DEPARTAMENTO DE FISICA
2.12.
DOCENTE: ING. JOEL PACO S.
PROBLEMAS RESUELTOS
⃗ | = 10 m , |B
⃗ | = 5 m, |D
⃗ | = 20 m, |C
⃗⃗ | = 22 m, α = 40°, φ =
2.12.1. Del siguiente grupo de vectores Hallar si |A
75°, θ = 35° Hallar: a) σR−D b) R C−C
Solución:
Datos
A = 10 m
α = 40°
B = 20 m
C=5m
φ = 75°
D = 22 m
θ = 35°
Ay ⃗𝑨
⃗
⃗𝑨
⃗
⃗𝑩
⃗
𝜑
𝛼
𝑩
Cx
𝜑
𝜃
𝛼 Ax Dx
𝜃
Dy
⃗𝑫
⃗
⃗
𝑪
⃗
𝑪
⃗𝑫
⃗
Cy
Aplicando sumatoria de vectores ene el eje X y eje Y
 V  Rx
 V  Ry
Dx  Ax - Cx - B  Rx
Ay  Dy - Cy  Ry
Rx  Dx  Ax - Cx - B
Ry  Ay  Dy - Cy
Rx  22  cos 35  10  cos 40  5  cos 75  20
Ry  10  sen 40  22  sen 35 - 5  sen 75
Rx  4,388 m
Ry  - 11,020 m
X
Y
Aplicando el teorema de Pitagoras :
R
Rx 2  Ry 2  4,3882   - 11,0202

R  11,861 m
Rx
β
Aplicando la funcion tangente para calcular la direccion del vector resultante
tg  
a)
Ry - 11,020

Rx
4,388
   68,288 
  90 - 68,288    21,712
Ry
Ǿ
R
Calculo del ángulo entre la resultante y el vector D ( σR−D )
β
δ
𝜽
⃗⃗
𝑫
      90
  90    
  90  35  21,712
  33,288
⃗⃗
𝑹
b) Calculo de la componente de la resultante encima del eje formado por el vector C
𝑪
RC C  R  cos(15   )
RC C  11,020  cos(15  21,712)
RC C  8,834m
𝜑
𝛽
𝑹𝑪−𝑪
15°°
⃗𝑹
⃗
𝑪
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⃗ | = 100 m, |B
⃗ | = 165 m, tienen como resultante |R
⃗ | = 75 m y |C
⃗ | qué forma 315° con el
2.12.2. Tres vectores de |A
vector ⃗B , asimismo el vector B y C forman un ángulo de 250°. (Nota: los ángulos se miden en sentido contrario
de las agujas del reloj). Hallar: a) El ángulo que forma el vector ⃗A con la resultante ⃗R , b) La componente del
⃗ sobre el eje formado por el vector A-A.
vector R
Solución:
Datos
A
A
Ay
A = 100 u
B = 75 u
C = 165 u
θ = 70°
α
θ
R=
σ = 45°
Rx
α
B
θ
Cx
C
Ax
σ
B
Cy
C
Ry
R
Aplicando sumatoria de vectores ene el eje X y eje Y
 V  Rx
X
 V  Ry
Y
 Ec. 1
Ax  B  Cx  Rx
 Ec. 2
Ay  Cy  Ry
Rx  Ry
Ax  B  Cx  Ay  Cy
Ax  Ay  Cy  Cx  B
A  cos  A  sen  Cy  Cx  B
cos  sen 2   Cy  Cx  B 

2

A
cos 2  2  cos  sen  sen 2   165  sen 70  165  cos70  75 

100
2

1  2  cos  sen  1,3648  sen 2     1,8627  1  sen 2     0,8627    29,813
2
a) El ángulo que forma el vector ⃗A con la resultante ⃗R
A
σ
α
Ǿ
   
