М. М. Медынский
Полный курс элементарной
математики в задачах и упражнениях
Книга 5: Уравнения и системы уравнений.
Текстовые задачи
ISBN 978-5-00058-586-3
© Медынский М.М.
2017
Моему учителю
Сергею Сергеевичу Яровому
посвящается
От автора
«Полный курс элементарной математики в задачах и
упражнениях» состоит из одиннадцати книг.
1-я книга: Числа
2-я книга: Числовые последовательности и прогрессии
3-я книга: Тождественные преобразования выражений
4-я книга: Функции и начала анализа
5-я книга: Уравнения и системы уравнений.
Текстовые задачи
6-я книга: Неравенства
7-я книга: Тригонометрия
8-я книга: Задачи с параметрами
9-я книга: Комбинаторика и элементы теории вероятностей
10-я книга: Планиметрия
11-я книга: Стереометрия
которые охватывают все разделы программы по математике
для школ и классов с углубленным изучением математики.
Вместе с тем книги курса не являются учебниками по элементарной математике в классическом смысле.
Первое и главное отличие книг курса от учебников – это
систематическое изложение методов решения задач школьного
курса математики с разбором типовых (опорных) задач и анализом характерных ошибок, совершаемых при их решении. По
сути – это учебное пособие по методам решения задач для средней школы, написанное на основе многолетнего опыта преподавания математики в период с 1993 по 2007 г. в классе углубленного изучения математики в средней школе №879 г. Москвы и в
период с 2009 по 2012 г. в ННОУ «Интеграл».
3
Второе отличие состоит в следующем. В школьных учебниках, вследствие «постепенности» изучения материала в процессе взросления учащихся, изучаемый материал по многим разделам курса разбросан и рассматривается достаточно упрощенно.
И хотя в последующих классах уровень изучения материала повышается, не всегда удается вернуться и углубить ранее выученные темы. Не случайно, например, задачи 19 Единого государственного экзамена (ЕГЭ) по разделу «Арифметика» вызывают значительные трудности у выпускников школ. В предлагаемых книгах материал по каждому разделу школьного курса
математики собран в одном месте и представлен достаточно
полно, что позволит читателю увидеть его целиком.
Чем вызвана необходимость издания такого пособия? Каковы его цели?
Главная цель пособия - помочь тем, кто самостоятельно готовится к Единому Государственному Экзамену (ЕГЭ), конкурсным вступительным экзаменам и олимпиадам.
Решение любой математической задачи состоит из идейной
и технической части. Идейная часть решения заключается в поиске ответа на вопрос, как решать задачу. Техническая часть
представляет собой реализацию найденной идеи решения для
получения правильного ответа.
Понятно, что именно отыскание идеи решения задачи вызывает значительные трудности, так как носит ярко выраженный творческий характер. Вместе с тем не секрет, что не всякий
человек может в атмосфере экзамена, в условиях жесткого лимита времени и волнения, продемонстрировать все свои творческие способности. Поэтому лучше, если абитуриент, не рассчитывая на свои способности, все свои «экспромты» отработает
заранее. И чем выше «математическая культура» по методам
решения задач, тем больше шанс успешно справиться с барьером в виде ЕГЭ или конкурсного экзамена.
В чем отличие этого пособия от уже изданных пособий?
Главный недостаток всех существующих пособий по методам решения задач, по мнению автора, – неполнота изложения
материала. Любая попытка «впихнуть» весь курс элементарной
математики в одну книгу приводит к неизбежной «редакции»
4
его содержания и исключению многих важных «мелочей», от
которых зачастую зависит успех в решении задач.
Выход один: разбить весь курс на части по разделам и добиться наиболее полного изложения всех существующих методов и приемов решения задач.
Автор стремился сделать книги «Полного курса» полезными как начинающим самостоятельно изучать основы математики, так и учащимся, стремящемся выйти на уровень, необходимый для успешного участия в конкурсных экзаменах в ведущие
вузы страны и математических олимпиадах разного уровня.
В этой связи изучение всех книг «Полного курса» должно
создать у читателя прочный фундамент математической подготовки и существенно пополнить арсенал освоенных методов
решения задач, что, по мнению автора, позволит успешно справиться с Единым Государственным Экзаменом, конкурсными
экзаменами по математике в высшие учебные заведения и задачами различных олимпиад.
Предисловие
Настоящая книга является 5-й книгой «Уравнения и системы уравнений. Текстовые задачи» готовящегося к изданию
«Полного курса элементарной математики в задачах и упражнениях».
Книга содержит все разделы школьного курса математики
по уравнениям и системам уравнений и предназначена для тех,
кто уже прошел курс элементарной математики в объеме программы 11-летней школы. Отдельная глава посвящена методам
решения текстовых задач.
Очевидно, что изложение такого повторительного курса
должно быть несколько иным, чем в учебниках, написанных
для 11-летней школы. Поэтому в начальных главах книги допускаются ссылки на последующие.
Теоретический материал изложен достаточно подробно, с
целью обратить внимание учащихся на целый ряд «тонкостей»,
необходимых для решения задач. Однако доказательств некоторых теорем нет – их можно найти в учебниках. Те немногие доказательства теорем, которые приведены, даются как образцы
тех или иных важных рассуждений. В целом автор стремился
5
раскрывать содержание основных теоретических понятий и
теорем на систематически подобранных задачах и упражнениях.
В книге много исторических справок о людях, создававших
«царицу наук» - математику, происхождении основных понятий, терминов и символов. С одной стороны, это дань уважения
всем великим математикам, имеющим выдающиеся заслуги в
деле развития математических наук, с другой стороны, стремление «оживить» изложение теоретического материала.
Главная задача книги – научить правильно решать задачи
по разделу «Уравнения и системы уравнений». Поэтому основное внимание уделено изложению методов и идей решения различных уравнений и систем уравнений, показывая их применение на типовых (опорных) задачах различной сложности.
Отдельная глава посвящена изложению методов решения так
называемых текстовых задач, сводящихся к составлению уравнений или систем уравнений с дальнейшим их решением.
Конечная цель – научить понимать логику поиска идеи решения, научить в каждый момент решения задачи ясно сознавать, что сделано и что предстоит еще сделать. Иными словами,
научить правильно решать задачи.
В книге представлены подробные решения 383 задач и в
качестве упражнений для самостоятельного решения - 907 задач.
Абсолютное большинство задач, как разбираемых в примерах, так и предлагаемых для самостоятельного решения, – это
подлинные задачи вариантов ЕГЭ последних лет и вступительных экзаменов в ведущие университеты страны, таких как МГУ,
МФТИ, МИФИ, МГТУ им. Баумана, МАИ и др., а также задачи
математических олимпиад разного уровня – от окружных до
всероссийских, в которых участвовали мои ученики. Некоторые
из задач известны и опубликованы в разных изданиях, условия
других задач, как и многие полные решения, публикуются впервые.
Автор считает обязательным подчеркнуть, что не является
автором всех рассмотренных в книге задач. К сожалению, нет
никакой возможности перечислить здесь фамилии всех лиц,
принимавших участие в создании этих задач (часто эти фамилии просто неизвестны).
6
Каждый, кто хоть раз сталкивался с проблемой составления
творческих задач, не решающихся простым применением формальных правил и методов, хорошо знает, каких трудов стоит
создание всякой новой задачи, не повторяющей уже известные.
Почти все задачи, представленные в книге, – плод кропотливой
и длительной работы большого числа членов экзаменационных
комиссий вузов, сотрудников методических центров, учителей,
организаторов математических олимпиад и многих других, работающих в области среднего и высшего образования нашей
страны на протяжении многих и многих лет. Низкий им поклон
за эту незаметную, но очень важную работу.
Обращаясь к учащимся, хочется особенно подчеркнуть, что
чтение книги не должно быть пассивным, с ней надо тщательно
работать. Усвоение материала книги произойдет только в процессе упражнений, поэтому каждый раздел сопровождается
значительным числом задач тренировочного характера для самостоятельного решения. А результативность обучения существенно зависит от количества и качества самостоятельно решенных задач. Не пренебрегайте этим обстоятельством! А появившаяся в результате легкость при решении задач и радостное
чувство успеха будет вам лучшей наградой за труд.
Автор выражает особую признательность и огромную благодарность своим ученикам Николаю Половникову, Давиду
Саркисяну, Василию Шахпазиди, Ивану Мыльникову, Даниилу
Аладжа и Джастину Гурейро за неоценимую помощь в решении
задач упражнений для самостоятельного решения и формировании раздела книги «Ответы к упражнениям».
Книга предназначена для учащихся, абитуриентов, преподавателей и всех, кто интересуется математикой или занимается
самообразованием; особенно полезной она может оказаться для
школьников старших классов, готовящихся к сдаче ЕГЭ, конкурсных экзаменов и участию в математических олимпиадах.
7
Основные символы, обозначения и условные
обозначения, встречающиеся в пособии
▼ – окончание замечания
☼ – историческая вставка
N – натуральный ряд чисел
N0 – расширенный натуральный ряд чисел
Z
− множество целых чисел
Q
– множество рациональных чисел
R
– множество действительных чисел
=
– знак «равно»
<
– знак «меньше»
>
– знак «больше»
≥
– знак «больше или равно»
≤
– знак «меньше или равно»
!
– знак факториала
а n – символ n –ой степени числа а
n
b – символ извлечения корня n –ой степени из числа b
х – абсолютная величина (модуль) числа х
log a х - логарифм числа х по основанию a
lg х - десятичный логарифм числа х
ln х - натуральный логарифм числа х
А  В – из А следует В и обратно – из В следует А (знак
равносильности)
А  В – из А следует В (знак следствия)
a k a k 1 a k  2 ...a1 a 0 - позиционная запись натурального числа
8
Глава 1. Понятие уравнения
1.1. Что такое уравнение?
Понятие уравнения относится к фундаментальным понятиям математики, с помощью которого можно решать самые разные задачи.
Что такое уравнение? Уже в начальной школе на этот вопрос отвечают следующим образом.
Уравнение - равенство, которое содержит неизвестное число, обозначенное буквой.
Например, равенство х + 2 = 7 является уравнением.
Вопрос: при каком значении х равенство является верным?
Значение буквы, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство, называется решением
уравнения.
Например, число х = 5 является решением уравнения х + 2 =
7, так как 5 + 2 = 7. Число х = 6 не является решением этого
уравнения, так как 6 + 2  7.
Понятие уравнения родилось еще в древности. Считается,
что впервые применил букву для обозначения неизвестной величины Диофант Александрийский.
Диофант Александрийский (ок.III в.н.э.)
– древнегреческий математик.
В основном труде «Арифметика» (сохранились 6 книг из 13) дал решение задач, приводящих к неопределенным уравнениям со многими неизвестными, и впервые ввел буквенную символику в алгебру. Методы Диофанта
оказали огромное влияние на Франсуа Виета и
Пьера де Ферма.
На гробнице Диофанта эпитафия гласит:
«Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей и камень
Мудрым искусством его скажет усопшего век.
Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком.
9
И половину шестой встретил с пушком на щеках.
Только минула седьмая, с подругой он обручился.
С нею, пять лет проведя, сына дождался мудрец;
Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил.
Отнят он был у отца ранней могилой своей.
Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе,
Тут и увидел предел жизни печальной своей».
Сколько лет прожил Диофант?
Переведем задачу с родного языка на язык алгебраический.
Обозначим, как это делал Диофант, количество прожитых
им лет буквой х. Тогда его «прекрасное детство» длилось
1
х
6
лет; до того как «покрылся пухом его подбородок» прошло
1
х
12
лет;
1
х лет он провел «в бездетном браке»; затем прошло 5 лет
7
и он был «осчастливлен рожденьем сына», который прожил на
земле
1
х лет; 4 года прожил Диофант после смерти сына.
2
Сумма этих величин равна количеству прожитых Диофантом
1
1
1
1
лет, то есть х  х  х  5  х  4 и х – это равные числа:
6
12
7
2
1
1
1
1
х
х  х 5 х  4 x.
6
12
7
2
Мы составили равенство, которое содержит неизвестное
число, обозначенное буквой х, то есть составили уравнение, решив которое мы определим, «сколько лет жизни достигнув,
смерть воспринял Диофант». Число 84 – это корень данного
уравнения.
Если подставить его вместо х в уравнение и выполнить указанные действия, то получим верное равенство 84 = 84. Откуда
заключаем, что Диофант прожил 84 года!
Но весьма вероятно, что с понятием уравнения люди встретились гораздо раньше Диофанта. Из Древней Греции пришла,
например, следующая задача:
10
«Скажи мне, знаменитый Пифагор, сколько учеников посещают твою школу и слушают твои беседы? – Вот сколько, - ответил философ, - половина изучает математику, четверть музыку, седьмая часть пребывает в молчании и, кроме того, есть
еще три женщины».
Очень похоже на задачу Диофанта, не правда ли? И решается она аналогично при помощи уравнения.
Переведем задачу с родного языка на язык алгебраический.
Обозначим количество учеников через х.
х
х
Тогда по условию: - изучает математику,
- изучает му2
4
х
зыку,
- пребывает в молчании и есть еще 3 женщины.
7
Таким образом, задача сводится к уравнению:
х х х
  3 х.
2 4 7
14х  7 х  4 х  84
Складывая дроби, получаем:
х 
28
25х  84
 х  25х  84  28х  3х  84 , откуда х  28 .
28
Значит, школу Пифагора посещают 28 учеников.
Пифагор Самосский (Pythagoras, 570
- 490 до н.э.) – древнегреческий философ и математик.
Создатель религиозно - философской
школы пифагорейцев, которая дала Греции целую плеяду талантливых философов, физиков и математиков. Был строгим
вегетарианцем. Автор знаменитой теоремы Пифагора: «квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме
квадратов катетов».
Отметим, что в основе понятия уравнения, представленном
выше, лежит понятие равенства.
11
А что такое равенство?
Понятие равенства в математике является первичным
неопределяемым понятием, основанном на умении человека
считать и различать разные количества предметов, данной ему
Богом.
Понятие равенства связано со сравнением разного «количества предметов». Если «количество предметов» одинаково, то
говорят о их равенстве.
Говорят, что два числа или выражения, соединенные знаком
равно: = , образуют равенство.
Символ “=“ для обозначения равенства в математике впервые появился в книге Роберта Рекорда «The Whetstone of Witte,
which is the seconde parte of Arithmeteke: containing the extraction of
rootes; the cossike practise, with the rule of equation; and the workes of
Surde Numbers», изданной в 1557 году.
Роберт Рекорд (Robert Record,
1510 - 1558) – уэльский врач и
математик.
В 1557 году обосновал применение
двух параллельных черточек “=” для
обозначения равенства так: «bicause
noe 2 thynges can be moare equalle»
(на староанглийском), то есть «никакие две вещи не могут быть более
равными».
Ну, а как обозначали знак равенства до Роберта Рекорда?
Например, классик Диофант Александрийский? Словесно. Он
писал: ισ – две первые буквы слова ισος («изос» - равный). Рене
Декарт при записи знака равенства использовал æ (от лат.
aequalis). Интересно, что Франсуа Виет знаком равенства обозначал вычитание. А «подтвердил» знак равенства “=“ великий
Готфрид Вильгельм Лейбниц только на рубеже XVII – XVIII
веков, то есть через 100 лет после смерти Роберта Рекорда.
Замечание. Заметим, что знак равенства со временем получил
развитие. Появились всем известные знаки: ≡ - тождественно
12
def

равно, ≠ - не равно, ≈ - приближенно равно,  или  - равно по
?
определению,  - может быть равно и другие. ▼
Различают равенства числовые и буквенные.
Например: 35 = 5∙7, ( 3  2) 2  7  4 3 , log2 5  2 - числовые
равенства; a+3 = 3+a, ( x  2) 2  x 2  4 x  4 , 3x  21, (3  x) 2  4
- буквенные равенства.
Первое и второе числовое неравенство – истинны, третье –
ложное. Если числовое равенство истинно, то говорят: «равенство - верное». Первое и второе равенства – верные. Если же
числовое равенство ложно, то говорят: «равенство - неверное».
Третье равенство – неверное.
Заметим, что первое и второе буквенные равенства истинны
при любых значениях букв а и x, третье же буквенное равенство
истинно только при х =7, а четвертое истинно только при x = -1
и x = -5. Это различие носит принципиальный характер. Буквенное равенство, которое выполняется при всех допустимых
значениях входящих в него букв, называется тождеством и
требуется доказать, что равенство верное при любых значениях
входящих в него букв. (В таких случаях часто в место знака
равно “ = ” используется знак тождественно равно: « ≡ ».
Например, a + 3 ≡ 3 + a.)
В тех же случаях, когда буквенное равенство выполняется
лишь при некоторых значениях входящих в него букв, оно
называется уравнением. В таких случаях нас интересует нахождение тех значений входящих в равенство букв, при которых
равенство становится верным. Это означает, что в результате
выполнения всех указанных в уравнении действий в левой и
правой частях получается одно и то же число.
Замечание. Заметим, что знак равенства “ = ” в математике используется и других случаях. Например, выражение вида «рассмотрим функцию: f ( x)  x 2  4 x  4 » означает, что всюду
символ f (x ) будет обозначать именно эту функцию. ▼
13
1.2. Основные определения, связанные с понятием
уравнения
Определение 1.1. Равенство вида f1 ( x, y,..., z )  f 2 ( x, y,..., z ) ,
где f1 ( x, y,..., z ) и f 2 ( x, y,..., z ) - некоторые выражения, содержащие переменные (буквы) x, y,..., z , называется уравнением
с неизвестными x, y,..., z .
В зависимости от числа неизвестных уравнение называют
уравнением с одним, двумя, тремя и т.д. неизвестными.
Например: 2 x  5  x  2 - уравнение с одним неизвестным;
x 2  y 2  1  2 xy - уравнение с двумя неизвестными;
lg( x 2  y 2  z 2 )  x  y  z - уравнение с тремя неизвестными.
Замечание. Заметим, что часто понятие уравнения определяют,
используя понятие функции одной или многих неизвестных.
Например, в учебнике для учащихся 9 класса с углубленным
изучением математики под редакцией Н. Я. Виленкина читаем:
«Определение 1. Равенство вида f ( x )   ( x ) , где f (x ) и  (x) некоторые функции от х, называется уравнением с одной переменной х», а в учебнике для педагогических институтов С. И.
Новоселова читаем: «Определение. Уравнением называется равенство f1 ( x, y,..., z )  f 2 ( x, y,..., z ) , выражающее следующее
суждение: значение функции f1 ( x, y,..., z ) равно значению функции f 2 ( x, y,..., z ) .▼
Выражение f1 ( x, y,..., z) называется левой частью уравнения, а выражение f 2 ( x, y,..., z ) - правой частью.
Определение 1.2. Общая часть (пересечение) множеств допустимых значений переменных (букв), входящих в выражения
f1 ( x, y,..., z) и f 2 ( x, y,..., z) называется областью определения
уравнения или областью допустимых значений (ОДЗ) неизвестных уравнения.
14
Например: для уравнения с одним неизвестным 2 x  5  x  2
ОДЗ определяется неравенством x  5  0 , множество решений
которого x  [5; ) задает ОДЗ этого уравнения.
Определение 1.3. Система чисел (а, b, …, с) называется решением уравнения f1 ( x, y,..., z)  f 2 ( x, y,..., z) , если значения выражений f1 ( x, y,..., z) и f 2 ( x, y,..., z) при x= a, y= b, …, x= c равны.
Например: система чисел (0;1) является решением уравнения
x 2  y 2  1  2 xy , так как при x  0 , y  1 значения левой и правой части уравнения равны 0; система чисел (2; 0) не является
решением данного уравнения, так как при x  2 , y  0 левая
часть уравнения равна 5, а правая часть равна 0.
Для уравнения с одним неизвестным f1 ( x) = f 2 ( x) всякое
его решение x  a называется корнем уравнения.
Решить уравнение – это значит найти множество всех
его решений или доказать, что решений уравнение не имеет.
Множество всех решений может быть как конечным, так и
бесконечным.
Например: - уравнение x 2  y 2  1 имеет бесчисленное множество решений (решением уравнения является любая точка (а; b),
лежащая на окружности радиусом 1 с центром в начале координат);
- уравнение ( x 2  4) 2  ( y 2  1) 2  0 имеет четыре решения (2;1),
(-2;1), (2;-1), (-2;-1), так как сумма квадратов двух чисел равна
нулю тогда и только тогда, когда каждое число равно нулю;
- уравнение ( x  1) 2  y 4  1  0 не имеет решений (множество
решений является пустым), так как сумма неотрицательных чисел и единицы не может быть равна нулю.
Замечание 1. Заметим, что множества решений одного и того
же уравнения, рассматриваемого в разных числовых множествах, могут быть различными.
15
Например: уравнение x 2  x  0 в множестве действительных
чисел имеет одно решение x  0 , а в множестве комплексных
чисел – три решения: x1  (0;0)  0 , x2  (0;1)  i , x2  (0;1)  i . ▼
Замечание 2. Возможен случай, когда всякая допустимая система значений неизвестных является решением уравнения, т.е.
левая и правая части уравнения равны во всей области определения уравнения.
Например: множество решений уравнения 0  x 2  0  у 2  0 множество всех точек координатной плоскости, образующих
область определения уравнения.
В этом случае говорят, что уравнение удовлетворяется
тождественно. Однако такое уравнение не называют тождеством. Понятия уравнения и тождества, как уже было отмечено
выше, существенно различны.
Тождество есть равенство, выражающее соотношение тождественности двух выражений, тогда как уравнение – равенство,
выражающее суждение о равенстве численных значений двух
выражений. Иными словами, когда мы говорим, что равенство
f1 ( x, y,..., z)  f 2 ( x, y,..., z) есть тождество, то это утверждение о
том, что слева и справа от знака = стоят одинаковые (равные,
совпадающие) выражения (функции), только, может быть, записанные по-разному. В том же случае, когда мы говорим, что равенство f1 ( x, y,..., z)  f 2 ( x, y,..., z) есть уравнение, то наше отношение к этому равенству иное: равенство рассматривается как
неопределенное высказывание – при одних значениях x, y, …, z
оно истинное, при других – ложное, и мы интересуемся отысканием таких значений x, y, …, z при подстановке которых это
неопределенное высказывание становится истинным.
Эта разница проявляется в формулировке задачи: «доказать
тождество (равенство)» в случае тождества и «решить уравнение» в случае уравнения. ▼
Какие бывают уравнения? Уравнения классифицируются по
типу выражений f1 ( x, y,..., z) и f 2 ( x, y,..., z ) , входящих в уравнение (см. разделы 1.1. и 2.1. Книги 3 Полного курса элементарной математики в задачах и упражнениях).
16
Определение 1.4. Уравнение f1 ( x, y,..., z )  f 2 ( x, y,..., z ) называется целым алгебраическим уравнением (или, кратко, алгебраическим), если выражения f1 ( x, y,..., z) и f 2 ( x, y,..., z) являются
многочленами (полиномами).
Например: x 2  3 x  2  0 , x 2  2 xy  1  x 3  y 3 .
Определение 1.5. Уравнение f1 ( x, y,..., z )  f 2 ( x, y,..., z ) называется дробно – рациональным уравнением (или, кратко, дробным уравнением), если выражения f1 ( x, y,..., z) и f 2 ( x, y,..., z )
являются рациональными выражениям, но хотя бы одно из них
не является многочленом.
Например:
x 1
x  y2  z
x
 1 x2 , 2
  7.
2
2
x 1
x y z
y
Определение 1.6. Уравнение f1 ( x, y,..., z)  f 2 ( x, y,..., z) называется иррациональным уравнением, если выражения f1 ( x, y,..., z )
и f 2 ( x, y,..., z ) являются иррациональными выражениями.
Например: 2 x  5 
2  x  3,
x y
 x  3 x2  y2 .
x y
Определение 1.7. Уравнение f1 ( x, y,..., z)  f 2 ( x, y,..., z) называется трансцендентным уравнением, если выражения f1 ( x, y,..., z)
и f 2 ( x, y,..., z ) являются трансцендентными выражениями.
x
y
Например: 2 x  5  1  cos x , log(x  y )  x  y  1 , 2  x .
2
2
2
Замечание. Понятие уравнения в математике (и не только) оказалось исключительно плодотворным. По мере развития математики, появились функциональные, дифференциальные, интегральные уравнения, уравнения в частных производных и многие другие. ▼
17
1.3. Равносильность (эквивалентность) уравнений.
1.3.1. Понятие равносильных уравнений и уравненияследствия. Посторонние решения.
Процесс решения любого уравнения в общем случае состоит из ряда тождественных преобразований левой и правой частей уравнения, имеющих целью заменить данное уравнение
более простым уравнением, метод решения которого известен.
Однако при этом абитуриенты часто не могут дать ответа на
следующие принципиально важные вопросы:
1) не потеряны ли в процессе преобразований данного уравнения его решения?
2) не является ли часть найденных решений посторонними
(лишними) для данного уравнения?
Вопрос о потере решений является более трудным, так как
посторонние решения можно в принципе ликвидировать проверкой, тогда как факт потери решений часто не удается даже
установить.
Вместе с тем следует отметить, что и проверка того, что
найденная система чисел является решением данного уравнения, может быть технически весьма сложной.
Так, например, иррациональное уравнение с одним неиз2 3
вестным 1  x 2  (a  x ) 2 , при a   ;  , имеет только один
3 4

a 2 
1 1
1 4 
 4  3  , однако,

4
2 2a


установить это проверкой практически невозможно.
действительный корень x 
В связи с этим возникает важное понятие о равносильных
(эквивалентных) уравнениях.
18
Определение 1.8. Если всякое решение уравнения f1 ( x, y,..., z)
= f 2 ( x, y,..., z) является решением уравнения 1 ( x, y,..., z ) 
 2 ( x, y,..., z ) , и обратно, всякое решение второго уравнения
1 ( x, y,..., z)  2 ( x, y,..., z) является решением первого уравне-
ния f1 ( x, y,..., z) = f 2 ( x, y,..., z) , то данные уравнения называются
равносильными (эквивалентными). Иначе – неравносильными
(неэквивалентными).
Если уравнения f1 ( x, y,..., z) = f 2 ( x, y,..., z) и 1 ( x, y,..., z ) 
 2 ( x, y,..., z ) равносильны, то пишут:
f1 ( x, y,..., z) = f 2 ( x, y,..., z)  1 ( x, y,..., z)  2 ( x, y,..., z) .
Таким образом, уравнения равносильны, если множества их
решений совпадают или оба уравнения не имеют решений.
Например:
а) Уравнения x 2  1 и x  1 равносильны в множестве действительных чисел, так как каждое из них имеет два решения
x  1.
б) Уравнения x 2  8  0 и 2 x  3 равносильны в множестве
действительных чисел, так как каждое из них не имеет решений.
в) Уравнения x  1  x  3 и x  1  ( x  3) 2 неравносильны,
так как первое уравнение имеет только одно решение x  5 , тогда как второе уравнение имеет два решения x  2 и x  5 .
Понятие равносильности уравнений обладает свойством
транзитивности: если уравнение f1 ( x, y,..., z) = f 2 ( x, y,..., z)
равносильно уравнению 1 ( x, y,..., z)  2 ( x, y,..., z) , а уравнение
1 ( x, y,..., z)  2 ( x, y,..., z) равносильно уравнению f 3 ( x, y,..., z )
 f 4 ( x, y,..., z ) , то уравнение f1 ( x, y,..., z) = f 2 ( x, y,..., z) равносильно уравнению f 3 ( x, y,..., z )  f 4 ( x, y,..., z ) .
Например: в множестве действительных чисел уравнение x 2  1
равносильно уравнению x  1 , уравнение x  1 равносильно
19
уравнению x4 = 1, значит, уравнение x 2  1 равносильно уравнению x4 = 1.
При решении уравнений часто пользуются понятием равносильности на множестве.
Определение 1.9. Если всякое решение уравнения f1 ( x, y,..., z)
= f 2 ( x, y,..., z) является решением уравнения 1 ( x, y,..., z ) 
 2 ( x, y,..., z ) на некотором множестве А, и обратно, всякое ре-
шение второго уравнения 1 ( x, y,..., z)  2 ( x, y,..., z) является
решением первого уравнения f1 ( x, y,..., z) = f 2 ( x, y,..., z) на том же
множестве А, то данные уравнения называются равносильными
(эквивалентными) на множестве А. Иначе – неравносильными
(неэквивалентными) на множестве А.
Уравнения могут быть неравносильными, но быть равносильными на некотором множестве.
Например:
а) Уравнения х = 1 и x 2  1 неравносильны, но равносильны на
множестве положительных чисел, так как каждое из них имеет
одно положительное решение х = 1.
б) Уравнения x 2  8  0 и 2 x  3 неравносильны на множестве
комплексных чисел и равносильны на множестве действительных чисел, так как каждое из них не имеет решений во множестве действительных чисел.
в) Уравнения x  1  x  3 и x  1  ( x  3) 2 неравносильны,
так как первое уравнение имеет только одно решение x  5 ,
тогда как второе уравнение имеет два корня x  2 и x  5 , и
равносильны на множестве отрицательных чисел, так как каждое из них не имеет отрицательных решений.
В процессе решения уравнения можно данное уравнение
заменить равносильным уравнением, так как при такой замене
множество решений остается неизменным. Такая замена называется равносильным переходом.
20
Замечание. Заметим, что равносильным переходом является
также замена уравнения равносильной ему совокупностью
уравнений (неравенств, систем уравнений или неравенств), если множество всех корней уравнения совпадает с множеством
всех решений совокупности уравнений (неравенств, систем
уравнений или неравенств).
Например: уравнение (3x – 6)(x + 2)(–5x + 15) = 0 (1) равносильно совокупности уравнений
3x  6  0,
 x  2  0,
(2)

 x  15  0.
Действительно, любой корень уравнения (1) обращает в
нуль хотя бы один из множителей левой части, а, значит, является корнем одного из уравнений совокупности уравнений (2).
И обратно, любой корень совокупности (2) удовлетворяет
уравнению (1). ▼
Однако далеко не всегда при решении уравнений удается
осуществить равносильный переход. В таких случаях часто
пользуются понятием уравнения – следствия.
Определение 1.10. Если всякое решение уравнения f1 ( x, y,..., z)
= f 2 ( x, y,..., z) является решением уравнения 1 ( x, y,..., z ) 
 2 ( x, y,..., z ) , то второе уравнение называется следствием
первого.
Если уравнение 1 ( x, y,..., z )   2 ( x, y,..., z ) является следствием уравнения f1 ( x, y,..., z) = f 2 ( x, y,..., z) , то пишут:
f1 ( x, y,..., z) = f 2 ( x, y,..., z)  1 ( x, y,..., z)  2 ( x, y,..., z) .
Таким образом, уравнение, полученное в качестве следствия, имеет все решения данного уравнения и, кроме того,
возможно, решения, не удовлетворяющие данному уравнению.
Такие решения называются посторонними решениями.
Например: уравнение x  1  ( x  3) 2 является следствием уравнения x  1  x  3 и имеет один посторонний корень x  2 ,
так как при x  2 получаем неверное равенство 1 = –1.
21
1.3.2. Задачи на понятие равносильности уравнений
Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих наиболее важные типы преобразований, часто приводящие к неравносильному уравнению и как следствие к грубым ошибкам при
решении уравнений с одним неизвестным. При этом заметим,
что одни и те же преобразования могут приводить к уравнению, как неравносильному, так и равносильному данному.
1 1
(1).

x x
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. ОДЗ уравнения определяется условием x  0 .
Приведя подобные члены («вычеркивая» взаимно противоположные слагаемые), получаем уравнение x 2  0 (2).
Откуда находим корень x = 0.
Но значение x = 0 не входит в ОДЗ неизвестного исходного
уравнения (1) и поэтому не является его корнем. Исходное
уравнение корней не имеет.
1.1. Решить уравнение x 2 
О т в е т: уравнение корней не имеет.
Вывод: операция «вычеркивания» взаимно противоположных
слагаемых привела к расширению ОДЗ уравнения и появлению
постороннего корня. Уравнение (2) является следствием уравнения (1).
Замечание. Заметим, однако, что данное преобразование не
всегда приводит к уравнению неравносильному данному.
1 1
Например, уравнение x 2   + 1 после приведения поx x
добных членов заменяется уравнением x 2  1 ему равносильным. В данном случае операция «вычеркивания» взаимно противоположных слагаемых также приводит к расширению ОДЗ
уравнения, но к появлению постороннего корня не приводит.
Действительно, числа –1 и 1 являются корнями как уравнения (2), так и уравнения (1).▼
22
x2 1
 2 x (1).
x 1
-----------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. ОДЗ уравнения определяется условием x  1 .
( x  1)( x  1)
Записав уравнение в виде
 2 x и сократив дробь
x 1
на ( x  1), получаем уравнение x  1  2x (2).
Откуда находим корень x  1 .
Но значение x  1 не входит в ОДЗ неизвестного исходного уравнения (1) и поэтому не является его корнем.
Исходное уравнение корней не имеет.
1.2. Решить уравнение
О т в е т: уравнение корней не имеет.
Вывод: операция сокращения дробного члена уравнения привела к расширению ОДЗ уравнения и появлению постороннего
корня. Уравнение (2) является следствием уравнения (1).
Замечание. Заметим, однако, что данное преобразование не
всегда приводит к уравнению неравносильному данному.
x 2 1
Например, уравнение
 2 x  1 (1) после сокращения
x 1
дроби заменяется уравнением x  1  2x  1 (2) ему равносильным.
В данном случае операция сокращения дробного члена
уравнения также приводит к расширению ОДЗ уравнения, но к
появлению постороннего корня не приводит. Действительно,
число 0 является единственным корнем как уравнения (2), так
и уравнения (1).▼
x 1 x  3
12
(1).

 2
x2 x2 x 4
------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. ОДЗ уравнения определяется условием x  2 .
Умножая обе части уравнения на x 2  4 , то есть «отбрасывая общий знаменатель дробей», получаем уравнение:
(2)
( x  1)( x  2)  ( x  3)( x  2)  12

2
2
x  2 x  x  2  x  3 x  2 x  6  12  8x  4  12 , откуда
1.3. Решить уравнение
23
находим корень x  2 .
Но значение x  2 не входит в ОДЗ неизвестного исходного уравнения (1) и поэтому не является его корнем.
Исходное уравнение корней не имеет.
О т в е т: уравнение корней не имеет.
Вывод: операция «отбрасывания общего знаменателя» привела к расширению ОДЗ уравнения и появлению постороннего
корня. Уравнение (2) является следствием уравнения (1).
Замечание. Заметим, однако, что данное преобразование не
всегда приводит к уравнению неравносильному данному.
x 1 x  2
6
Например, уравнение
(1) после умно

x  3 x  3 x2  9
жения обеих частей на общий знаменатель x 2  9 заменяется
уравнением ( x  1)( x  3)  ( x  2)( x  3)  6 (2) ему равносильным.
Действительно, преобразуя полученное уравнение (2), получаем ( x  1)( x  3)  ( x  2)( x  3)  6  9 x  9 , откуда находим
корень x = 1, который является единственным корнем как
уравнения (1), так и уравнения (2).
В данном случае операция сокращения дробного члена
уравнения также приводит к расширению ОДЗ уравнения, но к
появлению постороннего корня не приводит.▼
1.4. Равносильны ли уравнения:
(1)
x 1  0
x  1  lg x  lg x (2) ?
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е.
ОДЗ уравнения (1) – множество всех действительных чисел x  R . ОДЗ уравнения (2) определяется условием x  0 , то
есть x  (0; ) .
Второе уравнение получено из первого прибавлением к
обеим частям одного и того же выражения lg x , которое не
определено при всех x < 0.
24
Уравнения не являются равносильными, так как единственный корень уравнения (1) x  1 не является корнем
урав
нения (2). При переходе от уравнения (1) к уравнению (2) происходит потеря корня.
О т в е т: уравнение неравносильны.
Вывод: преобразование, которое сужает ОДЗ уравнения, может
привести к потере корня.
1.5. Равносильны ли уравнения:
x2  1
(1)
1
1
2
(2) ?
x 
 1
x2
x2
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е.
ОДЗ уравнения (1) – множество всех действительных чисел x  R . ОДЗ уравнения (2) определяется условием x  2 ,
т.е. x  (;2)  (2;) .
Второе уравнение получено из первого прибавлением к
1
обеим частям одного и того же выражения
, которое не
x2
определено при x = 2. Это означает, что число 2 не может быть
корнем уравнения (2).
Уравнения равносильны, так как оба уравнения имеют
одинаковые корни x  1 .
При переходе от уравнения (1) к уравнению (2) из ОДЗ исключается число x  2 , не являющееся корнем уравнения (1).
Поэтому потери корней не произошло.
О т в е т: уравнение равносильны.
1.6. Равносильны ли уравнения:
x 1  x 1  2 2
(1)
(2) ?
( x  1)( x  1)  2 2
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. ОДЗ уравнения (1) определяется системой
25
 x  1  0,
неравенств 
 x  1  0,
откуда получаем x  [1;) .
ОДЗ уравнения (2) определяется неравенством ( x  1)( x  1)  0 ,
откуда получаем x  (;1]  [1; ) .
Уравнения неравносильны, так как уравнение (1) имеет
единственный корень x  3 , а уравнение (2) имеет два корня
x1  3 и x2  3 .
При переходе от уравнения (1) к уравнению (2) ОДЗ уравнения расширяется, что приводит к появлению постороннего
корня x  3 .
Заметим, что при переходе от уравнения (2) к уравнению
(1) ОДЗ уравнения сужается, что приводит к потере корня
x  3 .
О т в е т: уравнение неравносильны.
Вывод: при решении уравнений следует пользоваться только
таким преобразованием:
f ( x)  g ( x) 
 f ( x)  g ( x) , если f ( x)  0, g ( x)  0,
f ( x)  g ( x)  
  f ( x)   g ( x) , если f ( x)  0, g ( x)  0.
1.7. Равносильны ли уравнения:
lg x 2  2 (1)
2  lg x  2 (2) ?
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. ОДЗ уравнения (1) определяется неравенством
x  0 , т.е. x  (;0)  (0; ) . ОДЗ уравнения (2) определяется
условием x  0 , то есть x  (0; ) .
Уравнения неравносильны, так как уравнение (1) имеет два
корня x  10 , а уравнение (2) имеет единственный корень
x  10 .
При переходе от уравнения (1) к уравнению (2) ОДЗ уравнения сужается, что приводит к потере корня x  10 .
26
Заметим, что при переходе от уравнения (2) к уравнению
(1) ОДЗ уравнения расширяется, что приводит к появлению
постороннего корня x  10 .
О т в е т: уравнение неравносильны.
Вывод: при решении уравнений следует пользоваться только
таким преобразованием:
loga x 2  2  loga x
Обобщая, получаем также формулы:
loga ( f ( x))2 k  2k  loga f ( x)
log ( f ( x ))2 k b 
1
 log f ( x ) b
2k
Можно заметить, что в рассмотренных примерах неравносильность уравнений связана с изменением ОДЗ уравнения,
происходящем в результате проведенных преобразований.
К сожалению, это не является общим фактом и появление
неравносильных уравнений не всегда связано с изменением
ОДЗ уравнения. Рассмотрим пример.
1.8. Решить уравнение x 2  2 x  x (1).
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. ОДЗ уравнения (1) – множество всех действительных чисел x  R .
x 2  2 x  x  x 2  3 x  0  x( x  3)  0 , откуда находим два
корня x1  0 и x2  3 .
О т в е т: 0; 3.
Решим уравнение другим способом. Разделив уравнение
(1) на х, получим уравнение: x  2  1 (2), ОДЗ которого также
x  R . Однако, уравнения (1) и (2) неравносильны: уравнение
(1) имеет два корня x1  0 и x2  3 , а уравнение (2) имеет один
корень x  3 .
27
Следовательно, при делении уравнения на неизвестное х
произошла потеря корня.
Заметим, что при переходе от уравнения (2) к уравнению
(1), то есть, если уравнение (2) умножить на х, то происходит
появление постороннего корня x  0 . Вместе с тем, ОДЗ уравнений совпадают.
Вывод:
1) При делении уравнения на выражение, содержащее неизвестное, можно потерять корни, причем именно те, которые
обращают это выражение в нуль.
2) При умножении уравнения на выражение, содержащее неизвестное, можно приобрести посторонние корни, причем именно те, которые обращают это выражение в нуль.
1.9. Решить уравнение ( x  4)( x  7)  x  7 (1).
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. ОДЗ уравнения (1) – множество всех действительных чисел x  R . При делении уравнения на общий множитель ( x  7) происходит потеря корня x  7 . Делить нельзя!
Перенесем все члены уравнения в левую часть и вынесем
общий множитель за скобку, получим равносильное уравнение
( x  7)( x  3)  0 (2).
Уравнение (2) равносильно совокупности двух уравнений:
 x  7  0,
 x  3  0.

Откуда находим два корня x1  7 и x2  3 .
О т в е т: 7; −3.
1.10. Решить уравнение 5  x  3  x (1).
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. ОДЗ уравнения определяется условием 5  x  0 ,
откуда получаем x  (;5] .
Возведя обе части уравнения в квадрат, получим уравнение: 5  x  (3  x) 2  x 2  5 x  4  0 , откуда находим два
корня x1  4 и x2  1.
28
Проверкой убеждаемся, что x  4 -посторонний корень для
уравнения (1). Однако появление постороннего корня здесь
никак не связано с расширением ОДЗ уравнения, а является
следствием операции возведения обеих частей уравнения в
квадрат.
На основе рассмотренных примеров, можно сформулировать общие правила, которые полезно использовать в процессе
решения уравнений.
1) Наилучшим является метод равносильного перехода.
2) Преобразования, допускающие потерю корней, лучше не использовать (в общем случае такие преобразования допустимы
только в тех случаях, когда корни, которые могут быть потеряны, известны и могут быть восстановлены проверкой).
3) Если неизбежен переход к уравнению-следствию, то в процессе решения всегда необходимо проводить исследования по
отбору корней, «отсеивая» посторонние.
1.3.3. Основные теоремы о равносильности уравнений
При решении уравнений необходимо использовать следующие (наиболее общие) теоремы о равносильности уравнений.
Для упрощения записи, не нарушая общности, будем использовать только уравнения с одним неизвестным.
Теорема 1.1. Уравнения f ( x)  g ( x) и f ( x)   ( x)  g ( x)   ( x) равносильны, если выражение (функция)  (x) имеет смысл для
всех х, для которых определены f (x ) и g (x) .
Коротко эту теорему формулируют в виде правила так:
к обеим частям уравнения можно прибавить одно и то же
выражение.
x2  1
x 2 1
Например:
 2 x  1  2 x , так как прибавляемое
1 
x 1
x 1
выражение 2х имеет смысл и определенное значение для всех х
из области определения уравнения, задаваемой множеством
x  (;1)  (1;) .
29
Замечание 1. Еще раз отметим, что если прибавляемое к обеим
частям уравнения выражение  (x) изменяет ОДЗ уравнения, то
полученное в результате уравнение может оказаться неравносильным исходному. Если выражение  (x) суживает ОДЗ уравнения f ( x)  g ( x) и теряет смысл при некоторых его решениях,
то произойдет потеря этих решений. Полученное в результате
уравнение f ( x)   ( x)  g ( x)   ( x) окажется неравносильным
уравнению f ( x)  g ( x) . В задаче 1.4. раздела 1.3.2. прибавление
к обеим частям уравнения x  1 0 выражения  ( x)  lg x привело к уравнению x  1  lg x  lg x , которое неравносильно исходному. ОДЗ уравнения x  1 0 - множество всех действительных чисел x  R . Выражение  ( x)  lg x имеет смысл не
при всех х из ОДЗ уравнения, а только при значениях x  0 .
Прибавив к обеим частям уравнения x  1 0 выражение
 ( x)  lg x мы сузили ОДЗ уравнения до множества x  (0; ) ,
что и явилось причиной потери корня х = –1 исходного уравнения x  1 0 .
Однако потери решений не произойдет, если при сужении
ОДЗ из области исключаются числа, не являющиеся решениями исходного уравнения. В задаче 1.5. раздела 1.3.2. прибавле1
ние к обеим частям уравнения x 2  1 выражения  ( x) 
x2
1
1
2
привело к уравнению x 
, которое равносиль 1
x2
x2
но исходному уравнению, так как из ОДЗ исключается число x  2 , не являющееся решением уравнения x 2  1 .▼
Замечание 2. Заметим, что в теореме 1.1. речь идет только о
преобразовании, заключающемся в прибавлении к обеим частям уравнения одного и того же выражения. Последующее
преобразование, например, приведение подобных членов, это
уже новое преобразование со своими особенностями.
Рассмотрим пример. Если к обеим частям уравнения
2
x  x  x  4 прибавить выражение  ( x)   x , получится
уравнение x 2  x  x  x  4  x , равносильное исходному, так
30
как выражение  ( x)   x имеет смысл при всех х из ОДЗ исходного уравнения x  [0;) . Однако если в последнем уравнении выполнить приведение подобных членов, то получится
уравнение x 2  4 , неравносильное исходному. Действительно,
приведение подобных членов и «уничтожение» в обеих частях
выражения x привело к расширению ОДЗ уравнения до множества всех действительных чисел x  R , и как следствие к
появлению постороннего решения x  2 . ▼
Следствие 1. Уравнения f ( x)  g ( x) и f ( x)    g ( x)   , где  некоторое действительное число, равносильны.
Коротко это следствие формулируют в виде правила так:
к обеим частям уравнения можно прибавить (или вычесть)
любое действительное число.
x2  4
x2  4
Например:
 1  2x  1.
 2x 
x3
x3
Следствие 2. Уравнения f ( x)  g ( x) и f ( x)  g ( x)  0 равносильны.
Коротко это следствие формулируют в виде правила так:
правую часть уравнения можно переносить в левую часть с
обратным знаком и наоборот.
x2  1
x 2 1
Например:
 2x 2 
 2x2  0 .
x 3
x3
Замечание. Из следствия 2 заключаем, что всякое уравнение
вида f ( x)  g ( x) можно заменить равносильным уравнением вида  ( x )  0 , где  ( x)  f ( x)  g ( x) .▼
Теорема 1.2. Уравнения f ( x)  g ( x) и f ( x)   ( x)  g ( x)   ( x) (или
f ( x ) g ( x)
) равносильны, если выражение (функция)  (x) име
 ( x)  ( x )
ет смысл и отлично от нуля, то есть  ( x)  0 , для всех х, для
которых определены f (x ) и g (x) .
31
Коротко эту теорему формулируют в виде правила так:
обе части уравнения можно умножить (разделить) на одно и
то же неравное нулю выражение.
x 2 1
x 2 1 2
Например:
 2x  1 
 ( x  1)  (2 x  1)  ( x 2  1) , так
x2
x2
как множитель  ( х)  x 2  1 имеет смысл и отличен от нуля для
всех х из области определения (ОДЗ) уравнения, задаваемой
множеством действительных чисел x  (;2)  (2;) ;
x  9  x( x  3) 
x 9
x( x  3)
, так как делитель  ( х)  x  3
x 3
x 3
имеет смысл и отличен от нуля в области определения (ОДЗ)
уравнения, задаваемой множеством действительных чисел
x  [0; ) .

Замечание 1. Заметим, что если множитель  (x) может обращаться в нуль при некоторых допустимых значениях неизвестного, то в общем случае полученное в результате уравнение
может оказаться неравносильным исходному. Действительно,
уравнению f ( x)   ( x)  g ( x)   ( x) удовлетворяют все числа, обращающие в нуль множитель  (x) , то есть все решения уравнения  ( x)  0 , удовлетворяющие ОДЗ исходного уравнения
f ( x)  g ( x) . Но среди решений уравнения  ( x)  0 могут быть
числа, не являющиеся решениями уравнения f ( x)  g ( x) .
Например, уравнение 5x  1  4x имеет решение x  1 , но
уравнение (5 x  1)  ( x  2)  4 x  ( x  2) , кроме x  1 , имеет решение x  2 . Действительно, при x  2 выражение  ( x)  x  2 имеет
смысл при всех х из ОДЗ уравнения 5x  1  4x , состоящей из
всех действительных чисел x  R , и обращается в нуль (равенство при этом очевидно выполняется: 0 = 0). Таким образом, в
данном случае умножение обеих частей уравнения на выражение  ( x)  x  2 привело к появлению постороннего решения
x  2.
32
Если же множитель  ( x)  0 суживает ОДЗ уравнения
f ( x)  g ( x) и теряет смысл при некоторых его решениях, то произойдет потеря этих решений и полученное в результате уравнение окажется неравносильным исходному.
Например, уравнение 5x  2  4x имеет решение x  2 , но
1
1
уравнение (5 x  2) 
, не имеет решения x  2 , так
 4x 
x2
x2
1
как множитель
теряет смысл при x  2 . Полученное уравx2
нение неравносильно исходному.
Еще пример. Если обе части уравнения x  9  x( x  3) разделить на выражение  ( x)  x  3 , то получится уравнение
x 9

x( x  3)
, неравносильное исходному уравнению. Дейx 3
x 3
ствительно, несмотря на то, что выражение  ( x)  x  3 имеет
смысл при всех значениях х из ОДЗ исходного уравнения, состоящей из всех действительных чисел x  [0; ) , оно обращается в нуль при значении х = 9, которое является решением
уравнения x  9  x( x  3) . Происходит потеря решения.
Потери решений не произойдет, если множитель (делитель)
 (x) не теряет смысла при всех решениях уравнения f ( x)  g ( x) .
Например, умножение уравнения 5x  2  4x на выражение
1
1
1
приводит к уравнению (5 x  2) 
, которое рав 4x 
x 1
x 1
x 1
носильно исходному уравнению, так как из ОДЗ исключается
число x = 1 , не являющееся решением уравнения 5x  2  4x .
▼
Замечание 2. Заметим, что в теореме 1.2. речь идет только о
преобразовании, заключающемся в умножении (или делении)
обеих частей уравнения на одно и то же выражение. Последующее преобразование, например, сокращение дроби, это уже
новое преобразование со своими особенностями.
Рассмотрим пример.
33
x 2  3x  2
 0 умножить на выраx 1
( x 2  3x  2)( х  1)
жение  ( x)  х  1 , то получится уравнение
 0,
x 1
равносильное исходному, так как выражение  ( x)  х  1 имеет
смысл при всех х из ОДЗ исходного уравнения ( x  1 ) и нигде в
этой области не обращается в нуль. Однако если в левой части
уравнения сократить дробь на х  1 , то получится уравнение
x 2  3х  2  0 , неравносильное исходному уравнению. Действительно, значение x  1 является решением последнего уравнения, но не является решением исходного уравнения, так как не
удовлетворяет ОДЗ уравнения. Сокращение дроби привело к
расширению ОДЗ уравнения до множества всех действительных чисел x  R , и как следствие к появлению постороннего
решения x  1 . ▼
Если обе части уравнения
Следствие 1. f ( x)  g ( x) 
f ( x)  g ( x) 
f ( x)    g ( x)   ;
f ( x) g ( x)
,



где  - некоторое отличное от нуля число.
Коротко это следствие формулируют в виде правила так:
обе части уравнения можно умножить (разделить) на одно и
то же отличное от нуля действительное число.
x2  1 2
5x  2 4 x
x 2 1
Например:
 .
 x  2
 2 x 2 ; 5x  2  4 x 
3
3
x3
x 3
Следствие 2. Для любых f (x ) , g (x) и  (x) , где g ( x)  0 ,
f ( x)
  ( x)  f ( x )   ( x )  g ( x ) .
g ( x)
Если g (x) может быть равно нулю при некоторых значениf ( x)
ях х, то
  ( x)  f ( x )   ( x )  g ( x ) .
g ( x)
34
x 2 1
2
2
2
2
 x 2  x  1  x  ( x  3) , так как x  3  0
2
x 3
при любых действительных х;
x 2  3x  2
 0  x 2  3х  2  0 , так как x 1  0 при x  1 , уравнеx 1
x 2  3x  2
ние x 2  3 х  2  0 , является следствием уравнения
0 и
x 1
может иметь посторонние решения.
Например:
Теорема 1.3. Если выражение (функция) f (x ) имеет смысл и
определенное значение для всех х, где g ( x )  0 , а выражение
(функция) g (x) имеет смысл и определенное значение для всех
х, где f ( x)  0 , то уравнение f ( x)  g ( x)  0 равносильно совокуп f ( x)  0,
ности уравнений 
 g ( x )  0.
Например: уравнение ( x  1)( x  2)  0 равносильно совокупности
двух уравнений x  1  0 ; x  2  0 , так как при x  2 значение x  1
равно 1, а при x  1 значение x  2 равна –1.
Замечание 1. Напомним, что несколько уравнений образуют
совокупность уравнений, если требуется найти все такие системы неизвестных, каждая из которых является решением хотя бы одного из заданных уравнений.
Уравнения, образующие совокупность, объединяются
квадратной скобкой или с помощью знака « ; », например:
 x  1  0,
 x  2  0, или x  1  0 ; x  2  0 . В главе 4 этот вопрос рассмот
рен подробно.▼
Замечание 2. Заметим, что в общем случае, когда условия теоремы 1.3. не выполняются, совокупность уравнений f ( x)  0 ;
g ( x )  0 является следствием уравнения f ( x)  g ( x)  0 . Некоторые решения совокупности могут оказаться посторонними для
этого уравнения.
35
x 1  0
Например, совокупность уравнений 
является след x  0,
ствием уравнения ( x  1)  x  0 , так как при х = –1 - решении
первого уравнения совокупности, второй множитель
x теряет
смысл. Уравнение ( x  1)  x  0 имеет единственное решение
х = 0.
Теорема 1.4. При любом натуральном значении n уравнения
f ( x)  g ( x) и ( f ( x))2 n 1  ( g ( x))2 n 1 равносильны.
Коротко эту теорему формулируют в виде правила так:
обе части уравнения можно возвести в одну и ту же натуральную нечетную степень.
Например: уравнения х  2  3 x  1 и ( х  2)3  (3 x  1)3 равносильны.
Теорема 1.5. Если f ( x)  g ( x)  0 при всех значениях х из области определения уравнения f ( x)  g ( x) , то при любом натуральном значении n уравнения f ( x)  g ( x) и ( f ( x))2 n  ( g ( x))2 n равносильны.
Коротко эту теорему формулируют в виде правила так:
обе части уравнения можно возвести в одну и ту же натуральную четную степень, если в области определения (ОДЗ)
они имеют одинаковый знак.
Например: уравнения 3х  2  x  1 и (3х  2)2  ( x  1)2 равносильны, так как при всех х из ОДЗ данного уравнения ( x  1)
обе части уравнения неотрицательны.
Замечание. Заметим, что если условие f ( x)  g ( x)  0 не выполняется, то в общем случае уравнение ( f ( x))2 n  ( g ( x))2 n является
следствием уравнения f ( x)  g ( x) .
36
Например, если возвести в квадрат обе части уравнения
5  x  3  x , то мы не можем гарантировать, что полученное
при этом уравнение ( 5  x )2  (3  x)2 равносильно исходному,
так как при некоторых значениях х из области определения
уравнения 5  x  3  x ( x  5 ) правая часть уравнения принимает отрицательные значения (для всех x  (3;5] ), тогда как
левая часть неотрицательна для всех допустимых значениях х.
Действительно, уравнение ( 5  x )2  (3  x)2 равносильно
уравнению x 2  5 x  4  0 , имеющему два решения x1  4 и
x2  1, первое из которых является посторонним для уравнения 5  x  3  x , так как при x = 4 получаем неверное числовое равенство 1 = –1 (которое после возведения обеих частей в
квадрат становится верным равенство 1 = 1).
К сожалению, рассмотренные в теоремах 1.1. – 1.5. преобразования, не исчерпывают все многообразие применяющихся
в практике решения уравнений преобразований, выполнение
которых может привести к неравносильному уравнению.
Этот факт делает задачу о решении уравнений творческой
и в каждом конкретном случае для получения правильного ответа должно проводиться специальное исследование.
Для подтверждения этого тезиса рассмотрим только один
пример.
f ( x)  ( x)
Пусть дано уравнение вида:
.
(1)

g ( x)  ( x)
1) Если обе части данного уравнения заменить обратными по
величине выражениями («перевернуть дроби»), то получится
g ( x)  ( x)
уравнение:
.
(2)

f ( x)  ( x)
Исследуем это преобразование с точки зрения равносильности перехода от уравнения (1) к уравнению (2). Иными словами, ответим на вопрос: равносильны уравнения (1) и (2) или
нет?
Если все выражения (функции) f (x ) , g (x) ,  (х) ,  (х ) имеют
смысл, то ОДЗ уравнения (1) находится из условий g ( x)  0 и
37
 ( х)  0 , а ОДЗ уравнения (2) находится из условий f ( x)  0 и
 ( х)  0 .
Ясно, что всякое значение x  x1 (если такое существует),
при котором выполнено условие g ( x1 )   ( x1 )  0 , является решением уравнения (2), но не является решением уравнения (1).
Всякое значение x  x2 (если такое существует), при котором
выполнено условие f ( x2 )   ( x2 )  0 , является решением уравнения (1), но не является решением уравнения (2). Следовательно, уравнения (1) и (2) могут быть неравносильными.
1 1
Например, заменим уравнение 3  2 , ОДЗ которого заx x
дается множеством x  (;0)  (0;) , уравнением x3  x 2 , ОДЗ
которого задается множеством x  R .
Полученное в результате преобразования «переворачивания» левой и правой частей уравнение x3  x 2  x 2 ( x  1)  0
1 1
имеет два решения x1  1 и x2  0 . Данному уравнению 3  2
x x
удовлетворяет лишь первое решение x1  1, а второе решение
x2  0 является посторонним. Уравнения неравносильны.
Вместе с тем, например, преобразование «переворачива1
1
ния» левой и правой частей для уравнения 2 
приводит
x 3x  2
к равносильному уравнению x 2  3 x  2 , так как оба уравнения
имеют по два одинаковых решения x1  1 и x2  2 .
2) Будем рассматривать уравнение (1) как пропорцию и состаf ( x)  g ( x)  ( x)   ( x)
вим производную пропорцию:
.
(3)

f ( x)  g ( x)  ( x)   ( x)
ОДЗ неизвестного уравнения (3) находится из условий
f ( x)  g ( x) и  ( х)   ( x) .
Ясно, что всякое значение x  x1 (если такое существует),
при котором выполняются условия f ( x1 )  g ( x1 ) ,  ( х1 )   ( x1 ) и
38
g ( x1)   ( x1)  0 , является решением уравнения (3), но не является решением уравнения (1).
Всякое значение x  x2 (если такое существует), при котором выполняются условия g ( x2 )  0 ,  ( х2 )  0 , f ( x2 )  g ( x2 ) и
 ( х2 )   ( x2 ) является решением уравнения (1), но не является
решением уравнения (3). Следовательно, уравнения (1) и (3)
могут быть неравносильными.
Например, составление производной пропорции для урав2 x  2 x 2
нения
 , ОДЗ которого задается множеством
2 x  2 x x
x   2,0  0,2 , приводит к уравнению
2 x

2 x
, ОДЗ
2 x
2 x
которого задается множеством x  [2;2) .
Заметим, что в результате проведённого преобразования
ОДЗ исходного уравнения удивительным образом изменилась:
сузилась на одну точку х = 2 и расширилась также на одну точку х = 0. В данном случае это приводит к «тяжелым последствиям». Полученное в результате преобразования уравнение
имеет два решения x1  2 и x2  0 (см. задачу 2.90.). Данному
же уравнению удовлетворяет лишь первое решение x1  2 , а
второе решение x2  0 является посторонним. Кроме того, в результате сужения ОДЗ происходит потеря корня х = 2. Уравнения неравносильны.
1.3.4. Примеры применения теорем о равносильности
уравнений
Рассмотрим несколько примеров применения теорем о
равносильности уравнений.
1.11. Равносильны ли уравнения
x 2 1  x и x 2  1  1  x  x  1  x ?
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Так как прибавляемое выражение 1  х имеет
39
смысл не для всех х из ОДЗ уравнения, задаваемой множеством х  [0; ) , и суживает ОДЗ уравнения x 2 1  x до
множества х  [0;1] , то гарантировать равносильность этих
уравнений нельзя.
Рассмотрим первое уравнение x 2 1  x . Докажем, что это
уравнение решений не имеет.
Так как x 2  0 при любых х, то для левой части уравнения
справедлива оценка x 2  1  1 . Следовательно, правая часть также не меньше 1 и решение уравнения (если оно существует)
удовлетворяет условию x  1.
Перепишем уравнение так: x 2 1  x  x 2  1  x  0 
x ( x x  1)  1  0 . Так как для всех x  1 выполняется неравенство
x ( x x  1)  0 , то
x ( x x  1)  1  0 и, значит, x 2 1  x
и уравнение x 2 1  x решений не имеет.
Второе уравнение, очевидно, также не имеет решений, так
как x 2  1  1  x  x  1  x при всех допустимых значениях х.
Откуда заключаем, что уравнения равносильны.
О т в е т: уравнения равносильны.
1.12. Равносильны ли следующие пары уравнений:
2 x  7 x2  2x  2 x и  7 x2  2 x .
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. ОДЗ первого уравнения определяется условием
x  0 , то есть x  [0; ) .
После вычитания из обеих частей первого уравнения одного и того же выражения 2 x и приведения подобных членов,
получаем второе уравнение, ОДЗ которого – множество всех
действительных чисел x  R . Так как в результате проведенного преобразования ОДЗ уравнения расширилось, то гарантировать равносильность уравнений нельзя.
Решим второе уравнение. Имеем:  7 x 2  2 x  7 x 2  2 x  0
2
2
 7 x( x  )  0 , откуда находим два решения x1   и x2  0 .
7
7
40
2
является посторонним для первого уравне7
ния, так как не удовлетворяет ОДЗ этого уравнения. Уравнения
неравносильны.
Решение x1  
О т в е т: уравнение неравносильны.
1.13. Равносильны ли уравнения
2 x 2  2 x  3 3x 2  2 x  1
и 2 x 2  2 x  3  3x 2  2 x  1 ?

x3
x3
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. ОДЗ первого уравнения определяется условием
x  3 , то есть x  (;3)  (3;) . ОДЗ второго уравнения –
множество всех действительных чисел x  R .
Решим второе уравнение. Имеем: 2 x 2  2 x  3  3x 2  2 x  1 
2
 x  4  x 2  4 , откуда находим два решения x1  2 и x2  2 .
Второе уравнение получено из первого уравнения после
умножения его обеих частей на выражение ( x  3) с дальнейшим сокращением дроби. В результате сокращения дроби ОДЗ
уравнения расширяется. Однако уравнения равносильны, так
как при переходе от первого уравнения ко второму ОДЗ расширяется на число x  3 , не являющееся решением второго
уравнения.
О т в е т: уравнение равносильны.
1.14. Равносильны ли уравнения
x2  4x  3
 x и x 2  4 x  3  x( x  3) ?
x3
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. ОДЗ первого уравнения определяется условием
x  3 , то есть x  (;3)  (3; ) .
Второе уравнение получено из первого уравнения после
умножения его обеих частей на выражение ( x  3) . В результате
ОДЗ уравнения расширяется до множества всех действительных чисел x  R и гарантировать равносильность уравнений
нельзя.
41
Решим второе уравнение. Имеем x 2  4 x  3  x( x  3) 
x 2  4 x  3  x 2  3х   x  3 , откуда находим единственное
решение x  3 , которое не является решением первого уравнения, так как не удовлетворяет ОДЗ этого уравнения. Уравнения
неравносильны.
О т в е т: уравнение равносильны.
1.15. Равносильны ли уравнения
2 x  5  x  6 х и (2 x  5)2  ( x  6 х)2 ?
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. ОДЗ обоих уравнений определяется условием
x  0 , то есть x  [0; ) .
Второе уравнение получено в результате возведения обеих
частей первого уравнения в квадрат.
Так как левая и правая части первого уравнения неотрицательны при всех значениях х из ОДЗ, то в силу теоремы 1.5.
уравнения равносильны.
О т в е т: уравнение равносильны.
1.16. Равносильны ли следующие уравнения и совокупности
уравнений:
3
3 
а) ( x  2) 2 x 
 0?
  0 и x  2  0 ; 2x 
х3
x 3

1
1 
б) ( x  2) 5 x 
 0?
  0 и x  2  0 ; 5x 
х2
x2

--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е.
3
а) Так как выражение 2 x 
имеет смысл и значение, равное
х3
1, для значения x  2 , при котором x  2  0 , а выражение x  2
имеет смысл при любых значениях x  R , то в силу теоремы
3 
1.3. уравнение ( x  2) 2 x 
  0 равносильно совокупности
x 3

3
уравнений x  2  0 ; 2 x 
 0.
х3
42
1
не имеет смысла для значения
х2
x  2 , при котором x  2  0 , то в силу теоремы 1.3. уравнение
1 

( x  2) 5x 
  0 неравносильно совокупности уравнений
x2

1
x  2  0 ; 5x 
 0.
х2
О т в е т: а) равносильны; б) неравносильны.
б) Так как выражение 5 x 
1.17. Равносильны ли следующие уравнения и совокупности
уравнений:
а) x  3  2 x  4  0 и x  3  0 ; 2 x  4  0 ?
б) 3  x  2 x  4  0 и 3  x  0 ; 2 x  4  0 ?
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е.
а) Так как выражение x  3 не имеет смысла для значения
x  2 , при котором 2 x  4  0 , то в силу теоремы 1.3. уравнение x  3  2 x  4  0 неравносильно совокупности уравнений
x  3  0 ; 2x  4  0 .
б) Так как выражение 3  x имеет смысл и значение, равное 5 ,
для x  2 , при котором
2 x  4  0 , а выражение
2 x  4 имеет
смысл и значение, равное 10 , для x  3 , при котором 3  x  0 ,
то в силу теоремы 1.3. уравнение 3  x  2 x  4  0 равносильно
совокупности уравнений 3  x  0 ; 2 x  4  0 .
О т в е т: а) неравносильны; б) равносильны.
1.18. Равносильны ли следующие уравнения и совокупности
уравнений:
( x 2  5 x  6)( x  2)
а)
 0 и x2  5x  6  0 ; x  2  0 ?
x3
( x 2  3x  2)( x  3)
б)
 0 и x 2  3x  2  0 ; x  3  0 ?
x4
--------------------------------------------------------------------------------43
Р е ш е н и е.
( x 2  5 x  6)( x  2)
не имеет смысла для
x3
значения x  3 , при котором x 2  5 x  6  0 , то в силу теоремы
( x 2  5 x  6)( x  2)
1.3. уравнение
 0 неравносильно совокупности
x3
уравнений x 2  5 x  6  0 ; x  2  0 .
( x 2  3x  2)( x  3)
б) Так как выражение
имеет смысл и значение,
x4
равное 0, для x  1, x  2 , при котором x 2  3x  2  0 , и для x  3 ,
при котором x  3  0 , выражение x 2  3 x  2 имеет смысл и значение, равное 2, для x  3 , при котором x  3  0 , а выражение
x  3 имеет смысл и значения, равные –2 и –1, для x  1, x  2 ,
соответственно, при котором x 2  3x  2  0 , то в силу теоремы
( x 2  3x  2)( x  3)
1.3. уравнение
 0 равносильно совокупности
x4
уравнений x 2  3x  2  0 ; x  3  0 .
а) Так как выражение
О т в е т: а) неравносильны; б) равносильны.
1.19. Равносильны ли следующее уравнение и совокупность
уравнений:
x 3
x 3
x 2  3x  2  x 2 1 
2
x 2 1
3
1?
x

3
x

2

0
и
;

3

1

0

x 2  5 x  6 

-------------------------------------------------------------------------------x 3
x 2  3x  2  x 2 1 
Р е ш е н и е. Так как выражение 2
 3  1 не имеет

x  5 x  6 

2
смысла для значения x  2 , при котором x  3x  2  0 (при этом
x3
x  5 x  6  0 ), а выражение 3
не имеет смысла для значения
2
x  1 , при котором x  3x  2  0 , то в силу теоремы 1.3. уравне2
44
x 2 1
ние
x 3
x 2  3x  2  x 2 1 
 3  1  0 неравносильно совокупности уравне
x 2  5 x  6 

x 3
ний x 2  3x  2  0 ; 3 x 1  1 .
2
О т в е т: неравносильны.
1.20. Какое из двух следующих уравнений является следствием
другого?
x2  x  1
1)
 1 , 2) x 2  x  1  4  х .
4 x
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. ОДЗ уравнения 1) определяется условием 4  x  0 ,
то есть x  4 . ОДЗ уравнения 2) – множество всех действительных чисел x  R .
Отметим, что при переходе от уравнения 1) к уравнению 2)
ОДЗ расширяется, а при переходе от уравнения 2) к уравнению
1) сужается.
Решим уравнение 2), полученное в результате умножения
левой и правой частей уравнения 1) на выражение 4  х .
Имеем x 2  x  1  4  х  x 2  2 x  3  0 , откуда находим два
решения х1  3 , х2  1 .
Так как знаменатель дроби левой части уравнения 1)
4  х  0 при х  3 и х  1 , то расширение ОДЗ при переходе от
уравнения 1) к уравнению 2), не приводит к появлению постороннего корня и уравнения 1) и 2) имеют одинаковые множества корней, а, значит, равносильны.
О т в е т: уравнения 1) и 2) равносильны.
1.21. Какое из двух следующих уравнений является следствием
другого?
1) log2 ( x  3)2  2 , 2) 2 log2 ( x  3)  2 .
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Так как ( x  3)2  0 при любых х, то ОДЗ уравнения
1) определяется условием x  3  0 , т.е. x  3 . ОДЗ уравнения 2)
определяется условием x  3  0 , т.е. x  (3;) .
45
Отметим, что при переходе от уравнения 1) к уравнению 2)
ОДЗ сужается, а при переходе от уравнения 2) к уравнению 1)
– расширяется.
Решим уравнение 1). Потенцируя, получаем ( x  3)2  4 
x  3  2 , откуда находим два решения х1  5 , х 2  1 .
Решим уравнение 2). Имеем: 2 log2 ( x  3)  2  log2 ( x  3)  1 .
Потенцируя, получаем x  3  2 , откуда находим единственное
решение х  1.
Решение х  5 является посторонним для уравнения 2),
так как не удовлетворяет ОДЗ этого уравнения.
Таким образом, единственное решение уравнения 2) х  1
является решением уравнения 1), но не все решения уравнения
1) являются решениями уравнения 2), а именно, решение х  5
является посторонним для уравнения 2).
Следовательно, уравнение 1) является следствием уравнения 2).
О т в е т: уравнение 1).
1.22. Равносильны ли следующие уравнения на данном множестве А?
а) х  1  2 х  4 , х 1  2х  4 ; А  {х : x  1} .
б) х2  1  х  2 х  3  4 х  6 , х 2  1  х  2 х  3  4 х  6 ; А  {х : x  [0;1]} .
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. а) Так как х  1  х  1 для всех x  1, то на множестве А  {х : x  1} уравнение х  1  2 х  4 можно записать в виде
х 1  2х  4 . Откуда заключаем, что уравнения равносильны на
множестве А .
б) Так как для всех 0  x  1 выполняется неравенство 0  x 2  1 ,
то x 2  1  0 и, следовательно, х 2  1  ( х 2  1)  1  х 2 на множестве А  {х : x  1} . Кроме того для всех 0  x  1 выполняются
неравенства x  0 и 2x  3  0 и, значит, х  х , 2 х  3  2 х  3 на
множестве А  {х : x  1} .
46
Поэтому на множестве А уравнение х2  1  х  2 х  3  4 х  6
можно записать в виде  х 2  1  х  2 х  3  4 х  6  х 2  3х  10  0 .
Второе уравнение х 2  1  х  2 х  3  4 х  6  х 2  3х  8  0 .
Откуда заключаем, что уравнения неравносильны на множестве А .
О т в е т: а) уравнения равносильны на множестве А;
б) уравнения неравносильны на множестве А.
1.23. Равносильны ли следующие уравнения на данном множестве А?
3х  5 7  2 х
а)
, 3х  5  7  2х ; А  {х : x  Z } .

х2 х2
х2  4
б)
 4 , х  2  4 ; А  {х : x  Z } .
х2
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. а) Так как уравнение 3х  5  7  2х равносильно
12
уравнению 5х  12 , которое имеет корень х   2,4 , то на мно5
жестве А  {х : x  Z } уравнение корней не имеет. Первое урав3х  5 7  2 х
нение
равносильно уравнению 3х  5  7  2х , так

х2 х2
12
как при х   2,4 значение знаменателя х  2  0 . Поэтому
5
первое уравнение также не имеет решений на множестве А.
Откуда заключаем, что уравнения равносильны на множестве А .
б) Уравнение х  2  4 имеет целый корень х  2 , который не
х2  4
является корнем первого уравнения
 4 , так как при
х2
х  2 знаменатель дроби х  2 равен нулю.
Откуда заключаем, что уравнения неравносильны на множестве А .
О т в е т: а) уравнения равносильны на множестве А;
б) уравнения неравносильны на множестве А.
47
Упражнения.
Равносильны ли уравнения:
1. x  2  0 и x  1  1.
x 1 3  x
2.
и x 1  3  x .

x2 x2
3. x 2 1  x и x 2  1  1  x  x  1  x .
4.
x2  5  2 и x 2  5  4 .
5.
x 2 1  x3 1 и x 2  x 3 .
6. x 2  2 x  1  ( x  1) и x  1 0 .
х3  х
 0.
х
1
1
8. х  2  х5  2 и х  х 5 .
x
х
х
х2
9. 2  2
и х  х2 .
х 1 х 1
x
x2
10.
 2.
 2x и
x 1
x 1
11. x  2  2 х  1 и ( x  2)2  ( 2х  1)2 .
х
12. 2 x  7 х2  2  х  и 2 x  7 х 2  2 х  2 х .
2

2
2 x  2 x  3 3x 2  2 x  1
13.
и 2 x 2  2 x  3  3x 2  2 x  1 .

x2
x2
2
14. 3log3 ( x  4 x 3)  x  3 и х 2  4 x  3  х  3 .
7. x3  х  0 и
15.
x 2  x  1  1 и log2 (1  x 2 (1  x)2 )  0 .
16. log2 (1  x)  log2 (2 x  4) и 1  x  2x  4 .
17.
x  3  3  х  log5 ( x  2) и ( x  3)2  0 .
18.
x2  4
1 и x  2 1.
x2
48
19. log2 ( х 2  3x)  2 и log2 х  log2 ( x  3)  2 .
20. log5 х  log5 (2 x  5)  0 и log5
х
 0.
2х  5
Равносильны ли следующие уравнения и совокупности уравнений:
21. ( х  4)( x  3)  0 и х  4  0 ; х  3  0 .
1
1 
22. ( х  4) x 
 0.
  0 и х  4  0; х 
x4
 x4
1
1 
23. ( х  4) x 
 0.
  0 и х  4  0; х 
x3
 x  3
24. 3  х  х  4  0 и 3  х  0 ;
25.
х4 0.
х 3  х  4  0 и х 3  0; х  4  0 .
26. (1  х)  lg( x  2)  0 и 1  x  0 ; lg( x  2)  0 .
27. ( х  3)  lg(2  x)  0 и x  3  0 ; lg(2  x)  0 .
( x 2  2 x  3)( x  1)
 0 и x2  2x  3  0 ; x  1  0 .
x3
( x 2  3x  2)( x  1)
29.
 0 и x 2  3x  2  0 ; x  1  0 .
x4
x 3
x 3
x 2  5 x  6  x 2 1 
2
x 2 1
2
0.
x

5
x

6

0
30. 2
и
;
 2 1  0

x  2 x  1 

31. Указать, какое из двух уравнений является следствием друx2  4 x  3
гого:
 1 , x2  4 x  3  х  3 .
x3
32. Указать, какое из двух уравнений является следствием другого: х( х  1)  1, x( х  1)  1 .
28.
33.Равносильны ли следующие уравнения на данном множестве А?
log2 ( x 2  4)  log2 (4 x  7) , х 2  4  4 х  7 ; А  {х : x  2} .
49
Глава 2. Уравнения с одним неизвестным
2.1. Линейные уравнения
Определение 2.1. Уравнение вида:
a x  b,
(1)
где а и b – действительные числа, называется линейным уравнением с одним неизвестным.
Например: 2 x  4 ,  3x  2 .
Вид уравнения (1) называется каноническим.
Число а называется коэффициентом при неизвестном, b –
свободным членом.
При решении линейного уравнения возможны следующие
случаи:
1) Если a  0 , то уравнение имеет единственное решение
b
и называется определенным.
a
2) Если a  0 , а b  0 , то уравнение принимает вид: 0  x  b .
x
В этом случае уравнение не имеет решений и называется
противоречивым.
3) Если a  0 , а b  0 , то уравнение принимает вид: 0  x  0 .
В этом случае уравнение выполняется при любом значении
x  R , имеет бесчисленное множество решений и называется
неопределенным.
Рассмотрим примеры линейных уравнений.
2 x 1  x 5x
2.1. Решить уравнение  

1 .
3 4
6
12
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Уравнение линейное. Приведем уравнение к каноническому виду.
Умножив обе части уравнения на 12, получим равносильное уравнение: 8 + 3x + 2 – 2x = 5x – 12  3x – 2x – 5x = −12 –
50
2 – 8  − 4x = −22, откуда находим корень x 
О т в е т:
11
.
2
11
.
2
x 3  2 x 5x


 x.
3
4
6
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Уравнение линейное. Приведем уравнение к каноническому виду.
Умножив обе части уравнения на 12, получим равносильное уравнение:
4x + 9 – 6x = 10x – 12x  4x – 6x – 10x +12x = – 9  0  х  9 ,
откуда заключаем, что уравнение корней не имеет.
2.2. Решить уравнение
О т в е т: корней нет.
2.3. Решить уравнение 3  (3  2 x)  2  (5 x  4)  4 x  1 .
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Уравнение линейное. Приведем уравнение к каноническому виду.
Раскрыв скобки, получим равносильное уравнение:
9 + 6x = 10x + 8 – 4x + 1  6x –10x + 4x = – 9 +8 + 1 
0  х  0 , откуда заключаем, что уравнение выполняется при
любом значении x  R и имеет бесчисленное множество решений.
О т в е т: x  ( ; ) .
2.4. Решить уравнение (a 2  16) x  a 3  64 .
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Уравнение линейное, a – параметр уравнения.
Замечание. Здесь часто допускается ошибка: «Откуда получаa 3  64 (a  4)(a 2  4a  16) a 2  4a  16
ем x  2
».


(a  4)(a  4)
a4
a  16
Наличие параметра задачи a требует исследования всех
возможных случаев решения в зависимости от параметра a. ▼
51
Рассмотрим возможные случаи:
1) Если a 2  16  0 , т.е. a  4 , то уравнение имеет единственное решение
a 3  64 (a  4)(a 2  4a  16) a 2  4a  16
и является
x 2


(a  4)(a  4)
a4
a  16
определенным.
2) Если a  4 , то уравнение принимает вид 0  x  0 .
Уравнение выполняется при любом значении x  R , имеет
бесчисленное множество решений и является неопределенным.
3) Если a  4 , то уравнение принимает вид 0  x  128.
Уравнение не имеет решений и является противоречивым.
a 2  4a  16
О т в е т: если a  4 , то x 
; если a  4 , то
a4
x  R ; если a  4 , то корней нет.
2.5. Решить уравнение ax  5  3x  a .
--------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Уравнение линейное, a – параметр уравнения.
Приведем уравнение к каноническому виду.
Имеем: ax  3x  a  5  (a  3) x  a  5 .
Рассмотрим возможные случаи:
1) Если a – 3  0, то есть a  3, то уравнение имеет единственa5
ное решение x 
и является определенным.
a3
2) Если a – 3 = 0, то есть a = 3, то уравнение принимает вид:
0  х  2 . Это уравнение решений не имеет.
a5
О т в е т: если a  3, то x 
; если a = 3, то корней нет.
a3
2.6. Найти рациональные решения уравнения
x  2  x 2  a 2 , где а – рациональный параметр.
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Уравнение линейное. Приведем уравнение к
каноническому виду.
52
Имеем: (1  2 ) x  a 2  2 , откуда находим x 
a2  2
.
1 2
Преобразуем выражение для корня уравнения – избавимся
от иррациональности в знаменателе:
(a 2  2 )(1  2 ) a 2  2  a 2 2  2
=
= (2  a 2 )  (1  a 2 ) 2 .
x
1 2
(1  2 )(1  2 )
Это выражение будет рациональным числом лишь в том
случае, если 1 – a2 = 0, т.е. при а =  1, так как по условию параметр a – рациональное число.
Тогда рациональный корень уравнения – это х = 1.
О т в е т: х = 1, при а = 1.
Упражнения.
Решить уравнение:
34. 3x  1  (4 x  3)  ( x  4) .
35. 2 x  5  2( x  6) .
36. 5 x  2  (7 x  3)  (8 x  11) .
x  4 2( x  1)
5( x  3)
11x  43
37.
.

1 
 2x 
3
4
2
6
4
1
1 1 1
38. х  2 х  2  2 х  х  .
5
2
3 6 5
39. аx  а 2 .
40. (а  2) x  а 2  4 .
41. (а 2  9) x  а 3  27 .
42. а 2 x  3x  x  а 3  8 .
43. ax  x  a 2  2a  1 .
44. 3mx  3nx  6m 2  6n 2 .
45. Исследовать уравнение ( x  1)(а 2  1)  5  4a и определить,
при каких значениях а корень уравнения меньше или равен 0.
53
2.2. Квадратные уравнения. Формулы для корней.
Теорема Виета
Определение 2.2. Уравнение вида:
ax 2  bx  c  0 ,
(1)
где а, b и с – некоторые действительные числа, причем а  0,
называется полным квадратным уравнением общего вида с
одним неизвестным.
Например: 2 x 2  3 x  7  0 ,  2 x 2  3x  5  0 .
Вид уравнения (1) называется каноническим.
Число а называется первым (или старшим) коэффициентом, число b – вторым коэффициентом, число c – свободным
членом.
Если a = 1, то уравнение называется полным квадратным
уравнением приведенного вида или приведенным квадратным
уравнением.
Например: x 2  5 x  6  0 .
Если хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю,
то квадратное уравнение называется неполным.
Например: 2 x 2  1  0 , x 2  2 x  0 , 3  x 2  0 .
Умножая обе части уравнения (1) на 4а и выделяя в левой
части полный квадрат, получим равносильное уравнение:
4a 2 x 2  4abx  4aс  0  4a 2 x 2  4abx  b 2  b 2  4aс  0 
(2ax  b) 2  b 2  4aс (2)
Выражение D  b 2  4ac называется дискриминантом квадратного уравнения (“дискриминант” по латыни − различитель).
При решении квадратного уравнения возможны следующие случаи:
1) Если D >0, то квадратное уравнение (1) имеет два различных
действительных корня, вычисляемые по формуле:
54
x1, 2 
 b  b 2  4ac
2a
Действительно, извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения (2), получим равносильное уравнение:
 2ax  b  b 2  4ac .
Полученное уравнение равносильно совокупности двух
линейных уравнений
(2ax  b) 2  b 2  4ac
2ax  b   b 2  4ac  2ax  b  b 2  4ac , откуда,
учитывая, что a  0 , находим два корня квадратного уравне b  b 2  4ac
ния (1): x1, 2 
.
2a
2) Если D = 0, то уравнение имеет два одинаковых действиb
тельных корня x1  x 2   .
2a
В этом случае говорят, что уравнение имеет один двукратный корень или корень кратности 2.
3) Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней.
Замечание 1. Если b = 2k - четное число, то формула для корней квадратного уравнения упрощается и принимает вид:
 k  k 2  ac
x1, 2 
a
Действительно,
x1, 2 
 k  k 2  ac
 2k  2 k 2  ac
 2k  4k 2  4ac
=
=
.
a
2a
2a
Эту формулу иногда называют “половинной формулой”.
Замечание 2. В случае неполных квадратных уравнений для
отыскания их корней, как правило, формулой для корней квадратного уравнения не пользуются, а уравнение решают методом разложения его правой части на множители.
55
Так, например, уравнение 4 x 2  5 x  0 заменяют равно5
сильным уравнением 4 x ( x  )  0 , откуда получают два корня
4
5
x1  0 и x 2  . А уравнение вида 4 x 2  1  0 заменяют рав4
1
носильным уравнением x 2  , откуда получают два корня
4
1
1
x1   и x 2  .▼
2
2
Между коэффициентами и корнями квадратного уравнения
существует зависимость, определяемая теоремой Виета.
Франсуа Виет, сеньор де ля Биготье
(Francois Viete, seigneur de la Bigotiere,
1540-1603) – французский математик.
Выдающийся французский математик,
основатель символической алгебры, как науки о преобразовании выражений и решении уравнений в общем виде. Виет первым
начал обозначать буквами не только неизвестные, но и данные величины. Автор знаменитых «формул Виета», связывающих
коэффициенты многочлена с его корнями.
Автор теории решения уравнений первых
четырех степеней.
Теорема Виета (прямая). Если числа х1 и х2 – корни квадратного уравнения ax 2  bx  c  0 , то они связаны с коэффициентами этого уравнения равенствами
b

x x  ,
 1 2
a

c
x  x  .
 1 2 a
56
Справедлива также теорема, обратная теореме Виета.
Теорема Виета (обратная). Если числа х1 и х2 таковы, что выполняются равенства
b

 x1  x 2   a ,

x  x  c ,
 1 2 a
то эти числа являются корнями квадратного уравнения вида
ax 2  bx  c  0 .
При решении многих задач на квадратные уравнения используется как прямая, так и обратная теоремы Виета.
2.2.1. Задачи, решаемые с использованием прямой
теоремы Виета
На прямой теореме Виета основано решение следующих
задач.
Задача 1. Найти, при каком значении коэффициентов a, b, c
уравнения ax 2  bx  c  0 , его корни x1 и x2 связаны данной зависимостью.
2.7. Найти, при каком значении коэффициента c квадратное
уравнение x2 – 8x + c = 0 имеет корни x1 и x2, связанные зависимостью 3x2 – 4x1 = 3.
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Задача имеет три неизвестных: x1, x2, c.
Используя соотношения Виета и заданную зависимость,
получаем систему трех уравнений с тремя неизвестными:
x1  x2  8 ,
x1  x2  c ,
3x2 – 4x1 = 3.
57
Решив систему методом подстановки, находим x1 =3, x2 =5,
c = 15.
О т в е т: c = 15.
2.8. Найти при каком значении параметра m уравнение
2 x 2  (m  1) x  m  1  0 имеет корни x1 и x2, связанные зависимостью x2 – x1 = 1.
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Задача имеет три неизвестных: x1, x2, m.
Используя соотношения Виета и заданную зависимость,
получаем систему трех уравнений с тремя неизвестными:
m 1
,
x1  x2 
2
m 1
,
x1  x2 
2
x2  x1  1 .
Решив систему методом подстановки, находим два значения параметра m, удовлетворяющих условию задачи: m1 = −1 и
m2 = 11.
О т в е т: m1 = −1, m2 = 11.
Задача 2. Не решая уравнения ax 2  bx  c  0 , найти сумму
одинаковых степеней его корней.
2.9. Не решая уравнения x2 – 2x – 3 = 0, найти сумму кубов его
корней.
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Уравнение имеет два действительных неравных
корня, так как дискриминант D = 16.
Требуется найти сумму: А  x13  x 23 , где x1 , x2 - корни
уравнения.
 x  x  2,
По теореме Виета имеем соотношения:  1 2
 x1  x 2  3.
58
Преобразуем искомую сумму так:
A  x13  x 23  ( x1  x 2 )( x12  x1 x 2  x 22 )  ( x1  x2 )( x12  x1x2  x22  2 x1x2 
 2x1x2 )  ( x1  x2 )((x1  x2 )2  3x1x2 ) .
Осуществив подстановку, получаем А = x13 + x23 = 2(22 −
3(−3)) = 26.
О т в е т: 26.
Замечание. Следует отметить, что замечание о существовании
действительных корней уравнения здесь обязательно. Одна из
наиболее распространенных ошибок при решении задач, связанных с теоремой Виета, состоит в том, что используют соотношения Виета, предварительно не выяснив, существуют действительные корни уравнения или нет.
Так, например, задача о вычислении данного выражения
для уравнения x2 – 2x + 3 = 0 не имеет решения, так как уравнение не имеет действительных корней. Вместе с тем, формальное решение, аналогичное выше приведенному, дает следующий результат:
 x1  x 2  2,

 x1  x 2  3.
А = x13 + x23 = 2(22 − 33) = −10.
В рассмотренной выше Задаче 1 вопрос о существовании
действительных корней выясняется в результате решения системы уравнений и поэтому отдельно не рассматривается. ▼
2.10. Не решая уравнения x 2  x  1  0 , найти значение выражения A = x14 + x24, где x1 и x2 – корни этого уравнения.
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Уравнение имеет два действительных корня, так
как дискриминант D = 5.
По теореме Виета имеем соотношения
 x1  x2  1,

 x1  x2  1.
Преобразуем выражение, дважды выделяя полный квадрат
суммы:
59
A = x14 + x24 = x14 + x24 + 2x12x22 − 2x12x22 = (x12 + x22)2 − 2x12x22
= (x12 + 2x1x2 + x22 − 2x1x2)2 − 2x12x22 = ((x1 + x2)2 − 2x1x2)2 –
–2(x1x2)2.
Осуществив подстановку, получаем: А = (12 – 2(−1))2 –
–2(−1)2 = 7.
О т в е т: 7.
Задача 3. Не решая уравнения ax 2  bx  c  0 , найти значение
выражения, симметричного по отношению к его корням.
Замечание. Выражение называется симметричным по отношению к двум переменным u и v, если при их взаимной замене
(перестановке) оно не изменяет своего числового значения.
Например: u  v ; u 2  v 2 ; u 3  v3 ; … ; u n  v n ;
u  v ; u 2  v 2 ; u 3  v3 ; … ; u n  v n ;
3(u 2  v 2 )  5u 3v3 , и т.п.▼
2.11. Не находя корней x1 и x2 уравнения x 2  x  2  0 , найти
значение выражения A = (x1 – x2)2.
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Выражение А является симметричным по отношению к корням уравнения x1 и x2.
Уравнение имеет два действительных корня, так как D = 9.
По теореме Виета имеем соотношения
 x1  x 2  1,

 x1  x 2  2.
Преобразуем данное выражение A к виду, содержащему
только сумму и произведение корней:
A = (x1–x2)2 = x12–2x1x2+ x22 = x12 +2x1x2+ x22 –4x1x2= (x1+ x2)2 –
– 4x1x2.
Осуществив подстановку, получим А = 12 – 4(−2) = 9.
О т в е т: 9.
60
2.12. Не решая уравнения x2 – x – 4 = 0, найти сумму кубов чисел, обратных его корням.
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Если х1 и х2 – корни уравнения, то требуется
3
3
1  1 
найти сумму A       .
 x1   x 2 
Уравнение имеет два действительных корня, так как дискриминант D = 17.
По теореме Виета имеем соотношения:
 x1  x 2  1,

 x1  x 2  4.
Преобразуем искомую сумму к виду, содержащему только
сумму и произведение корней:
3
3
1 1 1
1 x13  x23 ( x1  x2 )( x12  x1 x2  x22 )




A    = 3  3  3 3 

x1  x2
( x1  x2 ) 3
 x1   x2  x1 x2
=
( x1  x2 )( x12  2 x1 x2  x22  3x1 x2 ) ( x1  x2 )((x1  x2 )2  3x1x2 )
.

( x1x2 )3
( x1  x2 ) 3
Осуществив подстановку, получаем A 
О т в е т: A  
1 (12  3(4))
13
 .
3
(4)
64
13
.
64
2.13. Не находя корней уравнения x 2  5 x  6  0 , найти значение
выражения А  ( x13  x1  1)( x23  x 2  1) .
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Выражение является симметричным по отношению к корням уравнения х1 и х2.
Уравнение имеет два действительных корня, так как D = 1.
По теореме Виета имеем соотношения:
 x1  x2  5,

 x1  x2  6.
61
Преобразуем данное выражение к виду, содержащему
только сумму и произведение корней:
А  ( x13  x1  1)( x23  x 2  1) = x13 x23 + x13 x 2 + x13 + x1 x23 + x1 x2 + x1 +
+ x 23 + x 2 + 1 = ( x1 x2 ) 3 + ( x13 x 2 + x1 x23 ) + ( x13 + x 23 ) + ( x1 + x 2 ) +
+ x1 x2 + 1 = ( x1 x2 ) 3 + x1 x2 ( x12  x 22 ) + ( x1 + x 2 )( x12  x1 x2 + x 22 ) +
+ ( x1 + x 2 ) + x1 x2 + 1 = ( x1 x2 ) 3 + x1 x2 ( x12  2 x1 x2 + x 22 − 2 x1 x2 ) +
+ ( x1 + x 2 )( x12  2 x1 x2 + x 22 − 3 x1 x2 ) + ( x1 + x 2 ) + x1 x2 + 1 =
= x13 x23 + x1 x2 (( x1 + x 2 )2 − 2 x1 x2 ) +( x1 + x 2 )(( x1 + x 2 )2 − 3 x1 x2 ) +
+ ( x1 + x 2 ) + x1 x2 + 1.
Осуществив подстановку, получаем




А = 63 + 6  5 2  2  6 + 5∙ 5 2  3  6 + 5 + 6 + 1 = 341.
О т в е т: 341.
2.14. Найти сумму квадратов корней уравнения
( x 2  2 x) 2  1997( x 2  2 x)  1998  0 .
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Произведя замену x 2  2 x  t , рассмотрим квадратное уравнение t 2  1997  t  1998  0 .
Так как дискриминант этого уравнения положителен
D  19972  4 1998  19972  4  (1997  1)  19972  4 1997  4  8 
 (1997  2) 2  8  19952  8  0 , то уравнение имеет два различных
действительных корня t1 и t2 .
По теореме Виета имеем соотношения:
t1  t 2  1997,
(1)

t1  t 2  1998.
Откуда заключаем, что t1  0 , t2  0 .
Учитывая замену, получаем два квадратных уравнения
62
x 2  2 x  t1 и x 2  2 x  t2 или x 2  2 x  t1  0 и x 2  2 x  t2  0 .
Оба уравнения имеют действительные корни х1 , х2 и х3 , х4 ,
так как дискриминанты уравнений положительны: D1  4  4t1  0 ,
D2  4  4t2  0 .
По теореме Виета имеем соотношения:
 x1  x 2  2,  x 3  x 4  2,
и
(2)

 x1  x 2  t1  x 3  x 4  t 2 .
По условию задачи требуется найти значение выражения
А  х12  x22  x32  x42 .
Выделив полные квадраты суммы, преобразуем данное
выражение к виду, содержащему только сумму и произведение
корней:
А  х12  x22  x32  x42  х12  2x1 x 2  x 22  2x1 x 2  x32  2x3 x 4  x 42  2x3 x 4 
 ( х1  x2 )2  2x1x2  ( x3  x4 )2  2x3 x4  ( х1  x2 )2  ( x3  x4 )2  2( x1x2  x3 x4 ).
Учитывая соотношения (1) и (2), получаем
А  ( х1  x2 )2  ( x3  x4 )2  2( x1x2  x3 x4 )  22  22  2(t1  t2 )  8  2(t1  t2 ) 
 8  2 1997  4002.
О т в е т: 4002.
Задача 4. По коэффициентам уравнения ax 2  bx  c  0 определить знаки его корней.
Решим задачу в общем виде.
c
b
Обозначим для удобства: S  x1  x 2   , P  x1  x2  .
a
a
Заметим, что если P  0 , т.е.
c
 0 (первый коэффициент
a
и свободный член имеют разные знаки), то дискриминант D =
b2 – 4ac = b2 + 4(−ac)  0.
Поэтому, не вычисляя дискриминанта можно утверждать,
что уравнение имеет два неравных действительных корня.
Зависимость знаков корней квадратного уравнения от знаков величин P и S, определяющихся знаками коэффициентов a,
63
b и с уравнения, представлена в Таблице 1.
Таблица 1.
D
Вычислять
не
требуется
Вычислять
не
требуется
Вычислять
не
требуется
S
 Выводы о корнях (x1 x2)
+
| x1|  | x2|, x1  0, x2  0
─
| x1| > | x2|, x1  0, x2  0
0
| x1| = | x2|, x1  0, x2  0
+
+
+
x1  0, x2  0
+
+
─
x1  0, x2  0
+
0
+
x1  0, x2  0, x1 = x2
+
0
─
x1  0, x2  0, x1 = x2
P
─
─
─
+
0
Вычислять
не
требуется
Вычислять Вычислять
не требу- не требуется
ется
─
Действительных корней нет
x1=0, х2 = 
b
b
или х2 =0, x1= 
a
a
Например: уравнение 2 х 2  9 х  5  0 имеет корни разных знаков x1  0, x2  0, причем х1  x2 , так как сумма корней положительна.
64
2.2.2. Задачи, решаемые с использованием обратной
теоремы Виета
На обратной теореме Виета основано решение следующих
задач.
Задача 1. Составить квадратное уравнение, корнями которого
являются два данных числа  и  .
Согласно обратной теореме Виета искомое квадратное
уравнение имеет вид x 2  (   ) x      0 .
2.15. Составить квадратное уравнение, корнями которого яв3
ляются числа 2 и
3
2 2  32
1
2
1
2
 6.
2 3
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Используя свойства степеней, формулу суммы
кубов и понятие степени с дробным показателем, упростим вид
второго корня.
3
3
1
1
 12   12 
 12 12 

 2   3 
 2  3  2  2 2  3 2  3 








2 3

 6
х2  1 1  6   1  1   6  
1
1
2 2  32
2 2  32
2 2  32
3
2
3
2
1
1
1
1
 5  2 2  32  6  5  (2  3) 2  6  5  6 2  6  5  6  6  5 .
Таким образом, требуется составить квадратное уравнение,
корнями которого являются числа x1  2 и x 2  5 .
Согласно обратной теореме Виета искомое квадратное
уравнение имеет вид
x 2  (2  5) x  2  5  0  x 2  7 x  10  0 .
О т в е т: x 2  7 x  10  0 .
65
2.16. Составьте приведенное квадратное уравнение, корнями
x 1
x 1
которого будут числа 1
и 2
, если х1 и x2 корни уравx2
x1
нения x 2  x  q  0 .
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Прямолинейная попытка использовать формулы
для корней х1 и х2 уравнения x 2  x  q  0 быстро приводит в
тупик вследствие возникающих при этом существенных технических трудностей.
Заметим, что для решения задачи выражений для корней х1
и х2 не требуется! Достаточно найти сумму и произведение чиx 1
x 1
сел 1
и 2
. Для этого воспользуемся теоремой Виета,
x2
x1
согласно которой для уравнения x 2  x  q  0 выполняются соотношения
 x1  x 2  1,

 x1  x 2  q.
Составим приведенное квадратное уравнение x 2  mx  n  0 ,
x  1 x2  1
корнями которого будут числа 1
и
.
x2
x1
Используя обратную теорему Виета, получаем
x  1 x 2  1 x12  x1  x22  x2 x12  x22  ( x1  x2 )
−m = 1
+



x2
x1
x1x2
x1x2

x12  x22  2 x1 x2  2 x1 x2  ( x1  x2 ) ( x1  x2 ) 2  2 x1 x2  ( x1  x2 )


x1 x2
x1 x2
12  2q  1
 −2, откуда следует, что m = 2.
q
x  1 x2  1
x x  x1  x2  1
x x  ( x1  x2 )  1
n = 1
∙
= 1 2
= 1 2
=
x2
x1
x1 x2
x1 x2
q 11
=
= 1, т.е. n = 1.
q

66
Итак, m = 2, n = 1, значит, искомое уравнение имеет вид
x  2x  1  0 .
2
О т в е т: x 2  2 x  1  0 .
2.17. Составьте квадратное уравнение с рациональными коэффициентами, зная, что одним из его корней является число
2 3
.
1 3
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Преобразуем данное число, избавившись от иррациональности в знаменателе дроби:
2  3 (2  3 )(1  3 ) 2  2 3  3  3
1 3 1

  3.


2
4
2
1 3
1  3 (1  3 )(1  3 )
2
Пусть искомое уравнение имеет вид: х + p∙x + q  0, где p и
q – рациональные числа по условию.
2 3 1
  3 является корнем этого
Так как число
4
1 3 2
квадратного уравнения, то выполняется равенство
2
1
1
3
3
 + q  0.
 
 + p∙  
2
2
4 
4 


Преобразуя, последовательно получим
1
1
1
1 3 3
3
3
+ q  0, 1+ p  + q   ( p  1) 
,
 2 
 + p  + p∙
2
2
4
2 4 4
4
4
1
3
1+ p  + q =  ( p  1) 
, 2 + p + 2  q =  ( p  1)  3 .
2
2
Левая часть этого равенства – рациональное число, так как
p и q – рациональные числа по условию. Правая же часть этого
равенства может быть рациональным числом только при условии p  1  0 .
Откуда заключаем, что равенство выполняется только при
условии 2 + p + 2  q  0 .
Таким образом, приходим к системе уравнений
67
p 1  0 ,
2 + p + 2  q  0 , откуда находим p  1 , q  
1
.
2
Следовательно, искомое уравнение имеет вид х2 – х – 1  0 .
2
Умножив обе части уравнения на 2, получим уравнение
2х2 – 2х – 1  0.
О т в е т: 2х2 – 2х – 1  0.
Замечание. Заметим, что можно рассуждать и так.
Из равенства p  1  0 , получаем p  1 . Но по теореме Виета
имеем соотношение х1 + х2   p , то есть х1 + х2  1, откуда
находим второй корень уравнения
1
1
3
3
  
х2  1 – х1  1 −  
, а затем находим значение
2

2
4
4


2
2
1
1 3
1
3  1
3    1   3 
q  x1  x2   
 
   
   .


2



4 2
4  2  4 
4 4
2

Отметим, что второй корень оказался сопряженным первому. Это не случайно. В общем случае можно доказать следующую лемму.
Лемма.1. Если один из корней квадратного уравнения вида
x 2  p  x  q  0 с рациональными коэффициентами является
иррациональным числом вида a + b , где a и b - рациональные
числа, то другой корень этого уравнения имеет вид: a − b и
наоборот.
▼
Задача 2. Составить квадратное уравнение, корни y1 и y2 которого были бы связаны с корнями x1 и x2 данного уравнения
f(x) = ax2 + b∙x + c = 0, зависимостью y   (x ) .
Общий метод решения задач такого типа заключается в
следующем. Если функция y   (x ) позволяет однозначно вы68
разить х через y с помощью функции x  g ( y ) , то для решения задачи достаточно в данное уравнение осуществить подстановку, исключающую неизвестную х. В результате получаем уравнение f ( g ( y ))  a( g ( y )) 2  bg ( y )  c  0 , которое и решает поставленную задачу. Рассмотрим пример такой задачи.
2.18. Составить квадратное уравнение, корни y1 и y2 которого
были бы связаны с корнями х1 и х2 уравнения 2 x 2  x  q  0 за1
висимостью y  .
x
--------------------------------------------------------------------------------1
Р е ш е н и е. Из заданной по условию зависимости y 
выx
разим х через y: x 
1
. Подставляя в заданное уравнение
y
2
1 1
2 x 2  x  q  0 , получаем уравнение 2        q  0 .
 y  y
После умножения обеих частей на y 2 , получаем уравнение
q  y 2  y  2  0 , удовлетворяющее условию задачи.
О т в е т: q  y 2  y  2  0 .
Упражнения.
46. Решить квадратное уравнение x 2  8 x  15  0 .
1
47. Решить квадратное уравнение x 2  3 x  0,75  0 .
4
48. Найти число b и второй корень уравнения x 2  5 x  b  0 , если первый корень x1  5 .
49. Найти число b и второй корень уравнения x 2  (b  1) x  1  0 ,
если первый корень x1  1.
69
50. При каком b выражение x 2  3x  3  b( x 2  x) будет полным
квадратом.
51. При каких действительных значениях параметра а корни
уравнения x 2  (3a  2) x  a 2  0 удовлетворяют соотношению
x1  9x2 ?
52. При каких действительных значениях параметра а один
корень уравнения x 2  (2a  1) x  a 2  2  0 в два раза меньше
другого? Найти эти корни.
53. При каких действительных значениях параметра а один из
корней уравнения ax 2  8 x  a  4  0 в три раза больше другого?
54. Найти коэффициент р, если разность корней квадратного
уравнения x 2  рx  42  0 равна 1.
55. Найдите все значения параметра а, при которых сумма одного из корней уравнения x 2  2 x  a 2  3а  5  0 и квадрата
другого корня равна 4.
56. Найти q и корни уравнения
квадратов его корней равна 25.
x 2  7 x  q  0 , если сумма
57. Найти положительное значение а, при котором сумма квадратов корней уравнения x 2  (2а  3) x  a 2  3а  4  0 равна 37.
58. Найти коэффициенты уравнения x 2  рx  q  0 при условии, что разность корней уравнения равна 5, а разность их кубов равна 35.
59. Найти все значения параметра а, при которых корни уравнения x 2  (a  2) x  3a  1  0 действительны, а сумма их
кубов меньше 5a  2 .
60. Не решая квадратного уравнения x 2  2 x  1  0 , найти значение выражения А  x12  x22 , где x1 и x 2 - корни уравнения.
70
61. Не решая квадратного уравнения x 2  5 x  6  0 , найти
значение выражения В  x14 x27  x24 x17 , где x1 и x 2 -корни уравнения.
62. Не решая квадратного уравнения x 2  3x  2  0 , найти
значение выражения С  x1 (2 x12  3x22 )  x2 (2 x22  3x12 ) , x1 и x 2
- корни уравнения.
63. Не решая квадратного уравнения 2 x 2  6 x  9  0 , найти
значение выражения (3x12  5 x1 x2  3x22 )( x12 x2  x22 x1 ) 1 , где x1
и x 2 - корни уравнения.
64. Найти сумму квадратов обратных величин корней уравнения x 2  6  2 3  x  3  0 . Будет ли она целым числом?
65. Найти все значения параметра q, при которых уравнение
x 2  2x  q  0 :
а) имеет два корня разных знаков;
б) имеет два положительных корня;
в) не имеет отрицательных корней;
г) не имеет корней;
д) имеет один положительный двукратный корень.
66. Дано квадратное уравнение x 2  рx  q  0 . Записать необходимые и достаточные условия для следующей комбинации
знаков корней этого уравнения:
а) корни имеют разные знаки;
б) корни имеют одинаковые знаки;
в) оба корня больше нуля;
г) нет положительных корней;
д) хотя бы один корень больше нуля.
67. Известно, что квадратное уравнение имеет корни. Не решая
уравнения, определить знаки его корней:
а) 3x 2  12x  4  0 ;
б) 3 x 2  8 x  4  0 ;
в) аx2  2(а  1) x  2а  0 .
71
68. Составить квадратное уравнение, корнями которого явля-
2 6
.
2 3
69. Составить квадратное уравнение, корнями которого явля1
1
ются числа x1 
и x2 
.
10  72
10  6 2
70. Составить квадратное уравнение, если даны его корни:
2 3
.
x1  1 и x2 
1
1

3 1 1
3 1 1
71. Составить квадратное уравнение с рациональными коэф1
фициентами, если один из его корней равен
.
52
72. Составить квадратное уравнение с рациональными коэф2 3
фициентами, если один из его корней равен
.
2 3
73. Составить квадратное уравнение с рациональными коэффициентами, если один из его корней равен 2  5 .
ются числа x1  2 и x2 
74. Составить квадратное уравнение f ( x )  0 , корнями кото1  x2
1  x1
рого будут числа
и
, если x1 и x 2 - корни уравне1  x1
1  x2
ния x 2  ( р  1) x  р  0 .
75. Составить квадратное уравнение, у которого сумма корней
равнялась бы m, а сумма их квадратов была бы равна n 2 .
76. Составьте квадратное уравнение, произведение корней коx1
x2
a2  7
торого равно 4, и
.


x1  1 x2  1 a 2  4
77. Не решая уравнение x 2  5 x  6  0 , составить новое, корни
которого обратны корням данного уравнения.
72
2.3. Целые рациональные уравнения высших
степеней
2.3.1. Корни многочлена. Разложение многочлена по
корням
Определение 2.3. Число  называется корнем многочлена
Pn ( x)  a n x n  a n 1 x n 1  a n  2 x n  2    a1 x  a 0 , если значение многочлена при x   равно нулю, т.е. если Pn ( )  0 .
Например: число 2 является корнем многочлена 4-й степени
P4 ( x)  x 4  3  x 3  3  x  2 , так как P4 (2)  2 4  3  23  3  2  2  0 .
Из теоремы Безу (см. раздел 1.3.2. Книги 3 «Полного курса») вытекают следующие теоремы.
Теорема 2.1. Для делимости многочлена
Pn ( x)  a n x n  a n 1 x n 1  a n  2 x n  2    a1 x  a 0
на двучлен P1 ( x)  x   необходимо и достаточно, чтобы число  было корнем многочлена Pn (x) .
Теорема 2.2. Если многочлен Pn ( x)  an x n  an1 x n1    a1 x  a0
имеет k различных корней ( k  n) x1 , x 2 , , x k , то он делится
нацело на произведение ( x  x1 )( x  x 2 ) ( x  xk ) , т.е. имеет
место разложение: Pn ( x)  ( x  x1 )( x  x2 )( x  xk ) Pnk ( x) , где
Pn k (x) - многочлен степени n  k .
Из теоремы 2.2. вытекает важное следствие.
Следствие. Если известны n различных корней многочлена n-й
степени Pn ( x)  an x n  an1 x n1    a1 x  a0 , то имеет место
разложение:
an x n  an1 x n1    a1 x  a0 = an ( x  x1 )( x  x2 )( x  xn ) ,
где x1 , x 2 , x3 ,, x n - корни многочлена.
73
Если раскрыть скобки в этом тождестве и сравнить коэффициенты при одинаковых степенях x слева и справа равенства,
то получим соотношения, связывающие коэффициенты многочлена с его корнями - формулы Виета для многочлена n -й степени:
n
a

x

x

x

...

x

x i   n 1 ,

n
 1 2 3
an
i 1

n

a
x
x

x
x

x
x

...

x
x

xi x j  n2 ,
 1 2 1 3 2 3

n 1 n
an
i , j 1

n

a n 3
,
 x1 x 2 x 3  x1 x 2 x 4  ...  x n  2 x n 1 x n   x i x j x k  
an
i , j , k 1


 . . .

 x1 x 2 ... x n  (1) n a 0 .

an

В частности, при n = 3, для кубического многочлена вида
P3 ( x)  a3 x 3  a2 x 2  a1 x  a0 , имеют место следующие соотношения Виета:

a2
 x1  x2  x3   ,
a3


a1
 x1 x2  x1 x3  x2 x3  ,
a3


a
 x1 x2 x3   0 .
a3

Замечание. Если  - корень многочлена Pn (x) , причем Pn (x)
делится на ( x   ) k , но не делится на ( x   ) k 1 , то говорят,
что  - корень кратности k для Pn (x) . При этом многочлен
Pn (x) имеет k одинаковых корней, равных  .
Например: число х =2 является корнем кратности 2 (двукратным
74
корнем) для многочлена P3 ( x)  x 3  x 2  8x  12 .
Действительно, так как P3 (2)  23  2 2  8  2  12  0 , то
число х = 2 – корень многочлена P3 ( x) . Разделив многочлен
P3 ( x) на x  2 , получаем частное P2 ( x)  x 2  x  6 .
Так как P2 (2)  2 2  2  6  0 , то P2 ( x) делится на x  2 .
Разделив многочлен P2 ( x) на x  2 , получаем частное P1 ( x)  x  3 .
Следовательно, P3 ( x)  ( x  2)(x  2)(x  3)  ( x  2) 2 ( x  3) , причем
x  3 не делится на x  2 . Поэтому число х = 2 – корень кратности 2 (двукратный корень) для P3 ( x) .▼
2.19. Разложить на множители многочлен (квадратный трехчлен) P2 ( x)  2 x 2  3x  1 .
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е.
Решив квадратное уравнение P2 ( x)  2 x 2  3x  1  0 , найдем
корни. Дискриминант уравнения D  9  4  2 1  1 .
Уравнение имеет два различных действительных корня
3 1 2 1
3 1 4
x1 
  , x2 
  1.
4
4 2
4
4
Таким образом, искомое разложение имеет вид:
1
P2 ( x)  2 x 2  3x  1  2( x  )( x  1)  (2 x  1)( x  1) .
2
2
О т в е т: P2 ( x)  2 x  3x  1  (2 x  1)( x  1) .
2.20. Разложить на множители многочлен
Р4 ( x )  x 4  3 x 3  3 x 2  3 x  2 .
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Подстановкой убеждаемся, что P4 (1)  0 и
P4 (2)  0 , поэтому данный многочлен делится нацело на произведение ( x  1)( x  2) .
Частное от деления найдем, дважды применив схему Горнера:
75
1
−3
3
−3
2
1
1
−2
1
−2
0
2
1
0
1
0
0
Таким образом, искомое разложение имеет вид:
Р4 ( x)  x 4  3x 3  3x 2  3x  2  ( x  1)( x  2)( x 2  1) .
О т в е т: Р4 ( x)  x 4  3x 3  3x 2  3x  2  ( x  1)( x  2)( x 2  1) .
2.21. Числа 1, 2 являются корнями многочлена Р(x) ; свободный
член его равен 4. Найти остаток, который дает многочлен при
делении на x 3  3x 2  2 x .
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Разложим делитель на множители:
x 3  3x 2  2 x  x( x 2  3x  2)  x( x  1)( x  2) .
Так как делителем является многочлен 3-й степени, то
остатком будет многочлен степени не выше 2-й, т.е. многочлен
вида R2 ( x)  ax 2  bx  c .
Имеем тождество Р( x)  ( x 3  3x 2  2 x)q( x)  ax 2  bx  c
или Р( x)  x( x  1)( x  2)q( x)  ax 2  bx  c , где многочлен q (x ) частное от деления.
Так как числа 1, 2 являются корнями многочлена Р(x) , то
Р (1)  0 и Р ( 2)  0 . Кроме того, свободный член многочлена
равен 4, значит, Р (0)  4 .
Таким образом, имеем систему уравнений
Р(1)  0  q(1)  a 12  b 1  c  0 ,
Р(2)  0  q(2)  a  2  b  2  c  0 , 
2
Р(0)  0  q(1)  a  0 2  b  0  c  4
a b  c  0,
4a  2b  c  0 ,
c  4.
Откуда находим a  2 , b  6 , c  4 . Таким образом, искомый остаток имеет вид: R2 ( x)  2 x 2  6 x  4 .
О т в е т: 2 x 2  6 x  4 .
76
2.3.2. Общий метод решения уравнений высших
степеней
Основным методом решения целых рациональных уравнений высших степеней
Pn ( x)  an x n  an1 x n1  an2 x n2    a1 x  a0  0 (a n  0)
является метод разложения левой части уравнения на множители.
Идея метода заключается в сведении уравнения n -й степени к совокупности уравнений более низкой степени.
Если Pn ( x)  Q( x)  R( x)    F ( x) , где Q( x), R ( x), , F ( x)
- многочлены степени меньше n, то уравнение Pn ( x)  0 равносильно совокупности уравнений
Q( x)  0,
 R( x)  0,

...

