, debemos imponer condiciones de suerte que, a más condiciones, más especı́fica sea la clase y entonces más teoremas —propiedades— puedan ser demostrados. .R UB Hemos visto cómo algunas propiedades topológicas de un espacio (X, T) dependen directamente de condiciones impuestas sobre la cardinalidad de T o más precisamente de la cardinalidad de sus bases, por ejemplo 2-contable, 1-contable, ejerciendo a su turno un control sobre la cantidad de abiertos involucrados en el espacio. G Esta cardinalidad también afecta a la continuidad, en el sentido de que, a mayor cantidad de abiertos para el espacio en el dominio, la posibilidad de continuidad aumenta, o disminuye para el caso del codominio. 12.1. T0 , T1 y T2 o de Hausdorff Otras condiciones que interesan y comenzamos a estudiar son la manera como los abiertos están ‘distribuidos’ sobre el espacio. Estas separaciones fueron estudiadas por Alexandroff y Hopf1 , bajo la denominación de axiomas Tk , k = 0, 1, 2, 3, 4, los cuales nos muestran básicamente el grado en que puntos y conjuntos pueden mantenerse aparte, o separarse por medio de conjuntos abiertos. Este estudio surge en relación con los problemas de seudometrización 1 En un excelente libro sobre Topologı́a del año 1932. 210 211 12.1 T0 , T1 y T2 o de Hausdorff IA N O y metrización de un espacio topológico. Pretendı́an encontrar una condición de separación, bajo la cual los espacios topológicos resultaran metrizables o bien seudometrizables. .R UB Figura 12.1: P. Alexandroff y H. Hopf, Zürich, 1931. Al hablar de separación en un espacio topológico nos referimos a la separación que podemos inducir entre los puntos del espacio valiéndonos de los conjuntos abiertos. En un espacio indiscreto, por ejemplo, esta separación es nula pues para cualesquiera dos puntos es imposible hallar un abierto que contenga a uno de ellos sin contener al otro. Nuestro estudio se limitará a los axiomas Tk mencionados, aunque no dejan de existir esfuerzos en crear cada dı́a otro Tk , k -racional, donde podrı́a pensarse que la separación óptima la poseen los espacios métricos. G El axioma de separación más primitivo afirma que, dados dos puntos del espacio, al menos uno de ellos se puede separar del otro por medio de un abierto2 . Definición 12.1. Un espacio (X, T) es T0 o de Kolmogoroff 3 si, dados x, y ∈ X con x 6= y, existe una vecindad abierta Ux de x que no contiene 2 En 1935 se publicó el libro Topologie I de Pavel S. Alexandroff y Heinz Hopf. En éste se indica que el axioma de separación más débil fue introducido por Andrei Kolmogoroff. 3 Andrei Kolmogoroff (Tambov 1903-Moscú 1987), matemático ruso que hizo progresos importantes en los campos de la teorı́a de probabilidad y de la topologı́a. En particular, desarrolló una base axiomática que supone el pilar básico de la teorı́a de las probabilidades a partir de la teorı́a de conjuntos. Trabajó al principio de su carrera en lógica constructivista y en la serie de Fourier. Fue el fundador de la teorı́a de la complejidad algorı́tmica. 212 Los axiomas de separación a y o existe una vecindad abierta Uy de y que no contiene a x. EJEMPLO 12.1 El espacio de Sierpinsky {0, 1} (pág. 13) es T0 . EJEMPLO 12.2 O Dado un conjunto parcialmente ordenado (X, ≤), el espacio (X, Td ) con la topologı́a generada por las colas a derecha cerradas es T0 . IA N Ser T0 es equivalente a cualquiera de las siguientes afirmaciones: 1. Dados x 6= y, x ∈ / {y} ó y ∈ / {x}. .R UB 2. Si x y y son puntos distintos de X entonces {x} = 6 {y}. EJEMPLO 12.3 1. El espacio del ejemplo 10.29 —intervalos encajados— no es T0 pues 1 todo abierto no vacı́o contiene simultáneamente a los puntos 10 , 1 . 8 2. Dado un conjunto X y a, b ∈ X definimos G := {A ⊆ X : {a, b} ⊆ A} ∪ {∅}. G En este espacio los puntos a, b no se pueden “distinguir” topológicamente. 3. Si (X, T) un espacio T0 y 2-contable, la cardinalidad del conjunto X queda acotada por |X| ≤ 2ω . Si B := {B1 , B2 , . . .} es una base la función f : X −→ 2B definida por f (x) = {B ∈ B : x ∈ B} es inyectiva y por tanto |X| ≤ 2B ≤ 2ω . Definición 12.2. Un espacio (X, T) es T1 o accesible4 si, dados x, y ∈ X con x 6= y, existen vecindades abiertas Ux , Uy tales que y ∈ / Ux y x∈ / Uy . Este axioma algunas veces es referido como de Frèchet o axioma de separación de Riesz. 4 En 1907 Friedrich Riesz introdujo el axioma de separación T1 . 213 12.1 T0 , T1 y T2 o de Hausdorff EJEMPLO 12.4 (R, cof initos) es un espacio T1 . Nota. La definición de T1 es equivalente a que cada conjunto unitario {a} del espacio sea cerrado. En efecto, el complemento de {a} es un conjunto abierto, pues por cada x 6= S a tomamos una vecindad abierta a a c Vx de x tal que a ∈ / Vx , y ası́ {a} = x6=a Vxa . IA N O El axioma de separación más conocido fue introducido por Hausdorff5 y es el que nosotros hemos exigido en la definición de un espacio de Hausdorff o T2 . Algunas veces este espacio se llama ‘separado’, que no debe confundirse con separable, lo cual tiene un significado completamente diferente. .R UB Ya hemos visto que esta es una propiedad heredable y productiva, la cual resulta de un valor apreciable cuando se trata de espacios compactos. En los espacios de Hausdorff la convergencia de una sucesión o de un filtro, en caso de existir, es única, lo que es uno de los requisitos mı́nimos para desarrollar una teorı́a de convergencia. EJEMPLO 12.5 1. Todo espacio métrico es de Hausdorff. 2. (R, cof initos) es T1 pero no es T2 . 3. Muchos otros ejemplos de espacios que no son de Hausdorff pueden ser construidos, pero ellos de alguna manera son no ‘naturales’. G 4. Por supuesto tenemos la implicación T2 → T1 → T0 . 1. Ejercicios 12.1 Muestre que, en un espacio T0 , la relación x ≤ y si x ∈ {y} es de orden en el conjunto X. 2. Muestre que, un espacio (X, T) es T0 si y solo si para todo par x, y ∈ X con x 6= y se tiene {x} = 6 {y}. 5 El 1914 Felix Hausdorff introdujo el axioma de separación T2 en su famoso libro GrundzÄuge der Mengenlehre. K 214 Los axiomas de separación 3. Muestre que, en un espacio (X, T), ser T1 es equivalente a cada una de las siguientes afirmaciones: a) Todos los conjuntos unitarios son cerrados. b) Todos los subconjuntos finitos son cerrados. c) Para cada A ⊆ X la intersección de todos los abiertos UA que contienen a A es el propio A. O d ) Para cada a ∈ X la intersección de todos los abiertos Ua que contienen al punto a es {a}. IA N e) Cada subconjunto de X es unión de subconjuntos cerrados. f ) Cada subconjunto no vacı́o contiene algún subconjunto cerrado no vacı́o. g) Para cada x ∈ X el conjunto {x}a = ∅. h) Para cada A ⊆ X, Aa = Aaω (definición 10.30). .R UB 4. Un espacio (X, T) es TD si y solo si para todo x ∈ X el conjunto {x}a es cerrado. Muestre que T1 implica TD . 5. Muestre que si (X, T) es T1 entonces Aa es cerrado para cada A ⊆ X. 6. Muestre que todo espacio finito que es T1 necesariamente es discreto. G 7. Muestre que la definición de un espacio (X, T) de Hausdorff es equivalente a: a) Para cada a ∈ X la intersección de todas las vecindades cerradas del punto a es el conjunto {a}. b) La diagonal ∆X = {(x, x) : x ∈ X} es cerrada en el espacio producto X × X. c) La convergencia de filtros es única. 8. Muestre que la propiedad de ser T2 no es equivalente a la propiedad de la convergencia única por sucesiones. 215 12.1 T0 , T1 y T2 o de Hausdorff 9. Sea f : (X, T) −→ (Y, H) continua y (Y, H) un espacio T2 . Entonces el grafo de f , Gf := {(x, f (x)) | x ∈ X}, es cerrado en el espacio producto X × Y . Sugerencia: considere la función IA N Entonces (x, y) 7→ (f (x), y). O h = (f, idY ) : X × Y −→ Y × Y, h−1 (∆Y ) = h−1 ({(y, y) | y ∈ Y }) = {(x, y) | f (x) = y, x ∈ X} = {(x, f (x)) | x ∈ X} = Gf . .R UB 10. Sean f, g : (X, T) −→ (Y, H) continuas y (Y, H) un espacio T2 . Entonces el subconjunto de coincidencia C(f, g) = {x ∈ X : f (x) = g(x)} donde f y g coinciden, es cerrado. Sugerencia: considere la función (f, g) : X −→ Y × Y . 11. ¿Las propiedades T0 , T1 , T2 son hereditarias? G 12. Muestre que T0 , T1 , T2 son invariantes topológicos. 13. Q Muestre que T0 , T1 , T2 son productivas, i. e., el espacio producto i∈I (Xi , Ti ) es T0 , T1 , T2 si y solo si cada espacio factor lo es. 14. Muestre que si f : (X, T) −→ (Y, H) es una función inyectiva y continua con (Y, H) de Hausdorff entonces X es de Hausdorff. 15. (R, co-compacto). En R definimos C ⊆ R cerrado si C es cerrado y acotado en el sentido usual. Muestre que este espacio es T1 pero no es T2 . 16. (X, T) es T2 1 o de Urysohn, si todo par de puntos puede ser 2 separado por vecindades cerradas. Un espacio T2 1 es de Hausdorff. 2 216 Los axiomas de separación 12.2. Regulares, T3 , Tychonoff En esta sección vemos la separación entre puntos y conjuntos, con un axioma introducido por Vietoris6 en 1921. Definición 12.3. Un espacio (X, T) es regular si, dados x ∈ X y un cerrado F ⊆ X con x ∈ / F , existen abiertos Vx , VF disyuntos que contienen a x y a F respectivamente. O Algunos autores prefieren llamar a estos espacios T3 . IA N EJEMPLO 12.6 Un espacio que es T2 pero no es regular. .R UB En R definimos una subbase añadiendo a la topologı́a usual el conjunto Q. La topologı́a generada T es T2 , pues esta subbase es más fina que la usual. Nótese que hemos agregado los intervalos que constan únicamente de números racionales o unión de los intervalos usuales con los intervalos formados exclusivamente por racionales. El conjunto I de los números irracionales es cerrado en (R, T) pero no lo podemos separar del punto x = 0, pues cualquier vecindad VI necesariamente tiene que ser igual a R. EJEMPLO 12.7 G En R consideremos el conjunto A = {1/n | n ∈ N}. Definimos una topologı́a T para R ası́: V ∈ T si y solo si V = U ∩ B c donde U es abierto de la topologı́a usual de R y B ⊆ A. Esto es, los elementos de la topologı́a son los abiertos de la usual, con el derecho a extraerles cualquier cantidad de números de la forma 1/n. Note que la usual está contenida en T y por lo tanto T es Hausdorff. Sin embargo, este espacio no es regular pues el punto 0 y el conjunto cerrado A (A es cerrado ya que Ac = R ∩ Ac es abierto) no pueden separarse. ¿Por qué? 6 Leopoldo Vietoris (1891 Radkersburg, Austria–Innsbruck, Austria 2002). Vivió 110 años (de hecho casi 111, murió menos de dos meses antes) en tres siglos diferentes. Es conocido principalmente por sus estudios en topologı́a, rama de las matemáticas de la que se le considera uno de los fundadores e impulsores. También se interesó por la historia de las matemáticas, la filosofı́a y fue un gran alpinista y esquiador. Durante toda su vida publicó 80 trabajos en diversos campos, el último de ellos a los 104 años. 217 12.2 Regulares, T3 , Tychonoff La siguiente es una caracterización local de los espacios regulares y es quizás la forma más útil de presentar este axioma. Teorema 12.4. Un espacio (X, T) es regular si y solo si para cada subconjunto abierto U y para cada x ∈ U existe un abierto Vx tal que x ∈ Vx ⊆ Vx ⊆ U. O Un espacio (X, T) es regular si para cada x ∈ X las vecindades cerradas de x forman un sistema fundamental de vecindades de x; i. e., cada vecindad de x contiene una vecindad cerrada. IA N Demostración. ⇒) Sean U abierto y x ∈ U . Como U c es cerrado existen vecindades disyuntas abiertas V, W de x y U c respectivamente. Ası́, x ∈ V ⊆ W c y como W c ⊆ U tenemos x ∈ V ⊆ V ⊆ U ya que W c es cerrado. .R UB ⇐) Dado un F cerrado y x ∈ / F , el conjunto F c es una vecindad c abierta de c x. Ası́ que existe Vx tal que Vx ⊆ Vx ⊆ F . Si tomamos U = Vx entonces F ⊆ U y además Vx ∩ U = ∅. EJEMPLO 12.8 Bajo la anterior caracterización es claro que la topologı́a de los complementos finitos en R no es regular, ya que ninguna vecindad de un punto es cerrada. G No siempre es el caso que cada espacio regular implique los demás axiomas de separación T0 , T1 , T2 . Por ejemplo (X, grosera) es regular pero no necesariamente es T2 pues un punto no necesita ser un conjunto cerrado. Es por ello que a los espacios regulares los reforzamos en la siguiente definición para que ası́ Ti implique Ti−1 . Definición 12.5. Un espacio (X, T) que es regular y además T1 se llama un