Національний технічний університет України
«Київський політехнічний інститут»
І. В. Алєксєєва, В. О. Гайдей,
О. О. Диховичний, Л. Б. Федорова
ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ
ТА ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ
ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
ПРАКТИКУМ
Київ — 2013
Диференціальне та інтегральне числення функцій однієї змінної. Практикум. (І курс
І семестр) / Уклад.: І. В. Алєксєєва, В. О. Гайдей, О. О. Диховичний, Л. Б. Федорова. — К:
НТУУ «КПІ», 2013. — 252 с.
Гриф надано Методичною радою НТУУ «КПІ»
(протокол № 5 від 22.01.2009)
Навчальне видання
Диференціальне та інтегральне числення
функцій однієї змінної
Практикум
для студентів І курсу технічних спеціальностей
Укладачі:
Алєксєєва Ірина Віталіївна, канд. фіз-мат. наук, доц.
Гайдей Віктор Олександрович, канд. фіз-мат. наук, доц.
Диховичний Олександр Олександрович, канд. фіз-мат. наук, доц.
Федорова Лідія Борисівна, канд. фіз-мат. наук, доц.
Відповідальний
редактор
О. І. Клесов, д-р фіз.-мат. наук, професор
Рецензенти:
С. В. Єфіменко, канд. фіз.-мат. наук, доц.
В. Г. Шпортюк, канд. фіз.-мат. наук, доц.
Зміст
Передмова ................................................................................................................. 6
Розділ 4. МНОЖИНИ ............................................................................................ 7
4.1. Висловлювання .............................................................................................. 7
4.2. Квантори ........................................................................................................ 7
4.3. Теореми .......................................................................................................... 8
4.4. Множини ........................................................................................................ 8
4.5. Властивості дій над множинами і висловлюваннями ............................... 10
4.6. Числові множини......................................................................................... 11
4.7. Відображення множин ................................................................................ 12
4.8. Потужність множин .................................................................................... 13
4.9. Дії з числами. Дроби ................................................................................... 14
4.10. Відсотки. Пропорції .................................................................................. 15
4.11. Подільність натуральних чисел ................................................................ 16
4.12. Деякі спеціальні нерівності....................................................................... 17
4.13. Числова вісь ............................................................................................... 18
4.14. Числові проміжки ...................................................................................... 19
4.15. Елементи комбінаторики .......................................................................... 20
4.16. Біноміальна формула Ньютона ................................................................. 21
4.17. Обмежені множини ................................................................................... 22
4.18. Точкові множини ....................................................................................... 22
Розділ 5. ФУНКЦІЇ ............................................................................................... 23
5.1. Функція однієї змінної ................................................................................ 23
5.2. Основні характеристики функції ................................................................ 24
5.3. Степенева функція....................................................................................... 26
5.4. Стала, лінійна і дробово-лінійна функції ................................................... 29
5.5. Квадратична функція .................................................................................. 30
5.6. Многочлени ................................................................................................. 31
5.7. Показникова і логарифмічна функції ......................................................... 32
5.8. Тригонометричні функції ........................................................................... 34
5.9. Обернені тригонометричні функції ............................................................ 36
5.10. Властивості тригонометричних ................................................................ 38
і обернених тригонометричних функцій .......................................................... 38
5.11. Основні тригонометричні рівняння .......................................................... 40
5.12. Гіперболічні функції ................................................................................. 42
5.13. Класифікація функцій ............................................................................... 44
5.14. Функція модуль ......................................................................................... 45
5.15. Геометричні перетворення графіків функцій .......................................... 46
4
Зміст
Розділ 6. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ .......................................................................... 48
6.1. Числові послідовності ................................................................................. 48
6.2. Границя послідовності ................................................................................ 49
6.3. Границя функції .......................................................................................... 50
6.4. Нескінченно малі і нескінченно великі функції ........................................ 51
6.5. Деякі важливі границі функцій................................................................... 52
6.6. Порівняння нескінченно малих функцій ................................................... 53
6.7. Визначні границі ......................................................................................... 54
6.8. Таблиця еквівалентностей .......................................................................... 54
6.9. Неперервність функції в точці .................................................................... 55
6.10. Неперервність функції на відрізку ........................................................... 56
6.11. Точки розриву функції .............................................................................. 57
6.12. Метод інтервалів ....................................................................................... 58
Розділ 7. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ
ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ ........................................................................... 59
7.1. Похідна і диференціал функції ................................................................... 59
7.2. Правила диференціювання ......................................................................... 60
7.3. Формули диференціювання ........................................................................ 60
7.4. Формули для похідних вищих порядків .................................................... 61
7.5. Геометричний зміст похідної і диференціала ............................................ 62
7.6. Основні теореми диференціального числення .......................................... 63
7.7. Тейлорова формула ..................................................................................... 64
7.8. Асимптоти. Екстремуми. Точки перегину ................................................. 65
7.9. Дослідження функції на монотонність і точки екстремуму ..................... 66
7.10. Дослідження функції на напрям опуклості і точки перегину ................. 67
7.11. Схеми дослідження функції ...................................................................... 68
Розділ 8. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ
ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ ........................................................................... 69
8.1. Первісна. Невизначений інтеграл ............................................................... 69
8.2. Основні формули інтегрування .................................................................. 70
8.3. Основні методи інтегрування ..................................................................... 70
8.4. Інтегрування дробово-раціональних виразів ............................................. 72
8.5. Інтегрування тригонометричних виразів ................................................... 74
8.6. Інтегрування ірраціональних виразів ......................................................... 75
Модуль 1. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ .................................... 77
1. Множини. Функції ......................................................................................... 77
2. Границя послідовності ................................................................................... 84
3. Границя функції ............................................................................................. 92
4. Нескінченно малі та нескінченно великі функції ....................................... 100
5. Неперервність функції. Точки розриву функції ......................................... 107
Зміст
5
Модуль 2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ
ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ.............................................................................................. 115
6. Похідна. Техніка диференціювання ............................................................ 115
7. Застосування похідної .................................................................................. 126
8. Похідні вищих порядків ............................................................................... 131
9. Правило Бернуллі — Лопіталя .................................................................... 134
10. Тейлорова формула .................................................................................... 139
11. Дослідження функцій за допомогою похідних......................................... 144
12. Побудова графіків функцій ........................................................................ 150
Модуль 3. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ . 159
13. Інтегрування внесенням під знак диференціала ....................................... 159
14. Методи замінювання змінної і інтегрування частинами.......................... 167
15. Інтегрування дробово-раціональних функцій .......................................... 173
16. Інтегрування тригонометричних виразів .................................................. 182
17. Інтегрування ірраціональних виразів ........................................................ 186
Додаток. Грецька абетка ..................................................................................... 192
Модуль 0. АДАПТАЦІЙНИЙ КУРС
ЕЛЕМЕНТАРНОЇ МАТЕМАТИКИ................................................................ 193
1. Дії з числами ................................................................................................. 193
2. Модуль .......................................................................................................... 197
3. Факторіали. Біноміальні коефіцієнти .......................................................... 201
4. Прогресії ....................................................................................................... 203
5. Лінійна функція ............................................................................................ 207
6. Квадратична функція ................................................................................... 209
7. Многочлени .................................................................................................. 215
8. Степенева функція ....................................................................................... 216
9. Показникова та логарифмічна функції ....................................................... 224
10. Тригонометричні та обернені тригонометричні функції ......................... 231
11. Парність, непарність, періодичність функцій ........................................... 246
Список використаної і рекомендованої літератури ........................................... 249
Передмова
Практикум з вищої математики «Диференціальне та інтегральне числення функцій
однієї змінної» є складовою навчального комплекту з вищої математики, який
містить: конспект лекцій, практикум, збірник індивідуальних домашніх завдань,
збірник контрольних та тестових завдань.
Практикум складено на основі багаторічного досвіду викладання математики в НТУУ «КПІ», його зміст відповідає навчальним програмам з вищої математики всіх технічних спеціальностей НТУУ «КПІ» денної та заочної форм
навчання і містить такі розділи дисципліни «Вища математика»:
— множини;
— границя функції і неперервність;
— похідна й диференціал;
— техніка диференціювання;
— правило Бернуллі — Лопіталя і формула Тейлора;
— повне дослідження функцій та побудова їхніх графіків;
— первісна й інтеграл;
— основні методи інтегрування;
— інтегрування деяких класів функцій.
У практикум включено також основні теми адаптаційного курсу з елементарної математики.
Практикум містить розгорнутий довідковий матеріал, якого потребує свідоме розв’язування задач, широкий спектр розв’язаних навчальних задач, які достатньо розкривають відповідні теоретичні питання, сприяють розвиткові практичних навичок і є зразком належного оформлення розв’язань задач для самостійної роботи, задачі для самостійної роботи в аудиторії та домашнього завдання з відповідями.
Метою практикуму є:
допомогти опанувати студентам основ математичного аналізу;
розвинути логічне та аналітичне мислення;
виробити навички вибору ефективного методу розв’язання задач.
Самостійне розв’язання задач, яке формує основу математичного мислення,
передбачає активну роботу з теоретичним матеріалом, використанням конспекту лекцій, посібників та підручників. Деякі з них подано у списку рекомендованої літератури.
У практичній частині використано такі позначення:
[A.B.C] — посилання на клітинку С, у якій уміщено теоретичний факт або
формулу, таблиці A.B. з теми А;
,,,... — посилання у навчальній задачі на коментар, який уміщено після її розв’язання.
Розділ 4. МНОЖИНИ
4.1. Висловлювання
Висловлювання. Під
висловлюванням p розуміють
твердження, про яке можна сказати,
істинне воно чи хибне.
Дії з висловлюваннями
Істинному висловлюванню p
приписують значення p 1, а
хибному — значення p 0.
Заперечення висловлювання p
Диз’юнкція висловлювань p та q
p («не p »)
p q (« p або q »)
Кон’юнкція висловлювань p та q
p q (« p і q »)
Імплікація висловлювань p та q
p q («якщо p, то q »)
Еквіваленція висловлювань p та q
p q (« p тоді й лише тоді, коли q »)
Таблиця істинності дій над висловлюваннями
p
0
0
q p p q p q p q p q
0 1
0
0
1
1
1 1
1
0
1
0
1
1
0 0
1 0
1
1
0
1
0
1
0
1
p p;
p 0 p;
p 1 1;
p p p;
p p 1;
p 0 0;
p 1 p;
p p p;
pp 0
4.2. Квантори
(«існує», «знайдеться»)
Квантор існування
x : A(x ) («існує x такий, що виконано A(x ) »)
! («існує єдиний»)
(«для будь-якого», «для всіх»)
Квантор загальності
x : A(x ) («для будь-якого x виконано A(x ) »)
Правила заперечення кванторів
1) x : A(x ) x : A(x );
2) x : A(x ) x : A(x )
8
Розділ 4. МНОЖИНИ
4.3. Теореми
Типи теорем і логічний квадрат
P Q — пряма;
Q P — обернена;
P Q — протилежна;
Q P — протилежна оберненій
(P Q ) Q P ;
(Q P ) (P Q )
P Q обернена Q P
P Q обернена Q P
Необхідна і достатня умови
Правдива теорема P Q
Правдивий критерій P Q
(правдиві теореми P Q і Q P )
Методи доведення
теореми P Q.
Прямий.
P T1 .... Tn Q
Непрямий (від супротивного)
Q T1 .... Tn P .
Метод математичної індукції.
P — достатня умова для Q ;
Q — необхідна умова для P
P — необхідна і достатня умова для Q ;
Q — необхідна і достатня умова для P
Схема доведення методом
математичної індукції.
Перевіряють правдивість
твердження P(n ) для n 1.
Припускаючи правдивість
твердження P (k ), доводять
твердження P(k 1).
На підставі принципу математичної
індукції висновують правдивість
твердження P(n ) n .
4.4. Множини
Множина. Під множиною
розуміють сукупність об’єктів
довільної природи, об’єднаних за
якою-небудь ознакою.
x належить множині A
(x є елементом A)
Об’єкти, які утворюють множину
називають елементами множини.
x A
x не належить множині A
(x не є елементом A)
універсальна множина
x A
порожня множина
(не містить жодного елемента)
U
Розділ 4. МНОЖИНИ
9
Способи задавання множин:
переліком своїх елементів
A {a1, a2, ..., an };
характерною властивістю
A {x | P(x )} — множина всіх x , які
мають властивість P(x )
A A;
U
B
A;
A
A U
Включення множин.
A B x A x B
A є підмножиною B
(Дії з множинами унаочнюють за
допомогою діаграм Ейлера — Вена)
Рівність множин.
x A x B,
A B
x B x A
Об’єднання (сума) множин.
A B {x | x A або x B }
U
A
Переріз (добуток) множин.
A B {x | x A і x B }
A B,
AB
B A
A A A;
A A;
B
A U U
U
B
A
Різниця множин.
A \ B {x | x A і x B }
U
B
A
Доповнення множини.
A U \ A
A
A A
U
AA ;
A A;
AU A
A
Декартів добуток множин
A \ A ;
A \ A;
A \U
A A U;
A A ;
A \ A A;
U
A
Симетрична різниця множин.
AB (A \ B ) (B \ A)
A A A;
A ;
A U A
B
A B {(a, b) | a A, b B },
An A
A
... A
n разів
10
Розділ 4. МНОЖИНИ
4.5. Властивості дій над множинами і висловлюваннями
Комутативність:
об’єднання
диз’юнкції
перерізу
кон’юнкції
Асоціативність:
об’єднання
диз’юнкції
перерізу
кон’юнкції
Дистрибутивність:
об’єднання щодо перерізу
диз’юнкції щодо кон’юнкції
перерізу щодо об’єднання
кон’юнкції щодо диз’юнкції
Закони де Моргана для:
об’єднання
перерізу
AB B A
p q q p
AB B A
p q q p
A (B C ) (A B ) C
p (q r ) (p q ) r
A (B C ) (A B ) C
p (q r ) (p q ) r
A (B C ) (A B ) (A C )
p (q r ) (p q ) (p r )
A (B C ) (A B ) (A C )
p (q r ) (p q ) (p r )
AB AB
AB AB
диз’юнкції ( — стрілка Пірса)
p q p q p q
кон’юнкції (| — штрих Шефера)
p q p q p |q
імплікації
еквіваленції ( — виключне або)
p q p q p q
p q (p q ) ( p q ) p q
Закони поглинання
Закони склеювання
A (A B ) A
A (A B ) A
p (p q ) p
p (p q ) p
(A B ) (A B ) A
(p q ) (p q ) p
Розділ 4. МНОЖИНИ
11
4.6. Числові множини
Запис числа у десятковій системі
n ...1 0
n 10n ... 1 10 0 ,
i {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
Запис числа у двійковій системі
n ...1 0
n 2n ... 1 2 0 ,
i {0, 1}
Десяткові дроби (a , i , i {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9})
скінченний
нескінченний періодичний
a, 12 ...n
a, 1 2 ...n (12 ...k )
a, 1 2 ...n 12 ...k ...12 ...k ...
період
Позначення числових множин
{1, 2, 3, ..., n, ...}
Множина натуральних чисел
Множина цілих чисел
Множина раціональних чисел
{..., 2, 1, 0, 1, 2, ...}
m
m , n
n
{x | x скінченний або нескінченний
періодичний десятковий дріб}
Множина дійсних чисел
Множина ірраціональних чисел
Включення числових множин.
;
{x | x нескінченний
десятковий дріб}
\
{x | x нескінченний неперіодичний
десятковий дріб}
2
5
3
7
12
Розділ 4. МНОЖИНИ
4.7. Відображення множин
Відображення. Відображенням
множини X у множину Y (функцією з
множини X у множину Y ) називають
правило,
яке кожному елементу x X
ставить у відповідність
лише один елемент y Y .
аргумент функції
значення функції
f
Y
X
f : X Y
y f (x ), x X
x (прообраз елемента f (x ))
f (x ) (образ елемента x )
область означення функції
D( f ) X
множина значень функції
E (f ) {f (x ) | x X } f (X )
Деякі типи функцій
дійсна функція
E(f )
функція дійсного аргументу
D( f )
дійсна функція кількох змінних
D(f ) n , E ( f )
вектор-функція
D(f ) , E ( f ) n
f : Y
послідовність елементів множини Y
числова послідовність
Взаємно однозначне відображення
(ін’єкція)
f : Y
x1 X x 2 X :
x1 x 2
f
Y
X
f (x1 ) f (x 2 )
Відображення множини X
на множину Y
(сюр’єкція)
y Y x X :
f (x ) y
f (X ) Y
f
X
Y
Розділ 4. МНОЖИНИ
Взаємно однозначна відповідність
між X та Y
(бієкція)
13
y Y ! x X :
f (x ) y
Обернена функція. Якщо
відображення f : X Y є бієкцією,
X
f
Y
X
f
Y
то функцію f 1 : Y X :
x f 1(y), y Y
називають оберненою до f функцією.
f 1
Складена функція. Якщо
g : D E, f : E F ,
то функцію f g : D F :
(f g )(x ) f (g(x )), x D
називають складеною функцією
(суперпозицією функцій f та g ).
D( f )
D(g )
D
x
g(x ) E
g
f
f g
F
f (g(x ))
4.8. Потужність множин
Скінченна множина. Множину A
називають скінченною, якщо вона має
скінченну кількість елементів.
Рівнопотужні множини.
Множини A та B називають
рівнопотужними, якщо між їх
елементами можна встановити взаємно
однозначну відповідність і позначають
Кількість усіх підмножин n -елементної
скінченної множини дорівнює 2n.
Зліченна множина. Множину A
називають зліченною, якщо
A .
Елементи множини A можна
занумерувати.
A B.
Властивості скінченних, нескінченних і зліченних множин
Множина A скінченна тоді й лише
Нескінченна множина містить
тоді, коли A {1, 2, ..., n}.
Множина A нескінченна тоді й
лише тоді, коли існує множина
B A, B A, така, що A B .
Нескінченна підмножина зліченної
множини зліченна.
зліченну підмножину.
Множини , , — зліченні,
множини , — незліченні.
Декартів добуток зліченних множин
є зліченною множиною.
14
Розділ 4. МНОЖИНИ
4.9. Дії з числами. Дроби
Додавання.
x y z,
де x , y — доданки, z — сума.
Властивості додавання.
x y y x (комутативність
додавання);
x (y z ) (x y ) z
(асоціативність додавання);
x 0 x (існування нуля);
x (x ) 0 (існування
протилежного числа (x )).
Множення.
x y z,
де x , y — множники, z — добуток.
Властивості множення.
x y y x (комутативність
множення);
x (y z ) (x y ) z
(асоціативність множення);
1 x x (існування одиниці);
x x 1 1 (x 0) (існування
оберненого числа x 1 ).
(x y ) z x z y z (дистрибутивність множення щодо додавання).
Віднімання.
Ділення.
x y x (y ) z,
x : y x y 1 z (y 0).
x — зменшуване, y — від’ємник,
x — ділене, y — дільник, z — частка.
z — різниця.
Правило знаків для множення і ділення
:
:
Звичайні дроби
x
,
y
де x — чисельник,
y 0 — знаменник.
Виділення цілої частини
неправильного дробу
:
Якщо a b, то дріб
:
a
називають
b
правильним,
а якщо a b, то — неправильним.
a
bc r
r
c ,
b
b
b
0r b
Дії з дробами (знаменники всіх дробів відмінні від нуля)
ac
a
;
bc
b
a b
a b
;
c c
c
a c
ak cl
ak cl
,
b d
m m
m
де m НСК (b, d ), k
a
b
a
b
c
ac
;
d
bd
c
ad
:
,c 0
d
bc
m
m
,l ;
b
d
Розділ 4. МНОЖИНИ
15
4.10. Відсотки. Пропорції
Відсотки. Відсоток (процент)
числа a — це одна сота частина a.
Задачі на відсотки
Знаходження відсотків числа
Знаходження числа за відсотками
Знаходження процентного
відношення чисел
Якщо число a збільшити на p %,
то дістанемо число
Якщо число a зменшити на p %,
то дістанемо число
Формула складених відсотків.
Якщо A — початковий вклад, p —
річний відсоток, то наприкінці n -го
року вклад становитиме
Пропорція. Пропорцією називають
рівність двох відношень:
a
c
, b 0, d 0,
b
d
де a, d — крайні члени пропорції;
b,c — середні члени пропорції
Задачі на пропорцію
Поділ числа a у відношенні k : l
Масова частка речовини. Якщо
суміш містить k речовин масою
m1, m2,..., mk , то масова концентрація
i -ої речовини
1% a
a
0, 01a
100
pa
100
p
b
p%a b a b :
100
100
p
a
число a становить 100% від числа b
b
p
a 1
100
p
a 1
100
p% a
n
p
A 1
100
Властивості пропорції.
a
c
ad bc;
b
d
a
c
d
b
d
c
;
b
d
c
a
b
a
a
c
a b c d
b
d
b
d
a
c
ad
x
;
x
d
c
x
c
bc
x
b
d
d
ak
al
та
k l
k l
mi
xi
,
m1 m 2 ... mk
i 1, 2,..., k
16
Розділ 4. МНОЖИНИ
4.11. Подільність натуральних чисел
Ділення з остачею. Якщо a —
Ділення націло. Натуральне число
ділене, b — дільник і
a ділиться на натуральне число b
a bc r, r b,
(позначають a b), якщо існує
то кажуть, що c — неповна частка,
натуральне число c таке, що a bc.
r — остача.
Якщо a b, то b — дільник a , число a
кратне b, c — частка.
Основні властивості подільності (a, b, c )
a b, b a a b;
a b, b c a c;
a (bc ) a b, a c
0 a;
a 1;
a a;
Ознаки подільності числа m 1... n 1n , 1 2 ... n
m2
n {0, 2, 4, 6, 8}
m5
n {0, 5}
m3
3
m9
9
m4
n 1n 4
m 10
n 0
Парні числа. Натуральне число
називають парним, якщо воно ділиться
націло на 2. Його можна записати у
вигляді
n 2k , k
Прості і складені числа. Простим
числом називають натуральне число,
яке має лише два різних дільники —
одиницю і саме число.
Основна теорема подільності.
Будь-яке натуральне число, більше за
одиницю, можна розкласти в добуток
простих чисел, причому цей добуток
єдиний з точністю до порядку
співмножників.
Найбільший спільний дільник.
Найбільшим спільним дільником
натуральних чисел a та b називають
найбільше число, на яке ділиться і
число a , і число b і позначають
НСД (a, b ).
Непарні числа. Натуральне число
називають непарним, якщо воно не
ділиться націло на 2. Його можна
записати у вигляді
n 2k 1, k
Натуральне число, яке має більше як
два різних дільники, називають
складеним. Число 1 не належить ані до
простих, ані до складених.
a p1 1 p2 2 ...pk k ,
де pi — прості числа, i .
Найменше спільне кратне.
Найменшим спільним кратним
натуральних чисел a та b називають
найменше число, яке ділиться як на
число a , так і на число b, і позначають
НСК (a, b ).
НСД (a, b) НСК (a, b) ab
Розділ 4. МНОЖИНИ
⓫Алгоритм
знаходження НСД.
Розкладають задані числа на прості
множники.
Складають добуток зі спільних
простих множників, узятих з
найменшим показником степеня.
17
⓬Алгоритм
знаходження НСК.
Розкладають задані числа на прості
множники.
Складають добуток з усіх простих
множників, узятих з найбільшим
показником степеня.
4.12. Деякі спеціальні нерівності
Порівняння дійсних чисел. Для
будь-яких дійсних чисел a та b
встановлено одне з трьох відношень:
Властивості рівностей.
Якщо a b, b c, то a c.
Якщо a b, то:
a c b c;
ac bc;
a
b
,c 0
c
c
Нерівність Бернуллі
a b (a дорівнює b );
a b (a менше за b, b більше за a )
a b (a більше за b, b менше за a )
Властивості нерівностей.
Якщо a b, b c, то a c.
Якщо a b, то:
a c b c;
ac bc, c 0 і ac bc, c 0;
a
b
a
b
,c0і ,c0
c
c
c
c
n
(1 h ) 1 nh (h 1, n )
Середнє арифметичне
чисел a1, a2 ,..., an
a1 a2 ... an
n
Gn n a1a2 ...an
An
Середнє геометричне
чисел a1, a2 ,..., an
Середнє гармонічне
чисел a1, a2 ,..., an
Середнє квадратичне
чисел a1, a2 ,..., an
Співвідношення між середніми
Нерівність Коші
Hn
n
1
1
1
...
a1 a2
an
a12 a22 ... an2
Sn
n
H n Gn An Sn (ai 0)
n
a1 a2 ... an
n
(ai 0)
a1a2 ...an
18
Розділ 4. МНОЖИНИ
4.13. Числова вісь
x , x 0,
Модуль дійсного числа. Модулем
x
(абсолютною величиною) дійсного
x, x 0
числа x називають число
Нескінченності. Множину дійсних 1) x () ,
чисел доповнюють елементами, які
x () x ;
називають
2) x () ,
плюс нескінченністю
x () x 0;
та мінус нескінченністю
і позначають та ,
3) () () ,
вважаючи при цьому, що:
() () ;
4) x x
Числова вісь. Числовою віссю
називають пряму, на якій вибрано:
1) початок — точку O ;
2) додатний напрям;
3) масштаб.
O
E
x
1
0
Між точками числової осі і множиною
дійсних чисел можна встановити
взаємно однозначну відповідність.
Правило зображення дійсного числа
x M точкою числової осі M :
O
1) OM x M ;
2) якщо x M 0, то точка M
розташована ліворуч від точки O,
якщо x M 0, то точка M O ;
якщо x M 0, то точка M
розташована праворуч від точки O .
Віддаль між точками. Віддаль між
точками M1(x1 ) та M 2 (x 2 ) на прямій
знаходять за формулою
d (M1, M 2 ) x 2 x1 .
1
M
x
xM
M2
x2 0
O
M1
0
x1 0
x
Число x називають координатою
точки M на числовій осі і позначають
M (x ).
M1
M2
x1
x2 x
x 2 x1
Розділ 4. МНОЖИНИ
19
4.14. Числові проміжки
Відрізок [a; b ] {x | a x b}
Інтервал (a ; b ) {x | a x b}
a
b
x
a
b
x
a
b
x
a
b
x
Півінтервали
[a ; b ) {x | a x b}
(a ; b ] {x | a x b}
Нескінченні проміжки
(a ; ) {x | a x }
x
a
(; b ) {x | x b}
x
b
[a ; ) {x | a x }
x
a
(; b ] {x | x b}
b
(; )
-окіл точки a .
U (a ) {x x a }
(a ; a ), 0
Проколений -окіл точки a .
U (a ) \ {a } {x 0 x a }
(a ; a ) (a; a )
-окіл точки
U () {x x } (; )
-окіл точки
U () {x x } (; )
-окіл точки
U () x x
(; ) (; )
x
x
U (a )
a
a
a
U (a )
a
a
a
U ( )
U ( )
U ( )
20
Розділ 4. МНОЖИНИ
4.15. Елементи комбінаторики
Факторіал
Подвійний факторіал
Розміщення. Розміщенням з n
n ! 1 2 ... n; 0 ! 1
(n 1)! n !(n 1)
(2k )!! 2 4 ... (2k )
(2k 1)!! 1 3 ... (2k 1)
Кількість розміщень
елементів по k елементів (0 k n )
без повторення
з повтореннями
називають будь-який упорядкований
k n k
n!
A
набір з k елементів n -елементної
n
Ank
(n k )!
множини.
Розміщення різняться одне від одного
або складом елементів або порядком їх
розташування.
Кількість перестановок
Перестановка. Перестановкою з n
елементів (без повторень) називають
(n1 n2 ... nk n )
будь-яку впорядковану підмножину з
без повторення
з повтореннями
n елементів заданої множини.
Перестановки різняться одне від
Pn (n1, n2 , ..., nk )
Pn n !
одного лише порядком розташування
n!
елементів.
n1 ! n2 !...nk !
Кількість комбінацій
Комбінація. Комбінацією з n
елементів по k елементів (0 k n )
без повторення
з повтореннями
називають будь-який набір з k
елементів n -елементної множини.
n!
Cnk C nk k 1
k
C
Комбінації різняться одна від одної
n
(n k )! k !
лише складом елементів.
Правило суми. Якщо об’єкт a
Правило добутку. Якщо об’єкт a
можна вибрати m способами, а об’єкт можна вибрати m способами і після
b — іншими n способами, то вибір
кожного з таких виборів об’єкт b
можна вибрати n способами, то вибір
«або a, або b » можна здійснити
« a та b » (у вказаному порядку) можна
m n способами.
здійснити mn способами.
k
Властивості An .
Властивості C nk .
Ann Ann 1 Pn n !;
An0 1;
Ank 1 (n k )Ank
Cnk Cnn k , k 0, 1, ..., n;
C n0 C nn 1;
1
k
k 1
Cnk
1 C n C n , k 0,1,..., n 1;
C n0 C n1 ... C nn 1 C nn 2n
Розділ 4. МНОЖИНИ
21
4.16. Біноміальна формула Ньютона
n
Сума n доданків a1, a2 ,..., an
ak
k 1
a1 a2 ... an
Біноміальна формула Ньютона.
n
(a b ) a
n
C n1a n 1b
C n2a n 2b 2
... C nn 1ab n 1
n
n
b
C nkan kbk
k 0
Біноміальний коефіцієнт
C nk
Паскалів трикутник
1
C 00
(a b)0 1
1 1
1 2 1
C10 C11
(a b)1 a b
C 20 C 21 C 22
(a b)2 a2 2ab b2
(a b)3 a3 3a2b 3ab2 b3
C 30 C 31 C 32 C 33
1 3 3 1
1 4 6 4 1
(a b)4 a 4 4a 3b 6a2b2 4ab3 b4
Формули скороченого множення
C 40 C 41 C 42 C 43 C 44
квадрат суми
(a b )2 a 2 2ab b 2
квадрат різниці
(a b)2 a 2 2ab b 2
різниця квадратів
a 2 b 2 (a b)(a b)
куб суми
(a b )3 a 3 3a 2b 3ab 2 b 3
куб різниці
(a b )3 a 3 3a 2b 3ab 2 b 3
сума кубів
a 3 b 3 (a b )(a 2 ab b 2 )
різниця кубів
a 3 b 3 (a b)(a 2 ab b 2 )
a n bn (a b )(a n 1 a n 2b a n 3b 2 ... a 2bn 3 abn 2 bn 1 )
Формули перетворення ірраціональностей
a b
a b
a b
a b
a b
a b
;
3a 3b
;
3a 3b
a b
3
a 2 3 ab b 2
a b
3
3
a 2 3 ab b 2
3
;
22
Розділ 4. МНОЖИНИ
4.17. Обмежені множини
Обмежені множини
Множину A називають
обмеженою зверху, якщо
M : x A x M .
M — верхня межа множини A.
Множину A називають
обмеженою, якщо вона обмежена
зверху і знизу.
Точні межі множини
Множину A називають
обмеженою знизу, якщо
m : x A x m .
m — нижня межа множини A.
C 0 : x A x C .
Число M є точною верхньою
межею множини A , якщо:
1) x A : x M ;
2) 0 x 0 A : x 0 M .
Число m є точною нижньою
межею множини A , якщо:
1) x A : x m;
2) 0 x 0 A : x 0 m .
Позначають M sup A
Існування точних меж. Будь-яка
обмежена зверху непорожня множина
дійсних чисел має точну верхню межу,
а будь-яка обмежена знизу — точну
нижню межу.
Позначають m inf A
Для необмеженої зверху множини
вважають, що sup A .
Для необмеженої знизу множини A
вважають, що inf A .
4.18. Точкові множини
Внутрішня точка. Точку M D
називають внутрішньою точкою
множини D, якщо існує такий окіл
точки M, який повністю міститься в
множині D .
Межа множини. Точку M
називають межовою точкою множини
D, якщо будь-який її окіл містить як
точки, які належать D, так і точки, які
їй не належать.
Гранична точка. Точку M
називають граничною точкою
множини D, якщо кожен її окіл
містить нескінченну кількість точок
множини D .
Відкрита множина. Множину D,
кожна точка якої є внутрішньою,
називають відкритою.
Межа множини. Множина всіх
межових точок множини D утворює її
межу D .
Замкнена множина. Множину D,
яка містить усі свої межові точки,
називають замкненою.
D D D .
Розділ 5. ФУНКЦІЇ
5.1. Функція однієї змінної
Функція f (x ), x X
x
f
y
Графік функції f (x ), x X .
{M (x ; y ) | x X , y f (x )},
X Y
y f (x )
Y
f (x )
O
Рівність функцій
f1(x ), x X1 і f2 (x ), x X 2
Сума (різниця ) функцій f (x ) та g(x )
x D(f ) D(g )
(fg )(x ) f (x )g(x ),
x D(f ) D(g )
f (x ) f (x ) ,
g
g(x )
x D( f ) D(g ), g (x ) 0
(f g )(x ) f (g(x )),
x D(g ) {x | g(x ) D(f )}
Складена функція f від g
g — внутрішня функція,
f — зовнішня функція
f g
x
функцію f
таку, що:
x f 1(y ), y E .
Функцію, яка має обернену, називають
оборотною.
g
f
g(x )
x
y
f 1
y
y f (x )
y0
x0
f (g (x ))
y f (x )
f
x f 1(y )
y x
y f 1(x )
O
Графіки взаємно обернених функцій
симетричні щодо прямої y x .
x
2) x X1 : f1(x ) f2 (x )
(f g )(x ) f (x ) g(x ),
Частка функцій f (x ) та g(x )
1
X x
1) X1 X 2 ;
Добуток функцій f (x ) та g(x )
Обернена функція. Нехай функція
f установлює взаємно однозначну
відповідність між множинами D та E .
Оберненою до f функцією називають
f (x )
x0
y0
x
Якщо функція зростає (спадає) на
інтервалі, то вона має обернену
функцію на цьому інтервалі, яка
зростає (спадає).
24
Розділ 5. ФУНКЦІЇ
5.2. Основні характеристики функції
y
Нулі і проміжки знакосталості
функції.
X {x | f (x ) 0};
X 0 {x | f (x ) 0};
X {x | f (x ) 0}
y f (x )
x
O
y
Парна функція.
x D( f ) : x D( f ) і f (x ) f (x )
Графік парної функції
симетричний щодо осі Oy .
f (a )
a
x
a
y
f (a )
Непарна функція.
x D(f ) : x D(f ) і f (x ) f (x )
Графік непарної функції
симетричний щодо початку координат.
a
O
a
x
f (a )
Властивості парних і непарних функцій
Зміна знаку перед функцією не
змінює її парності (непарності).
Сума парних функцій є парною
функцією.
Сума непарних функцій є непарною
функцією.
Періодична функція з періодом T
T 0 x D(f ) : x T D( f )
Добуток будь-якої кількості парних
функцій є парною функцією.
Добуток парної функції на непарну
є непарною функцією.
y
f (a )
і f (x T ) f (x )
Графік T -періодичної функції
a
x
O
T a T 2T
T
складається з повторюваних
фрагментів графіка функції на
проміжку [0;T ].
Якщо функція f (x ) періодична з періодом T , то функція Af (kx b) також є
періодичною з періодом
T
.
k
Розділ 5. ФУНКЦІЇ
Монотонні функції
Зростаюча функція на множині X
x 1 , x 2 X :
x1 x 2
f (x1 ) f (x 2 )
y
Спадна функція на множині X
y2
y1
x1
x2
x1
x
y
y1
y2
f (x1 ) f (x 2 )
O
x2
Незростаюча функція на множині X
x 1 , x 2 X :
x1 x 2
y2
y1
x1
O
x
y
f
y1
y2
f (x1 ) f (x 2 )
Неспадна функція на множині X
f (x1 ) f (x 2 )
y
x 1 , x 2 X :
x1 x 2
f
O
x 1 , x 2 X :
x1 x 2
25
x2 x
x1
O
x2
x
Функції зростаючі, спадні, неспадні і незростаючі на множині X називають
монотонними на цій множині.
Опукла донизу (угнута)
Опукла догори (опукла)
функція на X .
функція на множині X .
y
y
B
x 1, x 2 X :
x 1, x 2 X :
f
f
x1 x 2
хорда AB
не нижче
за графік y f (x )
B
x1 x 2
хорда AB
не вище
за графік y f (x )
A
x2 b x
O a x1
A
x2b x
O a x1
Обмежені функції
Функція обмежена зверху
на множині X
y
M :
f (x ) M
x X
M
f (x ) M
X
O
a
b x
Обмежена функція на множині X
C 0 : x X f (x ) C
Функція обмежена знизу
на множині X
y
m f (x )
m :
x X
m
m f (x )
X
y
C
O
a
f (x ) C
X
O a
C
b x
b
x
26
Розділ 5. ФУНКЦІЇ
5.3. Степенева функція
Степінь x
натуральний показник n
0n 0;
1n 1
n разів
0
нульовий показник
x 1, x 0
від’ємний показник (n )
дробовий показник (m, n )
Арифметичний корінь
x — основа степеня;
— показник степеня
x1 x
x n x
x x
n
x
з невід’ємного числа x
з від’ємного числа x
x n
x m /n
1
(x 0)
xn
n
x m (n 1)
x — підкореневий вираз;
n — показник степеня
a
2n 1
2n
n
x an x , x 0
x 2n 1 x , x 0
x , x 0 — не існує
Окремі випадки степеневої функції.
y
Степенева функція y x 2n , n .
D( f ) , E ( f ) [0; ).
Функція парна.
Графіком є парабола порядку 2n .
y x4
y x2
1
Степенева функція y x 2n1.
D( f ) , E ( f ) .
Функція непарна;
зростає на .
Графік — парабола порядку 2n 1.
(для n 1 графіком є пряма).
y x6
1
O
y x5
y x3
y x
y
1
x
1
O
1
1
x
Розділ 5. ФУНКЦІЇ
Степенева функція y
1
2n
27
y
.
x
D( f ) \ {0}, E ( f ) (0; ).
Функція парна.
Вертикальна асимптота x 0,
горизонтальна асимптота y 0.
1
Піднесення до степеня
і взяття кореня
є взаємно оберненими діями.
x2
x
1
1
1
y
x
1
x3
1
1
O
x
1
y
y
y
1
x
4
x
3
x
x
1
O
Властивості степенів.
x a x b x a b ;
xa
b x a b ;
x
(x a )b x ab ;
O
y
Степенева функція y 2n x .
D( f ) [0; ), E ( f ) [0; ).
Функція зростає на [0; ).
2n 1
1
y
.
x 2n 1
D( f ) \ {0}, E ( f ) \ {0}.
Функція непарна;
спадає на \ {0}.
Вертикальна асимптота x 0,
горизонтальна асимптота y 0.
Степенева функція y
D(f ) , E(f ) .
Функція непарна;
зростає на .
x4
y
1
Степенева функція y
1
y
y
x.
y
1
O
n
1
x
x , n 2k,
x n
k ;
x, n 2k 1,
(n x )n x
Властивості коренів (x 0, y 0).
n xy
x
y
n
n
x n y, ;
n
x
n
y
;
n
(xy )a x aya ;
(n x )m
x a
xa
y
ya
n x ny x n y ;
xn y
n
xm ;
x ny
28
Розділ 5. ФУНКЦІЇ
Основні степеневі рівняння і нерівності (n )
a0
x 2n a
x 2n a
x 2n a
a0
a 0
x 2n a ,
2n
x a
x 0
x a
2n
x a
x 0
x a 2n
2n
x a
x 0
x 0
x a 2n
x 2n 1 a
x
2n 1
a
x 2n 1 a
x
2n 1
a
x
2n 1
x
2n 1
2n 1
2n 1
2n 1
a
2n a
y
2n
x a 2n 1
x a
x a
2n 1
x a
2n 1
a
2n
y
x
x
y a
O
a 2n
y a
y
x
y x 2n 1
2n 1
a
x a
x a
O
x 2n a ,
x 2n a
x 0
y x 2n
y a
x 2n a
x 0,
x a 2n
2n
y
x
a
y
y
2n 1
a 2n 1
x
x
O
y a
Рівносильність деяких ірраціональних рівнянь та нерівностей
f 2n (x ) g 2n (x ) f (x ) g(x ) ;
2n 1 f (x ) 2n 1 g(x ) f (x ) g(x );
f 2n 1(x ) g 2n 1(x ) f (x ) g(x );
2n f (x )
f (x ) g 2n (x ),
f (x ) g(x )
g (x ) 0;
2
n
1
f (x ) g (x ) f (x ) g 2n 1(x );
f (x ) 0,
2n f (x ) 2n g (x )
f (x ) g(x );
2n
2n 1
2n 1 f (x ) g(x ) f (x ) g(x )
2n 1
2n 1 f (x ) g(x ) f (x ) g(x )
;
2n
;
⑪ 2n
f (x ) 0,
g (x )
g (x ) f (x );
f (x ) 0,
f (x ) g(x ) g(x ) 0,
f (x ) g(x ) 2n ;
2n
g (x ) 0,
2n
f (x ) g(x ) ,
f (x ) g(x )
g(x ) 0,
f (x ) 0;
Розділ 5. ФУНКЦІЇ
29
5.4. Стала, лінійна і дробово-лінійна функції
y
Стала функція y a .
D( f ) , E ( f ) {a }.
Функція парна.
Графік — горизонтальна пряма.
y a
a
x
O
a0
Лінійна функція y ax b (a 0).
D( f ) , E ( f ) .
Графіком є пряма лінія з кутовим
коефіцієнтом k a tg .
b
a
y
b
y ax b
x
O
Лінійне рівняння і нерівності
ax b 0
ax b 0
ax b 0
a 0
b
x
a
a0
b
x
a
b
x
a
b
b
x
x
a
a
Дробово-лінійна функція
ax b
y
cx d
a b (ad ) c
(c 0).
c
cx d
a
d
D( f ) \
, E(f ) \
.
c
c
Графік — гіпербола.
d
Вертикальна асимптота x ,
c
a
горизонтальна асимптота y .
c
a 0
a 0
y
y
x
O b
b
a
a
x
O
a0 y
y
O
a
c
d
c
ax b
cx d
x
30
Розділ 5. ФУНКЦІЇ
5.5. Квадратична функція
y
Квадратична функція
y ax 2 bx c
a, D 0
y ax 2 bx c (a 0).
D(f ) .
Графіком є парабола.
O
D
4a
Дискримінант
b
2a
x
M
D b 2 4ac
Виділення повного квадрату
2
b
D
ax bx c a x
2a
4a
Корені квадратного рівняння
ax 2 + bx + c = 0
Розклад на множники
b D
2a
ax 2 bx c a(x x1 )(x x 2 )
2
D 0 x1,2
Теорема Вієта
b
c
x1 x 2 ; x1x 2
a
a
Квадратні рівняння і нерівності (x1 x 2 )
a0
ax 2 bx c 0
ax 2 bx c 0
ax 2 bx c 0
проміжки
знакосталості
функції
2
y ax bx c
D0
D 0
x x1
x x1
x
a0
D0
x x1,
x x
2
{x 1, x 2 }
x x 1,
x x2
x
x
D0
D 0
x x1
x x1
x
D0
x x 1,
x x2
{x 1, x 2 }
x x1,
x x
2
x
x
Розділ 5. ФУНКЦІЇ
31
5.6. Многочлени
Pn (x )
Многочлен n -го степеня
(a0 0, n )
a0x n a1x n1 ... an1x an
a0,a1, a2,..., an — коефіцієнти
многочлена;
a0 — старший коефіцієнт;
Тотожна рівність многочленів.
Pn (x ) Qm (x )
x : Pn (x ) Qm (x ).
Корені (нулі) многочлена
a0x n — старший член многочлена;
a n — вільний член многочлена.
Два многочлени тотожно рівні, якщо
вони однакового степеня і мають рівні
коефіцієнти при однакових степенях.
x 0 — корінь многочлена Pn (x )
Pn (x ) (x x 0 )Qn 1(x )
x 0 — корінь кратності k
Pn (x ) (x x 0 )k Qn k (x )
Многочлен непарного степеня має
Основна теорема алгебри.
принаймні один дійсний корінь.
Многочлен степеня n може мати не
більше як n коренів.
Раціональні корені многочлена Pn (x ) a 0x n a1x n 1 ... an 1x an
Раціональними коренями многочлена з m — дільник an ,
цілими коефіцієнтами можуть бути
p — дільник a0 ,
m
лише числа
НСД(m, p) 1.
p
Ділення многочлена на многочлен. Qn m (x ) — частка (n m );
An (x )
R (x )
Rk (x ) — остача (k m )
Qn m (x ) k
Bm (x )
Bm (x )
Теорема Безу. Остача від ділення многочлена Pn (x ) на двочлен x a
дорівнює значенню цього многочлена для x a :
Pn (x ) (x a )Qn 1(x ) Pn (a )
Схема Горнера
b0 a 0 ;
a0
b1 a1 b0 ;
bn 1
...
an 1 bn 2 ;
a1
b0
a2
b0
b1
b1
b2
an 1
...
...
...
an
bn 2
bn 1
bn 1
r
r an bn 1
Pn (x ) a 0x n ... an 1x an , Qn 1(x ) b0x n 1 ... bn 2x bn 1, r Pn (a )
32
Розділ 5. ФУНКЦІЇ
5.7. Показникова і логарифмічна функції
Логарифм. Логарифмом додатного
числа x за основою a (a 0, a 1)
називають показник степеня, до якого
потрібно піднести число a , щоб
одержати число x , і позначають
loga x.
loga x b ab x, x 0
loga 1 0;
loga a 1
0a 1
Показникова функція y a x ,
a 0, a 1.
D( f ) , E ( f ) (0; ).
a 1
y
y
y ax
спадає на , 0 a 1,
Функція
зростає на ,
a 1.
Горизонтальна асимптота y 0.
1
1
x
O
Логарифмічна функція
y loga x , a 0, a 1.
D( f ) (0; ), E ( f ) .
спадає на , 0 a 1,
Функція
зростає на ,
a 1.
y ax
0a 1
y
O
a 1
y
y loga x
x
1
O
y loga x
1
Вертикальна асимптота x 0.
Окремі випадки логарифмів і показникової функції
Десятковий логарифм
lg x log10 x
Натуральний логарифм
ln x loge x
Експоненціальна функція
y ex
Властивості логарифмів (x 0, y 0)
основна логарифмічна тотожність
логарифм добутку
логарифм частки
a loga b b
loga (xy ) loga x loga y
loga
x
O
x
loga x loga y
y
x
Розділ 5. ФУНКЦІЇ
33
логарифм степеня
logar x p
логарифм оберненого числа
p
loga x
r
1
loga x
x
1
logb x
loga b
loga x
logb a
logb a
ln x
ln a
loga a x x ;
loga
формула переходу до іншої основи
Логарифмічна і показникова
функції є взаємно оберненими
a loga x x, x 0
Зв’язок між степеневою,
x a loga x ,
показниковою і логарифмічною
(x 0, a 0, a 1)
функціями
Основні показникові рівняння і нерівності
0a 1
a 1
b 0
b0
ax b
ax b
ax b
0a 1
a 1
x loga b
x loga b
x loga b
x loga b
x loga b
y
y
y b
y b
y ax
y ax
loga b O
Основні логарифмічні рівняння і нерівності
0a 1
0a 1
a 1
loga x b
loga x b
loga x b
0 x ab
x ab
x ab
0 x ab
y
y loga b
x
y b
a 1
y b
ab
x ab
x
O loga b
x
O
ab
y loga b
x
Показникові і логарифмічні рівняння і нерівності
0a 1
f (x ) g(x ),
loga f (x ) loga g(x )
f (x ) 0
a 1
a f (x ) a g (x ) f (x ) g(x )
f (x ) g(x ),
loga f (x ) loga g(x )
g(x ) 0
a f (x ) a g (x ) f (x ) g(x )
f (x ) g(x ),
loga f (x ) loga g(x )
f (x ) 0
a f (x ) a g (x ) f (x ) g(x )
34
Розділ 5. ФУНКЦІЇ
5.8. Тригонометричні функції
B
Прямокутний трикутник.
AB — гіпотенуза;
AC — прилеглий катет;
BC — протилежний катет
Синус. Синусом числа t називають
ординату точки Pt одиничного кола і
позначають sin t .
Період синуса 2 :
sin(t 2k ) sin t, k
Косинус. Косинусом числа t
називають абсцису точки Pt
одиничного кола і позначають cos t.
Період косинуса 2 :
cos(t 2k ) cos t, k
Тангенс. Тангенсом числа t
називають ординату точки перетину
прямої x 1 (осі тангенсів)
із променем OPt .
Період тангенса :
tg(t k ) tg t, k
Котангенс. Котангенсом числа t
називають абсцису точки перетину
прямої y 1 (осі котангенсів)
із променем OPt .
Період котангенса :
ctg(t k ) ctg t, k
c
A
y
b
C
Pt
sin t
t
1x
O
y
O
a
sin
BC
a
AB
c
cos
AC
b
AB
c
Pt
t
cos t 1 x
y tg t
Pt
t
O
1 x
tg
BC
a
AC
b
y
Pt
O
t
ctg t 1 x
ctg
AC
b
BC
a
Розділ 5. ФУНКЦІЇ
Зв’язок між тригонометричними
функціями
Функція y sin x .
D( f ) , E ( f ) [1;1].
Функція непарна;
періодична з періодом T 2;
обмежена: sin x 1.
Графік — синусоїда.
Функція y cos x .
D( f ) , E ( f ) [1;1].
Функція парна;
періодична з періодом T 2;
обмежена: cos x 1.
Графік — косинусоїда.
Функція y tg x.
D(f ) \ k | k ,
2
E ( f ) .