 F ( x)  0.
Однако, учитывая изложенное выше, легко заключить, что
для того, чтобы получить разложение многочлена на множители, надо знать корни (!?). Поэтому практическая реализация
метода сводится к поиску части корней методом подбора.
Эта процедура значительно упрощается в случае, когда все
коэффициенты многочлена – целые числа и особенно, когда
коэффициент при первом члене (старший коэффициент) равен
единице.
Теорема 2.3. Для того чтобы несократимая дробь
p
была
q
n1
корнем уравнения Pn ( x)  an x  an1 x    a1 x  a0 = 0 с
целыми коэффициентами, необходимо, чтобы число p было
делителем свободного члена a 0 , а число q было делителем
n
старшего коэффициента a n .
77
Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как несократимая дробь
p
- коq
рень уравнения Pn ( x)  an x n  an1 x n1    a1 x  a0 = 0, то
p
и умножив на qn, получим верное
q
n
n 1
равенство a n p  a n1 p q  a n2 p n2 q 2  ...  a1 pq n1  a0 q n  0 .
подставив в уравнение x =
Откуда a0 q n  p(a n p n1  a n1 p n2 q  a n2 p n3 q 2  ...  a1 q n1 ) .
Так как коэффициенты уравнения – целые числа, то выражение, заключенное в скобки, в правой части есть целое число.
Следовательно, произведение а0qn делится на p, а так как дробь
p
несократима (а, значит, p и q взаимно простые числа), то а0
q
делится на p.
Аналогично, из равенства
a n p n  q(a n1 p n1  a n2 p n2 q  ...  a1 pq n2  a0 q n1 )
следует, что аn делится на q, что и требовалось доказать.
Итак, рациональным корнем уравнения Pn ( x)  0 может
p
, числитель которой
q
есть делитель свободного члена а0, а знаменатель – делитель
старшего коэффициента аn.
Если составить всевозможные отношения делителей коэффициентов а0 и аn, то все рациональные корни уравнения
Pn ( x)  0 , если существуют, находятся среди этого конечного
множества чисел. Следовательно, все рациональные корни
уравнения Pn ( x)  0 можно найти конечным числом проверок.
Из теоремы вытекают два важных следствия.
быть только такая несократимая дробь
Следствие 1. Если уравнение Pn ( x)  0 имеет целые коэффициенты, а старший из них a n  1 , то рациональными корнями
такого уравнения, если они существуют, могут быть только
целые числа.
78
Действительно, если a n  1 , а q - делитель аn , то q  1 .
Но тогда дробь
p
- целое число.
q
Следствие 2. Целые корни уравнения Pn ( x)  0 с целыми коэффициентами являются делителями свободного члена.
Из приведенной теоремы и ее следствий, вытекает метод
отыскания целых корней уравнения Pn ( x)  0 с целыми коэффициентами при старшем коэффициенте уравнения a n  1 :
1) выписать все делители свободного члена (как положительные, так и отрицательные);
2) по очереди подставить делители в многочлен Pn (x) ;
3) делители, обращающие многочлен в нуль, являются целыми
корнями уравнения;
4) используя найденные корни, понизить степень решаемого
уравнения.
Рассмотрим примеры.
2.22. Найти действительные корни уравнения
P4 ( x)  x 4  2 x 3  4 x 2  5 x  6  0 .
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Так как старший коэффициент уравнения равен 1,
то рациональными корнями этого уравнения, если они существуют, будут целые числа, являющиеся делителями свободного члена.
Выписываем делители свободного члена уравнения: ±1, ±2,
± 3, ± 6.
Подставляя в левую часть уравнения, последовательно получаем: P4 (1)  12, P4 (1)  6, P4 (2)  0 , значит, число х = 2 –
корень уравнения.
Разделив многочлен P4 ( x) на двучлен x–2 (процедура деления многочлена на многочлен подробно описана в Книге 3
«Полного курса элементарной математики в задачах и упраж79
нениях»), получаем разложение левой части уравнения на
множители P4 ( x)  ( x  2)( x 3  4 x 2  4 x  3)  0 , и задача сводится к решению кубического уравнения вида
P3 ( x)  x 3  4 x 2  4 x  3  0 .
Теперь процедура повторяется.
Выписываем делители свободного члена уравнения: ±1, ±3.
Подставляя в левую часть уравнения, последовательно получаем P3 (3)  78, P3 (3)  0 , значит, число х = –3 – корень
уравнения.
Разделив многочлен P3 ( x)  x 3  4 x 2  4 x  3 на двучлен x+3,
получаем разложение левой части уравнения на множители:
P3 ( x)  ( x  3)(x 2  x  1)  0 , и задача сводится к решению
квадратного уравнения x 2  x  1  0 , которое действительных
корней не имеет.
О т в е т: 2; −3.
Замечание. Ясно, что реализация метода представляет значительные технические трудности, если свободный член уравнения а0 имеет большое количество делителей.
В таких случаях для сокращения числа испытаний можно
использовать следующее свойство: если α – корень многочлена
Pn (x) , то Pn (k ) делится на k – α, где k – произвольное целое
число.
Действительно, если число α – корень многочлена Pn (x) , то
Pn ( x)  ( x   ) Pn 1 ( x) , где Pn1 ( x) – многочлен (n – 1) -й степени
с целыми коэффициентами. При x  k , где k – произвольное
целое число, получим Pn (k )  (k   ) Pn 1 (k ) , где Pn1 (k ) – целое
число.
Положив в частности k = ±1, получим Pn (1)  (1   ) Pn 1 (1)
и Pn (1)  (1   ) Pn 1 (1) , где Pn 1 (1) и Pn 1 (1) – целые числа.
Следовательно, проверке подлежат лишь те делители своP (1)
бодного члена а0, для которых каждое из отношений n
и
 1
80
Pn (1)
является целым числом.
 1
Например: в примере 2.22. при решении уравнения четвертой
степени P4 ( x)  x 4  2 x 3  4 x 2  5 x  6  0 , подставив х= ±1
в левую часть уравнения, получаем P4 (1)  12 , P4 (1)  6 .
Значит, числа х= ±1 не являются корнями.
P (1)
P (1)
Составим отношения 4
и 4
. При α = 2 получим
 1
 1
целые числа –12 и –2, поэтому число 2 следует проверить.
Числа α = –2 и α = –3 также следует проверить.
Числа 3 и ± 6 проверке не подлежат: при α = 3 отношение
P4 (1)
6
3
    является дробным числом; при α = –6 отно 1
4
2
P4 (1)  6 6
шение

 является дробным числом; при α = 6
 1  5 5
P (1)  6
6
отношение 4

  также является дробным числом.
 1
7
5
Вместе с тем, после определения первого корня α = 2 и получения уравнения P3 ( x)  x 3  4 x 2  4 x  3  0 становится ясно, что проверять число α = –2 совсем даже и не требуется, так
как свободный член 3 не делится на –2.▼
Нахождение рациональных корней многочлена с целыми
коэффициентами можно свести к нахождению целых корней.
Умножив обе части уравнения
Pn ( x)  an x n  an1 x n1  an2 x n2    a1 x  a0  0 на а nn 1 ,
получим уравнение
аnn1 Pn ( x)  ann x n  an1ann1 x n1  an2 ann1 x n2  ...  a1ann1 x  a0 ann1  0 .
Осуществив замену y  а n x , получим уравнение
Qn ( y)  y n  an1 y n1  an2 an y n2  ...  a1ann2 y  a0 ann1  0 ,
рациональные корни которого являются целыми числами, так
как старший коэффициент уравнения равен 1.
Отыскав все целые корни этого уравнения и учитывая, что
81
x
y
, найдем все рациональные корни алгебраического
an
уравнения Pn ( x)  an x n  an1 x n1  an2 x n2    a1 x  a0  0 .
2.23. Найти рациональные корни алгебраического уравнения
4x 3  7x 2  x  3  0 .
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Сведем нахождение рациональных корней уравнения к нахождению целых корней.
Умножим обе части уравнения на 16 = 42, получим равносильное уравнение: 4 3  x 3  4 2  7 x 2  4 2  x  4 2  3  0 .
Осуществим замену, полагая y  4 x .
После замены уравнение примет вид: y 3  7 y 2  4 y  48  0 .
Так как старший коэффициент уравнения равен 1, то рациональными корнями этого уравнения, если они существуют,
будут целые числа, являющиеся делителями свободного члена.
Выписываем делители свободного члена уравнения: ±1, ±2,
± 3, ± 4, ±6, ±8, ±12, ±16, ±24, ±48.
Обозначим Q( y )  y 3  7 y 2  4 y  48 и вычислим значения
Q(1)  13  7 12  4 1  48  38 , Q(1)  (1) 3  7  (1) 2  4  (1)  48  44 .
Q(1) 44
При   2 отношение
- дробное число, при

 1 3
Q(1) 38
38
- дробное число, поэтому
  2 отношение


 1  3
3
числа ±2 отбрасываем.
Q (1) 38
Q(1) 44
При   3 оба отношения
  19   11 и
 1 2
 1 4
целые числа.
Вычисляем: Q(3)  33  7  32  4  3  48  27  63  12  48  0 ,
значит, число   3 - корень уравнения.
Разделив многочлен Q( y )  y 3  7 y 2  4 y  48 на двучлен
y  3 и определив частное, получим равносильное уравнение
( y  3)( y 2  4 y  16)  0 .
82
Квадратный трехчлен в скобках не имеет целых корней,
так как дискриминант D  16  4  16  80. Следовательно, единственным рациональным корнем исходного уравнения являетy 3
ся число x   .
4 4
3
О т в е т: .
4
Итак, если уравнение Pn ( x)  0 имеет рациональные корни,
то существует алгоритм, позволяющий их найти. А если уравнение не имеет рациональных корней?
В случае, когда уравнение Pn ( x)  0 не имеет рациональных корней, общих методов решения не существует. Однако
для разложения левой части уравнения на множители иногда
удается использовать метод неопределенных коэффициентов.
Рассмотрим пример.
2.24. Решить уравнение x 4  4 x 3  10x 2  37 x  14  0 .
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Левая часть уравнения является многочленом 4-й
степени. Следовательно, этот многочлен можно представить в
виде произведения двух квадратных трехчленов, например,
x 2  bx  c и x 2  px  q . Необходимо определить коэффициенты
а, b, p и q этих трехчленов.
Рассмотрим тождество:
x 4  4 x 3  10x 2  37 x  14  ( x 2  bx  c)( x 2  px  q) .
Раскрыв скобки в правой части тождества и сложив подобные слагаемые, представим это тождество так:
x 4  4 x 3  10x 2  37 x  14  x 4  px 3  qx 2  bx 3  bpx 2  bqx  cx 2 
 cpx  qc ,
x 4  4 x 3  10x 2  37 x  14  x 4  ( p  b) x 3  (q  bp  c) x 2  (bq  cp ) x  cq .
Два многочлена тождественно равны тогда и только тогда,
когда равны их степени и равны коэффициенты при одинаковых степенях х.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х,
получим систему уравнений
83
 p  b  4,
q  bp  c  10,

(1)

bq

cp

37
,

cq  14.
Общих методов решения подобных систем не существует.
Попытаемся найти какое-нибудь целочисленное решение
этой системы.
Из последнего уравнения cq  14 следует, что с и q являются делителями числа 14, т.е. для с и q возможны следующие
целые значения:  1 ,  2 ,  7 ,  14 .
Пусть q  1 . Тогда с  14 . В этом случае второе и третье
уравнения системы дают систему с двумя неизвестными b и p:
bp  3,

b  14 p  37,
откуда, исключая p, для b получаем уравнение b 2  37b  42  0 ,
не имеющее целых корней.
Следовательно, целочисленных решений при q  1 и с  14
система не имеет.
Пусть q  2 . Тогда с  7 . В этом случае второе и третье
уравнения системы дают систему с двумя неизвестными b и p:
bp  5,

2b  7 p  37,
откуда, исключая р, для b получаем уравнение 2b 2  37b  35  0 ,
которое имеет корень b  1 . Тогда р  5 .
Проверкой устанавливаем, что при b  1 и р  5 первое
уравнение системы (1) также удовлетворяется.
Следовательно, искомое разложение левой части исходного уравнения имеет вид
x 4  4 x 3  10x 2  37 x  14  ( x 2  5 x  2)( x 2  x  7) .
Откуда следует, что уравнение x 4  4 x 3  10x 2  37 x  14  0
равносильно совокупности двух квадратных уравнений
 x 2  5 х  2  0,
 2
 x  x  7  0,
84
решая которую находим все корни этого уравнения:
5  17
5  17
 1  29
 1  29
, х2 
, х3 
, х4 
.
х1 
2
2
2
2
5  17 5  17  1 29  1 29
О т в е т:
,
,
,
.
2
2
2
2
Замечание. К сожалению, внешняя эффективность метода неопределенных коэффициентов обманчива. Быстрое и достаточно «изящное» решение системы (1) в рассмотренном примере – это удача. В общем случае отыскание решений системы
уравнений относительно неизвестных коэффициентов не менее
сложная задача, чем решение самого уравнения! ▼
2.3.3. Частные методы решения уравнений высших
степеней
Рассмотрим частные методы решения уравнения высших
степеней, применяемые для решения уравнений специального
вида.
В практике решения уравнений высших степеней умение
пользоваться частными методами имеет большое значение.
Это связано с тем, что общие формулы решения уравнений 3-й
и 4-й степеней весьма громоздки и их использование представляет большие технические трудности, а для уравнений степени
выше 4-й таких формул не существует вовсе. Общий метод
решения - метод разложения на множители, изложенный выше,
неприменим в случае отсутствия рациональных корней.
Иными словами, далеко не все алгебраические уравнения
степени выше 2-й удается решить аналитически. В такой ситуации умение использовать частные особенности решаемого
уравнения приобретает первостепенное значение.
I. Метод разложения на множители.
Иногда удается разложить левую часть уравнения на множители без подбора рациональных корней, используя известные алгебраические методы, изложенные в 3-й книге «Полного
курса элементарной математики в задачах и упражнениях».
85
2.25. Решить уравнение x 3  4 x 2  24  0 .
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Разложим левую часть уравнения на множители.
Представим 4x 2 в виде суммы 4 x 2  6 x 2  2 x 2 и перегруппируем слагаемые: x 3  4 x 2  24  x 3  2 x 2  6 x 2  24  x 2 ( x  2) 
 6( x 2  4)  x 2 ( x  2)  6( x  2)( x  2)  ( x  2)( x 2  6 x  12) . Значит,
уравнение равносильно уравнению ( x  2)( x 2  6 x  12)  0 .
Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений
 x  2  0,
 2
 x  6 x  12  0.
Первое уравнение совокупности имеет корень x  2 , а второе уравнение действительных корней не имеет, так как дискриминант уравнения D  6 2  4 12  36  48  12 .
О т в е т: 2.
2.26. Решить уравнение 4 x 4  4 x 3  2 x  1  0 .
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Разложим левую часть уравнения на множители.
Выделив полные квадраты суммы и разности, и, используя
формулу разности квадратов, получим
4 x 4  4 x 3  2 x  1  (2 x 2 ) 2  2  2 x 2  x  x 2  x 2  2 x  1  (2 x 2  x) 2  ( x  1) 2 
 (2 x 2  x  x  1)(2 x 2  x  x  1)  (2 x 2  1)(2 x 2  2 x  1)
Тогда данное уравнение можно переписать так:
(2 x 2  1)(2 x 2  2 x  1)  0 .
Полученное уравнение равносильно совокупности двух
2 x 2  1  0,
уравнений: 
2
2 x  2 x  1  0.
Первое уравнение совокупности действительных корней не
имеет, а второе уравнение имеет два корня
1 3
1 3
.
x1 
, x2 
2
2
 1 3  1 3
О т в е т:
,
.
2
2
86
2.27. Решить уравнение ( x  1) 3  (2 x  3) 3  27 x 3  8 .
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Разложим левую и правую части уравнения на
множители, используя формулу суммы кубов:
( x  1  2 x  3)((x  1) 2  ( x  1)(2 x  3)  (2 x  3) 2 )  (3x  2)(9 x 2  6 x  4)
 (3x  2)((x 2  2 x  1  (2 x 2  x  3)  4 x 2  12x  9)  (3x  2)(9 x 2  6 x  4)
 (3x  2)(3x 2  9 x  13)  (3x  2)(9 x 2  6 x  4)  0 .
Вынося общий множитель за скобку, получаем уравнение,
равносильное исходному:
(3x  2)(3x 2  9 x  13  9 x 2  6 x  4)  0  (3x  2)(6 x 2  15x  9)  0
 (3x  2)(6 x 2  15x  9)  0 .
Полученное уравнение равносильно совокупности двух
3x  2  0,
3x  2  0,
уравнений  2
  2
6 x  15x  9  0,
2 x  5 x  3  0.
2
1
Решая уравнения, находим корни x1   , x 2  3, x3   .
3
2
2
1
О т в е т:  ,  , 3.
2
3
2.28. Решить уравнение x 4  2016x 2  2015x  2016  0 .
------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Разложим левую часть уравнения на множители:
x 4  2016x 2  2015x  2016  x 4  x 3  x 2  2015( x 2  x  1)  x 3  1 
 x 2 ( x 2  x  1)  2015( x 2  x  1)  ( x  1)( x 2  x  1) 
 ( x 2  x  1)( x 2  2015  x  1)  ( x 2  x  1)( x 2  x  2016) .
Исходное уравнение равносильно следующему уравнению
2
( x  x  1)( x 2  x  2016)  0 .
Полученное уравнение действительных корней не имеет,
так как x 2  x  1  0 , x 2  x  2016  0 при любых значениях х.
О т в е т: уравнение действительных корней не имеет.
87
Иногда искусственное введение в уравнение параметра
позволяет понизить степень решаемого уравнения с дальнейшим разложением левой части исходного уравнения на множители.
2.29. Решить уравнение x 3  ( 2  1) x 2  2  0 .
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Обозначим 2  a и рассмотрим уравнение с параметром x 3  (a  1) x 2  a 2  0 .
Будем рассматривать это уравнение как квадратное уравнение относительно а: a 2  x 2  a  x 3  x 2  0 , корни которого
имеют вид a1  x, a 2  x 2  x .
Действительно, дискриминант уравнения равен
D  ( x 2 ) 2  4( x 3  x 2 )  x 4  4 x 3  4 x 2  ( x 2  2 x) 2 .
Тогда корни уравнения равны
x 2  ( x 2  2 x) 2 x 2  ( x 2  2 x)
, то есть
a1, 2 

2
2
x2  x2  2x
x2  x2  2x 2x2  2x
a1 
 x , a2 

 x2  x .
2
2
2
Разложив квадратный трехчлен левой части по корням,
получим (a  x)  (a  x 2  x)  0 . Учитывая, что a  2 , получаем уравнение ( 2  x)  ( 2  x 2  x)  0 , которое равносильно
совокупности двух уравнений
 2  x  0,
 2
 x  x  2  0,
откуда находим три корня x1  2 , x2,3 
О т в е т: 2 ,
88
1 4 2 1 1 4 2 1
,
.
2
2
1 4 2 1
.
2
II. Метод введения вспомогательного неизвестного (метод
замены).
2.30. Решить уравнение (1  x  x 2 )(6  x  x 2 )  10 .
------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Умножив обе части уравнения на –1, перепишем
уравнение так: ( x 2  x  1)( x 2  x  6)  10 .
Уравнение 4 - й степени. Используем тот факт, что относительно х выражения в скобках одинаковы и введем новое неизвестное (произведем замену), полагая x 2  x  1  t .
Тогда x 2  x  6  x 2  x  1  7  t  7 и после замены уравнение принимает вид: t (t  7)  10  t 2  7t  10  0 , откуда
получаем два корня t1  2 , t 2  5 .
Учитывая замену, получаем два уравнения:
1) x 2  x  1  2  x 2  x  1  0 , откуда находим два корня
1  5
.
x1, 2 
2
2) x 2  x  1  5  x 2  x  4  0 , откуда находим еще два
 1  17
корня x3, 4 
.
2
 1 5  1 17
О т в е т:
;
.
2
2
2.31. Решить уравнение ( x  4)( x  5)( x  6)( x  7)  1680.
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Уравнение 4-й степени. Используем тот факт, что
суммы вычитаемых 1-й, 4-й и 2-й, 3-й скобок равны: 4+7 = 5+6.
Перемножив эти скобки по отдельности, получим уравнение: ( x 2  11x  28)( x 2  11x  30)  1680.
Произведем замену, полагая x 2  11x  28  t .
Тогда x 2  11x  30  t  2 и после замены уравнение принимает вид: t (t  2)  1680  t 2  2t  1680  0 , откуда находим два корня t1  42 , t 2  40 .
Учитывая замену, получаем два уравнения:
89
1) x 2  11x  28  42  x 2  11x  70  0 .
Данное уравнение действительных корней не имеет, так как
дискриминант D  121 280  0 .
2) x 2  11x  28  40  x 2  11x  12  0 , откуда находим два
корня x1  1 , x2  12 .
О т в е т: −1; 12.
2.32. Решить уравнение ( x 2  6 x  8)( x 2  14x  48)  105 .
------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Разложим каждый из квадратных трехчленов в
левой части уравнения на множители и перегруппируем
сомножители.
Корнями квадратного трехчлена x 2  6 x  8 являются числа
–2 и –4, поэтому x 2  6 x  8  ( x  2)( x  4) , а корнями квадратного трехчлена x 2  14x  48 являются числа –6 и –8, поэтому
x 2  14x  48  ( x  6)( x  8) .
Таким образом, данное уравнение можно записать в виде
( x  2)( x  4)( x  6)( x  8)  105 .
А теперь используем тот факт, что суммы слагаемых 1-й,
4-й и 2-й, 3-й скобок равны: 2 + 8 = 4 + 6.
Перемножив эти скобки по отдельности, получим уравнение: ( x 2  10x  16)( x 2  10x  24)  105 .
Произведем замену, полагая x 2  10 x  16  t .
Тогда x 2  10x  24  t  8 и после замены уравнение принимает вид: t (t  8)  105  t 2  8t  105  0 , откуда находим два
корня t1  15 , t 2  7 .
Учитывая замену, получаем два уравнения:
1) x 2  10x  16  15  x 2  10x  31  0 .
Данное уравнение действительных корней не имеет, так как
дискриминант D  100 124  0 .
2) x 2  10x  16  7  x 2  10 x  9  0 , откуда находим два корня
x1  9 , x 2  1 .
О т в е т: −9; –1.
90
Замечание. Уравнения вида ( x  а )( x  b)( x  c)( x  d )  e , где
а  b  c  d , a  d  b  c , можно решать иначе, используя так
называемую «симметризацию» уравнения с помощью замены
( x  a )  ( x  b)  ( x  c )  ( x  d )
abcd
переменных t 
.
 x
4
4
Рассмотрим пример.
2.33. Решить уравнение ( x  2)( x  1) x( x  1)  24 .
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Так как  2  1  0  1 и –2 + 1 = –1 + 0, введем
новую переменную, полагая
( x  2)  ( x  1)  ( x  0)  ( x  1) 4 x  2
1
1
t

 x  , т.е. t  x  .
4
4
2
2
1
1
Откуда находим x  t  . Подставляя x  t  в исходное
2
2
1
1
1
1
уравнение, получим (t   2)(t   1)(t  )(t   1)  24 
2
2
2
2
3
1
1
3
9
1
(t  )(t  )(t  )(t  )  24  (t 2  )(t 2  )  24 .
2
2
2
2
4
4
Введем еще одну новую переменную, полагая y  t 2 , где
9
1
y  0 . После замены уравнение примет вид: ( y  )( y  )  24
4
4
5
9
2
 y 2  y   24  16 y  40 y  375  0 .
2
16
Решив полученное квадратное уравнение, находим два
15
25
корня y1   , y 2 
.
4
4
Первый корень не удовлетворяет условию y  0 .
25
Учитывая замену, получаем уравнение t 2  , откуда
4
5
находим два корня: t1, 2   .
2
Учитывая первую замену, получим два уравнения:
91
1
5
  . Откуда находим первый корень исходного урав2
2
нения х1  3 .
1 5
2) x   . Откуда находим второй корень исходного уравне2 2
ния х 2  2 .
1) x 
О т в е т:  3 ; 2.
2.34. Решить уравнение ( x  2)( x  3)( x  8)( x  12)  4 x 2 .
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Уравнение 4-й степени. Используем тот факт, что
произведения слагаемых 1 -й, 4 -й и 2 -й, 3 -й скобок равны:
2∙12 = 3∙8.
Перемножив эти скобки по отдельности, получим уравнение: ( x 2  14x  24)( x 2  11x  24)  4 x 2 .
А теперь используем тот факт, что старшие коэффициенты
и свободные члены в скобках равны.
Так как уравнение не имеет корня х = 0, то, разделив обе
части уравнения на x 2 , получим равносильное уравнение
( x 2  14x  24)( x 2  11x  24) 4 x 2
 2 
x2
x
2
2
24
24
x  14x  24 x  11x  24

 4  ( x  14  )( x  11  )  4 .
x
x
x
x
24
Произведем замену, полагая x 
t.
x
После замены уравнение принимает вид:
2
(t  14)(t  11)  4  t  25t  150  0 , откуда находим два
корня t1  15 , t 2  10 .
Учитывая замену, получаем два уравнения:
24
1) x 
 15  x 2  15x  24  0 , откуда находим два корня
x
 15  129
, x2   15  129 .
x1 
2
2
92
24
2
 10  x  10 x  24  0 , откуда находим два корня
x
x1  6 , x2  4 .
2) x 
 15 129
О т в е т:  15 129 ; –6; –4;
.
2
2
Из представленного решения можно заключить, что уравнения вида ( x  а)( x  b)( x  c)( x  d )  ex 2 , где аb  cd , сводятся
к решению совокупности двух квадратных уравнений при поab
мощи замены переменной t  x  . Некоторые уравнения
х
приводятся к уравнению такого вида. Рассмотрим пример.
2.35. Решить уравнение ( x 2  3x  4)( x 2  4 x  5)  2( x  1) 2 .
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Выделим полный квадрат ( x  1) 2 в скобках левой
части уравнения. Имеем:
( x 2  2 x  1  x  3)( x 2  2 x  1  2 x  4)  2( x  1) 2 
(( x  1) 2  x  1  2)((x  1) 2  2( x  1)  2)  2( x  1) 2 .
Произведем замену, полагая x 1  t . После замены уравнение принимает вид:
(t 2  t  2)(t 2  2t  2)  2t 2 .
Так как t  0 не является корнем уравнения, то, разделив
2
обе части на t , получим равносильное уравнение
(t 2  t  2)(t 2  2t  2) 2t 2
 2
t2
t
2
2
(t  1  )  (t  2  )  2 .
t
t

t 2  t  2 t 2  2t  2

2 
t
t
2
 z.
t
После замены уравнение принимает вид:
( z  1)( z  2)  2  z 2  3 z  2  2  z 2  3 z  0 
Произведем замену, полагая t 
93
z ( z  3)  0 , откуда получаем два корня z1  0 , z 2  3 .
Учитывая вторую замену, получаем два уравнения:
2
1) t   0  t 2  2  0 . Уравнение действительных корней
t
не имеет.
2
2) t   3  t 2  3t  2  0 , откуда получаем два корня
t
t1  1, t 2  2 .
Учитывая первую замену, получаем два уравнения:
1) x  1  1 , откуда x1  2 ;
2) x  1  2 , откуда x1  3 .
О т в е т: –3; –2.
III. Решение уравнений вида:
a n f n ( x)  a n1 f n1 ( x)  g ( x)  ...  a1 f ( x)  g n1 ( x)  a0 g n ( x)  0 , (1)
где a n , a n 1 , a n  2 , …, a1 , a 0 - коэффициенты уравнения (заданные числа);
f (x ) , g (x) - некоторые алгебраические функции.
Уравнение такого вида называется однородным уравнением n –й степени.
Каждое слагаемое содержит произведение степеней функций f (x ) и g (x) , сумма показателей которых постоянна и равна
n.
Решим уравнение в общем виде. Необходимо рассмотреть
два случая:
1) функции f (x ) и g (x) не имеют общих корней.
В этом случае каждый из корней функций f (x ) и g (x) ,
очевидно, не является корнем уравнения (1). Тогда, разделив
обе части уравнения, например, на g n (x ) , получим равносильное уравнение:
94
an
f n ( x)
f n1 ( x) g ( x)
f n 2 ( x) g 2 ( x)
f ( x) g n1 ( x)

a

a

...

a
 a0  0
n

1
n

2
1
g n ( x)
g n ( x)
g n ( x)
g n ( x)
n
 f ( x) 
 f ( x) 
 an 
  an1 

 g ( x) 
 g ( x) 
n 1
n2
 f ( x) 
f ( x)
  ...  a1
 an2 
 a0  0 .
g ( x)
 g ( x) 
f ( x)
Произведем замену, полагая
t.
g ( x)
После замены получим алгебраическое уравнение n -й стеn
n1
n 2
 ...  a1t  a0  0 .
пени: an t  an1t  an2t
2) функции f (x ) и g (x) имеют общие корни.
В этом случае каждый из корней функций f (x ) и g (x)
является корнем уравнения (1), поэтому деление на g n (x ) (или
на f n (x) ) приводит к потере корней.
Поступают так: решив уравнение f ( x )  0 и затем уравнение g ( x)  0 , находят общие корни функций f (x ) и g (x) , которые являются корнями уравнения (1).
Далее на множестве всех действительных чисел, исключая
найденные корни, функции f (x ) и g (x) уже не имеют общих
корней и задача поиска остальных корней уравнения (1) сводится к первому случаю.
2.36. Решить уравнение ( x 2  x  1) 4  8 x 2  ( x 2  x  1) 2  16x 4  0 .
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Если обозначить f ( x)  ( x 2  x  1) 2 , g ( x)  x 2 ,
то легко заметить, что уравнение является однородным второй
степени вида: f 2 ( x)  8 f ( x) g ( x)  16g 2 ( x)  0 .
Функции f (x ) и g (x) не имеют общих корней, поэтому,
разделив обе части на g 2 ( x ) , получим равносильное уравне2
 f ( x) 
 f ( x) 
ние: 
  8  
  16  0 .
 g ( x) 
 g ( x) 
Произведем замену, полагая
95
2
f ( x) ( x 2  x  1) 2  x 2  x  1 
  t , где t  0 .

 
g ( x)
x
x2


После замены уравнение принимает вид: t 2  8  t  16  0 ,
откуда находим t  4 .
2
 x2  x 1
Учитывая замену, получаем уравнение 
  4 ,
x


которое равносильно совокупности двух уравнений:
x2  x 1
 2 .
x
x2  x 1
2
а)
 2  x 2  x  1  2 x  x  x  1  0 .
x
Уравнение корней не имеет.
x2  x 1
 2  x 2  x  1  2 x  x 2  3 x  1  0 , откуда
б)
x
3 5
находим два корня x1, 2 
.
2
3 5
О т в е т:
.
2
2.37. Решить уравнение ( x 2  4 x  8) 2  3 x 3  14 x 2  24 x  0 .
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Уравнение сводится к однородному. Действительно, если обозначить f ( x)  x 2  4 x  8 , g ( x )  x , то переписав уравнение в виде ( x 2  4 x  8) 2  3x( x 2  4 x  8)  2 x 2  0 ,
получим однородное уравнение второй степени вида:
f 2 ( x)  3 f ( x) g ( x)  2 g 2 ( x)  0 .
Функции f (x ) и g (x) не имеют общих корней, поэтому,
разделив обе части на g 2 ( x ) , получим равносильное уравне2
 f ( x) 
 f ( x) 
ние: 
  3  
  2  0 .
 g ( x) 
 g ( x) 
96
f ( x) x 2  4 x  8

t.
g ( x)
x
После замены уравнение принимает вид: t 2  3  t  2  0 ,
откуда получаем два корня t1  1, t 2  2 .
Учитывая замену, получаем два уравнения:
x 2  4x  8
1)
 1  x 2  5  x  8  0 . Уравнение корней не
x
имеет.
x 2  4x  8
2)
 2  x 2  6  x  8  0 , откуда находим два
x
корня x1  4 , x2  2 .
Произведем замену, полагая
О т в е т: –4; –2.
IV. Решение симметрических и кососимметрических
уравнений
Определение 2.4. Уравнение n -й степени вида
an x n  an1 x n1  an2 x n2    a1 x  a0  0 называется
симметрическим, если ak  ank , для всех k  0,1,2,..., n и
кососимметрическим, если ak  (1) ank , для всех k  0,1,..., n .
k
Например: уравнение x 4  5 x 3  2 x 2  5 x  1  0 является симметрическим; уравнение 2 x 4  3 x 3  x 2  3 x  2  0 - кососимметрическим.
Отметим, что у симметрического уравнения коэффициенты
членов, равноудаленных от начала и конца равны между собой.
У кососимметрического уравнения коэффициенты членов,
равноотстоящих от начала и конца при четных степенях х,
равны, а при нечетных степенях противоположны по знаку.
При решении симметрических и кососимметрических
уравнений рассматривают два случая.
1) Если n = 2l – четное число, то делением обеих частей уравнения на xl переходим к равносильному уравнению
97
1
1
 a0 l  0 .
l 1
x
x
Полученное уравнение сводится к уравнению степени l
1
введением вспомогательного неизвестного t  x  в случае
x
1
симметрического уравнения и t  x  в случае кососимметx
рического уравнения.
a n x l  a n 1 x l 1  a n2 x l 2  ...  a1
2) Если n = 2l + 1, то непосредственная проверка показывает,
что x = −1 является корнем для симметрического уравнения, и
x = 1 для кососимметрического уравнения.
Деление в первом случае на двучлен x + 1 и во втором случае на двучлен x − 1 сводит уравнение соответственно к симметрическому и кососимметрическому уравнению степени 2l.
2.38. Решить уравнение x 4  5 x 3  2 x 2  5 x  1  0 .
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Уравнение симметрическое, n = 4.
Разделив обе части уравнения на x 2 , получим равносиль5 1
ное уравнение x 2  5 x  2   2  0 .
x x
Группируя члены, равноотстоящие от концов уравнения,
1
1
получаем ( x 2  2 )  5  ( x  )  2  0 .
x
x
1
1
Учитывая, что ( x  ) 2  x 2  2  2 , перепишем уравнеx
x
ние так:
1
1
1
1
(x  )2  2  5  (x  )  2  0  (x  )2  5  (x  )  0 .
x
x
x
x
Произведем замену, полагая x 
1
t.
x
После замены уравнение принимает вид: t 2  5t  0 , откуда находим два корня t1  0, t 2  5 .
Учитывая замену, получаем два уравнения:
98
1
 0  x 2  1  0 . Уравнение действительных корней
x
не имеет.
1
2) x   5  x 2  5 x  1  0 , откуда находим два корня
x
 5  21
.
x1,2 
2
 5  21  5  21
О т в е т:
;
.
2
2
1) x 
2.39. Решить уравнение 2 x 4  3x 3  3x 2  3x  2  0 .
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Уравнение кососимметрическое, n = 4.
Разделив обе части уравнения на x 2 , получим равносиль3 2
ное уравнение 2 x 2  3 x  3   2  0 .
x x
Группируя члены, равноотстоящие от концов уравнения,
1
1
получаем 2( x 2  2 )  3( x  )  2  0 .
x
x
1 2
1
Учитывая, что ( x  )  x 2  2  2 , перепишем уравнеx
x
ние так:
1
1
1
1
2(( x  ) 2  2)  3( x  )  3  0  2( x  ) 2  3( x  )  1  0 .
x
x
x
x
1
Произведем замену, полагая x   t .
x
После замены уравнение принимает вид: 2t 2  3t  1  0 ,
1
откуда находим два корня t1  1, t 2  .
2
Учитывая замену, получаем два уравнения:
1
1) x   1  x 2  x  1  0 , откуда находим два корня
x
1 5
;
x1, 2 
2
99
1 1

 2 x 2  x  2  0 , откуда находим еще два корx 2
1  17
ня x3, 4 
.
4
1 17 1 5 1 5 1 17
О т в е т:
;
;
;
.
4
4
2
2
2) x 
2.40. Решить уравнение 2 x 5  5 x 4  13x 3  13x 2  5 x  2  0 .
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Уравнение симметрическое, n = 5.
Непосредственной проверкой убеждаемся, что x  1 является корнем этого уравнения.
Определив частное от деления левой части уравнения на
двучлен (x + 1), получаем равносильное уравнение
( x  1)(2 x 4  3x 3  16x 2  3x  2)  0
и задача сводится к решению симметрического уравнения четной степени 2 x 4  3 x 3  16 x 2  3 x  2  0 .
Разделив на x 2 , получаем равносильное уравнение
1
1
1
1
2( x 2  2 )  3( x  )  16  0  2( x 2  2  2  2)  3( x  )  16  0 ,
x
x
x
x
1
1
1
1
2(( x  ) 2  2)  3( x  )  16  0  2( x  ) 2  3( x  )  20  0 .
x
x
x
x
1
Произведем замену, полагая x   t .
x
После замены уравнение принимает вид: 2t 2  3t  20  0 ,
5
откуда находим два корня t1  4, t 2  .
2
Учитывая замену, получаем два уравнения:
1
1) x   4  x 2  4 x  1  0 , откуда находим два корня
x
x1, 2  2  3 .
100
1 5
 2 x 2  5 x  2  0 , откуда находим два корня

x 2
1
x3  2 , x 4  .
2
2) x 
О т в е т:  2  3 ; –1;  2  3 ;
1
; 2.
2
V. Решение возвратных уравнений.
Определение 2.5. Уравнение нечетной степени вида
an x 2n1  an1 x 2n  ...  a0 x n1  a0 x n  3 a1 x n1..  2n1an1 x  2n1an  0
и уравнение четной степени вида
an x 2n  an1 x 2n1  ...  a1 x n1  a0 x n  a1 x n1  2 a2 x n2  ...  2n an  0 ,
где  - некоторое число, называется возвратным уравнением.
Например: уравнения вида x 4  5 x 3  2 x 2  10 x  4  0 ,
x 5  3 x 4  x 3  2 x 2  24x  32  0 являются возвратными уравнениями, так как эти уравнения можно записать в виде
x 4  5 x 3  2 x 2  2  5 x  2 2 1  0 и, соответственно,
x 5  3x 4  x 3  (2) x 2  3(2) 3 x  (2) 5  0 .
Замечание. Заметим, что симметрическое и кососимметрическое уравнения, рассмотренные выше, являются частным случаем возвратного уравнения соответственно при   1 и   1.▼
Возвратное уравнение четной степени 2l заменой x 

x
t
сводится к уравнению l-й степени.
Возвратное уравнение нечетной степени имеет очевидный
корень x   и в результате деления левой и правой части
уравнения на двучлен ( x   ) сводится к возвратному уравнению четной степени.
2.41. Решить уравнение x 5  3 x 4  x 3  2 x 2  24 x  32  0 .
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Уравнение является возвратным уравнением нечетной степени,   2 .
101
Перепишем уравнение так:
x  3x 4  x 3  (2) x 2  (2) 3  3x  (2) 5  0
Число x = 2 является корнем этого уравнения, так как
P(2)  25  3  2 4  23  2  2 2  24  2  32  32  48  8  8  48  32  0 .
Тогда разделив правую и левую часть уравнения на (x − 2),
приходим к возвратному уравнению четной степени вида
x 4  5 x 3  9 x 2  20x  16  0  x 4  5 x 3  9 x 2  4  5 x  4 2  0 .
Уравнение не имеет корня x = 0, поэтому, разделив обе части на x 2 , получим равносильное уравнение
42
4
4 42
2
2

x  5 x  9  5  2  0
x  2  5  (x  )  9  0 .
x x
x
x
2
4
4
Учитывая, что ( x  ) 2  x 2  2  8 , запишем уравнение
x
x
так:
42
4
4
4
( x 2  8  2  8)  5  ( x  )  9  0  ( x  ) 2  5( x  )  1  0 .
x
x
x
x
4
Произведем замену, полагая x   t .
x
После замены уравнение принимает вид t 2  5t  1  0 , от 5  21
куда находим два корня t1, 2 
.
2
Учитывая замену, получаем два уравнения:
4  5  21
1) x  
 2 x 2  (5  21) x  8  0 , откуда наx
2
5
ходим два корня x1, 2 
 5  21  10 21  18
;
4
4  5  21
 2 x 2  (5  21) x  8  0 . Уравнение

x
2
действительных корней не имеет.
2) x 
О т в е т: 2;
102
 5  21  10 21  18
.
4
VI. Уравнения, сводящиеся к возвратным уравнениям.
Иногда умножением обеих частей уравнения на некоторую
функцию удается свести целое рациональное уравнение к симметрическому (кососимметрическому) или возвратному уравнению. При этом возможно появление посторонних корней –
нулей функции, на которую умножали исходное уравнение.
Требуется их отбор и дальнейшее исключение из окончательного ответа.
2.42. Решить уравнение 2 x 3  5 x 2  x  1  0 .
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Умножив обе части уравнения на двучлен x + 2 ,
получим симметрическое уравнение ( x  2)(2 x 3  5 x 2  x  1)  0

2 x 4  5 x 3  x 2  x  4 x 3  10x 2  2 x  2  0

3
2
2 x  x  11x  x  2  0 , являющееся следствием исходного
уравнения и имеющее посторонний корень x = −2.
Решая полученное симметрическое уравнение изложенным
1
1
методом, приходим к уравнению 2( x  ) 2  ( x  )  15  0 .
x
x
1
Произведем замену, полагая x   t . После замены поx
лучаем квадратное уравнение 2t 2  t  15  0 , откуда находим
4
5
два корня t1   , t 2  3 .
2
Учитывая замену, получаем два уравнения:
1
5
 2 x 2  5 x  2  0 , откуда находим два корня

x
2
1
x1  2, x 2   ;
2
1) x 
1
 3  x 2  3x  1  0 , откуда находим еще два корня
x
3 5
.
x3, 4 
2
2) x 
103
Учитывая, что x = −2 является посторонним корнем для
исходного уравнения, получаем ответ.
1 3 5
О т в е т:  ;
.
2
2
VII. Метод сведения к решению системы уравнений
относительно вспомогательных неизвестных.
Иногда решение уравнения целесообразно свести к решению системы уравнений относительно новых вспомогательных
неизвестных.
2.43. Решить уравнение ( x  1) 4  ( x  3) 4  82 .
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Данное уравнение равносильно уравнению
(1  x) 4  ( x  3) 4  82 .
Введем новые вспомогательные неизвестные, полагая
1

 x  u,

 x  3  v.
Складывая равенства, получаем u  v  4 .
Кроме того, после замены исходное уравнение примет вид
u 4  v 4  82 .
Таким образом, приходим к системе уравнений с двумя
u  v  4,
неизвестными u и v:  4 4
u  v  82.
Обозначим для удобства uv  q .
Так как
u 4  v 4  (u 2 ) 2  (v 2 ) 2  2u 2 v 2  2u 2 v 2  (u 2  v 2 ) 2  2(uv) 2 
 (u 2  2uv  v 2  2uv) 2  2(uv) 2  ((u  v) 2  2uv) 2  2(uv) 2 , то,
учитывая первое уравнение системы, получаем уравнение с
одним неизвестным q: (16  2q) 2  2q 2  82 .
После элементарных преобразований получаем квадратное
уравнение q 2  32q  87  0 , имеющее два корня q1  29, q2  3 .
Таким образом, полученная система уравнений равносильна совокупности двух систем:
104
u  v  4,

uv  29
u  v  4,

uv  3.
Решим первую систему совокупности.
u v  4,
uv  29 .
Выразив из первого уравнения v  4  u и подставив во второе уравнение, получим уравнение с одним неизвестным u:
u (4  u )  29   u 2  4u  29  u 2  4u  29  0 .
Уравнение не имеет действительных корней, и, значит, система не имеет решений.
Решим вторую систему совокупности.
u v  4,
uv  3 .
Решая аналогично, получаем уравнение u 2  4u  3  0 , имеющее два действительных корня u1  1 , u 2  3 .
u  1 u 2  3
Значит, система имеет два решения  1
и
.
v1  3 v2  1
Учитывая замену, получаем две системы уравнений:
1  x  1
1) 
, откуда находим x1 = 0;
x  3  3
1  x  3
2) 
, откуда находим x2 = −2.
x  3  1
О т в е т: −2; 0.
Замечание. Заметим, что уравнения вида ( x  а) 4  ( x  b) 4  с
можно решать иначе, используя метод симметризации, делая
ab
замену переменных t  x 
. Рассмотрим пример. ▼
2
2.44. Решить уравнение ( x  6) 4  (8  х) 4  16 .
--------------------------------------------------------------------------------105
Р е ш е н и е. Данное уравнение равносильно уравнению
( x  6) 4  ( x  8) 4  16 .
68
Произведем замену, полагая t  x 
 t  7 . Откуда по2
лучаем x  t  7 .
После замены уравнение принимает вид:
(t  1) 4  (t  1) 4  16  t 4  4t 3  6t 2  4t  1  t 4  4t 3  6t 2  4t  1  16
 2t 4  12t 2  14  0  t 4  6t 2  7  0 .
Получили биквадратное уравнение. Произведем замену,
полагая t 2  у , где у  0 . После замены уравнение принимает
вид y 2  6 y  7  0 , откуда находим два корня y1  7 , y 2  1 .
Первый корень не удовлетворяет условию у  0 . Учитывая
вторую замену, получаем уравнение t 2  1 , имеющее два корня
t  1. Учитывая первую замену, находим корни исходного
уравнения x1  6 , x 2  8 .
О т в е т: 6; 8.
VIII. Метод оценок.
Иногда уравнение удается решить, используя свойства
входящих в него функций, или на основе этих свойств доказать, что уравнение корней не имеет.
2.45. Решить уравнение x 7  7 x  8  0 .
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Уравнение имеет очевидный корень x  1 . Других
корней уравнение не имеет.
Действительно, так как первая производная f / ( x)  7 x 6  7
функции f ( x)  x 7  7 x  8 положительна при всех значениях х,
то функция f ( x)  x 7  7 x  8 монотонно возрастает на всей
числовой прямой, и, следовательно, может пересечь ось Ох, то
есть иметь значение равное нулю, только один раз.
От в е т: 1.
106
2.46. Решить уравнение ( x 2  x  1)( x 2  2 x  3)  1 .
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Выделим в скобках полные квадраты.
Имеем:
1
1 1
1
3
x2  x  1  x 2  2  x    1  (x  )2  ;
2
4 4
2
4
2
2
2
x  2 x  3  x  2 x  1  1  3  ( x  1)  2 .
Тогда уравнение можно переписать так:
1
3
(( x  ) 2  )((x  1) 2  2)  1 .
2
4
1
Так как ( x  ) 2  0 и ( x  1) 2  0 при любых значениях x,
2
1
3 3
то выполняются неравенства ( x  ) 2   и ( x  1) 2  2  2 .
2
4 4
Перемножив истинные неравенства одинакового смысла с
положительным членами, получим истинное неравенство, т.е.
1
3
6
3
 ( x 2  x  1)( x 2  2 x  3) 
(( x  ) 2  )((x  1) 2  2) 
2
4
4
2
при всех значениях x и равенство левой части числу 1 невозможно.
Уравнение корней не имеет.
О т в е т: уравнение корней не имеет.
2.47. Решить уравнение ( x 2  4) 2  ( x 2  5 х  6) 2  0 .
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Так как ( x 2  4) 2  0 , ( x 2  5 х  6) 2  0 при любых х,
то равенство возможно только в том случае, если x 2  4  0 и
x 2  5 х  6  0 (сумма квадратов двух чисел равна нулю тогда и
только тогда, когда каждое число равно нулю).
Откуда заключаем, что уравнение равносильно системе
 x 2  4  0,
уравнений 
 x 2  5 x  6  0.
Первое уравнение системы имеет корни x1  2 и x 2  2 .
Второе уравнение системы имеет корни x1  2 и x 2  3 .
107
Откуда заключаем, что система и соответственно исходное
уравнение имеет единственное решение x  2 .
О т в е т: 2.
2.48. Решить уравнение ( x 4  8 x 2  18) 4  ( x 2  4 х  7) 2  25 .
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Выделив в скобках полные квадраты, перепишем
уравнение в виде ( x 4  8 x 2  16  2) 4  ( x 2  4 х  4  3) 2  25 
(( x 2  4) 2  2) 4  (( x  2) 2  3) 2  25 .
Так как ( x 2  4) 2  0 , ( x  2)2  0 при любых х, то ( x 2  4) 2  2  2 ,
( x  2)2  3  3 . Следовательно, справедливы следующие оценки
(( x 2  4) 2  2) 4  16 , (( x  2)2  3)2  9 .
Откуда заключаем, что (( x 2  4) 2  2) 4  (( x  2) 2  3) 2  25 при
любых значениях х, причем равенство возможно только в том
случае, если
(( x 2  4) 2  2) 4  16 ,
(( x  2)2  3)2  9 .
Система имеет единственное решение x  2 .
О т в е т: –2.
2.49. Найти все действительные корни уравнения
( x 8  1)  (1  x 2  x 4  x 6 )  8  x 7 .
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Отрицательных корней уравнение не имеет, так
как правая часть уравнения при отрицательном x отрицательна,
а левая часть уравнения - положительна.
Проверкой убеждаемся, что значение x = 0 уравнению не
удовлетворяет.
Следовательно, корни уравнения, если они существуют,
положительны.
Перемножим скобки в левой части уравнения, получим
x 14  x 12  x10  x 8  x 6  x 4  x 2  1  8  x 7
108
Так как x  0 , то, разделив обе части уравнения на x7 и перегруппировав слагаемые, получим равносильное уравнение:
1
1
1
1
(x7  7 )  (x5  5 )  (x3  3 )  (x  )  8 .
x
x
x
x
Известно, что если k  0 , то выполняется следующее не1
равенство k   2 , причем равенство имеет место только при
k
k = 1.
Откуда заключаем, что при x  0 имеют место следующие
1
1
1
1
оценки: x 7  7  2 , x 5  5  2 , x 3  3  2 , x   2 .
x
x
x
x
Сложив эти неравенства, получим оценку для возможных
значений левой части уравнения:
1
1
1
1
x7  7  x5  5  x3  3  x   8 ,
x
x
x
x
причем равенство достигается только при x = 1 . Это число и
является единственным корнем уравнения.
О т в е т: 1.
2.50. Доказать, что алгебраическое уравнение n –й степени
Pn ( x)  x n  a1 x n1  a 2 x n2  ...  a n1 x  a n  0 , среди коэффициентов a k которого встречаются только числа 1, –1 и 0, не имеет
действительных корней, модуль которых превышает 2.
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Пусть x 0 , где x 0  2 , является корнем уравнения
Pn ( x)  x n  a1 x n1  a 2 x n2  ...  a n1 x  a n  0 , в котором каждый
коэффициент a k , k  1,2,..., n , по модулю не превышает 1.
Из равенства x0n  a1 x0n1  a 2 x0n 2  ...  a n1 x0  a n  0 получаем
x0   a1x0n 1  a2 x0n  2  ...  an 1x0  an  a1  x0
n
 a n 1  x 0  a n  x0
n 1
 x0
n2
 a2  x0
n2
 ... 
 ...  x0  1 .
Сумма 1  x0  x0  ...  x0
2
n 1
n 1
представляет собой сумму n
членов геометрической прогрессии с первым членом, равным
109
b1  1 , и знаменателем, равным q  x 0 . Используя формулу для
b (q n  1)
суммы n членов геометрической прогрессии Sn  1
, поq 1
x  1 x0
x
n
лучим следующую оценку: x0  0
, т.е. x0  0 .

x0  1 x0  1
x0  1
n
n
n
n
x0  ( x0  2)
 0 , а это неверно при x 0  2 .
x0  1
Полученное противоречие означает, что уравнение не имеет действительных корней, модуль которых превышает 2, что и
требовалось доказать.
n
Отсюда следует, что
Упражнения.
Решите уравнения:
78. ( x  1)( x 2  8 x  16)  6( x  4) .
79. x 4  (2 x  15) 2 .
80. x 3  4 х 2  4 x  16  0 .
81. x 3  4 х 2  9 x  36  0 .
82. x 3  х  2  0 .
83. x 3  4 х 2  x  6  0 .
84. 3x 3  13x 2  13x  3  0 .
85. x 3  x 2  8 x  12  0 .
86. 3x 3  2 x 2  12x  8  0 .
87. x 4  3 x 3  3 x 2  x  6  0 .
88. x 4  4 x 3  4 x 2  64  0 .
89. 8 x 4  6 x 3  13x 2  x  3  0 .
90. 5 x 3  21x 2  21х  5  0 .
91. ( x  4) 3  ( х  4) 2  ( x  4)( х  3)  ( х  3) 2  ( х  3) 3  6 .
92. ( x 2  4 х  3) 2  ( x 2  х  2) 2  17( х  1) 2 .
93. ( x 2  4 x  5) 2  ( x 2  3x  4) 2  ( x 2  2 x  3) 2  ( x 2  x  2) 2 .
94. x 4  2 x 3  x 2  9  0 .
110
95. x 4  4 x  1  0 .
96. x 4  2 x 3  4 х 2  3x  2  0 .
97. x 5  3x 3  8 х  12  0 .
98. 16x 4  8 x 3  7 х 2  2 x  1  0 .
99. ( x  1) 3  (2 х  3) 3  27x 3  8 .
100. ( x  3) 4  2( x  3) 2  8  0 .
101. 2 x 8  x 4  15  0 .
102. (2 x  1) 6  3(2 x  1) 3  10 .
103. ( x 2  x  1)( x 2  x  2)  12 .
104. ( x 2  2 x) 2  ( x  1) 2  5 .
105. 3(6 x 2  13x  6) 2  10(6 x 2  13x)  53 .
106. ( x 2  5 x  7) 2  ( x  2)( x  3)  0 .
107. (2 x 2  3x  2)(5  6 x  4 x 2 )  5  (2 x 2  3x  2) .
108. x( x  1)( x  2)( x  3)  15 .
109. ( x  2)( x  1)( x  4)( x  7)  19 .
110. ( x  1)( x  3)( х  5)( х  7)  297 .
111. ( x  1)( х  2)( x  3)( x  4)  3 .
112. ( x  2)( x  4)( x  6)( x  8)  105 .
113. (12x  1)(6 x  1)(4 x  1)(3x  1)  5 .
114. (6 x  5) 2 (3x  2)( x  1)  35 .
115. (8 x  7) 2 (4 x  3)( х  1)  4,5 .
116. ( x 2  4 x  3)( x 2  6 x  8)  24 .
117. 4( x  12)( x  10)( x  6)( x  5)  3x 2 .
118. ( x  2)( x  3)( x  8)( x  12)  4 x 2 .
119. ( x 2  x  16)( x 2  20x  16)  54x 2  0 .
120. (2 x 2  3х  1)(2 x 2  5 х  1)  9 х 2 .
121. ( x 2  x) 4  5( x 2  x) 2  x 2  6 x 4  0 .
122. ( x 2  x  4) 2  8 x( x 2  x  4)  15x 2  0 .
123. ( x 2  x  1) 4  6 x 2 ( x 2  x  1)  5 x 4  0 .
111
124. x 2 ( x  1) 2  x( x 2  1)  2( x  1) 2 .
125. 4 x 2 (2 x  1) 2  2 x(4 x 2  1)  30(2 x  1) 2 .
126. 2( x 2  x  1) 2  7( x  1) 2  13( x 3  1) .
127. ( x 2  2 x  4) 2  5 x 2  10x  16 .
128. x 3  5 х 2  5 х  1  0 .
129. x 4  2 x 3  x 2  2 x  1  0 .
130. x 4  3x 3  4 x 2  3x  1  0 .
131. x 4  4 x 3  6 x 2  4 x  1  0 .
132. 2 x 5  5 x 4  13x 3  13x 2  5 x  2  0 .
133. 2 x 5  3x 4  5 x 3  5 х 2  3х  2  0 .
134. 2 x 5  3 x 4  2 x 3  6 x 2  81x  486  0 .
135. 3x 4  2 x 3  4 х 2  4 х  12  0 .
136. 2 x 5  6 x 4  2 x 3  4 х 2  48х  64  0 .
137. ( x  6) 4  ( x  8) 4  82 .
138. ( x  4,5) 4  ( x  5,5) 4  1 .
139. ( x  3) 4  ( x  5) 4  16 .
140. ( x  2) 4  x 4  82 .
141. ( x  3) 4  ( x  1) 4  20 .
142. ( x  2) 6  ( x  4) 6  64 .
143. ( x  5)10  (2 x  9) 5  0 .
144. ( x 2  1) 2  ( x 2  6 х  7) 2  0 .
145. ( x 2  25) 2  ( x 2  3х  10) 2  0 .
146. ( x 4  2 x 2  2) 4  ( x 2  2 х  5) 2  17 .
112
2.4. Дробно-рациональные уравнения
2.4.1. Понятие дробно-рационального уравнения.
Схема решения
Определение 2.6. Уравнение f 1 ( x)  f 2 ( x) называется дробно –
рациональным уравнением с одним неизвестным (или, кратко,
дробным уравнением), если выражения f 1 ( x) и f 2 ( x) являются
рациональными выражениями, но хотя бы одно из них не является многочленом.
x
2
25x 2
74
Например:

1, x2 
 .
2
x3 x2
49
(5  2 x)
Заменив уравнение f 1 ( x)  f 2 ( x) равносильным уравнением
f 1 ( x)  f 2 ( x)  0 и сложив в левой части дроби, получим уравнение вида
P( x)
 0 , (1)
Q( x)
где P(x), Q(x) – многочлены.
Вид уравнения (1) называется каноническим видом дробно
-рационального уравнения.
x 2  5x  6
4 x 5  3x 4  2 x 3  x 2  1
Например:
,

0
0 x3 1
x 2  3x  2
дробно-рациональные уравнения в каноническом виде.
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель
равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Следовательно,
дробно-рациональное уравнение (1) равносильно смешанной
системе
P( x)  0,

Q( x)  0.
113
Итак, для решения дробно-рационального уравнения вида
(1) необходимо:
1) решить уравнение Р ( x )  0 ;
2) отбросить посторонние корни, не удовлетворяющие неравенству Q( x)  0 .
Решение многих рациональных алгебраических уравнений
состоит в сведении их тем или иным способом к уравнению
вида (1).
Замечание. Заметим, что ОДЗ уравнения (1) определяется
условием Q( x)  0 . Но в процессе преобразований при получении уравнения вида (1) ОДЗ неизвестного может меняться. За
этими изменениями необходимо следить с целью обеспечения
равносильности преобразований.
Например: в процессе преобразований дробно-рационального
x 3
2x
уравнения 1  2
, ОДЗ которого определяется
 2
x  x2 x  x2
x 1
неравенствами x ≠ –2 и x ≠ 1, к каноническому виду
0
x2
ОДЗ уравнения меняется и задается условием x ≠ –2.
Единственное решение канонического уравнения x = 1,
удовлетворяет ОДЗ этого уравнения, но является посторонним
для исходного уравнения.▼
Таким образом, общая схема решения дробного уравнения
следующая.
Для решения дробного уравнения с одним неизвестным
достаточно:
1) перенести все члены уравнения в левую часть;
2) привести уравнение к каноническому виду;
3) решить алгебраическое уравнение, приравняв нулю числитель полученной дроби;
4) найденные решения проверить и отбросить посторонние
решения.
114
2.4.2. Методы решения дробных уравнений
I. Применение общей схемы решения.
Метод состоит в использовании общей схемы решения
дробно-рационального уравнения, состоящей в непосредственном приведении уравнения к каноническому виду путем упрощения составляющих его выражений (приведение к общему
знаменателю, раскрытие скобок, приведение подобных членов
и т.д.).
2
1
4
2.51. Решить уравнение
.
 
2  x 2 x  (2  x)
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. ОДЗ уравнения определяется условием
x(2  x)  0 , откуда получаем x  0, x  2 .
Складывая дроби, последовательно получаем
2 1
4
2  2 x  x  (2  x)  4  2

 
0
0 
2  x 2 x  (2  x)
2 x  (2  x)
2
4x  2x  x 2  8
 x  6x  8  0 .
0
2 x  (2  x)
2 x  (2  x)
Полученное уравнение равносильно смешанной системе
 x 2  6 x  8  0,

 x  0,
 x  2.

Решая квадратное уравнение системы, получаем два корня
x1  2, x2  4 .
Первый корень является посторонним, так как не удовлетворяет второму неравенству системы.
О т в е т: 4.
1 x 1 x

2.52. Решить уравнение 1  x 1  x  3 .
1 x
14  x
1
1 x
--------------------------------------------------------------------------------115
Р е ш е н и е. ОДЗ уравнения определяется системой неравенств
1  x  0,
1  x  0,
 x  1,
1  x  0,
1  x  0,
 x  1,






14  x  0,
14  x  0,
 x  14,


1

x
2
x
 x  0,


 1  0,
 0,
1  x
1  x
откуда получаем x  1, x  0 , x  1, x  14 .
Приведем уравнение к каноническому виду.
Упростим левую часть уравнения.
2
2
1  x 1  x (1  x)  (1  x)

1  x 1  x  (1  x)(1  x)  (1  x  1  x)(1  x  1  x)  1  x 
1 x
(1  x)  (1  x)
(1  x)(1  x)
1  x 1  x
1
1 x
1 x
2  2x
1 x
2
.



(1  x)(1  x) 2 x 1  x
2
3
Таким образом, приходим к уравнению
.

1  x 14  x
Перенеся все члены в левую часть и преобразуя, приведем
уравнение к каноническому виду.
2
3
2
3
2(14  x)  3(1  x)



0 
0 
1  x 14  x
1  x 14  x
(1  x)(14  x)
5(5  x)
28  2 x  3  3x
25  5 x
 0.
0 
0 
(1  x)(14  x)
(1  x)(14  x)
(1  x)(14  x)
Так как в результате преобразований ОДЗ уравнения расширилась, то последнее уравнение равносильно смешанной
системе вида:
5  x  0,

 x  1, x  0, x  1, x  14.
Откуда находим единственный корень уравнения x  5 .
О т в е т: 5.
116
II. Метод разложения на множители.
Метод состоит в преобразовании уравнения (1) к виду
P ( x)
Р1 ( x) P2 ( x)

 ...  k
 0 и в сведении задачи к решению
Q1 ( x) Q2 ( x)
Qk ( x )
совокупности уравнений
Р1 ( x)
 0,
Q1 ( x)
P2 ( x)
0,
Q2 ( x)
…,
Pk ( x)
 0.
Qk ( x)
2
 x2  6 
 5x  .
2.53. Решить уравнение  2
  
2 
4 x 
 x 4
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Перенеся все члены уравнения в левую часть, по2
2
 x 2  6   5x 
лучим равносильное уравнение:  2
  
 0.
2 
 x 4 4 x 
Используя формулу разности квадратов, разложим левую
часть уравнения на множители:
 x2  6
5x   x 2  6
5x 
 2

  0.


2   2
2 
 x 4 4 x   x 4 4 x 
Полученное уравнение равносильно совокупности двух
уравнений:
x2  6
5x

0,
2
x  4 4  x2

x2  6
5x

0,
x2  4 4  x2
2
x 2  5x  6
 0,
x2  4
x 2  5x  6
 0.
x2  4
117
Решим первое уравнение совокупности:
x 2  5x  6
1)
 0.
x2  4
Уравнение равносильно системе:
x 2  5x  6  0 ,
x2  4  0 ,

x 2  5x  6  0 ,
x  2 .
Решая уравнение системы x 2  5 x  6  0 , получаем два
корня x1  2 и x2  3 .
Корень x1  2 является посторонним корнем, так как не
удовлетворяет неравенству системы.
Решим второе уравнение совокупности:
x 2  5x  6
2)
 0.
x2  4
Данное уравнение равносильно системе:
x 2  5x  6  0 ,
x2  4  0 ,

x 2  5x  6  0 ,
x  2 .
Решая уравнение системы x 2  5 x  6  0 , получаем два
корня x1  2 и x2  3.
Корень x1  2 является посторонним корнем, так как не
удовлетворяет неравенству системы.
Таким образом, уравнение имеет два корня x1  3 и x2  3 .
О т в е т: –3; 3.
x2
x
2.54. Решить уравнение
 4 2
5  0.
x 9
x 9
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Представим число 5 как сумму 1 + 4 и сложим
x2
x
первую дробь с 1, а вторую дробь с 4:
 4 2
5  0 
x 9
x 9
x2  x  9
x
x2
x
 4( 2
 1)  0 
1 4  2
40 
x9
x 9
x 9
x 9
118
x2  x 9
x2  x 9
 4 2
 0.
x 9
x 9
Разложив на множители левую часть уравнения, получим
1
4
( x 2  x  9)(
 2 )  0.
x 9 x 9
Полученное уравнение равносильно совокупности двух
уравнений:
 x 2  x  9  0,

 1  4  0.
 x  9 x 2  9
Решим первое уравнение совокупности:
1) x 2  x  9  0 .
Решив уравнение, находим два корня x1 
x1 
 1  37
и
2
 1  37
.
2
Решим второе уравнение совокупности:
2)
1
4
х 2  9  4 х  36
х 2  4 х  45

 2
0 

0
 0.
х 9 х 9
( х  9)(х 2  9)
( х  9)(х 2  9)
Данное уравнение равносильно смешанной системе:
 x 2  4 x  45  0,

 x  3,
 x  9.

Решая уравнение системы x 2  4 x  45  0 , получаем два
корня x1  9 и x 2  5 , удовлетворяющие неравенству системы.
О т в е т:
 1 37  1 37
;
; 9; 5 .
2
2
119
III. Метод введения вспомогательного неизвестного.
Метод состоит в замене выражения, содержащего неизвестное, новым неизвестным, относительного которого уравнение становится более простым.
Выбор замены определяется видом и особенностями решаемого уравнения.
x 2  1 2 x  3 29
2.55. Решить уравнение
.


2 x  3 x 2  1 10
------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Так как x 2  1  0 при любых значениях х, то ОДЗ
3
уравнения определяется условием 2x  3  0 , откуда x   .
2
Заметим, что непосредственное сложение дробей и приравнивание числителя к нулю приводит к уравнению 4-й степени. Используем тот факт, что второе слагаемое левой части
уравнения представляет собой дробь, обратную первой.
x2 1
Произведем замену, полагая
t.
2x  3
1 29
После замены уравнение принимает вид t  
.
t 10
10t 2  29t  10
Складывая дроби, получаем
 0.
10t
Полученное уравнение равносильно смешанной системе
10t 2  29t  10  0,

t  0
5
2
Решив уравнение, находим два корня t1  , t 2  .
2
5
Учитывая замену, получаем два уравнения.
1)
x2 1 5
x2 1 5
2 x 2  2  10x  15

 0 
0 

2x  3 2
2x  3
2x  3 2
2 x 2  10x  13
2 x 2  2  10x  15

0.
0
2x  3
2  (2 x  3)
120
Полученное уравнение равносильно смешанной системе
2 x 2  10x  13  0,


3
x  
2

Решив уравнение системы, находим два корня x1, 2 
удовлетворяющие неравенству системы.
5x 2  4 x  1
x2 1 2
2)

0.

2x  3 5
5(2 x  3)
Уравнение равносильно смешанной системе
5  51
,
2
5 x 2  4 x  1  0,


3
x  
2

1
Решив уравнение системы, находим два корня x1   ,
5
x2  1 , удовлетворяющие неравенству системы.
1
5  51
5  51
;  ; 1;
.
5
2
2
25x 2
74
2.56. Решить уравнение x 2 
 .
2
(5  2 x) 49
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Добавляя и вычитая в левой части уравнения вы5x
ражение 2 x
, выделим полный квадрат. Получим равно5  2x
5x
25x 2
5x
74
сильное уравнение x 2  2 x


 2x

2
5  2 x (5  2 x)
5  2 x 49
О т в е т:
2
 5x  2 x 2  5x 
5x 2
5x
74
5x
74
 
  2 x
(x 
)  2x


5  2x
5  2 x 49
5  2 x 49
 5  2x 
2
 2 x 2  10x 2 74
 
 .
 5  2 x  5  2 x 49
 
121
Произведем замену, полагая
2x2
t.
5  2x
После замены уравнение принимает вид t 2  5t 
49t 2  245t  74  0 , откуда находим два корня t 1 
74
49

2
37
и t2   .
7
7
Учитывая замену, получаем два уравнения.
2x 2
2
2x 2 2
14x 2  4 x  10


 0 
 0.
5  2x 7
5  2x 7
7(5  2 x)
Полученное уравнение равносильно смешанной системе
14x 2  4 x  10  0,

5  2 x  0.
5
Решив уравнение системы, находим два корня x1   и
7
x2  1 , удовлетворяющие неравенству системы.
1)
2x 2
37
2 x 2 37
14x 2  74x  185


 0 
 0.
5  2x
7
5  2x 7
7(5  2 x)
Полученное уравнение равносильно смешанной системе
14x 2  74x  185  0,

5  2 x  0.
Уравнение системы не имеет действительных корней, так
как дискриминант уравнения – отрицательное число.
5
О т в е т:  ; 1.
7
24
15
2.57. Решить уравнение 2
 2
 2.
x  2x  8 x  2x  3
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. ОДЗ уравнения определяется следующими усло x 2  2 x  8  0,
виями: 
, откуда получаем x  4, x  2, x  3, x  1 .
 x 2  2 x  3  0
2)
122
Замечание. Заметим, что непосредственное сложение дробей и
приравнивание числителя к нулю приводит к уравнению 4-й
степени. Используем тот факт, что знаменатели дробей совпадают в части, содержащей неизвестную х. ▼
Произведем замену, полагая x 2  2 x  3  t .
Тогда x  2 x 2  8  x 2  2 x  3  5  t  5 .
24 15
После замены уравнение принимает вид:

 2.
t 5 t
 2t 2  19t  75
Складывая дроби, получаем уравнение
 0.
(t  5)t
Полученное уравнение равносильно смешанной системе:
 2t 2  19t  75  0,

t  0, t  5
Из уравнения системы находим корни t1  12,5 и t 2  3 ,
удовлетворяющие неравенствам системы.
Учитывая замену, получаем два квадратных уравнения:
1) x 2  2 x  3  12,5  x 2  2 x  15,5  0 , откуда находим два
корня x1  1  16,5 и x2  1  16,5 .
2) x 2  2 x  3  3  x 2  2 x  0 , откуда находим еще два
корня x3  0 и x4  2 .
О т в е т:  1  16,5 ;  2; 0;  1  16,5 .
2.58. Решить уравнение
1
1
1
1
1
1
1
1
.







x x  2 x  5 x  7 x 1 x  3 x  4 x  6
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е.
Замечание. Заметим, что непосредственное сложение дробей и
приравнивание числителя к нулю приводит к уравнению 4-й
степени.
Сгруппируем члены уравнения по два так, чтобы после
сложения в числителях получились многочлены первой или
123
нулевой степени, а в знаменателях – квадратные трехчлены,
имеющие одинаковые части, содержащие неизвестную х.▼
Перегруппировав слагаемые, перепишем уравнение так:
1
1
1
1
1
1
1
1
( 
)(

)(

)(

).
x x7
x2 x5
x 1 x  6
x3 x4
Сложив дроби, получаем уравнение
2x  7
2x  7
2x  7
2x  7
.



x 2  7 x x 2  7 x  10 x 2  7 x  6 x 2  7 x  12
Вынося общий множитель за скобки, получаем
1
1
1
1
(2 x  7)( 2
 2
 2
 2
)0
x  7 x x  7 x  10 x  7 x  6 x  7 x  12
Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений
7
1) 2x + 7 = 0, откуда находим корень уравнения x1   .
2
1
1
1
1
2) 2



 0.
x  7 x x 2  7 x  10 x 2  7 x  6 x 2  7 x  12
Произведем замену, полагая x 2  7 x  6  t .
После замены уравнение принимает вид:
1
1
1
1

 
0.
t 6 t 4 t t 6
Складывая дроби, получаем уравнение
t (t  4)(t  6)  t (t  6)(t  6)  (t  6)(t  4)(t  6)  t (t  6)(t  4)
0,
t (t  4)(t  6)(t  6)
t 3  10t 2  24t  t 3  36t  t 3  4t 2  36t  144  t 3  2t 2  24t
0,
t (t  4)(t  6)(t  6)
8t 2  48t  144
t 2  6t  18
0,
0.
t (t  4)(t  6)(t  6)
t (t  4)(t  6)(t  6)
124
Полученное уравнение равносильно смешанной системе
t 2  6 x  18  0,

t  0, t  6, t  4, t  6,
Уравнение системы действительных корней не имеет.
О т в е т: 
7
.
2
4x
3x

 1.
4 x 2  8 x  7 4 x 2  10 x  7
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. ОДЗ уравнения определяется условиями
4 x 2  8 x  7  0,
 2
4 x  10x  7  0
Неравенства выполняются при любых значениях х, следовательно, x  R .
2.59. Решить уравнение
Замечание. Заметим, что непосредственное сложение дробей и
приравнивание числителя к нулю приводит к уравнению 4-й
степени. Используем равенство старших коэффициентов и свободных членов квадратных трехчленов знаменателей дробей.▼
Так как значение x  0 не удовлетворяет уравнению, то,
разделив числитель и знаменатель каждой дроби на х, получим
равносильное уравнение
4
7
4x  8 
x

Произведем замену, полагая 4 x 
3
7
4 x  10 
x
 1.
7
t.
x
После замены уравнение принимает вид
4
3

 1.
t  8 t  10
Складывая дроби, получаем уравнение
4(t  10)  3(t  8)  (t  8)(t  10)
0 
(t  8)(t  10)
125
4t  40  3t  24  t 2  8t  10t  80
 t 2  25t  144
0 
 0.
(t  8)(t  10)
(t  8)(t  10)
Последнее уравнение равносильно смешанной системе
 t 2  25t  144  0,

 x  8, t  10
Решив уравнение системы, получаем два корня t1  9 и
t 2  16 , удовлетворяющие неравенствам системы.
Учитывая замену, получаем два уравнения:
7
1) 4 x   16  4 x 2  16 x  7  0 , откуда получаем два корня
x
1
7
x1  и x 2  .
2
2
7
2) 4 x   9  4 x 2  9 x  7  0 . Уравнение корней не имеет.
x
1 7
О т в е т: ; .
2 2
Замечание. Полученный метод решения можно обобщить.
px
qx
Уравнения вида 2
 2
d,
ax  b1 x  c ax  b2 x  c
где p  q  d  0 , ac  0 , после деления числителя и знаменателя
c
дробей на x  0 и заменой неизвестной t  ax  сводится к
x
p
q
решению уравнения вида

d.
t  b1 t  b2
Аналогичным методом решаются уравнения вида
2
ax  b1 x  c ax 2  b3 x  c

 d , а также уравнения вида
ax 2  b2 x  c ax 2  b4 x  c
ax 2  b1 x  c
px
, p  0 , ac  0 . ▼
 2
2
ax  b2 x  c ax  b3 x  c
126
x 2  5x  9 x 2  6 x  9

 3.
x 2  9 x  9 x 2  8x  9
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Так как значение x  0 не удовлетворяет уравнению, то, разделив числитель и знаменатель каждой дроби на х,
получим равносильное уравнение
9
9
x5
x6
x
x 3.
9
9
x9
x 8
x
x
9
Произведем замену, полагая t  x  .
x
t 5 t 6
После замены уравнение принимает вид

 3.
t 9 t 8
Складывая дроби, получаем уравнение
2.60. Решить уравнение
(t  5)(t  8)  (t  6)(t  9)  3(t  9)(t  8)
0 
(t  9)(t  8)
t 2  13t  40  t 2  15t  54  3t 2  51t  216
 3t 2  53t  230
0 
 0.
(t  9)(t  8)
(t  9)(t  8)
Последнее уравнение равносильно смешанной системе
 3t 2  53t  230,

t  8, t  9.
Решив уравнение системы, получаем два корня t1  10 и
23
t 2  , удовлетворяющие неравенствам системы.
3
Учитывая замену, получаем два уравнения:
9
1) x   10  x 2  10 x  9  0 , откуда получаем два корня
x
x1  1 и x 2  9 .
127
9 23
 3x 2  23x  27  0 , откуда получаем два корня

x 3
23  205
23  205
и x4 
.
x3 
6
6
23 205
23 205
О т в е т:
; 1;
; 9.
6
6
2) x 
x 2  10x  15
4x
.
 2
2
x  6 x  15 x  12x  15
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Так как значение x  0 не удовлетворяет уравнению, то, разделив числитель и знаменатель каждой дроби на х,
получим равносильное уравнение
15
x  10 
4
x 
.
15
15
x6
x  12 
x
x
15
Произведем замену, полагая t  x  .
x
t  10
4
После замены уравнение принимает вид
.

t  6 t  12
Складывая дроби, получаем уравнение
2.61. Решить уравнение
(t  10)(t  12)  4(t  6)
0
(t  6)(t  12)

t 2  22t  120  4t  24
0 
(t  6)(t  12)
t 2  26t  144
 0.
(t  6)(t  12)
Последнее уравнение равносильно смешанной системе
t 2  26t  144,

t  6, t  12.
Решив уравнение системы, получаем два корня t1  8 и
t2  18 , удовлетворяющие неравенствам системы.
128
Учитывая замену, получаем два уравнения:
15
1) x   8  x 2  8 x  15  0 , откуда получаем два корня
x
x1  3 и x 2  5 .
15
 18  x 2  18x  15  0 , откуда получаем два корня
x
x 3  9  66 и x 4  9  66 .
2) x 
О т в е т: 9  66 ; 3; 5; 9  66 .
IV. Метод выделения целых частей.
Метод состоит в упрощении дробно-рационального уравнения путем выделения целой части в каждой из дробей уравнения. Применяется в тех случаях, когда степени многочленов
числителей дробей больше (или равны) степеней многочленов
знаменателей дробей.
4 x  17 10 x  13 8 x  30 5 x  4
.



x4
2x  3
2x  7
x 1
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. ОДЗ уравнения определяется условиями
3
7
x  1, x  , x  , x  4 .
2
2
Перепишем уравнение так:
2.62. Решить уравнение
4 x  16  1 10 x  15  2 8 x  28  2 5 x  5  1



x4
2x  3
2x  7
x 1
4( x  4)  1 5(2 x  3)  2 4(2 x  7)  2 5( x  1)  1
.



x4
2x  3
2x  7
x 1

Выделим целую часть каждой из дробей уравнения.
1
2
2
1

4
5
 4
5
x4
2x  3
2x  7
x 1
2
1
2
1



 0.
2x  3 x  4 2x  7 x  1
129
Складывая дроби, получаем
2( х  4)  (2 x  3) 2( x  1)  (2 x  7)

0 
(2 x  3)( x  4)
(2 x  7)( x  1)
2х  8  2x  3 2x  2  2x  7

0 
(2 x  3)( x  4) (2 x  7)( x  1)
5
5
1
1
.
 2
0 
 2
2
2
2 x  11x  12 2 x  9 x  7
2 x  11x  12 2 x  9 x  7
Последнее уравнение равносильно системе:
2 x 2  9 x  7  2 x 2  11x  12 ,
3
7
x  1, x  , x  , x  4 ,
2
2

2x  5 ,
x  1, x 
откуда находим корень уравнения x 
3
7
,x  ,x  4,
2
2
5
, удовлетворяющий
2
неравенствам системы.
5
О т в е т: .
2
2.63. Решить уравнение
x 2  2 x  2 x 2  8 x  20 x 2  4 x  6 x 2  6 x  12



x 1
x4
x2
x3
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. ОДЗ уравнения определяется условиями
x  4, x  3, x  2, x  1 .
Перепишем уравнение так:
( x  1) 2  1 ( x  4) 2  4 ( x  2) 2  2 ( x  3) 2  3
.



x 1
x4
x2
x3
Выделим целую часть каждой из дробей уравнения.
1
4
2
3

( x  1) 
 ( x  4) 
 ( x  2) 
 ( x  3) 
x 1
x4
x2
x3
1
4
2
3
.



x 1 x  4 x  2 x  3
Складывая дроби, получаем:
130
5x  8
5 x  12
 2 5 x  8  25 x  12  0 

x  5x  4 x  5x  6
x 2  5x  4 x 2  5x  6
(5 x  8)( x 2  5 x  6)  (5 x  12)( x 2  5 x  4)
0 
( x 2  5 x  4)( x 2  5 x  6)
5 x 3  25x 2  30x  8 x 2  40x  48  5 x 3  25x 2  20x  12x 2  60x  48
0
( x 2  5 x  4)( x 2  5 x  6)
5
4x  (x  )
 4 x 2  10x
2
 2
0.
0 2
( x  5 x  4)( x 2  5 x  6)
( x  5x  4)( x 2  5x  6)
Последнее уравнение равносильно системе:
5
x  (x  )  0 ,
2
x  4, x  3, x  2, x  1 .
Решив уравнение системы, получаем два корня x1  
5
и
2
x2  0 , удовлетворяющие неравенствам системы.
5
О т в е т:  ; 0.
2
50  x
50  x
2.64. Решите уравнение x 
 (x 
)  576 .
x 1
x 1
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. ОДЗ уравнения определяется условием x  1 .
Перепишем уравнение так:
 x 2  50x
x  1  51
 (x 
)  576 .
x 1
x 1
Выделим целую часть каждой из дробей уравнения.
 x 2  x  51x  51  51
51
 (x 1 
)  576 
x 1
x 1
 x( x  1)  51( x  1)  51
51
 (x 1 
)  576 
x 1
x 1
51
51
( x  51 
)  (x 1 
)  576 
x 1
x 1
131
(51  ( x 
51
51
))  ( x 
 1)  576 .
x 1
x 1
51
t.
x 1
После замены уравнение принимает вид:
Произведем замену, полагая x 
(51  t )  (t  1)  576  51t  51  t 2  t  576   t 2  52t  627  0
 t 2  52t  627  0 , откуда находим два корня t1  33 , t 2  19 .
Учитывая замену, получаем два уравнения:
51
1) x 
 33 .
x 1
Преобразуя, получаем
x 2  x  51
x 2  x  51  33x  33
x 2  32x  18
 33  0 
0 
0.
x 1
x 1
x 1
Последнее уравнение равносильно системе:
x 2  32x  18  0 ,
x  1 ,
откуда находим два корня уравнения x1, 2  16  238 , удовлетворяющие неравенству системы
51
2) x 
 19 .
x 1
Решая аналогично, последовательно получаем
2
x  x  51
x 2  x  51  19x  19
x 2  18x  32
 19  0 
0 
0.
x 1
x 1
x 1
Последнее уравнение равносильно системе:
x 2  18x  32  0 ,
x  1 ,
откуда находим еще два корня x3  2 , x4  16 .
О т в е т: 16  238 ; 2; 16 ; 16  238 .
132
V. Метод разложения на простейшие дроби (метод неопределенных коэффициентов).
Метод состоит в представлении каждой из дробей уравнения в виде суммы простейших дробей и дальнейшей перегруппировке полученных слагаемых.
Разложение дробей на простейшие дроби осуществляется
методом неопределенных коэффициентов.
Метод применяется в тех случаях, когда степени многочленов числителей дробей меньше степеней многочленов знаменателей дробей.
2.65. Решить уравнение
4x  3
8 x  20
4 x  17
 2
 2
 0.
2
x  x x  5 x  6 x  9 x  20
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. ОДЗ уравнения определяется условиями
x2  x  0 ,
x 2  5x  6  0 ,
x 2  9 x  20  0 , откуда x  0 , x  1 , x  2 , x  3 , x  4 , x  5 .
Разлагая знаменатели на множители, перепишем уравнение
4x  3
8 x  20
4 x  17
так:


 0.
x( x  1) ( x  2)( x  3) ( x  4)( x  5)
Разложим каждую из дробей в левой части уравнения в
сумму простейших дробей, используя метод неопределенных
коэффициентов.
4x  3
A
B
Имеем:
.
 
x( x  1) x x  1
Складывая дроби в правой части уравнения, получаем
4 x  3 ( A  B) x  A

x( x  1)
x( x  1)
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получим систему уравнений для определения неопределенных
коэффициентов A и B:
133
A  B  4
, откуда находим A = 3 и B = 1.

 A  3
Таким образом, дробь разлагается на простейшие дроби
так: 4 x  3  3  1 .
x( x  1)
x
x 1
Аналогичным образом разлагаем на простейшие дроби
второе и третье слагаемое левой части уравнения:
8 x  20
C
D



( x  2)( x  3) x  2 x  3
8 x  20
(C  D) x  2 D  3C , откуда получаем систему

( x  2)( x  3)
( x  2)( x  3)
уравнений:
C  D  8
, откуда находим C = 4 и D = 4.

 2D  3C  20
4 x  17
E
M



( x  4)( x  5) x  4 x  5
4 x  17
( E  M ) x  5E  4M
, откуда получаем систему

( x  4)( x  5)
( x  4)( x  5)
уравнений:
E  M  4
, откуда находим E = 1 и M = 3.

 5E  4M  17
Таким образом, уравнение можно переписать так:
3
1
4
4
1
3





 0.
x x 1 x  2 x  3 x  4 x  5
Перегруппировав слагаемые, перепишем уравнение так
3
3
1
1
4
4
( 
)(

)(

)  0.
x x5
x 1 x  4
x2 x3
Складывая дроби, получаем уравнение
3(2 x  5)
2x  5
4(2 x  5)
 2
 2
 0.
2
x  5x
x  5x  4 x  5x  6
Вынося общий множитель за скобки, получаем
134
3
1
4
(2 x  5)( 2


)  0.
x  5x x 2  5x  4 x 2  5x  6
Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
5
1) 2x  5  0 , откуда x  .
2
3
1
4
2) 2
 2
 2
 0.
x  5x x  5x  4 x  5x  6
Произведем замену, полагая x 2  5 x  t .
После замены уравнение принимает вид:
3
1
4


0
t t4 t6
Складывая дроби, получаем уравнение
3(t  4)(t  6)  t (t  6)  4t (t  4)
0
t (t  4)(t  6)

3t 2  30t  72  t 2  6t  4t 2  16t
8t 2  52t  72
0 
0 
t (t  4)(t  6)
t (t  4)(t  6)
2t 2  13t  18
 0.
t (t  4)(t  6)
Последнее уравнение равносильно системе:
2t 2  13t  18  0 ,
t  0 , t  4 , t  6 ,
9
откуда находим два корня t1   , t 2  2 .
2
Учитывая замену, получаем два уравнения:
9
1) x 2  5 x  
 2 x 2  10x  9  0 , откуда находим два
2
5 7
корня исходного уравнения x1, 2 
.
2
2) x 2  5 x  2  x 2  5 x  2  0 , откуда находим еще два корня
135
5  17
.
2
5  17 5  7 5  7 5  17 5
О т в е т:
,
,
,
, .
2
2
2
2
2
исходного уравнения x3, 4 
VI. Решение дробно-рациональных уравнений, сводящихся
к однородным.
Метод заключается в сведении дробно-рационального
уравнения к однородному уравнению относительно некоторых
функций.
2.66. Решить уравнение
x2  4
 x2
 x2
5
0.
  44  
  12  2
x 1
 x 1 
 x 1 
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Используя формулу разности квадратов, перепишем уравнение так:
2
2
( x  2)( x  2)
 x2
 x2
5
0
  44  
  12 
( x  1)( x  1)
 x 1 
 x 1 
x2
x2
Если обозначить p (x) 
и r (x) 
, то решение
x 1
x 1
уравнения сводится к решению однородного уравнения 2-й
степени вида 5  p 2 ( x)  12  p( x)r ( x)  44  r 2 ( x)  0 .
Так как функции p (x) и r (x ) не имеют общих корней, то
2
2
x2
разделив обе части уравнения на r 2 ( x )  
 , получим
 x 1 
2
2
 p( x) 
 p ( x) 
равносильное уравнение 5  
  12  
  44  0 .
 r ( x) 
 r ( x) 
p( x) ( x  2)( x  1)
Осуществив замену

 t , получим квадr ( x) ( x  2)( x  1)
ратное уравнение t 2  12  t  44  0 , решив которое, получаем
22
два корня t1  2 , t 2   .
5
136
Таким образом, исходное уравнение равносильно совокупности уравнений
 ( x  2)( x  1)
 ( x  2)( x  1)  2,

22
 ( x  2)( x  1)
 ( x  2)( x  1)   5 .

Решим первое уравнение совокупности.
1)
( x  2)( x  1)
2
( x  2)( x  1)

( x  2)( x  1)
20
( x  2)( x  1)
( x  2)( x  1)  2( x  2)( x  1)
0
( x  2)( x  1)



( x  2)( x  1)  2( x  2)( x  1)  0 ,

x  2  0 , x  1 0 ,
x2  9x  2  0 ,
x  2 , x  1 ,
 9  73
 9  73
, x2 
.
2
2
Решим второе уравнение совокупности.
откуда получаем два корня x1 
2)
( x  2)( x  1)
22
( x  2)( x  1) 22



0 
( x  2)( x  1)
5
( x  2)( x  1) 5
5  ( x  2)( x  1)  22( x  2)( x  1)
0
5  ( x  2)( x  1)

5  ( x  2)( x  1)  22  ( x  2)( x  1)  0 ,
x  2  0 , x  1 0 ,


9 x 2  17 x  18  0 ,
x  2 , x  1 .
Уравнение системы действительных корней не имеет.
О т в е т:
 9  73  9  73
;
.
2
2
137
VII. Метод производной пропорции.
При решении уравнений, которые можно рассматривать
как пропорции, для преобразований уравнения можно использовать производные пропорции (раздел 2.1.13. Книги 1 Числа).
Одной из наиболее часто используемых производных пропорций при решении дробных уравнений является производная
пропорция вида:
если
a c
ab cd
 , то

.
b d
ab cd
8  x x 2  15x  57

 0.
x  6 x 2  13x  43
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. ОДЗ уравнения определяется условиями
x 6  0,
x 2  13x  43  0 , откуда получаем x  6 .
8  x x 2  15x  57
Перепишем уравнение так:
(1).

x  6 x 2  13x  43
Используя производную пропорцию, получаем уравнение:
2.67. Решить уравнение
(8  x)  ( x  6) ( x 2  15x  57)  ( x 2  13x  43)

( x  6)  (8  x) ( x 2  13x  43)  ( x 2  15x  57)

2
2 x 2  28x  100
(2).

2 x  14
2 x  14
Замечание. Заметим, что в результате проведённого преобразования ОДЗ исходного уравнения сузилась на одну точку х = 7
и расширилась также на одну точку х = 6. В результате корень
х = 7 мог быть потерян, а также могли получить посторонний
корень х = 6 (что, кстати, и происходит в данном уравнении).
Подобное изменение ОДЗ уравнения, часто приводящее к
неравносильному уравнению, является недостатком метода
производной пропорции.▼
138
Решим полученное уравнение
2
2 x 2  28x  100
.

2 x  14
2 x  14
Приведем уравнение к каноническому виду:
2
2 x 2  28x  100
2  2 x 2  28x  100

0 
0 
2 x  14
2 x  14
2 x  14
 2 x 2  28x  98
0
2 x  14

x 2  14x  49
 0.
2 x  14
Уравнение равносильно системе:
x 2  14x  49  0 ,
2x 14  0 ,

( x  7) 2  0
x 7.
Полученная система решений не имеет, значит, и уравнение (2) не имеет решений, однако, проверкой убеждаемся, что
значение х = 7 является корнем исходного уравнения (1).
О т в е т: 7.
VIII. Метод сведения к системе уравнений.
Основная идея метода заключается во введении не одной, а
нескольких вспомогательных неизвестных и сведении исходного дробно-рационального уравнения к системе уравнений
высших степеней.
5 x 
5 x
2.68. Решить уравнение x  
 x 
  6.
x 1 
 x 1  
--------------------------------------------------------------------------------5 x 
5 x 

Р е ш е н и е. Обозначим x  
 u, x
v.
x 1 
 x 1 

5 x 
5 x
5 x
Тогда u v  6 и u  v  x  
 ( x  1) 
x5.
 x
x 1
x 1
 x 1 
Таким образом, u и v удовлетворяют системе уравнений
u  v  5,
u v  6 , откуда получаем два решения
139
u1  3 ,
v1  2 ,
u2  2 ,
v2  3 .
Учитывая замену, получаем две системы:
5 x 
1)
x 
  3,
 x 1 
5 x
x
 2.
x 1
Решим второе уравнение системы.
x( x  1)  5  x  2( x  1)
x2  x  5  x  2 x  2


0
0
x 1
x 1
x2  2 x  3
 0.
x 1
Уравнение решений не имеет, так как x 2  2 x  3  0 при
любом значении x. Значит, система решений не имеет.
5 x
x 
2,
 x 1 
5 x
x
 3.
x 1
2)
Решим второе уравнение системы.
x( x  1)  5  x  3( x  1)
x 2  x  5  x  3x  3

0
0
x 1
x 1
x 2  3x  2
 0.
x 1

Уравнение равносильно смешанной системе
 x  3x  2  0,
 x 2  3x  2  0,
 

 x  1  0,
 x  1.
Решив уравнение, получаем два решения x1  1 , x2  2 ,
удовлетворяющих неравенству системы.
Таким образом, уравнение имеет два корня x1  1 , x2  2 .
2
О т в е т: 1; 2.
140
IX. Метод оценок.
Иногда уравнение удается решить, используя свойства
входящих в него функций, или на основе этих свойств доказать, что уравнение корней не имеет.
2.69. Решить уравнение
2
3
4

 2
3
2
2
2
( x  5x)  2 (5  x)  3 ( x  6 x  5) 2  4
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Так как ( x 2  5 x) 2  0 , (5  x) 2  0 , ( x 2  6 x  5) 2  0
при любых значениях х, то справедливы следующие оценки:
( x 2  5 x) 2  2  2 , (5  x) 2  3  3 , ( x 2  6 x  5)2  4  4 при любых
значениях х.
2
3
4
Значит, 2
 1,
 1, 2
 1.
2
2
( x  5 x)  2
(5  x)  3
( x  6 x  5) 2  4
Откуда заключаем, что сумма этих трех дробей может
быть равна 3 только в том случае, если каждая из них равна 1.
Таким образом, уравнение равносильно системе уравнений

2
 1,
 2
2
( x 2  5 x) 2  2  2,
 ( x  5 x)  2


3
 (5  x) 2  3  3,


1
,

2
(
5

x
)

3
( x 2  6 x  5) 2  4  4.



4

1
,
 2
2
 ( x  6 x  5)  4
( x 2  5 x) 2  0,

2
(5  x)  0,
( x 2  6 x  5) 2  0.

Второе уравнение имеет единственное решение x  5 , удовлетворяющее первому и третьему уравнениям системы.
О т в е т: 5.
141
Упражнения.
Решить уравнения:
3
2
1
147. 2
.


2
x 1
x  2x  1 1  x
2
x 5
1
148. 2
.
 2
 2
x  2x  3 x 1 x  4x  3
x2
x 1
1
1
.



2
x  4 2( x  2) 2  x x  2
x2  x  5
3x
50
150. x 4  4
151.
 2
 4  0.
 14 .
x
x  x 5
2x  7
x2
x
24
15
152.
 2
 2.
 2 2
 3  0 . 153. 2
x  2x  8 x  2x  3
x4
x 4
1
2
6
154. 2
.
 2
 2
x  2x  2 x  2x  3 x  2x  4
1
1
1
24
155.
156. ( x  2) 2  2

 .
 18 .
2
x  4x
x( x  2) ( x  1) 12
1 15
157. x 2  x  x 1  x 2  4 .
158. x 2  15x  2   18 .
x
x
1
1
1
1
159.



 0.
x 7 x5 x6 x 4
1
2
3
6
160.
.



x 1 x  2 x  3 x  6
1
1
1
1
1
161. 



 0.
x x 1 x  2 x  3 x  4
x 3 x 3 x 6 x 6
162.
.



x 1 x 1 x  2 x  2
x2 1 x2  2
163.

 2 .
x 1
x2
x  2 x  6 x  10
164.


6.
x 1 x  3 x  5
x 2  x  1 x 2  2 x  2 x 2  3x  3 x 2  4 x  4
165.
.



x 1
x2
x3
x4
149.
142
24  5x 5  6 x 
 17  7 x 8 x  55  .
166. 31 


  370  29  

x4 
x5 
 x 1
 x2
x  2 x  2 x  4 x  4 28
167.



 .
x  1 x  1 x  3 x  3 15
x 2  10x  15
3x
168.
.
 2
2
x  6 x  15 x  8 x  15
x 2  5 x  4 x 2  x  4 13
169. 2

  0.
x  7x  4 x2  x  4 3
2x
3x
5
170. 2
 2
  0.
x  4x  2 x  x  2 4
x 2  x  5 4 x 2  7 x  20
171.

 0.
x
x2  x  5
x
x2
x2  2
172. 2
.
 4

3x
x  x  2 x  5x 2  4
4
2
3x 
 3x 
173. 
  8
 9  0 .
 x2
 x2
1
1
1
1
4
174.



