Modélisation micromécanique de l’effet des chargements
cycliques et de la vitesse de déformation sur
l’endommagement de l’interface fibre-matrice dans les
composites SMC
Houssem Ayari
To cite this version:
Houssem Ayari. Modélisation micromécanique de l’effet des chargements cycliques et de la vitesse de
déformation sur l’endommagement de l’interface fibre-matrice dans les composites SMC. Matériaux.
HESAM Université; Université de Sousse (Tunisie), 2020. Français. �NNT : 2020HESAE033�. �tel02967962�
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Submitted on 15 Oct 2020
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ÉCOLE DOCTORALE SCIENCES DES MÉTIERS DE L’INGÉNIEUR
[PIMM- Procédés et Ingénierie en Mécanique et Matériaux – Campus de Paris]
THÈSE
présentée par : Houssem AYARI
soutenance le : 03 septembre 2020
pour obtenir le grade de : Docteur d’HESAM Université
préparée à : École Nationale Supérieure d’Arts et Métiers
Spécialité : Mécanique des matériaux
Modélisation micromécanique de l’effet des chargements
cycliques et de la vitesse de déformation sur
l’endommagement de l’interface fibre-matrice dans les
composites SMC
THÈSE dirigée par :
[Abbas TCHARKHTCHI & Hachmi BEN DALY]
et Co-encadrée par :
[Joseph FITOUSSI & Sahbi TAMBOURA]
Jury
M. Ahmed KOUBAA, Professeur, Université du Québec, Abitibi-Témiscamingue
Président
M. Nizar BEN SALAH, Professeur, École Nationale Supérieure d'Ingénieurs de Tunis
Rapporteur
Mme. Nadia BAHLOULI, Professeure, Icube, Université de Strasbourg
Rapporteur
T
H
M. Zouhaier JENDLI, Maître de Conférences, Ecole Supérieure des Techniques Aéronautiques
et de Construction Automobile
Examinateur
M. Abbas TCHARKHTCHI, Professeur classe exceptionnelle, PIMM, Arts et Métiers ParisTech
Examinateur
M. Hachmi BEN DALY, Professeur, ENISo, Ecole Nationale d’Ingénieurs de Sousse
Examinateur
M. Sahbi TAMBOURA, Maître de Conférences, IPEIM, Institut Préparatoire de Monastir
Examinateur
M. Joseph FITOUSSI, Maître de Conférences, PIMM, Arts et Métiers ParisTech
Examinateur
M. Mohammadali SHIRINBAYAN, Docteur, PIMM, Arts et Métiers ParisTech
Examinateur
È
S
E
Je dédie cette thèse à mes parents,
Sans qui rien n’aurait été possible…
REMERCIEMENTS
Remis de mes émotions quelques jours après l’obtention du grade de docteur de l’Ecole
Nationale Supérieure des Arts et Métiers, voici venu le temps de remercier les différentes
personnes que j’ai pu rencontrer au cours de cette thèse, mais aussi celles qui m’ont accompagné
tout au long de cette dernière et bien évidemment celles sans qui je n’aurais jamais pu mener à
bien ce projet, qui fut un travail de longue haleine.
J’exprime ma grande reconnaissance et mes sincères remerciements à mes directeurs de
thèse, Monsieur Abbas TCHARKHTCHI, Professeur aux Arts et Métiers ParisTech-Paris et
Monsieur Hachmi BEN DALY, professeur à l’Ecole Nationale d’Ingénieurs de Sousse-Tunisie,
ainsi qu‘à mes co-directeurs Monsieur Joseph FITOUSSI, Maître de conférences aux Arts et
Métiers ParisTech-Paris, Monsieur Sahbi TAMBOURA, Maître de conférences à l’Ecole
Nationale d’Ingénieurs de Monastir en Tunisie et Monsieur Mohammadali SHIRINBAYAN,
Ingénieur de recherche au laboratoire PIMM, pour leur disponibilité, leur excellent
encadrement, leur dévouement ainsi que leurs conseils avisés qu’ils m’ont prodigués tout au
long de ce travail.
Je remercie les membres de Jury d’avoir accepté d’examiner mon travail.
Je tiens bien évidemment à remercier mes amis Abderazek, Amine, Abir, Rouadha,
Samia, Kheireddin, Sarah, Khaoula, Khaled qui ont toujours été là pour moi et qui m’ont aidé
à me changer les idées lors des périodes difficiles.
Je tiens également à remercier ma copine Manel pour sa patience inaltérable et son
soutien indéfectible.
Et pour terminer, je voudrais remercier du fond du cœur mes parents pour toutes les
choses qu’ils m’ont enseignées toutes ces années et sans qui je n’aurais jamais été capable
d’atteindre mes objectifs. Je les remercie particulièrement de m’avoir toujours encouragé lors
de mes choix d’orientation et de n’avoir jamais douté de moi. Leur soutien, leur
accompagnement et leur aide ont été des éléments moteurs lors de ces dernières années. Je suis
également très reconnaissant envers mes deux sœurs Ahlem et Dorra avec qui j’ai passé
d’excellents moments en famille pour le courage qu’elles m’ont donné et pour leur soutien
inconditionnel toutes ces années !
Table des matières
I. Introduction générale ..........................................................................................................- 6 I. Etude bibliographique .......................................................................................................- 10 I.1. Les matériaux composites ............................................................................................. - 10 I.1.1 Le renfort ...............................................................................................................- 10 I.1.2 La matrice ..............................................................................................................- 11 I.1.3 Les charges, adjuvants et additifs ..........................................................................- 11 I.1.4 Interface fibre/matrice ........................................................................................... - 11 I.2. Procédé d’élaboration des SMC.................................................................................... - 12 I.3. Les différentes familles de composites SMC ................................................................ - 12 I.3.1 SMC standard.....................................................................................................- 13 I.3.2 SMC basse densité (LD-SMC) ..........................................................................- 13 I.3.3 SMC haute performance (A-SMC) ....................................................................- 13 I.4. Comportement mécanique et endommagement des SMC ............................................- 13 I.5. Endommagement des SMC standards...........................................................................- 15 I.5.1 Endommagement des SMC en traction monotone .............................................- 15 I.5.2 Endommagement des SMC en fatigue ............................................................... - 16 I.5.3 Endommagement des SMC en dynamique ........................................................ - 20 I.6. Modélisation micromécanique ...................................................................................... - 21 I.6.1 Principe de la modélisation multi-échelle .......................................................... - 22 I.6.2 Bornes de Voigt et Reuss ................................................................................- 25 I.6.3 Approche d’Echelby .......................................................................................... - 26 I.6.4 Problème de l’inclusion homogène ....................................................................- 26I.6.5 Problème hétérogène .......................................................................................... - 27 I.6.6 la méthode des solutions diluées .......................................................................- 28 I.6.7 Modèle auto-cohérent ..................................................................................... - 29 I.6.8 Modèle de Mori Tanaka ..................................................................................... - 29 1
I.6.9 Bornes de Hashin et Shtrikman..........................................................................- 30 I.6.10 Synthèse des principaux modèles micromécaniques .........................................- 31 I.6.11 Analyse critique des modèles : Choix du modèle Mori et Tanaka ...................- 32 I.7. Modélisation de l’endommagement du composites à l’interface fibre-matrice ............- 34 I.8. Différentes approches de modélisation de l’endommagement en fatigue des composites.......- 36 I.9. Conclusion ...................................................................................................................- 38 II. Matériaux et méthodes ..................................................................................................- 39 II.1. Présentation des matériaux d’étude ..............................................................................- 39 II.2. Méthodes de cararctérisation mécanique (les essais effectués) ....................................- 40 II.2.1 Résultats expérimentaux sur le compositte A-SMC .........................................- 40 II.2.1.1 Essais de fatigue et de quasistatique ................................................................ - 41 II.2.1.2 Essais à grande vitesse ..................................................................................... - 42 II.2.2 Résultats expérimentaux sur le composite SMC-Standard ............................... - 43 II.2.2.1 Comportement mécannique et méthodologie d’analyse des dommages ..........- 45 II.3 Cadre général et présentation du modèle micromécanique d’endommagement d’interface…....-49II.3.1 Cadre général ....................................................................................................- 49 II.3.2 Equations de base .............................................................................................. - 52 II.3.3 Calcul des contraintes locales à l’interface fibre-matrice .................................- 53 II.3.4 Critère local d’endommagement à l’inteface fibre-matrice .............................. - 53 II.3.5 Représentation d’un état local endommagé ...................................................... - 54 III. Modélisation et prédiction de la durée de vie des SMC en fatigue............................... - 55 III.1 Prédiction de la durée de vie et de la baisse de raideur en fatigue .............................. - 55 –
III.2 Prédiction de la durée de vie des SMC : Première méthode hybride .......................... - 56 –
III.3 Prédiction de la durée de vie des l’A-SMC : Seconde méthode hybride .................... - 59 –
III.4 Critères de rupture pour matériaux composites ............................................................ - 62 III.4.1 Définition ..........................................................................................................- 62 III.4.2 Critères phénoménologiques .............................................................................- 63 2
III.4.3 Critères énergétiques ......................................................................................... - 63 III.5 Prédiction des baisses de raideur sous sollicitation cyclique ...................................... - 65 –
III.5.1 Prévision de la baisse de rigidité .......................................................................- 68 III.6 Conclusion ................................................................................................................... - 69 –
IV. Modélisation et prédiction de la durée de vie de l’A-SMC en dynamique .................... - 70 IV.1 Contexte général ..........................................................................................................- 70 IV.2 Comportement dynamique et endommagement à l’interface fibre-matrice ............…- 71 IV.3 Procédure de prévision de l’endommagement à l’interface Fibre/Matrice à grande vitesse ...... -72IV.4 Identification,disscution et résultats ........................................................................….- 75 IV.5 Conclusion générale: ....................................................................................................- 76 -
3
Table des figures
Figure 1 : Place des matériaux composites dans le monde des matériaux en considérant leur
ratio module d'Young / masse volumique. ................................................................................. 6
Figure 2 : Différentes pièces automobiles fabriquées en matériaux composites. ...................... 7
Figure 3 : Principe d’élaboration d’un semi-produit de préimprégné ...................................... 12
Figure 4 : Etape de mûrissement de produit semi-fini ............................................................. 13
Figure 5 : Principe de moulage par compression ..................................................................... 13
Figure 6 : Les différents modes de rupture d’un composite : (1) décohésion interfaciale (2)
fissuration de la fibre (3) fissuration longitudinale-et (4) fissuration transversale- de la matrice
(24) ........................................................................................................................................... 16
Figure 7 : Courbe typique de traction du composite SMC (3) ................................................. 17
Figure 8 : Les paramètres qui influent sur le comportement en fatigue (45) ........................... 18
Figure 9 : Etude expérimentale de l’endommagement d’un matériau SMC en fatigue (1) ..... 19
Figure 10 : Effet de la vitesse de déformation sur les propriétés mécaniques d’un matériau SMC
(33). .......................................................................................................................................... 20
Figure 11 : Une représentation schématique du passage micromécanique des composites (94).
.................................................................................................................................................. 35
Figure 12 : Forme et dimensions de l’éprouvette ..................................................................... 40
Figure 13 : a) dimension de l’éprouvette, b) forme de la fibre observée à la surface .............. 40
Figure 14 : Effet de la vitesse de déformation sur le comportement du A-SMC ..................... 43
Figure 15 : Microstructure du composite SMC-Standard. ....................................................... 44
Figure 16 : Distribution d’orientation des fibres dans la matrice du composite SMC-Standard
.................................................................................................................................................. 44
Figure 17 : Décohésion aux interfaces fibre / matrice ; (a) fibres orientées à 90 ° (b) fibres
orientées à 45 °. ........................................................................................................................ 46
Figure 18 : Les microfissures se propagent sous un chargement cyclique ; (a) d'une fibre à ses
voisins ; b) multi-fissuration des mèches ; (b) et (c) d'un paquet à ses voisins ; (d) rupture
définitive par pseudo-délaminage entre mèches. ..................................................................... 47
Figure 19 : Evolution de la microfissuration interfaciale lors d'essais de fatigue pour différentes
orientations de fibres à différents niveaux de chargements ; ε = 0,50%, ε = 0,64%, ε = 0,8%.
.................................................................................................................................................. 48
Figure 20 : Définition des contraintes d'interface normales et de cisaillement, σn et τ. ........... 52
4
Figure 21 : Contraintes exercées sur la fibre en fonction de son orientation, θ (°), par rapport à
la direction du chargement. ...................................................................................................... 53
Figure 22 : Comparaison entre modèle et expérience .............................................................. 56
Figure 23 : Equation d’état sous chargement monotone .......................................................... 57
Figure 24 : Comparaison de courbes de wöhler exp-num (ST-NF-SL) ................................... 59
Figure 25 : Courbe maîtresse reliant la baisse de raideur macroscopique au premier cycle et le
nombre de cycle a rupture Nr ................................................................................................... 60
Figure 26 : Schématisation de la seconde méthode prédictive ................................................. 61
Figure 27 : Comparaison de courbe de wöhler entre exp-num (ST-NF-SL)............................ 62
Figure 28 : Présentation de l’orientation des fibres suivant l’axe locale et macroscopique .... 63
Figure 29 : Evolution de σx en fonction de l’orientions (𝜽𝑷) pour diffèrent Nr....................... 64
Figure 30 : Exemple d’identification des paramètres Tsai-Wu (X,Y,S et F12). ...................... 65
Figure 31 : Critère de Tsai-Wu pour différents nombres de cycles ciblés et deux microstructures
visées. ....................................................................................................................................... 65
Figure 32 : Evolution de la contrainte interfaciale locale (σ et τ) sous sollicitation uniaxiale 66
Figure 33 :Comparaison entre les baisses de raideurs expérimentales et numériques avec des
amplitude imposée : 0,64%, 0,8% et 0,87%. ............................................................................ 68
Figure 34 : Algorithme de la construction du modèle micromécanique à grande vitesse avec la
prise en compte de l’endommagement a l’interface fibre/matrice ........................................... 74
Figure 35 : Evolution de la contraintes normales et tangentielles pour 𝜃 ∈ [0°, 90°], 𝜑 = 0°
.................................................................................................................................................. 75
Figure 36 : Modélisation de la corrélation: exemples de courbes macroscopiques contraintedéformation pour deux vitesses de déformation : 1 et 60 s -1. .................................................. 76
5
Introduction Générale
L'utilisation moderne des composites a commencé au milieu des années 1960 et
principalement dans l'industrie aéronautique, dont le but est l'allègement de structures et la
diminution du coût. Au fil des décennies et jusqu'à aujourd'hui, ces nouveaux composants
révolutionnent le domaine et remplacent petit à petit les pièces métalliques. Une montée en
puissance remarquable des composites dans le domaine aéronautique est aussi observée dans
l'industrie automobile.
Les matériaux composites à matrice organique, sont connus par leur ratio propriétés mécaniques
– densité très intéressant. Un exemple caractéristique est le rapport rigidité – densité, où la place
avantageuse des matériaux composites par comparaison avec d'autres matériaux est illustrée sur
la Figure 1.
Figure 1 : Place des matériaux composites dans le monde des matériaux en considérant leur ratio
module d'Young / masse volumique.
Ils sont aujourd’hui de plus en plus présent dans l’industrie. Un grand équipementier
automobile, Plastic Omnium, à l'origine de ce projet, a été chargé d’assurer la tenue en fatigue
et en dynamique de pièces d’automobile fabriquées en composite A-SMC (figure 2). Cette étude
entre dans le cadre d’une collaboration Franco-Tunisienne entre l’ENSAM (Paris) et l’ENISo
(Sousse).
6
Figure 2 : Différentes pièces automobiles fabriquées en matériaux composites.
Lors de la conception de véhicules routiers, la réduction de masse est une problématique
de plus en plus centrale.
Le but est de réduire la consommation de carburant par conséquent les émissions
polluantes (des émissions de CO2) notamment de dioxyde de carbone. Les composites à
matrices organiques renforcés par des fibres courtes, représentent alors une alternative efficace
et économique par rapport aux métaux. En effet, ces matériaux ont pour avantages leur haute
capacité d’absorption d’énergie, une haute résistance mécanique, une excellente rigidité en
même temps qu’une grande légèreté aussi leur capacité à pouvoir être moulés par injection ce
qui facilite la mise en œuvre de pièces complexes.
Les matériaux composites ont largement investi dans le domaine automobile pour des
pièces qui ne subissent pas de chargements mécaniques importants (carrosseries, habillage
intérieur, hayon, face avant). Cependant, les exigences environnementales imposent un
allègement des véhicules toujours plus important. Par conséquent, les pièces structurelles
historiquement métalliques, sont de plus en plus remplacées par des matériaux composites
organiques. Le challenge est alors de réussir à produire ces pièces à un coût équivalent tout en
assurant la fiabilité mécanique pour un poids réduit.
Afin d'utiliser de tels matériaux pour la fabrication de ces pièces structurelles, il convient
de s’intéresser aux types de chargement que subissent ces composants mécaniques. Ces derniers
sont notamment soumis à des sollicitations répétées et à des chocs de faible énergie (de type
choc parking) et de forte énergie (crash).
Du point de vue des matériaux, il faut donc considérer deux types de chargement : les
chargements de type cyclique (fatigue) et les chargements dynamiques (à grande vitesse).
7
A l’heure actuelle, les équipes de conception de pièces automobiles structurelles
peuvent être confrontées à une carence d’informations expérimentales et de méthodologie
numériques prédictives. Dans certains cas, cela peut entrainer un surdimensionnement des
structures, une perte de temps et des avantages liés à l’utilisation de matériaux composites. Par
exemple, on peut citer la modélisation du comportement mécanique des SMC qui est encore
mal appréhendée en fatigue comme en dynamique, puisque jusqu’à maintenant il n’existe pas
de modèle unique tridimensionnelle basée sur la connaissance de la microstructure et prenant
en compte l’effet des différents types de chargement macroscopique su les mécanismes de
déformation et d’endommagement.
Plusieurs verrous scientifiques restent donc posés :
Quel est l’impact de la variabilité de la microstructure sur les réponses mécaniques en
fatigue et en dynamique ? L'identification des mécanismes d'endommagement et de
déformation, leurs seuils et leurs cinétiques en fonction de la microstructure locale sont des
problématiques encore ouvertes à l'heure actuelle.
Ce travail de thèse s’inscrit dans cette problématique : proposer un modèle
micromécanique unique capable de traduire le comportement mécanique des matériaux
composites de type SMC largement utilisés dans l’industrie automobile soumis à des
sollicitations de type fatigue et dynamiques.
Pour atteindre cet objectif, différentes étapes sont nécessaires : caractériser le
comportement mécanique du matériau, développer un modèle qui prédit le comportement
mécanique des SMC, mettre en place une procédure d’identification et valider le modèle par
corrélation avec l’expérience afin de démontrer sa pertinence.