espacio T3 . Esto es, además de poder separar puntos de conjuntos cerrados, exigimos que los conjuntos unitarios sean cerrados. Proposición 12.6. La propiedad de ser T3 es hereditaria. Demostración. Sea A ⊆ (X, T) donde X es T3 . Basta notar que, para x ∈ A, si V(x) es un sistema fundamental de vecindades cerradas de x en (X, T) entonces VA (x) = {V ∩ A : V ∈ V(x)} 218 Los axiomas de separación es un sistema fundamental de vecindades cerradas de x en (A, TA ). Q Proposición 12.7. Un espacio producto X = i∈I Xi con la topologı́a producto es regular si y solo si cada Xi es regular. IA N O Demostración. ⇒) Supongamos que para algún ı́ndice i0 , Xi0 no es regular y veamos que entonces X tampoco lo es. Luego existen xi0 ∈ Xi0 y un cerrado Ai0 ⊆ Xi0 que no contiene a xi0 , los cuales no pueden separarse. Definimos un punto x = (xi ) ∈ X tomando a xi0 en la componente i0 y en las otras i–ordenadas elegimos un punto cualquiera xi Q −1 para cada i. Sea Q A = pi0 (Ai0 ) = i6=i0 Xi × Ai0 —el cilindro—; consideremos Ux = Uxi , (i ∈ I) una vecindad cualquiera de x y UA cualquier vecindad abierta de A. Entonces UAi0 := {yi0 | y = (yj ) ∈ UA y yi = xi para cada i 6= i0 } —hemos elegido las coordenadas i–ésimas de estos puntos y = (yi )— es G .R UB un abierto en Xi0 con Ai0 ⊆ UAi0 , con lo cual Uxi0 y UAi0 también se interceptan. Por tanto Ux y UA se interceptan, es decir, x no puede ser separado de A. Q ⇐) Supongamos que Xi es regular para cada i. Sea Ux = Uxi , (i ∈ I) un abierto de x en X —no perdemos generalidad si lo suponemos básico—. Si Uxi = Xi definimos Vi = Xi . Si UQ xi $ Xi escogemos Vi V ⊆ U . Entonces V = Vi , (i ∈ I) es abierto abierto tal que x ∈ V ⊆ i xi i Q y Vi , (i ∈ I) es un cerrado con x ∈ V ⊆ V ⊆ Ux , es decir X es regular. Q Corolario 12.8. El espacio X = Xi , (i ∈ I) con la topologı́a producto es T3 (regular y T1 ) si y solo si cada Xi es T3 . Demostración. Muestre que un espacio producto es Ti , (i = 0, 1) si y solo si cada espacio factor lo es (ejercicos 7.1). EJEMPLO 12.9 Sorgenfrey (R, J+ ) es T3 . Dados U abierto y x ∈ U existe [a, b) tal que x ∈ [a, b) ⊆ U . Recordemos que esta topologı́a es más fina que la usual; ası́, los intervalos abiertos también son abiertos de esta topologı́a, con lo cual los elementos [a, b) de la topologı́a son simultáneamente abiertos y cerrados. Por el teorema 12.4 tenemos la regularidad. Solo resta verificar que el espacio es T1 . 219 12.2 Regulares, T3 , Tychonoff De manera más general tenemos el siguiente ejemplo. EJEMPLO 12.10 Sea (X, ≤) un espacio totalmente ordenado. Entonces las topologı́as J0 , J+ , J− son T3 (pág. 23). O 1. J0 . Un sistema fundamental de vecindades de x es V(x) = {(a, b) : a < x < b}. Es suficiente mostrar que todo elemento en V(x) contiene una vecindad de x que es cerrada. Sea (a, b) ∈ V(x): IA N a) Si existen t, t0 tales que a < t < x y x < t0 < b entonces x ∈ (t, t0 ) ⊆ [t, t0 ] ⊆ (a, b). b) Si no existe t tal que a < t < x entonces: o bien existe t0 con x < t0 < b, con lo cual x ∈ (a, t0 ) ⊆ [a, t0 ] ⊆ (a, b), o bien no existe t0 con x < t0 < b, con lo cual (a, b) = {x} es vecindad cerrada de x. .R UB c) Si no existe t0 tal que x < t0 < b, razonamos como en (b). 2. T+ . Sabemos que es T2 y recordemos que los abiertos [x, y) son igualmente cerrados pues [ [ [ [x, y)c = [a, x) [y, b). a<x y<b 3. T− . Como en (2). G 12.2.1. Inmersión en cubos La siguiente clase de espacios asegura la existencia de funciones –sobre el espacio– continuas y no constantes con valores en los números reales. Definición 12.9. Un espacio (X, T) se dice completamente regular si para cada cerrado F ⊆ X y cada x ∈ / F existe una función continua f : X −→ [0, 1] tal que f (x) = 0 y f (F ) = 1 —se dice que f distingue puntos de cerrados—. La razón del nombre para estos espacios es que son más que regulares; en efecto, los conjuntos f −1 ([0, 1/2)) y f −1 ((1/2, 1]) son vecindades disyuntas de x y F respectivamente. 220 Los axiomas de separación Definición 12.10. Un espacio (X, T) completamente regular y T1 se llama espacio de Tychonoff o T3 1 —estos espacios están entre los T3 2 y T4 —. Fue Tychonoff quien en 1930 dio un ejemplo de un espacio T3 que no es completamente regular. O Q Recordemos que los productos de la forma [0, 1]I = i∈I [0, 1]i –donde cada [0, 1]i es el intervalo unidad con la topologı́a usual– con la topologı́a producto de Tychonoff son llamados cubos I-dimensionales. En particular, el cubo I ℵ0 se llama cubo de Hilbert. IA N Si (X, T) es un espacio de Hausdorff y F = {f | f : X −→ [0, 1]} es la familia de todas las funciones continuas, la función evaluación e : X −→ Y [0, 1]f f ∈F .R UB definida por e(x) := (f (x))f ∈F es una función continua (ver teorema 8.10). e es inyectiva si y solo si la familia F es capaz de distinguir puntos; en otras palabras, para cada par de puntos x, y ∈ X existe f ∈ F con f (x) 6= f (y). Si F distingue puntos de cerrados o X es completamente regular entonces e es una función abierta de X en e(X). En efecto, dado un abierto U ⊆ X veamos que e(U ) es abierto en e(X). Sean q ∈ e(U ) y p ∈ U con e(p) = q. Como X − U es cerrado y p ∈ / X − U existe g ∈ F con g(p) ∈ / g(X − U ) —la adherencia tomada en g(X)—. El conjunto G V = {y ∈ Y [0, 1]f : g(y) ∈ / g(X − U )}, f ∈F es un abierto básico de la topologı́a producto con lo que V ∩ e(X) es un abierto básico en e(X) para el cual q = g(p) ∈ Q V ∩ e(X) ⊆ e(U ) y ası́ e(U ) es abierto en e(X). Por tanto X ≈ e(X) ⊆ f ∈F [0, 1]f . Hemos demostrado el siguiente teorema. Teorema 12.11. Cada espacio de Tychonoff puede ser inmerso en un cubo. Como e(X) es determinado completamente por la familia F, podemos afirmar que las funciones continuas son adecuadas para describir la topologı́a en X. 221 12.3 Normales, T4 Ejercicios 12.2 1. Sea (X, T) un espacio T3 . Muestre que para cada F cerrado, F ⊆ X T tenemos F = {V | V ∈ V(F )}. 2. ¿Es la regularidad un invariante continuo? O 3. Demuestre que regular, completamente regular y Tychonoff son propiedades hereditarias. IA N 4. En R considere la topologı́a J definida como el sup de la usual y coenumerables. ¿Es (R, J ) un espacio T3 ? Sugerencia: muestre que U es un abierto en J si y solo si U = V − A donde V es un abierto de la usual y A es un subconjunto enumerable. .R UB 5. Muestre que (X, T) es completamente regular si y solo si T es la topologı́a inicial para la familia de funciones continuas F = {f | f : X −→ [0, 1]}. G 6. Muestre que (X, T) es completamente regular si y solo si para cada X ∈ X y cada Vx existe una función continua f : X −→ [0, 1] tal que f (x) = 0 y f (X − Vx ) = 1. 12.3. Normales, T4 La normalidad fue introducida por Tietze en 1923; veremos que en algunos aspectos se comporta muy diferente a los otros axiomas de separación, ya que no es una propiedad hereditaria ni pasa al producto; mas no por ello es menos importante. Definición 12.12. Un espacio (X, T) se dice normal si cada par de subconjuntos cerrados y disyuntos F, G pueden separarse por abiertos; es decir, existen abiertos disyuntos UF , UG conteniendo a F y G respectivamente. 222 Los axiomas de separación EJEMPLO 12.11 Sean X = {a, b, c, d, e} y T = {X, ∅, {a, b, c, d}, {a, b, c}, {b, c, d, e}, {b, c, d}, {b, c}, {b}, {b, d, e}, {b, d}, {d, e}, {d}}. (X, T) es normal, pero no es regular ya que {a, d, e} es un cerrado que no puede ser separado del punto {c}, c ∈ / {a, d, e}. O Lo anterior no se puede dar en el caso que los conjuntos unitarios sean cerrados. Definición 12.13. Un espacio (X, T) que es normal y T1 se dice T4 . IA N Proposición 12.14. Si (X, T) es T4 entonces es T3 . Demostración. Si X es T1 , el conjunto {x} es cerrado para cada x ∈ X, y ser regular es un caso particular de ser normal. .R UB Teorema 12.15. Un espacio (X, T) es normal si y solo si para cada abierto U y para cada cerrado F ⊆ U existe un abierto V tal que F ⊆ V ⊆ V ⊆ U. Demostración. Como F y U c son cerrados disyuntos, por ser X normal existen abiertos disyuntos M, N que los contienen respectivamente, y ası́ F ⊆ M ⊆ M ⊆ N c ⊆ U . Para verificar la normalidad tomemos F, G cerrados disyuntos; como F ⊆ Gc , existe una vecindad VF de F con F ⊆ V ⊆ V ⊆ Gc y por tanto F ⊆ V y G ⊆ X − V . G El siguiente ejemplo muestra que los espacios normales son abundantes. EJEMPLO 12.12 Todo espacio métrico (X, d) es normal. En efecto, dados dos cerrados F, G disyuntos, por cada g ∈ G tomamos εg > 0 tal que Bεg (g) ∩ F = ∅ —recuerde que d(g, F ) > 0 puesto que g no es adherente a F —. Entonces S Bεg /2 (g), (g ∈ G) es un abierto que contiene a G y no intercepta a F . De manera similar construimos un abierto para F que no corte a G. Muestre que realmente estos abiertos no se cortan. Por supuesto existen espacios normales que no son metrizables. 223 12.3 Normales, T4 EJEMPLO 12.13 Sea R con la topologı́a T definida como: U ∈ T si U c es contable o 0 ∈ / U. La topologı́a T es de Hausdorff, pues dados x 6= y, uno de los dos, digamos x, es diferente de 0; por tanto {x} y R − {x} son abiertos. O Para ver que (R, T) es normal tomemos F, G cerrados disyuntos no vacı́os; uno de los dos no contiene al punto 0, digamos F , luego F es abierto y F c es también un abierto conteniendo a G. IA N De otra parte, no existe una base local enumerable para el punto 0 T ya queSsi existiera {B1 , B2 , . . .} tenemos que n=1 Bn = {0} y de otra parte n=1 Bnc deberı́a ser contable puesto que 0 ∈ Bn para cada n, y como cada Bn es abierto, solo puede serlo si Bnc es contable. ¿Puede ver usted el filtro involucrado en este ejemplo y la construcción en general? EJEMPLO 12.14 .R UB El semiplano de Niemytzki del ejemplo 5.7 es un espacio que muestra que ser T4 no es consecuencia de ser T1 y regular. Veamos a continuación sus principales propiedades: G Para ver que (X, T ∗ ) es regular utilicemos la caracterización local; es decir, dado un abierto U y b ∈ U , existe Vb abierta tal que Vb ⊆ V b ⊆ U . Sean U ∈ T ∗ y b ∈ U . Si b ∈ P , como U es abierto existe una Bε (b) ⊆ U , luego para Vb = Bε/2 (b) tenemos la condición. Si b ∈ L, existe D un disco tal que {b} ∪ D ⊆ U , esto es (Bε ((b, x)) ∪ {b}) ⊆ U —algún x—. Ası́ Bε/2 ((b, x/2)) satisface la condición. Ahora mostremos que no es normal. En efecto, construyamos dos subconjuntos cerrados que no se pueden separar. Dado A ⊆ L, Ac es abierto en T ∗ con lo cual cada A ⊆ L es cerrado —diferente a decir que todo A ⊆ L es abierto, pues el complemento se toma en todo X—. Por tanto, los subconjuntos Q = {(x, 0) | x es racional}, I = {(x, 0) | x es irracional} son cerrados, y veremos que Q, I no pueden separarse por abiertos. Sean VQ , VI abiertos disyuntos separando a Q, I. Por cada (x, 0) ∈ I ⊆ VI existe un disco Dx ⊆ VI de radio rx y tangente a L en el punto (x, 0). Sea Sn = {(x, 0) ∈ I | rx > 1/n}. Ası́, Sn ⊆ Sn+1 y la colección {Sn } junto con los puntos de Q forman un cubrimiento contable de L. 224 Los axiomas de separación Veamos que en R sucede lo siguiente: Si R es una unión contable de los subconjuntos {Sn } entonces por lo menos uno de ellos contiene un intervalo abierto. O Supongamos que cada Sn tiene interior vacı́o, esto es, dado cualquier intervalo I ⊆ L, existe un subintervalo J ⊆ I tal que Sn ∩ J = ∅ (recuerde que Sn es cerrado y esto es equivalente a decir que el interior de la adherencia de cada Sn es vacı́o, es decir Sn es denso en ninguna parte). .R UB IA N Como los racionales son enumerables, sea {q1 , q2 , . . .