Функція непарна;
періодична з періодом T ;
зростає на D( f ).
Графік — тангенсоїда.
Вертикальні асимптоти
x k , k .
2
Функція y ctg x.
D( f ) \ k | k , E (f ) .
Функція непарна;
періодична з періодом T ;
спадає на D( f ).
Графік — котангенсоїда.
Вертикальні асимптоти x k, k .
tg x
35
sin x
cos x
ctg x
y
y sin x
1
O
2
1
y cos x
3
2
2
x
2
x
y
1
2
3
2
O
1
y
2
cos x
sin x
O
y tg x
2
3
x
2
y
y ctg x
2
O
2
x
36
Розділ 5. ФУНКЦІЇ
5.9. Обернені тригонометричні функції
arcsin a t
sin t a
Арксинус. Арксинусом числа a
називають число t ; , синус
2 2
якого дорівнює a , і позначають
y
a
Parcsina
t
1x
O
arcsin a .
y
arccos a t
cos t a
Арккосинус. Арккосинусом числа a
називають число t 0; , косинус
якого дорівнює a і позначають
arccos a.
Арктангенс. Арктангенсом числа a
називають число t ; ,
2 2
тангенс якого дорівнює a , і
позначають arctg a.
Parccosa
t
arctg a t
y
tg t a
a
cos
tg
ctg
arcsin x
arccos x
x
1 x2
x
1 x2
x
1 x2
x
x
1 x2
1 x2
x
1
1 x2
1 x2
x
1
x
1x
t
1x
O
y
arcctg a t
Арккотангенс. Арккотангенсом
числа a називають число t 0; ,
ctg t a
котангенс якого дорівнює a , і
позначають arcctg a.
Формули значень тригонометричних функцій
від обернених тригонометричних функцій
sin
a
O
1x
2
t
O
a1 x
arctg x
arcctg x
x
1
1 x2
1
1 x2
x
1 x2
1 x2
x
1
x
1
x
x
1 x2
1
x
1 x2
x
1
Розділ 5. ФУНКЦІЇ
Функція y arcsin x .
D( f ) [1;1], E ( f ) ; .
2 2
Функція непарна;
зростає на D( f ).
37
y
1
O
1
y
Функція y arccos x .
D( f ) [1;1], E ( f ) [0; ].
Функція спадає на D( f ).
y arcsin x
2
y arccos x
2
1
O
1
Функція y arctg x.
D( f ) , E ( f ) ; .
2 2
y
Функція непарна;
зростає на D( f ).
O
Горизонтальні асимптоти y .
2
Функція y arcctg x.
D(f ) , E (f ) 0; .
Функція спадає на D( f ).
Горизонтальні асимптоти y 0,
y .
x
y arctg x
2
y
x
x
2
y arcctg x
2
O
Прямі і обернені тригонометричні функції є взаємно оберненими
sin(arcsin x ) x , x [1;1],
arcsin(sin x ) x , x ;
2 2
cos(arccos x ) x , x [1;1]
arccos(cos x ) x , x [0; ]
tg(arctg x ) x
arctg(tg x ) x , x ;
2 2
arcctg(ctg x ) x , x (0; )
ctg(arcctg x ) x
x
38
Розділ 5. ФУНКЦІЇ
5.10. Властивості тригонометричних
і обернених тригонометричних функцій
Знаки тригонометричних функцій
II
tg x
cosx
sin x
y
y
II
I
1 x
O
1 x
O
IV
III
II
I
IV
III
ctg x
y
II
I
1 x
O
IV
III
y
I
1 x
O
IV
III
Парність (непарність) функцій
sin(x ) sin x ;
cos(x ) cos x ;
tg(x ) tg x ;
ctg(x ) ctg x ;
Формули зведення
sin
2
x
cos x
2
x
cos x
arcsin(x ) arcsin x ;
arctg(x ) arctg x ;
x
sin x
x
sin x
cos
tg
sin x
ctg x
sin x cos x cos x
ctg x tg x
tg x
ctg
tg x
tg x
ctg x
ctg x
arcsin x ;
2
arcctg x arctg x ;
2
arccos(x ) arccos x ;
arcctg(x ) arcctg x
arccos x
«Стандартні» значення
0
sin
0
cos 1
tg
0
ctg
6
4
3
2
1
2
2
2
3
2
1
0
3
2
1
2
2
1
2
0 1
3
3
1
1
3
1
3
0
3
2
2
1
0
1
2
0
arcsin 0
0
1
arccos
2
6
3
0
0
arctg
0
0
arcctg
2
1
3
6
3
2
2
4
4
3
2
3
6
1
3
2
0
4
4
3
6
Розділ 5. ФУНКЦІЇ
Основні тригонометричні
тотожності.
sin 2 x cos2 x 1;
tg x ctg x 1;
1
1 tg2 x
;
2
cos x
1
1 ctg 2 x
sin2 x
Формули кратних аргументів.
sin 2x 2 sin x cos x ;
cos 2x cos2 x sin2 x ;
sin 3x 3 sin x 4 sin3 x ;
cos 3x 4 cos3 x 3 cos x
Формули для універсальної
тригонометричної підстановки
x
x
t tg або u ctg
2
2
39
Формули додавання.
sin(x y ) sin x cos y sin y cos x ;
cos(x y ) cos x cos y sin x sin y ;
tg x tg y
;
1 tg x tg y
ctg x ctg y 1
ctg(x y )
ctg x ctg y
tg(x y )
Формули зниження степеня.
1 cos 2x
sin 2 x
;
2
1 cos 2x
cos2 x
2
sin x
2t
2u
;
1 t2
u2 1
1 t2
u2 1
cos x
1 t2
u2 1
Перетворення добутку тригонометричних функцій у суму.
2 sin x sin y cos(x y ) cos(x y );
2 cos x cos y cos(x y ) cos(x y );
2 sin x cos y sin(x y ) sin(x y )
⓫Перетворення суми тригонометричних функцій у добуток.
x y
x y
sin x sin y 2 sin
cos
;
2
2
x y
x y
cos x cos y 2 cos
cos
;
2
2
x y
y x
cos x cos y 2 sin
sin
2
2
⓬Формула доповняльного кута.
M A2 B 2 — амплітуда;
A sin t B cos t M sin(t )
— доповняльний кут:
A
cos
,
M
B
sin
M
40
Розділ 5. ФУНКЦІЇ
5.11. Основні тригонометричні рівняння
Рівняння і нерівності з синусом
a 1
a 1
a 1
arcsin a 2 n x arcsin a 2 n
sin x a
x (1) arcsin a n, n
sin x a
arcsin a 2 n x arcsin a 2n
sin x a
n
sin x 1
sin x 0
2n, n
2
y
1
a
sin x 1
y
2n, n
2
n, n
x
1
y a
x
O
arcsin a
arcsin a
arcsin a
y sin x
1
Рівняння і нерівності з косинусом
cos x a
cos x a
cos x a
a 1
a 1
a 1
arccos a 2 n x 2 arccos a 2 n
x arccos a 2n, n
arccos a 2 n x arccos a 2 n
x 2n, n
cos x 1
cos x 0
n, n
2
x 2n, n
x
cos x 1
1
y
y
x
1
arccosa
y a
a
arccosa
O
x
arccosa
y cos x
1
Розділ 5. ФУНКЦІЇ
41
y
Рівняння і нерівності з тангенсом
n x arctg a n
2
x arctg a n, n
tg x a
tg x a
y a
y
arctg a n x
tg x 0
2
x
Рівняння і нерівності з котангенсом
ctg x 0
x
n, n
2
sin x a
y
x
a
arcsin a
arcsin a
tg x a
y
a
tg x a
y
a
2
1
2
arctg a
1
x
a
x
1
arctg a
cos x a
y
a
1
x
x
2
arccosa
arccosa
ctg x a
y
1
x
x
O arcctg a
cos x a
y
y
a
y a
a
arcctg a
arctg a x
2
O
y arcctg x
x
sin x a
y
y
arcctg a n x (n 1)
x arcctg a n, n
n x arcctg a n
ctg x a
ctg x a
ctg x a
a
arctg a
n
2
x n, n
tg x a
y arctg x
ctg x a
y
1
ax
arcctg a
a
arcctg a
x
42
Розділ 5. ФУНКЦІЇ
5.12. Гіперболічні функції
y
Гіперболічний синус
e x ex
y sh x
.
2
D( f ) , E ( f ) .
Функція непарна.
Зростає на .
Гіперболічний косинус
y sh x
y
e x e x
2
D( f ) , E ( f ) [1; ).
Функція парна.
y ch x
Гіперболічний тангенс
sh x
y th x
.
ch x
D(f ) , E ( f ) (1;1).
Функція непарна;
зростає на .
Графік має горизонтальні асимптоти
y 1.
Гіперболічний котангенс
ch x
y cth x
.
sh x
D( f ) \ {0}, E ( f ) \ [1;1].
Функція непарна;
спадає на D( f ).
Вертикальна асимптота x 0;
горизонтальні асимптоти y 1.
x
O
y ch x
1
O
y
x
1
y th x
O
x
1
y
y cth x
1
O
1
x
Розділ 5. ФУНКЦІЇ
43
Парність (непарність) функцій
sh(x ) sh x ;
ch(x ) ch x ;
th(x ) th x ;
cth(x ) cth x
«Стандартні» значення.
sh 0 0;
ch 0 1;
th 0 0
Основні тотожності.
Формули додавання.
ch2 x sh2 x 1;
th x cth x 1;
1
1 th2 x
;
2
ch x
1
1 cth2 x
sh2 x
Формули кратних аргументів.
ch 2x sh2 x ch2 x ;
sh 2x 2 sh x ch x ;
sh(x y ) sh x ch y sh y ch x ;
ch(x y ) ch x ch y sh y sh x ;
th x th y
;
th(x y)
1 th x th y
cth x cth y 1
cth(x y )
cth y cth x
Формули зниження степеня.
ch 2x 1
sh 2 x
;
2
ch 2x 1
ch 2 x
2
sh 3x 4 sh 3 x 3 sh x ;
ch 3x 4 ch 3 x 3 ch x
⓫Формули для універсальної
гіперболічної підстановки
x
x
t th або u cth
2
2
sh x
2
1t
1 t2
2u
2
u 1
u2 1
;
1 t2
u2 1
⓬Формули перетворення добутку гіперболічних функцій у суму.
2 sh x sh y ch(x y ) ch(x y );
2 ch x ch y ch(x y ) ch(x y );
2 sh x ch y sh(x y ) sh(x y )
⓭Формули перетворення суми тригонометричних функцій у добуток.
x y
x y
sh x sh y 2 sh
ch
;
2
2
x y
x y
ch
;
2
2
x y
x y
ch x ch y 2 sh
sh
2
2
ch x ch y 2 ch
ch x
2t
44
Розділ 5. ФУНКЦІЇ
5.13. Класифікація функцій
Основні елементарні функції. До
основних елементарних функцій
належать: стала, степенева,
показникова, логарифмічна,
тригонометричні й обернені
тригонометричні функції.
Раціональні функції. Многочлен
Pn (x ) називають цілою раціональною
функцією.
P (x )
Функцію R(x ) n
називають
Qm (x )
дробово-раціональною функцією.
Елементарна функція. Функцію,
одержану скінченною кількістю
суперпозицій і арифметичних дій над
основними елементарними функціями,
називають елементарною.
Алгебричні функції. Раціональну
або ірраціональну функцію називають
алгебричною.
Трансцендентна функція.
Елементарну функцію, яка не є
алгебричною називають
трансцендентною.
f1(x ), x X1,
f (x )
...
...
f (x ), x Xn
n
Функція, задана різними
аналітичними виразами
Ірраціональні функції. Функцію,
утворену скінченною кількістю
суперпозицій і арифметичних дій над
раціональними функціями і над
степеневими функціями з дробовими
показниками і яка не є раціональною,
називають ірраціональною.
y
Функція знак числа (сигнум)
1, x 0,
y sgn x 0, x 0,
1, x 0.
D( f ) , E ( f ) {1, 0,1}.
Функція непарна.
Ціла частина числа
x ,
x n ,
y [x ]
n , n x n 1,
D( f ) , E ( f ) .
Дробова частина числа
y {x } x [x ]
D( f ) , E ( f ) [0;1).
Функція періодична з періодом T 1.
y sgn x
1
x
O
1
y
1
y [x ]
y
1
y {x }
1
O 1 2 3 4x
1
O
1
2
3 x
Розділ 5. ФУНКЦІЇ
45
5.14. Функція модуль
y
Функція
x x 0,
y x
x , x 0.
D( f ) , E ( f ) [0; ).
Функція парна.
Властивості модуля.
x 0;
x x ;
x x x ;
x
x
;
y
y
xy x y ;
Геометричний зміст модуля.
Віддаль між точками A(a ) та B(b)
числової прямої дорівнює b a .
Основні рівняння і нерівності з модулем.
x a
x a
x a
a 0
x 0
x 0
x
O
x y x y (нерівність
трикутника);
x y x y x y
x y x y ;
a0
y x
b a
A
B
x
b
a
a0
x a,
x a
{a, a}
x a,
x a
y y x
x a
a
O
a
x
y a
x a
a
O
a
x
O
a
x
x a
a
a O
Рівняння і нерівності з модулем
f (x ) g(x ),
f (x ) g(x )
f (x ) g(x )
f (x ) g(x ),
f (x ) g(x ),
f (x ) g(x )
g(x ) 0
f (x ) g (x ) f 2 (x ) g 2 (x )
f (x ) g(x ),
f (x ) g(x )
f (x ) g(x );
f (x ) g (x ),
f (x ) g(x )
f (x ) g(x )
a
x
46
Розділ 5. ФУНКЦІЇ
5.15. Геометричні перетворення графіків функцій
Паралельне перенесення вздовж
осі Ox. Щоб побудувати графік
y f (x a ), графік y f (x )
паралельно переносять уздовж осі Ox
на a (ліворуч для a 0,
праворуч для a 0).
a 0
y
y
y f (x a ) y f (x ) y f (x ) y f (x a )
a
a
x
O
x
O
b0
Паралельне перенесення вздовж
осі Oy. Щоб побудувати графік
y f (x ) b, графік y f (x )
паралельно переносять уздовж осі Oy
на b (вниз для b 0,
вгору для b 0).
y
b0
y f (x )
y
y f (x ) b
b
b
x
O
y
1
разів (0 k 1)
k
уздовж осі Ox чи стискають у k разів
(k 1) вздовж осі Ox
O
x
O
y f (x ) b
Стискання (розтягування) вздовж
осі Ox. Щоб побудувати графік
y f (kx ), графік y f (x )
розтягують у
a 0
y f (x )
y f (x )
y f (kx ), 0 k 1
x
y
y f (x ) y f (kx ), k 1
x
O
Стискання (розтягування) вдовж
осі Oy. Щоб побудувати графік
y cf (x ), графік y f (x ) стискають
1
разів (0 c 1) вздовж осі Oy
c
чи розтягують у c разів (c 1)
вздовж осі Oy.
y
y f (x )
в
Дзеркальне відбиття щодо осі Ox.
Щоб побудувати графік y f (x ),
графік y f (x ) симетрично
відображують щодо осі Ox .
y cf (x ), c 1
y cf (x ),
O
x
0c 1
y
O
y f (x )
x
y f (x )
Розділ 5. ФУНКЦІЇ
Дзеркальне відбиття щодо осі Oy.
Щоб побудувати графік y f (x ),
графік y f (x ) симетрично
відображують щодо осі Oy.
47
y f (x ) y
y f (x )
x
O
y
Графік функції y = f x .
Щоб побудувати графік y f x ,
частину графіка y f (x ), x 0,
доповнюють його відбитком щодо осі
Oy.
y f( x )
y f (x )
Графік функції y = f (x ) .
Щоб побудувати графік y f (x ) ,
частину графіка y f (x ), y 0, не
міняють, а частину графіка
y f (x ), y 0, відбивають щодо осі
Ox .
Графік рівняння y = f (x ). Щоб
побудувати графік y f (x ), беруть
частину графіка y f (x ), y 0, і
доповнюють її відбитком щодо осі Ox .
y f (x )
x
O
y f (x )
y
y f (x )
O
x
y f (x )
y
Гармонічне коливання
y M sin(t ),
де t — час, M 0 — амплітуда,
0 — частота (колова),
t — фаза,
— початкова фаза.
x
O
y
M
T
a
O
M
2
x
Розділ 6. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ
6.1. Числові послідовності
Числова послідовність. Числовою
послідовністю
x1, x 2, ..., xn , ... {xn }, n ,
називають числову функцію
xn f (n ) означену на множині
натуральних чисел .
Арифметична прогресія
x1, x 2 , ..., xn , ... — члени послідовності;
xn f (n ), n , — n -й (загальний)
член послідовності;
Рекурентна формула — формула, яка
виражає будь-який член послідовності,
через один чи кілька попередніх члени.
{an } a1, a1 d , a1 2d , ...
Означення (d — різниця прогресії)
n -й член
Характеристична властивість
Сума n перших членів
Геометрична прогресія
Означення (q — знаменник прогресії)
n -й член
Характеристична властивість
Сума n перших членів
Послідовність Фібоначчі
Означення (рекурентна формула)
an 1 an d
an a1 d(n 1)
an
an 1 an 1
2
Sn
,n 2
a1 an
n
2
{bn } b1, b1q, b1q 2, ...
bn 1 bnq (b1 0, q 0)
bn b1q n 1
bn2 bn 1bn 1, n 2
qn 1
Sn b1
q 1
{Fn } 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...
F1 F2 1,
Fn Fn 1 Fn 2 , n 3
n -й член
(
5 1
— золотий переріз)
2
Fn
n (1 )n
5
Розділ 6. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ
Обмежена послідовність {xn }
C 0 n : x n C
Монотонні послідовності ( x n 1 xn ; q
Зростаюча послідовність {xn }
{xn }
Неспадна послідовність {xn }
xn 1
xn
{xn }
Незростаюча послідовність {xn }
, x n 0)
n : x n x n 1
0
q 1
n : x n x n 1
0
Спадна послідовність {xn }
49
q 1
n : x n x n 1
0
q 1
n : x n x n 1
0
q 1
6.2. Границя послідовності
Скінченна границя числової
послідовності xn .
lim xn a
n
0 N : n N
x n a .
Нескінченна границя числової
послідовності xn .
lim x n
n
E 0 N : n N
xn E .
Збіжні і розбіжні послідовності. Послідовність {xn } називають збіжною, якщо
вона має скінченну границю a, і розбіжною, якщо вона має нескінченну границю
або не має границі.
Необхідна ознака збіжності.
Достатня умова збіжності
Якщо послідовність збігається, то вона (ознака Веєрштраса).
обмежена.
Якщо монотонна послідовність
обмежена, то вона збігається.
Число e
Сума нескінченно спадної
геометричної прогресії
n
1
lim 1 e
n
n
b
qn 1
S lim b1
1 , q 1
n
q 1
1 q
50
Розділ 6. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ
6.3. Границя функції
Означення (за Коші), мовою околів
lim f (x ) A
x x 0
U (A) U (x 0 ) :
x X U (x 0 ) \ {x 0 } f (x ) U (A)
Означення (за Гейне), мовою
послідовностей
lim f (x ) A
{x n } : x n D( f ), n :
lim x n x 0 , x n x 0
n
lim f (x n ) A
x x 0
n
Означення скінченної границі (за
Коші), мовою - (x 0 , A )
A
lim f (x ) A
x x 0
0 () 0 x D( f ) :
0 x x 0 f (x ) A
Ліва границя.
U (A)
2
A
O
U (x 0 )
x0
x0
x0
x
Права границя.
lim f (x ) f (x 0 0) lim f (x )
x x 0 0
y f (x )
y
A
x x 0 ,
x x 0
lim f (x ) f (x 0 0) lim f (x )
x x 0 0
x x 0 ,
x x 0
Критерій існування скінченної
границі. Функція f (x ), x X , має
lim f (x ) A
x x 0
скінченну границю в точці x 0 тоді й
lim f (x ) lim f (x ) A
x x 0 0
x x 0 0
лише тоді, коли в цій точці існують
рівні границі зліва і справа:
Властивості функцій, що мають скінченну границю
Якщо функція має границю в точці,
то ця границя єдина.
Функція, що має скінченну границю
в точці, обмежена в деякому околі цієї
точки.
Якщо функція f має додатну
(від’ємну) границю A в точці x 0 , то
існує проколений окіл точки x 0 , в
якому функція f додатна (від’ємна).
Якщо в деякому проколеному околі
точки x 0 правдива нерівність
f1(x ) f2(x ) і існують скінченні
границі lim f1(x ), lim f2(x ), то
x x 0
x x 0
lim f1(x ) lim f2(x ).
x x 0
x x 0
Якщо lim f1(x ) lim f2(x ) A і
x x 0
x x 0
в деякому околі точки x 0 правдиві
нерівності f1(x ) f (x ) f2(x ), то
lim f (x ) A.
x x 0
Розділ 6. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ
51
Теорема про арифметичні дії з функціями, які мають скінченні границі
lim Cf (x ) CA;
Якщо
lim f (x ) A, lim g(x ) B,
x x 0
x x 0
x x 0
f (x ) A
, B 0;
x x 0 g(x )
B
lim
то:
lim ( f (x ) g(x )) A B;
lim [ f (x )]n An , n ;
x x 0
x x 0
lim f (x )g(x ) AB,
lim ( f (x ))g (x ) AB .
x x 0
x x 0
6.4. Нескінченно малі і нескінченно великі функції
lim (x ) 0
Нескінченно мала функція
x x 0
в точці x 0 (н. м. ф.)
Нескінченно велика функція
в точці x 0 (н. в. ф.)
lim f (x ) (або )
x x 0
Властивості нескінченно малих функцій ((x ) 0, (x ) 0, коли x x 0 )
сума н. м.ф.
(x ) (x ) 0, коли x x 0
добуток н. м. ф.
(x )(x ) 0, коли x x 0
добуток н. м. ф. на обмежену
(x )f (x ) 0, коли x x 0
в околі точки x 0 функцію f (x )
частка н. м. ф. і функції f (x ),
яка має ненульову границю
зв’язок між н. м. ф. і н. в. ф.
(x )
0, коли x x 0
f (x )
1
, коли x x 0 , (x ) 0
(x )
1
0, коли f (x ) , x x 0
f (x )
Теорема про зв’язок функції, її границі і н. м. ф. Число A є границею функції
f (x ) у точці x 0 тоді й лише тоді, коли функцію можна зобразити у вигляді
f (x ) A (x ),
де (x ) — н. м. ф., коли x x 0 .
52
Розділ 6. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ
— н. в. ф., 0 — н. м. ф., 1 — функція, що має границю 1
Невизначеності
0
, , 0 , , 1, 00 , 0
0
«Визначеності» (a, b )
a () ;
() () ;
a () , a 0;
() () ;
a
0;
a
;
0
0 0;
0 ;
a 0, 0 a 1;
a , 1 a ;
()b 0, b 0;
()b , 0 b
6.5. Деякі важливі границі функцій
lim x 0, 0
lim x , 0
x 0
1
lim
x x
lim
x
0, 0
lim
x 0 x
a0x n a1x n 1 ... an
x b x m
0
b1x m 1 ... bm
0, 0 a 1,
a 1,
lim a x 1,
x
a 1
,
lim loga x ,
x
lim loga x ,
x 0
lim arctg x
x
2
1
a 1
, 0
0, n m,
a
0 , n m,
b0
, n m
, 0 a 1,
x
lim a 1,
a 1,
x
a 1
0,
lim loga x ;
x
lim loga x ,
x 0
lim arcctg x ;
x
lim arcctg x 0
x
0a 1
Розділ 6. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ
53
6.6. Порівняння нескінченно малих функцій
(x ) — н. м. ф. вищого порядку
мализни, ніж (x ), коли x x 0
(x ) та (x ) — н. м. ф. одного
x x0
порядку мализни, коли
(x ) та (x ) — еквівалентні
н. м. ф., коли x x 0
(x ) та (x ) — непорівнянні
н. м. ф., коли x x 0
(x ) н. м. ф. порядку k щодо
x x0
н. м. ф. (x ), коли
lim
x x 0
lim
x x 0
(x )
0
(x )
(x ) o((x )),
x x0
(x )
A0
(x )
(x ) (x )),
x x0
(x ) (x ),
x x0
(x )
1
x x 0 (x )
lim
lim
x x 0
lim
x x 0
(x )
(x )
(x )
C,
((x ))k
(x ) C ((x ))k ,
x x 0,
C 0, C ;
C ((x ))k — головна частина
функції (x ) щодо (x ), x x 0
Властивості еквівалентних функцій ((x ) (x ), x x 0 )
Границя добутку (відношення) двох
нескінченно малих функцій не
зміниться, якщо кожну з них замінити
на еквівалентну їй н. м. ф.
Різниця двох еквівалентних
нескінченно малих функцій є
нескінченно малою функцією вищого
порядку, ніж кожна з них.
Сума скінченної кількості
нескінченно малих функцій різних
порядків еквівалентна доданку
найнижчого порядку мализни.
Сума скінченної кількості
нескінченно великих функцій різних
порядків еквівалентна доданку
найвищого порядку росту.
lim (x )(x ) lim (x )(x );
x x 0
x x 0
(x )
(x )
lim
x x 0 (x )
x x 0 (x )
lim
(x ) (x ) o((x )),
(x ) (x ) o((x ))
f (x ) ax m bx n ax m ,
m n, x 0
(ax m — головна частина н. м. ф. f (x ))
f (x ) ax m bx n bx n ,
m n, x
(bx n — головна частина н. в. ф. f (x ))
54
Розділ 6. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ
6.7. Визначні границі
Перша визначна границя
sin x
1
x 0 x
lim
Наслідки з 1-ої визначної границі.
arcsin x
1;
x 0
x
tg x
1;
x 0 x
lim
lim
lim
1 cos x
x 0
x2
1
;
2
Друга визначна границя
arctg x
1
x 0
x
lim
x
1
1y
lim 1 lim(1 y ) e
x
y 0
x
Наслідки з 2-ої визначної границі.
loga (1 x )
1
;
lim
x 0
x
ln a
ln(1 x )
lim
1;
x 0
x
ax 1
ln a ;
lim
x 0
x
ex 1
1;
lim
x 0
x
(1 x ) 1
lim
x 0
x
Розкриття степенево-показникових невизначеностей
v(x )
lim u(x )
x x 0
e
lim v (x ) ln u(x )
x x 0
lim (u (x )1)v (x )
lim u(x )v (x ) 1 e x x 0
x x
0
6.8. Таблиця еквівалентностей
sin x x , x 0.
tg x x , x 0.
1 cos x
x2
, x 0.
2
loga (1 x )
x
, x 0.
ln a
ln(1 x ) x, x 0.
a x 1 x ln a, x 0.
arcsin x x , x 0.
e x 1 x , x 0.
arctg x x , x 0.
(1 x ) 1 x , x 0.
Розділ 6. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ
55
6.9. Неперервність функції в точці
Функція неперервна в точці.
Функцію f (x ), x X , означену в
околі точки x 0 , називають
f (x ) неперервна в точці x 0
lim f (x ) f (x 0 ).
неперервною в точці x 0 , якщо границя
функції дорівнює значенню функції в
цій точці.
Функція f (x ) неперервна зліва у точці
x 0 , якщо
lim f (x ) f (x 0 0) f (x 0 ).
x x 0 0
Критерій неперервності функції
в точці. Функція f (x ) неперервна в
точці x 0 тоді й лише тоді, коли
Приріст аргументу в точці x 0
Приріст функції f (x ) у точці x 0
Функція неперервна в точці*.
Функцію f (x ), x X , називають
неперервною в точці x 0 X , якщо
x x 0
Функція f (x ) неперервна справа у
точці x 0 , якщо
lim f (x ) f (x 0 0) f (x 0 ).
x x 0 0
lim f (x )
x x 0 0
lim f (x ) f (x 0 ).
x x 0 0
x x x 0
f (x 0 ) f (x 0 x ) f (x 0 )
lim f (x 0 ) 0.
x 0
Властивості функцій неперервних Якщо функції f (x ) та g(x )
у точці.
неперервні в точці x 0 , то й функції
Функція, неперервна в точці,
f (x )
обмежена в деякому околі цієї точки.
f (x ) g(x ), f (x )g(x ) та
g(x )
Якщо функція f (x ) неперервна в
(g(x 0 ) 0) неперервні в точці x 0 .
точці x 0 , то існує окіл U (x 0 ), у якому
Нехай функція g(x ) неперервна в
функція f (x ) має знак числа f (x 0 ).
точці x 0 , а функція f (y ) неперервна в
Якщо для функцій f1(x ) та f2(x )
точці y0 g(x 0 ), тоді складена функція
виконано нерівність f1(x 0 ) f2 (x 0 ) і
f (g(x )) неперервна в точці x 0 .
функції f1(x ) та f2(x ) неперервні в
Основні елементарні функції
точці x 0 , то існує U (x 0 ), окіл точки
неперервні в усіх точках, де вони
означені.
x 0 , у якому f1(x ) f2 (x ).
*
Означення [6.9.1] та [6.9.5] еквівалентні.
56
Розділ 6. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ
6.10. Неперервність функції на відрізку
Функція неперервна на відрізку. Функцію f (x ) називають неперервною на
відрізку [a ; b ], якщо вона неперервна в кожній точці інтервалу (a ; b ), в точці a
неперервна справа, а в точці b — неперервна зліва.
Множину всіх неперервних на відрізку [a ; b ] функцій позначають C [a; b ].
Властивості неперервних на відрізку функцій
Теорема про обмеженість функції
(Веєрштраса). Якщо функція f (x )
неперервна на відрізку [a ; b ], то вона
обмежена на ньому.
Теорема про найбільше та
найменше значення (Веєрштраса).
Якщо функція f (x ) неперервна на
відрізку [a ; b ], то вона досягає на
ньому своїх найбільшого та
найменшого значень.
Теорема про нулі функції
(Больцано — Коші). Якщо функція
f (x ) неперервна на відрізку [a ; b ] і
набуває на його кінцях значень
A f (a ) і B f (b ) різних знаків, то
всередині інтервалу (a ; b ) знайдеться
принаймні одна точка c, для якої
f (c ) 0.
Теорема про проміжні значення
(Больцано — Коші). Якщо функція
f (x ) неперервна на відрізку [a ; b ], і
набуває на його кінцях різних значень
f (a ) A, f (b ) B, і C [A; B ], то в
інтервалі (a ; b ) знайдеться принаймні
одна точка c, в якій
f (c ) C .
y
M
m
O
a
b
x
M max f (x ), m min f (x )
x [a ;b ]
x [a ;b ]
y
B
a c
O
b x
A
B
y
C
O
a
c
b x
A
Теорема про неперервність
обернена функція f 1 (y ) неперервна
оберненої функції. Якщо функція f (x ) на [A; B ], де [A; B ] — множина
строго монотонна і неперервна на
значень функції f (x ).
відрізку [a ; b ], то
Розділ 6. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ
57
6.11. Точки розриву функції
Точка розриву. Точку x 0 називають
точкою розриву функції f (x ), якщо
вона означена в околі точки x 0 (окрім,
Порушено рівність
f (x 0 0) f (x 0 0) f (x 0 ).
можливо самої точки x 0 ) , але не є
неперервною в цій точці.
Класифікація точок розриву
Розрив 1-го роду
(скінченний розрив)
обидві однобічні границі
f (x 0 0), f (x 0 0)
функції f (x ) у точці x 0
існують і скінченні
неусувний (стрибок)
f (x 0 0)
f (x 0 0)
y
f (a 0)
f (a 0)
O
усувний
f (x 0 )
Розрив 2-го роду
x
y
f (a )
f (x 0 0)
f (x 0 0)
a
f (a 0)
f (a 0)
O
a
x
хоча б одна з однобічних границь
f (x 0 0), f (x 0 0)
функції f (x ) у точці x 0
нескінченна або не існує
нескінченний (полюс)
f (x 0 0)
або
f (x 0 0)
істотний
f (x 0 0)
або
f (x 0 0)
y
f (a )
f (a 0)
O
a
x
y
x
58
Розділ 6. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ
Схема дослідження функції
на неперервність у точці.
Знаходять f (x 0 0) і f (x 0 0).
3) якщо існують скінченні однобічні
границі і f (x 0 0) f (x 0 0),
Висновують:
1) якщо існують скінченні однобічні
границі і
f (x 0 0) f (x 0 0) f (x 0 ),
неусувний, у точці x 0 ;
то функція f (x ) неперервна в точці x 0 ;
нескінченний (полюс), у точці x 0
(графік функції має вертикальну
асимптоту x x 0 );
2) якщо існують скінченні однобічні
границі і
f (x 0 0) f (x 0 0) f (x 0 )
або функція не означена в точці x 0 ,
то функція f (x ) має розрив 1-го роду,
усувний, у точці x 0 ;
то функція f (x ) має розрив 1-го роду,
4) якщо існують однобічні границі і
хоча б одна з них нескінченна, то
функція f (x ) має розрив 2-го роду,
5) якщо хоча б одна із границь не
існує, то функція f (x ) має розрив 2-го
роду, істотний, у точці x 0 .
6.12. Метод інтервалів
Алгоритм методу інтервалів
знаходження проміжків
знакосталості функції f (x ).
Знаходять область означення D( f )
функції f (x ).
Визначають дійсні корені рівняння
f (x ) 0.
Правило розставлення знаків.
Функція
f (x ) (x x1 )k1 (x x 2 )k2 ...(x xn )kn ,
x1 x 2 ... xn ,
є додатною справа від точки xn .
Після переходу від одного проміжку
до сусіднього (справа наліво) через
Розбивають область означення D( f )
точку xi , i 1, 2, ..., n, функція f (x ) :
коренями на проміжки знакосталості
1) змінює знак, якщо ki — непарне;
функції f (x ).
Визначають знаки функції f (x ) на
кожному проміжку, обчислюючи
значення функції f (x ) у внутрішній
точці кожного проміжку або за
правилом розставлення знаків.
Записують проміжки знакосталості.
2) не змінює знак, якщо ki — парне.
x n 2
x n 1
kn парне
x
xn
kn 1 непарне
Розділ 7. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ
ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
7.1. Похідна і диференціал функції
Похідна функції в точці. Похідною
функції y f (x ) у точці x 0
називають границю відношення
приросту функції до приросту
аргументу, коли приріст аргументу
прямує до нуля і позначають
f (x 0 x ) f (x 0 )
.
x 0
x
f (x 0 ) lim
Ліва похідна. Лівою похідною
функції f (x ) у точці x 0 називають
dy df
,
dx dx
Права похідна. Правою похідною
функції f (x ) у точці x 0 називають
f (x 0 x ) f (x 0 )
x 0
x
Критерій існування похідної.
Функція f (x ) має в точці x 0 похідну
тоді й лише тоді, коли
f (x 0 x ) f (x 0 )
x 0
x
існують права та ліва похідні і ці
похідні рівні між собою:
f (x 0 0) f (x 0 0) f (x 0 ).
Функція, диференційовна в точці.
Функцію f (x ) називають
x ,
диференційовною в точці 0 якщо її
приріст у цій точці
f (x 0 ) f (x 0 x ) f (x 0 )
можна зобразити як
f (x 0 ) A x ( x ) x ,
Критерій диференційовності.
Функція f (x ) диференційовна в точці
x 0 тоді й лише тоді, коли в точці x 0
існує скінченна похідна f (x 0 ) A.
Необхідна умова
диференційовності. Якщо функція
диференційовна в деякій точці, то вона й
неперервна в цій точці.
Позначення похідної функції
y f (x )
f (x 0 0) lim
Диференціал функції. Головну,
лінійну щодо x , частину приросту
функції називають диференціалом
функції в точці x 0 і позначають
Формула обчислення диференціала
y , f (x ),
f (x 0 0) lim
де A — деяке дійсне число,
(x ) — н. м. ф., коли x 0.
df (x 0 ) f (x 0 )x
df (x 0 ) f (x 0 )dx
60
Розділ 7. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
7.2. Правила диференціювання
(Cu) Cu ,C const
(u v ) u v
(uv ) u v uv
u
u v uv
v
v2
f (u) x fu ux
y f (x ) y f (x )(ln f (x ))
Похідна оберненої функції
yx
Похідна параметрично заданої
функції
x x (t ),
y(x ) :
y y(t ), t (; )
1
xy
x x(t ),
y (x ) :
yt(t )
y
t
(
)
, t (; )
x
x
(
t
)
t
7.3. Формули диференціювання
u u(x ) (якщо u(x ) x, то u x 1)
(C ) 0,C const
(u ) u 1u
(a u ) a u ln a u , a 0
(e u ) euu
u , a 0, a 1
u ln a
(sin u ) cos u u
(ln u ) u
u
(cos u ) sin u u
(loga u )
(tg u )
u
cos2 u
⓫ (arcsin u )
⓭ (arctg u )
u
1 u2
u
1 u2
⓯ (sh u )
ch u u
⓱ (th u )
u
ch2 u
(ctg u ) u
sin2 u
⓬ (arccos u )
⓮ (arcctg u )
⓰ (ch u )
u
1 u2
u
1 u2
sh u u
⓲ (cth u )
u2
sh u
Розділ 7. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
61
7.4. Формули для похідних вищих порядків
f (x ) (f (x )) ,
Похідні вищих порядків
f (n )(x ) (f (n 1)(x )) , n
Позначення
y , y , y (4), ..., y (n ), ...;
f (x ), f (x ), ..., f (n )(x );
Диференціали вищих порядків
d 2y
d ny
dx
dx n
, ...,
2
d 2 f (x 0 ) d (df (x 0 )),
d n f (x 0 ) d (d n 1 f (x 0 ))
Інваріантність 1-го диференціала
df (u(x )) f (u )du, u u(x )
Формула обчислення диференціала
d n f (x 0 ) f (n )(x 0 )dx n ,
де x — незалежний аргумент
Лейбніцова формула
n
(n )
u(x )v(x )
C nku(n k )(x )v(k )(x )
k 0
u (0) u, v (0) v
Похідна параметрично заданої
x x(t ),
функції
(n )
(n 1)
y
(
x
)
:
x x (t ),
y
(
t
)
n
1
t
y(x ) :
y(nn )(t ) x
, t (; )
x
y y(t ), t (; )
(t )
x
t
Похідні вищих порядків деяких функцій.
m!
x m n , n m,
(m n )!
0,
n m
m
(x m )(n )
(a x )(n ) a x (ln a )n
(n )
(loga x )
(sin x )(n )
(1)n 1(n 1)!
x n ln a
n
n sin x
2
1 (n )
(1)n n !
x a
(x a )n 1
(e x )(n ) e x
(n )
(ln x )
(1)n 1(n 1)!
xn
n
(cos x )(n ) n cos x
2
62
Розділ 7. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
7.5. Геометричний зміст похідної і диференціала
Дотична і нормаль до кривої.
Дотичною до кривої в точці M0
називають пряму M0T, що є
граничним положенням січної M0M,
коли точка M прямує по кривій до
точки M0.
y
M
y 0 y
T
f (x 0 )
df (x 0 )
y0
M0
x
Нормаллю до кривої називають
пряму, яка перпендикулярна до
дотичної і проходить через точку
дотику.
x 0 x
x0
O
x
дотична
y
y0
y f (x )
нормаль
O
x0
x
Геометричний зміст похідної і диференціала в точці
Похідна функції f (x ) у точці x 0
дорівнює кутовому коефіцієнту
дотичної, проведеної до графіка
функції y f (x ) у точці
M 0 (x 0 ; f (x 0 )), тобто
Рівняння дотичної
Рівняння нормалі
f (x 0 ) tg ,
де — кут нахилу дотичної до осі
Ox .
Диференціал функції дорівнює
приросту ординати дотичної.
f (x 0 )
y f (x 0 ) f (x 0 )(x x 0 )
f (x 0 )
x x0
f (x 0 ) 0
f (x 0 ) 0
y f (x 0 )
1
(x x 0 )
f (x 0 )
x x0
Кут між двома кривими. Кутом між двома кривими y f1(x ) та y f2 (x )
у точці їх перетину називають кут між дотичними до кривих, проведеними в
цій точці.
Розділ 7. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
63
7.6. Основні теореми диференціального числення
Теорема Роля. Якщо функція f (x ) :
y
C
1) неперервна на відрізку [a; b ];
2) диференційовна в інтервалі (a ; b );
3) на кінцях відрізку [a ; b ] набуває
рівних значень f (a ) f (b ), то в
інтервалі (a ; b) існує принаймні одна
точка , така, що
f () 0, (a ; b).
Теорема Лаґранжа.
m
a
O
b
x
На графіку функції існує точка M ,
дотична в якій паралельна осі Ox .
y
C
Якщо функція f (x ) :
B
1) неперервна на відрізку [a; b ],
2) диференційовна в інтервалі (a ; b ),
то в інтервалі (a ; b) існує принаймні
одна точка така, що
f (b) f (a ) f ()(b a ), (a; b ).
Теорема Коші.
Якщо функції f (x ), g(x ) :
A
O
a
b
x
На графіку функції існує точка C ,
дотична в якій паралельна січній AB .
Правило Бернуллі — Лопіталя.
Якщо функції f (x ), g(x ) :
1) неперервні на відрізку [a; b ],
1) означені і диференційовні у
проколеному околі точки x 0 ,
2) диференційовні в інтервалі (a ; b ),
2) g (x ) 0 в цьому околі,
3) похідна g (x ) 0 в інтервалі (a ; b ),
3) lim f (x ) lim g(x ) 0 (),
x x 0
x x 0
то в інтервалі (a ; b) існує принаймні
f (x )
одна точка така, що
4) існує lim
A,
x x 0 g (x )
f (b ) f (a )
f ()
то існує
, (a ; b).
g(b ) g(a )
g ()
0
f (x )
A.
lim
або
0
x x 0 g(x )
64
Розділ 7. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
7.7. Тейлорова формула
Многочлен Тейлора n -го порядку
функції f (x ) за степенями (x x 0 )
Формула Тейлора n -го порядку
для функції f (x ) в околі точки x 0
Pn (x )
f (k )(x 0 )
k ! (x x 0 )k
k 0
n
f (k )(x 0 )
f (x )
(x x 0 )k Rn (x )
k!
k 0
Формула Тейлора — Маклорена
для функції f (x ) в околі точки x 0 0
n
f (x )
f (k )(0) k
k ! x Rn (x )
k 0
Rn (x ) f (x ) Pn (x )
Залишковий член формули Тейлора
Залишковий член у формі Пеано
Залишковий член у формі
Лаґранжа
n
Rn (x ) o((x x 0 )n ), x x 0
f (n 1)()
Rn (x )
(x x 0 )n 1, (x 0 ; x )
(n 1)!
Теорема Тейлора. Якщо функція f (x ) означена в деякому околі точки x 0 і n
разів диференційовна в ньому, то правдива Тейлорова формула в околі точки x 0
із залишковим членом у формі Пеано:
f (x ) f (x 0 )
f (x 0 )
f (n )(x 0 )
(x x 0 ) ...
(x x 0 )n o((x x 0 )n ),
1!
n!
x x0.
Формула Тейлора — Маклорена для деяких елементарних функцій
n 1
2
n
x
x
x
e 1x
...
e
,
2!
n!
(n 1)!
x
(0; x )
2
n
(1)n x n 1
ln(1 x ) x x ... (1)n 1 x
2
n
(1 )n 1 n 1
3
2n 1
x 2n 1
n 1 x
n
x
... (1)
(1) cos
sin x x
3!
(2n 1)!
(2n 1)!
2
4
2n
x 2n 2
n x
n 1
x
x
... (1)
(1) cos
cos x 1
2!
4!
(2n )!
(2n 2)!
n 1 співмножник
k співмножників
n
( 1) ... ( k 1) k
( 1) ... ( n ) n 1
x
x
(1 x ) 1
n 1
k
!
(1
)
(
n
1)!
k 1
Розділ 7. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
65
7.8. Асимптоти. Екстремуми. Точки перегину
y
Асимптота. Асимптотою кривої з
нескінченною гілкою називають таку
пряму, що віддаль d точки M кривої до
цієї прямої прямує до нуля, коли точка
M віддаляється вздовж нескінченної
гілки від початку координат.
Вертикальна асимптота. Пряма
x x 0 є вертикальною асимптотою
графіка функції y f (x ) , якщо
y f (x )
M
d
x
O
y
y
lim f (x ) .
x x 0
Похила асимптота y = kx + b.
Графік функції y f (x ) має похилу
асимптоту y kx b, тоді й лише
тоді, коли існують скінченні границі
x0
x
x0
x
f (x )
k,
x x
lim ( f (x ) kx ) b.
lim
x
Екстремум функції в точці. Якщо існує такий -окіл точки x 0, що для всіх
x U (x 0 ) \ {x 0 } виконано нерівність:
y
f (x 0 ) f (x ) f (x 0 ) 0,
max
то точку x 0 називають точкою
строгого локального максимуму
функції f (x ), а значення f (x 0 ) —
локальним максимумом функції;
min
f (x 0 ) f (x ) f (x 0 ) 0,
то точку x 0 називають точкою
строгого локального мінімуму функції
f (x ), а значення f (x 0 ) — локальним
мінімумом функції.
Точка перегину. Точку x 0
називають точкою перегину функції
f (x ), якщо під час переходу через неї
функція змінює напрям опуклості на
протилежний.
max
O
min
max
min
x
Точки максимуму і мінімуму
називають точками екстремуму
функції, а максимуми та мінімуми
функції — екстремумами функції.
y
O
x
66
Розділ 7. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
7.9. Дослідження функції на монотонність і точки екстремуму
Критична точка 1-го порядку.
1) f (x 0 ) 0;
Нехай функція f (x ) означена в околі
2) f (x 0 ) ;
точки x 0 . Точку x 0 називають
критичною точкою 1-го порядку, якщо 3) f (x 0 ).
виконано одну з умов:
Достатня умова монотонності
функції. Нехай функція f (x )
диференційовна в інтервалі (a ; b). Тоді
якщо x (a ; b ) :
y
1) f (x ) 0, то функція f зростає в
інтервалі (a ; b) (f );
2) f (x ) 0, то функція f (x ) стала в
інтервалі (a ; b );
3) якщо f (x ) 0, то функція f
спадає в інтервалі (a ; b) (f ).
f (x ) 0
f (x )
f (x ) 0
f (x ) C
f (x ) 0
f (x )
a
O
x
b
y
Необхідна умова існування
f (x 0 ) f (x )
0
екстремуму. Якщо функція f
f (x 0 ) 0
означена в деякому околі точки x 0 і
досягає в цій точці екстремуму, то
точка x 0 є критичною точкою 1-го
O
x0
x0
x0 x
порядку.
Перша достатня умова існування екстремуму. Нехай x 0 — критична
точка 1-го порядку і функція f неперервна в деякому околі точки x 0 . Якщо в
цьому околі:
max
1) f (x ) 0 для x x 0, і f (x ) 0
min
для x x 0, то в точці x 0 функція
досягає максимуму;
2) f (x ) 0, для x x 0, і f (x ) 0,
для x x 0, то функція досягає в точці
x 0 мінімуму;
3) похідна не змінює знак переходячи
через x 0 , то в точці x 0 екстремуму
немає.
f (x )
x0
extr
f (x )
x0
x
x0
x
extr
f (x )
x
f (x )
x0
x
Розділ 7. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
Друга достатня умова існування
екстремуму. Нехай функція f (x ) двічі
неперервно диференційовна в точці x 0
та f (x 0 ) 0, f (x 0 ) 0. Тоді:
67
1) якщо f (x 0 ) 0, то x 0 — точка
локального максимуму;
2) якщо f (x 0 ) 0, то x 0 — точка
локального мінімуму.
7.10. Дослідження функції на напрям опуклості і точки перегину
Критична точка 2-го порядку.
1) f (x 0 ) 0;
Нехай функція f означена в околі
2) f (x 0 ) ;
точки x 0 . Точку x 0 називають
критичною точкою 2-го порядку, якщо 3) f (x 0 ).
виконано одну з умов:
Достатня умова опуклості донизу
(догори). Нехай функція y f (x ) в
інтервалі (a; b) двічі неперервно
диференційовна. Тоді, якщо
x (a ; b ) :
y
f (x )
f (x ) 0
f (x ) 0
f (x ) C1x C 2
1) f (x ) 0 , то функція в інтервалі
(a; b) опукла донизу (f );
2) f (x ) 0, то функція в інтервалі
(a ; b) лінійна;
f (x ) 0
a
O
f (x )
x
b
3) якщо f (x ) 0, то функція в
інтервалі (a; b) опукла догори (f ).
Необхідна умова існування точки
перегину. Якщо функція f означена в
деякому околі точки x 0 і точка x 0 —
точка перегину функції f , то точка x 0
є критичною точкою 2-го порядку.
Достатня умова існування точки
перегину. Якщо для функції f точка
x 0 є критичною точкою 2-го порядку,
і, переходячи через цю точку, друга
похідна f (x ) змінює знак, то точка x 0
є точкою перегину функції f .
y
f (x 0 ) 0
f (x 0 )
x0
x0
O
т. пер.
т. пер.
f (x )
x0
x
x
f (x )
x0
x
68
Розділ 7. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
7.11. Схеми дослідження функції
Схема дослідження функції
на монотонність
і локальні екстремуми.
Знаходять область означення
функції.
Серед внутрішніх точок області
означення знаходять критичні точки
1-го порядку функції f (x ).
Схема дослідження функцій
на напрям опуклості
і точки перегину.
Знаходять область означення
функції.
Серед внутрішніх точок області
означення знаходять критичні точки
2-го порядку функції f (x ).
Досліджують знак першої похідної в
кожному з інтервалів, на які критичні
точки розбивають область означення.