 .
x( x  1) ( x  1)( x  2) ( x  2)( x  3) ( x  3)( x  4) 5
x 2  16
 x  4
 x  4
175. 
.
  3
  2 2
x 4
 x  2
 x  2
2
2
x2
x2  4
 x2
176. 20  

5


48

0.



x 2 1
 x 1 
 x 1 
25x 2
74
4x 2
2
177. x 2 
.
178.

x

 5.
(5  2 x) 2 49
( x  2) 2
1
2
3
179. 2

 2
 3.
2
2
( x  2 x)  1 ( x  2)  2 ( x  3x  2) 2  3
1
3
5
180. 2

 2
 9.
2
2
( x  3x)  1 ( x  3)  1 ( x  2 x  3) 2  1
2
2
143
2.5. Рациональные уравнения, содержащие неизвестное под знаком абсолютной величины (знаком
модуля)
2.5.1. Общий метод решения уравнений, содержащих
неизвестное под знаком абсолютной величины (знаком модуля)
Общим методом решения уравнений, содержащих неизвестное под знаком абсолютной величины (знаком модуля)
является метод раскрытия знаков модулей.
Основная идея метода заключается в сведении решения
уравнения к уравнениям, не содержащих знаков модулей.
Используя определение модуля:
 f ( x), если f ( x)  0,
f ( x)  
 f ( x), если f ( x)  0,
область определения уравнения (ОДЗ уравнения) разбивают на
промежутки, в каждом из которых функции, находящиеся под
знаком модуля, сохраняют знак. На каждом таком промежутке
уравнение можно записать без знаков модулей. Найденные по
промежуткам корни объединяют в множество корней исходного уравнения.
2.70. Решить уравнение 2  x  x  1  2 .
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Определим промежутки, в каждом из которых
функции, стоящие под знаком модуля, сохраняют знак.
По определению модуля имеем:
х, если х ≥ 0,
●////////////////// х
0
x
– х, если х < 0
x 1 
//////////////////////////////////○
x
0
х, если х ≥ –1,
●//////////////////////////////// х
1
–x–1, если х < –1 /////////////////○
1
144
x
(Штриховка на осях показывает промежутки знакопостоянства
функций, стоящих под знаком модуля).
Из рисунка видно, что числовая ось разбивается на три
промежутка: (;1) , [1;0) и [0; ) , в каждом из которых
функции, стоящие под знаком модуля, сохраняют знак.
Рассматривая их последовательно, получаем три случая.
1) Если x  (;1) , то исходное уравнение можно переписать
так:  2 x  ( x  1)  2 , откуда находим x  1 .
Найденный корень не принадлежит рассматриваемому
промежутку (;1) и должен быть отброшен. Следовательно,
в промежутке (;1) корней нет.
2) Если x  [1;0) , то исходное уравнение можно переписать
так:  2 x  ( x  1)  2 , откуда находим корень x  1 .
Найденный корень принадлежит рассматриваемому промежутку [1;0) и, следовательно, является корнем исходного
уравнения.
3) Если x  [0;) , то исходное уравнение можно переписать
так: 2 x  ( x  1)  2 , откуда находим корень x  3 .
Найденный корень принадлежит рассматриваемому промежутку [0; ) и, следовательно, является корнем исходного
уравнения.
Объединяя найденные по промежуткам корни, получаем
множество корней исходного уравнения, состоящее из двух
чисел x  1 и x  3 .
О т в е т: –1; 3.
2.71. Решить уравнение x  1  2  x  2  3  x  3  4 .
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Определим промежутки, в каждом из которых
функции, стоящие под знаком модуля, сохраняют знак.
По определению модуля имеем:
145
x  1, если x 1 0 , x  1,
x 1 
●//////////////////////////// x
1
 x  1 , если x 1 0 , х < 1 /////////○
х
1
x  2 , если x  2  0 , х  2
x2 
●////////////////// x
2
 x  2 ,если x  2  0 , х < 2 ////////////////○
x  3 , если x  3  0 , x  3 ,
x3 
x
2
●///////// x
3
 x  3 , если x  3  0 , x  3 //////////////////////////○
3
х
(Штриховка на осях показывает промежутки знакопостоянства функций, стоящих под знаком модуля).
Из рисунка видно, что числовая ось разбивается на четыре
промежутка: (;1) , [1;2) , [ 2;3) и [3; ) , в каждом из которых
функции, стоящие под знаком модуля, сохраняют знак.
Рассматривая их последовательно, получаем 4 случая.
1) Если x  (;1) , то исходное уравнение можно переписать
так: ( x  1)  2( x  2)  3( x  3)  4   x  1  2x  4  3x  9  4
  2 x  2 , откуда находим корень x  1.
Найденный корень не принадлежит рассматриваемому
промежутку (;1) и должен быть отброшен. Откуда заключаем, что в промежутке (;1) корней нет.
2) Если x  [1;2) , то исходное уравнение можно переписать так:
( x  1)  2( x  2)  3( x  3)  4  x 1  2x  4  3x  9  4 
0  x  0 , откуда заключаем, что любое значение х из рассматриваемого промежутка является корнем исходного уравнения,
то есть множеством корней является промежуток [1;2) .
3) Если x  [2;3) , то исходное уравнение можно переписать так:
( x  1)  2( x  2)  3( x  3)  4  x 1  2x  4  3x  9  4 
146
 4 x  8 , откуда находим x  2 .
Найденный корень принадлежит рассматриваемому промежутку [ 2;3) и, значит, является корнем исходного уравнения.
4) Если x  [3; ) , то исходное уравнение можно переписать
так: ( x  1)  2( x  2)  3( x  3)  4  x 1  2x  4  3x  9  4
 2 x  10 , откуда находим x  5 .
Найденный корень принадлежит рассматриваемому промежутку [3; ) и, значит, является корнем исходного уравнения.
Объединяя найденные по промежуткам корни, получаем
множество корней исходного уравнения, состоящее из числа 5
и всех чисел промежутка [1;2] .
О т в е т: [1;2] , 5.
2.72. Решить уравнение
x 2  4x  3
 1.
x2  x  5
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Определим промежутки, в каждом из которых
функции, стоящие под знаком модуля, сохраняют знак.
По определению модуля имеем:
x 2  4 x , если x 2  4 x  0 , //////////●
0
т.е. если x  0 и x  4
●//////////////
4
x
x2  4x 
 x 2  4 x , если x 2  4 x  0 ,
т.е. если 0  x  4
x  5 , если x  5  0 , x  5
x5 
○/////////////○
0
4
x
●////////
5
x
 x  5 , если x  5  0 , x  5 ////////////////////////////○
5
x
Из рисунка видно, что числовая ось разбивается на три
промежутка: (;0]  [4;5) , (0;4) и [5; ) , в каждом из которых
функции, стоящие под знаком модуля, сохраняют знак.
147
Рассматривая их последовательно, получаем три случая.
1) Если x  (;0]  [4;5) , то исходное уравнение можно пере-
x 2  4x  3
x2  4x  3


1
1  0 
x 2  ( x  5)
x 2  ( x  5)
x 2  4x  3  x 2  x  5
 3x  2
0 
 0 , откуда находим
2
x  x5
x2  x  5
2
корень x   .
3
писать так:
Найденный корень принадлежит рассматриваемым промежуткам (;0]  [4;5) и, значит, является корнем исходного
уравнения.
2) Если x  (0;4) , то исходное уравнение можно переписать так:
 x 2  4x  3
 x 2  4x  3


1
1  0 
x 2  ( x  5)
x 2  ( x  5)
 x2  4x  3  x2  x  5
 2 x 2  5x  2


0
0 
x2  x  5
x2  x  5
1
x2  2 .
2
Найденные корни принадлежат рассматриваемому промежутку (0;4) и, значит, являются корнями исходного уравнения.
 2 x 2  5 x  2  0 , откуда находим два корня x1 
3) Если x  [5; ) , то исходное уравнение можно переписать
x2  4x  3
x 2  4x  3


1
1  0 
x2  x  5
x2  x  5
x2  4x  3  x2  x  5
 5x  8
0  2
 0   5x  8  0 ,
x2  x  5
x  x5
8
откуда находим корень x  .
5
Найденный корень не принадлежит рассматриваемому
промежутку [5; ) и должен быть отброшен. Откуда заключаем, что в промежутке [5; ) корней нет.
так:
148
Объединяя найденные по промежуткам корни, получаем
множество корней исходного уравнения, состоящее из трех чи2 1
сел:  ,
и 2.
3 2
2 1
О т в е т:  ; ; 2.
3 2
2.5.2. Частные методы решения уравнений, содержащих неизвестное под знаком модуля
Частные методы решения уравнений, содержащих неизвестное под знаком модуля (абсолютной величины), основаны
на применении следующих теорем.
Теорема 2.4. Уравнение вида
f ( x)  g ( x)
а) при g ( x )  0 решений не имеет;
б) при g ( x)  0 равносильно совокупности двух
уравнений f ( x)   g ( x) .
Теорема 2.5. Уравнения
f ( x)  g ( x)
и f 2 ( x)  g 2 ( x)
равносильны.
Теорема 2.6. Уравнение вида
f ( x)  g ( x)  f ( x)  g ( x)
равносильно неравенству f ( x)  g ( x )  0 .
Теорема 2.7. Уравнение вида f ( x)  g ( x)  f ( x)  g ( x)
равносильно неравенству f ( x)  g ( x)  0 .
Теорема 2.8. Уравнение вида
f ( x)  g ( x)  f ( x)  g ( x)
равносильно неравенству f ( x)  g ( x )  0 .
149
Рассмотрим применение этих теорем на примерах.
2.73. Решить уравнение x  2  1  1 .
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. В силу теоремы 2.4., уравнение равносильно совокупности двух уравнений x  2  1  1 .
Решим первое уравнение.
1) x  2  1  1  x  2  2 .
В силу теоремы 2.4., уравнение равносильно совокупности
двух уравнений: x  2  2 , откуда находим два корня x1  4 и
x2  0 .
Решим второе уравнение.
2) x  2  1  1  x  2  0 , откуда находим корень x3  2 .
О т в е т: −4; −2; 0.
2.74. Решить уравнение x  3  3  x .
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. В силу теоремы 2.4., рассмотрим два случая.
1) Если 3  x  0 , то есть если x  3 , то уравнение решений не
имеет.
2) Если 3  x  0 , то есть если x  3 , то уравнение равносильно
совокупности двух уравнений: x  3   (3  x) .
а) Решая уравнение x  3  3  x  2 x  6 , получаем x  3 .
б) Решая уравнение x  3  (3  x)  0  x  0 , заключаем, что
уравнение имеет бесчисленное множество корней из допустимой области x  (;3] .
Итак, множеством корней исходного уравнения является
промежуток x  (;3] .
О т в е т: (;3] .
2.75. Решить уравнение 3x  5  5  2 x .
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. В силу теоремы 2.5., уравнение равносильно
уравнению: (3x  5) 2  (5  2 x) 2  (3x  5) 2  (5  2 x) 2  0 
150
(3 x  5  5  2 x)(3 x  5  5  2 x)  0  (5 x  10) x  0 , откуда находим
два корня x1  2 , x 2  0 .
О т в е т: 0; 2.
2.76. Решить уравнение 3x  5  x  1  4 x  6 .
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Обозначим f ( x)  3x  5 и g ( x)  x  1 .
Заметим, что f ( x)  g ( x)  (3 x  5)  ( x  1)  4 x  6 .
Откуда заключаем, что данное уравнение имеет вид
f ( x)  g ( x)  f ( x)  g ( x) .
В силу теоремы 2.6. уравнение данного вида равносильно
неравенству f ( x )  g ( x)  0 . Таким образом, исходное уравнение равносильно неравенству (3x  5)( x  1)  0 .
Решим полученное неравенство.
Исследуя поведение знака левой части неравенства в зависимости от х, строим кривую знаков.
+
+
/////////////////////////●
●////////////////////////// x
5
1
─
3
5
Множество решений неравенства: x  (;1]  [ ;) .
3
Таким образом, множеством корней уравнения является
5
объединение промежутков x  (;1]  [ ;) .
3
5
О т в е т: (;1]  [ ; ) .
3
x
x2
2.77. Решить уравнение
.
x 
x 1
x 1
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. ОДЗ уравнения определяется условием x  1 .
Так как x 2  x , то преобразуя правую часть уравнения,
2
получаем
151
2
x
x
x2
x2
x  x 2  x x  x( x  1)
x .





x 1 x 1 x 1
x 1
x 1
x 1
Следовательно, данное уравнение можно переписать так:
x
x
x
x .
x 1
x 1
Откуда заключаем, что уравнение имеет вид
x
и g ( x)  x .
f ( x)  g ( x)  f ( x)  g ( x) , где f ( x) 
x 1
В силу теоремы 2.6. уравнение данного вида равносильно
x
неравенству f ( x )  g ( x)  0 , т.е. неравенству
x0 
x 1
x2
 0 . Решим полученное неравенство.
x 1
Исследуя поведение знака левой части неравенства в зависимости от х, строим «кривую знаков».
Решив неравенство методом интервалов, находим множество решений неравенства, а значит, и множество решений исходного уравнения:
+
─
●
0
─
○///////////////////////////////////// x
1
Множество решений неравенства, а значит, и исходного
уравнения, состоит из числа 0 и всех чисел из промежутка
(1; ) .
О т в е т: 0; (1; ) .
2.78. Решить уравнение 2 x  3  x  1  x  2 .
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Обозначим f ( x)  2 x  3 и g ( x)  x  1 .
Заметим, что f ( x)  g ( x)  (2 x  3)  ( x  1)  2 x  3  x  1  x  2 .
Откуда заключаем, что данное уравнение имеет вид
152
f ( x)  g ( x)  f ( x)  g ( x) .
В силу теоремы 2.7. уравнение данного вида равносильно
неравенству f ( x)  g ( x)  0 , т.е. неравенству (2 x  3)( x  1)  0 .
Решим полученное неравенство.
Исследуя поведение знака левой части неравенства в зависимости от х, строим кривую знаков.
+
+
●///////////////////////////////●
3

2
─
x
−1
Решив неравенство методом интервалов, находим множество решений неравенства, а значит, и множество решений ис3
ходного уравнения x  [ ;1] .
2
3
О т в е т: [  ;1] .
2
2.79. Решить уравнение x 2  4 x  3  x 2  2 x  1  2 x  2 .
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Обозначим f ( x)  x 2  4 x  3 и g ( x)  x 2  2 x  1 .
Заметим, что f ( x)  g ( x)  ( x 2  4 x  3)  ( x 2  2 x  1) 
x 2  4 x  3  x 2  2 x  1  2x  2 .
Откуда заключаем, что данное уравнение имеет вид
f ( x)  g ( x)  f ( x )  g ( x) .
В силу теоремы 2.8. уравнение данного вида равносильно
неравенству f ( x)  g ( x )  0 , т.е. неравенству
( x 2  4 x  3)( x 2  2 x  1)  0 . Решим полученное неравенство.
Разложив квадратные трехчлены на множители, получим
( x  1)( x  3)( x  1) 2  0  ( x  3)( x  1) 3  0 .
Исследуя поведение знака левой части неравенства в зависимости от х, строим «кривую знаков».
153
+
/////////////////////////●
–3
+
─
●///////////////////////////// x
−1
Решив неравенство методом интервалов, находим множество решений неравенства, а значит, и множество решений исходного уравнения x  (;3]  [1; ) .
О т в е т: (;3]  [1; ) .
Упражнения.
Решить уравнения:
181. x  1  3 .
182. 3  x  a .
183. x  3  x  3 .
184. 2 x  1  x  3 .
185. x  4  x  4  8 .
186. 3  2 x  2 x  3 .
187. 5 x  3  7 x  4  2 x  1 .
188. 5  x  x  2  13 .
189. x  1  x  3  2 .
( x  2) 2  ( x  3) 2  1 .
191. 2( x  3) 2  5 x  3  2  0 .
190.
192. 5(2 x  1) 2  7 2 x  1  6  0 .
193. ( x 2  5x  6) 2  5 x 2  5x  6  6  0 .
194. 5x  3  3x  5  9 x  10 .
195. 3x  5  2 x  1  x  4 .
196. 2 x  1  3x  2  4 x  3  11  10x .
197. x  1  x  2  x  3  2 .
154
198. x  1  2 x  4  x  3  7
199. x  3  x  2  x  4  3 .
200. x  1  2 x  2  3 x  3  6 .
201. x 2  6 x  1  x 2  9 .
202. x 2  2 x  3  3x  3 .
203. x 3  5x  4  5x  4 .
204. x  1 
1 1
 .
2 4
205. 5x  1  2  3  4 .
206. x  1  2  1  1  2 .
207. x 2  10  x 2  22 .
208. x 2  x  5  x 2  x  9  10 .
209. x 2  3x  4  x 2  3x  28  24 .
210. x 2  16  x  4  x 2  x  12 .
211. x 2  x  20  x 2  11x  28  2 x 2  5x  24 .
212.
x 2  5x  4
 1.
x2  4
213.
3
 x2 .
x  3 1
214.
1  x  10
4 x 1  3
 2.
3
 x3 .
x  3 1
1
2
216.
.

x  1 1 x  1  2
215.
155
2.6. Иррациональные уравнения
2.6.1. Особенности иррациональных уравнений
Определение 2.7. Уравнение называется иррациональным, если неизвестное находится под знаком радикала или под знаком
возведения в степень с дробным показателем.
1
1
Например: x  2  x  1 ; 3 8 x  4  2  x ; ( x  1) 2  ( x  1) 4  3 иррациональные уравнения.
При решении иррациональных уравнений в области действительных чисел необходимо помнить следующее:
1) Все корни четной степени являются арифметическими:
- если подкоренное выражение неотрицательно, то и значение
корня неотрицательно;
- если подкоренное выражение отрицательно, то корень не
имеет смысла.
2) Все корни нечетной степени определены при любом действительном значении подкоренного выражения. Знак корня
совпадает со знаком подкоренного выражения.
3) Функции y  2k x и y  2k 1 x , k  N являются возрастающими в своей области определения.
Используя указанные особенности иррациональных уравнений, в некоторых случаях можно установить, что уравнение
не имеет решений, не прибегая к преобразованиям.
Например:
а) Уравнение х  5  2 не имеет решений, так как арифметический корень не может быть отрицательным числом.
б) Уравнение 3х  4  х  3  0 не имеет решений.
Действительно, левая часть уравнения определена при вы4
полнении неравенства 3x + 4 ≥ 0, то есть при х   .
3
Но при каждом х, удовлетворяющем этому неравенству,
величина 3 х  4 неотрицательна, а величина х  3 положи156
тельна. Следовательно, их сумма для всех допустимых х положительна и равенство нулю невозможно.
в) Уравнение х  5  2  х  2 не имеет решений, так как
область определения (ОДЗ) уравнения определяется несовместх  5
х  5  0
ной системой неравенств 
, и является пустым

х  2
2  x  0
множеством.
г) Уравнение 3 х  3   2  х не имеет решений.
Действительно, правая часть уравнения определена при
всех х, удовлетворяющих неравенству  2  x  0 , т.е. при всех
х  2 . При этом  2  x  0 . Но при х  2 выполняется неравенство x  3  0 и левая часть уравнения отрицательна. Равенство невозможно.
д) Уравнение х  5  х  9  х  3 не имеет решений.
Действительно, ОДЗ уравнение определяется системой не
х  5  0
равенств 
 х  9  0 , откуда получаем х  5 .
х  3  0

Но тогда, очевидно, x  5  x  9 и, значит,
х5  x9 .
Следовательно, x  5  x  9  0 . В то же время для всех
х из ОДЗ уравнения имеем х  3  0 . Равенство невозможно.
х  1  х  15  3 не имеет решений.
х  1  0
Действительно, решая систему неравенств 
, на х  15  0
ходим ОДЗ уравнения: х  1 .
Для всех х из ОДЗ имеем х  15  4 и х  1  0 .
Следовательно, левая часть не меньше 4, а правая часть
равна 3. Равенство невозможно.
е) Уравнение
ж) Уравнение
2  х  х  3 не имеет решений.
157
Действительно, ОДЗ уравнения определяется условием
х  2 . Но тогда x  3  0 при всех х из ОДЗ и равенство не
выполняется.
Основой решения иррациональных уравнений являются
следующие теоремы.
Теорема 2.9. В области действительных чисел уравнения
f1 x  f 2 x и  f1 x2k 1   f 2 x2k 1 , k  N , равносильны.
Из теоремы следует, что обе части уравнения можно возводить в нечетную степень.
Теорема 2.10. В области действительных чисел уравнения
f1 x   f 2 x  и
 f1 x2k   f 2 x2k , k  N , равносильны,
если f 1 ( x)  0 , f 2 ( x)  0
Из теоремы следует, что обе части уравнения можно возводить в четную степень только в том случае, если они неотрицательны.
Если условие неотрицательности функций f 1 ( x) и f 2 ( x)
не выполняется, то второе уравнение в общем случае является следствием первого и могут появиться посторонние корни.
Посторонние корни появляются вследствие операции
возведения обеих частей уравнения в четную степень.
Действительно, если левая и правая части уравнения равны по модулю, но имеют противоположные знаки, то в результате возведения обеих частей в квадрат неверное равенство становится верным.
Например: неверное равенство 1  1 становится верным после
возведения обеих частей в квадрат: 12  (1) 2 , 1  1 .
158
2.6.2. Методы решения иррациональных уравнений
I. Метод возведения обеих частей уравнения в квадрат.
Основная идея метода заключается в приведении иррационального уравнения к рациональному уравнению путем возведения обеих частей уравнения в квадрат.
При этом используется следующая теорема.
Теорема 2.11. При натуральном значении k уравнение
2k
f x   g x 
 f x   g 2 k x ,
равносильно смешанной системе 
 g x   0.
Замечание. Заметим, что, так как g 2 k ( x)  0 при любых допустимых х, то равенство f ( x)  g 2 k ( x) накладывает условие неотрицательности и на значения f (x ) . Следовательно, ОДЗ уравнения удовлетворяется и можно обойтись без решения неравенства f x   0 .▼
2.80. Решить уравнение 7  х  х  1 .
-------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. В силу теоремы 2.11., уравнение равносильно
смешанной системе
 х 2  x  6  0,
7  x  х 2  2 x  1  0,
7  x  ( x  1) 2 ,





 х  1.
 х  1.
 x  1  0.
2
Решая уравнение х  х  6  0 , находим два корня x1  2 ,
x2  3 .
Первый корень является посторонним для исходного
уравнения, так как не удовлетворяет неравенству системы.
Значит, исходное уравнение имеет единственный корень
x  3.
О т в е т: 3.
159
Замечание. Используя рассмотренный пример, вернемся к
теореме 2.11. и проведем анализ ее основных положений.
Заметим, что при x  2 правая часть уравнения равна
числу –3, тогда как левая часть равна 7  (2)  9  3 и равенство не выполняется.
Однако после возведения обеих частей уравнения в квадрат неверное равенство 3  3 становится верным: 3 2  (3) 2 ,
9 = 9. Откуда можно заключить, что именно операция возведения обеих частей уравнения в квадрат привела к появлению
постороннего корня!
Как выявить посторонние корни? Есть два подхода к решению данной проблемы. Это проверка корней посредством
подстановки их в уравнение и использование дополнительных условий.
Дополнительные условия накладывают на возможные
значения х, исходя из свойства неотрицательности значений
арифметических корней. Действительно, так как арифметический корень 7  х  0 при всех допустимых значениях х, то и
правая часть уравнения x  1 должна быть неотрицательной.
7  х  х  12 ,
Поэтому уравнение равносильно системе 
 х  1  0.
Метод дополнительных условий является более предпочтительным, так как реализация проверки корней может быть
технически весьма сложной или невозможной вовсе.
Заметим также, что оба найденных корня (в том числе и
посторонний корень) удовлетворяют ОДЗ уравнения, задаваемое неравенством x  7 . Это не случайно, так как из равенства 7  x  ( x  1) 2 сразу следует, что выполняется неравенство x  7 , поскольку ( x  1) 2  0 при любых х. ▼
2.81. Решить уравнение 6 х  х 2  5  2 х  6 .
-----------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Данное уравнение равносильно смешанной системе
160
6 х  х 2  5  2 х  62 ,
6 x  x 2  5  4 х 2  24х  36,




2 х  6,
2 х  6  0,
5 х 2  30х  41  0,

 х  3.
Решая уравнение 5 х 2  30х  41  0 , находим два корня
х1 
15  20 15  2 5
2 5
15  20 15  2 5
2 5,
.
х2 

 3

 3
5
5
5
5
5
5
Первый корень является посторонним для исходного
уравнения, так как не удовлетворяет неравенству системы.
Значит, исходное уравнение имеет единственный корень
15  2 5
.
х
5
15 2 5
О т в е т:
.
5
Если в уравнение входят несколько радикалов, то возведение в
квадрат может применяться несколько раз.
2.82. Решить уравнение 2 х  6  х  4  5 .
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. ОДЗ уравнения определяется системой неравенств
2 х  6  0,
 х  3,
откуда получаем x  [3, ) .
 

 х  4  0,
 х  4,
Перепишем уравнение так: 2 х  6  5  х  4 .
Данное уравнение равносильно смешанной системе:
2 х  6  (5  x  4 ) 2 ,



5  х  4  0,
 х  3,


2 х  6  25  10 х  4  х  4,

5  х  4 ,
 х  3,

161

10 х  4  35  х,


25  х  4,
 х  3,

10 х  4  35  х,

 х  21,
 х  3.

Откуда заключаем, что корни уравнения принадлежат
промежутку [3; 21].
Если х  [3; 21], то 35  x  0 и, возводя обе части уравнения в квадрат, получим равносильное уравнение:


100x  400  1225  70x  x 2
100( x  4)  (35  x)2
2
х  170х  825  0 , откуда находим два корня х1  5, х2  165.
Второй корень является посторонним для исходного уравнения, так как не удовлетворяет условию х  [3, 21].
О т в е т: 5.
2.83. Решить уравнение х  2  х  3  2 х  13 .
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е: ОДЗ уравнения определяется системой неравенств
 х  2  0,


 х  3  0,
2 х  13  0,

 х  2,

 х  3, откуда получаем х  [6,5; + ∞).
 х  6,5,

Перепишем уравнение так: х  2  х  3  2 х  13
Так как обе части уравнения неотрицательны для всех х из
ОДЗ, то, возведя обе части уравнения в квадрат, получим равносильное уравнение:
х  2  х  3  2 х  3  2 х  13  2 х  13  х  3  2 х  13  9  х .
Если х  6,5 , данное уравнение равносильно уравнению
х  32 х  13  9  х .
Полученное уравнение равносильно смешанной системе
х  32 х  13  9  х 2 ,
2 x 2  13x  6 x  39  81  18x  x 2 ,

  х  9,
9  х  0,
 х  6,5
 х  6,5


162
 х 2  х  42  0,
 
6,5  х  9.
Решая уравнение х 2  х  42  0, находим два корня x1  6 ,
x2  7 .
Первый корень является посторонним для исходного уравнения, так как не удовлетворяет неравенству системы.
О т в е т: 7.
2.84. Решить уравнение
1  х   1  3 
х
х  1  3х  1 .
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. ОДЗ уравнения определяется системой неравенств
x3
○///////////////// х
 0 , /////////●
0
x
3
●///////////////////////////// х
x  1,
1
1
●//////////// х
3x  1  0 ,
x
3
1
3
1
1
Откуда получаем х  , то есть х  [ ,+∞).
3
 0,
x
x 1  0 , 
1
3
3
Так как правая часть уравнения положительна при всех
значениях х из ОДЗ уравнения, то равенство возможно только
при 1  x  0 .
Откуда заключаем, что все корни уравнения должны удовлетворять неравенству x  1 . Следовательно, корни уравнения
1
принадлежат промежутку [ ,1).
3
Перепишем уравнение так: 1  х   1 
3
 х  1  3х  1.
х
Данное уравнение равносильно смешанной системе:
163
1  х 2  1  3   2  (1  x) 1  3  х  1  x  1  3x  1,

x
x
1  х   1  3  х  1  0 ,

х
x  [ 1 , 1),
3
1  х 2  1  3   2  (1  x)  (1  3 )(x  1)  2  (1  x)  0 ,

x
x
1  х   1  3  х  1  0 ,
х
x  [ 1 , 1).
3
Так как значение х = 1 не удовлетворяет системе, то, разделив уравнение на (1  x) , получаем равносильную систему
вида:
 3
 3
(1  x)  1    2  1    ( x  1)  2  0 ,
 x
 x
1  х   1  3  х  1  0 ,
х
x  [ 1 , 1),
3
Преобразуем уравнение системы.
1 x 
3
 3
 3  2  1    ( x  1)  2  0
x
x


3
 3
 x  2  1    ( x  1)  0 .
x
x

Таким образом, систему можно переписать так:
164
3
 3
 x  2  1    ( x  1) ,
x
x

1  х   1  3  х  1  0 ,
х
x  [ 1 , 1).
3
1
3
Если x  [ , 1), то выполняется неравенство  х  0 .
3
х
Следовательно, возведя первое уравнение в квадрат, получим равносильную систему:
2
3

 3
  x   4  1    ( x  1) ,
x
x


1  х   1  3  х  1  0 ,
х
x  [ 1 , 1).
3
Решим первое уравнение системы.
Последовательно получаем
9
3
9
12
 6  x 2  4  ( x  1  3  )  2  6  x 2  4  x  16  ,
2
x
x
x
x
2
9
3
3
3


 6  x 2  4  ( x  )  28  0   х    4   х    28  0.
2
x
x
х
х


3
1
Произведем замену: х   t , где t > 0, так как x  [ , 1).
3
х
2
После замены уравнение принимает вид t  4t  48  0 ,
откуда находим два корня t1  2  4 2 , t 2  2  4 2 .
Первый корень не удовлетворяет условию t > 0, поэтому
окончательно получаем t  2  4 2 .
3
Учитывая замену, получаем уравнение х   2  4 2 
х
2
х  2  1 2 2 х  3  0 .


165
Вычислим дискриминант уравнения.
D
 (1  2 2 ) 2  3  1  4 2  8  3  6  4 2  4  2  2  2  2  (2  2 ) 2 .
4
Тогда
x1  1  2 2  2  2  3  3 2  3  (1  2 ) ,
x2  1  2 2  2  2  1  2 .
Первый корень является посторонним для исходного урав1
нения, так как не входит в промежуток [ , 1).
3
1
Второй корень принадлежит промежутку [ , 1).
3
Проверим, удовлетворяется ли второе неравенство системы.
Подставляя х  2  1 , получаем
1  2  1 1  23 1 
= (2  2 ) 
22
2 1
=
4 2 =
(2  2 )  (2  ( 2 ) )
2
=
2  1  1  (2  2 ) 
2 1
2  ( 2  1)  2
2
(2  2 ) 2  ( 2  2)
4 2 =
2 1
(2  2 )  2
4 2= 2 2 4 2 
2 1
2 1 3
2 1

2=
4 2 =
4 2 =
8  4 2  4 8  4 2  0,
2 1
то есть и второе неравенство удовлетворяется.
Итак, исходное уравнение имеет единственный корень
х  2 1.
О т в е т:
2  1.
Замечание. Заметим, что если подкоренное выражение представляет собой полный квадрат (куб) некоторой функции, то
удается избавиться от радикалов в иррациональном уравнении и
свести его к рациональному уравнению без возведения обеих
его частей в квадрат (куб).
166
В таких случаях следует помнить, что при извлечении корня четной степени, необходимо «не забыть» поставить знак
модуля
2k
 f ( x)2k  f ( x) ,
а для корня нечетной степени – модуль ставить не требуется:
2 k 1
 f ( x)2k 1  f ( x) .
Для обнаружения полных квадратов (кубов) используются
формулы сокращенного умножения, внимательность и умение
производить тождественные преобразования выражений.▼
2.85. Решить уравнение х 2  2 х  1  x 2  2 x  1 .
-----------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Возведение обеих частей уравнения в квадрат
приводит к уравнению 4-й степени.
Используем тот факт, что подкоренное выражение – полный квадрат разности x 2  2 x  1  ( x  1) 2 .
Тогда уравнение можно переписать так
( x  1) 2  x 2  2 x  1 .
Откуда заключаем, что исходное уравнение равносильно
рациональному уравнению с модулем: x  1  x 2  2 x  1 .
Так как x 2  2 x  1  ( x  1) 2  0 при любых х, то уравнение
равносильно совокупности двух уравнений
x  1  ( x 2  2 x  1) .
1) Решим первое уравнение.
x 1  x 2  2x 1  x 2  x  2  0 .
Уравнение действительных корней не имеет.
2) Решим второе уравнение.
x  1  ( x 2  2 x  1)  x  1   x 2  2 x  1  x 2  3 x  0
 x( x  3)  0 , откуда находим корни x1  3 , x2  0 .
О т в е т: –3; 0.
167
2.86. Решить уравнение 3 1  9 x 2  3x 3 ( x 2  1)  3x 2  1 .
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Возведение обеих частей уравнения в куб приводит к уравнению 6-й степени.
Используем тот факт, что подкоренное выражение – полный куб суммы: 1  9 x 2  3x 3( x 2  1) 
= 3 3x3  9x 2  3x 3  1  ( 3x)3  3  ( 3x) 2  3  3x  1 = ( 3x  1) 3 .
Тогда уравнение можно переписать так
( 3 x  1) 3  3x 2  1 .
Откуда заключаем, что исходное уравнение равносильно
квадратному уравнению 3 x  1  3x 2  1  3x 2  3x  2  0 ,
3
откуда находим два корня x1  
О т в е т: 
2 3
3
, x2 
.
3
3
3 2 3
;
.
3
3
II. Метод введения вспомогательного неизвестного (метод
замены).
Идея метода заключается во введении нового неизвестного,
упрощающего вид уравнения. Как правило, в качестве нового
неизвестного используется входящий в уравнение радикал.
2.87. Решить уравнение х 2  3х  4 х 2  3х  6  18 .
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Уединение радикала и возведение обеих частей
уравнения в квадрат приводит к уравнению 4-й степени.
Используем тот факт, что подкоренное выражение и выражение вне радикала совпадают в части, содержащей неизвестную х.
Перепишем данное уравнение так:
х 2  3х  6  4 х 2  3х  6  12  0
Произведем замену, полагая х 2  3х  6  t , где t  0 .
После замены уравнение принимает вид t 2  4t  12  0 ,
168
откуда находим два корня t1  6, t 2  2 . Значение t  6 не
удовлетворяет условию t  0 .
Учитывая замену, получаем уравнение х 2  3х  6  2 .
Возводя обе части уравнения в квадрат, получаем равносильное уравнение х 2  3 х  6  4 или х 2  3 х  10  0 .
Заметим, что корни полученного уравнения удовлетворяют
ОДЗ уравнения, так как значение подкоренного выражения
равно 4.
Решая квадратное уравнение х 2  3 х  10  0 , находим два
корня х1  5, х2  2 .
О т в е т: –5; 2.
2.88. Решить уравнение
х 1
х 1 3

 .
х 1
х 1 2
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Уединение радикала и возведение обеих частей
уравнения в квадрат приводит к уравнению 4-й степени.
Используем тот факт, что второе слагаемое левой части
уравнения - величина, обратная первому слагаемому.
х 1
 t , где t > 0.
х 1
1 3
После замены уравнение принимает вид t   .
t 2
Произведем замену, полагая
Умножив обе части уравнения на 2t > 0, приходим к урав1
нению 2t 2  3t  2  0 , откуда находим два корня t1  2, t 2   .
2
1
Второе значение t   не удовлетворяет условию t > 0.
2
Учитывая замену, получаем уравнение
х 1
 2.
х 1
Возводя обе части уравнения в квадрат, получаем равносильное уравнение
х 1
 4.
х 1
169
х 1
х 1
4 
40
х 1
х 1
х  1  4( x  1)
х  1  4x  4
 3x  5

0 
0 
 0,
х 1
х 1
х 1
5
откуда находим единственный корень х  .
3
5
О т в е т: .
3
Решим полученное уравнение:
2.89. Решить уравнение х  3  2 х  4  х  5  6 х  4  2 .
----------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Произведем замену, полагая х  4  t , где t  0 .
Откуда получаем х  4  t 2 , х  t 2  4 и исходное уравнение можно переписать так:
t 2  2t  1  t 2  6t  9  2 
t  12  t  32  2 
t 1  t  3  2.
Решим уравнение методом раскрытия знаков модулей.
По определению модуля имеем:
t  1, если t  1  0 , т.е. t  1 ,
t 1 =
●/////////////////////
1
 t  1 , если t  1  0 , т.е. t  1 , ////////○
t  3 , если t  3  0 , т.е. t  3 ,
t
t
1
t 3 =
●/////////
3
 t  3 , если t  3  0 , т.е. t  3 , /////////////////////○
t
t
3
Рассмотрим три промежутка:
1) Если t  (,1) , то уравнение принимает вид
(t  1)  (t  3)  2   t  1  t  3  2  0  t  4 .
Уравнение не имеет решений. Это означает, что в рассматриваемом промежутке корней нет.
2) Если t  [1,3) , то уравнение принимает вид
170
(t  1)  (t  3)  2  t  1  t  3  2  2 t  6 . Откуда получаем t  3 .
Однако t  3 не входит в рассматриваемый промежуток и
является посторонним корнем.
3) Если t  [3,) , то уравнение принимает вид
(t  1)  (t  3)  2  t  1  t  3  2  0 t  0 .
Уравнение выполняется при любых значениях t. Откуда
заключаем, что любое значение t  3 удовлетворяет уравнению и уравнение имеет множество корней t  [3,) .
Учитывая замену, получаем неравенство х  4  3 , откуда
получаем х  4  9 , х  13 .
Итак, уравнение имеет множество корней – все числа из
промежутка [13, +∞).
О т в е т: [13, +∞).
2.90. Решить уравнение 2 х 2  2 х  1 х 2  х  1  1 .
------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Так как х 2  х  1  0 при любых х  R , то ОДЗ
уравнения – множество всех действительных чисел x  (, ) .
Уединение радикала и возведение обеих частей уравнения
в квадрат приводит к уравнению 4-й степени.
Перепишем уравнение так:
2 х 2  2 х  1  х 2  х  1  1  0 
2х 2  2  х  х 2  х  1  х 2  х  1  1  0 .
Учитывая, что ( x  x 2  x  1)2  x 2  2 x x 2  x  1  x 2  x  1 ,
запишем уравнение в виде:
х2  2  х  х2  х 1  х2  х 1 х  х2  х 1  2  0

( x  x 2  x  1) 2  ( x  x 2  x  1 )  2  0 .
Произведем замену, полагая х  х 2  х  1  t
После замены уравнение принимает вид t 2  t  2  0 , откуда находим два корня t1  1 , t 2  2 .
171
Учитывая замену, получаем два уравнения:
1) х  х 2  х  1  1 
х2  х 1  1 х .
Уравнение равносильно смешанной системе:
х 2  х  1  1  2x  x 2
 х 2  х  1  1  х 2
.



х

1
1

х

0


После элементарных преобразований приходим к системе:
x  0,
x  1 , откуда получаем x  0 .
2) х  х 2  х  1  2 
х 2  х  1  2  х .
Уравнение равносильно смешанной системе:
х 2  х  1  4  4x  x 2
 х 2  х  1   2  х 2
.




х

2

2

х

0


После элементарных преобразований приходим к системе:
 5х  3  0
.

 х  2
3
Решая уравнение, находим x   .
5
Полученное значение х не удовлетворяет неравенству системы х  2 и, следовательно, не является корнем исходного
уравнения.
Итак, уравнение имеет единственный корень x  0 .
О т в е т: 0.
2.91. Решить уравнение
х  3  х  1  3  х  3 
х 1
 28  0 .
х3
-------------------------------------------------------------------------------х 1
Р е ш е н и е. Решая неравенство
 0 , находим ОДЗ уравх3
172
нения:
+
////////////////////////////●
1
+
─
○////////////////////////////////////
х
3
х  (−∞; −1]  (3,+∞).
Решим уравнение двумя способами.
1-й способ. Произведем замену, полагая х  3 
х 1
t.
х3
x 1
  х  1 х  3 .
x3
После замены уравнение принимает вид t 2  3t  28  0 , откуда находим два корня t1  7 , t 2  4 .
Учитывая замену, получаем два уравнения:
Тогда t 2  ( x  3) 2 
1) х  3 
х 1
 7 .
х3
Заметим, что, так как корень арифметический, то равенство возможно только при х – 3 < 0, т.е. при х < 3.
Возводя обе части уравнения в квадрат, приходим к смешанной системе:
 х 2  2 х  52  0
х  3х  1  49
 

х  3
х  3
Решая уравнение системы, получаем два корня
х1  1  53 , х2  1  53 .
Второй корень уравнения не удовлетворяет неравенству
х < 3 и, значит, не является корнем исходного уравнения.
2) х  3 
х 1
4.
х3
Заметим, что равенство возможно только при х – 3 > 0, т.е.
при х > 3.
Возводя обе части уравнения в квадрат, приходим к смешанной системе:
173
 х 2  2 х  19  0
х  3х  1  16
.



х  3
х  3
Решая уравнение системы, получаем два корня х1  1  2 5 ,
x2  1  2 5 .
Первый корень уравнения не удовлетворяет неравенству
х > 3 и, значит, не является корнем исходного уравнения.
Итак, исходное уравнение имеет два корня х1  1  53 и
x2  1  2 5 .
2-й способ. Внесем множитель под знак радикала.
В этом случае следует помнить, что подведение множителя
под знак корня четной степени осуществляется по правилу:
2 k 2 k
 a b , если a  0,

a  2k b  
 2 k a 2 k b, если a  0.


В связи с этим обстоятельством необходимо рассмотреть
два случая:
1) Пусть х  ( ;1] . Тогда х  3  0 и, следовательно,
х  3 
х 1
x 1
  ( x  3) 2
  ( x  3)( x  1) .
х 3
x 3
В этом случае уравнение равносильно уравнению
х  3  х  1  3  ( x  3)(x  1)  28  0
Произведем замену, полагая
( x  3)( x  1)  t , где t  0 .
После замены уравнение принимает вид t 2  3t  28  0 , откуда находим два корня t1  7 , t 2  4 .
Второй корень не удовлетворяет условию t  0 и является
посторонним.
Учитывая замену, получаем уравнение ( x  3)( x  1)  7 .
Возводя обе части уравнения в квадрат, и, учитывая, что
174
х  ( ;1] , приходим к смешанной системе:
 х 2  2 х  52  0
х  3х  1  49
.



 х  1
 х  1
Решая уравнение системы, получаем два корня х1  1  53 ,
х2  1  53 .
Второй корень уравнения не удовлетворяет неравенству
x  1 и, значит, не является корнем исходного уравнения.
2) Пусть х  (3;) . Тогда х  3  0 и, следовательно,
х  3
х 1
x 1
 ( x  3) 2
 ( x  3)( x  1) .
х 3
x 3
В этом случае уравнение равносильно уравнению
х  3 х  1  3  ( x  3)(x  1)  28  0
Произведем замену, полагая ( x  3)( x  1)  t , где t  0 .
После замены уравнение принимает вид t 2  3t  28  0 ,
откуда находим два корня t1  7 , t 2  4 .
Первый корень не удовлетворяет условию t  0 и является
посторонним.
Учитывая замену, получаем уравнение ( x  3)( x  1)  4 .
Возводя обе части уравнения в квадрат, и, учитывая, что
х  (3;) , приходим к смешанной системе:
х  3х  1  16


х  3
 х 2  2 х  19  0
.

х  3
Решая уравнение системы, получаем два корня х1  1  2 5 ,
x2  1  2 5 .
Первый корень уравнения не удовлетворяет неравенству
х > 3 и, значит, не является корнем исходного уравнения.
Итак, исходное уравнение имеет два корня х1  1  53 ,
x2  1  2 5 .
О т в е т: 1  53 ; 1  2 5 .
175
III. Применение формул сокращенного умножения.
При решении ряда иррациональных уравнений в процессе
преобразований применяются формулы сокращенного умножения. Особую роль играет формула куба суммы и разности,
используемая в виде:
(a  b) 3  a 3  b 3  3ab(a  b) (a  b) 3  a 3  b 3  3ab(a  b)
2.92. Решить уравнение 3 8 х  4  3 8 х  4  2 .
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. ОДЗ уравнения – множество всех действительных
чисел х  R.
Возводя обе части уравнения в куб, в силу теоремы 2.9.,
получаем равносильное уравнение
8х  4  8х  4  3  3 8х  4  3 8х  4  3 8х  4  3 8х  4   8 .
Замечание. На первый взгляд результат преобразования неудовлетворительный – вместо двух радикалов в уравнении
имеем четыре радикала 3-й степени. Но, учитывая, что по
условию выражение в последней скобке равно 2, осуществляем
решающую подстановку. ▼
Учитывая исходное уравнение, подставляем в полученное
уравнение вместо выражения в последней скобке число 2.
В результате получаем уравнение-следствие:
8x  4  8x  4  3  3 8х  4  3 8х  4  2  8 
8  6  3 8х  4  3 8х  4  8

 6  3 8х  4  3 8х  4  0

8х  4  8х  4  0 .
Возводя обе части последнего уравнения в куб, получаем
равносильное уравнение (8 x  4)(8 x  4)  0 , откуда находим два
1
1
корня х1   , х 2  .
2
2
Сделаем проверку. Подставляя в исходное уравнение значе1
1
ние х   , а затем х  , получим
2
2
3
176
3
3
 1
 1
8      4  3 8      4  3  4  4  3  4  4  3 0  3  8  (2)  2 ,
 2
 2
3
1
1
8  4  3 8  4  3 4  4  3 4  4  3 8  3 0  2 .
2
2
Откуда заключаем, что оба корня удовлетворяют исходному
уравнению.
1 1
О т в е т:  , .
2 2
Замечание. Отметим одно важное обстоятельство. Полученное
после подстановки уравнение является следствием исходного и
может иметь посторонние корни. Это происходит по причине
того, что вместо выражения в скобке подставляем, в общем
случае, не равное этому выражению число. Надо делать проверку!▼
2.93. Решить уравнение 3 2 х  1  3 х  1  1 .
-----------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. ОДЗ уравнения – множество всех действительных
чисел х  R. .
Возводя обе части уравнения в куб, в силу теоремы 2.9.,
получаем равносильное уравнение
(2 х  1)  ( x  1)  3  3 2 x  1  3 x  1  (3 2 х  1  3 х  1)  1.
Подставляя вместо выражения в последней скобке единицу, получим уравнение-следствие:

3х  2  3  3 2 х  1х  1  1  3  3 2 х  1х  1  3  3х
3
2 х  1х  1  1  х .
Возводя в куб ещё раз, получаем равносильное уравнение
(2 x  1)( x  1)  (1  x) 3  (2 x  1)( x  1)  (1  x) 3  0 
 (2 x  1)( x  1)  ( x  1) 3  0  ( x  1)  (2 x  1  ( x  1) 2 )  0
 ( x  1)  (2 x  1  x 2  2 x  1)  0  ( x  1)  x 2  0 , откуда
находим два корня х1  0, х2  1.
Сделаем проверку.
177
Подставляя в исходное уравнение значение х  0 , а затем
х  1, получим: 3 2  0  1  3 0  1  3  1  3  1  1  1  2 ,
2 1  1  3 1  1  3 1  3 0  1  0  1 .
Откуда заключаем, что число х = 0 не является корнем исходного уравнения, а уравнение имеет единственный корень
х  1.
3
О т в е т: 1.
Замечание. Какое преобразование порождает в представленном
решении посторонний корень? Заметим, что при х = 0 выражение 3 2 х  1  3 х  1 равно –2. Именно это число мы и должны
были подставить в уравнение
(2 х  1)  ( x  1)  3  3 2 x  1  3 x  1  (3 2 х  1  3 х  1)  1 при х = 0.
Тогда получили бы ложное числовое равенство – 8 = 1, что
и обозначало бы тот факт, что х = 0 не является корнем исходного уравнения. Подстановка же вместо выражения в скобке
числа 1 (числа, неравного значению скобки), приводит к верному равенству 1 = 1 (так как  2  33  1 1  1  1 ) и к появлению постороннего корня х = 0.▼
2.94. Решить уравнение
(8  x) 2  3 (27  x) 2  3 (8  x)(27  x)  7 .
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. ОДЗ уравнения – множество всех действительных
чисел х  R. .
Перепишем уравнение так:
3
(8  x) 2  3 8  x  3 27  x  3 (27  x) 2  7 .
Воспользуемся тем обстоятельством, что левая часть уравнения представляет собой неполный квадрат разности, и, используя формулу суммы кубов a 3  b 3  (a  b)(a 2  ab  b 2 ) ,
упростим вид уравнения.
Умножим обе части уравнения на сумму оснований, то
есть на сумму (3 8  x  3 27  x ) .
3
178
Замечание. Заметим, что умножение обеих частей уравнения
на выражение, содержащее неизвестное, может привести к появлению посторонних корней, причем именно тех, которые обращают множитель в ноль.▼
Решив уравнение 3 8  x  3 27  x  0 , определим те значения х, при которых множитель равен нулю.
Имеем:
3
8  x  3 27  x  (3 8  x ) 3  (3 27  x ) 3  8  x  (27  x)
 8  x  27  x  0  x  35 .
Уравнение корней не имеет. Это означает, что выражение
3
8  x  3 27  x в ноль не обращается ни при каких значениях х.
Так как 3 8  x  3 27  x  0 , то, умножив обе части уравнения на эту сумму, получим равносильное уравнение
2
2
(3 8  x  3 27  x )   3 8  х   3 8  х  3 27  х  3 27  х   


3
3
 7  ( 8  x  27  x ) .
Используя формулу суммы кубов, уравнение можно переписать так:
(3 8  x ) 3  (3 27  x ) 3  7  (3 8  x  3 27  x )  8  x  27  x 
7  (3 8  x  3 27  x )  5  3 8  х  3 27  х .
Возведя обе части уравнения в куб, получим равносильное
уравнение:
125  (8  x)  (27  x)  3  3 8  x  3 27  x  (3 8  x  3 27  x ) .
Осуществив подстановку 3 8  x  3 27  x  5 , получаем
уравнение-следствие: 125  35  3  3 8  x  3 27  x  5 
3 (8  x)(27  x)  6 .
Возведя обе части уравнения в куб, получим равносильное
уравнение: (8  x)(27  x)  216  x 2  19 x  0  x( x  19)  0 ,
откуда находим два корня х1  0, х2  19 .
Сделаем проверку. Подставляя в исходное уравнение значение х  0 , а затем х  19 , получим:
179
3
(8  0) 2  3 (27  0) 2  3 (8  0)(27  0)  7 , 4+9 = 2∙3+7, 13 = 13;
(8  19) 2  3 (27  19) 2  3 (8  19)(27  19)  7 , 9+4 = 3∙2+7, 13 = 13.
Откуда заключаем, что оба корня удовлетворяют исходному уравнению.
О т в е т: 0, –19.
3
IV. Метод производной пропорции.
При решении уравнений, которые можно рассматривать
как пропорции, для преобразований можно использовать производные пропорции.
Например: если
a c
ab cd
 , то

.
b d
ab cd
2.95. Решить уравнение
3
(a  x) 2  3 (a  x)(b  x)  3 (b  x) 2

7
3
(a  x)  3 (a  x)(b  x)  3 (b  x)
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Используя производную пропорцию, получаем
уравнение:
2
3
2
3
(a  x) 2  3 (a  x)(b  x)  3 (b  x) 2  3 (a  x) 2  3 (a  x)(b  x)  3 (b  x) 2
3
(a  x) 2  3 (a  x)(b  x)  3 (b  x) 2  3 (a  x) 2  3 (a  x)(b  x)  3 (b  x) 2

3
(a  x) 2  3 (b  x) 2 5
2  3 (a  x) 2  3 (b  x) 2 10
73

 .
 
73
4
4
2  3 (a  x)(b  x)
2  3 (a  x)(b  x)


Снова используя производную пропорцию, приходим к
2
2

a  x   23 a  x b  x   3 b  x 
уравнению
9 
3
a  x 2  23 a  x b  x   3 b  x 2
3
2
3 a x 3 b x 


, откуда получаем два уравнения:
3 a x 3 b x  9


180

3
ax 3 bx
 3 .
a x 3 b x
3
ax 3 bx
1)
 3.
3
a x 3 b x
Используя производную пропорцию, получаем уравнение:
3
3
ax
a  x  3 b  x  3 a  x  3 b  x 3 1
 3
 2.

3
3
3
3
bx
a  x  b  x  a  x  b  x 3 1
Возводя обе части уравнения в куб, получаем уравнение
ax
ax
a  x  8(b  x)
a  x  8b  8 x
8 
8  0 
0 
0
bx
bx
bx
bx
3
7 x  a  8b
 0 , откуда находим первый корень уравнения
bx
8b  a
.
x1 
7

2)
3
ax 3 bx
3
a x 3 b x
 3 . Решая аналогично, находим второй
корень уравнения x 2 
О т в е т:
8a  b
.
7
8b  a 8a  b
,
.
7
7
Замечание. Заметим, что при внешней эффектности метода
производной пропорции, следует указать на его скрытые недостатки.
При использовании производной пропорции ОДЗ уравнения может изменяться самым неожиданным образом: сужаться
и расширяться одновременно! В этом случае может быть как
потеря корней исходного уравнения, так и появление посторонних корней! Надо внимательно следить за равносильностью
переходов от уравнения к уравнению и решать его только на
ОДЗ исходного уравнения. Если это сделать не удаётся, то
необходимо разбить ОДЗ исходного уравнения на части и на
каждой из этих частей решить уравнение, объединив в ответе
все полученные корни. ▼
181
2 x  2 x
2
.
2 x  2 x x
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. ОДЗ уравнения определяется системой неравенств
x  0,
x  0,
x  2 ,
2 x  0,

x  2,
2 x  0,
2 x  2 x
2  x  2  x , откуда получаем
2.96. Решить уравнение

х  [2;0)  (0;2] .
Используя производную пропорцию, получим уравнение
2 x 2 x
2 x
.


2 x 2 x
2 x  2 x  2 x  2 x 2 x
ОДЗ полученного уравнения определяется системой неравенств:
2  x  0,

2  x  0, откуда получаем х  [2;2) .
 x  2,

Заметим, что в результате проведённого преобразования
ОДЗ исходного уравнения удивительным образом изменилась:
сузилась на одну точку х = 2 и расширилась также на одну точку х = 0! Однако продолжим и посмотрим, к чему это обстоятельство приведет.
2 x
2 x
Произведем замену, полагая
.
 t . Тогда t 2 
2x
2 x
После замены уравнение принимает вид:
t  t 2  t  (t  1)  0 , откуда находим два корня t1  0 , t 2  1 .
Учитывая замену, получаем два уравнения:
2 x
2 x
1)
0 
 0 , откуда находим x1  2 .
2 x
2 x
2 x  2 x  2 x  2 x
2)
182
2 x
2 x
1 

2 x
2 x2 x
2x
1 
0 
0,
2 x
2 x
2 x
откуда находим x2  0 .
Значение x2  0 - посторонний корень для исходного уравнения, так как не удовлетворяет ОДЗ уравнения.
Так как в результате преобразований ОДЗ исходного уравнения сузилась на одну точку х = 2, то необходима проверка
потери корня. Подставляя х = 2 в исходное уравнение, получа22  22 2
4 2
ем


  1 = 1.
22  22 2
4 2
Откуда заключаем, что значение х = 2 является корнем
уравнения.
Итак, исходное уравнение имеет два корня x1  2 , x2  2 .
О т в е т: –2, 2.
Замечание. Заметим, что в рассмотренном примере «дефект»
метода производной пропорции проявился достаточно отчетливо. Шанс потерять корень х = 2 достаточно высок. Поэтому
следуя общей рекомендации надо избегать преобразований,
приводящих к неравносильному уравнению. Переход к уравнению-следствию более предпочтителен в этом случае.
Например, данное в примере 2.96. уравнение можно было
решить так. Умножив числитель и знаменатель левой части
уравнения на сопряженное выражение 2  x  2  x , неравное
нулю на ОДЗ исходного уравнения, получим равносильное
( 2  x  2  x)2 2
2 x  2 x 2
уравнение




(2  x)  (2  x)
x
2 x  2 x x
2 x2 2 x  2 x 2 x 2
2 2 x  2 x 2


 .
2 x2 x
x
x
x
Умножив обе части уравнения на х, получим уравнение следствие 2  2  x  2  x  2  2  x  2  x  0 .
Корни этого уравнения x1  2 , x2  2 , являются корнями
исходного уравнения, так как ОДЗ уравнения расширилась на
одну точку х = 0, которая не является корнем уравнения. ▼
183
V. Метод разложения на множители.
Если левую часть уравнения f ( x)  0 удаётся разложить на
множители f ( x)  f 1 ( x)  f 2 ( x)  ...  f k ( x) и уравнение представить
в виде f 1 ( x)  f 2 ( x)  ...  f k ( x)  0 , то на ОДЗ исходного уравнения задача сводится к решению совокупности уравнений
 f 1 ( x)  0,
 f ( x)  0,
 2
...

 f k ( x)  0,
как правило, более простого вида.
Действительно, произведение нескольких сомножителей
равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю, а остальные
сомножители при этом не теряют смысла. Именно это обстоятельство обозначает фраза «на ОДЗ исходного уравнения», не
учёт которого приводит к включению в ответ посторонних решений.
Например, уравнение ( x 2  2x  3) x  2  0 равносильно совокупности уравнений
 x 2  2 x  3  0,

 x  2  0,
только при условии x  2  0 , то есть при x  2 .
Поэтому корень первого уравнения совокупности x  3
является посторонним и должен быть отброшен, а уравнение
имеет два корня x  2 и x  1 .
Это обстоятельство следует учитывать сразу при переходе
к равносильной совокупности уравнений и писать, что уравнение равносильно совокупности вида
 x 2  2 x  3  0,

 x  2  0,

 x  2  0.
184
2.97. Решить уравнение  x  3 x  1  3 x 2  1 .
------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. ОДЗ уравнения определяется неравенством
x  1  0 , откуда получаем x  1, .
Перепишем уравнение так: x  3 x  1  3 x  1x  1  0 .
Так как в ОДЗ уравнения x  1,  выполняются неравенства x  1  0 , x  1  0 , то x 2  1  x  1  x  1 и уравнение
можно переписать так: x  3 x 1  3  x 1  x  1  0 .
Вынося общий множитель за скобку, получаем уравнение
x 1  x  3  3 x  1  0 .
Решение этого уравнения сводится к решению совокупности двух уравнений
 x  1  0,

 x  3  3 x  1  0.
Решим первое, а затем второе уравнение совокупности.
1) x  1  0, откуда находим первый корень x1  1.


2) x  3  3  x  1  0 .
Решим уравнение методом введения вспомогательного неизвестного. Произведем замену, полагая x  1  t , где t  0 .
После замены уравнение принимает вид: t 2  3t  2  0 ,
откуда находим два корня t1  1 , t 2  2 .
Учитывая замену, получаем два уравнения:
а) x  1  1 .
Возводя обе части в квадрат, получаем уравнение x  1  1 ,
откуда находим второй корень x 2  0 .
Корень является посторонним для исходного уравнения, так
как не удовлетворяет ОДЗ уравнения x  1;  .
б) x  1  2 .
Решая аналогично, находим третий корень x3  3 , удовлетворяющий исходному уравнению.
Итак, уравнение имеет два корня x  1 и x  3 .
О т в е т: 1; 3.
185
2.98. Решить уравнение
2 x 2  5 x  2  x 2  x  2  x 2  3x  2 .
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. ОДЗ уравнения определяется системой неравенств
1
●/////////
2 x 2  5x  2  0 ,
2( x  )( x  2)  0 , ///////////●
1
x
2
2
2
2
x  x  2  0 ,  ( x  1)( x  2)  0 , //////●
●/////////
1
x
2
2
x  3x  2  0 ,
( x  1)( x  2)  0 . //////////////////● ●/////////
x
1
2
Решив систему, находим ОДЗ уравнения x   ;1 2; .
Используя разложения на множители подкоренных выражений, перепишем уравнение так:
2 x  1x  2  x  1( x  2)  x  1x  2  0 .
Разложим левую часть уравнения на множители.
Замечание. Очень ответственный момент решения. Замена радикала f x   g x  на произведение радикалов f x   g x 
может привести к потере корней уравнения.
Преобразования, при которых происходит сужение ОДЗ
уравнения и возможна потеря корней уравнения, недопустимы!
В силу этого обстоятельства, в уравнениях рассматриваемого типа для преобразований необходимо пользоваться только
следующей формулой:

 g x   f x , если f ( x)  0, g ( x)  0,

f x   g x   
  g x    f x , если f ( x)  0, g ( x)  0.

▼
Рассмотрим два случая:
1) Если x   ;1 , то все множители подкоренных выражений
отрицательны и уравнение можно переписать так:
 2 x  1  x  2   x  1  ( x  2)   x  1  x  2  0 .
186
Вынося общий множитель за скобку, получаем уравнение:
 x  2   2 x  1   ( x  1)   ( x  1)  0 .
Если x   ;1 , то x  2  0 и уравнение равносильно


следующему уравнению:  2 x  1   ( x  1)   x  1  0
 2 x  1   ( x  1)   x  1 .
Возводя обе части уравнения в квадрат, получаем равносильное уравнение  2 x  1   x  1  2  ( x  1)  x  1  x  1 

1  2  x2 1 .
Возводя обе части уравнения в квадрат, получаем равно5
сильное уравнение 1  4  ( x 2  1)  x 2  , откуда находим
4
5
5
, x2 
.
2
2
Так как x   ;1 , то второй корень является посторонним корнем.
два корня x1  
2) Если x  2;  , то все множители подкоренных выражений
положительны и уравнение можно переписать так:
2x 1 x  2  x  1 x  2  x 1 x  2  0 .
Вынося общий множитель за скобку, получаем уравнение
x  2  2x 1  x  1  x 1  0 .
Уравнение равносильно совокупности двух уравнений
 x  2  0,

 2 x  1  x  1  x  1  0.
Первое уравнение имеет очевидный корень x  2 .
Решим второе уравнение.
2x 1  x  1  x 1  0  2x 1  x 1  x 1 .
Возводя обе части в квадрат, получаем равносильное уравнение:
2 x  1  x  1  2  ( x  1)  x  1  x  1   1  2  x 2  1 .
Данное уравнение действительных корней не имеет.
Таким образом, исходное уравнение имеет два корня


187
5
, x2  2 .
2
5
О т в е т: 
,2.
2
x1  
Замечание. Заметим, что иногда вид уравнения позволяет получить дополнительные ограничения на возможные значения
корней уравнения, а это, в свою очередь, позволяет упростить
процедуру решения. ▼
2.99. Решить уравнение
2 x 2  27 x  36  2 x 2  3x  2 x 2  12x 
27
.
2
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. ОДЗ уравнения определяется системой неравенств:
3
●/////////// x
2 x 2  27 x  36  0 ,
2( x  )( x  12)  0 ////●
3
2
 12

2
3
////////////////●
●////
 2 x( x  )  0
2 x 2  3x  0 ,
3
2
0 x

2
27
3
9
●/////////// x
2 x 2  12x 
 0,
2( x  )( x  )  0 /////////●
9
3
2
2
2


2
2
3
Решая систему, находим x   ;12  
   0;  .
 2
Так как правая часть уравнения неотрицательна при любых
значениях х из ОДЗ уравнения, то равенство возможно только
при выполнении условия 2 x 2  27x  36  2 x 2  3x  0 .
Решим полученное неравенство.
Имеем:
2 x 2  27 x  36  2 x 2  3x
27x  36  3x
188

2 x 2  27 x  36  2 x 2  3 x
3
2
 24x  36  x   .

Откуда заключаем, что в промежутке  ;12 уравнение
корней не имеет, а все корни, если существуют, находятся на
3
оставшейся части ОДЗ x  
   0;  .
 2
Используя разложения подкоренных выражений, перепишем уравнение так:
2 x  3x  12  2 x  3x  2 x  3 x  9   0 .

2
3
, то уравнение, очевидно, удовлетворяется и,
2
3
значит, значение x   является корнем исходного уравнения.
2
Если x  0;  , то все множители подкоренных выражений положительны и уравнение можно переписать так:
9
2 x  3  x  12  2 x  3  x  2 x  3  x   0 .
2
Вынося общий множитель за скобку, получаем уравнение

9
2 x  3   x  12  x  x    0 .
2

Если x  
Так как 2x  3  0 при x  0;  , то уравнение равносильно
уравнению
9
0 
2
9
.
2
Возводя обе части в квадрат, получаем равносильное уравнение
x  12  x  x 
x  12  x  x 
15
9
9
9

 x  2  x2   x .
x  12  x  2  x   x    x  
2
2
2
2

Данное уравнение равносильно смешанной системе:
189
2
 15

 2 9 
  x   4   x   x ,
2 


 2
15

  x  0,
2

x  0


75
 2
x  11x 
 0,


4

0  x  15 .

2

Решая уравнение системы, находим два корня x1  
25
,
2
3
.
2
Первый корень является посторонним для данного уравнения, так как не удовлетворяет неравенству системы.
x2 
О т в е т: 
3 3
, .
2 2
VI. Метод введения сопряженных выражений.
Применение сопряженного выражения, как уже указывалось выше, связано с применением формулы сокращенного
умножения разности квадратов.
Иррациональное выражение a  b после умножения на
выражение a  b (или наоборот), становится рациональным:
( a  b )( a  b )  a  b .
Выражения a  b и a  b называются сопряженными по
отношению друг к другу.
Таким образом, умножением на сопряженное выражение
можно избавиться от иррациональности. Заметим, однако, что
при этом возможно появление посторонних корней.
2.100. Решить уравнение x 2  3x  3  x 2  2 x  2  2 .
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. ОДЗ уравнения определяется системой неравенств:
190
 3  21
2
 3  21
2
x 2  3x  3  0 ,
//////////////////●
x2  2x  2  0 ,
////////////////////////////////////////////////////////////
●///////////////////// x
х
Решая систему, находим: x  (;  3  21 ]  [  3  21 ;) .
2
2
Обозначим выражение, сопряженное левой части уравнения, через А: x 2  3x  3  x 2  2 x  2  A .
Найдем А. Умножив уравнение на данное равенство, получим:
( x 2  3x  3  x 2  2 x  2 ) ∙ ( x 2  3x  3  x 2  2 x  2 )  2  A
 ( x 2  3x  3 ) 2  ( x 2  2 x  2 ) 2  2  А 
( x 2  3x  3)  ( x 2  2 x  2)  2  А  x 2  3x  3  x 2  2 x  2  2  А
5x  5
.
2
Полученное уравнение вместе с исходным уравнением образуют систему
 5x  5  2  А , откуда находим А 
5x  5
,
2
x 2  3x  3  x 2  2 x  2  2 .
x 2  3x  3  x 2  2 x  2 
Складывая
уравнения системы, получаем уравнение5x  5
следствие: 2 x 2  3 x  3 
 2  4 x 2  3x  3  5 x  1 .
2
Замечание. Заметим, что это уравнение может иметь посторонние корни! Необходима проверка. ▼
Последнее уравнение равносильно смешанной системе
16( x 2  3x  3)  (5 x  1) 2 ,
5x  1  0 ,

9 x 2  58x  49  0 ,
x
1
.
5
191
49
.
9
Так как в процессе преобразований получили уравнениеследствие, то возможно появление посторонних корней. Сделаем проверку.
Подставляя x1  1 в уравнение, получаем
Решив уравнение, находим два корня x1  1 , x2 
12  3 1  3  12  2 1  2  1  1  2 .
Уравнение удовлетворяется.
49
Подставляя x2 
в уравнение, получаем
9
2
2
3481 1681 59 41 100
 49 
 49 
 49 
 49 
,

  
   3   3     2    2 
9
9
9
9
81
81
9 9
9
 
 
 
 
Уравнение не удовлетворяется. Второй корень является посторонним.
О т в е т: 1.
Замечание. Заметим, что необходимость проверки всех корней
уравнения с целью «отбраковки» посторонних корней является
недостатком метода введения сопряженных выражений.
«Дефект» метода связан с тем, что уравнение, полученное в
результате сложения уравнений системы, является следствием
системы и может иметь посторонние корни.
49
Действительно, подставив значение x 
в промежуточ9
ную систему уравнений, получим два ложных равенства
59 41 100
,
 
9 9
9
59 41

 2.
9
9
Однако в результате сложения данных равенств, получим
118 118
59 59 100

истинное равенство
.


2,
9
9
9
9
9
Это обстоятельство и явилось причиной появления постороннего корня.
192
В этой связи, метод возведения обеих частей уравнения в
квадрат, рассмотренный выше, в данном случае представляется более предпочтительным. ▼
2.101. Решить уравнение
2 x 2  1  x 2  3x  2  2 x 2  2 x  3  x 2  x  2
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Так как 2 x 2  2 x  3  0, x 2  x  2  0 при любых
значениях х, то ОДЗ уравнения определяется системой неравенств:

2x 2  1  0 ,
2
2
2
2
●///////////////////////// х
//////////////////●
●/////////////// х
x 2  3 x  2  0 , /////////////////////////////●
3  17
3  17
2
2

 

Решая систему, находим: x    , 2    3  17 ,  .


2   2


Перепишем уравнение так:
2 x 2  1  x 2  3x  2  2 x 2  2 x  3  x 2  x  2  0 .
Заметим, что разность подкоренных выражений первого и
третьего радикалов равна разности подкоренных выражений
второго и четвёртого радикалов:
2 x 2  1  2 x 2  2 x  3  2 x  4 , x 2  3x  2  x 2  x  2  2 x  4 .
Учитывая это обстоятельство, перепишем уравнение в ви-
де ( 2 x 2  1  2 x 2  2 x  3 )  ( x 2  3 x  2  x 2  x  2 )  0
и воспользуемся тождеством:
f x   g x  
f x   g x 
,
f x   g x 
если f x   0, g x   0, f x   g x   0 .
Тогда уравнение можно записать так:
193
 2x  4
2x  1  2x  2x  3
2
2

 2x  4
x  3x  2  x  x  2
2
2
 0.
Вынося общий множитель за скобку, получаем уравнение


1
1
0
 2 x  4  


2
2
2
2
2
x

1

2
x

2
x

3
x

3
x

2

x

x

2


Полученное уравнение равносильно совокупности двух
уравнений
 (2 x  4)  0,

1
1


 0.
2
2
2
 2 x  1  2 x  2 x  3
x  x  2  x 2  3x  2
Решив уравнение  (2 x  4)  0 , находим корень х =  2 .
Уравнение
1
1

0
2
2
2
2x  1  2x  2x  3
x  x  2  x 2  3x  2
не имеет корней, так как его левая часть при всех х из ОДЗ
уравнения является числом положительным.
О т в е т:  2 .
2.102. Решить уравнение
2x  4  2 2  x 
12x  8
9 x 2  16
.
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Так как 9 x 2  16  0 при любых значениях х, то
ОДЗ уравнения определяется системой неравенств:
2 x  4  0,

2  x  0,
откуда получаем x   2,2 .
Перепишем уравнение так:
2x  4  2 2  x 
194
12x  8
9 x 2  16
 0.
Заметим, что выражение 12x  8 можно представить следующим образом:
12x  8  2  2 x  4  2 2  x  2 x  4  2 2  x .
Действительно, используя формулу разности квадратов,
получим
2  2 x  4  2 2  x  2 x  4  2 2  x  2  (2 x  4  4  (2  x)) 
2  (2 x  4  8  4 x) = 2  (6 x  4)  12x  8 .
Тогда уравнение можно переписать так:
2x  4  2 2  x 2x  4  2 2  x
2x  4  2 2  x 
0.
9 x 2  16
Вынося общий множитель за скобку, получим уравнение:

2x  4  2 2  x 
  0.
2 x  4  2 2  x  1 

9 x 2  16


Полученное уравнение равносильно совокупности двух
уравнений:
 2 x  4  2 2  x  0,

2x  4  2 2  x

 0.
1  2 
9 x 2  16












2x  4  2 2  x  0  2x  4  2 2  x .
Возводя обе части уравнения в квадрат, получаем уравнение: 2 x  4  4  2  x   2x  4  8  4x  6x  4 , откуда
2
находим корень x  .
3
2x  4  2 2  x
2) 1  2
0.
9 x 2  16
1)
После элементарных преобразований, получаем равносильное уравнение: 9 x 2  16  2 
 2x  4  2  2  x .
Возводя обе части в квадрат и преобразуя, получаем

9 x 2  16  4  2 x  4  4  (2 x  4)(2  x)  4  (2  x)
 
195

9 x  16  4  12  2 x  4  8  2 x 

9 x  16  48  8 x  16  8  2 x

9 x 2  16  4  2 x  4  4  4 x  2 x 2  8  4 x  8  4 x
2
2
2
2

48  8 x  16  8  2 x  9 x  16  0
2

2
32  8 x 2  2  2 8  2 x 2  4  x 2  8 x   0 
48  2 x 2   2  2 8  2 x 2  4  16  x 2  8 x  16  0 
2 8  2x  4  x  4  0 .
2
2
2
Раскладывая левую часть на множители, получаем уравне-



ние 2 8  2 x 2  x  2 8  2 x 2  x  8  0 .
Полученное уравнение равносильно совокупности двух
уравнений
2 8  2 x 2  x  0,

2 8  2 x 2  x  8  0.
Первое уравнение совокупности равносильно смешанной
системе
4  8  2 x 2  x 2 ,
4  8  2 x 2  x 2


x

0
,


 x  0,2
 x   2,2,





Решая уравнение системы, получаем 32  8 x 2  x 2 
9 x 2  32  x 2 
32
2
, откуда находим два корня x1  4 
,
9
3
2
.
3
Первый корень является посторонним для исходного уравнения, так как не удовлетворяет условию x  0,2 .
Второе уравнение совокупности можно переписать так:
x2  4 
2 8  2x 2  x  8 .
196
Так как по ОДЗ x  2 , то  x  8  0 и, значит, уравнение
корней не имеет.
Итак, исходное уравнение имеет два корня x  4 
x
2
и
3
2
.
3
О т в е т: 4
2 2
, .
3 3
VII. Решение уравнений вида:
a  n f 2 ( x)  b  n f ( x)  g ( x)  c  n g 2 ( x)  0 ,
где a, b, c - коэффициенты уравнения (заданные числа);
f (x ) , g (x) - алгебраические функции.
Решение уравнения сводится к решению однородного
уравнения второй степени вида
a  p 2 ( x)  b  p( x)  r ( x)  c  r 2 ( x)  0 , где px   n f x ,
r ( x)  n g ( x) .
2.103. Решить уравнение n ( x  1) 2  n ( x  1) 2  4  n x 2  1 .
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Перепишем уравнение так:
( x  1) 2  4  n ( x  1)( x  1)  n ( x  1) 2  0 .
Так как функции f x   x  1 и g x   x  1 не имеют общих
n
корней, то разделив обе части уравнения на n g 2 ( x)  n x  12 ,
получим равносильное уравнение
n
( x  1) 2
n
( x  1) 2

4  n ( x  1)( x  1)
4
( x  1) 2
2
 x 1 
x 1
  4n
 1  0   n
1  0 .

x 1
 x 1 
Произведем замену, полагая n
x 1
t.
x 1
197
После замены уравнение принимает вид: t 2  4t  1  0 ,
откуда получаем два корня t1, 2  2  3 .
Учитывая замену, получаем два уравнения:
x 1
 2  3 . Возводя обе части в n –ю степень получаем
x 1
1) n
x 1
 (2  3 ) n .
x 1
Используя производную пропорцию (см. метод IV), полу-
уравнение
чаем:
x  1  x  1 (2  3 ) n  1

x  1  x  1 (2  3 ) n  1

откуда находим первый корень x1 
2 x (2  3 ) n  1
,

2 (2  3 ) n  1
(2  3 ) n  1
(2  3 ) n  1
.
x 1
 2  3 . Решая аналогично, находим второй корень
x 1
2) n
x2 
(2  3 ) n  1
(2  3 ) n  1
О т в е т:
.
(2  3 ) n  1 (2  3 ) n  1
,
.
( 2  3 ) n  1 (2  3 ) n  1
2.104. Решить уравнение 3 x  3  3 x  3  2  6 x 2  9 .
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Решая неравенство x 2  9  0 , находим ОДЗ уравнения: x  (;3]  [3; ) .
Перепишем уравнение так: 3 x  3  2  6 ( x  3)(x  3)  3 x  3  0 .
6
a 2 , если a  0 ,
Так как 3 a =
 6 a 2 , если a  0 ,
то необходимо рассмотреть два случая:
1) Если x  (;3] , то x  3  0, x  3  0 , тогда
198
x  3  6 ( x  3) 2 , 3 x  3  6 ( x  3) 2
и уравнение можно переписать так:
3
 6 ( x  3) 2  2  6 ( x  3)( x  3)  6 ( x  3) 2  0 .
Так как значение х =  3 не удовлетворяет уравнению, то,
разделив на 6  x  32 , получим равносильное уравнение:
1  2 
6
( x  3)( x  3)
6
( x  3) 2

6
( x  3) 2
6
( x  3) 2
0

2
x 3 6 x 3 
  0.
1  2  6

x  3  x  3 
Произведем замену, полагая 6
x3
 t , где t  0 .
x3
После замены уравнение принимает вид:
 1  2t  t 2  0  t 2  2t  1  0 , откуда находим два корня
t1  1  2 , t 2  1  2 .
Значение t1 не удовлетворяет условию t  0 .
Учитывая замену, получаем уравнение: 6
x3
 1 2 .
x3
Возводя обе части уравнения в шестую степень, получаем
x  3  x  3 (1  2 ) 6  1
x3
6
уравнение:


 (1  2 ) 
x  3  x  3 (1  2 ) 6  1
x3
2 x (1  2 ) 6  1
, откуда находим первый корень

 6 (1  2 ) 6  1
(1  2 ) 6  1
15 2
.
7
(1  2 )  1
Полученное значение является корнем исходного уравнения, так как входит в рассматриваемый промежуток ( ;3] .
x1  3 
6

Действительно, сравним два числа: 
15 2
 3 , где знак
7
199
 - означает неизвестный знак: >, < или = .
15 2
, 21 15 2 . Возводя обе части в квад7
рат, получим соотношение с тем же знаком: 212  (15 2 ) 2 или
441 225 2 , 441 500, откуда заключаем, что неизвестный знак
15 2
– это знак < . Поэтому 
 3 .
7
2) Если x  3, , то x  3  0, x  3  0 , тогда
Получаем 3 
3
2
2
x  3  6  x  3 , 3 x  3  6 x  3 и уравнение можно пере-
писать так: 6 x  32  2  6 x  3x  3  6 ( x  3) 2  0 .
Так как значение х =  3 не удовлетворяет уравнению, то,
разделив на 6  x  32 , получим равносильное уравнение:
1 2 
6
( x  3)( x  3)
6
( x  3) 2
2
x 3 6 x 3 
 0.


 0  1 2  6
6
x  3  x  3 
( x  3) 2
6
( x  3) 2
Произведем замену, полагая 6
x3
 t , где t  0 .
x3
После замены уравнение принимает вид:
1  2t  t 2  0  t 2  2t  1  0 , откуда находим два корня
t1  1  2 , t 2  1  2 .
Значение t1 не удовлетворяет условию t  0 .
Учитывая замену, получаем уравнение:
x 3
6
 1  2 .
x3
Возводя обе части уравнения в шестую степень, получаем
x  3  x  3 (1  2 ) 6  1
x 3
уравнение

 ( 1  2 ) 6 
x  3  x  3 (1  2 ) 6  1
x3

200
2 x (1  2 ) 6  1
, откуда находим второй корень

 6 (1  2 ) 6  1
 1  2   1  15 2 .
x  3 
 1  2   1 7
6
2
6
Полученное значение является корнем исходного уравнения, так как входит в рассматриваемый промежуток [3; ) .
О т в е т: 
15 2 15 2
,
.
7
7
2.105. Решить уравнение 6  3 x  3  3 x  2  5  6 x 2  5 x  6 .
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Решив неравенство x 2  5 x  6  0 , находим ОДЗ
уравнения :
●//////////////////////////////
3
х
///////////////////////////////////●
2
x  (;2]  [3; ) .
Для всех значений х из ОДЗ уравнения 6 x 2  5 x  6  0 .
Поэтому ясно, что в промежутке (;2] корней нет, так как
x  3  0 , x  2  0 и, следовательно, 6  3 x  3  3 x  2  0 .
Значит, корни уравнения, если существуют, находятся в
промежутке 3;  .
Если x  3;  , то x  3  0 , x  2  0 , и, следовательно,
3
2
x  3  6 x  3 и 3 x  2  6 x  2 .
Тогда исходное уравнение можно переписать так:
2
6  6 x  3  6 x  2  5  6 x  2x  3  0 .
Так как значение х = 3 не удовлетворяет уравнению, то,
2
2
разделив обе части уравнения на 6  x  3 , получим равно2
2
x  2 6 x  2 
 0.
сильное уравнение: 6  5  6

x  3  x  3 
Произведем замену, полагая: 6
x2
 t , где t  0 .
x3
201
После замены принимает вид: 6  5t  t 2  0 , откуда находим два корня t1  2 , t 2  3 .
Учитывая замену, получаем два уравнения:
x2
1) 6
 2.
x3
Возводя обе части в шестую степень, получаем уравнение:
x2
x  2  64  x  192
 63  x  190
 64 
0
0,
x3
x3
x3
откуда находим первый корень уравнения x1 
190
.
63
x2
 3.
x3
Возводя обе части в шестую степень, получаем уравнение:
x2
 728 x  2185
x  2  729x  2187
 729 
0,
0 
x 3
x 3
x 3
2185
откуда находим второй корень уравнения x2 
.
728
190 2185
О т в е т:
,
.
63 728
2) 6
VIII. Метод постепенного избавления от иррациональности.
Метод применяется для решения уравнений, содержащих
радикалы разных степеней.
Основная идея метода заключается в сведении уравнения к
уравнению, содержащему радикалы только одной степени, что
достигается введением нового вспомогательного неизвестного.
2.106. Решить уравнение 3 24  x  12  x  6 .
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Решая неравенство 12  x  0   x  12 
x  12 , находим ОДЗ уравнения: x   ;12 .
Уравнение имеет радикалы разных степеней.
Избавимся сначала от радикала 3-й степени. Для этого введём новое неизвестное, полагая, что 24  x  t 3 .
202
Учитывая, что x  t 3  24 , выразим 12 - х через новую неизвестную t: 12  x  12  (t 3  24)  36  t 3 .
Тогда исходное уравнение можно переписать так:
3
t 3  36  t 3  6  t  36  t 3  6  36  t 3  6  t .
Последнее уравнение равносильно смешанной системе:
t 3  t 2  12t  0 ,
36  t 3  36  12t  t 2 ,
36  t 3  (6  t ) 2 ,


t  6,
t 6,
6t  0,

t  (t 2  t  12)  0 ,
t  6.
Решая уравнение системы, находим три корня t1 = –4, t2 = 0,
t3 = 3, удовлетворяющие неравенству системы.
Учитывая замену, получаем три уравнения:
1) 24  x  0 , откуда x1 = –24;
2) 24  x  64 , откуда x2 = –88;
3) 24  x  27 , откуда x3 = 3.
О т в е т: –88; –24; 3.
IX. Метод сведения иррационального уравнения к системе
уравнений высших степеней.
Основная идея метода заключается во введении не одной, а
нескольких вспомогательных неизвестных и сведении исходного иррационального уравнения к системе уравнений высших
степеней.
2.107. Решить уравнение 35  2 45  2 x  x  5 .
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Данное уравнение равносильно смешанной си35  2 45  2 x  x  52 ,
стеме: 
 x  5  0.
Введём новые неизвестные, полагая
203
 x  5  u,
где u  0, v  0.

 45  2 x  v,
u  x  5,
Исключая х из полученных равенств  2
получаv  45  2 x,
ем v 2  35  2u.
Учитывая уравнение системы, приходим к системе уравнений относительно новых неизвестных u, v :
2

35  2v  u ,
где u  0, v  0.

2

35

2
u

v
,

Решим систему.
Вычитая из первого уравнения второе, получим
u 2  v 2  2(u  v)
 (u  v)(u  v)  2(u  v)  0
(u  v)(u  v  2)  0 , и приходим к равносильной системе

35  2v  u 2 ,

(u  v)(u  v  2)  0.
Полученная система равносильна совокупности двух систем:
35  2v  u 2 ,
1) 
u  v  0.
Решая систему методом подстановки, получаем два решеu  5, u 2  7,
ния  1
и
v1  5
v 2  7.
Второе решение не подходит, так как u  0, v  0.
Учитывая замену, получаем уравнение x  5  5 , откуда
находим x  10.
35  2v  u 2 ,
2) 
u  v  2  0.
Решая систему методом подстановки, получаем ещё два
решения
204
u1  1  4 2 , u 2  1  4 2 ,
и

v1  1  4 2
v 2  1  4 2 ,
которые не удовлетворяют условиям u  0, v  0.
Итак, исходное уравнение имеет единственный корень
x  10 .
О т в е т: 10.
2.108. Решить уравнение 4. 97  x  4 x  15  4.
-------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. ОДЗ уравнения определяется системой неравенств:
97  x  0,
откуда получаем x  [15; 97].

 x  15  0,
4 97  x  u,
Введём новые неизвестные, полагая 
4 x  15  v,
где u  0, v  0.
97  x  u 4 ,
Исключая х из равенств 
и учитывая исходное
 x  15  v 4 ,
u  v  4,
уравнение, приходим к системе уравнений  4
4
u  v  82.
Обозначим для удобства uv  q и преобразуем второе
уравнение системы, учитывая первое:
u 4  v 4  (u 2 ) 2  (v 2 ) 2  2u 2 v 2  2u 2 v 2  u 2  v 2   2u 2 v 2 
2
= (u 2  2uv  v 2  2uv) 2  2u 2 v 2  ((u  v) 2  2uv) 2  2(uv) 2 
= (4 2  2q) 2  2q 2  (16  2q) 2  2q 2  82 .
Таким образом, получаем квадратное уравнение относительно q: (16  2q) 2  2q 2  82  q 2  32q  87  0 , откуда
находим q1  3, q2  29 .
205
Таким образом, полученная система уравнений равносильна двум системам:
u  v  4,
1) 
uv  3.
Решая систему методом подстановки, получаем два решеu  1, u 2  3,
ния:  1

v1  3, v 2  1.
Учитывая замену, получаем две системы:
4

97  x  1,
 97  x  1,
, откуда находим x  96 ;
 
4
x

15

81


x

15

3
,

а) 
4 97  x  3,
97  x  81,
, откуда находим x  16 .
 
4 x  15  1,
 x  15  1
б) 
u  v  4,
uv  29.
2) 
Решая систему методом подстановки, приходим к уравнению u 2  4u  29  0 , которое не имеет действительных корней.
О т в е т: 16; 96.
2.109. Решить уравнение 3 x  1  x  3 .
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Решая неравенство x  3  0 , находим ОДЗ уравнения x  3,  .
Введём новые неизвестные, полагая:
3
 x  1  u
, где v  0 , причём на ОДЗ уравнения и u  0.

 x  3  v
3
u  x  1,
Исключая х из равенств 
v 2  x  3,
u  v,
приходим к системе уравнений  3
2
u  v  4.
206
Решая систему методом подстановки, приходим к уравнению u 3  u 2  4  0  (u  2)(u 2  u  2)  0 , откуда получаем
u  2.
Учитывая замену, получаем уравнение x  1  2 3 , x  1 8 ,
откуда находим х = 7.
О т в е т: 7.
2.110. Решить уравнение 5 x  2x  32  4 x  1x  33  1 .
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Решая неравенство ( x  1)( x  33)  0 , определяем
ОДЗ уравнения
+
//////////////////////////●
1
x  (,1]  [33, ) .
–
+
●////////////////////////////////
33
х
Введём новые неизвестные, полагая
5 x  2x  32  u,
где v  0.

4 x  1x  33  v,
Тогда исходное уравнение примет вид: u  v  1.
5
2

u  x  34x  64,
Исключая х из равенств: 
4
2

v  x  34x  33,
получаем уравнение: u 5  v 4  31.
Таким образом, приходим к системе уравнений:
u  v  1,
 5
4
u  v  31.
Решая систему методом подстановки, получаем уравнение
5-й степени: u 5  u 4  4u 3  6u 2  4u  32  0.
Уравнение имеет очевидный корень u  2.
Разложим левую часть уравнения на множители.
Имеем: u 5  u 4  4u 3  6u 2  4u  32  (u 5  2u 4 )  (u 4  2u 3 ) 
207
 (6u 3  12u 2 )  (6u 2  12u )  (16u  32)  u 4 (u  2)  u 3 (u  2) 
 6u 2 (u  2)  6u (u  2)  16(u  2)  (u  2)(u 4  u 3  6u 2  6u  16) .
Получаем равносильное уравнение:
(u  2)(u 4  u 3  6u 2  6u  16)  0 .
Откуда заключаем, что система равносильна совокупности
двух систем:
v  u  1,
1) 
u  2.
u  2,
Система имеет решение 
v  1.
v  u  1,
2)  4
3
2
u  u  6u  6u  16  0
Докажем, что эта система решений не имеет.
Действительно, так как v  0 , то u  1 . Но тогда, очевидно,
второе уравнение корней не имеет, так как сумма положительных чисел не может быть равной нулю.
Учитывая замену, приходим к системе:
5 x  2x  32  2,
 x 2  34  64  32,
  2

 x  34  33  1,
4 x  1x  33  1,
откуда находим два корня x1, 2  17  257.
О т в е т: 17  257 ; 17  257.
2.111. Решить уравнение x 3  1  2  3 2 x  1 .
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. ОДЗ уравнения – множество всех действительных
чисел, то есть x  R .
Введём новую неизвестную, полагая 3 2 x  1  y. Тогда
исходное уравнение равносильно системе уравнений:
3
x 3  1  2 y,
 x  1  2 y,

 3
 y  1  2 x.
2x 1  y3 ,
Вычитая из первого уравнения второе, получим уравнение
208
 ( x  y)( x 2  xy  y 2 )  2( x  y)  0
( x  y)( x 2  xy  y 2  2)  0 .
x 3  y 3  2( y  x)

Заменив второе уравнение системы на полученное уравнение, приходим к равносильной системе:
 x 3  1  2 y,

( x  y )( x 2  xy  y 2  2)  0,
Полученная система равносильна совокупности двух систем уравнений:
 x 3  1  2 y,
1) 
 x  y  0,
откуда, решая методом подстановки, приходим к уравнению
x 3  2 x  1  0  x 3  x  x  1  0  x( x 2  1)  ( x  1)  0 
( x  1)( x( x  1)  1)  0  ( x  1)( x 2  x  1)  0 , откуда получаем
три корня x1  1, x 2,3 
1 5
.
2
 x 3  1  2 y,
2) 
 x 2  xy  y 2  2  0.
Система решений не имеет. Действительно, если х и у одного знака, то x 2  xy  y 2  2  0 . Если же х и у разных знаков, то xy  0 , и получаем
x 2  xy  y 2  2  x 2  2 xy  y 2  xy  2  x  y   xy  2  0.
2
О т в е т:
 1 5
 1 5
; 1;
.
2
2
1  x 2  a  x 2  , где а – действи2
3
тельное число такое, что  a  .
3
4
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. ОДЗ уравнения определяется системой неравенств
2.112. Решить уравнение
209
1  x 2  0,
откуда получаем x  0;1.

 x  0,
Введём новые неизвестные, полагая
 x  u ,
где u  0 .

a  x  v,


2
Тогда можем записать: 1  x 2  1  u 4 , a  x  v 2 .
Учитывая исходное уравнение и очевидное равенство
u  v  a , получаем смешанную систему:
 1 u4  v2 ,


u  v  a,
0  u  1,

u 4  v 4  1,

u  v  a,
0  u  1.

Таким образом, решение уравнения сводится к отысканию
действительных решений полученной смешанной системы.
Замечая, что
4
u  v 4  (u 2  v 2 ) 2  2(uv) 2  ((u  v) 2  2uv) 2  2(uv) 2
приходим к системе
((u  v) 2  2uv) 2  2(uv) 2  1,

u  v  a,
0  u  1.


Учитывая второе уравнение системы, получаем:

 a  2uv 2  2uv2  1,

u  v  a,
0  u  1.

2
Обозначим для удобства uv  q , тогда первое уравнение

системы можно переписать так: a 2  2q
2q 2  4a 2 q  a 4  1  0, откуда q  a 2 
210
  2q  1 
2
2
a4 1
.
2
Поэтому система равносильна совокупности двух систем:

a 4 1
2
,
uv  a 
2

1) u  v  a,

0  u  1.


Подставляя v  a  u в первое уравнение системы, получа-
ем квадратное уравнение: u 2  au  a 2 
Уравнение u 2  au  a 2 
a4 1
 0.
2
a4 1
 0 не имеет действи2
тельных корней, так как дискриминант – отрицательное число:


a 4  1 
a 4  1 
D  a 2  4 a 2 
  3a 2 
0




2
2




4

a 1
2
,
uv  a 
2

2) u  v  a,
0  u  1.


Подставляя v  a  u в первое уравнение системы, получаем квадратное уравнение: u 2  au  a 2 
a4 1
 0.
2
Используя формулы для корней, получаем

a 
1
1
u1, 2   1  4 
 4 3 .

2 
2 2a


2
3
Так как  a  , то получаем следующую оценку:
3
4
211
4
1 1
1
1
2
2 554
2  23
 4 3  4 
 3  2 2  34  2  4 4  3 
3
 3  2.
4
2 2a
2 3
9
9
3
2 
4
Отсюда заключаем, что корни u1, 2 действительны, причём

a
1
1
u1  1  4 
 4  3   0.

2
2 2a


Поэтому, учитывая, что 0  u  1 , получаем только одно

a
1
1
значение u  1  4 
 4 3  0.

2
2 2a


Проверим выполнение второго неравенства. Определим
знак разности
1
a  14
4
2
a
a  1 3a
2
1 u  1 


 0.
2
2
4 
4
2 
4

1  a  a  1  3a 1  a  a 2  a  1 
 2
2
4 
2 


Значит, u  1 и второе неравенство также выполняется.
Учитывая замену, получаем уравнение
a 
a 4  1 3a 2 
.
1


2
2
4 


Возводя обе части уравнения в квадрат, получаем единственный корень исходного уравнения:
x
a 2 
x
1
4 

2 
О т в е т: a 1 
4 

212
2
a 4  1 3a 2 
.

2
4 

2
3
a 4  1 3a 2  , где 2
a .


3
4
2
4 

X. Метод тригонометрических подстановок.
Решение некоторых иррациональных уравнений иногда
можно свести к решению тригонометрических уравнений простого вида. При этом применяются следующие замены переменной:
1) x  a  tgt для радикалов вида
a2  x2 ;
2) x  a sin t или x  a cost для радикалов вида a 2  x 2 ;
a
a
3) x 
или x 
для радикалов вида x 2  a 2 .
cost
sin t
Далее для преобразований радикала используют соответственно следующие тригонометрические формулы:
1
2
2
; 1  sin t  cos t;
2
cos t
1
.
1  cos2 t  sin 2 t; 1  ctg 2 t 
sin 2 t
1  tg 2 t 
Иногда применяются и другие подстановки с использованием формул: 1  cos 2t  2 cos2 t и 1  cos 2t  2 sin 2 t .
2.113. Решить уравнение
x2 1  x 
5
.
2 x2 1
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. ОДЗ уравнения – множество всех действительных
чисел x  R .


Замена: x  tgt , где можно считать, что   t  .
2
2


Действительно, если t меняется от 
до , то значение
2
2
  
x  tgt меняется от   до   , то есть, если t    ,  , то
 2 2
x   ;  .
После замены уравнение принимает вид:
213
1  tg 2t  tgt 
5
.
2  1  tg 2t
1
Так как 1  tg 2 t 
, то получаем
cos2 t
5  cost
1
1
5
.

 tgt 
 tgt 
2
cost
2
cos t
1
2
cos2 t
  
Так как cost  0 при t    ,  , то уравнение можно
 2 2
1
5 cos t
записать так:
.
 tgt 
cos t
2
  
Поскольку cost  0 для t    ,  , то, умножая обе ча 2 2
сти уравнения на cost , получаем равносильное уравнение
5
1  sin t  cos2 t  21  sin t   51  sin 2 t  
2
2
5 sin t  2 sin t  3  0 .
  
Произведем замену: sin t  z , где z  1 при t    ,  .
 2 2
После второй замены уравнение принимает вид:
3
2
5 z  2 z  3  0 , откуда получаем z1   , z 2  1 .
5
Второе значение не удовлетворяет условию z  1 .
Учитывая вторую замену, получаем уравнение
3
3
 3
sin t   , откуда, получаем t  arcsin     arcsin .
5
5
 5
Учитывая первую замену, получаем
3
3
sin(arcsin )
sin(arcsin )
3
5 =
5
=
x  tgt  tg ( arcsin )  
3
5
3
cos(arcsin )
1  sin 2 (arcsin )
5
5
214
3
5
3
5
3
3
3


 5 5  .
2
4
4
9
16
 3
1
1  
5
25
25
5
3
О т в е т:  .
4
2.114. Решить уравнение 2  2  2  x  x .
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Очевидно, что равенство выполняется только при
x  0 . Кроме того, так как
2  2  x  x 2  2 , то x 2  2 , то
есть x  2 и, учитывая, что x  0 , получаем x  2 .
2  x  2 , 2  x  4, x  2 .
Также 2  2  x  0 , т.е.
Таким образом, x [ 2;2] .
Тогда можем сделать замену, полагая x  2 cos , где

0    , причем, учитывая, что x  2 , можем заключить,
2

что 0    .
4
Тогда 2  x  2(1  cos )  4 cos2
так как cos

2
 0 при 0   

4

и
2
2  x  4 cos2


 2 cos ,
2
2
.
Далее, преобразуя, получаем
2  2  x  2  2 cos

2
=




2(1  cos )  4 sin 2  2 sin , так как sin  0 при
4
2
4
4

условии 0    .
4
Тогда уравнение принимает вид:
215
2  2 sin

4
 2 cos

  
2(1  cos  )  2 cos
2 4

  
 
4 cos2     2 cos  2 cos    2 cos , так как
4 8
4 8

 
при 0   
имеем следующую оценку 0  

4
8
32




    
   0 

0 
   
8
32
32
8
4 32 4 8 4
7   
 
   и cos    0 .
32 4 8 4
4 8
  
В результате получаем уравнение cos    cos .
4 8
Уравнение равносильно совокупности двух уравнений:


   2k , k  Z .
4 8
Решим последовательно полученные уравнения.
 
1)     2k , k  Z .
4 8
2 16k
9 
Имеем:
, k Z .

  2k , k  Z , откуда  
9
9
8
4
2

Так как 0    , то подходит только корень  
(по9
4
лучающийся при k  0 ).
 
2)     2k , k  Z .
4 8
7

2 16k
Имеем:
, k Z .
   2k , k  Z , откуда   

8
4
7
7

В этой серии решений нет корней в промежутке [0; ]
4
(при k  1 имеем   2 ).
2
Таким образом,  
- единственный корень и, учитывая
9
216

замену, получаем единственный корень исходного уравнения
x  2 cos
2
.
9
2
.
9
ХI. Метод «вложенных функций».
О т в е т: 2 cos
Уравнения вида
дующей теоремы.
f ( f ( x))  x решаются с помощью сле-
Теорема 2.12. Если функция y  f (x) − монотонно возрастающая функция, то уравнения f ( f ( x ))  x и f ( x)  x равносильны.
Замечание. Заметим, что теорема допускает обобщение. Если
функция y  f (x) монотонно возрастает, то при любом k уравнения f ( f ( f ... f ( x)))  x и f ( x)  x равносильны.▼



k
2.115. Решить уравнение 1  x  x  1 .
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Перепишем уравнение так: 1  1  x  x .
Рассмотрим функцию f ( x) 1  x . Функция монотонно
возрастает. Так как f ( f ( x))  1  1  x , то исходное уравнение имеет вид: f ( f ( x ))  x , где f ( x) 1  x .
Это уравнение в силу теоремы 2.12. равносильно уравнению f ( x)  x , то есть уравнению 1  x  x  x  x  1  0 .
Произведя замену x  t , где t  0 , получаем уравнение
1 5
1 5
и t2 
.
2
2
Первый корень не удовлетворяет условию t  0 .
1 5
Учитывая замену, получаем уравнение x 
, откуда
2
t 2  t  1  0 , откуда находим два корня t1 
217
2
1 5  1 2 5  5 6  2 5 3  5

находим x  
.


 2  
4
4
2


3 5
О т в е т:
.
2
2.116. Решить уравнение x 3  1  2  3 2 x  1 .
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Преобразуем уравнение так:
3
 x3 1 


1

3
2 
x3 1 3
 x3 1 

 2 x  1  
  2 x  1 
x.
2
2
 2 
1  x3
.
2
Так как функция f (x ) монотонно возрастает, то это уравнение равносильно уравнению f ( x)  x , т.е. уравнению
Данное уравнение имеет вид f ( f ( x))  x , где f ( x) 
1 x3
1 x3  2x
1 x3
x0 
 0  x3  2x  1  0 .
x 
2
2
2
Разложим левую часть полученного уравнения на множители: x 3  x  x  1  0  x 3  x  x  1  0 
x( x 2  1)  ( x  1)  0  x( x  1)( x  1)  ( x  1)  0 
2
( x  1)( x( x  1)  1)  0  ( x  1)( x  x  1)  0 .
Последнее уравнение равносильно совокупности двух
уравнений:
 x  1  0,
 2
 x  x  1  0,
1 5
откуда находим три корня x1  1 , x2,3 
.
2
1 5
О т в е т: 1;
.
2
218
XII. Метод оценок.
Иногда иррациональное уравнение удаётся решить, используя свойства входящих в него функций или на основе этих
свойств доказать, что уравнение корней не имеет. Чаще всего
используются свойства области определения, свойства непрерывности, монотонности, ограниченности функций и др.
2.117. Решить уравнение
3x 2  6 x  7  5 x 2  10x  14  4  2 x  x 2
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Выделим полные квадраты в правой части уравнения и в подкоренных выражениях:
3x 2  6 x  7  3( x 2  2 x  1  1)  7  3( x  1) 2  4 ,
5 x 2  10x  14  5( x 2  2 x  1  1)  14  5( x  1) 2  9 ,
4  2 x  x 2  4  ( x 2  2 x  1  1)  5  ( x  1) 2 .
и перепишем так уравнение:
3x  1  4  5x  1  9  5  x  1 ,
2
2
2
Так как ( x  1) 2  0 при любых х, то имеют место следующие оценки:
3( x  1) 2  4  4  2 , 5( x  1) 2  9  9  3 ,
Тогда, очевидно, левая часть уравнения не меньше 5, а
правая часть уравнения не больше 5, т.е.
3( x  1) 2  4  5( x  1) 2  9  5 и 5  ( x  1) 2  5 .
Откуда заключаем, что равенство возможно лишь при таких значениях х, при которых обе части уравнения равны 5, т.е.
при ( x  1) 2  0 , откуда находим x  1.
Таким образом, уравнение имеет единственный корень
x  1.
О т в е т: −1.
2.118. Решить уравнение
4  x 2  1  4 x  x 2  y 2  2 y  3  4 x 4  16  y  5 .
-------------------------------------------------------------------------------219
Р е ш е н и е. ОДЗ уравнения определяется системой неравенств:
4  x 2  0,
4  x 2  0,


1  4 x  0,
1  4 x  0,

 4
 2
2
 x  16  0,
x  4 x  4  0,
 x 2  y 2  2 y  3  0,
 x 2  y 2  2 y  3  0.


Так как x 4  4  0 при любых значениях х, то система неравенств равносильна следующей системе:
4  x 2  0,

1  4 x  0,
 2
 x  4  0,
 x 2  y 2  2 y  3  0.

Сравнивая первое и третье неравенства, заключаем, что
x 2  4  0 , откуда находим x  2 .
Но так как 1  4x  0 , то получаем x  2 !
Тогда исходное уравнение можно переписать так:
2
9  1  y 2  2 y  5  y  ( y  1)  2  y  y  1  2  y.
Равенство возможно только при 2  y  0 , т.е. при y  2 .
Если y   ;2, то уравнение равносильно совокупности
двух уравнений y  1  2  y  .
3
1) y  1  2  y , откуда находим y  .
2
2) y  1  (2  y )  y  1  2  y  0  y  1 .
Уравнение корней не имеет.
Таким образом, исходное уравнение имеет одно решение
 x  2,


3
 y  2 .
3
О т в е т: (2; ).
2
220
В заключение раздела приведем пример иррационального
уравнения, которое удается решить весьма «экзотическим»
способом, используя основные понятия и формулы векторной
алгебры.
2.119. Решить уравнение x 1  4 x 2  10 1  x 2  5( х 2  25) .
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Рассмотрим в плоскости декартовой системы ко

ординат два вектора а  (х;5) и b  1  4 x 2 ;2 1  x 2 .
Длины векторов равны:


a  x 2  25 , b  1  4 x 2  4  4 x 2  5 .


Найдем скалярное произведение векторов:
 
а  b  х 1  4 x 2  5  2 1  x 2  х 1  4 x 2  10 1  x 2 .
Найдем произведение длин векторов:
 
a  b  x 2  25  5  5  ( x 2  25) .
   
Заметим, что а  b  a b , если число х является решением


уравнения. Откуда заключаем, что векторы а и b коллинеарны и сонаправлены, так как угол между векторами равен нулю.


Следовательно, координаты векторов а и b пропорциональны и выполняется равенство
x
5
, где 1  4 х 2  0 , х  0 .

2
2
1  4x
2 1 x
x2
25
Тогда
 4 х 2 (1  х 2 )  25(1  4 х 2 ) .

2
2
1  4х
4(1  х )
Произведем замену, полагая х 2  t , где t  0 . После замены получаем уравнение: 4t  (1  t )  25  (1  4t ) 
4t 2  104t  25  0 , откуда t1 
не подходит по условию t  0 .
 26  701
 26  701
, t2 
0 2
2
Учитывая замену, получаем уравнение x 2 
 26  701
,
2
221
701  26
, так как х  0 .
2
откуда находим x 
О т в е т:
701  26
.
2
Упражнения.
Решите уравнения:
217.
x 2  6   5x .
218. ( x 2  4 x ) 2  9 x  6 .
219.
3  2x  x .
220.
2x  7  x  4 .
221. x  1  2 x  22 .
222. 5  x  1  x .
 x 3  x 5.
225. x 4 x  1  2 4 x  1  0 .
227. 4 x  2  x  0 .
224. x 1  4 x  5 1  4 x  0 .
223.
229.
3x 2  8 x  5  6 x  5 .
231. 2 x 2  2 x  3  1   x .
233. 16x 2  9 x  54  5 x  0 .
226.
 2x   2x  5  6 .
228. 2  x  5  x  0 .
230. 2 x 2  7 x  3  x  3 .
232. 15x 2  2 x  8  4 x  0 .
234. 4 x 2  27   x .
235. 64  3x 2   x .
236. x 2  8  2 x  1 .
237. 6 x  x 2  5  2 x  6 .
238.
5x  x 2  2  3  5x .
239.
x 4  36  12x 2  5 x  30 .
240.
49  9 x x  4  2 x  7 .
241.
x 2  3x  2  2 x  1 .
242.
x 2  x  2  2x  x  1 .
244.
x2
 1.
3 x
246.
5x  4  x 
x2
 1 .
x 1
x2
245.
 x4 .
2x 1
243.
4
.
x
248.
5  x2
1.
x 1
x  4  2x  6  7 .
250.
x  5  2  x 1.
251. x  4  x  1  5 .
252.
2 x  19  15  2 x  2 .
247.
249.
222
4x  5  x 
2
.
x
253. 4 x  3  x  1  x  2 .
254. 2 x  1  6  x  x  1 .
255. 3x  5  x  2  2 x  3 .
256. 7 x  1  3x  18  2 x  7 .
257. x  x  2  x  3  x  3 .
258. 3 x  6 x  6 .
259. 4 2 x  13  7  8 2 x  13  8  0 .
260. 6 8 x  23  6  12 8 x  23  7  0 .
261. ( x  5) 2  5  ( x  5) 2  14  0 .
262. ( x  5) 2  4 ( x  5) 4  20  0 .
1
6
263. 17x  13  (17x  13)  6  0 .
3
264. x 2  x  0,5  (6  x)  2 x 2  3 x  2 .
265. 40  14x  x 2  2  ( x  4)  x .
266. 4 x  14 
11 16x 2  2 x  5
8x  5
.
36x( x  6)
 x  1.
267.
x 2  36
4
268. x  x  1 
2  0.
9x  4
269. x 2  4 x  25  6( x  x  5 )  0 .
x 2  6x 
270.
x 2  4x  8  2  x 2  4 .
271. x 2  2 x 2  8 x  12  4 x  6 .
272. x 2  3x  x 2  3x  6 .
274.
4
 2 x2 .
2 x 3
276. x 2  5  x 2  6  7 .
278. 2  3 
273. x 2  3x  4 x 2  3x  6  18 .
1
x
 4
 3.
x
2x 1
275.
2
277. 3
x  59 6 x  59

6  0.
x4
x4
6x 2  7x  5
5x 2  7 x  6
.

5

5x 2  7 x  6
6x 2  7 x  5
223
279. 5
281.
16x 5 x  1 5

 .
x 1
16x 2
x  x2 1
x  x2 1
 5
x  x 2 1
x  x 2 1
280.
x 2  3x  2
 6 x 1 .
x  x 1 1
4.
282. 2 x  1  13x  9  4 x 2  4  9  4 x .

 

283. 2 x  x 2  4 x  3  3 x  1  2  x  3 .
284.
x  3  4 x 1  x  8  6 x 1  1 .
285.
x  2 x 1  x  2 x 1  2 .
286.
x  5  4 x  1  x  10  6 x  1  x  1  1 .
287.
x  2  2x  5  x  2  3 2x  5  7 2 .
288.
x  4  4 x  x  25  10 x  1 .
289.
x  3  2 x  4  x  4 x  4  1.
290. 3 13  x  3 22  x  5 .
291. 3 3  x  3 6  x  3 .
292. 3 x  3 x  9  3 .
293. 3 x  45  3 x  16  1.
294. 3 x  7  x  3  0 .
295. 3 2  x  1  x  1 .
296. 3 12  2 x  2 x  3  3 .
297. 3 5  x  6 2 x 2  19x  45  2  3 9  2 x .
298. 23 x  1  3 x  1  6 x 2  1 .
299. ( x 2  4) x  1  0 .
300. (3 x 2  7 x  2) 3  5 x  2 x 2  0 .
301. ( x 2  3x  10) 2  3x  3x 2  9x  30 .
302. ( x  2)( x  9)  2  x .
303. 2  ( x  3)( x  2)  (2 x  3)( x  3)  ( x  10)( x  3) .
304. 6 x 2  29x  35  8 x 2  30x  25  10x 2  53x  70 .
305.
x 2  8x  15  x 2  x  20  2 x 2  7 x  5 .
306. 10x 2  9 x  7  4 x 2  4 x  3  6 x 2  5x  4 .
224
307.
x 2  5 x  6  x 2  3x  2  x 2  1 .
308. 10x 2  13x  4  6 x 2  5 x  1  8 x 2  2 x  3 .
309. 1  ( x  2) x 2  4 x  20  x  1 .
13
310. 3 ( x  3) 2  3 (5 x  2) 2   3 5 x 2  17 x  6 .
6
2
3
2
3
1
2 3
311. (65  x)  4(65  x)  5(4225 x )  0 .
312.
5 x 2  24x  12
2x 2  x  4
. 313.

x 8
x 8
5 x  21x  8  3x  1
2
314.
315.
5x  1  x 1
27  x  27  x
27  x  27  x

27
.
x
 0.
( x 2  9 x  18) x 2  7 x  10
0.
3x 2  x  14
x 1
.
317. 4 3x  4 82  3x  2 .
x 1
318. 4 1  x  4 x  15  2 .
319. 4 8  x  4 89  x  5 .
320. 5 ( x  2)( x  32)  5 ( x  1)(x  33)  1 .
316.
x 2  1  ( x  5) 
8
1
2
1
321. ( x 3  x 2 ) 3  ( x 3  1) 3  3 16 .
322. ( x 2, 4  x 2 ) 0, 2  ( x 0, 4  1) 0, 2  5 64 .
323.
x 2  3x  4  x 3  12x 2  11x  2  0 .
324. 4 x 2  9 x  6  10x 2  11x  7  3x 2  5x  3  9 x 2  7 x  4 .
3
x
.
2 x x
Укажите, какому промежутку принадлежит корень уравнения:
326. 4 x 2  5  4 4 x . а) (-2; 0) б) (0; 2) в) (2; 4) г) (4; 8).
325. x  x  x  x 
327. x 2  6 x  x  4  x  4  5 . а) (-2; 0) б) (0; 2) в) (2; 4) г) (4; 8).
328.
x  16  x  4  0 . а) (-2; 3) б) (3; 8) в) (8; 13) г) (13; 18).
225
3  2 x  6  x . а) (-12; -8) б) (-8; -4) в) (-4; 0) г) (0; 4).
Укажите целое число, ближайшее к корню уравнения:
330. x 2  5 x  2  x  6  2  x . а) -3 б) -2 в) 1 г) 2
331. 12x 2  5 x  2  0  0,2  x .
а) -3 б) -2 в) -1 г) 0
329.
а) -7 б) 7 в) 19 г) 20.
332. ( x  7,1)  x  19,6  0 .
333. 17,2  x  x  17,2 .
а) -17 б) 17 в) -18 г) 18.
334. Укажите число корней уравнения x  x  6  x 2  25  0 .
335. Найдите среднее арифметическое корней уравнения
3
x 2  4x  6  3 .
Укажите число корней уравнения:
2
2
336. x  x  6  4 .
337. ( x  x  6)  x  2 .
338.
 x  x  6  x  2.
2
2
339.
1
3
x  17  2006x .
1
340. x  x  2006.
341. x 3  ( x  2006) 2 .
Найдите произведение корней уравнения:
342. 3 ( x 2  2) 3  3x .
343. (2 x  3)  3 2 x 2  5 x  2  0 .
345. 10  6 x  3  3 x  3  0 .
1
5
346. 4  9  4 x  2 x  0 .
347. 4 ( x  1) 4  x  .
3
3
Найдите среднее арифметическое корней уравнения:
344.
2x 2  2  5  x 2 .
348.
x2 1
x

 1,5 .
2
x
x 1
349. 3 ( x 2  x  6) 3  x  2 .
350. x 2  3x  11  5  x 2  3x .
351. Найдите наименьший корень уравнения:
x 2  3  1,5  ( x  4)  2 x 2  3x  2
352. Найдите разность между наибольшим и наименьшим корнями уравнения 13  x 2  7  x 2 .
Решите уравнение. В ответе укажите целое число, ближайшее к корню уравнения:
353.
226
x3  7x  4  x  2 .
354.
4x  2  x  0 .
2.7. Логарифмические уравнения
2.7.1. Простейшее логарифмическое уравнение и его
решение
Определение 2.8. Простейшим логарифмическим уравнением
называется уравнение вида
log a x  k , где a  0 , a  1 .
Уравнение имеет смысл при выполнении условия x  0 , то
есть ОДЗ неизвестного простейшего уравнения – x  (0; ) .
При любом действительном значении k простейшее логарифмическое уравнение имеет единственное решение:
x  ak .
Например: простейшее логарифмическое уравнение log2 x  3
имеет единственное решение x  2 3  8 .
Замечание. Иногда к простейшему логарифмическому уравнению относят также уравнение вида log x a  k , a  0 .
ОДЗ этого уравнения определяется неравенствами x  0 ,
x  1 и в этой области уравнение равносильно уравнению
x k  a .▼
К уравнениям простейшего типа относятся также следующие уравнения:
1) Логарифмическое уравнение вида
log a f ( x)  k , a  0 , a  1 ,
равносильно уравнению f ( x)  a k .
2) Логарифмическое уравнение вида
log a f ( x)  log a  ( x) , a  0 , a  1 ,
227
равносильно одной из систем
 f ( x)   ( x),
 f ( x)   ( x),
или 

 f ( x)  0,
 ( x)  0.
Выбор системы определяется только тем, какое из неравенств f ( x)  0 или  ( x )  0 решается проще, при этом
найденные корни удовлетворяют ОДЗ исходного уравнения,
 f ( x)  0,
 ( x)  0.
задаваемой системой неравенств: 
3) Логарифмическое уравнение вида
log f ( x ) a  log ( x ) a , a  0
равносильно одной из систем
 f ( x)   ( x),

 ( x)  0,
 ( x)  1,

или
 f ( x)   ( x),

 f ( x)  0,
 f ( x)  1.

Выбор системы также определяется простотой решения
каждого из неравенств f ( x)  0 и  ( x )  0 .
2.7.2. Методы решения логарифмических уравнений
. Метод потенцирования.
Основная идея метода заключается в сведении логарифмического уравнения к уравнению простейшего типа.
Для преобразования используются различные логарифмические формулы (см. Книгу 3 Полного курса). При этом может
измениться ОДЗ уравнения, поэтому возможно, как появление
посторонних решений, так и потеря решений.
2.120. Решить уравнение log6 x  log6 5  log6 4 .
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Уравнение имеет смысл при выполнении условия
x  0 , то есть ОДЗ уравнения x  (0, ) .
228
Применяя формулу суммы логарифмов, получаем простейшее логарифмическое уравнение:
log6 x  log6 (5  4)  log6 x  log6 20 , откуда находим x  20 .
О т в е т: 20.
2.121. Решить уравнение log7 x  log7 6  log7 18 .
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Уравнение имеет смысл при выполнении условия
x  0 , то есть ОДЗ уравнения x  (0, ) .
Применяя формулу разности логарифмов, получаем простейшее логарифмическое уравнение:
log7 x  log7 6  log7 18  log7 x  log7 18  log7 6 
 18 
log7 x  log7    log7 x  log7 3 , откуда находим x  3 .
6
О т в е т: 3.
2.122. Решить уравнение log2 (15x  10)  log2 5  log2 13 .
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Уравнение имеет смысл при выполнении условия
2
2
15x  10  0 , откуда x  , то есть ОДЗ уравнения: x   ,  .
3
3

Применяя формулу суммы логарифмов, получаем уравнение простейшего типа:
log2 (15x  10)  log2 5  log2 13  log2 (15x  10)  log2 13  log2 5
 log2 (15x  10)  log2 (13  5)  log2 (15x  10)  log2 65 .
Полученное уравнение равносильно линейному уравнению
15x  10  65  15x  75 , откуда находим x  5 .
О т в е т: 5.
2.123. Решить уравнение lg( x 2  125)  lg( x  6)  2 (1)
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. ОДЗ уравнения определения системой неравенств:
229
 x 2  125  0


 x  6  0,
( x  5 5 )( x  5 5 )  0

 x  6,
откуда получаем x  (5 5;) .
Применяя формулу разности логарифмов, получим уравx 2  125
нение простейшего типа lg
 2 . (2)
x6
Потенцируя, получаем уравнение
x 2  125
 100  x 2  100x  475  0 , откуда находим два
x6
корня x1 = 5, x2 = 95.
Первый корень является посторонним, так как не удовлетворяет ОДЗ уравнения.
О т в е т: 95.
Замечание. При переходе от уравнения (1) к уравнению (2)
происходит расширение ОДЗ уравнения.
x 2  125
Действительно, решая неравенство
 0 , получаx6
ем x  (5 5;6)  (5 5;) .
В результате такого расширения ОДЗ уравнение (2) оказывается неравносильным уравнению (1) и корень x  5 является посторонним для уравнения (1). Уравнение (1) равносильно смешанной системе:
 x 2  125
 2,
lg
x6

 x  (5 5;).

▼

  
2
log5 4
2.124. Решить уравнение log3 log 2 x 2  1  5
.
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. ОДЗ уравнения определяется системой нера-
x  0
венств: 
2
log 2 x  1
230
, откуда получаем x  0 , x   2 .
Так как
 5
log5 4

 1
  5 2 
 
2 log5 2
 2 , то уравнение можно пе-

2
реписать так: log3 log2 x 2  1  2 .


2
Потенцируя, получаем log 2 x 2  1  9 .
Последнее уравнение равносильно совокупности двух
уравнений log 2 x 2  1  3 .
Решая уравнение log 2 x 2  1  3 , последовательно получаем log2 x 2  4  x 2  16 , откуда x  4 .
Решая уравнение log 2 x 2  1  3 , последовательно полу1
1
чаем: log 2 x 2  2  x 2  , откуда x   .
4
2
1 1
О т в е т: -4;  ; ; 4. .
2 2
x2
2.125. Решить уравнение log100
 log10 ( x  13)  1 .
9
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. ОДЗ уравнения определяется системой неравенств:
 x  13  0
 2
, откуда получаем x  (13;0)  (0; ) .
x

0

9
2
x2
1
x
x
 x
 log102    2   log10  log10 , то
9
2
3
3
3
x
уравнение можно переписать так: log10  log10 ( x  13)  1
3
x

 log10   ( x  13)   1 .
3

x
Потенцируя, получаем:
 ( x  13)  10  x  ( x  13)  30 .
3
Так как log100
231
1) Если x  (13;0) , то x   x и уравнение принимает вид:
( x)  ( x  13)  30 .
Таким образом, приходим к смешанной системе:
x 2  13x  30  0 ,
( x)  ( x  13)  30 ,

x  (13;0) ,
x  (13;0) .
Решая уравнение, получаем два корня x1  10 , x2  3 .
2) Если x  (0; ) , то x  x и уравнение принимает вид:
x  ( x  13)  30 .
Таким образом, приходим к смешанной системе:
x  ( x  13)  30 ,

x  (0; ) ,
x 2  13x  30  0 ,
x  (0; ) .
Решая уравнение, получаем два корня: x1  15 - посторонний корень, x 2  2 .
О т в е т: –10; –3; 2.
2.126. Решить уравнение
3
3
3
log 1 ( x  2) 2  3  log 1 4  x   log4 x  6 .
2
4
4
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш e н и е. ОДЗ уравнения определяется системой неравенств
 x  2  0,

4  x  0, откуда получаем x   6;2   2;4 .
 x  6  0,

1
, и, используя преобразование
4
2
log 1 x  2  2  log 1 x  2 , получим равносильное уравнение:
Переходя к основанию
4
232
4
3 log 1 x  2  3  3 log 1 4  x   3 log 1  x  6  
4
4
4
log 1 x  2  log 1 4  x   log 1 x  6  1 .
4
4
4
Данное уравнение равносильно смешанной системе:

x2
 1,
log 1
 4 (4  x)( x  6)
 x   6;2    2 ;4 .

Потенцируя уравнение системы, получаем:

x2
1
 ,


 4  x x  6 4
 x   6 ;2   2;4,

4  x  2  4  x   x  6,

 x   6 ;2   2;4.
Так как 4  x x  6  0 для всех x   6;2   2 ;4 , то
уравнение системы равносильно совокупности двух уравнений: 4  x  2  4  x   x  6 .
Поэтому система равносильна совокупности двух систем:
 x 2  2 x  32  0,
4  x  2  4  x  x  6,
1) 
 
 x   6 ;2   2;4,
 x   6 ;2    2 ;4 .
Решая уравнение системы, находим два корня:
x1  1  33 , x2  1  33 .
Второй корень является посторонним для исходного уравнения.
 x 2  6 x  16  0,
4  x  2  4  x  x  6,
2) 
 
 x   6 ;2   2;4,
 x   6 ;2    2 ;4.
Решая уравнение системы, находим два корня:
x1  2 , x2  8 .
Второй корень является посторонним для исходного
уравнения.
Итак, уравнение имеет два корня: x  1  33 и x  2 .
О т в е т: 1 33 , 2.
233
Замечание. Заметим, что преобразование вида
2
log 1 x  2  2 log 1 x  2 суживает ОДЗ уравнения до про4
4
межутка  2 ; 4 и приводит к потере корня x  1  33 .▼
Из рассмотренных примеров можно заключить, что решение логарифмических уравнений нужно проводить осторожно
и осознанно, не обходить вниманием ни один переход, при котором возможно изменение ОДЗ уравнения и как следствие
потеря корней или приобретение посторонних корней.
Преобразования, допускающие потерю корней, лучше не использовать, особенно в тех случаях, когда потерянные корни
восстановить не представляется возможным.
II. Метод введения вспомогательного неизвестного (метод
замены).
Идея метода состоит в замене выражения, содержащего
неизвестное, новым неизвестным, относительно которого
уравнение упрощается. Выбор нового вспомогательного неизвестного определяется видом и особенностями решаемого
уравнения.
Так, например, уравнение вида f (loga x)  0 при помощи
замены log a x  t сводится к уравнению f (t )  0 , а затем к совокупности простейших логарифмических уравнений.
2.127. Решить уравнение log2 x  3 log2 x  2  0 .
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. ОДЗ уравнения определяется системой неравенств:
x  0
откуда получаем x  1;   .

log 2 x  0,
Произведем замену, полагая
log2 x  t , где t  0 .
После замены уравнение принимает вид t 2  3t  2  0, откуда получаем два корня t1  1 , t 2  2 .
Учитывая замену, получаем два уравнения:
234
а) log2 x  1  log2 x  1, откуда потенцируя, находим первый
корень x1  2 .
б) log2 x  2  log2 x  4, откуда потенцируя, находим второй корень x2  16 .
О т в е т: 2; 16.