} una enumeración de ellos. Para n = 1 tomamos un intervalo I1 tal que q1 ∈ / I1 ; ası́, existe J1 ⊆ I1 tal que J1 ∩ S1 = ∅. Si q2 ∈ J1 , tomamos un subintervalo I2 ⊆ J1 tal que q2 ∈ / I2 y de éste extraemos J2 tal que J2 ∩ S2 = ∅ ; si q2 ∈ / J1 tomamos un I2 ⊆ J1 tal que I2 ∩ S2 = ∅. De esta manera, construimos inductivamente una sucesión de intervalos cerrados In tal que In+1 ⊆ In con qn ∈ / In y In ∩ Sn = ∅. Por el principioTde Cantor para los intervalos encajados, existe un número t tal que t ∈ n∈NIn . Claramente t no es un número racional y para algún n suficientemente grande tenemos t ∈ Sn , pero esto contradice que In ∩ Sn = ∅. Luego para algún número natural n se debe tener que existe un intervalo I de la recta real tal que cada subintervalo de I corta a Sn . Ası́ que cada punto de I es un punto de acumulación de Sn ; en particular existe un racional r con r ∈ Sna . Sea Bδ ((r, 0)) ⊆ VQ . Para x1 ∈ Sn suficientemente cercano a r, existe un disco Bε ((x1 , 0)) con Bδ ((r, 0)) ∩ Bε ((x1 , 0)) 6= ∅, y esto contradice que VQ , VI son disyuntos. G En un espacio las propiedades de ser Hausdorff, normal y compacto se relacionan de acuerdo con el siguiente teorema. Teorema 12.16. Si (X, T) es un espacio de Hausdorff y compacto entonces X es normal. Demostración. Si F, G son dos cerrados disyuntos, como el espacio es de Hausdorff y es compacto ellos son compactos. Dado g ∈ G, lo podemos separar de cada punto f ∈ F por medio de vecindades disyuntas Vgf , Vfg de g y f respectivamente. La colección {Vfg | f ∈ F } es un cubrimiento abierto de F , el cual lo podemos reducir a un subcubrimiento finito {Vfgi }, (i = 1, 2, . . . , n). T Definimos Vg = ni=1 Vgfi —la intersección de las vecindades de g corre- 225 12.3 Normales, T4 S spondientes a estos fi — y definimos UFg = ni=1 Vfgi . Ası́ F ⊆ UFg . Repitiendo el anterior proceso para cada g ∈ G, obtenemos un cubrimiento {Vg | g ∈ G} de G el cual lo reducimos a uno finito Vg1 , Vg2 , . . . , Vgm . S Tm gi Finamente M := m i=1 Vgi y N := i=1 UF son vecindades abiertas disyuntas de G y F respectivamente. EJEMPLO 12.15 IA N O Tablón de Tychonoff . Sea X = [0, ω] × [0, Ω]; cada factor es un espacio compacto, pues cada una de sus topologı́as provienen de un orden completo. X es normal de acuerdo con el teorema 12.16. Definimos W el tablón de Tychonoff como el espacio X menos el punto (ω, Ω), i. e., W = X − {(ω, Ω)} = [0, ω] × [0, Ω] − {(ω, Ω)}. .R UB Probemos que el tablón no es normal con la topologı́a de subespacio, negando ası́ que la normalidad sea hereditaria. A • • • • • ◦ (ω, Ω) Ω .. .. .. .. . .. .. ... .. ω • • • • • · · · .... • .... .......................... ............. ... .......... . .................................. G .. . 4 • 3 • 2 • 1 • 0 • 0 • • • • • 1 • • • • • 2 • • • • • 3 .. . .. .. .. .. .. ... .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . .. ... .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. ... .. . .. .. .. .. .. ... .. . .. .. .. .. .. .. .. • ··· • • ··· • • ··· • • ··· • • • 4 ω B Figura 12.2: El tablón de Tychonoff. Para ello construyamos dos cerrados disyuntos A, B en W y mostremos que es imposible separarlos. A = {(x, Ω) | x ∈ [0, ω)} la última fila superior, B = {(ω, y) | y ∈ [0, Ω)} la última columna a la derecha. Son cerrados en la topologı́a de subespacio de W ya que sus complementos en W son claramente abiertos. 226 Los axiomas de separación IA N Ejercicios 12.3 O Supongamos que existen UA , UB abiertos que separan. Entonces por cada α ∈ [0, ω) sea βα el menor elemento en [0, Ω] tal que (α, β) ∈ UA para β > βα . La colección S = {βα }, (α ∈ [0, ω)) es contable, luego so = sup S < Ω (proposición 10.41) y por tanto {(α, β) | α < ω, β > so } ⊆ UA . Notemos que para β con so < β < Ω se tiene que el punto (ω, β) ∈ UB , luego puntos ‘cercanos’ a él, están tanto en UA como en UB . 1. Muestre que el producto de espacios normales no necesariamente es normal, aun en el caso de un número finito de factores. .R UB Sugerencia: considere el espacio —ejemplo 9.20— con la topologı́a de los cuadrados semiabiertos de Sorgenfrey y considere los subconjuntos F , G en la diagonal, dados por los puntos con componentes racionales y los puntos con componentes irracionales respectivamente. Este ejemplo muestra también que T3 no implica T4 . 2. El espacio de Sierpinski es un ejemplo de un espacio normal que no es regular. G 3. Muestre que la normalidad se respeta por homeomorfismos, pero no es un invariante bajo continuidad. ¿Qué sucede si f es continua, cerrada y sobre? 4. Muestre que en el ejemplo 12.14, X es separable pero el subespacio L no lo es. 5. Muestre que si un espacio producto es normal, entonces cada espacio factor es normal. 6. Si (X, T) es regular y de Lindelöf entonces es normal. 7. Si (X, T) es regular y 2-contable entonces es normal. 8. Revise el ejemplo 12.13 y generalı́celo para cualquier filtro en cualquier conjunto X. 227 12.4 Lema de Urysohn o existencia de funciones 12.4. Lema de Urysohn o existencia de funciones El objeto de esta sección es resaltar la relación entre la normalidad en el espacio X y la existencia de funciones f : X −→ Ru continuas y no constantes. O Definición 12.17. Dados (X, T) y A, B ⊆ X, decimos que A, B son separados por funciones continuas si existe f : X −→ R con f (A) = 0, f (B) = 1. IA N Nótese que si esto sucede entonces A y B son disyuntos pues el conjunto cerrado f −1 (1) contiene a A y por tanto contiene a A. Lo mismo sucede para f −1 (0) y B. Podemos preguntarnos: si A, B son subconjuntos cerrados disyuntos, ¿existirá f que los separe? Para los espacios métricos la respuesta es afirmativa. .R UB A −→ 0 A B B −→ 1 Figura 12.3: Una función que separa. G Proposición 12.18. Si A, B son dos cerrados disyuntos no vacı́os de un espacio métrico (X, d) entonces existe f : X −→ [0, 1] continua y tal que f (A) = 0, f (B) = 1. Demostración. Definimos f como f (x) := d(x, A) . d(x, A) + d(x, B) Lo que veremos ahora es que esta propiedad —creación de funciones continuas— puede usarse para caracterizar la normalidad. Tenemos el siguiente lema —el cual es un teorema—. Teorema 12.19 (Lema de Urysohn). Un espacio (X, T) es normal si y solo si dado un par de subconjuntos A, B cerrados, disyuntos y no vacı́os de X, existe u : X −→ [0, 1] continua y tal que u(A) = 0, u(B) = 1. 228 O Los axiomas de separación IA N Figura 12.4: Construcción en el lema de Urysohn. .R UB Demostración. La ‘idea’ en la demostración es brillante pero no por eso complicada; la función u es obtenida como la última (el lı́mite) de una sucesión de funciones escalonadas que al ir definiéndolas en una región que se expande entre A y B c (figura 12.4) crecen gradualmente desde u(A) = 0 hasta u(B) = 1. Estas funciones en cada paso incrementan el número de escalones a fin de dejar una función definida de manera continua con rango en [0, 1]. El número de escalones en cada paso está dado por una cadena enumerable de subconjuntos entre A y B c : A = A0 ⊆ A1 ⊆ . . . ⊆ An ⊆ . . . ⊆ B c y la función escalonada se define involucrando los ı́ndices de cada Ai . Como queremos que Ai−1 nunca toque la frontera de Ai a fin de garantizar la construcción de los escalones, debemos garantizar entonces que ◦ G Ai−1 ⊆ Ai y es aquı́ donde de manera inductiva aplicamos la normalidad del espacio. p En [0, 1] tomamos los números racionales de la forma n , 0 < p < 2n 2 donde p, n son enteros positivos. Este conjunto de números se llama fracciones diádicas —fracciones cuyo denominador es una potencia de 2— y lo denotamos por D. 15 1 1 3 1 3 5 7 1 , , , , , , , ,..., ,... D= 2 4 4 8 8 8 8 16 16 es denso en [0, 1], pues se obtiene de dividir sucesivamente de dos en dos el intervalo [0, 1]; efectivamente, dado (a − δ, a + δ) para a ∈ [0, 1] 1 veamos que existe d ∈ D con d ∈ (a − δ, a + δ). Como n → 0 existe una 2 229 IA N O 12.4 Lema de Urysohn o existencia de funciones Figura 12.5: Un paso no permitido en la construcción de las funciones escalonadas. .R UB potencia q = 2N tal que 0 < 1/q < δ. Ya que 1 1 2 2 3 q−2 q−1 q−1 [0, 1] = 1, ∪ , ∪ , ∪ ... ∪ , ∪ ,1 q q q q q q−1 q q h i m+1 m+1 existe m con a ∈ m , y como 1/q < δ , luego m q q q ≤ a ≤ q m entonces a − δ < q ≤ a < a + δ. A continuación definimos una colección de abiertos {Ud | d ∈ D} con la propiedad que si d1 < d2 entonces A ⊆ Ud1 ⊆ U d1 ⊆ Ud2 ⊆ U d2 ⊆ B c . G Además utilizamos sistemáticamente la siguiente propiedad: en un espacio normal, dado un cerrado A y un abierto U conteniendo a A, existe un abierto V tal que A ⊆ V ⊆ V ⊆ U . Luego existe un abierto llamémoslo U1/2 con A ⊆ U1/2 ⊆ U1/2 ⊆ B c . Al aplicar de nuevo la propiedad obtenemos abiertos U1/4 , U3/4 tales que A ⊆ U1/4 ⊆ U1/4 ⊆ U1/2 ⊆ U1/2 ⊆ U3/4 ⊆ U3/4 ⊆ B c . A partir del paso anterior ya podemos inducir cómo es el siguiente en nuestra construcción de la colección {Ud }; a manera de ejemplo, el paso siguiente nos darı́a todos los Ud para d = 1/8, 2/8, 3/8, . . . , 7/8 caso en el cual solo hemos agregado los U1/8 , U3/8 , U5/8 , U7/8 . Esto es, del paso 230 Los axiomas de separación Uk/2n al paso Uk/2n+1 únicamente resta por agregar los abiertos Uk/2n+1 para los k = 2i + 1 impares. Para un tal k = 2i + 1 existe un abierto U con la propiedad U2i /2n+1 ⊆ U ⊆ U ⊆ U2i+1 /2n+1 ⊆ B c y es a este U al que llamamos U2i+1 /2n+1 , con lo cual tenemos la manera inductiva de crear a D. O Notemos que la colección {Ud }, (d ∈ D) es un encaje para el orden natural en D. IA N Definimos la función u : X −→ [0, 1] como ( 0, si x ∈ Ud para todo d u(x) = sup{d : x ∈ / Ud }, en caso contrario —tomamos el ı́ndice del conjunto Ud más grande que no contiene a x—. .R UB Por la definición tenemos u(A) = 0 pues si x ∈ A entonces x está en todos los Ud . Por otra parte, u(B) = 1 pues x ∈ B implica que x no está en Ud para todo d, con lo cual el sup es 1. Para ver que u es continua en el punto x, basta ver que u−1 ([0, a)) y u−1 ([a, 1)) son abiertos para todo 0 < a < 1 ya que los intervalos de la forma [0, a), (a, 1] son una subbase cuando 0 < a < 1. En efecto, verifiquemos que u−1 ([0, a)) = {x | u(x) < a} = [ Ud d<a G lo cual muestra que se trata de un abierto: dado x ∈ u−1 ([0, a)) tenemos u(x) ∈ [0, a), o lo que es igual, 0 ≤ u(x) < a; existe entonces dx ∈ D tal que u(x) < dx < a, lo que significa u(x) =Ssup{d | x ∈ / Ud } < dx < a y esto implica x ∈ Udx y por tanto x ∈ d<a Ud y ası́ u−1 ([0, a)) ⊆ S d<a Ud . S De otra parte, dado y ∈ d<a Ud existe dy ∈ D tal que dy < a y y ∈ Udy . Luego u(y) = Ssup{d | y ∈ / Ud } ≤ dy < a y por tanto −1 −1 y ∈ u ([0, a)), con lo cual d<a Ud ⊆ u ([0, a)). De manera similar, u−1 ([a, 1)) = {x | u(x) > a} = [ d>a Ud c 231 12.4 Lema de Urysohn o existencia de funciones es un abierto ya que u(x) > a si y solo si x ∈ / Ud para algún d > a. Para la recı́proca es suficiente considerar a u−1 ([0, 1/2)) y u−1 ((1/2, 1]). O El lema anterior no depende de la forma de D, tan solo de la propiedad topológica de denso. Tampoco nos garantiza que u(x) = 0 únicamente para x ∈ A, o que u(x) = 1 únicamente para x ∈ B, es decir A = u−1 (0), B = u−1 (1). Para que una función ası́ exista —u es llamada de Urysohn— debemos exigir además que los conjuntos A, B sean Gδ . IA N La notación Gδ proviene del idioma alemán: G simboliza la palabra Gebiet ‘región’ y δ la palabra durchschniff ‘intersección’. Un Gδ es un conjunto que puede expresarse como una intersección enumerable de abiertos. EJEMPLO 12.16 .R UB Trivialmente, todo subconjunto abierto es un Gδ . En un espacio métrico los conjuntos cerrados son Gδ pues si A ⊆ (X, d) T es un cerrado, entonces A = n∈N S1/n (A), donde S1/n (A) = {x : d(x, A) < 1/n} y por tanto es un abierto. G La necesaria generalización del Lema de Urysohn a intervalos cerrados cualesquiera es inmediata. Corolario 12.20. Sea (X, T) un espacio. X es normal si y solo si dados A, B subconjuntos cerrados, disyuntos y no vacı́os, existe g : X −→ [a, b] continua con g(A) = a, g(B) = b. Demostración. Recordemos que la función h : [0, 1] −→ [a, b] definida por h(x) = (b − a)x + a para cada x ∈ [0, 1] es un homeomorfismo con h(0) = a y h(1) = b. Si u es una función con las propiedades del lema de Urysohn entonces g = h ◦ u satisface las condiciones de nuestro corolario. 