  45  29,813
  74,813
R
b) La componente del vector ⃗R sobre el eje formado por el vector A-A.
A
RA-A
Ǿ
De Ec. 1
Rx  Ax  B  Cx
R  cos 45  100  cos 29,813  75  165  cos70
R  148,962 m
Calculo de la componente R A -A
A
R
RA A  R  cos( )
RA A  148,962  cos(74,813)
RA A  39,024 m
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⃗ | = 22 m, |B
⃗ | = 15 m de magnitud. El primero y
⃗ | = 35 m y |C
2.12.3. Tres vectores situados en un plano tienen de |A
el segundo forman un ángulo de β=80º mientras que el segundo y el tercero forman un ángulo de θ =130º.a)
⃗ |que es el doble de la resultante y su dirección respecto del menor de los
Encontrar la magnitud del vector |L
vectores. b) Encontrar la magnitud del vector dado por ⃗F = −2 ∙ ⃗A + 3 ∙ ⃗R (todos los ángulos se miden en
sentido anti horario).
Solución:
⃗𝑩
⃗
Datos
A = 22 m
B = 35 m
C = 15 m
𝛽 = 80°
θ = 30°
𝛽
B
By
⃗⃗
𝑨
β Bx
Cx
A
θ
θ
⃗𝑪
Cy
C
Aplicando sumatoria de vectores ene el eje X y eje Y
 V  Rx
 V  Ry
A  Bx  Cx  Rx
By  Cy  Ry
Rx  15,087 m

Calculo del modulo del vector R
Ry  26,968 m
X
Y
Rx  22  35  cos 80  15  cos 30
R
Ry  35  sen80  15  sen30
Rx 2  Ry 2  15,087 2  26,9682

Calculo de la direccion del vector R
tan( ) 
Dy 26,968

 1,787
Dx 15,087

R  30,901 m
R
α
Ǿ

  60,776    29,224
⃗ |que es el doble de la resultante y su dirección respecto del menor de los vectores.
a) Encontrar la magnitud del vector |L
⃗

𝑳
 
Calculo del modulo del vector L
Calculo del angulo entre L y C


α
     
L  2 R
β
φ
Ǿ
  30  90  29,224
L  2  30,901
θ
  149,22
L  61,80 m
⃗𝑪
⃗ +3∙R
⃗ = −2 ∙ A
⃗
b) Encontrar la magnitud del vector dado por F
⃗
𝟑 ∙ ⃗𝑹
δ
⃗⃗
−𝟐 ∙ 𝑨
𝜶
β
180      
  180    
  180  29,224  90
  60,776
∅
Aplicando el teorema de cosenos
⃗𝑭
⃗⃗
𝟑∙𝑹
∅
⃗
−𝟐 ∙ ⃗𝑨
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F 2  3  R 2  2  A2  2  3  R  2  A cos 
2
2
F  3  30,901  2  22  2  3  30,901  2  22  cos 60,776
F  80,91 m
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⃗ | = 50 u, |B
⃗ | = 90 u y ⃗D
⃗ | = 75 u, |C
⃗ tienen como resultante |R
⃗ | = 50 u y se encuentra
2.12.4. Cuatro vectores de |A
en el tercer cuadrante formando un ángulo de 25° con la vertical , α = 40°, φ = 35°, θ = 75°. Hallar: a) El
⃗
⃗⃗ con la resultante R
⃗ b) El modulo y dirección del vector R
⃗⃗⃗⃗1 = 3 ∙ D
⃗⃗ +C
ángulo que forma el vector D
Solución:
Datos
A = 50 u
B = 75 u
C = 90 u
α = 40°
𝜑 = 35°
θ = 70°
⃗𝑫
⃗
⃗⃗
𝑨
A
α
θ
R= 50 u
σ = 65°
β
Cx
𝜑
⃗
𝑪
D
Dy
Ay
β Dx
𝜑
Ax α
θ
B
⃗⃗
𝑩
Cy
By
C
Rx
Bx
σ
B
R
Ry
Aplicando sumatoria de vectores ene el eje X y eje Y
 V  Rx
 V  Ry
Bx  Dx  Ax  Cx  Rx
Dy  Ay  Cy  By  Ry
Dx  Bx  Ax  Cx  Rx
Dx  75  cos 35  50  cos 40  90  cos 70  50  cos 65
Dx  13,483 u