2.128. Решить уравнение log2 log32 x  2 log3 x  24  5 .
------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Потенцируя, получаем log32 x  2 log3 x  24  32
 log32 x  2 log3 x  8  0 .
Произведем замену, полагая log3 x  t .
После замены уравнение принимает вид: t 2  2t  8  0 ,
откуда получаем два корня t1  2 , t 2  4 .
Учитывая замену, получаем два простейших логарифмических уравнения:
1
а) log3 x  2, откуда потенцируя, получаем x1  .
9
б) log3 x  4, откуда потенцируя, получаем x2  81 .
О т в е т:
1
; 81.
9
III. Применение тождества logb a  log a b  1 .
Тождество применяется в тех случаях, когда в процессе
преобразований уравнения основание логарифма и выражение,
стоящее под знаком логарифма, нужно поменять местами.
2.129. Решить уравнение 2  log5 ( x  3)  2  log x 3 5  3 .
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. ОДЗ уравнения определяется системой неравенств:
x  3  0
, откуда получаем x  (3;2)  (2; ) .

x  3  1
235
Используя свойства логарифмов, перепишем уравнение так:
1
2  log5 ( x  3)  2  log x 3 5  3  2  log 5 ( x  3)  2  log x  3 5 2  3
1
 2  log 5 ( x  3)  2  log x  3 5  3  2  log 5 ( x  3)  log x 3 5  3 .
2
1
Применив тождество log x 3 5 
, приходим к уравlog5 ( x  3)
1
нению 2  log5 ( x  3) 
3  0 .
log5 ( x  3)
Произведем замену, полагая log 5 ( x  3)  t .
1
После замены уравнение принимает вид 2  t   3  0 .
t
После элементарных преобразований приходим к квадратному уравнению 2t 2  3t  1  0 , откуда получаем два корня
1
t1  , t 2  1 .
2
Учитывая замену, получаем два логарифмических уравнения простейшего типа:
1
а) log 5 ( x  3)  .
2
Потенцируя, получаем уравнение x  3  5, откуда находим первый корень x1  5  3 .
б) log 5 ( x  3)  1 .
Потенцируя, получаем уравнение: x  3  5 , откуда находим второй корень x2  2 .
О т в е т: 5  3 ; 2.
8
 3  log2 (0,5  x  3 x ) .
log x 2
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Так как число х – основание логарифма, то ОДЗ
уравнения определяется системой неравенств:
2.130. Решить уравнение 105 
236
x0
x  1 , откуда находим x  (0;1)  (1;) .
Учитывая, что при всех допустимых х имеет место тожде8
ство
 8  log2 x и, используя свойства логарифмов, упроlog x 2
стим вид уравнения:
1
105  8  log2 x  3  log2 (0,5  x  x 3 ) 
4
1
105  8  log2 x  3  log2 (  x 3 )
2

4
105  8  log2 x  3  (log2 2 1  log2 x 3 ) 
4
105  8  log2 x  3  (1   log2 x) 
3
105  8  log2 x  4  log2 x  3 .
Произведем замену, полагая log2 x  t .
После замены уравнение принимает вид:
105  8  t  4  t  3 .
Данное уравнение равносильно смешанной системе:
105  8  t  (4  t  3) 2 ,
4 t  3  0,

105  8  t  (4  t  3) 2 ,
3
t .
4
Решим уравнение системы.
Имеем: 105  8  t  16  t 2  24t  9  16t 2  16t  96  0
 t 2  t  6  0, откуда находим два корня t1  3 и t 2  2 .
Второй корень является посторонним, так как при t  2
не удовлетворяется неравенство системы.
Учитывая замену, получаем простейшее логарифмическое
уравнение log2 x  3 , откуда, потенцируя, находим единственный корень исходного уравнения x  2 3  8 .
О т в е т: 8.
237
2.131. Решить уравнение
log x 5 5  log 5 5 5  log 5 x   6 .
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Так как число х – основание логарифма, то ОДЗ
уравнения определяется системой неравенств:
x0
x  1 , откуда находим x  (0;1)  (1;) .
Заметим, что, так как корень арифметический, то данное
равенство возможно лишь при условии log 5 x  0 , то есть
при x  1 . Откуда заключаем, что корни уравнения принадлежат промежутку x  (0;1) .
Возводя обе части уравнения в квадрат, приходим к равносильной смешанной системе:
2
 log x 5 5  log 5 5 5  log 5 x  6,

 x  0 ,1.
Решим уравнение системы.
1
Учитывая, что log x 5 
, получаем
log 5 x


log ( 5)  log ( 5)  log x  6 
3  log 5  3  log 5  log x  6   log3 x  3  log x  6 .
3
x
3
2
5
5
2
x
5
2
5
5

Произведем замену, полагая log 5 x  t .

5
3
После замены уравнение принимает вид:   3   t 2  6 .
t

После элементарных преобразований приходим к квадратному уравнению 3t 2  3t  6  0, откуда получаем два корня
t1  2 , t 2  1 .
Учитывая замену, получаем два простейших логарифмических уравнения:
238
1
.
5
2) log 5 x  1, откуда, потенцируя, получаем x  5 .
1) log 5 x  2, откуда, потенцируя, получаем x 
Второй корень является посторонним, так как не удовлетворяет условию x  (0;1) .
1
Ответ: .
5
V. Применение модуля перехода к новому основанию.
Если в уравнении содержатся логарифмы с разными основаниями, то прежде всего необходимо свести все логарифмы к
одному основанию. Для этого используется формула перехода
к новому основанию, называемая модулем перехода:
log a N 
logb N
, где N  0 , a  0 , b  0 , a  1 , b  1 .
logb a
2.132. Решить уравнение
2 log 1 4  x 
1
4

1.
log6 x  3 log 2 3  x 
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. ОДЗ уравнения определяется системой неравенств:
3  x  0,

3  x  1, откуда получаем x   3;  2   2; 4 .
4  x  0,

Используя модуль перехода, перейдём к логарифмам по
основанию 2. Получим равносильное уравнение
log 2 6
log (4  x)
log 2 6  log 2 (4  x)
 2
1 
1.
log 2 (3  x) log 2 (3  x)
log 2 (3  x)
На ОДЗ исходного уравнения последнее уравнение равносильно уравнению:
239
log2 6  log2 (4  x)  log2 (3  x)  log2 (4  x)  log2 (3  x)  log2 6
 log2 ((4  x)(3  x))  log2 6 .
Полученное логарифмическое уравнение простейшего типа равносильно уравнению (4  x)(3  x)  6  x 2  x  6  0,
имеющего два корня x1  3 , x2  2 .
Второй корень является посторонним, так как не удовлетворяет ОДЗ исходного уравнения.
О т в е т: 3.
2.133. Решить уравнение log x x 2  log2 x x 3  0 .
2
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. ОДЗ уравнения определяется системой нера x  0,
венств: 

1
x2, x ,

2

1
1
откуда получаем x   0 ;    ; 2   2 ;   .
 2 2 
Используя модуль перехода, перейдём к логарифмам по
основанию 2. Получим равносильное уравнение
2 log 2 x
3 log 2 x
log2 x 2 log2 x 3

 0.

0 
x log2 2 x
log 2 x  1 1  log 2 x
log2
2
Произведем замену, полагая log2 x  t .
2t
3t
После замены уравнение принимает вид:

 0.
t 1 1 t
После элементарных преобразований приходим к дробному уравнению
5t 2  t
 0.
(t  1)(t  1)
Полученное уравнение равносильно квадратному уравне1
нию 5t 2  t  0, имеющему два корня t1  0 и t 2  .
5
240
Учитывая замену, получаем два простейших логарифмических уравнения:
1) log2 x  0, откуда, потенцируя, получаем x1  1;
1
2) log 2 x  , откуда, потенцируя, получаем x2  5 2 .
5
О т в е т: 1; 5 2 .
Замечание. В рассмотренном примере представляется целесообразным переход к логарифмам по основанию x, так как в
результате такого перехода уравнение упрощается и принимает
2
3
вид:

 0 . Однако при таком переходе ОДЗ
1  log x 2 1  log x 2
уравнения сужается, так как x  1 . В результате происходит
потеря корня уравнения. В этом состоит основной недостаток
перехода к основанию, содержащему неизвестное, и по возможности его следует избегать. ▼
2.134. Решить уравнение log x x 2  14  log16 x x 3  40  log 4 x x  0 .
2
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. ОДЗ уравнения определяется системой не x  0 , x  2,
равенств 
1
1

 x  16 , x  4 ,
 1   1 1 1 
откуда получаем x   0 ;    ;    ; 2  .
 16   16 4   4 
Так как по ОДЗ x  0, то log x x 2  2 log x x, и уравнение
2
2
можно переписать так: 2  log x x  42  log16 x x  20  log4 x x  0 .
2
Используя модуль перехода, перейдём к логарифмам по
основанию 2.
Получим:
2 log2 x 42 log2 x 20 log2 x


0 
x log2 16x log2 4 x
log2
2
241
2 log2 x
42 log2 x 20 log2 x


 0.
log2 x  1 4  log2 x 2  log2 x
Произведем замену, полагая log2 x  t .
После замены уравнение принимает вид:
2t
42t
20t
2
42
20 


 0  t  


  0.
t 1 t  4 t  2
 t 1 t  4 t  2 
Полученное уравнение равносильно двум уравнениям:
1) t = 0.
Учитывая замену, получаем простейшее логарифмическое
уравнение log2 x  0, имеющее корень x1 = 1.
2
42
20
2)


 0.
t 1 t  4 t  2
После элементарных преобразований приходим к дробно2t 2  3t  2
му уравнению
 0.
(t  1)(t  4)(t  2)
Полученное уравнение равносильно квадратному уравне1
нию 2t 2  3t  2  0, имеющему два корня t1   , t 2  2 .
2
Учитывая замену, получаем два простейших уравнения:
1
2
1) log 2 x   . Потенцируя, находим второй корень x 2 
.
2
2
2) log2 x  2 .
Потенцируя, находим третий корень x 3  4 .
О т в е т: 1;
2
; 4.
2
V. Метод оценок.
Иногда логарифмическое уравнение удаётся решить, используя свойства входящих в него функций или на основе этих
свойств доказать, что уравнение корней не имеет. Чаще всего
используются свойства области определения, свойства непрерывности, монотонности, ограниченности функций и др.
242
x
2.135. Решить уравнение log3 ( x 2  4 x  13)  cos(x)  sin  .
 4
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Так как логарифмическая функция определена на
множестве положительных чисел, то x 2  4 x  13  0 .
Поскольку x 2  4 x  13  x 2  4 x  4  9  ( x  2) 2  9  0 при
любых х, уравнение имеет смысл при всех x  R .
Перепишем уравнение так:
 x 
log3 (( x  2) 2  9)  cos(x)  sin  .
 4
Логарифмическая функция с основанием 3 монотонно возрастает, следовательно, выполняется следующее неравенство
log3 ((x  2) 2  9)  log3 9  log3 ((x  2) 2  9)  2 , так как
( x  2) 2  0 при любых х.
Таким образом, левая часть уравнения больше или равна 2
при любых значениях х.
Оценим возможные значения правой части уравнения.
Тригонометрические функции, стоящие в правой части
уравнения ограничены, а именно, при любых значениях х вы x 
полняются неравенства:  1  cos(x)  1 и  1  sin   1 .
 4
Умножив второе неравенство на число (–1), получим нера x 
 x 
венство: 1   sin   1   1   sin   1 .
 4
4
Складывая полученное неравенство с первым неравенством, получаем оценку правой части уравнения:
 x 
 2  cos(x)  sin   2 .
 4
Откуда заключаем, что равенство возможно только в том
случае, если левая и правая части равенства равны 2.
Левая часть равна 2 только при х = –2, когда ( x  2) 2  0 .
Подставляя х = –2 в правую часть уравнения, получаем:
243

  (2) 
 
cos(2 )  sin
  cos 2  sin    cos 2  sin  2 .
2
 4 
 2
Откуда заключаем, что х = –2 - единственный корень уравнения.
О т в е т: –2.
2.136. Решить уравнение
x
8x 

2  log2 (sin )  3  sin   log4
  3.
2
33 

-------------------------------------------------------------------------------x
Р е ш е н и е. Уравнение имеет смысл, если x  0 и sin  0 .
2
Все х, удовлетворяющие этим неравенствам, образуют область допустимых значений х. Перепишем уравнение так:
x
8x 

2  log2 (sin )  3  3  sin   log22
 
2
33 

x
8x 

2  log2 (sin )  3  (1  sin  log2
) .
2
33 
2
x
Так как sin  1 при любых х, то при всех допустимых
2
x
значениях х имеет место следующая оценка: log2 (sin )  0 .
2
С другой стороны, при всех х > 0 имеем:
8x 

8x 

sin  log2
  1, поэтому 1  sin  log2
  0.
33 
33 
2
2
Откуда заключаем, что равенство возможно только в том
случае, если левая и правая части равенства равны 0.
Поэтому уравнение равносильно системе уравнений:
x
log2 (sin )  0 ,
2
8x 

1  sin  log2
  0 . Потенцируя, получаем
33 
2
244
x
 1,
2
8x 

sin  log2
  1 .
33 
2
sin
Решив простейшие уравнения с синусом, получим
x 
  2n , n  Z ,
x    4n , n  Z ,
2 2


8x
3
8x
 log 2

 2k , k  Z ,
log 2
 3  4k , k  Z .
2
33
2
33
Потенцируя, получаем
x    4n , n  Z ,
8x
 2 3 4 k , k  Z ,
33

x    4n , n  Z ,
8x
 8  2 4k , k  Z ,
33

x    4n , n  Z ,
x  33  2 4 k , k  Z .
x
 0 выполняется.
2
Так как x  0 , то допустимыми значениями целочисленного параметра n, являются только n = 0, 1, 2, … .
Кроме того, система имеет решения для всех целых n и k,
для которых выполняется равенство   4n = 33  2 4 k 
1 4n = 33 2 4 k .
Число 1 4n - нечетное число при всех n = 0, 1, 2, … .
Число 2 4 k - четное число при всех k = 1, 2, 3, … и является
правильной дробью при всех k  1, –2, –3, … .
Откуда заключаем, что равенство возможно только при
k  0 и n  8 . Таким образом, уравнение имеет единственный
корень x  33 .
Заметим, что условие sin
О т в е т: 33 .
245
VI. Графический метод.
Некоторые логарифмические уравнения удается решить с
помощью графиков левой и правой частей уравнения, определив абсциссы точек их пересечения.
2.137. Решить уравнение log3 (5  x)  x  1 .
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е.
Строим графики функций y  log3 (5  x) и y  x  1 .
График y  log3 (5  x) строим в следующей последовательности:
а) зная график y  log3 x , строим график y  log3 ( x  5) при помощи параллельного переноса вдоль оси Ох на 5 единиц влево;
б) график y  log3 ( x  5) построим, симметрично отобразив
график y  log3 ( x  5) относительно оси Оу.
График y  x  1 построим при помощи параллельного
переноса графика y 
x вдоль оси Ох на 1 влево.
у
y  x 1
y  log3 (5  x)
●
1
•
–2
•
–1
0
•
1
•
2
•
3
•
4
•
5
x
Абсцисса точки пересечения графиков x  2 является единственным корнем уравнения, так как других точек пересечения
у графиков нет (функция y  log3 (5  x) монотонно убывает, а
246
функция y  x  1 монотонно возрастает в своей области определения).
Замечание. Следует отметить, что графический метод решения, в общем случае, является приближенным и применяется
либо тогда, когда аналитическим (точным) методом уравнение
решить не удается, либо тогда, когда корни определяются подором и с помощью графиков доказывается, что других корней
уравнение не имеет. ▼
Упражнения.
Решить уравнения:
355. log5 x  log5 6  log5 3 .
356. log5 x  log5 3  log5 12 .
357. log9 (20x  16)  log9 4  log9 18 .
358. log 2 x  log x 2  1 .
359. 2  log4 ( x  3)  log4 ( x  3) .
360. 1  log5 ( x  3)  log5 2 .
361. log4 x  log4 3  log4 15 .
362. lg( x  9)  lg(2 x  1)  2 .
363. ln( x  4)  ln( x  3)  ln 3 .
364. log3 (2 x  1)  log3 (3  x)  1 .
365. log5 (2 x)  log5 36  log5 4 .
366. 4 log3 ( x  5)  log3 16 .
367. log 2 ( x  1) 3  6 log 2 3 .
368. log2 (64x 3 )  6 .
369. log5 (12x  8)  log5 4  log5 23 .
370. log2 (15x  10)  log2 5  log2 13 .
371. log3 ( x 2  12)  0,5 log 1 x 2  0 .
3
2
372. log 1 ( x  1)  log 1 (2 x  2) .
4
3
3
247
373. log2 ( x  6)  0,5 log2 x .
374. log35 x  3 log52 x  
1
.
log x 5
375. log 2 (3  x)  6 x 2005  5 .
376. log 25 (34  33x)  log 43 x 5  1 .
6 
3 

377. 4 log2  2 
  8  3 log2  2 
.
2x  5 
x 1


x
378. lg   lg( x  2) .
3
379. log3 ( x  4)  log3 (13  x)  log3 (1  3x) .
380. lg 5x  4  lg x  1  2  lg 0,18 .
381. log3 (log21 x  3 log 1 x  5)  2 .
2
382. 2 log 2
2
x7
x 1
 log 2
 1.
x 1
x 1
383. lg x 2  55x  90  0,5(lg( x  36)  lg 2) .
384. 2 log3 ( x  2)  log3 ( x  4) 2  0 .
385. log2 x1 ( x 2  4 x  4)  log x2 (2 x 2  3x  2)  4 .
386. 2 log3 ( x 2  3)  log3 (3  x) 2  log3 ( x  1) 2 .


387.
33 
8
 3  log 4 4  3 x 2 .
log x 4
388.
25 
 2

11
 10  lg10 5  (0,1x) 0,1  .
log x 10


389. log4 log5 log2 x 11 ((2 x  11) 5  x 2  x  20)  0 .
390. log2 x1 ( x 2  3x  1)  2 .
391. log12 x (6 x 2  5x  1)  log13 x (4 x 2  4 x  1)  2 .
392. log3 x  8  log3 x  20  0 .
248
3 
1 

393. 4 log6  3 
  3 log6  2 
4.
2x  5 
x  3


394. log x (9 x 2 )  log32 x  4
395. log81 (15  7 x)  log3x 9  1 .
13 
13 

396. 2 log2 1 
  3 log2  2 
  12 .
x  3
 2x  7 

( x  16)( x  19)
397.
 0.
log12 ( x  17)
log2x1 ( x  1)  log52 (2 x  5)
1.
log2x1 ( x  1)  log52 ( x  2)
2x  3
1
1
399. log3


 log3 5 .
1
x  5 log7 3
log2
3
400. log3 ( x  2)  log3 ( x  2)  1  log3 ( x 2  4) .
398.
401. 1  2 log x  2 5  log5 ( x  2) .
402.
1
2  log0,04 x
2

1
3  log5 x

3
.
2
403. log12 x (3  x)  log3 x 2 x 2  7 x  3  2 .
404.  2  log81 (log3 x)  log9 (log9 3x) .
log6 (8  x)
2  4  log12 2
.
1 
log12 ( x  2)
log6 ( x  2)
1
x  2,5
406.  log3 x 5  log3
 3  log 27 ( x  4)  3  log3 3 2 .
5
x 1
log5 7
2
lg(3x  25
)  lg(3x  7) 3
407.
 2  1.
3
3
4  2 1
408. log 4 x 1 3  log9 x 3  0 .
409. log x 3 2  log 4 x  1 .
405.
2
249
410. 2  log 22 x  4 log 2 x  4  3 log 2 x .
411.
4 log 24 x  4 log 4 x  1  1  log 4 x  log 24 x .
412. log 2 (log2 x  4 log 2 x  4)  log 22 (2  log 2 x )  3 .
413. 1  log x 27  log3 x  1  0 .
414.
log x 5x  log5 x  1 .
415. log 2 x log 3 x log5 x  log 2 x log3 x  log 2 x log 5 x  log 3 x log 5 x .
1
 2.
x
417. log x 3 4  2  (log 1 ( x  3)  log 2
416. 3  lg x  2  lg
x 3
2
x  3) .
2
418. log 2 (4  x)  2 log 2 (2 x  1)  4 log 2 3 .
log 5 (2  x)
419. lg 2 ( x  2) 2  3 2 log3 2 
.
log 5 10
1
420. log x  2 ( x  3) 4  8  4 log 3 x (6  x  x 2 ) .
4
2
421.
422.
log3 ( x 2  2 x)
log3 ( x  4 x  4)
2

log5 8
log5 ( x 2  4 x  4)
4  x  x 3  5x 2  4 x
4  x  log52 x 1 ( x 3  5 x 2  4 x  1)
lg x
423.
 lg10  log 2 x  lg x  0 .
log x 2
2 ln 2  ln 5  ln(3x  2)
424.
1.
ln x  ln( x  3)
425. log3 ( x 2  6 x  12)  cos(2х) .
.
 1.
5x
x
 cos .
4
2
2
3
2
2
427. lg (2 x  x  13x  7)  log5 (2 x 2  5x  2)  0 .
Укажите сумму корней уравнения:
426. log 2 ( x 2  4 x  8)  sin
250
1
428. lg x 2  lg( x  4) 2   lg .
9
10
429. log32 x  3 log22 x 
.
log x 2
2
430. 2 log16
x  log16 x  1  0 .
Укажите число корней уравнения:
431. log 4 (7  x) 2  log 4 (5  x) 2  4  log 4 ( x  5) 2 .
432. log3 x 2  log 3 ( x  8)  4 . 433. log2 x 2  log2 ( x  3) 2  2 .
434. log3 (5  x)  x  1 .
x
 2x .
32
2
435. log 1
2.8. Показательные уравнения
2.8.1. Простейшее показательное уравнение и его
решение
Определение 2.9. Простейшим показательным уравнением
называется уравнение вида
a x  c , где a  0 , a  1 .
При решении простейшего показательного уравнения
возможны следующие случаи:
1) если c  0, то простейшее показательное уравнение имеет
единственное решение x  log a c .
2) если c  0, то простейшее уравнение не имеет решений, так
как значение показательной функции не может быть отрицательным или равным нулю.
Например: простейшее показательное уравнение 2 x  3 имеет
единственное решение x  log2 3 ; уравнение 3 x  2 решений
не имеет.
251
К показательным уравнениям простейшего типа относятся также следующие уравнения.
f x
 c равносильно урав1) Показательное уравнение вида a
нению f x   loga c .
f x
 a g  x  равносильно
2) Показательное уравнение вида a
уравнению f x   g x  .
2.8.2. Методы решения показательных уравнений
I. Метод сравнения оснований.
Идея метода сравнения оснований заключается в сведении
показательного уравнения к уравнению простейшего типа.
В процессе преобразований учитываются свойства степеней и действий со степенями.
1
2.138. Решить уравнение 253x  .
5
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Используя свойство степени (a n ) m  a mn , полу3 x
1
чаем 253 x  5 2
 5 2(3 x ) . Так как
 5 1 , то уравнение
5
можно переписать так 5 2 ( 3 x )  5 1 .
Полученное показательное уравнение простейшего типа
равносильно линейному уравнению 2  (3  x)  1  6  2x  1
7
  2x  7 , откуда находим x   3,5 .
2
О т в е т: 3,5.
256
2.139. Решить уравнение 0,252 x  x 3 .
2
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Используя свойства степеней, получаем
2 x
28
2 2
 x 3  2 42 x  2 5 x .
2
Полученное показательное уравнение простейшего типа
равносильно линейному уравнению  4  2x  5  x  3x  9 ,
откуда находим x  3 .
 
 
252
О т в е т: 3.
2.140. Решить уравнение 6 2 x  4  33 x  2 x 8 .
------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Используя свойства степеней, перепишем уравнение так: 2 2 x  4  32 x  4  33 x  2 x 8.
Разделив обе части уравнения на 33 x  2 x 8  0, получим
равносильное уравнение
2 x4
2
1   
x4
3
3
2 2 x4  32 x4
 1  2 x  4  3 4 x  1 
3 3 x  2 x 8
x 4
 1, откуда получаем x  4  0 , x  4 .
О т в е т: 4.
2.141. Решить уравнение 2 3 lg x  5 lg x  1600 .
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. ОДЗ уравнения определяется условием x  0 , то
есть x  0 ,   .
Используя свойства степеней, перепишем уравнение так
2 
 5 lg x  1600  8 lg x  5 lg x  1600  40lg x  40 2 , откуда
получаем простейшее логарифмическое уравнение lg x  2 .
Потенцируя, находим единственный корень x  100.
3 lg x
О т в е т: 100.
2.142. Решить уравнение 3  2 x  4  x 9 .
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Учитывая определение арифметического корня,
находим ОДЗ уравнения: x  2 , x  N .
Используя свойства степеней, перепишем уравнение так:
3 2  4 9
x
1
x
 3  2  4  (3 )
x
2
1
x
2
x
 3 2  2 3 .
x
2
2
Разделив обе части уравнения на 2 2  3 x  0, получим равносильное уравнение:
253
3 2x
2
x
1  2
x2
1
3
2
x
1


 1  23x 




x 2
1.
2 3
Последнее равенство возможно либо при x  2  0, то есть
2
1
1
1
, откуда получа2
1
1
ем уравнение  log 3 , имеющее корень х  1  0 , не
x
2
1
log3
2
удовлетворяющий ОДЗ исходного уравнения.
при x  2, либо при 2  3 x  1, то есть 3 x 
О т в е т: 2.
Замечание. Заметим, что при решении таких уравнений могут
быть разночтения при определении ОДЗ. Часто функции вида
1
y  9 x и y  x 9 считаются тождественными друг другу.
Вместе с тем, следуя точному определению корня, необходимо считать, что функция y  x 9 определена только при
1
натуральных значениях x  2, тогда как функция y  9 x определена при всех действительных значениях x  0 . Поэтому эти
функции нельзя считать тождественными.
1
x
Заметим, что уравнение вида 3  2  4  9 имеет два корня
x
x  2 и x  log 1 3 .▼
2
II. Метод логарифмирования.
Идея метода логарифмирования заключается в упрощении
уравнения посредством перехода от равенства положительных
выражений, стоящих в правой и левой частях уравнения, к равенству их логарифмов и использовании их свойств.
2.143. Решить уравнение 6 2 x  4  33 x  2 x 8 .
--------------------------------------------------------------------------------254
Р е ш е н и е. Обе части уравнения положительны при любых
значениях x.
Логарифмируя равенство при основании 10, и последовательно преобразуя, используя свойства логарифмов, получаем




lg 2 2 x  4  3 2 x  4  lg 33 x  2 x 8  lg 2 2 x  4  lg 3 2 x  4  lg 33 x  lg 2 x 8
 2 x  4lg 2  2 x  4lg 3  3x  lg 3  x  8lg 2 .
Таким образом, получили линейное уравнение, равносильное исходному уравнению.
После элементарных преобразований получаем уравнение
x  lg 2  lg 3  4  lg 2  lg 3, откуда находим единственный корень x  4 .
О т в е т: 4.
Методом логарифмирования решаются также уравнения
сложно-показательного вида:
(a( x)) f ( x )  (a( x)) g ( x ) .
2.144. Решить уравнение x x  ( x ) x .
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. ОДЗ уравнения определяется условием x  0 , то
есть x  0 ,   .
Логарифмируя равенство по основанию 10, получаем
lg x x  lg( x ) x  x  lg x  x  lg x 
1
x

x  lg x  x  lg x  0  lg x   x    0 .
2
2

Последнее уравнение равносильно совокупности двух
уравнений:
1) lg x  0, откуда потенцируя, находим первый корень x1  1.
xx
 0  x  4  x   0, откуда, учитывая, что корень
2
х = 0 является посторонним, находим второй корень x2  4 .
2)
О т в е т: 1; 4.
255
III. Метод вынесения общего множителя за скобки.
Метод применяется в тех случаях, когда левая и правая
части уравнения (или одна из них) представляет собой алгебраическую сумму показательных функций.
Идея метода заключается в сведении уравнения к виду,
удобному для логарифмирования, то есть к виду, содержащему
только произведения (или частные) показательных функций.
2.145. Решить уравнение 2 x 1  2 x 1  20 .
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Используя свойства степеней, перепишем уравнение так:
1
2 x  2 1  2 x  21  20  2 x   2  2 x  20  2 x  4  2 x  40
2
x
 2  (1  4)  40  5  2 x  40  2 x  8  2 x  23 ,
откуда находим корень x  3 .
О т в е т: 3.
2.146. Решить уравнение 3  2 x  2  3 x  2 x 3  3 x  2 .
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Сгруппируем члены, содержащие степени с основанием 3 и с основанием 2 и, используя свойства степеней, перепишем уравнение так:
2  3 x  3 x 2  2 x 3  3  2 x  2  3 x  3 x  3 2  2 x  2 3  3  2 x .
Вынося общие множители за скобки, получим
17
1

3 x   2    2 x  8  3  3 x   2 x  5 .
9
9

Уравнение приняло вид, удобный для логарифмирования.
Логарифмируя по основанию 10, получим равносильное
17
17
уравнение lg 3 x    lg 2 x  5  lg 3 x  lg  lg 2 x  lg 5 
9
9

x  lg 3  lg17  lg 9  x  lg 2  lg 5  x  lg 3  lg 2  lg 5  lg 9  lg17,
lg 5  lg 9  lg17
откуда находим единственный корень x 
.
lg 3  lg 2

256

О т в е т:
lg 5  lg 9  lg17
.
lg 3  lg 2
V. Метод введения вспомогательного неизвестного (метод
замены).
Идея метода состоит в замене выражения, содержащего
неизвестное, новым неизвестным, относительно которого
уравнение упрощается. Выбор нового вспомогательного неизвестного определяется видом и особенностями решаемого равнения.
Так, например, уравнение вида f (a x )  0 при помощи замены a x  t сводится к уравнению f (t )  0 , а затем к совокупности простейших показательных уравнений.



2.147. Решить уравнение 1  3 x  3 x  3  8 .
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Перепишем уравнение так:
1  3   31  3  8.
x

x

Произведем замену, полагая 3 x  t , причем t  0 , так как
значения показательной функции y  3 x положительны при
всех действительных x.
После замены уравнение принимает вид
1  t    1  3  8.
t

Раскрыв скобки и преобразуя, получаем:
1
1
1
1
 3  t   3t  8   3  1  3t  8   3t  4  0 
t
t
t
t
2
3t  4t  1
 0.
t
Полученное уравнение при t  0 равносильно квадратному
1
уравнению 3t 2  4t  1  0, откуда находим два корня t1  ,
3
.
t2  1
257
Учитывая замену, получаем два простейших показательных уравнения:
1
1) 3 x   3 x  3 1 , откуда находим первый корень x1  1 ;
3
2) 3 x  1, откуда находим второй корень x2  0 .
О т в е т: –1; 0.
2.148. Решить уравнение 2 2 x2 x 2  5  2 x x 2 1  6.
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. ОДЗ уравнения определяется из условия
x 2  2  0 , откуда получаем x  (; 2 ] [ 2;) .
Используя свойства степеней, перепишем уравнение так:
2 x  x 2 2 
2 x  x 2  2 
2
2
5


2 
 5  2 x x 2  2 1  6  2 
  2 x x 2  6  0 .
2
2
2
Произведем замену, полагая 2 x  x  2  t , где t  0 .
5
После замены уравнение принимает вид t 2   t  6  0,
2
2
3
, t2  4 .
2
Первый корень не удовлетворяет условию t  0 .
Учитывая замену, получаем показательное уравнение простейшего типа
откуда находим два корня t1  
2 x  x 2  4  2 x  x 2  2 2 , откуда получаем иррацио2
2
нальное уравнение x  x 2  2  2  x 2  2  2  x .
Последнее уравнение равносильно смешанной системе:
2
 x  2  2  x 2 ,
2
2


x  2  4  4x  x ,


2

x

0
,



x



,

2

2
,
2
,


x    ,  2  2 ,   ,
2 x  3,

x    ,  2  2 , 2 ,
258

 

 



 

откуда находим единственный корень уравнения x 
О т в е т:
3
.
2
3
.
2




2.149. Решить уравнение 2 x 2 x  1  2  x 2  x  1  8.
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Перепишем уравнение так:
2 x  2 x  1 
1  1


 1  8.
x  x
2 2

Произведем замену, полагая 2 х  t , где t  0 .
После замены уравнение принимает вид:
1 1
1 1 
t  t  1     1  8  t 2  t  2   8  0 .
t
t
t t 
2
1
 1
Заметим, что  t    t 2  2  2 и перепишем уравнение
t
 t
2
1
 1
 1  1
так: t 2  2  2  2   t    8  0   t     t    6  0.
t
 t  t
 t
1
Произведем замену, полагая t   z.
t
После замены уравнение принимает вид z 2  z  6  0,
откуда находим два корня z1  3 , z 2  2 .
Учитывая вторую замену, получаем два уравнения:
1
1) t   3 .
t
После элементарных преобразований приходим к квадрат 3  13
ному уравнению t 2  3t  1  0, откуда находим t 
2
 3  13
(корень t 
не удовлетворяет условию t  0 ).
2
1
2) t   2, откуда, решая аналогично, находим t  1 2 .
t
259
Учитывая первую замену, получаем два простейших показательных уравнения:
 3  13
1) 2 x 
, откуда находим первый корень уравнения
2
13  3
.
x1  log2
2
2) 2 x  1  2 , откуда находим второй корень уравнения


x2  log2 1  2 .
13  3
; log2 (1  2 ) .
2
x
x
2.150. Решить уравнение  5  2 6    5  2 6   10 .

 

О т в е т: log 2
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Так как
5  2 6  5  2 6  (5  24 )  (5  24 )  25  24  1 , то
1
и уравнение можно переписать так:
52 6 
52 6
x
1
 5  2 6  
 10.
x


 5  2 6 


x
Произведем замену, полагая  5  2 6   t , где t  0 .


После замены уравнение принимает вид:
1
t 2  10t  1
t   10 
0.
t
t
Полученное уравнение при t  0 равносильно квадратному
уравнению t 2  10t  1  0, откуда находим два корня t1  5  24 ,
t2  5  24 .
Учитывая замену, получаем два простейших показательных уравнения:
260
x
1)  5  24   5  24, откуда находим корень x1  2 ;


x
2
x
2)  5  24   5  24   5  24    5  24  ,






откуда находим корень x2  2 .
О т в е т: –2; 2.
V. Применение формул сокращенного умножения.
Иногда в процессе преобразований уравнения с целью
приведения к простейшему уравнению удается эффективно
применять известные формулы сокращенного умножения.
1 

.
2 x1 

--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Используя свойства степеней, перепишем уравнение так:
3
3
2 3 x  2 31 x   6  2 x  21 x   1  2 x   21 x   3  2  2 x  21 x   1.
Заметим, что 2 x  21x  2 . Тогда уравнение можно переписать так:
2.151. Решить уравнение 23 x  233 x  1  6   2 x 
2   2   3  2  2
x 3
1 x 3
x
1 x
 2 x  21 x   1 .
Учитывая формулу куба разности двух чисел
(a  b) 3  a 3  b 3  3ab(a  b) ,
уравнение можно переписать так:
(2 x  21 x ) 3  1

2 x  21x  1 
2x 
2
 1.
2x
Произведем замену, полагая 2 х  t , где t  0 .
После замены уравнение принимает вид:
2
t2  t  2
t  1 
 0.
t
t
Полученное уравнение при t  0 равносильно квадратному
261
уравнению t 2  t  2  0 , откуда находим два корня t1  1 , t2  2 .
Первый корень не удовлетворяет условию t  0 .
Учитывая замену, получаем простейшее уравнение 2 x  2,
откуда находим единственный корень x  1.
О т в е т: 1.
V. Метод разложения на множители.
Если левую часть уравнения f ( x)  0 удаётся разложить на
множители f ( x)  f 1 ( x)  f 2 ( x)  ...  f k ( x) и уравнение представить
в виде f 1 ( x)  f 2 ( x)  ...  f k ( x)  0 , то на ОДЗ исходного уравнения задача сводится к решению совокупности уравнений
 f 1 ( x)  0,
 f ( x)  0,
 2
...

 f k ( x)  0,
как правило, более простого вида.
Действительно, произведение нескольких сомножителей
равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю, а остальные
сомножители при этом не теряют смысла. Именно это обстоятельство обозначает фраза «на ОДЗ исходного уравнения», не
учёт которого приводит к включению в ответ посторонних решений.
Например, уравнение (2 x  4)  (2 x 1  1)  0 равносильно совокупности уравнений
2 x  4  0,
2 x  4,
 x  2,
 
 

2 x 1  1  0,
2 x 1  1,
 x  1  0,
только при условии x 1 0 , то есть при x  1 .
Поэтому корень первого уравнения совокупности x  2
является посторонним и должен быть отброшен, а уравнение
имеет два корня x  1 и x  2 .
Это обстоятельство следует учитывать сразу при переходе
262
к равносильной совокупности уравнений и писать, что уравнение равносильно совокупности вида
2 x  4  0,

 x  1  0,
 x 1
 1.
2
2.152. Решить уравнение 4 x  3 4 2 x  6 2 x  4  0 .
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Используя свойства степеней, перепишем уравнение так:
2 2 x  3 22 x   2 2 x  3 2 x  4  0  2 x   3 2 x   4  2 2 x  3 2 x  0.
Разложим левую часть уравнения на множители, воспользовавшись формулой разности квадратов и вынося общий
множитель за скобку:
2 x  3 2 x  2 x  3 2 x  2 2 x  2 x  3 2 x  0 
2




2  3  2  3  2   0.
x
2 x
x
2 x
2

2 x
Полученное уравнение равносильно совокупности двух
2 x  3 2  x  0,
уравнений: 
x
2 x
2 x
2  3  2  0.
Решим последовательно уравнения совокупности.
1) 2 x  3 2 x  0  2 x  3 2  x .
Логарифмируя по основанию 10 и преобразуя, получаем
линейное уравнение:
x  lg 2  2  x   lg 3  x  lg 2  2 lg 3  x lg 3  x  lg 2  lg 3  2 lg 3,
2 lg 3
откуда находим корень x1 
.
lg 2  lg 3
2) 2 x  3 2 x  2 2 x  0 .
Это уравнение решений не имеет, так как левая часть
уравнения представляет собой выражение, которое при любом
значении х является числом положительным.
О т в е т:
2 lg 3
.
lg 2  lg 3
263
2.153. Решить уравнение 2 3 x  2 x  3 2 x  2  33 x  0.
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Перепишем уравнение так:
     3  2  3   0 .
2 3 x  33 x  2 x  3 2 x  33 x  0  2 x  3 x
Используя формулу разности кубов
3
3
2x
x
x
a 3  b 3  (a  b)  (a 2  ab  b 2 )
и вынося общий множитель за скобку, получим
2  3  2  2  3  3   3  2  3   0
2  3  2  2  3  2  3   0.
x
x
2x
x
x
x
x
2x
x
x
2x
2x
x
x

2x
Последнее уравнение равносильно совокупности двух
уравнений:
2 x  3 x  0,
 2x
x
x
2x
2  2  3  2  3  0.
Решим последовательно уравнения совокупности.
x
1) 2  3  0
x
x

2 3
x
x

2
   1, откуда находим
3
корень x = 0.
2) 2 2 x  2 x  3 x  2  3 2 x  0.
Это уравнение решений не имеет, так как левая часть
уравнения представляет собой выражение, которое при любом
значении x является числом положительным.
О т в е т: 0.
VII. Показательные уравнения, сводящиеся к однородным.
1. Решение уравнений вида
A  a 2 f ( x)  B  a f ( x)  b f ( x)  c  b2 f ( x)  0 ,
где A, B, C - коэффициенты уравнения (заданные числа); a  0 ,
b  0 ; f x  - некоторая функция.
264
Решение уравнения сводится к решению однородного
уравнения 2-й степени вида: A  p 2 ( x)  B  p( x)r ( x)  C  r 2 ( x)  0 ,
где p ( x)  a f ( x ) , r ( x)  b f ( x ) .
b
Так как b f ( x )  0 , то разделив обе части уравнения на
, получим равносильное уравнение:
2 f ( x)
a 2 f ( x)
a f ( x) b f ( x)
a
A  2 f ( x)  B  2 f ( x)  C  0  A   
b
b
b
2 f ( x)
a
 B  
b
f ( x)
C  0 .
f ( x)
a
Осуществив замену  
 t , t  0 , получим квадратное
b
уравнение At 2  Bt  C  0 , после решения которого, задача
сводится к решению простейших показательных уравнений.
2.154. Решить уравнение 32 x 6 x9  4 15x 3 x5  3  5 2 x 6 x 9 .
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Используя свойства степеней, перепишем уравнение так:
2
2
2
3  32 x 6 x10  4  3 x 3 x5  5 x 3 x5  3  5  52 x 6 x10  0 
2
2
2
2
3  32( x  3 x  5)  4  3x  3 x  5  5 x  3 x  5  3  5  52( x  3 x  5)  0 .
2
2
Так как 52( x  3 x  5)  0 , то разделив уравнение на 52( x  3 x  5) ,
получим равносильное уравнение:
2
3
3 
5
2 ( x 2  3 x 5 )
2
3
 4 
5
2
2
x 2  3 x 5
 15  0 .
x 2 3 x 5
3
Произведем замену, полагая  
 t , где t  0 .
5
После замены уравнение принимает вид 3t 2  4t  15  0 ,
5
откуда находим два корня t1  3 , t 2  . Первое значение
3
корня не удовлетворяет по условию t  0 .
Учитывая замену, получаем уравнение простейшего типа
265
x 2 3 x 5
x 2 3 x 5
1
5
3
 3
 3
  

   , откуда получаем
 
3
5
5
5
2
2
уравнение x  3 x  5  1  x  3x  4  0 .
Решив уравнение, находим два корня x1  4 , x2  1 .
О т в е т: –4; 1.
2. Решение уравнений вида
P  a f x  Q  b f x  R  c f x  0 ,
где P, Q, R - коэффициенты уравнения (заданные числа);
a, b, с - некоторые положительные числа, являющиеся последовательными членами одной и той же геометрической
прогрессии;
f x  - некоторая функция.
Так как положительные числа a, b, с являются последовательными членами геометрической прогрессии, то b  ac .
Тогда уравнение можно переписать так:
P  a f x  Q 
 a    с    Rc    0 .
f x
f x
f x
Решение такого уравнения сводится к решению однородного уравнения 2-й степени вида
P  p 2 x   Q  px   r x   R  r 2 x   0 , где px  
 a   ,
f x
 c   .
 
Так как  c   0 , то разделив обе части уравнения на
r x  
f x
f x
c f  x  , получим равносильное уравнение
a
P  
c
f x
 a

 Q  

 c
f x
 R  0.
 a

Осуществив замену 
 c
 
266
f x
 t , t  0 , получим квадратное
уравнение P  t 2  Q  t  R  0 , после решения которого, задача
сводится к решению простейших показательных уравнений.
Замечание. Решение показательных уравнений рассматриваемого вида можно свести к решению квадратного уравнения,
действуя иначе.
Так как положительные числа a, b, с являются последовательными членами геометрической прогрессии, то b  a  q ,
c  a  q 2 , и уравнение можно переписать так:
P  a f x  Q  a f x  q f x  R  a f x  q2 f x  0 


a f x  P  Q  q f x  R  q 2 f x   0 .
Так как a f  x   0 , то приходим к уравнению
P  Q  q f x  R  q2 f x  0 .
Осуществив замену q f  x   t , t  0 , получим квадратное
уравнение R  t 2  Q  t  P  0 , после решения которого, задача
сводится к решению простейших показательных уравнений. ▼
2.155. Решить уравнение 4  2 x  6 x  2  36  18x 1 .
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Перепишем уравнение так: 4  2 x  6 x  2  36  18x 1
 2 2  2 x  6 x  2  2 18 18 x 1  0  2 x  2  6 x  2  2  18x  2  0 .
Решим полученное уравнение двумя способами.
1-й способ. Положительные числа 2, 6, 18 являются последовательными членами геометрической прогрессии со знаменателем 3.
По свойству среднего члена геометрической прогрессии
имеем 6  2  18  2  18 .
Тогда уравнение можно переписать так:
( 2 ) 2( x2)  ( 2 ) x2  ( 18) x2  2  ( 18) 2( x2)  0 .
Так как ( 18) 2( x2)  0 при любых значениях х, то разделив
обе части уравнения на ( 18) 2( x  2) , получим равносильное
267
уравнение
 2 


 18 


2( x2)
 2 

 

 18 
x2
1
20   
 3
2 x  2 
1
 
 3
x2
 2  0.
x2
1
Произведем замену, полагая    t , где t  0 .
 3
После замены уравнение принимает вид t 2  t  2  0 , откуда получаем два корня t1  2 , t2  1 .
Первое значение корня не удовлетворяет условию t  0 .
Учитывая замену, получаем простейшее показательное
x2
1
уравнение    1 , равносильное уравнению x  2  0 . Откуда
 3
находим корень x  2 .
2-й способ. Так как числа 2, 6, 18 образуют геометрическую
прогрессию со знаменателем q = 3, то 6  2  3 , 18  2  3 2 и
уравнение можно переписать так:
2 x 2  2 x 2  3 x 2  2  2 x 2  (32 ) x 2  0

2 x 2  (1  3 x 2  2  32( x 2) )  0 .
Так как 2 x  2  0 , то уравнение равносильно следующему
уравнению:
1  3 x  2  2  32 ( x  2)  0  1  3 x  2  2  (3 x  2 ) 2  0 .
Произведем замену, полагая 3 x 2  t , где t  0 .
После замены уравнение принимает вид 1  t  2t 2  0 
1
2t 2  t  1  0 , откуда находим два корня t1  1 , t 2   .
2
Второй корень не удовлетворяет условию t  0 .
Учитывая замену, получаем уравнение 3 x  2  1 
3 x  2  30 , равносильное уравнению x  2  0 . Откуда находим
корень x  2 .
О т в е т: –2.
268
3. Показательные уравнения, сводящиеся к однородному уравнению степени выше 2-й.
Аналогичным методом решаются показательные уравнения и более общего вида, удовлетворяющие требованию "однородности" левой части уравнения относительно показателей
суммируемых функций. Рассмотрим пример.
2.156. Решить уравнение 27 x  12x  2  8 x .
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Учитывая, что 27  33 , 12  3  22 , 8  23 , перепишем уравнение так:
27 x  12x  2  8 x  (3 3 ) x  (3  2 2 ) x  2  (2 3 ) x  0 
33 x  3x  22 x  2  23 x  0  (3 x ) 3  3 x  (2 x ) 2  2  (2 x ) 3  0 .
Уравнение является однородным уравнением 3-й степени
относительно функций p x   3x и r  x   2 x .
Так как 23 x  0 при любых значениях х, то разделив обе
части уравнения на 2 3 x , получим равносильное уравнение
33 x 3 x  2 2 x 2  2 3 x

 3x  0
23x
23x
2
3x

x
3
3
    20.
2
2
x
3
Произведем замену, полагая:    t , t  0 .
2
После замены уравнение принимает вид: t 3  t  2  0 .
Решим полученное кубическое уравнение, разложив левую
часть уравнения на множители. Имеем:
t 3  1  t  1  0  t  1  t 2  t  1  t  1  0  t  1  t 2  t  2  0 .
Так как t  0 , то t 2  t  2  0 и уравнение равносильно
уравнению t  1 0 , решив которое, получаем единственный
корень t  1 .
Учитывая замену, получаем простейшее показательное


x
3
уравнение    1 , имеющее единственный корень x  0 .
2
О т в е т: 0.
269
VIII. Применение основного логарифмического тождества.
Применение основного логарифмического тождества
a log a x  x , x  0 , a  0 , a  1
является эффективным средством для решения уравнений показательно-логарифмического вида.
Однако следует помнить, что применение основного тождества может привести к расширению ОДЗ уравнения и появлению посторонних корней.
2.157. Решить уравнение 4log64 ( x  3)  log 2 5  50 .
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. ОДЗ уравнения определяется условием x  3  0 ,
откуда получаем x  (3, ) .
Перепишем уравнение так: (2 2 )
2
1

2  log 2 ( x  3)  log 2 5 
6

 50  2
1
2
log2 ( x 3) 3 log2 52
 50 
2
log 6 ( x 3) log2 5
2
1
log 2 ( x  3)  2 log 2 5
3
1


log 2  ( x  3) 3  25 




 50 
 50 
 50 .
Применяя основное логарифмическое тождество, получаем
уравнение x  33  25  50 
1
3
x3  2.
Замечание. Заметим, что полученное уравнение имеет ОДЗ x R . Следует помнить, что вследствие расширения ОДЗ возможно появление посторонних корней! ▼
Возводя в куб, получаем x  3  8 , откуда находим x  11.
Так как полученное значение корня удовлетворяет ОДЗ
исходного уравнения, то x  11 - его единственный корень.
О т в е т: 11.
2.158. Решить уравнение 10lg x  x lg x  20 .
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. ОДЗ уравнения определяется условием x  0 , то
2
270
есть x  0, .
Перепишем уравнение так:


lg x
10lg x lg x  x lg x  20  10lg x
 x lg x  20 .
Применяя основное логарифмическое тождество, получаем
уравнение: x lg x  x lg x  20  2  x lg x  20  x lg x  10 .
Логарифмируя по основанию 10, получим
lg x lg x  lg10  lg x  lg x  lg10  lg2 x  1 .
Последнее уравнение равносильно совокупности двух простейших логарифмических уравнений lg x  1 и lg x  1 , решив которые, получаем два корня x1 
1
и x2  10 .
10
1
; 10.
10
2
2.159. Решить уравнение ( x  1)log x1 ( x  3)  16 .
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. ОДЗ уравнения определяется системой неравенств
 x  1  0,
 x  1,

  x  0,
 x  1  1,
( x  3) 2  0,
 x  3,


откуда получаем x   1,0  0, .
Применяя основное логарифмическое тождество, получаем
уравнение x  32  16  х  3  4 , откуда находим два
корня x1  1 и x2  7 .
Второй корень является посторонним для исходного уравнения, так как не удовлетворяет ОДЗ уравнения.
О т в е т:
О т в е т: 1.
Замечание. Еще раз отметим, что уравнение x  3  16 , полученное после применения основного логарифмического тождества, равносильно исходному уравнению только на ОДЗ.
2
271
Иными словами, исходное уравнение равносильно сме( х  3)  16,
шанной системе 
▼
 х  (1;0)  (0;).
  x2 

 lg 8   2 lg 20 

  5


 

2.160. Решить уравнение 0,1
 2  x  6 .
--------------------------------------------------------------------------------x2
Р е ш е н и е. ОДЗ уравнения определяется условием
8  0.
5
Решая неравенство, получаем x  (,2 10)  (2 10,) .
Легко заметить, что левая часть уравнения положительна
при всех x из ОДЗ, поэтому равенство возможно лишь при выполнении условия x  6  0 , то есть при x  6 . Откуда следует,
что корни уравнения принадлежат промежутку (2 10,  ) .
Используя свойства степеней, последовательно получаем
  x2 

 lg 8   2lg 20 

  5


 

0,1
x

lg 8   2lg 20
 5 


x

lg 8 
 5 


2
 10
 10
 x2 
lg 8 
 5



  x2 

 lg 8   2lg 20 



  5

 
 2  x  6  101
 2  x  6
2
 2  x  6  10
102 10lg 20  2  x  6
1
 102  10 20  2  x  6 .
lg
Данное уравнение равносильно смешанной системе
 х 2

1
 8   100 
 2  ( х  6),

20
 5


 х  (2 10; ).
Преобразуя уравнение системы, последовательно получаем
x

  8   5  2 x  12  x 2  40  2 x  12  x 2  2 x  52  0 .
 5

Решая полученное квадратное уравнение, находим два
корня x1  1  53 и x2  1  53 .
2
272
Второй корень является посторонним, так как не удовлетворяет условию x  (2 10;)
О т в е т: 1  53 .
IX. Метод оценок.
Иногда показательное уравнение удается решить, используя свойства показательной функции или на основе этих
свойств доказать, что уравнение корней не имеет. Чаще всего
используется свойство непрерывности, монотонности и ограниченности снизу.
x
2.161. Решить уравнение 2 x  3 2  1 .
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Разделив обе части уравнения на 2 x  0 , получим
x
 12 
3 
x
 3   1 x
2 x  
1
равносильное уравнение x 
 x  1       .
2
2x
2
 2  2
Уравнение имеет очевидный корень x  2 .
Замечание. Это особенно легко понять, если заметить, что

3
 1
 sin ,  cos , записать полученное уравнение в виде
3
2
3 2
   
 sin    cos   1 и сравнить его с основным тригономет3
 3 
рическим тождеством sin 2   cos 2   1 .▼
x
x
Докажем, что других корней исходное уравнение не имеет.
 3

Действительно, так как показательные функции y  
 2 


x
x
1
и y    монотонно убывают на всей числовой оси, то:
2
273
x
2
 3
 3


 и
1) при всех x  2 выполняются неравенства 
 2   2 




x
2
1
1
     , складывая которые, получаем оценку возмож2
2
x
 3   1 x

ных значений левой части уравнения: 
;
 2    2   1


x
2
 3
 3
 
 и
2) при всех x  2 выполняются неравенства 
 2 
 2 




x
2
1
1
     , складывая которые, получаем оценку возмож2
2
x
 3   1 x

ных значений левой части уравнения: 
.
 2    2   1


Откуда заключаем, что при всех x  2 равенство не выполняется и уравнение имеет единственный корень x  2 .
О т в е т: 2.
2.162. Решить уравнение 3x 1  5 x 1  34 .
--------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Уравнение имеет очевидный корень x  3 , так
как 32  52  34 .
Докажем, что других корней уравнение не имеет.
Действительно, так как показательные функции y  3x 1 и
y  5 x 1 монотонно возрастают на всей числовой оси, то:
1) при x  3 выполняются неравенства 3x 1  32 и 5 x 1  52 ,
складывая которые, получаем оценку возможных значений левой части уравнения: 3x 1  5 x 1  34 ;
2) при x  3 выполняются неравенства 3 x 1  3 2 и 5 x 1  5 2 ,
складывая которые, получаем оценку возможных значений левой части уравнения: 3 x 1  5 x 1  34 .
274
Откуда заключаем, что при x  3 равенство не выполняется и уравнение имеет единственный корень x  3 .
О т в е т: 3.
2.163. Решить уравнение 4 x  x 2  2 x  4 x  6 .
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Перепишем уравнение так:
2
 ( x 2  4 x)  2 x 4 x  6
2

 ( x 2  4 x  4  4)  2 x 4 x42
2

( x 2 ) 2  2
.
 ( x  2)  4  2
Оценим возможные значения левой и правой частей равенства. Так как ( x  2) 2  0 при любых х, то  ( x  2) 2  4  4 при
2
любых х. Правая же часть равенства 2( x2) 2  4 , так как показательная функция с основанием 2 монотонно возрастает при
всех х из области определения и, значит, выполняется неравен2
ство 2( x2) 2  2 2 , вследствие того, что ( x  2) 2  2  2 при любых х.
Откуда заключаем, что равенство возможно только в том
случае, если левая и правая части равны 4.
Это условие выполняется только при x  2 . Поэтому уравнение имеет единственный корень x  2 .
О т в е т: 2.
2
2.164. Решить уравнение 2 x  4 x  2564  3  16x .
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Оценим возможные значения левой части равенства.
Для этого воспользуемся неравенством Коши – соотношением между средним арифметическим и средним геометрическим трех неотрицательных чисел:
5
4
3
abc 3
 abc или a  b  c  3  3 abc , причем равенство
3
имеет место только при а = b = с.
Получаем
275
2  4  256  2  2
x5
x4
3
4
x5
2 x4
 2  3 2  2
3
32
x5
2 x4
 2  3 2
32
x 5  2 x 4 32
3
3
 3  2 x 2 x 32 
5
4
 3  2 64 x  3  2 4 x  3  (2 4 ) x  3 16 x .
Таким образом, имеет место следующая оценка для левой
5
4
3
части уравнения: 2 x  4 x  2564  3 16 x .
Полученное неравенство обращается в равенство только
5
4
при 2x  22 x  232 , то есть при x 5  2 x 4  32 , откуда получаем единственный корень исходного уравнения x  2 .
9
3
3
3
О т в е т: 2.
X. Графический метод.
Некоторые показательные уравнения удается решить только с помощью графиков левой и правой частей уравнения,
определив абсциссы точек их пересечения.
x
x
1
2.165. Решить уравнение    .
2
2
--------------------------------------------------------------------------------x
x
1
Р е ш е н и е. Строим графики функций y    и y  .
2
2
y
1
y 
2
x
y
x
2
1•
•
–2
•
–1
0
●
•
1
•
2
•
3
x
Абсцисса точки пересечения графиков x  1 является единственным корнем уравнения, так как других точек пересечения
у графиков нет.
276
x
1
Действительно, функция y    монотонно убывает, а
2
x
функция y 
монотонно возрастает на всей числовой оси,
2
следовательно, графики этих функций не могут иметь больше
одной точки пересечения.
О т в е т: 1.
Замечание. Следует отметить, что графический метод решения, в общем случае, является приближенным и применяется
либо тогда, когда аналитическим (точным) методом уравнение
решить не удается, либо тогда, когда корни определяются подбором и с помощью графиков доказывается, что других корней
уравнение не имеет. ▼
Упражнения.
Решить уравнение:
1
436. 9 2 x 1  81 . 437.  
8
0 ,1 x 1
 43 .
 1 
438.  
 25 
0, 4 x  2
 125 .
0, 5 x 1
1
439.  
440. 81  9 3 x  x  9 3 x  0 .
 8.
16
 
441. x  6 3 x  36  6 3 x  0 .
442. 7 x 1  5  7 x  98 .
443. 3 x  2  5  3 x  324 .
444. 10 x  4  17  10 x  2  83 .
445. 7  3 x 3  3 x  2  22 . 446. 3 x  27  4 9 . 447. 2 x  16  5 8 .
Укажите промежуток, содержащий корень уравнения:
448. 2 x  0,5 .
а) (-2; -1) б) (-1; 0) в) (0; 1) г) [-1; 2].
1
449. 3 x 5  .
а) (0; 8) б) (-8; 0) в) (-15; -8) г) (8; 10).
9
450. (10 3 ) x  9 .
а) (-15; -5) б) (-5; 5) в) (15; 25) г) (5; 15).
451. 2
5 x 1
5 x2
 4.
а) (-4; -2) б) (-2; 0) в) (0; 2) г) (2; 4).
Укажите число корней уравнения:
x
x
452. 3  2 3 2 x  21 x  1 .
453. 3  4  14  2  8  0 .
277
454. (3 x  81)  1  x  0 .
Решить уравнение:
2
2
455. 3  4 x  6 x  2  9 x  0 .
456. 5 x ( x ) 1  5 .
457. 6 x  7 x  0 .
458. 2  4 x  3  10 x  5  25 x .
459. 4  9 x  13  12 x  12  16 x  0 .
460. 6 x  6 x 1  2 x  2 x 1  2 x  2 .
461. 4 x 1  19  2 x  5  0 .
462. 3 2 x 5  2 2 x  7  3 2 x  4  2 2 x  4  0 .
2
463.
3
0,2  0,2
2 x
1
3
x 1
 0,04
3
465. 135 x 1  17 2 x  2  133 x 1 .
3 x 6
.
1
464. 3   
 243.
3
466. 9 x  6 x  2 2 x 1 .
x
1
log7 x
467. 7
468. 101lg x  1002 lg x .
x
 14 .
x 13
x 1
3 x 7
11 x
4 5
 25  540 .
469. 3
470. 32 x 3  33 x 1  625x  2  600x  7 .
471. (4  15) x  (4  15) x  62 .
log7 x
472. 3  9 x  28  3 x  10  ( 1  x 2 ) 2  x 2 .
473.
(3 x  4) 2  (3 x  6)(3 x  9)  3 x  4 .
474. 3  4 x  2 x2  4  3  2 x1  4 x  2 .
475. 3 2 x  7 x  2  3 x 5 x  2  27 x 1  0 .
476. 4  4 x  (4 x  13)  2 x  3  x  0 .
477. Найдите все значения х, при каждом из которых выражения 12 x  9 x  6  3 x 1 и x  3 x 1  24  3 2 x 1 принимают равные
значения.
2
478. 5 log3 x  6  5 log3 x  5  0 .
479. 1  log2 (3  9 x  6)  log2 6  log2 (4  3 x ) .
2
2
480. 33 x  2  3 x 2 .
481. log6 2 x3  log6 (3x  2)  x .
482. log2 (3  2 2 x  1)  x  2 .
483. x  log6 3 2 2 x 2  1  log6
484. (3  9 x  2)(2  9  x )  15 .
485. 3 x  x log3 x .
278
2
8
.
3
x
2
486. (0,4) x     15  2 x1 . 487. 3 x  (3 x  2)  4  3 x  (3 x  1)  7 .
 25 
2x
488. 2  2  18  2 2 x  11 2 x  33  2  x  26  0 .
4
490.  
 x
489. ( x  1) log2 ( x1)  2 .
3
491.
5x
2 x 1
.

8

2 x 1  5 x
5x
493. 4
495. 4
1
 log4 2 ( x 1)5
4

1
x

6
1
x

9
log2 x
 x.
492. 9 log9 x  2 
1
3
x 2
3

5
.
2
5 3
 x . 494. log2 (4 x  4)  x  log2 (2 x1  3) .
4 4

1
x
.
496.
x
55 x  5 x 4 .
497. x 64  x 2 3 x3  12  0 .
2
2
2
1
498.  2 3 x  6  2 3 x  2 x  2 x  4  2 2 x  x  2  0 .
3


499. ( 2  3 ) x  ( 2  3 ) x  4 .
2x
x
x
5
3
5
500. 15     15        31 .
 3
5
 3
501. x  lg16  6  lg 2  lg 4 x .
502. lg(26 x  24)  3x  lg 2  2
1
1 log2 4
2
.
503. 7 x  7 x 1  7 x 1  3 x  2  3 x 1  3 x .
504. 9 x 1  15 x 1  3  15 x  5 2 x 1 .
2
2
2
2
505. 4 lg x 1  6 lg x  2  3lg x  2  0 .
2
5
507. x 4
509.
510.
 2 cos 3 x
1
1
cos 2 x
2
2
x
x2
4 2 3
x
2
2
1
 x4 .

sin 2 x
506. 2 sin x  4  2 cos x  6 .
508. x  3
2
3 x 2 10 x 3
 1.
 sin x  cos x .
x
 22 1  0 .
2 1
279
Глава 3. Уравнения со многими неизвестными
3.1. Уравнения в целых числах и методы их
решения
Одними из наиболее часто встречающихся на всевозможных конкурсных экзаменах и олимпиадах задач являются задачи типа «Решить уравнение в целых (натуральных) числах».
Речь идет о так называемых диофантовых уравнениях с
двумя и более неизвестными, в которых требуется найти решения, составленные из целых или натуральных чисел.
Неопределенные уравнения (диофантовы уравнения) – это
уравнения, содержащие более одной неизвестной.
Например: уравнение 7 х  5 у  12 является неопределенным
x y z
уравнением с двумя неизвестными; уравнение
  3
y x x
является неопределенным уравнением с тремя неизвестными.
Название «диофантово уравнение» связано с известными
работами Диофанта Александрийского, жившего в III веке н.э.
Диофант Александрийский (III в.н.э.)
– древнегреческий математик.
В основном труде «Арифметика» (сохранились 6 книг из 13) дал решение задач,
приводящих к неопределенным уравнениям
со многими неизвестными, и впервые ввел
буквенную символику в алгебру. Методы
Диофанта оказали огромное влияние на
Франсуа Виета и Пьера Ферма.
Термин «неопределенное» объясняется тем, что такие
уравнения имеют, как правило, бесконечное множество решений. Рассмотрим пример.
Пусть имеем неопределенное уравнение х  5 у  3 z  12 .
Выразим х через у и z. Получаем: х  12  5 у  3 z . Придадим
280
у и z произвольные числовые значения: у  u ; z  v , u , v  Z .
Тогда х  12  5u  3v и все решения уравнения, которых бесконечно много, можно записать так: (12  5u  3v; u; v) , u , v  Z .
Заметим, однако, что некоторые неопределенные уравнения могут не иметь решений вовсе или иметь единственное
решение.
Например: неопределенное уравнение 7 х 2  5 у 2  2 не имеет
x y z
решений, а неопределенное уравнение
   3 имеет
y x x
единственное решение (1; 1; 1).
Что значит решить уравнение в целых числах? Это значит
найти все решения уравнения, составленные из целых чисел
(так называемые целочисленные решения), или доказать, что
таких решений нет. При этом если уравнение не имеет целочисленных решений, то говорят, что оно неразрешимо в целых
числах.
Рассмотрим основные методы решения неопределенных
уравнений в целых числах.
3.1.1. Методы решения линейных уравнений в целых
числах
Определение 3.1. Линейным неопределенным уравнением в
целых числах называется уравнение вида aх  bу  ...  cz  d ,
где коэффициенты a, b,..., c  0 , свободный член d и неизвестные x, y,..., z - целые числа.
Например:
– уравнение 7 х  5 у  12 является линейным неопределенным
уравнением с двумя неизвестными;
– уравнение х  5 у  3 z  12 является линейным неопределенным уравнением с тремя неизвестными.
Определение 3.2. Любой набор целых чисел (x, y, …, z), удовлетворяющий уравнению aх  bу  ...  cz  d называется целочисленным решением линейного уравнения.
281
Например: пара чисел (1;1) является целочисленным решением
линейного уравнения 7 х  5 у  12 , так как при подстановке в
это уравнение значений х  1 и y  1 , уравнение удовлетворяется: 7∙1 + 5∙1 = 12, а пара чисел (2; 3) не является решением этого уравнения, так как при подстановке в уравнение значений
х  2 и y  3 , уравнение не удовлетворяется: 7∙2 + 5∙3 = 29 ≠ 12;
тройка чисел (7; 2; 1) является целочисленным решением линейного уравнения х  5 у  3 z  20 , так как при подстановке в
это уравнение значений x = 7, y = 2 и z = 1 уравнение удовлетворяется: 1 7  5  2  3 1  20 , а тройка чисел (1; 2; 4) не является решением этого уравнения, так как при подстановке в уравнение значений х  1, y  2 и z  4 уравнение не удовлетворяется: 1∙1 + 5∙2 +3∙4 = 23 ≠ 20.
Рассмотрим сначала линейное уравнение в целых числах с
двумя неизвестными вида aх  bу  с .
1) Если с  0 , то получаем уравнение aх  bу  0 , которое
называется однородным линейным уравнением.
Однородное линейное уравнение aх  bу  0 , где а и b –
взаимно простые числа, имеет бесконечное множество решений
в целых числах вида (bn; an) , где n  Z .
Действительно, из равенства aх  bу  0 , имеем bу   ax
a
 у   x.
b
Если у – целое число, то это возможно только тогда, когда
число х делится на b, то есть x  bn , n  Z .
a
Тогда у    bn   an и уравнение имеет бесконечное
b
множество целых решений вида (bn;an) , n  Z .
Рассмотрим пример.
Однородное линейное уравнение 3 х  5 у  0 в целых числах имеет бесконечное множество решений вида (5n;3n) , где
n  Z . Действительно, из равенства 3х  5 у  0 , имеем: 5 у  3x
282
3
5
гда, когда число х делится на 5, то есть x  5n , n  Z .
3
Тогда у    5n  3n и, значит, уравнение имеет беско5
нечное множество целых решений вида (5n;3n) , n  Z .
 у   x . Если у – целое число, то это возможно только то-
Замечание. Заметим, что если НОД ( a; b)  1 , то есть числа а и
b не являются взаимно простыми, то, разделив обе части уравнения на НОД ( a; b) , придем к уравнению, в котором коэффициенты при неизвестных взаимно просты.
Например: разделив обе части однородного линейного уравнения 8 х  6 у  0 на НОД (8;6)  2 получим линейное однородное уравнение 4 х  3 у  0 , в котором коэффициенты при неизвестных взаимно просты. ▼
2) Если с  0 , то уравнение aх  bу  с , называется неоднородным линейным уравнением.
В отличие от однородного линейного уравнения, всегда
имеющего бесконечное множество решений, неоднородное
уравнение может быть неразрешимо в целых числах, то есть не
иметь целых решений.
Например: неоднородное линейное уравнение в целых числах
4 х  2 у  27 не имеет ни одного целочисленного решения, так
как при всех целых значениях х и у в левой части находится
четное число, а в правой – нечетное число 27.
Заметим, что рассмотренный пример позволяет сделать общий вывод.
Если в линейном неоднородном уравнении ax  by  c с
целыми коэффициентами а, b, c коэффициенты а и b делятся
нацело на некоторое число d  1 , а свободный член с не делится на d, то это уравнение не имеет решений в целых числах.
Действительно, при любых целых х и у число ax  by , делящееся на d  1 , не может равняться числу с, которое на d не
делится.
283
Вместе с тем можно доказать, что если в неопределенном
линейном уравнении ax  by  c свободный член с делится на
НОД(а; b), то уравнение обязательно имеет решения в целых
числах.
Для решения неоднородных линейных уравнений применяется два метода.
1. Метод частного решения.
Метод основан на следующей теореме.
Теорема. 3.1. Если пара целых чисел ( x0 ; y 0 ) является решением линейного неоднородного уравнения aх  bу  с , то множество всех его решений задается формулами
х  x0  bn ,
y  y0  an , где n Z .
Действительно, если пара чисел ( x0 ; y 0 ) является решением
линейного уравнения aх  bу  с , то aх0  bу0  с и, подставив
значения х  x0  bn , y  y0  an , n Z в уравнение, получаем
aх  bу  a( x0  bn)  b( y0  an)  aх 0  bу 0  с . (При этом легко
показать, что других целочисленных решений неоднородное
уравнение aх  bу  с не имеет).
Решение, записанное в таком виде, называется общим решением уравнения aх  bу  с . Подставив вместо n конкретное
целое число, получим его частное решение.
Из теоремы следует, что для нахождения множества всех
решений уравнения aх  bу  с достаточно найти одно частное
решение ( x0 ; y 0 ) . Это можно сделать методом перебора.
Действительно, пусть дано линейное неоднородное уравнеc  by
ние aх  bу  с . Перепишем его в виде х 
.
a
Из этого равенства следует, что:
1) если ни при одном значении y, равном 0, 1, 2, … , а–1, значение х не является целым числом, то данное уравнение не
имеет решений в целых числах;
284
2) если уравнение имеет решение в целых числах, то существует решение (х; у), в котором неизвестное значение y равно одному из чисел 0, 1, 2, …, а–1.
c  by
Действительно, если дробь
не является целым чисa
лом ни при одном значении y, равном 0, 1, 2, … , a  1, то она
не будет целым числом и при значениях y, равном а, a  1,
a  2 , … , 2a  1 , … . На самом деле:
c  ba c
- при у  a получим дробь
 b;
a
a
c  b( a  1) c  b
- при у  a  1 получим дробь

b ;
a
a
c  b( a  2) c  2b
- при у  a  2 получим дробь

b;
a
a
∙ ∙ ∙
c  b(2a  1) c  b
- при у  2a  1 получим дробь

 2b , … , а
a
a
c cb
cb
дроби ,
,…,
, … - несократимы по предположению
a
a
a
c  by
о том, что дробь
не является целым числом ни при одa
ном значении y, равном 0, 1, 2, … , a  1.
Откуда заключаем, что если уравнение aх  bу  с имеет
решение в целых числах, то существует решение (х; у), в котором неизвестное значение y равно одному из чисел 0, 1, 2, … ,
а–1.
Таким образом, для нахождения частного решения уравнения, достаточно перебрать все значения у  0 , у  1 , у  2 , …,
у  a  1 и выбрать такое y, при котором x будет целым числом.
Для уменьшения необходимого количества проб, уравнение
aх  bу  с следует разрешить относительно того неизвестного,
коэффициент при котором меньше по модулю.
Рассмотрим пример.
285
3.1. Решите уравнение в целых числах 7х – 12у = − 13.
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Разрешим уравнение относительно неизвестного
с меньшим (по модулю) коэффициентом: 7 x  13  12 y 
12 y  13
.
x
7
Если уравнение имеет решение в целых числах, то существует решение (х; у), в котором неизвестное значение y равно
одному из чисел 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Проверим, при каком из указанных значений у, неизвестное х будет целым.
При у  0 , у  1 , у  2 и у  3 получаем
12  0  13
13
12 1  13
1
12  2  13 11
х
 , х
 , х
 ,
7
7
7
7
7
7
12  4  13 35
12  3  13 23
, а при у  4 , х 
х


5.
7
7
7
7
Таким образом, пара чисел (5; 4) является целочисленным
решением уравнения и на этом перебор значений у можно прекратить.
Следовательно, множество всех целочисленных решений
уравнения имеет вид: х  5 12n , y  4  7 n , где n Z .
О т в е т: (5  12n;4  7 n) , n Z .
Замечание. Из рассмотренного примера становится понятно,
что метод частного решения удобен лишь в тех случаях, когда
уравнение aх  bу  с имеет «небольшие» коэффициенты а и b.
▼
2. Метод последовательного деления или метод выделения
целой части.
Метод последовательного деления или метод выделения
целой части применяется в тех случаях, когда коэффициенты а
и b уравнения aх  bу  с достаточно велики и применение
метода частного решения затруднено необходимостью выполнения большого числа проб при поиске частного решения
уравнения.
286
3.2. Решите уравнение в целых числах 3х + 2у = 7.
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Выразим у через х.
7  3x
Получим: 2 y  7  3 x  y 
. Выделим целую
2
7  3x  2 x  x  7
x7
часть этой дроби: y 
.

 x 
2
2
2
Откуда заключаем, что у будет целым числом, если число
x7
x7
также будет целым. Дробь
будет целым числом,
2
2
если x  7  2t , т.е. x  2t  7 , где t  Z - произвольное целое
число. При этом получаем y   x  t  2t  7  t  3t  7 .
Итак, уравнение имеет бесконечное множество решений
вида ( 2t  7;3t  7) , t  Z .
О т в е т: ( 2t  7;3t  7) , t  Z .
3.3. Решите уравнение в целых числах 17х – 22у = 5.
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Выразим х через у.
22x  5
Получим: 17 x  5  22 y  x 
.
17
Выделим целую часть этой дроби:
22y  5 17 y  5 y  5
5y  5
.
x

 y
17
17
17
Откуда заключаем, что x будет целым числом, если дробь
5y  5
5y  5
также будет целым числом. Дробь
будет целым
17
17
числом, если 5 y  5  17t , где t  Z - произвольное целое число.
Таким образом, снова получили уравнение, которое надо
решить в целых числах.
Проделаем с этим новым уравнением ту же операцию, что
17t  5
и с исходным. Выразим y через t: 5 y  17t  5  y 
.
5
Выделим целую часть этой дроби:
287
17t  5 15t  2t  5
2t  5
.

 3t 
5
5
5
Откуда заключаем, что y будет целым числом, если дробь
2t  5
также будет целым числом.
5
2t  5
Дробь
будет целым числом, если 2t  5  5s , где
5
s  Z - произвольное целое число.
Таким образом, снова получили уравнение, которое надо
решить в целых числах.
Проделаем с этим новым уравнением ту же операцию.
5s  5
Выразим t через s: 2t  5s  5  t 
.
2
Выделим целую часть этой дроби:
5s  5 4 s  s  5
s5
.
t

 2s 
2
2
2
Откуда заключаем, что t будет целым числом, если дробь
s5
s5
также будет целым числом. Дробь
будет целым
2
2
числом, если s  5  2 p , откуда находим s  2 p  5 , где p  Z
- произвольное целое число.
Для того чтобы получить решения исходного уравнения,
используя полученные соотношения, выразим y и х через р:
s5
t  2s 
 2(2 p  5)  p  5 p  10 ,
2
2(5 p  10)  5
y  3(5 p  10) 
 15 p  30  2 p  4  1  17 p  35 ,
5
5y  5
5(17 p  35)  5
x y
 17 p  35 
 17 p  35  5 p  10 
17
17
 22 p  45 .
Итак, уравнение имеет бесчисленное множество решений
вида (22 p  45;17 p  35) , p  Z .
y
О т в е т: (22 p  45;17 p  35) , p  Z .
288
И все-таки следует отметить, что в случае, когда коэффициенты а и b уравнения велики, метод последовательного деления приводит к достаточно трудоемкой процедуре решения.
Эту трудность можно обойти, если использовать метод
введения вспомогательных неизвестных, позволяющий в процессе решения уменьшить коэффициенты линейного уравнения.
3.4. Решите уравнение в целых числах 117х  274 у  15 .
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Перепишем уравнение в виде
117х  234 y  40 у  15  117( х  2 y )  40 у  15 .
Введем вспомогательное неизвестное, полагая х  2 у  u .
Тогда после замены уравнение примет вид 117u  40 у  15 .
Как видим, у нового уравнения один из коэффициентов
уменьшился. Повторим процедуру.
Учитывая, что 117  3  40  3 , уравнение можно переписать
так: 3  40u  3u  40 у  15  (3u  y )  40  3u  15 .
Введем вспомогательное неизвестное, полагая 3u  у  v .
Тогда после замены уравнение примет вид 40v  3u  15 .
Как видим, у нового уравнения один из коэффициентов снова
уменьшился.
Далее аналогично, 39v  v  3u  15 , 3  (13v  u )  v  15 
13v  u  t . Наконец, получаем уравнение 3t  v  15 . 5
Это уравнение имеет множество целочисленных решений
вида: v  15  3t , где t  Z – любое целое число.
Учитывая проведенные замены, последовательно получаем
u  13v  t  13  (15  3t )  t  195  39t  t  195  40t ,
у  v  3u  15  3t  3  (195  40t )  15  3t  585  120t 
 117t  570 ,
x  u  2 y  195  40t  2(117t  570)  195  40t  234t  1140 
 274t  1335.
Итак, множество целочисленных решений уравнения имеет
вид: x  274t  1335 , у  117t  570 , где t  Z .
О т в е т: (274t  1335;117t  570) , t  Z .
289
Рассмотрим теперь линейное уравнение в целых числах с
тремя неизвестными вида aх  bу  cz  d .
При решении таких уравнений одно из неизвестных принимают за целое фиксированное число (целый параметр) и решают его как линейное уравнение с двумя неизвестными.
3.5. Решите уравнение в целых числах 7 x  2 y  4 z  7 .
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Перепишем уравнение в виде 7 x  2 y  7  4 z и
решим уравнение как линейное уравнение с двумя неизвестными х и у, считая z целым фиксированным числом (целым параметром). Выразим у через х. Получим:
7  7x  4z
.
2 y  7  7x  4z  y 
2
Выделим целую часть этой дроби:
7  7x  4z 6  6x  4z  1  x
1 x
.
y

 3  3x  2 z 
2
2
2
Откуда заключаем, что у будет целым числом, если число
1 x
1 x
также будет целым. Дробь
будет целым числом, ес2
2
ли 1  x  2t , т.е. x  2t 1 , где t  Z -произвольное целое число.
При этом: y  3  3(2t  1)  2 z  t  3  6t  3  2 z  t  7t  2 z .
Придавая неизвестной z различные целые значения z  p ,
p  Z , множество всех решений данного уравнения можно записать в виде: x  2t  1 , y  7t  2 p , z  p , где t  Z , p  Z .
Итак, уравнение имеет бесконечное множество решений
вида: ( 2t  1;7t  2 p; p ) , t  Z , p  Z .
О т в е т: ( 2t  1;7t  2 p; p ) , t  Z , p  Z .
3.6. Решите уравнение в целых числах 6 x  10 y  15z  1 .
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Запишем уравнение в виде 6 x  10 y  15z  1 и
решим уравнение как линейное уравнение с двумя неизвестными х и у, считая неизвестную z целым фиксированным числом
(целым параметром). Разделив обе части на 2, получим:
290
 14 z  1  z
1 z
.
 7 z 
2
2
1 z
Так как х, у, z – целые числа, то дробь
 t также будет
2
целым числом и, следовательно, z  1 2t , где t  Z .
При этом получаем уравнение: 3 x  5 y  7(1  2t )  t 
3 x  5 y  15t  7 , t  Z .
Решим полученное уравнение как линейное уравнение с
двумя неизвестными х, у и целым фиксированным числом t.
Выразим x через y. Получим:
5 y  15t  7
.
3 x  5 y  15t  7  x 
3
Выделим целую часть этой дроби:
5 y  15t  7 3 y  15t  6  2 y  1
2 y 1
.
x

 y  5t  2 
3
3
3
Откуда заключаем, что x будет целым числом, если число
2 y 1
2 y 1
также будет целым. Дробь
будет целым числом,
3
3
3 p 1
если 2 y  1  3 p , т.е. y 
, где p  Z - произвольное це2
лое число. Выделим целую часть этой дроби:
3 p 1 2 p  p 1
p 1
.
y

 p
2
2
2
Откуда заключаем, что y будет целым числом, если число
p 1
p 1
также будет целым. Дробь
будет целым числом,
2
2
если p  1  2 s , т.е. p  2 s  1 , где s  Z - произвольное целое
число. При этом получаем y  2 s  1  s  3s  1 , s  Z . Тогда
2 y 1
x  y  5t  2 
 3s  1  5t  2  2 s  1  5s  5t  4 .
3
Итак, уравнение имеет бесконечное множество решений
вида: (5s  5t  4;3s  1;1  2t ) , t  Z , s  Z .
3x  5 y 
1  15z
2
 3x  5 y 
О т в е т: (5s  5t  4;3s  1;1  2t ) , t  Z , s  Z .
291
3.1.2. Методы решения нелинейных уравнений в целых
числах
I. Метод разложения на множители.
Идея метода заключается в разложении левой части уравнения на множители и проведении анализа всех возможных вариантов выполнимости равенства в зависимости от возможных
целых значений неизвестных. При этом для разложения на
множители применяются метод вынесения общего множителя
за скобки, метод группировки, метод выделения полного квадрата и формулы сокращенного умножения.
3.7. Найти все целые числа n и m, для которых 3n 2  2nm  11 и
n  2m  10 .
----------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Разложим левую часть равенства на множители:
n  (3n  2m)  11 .
Так как n и m – целые числа по условию, то целые числа n
и 3n  2m являются делителями простого числа 11.
Поэтому равенство возможно только в следующих 4-х случаях:
1) n  1,
3n  2m  11 , откуда находим n  1, m  4 .
Полученное решение не удовлетворяет условию задачи, так
как при n  1 и m  4 , получаем n  2m  9 и не выполняется
условие n  2m  10 .
n  1,
3n  2m  11, откуда находим n  1, m  4 .
Полученное решение также не удовлетворяет условию задачи, так как при n  1 и m  4 , получаем n  2m  9 .
2)
n  11,
3n  2m  1 , откуда находим n  11, m  16 .
Полученное решение также не удовлетворяет условию задачи, так как при n  11 и m  16 , получаем n  2m  21.
3)
4)
292
n  11,
3n  2m  1 , откуда находим n  11, m  16 .
Полученное решение удовлетворяет по условию задачи, так
как при n  11 и m  16 , получаем n  2m  21 и условие
n + 2m ≥ 10 выполняется.
О т в е т: n  11, m  16 .
3.8. Решите уравнение в целых числах x 2  3xy  2 y 2  5 .
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Разложим левую часть уравнения на множители,
используя метод группировки:
x 2  3xy  2 y 2  x 2  xy  2 xy  2 y 2  x( x  y )  2 y ( x  y ) 
 ( x  y )( x  2 y ) .
Тогда уравнение можно переписать так: ( x  y )( x  2 y )  5 ,
откуда, учитывая, что х и у – целые числа, заключаем, что
( x  y ) и ( x  2 y ) являются делителями числа 5.
Следовательно, равенство возможно только в следующих
четырех случаях:
1) x  y  1 ,
x  2 y  5 , откуда получаем первое решение ( 3;4) .
2)
x  y  1 ,
x  2 y  5 , откуда получаем второе решение (3;4) .
3)
x y 5,
x  2 y  1 , откуда получаем третье решение (9;4) .
4)
x  y  5 ,
x  2 y  1 , откуда получаем четвертое решение ( 9;4) .
Таким образом, уравнение имеет четыре целочисленных решения: ( 3;4) , (3;4) , (9;4) , ( 9;4) .
О т в е т: ( 3;4) , (3;4) , (9;4) , ( 9;4) .
3.9. Решить уравнение 2 x 2  3xy  y 2  x  y  2 .
----------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Разложим левую часть уравнения на множители.
293
Для этого выделим в левой части уравнения полный квадрат относительно у и x. Имеем:
2 x 2  3xy  y 2  x  y  ( y 2  2 xy  x 2 )  x 2  xy  x  y 
 ( y  x) 2  x( x  y )  ( x  y )  ( x  y ) 2  x( x  y )  ( x  y ) 
 ( x  y )( x  y  x  1)  ( x  y )(2 x  y  1) .
Таким образом, уравнение можно записать так:
( x  y )(2 x  y  1)  2 .
Учитывая, что х и у – целые числа, заключаем, что ( x  y ) и
(2 x  y  1) являются делителями числа  2 .
Следовательно, равенство возможно только в следующих
четырех случаях:
1) x  y  1 ,
2 x  y  1  2 , откуда получаем первое решение ( 4;5) .
2) x  y  1 ,
2 x  y  1  2 , откуда получаем второе решение (2;3) .
3) x  y  2 ,
2 x  y  1  1 , откуда получаем третье решение ( 4;6) .
4) x  y  2 ,
2 x  y  1  1 , откуда получаем четвертое решение ( 2;4) .
Таким образом, уравнение имеет четыре целочисленных
решения: ( 4;5) , (2;3) , ( 4;6) , ( 2;4) .
О т в е т: ( 4;5) , (2;3) , ( 4;6) , ( 2;4) .
3.10. Дано простое число р. Решите в натуральных числах уравнение x 2  y 2  2010 p .
----------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Так как 2010р – число четное, то х и у - числа либо
оба четные, либо оба нечетные.
Действительно, если х и у - числа разной четности, то левая
и правая части уравнения – также числа разной четности и равенство, очевидно, не выполняется.
Перепишем уравнение так: x 2  y 2  2010 p.
Разложим левую часть уравнения на множители, используя
294
формулу разности квадратов: ( x  y )( x  y )  2010 p.
1) Пусть x  2k , k  N ; y  2l , l  N . Тогда получим:
(2k  2l )(2k  2l )  2010 p  4(k  l )(k  l )  2010p , откуда
заключаем, что 4 – делитель числа 2010p.
Так как число 2010 делится на 2 и не делится на 4, то число
р–делится на 2. А так как по условию р –простое число, то р = 2.
Тогда уравнение можно переписать так:
4(k  l )(k  l )  2010 2  (k  l )(k  l )  1005 .
Так как 1005  3  5  67 , то, учитывая, что k  l  k  l , рассмотрим возможные варианты:
а) k l  1 ,
k  l  1005, откуда находим k  503, l  502 .
Тогда x  2  503  1006, y  2  502  1004 .
б) k l  3 ,
k  l  335 , откуда находим k  169 , l  166 .
Тогда x  2 169  338, y  2 166  332 .
в) k  l  5 ,
k  l  201, откуда находим k  103, l  98 .
Тогда x  2 103  206 , y  2  98  196 .
г) k  l  15 ,
k  l  67 , откуда находим k  41, l  26 .
Тогда x  2  41  82 , y  2  26  52 .
2) Пусть x  2k  1 , k  N ; y  2l  1 , l  N .
Тогда получим (2k  1  2l  1)(2k  1  2l  1)  2010p

( 2k  2l )(2k  2l  2)  2010 p  4( k  l )(k  l  1)  2010 p ,
откуда заключаем, что 4 – делитель числа 2010p и аналогично
находим, что р = 2. Тогда уравнение можно переписать так:
4(k  l )(k  l  1)  2010 2  (k  l )(k  l  1)  1005.
Данное уравнение не имеет натуральных решений, так как
числа ( k  l ) и (k  l  1) – числа разной четности и их произведение равно четному числу.
Таким образом, уравнение имеет четыре решения в натуральных числах: (1006; 1004); (338; 332); (206; 196); (82; 52).
О т в е т: (1006; 1004); (338; 332); (206; 196); (82; 52).
295
II. Метод выделения целой части.
Метод выделения целой части применяется в тех случаях,
когда удается выразить одну неизвестную через другую и провести анализ всех возможных вариантов целочисленных значений неизвестных, при которых равенство выполняется.
3.11. Решите уравнение в целых числах 2 x 2  2 xy  9 x  y  2 .
---------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Воспользуемся тем обстоятельством, что у входит
в левую часть уравнения в первой степени и выразим у через х.
Имеем: 2 x 2  9 x  2  2 xy  y  y (2 x  1)  2 x 2  9 x  2 ,
2x 2  9x  2
.
2x  1
Преобразуем полученное выражение, выделив целую часть
дроби:
2 x 2  9 x  2 2 x 2  x  10x  5  3 x(2 x  1)  5(2 x  1)  3
y



2x  1
2x  1
2x  1
3
.
 x5
2x  1
3
Так как х и у – целые числа, то слагаемое
должно
2x  1
быть целым числом. Это возможно только в 4 -х случаях:
1) 2x 1  1, откуда получаем x1  1 , и, соответственно, y1  9 .
2) 2x 1  3 , откуда получаем x2  2 , и, соответственно, y2  8 .
3) 2x 1  1 , откуда получаем x3  0 , и, соответственно, y3  2 .
откуда получаем y 
4) 2x 1  3 , откуда получаем x4  1 , и, соответственно, y4  3 .
Таким образом, уравнение имеет четыре целочисленных
решения: (1; 9), (2; 8), (0; 2), (−1; 3).
О т в е т: (1; 9), (2; 8), (0; 2), (−1; 3).
3.12. Решите в натуральных числах уравнение:
1 1 1
, где m  n .
 
m n 25
----------------------------------------------------------------------------------296
Р е ш е н и е. Выразим m через n. Имеем:
1
1 1
1 n  25
25n
, откуда m 
.




m 25 n
m
25n
n  25
Заметим, что так как m, n  N , то n  25  0 , т.е. n  25 .
Выделим целую часть дроби. Имеем:
25n
25n  625  625 25(n  25)  625
625
.
m


 25 
n  25
n  25
n  25
n  25
Так как m N , то (n  25) - положительный делитель числа
625.
Рассмотрим возможные случаи:
625
1) n  25  1 , т.е. n  26 . Тогда m  25 
 650 .
1
Так как по условию m  n , то пара чисел n  26 , m  650
является решением уравнения.
625
2) n  25  5 , т.е. n  30 . Тогда m  25 
 25  125  150 .
5
Так как по условию m  n , то пара чисел n  30 , m  150
является решением уравнения.
625
3) n  25  25 , т.е. n  50 . Тогда m  25 
 25  25  50 .
25
Так как по условию m  n , то пара чисел n  50 , m  50
не удовлетворяет условию задачи.
625
4) n  25  125 , т.е. n  150 . Тогда m  25 
 25  5  30 .
125
Так как по условию m  n , то пара чисел n  150 , m  30
не удовлетворяет условию задачи.
625
5) n  25  625, т.е. n  650 . Тогда m  25 
 25  1  26 .
625
Так как по условию m  n , то пара чисел n  650 , m  26
не удовлетворяет условию задачи.
Таким образом, уравнение имеет два решения в натуральных числах, это n  26 , m  650 и n  30 , m  150 .
О т в е т: n  26 , m  650; n  30 , m  150 .
297
Замечание. Заметим, что число вариантов делителя (n  25)
можно уменьшить, если использовать следующую оценку. Так
1 1
1 1 1
1 2
как m  n , то 0   , и получаем:   
 , т.е.
m n
n n m 25 n
n
1 1 2

 , откуда n  25  и, следовательно, 25  n  50 . ▼
n 25 n
2
III. Метод сведения к решению квадратного уравнения.
3.13. Решите уравнение в целых числах
5 x 2  5 y 2  8 xy  2 y  2 x  2  0
---------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Будем рассматривать это уравнение как квадратное относительно х: 5 x 2  (8 y  2) x  5 y 2  2 y  2  0 .
Дискриминант уравнение имеет вид:
D  (8 y  2) 2  20(5 y 2  2 y  2)  64 y 2  32 y  4  100 y 2 
 40y  40   36 y 2  72 y  36  36( y 2  2 y  1)  36( y  1) 2 .
Так как ( y  1) 2  0 при любых y, то D  36( y  1) 2  0 .
Откуда заключаем, что уравнение имеет решение тогда, когда
дискриминант равен нулю, т.е. D  36( y  1) 2  0 . Откуда полу (8 y  2)  (8  2) 10
чаем y  1 . Тогда x 


 1.
10
10
10
Таким образом, уравнение имеет одно целочисленное решение (1; –1).
О т в е т: (1; –1).
3.14. Решите уравнение в целых числах x  y  x 2  xy  y 2 .
----------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Будем рассматривать уравнение как квадратное
уравнение относительно у: y 2  ( x  1) y  x 2  x  0 .
Дискриминант уравнения имеет вид:
D  ( x  1) 2  4( x 2  x)  x 2  2 x  1  4 x 2  4 x  3x 2  6 x  1 
 3( x 2  2 x  1  1)  1  3( x  1) 2  3  1  4  3( x  1) 2 .
298
Уравнение имеет действительные корни, если D  0 , т.е.
если 4  3( x  1) 2  0 .
Откуда получаем оценку для возможных значений х:
4  3( x  1) 2  0  3( x  1) 2  4  3( x 2  2 x  1)  4  0 
3x 2  6 x  3  4  0  3x 2  6 x  1  0 .
Решив неравенство, получаем множество решений:
 2 3
2 3
x  1 
;1 
.
3
3 

Так как х – целое число, то получаем возможные значения
x  0, x  1, x  2 . Для каждого из этих значений x находим
соответствующие целые значения у.
1) При x  0, получим y  y 2 , y ( y  1)  0, откуда находим y  0
и y  1 . Следовательно, уравнение имеет решения (0; 0), (0; 1).
2) При x  1, получим 1  y  1  y  y 2 , y 2  2 y  0 , y ( y  2)  0 ,
откуда находим y  0 и y  2 . Следовательно, уравнение имеет
решения (1; 0), (1; 2).
3) При x  2, получим 2  y  4  2 y  y 2 , y 2  3 y  2  0 , откуда
находим y  1 и y  2 . Следовательно, уравнение имеет решения
(2; 1), (2; 2).
Таким образом, уравнение имеет шесть решений в целых
числах: (0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 2), (2; 1), (2; 2).
О т в е т: (0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 2), (2; 1), (2; 2).
IV. Использование свойств делимости целых чисел.
Решение некоторых уравнений строится не на поиске возможных решений уравнения, а на доказательстве того, что
уравнение не имеет целочисленных решений. Иногда удается
найти часть очевидных решений и далее доказать, что других
решений не существует. В таких задачах очень часто используются свойства делимости целых чисел и выражений.
3.15. Докажите, что уравнение 3x 2  9  4 y 2 не имеет решений
в целых числах.
----------------------------------------------------------------------------------299
Р е ш е н и е. Перепишем уравнение так: 3x 2  4 y 2  9 .
Заметим, что правая часть уравнения не делится на 2, так
как первое слагаемое делится на 2, а второе – не делится.
Следовательно, x 2 – число нечетное, так как в противном
случае равенство не выполняется.
Значит, х – также нечетное число и его можно записать в
виде x  2k  1 , k  Z.
Подставив значение х в уравнение, получаем:
3(2k  1) 2  4 y 2  9  12k 2  12k  3  4 y 2  9 
4  (3k 2  3k  y 2 )  6 .
Данное равенство не выполняется ни при каких целых k и у,
так как число 4 не является делителем числа 6.
Следовательно, уравнение не имеет решений в целых числах, что и требовалось доказать.
3.16. Решите в целых числах уравнение 19x 2  28 y 2  729 .
----------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Докажем, что уравнение целочисленных решений
не имеет.
Перепишем уравнение так: (18x 2  27 y 2 )  ( x 2  y 2 )  729 .
Так как первое слагаемое левой части уравнения, очевидно, делится на 3 и 729 делится на 3, то второе слагаемое x 2  y 2
должно делиться на 3. Но тогда х и у должны делиться на 3.
Действительно, если х и у не делятся на 3, то остатками от
деления могут быть только числа 1 и 2, а сами числа представимы в виде 3k  1 , k  Z или 3k  2 , k  Z .
Легко проверить, что и в том и другом случае x 2  y 2 не
делится на 3. Поэтому x  3u , u  Z , y  3v , v  Z .
Подставляя эти значения в уравнение, получаем:
(18  9u 2  27  9v 2 )  (9u 2  9v 2 )  729 .
Разделив обе части уравнения на 9, получаем уравнение:
(18u 2  27v 2 )  (u 2  v 2 )  81 .
Повторив рассуждения, получим: u  3t , t  Z , v  3s , s Z ,
и приходим к уравнению (18  9t 2  27  9s 2 )  (9t 2  9s 2 )  81
300
 (18t 2  27s 2 )  (t 2  s 2 )  9
 19t 2  28s 2  9 .
Последнее уравнение, очевидно, не имеет решений в целых
числах, а значит, и исходное уравнение решений не имеет. Действительно, при любом t ≠ 0, s ≠ 0, левая часть строго больше 9,
а при t = 0, s = 0, уравнение не удовлетворяется.
О т в е т: уравнение в целых числах решений не имеет.
3.17. Решите в целых числах уравнение: 1!2!3!...  x! y 2 ,
где n! 1  2  3  ...  n, n – натуральное число.
---------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. При x  1получаем уравнение y 2  1 , имеющее
два корня y  1 . При х = 2 имеем 1! + 2! = 3, и получаем уравнение y 2  3 , которое не имеет целочисленных решений.
При x  3 получаем уравнение y 2  9 , имеющее два корня
y  3 .
Следовательно, уравнение имеет четыре очевидных целочисленных решения: (1; 1), (1; −1), (3; 3), (3; −3).
Докажем, что при всех натуральных x  4 уравнение целочисленных решений не имеет.
Заметим, что, так как 5!, 6!, 7!, … , имеют множители 2 и 5,
то все слагаемые суммы 5! + 6!+ 7! + …+ x! оканчиваются цифрой 0. Следовательно, и вся сумма оканчивается цифрой 0, т.е.
5! + 6! + ... + х! = 10n, где n – натуральное число.
Тогда, учитывая, что 1! + 2! + 3! + 4! = 1 + 2 + 6 + 24 = 33,
при всех натуральных x  4 получаем: 1! + 2! + 3! + 4! + 5! + ...
+ х! = 33 + 10n – число, оканчивающееся цифрой 3. Но квадраты
целых чисел не могут оканчиваться цифрой 3.
Действительно, 12  1 , 2 2  4 , 3 2  9 , 4 2  16 , 5 2  25 ,
6 2  36 , 7 2  49 , 8 2  64 , 9 2  81.
Поэтому при всех натуральных x  4 уравнение решений не
имеет.
О т в е т: (1; 1), (1; −1), (3; 3), (3; −3).
301
V. Метод остатков.
Метод остатков идейно примыкает к методу, использующему свойства делимости целых чисел и выражений, рассмотренному выше.
Иногда при решении уравнений в целых числах удается
найти часть очевидных решений и далее доказать, что других
решений не существует. При доказательстве часто используется
«метод остатков», состоящий в сравнении остатков от деления
левой и правой частей уравнения на некоторое (выбранное)
число.
3.18. Решите в целых числах уравнение x 2  4 xy  y 2  2011.
---------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Определим возможные остатки при делении квадрата целого числа на 4.
1) Пусть x  2k , k  Z . Тогда x 2  4k 2 и остаток от деления
x 2 на 4 равен 0.
2) Пусть x  2k  1 , k  Z . Тогда x 2  (2k  1) 2  4k 2  4k  1 и
остаток от деления x 2 на 4 равен 1.
Итак, квадрат любого целого числа при делении на 4 дает в
остатке либо 0, либо 1.
Слагаемое 4 xy на 4 делится нацело. Откуда заключаем, что
остатками от деления левой части уравнения на 4 могут быть
только числа 0, 1, 2.
Вместе с тем остаток от деления числа 2011 на 4 равен 3,
так как 2011 = 4∙502 + 3.
Таким образом, равенство невозможно, так как левая и правая части дают при делении на 4 разные остатки.
Откуда заключаем, что уравнение целочисленных решений
не имеет.
О т в е т: уравнение не имеет решений в целых числах.
3.19. Решите в натуральных числах уравнение: x!1  y 2 , где
x! 1 2  3  ...  x – произведение всех натуральных чисел от 1 до x.
----------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Рассмотрим последовательно возможные случаи:
302
1) Пусть x  1. Тогда уравнение принимает вид 1!1  y 2 
y 2  0 . Уравнение не имеет решений в натуральных числах, так
как y  0 не является натуральным числом.
2) Пусть x  2 . Тогда уравнение принимает вид 2!1  y 2 
y 2  1 . Откуда, учитывая, что y – натуральное число, получаем
y  1.
Таким образом, пара натуральных чисел x  2 , y  1 является решением уравнения.
3) Пусть x  3 . Докажем, что в этом случае уравнение не имеет
решений в натуральных числах.
Число x! делится нацело на 3, так как при x  3 произведение x! 1 2  3  ...  x обязательно имеет сомножитель 3. Тогда
x!1 при делении на 3 дает в остатке 2.
С другой стороны, квадрат любого натурального числа при
делении на 3 дает в остатке либо 0, либо 1. Действительно, так
как остатками от деления некоторого натурального числа y на 3
являются числа 0, 1, 2, то число y можно записать в одном из
трех видов: y  3k , k  N ; y  3k  1 , k  N ; y  3k  2 , k  N .
1) Если y  3k , k  N , то число y 2  9k 2 делится нацело на 3.
2) Если y  3k  1 , k  N , то число y 2  (3k  1) 2  9k 2  6k  1
– при делении на 3 дает остаток 1.
3) Если y  3k  2 , k  N , то число y 2  (3k  2) 2  9k 2  12k  4
– при делении на 3 дает остаток 1.
Таким образом, при x  3 остаток от деления левой части
уравнения равен 2, а остаток при делении на 3 правой части
уравнения равен либо 0, либо 1 при любых натуральных у.
Следовательно, равенство не выполняется ни при каких
натуральных значениях х и у, так как левая и правая части дают
при делении на 3 разные остатки.
О т в е т: (2; 1).
3.20. Решите в натуральных числах уравнение: n!5n  13  k 2 ,
где n! 1 2  3  ...  n – произведение всех натуральных чисел от 1
до n.
----------------------------------------------------------------------------------303
Р е ш е н и е. Рассмотрим последовательно возможные случаи:
1) При n = 1 получаем уравнение: 1!5 1  13  k 2  k 2  19 .
Равенство не выполняется ни при каких натуральных k.
2) При n = 2 получаем уравнение: 2!5  2  13  k 2 
1  2  5  2  13  k 2  k 2  25 , откуда, учитывая, что k –
натуральное число, находим k = 5.
Таким образом, уравнение имеет решение в натуральных
числах n = 2, k = 5.
3) При n = 3 получаем уравнение: 3!5  3  13  k 2

2
2
1  2  3  5  3  13  k  k  34 . Равенство не выполняется ни
при каких натуральных k.
4) При n = 4 получаем уравнение: 4!5  4  13  k 2

1  2  3  4  5  4  13  k 2  k 2  57 . Равенство не выполняется
ни при каких натуральных k.
5) Пусть n ≥ 5. Докажем, что уравнение не имеет решений в
натуральных числах.
1-й способ.
Если n ≥ 5, то левая часть уравнения при делении на 5 дает
остаток, равный 3, так как первые два слагаемых делятся на 5
нацело, а число 13 при делении на 5 имеет остаток 3.
Докажем, что правая часть уравнения ни при каких натуральных k не имеет остатка 3.
Любое натуральное число можно записать в одном из пяти
видов: k  5l , k  5l  1 , k  5l  2 , k  5l  3 , k  5l  4 , l  N .
Рассмотрим последовательно все случаи.
а) k  5l , l  N . Тогда k 2  25l 2 – делится нацело на 5.
б) k  5l  1 , l  N . Тогда k 2  (5k  1) 2  25l 2  10l  1 – при
делении на 5 дает остаток 1.
в) k  5l  2 , l  N . Тогда k 2  (5k  2) 2  25l 2  20l  4 – при
делении на 5 дает остаток 4.
г) k  5l  3 , l  N . Тогда k 2  (5k  3) 2  25l 2  30l  9 – при
делении на 5 дает остаток 4.
д) k  5l  4 , l  N . Тогда k 2  (5k  4) 2  25l 2  40l  16 – при
делении на 5 дает остаток 1.
Откуда заключаем, что квадрат любого натурального числа
304
при делении на 5 дает остатки 0, 1 или 4.
Таким образом, при n ≥ 5 уравнение не имеет решений в
натуральных числах.
2-й способ. Если n ≥ 5, то левая часть уравнения заканчивается
цифрой 3 или 8.
Действительно, n! при n ≥ 5 оканчивается цифрой 0, так как
среди множителей есть число 10. Число 5n оканчивается либо
цифрой 0, либо цифрой 5.
Следовательно, число n!5n  13 оканчивается либо цифрой
3, либо цифрой 8.
Вместе с тем, известно, что квадрат любого натурального
числа не может оканчиваться ни цифрой 3, ни цифрой 8.
Действительно, 12  1 , 2 2  4 , 32  9 , 4 2  16 , 5 2  25 ,
2
6  36 , 7 2  49 , 8 2  64 , 9 2  81. Откуда заключаем, что
квадрат любого натурального числа может оканчиваться только
цифрами 1, 4, 5, 6, 9. Следовательно, равенство не выполняется.
О т в е т: n = 2, k = 5.
3.21. Решите в натуральных числах уравнение 2 x  63  y 2 .
----------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Рассмотрим два случая.
1) Пусть x  2k , k  N - четное число.
Тогда уравнение принимает вид: 2 2 k  63  y 2 
(2 k ) 2  y 2  63  (2 k  y )(2 k  y )  63 .
Так как k и y – натуральные числа по условию, то натуральные числа 2 k  y и 2 k  y являются делителями числа 63. При
этом очевидно, 2 k  y  2 k  y . Поэтому возможны три варианта:
а) 2 k  y  1 ,
2 k  y  63 .
Складывая равенства, получаем 2  2 k  64  2 k  32 , откуда находим k  5 . Тогда x  10 , y  31
б) 2 k  y  3 ,
2 k  y  21 .
305
Складывая равенства в этом случае, получаем 2  2 k  24
 2 k  12 . Это уравнение не имеет решений в натуральных
числах.
в) 2 k  y  7 ,
2k  y  9 .
Складывая равенства в этом случае, получаем 2  2 k  16
 2 k  8 , откуда находим k  3 . Тогда x  6 , y  1 .
2) Пусть x  2k  1 , k  N - нечетное число. Тогда уравнение
принимает вид 2 2 k 1  63  y 2 .
Поскольку 2 2  4 при делении на 3 дает остаток 1, то 2 2 k 1
при делении на 3 дает остаток 2, так как 2 2 k 1  (2 2 ) k  2 
 1  2(3)  2 . Число 63 делится на 3. Следовательно, y 2 не делится на 3. Если y 2 не делится на 3, то и y не делится на 3, то
есть либо y  3k  1 , k  N , либо y  3k  2 , k  N .
Но в обоих случаях числа y 2  (3k  1) 2  9k 2  6k  1 и
y 2  (3k  2) 2  9k 2  12k  4 при делении на 3 дают остаток 1.
Таким образом, при x  2k  1 , k  N остаток от деления
левой части уравнения на 3 равен 2, а остаток при делении на 3
правой части уравнения равен 1 при любых натуральных у.
Следовательно, равенство невозможно ни при каких натуральных значениях х и у, так как левая и правая части дают при
делении на 3 разные остатки.
Итак, данное уравнение имеет два решения в натуральных
числах: (6; 1), (10; 31).
О т в е т: (6; 1), (10; 31).
3.22. Найдите все пары натуральных чисел m и n, являющихся
решениями уравнения 2 m  3 n  1 .
----------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Уравнение имеет очевидное решение m = 2, n = 1.
Докажем, что других решений в натуральных числах уравнение не имеет.
1) Если m  2k 1 , k  Z 0 - нечетное число, то получаем
306
2 2 k 1  3n  1  2  2 2 k  1  3 n  2  4 k  1  3n .
Число 4 при делении на 3 дает остаток 1, значит, 4 k при делении на 3 также дает остаток, равный 1. Поэтому число 2 4 k
при делении на 3 дает остаток 2 и равенство, очевидно, не выполняется, так как правая часть делится на 3.
2) Если m  2k , k  N - четное число, то получаем
2 2 k  3 n  1  2 2 k  1  3 n  (2 k  1)(2 k  1)  3n .
Таким образом, число 3 n представляется в виде произведения двух множителей, разность которых равна 2. Это возможно
лишь в случае 2 k  1  1 и 2 k  1  3 . Откуда получаем k = 1 и,
следовательно, m = 2, n = 1.
О т в е т: m = 2, n = 1
VI. Метод оценок.
Идея метода оценок состоит в преобразовании уравнения к
виду, позволяющему провести оценку возможных значений левой и правой частей уравнения и свести задачу к перебору целочисленных значений неизвестных, удовлетворяющих найденным ограничениям.
3.23. Решите уравнение в целых числах
9 x 2  8 y 2  16xy  2 x  7 .
----------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е.
Перепишем уравнение так: 8 x 2  8 y 2  16xy  x 2  2 x  1  8 .
Выделив в левой части уравнения полные квадраты, получим уравнение: 8( x  y ) 2  ( x  1) 2  8  8( x  y ) 2  8  ( x  1) 2 .
Так как х и у – целые числа и пара чисел х = 0, у = 0 не удовлетворяет уравнению, то ( x  y ) 2  1 , и выполняется следующая оценка возможных значений левой части последнего уравнения: 8( x  y ) 2  8 .
С другой стороны, так как ( x  1) 2  0 при любых значениях
х, то правая часть последнего уравнения 8  ( x  1) 2  8 при любых значениях х. Откуда заключаем, что равенство возможно
307
только в том случае, если левая и правая части уравнения равны
8. Правая часть равна 8 только при x  1 0 , т.е. при х = −1.
Найдем у.
При х = −1 уравнение принимает вид: 8(1  y ) 2  8 
(−1 + у)2 = 1, откуда получаем −1 + у = ± 1, и два значения
y1  0 , y2  2 . Таким образом, уравнение имеет два целочисленных решения: (−1; 0), (−1; 2).
О т в е т: (−1; 0), (−1; 2).
3.24. Решить в натуральных числах уравнение x  y  z  xyz .
----------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Положим для определенности x  y  z .
Тогда справедлива следующая оценка левой части уравнения: x  y  z  3 z . А так как x  y  z  xyz , то выполняется
следующее неравенство: xyz  3 z .
Разделив обе части неравенства на натуральное число z ,
получим xy  3 .
Если x  y  z , то получаем уравнение 3 z  z 3  z2 = 3,
что невозможно при натуральном значении z. Значит, хотя бы
два из чисел х, у, z неравные. Поэтому xy  3 , т.е. либо xy  2 ,
либо xy  1 .
Если xy  2 , то x  1, y  2 , и из исходного уравнения
найдем z  3 .
Если xy  1 , то x  y  1 , и из исходного уравнения получим
2  z  z , что невозможно.
Итак, одно из решений уравнения есть x  1, y  2 , z  3 .
Так как неизвестные x, y, z равноправны, а мы только для
определенности допустили, что x  y  z , то всевозможные
комбинации этих чисел также являются решениями этого уравнения.
Таким образом, уравнение имеет 6 решений:
(1; 2; 3), (1; 3; 2), (2; 1; 3), (2; 3; 1), (3; 1; 2), (3, 2, 1).
О т в е т: (1; 2; 3), (1; 3; 2), (2; 1; 3), (2; 3; 1), (3; 1; 2), (3, 2, 1).
308
VII. Комбинированные задачи.
Некоторые задачи на решение уравнений в целых числах
требуют применения соответствующей комбинации рассмотренных выше методов.
3.25. Найти все целочисленные решения уравнения
14x 4  5 y 4  3x 2 y 2  82 y 2  125x 2  51  0
----------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Перепишем уравнение так:
14x 4  (3 y 2  125) x 2  (5 y 4  82 y 2  51)  0 .
Будем рассматривать это уравнение как биквадратное уравнение относительно х.
Произведем замену: x 2  t , t  0 . После замены получим
квадратное уравнение относительно t:
14t 2  (3 y 2  125)t  (5 y 4  82 y 2  51)  0
Найдем дискриминант уравнения.
D  (3 y 2  125) 2  56(5 y 4  82 y 2  51)  289y 4  3842y 2  12769 
 (17 y 2 ) 2  2 17 y 2 113  1132  (17 y 2  113) 2 .
Выражения для корней имеют вид:
(3 y 2  125)  (17 y 2  113)
 y 2  17
5y2  3
, откуда t1 
, t2 
.
t1, 2 
28
2
7
Разлагая квадратный трехчлен на множители («по корням»),
запишем уравнение так:
5y 2  3
 y 2  17
2