232 Los axiomas de separación 12.5. Tietze o extensión de funciones Definición 12.21. Dados A ⊆ X y una función f : A −→ Y , decimos que la función F : X −→ Y es una extensión de f si para cada a ∈ A, f (a) = F (a). IA N O De la anterior definición, el lema de Urysohn puede interpretarse como un teorema que garantiza la existencia de la extensión de una función; dados A, B dos subconjuntos cerrados disyuntos del espacio (X, T) la función f : A ∪ B −→ [0, 1] definida como f (x) = 0 si x ∈ A, f (x) = 1 si x ∈ B —es una función continua definida sobre el subespacio A ∪ B pues A, B son simultáneamente abiertos y cerrados en este subespacio— admite a la función u : X −→ [0, 1] dada por el lema de Urysohn como una extensión. .R UB Por supuesto el problema de garantizar la existencia de extensiones de funciones no es trivial y en general no es posible encontrar tales extensiones. Por ejemplo, para f : (0, 1] −→ R dada por f (x) = sen( x1 ) —la curva seno del topólogo— es imposible 13.7 encontrar una extensión continua para el espacio [0, 1], pues, no importa el valor que le asignemos a f (0) siempre es posible encontrar una sucesión convergente a 0 y cuya imagen no es convergente a f (0) —tomar lı́neas paralelas al eje x—. El siguiente teorema garantiza una solución al problema cuando de los espacios normales se trata. Fue demostrado por Urysohn, pero lleva el nombre de Tietze, ya que fue éste último quien antes lo habı́a demostrado para los espacios métricos. G Teorema 12.22 (Extensión de Tietze). Sea (X, T) un espacio normal. Dada f : L −→ [a, b] una función continua de un subespacio cerrado L ⊆ X, existe una extensión F de f con F : X −→ [a, b]. Demostración. Sea f : L −→ [−1, 1] continua. Tomamos a [−1, 1] en lugar de [a, b] y esto no es pérdida de generalidad ya que [a, b] y [−1, 1] son homeomorfos. A continuación definimos una sucesión de funciones g1 , g2 , . . . definidas sobre todo X, la cual P nos definirá a nuestra extensión F de acuerdo con la fórmula F (x) = ∞ n=1 gn (x) —F (x) es por definición el lı́mite de la sucesión infinita de sumas parciales (sn (x)) con sn (x) = Pn i=1 gi (x)—. 233 12.5 Tietze o extensión de funciones Sean A0 ={x ∈ L : f (x) ≤ −1/3} = f −1 ([−1, −1/3]) B0 ={x ∈ L : f (x) ≥ 1/3} = f −1 ([1/3, 1]). A0 , B0 son cerrados y disyuntos. IA N O Por el lema de Urysohn existe g1 : X −→ [− 13 , 31 ] continua y tal que g1 (A0 ) = − 13 , g1 (B0 ) = 13 ; luego para cada x ∈ L, | f (x) − g1 (x) |≤ 23 —nótese que los puntos − 31 y 31 dividen el intervalo [−1, 1] en tres partes iguales de longitud 23 —. Definimos f1 := f − g1 la cual es una función continua con 2 2 f1 : L −→ − , . 3 3 Sean 2 1 2 A1 = f1−1 ([− , − ( )]), 3 3 3 1 2 2 B1 = f1−1 ([ ( ), ). 3 3 3 .R UB Nuevamente, y como antes, existe 1 2 1 2 g2 : X −→ − , , 3 3 3 3 con g2 (A1 ) = − 31 ( 23 ), g2 (B1 ) = 31 ( 23 ) y además 2 2 | f1 (x) − g2 (x) |≤ , 3 G para x ∈ L; esto es, | f (x) − (g1 (x) + g2 (x)) |≤ ( 23 )2 . Supongamos que g1 , g2 , . . . , gn han sido definidas sobre X con la propiedad 1 2 i−1 3 3 n n X 2 | f (x) − gi (x) |≤ para x ∈ L. 3 | gi (x) |≤ i=1 De manera inductiva definimos fn (x) = f (x) − n X i=1 gi (x). 234 Los axiomas de separación Ası́ obtenemos dos conjuntos disyuntos An , Bn definidos como n 2 1 2 n −1 An =fn − ,− 3 3 3 n n 2 1 2 , Bn =fn−1 3 3 3 y además f (x) − n+1 X i=1 IA N O con lo cual el lema de Urysohn asegura la existencia de 1 2 n 1 2 n 1 2 n gn+1 : X −→ − , con | gn+1 (x) | ≤ 3 3 3 3 3 3 n+1 2 gi (x) ≤ para x ∈ L. 3 La sucesión {g1 , g2 , . . .} es una sucesión de funciones continuas sobre X tal que n−1 2 , x∈X 3 (12.1) n 2 gi (x) ≤ , x ∈ L. 3 (12.2) .R UB 1 | gn (x) |≤ 3 f (x) − n X i=1 Luego G 1 2 n−1 kgn k = sup{|gn (x)| : x ∈ X} ≤ 3 3 P∞ 1 2 n P∞ y como i=0 ( 2 )( 3 ) = 1 tenemos que i=1 gi es uniformemente conP vergente y converge a la función F definida como F (x) = ∞ g (x). i i=1 F es continua ya que esPel lı́mite uniforme de la sucesión de funciones continuas sn con sn (x) = ni=1 gi (x). Finalmente, por la desigualdad en 12.2 tenemos que para x ∈ L, F (x) = f (x). Corolario 12.23. Si un espacio (X, T) tiene la propiedad de extender funciones como en el teorema anterior, entonces es normal. Demostración. Es suficiente ver que un espacio con esta propiedad satisface las condiciones en el lema de Urysohn y este último asegura entonces que X es normal. 235 12.5 Tietze o extensión de funciones EJEMPLO 12.17 El disco unitario cerrado D ⊆ R2 es un espacio métrico y por tanto es normal. Entonces para cada función continua f : S 1 → [0, 1] existe una extensión continua al disco D. IA N O Como una curiosa consecuencia de este ejemplo, tenemos la siguiente: tomamos la temperatura como una función continua. Supongamos que tenemos una moneda, y la consideramos como el disco unidad D. Podemos afirmar que dada una temperatura en el borde de la moneda, es posible repartir calor en toda la moneda de forma que la temperatura en el borde coincida con la dada en su borde. .R UB Si en el teorema 12.22 omitimos la condición de cerrado para L, entonces el teorema no se tiene. Por ejemplo para X = [0, 1], L = (0, 1] y f (x) = sen(1/x), 0 < x ≤ 1; ya hemos visto que f no puede ser extendida de manera continua. Nota. Cuando un espacio Y se comporta como el espacio R para el teorema de Tietze 12.22, lo llamamos un RA o retracto absoluto. G Definición 12.24. El espacio (Y, H) es un RA si para cada espacio (X, T) normal y para cada L ⊆ X cerrado, dada f : L −→ Y continua, existe una extensión continua F : X −→ Y . EJEMPLO 12.18 Los espacios Rnu y los cubos de dimensión finita (I n , usual) son retractos absolutos. Para ver que Rn es un retracto absoluto consideremos f : L −→ Rn continua. Si pi es la proyección i-ésima entonces fi = pi ◦ f es continua como función de L en R y sea Fi su extensión a todo X. Si definimos F : L −→ Rn como F (X) = (F1 (x), . . . , Fn (x)), F es continua y además es extensión de f . 236 Los axiomas de separación EJEMPLO 12.19 Existencia de homotopı́as. Sean (X, T) normal y A ⊆ X cerrado. Dada f : A −→ Rn existe F : X −→ Rn extensión de f ; en efecto, para cada función coordenada fi = pi ◦f existe una extensión continua Fi : A −→ R y por tanto la función F = (Fi )1=1,2,...,n es continua. El espacio (I × I, usual) es normal y el subconjunto A formado por los lados superior e inferior del cuadrado unidad es cerrado, i. e., O A = {(x, y) : y = 1} ∪ {(x, y) : y = 0}. IA N Si f : A −→ R2 es continua, existe una extensión continua F : (I × I, usual) −→ R2 llamada homotopı́a. .R UB Ejercicios 12.5 1. Decimos que (X, T) es un espacio completamente normal si la propiedad es hereditaria, i.e., cada subespacio de X es normal. Muestre que (X, T) es completamente normal si y solo si todo par de conjuntos separados pueden ser separados por vecindades. 2. (X, T) es un espacio T5 , o un espacio completamente T4 , si es completamente normal y Hausdorff, o, equivalentemente, si cada subespacio de X es T4 . G (X, T) es un espacio perfectamente normal si cada par de conjuntos cerrados disjuntos pueden ser separados exactamente mediante una función continua f : X → [0, 1], i.e., ellos son las imágenes inversas de 0 y 1 respectivamente. 3. Muestre que el teorema de Extensión de Tietze sigue siendo válido para funciones continuas f : L −→ R; es decir, no tenemos necesidad de restringirnos en el codominio a intervalos cerrados. 4. Sea Y = R−{0} con la topologı́a de subespacio usual de R. Consideremos A = [−1, −1/2] ∪ [1/2, 1], iA : A ,→ Y . Muestre que iA es continua y no admite una extensión a todo R. ¿Ve la importancia del codominio? 237 12.5 Tietze o extensión de funciones G .R UB IA N O 5. De manera análoga a la definición de los conjuntos Gδ , decimos que A ⊆ X es un conjunto Fσ si A se puede representar como una unión enumerable de cerrados. Muestre que A es Gδ si y solo si Ac es Fσ . Conexidad O 13 IA N Algunos espacios topológicos, como el intervalo unidad, la recta real, el toro (con las topologı́as usuales), parece que están formados de una sola pieza o literalmente sus partes constituyentes no están desconectadas, como sucede en contraste con ciertos subespacios en R2 , entre ellos: 1. El constituido por dos segmentos de lı́nea que no se interceptan. G .R UB 2. El complemento de una circunferencia en el plano, el cual resulta ser unión disyunta de dos subespacios abiertos. Figura 13.1: Dos globos en R3 constituyen un subespacio no conexo. A continuación precisamos este concepto de conexidad y veremos que resulta ser de valor topológico; es decir, es un invariante. 13.1. La conexidad como invariante topológico Definición 13.1. Dado un espacio (X, T), una separación para X la constituye un par A, B de subconjuntos no vacı́os, abiertos y tales que 238 239 13.1 La conexidad como invariante topológico A ∪ B = X y A ∩ B = ∅. Nótese que en la definición anterior los conjuntos A y B son complementarios entre sı́; esto es equivalente a requerir que A y B sean ambos cerrados a cambio de abiertos, o que exista A ⊆ X no vacı́o, abierto y cerrado, i. e., aberrado. IA N O Además, no es suficiente con exigir que A y B sean disyuntos, pues todo espacio con más de un punto serı́a trivialmente no-conexo. Queremos que realmente A y B sean dos piezas separadas; esto es, que no haya puntos de A adherentes a B o viceversa. Luego A debe estar contenida en B c , A ⊆ B c , y como A = B c , concluimos que A y B deben de ser ambos cerrados o equivalentemente ambos abiertos. Definición 13.2. Un espacio (X, T) es conexo si no existe una separación para X. .R UB Por supuesto un subespacio será conexo si visto como espacio es conexo; claramente, la posible conexidad del subespacio solo depende de él y no del espacio que lo contiene. EJEMPLO 13.1 La figura 13.2(a) es una región circular conexa y 13.2(b) es el subespacio de R2 formado por las circunferencias de centro el origen y radio 1−1/n, (n ∈ N) atadas por el segmento de recta [1/2, 1), junto con S 1 . G Teorema 13.3. Ru es un espacio conexo. Demostración. Supongamos que existe una separación A, B para R. Veamos que algún punto de A es un punto de acumulación de B o viceversa, lo cual muestra que ambos no pueden ser cerrados simultáneamente. Sean a ∈ A, b ∈ B con a < b. Definimos M := {x ∈ A | a < x < b}. M es acotado y sea m = sup M . Supongamos que m ∈ A, con lo cual m < b, y entonces todos los puntos que están entre m y b están en B y por tanto m es un punto de acumulación de B, con lo cual B no serı́a cerrado. De otra parte, si m ∈ / A entonces m ∈ B y en este caso m serı́a un punto de acumulación de A, lo cual contradice la manera como hemos elegido a A. 240 Conexidad ................................... ............ . . . ............ ......... . . . . . . ......... ....... . . . . . . . . . ...... ...... . . . . . . . . . . ....... ...... . . . . . . . . . . . . . ..... ..... . . . . . . . . . . . . . . ......... . . . ..... . . . . . . . . . . . . . . . .... ... . . . . . . . . . . . . . . . . .... ... . . . . . . . . . . . . . . . . . ... .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... . ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. . . . . . . . . . . ... . . . . . . . . . . .... .... . . . . . . . . ............... ................... . . . . . . . . . . . . . . . ..... ..... . ... . . . . . . . . ...... .... . . . . . . . . . . . . . . .... .. . . . . . . . . ... ... . ... . . . . . . . . . . . . . .... ... . . . . . . . . . . . . .... . . .. . . . . . . ... .. . . . . . . . ... .... . . . . . . . .... .. . . . . . . . . ..... .. . . . . . . . .. . . ... . . . . . . ... ... . . . . . . . . . . . . .... .. ... . . . . . . . .. ... . . . . . . . ..... ... . . . . . . . ... ... . . . . . . . . . . . . . . . ....... .... . . . . . . . . ... .... . . . . . . . .......... ...... . . . . . . . . .. ... . . . . . . . . . ........................... . . . . . . . . . . . . . . . . ..... ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ... . . . . . . . . . . . . . . . . . .... .... . . . . . . . . . . . . . . . . ... .... . . . . . . . . . . . . . . . .... ..... . . . . . . . . . . . . . . ..... ..... . . . . . . . . . . . . . ..... ...... . . . . . . . . . . . . ...... ....... . . . . . . . . . ...... ........ .. .......... . . . . . . ................ ..................... . ..................... ......... ............................................... .......... ...... ....... ....... ..... .......... ........ ..... ..................................................................... ........... ....... ..................................................................................................... ....... ...... ........................................................................................................................................ .................................................................................................................................................................................................................. . . . . .......... ............................... ..... .... ................................. ........... . . . ....................................... ......... ......................................... ....................................................................... ........ ...... .................... ... .... .......................... ....... .... ....... ..... ................... . ... .... .................... ..... ........ ...... .... ................... ... ... ................... ..... ...... ..... ... ............... ... ........................ .. ............................. ......... . . . . . . . . . . . .... ... .............. . .. . . ....... . . . ...... ... .... .................. ... ...... ... ............... ... ... ...... ... .. ............ .. ..... .. ............. ... .... ..... . ... ... ............. . ... . . .......................... .... .... . ... ... ... ................. .. . ................. ... ... ... ... . . . . ... .. ................ ... ... . .... . . . .. . ... ... ........... . ... . .......................... .... .... . ... . . ... ... ................. ... ... .... ... ..................... .... ... .. .. .. ........ .. .. .. ... ............... ... ... .. .. .. .......... . .. . . . . ... . . . .. .. ... .. ......... ... .. .... ................ .... .... .... .... .. .. ... ........ .. .. .. ... ............ .. .. ... ... . . ... .. .. ............ ... . .. ................ ... .. .. .... .... ....................... ..... .... ... ... ........... ... ... ... . ... ............... . .. . ... ... ................. ... ... . . . . ... ... .................. ... ... .. .. .... ...................... .... . . . . . ... ... ............... ... ... . . . ...... . ... .... ... ................. ... ... ... ... ................ ... ... .... ..................... ... .... ... .. ................ ... .... ...... ... ............... .... ... .. ... ............ .. ...... ....... ...................... ... .... .... ... ............... . ... ....... ........... .... ................................. .... .......... ..................... .... ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ... . . ... .................... ..... ....... ... ...... ..... .. ........... .... ... ...................... ...... ........ ....... ..... ................... .. . ... . ........................ ...... .... ........................ ....... ................................................. ................................................................ ....................................... ......... .. .. .. ... . . ..... ...................................... .............................................................................................................................. . . . ....................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...... ........................................................................................................................................... ............ .................................................................................................................. ...... ........ .......................................................................... . ........ .......... ....... ........................... ............... ..................... .................... ........ (a) (b) IA N O ........................... Figura 13.2: (a) es conexo; aunque menos obvio, (b) también es conexo. El siguiente teorema caracteriza los subconjuntos de R que pueden ser conexos. .R UB Teorema 13.4. Un subconjunto A no vacı́o de Ru es conexo si y solo si A es un intervalo. Demostración. ⇒) Si A es conexo y no es un intervalo, existen a, b ∈ A y un punto p ∈ / A tal que a < p < b. Sean U = (←, p) ∩ A, V = (p, →) ∩ A; claramente U, V son una separación para el subespacio A. ⇐) Si A es un intervalo, para verificar su conexidad la demostración del teorema anterior se adapta fácilmente. EJEMPLO 13.2 G (R, cof initos) es conexo. Lo mismo sucede para todo subespacio infinito de este espacio. La lı́nea de Sorgenfrey (R, [a, b)) no es conexa pues [7, ∞) es aberrado. EJEMPLO 13.3 Todo espacio no unitario con la topologı́a discreta es no-conexo, mientras que todo espacio con la topologı́a grosera es conexo. La siguiente caracterización para la conexidad en términos de funciones continuas, aunque aparentemente no nos exprese directamente el concepto intuitivo de la conexidad, es útil y fácil de aplicar. 241 13.1 La conexidad como invariante topológico Teorema 13.5. Un espacio (X, T) es conexo si y solo si toda función continua f : X −→ {0, 1} —{0, 1} con la discreta— es constante. Demostración. ⇒) Si X es conexo y existe f : X −→ {0, 1} continua y sobre, los conjuntos f −1 (0), f −1 (1) forman una separación para X. IA N EJEMPLO 13.4 O ⇐) Si X es no conexo, existe una separación A, B para X. Si definimos f : X −→ {0, 1} como f (x) = 0 para x ∈ A y f (x) = 1 para x ∈ B, tenemos que f es continua y sobre, lo cual contradice nuestra hipótesis. Por el anterior teorema, no existen funciones continuas sobreyectivas de un espacio conexo en uno no conexo. Por ejemplo, no existe una sobreyección continua R −→ R − {0}. .R UB 1. La n–esfera S n es conexa si n > 0, ya que podemos definir una x sobreyección continua f : Rn+1 − {0} −→ S n por f (x) = kxk (el n+1 corolario 13.11 muestra que R − {0} es conexo). 2. El espacio GL(3, R) no es conexo, ya que R − {0} no lo es y existe una función det continua y sobreyectiva det : GL(3, R) −→ R − {0} definida por M 7→ det(M ) —determinante de M —. Es sobreyectiva: t 00 para t ∈ R − {0} la matriz 0 1 0 es invertible y tiene determinante t. G 001 Es intuitivo que si a un subespacio conexo le agregamos parte de sus puntos adherentes seguimos teniendo conexidad (ver figura 13.2 donde agregamos S 1 ). Este es el tema del siguiente teorema. Teorema 13.6. Sea A un subconjunto conexo de un espacio topológico (X, T). Si B es tal que A ⊆ B ⊆ A entonces B es conexo. Demostración. Sea f : B −→ {0, 1} continua. Sabemos que f (A) es un conjunto unitario puesto que la restricción f |A es continua y A es conexo, luego f (B) ⊆ f (A) ⊆ f (A) es también unitario y ası́ f no es sobreyectiva. 242 Conexidad Proposición 13.7. Sea (X, T) un espacio y A, B una separación de X. Si C es un subespacio conexo de X entonces C ⊆ A ó C ⊆ B. Demostración. Si se diera simultáneamente A ∩ C 6= ∅ y B ∩ C 6= ∅, entonces estos dos conjuntos formarı́an una separación para C. Veamos ahora que la conexidad es respetada por las funciones continuas y por tanto es un invariante topológico. IA N O Teorema 13.8. Sean (X, T), (Y, H) espacios. Si X es conexo y f : X −→ Y es continua entonces f (X) es conexo. Demostración. Si f (X) es no conexo, existe g : f (X) −→ {0, 1} continua y sobre. Por tanto g ◦ f es continua y sobre, lo cual contradice que su dominio X es conexo. .R UB El siguiente corolario nos explica por qué algunas veces al tener una función f : R −→ R decimos que es continua, si al dibujar su grafo no hay necesidad de levantar el lápiz del papel; es decir, su grafo es un solo trazo, con lo cual es conexo. Corolario 13.9. Sean (X, T), (Y, H) dos espacios. Si X es conexo y f : X −→ Y es una función continua entonces Gf := {(x, f (x)) | x ∈ X} ⊆ X × Y —el grafo de f — es un subespacio conexo. G Demostración. La función g : X −→ X × Y definida como g(x) = (x, f (x)) es continua ya que sus proyecciones son la función idX y f . Nota. Tenemos aún más de lo que dice el anterior corolario. El espacio X es homeomorfo a Gf ; esto es, X es homeomorfo a su ‘imagen’ dada por f en X × Y . Consideremos la biyección h : X −→ Gf dada por h(x) = (x, f (x)). La función h es continua ya que sobre la base {Gf ∩ (U × V ) : U ∈ T, V ∈ H} tenemos h−1 (Gf ∩ (U × V )) = U ∩ f −1 (V ). De otra parte, para U ∈ T, h(U ) = {(x, f (x)) | x ∈ U } = Gf ∩(U ×V ) también es un abierto en Gf , con lo que h−1 es continua. Moraleja: Dada f : R −→ R continua, no importa lo que hagamos con R, el gráfico de la función es ‘de nuevo’ R. 243 13.1 La conexidad como invariante topológico Conexidad en el producto Aunque la intersección de dos espacios conexos no necesariamente es conexa —¿por qué?—, sı́ lo es su producto cartesiano. . ... . .. .. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ......... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ......... .. .. . Y ....... a2 h g • IA N b2 O Teorema 13.10. Si (X, T), (Y, H) son espacios conexos entonces el espacio producto X × Y con la topologı́a producto es conexo. • .R UB a1 b1 X Figura 13.3: Conexidad en el producto. G Demostración. Si X ×Y no es conexo, existe f : X ×Y −→ {0, 1} continua y sobre. Sean a = (a1 , a2 ), b = (b1 , b2 ) tales que f (a) = 0, f (b) = 1. Definimos las funciones (fig. 13.3) g : X −→ {0, 1}, h : Y −→ {0, 1} como g(x) := f (x, b2 ) y h(y) := f (a1 , y). g, h son continuas —lo son sus proyecciones— con lo cual g(X) y h(Y ) son conjuntos unitarios. Por ser g(b1 ) = f (b1 , b2 ) = 1 tenemos g(a1 ) = 1. Por otra parte, como h(a2 ) = f (a1 , a2 ) = 0 tenemos h(b2 ) = 0, de donde obtenemos f (a1 , b2 ) = g(a1 ) = 1 6= 0 = h(b2 ) = f (a1 , b2 ), lo cual contradice la definición de función de f . Ası́ que X × Y debe ser conexo. Corolario 13.11. Rnu es conexo. Lema 13.12. Sea (X, T) un espacio. Si {Ci }i∈I es una familia de subconjuntos conexos de X con la propiedad que existe un ı́ndice S j ∈ I tal que para cada i ∈ I tenemos que Ci ∩ Cj 6= ∅, entonces C = i∈I Ci es conexo. 244 Conexidad . ........ .. .. .. ..... ... .. .... ... ..... .. ..................... .. ....... .. ...... .. ...... .... .... ... ..... ..... ... . ... ... .... .. ..... . . ... . . . . . . . . ... . . ... .... ... ... .... .... ... .... ... .... .. ..... .... . . . ... .. . .... ... ... ... ... ..... ..... .... . . .. .. ...... ..... ...... ................. .......... ........ ... .............. ............................................ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ......... . . ......... ...... ......... .. .. ....... ....... ... ..... ..... ............. ........................................................... .. ........................................................................ ... ........ ....... ........ . . . . ..... .. . .. .. ..... ..... ... .. .... ..... ..... .... ... ... .. .... .... .... .... ... .. ... ..... .... .... .... .... ... . . . . . . . . . .... .. ... . .. . ... . . . . . ... . ..... ... ... ... . .. . . . . . . . ... ...... .... . .. . ..... ............ . . . ....... ... ... . . ....... . .... . .. ... ... ... .... ... .. ......... .................... .... ... ... .. ... .. .... . ................... O Demostración. Si A, B es una separación de C entonces para cada Ci tenemos que Ci ⊆ A ó Ci ⊆ B. Si suponemos que Cj ⊆ A entonces, para ningún ı́ndice i, Ci está contenido en B puesto que Cj no es disyunto de algún Ci . Ası́, todos los Ci estarı́an en A obligando a que B sea el conjunto vacı́o, lo cual contradice que A, B es una separación. IA N Veamos que en el teorema 13.10 no es relevante la cardinalidad en el número de factores. Q Teorema 13.13 (La conexidad es productiva). Sea X = i∈I Xi un espacio producto con la topologı́a producto. Si cada espacio coordenado Xi es conexo entonces X es conexo. .R UB Demostración. Sea a = (ai )i∈I un elemento arbitrario pero fijo de X. Sea Ca la unión de todos los conjuntos conexos en X que contienen al punto a —Ca es la componente conexa de a—. Como el conjunto unitario {a} es conexo, por la proposición anterior tenemos que Ca es conexo. Ahora veamos que Ca es un subconjunto denso en X, lo cual muestra que X es conexo por ser la adherencia de un conexo. Para cada J, J ⊆ I y finito, el subespacio Y Y AJ = Xi × {ai } i∈J i∈J / es conexo ya que es homeomorfo a i∈J Xi —un producto finito— y además contiene al punto a. Por tanto, AJ está contenido en Ca para cada J finito. Dado un abierto básico U cualquiera Y U = Ui1 × · · · × Uin × Xi , en este caso J = {i1 , · · · , in } G Q i6=ik AJ corta a U , i. e., Ca corta a U , con lo cual Ca es denso. Ejercicios 13.1 1. En R2u es: ¿Q × Q conexo? ¿(R × Q) ∪ (Q × R)? (No, sı́.) 