Застосовуючи достатні умови
монотонності й існування локального
екстремуму, висновують про
поведінку функції. Обчислюють
значення функції в точках екстремуму.
Досліджують знак другої похідної в
кожному з інтервалів, на які критичні
точки розбивають область означення.
Застосовуючи достатні умови
опуклості й існування точки перегину,
висновують про поведінку функції.
Схема дослідження функції
на глобальний екстремум.
Знаходять критичні точки 1-го
порядку функції в інтервалі (a; b);
Схема повного дослідження
функції та побудови її графіка.
Знаходять область означення
D(f ) функції f (x ).
Обчислюють значення функції у
знайдених критичних точках і на
кінцях відрізку [a; b ].
Встановлюють можливі симетрії
графіка функції.
Визначають можливі точки розриву
функції і асимптоти її графіка.
За допомогою першої похідної
функції визначають інтервали
монотонності і точки екстремуму.
За допомогою другої похідної
функції визначають інтервали
опуклості функції і точки перегину.
Знаходять можливі точки перетину
графіка функції з осями координат.
Будують графік функції y f (x ).
Серед обчислених значень функції
вибирають найбільше та найменше
значення функції на [a; b ].
Розділ 8. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ
ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
8.1. Первісна. Невизначений інтеграл
Первісна. Функцію F (x )
називають первісною функції f (x )
в інтервалі (a ; b ), якщо вона
диференційовна для будь-якого
x (a; b ) і
F (x ) f (x ).
Теорема про первісну. Якщо F (x )
є первісною функції f (x ) в інтервалі
(a ; b ), то будь-яка інша первісна
функції f (x ) в цьому інтервалі має
вигляд
(x ) F (x ) C ,
C const
Достатня умова існування первісної. Будь-яка неперервна на відрізку
[a; b ] функція f (x ) має на цьому відрізку первісну F (x ).
Невизначений інтеграл.
Сукупність F (x ) C всіх первісних
функції f (x ) в інтервалі (a ; b)
називають невизначеним інтегралом
від функції f (x ) і позначають
Знаходження невизначеного
інтеграла називають інтегруванням.
f (x )dx F (x ) C
f (x )dx — підінтегральний вираз;
f (x ) — підінтегральна функція;
x — змінна інтегрування;
C — довільна стала.
Властивості невизначеного інтеграла
f (x )dx f (x );
d f (u )du f (u )du ;
( f1(u ) f2(u ))du
dF (u ) F (u ) C ;
Інваріантність формул
інтегрування.
kf (u )du k f (u )du, k 0;
f1(u )du
f2(u )du ;
f (u )du F (u ) C , u (x )
70
Розділ 8. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
8.2. Основні формули інтегрування
du
ln u C
u
eudu e u C
sin udu C cos u
du
tg u C
cos2 u
sh udu ch u C
⓫
⓭
du
ch2 u
th u C
du
2
u a
2
ln u u 2 a 2 C ,
u 1
C , 1
u du
1
au
a du
C
ln a
du
u2 a2
du
u
ln tg C
sin u
2
⓳
tg udu C ln
sin2 u
C ctg u
ch udu sh u C
⓬
⓮
du
sh2 u
C cth u
du
a2 u2
du
⓰
u2 a2
a 0
du
arcsin
u
C,
a
a 0
1
u
arctg C ,
a
a
⓱
u
cos udu sin u C
a 0
⓯
cos u
1
u a
ln
C,
2a
u a
a 0
u
du
ln tg C
2 4
cos u
⓲
⓴
ctg udu ln
sin u C
8.3. Основні методи інтегрування
формула заміни змінної:
Метод заміни змінної. Якщо
функція f (x ) неперервна в інтервалі
f (x )dx f ((t ))(t )dt.
(a ; b ), функція (t ) неперервно
диференційовна і строго монотонна,
(t ) 0 в інтервалі (; ), то
правдива
Формулу ⓭ називають «довгим логарифмом», а ⓰ — «високим логарифмом».
Розділ 8. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
Метод уведення функції
під знак диференціала
f (u(x ))u (x )dx
71
f (u(x ))du(x )
Перетворення диференціалів деяких функцій
1
d (ax b), a, b const;
a
1
x 1dx d(x ), 0;
dx
dx
d (ln x );
x
cos xdx d (sin x );
sin xdx d (cos x );
Метод інтегрування
частинами. Якщо функції u(x ) та
v(x ) неперервно диференційовні на
деякому проміжку, то на цьому
проміжку правдива
dx
cos2 x
dx
sin2 x
dx
1 x2
d (tg x );
d (ctg x );
d (arctg x );
dx
2
d (arcsin x )
1x
формула інтегрування частинами:
udv uv vdu.
Типи інтегралів, до яких застосовують інтегрування частинами
(Pn (x ) — многочлен степеня n )
sin x
cos
x
Pn (x )
dx
x
e
u Pn (x )
u ln x
Pn (x ) ln xdx
u arcf x
Pn (x ) arcf xdx
sin bx
ax
dx ,
e
cos bx
a 2 x 2dx ,
sin(ln x )
dx
x
cos(ln
)
x 2 a 2dx
Двічі інтегрувати частинами
рівняння щодо шуканого інтеграла.
Один раз інтегрувати частинами
рівняння щодо шуканого інтеграла.
72
Розділ 8. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
8.4. Інтегрування дробово-раціональних виразів
Типи елементарних дробів
A
x a
Дріб І типу
Дріб ІІ типу
A
(x a )k
,k 2
Mx N
Дріб ІІІ типу
Інтегрування елементарних дробів
2
x px q
Ik
A
1
C
1 k (x a )k 1
Виділяють у чисельнику похідну
від знаменника:
dx
d (x 2 px q ) (2x p )dx ;
Mx N
Дріб ІV типу
Виділяють повний квадрат
у знаменнику
x 2 px q
x 2 px q
Adx
(x a )k
, D p 2 4q 0
dx
Mx N
Adx
A ln x a C
x a
Mx N
2
k
(x px q )
dx
(x 2 2 )k
dx
(x 2 px q )k
M
Mp
(2x p) N
2
2
, D p 2 4q 0, k 2
Ik
1
2 2 (k 1)
x
,
n
I
2
(2
3)
k 1
(x 2 )k 1
k
t x
p
2
Розкладання раціонального дробу на суму елементарних дробів
Будь-який неправильний дріб можна
Pm (x )
подати як суму многочлена і
Qn (x )
правильного дробу:
називають правильним, якщо степінь
Pm (x )
чисельника менше, ніж степінь
Pm n (x ) Rl (x ), l n
Q
(
x
)
знаменника.
n
Раціональний дріб
Розділ 8. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
73
Pm (x )
Qn (x )
(n m ) можна єдиним чином розкласти на суму елементарних дробів:
Теорема розкладання. Будь-який правильний раціональний дріб
Pm (x )
Pm (x )
Qn (x ) (x a1 )k1 ... (x al )kl (x 2 p1x q1 )r1 ... (x 2 ps x qs )rs
Ak
A1
A2
1
...
...
k1
k1 1
x a1
(x a1 )
(x a1 )
Mr x Nr
M1x N1
M 2x N 2
1
1
...
...
r1
r1 1
2
2
2
x
p
x
q
(x p1x q1 )
(x p1x q1 )
1
1
Метод прирівнювання. Праву частину рівності зводять до спільного
знаменника, а потім прирівнюють коефіцієнти при однакових степенях x у
чисельниках лівої і правої частин.
Метод викреслювання.
Множнику (x a ) правильного
Pm (x )
, (a ) 0,
дробу
(x a ) (x )
A
(x a )
A1
(x a )1
...
A1
x a
відповідає розклад
A
Pm (x )
(x a ) (x ) x a
,
Схема розкладання правильного
дробу на суму елементарних.
Розкладають знаменник дробу на
множники.
Записують розклад на
елементарні дроби з невизначеними
коефіцієнтами.
Визначають коефіцієнти методом
прирівнювання або викреслювання.
Ak
(k )
Pm (x )
1
k ! (x a ) (x )
,
x a
k 1, 1.
Схема інтегрування дробовораціонального виразу.
Виділяють (у разі потреби) цілу
P (x )
.
частину дробу m
Qn (x )
Правильний дріб розкладають на
суму елементарних дробів.
Інтегрують суму цілої частини і
елементарних дробів.
74
Розділ 8. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
8.5. Інтегрування тригонометричних виразів
Основні способи знаходження I
Загальний випадок —
універсальна тригонометрична
підстановка
R(sin x, cos x )dx
x
2dt
t tg , dx
2
1 t2
2t
1 t2
sin x
, cos x
1 t2
1 t2
R( sin x, cos x ) R(sin x, cos x )
I
R(cos x )d(cos x )
R(sin x , cos x ) R(sin x , cos x )
I
R(sin x )d(sin x )
R( sin x, cos x ) R(sin x, cos x )
I
R(tg x )d(tg x )
або I
Знаходження
R(ctg x )d(ctg x )
sinm x cosn xdx
m 2k 1, k
sin2k 1 xdx sin x (sin x )2k 2dx
(1 cos2 x )k 1d (cos x )
n 2k 1, k
cos2k 1 xdx (1 sin2 x )k 1d(sin x )
m 2k , n 2l , k, l
sin2k x cos2l x
1 cos 2x k 1 cos 2x l
2
2
tgm xdx
ctgm xdx
1
tgm 2 x tg 2 xdx tgm 2 x
1 dx
cos2 x
1
ctgm 2 x ctg 2 xdx ctgm 2 x
1 dx
sin2 x
sin kx cos lxdx
1
sin(k l )x sin(k l )x dx
2
⓫
cos kx cos lxdx
1
cos(k l )x cos(k l )x dx
2
⓬
sin kx sin lxdx
1
cos(k l )x cos(k l )x dx
2
Розділ 8. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
75
8.6. Інтегрування ірраціональних виразів
dx
Виносять старший коефіцієнт і
виділяють повний квадрат під
коренем.
ax 2 bx c
Ax B
ax 2 bx c
Виділяють у чисельнику похідну від
підкореневого виразу:
dx ,
d(ax 2 bx c ) (2ax b )dx ;
Ax B
dx
t
(x ) ax 2 bx c
r s1
R x, X 1
де X
, ..., X
rn sn
A
Ab
(2ax b ) B
.
2a
2a
dx,
1
x
ax b
tm,
cx d
m HCK(s1, ..., sn )
ax b
cx d
Інтегрування диференціального бінома
x m (a bx n )p dx, m, n, p
(теорема Чебишова)
І
p
x tk ,
k НСК(s1, s2 ),
n
r2
r
,m 1
s2
s1
ІІ
m 1
n
a bx n t s ,
r
p
s
ІІІ
IV
У решті випадків
m 1
p
інтеграл не
n
ax n b t s , виражається в
елементарних
r
функціях.
p
s
Тригонометричні підстановки
R(x , a 2 x 2 )dx
R(x , a 2 x 2 )dx
R(x , x 2 a 2 )dx
x a sin t, t ;
2 2
x a tg t, t ;
2 2
x
a
, t 0;
2
cos t
76
Розділ 8. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
Модуль 1. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ
1. Множини. Функції
Навчальні задачі
1.1.
Методом математичної індукції довести, що
1 2 2 3 3 4 ... n(n 1)
n(n 1)(n 2)
.
3
Розв’язання. [4.3.4.]
[Крок 1. Перевіряємо правдивість твердження для n 1.]
Для n 1 рівність правдива:
1(1 1)(1 2)
12
.
3
[Крок 2. Припускаючи правдивість твердження для n k , доводимо твердження для n k 1. ]
Нехай ця рівність правдива при n k :
k(k 1)(k 2)
1 2 2 3 3 4 ... k (k 1)
.
3
Доведімо, що рівність правдива і при n k 1, тобто
(k 1)(k 2)(k 3)
1 2 2 3 3 4 ... k (k 1) (k 1)(k 2)
.
3
Справді,
1 2 2 3 3 4 ... k (k 1) (k 1)(k 2)
k (k 1)(k 2)
(k 1)(k 2)(k 3)
.
(k 1)(k 2)
3
3
[Крок 3. Висновуємо правдивість твердження для будь-якого n . ]
1.2.
Розкласти біном (a b)6.
Розв’язання. [4.15.5, 4.15.9, 4.16.2–4.16.4.]
[Виписуємо формулу для бінома у згорнутому вигляді і розгортаємо його.]
6
6
(a b)
C 60a 6b 0
C 61a 5b1
C 62a 4b 2
C 6ka 6kbk
k 0
C 63a 3b 3
C 64a 2b 4 C 65a 1b 5 C 66a 0b 6
[Обчислюємо біноміальні коефіцієнти.]
6!
6!
65
C 60 C 66 1; C 61 C 65
6; C 62 C 64
15;
1! 5 !
2!4!
2
6!
654
C 63
20.
3!3!
12 3
78
Модуль 1. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ
[Підставляємо знайдені коефіцієнти в розклад.]
(a b)6 a 6 6a 5b 15a 4b 2 20a 3b 3 15a 2b 4 6ab 5 b 6.
1.3.
Записати усі підмножини множини M {1, 2, 3}.
Розв’язання. [4.4.3.]
Порожня множина є підмножиною будь-якої множини.
Одноелементні підмножини множини M : {1}, {2}, {3}.
Двоелементні підмножини множини M : {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}.
Триелементна множина M {1, 2, 3} є своєю підмножиною.
Множина M має 23 8 підмножин:
, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {2, 3}, {1, 3}, {1, 2, 3}.
1.4.
Задано множини
A {x : x 1 1}, B {x : x 1 2}.
Знайдіть і зобразіть множини A, B, A B, A B, A \ B, B \ A.
Розв’язання. [4.4.5–4.4.7.]
[Знаходимо множини A та B, розв’язуючи відповідні нерівності.]
x 1 1 1 x 1 1; 0 x 2.
x 1 2,
x 1,
x 1 2
x 1 2
x 3.
[Зображуємо знайдені множини на числових осях. Решту множин
ходити як аналітично, так і графічно.]
A (0; 2);
2
0
B (; 3] [1; );
3
1
A B (; 3] (0; );
0
3
A B [1; 2);
1
A \ B (0;1);
0
B \ A (; 3] [2; ).
3
2
можна зна-
x
x
x
x
x
x
A
B
AB
AB
A\B
B \A
Рис. до зад. 1.4.
1.5.
Знайти sup A, inf A, max A, min A, якщо A [0; 2).
Розв’язання. [4.1.7.]
Оскільки x [0; 2) x : x x , то ця множина не має найбільшого елемента.
Множина верхніх меж A — це множина [2; ) з найменшим елементом 2,
який і є точною верхньою межею множини [0; 2). Отже, sup A 2.
Множина нижніх меж — це множина (; 0] з найбільшим елементом 0 A,
який і є точною нижньою межею множини A. Отже, min A inf A 0.
1. Множини. Функції
79
1 x,
x 0,
Знайти f (2), f (0), f (1), якщо f (x ) x
2 , 0 x .
Розв’язання.
Маємо функцію, що задана різними формулами на різних проміжках. Оскільки,
2 0, 0 0, то значення f (2), f (0) знайдімо за формулою f (x ) 1 x :
f (2) 1; f (0) 1.
1.6.
Оскільки 1 0, то значення f (1) знаходимо за формулою f (x ) 2x :
f (1) 2.
1.7.
Визначити функцію f (x ), яка справджує умову f (x 1) x 2 3x 2.
Розв’язання.
Нехай x 1 t, тоді x t 1. Отже,
f (t ) f (x 1) x 2 3x 2 t 2 5t 6 f (x ) x 2 5x 6.
Продовжити функцію y x 2, x (0; ) на (; 0] так, щоб продовжена функція на стала: а) парною, б) непарною:
Розв’язання. [5.2.2–5.2.4.]
Нехай продовжуємо функцію на проміжок (, 0) виразом y g(x ), та
y(0) a.
а) для парності функції потрібно, щоб
x (; 0) y(x ) g (x ) y(x ) f (x ) x 2,
y(0) a y (0) a a .
1.8.
б) для непарності функції потрібно, щоб
x (; 0) y(x ) g(x )
y(x ) f (x ) x 2;
y(0) a y(0) a a 0.
Отже,
а) y(x ) x 2, x (; 0), y(0) ; (рис. 1);
б) y(x ) x 2, x (; 0] (рис. 2).
y
y
y(0)
O
O
x
Рис. 1 до зад. 1.8
x
Рис. 2 до зад. 1.8
Знайти обернену функцію до функції y 2x 5 і визначити її область
означення.
Розв’язання. [4.7.6, 5.1.8.]
Для функції f (x ) 2x 5, D( f ) E ( f ) .
Функція f (x ) зростає для всіх x . Отже, вона має обернену функцію на .
Розв’яжімо рівняння y 2x 5 щодо x :
1.9.
80
Модуль 1. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ
y 5
.
2
x 5
, x .
Оберненою до f функцією є функція y
2
1.10. Знайти композиції f g і g f , вказати їхні області означення, якщо
y 2x 5 x
f (x ) x 2, g(x ) x ;
Розв’язання. [4.7.7, 5.1.7.]
D( f ) , D(g ) [0; ).
E (g ) [0; ) D(f );
(f g )(x ) f (g (x )) ( x )2 x ,
D( f g ) {x D(g ) | g (x ) D( f )} [0, ).
E ( f ) [0; ) D(g );
(g f )(x ) x 2 x .
D(g f ) {x D( f ) | f (x ) D(g )} .
Отже,
(f g )(x ) x , x [0; );
(g f )(x ) x , x .
Задачі для аудиторної і домашньої роботи
1.11. Замініть крапки виразами «достатньо, але не необхідно», «необхідно,
але не достатньо», «необхідно й достатньо» і запишіть висловлювання
символічно так, щоб утворились істинні твердження:
1) для того щоб виграти в лотереї, ... мати хоча б один лотерейний квиток;
2) для того щоб сума двох дійсних чисел була числом раціональним, ...
щоб кожен доданок був раціональним числом;
3) для того щоб трикутник був рівнобедреним, ... щоб кути при основі
були рівні.
1.12. З’ясуйте зміст висловлювань і встановіть, істинні вони чи хибні
(x , y ) :
1) x y : x y 3;
2) y x : x y 3;
3) x, y : x y 3;
4) x, y : x y 3.
1.13. Методом математичної індукції доведіть, що для будь-якого n :
1) n(2n 2 3n 1) ділиться націло на 6;
2) n 5 n ділиться націло на 5;
1. Множини. Функції
3) 12 22 ... n 2
4) 1
1
22
1
32
...
81
n(n 1)(2n 1)
;
6
1
n2
2
1
.
n
1.14. Розкладіть біном:
1) (1 x )5;
2) (a b)4 .
3) (a 2)6;
4) (a 2b)5.
1.15. Опишіть переліком елементів множину:
1) M x x 2 4x 3 ;
2) M x x 2 3x 10 ;
3) M x x 2 1 0 ;
4) M x x 2 2x 2 0 ;
5) M x x 3 x 2 0 ;
6) M x x 3 3x 2 0 .
1.16. Запишіть рівнянням або нерівністю умову і знайдіть множину точок координатної прямої, яку ця умова задає: віддаль між точками:
1) M (x ) та N (4) дорівнює 5;
2) M (x ) та N (3) менша за 2;
3) M (x ) та N (1) не більша за 0, 5;
4) M (4) та N (x ) не менша за
1
.
5
1.17. Запишіть усі підмножини множини M , якщо:
1) M {3, 4};
2) M {5, 6, 12}.
1.18. Задано множини: A {1, 2}, B {1, 2, {1, 2, 3}}, C {1, 2, {1, 2}}. Установіть, який із двох записів правильний:
1) A B або A B ;
2) A C або A C .
1.19. Задано множини A та B. Знайдіть множини A B, A B, A \ B, B \ A,
якщо:
1) A {1, 2, 3}, B {2, 3, 4, 5};
2) A {1, 2, 3, 6}, B {1, 2, 4, 5};
3) A {x : x 1}, B {x : x 2};
4) A (2; 3], B [2; 4);
5) A {a, b, c}, B {b, c, d, e};
6) A {x : x 1 1}, B {x : x 1 2};
7) A , B — множина ірраціональних чисел.
82
Модуль 1. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ
1.20. Узявши відрізок U [0;1] за універсальну множину, запишіть і зобразіть доповнення множини:
1
2
2) B
; 1 ;
3
3
1
2 3
4) D
; .
2
3 4
1) A {0, 1};
1 1
3) C ; .
4 2
1.21. Розрив ділянки електричного кола (подія A) (рис. 1–3) може виникнути
внаслідок виходу з ладу елементів I, II, III (відповідно, події A1, A2, A3 ).
Виразіть подію A через події A1, A2, A3 .
I
I
I
III
II
II
III
Рис. 1 до зад. 1.21
II
III
Рис. 2 до зад. 1.21
Рис. 3 до зад. 1.21
1.22. Знайдіть max A, min A, sup A та inf A якщо вони існують, де:
1) A (0;1);
2) A [0; 2);
1
4) A
x | x , n
.
n
1.23. Знайдіть множину G , на яку задана функція відображує множину F :
3) A {1} [2; 3];
1) y x 2, F [1; 2];
2) y log 3 x , F (3; 27].
1.24. Знайдіть проміжки тотожності функцій:
1) f (x )
1.25.
1.26.
x2
та (x ) x ;
x
2) f (x ) x та (x )
x2.
2x 3 , x 0,
Знайдіть f (1), f (0), f (2), f (3), якщо f (x )
x , x 0.
Визначте функцію y f (x ), що справджує умову:
1
1
1) f x x 2 2 , x 0;
x
x
2) f x 1 x 2 sin x 1 cos x 2 cos x 1 sin x 2 .
1.27. Продовжте функцію f (x ), x (0; ) на (; 0] так, щоб функція на
була: а) парною, б) непарною:
1) f (x ) x 1;
2) f (x ) e x 1.
1. Множини. Функції
83
1.28. З’ясуйте чи є функція оборотна; якщо так, то знайдіть відповідну обернену функцію і її область означення:
1) y (x 1)3;
2) y cos 2x .
1.29. Знайдіть композиції f g і g f , вкажіть їхні області означення:
1) f (x ) 1 x , g(x ) x 2 ;
2) f (x ) e x , g(x ) ln x .
1.30. Побудуйте графік функції:
1) y x x ;
2) y x ( x )2;
3) y sgn cos x;
4) y sgn sin x ;
5) y
1 sin2 x ;
7) y x logx (x
2
2)
;
9) y sin(arcsin x );
6) y
1 cos2 x ;
8) y
2
log2 x
;
10) y arcsin(sin x ).
1.31. Побудуйте графіки функцій f (x ), f (x ), f (x ), f (x ), f (x a ),
f (x ) a, якщо:
1) f (x )
1 , a 2;
x 1
2) f (x ) 3x 1, a 2.
1.32. Зобразіть на координатній площині множину:
1) M (x ; y ) | x 2 y 2 4 ;
2) M (x ; y ) | x 2 y 2 9 ;
3) M (x ; y ) | x 2 2y 1 ;
4) M (x ; y ) | x 2 y 2 1, x y 1 ;
5) M (x ; y ) | xy 1, y x 2 ;
1
1
6) M
(
x
;
y
)
.
x
y
Відповіді
1.11. 1) «необхідно, але не достатньо», P Q; 2) «достатньо, але не необхідно», P Q;
3) «необхідно й достатньо», P Q.
1.12. 1) істинне; 2) хибне; 3) істинне; 4) хибне.
1.14. 1) x 5 5x⁴ 10x ³ 10x ² 5x 1; 2) a 4 4a 3b 6a 2b2 4ab 3 b 4 ;
3) a 6 6 2a 5 30a 4 40 2a 3 60a 2 24 2a 8;
4) a 5 10a 4b 40a 3b 2 80a 2b 3 80ab 4 32b 5 .
1.15. 1) M {1, 3}; 2) {2, 5}; 3) M ; 4) M ; 5) {1}; 6) { 1, 2}.
84
Модуль 1. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ
1.16. 1) x 4 5, {1, 9}; 2) x 3 2,(5; 1); 3) x 1 0, 5,[0, 5;1, 5];
1
4) x 4 , (; 4, 2) (3, 8; ).
5
1.17. 1) , {3}, {4}, {3, 4}; 2) , {5}, {6}, {12}, {5, 6}, {5, 12}, {6, 12}, {5, 6, 12}.
1.18. 1) A B; 2) A C , A C .
1.19. 1) A B {1, 2, 3, 4, 5}, A B {2, 3}, A \ B {1}, B \ A {4, 5};
2) A B {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A B {1, 2}, A \ B {3, 6}, B \ A {4, 5};
3) A (1; ), B (; 2), A B (; ), A B (1; 2), A \ B [2; ),
B \ A (;1];
4) A B (2; 4), A B [2; 3], A \ B (2; 2), B \ A (3; 4);
5) A B {a, b, c, d , e}, A B {b, c}, A \ B {a }, B \ A {d, e};
6) A (2; 0), B (; 1] [3; ), A B (; 0) [3; ), A B (2; 1],
A \ B (1; 0), B \ A (; 2] [3; );
7) A B , A B , A \ B , B \ A .
1 1 2
1 1
1.20. 1) A (0;1); 2) B 0; ; {1}; 3) C 0; ;1 ;
3 3 3
4 2
1 1 2 3
4) D 0; ; ;1 .
2 2 3 4
1.21. 1) A A1 (A2 A3 ); 2) A (A1 A2 ) A3 ; 3) A A1 A2 A3 .
1.22. 1) max A, min A, sup A 1, inf A 0; 2) max A, sup A 2, min A inf A 0;
3) max A sup A 3, min A inf A 1; 4) max A sup A 1, min A, inf A 0.
1.23. 1) G [0; 4]; 2) (1; 3].
1.24 1) тотожні на будь-якому інтервалі, який не містить точку 0; 2) тотожні на проміжку
[0; ).
1.25. f (1) 2; f (0) 0; f (2) 2; f (3) 3.
1.26. 1) f (x ) x 2 2; 2) f (x ) sin x .
f (x ), x 0,
f (x ), x 0,
1.27. fп a , x 0, fн 0, x 0,
f (x ), x 0,
f (x ), x 0.
1.28. 1) Обернена функція y 3 x 1, D ; 2) оберненої функції не існує.
1.29. 1) (f g )(x ) 1 x 2, x ; (g f )(x ) (1 x )2, x ;
2) ( f g )(x ) x , x [0; ); (g f )(x ) x , x .
2. Границя послідовності
Навчальні задачі
2.1.
Записати перші 5 членів послідовності {x n }, якщо:
1) x n 2n 1;
2) x1 1, x n nx n 1.
3) x n — n -й знак у десятковому записі числа .
2. Границя послідовності
85
Розв’язання. [6.1.1]
1) [Підставляємо значення n 1, 2, 3, 4, 5 у формулу для загального члена послідовності.]
x1 211 4, x 2 221 8, x 3 16, x 4 32, x 5 64.
Отже, {x n } 4, 8, 16, 32, 64, ....
2) [Послідовно визначаємо члени з рекурентної формули.]
x1 1, x 2 2 (1) 2, x 3 3 2 6, x 4 24, x 5 120.
Отже,
{x n } 1, 2, 6, 24, 120, ...
3) Оскільки 3,141592654..., то
x 1 3, x 2 1, x 3 4, x 4 1, x 5 5.
Отже, {x n } 3, 1, 4, 1, 5, ....
2.2.
Доведіть, що послідовність {x n } зростає, якщо:
1) xn
n
;
2n 1
2) x n
2n
;
n
Розв’язання. [6.1.6.]
n 1
.
2n 3
[Досліджуємо x n 1 x n . ]
1) [Записуємо x n 1. ] xn 1
n 1
n
2n 3 2n 1
(2n 1)(n 1) (2n 3)n
1
0 n .
(2n 3)(2n 1)
(2n 3)(2n 1)
Отже, x n 1 x n n , тобто послідовність {x n } зростає.
xn 1 xn
2n 1
0.
n 1
2n 1 2n
xn 1
2n
n 1
1
q 1
1
:
1
0 n 2.
n 1 n
xn
n 1
n 1
Отже, q 1 і x n 1 x n n , тобто послідовність {x n } зростає.
2) xn 1
2.3.
Доведіть, що числова послідовність {x n } обмежена, якщо:
1) x n
n3 1
n3 4
;
2) xn
(1)n n 11
2
n 1
.
86
Модуль 1. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ
Розв’язання. [6.1.5.]
1) 0
n3 1
3
1
3
3
1
n3 1
3
n 4
n 4
n 4
Отже, послідовність {x n } є обмеженою.
2) Оскільки
1.
[0.2.1]
n
(1) n 11 (1)n n 11 n 11,
n 2 1 n 2 n,
то
xn
(1)n n 11
n2 1
Отже, послідовність {x n } є обмеженою.
2.4.
n 11
11
1
12.
n
n
n
1;
n n 1
1) Довести за означенням, що lim
2) визначити номер N , такий, що
n
1 0, 001 n N .
n 1
Розв’язання. [6.2.1.]
1) Виберімо довільне додатне число і покажімо, що для нього можна визначити такий номер N , що для всіх номерів n N буде виконано нерівність
n
1 .
n 1
Розв’яжімо нерівність:
n
1
1
n 1
n 1
1
1
1
n 1 n 1.
n 1
1
1
Отже, за N можна взяти 1 , якщо 1 0 або 1, якщо
1
2) Якщо
, тоді
1000
N 11 1 [999] 999;
1000
n
1
.
n 999 :
1
n 1
1000
1
1 0.
2. Границя послідовності
2.5.
87
Довести, що послідовність {x n }, яку означено рекурентним співвідно-
шенням x n 1 2 x n , x 1 2, збіжна. Знайти її границю.
Розв’язання. [6.2.3, 6.2.6.]
Доведімо, що для всіх n правдива нерівність x n 2. Припустімо, що цю нерівність доведено при n k , x k 2. Тоді маємо
x k 1
2 xk
2 2 2.
Оскільки x 1 2, то, на підставі принципу математичної індукції, нерівність
x n 2 доведено для всіх n . Оскільки, крім того, 0 x n , то послідовність
{x n } обмежена. З нерівності
x n 1 2 x n 2x n x n2 x n
випливає, що вона зростає.
Отже, за ознакою Веєрштраса, ця послідовність має границю, яку позначмо s.
Перейдімо до границі в рівності
x n2 1 2 x n .
За теоремою [1.19.8] маємо
s 2 s 2,
звідки s1 1, s2 2. Але, оскільки x n 0 n , то s 0.
Отже, lim an 2.
n
(1)n n
Довести, що послідовність {x n }
є розбіжною.
n
1
Розв’язання. [6.2.3, 6.2.5.]
Розгляньмо послідовність
1 2
3 4
{x n } , , , , ...
2 3
4 5
Якщо вибрати 1, то всі парні члени послідовності потрапляють в інтервал
(0; 2) з центром у точці x 1 , а всі непарні
x 2x 4 1
1 x 3 x1 0
2
— в інтервал (2; 0) з центром у точці 2
Рис. до зад. 2.6
x 1 , причому ці інтервали не перетинаються.
А за означенням, якщо точка x 1 або x 1 була б границею послідовності
{x n }, то всі члени послідовності, починаючи з деякого номера, мали б потрапити у вибраний інтервал.
2.6.
88
Модуль 1. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ
2.7.
Знайти:
(n 2)3 (n 2)3
1) lim
96n 2 39n
n
n ! (n 1)!
3) lim
(n 2)!
n
n6 n
2) lim
;
n
;
5
3
(n 4 n ) n 3 1
2n 3n
4) lim
n
32n 10 1
2n 3n
;
.
Розв’язання. [6.3.8, 6.5.1, 6.5.5, 6.4.6.]
(n 2)3 (n 2)3
n 3 6n 2 12n 8 (n 3 6n 2 12n 8)
1) lim
lim
n
n
96n 2 39n
96n 2 39n
12 162
12n 2 16
12
1
n
lim
lim
.
n 96n 2 39n
n 96 39
96
8
n
поділімо чисельник
і знаменник на n 2
n6 n
lim
2)
n
5
1
32n 10 1
lim
3
(n 4 n ) n 3 1
n
n
56
32
1
1
n
поділімо чисельник і знаменник на n 2
«найвищий степінь» n з урахуванням
показників коренів
5
3 4
3
1
n10
1
1
n3
5
32
2.
1
3) (n 1)! (n 1)n !; (n 2) ! (n 2)(n 1)n !.
n ! (n 1)!
[6.5.5]
n !(1 (n 1))
n 2
lim
lim
lim
0,
n
n n !(n 1)(n 2)
n (n 1)(n 2)
(n 2)!
оскільки степінь многочлена в чисельнику менше, ніж степінь многочлена у
знаменнику.
4) lim
n
n
2 3
n
2n 3n
n
n
n
1 2
3
lim
1
2
3
2 n
0,
1
3
1.
1
n
Коментар. Щоб знайти границі типу 1)–3) ділять чисельник і знаменник
дробу на n у найвищому степені всього виразу (коли цей степінь з’ясується),
або на вираз, який найшвидше зростає (приклад 4).
2.8.
Знайти:
1) lim n
n
2
n 1 n ;
1
2
n 1
3) lim 2 2 ... 2 ;
n
n
n
n
2) lim
1
n 1
3
4) lim
n
1
1
1
... n
3
9
3
1
1
1
... n
4
16
4
n 2 sin n 2
.
n 1
;
2. Границя послідовності
89
Розв’язання. [6.4.3, 6.3.8, 6.5.5, 6.2.7.]
1) [Тут застосувати теорему [6.3.8] безпосередньо не можна. Отже, перетворюємо загальний член послідовності.]
lim n
n
n2 1 n
lim
[4.16.5]
lim
n
n2 1 n
n
n n 2 1 n2
n2 1 n
n2 1 n
lim
n
n2 1 n
1
1
1
.
11 2
1
1 2 1
n
2) Ця послідовність є часткою сум двох геометричних прогресій із знаменника1
1
ми q1 та q2 .
3
4
(1 3)n 1 1
n 1
3
1
1
[6.2.7]
1
1
1
1
1 3 9 ... n
1
3
1
2
3
9
3
lim
lim
lim
.
n 1 [6.3.8] 8
n 1 1 1 ... 1
n
n 4
1
(1 4)n 1 1
1
n
4
16
4
1
3
4
1 4 1
n2 1 n
найбільший степінь
lim
виразу n, а не n 2
n
n
n
3) [Тут не можна скористатись безпосередньо теоремою [6.3.8], оскільки маємо суму нескінченної кількості н. м. п. Перетворюємо загальний член послідовності, зводячи дроби до спільного знаменника і користуючись формулою суми
арифметичної прогресії з різницею 1. [6.1.2]]
1
2
n 1
1 2 ... (n 1)
lim
...
lim
n
n2 n2
n 2 n
n2
n(n 1)
[6.5.5]
1
n 1
lim
lim
.
n
n 2n
2
2n 2
3 2
n
(степінь чисельника менша за сте4) Послідовність є добутком н. м. п.
n 1
пінь знаменника) й обмеженої послідовності {sin n 2 }, оскільки
sin n 2 1 n .
Отже, за властивістю [6.4.3] маємо, що
3
lim
n
n 2 sin n 2
0.
n 1
90
Модуль 1. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ
Задачі для аудиторної і домашньої роботи
2.9.
Запишіть перші 5 членів послідовності {x n }, якщо:
(1)n
1) x n
;
n
2) x1 1, x n x n 1 2.
2.10. Доведіть, що послідовність {x n } зростає, якщо:
1) x n n 3 2n;
3) x n
2) x n n ln n;
3n
;
n 1
4) x n
1 3 5 ... (2n 1)
.
n!
2.11. Доведіть, що числова послідовність {x n } обмежена, якщо:
1) x n (1)n ;
2) x n
n 1
.
n
2.12. Дослідіть послідовність на монотонність і обмеженість:
1) x n n
3) x n
1
;
n
2) x n cos
n2 1
n2
n
;
2
4) x n n .
;
2.13. Знайдіть найбільший елемент обмеженої зверху послідовності {x n }, якщо:
2 24
1) x n 6n n 2 5;
2) xn e10n n
10n
3) x n
;
n!
2n
4) x n
.
(2n 1)!
2.14. Доведіть, що
lim x n a
n
;
і визначте номер N , такий, що
x n a 0, 001 n N , якщо:
3n 2
3;
n n 1
1) lim
2) lim
n
3n 1
n
3
1.
2.15. Знайдіть:
1) lim
n
(1 3n )3 27n 3
(1 4n )2 2n 2
;
2) lim
n
(n 1)4 n 4
n4 3
;
2. Границя послідовності
(n 1)2
3) lim
;
n (n 1)3 (n 3)3
n 2 3 8n 3 3
5) lim
4
n
7) lim
n 5 n
4) lim
;
9) lim
n
3)! (2n 2)!
2 5n 4n
3 5n 4n
11) lim
n
3
;
n
n2 1
4n 3 1
n 3 1 3 8n 3 2
;
(n 4)!
;
n (n 3) ! (n 2)!
8) lim
3n 4n
3n 4n 1
;
12) lim ( n 2 3 n 2 3);
n
2n 2 5 n 2 4
;
14) lim
n
4n 1 2n 3
4
;
;
n 2 n 9n 2 2n
n 3
n
n2
n 3
;
13) lim
n
n 1 n 2 1
15) lim
6) lim
10) lim
;
n2 n 3 n ;
n cos n !
(n 1)(n 2)(2n 1)
n
(2n 1)! (2n 2) !
n (2n
91
16) lim
n
n sin 2n
n3 1
;
1
3
2n 1
17) lim
...
;
n
n2 n2
n 2
1 1
1
(1)n 1
18) lim 1
... n 1 ;
n
3 9 27
3
1
1
1
19) lim
...
;
n
n(n 1)
1 2 2 3
1
1
1
.
20) lim
...
n
(2n 1)(2n 1)
1 3 3 5
2.16. Доведіть існування границі послідовності
1
1
1
xn
...
.
2 1 22 1
2n 1
2.17. Доведіть існування границі послідовності і знайдіть її:
1)
2, 2 2, 2 2 2,...;
3) x n 1
xn
, x a 0.
2 xn 1
2) 0, 2, 0, 23, 0, 233, 0, 2333, ...;
92
Модуль 1. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ
2.18. Встановіть, які із заданих послідовностей є нескінченно великими, а які
нескінченно малими:
1) x n 2
n
n
2) x n n (1) ;
;
3) x n n sin
n
;
2
4) x n lg(lg n ), n 2;
5) x n n 3 2 n n 3 ;
6) xn
2n 2 4n 1 2n 2 3n 2.
Відповіді
1 1 1 1
2.9. 1) {xn } 1, , , , ,....; 2) {xn } 1, 3, 5, 7, 9,....
2 3 4 5
2.12. 1) зростаюча, необмежена; 2) немонотонна, обмежена; 3) зростаюча, обмежена;
4) спадна, обмежена зверху.
109
2
2.13. 1) x max x 3 4; 2) x max x 5 e; 3) x max x 9 x 10
; 4) x max x 1
.
9!
6
3
1
1
2
1
1
2.15. 1) ; 2) 0; 3) ; 4) ; 5) 2; 6) 2; 7) 0; 8) ; 9) ; 10) ; 11) ; 12) 0; 13) 1;
2
6
2
3
3
4
5
3
1
14) ; 15) 0; 16) 0; 17) 1; 18) ; 19) 1; 20) .
8
4
2
7
; 3) 0.
2.17. 1) 2; 2)
30
2.18. 1), 4) — н. в. п.; 5) — н. м. п.
3. Границя функції
Навчальні задачі
3.1.
Виходячи з означення границі функції за Коші (мовою ), довести, що:
1) lim(4x 1) 9;
x 2
1
0;
x x 2
2) lim
1
.
x 2 x 2
Розв’язання. [6.3.3.]
1) Візьмімо 0 і знайдімо таке (), що для всіх x, які справджують нерівність x 2 , виконано нерівність
3) lim
(4x 1) 9 ; x 2
.
4
3. Границя функції
Якщо
93
, то
4
x 2
(4x 1) 9 .
4
Отже, lim(4x 1) 9.
x 2
y
2) За означенням
1
0
x x 2
lim
0 0 x : x
1
0 .
x 2
2
x
Візьмімо довільне 0, тоді
U (0) O
1
1
1
U ()
; x 2 ; x 2.
x 2
1
1
Якщо 2, коли 2 0, або 0, коли
Рис. до зад. 3.1.2)
1
2 0, то
1
x
,
x 2
1
0.
а, отже, lim
x x 2
3) За означенням
1
1
lim
0 0 x : 0 x 2
.
x 2 x 2
x 2
y
Візьмімо довільне 0, тоді
1
1
1
U ()
x 2 .
x 2
x 2
Якщо 2
1
, то для всіх x :
1
0 x 2
.
x 2
2
U (2)
O
1
.
x 2 x 2
U ()
Отже, lim
Рис. до зад. 3.1.3)
3.2.
Знайти:
x
94
Модуль 1. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ
1) lim
x 0
x2 1
2
2x x 1
3) lim
x2 1
x 1 2x 2
x 1
x2 1
2) lim
;
x 1 2 2x 2
;
4) lim
x
x 1
x2 1
2x 2 x 1
;
.
Розв’язання. [6.3.8, 6.4.5, 6.4.6, 6.5.]
1) [Функція є відношенням двох многочленів. Оскільки знаменник не прямує до
нуля, коли x 0, то до обчислення цієї границі застосовна теорема [6.3.8.]]
x2 1
x 0
2x 2 x 1
0 1
1.
2 02 0 1
1
2) [Знаменник дробу прямує до нуля, коли x , а чисельник до нуля не пря2
мує — це «визначена» ситуація.]
3 [6.4.6]
x2 1
lim
4 .
x 1 2 2x 2 x 1
0
0
3) [Маємо невизначеність
— чисельник і знаменник раціонального дробу
0
прямують до нуля — щоб знайти границю, треба перетворити вираз під знаком границі.]
0 [5.5.5]
x2 1
(x 1)(x 1)
x 1
2
lim
lim
lim
0
x 1 2x 2 x 1
x 1 2 x 1
x 1 2x 1
3
x1
lim
2
4) [Оскільки найвищі степені чисельника і знаменника рівні, то границя відношення многочленів, коли аргумент прямує до нескінченності, дорівнює відношенню старших коефіцієнтів чисельника і знаменника.]
[6.5.5] 1
x2 1
.
lim
x 2x 2 x 1
2
Справді,
1 12
x
lim 2
lim
1
x 2x x 1
x 2 x
x2 1
1
x2
1
.
2
Коментар. Способи відшукання границі функції в точці залежать як від самої функції, так і від точки, до якої прямує аргумент функції.
3.3.
Знайти:
3. Границя функції
x 2 3x 2
1) lim
2x 2 x 6
x 2
x 2 16
3) lim
x 53
x 4
2) lim
;
95
x 2 5x 6
x 3 (x
3)2(x 1)
;
.
Розв’язання. [6.3.8.]
0 [5.5.5]
(x 2)(x 1)
x 1
1
1) lim
lim
lim
.
0
x 2 2x 2 x 6
x 2 2(x 2) x 3
x 2 2 x 3
7
2
2
x 2 3x 2
0 [5.5.5]
(x 3)(x 2)
2) lim
lim
0
x 3 (x 3)2 (x 1)
x 3 (x 3)2 (x 1)
1
x 2
lim
.
0
x 3 (x 3)(x 1)
x 2 5x 6
3) lim
x 4
0 [4.16.5]
lim
0
x 4
x 53
x 2 16
(x 2 16)( x 5 3)
x 53
x 53
(x 4)(x 4)( x 5 3)
lim(x 4)( x 5 3) 48.
x 4
x 4
x 4
lim
3.4.
Знайти:
1) lim
x
3) lim
x
x 2 2x 5
x3 x 1
x3 1
x2 2
;
;
2) lim
x
4) lim
3x 2 6
5 4x 2
x 4
;
4x 2 x
8
x 5x 3
.
Розв’язання. [6.5.5.]
[6.5.5]
1) lim
0 (степінь многочлена знаменника вищий за
x x 3 x 1
степінь многочлена чисельника).
[6.5.5] 3
3x 2 6
2) lim
(степінь многочлена чисельника дорівнює сте
x 5 4x 2
4
пеню многочлена знаменника — границя дорівнює відношенню старших коефіцієнтів многочленів).
[6.5.5]
x3 1
3) lim
(степінь многочлена чисельника вищий за степінь
x x 2 2
многочлена знаменника).
x 2 2x 5
96
Модуль 1. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ
1
4x
lim
5
x 4
x 8 5x 3
1 7
4x 2 x
4) lim
x 4
x
[6.4.6]
3
4
x8
(найвищі степені чисельника і знаменника дорівнюють 2 з урахуванням показника кореня).
3.5.
Знайти:
3x
1) lim
x
Розв’язання.
1) lim
x
3x
1
3
.
2) lim
2
x 2
x 2 x x 2
9x 2 3x 1 ;
9x 2 3x 1 [ ]
[4.16.6]
lim
x
3x
9x 2 3x 1
3x
9x 2 3x 1
9x 2 9x 2 3x 1
lim
x
3x
lim
9x 2 3x 1
(3x 1)
x 3x 9x 2 3x 1
3x 9x 2 3x 1
1
3x
3
1
lim
.
x
33
2
3 9 x3 12
lim
x
3x
x
2
9x 3x 1 [ ] .
1
3
(x 1) 3
2) lim
2
[ ] lim
x 2
x 2 (x 2)(x 1)
x 2 x x 2
x 2
1
1
lim
lim
.
x 2 (x 2)(x 1)
x 2 x 1
3
3.6.
Знайти а) f (x 0 0); б) f (x 0 0) :
1) f (x )
x 1
(x 1), x 0 1;
x 1
2) f (x )
x 1, x 2,
3) f (x )
x 0 2.
2
x
2,
x
2,
Розв’язання. [6.3.4, 6.3.5.]
x 1
1) lim
x 10 x 1
[4.13.1]
x 1
lim
x 1 0 x 1
[4.13.1]
x 1
1;
x 10 (x 1)
lim
x 1
1.
x 1 0 x 1
lim
2
, x 2;
x 2 0
3. Границя функції
97
2
2
; lim
.
x 2 0 x 2
x 2 0 x 2
2) lim
3) lim f (x ) lim (x 1) 3; lim f (x ) lim (2x 2) 2.
x 20
3.7.
x 2 0
x 20
x 20
Знайти:
1) lim lg(4x 1 2x 5);
x 2
2x
x
4 1;
2) lim
x
2x 2
.
3) lim sin
x 2
x 2
Розв’язання. [6.9.1, 6.3.8.]
1) lim lg(4x 1 2x 5) lg lim(4x 1 2x 5) lg 10 1.
x 2
2) lim
x
2x
x
4 1
2x
x
4x 1
lim
x 2
42 16.
2x 2
2(x 2)
lim sin
3) lim sin
(x 2)( 2x 2)
x 2
x 2 x 2
2
2
lim sin
sin lim
sin 1.
x 2 2x 2
x 2
2
2x 2
Коментар. У цій задачі скористаємось можливістю переходу до границі під
знаком неперервної функції, а функції y lg x , y 4x , y sin x , y cos x —
неперервні в будь-якій точці області означення.
Задачі для аудиторної і домашньої роботи
3.9.
Виходячи з означення границі за Коші (мовою ), доведіть, що:
5x 1
5
;
x 3x 9
3
1) lim(3x 8) 5;
2) lim
x 1
1
3) lim
x 1 (1 x )2
;
1
.
x 0 x
4) lim
3.10. Знайдіть:
1) lim
x 1
3) lim
x2 4
3x 2 2x 16
x 2
;
x2 4
3x 2 2x 16
2) lim
x
;
8
3
4) lim
x
x2 4
3x 2 2x 16
;
x2 4
3x 2 2x 16
.
98
Модуль 1. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ
3.11. Знайдіть:
1) lim
x 2
x2 5
x2 3
x 3 3x 1
2) lim
1 ;
x 0
x 4
;
x
;
x 1 1 x
3) lim
x2 3
4) lim
x 3
x4 x2 1
.
3.12. Знайдіть:
3x 3 2x 2 5
1) lim
3
2x x 1
x
x 4 x2 1
3) lim
x 2 10
x
;
5) lim
x 4
3
x x x
x
x
10
x x 6
2
x
34 x 2
3
;
6) lim
10
;
x4 3 5 x3 4
3
x
10
;
8x 7
4) lim
(x 1)10 ... (x 100)10
7) lim
2
x
;
x2 1 x
7x 3
2) lim
7
x 1
;
5x 4x 3x 2x .
x
; 8) lim
3.13. Знайдіть:
1) lim
x 3 2x 2 x 2
x 2 4x 3
x 1
3) lim
x 2 2x 1
x3 x
x 1
5) lim
x 7
49 x 2
1 8 x
3
7) lim
x 2
;
2) lim
x 3 3x 2 2x 1
x 2 5x 6
x 3
4) lim
;
8x 3 1
x 1 2
6) lim
;
x 0
10 x 2
;
x 2
8) lim
x a
6x 2 5x 1
x2 1 1
x 2 16 4
xn an
xm am
;
;
(n, m , a 0).
3.14. Знайдіть:
1) lim
x
2) lim
x
x 2 12x 9x 2 18x 5 ;
3
(x 1)2 3 (x 1)2 ;
12
1
3) lim 2
;
x 36 x 6
x 6
;
1
3
4) lim
;
1 x 1 x 3
x 1
3. Границя функції
x3
x 2
;
5) lim
x
2x 2 1 2x 1
99
x3
.