14( x 
)  (x2 
)0
2
7
(7 x 2  5 y 2  3)(2 x 2  y 2  17)  0 .
Полученное уравнение равносильно совокупности двух
уравнений:
7 x 2  5 y 2  3  0,
7 x 2  5 y 2  3,

 2
 2
2
2
2 x  y  17.
2 x  y  17  0,
Рассмотрим первое уравнение 7 x 2  5 y 2  3 .
Левая часть этого уравнения делится нацело на 7, так как
х, y  Z , значит, и 5 y 2  3 делится на 7. Представим у в виде
309
y  7 q  r , где q и r - целые числа, причем 0  r  6 , и
приведем правую часть первого уравнения к виду:
5(7q  r ) 2  3  5(49q 2  14qr  r 2 )  3  5(49q 2  14qr)  5r 2  3 .
Так как 5(49q 2  14qr)  7(35q 2  10qr) делится на 7, то на 7
должно делиться число 5r2 + 3.
Однако, при r = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 это выражение принимает
значения: 3, 8, 23, 48, 83, 128, 183, ни одно из которых не делится на 7. Значит, первое уравнение не имеет целочисленных решений.
Рассмотрим второе уравнение: 2 x 2  y 2  17 .
Так как x 2  0 , y 2  0 при любых х и у, то имеет место следующая оценка: 2 x 2  17 . Откуда заключаем, что х может
принять только пять целочисленных значений: 0, ±1, ±2.
Рассмотрим последовательно все возможные случаи.
1) Если х = 0, то получаем уравнение y 2  17 , которое не имеет
решений в целых числах.
2) Если х = ± 1, то получаем уравнение y 2  15 , которое также
не имеет решений в целых числах.
3) Если х = ± 2, то получаем уравнение y 2  9 , откуда находим
у = ± 3, и получаем четыре целочисленных решения исходного
уравнения: (2; 3), (2; −3), (−2; 3), (−2; −3).
О т в е т: (2; 3), (2; −3), (−2; 3), (−2; −3).
310
3.2. Некоторые замечательные уравнения в целых
числах
Решение уравнений в целых числах представляет собой одну из труднейших, красивейших и древнейших математических
задач. Самые выдающиеся математики, такие как, греческий
математик Пифагор (VI век до н.э.), александрийский математик Диофант (III век н.э.), именем которого названы эти уравнения, Пьер де Ферма (XVII век.), Леонард Эйлер (XVIII век),
Карл Гаусс (XIX век), Пафнутий Львович Чебышев (XIX век) и
многие другие, занимались этой задачей и оставили неизгладимый след в развитии теории ее решения. Неслучайно 10-ая проблема Гильберта – одна из 23 задач, которые Давид Гильберт
предложил 8 августа 1900 года на II Международном конгрессе
математиков для решения в 20-м веке, состояла в нахождении
универсального метода целочисленного решения произвольного
алгебраического диофантова уравнения.
«Пусть дано диофантово уравнение с произвольными неизвестными и целыми числовыми коэффициентами. Указать способ, при помощи которого возможно после конечного числа
операций установить, разрешимо ли это уравнение в целых числах».
Давид Гильберт (David Hilbert 23.01.
1862-14.02.1943) - немецкий математик.
Внес значительный вклад в развитие многих
областей математики. Работы по теории инвариантов, теории алгебраических чисел,
основаниям геометрии, теории интегральных уравнений, математической физики,
основаниям математики. Решение проблемы
Дирихле и проблемы Варинга в теории чисел. Для творчества Гильберта характерны
уверенность в неограниченной силе человеческого разума, убеждение в единстве математической науки и единстве математики и естествознания.
В 1970 году ленинградский математик Юрий Владимирович
Матиясевич доказал, что не существует единого алгоритма,
311
позволяющего за конечное число шагов решить в целых числах
произвольное диофантово уравнение.
Матиясевич Юрий Владимирович
(2.03.1947) − советский и российский
математик, академик РАН (2008), доктор
физико-математических наук.
Специалист в области математической
логики, теории алгоритмов, теории чисел,
дискретной математики. Внес существенный
вклад в теорию вычислимости, завершив решении десятой проблемы Гильберта.
Поэтому для каждого уравнения приходится выбирать оригинальные методы решения, рассмотренные выше, в основе которых лежат определения и свойства делимости чисел.
Рассмотрим некоторые замечательные уравнения в целых
числах, оказавших существенное влияние на развитие теории
решения диофантовых уравнений и решение многих проблем
теории чисел.
3.2.1. «Пифагорово» уравнение x 2  y 2  z 2 .
Диофантово уравнение 2-й степени. Уравнение называют
«пифагоровым», так как оно определяет знаменитую теорему
Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Поэтому тройки чисел ( x; y; z ) , удовлетворяющие этому
уравнению, называют пифагоровыми тройками (пифагоровыми
числами).
Если в пифагоровой тройке все числа x, y и z попарно взаимно просты, то такую тройку называют примитивной.
Зная общий вид примитивных пифагоровых троек, можно
найти все решения данного уравнения. Действительно, если два
числа из пифагоровой тройки имеют общий делитель, то на него, очевидно, делится и третье число. Значит, от примитивной
тройки легко перейти к любой пифагоровой тройке, умножив
примитивную тройку на любое целое число.
312
Заметим, что в примитивной пифагоровой тройке два числа
не могут быть четными и все три числа не могут быть нечетными одновременно. Действительно, любые два четных числа не
являются взаимно простыми, а в случае, когда все три числа
являются нечетными, уравнение, очевидно, не выполняется в
силу того, что квадрат любого нечетного числа – число нечетное, а сумма двух нечетных чисел – число четное.
Остается один вариант: два числа нечетные и одно четное.
Покажем, что z не может быть четным. Действительно, если
число z  2k , k  Z , то числа х и у – нечетные числа, то есть
x  2m  1 , m Z , x  2n  1 , n Z . Тогда сумма x 2  y 2 
 (2m  1) 2  (2n  1) 2  4m 2  4m  1  4n 2  4n  1  4  (m 2 
m  n 2  n)  2 не делится на 4, тогда как z 2  4k 2 делится на 4.
Откуда заключаем, что четным числом является либо х, либо у. Пусть четным числом является y  2m , m Z . Тогда х и z
– нечетные числа. Обозначим z  x  2u 2 , z  x  2v 2 . Числа u
и v взаимно простые. Действительно, если бы u и v имели общий множитель d  1 , то на d делились бы также числа
z  u 2  v 2 и x  u 2  v 2 , что противоречит условию взаимной
простоты чисел x и z . Кроме того, u и v - числа разной четности, так как иначе числа x и z были бы четными.
Из равенства x 2  z 2  y 2  ( z  y )( z  y )  2u 2  2v 2 
 4u 2 v 2 , получаем x  2uv .
Таким образом, любая примитивная пифагорова тройка
( x; y; z ) , где х – нечетно, а у – четно, однозначно представляется
в виде (u 2  v 2 ;2uv; u 2  v 2 ) для некоторых натуральных взаимно
простых чисел u  v разной четности.
Например: для чисел u  2 и v  1 получаем примитивную пифагорову тройку (3;4;5) , а для чисел u  3 и v  2 получаем
примитивную пифагорову тройку (5;12;13) .
Итак, метод нахождения примитивных пифагоровых троек
найден. Все остальные пифагоровы тройки можно записать так:
(k  (u 2  v 2 ); k  2uv; k  (u 2  v 2 )) , где k – произвольное натуральное число.
313
Приведем несколько примитивных пифагоровых троек, получаемых при различных u и v:
при u  2 , v  1: x  3 , y  4 , z  5  3 2  4 2  5 2 ;
при u  3 , v  2 : x  5 , y  12 , z  13  5 2  12 2  132 ;
при u  4 , v  3 : x  7 , y  24 , z  25  7 2  24 2  25 2 ;
при u  5 , v  4 : x  9 , y  40 , z  41  9 2  40 2  412 ;
при u  6 , v  5 : x  11, y  60 , z  61  112  60 2  612 ;
при u  7 , v  6 : x  13, y  84 , z  85  132  84 2  85 2 ;
при u  4 , v  1 : x  15, y  8 , z  17  15 2  8 2  17 2 ;
при u  5 , v  2 : x  21, y  20 , z  29  212  20 2  29 2 ;
при u  7 , v  4 : x  33, y  56 , z  65  332  56 2  65 2 ;
при u  6 , v  1: x  35 , y  12 , z  37  35 2  12 2  37 2 и т.д.
Замечание. Заметим, что представленные пифагоровы тройки
обладают любопытными особенностями:
- один из «катетов» делится на 3;
- один из «катетов» делится на 4;
- одно из чисел пифагоровой тройки делится на 5.
Доказано, что все пифагоровы числа обладают такими же
свойствами.
Отметим также, что если ( x; y; z ) - пифагорова тройка чисел,
то площадь квадрата, сторона которого равна z, равна сумме
площадей квадратов со сторонами x и y.▼
3.2.2. Неопределенное уравнение x n  y n  z n , n N .
Уравнение связано с «Великой теоремой Ферма», которая
утверждает, что для любого натурального числа n  2 уравнение
вида x n  y n  z n не имеет натуральных решений ( x; y; z ) .
Это заключение Пьер Ферма сделал в 1637 году при чтении
«Арифметики» Диофанта. На полях этой книги, рядом с тем местом, где идет речь о решении уравнения вида x 2  y 2  z 2 ,
Пьер де Ферма написал: «Между тем, совершенно невозможно
314
разложить полный куб на сумму кубов, четвертую степень – на
сумму четвертых степеней и вообще никакую степень, большую
квадрата, на сумму степеней с тем же показателем. Я нашел поистине удивительное доказательство этого предположения, но
поля книги слишком узки для него».
Несколько позже сам Ферма опубликовал доказательство
теоремы для n  4 , не приведя доказательства общего случая.
Доказательство теоремы искали многие выдающиеся математики более трехсот лет. Случай, когда n  3 , был доказан Эйлером в 1768 году; случай, когда n  5 , был доказан почти одновременно Дирихле и Лежандром в 1828 году; случай n  7
был доказан в 1839 году Ламе. В 1849 г. Куммер доказал теорему для всех показателей степеней меньших ста.
Габриель Ламе (Gabriel Lame, 1795-1870)
– французский математик и механик.
В период 1820 – 1832 годов работал в России –
преподавал в ранге профессора в Институте
корпуса инженеров путей сообщения.
Основные труды по математической физике и
теории упругости. Разработал общую теорию
криволинейных координат, ввел специальный
класс функций – функции Ламе (1839). В 1840
году доказал Великую теорему Ферма для
случая n = 7.
Эрнст Эдуард Куммер (Ernst Eduard
Kummer ,1810 – 1893) – немецкий математик.
Наиболее значительные труды относятся к
алгебре и теории чисел. В теории чисел с
1837 года Куммер много занимался Великой теоремой Ферма и доказал ее для целого класса простых показателей. В ходе доказательства открыл идеальные числа и
описал их необычные свойства. За эти работы он получил Большой приз Парижской
Академии наук.
В 1905 году немецкий промышленник и математик Пауль
Вольфскель, который в течении 25 лет безуспешно пытался до315
казать Великую теорему, вдохнул новую жизнь в старую проблему. Он завещал 100000 марок (целое состояние в те времена!) тому, кто даст полное доказательство теоремы Ферма. В
завещании он отвел срок на решение этой задачи – 101 год после дня своей смерти. Умер Пауль Вольфскель 13 сентября 1906
года.
Пауль Вольфскель (Paul Wolfskehl, 18561906) – немецкий математик.
Перед тем как покончить жизнь самоубийством на почве неразделенной любви Пауль,
пересмотрев научные труды своего учителя
математики Куммера, отказался от попытки
самоубийства и в течение 25 лет пытался доказать Великую теорему, но так и не смог до
конца жизни найти решение. Незадолго до
смерти, в 1905 году он изменил завещание и
оставил все состояние Королевскому научному обществу Геттингена для вручения в виде
премии тому, кто докажет Великую теорему
Ферма.
Сотни и тысячи людей стали бомбардировать научные сообщества и университеты «доказательствами» теоремы Ферма.
Считается, что теорема стоит на первом месте по количеству
некорректных «доказательств».
И лишь в 1994 году теорема была окончательно доказана
американским математиком Эндрю Уайлсом. 27 июня 1997 года
премия Вольфскеля была вручена американцу.
Сэр Эндрю Джон Уайлс (Sir Andrew
John Wiles, род.11.04.1953 – английский
и американский математик, профессор
математики Принстонского университета, член научного совета Института
математики Клея.
Одним из главных событий в его жизни и
карьере стало доказательство Великой теоремы Ферма в 1993 году и обнаружение
технического метода, позволившего закончить доказательство в 1994 году.
316
Вроде все прекрасно - Великая теорема Ферма доказана,
премия вручена. Но, осталось чувство неудовлетворенности.
Эндрю Уайлс доказал Великую теорему Ферма, используя теорию «эллиптических кривых», о которых в 17 веке, когда жил
и творил Пьер де Ферма, никто не имел никакого понятия. А
ведь Ферма утверждал, что он знает доказательство своей теоремы! Поэтому попытки доказать Великую теорему не прекращаются и по сей день… .
В заключение этого краткого экскурса в историю вопроса о
доказательстве Великой теоремы Ферма, нельзя не отдать дань
памяти семье Вольфскелей, вложившей огромные средства в
развитие германской науки (например, университет в
Дармштадте сохранился благодаря финансовой поддержке Отто Вольфскеля, старшего брата Пауля, именем которого названа одна из улиц Дармштадта – Otto Wolfskehl Strasse). Все десять членов этого еврейского семейства были уничтожены в
концлагерях, в том числе пятеро - в Освенциме. Только один из
них – поэт Карл Вольфскель успел эмигрировать в Новую Зеландию…
Упражнения.
511. Решите в целых числах уравнение 3 x  2 y  7 .
512. Решите в целых числах уравнение 3 y  2 x  8 .
513. Решите в целых числах уравнение 83 y  22x  3 .
514. Решите в целых числах уравнение 17 x  19 y  5 .
515. Решите в целых числах уравнение 2 x  4 y  5 z  1 .
516. Решите в целых числах уравнение xy  3 x  y .
517. Решите в целых числах уравнение xy  x  y .
518. Решите в целых числах уравнение y  x  xy  2 .
519. Решите в целых числах уравнение 3 xy  2 x  3 y  0 .
520. Решите в целых числах уравнение y  4 x  2 xy  0 .
521. Решите в целых числах уравнение x  2)(xy  4  1 .
522. Решите в целых числах уравнение 2 x 2  xy  x  7 .
523. Решите в целых числах уравнение x 2  xy  x  y  1 .
317
524. Решите в целых числах уравнение x 2  xy  2 y 2  1 .
525. Решите в целых числах уравнение x 2  3xy  2 y 2  3 .
526. Решите в целых числах уравнение x 2  xy  2 y 2  x  y  3 .
527. Решите в целых числах уравнение 3x 2  4 xy  7 y 2  13 .
528. Решите в целых числах 2 y 2  2 x 2  3xy  2 y  x  2 .
529. Решите в целых числах уравнение y 2  2 xy  2 x  6 .
530. Решите в целых числах уравнение x 2  xy  y  2 .
531. Решите в целых числах уравнение 2 x 3  xy  7  0 .
532. Решите в целых числах уравнение 1  x  x 2  x 3  2 y .
533. Решите в целых числах x 3  ( x  1) 3  ( x  2) 3  ( x  3) 3 .
534. Найти все целые положительные решения уравнения
3x 2  3xy  2 x  y  56 .
535. Найти все целые положительные решения уравнения
2 x 2  2 xy  x  3 y  36 .
536. Найти все целые положительные решения уравнения
x 2  y 2  105 .
537. Найти все целые положительные решения уравнения
3xy  71  14x  17 y .
538. Докажите, что уравнение не имеет решений в целых числах x 2  3 y  5 .
539. Докажите, что уравнение не имеет решений в целых числах 3x 2  4 y 2  13 .
540. Докажите, что уравнение не имеет решений в целых числах 7 x 2  4 y  5 .
541. Докажите, что уравнение не имеет решений в целых числах 3 x  18 y  7 .
542. Решите в натуральных числах уравнение x! y! 4 z  3 .
543. Найти все целые положительные решения уравнения
n k 1  n!  5  (30k  11) .
544. Решите в натуральных числах уравнение 2 x  3 x  4 x  y 2 .
545. Решите в натуральных числах уравнение 3 x  55  y 2 .
318
546. Решите уравнение в натуральных числах x!1  y 2 .
547. Решите уравнение в натуральных числах x!12  y 2 .
548. Решите уравнение в натуральных числах xy( x  y )  120 .
549. Решите в целых числах уравнение a 2 b 2  a 2  b 2  1969 .
550. Решите уравнение в целых числах 19x 2  91y 2  1991.
551. Решите в простых числах уравнение x 2  4 y 2  9 .
552. Решите уравнение в целых числах 3 x  1  y 2 .
553. Решите уравнение в целых числах x  y  x 2  xy  y 2 .
554. Решите уравнение в целых числах 1  2 k  2 2 k 1  n 2 .
555. Решите уравнение в целых числах x 2  2 xy  4 x  7 .
556. Решите уравнение в целых числах 2 x 2  12xy  19 y 2  132 .
557. Решите уравнение в целых числах x 2  3x  5  y 2 .
558. Решите уравнение в целых числах 2 x 2  3xy  3 y 2  2 x  6 y .
559. Решите уравнение в целых числах 3 x  7  2 y .
560. Найти все целочисленные решения уравнения:
15x 4  6 y 4  13x 2 y 2  70 y 2  89x 2  104  0 .
319
Глава 4. Системы уравнений
4.1. Понятие системы уравнений
4.1.1. Определение системы уравнений. Решение
системы. Область допустимых значений
Определение 4.1.
Множество n уравнений неизвестными x, y, …, z
 f 1 ( x, y,..., z )  g 1 ( x, y,..., z ),
 f ( x, y,..., z )  g ( x, y,..., z ),
 2
2

...
 f n ( x, y,..., z )  g n ( x, y,..., z ),
(4.1)
рассматриваемых совместно, называется системой уравнений.
 x  y  z 2  6,

Например: множество уравнений  x 2  xy  z  4,
 x  6  y  z,

рассматриваемых совместно, представляет собой систему трех
уравнений с тремя неизвестными x, y, z .
Определение 4.2. Система чисел (a; b;...; c) называется решением системы уравнений (4.1), если при x  a , y  b , ... , z  c
удовлетворяется каждое из уравнений системы.
Например: система чисел (1; 2; 3) является решением системы
 x  y  z 2  6,
 2
 x  xy  z  4,
 x  6  y  z,

так как при x  1 , y  2 , z  3 все уравнения обращаются в
верные числовые равенства, то есть удовлетворяются все урав320
нения системы; система чисел (4;1;3) не является решением
этой системы, так как удовлетворяется только первое уравнение системы.
Решить систему уравнений - это значит найти множество
всех ее решений или доказать, что решений система не имеет.
Определение 4.3. Общая часть (пересечение) областей определения функций, входящих в правые и левые части уравнений
системы, называется областью определения системы или
областью допустимых значений неизвестных системы (сокращенно - ОДЗ системы).
Например: ОДЗ системы уравнений
 x  y  z 2  6,
 2
 x  xy  z  4,
 x  6  y  z,

определяется условиями: x ≥ 0, y, z – любые действительные
числа.
Решение системы должно принадлежать ОДЗ системы.
Классификацию систем проводят по числу и характеру
уравнений, входящих в систему.
 x
y 3


Например: система 
 y
x 2 является алгебраической
 x  xy  y  9

системой двух уравнений с двумя неизвестными x и y;
система
log2 x  log4 y  log4 z  2,

log9 x  log3 y  log9 z  2, является
log x  log y  log z  2,
16
4
 16
трансцендентной
системой трех уравнений с тремя неизвестными х, у, z.
Наряду с системой уравнений пользуются также понятием
совокупности уравнений.
321
Определение 4.4.
Множество n уравнений с неизвестными x, y, …, z
 f 1 ( x, y,..., z )  g 1 ( x, y,..., z ),
 f ( x, y,..., z )  g ( x, y,..., z ),
2
 2
...

 f n ( x, y,..., z )  g n ( x, y,..., z ),
(4.2)
рассматриваемых раздельно, называется совокупностью уравнений.
 x 2  y  z  1,

Например: множество уравнений  x  y 2  2 z  2,
 x  y  z 2  0,

рассматриваемых раздельно, представляет собой совокупность
трех уравнений с тремя неизвестными x, y, z .
Замечание. Заметим, что в отличие от системы уравнений,
обозначаемой фигурной скобкой, совокупность уравнений обозначается квадратной скобкой. ▼
Определение 4.5. Система чисел (a; b;...; c) называется решением совокупности уравнений (4.2), если при x  a , y  b , ... ,
z  c удовлетворяется хотя бы одно из уравнений совокупности и при этом все остальные уравнения совокупности определены.
Например: система чисел (1; 1; 1) является решением совокуп-
 x 2  y  z  1,

ности  x  y 2  2 z  2,
 x  y  z 2  0,

так как при x = 1, y = 1, z = 1 первое уравнение обращается в
верное числовое равенство, а все остальные уравнения определены; система чисел (0; 0; 1) является решением совокупности,
322
так как при x = 0, y = 0, z = 1 удовлетворяются первое и второе
уравнения совокупности, а третье уравнение определено; система чисел (4;1;3) не является решением этой совокупности,
так как не удовлетворяется ни одно из уравнений совокупности.
Решить совокупность уравнений - это значит найти множество всех ее решений или доказать, что решений совокупность не имеет.
Определение 4.6. Общая часть (пересечение) областей определения функций, входящих в правые и левые части уравнений
совокупности, называется областью определения совокупности уравнений или областью допустимых значений неизвестных совокупности (сокращенно – ОДЗ совокупности).
Например: ОДЗ совокупности уравнений
 x  y  z  1,

 x  y  2 z  2,

3
 x  y  z  1,
определяется условиями: x ≥ 0, y ≥ 0, z - любое действительное
число.
Решение совокупности уравнений должно принадлежать
ОДЗ совокупности.
Например: система чисел (1; –1; –1) не является решением совокупности
 x  y  z  1,

 x  y  2 z  2,

3
 x  y  z  1,
несмотря на то, что удовлетворяет первому и третьему уравнениям, так как не удовлетворяет ОДЗ совокупности (второе
уравнение при у = –1 не имеет смысла).
323
Итак, чтобы решить совокупность уравнений, достаточно
на ОДЗ совокупности решить каждое уравнение в отдельности,
а затем объединить в одно множество все полученные решения.
4.1.2. Равносильность (эквивалентность) систем уравнений. Система – следствие
Определение 4.7. Если всякое решение системы
 f 1 ( x, y,..., z )  g 1 ( x, y,..., z ),
 f ( x, y,..., z )  g ( x, y,..., z ),
 2
2

...
 f n ( x, y,..., z )  g n ( x, y,..., z ),
является решением системы
r1 ( x, y,..., z )  s1 ( x, y,..., z ),
r ( x, y,..., z )  s ( x, y,..., z ),
2
2

...
rn ( x, y,..., z )  s n ( x, y,..., z ),
и обратно, всякое решение второй системы уравнений является
решением первой системы, то данные системы уравнений
называются равносильными (эквивалентными).
Таким образом, системы уравнений равносильны (эквивалентны), если множества их решений совпадают или обе системы не имеют решений.
2
 x y 0
( x  3)( x  y )  0,
Например: системы уравнений  2
и
 2 2
2
 x  y  4
x  y  4
равносильны (эквивалентны), так как множества их решений
совпадают (системы имеют решения ( 2; 2 ) и ( 2; 2 ) ).
В процессе решения системы уравнений можно данную
систему заменить равносильной (эквивалентной), так как при
324
такой замене множество решений остается неизменным. Такая
замена называется равносильным (эквивалентным) переходом.
Замечание. Так как термины «равносильны» и «эквивалентны» обозначают одно и то же свойство систем уравнений, в
дальнейшем, для краткости, будем пользоваться только термином «равносильны». ▼
При равносильном переходе используется знак равносильного перехода:  .
Однако, далеко не всегда такой переход возможен. В таких
случаях часто пользуются понятием системы - следствия.
Определение 4.8. Если всякое решение системы
 f 1 ( x, y,..., z )  g 1 ( x, y,..., z ),
 f ( x, y,..., z )  g ( x, y,..., z ),
 2
2

...
 f n ( x, y,..., z )  g n ( x, y,..., z ),
является решением системы
r1 ( x, y,..., z )  s1 ( x, y,..., z ),
r ( x, y,..., z )  s ( x, y,..., z ),
2
2
,

...

rn ( x, y,..., z )  s n ( x, y,..., z ),
то вторая система называется следствием первой системы.
При переходе к системе-следствию используется знак перехода к следствию:  .
Таким образом, система, полученная в качестве следствия,
может иметь посторонние решения.
( x  1)( x  y )  0,
Например: система уравнений  2
2
 x  y  4,
является след-
 x y 0
ствием системы  2
, так как наряду с решениями
2
x  y  4
325
этой системы ( 2; 2 ) и ( 2; 2 ) , имеет еще два посторонних
решения (1; 3) и (1; 3) .
Процесс решения системы уравнений состоит в преобразовании данной системы к другой, более простой системе, метод
решения которой известен. При этом следует избегать таких
преобразований, в результате которых нарушается равносильность. Иначе приходится решать трудную задачу либо исключения посторонних решений, либо восстановления потерянных.
Приведем без доказательства наи6олее важные теоремы о
равносильности систем уравнений, часто применяющихся при
их решении.
Для простоты изложения (но без потери общности) рассмотрим систему двух уравнений с двумя неизвестными
 f 1 ( x, y )  g 1 ( x, y ),

 f 2 ( x, y )  g 2 ( x, y ).
(4.3)
Теорема 4.1. Если одно уравнение системы заменить равносильным уравнением, то полученная система равносильна исходной.
2 x  3 y  5,
заме4 x  10 y  6,
нить равносильным уравнением 2 x  5 y  3 , то получим равно2 x  3 y  5,
сильную систему: 
2 x  5 y  3.
Например: если второе уравнение системы 
Теорема 4.2. Если к системе уравнений добавить еще одно
уравнение, являющееся следствием уравнений данной системы, то полученная при этом система будет равносильна исходной.
Если же опустить какое-либо уравнение системы, то полученная система будет следствием исходной системы.
326
 x  ( x  y)  10,
Например: если к системе уравнений 
добавить
 y  ( x  y)  6,
уравнение ( x  y)2  4 , полученное вычитанием из первого уравнения второго, и являющееся следствием уравнений данной
( x  y ) 2  4,

системы, то получим равносильную систему  x  ( x  y )  10,
 y  ( x  y )  6.

Теорема 4.3. Если первое уравнение системы (4.3) заменить
уравнением, равным сумме первого уравнения, умноженного
на некоторое отличное от нуля число  , и второго уравнения,
умноженного на некоторое число  , то полученная система
уравнений равносильна системе (4.3), то есть для любых чисел
 f ( x, y )  g 1 ( x, y ),
 и  (  0) системы  1
и
 f 2 ( x, y )  g 2 ( x, y ),
  f 1 ( x, y )    f 2 ( x, y )    g 1 ( x, y )    g 2 ( x, y ),

 f 2 ( x, y )  g 2 ( x, y ),
равносильны.
2 x  3 y  5,
2  (2 x  3 y)  3  (3x  2 y)  2  5  3  1,
Например: 
и 
3x  2 y  1,
3x  2 y  1,
равносильны.
В результате такого равносильного перехода система при13x  13,
4 x  6 y  9 x  6 y  13,
нимает вид 

3 x  2 y  1.
3x  2 y  1,
Теорема 4.4. Системы уравнений
 f 1 ( x, y )  f 2 ( x, y )  g 1 ( x, y )  g 2 ( x, y ),
 f 1 ( x, y )  g 1 ( x, y ),
и 

 f 1 ( x, y )  f 2 ( x, y )  g 1 ( x, y )  g 2 ( x, y ),
 f 2 ( x, y )  g 2 ( x, y ),
равносильны.
327
2 x  3 y  5,
(2 x  3 y)  (2 x  5 y)  5  3,
Например: 
и 
равносиль2 x  5 y  3, (2 x  3 y)  (2 x  5 y)  5  3,
ны.
В результате такого равносильного перехода система при2 x  3 y  2 x  5 y  2,
4 x  2 y  2,
нимает вид 
 
2 x  3 y  2 x  5 y  8,
8 y  8.
Теорема 4.5. Системы уравнений
 f 1 ( x, y )  f 2 ( x, y )  g 1 ( x, y )  g 2 ( x, y ),
 f 1 ( x, y )  g 1 ( x, y ),
и 

 f 2 ( x, y )  g 2 ( x, y ),
 f 2 ( x, y )  g 2 ( x, y ),
а также
 f 1 ( x , y ) g 1 ( x, y )

,
 f 1 ( x, y )  g 1 ( x, y ),

и  f 2 ( x , y ) g 2 ( x, y )

 f 2 ( x, y )  g 2 ( x, y ),
 f ( x, y)  g ( x, y),
2
 2
равносильны, если не существует таких решений (x; y), при
которых одновременно обращаются в нуль f 2 ( x, y) и g 2 ( x, y) .
Например: a) системы уравнений


7x 2 y 2
7 x2
xy

6


,
(
xy

6
)(
xy

2
)


,


y и 
xy



2
y2
 xy  2  y ,

xy

2

,


x
x
равносильны, так как не существует таких решений, при
y2
которых xy  2 и
одновременно обращаются в нуль.
x
В результате такого равносильного перехода получаем
( xy) 2  11xy  12  0,
( xy  6)( xy  2)  7 xy,

 

y2
y2
xy

2

,
xy

2

.


x

x

328
 ( x  y ) 3 ( x  y ) 2 125

,
( x  y )3 ( x  y )2  125,

б) 
и  ( x  y ) 3 ( x  y ) 2 25 равносильны,
( x  y)3 ( x  y )2  25,
( x  y ) 3 ( x  y ) 2  25,

так как не существует таких решений, при которых выражения
( x  y ) 3 ( x  y ) 2 и 25 одновременно обращаются в нуль.
В результате такого равносильного перехода получаем
 ( x  y ) 3 ( x  y ) 2 125
x  y
 5,

,


3
2
25   x  y
 ( x  y) ( x  y)
( x  y ) 3 ( x  y ) 2  25,
( x  y ) 3 ( x  y) 2  25.


Теорема 4.6. Если первое уравнение системы
 f 1 ( x, y )  g 1 ( x, y ),

 f 2 ( x, y )  g 2 ( x, y ),
представимо в виде r1 ( x, y )  r2 ( x, y )  ...  rk ( x, y )  0 и равносильно
совокупности уравнений
r1 ( x, y)  0,
r ( x, y)  0,
2
...

rk ( x, y)  0,
то система равносильна совокупности k систем уравнений
r1 ( x, y )  0,

 f 2 ( x, y )  g 2 ( x, y ),
r ( x, y )  0,
 2
 f 2 ( x, y )  g 2 ( x, y ),

...
rk ( x, y )  0,

 f 2 x, y )  g 2 ( x, y ).
Например: система уравнений
329
2 x3  x 2 y  2 xy2  y 3  0,
(2 x  y )( x  y )( x  y )  0,
равносиль  3 3
 3 3
 x  y  1,
 x  y  1,
на совокупности трех систем уравнений
2 x  y  0,
 3
3
 x  y  1,
 x  y  0,

 x 3  y 3  1,

 x  y  0,
 3
3
  x  y  1.
 y  r ( x),
равносильf
(
x
,
y
)

g
(
x
,
y
),

Теорема 4.7. Система уравнений 
 y  r ( x),
 f ( x, r ( x))  g ( x, r ( x)).
на системе 
 y  x  1,
Например: система уравнений  2
равносильна си2
2 x  y  2,
 y  x  1,
стеме  2
В результате такого равносильного пе2
2 x  ( x  1)  2.
 y  x  1,
рехода система принимает вид  2
 x  2 x  1  0.
Теорема 4.8. Если f 2 ( x, y)  g 2 ( x, y)  0 , то при всех допустимых ( x, y ) системы уравнений
 f 1 ( x, y )  g 1 ( x, y ),  f 1 ( x, y )  g 1 ( x, y ),
и

2
2
 f 2 ( x, y )  g 2 ( x, y ), ( f 2 ( x, y ))  ( g 2 ( x, y )) ,
равносильны.
Например: системы уравнений
330
 x  y  8,
 x  y  8,
и 
равносильны, так

 x  y  xy ,
( x  y ) 2  ( xy ) 2 ,
как х  у  0 и ху  0 , то при всех допустимых ( x, y ) .
Рассмотрим примеры применения теорем 4.1. – 4.8. при
решении задач.
4.1. Равносильна ли система уравнений
2
2
2
2
2 x  5 xy  2 y  x  y  7  0, системе 2 x  5 xy  2 y  x  y  7  0, ?

 2
 x  2 xy  y 2  x  2 y  8  0
 xy  x  3 y  9  0
--------------------------------------------------------------------2 x 2  5 xy  2 y 2  x  y  7  0,
Р е ш е н и е. Система уравнений 
 x 2  2 xy  y 2  x  2 y  8  0
2 x 2  5 xy  2 y 2  x  y  7  0,
равносильна системе 
 xy  x  3 y  9  0.
Действительно, вторая система получена из первой следующим образом: умножили второе уравнение на число 2, сложили с первым, а затем второе уравнение первой системы заменили на полученное уравнение.
О т в е т: равносильна.
 x 2  xy  y 2  10,
4.2. Равносильна ли система уравнений 
 x 4  x 2 y 2  y 4  120
 x 2  y 2  11,
системе 
?
 xy  1
-------------------------------------------------------------------- x 2  xy  y 2  10,
Р е ш е н и е. Система уравнений 
после раз x 4  x 2 y 2  y 4  120
ложения на множители левой части второго уравнения примет
2
2
 x  xy  y  10,
вид 
( x 2  xy  y 2 )( x 2  xy  y 2 )  120.
331
Учитывая первое уравнение системы, заключаем, что система равносильна следующей
 x 2  xy  y 2  10,
 x 2  xy  y 2  10,


 2
10  ( x 2  xy  y 2 )  120
 x  xy  y 2  12.
Складывая и вычитая уравнения этой системы, получим
2 x 2  2 y 2  22,
 x 2  y 2  11,
систему, равносильную исходной 
 
2 xy  2
 xy  1.
 x 2  xy  y 2  10,
Откуда заключаем, что система 
равно x 4  x 2 y 2  y 4  120
 x 2  y 2  11,
сильна системе 
 xy  1.
О т в е т: равносильна.
4.3. Доказать, что системы уравнений
2
 xy  xz  16,  x  xy  xz  25,


2
 xy  yz  9, и  xy  y  yz  7, не являются равносильными.
 xz  yz  z 2  16
 yz  xz  12


-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Решим задачу двумя способами.
1-й способ. Системы уравнений равносильны, если множества
их решений совпадают.
Предположим, что системы уравнений имеют общее решение ( x0 ; y0 ; z0 ) .
 x 0 y 0  x 0 z 0  16,
Тогда  x 0 y 0  y 0 z 0  9, и из второй системы, учитывая
 y z  x z  12
 0 0 0 0
данные равенства, получаем
 x 02  16  25,
 x02  9,
 2
 2
 y 0  9  7, или  y0  16,
 2
 2
 z 0  12  16,
 z0  4.
332
Откуда получаем восемь решений полученной системы
(3;4;2) , (3;4;2) , (3;4;2) , (3;4;2) , (3;4;2) , (3;4;2) , (3;4;2) , (3;4;2) ,
ни одно из которых не является решением первой системы, так
как не удовлетворяется уравнение xy  xz  16 .
Действительно, xy  xz  x( y  z )  16 при подстановки любого из восьми решений.
Откуда заключаем, что данные системы не имеют общих
решений. Следовательно, системы могут быть равносильными
только в том случае, если каждая из этих систем не имеет решений.
 x 2  xy  xz  25,

Решим систему  xy  y 2  yz  7,
 xz  yz  z 2  16

Складывая все уравнения системы, получим уравнение –
следствие x 2  y 2  z 2  2 xy  2 xz  2 yz  48 или ( x  y  z )2  48 .
Присоединив полученное уравнение к системе, получим
равносильную систему
 x 2  xy  xz  25,
 x( x  y  z )  25,


2
 xy  y  yz  7,   y ( x  y  z )  7,


2
 xz  yz  z  16,
 z ( x  y  z )  16,
( x  y  z ) 2  48
( x  y  z )2  48.

Данная система равносильна совокупности двух систем
 x( x  y  z )  25,  x( x  y  z )  25,
 y ( x  y  z )  7,
 y( x  y  z )  7,


и
 z ( x  y  z )  16,  z ( x  y  z )  16,


 x  y  z  4 3.
 x  y  z  4 3.


Подставляя последовательно последнее уравнение в первые три, получим две системы
333
4 3  x  25,  4 3  x  25,


4 3  y  7, и  4 3  y  7,


4 3  z  16,  4 3  z  16,
откуда найдем два решения системы
 25 3 7 3 4 3   25 3 7 3 4 3 

и
.
 12 ; 12 ; 3    12 ; 12 ; 3 


 
Отсюда заключаем, что данные в условии задачи системы
не являются равносильными, что и требовалось доказать.
2-й способ. Решим вторую систему аналогично тому, как показано выше в 1-м способе, получим два решения, и проверим,
являются ли эти решения решениями первой системы.
 25 3 7 3 4 3 
 в первое уравнение
Подставляя решение 
 12 ; 12 ; 3 


первой системы, получим
25 3  7 3 4 3  25 3 23 3 25  23  3 575

x( y  z ) 





 16 ,
12  12
3 
12
12
144
48
откуда следует, что данное решение не удовлетворяет первому
уравнению первой системы и не является его решением.
Отсюда заключаем, что данные в условии задачи системы
не являются равносильными, что и требовалось доказать.
Упражнения.
561. Являются ли равносильными системы
 3x  1 2 x  y 2 y  x


,
3x  2 y  13,  7
2
8 ?
и


3x  2 y  5
 4 x  2  4 y  5x  x  y
 3
2
5
562. Являются ли равносильными системы
 x  y  7 xy, 2 x  5 y,
и
?

 x  y  7 xy
 x  y  3xy
334
563. Являются ли равносильными системы
2 y  x  3,
 x  2 y  3,
и
?
 2
2
2
2
 x  y  y  10 (2 y  3)  y  y  10
564. Являются ли равносильными системы
 x 2 y  y 2 x  20,
( x  y) 2  25,

и
?

1 1 5
( xy) 2  16
x  y  4

565. Являются ли равносильными системы
 x 2 ( x  y )  80,
 x 2 ( x  y )  80,
и
?

 2
 x (2 x  3 y )  80  x  4 y
566. Являются ли равносильными системы
 x  y  2,
x  y  2,
и
?
 3 3
 x  y  8 2(4  3xy)  8
2 x  5 y  20,
2 x  20  5 y,
567. Доказать, что системы  2
и  2
2
2 x  10xy  17 y  21  y  4  0
равносильны.
 x  y  6,
568. Доказать, что система уравнений  2
2
3
3
( x  y )( x  y )  1440
 x  y  6,  x  y  6,
равносильна совокупности систем 
и
 xy  22,
 xy  8.
569. Доказать, что уравнение 5 x  12 y 2  19xy  0 является след-
 x 2  xy  y 2  21,
ствием системы 
 y 2  2 xy  15  0.
335
4.2. Системы линейных уравнений
4.2.1. Основные понятия и определения
Определение 4.9. Системой n линейных уравнении с неизвестными x, у, …, z называется система вида
a1 x  b1 y  ...  c1 z  d 1 ,
a x  b y  ...  c z  d ,
 2
2
2
2

...
a n x  bn y  ...  c n z  d n .
Числа a1 , a2 ,..., an , b1 , b2 ,..., bn , …, c1 , c2 ,..., cn называются
коэффициентами линейной системы; числа d1 , d 2 ,..., d n - свободными членами соответственно первого, второго, ..., n -го
уравнений линейной системы уравнений.
Определение 4.10. Система линейных уравнений называется
совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной (или противоречивой), если она не имеет ни одного
решения.
Совместная система линейных уравнений называется
определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.
x  y 1
Например: а) система 
является совместной и опреx  y  3
деленной, так как имеет единственное решение (2,1);
 x  y 1
б) система 
является совместной и неопределен2 x  2 y  2
ной, так как имеет бесчисленное множество решений
( x,1  x ), x  R (решением системы является любая пара чисел
( x, y ) , связанных соотношением x  y  1 );
336
2 x  3 y  4
2 x  3 y  4,
в) система 
или 
является несов4 x  6 y  5
2 x  3 y  2,5,
местной (противоречивой), так как решений не имеет.
4.2.2. Решение и исследование системы двух линейных
уравнений с двумя неизвестными
Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя

a1 x  b1 y  c1 , () (4.4)
неизвестными: 

a 2 x  b2 y  c 2 , ()
Умножим первое уравнение системы на b2 , второе на  b1
и сложим; затем умножим первое уравнение системы на  a2 , а
второе на a1 и сложим. Получим систему
 (a1  b2  a2  b1 ) x  c1b2  c2b1

(a1  b2  a2  b1 ) y  c2 a1  c1a2
(4.5)
Для удобства решения и дальнейшего исследования системы (4.5) используем понятие определителя (детерминанта)
второго порядка:

a1 b1
 a1b2  a2b1 (определитель системы);
a2 b2
x 
a
c1 b1
 c1b2  c2b1 ;  y  1
a2
c2 b2
c1
 a1c2  a2c1 .
c2
Таким образом, определитель второго порядка  - это
число, получаемое из таблицы коэффициентов системы, раскрываемой по правилу:
+
─
337
Определитель  x получается из  путем замены "столбца" коэффициентов неизвестной x на "столбец" свободных
членов; определитель  y получаются путем аналогичной замены "столбца" коэффициентов неизвестной y.
  x   x ,
Тогда систему (4.5) можно записать так: 
  y   y .
При ее решении возможны следующие случаи:
1) если   0 , то система имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера:
x

 x   ,

y   y ,


является совместной и определенной.
Габриэль Крамер (1704 – 1752) –
швейцарский математик, ученик и
друг Иоганна Бернулли, один из
создателей линейной алгебры.
С раннего возраста проявил большие
способности в области математики. В
18 лет защитил диссертацию. Самая
известная из работ Крамера - изданный незадолго до кончины трактат
«Введение в анализ алгебраических
кривых», опубликованный на французском языке (1750 год, «Introduction a l’analyse des lignes courbes
algebraique»).
В трактате впервые доказывается, что алгебраическая кривая n го порядка в общем случае полностью определена, если заданы её
n∙(n + 3)/2 точек. Для доказательства Крамер строит систему линейных уравнений и решает её с помощью алгоритма, названного позже
его именем (метод Крамера).
338
Геометрическая интерпретация: прямые, изображаемые
уравнениями I и II, пересекаются в одной точке.
у
(I)
( II )
y
О
х
x
2) если    x   y  0 , но хотя бы один из коэффициентов
при неизвестных отличен от нуля, то система имеет бесчис c a 
ленное множество решений вида  x, 1  1  x , x  R , является
 b1 b1 
совместной и неопределенной.
Геометрическая интерпретация: прямые, изображаемые
уравнениями I и II, совпадают и решением является любая точка, лежащая на прямой.
у
(I)
( II )
y
O
x
x
339
3) если   0 , но  x  0 или  y  0 , то система решений не
имеет и является несовместной (противоречивой).
Геометрическая интерпретация: прямые, изображаемые
уравнениями I и II, параллельны.
у
(I)
( II )
О
х
 0  x  0  y  c1
Замечание 1. Система вида 
не имеет решений,
0

x

0

y

c
2

если c1  0 или c2  0 , и удовлетворяется тождественно произвольными значениями x и y, если c1  c2  0 .▼
Замечание 2. При исследовании систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными можно пользоваться также следующими правилами, вытекающими из приведённого выше
анализа.
1) если коэффициенты системы (4.4) непропорциональны, то
a
b
есть 1  1 , то система имеет единственное решение;
a 2 b2
2) если коэффициенты и свободные члены системы (4.4) проa
b
c
порциональны, то есть 1  1  1 , то система имеет бесчисa 2 b2 c 2
ленное множество решений;
3) если коэффициенты системы (4.4) пропорциональны и не
340
пропорциональны свободным членам, то есть
a1 b1
 , но
a 2 b2
a1 c1
b
c
или 1  1 , то система решений не имеет. ▼

a2 c2
b2 c 2
4.4. Решить систему методом Крамера
 x  y  1,

 x  y  3.
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е.
Замечание. Заметим, что систему можно решить просто выразив, например, из первого уравнения y  x  1 и подставив во
второе уравнение, или сложив уравнения системы. В чем же
преимущество метода Крамера? Дело в том, что метод Крамера
является общим методом решения линейных систем любого
порядка. Правило вычисления определителей для системы n
линейных уравнений с n неизвестными выходит за рамки программы математики средней школы и здесь мы обсуждать его
не будем.
Кроме того метод Крамера удобен для решения задач на
исследование систем линейных уравнений с параметром.▼
Вычислим определители системы:

y 
1 1
1
1
1
1
1
3
 11  1 (1)  2 ,  x 
1 1
 11  3  (1)  1  3  4 ,
3 1
 1 3  11  2 .
По формулам Крамера находим решение системы:
x 4

 x    2  2,

 y   y  2  1.

 2
О т в е т: (2; 1).
341
4.5. Решить систему методом Крамера
 x  y  1,

2 x  2 y  2.
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Вычислим определители системы:
1 1

2 2
y 
1 1
 1  2  2 1  0 ,  x 
1 1
 1  2  2 1  0 ,
2 2
 1  2  2 1  0 .
2 2
Так как   x   y  0 , то система имеет бесчисленное множество решений ( x,1  x ), x  R (решением системы является
любая пара чисел ( x, y ) , связанных соотношением x  y  1 ).
О т в е т: ( x,1  x ), x  R .
4.6. Решить систему методом Крамера
2 x  3 y  4,

 4 x  6 y  5.
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Вычислим определители системы:

y 
2
3
4
6
2 4
 2  6  4  3  0 , x 
4 3
 46  53  9 ,
5 6
 2  5  4  4  6 .
4 5
Так как   0 , а  x  0 и  y  0 , то система не имеет решений.
О т в е т: нет решений.
Рассмотрим несколько примеров решения задач на исследование системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными с параметрами.
342
4.7. Найти все значения параметра а, при которых система
ax  ay  a 2 ,

 x  ay  2
имеет единственное решение.
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Система имеет единственное решение при условии   0 .
Так как  
a a
 a 2  a , то задача сводится к решению
1 a
неравенства a 2  a  0 .
Решив неравенство, находим, что при a  0 и a  1 система
имеет единственное решение.
О т в е т: при a  0 и a  1 .
4.8. Найти все значения а, при которых система
(a  1) x  8 y  4a,

ax  (a  3) y  3a  1
имеет бесконечно много решений.
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Система имеет единственное решение при условии   0 ,  x  0 ,  y  0 .
Найдем выражения для  ,  x и  y .
a 1 8

a3
a
x 
y 
 (a  1)(a  3)  8a  a 2  4a  3  8a  a 2  4a  3 ,
a  1 4a
a
3a  1
4a
8
3a  1 a  3
 (a  1)(3a  1)  4a 2  3a 2  2a  1  4a 2  a 2  2a  1 ,
 4a(a  3)  (3a  1)8  4a 2  12a  8 .
Решив уравнение   a 2  4a  3  0 , находим два корня
343
a1  1 и a2  3 . Проверкой убеждаемся, что при a  1 имеем
 x  a 2  2a 1  12  2 1 1  0 ,
 y  4a 2  12a  8  4 12  12 1  8  0 , а при a  3 имеем
 x  a2  2a  1  32  2  3  1  9  6  1  4  0 .
Откуда заключаем, что при a  1 данная система имеет
бесконечно много решений.
О т в е т: а = 1.
4.9. Найти все значения а, при которых система
2 x  a 2 y  a 2  a  2,
не имеет решений.

x  2 y  2
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Система не имеет решений при условии   0 ,
 x  0 или  y  0 .
Найдем выражения для  ,  x и  y .

2 a2
 2  2  a2  4  a2 ,
1 2
x 
y 
a2  a  2 a2
2
2
2 a2  a  2
1
 (a 2  a  2)  2  2a 2  2a 2  2a  4  2a 2  2a  4 ,
 2  2  a2  a  2  6  a2  a .
2
Решив уравнение   4  a 2  0 , находим два корня a1  2
и a2  2 . Проверкой убеждаемся, что при a  2 имеем значение  x  2a  4  8  0 , а при a  2 имеем значения  x  2a  4  0
и  y  6  a2  a  6  4  2  0 .
Откуда заключаем, что при a  2 данная система не имеет
решений.
О т в е т: а = −2.
344
(a  2) x  ay  1,
4.10. Исследовать систему уравнений 
 3x  (a  2) y  1.
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Вычислим определители данной системы
a2
a

 (a  2)(a  2)  (3a )  a 2  3a  4,
3 a 2
x 
1
a
 a  2  (a )  2a  2,
1 a  2
y 
a2 1
 (a  2)  (3)  1  a;
 3 1
1) если a 2  3a  4  0 , то есть при a  4 и a  1 , система
имеет единственное решение
x
2(a  1)
2(a  1)
2

 x    a 2  3a  4  (a  4)(a  1)  a  4 ,


 y  y   (a  1)   (a  1)   1 ,

 a 2  3a  4 (a  4)(a  1)
a4
является совместной и определённой.
Рассмотрим исключительные значения a  4 и a  1 .
2) При a  4 имеем   0,  x  10 , значит, система решений
не имеет и является несовместной.
3) При a  1 имеем   0,  x   y  0 , значит, система имеет бесчисленное множество решений, является совместной и
неопределённой.
3x  y  1
, откуда
3x  y  1
Подставляя a  1 , получаем систему 
1

x  (1  y ),
получаем описание множества решений 

3
 y  R.
345
О т в е т: при a  4 и a  1 система имеет единственное реше2
1 
ние 
, 
 ; при a  4 система решений не имеет;
a  4
a4
при a  1 система имеет бесчисленное множество решений
1

 (1  y), y , y  R .
3

4.11. Найти все значения параметра а, при которых прямые
3x  2ay  1 и 3(a  1) x  ay  1 :
а) пересекаются в одной точке;
б) совпадают;
в) не имеют общих точек.
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. а) если прямые 3x  2ay  1 и 3(a  1) x  ay  1 пересекаются в одной точке, то система линейных уравнений
3x  2ay  1,
имеет единственное решение.

3(a  1) x  ay  1
Система имеет единственное решение, если определитель
системы  отличен от нуля.
Вычислим определитель системы.

3
2a
3(a  1)  a
 3a  6a(a  1)  3a  6a 2  6a  6a 2  3a .
Определитель   0 , если  6a 2  3a  0 . Решив полученное
1
неравенство, находим два решения a  0 и a  .
2
Таким образом, прямые пересекаются в одной точке при
1
любых значениях параметра а, кроме a  0 и a  , то есть при
2
1
1
всех a  (;0)  (0; )  ( ;) .
2
2
б) если прямые 3x  2ay  1 и 3(a  1) x  ay  1 совпадают, то си3x  2ay  1,
стема линейных уравнений 
имеет бесчисленное
3
(
a

1
)
x

ay

1

346
множество решений.
Система имеет бесчисленное множество решений, если
определители системы   0,  x   y  0 .
Вычислим определитель системы:

x 
y 
3
2a
3(a  1)  a
1
2a
1
a
3
1
3(a  1) 1
 3a  6a(a  1)  3a  6a 2  6a  6a 2  3a ,
 a  2a  3a ,
 3  3(a  1)  3(1  a  1)  3(2  a) .
Определитель   0 , если  6a 2  3a  0 . Решив уравнение,
1
находим два корня a  0 и a  .
2
При a  0 получаем  x  0 ,  y  6 . Следовательно, система
не имеет решений.
1
3
9
При a  получаем  x   ,  y  . Следовательно, си2
2
2
стема также не имеет решений.
Таким образом, не существует таких а, при которых прямые совпадают.
в) если прямые 3x  2ay  1 и 3(a  1) x  ay  1 не имеют общих
точек, то система линейных уравнений
3x  2ay  1,

3(a  1) x  ay  1,
не имеет решений.
Система не имеет решений, если определитель системы
  0 , а  x  0 или  y  0 .
Определитель   0 , если  6a 2  3a  0 , то есть, если a  0
1
или a  .
2
347
При a  0 получаем  x  0 ,  y  6 . Следовательно, система
не имеет решений.
1
3
9
При a  получаем  x   ,  y  . Следовательно, си2
2
2
стема также не имеет решений.
Таким образом, прямые не имеют общих точек при a  0 и
1
a .
2
1
1
О т в е т: а) при a  (;0)  (0; )  ( ;) ; б) таких a не суще2
2
1
ствует; в) при a  0 и a  .
2
4.12. При каких значениях а для любого b найдется хотя бы
2 x  by  c(ac  1),
одно с такое, что система уравнений 
имеет
bx  2 y  c  1
хотя бы одно решение.
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Имеем систему двух линейных уравнений с двумя
неизвестными.
Вычислим определитель данной системы.

2
b
b
2
 22 b2  4  b2 .
Если   4  b 2  0 , то есть b  2 , то система имеет единственное решение при любых значениях а.
2 x  2 y  c(ac  1),
При b  2 данная система примет вид: 
2 x  2 y  c  1.
Так как левые части уравнений одинаковые, то система
имеет решение, если правые части уравнений равны, то есть
c(ac  1)  c  1  ac2  c  c  1  ac2  1 .
Так как c 2  0 при любых значениях с, то последнее уравнение относительно с имеет решение, только при a  0 .
При b  2 данная система примет вид:
348
2 x  2 y  c(ac  1),
2 x  2 y  c(ac  1),
 

 2 x  2 y  c  1
2 x  2 y  c  1.
Так как левые части уравнений одинаковые, то система
имеет решение, если правые части уравнений равны, то есть
c(ac  1)  c  1  ac2  c  c  1  ac 2  2c  1  0 .
Полученное квадратное уравнение относительно с имеет
решение, если дискриминант уравнения – неотрицательное
число, то есть, если 4  4a  0 . Решив неравенство, получаем
a  1.
Таким образом, если 1  a  0 , то всегда найдется такое с,
что при любом значении b система имеет хотя бы одно решение.
О т в е т: a  [1;0) .
4.13. Исследовать систему уравнений
2 x  3 y  4 z  5

2ax  3by  (b  5a) z  2a  3b,
bx  3ay  (a  b) z  a  4b.

-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Имеем систему трех линейных уравнений с тремя
неизвестными. Сведем задачу к исследованию системы двух
линейных уравнений с двумя неизвестными.
Из первого уравнения системы находим
1
y  (5  2 x  4 z ) .
3
Подставляя во второе и третье уравнения, получаем равносильную систему
1

 y  3 (5  2 x  4 z ),

2ax  b(5  2 x  4 z )  (b  5a) z  2a  3b,
bx  a(5  2 x  4 z )  (a  b) z  a  4b,



349
1

 y  3 (5  2 x  4 z ),


2ax  5b  2bx  4bz  bz  5az  2a  3b,
bx  5a  2ax  4az  az  bz  a  4b,


1

 y  3 (5  2 x  4 z ),

2(a  b) x  5(a  b) z  2(a  b),
(b  2a) x  (5a  b) z  4(b  a).


Рассмотрим линейную систему, составленную из второго и
третьего уравнения
2(a  b) x  5(a  b) z  2(a  b),

(b  2a) x  (5a  b) z  4(b  a).
Вычислим определители системы.
2( a  b )  5( a  b )
 
 2( a  b )( 5a  b )  5( a  b )( b  2a )  3b ( a  b ),
(b  2a ) (5a  b)
x 
y 
2( a  b )  5( a  b )
4( b  a )
( 5a  b )
2( a  b ) 2( a  b )
( b  2 a ) 4( b  a )
 2( a  b )( 5a  b )  20( a  b ) 2  2( a  b )( 9b  5a ),
 8( a  b ) 2  2( a  b )( b  2a )  2(3b  2 a )( a  b ).
1) Система будет совместной и определённой, если
  3b(a  b)  0 .
Неравенство выполняется при b  0, a  b. Тогда система
имеет единственное решение
 x 2(9b  5a )

x   
3b
.

 z 2(3b  2a )
z 


3b

Зная значения x и z, находим y:
350
1
4(9b  5a) 8(3b  2a)  4a  3b
.
y  5 


3
3b
3b
9b

Итак, если b  0 и a  b, то исходная система имеет единственное решение
2(9b  5a)

,
x 
3b


4a  3b
y 
,
9b

 z  2(3b  2a) .

3b
2) Система будет несовместной, если выполняются условия
  3b(a  b)  0,
  3b(a  b)  0,
или 

 z  2(a  b)(3b  2a)  0.
 x  2(a  b)(9b  5a)  0,
b  0,
b  0,

Условия выполняются, если a  b,
или 
a  b,
9b  5a  0,
3b  2a  0,


откуда получаем b = 0, a  0.
Итак, если b = 0, a  0, то исходная система решений не
имеет.
3) Система будет совместной и неопределённой, если выполняются условия    x   z  0 , но хотя бы один из коэффициентов системы отличен от нуля. Тогда получаем
3b(a  b)  0,

2(a  b)(9b  5a)  0,
2(a  b)(3b  2a)  0.

Рассмотрим возможные варианты:
0  x  0  z  0,
0  x  0  z  0.
а) если a = 0, b = 0, то система принимает вид 
Откуда заключаем, что система удовлетворяется тождественно любыми значениями x и z. Тогда исходная система
351
имеет бесчисленное множество решений, имеющее следующее
 x  R,

1
описание 
 y  5  2 x  4 z ,
3


 z  R;
б) если a = b, b  0, то второе уравнение системы принимает
1
вид x = 4z. Тогда y  (5  4 z ) .
3
В этом случае исходная система имеет бесчисленное множество решений, имеющее следующее описание:
 x  4 z,

1

 y  5  4 z ,
3


 z  R;
в) если a  b, b = 0, 3b = 2a, 9b = 5a, то первое уравнение системы принимает вид 2x – 5z = 2.
5
Откуда получаем x  1  z и второе уравнение системы
2
можно переписать так: 3bz = 2(3b – 2a).
Учитывая, что b = 0, 3b = 2a, получаем уравнение 0∙z = 0,
имеющее бесчисленное множество решений.
Тогда исходная система также имеет бесчисленное множество решений, имеющее следующее описание
5

 x  1  2 z,

1

 y  1  z,
3

z

R
.



О т в е т: если b  0, a  b, система имеет единственное реше 2(9b  5a) 4a  3b 2(3b  2a)  , является совместной
ние 
,
,

3b
9b
3b


и определённой;
352
если a  0, b = 0, то система решений не имеет и является
несовместной;
если a = 0, b = 0 или a = b, b  0, или a  b, b = 0, 3b = 2a, 9b =
5a, то система имеет бесчисленное множество решений, имеющее соответственно следующие описания:
1
 1



 x, (5  2 x  4 z ), z , x  R, z  R ;  4 z, (5  4 z ), z , z  R ;
3


 3

5
1


1  z,1  z, z , z  R , является совместной и неопределён2
3


ной.
Упражнения.
Решить систему линейных уравнений методом Крамера:
3x  10 y  12,
10 x  3 y  25,
570. 
571. 

5 x  9 y  25.
12x  5 y  3.
3x  5 y  10,
2 x  7 y  10,
572. 
573. 
12x  20 y  17.
6 x  21y  30.
574. Найти все значения а, при которых система
3x  2 y  6,

ax  y  3
имеет единственное решение.
575. Найти все значения а, при которых система
 x  (a  1) y  a  2,

ax  y  a  3
имеет единственное решение.
576. Найти все значения а, при которых система
 x  ay  a  2,

(a  1) x  2ay  2a  4
имеет бесконечно много решений.
353
577. Найти все значения а, при которых система
 x  2ay  1,

(a  1) x  4 y  2a  3
имеет бесконечно много решений.
578. При каком значении параметра m система уравнений
(m  1) x  3 y  8m  3,
несовместна?

(m  4) x  3my  5,
579. Найти все значения параметра а, при которых система
 4 x  ay  1  a,
не имеет решений.

(6  a) x  2 y  3  a
580. Найти все значения параметра а, при которых система
a 2 x  (2  a) y  4  a 2 ,
не имеет решений.

ax  (2a  1) y  a 5  2
ax  y  a,
581. Исследовать систему уравнений 
 x  ay  1.
582. При всех значениях параметра а решить систему
a 2 x  y  a 2 ,

 x  ay  1.
583. При всех значениях параметра а решить систему
2

 a x  a y  a,

2
2

ax  a y  a .
584. Для каждого значения параметра а решить систему
ax  2 y  a  2,

2ax  (a  1) y  2a  4.
585. Для каждого значения параметра а решить систему
ax  a 2 y  1,

 x  (a  1) y  a.
354
4.2.3. Решение и исследование системы двух линейных
уравнений с тремя неизвестными
Такие системы называются неопределёнными системами
уравнений. Название связано с тем, что, как правило, такие
системы имеют бесчисленное множество решений.
 x  y  z  1,
4.14. Решить систему уравнений 
 x  2 y  3z  3.
------------------------------------------------------------------------------- x  y  1  z,
Р е ш е н и е. Перепишем систему так: 
 x  2 y  3  3z.
Будем рассматривать эту систему как систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными x и y.
Решим систему методом Крамера.
Вычислим определители системы:

1 1
 2  1  1,
1 2
x 
1 z 1
 2(1  z )  (3  3 z )  z  1,
3  3z 2
y 
1 1 z
 (3  3 z )  (1  z )  2  2 z.
1 3  3z
Таким образом, множество решений исходной системы
имеет следующее описание:
 x  z  1,

 y  2  2 z,
 z  R.

О т в е т: ( z  1;2  2 z; z ) , z  R .
355
4.2.4. Решение систем линейных уравнений со многими
неизвестными. Метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса)
Общим методом решения систем линейных уравнений
является метод последовательного исключения неизвестных метод Гаусса.
Карл Фридрих Гаусс (Carl Friedrich
Gauss 1777 – 1855) - немецкий математик, астроном и физик.
Карл Фридрих Гаусс считается одним
из величайших математиков всех времен, «королем математиков».
В 1798 году закончен шедевр «Арифметические исследования», в котором
подробно изложена теория сравнений,
свойства квадратичных вычетов и т.д.
Гаусс любил говорить, что «математика – царица наук, а теория чисел – царица математики». В
1799 доказал основную теорему алгебры. Фундаментальные
работы во многих разделах математики, физики, астрономии.
Идея метода Гаусса заключается в приведении системы к
так называемому «треугольному» виду, что достигается последовательным исключением неизвестных из уравнений системы.
При этом используется равносильные, так называемые
элементарные преобразования: перестановка уравнений, умножение обеих частей уравнений на одно и то же, отличное от
нуля, число, сложение уравнений системы. Рассмотрим примеры.
4.15. Решить систему уравнений
2 x  y  z  7,

 x  2 y  z  8,
 x  y  2 z  9.

------------------------------------------------------------------------------356
Р е ш е н и е. Переставив местами первое и второе уравнения
системы, получим
 x  2 y  z  8,

2 x  y  z  7,
 x  y  2 z  9.

Прибавив к первому уравнению, умноженному на –1, третье уравнение, получим уравнение: –y + z = 1.
Далее, прибавив к первому уравнению, умноженному на
–2, второе уравнение, получим уравнение –3y – z = −9  3y +
z = 9.
Заменив второе и третье уравнение исходной системы, получим равносильную систему, в которой два уравнения не содержат неизвестного х:
 x  2 y  z  8,

3 y  z  9,


 y  z  1.

Прибавив ко второму уравнению третье уравнение, умноженное на 3, получим уравнение 4z = 12, которое используем в
качестве третьего уравнения новой системы, равносильной исходной:
 x  2 y  z  8,

3 y  z  9,



4 z  12.
Системы такого вида называются треугольными.
Треугольные системы легко решаются.
Из третьего уравнения находим z = 3. Подставляя во второе уравнение системы, получаем 3y + 3 = 9, откуда находим
y = z.
Подставляя значение z = 3 и y = 2 в первое уравнение, получаем x + 4 + 3 = 8, откуда находим x = 1.
Итак, система имеет единственное решение (1; 2; 3).
О т в е т: (1; 2; 3).
357
4.16. Решить систему уравнений
2 x1  x2  2 x3  3x4  8
 x  2 x  3x  2 x  6
 1
2
3
4

3x1  2 x2  x3  2 x4  4
5 x1  x2  3x3  x4  12
------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Переставив первое и второе уравнения системы
местами, получим равносильную систему
 x1  2 x2  3x3  2 x4  6,
2 x  x  2 x  3x  8,
 1 2
3
4

3x1  2 x2  x3  2 x4  4,
5 x1  x2  3x3  x4  12.
Осуществив с помощью первого уравнения последовательное исключение неизвестного х1 из второго, третьего и
четвёртого уравнений, получим равносильную систему
 x1  2 x 2  3 x3  2 x 4  6,

 5 x 2  8 x 3  x 4  4,

 4 x 2  10x3  8 x 4  14,

 9 x 2  18x 3  9 x 4  18.
Осуществив с помощью второго уравнения последовательное исключение неизвестного х2 из третьего и четвёртого уравнений, получим равносильную систему
 x1  2 x 2  3x3  2 x 4  6,

5 x 2  8 x3  x 4  4,




9
x

18
x


27
,

3
4

2 x3  4 x 4  6.

 x1  2 x 2  3x 3  2 x 4  6,

5 x 2  8 x 3  x 4  4,


x3  2 x 4  3,


x3  2 x 4  3.

Отметим, что третье и четвёртое уравнение системы совпадают.
358
Исключив х3 из четвёртого уравнения, используя третье,
получим равносильную систему треугольного вида
 x1  2 x 2  3x3  2 x 4  6,

5 x 2  8 x3  x 4  4,


x3  2 x 4  3,


0  x 4  0.

Последнее уравнение системы удовлетворяется при любых
значениях х4 и имеет бесчисленное множество решений.
Откуда заключаем, что исходная система также имеет бесчисленное множество решений.
Считая, что значение х4 задано, выразим через х4 все
остальные неизвестные. В результате получим описание множества решений исходной системы
 x1  5  2 x4 ,
 x  4  3x ,
 2
4

x

3

2
x
,
4
 3
 x4  R.
О т в е т: (5  2 x4 ;4  3x4 ;3  2 x4 ; x4 ), x4  R .
Упражнения.
Решить систему уравнений:
 x  2 y  3z  2,
586. 
2 x  y  5 z  3,
3x  2 y  4 z  9.

4 x  y  4 z  0,
587. 
 x  5 y  2 z  3,
 x  8 y  2 z  1.

359
 x  y  z  1,
588. 
2 x  3 y  6 z  3,
4 x  9 y  36z  5.

 x  3 y  2 z  1,
589. 
2 x  4 y  5 z  6,
3x  y  3z  8.

3x  2 y  z  5,
590. 
 x  y  z  0,
4 x  y  5 z  3.

4 x1  2 x 2  3x3  2,
591. 
2 x1  8 x 2  x3  8,
9 x  x  8 x  0.
2
3
 1
 x  y  z  t  10,
2 x  2 y  3z  3t  27,
592. 

3x  3 y  4 z  5t  41,

 x  y  6 z  4t  3.
 x1  x 2  x3  x 4  4,
2 x  x  3x  2 x  1,
1
2
3
4
593. 

 x1  x3  2 x 4  6,

3x1  x 2  x3  x 4  0.
594. Докажите, что при любом a  4 система уравнений не
 x  2 y  3z  6,
имеет решений 
 2 x  y  4 z  5,
5 x  11z  a.

360
4.2.5. Частные методы решения систем линейных
уравнений со многими неизвестными
Метод Гаусса является общим методом решения и применим к произвольной линейной системе уравнений. Однако
иногда, пользуясь частными методами решения, опирающимися на частные свойства уравнений системы, удаётся существенно упростить процесс решения. Эти частные методы
весьма разнообразны. Ряд таких методов поясним на примерах.
4.17. Решить систему
 x  y  z  a,
 x  y  v  b,


 x  z  v  c,

y  z  v  d,
где а, b, c, d – заданные числа.
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Заметив, что неизвестные x, y, z, v входят в уравнения системы по три раза, сложим все уравнения системы.
Тогда получим уравнение 3(x + y + z + v) = a + b + c + d,
откуда находим сумму четырёх неизвестных
1
x  y  z  v  (a  b  c  d ) .
3
Каждое же из уравнений исходной матрицы системы представляет собой известную сумму трёх неизвестных.
Используя эти равенства, последовательно получаем:
1
1
x  d  (a  b  c  d ) , откуда x  (a  b  c  2d ) ;
3
3
1
1
y  c  (a  b  c  d ) , откуда y  ( a  b  2c  d ) ;
3
3
1
1
z  b  ( a  b  c  d ) , откуда z  (a  2b  c  d ) ;
3
3
1
1
v  a  (a  b  c  d ) , откуда v  (2a  b  c  d ) .
3
3
361
О т в е т:
1
1
1
1
( (a  b  c  2d ); (a  b  2c  d ); (a  2b  c  d ); (2a  b
3
3
3
3
 c  d )).
Замечание. Использованный приём отыскания подходящей
вспомогательной комбинации неизвестных, с помощью которой существенно упрощается поиск всех неизвестных, является
весьма эффективным средством решения не только линейных
систем уравнений, но и нелинейных систем уравнений. ▼
4.18. Решить систему уравнений
 x1  x 2  x3  x 4  4a1 ,
 x  x  x  x  4a ,
 1
2
3
4
2

 x1  x 2  x3  x 4  4a3 ,

 x1  x 2  x3  x 4  4a 4 ,
где а1, a2, a3, a4 – заданные числа.
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Складывая уравнения системы, получим
4 x1  4(a1  a 2  a3  a 4 ) , откуда x1  a1  a 2  a3  a 4 .
Умножив третье и четвёртое уравнение на –1, а, затем,
сложив все уравнения, получим
4 x2  4(a1  a 2  a3  a 4 ) , откуда x2  a1  a 2  a3  a 4 .
Аналогично находим: x3  a1  a 2  a3  a 4 и
x4  a1  a 2  a3  a 4 .
О т в е т: ( a1  a 2  a3  a 4 ; a1  a 2  a3  a 4 ; a1  a 2  a3  a 4 ;
a1  a 2  a3  a 4 ).
4.19. Решить систему уравнений
 x  ay  a 2 z  a 3  0,

2
3
 x  by  b z  b  0,
 x  cy  c 2 z  c 3  0,

где a, b и c попарно различные числа.
-------------------------------------------------------------------------------362
Р е ш е н и е. Уравнения системы показывают, что если (x, y, z)
– решение системы, то числа a, b и c должны быть корнями
многочлена 3-й степени вида u 3  zu 2  yu  x .
Следовательно, этот многочлен разлагается на множители
и получаем тождество u 3  zu 2  yu  x  (u  a)(u  b)(u  c) .
Раскрыв скобки в правой части и приведя подобные члены,
получим
u 3  zu 2  yu  x  u 3  (a  b  c)u  (ab  ac  bc)u  abc .
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях u,
 x  abc,
получим 
 y  ab  ac  bc,
 z  (a  b  c).

О т в е т:  abc; b  ac  bc; (a  b  c) .
Упражнения.
Решить систему уравнений
 x  y  2,
595. 
 y  z  1,
 x  z  3.

 x  y  1,
596. 
 y  z  7,
 x  z  2.

 x  2 y  z  4,
 y  2 z  t  4,
597. 

 z  2t  x  4,
t  2 x  y  4.
363
2 x  y  z  v  5,
2 x  y  z  t  11,

598. 
2 x  z  t  v  17,
2 x  y  t  v  1,

 y  z  t  v  0.
 x1  x 2  x3  6,
 x  x  x  9,
3
4
 2
 x3  x 4  x5  3,

599.  x 4  x5  x6  3,

 x5  x6  x7  9,
 x 6  x 7  x8  6,

 x 7  x8  x1  2,
 x  x  x  2.
1
2
 8
ax  by  cz  a  b  c,
600. 
bx  cy  az  a  b  c,
cx  ay  bz  a  b  c,

где действительные числа а, b и с удовлетворяют условию
(a  b) 2  (a  c) 2  (b  c) 2  0 .
ax  y  z  1,
601. 
 x  ay  z  a, где a  1 .
 x  y  az  a 2 ,

ax  by  cz  du  p,
 bx  ay  dz  cu  q,
602. 

 cx  dy  az  bu  r ,
 dx  cy  bz  au  s,
где действительные числа а, b, с и d удовлетворяют условию
a2  b2  c2  d 2  0.
364
4.3. Системы уравнений высших степеней
Определение 4.11.
Множество n целых алгебраических нелинейных уравнений с неизвестными x, y, …, z
 f 1 ( x, y,..., z )  g 1 ( x, y,..., z ),
 f ( x, y,..., z )  g ( x, y,..., z ),
 2
2

...
 f n ( x, y,..., z )  g n ( x, y,..., z ),
называется системой уравнений высших степеней.
 x 2  y 2  z 2  0,

Например: множество уравнений  xy  xz  yz  47, является
( z  x)( z  y )  2,

системой уравнений высшей (второй) степени, так как уравнения системы являются целыми алгебраическими уравнениями
второй степени.
В отличие от систем линейных уравнений, для систем
уравнений высших степеней не существует общих практически
удобных методов решения, подобных методу Гаусса.
Поэтому при решении каждой конкретной системы уравнений высшей степени применяются частные методы решения,
основанные на использовании особенностей составляющих
систему уравнений.
Вместе с тем удаётся провести систематизацию частных
методов решения, наиболее часто применяемых на практике.
4.3.1. Методы решения систем уравнений высших степеней
1. Метод исключения неизвестных (метод подстановки).
Метод опирается на теорему 4.7. о равносильных (эквивалентных) системах уравнений и применяется в тех случаях,
когда из какого-нибудь уравнения системы одно неизвестное
выражается через остальные, и посредством подстановки удаётся исключить это неизвестное из уравнений системы. Далее
365
процедура повторяется до тех пор, пока одно из уравнений не
станет уравнением с одним неизвестным.
Однако, далеко не всегда удаётся выразить одно неизвестное через остальные. Непосредственно это удаётся сделать
лишь в тех случаях, когда одно или несколько уравнений системы являются линейными.
4.20. Решить систему уравнений
 x 2  4 xy  y 2  3x  y  4  0,

2 y  3 x  1.
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Из второго уравнения выразим одно неизвестное
через другое (y через x или x через y – безразлично).
1
Получаем y  (1  3 x ).
2
Подставляя это значение у в первое уравнение системы,
получим уравнение с одним неизвестным x:
1
1
1
x 2  4 x  (1  3 x)  (1  3 x) 2  3 x  (1  3 x)  4  0 .
2
4
2
После элементарных преобразований, получим квадратное
уравнение 19x 2  4 x  15  0 .
В силу теоремы 4.7. исходная система равносильна системе уравнений
19x 2  4 x  15  0,


1
 y  (1  3x).
2

Решив первое уравнение полученной системы, находим
15
два корня x1  1, x2   .
19
1
Соответствующие значения y равны: y  (1  3  1)  2 ,
2
1
15
13
y  (1  3  ( ))   .
2
19
19
Таким образом, исходная система имеет два решения:
366
15 13
; ) .
19 19
15 13
О т в е т: (1;2) , (  ; ) .
19 19
(1;2) и ( 
4.21. Решить систему уравнений
 x  y  z  0,

2 x  3 y  z  1,
 x 2  ( y  2) 2  ( z  1) 2  9.

------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Отметим, что первое и второе уравнения системы являются линейными.
Из первого уравнения получаем x  2  y  z .
Подставляя во второе и третье уравнения системы, исключаем из них неизвестное х и получаем равносильную систему
 x  2  y  z,


2  (2  y  z )  3 y  z  1,
(2  y  z ) 2  ( y  2) 2  ( z  1) 2  9

 x  2  y  z,

 y  z  3,
 y 2  z 2  yz  3 z  0.

Из второго уравнения получаем y  z  3 .
Подставляя в третье уравнение системы, исключаем неизвестное y и получаем равносильную систему
 x  2  y  z,
 x  2  y  z,



 y  z  3,
 y  z  3,
( z  3) 2  z 2  ( z  3) z  3 z  0
 z 2  4 z  3  0.


Решая третье уравнение системы, находим два корня
z1  1 , z 2  3 .
Из второго уравнения, соответственно, получаем y1  2 ,
y 2  0 , а из первого уравнения находим x1  3 , x 2  1.
367
Таким образом, исходная система имеет два решения:
(3; −2; 1) и (−1; 0; 3).
О т в е т: (3; −2; 1), (−1; 0; 3).
2. Метод сложения (вычитания) и умножения (деления)
уравнений системы.
Метод опирается на теоремы 4.3. – 4.5. о равносильных
(эквивалентных) системах уравнений и применяется в тех случаях, когда посредством сложения (вычитания) или умножения
(деления) уравнений системы удаётся получить новую, более
простую систему, равносильную данной.
4.22. Решить систему уравнений
 x( x  y  z )  12,

 y ( x  y  z )  9,
 z ( x  y  z )  6.

-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Заметим, что все уравнения системы имеют общий множитель ( x  y  z ).
Умножим второе уравнение на –1 и сложим все уравнения
системы. Получим уравнение-следствие
x( x  y  z )  y ( x  y  z )  z ( x  y  z )  12  9  6 
( x  y  z )( x  y  z )  9  ( x  y  z ) 2  9 .
Присоединив к исходной системе полученное уравнение, в
силу теоремы 4.2. приходим к равносильной системе
( x  y  z ) 2  9,

 x( x  y  z )  12,

 y ( x  y  z )  9,
 z ( x  y  z )  6.
Полученная система равносильна совокупности двух систем уравнений:
368
 x  y  z  3,
 x  y  z  3,
 x( x  y  z )  12,
 x( x  y  z )  12,


и


y
(
x

y

z
)

9
,
 y ( x  y  z )  9,



 z ( x  y  z )  6.
z( x  y  z)  6
Решим первую систему совокупности.
 x  y  z  3,
 x( x  y  z )  12,


 y ( x  y  z )  9,

z( x  y  z)  6
Учитывая первое уравнение, приходим к равносильной
системе
 x  y  z  3,
 3 x  12,


 3 y  9,

 3 z  6.
Из второго, третьего и четвёртого уравнений получаем
первое решение системы: x1  4 , y1  3 , z1  2 .
Решим вторую систему совокупности.
 x  y  z  3,
 x( x  y  z )  12,


 y ( x  y  z )  9,

z( x  y  z)  6
Учитывая первое уравнение, приходим к равносильной
системе
 x  y  z  3,
3 x  12,


3 y  9,

3 z  6.
Из второго, третьего и четвёртого уравнений получаем
второе решение системы: x2  4 , y 2  3 , z 2  2 .
369
Таким образом, исходная система уравнений имеет два
решения (−4; −3; −2), (4; 3; 2).
О т в е т: (−4; −3; −2), (4; 3; 2).
 xy  xz  a 2 ,

4.23. Решить систему уравнений  yz  xy  b 2 ,
 xz  yz  c 2 ,

где a, b, c – заданные числа.
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Заметим и используем тот факт, что каждая комбинация неизвестных xy , xz , yz присутствует в системе по два
раза. Сложив все уравнения системы, получим уравнениеследствие:
2( xy  xz  yz)  a 2  b 2  c 2 
1
xy  xz  yz  (a 2  b 2  c 2 ).
2
Присоединив к исходной системе полученное уравнение, в
силу теоремы 4.2., получим равносильную систему
1 2

2
2
 xy  xz  yz  2 (a  b  c ),

2
 xy  xz  a ,
 yz  xy  b 2 ,

 xz  yz  c 2 .
Учитывая левые части второго, третьего и четвёртого
уравнений и осуществив последовательно подстановку в первое уравнение, получим равносильную систему
1 2
 2
2
2
a  yz  2 (a  b  c ),

1 2
 2
2
2
b  xz  (a  b  c ),
2

1 2
 2
2
2
c  xy  2 (a  b  c )

370

1 2

2
2
 xy  2 (a  b  c ),

1 2

2
2
 xz  (a  b  c ),
2

1

2
2
2
 yz  2 (a  b  c ).

Перемножив уравнения системы, получим уравнение1
следствие: ( xyz) 2  (a 2  b 2  c 2 )(a 2  b 2  c 2 )(a 2  b 2  c 2 ) ,
8
откуда находим
1
xyz   (a 2  b 2  c 2 )(a 2  b 2  c 2 )(a 2  b 2  c 2 ) .
8
Присоединив к промежуточной системе полученное уравнение, в силу теоремы 4.2., приходим к равносильной системе

1 2
2
2
2
2
2
2
2
2
 xyz   (a  b  c )(a  b  c )(a  b  c ) ,
8


1 2
2
2
 xy  2 (a  b  c ),

 xz  1 (a 2  b 2  c 2 ),

2

 yz  1 (a 2  b 2  c 2 ).

2
Обозначим для удобства записи решения системы
1 2
(a  b 2  c 2 )(a 2  b 2  c 2 )( a 2  b 2  c 2 )  A
8
Учитывая левые части второго, третьего и четвёртого
уравнений и осуществив последовательно подстановку в первое уравнение, получим равносильную систему
1
2
2
2
 2 (a  b  c ) x   A ,

1 2
2
2
 (a  b  c ) y   A ,
2

1 2
2
2
 2 (a  b  c ) z   A ,

откуда находим два решения
371

2 A
,
x  
2
2
2

a

b

c


2 A

,
y   2
a  b2  c2


2 A
.
z   2
a  b2  c2


Учитывая выражение для А и преобразуя, получаем два
решения:

(a 2  b 2  c 2 )(a 2  b 2  c 2 )
,
 x1  
2(a 2  b 2  c 2 )


(a 2  b 2  c 2 )(a 2  b 2  c 2 )

y


,
 1
2( a 2  b 2  c 2 )


2
2
2
2
2
2
 z   (a  b  c )(a  b  c ) ,
1

2(a 2  b 2  c 2 )


(a 2  b 2  c 2 )(a 2  b 2  c 2 )
,
x2 
2(a 2  b 2  c 2 )


(a 2  b 2  c 2 )(a 2  b 2  c 2 )

y

,
 2
2(a 2  b 2  c 2 )


2
2
2
2
2
2
 z  (a  b  c )(a  b  c ) .
2

2(a 2  b 2  c 2 )

4.24. Решить систему уравнений
( x  y )( x  z )  x,

( y  z )( y  x)  2 y,
( x  z )( z  y )  3z.

--------------------------------------------------------------------------------
372
Р е ш е н и е. Наличие одинаковых сомножителей в левых частях уравнений позволяет упростить вид системы посредством
деления. Однако следует помнить, что при этом возможна потеря решений и требуется проведение дополнительного анализа возможности этой потери.
Имеет ли система решения, в которых x = 0 или y = 0, или
z = 0?
1) Если х = 0, то из первого уравнения получаем yz = 0, откуда
y = 0 или z = 0.
Если х = 0, у = 0, то второе уравнение выполняется при
любых z, а из третьего уравнения получаем z 2  3 z , откуда
находим z  0 или z  3 , то есть получаем два решения
 x1  0,  x 2  0,


 y1  0, и  y 2  0,
 z  0,  z  3.
 1
 2
Если х = 0, z = 0, то третье уравнение выполняется при любых y, а из второго уравнения получаем y 2  2 y , откуда находим y  0 или y  2 и получаем еще одно решение
 x3  0,

 y3  2,
 z  0.
 3
2) Если у = 0, то из второго уравнения получаем xz = 0, откуда
находим х = 0 или у = 0.
Случай х = 0 , у = 0 уже рассмотрен. Если у = 0, z = 0, то
третье уравнение выполняется при любом х, а первое принимает вид x 2  x , откуда находим х = 0 или х = 1 и получаем ещё
 x4  1,
одно решение 
 y 4  0,
 z  0.
 4
Других решений, в которых х = 0 или у = 0 или z = 0, система не имеет.
Найдём остальные решения, предполагая уже, что x  0 ,
y  0,z  0
373
Разделив первое уравнение на второе и второе на третье,
y  x 2y
xz
x
получим уравнения
и
.


z  x 3z
y  z 2y
Так как при x  0 , y  0 , z  0 имеем ( y  z )( y  x )  0 и
( x  z )( z  y )  0 , то в силу теоремы 4.5., заменив второе и
третье уравнения системы на полученные, приходим к равно
( x  y )( x  z )  x,

xz
x
сильной системе 

,

 y  z 2y
 y  x 2y

.

 z  x 3z
Преобразовав второе и третье уравнения, учитывая, что
x  0 , y  0 , z  0 , получаем равносильную систему
( x  y )( x  z )  x,

 xy  2 yz  xz  0,
2 xy  yz  3xz  0.

Отметим, что второе и третье уравнения являются линейными относительно комбинаций неизвестных xy, yz, xz.
Умножив третье уравнение на 2 и сложив со вторым уравнением, исключим из этих уравнений yz. Получим уравнение
7
5 xy  7 xz  0 , откуда (учитывая, что x  0 ) y  z.
5
Подставляя во второе уравнение промежуточный системы,
получим уравнение xz  7 z 2  0, откуда (учитывая, что z  0 )
х = −7z.
Таким образом, при x  0 , y  0 , z  0 , получаем равно( x  y )( x  z )  x,

7
сильную систему 
 y  z,
5

x


7 z.


374
7
z в первое уравнение системы,
5
28
получаем уравнение с одним неизвестным
z  6 z  7 z или
5
5
24 z 2  5 z  0 , откуда, учитывая, что z  0 , находим z  
.
24
Вычислив соответствующие значения x и y, получаем пя35

 x5  24 ,

7
тое решение исходной системы: 
 y5   ,
24

5

 z 5   24 .

35 7
5
О т в е т: (0;0;0), (0;0;3), (0;2;0), (1;0;0), ( ; ; ) .
24 24 24
Подставляя х = −7z и y 
3. Метод сведения к совокупности систем (метод разложения на множители).
Метод опирается на теорему 4.6. о равносильных (эквивалентных) системах уравнений, состоит в разложении одного из
уравнений системы на множители и замене системы равносильной (эквивалентной) ей совокупностью систем уравнений
более простого вида.
4.25. Решить систему уравнений
2
2

 x  y  5,

2

( x  2)( y  3)  2 x  x  6.
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Преобразуем второе уравнение системы.
Раскладывая на множители квадратный трёхчлен в правой
части уравнения, получаем ( x  2)( y  3)  (2 x  3)( x  2) 
( x  2)( y  3)  (2 x  3)( x  2)  0 
( x  2)( y  3  2 x  3)  0  ( x  2)( y  2 x)  0 .
Таким образом, систему можно переписать так:
375
 x 2  y 2  5,

( x  2)( y  2 x)  0.
В силу теоремы 4.6. исходная система равносильна совокупности двух систем
 x 2  y 2  5,

 x  2  0
 2
x  y 2  5,


 y  2 x  0.
Решив системы методом подстановки, получаем четыре
решения
 x1  2,  x2  2,  x3  1,  x 4  1,




 y1  1;  y 2  1;  y 3  2;  y 4  2.
О т в е т: (2;1), (2; −1), (1;2), (−1; −2).
4.26. Решить систему уравнений
 xy  z 2  2,

2
 yx  x  2,
 xz  y 2  2.

-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Заменив первое уравнение разностью первого и
второго уравнения, а второе уравнение – разностью второго и
третьего, в силу теоремы 4.3. получим равносильную систему
 xy  yz  z 2  x 2  0,
( z  x)( z  x)  y ( z  x)  0,


2
2
 yx  xz  x  y  0,  ( x  y )( x  y )  z ( x  y )  0, 
 xz  y 2  2;
 xz  y 2  2;


( z  x)( z  x  y )  0,

( x  y )( x  y  z )  0,
 xz  y 2  2.

Данная система равносильна совокупности четырёх систем
376
 z  x  0,

 x  y  0,
 xz  y 2  2

 z  x  0,

 x  y  z  0,
 xz  y 2  2

 z  x  y  0,

 x  y  0,

2
 xz  y  2
 z  x  y  0,

 x  y  z  0,

2
 xz  y  2.
Решим первую систему совокупности.
Из первого и второго уравнений получаем z  x , y  x .
Подставляя в третье уравнение, приходим к равносильной
системе
 z  x,
 z  x,
 z  x,



 y  x ,   y  x ,   y  x,
2 x 2  2,
 x 2  1,
 x  1,



откуда находим два решения (1;1;1) и (1;1;1) .
Решая аналогично остальные системы, получаем еще
шесть решений: ( 2;0; 2 ) , ( 2;0; 2 ) , ( 2; 2;0) ,
( 2; 2;0) , (0; 2; 2 ) , (0; 2; 2 ) .
О т в е т: (1;1;1) , (1;1;1) , ( 2;0; 2 ) , ( 2;0; 2 ) ,
( 2; 2;0) , ( 2; 2;0) , (0; 2; 2 ) , (0; 2; 2 ) .
377
4.27. Решить систему уравнений
 x  yzt  10,
 y  ztx  10,


 z  txy  10,

t  xyz  10.
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Воспользуемся тем обстоятельством, что правые
части всех уравнений одинаковы.
Вычтем из второго, третьего и четвертого уравнений первое уравнение. В результате получим равносильную систему:
 x  yzt  10,
 x  yzt  10,
 y  x  ztx  yzt  0,
 y (1  zt )  x(1  zt )  0,






z

x

txy

yzt

0
,
z
(
1

yt
)

x
(
1

yt
)

0
,




t

x

xyz

yzt

0
,

t (1  yz)  x(1  yz)  0,
 x  yzt  10,
( y  x)(1  zt )  0,


( z  x)(1  yt)  0,

(t  x)(1  yz)  0.
Эта система равносильна совокупности восьми систем:
 x  yzt  10,  x  yzt  10,  x  yzt  10,  x  yzt  10,
 y  x  0,
 y  x  0,
 y  x  0,
1  zt  0,


1) 
2) 
3)
4)



z

x

0
,
z

x

0
,
1

yt

0
,



 z  x  0,
t  x  0


t  x  0
1  yz  0
t  x  0
 x  yzt  10,  x  yzt  10,  x  yzt  10,  x  yzt  10,
 y  x  0,
1  zt  0,
1  zt  0,
1  zt  0,
5) 
6) 
7) 
8) 



1  yt  0,
 z  x  0,
1  yt  0,
1  yt  0,
1  yz  0
1  yz  0
t  x  0

1  yz  0.
Из второго, третьего и четвертого уравнений первой системы получаем x  y  z  t .
378
Подставляя в первое уравнение системы, приходим к уравнению x  х 3  10  x 3  х  10  0  x 3  8  х  2  0
 ( x  2)( x 2  2 х  4)  ( x  2)  0  ( x  2)( x 2  2 х  5)  0 .
Так как x 2  2 х  5  0 при всех действительных х, то
x  2 . Значит, первая система совокупности имеет единственное решение x  y  z  t  2 , то есть (2;2;2;2).
Из второго и третьего уравнений второй системы получаем
x  y  z . Тогда четвертое уравнение примет вид 1  x 2  0 ,
откуда получаем x  1. Первое уравнение можно записать
так: х  x 2 t  10 , откуда при x  1 получаем t  9 , а при
x  1 получаем t  11.
Таким образом, вторая система совокупности имеет два
решения: (1;1;1;9) и (-1;-1;-1;11).
Решая аналогично системы 3) и 4), получаем еще четыре
решения (1;1;9;1), (-1;-1;11;-1), (1;9;1;1), (-1;11;-1;-1).
Из третьего и четвертого уравнений пятой системы, получаем yt  yz , y  0 , t  z , y  х . Тогда первое и третье уравнение системы можно записать так: х  хt 2  10 и 1  хt  0 .
При x  y  0 получаем уравнение х 2  х 2 t 2  10 х или
так как хt  1, уравнение х 2  10 х  1  0 , откуда находим два
корня x  5  2 6 .
1
1
Тогда t  
 5  2 6 .Таким образом, пятая
х 52 6
система имеет два решения: (5  2 6;5  2 6;5  2 6;5  2 6 ) и
(5  2 6;5  2 6;5  2 6;5  2 6 ) .
Решая аналогично системы 6) и 7), получаем еще четыре
решения
(5  2 6;5  2 6;5  2 6;5  2 6 ) ;
(5  2 6;5  2 6;5  2 6;5  2 6 ) ;
(5  2 6;5  2 6;5  2 6;5  2 6 ) ;
(5  2 6;5  2 6;5  2 6;5  2 6 ) .
379
Из второго, третьего и четвертого уравнений восьмой системы получаем zt  yt  yz . Откуда следует y  z  t . А так
как zt  yt  yz  1 , то y  z  t  1 .
Если y  z  t  1 , то из первого уравнения получаем
х  9 . Если же y  z  t  1 , то х  11 .
Таким образом, восьмая система совокупности имеет два
решения (9;1;1;1), (11;-1;-1;-1).
Итак, данная система имеет 15 решений.
О т в е т: (2;2;2;2), (1;1;1;9), (-1;-1;-1;11), (1;9;1;1), (-1;11;-1;-1),
(1;1;9;1), (-1;-1;11;-1), (9;1;1;1), (11;-1;-1;-1),
(5  2 6;5  2 6;5  2 6;5  2 6 ) ,
(5  2 6;5  2 6;5  2 6;5  2 6 ) ,
(5  2 6;5  2 6;5  2 6;5  2 6 ) ,
(5  2 6;5  2 6;5  2 6;5  2 6 ) ,
(5  2 6;5  2 6;5  2 6;5  2 6 ) ,
(5  2 6;5  2 6;5  2 6;5  2 6 ) .
4. Метод введения вспомогательных неизвестных (метод
замены).
Идея метода замены заключается в введении новых вспомогательных неизвестных, с помощью которых удается свести
решение заданной системы к решению другой, более простой
системы. В качестве новых неизвестных, как правило, принимаются некоторые подходящие комбинации неизвестных исходной системы.
4.28. Решить систему уравнений
 x 2  y 2  17,

 x  xy  y  9.
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Метод подстановки приводит к уравнению 4-й
степени. Воспользуемся методом замены.
380
 x  y  u,
Введем новые неизвестные, полагая 
 xy  v.
Перепишем исходную систему через новые неизвестные.
Первое уравнение можно переписать так:
2
x  y 2  2 xy  2 xy  17  ( x  y ) 2  2 xy  17 и после замены уравнение принимает вид u 2  2v  17 .
Второе уравнение принимает вид u  v  9 .
u 2  2v  17,
Тогда получаем новую систему 
u  v  9.
Решим систему методом подстановки. Из второго уравнения получаем v  9  u . Подставляя в первое уравнение, приходим к равносильной системе
u 2  2(9  u )  17,
u 2  2u  35  0,



v  9  u
v  9  u.
Из первого уравнения находим два корня u1  7 , u 2  5 и
из первого уравнения соответственно v1  16 и v 2  4 .
Таким образом, промежуточная система уравнений относительно вспомогательных неизвестных имеет два решения
u1  7, u2  5,
v1  16;
v2  4.
Учитывая замену, получаем совокупность двух систем
уравнений
 x  y  7,

 xy  16
 x  y  5,

 xy  4.
Решая системы методом подстановки, определяем, что
первая система действительных решений не имеет, а вторая
система имеет два решения
381
 x1  1,  x 2  4,
и 

 y1  4  y 2  1.
О т в е т: (1; 4), (4; 1).
4.29. Решить систему уравнений
( x  y )( x 2  y 2 )  16,


2
2

( x  y )( x  y )  40.
------------------------------------------------------------------------------- x  y  2u,
Р е ш е н и е. Введем новые неизвестные, полагая 
 x  y  2v.
Выразим уравнения системы через новые неизвестные.
2
Так как x  y 2  4u 2 , а x  y   4v 2 , то
x 2  2 xy  y 2  4u 2 , x 2  2 xy  y 2  4v 2 .
Складывая полученные равенства, получаем
2
2( x  y 2 )  4(u 2  v 2 ) , откуда x 2  y 2  2(u 2  v 2 ) .
Тогда исходную систему можно переписать так
2
2
v

  2u  2v  16,
uv  2,


 3
2
2
2

2u  2(u  v )  40
u  uv  10.
Вычитая из второго уравнения первое, приходим к равносильной системе:
uv 2  2,
uv 2  2,


 3
u  8
u  2.
Решая систему, находим два решения
u1  2, u 2  2,


v1  1, v 2  1.
Учитывая замену получаем две системы
 x  y  4,  x  y  4,
и

 x  y  2  x  y  2.
Решая системы, получаем два решения (1;3) и (3;1).
О т в е т: (1; 3), (3; 1).
382
4.30. Решить систему уравнений
2
2
3

8( x  xy  y )  ( x  y ) ,
 2
2

2( x  xy  y )  3( x  y ).
------------------------------------------------------------------------------ x  y  u,
Р е ш е н и е. Введем новые неизвестные, полагая 
 xy  v.
2
2
2
Тогда, учитывая, что x  xy  y  ( x  y )  3xy  u 2  3v
и x 2  xy  y 2  ( x  y ) 2  xy  u 2  v , систему можно пере2
3

8(u  3v)  u ,
писать так: 
2

2(u  v)  3u.
Решим полученную систему методом подстановки. Из вто1
рого уравнения получаем v  (3u  2u 2 ) .
2
Подставляя в первое уравнение системы, после преобразования, приходим к уравнению 3-й степени:
u 3  16u 2  36u  0  u (u 2  16u  36)  0 , откуда находим
u1  0 , u 2  2 , u 3  18 .
Соответственно вычисляем v1  0 , v2  1 , v1  351.
Учитывая замену, получаем три системы:
 x  y  0,  x  y  2,
 x  y  18,
и 


 xy  0,
 xy  1,
 xy  351.
Решая системы методом подстановки, находим, что первая
система имеет единственное решение (0;0) вторая – единственное решение (1;-1), а третья система решений не имеет.
Итак, исходная система имеет два решения (0;0), (1; -1).
О т в е т: (0;0), (1;-1).
Анализ решения рассмотренных примеров позволяет сделать следующие выводы:
1) При решении систем, симметричных относительно неизвестных, эффективной оказывается замена x  y  u, xy  v .
383
Замечание. Напомним, что система называется симметричной,
если каждое ее уравнение симметрично относительно неизвестных. Выражение называется симметричным, если оно не
меняет своего значения при взаимной замене (перестановке)
входящих в него неизвестных. ▼
2) При решении систем уравнений, содержащих комбинации
неизвестных вида xy , x  y , x 2  y 2 , ( x  y ) 2 , x 4  y 4 и т.д.
эффективной оказывается замена x  y  u , xy  v .
3) При решении систем уравнений, содержащих комбинации
неизвестных вида x  y , x  y , x 2  y 2 , x 2  y 2 , ( x  y ) 2 , ( x  y ) 2
и т.д. , эффективной оказывается замена x  y  u, x  y  v .
В общем случае, выбор новых неизвестных является творческой задачей, требующей большой практики решения задач
и известной изобретательности .
 x( x  1)(3x  5 y )  144,
4.31. Решить систему уравнений  2
 x  4 x  5 y  24.
------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Введем новое неизвестное, полагая x ( x  1)  u .
Запишем второе уравнение в виде x( x  1)  (3 x  5 y )  24 .
Откуда, учитывая новое неизвестное, находим 3 x  5 y  24  u .
Тогда первое уравнение системы можно записать так:
u (24  u )  144  u 2  24u  144  0  (u  12) 2  0 ,откуда
получаем u  12 .
Учитывая замену, получаем уравнение x( x  1)  12 
x 2  x  12  0 , откуда находим два корня x1  4, x2  3 .
Используя соотношение 3 x  5 y  24  u и найденные значения х, определяем соответствующие значения y : y1  4,8 и
y 2  0,6 .
Таким образом, исходная система имеет два решения
(–4;4,8) и (3;0,6).
О т в е т: (–4;4,8); (3,0.6).
384
4.32. Решить систему уравнений
6( x 2 y 2  y 2 z 2  x 2 z 2 )  49xyz  0,

2
2
6 y ( x  y )  5 xz  0,
2 z ( x 2  y 2 )  9 xy  0.

-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Легко заметить, что если одно из неизвестных
равно нулю, то система удовлетворяется, когда любое другое
неизвестное также равно нулю, а третье принимает произвольное значение, то есть система имеет бесчисленное множество
решений вида (x;0;0) , (0; y;0) , (0;0; z ) , где x  R, y  R, z  R.
Полагая теперь xyz  0 , разделим первое уравнение на
xyz , второе на xz , третье на ху. Получим равносильную систему
 x 2 y 2  y 2 z 2  x 2 z 2 49
 xy yz xz 49

,

z  x  y  6 ,
xyz
6


5
5
 xy yz
 x 2 y  z 2 y

 ,
 ,

 
xz
6
x
6

z
2
2
x z  y z 9
 xz yz 9


 y  x  2.
xy
2


Полученная система является линейной системой относи-
xy yz xz
, , .
z x y
xy
yz
xz
Произведем замену, полагая
 u,
 v,  t .
z
x
y
тельно комбинации неизвестных
После замены система принимает вид
49

u  v  t  6 ,

2
3
5

u  v   , Решив систему, получаем u  3 , v  2 , t  6.
6

9

t  v  2 .

385
Учитывая замену, получаем систему уравнений
 xy 2
 z  3,

 yz 3
  ,
2
x
 xz
 y  6.

Перемножая уравнения данной системы, получаем уравнение-следствие xyz  6 .
Присоединив полученное уравнение к системе, в силу теоремы 4.2., получим равносильную систему
 xyz  6,
 xyz  6,
 xy 2

  ,
 xy  2 z ,
3
z

3
 
 yz 3

,
 yz  3 x,
x
2


2
 xz  6 y.
 xz  6

 y
2
Подставляя xy  z в первое уравнение системы, полу3
2
чим уравнение z 2  6,  z 2  9 , откуда находим z  3 .
3
3
Подставляя yz  x в первое уравнение системы, полу2
3
чим уравнение x 2  6  x 2  4 , откуда находим x  2 .
2
Подставляя xz  6 y в первое уравнение системы, получим уравнение 6 y 2  6  y 2  1 , откуда находим y  1 .
Таким образом получаем еще четыре решения: (2;1;3),
(-2;-1;3), (-2;1;-3), (2;-1;-3).
О т в е т: (x;0;0) , x  R , (0; y;0) , y  R , (0;0; z ) , z  R , (2;1;3),
(-2;-1;3); (-2;1;-3); (2;-1;-3).
386
5. Решение систем уравнений, левые части которых – однородные функции относительно неизвестных.
Определение 4.12. Функция f ( x, y,..., z ) называется однородной функцией степени k, если при любом t выполняется равенство
f (tx, ty,..., tz)  t k  f ( x, y,..., z ) .
Например: функции f ( x, y)  2 x 2  7 xy  5 y 2 ,
f ( x, y, z )  xy  yz  xz - однородные функции 2 -й степени;
функция f ( x, y )  7 x3  5 x 2 y  3xy2  y 3 - однородная функция 3 -й
степени.
В однородной функции степени k каждое слагаемое содержит произведение степеней переменных, сумма показателей которых постоянна и равна k.
Определение 4.13. Уравнение f ( x, y ,..., z )  0 называется одно-родным уравнением, если функция f ( x, y,..., z ) - однородная функция.
Например: x 2  5 xy  6 y 2  0 - однородное уравнение второй
степени; 2 x 3  3x 2 y  5 xy 2  6 y 3  0 - однородное уравнение
третьей степени.
Рассмотрим сначала метод решения систем двух уравнений с двумя неизвестными в случае, когда одно из уравнений
системы является однородным степени k вида
ak x k  ak 1 x k 1 y  ak 2 x k 2 y 2  .....  a1 xy k 1  a0 y k  0
Если y  0 не удовлетворяет системе ни при каких значениях х, то разделив уравнение на у к , получим уравнение
k
 x
 x
ak    a k 1  
 y
 y
k 1
x
 a k 2  
 y
k 2
 x
 ...  a1    a0  0 ,
 y
387
являющееся алгебраическим уравнением k -й степени относиx
тельно неизвестного t  .
y
Решив полученное уравнение, находим выражение либо х
через у, либо у через x, и после подстановки во второе уравнение, получаем уравнение с одним неизвестным.
Если y  0 удовлетворяет системе при некоторых x, то
указанным методом эти решения не могут быть найдены и требуется их восстановление непосредственной проверкой.
Аналогичная ситуация возникает также при делении однородного уравнения на x k .
4.33. Решить систему уравнений
2
2

 x  5 xy  6 y  0,
 2
2

 x  y  10.
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е.
Первое уравнение системы является однородным уравнением второй степени, причем y  0 не удовлетворяет системе
ни при каких значениях х.
Разделив первое уравнение системы на y 2 , получаем рав2
x
x
но-сильное уравнение    5   6  0 .
 y
 y
x
Произведем замену, полагая  t .
y
После замены уравнение принимает вид t 2  5t  6  0 ,
откуда получаем два корня t1  2, t 2  3 .
Учитывая замену, получаем следующие зависимости межx
ду неизвестными х и у, входящими в исходную систему:  2 ,
y
x
 3 или x  2 y, x  3 y .
y
388
Подставляя последовательно x  2 y и x  3 y во второе
уравнение исходной системы, получаем относительно неизвестного y квадратные уравнения y 2  2 и y 2  1 , откуда находим y   2 , y  1 . Используя зависимость между x и y ,
соответственно находим x  2 2 и x  3 .
Таким образом исходная система имеет четыре решения
(2 2; 2 ) , (2 2; 2 ) , (3;1) , ( 3;1) .
О т в е т: (2 2; 2 ) , (2 2; 2 ) , (3;1) , ( 3;1) .
Рассмотрим теперь методы решения систем двух уравнений с двумя неизвестными в случае, когда левые части уравнений системы – однородные функции относительно неизвестных.
Основная идея метода решения таких систем уравнений
заключается в сведении систем к равносильным системам, одно из уравнений которых является однородным. Применяемые
при этом преобразования могут быть различными.
а) Метод сравнения свободных членов.
4.34. Решить систему уравнений
 x 2  xy  4 y 2  6,

 2
2

3x  8 y  14.
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Левые части уравнений являются однородными
функциями второй степени относительно неизвестных х и у.
Умножив первое уравнение на 7, второе на 3, уравняем
свободные члены уравнении
2
2

7 x  7 xy  28 y  42,
 2
2

9 x  24 y  42.
Вычитая из второго уравнения первое, получаем уравнение-следствие 2 x 2  7 xy  4 y 2  0 .
389
Заменив первое уравнение исходной системы на полученное уравнение, приходим равносильной системе, в которой одно из уравнений – однородное уравнение:
2 x 2  7 xy  4 y 2  0,

 2
2

3x  8 y  14.
Система ни имеет решений, в которых y  0 , так как положив y  0 , получим уравнения 2 x 2  0 и 3 x 2  14 , не имеющих
общих решений.
Разделив первое уравнение на y 2 , получим уравнение
2
x
x
2   7   4  0 .
 y
 y
x
 t . После замены получаy
ем квадратное уравнение 2t 2  7t  4  0 , откуда находим два
1
корня t1   , t 2  4 .
2
Учитывая замену, получаем следующие зависимости между неизвестными:
x
x
1
  и  4  y  2 x и x  4 y .
y
y
2
Таким образом, система равносильна двум системам.
 y  2 х,
1)  2
2
3 x  8 y  14.
Подставив y  2 x во второе уравнение системы, получим
2
уравнение 3 x 2  32x 2  14  35x 2  14  x 2  , откуда
5
2
и получаем два решения ( 2 ;2 2 ) и ( 2 ;2 2 ) .
x
5
5
5
5
5
 x  4 y,
2)  2
2
3x  8 y  14.
Произведем замену, полагая
390
Подставив x  4 y во второе уравнение системы, получим
1
уравнение 48 y 2  8 y 2  14  56 y 2  14  y 2  , отку4
1
1
1
да y   и получаем еще два решения (2; ) и ( 2; ) .
2
2
2
 2
1
2 
2
2   1 
, 
,
О т в е т: 
,
.
 5 ;2 5    5 ;2 5   2; 2    2; 2 

 

б) Метод почленного деления уравнении системы.
4.35. Решить систему уравнений
2

3 y  2 xy  160,
 2
2

 y  3xy  2 x  8.
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Левые части уравнений являются однородными
функциями второй степени относительно неизвестных х и у.
Разделив почленно уравнения системы, получим уравне3 y 2  2 xy
40x 2  58xy  17 y 2

ние-следствие 2

20
 0.
y  3xy  2 x 2
y 2  3xy  2 x 2
Учитывая, что y 2  3 xy  2 x 2  0 , получаем уравнение
40x 2  58xy  17 y 2  0 .
Заменив второе уравнение исходной системы на полученное уравнение, приходим равносильной системе, в которой одно
из уравнений – однородное уравнение:
2

3 y  2 xy  160,

2
2

40x  58xy  17 y  0.
Система не имеет решений, в которых y  0 (проверяется
подстановкой).
Разделив второе уравнение на y 2 , получим уравнение
2
x
x
x
40   58   17  0 . Произведем замену, полагая  t .
y
 y
 y
391
Получим квадратное уравнение 40t 2  58t  17  0 , отку17
1
да находим t1   , t 2  .
10
4
Учитывая замену, получаем следующие зависимости между
10
x
17
x 1
неизвестными:  
и  или y   x и y  4 x .
17
y
10
y 4
Таким образом, система равносильна двум системам.
10

y   х,

1) 
17
3 y 2  2 xy  160.

