INSTITUTO LATINO-AMERICANO DE CIÊNCIAS DA VIDA E DA NATUREZA
ILACVN
MATHEMATICAL METHODS FOR PHYSICISTS 7.ED
GUSTAVO BENITES WENCESLAU
RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS NO LIVRO
Foz do Iguaçu-PR
2023
GUSTAVO BENITES WENCESLAU
RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS NO LIVRO
Vou tentar resolver todas as questôes do Livro
Prof. Dr. Arfken.
Foz do Iguaçu-PR
2023
Sumário
Páginas
1
Capitulo I
1.1 Infinite series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 limit tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 limn→∞ bann = k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.1.3 ∑∞
n=2 n(ln n)2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4 Gauss’ test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
4
5
5
7
1
Capitulo I
1.1
Infinite series
1.1.1
limit tests
(a)
Se limn→∞ n p un = A < ∞, p > 1, a série ∑∞
n=1 un converge.
Prova. Por definição de limite de uma sequência temos:
Dado um ε > 0 então, ∃ N > 0 tq ∀ n ≥ N
|an − L| < ε
⇒ |n p un − A| < ε
−ε < n p un − A < ε
A − ε < n p un < A + ε
Tomando ε = A2
3A
A
< n p un <
2
2
A
3A
< un < p , ∀ n ≥ N
2n p
2n
3A
Tomando bn = 2n
p temos que un < bn como bn é uma série p e p > 1 então ∑n an converge,
e por comparação ∑n un converge!!!
■
(b)
Se limn→∞ nun = A > 0, a série diverge.
Prova. Por definição de limite de uma sequência temos:
Dado um ε > 0 então, ∃ N > 0 tq ∀ n ≥ N
|an − L| < ε
⇒ |nun − A| < ε
−ε < nun − A < ε
A − ε < nun < A + ε
Tomando ε = A2
A
3A
< nun <
2
2
A
3A
< un <
, ∀n≥N
2n
2n
4
A
Tomando bn = 2n
temos que un > bn como ∑n bn diverge por comparação com a série
harmônica, por comparação ∑n un diverge!!!
■
1.1.2
limn→∞ abnn = k
Se limn→∞ bann = k, sendo uma constante 0 < k < ∞, mostre que ∑n bn converge ou diverge
com ∑n an .
Prova. Pela definição de limite de uma sequência temos:
bn
−k < ε
an
bn
−ε < − k < ε
an
bn
k−ε <
< k+ε
an
an (k − ε) < bn < an (k + ε)
Tomando ε = 2k temos:
k
k
< bn < an k +
an k −
2
2
k
3k
an
< bn < an
2
2
Como conseguimos chegar em uma comparação entre bn e an ao saber se ∑n an converge ou
diverge podemos escolher a comparação que melhor convém para testar a convergência da série
■
∑n bn .
1.1.3
1
∑∞
n=2 n(ln n)2
a)
1
Show that the series ∑∞
n=2 n(ln n)2 converges.
Prova. Primeiro vamos provar que a série é positiva e monótonamente decrescente, para isso
vamos dizer que an = n(ln1n)2 , e que existe um função f : R → R tq ∀n ∈ N an = f (n), logo
f (x) = x(ln1x)2 temos:
−1 1
1 −2 1
+
2
2
x (ln x)
x (ln x)3 x
1
2
f′ = − 2
− 2
2
x (ln x)
x (ln x)3
2 + ln x
f′ = − 2
x (ln x)3
f′ =
f′ ≤ 0
5
Logo an é decrescente e portando podemos utilizar o teste da integral.
Z∞
2
∞
1
1
f (x)dx < ∑
<
+
2
2(ln 2)2
n=2 n(ln n)
Z∞
f (x)dx
2
se a integral converge então a série converge, e se a integral diverge então a série diverge.
Z
1
dx
x(ln x)2
Z
Z∞
2
u = ln x
du = dx
x
du −1 −1
=
⇒
=
u2
u
ln x
−1 ∞
1
1
dx
=
=
x(ln x)2
ln x 2
ln 2
Logo a série converge!!!
■
b)
By direct addition ∑100.000
[n(ln n)2 ]−1 = 2.02288. Make a five-significant-figure
2
estimate of the sum of this series.
Prova. Como visto anteriormente:
Z∞
2
∞
1
1
f (x)dx < ∑
<
+
2
2(ln 2)2
n=2 n(ln n)
Z∞
f (x)dx
2
A partir dessa expressão podemos chegar na seguinte:
N
∞
1
1
1
∑ n(ln n)2 = ∑ n(ln n)2 + ∑ n(ln n)2
n=2
n=2
n=N+1
∞
Z∞
N+1
∞
1
1
1
dx
≤
≤
+
∑
2
2
x(ln x)
(N + 1)(ln(N + 1))2
n=N+1 n(ln n)
Z∞
1
dx
x(ln x)2
N+1
Z∞
1
−1 ∞
1
dx
=
=
2
x(ln x)
ln x N+1 ln(N + 1)
N+1
∞
1
1
1
1
≤ ∑
≤
+
2
2
ln(N + 1) n=N+1 n(ln n)
(N + 1)(ln(N + 1))
ln(N + 1)
Então podemos escrever da seguinte forma
∞
N
1
1
1
1
1
≤∑
−
≤
+
∑
2
2
2
ln(N + 1) n=2 n(ln n)
(N + 1)(ln(N + 1))
ln(N + 1)
n=2 n(ln n)
6
Para N = 100.000
1
= 7, 544379331 ∗ 10−8
(N + 1)(ln(N + 1))2
1
= 0, 08685882094
ln(N + 1)
N
1
∑ n(ln n)2 = 2.02288
n=2
Logo temos que:
∞
1
− 2.02288 ≤ 7, 544379331 ∗ 10−8 + 0, 08685882094
2
n(ln
n)
n=2
0, 08685882094 ≤ ∑
∞
1
≤ 7, 544379331 ∗ 10−8 + 2, 109738821
2
n=2 n(ln n)
2, 109738821 ≤ ∑
■
1.1.4
Gauss’ test
Gauss’ test is often given in the form of a test of the ratio
n2 + a1 n + a0
un
= 2
.
un + 1 n + b1 n + b0
For what values of the parameters a1 and b1 is there convergence? divergence?
ANS.
Converget for a1 − b1 > 1, divergent for a1 − b1 ≤ 1.
7