6) lim
x
x
x2 1
3.15. Знайдіть а) f (x 0 0); б) f (x 0 0) :
1
x
3 2, x
x 1
, x 1;
1) f (x )
x 1 0
2) f (x )
2x 1, x 2,
3) f (x ) 2
x 2;
x , x 2, 0
1
, x 0,
4) f (x ) x 2
x 0 0.
x, x 0,
0
2;
3.16. Знайдіть:
1) lim 3x 1;
2) lim 3x 1;
1 x 1
3) lim ;
x
2
1 x 1
4) lim ;
x
2
5) lim arctg x ;
6) lim arcctg x .
x
x
x
x
3.17. Знайдіть:
x 1
1) lim log 2 (7x 1
x 1
3x 1);
3 x 2
;
3) lim cos
x 1
x 1
2) lim
x
2
2x 1 ;
1 x
1 x 1x
.
4) lim
2 x
x 0
Відповіді
1
2
1
3
; 2) ; 3) ; 4) . 3.11. 1) 9; 2) ; 3) ; 4) 0.
5
7
3
4
3
3.12. 1) ; 2) 0; 3) ; 4) 2; 5) 1; 6) 0; 7) 100; 8) .
2
1
n
3.13. 1) 1; 2) ; 3) 0; 4) 6; 5) 28; 6) 4; 7) ; 8) a n m .
m
12
1
1
3.14. 1) ; 2) 0; 3) ; 4) 1; 5) ; 6) 0.
12
4
3.15. 1) f (1 0) 1, f (1 0) 1; 2) f (2 0) 0, f (2 0) ;
3) f (2 0) 3, f (2 0) 4; 4) f (0) 2, f (0) 0.
3.16. 1) ; 2) 0; 3) ; 4) 0; 5) ; 6) 0.
2
2
1
3.17. 1) 3; 2) 1; 3)
; 4) .
2
2
3.10. 1)
100
Модуль 1. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ
4. Нескінченно малі та нескінченно великі функції
Навчальні задачі
4.1.
Знайти lim (cos x 1 cos x );
x
Розв’язання. [6.4.3.]
[5.10.11]
x 1 x
x x 1
sin
x
x
2
2
x 1 x
1
sin
.
lim 2 sin
x
2
2( x x 1)
1
1
sin lim
sin 0 0.
lim sin
x
x 2( x 1 x )
2( x 1 x )
lim (cos x 1 cos x )
lim 2 sin
x 1 x
обмежена, оскільки:
2
x 1 x
2 sin
2.
2
Добуток нескінченно малої функції на обмежену є функцією нескінченно малою. Отже,
x 1x
1
0.
lim 2 sin
sin
x
2
2(x x 1)
Функція 2 sin
4.2.
Знайти:
sin 2x tg x
;
x 0 1 cos 2x
sin 5x
;
x 0
x
1) lim
3) lim
x a
5) lim
x 0
2) lim
sin x sin a
;
x a
3sin 5x 3sin x
e
x2
cos x
4) lim
x
ln(1 3x )
x
ln(1 2 )
;
1
;
6) lim
x 0
4 arctg 1x
x
.
Розв’язання. [6.8.]
[6.8.1]
0
sin 5x
5x
1) lim
sin 5x 5x , x 0 lim
5.
0
x 0
x 0 x
x
[6.8.1]
[6.8.2]
sin 2x 2x , tg x x , x 0
sin 2x tg x
2x x
lim
1.
[6.8.3]
x 0 1 cos 2x
x 0 2x 2
(2x )2
1 cos 2x
2x 2 , x 0
2
2) lim
4. Нескінченно малі та нескінченно великі функції
x a
2 cos 2 sin
0 [5.10.11]
sin x sin a
3) lim
lim
0
x a
x a
x a
x a
lim
2 cos
x a
2
x a
2
lim cos
x a
x a
x a
x a
2
sin
101
x a
2
x a
2
x a
,
x a
cos a.
2
[6.8.7]
x
ln(1 3 ) 3x ,
3 x
ln(1 2 ) 2 , lim
lim 0.
x 2x
x
2
x
0
4) lim
0
x ln(1 2x )
ln(1 3x )
5) lim
x 0
e x cos x
[6.8.8]
sin 5x sin x
1
[5.10.11]
3x
x
0
3sin x (3sin 5x sin x 1)
lim x
0 x 0 (e 1) (1 cos x )
3sin 5x 3sin x
3
x
(sin 5x sin x ) ln 3
lim
x 0
2 ln 3 sin 2x cos 3x , x 0
2 3sin x ln 3 sin 2x cos 3x
x
(e 1) (1 cos x )
3sin x 1, cos 3x 1,
lim
2 3sin x ln 3
ex 1
x
x 0
1
6) lim
4 arctg 1 x
x
x 0
[6.8.2]
4 lim
sin 2x
x
cos 3x
1cos x
x
sin 2x
x
1cos x
x
tg
4
1
arctg 1x
x
4 lim
x 0
1
x 0
4.3.
ex 1
2, x
[6.8.3]
[6.8.9]
1, 4 ln 3.
0, x 0
1
arctg 1 x
0
4 lim 4
0
x 0
x
x 0
4 lim
[6.8.1]
1 1x
1
x 1 1x
4 lim
x 0
x
x
1x
x 2
x 1
1
tg 4 1x
4
x 1 tg
sin 7x
;
x 1 sin 2x
lg x 1
;
x 10 x 10
2) lim
1
2.
x 0 x 2
4 lim
Знайти:
1) lim
1
1x
[5.10.6]
102
Модуль 1. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ
1 3 x
ex e
.
3) lim
4) lim
;
x 1 1 5 x
x 1 x 1
Розв’язання. [6.8.]
t x 1, x t 1
0
sin 7x
sin 7(t 1)
lim
1) lim
0
x 1 sin 2x
t 0 sin 2(t 1)
t 0, x 1
[6.8.1]
sin 7t 7t,
[5.10.3]
sin(7t 7)
7t
7
sin 7t
lim
lim
sin 2t 2t , lim
.
t 0 sin(2t 2)
t 0 sin 2t
t 0 2t
2
t 0
t x 10,
[5.7.5]
0
lg x 1
lg(10 t ) lg 10
2) lim
x t 10,
lim
0
x 10 x 10
t 0
t
t 0, x 10
lim
t
lg 1 10
t 0
t
[6.8.6]
t
t
t
1
lg 1
,
10
ln
10
.
10
10 ln 10 lim
t 0
t
10 ln 10
t 0
[6.8.9]
0
x 1
ex e
e(e x 1 1)
1 x 1, lim e(x 1) e.
3) lim
lim
e
0
x 1 x 1
x 1
x 1 x 1
x 1
x 1
13
0
t x 1, x t 1,
1 t 1
4) lim
lim
15
0
x 1 1 5 x
t 0
t 0, x 1
1 (t 1)
1 3 x
13
(1 t )
15
(1 t )
4.4.
[6.8.10]
1
1
t
,
3
1
t
,t 0
5
lim
t 0
3t
1
5t
5
.
3
Знайти:
1) lim
x
ln(1 3x )
ln(1 2x )
;
2) lim x (ln(x 1) ln x );
x
3) lim
2x tg x .
x 2
cos x
Розв’язання.
ln(1 3x )
ln 3x
x ln 3
ln 3
lim
1) lim
lim
.
x ln 2x
x ln(1 2x )
x x ln 2
ln 2
4. Нескінченно малі та нескінченно великі функції
103
1
2) lim x (ln(x 1) ln x ) lim x ln 1 0
x
x
x
1 1
x
ln 1 , x lim
1.
x x
x x
2x sin x
3) lim
2x tg x lim
x 2
x 2
cos x
cos x
cos x
,
2
0
2x sin x
lim
x t ,
0
x 2
cos x
2
t 0, x
2
2 t 2 sin t 2
2t cos t
lim
lim
t 0
t
0
t
sin
cos t 2
t x
(1 cos t ) 2t cos t
(1 cos t )
2t cos t
lim
lim
t 0
t 0
t 0 sin t
sin t
sin t
t 2
2t cos t
lim 2 lim
lim t 2 lim cos t 2.
t 0 t
t 0
t 0
t
2 t 0
lim
4.5.
Знайти:
x
1 2x 1
1) lim
;
x2
x
x x
3) lim
;
x
x 1
Розв’язання. [6.5.6, 6.7.5, 6.7.6.]
1
1) lim
x
x2
x
[6.3.8]
2x 1 01 2 0.
[6.5.6]
x x
1
2) lim
0.
2x 1
x
2
[6.5.6]
x x
1
lim
.
x
2x 1
2
x x
2) lim
;
x
2x 1
ctg x
4) lim ln(e x )
x 0
.
104
Модуль 1. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ
x
x
[6.7.5] lim
1 x
lim
x x
x
x
1
x
x 1 e 1 .
e
3) lim
1 e
x 1
x
ctg x
4) lim ln(e x )
x 0
e
4.6.
[6.7.5]
lim (ln(x e )1) ctg x
1 e x 0
x
ln 1
e
ln(x e )ln e [5.7.5]
lim
lim
x 0
x 0
tg x
tg x
e
[6.8.7]
x
lim e
x
e 0 x
e
1e
.
Які з функцій є нескінченно малими чи нескінченно великими?
x 2 1 x ; а) x , б) x ;
1) f (x )
2) f (x )
1
1 2x
; а) x , б) x .
Розв’язання. [6.4.1, 6.4.2.]
1) lim
x
x 2 1 x .
x2 1 x2
x 2 1 x lim
2
x
x
x 1 x
1
lim
0.
x x 2 1 x
Отже, f (x ) — н. в. ф., коли x ; f (x ) — н. м. ф., коли x .
lim
1
x 1
4.7.
1;
1
0.
x 1 2x
2x
Отже, f (x ) — н. м. ф., коли x .
2) lim
lim
Визначити порядок мализни і головну частину нескінченно малої функ-
ції (x ) x 3 1000x 2 щодо н. м. ф. (x ) x , коли x 0.
Розв’язання. [6.6.5.]
lim
x 0
x 3 1000x 2
x
k
lim
x 2(x 1000)
k
lim x 2k (x 1000)
x 0
x
0, 2 k 0,
1000, 2 k ,
, 2 k 0.
x 0
Отже, н. м. ф. (x ) має порядок k 2 щодо н. м. ф. (x ) x , коли x 0; головна частина 1000x 2 . Тобто
x 3 1000x 2 1000x 2, x 0.
4. Нескінченно малі та нескінченно великі функції
105
4.8.
Визначити порядок росту і головну частину нескінченно великої функції
x5
щодо функції (x ) x , x .
(x )
1 x 2x 2
Розв’язання. [6.6.5.]
, 5 k 2,
x5
5 k
2
x
1
1
2
x
x
lim
lim
, 5 k 2,
k
2
x
x 1 x 2x
2
x
0, 5 k 2.
Отже, н. в. ф. (x ) має порядок росту k 5 2 3 щодо н. в. ф. (x ) x ,
1 3
x . Тобто
2
x5
x3
, x .
2
1 x 2x 2
коли x ; головна частина
Задачі для аудиторної і домашньої роботи
4.9.
Знайдіть:
tg 3x
;
x 0 x
5
cos x
tg x
2
3) lim
;
x 0
arcsin 2x 2
1) lim
1
5) lim
ctg x ;
x 0
sin x
cos x cos a
;
x a
x a
4.10. Знайдіть:
7) lim
1) lim
x 2
1 sin x
2
x
2
;
x 1
3) lim x arctg
;
x
x 2 4
arctg 3x
;
x
x
2) lim
3 arctg x
4) lim
4 x 2
x 0
6) lim
;
(1 cos x )2
x 0
tg2 x sin2 x
8) lim
ctg x ctg a
.
x a
x a
2) lim 2x tg x
.
x 2
cos x
4) lim(1 x ) logx 2.
x 1
4.11. Знайдіть:
1) lim x log2
x
10 x
;
5x
;
2) lim x 2 ln cos
x
;
x
106
Модуль 1. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ
ln(a x ) ln a
;
3) lim
x 0
x
ln(1 x 3 x )
4) lim
ln(1 3 x 4 x )
x
.
4.12. Знайдіть:
e 7 x e 2x
;
x 0
tg x
7
x2
x 0
5) lim
x
1 x2 1
3) lim
3
x 4
1x
2) lim x 2 4
1) lim
1 (x 1)
4
.
2
4) lim
;
tg x 1
2 sin2 x 1
ex 1
2
x 0
1 sin x 1
;
2x x 2
6) lim
.
x 2 x 2
;
4.13. Знайдіть:
2x 1 x
1) lim
;
x
x 1
2x 1 x
2) lim
;
x
x 1
mx
k
3) lim 1 ;
x
x
x 2 4 x
;
4) lim 2
x
x 4
5) lim (1 ctg x )tg x ;
x
6) lim cos x ;
2
2
x 0
x 2
1 x 3x
7) lim
x 0
1 x 7x
9) lim 2 e
x 0
x2
2
1 tg
x
;
1 ln 1 tg2 3x
1 x 2 2x
8) lim
x 0
1 x 2 5x
10) lim 2 3sin
;
x 0
2
x
1 sin
3
x
;
1 ln cos x
.
4.14. Визначте, які функції є нескінченно малими:
1) f (x )
3) f (x )
x 2 2x 1
x3 x
, x 1;
ln(x 2 x 1)
ln(x 4 x 1)
2) f (x )
1 cos x
1 cos x
, x .
4.15. Визначте, які функції є нескінченно великими:
1) f (x )
1
3
2
x 4x 4x
1
2
x 3x 2
, x 2;
, x 0;
5. Неперервність функції. Точки розриву функції
107
x 1 x
2) f (x )
, а) x , б) x .
2x 1
4.16. Визначте порядок мализни і головну частину нескінченно малої функції
(x ) щодо функції (x ) x , коли x 0 :
1) (x )
3
3) (x ) 3
x2
3
x
2) (x ) ln(1 x 2 ) 2 3 (e x 1)2 ;
x;
4) (x ) tg x sin x .
1;
4.17. Визначте порядок росту і головну частину нескінченно великої функції
(x )
x 4 x 1 щодо функції (x ) x , коли x .
Відповіді
1
1
1
4.9. 1) 3; 2) 0; 3) ; 4) 12; 5) 0; 6) ; 7) sin a; 8)
.
2
4
sin 2 a
1
1
5
1
3
2
; 2) ; 3) ; 4) .
4.10. 1) ; 2) 2; 3) ; 4) ln 2. 4.11. 1)
2
2
ln 2
a
2
2
1
1
4.12. 1) 5; 2) ln 4; 3) ; 4) 2; 5) ; 6) 4 ln 2 4.
7
3
3
2
1
9 2
; 7) ; 8) ; 9) e
4.13. 1) ; 2) 0; 3) ekm ; 4) e 8 ; 5) e; 6)
; 10) 9.
7
5
e
2
1
4.16. 1) k , головна частина — x 1 2 , x 0; 2) k , головна частина —
3
2
1
x3
13
23
; 4) k 3, головна частина —
.
2x
, x 0; 3) k , головна частина — ln 3 x
3
2
4.17. k 2, головна частина x 2, x .
5. Неперервність функції. Точки розриву функції
Навчальні задачі
5.1.
Дослідити на неперервність функцію:
1) f (x )
sin x
;
x
1 x 2,
x 0,
3) f (x ) (x 1)2, 0 x 2,
x 2;
4 x ,
Розв’язання. [6.11.]
2) f (x ) e
1x
;
1
4) f (x ) sin .
x
108
Модуль 1. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ
1) Функція f — елементарна; область означення функції D( f ) \ {0}. Отже, x 0 0 — точка розриву.
[З’ясовуємо тип точки розриву, знаходячи однобічні границі.].
Оскільки
sin x
sin x
sin x
lim
1 lim
lim
1,
x 0 x
x 0 x
x 0 x
x 0 0 D( f ),
y
sin x
то точка x 0 0 є точкою розриву 1-го
y
1
роду, усувного.
x
O
sin x
x
можна доозначиРис. до зад. 5.1.1)
x
ти в точці x 0 0, покладаючи
sin x
, x 0,
g(x ) x
1, x 0.
Функція g вже буде неперервною на .
2) Функція f — елементарна; область означення D( f ) \ {0}. Отже, функція f має розрив у точці x 0 0.
Функцію f (x )
lim e
x 0
1x
0;
lim e
x 0
1x
.
Оскільки обидві границі існують і одна з
них нескінченна, то x 0 0 — точка розриву 2-го роду, нескінченного. Графік функції має в точці x 0 0 праву вертикальну
асимптоту.
y
y e
1x
1
O
Рис. до зад. 5.1.2)
x
3) Функція f — неелементарна, означена різними аналітичними виразами на
різних проміжках, які є неперервними функціями на цих проміжках. Отже, єдині можливі точки розриву — це точки x 1 0 та x 2 2, де міняються аналітичні вирази для функції f .
Дослідімо точку x 1 0.
f (0) (0 1)2 1.
lim f (x ) lim (1 x 2 ) 1;
x 0
x 0
x 0
x 0
lim f (x ) lim (x 1)2 1.
Оскільки існують скінченні границі f (0), f (0) і
f (0) f (0) 1 f (0),
то за критерієм неперервності [6.9.2] функція f є неперервною в точці x 1 0 .
5. Неперервність функції. Точки розриву функції
109
Дослідімо точку x 2 2.
f (2) (2 1)2 1.
lim f (x ) lim (x 1)2 1;
x 2 0
x 2 0
x 2 0
x 2 0
lim f (x ) lim (4 x ) 2.
Оскільки
існують
скінченні
границі
f (2 0), f (2 0) і
f (2 0) 1 2 f (2 0),
то точка x 2 2 є точкою розриву 1-го роду,
неусувного [6.11.2], зі стрибком
f (2 0) f (2 0) 2 1 1.
y
2
1
y f (x )
O
1
2
x
Рис. до зад. 5.1.3)
4) Функція f — елементарна, область означення D( f ) \ {0}. Доведімо,
1
користуючись означенням границі за Гейне [6.3.2], що не існує lim sin . Для
x 0
x
цього побудуймо дві послідовності значень аргументу:
1
2
2 2 2
{x n }
, ...;
, , , ...,
2n 5 9
2n
2
1
1 1 1
1
{x n}
, , , ...,
.
2
n
2
4
6
2
n
Обидві послідовності збігаються до нуля. Запишімо послідовності значень функції f :
y
1
f (xn ) 1,1, 1, ..., 1, ...;
y sin
x
f (xn) 0, 0, 0, ..., 0, ...
Оскільки послідовність {f (x n )} збігається до нуля, а послідовність {f (x n)} — до одиниці, то не
x
Рис. до зад. 5.1.4)
1
існує lim sin .
x 0
x
Точка x 0 0 є точкою розриву 2-го роду, істотного [6.11.3].
Коментар. Усувний розрив можна «усунути», доозначивши функцію f (x ) у
точці x 0 , тобто утворивши нову функцію
x x 0,
f (x ),
g(x )
f (x 0), x x 0,
0
що збігається з функцією f (x ) скрізь, окрім точки x 0, і буде вже неперервною в
цій точці.
110
Модуль 1. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ
5.2.
Показати, що будь-який многочлен непарного степеня з дійсними коефіцієнтами має принаймні один дійсний корінь.
Розв’язання. [6.10.4.]
Розгляньмо многочлен непарного степеня з дійсними коефіцієнтами
P2n 1(x ) a 0x 2n 1 a1x 2n ... a 2n 1.
Нехай для визначеності a 0 0. При досить великих за абсолютною величиною
від’ємних значеннях x знак многочлена P2n 1(x ) буде від’ємним, а при досить
великих додатних значеннях x — додатним. Оскільки многочлен є скрізь неперервною функцією, то знайдеться деяка точка, в якій він дорівнює нулеві.
5.3.
Знайти з точністю 0,1 корінь рівняння x 4 x 3 1 0 на відрізку [0;1].
Розв’язання. [6.10.4.]
Нехай f (x ) x 4 x 3 1. Ця функція неперервна x , а, отже, і на [0;1].
Оскільки f (0) 1 0, f (1) 1 0, то за теоремою Больцано — Коші
c (0;1) : f (c) 0,
тобто рівняння f (x ) 0 має корінь на [0;1]. Знайти корінь з точністю 0,1
означає вказати відрізок [a; b ] завдовжки b a 0,1, який містить корінь рівняння.
Щоб знайти наближене значення кореня, скористаємось методом половинного
поділу.
Крок 1. Покладаємо a 0, b 1. Обчислюємо
f (a ) f (0) 1, f (b ) f (1) 1.
Перевіряємо
f (a )f (b) 1 1 1 0,
b a 1 0, 1.
Крок 2. Обчислюємо
x1
a b
0 1 1
.
2
2
2
Крок 3. Обчислюємо
1
13
f (x1) f .
2
16
Перевіряємо
13
13
(1)
0;
16
16
13
13
f (x 1)f (b ) 1 0.
16
16
1
Покладаємо a1 x 1 , b1 b 1. Перевіряємо
2
f (x 1)f (a )
5. Неперервність функції. Точки розриву функції
a1 b1
111
1
0, 1.
2
Крок 4. Обчислюємо
1
1
a1 b1
3
2
x2
.
2
2
4
Крок 5. Обчислюємо
3
67
f (x 2 ) f
.
4
256
Перевіряємо
f (x 2 )f (a1)
67 13
0;
256 16
f (x 2 )f (b1 )
67
1 0.
256
Покладаємо
a2 x 2
3
, b b1 1.
4 2
a2 b2
1
0, 25 0, 1.
4
Перевіряємо
Крок 6. Обчислюємо
a2 b2
7
...
2
8
Врешті-решт дістанемо: x 0, 81 з точністю 0,1.
x3
Задачі для аудиторної і домашньої роботи
5.5.
Використовуючи лише графік функції f (x ), визначте її точки розриву і
їхній тип:
1) рис. 1;
2) рис 2.
Рис. 1 до зад. 5.5
Рис. 2 до зад. 5.5
112
5.6.
Модуль 1. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ
Знайдіть точки розриву функції, дослідіть їхній характер, у разі усувного
розриву дозначте функцію «за неперервністю». Схематично побудуйте
графік функції в околах точок розриву.
1) f (x )
3) f (x )
x2 1
x3 1
3
(1 x )n 1
, n ;
x
3x 5
5) f (x )
3x 5
;
1
7) f (x ) (x 1) arctg ;
x
9) f (x )
1
x2 9
x 1
;
x 1
2) f (x )
;
;
1
4) f (x ) 1 x sin ;
x
6) f (x )
x 2
arctg(x 2)
1
8) f (x )
3 x 2 1
3
10) f (x )
x
11) f (x ) 3
13) f (x )
4 x 2
;
3
;
log2 x 1
15) f (x ) cos
;
2x
;
1
x 2
;
1
2
1 33 x
;
1
12) f (x ) e sin x ;
14) f (x )
1 1x
ln
;
x 1x
16) f (x ) sin
1
2
(x 3)
;
2 x,
0 x 1,
17) f (x )
4 2x , 1 x 2, 5,
2x 7 2, 5 x 4.
1
arctg 2x , x ,
2
18) f (x )
1
, x ;
2
2x 3
e x 3, x 3,
2
19) f (x )
10 x , x 3,
1
2 x 2 ,
x 3;
cos x ,
x 0,
20) f (x ) x 2, 0 x 1,
sin 1 , x 1.
x 3
5. Неперервність функції. Точки розриву функції
5.7.
Виберіть значення параметрів так, що функція стала неперервною і побудуйте її графік:
x 1, x 1,
1) f (x )
3 ax 2, x 1;
5.8.
5.9.
113
2 sin x,
x ,
2
2) f (x )
A sin x B, x ,
2
x .
cos x,
2
Дослідіть на неперервність функцію і побудуйте її графік:
1) y
1
;
ln x
2) y {x };
3) y
1
;
{x }
4) y (1)[x ].
Розв’яжіть нерівність:
1)
(2x 1)(x 2)3
(x 1)(x 2)2
0;
2)
(x 3)(x 2)3 (x 1)
0.
x (x 3)(x 4)
5.10. Доведіть, що рівняння має розв’язок на вказаному відрізку:
1) x 3 3x 1 0, x [1; 0];
2) x 5 6x 2 3x 7 0, x [0; 2].
Відповіді
5.5.1) функція f (x ) має: в точці x 2 розрив 2-го роду, нескінченний; у точці x 1 розрив
1-го роду, усувний; у точці x 4 розрив 1-го роду, неусувний;
2) функція f (x ) має: в точці x 0 розрив 2-го роду, істотний; у точці x 3 розрив 2-го
роду, нескінченний; у точці x 5 розрив 1-го роду, неусувний.
f (x ), x 1,
5.6. 1) функція f (x ) має в точці x 1 розрив 1-го роду, усувний, g (x ) 2
, x 1;
3
f (x ), x 1,
2) функція f (x ) має в точці x 1 розрив 1-го роду, усувний, g(x ) 1
, x 1;
3
f (x ), x 0,
3) функція f (x ) має в точці x 0 розрив 1-го роду, усувний, g(x )
n, x 0;
f (x ), x 0,
4) функція f (x ) має в точці x 0 розрив 1-го роду, усувний, g(x )
1, x 0;
114
Модуль 1. ГРАНИЦЯ ФУНКЦІЇ. НЕПЕРЕРВНІСТЬ
5
розрив 1-го роду, неусувний;
3
6) функція f (x ) має в точці x 2 розрив 1-го роду, неусувний;
7) функція f (x ) має в точці x 0 розрив 1-го роду, неусувний;
8) функція f (x ) має в точці x 2 розрив 1-го роду, неусувний;
9) функція f (x ) має в точках x 3 розрив 2-го роду, нескінченний;
10) функція f (x ) має в точці x 3 розрив 2-го роду, нескінченний;
11) функція f (x ) має в точках x 2 розрив 2-го роду, нескінченний;
12) функція f (x ) має в точках x k, k , розрив 2-го роду, нескінченний;
f (x ), x 1,
13) функція f (x ) має в точці x 1 розрив 1-го роду, усувний, g(x )
ав
0, x 1,
точках x 2, x 0 — розрив 2-го роду, нескінченний;
f (x ), x 0,
14) функція f (x ) має в точці x 0 розрив 1-го роду, усувний, g(x )
а в точ 2, x 0,
ках x 1 — розрив 2-го роду, нескінченний;
15) функція f (x ) має в точці x 2 розрив 2-го роду, істотний;
16) функція f (x ) має в точці x 3 розрив 2-го роду, істотний;
17) функція f (x ) має в точці x 2, 5 розрив 1-го роду, неусувний;
f (x ), x 1 ,
1
2
18) функція f (x ) має в точці x розрив 1-го роду, усувний, g(x )
2
, x 1 ;
4
2
19) функція f (x ) має в точці x 3 розрив 1-го роду, неусувного;
20) функція f (x ) має в точках x 0, x 1 розрив 1-го роду, неусувний, а в точці x 3 —
розрив 2-го роду, істотний.
5.6. 1) x 1 — точка розриву 1-го роду (скінченного); 2) x 3 — точка розриву 2-го
роду (нескінченного); 3) x 1 — точка розриву 1-го роду (усувного), x 2, x 0 —
1
точки розриву 2-го роду (нескінченного); 6) x — точка розриву 1-го роду (усувного).
2
5.7. 1) a 1; 2) A 1, B 1.
5.8. 1) x 0 — точка розриву 1-го роду, усувного, x 1 — точки розриву 2-го роду, нескінченного; 2), 4) x — точки розриву 1-го роду, неусувного; 3) x — розриви 2-го
роду, нескінченного.
1
5.9. 1) x (; 2) (2; 1) ; 2 ; 2) x (; 3) (2; 1) (0; 3) (4; ).
2
5) функція f (x ) має в точці x
Модуль 2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ
ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
6. Похідна. Техніка диференціювання
Навчальні задачі
Користуючись означенням, знайти похідну функції f (x ) 4x 2 3x 8
у точці x 0 . Обчислити f (1).
Розв’язання. [7.1.1.]
f (x 0 x ) 4(x 0 x )2 3(x 0 x ) 8
6.1.
4x 02 3x 0 8 8x 0x 3x 4(x )2 .
f (x 0 ) f (x 0 x ) f (x 0 ) 8x 0x 3x 4(x )2 .
f (x 0 )
8x 0x 3x 4(x )2
8x 0 3 4x .
x
x
f (x 0 ) lim (8x 0 3 4x ) 8x 0 3.
x 0
6.2.
f (1) 5.
Знайти похідну функції:
1) f (x ) x 4 ;
3) f (x )
4
2) f (x )
x 3;
4) f (x ) 5x 3 ;
3
6) f (x )
5) f (x ) 4 x 2 ;
Розв’язання. [7.2.1, 7.3.2.]
[7.3.2]
1) f (x ) (x ) 4x 3 .
4
4
2) f (x ) ( x ) (x
12
[7.3.2]
)
1 2
1 1 2
1
x
.
2
2 x
[7.3.2]
3 1 4
3
x
.
3 4 4
44 x
Для розв’язання прикладів стануть у пригоді формули:
4
3) f (x ) ( x ) (x
3
x;
3 4
)
1
x
q
x , x p x
p q
.
5
4x 3
.
116
Модуль 2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
Нагадаймо, що сталий множник виносимо за знак похідної [7.2.1].
(Cu ) Cu .
4) f (x ) (5x 3 ) 5(x 3 ) 5 3x 2 15x 2 .
3
5) f (x ) (4 x 2 ) 4(x
23
2 1 3
8
) 4 x
3 .
3
3 x
5
5
5
15
6) f (x ) 3 (x 3 ) (3)x 4 4 .
4x
4
4
4x
6.3.
Знайти похідну функції:
1) f (x ) 3x 2 5x 1;
2) f (x ) 3 3 x
3) f (x ) e x sin x ;
4) f (x )
2
1
2;
x 2x
tg x
.
ln x
Розв’язання. [7.2.1–7.2.4, 7.3.]
1) f (x ) (3x 2 5x 1)
(u v ) u v ,(Cu ) Cu
3(x 2 ) 5(x ) (1) 3 2x 5 1 0 6x 5.
2) [Перед тим, як знаходити похідну, переписуємо функцію у вигляді, зручному
для диференціювання.]
2
1 1 3
1 2
1
f (x ) 3 3 x
3
x
2
x
x
x 2x 2
2
2(x
1
1 2 3
1
) (x 2 ) 3 x
2 (1)x 2 (2)x 3
2
3
2
1
2
1
2 3.
3 2
x
x
x
3) f (x ) (e x sin x ) (e x ) sin x e x (sin x )
3 x
13
1
(uv ) u v uv
(ex ) ex ,(sin x ) cos x
e x sin x e x cos x e x (sin x cos x ).
tg x
4) f (x )
ln x
(tg x ) ln x tg x (ln x )
u u v uv
v
v2
ln x
(tg x )
1
2
cos2 x
1
2
cos x
, (ln x )
ln x tg x x1
2
ln x
1
x
x ln x sin x cos x
2
2
x ln x cos x
.
6. Похідна. Техніка диференціювання
6.4.
117
Знайти похідну і диференціал функції:
1) f (v) tg v sin a;
2) () sin cos ;
3) s(t ) ln t ctg 3.
Розв’язання. [7.2, 7.3, 7.1.8, 7.1.9.]
[7.2.1]
[7.1.9]
1) f (v ) (tg v sin a ) sin a (tg v )
[7.1.9]
df (v )
sin a
cos2 v
sin a
cos2 v
.
dv.
[7.2.2,7.2.3]
2) () ( sin cos )
[7.3.7,7.3.8]
sin cos sin cos .
[7.1.9]
d () cos d .
3) s (t ) ln t ctg 3
[7.2.2]
1
1
0 .
[7.3.6,7.3.1] t
t
[7.1.9]
ds(t )
6.5.
dt
.
t
Знайти похідну функції:
1) f (x ) sin 3x ;
2) f (x ) ctg qx ;
3) f (x ) sin(2x 2 );
4) f (x ) 3(tg x )2 ;
5) f (x )
1
cos 3 x
6) f (x )
;
sin2 x 3 cos2 4x .
Розв’язання. [7.2.5, 7.3.]
[7.2.5]
1) f (x ) (sin 3x ) (sin u ) cos
3x (3
x ) 3 cos 3x .
[7.3.7]
u 3x
похідна
синуса
[7.3.10]
2) f (x ) (ctg qx )
(qx )
sin 2 qx
похідна
аргументу
q
sin 2 qx
.
[7.3.7]
3) f (x ) [sin(2x )] cos(2x 2 ) (2x 2 ) 4x cos 2x 2 .
2
[7.3.2]
[7.3.9]
4) f (x ) [3(tg x )2 ] (3u 2 ) 3 2 tg x (tg x ) 6 tg x
u tg x
1
cos2 x
6 sin x
cos3 x
.
118
Модуль 2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
[7.3.2]
[7.3.8]
1
3 sin x
3
4
(cos x ) 3(cos x ) (cos x )
.
5) f (x )
3
cos4 x
cos x
1 2
6) f (x ) sin 2 x 3 cos2 4x sin2 x 3 cos2 4x
[7.3.2]
(sin2 x 3 cos2 4x )
12
2
2
2 sin x 3 cos 4x
[7.3.2]
6.6.
2 sin x cos x 3 2 cos 4x ( sin 4x ) 4
2
2
2 sin x 3 cos 4x
sin 2x 12 sin 8x
2
2
2 sin x 3 cos 4x
.
Знайти похідну функції:
1) f (x ) arcsin(2x );
2) f (x ) arcsin2 3x ;
3) f (x ) arctg x ;
4) f (x ) arcctg
5) f (x ) arccos(x m );
Розв’язання. [7.3.11–7.3.14.]
[7.3.11]
1) f (x ) arcsin(2x )
6) f (x ) arctg4
(2x )
2
1 (2x )
2
1 4x
2
1
x
;
x.
.
[7.3.2]
[7.3.11]
2) f (x ) arcsin 2 3x [(arcsin 3x )2 ] 2 arcsin 3x (arcsin 3x )
(3x )
3
6 arcsin 3x
2 arcsin 3x
2 arcsin 3x
.
1 (3x )2
1 9x 2
1 9x 2
[7.3.13]
( x )
1
3) f (x ) arctg x
.
1 ( x )2
2 x (1 x )
[7.3.14]
1
1
4) f (x ) arcctg
x
1 1
x
1
1
.
2
3
x
2(x 1) x
2(x 1) x
x
5) f (x ) arccos x m
6) f (x ) arctg 4
[7.3.12]
(x m )
1x
2m
mx m 1
1x
2m
.
[7.3.13]
x [(arctg x )4 ] 4 arctg 3 x (arctg x )
( x )
2 arctg3 x
4 arctg3 x
.
1 ( x )2
(1 x ) x
6. Похідна. Техніка диференціювання
6.7.
119
Знайти похідні функції:
3x
2) f (x )
1) f (x ) a , a 0;
2
1
7 4x ;
4
3) f (x ) 4 sin x ;
4) f (x ) e x ;
6) f (x ) e x (x 3 3x 2 6x 6).
5) f (x ) e sin x ;
Розв’язання. [7.3.3, 7.3.4.]
[7.3.3]
1)
2)
3)
4)
5)
f (x ) a 3x a 3x ln a 3 3a 3x ln a.
1 [7.3.3] 1
1 1
f (x ) 7 4x 7 4x ln 7 .
4 x 2
[7.3.3]
2
2
sin
x
f (x ) 4
4 sin x ln 4 2 sin x cos x .
[7.3.4]
4
4
f (x ) e x e x 4x 3 .
[7.3.4]
x
sin
sin x cos x
f (x ) e
e
.
2 sin x
[7.2.3]
6) f (x ) ex (x 3 3x 2 6x 6)
(e x ) (x 3 3x 2 6x 6) e x (x 3 3x 2 6x 6)
e x (x 3 3x 2 6x 6) e x (3x 2 6x 6) e x x 3.
6.8.
Знайти похідну функції:
1) f (x ) log2 (5x 4);
2) f (x ) ln 5 x ;
4) f (x ) ln(x 1 x 2 ).
3) f (x ) ln arctg x ;
Розв’язання. [7.3.5, 7.3.6.]
[7.3.5]
5
.
1) f (x ) log2(5x 4)
(5x 4) ln 2
[7.3.6]
1
2) f (x ) ln5 x 5 ln 4 x .
x
[7.3.6]
1
1
3) f (x ) ln arctg x
.
arctg x 1 x 2
[7.3.6]
1
4) f (x ) ln(x 1 x 2 )
x 1 x2
1
2 1 x 2
2x
1
1x
2
.
120
7.9.
Модуль 2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
Знайдіть похідну функції:
1) f (x ) sh2 x ;
2) f (x ) th 3 x 2 ;
3) f (x ) ln ch x ;
Розв’язання. [7.3.15–7.3.18.]
4) f (x ) cos(cth x ).
[7.3.15]
1) f (x ) sh 2 x (sh x )2 2 sh x (sh x ) 2 sh x ch x .
[7.3.17]
1
2) f (x ) th3 x 2 (th x 2 )3 3 th2 x 2(th x 2 ) 3 th 2 x 2
2x .
2 2
ch x
[7.3.16]
(ch x )
sh x
3) f (x ) ln ch x
th x .
ch x
ch x
[7.3.18]
4) f (x ) cos(cth x ) sin cth x
1
sh2 x
sin cth x
.
2
sh x
6.10. Знайдіть похідну функції:
1) f (x )
(x 1)3 4 x 2
5
2
2
(x 3) (x 4)
;
2) f (x ) (cos x )sin x .
Розв’язання. [7.2.6.]
1) [Застосовуючи формулу логарифмічної похідної треба максимально спростити
вираз перед диференціюванням.]
[2.2.6]
(x 1)3 4 x 2
f (x ) f (x ) ln
5 (x 3)2 (x 4)2
максимально використовуємо
властивості логарифму
1
2
ln(x 2) ln(x 3) 2 ln(x 4))
4
5
34
(x 1) x 2 3
1
2
2
.
2
2
5
x
1
4(
x
2)
5(
x
3)
x
4
(x 3) (x 4)
f (x )(3 ln(x 1)
[7.2.6]
2) f (x ) f (x )(ln(cos x )sin x ) f (x )(sin x ln cos x )
sin2 x
.
(cos x )sin x cos x ln cos x
cos x
Коментар. Формулу логарифмічної похідної доцільно використовувати для
диференціювання виразів з великою кількістю множників або степеневопоказникових виразів.
Стануть у пригоді такі формули:
6. Похідна. Техніка диференціювання
121
loga (xy ) loga x loga y;
x
loga loga x loga y;
y
loga x loga x , x , y 0.
6.11. Знайти похідну функції y(x ), заданої неявно x 3 y 3 3axy 0.
Розв’язання.
[Диференціюємо обидві частини рівності, що задає функцію y(x ) неявно, за змінною x. ]
(x 3 ) (y 3 ) 3a(xy) 0.
y 3 є складеною функцією,
а xy - добутком
3x 2 3y 2y 3ay 3axy 0.
[Залишаємо усі доданки, які містять y , ліворуч і переносимо праворуч решту.]
(3y 2 3ax )y 3x 2 3ay.
[Виражаємо y . ]
y
x 2 ay
.
y 2 ax
Коментар. Перехід від неявного задавання функції до явного часто буває
dy
складним, а то й неможливим. Для знаходження похідної y
не рекоменdx
довано переходити від неявного задавання функції до явного.
6.12. Знайти
похідну
параметрично
заданої
функції
x tg t t,
; для довільного значення t і для t .
y(x ) :
t
1
2 2
y
4
,
2
cos t
Розв’язання. [7.2.8.]
1
2 sin t
cos2 t
3
2 sin t
yx (t )
;
cos t
(tg t t )
1
cos t cos3 t
1
cos2 t
x tg t t,
yx (x ) :
2 sin t
.
yx (t )
cos t cos 3 t
4
y x | .
t
3
4
122
Модуль 2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
Задачі для аудиторної і домашньої роботи
6.13. Знайдіть похідну функції:
1
1) f (x ) x 4 x 3 2, 5x 2 0, 3x 0, 1;
3
3) f (y ) 2 y
2) f (x ) ax 2 bx c;
1 4
3;
y
4) f (x ) (x 2 3x 3)(x 2 2x 1);
5) f (x )
x
x2 1
;
6) s (t )
3t 2 1
.
t 1
2) f (x )
x
;
1 cos x
6.14. Знайдіть похідну функції:
1) f (x ) sin x ctg x ;
3) f (x )
tg x
;
x
4) () sin cos .
6.15. Знайдіть похідну функції:
1) f (x ) x 2 log 3 x ;
2) f (x )
x 1
;
lg x
3) f (x ) x sin x ln x ;
4) f (x )
1
;
ln x
5) f (x )
x
4
x
6) f (x ) x 10x ;
;
ex
7) f (x )
;
sin x
8) f (x )
9) f (x ) (x 2 2x 3)e x ;
10) f (x )
cos x
ex
;
1 10x
1 10x
.
6.16. Знайдіть похідну функції:
1) f (x ) (5x 2 7)3 ;
3
3) f (x ) 1 2 x
x2
2) f (x ) (1 5x 8x 2 )5 ;
4
;
4) f (x )
3x 2 5x 1;
6. Похідна. Техніка диференціювання
5) f (x )
1
3
2
x 5
;
6) f (x )
123
10
(4x 3 5x 2 7x 1)4
;
7) f (x ) (5x 2 7x 2)(15x 2 5)3 ; 8) f (x ) (8x 3 21)3 (7 4x 3 )2 .
6.17. Знайдіть похідну функції:
1) f (x )
sin x ;
2) f (x )
1
cos x
;
3) f (x ) ctg 4 x ;
4) f (x ) 5 cos5 x ;
5) f (x ) 7 tg6 x ;
6) f (x ) 8 sin2 x ;
7) f (x )
1
3
1
sin 7x sin 5x sin 3x ;
7
5
3
8) f (x )
1
3
8
cos 9x cos 7x cos 3x ;
9
7
3
2
3
9) f (x )
sin x ;
cos4 x
cos2 x
2
10) f (x ) cos2 x sin 3 x .
3
6.18. Знайдіть похідну функції:
1) f (x ) arcsin 5x ;
2) f (x ) arcsin x ;
3) f (x ) arccos(1 x 2 );
1
4) f (x ) arccos ;
x
5) f (x ) arctg 3x 2 ;
6) f (x )
7) f (x ) arcsin 3 x 2 ;
8) f (x ) arctg2
9) f (x ) arccos4 5x ;
10) f (x ) arcctg x 3 ;
11) f (x ) arcsin 1 x 2 , x 0;
12) f (x ) arctg
arctg x ;
1
x2
;
cos x
.
1 sin x
6.19. Знайдіть похідну функції:
2
1) f (x ) 23x ;
2) f (x ) 6x ;
3) f (x ) e arctg x ;
4) f (x ) a x , a 0;
5) f (x ) (a x )n , a 0;
6) f (x ) e
n
1x
;
124
Модуль 2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
7) f (x ) ln(15e x x 2 );
8) f (x ) 5 ln(x
2
x 1)
.
6.20. Знайдіть похідну функції:
1) f (x ) ln
2) f (x ) ln
21
(x 4)13 28 (x 3)13
12
x 1
;
x 2(2x 4)7
(6 7x 2x 2 )(2x 3)7
3
;
5
4
(x 5)7 (x 2 4x 2)3
3) f (x ) (5x 4) (x 2) (3 4x ); 4) f (x )
5) f (x )
5x 2
3
x2 1
x (x 2 2)
;
x 4
2
sin x cos x ;
7) f (x ) x x ;
6) f (x )
(x 3 3x 2 5)2
8) f (x ) (sin x )arcsin x ;
x
10) f (x ) (tg x )cos x ;
9) f (x ) (ln x )e ;
2
11) f (x ) x 3e x sin 2x x
1x
;
2
x
6.21. Знайдіть похідну функції:
1) f (x ) ch 3 x ;
2) f (x ) ln th x ;
3) f (x ) cos x ch x sin x sh x ; 4) f (x )
ch x cos x
.
sh x sin x
6.22. Знайдіть похідні y функції y(x ), заданої неявно:
1)
x2
a2
y2
b2
1;
2) 2y ln y x ;
23
23
3) cos(xy ) x ;
4) x
5) y x arctg y;
6) x y y x ;
y
7) arctg ln x 2 y 2 ;
x
8) a
x y
y
a
23
;
x a
.
y
6.23. Знайдіть похідну y x функції y(x ), заданої параметрично:
x a( sin ),
1)
y a(1 cos );
x
12) f (x ) x x x 2 2x .
2) x
t 1
t 1
,y
;
t
t
;
6. Похідна. Техніка диференціювання
x ln(1 t 2 ),
3)
y t arctg t ;
4) x
3at
1t
125
,y
3
3at 2
1 t3
.
6.24. Знайдіть диференціал функції:
2) f (x ) x arctg x ln 1 x 2 .
1) f (x ) sin x x cos x 4;
Відповіді
6.13. 1) 4x 3 x 2 5x 0, 3; 2) 2ax b; 3)
5)
1 x2
; 6)
(1 x 2 )2
3t 2 6t 1
(t 1)2
6.14. 1) f (x ) cos x
1
y
1
y
2
; 4) 4x 3 3x 2 8x 9;
.
1
sin 2 x
; 2) f (x )
1 cos x x sin x
(1 cos x )2
; 3) f (x )
x sin x cos x
x 2 cos2 x
;
4) () cos .
6.15. 1) f (x ) 2x log3 x
x
x ln 10 lg x x 1
; 2) f (x )
;
ln 3
x ln 10 lg 2 x
3) f (x ) sin x ln x x cos x ln x sin x ; 4) f (x )
1
x ln2 x
;
5) f (x ) 4x (1 x ln 4); 6) f (x ) 10x (1 x ln10); 7) f (x )
ex (sin x cos x )
sin2 x
x
sin x cos x
(x ) e x (x 2 1); 10) f (x ) 2 10 ln 10 .
f
8) f (x )
9)
;
ex
(1 10x )2
;
3
3 1
6
;
6.16. 1) 30x(5x 7) ; 2) 5(1 5x 8x ) (5 16x ); 3) 4 1 2 x 2
x x x 3
40(12x 2 10x 7)
6x 5
2x
4)
;
; 6)
; 5)
3
2
5
2
2
4
3
(4
x
5
x
7
x
1)
2 3x 5x 1
3 (x 5)
2
2
2 4
7) (10x 7)(15x 2 5)3 90x (15x 2 5)2 (5x 2 7x 2); 8)
6.17. 1)
cos x
; 2)
160x 5
3
7 4x 3
.
1
; 3) 4 ctg 3 x 2 ; 4) 25 cos4 x ( sin x );
sin x
2 cos3 x
sin x
2 sin x
1
5) 42 tg5 x
; 6) 8 sin 2x ; 7) cos 7x 3 cos 5x cos 3x ;
cos2 x
8 3 cos4 x
; 10) 5 sin 2 x cos 3 x .
8) sin 9x 3 sin 7x 8 sin 3x ; 9)
5
cos x
6x
5
1
1
2x
;
6.18. 1)
; 2)
; 3)
; 5)
; 4)
1 9x 4
1 25x 2
2 x x2
x x2 1
1 (1 x 2 )2
126
6)
Модуль 2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
1
1
2 arctg x 1 x
; 7) 3 arcsin2 x 2
2
20 arccos3 5x
3 x
9)
1 25x 2
; 10)
2
2(1 x )
2
1x
15e x 2x
; 8) 5ln(x
2
1 x4
x 1)
; 8)
4x
x4 1
arctg
1
x2
;
1
; 12) .
2
1 x2
1
; 11)
6.19. 1) 3 23x ln 2; 2) 2x 6x ln 6; 3)
e
2x
e arctg x
x2 1
ln 5
n
; 4) nx n 1a x ln a; 5) nanx ln a;
2x 1
.
x x 1
2
7
4x 7
14
13
13
1
2
;
6.20. 1)
; 2)
x x 2 2x 7x 6 2x 3
21(x 4) 28(x 3) 12(x 1)
6)
x2
; 7)
x
15e x
2
2
3) 15(5x 4)2 (x 2)2(3 4x ) 2(5x 4)3(x 2)(3 4x ) 4(5x 4)3 (x 2)2 ;
1
2
1
2x
1
2x
3 ctg x 4 tg x ;
4) f (x ) f (x ) 2
; 5) f (x ) 2
x x 2 x 4
x x 1
5
6) f (x ) 7
x 5
ln sin x
x x (ln x 1); 8) f (x ) arcsin x ctg x
;
2
1x
1
10) (tg x )cos x
sin x ln tg x ;
sin x
6x 12
6x 2 12x 7)
;
x 2 4x 2 x 3 3x 2 5
1
x
9) (ln x )e e x
ln ln x ;
x ln x
11)–12) Вказівка. Знайдіть похідну кожного доданку окремо.
2
2 sh x sin x
; 3) 2 cos x sh x ; 4)
6.21. 1) 3 ch2 x sh x ; 2)
.
sh 2x
(sh x sin x )2
b 2x
y
1 y2
y 2 xy ln y
1
1 y sin(xy )
3
;
6.22. 1)
5)
; 3)
; 4)
; 2)
; 6)
;
x
2(1 ln y )
x sin(xy )
a 2y
y2
x 2 xy ln x
7)
y
x y
; 8) .
x
x y
1
; 2) yx : x 1 , yx (t ) 1;
2
t
t
3at
t(2 t 3 )
x (t )
,
y
.
3) yx : x ln(1 t 2 ), yx (t ) ; 4) yx : x
2
1 t3
1 2t 3
6.24. 1) x sin xdx ; 2) arctg xdx .
6.23. 1) yx : x a( sin ), yx () ctg
7. Застосування похідної
Навчальні задачі
7.1.