10
Подставив y   x во второе уравнение системы, полу17
10
10
чим уравнение: 3  ( x) 2  2 x( x)  160 
17
17
300 2 20 2
640 2
289
, откуx 
x  160 
x  160  x 2 
4
289
17
289
17
да x  
и получаем два решения (17 ;5) и ( 17 ;5) .
2
2
2
 y  4 x,
2)  2
3 y  2 xy  160.
Подставив x  4 y во второе уравнение системы, получим
уравнение 3  (4 x) 2  2 x(4 x)  160  48x 2  8 x 2  160

x  4 , откуда x  2 и получаем еще два решения (2;8) и
2
( 2;8) .
 17
  17 
О т в е т:  ;5  ,   ;5  , (2;8) , ( 2;8) .
2
  2 
При решении систем уравнений с тремя и более неизвестными, левые части которых - однородные функции, применяется метод введения вспомогательных неизвестных, в качестве
которых, как правило, принимаются отношения неизвестных,
входящих в систему. В результате вид системы упрощается.
392
4.36. Решить систему уравнений
 x 2  y 2  z 2  0,

 xy  xz  yz  47,
( z  x)( z  y )  2.

--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Левые части уравнений являются однородными
функциями второй степени относительно неизвестных х, у и z.
Система не имеет решении, в которых z  0 , что легко
проверяется непосредственной подстановкой.
Разделив первое уравнение на z 2 и вынося скобку в левых
частях второго и третьего уравнений, получим равносильную
систему
 x  2  y  2
      1  0,
z
 y 

 2 x y x y 
 z       47,
 z z z z
 2
y
x 
 z 1  1    2.
z 
z

 
x
y
Введем новые неизвестные , полагая  m,  n .
z
z
После замены система принимает вид:
m 2  n 2  1  0,
 2
 z m  n  m  n   47,
 z 2 1  m 1  n   2.

Разделив второе уравнение на третье, приходим к системе
двумя неизвестными m и n:
m 2  n 2  1,
(m  n)  2mn  1,


47
47   m  n  mn
 m  n  mn
1  (m  n)  mn  2 .
 (1  m)(1  n)  2


393
Решим полученную систему методом замены, для чего
введем новые неизвестные, полагая m  n  u, mn  v .
После замены последняя система принимает вид
u 2  2v  1,

 uv
47

.

2
1  u  v
Из второго уравнения системы получаем
49u  47
.
2u  2v  47(1  u  v)  45v  49u  47 , откуда v 
45
Подставляя в первое уравнение последней системы и пре49u  47
образуя, последовательно получим u 2  2 
1 
45
45u 2  98u  94  45  45u 2  98u  49  0 , откуда находим
7
7
два корня u1  , u 2 
Соответственно вычисляем значения
9
5
16
12
.
v1   , v 2 
81
25
Учитывая вторую замену, получаем две системы:
7
7


mn ,
mn ,



9 и 
5


mn   16 ;
mn  12 .


81
25


Решив системы методом подстановки, получаем четыре
решения

4
3
7  113 
7  113 

, m 2 
, m3  , m4  ,
m1 




18
18
5
5




3
4
n  7  113 ; n  7  113 . n  ;
n  .
3
4
2


 1

5
5


18
18

Учитывает первую замену, последовательно получаем:
x 7  113 y 7  113
1) 
, 
, откуда получаем связь между
z
18
z
18
394
7  113
7  113
z, y
z.
18
18
Подставляя найденные зависимости между неизвестными
в третье уравнение исходной системы, получаем уравнение
 7  113  7  113 
121  113 

1 
  2  z 2 
z 2 1 
2



18 
18 
 324 

неизвестными x 
z 2  81 , откуда находим z  9 и получаем два решения
 7  113 7  113    7  113  7  113


;
;9  , 
;
;9  .

2
2
2
2

 

x 7  113 y 7  113
,
, откуда получаем связь между


z
18
z
18
7  113
7  113
неизвестными x 
z.
z, y 
18
18
Решая далее аналогично первому случаю, получаем два
 7  113 7  113    7  113  7  113 
решения 
;
;9  .
;
;9  , 

2
2
2
2


 
x 4 y 3
3)  ,
 , откуда получаем связь между неизвестными
z 5 z 5
4
3
x  z , y  z . Решая аналогично первому случаю, получа5
5
ем два решения ( 4;3;5) , (4;3;5) .
x 3 y 4
4)  ,  , откуда получаем связь между неизвестными
z 5 z 5
3
4
x  z , y  z . Решая аналогично первому случаю, получаем
5
5
два решения (3;4;5) , (3;4;5) .
2)
О т в е т: ( 7  133 ; 7  133 ;9) , ( 7  133 ; 7  133 ;9) ,
2
2
( 4;3;5) , (4;3;5) , (3;4;5) , (3;4;5) .
2
2
395
6. Использование формул сокращённого умножения.
Часто в процессе преобразований для упрощения уравнений системы можно эффективно использовать формулы сокращенного умножения.
4.37. Решить систему уравнений
4
2 2
4

 x  x y  y  91,
 2
2

 x  xy  y  7.
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Используя формулу сокращенного умножения
a 2  ab  b 2 a 2  ab  b 2  a 4  a 2 b 2  b 4 , перепишем первое
уравнение системы
2
2
2
2

( x  xy  y )( x  xy  y )  91,
 2
2

 x  xy  y  7.
Учитывая второе уравнение системы, осуществим подстановку в первое уравнение. Получим равносильную систему
2
2
2
2

7  ( x  xy  y )  91,  
 x  xy  y  13,
 2
 2
2
2


 x  xy  y  7,
 x  xy  y  7.
Складывая, а затем вычитая уравнения последней системы
получим равносильную систему
 x 2  y 2  10,

 xy  3.
Выделив полный квадрат суммы в левой части первого
уравнения, получим равносильную систему
 x 2  2 xy  y 2  2 xy  10,
( x  y ) 2  2 xy  10,



 xy  3
 xy  3.
Учитывая второе уравнение последней системы, осуществим подстановку в первое уравнение.
( x  y ) 2  2  3  10,
Получим равносильную систему 
 xy  3

396



 ( x  y )  16,
2
 xy  3.
Последняя система равносильна совокупности двух систем
 x  y  4,

 xy  3
 x  y  4,

 xy  3.
Решая системы методом подстановки, получим четыре решения: (3;1) , (1;3) , ( 3;1) , ( 1;3) .
О т в е т: (3;1) , (1;3) , ( 3;1) , ( 1;3) .
4.38. Решить систему уравнений
 x 3  5 x  y,

 3

 y  x  5 y.
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Складывая и вычитая уравнения системы, получим равносильную систему
 x 3  y 3  6( x  y ),

 3
3

 x  y  4( x  y ).
Используя формулы суммы и разности кубов, перепишем
систему так
2
2

( x  y )( x  xy  y )  6( x  y )  0,

2
2

( x  y )( x  xy  y )  4( x  y )  0.
Вынося общие множители за скобку, получим равносиль2
2

( x  y )( x  xy  y  6)  0,
ную систему 
2
2

( x  y )( x  xy  y  4)  0.
Данная система равносильна совокупности четырёх систем
 x 2  xy  y 2  6,  x 2  xy  y 2  6,
 x  y  0,  x  y  0,
 2

 2

2
 x  xy  y 2  4.
 x  y  0,  x  xy  y  4,  x  y  0,
397
Решая первую, вторую и третью системы методом подстановки получаем пять решений:
(0;0) , ( 2;2) , (2;2) , ( 6; 6 ) , ( 6; 6 ) .
Решим последнюю систему.
Складывая и вычитая уравнения системы, получаем равносильную систему
2
2
2
2
2
2
 x  xy  y  6,  2 x  2 y  10,   x  y  5, 


 2
 x  xy  y 2  4
 2 xy  2
 xy  1
 x 2  2 xy  y 2  2 xy  5,
( x  y ) 2  2 xy  5,



 xy  1
 xy  1.
Учитывая второе уравнение системы, приходим к равносильной системе
( x  y ) 2  2  (1)  5,
( x  y ) 2  3,



 xy  1,
 xy  1.
Последняя система равносильна совокупности двух систем
 x  y   3 ,

 xy  1

 x  y  3 ,
 xy  1.

Решая системы методом подстановки, получаем еще четы 3 7
3 7  3 7 3 7
, 
,
ре решения  
;


  2 ;

2
2
2

 

 3 7 3 7 
3 7
3 7

, 
.
;
 2 ; 2  

2
2

 

О т в е т: (0;0) , ( 2;2) , (2;2) , ( 6; 6 ) , ( 6; 6 ) ,
(
398
3 7
3 7 ,
3 7
3 7 .
;
) (
;
)
2
2
2
2
7. Системы уравнений, которые целесообразно заменить
одним уравнением высшей степени.
Иногда целесообразно решение системы свести к решению
одного уравнения высшей степени. При этом, как правило, используются соотношения Виета для алгебраических уравнений.
4.39. Решить систему уравнений.
 x  y  5,

 xy  6.
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Из теоремы Виета следует, что x и y, удовлетворяющие этой системе, являются корнями квадратного
уравнения вида t 2  5t  6  0 , имеющего корни t1  2 и t 2  3 .
Любая комбинация этих чисел удовлетворяет системе
уравнений. Следовательно, исходная система имеет два реше x  2,
 x  3,
ния  1
и  2
 y1  3
 y 2  2.
О т в е т: (2;3) , (3;2) .
4.40. Решить систему уравнений
 x  y  z  0,
 2
2
2
 x  y  z  38,
 xyz  30.

-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Возводя в квадрат первое уравнение системы, по2
лучим x  y  z   0  x 2  y 2  z 2  2 xy  2 xz  2 yz  0 .
Учитывая второе уравнение системы, получим уравнениеследствие 38  2xy  xz  yz  0  xy  xz  yz  19 .
Заменив второе уравнение, получим равносильную систему
x

y  z  0,


 xy  xz  yz  19,
 xyz  30.

399
Из теоремы Виета заключаем, что х, у, z, удовлетворяющие
системе, являются корнями кубического уравнения вида
 u 3  4u  15u  30  0 
u 3  0u 2  19u  30  0
u (u 2  4)  15(u  2)  0  (u  2)(u 2  2u  15)  0 , откуда
находим три корня u1  2, u 2  5, u 3  3 .
Любая комбинация этих чисел удовлетворяет системе
уравнений. Следовательно, исходная система имеет шесть решений (2;5;3) , (2;3;5) , (5;2;3) , (5;3;2) , (3;2;5) ,
(3;5;2) .
О т в е т: (2;5;3) , (2;3;5) , (5;2;3) , (5;3;2) , (3;2;5) ,
(3;5;2) .
8. Метод оценок.
Иногда обычные преобразования уравнений системы к цели не приводят. В таких случаях в процессе поиска решений
часто используют свойства ограниченности входящих в уравнения системы функций и с помощью оценок возможных значений выражений, входящих в уравнения системы, находят
решения.
Кроме того, если обычные преобразования уравнений системы приводят «в тупик», то часто «выручает» следующий
подход к решению: найти очевидные решения системы и затем
доказать, что других решений система не имеет.
Рассмотрим примеры.
4.41. Найти все действительные решения системы
 x 3  y 3  1,

 4
4

 x  y  1.
------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Попытка использовать метод введения вспомога x  y  u,
тельного неизвестного с помощью замены вида 
 xy  v,
u (u 2  3v)  1,

приводит к новой системе уравнений 
не
2
2
2

(u  2v)  2v  1,
400
проще исходной. Используем следующий подход.
Система имеет два очевидных решения: (1;0) и (0;1). Докажем, что других решений данная система не имеет.
Действительно, так как x 4  0 и y 4  0 при любых х и у, то
равенство x 4  y 4  1 возможно только при x  1 и y  1 . Но
если x  1 , то x 3  1 и равенство x 3  y 3  1 возможно только
при y  0 . Аналогично, x  0 .
Если 0  x  1, 0  y  1 , то x 3  x 4 , y 3  y 4 и уравнения
противоречат друг другу. Действительно, если выполняется
уравнение x 3  y 3  1 , то не выполняется уравнение x 4  y 4  1
и наоборот.
Если же x  1 , то y  0 , а если x  0 , то y  1 .
О т в е т: (1;0), (0;1).
4.42. Найдите действительные корни системы уравнений
2

 x  4 y  7,

2

2 x  y  2.
--------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Решение системы методом подстановки приводит
к уравнению 4-й степени.
Сложив уравнения системы получаем уравнениеследствие: x 2  4 y  2 x  y 2  5 .
Выделим полные квадраты суммы и разности. Получим
уравнение x 2  2 x  1  1  y 2  4 y  4  4  5 
( x  1) 2  ( y  2) 2  0 .
Так как ( x  1) 2  0 , ( y  2) 2  0 при любых х и у, то равенство возможно только при выполнении условий
2

( x  1)  0,

2

( y  2)  0.
Откуда получаем единственное решение x  1 , y  2 .
О т в е т: (–1;2).
401
4.43. Решите систему уравнений
 z 3  x  24,
 3
 y  z  24,
 x 3  y  24.

--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Попытка решить систему методом подстановки
приводит к уравнению 27-й степени.
Системы имеет очевидное решение (3;3;3). Докажем, что
других решений данная система не имеет.
Заметим, что если x  y , то третье уравнение системы
очевидно не выполняется.
Если же x  y , то учитывая, что x  z 3  24 из первого
уравнения системы и y  x 3  24 из второго уравнения, получаем: z 3  24  x 3  24 или z 3  x 3 , откуда следует, что
z  x  y.
Но тогда не выполняется второе уравнение системы.
Следовательно, допущение, что числа х и у не равны приводит к противоречию.
Значит, x  y и третье уравнение можно записать так:
x 3  x  24
 x 3  x  24  0 
x 3  3 x 2  3 x 2  9 x  8 x  24  0

x 2 ( x  3)  3x( x  3)  8( x  3)  0 
( x  3)( x 2  3x  8)  0 .
Так как x 2  3 x  8  0 при любых действительных значениях х (дискриминант уравнения x 2  3 x  8  0 - отрицательное число), то уравнение имеет один действительный корень x  3 , а система – единственное решение x  y  z  3 .
О т в е т: (3;3;3).
402
9. Метод тригонометрических подстановок.
Решение некоторых систем высших степеней иногда удается свести к решению систем тригонометрических уравнений
простого вида, использовав подходящие тригонометрические
подстановки.
( x 2  y 2 ) 2  4а 2 ( x 2  y 2 ),

4.44. Решить систему уравнений 
xy  a 2 , a  0.


-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Метод подстановки приводит к уравнению 8-й
степени. Воспользуемся тригонометрической подстановкой
 x  r cos ,
вида 
 y  r sin .
Тогда после замены данная система перепишется так
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2

(r cos   r sin  )  4a (r cos   r sin  ), 

2

r cos  r sin   a
r 4 (cos2   sin 2  ) 2  4a 2 r 2 (cos2   sin 2  ),


 2
2

r cos sin   a
2
2
2
2
2
2

r  4a (cos   sin  ),  
r  4a cos 2 ,
 2
 2
2
2


r 2 cos sin   2a
r sin 2  2a ,
откуда, подставляя первое уравнение во второе, получаем тригонометрическое уравнение 4a 2 cos 2 sin 2  2a 2 .
Разделив обе части уравнения на 2a 2  0 , получаем уравнение 2 cos 2 sin 2  1  sin 4  1 , откуда получаем

 k
, k Z .
4   2k , k  Z ,   
2
8
2
Так как xy  a 2  0 , то х и у одного знака. Откуда заключаем, что что конец дуги  находится либо в первой, либо в
третьей четверти единичного круга, а сама дуга  может при9

нимать только значения 1   2k ,  2 
 2k k  Z .
8
8
403
Тогда в обоих случаях получаем

2
r 2  4a 2 cos 2  4a 2 cos(  4k )  4a 2
 2a 2 2 , откуда
4
2
r a 2 2.
Учитывая замену, находим искомые решения исходной
системы


x1  r cos1  a 2 2 cos(  2k )  a 2 2 cos  a 2  1 ,
8
8

1  cos

1
2
2 
2 2
;
8
2
2
2


y1  r sin 1  a 2 2 sin(  2k )  a 2 2 sin  a
8
8
так как cos
так как sin

8


1  cos
2
4 

4 
1
2 1,
2
2  2 2 .
2
2
9
9
x 2  r cos 2  a 2 2 cos(  2k )  a 2 2 cos
a 2 2
8
8


)   a 2 2 cos   a 2  1,
8
8
9
9
y 2  r sin  2  a 2 2 sin(  2k )  a 2 2 sin
a 2 2
cos( 
8
sin( 


)   a 2 2 sin   a
8
8
8
2  1.
Таким образом исходная система имеет два решения
x  a
2  1, 
2  1,
 1
x2   a



2  1, 
2  1.
 y1  a
 y2   a
О т в е т:  a

404
2  1; a
2  1  ,   a
 
2  1; a
2  1  .

4.45. Решить систему уравнений
(ax  by) 2  (bx  ay) 2  1,
где a, b,  - заданные числа.

(ax  by) sin   (bx  ay) cos  0,
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Воспользуемся тригонометрической подстановax  by  cos ,
кой вида 
bx  ay  sin .
После замены данная система перепишется так
cos2   sin 2   1,

cos sin   sin  cos  0.
Первое уравнение системы выполняется при любых значениях  , поэтому решение системы сводится к решению тригонометрического уравнения вида cos sin   sin  cos  0 
sin     0 , откуда находим     k , и     k , k  Z .
Рассмотрим два случая:
1) если k  2n - четное число, то     2n , n  Z , и учитывая замену, получаем линейную систему
ax  by  cos(  2n),
ax  by  cos ,
 

bx  ay  sin  .
bx  ay  sin(  2n), n  Z ,
Решая систему, находим первое решение
 a cos  b sin a sin  b cos  .
;


a2  b2
a2  b2


2) если k  2n  1 -нечетное число, то     (2n  1) , n  Z ,
и, учитывая замену, получаем вторую линейную систему
ax  by  cos(  (2n  1) ),
ax  by   cos ,
 

bx  ay   sin  .
bx  ay  sin(  (2n  1) ), n  Z ,
Решая систему, находим второе решение
 b sin  a cos b cos  a sin  .
;


a2  b2
a2  b2


О т в е т:   a cos  b sin  ; a sin   b cos  .

a2  b2
a2  b2

405
4.3.2. Решение систем уравнений высших степеней в
целых числах
Иногда число неизвестных системы уравнений превышает
число уравнений. Такие системы называются неопределенными системами уравнений (диофантовыми системами уравнений).
Термин «неопределенная система» объясняется тем, что
такие системы уравнений имеют, как правило, бесконечное
множество решений. В разделе 4.2.3. уже была рассмотрена
подобная система двух линейных уравнений с тремя неизвестными.
Однако, если требуется найти только целые решения системы, то очень часто неопределенные системы имеют конечное множество решений. По методам решения такие системы
примыкают к неопределенным уравнениям, рассмотренным в
главе 3, поэтому здесь мы ограничимся рассмотрением двух
примеров.
4.46. Найти натуральные решения системы
 x  y  z  30,

2 x  3 y  12z  180.
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Учитывая, что x  y  z  30 , перепишем второе
уравнение так 2  ( x  y  z )  y  10z  180  2  30  y  10z  180 ,
y  10 z  120  y  120 10 z  y  10  (12  z ) .
Так как y – натуральное число, то y – делится на 10.
Значит, y = 10 или y = 20, так как из первого уравнения
следует, что x  30 , y  30 , z  30 .
Но y = 20 не подходит, так как тогда получаем, что z = 10 и
x = 0, что не удовлетворяет условию задачи.
Если y = 10, то получаем z = 11 и, соответственно, x = 9.
Таким образом, система имеет единственное решение в
натуральных числах: x = 9, у = 10, z = 11.
О т в е т: (9;10;11).
406
4.47. Найти целые решения системы
 x  y  2,

2
 xy  z  1.
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Решим задачу двумя способами.
1-й способ. Из второго уравнения получаем xy  1  z 2 . Так
как z 2  0 при любых z, то xy  1 , откуда заключаем, что х и у
– одного знака. Учитывая, что x  y  2 , то x  0 и y  0 . Но
так как х и у – целые числа, то x  1 , y  1 . Следовательно,
x  y  2 , но так как x  y  2 , то x  y  1 . Тогда z  0 .
Таким образом, система имеет единственное решение в
целых числах (1;1;0).
2-й способ. Так как x  y  2 и xy  1  z 2 , то в силу теоремы
Виета х и у – корни квадратного уравнения t 2  2t  1  z 2  0 ,
решив которое, находим эти корни t1, 2  1   z 2 .
Так как значения t действительны, то это возможно только
при z  0 . Тогда t1  х  1 , t 2  у  1 .
О т в е т: (1;1;0).
Упражнения.
Решить систему уравнений:
x  y  x 2 ,
 xy  x  y  7,
603. 
604.  2
2
2

 x y  xy  6.
3 y  x  y .
 xy( x  y )  30,
606. 
3
3
 x  y  35.
 x  y  6,
605.  3
3
 x  y  126.
 x 2  y 2  x  y  12  0,
607. 
 xy  2( x  y )  8  0.
2 x 2  y 2  4 x  2 y  1,
 x  y  4,

608.  2
609.
 2
2
3
3
2

( x  y )( x  y )  280.
3x  2 y  6 x  4 y  5.
407
( x  y )( x 3  y 3 )  27,
 x 2  2 xy  y 2  x  y  6,
610. 
611. 
 2
2

 x  2 y  3.
 x  y  5.
( x  y ) 5  x 5  y 5  210,
 xy 2  18  2 y 2  3 x,
612. 
613.


3
3
3

3 xy  24  6 y  5 x.
( x  y )  x  y  18.
10x  3 y  6 xy  47,
 x 2  xy  y 2  7,
614. 
615. 
2
2
8 x  3 y  6 xy  65.
 x  xy  y  5.
 x 2 y  xy 2  30,
 x 4  y 4  x 2 y 2  13,
616. 
617. 
 2
2
2
2


 xy  x y  70.
 x  y  2 xy  1.
 x 2  2 xy  3 y 2  6,
2 x 2  xy  2 y 2  3,
618. 
619. 
 2
 2
2
2


2 x  xy  5 y  6.
 x  xy  5 y  3.
 x 2  xy  2 y 2  74,
3 x 3  4 x 2 y  xy 2  0,
620. 
621. 
 2
 2
2
2


2 x  2 xy  y  73.
 x  y  2.
( x 3  8 y 3 )( x  2 y )  21,
 x( y  1)  ( y  1) 2 x 2  12,
622. 
623. 
 3

3
2 2


( x  8 y )( x  2 y )  9.
 y ( x  1)  ( x  1) y  20.
 x 3  3 x  y 3  3 y,
 x 4  y 4  17,
624. 
625. 
 1980

 y 1980  1.
 x  y  3.
x
626. Найти целочисленные решения системы уравнений
 x  2 y  3z  4,

3x  4 y  2 z  1,
 yz  6.

627. Найдите неотрицательные решения системы уравнений
2 x  3 y  5 z  1,

3 x  y  2 z  0,
 x 2  xy  xz  y  z  3.

 x  y  z  3,
( x  y )( x  y  z )  72,
 2
2
2
628. 
629.
 x  y  z  3,
( y  z )( x  y  z )  120,
 x 5  y 5  z 5  3.
( z  x)( x  y  z )  96.


408
 xy  6,
630. 
 yz  12,
 zx  8.

 xy  x  2 y,
632. 
 yz  y  3z ,
 zx  z  4 x.

x 2  y 2  z 2 ,
634.  xy  yz  zx  47,
( z  x)( z  y )  2.

( x  y ) 2  z 2  4,
636. ( y  z ) 2  x 2  9,
( z  x) 2  y 2  36.

 xy  yz  8,
631. 
 yz  zx  20,
 zx  xy  14.

2 xy  z  z 3 ,
3
633. 
2 xz  y  y ,
2 yz  x  x 3 .

 x 2  y 2  z  8,
2
635. 
 x  y  z  12, x, y , z  Z .
 xy  yz  zx  11,

( y  z ) 2  8  x 2 ,
2
2
637. 
( z  x)  16  y ,
( x  y ) 2  32  z 2 .

1
 2
 y z  16  xyz,

1
2
638. 
 z x   xyz,
6

1
 2
 x y  6  xyz.

 x 2  xy  xz  x  2,
639.  y 2  xy  yz  y  4,

 z 2  xz  yz  z  6.

 x  y  z  7,
640.  x 2  y 2  z 2  37,
 x 3  y 3  z 3  1.

 x 2  xy  y 2  1,
641.  x 2  xz  z 2  4,
 y 2  yz  z 2  7.

2 x  y  z  0,
642. Показать, что система уравнений  yz  zx  xy  y 2  0, име xy  z 2  0

ет единственное решение x  y  z  0.
409
4.4. Системы рациональных уравнений
Так называются системы, содержащие дробно - рациональные уравнения.
4.4.1. Методы решения систем рациональных уравнений
1. Метод сведения к решению системы высшей степени.
Основным методом решения рациональных систем является метод сведения к решению системы высшей степени, получающейся из исходной системы домножением каждого уравнения системы на общий знаменатель входящих в уравнение
дробей.
После того как найдены все решения полученной системы
высшей степени, следует отбросить те из них, которые обращают в нуль знаменатель хотя бы одной дроби, входящей в
уравнения исходной системы. Оставшиеся решения и определяют искомые решения рациональной системы.
y
 x

,

4.48. Решить систему уравнений  y  1 x  1
 x 2  2 y  1  0.

-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. ОДЗ системы определяется условиями x  1 ,
y  1 .
Умножив первое уравнение заданной системы на произведение ( x  1)( y  1) - общий знаменатель дробей, получим систему-следствие уравнений высшей степени
 x( x  1)  ( y ( y  1),
 2
 x  2 y  1  0,
 x  y  x  y  0,
  2

2
2

 x  2 y  1  0,
( x  y )( x  y )  ( x  y )  0,
( x  y )( x  y  1)  0,
  2
 2
 x  2 y  1  0,
 x  2 y  1  0.
Последняя система равносильна совокупности двух систем
410
 x  y  0,
 2
 x  2 y  1  0,
 x  y  1  0,

 x 2  2 y  1  0.
Решая системы методом подстановки, находим, что первая
система имеет единственное решение (–1; –1), а вторая система
имеет два решения (1  2;2  2 ) и (1  2;2  2 ) .
Решение (–1; –1) является посторонним решением для исходной системы, так как не удовлетворяет ОДЗ системы.
Таким
образом,
система
имеет
два
решения (1  2;2  2 ) и (1  2;2  2 ) .
О т в е т: (1  2;2  2 ) , (1  2;2  2 ) .
4.49. Решить систему уравнений
 x2  y2 5
 ,

2
 xy
 x 2  y 2  3.

-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. ОДЗ системы определяется условиями x, y  0 .
Умножив первое уравнение системы на 2 xy , получим систему-следствие уравнений высшей степени
2
2

2 x  2 y  5 xy  0,
 2
2

 x  y  3,
первое уравнение которой является однородным.
Значение y  0 не удовлетворяет полученной системе. Разделив первое уравнение на y 2 , получим равносильную систему
  x 2
x
2   5   2  0,
  y
 y
 2
2
 x  y  3,
411
x
 t . После замены первое
y
1
уравнение принимает вид 2t 2  5t  2  0 , откуда t1  2, t 2  .
2
x
x 1
Учитывая замену, получаем два уравнения  2 и  .
y
y 2
Таким образом промежуточная система равносильна, совокупности двух систем
 x
 y  2,

 x 2  y 2  3,

 x 1
 y  2 ,

 x 2  y 2  3.
Решив системы методом подстановки, находим, что первая
система имеет два решения (2;1), (–2; –1), а вторая система решений не имеет.
Посторонних решений система, не имеет, так как оба решения удовлетворяют ОДЗ системы (ни одна из двух найденных пар чисел не обращает в нуль знаменатель дроби первого
уравнения исходной системы).
Произведем замену, полагая
О т в е т: (2;1), (–2; –1).
 x2 y2
 12,
 
y
x
4.50. Решить систему уравнений 

1  1  1 .
 х у 3
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. ОДЗ системы определяется условиями x  0 ,
y  0.
Умножив первое уравнение системы на произведение xy , а
второе уравнение на 3 xy , получим систему-следствие:
412
 x 3  у 3  12 хy,

3( x  y )  xy

 ( x  y )( x  xy  y )  12xy, 
2
2
3( x  y )  xy
( x  y )((x  y )  3xy)  12xy,

3( x  y )  xy.
Решим полученную систему высшей степени методом введения вспомогательных неизвестных
 x  y  u,
Введем новые неизвестные, полагая 
 xy  v.
После замены система уравнений принимает вид
u (u 2  3v)  12v,
u (u 2  9u )  36u,



3u  v
3u  v.
2
Решим уравнение u (u 2  9u )  36u .
Заметим, что u  0 . Действительно, иначе из второго
уравнения следовало бы, что xy  0 , а это противоречит ОДЗ
исходного уравнения.
Разделив обе части уравнения на u, получим уравнение
2
u  9u  36  0 , откуда получаем u1  12 , u 2  3 и, соответственно, v1  36 , v 2  9 .
Учитывая замену, получаем две системы уравнений
 x  y  12,
1) 
 xy  36,
откуда находим решение x1  6 , у1  6 .
 x  y  3,
1) 
 xy  9,
откуда находим два решения x 2 
3
3
( 5  1) , у 2   ( 5  1)
2
2
3
3
и x 3   ( 5  1) и у 3  ( 5  1) .
2
2
3
3
3
3
О т в е т: (6;6) , ( ( 5  1); ( 5  1)) , ( ( 5  1); ( 5  1)) .
2
2
2
2
413
2. Метод введения вспомогательных неизвестных (метод
замены).
Иногда систему уравнении удается свести либо к линейной
системе, либо к системе уравнений высшей степени, используя
метод замены некоторых комбинаций неизвестных новыми
вспомогательными неизвестными.
x y 5
  ,
4.51. Решить систему уравнений 
y x 6
 x 2  y 2  13.

-------------------------------------------------------------------------------x
Р е ш е н и е. Введем новое неизвестное, полагая
 u . Тогда
y
1 5
первое уравнение системы примет вид u   .
u 6
После очевидных преобразований приходим к уравнению
2
3
6u 2  5u  6  0 , откуда находим два корня u1   , u 2  .
3
2
Учитывая замену, получаем два случая:
2
x
2
1)
  или x   y .
3
y
3
Подставляя в второе уравнение исходной системы, прихо4
дим к уравнению y 2  y 2  13  y 2  9 , откуда y  3 и
9
получаем два решения
 x1  2,  x 2  2,


 y1  3,  y 2  3.
3
x 3
2)
 или x  y .
2
y 2
Решая аналогично, получаем еще два решения
 x 3  3,  x 4  3,


 y1  2,  y 4  2.
О т в е т: (-2,3); (2,-3:); (-3,-2); (3,2).
414
4.52. Решить систему уравнений
4
13
 5
 x 2  xy  y 2  xy  6 ,


1
 8
 2
 1.
2

 x  xy y  xy
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. ОДЗ системы определяется условиями x 2  xy  0 ,
y 2  xy  0 , откуда получаем x  0 , y  0 , x   y .
 1
 x 2  xy  u ,
Введем новые неизвестные, полагая 

 1
 v.
 y 2  xy
После замены система принимает вид
13

5u  4v  ,
6

8u  v  1.
Решив полученную линейную систему уравнений методом
1
1
Крамера, находим u  , v  .
6
3
Учитывая замену, приходим к системе
1
 1
 x 2  xy  6,
 x 2  xy  6 ,

  y 2  xy  3,

1
 x  0, y  0, x   y.
 1
 ,
2


3
y

xy

Складывая уравнения последней системы получаем уравнение-следствие x 2  2 xy  y 2  9  ( x  y ) 2  9 , равносильное совокупности двух уравнений x  y  3 .
Таким образом, последняя система уравнений равносильна
совокупности двух систем
415
 x  y  3,
 2
 x  xy  6,
 x  y  3,


 x 2  xy  6.
Решая системы методом подстановки, находим два решения (–2; –1), (2;1), удовлетворяющие ОДЗ исходной системы.
О т в е т: (–2; –1), (2;1).
4.53. Решить систему уравнений
 3 xy
 x  y  5,

 2 xz
 3,

x

z

 yz
 y  z  4.

-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. ОДЗ системы определяется условиями: x   y ,
x  z , y  z .
Перепишем систему так:
5
 xy
x  y  3,

3
 xz
 ,

x  z 2
 yz
 y  z  4.

Замечание. Заметим, что, "перевернув" дроби в левых частях
уравнений системы, можно произвести по членное деление и
вид уравнений существенно упростить. Однако при этом следует помнить, что операция "переворачивания" может привести к потере решений, так как будут потеряны те решения, при
которых обе части уравнения равны нулю. ▼
416
Так как x  0 , y  0 не удовлетворяет системе, то "перевернув" левые и правые части уравнений, получим равносильную систему
x  y 3
1 1 3
 xy  5 ,
y  x  5,


 x  z 2  1 1 2
 ,

   ,
3
z x 3
 xz
1 1 1
y  z 1
z  y  4.
 yz  4


1
 x  u,

Введя новые неизестные  1
  v,
y
1
  t,
z
получим систему линейных уравнений вида
3

u  v  5 ,

2

u  t  ,
3

1

t  v  4 .

Заметив, что неизвестные u, v, t входят в уравнения системы по два раза, сложим все уравнения системы.
91
Тогда получаем уравнение 2(u  v  t ) 
, откуда нахо60
91
дим сумму трёх неизвестных u  v  t 
.
120
Присоединив полученное уравнение к последней системе,
получим равносильную систему
417
91

u  v  t  120 ,

u  v  3 ,

5

2
u  t  ,

3

1
t  v  .
4

Второе, третье и четвертое уравнения полученной системы
представляет собой известную сумму двух неизвестных.
Используя эти уравнения, последовательно получаем:
1
91
61
, откуда находим u 
;
u 
4 120
120
2
91
11
, откуда находим v 
;
v 
3 120
120
3 91
19
, откуда находим t 
.
t 
5 120
120
Учитывая замену, получаем систему
1
61
 x  120 ,

11
1
,
 
y
120

 1 19
.
 
 z 120
120
120
120
Откуда находим x 
, y
, z
.
61
11
19
Таким образом исходная система имеет единственное ре 120 120 120  .
шение 
;
;

 61 11 19 
 120 120 120  .
О т в е т: 
;
;

 61 11 19 
418
4.54. Решить систему уравнений
 2x 2
 y,

1  x 2

2
 2 y  x.
1  y 2
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. ОДЗ системы определяется условиями 1  x 2  0 ,
1  y 2  0 , что выполняется при любых значениях х и у, то есть
x  R, y  R .
Легко заметить, что пара чисел x  0 , y  0 удовлетворяет
уравнениям системы, то есть пара чисел (0;0) является решением системы.
Найдем остальные решения системы, предполагая уже, что
x  0, y  0 .
«Перевернув» уравнения системы, получим
1  x 2 1
1 1
 1
  ,
 ,

2
2

y
 2x
  2 x 2 y

2
 1  1  1.
1  y  1
2
2


2 x
x
2y
 2y
1
 x  u,
Введем новые неизвестные, полагая 
1
  v.
 y
После замены система принимает вид
u 2 1
   v,
2 2
 2
 v  1  u.
 2 2
Вычитая второе уравнение системы из первого, получаем
уравнение-следствие
u 2  v 2  2(u  v)  (u  v)(u  v)  2(u  v)  0 
419
(u  v)(u  v  2)  0 .
Присоединяя полученное уравнение к первому уравнению
системы, получим равносильную систему
(u  v)(u  v  2)  0,
 2
u
1
   v.
2 2
Полученная система уравнений равносильна совокупности
двух систем
u  v  0,
 2
  u  1  v,
 2 2

u  v  2  0,
 u 2 1
   v.
 2 2
Решая системы методом подстановки, находим, что первая система имеет единственное решение (1;1), а вторая система решений не имеет.
Учитывая замену, получаем
1
 x  1,
1
  1,
 y
откуда находим x  1, y  1 .
Итак, исходная система имеет два решения (0;0) и (1;1).
О т в е т: (0; 0), (1; 1).
Замечание. Заметим, что данную систему можно решить следующим образом.
Из уравнений системы следует, что равенства могут выполниться только при x  0 , y  0 .
Рассмотрим первое уравнение системы.
2x 2
 y  2x 2  x .
y
2
1 x
1 x
420
Так как для любых действительных значений x выполняется неравенство ( x  1) 2  0 , то x 2  1  2 x , причем знак равенства имеет место лишь в случае, когда x = 1.
Так как x 2  1  0 при любых х, то выполняется неравен2x
ство 2
 1 . Тогда из первого уравнения следует следуюx 1
щая оценка y  x .
Аналогично из второго уравнения получаем оценку х  у .
Откуда заключаем, что оба неравенства удовлетворяются лишь
в том случае, когда х = у. Подставляя y  x в первое уравне-
2x 2
 х  ( 2 x 2  1)  0 , от2
1 x
1 x
куда находим x1  0 , x 2  1 и, соответственно, у1  0 , y 2  1 .
Таким образом, система имеет два решения (0;0) и (1;1).
Такой подход к решению уравнений и систем уравнений,
как уже было отмечено выше, называется методом оценок. ▼
ние системы, получаем х 
3. Метод оценок.
Иногда обычные преобразования уравнений системы к цели не приводят. В таких случаях в процессе поиска решений
часто используют свойства ограниченности входящих в уравнения системы функций и с помощью оценок возможных значений выражений, входящих в уравнения системы, находят
решения.
Рассмотрим примеры.
4.55. Решить систему уравнений

2
2 y  x  x ,

2

2 z  y  ,
y


2
2 x  z  .
z

--------------------------------------------------------------------------------
421
Р е ш е н и е. ОДЗ системы определяется условиями x  0 ,
y  0 , z  0.
Легко заметить, что числа x , y , z , удовлетворяющие уравнениям системы, должны быть одного знака. Предположим,
для определенности, что x  0 , y  0 , z  0 .
В силу неравенства Коши (соотношения между средним
арифметическим и средним геометрическим двух неотрицательных чисел), получим оценку возможных значений правой
2
x
x  x  2  2 , то
части первого уравнения системы:
2
x
2
есть x   2 2 . Следовательно, в силу первого уравнения
x
системы, заключаем, что у  2 .
Аналогично из второго и третьего уравнений заключаем,
что z  2 и x  2 .
Сложив все уравнения системы, получим
2 2 2
2 2 2
2x  2 y  2z  x  y  z     x  y  z    .
x y z
x y z
В силу полученных оценок, имеем x  y  z  3 2 и так
2
2
2
как  2 ,  2 ,  2 при x  2 , у  2 , z  2 , то
x
z
y
2 2 2
  3 2.
x y z
Откуда заключаем, что равенство возможно только при
x  y  z  3 2 , то есть при x  y  z  2 .
Таким образом, система имеет решение ( 2; 2; 2 ) .
Аналогично, в случае x  0 , y  0 , z  0 , получаем второе решение ( 2; 2; 2 ) .
О т в е т: ( 2; 2; 2 ) , ( 2; 2; 2 ) .
422
 x2 y2 z2 t 2
 2  2  2  2  4,
z
t
x
y
2
2
2
2
4.56. Решить систему уравнений  y  z  t  x  4,
 2
y2 z2 t2
x
 x  y  z  t  12.



-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. ОДЗ системы определяется условиями x  0 ,
y  0 , z  0, t  0 .
Сложив два первых уравнения системы, получим
x2 y2
y2 z2
z2 t2
t 2 x2
( 2  2 )  ( 2  2 )  ( 2  2 )  ( 2  2 )  8.
y
x
z
y
t
z
x
t
Оценим возможные значения левой части полученного
уравнения, воспользовавшись замечательным неравенством:
a b
если ab  0 , то   2 , причем равенство возможно только
b a
при a  b .
Так как x 2  0 , y 2  0 , z 2  0 , t 2  0 для всех допустимых x , y , z , t , то
z2 t2
y2 z2
x2 y2
,
,

 2,


2


2
t2 z2
y2 x2
z2 y2
t 2 x2

 2 . Складывая эти неравенства, получим оценку
x2 t 2
y2 z2
x2 y2
z2 t2
t 2 x2
( 2  2 )  ( 2  2 )  ( 2  2 )  ( 2  2 )  8.
y
x
z
y
t
z
x
t
Откуда заключаем, что равенство возможно только при
условии x 2  y 2  z 2  t 2 , то есть в случае, когда x , y , z , t
равны по модулю. По третьему уравнению системы эти числа
3, 3, 3, 3 или 6, 6, 6, –6.
Таким образом, система имеет пять решений: (3; 3; 3; 3),
(6; 6; 6; –6), (6; 6; –6; 6), (6; –6; 6; 6), (–6; 6; 6; 6).
О т в е т: (3;3;3;3), (6;6;6; –6), (6;6; –6;6), (6; –6;6;6), (–6;6;6;6).
423
Упражнения.
Решить систему уравнений:
1
1
1

 ,

643.  xy x  y 2
 x 2 y  xy 2  2.

 x  y x  y 10

 ,
644. 
x  y x  y 3
 x 2  y 2  45.

x y

x
 4,

2
645. 

 y  x  3 y  1.

x2

 x3
  xy  40  0,
y
646. 
 3
 y  xy  10  0.

 x
 x2 y2
 12,
 
y
x

647. 
1  1  1 .

x y 3
10
 1
 x  y  x  y  1,
648. 
 1  2   3.

5
x  y x  y
1 1
 x  y  6,

649.  1  1  4,

y z
1 1
   5.
z x
 3 xy
 x  y  5,

650.  yz  4,

y  z
 2 zx
 3.

z  x
 xy
 x  y  15,

651.  yz  12,

y  z
 zx
 20.

z  x
 xyz
 x  y  2,

652.  xyz  6 ,

y  z 5
 xyz 3
 .

z  x 2
424
 y z
 x( z  y )  45,

x z
653. 
 y (  )  40,
 z x
 x y
 z ( y  x )  13.

 2x 2
 z,

2
1

y

 2y2
654. 
 x,

2
1  z
 2z 2
 y.

2
1  x

1
1

x  ( y  ),

 x  y  z  9,
2
y


1 1 1
1
1
655. 
656. 
    1,
 y  ( z  ),
x
y
z
2
z



1
1

 xy  xz  yz  27.
 z  2 (t  t ).

1 1 1
 x  y  z  11,

657. 
6 x  3 y  2,
3 3 1
  
 18.

 x y 2z
1 1 1
 x  y  z  1,

659. 
 x  z  1,
1 4
   1.

x y
 1 1 1 13
x  y  z  3 ,

658.  x  y  z  13 ,

3

 xyz  1.


12
 xy
x  y  7 ,

660.  zt  18 ,

z  t 5
 x  y  z  t  22,

 xyzt  648.

1 2 3
( x  2 y  3 z )     36,

661. 
x y z

2
3
3 x  2 y  z  6.
425
4.5. Системы иррациональных уравнений
Так называются системы, содержащие иррациональные
уравнения. Методы решения таких систем идейно совпадают с
методами, применяемыми при решении рациональных систем
и систем уравнений высших степеней, рассмотренных выше.
При этом сохраняются все основные особенности иррациональных уравнений и методы их решения (раздел 2.6.).
Рассмотрим примеры.
4.57. Решить систему уравнений

 x  y  65,
3
3
6

 x  y  2,5  xy .
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. ОДЗ системы определяется условием xy  0 , откуда следует, что х и у имеют одинаковые знаки.
Упростим второе уравнение системы. Возводя в куб, получаем равносильное уравнение (3 x  3 y ) 3  15,625 xy 
x  y  3  3 xy  (3 x  3 y )  15,625 xy .
Учитывая уравнения системы и осуществив подстановку,
получим уравнение-следствие
65  3  3 xy  2,56 xy  15,625 xy 
65  7,5  6 ( xy) 3  15,625 xy  65  7,5  xy  15,625 xy 
8,125 xy  65 , откуда получаем уравнение
xy  8  xy  64 .
Присоединяя полученное уравнение к первому уравнению
системы, приходим к системе
 x  y  65,

 xy  64,
решив которую, получаем два решения: (64; 1) и (1; 64).
О т в е т: (64; 1), (1; 64).
426
4.58. Решить систему уравнений

 x  y  xy  7,
 2
2

 x  y  xy  133.
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Используя формулу сокращенного умножения
a 2  ab  b 2 a 2  ab  b 2  a 4  a 2 b 2  b 4 ,
преобразуем
второе уравнение системы. Получаем

 x  y  xy  7,


( x  y  xy )( x  y  xy )  133.
Учитывая первое уравнение сметены, приходим к системе

 x  y  xy  7,
 x  y  xy  7,
 



7  ( x  y  xy )  133,
 x  y  xy  19.
Складывая, а затем вычитая уравнения системы, получим
равносильную систему
 x  y  13,
x  y  13,

 


 xy  36.
 xy  6,
Решая систему, получаем два решения (9; 4) и (4; 9).



О т в е т: (9; 4), (4; 9).
4.59. Решить систему уравнений

x y
6

,
x  y 
x y x y

 xy  20.

-------------------------------------------------------------------------------x y
Р е ш е н и е. ОДЗ системы определяется условиями
 0,
x y
x  y  0.
Преобразуем первое уравнение системы. До множив числитель и знаменатель дроби, находящейся под знаком радикала, на x  y , получим
427
x2  y2
6
 x y
x y

2
x y
( x  y)
x2  y2
x y

6
.
x y
Для дальнейшего упрощения уравнения рассмотрим два
случая:
1) если x  y  0 , то уравнение можно записать так
x y
x2  y2
6

x y
x y

x2  y2  x2  y2  6
x y
0
2
2
2
 2
  x  y  x  y  6,

 x  y  0.
Произведем замену: x 2  y 2  t , t  0 .
После замены первое уравнение системы принимает вид
2
t  t  6  0, откуда находим два корня t1  3 , t 2  2 .
Значение корня t 2 не удовлетворяет условию t  0 .
Учитывая замену, получаем уравнение
x2  y2  3 
x2  y2  9 .
Таким образом, если x  y  0 , исходная система равносильна следующей системе
 x 2  y 2  9,

 xy  20,
 x  y  0.

Решая систему методом подстановки, приходим к биквадратному уравнению x 4  9 x 2  400  0 .
Решив уравнение, находим два корня x1  5 , x2  5 , и,
учитывая второе уравнение, получаем два решения
 x1  5,  x 2  5,
и 

 y1  4  y 2  4.
Так как x  y  0 , то есть x  y , то первое решение является посторонним.
428
Итак, если x  y  0 , система имеет одно решение (5; 4).
2) если x  y  0 , то уравнение можно записать так
x y
x2  y2
6

 ( x  y) x  y

x2  y2  x2  y2  6
0
x y
2
2
2
 2
  x  y  x  y  6,

 x  y  0.
Решая аналогично, приходим к системе
2
 x  y 2  4,

 xy  20,
 x  y  0.

Решив систему, получим еще одно решение
(
404  2 ;
О т в е т: (5; 4), (
404  2 ) .
404  2 ;
404  2 ) .
4.60. Решить систему уравнений
3

 x  y  x  y  6,

3
2
6

 ( x  y)  ( x  y)  8.
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. ОДЗ системы определяется условием x  y  0 , то
есть x   y .
Преобразуем второе уравнение системы.
Так как при x  y  0 выполняются равенства
6
( x  y) 3  x  y , 6 ( x  y) 2  3 x  y , то
6
( x  y) 3 ( x  y) 2  x  y  3 x  y .
Замечание. Внимание! Неверное преобразование второго радикала 6 ( x  y) 2  3 x  y , сужающее ОДЗ неизвестных системы, приводит к потере решений.▼
429
Таким образом, система равносильна системе
3

 x  y  x  y  6,

3

 x  y  x  y  8.
Рассмотрим два случая:
1) если x  y  0 , то x  y  x  y и система принимает вид:

 x  y  3 x  y  6,

3

 x  y  x  y  8.

 x  y  u, u  0, приходим к системе
Осуществив замену: 
3

 x  y  v, v  0,
u  2, u 2  4,
u  v  6,
откуда получаем два решения  1
и 

v1  4 v 2  2.
u  v  8,
Учитывая замену, получаем две системы уравнений

 x  y  2,
а) 
3

 x  y  4.
Возведя первое уравнение в квадрат, а второе – в куб, по x  y  4,
лучим равносильную систему 
 x  y  64.
Складывая, а затем вычитая уравнения системы, получим
2 x  68,
равносильную систему 
откуда находим первое ре2 y  60,
 x  34,
шение исходной системы  1
 y1  30.

 x  y  4,
б) 
3

 x  y  2.
Возведя первое уравнение в квадрат, а второе – в куб, по x  y  16,
лучим равносильную систему 
 x  y  8.
430
Складывая, а затем вычитая уравнения системы, получим
2 x  24,
равносильную систему 
2 y  8,
 x  12,
откуда находим второе решение исходной системы  2
 y 2  4.
Оба решения удовлетворяют условию x  y  0 .
2) если x  y  0 , то x  y  ( x  y)   x  y и система принимает вид:

 x  y  3 x  y  6,  
 x  y  3 x  y  6,


3
3


 x  y   ( x  y)  8
 x  y  x  y  8.

 x  y  u, u  0, приходим к систеОсуществив замену: 
3

 x  y  v, v  0,
u  v  6,
ме уравнений 
откуда получаем два решения
u  v  8,

u1  3  17 , и 
u 2  3  17 ,



v1  3  17 
v 2  3  17.
Второе решение не удовлетворяет условиям u  0, v  0 .
Учитывая замену, получаем систему

 x  y  3  17 ,

3

 x  y  3  17.
Решая аналогично, находим третье решение исходной си
 x  103  19 17 ,
стемы  3

 y 3  77  25 17.
Решение удовлетворяют условию x  y  0 .
О т в е т: (34; -30), (12; 4), (103  19 17;77  25 17 ) .
431
4.61. Решить систему уравнений
 x
y
1

 y  x  xy  1,

 3
3

 x y  xy  2.
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. ОДЗ системы определяется условием xy  0 , то
есть x и y – одного знака и не равны нулю.
Учитывая, что
xy 
x 
y и
x

y
x
перепишем
y
систему так:
 x
y
1



 1,
 y

x
x

y


3
3
 x  y  x  y  2
 x
y
1


1
,

y
x
x

y


3
3
( x )  y  x  ( y )  2.
Замечание. Внимание! Неверное преобразование радикалов
x
x
, xy  x  y , x 3 y  x 3  y ,
xy 3  x  y 3 ,

y
y
сужающее ОДЗ неизвестных системы, приводит к потере решения.▼
 x  u, u  0,

Осуществив замену: 
приходим к системе
y

v
,
v

0
,


1
u v
2
2

 1 ,
u  v  uv  1,

уравнений  v u
uv  
2
2

uv  (u  v )  2.
u 3  v  u  v 3  2,

432
Подставляя первое уравнение во второе, получаем систему
уравнений
u 2  v 2  uv  1,

uv  (uv  1)  2.
Произведем замену, полагая uv  t , t  0 .
После замены, второе уравнение системы примет вид
t t  1  2  t 2  t  2  0 , откуда находим два корня
t1  1 , t 2  2 .
Второе значение корня t2 не подходит по условию t > 0.
Учитывая вторую замену, получаем систему
u 2  v 2  2,
u 2  v 2  2uv  2uv  2,




uv  1,
uv  1,
(u  v) 2  2uv  2,
(u  v) 2  4,



uv  1,
uv  1.
u  v  2,
Учитывая, что u  v  0 , приходим к системе 
uv  1,
u  1,
откуда получаем единственное решение 
v  1.
Учитывая первую замену, получаем систему
 x  1,
 x  1,

 
откуда, учитывая, что ху > 0, получаем

 y  1,
 y  1,
 x  1,
 x  1,
два решения  1
и  2
 y1  1,
 y 2  1.
О т в е т: (–1, –1); (1, 1).
В заключение раздела приведем пример системы иррациональных уравнений, которую удается решить весьма «экзотическим» способом, используя основные понятия и формулы
векторной алгебры.
433
4.62. Решить систему уравнений

 x  y  z  t  6,

2
2
2
2

 1  x  4  y  9  z  16  t  8.
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Рассмотрим в плоскости декартовой системы ко

ординат четыре вектора a  ( x; 1  x 2 ) , b  ( y; 4  y 2 ) ,


c  ( z; 9  z 2 ) , d  (t ; 16  t 2 ) .
Длины векторов равны:


a  x2  ( 1  x2 )2  1, b  y 2  ( 4  y 2 )2  2 ,


c  z 2  ( 9  z 2 ) 2  3 , d  t 2  ( 16  t 2 ) 2  4 .
Найдем сумму векторов:
   
a  b  c  d  ( x  y  z  t; 1  x 2  4  y 2  9  z 2  16  t 2 ) .
Если система чисел (х; у; z; t) является решением исходной
системы, то, учитывая уравнения системы, заключаем, что
сумма векторов имеет координаты 6 и 8, то есть
   
a  b  c  d  (6;8) , а длина этого вектора равна 6 2  8 2  10 .
Так как длина суммы векторов равна сумме длин этих векторов, то все четыре вектора коллинеарны и сонаправлены.
   
Следовательно, координаты векторов a, b , c , d пропорциональны их длинам, то есть числам 1, 2, 3, 4 соответственно.
Действительно, если y  x и
4  y 2   1  х 2 , то
возведя оба равенства в квадрат и сложив, получим  2  4 , откуда , учитывая, что   0 , получаем   2 .
Следовательно, y  2 x . Аналогично, z  3x , t  4 x .
Подставляя в первое уравнение системы, получаем
x  2x  3x  4x  6  10x  6 , откуда находим x  0,6 и,
соответственно, y  1,2 , z  1,8 , t  2,4 .
О т в е т: (0,6; 1,2; 1,8; 2,4).
434
Упражнения.
Решить систему уравнений:
5
 12
 5,
 x 1 
1
 3x
x y

y
2
 0,
4
662. 
663. 
x

y
3
x


 xy  54  x  y.
 8  10  6.

 x 1
1
y


4

( x  y x  y 2 ) x  y 2  65,
664. 

2
2

( x  y x  y ) x  y  185.
4 2
2

(13x y  6 x  6 y) x y  356,
665. 
4 2
2

(5 x y  6 x  6 y ) x y  100.
 x 2  x3 xy 2  80,
666. 
 2
2
3

 y  y x y  5.

 3x  1  4  y  5,
667. 

12x  3xy  y  4  16.
3 x 2  5 y  6,
668. 

2 3
6

2  x y  y  1.
2

 x  x  y  3  1,
669. 
2
2

 x ( x  y)  3.
 x  y  x 2  4 y 2  2,
670. 
 5 2
2

 x x  4 y  0.
x 

x
671. 

x
 
y
x2  y2
x2  y2
 x,
1 x
.
1 y
x  x2  y2 9
2
1

3x 
xy 2  9 x 2 y  ( x  ) y,

 x,

2
2
3
3
5 673. 
x x  y
672. 
6x  y x  5


x
5  3x

.
 y
3
 y  6(5  y ) .

435
 x y 1
4
 
,

4
x
x
9
x

y

674. 
 x  y  x  y  4,8.
x  y x  y

32  ( y  x 2  32 y  8 )  x 2  312,

675.  7 x 2 y 2
32
1
 2  x 2  28  2  64 y ( x  16 y ).

x y
y
 2
 x
 6x
y
7
x y 5


,

 ,


676.  x  y
677. 
y
x
6x
2
xy


4 3
2
3
4

 x( x  y )  x  xy  4  52.
 x y  xy  12.
 x
y
1


 2,


x
678.  y
xy
4 3
3
4

 x y  xy  3 2.
 x 2  y 2  x 2  y 2  y,
680. 
 x 4  y 4  144.
2

 x  y xy  72,
682. 
2

 y  x xy  36.
 ( x  3) 2  x  3,
679. 

2

 ( x  3)  3  x.
3 x  3 y  3,
681. 
3 2
2
3
3

 x  xy  y  3.
1

( x  y) y 
x,

683. 
2
( x  y ) x  3 y .

5

x y zt  ,

2
684. 

 1  x 2  1  y 2  4  z 2  9  t 2  6.

 4
436
4.6. Системы показательных и логарифмических
уравнений
Методы решения систем, содержащих показательные и
(или) логарифмические уравнения, идейно совпадают с методами, применяемыми при решении рациональных систем и систем уравнений высших степеней (см. разделы 4.3., 4.4.), и не
содержат каких либо принципиально новых моментов. Кроме
того, используются рассмотренные выше методы решения показательных и логарифмических уравнений.
Рассмотрим примеры.
4.63. Решить систему уравнений
 2 x  1  3 y
3    ,
3

 log 2 x
 y.
2
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. ОДЗ системы определяется условием x  0 , то
есть x  (0; ) .
Заметим, что второе уравнение системы выполняется только при y  0 , откуда заключаем, что в решении y  (0; ) .
Перепишем систему так
2x
2x
y 3
2x
y 3
3  (3 1 ) 3 y ,

3  3 ,  
3  3 ,


 2 log2 x
 log2 x 2
 log 1 x

 y,

 y.
2 2 2  y,
2
2
Используя условие равенства степеней с одним основанием и основное логарифмическое тождество, получаем систему
уравнений высшей степени, равносильную исходной системе
на множестве допустимых значений неизвестного:
2 x  y  3,
 2
 x  y,

 x  0,

 y  0.
437
Из первого уравнения получаем y  2 x  3 . Подставив в,о
второе уравнение системы, получим квадратное уравнение вида x 2  2 x  3  0 , имеющее два корня x1  3 , x 2  1 . Второй корень не удовлетворяет неравенству системы x  0 и является посторонним.
Таким образом, исходная система имеет единственное ре x  3,
шение 
 y  9.
О т в е т: (3; 9).
4.64. Решить систему уравнений
x
y
y
x

x  2  y  4  x  4  y  2 ,
 x y

3  9  81.
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. ОДЗ системы - x  R , y  R .
Перепишем систему так:
 x  2 x  y  2 x  x  4 y  y  4 y  0,

 x 2y

3  3  81
( x  y )  2 x  ( x  y )4 y  0,
  x  2 y

3
( x  y )  (2 x  4 y )  0,
  x  2 y

3
 81
 3 4.
Полученная система равносильна совокупности двух систем уравнений
 x  y  0,

 x  2 y  4,
2 x  4 y  0,

 x  2 y  4

 x  y  0,

 x  2 y  4,
 2 x  2 2 y ,

 x  2 y  4

 x  y  0,

 x  2 y  4,
 x  2 y,

 x  2 y  4.
Из первой системы совокупности находим решение (–4;4),
а из второй системы совокупности – решение (2;1).
О т в е т: (–4;4), (2;1).
438
4.65. Решить систему уравнений
log 2 x 3 y (4 x  y )  1,

log3 (2 x  3 y )  log 2 (3x  2 y )  0.
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. ОДЗ системы определяется системой неравенств
4 x  y  0,
2 x  3 y  0,

,

2
x

3
y

1
,

3x  2 y  0.
Потенцируя первое уравнение на ОДЗ системы получаем
равносильную систему
4 x  y  2 x  3 y ,


log3 (2 x  3 y )  log 2 (3x  2 y )  0
 x  2 y,

log3 (2 x  3 y )  log 2 (3x  2 y )  0.
Полученная система на ОДЗ исходной системы равносильна совокупности систем уравнений
 x  2 y,
 x  2 y,


log3 (2 x  3 y )  0,  2 x  3 y  1,
 x  2 y,
 x  2 y,


log 2 (3x  2 y )  0
3x  2 y  1.
Из первой системы совокупности находим решение (2;1),
которое не удовлетворяет условию 2 х  3 у  1 и является посторонним решением, а из второй системы совокупности – реше1 1
ние ( ; ) , удовлетворяющее ОДЗ исходной системы.
4 8
1 1
О т в е т: ( ; ) .
4 8
439
2

 x  1  6  log4 y,
4.66. Решить систему уравнений 
2
x
2 x 1

y  2  y  2 .
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. ОДЗ системы определяется условием y  0 , то
есть y  (0; ) .
Рассмотрим второе уравнение системы как квадратное
уравнение относительно у: y 2  2 x  y  2  2 2 x  0 .
Решив уравнение, получаем
2 x  22x  8  22x 2 x  9  22x 2 x  3  2 x
,


2
2
2
то есть приходим к двум уравнениям: y  2 x и y  2  2 x .
y
Так как по ОДЗ y  0 , а  2 x  0 при любых значениях, то
уравнение решений не имеет.
Присоединив уравнение y  2  2 x к первому уравнению
исходной системы, получим равносильную систему уравнений
 x 2  1  6  log 4 y,


x

y  2  2 .
Подставив второе уравнение в первое, приходим к равносильной системе уравнений
2
x

 x  1  6  log 4 (2  2 ),

x

y  2  2 .
Решим первое уравнение системы. Имеем:
2


x  1  6  log 4 (2  2 x )
x 2  1  6  log 22 (2 x 1 )
1


x 2  1  3  ( x  1)
 ( x  1) log 2 2
2
x 2  3 x  4  0 , откуда находим два корня x1  4 и x2  1 .
Из второго уравнения системы соответственно находим
y1  32 и y 2  1 .
Таким образом, система имеет два решения: (4;32) и (-1;1).
x2  1 6 
О т в е т: (4; 32), (-1; 1).
440
Весьма часто системы показательных и логарифмических
уравнений сводятся к системам рациональных уравнений подходящей заменой входящих в них логарифмов или степеней
новыми вспомогательными неизвестными.
4.67. Решить систему уравнений
642 x  642 y  12,

 x y

64  4 2.
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. ОДЗ системы: x  R , y  R .
Преобразуем второе уравнение системы. Имеем:
2x
2y
2x
2y

64  64  12,  
64  64  12,
 x

y
2x
2y


64  64  4 2 ,
 64  64  4 2 ,
2x

64  u, u  0,
Произведя замену: 
2y

64  v, v  0,
получаем систему иррациональных уравнений
u  v  12,
u  v  12,
 

u  v  32.
 u  v  4 2,
Решив систему методом подстановки, находим два решения
u1  4, u 2  8,
и 

v1  8, v 2  4.
Учитывая замену, приходим к совокупности двух систем:
6x
64 2 x  4,

4  4,  6 x  1,


1) 


4y
2y


4 y  1,
8  8,
64  8,
1

 x1  6 ,
откуда находим первое решение системы 
y  1 .
 1 4
441
64 2 x  8,
2) 
64 2 y  4,
8 4 x  8,
  6 y

4
 4,
4 x  1,
6 y  1,
 
1

x2  ,


4
откуда находим второе решение системы 
y  1 .
2

6

1 1
1 1
О т в е т:  ;  ,  ;  .
6 4 4 6
4.68. Решить систему уравнений
log2 x  log4 y  log4 z  2,

log3 y  log9 z  log9 x  2,
log z  log x  log y  2.
16
16
 4
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. ОДЗ системы определяется условиями x  0
y  0 , z  0 , то есть x  (0; ) , y  (0; ) , z  (0; ) .
Используя свойства логарифмов, перепишем систему так:
1
1

log 2 x  2 log 2 y  2 log 2 z  2,

1
1

log3 y  log3 z  log3 x  2, 
2
2

1
1

log 4 z  2 log 4 x  2 log 4 y  2,

log 2 x  log 2 y  log 2 z  2,
log 2 ( x yz )  2,


log3 y  log3 z  log3 x  2,  log3 ( y xz )  2,


log 4 z  log 4 x  log 4 y  2,
log 4 ( z xy )  2.
Потенцируя каждое уравнение, получаем равносильную
систему иррациональных уравнений вида
442
 x yz  4,

 y xz  9,

 z xy  16.
Перемножив уравнения системы, получим уравнениеследствие ( xyz) 2  24 2 , откуда, учитывая, что x  0 , y  0 ,
z  0 по ОДЗ, получаем xyz  24 .
Возведя каждое уравнение последней системы в квадрат и
присоединив полученное уравнение, получим равносильную
систему
 xyz  24,
 2
 x yz  16,
 2
 y xz  81,
 z 2 xy  256.

Подставив первое уравнение в остальные уравнения системы, получим равносильную систему уравнений
24x  16,

24 y  81,
24z  256,

откуда находим единственное решение системы
2

x  3 ,

27

,
y 
8

32

z  3 .

 2 27 32 
О т в е т:  ; ;  .
3 8 3 
443
Если в уравнения системы входит сложная показательная
функция, то систему можно свести к системе рациональных
(или иррациональных) уравнений, используя метод логарифмирования. Рассмотрим пример.
4.69. Решить систему уравнений
 x lg y  100,



log y x  2.
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. ОДЗ системы определяется условиями x  0 ,
y  0.
Логарифмируем первое уравнение системы по основанию
10, а во втором уравнении, используя модуль перехода, перейдем к основанию 10.
Получим равносильную систему
lg x lg y  lg100,
lg x  lg y  2,

  lg x
 lg x

2
,
 lg y  2.
 lg y


lg x  u,
Произведем замену, полагая 
lg y  v.
После замены система принимает вид
u  v  2,

u
 v  2.
Перемножив и разделив уравнения системы, получим си2
u  4,
стему-следствие 
v 2  1.
Откуда, учитывая, что u и v одного знака, находим два реu  2, u 2  2,
шения  1
и 
v1  1, v 2  1.
Учитывая замену, получаем совокупность двух систем:
444
lg x  2,
1) 
lg y  1.
Потенцируя уравнения системы, получим первое решение
 x1  100,

 y1  10.
lg x  2,
2) 
lg y  1.
Потенцируя уравнения системы, получим второе решение
x
 2  0,01,

 y 2  0,1.
О т в е т: (100; 10), (0,01; 0,1).
Упражнения.
Решить систему уравнений:
 x 1 y 1
685. 5  7  7 ,

 x  y  2.
 x y 1
686. 3  2  9 ,

 y  x  2.
3 y  7  x  63,
2 x  3 y  16,
687. 
688. 
log 2 x  log 2 y  3.
 x  y  1.
1

x
log 4 x  2  log 4 y  log 4 3,

7  2  6 y  2,
689. 
690.


x
x 1

3  2  5 y  93.
4 x   1   1728.

 3

2 2 x  2 y  2 x  y  2  0,
4 x  2  2 y  9,
2 y 1
691. 
692. 
1
2 x 1
 40x  7  2 y 1  73.
 
 5.
2
2

x y
 x 4 y

3 2 x  2 y  2  3 x  y  3  0,
2


2

2
 6,
693. 
694. 
x
1 y
x
y

3  3  4.

2  2  17.
445
 x 2 y
 3 x  y  12,
695. 3
x
y

3  3  10.
x x  y  2,
696. 

x

( x  y )  7  2744.
log 8  y  1,
697.  x
y
 x  6  x.
log 2 x  log 2 y  4,
698. 

3
log 4 ( x  y )  .

2

log
(
x

y
)

0
,
 xy
700. 


log xy ( y  x)  1.
lg( x  y ) 2  lg x  2 lg 3,
699. 
 y x

3  9  81.
log 3 (log2 x)  log 1 (log 1 y )  1,
701. 
3
2

2

 xy  4.
 2x  1  4x  2 y  5  2x  2 y  4,
702. 
  1  yx
1
 x2 .
4   
2
 2
 3  log x (1  y )  log x ( x(1  y )),
703. 


 xy  6.
log x ( x  y  2)  log 1 ( x  y )  0,
704. 
x


 xy  5  0.
lg x  lg y  2  lg 0,01,
705.  lg y
lg x
 x  y  2000.
 log ( x  y )  log 2 ( x  y )  3,
706.  2
 xy  3.
log 4 x  7 y (9 x  2 y )  1,
707. 
log5 (4 x  7 y )  log9 (6 x  5 y )  0.
446
4.7. Системы уравнений, содержащих знак модуля
(абсолютной величины)
При решении систем уравнений, содержащих знаки модулей (абсолютной величины), используются те же методы, что и
при решении уравнений (раздел 2.5). Раскрыв модули по каждой неизвестной отдельно, систему уравнений сводят к равносильной смешанной системе, но уже не содержащей знаков
модулей.
4.70. Решить систему уравнений
 x  2 y  3,

7 x  5 y  2.
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Так как левая часть первого уравнения является
суммой двух неотрицательных чисел, то необходимо выполняются неравенства
 x  3,
 3  x  3,



 3
3

3
 y ,

y  ,
2
 2
2

откуда получаем, что решения системы удовлетворяют усло3 3
виям x  [3;3] , y  [ ; ] .
2 2
По определению модуля имеем:
 x, если x  0,
 y, если y  0,


и y 
x 


 x, если x  0,
 y, если y  0.
Рассмотрим промежутки знакопостоянства подмодульных
выражений по x и y:
1) если x  [3;0) , то имеем:
3
а) при y  [ ;0) уравнение  x  2 y  3 ;
2
3
б) при y  [0; ] уравнение  x  2 y  3 ;
2
2) если x  [0;3] , то имеем:
447
3
а) при y  [ ;0) уравнение x  2 y  3 ;
2
3
б) при y  [0; ] уравнение x  2 y  3 .
2
Итак, исходная система равносильна совокупности четырех систем уравнений, не содержащих знаков модулей.
3
1) Если x  [3;0) , y  [ ;0) , то получаем систему
2

x

2
y

3
,


7 x  5 y  2.
 19 23 
Система имеет решение  ;  , не являющееся реше9 
9
нием исходной системы, так как х и у не входят в рассматриваемые промежутки.
3
2) Если x  [3;0) , y  [0; ] , то получаем систему
2
 x  2 y  3,

7 x  5 y  2.
 11 23 
Система имеет решение   ;  , являющееся решени 19 19 
ем исходной системы, так как х и у входят в рассматриваемые
промежутки.
3
3) Если x  [0;3] , y  [ ;0) , то получаем систему
2
 x  2 y  3,

7 x  5 y  2.
Система имеет решение (1;1) , являющееся решением исходной системы, так как х и у входят в рассматриваемые промежутки.
3
4) Если x  [0;3] , y  [0; ] , то получаем систему
2
448
 x  2 y  3,

7 x  5 y  2.
11 19
Система имеет решение   ;  , не являющееся реше 9 9
нием исходной системы, так как х и у не входят в рассматриваемые промежутки.
11 23
О т в е т:   ;  , (1;1) .
 19 19 
4.71. Решить систему уравнений
 x  y  1,



 x  1  y  2  3.
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Первое уравнение системы равносильно совокупности двух уравнений
 x  y  1        (1)
 x  y  1      (2)

Рассмотрим второе уравнение исходной системы.
Так как левая часть является суммой двух неотрицательных чисел, то необходимо выполняются неравенства

 x  1  3,   3  x  1  3,



 3  y  2  3,
 y  2  3,
откуда получаем, что решения системы удовлетворяют условиям x  [2;4] , y  [1;5] .
По определению модуля имеем:
 x  1, если x  1,

 y  2, если y  2,
x 1  
и y2  


 x  1, если x  1,
 y  2, если y  2.
Рассмотрим промежутки знакопостоянства подмодульных
выражений по x и y:
1) если x  [2;1] , то имеем:
а) при y  [1;2) уравнение  x  1  y  2  3  x  y  0 (I)
449
б)при y  [ 2;5] уравнение  x  1  y  2  3   x  y  4 (II)
2) если x  [1;4] , то имеем:
а) при y  [1;2) уравнение x  1  y  2  3  x  y  2 (III)
б) при y  [ 2;5] уравнение x  1  y  2  3  x  y  6 (IV)
Итак, исходная система равносильна совокупности 8 систем уравнений, не содержащих знаков модулей.
1) Если x  [2;1) , y  [1;2) , то система равносильна совокупности двух систем
 x  y  1,
 x  y  1,
(1, I) ----- 
и (2, I) ----- 
 x  y  0.
 x  y  0,
1 1  1 1
Решив системы, получаем два решения  ;  и   ;  ,
 2 2  2 2
являющихся решениями исходной системы.
2) Если x  [2;1) , y  [ 2;5] , то система равносильна совокупности двух систем
 x  y  1,
 x  y  1,
(1, II) ----- 
и (2, II) ----- 
  x  y  4.
 x  y  4,
Системы решений не имеют.
3) Если x  [1;4] , y  [1;2) , то система равносильна совокупности двух систем
 x  y  1,
 x  y  1,
(1, III) ----- 
и (2, III) ----- 
 x  y  2,
 x  y  2.
Системы решений не имеют.
4) Если x  [1;4] , y  [ 2;5] , то система равносильна совокупности двух систем
 x  y  1,
 x  y  1,
(1, IV) ----- 
и (2, IV) ----- 
 x  y  6.
 x  y  6,
7 5 5 7
Решив системы, получаем два решения  ;  и  ;  ,
 2 2 2 2
являющихся решениями исходной системы.
1 1  1 1 7 5 5 7
О т в е т:  ;  ,   ;  ,  ;  ,  ;  .
 2 2  2 2  2 2  2 2
450
4.72. Решить систему уравнений
log 2 x  log 2 x  y  y,

 2 y 1
x  2  .
8

-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. ОДЗ системы определяется условием x  0 , то
есть x  (0; ) .
По определению модуля имеем:

log 2 x, если log 2 x  0, т.е. x  1,
и
log2 x  

 log 2 x, если log 2 x  0, т.е. 0  x  1,

 y, если y  0,
y 

 y, если y  0.
Рассмотрим возможные сочетания промежутков знакопостоянства подмодульных выражений.
1) Если x  (0;1) , y  (;0) , то систему можно переписать так:
log 2 x  log 2 x   y  y,

 2 y 1
x 2  .

8

Первое уравнение выполняется тождественно, поэтому
системе удовлетворяют все пары чисел (x; y), удовлетворяющие второму уравнению и входящие в рассматриваемые промежутки.
Решим второе уравнение. Логарифмируя по основанию 2,
получим
1
 log2 x 2  log2 2 y  log2 2 3 
log 2 ( x 2  2 y )  log 2
8
 2 l o g2 x  y  3 , откуда
2 log2 x  y log2 2  3 log2 2
получаем y  2 log2 x  3 .
При каких x  (0;1) получается у < 0 ? Решив неравенство
3

3
 2 log2 x  3  0  log 2 x   , получаем x  2 2 , то есть
2
451
x
1
. Таким образом, y  0 , если x  (
1
;1) .
2 2
2 2
Итак, система имеет множество решений ( x;3  2 log2 x) ,
1
где x  (
;1) .
2 2
2) Если x  (0;1) , y  [0; ) , то систему можно переписать так:
log 2 x  log 2 x  y  y,


 2 y 1
x

2

,

8

2 y  0,

 2 y 1
x 2  .

8

1

x
,

Откуда получаем решение 
2 2
 y  0.

Заметим, что полученное решение входит в множество
1
решений ( x;3  2 log2 x) при x 
.
2 2
3) Если x  [1; ) , y  (;0) , то систему можно переписать
так:
log 2 x  log 2 x   y  y,
2 log 2 x  0,



 2 y 1
 2 y 1
x 2  ,
x 2  .


8
8


 x  1,
Откуда получаем решение 
 y  3 .
Заметим, что полученное решение входит в множество решений ( x;3  2 log2 x) при x  1 .
4) Если x  [1; ) , y  [0; ) , то систему можно переписать
так:
x  2 y ,
log 2 x  log 2 x  y  y,
log 2 x  y,


  2 y 1   2 y 1
 2 y 1
x 2  ,
x 2  ,

x  2  .

8
8


8

452
Решая систему методом подстановки, приходим к уравнению x 3 
1
1
, откуда получаем x  и, соответственно, y  1 .
8
2
Полученное решение является посторонним для исходной
системы, так как не входит в рассматриваемую область, то есть
не удовлетворяет условиям x  [1; ) , y  [0; ) .
Итак, множество решений исходной. системы можно запи1
сать так: ( x;3  2 log2 x) , x  [
;1] .
2 2
1
О т в е т: ( x;3  2 log2 x) , x  [
;1] .
2 2
4.73. Решить систему уравнений
 x  y  log 22 ( x  y  1)  6  0,


2
2

( x  y )  6( x  y ) log 2 ( x  y  1)  5 log 2 ( x  y  1)  0.
------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Введем новые неизвестные, полагая x  y  u ,
log 2 ( x  y  1)  v .
После замены второе уравнение системы примет вид:
u  6uv  5v 2  0 .
Разложим на множители левую часть уравнения. Получаем: u 2  6uv  5v 2  u 2  uv  5uv  5v 2  u 2  uv  5uv  5v 2 
 u (u  v)  5v(u  v)  (u  v)(u  5v) .
Таким образом, второе уравнение можно записать так:
u  v  0,
 u  v,
(u  v)(u  5v)  0  
u  5v  0
u  5v.
Таким образом, исходная система равносильна совокупности двух систем
 u  v 2  6  0,

u  v

2
 u  v  6  0,

 u  5v.

2
453
Решим первую систему совокупности.
 u  v 2  6  0,
а) 
u  v.
Осуществив подстановку, получим уравнение с одним не2
известным v  v 2  6  0 . Учитывая, что v  v 2 , получим
уравнение v  v  6  0  v  v  6  0 .
2
2
Произведем замену, полагая v  t , где t  0 .
После
замены,
получаем
квадратное
уравнение
t  t  6  0,
откуда получаем два корня t1  3 и t 2  2 .
Второй корень отбрасываем, как неудовлетворяющий неравенству t  0 . Учитывая замену, получаем v  3
2
 v  3,
Таким образом, приходим к системе 
u  v.
u  3, u 2  3,
Система имеет два решения  1
и 
v1  3 v 2  3.
Решим вторую систему совокупности.
 u  v 2  6  0,
б) 
u  5v.
Решая аналогично, находим еще два решения
u 3  30, u 4  30,
и 

v 4  6.
v3  6
Учитывая первую замену, получаем четыре системы:
 x  y  3,
 x  y  3,
 x  y  3,


1) 
log 2 ( x  y  1)  3
 x  y 1 8
y3  y7
 x  y  3,

 y  3  7  y.
454
При 7  y  0 , то есть при y  7 , получаем два линейных
уравнения y  3   (7  y ) , одно из которых решений не имеет,
а второе имеет корень y  2 . Тогда x  5 .
Итак, первая система имеет решение (5;2).
 x  y  3,
 x  y  3,
 x  y  3,



2) 
7
1 
y 3  y
x  y 1
log 2 ( x  y  1)  3


8
8


 x  y  3,
 
7
y  3    y.

8

7
7
При   y  0 , то есть при y   , получаем два ли8
8
7
нейных уравнения y  3   (   y ) , одно из которых реше8
17
ний не имеет, а второе имеет корень y 
, не удовлетворя16
7
ющий условию y   .
8
Таким образом, система решений не имеет.
 x  y  30,
3) 
log 2 ( x  y  1)  6.
Решая аналогично, находим второе решение системы
93 33
( ; ).
2 2
 x  y  30,
4) 
log 2 ( x  y  1)  6.
Решая аналогично, определяем, что система решений не
имеет.
93 33
О т в е т: (5;2), ( ; ) .
2 2
455
Иногда частные особенности системы уравнений позволяют существенно упростить ход решения. Так, например, знаки
модулей убираются, если удается доказать знакопостоянство
подмодульных выражений во всех решениях системы.
4.74. Решить систему уравнений
 x  1  y  1  5,



 x  1  4 y  4.
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Из второго уравнение системы имеем:
1
x  1  4( y  1) , то есть y  1   x  1 . Откуда заключаем, что
4
в решении системы y  1  0 , так как x  1  0 при всех значениях х. Следовательно,
y  1  y  1 и систему можно переписать так:

 x  1  y  1  5,


 x  1  4 y  4.
Осуществив подстановку x  1  4 y  4 в первое уравнение системы, получаем уравнение 4 y  4  y  1  5 
5 y  10 , откуда находим y  2 .
Подставляя во второе уравнение, получаем x  1  4 
x  1  4 , откуда находим x1  3 , x 2  5 .
Таким образом, система имеет два решения (3;2), (-5;2).
О т в е т: (3;2), (-5;2).
4.75. Решить систему уравнений

3  x  5 y  9,


2 x  y  7.
------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Из первого уравнения системы имеем:
5 y  9  3  x  (9  3  x ) , откуда заключаем, что в решении
456
системы y  0 , так как  (9  3  x )  0 при любых значениях x.
Поэтому y   y .
Из второго уравнения системы имеем 2 x  7  y , откуда
заключаем, что в решении x  0 , так как 7  y  0 при любых
y. Поэтому x  x .
Следовательно, систему можно переписать так
3x  5 y  9,

2 x  y  7.
Решим полученную линейную систему методом Крамера.
Вычислим определители системы. Получаем
9 5
3 5
3 9

 7 ,  x 
 39 .
 44 ,  y 
7 1
2 7
2 1
По формулам Крамера находим решение системы:
 x 44

 x    7 ,

 y   y   39 .

7

О т в е т: (
44 39
; ) .
7
7
Упражнения.
Решить систему уравнений:
 x  y  8,
708. 
 xy  15.
 x  y  1  2,
709. 

2

 x  y  1  2 y.
y  2  x ,
710. 


( x  2)  y  3.
2 x  y  4,
711. 


4 x  3 y  12.
457
 x  3  2 y  1  2,
712. 

9
x  y  1  .
2

 x  3 y  7,
713. 


2 x  2 y  1  3.
 y  2 x  y  3,
714. 
 2

 x  y  6.
 x 3  y 3  3 x  y ,
715. 
 3
3

8 x  y  25(2 x  y ).
 x  y  1  2 x  1,
716. 
 2

 y  y  x  1  6.

x 1 y2,

717. 
2

 x  2 x  1  1  2 y.
 x  2  y  5  1,
718. 


 y  x  2  5.
 x  1  y  4,
719. 


 x  y  2  3.
 x  3  y  2  3,
720. 


 y  x  3  5.
 x 2  xy  4  0,
721. 

2

 x  2  y  4 y  0.
 x 2  2 x y  y 2  4,
722. 
 2
2

 x  3 x y  y  3.
 x 2  5 xy  4 y 2  0,
723. 


 y y  x x  15.
 x 2  xy  2,
724. 
 2

 y  xy  1.
 x  y  2 у  1,
725. 


 2 y  1  3.
 log 2 ( x  y )  log 2 ( x  y )  3,
726. 
 xy  3.
(1  2 log xy 2) log x  y xy  1,
727. 
 x  y  2 3.
log xy ( x  y)  1,
728. 
2 log5 xy  log xy ( x  y)  1.
 2 x  y  log32 ( y  2 x  5)  20  0,
729. 
2
2
(2 x  y )  7(2 x  y ) log3 ( y  2 x  5)  8 log3 ( y  2 x  5)  0.
458
Глава 5. Задачи на составление уравнений
(текстовые задачи)
5.1. Этапы решения текстовых задач
Условия задач на составление уравнений задаются в виде
текстов без формул и решение их, как правило, осуществляется
в четыре этапа:
1) выбор необходимого числа неизвестных;
2) запись словесных условий при помощи уравнений или
неравенств;
3) решение полученного уравнения, системы уравнений или
неравенств;
4) отбор решений, удовлетворяющих смыслу задачи.
Основным методом решения текстовых задач является
анализ условия задачи.
При анализе условия задачи за неизвестное следует принимать, как правило, то, что требуется найти в задаче.
Однако в отдельных случаях неизвестное выбирают так,
чтобы легче было вести анализ условия задачи. Обычно это
бывают те значения величин, которые связаны между собой
каким-либо простым соотношением ("связью").
Например: «больше на ...», «больше в ...», «составляет часть ...»
и т.д.
При этом искомая величина представляет собой некоторую
простую комбинацию введенных неизвестных.
5.2. Основные типы текстовых задач
5.2.1. Задачи на движение
Большинство текстовых задач на движение относится к
равномерному движению по прямой. Реже к равномерному
движению по окружности.
Если движение является равномерным, то используется
формула:
459
S   t
где S – пройденный путь,  - скорость, t – время движения.
Текстовые задачи на движение можно разделить на следующие основные типы.
1. Задачи на равномерное движение по прямой.
5.1. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 60 км,
одновременно выехали автомобилист и велосипедист. Известно, что скорость велосипедиста на 60 км/ч ниже, чем скорость
автомобилиста. Определите скорость автомобилиста, если известно, что он прибыл в пункт В на 3 часа 12 минут раньше,
чем велосипедист. Ответ дайте в км/ч.
------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Обозначим через  (км/ч) скорость автомобилиста на пути из А в В.
Тогда время, затраченное автомобилистом на путь из
пункта А в пункт В, расстояние между которыми равно 60 км,
60
вычислим по формуле: t a 
(час).

Определим время, затраченное велосипедистом на путь из
пункта А в пункт В.
По условию задачи велосипедист двигался со скоростью
(  − 60) (км/ч). Следовательно, велосипедист на путь из пункта
60
А в пункт В затратил время, равное t в 
(час).
  60
Учитывая, что автомобилист прибыл в пункт В на 3 часа
1
12 минут = 3 часа раньше, чем велосипедист, получаем
5
60
60
1
 60  60  16 .
уравнение

3
  60 
5
  60 
5
Решим полученное уравнение.
60
60 16


  60 
5
460

60
60 16

 0
  60 
5

5  60  5  60(  60)  16 (  60)
0
5   (  60)

300  300  18000  16 2  960
0
5   (  60)

 16 2  960  18000
0
5   (  60)
2
   60  1125  0 .
5   (  60)
Так как   0 ,   60  0 по смыслу задачи, то последнее
уравнение равносильно уравнению  2  60  1125  0 , откуда
получаем два корня 1  75 и  2  15 .
Второй корень не подходит по смыслу задачи. Поэтому
1  75 (км/ч).
О т в е т: 75 км/ч.
5.2. Велосипедист отправился с некоторой скоростью из города
А в город В, расстояние между которыми равно 88 км. Возвращаясь из В в А, он ехал поначалу с той же скоростью, но
через один час пути вынужден был сделать остановку на 15
минут. После этого он продолжил путь в А, увеличив скорость
на 2 км/ч, и в результате затратил на обратный путь столько же
времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из А в В.
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Обозначим через  (км/ч) скорость велосипедиста на пути из А в В.
Тогда время, затраченное велосипедистом на путь из города А в город В, расстояние между которыми равно 88 км, вы88
числим по формуле t  (час).

Определим время, затраченное велосипедистом на обратный путь из города B в город А.
Так как по условию задачи один час велосипедист ехал с
той же скоростью  , то за это время t1  1 (час) велосипедист
проехал расстояние S1    t1    1   (км).
461
Оставшееся расстояние, равное S 2  88  S1  88   (км),
велосипедист двигался со скоростью (   2 ) (км/ч) и затратил
88  
время t 2 
(час).
2
1
Учитывая, что 15 минут = часа велосипедист не двигал4
ся, находим, что на обратный путь из В в А велосипедист за88  
1 88   5
тратил время, равное t 0 
1 
 (час).
2
4 2 4
Так как в результате велосипедист затратил на обратный
путь столько же времени, сколько на путь из А в В, то получа88 88   5
ем уравнение с одним неизвестным  :

 .
 2 4
Решим полученное уравнение.
88


88   5

2 4

88


88   5
 0
2 4

4  88(  2)  4  (88   )  5   (  2)
0 
4   (  2)
352  704  352  4 2  5 2  10
0
4   (  2)

  2  10  704
 2  10  704
0 
0.
4   (  2)
4   (  2)
Так как   0 ,   2  0 по смыслу задачи, то последнее
уравнение равносильно уравнению  2  10  704  0 , откуда
получаем два корня 1  22 и  2  32 .
Второй корень не подходит по смыслу задачи. Поэтому
  22 (км/ч).
О т в е т: 22 км/ч.
462
2. Задачи на равномерное движение по прямой в случае
движения тел навстречу друг другу.
При движении тел навстречу друг другу одно из уравнений
составляется из условия баланса времен:
если тела начинают движение одновременно, то время движения тел до встречи одинаково; если одно из тел выходит
раньше другого, то его время движения до встречи равно
сумме времени движения другого тела и его времени задержки
в начале движения.
Кроме того, если тела начинают движение навстречу друг
другу одновременно, то время движения до встречи можно
вычислить по формуле:
T
S
,
1   2
где S - расстояние между телами в начальный момент времени;
1 - скорость первого тела;  2 - скорость второго тела.
5.3. Два пешехода идут друг другу навстречу. Один из A , другой из B. Первый выходит из A на 6 часов позже, чем второй из
B и при встрече оказывается, что он прошел на 12 км меньше
второго. Продолжая после встречи дальнейший путь с той же
скоростью, первый приходит в B через 8 часов, а второй в A
через 9 часов. Определить расстояние от A до B и скорость
каждого пешехода.
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Решим задачу двумя способами.
1 способ – аналитический.
Обозначим: х (км) - путь, пройденный первым пешеходом
до встречи, тогда (х + 12) (км) - путь, пройденный вторым пешеходом до встречи;
км
км
1 ( ) - скорость первого пешехода;  2 ( ) - скорость вточ
ч
рого пешехода.
Ознакомившись с условием задачи, составляем чертеж.
463
1
●
А
2
С
|
х
х+12
●
В
Замечание. В задачах на движение весьма полезно составлять
иллюстративный чертеж. Чертеж делают таким, чтобы на нем
были видны все детали рассматриваемого движения – встречи,
остановки, повороты и т.д. Хороший чертеж отражает содержание задачи без обращения к тексту и тем самым помогает
основному этапу решения – составлению уравнений. ▼
Составим уравнение баланса времени при движении пешеходов до встречи в точке С.
Так как первый вышел на 6 часов позже второго, то время
движения второго до встречи на 6 часов больше, чем у первоx  12
го, то есть его время движения до встречи
равно сумме
2
времени движения первого до встречи
держки в начале движения:
x  12
2

x
1
x
1
6
и времени его за(1) .
Учитывая, что путь первого пешехода после встречи равен
x  12 , второго пешехода x, а время движения соответственно
8 и 9 часов, получаем еще два уравнения:
x  12
x
(3)
 8 , (2)
 9.
1
2
Уравнения (1), (2), (3) образуют систему трех уравнений с
тремя неизвестными:
 x  12 x
  6,

1
 2
 x  12
 8,

 1
x
  9.
 2
464
Замечание. Заметим, что если обозначить за неизвестное расстояние от A до B (то, что требуется найти в задаче), процесс
получения уравнений усложняется. Вместе с тем, отыскав x,
легко получить искомое расстояние AB  2x  12 .▼
Решив систему, находим x  36 (км), 1  6(
км
),
ч
км
).
ч
Тогда АВ  2x 12  2  36 12  84 (км).
км
км
О т в е т: АВ = 84 км, 1  6( ) ,  2  4( ) .
ч
ч
2 способ – графический.
Графический метод решения задач на движение основан
на использовании графиков изменения параметров движения
тел во времени.
Изобразим в координатах (t , S ) графики изменения координаты S пешеходов, совместив начало координат с пунктом A
и начало отсчета времени от момента начала движения второго
пешехода из пункта B.
 2  4(
Так как движение равномерное, то графиками будут прямые линии, точка пересечения М которых соответствует
моменту встречи пешеходов.
Обозначим время движения первого пешехода до встречи
через t.
На рисунке значение t – абсцисса точки пересечения графика изменения координаты первого пешехода с осью Оt.
Следовательно, отрезок LN  t . Кроме того, по условию
отрезок АL  6 и, следовательно, ВK  6  t .
Отрезки КЕ и NP, численно равные времени движения
первого пешехода от момента встречи до пункта В и второго
пешехода от момента встречи до пункта А, соответственно,
равны 8 и 9 по условию.
Ордината точки встречи М равна х, значит, отрезок АС = х
- путь, пройденный первым пешеходом до встречи, а отрезок
СВ = х + 12 - путь, пройденный вторым пешеходом до встречи.
465
S (км)
B
6+t
K
8
●
E
●
х + 12
С
●М
х
●
A
6
●
L
t
N
9
●
P
t (час)
Геометрически очевидно, что треугольник BKM подобен
треугольнику MNP, а треугольник KEM подобен треугольнику
BK KM
KE KM
MNL. Тогда
и
, откуда получаем


NP MN
LN MN
BK KE
6t 8
или

 .
NP LN
9
t
Решим полученное уравнение.
(6  t )t  72
t 2  6t  72
6t 8
6t 8
 
 0 
0 
0
9
t
9
t
9t
9t
 t 2  6t  72  0 , откуда находим два корня t1  6 , t 2  12 .
Второй корень не подходит по смыслу задачи.
Итак, t  6 часов.
x  12 8
Так как KM  x  12 , MN  x , то
 3( x  12)  4 x ,

x
6
откуда находим x  36 (км).
x 36
км
x  12 48
км
Тогда 1  
 6( ) ,  2 

 4( ) и
t
6
ч
t  6 12
ч
АВ  2x 12  2  36 12  84 (км).
км
км
О т в е т: АВ = 84 км, 1  6( ) ,  2  4( ) .
ч
ч
466
Замечание. Графический метод решения является очень эффективным (а иногда единственным) средством решения текстовых задач на движение повышенной сложности.
При этом понимается не только (и не столько) составление
иллюстративного чертежа, на котором отмечаются все характерные моменты – встречи, остановки, повороты и т.д., а использование графиков изменения параметров движения тел во
времени. Часто удается использовать для решения чисто геометрические особенности полученных графиков и известные
свойства планиметрии (равенство и подобие треугольников,
свойства трапеций, средних линий треугольников и других замечательных линий). Рассмотрим примеры, подтверждающие
это утверждение. ▼
5.4. Пешеход и велосипедист одновременно отправляются из
одной точки шоссе и движутся с постоянными скоростями. В
тот момент, когда велосипедист встретил мотоциклиста, пешеход отставал от велосипедиста на 3 км. В тот момент, когда
пешеход встретил мотоциклиста, велосипедист обогнал пешехода на 6 км. Какое расстояние было между пешеходом и мотоциклистом в момент отправления пешехода?
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Пусть х – искомое расстояние между пешеходом
P и мотоциклистом M в момент отправления пешехода.
Изобразим в координатах (t , S ) графики изменения координаты S пешехода, велосипедиста и мотоциклиста, совместив
начало координат с точкой Р и начало отсчета времени от момента начала движения пешехода и велосипедиста.
Так как движение равномерное, то графиками будут прямые линии, точки пересечения которых соответствует моментам встречи пешехода и велосипедиста с мотоциклистом.
Момент t1 - время встречи велосипедиста с мотоциклистом; t 2 – время встречи пешехода с мотоциклистом.
По условию в момент t1 пешеход отставал от велосипедиста на 3 км, значит, отрезок O1 B  3 (км), а в момент t 2 велосипедист обогнал пешехода на 6 км, значит, отрезок O2 А  6 (км)
(см. рисунок).
467
S (км)
●A
М●
 O1
6
3
O2
●
x
●
Р●
t1
В
t2
t (час)
Из рисунка видно, что отрезок O1B – средняя линия треугольника РАO2 , так как отрезок O1B параллелен отрезку АO2 по
построению и O1 B  0,5  АО2 . Из этого следует, что РB  ВО2 ,
то есть точка В – середина отрезка РО 2 . Но тогда O1B – средняя
линия треугольника МО2 Р . Значит, x  2  O1 B  6 (км).
О т в е т: 6 км.
Замечание. Нельзя не отметить эффективность и красоту
представленного решения, что является характерным свойством графического метода, особенно при решении сложных
конкурсных задач. Рассмотрим еще один пример. ▼
5.5. Из пункта A через равные промежутки времени отправляются по одной и той же дороге в пункт C три автомашины. Через некоторое время все они одновременно проезжают пункт B,
находящийся между A и C. В пункт C первая автомашина пребывает через один час после второй. Третья автомашина немедленно по прибытию в пункт C поворачивает назад и в 40 км
от C встречает первую автомашину. Определить скорость первой автомашины, если расстояние от B до C равно 120 км.
--------------------------------------------------------------------------------
468
Р е ш е н и е. Обозначим через 1 (
машины; через  2 (
км
) - скорость первой авточ
км
) - скорость второй автомашины; через
ч
км
) - скорость третьей автомашины.
ч
Изобразим в координатах (t , S ) графики изменения координаты S 1-й, 2-й и 3-й автомашины, совместив начало координат с точкой А и начало отсчета времени от момента начала
движения 1-й автомашины.
Так как движение равномерное, то графиками будут прямые линии, точки пересечения которых соответствует моментам встречи автомашин.
Момент t1 - момент встречи всех автомашин в пункте В;
t 2 – момент встречи первой автомашины с третьей после ее
разворота в пункте С и движения в обратном направлении.
3 (
S, км
3
2
1
С --------------------------------------------●---------●---------●-------40
120
В -------------------------●---------------------------------------------
А●
●
●
1
2
3
t1
t2
t, час
469
Так как автомашины отправляются из A через равные промежутки времени, то и в C они прибудут через равные промежутки времени.
Действительно, из теоремы о пропорциональных отрезках
следует, что если две параллельные прямые пересекаются рядом прямых, проходящих через одну точку, то эти прямые рассекаются на пропорциональные отрезки (свойство пересечения
пучка прямых параллельными прямыми).
Поэтому первая автомашина прибудет в C на 2 часа позже
третьей и вторая автомашина на 1 час позже третьей.
Будем отсчитывать движение от пункта B, откуда автомашины вышли одновременно.
Решим задачу на встречу первой и третьей автомашины.
Третья автомашина прошла до встречи 120 + 40 = 160 (км),
а первая автомашина 120 – 40 = 80 (км).
Так как в пункте В автомобили стартовали одновременно,
то время движения автомашин до встречи одинаково, и полу160 80
чаем уравнение
  3  2  1 (1)

3
1
Из пункта В до пункта С первая автомашина двигалась
120
120
часов, третья автомашина соответственно
часов. Так
1
3
как первая автомашина пришла в C на 2 часа позже третьей, то
120 120
получаем второе уравнение

 2 (2).
3
1
 3  2  1 ,
Уравнения (1), (2) образуют систему: 120 120
     2.
1
 3
Решив систему, находим 1  30(
О т в е т: 30(
470
км
).
ч
км
).
ч
3. Задачи на равномерное движение по прямой в случае
движения тел в одном направлении.
При движении тел в одном направлении одно из уравнений
также составляется из условия от баланса времен:
если тела начинают движение одновременно, то время движения тел до встречи одинаково; если одно из тел выходит
раньше другого, то его время движения до встречи равно
сумме времени движения другого тела и его времени задержки
в начале движения.
Кроме того, если тела начинают движение одновременно,
то время, через которое второе тело нагоняет первое, можно
вычислить по формуле:
T
S
,
 2  1
где S - расстояние между телами в начальный момент времени;
1 - скорость первого тела;  2 - скорость второго тела, причем
 2  1 .
5.6. Две автомашины выехали одновременно из одного пункта
в одном направлении. Одна автомашина идет со скоростью 50
км/ч, а другая со скоростью 40 км/ч. Спустя полчаса из того же
пункта в том же направлении выехала третья автомашина, которая обогнала первую автомашину на 1,5 часа позже, чем вторую. Найти скорость третьей автомашины.
--------------------------------------------------------------------------------км
Р е ш е н и е. Пусть 1 ( ) - скорость первой автомашины;
ч
км
км
 2 ( ) - скорость второй автомашины;  3 ( ) - скорость треч
ч
тьей автомашины; S1 , S 2 – соответственно расстояния между
первой и третьей и второй и третьей автомашины в момент
начала движения третьей автомашины.
Тогда время, через которое третья автомашина нагонит
471
первую и вторую автомашину соответственно равно:
S1
S2
, T2 
.
T1 
 3  1
3  2
По условию T1  T2  1,5 , то есть получаем уравнение
км
км
S1
S2

 1,5 , где 1  50( ) ,  2  40( ) .
ч
ч
 3  1  3   2
Так как третья автомашина начала движение через t = 0,5
часа после начала движения первой и второй, то
S1  1  t  50  0,5  25 (км), S 2   2  t  40  0,5  20 (км) и уравнение можно переписать так:
25( 3  40)  20( 3  50) 3
25
20



 1,5 
( 3  50)( 3  40)
2
 3  50  3  40
25 3  1000  20 3  1000 3
5 3
3




( 3  50)( 3  40)
2
( 3  50)( 3  40) 2
10 3  3  ( 3  50)( 3  40)  103  332  2703  6000 
км
3 32  280 3  6000  0 , откуда находим два корня  3  60( )
ч
1 км
1
км
и  3  33 ( ) . Корень  3  33  40( ) не подходит по
3 ч
3
ч
смыслу задачи (при такой скорости третья машина не догонит
ни первую, ни вторую машины).
км
).
ч
5.7. Три гонщика А, В и С, стартовав одновременно, движутся с
постоянными скоростями в одном направлении по кольцевому
шоссе. В момент старта гонщик В находится перед гонщиком А
на расстоянии 1/3 длины шоссе, а гонщик С перед гонщиком В
на таком же расстоянии. Гонщик А впервые догнал гонщика В
в тот момент, когда гонщик В закончил свой первый круг, а
еще через 10 минут гонщик А впервые догнал гонщика С.
Гонщик В тратит на круг на 2,5 минуты меньше, чем гонщик С.
Сколько времени тратит на круг гонщик А?
--------------------------------------------------------------------------------О т в е т:  3  60(
472
Р е ш е н и е. Пусть: S – длина шоссе (км);  A ,  B ,  C (км/ч) –
соответственно скорости гонщиков А, В и С.
Так как гонщики стартовали одновременно, то время движения до встречи у гонщиков А и В одинаково. При этом гонщик В до встречи прошел полный круг, то есть S (км), а гон-
1
4
S  S (км).
3
3
Тогда уравнение баланса времен имеет вид:
щик А прошел, соответственно, S 
4
S
3  S
A
B

4S
S

3 A  B
(1)
Время, через которое гонщик А догнал гонщика В, вычисляется по формуле:
1
S
AB
,
 3
 A B  A B
1
где AB  S - начальная дистанция между гонщиками А и В.
3
Время, через которое гонщик А догнал гонщика С вычисляется по формуле:
2
S
AC
3
,

 A  C  A  C
2
где AС  S - начальная дистанция между гонщиками А и С.
3
1
Так как 10 минут составляют
часа и это то время, через
6
которое гонщик А, догнав гонщика В, впервые догнал гонщика
С, то получаем уравнение:
2
1
S
S
1
2S
S
1
3
(2)

 3



 A  C  A   B 6
 A  C  A   B 2
473
Так как гонщик В тратит на круг на 2,5 минуты =
2,5 1

60 24
часа меньше, чем гонщик С, то получаем уравнение:
1
S
S
1
(3)
tC  t B 



24
 C  B 24
Уравнения (1), (2), (3) образуют систему:
4 S
S

,
 
3  A B
 2S
S
1

 ,

 A   C  A   B 2
S
S
1
 .
 
 C  B 24
Отметим, что получили систему трех уравнений с четырьмя неизвестными S, A ,  B ,  C .
Такие системы, как известно, называют неопределенными
системами уравнений. Найти все неизвестные по отдельности
не удается. Но по условию задачи этого и не требуется. ТребуS
ется найти величину t A 
- время, которое тратит на круг
A
гонщик А.
Перепишем второе уравнение так:
2S
S
1
2
1
1




 .




 A  C  A   B 2
2
A
A
 B
 C
S
S
S
S
S
S
S
Осуществив замену
 tB ,
 t C во всех
 tA,
B
C
A
уравнениях системы, получим систему трех уравнений с тремя
неизвестными t A , t B , t C :
474

4
  t A  tB ,
3
 2
1
1

 ,

1 1 2
1  1

 t A tC t A t B

t C  t B  1 .

24

4
3  t A  tB ,

t t
1
 2t A t C
 AB  ,

tC  t A t B  t A 2

1
t C  t B  .
24

1
. Учитывая, что
24
4
1 4
1
.
t B   t A , получаем t C  t B 
 tA 
3
24 3
24
Подставляя во второе уравнение системы, получим уравнение с одним неизвестным t A :
4
1
4
8 2 1
4 2
2t A ( t A  ) t A  t A
tA  tA
tA
1
1
3
24 
3
3
12
3



 
4
1
4
1
1
1
2
2
tA 
 tA
tA  tA
tA 
tA
3
24
3
3
24
3
8 2 1
tA  tA
3
12  4t  1  8 t 2  1 t  (4t  1 )( 1 t  1 )
A
A
A
A
A
1
1
3
12
2 3
24
2
tA 
3
24
8 2 1
4
1
1
1
 t A  t A  t A2  t A  t A 

3
12
3
6
6
48
4 2 1
1
tA  tA 
 0  64t A2  12t A  1  0 , откуда находим
3
4
48
1
1
два корня (t A )1  и (t A ) 2   . Второй корень не подходит
4
16
S 1
по смыслу задачи. Итак, t A 
 часа = 15 минут.
A 4
О т в е т: 15 минут.
Из третьего уравнения имеем: t C  t B 
475
4. Задачи на равномерное движение по реке.
Если тело движется по течению реки, то его скорость 
относительно берега (так называемая абсолютная скорость тела), равна сумме скорости тела в неподвижной воде  С (собственной скорости тела) и скорости течения реки  р :
   С   р . Если же тело движется против течения реки, то:
  С   р .
Если в задаче речь идет о движении плота, то считают, что
абсолютная скорость плота равна скорости течения реки, то
есть    р .
5.8. Моторная лодка прошла против течения реки 72 км и
вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на
6 часов меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде,
если скорость течения равна 3 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Обозначим собственную скорость моторной лодки (скорость лодки в неподвижной воде) через  л (км/ч).
Скорость течения реки по условию равна 3 км/ч.
Скорость лодки относительно берега по течению реки равна сумме скорости лодки в неподвижной воде  л (собственной
скорости лодки) и скорости течения реки, то есть    л  3 .
Скорость лодки против течения реки равна разности скорости лодки в неподвижной воде  л и скорости течения реки, то
есть    л  3 .
Лодка, двигаясь по течению реки, прошла 72 км за время,
72
равное
часов, а двигаясь против течения реки, прошла 72
л  3
72
км за время
часов.
л  3
По условию лодка прошла против течения реки 72 км и
вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на
476
6 часов меньше, то есть получаем уравнение
72
72

 6.
л  3 л  3
Решим полученное уравнение.
72
72
72
72
12
12

6 

60 

1 0
л  3 л  3
л  3 л  3
л  3 л  3

12  ( л  3)  12  ( л  3)  ( л  3)( л  3)
0
( л  3)( л  3)
12  л  36  12  л  36   л2  9
0
( л  3)( л  3)


  л2  81
0 .
( л  3)( л  3)
Так как  л  3  0 ,  л  3  0 по смыслу задачи, то последнее уравнение равносильно уравнению   л2  81  0

 л2  81, откуда получаем два корня ( л )1  9 и ( л ) 2  9 .
Второй корень не подходит по смыслу задачи. Поэтому
 л  9 (км/ч).
О т в е т: 9 км/ч.
5.9. От пристани отправился по течению плот. Через 5 часов 20
минут вслед за плотом от той же пристани отправилась моторная лодка, которая догнала плот, пройдя 20 км. Какова скорость плота, если известно, что собственная скорость моторной
лодки больше скорости плота на 9 км/ч?
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Обозначим скорость плота (которая равна скорости течения реки) через  р (км/ч), а собственную скорость лодки (скорость лодки в неподвижной воде) через  с (км/ч).
Скорость лодки относительно берега по течению реки равна сумме скорости лодки в неподвижной воде  c (собственной
скорости лодки) и скорости течения реки, то есть  c   р .
Скорость лодки относительно берега против течения реки
равна разности скорости лодки в неподвижной воде  с и скоро477
сти течения реки, то есть  с   р .
По условию задачи имеем:  с   р  9 .
Лодка, двигаясь по течению реки, прошла 20 км за время
20
20
часов; плот прошел те же 20 км за время
часов.
р
c   р
Так как время, которое двигался плот на 5 часов 20 минут
16
часов больше времени, которое двигалась лодка, то по3
20
20
16
лучим уравнение

 .
 р с   р 3
Таким образом, условие задачи приводит к системе двух
уравнений с двумя неизвестными
 с   р  9,

20
16
 20
      3 .
с
р
 р
Из первого уравнения системы, получаем  с  9   р .
Осуществив подстановку во второе уравнение, приходим к
уравнению с одним неизвестным  р :
=
20
р
5
р

20
20
16
 0 
9  2 р 3

20
16

9 р р 3

15(9  2 р )  15 р  4 р (9  2 р )
5
4
 0 
0
9  2 р 3
3 р (9  2 р )

р

135  30 р  15 р  36 р  8 р2
3 р (9  2 р )
0 
135  21 р  8 р2
3 р (9  2 р )
0.
Так как  р  0 , 9  2 р  0 по смыслу задачи, то последнее
уравнение равносильно уравнению  8 р2  21 р  135  0

8  21 р  135  0 , откуда получаем два корня ( р )1  3 и
2
р
( р ) 2  
478
45
. Второй корень не подходит по смыслу задачи.
8
Поэтому  р  3 (км/ч).
О т в е т: 3 км/ч.
5.10. На участке AB скорость течения реки постоянна, а на
участке BC скорость столь незначительна, что ее можно считать равной нулю. Лодка плывет от A до C (по течению) за 3
часа 20 минут, а на возвращение обратно тратит 4 часа. При
этом собственная скорость лодки постоянна. Если бы на участке ВС скорость течения реки была такой же, как и на участке
AB, то на весь путь от A до C лодке потребовалось бы всего 3
часа. За какое время при этом предположении о скорости течения лодка вернулась бы обратно?
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Обозначим: собственную скорость лодки через
 c (км/ч), скорость течения реки через  р (км/ч); расстояние от
A до B через S1 (км), а расстояние от B до C через S 2 (км).
Ознакомившись с условием задачи, составляем чертеж.
S2
S1
●
А
c   р
●
В
c
●
С
Зная время движения от A до C по течению реки - 3 часа 20
1
мин = 3 часа, получаем уравнение
3
S1
S 10
 2  .
c   р c 3
(1)
Зная время движения от C до A против течения - 4 часа,
получаем уравнение
S1
S
 2  4.
c   р c
(2)
При условии, что на участке ВС течение такое же, как и на
участке АВ, соответственно получаем уравнения:
S1  S 2
(3)
 3,
c   р
479
S1  S 2
(4)
t ,
c   р
где t - искомая величина времени движения от C до A.
Уравнения (1) - (4) образуют систему
S 2 10
 S1
      3 ,
p
c
 c
 S1
S
 2  4,

 c   p  c

 S1  S 2  3,
 c   p

 S1  S 2  t .
  
p
 c
Таким образом, получили систему четырех уравнений с
пятью неизвестными. Ясно, что все неизвестные из этой системы найти нельзя. Но этого и не требуется. Требуется найти
только время t, которое находится однозначно.
Действительно, из первого уравнения получаем
10
S 2 ( c   p )   c ( c   p )  S1 c 
3
10
 c ( c   p )  S 2 p .
3
Из второго уравнения получаем:
( S1  S 2 ) c 
(5)
S 2 ( c   p )  4 c ( c   p )  S1 c

(S1  S 2 ) c  4 c ( c   p )  S 2 p ,
(6)
а из третьего уравнения получаем:
S1  S 2  3  ( c   p )
(7)
Складывая (5) и (6), получаем уравнение
480
2
2( S1  S 2 ) c   c (11 c   p ).
3
Учитывая (7), получаем уравнение:
2
22
2
2  3( c   p ) c   c (11 c   p )  6 c  6 p   c   p
3
3
3
 18 c  18 p  22 c  2 p , откуда находим  c  5 p .
Подставляя в третье уравнение, получаем
S1  S 2
S  S2
3  1
 3 , откуда находим комбинацию
5 p   р
6 p
S  S2
неизвестных 1
 18 , с помощью, которой находим искоp
мую величину.
Действительно, подставляя четвертое уравнение системы
 c  5 p , получаем:
t
S1  S 2
S  S 2 1 S1  S 2 1
 1
 
  18  4,5 (часа).
5 p   р
4 p
4
p
4
О т в е т: 4,5 часа.
5. Задачи на равномерное движение по окружности.
При движении тел навстречу друг другу по окружности
радиуса R с постоянными скоростями 1 и  2 время между их
встречами вычисляется по формуле:
T
2R
.
1   2
При движении тел в одном направлении – время между их
встречами определяется по формуле:
T
2R
, 1   2 .
1   2
При этом если одно из одновременно стартовавших тел
догоняет другое тело в первый раз, то оно проходит расстояние, на один круг больше чем другое; если же тело догоняет
481
другое тело во второй раз, то это означает, что оно проходит
расстояние, на два круга больше, чем другое тело и т.д.
5.11. Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 14
км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 80 км/ч, и через
40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один
круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в
км/ч.
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Обозначим скорость второго автомобиля через х
км/ч.
Поскольку 40 минут составляют 2/3 часа и это время, за
которое первый автомобиль будет опережать второй автомобиль на один круг, составим уравнение для времени до встречи:
14
2

 160  2х  42 , откуда находим х  59 (км/ч).
80  х 3
О т в е т: 59 км/ч.
5.12. По окружности радиуса R равномерно в одном направлении движутся две точки. Одна из них делает полный круг на t
секунд больше второй. Время между двумя последовательными встречами точек равно T . Определить скорость этих точек.
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Обозначим через 1 и  2 скорости точек и предположим, что 1   2 .
Первое условие задачи порождает уравнение:
2R 2R
(1)

t.
2
1
Второе условие задачи порождает уравнение вида:
2R
T .
1   2
(2)
Действительно, второе условие задачи означает, что за
время Т точка, движущаяся с большей скоростью, пройдет по
окружности путь на величину 2R больший, чем другая точка.
482
Таким образом, выполняется равенство 1T   2T  2R ,
откуда и получаем соотношение (2).
Уравнения (1) и (2) образуют систему
Решив систему относительно 1 и  2 , получим

R
4T
( 1
 1),
1 
T
t


  R ( 1  4T  1).
 2 T
t
О т в е т: 1 
R
4T
R
4T
( 1
 1) ,  2 
( 1
 1) .
T
t
T
t
6. Задачи на среднюю скорость.
Средняя скорость движения вычисляется по формуле
 ср 
S
,
t
где S – путь, пройденный телом за время t.
Если путь тела складывается из нескольких разных участков, то S – полная длина пути, а t – полное время движения.
5.13. Автомобиль проехал треть пути со скоростью 60 км/ч, а
оставшееся расстояние – со скоростью 80 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ
дайте в км/ч.
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Обозначим длину всей трассы через S.
Тогда первую треть пути автомобиль проехал за время
1
S
S
(час), а оставшуюся часть пути – за время
t1  3 
60 180
2
S
S
(час).
t2  3 
80 120
483
Таким образом, время, затраченное автомобилем на весь
S
S
путь, равно t  t1  t 2 
.

