Funkcje trygonometryczne
Definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie
prostokątnym
sin α
b
cos α
sin α = ca , cos α = bc , tgα = ba = cos
α , ctgα = a = sin α
Wartości funkcji trygonometrycznych niektórych katów
√
√
3
◦ = 3 , ctg30◦ =
,
tg30
3,
2
3
√
√
√
3
3
1
◦
◦
◦
◦
sin 60 = 2 , cos 60 = 2 , tg60 = 3, ctg60 = 3 ,
sin 30◦ = 12 , cos 30◦ =
√
sin 45◦ =
√
2
2
◦
◦
◦
2 , cos 45 = 2 , tg45 = 1, ctg45 = 1
√
Miarą łukową kąta nazywamy stosunek długości l łuku okręgu na
którym oparty jest kąt do promienia r okręgu.
Jednostką miary łukowej kąta jest radian (rad.) Jest to kąt oparty
na łuku okręgu o długości rownej promieniowi. 1rad. ≈ 57.3◦ .
Między miarą stopniową i łukową kąta zachodzą następujące
zależności
α[rad] · 180◦
α◦ π
◦
α
=
α[rad] =
180◦
π
Na przykład
◦π
π
30◦ = 30
◦ = 6
180
◦
π
π
60◦ = 60
◦ = 3
180
◦
π
π
45◦ = 45
180◦ = 4
90◦ π
◦
90 = 180◦ = π2
◦π
180◦ = 18
180◦◦ = π
π
3π
270◦ = 270
180◦◦ = 2
360
π
360◦ = 180◦ = 2π
Według wykresu sin α = y . Mamy więc
sin 0 = 0 sin 90◦ = sin π2 = 1, sin 180◦ = 0, sin 270◦ = sin 3π
2 = −1,
sin 360◦ = sin 2π = 0
Według wykresu cos α = x. Mamy więc
cos 0 = 1 cos 90◦ = cos π2 = 0, cos 180◦ = cos π2 = −1,
◦
cos 270◦ = sin 3π
2 = 0, cos 360 = cos 2π = 1
Wykresy funkcji trygonometrycznych
f (x) = sin x. Funkcja okresowa o okresie 2π
Dziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych R
Zbiorem wartości funkcji jest przedział[−1, 1]
Funkcja nieparzysta tzn. sin(−x) = − sin x
f (x) = cos x. Funkcja okresowa o okresie 2π
Dziedziną funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych R
Zbiorem wartości funkcji jest przedział[−1, 1]
Funkcja parzysta tzn. cos(−x) = cos x
f (x) = tgx. Funkcja okresowa o okresie π
Dziedziną funkcji jest zbiór R \ { π2 + kπ, k ∈ C }
Zbiorem wartości funkcji jest przedziałR
Funkcja nieparzysta tzn. tg(−x) = −tgx
f (x) = ctgx. Funkcja okresowa o okresie π
Dziedziną funkcji jest zbiór R \ {kπ, k ∈ C }
Zbiorem wartości funkcji jest przedziałR
Funkcja nieparzysta tzn. ctg(−x) = −ctgx
Wzory redukcyjne
Funkcje sinus i cosinus są funkcjami okresowymi o okresie 2π.
Zatem
sin(x + 2kπ) = sin x, cos(x + 2kπ) = cos x
Natomiast funkcje tangens i kotangens są funkcjami okresowymi o
okresie kπ. Mamy więc
tg(x + kπ) = tgx, ctg(x + 2kπ) = ctgx.
Zalozmy ze α ∈ (0, π2 ). Wtedy
sin( π2 + α) = cos α, cos( π2 + α) = − sin α
sin( π2 − α) = cos α, cos( π2 − α) = sin α
sin(π − α) = sin α, cos(π − α) = − cos α
sin(π + α) = − sin α, cos(π + α) = − cos α
3π
sin( 3π
2 + α) = − cos α, cos( 2 + α) = sin α
3π
sin( 2 − α) = − cos α, cos( 3π
2 − α) = − sin α
sin(2π − α) = − sin α, cos(2π − α) = cos α
Tożsamości trygonometryczne
Ważniejsze wzory których będziemy używać
sin2 α + cos2 α = 1
sin 2α = 2 sin α cos α,
cos2 α =
sin α =
1 + cos 2α
,
2
2tg α2
,
1 + tg2 α2
cos α =
cos 2α = cos2 α − sin2 α
sin2 α =
1 − cos 2α
2
1 − tg2 α2
,
1 + tg2 α2
tgα =
2tg α2
1 − tg2 α2
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β
cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β
cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β
tgα+tgβ
tg(α + β) = 1−tgαtgβ
α−β
sin α + sin β = 2 sin α+β
2 cos 2
α+β
sin α − sin β = 2 sin α−β
2 cos 2
α−β
cos α + cos β = 2 cos α+β
2 cos 2
α−β
cos α − cos β = −2 sin α+β
2 sin 2
1
cos α cos β = 2 [cos(α − β) + cos(α + β)]
sin α sin β = 12 [cos(α − β) − cos(α + β)]
sin α cos β = 12 [sin(α − β) + sin(α + β)]
Równania trygonometryczne
Niech a ∈ (−1, 1) oraz a 6= 0. Oznaczmy przez x0 rozwiązanie
równania sin x = a ktore należy do (− π2 , π2 ). Wtedy
sin x = a ⇐⇒ x = x0 + 2kπ
lub x = π − x0 + 2kπ gdzie k ∈ Z
Niech a ∈ (−1, 1) oraz a 6= 0. Oznaczmy przez x0 rozwiązanie
równania cos x = a ktore należy do (− π2 , π2 ). Wtedy
sin x = a ⇐⇒ x = x0 + 2kπ
lub x = −x0 + 2kπ gdzie k ∈ Z
Niech a ∈ R. Oznaczmy przez x0 rozwiązanie równania tgx = a
ktore należy do (− π2 , π2 ). Wtedy
tgx = a ⇐⇒ x = x0 + kπ gdzie k ∈ Z
Niech a ∈ R. Oznaczmy przez x0 rozwiązanie równania ctgx = a
ktore należy do (0, π). Wtedy
ctgx = a ⇐⇒ x = x0 + kπ gdzie k ∈ Z
Funkcje cyklometryczne
y = arcsin x
y = arccos x
y = arctgx
y = arcctgx