Записати рівняння дотичної та нормалі до
f (x ) x 2 6x 4 в точках M 1(4; 4) та M 2 (3; 5).
Розв’язання. [7.5.4, 7.5.5.]
[Обчислюємо, похідні функції f (x ) у точках M 1 та M 2 . ]
графіка
функції
7. Застосування похідної
127
f (x ) 2x 6; f (x1) 2; f (x 2 ) 0.
Дотична до кривої y f (x ) у точці M 1 має рівняння
y (4) 2(x 4); y 2x 12.
Дотична до кривої y f (x ) у точці M 2 має рівняння
y (5) 0(x 3); y 5.
Нормаль до кривої y f (x ) у точці M 1 має рівняння
1
1
y (4) (x 4); y x 2.
2
2
Нормаль до кривої y f (x ) у точці M 2 має рівняння
x 3.
7.2.
Визначити, в якій точці дотична до параболи y x 2 :
1) паралельна прямій y 4x 5;
2) перпендикулярна до прямої 2x 6y 5 0;
3) утворює із прямою 3x y 1 0 кут
.
4
Розв’язання. [2.5.2, 2.5.3.]
Нехай точка дотику M 0 (x 0 ; y 0 ). Тоді:
[2.5.2]
k дот. y (x 0 ) 2x 0.
1) У паралельних прямих рівні кутові коефіцієнти. Отже,
k дот. 2x 0 4 x 0 2, y 0 4.
Дотична до параболи y x 2 паралельна прямій y 4x 5 у точці M 0 (2; 4).
2) [Знаходимо кутовий коефіцієнт прямої 2x 6y 5 0. ]
1
5
1
2x 6y 5 0 y x k .
3
6
3
У перпендикулярних прямих кутові коефіцієнти зв’язані співвідношенням
k1k2 1.
Отже,
3
9
k дот. 2x 0 3 x 0 , y 0 .
2
4
2
Дотична до параболи y x перпендикулярна до прямої 2x 6y 5 0 в точці
3 9
M 0 ; .
2 4
3) [Знаходимо кутовий коефіцієнт прямої 3x y 1 0. ]
128
Модуль 2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
3x y 1 0 y 3x 1 k 3.
x 0 1,
y 0 1,
[?]
2x 0 3
2x 0 3
1
tg
1
x0
y0 1 .
4
1 2x 0 3
6x 0 1
4
16
Дотична до параболи y x 2 утворює кут
із прямою 3x y 1 0 в точках
4
1 1
M 1(1; 1) та M 2 ; .
4 16
7.3.
Визначити, під яким кутом перетинаються гіпербола y
1
із парабоx
лою y x .
Розв’язання. [7.5.6.]
[Знаходимо точки перетину гіперболи та параболи.]
y x ,
1
x x 1, y 1.
1
y
x
x
Криві перетинаються в точці M 0 (1; 1).
[Знаходимо кутові коефіцієнти дотичних у точці M 0 . ]
k1 ( x ) |x 1
1
k2
x
1
2 x
x 1
x 1
1
x2
1
;
2
1.
x 1
Отже,
[?]
tg
Криві утворюють кут arctg 3.
7.4.
1
2
(1)
1
2
1 (1)
3.
1) Тіло рухається прямолінійно за законом s(t ) t 2 3t 1 (м). Визначити його швидкість у момент t 4 с.
2) Кількість електрики, що протікає через провідник, починаючи з моменту t 0, задано формулою q(t ) 2t 2 3t 1 (Кл). Знайти силу
струму наприкінці п’ятої секунди.
Розв’язання.
1) Швидкість руху тіла є похідною від пройденого шляху. Отже,
v(t ) s (t ) (t 2 3t 1) 2t 3 v(4) 11 (м/с).
7. Застосування похідної
129
2) Сила струму є похідною від кількості електрики, що протікає через провідник. Отже,
I (t ) q (t ) (2t 2 3t 1) 4t 3 I (5) 23 (А).
7.5.
Написати рівняння дотичної та нормалі у точці M 0 (2; 2) до кривої
1 1
x 2 ,
t t
L:
1
3
.
y
2
2
t
2t
Розв’язання. [7.5.4, 7.5.5.]
[Знаходимо значення параметра t, яке відповідає точці M 0 (2; 2). ]
1 1
2 2,
t t
t 1.
1
3
2
2
t
2t 2
Точці (2; 2) кривої відповідає значення параметра t 1.
[Обчислюємо похідну y x (1). ]
[7.4.5]
yx (t )
yt
7
t6
; yx |t 1 .
x t
2t 4
6
y 2
7
(x 2); 6y 7x 2 0.
6
Рівняння дотичної:
Рівняння нормалі:
6
y 2 (x 2); 7y 6x 26 0.
7
Задачі для аудиторної і домашньої роботи
7.6.
Запишіть рівняння дотичної та нормалі до графіка функції y f (x ) у
заданій точці:
1) y
x , x 0 4;
2) y x 3 2x 2 4x 3, x 0 2.
7.7.
У яких точках кутовий коефіцієнт дотичної до кубічної параболи y x 3
дорівнює 3 ?
7.8.
1. Скласти рівняння дотичної до параболи y
кулярної до прямої x 5y 10 0.
1 2
x 3x 6, перпенди2
2. Скласти рівняння дотичної до кривої y x 3, паралельної прямій
3x y 5 0.
130
7.9.
Модуль 2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
З’ясуйте, під якими кутами перетинаються:
1) парабола y x 2 та пряма 3x y 2 0;
2) синусоїда y 1 sin x та пряма y 1;
x3
.
3) коло x y 8ax та крива y
2a x
2
2
2
7.10. 1. Точка рухається прямолінійно за законом s(t ) (9t t 3 ) м. Знайдіть
швидкість руху для моментів t 1 с та t 2 с.
t4
2. Тіло рухається прямолінійно за законом s (t )
4t 3 16t 2 . Знай4
діть швидкість руху. Коли тіло рухається у зворотному напрямі?
7.11. 1. Напишіть рівняння дотичної та нормалі до еліпса x 3 cos t,
3
y 4 sin t, у точці M 0
; 2 2 .
2
2. Напишіть рівняння дотичних до кривої x t cos t, y t sin t, t , у
початку координат і в точці, яка відповідає значенню параметра t 0 .
4
7.12. Складіть диференціальне рівняння кривої, що має характеристичну властивість:
1) квадрат довжини відрізка, який відтинає будь-яка дотична від осі ординат, дорівнює добутку координат точки дотику;
2) будь-яка дотична перетинається з віссю ординат у точці, однаково
віддаленої від точки дотику до початку координат.
Відповіді
7.6. 1) x 4y 4 0, 4x y 18 0; 2) y 5 0, x 2 0.
7.7. (1;1),(1; 1).
7.8. 1. 5x y 38 0; 2. 3x y 2 0.
1
1
3
; 3) 1 , 2 .
7.9. 1) 1 arctg , 2 arctg ; 2) 1 , 2
7
13
4
4
4
2
3
2
7.10. 1. 6 м/с; 3 м/с. 2. v t 12t 32t, рух у зворотному напрямі від t 4 до t 8.
4
3
7 2
2
x 4 2 0, y x
0. 2. y 0,( 4)x ( 4)y 2
0.
3
4
8
4
1y x
y
y
7.12. 1) y
; 2) y .
x
x
2 x y
7.11. 1. y
8. Похідні вищих порядків
131
8. Похідні вищих порядків
Навчальні задачі
8.1.
Знайти похідні вказаного порядку функції f :
1) f (x ) 5x 4 , f (x );
2) f (x ) sin2 x , f (5)(x );
3) f (x ) ln(x a 2 x 2 ), f (x ).
Розв’язання. [7.4.1.]
1) f (x ) 20x 3; f (x ) (20x 3 ) 60x 2; f (x ) (60x 2 ) 120x .
2) f (x ) 2 sin x cos x sin 2x ; f (x ) 2 cos 2x ; f (x ) 4 sin 2x ;
f (4)(x ) 8 cos 2x ; f (5)(x ) 16 sin 2x .
3) f (x )
8.2.
1
x
2
a x 2
2
2
x a x
1
2
a x
; f (x )
2
x
2 3 2
2
(a x )
.
Знайти похідну:
2) y(n ), y
1) y (100), y (x 2 1) cos 2x ;
x 3
2
x 3x 2
.
Розв’язання. [7.4.5.]
1) [Щоб знайти похідну, використовуємо Лейбніцову формулу.]
u cos 2x , v(x ) x 2 1, n 100.
100
(100)
(uv )
k
u(100k )v (k )
C100
k 0
0
v (0)(x ) x 2 1 C 100
1
v (x ) 2x
u(100)(x ) 2100 cos 2x
1
C 100
100
u(99)(x ) 299 sin 2x
2
v (x ) 2
C 100
4950 u (98)(x ) 298 cos 2x
v (x ) 0........................................................................
Оскільки
[7.4.7]
u
cos 2x 50 2100 cos 2x ;
99
u(99)(x ) 299 cos 2x
299 sin 2x ;
2
(100)
100
(x ) 2
u(98)(x ) 298 cos 2x 49 298 cos 2x.
[4.15.5]
1
C 100
100 !
100;
1 ! 99 !
132
Модуль 2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
[4.15.5]
2
C 100
100 !
100 99
4950.
2 ! 98 !
12
Отже,
y (100)(x )
2100 cos 2x (x 2 1) 100 2100 sin 2x x 4950 299 cos 2x 0 ... 0
2100 (x 2 2474) cos 2x 100x sin 2x .
2) Функція означена і диференційовна на (;1), (1; 2), (2; ).
[Розкладаємо дробово-раціональний вираз на суму елементарних дробів
[8.4.6].]
x 3
A
B
(A B )x B 2A
.
(x 1)(x 2) x 1 x 2
(x 1)(x 2)
[У рівних дробів, з рівними знаменниками, повинні бути рівні чисельники. Два
многочлена тотожно рівні (тобто для всіх значень x ), якщо вони мають рівні
коефіцієнти при однакових степенях.]
A B 1,
x 3 (A B )x B 2A
B 2A 3.
x 3
2
1
y
.
2
x
1
x
2
x 3x 2
(n )
1
1 (n ) [7.4.7]
(1)n n !
(1)n n !
(n )
y 2
2
.
x 1
x 2
(x 1)n 1 (x 2)n 1
8.3.
Знайти другу похідну функції y(x ), заданої параметрично:
x a cos t ,
y b sin t, t [0; 2).
Розв’язання. [7.4.6.]
x a cos t, t [0; 2),
x a cos t, t [0; 2),
b 1
y (x ) :
y (x ) :
b
cos
t
b
2
b
ctg t .
yx (t )
yx2 (t ) a sin t 2
.
a sin t
a
a sin t
a sin3 t
8.4.
Знайти похідну y неявної функції, заданої співвідношенням:
y x arctg y.
Розв’язання.
[Знаходимо 1-шу похідну функції, заданої неявно.]
y x arctg y 0.
8. Похідні вищих порядків
y 1
133
y
0;
1 y2
1
1;
y 1
1 y 2
1 y2
1
y
1.
y2
y2
[Диференціюємо вираз для y за змінною x . ]
1
y 1
y 2
2y
y3
2 1
2
2
1 .
y 3 y 2
y3 y5
підставляємо
вираз для y
8.5.
Знайти диференціал 2-го порядку функції f (x ) ln(1 x 2 ).
Розв’язання. [7.4.4.]
f (x )
2x
1 x2
; f (x )
2(1 x 2 )
(1 x 2 )2
2
; d f
2(1 x 2 )
(1 x 2 )2
dx 2 .
Задачі для аудиторної і домашньої роботи
8.6.
Знайдіть зазначену похідну:
1) f (x ) (x 10)6, f (2);
2) f (x ) x 6 4x 3 4, f IV (1);
3) f (x ) x 3 ln x , f IV (x );
4) f (x ) ln(x 1 x 2 ), f (x );
5) f (x ) xe x , f (n )(x );
6) f (x ) ln(ax b), f (n )(x );
7) f (x )
8.7.
8.8.
x
x2 1
, f (n )(x );
8) f (x )
1
2
x 3x 2
, f (n )(x ).
Знайдіть зазначену похідну функції y y(x ), заданої неявно:
1) x 3 y 3 3axy 0, y ;
2) y sin(x y ), y ;
3) y tg(x y), y ;
4) e x y xy , y .
функції y y(x ), заданої параметрично:
Знайдіть похідну y xx
1) x a cos 3 t, y a sin 3 t ;
2) x a( sin ), y a(1 cos );
3) x ln t, y t 2 1;
4) x arcsin t, y ln(1 t 2 ).
134
Модуль 2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
8.9.
Застосуйте Лейбніцову формулу до обчислення похідної:
1) [(x 2 1) sin x ](20);
2) [(x 3 2)e 4 x 3 ](4);
3) (e x sin x )(n );
4) (x 3 ln x )(5).
8.10. Знайдіть диференціал d 2y функції:
2
1) y 4x ;
y ln
8.11.
2) y
1 x2
1x
2
ln 2 x 4.
, x tg t ; виразіть d 2y через: 1) x та dx ; 2) t та dt .
Відповіді
(1)n 1a n (n 1)!
6
x
x
5)
6)
e
(
x
n
);
;
; 4)
;
x
(ax b)n
(1 x 2 )3
1
1
1
n
n 1 ; 8) (1) n !
n 1
n 1 .
(x 2)
(x 1)
(x 1)
8.6. 1) 207360; 2) 360; 3)
7) (1)n
n!
1
2 (x 1)n 1
2(3y 4 8y 2 5)
y ((x 1)2 (y 1)2 )
;
;
8.7. 1)
2)
3)
4)
.
;
y8
x 2(y 1)3
(1 cos(x y ))3
(y 2 ax )3
2a 3xy
y
1
: x a cos3 t, yxx
(t )
8.8. 1) yxx
;
3a cos4 t sin t
1
: x a( sin ), yxx
()
: x ln t, yxx
(t ) 4t 2;
; 3) yxx
2) yxx
a(1 cos )2
2
: x arcsin t , yxx
(t )
4) yxx
.
1 t2
8.9. 1) (x 2 379)sin x 40x cos x; 2) 32e 4x 3(8x 3 24x 2 18x 19);
n
3) e x C nk sin x
k 0
k
6
; 4) 2 .
2
x
2
8.10. 1) 4x 2 ln 4 (2x 2 ln 4 1)dx 2; 2)
8.11. 1) d 2y
4 ln x 4 ln3 x
x
2
2
3
(ln x 4)
dx 2.
4
4x
4(1 3x ) 2
4
2
d 2x 4
dt 2.
2 dx ; 2) d y
2
x 1
(x 1)
cos 2t
4
9. Правило Бернуллі — Лопіталя
Навчальні задачі
9.1.
Перевірити Ролєву теорему для функції f (x ) x x 3 на [1; 0] та [0;1].
Розв’язання. [7.6.1.]
Оскільки f (x ) неперервна і диференційовна на , то вона є неперервною на
відрізках [1; 0] та [0;1] і диференційовною в інтервалах (1; 0) та (0;1).
9. Правило Бернуллі — Лопіталя
135
f (1) f (0) f (1) 0.
Отже, на [1; 0] та [0; 1] виконано всі умови Ролєвої теореми для функції f (x ).
Знайдімо значення , про яке йдеться у теоремі:
f (x ) 1 3x 2 .
1
,
3 2
1 (1; 0), 2 (0;1).
f () 1 32 0 1
1
;
3
Довести, що для многочлена P (x ) (x 2 1)(x 3)(x 2)(x 1) в інтервалі (3;1) існує корінь рівняння P (x ) 0.
Розв’язання. [7.6.1.]
Оскільки
P(3) P(2) P (1) 0,
і P(x ) — функція диференційовна на , то для функції P(x ) виконано всі умови Ролєвої теореми на [3; 2] і [2;1] :
1 ( 3; 2) : P (1 ) 0;
2 ( 2; 1) : P (2 ) 0.
9.2.
Для функції P (x ) на [1; 2 ] (3; 1) виконано всі умови Ролєвої теореми:
(1; 2 ) (3;1) : P () 0.
3
9.3.
Перевірити Лаґранжову теорему для f (x ) x 4 на [1;1] .
Розв’язання. [7.6.2.]
Функція f (x ) неперервна на відрізку [1;1] і диференційовна в інтервалі
(1;1). Отже, виконано умови Лаґранжової теореми для f (x )
3
x 4 на [1;1].
43
x ; f (1) f (1) 2 f ();
3
4
0 3 0 (1; 1).
3
f (x )
9.4.
Довести нерівність
arctg a arctg b a b .
Розв’язання. [7.6.2.]
Для a b, нерівність виконано. Отже, нехай a b. Тоді для функції
y arctg x на [a; b ] виконано умови Лаґранжової теореми.
f (x )
1
1 x2
.
136
Модуль 2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
arctg a arctg b
1
, (a ; b).
a b
1 2
arctg a arctg b
1 arctg a arctg b a b .
a b
З’ясувати чи застосовна теорема Коші для функцій f (x ) cos x,
g(x ) x 3 на ; ?
2 2
Розв’язання. [7.6.3.]
Функції f (x ) і g(x ) неперервні і диференційовні на ; . Але
2 2
9.5.
g (0) 3x 2 |x 0 0.
Невиконання умови теореми призводить до невиконання твердження:
sin
32
9.6.
cos(2 ) cos( 2 )
(2 )3 ( 2 )3
0 ; .
2 2
Знайти границю:
1
1
1) lim x
;
x e 1
x 0
3) lim
x 50 2x 1
x 1 x
100
2x 1
;
2) lim
x2
x e x
;
x sin x
;
x 2x sin x
4) lim
5) lim (1 x )ln x .
x 1 0
Розв’язання. [7.6.4.]
1
1
ex x 1 0
ex x 1
lim
L;
1) lim
[ ] lim
0 x 0
x 0
x 0 x (e x 1)
x e x 1
x2
ex x 1
ex 1 1
lim
L.
lim
x 0
x 0 2x
2
2
x
L;
x e x
2) lim
x2
(x 2 )
2x
lim
M;
x (e x )
x e x
(2x )
2
lim
lim x 0 M L.
x
x (e )
x e
lim
9. Правило Бернуллі — Лопіталя
137
0
L;
0
x 1 x 100 2x 1
(x 50 2x 1)
50x 49 2
24
lim
lim
L.
x 1 (x 100 2x 1)
x 1 100x 99 2
49
x sin x
4) lim
L;
x 2x sin x
(x sin x )
1 cos x
lim
lim
,
x (2x sin x )
x 2 cos x
тобто правило Бернуллі — Лопіталя не застосовне, але
3) lim
x 50 2x 1
1 sinx x
x sin x
1
lim
.
lim
sin
x
x 2x sin x
x 2
2
x
ln x
5) lim (1 x )
x 10
0
[0 ]
ln x (x 1),
x 1 0
[1.23.6]
lim ln(1x )(x 1)
e x 10
ln(1 x )
L.
exp lim
x 10 (x 1)1
lim (1x )
(1 x )1
e x 10
e 0 1 L.
exp lim
2
x 10 (1 x )
Коментар. Щоб перетворити вираз на частку при потребі використовують
формули:
1 1
f
g
g
g
g ln f
(f 0); f g 1 1f .
fg 1 1 ; f e
g
f
f g
Задачі для аудиторної і домашньої роботи
9.7.
Нехай f (x ) x (x 1)(x 2)(x 3). Доведіть, що всі три корені рівняння f (x ) 0 дійсні.
9.8.
Доведіть, що рівняння 16x 4 64x 31 0 не може мати двох різних
дійсних коренів у інтервалі (0;1).
9.9.
Доведіть, що рівняння e x 1 x 2 0, яке має корінь x 1 (перевірте!), не має інших дійсних коренів.
9.10. Застосовуючи Лаґранжову формулу для функції f (x ) 3x 3 3x на
відрізку [0;1], визначте точку x , що фігурує у формулі.
138
Модуль 2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
9.11. Застосовуючи
Лаґранжову
e x 1 x , x 0.
формулу,
доведіть
нерівність
9.12. Застосовуючи формулу Коші для функцій f (x ) 2x 3 5x 1 та
g(x ) x 2 4 на відрізку [0; 2], визначте точку x , що фігурує у формулі.
9.13.
Користуючись правилом Бернуллі — Лопіталя, знайдіть:
1) lim
x 1
x 100 x 2
x 50 x 2
2) lim
;
x 0
4) lim
x sin x
;
x 0 x tg x
x 1 0
ln(1 x )
x35
6) lim
ln x
x
;
8) lim
x 0
;
x 5
x 5
5) lim
7) lim
4x 5x
3
ln sin ax
3) lim
;
x 0 ln sin bx
tg 2x
2x 3x
x3
;
;
e x cos x
e x cos x
;
x
1
10) lim
x 1 x 1
ln x
9) lim (x ne x );
x
11) lim sin(x 1) tg
x 1
x
;
2
;
12) lim (x ln3 x );
x
1
13) lim ctg x ;
x 0
x
14) lim ln x ln(x 1);
15) lim (( 2 arctg x ) ln x );
16) lim x sin x ;
17) lim (arcsin x )tg x ;
18) lim x
x
x 0
1 ln x
19) lim (ctg x )
x 0
;
x 1 0
x 0
1x
x
20)
;
lim (tg x )2x .
x 2 0
x sin x
існує, але його не можна обчислити за праx x sin x
вилом Бернуллі — Лопіталя.
9.14. Перевірте, що lim
10. Тейлорова формула
139
Відповіді
1
1
5
. 9.12. 1 , 2 .
3
2
3
101
ln 2 ln 3
2
1
1
2
9.13. 1)
; 2)
; 3) 1; 4) 6 ; 5) ; 6) 0; 7) ; 8) ; 9) 0; 10) ; 11) ;
51
ln 4 ln 5
2
2
3 5
1
12) ; 13) 0; 14) 0; 15) 0; 16) 1; 17) 1; 18) 1; 19) ; 20) 1.
e
9.10.
10. Тейлорова формула
Навчальні задачі
10.1. Записати формулу Тейлора для нескінченно диференційовної функції
f (x ) у точці x 0 :
1) 2-го порядку із залишковим членом у формі Пеано;
2) 3-го порядку із залишковим членом у формі Лаґранжа.
Розв’язання. [7.7.2, 7.7.5, 7.7.6.]
f (x 0 )
f (x 0 )
(x x 0 )
(x x 0 )2 o((x x 0 )3 ), x x 0.
1) f (x ) f (x 0 )
1!
2!
f (x 0 )
(x x 0 )
2) f (x ) f (x 0 )
1!
f (x 0 )
f (x 0 )
f (4)()
2
3
(x x 0 )
(x x 0 )
(x x 0 )4 , (x 0 ; x ).
2!
3!
4!
10.2. Функцію f (x ) розвинути за степенями (x 2), якщо:
1) f (x ) 2x 4 5x 3 3x 2 8x 4;
2) f (x )
x
до члена, що містить (x 2)3.
1x
Розв’язання. [7.7.2, 7.7.5.]
1) Многочлен має похідні будь-якого порядку:
f (2) 0;
f (x ) 8x 3 15x 2 6x 8, f (2) 0;
f (x ) 24x 2 30x 6, f (2) 30;
f (x ) 48x 30, f (2) 66;
f (4)(x ) 48;
f (k )(2) 0, k 5, 6, ....
f (x ) 15(x 2)2 11(x 2)3 2(x 2)4 .
140
Модуль 2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
2) f (x )
x
1
1
, x 2, n 3.
1x
x 1 0
3
f (k )(2)
f (x )
(x 2)k o (x 2)3 .
k 0 k !
1
2
6
(x )
(x )
f (x )
;
f
;
f
.
(x 1)2
(x 1)3
(x 1)4
f (2) 2, f (2) 1;
f (2) 2, f (2) 6.
f (x ) 2 (x 2) (x 2)2 (x 2)3 o (x 2)3 .
10.3. Розвинути за степенями x функцію f (x ) e x ln(x 1) до члена, який
містить x 3 включно.
Розв’язання. [7.7.8.]
[Записуємо формули Тейлора — Маклорена 3-го порядку для функцій f (x ) e x
та f (x ) ln(x 1). ]
x2
x3
o(x 3 ),
2!
3!
2
x
x3
ln(1 x ) x
o(x 3 ).
2
3
2
3
x
x
x2 x 3
x
3
3
o(x ) x
o(x )
e ln(1 x ) 1 x
2! 3!
2
3
1
1 1
x2 x3
2
31
3
x x 1 x o(x ) x
o(x 3 ).
2
2
3
2 2 3
ex 1 x
x2
x3
e ln(1 x ) x
o(x 3 ).
2
3
x
3
10.4. Обчислити 30 з точністю до 104 за допомогою Тейлорової формули.
Розв’язання. [7.7.8.]
[Перетворюємо підкореневий вираз — шукаємо найближчий повний куб.]
1
1
3
30 3 27 3 3 27 1 3 3 1 .
9
9
13
[Записуємо Тейлорову формулу для функції f (x ) (1 x ) і залишковий член у
Лаґранжовій формі.]
n
1
xk
11
13
(1 x ) 1 1 ... k 1 Rn (x ),
k!
3 3
3
k 1
k множників
10. Тейлорова формула
141
n 1
1
(1)n 1 2 5 8...(3n 1) 1
0; .
Rn (x )
,
2
n
(n 1)! 3n 1 1
9
3 9
[Підбираємо такий порядок формули Тейлора, щоб залишковий член за модулем
не перевищував заданої похибки.]
2
5 1
2
1
3R1(x )
1 3 5 104;
3 2!
9
3
3
8 1
25
5
3R2(x ) 2
1
3 9 104;
9
3 3!
3
1 4
10
3R3 (x ) 3
1 12 104 n 3.
9
3 4!
3
[Обчислюємо шукане значення за формулою Тейлора 3-го порядку, беручи в
проміжних обчисленнях один запасний десятковий знак після коми.]
2
3
1 1 1 2 1 1
1 2 5 1 1
3
30 3 1
3 9 3 3 2 ! 9
3 3 3 3 ! 9
3(1 0, 03703 0, 00137 0, 00008) 3 1, 03574 3, 10722.
258
11
3
3
30 3, 1072 104.
10.5. Обчислити e 0,1 з точністю до 0, 001.
Розв’язання. [7.7.8.]
[Записуємо формулу Тейлора — Маклорена для e x із залишкови членом у Лаґранжовій формі.]
x
x2
xn
ex 1
...
Rn (x ),
1! 2 !
n!
e
1
Rn (x )
x n 1, 0 .
(n 1) !
10
[Визначаємо потрібний порядок Тейлорової формули, оцінюючи модуль залишкового члена.]
e (0, 1)n 1
2
0, 001.
Rn (x )
n 1
(n 1)!
10
(
n
1)
!
для зручності
підсилюємо нерівність
1
0, 001;
100
1
n 2:
0, 001.
3000
n 1:
142
Модуль 2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
e 0,1 1
0, 1 0, 01
1, 0000 0, 1000 0, 0050 1, 105.
1!
2!
e 0,1 1, 105 103.
10.6. Оцінити похибку, яку допускають, обчислюючи значення ln 1, 5 за формулою: ln(1 x ) x
x2
x3 x4
.
2
3
4
Розв’язання. [7.7.8.]
n 4.
R4 (x )
4!x5
, 0 x 0, 5.
5 !(1 )4
1 (0, 5)5
(0, 5)5
0 R4 (x ) max
0, 01 .
00,5 5 (1 )4
5
1
1
1
ln 1, 5 0, 5 (0, 5)2 (0, 5)3 (0, 5)4 0, 40.
2
3
4
ln 1, 5 0, 40 0, 01.
10.7. Знайти lim
x sin x
x 0
x3
, використовуючи формулу Тейлора.
Розв’язання. [7.7.7.]
lim
x 0
x sin x
x3
lim
x 0
x
x
x3
o (x 4 )
3!
3
x
lim 1 o(x
3 !
x 0
) 1
.
x 3 6
4
Задачі для аудиторної і домашньої роботи
10.8. Розвиньте многочлен f (x ) x 4 5x 3 x 2 3x 4 за степенями двочлена x 4.
10.9. Розвиньте многочлен f (x ) x 3 3x 2 2x 4 за степенями двочлена
x 1.
10.10. Функцію f (x ) (x 2 3x 1)3 розвиньте за степенями x, застосовуючи
Тейлорову формулу.
x
при
x 1
x 0 2 і побудуйте графіки заданої функції та її многочлена Тейлора 3го степеня.
10.11. Напишіть Тейлорову формулу 3-го порядку для функції y
10. Тейлорова формула
143
10.12. Напишіть Тейлорову формулу 3-го порядку для функції y tg x при
x 0 0 і побудуйте графіки заданої функції та її многочлена Тейлора 3го степеня.
10.13. Напишіть формулу Тейлора — Маклорена n -го порядку для функції
y xe x при x 0 0.
10.14. Напишіть Тейлорову формулу n -го порядку для функції y
x 0 4.
x при
10.15. Знайдіть перші три члени розвинення функції f (x ) x 10 3x 6 x 2 2
за Тейлоровою формулою при x 0 1. Обчисліть наближено f (1, 03).
10.16. Знайдіть перші три члени розвинення функції
f (x ) x 8 2x 7 5x 6 x 3
за Тейлоровою формулою при x 0 2. Обчисліть наближено f (2, 02) та
(1, 97).
10.17. Застосовуючи наближену формулу e x 1 x
1
x2
, знайдіть 4 й оці2
e
ніть похибку.
10.18. Обчисліть з абсолютною похибкою, меншою 0, 001, наближене значення:
1) sin 1;
2)
3) ln 1, 05;
4)
e;
5
33.
10.19. Знайдіть:
1) lim
cos x e
x 0
x 2 2
x4
;
2) lim
e x sin x x (1 x )
x 0
Відповіді
10.8. (x 4)4 11(x 4)3 37(x 4)2 21(x 4) 56;
10.9. (x 1)3 5(x 1) 8.
10.10. x 6 9x 5 30x 4 45x 3 30x 2 9x 1.
10.11. 2 (x 2) (x 2)2 (x 2)3
10.12. tg x x
1 3
x R3 (x ).
3
(x 2)4
( 1)5
, (2; x ).
x3
.
144
Модуль 2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
10.13. x
x2 x3
xn
...
Rn (x ).
1!
2!
(n 1)!
10.14. 2
x 4 (x 4)2 (x 4)3
(2n 2)!
... (1)n 1
(x 4)n Rn (x ).
4
64
512
n !(n 1)! 24n 2
10.15. 1 6(x 1) (x 1)2 ..., f (1, 03) 0, 82.
10.16. f (x ) 321 1087(x 2) 1648(x 2)2 ..., f (2, 02) 343, 4, f (1, 97) 289, 9.
10.17. 0, 78, 0, 01.
10.18. 1) 0, 842; 2) 1, 648; 3) 0, 049; 4) 2, 012.
10.19. 1)
1
1
; 2) .
12
3
11. Дослідження функцій за допомогою похідних
Навчальні задачі
11.1. Знайти інтервали монотонності і точки екстремуму функції:
1) f (x ) 4x 3 21x 2 18x 7;
2) f (x )
2
3) f (x ) x 3 x 1 ;
4) f (x )
8x 2 x 4 ;
x2
ln x .
2
Розв’язання. [7.9.2–7.9.4, 7.11.1.]
1) [Крок 1. Визначаємо область означення.]
D(f ) (; ).
[Крок 2. Знаходимо критичні точки 1-го порядку: точки, в яких перша похідна
функції рівна нулеві, або не існує [7.9.3].]
1
f (x ) 12x 2 42x 18 12(x 3) x .
2
1
f (x ) 0 x1 , x 2 3.
2
f (x ) , f (x ) x (; ).
1
, x 3.
2 2
[Крок 3. Визначаємо знак похідної на кожному інтервалі монотонності.]
знак f
Критичні точки 1-го порядку: x 1
3 x
max min
[Крок 4. Застосовуємо достатні умови монотонності [7.9.2] й існування точки екстремуму [7.9.4].]
поведінка f
1
2
11. Дослідження функцій за допомогою похідних
Функція f :
зростає в: (; 1),(3; );
2
спадає в (1 ; 3).
2
1
1
45
x — точка локального максимуму, y max
;
2
2
4
x 3 — точка локального мінімуму, ymin (3) 20.
2) D( f ) [ 8; 8].
16x 4x 3
2x 4 x 2
f (x )
.
2
4
2
x
2 8x x
8x
f (x ) 0 x 1 2, x 2 2.
f (x ) 8 x 2 0 x 3,4 8 ( 8; 8).
f (x ) x 5 0.
Критичні точки 1-го порядку: x 1,2 2, x 3 0.
f
f
82 0 2 8 x
max
max
f : ( 8; 2), (0; 2);
f : (2; 0), (2; 8);
x 2 — точки локальних максимумів, ymax (2) ymax (2) 4;
x 0 — точка локального мінімуму, ymin (0) 0.
3) D(f ) (; ).
f (x )
3
(x 1)2
2x
5x 3
33 x 1
3
f (x ) 0 5x 3 0 x1 .
5
3
f (x ) x 1 0 x 2 1.
f (x ) x (; ).
Критичні точки 1-го порядку: x 1
3
3 x 1
3
, x 1.
5 2
.
145
146
Модуль 2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
f
3
f : ; , (1; );
5
3
f : ;1 ;
5
x
1
f 3
5
min
max
x
3 3 4
3
— точка локального максимуму, ymax 3 ;
5 5 9
5
x 1 — точка локального мінімуму, ymin (1) 0.
4) D(f ) (0; ).
1
x2 1
.
x
x
f (x ) 0 x 2 1 0 x1,2 1; x1 1 (0; ).
f (x ) x 3 0 (0; ).
f (x ) x (0; ).
f (x ) x
Критична точка 1-го порядку x 1.
f
f
f : (1; );
0
1
min
x
f : 0;1 ;
x 1 — точка локального мінімуму, y min (1)
1
.
2
11.2. Знайти найбільше та найменше значення функції
y x 4 8x 2 3, x [1; 2].
Розв’язання. [7.11.3.]
Функція y неперервна на відрізку [1; 2].
[Крок 1. Знаходимо критичні точки 1-го порядку функції в (1; 2). ]
y 4x 3 16x 4x (x 2 4).
y 0 4x (x 2 4) 0 x 1 2, x 2 0, x 3 2;
y , x (1; 2).
x1 , x 3 (1; 2); x 2 (1; 2).
[Крок 2. Обчислюємо значення функції у знайдених критичних точках і на кінцях відрізку.]
11. Дослідження функцій за допомогою похідних
147
y(1) 4; y(0) 3; y(2) 13.
[Крок 3. Серед обчислених значень функції вибираємо найбільше та найменше
значення функції на відрізку.]
max y y(0) 3;
[1,2]
min y y(2) 13.
[1,2]
x2
11.4. Довести нерівність x
ln(1 x ) x , x 0.
2
Розв’язання. [7.9.3, 7.9.4.]
Розгляньмо функцію
y(x ) ln(x 1) x .
І дослідімо її на локальний екстремум.
1
x
y
1
0 x 0.
x 1
x 1
Функція спадає на (0; ) і отже, своє найбільше значення вона набуває у точці x 0 : y(0) 0.
Звідси випливає, що y(x ) 0 або
ln(x 1) x 0 x 0.
Розгляньмо функцію
y(x ) ln(x 1) x
x2
.
2
Дослідімо її на локальний екстремум.
1
x2
y (x )
1 x
0 x 0.
x 1
x 1
Функція зростає на (0; ) і, отже, своє найменше значення набуває у точці
x 0 : y(0) 0. Звідси випливає, що y(x ) 0 або
ln(x 1) x
11.4. Знайти
y
інтервали опуклості
1
x2
0 x 0.
2
і точки перегину графіка
.
1 x2
Розв’язання. [7.10, 7.11.2.]
[Крок 1. Знаходимо область означення функції.]
D(f ) (; ).
[Крок 2. Знаходимо критичні точки 2-го порядку функції [7.10.3].]
2x
6x 2 2
(x )
f (x )
,
f
.
2 2
2 3
(1 x )
(1 x )
функції
148
Модуль 2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
f (x ) 0 6x 2 2 0 x1,2
f (x ) , f (x ) x (; ).
Критичні точки 2-го порядку: x1,2
1
3
.
1
3
[Крок 3. Досліджуємо знак другої похідної в кожному інтервалі.]
знак f
поведінка f 1 1 x
3
3
т. пер. т. пер.
[Крок 4. Висновуємо про поведінку функції в кожному інтервалі [7.10.2,
7.10.4].]
Функція f :
1 1
опукла донизу в ;
; ;
,
3 3
1 1
опукла догори в
;
.
3 3
x
1
3
— точки перегину функції.
Задачі для аудиторної і домашньої роботи
11.5.
Покажіть, що функція y 2x 3 3x 2 12x 1 спадає в інтервалі (2;1).
11.6.
Покажіть, що функція y 2x x 2 зростає в інтервалі (0;1) і спадає в
інтервалі (1; 2). Побудуйте графік цієї функції.
11.7. Покажіть, що функція:
1) y x 3 x скрізь зростає;
2) y arctg x x скрізь спадає.
11.8. Знайдіть інтервали монотонності і точки екстремумів функції:
3
(2x a )(a x )2 (a 0);
1) y (x 2)5 (2x 1)4 ;
2) y
3) y x e x ;
4) y x 2e x ;
5) y
x
;
ln x
7) y x 2 sin x (0 x 2);
6) y 2x 2 ln x ;
8) y x cos x .
11. Дослідження функцій за допомогою похідних
11.9.
149
Знайдіть найбільше та найменше значення функцій на зазначеному відрізку:
1) y x 4 2x 2 5, [2; 2];
2) y x 2 x , [0; 4];
4) y sin 2x x , ; .
2 2
100 x 2 ,[6; 8];
3) y
11.10. Доведіть правдивість нерівностей:
2) sin x tg x 2x 0 x .
2
1) 2x arctg x ln(1 x 2 );
11.11. Визначте висоту конуса, вписаного в кулю радіусом R, з найбільшою
бічною поверхнею.
11.12. Знайдіть висоту прямого колового конуса, описаного навколо кулі радіусом R, найменшого об’єму.
11.13. Покажіть, що графік функції
2) y ln(x 2 1) скрізь опуклий.
1) y x arctg x скрізь угнутий;
11.14. Знайдіть інтервали опуклості і точки перегину графіка функції:
1) y x 3 5x 2 3x 5;
2) y x 4 12x 3 48x 2 50;
3) y ln(1 x 2 );
4) y x 4 (12 ln x 7);
5) y
3
x 1 3 x 1;
6) y xe2x 1.
Відповіді
1 11
1
11
1 11
11.8. 1) f : ; , ; , f : ; , x max , x min ;
2 18
2
18
2 18
2a
2a
2a
,x
a;
2) f : ; ,(a; ), f : ;a , x max
3 min
3
3
3) f : (; 0), f : (0; ), x max 0;
4) f : (;0),(2; ), f : (0;2), x max 2, x min 0;
5) f : (e; ), f : (0;1),(1;e ), x min e;
1
1
1
6) f : 0; , f : ; , x min ;
2
2
2
5
5
5
, x min ; 8) монотонно зростає.
7) f : ; , f : 0; , ;2 , x max
3 3
3
3
3 3
11.9. 1) max y 13, min y 4; 2) max y 8, min y 0;
[2;2]
[2;2]
[0;4]
3) max y 10, min y 6; 4) max y
[6;8]
[6;8]
[ 2; 2]
[0;4]
, min y .
2 [ 2; 2]
2
150
11.11.
Модуль 2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
4R
.
3
11.12. 4R.
5
5
5
11.14. 1) f : ; , f : ; , x — точка перегину;
3
3
3
2) f : 2; 4 , f : ;2 ,(4; ), x 2, x 4 — точки перегину;
3) f : ; 1 ,(1; ), f : 1;1 , x 1 — точки перегину;
4) f : (0;1), f : (1; ), x 1 — точка перегину;
5) f : (1;1), f : (; 1),(1; ), x 1 — точки перегину;
6) f : (; 1), f : (1; ), x 1 — точка перегину.
12. Побудова графіків функцій
Навчальні задачі
12.1. Знайти рівняння асимптот графіка функції y
x3 2
x2 4
.
Розв’язання. [7.8.2, 7.8.3.]
[Крок 1. Визначаємо область означення.]
Область означення функції D(y ) (; 2) (2; 2) (2; ).
[Крок 2. Досліджуємо поведінку функції у граничних точках області означення.]
Дослідімо поведінку функції, коли x 2 :
x3 2
lim
,
x 2 0 x 2 4
x3 2
lim
.
x 2 0 x 2 4
Пряма x 2 є вертикальною (двобічною) асимптотою графіка функції.
Дослідімо поведінку функції, коли x 2 :
x3 2
lim
,
x 20 x 2 4
x3 2
lim 2
.
x 2 0 x 4
Пряма x 2 є вертикальною (двобічною) асимптотою графіка функції.
Дослідімо поведінку функції, коли x , шукаючи похилу асимптоту
y kx b :
k lim
x3 2
x x (x 2
1,
4)
x3 2
x 3 2 x 3 4x
4x 2
lim
x lim
b lim
0.
x x 2 4
x
x2 4
x2 4
x
12. Побудова графіків функцій
151
Так само, k 1, b 0.
Отже, y x є похилою (двобічною) асимптотою графіка функції.
12.2. Дослідити функцію та побудувати її графік:
1) y
x3
3x
2
2 3
2) y (x 1)
;
2 3
(x 2) ;
e x 2
;
3) y
4) y x arctg x .
x 2
Розв’язання. [7.11.4.]
1) [Крок 1. Знаходимо область означення функції.]
D(y ) (; 3) ( 3; 3) ( 3; ).
[Крок 2. Встановлюємо можливі симетрії графіка функції.]
Оскільки D(y ) симетрична щодо 0 і
f (x )
(x )3
2
x3
2
f (x ),
1 (x )
1x
то функція непарна і її графік симетричний щодо початку координат.
[Крок 3. Визначаємо можливі точки розриву функції і асимптоти графіка функції.]
Дослідімо поведінку функції на межах області означення — в околах точок
x 3 та .
x3
x3
lim
, lim
;
x 3 0 3 x 2
x 3 0 3 x 2
x3
x3
lim
,
lim
.
x 3 0 3 x 2
x 3 0 3 x 2
Точки x 3 — точки розриву 2-го роду, нескінченного.
Прямі x 3 та x 3 — двобічні вертикальні асимптоти.
Шукаємо похилі асимптоти y kx b :
f (x )
x2
lim
1;
x x
x 3 x 2
x3
3x
b lim ( f (x ) kx ) lim
x lim
0.
x
x
3 x2
x 3 x 2
Пряма y x — двобічна похила асимптота.
[Крок 4. За допомогою першої похідної функції визначаємо інтервали монотонності і точки екстремуму.]
3x 2(3 x 2 ) 2x 4
x 2(9 x 2 )
y
.
(3 x 2 )2
(3 x 2 )2
k lim
152
Модуль 2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
y 0 x 2(9 x 2 ) 0 x1 0, x 2,3 3;
y (3 x 2 )2 0 x 4,5 3 D(y ).
y
x
y 3 3 0
3 3
max
min
9
9
y max (3) , y min (3) .
2
2
[Крок 5. За допомогою другої похідної функції визначаємо інтервали опуклості
функції і точки перегину.]
y
(18x 4x 3 )(3 x 2 )2 (9x 2 x 4 )2(3 x 2 )(2x )
(3 x 2 )4
6x (9 x 2 )
(3 x 2 )3
.
y
y 0 6x (9 x 2 ) 0 x1 0;
y (3 x 2 )3 0 x 2,3 3 D(y ).
y
y
3
0
т. пер.
3
3
x
O
Точка x 0 — точка перегину, y(0) 0.
[Крок 6. Знаходимо можливі точки перетину
графіка функції з осями координат.]
x 0 y 0; y 0 x 0.
[Крок 7. Будуємо графік функції y f (x ). ]
2) 1. D(y ) (; ).
2. Оскільки D(y ) симетрична щодо 0 і
23
3
Рис. до зад. 12.2.1)
2 3
f (x ) (x 1) (x 2) f (x ),
то функція f загального вигляду.
3. Функція f неперервна і вертикальних асимптот графік функції не має.
Досліджуємо графік функції на похилу асимптоту y kx b :
2 3
(x 1)
23
(x 2)
k lim
0;
x
x
23
2 3
b lim (x 1) (x 2)
x
2
2
(x 1) (x 2)
3x
lim
lim
0;
4
3
2
3
2
3
4
3
4 3
x
x
(x 1) (x 1) (x 2) (x 2)
3x
Пряма y 0 — горизонтальна асимптота.
x
12. Побудова графіків функцій
2 (x 2) (x 1)
3 (x 1)1 3(x 2)1 3
13
.
13
(x 1)
13
4. y
y 0 (x 2)
13
13
153
x ;
13
y (x 1) (x 2) 0 x 1 1, x 2 2.
y
y 2 1 x
min
max
y max (2) 1, y min (1) 1.
4 3
4 3
2 (x 2) (x 1)
5. y
.
9 (x 1)4 3(x 2)4 3
x 2 x 1,
3
4 3
4 3
y 0 (x 2) (x 1)
x1 .
2
x 2 x 1
4 3
4 3
y (x 1) (x 2) 0 x 2 1, x 3 2.
y
y 2 3 1
2
т. пер.
x
y
3
y 0.
2
1
3
6. y 0 x .
2
3
x 0 y 1 4 0, 58.
2
3
2
1
O
x
Рис. до зад. 12.1.2)
3) 1. D(y ) (; 2) (2; ).
2. Оскільки область означення D(y ) не симетрично щодо 0, то функція f загального вигляду.
3. x : y kx b :
x : y kx b :
e x 2
k lim
0;
x x (x 2)
e x 2
b lim
0.
x x 2
154
Модуль 2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
[2.6.4]
e x 2
k lim
x x (x 2)
y 0 — ліва горизонтальна асимптота.
e x 2
lim
.
x 2
e x 2
;
x 2 0 x 2
e x 2
lim
.
x 2 0 x 2
Точка x 2 є точкою розриву 2-го роду, нескінченного.
Пряма і x 2 — вертикальна асимптота.
e x 2 (x 1)
.
4. y
(x 2)2
lim
y 0 e x 2 (x 1) 0 x1 1;
y (x 2)2 0 x 2 2 D(y ).
y
y 2 1
min
y
x
e2 2
e
y min (1) e 2, 71.
5. y
e x 2 (x 2 2x 2)
(x 2)3
.
2
y 0 e x 2(x 2 2x 2) 0 x ;
1
O x
y (x 2)3 0 x1 2 D(y ).
y
y
2
x
Рис. до зад. 12.2.3)
e2
.
2
4) 1. D(y ) (; ).
2. Оскільки D(y ) симетрична щодо 0 і
f (x ) x arctg x f (x ),
то функція f непарна і її графік симетричний щодо початку координат.
3. Функція неперервна і вертикальних асимптот графік функції не має.
x : y kx b :
x arctg x
k lim
1;
x
x
b lim arctg x .
x
2
6. y 0; x 0 y
12. Побудова графіків функцій
155
— ліва похила асимптота.
2
y x — права похила асимптота.
2
1
0, x f на .
4. y 1
1 x2
2x
.
5. y
(1 x 2 )2
y 0 2x 0 x1 0;
y x
y
2
O
2
x
y (1 x 2 )2 0 x .
y
y
0
т. пер.
x
Рис. до зад. 12.2.4)
y(0) 0.
6. y 0 x 0.
x a cos3 t,
12.3. Дослідити астроїду, задану рівняннями
і побудувати її.
3
y
a
sin
t
Розв’язання.
Функції cos3 t та sin 3 t означенні для будь-яких значень t. Але оскільки ці функції періодичні з періодом 2, досить розглянути проміжок t [0; 2).
Оскільки x [a; a ] та y [a; a ], то крива асимптот не має.
Знайдімо
yt
3a sin2 t cos t
yx (t )
tg t.
x t
3a cos2 t sin t
Звідси критичні точки 1-го порядку:
yx (t ) 0 t1 0, t2 ;
3
yx (t ) t3 , t4
.
2
2
Знайдімо
(y )
( tg t )
1
yx2 (t ) x t
.
xt
(a cos 3 t )
3a cos4 t sin t
Знайдімо критичні точки 2-го порядку:
yx2 (t ) 0;
3
yx2 (t ) t1 0, t2 , t3 , t4
.
2
2
156
Модуль 2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
Побудуймо таблицю значень змінних t, x та y, а також знаків першої та другої
похідних.
3
3
; t ; 3
; 2
t 0 0;
2
2
2
2
2
2
0
x a
0
x a
y 0
y 0
y
y
y 0 y max a y 0
На підставі дослідження будуймо астроїду.
y
a
ymin a
a
a
O
x
a
Рис. до зад. 12.3
Коментар. Дослідження кривої, заданої параметрично
x (t ), t T ,
y (t ),
де функції та двічі диференційовні, провадять за схемою:
1. Встановлюють можливі симетрії кривої.
2. Визначають асимптоти кривої. А, саме, шукають такі значення t :
або x , або y , або x , y .
3. За допомогою першої похідної функції визначають інтервали монотонності і
точки екстремуму.
4. За допомогою другої похідної функції визначають інтервали опуклості функції і точки перегину.
5. Знаходять можливі точки перетину кривої з осями координат.
6. Будують криву за встановленою інформацією.
Задачі для аудиторної і домашньої роботи
12.4. Перевірте, що пряма y 2x 1 є асимптотою лінії y 2x 1
12.5. Знайдіть асимптоти графіка функції:
x 2 3x 1
;
1) y
x 1
2) y ln
x 1
;
x 2
1
x3
.