La modélisation proposée dans le cadre de cette thèse est basée sur un modèle de type
Mori et Tanaka. Le modèle s’appuie sur une description fine de la microstructure avec
notamment la distribution d’orientation, la distribution d’élancement et la fraction volumique
de fibres induites par le procédé de fabrication. Celles-ci sont préalablement caractérisées par
des moyens expérimentaux à différentes échelles du matériau. L’aspect de l’endommagement
est intégré de manière locale notamment à travers un critère de décohésions à l’interface fibrematrice mis en évidence lors d’essais mécaniques réalisés sous MEB.
Ce travail est une extension des travaux établis dans le cadre des thèses de Tamboura
(1), Shirinbayan (2) et Jendli (3) réalisées au laboratoire PIMM (Procédés et Ingénierie en
Mécanique et Matériaux) de l’école Nationale Supérieure des Arts et Métiers de Paris.
Le manuscrit est divisé en deux parties : le résumé étendu en français (Partie I) ; puis
les articles publiés ou en cours de publication dans des revues internationales (Partie II).
8
L’organisation des différentes parties du résumé étendu respecte les étapes suivantes :
➢ Etude Bibliographique ;
➢ Matériaux et méthodes ;
➢ Modélisation et prédictions de la durée de vie des SMC en fatigue ;
➢ Modélisation et prédiction de la durée de vie des SMC en dynamique rapide.
Ci-après, la liste des articles publiés lors de cette étude ou en cours de publication. Ils sont cités
dans le texte sous la forme de « Article N°-- ».
Article N°1: Ayari H, Fitoussi J, Imaddahen A, Tamboura S, Shirinbayan M, Dali HB, et al.
Two Hybrid Approaches to Fatigue Modeling of Advanced-Sheet Molding Compounds (ASMC) Composite. Appl Compos Mater [Internet]. 3 janv 2020; Disponible sur:
https://doi.org/10.1007/s10443-019-09793-3.
Article N°2: Tamboura S, Ayari H, Shirinbayan M, Laribi M-A, Bendaly H, Sidhom H,
Tcharkhtchi A, Fitoussi J. Experimental and numerical multi-scale approach for SheetMoldingCompound composites fatigue prediction based on fiber-matrix interface cyclic
damage. International Journal of Fatigue. Volume 135, 105526. juin 2020;
Article N°3: Ayari H, Shirinbayan M, Imaddahen A, Tamboura S, Dali HB, Tcharkhtchi A,
Fitoussi J. Micromechanical Modelling of Dynamic Behaviour of A-SMC Composite. Appl
Compos Mater. 27 , pages321 - 335 ( 2020 ).
Article N°4: Mohamed amine imaddahen, Mohammadali Shirinbayan, Houssem Ayari,
Mathieu Foucard, Abbas Tcharkhtchi, Joseph Fitoussi. Overall investigation of mechanical
behavior of short fiber reinforced polypropylene under monotonic and fatigue loading. Polymer
Composites. Juillet 2020.
9
I.
Etude bibliographique
I.1. Les matériaux composites
Par définition, un matériau composite est constitué par l’association au moins de deux
matériaux non miscibles et de natures différentes, permettant d’aboutir à un matériau dont
l’ensemble des performances est supérieur à celui des composants pris séparément (4). Il est
aussi constitué d’une ou plusieurs phases discontinues réparties dans une phase continue. La
phase continue est appelée la matrice. La phase discontinue présente usuellement des propriétés
mécaniques (rigidités et résistances) supérieures à celle de la matrice notée renfort. Les
propriétés des matériaux composites résultent des propriétés des matériaux constituants, de la
distribution géométrique des renforts, du taux volumique de renfort, de la nature des interfaces
renforts/matrice, et du procédé de fabrication.
Les composites SMC font l’objet de la présente étude. Ils sont utilisés dans des domaines
variés. Tels que l’industrie automobile, notamment pour des pièces de structure comme les
absorbeurs avant et arrière, les pare-chocs, les boucliers, hayons, custodes, planchers et
calandres (5–10). Ils viennent remplacer progressivement les métaux. Ils permettent notamment
une économie de poids, et une diminution des coûts de production, tout en possédant des
propriétés mécaniques remarquables
Dans les prochains paragraphes, nous présenterons quelques généralités concernant les
constituants des composites organiques renforcés de fibres en insistant sur les composites SMC
objet de la présente étude.
I.1.1 Le renfort
Les fibres de verre sont les renforts les plus utilisés pour les matériaux composites. Il
s’agit d’un renfort peu coûteux assemblée sous forme de mèche contenant de l’ordre de 200
fibres ayant un diamètre de 15 μm de et une longueur de 25 mm en moyenne(11). Il existe par
ailleurs, des composites SMC à renforts de carbone récemment développés par notre partenaire
(PO) pour des applications fatigue.
Les fibres de verre sont choisies comme renforts, essentiellement en raison de leurs
bonnes propriétés mécaniques. Elles sont caractérisées par une résistance supérieure à celles
des meilleurs aciers connus.
Dans notre étude, nous nous intéresserons aux fibres de verres E, dont la raison
principale est qu’il est moins cher que les autres verres. Il est connu pour ses propriétés
diélectriques (12,13).
10
I.1.2 La matrice
Une autre composante très importante d’un matériau composite est la matrice qui est un
matériau organique léger et déformable. Les rôles principaux d’une matrice sont la protection
des charges, la distribution de la charge mécanique sur les renforts et la cohésion des charges
qui a un rôle très important pour l’homogénéisation du composite.
En général, les matrices organiques sont classées en deux groupes ; les matrices
thermodurcissables et les matrices thermoplastiques.
Les résines thermodurcissables ont des propriétés mécaniques élevées. La matrice
utilisée pour le composite SMC est composée essentiellement d’une résine polyester ou
vinylester. A ce composant essentiel, la résine, on rajoute des charges et des additifs dans le but
d’améliorer les caractéristiques mécaniques et physiques de la matrice.
I.1.3 Les charges, adjuvants et additifs
Différents produits peuvent être incorporés aux composites pour leur assurer des
caractéristiques particulières ou pour en réduire le coût. Ces produits ajoutés sont appelés des
charges ou des additifs.
L’intérêt de l’ajout du premier type est d’augmenter la viscosité et d’améliorer les
caractéristiques mécaniques. Les particules les plus utilisées sont constituées de carbonate de
calcium (craie) et de silicate de magnésium (talc). Des billes de verre creuses sont parfois
ajoutées à la pâte de SMC pour diminuer le poids volumique (14).
Cependant, l’ajout du second type est de faciliter le façonnage du composite, de son
moulage et d’améliorer son aspect extérieur ainsi que sa protection du phénomène de photo oxydation. On y distingue divers types : lubrifiants, agents de démoulage, stabilisants, agent
anti-retrait, pigments et colorant(15).
I.1.4 Interface fibre/matrice
L'importance de la liaison entre fibre et matrice est tellement cruciale pour les propriétés
du matériau composite au point où elle est considérée comme un troisième constituant d'un
matériau composite bien que sa fraction volumique soit théoriquement nulle ou pratiquement
faible. En effet, elle permet le transfert des contraintes tout en évitant le déplacement relatif de
l'une par apport à l'autre. Elle peut éventuellement être considérée comme un constituant du
composite car elle possède ces propres propriétés chimiques, physiques, et mécaniques.
Cependant, nous admettons toujours l'hypothèse que l’épaisseur de l’interphase est relativement
11
faible de façon que nous puissions la négliger, ceci pour faciliter par la suite l'analyse
micromécanique des matériaux composites(16).
I.2. Procédé d’élaboration des SMC
La mise en forme d’une plaque ou d’une pièce en SMC passe par trois étapes :
➢ La fabrication du préimprégné (ou masse à mouler).
➢ Le mûrissement du préimprégné dans une chambre de mûrissement.
➢ La réticulation et le moulage sous pression.
➢ La fabrication du préimprégné
Sur un tapis roulant horizontal est déroulé un film support en polyéthylène. Au début de
la chaîne, la résine chargée est déversée au-dessus de ce film plastique protecteur, tandis que
les mèches de fibres de verre continu ensimées passent à travers un sectionneur qui les découpe
à la longueur désirée qu’il vont être tomber par la suite sur la pâte mère. Ainsi, les fibres
commencent à s’imprégner de résine et se disposent aléatoirement sur cette dernière. A
l’extrémité de la chaîne, le composite rencontre un second film support en polyéthylène.
L’ensemble prend les mèches en sandwich. Pour assurer une bonne imprégnation, le
préimprégné passe à travers d’un dispositif de compactage. Enfin, Le semi-produit est stocké
sous forme de rouleaux. La figure (3) montre le procédé déjà décrit.
Figure 3 : Principe d’élaboration d’un semi-produit de préimprégné (1)
➢ Le mûrissement du préimprégné
L’étape de ‘’mûrissement’’ consiste à stocker, les rouleaux de préimprégné qui viennent
d’être élaborés, à la température ambiante pendant une période suffisamment longue durant
laquelle le polymère chargé va commencer à prépolymériser pour conférer au produit semi-fini
une rigidité tout en restant manipulable.
12
Figure 4 : Etape de mûrissement de produit semi-fini
➢ La réticulation et le moulage sous pression
Le mat préimprégné est moulé à chaud (140 à 160°C) par compression entre une moule et
un contre moule en acier usiné. La cuisson de la plaque est faite pendant cette étape. Le
préimprégné finira de se polymériser et épousera la forme désirée. Cette opération dure entre 2
et 3 minutes (17,18) ce qui permet d’atteindre des cadences de production de 700 à 800 pièces
par jour.
Figure 5 : Principe de moulage par compression
I.3. Les différentes familles de composites SMC
Dans ce paragraphe, nous présentons les familles de formulation de composites SMC.
I.3.1 SMC standard
Ce type de SMC est généralement composée d’une matrice polyester fortement chargée (50
% en masse de la pâte mère) de particules de carbonate de calcium (CaCO3). Ce dernier est
renforcé par des mèches de fibres de verre d’une longueur de l’ordre de 25 mm ou chacune de
ces mèches contient 200 fibres. Le taux moyen de renforts est de l’ordre de 30% en masse. Ce
type de SMC a une masse volumique de l’ordre de 1,88 g/cm3 (3).
13
I.3.2
SMC basse densité (LD-SMC)
Cette classe de SMC, (LD SMC) ou encore le Low Density SMC a été développée pour
répondre à un besoin industriel en termes de réduction de poids sur les véhicules. Ce type de
SMC est caractérisé par l’introduction de billes de verre creuses afin de réduire le poids sur les
pièces de structures [19]. Ce qui nous permet d’atteindre des masses volumiques de l’ordre de
1,22 g/cm3 soit 30% inférieures à celle d’un SMC standard.
I.3.3
SMC hautes performances (A-SMC)
L’Advanced SMC, (A-SMC), est caractérisé par un taux de fibres relativement élevé (50%
de la masse totale) atteint grâce à l’utilisation d’une résine vinylester qui permet l’imprégnation
d’un tel taux de fibres. Ce matériau permet d’avoir de hautes performances mécaniques (19,20).
Ce dernier fait l’objet de notre étude qui été fourni par PLASTIC OMNIUM Auto Extérieur
Services. Deux configurations de renfort ont été investiguées : Orientation Aléatoire (Randomly
Oriented - RO) et à forte Orientation (Highly Oriented - HO). Les plaques de SMC HO ont été
obtenues en disposant une charge de pré-imprégné composite dans la partie gauche d'un moule
rectangulaire (30 x 40 cm2) ce qui permet un fort fluage lors de la phase de thermo-compression
qui nous permet d’obtenir une forte orientation des renforts. Les plaques RO ont été obtenues
sans orientation particulière des fibres en remplissant complètement le moule avant thermocompression de façon globalement uniforme.
I.4. Comportement mécanique et endommagement des SMC
La compréhension des mécanismes conduisant à la rupture d'une pièce sollicitée, en vue de
la prédiction de sa durée de vie, s'avère primordiale dans le cas de composites à renforts
discontinus tels que les SMC.
Ces mécanismes à caractère irréversible, se développent sous l'action de sollicitations diverses
et évoluent de façon progressive entre l'état vierge et l'état endommagé pour enfin atteindre
l'apparition d’une ou de plusieurs fissures macroscopiques.
Afin d’appréhender la modélisation du comportement de ces matériaux, il est nécessaire de
préciser les différentes échelles de travail. On définit généralement trois échelles :
➢ L’échelle microscopique qui voit les hétérogénéités les plus fines existantes dans le
matériau. C’est l’échelle du renfort à laquelle les phénomènes d’endommagement s’amorcent.
14
➢ L’échelle macroscopique qui voit la structure comme étant homogène. C’est l’échelle
du V.E.R. ou Volume Elémentaire Représentatif qui doit être suffisamment grand pour contenir
statistiquement toutes les hétérogénéités de la microstructure.
➢ L’échelle mésoscopique, qui se situe entre les deux échelles précédentes, qui ne voit pas
les hétérogénéités les plus fines mais distingue des éléments de taille intermédiaire considérés
eux aussi comme des entités homogènes. Dans le cas des SMC, cette échelle correspond à la
mèche de renforts issues de rowing coupé. Pour les composites stratifiés, il s’agit de l’échelle
de la couche unidirectionnelle.
On connait plusieurs types d’endommagement au sein des composites qui se révèlent à
différentes échelles d’observation (Figure 6). Les plus significatifs sont les suivants (2,21–23)
:
➢ Décohésion fibre/matrice : la rupture de l’interface fibre matrice est généralement le
mécanisme d’endommagement prédominant. Il dépend de la qualité d’adhésion entre la fibre et
la matrice conditionnée par l’ensimage utilisé pour assurer une bonne cohésion entre les deux
éléments.
➢ Fissuration de la matrice : ce type endommagement apparaît lorsque la contrainte
moyenne dans la matrice atteint une limite. Il est plus marqué lorsqu’il existe des défauts tels
que les microporosités issues du procédé d’élaboration. Les fissures engendrées se propagent
selon la direction perpendiculaire à la plus grande contrainte principale.
➢ Fissuration des fibres : Ce phénomène se manifeste généralement avant la ruine totale
du matériau lorsque tous les autres endommagements sont saturés. Ce phénomène est classé
parmi les plus critiques car il conduit à une grande perte de la rigidité et donc la ruine de la
structure.
➢ Délaminage : Ce phénomène est souvent rencontré dans les matériaux stratifiés. Il s’agit de
la séparation locale entre deux plis suite à une sollicitation. Ce mode de fissuration est favorisé
lorsque la direction d’orientation des fibres entre deux plis successifs est différente. On peut aussi
parler de pseudo-délaminage lorsqu’il y a localement formation d’une fissure entre deux mèches de
fibres discontinues.
15
Figure 6 : Les différents modes de rupture d’un composite : (1) décohésion interfaciale (2) fissuration
de la fibre (3) fissuration longitudinale-et (4) fissuration transversale- de la matrice (24)
L’analyse de ces mécanismes d’endommagement locaux et de déformation peut être
réalisée par des essais in situ sous MEB (microscope électronique à balayage) (25,26). L’intérêt
de ce type d’essais est d’observer en temps réel les mécanismes d’endommagent intervenant
lors de sollicitation et de déterminer leur seuil et leur cinétique d’évolution. Récemment, des
essais in situ peuvent également être effectués dans un micro-tomographe à rayons X (25–27)
et permettre de suivre l’évolution de l’endommagement non pas uniquement à la surface de
l’éprouvette mais aussi dans le cœur du matériau.
Au niveau de l’échelle macroscopique, l’endommagement se traduit souvent par une
réduction progressive de raideur suivie de la rupture du matériau. Il est important de noter que
dans le cas d’un composite à matrice thermodurcissable, on parle généralement d’un
comportement élastique endommageable (28–31). Cependant, dans le cas des matrices
thermoplastiques, on parle d’un couplage entre la viscoplasticité provenant de la matrice et
l’endommagement (23).
I.5. Endommagement des SMC standards
I.5.1 Endommagement des SMC en traction monotone
Une relation entre l’évolution macroscopique/microscopique
des
mécanismes
d’endommagent pour des pourcentages en fibres relativement importants (à partir de 30% en
masse) est illustrée par la figure 7 où on peut visualiser trois régions distinctes (32–34):
16
Figure 7 : Courbe typique de traction du composite SMC (3)
Une première phase linéaire correspondant au comportement élastique du composite
pouvant atteindre jusqu’à 30% de la contrainte à la rupture. Ce comportement linéaire et
réversible est associé à l’élasticité du matériau (33).
Une phase non linéaire associée à l’initiation de l’endommagement à l’échelle
microscopique où le phénomène prédominant est la décohésion au niveau de l’interfaces
fibre/matrice (33,35). A partir de cette première région « coude », la courbe devient non linéaire
et le module d’Young diminue progressivement. Les premières microfissures s’initient sur les
fibres orientées entre 60° et 90° par rapport à la direction de chargement (34) sous l’effet de la
contrainte locale normale à l’interface et se propage progressivement vers les fibres les moins
orientées sous l’effet couplé de la contrainte de cisaillement.
Une phase anélastique et plus ou moins linéaire associée à la propagation progressive de
l’endommagement d’une manière diffuse dans tout le volume du matériau jusqu'à la ruine. En
effet lorsque la charge appliquée atteint 90% de la charge admissible, l’accumulation des
ruptures individuelles de fibres entraîne la rupture des bandes de fibres à la surface de
l’éprouvette. Sans oublier les autres mécanismes d’endommagements comme la fissuration
dans la matrice et la rupture des fibres qui peuvent aussi intervenir mais qui sont généralement
secondaire (22).
I.5.2
Endommagement des SMC en fatigue
Les SMC, sous chargement cyclique, subissent un endommagement progressif qui affecte
la résistance du composite et conduit ensuite à la rupture finale. Généralement, ce sujet est
abordé en à travers la détermination des durées de vie et l'évolution de la rigidité au cours du
17
chargement cyclique. Les mécanismes d’endommagement en fatigue dans les SMC sont très
différents de ceux rencontrés dans les métaux par suite de leur hétérogénéité et de la diversité
de leur structure.
Pour comprendre le comportement d’un matériau composite en fatigue il est nécessaire
de citer les paramètres qui influent sur la tenue en fatigue (36–46) qui peuvent être répartis en
trois catégories :
Figure 8 : Les paramètres qui influent sur le comportement en fatigue (45)
✓ Les paramètres liés au composite sont classés en deux groupes :
1) Les constituants d’un matériau composite (matrice et renfort)
2) Les conditions de mise en forme
✓ Les paramètres liés au chargement sont le type et l’amplitude de la contrainte ou
déformation appliquée et la fréquence.
✓ Les paramètres liés à l’environnement sont les paramètres agressifs (l’humidité, l’oxygène,
les UV à) et la température.
Dans le cas d’un SMC, peu d’études se sont intéressées au suivi de l’évolution de la fissuration.
Dans ce cadre, Tamboura et al. (1,47) a étudié et quantifié l’évolution de la densité de fissure à
l’interface fibre/matrice lors d’un chargement en fatigue des SMC (Figure 9). La quantification
de la densité de fissure, en se basant sur des essais interrompus couplés à des observations à
l’échelle microscopiques sous MEB, a là encore montré que l’endommagement interfaciale
fibre/matrice est le mécanisme prédominant. En outre, la taille et la densité des fissures
interfaciales augmentent progressivement avec le nombre de cycles appliqués. Celle-ci débute
18
par les interfaces associées aux renforts qui présentent une grande contrainte normale locale.