245 13.1 La conexidad como invariante topológico 2. Si {Aa }, (a ∈ L) es una colección de subespacios conexos de un espacio XS y para cada par a, b ∈ L tenemos que Aa ∩ Ab 6= ∅ entonces a∈L Aa es conexo. 3. Dé un argumento envolviendo la conexidad para mostrar que (0, 1) y S 1 no son homeomorfos. O 4. Pruebe el teorema del cálculo conocido como teorema del valor intermedio para funciones utilizando argumentos de esta sección. IA N 5. Muestre que Rn − {0} es conexo para n > 1. 6. Muestre que la esfera S n ⊆ Rn+1 es conexa para n ≥ 1. 7. Muestre que el espacio de Sorgenfrey (R, J+ ) no es conexo. .R UB 8. Muestre que un espacio (X, T) es conexo si y solo si para todo A ⊆ X, A 6= ∅ se tiene que F r(A) 6= ∅. 9. Dados un espacio (X, T) y A, B ⊆ X con A un subespacio conexo, muestre que si A ∩ B 6= ∅ = 6 A ∩ B c entonces A ∩ F r(B) 6= ∅. Esta propiedad se conoce con el nombre de teorema del paso de aduana. G 10. Revise el corolario 13.9 y de topologı́as para R de tal manera que exista una función f continua y su grafo no sea un solo trazo. 11. Sea (X, T) conexo y R una relación de equivalencia en X. Muestre que el espacio identificación X/R es conexo. 12. Muestre que si n > 1 entonces Rn no es homeomorfo a R. 13. Toda topologı́a por debajo de una conexa es conexa. Si (X, T) es conexo y H ≤ T entonces (X, H) es conexo. 14. Los espacios finitos (no unitarios) conexos y T1 no existen. Muestre que si (X, T) es conexo y T1 entonces X es infinito o unitario. 246 Conexidad 13.2. Subespacios conexos maximales Un espacio no conexo obviamente puede tener subespacios conexos, y entre estos vamos a analizar aquellos que son maximales con respecto a la relación de inclusión, lo cual nos brinda una manera natural de definir una partición del espacio, haciendo uso del concepto de conexidad. En otras palabras, vamos a definir una relación de equivalencia. IA N O Definición 13.14. Sean (X, T) un espacio y A un subespacio de X. Decimos que A es una componente conexa de X o un conexo maximal en X si A es conexo y no es subconjunto propio de algún otro subespacio conexo de X. .R UB Como la adherencia de un conexo es de nuevo conexa (teorema 13.6) las componentes son subconjuntos cerrados del espacio, y cada punto x ∈ X pertenece a una única componente: exactamente a la unión de todos los subespacios conexos que contienen el punto x. Ası́, el conjunto de las componentes conexas de un espacio X determina una partición de X. Si las componentes son únicamente conjuntos unitarios tenemos la siguiente definición. Definición 13.15. Un espacio (X, T) se llama desconectado totalmente si las componentes conexas son los conjuntos unitarios {x}. EJEMPLO 13.5 G Cada espacio discreto es desconectado totalmente; pero existen espacios desconectados totalmente que no son discretos, por ejemplo X= {0} ∪ {1/n | n ∈ N}, o X = Q (como subespacios de (R, usual)). Por supuesto todo espacio desconectado totalmente es T1 . Más aún, cualquier subespacio contable de un espacio métrico es totalmente desconectado, y algunos no contables, como los irracionales I ⊆ Ru . Ejercicios 13.2 1. Muestre que (R, [a, b)) es totalmente desconectado. 247 13.3 El conjunto C de Cantor 2. Muestre que las componentes conexas en un espacio X son conjuntos disyuntos no vacı́os cuya reunión es X. 3. Sea (X, T) un espacio. La relación x ≡ y si y solo si x, y pertenecen a la misma componente conexa es una relación de equivalencia. O 4. Sea (X, T) un espacio. Muestre que si X tiene finitas componentes conexas entonces, para cada x, la componente conexa que contiene a x es un aberrado. 5. Muestre que un espacio es conexo si y solo si posee una única componente conexa. IA N 6. Sea (Xi , Ti ), (i ∈ I) una familia de espacios topológicos. Dado un punto x = (xi ) en el espacio producto de esta familia, muestre que la componente conexa del punto x es igual al producto de las componentes conexas de cada xi . .R UB 7. Muestre que el número de componentes es un invariante topológico. 8. Muestre que si A ⊆ (X, T) es un subespacio conexo y además aberrado entonces A es una componente conexa de X. 9. Si (X, T) es un espacio con la propiedad que: dado cualquier par de elementos x, y ∈ X existe un subespacio conexo de X que los contiene entonces X es conexo. G 13.3. El conjunto C de Cantor El siguiente espacio totalmente desconectado es uno de los espacios más patológicos e interesantes que ha acompañado a la topologı́a desde sus inicios. Fue introducido independientemente por G. Cantor1 y por H. J. Smith en 1875; Cantor lo construyó para resolver de manera afirmativa un problema que se habı́a planteado en el marco de la naciente 1 Georg Cantor (San Petersburgo, 1845-Halle, 1918), matemático alemán, inventor con Dedekind y Frege de la teorı́a de conjuntos, que es la base de las matemáticas modernas. Gracias a sus atrevidas investigaciones sobre los conjuntos infinitos fue el primero capaz de formalizar la noción de infinito bajo la forma de los números transfinitos (cardinales y ordinales). Murió en una clı́nica psiquiátrica de monjas, aquejado de una enfermedad manı́aco-depresiva (la cual se le atribuye a su edad). 248 Conexidad ∞ X αn 3−n , i=1 IA N x= O topologı́a, a saber, si existı́a o no un subconjunto compacto no vacı́o de R que fuera totalmente desconectado y denso en sı́ mismo. Posteriormente se demostró que todos los conjuntos con estas caracterı́sticas son topológicamente equivalentes —homeomomorfos—. Hoy se conoce como el conjunto C de Cantor. C es un subconjunto no contable del intervalo [0, 1]; exactamente consiste de todos los números reales x que pueden ser representados de la forma .R UB donde αn ∈ {0, 2} para cada n ∈ N. Aunque hablamos del conjunto de Cantor, él lleva intrı́nsecamente la topologı́a de subespacio de (R, usual). La definición anterior hace que algunas veces se le llame conjunto triádico o ternario de Cantor. En otras palabras, C es el conjunto de todos los números x ∈ [0, 1] cuya expansión x = 0.x1 x2 . . . xn . . . en la base 3 no utiliza el dı́gito 1, esto es xi 6= 1 para todo i con lo que xi ∈ {0, 2}. Debido a esta descripción un punto x ∈ C es en la práctica un elemento x ∈ {0, 2}N , x : N −→ {0, 2} lo cual nos hace pensar en un producto cartesiano. Geométricamente puede describirse formando los siguientes subconjuntos An cerrados en [0, 1]: G A0 =[0, 1] A1 =[0, 1/3] ∪ [2/3, 1] A2 =[0, 1/9] ∪ [2/9, 1/3] ∪ [2/3, 7/9] ∪ [8/9, 1] A3 =[0, 1/27] ∪ [2/27, 1/9] ∪ [2/9, 7/27] ∪ [8/27, 1/3] ∪ [2/3, 19/27]∪ [20/27, 7/9] ∪ [8/9, 25/27] ∪ [26/27, 1] ... etc.; en general Ai+1 se obtiene de Ai removiendo la tercera parte en el medio de cada una de las componentes de Ai , con lo que \ C= Ai . i∈N 249 13.3 El conjunto C de Cantor Nótese que cada punto en los extremos de las componentes de los Ai pertenece a C. 1 9 2 9 1 3 2 3 7 9 8 9 1 IA N 0 O A0 ............................................................................ .......................... A1 .......................... ......... ......... A2 ......... ......... . . . . . . . . . . . . . . . . ... .... .... .... A3 ... ... Figura 13.4: Conjunto de Cantor. Tenemos ası́ dos definiciones para C, una en términos de sucesiones y otra de manera constructiva. .R UB No es difı́cil ver la relación entre estas dos definiciones si notamos que al construir A1 , cuando retiramos el intervalo (1/3, 2/3) lo que hacemos precisamente es eliminar todos los números reales en [0, 1] que requieren x1 = 1 en su desarrollo en base tres, i. e., los números que empiezan por 0,1 (menos el 1/3 que también se puede escribir 0, 02222222222 . . . en base tres). G Como segundo paso, en A2 retiramos los intervalos intermedios de [0, 1/3] y [2/3, 1] —los números reales en [0, 1] que requieren x2 = 1 en su desarrollo triádico— eliminando ası́ el intervalo (1/3, 2/3) que corresponde a los números que empiezan por 0,1 (menos el 1/3 que también se puede escribir 0, 02222... en base tres) y el intervalo (1/9, 2/9) que corresponde a los números que empiezan por 0,01 y ası́ sucesivamente. Por ejemplo 14 = ,020202 . . ., 32 = ,2000 . . ., 1 = ,222 . . . Las dos presentaciones anteriores motivan la siguiente proposición. Proposición 13.16. El conjunto C de Cantor es homeomorfo al espacio Q producto X = i∈N Xi , donde Xi = ({0, 2}, discreta) para cada i. Este espacio se llama discontinuo de Cantor. Demostración. Sea x ∈ X, con x = (x1 , x2 , . . .) donde xn ∈ {0, 2}. 250 Conexidad Definimos f: Y Xi −→ C como f (x) := ∞ X xn 3−n i=1 i∈N con lo cual f es una función biyectiva. Para verificar la continuidad de f tomemos un x ∈ X y por cada n ∈ N consideremos Vx (n) := {q ∈ X : qi = xi para i ≤ n} IA N O —los que coinciden con x en las primeras n-componentes—. Dado > 0, existe N ∈ N tal que la serie n ∞ X 2 < 3 n=N +1 y por tanto si q ∈ Vx (N ) entonces | f (x) − f (q) |= n ∞ ∞ X X x i − qi 2 ≤ < n 3 3 n=N +1 .R UB n=N +1 esto es, f es continua. Como X es compacto y C es de Hausdorff, entonces f −1 también es continua. Por construcción C es cerrado y es compacto, pues es la intersección de subconjuntos cerrados del espacio compacto [0, 1]. Luego es un espacio métrico completo y por tanto satisface todos los axiomas Ti de separación. G Si µ es la función de medida —longitud— en R, entonces C tiene “medida” 0 pues la medida de su complemento con respecto a [0, 1] es la medida de la unión de las terceras partes medias, esto es c µ(C ) = 1/3 + 2/9 + 4/27 + 8/81 + · · · = ∞ X 2i−1 i=1 3i ∞ 1 X 2i = = 1. 2 3i i=1 Pero como [0, 1] tiene también medida 1, entonces C tiene medida cero. Ası́ que “el todo no es mayor que cada una de sus partes”. C no tiene puntos aislados, es decir C ⊆ C a , todo punto es de acumulación de C mismo. Dado x ∈ C, x es un punto de acumulación de C − {x} pues dado p ∈ C cualquier abierto Up ⊆ C contiene puntos de C distintos de p; por tanto, C es denso en sı́ mismo —X es denso en Y si Y ⊂ X—. 251 13.3 El conjunto C de Cantor Pero de otra parte C es denso en ninguna parte con respecto a [0, 1] pues dados x, y ∈ C con x < y, existe un intervalo J = (a, b) ⊆ C c tal que x < a < b < y —mire la expansión binaria de los puntos x, y—, esto es, (C)◦ = C ◦ = ∅. C es también totalmente desconectado —dados x, y ∈ X existe una separación A, B de X tal que x ∈ A, y ∈ B— pues las componentes conexas de cada punto se reducen al propio punto. i=1 ∞ X IA N f (x) = ∞ X 1 O [0, 1] es una imagen continua de C. La función f : C −→ [0, 1] definida por 2 −n xn 2 para x = xn 3−n i=1 es continua y sobreyectiva. Esto muestra que C no es contable. .R UB En general cualquier espacio métrico que sea compacto, totalmente desconectado, denso en sı́ mismo —todo punto sea de acumulación—, es homeomorfo al conjunto de Cantor. Ası́ que las anteriores propiedades topológicas son una carta de presentación para C, excepto por la forma disfrazada con que se presente el espacio homeomorfo. Pero en topologı́a el color no nos concierne. G C es homeomorfo a C × C. Considere a f : C → C × C definida como f ((a1 , a2 , a3 , ...), (b1 , b2 , b3 , ...)) := (a1 , b1 , a2 , b2 , a3 , b3 , ...). Figura 13.5: Variación fractal en el conjunto de Cantor. 252 Conexidad Como un último comentario, si al lector le incomoda la base 3, defina el conjunto de Cantor como los puntos de [0, 1] que tienen en su expansión decimal tan sólo 0 o 9. ¿Cómo será su representación gráfica? ¡Inténtelo! O En una frase final, C tiene una infinidad no enumerable de puntos pero ningún intervalo cabe en él, es denso en sı́ mismo pero también denso en ninguna parte y contiene muchos más puntos que los extremos de los intervalos en el proceso de construcción. IA N 13.4. Conexidad local Casi de igual manera a como fue ‘localizado’ el concepto de compacidad podemos localizar la conexidad en un punto. .R UB Definición 13.17. Un espacio (X, T) es localmente conexo en el punto x ∈ X si dada cualquier vecindad Ux existe una vecindad abierta y conexa Vx tal que x ∈ Vx ⊆ Ux . Si X es localmente conexo en cada punto decimos que es localmente conexo —cada punto posee un sistema fundamental de vecindades conexas—. EJEMPLO 13.6 G El siguiente espacio no es conexo localmente. Por cada entero positivo n definamos el segmento de recta An ⊆ R2 como An = {(x, n1 ) : 0 ≤ x ≤ 1} y A0 = {(x, 0) : 0 ≤ x ≤ 1}. Sea X = A0 ∪ (∪n=1 An ). Las componentes conexas de X son A0 , A1 , A2 , . . . Sabemos que A0 es cerrada, pero claramente no es abierta en X. Esto nos produce un ejemplo de un espacio cuyas componentes no necesitan ser abiertas. ...................................................................