Calculo del modulo del vector D
Dy  By  Ay  Cy  Ry
Dy  75  sen35  50  sen40  90  sen70  50  sen65
Dy  50,136 u
X
Y
Dx 2  Dy2   13,4832  50,1362 
D
D  51,917u

Calculo de la direccion del vector D
Dy 50,136

 -3,718
   74,948
Dx  13,483
⃗⃗ con la resultante R
⃗
a) El ángulo que forma el vector D
D
   
Ǿ
β
  65  74,948
σ
  139,948
tan( ) 
R
⃗ y el ángulo que forma el vector R1 con el vector C
⃗ +C
b) El modulo del vector ⃗⃗⃗⃗
R1 = 3 ∙ ⃗D
R1
Aplicando el teorema de cosenos
D
β
θ
δ
γ
⃗⃗⃗⃗
R1
R1  96,994 u
⃗⃗
3.𝑫
C
180      
  180    
  180  70  74,948
  35,052
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R1 2  3  D 2  C 2  2  3  D   C   cos 
2
2
R1  3  51,917   90  2  3  51,917   90  cos 35,052
δ
γ
⃗𝑪
Aplicando el teorema de los senos
sen   sen  
sen    3  D 

 sen   
3 D
R1
R1
sen 35,052  3  51,917 
   67,254
96,994
R1 C      70  67,254
 R1 C  2,745
sen   
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2.12.5. Dado los siguientes vectores en el espacio ⃗B = (5,4,3) y ⃗F = (2,3, −4) : a) realizar los gráficos, b) hallar los
̂ y F̂ c) Hallar los cosenos directores de los vectores ⃗By ⃗F
vectores unitarios B
a) realizar los gráficos
⃗B = (5,4,3)
⃗F = (2,3, −4)
𝐹
Fz=- 4
Bx= 5
Fx= 2
Bz= 3
⃗
𝐵
𝜃
By= 4
Fy= 3
𝛿
∅
𝛼
𝛽
𝜑
̂ y F̂
b) hallar los vectores unitarios B

Calculo del modulo de F

2
2
2
F  Fx   Fy   Fz 

2
2
2
F  2   3   4 

F  5,385u

Calculo del modulo de B

2
2
2
B  Bx   By   Bz 

2
2
2
B  5  4   3

B  7,071u

Calculo del vector unitario b

 B 5iˆ  4 ˆj  3kˆ
b  
B
7,071

b  0,7071iˆ  0,5657 ˆj  0,4243kˆ
c)
Calculo del vector unitario f̂

F 2iˆ  3 ˆj  4kˆ
f̂   
F
5,385
f̂  0,371iˆ  0,557 ˆj  0,743kˆ
⃗ yF
⃗
Hallar los cosenos directores de los vectores B
⃗ = (5,4,3)
B
⃗ = (2,3, −4)
F
Bx
5
cos     
 0,7071    45,0
B 7,071
Fx
2
cos     
 0,371
F 5,385
By
4
cos     
 0,5657    55,55
B 7,071
Fy
3
cos     
 0,557    56,15
F 5,385
Bz
3
cos     
 0,4243    64,89
B 7,071
Fz
4
cos     
 0,743    42,01
F 5,385
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   68,22
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2.12.6. Dado los vectores ⃗A = (2,5, −3) y ⃗C = (−3,4,4), a) Graficar los vectores b) Hallar el ángulo que forman los
vectores ⃗A y ⃗C en forma escalar , c) Hallar el ángulo que forman los vectores ⃗A y ⃗C en forma vectorial
⃗ yC
⃗
Grafico de los vectores A
a)
𝐴
𝑦
𝐶
∅
𝑥
𝑧
⃗ yC
⃗ en forma escalar
b) Hallar el ángulo que forman los vectores A


2
2
2
2
2
2
A   Ax    Ay    Az   2  5   3  A  6,1644u


2
2
2
2
2
2
C  Cx   Cy   Cz    3  4   4  C  6,4031u
 
 
A  C  2,5,-3   3,4,4   2  - 3  5  4  - 3  4  A  C  2 u 2
 
   
AC
2
A  C  A  C  cos    cos      
 0,0507    87,1
A  C 6,1644   6,4031
⃗ yC
⃗ en forma vectorial
c) Hallar el ángulo que forman los vectores A