En fatigue-traction, il s’agit des renforts les plus désorientés par rapport à la direction de la
charge. Ensuite, elle se propage sur les interfaces des renforts les plus orientés à travers l’effet
couplé de la contrainte locale de cisaillement. Il est à noter que cette dégradation est
globalement conforme à celle observée sous sollicitation monotone. Cette constatation sera de
première importance dans le choix de la méthodologie de la prédiction de la durée de vie
(48,49).
Figure 9 : Etude expérimentale de l’endommagement d’un matériau SMC en fatigue (1)
I.5.3
Endommagement des SMC en dynamique
Il existe peu d’études sur le comportement mécanique des SMC sollicités à grande vitesse
(50–52). Ceci est du tout d’abord à la difficulté expérimentale liée aux phénomènes inertiels et
à la propagation d’ondes qui viennent souvent perturber fortement les mesures. De nombreux
efforts ont été effectuées et différents systèmes ont été mis en place afin de résoudre ces
phénomènes perturbateurs (3,20,33,35,53–56). Cependant, dans le domaine des vitesses élevées
(jusqu’à 200 s-1), les machines de traction à grande vitesse restent l’outil le plus utilisé.
19
On considère généralement qu’une sollicitation est quasi-statique lorsque la vitesse de
déformation est inférieure à 10-1 s-1, intermédiaire lorsque la vitesse est inférieure à 100 s-1 et
dynamique lorsque la vitesse dépasse 100 s-1.
Lorsque la vitesse de sollicitation augmente on observe généralement les tendances suivantes :
✓ La pente à l’origine de la courbe contrainte/déformation augmente ;
✓ La contrainte à rupture augmente ;
✓ La déformation à rupture peut diminuer ou augmenter.
A titre d’exemple, la figure 10 montre une illustration de l’effet de vitesse sur un SMC
standards.
Figure 10 : Effet de la vitesse de déformation sur les propriétés mécaniques d’un matériau SMC (33).
Cette figure montre que le module de Young reste quasiment insensible à la vitesse de
déformation. Cependant, il a été montré qu’une augmentation de cette dernière entraîne d’une
part une augmentation du seuil de non linéarité (correspondant au début de l’endommagement)
et une baisse de la cinétique d’endommagement d’autre part (33) (se traduisant par une perte
de raideur plus lente). En outre, l’aspect visqueux de l’endommagement interfaciale est bien
mis en évidence grâce à des essais interrompus (3). On observe donc un retard lors de la phase
d’amorçage et une diminution de la cinétique d’endommagement lors de la phase de
propagation sans aucun effet sur la phase élastique. On parle alors de « viscoendommagement » (57)
20
Shirinbayan (2) a montré que l’A-SMC avec une plus forte fraction volumique de renfort (50%
contre 30% pour les SMC standard) présentent exactement les mêmes tendances. L’origine du
visco-endommagement peut être due à une sensibilité du matériau de l’interface fibre-matrice
à la vitesse d’une part et à des effets dynamiques locaux d’autre part (2).
I.6. Modélisation micromécanique
Ces approches conduisent à la formulation de lois de comportement des matériaux ont fait
l’objet des recherches dans ces dernières décennies. Au début des années 20 Voigt (58) et Reuss
(59) commencèrent leurs recherches dans le domaine de modélisation et en particulier la
modélisation du comportement des matériaux métalliques en utilisant des approches basées sur
la mécanique des milieux continus.
Leurs travaux et avec ceux de Hill (60,61) étaient bien les bases de la modélisation
micromécanique. Celle-ci repose sur le fait de présenter le comportement d’un matériau
hétérogène à partir du comportement de ces divers composants. Ceci revient à définir la
méthode « d’homogénéisation » qui permet de relier, en utilisant les résolutions analytiques ou
numériques, les propriétés mécaniques à l’échelle macroscopique à leurs mécanismes de
déformation microscopiques, à travers la résolution du problème de changement d’échelles.
Les techniques d’homogénéisation nous conduisent à déterminer les propriétés
élastiques macroscopiques d’un matériau homogène équivalent au matériau hétérogène à partir
des propriétés des différentes phases qui le constituent et de quelques paramètres caractérisant
leur répartition spatiale. Cependant, l’homogénéisation nécessite un domaine d’application bien
défini, d’où le recours au concept de Volume Elémentaire Représentatif (V.E.R) du matériau.
Dans ce volume, on détermine le comportement du matériau homogène équivalent. Ce dernier
doit être suffisamment grand pour contenir toutes les hétérogénéités (les phases) de la
microstructure. Par ailleurs, il doit être suffisamment petit pour être considéré comme sollicité
« macroscopiquement » de façon homogène (16). Par la suite, il faut déterminer les liens entre
les grandeurs mécaniques à l’échelle des hétérogénéités et à l’échelle du VER. D’une manière
générale, l’homogénéisation est la technique qui permet de définir la loi de comportement
mécanique à l’échelle du VER (62–66).
Cette définition doit être cohérente avec les propriétés des constituants dans le sens où
elle doit prendre en compte leurs effets à l’échelle microscopique et macroscopique. Cependant,
la technique d’homogénéisation n’a pas pour vocation première de rendre compte du
21
comportement à l’échelle microscopique : c’est un passage « micro /macro ». Toutefois, elle
peut y donner accès.
La plupart des méthodes micromécaniques présentent l’avantage de trouver des résultats
rapidement quand elles sont résolues d’une façon analytique.
Cependant, parmi ces méthodes, on trouve des méthodes dites simplifiées et jugées
simplistes vis-à-vis de problèmes posés suite à la difficulté liée au choix du VER (67,68) ou de
la prise en compte de l’endommagement (69) ou encore du comportement non linéaire de
constituants
(70).
C’est
pour
cela
que
de
nouvelles
formulations
d’approches
d’homogénéisation se basant essentiellement sur des résolutions numériques sont développées
afin de surmonter ces difficultés. On peut ainsi citer plusieurs travaux (71–74) traitant de la
modélisation micromécanique en utilisant des approches d’homogénéisation. Pour une bonne
compréhension de ces méthodes, on pourra consulter les travaux de Bornert et al. (65,75).
Plusieurs techniques d’homogénéisation ont été élaborées dans un cadre général. Ces
approches se distinguent entre elles par la façon de considérer la représentation de la
microstructure. En outre, la morphologie du matériau peut rendre le choix restreint à certains
modèles spécifiques dans le but d’une meilleure estimation des propriétés effectives.
On se propose dans cette partie d’énoncer les principales approches d’homogénéisation. Par la
suite, nous présenterons les différentes façons d’intégrer les mécanismes d’endommagement
dans la formulation de ces modèles.
I.6.1
Principe de la modélisation multi-échelles
La mise en place d’un modèle à partir d’une technique d’homogénéisation exige de
suivre une démarche générale menée en trois étapes :
La représentation où la constitution du VER durant laquelle on définit mécaniquement les lois
de comportement des constituants et géométriquement leurs distributions et leurs formes.
La localisation qui permet de formaliser la relation entre la réponse mécanique à l’échelle
microscopique et l’échelle macroscopique par l’intermédiaire de lois.
L’homogénéisation est la détermination du comportement global effectif à travers le calcul des
moyennes des contraintes et des déformations. C’est donc lors de cette phase que la relation
micro-macro est établie.
22
➢ La représentation
Dans cette étape, on recueille l'ensemble des informations qui concernent le comportement
mécanique des phases et la géométrie de la microstructure (tailles, orientations, géométrie,
fractions volumiques des différents constituants).
Le comportement microscopique de chacun des matériaux constituant le composite est donc
généralement supposé identique au comportement macroscopique de ce même matériau pris
isolément. En notant respectivement C et S les tenseurs de rigidité et de souplesse.
⟨𝝈⟩𝒗 = 𝑪: ⟨𝜺⟩𝒗
Equation 1
⟨𝜺⟩𝒗 = 𝑺: ⟨𝝈⟩𝒗
Equation 2
où 𝜎 et 𝜀 sont les contraintes et déformations locales.
➢ La localisation
Cette étape permet de relier les champs mécaniques locaux aux sollicitations mécaniques
appliquées sur le contour du VER. On établit, ainsi, les relations de passage de l'échelle
macroscopique à l'échelle microscopique.
La moyenne volumique ⟨a⟩v d’un champ a(x) en tout x d’un volume V est définie par :
⟨𝒂⟩𝒗 =
𝟏
∫ 𝒂(𝒙)𝒅𝑽
|𝑽| 𝒗
Equation 3
Par la suite on notera V le volume du VER, 𝛛𝐕 son contour, et n le vecteur normal à 𝛛𝐕.
On définit 𝜀(𝑥) et 𝜎(𝑥) respectivement les champs de déformations et de contraintes
microscopiques. Par la suite on notera E , les déformations et Σ les contraintes macroscopiques
sur V comme étant les moyennes volumiques respectivement de 𝜀(𝑥) et 𝜎(𝑥) :
𝑬 = ⟨𝜺⟩𝒗
Equation 4
𝜮 = ⟨ 𝝈⟩ 𝒗
Equation 5
On définit également le tenseur de localisation des déformations
concentration des contraintes ′𝑩′ par les relations suivantes :
′𝑨′ et le tenseur de
𝝈(𝒙) = 𝑩(𝒙) ∶ 𝜮
Equation 6
𝜺(𝒙) = 𝑨(𝒙) ∶ 𝑬
Equation 7
Les tenseurs de localisation et de concentration doivent vérifier les égalités suivantes :
⟨𝑨⟩𝒗 = 𝑰
Equation 8
⟨𝑩⟩𝒗 = 𝑰
Equation 9
23
où I désigne la matrice identité.
➢ L’homogénéisation
La dernière étape, en toute logique, devra synthétiser les résultats précédents afin de
remonter au comportement global. En effet, on procède au calcul de la moyenne spatiale des
contraintes et à celle des déformations au sein du VER. On considère que ces moyennes doivent
être égales à la grandeur macroscopique correspondante. Pour définir le tenseur de rigidité, deux
approches peuvent être employées : une approche énergétique et une approche mécanique.
Approche mécanique :
𝜮 = 𝑪𝒎𝒆𝒄𝒂
𝒆𝒇𝒇 : 𝑬
Equation 10
Approche énergétique :
𝟏
𝟏
⟨ 𝜺: 𝑪(𝒙): 𝜺⟩ = 𝑬: 𝑪𝒆𝒏𝒆𝒓
𝒆𝒇𝒇 : 𝑬
𝟐
𝟐
Equation 11
L’équivalence entre les deux approches est établie par la condition de Hill qui stipule
que le travail macroscopique doit être égal à la moyenne du travail microscopique (60) :
𝟏
𝟐
𝟏
⟨𝜺: 𝝈⟩𝒗 = 𝑬: 𝜮
𝟐
Equation 12
Par la suite, on ne s’intéressera qu’à l’approche mécanique. Par conséquent, on appellera
le tenseur 𝑪𝑚𝑒𝑐𝑎
𝑒𝑓𝑓 de manière réduite : 𝑪𝑒𝑓𝑓 . Plusieurs conditions aux limites vérifient la
condition de HILL (65,76). On peut aussi imposer des conditions mixtes portant sur les
contraintes et les déformations à la fois.
Les expressions des tenseurs de rigidité et de souplesse apparents s’écrivent sous la forme :
𝜮 = ⟨𝝈⟩𝒗 = ⟨𝑪 ∶ 𝜺⟩𝒗 = ⟨𝑪 ∶ 𝑨⟩𝒗 : 𝑬 = 𝑪𝒆𝒇𝒇 : 𝑬
Equation 13
𝑬 = ⟨𝜺⟩𝒗 = ⟨𝑺 ∶ 𝝈⟩𝒗 = ⟨𝑺 ∶ 𝑩⟩𝒗 : 𝜮 = 𝑺𝒆𝒇𝒇 : 𝜮
Equation 14
En raisonnant sur les phases n du matériau considéré, où m est l’indice dédié à la matrice et i
est celui dédié aux familles de fibres.« 𝑓𝑖 »désigne la fraction volumique de la phase i. On peut
écrire :
𝜮 = ∑𝒏𝒊=𝟏 𝒇𝒊 ⟨𝝈⟩𝒊 = 𝒇𝒎 ⟨𝝈⟩𝒎 + ∑𝒏𝒊=𝟏 𝒇𝒊 ⟨𝝈⟩𝒊
Equation 15
𝑬 = ∑𝒏𝒊=𝟏 𝒇𝒊 ⟨𝜺⟩𝒊 = 𝒇𝒎 ⟨𝜺⟩𝒎 + ∑𝒏𝒊=𝟏 𝒇𝒊 ⟨𝜺⟩𝒊
Equation 16
On obtient donc :
𝜮 = 𝒇𝒎 ⟨𝝈⟩𝒎 + ∑𝒏𝒊=𝟏 𝒇𝒊 ⟨𝝈⟩𝒊 = 𝑪𝒎 𝒇𝒎 ⟨𝜺⟩𝒎 + ∑𝒏𝒊=𝟏 𝑪𝒊 𝒇𝒊 ⟨𝜺⟩𝒊
24
Equation 17
= 𝑪𝒎 𝑬 + ∑𝒏𝒊=𝟏(𝑪𝒊 − 𝑪𝒎 )𝒇𝒊 ⟨𝜺⟩𝒊 = 𝑪𝒎 𝑬 + 𝑬 ∑𝒏𝒊=𝟏(𝑪𝒊 − 𝑪𝒎 )𝒇𝒊 𝑨𝒊
Equation 18
Et
𝑬 = 𝒇𝒎 ⟨𝜺⟩𝒎 + ∑𝒏𝒊=𝟏 𝒇𝒊 ⟨𝜺⟩𝒊 = 𝑺𝒎 𝒇𝒎 ⟨𝝈⟩𝒎 + ∑𝒏𝒊=𝟏 𝑺𝒊 𝒇𝒊 ⟨𝝈⟩𝒊
= 𝑺𝒎 𝜮 + ∑𝒏𝒊=𝟏(𝑺𝒊 − 𝑺𝒎 )𝒇𝒊 ⟨𝝈⟩𝒊 = 𝑺𝒎 𝜮 + 𝜮 ∑𝒏𝒊=𝟏(𝑺𝒊 − 𝑺𝒎 )𝒇𝒊 𝑩𝒊
Equation 19
Equation 20
Donc les tenseurs de rigidité et de souplesse auront les expressions suivantes :
𝑪𝒆𝒇𝒇 = 𝑪𝒎 + ∑𝒏𝒊=𝟏(𝑪𝒊 − 𝑪𝒎 )𝒇𝒊 𝑨𝒊
Equation 21
𝑺𝒆𝒇𝒇 = 𝑺𝒎 + ∑𝒏𝒊=𝟏(𝑺𝒊 − 𝑺𝒎 )𝒇𝒊 𝑩𝒊
Equation 22
Ces relations restent valables pour tous les modèles micromécaniques. La détermination
des tenseurs de localisation des déformations 𝐴𝑖 et de concentration des contraintes 𝐵𝑖 différent
selon les modèles.
I.6.2
Bornes de Voigt et Reuss
Les bornes de Voigt (58) et Reuss (59) représentent un encadrement par approximation
des propriétés élastiques du composite (77,78). L’intérêt majeur que peut avoir l’utilisateur de
ces deux modèles est de procéder à un calcul simple et rapide. Par contre, ils ne permettent la
prise en compte qu’un peu d’information sur la microstructure du composite. Que les fractions
volumiques et les tenseurs de rigidités des différentes phases entrent en jeu. Leur répartition
dans le matériau et leurs formes ne sont pas considérées dans ce type de modélisation.
Ces deux bornes appelées aussi approche en déformation pour celle de Voigt et approche en
contrainte pour celle de Reuss, considèrent que la déformation est constante (la méme chose
pour la contrainte) dans tout le VER. Par conséquent, les déformations et contraintes dans le
VER sont égales. Ceci revient à dire que les tenseurs de localisation A (borne de Voigt) et celui
de concentration B (borne de Reuss) sont réduits au tenseur identité.
La Borne de Voigt est basée sur une approche en déformation. Supposons que la
déformation est constante dans toutes les phases i du composite. On considère que la
déformation est égale à la déformation macroscopique imposée. Donc la déformation s’écrit
sous la forme :
𝜺𝒊 = 𝑬
Equation 23
Le tenseur de déformation est alors simplifié et est égal au tenseur d’identité :
𝐀=𝐈
Equation 24
25
La borne de Reuss est basée sur une approche en contrainte. Elle suppose ici que c’est
la contrainte qui est constante pendant toutes les phases du matériau. En raisonnant de manière
similaire à la borne de Voigt, la Borne de Reuss impose que cette contrainte est égale à la
contrainte macroscopique imposée :
𝝈𝒑 = 𝜮
Equation 25
Cette fois ci c’est le tenseur de concentration des contraintes qui est égal au tenseur d’unité :
𝐁=𝐈
Equation 26
Les approches de Voigt et Reuss nous calculent les bornes inférieures et supérieures du
comportement équivalent. On notera quand même que pour des rigidités de la matrice et du
renfort très différentes, ces bornes nous donnent un intervalle trop large pour la rigidité du
matériau.
I.6.3
Approche d’Echelby
On utilise l’approche d’Eshelby (79), pour résoudre un problème concernant une
situation élémentaire d’hétérogénéité entre une zone donnée (l’inclusion) et son environnement
(la matrice), ce qui constitue le point de départ de nombreux de modèles micromécaniques.
Toutefois, on décrira le cas d’une inclusion élastique de forme ellipsoïdale noyée dans une
matrice infinie à élasticité isotrope. L’inclusion est définie par le fait qu’elle possède des
caractéristiques mécaniques identiques à la matrice. L’hétérogénéité, contrairement à
l’inclusion, possède des caractéristiques mécaniques différentes de celles de la matrice.
I.6.4
Problème de l’inclusion
On considère une inclusion ellipsoïdale I plongée dans une matrice homogène infinie de
rigidité Cm. Supposons que les propriétés mécaniques de l’inclusion sont identiques à celles de
la matrice. De plus, on impose à l’inclusion une déformation libre εL, identique à celle qu’elle
subirait si elle était hors de la matrice (ex : déformation thermique, plastique…). La résolution
de ce problème consiste à déterminer la déformation εi à l’équilibre qui existe dans la matrice
et dans l’inclusion.