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................................................................... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... . ...................................................................................................................................................................................................................... El siguiente teorema muestra que para los espacios localmente conexos no se tiene la consecuencia del ejemplo 13.6. ¿Podrá ser esta una justificación para haberlos definido? Teorema 13.18 (Caracterización). Un espacio (X, T) es localmente conexo si y solo si las componentes de cada subespacio abierto de X son abiertas. K 253 13.4 Conexidad local Demostración. Supongamos que X es localmente conexo y que C es una componente de un subconjunto U abierto. Dado c ∈ C existe una Vc conexa y abierta —según X— tal que Vc ⊆ U ; ası́ Vc ⊆ C, pues C es maximal y por tanto C es abierta. En el otro sentido, dados x ∈ X y Ux vecindad abierta de x, la componente conexa Vx de Ux que contiene a x es abierta y x ∈ Vx ⊆ Ux . Luego X es localmente conexo. O Corolario 13.19. Cualquier componente en un espacio localmente conexo es abierta y cerrada —aberrada—. EJEMPLO 13.7 IA N Demostración. Considere a X como un subconjunto abierto de sı́. .R UB La curva seno del topólogo. Es definida como la unión A∪B en R2 del grafo A de la función sen x1 , (0 < x ≤ π1 ) con el segmento B de recta en el eje Y dado por los puntos {(0, y) | −1 < y < 1} y un arco de circunferencia que une los extremos de la curva y la recta (ver figura 8.4). Este espacio es conexo pero no localmente conexo en cada uno de los puntos del segmento {(0, y) | −1 < y < 1}. Note que A = A ∪ B. . . . ...... .... .. .... .... .... ....... .. ... ... .. ... ...... .... ..... ... ... .. .. .. .... .... .. .. ... .... ... ... ... .. .... ...... ........ .... ... . ... ... .. ... ....... ...... ... ... .. ... .. ... ... ... ... ....... ........ .... ... .. ... ... . ... ....... ...... ... ... .. . ... . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . ... ... .. ... ... ... .... .... ... ... .. . ... .. ... .. .... ... .... .... .... .. ... ... . .. .... ... .... ... ... ... ... .. ... ... . . . . ... ... .. .. .... ....... ....... .. ... . ... . ... ... ..... ....... ....... ... .... ... . . ... ... .. ....... ........ ....... .... ... ... ... .. ...... ...... ...... .. .... ... ... ...... ....... ...... .... ... ... ... ... ...... ........ ...... ... ... ... . ... .. .. .... ... .... ... .... ... . . . . . .. .. .. .. ... ... ... . . . . . . ... .... .. .. .. ... .. .. .. ... .. .. ... ... .. ... ... . ... . ... ... ... ... ... .. .... ... ... .... . . . . ..... ..... ...... ...... ....... ....... ......... ......................................... G La imagen por una función continua de un espacio localmente conexo no es en general localmente conexa; de lo contrario, todo espacio (X, T) serı́a localmente conexo, puesto que es imagen del espacio (X, discreta) por medio de la función idéntica. El siguiente teorema nos da las condiciones necesarias (en particular muestra que la conexidad local es un invariante topológico). Teorema 13.20. Sean (X, T), (Y, H) espacios con X localmente conexo y f : (X, T) −→ (Y, H) una función continua, cerrada (abierta) y sobre. Entonces Y es localmente conexo. Demostración. Sea U ∈ H y sea C una componente conexa de U . Por el teorema 13.18 debemos ver que C es abierta. Por cada x ∈ f −1 (C) sea Cx la componente conexa de x en f −1 (U ). Sabemos que Cx es abierta 254 Conexidad y como f (x) ∈ C el conjunto conexo f (Cx ) debe estar contenido en C. Ası́, [ f −1 (C) = {Cx : x ∈ f −1 (C)} con lo que f −1 (C) es abierto. Como f es cerrada y sobre f (f −1 (C)c ) = C c , con lo cual C c es cerrado ya que f −1 (C)c es un cerrado; esto demuestra que C es abierta. O Es un ejercicio demostrar el teorema con la hipótesis de f abierta a cambio de cerrada. IA N EJEMPLO 13.8 Sean X = {0, 1, 2, . . .}, Y = {0, 1, 1/2, 1/3, . . .} con la topologı́a de subespacios de (R, usual). La función f : X −→ Y definida por f (0) = 0, f (n) = 1/n es una biyección continua; pero X es localmente conexo mientras que Y no lo es, pues en el punto 0 se acumula el espacio, impidiendo ası́ tener vecindades conexas. .R UB Teorema 13.21. El producto finito de espacios localmente conexos es localmente conexo. G Demostración. Sean X1 , . . . , Xn espacios localmente conexos y X = Q Xi , (i = 1, . . . , n) el espacio producto. Sean x = (x1 , . . . , xn ) ∈ X y U un abierto en X tal que x ∈ U . Existe un abierto básico U1 ×. . .×Un ⊆ U conteniendo a x, y como cada Xi es localmente conexo, tomemos por cada i un Vi abierto y conexo tal que xi ∈ Vi ⊆ Ui . Entonces V = V1 × . . . × Vn es un abierto y conexo contenido en U y que tiene a x. Ejercicios 13.4 1. Muestre el teorema 13.20 suponiendo que f es abierta a cambio de cerrada. 2. ¿Es necesaria en el teorema 13.21 la condición sobre el cardinal para el número de factores? 3. Sean X = {a, b, c, d}, T = {∅, {a}, {a, b}, {a, b, c}, X}. ¿Es (X, T) un espacio conexo? ¿Localmente conexo? 4. Muestre que todo espacio finito es localmente conexo. 255 13.5 Conexidad por caminos 5. Muestre que ser localmente conexo no es una propiedad hereditaria. 6. Muestre que todo subespacio abierto de un espacio localmente conexo es localmente conexo. IA N 13.5. Conexidad por caminos O 7. Muestre que si un espacio tiene un número finito de componentes entonces cada componente es aberrada. La primera noción de ‘conexidad’ fue dada por K. Weierstrass2 , la cual en el contexto de R2 intuitivamente significa lo siguiente: un subconjunto M ⊆ R2 es conexo si dos puntos cualesquiera de M pueden ser conectados por un camino que no se sale de M . .R UB EJEMPLO 13.9 G La figura (un disco con una circunferencia exterior) es no conexa según este criterio ya que todo ‘camino’ que vaya de la circunferencia al disco, tiene que pasar por ‘fuera’ de las dos regiones —la región comprendida entre ellas—. Claro que en este ejemplo el criterio de conexidad de Wierstrass y el que vimos en la sección anterior coinciden, pero no siempre es el caso. Definición 13.22. Un camino en un espacio X es una función continua f : [0, 1] −→ X. Si f (0) = a, f (1) = b, decimos que el camino tiene punto inicial en a y punto final en b. f conecta a con b. El concepto de camino es mucho más sutil de lo que aparenta. En la mayorı́a de los casos al camino lo identificamos con f ([0, 1]) y es en esta situación cuando nos sorprende lo que pueda llegar a ser un camino. Jordan en 1877 y Peano en 1890 anunciaban la existencia de curvas capaces de llenar un cuadrado. ¿Se trataba de ‘monstruos’ desprovistos de utilidad? En un comienzo se creyó ası́, pero poco a poco se apropiaron, con justa razón y valor, de su propio derecho a existir y hoy en dı́a 256 Conexidad los podrı́amos ubicar como pioneros de la teorı́a de los “fractales” de Mandelbrot. Cerremos este comentario evocando las palabras de Cantor a Dedekind, 20 junio de 1877: (ver figura 10.2 de la página 161) IA N O “ ... lo veo pero no puedo creerlo... se trata de mostrar que las superficies, los volúmenes e incluso las variedades continuas de n dimensiones pueden ponerse en correspondencia unı́voca con curvas continuas, o sea con variedades de una sola dimensión, y que por consiguiente las superficies, los volúmenes y las variedades de n dimensiones tienen también la misma potencia que las curvas...”. .R UB Definición 13.23. Un espacio (X, T) es conexo por caminos si dados x, y ∈ X, existe un camino f con punto inicial en x y punto final en y. Cada par de puntos en X puede ser unido por un camino. EJEMPLO 13.10 1. Para cada n ∈ N, Rnu es conexo por caminos. 2. Para cada n ∈ N, la esfera S n es conexa por caminos. G 3. S = {0, 1} con la topologı́a de Sierpinski es conexo por caminos. f : [0, 1] −→ S definida por f (t) = 0 si t ∈ [0, 1) y f (1) = 1 es continua. El concepto de conexidad por caminos es más fuerte que el de conexidad. Teorema 13.24. Si (X, T) es conexo por caminos entonces es conexo. Demostración. Sea a ∈ X. Para cada x ∈ X existe un camino αx : [0, 1] −→ X que conecta a con x. αx ([0, 1]) ⊆ X es conexo para cada x ∈ X; además, αx (0) = a = ∩x αx ([0, 1]) y por el lema 13.12 esto implica que X = ∪x αx ([0, 1]) es conexo. 257 13.5 Conexidad por caminos EJEMPLO 13.11 X = [0, 1] × [0, 1] con el orden lexicográfico es conexo pero no conexo por caminos. IA N O Si existe α : [0; 1] −→ X con α(0) = (0, 0), α(1) = (1, 1), α tiene que pasar por todos los valores intermedios, esto es Im(α) = X. Entonces para cada intervalo vertical Ux en X, Ux = ((x, 0), (x, 1)), α−1 (Ux ) es un abierto no vacı́o y podemos encontrar un intervalo abierto Ix ⊆ [0, 1] tal que α(Ix ) ⊆ Ux . Como los Ix son disjuntos, tenemos que [0, 1] contiene a una unión no numerable de intervalos disjuntos y esto es imposible. Producto de caminos En el conjunto C([0, 1], X) de los caminos sobre X —subconjunto de X I — introducimos una operación interna . G .R UB Definición 13.25 (multiplicación de caminos). Dados un espacio X, y dos caminos f, g con f (1) = g(0), definimos un nuevo camino f g: ( f (2t) si 0 ≤ t ≤ 1/2 f g(t) := (13.1) g(2t − 1) si 1/2 ≤ t ≤ 1. ........... .......... ......... ......... ........ . . . . . . . . . ........ .... ........ ....... ....... ... ......................... . . ...... ... . ...... . . . . . .... . ... . . . ................................................... . . . ............ ..... .... ... ......... ..... . ....... . . ....... . . ...... .... .... .. ...... . ..... . . . . . . . . . ... .. .............. ... . . . ......... ... . ... ....... . ... ... . ... .. . . . ... ... . ... .. ... ..... ... .. .... .. .. .. ... .. .. ... ... . ..... . ... ... .. ... .. ................................................................. . . . . . . . . . . . ... .. . . . ........................ ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . ........................ .... ........................ ... .... ....... ....... .. ............................................................................................................................................................................................................................................................................ ....... ............. ....... ......................... . . . . . ....... . . . . . . . ........ . .... ...... .. .............. .. ..... ... ... ............. .... .... ... .. ............. ... ..... .............. .. ...... ... ............. . . ....... . . . . . . . . . . . .... . ..... ................... ......................................................................................................................................................................................................................................................... g f • 0• •1 ............................................•....... ... ... ... ... ... ... ... ..•1. • 0 1 2 Figura 13.6: En f g los caminos f, g se recorren a doble velocidad. 