ˆj kˆ
i
 

AxC  2 5  3  (5)  (4)  (4)  (3)i  2  (4)  (3)  (3) ˆj  2   (4)  (3)  (5)kˆ
3 4 4
 
AxC  32iˆ  1 ˆj  23kˆ 
 
2
2
2
AxC  32   1  23
 
AxC  39,4208 u 2
 
AxC
 
 
39,4208
AxC  A  C  sen   sen     
 0,9987    87,1
A  C 6,1644   6,4031
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2.12.7. Si la superficie de un terreno tiene forma de un paralelogramo y está definido por dos vectores A(5,-3,3) km y
B( 6,3,-2) km. a) Graficar la forma del terreno, b) Hallar el área del terreno en forma vectorial, c) Hallar los
ángulos internos del terreno.
a)
Graficar la forma del terreno
𝑦
𝛼
𝐴
∅
∅
𝑥
⃗
𝐵
𝛼
𝑧
b) Hallar el área del terreno en forma vectorial

ˆj
i
kˆ
 

BxA  6
3  2  (3)  (3)  (3)  (2)i  6  (3)  (5)  (2) ˆj  6  (3)  (5)  (3)kˆ
5 3 3
 
BxA  3iˆ  28 ˆj  33kˆ 
 
2
2
2
BxA  3   28   33
 
BxA  43,382 km2
Area  43,382 km2
c)
Hallar los ángulos internos del terreno.

A

B
 Ax 2   Ay 2   Az 2  52   32  32
Bx 2  By 2  Bz 2  62   32   22

 A  6,557 km

 B  7km
 
BxA
 
 
43,382
BxA  B  A  sen   sen     
 0,9452    70,94
B  A 7   6,557 
Calculo del angulo 
2    2    360

360  2   360  2  70,94

2
2
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   109,06
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⃗ | = 30 m y |B
⃗ | = 50 m. Hallar : a) El producto
2.12.8. Dado los vectores ⃗A y ⃗B mostrados en la figura en donde |A
⃗ oB
⃗ yB
⃗ , b) Hallar el ángulo que forman A
⃗ en forma vectorial.
escalar A
Y
⃗⃗
𝑨
8
m
6
m
X
3
m
⃗⃗
𝑩
Z
a)
⃗ xB
⃗
El producto escalar A
Del grafico se obtiene
  
  

H  F  N  F  N  H  (8,0,6)  (0,3,0)
 F  (8,3,6)


2
2
2
2
2
2
F  Fx   Fy   Fz   8   3  6   F  10,440m

F 8i 3j 6 k
f̂   
 0,7663 i- 0 ,2874 j  0,5747 k  bˆ  0,7663 i- 0 ,2874 j  0 ,5747 k
F
10,440
 

B  B  bˆ  50  0,7663 i- 0 ,2874 j  0 ,5747 k 
 B  38,314 i  14,368 j  28,736 k
𝒇̂
⃗⃗⃗
𝑯
⃗
𝑭
⃗⃗
𝑵
⃗𝑪
⃗
𝑺
⃗𝑵
⃗
𝒔̂
Del grafico se obtiene
  
  
N  S  C  S  C  N  (8,3,0)  (8,0,6)

2
2
2
2
2
2
S  Sx   Sy   Sz   0   3   6 

S 0i3j 6k
sˆ   
 0 i  0,447 j  0 ,894 k
6,708
S
 
A  A  aˆ  30   0 i  0,447 j  0 ,894 k 

 S  (0,3,6)

 S  6,708m
 aˆ  0 i  0 ,447 j  0 ,894 k

 A  0 i  13,41 j  26,82 k
Calculo del producto escalar
 
B  A  38,314 i  14,368 j  28,736 k   0 i  13,41 j  26,82 k 
 
B  A  (38,314)  0  (14,368)  (13,41)  28,736   (26,82)
 