Eshelby a montré que cette déformation εi était liée à la déformation libre par un tenseur nommé
tenseur d’Eshelby :
𝜺𝒊 = 𝑺𝒆𝒔𝒉 : 𝜺𝑳 = −𝑷: 𝝉
Equation 27
Les équations de comportement s’écrivent :
26
𝝈𝒎 = 𝑪𝒎 ∶ 𝜺
𝒅𝒂𝒏𝒔 𝒍𝒂 𝒎𝒂𝒕𝒓𝒊𝒄𝒆
{
𝝈𝒊 = 𝑪𝒎 ∶ (𝜺𝒊 − 𝜺𝑳 ) = 𝑪𝒎 : (𝑺𝒆𝒔𝒉 − 𝑰): 𝜺𝑳 = 𝑪𝒎 ∶ 𝜺𝒊 + 𝝉
Equation 28
𝒅𝒂𝒏𝒔 𝒍′𝒊𝒏𝒄𝒍𝒖𝒔𝒊𝒐𝒏
Avec 𝜏 = −𝑪𝑚 : 𝜀 𝐿 est la contrainte de polarisation associée à la déformation libre,
Et 𝑷 = 𝑺𝑒𝑠ℎ : 𝑪𝑚 −1 est le tenseur d’interaction de Hill.
Si en plus, on impose une contrainte Σ 0 appliqué sur la matrice ou une déformation 𝐸 0 à l’infini,
les dernières expressions deviennent:
-
Pour une contrainte imposée :
𝝈𝒊 = 𝚺 𝟎 + 𝑪𝒎 : (𝐒 𝒆𝒔𝒉 − 𝐈): 𝜺𝑳
-
Equation 29
Pour une déformation imposée :
𝜺𝒊 = 𝑬𝟎 + 𝑺𝒆𝒔𝒉 : 𝜺𝑳 = 𝑬𝟎 − 𝑷: 𝝉
Equation 30
On peut déduire aussi la « loi d’interaction » qui introduit le tenseur d’influence de
HILL noté 𝑪∗ qui est symétrique, défini positif et caractérise la réponse de la matrice à la
déformation libre qui lui est imposée par l’inclusion. Ce dernier dépend de la géométrie de
l’inclusion et du tenseur de rigidité 𝑪:
−𝟏
𝒆𝒔𝒉
𝒊
𝟎
𝝈𝒊 − 𝚺 𝟎 = 𝑪
⏟𝒎 : (𝑰 − (𝐒 ) ) : (𝜺 − 𝑬 )
Equation 31
−𝑪∗
I.6.5
Problème de l’hétérogénéité
Eshelby montre que le problème hétérogène est similaire au problème homogène.
Cependant, Eshelby impose que le tenseur de contrainte τ qui existe dans le problème homogène
induit une hétérogénéité de contrainte équivalente au problème hétérogène.
On considère une hétérogénéité ellipsoïdale H de matrice de rigidité 𝑪𝐻 et de déformation à
l’équilibre εH, plongée dans une matrice infinie de rigidité 𝑪.
Les équations de comportement dans le problème hétérogène et homogène s’écrivent :
𝝈𝒎 = 𝑪𝒎 ∶ 𝜺𝒎
𝒅𝒂𝒏𝒔 𝒍𝒂 𝒎𝒂𝒕𝒓𝒊𝒄𝒆
𝝈𝑯 = 𝑪𝑯 ∶ 𝜺𝑯 = 𝑪𝒎 : 𝜺𝑯 + ( 𝑪𝑯 − 𝑪𝒎 ): 𝜺𝑯
𝝈𝒊 = 𝑪𝒎 ∶ 𝜺𝒊 − 𝑪𝒎 ∶ 𝜺𝑳
{
𝒅𝒂𝒏𝒔 𝒍′ 𝒉𝒆𝒕𝒆𝒓𝒐𝒈𝒆𝒏𝒆𝒊𝒕é
Equation 32
𝒅𝒂𝒏𝒔 𝒍′ 𝒊𝒏𝒄𝒍𝒖𝒔𝒊𝒐𝒏 𝒉𝒐𝒎𝒐𝒈è𝒏𝒆
En remplaçant dans la dernière équation 𝜀 𝑖 par 𝜀 𝐻 et 𝜎 𝑖 par 𝜎 𝐻 on peut déterminer
l’expression de la déformation libre dans le cas de l’hétérogénéité :
27
𝑪𝒎 : 𝜺𝑯 + ( 𝑪𝑯 − 𝑪𝒎 ): 𝜺𝑯 = 𝑪𝒎 ∶ 𝜺𝑯 − 𝑪𝒎 ∶ 𝜺𝑳
Equation 33
( 𝑪𝑯 − 𝑪𝒎 ): 𝜺𝑯 = −𝑪𝒎 ∶ 𝜺𝑳
Equation 34
−(𝑪𝒎 )−𝟏 ∶ ( 𝑪𝑯 − 𝑪𝒎 ): 𝜺𝑯 = 𝜺𝑳
Equation 35
Lorsqu’on impose une déformation sur le contour. L’expression de la déformation dans
l’hétérogénéité, en remplaçant 𝜀 𝐿 par son expression, devient :
𝜺𝒉 = 𝑬𝟎 + 𝑺𝒆𝒔𝒉 : 𝜺𝑳 = 𝑬𝟎 + 𝑺𝒆𝒔𝒉 : −(𝑪𝒎 )−𝟏 ∶ ( 𝑪𝑯 − 𝑪𝒎 ): 𝜺𝑯
Equation 36
𝑬𝟎 = 𝜺𝑯 : (𝑰 + 𝑺𝒆𝒔𝒉 : (𝑪𝒎 )−𝟏 ∶ ( 𝑪𝑯 − 𝑪𝒎 ))
Equation 37
𝜺𝑯 = 𝑬𝟎 ∶ (𝑰 + 𝑺𝒆𝒔𝒉 : (𝑪𝒎 )−𝟏 ∶ ( 𝑪𝑯 − 𝑪𝒎 ))−𝟏
Equation 38
Qui peut être écrite en fonction du tenseur d’interaction de Hill :
𝜺 𝑯 = 𝑬𝟎 ∶ ⏟
(𝑰 + 𝑷 ∶ ( 𝑪𝑯 − 𝑪𝒎 ))−𝟏
Equation 39
𝑨𝑯
Ce qui nous permet de dégager le tenseur de localisation 𝑨𝐻 . Dans quelques cas
particuliers, la résolution des problèmes permet d’avoir des solutions analytiques
pour 𝑨𝐻 , 𝑷, 𝑺𝑒𝑠ℎ , 𝑪∗ . En outre, le tenseur d’Eshelby n’est facile à calculer que dans le cas
d’une inclusion de type isotrope ou isotrope transverse avec une forme géométrie connue.
Le problème de l’hétérogénéité est la source de plusieurs modèles d’homogénéisation
en élasticité linéaire, dont « la méthode des solutions diluées », « le modèle auto-cohérent » et
« le modèle de Mori Tanaka » … qui seront présentés par la suite.
I.6.6
La méthode des solutions diluées
Quand la fraction volumique des hétérogénéités est relativement faible, on peut
appliquer directement l’approche d’Eshelby en considérant que les interactions entre les
différentes phases sont négligeables c’est-à-dire que chaque phase est traitée comme si elle était
seule noyée dans la matrice. Cette méthode consiste à appliquer le résultat hétérogène d’Eshelby
à chacune des inclusions i pour trouver le tenseur de localisation de chaque phase et en déduire
le tenseur de rigidité effectif qui s’écrit :
𝑯
𝑨𝒊 = 𝑨 = (𝑰 + 𝑺
𝒆𝒔𝒉
−𝟏
: (𝑪𝒎 )
𝒊
∶ ( 𝑪 − 𝑪𝒎 ))
−𝟏
Equation 40
𝑪𝒆𝒇𝒇 = 𝑪𝑺𝑫 = 𝑪𝒎 + ∑𝒏𝒊=𝟏(𝑪𝒊 − 𝑪𝒎 )𝒇𝒊 ∶ (𝑰 + 𝑺𝒆𝒔𝒉 : (𝑪𝒎 )−𝟏 ∶ ( 𝑪𝒊 − 𝑪𝒎 ))−𝟏
28
Equation 41
Nous présentons par la suite deux autres approches permettant d’avoir le comportement
élastique équivalent d’un matériau se constituant de plusieurs familles de renforts. C’est la
méthode d’homogénéisation auto-cohérente et le modèle de Mori et Tanaka.
I.6.7
Modèle auto-cohérent
Contrairement à la méthode de solutions diluées, ce modèle est applicable lorsqu’aucune
des phases i n’a de rôle prépondérant c'est-à-dire pas de matrice. Chacune des phases i est
assimilée à une inclusion noyée dans le MHE (milieu homogène équivalent). On applique donc
les mêmes équations des solutions diluées avec un tenseur d’Eshelby évalué pour une « matrice
homogène isotrope » de propriété CAC. Le problème devient implicite puisque les tenseurs
𝑨𝑖 vont dépendre du tenseur de rigidité effectif CAC qui va lui-même dépendre des tenseurs 𝑨𝑖 .
L’identification se fait donc numériquement :
𝑨𝒊 = (𝑰 + 𝑺𝒆𝒔𝒉 : (𝑪𝑨𝑪 )−𝟏 ∶ ( 𝑪𝒊 − 𝑪𝑨𝑪 ))−𝟏
Equation 42
𝑪𝒆𝒇𝒇 = 𝑪𝑨𝑪 = ∑𝒏𝒊=𝟎 𝑪𝒊 𝒇𝒊 ∶ (𝑰 + 𝑺𝒆𝒔𝒉 : (𝑪𝑨𝑪 )−𝟏 ∶ ( 𝑪𝒊 − 𝑪𝑨𝑪 ))−𝟏
Equation 43
Dans le cas d’un composite avec fibre et matrice :
𝑪𝒆𝒇𝒇 = 𝑪𝑨𝑪 = 𝑪𝒎 + ∑𝒏𝒊=𝟏(𝑪𝒊 − 𝑪𝒎 ) 𝒇𝒊 ∶ (𝑰 + 𝑺𝒆𝒔𝒉 : (𝑪𝑨𝑪 )−𝟏 ∶ ( 𝑪𝒊 − 𝑪𝑨𝑪 ))−𝟏
Equation 44
Notons que le modèle auto-cohérent est utilisé généralement pour des matériaux hétérogènes
ne présentant pas de phase continue comme par exemple les métaux multicristallins.
I.6.8
Modèle de Mori Tanaka
Le modèle développé à l’origine par Mori et Tanaka (80), pour un matériau contenant
de nombreuses inclusions de mêmes propriétés différentes de celles de la matrice. Il a été, par
la suite, étendu aux matrices contenant des hétérogénéités par Wakashima (81) avant d’être
reformulée par Benveniste (82), basé sur un schéma différent des approches précédentes. Certes
plus réaliste pour les matériaux composites que la méthode auto-cohérente, dans son principe,
ce modèle considère une phase matricielle à part entière entre le renfort et le composite.
Ce dernier qui découle de l’approche d’Eshelby se distingue par la prise en compte des
interactions entre les inclusions existantes. On suppose que les hétérogénéités sont réparties
d’une manière homogène dans une matrice infinie soumise à une déformation moyenne. Le
tenseur de localisation 𝑨𝐻 obtenu dans la résolution du problème hétérogène d’Eshelby permet
de relier chacune des inclusions à la déformation moyenne de la matrice in situ :
⟨𝜺𝒊 ⟩ = 𝑻𝒊 : ⟨𝜺𝒎 ⟩
Equation 45
29
Avec :
𝑻𝒊 = 𝑨𝑯 = (𝑰 + 𝑺𝒆𝒔𝒉 : (𝑪𝒎 )−𝟏 ∶ ( 𝑪𝒊 − 𝑪𝒎 ))−𝟏
Equation 46
Pour chaque phase i la relation de la moyenne volumique des déformations est :
𝑬 = ∑𝒏𝒊=𝟎 𝒇𝒊 ⟨𝜺⟩𝒊 = ∑𝒏𝒊=𝟎 𝒇𝒊 𝑻𝒊 : ⟨𝜺⟩𝒎
Equation 47
⟨𝜀⟩𝑚 Étant constante :
⟨𝜺⟩𝒎 = (∑𝒏𝒊=𝟎 𝒇𝒊 𝑻𝒊 )−𝟏 : 𝑬 = 𝑨𝒎 : 𝑬
Equation 48
Donc on a pour les fibres :
⟨𝜺𝒊 ⟩ = 𝑻𝒊 : ⟨𝜺𝒎 ⟩ = 𝑻𝒊 ∶ 𝑨𝒎 : 𝑬 = 𝑻𝒊 ∶ (∑𝒏𝒊=𝟏 𝒇𝒊 𝑻𝒊 )−𝟏 : 𝑬 = 𝑨𝒊 : 𝑬
Equation 49
Le tenseur de rigidité homogénéisé devient :
−𝟏
𝑪𝒆𝒇𝒇 = 𝑪𝑴𝑻 = 𝑪𝒎 + ∑𝒏𝒊=𝟏(𝑪𝒊 − 𝑪𝒎 )𝒇𝒊 : 𝑻𝒊 ∶ (∑𝒏𝒋=𝟏 𝒇𝒋 𝑻𝒋 )
Equation 50
La limitation de ce modèle est qu’il n’est pas applicable lorsque la fraction volumique
des fibres dépasse 50%. Au-delà, les interactions entre les inclusions (renforts) ne sont pas
prises en compte par ce modèle.
De nombreux auteurs ont utilisé le Modèle de Mori Tanaka pour la modélisation
micromécanique de plusieurs types de composites. Concernant les composites SMC, Fitoussi
(16) a étudié l’influence des paramètres intrinsèques, comme la dispersion de l’orientation de
renfort et l’effet de l’élancement.
I.6.9
Bornes de Hashin et Shtrikman
L’approche HSW (83,84) utilise les résultats issus du modèle auto-cohérent sans passer
nécessairement par une résolution numérique. En fait, ils proposent de remplacer le milieu
homogène équivalent par un autre milieu dont les propriétés mécaniques sont déjà connues. Ce
dernier pourra être plus souple ou plus rigide que le MHE. La matrice de substitution va affecter
successivement les propriétés de la phase la plus rigide pour la borne supérieure puis la plus
souple pour la borne inferieure. Ce qui conduit donc à un encadrement des propriétés réelles du
composite entre deux bornes, une supérieure et l’autre inférieure.
La borne supérieure s’obtient en affectant à la matrice le tenseur de rigidité Cmax . Le tenseur de
localisation s’écrive donc sous la forme :
𝑨𝒊 + = (𝑰 + 𝑺𝒆𝒔𝒉 : (𝑪𝒎𝒂𝒙 )−𝟏 ∶ ( 𝑪𝒊 − 𝑪𝒎𝒂𝒙 ))−𝟏
Equation 51
30
Le tenseur de rigidité effectif supérieur s’écrit :
𝑯𝑺+
𝑪𝒎𝒊𝒏
= ∑𝒏𝒊=𝟎 𝑪𝒊 𝒇𝒊 ∶ (𝑰 + 𝑺𝒆𝒔𝒉 : (𝑪𝒎𝒂𝒙 )−𝟏 ∶ ( 𝑪𝒊 − 𝑪𝒎𝒂𝒙 ))−𝟏
𝒆𝒇𝒇 = 𝑪
Equation 52
La même chose pour la borne inferieure, on affecte à la matrice le tenseur de rigidité Cmin :
−𝟏
𝑨𝒊 − = (𝑰 + 𝑺𝒆𝒔𝒉 : (𝑪𝒎𝒊𝒏 )
∶ ( 𝑪𝒊 − 𝑪𝒎𝒊𝒏 ))−𝟏
Equation 53
Le tenseur de rigidité effectif s’écrit :
−𝟏
𝑯𝑺−
𝑪𝒎𝒂𝒙
= ∑𝒏𝒊=𝟎 𝑪𝒊 𝒇𝒊 ∶ (𝑰 + 𝑺𝒆𝒔𝒉 : (𝑪𝒎𝒊𝒏 )
𝒆𝒇𝒇 = 𝑪
∶ ( 𝑪𝒊 − 𝑪𝒎𝒊𝒏 ))−𝟏
Equation 54
Soit dans le cas de notre composite :
𝑯𝑺−
𝑪𝒎𝒊𝒏
= 𝑪𝒎 + ∑𝒏𝒊=𝟏(𝑪𝒊 − 𝑪𝒎 ) 𝒇𝒊 ∶ (𝑰 + 𝑺𝒆𝒔𝒉 : (𝑪𝒎𝒊𝒏 )−𝟏 ∶ ( 𝑪𝒊 − 𝑪𝒎𝒊𝒏 ))−𝟏 Equation 55
𝒆𝒇𝒇 = 𝑪
𝑯𝑺+
𝑪𝒎𝒂𝒙
= 𝑪𝒎 + ∑𝒏𝒊=𝟏(𝑪𝒊 − 𝑪𝒎 ) 𝒇𝒊 ∶ (𝑰 + 𝑺𝒆𝒔𝒉 : (𝑪𝒎𝒂𝒙 )−𝟏 ∶ ( 𝑪𝒊 − 𝑪𝒎𝒂𝒙 ))−𝟏 Equation 56
𝒆𝒇𝒇 = 𝑪
Il faut noter que les bornes de Hashin et Shtrikman nous donnent un encadrement plus fin au
niveau des propriétés du matériau que celles de Voigt et Reuss.
I.6.10 Synthèse des principaux modèles micromécaniques :
Le tableau 1 résume les modèles présentés dans la bibliographie en précisant les
équations des tenseurs de rigidité obtenues par chaque modèle ainsi que les tenseurs de
localisation des déformations ou de concentration des contraintes.