12. Побудова графіків функцій
157
2x
3) y xe x ;
4) y xe
5) y x arctg 2x.
x
6) y 2x arctg ;
2
7) y
3
x 3 x2;
1;
1
8) y x ln e .
x
12.6. Повністю дослідіть функцію і побудуйте її графік:
1) y
3) y
3
x 3 3x ;
ln x
;
x
2
2) y ex ;
4) y
3
x 3 3x 2 .
12.7. Повністю дослідіть функцію і побудуйте її графік:
1) y
x
1 x2
;
2) y
1
1 x2
x2
3) y 3 (x 1)2 3 (x 1)2 ;
4) y
5) y xe x ;
6) y x 2e x ;
7) y
9) y
e
;
3
x3 4
1 x
x
8) y (2x 1)e
;
1
;
x ln x
;
2 x
;
10) y x 2 ln x ;
11) y x sin x ;
12) y x 2 arctg x .
12.8. Побудуйте циклоїду, задану рівняннями:
x a(t sin t ), y a(1 cos t ).
Відповіді
12.5. 1) x 1 — вертикальна асимптота, y x 2 — похила асимптота;
2) x 1 — ліва вертикальна асимптота, x 2 — права вертикальна асимптота;
3) y 0 — ліва горизонтальна асимптота;
4) x 0 — права вертикальна асимптота, y x 3 — похила асимптота;
1
1
5) y x — ліва похила асимптота, y x — права похила асимптота;
2
2
2
2
1
6) y 2x — ліва і праві похилі асимптоти; 7) y x — похила асимптота;
2
3
158
Модуль 2. ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
1
1
— права вертикальна асимптота, y x — права похила асимптота.
e
e
12.6. 1) рис. до зад. 12.6.1); 2) ) рис. до зад. 12.6.2); 3) ) рис. до зад. 12.6.3); 4) рис. до зад. 12.6.4).
8) x
y
y
yx
1
O
1
3
O
x
x
2
Рис. до зад. 12.6.2)
3 2
Рис. до зад. 12.6.1)
y
1
e
O
y
y x 1
1
e
e3 2
x
2
O
3
x
Рис. до зад. 12.6.3)
3 4
Рис. до зад. 12.6.4)
Відповіді до задач 12.7 та 12.8 див. на ст. 191.
Модуль 3. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ
ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
13. Інтегрування внесенням під знак диференціала
Навчальні задачі
13.1. Знайти:
1)
3)
5)
x 3dx ;
dx
;
2
x 3
dx
2)
4)
5 x2
;
6)
dx
x
;
dx
2
x 4
;
dx
2 x2
;
d (sin x )
.
sin x
Розв’язання. [8.2, 8.1.5.]
1) [У формулі [8.2.2] покладаємо 3 ]:
7)
[8.2.2]
x 31
x4
x dx 3 3 1 C 4 C .
[Перевіряємо диференціюванням правильність інтегрування.]
3
4
x C 1 4x 3 x 3 .
4
4
2)
3)
4)
5)
6)
dx
x
x
dx
C 2 x C.
1 2 1 2 1
x
[8.2.15]
dx
x 2 3 a
1
3
3
dx
[8.2.16]
x2 4
a 2
arctg
x
x 2 a 5
2 x2
C.
3
1
x 2
ln
C.
4
x 2
[8.2.14]
dx
5
dx
1 21
[8.2.2]
1 2
arcsin
x
5
C.
[8.2.16]
ln x 2 x 2 C .
a 2
160
7)
Модуль 3. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
d(sin x )
sin x u sin x
[8.2.1]
du
ln u ln sin x C .
u [8.1.5]
цей крок виконують усно
Коментар. Для знаходження первісних функцій використовують основну
таблицю інтегралів та правила інтегрування.
Правильність інтегрування перевіряють диференціюванням:
(F (x ) C ) f (x ).
13.2. Знайти безпосереднім інтегруванням:
1)
x2 3 x 2
x
3
x x
2
1
dx ;
2)
tg
2
xdx ;
3)
dx ;
4)
a e dx ;
5)
(arcsin x arccos x )dx ;
6)
7)
4
dx
3 2x
2
x x
dx
4 5x 2
;
.
Розв’язання. [8.2, 8.1.5.]
1)
x2 3 x 2
x3
dx
1
[8.2.1,8.2.5]
3x 5 2 2x 3 dx
x
[8.2.1,8.2.2]
dx
5 2
3 x
dx 2 x 3dx
x
5 21
x
x 31
ln x 3
2
C
5 2 1
3 1
3 2
2
1
x
x 2
ln x 3
2
C ln x
2 C.
3 2
2
x
x x
2)
3)
tg
2
xdx
1
x 4 x2
dx
[8.1.5,8.2.7]
1
[8.1.5]
dx
1 dx
dx
tg x x C .
2
cos2 x
cos x
dx
dx
(1 x 2 ) x 2
x2 x2 1
x4 x2
[8.2.2,8.2.15]
dx
1
[8.1.5]
1
dx
x 2 1 x 2
x 1 1
x
1
arctg C arctg x C .
1 1
1
x
13. Інтегрування внесенням під знак диференціала
4)
5)
6)
161
[8.2.4]
(ae )x
a e dx (ae ) dx
C.
ln a 1
(arcsin x arccos x )dx dx x C .
2
2
x x
x
[8.1.5]
dx
1
dx
5 x2 4 5
4 5x 2
[8.2.15]
a 2
5
5
1
5
1
5x
arctg
x C
arctg
C.
5 2
2
2 5
2
7)
[8.1.5]
dx
1
2
3 2x 2
dx
3 2 x2
[8.2.14]
a 3 2
1
2
2
x C.
3
arcsin
Коментар. Метод безпосереднього інтегрування полягає у використанні
таблиці інтегралів, властивостей лінійності та інваріантності невизначеного
інтеграла.
Інтегруючи алгебричну суму функцій, дістають кілька довільних сталих, але в
результаті пишуть лише одну сталу — їхню алгебричну суму.
13.3. Знайти інтеграл внесенням під знак диференціала:
1)
(2x 1)
3)
(x
10
5)
7)
9)
11)
2
dx ;
4)6 2xdx ;
arctg 3 x
1 x2
xdx
1x
2
sin
;
8)
dx ;
dx ;
Розв’язання. [8.3.2, 8.3.3, 8.2.1, 8.2.2.]
1
1) (2x 1)10dx dx d (2x 1)
2
4)
6)
3 cos x
ex 1
dx ;
sin x
ex
2)
10)
12)
3
(5x 2)5dx ;
4
x cos xdx ;
dx
x ln3 x
;
arcsin x
1x
2
dx ;
dx
;
2x 7
dx
.
x ln x
(2x 1)
10
1
d (2x 1)
2
1
1 (2x 1)11
10
(2
x
1)
d
(2
x
1)
C.
2
2
11
162
2)
Модуль 3. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
3
(5x 2)5dx dx
1
1
5 3
d (5x 2) (5x 2) d (5x 2)
5
5
8 3
1 (5x 2)
5
8 3
3)
x 4) 2
x dx
(
2
6
u6
sin
4
3 3
(5x 2)8 C .
40
d (x 2 4) 2xdx
u
4)
C
(x 2 4)7
(x 4) d (x 4)
C.
7
2
6
2
x cos xdx d (sin x ) cos xdx
sin5 x
sin xd (sin x )
C.
5
arctg3 x
dx
dx
d
(arctg
x
)
1 x2
x2 1
arctg 4 x
arctg xd (arctg x )
C.
4
dx
dx
d (ln x )
d
(ln
x
)
x
x ln 3 x
ln 3 x
4
5)
3
6)
ln
3
ln2 x
1
xd (ln x )
C
C.
2
2 ln2 x
1
1 d(1 x 2 )
2
xdx d(1 x )
7)
2
2
2
2
1x
1x
1
2 1 x2 C 1 x2 C.
2
arcsin x
dx
8)
dx
d (arcsin x )
2
2
1x
1x
arcsin2 x
arcsin xd arcsin x
C.
2
sin x
9)
dx d (3 cos x ) sin xdx
3 cos x
d (3 cos x )
2 3 cos x C .
3 cos x
dx
1 d (2x 7) 1
d (2x 7) 2dx
ln 2x 7 C .
10)
2x 7
2
2x 7
2
xdx
13. Інтегрування внесенням під знак диференціала
ex
11)
ex 1
12)
dx
d (e x 1)
x
e 1
ln(e x 1) C .
dx
dx
d (ln x )
x ln x
x
d (ln x )
ln ln x C .
ln x
13.4. Знайти інтеграл внесенням під знак диференціала:
1)
e
5x 1
3)
e
sin x
dx ;
2)
cos xdx ;
4)
e
2x 2 1
xdx ;
2 tg x dx
cos2 x
.
Розв’язання. [8.3.2, 8.3.3, 8.2.3, 8.2.4.]
1
1
1) e 5x 1dx e 5x 1d (5x 1) e 5x 1 C .
5
5
2
2
1
1 2
2) e 2x 1xdx e 2x 1d (2x 2 1) e 2x 1 C .
4
4
3) e sin x cos xdx e sin xd (sin x ) e sin x C .
4)
2tg x dx
cos2 x
2
tg x
2 tg x
d(tg x )
C.
ln 2
13.5. Знайти інтеграл внесенням під знак диференціала:
1)
sin 3xdx ;
e xdx
2)
cos x 2 xdx ;
dx
x sin2(ln x ).
cos2 e
Розв’язання. [8.3.2, 8.3.3, 8.2.5–8.2.8.]
1
1
1) sin 3xdx sin 3xd (3x ) cos 3x C .
3
3
1
1
2) cos x 2 xdx cos x 2d (x 2 ) sin x 2 C .
2
2
e xdx
d (e x )
3)
tg e x C .
2 x
2 x
cos e
cos e
dx
d(ln x )
ctg(ln x ) C .
4)
x sin2 (ln x )
sin2(ln x )
3)
;
x
4)
13.6. Знайти інтеграл внесенням під знак диференціала:
1)
dx
x 2 8x 25;
2)
dx
;
2x 2 3
163
164
Модуль 3. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
3)
e 2xdx
dx
4)
e 4x 1;
2
x 4x
.
Розв’язання. [8.3.2, 8.3.3, 8.2.14, 8.2.16.]
dx
d(x 4)
1
x 4
arctg
C.
1) 2
3
3
x 8x 25
(x 4)2 32
2)
3)
dx
dx
1
1
2x 2 3 2 x 2 3 2 2
4)
e 2xdx
2
3
arctg x C .
3
2
1
d (e 2x )
1
arctg e 2x C .
4x
4
x
e 1 2 e 1 2
dx
dx
2
2
x 4x
4 (x 4x 4)
d (x 2)
4 (x 2)2
arcsin
x 2
C.
2
13.7. Знайти інтеграл внесенням під знак диференціала:
1)
3)
dx
7 9x
;
2
x3
1 x 8 dx ;
2)
4)
dx
23x 2 14
;
dx
.
3x 6x 1
2
Розв’язання. [8.3.2, 8.3.3, 8.2.13, 8.2.15.]
dx
1
dx
1)
9 x2 7 9
7 9x 2
1
1
9 2
2)
dx
23x 2 14
7
3
ln
3)
x
7
3
7
3
C
1
6 7
ln
23
3x
x 2 14 23
1
23
d (x 4 )
ln x x 2 14 23 C .
1
1
x4 1
dx 8
ln 4
C.
4 x 1
8
1 x8
x 1
x
3x 7
dx
1
3
x
7
C.
13. Інтегрування внесенням під знак диференціала
4)
dx
3x 2 6x 1
1
3
dx
1
3
1
(x 2 2x 1) 1
3
d (x 1)
1
1
ln x 1 x 2 2x C .
3
3
(x 1)2 4
3
Задачі для аудиторної і домашньої роботи
13.8. Знайдіть безпосереднім інтегруванням:
1)
3)
5)
7)
9)
2 1 3
3x x dx ;
x
x2 3 x2 3
4
x 9
2
x
x
sin cos dx ;
2
2
3 2x 2 3x
2x
dx ;
x4
1 x 2 dx ;
2)
dx ;
4)
6)
8)
10)
3
4x 1 7 4 x 3 dx ;
x2
(1 x )2
x (1 x 2 )
dx ;
cos 2x
cos2 x sin2 x
(a x b x )2
a xb x
x6
x2 1
dx ;
dx ;
dx .
13.9. Знайдіть, користуючись інваріантністю формул інтегрування:
1)
sin xd(sin x );
2)
tg 3 xd (tg x );
3)
d (1 x 2 )
;
1 x2
4)
d (arcsin x )
;
arcsin x
5)
e
sin x
d (sin x );
6)
d(e x )
1 e 2x
.
13.10. Знайдіть внесенням під знак диференціала:
1)
(x 1)15dx ;
3)
5
(8 3x )6dx ;
dx
2)
(2x 3)5 ;
4)
8 2xdx ;
165
166
Модуль 3. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
5)
2x
x 2 1dx ;
6)
x 2 5 x 3 2dx ;
8)
7)
9)
sin
3
x cos xdx ;
10)
xdx
;
x2 1
x 4dx
4x
5
sin xdx
cos2 x
;
;
(arctg x )2dx
11)
ln x
dx ;
x
12)
13)
cos(1 2x )dx ;
14)
sin(2x 3)dx ;
15)
e
16)
e
17)
18)
19)
1 9x 2 ;
20)
21)
23)
1x
dx
x
2
;
dx
1 25x
2
;
dx
25)
27)
dx
;
2
4x 1
22)
2x arcsin x
1 x2
dx ;
dx
;
x 2 2x 3
dx
8 6x 9x
2
;
13.11. Знайдіть таку функцію f , що:
1) f (x ) x 2 4x 1, f (1) 1;
2) f (x ) sin x cos x , f 2.
2
24)
26)
28)
1 x2
sin x
;
cos xdx ;
dx
4 9x
2
;
dx
;
2x 2 9
xdx
;
x4 1
x (arccos 3x )2
1 9x 2
dx
;
x 2 2x 3
dx
2 6x 9x
2
.
dx ;
14. Методи замінювання змінної і інтегрування частинами
167
Відповіді
13.8. 1) x 3 ln x
33 4
1
x x2 3
C;
x C ; 2) x 4 4 4 x 7 C ; 3) ln
4
x
x x2 3
4) ln x 2 arctg x C ; 5) x cos x C ; 6) C ctg x tg x ; 7) 3x
2 1, 5x
C;
ln 1, 5
a x a
x3 1
1x
b x b
ln 2x ln C ; 9) x
ln
C;
a
b
b
a
3
2
1x
x5 x 3
1
x 1
x ln
C.
10)
5
3
2
x 1
8)
(8 2x )3
1
(x 1)16
5
11 5
;
; 3) C (8 3x ) ; 4) C
C ; 2) C
3
33
16
8(2x 3)4
2
5 5 3
2
5)
(x 2 1)3 C ; 6) x 2 1 C ; 7)
(x 2)6 C ; 8)
4 x5 C;
3
18
5
arctg 3 x
1
1
2
1
9) sin 4 x C ; 10)
C ; 13) C sin(1 2x );
C ; 11)
ln 3 x C ; 12)
4
cos x
3
2
3
1
1
1
3x
1x
14) C cos(2x 3); 15) C e ; 16) e sin x C ; 17) arcsin 5x C ; 18) arcsin
C;
2
5
3
2
1
2
1
1
1
19) arctg 3x C ; 20)
arctg
x C ; 21) ln x x 2 C ;
3
3 2
3
2
4
13.10. 1)
1
1
2
arctg x 2 C ; 23) C 2 1 x 2
(arcsin x )3 ; 24) C ( 1 9x 2 arccos3 3x );
2
3
9
1
x 3
1
x 1
1
C ; 27) ln(3x 1 9x 2 6x 8) C ;
25)
arctg
C ; 26) ln
4
x 1
2
2
3
1
3x 1
28) arcsin
C.
3
3
x3
1
13.11. 1) f (x )
2x 2 x ; 2) f (x ) sin x cos x 1.
3
3
22)
14. Методи замінювання змінної і інтегрування частинами
14.1. Знайти замінюванням змінної інтеграл:
1)
3)
x
3
x 1dx ;
e 3x
1 ex
2)
x (3x 10)
dx .
Розв’язання. [8.3.1.]
x 1 t 3,
1)
x
3
x 1dx x t 3 1
dx 3t 2dt
(t 3 1)t 3t 2dt
20
dx ;
168
Модуль 3. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
3 (t 3 1)t 3dt 3
t
3
x 1
t7 t 4
t 6dt t 3dt 3 C
7
4
33
3
(x 1)7 3 (x 1)4 C .
7
4
3x 10 t
t 10
3
1
dx dt
3
2) x (3x 10)20dx x
t 10 20 1
t dt
3
3
1
1 t 22 10t 21
21
20
C
(t 10t )dt
9
9 22
21
1 (3x 10)22 10
(3x 10)21 C .
9
22
21
3)
e
t
3x
1 e
x
1 ex ,
dx x ln 1 t
dx
2
2tdt
2
(1 t 2 )3 tdt
t
1 t2
1 t2
t 5 2t 3
2 (t 4 2t 2 1)dt 2
t
5
3
2
4
(1 e x )5
(1 e x )3 2 1 e x C .
5
3
Коментар. Рекомендації щодо вибору заміни змінної буде подано для основних класів функцій.
Не забувайте переходити у відповіді до «старої» змінної.
14.2. Знайти інтегруванням частинами інтеграл:
1)
(3x 1)e
2x
dx ;
2)
(x
2
x ) sin 3xdx .
Розв’язання. [8.3.4, 8.3.5.]
u 3x 1 du 3dx
2x
1) (3x 1)e dx
1
dv e 2xdx v e 2x
2
1
3
3x 1 2x 3 2x
(3x 1) e 2x e 2xdx
e e C.
2
2
2
4
udv uv vdu
14. Методи замінювання змінної і інтегрування частинами
2)
(x
2
u x2 x
x ) sin 3xdx
169
du (2x 1)dx
1
dv sin 3xdx v cos 3x
3
1
1
(x 2 x ) cos 3x (2x 1) cos 3xdx
3
3
u 2x 1 du 2dx
1
dv cos 3xdx v sin 3x
3
1
11
2
(x 2 x ) cos 3x (2x 1) sin 3x sin 3xdx
3
3 3
3
1
1
2
cos 3x C
(x 2 x ) cos 3x (2x 1) sin 3x
3
9
27
sin 3x 2x 1 cos 3x 2
2
x x C .
3
3
3
9
Коментар. Метою методу інтегруванням частинами є перейти від «складного» інтеграла до простішого («нескладнішого»).
sin x
dx ,
Щоб обчислити інтеграли вигляду Pn (x )
Pn (x )e xdx , де Pn (x )
cos x
— многочлен степеня n, , треба брати
u Pn (x ).
Покладімо u 3x 1, dv e 2xdx . Від u до du переходять диференціюванням, а від dv до v — інтегруванням:
1
du (3x 1)dx 3dx ; v e 2xdx e 2x
2
(при цьому можна вважати, що C 0 ).
14.3. Знайти:
1)
ln xdx ;
3)
arcsin xdx .
2)
x arctg xdx ;
Розв’язання. [8.3.4, 8.3.5.]
1)
ln xdx
dx
dx
x x ln x x
x
v x
u ln x du
dv dx
x ln x dx x ln x x C .
170
Модуль 3. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
u arctg x du
dx
1 x2
x2
dv xdx
v
2
2
x
1
x2
arctg x
dx
2
2 1 x2
x2
1
1
x2
x 1
arctg x 1
dx
arctg
x
arctg x C .
2
2
2
2 2
1 x 2
2) x arctg xdx
3)
arcsin xdx
dv dx
x arcsin x
1 x2
v x
x arcsin x
Коментар. Щоб
dx
u arcsin x du
xdx
1 x2
d (1 x 2 ) 2xdx
1
1 2
(1 x 2 ) d (1 x 2 ) x arcsin x 1 x 2 C .
2
обчислити інтеграли вигляду Pn (x ) ln xdx
Pn (x ) arcf xdx , де Pn (x ) — многочлен степеня n,
arcf — одна з арк-функцій:
arcsin, arccos, arctg чи arcctg, треба брати:
u ln x або u arcf x .
14.4. Знайти:
1)
e
3x
cos 2xdx ;
2)
a 2 x 2dx .
Розв’язання. [8.3.4, 8.3.5.]
1) I e 3x cos 2xdx
u e 3x
або
du 3e 3xdx
1
dv cos 2xd v sin 2x
2
u e 3x
du 3e 3xdx
1
3
sin 2x e 3x e 3x sin 2xdx
1
2
2
dv sin 2xd v cos 2x
2
1
3 1
3
e 3x sin 2x e 3x cos 2x e 3x cos 2xdx
2
2 2
2
1
9
e 3x (2 sin 2x 3 cos 2x ) e 3x cos 2xdx .
4
4
[Записуємо рівняння щодо шуканого інтеграла.]
14. Методи замінювання змінної і інтегрування частинами
171
1 3x
9
e (2 sin 2x 3 cos 2x ) I ;
4
4
1
I e 2x (2 sin 2x 3 cos 2x ).
13
xdx
2
2
u
a
x
du
a 2 x 2dx
a2 x 2
dv dx
vx
I
2) I
2
2
x a x
x2
a2 x 2
dx
x a x
2
2
x 2 a2 a2
перетворюємо інтеграл
a2 x 2
dx
x
a 2 x 2dx a 2 arcsin .
a
[Записуємо рівняння щодо шуканого інтеграла.]
x a2 x 2
x
I
a
a2
x
1
2
2
I x a x arcsin C .
2
2
a
sin bx
sin(ln x )
ax
Коментар. Інтеграли вигляду e
dx ,
dx та ін., двічі
cos bx
cos(ln x )
I x a 2 x 2 a 2 arcsin
інтегрують частинами, двічі вибираючи за u функцію того самого типу (чи e x ,
чи тригонометричну функції — все одно), і одержують рівняння щодо шуканого інтеграла.
Інтеграли вигляду
a 2 x 2dx,
x 2 a 2dx один раз інтегрують части-
нами, перетворюють одержаний інтеграл і дістають рівняння щодо шуканого
інтеграла.
Задачі для аудиторної і домашньої роботи
14.5. Застосовуючи заміну змінної, знайдіть:
1)
x (5x 1)
3)
1
5)
19
dx
x
;
dx
1 ex
;
dx ;
xdx
2)
(2x 1)7 ;
4)
1 3 x 1;
6)
e
dx
x
dx .
172
Модуль 3. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
14.6. Знайдіть, інтегруючи частинами:
1)
x sin 2xdx ;
2)
(9x 3) cos 3xdx ;
3)
x 3 dx ;
4)
xe
5)
arccos(2x )dx ;
6)
x arctg xdx ;
7)
x
8)
ln(x
9)
(x
x
2
ln(1 x )dx ;
2
2x 3) sin xdx ;
x
10)
xe
dx ;
2
1)dx ;
2 x
dx ;
11)
(arcsin x )2dx;
12)
ln
13)
e
2 x
14)
sin ln xdx ;
15)
e
sin x
cos 5xdx ;
sin 2xdx ;
16)
2
xdx ;
x 2 arctg x
1 x2
dx .
Відповіді
14.5. 1)
4)
1 (5x 1)21 (5x 1)20
C ; 3) 2( x ln(1 x )) C ;
25
21
20
1 ex 1
3
23
13
C;
(x 1) 3(x 1) 3 ln 1 3 x 1 C ; 5) ln
2
1 ex 1
x
( x 1) C .
3x
1
x
14.6. 1) sin 2x cos 2x C ; 2) 2) (3x 1) sin 3x cos 3x C ; 3) 2 (x ln 3 1) C ;
4
2
ln 3
2
1
x 1
x
1 4x 2 C ; 6)
4) C ex (x 1); 5) x arccos 2x
arctg x C ;
2
2
2
3
3
2
(x 1) ln(1 x ) x
x
x
7)
C ; 8) x ln(x 2 1) 2x 2 arctg x C ;
3
9
6
3
2
9) (x 1) cos x 2(x 1) sin x C ; 10) C e x (2 2x x 2 );
6) 2e
11) 2 1 x 2 arcsin x 2x x arcsin2 x C ; 12) x(ln2 x 2 ln x 2) C ;
x
e 2x
(5 sin 5x 2 cos 5x ) C ; 14) (sin ln x cos ln x ) C ;
29
2
1
1
15) 2e sin x (sin x 1) C ; 16) x arctg x ln(1 x 2 ) arctg2 x C .
2
2
13)
15. Інтегрування дробово-раціональних функцій
15. Інтегрування дробово-раціональних функцій
Навчальні задачі
15.1. Зінтегрувати елементарні дроби:
1)
2dx
;
x 1
2)
x 5
3)
x 2 2x 5
5)
(x 2 6x 13)2 .
dx ;
4)
3dx
(x 2)3 ;
dx
(x 2 9)3 ;
2x 3
Розв’язання. [8.4.]
2dx
1)
2 ln x 1 C .
x 1
3dx
3
3 (x 2)3d(x 2)
C.
2)
3
2
(x 2)
2(x 2)
3)
x 5
x 2 2x 5 dx
1
(2x
2
2
d (x 2 2x 5) (2x 2)dx
x 5
2) 4
1
(2x 2) 4
2
1 d (x 2 2x 5)
dx
4
x 2x 5
2
x 2 2x 5
x 2 2x 5
x 2 2x 5
d (x 1)
1
2
x
x
ln(
2
5)
(x 1)2 4
2
(x 1)2 4
x 1
1
1
ln(x 2 2x 5) arctg
C.
2
2
2
4) [Застосовуємо рекурентну формулу [8.4.4].]
dx
1
x
, n
In 2
(2
n
3)
I
n 1
2 n
2
2
2 n 1
(x a )
2a (n 1) (x a )
dx
(x 2 9)3
dx
a 3;
1
x
dx
(2
3
3)
2
(x 2 9)2
n3
2 2 9 (x 9)2
a 3;
1
x
1 x
dx
3
(2
2
3)
2
x 2 9
n 2
36 (x 9)2
2 1 9 x 2 9
1
1
1
x
x
x
arctg C .
36 (x 2 9)2 216 x 2 9 648
3
173
174
5)
Модуль 3. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
d (x 2 6x 13) 2x 6
(2x 3)dx
(x 2 6x 13)2
2x 3 (2x 6) 3
(2x 6)dx
(x 2 6x 13)2
dx
3
f (t )
1
dt C
f
f (t )
(x 2 6x 13)2
x 2 6x 13(x 3)2 4
2
1
d (x 3)
3
x 2 6x 13
((x 3)2 4)2
1
x 3
d (x 3)
1
2
3
(2
2
3)
(x 3)2 4
2 1 4 (x 3)2 4
x 6x 13
x 3
x 3
1
3
3
2
C.
arctg
2
x 6x 13 8 (x 3)2 4 16
15.2. Вилучити цілу частину дробу
x5 x2 1
x2 x 1
.
Розв’язання. [5.6.6.]
[ Вилучають цілу частину діленням многочленів у стовпчик. Ділити припиняють тоді, коли степінь остачі стане меншим за степінь дільника.]
x5 x2 1 x2 x 1
5
x x4 x 3 x3 x2 2
x 4 x 3 x 2 1
x 4 x 3 x 2
2x 2 1
2x 2 2x 2
2x 3
[Записуємо відповідь.]
x5 x2 1
x2 x 1
x3 x2 2
2x 3
x2 x 1
.
15.3. Розкласти правильні дроби на елементарні:
1)
3)
3x 1
(x 2)(x 1)3
2x 1
(x 2 1)2 x 2
.
;
2)
x2 3
(x 1)(x 2 x 1)
;
15. Інтегрування дробово-раціональних функцій
175
Розв’язання. [8.4.6.]
B1
B2
B2
3x 1
A
.
1)
x
2
x 1 (x 1)2 (x 1)3
(x 2)(x 1)3
відповідає
(x 2)
2)
x2 3
2
(x 1)(x x 1)
відповідає (x 1)3
A
Mx N
2
.
1
x
x
x
1
відповідає
(x 1)
3)
2x 1
(x 2 1)2 x 2
відповідає
(x 2 x 1)
A1 A2
M x N 1 M 2x N 2
2 12
2
.
2
x
x
x
x
1
(
1)
2
відповідає x
відповідає (x 2 1)2
15.4. Знайти коефіцієнти розкладу дробів на елементарні:
1)
3)
6x 3 11x 2 10x 9
(x 1)(x 2)(x 2 1)
1
2
2
2
;
2)
4x
(x 1)2(x 3)
;
.
x (x 1)
Розв’язання. [8.4.6, 8.4.7, 8.4.9, 5.6.2.]
[Розкладаємо правильний дріб на суму елементарних дробів.]
6x 3 11x 2 10x 9
A
B
Cx D
.
(x 1)(x 2)(x 2 1) x 1 x 2
x2 1
[Зводимо розкладені дроби до спільного знаменника і прирівнюємо чисельники
дробів в обох частинах рівності (знаменники у них рівні).]
6x 3 11x 2 10x 9
A(x 2)(x 2 1) B(x 1)(x 2 1) (x 1)(x 2)(Cx D ).
[Прирівнюємо коефіцієнти при однакових степенях [5.6.2] .]:
x3 6 A B C
A 2,
x 2 11 2A B 3C D
B 3,
C 1,
x 1 10 A B 2C 3D
D 1.
x 0 9 A B 2D
[Записуємо відповідь.]
6x 3 11x 2 10x 9
2
3
x 1
.
(x 1)(x 2)(x 2 1) x 1 x 2 x 2 1
2) [Розкладаємо правильний дріб на суму елементарних дробів.]
176
Модуль 3. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
4x
A
B
C
.
(x 1)2(x 3) x 1 (x 1)2 x 3
[Коефіцієнти над степенями лінійних многочленів знаходимо методом викреслювання (домноження).]
[8.4.8]
B
4x
(x 1)2 (x 3) x 1
[8.4.8]
4x
C
1.
3
;
4
(x 1)2 (x 3) x 3
[8.4.8]
1 4x
4(x 3) 4x
A
1 ! x 3
(x 3)2
x 1
x 1
3
.
4
Отже,
4x
2
3
4
x 1
1
2
3
4
x 3
.
(x 1) (x 3)
(x 1)
3) [Розкладаємо дріб на елементарні перетворюючи його (метод перетворення.]
1
(1 x 2 ) x 2
1
1
x 2(x 2 1)2
x 2(x 2 1)2
x 2(x 2 1) (x 2 1)2
(1 x 2 ) x 2
1
1
1
1
.
x 2 (x 2 1)
(x 2 1)2
x 2 x 2 1 (x 2 1)2
Коментар. Два многочлена того самого степеня тотожно рівні, якщо вони
мають рівні коефіцієнти при однакових степенях.
Знаходження коефіцієнтів можна дещо спростити, підставляючи у тотожність
зручні значення: перші два «зручних» значення — дійсні корені знаменника.
(метод зручних значень).
Підставляємо в тотожність значення:
x 1 4 2A A 2;
x 2 15 5B B 3;
x 0 9 2A B 2D D 1.
Оскільки визначення коефіцієнту C потребує ще однієї рівності, прирівнюємо
коефіцієнти в обох частинах тотожності при x 3 :
6 A B C C 1.
15.5. Знайти:
1)
x4 1
x 3 x2 x 1
dx ;
2)
2x 3
x 2 7x 12
dx ;
15. Інтегрування дробово-раціональних функцій
3)
dx
1x
;
4
4)
x4
8 x3
177
dx .
Розв’язання. [8.4.10.]
1) Підінтегральна функція є неправильним дробом.
[Крок 1. Вилучаємо цілу частину неправильного дробу.]
x4 1
2
x
1
.
x3 x2 x 1
x3 x2 x 1
[Крок 2. Правильний дріб розкладаємо на суму елементарних дробів методом
невизначених коефіцієнтів.]
x 3 x 2 x 1 (x 1)(x 2 1).
A
Mx N
1
1x
;
x 1 x2 1
x2 1
(x 1)(x 2 1) x 1
x4 1
1
x 1
x
1
.
x 1 x2 1
x 3 x2 x 1
[Крок 3. Інтегруємо суму цілої частини дробу і елементарних дробів.]
x 1
1 d (x 2 1)
dx
1
2
x 2 1 dx 2 x 2 1 x 2 1 2 ln(x 1) arctg x C1;
x4 1
dx
x 3 x 2 x 1 dx (x 1)dx x 1
1
x 1
x2
x ln x 1 arctg x ln(x 2 1) C .
dx
2
2
x2 1
2x 3
2) 1.
— дріб правильний.
2
x 7x 12
2
2. x 7x 12 (x 3)(x 4).
2
2x 3
A
B
.
(x 3)(x 4) x 3 x 4
A
2x 3
11.
(x 3)(x 4) x 4
2x 3
9
11
.
2
x
3
x
4
x 7x 12
2x 3
dx
dx
9
11
2
x
3
x
4
x 7x 12
9 ln x 3 11 ln x 4 C .
B
3.
2x 3
9;
(x 3)(x 4) x 3
178
3) 1.
Модуль 3. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
1
— дріб правильний.
1 x4
2. 1 x 4 (1 x )(1 x )(1 x 2 ).
1
A
B
Mx N
.
x 1 x 1
1 x4
x2 1
A
B
1
(x 1)(x 1)(x 2 1) x 1
1
;
4
1
(x 1)(x 1)(x 2 1) x 1
1
.
4
x 3 | A B M 0 M 0;
1 1
1
x 0:1 N N .
4 4
2
1
1 1
1 1
1 1
.
4 x 1 4 x 1 2 x2 1
1 x4
dx
1
dx
1
dx
1
dx
3.
4 x 1 4 x 1 2 x2 1
1 x4
1
1
1
ln x 1 ln x 1 arctg x C .
4
4
2
x4
4) 1.
— неправильний дріб.
8 x3
x4
8x
.
x
x3 8
x3 8
2. x 3 8 (x 2)(x 2 2x 4).
8x
(x 2)(x 2 2x 4)
A
Mx N
x 2 x 2 2x 4
A(x 2 2x 4) (Mx N )(x 2)
.
(x 2)(x 2 2x 4)
8x A(x 2 2x 4) (Mx N )(x 2).
4
;
3
4
0 AM M ;
3
8
0 4A 2N N .
3
x 2 16 12A A
x2
x0
15. Інтегрування дробово-раціональних функцій
179
4
1
x 2
x
.
3 x 2 x 2 2x 4
x3 8
4
dx
4
x 2
xdx
2
dx
3 x 2 3 x 2x 4
x4
3.
x 4dx
x3 8
x 2
x 2 2x 4
d(x 2 2x 4) 2x 2,
dx
x 2
1
(2x 2) 3
2
dx
1 d (x 2 2x 4)
3
2
x 2 2x 4
(x 1)2 3
x 1
1
ln(x 2 2x 4) 3 arctg
C 1.
2
3
x2 4
2
4
x 1
arctg
ln(x 2) ln(x 2 2x 4)
C.
2
3
3
3
3
Задачі для аудиторної і домашньої роботи
15.6. Розкладіть на суму елементарних раціональний дріб:
2x 2 41x 91
;
1)
(x 1)(x 3)(x 4)
3)
5)
7)
3x 3 10x 2 11x 21
x 2 5x 4
x 2 x 14
(x 4)3(x 2)
x2 1
3
x 1
;
;
5x 2 25x 26
;
2)
(x 1)(x 2)(x 3)
;
4)
6)
8)
x 4 x 3 9x 2 10x 14
x 2 2x 8
x 3 2x 2 3x 4
x 2 (x 2)2
3x 7
3
2
x x 4x 4
15.7. Знайдіть:
4dx
1)
x 5;
3)
(x 2)4 ;
5)
3dx
dx
x 2 4x 5
;
3dx
;
4x 1
2)
4)
(x 2)3 ;
6)
7dx
dx
2x 2 4x 5
;
.
;
;
180
Модуль 3. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
xdx
7)
(x 2 4)2 ;
9)
(x 1)(2x 1);
8)
xdx
11)
xdx
x 2 5x 4
;
xdx
x 4 6x 2 13
10)
12)
;
xdx
;
2x 2 3x 2
4x 3
x 2 2x 6
dx .
15.8. Знайдіть:
1)
3)
5)
2x 2 41x 91
dx ;
(x 1)(x 3)(x 4)
x3 1
4x 3 x
dx ;
;
x 3 5x 2 8x 4
x 3 6x 2 9x 7
9)
x(x 2 1);
11)
13)
4)
x 2dx
7)
(x 2)3(x 5)
dx ;
dx
;
(x 1)(x 2 2x 5)
x3 x 1
(x 2 2)2
dx
(1 x 2 )4
17)
dx ;
;
dx
;
x 4x 3
4
6)
8)
10)
(2x 2 3x 3)dx
15)
2)
2
12)
14)
dx
6x 3 7x 2 3x
;
(2x 2 5)dx
;
x 4 5x 2 6
x3 1
x3 x2
dx ;
(7x 3 9)dx
x 4 5x 3 6x 2
;
dx
1 x 3;
x 5 2x 3 4x 4
x 4 2x 3 2x 2
(5x 2 12)dx
(x 2 6x 13)2 ;
x2 x
16)
(x 1)9 dx ;
18)
(x 4 1)2 .
dx
dx ;
15. Інтегрування дробово-раціональних функцій
181
Відповіді
4
7
5
3
4
2
1
3
; 2)
; 3) 3x 5
;
x 1 x 3 x 4
x 1 x 2 x 3
x 1 x 4
13
3
2
2
1
1
;
4) x 2 x 1
; 5)
3
2
x 4 x 2
x 2 x 4
(x 4)
(x 4)
1
1
1
3
1 2
x 1
2
2x 1
2
; 7)
; 8)
6) 2
2
.
2
4x 2(x 2)
4(x 2)
3x 1 x x 1
x 1 x 4
x
15.6. 1)
7
3
1
C;
ln 4x 1 C ; 3) C
; 4)
4
2(x 2)2
(x 2)3
1
x 1
1
2(x 1)
1
x2 3
1
ln
C
;
5)
6)
arctg
C ; 7)
C;
C ; 8) arctg
6
x 5
6
6
4
2
2(x 2 4)
15.7. 1) 4 ln x 5 C ; 2)
9) ln
1
x 1
1
5 x 4
C;
C ; 10) ln((x 2)2 2x 1) C ; 11) ln x 2 5x 4 ln
2x 1
5
2
6
x 1
12) 2 ln(x 2 2x 6)
15.8. 1) ln
1
5
arctg
x 1
5
C.
3
2
1
(x 1)4(x 4)5
ln 3x 1
ln 2x 3 ln x C ;
C ; 2)
7
(x 3)
11
33
3
x
7
9
ln x ln 2x 1 ln 2x 1 C ;
4
16
16
4
1
x 2
1
x 3
4)
ln x 1 C ;
ln
ln
C ; 5)
x2
2 2
x 2
2 3
x 3
3
1
(x 1)2
ln x 5 C ;
6) x ln
C ; 7)
x
x
2(x 2)2
3)
3
5
47
ln x 20 ln x 3
ln x 2 C ;
2x 4
4
x
1
(x 1)2
1
2x 1
C
;
9) ln
10)
ln
arctg
C;
2
6 x x 1
3
3
x2 1
8)
11) ln
(x 2 2x 5)3
1
x 1
arctg
C;
x 1
2
2
x2
2
2x 2 ln(x 2 2x 2) 2 arctg(x 1) C ;
12)
2
x
2x
ln(x 2 2)
1
x
arctg
C;
13)
2
2
4 2
2
4(x 2)
13x 159
53
x 3
15x 5 40x 3 33x
5
arctg
C
;
arctg x C ;
14)
15)
2 3
2
2
16
8(x 6x 13) 16
48(1 x )
16)
18)
1
x
1
3
1
17)
ln
6
7
8 C;
6(x 1)
7(x 1)
4(x 1)
4 3
x
3
x
3
x 1
arctg x
ln
C.
8
x 1
4(x 4 1) 16
3
3
1
x 1
ln
C;
4
x 1
182
Модуль 3. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
16. Інтегрування тригонометричних виразів
Навчальні задачі
16.1. Знайти:
1)
3)
dx
;
3 cos x sin x 5
cos5 x
4
2)
dx ;
4)
sin x
Розв’язання. [8.5.1–8.5.4.]
1)
sin 3 xdx
cos2 x
;
dx
2
2
sin x 3 sin x cos x cos x
x
2t
; sin x
,
2
dx
2
1
t
1 t2
2dt
3 cos x sin x 5
cos x
, dx
1 t2
1 t2
2dt
dt
dt
1 t2
2
1
15
3 3t 2
2t
t2 t 4
t2 4
5
1 t2
1 t2
2 x 1
2
2
1
2
tg
arctg
t
C
arctg
C .
2
15 2 2
15
15
15
[8.5.1]
t tg
2)
sin 3 xdx
cos2 x
( sin x )3
cos2 x
3)
cos5 x
4
sin x
dx
4)
cos2 x
sin2 x sin xdx
cos2 x
( cos x )5
4
sin x
cos2 x 1 t 2
d (sin x )
d (sin x )
2
sin 4 x
sin2 x
dx
[8.5.2]
(1 cos2 x )d (cos x )
d (cos x )
d (cos x )
t sin x ; dt cos xdx ;
sin3 x
cos2 x
cos5 x
4
sin x
cos2 x
cos x
[8.5.3]
1
C.
cos x
cos4 x cos xdx
4
sin x
(1 sin2 x )2 d (sin x )
sin 4 x
1
2
d(sin x ) 3 sin 3 x sin x sin x C .
sin2 x 3 sin x cos x cos2 x
.
16. Інтегрування тригонометричних виразів
183
1
[8.5.4]
2
2
(
sin
x
)
3(
sin
x
)(
cos
x
)
(
cos
x
)
1
sin2 x 3 sin x cos x cos2 x
1
dx
d (tg x )
2
2
2
tg x 3 tg x 1 cos x
tg x 3 tg x 1
1
2 tg x 3 5
d (tg x )
ln
C.
2
3
5
5
2 tg x 3 5
tg x 2 4
16.2. Знайти:
1)
1
cos3 x
cos4 x
3)
5)
ctg
6
sin x
3
dx
dx ;
2)
sin7 x
dx ;
4)
tg 4 xdx ;
;
xdx .
Розв’язання. [8.5.]
1)
2)
3)
4)
cos2 x sin 2 x
1
sin 2 x
dx
cos x
[8.3.4]
dx
dx
cos3 x dx
cos3 x
cos3 x
u sin x du cos xdx
dx
sin x
1
dx
sin xdx
1
cos x 2 cos2 x 2 cos x
dv
v
cos3 x
2 cos2 x
x
1
sin x
ln tg
C.
2
2 4
2 cos2 x
x
2dt
t tg , dx
dx
2
1 t2
2t
sin7 x
sin x
1 t2
[8.5.1]
cos4 x
[8.5.4]
(1 t 2 )6dt
64t
7
....
ctg5 x
dx ctg x
ctg xd (ctg x )
C.
5
sin 6 x
sin2 x
[8.5.8]
1
4
tg xdx tg 2 x tg 2 xdx tg 2 x
1 dx
cos2 x
4
dx
4
184
Модуль 3. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
1
tg 3 x
dx
tg xd (tg x ) tg xdx
1
cos2 x
3
tg3 x
tg x x C .
3
[8.5.9]
1
3
1 dx
ctg xdx ctg x ctg2 x dx ctg x
sin2 x
2
5)
2
1
d sin x
ctg xd(ctg x ) ctg xdx ctg2 x
2
sin x
1
ctg2 x ln sin x C .
2
16.3. Знайти:
1)
sin 6x cos 7xdx ;
2)
cos
4
3xdx .
Розв’язання. [8.5.7, 8.5.10.]
1)
[8.5.10]
sin 6x cos 7xdx
1
1
1
(
sin
x
sin
13
x
)
dx
cos
x
cos
13
x
C.
2
2
13
2
1
2) cos 3xdx
dx 1 2 cos 6x cos2 6x dx
4
1 cos 12x
1
1
3
1
1
cos 6x dx x sin 6x
sin 12x C .
8
2
4
8
12
96
[8.5.7]
4
1 cos 6x
2
Задачі для аудиторної і домашньої роботи
16.4. Знайдіть:
1)
3)
sin 4 x cos 4 dx ;
cos 3x cos xdx ;
3
x
x
dx ;
2
2)
4)
cos
4
5
xdx ;
2
x cos5 xdx ;
sin 5x sin
x
dx .
2
16.5. Знайдіть:
1)
sin
3
xdx ;
2)
cos
3)
sin
3
x cos2 xdx ;
4)
sin
5)
sin
2
x cos2 xdx ;
6)
sin2 x cos4 x;
16. Інтегрування тригонометричних виразів
sin 3 x
7)
9)
ctg
11)
13)
cos4 x
8)
sin 4 x
cos2 x
dx ;
xdx ;
10)
tg
dx
;
5 3 cos x
12)
dx
;
5 4 sin x
dx
;
5 4 sin x 3 cos x
14)
dx
;
3 2 sin x cos x
4
dx
15)
17)
sh
19)
dx ;
185
2
2
4 sin x 7 cos x
3
;
xdx ;
dx
4
4
sin x cos x
;
5
dx
16)
18)
ch
20)
xdx ;
2
2
4 3 cos x 5 sin x
3
;
xdx ;
sin 2xdx
4
4
cos x sin x
.
Відповіді
1
1
1
11
1
9
x 1
sin 2x sin 4x C ; 2) sin x sin x C ; 3) cos cos x C ;
4
8
11
2
9
2
2 2
3x
sin x
sin 2x
4)
C.
8
2
16
cos3 x
2 sin3 x
sin5 x
C ; 2) sin x
16.5. 1) cos x
C;
3
5
3
1
1
1
2
1
3) cos5 x cos3 x C ; 4) sin 3 x sin5 x sin7 x C ;
3
5
7
5
3
x
sin 4x sin3 2x
1
1
x sin 4x
5)
C ; 7)
C ; 6)
C;
3
3 cos x cos x
8
32
16
64
48
1
3
1
8) tg x sin 2x x C ; 9) x ctg 3 x ctg x C ;
4
2
3
1
x
2
5 tg x2 4
1
1
10) tg 4 x tg2 x ln cos x C ; 11) arctg 2 tg
C ; 12) arctg
C;
2
2
3
3
4
2
x
1
1
2 tg x 7
C ; 14) arctg tg 1 C ; 15)
13)
ln
C;
x
2
tg 2
4 7
2 tg x 7
16.4. 1)
2
1
1
1
arctg(3 tg x ) C ; 17) ch3 x ch x C ; 18) sh x sh 3 x C ;
3
3
3
1
19) C
arctg( 2 ctg 2x ) C ; 20) arctg(tg2 x ) C .
2
16)
186
Модуль 3. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
17. Інтегрування ірраціональних виразів
Навчальні задачі
17.1. Зінтегрувати, використовуючи відповідну замінну змінної:
1)
3)
xdx
x 1 3 x 1
dx
2
3x 6x 4
;
;
2)
4)
2x 1 dx
;
2x 1 2x 1
dx
.
x x x 1
2
Розв’язання. [8.6.]
1)
[8.6.4]
xdx
x 1 t 6,
x t 1, 6
6
x 1 3 x 1
(t 6 1)t 5dt
t3 t2
dx 6t 5
t 3(t 6 1)
6
dt 6 t 8 t 7 t 6 t 5 t 4 t 3 dt
t 1
t 9 t 8 t 7 t 6 t 5 t 4
6
C.
9
8
7
6
5
4 t 6 x 1
2)
2x 1
1 1 t2
2
t x
[8.6.4]
2x 1 dx
2
x
1
2 1 t2
2tdt
2
2x 1 2x 1
dx
; 2x 1
(1 t 2 )2
1 t2
t 2tdt
t2
1
dt
1
1 t 2
1t
2
2 2
(1 t )
1 t2
1
1t
2x 1 1
2x 1 2x 1
t ln
C
ln
C.
2
1t
2x 1 2
2x 1 2x 1
dt
2
[5.5.3]
3)
dx
2
3x 6x 4
4)
[8.6.1]
dx
x x2 x 1
3x 6x 4
4
3 x 2 2x
3
dx
1
3
2
(x 1)2
[8.6.3]
t
1
3
1
3
1
2
3 (x 1)
3
ln x 1 (x 1)2
1
1
dt
; x ; dx
2
x
t
t
1
C.
3
17. Інтегрування ірраціональних виразів
dt
dt
187
dt
2
2
1 1
5
1
1t t
t 2 1
t2
4
t
t
t 21
2t 1
2x
arcsin
C arcsin
C arcsin
C.
5
5
5x
2
17.2. Використовуючи тригонометричні підстановки, знайти:
1)
dx
x2 x2 9
Розв’язання. [8.6.6.]
1)
;
2)
dx
(4 x 2 )3
.
3dt
x 3 tg t, t 0; ; dx
dx
2
cos2 t
3
x2 x2 9
x 2 9 9 tg2 t 9
cos t
3dt
1 cos tdt
1 d sin t
1
C
3
2
2
2
2
t
9
9
9
sin
t
t
sin
sin
cos t 9 tg t
cos t
2)
x2
x2 9
1 1 1
1
C
C
C.
1
9 cos t tg t
3x
9
9x
x
x
2
sin
t
,
t
0;
;
dx
2
cos
tdt
;
sin
t
;
dx
2
2
(4 x 2 )3
4 x 2 4 4 sin2 t 2 cos t
1
dt
1
tg t C
4 cos2 t
4
8 cos3 t
1
sin t
1
x
x
C
C.