B  A  1231,57 m 2
⃗ yB
⃗ en forma vectorial.
b) Hallar el ángulo que forman A
 
   
BA
1231,57
B  A  B  A  cos    cos      
 0,8210    34,81
B  A 50  30
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⃗ | = 10 m y |B
⃗ | = 20 m. Hallar :a) Hallar el
2.12.9. Dado los vectores ⃗A y ⃗B mostrados en la figura en donde |A
⃗ xB
⃗ sobre eje formado por el vector B-B
⃗ , b) Hallar la componente del vector A
producto vectorial A
Y
⃗⃗
𝑨
5
m
8
m
X
2
m
⃗𝑩
⃗
Z
a)
⃗ xB
⃗
Hallar el producto vectorial A
Del grafico se obtiene
  
  
H  F  N  F  N  H  (5,0,8)  (0,2,8)

2
2
2
2
2
2
F  Fx   Fy   Fz   5   2   0 

F 5i 2 j 0 k
f̂   
 0 ,9285 i- 0,3714 j  0 k
F
5,385
 
B  B  bˆ  20  0,9285 i- 0 ,3714 j  0 k 
⃗⃗⃗
𝑯
𝒇̂
⃗⃗
𝑵
⃗
𝑭
⃗
𝑪
⃗𝑺
⃗𝑵
⃗
 
AxB 

i
0
𝒔̂
ˆj
Del grafico se obtiene
  
  
N  S  C  S  C  N  (5,2,0)  (5,0,8)

2
2
2
2
2
2
S  Sx   Sy   Sz   0  2   8

S 0i  2 j 8 k
sˆ   
 0 i  0,2425 j  0,9702 k
8,246
S
 
A  A  aˆ  10   0 i  0,2425 j  0,9702 k 

 F  (5,2,0)

 F  5,385m
 bˆ  0 ,9285 i- 0,3714 j  0 k

 B  18,57 i  7,428 j  0 k

 S  (0,2,8)

 S  8,246m
 aˆ  0 i  0,2425 j  0,9702 k

 A  0 i  2,425 j  9,702 k
kˆ

 2,425 9,702  (2,4)  (0)  (7,428)  (9,702)i  0  (0)  (18,57)  (9,702) ˆj  0  (7,4)  (18,57)  (2,425)kˆ
18,57  7,428
0
 
AxB  73,066iˆ  180,166 ˆj  45,032kˆ 
⃗ sobre eje formado por el vector B-B
b) Hallar la componente del vector A
 
   
BA
B  A  B  A  cos    cos     
BA
cos   
18,57 i  7,428 j  0 k  0 i  2,425 j  9,702 k   0,0901
20  10
  84,83
AB  B  A  cos    10  cos 84,83
AB  B  0,901m
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⃗ = -10i – j + 17k y su producto escalar
2.12.10. La suma de de 2 vectores ⃗A y ⃗B es 5i + j + 3k, su producto vectorial ⃗AxB
⃗ ∙B
⃗ yB
⃗ = 6 u. ¿Hallar los vectores A
⃗ ?.
A
 
A  B   Ax i  Ay j  Az k   Bx i  By j  Bz k    Ax  Bx  i   Ay  By  j   Az  Bz  k  5 i  j  3k
Ax  Bx  5
Ay  By  1
Az  Bz  3
Bx  5  Ax
By  1  Ay
Bz  3  Az
 
Ax
AxB 
Bx
Ay
Az
By
Bz
  Ay  Bz   By  Az  i   Ax  Bz   Bx  Az  j   Ax  By   Bx  Ay k  10 i  j  17 k
 Ay  Bz   By  Az   10
Ay  3  Az   Az  1  Ay   10
 Ax  Bz   Bx  Az   1
Ax  3  Az   Az  5  Ax   1
 Ax  By   Bx  Ay   17
Ax  1  Ay   Ay  5  Ax   17
3  Ay  Az  Ay  1  Az  Az  Ay  10
3  Ax  Ax  Az  5  Az  Ax  Az  1
Ax  Ax  Ay  5  Ay  Ay  Ax  17
3  Ay  1  Az  10
3  Ax  5  Az  1
Ax  5  Ay  17
3
1
 Ax   Az
5
5
 