31
Tableau 1 : Principaux modèles micromécaniques
Modèles
Tenseurs de rigidité et
Tenseurs de localisation de déformation ou de
concentration de contrainte
𝑨𝑖 = 𝑨𝐻 = (𝑰 + 𝑺𝑒𝑠ℎ : (𝑪𝑚 )−1 ∶ ( 𝑪𝑖 − 𝑪𝑚 ))−1
La méthodes
des solutions
diluées
Modèle autocohérent
𝑪𝑒𝑓𝑓 = 𝑪𝑺𝑫 = 𝑪𝑚 + ∑𝑛𝑖=1(𝑪𝑖 − 𝑪𝑚 )𝑓𝑖 ∶ (𝑰 +
𝑺𝑒𝑠ℎ : (𝑪𝑚 )−1 ∶ ( 𝐶𝑖 − 𝑪𝑚 ))−1
𝑨𝒊 = (𝑰 + 𝑺𝒆𝒔𝒉 : (𝑪𝑨𝑪 )−𝟏 ∶ ( 𝑪𝒊 − 𝑪𝑨𝑪 ))
−𝟏
𝑪𝒆𝒇𝒇 = 𝑪𝑨𝑪 = ∑𝒏𝒊=𝟎 𝑪𝒊 𝒇𝒊 ∶ (𝑰 + 𝑺𝒆𝒔𝒉 : (𝑪𝑨𝑪 )−𝟏 ∶
( 𝑪𝒊 − 𝑪𝑨𝑪 ))−𝟏
𝑻𝒊 = 𝑨𝑯 = (𝑰 + 𝑺𝒆𝒔𝒉 : (𝑪𝒎 )−𝟏 ∶ ( 𝑪𝒊 − 𝑪𝒎 ))−𝟏
Modèle de
Mori Tanaka
𝒏
𝒏
−𝟏
𝑪𝒆𝒇𝒇 = 𝑪𝑴𝑻 = 𝑪𝒎 + ∑(𝑪𝒊 − 𝑪𝒎 )𝒇𝒊 : 𝑻𝒊 ∶ (∑ 𝒇𝒋 𝑻𝒋 )
𝒊=𝟏
𝒋=𝟏
A=B=I
Contrainte uniforme, déformation uniforme
Bornes de
voigt et Reuss
𝒏
𝒏
𝑪𝒆𝒇𝒇 = 𝑪𝑴 = 𝑪𝒎 + ∑(𝑪𝒊 − 𝑪𝒎 )𝒇𝒊 = ∑ 𝒇𝒊 𝑪𝒊
𝒊=𝟏
𝒋=𝟏
𝐴𝑖 + = (𝐼 + 𝑆 𝑒𝑠ℎ : (𝐶 𝑚𝑎𝑥 )−1 ∶ ( 𝐶 𝑖 − 𝐶 𝑚𝑎𝑥 ))−1
Bornes de
Hashinshtrikman
𝐴𝑖 − = (𝐼 + 𝑆 𝑒𝑠ℎ : (𝐶 𝑚𝑖𝑛 )−1 ∶ ( 𝐶 𝑖 − 𝐶 𝑚𝑖𝑛 ))−1
𝑛
𝑚𝑖𝑛
𝐶𝑒𝑓𝑓
= 𝐶 𝐻𝑆− = 𝐶𝑚 + ∑(𝐶𝑖 − 𝐶𝑚 ) 𝑓𝑖 ∶ (𝐼 + 𝑆 𝑒𝑠ℎ : (𝐶 𝑚𝑖𝑛 )−1
𝑖=1
∶ ( 𝐶 𝑖 − 𝐶 𝑚𝑖𝑛 ))−1
𝑛
𝑚𝑎𝑥
𝐶𝑒𝑓𝑓
= 𝐶 𝐻𝑆+ = 𝐶𝑚 + ∑(𝐶𝑖 − 𝐶𝑚 ) 𝑓𝑖 ∶ (𝐼 + 𝑆 𝑒𝑠ℎ : (𝐶 𝑚𝑎𝑥 )−1
𝑖=1
∶ ( 𝐶 𝑖 − 𝐶 𝑚𝑎𝑥 ))−1
32
Hypothèses et
commentaires
Données utiles
Modèle basé sur
la méthode de
l’inclusion
équivalente et ne
s’applique qu’aux
composites à
faibles fractions
volumiques
Le milieu
hétérogène est
remplacé par un
milieu homogène
équivalent non
isotrope
Absence d’une
phase continue
Ce modèle
s'appuie sur la
théorie d'Eshelby
et tient compte
des interactions
entre les
hétérogénéités
Présence d’une
phase continue
Ces bornes
donnent les
estimations les
plus simples des
caractéristiques
mécaniques du
composite
Même schéma
que celui du
modèle autocohérent en
remplaçant le
MHE par un
matériau de
comparaison.
-Fraction
volumique des
phases
-Distribution
d’élancement des
phases
-Distribution
d’orientation des
phases
-Caractéristiques
mécaniques des
phases
I.6.11 Analyse critique des modèles : Choix du modèle Mori et Tanaka
Tous les modèles que nous avons présentés passent par le calcul du tenseur d'Eshelby des
hétérogénéités, il faut donc que leur géométrie se prête à cette estimation. Dans les matériaux
composites les renforts peuvent être classées de quatre types : fibres longues, fibres courtes,
plaquettes ou particules. Chacun de ces renforts a une géométrie de révolution ou sera supposée
comme telle. Si l est la longueur du renfort mesurée parallèlement à l'axe de révolution et d la
longueur dans la direction perpendiculaire. Les fibres longues correspondent à un élancement
l/d tendant vers l'infini alors que celui des plaquettes tend vers zéro. Les particules ont un
élancement peu différent l’un de l’autre, celui des fibres courtes varie entre un et dix ou cent
généralement. Dans tous les cas, la géométrie réelle est loin d'être celle d'un ellipsoïde, seule
forme pour laquelle le tenseur d'Eshelby est connu de manière analytique.
En résumé de cette synthèse des modèles, nous retenons que : ce sont les relations de
localisation des déformations, ou de concentration des contraintes, qui les différencient
essentiellement.
Les modèles que nous avons présentés s'appliquent pour des matériaux à "microstructure
aléatoire", par opposition aux composites stratifiés. Le choix du modèle à employer doit se faire
essentiellement sur la microstructure du matériau composite dont on veut estimer les propriétés.
Les facteurs importants sont la fraction volumique de renforts, leur géométrie ainsi que les
symétries matérielles du composite.
La méthode des solutions diluées ne sera employée que lorsque la fraction volumique est
inférieure à 5%. Par contre, les modèles auto-cohérent et de Mori et Tanaka peuvent être utilisés
dans beaucoup plus de cas.
Pour les fortes fractions volumiques, le modèle auto-cohérent donnera sans doute de
meilleures estimations. Le comportement du milieu qui entoure les renforts est plus près du
comportement du composite que de celui de la matrice. Cependant, ce qui limite l’utilisation de
ce modèle, c’est essentiellement le calcul du tenseur d’Eshelby. Si le matériau dont on cherche
à estimer les propriétés n’est pas isotrope, le calcul du tenseur de souplesse devient plus
complexe. Ce calcul n’est pas insurmontable si on choisit de programmer le calcul avec un
langage informatique structuré.
L’étude microstructurale du composite (A-SMC (2) et de l’SMC-R42(1) ), met en évidence
la répartition aléatoire des renforts dans une matrice que l’on peut considérer comme la phase
continue. Ce qui nous oriente alors vers le modèle de Mori et Tanaka qui convient de plus aux
taux de renforts de ces matières. En outre, ce dernier nous permet une prise en compte de toutes
33
les interactions entre les renforts d’une manière analytique ce qui n’est pas le cas pour le modèle
auto-cohérent. On considère donc que le modèle de Mori et Tanaka est le plus adéquat pour
traduire directement l’influence de la microstructure dans la modélisation de l’initiation et la
propagation de l’endommagement et qui sera retenu pour la suite de nos travaux.
I.7. Modélisation de l'endommagement du composites à l'interface fibre-matrice
De nombreux auteurs se sont intéressés aux mécanismes d’endommagement des composites
à renforts discontinus en particulier pour les polymères renforcés par des fibres (85). Cependant,
Meraghni et Benzeggagh (86) ont étudié la propagation des dommages dans des composites
renforcés par des fibres de verre discontinus à orientation aléatoire. Leurs études
expérimentales en impliquant l'analyse de l'amplitude des signaux d' émission acoustique et des
observations microscopiques ont révélé deux mécanismes de dommages dominants: les
dommages de la matrice et les dommages à l' interface . Plusieurs autres auteurs (23,33,87) ont
confirmé que la dégradation de l'interface fibre-matrice est considérée comme étant le
mécanisme prépondérant des matériaux SMC indépendamment du type de sollicitation.
La caractérisation expérimentale de l’endommagement à l'interface fibre/matrice est un
domaine difficile. De nombreux auteurs (par exemple, (88–91)) ont étudié l’endommagement
de l'interface en réalisant des essais sous MEB. Hour et Sehitoglu (22) et Dano (92), ont réalisé
des études expérimentales axées sur le l’initiation de l’endommagement dans les composites
renforcés par des fibres de verre. Fitoussi et al. (57) ont mené des analyses expérimentales
multi-échelles spécifiquement sur le comportement mécanique des composites SMC.
Jendli et al. (33) ont analysé quantitativement l'influence de la vitesse de déformation sur le
seuil d'endommagement, l’endommagement et la rupture des SMC standards. En réalisant
des essais de traction monotones et interrompus à différentes vitesses de déformation, Jendli et
al. (53) ont montré que l’amorçage et la propagation de l’endommagement sont sensibles à la
vitesse de déformation, de sorte que la résistance à la rupture de l'interface semble augmenter
avec l'augmentation de la vitesse de déformation. Des résultats similaires ont été obtenus par
Fitoussi et al. (23) et Shirinbayan et al. (19).
Parallèlement à leurs résultats expérimentaux, Fitoussi et al. (93) ont également proposé un
critère de rupture de type interfacial pour un composite à fibres discontinues implémenté dans
un modèle multi-échelles d’homogénéisation voir figure 11 .
34
Figure 11 : Une représentation schématique du passage Micromécanique des composites (94).
Derrien et al. (95) ont développé un modèle probabiliste d’endommagement qu’il s’appuie
sur la rupture de renforts. Fitoussi et al (96) utilisent le même type de critère probabiliste
appliqué à la rupture de l’interface fibre-matrice. Ils proposent de remplacer les fibres
déchaussées par un renfort équivalent anisotrope traduisant ainsi l’anisotropie locale crée par
la rupture interfaciale. Plus tard, Desrumaux et al. (97) a introduit un modèle
d'endommagement par homogénéisation en deux étapes pour un composite de fibres
à orientation aléatoire basé sur un tenseur d'Eshelby déterminé numériquement. Dans la
première étape, une matrice anisotrope, endommagée de manière équivalente est calculée. Dans
la deuxième étape, les fibres sont noyées dans la matrice endommagée à l'aide d'un tenseur
numérique d'Eshelby. Un cadre d'homogénéisation en deux étapes comparable a été poursuivi
par Jendli et al. (35) et Kammoun et al. (98), qui ont proposé des approches de décohésion
interfaciale. Meraghni et al. (99) ont développé un modèle qui combine un paramètre de
microfissuration avec la décohésion à l’échelle fibre-matrice afin de diminuer le tenseur de
localisation de fibre. Guo et al. (100) proposent tout simplement de remplacer la fibre
déchaussée par un volume équivalent de matrice. Ces approches ont été validées
expérimentalement.
Nguyen et Khaleel (101) ont proposé un modèle d’endommagement au niveau de la
matrice basé sur des résultats expérimentaux réalisés par Meraghni et Benzeggagh
(86). Baptiste (102) et Achour (103) ont proposé un modèle qui prend en compte le
comportement inélastique d'un composite en raison de la plasticité, de la viscosité ou de
l’endommagement.
Lee et Simunovic (104) ont développé un modèle pour prédire le comportement élastoplastique-endommageable d’un composite à matrice ductile contenant des fibres orientées.
35
Dans leur modélisation, les fibres partiellement décollées sont remplacées par des fibres
équivalentes parfaitement liées. De plus, ils ont étendu leur modèle pour traiter les fibres à des
orientations aléatoires (105). Un modèle similaire a été développé par Ju et Lee (106) pour un
composite triphasé où les fibres totalement décollées sont traitées comme des vides dans le
schéma d'homogénéisation en trois phases.
Ben Cheikh Larbi (87) et Tamboura (47) ont étudié le comportement élastique des
composites SMC sous chargement cyclique. Ils ont proposé un modèle d’endommagement
local à deux échelles. Leurs paramètres évoluent en fonction du nombre de cycles. Ce critère
est identifié par méthode inverse en s’appuyant sur la base des baisses de raideur sous
chargement de fatigue.
I.8. Différentes approches de modélisation de l’endommagement en fatigue des composites
Le développement d’un modèle d’endommagement en fatigue pour la prédiction de durée
de vie suit deux étapes importantes. La première phase consiste à identifier les mécanismes
d’endommagement et à dégager les variables associées à travers des observations
expérimentales.
La
deuxième
phase
comprend
la
formulation
de
la
cinétique
d’endommagement.
On peut distinguer cinq types d’approches :
➢ Approches empiriques : qui se reposent sur les résultats expérimentaux obtenus lors
des sollicitations et des modèles empiriques. Cependant, le comportement en fatigue doit être
évalué afin de vérifier la fiabilité du matériau et de justifier son utilisation comme composant
de structure en service. C’est ainsi que l’utilisation de l’approche empirique conduit à une
obtention rapide des courbes contrainte en fonction du nombre de cycles (S-N) que l’on appelle
aussi des courbes de Wöhler. En effet, l’utilisation de cette approche doit être faite avec
précaution dans des configurations d’essais précises.
➢ Approches basées sur la résistance résiduelle : Cette approche a été considérée depuis
les premières études de fatigue sur composites comme une propriété pratique pour exprimer
phénoménologiquement l’effet de l'accumulation d’endommagements durant la fatigue.
Contrairement aux formulations phénoménologiques empiriques, les théories basées sur la
résistance résiduelle incluent intrinsèquement un critère de rupture affirmant que la rupture du
matériau se produit lorsque la résistance résiduelle atteint la contrainte maximale appliquée.
Les modèles de résistance résiduelle ont été développés dans plusieurs études. Citons ceux de
Broutman et Sahu (107) qui ont présenté l'une des premières tentatives de la modélisation de la
dégradation de la résistance statique des composites renforcés par des fibres de verre, dans une
36
formulation modifiée de la loi de Palmgren-Miner, qui prend en compte les effets de séquence
de chargement. Shokrieh and Lessard (108) ont développé une modélisation uni-axiale basée
sur celle proposée initialement par Halpin et al. (109). Ils stipulent dans leur approche que la
résistance résiduelle Re(N) peut être décrite sous forme d’une fonction monotone décroissante
en fonction du nombre de cycles N. Hahn et Kim (110) ont établi le concept du taux de
changement de la résistance à la rupture. Ils ont supposé qu’il existe une relation unique entre
la résistance en chargement statique et la durée de vie en fatigue. Cette approche a été reproduite
plus tard par Chou et Croman (111,112), qui ont fourni un outil pratique pour déduire la
distribution de probabilité de la vie en fatigue en se basant sur la résistance résiduelle en
statique. Yang et al (113,114)ont publié de nombreux travaux sur la résistance résiduelle et la
prédiction de la durée de vie en fatigue pour plusieurs types de stratifiés et sous différentes
conditions de chargement. Leurs modèles sont basés sur des équations de type rapport de
chargement, utilisées précédemment par Hahn et Kim et Chou et Croman. Les modèles
proposés prétendent prédire la résistance résiduelle après un chargement en fatigue à n’importe
qu’elle niveau de chargement. Ceci a constitué une réelle avancée par rapport aux précédents
modèles d’ingénierie, limités aux théories d’un niveau de chargement unique.
➢ Approches fondées sur des critères de rupture en fatigue : qui dérivent un critère
quadratique habituellement utilisé dans le cas d’un chargement statique. Les paramètres
d’ajustement de ces approches sont fortement dépendants de la valeur de contraintes appliquées.
Les études réalisées par Sims (115), montrent l’importance et l’efficacité de ces critères. Parmi
les auteurs qui ont proposé un critère de fatigue tridimensionnel pour les composites
unidirectionnels, on cite Hahn et Sims (115,116).
➢ Approches micromécaniques : Elles sont basées sur les observations de mécanismes
d'endommagement sous MEB et les mesures locales à l'échelle de la microstructure (densité et
géométrie des fissures, microcavités, etc.…). Le comportement global du matériau endommagé
est obtenu par les techniques d'homogénéisation sur le volume élémentaire représentatif
(V.E.R.) comportant des microdéfauts de géométrie et d'orientations définies. Selon la
distribution des microdéfauts et la microstructure observées l'homogénéisation peut se faire
selon un des modèles détaillés plus haut.
L'intérêt de ces approches est de pouvoir introduire les paramètres structuraux dans la
définition de la variable d'endommagement. Cependant, elle permet de montrer l'influence de
ces paramètres sur l'évolution des mécanismes d'endommagement en les considérant
séparément. En outre, ce type d'approches permet d'évaluer le champ de déformations et de
37
contraintes locales dans chaque phase du composite. Elles permettent donc de considérer les
fluctuations locales dues à l'apparition de l'endommagement.
L'inconvénient majeur de ces approches est d'être trop locales. Il est difficile d'obtenir une
variable macroscopique et une loi d'évolution facilement utilisable dans les codes de calcul à
l'échelle d’une structure.
➢ Approches macroscopiques : sont basées sur la thermodynamique des processus
irréversibles. Elles utilisent des variables d'état internes définies sur un VER, qui constitue
l'échelle de la modélisation (117).
Le comportement du matériau endommagé est obtenu par équivalence en énergie ou en
déformation avec un matériau homogène équivalent. En effet, ces approches restent globales et
ne font pas de distinction entre les différents processus d’endommagement ainsi que leur
interaction.
Plusieurs travaux ont été effectués sur les composites et ont traité le problème de l'anisotropie
de l'endommagement. Les approches macroscopiques de modélisation de l’endommagement
ont montré leur intérêt notamment en termes de calcul de structures.
I.9. Conclusion :
La recherche bibliographique présentée dans ce chapitre a permis de mettre en évidence les
différentes natures et propriétés des principaux constituants des matériaux composites. Les
structures et les principales propriétés des composites types SMC. Les SMC présentent un
comportement en traction similaire aux autres composites avec des courbes de traction et des
caractéristiques dépendant de la fraction volumique de renforts dans la matrice. Plusieurs études
ont été appliquées sur ces types de composites pour étudier l’influence de l’environnement sur
les propriétés mécaniques sur tout le comportement mécanique dynamique (crash, fatigue) ; les
autres études ont été consacrées aux développements de méthodologies de caractérisations de
ces matériaux.
La synthèse des résultats relatifs à la tenue en fatigue et/ou crash des composites SMC révèle
que les mécanismes d’endommagement mis en jeu dans ces matériaux composites ont été
étudiés lors de nombreuses études et sont fortement dépendant du mode de sollicitation et de la
microstructure. L’endommagement observé à l’échelle macroscopique est le résultat de
l'évolution plus ou moins rapide des mécanismes locaux comme la rupture des fibres, les
fissurations dans la matrice ou les décohésions aux interfaces, jusqu’à la rupture. Du point de
vue qualitatif, les mécanismes identifiés ne diffèrent pas beaucoup lorsqu'on passe des
sollicitations statiques aux sollicitations dynamiques ou en fatigue (1,2,118). Plusieurs auteurs
38
ont montré que le mécanisme d’endommagement prédominant est souvent la décohésion au
niveau de l’interface fibre/matrice, mécanisme diffus qui induit et qui pilote une réduction
progressive de la rigidité du matériau.
De nombreux modèles micromécaniques ont été élaborés pour rendre compte du
comportement des matériaux composites et de leur endommagement. Ils sont presque tous
basés sur des méthodes d'homogénéisations et exigent la connaissance de la fraction volumique
de renforts, de leur géométrie (élancement), de la distribution d’orientation, ainsi que des
symétries matérielles du composite. Ces modèles se différencient principalement par les
relations de localisation des déformations ou de concentration des contraintes.
Il apparait que pour les composites à matrice polymère renforcé de fibres discontinues, le
modèle de Mori et Tanaka semble être le plus adapté. Dans la suite du document, au chapitre II
et III, le comportement non linéaire sera introduit dans ce modèle d’homogénéisation à travers
des critères locaux d’endommagement formulés de façon statistique et prenant en compte l’effet
des sollicitations cycliques et l’effet de la vitesse de sollicitation à l’échelle locale. La
caractérisation mécanique multi-échelles des matériaux de l’étude sera présentée au chapitre
suivant.