180 120
Поэтому искомая средняя скорость равна
S
S
S
S
360  S 360
 ср  




 72 ,
S
S
2
S

3
S
t t1  t 2
5S
5

180 120
360
то есть ср  72 (км/ч).
О т в е т: 72 км/ч.
5.14. Треть времени, затраченного на дорогу, автомобиль ехал
со скоростью 50 км/ч, вторую треть времени – со скоростью 75
км/ч, а последнюю треть – со скоростью 85 км/ч. Найдите
среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Обозначим время, затраченное автомобилем на
весь путь через t (час).
Тогда путь, пройденный автомобилем за первую треть
времени, затраченного на дорогу, равен
1
50
S1  50  t 
 t (км).
3
3
Путь, пройденный автомобилем за вторую треть времени,
1
затраченного на дорогу, равен S 2  75  t  25  t (км).
3
Путь, пройденный за последнюю треть времени равен
1
85
S1  85  t   t (км). Полный путь, пройденный автомоби3
3
50
85
лем, равен S  S1  S 2  S 3 
t  25t  t  70t (км).
3
3
Тогда средняя скорость автомобиля на протяжении всего
S 70  t
пути равна  ср  
 70 (км/ч).
t
t
О т в е т: 70 км/ч.
484
5.15. Собственная скорость теплохода равна 25 км/ч, скорость
течения реки равна 5 км/ч. Теплоход проплыл 6 часов по течению реки и 4 часа против течения. Найдите среднюю скорость
теплохода на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Средняя скорость теплохода определяется по
S
, где S – путь, пройденный телом за время t.
t
Скорость теплохода относительно берега по течению реки
равна 1  25  5  30 (км/ч), а против течения реки, соответственно,  2  25  5  20 (км/ч).
Тогда путь, пройденный теплоходом по течению реки, равен S1  30  6  180 (км), а путь, пройденный против течения,
равен S 2  20  4  80 (км).
Полный путь, пройденный теплоходом за время t = 6+4
=10 (час), равен S  S1  S 2  180  80  260 (км).
Следовательно, средняя скорость теплохода равна
S 260
 ср  
 26 (км/ч).
t
10
формуле  ср 
О т в е т: 26 км/ч.
7. Задачи на движение тел, имеющих размеры.
В задачах на движение тел, имеющих размеры, как правило, требуется определить длину одного из них.
5.16. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 60 км/ч, проезжает мимо придорожного столба за 30 секунд. Найдите длину поезда в метрах.
------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Обозначим длину поезда через l (м).
Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 60 км/ч, проехав
мимо придорожного столба за 30 секунд, проходит расстояние,
равное длине поезда.
30
1
Учитывая, что 30 секунд составляют
часа и 1

3600 120
485
км = 1000 м, получим l  60 
1
1
 (км) = 500 (м).
120 2
О т в е т: 500 м.
5.17. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 90 км/ч, проезжает мимо лесополосы, длина которой равна 800 метрам, за 1
минуту. Найдите длину поезда в метрах.
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Обозначим длину поезда через l (м).
Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 90 км/ч, проехав
мимо лесополосы за 1 минуту, проходит расстояние, равное
сумме длин поезда и лесополосы.
Таким образом, за 1 минуту поезд прошел путь, равный
S  l  800 (м).
Учитывая, что 1 минута составляет
1
часа и 1 км = 1000
60
1
 1500 (м). Тогда l  800  1500. От60
куда находим l  700(м).
м, получим S  90000
О т в е т: 700 м.
5.18. Человек в купе идущего со скоростью 60 км/ч пассажирского поезда, увидев идущий навстречу по параллельной колее
товарный состав, засек время, за которое тот прошел мимо него. Найдите длину товарного состава, если это время равно 20
секундам, а скорость товарного состава равна 30 км/ч. Ответ
дайте в метрах.
------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Решим задачу двумя способами.
1 способ. Обозначим длину поезда через l.
20
1
часа пассажирский поезд, иду
3600 180
щий со скоростью 60 км/ч, прошел расстояние, равное
1
1
S1  60 
 (км), а товарный состав, идущий со скоростью
180 3
За 20 секунд 
486
1
1
 (км).
180 6
Сумма пройденных поездами расстояний равна длине то1 1 1
варного состава, то есть l  S1  S 2    (км).
3 6 2
Учитывая, что 1 км = 1000 м, получим l = 500 метров.
30 км/ч, прошел расстояние S 2  30 
2 способ. Будем считать, что пассажирский поезд (и человек в
купе) неподвижен, а товарный состав приближается к нему со
скоростью, равной сумме скоростей поездов, то есть со скоро20
1
стью 60 + 30 = 90 (км/ч). Тогда за 20 секунд 
часа

3600 180
1
1
товарный состав пройдет расстояние l  90 
 (км) = 500
180 2
(м), равное длине товарного состава.
О т в е т: 500 м.
5.19. Петя сбежал вниз по движущемуся эскалатору и насчитал
30 ступенек. Затем он пробежал вверх по тому же эскалатору с
той же скоростью относительно эскалатора и насчитал 70 ступенек. Сколько ступенек он насчитал бы, спустившись по неподвижному эскалатору?
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Обозначим: через S (м) длину эскалатора,  (м/c)
- скорость Пети относительно эскалатора (собственную скорость), u (м/c) – скорость движения эскалатора,  (с) - время
счета одной ступеньки, и, наконец, через n число насчитанных
ступенек при движении вниз по неподвижному эскалатору.
Тогда время движения вниз по движущемуся эскалатору
равно t1  30   (с); время движения вверх по движущемуся
эскалатору равно t 2  70   (с); а время движения вниз по неподвижному эскалатору равно t 3  n   (с).
Тогда условия задачи приводят к системе уравнений
487
S  (  u )  t1 ,

S  (  u )  t 2 ,
S    t .
3

Учитывая выражения для t1 , t 2 , t 3 , приходим к системе
уравнений
S  (  u )  30 ,

S  (  u )  70 ,
S    n .

Таким образом, получили систему трех уравнений с пятью
неизвестными и все неизвестные условиями задачи не определяются. Однако искомая неизвестная n определяется однозначно. Действительно, разделив первое уравнение на второе и
второе уравнение на третье, приходим к системе уравнений
  u 3
  u 7
1    u  7 ,
  u  3 ,
 

1    u  70 ,
  u  n .

 

n
70
Из первого уравнения получаем
3(  u )  7(  u )  3  3u  7  7u  4  10u , откуда
5
находим   u .
2
Подставляя во второе уравнение, получаем
5
3
u u
u
3 n
n
2
, откуда находим

 2  n 

5
5
5 70
70
70
u
u
2
2
210
n
 42.
5
Таким образом, спустившись по неподвижному эскалатору, Петя насчитал бы 42 ступеньки.
О т в е т: 42.
488
Упражнения.
730. Катер прошел 15 км по течению реки и 4 км по озеру, затратив на весь путь 1 час. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки равна 4 км/ч.
731. Два велосипедиста отправляются навстречу друг другу
одновременно из двух пунктов, расстояние между которыми
равно 54 км, и встречаются через 2 ч. Определите скорость
каждого велосипедиста, если скорость у одного из них она на 3
км/ч больше, чем у другого.
732. Из пункта А в пункт В выехал мотоциклист, и одновременно из В в А выехал велосипедист. Мотоциклист прибыл в В
через 2 часа после встречи, а велосипедист в А через 4,5 часа
после встречи. Сколько часов был в пути мотоциклист?
733. Велосипедист проехал расстояние от А до В за 4 часа.
Чтобы проехать за то же время расстояние от А до С, которое
на 40 км больше, он должен проезжать каждый километр на
минуту быстрее. Найдите расстояние от А до В ( в километрах).
734. Моторная лодка прошла против течения реки 80 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 3
часа меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в
неподвижной воде равна 13 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
735. Весной катер идет против течения реки в 5/3 раза медленнее, чем по течению. Летом течение становится на 1 км/ч медленнее. Поэтому летом катер идет против течения в 1,5 раза
медленнее, чем по течению. Найдите скорость течения весной.
736. Первые два часа автомобиль ехал со скоростью 55 км/ч,
следующий час – со скоростью 50 км/ч, а затем два часа – со
скоростью 40 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на
протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
737. Первые 200 км автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч,
следующие 100 км со скоростью 70 км/ч, а затем 150 км со
скоростью 90 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на
протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
489
738. Первую половину трассы автомобиль проехал со скоростью 52 км/ч, а вторую – со скоростью 78 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.
739. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 30
км, одновременно выехали автомобилист и велосипедист. За
час автомобилист проезжает на 40 км больше, чем велосипедист. Определите скорость велосипедиста (в км/ч), если известно, что он прибыл в пункт В на 1 час позже автомобилиста.
740. Моторная лодка в 11.00 вышла из пункта А в пункт В,
расположенный в 15 км от А. Пробыв в пункте В 1 час 15 минут, лодка отправилась назад и вернулась в пункт А в 16.00
того же дня. Определите (в км/ч) скорость течения реки, если
известно, что собственная скорость лодки равна 9 км/ч.
741. Расстояние между городами А и В равно 380 км. Из города А в город В со скоростью 50 км/ч выехал первый автомобиль, а через час после этого навстречу ему из города В выехал
со скоростью 60 км/ч второй автомобиль. На каком расстоянии
от города А автомобили встретятся? Ответ дайте в км.
742. На перегоне 240 км поезд шел со скоростью на 10 км/час
меньшей, чем предполагалось, и поэтому прибыл на место с
опозданием на 20 мин. С какой скоростью должен был двигаться поезд на этом перегоне?
743. Из пункта А в пункт В отправляется турист. Через 1 час 20
минут из А в том же направлении выехал велосипедист, который догнал туриста через 30 минут. Прибыв в В, велосипедист,
не останавливаясь, повернул назад и встретил туриста через
полтора часа после первой встречи. Найти скорости туриста и
велосипедиста, зная, что расстояние АВ равно 24 км.
744. Из пункта А в пункт В плывут по течению пароход и катер. Известно, что расстояние от А до В пароход проходит в
полтора раза быстрее, чем катер, при этом катер каждый час
отстает от парохода на 8 км. Если же они плывут против течения, то пароход проходит путь от В до А в два раза быстрее.
Найти скорость течения реки.
490
745. Из пунктов А и В одновременно выехали навстречу друг
другу два автомобиля. Каждый двигался с постоянной скоростью и, придя в конечный пункт, немедленно поворачивал обратно. Первый раз они встретились на 96 км от А, второй раз –
на 48 км от В через 3 часа после первой встречи. Найти расстояние от А до В и скорости обоих автомобилей.
746. Два товарища собрались поехать в город. Один из них живет в 46 км от города в отделении совхоза, а другой, имеющий
автомашину, на центральной усадьбе, в 30 км от города между
городом и отделением совхоза. Тронулись в путь они одновременно, причем владелец автомашины поехал навстречу своему
товарищу, идущему пешком. Встретившись, они вместе поехали в город и прибыли туда через 1 час после выезда из дома.
Если бы товарищ, не имеющий машины, вышел из дома на 2
часа 40 минут раньше, то они встретились бы в 11 км от дома
пешехода. Найти скорость автомашины.
747. Два туриста вышли из А в В одновременно, причем первый турист каждый километр пути проходит на 5 минут быстрее второго. Первый турист, пройдя пятую часть пути, вернулся в А и, пробыв там 10 минут, снова пошел в В. При этом в В
оба туриста пришли одновременно. Каково расстояние от А до
В, если второй турист прошел его за 2,5 часа?
748. Дорога проходит последовательно через пункты А, В, С и
D. Расстояние от А до В равно 24 км. Из А в D выехал с постоянной скоростью автомобиль. Одновременно с ним из В в D
отправились с постоянными скоростями велосипедист и мотоциклист.Когда автомобиль догнал велосипедиста, мотоциклист
обгонял их на 6 км. В пункте С автомобиль догнал мотоциклиста, и, доехав до D, сразу поехал обратно в А, встретившись
с велосипедистом во второй раз в С. Найти расстояние между
В и С, если известно, что время от начала движения до
момента повторной встречи автомобиля и велосипедиста в два
раза больше, чем время от начала движения до того момента,
когда автомобиль впервые догнал мотоциклиста.
491
5.2.2. Задачи на производительность труда и работу
К задачам на движение примыкают задачи на производительность труда и работу.
Производительность N - работа, произведенная в единицу
времени. Тогда полная работа А, произведенная за время t вычисляется по формуле
А  N  t.
Замечание. Заметим, что формула для вычисления работы
полностью идентична формуле для вычисления пройденного
пути при равномерном движении с тем отличием, что роль
скорости движения выполняет производительность труда N, а
роль пройденного пути – работа А. ▼
5.20. Заказ на изготовление 154 деталей первый рабочий выполняет на 3 часа быстрее, чем второй. Сколько деталей за час
делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает
на 3 детали больше?
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Обозначим через N1 (дет/час) - производительность первого рабочего и через N2 (дет/час) - производительность второго рабочего. Требуется найти N2.
По условию N1 − N2 = 3 (1)
Время, за которое первый рабочий изготовит 154 детали,
154
, а время, за которое второй рабочий изготовит
N1
154
154 детали, равно t 2 
. По условию t 2  t1  3 , то есть поN2
154 154
лучаем уравнение

 3 (2)
N 2 N1
равно t1 
Уравнения (1) и (2) образуют систему уравнений
 N 1  N 2  3,

154 154
 N  N  3.
1
 2
492
Из первого уравнения получаем N1 = N2 + 3.
Подставляя во второе уравнение, получаем уравнение с
одним неизвестным N2:
N  3  N2
154 154
1
1
3
)  3  154  2

 3  154  ( 
N 2 ( N 2  3)
N 2 N1
N2 N2  3
154  3
154

3 
 1  154  N 2  ( N 2  3)
N 2 ( N 2  3)
N 2 ( N 2  3)
 N 22  3N 2  154  0 , откуда (N2)1 = 11 и (N2)2 = − 14.
Второй корень не подходит по смыслу задачи. Следовательно, N2 = 11 (дет/час).
О т в е т: 11 дет/час.
5.21. Один рабочий выполняет работу за 11 часов. Производительность труда второго рабочего на 20% выше, чем у первого.
За сколько часов они выполнят эту работу вместе?
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Обозначим: через N1 (1/час) - производительность
первого рабочего; через А полный объем работы; t - время, за
которое будет выполнена работа при работе вместе.
Так как по условию задачи первый рабочий выполняет работу за 11 часов, то получаем уравнение A  11 (1).
N1
По условию производительность труда второго рабочего
на 20% выше, чем у первого. Значит, производительность N2
второго рабочего равна
20
N 2  N1 
N 1  1,2 N 1 (2).
100
Учитывая, что при работе вместе производительности рабочих складываются, время, за которое будет выполнена работа при работе вместе, равно
A
(3).
t
N1  N 2
Уравнения (1), (2), (3) образуют систему трех уравнений с
четырьмя неизвестными
493
A
 N  11,
 1
 N 2  1,2 N 1 ,
 A

 t,
 N 1  N 2
Получили неопределенную систему. Определить значения
А, N1, N2, t в отдельности не удается. Однако по условию задачи этого и не требуется. Для вычисления значения t (искомой
A
величины) достаточно знать только отношение
.
N1
Действительно, учитывая второе уравнение системы, знаA
A
A
5 A
чение t 


 
.
N1  N 2 N1  1,2 N1 2,2 N1 11 N1
5
Учитывая первое уравнение системы, находим t   11  5 .
11
Итак, t = 5 часов.
О т в е т: 5 часов.
5.22. Двум рабочим была поручена работа. Второй приступил
к работе на час позже первого. Через 3 часа после того, как
первый рабочий приступил к работе, им осталось выполнить
9/20 всей работы. По окончании работы оказалось, что каждый
выполнил половину всей работы. За сколько часов каждый рабочий, работая отдельно, может выполнить всю работу?
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Обозначим через х (1/час) - производительность
первого рабочего, через у (1/час) - производительность второго
рабочего и через А – всю выполненную работу.
За 3 часа первый рабочий выполнил работу, равную 3х. Так
как второй рабочий приступил к работе на час позже первого,
то он работал 2 часа и выполнил работу, равную 2y. При этом
по условию им осталось выполнить 9/20 всей работы. Следовательно, они выполнили 11/20 всей работы и получаем уравнение
494
11
A (1).
20
Обозначим через t (час) полное время работы первого рабочего. Тогда полное время работы второго рабочего равно (t –
1) (час).
Так как по окончании работы оказалось, что каждый выполнил половину всей работы, то получаем еще два уравнения
1
x  t  A (2),
2
1
y  (t  1)  A (3).
2
Уравнения (1), (2), (3) образуют систему трех уравнений с
четырьмя неизвестными
11

3 x  2 y  20 A,

1

 x  t  A,
2

1

 y  (t  1)  2 A.

3x  2 y 
Получили неопределенную систему. Определить значения
x, у, А и t в отдельности не удается. Но по условию этого и не
A
A
требуется. Требуется найти значения t1 
и t 2  , которые
x
y
из системы находятся однозначно.
Перепишем систему так.
 x
y 11
3  A  2  A  20 ,

 1 A
t   ,
 2 x
1 A

t  1  2  y


1 11
 1
3  t  2  t  20 ,
2
 1
 1
t   t1 ,
 2
1

t  1  2  t 2 .

495
1
 t1 в третье уравнение системы, получим
2
систему двух уравнений с двумя неизвестными:
Подставив t 
1 11
 1
3  t  2  t  20 ,
1
2

1
1
 t 1  t ,
1
2
2
 2
 3 2 11
  ,
  t1 t 2 20
t  2  t .
2
1
Из второго уравнения получаем t1 = t2 + 2.
Подставляя в первое уравнение, получаем уравнение с одним неизвестным t2.
3
2 11
 
t 2  2 t 2 20

3t 2  2(t 2  2) 11

t 2 (t 2  2)
20

5t 2  4 11
3t 2  2(t 2  2) 11
 0 
 0 
t 2 (t 2  2)
20
t 2 (t 2  2) 20
20  (5t 2  4)  11 t 2 (t 2  2)
0
20  t 2 (t 2  2)

 11 t 22  78t 2  80
 0.
20  t 2 (t 2  2)
Так как t2 > 0 по смыслу задачи, то уравнение равносильно
квадратному уравнению  11t 22  78t 2  80  0 , откуда находим
10
два корня (t 2 )1  8 и (t 2 ) 2   .
11
Второй корень не подходит по смыслу задачи.
Тогда t1 = 10 (час), t2 = 8 (час).
О т в е т: первый рабочий, работая отдельно, может выполнить
всю работу за 10 часов, а второй рабочий – за 8 часов.
К задачам на работу можно отнести и задачи на перекачивание жидкости насосами. В качестве произведенной работы в
этом случае рассматривают объем перекаченной жидкости.
496
5.23. Бассейн наполняется водой из двух кранов. Сначала первый кран был открыт одну треть того времени, которое требуется для наполнения бассейна только через один второй кран.
Затем, наоборот, второй кран был открыт одну треть того времени, которое требуется для наполнения бассейна через один
13
первый кран. После этого оказалось наполненным
бассей18
на. Вычислить, сколько времени нужно для наполнения бассейна каждым краном в отдельности, если оба крана, открытых
вместе, наполняют бассейн за 3 часа 36 минут.
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Обозначим через x и y (л/мин) производительности кранов и через V (л) - объем бассейна.
Время, за которое каждый кран заполняет бассейн, соотV
V
ветственно равно t1  , t 2  .
x
y
Первое условие задачи приводит к уравнению
1
1
13
1 V
1 V 13
x  t 2  y  t1   V  x    y     V .
3
3
18
3 y
3 x 18
Разделив обе части уравнения на V  0 , получаем
1 x 1 y 13
(1)
   
3 y 3 x 18
Из второго условия задачи, учитывая, что 3 часа 36 минут
= 3∙60 + 36 = 216 минут, получаем уравнение
V  ( x  y )  216
(2)
Уравнения (1) и (2) образуют систему
 1 x 1 y 13
     ,
 3 y 3 x 18
V  216  ( x  y ).

Получили неопределенную систему. Определить значения
х, у и V в отдельности не удается. Однако для получения ре-
497
шения достаточно знать только отношение производительноx
стей кранов .
y
Действительно, в задаче необходимо найти значения
y
V 216  ( x  y )

 216  (1  ) ,
x
x
x
V 216  ( x  y)
x
t2  
 216  (  1) .
y
y
y
x
Обозначим  U . Тогда первое уравнение примет вид:
y
1
1 1 13
13
 U 2   U  1  0 , откуда находим два
U   
3
3 U 18
6
2
3
корня U 1  , U 2  .
3
2
Учитывая замену, получаем два случая:
x 2
1)  , тогда
y 3
y
3
t1  216  (1  )  216  (1  )  540 (минут);
x
2
x
2
t 2  216  (  1)  216  (  1)  360 (минут).
y
3
x 3
2)  , тогда
y 2
y
2
t1  216  (1  )  216  (1  )  360 (минут);
x
3
x
3
t 2  216  (  1)  216  (  1)  540 (минут).
y
2
t1 
О т в е т: 540 минут и 360 минут; 360 минут и 540 минут.
498
Упражнения.
749. Двое рабочих изготавливают по одинаковому количеству
деталей. Первый выполнил эту работу за 6 часов, второй за 4
часа, так как изготовлял в час на 14 деталей больше первого.
Сколько деталей изготовил второй рабочий?
750. На строительстве стены первый каменщик работал 5 дней
один. Затем к нему присоединился второй, и они вместе закончили работу через 4 дня. Известно, что первому каменщику
потребовалось бы на выполнение этой работы на 5 дней больше, чем второму. За сколько дней может построить эту стену
первый каменщик, работая один?
751. Бригада рабочих должна была изготовить 360 деталей.
Изготавливая ежедневно на 4 детали больше, чем предполагалось по плану, бригада выполнила задание на один день раньше срока. Сколько дней бригада затратила на выполнение задания?
752. Первая труба пропускает на 3 литра воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает
вторая труба, если резервуар объемом 672 литра она заполняет
на 4 минуты быстрее, чем первая труба заполняет резервуар
объемом 700 литров?
753. На изготовление 520 деталей первый рабочий затрачивает
на 6 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 598
деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 3 детали больше, чем второй. Сколько деталей в час делает первый
рабочий?
754. В помощь садовому насосу, перекачивающему 10 литров
воды за 1 минуту, подключили второй насос, перекачивающий
тот же объем воды за 5 минут. Сколько минут эти два насоса
должны работать совместно, чтобы перекачать 60 литров воды?
755. Заказ на изготовление 154 деталей первый рабочий выполняет на 3 часа быстрее, чем второй. Сколько деталей за час
делает второй рабочий, если известно, что первый за час делает
на 3 детали больше?
499
756. Две трубы вместе наполняют бассейн за 6 часов. Определить за сколько часов наполняет бассейн каждая труба в отдельности, если известно, что из первой трубы в час вытекает
на 50% больше воды, чем из второй.
757. Один мастер может выполнить заказ за 28 часов, а другой
– за 21 час. За сколько часов выполнят заказ оба мастера, работая вместе?
758. Первый насос наполняет бак за 30 минут, второй – за 48
минут, а третий – за 1 час 20 минут. За сколько минут наполнят
бак три насоса, работая одновременно?
759. Игорь и Саша красят забор за 9 часов. Саша и Володя красят этот же забор за 12 часов, а Володя и Игорь – за 18 часов.
За сколько часов мальчики покрасят забор, работая вместе?
760. Двое рабочих, работая последовательно один за другим,
выполнили одну работу. Первый работал 5/9 того времени, которое должен был затратить второй, чтобы выполнить самому
всю работу. Если бы они работали оба вместе, то окончили бы
работу на 6 часов 40 минут раньше, причем первый выполнил
бы 4/5 той работы, которую на самом деле сделал второй. За
сколько времени каждый из них в отдельности мог бы окончить всю работу?
761. Грузовики трех типов А, В и С возили кирпич. В первый
день работали по пять грузовиков каждого типа и выполнили
весь объем работы за 3 ч 12 мин. Во второй день за 6 ч 40 мин
этот же объем работы выполнили по два грузовика типов А и В
и четыре грузовика типа С. За сколько часов был бы выполнен
весь объем работы, если бы кирпич возили два грузовика типа
А и два грузовика типа В?
762. В цехе имелось N одинаковых станков, которые, работая
вместе, вытачивали в день 5850 деталей. После модернизации
число производимых в день каждым станком деталей возросло
на 20%. Это позволило без сокращения общего объема продукции цеха уменьшить число станков максимум на 4. Найти
N.
500
5.2.3. Задачи на проценты
Очень часто на практике (например, при денежных расчетах) используется сотая доля какого-либо числа, то есть десятичная дробь 0,01, которая называется процентом и обозначается символом 1%.
☼ Само слово «процент» происходит от лат. «pro centum», что
означает в переводе «сотая доля», а символ процента появился
весьма курьезным способом. В 1685 году в Париже была издана книга «Руководство по коммерческой арифметике» Матье
де ла Порта. В одном месте речь шла о процентах, которые тогда обозначали «cto» (сокращенно от cento). Однако наборщик
принял это «cto» за дробь и напечатал «%». Так из-за опечатки
этот знак вошел в обиход.
Таким образом, 1% какого-нибудь числа означает тоже
самое, что 0,01 (одна сотая) этого числа.
Чтобы заменить десятичную дробь процентом, надо:
1) переместить десятичную запятую на две позиции вправо;
2) поставить знак процента.
Таким образом, чтобы заменить десятичную дробь процентом, достаточно умножить эту дробь на 100(%)
Например: 0,75 = 0,75·100% = 75%; 1, 85 = 1,85·100% = 185%;
0,003 = 0,003·100% = 0,3%; 20,7 = 20,7·100% = 2070%.
Чтобы заменить число процентов на десятичную дробь,
надо:
1) устранить знак процента;
2) переместить десятичную запятую на две позиции влево
(иногда при этом добавляют необходимое число нулей).
Таким образом, чтобы заменить число процентов десятичной дробью, достаточно разделить число процентов на 100.
17
125
0,3
Например: 17% 
 0,17; 125% 
 1,25; 0,3% 

100
100
100
0,003.
501
В задачах на проценты наиболее часто приходится отвечать на 4 основных вопроса:
1) Какое число составляет р% от данного числа b?
2) От какого числа данное число а составляет р%?
3) Какой процент составляет число а от числа b?
4) Какое процентное изменение (увеличение или уменьшение)
претерпела данная величина?
Первый вопрос относится к задаче о нахождении процента
от данного числа.
Чтобы найти р% от числа надо это число умножить на
р
.
100
Например:
а) Какое число составляет 25% от числа 60?
25
Вычисляем: 60 
 15.
100
б) Какое число составляет 0,5% от 18?
0,5
Вычисляем: 18 
 0,09.
100
Второй вопрос относится к задаче о нахождении числа по
его проценту.
Чтобы найти число, зная, что р% от этого числа равно а,
р
надо число а разделить на
.
100
Например. Если 3% вклада в банк составляют 150$, то этот
3
150  100
вклад равен 150 :

 5000 $.
100
3
Третий вопрос относится к задаче о нахождении процентного отношения двух чисел.
502
Чтобы найти процентное отношение двух чисел а и b, надо
отношение этих чисел умножить на 100%, то есть вычислить
a
 100% .
b
Например: процентное отношение двух чисел 77 и 70 равно
77
 100%  110% , что означает - число 77 в 1,1 раза больше
70
числа 70.
Замечание. Заметим, что формулировки данных задач можно
переложить на язык уравнений, удобный для практического
применения.
Слова «какое число» обозначаем через х, слово «составляет» или «равно» заменяем на знак равно (=), слова «от числа»
заменяем знаком умножения.
При этом переводим число процентов в десятичную (или
обыкновенную) дробь.
Например:
а) Какое число составляет 25% от числа 60?
------------------------------------------------------------------------------Запишем условие этой задачи в виде уравнения.
Заменяем слова «какое число» на х, слово «составляет» - на
знак « = » и слово «от числа» - на знак умножения (25% =
25
25
 0,25 ): x 
 60  0,25  60  15 , то есть x  15 .
100
100
б) Какое было число, если 3% от этого числа равно 150?
-------------------------------------------------------------------------------Запишем условие этой задачи в виде уравнения.
Заменяем слова «какое число» на х, слово «от числа» - на
знак умножения и слово «равно» - на знак « = » (3%
3
3 150  100
3
 х  150 , откуда х  150 :

 0,03 ):

 5000.
100
100
100
3
503
в) Какой процент от числа 70 составляет число 77?
--------------------------------------------------------------------------------Запишем условие задачи в виде уравнения.
Заменяем слова «какой процент» на х% , слово «от числа» на знак умножения и слово «составляет» - на знак « = »:
х
77
 70  77 , откуда х   100  110% .
100
70
Другой метод, часто используемый при решении задач на
проценты, это метод пропорции.
Сначала записывают «чистый бланк» пропорции, напри?
?
мер, вида
 , и заполняют пустые места, используя ряд
100 ?
стандартных шагов, приводя пропорцию к виду:
Процент
Число

100
" От числа "
Например. Какой процент от числа 50 составляет число 30?
а) Число, которое стоит рядом со знаком %, помещают в
числителе дроби над числом 100 (В данном примере неизвестх ?
ное х, соответствующее слову «какой процент»):
 .
100 ?
б) Число, идущее после слова «от числа», помещается внизу
х
?
(в знаменателе) другой части пропорции:
 .
100 50
в) Число, идущее рядом со словом «составляет» (или «равно») помещается вверху (в числителе) этой части пропорции:
х 30
 .
100 50
г) В завершение решаем полученную пропорцию: перемножая «крест - накрест», получим уравнение 50·x = 30·100, откуда находим x = 60%. ▼
Четвертый вопрос относится к задаче о нахождении процентного изменения (увеличения или уменьшения) некоторой
величины.
В таких случаях используется формула:
504
Изменение величины
Начальное значение величины
 100%  Процентное изменение
Например. На сколько процентов уменьшилась цена товара на
распродаже при уменьшении цены с 500$ до 400$?
-------------------------------------------------------------------------------Изменение цены равно 500$ – 400$ = 100$. Начальное значение цены равно 500$. Тогда процентное изменение цены
100
равно:
 100%  20% , то есть цена товара уменьшилась на
500
20%.
Текстовые задачи на проценты можно разделить на следующие основные типы.
1. Задачи на «простые» проценты.
5.24. Выразите дроби в виде процентов: 0,03; 0,27; 3/4; 1,05;
5/2; 17,5.
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. По определению процента, имеем:
0,03 = 0,03·100% = 3%; 0,27 = 0,27·100% = 27%; 3/4 =
0,75·100% = 75%; 1,05 = 1,05·100% = 105%; 5/2 = 2,50 =
2,50·100% = 250%; 17,5 = 17,5·100% = 1750%.
О т в е т: 3%; 27%; 75%; 105%; 250%; 1750%.
5.25. Выразите в виде десятичных дробей: 5%, 10%, 25%, 50%,
100%, 150%, 200%.
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. По определению процента, имеем:
5% = 0,05; 10% = 0,10 = 0,1; 25% = 0,25; 50% = 0,50 = 0,5;
100% = 1,00 = 1; 150% = 1,50 = 1,5; 200% = 2,00 = 2.
О т в е т: 0,05; 0,1; 0,25; 0,5; 1; 1,5; 2.
5.26. Какое число составляет: 1) 10% от числа 30? 2) 250% от
числа 12? 3) 1/4% от числа 1000?
--------------------------------------------------------------------------------
505
Р е ш е н и е. Обозначим неизвестное число через х и составим
уравнение
1
10
250
1) x 
 30  3 ; 2) x 
 12  30 ; 3) x  4  1000  2,5 .
100
100
100
О т в е т: 1) 3; 2) 30; 3) 2,5.
5.27. Найдите число, если 20% от этого числа равно 15.
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Обозначим неизвестное число через х и составим
20
100
уравнение
 x  15 , откуда находим x  15 
 75 .
100
20
О т в е т: 75.
5.28. Какой процент от числа 80 составляет число 20?
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Обозначим неизвестное число через х и составим
x
100  20
уравнение
 80  20 , откуда находим x 
 25% .
100
80
О т в е т: 25%.
5.29. Найдите процентное увеличение зарплаты Джона, если
она изменилась со 150$ в месяц до 200$ в месяц?
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Изменение месячной зарплаты Джона равно:
200$ - 150$ = 50$. Тогда процентное изменение зарплаты Джона
50
1
равно
100%  33 % .
150
3
1
О т в е т: 33 % .
3
5.30. Розничный продавец покупает товар у оптового торговца
за 75 руб. Затем он повышает цену на 1/3 и продает это со
скидкой 20 %. Какова была его прибыль при продаже товара?
--------------------------------------------------------------------------------
506
Р е ш е н и е. 1/3 от 75 равна 25, поэтому после повышения цена на товар у розничного продавца равна 100 руб. Делая скид20
ку на 20% продавец уменьшает цену на
100  20 (руб.) и
100
продает товар по 100 - 20 = 80 (руб.). Поэтому прибыль при
продаже радио составляет 80 - 75 = 5 (руб.).
О т в е т: 5 руб.
5.31. Продавец купил 2 дюжины телевизоров по 300$ каждый.
Он продал две трети из них, получив 25%-ю прибыль, но был
вынужден получить 30%-й убыток на каждом телевизоре из
остальных. Какова была его полная прибыль (или убыток) от
продажи всех телевизоров?
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. При покупке продавец потратил $300·24 = $7200.
25% от 300 равно 0,25·300 = 75, значит, стоимость телевизора,
проданного с прибылью, равна $375.
2
С прибылью было продано 24   16 телевизоров, за ко3
торые продавец получил $375·16 = $6000.
30% от 300 равно 0,30·300 = 90, значит, стоимость телевизора,
проданного с убытком, равна $210. С убытком было продано
24 – 16 = 8 телевизоров, за которые продавец получил $210·8 =
$1680.
Таким образом, всего от продажи всех телевизоров продавец получил $6000 + $1680 = $7680 и получил прибыль в размере $7680 - $7200 = $480.
О т в е т: прибыль в размере 480$.
5.32. Если 8%-й налог на продажу составляет 96 копеек, то какая заключительная цена (включая налог) товара?
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. 96 коп. = 0,96 руб. составляют 8% = 0,08 от цены
товара. Пусть первоначальная цена товара равна х. Тогда 0,08х
= 0,96 (руб.). Следовательно, первоначальная цена товара равна 0,96: 0,08 = 12 (руб.). Добавляя налог, который равен 0,96
507
руб., получим заключительную цену: 12 руб. + 0,96 руб. =
12,96 руб.
О т в е т: 12,96 руб.
5.33. Книга на 100% дороже альбома. На сколько процентов
альбом дешевле книги?
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Пусть х – стоимость альбома. Книга дороже альбома на 100%, поэтому стоимость книги равна х + х = 2х.
Альбом дешевле книги на: 2х – х = х. Значение х – это ½
часть от 2х или 50%.
О т в е т: альбом дешевле книги на 50%.
5.34. Цена на товар была повышена на 25%. На сколько процентов надо ее теперь снизить, чтобы получить первоначальную ее цену?
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Обозначим первоначальную цену товара через А0,
а искомый процент через х%. После повышения цены она ста25
нет равной A1  A 0 
A0  A0  0,25 A0  1,25 A0 .
100
После понижения цены она окажется равной
x
x
A2  A1 
A1  A1 (1 
).
100
100
Цена А2 по условию должна быть равна первоначальной
x
цене, то есть А2 = А0, и получаем уравнение A1 (1 
)  A0 .
100
x
Учитывая, что A1  1,25 A0 , получаем 1,25 A0 (1 
)  A0 .
100
Разделив обе части уравнения на А0 ≠ 0, получим уравнеx
ние 1,25(1 
)  1 , откуда находим х = 20%.
100
О т в е т: 20%.
508
5.35. Руда содержит 40% примесей, а выплавленный из нее металл содержит 4% примесей. Сколько получится металла из 24
тонн руды?
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Обозначим через х количество тонн металла, выплавленного из 24 тонн руды.
В нем содержится 4% примесей и 96% чистого металла,
96
поэтому чистого металла будет
x  0,96 x тонн.
100
Это количество по условию должно составлять 60% от 24
тонн руды, то есть получаем уравнение: 0,96·х = 0,6·24, откуда
0,6  24
находим x 
 15 тонн.
0,96
О т в е т: 15 тонн.
5.36. Влажность купленного арбуза составила 99%. В результате длительного хранения влажность снизилась до 98%. Как
изменилась масса арбуза?
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Свежий арбуз на 99% состоит из жидкости и на
1% - из сухой массы. В результате усушки количество жидкости уменьшилось и составило 98% от новой, также уменьшившейся массы арбуза. Количество же сухого вещества остается
одинаковым.
Обозначим массу свежего арбуза через х, а массу арбуза
после усушки через у. Тогда масса сухого вещества в свежем
арбузе равна 0,01х, а в арбузе после усушки – 0,02у.
Так как эти массы равны, то получаем уравнение 0,01х =
0,02у. Получили уравнение с двумя неизвестными, и найти х и
у в отдельности не удается. Но этого и не требуется по услоx
вию задачи. Требуется найти отношение , которое из уравy
x 0,02
нения определяется однозначно:

 2 , то есть масса
y 0,01
арбуза после усушки уменьшилась в два раза.
О т в е т: масса арбуза после усушки уменьшилась вдвое.
509
5.37. Магазин обычно продает определенный товар с 40%-й
прибылью. Одну неделю в магазине была распродажа, во время которой товар продавался по цене на 10 % меньше обычной
цены. Во время распродажи, какой процент прибыли магазин
делает на каждом из этих товаров?
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Обозначим через х начальную цену товара. При
40%-й прибыли магазина цена товара будет равна 1,4х. Во время распродажи эта цена была снижена на 10% и стала равной
10
1,4 x 
 1,4 x  1,4 x  0,9  1,26x , то есть цена на 26% больше
100
начальной. Значит, товар продавался с 26%-й прибылью.
О т в е т: 26%.
5.38. В круге, нарисованном ниже, показаны результаты опроса
студентов колледжа об их летней работе. Если 5250 студентов
имели летнюю работу в зоне отдыха, сколько имели летнюю
работу, классифицированную как «Другие»?
Типы летних работ
Магазин/Кафе
50%
Сельское хозяйство
8%
35%
Зона отдыха
Другие
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Сколько всего студентов участвовало в опросе?
Обозначим число всех опрошенных студентов через х.
Так как 5250 студентов составляют 35% от общего их числа, то получаем уравнение: 0,35·х = 5250, откуда х = 15000.
Число студентов, работавших в категории работ «Другие»,
составляет 100% − (50% + 35% + 8%) = 7% от общего количества, то есть 0,07·15000 = 1050 человек.
О т в е т: 1050.
510
5.39. У господина Казакова было 2000$, чтобы вложить капитал. Он инвестировал часть этих денег под 5 % ежегодно, и
остаток под 4 % ежегодно. После одного года его инвестиции
выросли до 2095$. Сколько из начальных денег было вложено
под 5%?
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Обозначим через $х деньги, вложенные под 5%.
Тогда под 4% Казаков вложил $(2000 – х). Через год 5% -й
5
вклад увеличится на величину
x  0,05x , а 4%-й вклад уве100
4
личится на величину
 (2000  x)  0,04  (2000  x) .
100
Сумма этих приростов равна общему приросту вклада,
равному 2095 – 2000 = 95$.
Таким образом, получаем уравнение
0,05∙х + 0,04∙(2000 − х) = 95  0,05∙х + 0,04·2000 – 0,04∙х = 95
 0,01∙х = 15, откуда находим х = 1500.
О т в е т: 1500$.
5.40. Два куска сыра имеют форму прямоугольного параллелепипеда каждый. Длина первого куска на 50% больше длины
второго куска, а ширина и высота первого куска соответственно на 20% и 30% меньше ширины и высоты второго куска. У
какого куска сыра объём больше и насколько?
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Обозначим длину, ширину и высоту первого куска сыра через а1, b1, c1, а второго куска соответственно через а2,
b2, c2.
Объем первого куска сыра равен V1  a1b1c1 , второго куска
- V2  a2b2 c2 . По условию a1  1,5a2 , b1  0,8b2 , c1  0,7c2 .
Тогда V1  a1b1c1  1,5a2  0,8b2  0,7c2  0,84a2b2 c2  0,84 V2 .
Откуда заключаем, что объем первого куска меньше второго на 16%, а объем второго куска больше, причем
511
V2
V2
1
100 25
4




1 .
V1 0,84V2 0,84 84 21 21
Следовательно, второй кусок больше первого на
4
400
1
100% 
%  19 % .
21
21
21
1
О т в е т: второй кусок сыра больше первого на 19 % .
21
5.41. Учительница записала на доске три положительных числа
и поручила Диме одно из них уменьшить на 3%, другое
уменьшить на 4%, а третье увеличить на 5%. Результаты Дима
записал в тетради. Оказалось, что в Диминой тетради записаны
те же числа, что и на доске (возможно, в другом порядке). Докажите, что Дима ошибся.
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Обозначим записанные учительницей положительные числа через х, у, z. После изменений, Дима должен
был получить числа 0,97х, 0,96у и 1,05z.
По Диминым расчетам
0,97 x  y ,
0,97 x  z ,
0,96 y  z ,  0,96 y  x ,
1,05z  x ,
1,05z  y .
В обоих случаях, перемножив уравнения системы, получим 0,97  0,96 1,05  x  y  z  x  y  z , откуда 0,97  0,96 1,05  1 .
Однако, так как 0,97  0,96 1,05  0,97776, то равенство не
выполняется.
Следовательно, Дима ошибся, что и требовалось доказать.
5.42. В среду акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а в четверг подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на 25% дешевле, чем при открытии торгов в среду. На сколько процентов подорожали акции компании в среду?
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Обозначим через х% - искомый процент подорожания акций в среду, а стоимость акций через а.
Тогда стоимость акций после подорожания будет равна
512
x
x
a  a  (1 
) , а после удешевления в четверг сто100
100
x
x
x
x
имость станет равной c  b 
b  b(1 
)  a(1 
)(1 
).
100
100
100
100
25
По условию c  a 
a  0,75a . Получаем уравнение
100
x
x
x
x
a(1 
)(1 
)  0,75a  1  ( ) 2  0,75  ( ) 2  0,25 ,
100
100
100
100
x
откуда
 0,5 , а x  50% .
100
ba
О т в е т: 50%.
2. Задачи на «сложные» проценты.
К задачам на «сложные» проценты относятся задачи, в которых некоторая величина подвергается поэтапному изменению. При этом каждый раз величина изменяется (увеличивается или уменьшается) к концу этапа на определенное число
процентов.
5.43. Вклад в банке ежегодно увеличивается на р%. Через какое время вклад удвоится?
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Смоделируем процесс накопления.
Обозначим условно вклад в начале года через А0. Тогда
через 1 год величина вклада будет равна
p
p
A1  A0 
A0  A0  (1 
).
100
100
Через 2 года величина вклада станет равной
p
p
p
p
p 2
A2  A1 
A1  A1 (1 
)  A0 (1 
)(1 
)  A0 (1 
) .
100
100
100
100
100
Через 3 года величина вклада станет равной
p
p
p 2
p
p 3
A3  A2 
A2  A2 (1 
)  A0 (1 
) (1 
)  A0 (1 
) .
100
100
100
100
100
Через х лет величина вклада станет равной
513
p x
) .
100
По условию величина Ах = 2∙А0, то есть получаем уравнеp x
ние: A0  (1 
)  2  A0 . Разделив обе части на А0 ≠ 0, полу100
p x
чаем уравнение (1 
)  2 , откуда находим
100
lg 2
(лет).
x  log p 2 
1
p
100
lg(1 
)
100
lg 2
О т в е т: через x 
лет.
p
lg(1 
)
100
lg 2
Например: при р = 2%, получаем x 
 35 лет.
lg1,02
Замечание. Таким образом, исходной формулой при решении
задач на «сложные» проценты является формула:
Ax  A0  (1 
An  A0  (1 
p n
) ,
100
где А0 – начальное значение изменяемой величины;
Аn – значение изменяемой величины в конце n-го этапа изменения;
р% - прирост изменяемой величины в процентах за один
этап изменения.
Заметим, что прирост величины от этапа к этапу может
изменяться. Моделируя процесс изменения величины в этом
случае, нетрудно получить расчетную формулу:
An  A0  (1 
p
p1
p
)(1  2 )...(1  n ),
100
100
100
где р1% - прирост величины А0 на первом этапе изменения;
р2% - прирост величины А1 на втором этапе изменения и т.д.
514
В таких задачах часто встречается понятие среднего процента прироста.
Средний процент прироста – это такой постоянный процент прироста q%, который за n этапов дает такое же изменение величины А0, которое она получает за те же n этапов при
неравных поэтапных приростах р1%, р2%, ... , рn%. Поэтому
величина q% определяется из равенства:
A0 (1 
p
p1
p
q n
)(1  2 )...(1  n )  A0 (1 
) .
100
100
100
100
▼
5.44. Цена на холодильник «Саратов» за год выросла на 40%.
На следующий год она увеличилась на 60%. Определить средний ежегодный прирост цены за этот период.
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Обозначим средний ежегодный прирост цены через q%.
q 2
Через два года значение цены будет равно A0  (1 
) ,
100
где А0 – начальная цена холодильника.
С другой стороны, при неравных ежегодных приростах в
40% и 60%, через один год цена холодильника станет равной
40
A1  A0 
A0  A0 (1  0,4)  1,4 A0 , а через два года станет
100
60
равной A2  A1 
A1  A1 (1  0,6)  1,6 A1  1,6 1,4 А0  2,24 А0 .
100
Сравнивая эти величины, получаем уравнение:
q 2
A0 (1 
)  2,24 А0 . Так как по смыслу задачи А0  0 , то раз100
q 2
делив обе части уравнения на А0 , получим (1 
)  2,24 ,
100
откуда находим q = 49,67%.
О т в е т: 49,67%
515
5.45. Что выгоднее: положить 1 миллион рублей в банк на 3
месяца под 3% с ежемесячным начислением процентов или
под однократное начисление 10% в конце третьего месяца?
Определить разницу полученной при этом прибыли.
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. В первом случае при вкладе под «сложные» проценты величина вклада в конце третьего месяца станет равной
3 3
1000000 (1 
) . При этом доход будет равен:
100
3 3
1000000 (1 
)  1000000
100
1000000 (1,033  1)  1000000 (1,092727  1)  92727 рублей.
Во втором случае величина вклада в конце третьего месяца
10
станет равной 1000000 (1 
)  1000000 1,1  1100000рублей.
100
Доход составит 100000 рублей. Откуда заключаем, что
второй вид вклада выгоднее.
Разница в полученной при этом прибыли будет равна
100000 – 92727 =7273, то есть прибыль во втором случае
больше на 7273 рублей.
О т в е т: второй вид вклада выгоднее; прибыль на 7273 рублей
больше.
3. Экономические задачи на проценты.
К экономическим задачам на проценты относятся задачи,
связанные с банковскими операциями, производством и бизнесом.
5.46. 31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 6902000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая - 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает
долг на 12,5%), затем Алексей переводит в банк х рублей. Какой должна быть сумма х, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?
---------------------------------------------------------------------------------
516
Р е ш е н и е. Решим задачу в общем виде. Смоделируем процесс изменения долга Алексея по кредиту.
Обозначим сумму кредита через S, а процент годовых через р%.
Тогда 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга по
p
кредиту будет умножаться на коэффициент k  1 
 1  0,01p .
100
После первой выплаты (через 1 год) сумма долга уменьшится на х и составит S1  S  k  x .
После второй выплаты (через 2 года) сумма долга составит
S 2  S1  k  x  ( S  k  x)  k  x  Sk 2  (k  1) x .
После третьей выплаты (через 3 года) сумма долга составит S 3  S 2  k  x  (Sk 2  (k  1) x)  k  x  Sk 3  (k 2  k  1) x .
После четвертой выплаты сумма долга составит
S 4  S 3  k  x  (Sk 3  (k 2  k  1) x)  k  x  Sk 4  (k 3  k 2  k  1) x .
По условию четырьмя выплатами долг будет погашен полностью, поэтому S 4  0 , то есть Sk 4  (k 3  k 2  k  1) x  0 
(k 3  k 2  k  1) x  Sk 4 . Откуда получаем
Sk 4
Sk 4
Sk 4 (k  1)
Sk 4 (k  1)
.
x 3



k  k 2  k  1 (k  1)(k 2  1) (k 2  1)(k 2  1)
k 4 1
12,5
При S = 6902000 и р = 12,5%, получаем k  1 
 1,125 и,
100
69020001,601806640625  0,125
соответственно, х 
 2296350 руб.
1,601806640625  1
О т в е т: 2296350 рублей.
5.47. Михаил хочет взять в банке кредит 1 млн. рублей. Погашение кредита происходит один раз в год равными суммами
(кроме, может быть, последней) после начисления банком процентов. Ставка процента 15% годовых. На какое минимальное
количество лет Михаил может взять кредит, чтобы ежегодные
выплаты были не более 250 тысяч рублей?
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Смоделируем процесс изменения долга Михаила
517
по кредиту.
При начислении банком процентов, оставшаяся сумма дол15
га по кредиту будет умножаться на коэффициент k  1 
 1,15 .
100
В конце первого года долг по кредиту составит 1150000
рублей, так как 1000000∙1,15 = 1150000.
После выплаты 250000 рублей, останется долг 1150000 –
250000 = 900000 рублей. Далее все повторяется по этой же
схеме. Для удобства составим таблицу выплат и изменения
долга по кредиту по годам.
Год Долг банку (руб.)
Остаток долга после выплаты (руб.)
0
1000000
1
1150000
900000
2
1035000
785000
3
902750
652750
4
750662,5
500662,5
5
575761,875
325761,875
6
374626,15625
124626,15625
7
143320,079687
0
Следовательно, если ежегодные выплаты кредита составляют 250000 рублей, то Михаил погасит кредит за 7 лет.
О т в е т: 7.
5.48. 31 декабря 2015 года Андрей взял в банке 6951000 рублей
в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет
проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает
долг на 10%), затем Алексей переводит в банк ежегодный платеж. Весь долг Андрей выплатил за 3 равных платежа. На
сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатит долг за 2 равных платежа?
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Обозначим: сумму кредита через S = 6951000
рублей, через х рублей - ежегодную выплату по кредиту, при
которой Андрей выплатит кредит за 3 года, а через у рублей –
ежегодную выплату, при которой выплатит кредит за 2 года.
518
Тогда искомая величина экономии будет равна 3х -2у.
31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга по кре10
диту будет умножаться на коэффициент k  1 
 1,1 .
100
После первой выплаты (через 1 год) сумма долга уменьшится на х и составит S1  S  k  x .
После второй выплаты (через 2 года) сумма долга составит
S 2  S1  k  x  ( S  k  x)  k  x  Sk 2  (k  1) x .
После третьей выплаты (через 3 года) сумма долга составит S 3  S 2  k  x  (Sk 2  (k  1) x)  k  x  Sk 3  (k 2  k  1) x .
Таким образом, получаем уравнение
3
Sk  (k 2  k  1) x  0  (k 2  k  1) x  Sk 3 , откуда находим
Sk 3
69510001,13 69510001,331


 2795100 рублей.
k 2  k  1 1,12  1,1  1
3,31
Аналогично, во втором случае получаем уравнение
2
Sk  (k  1) y  0  (k  1) y  Sk 2 , откуда находим
x
Sk 2 69510001,12 69510001,21


 4005100 рублей.
k 1
1,1  1
2,1
Таким образом, если бы Андрей смог выплатить кредит за
2 равных платежа, то он сэкономил бы 3х – 2у = 3∙2795100 –
2∙4005100 = 375100 рублей.
О т в е т: 375100 рублей.
y
5.49. У гражданина Петрова 1 августа 2000 года родился сын.
По этому случаю он открыл в некотором банке вклад в 1000
рублей. Каждый следующий год 1 августа он пополнял вклад
на 1000 рублей. По условиям договора банк ежегодно 31 июля
начислял 20% на сумму вклада. Через 6 лет у гражданина Петрова родилась дочь, и он открыл в другом банке еще один
вклад, уже в 2200 рублей, и каждый следующий год пополнял
этот вклад на 2200 рублей, а банк ежегодно начислял 44% на
сумму вклада. Через сколько лет после рождения сына суммы
на каждом из 2-х вкладов сравняются, если деньги из вкладов
не изымаются?
-------------------------------------------------------------------------------519
Р е ш е н и е. Смоделируем процесс накопления.
Обозначим условно 1-й вклад в начале открытия через А0, а
2-й вклад через В0. По условию А0=1000 рублей, В0=2200 рублей. Сумма 1-го вклада через 1 год станет равной (1 августа
20
2001): A1  A0  (1 
)  1000  1000  1,2  1000  1000  (1,2  1) .
100
Сумма вклада через 2 года станет равной (1 августа 2002):
20
A2  A1  (1 
)  1000  1000  (1,2  1)  1,2  1000  1000  (1,2 2  1,2  1) .
100
Сумма вклада через 3 года станет равной (1 августа 2003):
20
A3  A2  (1  )  1000  1000 (1,22  1,2  1) 1,2  1000  1000 (1,23  1,22 
100
 1,2  1) . Через х лет сумма 1-го вклада станет равной
Ax  1000  (1,2 x  1,2 x1  1,2 x2  ...  1,2 2  1,2  1) .
Рассуждая аналогично, получаем, что сумма 2-го вклада во
втором банке через х лет открытия 1-го вклада, учитывая, что
2-й вклад был открыт на 6 лет позже 1-го, будет равен:
Bx  2200  (1,44 x6  1,44 x 7  1,44 x8  ...  1,442  1,44  1) .
По условию через х лет вклады будут равны, то есть получаем уравнение
1000(1,2 x  1,2 x 1  ...  1,2  1)  2200(1,44 x 6  1,44 x 7  ...  1,44  1)
 1,2 x  1,2 x 1  ...  1,2  1  2,2  (1,44 x 6  1,44 x 7  ...  1,44  1) .
Сумма 1,2 x  1,2 x 1  1,2 x  2  ...  1,2 2  1,2  1 представляет собой сумму (х + 1) членов геометрической прогрессии с первым
членом b1 = 1 и знаменателем q = 1,2, следовательно,
1,2 x 1  1 1,2 x 1  1
.
1,2 x  1,2 x 1  1,2 x  2  ...  1,2 2  1,2  1 

1,2  1
0,2
Аналогично, сумма в правой части уравнения равна:
1,44 x 5  1 1,44 x 5  1
.
1,44 x 6  1,44 x 7  1,44 x 8  ...  1,44 2  1,44  1 

1,44  1
0,44
Таким образом, уравнение можно переписать так:
x 1
1,2  1
1,44 x 5  1
1,2 x 1  1 1,44 x 5  1

 1,2 x 1  1,44 x 5
 2,2 

0,2
0,2
0,2
0,44
520
 1,2 x 1  (1,2 2 ) x 5  1,2 x 1  (1,2 2 ) x 5  1,2 x 1  1,2 2 x 10 
x 1  2x 10 , откуда получаем x  11.
О т в е т: через 11 лет после рождения сына суммы вкладов
сравняются.
5.50. Сергей несколько лет назад вложил деньги в акции некоторого предприятия. Ежегодно он получал прибыль по акциям
1
2
сначала 9 % в год, потом 37,5% в год и, наконец, 6 % в год
11
3
и сразу же вкладывал деньги в те же акции. Известно, что одинаковые процентные ставки были равное число лет, а в конце
первоначальная сумма его вклада увеличилась на 156%. Определите срок хранения вклада.
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Обозначим через А0 сумму, вложенную в акции
предприятия в начале, а через k число лет, когда процентные
ставки были одинаковыми. Тогда срок хранения вклада равен
3k, причем k  N . Если Сергей получал k лет прибыль по акци1
ям 9 % , то его вклад станет равным
11
1
100 k
1
12
A1  A0 (1  11 ) k  A0 (1 
)  A0 (1  ) k  A0 ( ) k .
100
11  100
11
11
9
Если затем Сергей получал k лет прибыль по акциям
37,5% , то его вклад станет равным
37,5 k
375 k
3
11
A2  A1 (1 
)  A1 (1 
)  A1 (1  ) k  A1 ( ) k 
100
1000
8
8
12
11
12 11
3
 A0 ( ) k  ( ) k  A0 (  ) k  A0 ( ) k .
11
8
11 8
2
2
Если затем Сергей получал k лет прибыль по акциям 6 % ,
3
то его вклад станет равным
521
2
20 k
1
16
A3  A2 (1  3 ) k  A2 (1 
)  A2 (1  ) k  A2 ( ) k 
100
3 100
15
15
3
16
3 16
8
 A0 ( ) k  ( ) k  A0 (  ) k  A0 ( ) k .
2
15
2 15
5
По условию задачи в результате сумма вклада увеличилась
156
39
64
на 156% и стала равной A0 (1 
)  A0 (1  )  A0 .
100
25
25
8
64
Таким образом, получаем уравнение A0  ( ) k  A0  .
5
25
Так как по смыслу задачи A0  0 , то разделив обе части на
8
64
A0 , получаем уравнение ( ) k  , откуда находим k = 2.
5
25
Следовательно, вклад хранился 3∙2 = 6 лет.
6
О т в е т: 6 лет.
5.51. 15-го января планируется взять кредит в банке на 19 месяцев. Условия его возврата таковы:
— 1-го числа каждого месяца долг возрастёт на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;
— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и
ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что общая сумма выплат после полного погашения
кредита 30% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Пусть начальная сумма кредита равна S0, тогда
r
переплата за первый месяц равна
S0 .
100
Каждый платежный период долг сначала растет на r% по
сравнению с концом предыдущего периода, а затем вносится
оплата так, что долг становится на одну и ту же сумму меньше
долга на конец предыдущего платежного периода.
522
Это условие будет выполнено, если выплата долга будет
1
состоять из двух частей: постоянной выплаты, равной
S0 и
19
выплаты процентов по долгу, равной по каждому платежному
периоду величинам:
18 r
17 r
2 r
1 r
r
 S0 , 
 S0 , … , 
 S0 , 
 S0 .
 S0 , 
19 100
19 100
19 100
19 100
100
Например: если 15-го января взят кредит в 100 у.е. на 5 месяцев под 3%, то постоянная выплата кредита будет составлять
20 у.е. в месяц и выплата кредита будет осуществляться следующим образом:
3
- 1-го февраля долг вырастет до 100 
100  103 у.е., а 15
100
3
февраля после выплаты 20 
100  20  3  23 у.е. долг
100
станет равным 103 – 23 = 80 у.е.;
3
- 1 марта долг вырастет до 80 
 80  80 1,03  82,4 у.е., а 15
100
3
марта после выплаты 20 
 80  20  2,4  22,4 у.е. долг ста100
нет равным 82,4 –22,4 = 60 у.е.;
3
- 1 апреля долг вырастет до 60 
 60  60  1,03  61,8 у.е., а
100
3
15 апреля после выплаты 20 
 60  20  1,8  21,8 у.е. долг
100
станет равным 61,8– 21,8 = 40 у.е.;
3
- 1 мая долг вырастет до 40 
 40  40  1,03  41,2 у.е., а 15
100
3
мая после выплаты 20 
 40  20  1,2  21,2 у.е. долг станет
100
равным 41,2– 21,2 = 20 у.е.;
3
- 1 июня долг вырастет до 20 
 20  20  1,03  20,6 у.е., а 15
100
523
3
 20  20  0,6  20,6 у.е. долг ста100
нет равным 20,6– 20,6 = 0 у.е.
Заметим, что переплата по кредиту каждый месяц составляет арифметическую прогрессию: 3; 2,4; 1,8; 1,2; 0,6, а полная
3  0,6
величина переплаты равна
 5  1,8  5  9 у.е.
2
Кроме того, полная величина выплат за все время выплат
кредита составляет 100 + 9 = 109 у.е.
июня после выплаты 20 
Используя формулу суммы членов арифметической прогрессии, найдём полную переплату по кредиту:
18 r
17 r
1 r
r
П
 S0 

 S0 + 
 S 0  ...  
 S0 
100
19 100
19 100
19 100
1
1
r
18 17
2
1
r
19  19  r  S .

S 0 (1    ...   ) 
S0
0
100
19 19
19 19 100
2
10
По условию общая сумма выплат на 30% больше суммы,
r
30
взятой в кредит, тогда:
 S0 
S 0 , откуда находим r  3 .
10
100
О т в е т : 3.
Замечание. Задачу можно решить в общем виде и получить
общие формулы для решения задач такого типа.
Пусть на n платежных периодов (дней, месяцев, лет) в кредит взята сумма S0, причем каждый платежный период долг
сначала растет на r% по сравнению с концом предыдущего периода, а затем вносится оплата так, что долг становится на одну и ту же сумму меньше долга на конец предыдущего платежного периода. Это условие будет выполнено, если выплата
долга будет состоять из двух частей: постоянной выплаты,
1
равной S 0 и выплаты процентов по долгу, равной по каждоn
му платежному периоду величинам:
r
 S 0 - величина процентной выплаты за первый период,
100
524
r
1
r
1
r n 1
 (S 0  S 0 ) 
 (1  ) S 0 

S 0 - величина про100
n
100
n
100 n
центной выплаты за второй период,
r
2
r
2
r n2
 (S 0  S 0 ) 
 (1  ) S 0 

S 0 - величина про100
n
100
n
100 n
центной выплаты за третий период,
• • •
r
n 1
r 1
 (S 0 
S0 ) 
 S 0 - величина процентной выплаты
100
n
100 n
за n -й период.
В общем случае, используя формулу суммы членов арифметической прогрессии, найдем полную переплату по кредиту
за n платежных периодов:
r
r n2
r n 1
r 1
П
 S0 

S 0  ... 

S0 
 S0 
100 n
100 n
100
100 n
2 1
r
n 1 n  2
r
1  1/ n

S 0  (1 

 ...   ) 
S0 
n
100
n
n
n n
100
2
r n 1


 S0 .
100 2
Итак, полная переплата по кредиту вычисляется по формуr n 1
ле П 

 S 0 , а полная величина выплат по кредиту –
100 2
r n 1
r (n  1)
по формуле В  S 0  П  S 0 (1 

)  S 0  (1 
).
100 2
200
▼
4. Задачи на составление смесей, сплавов, растворов.
Основные допущения, принимаемые в задачах на составление смесей, сплавов, растворов, состоят в следующем:
а) все получающиеся смеси, сплавы, растворы однородны;
б) при слиянии двух смесей, сплавов или растворов, имеющих
массы m1 и m2 (объемы V1 и V 2 ), получается смесь, сплав или
525
раствор, масса которого равна m  m1 + m2 (объем которого
равен V  V1 + V 2 ).
Массовой концентрацией компоненты А смеси (сплава,
раствора) называется отношение: kA =
mA
, где mA – масса
m
компоненты А в смеси; m – масса смеси.
Массовым процентным содержанием компоненты А в
смеси называется величина: kA* = kA·100% - концентрация
компоненты А, выраженная в процентах.
Объемной концентрацией компоненты А смеси (сплава,
раствора) называется отношение: СA =
VA
, где VA – объем
V
компоненты А в смеси; V – объем смеси.
Объемным процентным содержанием компоненты А в
смеси называется величина: СA* = СA·100% - концентрация
компоненты А, выраженная в процентах.
5.52. Смешали 2 литра 10-процентного водного раствора некоторого вещества с 8 литрами 15-процентного водного раствора
этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Пусть концентрация получившегося раствора
равна х %. Изобразим схематично условие задачи:
2л
8л
10 л
10 %
вещество
15 %
вещество
х%
90% Н2О
+
85% Н2О
=
вещество
(100 - x)%
Н2О
x
Количество вещества в полученном растворе
 10 равно
100
сумме количеств вещества, находившегося в перемешанных
растворах, и получаем уравнение:
526
x
10
15
 10 
2
 8  10  x  20  120 , откуда находим
100
100
100
х = 14%.
О т в е т: 14 %.
5.53. Имеется два водных раствора кислоты. Первый раствор
содержит 20% кислоты, второй - 60% кислоты. Смешали 5 л
первого раствора, 10 л воды, и некоторое количество второго
раствора, получив 40%-й раствор кислоты. Сколько литров
второго раствора было взято?
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Пусть взято х литров второго раствора. Изобразим схематично условие задачи:
5л
20%
кислота
10 л
+
80% Н2О
100%
Н2О
+
хл
(15 + х) л
60%
кислота
40%
кислота
40%Н2О
=
60% Н2О
Объем кислоты в полученном после смешения растворе
равен сумме объемов кислоты, находившейся в перемешанных
растворах, и получаем уравнение:
40
20
60
 (15  x) =
5 +
 x  40(15 + х) = 100 + 60х 
100
100
100
600 + 40х = 100 + 60х, откуда находим х = 25 л.
О т в е т: 25 л.
5.54. Имеются два куска сплава золота с медью. Один из них
содержит p % золота, другой q % золота. В каком отношении
нужно взять сплавы от первого и второго кусков, чтобы получить новый сплав, содержащий r % золота. При каких соотношениях p, q, r задача разрешима?
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Пусть первого сплава нужно взять х (кг), а второго сплава у (кг). Тогда новый сплав будет иметь массу (х + у)
кг.
527
Изобразим схематично условие задачи:
х кг
у кг
p% Au
q% Au
(100-p)% Сu
+
(х + у) кг
r% Au
(100-q)% Cu
В новом сплаве содержится
=
(100-r)% Cu
p
х (кг) золота от первого
100
q
у (кг) золота от второго сплава.
100
Это количество золота составляет r% от массы нового
r
сплава, то есть
( x  y ) (кг), и получаем уравнение:
100
p
q
r
x
y
( x  y) .
100
100
100
Умножив на 100, получаем уравнение px  qy  r ( x  y ) .
Уравнение содержит два неизвестных, поэтому значения х
и у по отдельности условием задачи не определяются. Однако
x
искомое отношение
определяется однозначно.
y
Действительно, разделив обе части уравнения на у, полуx
x
x
чим: p  q  r (  1) 
( p  r )  r  q , откуда находим
y
y
y
x rq
. Это соотношение будет решением задачи, если вы
y pr
rq
полняется неравенство
 0 , которое имеет место при
pr
условии p  r  q или q  r  p . Таким образом, если p  q ,
то можно получить сплав с любым процентным содержанием
золота между р и q.
сплава и
О т в е т:
528
x rq
, где p  r  q или q  r  p .

y pr
5.55. Имеется три сплава. Первый содержит 45% олова и 55%
свинца, второй – 10% висмута, 40% олова и 50% свинца; третий – 30% висмута и 70% свинца. Из них необходимо составить новый сплав, содержащий 15% висмута. Какое наибольшее и наименьшее процентное содержание свинца может быть
в этом новом сплаве?
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Пусть масса первого сплава х (кг), масса второго
сплава у (кг) и масса третьего сплава z (кг). Тогда новый сплав
будет иметь массу (х + у + z) кг.
Изобразим схематично условие задачи:
х кг
у кг
z кг
(x+y+z) кг
45 % Sn
55 % Pb
10 % Bi
+
40 % Sn
50% Pb
30 % Bi
=
+
70 % Рb
15% Bi
=
a% Sn
b % Pb
Заметим, что получить 15%-й сплав висмута без использования третьего сплава невозможно.
Количество висмута, свинца и олова в полученном новом
сплаве равно сумме количеств висмута, свинца и олова, находившихся в исходных сплавах, и получаем систему уравнений:
15
10
30
y
z 
 ( x  y  z) ,
100
100
100
a
45
40
x
y 
 ( x  y  z) ,
100
100
100
b
55
50
70
x
y
z 
 ( x  y  z) ,
100
100
100
100
где а – процентное содержание олова в полученном сплаве, b −
процентное содержание свинца в полученном сплаве.
Умножив все уравнения системы на 100, получим равносильную систему:
10  y  30  z  15  ( x  y  z ) ,
45  x  40  y  а  ( x  y  z ) ,
55 x  50  y  70  z  b  ( x  y  z ) .
529
Из первого уравнения получим:
10 y  30z  15x  15y  15z  15z  15x  5 y  3z  3 x  y .
Из третьего уравнения системы находим
55x  50 y  70z
.
b
x yz
Преобразуем эту величину, исключив z и выделив целую
часть дроби
165x  150 y  210z 165x  150 y  70(3x  y )
b


3x  3 y  3z
3x  3 y  (3x  y )
375x  220y 5 75x  44 y 5 22  (3x  2 y)  9 x

 
 

6x  4 y
2 3x  2 y
2
3x  2 y
5 
9x 
.
  22 
2 
3 x  2 y 
В этом соотношении величины x и y принимают только неотрицательные значения. Рассмотрим возможные варианты.
1) если x = 0, то есть если первый сплав не использовался при
получении нового сплава, то процентное содержание свинца
5 
90  5
будет равно b    22 
   22  55(%) ;
2 
3  0  2 y  2
2) если y = 0, то есть если второй сплав не использовался при
получении нового сплава, то процентное содержание свинца
5
9x  5 
9x  5
будет равно b   22 
   22    (22  3) 
2
3x  2  0  2 
3x  2
5
  25  62,5(%) ;
2
9x
9x  6 y  6 y
9x
3) если x  0 , y  0 , то
0 и


3x  2 y
3x  2 y
3x  2 y
3  (3x  2 y)  6 y
6y
< 3. Следовательно,

3
3x  2 y
3x  2 y

5
9x  5
5
   (22  3)   25  62,5 и, соответственно,
b   22 
2
3x  2 y  2
2
530
b
5 
9x  5
   22  55 .
  22 
2 
3x  2 y  2
Таким образом, имеет место следующая оценка для значения процентного содержания свинца в полученном сплаве:
55  b  62,5 .
Откуда заключаем, что наименьшее процентное содержание свинца в сплаве составляет 55%, а наибольшее – 62,5%.
О т в е т: 62,5%; 55%.
5.56. В сосуде объемом 2 л содержится 20%-й раствор соли. Из
сосуда выливается 0,2 л раствора и доливается 0,2 л воды, после чего раствор перемешивается. Процедура повторяется 2
раза. Какой станет концентрация соли в растворе?
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Решим задачу в общем виде и получим основные
соотношения.
Обозначим объем сосуда через V0, объем раствора, выливаемого за одну процедуру через b, начальную концентрацию
раствора через С0, концентрацию раствора после первого опыта через С1, а после второго опыта через С2 (в %).
C0
Первоначальный объем соли в растворе равен
V0 (л).
100
C
После того, как вылили b (л) смеси, из раствора уйдет 0 b (л)
100
C
C
C
b
соли и в растворе останется 0 V0  0 b  0 V0 (1  ) (л)
100
100
100
V0
соли, а ее концентрация в растворе после добавления b (л) воC0
b
V0 (1  )
100
V0
ды станет равной C1 
 100(%) , откуда полуV0
b
чаем C1  C0  (1  )(%).
V0
После того, как вылили еще b(л) смеси из раствора с кон-
531
центрацией соли С1, в растворе останется количество соли,
C
C
C
C
b
b
равное 1 V0  1 b  1 V0 (1  )  0 V0 (1  ) 2 (л).
100
100
100
V0
100
V0
Поэтому после добавления b (л) воды, концентрация соли в
C0
b
V0 (1  )
100
V0
растворе станет равной C 2 
 100(%) , откуда
V0
b
получаем C 2  C 0  (1  ) 2 (%).
V0
По условию V0 = 2 л, b = 0,2 л, С0 = 20%. Подставляя в фор0,2 2
мулу, получаем C 2  20  (1 
)  20  0,9 2  16,2(%).
2
О т в е т: 16,2%.
Замечание. Полученный результат можно обобщить.
Если в сосуде объемом V0 литров содержится С0%-й раствор соли и из сосуда n раз выливается b литров раствора и доливается b литров воды, то новая концентрация соли в растворе определяется по формуле:
b
Cn  C0  (1  ) n .
V0
Из формулы следует, что концентрация соли в растворе
после n переливаний представляет собой убывающую геометрическую прогрессию. Множитель 1 
b
, являющийся знамеV0
нателем этой прогрессии, показывает, во сколько раз убывает
концентрация соли после каждого переливания.
Заметим, что полученная формула совпадает с формулой
начисления «сложных процентов», полученной выше.▼
Естественным обобщением (и, соответственно, усложнением) рассмотренной задачи является задача, когда каждый раз
в сосуд доливается не вода, а раствор той же соли некоторой
концентрации q%. Рассмотрим пример такой задачи.
532
5.57. Сосуд содержит 25%-й раствор кислоты. Из него вылили
1 литр раствора и добавили то же количество 5% раствора кислоты. Затем после перемешивания эту процедуру повторили
еще один раз. В результате получился 10%-й раствор кислоты.
Найти объем сосуда.
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Обозначим объем сосуда через V0 (л), объем раствора, выливаемого за одну процедуру, через b (л), начальную
концентрацию раствора через С0, концентрацию раствора после первого опыта через С1, а после второго опыта через С2 (в
%), концентрацию добавляемого раствора через q%.
Первоначальный объем кислоты в растворе равен
C0
V0 (л). После того, как вылили b (л) смеси, из раствора уй100
C
дет 0 b (л) кислоты и в растворе останется количество кисло100
C0
C
C
b
ты, равное
V0  0 b  0 V0 (1  ) (л), а ее концентра100
100
100
V0
ция в растворе после добавления b (л) q %-го раствора той же
C0
b
q
V0 (1  ) 
b
100
V0 100
кислоты станет равной С1 
 100(%) ,
V0
b
b
откуда получаем C1  C0  (1  )  q  (%) .
V0
V0
Аналогично, концентрация кислоты С2 после второго опыb
b
та будет равна: C 2  C1  (1  )  q  (%) .
V0
V0
b
Тогда C 2  C1  (1  )  (С1  С0 ) . Найдем С1 – С0.
V0
b
b
b
Так как C1  C 0  С 0 (1  )  q 
 C 0  (q  C 0 )  ,
V0
V0
V0
b
b
b
то C 2  C1  (1  )  (С1  С0 )  (1  )  (q  C0 ) 
и, склаV0
V0
V0
533
b
, получаем
V0
b
b
b
b
b
C 2  C0  (1  )(q  C0 )  (q  C0 )
 (q  C 0 )  (2  )
V0
V0
V0
V0
V0
дывая с равенством C1  C0  (q  C0 ) 
 b


b 
b
 (C 0  q ) ( ) 2  2    (C 0  q) (1  ) 2  1 , откуда
V0 
V0
 V0




b
(1) .
C 2  С 0  (С 0  q)   (1  ) 2  1
V0


По условию b = 1л, С0 = 25%, q = 5%, С2 = 10%.
Подставляя в формулу (1), получаем уравнение относи

1
1
1
тельно V0: 10  25  (25  5)   (1  ) 2  1  (1  ) 2  ,


V0
V0
4


откуда находим V0 = 2(л).
О т в е т: 2 л.
Замечание. Полученный результат можно обобщить.
Если в сосуде объемом V0 литров содержится С0%-й раствор соли и из сосуда n раз выливается b литров раствора и доливается b литров того же раствора с концентрацией q% соли,
то можно доказать, что новая концентрация соли в растворе
после n процедур определяется по формуле:
C n  C 0  (C 0  q)  ((1 
b n
)  1) .
V0
Заметим, что при q = 0 эта формула переходит в ранее полученную формулу, когда доливается не раствор, а вода.▼
Упражнения.
763. Выразите в виде десятичной и в виде обыкновенной дроби: 2%, 7%, 15%, 20%, 68%, 130%, 250%.
1
3 4 3
764. Запишите в виде процентов: ; 0,07; 0,12; ;
; .
5 25 50
4
765. Найти 0,25% от 12.
534
766. В классе из 40 учеников 24 девочки. Какой процент составляют мальчики?
767. Костюм, который стоил 120,00$, был продан за 90,00$.
Какая была величина скидки?
768. 35% от числа 128,1 составляет 49% неизвестного числа.
Найдите это число.
769. Что больше х или у, если х составляет 30% от 60, а 20% от
у равно 4?
770. По норме рабочий должен изготовить 45 деталей. Он выполнил норму на 120%. Сколько деталей изготовил рабочий?
771. Число х таково, что 15% от него и 33% от него – натуральные числа. Каково наименьшее число х (необязательно
натуральное) с таким свойством?
772. Масса гуся на 25% больше массы утки. На сколько процентов масса утки меньше массы гуся?
773. Химик готовил раствор, который должен был содержать
35 миллиграммов химиката. Если он фактически использовал
36,4 миллиграммов, какова была его ошибка в процентах?
774. В классе 40 % учеников - девочки, и 20 % девочек носят
очки. Какой процент детей в классе составляют девочки, которые носят очки?
775. Нефтепровод проходит мимо трех деревень А, В, С. В первой деревне сливают 30% от первоначального количества
нефти, во второй – 40% того количества, которое дойдет до
деревни В, а в третьей – 50% того количества, которое дойдет
до деревни С. Сколько процентов нефти от первоначального
количества доходит до конца нефтепровода?
776. Фотоаппарат стоил 60 руб. Эта цена была снижена на
15%, а через некоторое время новая цена была снижена на
12%. Сколько стал стоить фотоаппарат после второго снижения?
777. Торговец назначает цену на лампу на 30 % выше ее стоимости. Тогда он дает клиенту 15% скидку. Если заключитель535
ная отпускная цена лампы составляла 861,9 рублей, сколько
стоил оригинал?
778. Средняя оценка на экзамене была 85. Алексей, на том же
самом экзамене, набрал 90. Каково было процентное отклонение оценки Алексея от средней оценки (с точностью до десятой части процента)?
779. Последовательные скидки 20 % и 12 % эквивалентны
единственной скидке:
(A) 16,0% (B) 29,6% (C) 31,4% (D) 32,0% (E) 33,7%
780. Если две стороны прямоугольника изменяются в так, что
площадь прямоугольника остается постоянной и одна сторона
увеличена на 25 %, что должно произойти с другой стороной?
781. Определенная компания увеличила свои цены на 30 % в
течение 1969. В 1970 компания была вынуждена сократить
свои цены на 20 %. Каково было чистое изменение в цене?
(A) уменьшилась больше, чем на 10%; (В) уменьшилась на
10% или меньше; (С) не изменилась; (D) увеличилась на 10%
или меньше; (Е) увеличилась больше, чем на 10%.
782.Четыре рубашки дешевле куртки на 8%. На сколько процентов пять рубашек дороже куртки?
783. Себестоимость микрочипа снизилась в 4 раза. На сколько
процентов снизилась себестоимость?
784. Семья состоит из мужа, жены и их дочери-студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи
вырос бы на 60%. Если бы стипендия дочери уменьшилась
втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?
785. Букинистический магазин купил книгу на 35% дешевле
цены, указанной на обложке, а продал на 25% дешевле этой
цены. Сколько процентов прибыли получил магазин?
786. Митя, Антон, Гоша и Борис учредили компанию с уставным капиталом 200000 рублей. Митя внес 14% уставного капитала, Антон – 42000 рублей, Гоша – 0,12 уставного капитала,
а оставшуюся часть уставного капитала внес Борис. Учредите536
ли договорились делить ежегодную прибыль пропорционально
внесенному в уставной капитал вкладу. Какая сумма от прибыли в 1000000 рублей причитается Борису?
787. Вкладчик в начале года взял 20% своего вклада. В конце
года, после начисления процентов, весь вклад составлял 840
рублей. Сберегательный банк выплачивает 5% годовых. Каков
был первоначальный вклад?
788. Букинистический магазин купил книги со скидкой 20% по
отношению к номиналу, а продавал по номиналу. Сколько
процентов прибыли получил магазин?
789. На оплату коммунальных услуг затрачивается 10% пенсии. Какая часть пенсии будет затрачиваться на коммунальные
услуги, если они подорожают на 20%?
790. Билет в музей стоил 30 рублей. После повышения стоимости билетов количество посетителей уменьшилось на 20%, а
сбор денег уменьшился на 4%. Какова новая цена билета?
791. Увеличится или уменьшится объем произведенной продукции, если производительность труда увеличится на 10%, а
время работы уменьшится на 10%? Ответ обосновать.
792. Вклад в банке каждый год увеличивается на 2%. В какую
сумму превратится вклад в 750 руб. через 2 года? Через 3 года?
793. Иван Иванов поместил 1000 RU в банк на два года под
5%, начисляемые ежегодно. В конце этих двух лет, каков был
его баланс?
794. Количество студентов увеличивается ежегодно на одно и
то же количество процентов и за 3 года возросло с 1000 до
1728 человек. На сколько процентов увеличивалось число студентов ежегодно?
795. При двух последовательных одинаковых процентных повышениях зарплата суммой в 10000 рублей обратилась в 12544
рублей. Определите, на сколько процентов повышалась зарплата.
537
796. Выработка продукции за год работы предприятия возросла на 4%, за следующий год она увеличилась на 8%. Найдите
средний ежегодный прирост продукции за этот период.
797. За время хранения вклада в банке проценты по нему
начислялись ежемесячно сначала в размере 5% в месяц, затем
1
1
11 % , потом 7 % и, наконец, 12% в месяц. Известно, что
7
9
под действием каждой новой процентной ставки вклад находился целое число месяцев, а по истечении срока хранения
первоначальная сумма вклада увеличилась на 180%. Определить срок хранения вклада. (12 месяцев)
798. Двадцать пятого ноября 2013 года Иван взял в банке 2
млн. рублей кредит. План выплаты кредита такой – 25-го ноября каждого следующего года банк начисляет проценты на
оставшуюся сумму долга, то есть увеличивает долг на х%, а
затем Иван переводит очередной транш. Иван выплатил кредит
за 2 транша, переведя в первый раз 1210000 рублей, а во второй – 1219800 рублей. Под какой годовой процент банк выдал
кредит Ивану?
799. В банк помещен вклад 64000 рублей под 25% годовых. В
конце каждого из первых трех лет (после начисления процентов) вкладчик дополнительно положил на счет одну и ту же
фиксированную сумму. К концу четвертого года после начисления процентов оказалось, что он составляет 385000 рублей.
Какую сумму (в рублях) ежегодно добавлял вкладчик?
800. Алексей взял кредит в банке на срок 12 месяцев. По договору Алексей должен вернуть кредит ежемесячными платежами. В конце каждого месяца к оставшейся сумме долга добавляется r% этой суммы и своим ежемесячным платежом Алексей погашает эти добавленные проценты и уменьшает сумму
долга. Ежемесячные платежи подбираются так, чтобы долг
уменьшался на одну и ту же величину каждый месяц (на практике такая схема называется «схемой с дифференцированными
платежами»). Известно, что общая сумма, выплаченная Алексеем банку за весь срок кредитования, оказалась на 13% больше, чем сумма, взятая им в кредит. Найдите r.
538
801. 15-го января планируется взять кредит в банке на 15 месяцев. Условия его возврата таковы:
─ 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;
─ со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить
часть долга;
─ 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту
же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что восьмая выплата составила 99,2 тыс. рублей.
Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока
кредитования?
802. 15-го января планируется взять кредит в банке на сумму
2,4 млн. рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы:
─ 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;
─ со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить
часть долга;
─ 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту
же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Какую сумму нужно выплатить банку за первые 12 месяцев?
803. 15-го января планируется взять кредит в банке на сумму
2,4 млн. рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы:
─ 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
─ со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить
часть долга;
─ 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту
же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Какую сумму нужно выплатить банку за последние 12 месяцев?
804. 15-го января планируется взять кредит в банке на 5 месяцев. Условия его возврата таковы:
─ 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;
─ со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить
часть долга;
539
─ 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту
же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Сколько процентов от суммы кредита составляет общая
сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок
кредитования?
805. 15-го января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:
─ 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
─ со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить
часть долга;
─ 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту
же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Известно, что в течение первого года кредитования нужно
вернуть банку 2466 тыс. рублей. Какую сумму нужно выплатить банку за последние 12 месяцев?
806. 1 января 2017 года Александр Сергеевич взял в банке 1,1
млн. рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая – 1го числа каждого следующего месяца банк начисляет 1% на
оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 1%),
затем Александр Серегеевич переводит в банк пла-теж. На
какое минимальное количество месяцев Алек-сандр Сергеевич
может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не
более 275 тыс. рублей?
807. 31 декабря 2014 года Дмитрий взял в банке 4290000 рублей в кредит под 14,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31-го декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 14,5%), затем Дмитрий переводит в банк х
рублей. Какой должна быть сумма х, чтобы Дмитрий выплатил
долг двумя равными платежами (то есть за два года)?
808. У Джека есть две кварты 30% кислотного раствора и три
пинты 20% раствора. Если он смешивает их, какова будет концентрация (с точностью единиц) получающегося раствора?
(1 кварта = 2 пинты).
540
809. 30%-й раствор хлорида бария смешан с 10 граммами воды,
чтобы получить 20%-й раствор. Какое количество граммов
начального раствора было взято?
810. Десять пинт 15% солевого раствора смешаны с 15 пинтами 10% солевого раствора. Какова концентрация получающегося раствора?
811. Человек добавляет две кварты чистого алкоголя к 30%
раствору алкоголя в воде. Если новая концентрация составляет
40 %, сколько было кварт исходного раствора?
812. Имеется два сплава. Первый сплав содержит 10% никеля,
второй – 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий
сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?
813. Имеется два сплава. Первый сплав содержит 10% меди,
второй – 40% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ
дайте в килограммах.
814. Смешав 30% -й и 60% -й растворы кислоты и добавив 10
кг чистой воды, получили 36%-й раствор кислоты. Если бы
вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50%-го раствора той же кислоты, то получили бы 41% -й раствор кислоты. Сколько килограммов 30% -го раствора использовали для получения смеси?
815. Сплав золота с серебром, содержащий 80 г золота, сплавлен с 100 г чистого золота. В результате содержание золота в
сплаве повысилось по сравнению с первоначальным на 20%.
Сколько серебра в сплаве?
816. Имеются два сосуда. Первый содержит 30 кг, а второй –
20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 68% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 70% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом сосуде?
541
817. Имеется три сплава. Первый содержит 30% никеля и 70%
марганца, второй – 1-% марганца и 90% меди, третий – 15%
никеля, 25% - марганца и 60% меди. Из них приготовили
сплав, вес которого 15 кг, содержащий 40% меди и 42% марганца. Какое количество первого, второго и третьего сплава
необходимо взять для этого?
818. Имеется два раствора соли в воде, концентрации которых
равны 20% и 30%. Сколько килограммов каждого раствора
нужно смешать в одном сосуде, чтобы получить 25 кг 25,2% го раствора?
819. Имеются три сплава. Первый содержит 30% никеля и 70%
меди, второй – 10% меди и 90% марганца; третий – 15% никеля, 25% меди и 60% марганца. Из них необходимо приготовить
новый сплав, содержащий 40% марганца. Какое наименьшее и
какое наибольшее процентное содержание меди может быть в
этом новом сплаве?
820. Имеются 3 сплава. Первый содержит 30% меди, 50%
свинца и 20% олова, второй – 35% меди и 65% свинца; третий
– 60% свинца и 40% олова. Из них необходимо составить новый сплав, содержащий 28% олова. Какое наибольшее и
наименьшее процентное содержание свинца может быть в этом
новом сплаве?
821. В сосуде было 12 л чистого спирта. Часть спирта отлили, и
сосуд дополнили таким же количеством воды. Потом снова
отлили такое же количество смеси и дополнили сосуд таким же
количеством воды. Сколько литров отливали каждый раз, если
в результате в сосуде оказался 25%-й раствор спирта?
822. В банке находится 81% -й раствор. Из нее выливают одну
треть раствора и доливают водой до прежнего объема. Сколько
раз надо повторить эту операцию, чтобы получить 16% -й раствор?
823. В банке находится 64%-й раствор. Из нее выливают половину раствора и доливают водой до прежнего объема. Сколько
раз надо повторить эту операцию, чтобы концентрация стала
равной 2%?
542
5.2.4. Задачи, приводящие к неопределенным системам уравнений
К таким задачам относятся текстовые задачи, в которых
число неизвестных превышает число уравнений системы.
Поэтому однозначное определение всех введенных неизвестных задачи оказывается невозможным. Однако по условию
задачи, как правило, этого и не требуется, а искомая величина
находится однозначно и представляется некоторой простой
комбинацией введенных неизвестных.
С такими задачами мы уже встречались в рассмотренных
разделах главы и еще встретимся далее. Поэтому ограничимся
рассмотрением двух «классических» задач такого типа.
5.58. Школьник затратил некоторую сумму денег на покупку
портфеля, авторучки и книги. Если бы портфель стоил в 5 раз,
авторучка в 2 раза, а книга в 2,5 раза дешевле, то та же покупка
стоила бы 800 рублей. Если бы портфель стоил в 2 раза, авторучка в 4 раза, а книга в 3 раза дешевле, то за ту же покупку
школьник уплатил бы 1200 рублей. Сколько стоит покупка и за
что было уплачено больше - за портфель или за авторучку?
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Пусть x, y, z - соответственно стоимости портфеля, авторучки и книги (в рублях).
Тогда условия задачи приводят к системе двух уравнений с
тремя неизвестными:
1
2
1
 5 x  2 y  5 z  800,

 1 x  1 y  1 z  1200.
 2
4
3
Получили неопределенную систему уравнений.
Решим ее относительно x и y, переписав предварительно
1
2
1
 5 x  2 y  800  5 z,
так: 
 1 x  1 y  1200  1 z.
 2
4
3
543
Система линейная. Решая ее методом Крамера, последовательно получаем:
1
5

1
2
1
2 1 1 1 1 1 1
1 5
4 1
      
  ,
1 5 4 2 2 20 4
20
20 5
4
2
1
800  z
2
1
1
1
1
5
2
x 
 (800  z )   (1200  z )   400  z ,
1 1
5
4
3
2
15
1200  z
3 4
1
2
800  z
5
5
1
1
1
2
2
y 
  (1200  z )   (800  z )  160  z ,
1
1
5
3
2
5
15
1200  z
2
3
1

  x  400  15 z
1

 2000  z,
x 
1

3



5

2

 160  z

y

15  800  2 z,
y   
1
3


5

где z – произвольное положительное число.
Таким образом, стоимости портфеля, авторучки и книги в
отдельности условиями задачи не определяются.
Однако стоимость всей покупки определяется однозначно:
1
2
x  y  z  (2000  z )  (800  z )  z  2800  z  z  2800 (руб.)
3
3
Ответ на второй вопрос получим, определив знак разности:
1
2
1
x  y  (2000  z )  (800  z )  1200  z  0 , так как z  0 .
3
3
3
544
Значит, x > y, то есть портфель дороже авторучки.
О т в е т: 2800 рублей; портфель дороже авторучки.
Иногда от "лишних" неизвестных удается избавиться в результате преобразований уравнений системы. Например, в тех
случаях, когда делением уравнений системы удается избавиться сразу от нескольких неизвестных или получить новую систему относительно некоторых комбинаций неизвестных и т.п.
Рассмотрим пример.
5.59. Пассажир поднимается по неподвижному эскалатору в
течении 3 минут, а по движущемуся эскалатору 45 секунд.
Сколько времени будет поднимать эскалатор неподвижно стоящего на нем человека?
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Обозначим через S длину эскалатора,  - собственную скорость движения пассажира, u - скорость движения эскалатора, t1 = 180 секунд - время движения пассажира по
неподвижному эскалатору, t2 = 45 секунд - время движения
пассажира по движущемуся эскалатору, t секунд - время движения эскалатора с неподвижно стоящим пассажиром.
Тогда условия задачи приводят к системе уравнений:
 S    t1 ,

S  (  u )  t 2 ,
S  u  t.

Таким образом, получили систему трех уравнений с четырьмя неизвестными и все неизвестные условиями задачи не
определяются. Однако искомая неизвестная t определяется однозначно.
Действительно, избавляясь от S, получаем систему:
  t1  (  u )  t 2 ,

  t1  u  t ,
откуда находим t 

 t1 .
u
545
Таким образом, для определения t не требуется знать неиз
вестные  и u отдельно, а достаточно знать их отношение .
u
Разделив обе части первого уравнения на u, получим урав
нение относительно :
u
t



 t1  (  1)  t 2 , откуда находим  2 .
u
u
u t1  t 2
t t
180  45
Тогда искомая величина времени t  1 2 
 60
t1  t 2 180  45
(секунд).
О т в е т: 60 секунд.
Упражнения.
824. Из пункта А по одному шоссе выезжают одновременно
два автомобиля, а через час вслед за ними выезжает третий
автомобиль. Еще через час расстояние между третьим и
первым автомобилями уменьшилось в полтора раза , а между
третьим и вторым – в два раза. Скорость какого автомобиля,
первого или второго, больше и во сколько раз, если известно,
что третий автомобиль не обгонял первых двух?
825. Трое рабочих должны сделать 80 одинаковых деталей.
Известно, что все трое вместе делают за час 20 деталей. К
работе приступил сначала первый рабочий. Он сделал 20
деталей, затратив на это более трех часов. Оставшуюся часть
работы выполнили вместе второй и третий рабочие. На всю
работу ушло 8 часов. Сколько часов потребовалось бы первому
рабочему на всю работу, если бы с начала и до концаон делал
ее один?
826. Продают три куска ткани. Из первого продали половину,
из второго 2/3, а третий кусок, в котором было 1/3 всей ткани,
продали весь. Сколько процентов ткани продано, если всего
осталось ее вдвое меньше, чем было во втором куске?
546
5.2.5. Задачи с целочисленными неизвестными
В этом разделе рассмотрим задачи, в которых неизвестные
величины могут принимать только целые значения. Причем
задачи составляются таким образом, что именно это обстоятельство позволяет найти однозначное решение.
5.60. Некто купил 30 птиц за 30 монет. Из числа этих птиц за
каждых трех воробьев заплачена одна монета, за каждые две
горлицы – также одна монета, за каждого голубя – 2 монеты.
Сколько было куплено птиц каждой породы?
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Пусть куплено x воробьев, y горлиц и z голубей.
x
Тогда за воробьев уплачено
монет, за горлиц уплачено
3
y
монет и за голубей, соответственно, 2  z монет.
2
По условию получаем систему двух уравнений с тремя не
известными
 x  y  z  30,

x y
 3  2  2  z  30.
Таким образом, получили неопределенную систему.
Для решения задачи воспользуемся тем обстоятельством,
что неизвестные х, y и z по смыслу задачи являются натуральными числами.
Иными словами, требуется решить полученную систему
уравнений в натуральных числах.
Умножив второе уравнение на 6, получим равносильную
 x  y  z  30,
систему 
2 x  3 y  12z  180.
Учитывая, что x  y  z  30 , перепишем второе уравнение
так: 2  ( x  y  z )  y  10z  180  2  30  y  10z  180 
y  10 z  120  y  120 10 z  y  10  (12  z ) .
547
Так как по смыслу задачи y – натуральное число, то y – делится на 10. То есть y = 10 или y = 20, так как, учитывая первое
уравнение, заключаем, что x  30 , y  30 , z  30 .
Но y = 20 не подходит, так как тогда получаем, что z = 10 и
x = 0, что не удовлетворяет условию задачи.
Если y = 10, то получаем z = 11 и, соответственно, x = 9.
Таким образом, система имеет единственное решение в
натуральных числах: x = 9, у = 10, z = 11.
О т в е т: 9 воробьев, 10 горлиц, 11 голубей.
5.61. Цена производителя на товар А составляет 20 рублей.
Прежде чем попасть на прилавок магазина, товар проходит через несколько фирм-посредников, каждая из которых увеличивает текущую цену в 2 или в 3 раза и осуществляет услуги по
транспортировке и хранению товара. Магазин делает наценку
20%, после чего покупатель приобрел товар за 576 рублей.
Сколько посредников было между магазином и производителем?
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Обозначим: через х цену товара А у посредника;
количество посредников, которые увеличивали цену в 2 раза
через k, а количество посредников, которые увеличивали цену
в 3 раза – через l, причем по смыслу задачи k и l – натуральные
числа.
Так как покупатель приобрел товар А за 576 рублей, а магазин сделал наценку 20%, то цена, по которой магазин закупил товар А у посредника удовлетворяет уравнению 1,2х = 576,
откуда находим х = 576:1,2 = 480 (рублей). Значит, за счет посредников цена возросла в 480:20 = 24 раза.
Так как количество посредников, которые увеличивали
цену в 2 раза равно k, то за счет этих посредников цена выросла в 2 k раз.
Так как количество посредников, которые увеличивали
цену в 3 раза равно l, то за счет этих посредников цена выросла
в 3 l раз.
Следовательно, после всех посредников цена выросла в
k
2  3 l раз и получаем уравнение 2 k  3 l  24 , где k , l  N .
548
Таким образом, получили уравнение с двумя неизвестными.
Для решения задачи воспользуемся тем обстоятельством,
что неизвестные k и l по смыслу задачи являются натуральными числами.
Иными словами, требуется решить полученное уравнение
в натуральных числах.
Так как 24  2 3  31 и разложение на простые множители
единственно, то k = 3 и l = 1. Общее число посредников равняется k + l = 3 + 1 = 4.
О т в е т: 4.
5.62. Для перевозки большого числа ящиков по 130 кг и по 110
кг выделены двухтонные машины. Можно ли загрузить такими
ящиками машину полностью? Укажите все варианты того,
сколько ящиков каждого вида при этом можно взять.
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Обозначим через х число ящиков по 130 кг и через у – число ящиков по 110 кг.
Тогда должно выполняться равенство 130x  110 y  2000
 13x  11y  200 , причем х и у – целые неотрицательные числа. Оценим возможные значения х и у.
Так как x  0 , то 11y  200 , откуда получаем y  18 . Так как
y  0 , то 13x  200, откуда получаем x  15.
Таким образом, задача сводится к решению уравнения с
двумя неизвестными 13x  11y  200 в целых числах, причем
0  x  15 , 0  y  18 .
Решим уравнение методом выделения целой части.
Выразим у через х.
Имеем: 13x  11y  200  11y  200  13x 
2(1  x)
200  13x 198  11x  2  2 x
.
y

 18  x 
11
11
11
Так как х и у – целые неотрицательные числа, то 1  x делится на 11, значит, 1  x  11 k , k  Z , откуда x  1 11 k .
Тогда
549
y
200  13x 200  13(1  11k ) 200  13


 13k  17  13k .
11
11
11
Итак, из уравнения получили, что
 x  1  11k ,
k Z .

 y  17  13k ,
Оценим возможные значения k.
Так как x  0 и y  0 , то
1

k  11 ,
1  11k  0,

 

17  13k  0,
k   17 .