A  B   Ax  Ay  Az   Bx  By  Bz   Ax  Bx  Ay  By  Az  Bz  10
1
17
Ax   Ay
5
5
Ax  5  Ax   Ay  1  Ay   Az  3  Az   10
5  Ax   Ax   Ay   Ay   3  Az   Az   10
2
2
2
2
2
17   1
17 
1 3
1
1
3
2
5  Ax   Ax    Ax     Ax    3    Ax      Ax    10
5  5
5
5 5
5
5
5
* (25)
125  Ax  25   Ax   5  Ax  85   Ax  17   45  Ax  15  3 Ax  1  225
2
2
2
125  Ax  25   Ax   5  Ax  85   Ax   34 Ax  289  45  Ax  15  9   Ax   6  Ax  1  225
2
2
2
 35   Ax   215  Ax  165  0
2
Ax 
 215 
2152  4   35   165
2   35
  Ax  0,899
  Ax  5,244
 
 
Bx  5  0,899

Bx  4,101
Bx  5  5,244

Bx  0,244
 
1
17
  By  1  3,220
 0,899   Ay  Ay  3,220
 By  2,220
5
5
  1  5,244  17  Ay  Ay  2,351
  By  1   2,351  By  3,351
5
5
  3  0,899  1  Az  Az  0,339
  Bz  3  0,339  Bz  2,661
5
5
  3  5,244  1  Az  Az  2,946
  Bz  3  2,946  Bz  0,054
5
5
Solucion 1


A  (0,899i  3,220 j  0,339 k) y B  (4,101i  2,220 j  2,661 k)
Solucion 2


A  (5,244i  2,351 j  2,946 k) y B  (0,244i  3,351 j  0,054 k)
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2.12.11. Se tiene dos vectores ⃗A y ⃗B cuya suma es ⃗S = ⃗A + ⃗B = −4î − 6ĵ + 2k̂ paralelos entre si y cuyo producto
escalar es -22. Hallar dichos vectores
 
A  B   Ax i  Ay j  Az k   Bx i  By j  Bz k    Ax  Bx  i   Ay  By  j   Az  Bz  k  4 i  6 j  2k
Ax  Bx  4
Ay  By  6
Az  Bz  2
Bx  4  Ax
By  6  Ay
Bz  2  Az
 
Ax
AxB 
Bx
Ay
Az
By
Bz
  Ay  Bz   By  Az  i   Ax  Bz   Bx  Az  j   Ax  By   Bx  Ay k  0 i  0 j  0 k
 Ay  Bz   By  Az   0
Ay  2  Az   Az   6  Ay   0
 Ax  Bz   Bx  Az   0
Ax  2  Az   Az   4  Ax   0
 Ax  By   Bx  Ay   0
Ax   6  Ay   Ay   4  Ax   0
2  Ay  Az  Ay  6  Az  Az  Ay  0
2  Ax  Ax  Az  4  Az  Ax  Az  0
 6  Ax  Ax  Ay  4  Ay  Ay  Ax  0
Ay  3  Az  0
Ax  2  Az  0
 1,5  Ax  Ay  0
 0,5  Ax  Az
 
A  B   Ax  Ay  Az   Bx  By  Bz   Ax  Bx  Ay  By  Az  Bz  22
1,5  Ax  Ay
Ax   4  Ax   Ay   6  Ay   Az  2  Az   22
 4  Ax   Ax   6  Ay   Ay   2  Az   Az   22
2
2
2
 4  Ax   Ax   6  1,5  Ax   1,5  Ax   2   0,5  Ax    0,5  Ax   22
2
2
2
 4  Ax   Ax   9  Ax  2,25   Ax   Ax  0,25   Ax   22
2
2
2
 3   Ax   14  Ax  22  0
2
3   Ax   14  Ax  22  0
2
Ax 
 14 
142  4  3   22
2  3
  Ax  1,241
  Ax  5,908
  Ay  1,5  Ax  1,5  1,214  Ay  1,821
  Ay  1,5  Ax  1,5   5,908  Ay  8,862
  Az  0,5  Ax  0,5  1,214  Az  0,607
  Az  0,5  Ax  0,5   5,908  Az  2,954
  Bx  4  Ax  4  1,241
  Bx  4  Ax  4  5,908
  By  6  Ay   6  1,821
  By  6  Ay   6  8,862
  Bz  2  Az  2  0,607
  Bz  2  Az  2  2,954