2
4 1 sin2 t
4 2 1 x2
4 4x
4
2 cos tdt
17.3. Знайти, використовуючи теорему Чебишова:
1)
3)
dx
x (1 3 x )3
dx
4
1x
4
Розв’язання. [8.6.5.]
.
;
2)
3
1 4 x
x
dx ;
188
Модуль 3. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
1
, p 3
3
k НСК(1, 3) 3;
m 1, n
1)
dx
x(1 3 x )3
x 1(1 x
1 3 3
) dx
x t 3 ; dx 3t 2dt
записуємо підінтегральний вираз
як диференціальний біном
визначаємо випадок
1
t 3 (1 t )
3
1t t
t(1 t )3
1
1
...
(1 t )3 t(1 t )2
t(1 t )3
1
1
1
1
t 1 t (1 t )2 (1 t )3
3
dt
3t 2dt 3
1
1
1 1
t 1 t (1 t )2 (1 t )3 dt
3
3
C
1 t 2(1 t )2
3 ln t 3 ln 1 t
3
3 ln
2)
3
1 4 x
x
dx
x
3
x
x 1
1 2
(1 x
3
3
1 x
3
3
2
2( x 1)
C.
14 13
) dx
1
1
1
m ,n , p ;
2
4
3
3)
1 4 1 3 3 4
14
(1 x ) x
dx (t 3 1)t 12t 2dt 12 (t 6 t 3 )dt
t7 t4
12 3
12 C
(1 4 x )7 3 3 (1 4 x )4 C .
7
4
7
x
dx
4
m 1
14
14 13
2 1 x t 3 ; t (1 x ) ;
n
1 3 4
x
dx 3t 2dt
4
1x
4
x
0
1 4
(1 x 4 )
dx
17. Інтегрування ірраціональних виразів
1
m 0, n 4, p ;
4
m 1
p 0 x 4 1 t 4 ;
n
1
t 3dt
x
; dx
14
5 4
(t 4 1)
(t 4 1)
14
(t 4 1)
t
t 3dt
5 4
(t 4 1)
t 2dt
t4 1
1
t 1
1
1
ln
arctg t C ln
4
t 1
2
4
189
1 4 1
(x 4 1)
1
2
4
x 4 1 1
4
x 4
x dx
1
1
dt
t 2 1 t 2 1
1
arctg 4 x 4 1 C .
2
1 1
Задачі для самостійного розв’язання
17.4. Знайдіть:
1)
3)
5)
7)
9)
x
3
x2 x
dx
3
2x 1 2x 1
2
5 13x 8x
xdx
2
2x 5x 3
13)
(2x 3)
;
2
;
2 x2
4x x
dx ;
4)
10)
dx
1 x2
8)
;
xdx
8 3x 2x
2)
6)
dx
;
1 x dx
;
x 1 x
11)
15)
dx ;
2
;
dx
x 3 x 24 x
2x 3
3
2x 3 1
dx ;
1 x 3
dx ;
1 x
dx
11 9x 7x
2
x 8
2
3x x 9
;
dx ;
5x 3
12)
14)
;
x 2x 1
dx
16)
;
1 13x 5x
dx
2
x x2 1
;
2
dx ;
190
Модуль 3. ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
17)
19)
21)
23)
x (1 3 x )4dx ;
dx
;
x x 1
3
2
dx
;
4
1x
3
1 4 x
4
x
dx ;
1 3 3
18)
x 1(1 x
20)
x 5 3 (1 x 3 )2dx ;
22)
24)
1 x4
x5
3
) dx ;
dx ;
1 4 xdx .
Відповіді
66 5 33 2
x
x 2 x 3 3 x 6 6 x 6 ln
5
2
17.4. 1)
6
x 1 C;
2) 2 x 3 3 x 8 4 x 6 6 x 4812 x 3 ln(1 12 x )
171
212 x 1
arctg
C;
7
7
3
3) t 3 t 3 6 t 3 ln( 6 t 1) C
2
33 6
ln( x 12 x 2)
2
4)
9)
t 2x 1
36 7 36 5
t
t t 3 6 t 3 arctg 6 t C
7
5
t 2x 3
;
1x
1x
1x 1x
1x
2 arctg
C ; 6) (5 x )
6 arctg
C;
1x 1x
1x
1x
1x
5) ln
7)
;
1
2 2
ln x
13
13
5
1
14x 9
x 2 x C ; 8)
arcsin
C;
16
8
8
7
389
1
5
5
5
3
2x 2 5x 3
ln x x 2 x C ;
2
4
2
2
4 2
10)
1
47
1
x
3x 2 x 9
ln x x 2 3 C ;
3
6
3
6 3
1
3
4x 3
8 3x 2x 2
arcsin
C;
2
4 2
73
19
10x 13
arcsin
C;
12) 1 13x 5x 2
2 5
189
1
1
x 6 60x 15x 2
13) C
ln
; 14) arccos
C;
x 2
15
2x 3
11)
15)
1
2 2
ln
2 2x 2 x
2
2 2x x
ln(x x 2 1) C ;
17. Інтегрування ірраціональних виразів
191
x2 x
1
x 2 1 ln x x 2 1 C ;
2
2
2
2
24
36
8
6
17) x x x 6 x 5 x 2 6 x x 2 x x 2 6 x 5 C ;
3
11
13
5
17
3
3
x
2 x 3
18) 3 ln
C;
3
2(1 3 x )2
1 x
16)
1 3 2
1 3 2
3
23 x 2 1 1
3 2
2
arctg
C;
19) ln( x 1 1) ln( (x 1) x 1 1)
2
4
2
3
4
4
4
4
1
1
20) 3 (1 x 3 )8 3 (1 x 3 )5 C ; 21) 1 ln 1 x x 1 arctg 1 x C ;
8
5
4 4 1 x4 x 2
x
22)
1
1 x4 1 1 1 x4
3
ln
C ; 23) (4 x
2
4
4
4 x
7
x
24)
12 3 (1 4 x )13 18 3 (1 4 x )10
36 3 (1 4 x )7
3 3 (1 4 x )4 C .
13
5
7
12.7. 1) y max (1)
1
1
, y min (1) ,
2
2
4
x 3)3 1
4
3; 3 , x 0 та x
4
x C;
3 — точки перегину,
y 0 — асимптота; 2) ymin (0) 1, x 1, y 0 — асимптоти;
3) y max (0) 2, y min (1)
4) ymax (0) 0, y min (2)
3
3
4;
16, x 3 4 — точка перегину, x
3
4, y x — асимптоти;
1
5) y max (1) , x 2 — точка перегину, y 0 — асимптота;
e
4
6) y max (2) 2 , y min(0) 0, x 2 2 — точки перегину, y 0 — асимптота;
e
1
1
7) y max (1) , x 1
— точки перегину, x 0 — ліва асимптота, y 0 — асимптота;
e
2
8) x 1 — точка перегину, x 0 — права асимптота, y 2x 3 — асимптота.
1
9) y max e, x 1 — асимптота, x 0 та y 0 — праві асимптоти;
e
1
1
1
10) y min
— точка перегину;
, x
2e
e
e e
11) x k , k , — точки перегину;
1, y min (1) 1 , x 0 — точка перегину, y x — асимптоти.
2
2
12.8. Графік повторюється з періодом T 2, y max (a ) 2a, ymin (0) y min(2a ) 0.
12) y max (1)
Додаток
Грецька абетка
Α α — альфа
Ν ν — ню
Β β — бета
Ξ ξ — ксі
Γ γ — гамма
Ο ο — омікрон
Δ δ — дельта
Π π — пі
Ε ε — епсилон
Ρ ρ — ро
Ζ ζ — дзета
Σ σ — сигма
Η η — ета
Τ τ — тау
Θ θ — тета
Υ υ — іпсилон
Ι ι — йота
Φ φ — фі
Κ ϰ — каппа
Χ χ — хі
Λ λ — лямбда
Ψ ψ — псі
Μ μ — мю
Ω ω — омега
Модуль 0. АДАПТАЦІЙНИЙ КУРС
ЕЛЕМЕНТАРНОЇ МАТЕМАТИКИ
1. Дії з числами
Навчальні задачі
1.1.
Вилучити цілу частину дробу
35
.
8
Розв’язання. [4.11.2, 4.9.9.]
[Задача рівносильна діленню з остачею 35 на 8. ]
35 8
35
3
4 35 8 4 3.
32 4
8
8
3
1.2.
Для чисел 12 та 18 знайти:
1) дільники;
2) найбільший спільний дільник;
3) кратні (перших три);
4) найменше спільне кратне.
Розв’язання. [4.11.1, 4.11.9, 4.11.10.]
[Розкладаємо числа на прості дільники, використовуючи ознаки подільності
[4.11.4].]
12 2
18 2
6 2
9 3
12 22 3;
18 2 32
3 3
3 3
1
1
Дільниками числа 12 є: 1, 2, 3, 6, 12.
Дільниками числа 18 є: 1, 2, 3, 6, 9, 18.
НСД(12, 18) 2 3 6.
Числами, які кратні 12 є: 12, 24, 36, ....
Числами, які кратні 18 є: 18, 36, 54, ....
НСК(12, 18) 36.
1.3.
Звести до спільного знаменника дроби:
2
4
5
2
та ;
2) та .
3
5
6
9
Розв’язання. [4.11.10.]
[Для того, щоб звести дроби до спільного знаменника, знаходять найменше
спільне кратне знаменників.]
1)
194
Модуль 0. АДАПТАЦІЙНИЙ КУРС ЕЛЕМЕНТАРНОЇ МАТЕМАТИКИ
1. НСК(3, 5) 15.
2
2 5 10
;
3
3 5 15
2. НСК(6, 9) 18.
4
4 3 12
.
5
5 3 15
5
5 3 15 2
22
4
;
.
6
6 3 18 9
9 2 18
1.4.
Для дробів
2
3
та знайти:
7
5
1) суму;
2) різницю;
3) добуток;
4) частку.
Розв’язання. [4.9.10.]
[Для того, щоб додати або відняти дроби, зводимо їх до найменшого спільного
знаменника.]
3 2
37 25
21 10
31
.
1.
5 7
57 75
35 35
35
3 2
37 25
21 10
11
.
2.
5 7
57 75
35 35
35
3 2
32
6
.
3.
5 7
57
35
3 2
3 7
21
.
4. :
5 7
5 2 10
1.5.
Знайти невідомі члени пропорції:
x
2
;
10
5
Розв’язання. [4.10.5.]
10 2
1. x
4.
5
87
14.
2. y
4
1)
2)
8
4
.
y
7
1.6.
Знайти 40% від 70 грн.
Розв’язання. [4.10.1, 4.10.2.]
Нехай шукане число x . Тоді
70 гривням відповідає 100%,
x
[Складаємо пропорцію.]
гривням відповідає 40%.
1. Дії з числами
195
70 100
.
x
40
40% від 70 грн становлять
70 40
28 грн.
100
1.7.
Знайти число, якщо 15% його становлять 135.
Розв’язання. [4.10.1, 4.10.2.]
Нехай x — шукане число. Тоді
x відповідає 100%,
135 відповідає 15%.
x 15
100 135
135 x
900.
100
15
1.8.
Виконати дії:
1) x 3 x 5 ;
2)
5
3) x 3 ;
x5
x
3
;
4) x 0 .
Розв’язання. [5.3.1.]
1. x 3 x 5 x 3 5 x 8 .
x5
2. 3 x 53 x 2.
x
5
3. x 3 x 35 x 15.
4. x 0 1.
1.9.
Обчислити
212 312
10
15
2 3
Розв’язання. [5.3.5.]
.
212 312
210 315
21210
31512
22
33
4
.
27
Задачі для самостійної роботи
1.10. Знайдіть найбільший спільний дільник чисел:
1) 120 та 144;
2) 275 та 180.
1.11. Знайдіть найменше спільне кратне чисел:
1) 70 та 112;
2) 74 та 111.
196
Модуль 0. АДАПТАЦІЙНИЙ КУРС ЕЛЕМЕНТАРНОЇ МАТЕМАТИКИ
1.12. Спростіть:
1
3 12
1) 1 3 ;
3
4 29
1
1 11
2) 3 5 : ;
2
3 6
13, 75 9 1 1, 2 6, 8 3 3 5 5
6
5 6
1
3)
27 ;
2
6
10, 3 8 1 5
3 3 1 56
3
2 9
6
1 1 4 1 9 2
7 15
:
;
4)
4
1 9 3 2 5 1 6
1.13. Знайдіть відсоткове відношення чисел:
1) 1 до 4;
2) 3 до 5;
3) 5 до 2;
4) 3, 2 до 1, 28.
1.14. Знайдіть:
1) 4% від 75;
2) 15% від 84 кг;
3) 160% від 82 грн;
4) 45% від 140 грн.
1.15. Знайдіть число, якщо:
1) 40% його дорівнюють 12;
2) 1, 25% його дорівнюють 55;
3) 0, 8% його дорівнюють 1, 84;
4) 7% його дорівнюють 182.
1.16. Поділіть:
1) число 30 у відношення 1 : 9;
2) число 44 у відношенні 4 : 7;
3) число 48 у відношенні 3 : 5;
4) число 72 у відношенні 5 : 7.
1.17. Запишіть у вигляді степеня з основою x :
1) (x 7 x 9 )2;
2) x 7 (x 9 )2;
x 2 3
3) ;
x 9
x 7
4) ;
x 6
x 3 x 4 6
;
5)
x 5
x 4 8
.
6)
x 3
2. Модуль
197
1.18. Знайдіть значення числових виразів:
1)
3)
269
138 83
35 57
157 28
;
2)
229 312
118 94
;
4)
96 4 3
274 25
3410
211 179
;
:
76 27
148
;
Відповіді
1.10. 1) 24; 2) 5.
1.11. 1) 560; 2) 222.
9
1.12. 1) 1; 2) 1; 3) 1; 4) .
8
1.13. 1) 25%; 2) 60%; 3) 250%; 4) 250%.
1.14. 1) 3; 2) 4; 3) 131, 2; 4) 63.
1.15. 1) 30; 2) 4400; 3) 230; 4) 2600.
1.16. 1) 3 та 27; 2) 16 та 28; 3) 18 та 30; 4) 30 та 42.
1.17. 1) x 32 ; 2) x 25 ; 3) x 21; 4) x 35 ; 5) x 12 ; 6) x 56.
1.18. 1) 13; 2) 2; 3) 198; 4) 833.
2. Модуль
Навчальні задачі
2.1.1. Розв’яжіть рівняння x 3.
Розв’язання. [5.14.1, 5.14.4.]
І спосіб (аналітичний).
x 3,
x 3
x 1,2 3.
x
3
ІІ спосіб (геометричний).
3
3
Геометрично співвідношення x 3 означає, що
3
O
3
віддаль від точки x до початку координат дорівнює
3, тобто x 3 або x 3 (рис. 1).
Рис. 1 до зад. 2.1.1
ІІІ спосіб (графічний).
[Знаходимо точки перетину графіка y x і
прямої y 3. ]
Розв’язками рівняння x 3 є числа x 3
(рис. 2).
y
y x
y3
3
O
x
3
Рис. 2 до зад. 2.1.1
x
198
Модуль 0. АДАПТАЦІЙНИЙ КУРС ЕЛЕМЕНТАРНОЇ МАТЕМАТИКИ
2.1.2. Розв’яжіть нерівність x 1 2.
Розв’язання. [5.14.4.]
І спосіб (аналітичний).
x 1 2,
x 1,
x 1 2
3 x 1 x (3;1).
x 1 2,
x 3,
ІІ спосіб (геометричний).
1
1
Геометрично нерівність x 1 2 означає, що від- 3
x
2
2
даль від точки x до точки 1 менша за 2 (рис. 1).
Отже, x (3;1).
Рис. 1 до зад. 2.1.2
ІІІ спосіб (графічний).
[Будуємо графік y x 1
і пряму y 2. ]
y x 1 y
y 2
Розв’язком нерівності x 1 2 є проекція на
вісь Ox частини графіка y x 1 , яка розташована нижче за пряму y 2 (рис. 2).
Отже, x (3;1).
3
1 O
x
1
Рис. 2 до зад. 2.1.2
2.1.3. Розв’яжіть нерівність x 1 2.
Розв’язання. [5.14.4.]
І спосіб (аналітичний).
x 1 2,
x 1,
x 1 2
x (; 3] [1; ).
1
2,
3,
x
x
ІІ спосіб (геометричний).
3 1
1
Геометрично нерівність x 1 2 означає, що
2
2
віддаль від точки x до точки 1 не менша за 2
(рис. 1). Отже, x (; 3] [1; ).
Рис. 1 до зад. 2.1.3
ІІІ спосіб (графічний).
[Будуємо графік y x 1
і пряму y 2. ]
y x 1 y
y2
Розв’язком нерівності x 1 2 є проекція на
вісь Ox частини графіка y x 1 , яка розташована не нижче за пряму y 2 (рис. 2).
Отже, x (; 3] [1; ).
2.2.
3
1 O
x
1
Рис. 2 до зад. 2.1.3
Розкрити модуль у виразі y x 2 x 2 .
Розв’язання. [5.14.1.]
Коренями виразів, які стоять під знаком модуля, є числа x1 2, x 2 2.
x
2. Модуль
199
II
III
Вони розбивають числову вісь на 3 області:
I
I, II, III .
x
[Вказуємо знаки виразів x 2 та x 2 в
2
2
кожній з цих областей і звільняємось від знаРис. до зад. 2.2
ка модуля.]
І. x 2, y (x 2) (x 2) x 2 x 2 2x .
ІІ. 2 x 2, y (x 2) (x 2) x 2 x 2 4.
ІІ. x 2, y (x 2) (x 2) x 2 x 2 2x .
Задачі для самостійної роботи
2.3.
2.4.
Визначити довжину AB відрізка, заданого точками:
1) A(3) та B(11);
2) A(5) та B(2);
3) A(1) та B(3);
4) A(5) та B(3).
На числовій прямій позначте множину точок, віддаль від яких до точки
M (1) числової прямої:
1) дорівнює 2;
2) менше 2;
3) більше 2;
4) не більше 3;
5) не менше 3.
2.5.
Позначте на числовій осі числа, модуль яких дорівнює:
1) 3;
2.6.
2) 5.
Запишіть за допомогою модуля твердження:
1) «віддаль від точки x до точки 5 дорівнює 2 »;
2) «віддаль від точки y до точки 3 дорівнює 1 ».
2.7.
Запишіть без знака модуля вираз:
1) x 2 , x (; 2);
2) x 2 , x (2; );
3) x 2 x 4 x 3 , x (2; 3);
4) x 1 3 x 5 , x [1; 5).
2.8.
Розкрийте модуль у виразі:
1) x 3 ;
2) x 4 ;
3) x x 1 ;
4) x 1 .
200
2.9.
Модуль 0. АДАПТАЦІЙНИЙ КУРС ЕЛЕМЕНТАРНОЇ МАТЕМАТИКИ
Знайдіть всі значення x, для яких правдива рівність:
1) x 2;
2) x 3;
3) x x ;
4) x x ;
x
5)
x
1;
6) x 2 x 2 0.
2.10. Розв’яжіть рівняння:
1) x 1 2;
2) x 3 1;
3) x 1 x 5 3;
4) x 1 x 5 .
2.11. Розв’яжіть нерівність:
1) x 1;
2) x 2;
3) 1 x 3;
4) x 1 3;
5) x 2 1;
6) x x 1 1.
2.12. Схарактеризуйте геометрично розташування точок, координати яких
справджують такі нерівності:
1) x 1;
2) x 2;
3) x 2;
4) x 3;
5) x 2 1;
6) x 3 2;
7) x 3 2;
8) x 3 2.
2.13. Запишіть за допомогою знака модуля нерівність:
1) 7 a 7;
2) 1, 5 a 1, 5;
3) a 2 або a 2;
4) a 5 або a 5;
5) 2 x 6;
6) 4 x 2;
7) x 2 або x 6;
8) x 4 або x 2.
Відповіді
2.3. 1) 8; 2) 3; 3) 4; 4) 2.
2.6. 1) x 5 2; 2) y 3 1.
2.7. 1) 2 x ; 2) x 2; 3) 6x 14; 4) 4x 16.
3. Факторіали. Біноміальні коефіцієнти
201
x 1,
x 1,
1 2x , x 0,
x 3, x 3, x 4, x 4,
x 1, 1 x 0,
2.8. 1)
2)
3) 1,
0 x 1, 4)
3 x , x 3;
x 1, 0 x 1,
x 4, x 4;
2x 1, x 1;
x 1,
x 1.
2.9. 1) {2; 2}; 2) ; 3) [0; ); 4) (; 0); 5) (0; ); 6) .
2.10. 1) {1; 3}; 2) {4; 2}; 3) ; 4) {2}.
2.11. 1) (; 1] [1; ); 2) ; 3) (3; 1) (1; 3); 4) (2; 4); 5) (;1] [3; ); 6) [0;1].
2.13. 1) a 7; 2) a 1, 5; 3) a 2; 4) a 5; 5) x 4 2; 6) x 1 3;
7) x 4 2; 8) x 1 3.
3. Факторіали. Біноміальні коефіцієнти
Навчальні задачі
3.1.
Обчислити:
1) 4 !;
3) C 51;
Розв’язання. [4.15.1, 4.15.3.]
1. 4 ! 1 2 3 4 24.
2) C 50;
4) C 52 .
5!
1.
0!5!
5!
5!
5 4!
3. C 51
5.
1 !(5 1)!
4!
4!
5!
5!
5 4 3!
4. C 52
10.
2 !(5 2) ! 2 ! 3 !
12 3!
2. C 50
3.2.
Скоротити дріб:
(n 2) !
k!
2)
;
.
(k 3) !
n!
Розв’язання. [4.15.1.]
(n 2) ! (n 2)(n 1)n !
1.
(n 2)(n 1).
n!
n!
k!
k (k 1)(k 2)(k 3)!
2.
k (k 1)(k 2).
(k 3)!
(k 3)!
1)
3.3.
Піднести до квадрату:
1) (x 2)2 ;
Розв’язання. [4.16.4.]
2) (2a 3)2 .
202
Модуль 0. АДАПТАЦІЙНИЙ КУРС ЕЛЕМЕНТАРНОЇ МАТЕМАТИКИ
1. (x 2)2 x 2 2 2 x 22 x 2 4x 4.
2. (2a 3)2 (2a )2 2 2a 3 32 4a 2 12a 9.
3.4.
Піднести до кубу:
1) (x 2)3 ;
2) (2a 3)3 .
Розв’язання. [4.16.4.]
1. (x 2)3 x 3 3 x 2 2 3 x 22 23 x 3 6x 2 12x 8.
2. (2a 3)3 (2a )3 3 (2a )2 3 3 2a 32 33 8a 3 36a 2 54a 27.
3.5.
Розкласти за формулою різниці квадратів:
2) 4a 10 1.
1) a 2 4b 2;
Розв’язання. [4.16.5.]
1. a 2 4b 2 a 2 (2b)2 (a 2b)(a 2b).
2. 4a 10 1 (2a 5 )2 12 (2a 5 1)(2a 5 1).
3.6.
Розкласти за формулою різниці (суми) кубів:
1) 27 a 3;
2) a 6 125.
Розв’язання. [4.16.5.]
1. 27 a 3 33 a 3 (3 a )(9 3a a 2 ).
2. a 6 125 (a 2 )3 53 (a 2 5)(a 4 5a 2 25).
Задачі для самостійної роботи
3.7.
3.8.
Спростіть вирази:
1)
n ! (n 1)!
;
(n 2) !
2)
(n 1) ! n !
;
(n 1)! n !
3)
1
1
;
n ! (n 1)!
4)
1
4n 2
.
(2n 1)! (2n 1)!
Розкрийте дужки:
1) (x 3ay )2 ;
2) (x 3y )3 ;
3) (2a b )3 ;
4) (2a b)3 .
Відповіді
3.7. 1)
1
n
n
2n
; 2)
; 3)
; 4)
.
n 1
n 2
(n 1)!
(2n 1)!
4. Прогресії
203
3.8. 1) x 2 6axy 9a 2y 2 ; 2) x 2 6xy 9y 2 ; 3) 8a 3 12a 2b 6ab 2 b 3;
4) 8a 3 12a 2b 6ab 2 b 3 .
4. Прогресії
Навчальні задачі
Арифметичну прогресію задано формулою n -го члена an 37 3n.
З’ясувати, чи є членом цієї послідовності число: 19; 7.
Розв’язання. [6.1.2.]
[Якщо число x є членом заданої прогресії, то існує таке натуральне число n,
що x 37 3n. ]
19 37 3n 3n 18 n 6 ;
4.1.
44
.
3
Число 19 є членом арифметичної прогресії, а число 7 — ні.
7 37 3n 3n 44 n
4.2.
Знайти двадцятий член арифметичної прогресії, якщо a1 1, d 5.
Розв’язання. [6.1.2.]
a20 1 5(20 1) 96.
4.3.
Знайти суму ста перших парних натуральних чисел.
Розв’язання. [6.1.2.]
Послідовність 2, 4, 6, ..., 2n, ... — арифметична прогресія з різницею d 2.
2 200
S100 2 4 6 ... 198 200
100 10100.
2
Визначити, скільки треба взяти членів арифметичної прогресії з a1 6 і
d 2, щоб їх сума дорівнювала 168.
Розв’язання. [6.1.2.]
6 2(n 1)
168
n 168 2n n 2 n 12.
2
4.4.
4.5.
Знайти перший член і знаменник геометричної прогресії, якщо її сума
Sn 10(2n 1).
Розв’язання. [6.1.3.]
Нехай b1 — перший член заданої прогресії, q — її знаменник. Тоді
b1 S1 10 (2 1) 10;
b1 b2 S2 10 (22 1) 30.
204
Модуль 0. АДАПТАЦІЙНИЙ КУРС ЕЛЕМЕНТАРНОЇ МАТЕМАТИКИ
b2
2.
b1
Отже, b2 30 b1 20; q
Перший член b1 10, знаменник прогресії q 2.
4.6.
Подати нескінченний десятковий дріб 0, 2(54) у вигляді звичайного дробу.
Розв’язання. [4.6.3, 4.6.1.]
Маємо:
0, 2(54) 0, 2545454... 0, 2 0, 054 0, 00054 0, 0000054 .....
Вираз 0, 054 0, 00054 0, 0000054 .... можна розглядати як суму нескінченної геометричної прогресії з першим членом b1 0, 054 і знаменником
q 0, 01. Тоді
0, 054 0, 00054 0, 0000054 ... 0, 054 1 0, 01 0, 012 ...
, 054
0, 054
3
.
1 0, 01
0, 99
55
Отже,
3
1
3
14
.
55
5 55
55
Коментар. Суму нескінченної спадної геометричної прогресії з першим
членом b1 і знаменником q знаходять за формулою
0, 2(54) 0, 2
S
b1
.
1 q
Задачі для самостійної роботи
4.7.
4.8.
З’ясуйте, чи є арифметичною прогресією послідовність, якщо так —
укажіть її різницю:
1) 3, 6, 12, 24;
2) 4, 8, 12, 16;
3) 5, 10, 5, 10;
4) 42, 39, 36, 33.
1. Перший член арифметичної прогресії a1 4, різниця d 0, 4. Знайдіть: a 3, a11.
2. Перший член арифметичної прогресії a1 17, різниця d 2. Знайдіть: a 4, a15.
4.9.
Між числами 7 та 2 вставте:
1) два числа так, щоб вийшло чотири послідовних члени арифметичної
прогресії;
2) три числа так, щоб вийшло п’ять послідовних члени арифметичної
прогресії.
4. Прогресії
205
4.10. В арифметичній прогресії знайдіть:
1) a23, якщо a10 25, a 30 95;
2) a2 a9, якщо a5 a6 18.
4.11. Знайдіть суму:
1) семи перших членів арифметичної прогресії {an }, якщо a1 9, a7 15;
2)
шести
перших
членів
арифметичної
прогресії
{an },
якщо
a1 19, a 6 14;
3) дванадцяти перших членів арифметичної прогресії, перший член якої
a1 6, різниця d 4;
4) двадцяти перших членів арифметичної прогресії: 8, 6, 4, ...;
5) тридцяти двох перших членів арифметичної прогресії, яку задано формулою n -го члена an 4n 1;
6) двадцяти шести перших членів арифметичної прогресії, яку задано
формулою n -го члена an 5n 2.
4.12. Знайдіть суму всіх:
1) непарних чисел від 1 до 135 включно;
2) двозначних чисел від 10 до 100.
4.13. Укажіть геометричні прогресії, перший член і знаменник кожної з них:
1) 2, 6, 18, 36;
2) 4, 8, 16, 32;
3) 10, 20, 30, 40;
4) 81, 27, 9, 3;
5) 2, 2, 2, 2;
6) 9, 9, 9, 9.
4.14. Знайдіть сьомий член геометричної прогресії {bn }, якщо:
1) b6 8, q 4;
2) b8 16, q
3
.
4
4.15. Знайдіть вказані члени геометричної прогресії, якщо:
1
1) y1 64, q , y6, y10 ;
2
2) y1 9, q 1, y21, y50.
4.16. Знайдіть:
1) знаменник і п’ятий член геометричної прогресії
1 1 1
, , , ...;
216 36 6
2) знаменник і шостий член геометричної прогресії 18, 12, 8, ....
206
Модуль 0. АДАПТАЦІЙНИЙ КУРС ЕЛЕМЕНТАРНОЇ МАТЕМАТИКИ
4.17. Знайдіть знаменник геометричної прогресії, якщо:
1) b1
1
, b 64;
2 8
2) b6 75, b8 27.
4.18. Знайдіть перший член геометричної прогресії {bn }, якщо:
1) b4
1
2
,q ;
98
7
2) b6 100, b9 100000.
4.19. Знайдіть суму n перших членів геометричної прогресії {bn }, зі знаменником q , якщо:
1) b1 0, 6; q 2, n 5;
2) b1 4, q 1, n 10;
3) b1 9; q
1
4) b1 8, q , n 4.
2
3, n 6;
4.20. Запишіть звичайним дробом нескінченний десятковий періодичний дріб:
1) 0, (1);
2) 0, 2(6);
3) 0, (24);
4) 1, (18).
Відповіді
4.7. 1), 3), 6) ні; 2) d 4; 4) d 3; 5) d 2.
4.8. 1) a3 4, 8; a11 8; 2) a4 11, a15 11.
19 10
1
, , .
4
4
4
4.10. 1) a23 70, 5; 2) a2 a9 18.
4.11. 1) 84; 2) 99; 3) 192; 4) 220; 5) 2080; 6) 1703. 4.12. 1) 4624; 2) 4905.
4.9. 1) 4, 1; 2)
4.13. 1), 3) ні; 2) b1 4, q 2; 4) b1 81, q
4.14. 1) b7 32; 2) b7
1
; 5) b1 2, q 1; 6) b1 9, q 1.
3
64
.
3
1
4.15. 1) y 6 2, y10 ; 2) y21 9, y50 9.
8
2
64
.
4.16. 1) q 6, b5 6; 2) q , b6
3
27
3
3
7
; 2) 0, 001.
4.17. 1) 2; 2) або . 4.18. 1)
5
5
16
234
; 4) S 4 5.
4.19. 1) S 5 18, 6; 2) S10 0; 3) S 6
3 1
1
4
8
13
; 3)
; 4) .
4.20. 1) ; 2)
9
15
33
11
5. Лінійна функція
207
5. Лінійна функція
Навчальні задачі
1
Зобразити графік функції y x 1.
2
Розв’язання. [5.4.2.]
[Знаходимо точки перетину прямої з осями координат і заповнюємо таблицю .]
x 0 2
y
y 1 0
O
5.1.
1
[Зображуємо пряму.]
1
y x 1.
2
2
x
Рис. до зад 5.1
Коментар. Оскільки графіком лінійної функції є пряма, то, для того щоб
зобразити її, достатньо вибрати будь-які дві різні точки на цій прямій. Скажімо,
точки перетину прямої з осями координат A(0; y1 ), B(x 2 ; 0). Для цього покладають, спершу x 0 і знаходять y1, потім — y 0 і знаходять x 2 з лінійного
рівняння.
Покладаючи x 0, маємо y1 1.
1
Покладаючи y 0, маємо 0 x 2 1 x 2 2.
2
5.2.
Розв’язати рівняння 2x 4 0.
Розв’язання. [5.4.3.]
2x 4 0 2x 4 x
4
2.
2
x 2.
5.3.1. Розв’язати нерівність 2x 8.
Розв’язання. [5.4.3.]
2x 8 x
x (4; ).
8
x 4.
2
5.3.2. Розв’язати нерівність 3x 15.
Розв’язання. [5.4.3.]
3x 15 x
x (; 5].
15
x 5.
3
208
Модуль 0. АДАПТАЦІЙНИЙ КУРС ЕЛЕМЕНТАРНОЇ МАТЕМАТИКИ
Задачі для самостійної роботи
5.4.
Побудуйте графік функції:
1) y x 1;
2) y 3;
3) x 2;
4) y 2x 4;
5) y x 2 ;
6) y x 2;
7) y x 1 x 1 .
5.5.
Розв’яжіть рівняння:
1) 3x 75;
3)
x
8;
3
5) 1 2x 15;
5.6.
5.7.
5.8.
2) 9x 0;
4) 3x 5 16;
6)
2x 1 x 4
.
5
7
Розв’яжіть нерівності:
1) 2x 22;
2) 7x 21;
3) 3x 15;
4)
x 1
2;
2
Розв’яжіть рівняння:
1) 2x 1 4;
2) 5x 2 2;
3) 2x x 3 8;
4) 5x x 48;
5) x 1 x 5 ;
6) x 1 x 2 3;
7) x x 1 0;
8) x x 1 x .
Розв’яжіть нерівність:
1) 2x 3 2;
2) 3x 2 3;
3) x 1 x ;
4) 2x 5 x ;
5) x x 1 1;
6) x x 1 2.
Відповіді
5.5. 1) 25; 2) 0; 3) 24; 4) 7; 5) 7; 6) 3.
5.6. 1) (11; ); 2) (; 3]; 3) (; 5); 4) (; 5).
6. Квадратична функція
5 3
5.7. 1) , ;
2 2
1 5
5.8. 1) ; ; 2)
2 2
209
11
2) ; 3) ; 4) {2}; 5) ; 6) [2;1].
3
5
; 5 1 ; ; 3) 1 ; ; 4) ; 5 ; 5) [0;1]; 6) .
2
3
3 3
6. Квадратична функція
Навчальні задачі
6.1.1. Розв’язати рівняння x 2 3x 4 0.
Розв’язання. [5.5.7.]
[Крок 1. Виписуємо коефіцієнти рівняння ax 2 bx c 0. ]
a 1, b 3, c 4.
[Крок 2. Знаходимо дискримінант квадратного рівняння.]
2
D 3 4 1 4 9 16 25.
[Крок 3. Аналізуємо наявність чи відсутність коренів. Якщо корені є, знаходимо їх за формулою [5.5.4.]]
Оскільки дискримінант D 0, то квадратне рівняння має два різних корені:
35
x1
4,
3 25
35
2
x1,2
21
2
x 3 5 1.
2
2
x1 4, x 2 1.
6.1.2. Розв’язати рівняння 9x 2 12x 4 0.
Розв’язання. [5.5.7.]
a 9, b 12, c 4.
2
D 12 4 9 4 144 144 0.
Оскільки дискримінант D 0, то квадратне рівняння має два рівні корені
[один двократний корінь]:
12
12
2
x1 x 2
.
2 9 18
3
2
x1,2 .
3
6.1.3. Розв’язати рівняння x 2 x 1 0.
Розв’язання. [5.5.7.]
a 1, b 1, c 1.
2
D 1 4 1 1 1 4 3.
210
Модуль 0. АДАПТАЦІЙНИЙ КУРС ЕЛЕМЕНТАРНОЇ МАТЕМАТИКИ
Оскільки дискримінант D 0, то квадратне рівняння не має дійсних коренів.
Розв’язків немає.
6.2.1. Розв’язати за допомогою теореми Вієта квадратне рівняння
x 2 2x 3 0.
Розв’язання. [5.5.6.]
[Записуємо співвідношення теореми Вієта і підбираємо розв’язки системи.]
x 1 x 2 2;
x 1 1,
x 2 2x 3 0
x 1 x 2 3
x 3.
2
x1 1, x 2 3.
6.2.2. Розв’язати за допомогою теореми Вієта квадратне рівняння
x 2 6x 5 0.
Розв’язання. [5.5.6.]
x1 1,
x1 x 2 6;
x 2 6x 5 0
x x 5.
x 5.
1 2
2
x1 1, x 2 5.
6.2.3. Розв’язати за допомогою теореми Вієта квадратне рівняння
2x 2 x 1 0.
Розв’язання. [5.5.6.]
[Ділимо рівняння на старший коефіцієнт.]
1
x 1 1,
x
x
;
1
2
1
1
2
2
x x 0
1
1
2
2
x
.
2
x1 x 2 .
2
2
1
x1 1, x 2 .
2
6.3.
Розкласти на множники тричлен 16x 2 15x 1.
Розв’язання. [5.5.5.]
[Крок 1. Знаходимо корені квадратного рівняння.]
a 16, b 15, c 1.
D 152 4 16 1 225 64 289 0.
x1,2
1
x1 ,
15 17
16
x 1.
32
2
6. Квадратична функція
[Крок 2. Розкладаємо многочлен на множники.]
1
16x 2 15x 1 16 x x 1 16x 1 x 1 .
16
6.4.
Скоротити дріб
2x 2 7x 4
x 2 5x 4
.
Розв’язання. [5.5.5.]
[Розкладаємо многочлени в чисельнику і знаменнику дробу на множники.]
2x 2 7x 4 0.
a 2, b 7, c 4.
D 72 4 2 (4) 49 32 81 0.
1
x1 ,
7 81 7 9
x1,2
2
x 4.
22
4
2
1
2x 2 7x 4 2 x x 4 .
2
x 2 5x 4 0.
a 1, b 5, c 4.
D 52 4 1 4 25 16 9 0.
x 1 1,
5 9
5 3
x1,2
21
2
x 2 4.
x 2 5x 4 x 1 x 4 .
[Підставляємо розкладені многочлени і скорочуємо дріб.]
x 1 x 4
2
2x 2 7x 4
2
2x 1
.
x 1
x 2 5x 4
x 1 x 4
6.5.1. Вилучити повний квадрат з многочлена x 2 4x 5.
Розв’язання. [5.5.3.]
x 2 4x 5 x 2 2 2 x 22 22 5 (x 2)2 1.
6.5.2. Вилучіть повний квадрат з многочлена 2x 2 9x 5.
Розв’язання. [5.5.3.]
211
212
Модуль 0. АДАПТАЦІЙНИЙ КУРС ЕЛЕМЕНТАРНОЇ МАТЕМАТИКИ
9
5
2x 2 9x 5 2 x 2 x
2
2
2 121
9
92 5 81
9
2
2
x 2 x 2 2 x
.
4
2
16
4
8
4
6.6.1. Розв’язати нерівність x 2 6x 8 0.
Розв’язання. [5.5.7.]
[Крок 1. Знаходимо корені квадратного тричлена.]
x1 x 2 6,
x 1 2,
.
x1x 2 8
x
4.
2
[Крок 2. Наносимо на числову вісь знайдені ко
рені і вилучаємо їх.]
x
4
2
[Крок 3. Визначаємо знак многочлена в кожному з
Рис. до зад 6.6.1
інтервалів, на які розбивають корені рівняння числову вісь, проводячи хвилясту криву.]
[Крок 4. Записуємо відповідь.]
x (2; 4).
Коментар. «Змійку» запускають праворуч від найбільшого кореня:
1) зверху, якщо старший коефіцієнт многочлена додатний;
2) знизу, якщо старший коефіцієнт многочлена від’ємний.
На тих проміжках, де крива проходить:
1) вище числової прямої, виконано нерівність f (x ) 0;
2) нижче числової прямої, виконано нерівність f (x ) 0.
Оскільки нерівності строгі, то точки x 2 та x 4 не включаємо у відповідь.
6.6.2. Розв’язати нерівність x 2 4x 3 0.
Розв’язання. [5.5.7.]
x1 x 2 4,
x 1 1,
x 3.
x1x 2 3
2
[Оскільки нерівності нестрогі, то точки x 1
та x 3 включаємо у відповідь].
x (;1] [3; ).
6.7.
1
3
x
Рис. до зад 6.6.2
Побудувати за допомогою геометричних перетворень графік функції
y x 2 4x 5.
Розв’язання. [5.5.7, 5.15.1, 5.15.2.]
[Перетворюємо квадратичну функцію, вилучаючи повний квадрат.]
y x 2 4x 5 (x 2)2 1.
6. Квадратична функція
213
Графік заданої функції дістанемо з графіка функції y x 2 перенесенням ліворуч на 2 вздовж осі Ox і на 1 вгору вздовж осі Oy :
y x 2 y (x 2)2 y (x 2)2 1.
y
y x2
y (x 2)2 y
x
O
2
y
y
y (x 2)2 1
y (x 2)2 1
1
2
x
O
O
1
x
2
O
x
6.8.
Знайти множину значень функції y x 2 4x 5.
Розв’язання. [5.5.1]
[Вилучаємо повний квадрат у квадратичного многочлені.]
x 2 4x 5 (x 2)2 1.
Для всіх x правдиві нерівності:
(x 2)2 0 (x 2)2 1 1.
Множина значень функції E (y ) [1; ).
Задачі для самостійної роботи
6.9.
Розв’яжіть рівняння:
1) x 2 9;
2) x 2 5x 0;
3) x 2 6x 8 0;
4) x 2 4x 4 0;
5) x 2 4x 5 0;
6) 2x 2 x 3 0;
7) x 2 5 x 24 0;
8) x 2 x 1 1 2x .
6.10. Розкладіть многочлен на множники:
1) x 2 5x 6;
2) x 2 8x 15;
214
Модуль 0. АДАПТАЦІЙНИЙ КУРС ЕЛЕМЕНТАРНОЇ МАТЕМАТИКИ
3) 6x 2 5x 6;
4) 10x 2 17x 3;
5) 5x 2 23x 10;
6) 7x 2 8x 1.
6.11. Вилучіть повний квадрат двочлена:
1) x 2 4xy 4y 2;
2) x 2 2x 10;
3) x 2 4x 9;
4) 2x 2 4x 9;
5) 4x 2 3x 6;
6) 2x 2 3x 1.
6.12. Розв’яжіть нерівності:
1) x 2 4;
2) x 2 16;
3) (x 1)2 0;
4) (x 2)2 0;
5) (x 1)(x 4) 0;
6) (x 3)(5 x ) 0;
7) x 2 x 2 0;
8) x 2 3 x 2 0;
9) x 2 3x 2;
10) 2x 2 12x 13 3.
6.13. Скоротіть дріб:
a2 4
;
1)
7a 14
3)
7 6c c 2
;
21 3c
2)
4)
y 2 49
y 2 5y 14
;
5a a 2
5 34a 7a 2
.
6.14. Знайдіть множину значень функції:
1) y x 2 2x 2;
2) y x 2 6x 5.
6.15. За допомогою елементарних перетворень побудуйте графік функції:
1) y 2x 2 ;
2) y x 2 4;
3) y (x 1)2;
4) y x 2 6x ;
5) y x 2 4 x 3;
6) y x 2 2x 8 ;
Відповіді
3
6.9. 1) 3; 2) 0; 5; 3) 2; 4; 4) 2; 5) ; 6) ;1; 7) {8; 8}; 8) {2; 0}.
2
7. Многочлени
215
3
2
1
3
6.10. 1) (x 2)(x 3); 2) (x 3)(x 5); 3) 6 x x ; 4) 10 x x ;
2
3
5
2
2
1
5) 5 x 5 x ; 6) 7 x 1 x .
5
7
2
3
87
6.11. 1) (x 2y ) ; 2) (x 1) 11; 3) (x 2) 5; 4) 2(x 1) 7; 5) 4 x
;
8
16
2
2
2
2
2
3
17
6) 2 x .
4
8
6.12. 1) [2; 2]; 2) (; 4) (4; ); 3) \ {1}; 4) {2}; 5) (;1) (4; ); 6) [3; 5];
3 17 3 17
;
7) (; 2] [2; ); 8) (2; 1) (1; 2); 9)
;1 2;
2
2
10) (;1] (2; 4] (5; ).
6.13. 1)
a 2
c 1
y 7
a
. 6.14. 1) E (y ) [1; ); 2) E (y ) (;14].
; 3)
; 2)
; 4)
y 2
7a 1
7
3
7. Многочлени
Навчальні задачі
7.1.1. Розділити многочлени у стовп- 7.1.2. Розділити многочлени у стовпx3 x2 x 1
x5 x2 1
чик
.
.
чик 2
x 2
x x 1
Розв’язання.
Розв’язання.
[Ділити многочлени припиняють тоді,
x5 x2 1 x2 x 1
коли степінь остачі стане меншим за
5
x x4 x3 x3 x2 2
степінь дільника.]
x3 x2 x 1
x 2
x 4 x 3 x 2 1
3
4
x 2x 2
x 2 3x 5
x x 3 x 2
3x 2 x 1
3x 2 6x
5x 1
5x 10
9
[Записуємо відповідь.]
2x 2 1
2x 2 2x 2
2x 3
x5 x2 1
x2 x 1
2x 3
x 3 x2 2
.
x2 x 1
216
Модуль 0. АДАПТАЦІЙНИЙ КУРС ЕЛЕМЕНТАРНОЇ МАТЕМАТИКИ
x3 x2 x 1
x2 x 1
x 2 3x 5
9
.
x 2
Задачі для самостійної роботи
7.2.
7.3.
7.4.
Розв’яжіть рівняння:
1) x 4 26x 2 25 0;
2) x 4 4x 2 5 0;
3) x 3 x 2 10x 8 0;
4) 4x 3 13x 6 0.
Розв’яжіть нерівності:
1) (x 4)5 (x 1)4 (x 2)7 0;
2) (x 7)4 (x 6)5 (x 9)3 0;
3) x 4 (x 6)5 (x 9)3 0;
4) (x 4)5 (x 3)4 (x 2)7 0.
Розділіть многочлен на многочлен у стовпчик:
1)
3)
2x 3 5x 2 14x 8
;
x 2
x 4 3x 3 x 2 8x 4
x 2 4x 4
2)
;
4)
2x 3 3x 2 11x 6
;
x 3
x 4 x 3 3x 2 2x 2
x2 x 1
.
Відповіді
1 3
7.2. 1) 1; 5; 2) 5; 3) 4;1; 2; 4) 2; ; .
2 2
7.3. 1) (4;1) (1; 2); 2) {7} [6; 9]; 3) (; 6] {0} [9; );
4) (; 4) (2; 3) (3; ).
24
2
; 2) 2x 2 3x 2
; 3) x 2 x 1;
x 2
x 3
4x 2
4) x 2 2x 4
.
x2 x 1
7.4. 1) 2x x 16
8. Степенева функція
Навчальні задачі
8.1.
Записати у вигляді степеня (з дробовим або від’ємним показником):
1)
1
a
3
;
2)
3
a;
8. Степенева функція
3)
3
a2;
4)
1
4
a5
217
.
Розв’язання. [5.3.1, 5.3.5.]
1
a 3 .
1.
3
a
2.
3
a a
13
.
2 3
3
a2 a .
1
1
5 4
54 a
.
4.
4 5
a
a
3.
8.2.
Виконати дії:
3
1) x 6 ;
Розв’язання. [5.3.6.]
1.
3
x6 x
6 3
x6 x
2.
8.3.
2)
x 6.
2)
4
;
25
2)
24;
x 2.
62
x3 .
Обчислити:
1)
5
410 ;
12
.
3
Розв’язання. [5.3.6.]
3)
1.
5
2.
3.
8.4.
10 5
410 4
42 16.
4
4
2
.
25
5
25
12
12
4 2.
3
3
Винести множник з під кореня:
1)
5
27 ;
3) 4 2500;
Розв’язання. [5.3.6.]
1.
2.
5
27
24
5
25 22
22 6
4)
5
5
25 22 2 5 4.
22 6 2 6.
3
a 11b 4 .
218
3.
4.
Модуль 0. АДАПТАЦІЙНИЙ КУРС ЕЛЕМЕНТАРНОЇ МАТЕМАТИКИ
4
2500
4
54 4
3
a 11b 4
3
a 9a 2b 3b a 9b 3 a 2b a 3b a 2b .
8.5.
4
4
54 4 4 5 22 5 2.
3
3
3
Внести множник під корінь:
1) 3 3 6;
Розв’язання. [5.3.6.]
3
1. 3 3 6
8.6.
3
33 3 6
5
2. a 2 5 b
2) a 2 5 b .
3
33 6
162.
5
a 10 5 b a 10b .
Спростити вираз:
14
20 ;
1) 4 81
4
3)
4
2)
3
27a 3a ;
3
81 49 3 24;
5
192t
5
6t 11
4)
.
Розв’язання. [5.3.1, 5.3.5, 5.3.6.]
14
1. 4 81
2.
3
20 4 4 81 1 4 3 1 13.
81 49 3 24
3
3
33 3 7 23 3
3
3
3 3 3 3 7 23 3 3
3 3 3 7 2 3 3 113 3.
3.
4.
4
4
27a 3a 3
5
192t
5
8.7.
6t
11
5
4
192t
6t 11
27a 3a 3
5
32
t 10
5
4
34 a 4 3a .
32
5 10
t
2
t2
.
Спростити вираз:
1) 3 5 3 5;
Розв’язання. [4.16.4, 4.16.5, 5.3.6.]