II. Matériaux et méthodes
II.1
Présentation des Matériaux d’étude
Deux types de composites SMC ont été étudiés : A-SMC et SMC standard.
L’A-SMC (Advanced Sheet Molding Compound) est un composite utilisé dans l’industrie
automobile pour des pièces structurelles telles que le plancher. Il consiste en une matrice
vinylester insaturée renforcée par 50% en masse de fibre de verre discontinues correspondant à
38,5% en volume. Les renforts se présentent sous forme de faisceaux (ou mèches) de fibres de
longueur constante (L = 25mm). Approximativement, chaque paquet contient 250 fibres de
verre d'environ 15 µm de diamètre. Avant le moulage par compression, les mèches sont
déposées aléatoirement dans le plan de la feuille A-SMC non réticulée. Pour les besoins de
l’étude, Plastic Omnium nous a fourni deux types de microstructures sous forme de plaques
desquelles ont été découpées les éprouvettes suivant des dimensions indiquées dans la figure
13. Pour plus des détails, le processus de fabrication a été discuté dans l’article de Shirinbayan
et al. (19). Dans une étude précédente (20), une procédure d’optimisation a permis de
déterminer les paramètres géométriques optimaux de l’échantillon adaptés pour les essais de
traction à grande vitesse. Dans cette étude, la simulation EF utilisée suppose que l’éprouvette
se comporte comme un solide anisotrope et conduit à la géométrie optimisée indiquée à la
39
Figure 12. Cette géométrie permet de réduire les perturbations dues à l’effet des ondes de
contrainte, afin de générer des champs de contrainte et de déformation homogènes et un taux
de déformation élevé constant. La même géométrie a été utilisée pour les essais de fatigue.
Figure 12 : Forme et dimensions de l’éprouvette
Le SMC-standard est un composite constitué d'une résine polyester insaturée renforcée de
fibres de verre fortement chargée de particules de carbonate de calcium (CaCO3 ). La fraction
massique de fibre est de l’ordre de 22%. Ces fibres sont aussi présentées sous forme de mèches
contenant environ 200 fibres. Ces fibres ont une longueur de 25 mm avec un diamètre d'environ
15 µm. Les éprouvettes sont découpées selon les dimensions indiquées sur la figure 13 .
a)
b)
Tensile direction
a
b
SEM observation surface
Figure 13 : a) dimension de l’éprouvette, b) forme de la fibre observée à la surface
II.2
Méthodes de caractérisation mécanique
II.2.1 Résultats expérimentaux sur le composite A-SMC
Les résultats de caractérisation mécanique présentés ci-après ont été obtenus dans le cadre
de la thèse de M. Shirinbayan (2). Ils constituent la base expérimentale sur laquelle s’appuient
les modélisations micromécaniques du comportement dynamique des SMC développées dans
le cadre de la présente étude.
40
II.2.1.1 Essais de fatigue et de quasi statique
Des essais mécaniques sous sollicitation quasi statique et cyclique ont été réalisés sur une
machine hydraulique MTS 830.
➢ Géométrie de l’éprouvette
Deux types de matériaux A-SMC issus d’un même préimprégné ont été étudiés : un matériau
dit « Flué » (F) et un second à orientation aléatoire, dit « Non Flué » (NF). Dans le cas du
matériau flué, les essais sont réalisés suivant les deux directions principales : le sens long (ou
0°), correspondant à la direction du fluage lors de la compression à chaud et le sens travers
(90°), correspondant à la direction perpendiculaire.
➢ Les différents types de résultats
La base de données expérimentales nécessaire à l’établissement du modèle hybride proposé au
chapitre suivant est constituée des essais mécaniques suivants :
Premièrement, des essais de traction monotone jusqu’à la rupture ;
Deuxièmement, des essais de charge-décharge à vitesse quasi-statique (2mm/min) avec
augmentation progressive de la charge maximale à chaque cycle jusqu’à la rupture. La
contrainte minimale à la décharge est toujours égale à 10% de la dernière contrainte maximale
atteinte.
Troisièmement, des essais de fatigue Traction-Traction (R=0.1, f=10Hz) jusqu’à la rupture pour
différents niveaux de la charge maximale. Tous les essais de fatigue sont précédés d’un cycle
de charge-décharge-recharge élastique permettant une détermination plus précise de la
diminution du module de Young au premier cycle. E0 et E1 correspondent respectivement à la
raideur du matériau non endommagé et la raideur résiduelle après le premier cycle.
L’analyse de ces trois types d’essais permet d’accéder respectivement aux données suivantes :
- Des courbes de traction jusqu'à la rupture qui permettent notamment l’identification des
contraintes à la rupture pour chaque configuration ;
- Des courbes de baisses de raideur en fonction de la charge appliquée, dont l’objectif principal
𝐸
est de déterminer l’évolution de la baisse relative de la raideur, 𝐸 , en fonction de la charge
0
appliquée ;
- Des courbes de baisses de raideur relative en fonction du nombre de cycles appliqués,
- Des courbes de Whöler.
41
II.2.1.2 Essais à grande vitesse
Des essais de traction dynamique ont été appliqués sur des éprouvettes A-SMC pour des
vitesses de déformation allant du quasi-statique à jusqu’à 200 s-1. Une machine hydraulique de
traction uniaxiale (Shenck) permettant un contrôle du déplacement à grande vitesse jusqu’à 20
m/s avec une capacité maximale de cinq tonnes. Une mesure de déformation sans contact à
l’aide d’une caméra à grande vitesse (Photron) est effectuée en surveillant le déplacement relatif
de deux marques placées à la surface de la zone active de l’éprouvette de traction, pour plus de
détails voir (19).
La campagne expérimentale confirme une réduction des perturbations dues à la
propagation des ondes. De plus, des champs de déformation homogènes et une vitesse de
déformation élevée constante sont obtenus. La Figure 14 montre que, indépendamment de la
vitesse de déformation, la réponse macroscopique contrainte-déformation évolue toujours selon
trois phases consécutives. En effet, après un stade élastique linéaire, la réponse de traction des
composites A-SMC est caractérisée par un seuil d’endommagement correspondant à la
première phase de non-linéarité caractérisée par un « coude » sur la courbe de traction. La phase
non linéaire est associée au déclenchement des mécanismes d’endommagement à l’échelle
locale. Enfin, une phase anélastique et relativement linéaire correspond à la propagation de ces
phénomènes jusqu’à la rupture finale.
Il faut souligner que pour le matériau composite étudié (A-SMC), le stade élastique de la
courbe contrainte-déformation semble insensible au taux de déformation.
De plus, on peut remarquer un retard du seuil d’endommagement lors de l’augmentation
de la vitesse de déformation. En outre, la cinétique d’endommagements (caractérisée par la
pente de la deuxième phase linéaire) diminue avec la vitesse de déformation, ce qui conduit à
une augmentation de la pente anélastique. D’autre part, la contrainte de rupture augmente pour
les vitesses de déformation élevées. Ces effets ont été largement décrits dans (2,3). Les auteurs
ont introduit le concept de visco-endommagement.
Une corrélation directe a été mise en évidence entre l’échelle microscopique et celle
macroscopique.
A l’échelle macroscopique, l’évolution de l’endommagement macroscopique noté D de
E
l’A-SMC est caractérisée par le rapport 𝐸𝐷 ou ED représente le module d'Young du matériau
0
endommagé.
𝑬
𝑫 = 𝟏 − 𝑬𝑫
Equation 57
𝟎
42
Figure 14 : Effet de la vitesse de déformation sur le comportement du A-SMC
II.2.2 Résultats expérimentaux sur le composite SMC-standard
Nous présentons ici les résultats de caractérisation mécanique obtenus dans le cadre de la
thèse de M. Tamboura (1). Ils constituent la base expérimentale sur laquelle s’appuient les
modélisations micromécaniques des SMC soumis à des sollicitations cycliques.
En effet, au chapitre III, nous proposons une approche de modélisation de
l’endommagement sous sollicitation cyclique fondée sur la description quantitative de
l’évolution de la décohésion à l’interface fibre-matrice au cours du chargement. L’analyse de
la microstructure ainsi que celles qualitative et quantitative de l’endommagement sont les
données d’entrée qui nous permettrons d’identifier le modèle micromécanique en fatigue.
Une analyse quantitative est proposée sur la base de la connaissance précise de la
microstructure du matériau non endommagée. C’est pourquoi des observations sous microscope
électronique à balayage ont été réalisées afin de visualiser la microstructure de notre composite.
Cette micrographie montre qu’il existe une distribution quasi-aléatoire des fibres, de la porosité
avec la présence des particules de craie (CaCO3) (figure 15).
De plus, des essais interrompus à différents nombres de cycles ont été mises à profit pour
caractériser la nature de l’endommagement, les sites préférentiels de son amorçage, les
directions privilégiées de sa propagation ainsi que la nature de la rupture résultant du
développement de ces dommages.
43
Figure 15 : Microstructure du composite SMC-Standard.
Une étude quantitative de la distribution d’orientation des fibres est réalisée par analyse
d'images MEB à travers la détermination du degrés d'ellipticité des traces de fibres apparaissant
sur la surface polie. Si on considère le fait que la quasi-totalité des fibres sont contenues dans
le plan, la relation géométrique suivante permet en effet de déterminer l'orientation dans le plan
d'une fibre : θ = arc sin (a / b), où "a" et "b" sont respectivement les axes court et long de
l'ellipse. Une fois l'orientation d'une famille de fibres (θ) déterminée, la quantification de la
fraction volumique de fibres de cette famille f (θ) est :
𝒇(𝜽) =
𝒏𝜽 .𝒏𝑩 .𝒔
𝑺
=
𝒏𝜽 .𝒇𝒎 (𝜽).𝒔(𝜽)
Equation 58
𝑺
où 𝑛𝜃 est le nombre de mèches orientés en θ, 𝑛𝐵 est le nombre de fibres dans une mèche, 𝑠 est
la surface d'une ellipse d’orientation θ, S est la surface totale d’observation, 𝑓𝑚 (𝜃) est la
fraction volumique des fibres dans la mèche orientée à θ° , et 𝑠(𝜃) est la surface d'une mèche
(largement décrit et calculé dans (1)). Les résultats de l’étude de la distribution d’orientation
des fibres sont donnés par l’histogramme (figure 16) représentant l’évolution de la fraction
volumique en fonction de l’orientation des fibres dans le plan qui constitue une donnée d’entrée
du modèle micromécanique.
Figure 16 : Distribution d’orientation des fibres dans la matrice du composite SMC-Standard
44
II.2.2.1 Comportement mécanique et méthodologie d'analyse des dommages
Des essais de traction monotone et cyclique sont effectués sur des échantillons décrits sur
la figure 13. Des jauges de contrainte longitudinales et transversales sont placées sur la surface
de l'échantillon. Un soin maximum a été apporté lors du collage des jauges et les « faux tests »
n'ont pas été retenus. Les essais de traction sont effectués à une vitesse de déplacement
constante de 5 mm / min. Des essais de fatigue en traction sont effectués pour trois déformations
maximales imposées : ε = 0,50% ; ε = 0,64% et ε = 0,8% avec un rapport de charge de R = 0,1
et une fréquence de 5 Hz. Trois échantillons sont testés pour chaque condition. Le module
d'Young est mesuré lors du chargement cyclique afin de déterminer la perte progressive de
𝐸
𝐸
0
1
rigidité à travers l'évolution du module d'Young relatif 𝐸 (ou 𝐸 si on prend comme
référence E1, le module de Young mesuré à l’issu du premier cycle).
De plus, des tests de fatigue interrompus sont effectués afin de caractériser l'évolution des
mécanismes d'endommagement se produisant à l'échelle locale lors des sollicitations
cycliques. Une zone d'observation représentative a été préalablement marquée sur la surface
d'observation MEB et analysée qualitativement et quantitativement après chaque
interruption. La zone d'observation est choisie suffisamment grande (5 × 2,4 mm 2 ) pour être
statistiquement représentative de la microstructure moyenne en termes de teneur en fibres et de
distribution d'orientation. De plus, la perte de rigidité macroscopique est reliée à l'évolution de
l'état d'endommagement local.
A. Analyse qualitative des mécanismes d'endommagement locaux lors de charges de fatigue
L'endommagement par fatigue des matériaux composites passe généralement par deux
étapes : l'initiation et la propagation. Les investigations micrographiques MEB effectuées sur
la zone marquée, comme décrit ci-dessus, nous ont montré que l'initiation de la fissuration se
produit aux niveaux des interfaces fibre / matrice (Figure 17). L’interface fibre-matrice présente
une résistance mécanique relativement faible ce qui en fait un site privilégié pour l’initiation de
l’endommagement. Dans le cas d’essais unidirectionnels, les microfissures sont généralement
perpendiculaires à la direction de chargement. Par ailleurs, ce mécanisme est connu comme
prédominant dans les composites SMC. Le décollement de l'interface fibre-matrice commence
toujours au niveau des fibres les plus désorientées par rapport à la direction de chargement
( Figure 17 a ), et il se développe progressivement dans toutes les autres directions de
renforcement ( Figure 17 b).
45
Figure 17 : Décohésion aux interfaces fibre / matrice ; (a) fibres orientées à 90 ° (b) fibres orientées à
45 °.
Après l'étape d'initiation décrite ci-dessus, les microfissures interfaciales provenant des
fibres adjacentes s’agrandies ( figure 18 a ). À ce stade, chaque mèche peut contenir plusieurs
microfissures à croisement perpendiculaire ( figure 18 b). Ensuite, la décohésion se propage à
travers la matrice, toujours dans une direction quasi-perpendiculaire à la direction de
chargement, afin de rejoindre d'autres microfissures provenant d'autres décohésion d'interface
fibre-matrice (figure 18 c). La coalescence conduit à des fissures relativement longues par
rapport au diamètre des fibres. Enfin, comme l’a observé M. Tamboura (1) pour le chargement
monotone, la coalescence de ces grandes microfissures conduit à la rupture définitive par la
pseudo-délamination entre mèches ( figure 18 d).
b) a)
a) b)
46
d) c)
c) d)
Figure 18 : Les microfissures se propagent sous un chargement cyclique ; (a) d'une fibre à ses voisins
; b) multi-fissuration des mèches ; (b) et (c) d'un paquet à ses voisins ; (d) rupture définitive par
pseudo-délaminage entre mèches.
B. Analyse quantitative des mécanismes d'endommagement locaux lors d’un
chargement cyclique
Relier quantitativement l'évolution des densités de fissures à l'échelle locale aux propriétés
macroscopiques résiduelles du composite pendant le chargement cyclique est très intéressant
pour construire un modèle micromécanique précis. Ceci est le but de cette section.
Comme l'interface fibre-matrice est un point faible du composite, une attention particulière a
été portée à la décohésion de l'interface fibre-matrice. Pour simplifier, le nombre de familles
d'orientation représentées sur la figure 15 est réduit à six : 10°, 30°, 45°, 60°, 80° et 90°. Chaque
fibre dans la zone d'observation est cartographiée et affectée à l'une de ces six familles
d'orientation. Étant donné que chaque fibre a été initialement coupé à partir de la même mèche,
chaque mèche contient le même nombre de fibres, nB=200. Après chaque interruption du test
de fatigue, des observations MEB sont effectuées afin de déterminer le nombre de fibres
déchaussées à l'intérieur de chaque mèche. Par conséquent, il est possible de définir un
indicateur d'endommagement de l'interface locale pour chaque famille d'orientation de fibres
𝑛𝜃
ⅆ
pendant la fatigue comme : 𝑑𝜃 (𝑁) = 𝑛 ∗𝑛
où 𝑛ⅆ𝜃 est présentant le nombre des fibres
𝐵
𝜃
déchaussées dans une orientation bien déterminée θ (soit nθ), et N est le nombre de cycles
appliqués. Les évolutions de cet indicateur d’endommagement interfacial en fonction du
nombre de cycles, pour trois valeurs des déformations imposées maximales (ε = 0,50%; ε =
0,64%; ε = 0,8%), sont présentées sur la figure 19 .
47
Figure 19 : Evolution de la microfissuration interfaciale lors d'essais de fatigue pour différentes
orientations de fibres à différents niveaux de chargements ; ε = 0,50%, ε = 0,64%, ε = 0,8%.
Indépendamment de la déformation macroscopique imposée en fatigue, les résultats
obtenus confirment quantitativement que les dommages locaux les plus importants et les plus
rapides sont associés aux fibres les plus désorientées par rapport à l'axe de charge (θ = 90 °). En
effet, indépendamment de la déformation maximale imposée, près de 80% des fibres orientées
perpendiculairement à l'axe de chargement sont soumises à un déchaussement. Les fibres
légèrement désorientées (θ = 10–15 °) ne contribuent à l'endommagement qu'après une période
variant entre 10 4 et 10 5 cycles en fonction de la déformation maximale imposée (figure 18). On
note qu’il existe une grande influence de la condition de charge sur le seuil et la cinétique de
l'endommagement. En effet, l'augmentation des dommages à l'interface fibre-matrice est plus
critique lorsque la déformation maximale imposée est plus importante.
Comme déjà indiqué, pour simplifier le travail expérimental, seules six familles d'orientation
des fibres sont analysées. Cependant, pour obtenir des résultats précis dans la modélisation
micromécanique, il est important d'obtenir une description précise des évolutions de la densité
des fissures pour d'autres orientations intermédiaires. Pour cela, nous proposons d’extrapoler
48
les résultats expérimentaux obtenu pour nos 6 orientations en décrivant l'évolution des densités
de fissures interfaciales en fonction du nombre de cycles par l’expression suivante :
𝒅𝑵
𝜽 = 𝑨𝜽 𝒍𝒏(𝑵) − 𝑩𝜽
Equation 59
où Aθ et Bθ sont des paramètres du matériaux et N indique le nombre de cycles identifiés soit
directement, soit par extrapolation. Par conséquent, les valeurs de seuil peuvent être calculer
par :
𝑩
𝑵𝜽𝒕𝒉 = 𝒆𝒙𝒑 (𝑨𝜽 )
Equation 60
𝜽
II.3 Cadre général et présentation du modèle micromécanique
d’endommagement d’interface
II.3.1 Cadre général
Pour avoir un design efficace, plusieurs types d’endommagement doivent être pris en
compte lors du dimensionnement des structures composites. De plus, plusieurs types de mode
de chargement affectent la durée de vie du composite. En particulier, on peut considérer les
deux modes les plus critiques qui affectent les propriétés des structures ; les chargements en
fatigue et les chargements à grande vitesse. L’étude et le calcul direct du comportement de ces
structures soulèvent des difficultés importantes dues essentiellement au grand nombre de
caractéristiques mécaniques à prendre en compte dont l’origine se trouve dans l’anisotropie et
l’hétérogénéité de ces matériaux. Par ailleurs, il existe encore des obstacles à l’utilisation
industrielle de composites organiques renforcés par des fibres, en l’occurrence le manque de la
connaissance des liens entre la microstructure et les propriétés macroscopiques. La prévision
des propriétés résiduelles et de la durée de vie des structures composites à renforts discontinus
doit passer par la prévision de l’évolution de l’endommagement adaptés à ce type de matériaux.