Bx  5,241

Bx  1,908

By  7,821

By  2,862

Bz  1,393

Bz  4,954
Solucion 1


A  (1,241i  1,821 j  0,607 k) y B  (5,241i  7,821 j  1,393 k)
Solucion 2


A  (5,908i  8,862 j  2,954 k) y B  (1,908i  2,862 j  4,954 k)
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2.12.12. Hallar el vector unitario de un vector de módulo 20 que sea perpendicular a (2, –4, 0) y forme un ángulo de 30°
con (0, 0, 4).

Llamamos al vector buscado A   Ax i  Ay j  Az k 

2
2
2
2
2
2
A   Ax    Ay    Az   20   Ax    Ay    Az   400
Ec. 1


Condicion de perpenticularidad del vector A con el vector B  2,4, 0 
 
A  B  0   Ax , Ay , Az   2,4, 0   0  2  Ax  4  Ay  0  Ay  0,5  Ax
Ec. 2


Condicion para que el vector A con el vector C  (0,0,4) formen un angulo   22
 
   
 Ax, Ay , Az   0,0, 4  4  Az  Az
AC
A  C  A  C  cos    cos      
 Ax, Ay , Az   0,0,4 20  4 20
AC
cos 22 
Az
20

Az  18,544
Ec. 3
Reemplazando la Ec. 3 y Ec. 2  en la Ec. 1
 Ax 2   Ay 2   Az 2  400
 Ax 2  0,5  Ax 2  18,5442  400
 Ax 2  0,25   Ax 2  343,880  400
2
1,25   Ax   56,120
 Ax 2  44,896
De Ec. 2 
Ax  6,700
Ay  0,5  Ax  0,5  6,700  Ay  3,350
Solucion 1

A  (6,700i  3,350 j  18,544 k)
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2.12.13. Hallar el volumen y superficie en forma vectorial de una prisma de base un hexágono de lado a y altura 4.a.
Y
Y
⃗𝑯
⃗⃗
60°
a
a
4.a
4.a
60°
60°
a
X
θ
⃗𝑩
⃗
a
X
⃗𝑨
a
Z
Z
a) Calculo del volumen de la prisma
Del grafico se obtiene los vectores :


A  (a  cos  ; 0 ; a  sen )
B  (a ; 0 ; 0)

C  (0 ; 4  a ; 0)
Calculo del volumen de la prisma
 
T  6   1   T  3  1
 2 
Calculo del volumen 1
  
1   AxB   H 
a  cos 
Ec 1
0
a  sen
a
0
0
0
4a
0
1  0  0  0  0  a  sen   4  a   a  cos   0  a  a  sen   0   a  cos   0  a  0 
1  4  a 3  sen
Reemplazando el 1  en la Ec 1 :

T  3  1  3  4  a 3  sen


T  12  a 3  sen60

T  10,392  a 3
b) Calculo del area superficial de la prisma
Del grafico se obtiene los vectores :