13
Откуда получаем два возможных значения k  1 и k  0 .
Если k  1, то x  12 , y  4 .
Если k  0 , то x  1 , y  17 .
О т в е т: 12 ящиков по 130 кг и 4 ящика по 110 кг или 1 ящик
по 130 кг и 17 ящиков по110 кг.
5.63. Группу школьников нужно перевести из летнего лагеря
одним из двух способов: либо двумя автобусами типа А за несколько рейсов, либо тремя автобусами типа В за несколько
рейсов, причем в этом случае число рейсов каждого автобуса
типа В будет на один меньше, чем рейсов каждого автобуса
типа А. В каждом из случаев автобусы заполняются полностью. Какое максимальное количество школьников можно перевести при указанных условиях, если в автобус типа В входит
на 7 человек меньше, чем в автобус типа А?
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Обозначим количество перевозимых школьников
через х человек, количество мест в автобусе А через у и число
сделанных рейсов автобусами А через k.
Тогда количество мест в автобусе В будет (у – 7), а число
рейсов автобусами В будет (k – 1).
Таким образом, условия задачи приводят к системе уравx  2 yk,
нений 
x  3( y  7)(k  1).
550
Таким образом, получили систему двух уравнений с тремя
неизвестными, то есть неопределенную систему.
Для решения задачи воспользуемся тем обстоятельством,
что неизвестные х, y и k по смыслу задачи являются натуральными числами.
Иными словами, требуется решить полученную систему
уравнений в натуральных числах.
Подставляя x  2 yk во второе уравнение системы, получим
уравнение 2 yk  3( y  7)(k  1) , которое необходимо решить в
натуральных числах.
Последовательно преобразуя, выразим y через k.
2 yk  3( y  7)(k  1)

2 yk  (3 y  21)(k  1)
2 yk  3 yk  3 y  21k  21 

yk  3 y  21k  21 
3 y  21k  21  yk  0  y (k  3)  21k  21 , откуда при k  3
21k  21
получаем y 
.
k 3
Выделим целую часть дроби.
21k  21 21k  63  63  21 21(k  3)  42
42
.
y


 21 
k 3
k 3
k 3
k 3
Так как по смыслу задачи y и k – натуральные числа, то
число ( k  3) должно быть делителем числа 42.
Рассмотрим все возможные случаи и вычислим значение х
в каждом из них.
1) k  3  1 , то есть k  4 .
Тогда y  21  42  63 и, соответственно, x  2  63 4  504 ;
2) k  3  2 , то есть k  5 .
Тогда y  21  21  42 и, соответственно, x  2  42  5  420;
3) k  3  3 , то есть k  6 .
Тогда y  21  14  35 и, соответственно, x  2  35 6  420;
4) k  3  6 , то есть k  9 .
Тогда y  21  7  28 и, соответственно, x  2  28 9  504 ;
5) k  3  7 , то есть k  10 .
Тогда y  21  6  27 и, соответственно, x  2  27 10  540 ;
551
6) k  3  14 , то есть k  17 .
Тогда y  21  3  24 и, соответственно, x  2  24 17  816;
7) k  3  21, то есть k  24 .
Тогда y  21  2  23 и, соответственно, x  2  23 24  1104;
8) k  3  42 , то есть k  45 .
Тогда y  21  1  22 и, соответственно, x  2  22 45  1980.
Откуда заключаем, что максимальное количество школьников, которое можно перевести при указанных в задаче условиях, равно 1980.
О т в е т: 1980.
Особую роль в курсе математики средней школы играют
текстовые задачи с целочисленными неизвестными из раздела
теории чисел.
Большинство типов таких задач подробно рассмотрены в
Книге 1 Числа Полного курса. Здесь же мы приведем наиболее
часто встречающиеся типы текстовых задач с целочисленными
неизвестными на делимость, НОД и НОК, простые и составные
числа, задачи на десятичную систему счисления, задачи на
принцип Дирихле и некоторые другие.
5.64. Сумма цифр двузначного числа равна 6. Если к этому
числу прибавить 18, то получится число, записанное теми же
цифрами, но в обратном порядке. Найдите это число.
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Пусть искомое двузначное число имеет вид xy ,
где х – число десятков, у – число единиц. Тогда искомое двузначное число можно записать в виде: xy = 10х + у.
По условию задачи получаем систему уравнений с
 x  y  6,
целочисленными неизвестными 
10x  y  18  10 y  x.
Решим задачу методом подстановки.
Из первого уравнения находим у = 6 – х. Подставляя во
второе уравнение системы, получаем уравнение:
10x  6  x  18  10(6  x)  x  9x  24  60  10x  x 
18x  36 , откуда находим х = 2.
552
Тогда y  6  2  4 и условию задачи удовлетворяет число 24.
О т в е т: 24.
5.65. Найдите двузначное число, которое на 12 больше суммы
квадратов его цифр и на 16 больше удвоенного произведения
его цифр.
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Пусть искомое двузначное число имеет вид xy ,
где х – число десятков, у – число единиц. Тогда искомое двузначное число можно записать в виде: xy = 10х + у.
По условию задачи получаем систему уравнений с целочисленными неизвестными
10x  y  x 2  y 2  12,

10x  y  2 xy  16.
Вычитая из первого уравнения второе, получаем уравнение: х2 + у2 – 2ху – 4 = 0  (х – у)2 = 4.
Откуда находим х – у = ± 2 и получаем две системы:
 x  y  2,
1) 
10x  y  2 xy  16.
Решив систему методом подстановки, получаем два реше x  6,  x 2  1,5,
ния:  1

 y1  4;  y 2  0,5.
Второе решение не подходит по смыслу задачи (х и у –
цифры двузначного числа).
 x  y  2,
2) 
10x  y  2 xy  16.
Решая систему методом подстановки, убеждаемся, что система решений не имеет.
Таким образом, условию задачи удовлетворяет число 64.
О т в е т: 64.
553
5.66. Найти все двузначные числа, которые делятся на произведение своих цифр.
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Пусть искомое двузначное число имеет вид xy ,
где х – число десятков, у – число единиц. Тогда искомое двузначное число можно записать в виде: xy = 10х + у.
По условию число xy делится на произведение x  y , т.е.
выполняется равенство xy  k  xy  10 x  y  k  xy , где
k N .
Преобразуем полученное равенство. Имеем: y  k  xy  10 x
 y  x  (k  y  10) . Откуда заключаем, что у делится на х.
Найдем сначала двузначные числа с одинаковыми цифрами.
Если y  x , то равенство 10 x  y  k  xy принимает вид:
11x  k  x 2  11  k  x , откуда, учитывая, что х – цифра числа, а 11 – простое число, получаем x  1.
Таким образом, число 11 удовлетворяет условию задачи.
Так как у делится на х, то первая цифра остальных чисел не
может превышать 4, причем этой цифрой начинается только
одно число 48, не удовлетворяющее условию задачи.
Остается рассмотреть случаи x  1, x  2 , x  3 .
1) Пусть x  1. Тогда равенство y  x  (k  y  10) принимает
вид: y  k  y  10  10  (k  1)  y .
Откуда заключаем, что у – делитель числа 10, т.е. y  2 и
y  5 . Получаем два числа: 12 и 15.
2) Пусть x  2 . Тогда равенство y  x  (k  y  10) принимает
вид: y  2  (k  y  10)  20  (2k  1)  y . Откуда заключаем,
что у – делитель числа 20.
Проверкой убеждаемся, что значения y  1 , y  2 , y  5
приводят соответственно к уравнениям 2k 1  20 , 2k 1  10 ,
2k 1  4 , не имеющим натуральных решений. При y  4 полу-чаем уравнение 2k 1  5 , имеющее натуральное решение
k  3 . Таким образом, получаем число 24.
554
3) Пусть x  3 . Тогда равенство y  x  (k  y  10) принимает
вид: y  3  (k  y  10)  30  (3k  1)  y . Откуда заключаем,
что у – делитель числа 30.
Проверкой убеждаемся, что значения y  1 , y  2 , y  3 ,
y  5 приводят, соответственно, к уравнениям 3k 1  30 ,
3k  1  15 , 3k 1  10 , 3k 1  6 , не имеющим натуральных решений. При y  6 получаем уравнение 3k 1  5 , имеющее натуральное решение k  2 . Таким образом, получаем
число 36.
Итак, условию задачи удовлетворяют пять чисел: 11, 12,
15, 24, 36.
О т в е т: 11, 12, 15, 24, 36.
5.67. Найти трехзначное число, которое в 12 раз больше суммы
своих цифр.
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Пусть x, y, z – цифры искомого числа, где x – число сотен, у – число десятков, z – число единиц.
Тогда искомое трехзначное число можно записать в виде:
xyz = 100·х + 10·у + z.
По условию 100·х + 10·у + z = 12·(х + у + z), т.е. получили
уравнение с тремя неизвестными.
Решим это уравнение, учитывая, что х, у, z – цифры трехзначного числа, т.е. целые числа, удовлетворяющие неравенствам 0  x  9 , 0  y  9 , 0  z  9 .
Преобразуем уравнение к виду, удобному для анализа возможных вариантов значений неизвестных х, у, z.
Имеем: 100х + 10у + z = 12х + 12у + 12z, откуда получаем
равенство 2у = 11·(8х – z).
Из этого равенства заключаем, что у делится на 11. Но у –
цифра трехзначного числа ( 0  y  9 ), поэтому равенство возможно только при у = 0. Тогда 8х – z = 0, т.е. 8х = z.
Учитывая, что х, z – цифры трехзначного числа и х ≠ 0
(первая цифра числа), получаем х = 1, z = 8, так как уже при х =
2 получаем z = 16, что невозможно.
555
Откуда заключаем, что условию задачи удовлетворяет
единственное число 108.
О т в е т: 108.
5.68. Задано натуральное трехзначное число, кратное 9. Если
отбросить цифру его сотен и к полученному двузначному числу прибавить 2, то результат окажется втрое меньше исходного
числа. Найти исходное число.
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Пусть искомое трехзначное число имеет вид xyz ,
где х – число сотен, y – число десятков, z – число единиц.
Тогда искомое трехзначное число можно записать в виде:
xyz = 100x + 10у + z.
Так как по условию число кратно 9, то сумма его цифр делится на 9, т.е. x  y  z  9k , где k  N . Учитывая, что
0  x  9 , 0  y  9 , 0  z  9 ( х, у, z – цифры числа), заключаем, что 0  x  y  z  27 . Поэтому k  1 , 2, 3.
Второе условие приводит к равенству yz  2  xyz и полу3
чаем уравнение: 3  (10 y  z  2)  100x  10 y  z 
30 y  3 z  6  100x  10 y  z  100x  20 y  2 z  6  0 
50x  10 y  z  3 .
Таким образом, приходим к системе уравнений: с целочисленными неизвестными
 x  y  z  9k , k  1,2,3,

50x  10 y  z  3.
Если k  3 , то x = 9, y = 9, z = 9, что не удовлетворяет
999
условию задачи, так как 99  2 
.
3
Если k  1 , то система принимает вид:
x

 y  z  9,
 z  9  x  y,
 


50
x

10
y

z

3
,
50
x

10
y

9

x

y

3
,


556
 z  9  x  y,
 z  9  x  y,
 

51x  9 y  12,
17x  3 y  4.
Так как 0  y  9 , то 0  3 y  4  31 .
Поэтому второе уравнение может выполниться только при
x  1. Однако при x  1 получаем уравнение 17  3 y  4 , которое не имеет решений в натуральных числах.
Если k  2 , то система принимает вид:
 z  18  x  y,
 x  y  z  18,
z  18  x  y,

 

50x  10 y  18  x  y  3,
50x  10 y  z  3,
51x  9 y  21,
 z  18  x  y,
 
17x  3 y  7.
Так как 0  y  9 , то 0  3 y  7  34 . Поэтому второе
уравнение может выполниться только при x  1 и x  2 .
При x  1получаем уравнение 17  3 y  7 , которое не имеет решений в натуральных числах.
При x  2 получаем уравнение 34  3 y  7 , откуда находим y  9 . Тогда z  18  2  9  7 .
Таким образом, система имеет решение x  2 , y  9 , z  7 ,
и условию задачи удовлетворяет трехзначное число 297.
О т в е т: 297.
5.69. Чебурашка умножил некоторое двузначное число на его
первую цифру, старуха Шапокляк умножила то же самое число
на его вторую цифру, а Крокодил Гена сложил их результаты.
Получилось 672. Докажите, что кто-то из них ошибся.
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Пусть двузначное число имеет вид xy , где х –
число десятков, у – число единиц. Тогда искомое двузначное
число можно записать в виде: xy = 10х + у.
Когда Чебурашка умножил это двузначное число на его
первую цифру, он получил число (10x  y )  x .
Когда старуха Шапокляк умножила то же самое число на
его вторую цифру, она получила число (10x  y )  y .
557
После сложения Крокодил Гена получил число 672.
Таким образом, по условию получаем равенство
(10x  y )  x + (10x  y )  y = 672.
Докажем, что это равенство не выполняется ни при каких
натуральных значениях x и у, удовлетворяющих условиям
0  x  9, 0  y  9 .
Преобразуем полученное равенство к виду, удобному для
анализа возможных значений x и y:
(10x  y )  x + (10x  y )  y = 672  (10 x  y )  ( x  y ) = 672.
Дальнейшие рассуждения проведем двумя способами.
1-й способ. Из равенства следует, что сумма цифр двузначного
числа является делителем числа 672. Причем, поскольку само
двузначное число также является делителем числа 672, то равенство возможно только в том случае, если x  y  7 , так как
672 : 99 > 6.
Кроме того, x  y  18 , так как 0  x  9 , 0  y  9 по смыслу задачи.
Разложив число 672 на простые множители:
672  2 5  3  7 , заключаем, что числа 9, 10, 11, 13, 15, 17, 18
делителями числа 672 не являются. Остается проверить оставшиеся варианты:
1) если x  y  7 , то 10x  y  xy  96 , что не подходит, так
как сумма цифр числа 96 равна 15;
2) если x  y  8 , то 10x  y  xy  84 , что не подходит, так
как сумма цифр числа 84 равна 12;
3) если x  y  12 , то 10x  y  xy  56 , что не подходит, так
как сумма цифр числа 56 равна 11;
4) если x  y  14 , то 10x  y  xy  48 , что не подходит, так
как сумма цифр числа 48 равна 12;
5) если x  y  16 , то 10x  y  xy  42 , что не подходит, так
как сумма цифр числа 42 равна 6.
Откуда заключаем, что равенство не выполняется ни при
каких натуральных x и у, удовлетворяющих условиям
0  x  9, 0  y  9 .
558
2-й способ. Если сумма цифр числа делится на 3, то и само
число делится на три. Следовательно, произведение чисел
(10 x  y )  ( x  y ) делится на 9, тогда как число 672 на 9 не делится. Равенство невозможно. Если же сумма цифр числа не
делится на 3, то число также не делится на три. Следовательно,
произведение чисел (10 x  y )  ( x  y ) не делится на 3, тогда
как число 672 на 3 делится. Равенство также невозможно.
Следовательно, кто-то из участников указанных в задаче
действий ошибся, что и требовалось доказать.
5.70. Если от некоторого трехзначного числа отнять 6, то оно
разделится на 7, если отнять 7, то оно разделится на 8, а если
отнять 8, то оно разделится на 9. Определите это число.
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Если к искомому числу прибавить 1, то оно будет
делиться на 7, 8 и 9. Действительно, если некоторое число х
уменьшенное на 6 делится на 7, то выполняется равенство
х  6  7  k , где k  N .
Тогда х  7  k  6 , k  N и х  1  7  k  7  7  (k  1) , k  N – число, делящееся нацело на 7.
Аналогично, получаем: х  1  8  k  8  8  (k  1) , k  N и
х  1  9k  9  9(k  1) , k  N – числа, делящиеся соответственно на
8 и 9.
Числа 7, 8 и 9 – попарно взаимно простые, поэтому искомое число делится нацело на произведение 7·8·9 = 504.
Так как число трехзначное, то имеется единственная возможность - число равно 503 = 7·8·9 − 1.
О т в е т: 503.
5.71. В портовом городе начинаются три туристских теплоходных рейса, первый из которых длится 15 суток, второй 20 суток и третий 12 суток. Вернувшись в порт, теплоходы в этот же
день снова отправляются в рейс. Сегодня из порта вышли теплоходы по всем трем маршрутам. Через сколько суток они
впервые снова вместе уйдут в плавание?
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Число суток, через которое теплоходы впервые
559
снова встретятся в порту, должно быть наименьшим числом,
которое делится без остатка на 15, на 20, и на 12.
Значит, требуется найти НОК(15; 20; 12).
Разложим каждое число на простые множители: 15 = 3·5;
20 = 2·2·5 = 22·5; 12 = 2·2·3 = 22·3.
Тогда НОК (15; 20; 12) = 15·2·2 = 20·3 = 12·5 = 60.
О т в е т: через 60 суток.
5.72. Найдите два натуральных числа, если их сумма равна 667,
а частное от деления их общего наименьшего кратного на
наибольший общий делитель равно 120.
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Обозначим искомые числа через х и у. По условию задачи имеем:
х + у = 667,
НОК ( x; y)
 120 .
НОД ( x; y)
Обозначим НОД (х; у) = d, тогда х = d∙a, y = d∙b, где а и b –
взаимно простые числа.
Используя формулу для определения НОК двух чисел, поx y
d a d b
лучим НОК ( x; y ) 

 d a b .
НОД ( x; y )
d
Тогда систему уравнений можно переписать так:
d∙a + d∙b = 667,
d∙(a + b) = 23·29,
d a b
= 120,
или
a∙b = 23·3·5 .
d
Получили неопределенную систему. Для решения воспользуемся тем обстоятельством, что а и b – взаимно простые натуральные числа.
Так как числа а и b – взаимно простые и их сумма является
делителем числа 667 = 23·29, то из второго равенства с учетом
того, что 120 = 23·3·5 = 3·5·8, заключаем, что возможны только
два варианта: а1 = 8, b1 = 15 и а2 = 5, b2 = 24.
При этом из первого равенства соответственно получаем
d1 = 29, d2 = 23.
Следовательно, искомые числа равны:
560
х = d1∙a1= 232, y =d1∙b1 = 435 или х = d2∙a2 = 115, y = d2∙b2 =
552.
О т в е т: (232; 435); (115; 552).
5.73. В классе 37 учеников. Найдется ли такой месяц в году, в
котором отмечают свой день рождения не менее четырех учеников?
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Воспользуемся принципом Дирихле. 37 учеников
– «кроликов» рассадим по 12 «клеткам» - месяцам одного года.
Так как 37 = 3∙12 + 1, то по обобщенному принципу Дирихле для n = 12 и k = 3 заключаем, что существует хотя бы одна
«клетка»–месяц, в которой находится не менее k + 1 = 3 + 1 = 4
«кроликов»–учеников.
О т в е т: да, найдется.
5.74. На олимпиаде 12 школьников решили в сумме 51 задачу,
причем среди них были решившие ровно одну, ровно две, ровно три и ровно четыре задачи. Справедливо ли утверждение,
что кто-то из них решил не менее шести задач?
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Учитывая условие задачи, возьмем одного
школьника, который решил ровно одну задачу, одного, который решил ровно две задачи, одного, который решил ровно три
задачи и одного школьника, который решил ровно четыре задачи. В сумме эти школьники решили 10 задач. Осталось еще 8
школьников, решивших в сумме 41 задачу.
Воспользуемся принципом Дирихле. Возьмем решенные
задачи в качестве «кроликов» и школьников в качестве «клеток». Так как 41 = 5∙8 + 1, то по обобщен-ному принципу Дирихле для n  8 и k  5 заключаем, что существует хотя бы
одна «клетка»–ученик , в которой находится не менее k + 1 = 5
+ 1 = 6 «кроликов»–задач.
Откуда заключаем, что утверждение, что кто-то из школьников решил не менее шести задач справедливо.
О т в е т: утверждение справедливо.
561
5.75. В ящике лежат цветные шары: 10 красных, 8 синих, 8 зеленых и 4 желтых. В темноте берем из ящика шары. Какое
наименьшее число шаров надо взять, чтобы среди них заведомо: а) было не меньше 4-х шаров одного цвета? б) был хотя бы
один шар каждого цвета?
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Воспользуемся принципом Дирихле.
а) Следует взять 13 шаров. Действительно, возьмем взятые шары в качестве «кроликов» и цвета шаров в качестве «клеток»,
которых четыре. Тогда, допустив, что в каждую «клетку» попало по 3 «кролика», т.е. менее 4-х шаров одного цвета, получим, что всего выбрано при этом 12 шаров.
Так как 13  3  4  1, то по обобщенному принципу Дирихле для n  4 и k  3 заключаем, что существует хотя бы одна
«клетка», в которой находится не менее k  1  3  1  4 «кроли-ков» - шаров одного цвета.
б) Следует взять 27 шаров. Действительно, если взять 26 или
меньше шаров, то среди них может не оказаться желтых шаров, так как может быть выбрано 10 красных, 8 синих и 8 зеленых шаров, т.е. всего 10 + 8 + 8 = 26 или меньше шаров этих
цветов. При выборе 27 шаров в соответствии с принципом Дирихле бу-дет выбран хотя бы один шар и желтого цвета, а, значит, шары всех цветов.
О т в е т: а) 13; б) 27.
Упражнения.
827. Несколько ребят на реке ловили рыбу. Один из ребят поймал 10 карасей, а остальные по 13. В другой раз на рыбалку
отправилось другое число ребят. Один из ребят поймал 9 карасей, а остальные по 10. Сколько ребят ловили рыбу в первый и
во второй раз, если известно, что в обоих случаях было поймано одинаковое число карасей, причем это число больше 160, но
не превышает 195?
828. Коля и Вася поделили между собой 39 конфет. Число
конфет, доставшихся любому из них, меньше удвоенного
числа конфет, доставшихся другому. Квадрат трети числа
562
конфет, доставшихся Васе, меньше увеличенного на 1
числа конфет, доставшихся Коле. Сколько конфет у
каждого?
829. Около дома посажены липы и березы, причем общее их
количество более 14. Если увеличить вдвое количество лип, а
количество берез увеличить на 18, то берез станет больше, чем
лип. Если увеличить вдвое количество берез, не изменяя количества лип, то лип все равно будет больше, чем берез. Сколько
лип и сколько берез было посажено?
830. Справедливый ковбой зашел в бар и попросил у бармена
стакан виски за 3 доллара, пачку Marlboro за доллар и
11центов, шесть пачек патронов для своего кольта и дюжину
коробков спичек. Услышав итоговую сумму – 28 долларов и 25
центов, ковбой вытащил револьвер. Бармен сосчитал снова и
вернул недостачу. На сколько центов минимально бармен сначала обсчитал ковбоя?
831. Ребята получили на новогодней елке одинаковые подарки.
Во всех подарках вместе было 123 апельсина и 82 яблока.
Сколько ребят присутствовало на елке? Сколько апельсинов и
сколько яблок было в каждом подарке?
832. Вдоль дороги от пункта А поставлены столбы через каждые 45 м. Эти столбы решили заменить другими, поставив их
на расстоянии 60 м друг от друга. Найдите расстояние от пункта А до ближайшего столба, который будет стоять на месте
старого.
833. Найти два числа, зная, что сумма частных от деления каждого из них на наибольший общий делитель равна 18, а их
наименьшее кратное 975.
834. Сумма двух натуральных чисел равна 43, а их наименьшее
общее кратное в 120 раз больше их наибольшего общего делителя. Найдите эти числа.
835. Отцу 50 лет, а произведение возрастов трех его сыновей
4199. Сколько лет каждому сыну?
563
836. И сказал Кощей Бессмертный Ивану-царевичу: «Жить тебе до завтрашнего утра. Утром явишься передо мной. Задумаю
три цифры а, b, с, а ты назовешь мне три числа – х, у, z . Выслушаю я тебя и скажу, чему равна сумма ах+by+cz. Тогда
угадай, какие цифры а, b, с я задумал. Не угадаешь – голова с
плеч…». Опечалился Иван-царевич, пошел думу думать. Нужно ему помочь. Как?
837. Найдите двузначное число, если частное от деления искомого числа на сумму его цифр равно 4, а частное от деления
произведения его цифр на сумму цифр равно 2.
838. Найдите двузначное число, если произведение его цифр в
6 раз меньше самого числа, а если к исходному числу прибавить 9, то получится число, написанное теми же цифрами, но в
обратном порядке.
839. Найдите двузначное число, если оно в 2 раза больше произведения его цифр. Если переставить цифры этого числа в
обратном порядке, то отношение полученного числа и данного
будет равно 7/4.
840. Найти двузначное число, если известно, что при делении
этого числа на сумму его цифр в частном получится 4 и в
остатке 3, если же из искомого числа вычесть удвоенную сумму его цифр, то получится 25.
841. Сумма квадратов цифр двузначного числа равна 13. Если
из этого числа вычесть 9, то получится число, записанное теми
же цифрами в обратном порядке. Найдите это число.
842. Если некоторое двузначное число умножить на сумму его
цифр, то получится 405. Если число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, умножить на сумму его цифр, то получится 486. Найдите это число.
843. Найдите двузначное число, зная, что число его единиц на
2 больше числа его десятков и что произведение искомого числа на сумму его цифр равно 144.
844. Если двузначное число разделить на сумму его цифр, то
получится в частном 6 и в остатке 2. Если же это число разделить на произведение его цифр, то получится в частном 5 и в
остатке 2. Найдите это число.
845. Если двузначное число разделить на число, написанное
теми же цифрами в обратном порядке, то в частном получится
564
4, а в остатке 15. Если же из данного числа вычесть 9, то получится сумма квадратов цифр этого числа. Найдите это число.
846. Произведение двузначного числа и числа, записанного
теми же цифрами в обратном порядке, равно 2430. Найдите это
число.
847. Найти трехзначное число, равное кубу суммы его цифр.
848. Найдите все натуральные трехзначные числа, каждое из
которых обладает следующими двумя свойствами:
а) вторая цифра числа в 2 раза меньше последней его цифры;
б) сумма самого числа с числом, получающимся из него перестановкой первой и третьей его цифр, делится на 10 без остатка.
849. Найти двузначное число, равное удвоенному произведению его цифр.
850. Найти четырехзначное число, равное четвертой степени
суммы его цифр.
851. Найти четырехзначное число, которое ровно в 4 раза
меньше числа, записанного теми же цифрами в обратном порядке.
852. Алеша не заметил знак умножения между двумя трехзначными числами и записал шестизначное число, оказавшееся
в 7 раз больше их произведения. Найдите исходные числа.
853. Найдите все пары таких четырехзначных чисел х и у, что
число xy , полученное путем приписывания десятичной записи
числа у после числа х, делится на произведение ху.
854. Найти двузначное число, куб суммы цифр которого равен
его квадрату.
855. Найти все двузначные числа, которые делятся на произведение своих цифр.
856. Некоторое шестизначное число начинается цифрой 1. Если эту цифру зачеркнуть и приписать единицу справа, то получим втрое большее число. Найти эти числа.
857. Найти двузначное натуральное число, которое при делении на двузначное число, записанное теми же цифрами, что и
искомое, но в обратном порядке, в частном дает 4, а в остатке
3.
858. Найти наименьшее натуральное число, обладающее сле
дующим свойством: если к десятичной записи числа приписать
565
такое же число, то получим число, которое делится на 3465.
859. Найти натуральное двузначное число, если известно, что
сумма его цифр больше 6, сумма кубов его цифр меньше 136, а
половина числа больше, чем число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке.
860. Найти натуральное двузначное число, если известно, что
сумма его цифр больше 6, сумма квадратов его цифр меньше
31, а число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, меньше половины искомого числа.
861. При делении двузначного числа на сумму его цифр получается 5, а в остатке 9. Найти это число.
862. Найдите все двузначные числа, которые равны сумме
цифры десятков и квадрата цифры, стоящей в разряде единиц.
863. Двузначное число умножили на произведение его цифр, в
результате чего получилось трехзначное число, состоящее из
одинаковых цифр, совпадающих с последней цифрой исходного числа. Найдите исходное число.
864. Между цифрами двузначного числа, делящегося на 3,
вставили цифру 0, а к полученному трехзначному числу прибавили удвоенную цифру его сотен. Получилось число в 9 раз
больше первоначального. Найдите исходное число.
865. Ученик должен перемножить два трехзначных числа и
разделить их произведение на пятизначное. Однако он не заметил знака умножения и принял два записанных рядом трехзначных числа за одно шестизначное. Поэтому полученное
частное (натуральное) оказалось в 3 раза больше истинного.
Найдите все три числа.
866. Натуральное число умножили на удвоенное произведение
его цифр. Получилось 2016. Найдите исходное число.
867. Десятичная запись некоторого числа оканчивается на 2.
Если же эту цифру переставить на первое место, то число
удвоится. Найдите это число.
566
868. Найдите все такие пары натуральных чисел a и b, что если
к десятичной записи числа a приписать справа десятичную запись числа b, то получится число, большее произведения чисел
a и b на 32.
869. В ящике лежат шары: 7 красных, 5 синих и 1 черный.
Сколько шаров надо вынуть, чтобы достать 2 шара одного цвета?
870. Занятия Вечерней математической школы проходят в девяти аудиториях. Среди прочих, на эти занятия приходят 19
учеников из одной и той же школы. Докажите, что в какойнибудь аудитории обязательно окажется ровно три таких
школьника.
871. Десять экспертов-математиков – членов оргкомитета составили 35 задач для математической олимпиады, причем известно, что среди них есть эксперты, составившие ровно одну
задачу, ровно две задачи и ровно три задачи. Докажите, что
среди них есть эксперты, составившие не менее пяти задач.
872. В школе учится 370 человек. Докажите, что среди всех
учащихся найдутся два человека, празднующие свой день рождения в один и тот же день.
873. Карлссон подсчитал, что за завтрак, обед и ужин он съел 7
банок варенья. Докажите, что, хотя бы один раз он съел не
меньше 3 банок варенья.
874. В магазин привезли 25 ящиков с яблоками трех сортов,
причем в каждом ящике лежали яблоки какого-то одного сорта. Можно ли найти 9 ящиков с яблоками одного сорта?
875. В ящике комода, который стоит в темной комнате, лежат
10 коричневых и 10 красных носков одного размера. Сколько
носков надо достать, чтобы среди них была пара одного цвета?
876. В ящике лежат цветные шары: 10 красных, 8 синих, 8 зеленых и 4 желтых. В темноте берем из ящика шары. Какое
наименьшее число шаров надо взять, чтобы среди них заведомо было не меньше 7 синих шаров?
877. Сколько нужно взять разных натуральных чисел, не больших 10, чтобы среди них не нашлось двух, одно из которых
точно вдвое больше другого?
567
5.2.6. Задачи, приводящие к смешанным системам и
неравенствам
Иногда текстовые задачи содержат среди прочих такие
условия, математическая запись которых сводится к неравенствам. В таких случаях решение задачи сводится к решению
либо смешанной системы, содержащей как уравнения, так и
неравенства, либо неравенства (системы неравенств), для
определения решения которых используются дополнительные
условия (например, цело численность искомого неизвестного,
его положительность и т.п.).
5.76. Некто купил некоторое количество одинаковых цыплят и
некоторое количество одинаковых кур. За кур уплатил 1782
рублей, а за цыплят 182 рубля. Известно, что кур было на 4
больше, чем цыплят. Сколько было куплено кур, если курица
не менее чем на 200 рублей дороже цыпленка.
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Пусть x - число кур, y (руб.) - стоимость курицы, z
(руб.) - стоимость цыпленка.
Тогда, зная стоимость всех кур, получаем уравнение
x  y  1782 (1).
По условию число цыплят было на 4 меньше, то есть x – 4
и, зная стоимость одного цыпленка, получаем уравнение
( x  4)  z  182 (2).
Третье условие приводит к неравенству y  z  200 (3).
Уравнения (1), (2) и неравенство (3) составляют смешанную систему
 x  y  1782,

( x  4)  z  182,
 y  z  200.

Выразим у и z через х, получим равносильную систему
568
 1782
y  x ,

182

,
z 
x4

 y  z  200.


Подставляя у и z в третье неравенство системы, получаем
1782 182
1782 182
неравенство

 200 

 200  0 
x
x4
x
x4
1782( x  4)  182x  200x( x  4)
 x 2  12x  35,64
0 
 0.
x( x  4)
x( x  4)
Так как x( x  4)  0 по смыслу задачи, то последнее неравенство равносильно неравенству  x 2  12x  35,64  0 
x 2  12x  35,64  0 . Решив неравенство, получаем множество
решений x  [5,4;6,6] .
Так как по смыслу задачи x - целое положительное число,
то x = 6.
О т в е т: 6 кур.
5.77. Известно, что процент числа членов студенческой группы, успешно сдавших зимнюю экзаменационную сессию, заключен в пределах от 96,8% до 97,2%. Определить минимально возможное число членов такой группы.
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Пусть число членов в группе равно x человек. По
условию число y, не сдавших сессию студентов, находится в
пределах от 2,8% до 3,2%, то есть число не сдавших сессию
удовлетворяет неравенству
2,8
3,2
x y
x  0,028  x  y  0,032  x , где x и y - нату100
100
ральные числа.
Полученное двойное неравенство равносильно системе
неравенств
569
 1000
 x  28 y,

 x  1000 y.

32
Данная система неравенств равносильна двойному нера1000
1000
венству
y x
y.
32
28
Используя двойное неравенство, определим x при разных
значениях y.
1) Пусть y = 1. Тогда для x получаем двойное неравенство
31,25  x  35,72 , откуда получаем наименьшее значение x = 32.
2) При y = 2,3,4... все натуральные решения системы неравенств х будут больше 62.
Откуда заключаем, что наименьшее значение x = 32 достигается при y = 1.
О т в е т: 32 человека.
5.78. В автопробеге участвуют машины марок «Жигули» и
«Волга». Известно, что «Жигулей» более 67%, а «Волг» не менее 25% от общего числа автомобилей. Определить наименьшее возможное при этом количество участвующих в пробеге
автомашин, если известно, что «Жигулей» стартовало более
трех.
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Обозначим общее число автомобилей через х,
число «Жигулей» через y и число «Волг» через z.
Тогда, очевидно, x  y  z .
Так как по условию известно, что «Жигулей» более 67%, а
«Волг» не менее 25% от общего числа автомобилей, то получаем два неравенства y  0,67 x и z  0,25x . Кроме того, по условию y  3 . Таким образом, условия задачи приводят к смешанной системе
570
 x  y  z,
 y  0,67 x,


 z  0,25x,
 y  3.
Из первого уравнения системы получаем z  x  y . Тогда
1
x  y  0,25x  0,75x  y , откуда получаем x 
y 
0,75
4
x  y . Из второго неравенства системы y  0,67 x получаем
3
100
1
y.
x
y  x
67
0,67
Таким образом, система равносильна системе неравенств
100
4
yx
y,

вида  3
67
 y  3.
Используя двойное неравенство системы, определим x при
разных значениях y.
1) Пусть y = 4, тогда для x получаем двойное неравенство
16
400
 5, (3)  x  5,97015, откуда заключаем, что в
x
3
67
данном случае система не имеет решений в натуральных числах.
2) Пусть y = 5, тогда для x получаем двойное неравенство
20
500
 6, (6)  x  7,463 , откуда получаем единственx
3
67
ное натуральное решение x = 7.
3) При y = 6,7,8... все натуральные решения системы неравенств х будут больше 7.
Откуда заключаем, что наименьшее значение x = 7 достигается при y = 5.
О т в е т: 7.
571
5.79. Группа студентов, живущих в общежитии, решила купить
телевизор ценой от 170$ до 195$. Однако, в последний момент
двое отказались участвовать в покупке. Поэтому каждому из
оставшихся студентов пришлось внести на 1 доллар больше.
Сколько стоил телевизор?
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Обозначим стоимость телевизора через х($),
взнос каждого студента через y ($) и число студентов группы
через z.
Тогда по условию получаем смешанную систему
 x  y  z,

 x  ( y  1)( z  2),
170  x  195.

x
Из первого уравнения находим, что y  .
z
Подставляя во второе уравнение, получим
x
x
x
x  (  1)( z  2)  x  x  z  2   2  2   z  2 
z
z
z
2
2x  z  2z .
Учитывая, что 170  x  195  340  2x  390, получим
двойное неравенство 340  z 2  2 z  390 , равносильное системе
2
2
 z  2 z  390,
 z  2 z  390  0,
неравенств 

 2
 z 2  2 z  340,
 z  2 z  340  0.
Решив систему, учитывая, что z  0 , получаем множество
решений z [1  341;1  391] .
Вместе с тем по смыслу задачи z – натуральное число.
Так как 1  341  1  342,25  1  18,5  19,5 и
1  341  1  338,56  1  18,4  19,4 то 19,4  1  341  19,5 ;
Так как 1  391  1  400  1  20  21 и
1  391  1  380,25  1  19,5  20,5 , то 20,5  1  391  21 .
Следовательно, множество решений содержит единственное натуральное решение z  20 .
572
Тогда 2 x  z 2  2 z  20 2  2  20  400  40  360 , откуда находим x  180 .
О т в е т: 180$.
5.80. Производительность первого цеха завода не более 730
произведенных телевизоров в сутки. Производительность второго цеха завода до реконструкции составляла 75% от производительности первого цеха. После реконструкции второй цех
увеличил производительность на 20% и стал выпускать более
640 телевизоров в сутки. Найдите, сколько телевизоров в сутки
выпускает второй цех после реконструкции, если оба цеха выпускают в сутки целое число телевизоров.
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Обозначим через х число телевизоров, которое в
сутки выпускает первый цех.
Производительность второго цеха завода до реконструкции составляла 75% от производительности первого цеха. Зна75
чит, до реконструкции второй цех выпускал
x  0,75x теле100
визоров в сутки, причем по условию x  N .
После реконструкции второй цех увеличил производительность на 20% и стал выпускать более 640 телевизоров в
сутки.
Следовательно, после реконструкции второй цех стал выпускать 0,75x 1,2  0,9 x телевизоров.
По условию получаем систему неравенств
 x  730,
 x  730,
 

0,9 x  640,
 x  711.
Полученная система неравенств имеет 19 натуральных решений, большая часть из которых не является решением системы, так как решением системы, удовлетворяющим условию
задачи, является только значение x  720 . Действительно, так
как
3
9
0,75x  x  N , то х кратно 4. Кроме того, 0,9 x  x  N , зна4
10
чит, х кратно 10. Откуда заключаем, что х кратно 20.
573
Если натуральное число х кратно 20 и 711  x  730 , то х =
720, так как все другие натуральные числа из промежутка (711;
730] на 20 не делятся.
Таким образом, второй цех после реконструкции стал выпускать 0,9  720  648 телевизоров в сутки.
О т в е т: 648.
Упражнения.
878. Группа студентов пошла на дискотеку. Процент числа
студентов, танцующих рок, находится в пределах от 4,5% до
5,5%. Найти минимально возможное количество студентов в
группе.
879.Число учащихся в классе, повысивших свою успеваемость,
заключено в пределах от 2,7 до 3,2% от общего числа
учащихся. Каково наименьшее число учащихся в классе?
880. Из А в В по течению реки плывет плот. Одновременно с
тем, когда плот начал путь из А в В, из В в А навстречу ему
поплыла лодка, которая встречает плот не ранее чем через 2
часа и затем прибывает в А, затратив на весь путь менее 3
часов 20 минут. Успеет ли плот преодолеть путь из А в В за 5
часов, если расстояние между А и В равно 20 км?
881.Квартал застроен пятиэтажными и девятиэтажными
домами, причем девятиэтажных домов меньше, чем
пятиэтажных. Если число девятиэтажных домов увеличить
вдвое, то общее число домов станет более 24, а если увеличить
вдвое число пятиэтажных домов, то общее число домов станет
менее 27. Сколько построено пятиэтажных домов и сколько
девятиэтажных?
882. Заводы в США и России за март выпустили более 39
самолетов-истребителей. Число самолетов, выпущенных в
России, уменьшенное на 3, более чем в 4 раза превышает сило
самолетов, выпущенных в США. Утроенное число самолетов,
выпущенных в России, превышает удвоенное число самолетов,
выпущенных за март в США, но не более, чем на 85. Сколько
танков выпустили за март на заводе в России?
574
5.2.7. Задачи, решаемые методами теории множеств
Некоторые текстовые задачи решаются с использованием
операций с множествами.
5.81. Экзамен по математике сдавали 250 абитуриентов. Оценку ниже пяти получили 180 человек, а выдержали этот экзамен
210 абитуриентов. Сколько человек получили оценки 3 и 4?
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Пусть А - множество абитуриентов, выдержавших экзамен (то есть получивших оценки 5, 4, 3); В – множество абитуриентов, получивших оценки ниже 5 (то есть оценки
4, 3, 2).
По условию количество элементов Х(А) = 210; количество
элементов Х(В) = 180; количество элементов Х(А  В) = 250.
Абитуриенты, получившие оценки 3 и 4, образуют множество А  В.
Геометрическая интерпретация условия задачи с помощью
диаграммы Эйлера-Венна представлена на рисунке.
Сдавшие на 3 и 4
B
Сдавшие на 5
A
Не сдавшие экзамен
По формуле Грассмана находим:
Х(А  В) = Х(А) + Х(В) − Х(А  В) = 210 + 180 − 250 = 140.
О т в е т: 140 человек.
575
5.82. В группе из 100 туристов 70 человек знают английский
язык, 45 знают французский и 23 знают оба языка. Сколько
человек в группе не знают ни английского, ни французского?
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Множество всех туристов будем считать основным множеством E; A и B – соответственно множества туристов, владеющих английским и французским языком.
Туристы, знающие оба языка, составляют множество
A  B, причем X(E)=100, X(A)=70, X(B)=45, X(A  B)=23.
Туристы, не знающие ни английского, ни французского
языка, составляют множество A  B .
Тогда X ( A  B)  X ( E)  X ( A  B) .
Геометрическая интерпретация полученного соотношения
с помощью диаграммы Эйлера-Венна представлена на рисунке.
E
Знают
французский
Знают
английский
A
B
Знают оба языка
Используя формулу Грассмана, получаем
X ( A  B)  X ( E)  X ( A)  X ( B)  X ( A  B) = 100−70− 45 + 23 = 8.
О т в е т: 8 человек.
5.83. В школе 1400 учеников. Из них 1250 умеют играть в
шахматы, 952 умеют играть в шашки. Ни в шахматы, ни в
шашки не умеют играть 60 учеников. Сколько учащихся умеет
играть и в шахматы, и в шашки?
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Множество учеников школы будем считать основным множеством Е; А и В - соответственно множества уче576
ников, умеющих играть в шахматы и в шашки, причем количество элементов Х(Е) = 1400, Х(А) = 1250, Х(В) = 952.
Учащиеся, не умеющие играть ни в шахматы, ни в шашки,
составляют множество A  B , причем X ( A  B) = 60. Требуется
найти X ( A  B) .
Геометрическая интерпретация решения задачи с помощью
диаграммы Эйлера-Венна представлена на рисунке.
Умеют играть
в шашки
E
Умеют
играть в
шахматы
A
B
Умеют играть и в
шахматы и в шашки
По формуле Грассмана имеем:
Х(А  В) = Х(А) + Х(В) − Х(А  В), причем из рисунка ясно, что
X ( A  B)  X ( E)  X ( A  B)  1400 – 60 = 1340.
Тогда получаем Х(А  В) = Х(А) + Х(В) − Х(А  В) = 1250 +
952 – 1340 = 862.
О т в е т: 862 ученика.
5.84. На вступительном экзамене по математике были предложены три задачи: по алгебре, планиметрии и стереометрии. Из
1000 абитуриентов задачу по алгебре решили 800, по планиметрии – 700, а по стереометрии – 600 абитуриентов. При этом
задачи по алгебре и планиметрии решили 600 абитуриентов, по
алгебре и стереометрии – 500, планиметрии и стереометрии –
400. Все три задачи решили 300 абитуриентов.
Существуют ли абитуриенты, не решившие ни одной задачи, и если да, то сколько их?
--------------------------------------------------------------------------------577
Р е ш е н и е. Множество всех абитуриентов будем считать основным множеством E; A – множество абитуриентов, решивших задачу по алгебре; В – множество абитуриентов, решивших задачу по планиметрии; С – множество абитуриентов, решивших задачу по стереометрии.
По условию X(E) = 1000, X(A) = 800, X(B) = 700, X(С) =
600, X(A  B) = 600, X(A  С) = 500, X(В  С) = 400, X(A  B 
С) = 300.
Геометрическая интерпретация решения задачи с помощью
диаграммы Эйлера-Венна представлена на рисунке.
А
С
Е
В
В множество А  В  С входят все абитуриенты, решившие хотя бы одну задачу.
Число X(A) + X(B) + X(С) − X(A  B) − X(A  С) − X(В  С)
меньше Х(А  В  С) ровно на число элементов в пересечении
множеств A  B  С, так как его элементы оказались неучтенными: сначала их трижды учли в сумме X(A) + X(B) + X(С), а
затем трижды отнимали, вычитая сумму элементов X(A  B) +
X(A  С) + X(В  С). Поэтому
Х(А  В  С) =X(A) + X(B) + X(С) −X(A  B) −X(A  С) −X(В  С)
+ Х(A  B  С).
Тогда получаем
Х(А  В  С) = 800 + 700 + 600 – 600 – 500 – 400 + 300 = 900.
Откуда заключаем, что не все поступающие решили хотя
бы одну задачу.
578
Ни одной задачи не решили X(Е) − Х(А  В  С) = 1000 –
900 = 100 абитуриентов.
О т в е т: 100 абитуриентов не решили ни одной задачи.
Упражнения.
883. Экзамен по математике сдавали 170 абитуриентов. Оценку
ниже «5» получили 80 человек, а выдержали этот экзамен 130
человек. Сколько человек получили оценки «3» и «4» ? (40)
884. Из 100 студентов 75 человек успешно сдали первый экзамен и 55 человек – второй. При этом 39 человек сдали успешно
оба экзамена. Сколько человек не смогли успешно сдать ни
одного экзамена?
885. Сколько ребят было в компании, если группу “Guns n’
Roses” любят слушать 25 из них, “Iron maiden” – 23, “Queen” –
28, причем нравится как “Guns n’ Roses” так и “Iron maiden”
12-ти из них, группа “Queen” и “Iron maiden” – 8-ми, группа
“Guns n’ Roses” и “Queen” – 10-ти, и все три группы нравятся
одному из них?
886. В отряде из 40 ребят 30 умеют плавать, 27 умеют играть в
шахматы и только пятеро не умеют ни того, ни другого.
Сколько ребят умеют плавать и играть в шахматы?
887. Из 35 учащихся 20 посещают математический кружок, 11
– физический, 10 учащихся не посещают ни одного из этих
кружков. Сколько учеников посещают и математический и физический кружки?
888. На загородную прогулку поехали 92 человека. Бутерброды
с колбасой взяли 48 человек, с сыром – 38 человек, с ветчиной
– 42 человека, с сыром и колбасой – 28 человек, с колбасой и
ветчиной – 31 человек, а с сыром и с ветчиной – 26 человек. 25
человек взяли с собой все три вида бутерброда, а несколько
человек вместо бутербродов взяли с собой пирожки. Сколько
человек взяли с собой пирожки?
579
5.2.8. Задачи с альтернативным условием
Наиболее сложными считаются текстовые задачи с так
называемым альтернативным условием.
Условие таких задач сформулировано таким образом, что
при составлении одного или нескольких уравнений возникает
альтернатива:
вид уравнения зависит от выбора из нескольких возможных
вариантов.
В таких задачах происходит "ветвление" решения, и ответ задачи находится лишь после того, как будут исследованы
все возможности, следующие из условия задачи.
5.85. Из города А в город В, расстояние между которыми 200
км, мотоциклист ехал 6 часов. Сначала он двигался со скоростью 1 , превышающей 15 км/ч, а потом со скоростью  2 ,
причем время движения с каждой скоростью пропорционально
этой скорости. Через 4 часа после выезда мотоциклист был в
120 км от города А. Определить скорости 1 и  2 .
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Обозначим время движения мотоциклиста со
скоростью 1 через t1 , а со скоростью  2 через t1 .
Три уравнений системы очевидны:

 t   t  200,
 1 1 2 2
t1  t 2  6,

t
 1  1.
 2 t 2
Однако четвертое уравнение сразу составить не удается.
Действительно, не ясно, с какой скоростью двигался мотоциклист 120км?
Здесь возможны два случая:
1) все 120 км мотоциклист двигался со скоростью 1 , то есть
случай t1  4 .
580
В этом случае четвертое уравнение имеет вид: 41  120 ,
откуда находим 1  30 (км\ч).
2) часть пути в 120 км мотоциклист двигался со скоростью 1 ,
a часть пути со скоростью  2 , то есть случай t1  4 .
В этом случае четвертое уравнение имеет вид:
1t1   2 (4  t1 )  120 .
Рассмотрим первый случай: 1  30 (км\ч).
Система уравнений имеет вид:
30
t
 1   2 t 2  200,
t  t  6,
 1 2
 30 t1
  t ,
2
 2
4  t1  6,
откуда исключая t2 и  2 , получаем квадратное уравнение
14  34
, кото3
рые не подходят для рассматриваемого случая, так как
14  34
14  34
6.
(t1 )1 
 4 , а (t1 ) 2 
3
3
Отсюда заключаем, что первый случай невозможен.
3t12  28t1  54  0 , имеющее два корня t1, 2 
Рассмотрим второй случай.
Система уравнений имеет вид:
1t1   2 t 2  200,

t1  t 2  6,
1 t1
  ,
 2 t 2
1t1  (4  t1 ) 2  120,

0  t1  4,
откуда получаем 1  20 (км\ч),  2  40 км/ч, t1 = 2 ч, t2 = 4 ч.
О т в е т: 20 км/ч, 40 км/ч.
581
5.86. Имеются два картофельных поля. Сначала первое поле
было убрано бригадой А, а затем второе поле было убрано
1
вместе бригадами А и В. После того как была убрана
всей
3
площади поля, оказалось, что время, необходимое на оконча21
ние уборки, в
раза меньше времени, за которое могла бы
13
убрать оба поля одна бригада А. Известно, кроме того, что если бы второе поле убирала только бригада В, то ей для этого
потребовалось бы время, вдвое большее времени, за которое
могла бы убрать оба поля одна бригада А. Во сколько раз производительность бригады А больше производительности бригады В?
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Обозначим: производительность бригады А через
x, а производительность бригады В через y; площадь первого
поля через S1 , площадь второго поля через S 2 .
x
Требуется найти отношение .
y
Исходя из условия задачи нельзя сказать сразу, каким об2
разом убирались
всей площади при окончании уборки –
3
двумя бригадами, или часть бригадой А, а затем двумя бригадами А и В.
Все зависит от величины площади первого поля S1 , убираемого бригадой А, а точнее от того, какую часть площадь S1
составляет от всей убираемой площади S .
Для того чтобы найти решение, необходимо рассмотреть
два возможных варианта:
1
1) S 1  S .
3
2
Тогда при окончании уборки всей площади S убирались
3
двумя бригадами вместе и получаем систему уравнений
582
 2
 3 S 13 S
 x  y  21  x ,

S2
S
  2 .
 y
x
Получили неопределенную систему. Однако искомое отx
ношение
находится однозначно.
y
Рассмотрим первое уравнение системы. Разделив обе части
S
на , получим
x
x  y 14
2 x
13
x
13  3
x
13








x
13
3 x  y 21
x  y 21 2
x  y 14
y 14
y 1
x
 1   , откуда находим  , и, значит,  13 .
x 13
x 13
y
Из второго уравнения системы получаем
x
S
S 13
 2  , откуда находим
 .
y
S2
S2 2
S  S1 2
S
S
2
2
Тогда 2 
и
 1  1  , откуда находим

S
13
S 13
S 13
S1 11
11
1
 , то есть S 1  S , что противоречит условию S 1  S .
13
3
S 13
x
Поэтому решение  13 не удовлетворяет условию задаy
чи.
1
2) S 1  S .
3
Тогда при окончании уборки часть площади, равную
1
S 1  S , убирает бригада А, а часть площади, равную
3
S 2  S  S1 убирают две бригады вместе.
В этом случае система уравнений задачи имеет другой вид
583
1

 S1  3 S
S
13 S
 2   ,

x  y 21 x
 x
S2
S
  2 ,
x
y

S2
20 S
 S1
 x  x  y  21  x ,


 x  2 S ,
 y
S2

S2
20 S
S  S2
 x  x  y  21  x ,


 x  2 S .
 y
S2
Разделив обе части первого уравнения на S 2 и умножив на
x, получаем
x
20 S
x
S
1 S
 S  1  x  y  21  S ,
 21  S  1  x  y ,
 2
2
2
 

S
1
x
S
   ,
  1 x,
 S 2 2 y
 S 2 2 y
Подставляя второе уравнение в первое и, разделив числитель и знаменатель дроби на y, получаем уравнение
x
x
y
y
1 1 x
1 x

   1
 1  .
x
x
21 2 y
42 y
1
1
y
y
x
Произведем замену, полагая  u .
y
После замены уравнение принимает вид
u
1
u
1
42u  u(u  1)
 1 u 
 u  1 
1 
u 1
42
u  1 42
42(u  1)
u 2  43u
2
2
 1  u  43u  42u  42  u  u  42  0 .
42(u  1)
Решив уравнение, находим два корня u1  6 , u 2  7 .
Второй корень не подходит по смыслу задачи.
584
x
 6 , то есть производительность бригады А в 6 раз
y
больше производительности бригады В.
Итак,
О т в е т: в 6 раз.
5.87. Встречаются две команды шашистов А и В. По условиям
соревнований каждый участник одной команды играет по одной партии с каждым участником другой команды. Общее
число предстоящих партий в 4 раза больше числа всех игроков
в обеих командах. Однако из-за болезни два игрока не смогли
явиться на матч, в связи, с чем число всех сыгранных в матче
партий оказалось на 17 меньше предполагавшегося. Сколько
игроков выступило в матче за команду А, если известно, что в
ней было меньше игроков, чем в команде В?
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Обозначим количество игроков в команде А через х, а в команде В – через y. По условию x  y .
Планировалось сыграть x  y партий.
По условию общее число предстоящих партий в 4 раза
больше числа всех игроков в обеих командах, т.е. получаем
уравнение x  y  4( x  y ) .
Второе уравнение сразу написать не удается, так как неизвестно, в какие команды входили заболевшие игроки.
Возможны три случая:
1) если заболели игроки команды А, то уравнение имеет вид
( x  2)  y  xy  17 и получаем систему
xy  4( x  y),
 xy  4( x  y),
 

( x  2) y  xy  17,
 xy  2 y  xy  17.
Из второго уравнения получаем 2 y  17 , что невозможно,
так как y - натуральное число.
2) если заболели игроки команды В, то уравнение имеет вид
( y  2)  x  xy  17 и получаем систему
xy  4( x  y),
 xy  4( x  y),
 

( y  2) x  xy  17,
 xy  2 x  xy  17.
585
Из второго уравнения получаем 2x  17 , что невозможно,
так как x − натуральное число.
3) если заболело по одному игроку из команд А и В, то уравнение имеет вид ( x  1)( y  1)  xy  17 и получаем систему
xy  4( x  y),
xy  4( x  y),
 xy  4( x  y),
 
 

( x  1)( y  1)  xy  17,
xy  x  y  1  xy  17,
 x  y  18.
Подставив второе уравнение в первое, получим равносильную систему
 xy  4 18,
 xy  72,
 

 x  y  18,
 x  y  18.
Из второго уравнения y  18  x .
Подставляя в первое уравнение, получим x(18  x)  72 
18x  x 2  72  x 2  18x  72  0 , откуда находим два корня
x1  6 и x 2  12 . Тогда, соответственно, y1  12 и y 2  6 .
Таким образом, система имеет два решения (6; 12) и (12;
6). Но так как по условию x  y , то второе решение не удовлетворяет условию задачи.
О т в е т: за команду А выступило 6 игроков.
Упражнения.
889. Два поезда выехали одновременно в одном направлении
из городов А и В, расположенных на расстоянии 60 км друг от
друга, и одновременно прибыли на станцию С. Если бы один
из них увеличил свою скорость на 25 км/ч, а другой – на 20
км/ч, то они также прибыли бы одновременно на станцию С,
но на 2 часа раньше. Найти скорости поездов.
890. Два поезда выехали одновременно в одном направлении
из городов А и В, расположенных на расстоянии 60 км друг от
друга, и одновременно прибыли на станцию С. Если бы один
из них увеличил свою скорость на 25 км/ч, а другой – на 20
км/ч, то они также прибыли бы одновременно на станцию С,
но на 2 часа раньше. Найти скорости поездов.
586
891. Три самосвала, грузоподъемность первого из которых 12
т, второго – не меньше 2 т, а третьего – не меньше, чем второго, должны быть загружены песком с помощью двух транспортеров. Первый транспортер загружает ½ т песка в минуту, второй – 2/3 т в минуту. Самосвалы могут подъезжать к транспортерам в любом порядке, причем загрузка одного самосвала
может производиться только одним транспортером. Кроме того, начав загрузку при помощи одного из транспортеров, самосвал не может уже переехать на догрузку к другому. Время погрузки считается от начала загрузки первого самосвала до
окончания загрузки последнего. При соблюдении этих условий
минимальное время загрузки составляет 22,5 минуты. Предполагается, что на смену у транспортера загруженного самосвала
другим порожним самосвалом время не теряется. Если же все
самосвалы загружаются лишь с помощью одного второго
транспортера, то погрузка занимает 36 минут. Определить грузоподъемности второго и третьего самосвалов.
892. Между пунктами А и В расположен пункт С, причем АС =
17 км, ВС = 3 км. Из пункта А в пункт В выехала машина,
которая, не проехав и двух километров, остановилась. Через
некоторое время она двинулась дальше в пункт В и в этот же
момент из пункта С в пункт В отправились с постоянными
скоростями пешеход и велосипедист, каждый из которых,
достигнув В, сразу же поворачивает назад. С кем раньше
поравняется машина, с пешеходом или велосипедистом, если
ее скорость в 4 раза больше скорости велосипедиста и в 8 раз
больше скорости пешехода?
893. Самолет совершает посадку и движется по земле в течение
некоторого времени равномерно со скоростью υ. Затем летчик
включает тормоза, и движение самолета становится равнозамедленным, причем в каждую секунду скорость умеьшается на
2 м/с. Путь от места приземления до места полной остановки
равен 4 км. Отношение времени, за которое самолет проходит
первые 400 м, к времени, за которое самолет проходит весь
путь по земле, равно 4 : 65. Определить скорость υ.
587
5.2.9. Задачи на нахождение наибольшего или
наименьшего значения выражения
Решение некоторых текстовых и геометрических задач
сводится к нахождению наибольшего или наименьшего значений какой-либо величины.
Например:
- «найдите число, сумма которого со своим квадратом принимает наименьшее значение»;
- «из всех прямоугольных треугольников, вписанных в окружность, найдите треугольник наибольшей площади».
Такие задачи о выборе наилучшего варианта из всех возможных называют задачами на оптимизацию.
В общем случае решение задач на оптимизацию состоит из
трех этапов, и строиться по следующей схеме:
1) Создание математической модели задачи (этап “формализации”):
а) определяют оптимизируемую величину, т.е. величину,
наибольшее или наименьшее значение которой требуется
найти, и выражают ее через одну или несколько неизвестных
величин;
б) одну из неизвестных величин выбирают в качестве независимой переменной х и, исходя из конкретных условий задачи,
выражают все неизвестные через независимую переменную х;
в) осуществляют подстановку и задают оптимизируемую
величину как функцию y  f (x) только одной переменной х;
г) устанавливают границы изменения х в соответствии с
условиями задачи.
В результате получают задачу на отыскание наибольшего
или наименьшего значения функции y  f (x) на заданном промежутке, которая и представляет собой математическую модель решаемой задачи.
2) Решение полученной математической задачи отыскания
наибольшего или наименьшего значения функции y  f (x) на
заданном промежутке изменения х.
588
3) Выясняют, какой практический смысл (в терминах первоначальной задачи) имеет полученный математический результат,
и получают ответ.
5.88. Представьте число 10 в виде суммы двух неотрицательных слагаемых так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Оптимизируемая величина – сумма квадратов
двух неотрицательных чисел х и у: S  x 2  y 2 .
Требуется найти наименьшее значение S и определить неотрицательные значения х и у, при которых это наименьшее
значение достигается. По условию задачи x  y  10 .
Используя это равенство, представим S как функцию одной независимой переменной (либо х, либо у - безразлично).
Учитывая, что y  10  x , осуществим подстановку. Получим S ( x)  x 2  (10  x) 2  2 x 2  20x  100 .
Исходя из условия задачи, устанавливаем границы изменения независимой переменной х: x  [0;10] .
Исследуем функцию S ( x)  2 x 2  20x  100 на наименьшее
значение, учитывая, что x  [0;10] .
Из уравнения S / ( x)  4 x  20  0 находим критическую
точку x  5 .
Сравнивая значения функции S (x) в критической точке и
на границах промежутка x  [0;10] : S (0)  100 , S (5)  50 ,
S (10)  100 , находим min S ( x)  S (5)  50 .
[ 0;10 ]
Таким образом, при x  5 функция S (x) достигает своего
наименьшего значения. Поэтому условию задачи удовлетворяют числа x  5 и y  5 .
О т в е т: 10 = 5 + 5.
589
5.89. Лодка находится на расстояние 3 км от точки А берега.
Пассажир лодки желает достигнуть села В, находящегося на
берегу на расстоянии 5 км от А. Лодка движется со скоростью
4 км/час, а пассажир по берегу – со скоростью 5 км/час. К какому пункту берега должна пристать лодка, чтобы пассажир
достиг села В, в кратчайшее время.
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Сделаем чертеж.
●
В
●
С
●
х
А
●П
На чертеже точка П означает местонахождения пассажира
лодки. ПА = 3 км, АВ = 5 км. ПСВ – маршрут следования пассажира лодки к селу В, причем положение точки С между А и
В пока неизвестно.
Обозначим АС = х км. По смыслу задачи точка С может
занять любое положение между А и В , не исключая самих точек А и В. Значит, реальные границы изменения х таковы:
0 x 5.
Оптимизируемая величина – время t движения пассажира
лодки из П в В, зависящее от переменой величины х.
Выразим t через х. Имеем: ПС  ПА 2  АС 2  9  х 2 .
Этот путь пассажир лодки движется со скоростью 4 км/час,
9  x2
.
4
Путь СВ = 5 - x пассажир лодки преодолевает со скоростью 5 км/час, значит, время t 2 , затраченное на этот путь, рав5 x
но t 2 
. Суммарное время движения равно:
5
значит, время t1 , затраченное на этот путь, равно t1 
590
9  x2 5 x
, причем x  [0;5] .

4
5
Исследуем полученную функцию t (x ) на наименьшее значение на отрезке [0; 5]. Найдем производную функции t / ( x) :
t ( x)  t1  t 2 
1
x
1 5x  4 x 2  9
.
t / ( x)  
 
2
4 x2  9 5
20 x  9
Решая уравнение 5 x  4 x 2  9  0  5 x  4 x 2  9 , находим критическую точку.
Имеем: 25x 2  16( x 2  9)  9 x 2  16  9  x 2  16 , откуда находим критическую точку, принадлежащую отрезку [0;5]:
х = 4.
Вычисляем значение t (x ) в критической точке и на границах промежутка[0,5]:
7
29
17
t (0)   1,75 ; t (4) 
 1,45 ; t (5) 
 1,45 .
20
4
8
Сравнивая, получаем min t ( x)  t (4)  1,45 , то есть наимень[ 0; 5 ]
шее значение t (x ) достигается по такому маршруту ПСВ, чтобы расстояние между точками А и С по берегу было равно 4
км.
О т в е т: К пункту С , находящемуся между А и В на расстоянии 4 км от А.
5.90. В прямоугольной системе координат дана точка Р(–2; –1).
Написать уравнение прямой линии, проходящей через эту точку и отсекающей на отрицательных координатных полуосях
отрезки, сумма длин которых наименьшая.
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Уравнение прямой линии, проходящей через точку Р(–2; –1) с угловым коэффициентом k имеет вид:
y  (1)  k ( x  (2)) или y  1  k ( x  2).
Изменяя k, получаем разные прямые, отсекающие разные
отрезки на отрицательных полуосях. Причем, так как прямая
пересекает отрицательные полуоси, то угол  , образованный
прямой с осью Ох, является тупым и, значит, k  tg  0 .
591
у

A
–2
О
●
Р
х
–1
B
y  1  k ( x  2).
По смыслу задачи угол  изменяется в пределах от

до
2

 , то есть   ( ;  ) . Тогда k  (;0) .
2
Оптимизируемая величина – сумма длин отрезков, отсекаемых прямой y  1  k ( x  2) на отрицательных координатных
полуосях: S = OA + OB.
Выразим S через переменную k. Так как точки А и В лежат
на прямой, то отрезок ОА равен по модулю х прямой при у = 0,
а отрезок ОВ равен по модулю у прямой при х = 0, то есть
y, OB  2k  1  (2k  1)  1  2k , так как k  0 .
2k  1
1
 1  2k  3  2k  .
k
k
Требуется найти наименьшее значение функции
1
S (k )  3  2k  на интервале k  (;0) .
k
Найдем производную функции
Тогда искомая сумма равна S (k ) 
592
1
1
)(k  )
1  2k  1
2
2 .
S / (k )  2  2 

2
2
k
k
k
/
Решая уравнение S (k )  0 , находим критические точки
2
k 
 2(k 
1
2
.

2
2
2
.
2
Исследуем поведение знака производной S / (k ) в окрестности найденной критической точки.
Интервалу (;0) принадлежит точка k  
+
●
k
2
–

2
При переходе слева направо через критическую точку про2
изводная S / (k ) меняет знак с минус на плюс, значит, k  
2
2
точка минимума, а так как критическая точка k  
един2
ственная в интервале (;0) , то в этой точке функция достига-
2
)  3  2 2.
2
Таким образом, уравнение искомой прямой имеет вид:
2
2
y 1  
( x  2) или y  
x  2 1 .
2
2
2
О т в е т: y  
x  2 1 .
2
5.91. Производство х тысяч единиц продукции обходится в
q  0,5 x 2  2 x  5 млн. рублей в год. При цене р тыс. рублей за
единицу годовая прибыль от продажи этой продукции (в млн.
руб.) составляет р∙х– q.
ет наименьшее значение, то есть min S (k )  S (
[  ; 0 ]
593
При каком наименьшем значении р через 4 года суммарная
прибыль составит не менее 52 млн. рублей?
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Так как за 4 года суммарная прибыль должна составить не менее 52 млн. рублей, то годовая прибыль должна
быть не менее 52 : 4 = 13 млн. рублей.
Задача сводится к поиску наименьшего значения р, при
котором px  q  13 .
Так как q  0,5 x 2  2 x  5 , то получаем неравенство:
px  (0,5 x 2  2 x  5)  13 
px  0,5 x 2  2 x  5  13 
1
px  0,5 x 2  2 x  5  13  px  x 2  2 x  18 .
2
Так как x  0 по смыслу задачи, то неравенство можно пе1
18
реписать так: p  x  2 
(1).
2
x
В координатах ( x; p) построим график функции
1
18
и найдем множество значений ( x; p) , удовлеp( x)  x  2 
2
x
творяющих неравенству (1).
Область определения функции p (x) задается неравенством
x  0 , то есть D( p )  (;0)  (0; ) . Учитывая, что x  0 по
смыслу задачи, получаем D ( p )  (0; ) .
1
18
Найдем производную функции p ( x)  x  2  :
2
x
2
(
x

6
)(
x

6
)
1
18
1
18
x

36
.
p / ( x)  ( x  2  2 ) /   2 

2
2
2
2 x
x
2x
2x
( x  6)( x  6)
Решив уравнение p / ( x) 
 0 , найдем критиче2x 2
ские точки функции: x1  6 и x 2  6 . Вторая критическая точка не удовлетворяет условию x  0 и в данной задаче не рассматривается.
Исследуем поведение знака производной в окрестности
критической точки x1  6 .
594
+
●
6
─
х
Так как производная меняет знак с минуса на плюс при
переходе слева направо через критическую точку x1  6 , то в
этой точке функция имеет минимум. На промежутке (0;6)
функция убывает, на промежутке (6;) функция возрастает.
1
18
Кроме того график функции p ( x)  x  2 
имеет две
2
x
асимптоты. Вертикальную асимптоту х = 0 (ось ординат), так
1
18
как lim p ( x)  lim ( x  2  )   и наклонную асимптоту
x 0  0
x 0  0 2
x
1
18 1
18
b  lim( p( x)  kx)  lim( x  2   x)  lim(2  )  2 .
x 
x  2
x 
x 2
x
у
p
8
1
x2
2
●
2
–4
О
6
х
1
18
для x  0 изобx2
2
x
ражен на рисунке, а множество значений ( x; p) , удовлетворяющих неравенству (1), расположено над графиком и на этом
рисунке изображено штриховкой.
Эскиз графика функции p ( x) 
595
Из рисунка видно, что решение (6; 8) имеет наименьшее
значение р.
Таким образом, наименьшее значение цены р, при котором
через 4 года суммарная прибыль составит не менее 52 млн.
рублей, равно 8 тыс. рублей.
О т в е т: 8 тыс. рублей.
Замечание. Заметим, что если использовать некоторую изобретательность, то точку минимума функции
1
18
для x  0 можно найти без использования
p( x)  x  2 
2
x
производной.
Для этого достаточно воспользоваться известным неравенством между средним арифметическим и средним геометрическим двух неотрицательных чисел:
A B
 AB , если A  0 , B  0 , причем равенство имеет
2
место тогда и только тогда, когда А = В.
1
18
Для функции p ( x)  x  2  , применяя указанное заме2
x
чательное неравенство, получаем оценку
1
18
1 18
p ( x)  x  2   2  2 x   2  2 9  2  6  8 .
2
x
2 x
1
18
Таким образом, функция p ( x)  x  2 
при x  0 боль2
x
ше или равна 8. При этом равенство достигается в случае, если
1
18
x  , то есть x 2  36 , откуда, учитывая, что x  0 , находим
2
x
x  6.
Следовательно, локальный минимум рассматриваемой
функции равен 8 и достигается при x  6 .
Заметим, что указанным приемом удобно пользоваться для
b
всех функций вида y ( x)  ax   c , если a  0 , b  0 , x  0 . В
x
этом случае функция y (x) имеет локальный минимум, так как
596
y( x)  c  2 ab при всех x  0 . Минимум достигается при
x
b
и равен c  2 ab .
a
b
Аналогично, если x  0 , то функция y ( x)  ax   c имеет
x
локальный максимум, так как при этом y( x)  c  2 ab . Максимум достигается при x  
b
и равен c  2 ab .▼
a
5.92. В двух областях есть по 20 рабочих, каждый из которых
готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или
никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,1 кг
алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи х кг алюминия в день требуется х2 человеко-часов труда, а
для добычи у кг никеля в день требуется у2 человеко-часов
труда. Обе области поставляют добытый металл на завод, где
для нужд промышленности производится сплав алюминия и
никеля, в котором на 3 кг алюминия приходится 1 кг никеля.
При этом области договариваются между собой вести добычу
металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях
ежедневно сможет произвести завод?
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Оптимизируемая величина – масса сплава, произведенная заводом за сутки. Найдем выражение для этой величины.
Пусть в первой области t рабочих заняты на добыче алюминия, а (20 – t) рабочих заняты на добыче никеля. Работая 10
часов в сутки, один рабочий добывает 0,1∙10 = 1кг алюминия
или 0,1∙10 = 1кг никеля, поэтому за сутки рабочие добудут t кг
алюминия и (20 − t) кг никеля.
Пусть во второй области u рабочих заняты на добыче алюминия, а (20 – u) рабочих заняты на добыче никеля.
Работая по 10 часов в сутки, u рабочих создают 10u человеко-часов труда, которое по условию численно равно значе-
597
нию x 2 . Значит, величина добычи алюминия в сутки во второй
области равна х  10u кг.
Аналогично, за сутки (160 – u) рабочих, работающих на
добыче никеля, добудут в сутки у  10(20  u )  200  10u кг.
Всего в двух областях будет произведено t  10u кг алюминия и 20  t  200  10u кг никеля.
Так как по условию в сплаве на 3 кг алюминия приходится
1 кг никеля, то масса сплава будет в четыре раза больше, чем
масса никеля. Следовательно, масса сплава, произведенная заводом за сутки, будет равна величине:
m  4  (20  t  200  10u )  80  4t  4 200  10u . (1)
Выразим переменную t через u. Поскольку алюминия необходимо добывать втрое больше никеля, то выполняется равенство:
t  10u  3  (20  t  200 10u )  4t  60  3 200  10u  10u (2)
Подставляя (2) в (1), получим функцию одной переменной
u: m(u)  80  (60  3 200  10u  10u )  4 200  10u 
 20  10u  200  10u , причем по смыслу задачи u - целое
число, принадлежащее промежутку [0;20] .
Таким образом, задача сводится к нахождению наибольшего значения функции m(u)  20  10u  200  10u на отрезке
[0;20], где u – целое число. Решим полученную задачу.
Найдем первую производную функцию:
10
 10
5
5
m / (u ) 




2 10u 2 200  10u
10u
200  10u
 5
200  10u  10u
.
10u  200  10u
Найдем нули производной: 200  10u  10u  0 
200  10u  10u  200  10u  10u , откуда находим критическую точку u = 10.
Так как критическая точка единственная, исследуем поведение знака первой производной.
598
+
u
●
10
─
В найденной точке производная меняет знак с плюса на
минус, поэтому в точке u = 10 функция m(u) достигает максимума, совпадающего с наибольшим значением функции m(u)
на отрезке u  [0;20] , где u  N 0 , то есть max m(u )  m(10)  40 .
[ 0; 20 ]
При этом значение t  20 .
Это означает, что все рабочие первой области должны
быть заняты на производстве алюминия, за сутки они произведут его 20 кг, а рабочие второй области бригадами по 10 и 10
человек должны быть заняты на добыче алюминия и никеля,
они добудут их по 10 кг. Всего будет добыто 30 кг алюминия и
10 кг никеля, из них будет произведено 40 кг сплава.
О т в е т : 40 кг.
5.93. Алексей приобрёл ценную бумагу за 8 тыс. рублей. Цена
бумаги каждый год возрастает на 1 тыс. рублей. В любой момент Алексей может продать бумагу и положить вырученные
деньги на банковский счёт. Каждый год сумма на счёте будет
увеличиваться на 8%. В течение какого года после покупки
Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через двадцать
пять лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счёте была наибольшей?
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Решим задачу двумя способами.
1-й способ.
Так как цена бумаги каждый год возрастает на тысячу, а
куплена она в первый год за 8 тыс. рублей, то на k -й год бумага будет стоить (k + 7) тыс. рублей.
Если Алексей продаст бумагу в течение k -го года, то (25 –
k) лет вырученные деньги будут находиться на банковском
счете и сумму на счете в банке через двадцать пять лет после
покупки можно рассчитать по формуле «сложных» процентов:
599
8 25 k
)
 (k  7) 1,0825 k .
100
Таким образом, нам нужно найти номер максимального
члена последовательности S (k )  (k  7) 1,0825k , где k пробегает целые значения от 1 до 25.
Исследуем поведение членов данной последовательности.
Рассмотрим приращение функции S (k ) :
S (k )  (k  7)  (1 
S  S (k )  S (k  1)  (k  7) 1,0825k  (k  1  7) 1,0825( k 1) 
 (k  7) 1,0825k  (k  6) 1,0826k  1,0825k (k  7  1,08(k  6)) 
 1,0825k (k  7  1,08k  6,48)  1,0825k (0,52  0,08k ) .
Отсюда следует, что S  0 при 0,52  0,08k  0 , то есть
при k  6,5 , и, значит, при k  6 , а при k  6 получаем
S  0 .
Это означает, что при k  6 значение S (k ) принимает наибольшее значение при натуральном k, то есть в течение шестого года Алексей должен продать бумагу.
2-й способ.
Алексей должен продать ценную бумагу в тот момент, когда 8% от ее стоимости станут составлять не меньше чем 1 тыс.
рублей, то есть прибыль по вкладу будет не меньше 1000 рублей, что возможно при стоимости бумаги не менее 12,5 тыс.
рублей.
8
Действительно, решив неравенство
S (k )  1000 , полу100
100000 1000 2
чаем S (k ) 

10  12500рублей.
8
8
Это произойдет через пять лет после покупки ценной бумаги (8 + 5 · 1 = 13).
Таким образом, ценную бумагу нужно продать в течение
шестого года (сразу по прошествии пяти лет).
О т в е т : в течение шестого года.
600
5.94. У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров.
На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля
можно делить между этими культурами в любой пропорции.
Урожайность картофеля на первом поле составляет 400 ц/га, а
на втором — 300 ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором — 400 ц/га. Фермер может продавать картофель по цене 10 000 руб. за центнер, а свёклу — по
цене 11 000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может
получить фермер?
--------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е. Решим задачу двумя способами.
1-й способ. Оптимизируемая величина – суммарный доход, который может получить фермер. Найдем выражение для этой
величины.
Обозначим через х (га) площадь первого поля под картофелем и через у (га) – площадь второго поля под картофелем.
Тогда под свеклой на первом поле будет (10 – х) (га), а на
втором поле (10 – y) (га).
Следовательно, с обоих полей будет собрано 400х + 300у
центнеров картофеля и 300(10 – х) + 400(10 – у) = 7000 – 300х –
400у центнеров свеклы.
Тогда суммарный доход фермера будет равен
Р( x; y )  10000(400x  300 y )  11000(7000  300x  400 y ) 
 4 x  106  3 y  106  77  106  3,3x  106  4,4 y  106  106  (0,7 x 
 1,4 y  77)  0,7  106 ( x  2 y  110) (руб.)
Таким образом, задача сводится к нахождению наибольшего значения выражения (функции двух переменных х и у)
f ( x; y )  x  2 y  110 (1)
0  x  10,
при ограничениях 
(2)
0

y

10
.

Замечание. Заметим, что в отличие от всех задач, рассмотренных выше, в данной задаче не удается выразить одну переменную через другую и свести решение к поиску наибольшего
601
значения функции одной переменной на промежутке. Поэтому
такие задачи решаются иными методами. ▼
Неравенства (2) задают на плоскости хОу множество точек
внутри и на границе квадрата ОАВС. Иными словами, если какая-либо пара чисел (х, у) удовлетворяет неравенствам (2), то
соответствующая точка (х, у) лежит внутри многоугольника
ОАВС или на его границе. Эта область на рисунке заштрихована.
у
f  80
f  90
15
f  100
B
A
f  120
5
C
O
5
10
15
x
Каждая точка квадрата ОАВС определяет вариант производства картофеля и свеклы с учетом ограниченности используемых площадей.
Таким образом, исходная задача может быть сформулирована следующим образом: среди точек квадрата ОАВС найти
такую, в которой функция f ( x; y )  x  2 y  110 принимает
наибольшее значение. Дадим геометрическое толкование
функции f ( x; y )  x  2 y  110 , определяющей доход фермера.
Пусть f ( x; y )  x  2 y  110 равна фиксированному значению f, например, f = 80, что соответствует значению дохода
фермера Р  56106 руб.
602
Множество точек на плоскости хОу, в которых f  80 ,
изображается прямой x  2 y  110  80 . На рисунке эта прямая
изображена пунктирной линией f  80 .
Другому фиксированному значению f, например, f  100 ,
что соответствует значению дохода фермера Р  70106 руб.,
отвечает другая прямая, параллельная прямой f  80 .
Придавая f различные значения, получаем семейство параллельных прямых, являющихся линиями постоянного дохода. При этом очевидно, что чем больше f, тем ближе к началу
координат находится прямая.
Из рисунка видно, что наибольшее значение f, при котором
прямая f  const еще пересекает множество допустимых значений x и y, находящихся внутри и на границе многоугольника
ОАВС, соответствует прямой, проходящей через точку C.
Координаты угловой точки С, соответствующей наилучшему решению задачи, равны x  10 , у  0 .
Итак, максимально возможный доход при данных площадях полей фермер получит при x  10 и у  0 .
Этот доход составляет
Р  0,7 106 (10  2  0  110)  0,7 120 106  84 106 рублей.
2-й способ. Продавать свеклу более выгодно, поэтому второе
поле, где ее урожайность выше, следует засадить только свеклой. Она принесет доход 10 га · 400 ц/га · 11000 руб./ц = 44
млн. рублей.
На первом поле урожайность свеклы составляет 300/400 =
0,75 урожайности картофеля, а стоимость свеклы составляет
11 000/10 000 = 1,1 стоимости картофеля. Произведение этих
показателей меньше 1, поэтому выращивать картофель выгоднее: потери от меньшей стоимости компенсируются более высокой урожайностью. Следовательно, все поле следует засеять
картофелем, он принесет доход 10 га · 400 ц/га · 10000 руб./ц =
40 млн руб.
Тем самым, наибольший возможный доход фермера равен
84 млн рублей.
О т в е т : 84 млн рублей.
603
Многие задачи экономики, подобные рассмотренной, сводятся к задачам на оптимизацию и нахождению наибольшего
или
наименьшего
значения
линейной
функции F  ax  by  ...  cz нескольких неотрицательных переменных х, у,…, z при условии, что эти переменные удовлетворяют
заданной системе линейных уравнений или неравенств.
Подобные задачи часто возникают в экономике в связи с
планированием производства, логистике и управления различными процессами. В математике такие задачи называют задачами линейного программирования. Рассмотрим еще одну такую задачу.
5.95. Предприятие изготавливает продукцию двух видов (А и
В), используя для этого три вида ресурсов (М, N и K). Нормы
использования ресурсов и их запасы заданы в таблице.
Вид
Запас
Расход ресурса на единицу продукресурса ресурса ции
А
В
М
3600
6
6
N
2000
4
2
K
4000
4
8
Определить максимально возможное значение дохода от продажи продукции этого предприятия, если цены на продукцию
А и В равны соответственно 1200 и 1500 рублей за единицу.
-------------------------------------------------------------------------------Р е ш е н и е.
Обозначим через x и y искомые числа изделий А и В соответственно, а через F – доход предприятия от продажи продукции. Очевидно, что F  F ( x, y )  1200x  1500y .
Из условия следует, что для производства продукции А и В
в объемах x и y соответственно требуется использовать ресурсы М в количестве 6 x  6 y , ресурсы N – в количестве 4 x  2 y ,
ресурсы K – в количестве 4 x  8 y .
Ограничения на использование заданных запасов ресурсов
приводят к неравенствам:
604
6 x  6 y  3600,

4 x  2 y  2000,
4 x  8 y  4000.

Поэтому множество производственных возможностей
предприятия определяется системой линейных неравенств:
 x  y  600,
2 x  y  1000,

(1)
 x  2 y  1000,
 x  0,

 y  0.
Таким образом, задача сводится к следующей: требуется
найти максимальное значение функции F ( x, y )  1200x  1500y
при условии выполнения ограничений (1). Заметим, что максимум функции F  F ( x, y )  1200x  1500y соответствует максимуму суммы Z  4 x  5 y , так как значения F и Z связаны соотношением F  300Z .
Неравенства (1) задают на плоскости хОу множество точек
внутри и на границе многоугольника ОАВСD.
x + y = 600
y
Z=2800
2x + y = 1000
600
Z=2000
A
400
В
Z=1000
С
200
x + 2y = 1000
D
O
200
400 600
800
1000
x
605
Иными словами, если какая-либо пара чисел (х, у) удовлетворяет всем неравенствам системы (1), то соответствующая
точка (х, у) лежит внутри многоугольника ОАВСD или на его
границе. Эта область на рисунке заштрихована.
Каждая точка многоугольника ОАВСD определяет вариант
производства изделий вида А и В с учетом ограниченности запасов ресурсов М, N и K.
Таким образом, исходная задача может быть сформулирована следующим образом: среди точек многоугольника
ОАВСD найти такую, в которой линейная функция Z  4 x  5 y
принимает наибольшее значение.
Дадим геометрическое толкование функции Z  4 x  5 y ,
определяющей доход предприятия.
Пусть доход предприятия равен фиксированному значению F0, например, 300000 рублей, что соответствует значению
Z = 1000. Множество точек на плоскости хОу, в которых функция Z  4 x  5 y принимает значение 1000, изображается прямой, уравнение которой 4 x  5 y  1000. На рисунке эта прямая
изображена пунктирной линией, делящей многоугольник
ОАВСD на две части. Всем общим точкам этой прямой и многоугольника ОАВСD соответствует одно и тоже значение дохода, равного 300000 рублей.
Другому фиксированному значению дохода, например, F1
= 600000 рублей, что соответствует значению Z = 2000, отвечает другая прямая 4 x  5 y  2000, параллельная прямой
4 x  5 y  1000.
Придавая F различные значения, получаем семейство параллельных прямых, являющихся линиями постоянного дохода
4 x  5 y  C  const. . При этом очевидно, что чем больше С, тем
дальше от начала координат находится прямая.
Сравнивая угловые коэффициенты прямых, заключаем, что
наибольшее значение С, при котором прямая 4 x  5 y  C еще
пересекает множество допустимых значений x и y, находящихся внутри и на границе многоугольника ОАВСD, соответствует прямой, проходящей через точку В, так как при этом
606
прямая будет занимать положение наиболее удаленное от
начала координат.
Координаты угловой точки В, соответствующей наилучшему решению задачи, найдем, решив систему уравнений
 x  y  600,
откуда находим x = 200, y = 400.

 x  2 y  1000,
Итак, максимально возможный доход при данных запасах
ресурсов равен доходу от продаж продукции А и В объемом
200 и 400 единиц соответственно.
Этот доход составляет F = 1200∙200 + 1500∙400 = 840000
рублей.
О т в е т: 840000 рублей.
Упражнения.
894. Разложите число 20 на два слагаемых так, чтобы их произведение было наибольшим.
895.Представьте число 48 в виде суммы двух положительных
слагаемых так, чтобы сумма куба одного из них и квадрата
другого была наименьшей.
896. При каком уменьшаемом разность будет наибольшей, если вычитаемое равно удвоенному квадрату уменьшаемого?
897. Турист идет из пункта А, находящегося на шоссейной дороге, в пункт В, расположенный в 8 км от шоссе. Расстояние от
А до В по прямой 17 км. В каком месте туристу следует свернуть с шоссе, чтобы в кратчайшее время прийти в пункт В, если скорость по шоссе 5 км/ч, а по бездорожью 3 км/ч.
898. Расстояние между пунктами А и В равно 120 км. Из пункта А в пункт В по прямой дороге АВ начинает двигаться мотоциклист со скоростью 30 км/ч. Одновременно из пункта В по
дороге, перпендикулярной к дороге АВ, начинает двигаться
велосипедист со скоростью 10 км/ч. Когда расстояние между
ними окажется наименьшим?
899. Пункты А, В и расположены так, что АВ = 285 км,  АВС
= 60о. Из А в В выезжает автомобиль со скоростью 90 км/ч,
одновременно из В в С отправляется поезд со скоростью 60
607
км/ч. Через какое время расстояние между автомобилем и поездом будет наименьшим?
900. Даны точки А(0;3) и В(4;5). На оси Ох найти точку М такую, чтобы сумма длин отрезков АМ и МВ была наименьшей.
901. Прямая проходит через точку А(2;5) и пересекает параболу y  x 2 в точках, сумма ординат которых наименьшая. Вычислите угловой коэффициент прямой и напишите уравнение
этой прямой. Сделайте чертеж.
902. В начале 2001 года Алексей приобрел ценную бумагу за
19000 рублей. В конце каждого года цена бумаги возрастает на
3000 рублей. В начале любого года Алексей может продать
бумагу и положить вырученные деньги на банковский счет.
Каждый год сумма на счете будет увеличиваться на 10%. В
начале какого года Алексей должен продать ценную бумагу,
чтобы через пятнадцать лет после покупки этой бумаги сумма
на банковском счете была наибольшей?
903. У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров.
На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля
можно делить между этими культурами в любой пропорции.
Урожайность картофеля на первом поле составляет 400 ц/га, а
на втором — 300 ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором — 400 ц/га. Фермер может продавать картофель по цене 5000 руб. за центнер, а свёклу — по
цене 6000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?
904. На счет, который вкладчик имел в начале первого квартала, в конце этого квартала начисляется r1 процентов, а на ту
сумму, которую вкладчик имел в начале второго квартала, в
конце этого квартала начисляется r2 процентов, причем r1+r2 =
150. Вкладчик в начале первого квартала положил на счет некоторую сумму, а в конце того же квартала половину этой
суммы снял. При каком значении r1 счет вкладчика в конце
второго квартала окажется максимальным?
608
905. В двух областях есть по 100 рабочих, каждый из которых
готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или
никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,3 кг
алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи х
кг алюминия в день требуется х2 человеко-часов труда, а для
добычи у кг никеля в день требуется у2 человеко-часов труда.
Обе области поставляют добытый металл на завод, где для
нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При
этом области договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях
ежедневно сможет произвести завод?
906. Некто нанял пароход для перевозки грузов на расстояние
в 1000 км. Он предлагает плату хозяину парохода в размере
1500 золотых монет, но требует вернуть 9 золотых монет за
каждый час пребывания парохода в пути. Предполагается, что
пароход будет двигаться с постоянной скоростью. Если эта
скорость будет равна  км/ч, то в конце пути хозяин обязан
выплатить команде премию, равную 10 золотым монетам. С
какой скоростью хозяин должен вести пароход, чтобы заработать максимальное число золотых монет? Каково это число?
907. Предприятие выпускает изделия двух типов путем последовательной обработки каждого из них сначала в цехе А, а затем в цехе Б. Обработка каждого изделия первого типа занимает 5 ч в цехе А и 3 ч в цехе Б; обработка каждого изделия второго типа занимает 2 ч в цехе А и 4 ч в цехе Б. Цех А в состоянии работать не более 150 ч, цех Б – не более 132 ч в месяц.
Известно, что предприятие за каждое изготовленное изделие
первого и второго типов получаем прибыль соответственно
300 и 200 рублей. Определить, сколько изделий каждого типа
следует выпускать в месяц, чтобы обеспечить предприятию
наибольшую прибыль, и какова эта прибыль.
609
Ответы к упражнениям.
1. да 2. нет 3 нет. 4. да 5. нет. 6. нет 7. нет 8. нет 9. да 10. нет 11.
да 12. да 13. нет 14. нет 15. да 16. нет 17. да 18. нет 19. нет 20. нет
21. да 22. нет 23. да 24. да 25. нет 26. нет 27. да 28. нет 29. да 30. да
31. второе 32. второе 33. да 34. x  R 35. нет решений 36. 1 37. 7
38. 2,25 39. а  0, x  R ; а  0, x  а 40. а  2, x  R ; а  2, x  а  2
41. а  3, x  а  3а  9 ; а  3, нет решений; а  3, x  R
а 3
2
42. а  2, x  а  2а  4 ; а  2, нет решений; а  2, x  R
а2
43. а  1, x  а  1; а  1, x  R 44. m  n, x  2( m  n) ; m  n,
x  R 45. а  (1;1)  {2} 46.3;5 47. 1 ; 3 48. b  0, x2  0 49. b  1, x 2  1
2
6
50. 3  2 3 51.  ,6 52. а  2, x1  3 , x 2  6 53.  6 ,2 54. p  13
19
55.1;2 56. q  12, x1  3 , x 2  4 57.5 58. p  1; q  6
59. а  (1;0)  [8;) 60.6 61. 45360 62.0 63. нет решения в множестве действительных чисел;  5 в множестве комплексных чисел
3
64.2 65. а) q  (;0) б) q  (0;1] в) q  [0;1] г) q  (1; ) д) q  1
66.а) p 2  4q  0 , q  (;0) б) p 2  4q  0 , q  (0; ) в) p 2  4q  0 ,
2
p  (;0) , q  (0; ) г) p 2  4q  0 , p  (0;) , q  [0;) д) p 2  4q  0 ,
p  (;0] 67. а) x1  0, x 2  0, x1  x 2 б) x1  0, x 2  0 в) x1  0, x 2  0,
при a [1  2;0) ; x1  0, x 2  0 при a  (0;1  2 ]
68. x 2  2 2 x  2  0
69. 28x 2  20x  1  0
70. x 2  4 x  3  0
71. x 2  4 x  1  0 72. x 2  10x  1  0 73. x 2  4 x  1  0
74. 2 x 2  ( p 2  4 p  1) x  2 p  0 75. 2 x 2  2mx  m 2  n 2  0
76. x 2  (a 2  1) x  4  0 77. 6 y 2  5 y  1  0 78.-5;-4;2 79.-5;3 80.-4;-2;2
81. -4; -3; 3 82. 1 83. -1; 2; 3 84. 1 ; 1;3 85. -3;2 86.  2; 2 ;2 87. -2;1
3
3
1
1
3

1

5
88. -2;4 89.  ; ;
90.  1; ;5 91. 3  3 3 92. -2;-1;1 93. -3;5;1
5
2 4
2
94. 1 13
2
610
95.  2  4 2  2
2
96. нет корней 97.1
98.-1;  1
4
3
3
99.  2 ; 1 ;3 100.  3  2 101.  4 5 102. 1  5 ; 1  2 103. -2;1
3 2
2
2
2
104. -3;1 105. 1 ; 1 ; 5 ; 11 106. нет решений 107. 0;  3 ;  3  65
3 2 3 6
2
4
108.  3  21 109.  5  85 ;  5  5 110. -8; 4 111.  5  13
112. -9; -
2
2
2
2
5
1
1
1

1
 33

15

189
1 113.  ;
114.
115.  ; 116.
;3;2 117.
12 2
4 2
2
18
 35  265
 15  129
3 7 ; 2 2
;8;7,5 118.
;6;4 119. 1;16 120.
4
2
2
2
121.0;1 2; 1  3
123.1; 1  5  2  2 5
122.-2;  3  5
124.1 2
2
125.  3  14 ;1;1,5 126. -1;  1 ;2;4 127. -3;-2;0;1 128. -1; 3  2 2 129.
2
2
3  5 130.1 131.1 132. -1; 1 ; 2;  2  3 133. -2; -1; 1 ; 1 134.-3

2
2
2
135. корней нет
136. 2;  5  21  10 21  18
137. 5; 9
138. 4,5; 5,5
4
139.-5;-3 140.-3;1 141.  2  3 2  3 142.2;4 143.4 144.-1 145.-5 146. 1
147.4
148.4
149.  1
4
150.  2 ;  24 ;  1  6
151.1;-5
3
2

2

66

1
17
152.
;  1 13 153.0;-2;
154.1 155.-3;1 156.-6;2;  2  6
2
2
157.1;  3  5
158. 1 5 ;  8  65
159. 11 ; 11 5
160.1,2;2,4
2
2
2
2
161.  2  15  145
10
162.0 163.1
167.  2 ;  3 21
168. 7  34 169. 1;4
164.0;  3  2 3
3
165.0;  5  3 166.
2
170.1;2;  2  2
171.-
7
5;1;  1  6 172.  2 ;  1  3 ; 1  3 173. -1 174.1 175. 2  2 3 ;  2 2
176. 2 ;3 177. 1;  5 178. -1; 2 179. 2 180. -3 181.-2; 4 182. 3  a ,
3
7
при а  0 183. [3;) 184.  2 ; 4 185. [4;) 186. (;0] 187. (; 4 ]
3
7
7
1
3
5
5

13
188.-3;10 189.[1;3] 190.[2;3] 191.1; ; ;5 192.  ; 193.1; 4 ;
2 2
2 2
2
611
195. (;4]  [ 1 ; ) 196.1 197.2 198. 1 ; 15 199.2;-6
2
4 4
3
10
1
3
5
7
200. ;
201.4 202.2;3 203.0;2 204. ; ; ; 205.-1,6;2 206.1 207.2 3
4 4 4 4
4;4 208.-3;-1;2;4 209. [7;4]  [1;4] 210. {3}  [3; )
194.2
211. (;5]  [ 11  233 ;4]  [11  233 ;) 212. 0; 8 ; 5
5 2
2
2
213.-5;  2  3 214. 3 ; 11 215.  5  13 ;  7  13 216.-1 217.-6 218.6
7 7
2
2
219. -3 220.9 221.7 222.3 223. -4 224. 1 225. 1 226.  9 227. 2  6
4
4
2
228. 2  2 6 229.14/3 230. -3 231. -2 232. -2 233. -3 234. -3 235. 238. 11 239. -8;3 240. 0;  8 241.  7  61
13
5
6
3
242. 3 243.  1 5 244. 7  5 245.5 246.4 247.1 248.1 249.5 250.
2
2
4 236.1 237. 15  2 5
нет решений 251.5 252.3 253.3 254.5 255.3 256.9 257.3,125 258.64
259.7 260.3 261.3;7 262. -10;0 263.3 264. -3,5;2 265. 4;12  2 11 266.7,5
267. 3 268.  4 ;  1 269. -5 270. -2 271. 2  6 272.-4; 1 273.-5; 2 274.
5
4
2
нет решений 275. 1 276.  15 277. 5 278. -1;1 279. 2;  1 280.26
14
511
3
3
281.
282.2 283.  284.2 285. [1;2] 286.3;15 287. 15 288. 16 289.
4
5
[5;8] 290.-14;5 291.-5;2 292. 1; 8 293. 80; -109 294.1 295.1;2;10 296.
6; 39 297.4 298. нет решений 299.-1;2 300.  1 ; 1 ; 2; 3 301.-5;  7
2 3
3
2
11
5
3
1
302. 2 303.-3;  ;11 304. ;1 305. -5;5 306.  ; 307.1;3 308.-0,5;1
2
2 2
7
30
1
309.5 310. 5; 
311.0;63 312. 313. ±27 314.0,75 315.5;6 316. -1;-2
127
3
317.27 318.-15;1 319.-73;-8 320. 17  257 ; 17  4 14 321.1 322.1
323.1 324.-3; -1 325. 25 326. г) 327. г) 328.в) 329. в) 330. б) 331. г)
16
332. г) 333. б) 334.1 335.-2 336.1 337.2 338.1 339.1 340.0 341.0
342.2 343.1,5 344.-3 345.1 346.16 347.-2 348.2 349.1 350.1,5 351.-2
352.4 353.2 354. 4 355.18 356.4 357.4,4 358. (0;1)  (1; ) 359.1
612
360.  0,5 361.5 362.13 363.-2,5 364.2 365.4,5 366.7 367.10 368.1
369.7 370.5 371.-4;4 372. нет решений 373.9 374. 0, 2 ; 0,04 375.1
376.-2 377.4 378.1 379.-3;-1 380.8 381. 1 ;2 382.-17 383.54 384.
16
3  2 ;3 385. 3 386.-2 387.16 388.0,1 389.4 390.2 391.0,25 392.81
393. 394. 1 ;3 395.-3 396. 397.16 398.3 399.-5 400.5 401.-1,8;23
9
1
402. ;25 403. -2 404.3 405.7 406.2 407.3;7 408. 1 409.2; 2 3 2
12
5
1
1
1
4
410. 2;512 411.(0; ] 412. 4 2 413.
414.
415.1;30 416.10;104
2
9
25
417.9 418.5 419. 1; 2  10
420.  5  21
421.-4 422.1 423.0,1;2
2
424.1 425.3 426.2 427.-3; 1 428.-8 429. 32 1 430.16 1 431.2 432.1 433.4
2
4
4
434.1 435.1 436.1,5 437.-10 438.1,25 439.-3,5 440. -81 441. 36 442. 2
443.4 444.-2 445.-2 446.3,5 447.4,6 448.г) 449.б) 450. в) 451. б)
452. 1 453. 2 454. 2 455. 0 456.1 457. 0 458. -1 459. 1 460.0 461. -2
462. -1 463.  23 464. 8 465. 1 466. 0 467. 7 468. 0,1 469. 5 470. 3
6
471.-2;2 472.-1 473. log3 6 474.0;2 475.-3;1 476.-2;1 477.36 478.1;3
479. log3 2 480.3 481. log 3 4 482.  log2 3 ;0 483.-2;3 484.-0,5;0 485.
1 ; 3 486.-1 487. log 2 488. log 3  1 ;1 489.-0,5;1 490.1;2 491.
3
2
3
lg 3
3 496. 25
492. 3 9 ; 3 6 493.  1 ; 1 494.2 495. log
5 1
3 7
4
lg 2  lg 5
2
2
497.3 498.-1;2 499.-2;2 500.1 501.9 502. 1 log 2 12 503. lg 7  lg 5
3
lg 7  lg 3
504. 
lg 3
505.0,01 506.   k , k  Z 507.1;  ;   2k , k  Z
2
9
9
3
lg 5  lg 3
509.   2k , k  Z 510. 1 511. (1  2n;2  3n) , n Z
4
512. ( 4  3n;2n) , n Z
513. (83 p  102;22 p  27) , p  Z
514.
508. 2; 4; 1
3
(19 p  45;17 p  40) , p  Z 515. (2 p  5t  2; p;2t  1) , p  Z , t  Z
516. (2;2) ; (0;0) ; ( 4;4) ; ( 2;6)
517. (0;0) ; ( 2;2)
518. (2;0) ; (0;2) ;
;
519.
;
520.
;
( 2;4) ( 4;2)
(0;0) ( 3;1)
(0;0) ( 1;4) 521.(3;-1),(1;-5)
613
522. (1;6); (7;-12); (-1;-4);(-7;14) 523.(2;1),(0;1) 524. (1;0) ; (1;0)
525. (1;2) ; ( 1;2) ; (5;2) ; ( 5;2) 526. (2;1) ; ( 2;1) 527. (2;1); (-2;-1)
528. (1;1) 529. (3;0) ; (1;2) ; (1;4) ; (3;6) 530. (0;2) , ( 2;2) 531. (1;5) ;
(1;9) ; (7;97) ; (7;99) . 532. (0;0), (1;2) 533. 3 534. (2;8) 535. (1;33),
(9;9) 536. (53;52), (19;16), (13;8), (11;4) 537. (4;3), (6;13), (14;5) 542.
(1;3;1), (3;1;1) 543. n = 5, k = 3 544. (1;3) 545. (2;8), (6;28) 546.
(2;1) 547. (4;6) 548. (3;5), (5;3) 549.(3;14), (-3;14), (3;-14), (-3;-14),
(14;3),(-14;3),(14;-3), (-14;-3) 550.(10;1),(10;-1),(-10;1),(-10;-1) 551.(5;2)
552.(0;0) 553.(0;0),(0;1), (1;0), (1;2),(2;1),(2;2) 554.k = 0, n = ±2; k = 4, n
= ±23. 555.(7;-1), (-7;5), (1;5),(-1;-1) 556.(14;2), (2;-2), (-2;2), (-14;-2), (34;-10), (34;10), (26;10), (-26;-10) 557.(1;3),(1;-3),(-4;3),(-4;-3) 558.(0;0),
(1;0), (1;1), (0;2), (-2;2) 559.(0;3),(2;4) 560.(2;1),(2;-1),(-2;1),(-2;-1 561.
нет 562. да 563. да 564. да 565. да 566. да 570. (4;5) 571. (2/3;1)
3
10  2 x
572. нет решений 573. ( x;
575. a  R
), x  R 574. a  
2
7
576. a = 1 577. a = 2 578. m  2 579. а = - 4 580. а = -1, а = 1 581.
(1;0) при a  1 ; (t;1-t), при а = 1; (t;1+t), при а = − 1, t  R
582.
a 1 1 a
;
) , при
2
2a
a  (0; ); (t; p), при а = 0 и (t; -1- t), при а = -1, где t  R , p  R ;
a2
нет решений при a  (;1)  (1;0) 584. (
;0) ,при a  0 и
a
(1;0) при a  1 , (t;1-t) при а = 1, где t  R 583. (
a  3 ; решений нет, если a  0 ; если a  3 , то
t R
(t ;
5  3t
) , где
2
585. при а = 0 решений нет; при а  0 имеет решение
 1  a  а 1  а 2  586.(3;2;1) 587.(1;0;-1) 588. 1 1 1 589. решений
( ; ; )


;
2 3 6
a
a 

3
нет 590. (-1;3;2) 591. решений нет 592. (1;2;3;4) 593. (1;2;3;4)
595.(1;-3;2) 596.(5;4;3) 597.(1;1;1;1) 599.(1;2;3;4;-4;-3;-2;-1) 600.(1;1;1)
2
601.   a  1 ; 1 ; (a  1)  , если а  2 , а  1 ; нет решений, если а  2
 a2 a2 a2 


614
602.  ap  bq  cr  ds ; bp  aq  dr  cs ; cp  dq  ar  bs ; dp  cq  br  as 
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
 a b c d a b c d a b c d a b c d 
603. (0;0), (2;2), ( 2;2  2 ) , ( 2;2  2 ) 604. (3;2), (-2;-3),
( 3  10;  3  10) , ( 3  10;  3  10) 605. (1;-5), (5;-1) 606. (2;3),
(3;2) 607. (-2;3), (3;-2), (0;4), (4;0) 608. (1;3), (3;1) 609. (1  2;1) ,
(1  2;1) 610. (-1/3;-5/3), (3;0) 611. (2;1), (-2;-1), (1;2), (-1;-2),
(
3
3
3
3
3
3
3
3
 1;
 1) , (
 1;
 1) , (
 1;
 1) , (
 1;
 1)
2
2
2
2
2
2
2
2
612. (2;-3), (-3;2), (1;-3), (-3;1), (2;1),(1;2)
614. (2;3), (
613. (3;3), ( 75 ; 3 )
13 7
601 19
; ) 615. (-3;1), (1;-3), (-2;3), (3;-2) 616. (5;2)
26 14
433  17 ,
)
10
617. ( 1;2) , (1;2) , ( 1 10( 433  17) ;
10
(
1
10( 433  17) ;
10
6
6 ,
433  17 618. (1;1), (-1;-1),
(2
;
)
)
11 11
10
3
3
3 3
3
3
; ) , ( ; ) , (3
;
),
5
5
5 5
17
17
(2
6
6
;
)
11
11
(3
3
3
;
) 620. (3;5) , (8;5 ), (8;5) , ( 3;5) 621. (0; 2 ) ,
17 17
619. (
(0; 2 ), (1;1) , (1;1) , ( 1 ;3 1 ) , ( 1 ;3 1 ) 622. (2;0,5), (-2;-0,5)
5
5
5
5
623. (1;2), (-3;-2), ( 7  61 ;  9  61 ) , ( 7  61 ;  9  61 ) ,
2
2
2
2
1
1
 9  65 7  65 ,  9  65 7  65 624.
( 1980 ; 1980 ) ,
(
;
) (
;
)
2
2
2
2
2
2
1
1
( 1980 ; 1980 ) 625. (1;2), (2;1) 626. (1;2;-3) 627. (0;2;1) 628. (2;4;6),
2
2
615
(-2;-4;-6)
(
630. (2;3;4), (-2;-3;-4)
631. ( 13 ; 7 ; 91) ,
7
13
25 25 25
13 7
;
; 91) 632. (0;0;0) , ( ; ; ) 633. (0;0;0) , (1;1;1)
9 7 4
7 13
634.(3;4;5),(4;3;5), ( 7  113 ; 7  113 ;9) , ( 7  113 ; 7  113 ;9) ,(-3;-4;-5),
2
2
2
2

7

113

7

113

7

113

7

113
(-4;-3;-5), (
;
;9) , (
;
;9)
2
2
2
2
635. (2,1,3), (1,2,3) 636. ( 20 ; 13 ; 45 ) , ( 20 ; 13 ; 45 ) 637. (3;5;6),
7 14 14
7 14 14
2
3
2
1
1
(-3;-5;-6) 638. ( ; ;1) , ( 3 6 ; 3 6 ; 3 6 ) 639.   1 ;1; 3  ;
3 4
3
12
6
2
 2
 2 4  640. (9;10;12), (10;9;12) 641. (0;1;2), (0;-1;-2),
 ; ;2 
3 3 
1
4  ,  2 1 4  643. (-1;-1), (2;-1), (-1;2) 644.
 2

;
;
;
;

 
3
3  
3 3 3
 3
(6;3), (-6;-3), (-6;3), (6;-3) 645. (5;3), (2;6) 646. (-4;2), (4;-2) 647. (6;6)
648. (-3;2) 649.  2 ; 2 ; 2  650. (119 ; 120 ; 120) 651. (60;20;30)
60 11 19
7 5 3
652. (1;2;3), (-1;-2;-3) 653. (-18;-12;-6), (18;12;6) 654. (0;0;0), (1;1;1)
1 1 1
2 3 6
1
3
655. (3;3;3) 656. (-1;-1;-1;-1), (1;1;1;1) 657. ( ; ; ) 658. (1;3; ) ,
1
1
1
1
1
(1; ;3) , (3;1; ) , (3; ;1) , ( ;3;1) , ( ;1;3) 659. ( 1 ;2; 2 ) , (3;6;2)
3
3
3
3
3
3
3
660. (3;4;6;9), (3;4;9;6), (4;3;6;9), (4;3;9;6) 661. (1;1;1) 662. ( 17;6 )
663. ( 6;12 ), (  9 ;9 ) 664. (9;-4), (16;-3) 665. (2;1), (1;3) 666. (8;1),
2
(8;-1), (-8;1), (-8;-1) 667.(0;-12), (5;3) 668. (  1;1 ), (1; 1),
  11  3 1    11  3 1 
4 2

 ;  669.(1;-2), ( 3;2) 670.(4;2), ( ; )
 ;  ,  
  21  21    21  21 
3 3


 
616
671. ( 1 ; 1 ) 672. ( 5;3 ) 673. (4; 12) 674. ( 3;2 ), ( 45 ; 135 ) 675.
2
4
4 5
30
23
30
30
(8;0,25) 676. ( 30;
;
) 678.(1;4), (-1;-4), (4;1),
) , (
4
4
2
(-4;-1), ( 2 ;2 2 ) , ( 2 ;2 2 ) , (2 2 ; 2 ) , (2 2 ; 2 ) 679.
2
2
2
2
[3;3] 680. (2 5;4) , (2 5;4) , (2 3;0) , (2 3;0) 681.(1;8), (8;1)
682.(8;2) 683.(0;0), ( 2 ; 2 ) , ( 3 3 ; 3 ) 684. ( 5 ; 5 ; 10 ; 15 ) 685.
26 13 13 13
2
4
4
4
(1; -1) 686. (-2;0) 687. (-1;2) 688. ( 6; ), ( 2;4 ) 689. (3;2) 690. (3;-9)
3
1
1
1
1
691. (2; -1) 692. ( ; ), (  ; ) 693. ( 0;0 ), ( 1;1 ) 694. (0;4), (4;0)
2 2
2 2
695. (0;-2), (2;0)
1
2
696. (3;5) 697.(3;5), ( 4; ) 698. (4;4) 699. (1;2),
1
(16;28) 700. ( 3  5 ;  1  5 ) 701. (64; 1 ) 702. (  ;3 ) 703. (3;2)
2
4
2
2
70 4. (5;1) 705. (0,1;0,003), (0,003;0,1) 706. (3;1), ( 3 21; 1 21)
7
3
707. (1;1) 708. (3; 5 ), (5;3), (-3;-5), (-5;-3) 709. (1;0), (4;-3) 710. (-1;3)
1
3
), ( 4; ) 713. ( 1 ; 9 ) 714.
2
2
4 4
3 15
 1  19 2  19 715. (0;0), (-1;-2), 5 3 5 3 ,
(
;
)
( ; ), (
;
)
2 4
3
3
2
2
5 3 5 3
(
;
) 716. (-1;-3), (-1;3) 717. (0;1) 718. (1,5;5,5), (2,5;5,5)
3
3
719. ( x;5  x ) , где x  3 720. (t ; t  2) , где 0  t  3 , (t ;8  t ) , где
711. (0;4), (2,4;-0,8), (-12;-20) 712. ( 4;
3  t  6 721.(2;4) 722.(1;-1), (-1;-1), ( 7 ; 1 ) , ( 7 ; 1 ) 723. (-4;-1)
3 3
3 3
724. (2;1), (2;-1), (-2;-1), (-2;1) 725.(-4;1),(2;1) 726. (3 3 ; 7 ) , (3;1)
7 3
727. (0,5(3  2 3);0,5(3  2 3)) 728. (0,5(5  5 );0,5(5  5 ))
729.(3;10),(-20;36) 730.16 731.12и15 732.5 733.80 734.3 735.15 736.48
737. 70 738. 62,4 739.20 740.3 741.200 742.90 743.4,5и16,5 744.4 745.
617
240 746. 747. 14 748.16 км 749.168 750.15 751.9 752. 28 753.26 754.5
755.15 756.10 и 15 757.12 758.15 759. 8 761.10 762.26 765.3 766. 40
767.25% 768. 91,5 769. у 770.54 771. 33 1 772.20 773.4 774.8 775.21
3
776.44,88 777.780 778.5,9 779.В 780. уменьшится на 20% 781.D
782.15%
783.75% 784. 40% 785. 15 5 % 786. 530000 787.1000
13
788.25% 789.12% 790.36 791. уменьшится на 1% 792.780,3; 795,906
793. 1102,5 794. 20% 795.12% 796. (12 78 100)% 797.12 месяцев
798.14 799.48000 800.2 801.1488000 802.1866000 803.1356000
805.2034000 806.5 807. 2622050 808.26% 809.20 810.12% 811.12
812.100 813.9 814.60 815.120г 816.24 817.7;4;4кг 818.12,13кг 821.6
822.4 823.5 824.скорость первого автомобиля в 9/8 раза больше, чем
второго 825.16 часов 826. 75% 827.14и18 828.14 и 25 конфет
829.11 лип и 5 берез 830.2 831.41;3и2 832.180 833.75;195 834.3;40
835.13,17,19 836.х=100, у=10, z=1 837.36 838.12 839.63 840.47
841.32 842.45 843.24 844.32 845.91 846.45 или 54 847.512 848.248,
436,624,812 849.36 850.2401 851.2178 852.143;143 853.1667;3334
854.27 855.11,12,15,24,36 856. 142857и428571 857.71 858.180 859.52
860.52 861.99 862.89 863.37 864. 69 865.167, 334, 27889 или 167,
334, 55778 866.72 867.105263157894736842 868.12;8 и 23;9 869.4
874.можно 875.11 876.29 877. не больше 6 878.19 879.32 880. не
успеет 881.9 пятиэтажных и 8 девятиэтажных 882.33 883.40 884.9
885.47 886.22 887.6 888.24 889. 50 км/ч, 40 км/ч. 890. 50 км/ч, 40
км/ч 891. 3 т, 9 т 892. с велосипедистом 893.100 м/с 894.10+10
895. 6+42 896.0,25 897. 9 км от А 898. через 3,6 ч 899. t =2 ч, если
ВС ≥ 120 км, t = ВС/60, если 0 < ВС < 120 км 900.(1,5;0) 902. 2005
903. 44000 904. 100% 905. 240 кг 906. 30 км/ч; 900 монет 907. 24 и
15; 10200 руб.
618
Литература.
1. Бабинская И.Л. Задачи математических олимпиад. М.:
Наука, 1975.
2. Балаян Э.Н. 1001 олимпиадная и занимательная задачи по
математике. Ростов н/Д: Феникс, 2007.
3. Березин В.Н., Березина Л.Ю., Никольская И.Л. Сборник задач для факультативных и внеклассных занятий по математике. М.: Просвещение, 1985.
4. Вавилов В.В., Мельников И.И., Олехник С.Н., Пасиченко
П.И. Алгебра: задачник 10 – 11 классы. М.: Дрофа, 1996.
5. Вышенский В.А., Карташов Н.В., Михайловский В.И., Яд
рен-ко М.И. Сборник задач киевских математических олимпиад. – Киев: Вища школа, 1984.
6. Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач
по алгебре для 8 – 9 классов. М.: Просвещение, 2000.
7. Говоров В.М., Дыбов П.Т., Мирошин Н.В., Смирнова С.Ф.
Сборник конкурсных задач по математике. М.: Наука, 1983.
8. Лоповок Л.М. Тысяча проблемных задач по математике. М.:
Просвещение, 1995.
9. Медынский М.М. Полный курс элементарной математики в
задачах и упражнениях. Книга 1: Числа. М.: Эдитус, 2014.
10. Медынский М.М. Полный курс элементарной математики в
задачах и упражнениях. Книга 2: Числовые последовательности и прогрессии. М.: Эдитус, 2014.
11. Медынский М.М. Полный курс элементарной математики в
задачах и упражнениях. Книга 3: Тождественные преобразования выражений. М.: Эдитус, 2014.
12. Моденов В.П. Пособие по математике. Изд. МГУ, 1972.
13. Нагаев В.А., Толстов В.Н., Молодожникова Р.Н., Чернов
Н.И. Сборник конкурсных задач по математике. М.:МАИ,1968.
14. Петраков И.С. Математические кружки в 8 – 10 классах.
М.: Просвещение, 1987.
15. Сивашинский И.Х. Задачи по математике для внеклассных
занятий. – М.: Просвещение, 1968.
16. Фарков А.В. Математические олимпиады в школе. 5-11
классы. М.: Айрис-пресс, 2007.
619
Cодержание
От автора _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 3
Предисловие _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 5
Глава 1. Понятие уравнения _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 9
1.1. Что такое уравнение?_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 9
1.2. Основные определения, связанные с понятием
уравнения _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 14
1.3. Равносильность (эквивалентность) уравнений _ _ _ _ _ _ 18
1.3.1. Понятие равносильных уравнений и уравненияследствия. Посторонние решения _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 18
1.3.2. Задачи на понятие равносильности уравнений _ _ _ 22
1.3.3. Основные теоремы о равносильности уравнений _ _ 29
1.3.4. Примеры применения теорем о равносильности
уравнений _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _39
У п р а ж н е н и я _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _48
Глава 2. Уравнения с одним неизвестным _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 50
2.1. Линейные уравнения_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 50
У п р а ж н е н и я _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 53
2.2. Квадратные уравнения. Формулы для корней.
Теорема Виета. _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 54
2.2.1. Задачи, решаемые с использованием прямой
теоремы Виета _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 57
2.2.2. Задачи, решаемые с использованием обратной
теоремы Виета _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 65
У п р а ж н е н и я _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 69
2.3. Целые рациональные уравнения высших степеней _ _ _ 73
2.3.1. Корни многочлена. Разложение многочлена по
корням _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _73
2.3.2. Общий метод решения уравнений высших
степеней _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 77
2.3.3. Частные методы решения уравнений высших
степеней _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 85
У п р а ж н е н и я _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 110
2.4. Дробно-рациональные уравнения _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 113
2.4.1. Понятие дробно-рационального уравнения.
Схема решения _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _113
2.4.2. Методы решения дробных уравнений _ _ _ _ _ _ _ _115
У п р а ж н е н и я _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _142
2.5. Рациональные уравнения, содержащие неизвестное под
знаком абсолютной величины (знаком модуля) _ _ _ _ 144
2.5.1. Общий метод решения уравнений, содержащих
неизвестное под знаком абсолютной величины
(знаком модуля) _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 144
2.5.2. Частные методы решения уравнений, содержащих
неизвестное под знаком модуля _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 149
У п р а ж н е н и я _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _154
2.6. Иррациональные уравнения _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _156
2.6.1. Особенности иррациональных уравнений _ _ _ _ _ _156
2.6.2. Методы решения иррациональных уравнений _ _ _ 159
У п р а ж н е н и я _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _222
2.7. Логарифмические уравнения _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _227
2.7.1. Простейшее логарифмическое уравнение и его
решение _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 227
2.7.2. Методы решения логарифмических уравнений _ _ _228
У п р а ж н е н и я _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _247
2.8. Показательные уравнения _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 251
2.8.1. Простейшее показательное уравнение и его
решение _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 251
2.7.2. Методы решения показательных уравнений _ _ _ _ 251
У п р а ж н е н и я _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 277
Глава 3. Уравнения со многими неизвестными _ _ _ _ _ _ _ 280
3.1. Уравнения в целых числах и методы их решения _ _ _ 280
3.1.1. Методы решения линейных уравнений в целых
числах _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 281
3.1.2. Методы решения нелинейных уравнений в целых
числах _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 292
3.2. Некоторые замечательные уравнения в целых числах _ 311
3.2.1. «Пифагорово» уравнение x 2  у 2  z 2 _ _ _ _ _ _ _ 312
3.2.2. Неопределенное уравнение x n  у n  z n , n  N _ _ _314
У п р а ж н е н и я _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _317
Глава 4. Системы уравнений _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 320
4.1. Понятие системы уравнений _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
320
4.1.1. Определение системы уравнений. Решение системы.
Область допустимых значений _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 320
4.1.2. Равносильность (эквивалентность) систем
уравнений. Система-следствие _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 324
У п р а ж н е н и я _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 334
4.2. Системы линейных уравнений _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 336
4.2.1. Основные понятия и определения _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 336
4.2.2. Решение и исследование системы двух линейных
уравнений с двумя неизвестными _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 337
У п р а ж н е н и я _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 353
4.2.3. Решение и исследование системы двух линейных
уравнений с тремя неизвестными_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 355
4.2.4. Решение систем линейных уравнений со многими
неизвестными. Метод последовательного исключения
неизвестных – метод Гаусса_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _356
У п р а ж н е н и я _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _359
4.2.5. Частные методы решения систем линейных
уравнений со многими неизвестными _ _ _ _ _ _ _ _ 361
У п р а ж н е н и я _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 363
4.3. Системы уравнений высших степеней _ _ _ _ _ _ _ _ _ 365
4.3.1. Методы решения систем уравнений высших
степеней _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 365
4.3.2. Решение систем уравнений высших степеней
в целых числах _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 406
Упражнения ______________________
407
4.4. Системы рациональных уравнений _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 410
4.4.1. Методы решения систем рациональных
уравнений степеней _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 410
У п р а ж н е н и я _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 424
4.5. Системы иррациональных уравнений _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 426
У п р а ж н е н и я _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 435
4.6. Системы показательных и логарифмических
уравнений _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 437
У п р а ж н е н и я _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 445
4.7. Системы уравнений, содержащих знак модуля
(абсолютной величины)_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 447
У п р а ж н е н и я _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 457
Глава 5. Задачи на составление уравнений (текстовые
задачи) _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _459
5.1. Этапы решения текстовых задач _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 459
5.2. Основные типы текстовых задач _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 459
5.2.1. Задачи на движение _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ 459
У п р а ж н е н и я _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 489
5.2.2. Задачи на производительность труда и работу _ _ _ 492
У п р а ж н е н и я _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 499
5.2.3. Задачи на проценты _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 501
У п р а ж н е н и я _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 534
5.2.4. Задачи, приводящие к неопределенным
системам уравнений _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 543
У п р а ж н е н и я _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 546
5.2.5. Задачи с целочисленными неизвестными _ _ _ _ _ _ 547
У п р а ж н е н и я _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 562
5.2.6. Задачи, приводящие к смешанным системам и
неравенствам _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 568
У п р а ж н е н и я _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 574
5.2.7. Задачи, решаемые методами теории множеств _ _ _ 575
У п р а ж н е н и я _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 579
5.2.8. Задачи с альтернативным условием _ _ _ _ _ _ _ _ _ 580
У п р а ж н е н и я _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 586
5.2.9. Задачи на нахождение наибольшего и наименьшего
значения выражения _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 588
У п р а ж н е н и я _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 607
Ответы к упражнениям _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 610
Литература _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 619
Оглавление _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 620