Or, lorsqu’il s’agit d’une pièce composite sollicitée en chargement répété, les ingénieurs sont
souvent confrontés à de nombreuses difficultés à cause du manque d’informations sur le
comportement mécanique en général et sur les mécanismes d’endommagement en particulier.
Cependant, il est essentiel de mettre au point des méthodologies rapides de
prédimensionnement des structures composites permettant d'identifier rapidement la
formulation appropriée du matériau pour chaque composant dans l’automobile. Ces
méthodologies doivent donc être pragmatiques pour répondre aux besoins industriels. En
particulier dans le cas de composants soumis à un chargement en fatigue, il s'agit d'un problème
critique en raison des campagnes expérimentales trop longues et trop coûteuses nécessaires
pour établir des courbes de Whöler.
49
En outre, les propriétés mécaniques de ces matériaux sont fortement dépendantes de leur
composition (37): type de matrice (thermoplastique ou thermodurcissable), fraction volumique
de la phase de renforcement, géométrie et distribution spatiale (38–40,119).
De plus, la complexité des mécanismes locaux intervenant lors du chargement, les
approches choisies doivent reposer sur une solide connaissance de ces différents phénomènes.
Dans le cas de composites renforcés par des fibres courtes tels que le SMC, il a été largement
démontré que les endommagements locaux s’amorcent et se propagent au niveau de l’interface
fibre-matrice (27,37–40,119). Toutefois, les conditions de chargement influencent les seuils et
la cinétique d’endommagement à l’interface fibre-matrice. Ainsi, dans le cas du comportement
en fatigue, les effets des conditions de charge (rapport de contrainte (42,43), fréquence de
cyclage (44,46)) sont considérés comme de première importance. De même, l’influence de la
vitesse de sollicitation sur l’endommagement interfacial a été aussi bien démontré (3).
Ainsi, les méthodologies choisies devraient pouvoir être adaptées au type de chargement
afin de prévoir la durée de vie de ces matériaux dans ces différentes conditions complexes.
Durant les dernières décennies, de gros efforts ont été déployés pour développer des
nouvelles méthodes permettant de réduire considérablement les coûts et le temps consacrés à la
caractérisation du comportement en fatigue (120–126). Ces méthodes ont la particularité
d’utiliser une modélisation de type Mori et Tanaka afin de prendre en compte les effets de la
microstructure dans les matériaux composites à renforts discontinus.
Citons par exemple les travaux de Jain et al. (127,128) qui proposent une approche
associant l'état d’endommagement macroscopique sous charge quasi-statique à celui atteint à
un certain point de la courbe S-N. Les auteurs proposent une méthodologie permettant de
prédire les courbes S-N pour d'autres microstructures composites à partir de la connaissance de
la "courbe maîtresse" qui correspond à la courbe S-N établie pour une microstructure spécifique
prise comme référence (48). Le Pen et al. (129) ont mis au point un modèle Mori-Tanaka qui
comprenait une loi d’endommagements causés par la rupture de particules dans la fatigue des
composites à matrice métallique.
En ce qui concerne le comportement monotone, les travaux de Fitoussi, Guo et al. (130–133)
proposent un modèle constitutif pour les endommagements micromécaniques des composite
SMC. Jendli (35) développe un modèle micromécanique d’endommagement d’interface fondé
sur une approche de type Mori et Tanaka capable de prendre en compte l’effet de la vitesse de
déformation sur le comportement dynamique des SMC.
50
Dans ce travail une modélisation du comportement mécanique des deux types du matériau
composite (A-SMC et le SMC-standard), sous une sollicitation monotone et cyclique, a été
réalisée avec la prédiction de la baisse de la raideur en utilisant deux méthodes différentes. Pour
les deux matériaux, le modèle proposé s’appuiera entre autre sur le modèle de Jendli & al.(35)
initialement développé pour les chargements monotones quasi-statiques et dynamiques avec la
prise en compte de la microstructure et de l’effet de l’endommagement. Ce dernier intègre
l’endommagement des interfaces fibre/matrice comme phénomène prédominant responsable de
l’endommagement macroscopique du matériau. L’état d’endommagement est traduit par
plusieurs populations d’hétérogénéités à l’échelle locale dont les microfissures. Ainsi, il permet
de s’approcher au maximum du comportement réel macroscopique du matériau. Ce modèle est
fondé sur une approche de Mori et Tanaka (80) dans lequel est intégré à l’échelle locale le
phénomène de fissuration de l’interface fibre/ matrice.
La partie (III.2-III.3) concerne la présentation de deux approches originales visant à la
prédiction de la durée de vie en fatigue à partir des résultats de simulation de l’endommagement
sous sollicitation monotone. On valide l’hypothèse que quel que soit le type de la sollicitation
appliquée (monotone ou cyclique), le matériau passe par les mêmes états endommagés
successifs pour arriver finalement à la rupture.
Une troisième méthodologie fondée sur la description de l’endommagement interfacial sous
sollicitation cyclique et repose sur un modèle de Mori et Tanaka est présentée dans la partie
III.4. Dans cette approche, la description quantitative de l’endommagement d’interface et les
relations microscopiques-macroscopiques détaillées dans le paragraphe II.2.2 sont utilisées afin
de prédire la baisse de la rigidité en fatigue. Les résultats expérimentaux sont utilisés pour
identifier et de valider un modèle micromécanique d’endommagement d’interface en fatigue.
L'effet du chargement cyclique est introduit par une modification progressive de la
résistance de l'interface fibre liée à la charge cyclique locale.
L'algorithme et l'implémentation numérique du critère local en fatigue est présenté. Enfin, une
comparaison entre les résultats expérimentaux et la simulation numérique est présentée et
discutée.
Le même type de démarche est proposé au paragraphe IV dans le cas des sollicitations
rapides. Dans ce cas encore, l’endommagement interfacial est introduit dans une approche de
type Mori et Tanaka. L’effet de la vitesse de sollicitation est la prise en compte à l’échelle locale
à travers une dépendance de la résistance interfaciale à la vitesse du chargement local calculée
sur l’interface fibre-matrice.
51
Ainsi, le modèle de Mori et Tanaka (80) dans lequel un critère local d’endommagement à
l’interface fibre-matrice est introduit constitue le noyau commun de tous les modèles prédictifs
présentés dans ce travail de thèse. Ce modèle micromécanique d’endommagement s’inspire des
travaux de Fitoussi et al. (49,57,96), et Jendli et al. (3,35). Ce modèle est développé dans le cas
de sollicitation monotone et se fonde sur des équations de base permettant de calculer les états
de contraintes à l’interface en tout point. Ces dernières sont présentées ci-après ainsi que la
forme du critère local de rupture à l’interface utilisé. Enfin, on décrit la façon dont un état
d’endommagement est défini dans le modèle micromécanique.
II.3.2 Equations de base
Les équations de base permettent de calculer la rigidité du composite et les champs de
contraintes moyens dans différentes phases. Les contraintes autour de l’interface fibre-matrice
peuvent être facilement dérivées, comme détaillé ci-après. La matrice et les fibres sont
considérées comme isotropes.
Le tenseur de rigidité composite est donné par l'expression suivante :
𝑪𝑪𝒐𝒎𝒑 = 𝑪𝒎 [𝑰 + 𝒇⟨𝙌⟩(𝑰 + 𝒇⟨(𝑺 − 𝑰)𝙌⟩)−𝟏 ]−𝟏
Equation 61
où 〈Q〉 désigne la moyenne, Cm et S sont respectivement le tenseur de rigidité de la matrice et
le tenseur d'Eshelby (79), et Q est un tenseur de pseudo-localisation défini pour chaque famille
d'orientation des fibres ’’θ”:
𝙌𝜽 = ((𝑪𝒎 −𝑪𝜽 )(𝑺𝜽 − 𝑰) − 𝑪𝜽 )−𝟏 (𝑪𝜽 − 𝑪𝒎 )
Equation 62
où Cθ représente les tenseurs de rigidité des familles de renfort orientés à θ°(voir figure 20 ). A
noter que pour les composites SMC, on peut considérer que toutes les fibres sont contenues
dans le plan de la plaque. Par conséquent, chaque famille de fibre n'est caractérisée que par son
orientation dans le plan θ.
Figure 20 : Définition des contraintes d'interface normales et de cisaillement, σn et τ.
52
II.3.3 Calcul des contraintes locales à l’interface fibre-matrice
Il est donc nécessaire de calculer ces champs de contraintes. Pour ce faire, différents travaux,
(79,134), ont traité le saut de contrainte à l’interface fibre/matrice. Pour une déformation
macroscopique appliquée 𝜀 𝑖𝑚𝑝 le tenseur des contraintes moyennes subies par une famille de
fibres orientées 𝜃 est donné par :
𝝈𝜽 = 𝑪𝒎 (𝑰 + (𝑺𝜽 − 𝑰)𝙌𝜽 )(𝑰 + 𝒇⟨(𝑺 − 𝑰)𝙌⟩)𝜺𝒊𝒎𝒑
Equation 63
En considérant la condition de continuité de la contrainte normale au passage entre la fibre et
la matrice, nous pouvons déduire son expression à l’interface. En fonction de la contrainte
moyenne dans la fibre, la contrainte normale à l’interface aura alors la forme suivante :
⃗
𝝈𝒏 = ⃗𝑻 . 𝒏
Equation 64
⃗ le vecteur contrainte au point d’interface fibre-matrice de normal n
Avec 𝑻
⃗.
Figure 21 : Contraintes exercées sur la fibre en fonction de son orientation, θ (°), par rapport à la
direction du chargement.
La contrainte moyenne dans les fibres est donc utilisée pour chaque orientation 𝜃 pour
calculer les contraintes interfaciales normales et de cisaillement, σn et τ, en chaque point situé
à l'interface fibre-matrice voir figure 21.
Notez que les contraintes interfaciales, σn et τ, sont calculées sur chaque point interfacial défini
par l'angle φ (figure 21).
II.3.4 Critère local d’endommagement à l’interface fibre-matrice
Fitoussi et al. (94) ont proposé un critère de rupture à l’interface fibre-matrice s’appuyant
sur le calcul des champs de contraintes locales normales et tangentielles au niveau de
l’interface. Un critère local de décohésion à l’interface fibre-matrice est alors proposé. Il est de
type Coulomb couplant par une fonction linéaire les contraintes normales et tangentielles à
l’interface selon l’équation :
53
𝝈 = 𝜷𝝉 = 𝑹
Equation 65
R représente la résistance de l’interface et 𝛽 un paramètre de couplage.
Une seconde formulation exprimée par Jendli et al (35) est de type quadratique. Elle s’écrit
sous la forme :
𝝈
𝝉
𝝈𝟎
𝝉𝟎
( )𝟐 + ( )𝟐 = 𝟏
Equation 66
Les paramètres 𝜎0 et 𝜏0 correspondent respectivement aux contraintes normales et
tangentielles à la rupture de l’interface. Etant donné que les deux phases principales du
composite ont des caractéristiques différentes, il en résulte un saut de contrainte au niveau de
l’interface.
Afin de prendre en compte l’aspect statistique de la rupture interfaciale liée aux variations
locales de la microstructure, nous pouvons définir une probabilité de rupture interfaciale
calculable à chaque point d'interface fibre-matrice défini par les orientations des fibres θ et φ
voir figure 20 :
𝝈 𝟐
𝒎
𝝉 𝟐
𝟎
𝟎
𝑷𝒓 (𝜽, 𝝋) = 𝟏 − 𝒆𝒙𝒑 (− ((𝝈 ) + (𝝉 ) ) )
Equation 67
Avec m est un paramètre statistique lié à la microstructure du matériau. 𝜎 et τ sont
respectivement les contraintes normales et de cisaillement qui dépendent de la contrainte
macroscopique appliquée, de la fraction volumique et de l'orientation des fibres considérées et
des propriétés élastiques de la matrice et des fibres.
Ainsi, à chaque incrément de charge, les contraintes locales à l’interface sont évaluées et la
proportion de fibre touchée par l’endommagement interfacial est évalué pour chaque famille
d’orientation de fibres.
II.3.5 Représentation d’un état local endommagé
Lorsqu’une fibre est touchée par l’endommagement interfacial, on peut considérer deux
effets :
1) La présence d’une fissure autour de la fibre,
2) Une diminution de la participation de la fibre à la rigidité globale du composite.
Du point de vue de la modélisation micromécanique, le premier effet peut être modélisé à
travers l’introduction d’une hétérogénéité ellipsoïdale plate (de forme proche de celle d’une
pièce de monnaie ou ‘penny shape’). Le second effet peut être modélisé à travers une diminution
de fraction volumique des fibres de la famille d’orientation considérée.
54
Ainsi, une fois la probabilité de rupture interfaciale calculée pour chaque famille de fibre,
l’état d’endommagement peut être défini à chaque incrément de calcul, 𝑛, comme une
microstructure contenant :
➢ Des fibres saines (non endommagées sur leur interface) (notée 𝑓𝑛𝑛ⅆ )
➢ Des fibres actives (notées 𝑓𝑛𝑎𝑐𝑡 ) contribuant encore à la rigidité du composite et
comprenant deux populations : les fibres non endommagées (notées 𝑓𝑛𝑛ⅆ ) et une partie
résiduelle des fibres ayant subi un endommagement interfacial, qui contribuent encore
partiellement au renforcement des composites. Leur contribution est définie par un
coefficient de réduction, « k », appliqué à la quantité de fibres déchaussées sur leur
interface.
➢ Des microfissures (notées 𝑓𝑛𝑚𝑐 ).
Cependant, à chaque étape de calcul, n, la détermination des probabilités de rupture locale à
l’interface permet de décrire l'état d'endommagement local par les équations suivantes :
𝒏𝒅
𝒏
𝒇𝒏𝒅
𝒏 = (𝟏 − 𝑷𝒓 ) ∗ 𝒇𝒏−𝟏
Equation 68
𝒏
𝒏𝒅
𝒏𝒅
𝒊
𝒇𝒂𝒄𝒕
𝒏 = 𝒇𝒏 + 𝒌 ∑𝒊=𝟏 𝑷𝒓 . 𝒇𝒊−𝟏
Equation 69
𝒎𝒄
𝒏 𝒏𝒅
𝒇𝒎𝒄
𝒏 = 𝒇𝒏−𝟏 + 𝒉. 𝑷𝒓 . 𝒇𝒏−𝟏
Equation 70
Il est à noter que le paramètre de réduction « k » a été évalué par des calculs d'éléments finis
effectués sur une cellule représentative contenant une fibre partiellement décollée et qui est
compris entre 0.3 et 0,5. De plus, "h" est le rapport entre le volume de ‘penny shape’ à rigidité
nulle introduite (représentant une microfissure interfaciale) et le volume de la fibre décollée.
Cette description micromécanique de l’état d’endommagement peut être réalisée quel que
soit le chargement appliqué : monotone (quasi-statique ou dynamique) ou fatigue. Toutefois,
quelques spécificités distingueront un type de chargement d’un autre notamment dans la façon
de calculer les contraintes limites à l’interface 𝜎0 et 𝜏0 .
III. Modélisation de l’endommagement et prédiction de la durée de vie des SMC en fatigue
III.1
Prédiction de la durée de vie et de la baisse de raideur en fatigue
Nous présentons ci-après deux méthodologies dites ‘hybrides’ s’appuyant sur le modèle
d’endommagement présenté au chapitre II et permettant de prédire les courbes de Whöler des
matériaux A-SMC. Par la suite, un troisième modèle visant à la prédiction de la perte de raideur
des composites SMC-standard soumis à un chargement cyclique est présenté.
55
III.2
Prédiction de la durée de vie des SMC : Première méthode hybride
Cette méthode combine deux types d’approches, l’une phénoménologique et l’autre
micromécanique, afin de profiter des avantages de chacune d’entre elles. L’objectif étant de
rechercher un compromis optimal entre l’applicabilité industrielle du modèle prédictif utilisé et
la pertinence de la description des phénomènes physiques pris en compte tout en ne nécessitant
qu’un nombre limité de données expérimentales.
Ce modèle doit donc démontrer sa capacité à produire rapidement des prédictions de
durée de vie en ne nécessitant qu’un nombre réduit d’essais. Ainsi, la durée du cycle
d’optimisation de la matière et la phase de pré-dimensionnement seront raccourcies.
Les quatre étapes pour la prédiction d’une courbe de wohler sont décrites ci-après et illustrées
dans le cas du matériau A-SMC :
La première étape : Une modélisation micromécanique de l’endommagement sous chargement
monotone quasi-statique telle que décrite au chapitre II.
Une comparaison entre les résultats de baisse de raideur simulée et celle expérimentales est
présentée sur la figure 22. La cinétique de baisse de raideur lors d’une charge de traction peut
s’exprimer sous la forme de la fonction suivante :
𝑬
𝑬𝟎
𝝈
= ( )𝒃
𝝈𝒔
Si non
𝑬
𝑬𝟎
Pour 𝝈 ≥ 𝝈𝒔
Equation 71
=𝟏
Equation 72
où σs est la contrainte seuil, b est un paramètre cinétique et σ est la contrainte appliquée.
Figure 22 : Comparaison entre modèle et expérience
La deuxième étape : Détermination d'un indicateur d’endommagent
L'approche repose sur la définition d'un indicateur d’endommagement local et sa valeur
critique correspondant à un état d’endommagement critique menant à la ruine du matériau.
56
Ainsi, la définition de l’indicateur local de l’endommagement, d, et sa valeur critique
associée, dc, devrait être liés aux paramètres locaux décrivant l'état d'endommagement local; à
savoir, la densité globale de microfissure 𝑑𝑔𝑙𝑜𝑏 , et les fibres actives restantes 𝑓𝑛𝑎𝑐𝑡 qui sont la
sortie de la modélisation micromécanique.
L'indicateur choisi est :
D= 𝒇𝒂𝒄𝒕
𝒏 ∗ 𝒅𝒈𝒍𝒐𝒃
Equation 73
La troisième étape : Identification d’une équation d'état sous chargement monotone
Le modèle micromécanique permet de tracer l'évolution du taux d’endommagement local,
ⅆ
ⅆ𝑐
𝐸
en fonction de la baisse de raideur macroscopique, 𝐸 (figure 23). On montre que cette courbe
0
est indépendante de la microstructure. Cette relation est donc considérée comme une équation
d'état reliant l'état d’endommagement microscopique à la dégradation des propriétés
macroscopique. De plus, les analyses expérimentales ayant démontré que les états
d’endommagement successifs sont globalement similaires sous chargement monotone et
fatigue, on considère que cette relation établie pour un chargement de traction monotone est
aussi valide pour d'autres schémas de chargement, tels que la fatigue.