A  (a  cos  ; 0 ; a  sen )
B  (a ; 0 ; 0) C  (0 ; 0 ; a )
Y
⃗⃗⃗
𝑯

H  (0 ; 4  a ; 0)
Calculo del volumen 1

 
0 0 a
A1  Cx H  
0 4a 0

A1  0  0   4  a  a  i  0  0   0  a  j  0  4  a   0  0 k   4  a 2  i  0 j  0k 

2
2
2
A1   4  a 2   0   0 
 A1  4  a 2
4.a
a
⃗𝑪
θ
Z
⃗𝑩
⃗
a
⃗𝑨
⃗
Z
X

 
a  cos  0 a  sen
A2   AxB  
a
0
0

A2  0  0   0  a  sen i  a  cos   0   a  a  sen  j  a  cos   0  a  0k

2
2
2
A2  0   a 2  sen   0 
 A2  a 2  sen
Calculo del Area total :
  A 
AT  6  A1  2  6   2   6  A1  6  A2  6   A1  A2   6  4  a 2  a 2  sen 
  2 
2
AT  6  a  4  sen60
 AT  2,196  a 2
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2.12.14. Una prisma de base un pentágono de lado b y altura 5 u tiene un volumen de 2000 u³ Hallar: a) El lado del
pentágono en forma vectorial b) La superficie externa de dicho pentágono en forma vectoria .
Y
Y
72°
a
a
54°
⃗𝑯
⃗⃗
54°
b
h=5
36°
5u
a
θ
0,5  b
b
Z
Z
a) Calculo de la altura de la prisma
Del grafico se obtiene los vectores :


A  (a  cos  ; 0 ; a  sen )
B  (a ; 0 ; 0)
X
⃗𝑨
0,5  b
sen36 
 a  0,8506  b
a
X
⃗𝑩
⃗
b

C  (0 ; h ; 0)
Calculo del volumen de la prisma
 
T  5   1   T  2,5  1
 2 
Calculo del volumen 1
  
1   AxB   H 
a  cos 
Ec 1
0 a  sen
a
0
0
0
h
0
1  0   0  0  0  a  sen   h   a  cos   0   a  a  sen   0   a  cos   0  a  0
1  h  a 2  sen
Reemplazando el 1  en la Ec 1 :




T  2,5  1  2,5  h  a 2  sen  2,5  5  0,8506  b   sen72  2000
2
 b  15,249u  a  12,971u
b) Calculo del area superficial de la prisma
Del grafico se obtiene los vectores :



A  (a  cos  ; 0 ; a  sen )
B  (a ; 0 ; 0) C  (0 ; 0 ; a )
Y

H  (0 ; h ; 0)
Calculo del volumen 1
⃗⃗⃗
𝑯

 
0 0 a
A1  Cx H  
0 h 0

A1  0  0  h  a  i  0  0  0  a  j  0  h   0  0 k   h  a  i  0 j  0k 

2
2
2
A1   h  a   0  0
 A1  h  a
5
a
⃗𝑪
θ
Z
⃗𝑩
⃗
a
⃗𝑨
⃗
Z
X

 
a  cos  0 a  sen
A2   AxB  
a
0
0

A2  0  0   0  a  sen i  a  cos   0   a  a  sen  j  a  cos   0   a  0 k

2
2
2
A2  0   a 2  sen   0
 A2  a 2  sen
Calculo del Area total :
  A 
AT  5  A1  2  5   2   5  A1  5  A2  5   A1  A2   5  h  a  a 2  sen 
  2 

  A  1124,24u ²
AT  5  5  12,971  12,971  sen72
TEXTO DE FISICA I - CIV 121
2
GESTION 2016
T
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DEPARTAMENTO DE FISICA
DOCENTE: ING. JOEL PACO S.
⃗ definen una prisma en el espacio, el vector de menor longitud es el vector que
2.12.15. Cuatro vectores ⃗A, ⃗B , ⃗C y ⃗D
define la prisma, A(5,5,3), B(-2,2,2), C(2,5,-2), D(-3,4,-1): Hallar el volumen de la prisma y
⃗𝑵
⃗
⃗
𝐷
⃗𝑯
⃗⃗
⃗𝑳
𝐶
𝐴
⃗
𝐵
a) Calculo del volumen de la prisma
Del grafico se obtiene los vectores :
  
  


B  L  A  L  A  B  L  (5 ; 5 ; 3)  (2 ; 2 ; 2)
 L  (7 ; 3 ; 1)
  
  


B  N  C  N  C  B  N  (2 ; 5 ;  2)  (2 ; 2 ; 2)  N  (4 ; 3 ;  4)
  
  


B  H  D  H  D  B  H  (3 ; 4 ;  1)  (2 ; 2 ; 2)  H  (1 ; 2 ;  3)
Calculo del volumen de la prisma 
7
  
  LxN   H  4
3
1
3 4
1 2  3
   1  3   4  3  1  2   7    4   4   1   3  7   3  4   3
  52 u 3
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