1.
2.
3 5 3
72 6
5
(3 5)(3
5)
32 ( 5)2
9 5 4 2.
1 2 1 6 ( 6)2 (1 6)2 1 6
(1 6)
8.8.
7 2 6.
2)
6 1.
Розкласти за формулою різниці квадратів:
1) x y;
2) x y .
Розв’язання. [4.16.5.]
1. x y ( x )2 ( y )2 ( x y )( x y ).
2.
x y ( 4 x )2 ( 4 y )2 ( 4 x 4 y )( 4 x 4 y ).
8. Степенева функція
8.9.
219
Розкласти за формулою різниці (суми) кубів:
1) x y;
Розв’язання. [4.16.5.]
2) 1 a .
3
1. x y ( 3 x )3 ( 3 y )3 ( 3 x 3 y )( x 2 3 xy 3 y 2 ).
2. 1 a 13 ( 6 a )3 (1 6 a )(1 6 a 3 a ).
8.10.1. Розв’язати рівняння 3x 6 9 2x .
Розв’язання. [5.3.8.]
І спосіб (з перевіркою знайдених коренів).
3x 6
9 2x ;
3x 6
2
9 2x
2
3x 6 9 2x 5x 15 x 3.
Перевірка.
Для x 3 : 3 3 6 3; 9 2 3 3.
x 3 — корінь рівняння.
ІІ спосіб (еквівалентних перетворень).
3x 6 0,
x 2,
3x 6 9 2x
x 3.
3x 6 9 2x
x 3
x 3.
8.10.2. Розв’язати рівняння x 11 1 x .
Розв’язання. [5.3.8.]
І спосіб (з перевіркою знайдених коренів).
x 11 1 x ;
x 11
2
(1 x )2
x 1 2,
x 11 1 2x x x 3x 10 0
x 2 5.
2
2
Перевірка.
Для x 2 : 2 11 9 3;1 (2) 3.
x 2 — корінь рівняння.
Для x 5 : 5 11 16 4; 1 5 4.
x 5 не є коренем рівняння.
Отже, x 2.
ІІ спосіб (еквівалентних перетворень).
1 x 0,
1 x 0,
x 11 1 x x 11 0,
x 11 1 2x x 2
2
2
x
11
(1
x
)
220
Модуль 0. АДАПТАЦІЙНИЙ КУРС ЕЛЕМЕНТАРНОЇ МАТЕМАТИКИ
x 1,
x
1,
2
x 5, x 2.
x 3x 10 0
x 2
x 2.
8.11.1. Розв’язати нерівність
Розв’язання. [5.3.8.]
2x 1 2.
2x 1 0,
x 1 ,
x 1 ,
2x 1 1
2
2 x 1.
( 2x 1)2 12
2x 1 1
x 1
x (1; ).
8.11.2. Розв’язати нерівність 2x 1 3.
Розв’язання. [5.3.8.]
2x 1 0,
x 1 ,
x 1 ,
2x 1 3
2
2
2
2x 1 32
2x 1 9
x 4
1
x 4.
2
1
x ;4 .
2
8.11.3. Розв’язати нерівність
Розв’язання. [5.3.8.]
Оскільки
x .
x 6 2.
x 6 0, то початкова нерівність розв’язків не має.
8.11.4. Розв’язати нерівність x 2 1.
Розв’язання. [5.3.8.]
Оскільки x 2 0, то початкова нерівність правдива для всіх x з області
означення функції f (x )
x 2.
D( f ) : x 2 0 x 2.
x [2; ).
8.12. Побудувати за допомогою геометричних перетворень графік функції
3x 1
y
.
x 1
Розв’язання. [5.3.3, 5.15.]
[Перетворюємо дробово-лінійну функцію, вилучаючи цілу частину дробу.]
8. Степенева функція
221
3x 1 3(x 1) 2
2
3
.
x 1
x 1
x 1
1
Графік заданої функції дістанемо з графіка функції y розтягуванням у 2 рази
x
вздовж осі Oy, перенесенням на 1 у напрямі осі Ox і на 3 у напрямі осі Oy :
1
2
2
2
y y y
y 3
.
x
x
x 1
x 1
y
y
y
1
y
x
2
1
y
O
y
2
y 3
x 1
3
O
y
x
O 1
x
O
y
2
y
x
1
y 3
3
O
x
1
1
2
x 1
x
Рис. до зад. 8.12
Задачі для самостійної роботи
8.13. Запишіть у вигляді степеня (з дробовим або від’ємним показником):
1)
3)
1
;
x
5
b4 ;
2)
4)
1
3(x 1)3
1
11 2
c
.
8.14. Запишіть у вигляді степеня з основою x :
x 2 3
1) ;
x 9
x 7
2) ;
x 6
;
2
x 1
x
222
Модуль 0. АДАПТАЦІЙНИЙ КУРС ЕЛЕМЕНТАРНОЇ МАТЕМАТИКИ
x 3 x 4 6
;
3)
x 5
5) x
18
4
7)
8
4 x x 5;
x3 3 x
3
x
;
x 4 8
4) 3 ;
x
6) x
8)
8 9
9
3 x x7;
5
x 4 x 2 x 11 .
3
135 3 25;
4
32 3 4 8 27.
3
4
8.15. Знайдіть значення числових виразів:
20 5;
1)
4
3)
27 4 12
4
4
2)
;
4)
8.16. Спростіть (всі змінні вважайте додатними):
1)
4
x2;
2)
2 4
ab ;
3)
2 4 2;
2)
3)
3
ab 6 4ab ;
4)
5)
12
a 2b 3 : ab 4 ;
7)
4
2 2m 4n 8 ;
6
3
169b 2
n
A:
3b 3 3b ;
4
a 3 : a;
3
x;
5
2 2 2.
3
54;
3
x 14 .
3
8.18. Винесіть множник з-під знака кореня:
1)
125;
2)
3)
a 5b ;
4)
.
4
6)
8)
b8 ;
49a 4
4)
8.17. Перетворіть заданий вираз до вигляду
1)
4
8.19. Внесіть множник під знак кореня:
1) 2 5;
2) 5 3 2;
3) 3 3 4;
4) x 2 5 y .
8. Степенева функція
223
8.20. Спростіть вирази:
(41)2 ;
1)
(2 5)2 ;
2)
3) (1 6)2(1 6)2;
4)
6 11 6 11
.
2
8.21. Виконайте дії:
1) ( x y )2 2 xy ;
a b
3)
a b
;
m n
3
m3n
x 4y
4)
5) ( x y )(x xy y );
7)
2) (a b )(a b );
;
x 2 y
;
6) ( 3 a 6 ab 3 b )( 6 a 6 b );
8)
k l
3
k 3l
.
8.22. Розв’яжіть рівняння:
1)
3)
3
x 1 2;
2)
x 2;
x 2;
4) 2 x 3 3 x 2 5;
3
5)
x
2 x;
7)
x x ;
9) (x 2 9) 2 x 0;
6)
x 2 11
8)
x 3 2x 5;
10)
1 x;
x 4 x 6 0.
8.23. Розв’яжіть нерівності:
1)
x 0;
2)
x 1;
3)
x 4 5;
4)
x 1 3;
5) (x 6) x 0;
7)
x x 6;
6) (x 1) x 3 0;
8)
x x 2.
8.24. Знайдіть область означення функції:
1) y
x 9 x2;
2) y
x2 x.
8.25. За допомогою елементарних перетворень побудуйте графік функції:
1) y 2x 3 ;
2) y x 3 ;
224
Модуль 0. АДАПТАЦІЙНИЙ КУРС ЕЛЕМЕНТАРНОЇ МАТЕМАТИКИ
3) y (x 1)3 2;
4) y (x 2)2 1;
5) y x ;
6) y
7) y
2 x;
8) y x 1;
x 1;
10) y
3
9) y
11) y x 3 ;
x ;
3
1 x;
12) y
x.
Відповіді
8.13. 1) x 1; 2)
1
4 5
2 11
4 5
(x 1)3 ; 3) b ; 4) c
.
; 8) a
3
8.14. 1) x 21; 2) x 35 ; 3) x 12 ; 4) x 56 ; 5) x , x 0; 6) x 2; 7) x
8.15. 1) 10; 2) 15; 3) 3; 4) 12.
x ; 2) b 2 ; 3) ab 2; 4)
8.16. 1)
8.17. 1)
4
8; 2)
4
27b 5 ; 3)
6
12
; 8) x
34
.
7a 2
.
13b
4a 3b 3 ; 4)
4
a ; 5)
12 5
b
; 6)
6
x ; 7)
3
2mn 2 ; 8)
10
8.
3
8.18. 1) 5 5; 2) 3 3 2; 3) a 2 ab ; 4) x 4 x 2 .
8.19. 1)
20; 2)
8.20. 1) 41; 2)
3
250; 3)
3
108; 4)
5
x 10y .
5 2; 3) 25; 4) 22.
8.21. 1) x y; 2) a 2 b; 3)
3
3
a b ; 4)
3
x 2 y ; 5)
x 3 y 3 ; 6)
3
a b;
7) m 2 3 mn n 2 ; 8) k 2 3 kl l 2 .
8.22. 1) 5; 2) ; 3) 8; 4) {5;1}; 5) 1; 6) 4; 7) 0; 8) 2; 9) {3; 2}; 10) 16.
8.23. 1) [0; ); 2) [0; ); 3) [21; ); 4) [1;10); 5) {0} [6; );
6) {1; 3}; 7) (9; ); 8) [0; 4).
8.24. 1) D(y ) [0; 3]; 2) D(y ) (; 1] [0; ).
9. Показникова та логарифмічна функції
Навчальні задачі
9.1.
Обчислити:
1) log2 8;
1
2) log2 ;
2
3) log1 2 1;
4) log1 2 2;
5) 5log5 3;
6) 10log100 16;
9. Показникова та логарифмічна функції
7) log 3 15 log 3 5;
225
8) log6 2 log6 3;
1
log5 7
10) log2 log3
9) 7
;
Розв’язання. [5.7.1, 5.7.5.]
1. log2 8 log2 23 3 log2 2 3.
3 3.
1
log2 21 1.
2
3. log1 2 1 0.
2. log2
12
2 log21 2
4. log1 2
1
1
log2 2 .
2
2
5. 5log5 3 3.
6. 10
log100 16
1
log10 16
2
10
1
2
16
16 4.
15
log3 3 1.
5
8. log6 2 log6 3 log6 (2 3) log6 6 1.
7. log3 15 log3 5 log3
9. 7
1
log5 7
7 log7 5 5.
1
10. log2 log3
3
1 1 2
3
3 3 log2 log3 3 2 log2 log 3 3 4 log2
4
log2 3 log2 4 log2 3 2.
Злогарифмувати lg
9.2.
3a 2 3 b
c 4 (a b)
, де a 0, b 0, c 0.
Розв’язання. [5.7.5.]
lg
3a 2 3 b
4
c (a b )
lg 3a 2 3 b lg c 4 (a b )
13
lg 3 lg a 2 lg b lg c 4 lg(a b)
1
lg 3 2 lg a lg b 4 lg c lg(a b).
3
9.3.
Зпотенціювати 2log2 a 2 log2 b 3 log2 c.
Розв’язання. [5.7.5.]
226
Модуль 0. АДАПТАЦІЙНИЙ КУРС ЕЛЕМЕНТАРНОЇ МАТЕМАТИКИ
2log2 a 2 log2 b 3 log2 c 2log2 a log2 b
2
log2 c
3
2log2 ab
2
log2 c
3
log2
2
ab 2
c3
ab 2
c
3
.
9.4.1. Розв’язати рівняння 7x 5.
Розв’язання. [5.7.8.]
7x 5 x log7 5.
x log7 5.
2
9.4.2. Розв’язати рівняння 6x 2 6x .
Розв’язання.
x 2
6
x2
6
x 1 1,
x 2 x x x 2 0
x 2 2.
2
2
x1 1, x 2 2.
9.5.1. Розв’язати рівняння log 3 x 2.
Розв’язання. [5.7.9.]
log3 x 2 x 32 9.
x 9.
9.5.2. Розв’язати рівняння log5(x 2 1) log5(7x 7).
Розв’язання.
x 2 7x 6 0,
x 2 1 7x 7,
2
log5(x 1) log5(7x 7)
7
7
0
1
x
x
x 1,
x 6 x 6.
x 1
x 6.
9.6.1. Розв’язати нерівність 2x 5.
Розв’язання. [5.7.8.]
2x 5 x log2 5.
x (; log2 5).
1 x
9.6.2. Розв’язати нерівність 4.
2
Розв’язання. [5.7.8.]
9. Показникова та логарифмічна функції
1 x
4 x log 4 x 2 log 2 x 2.
12
2
2
x [2; ).
9.6.3. Розв’язати нерівність 3x 0.
Розв’язання. [5.7.8.]
Оскільки 3x 0 для будь-якого x, то нерівність не має розв’язків.
Отже, x .
9.6.4. Розв’язати нерівність 2x 2.
Розв’язання. [5.7.8.]
Оскільки 2x 0 для будь-якого x, то нерівність правдива для будь-якого x .
Отже, x (; ).
9.7.1. Розв’язати нерівність log2 x 2.
Розв’язання. [5.7.9.]
log2 x 2 x 22 x
1
x ; .
4
1
.
4
9.7.2. Розв’язати нерівність log 3 x 2.
Розв’язання. [5.7.9.]
x 0,
log3 x 2
0 x 9.
x 32
x (0; 9].
9.7.3. Розв’язати нерівність log1 2 x 2.
Розв’язання. [5.7.9.]
x (0; 4).
x 0,
log1 2 x 2
2 0 x 4.
x 1
2
9.8.
Знайти область означення функції f (x ) ln(3 x ).
Розв’язання. [5.7.3.]
Функція f (x ) означена, якщо 3 x 0 x 3.
Область означення функції D( f ) (; 3).
227
228
Модуль 0. АДАПТАЦІЙНИЙ КУРС ЕЛЕМЕНТАРНОЇ МАТЕМАТИКИ
9.10. Побудувати за допомогою геометричних перетворень графік функції
y log2 x .
Розв’язання. [5.7.3, 5.15.8.]
Графік функції y log2 x дістанемо з графіка функції y
y log2 x
y log2 x так:
1) будуємо графік функції y log2 x ;
2) не змінюємо частину графіка, яка розташована над віс- O
сю Ox ;
3) дзеркально відбиваємо щодо осі Ox частину графіка,
яка розташована під віссю Ox .
y log2 x y log2 x .
y
y
y log2 x
O
x
1
y log2 x
O
1
Рис. до зад. 9.10
Задачі для самостійної роботи
9.11. Знайдіть логарифм:
1) log2 2;
2) log2 1;
3) log2 4;
4) log2 64;
5) log2
1
;
8
6) log 2
3
2.
9.12. Обчисліть:
2) log1 3 27;
1) log 4 8;
3)
log 3 7 81
log49
3
5) 9log3 61;
;
x
1
4) 3log3 7 ;
6) log 4 2 log 4 8;
x
9. Показникова та логарифмічна функції
229
7) log 3 2 log3 54;
9
8) log3 8 3 log3 ;
2
9) log2 5 log2 35 log2 56;
10) log2 log5
11) 6
2
log5 6
;
12) 64
1
3 log27 8
8
5;
;
13) log 3 log2 5 log5 8 .
9.13. Спростіть:
log22 14 log2 14 log2 7 2 log22 7
1)
;
log2 14 2 log2 7
2) log2 3 log3 4 log4 5 ... log18 19 log19 20 log20 21;
3)
13
log13 (27 10 2)
5
log5 (11 6 2)
; 4) log26 7
log8 7
log6 7
;
log8 6 log42 6
9.14. Злогарифмуйте вираз:
1) log2(16a 2b 3 );
1
2) log2 a b 7 ;
8
3) log2(48a a b 4 );
4) log2
b3
4a
5
.
9.15. Розв’яжіть рівняння:
1) 2x 1;
2) 5x 0;
3) 2x 5;
4) 42x 3 0, 5;
2
5) 4x 4x 2;
6) 2x 2x 5 264;
7) 2 22x 3 2x 2 0;
8) 72x 1 4 21x 32x 1 0.
9.16. Розв’яжіть рівняння:
1) log2 x 5;
2) log2 (2x 1) 4;
3) log9(x 2 5) log9(1 x );
4) log 3 log2 log1 3(x 1) 0;
5) log22 x 2 log2 x 3 0;
6) x 5x 1 1.
230
Модуль 0. АДАПТАЦІЙНИЙ КУРС ЕЛЕМЕНТАРНОЇ МАТЕМАТИКИ
9.17. Розв’яжіть нерівність:
1
;
36
1) 5x 1 25;
2) 62x
3) 3x 9;
4) 2x 64;
1 x 2
5)
27;
3
1 2x 2
6)
4;
2
7) 4x 6 2x 8 0;
8) 9x 10 3x 9 0.
9.18. Розв’яжіть нерівність:
1) log5 (3 8x ) 0;
2) log1 2(7 3x ) 0;
3) log2 (x 3) 3;
4) log1 5(3 2x ) 1;
5) log 3 (3x 1) log 3 (2x 3);
6) log1 7 (4x 3) log1 7 (x 3);
7) lg2 x 4 lg x 3 0;
8) log23 x 3 log3 x 2 0.
9.19. Знайдіть область означення функції:
1) y
1
;
log5(x 6)
2) y
1
.
log3 (x 4)
9.20. За допомогою елементарних перетворень побудуйте графік функції:
1) y 2x 1;
2) y log2 (x 1);
1 x 1
3) y ;
3
4) y log1 3(2x 3);
x
5) y 2 ;
6) y 1 log3 x ;
1 x
7) y 1 ;
2
8) y log2( x 1);
9) y 3log3 x ;
10) y log2 (x 1) ;
11) y 3
log3 x
;
12) y log2 x 1 .
10. Тригонометричні та обернені тригонометричні функції
231
Відповіді
9.11. 1) 1; 2) 0; 3) 2; 4) 6; 5) 3; 6)
1
.
3
3
1
; 2) 3; 3) 48; 4) 7; 5) 4; 6) 2; 7) 3; 8) 6; 9) 3; 10) ; 11) 25; 12) 9; 13) 0.
2
3
9.13. 1) 1; 2) 1; 3) log2 21; 4) 1; 5) 8; 6) 4; 7) 0; 8) 0.
9.12. 1)
9.14. 1) 4 2 log2 a 3 log2 b; 3) 3 log2 a
7
3
log2 b; 5) 4 log2 3 log2 a 4 log2 b;
2
2
7) 3 log2 b 5 log2 a 2.
9.15. 1) 0; 3) log2 5; 5) {1; 2}; 7) 1.
17
10
1
1
; 3) 3; 4)
; 5) ; 8 ; 6) ;1 .
9.16. 1) 32; 2)
2
5
2
9
9.17. 1) (; 3); 2) (; 1]; 3) [2; ); 4) (6; ); 5) (1; ); 6) (; 0); 7) (1; 2);
8) (; 0] [2; ).
7
1
3
1
3
9.18. 1) ; ; 2) 2; ; 3) (3;11]; 4) 1; ; 5) ; 4 ; 6) ; 2 ;
3
4
3
4
2
7) (; 0) (1000; ); 8) [3; 9].
9.19. 1) (6; 7) (7; ); 2) D(y ) (4; 3) (3; ).
10. Тригонометричні та обернені тригонометричні функції
Навчальні задачі
10.1. Визначити знак sin 2, cos 2, tg 2, ctg 2.
Розв’язання. [5.8.2–5.8.6, 5.10.7.]
Оскільки 2 , то точка P2 одиничного кола лежить
2
у 2-й чверті.
sin 2 0, cos 2 0,
sin 2
cos 2
tg 2
0, ctg 2
0.
cos 2
sin 2
y
P2
cos 2
1
Рис. до зад 10.1
4
3
.
10.2. Знайти cos , tg , ctg , якщо sin ,
5
2
Розв’язання. [5.10.5, 5.8.6, 5.10.7.]
Точка P одиничного кола лежить у 3-чверті, отже cos 0 і
4 2
3
cos 1 sin 1 ;
5
5
sin
4
3
4
1
3
tg
: ; ctg
.
cos 5 5 3
tg
4
2
sin 2
2
x
232
Модуль 0. АДАПТАЦІЙНИЙ КУРС ЕЛЕМЕНТАРНОЇ МАТЕМАТИКИ
10.3. Зведіть до функції гострого кута:
1) sin
17
;
3
2) cos 735;
3) tg(1759);
5) cos
2
;
3
4) ctg
7
.
6) sin
5
.
6
Розв’язання. [5.10.3, 5.2.5.]
17
3
1. sin
sin 3 2 sin sin
.
3
3
3
2
3
2. cos 735 cos(2 360 15) cos 15.
3. tg(1759) tg(41 10 180) tg 41.
7
ctg 2 ctg ctg 1.
4. ctg
4
4
4
2
cos cos
3
3
3
5
sin sin
6. sin
6
6
6
5. cos
1
.
2
1
.
2
tg cos( ) tg
2
10.4. Спростити вираз
.
sin ctg tg
2
2
2
Розв’язання. [5.10.3.]
tg cos( ) tg
2
( tg )( cos ) ctg
1.
cos
(
tg
)(
ctg
)
sin ctg tg
2
2
2
10.5. Спростити вираз:
sin 32 cos 28 cos 32 sin 28
cos sin
; 2)
.
sin 15 cos 15
cos2 sin2
Розв’язання. [5.10.7.]
sin 32 cos 28 cos 32 sin 28
2 sin(32 28)
2 sin 60
1.
sin 15 cos 15
2 sin 15 cos 15
sin 30
3 1
2
: 2 3.
2 2
1)
10. Тригонометричні та обернені тригонометричні функції
2.
cos sin
2
2
233
2 cos sin
sin 2
1
tg 2.
2 cos 2
2 cos 2
2
cos sin
10.6. Подати cos x cos 3x як суму тригонометричних функцій.
Розв’язання. [5.10.10.]
1
1
1
cos x cos 3x (cos(x 3x ) cos(x 3x )) cos 4x cos(2x )
2
2
2
1
1
cos 4x cos 2x .
2
2
10.7.1. Перетворити вираз sin x cos x , упроваджуючи допоміжний кут.
Розв’язання. [5.10.12.]
І спосіб (перетворення у синус суми).
sin x cos x
1
1
sin x cos x 12 12
cos x
2 sin x
2
2
2
2 sin x cos cos x sin 2 sin x .
4
4
4
ІІ спосіб (перетворення у косинус різниці).
sin x cos x
1
1
sin x cos x 12 12
sin x
2 cos x
2
2
2
2 cos x cos sin x sin 2 cos x .
4
4
4
10.7.2. Перетворити вираз sin x 3 cos x , у синус різниці, впроваджуючи допоміжний кут.
Розв’язання. [5.10.12.]
[Крок 1. Визначаємо амплітуду.]
A 12 (3)2 10.
[Крок 2. Множимо і ділимо вираз на амплітуду, перетворюємо його.]
sin x 3 cos x
1
3
sin x 3 cos x 10
cos x
10 sin x
.
10
10
10
[Крок 3. Визначаємо допоміжний кут із системи.]
cos 1 ,
10 arcsin 3 .
3
10
sin
10
[Крок 4. Записуємо перетворену формулу.]
3
sin x cos 3x 10 sin x arcsin
.
10
Коментар. Оскільки cos 0 та sin 0, то кут лежить у першій чверті.
234
Модуль 0. АДАПТАЦІЙНИЙ КУРС ЕЛЕМЕНТАРНОЇ МАТЕМАТИКИ
10.8. Обчислити:
1
1) sin arcsin ;
3
2) tg(arctg 2);
3) arcsin sin ;
8
4) arctg tg
;
5
5) arcsin(sin 3);
6) arccos(cos 4).
Розв’язання. [5.9.10.]
1 1
1. sin arcsin .
3 3
2. tg(arctg 2)
2.
3. arcsin sin , оскільки ; .
8 8
8 2 2
; .
,
4. arctg tg
оскільки
5
5 2 2
5
5. arcsin(sin 3) arcsin(sin( 3)) 3, оскільки 3 ; .
2 2
6. arccos(cos 4) arccos(cos(2 4)) 2 4, оскільки 2 4 [0 ].
3
10.9. Знайти tg arcsin .
5
Розв’язання. [5.9.5.]
3
Нехай arcsin .
5
Розглянемо прямокутний трикутник з гіпотенузою c 5 і катетом a 3, який
лежить проти кута .
За Піфагоровою теоремою маємо
b c2 a 2
52 32
16 4.
5
Тоді
tg
a
3
.
b
4
3
4
Рис. до зад 10.9
10. Тригонометричні та обернені тригонометричні функції
10.10.1. Розв’язати рівняння sin x
235
3
.
2
Розв’язання. [5.11.1.]
sin x
x (1)n
3
3
x (1)n arcsin
n (1)n n, n .
2
2
3
n, n .
3
1
10.10.2. Розв’язати рівняння sin x .
3
Розв’язання. [5.11.1.]
1
1
1
sin x x (1)n arcsin n (1)n 1 arcsin n, n .
3
3
3
1
n, n .
3
10.10.3. Розв’язати рівняння sin 2x 0.
4
Розв’язання. [5.11.1.]
n
sin 2x 0 2x n 2x n x
, n .
4
4
4
8
2
x (1)n 1 arcsin
x
n
, n .
8
2
10.11.1. Розв’язати рівняння cos x
2
.
2
Розв’язання. [5.11.2.]
2
2
2n
x arccos
2
2
2
2n x 2n
x arccos
2
4
cos x
x
x
3
2n, n .
4
3
2n, n .
4
10.11.2. Розв’язати рівняння cos x
Розв’язання. [5.11.2.]
1
.
3
236
Модуль 0. АДАПТАЦІЙНИЙ КУРС ЕЛЕМЕНТАРНОЇ МАТЕМАТИКИ
cos x
x arccos
1
1
x arccos 2n, n .
3
3
1
2n, n .
3
x
10.11.3. Розв’язати рівняння cos 0.
2 3
Розв’язання. [5.11.2.]
x
x
x
5
cos 0 n
n
2 3
2 3
2
2
6
5
x
2n, n .
3
5
x
2n, n .
3
10.12. Розв’язати рівняння tg x 3.
Розв’язання. [5.11.3.]
tg x 3 x arctg( 3) n x arctg 3 n
x n, n .
3
x n, n .
3
10.13. Розв’язати рівняння ctg x 1.
Розв’язання. [5.11.4.]
ctg x 1 x arcctg(1) n x arcctg 1 n
x
x
3
n x
n, n .
4
4
3
n, n .
4
10.14. Розв’язати нерівність sin x
1
.
2
Розв’язання. [5.11.1.]
[Розв’язуємо нерівність, будуючи графіки y sin x і y
1
1
. ] arcsin .
2
2
6
10. Тригонометричні та обернені тригонометричні функції
y
1
y
2
237
y sin x
x
6
O
5
6
Рис. до зад 10.14
Нерівність sin x
1
правдива для x ; . Ураховуючи періодичність
2
6 6
синуса, маємо
5
x 2n;
2n , n .
6
6
Коментар. Задачу можна розв’язати за допомогою графіка y sin x або на
одиничному колі.
10.15. Розв’язати нерівність cos x
2
.
2
Розв’язання. [5.11.2.]
[Розв’язуємо нерівність за допомогою одиничного кола.]
2
arccos
.
2
4
7
2
Нерівність cos x
правдива для x ; . Урахо2
4 4
вуючи періодичність косинуса, маємо
7
x 2n;
2n , n .
4
4
10.16. Знайти область означення функції f (x ) arcsin tg x .
Розв’язання. [5.9.6, 5.11.3.]
Функція f (x ) означена, якщо tg x 1 і x n, n .
2
tg x 1,
tg x 1
tg x 1.
y
4
2
2
1
4
Рис. до зад 10.15
2
x
238
Модуль 0. АДАПТАЦІЙНИЙ КУРС ЕЛЕМЕНТАРНОЇ МАТЕМАТИКИ
y
arctg 1 ; arctg(1) arctg 1 .
4
4
n x n, n .
4
4
D( f ) : x n; n , n .
4
4
4
1
1
x
4
1
Рис. до зад. 10.16
10.17. Знайти множину значень функції y 11 cos x .
Розв’язання. [5.8.8.]
Для всіх x правдиві нерівності
1 cos x 1 11 11 cos x 11.
Множина значень функції E (y ) [11;11].
10.18.1. Побудувати за допомогою геометричних перетворень графік функції
y 3 sin 2x .
Розв’язання. [5.8.7, 5.15.3, 5.15.4.]
Графік заданої функції дістанемо з графіка функції y sin x стисканням у 2 рази
вздовж осі Ox і розтягуванням у 3 рази вздовж осі Oy .
y sin x y sin 2x y 3 sin 2x .
y
O
y
y sin 2x
y sin x
x
2
x
y
3
2
y
2
O
3
y 3 sin 2x
1
O
2
x
Рис. до зад. 10.18.1
2
y 3 sin 2x
1
O
2
x
10. Тригонометричні та обернені тригонометричні функції
239
10.18.2. Побудувати за допомогою геометричних перетворень графік функції
x
y tg .
2 4
Розв’язання. [5.8.9, 5.15.1, 5.15.3.]
[Перетворюємо аргумент функції, щоб дізнатись про «справжній» зсув.]
x
1
y tg tg x .
2
2
2 4
Графік заданої функції дістанемо з графіка функції y tg x розтяганням у 2 рази
вздовж осі Ox і перенесенням на вздовж осі Ox .
2
x
1
y tg x y tg y tg x .
2
2
2
y
y
y tg
2
O
2
3
2
x
2
2
O
3
2
2
y
2
O
2
3
2
2
5
2
3
x
x
y tg
2 4
y
2
O
2
3
2
2
5
2
3
x
y tg
2 4
Рис. до зад. 10.18.2
x
x
2
x
240
Модуль 0. АДАПТАЦІЙНИЙ КУРС ЕЛЕМЕНТАРНОЇ МАТЕМАТИКИ
10.18.3. Побудувати за допомогою геометричних перетворень графік функції
y arcsin x .
Розв’язання. [5.9.1, 5.15.5, 5.15.7.]
Графік функції y arcsin x дістанемо з графіка функції y arcsin x так:
1) будуємо частину графіка y arcsin x , x 0;
2) доповнюємо побудовану криву її дзеркальним відбитком щодо осі Oy .
Графік функції y arcsin x дістанемо з графіка функції y arcsin x дзеркальним відбиттям щодо осі Ox .
y arcsin x, x 0 y arcsin x y arcsin x .
y
y
2
2
1 x
O
y arcsin x , x 0
1
y
y
2
2
1
1
O
x
1
O
y arcsin x
1
x
1
O
2
y arcsin x
2
y arcsin x
Рис. до зад. 10.18.3
Задачі для самостійної роботи
10.19. Виразіть у радіанах кут:
1) 20;
2) 45;
3) 135;
4) 240.
10.20. Виразіть у градусах кут:
1)
;
18
2)
;
4
3)
2
;
3
4)
7
.
6
x
10. Тригонометричні та обернені тригонометричні функції
10.21. Спростіть вираз:
1) sin t ;
2
2) cos(2 t );
3) sin( t );
4) cos t ;
2
5) tg t ;
2
6) ctg( );
7)
sin( t ) cos(2 t )
.
tg( t ) cos( t )
10.22. Обчисліть за допомогою формул зведення:
1) cos
11
2) sin
;
6
5
;
3
3) sin(7) 2 cos
31
7
tg
;
3
4
4) sin 75 sin 15.
10.23. Спростіть:
1) sin( ) sin cos ;
2) sin sin cos( );
5
1
3) sin
cos ;
6
2
4)
5) cos( ) cos cos ;
6) sin cos sin( ).
3
5
sin cos
;
2
3
10.24. Обчисліть:
1) cos
5
3
5
3
cos
sin
sin
;
8
8
8
8
3) sin 77 cos 17 sin 13 cos 73;
2) cos
cos sin sin ;
12
4
12
4
4)
tg 25 tg 20
.
1 tg 25 tg 20
2)
sin 2t
sin t;
cos t
4)
sin 40
;
sin 20
10.25. Спростіть:
1)
2 sin2 1
1 2 cos2
;
3) cos2 t cos 2t ;
5)
cos 80
;
cos 40 sin 40
6)
sin t
t
2 cos
2
2
;
241
242
Модуль 0. АДАПТАЦІЙНИЙ КУРС ЕЛЕМЕНТАРНОЇ МАТЕМАТИКИ
7)
8)
cos t
;
t
t
cos sin
2
2
1 cos 2x 2 sin x, x [0; 2]; 9)
1 cos x
x
tg , x (; ).
1 cos x
2
10.26. Обчисліть:
1) 2 sin 15 cos 15;
3) 2 sin
cos ;
8
8
2) cos2 15 sin2 15;
4)
10 sin 40 sin 50
.
cos 10
10.27. Перетворіть на добуток:
1) sin 3t sin t;
2) cos 6t cos 4t .
10.28. Перетворіть на суму:
1) sin( ) sin( );
2) cos cos ;
2 2
2 2
3) sin cos( ).
10.29. Перетворіть вираз до вигляду A sin(t ), A 0 :
1) sin 5x cos 5x ;
2)
3) 12 cos x 5 sin x ;
4) sin x cos x .
3 sin x cos x ;
10.30. Знайдіть значення інших тригонометричних функцій кута , якщо:
1) sin
1
,0 ;
3
2
2
3) cos , ;
5 2
5) tg 15,
;
2
1
3
2) sin ,
;
8
2
4) cos
4 3
,
2;
5 2
6) ctg 3,
10.31. Обчисліть:
2
1) arcsin 2 cos ;
3
1
2) arccos tg ;
2 3
7
3) arctg 2 cos
;
6
2
4) arcctg 3 ctg .
3
3
.
2
10. Тригонометричні та обернені тригонометричні функції
10.32. Обчисліть:
2
1) sin arcsin ;
5
1
2) tg arctg ;
3
3
3) sin arccos ;
5
5
4) cos arcsin
;
13
5
5) tg arccos
;
13
6) tg(arcsin 0, 6).
10.33. Обчисліть:
1) arcsin(sin 1, 2);
2) arctg tg 3, 3 ;
3) arcsin sin 6;
4) arccos cos 11.
10.34. Розв’яжіть рівняння:
1) sin 3x 0;
3) sin
x
1;
2
5) sin x
1
;
3
5
3
;
7) cos 5x
12
2
2) cos
x
0;
4
4) cos 2x 1;
6) tg x 5;
x 2
8) ctg
1.
2
3
10.35. Розв’яжіть нерівність:
1) sin 2x 0;
2) cos 3x 0;
3) tg 3x 0;
1
4) sin x ;
2
1
;
9
6) tg 4x 3;
5) cos x
7) ctg 3x 4;
9) cos
x 7
.
4
8
x 4
8) sin ;
2 3 5
243
244
Модуль 0. АДАПТАЦІЙНИЙ КУРС ЕЛЕМЕНТАРНОЇ МАТЕМАТИКИ
10.36. Знайдіть область означення функції:
1) y arcsin(5x 1);
x 5
2) y arccos
;
6
3) y tg x ;
6
4) y ctg x .
3
10.37. Знайдіть множину значень функції:
3) y 5 sin 5x ;
4) y 6 2 cos x ;
5) y arccos x ;
6) y arcsin x ;
7) y 5
sin x
1 cos x
8) y
.
3
;
10.38. За допомогою елементарних перетворень побудуйте графік функції:
1) y 2 cos x ;
3
3) y
2) y cos 2x 1;
4
1
sin x ;
2
3
x
4) y sin 1;
2 4
5) y tg x ;
6
6) y ctg x ;
3
7) y tg 2x ;
3
8) y sin x ;
9) y cos x ;
10) y sin x .
10.39. За допомогою елементарних перетворень побудуйте графік функції:
1) y 2 arcsin(x 1)
3) y 3 arctg(x 1)
;
2
;
2
2) y
1
arccos(x 2) ;
2
4
4) y
1
arcctg(x 3);
3
5) y sin(arcsin x );
6) y tg(arctg x );
7) y arccos(cos x );
8) y arcctg(ctg x ).
10. Тригонометричні та обернені тригонометричні функції
245
Відповіді
3
4
; 2) ; 3)
; 4)
.
3
9
4
4
10.20. 1) 10; 2) 45; 3) 120; 4) 210.
10.21. 1) cos t; 2) cos t; 3) sin t ; 4) sin t ; 5) ctg t; 6) ctg ; 7) cos t.
10.19. 1)
10.22. 1)
1
1
1
; 2) ; 3) 2; 4) .
4
2
2
10.23. 1) sin cos ; 2) cos cos ; 3)
10.24. 1)
1
3
sin ; 4) cos ; 5) sin sin ; 6) sin cos ;
2
2
1
2
3
; 2) ; 3)
; 4) 1.
2
2
2
t
t
t
10.25. 1) 1; 2) sin t ; 3) sin2 t; 4) 2 cos 20; 5) cos 40 sin 40; 6) tg ; 7) cos sin ;
2
2
2
2 cos x sin x , x 0; ,
2
8) 1 cos 2x 2 sin x , x [0; 2]; 9)
0,
x 2 ; 0 .
1
3
2
; 3)
; 4) 5 tg 40. 10.27. 1) 2 cos 2t sin t ; 2) 2 cos t cos 5t .
10.26. 1) ; 2)
2
2
2
1
1
1
10.28. 1) (cos 2 cos 2); 2) (cos cos ); 3) (sin( 2) sin );
2
2
2
12
10.29. 1) 2 sin 5x ; 2) 2 sin x ; 3) 13 sin x arctg ; 4) 2 sin x .
4
4
3
5
10.30. 1) cos
2 2
1
, tg 2 2, ctg
;
3
2 2
3 7
1
, tg
, ctg 3 7;
8
3 7
3
3
4
21
21
2
, tg
, ctg
; 4) sin , tg , ctg ;
5
2
5
4
3
21
2) cos
3) sin
1
3
1
1
15
1
, cos
, tg .
5) cos , sin
, ctg
; 6) sin
3
4
4
10
10
15
3
.
10.31. 1) ; 2) ; 3) ; 4)
2
6
3
4
2
1
4
12
12
3
; 5) ; 6) .
10.32. 1) ; 2) ; 3) ; 4)
4
5
3
5
13
5
10.33. 1) 0, 2; 3) 0, 3; 5) 6 2; 7) 4 11.
10.34. 1) x
4) x 1,2
n
, n ; 2) x 2 4n, n ; 3) x 4n 1, n ;
3
1
1
n, n ; 5) x 1 arcsin n, x 2 arcsin n, n ;
2
3
3
246
Модуль 0. АДАПТАЦІЙНИЙ КУРС ЕЛЕМЕНТАРНОЇ МАТЕМАТИКИ
6) x arctg 5 n, n ; 7) x 1
8) x
2n
7 2n
, x2
, n ;
20
5
60
5
2n, n ;
6
2n 2n
, n ;
10.35. 1) x n; n , n ; 2) x
;
6
2
3 6
3
n n
5
3) x
;
2n , n ;
, n ; 4) x 2n;
6
3
6 3
6
1
1
5) x arccos 2n; 2 arccos 2n , n ;
9
9
1
1
n n
n n
, n ; 7) x arctg 4
6) x arctg 3
;
;
, n ;
3 3
4
4 8
4
3 3
3
4
4
2
4
8) x
2 arctg 4n;
2 arcsin 4n , n ;
3
5
3
5
7
7
9) x 4 arccos 8n; 4 cos 8n , n .
8
8
2
2
n, n ; 4) x n, n .
10.36. 1) D(y ) 0; ; 2) D(y ) [1;11]; 3) x
5
3
3
10.37. 1) E (y ) [4; 6]; 2) E (y ) [4; 8]; 3) E (y ) 0; ; 4) E (y )
2
1
6) y ; 3 .
3
0; ; 5) E (y )
2
1
;5 ;
5
11. Парність, непарність, періодичність функцій
Навчальні задачі
11.1.1. Дослідити на парність (непарність) функцію y 3x 7 2x 3 sin x .
Розв’язання. [5.2.2, 5.2.3.]
[Крок 1. Виписуємо область означення функції і перевіряємо її на симетричність щодо точки 0. ]
Область означення D(y ) (; ) є симетричною щодо точки 0.
[Крок 2. Знаходимо y(x ). ]
y(x ) 3(x )7 2(x )3 sin(x ) 3x 7 2x 3 sin x .
[Крок 3. Порівнюємо y(x ) з y(x ). ]
y(x ) y(x ).
[Крок 4. Висновуємо про функцію y. ]
Функція y є непарною.
11. Парність, непарність, періодичність функцій
11.1.2. Дослідити на парність (непарність) функцію y
cos x
2
x 25
247
.
Розв’язання. [5.2.2, 5.2.3.]
Область означення D(y ) (; 5) (5; 5) (5; ) є симетричною щодо
точки 0.
cos(x )
cos x
y(x )
.
(x )2 25
x 2 25
y(x ) y(x ).
Функція y є парною.
x2
11.1.3. Дослідити на парність (непарність) функцію y
.
x 1
Розв’язання. [5.2.2–5.2.4.]
Область означення D(y ) (;1) (1; ) не є симетричною щодо точки 0.
Функція y ні є парною, ні є непарною (загального вигляду).
11.1.4. Дослідити на парність (непарність) функцію y 2x.
Розв’язання. [5.2.2–5.2.4.]
Область означення D(y ) (; ) є симетричною щодо точки 0.
y(x ) 2x .
y(x ) y(x ), y (x ) y (x ).
Функція y ні є парною, ні є непарною.
11.2.1. З’ясувати, чи є функція f (x ) cos2 2x періодичною і визначити найменший
період T .
Розв’язання. [5.2.5, 5.8.8.]
1 cos 4x
Оскільки cos2 2x
, то період заданої функції збігається з періодом
2
функції cos 4x .
Функція cos x періодична з найменшим періодом 2. Отже, найменший період
2
.
T функції cos 4x дорівнює T
4
2
Функція f (x ) є періодичною; найменший період функції T .
2
11.2.2. З’ясувати, чи є функція f (x ) tg
менший період T .
Розв’язання. [2.2.5, 5.8.8, 5.2.4.]
x
x
2 tg періодичною і визначити най2
3
248
Модуль 0. АДАПТАЦІЙНИЙ КУРС ЕЛЕМЕНТАРНОЇ МАТЕМАТИКИ
Найменший період функції tg
ції tg
x
дорівнює T1 2, а найменший період функ2
x
дорівнює T2 3.
3
Найменшим періодом функції f (x ) tg
x
x
2 tg є «найменше спільне крат2
3
не» чисел 2 та 3 — число T 6.
Функція f (x ) є періодичною; найменший період функції T 6.
Задачі для самостійної роботи
11.3. З’ясувати, чи функція f є парна, непарна чи загального вигляду, якщо:
2
1) f (x ) e x cos x ;
3) f (x ) arcsin(x 1);
5) y ln
1x
;
1x
2) f (x ) x 2 8x 20;
4) y
6) y
x3
x2 1
1
1 x4
;
, x (1;1);
2 sin x
;
5x
8) y x 3 x 3 ;
9) y x 2, x (;1];
10) y sin x , x [0; ].
7) y
11.4. З’ясувати, чи є функція f періодичною, і в разі періодичності визначити
найменший період T :
1) f (x ) 3 sin 4x ;
3) f (x ) sin
x
ctg x ;
2
5) f (x ) sin x sin 2x
7) f (x ) 5;
2) f (x ) sin2 3x ;
4) f (x ) x 2;
1
sin 3x ; 6) f (x ) 3 sin x 5 cos x ;
3
8) f (x ) {x }.
Відповіді
11.3. 1) парна; 2) загального вигляду; 3) загального вигляду; 4) непарна; 5) непарна; 6) парна;
7) парна; 8) непарна; 9) загального вигляду; 10) загального вигляду.
11.4. 1) T ; 2) ; 3) 4; 4) неперіодична; 5) періодична, Tmin 2; 6) неперіодична;
2
3
7) періодична з будь-яким періодом; 8) періодична, Tmin 1.
Список використаної і рекомендованої літератури
Підручники і посібники
1. Вища математика: підручник. У 2 кн. Кн. 1 / Г. Й. Призва, В. В.
Плахотник, Л. Д. Гординський та ін.; за ред. Г. Л. Кулініча. — К.: Либідь,
2003. — 400 с. — ISBN 966-06-0229-4.
2. Вся высшая математика: учеб. / М. Л. Краснов, А. И. Киселев, Г. И.
Макаренко и др. — Т. 1. — М.: Эдиториал УРСС, 2010. — 336 с. — ISBN 9785-354-01237-4.
3. Вся высшая математика: учеб. / М. Л. Краснов, А. И. Киселев, Г. И.
Макаренко и др. — Т. 2. — М.: Эдиториал УРСС, 2007. — 192 с. — ISBN 9785-382-00208-8.
4. Дубовик В. П. Вища математика: навч. посіб. / В. П. Дубовик, І. . Юрик. —
К: А. С. К., 2006. — 647 с. — ISBN 966-539-320-0.
5. Жевняк P. M. Высшая математика. Аналитическая геометрия и линейная
алгебра. Дифференциальное исчисление / P. M. Жевняк, А. А. Карпук. —
Мн.: Выш. шк., 1992. — 384 с.
6. Жевняк P. M. Высшая математика: учеб. пособие Ч.2. / P. M. Жевняк, А.
А. Карпук. — Мн.: Выш. шк., 1985. — 224 с.
7. Овчинников П. П. Вища математика: підручник. У 2 ч. Ч. 1 / П. П.
Овчинников, Ф. П. Яремчук, В. М. Михайленко. — К.: Техніка, 2003. — 600 с. —
ISBN: 966-575-055-0.
8. Письменный Д. Конспект лекций по высшей математике. Полный курс /
Д. Письменный. — М.: Айрис-Пресс, 2008. — 608 с. ISBN 978-5-8112-3118-8,
978-5-8112-3480-6.
9. Шипачев В. С. Курс высшей математики / В. С. Шипачев. — М. Оникс,
2009. — 608 с. — ISBN 978-5-488-02067-2.
10. Крамор В. С. Алгебра и начала анализа (система проведения занятий
на подготовительных отделениях вузов). — М.: Высш. шк., 1981. — 336 с.
11. Математика. Практична підготовка до ЗНО / О. М. Роганін, О. Ю.
Максименко, О. О. Тарасенко, В. І. Вербицький. — Харків: ТОРСІНГ
ПЛЮС, 2009. — 480 с. ISBN 978-611-03-0018-6.
12. Нелін Є. П. Алгебра в таблицях. — Х.: Світ дитинства, 2002. — 116 с.
ISBN 966-544-165-5.
13. Роганін О. М. Алгебра і початки аналізу в таблицях і схемах. — Харків:
ТОРСІНГ ПЛЮС, 2007. — 112 с. ISBN 978-966-404-545-9.
14. Титаренко О. М., Роганін О. М. Математика. Самовчитель майбутнього
студента. — Харків: ТОРСІНГ ПЛЮС, 2007. — 448 с. ISBN 978-966-404-411-7.
250
Список використаної і рекомендованої літератури
Задачники і розв’язники
15. Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа /
Г. Н. Берман. — С.Пб.: Лань, Специальная литература, 2002. — 448 с. —
ISBN 5-8114-0107-8.
16. Барковський В. В. Вища математика для економістів: навч. посібник /
В. В. Барковський, Н. В. Барковська. — К.: ЦУЛ, 2010. — 417 с. — ISBN
978-966-364-991-7.
17. Вища математика: збірник задач: Навч. посібник /В. П. Дубовик,
І. І. Юрик, І.П. Вовкодав та ін.; За ред. В. П. Дубовика, І. І. Юрика. – К.: А.
С. K., 2005. – 480 с.
18. Герасимчук В. С. Вища математика. Повний курс у прикладах і задачах:
навч. посіб. Ч. 1. Лінійна й векторна алгебра. Аналітична геометрія. Вступ до
математичного аналізу. Диференціальне числення функцій однієї та багатьох
змінних. Прикладні задачі / В. С. Герасимчук, Г. С. Васильченко, В. І. Кравцов
— К.: Книги України ЛТД, 2009. — 578 с. — ISBN 978-966-2331-03-5.
19. Герасимчук В. С. Вища математика. Повний курс у прикладах і задачах:
навч. посіб. Ч.2. Невизначений, визначений та невласні інтеграли.
Звичайні диференціальні рівняння. Прикладні задачі / В. С. Герасимчук,
Г. С. Васильченко, В. І. Кравцов. — К. : Книги України ЛТД, 2010. — 470 с.
— ISBN 978-966-2331-05-9.
20. Клепко В. Ю. Вища математика в прикладах і задачах: навч. посібн. / В. Ю.
Клепко, В. Л. Голець. — К.: ЦУЛ, 2009. — 592 c. — ISBN 978-966-364-928-3.
21. Сборник задач по математике для втузов. В 4 ч. Ч. 1. Линейная алгебра
и основы математического анализа: учеб. пособие / Болгов В. А., Демидович
Б. П., Ефимов А. В. и др. Под общ. ред. А. В. Ефимова и Б. П. Демидовича.
— М.: Наука, 1993. — 480 с. — ISBN 5-02-014433-9.
22. Сборник задач по курсу высшей математики / Г.И. Кручкович, Н.И.
Гутарина, П.Е. Дюбюк и др. — М.: Высш. шк., 1973. — 576 с.
23. Титаренко О. М. Математика. 6611 задач: від найпростіших до
олімпіадних. — Харків: ТОРСІНГ ПЛЮС, 2011. — 480 с. ISBN 978-617-030179-6.