258 Conexidad Básicamente, f g consiste en poner un camino a continuación del otro, pero para no gastar más tiempo en el recorrido (el tiempo es [0, 1]) cada uno de los caminos se recorre ahora a doble velocidad como en la ecuación 13.1 (f (2t) y g(2t − 1)). O f g es una función continua, puesto que f (2t) y g(2t − 1) están definidas sobre los conjuntos cerrados [0, 1/2], [1/2, 1] y el conjunto donde coinciden es {1/2}, que es la intersección de los dos intervalos cerrados (para t = 1/2 tenemos f (2 · 21 ) = f (1) = g(0) = g(2 · 21 − 1)). La demostración se basa en el siguiente hecho bien conocido de extender la continuidad. .R UB IA N Teorema 13.26 (Teorema del pegamiento de funciones). Si A, B son subconjuntos cerrados del espacio X y existen funciones continuas f : A → Y , g : B → Y sobre un espacio Y tales que f y g coinciden sobre la intersección A ∩ B, entonces podemos extender la continuidad a una función H : A ∪ B → Y definida de manera natural como h(x) = f (x) si x ∈ A o h(x) = g(x) si x ∈ B. Si f es un camino desde a hasta b en X, entonces existe el camino inverso fr (el reverso de f ) desde b hasta a dado por fr (t) = f (1 − t); nótese que fr tiene el mismo “lugar” de f , pero su dirección es la contraria. fr f es entonces un camino cerrado —el punto inicial coincide con el punto final—. Por comodidad también notaremos fr = f r . EJEMPLO 13.12 G Un espacio que es conexo, pero no conexo por caminos es la curva seno del topólogo (pág. 253) puesto que no existe un camino que una al punto ( π1 , 0) con (0, 0). Si existe un camino α : [0, 1] −→ X con α(0) = ( π1 , 0) y α(1) = (0, 0), al ser α([0, 1]) conexo tenemos α([0, 1]) = X —¿por qué?—. Seleccionamos en [0, 1] una sucesión de puntos x1 < x2 < . . . con xn → 0 y además α(xn ) teniendo como segunda componente a 1 ó −1 según que n sea par o impar. Por tanto α(xn ) no converge y α no serı́a continua. Este ejemplo muestra que, contrario a la conexidad, la conexidad por caminos no pasa a la adherencia. 259 13.5 Conexidad por caminos Para obtener una condición, la cual garantice que los espacios conexos también sean conexos por caminos, debemos hacer local nuestra definición. Definición 13.27. Un espacio (X, T) es localmente conexo por caminos si dados x ∈ X y un abierto Ux existe un abierto V conexo por caminos —V considerado como subespacio— tal que x ∈ V ⊆ Ux . O Teorema 13.28. Si (X, T) es un espacio conexo y localmente conexo por caminos entonces X es conexo por caminos. IA N Demostración. Sea x ∈ X y considere el conjunto A = {z ∈ X | existe un camino de x a z}. .R UB A es no vacı́o y veamos que A es aberrado en X. Dado z ∈ A, por ser X localmente conexo por caminos existe Vz ⊆ X, Vz abierto y conexo por caminos; luego Vz está contenida en A y, ası́, A es abierto. Para ver que Ac es abierto tomemos z ∈ Ac y sea Wz una vecindad de z conexa por caminos. Si A ∩ Wz 6= ∅, existe un punto w en la intersección de tal manera que x se puede conectar por un camino con z, lo que contradice que z ∈ Ac . Ası́ Wz ⊆ Ac , es decir Ac es abierto. Como X es conexo A = X, esto es, cada punto en X se puede conectar por medio de un camino con x, lo que implica que X es conexo por caminos. Corolario 13.29. Los subconjuntos conexos y abiertos de Rnu son conexos por caminos. G Demostración. Cada bola abierta es una vecindad conexa, lo cual produce un sistema fundamental de vecindades conexas. Definición 13.30. Un espacio (X, T) compacto, conexo y Hausdorff es llamado un continuo. EJEMPLO 13.13 Cada subconjunto cerrado, acotado y conexo de Rn es un continuo. EJEMPLO 13.14 La unión de dos continuos que se interceptan es un continuo. 260 Conexidad Por la definición misma, ser continuo es un invariante topológico. Definición 13.31. Un espacio métrico (X, d) continuo y localmente conexo se llama un continuo de Peano. Definición 13.32. Un arco en un espacio (X, T) es una inmersión f : [0, 1] −→ X con I ≈ f (X) homeomorfos. G .R UB IA N O Esta definición, de sencillez aparente, esconde formas inimaginables; H. Mazurkiewicz demostró en 1913 que todo continuo de Peano es una imagen continua del arco I = [0, 1]. Por tanto, existe una función continua y sobreyectiva de I en el cubo n-dimensional o, aún más asombroso, de I sobre el cubo de Hilbert. El descubrimiento hecho por Peano en 1890 de que I podı́a ser enviado de manera continua sobre todo el cuadrado unidad creó (como ya dijimos pero insistimos en repetir) un estremecimiento en el mundo matemático de la época —en otros mundos nadie dijo nada—. Aunque no demostraremos este hecho, a cambio damos un ejemplo universal, motivo de la portada de este texto. Figura 13.7: La curva universal o esponja de Menger. 261 13.5 Conexidad por caminos EJEMPLO 13.15 La curva universal o esponja de Menger. Este es un continuo de Peano de dimensión uno con la propiedad que cada continuo 1-dimensional puede ser inmerso en ella. La construcción se basa en el procedimiento de Cantor o en las llamadas carpetas de Sierpinski. G .R UB IA N O Comenzamos con el cubo unidad, dividimos cada una de sus caras en nueve cuadrados iguales; hacemos un agujero a través del interior de los cuadrados centrales y extraemos hacia el interior del cubo (ver figura 13.7). Esta extracción nos produce a M1 formado por 20 nuevos cubos. En cada uno de ellos, procedemos como en el paso anterior y obtenemos a M2 formando 400 nuevos cubos, etc. En la sexta iteración M6 tenemos 64.000.000 cubos. La esponja es quien está T al final del proceso, i. e., es el objeto lı́mite dado por la intersección n Mn . Figura 13.8: Dentro de M . Ejercicios 13.5 262 Conexidad 1. Muestre que la conexidad por caminos es preservada por las funciones continuas. 2. Dé un ejemplo en R2 que muestre la necesidad de ser abierto en las hipótesis del corolario anterior. O 3. Muestre que el producto finito de espacios es conexo por caminos si y solo si cada factor lo es. ¿Es necesario que el producto sea finito? G .R UB IA N 4. En oposición al concepto de conexidad, dé un ejemplo de un A ⊆ R2 que sea conexo por caminos pero su adherencia no lo sea. Figura 13.9: Relaciones entre espacios. topologı́a orden continuo lineal conexo buen-orden topologı́a desconectado totalmente conexo localmente regular+ 2-countable conexo por caminos normal completamente normal metrizable compacto loc. T1 Hausdorff O regular completamente regular Hausdorff compacto loc. IA N compacto+Hausdorff Lindelöf lema de la sucesión +metrizable +metrizable compacto 1-contable 2-contable +metrizable w-compacto +1-contable+T1 compacto por sucesiones .R UB +metrizable separable G 2 13.5 Conexidad por caminos 263 Bibliografı́a O [1] Armstrong, M. A., Basic Topology, UTM Series, SpringerVerlag, Berlin Heidelberg New York, 1997. IA N [2] Crossley, M. D., Essential Topology, Series: Springer Undergraduate Mathematics Series, SpringerVerlag, Berlin Heidelberg New York, 2005. Uno de los tı́tulos más recientes como texto introductorio. [3] Christenson, C., Voxman W., Aspects of Topology Series: Pure and applied Mathematics, M. Dekker, New York, 1977. .R UB Un texto con material para dos semestres con una colección excelente de ejercicios. Se puede leer una y otra vez... Una primera parte en topologı́a de conjuntos y una segunda en topologı́a algebraica con un tratamiento especial en teorı́a simplicial y sistemas inversos. [4] Dugundji, J., Topology, Allyn and Bacon, Boston, 1966. “... Dugundji’s book is short, modern, and impeccable. It covers every topic an undergraduate should know and even more. It is still useful for me after years of use. It exposes all important concepts of set topology and gives a short but focused introduction to algebraic topology...”. G [5] Gamelin, T. W., Greene, R. E., Introduction to Topology, second edition, Dover Publ., Inc., Mineola, NY, 1999. [6] Garcı́a Marrero, M., Topologı́a, Alhambra, Madrid, 5 vols. 1975. Un esfuerzo enciclopédico que consta de cinco volúmenes. [7] Jänich, K., Topology. Springer, 1984. ¡Este hermoso libro debe ser leı́do ya! Contenido: Introduction - Fundamental Concepts - Topological Vector Spaces - The Quotient Topology - Completion of Metric Spaces - Homotopy - The Two Countability Axioms - CWComplexes - Construction of Continuous Functions on Topological Spaces Covering Spaces - The Theorem of Tychonoff - Set Theory (by T. Br—cker) - References - Table of Symbols -Index. 264 265 BIBLIOGRAFÍA [8] Hrbacek, K., Jech, T., Introduction to set theory, Monographs and Textbooks in Pure and Applied Series, vol. 220, Marcel Dekker, New York, NY, 1999. Este es uno de los pocos libros sólidos en la moderna teorı́a de conjuntos. Curiosamente su primer intento de publicación, por parte de sus autores checos, fue fallido. O [9] Komjáth, P., Totik, V., Ultrafilters, American Mathematical Monthly, 115 (2008), 33-44. Una excelente introducción lúdica al concepto de ultrafiltro. [10] Lefschetz, S., Topology, AMS Coll. Publ. 12, Providence, RI, 1930. [11] IA N Como dice el autor, “se trata de un libro-texto de carácter introductorio, sin pretensiones de ser una obra de referencia”. http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/ MacTutor History of Mathematics Archive, donde han sido consultadas varias referencias históricas. .R UB [12] Munkres, James R., Topology: a first course, second edition, Prentice Hall, Inc., Englewood Cliffs, NJ, 1999. 514 M966top 21. Deberı́a ser el texto guı́a en muchos cursos. Como material introductorio a la topologı́a general es mi favorito. [13] Steen, L. A., Seebach, J. A., Counterexamples in Topology, Dover Publ. Inc., Mineola, NY, 1995. Una referencia obligada. [14] Vassiliev, V. A., Introduction to Topology (Student Mathematical Library, V. 14), A. Sossinski (translator), American Mathematical Society, Providence, RI, 2001. G [15] Viro, O. et alt., Elementary Topology, a first course, 2005. Puede y debe consultarse en: http://www.math.uu.se/~oleg/2topoman.pdf [16] Prasolov, V., Intuitive Topology, American Mathematical Society 1995. [17] http://es.wikipedia.org/ Donde han sido consultadas varias referencias históricas. Índice alfabético metrizable, 48 O .R UB aberrado, 239 acotado, 49 adherente al filtro, 165 arco, 260 Axioma de Riesz, 212 por caminos, 256 conjunto Gδ , 231 de Cantor, 248 cerrado, 134 continua, 64 continuo, 259 de Peano, 260 convergencia puntual, 206 trivial, 82 cubos, 220 cubrimiento abierto, 156 IA N T4 , 222 T3 1 , 220 2 GLn , 32 F-topologı́a, 123 PIF, 76 camino, 255 categorı́a, 71 cerrados, 3 cinta de Moebius, 103 compactado, 193 compacto, 157 por sucesiones, 175 completo topológicamente, 197 conexo, 239 localmente por caminos, 259 encaje de Cantor, 163 Espacio T3 , 217 Frechet, 212 Kolmogoroff, 211 Sierpinsky, 212 espacio T4 , 222 accesible, 212 completamente regular, 219 completo, 197 G base, 8 de filtro, 75 bola abierta, 46 botella de Klein, 110 descomposición canónica, 105 discontinuo de Cantor, 249 distancia uniforme, 43 distinguir puntos, 220 266 267 ÍNDICE ALFABÉTICO número de Lebesgue, 183 número ordinal, 185 Niemytzki, 81 O operador, 138 orden lexicográfico, 20 ordinal lı́mite, 187 ordinales, 185 ortogonal, 32 PIF, 16, 163 PPF, 100 producto cartesiano, 112 punto adherente, 134 aislado, 144 de acumulación, 142 exterior, 147 interior, 146 punto frontera, 147 .R UB filtro asociado, 85 de Frèchet, 76 generado, 75 principal, 76 fracciones diádicas, 228 frontera, 147 función cociente, 107 de Urysohn, 231 evaluación, 220 magro, 202 IA N de Baire, 202 de Hausdorff, 213 de identificación, 107 de Sorgenfrey, 226 identificación, 104 métrico, 29 normal, 221, 222 regular, 216 totalmente acotado, 181 Tychonoff, 220 ultramétrico, 35 exterior, 147 G grupo lineal general, 32 ortogonal, 32 Heine-Borel-Lebesgue, 156 hereditaria, 72 Hilbert cubo, 220 cubo de, 126 invariante topológico, 97 isometrı́a, 33 métrica, 28 de Hausdorff, 171 inducida, 130 retracto absoluto, 235 saturado, 103 seno del topólogo, 253 SFV, 19 subbase, 13 sucesión de Cauchy, 196, 197 Tablón de Tykonoff, 225 teorema de Tychonoff, 171 del paso de aduana, 245 topologı́a, 3 caja, 118 cociente, 102–104, 106 268 O .R UB ultrafiltro, 77 IA N coenumerables, 6 cofinitos, 6 de Arens-Fort, 22 de Sorgenfrey, 151 de subespacio, 22 discreta, 4 final, 132 grosera, 4 identificación, 104 inicial, 129 producto, 113, 116 punto excluido, 5 punto incluido, 4 topologı́a cociente, 102 toro, 24, 108 ÍNDICE ALFABÉTICO G Vecindad sistema fundamental, 217 vecindad, 17

topologia-texto

Related documents

Products

Support

topologia-texto

Related documents

Add this document to collection(s)

Add this document to saved

Suggest us how to improve StudyLib