Il est possible de décrire l'équation d'état comme une fonction polynomiale du deuxième degré:
𝒅
𝑬
𝒄
𝟎
𝟐
𝑬
= 𝜶 [(𝑬 )] + 𝜷 [(𝑬 )] + 𝜸
𝒅
Equation 74
𝟎
α, β et γ sont des paramètres micromécaniques.
1,0
0,8
d/dc
0,6
0,4
RO,TD,LD
Polynomial Function
0,2
0,0
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
E/E0
Figure 23 : Equation d’état sous chargement monotone
La quatrième étape : Modèle hybride et prédiction de la durée de vie en fatigue :
La perte relative de la rigidité durant un essai de fatigue peut être décomposée en deux termes:
𝑬
𝑬𝟎
𝑬
𝑬
𝑬𝟏
𝑬𝟎
= ( ) ∗ ( 𝟏)
Equation 75
57
Le premier terme,
𝐸
définit la perte de raideur en fatigue en prenant comme référence l’état
𝐸1
d’endommagement à l’issu du premier cycle. On montre que son évolution est indépendante de
l’amplitude de chargement et qu’elle peut être décrite par l’équation suivante :
𝑬
𝑵
𝑬𝟏
= ( )𝑩
Equation 76
𝑵𝒔
𝐸
Si on prend l’équation 𝐸
0
et on l’intègre dans l’équation
ⅆ
ⅆ𝑐
, une expression analytique de
l'évolution du taux d’endommagement local d/dc sous chargement de fatigue est dégagée:
𝟐
𝒅
𝒅𝒄
𝑬
𝑬𝟏
𝑬
𝑬
𝑬𝟏
𝑬𝟎
𝑬𝟏
𝑬𝟎
= 𝜶 [(( ) ∗ ( ))] + 𝜷 [(( ) ∗ ( 𝟏 ))] + 𝜸
Equation 77
𝟐
𝑵 𝑩
𝝈 𝒃
𝑵 𝑩
𝝈 𝒃
= 𝜶 [((( ) ) ∗ (( ) ))] + 𝜷 [((( ) ) ∗ (( ) ))] + 𝜸
𝑵𝒔
𝝈𝒔
𝑵𝒔
𝝈𝒔
Cette expression décrit l'évolution de l'état de l’endommagent local
Equation 78
ⅆ
ⅆ𝑐
, en fonction du
nombre de cycle, N, appliqué. Comme défini ci-dessus, une fissure macroscopique se produit
ⅆ
lorsque ⅆ =1. Alors N = Nr, où Nr est le nombre de cycles à la rupture.
𝑐
La résolution de l'équation précédente conduit à l'expression du nombre de cycles à la
rupture en fonction de la contrainte appliquée :
𝑵𝒓 = 𝑵𝒔 ∗ [
𝑮=
𝑮
𝟏
]𝑩
Equation 79
𝝈 𝒃
(𝟏+( ) )
𝝈𝒔
−𝜷 +√𝜷𝟐 −𝟒𝜶(𝜸 −𝟏)
Equation 80
𝟐𝜶
Cette expression permet de tracer les courbes S-N pour toutes les configurations de
microstructure.
58
Figure 24 : Comparaison de courbe de wöhler exp-num (ST-NF-SL)
Les écarts par rapport à l'expérience peuvent être réduits par une bonne maîtrise des
conditions expérimentales et par l'affinement du critère de la rupture locale ainsi que la prise en
compte de l'anisotropie de l'endommagement.
Notons que cette approche permet de prédire les courbes de Whöler pour n’importe quelle
microstructure à partir
1) d’une modélisation de la courbe de traction correspondante et de la baisse de raideur
associée permettant d’obtenir les paramètres 𝜎𝑠 et 𝑏.
2) Un essai unique avec mesure de la baisse de raideur en fonction du nombre de cycle
permet de déterminer le paramètre 𝐵 du modèle.
III.3
Prédiction de la durée de vie des SMC : Seconde méthode hybride
Dans cette approche, l’équivalence des états d’endommagement successifs entre
chargement monotone et fatigue à l’échelle microscopique est utilisée implicitement.
Cependant, cette méthode nécessite d’établir expérimentalement une courbe de Whöler pour
une microstructure de référence choisie. Le modèle micromécanique développé sous
chargement monotone permet alors d’établir les courbes de Whöler pour n’importe quelle autre
microstructure cible visée.
Pour effectuer la relation d’endommagement monotone-fatigue on trace l’évolution de la baisse
de raideur à l’issu du premier cycle en fonction du nombre de cycle à rupture. Cette courbe est
indépendante de la microstructure et est considérée comme une courbe maîtresse (figure 25).
59
0,25
0,20
D=1-E/E0
0,15
0,10
RO, TD, RD
Logarithmic Function
0,05
0,00
1
10
2
10
3
10
4
5
10
10
6
10
7
10
8
10
Nr
Figure 25 : Courbe maitresse reliant la baisse de raideur macroscopique au premier cycle et le nombre
de cycle a rupture NR
Lorsque le modèle micromécanique est identifié et la courbe (D1, NR) établie en utilisant la
microstructure de référence choisie, il devient possible de proposer une approche prédictive
pour établir la courbe SN pour tout autre microstructure ciblée en suivant les étapes suivantes :
 Une fois le modèle identifié, un essai de traction sous chargement monotone est
modélisé pour la microstructure ciblée. On trace alors la courbe (D,) correspondante.
𝐸
Ici D est le paramètre d’endommagement de Kachanov. (𝐷 = 1 − 𝐸 )
0
 La valeur de l’endommagement macroscopique DS atteinte pour une contrainte  = S
est lue sur la courbe issue du modèle (D,).
 Par la suite, le nombre correspondant de cycle à rupture NR, est lu directement sur la
courbe (D, NR).
 On enregistre le couple de valeur (S, NR)
 Ces étapes successives sont répétées pour d’autres valeurs de contrainte S afin d’établir
la courbe S-N de la microstructure choisie.
La méthodologie est schématisée sur le graphe 26.
60
Figure 26 : Schématisation de la seconde méthode prédictive
Pour illustration, cette approche a été validée par comparaison avec les résultats expérimentaux
des courbes de Wöhler obtenues sur l’A-SMC (Figure 27).
61
Figure 27 : Comparaison de courbes de wöhler entre exp-num (ST-NF-SL)
III.4
Critères de rupture pour matériaux composites :
III.4.1 Définition
Le critère de rupture est une expression mathématique reliant les contraintes effectives
régnant dans le matériau aux contraintes ultimes pouvant être supportées par ce dernier. Lorsque
ce critère est dépassé, la propriété d’intégrité du matériau n’existe plus et il y a une ruine locale
du milieu. La grande majorité des critères de rupture pour les composites sont dits
macroscopiques.
Les critères de rupture pour les composites se décomposent en deux grandes familles :
➢ Les critères dits phénoménologiques,
➢ Les critères dits énergétiques.
III.4.2 Critères phénoménologiques
Les critères phénoménologiques cherchent à mettre en relation un critère par mode de
rupture. Le critère le plus ancien est celui d’Hashin (135). Il s’applique aux composites
unidirectionnels et est basé sur quatre modes principaux de rupture du matériau induits par des
critères tensoriels de rang 2.
L’usage des critères phénoménologiques est moins aisé dans son utilisation que les
critères énergétiques car il faut déterminer la valeur de chaque critère pour chaque mode de
rupture. Cependant, ils représentent une étape nécessaire pour la simulation avancée des
composites. En effet, pour permettre de prendre en compte un comportement au-delà des
premières ruptures, il faut commencer par détecter le premier endommagement par un critère
de rupture phénoménologique et, ensuite, dégrader les caractéristiques en fonction du mode de
rupture déterminé.
62
III.4.3 Critères énergétiques
Les critères énergétiques ou tensoriels, dont les plus connus sont les critères de Tsaï Wu
ou Tsaï Hill (136), sont basés sur une généralisation des critères de plasticité de type Von Mises.
Dès 1928, Von Mises a proposé un critère de plasticité pour les corps anisotropes sous la forme
d’une expression quadratique du tenseur des contraintes. Il a été appliqué par Hill à l’étude des
polycristaux. Le seul inconvénient des critères énergétiques est de ne pas pouvoir distinguer les
modes de ruptures des composites. Leur utilisation est par contre simplifiée par l’utilisation
d’une valeur unique permettant de prévoir la rupture.
Application du critère de Tsaï Wu ou Tsaï Hill :
Pour une bonne maitrise du critère de Tsaï Wu ou Tsaï Hill il faut définir des systèmes
de coordonnées locaux et macroscopiques (figure 28). Prenons un volume élémentaire
représentatif de la structure composite et caractérisé par une microstructure μi donnée et par une
valeur donnée de M% (représente l'intensité de l'orientation liée au paramètre de biréfringence
ultrasonore K%). L’axe local (1,2) est lié à la direction d’orientation principale de la fibre (axe
1) sachant que (x,y) est celui du macroscopique.
Figure 28 : Présentation de l’orientation des fibres suivant l’axe locale et macroscopique
Pour un chargement cyclique donné, 𝜎𝑋 , appliquée dans la direction x, il est possible de tracer
l’évolution de σX en fonction de 𝜃𝑃 pour différents nombres de cycles de rupture, Nr (voir figure
29).
63
250
Nr=1000
cycles
Nr=5000
cycles
Nr=10000
cycles
Nr=50000
cycles
σx (MPa)
200
150
100
50
0
0
20
40
60
𝜃 p (°)
80
100
Figure 29 : Evolution de σx en fonction de l’orientions (𝜽𝑷 ) pour diffèrent Nr
Des articles précédents (136,137) ont montré l’efficacité du critère Tsai-Wu ou TsaiHill pour prédire la rupture finale des composites. Dans le cas de structure d’épaisseur fine,
l’expression bidimensionnelle du critère Tsai-Wu exige que :
𝑭𝟏 𝝈𝟏𝟏 + 𝑭𝟐 𝝈𝟐𝟐 + 𝑭𝟏𝟏 𝝈𝟐𝟏𝟏 + 𝑭𝟐𝟐 𝝈𝟐𝟐𝟐 + 𝑭𝟔𝟔 𝝈𝟐𝟏𝟐 + 𝟐𝑭𝟏𝟐 𝝈𝟏𝟏 𝝈𝟐𝟐 < 𝟏
Equation 81
où 𝐹1 , 𝐹2 , 𝐹11 , 𝐹22 , 𝐹66 , 𝐹12 sont des paramètres du matériau à identifier. Dans notre cas, il est en
fonction du nombre de cycles. En outre, pour simplifier, les contraintes de rupture sont
supposées égales en traction et en compression. Par conséquent, les coefficients Tsai-Wu sont
définis comme suit :
𝟏
𝟏
𝟏
𝑭𝟏 = 𝑭𝟐 = 𝟎 , 𝑭𝟏𝟏 = − 𝑿𝟐 , 𝑭𝟐𝟐 = − 𝒀𝟐 , 𝑭𝟔𝟔 = − 𝑺𝟐
Equation 82
Où X, Y et S sont respectivement, les contraintes de rupture en traction dans la direction 1, 2 et
la contrainte de rupture en cisaillement dans le plan.
Dans le cas d’une contrainte de traction, 𝜎𝑋 , appliquée dans la direction x, le critère Tsai-Wu
conduit à l’expression suivante (après rotation de la contrainte dans les coordonnées locales
(1,2)).
𝝈𝑿 < [ 𝒄𝟒 𝒔𝟒
𝟏
𝟏
+ +𝒄𝟐 𝒔𝟐 ( 𝟐 +𝟐𝑭𝟏𝟐 )
𝑿𝟐 𝒀𝟐
𝑺
𝟏
𝟐
]
Equation 83
où c et s désignent respectivement cos(𝜃𝑃 ) et sin(𝜃𝑃 ). En outre, il convient de noter que les
valeurs de X et Y correspondent respectivement aux valeurs de 𝜎𝑋 pour 𝜃𝑃 = 0° et 𝜃𝑃 = 90°.
Par conséquent, pour un nombre de cycles à la rupture donnée, Nr, ces valeurs peuvent être lues
64
directement sur la figure 29. Par conséquent, seuls deux paramètres inconnus, S et 𝐹12 , doivent
être identifiés à l’aide d’une méthode inverse (23). Le résultat est illustré dans la figure 30 pour
M=80 % et une durée de vie en fatigue de 1000 cycles.
250
σx (MPa)
200
150
100
Courbe expérimentale
Courbe fitée
50
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
𝜃 p (°)
Figure 30 : Exemple d’identification des paramètres Tsai-Wu (X,Y,S et F12).
Cette procédure doit être répétée pour toute durée de vie en fatigue (NR).
Une fois qu’on a identifié les deux paramètres du critère, on peut tracer directement
l’évolution du critère Tsai-Wu au cours du chargement cyclique pour une configuration
microstructurale donnée.
M%=80%
M%=40%
1,6
1,2
1,2
0,8
0,8
0,4
-1,2
-0,8
0
-0,4
0
-0,4
0,4
0,8
∑22
∑22
0,4
1,2
0
-1,2 -0,8 -0,4 0
-0,4
-0,8
-1,2
-1,6
∑33
1000 Cycles
0,4
0,8
1,2
1000 Cycles
-0,8
5000 Cycles
5000 Cycles
100000 Cycles
-1,2 ∑
33
100000 Cycles
Figure 31 : Critère de Tsai-Wu pour différents nombres de cycles ciblés et deux microstructures visée.
III.5
Prédiction des baisses de raideur sous sollicitation cyclique
Une troisième approche de modélisation fondée sur le modèle de Mori et Tanaka intégrant
l’endommagement de l’interface fibre-matrice est présentée dans ce qui suit. Cette approche
65
vise essentiellement à permettre la prédiction des baisses de raideur durant la sollicitation de
fatigue. Elle se fonde sur le fait que les résultats expérimentaux obtenus sur des composites
SMC standard sous chargement de fatigue montrent qu'une contrainte répétée appliquée conduit
à une dégradation progressive des interfaces fibre-matrice. En effet, à l'échelle locale, la zone
d'interface (ou interphase) est soumise à un chargement cyclique local. Chaque zone d'interface
est soumise à une variation cyclique spécifique des contraintes locales normales et de
cisaillement (σ, τ). Ainsi, la charge interfaciale cyclique locale dépend, entre autres, de la
microstructure, de la charge macroscopique imposée et de l'orientation de la fibre considérée.
En conséquence, on peut considérer que les contraintes locales d’interface (σ, τ) subies
cycliquement peuvent modifier les contraintes limites (σ0, τ0) à travers un phénomène de fatigue
locale.
On se propose donc d'identifier les évolutions de σ0 et τ0 intervenant dans le critère local
de rupture à l’interface fibre-matrice en fonction de σ, τ et N.
Pour ce faire, nous analysons l'état de contrainte interfaciale locale sous sollicitation uniaxiale
(figure 32).
8
C
O
N
T
R
A
I
N
M
T
P
E
a
4,5
6
1,5
0
90
0
75
90
70
50
15
0
q
30
f
50
10
0
80
30
20
50
40
70
q
0,5
0
4,5-5
4-4,5
3,5-4
3-3,5
2,5-3
2-2,5
1,5-2
1-1,5
0,5-1
D
M
E
P
a
)
60
90
80
-2
C
I
C S
O A
N I
T L
R L
A E
I M
N E
T N
E T
(
1
-1
40
0
2,5
2
20
2
60
)
1
3
30
4
3
4
3,5
7-8
6-7
5-6
4-5
3-4
2-3
1-2
0-1
-1-0
-2--1
45
5
(
N
O
R
M
A
L
E
5
7
f
Figure 32 : Evolution de la contrainte interfaciale locale (σ et τ) sous sollicitation uniaxiale
On constate que les valeurs maximales des contraintes normales et de cisaillement
respectivement sont observées pour θ=90°, φ=0° et θ=45°, φ=0°. Nous suggérons donc une
procédure d'identification en deux étapes en utilisant la méthode du modèle inverse et les
évolutions de densité de fissures interfaciales déterminées expérimentalement pour des
populations de fibres orientées à θ=90° dans un premier temps et θ=45° dans un second temps.
La première étape est donc affectée à l'identification de l'évolution de σ0 sur la base de
l'évolution de la densité des fissures interfaciales déterminée expérimentalement pour les fibres
orientées à (θ=90°). En effet, l'endommagement de l'interface des fibres orientées à 90° est le
premier à être observé et c’est aussi le plus intensif : près de la rupture finale, plus de 80 ° de
ces fibres présentent des interfaces touchées par l’endommagement interfacial. Il est à noter que
66
le déchaussement est toujours observé au point d’interface défini par φ=0°. Sur ce point, on
note que τ=0.
Par conséquent, pour une orientation de fibre à 90°, la probabilité de rupture d'interface
fibre-matrice correspondante est donnée par :
𝛔𝐍
𝐏𝐫𝜽𝑵 = 𝟏 − 𝐞𝐱𝐩 [−((𝛔𝐍)𝟐𝐦 )]
Equation 84
𝟎
Chaque incrément N correspond à une augmentation de la densité de fissure locale et
est donnée par :
∆𝐝𝐍𝟗𝟎° = 𝐝𝐍𝟗𝟎° − 𝐝𝐍−𝟏
𝟗𝟎°
Equation 85
Donc en appliquant la formule précédente, la probabilité de rupture de l'interface fibrematrice peut également s'écrire sous la forme :
𝐍
(𝐍) =
𝐏𝐫𝟗𝟎°
𝐍−𝟏
𝐝𝐍
𝟗𝟎° −𝐝𝟗𝟎°
Equation 86
𝟏−𝐝𝐍−𝟏
𝟗𝟎°
𝑁
De plus, en utilisant la fonction donnant l’évolution de 𝑑90°
identifiée sur la base des
résultats expérimentaux, la probabilité de rupture interfaciale peut être réécrite comme:
𝐍
(𝐍) =
𝐏𝐫𝟗𝟎°
𝟏−𝐀
𝐍
)
𝐍−𝟏
𝐀𝟗𝟎° ∗𝐥𝐧(
Equation 87
𝟗𝟎° ∗𝐥𝐧(𝐍−𝟏)+𝐁𝟗𝟎°
Enfin, l’évolution de σ0 est dérivée des équations précédentes comme suit :
𝛔𝐍𝟎 =
𝛔𝐍
(
𝟏
𝐍 )] 𝟐𝐦
[−𝐋𝐧(𝐓𝟗𝟎°
Equation 88
)
𝐍
Avec 𝐓𝟗𝟎°
= 𝟏 − 𝟏−𝐀
𝐍
)
𝐍−𝟏
𝐀𝟗𝟎° ∗𝐥𝐧(
Equation 89
𝟗𝟎° ∗𝐥𝐧(𝐍−𝟏)+𝐁𝟗𝟎°
Une fois que l'évolution de σ0N identifiée, on peut dégager l'évolution du seuil de
contrainte de cisaillement τ0 durant le chargement de fatigue. Dans ce but, l'évolution
expérimentale des dommages interfaciaux des fibres orientées à 45° doit être prise en compte
lors de l’identification par méthode inverse.
En effet, pour cette orientation de fibres, chaque point interfacial est soumis à la fois à
des contraintes normales et de cisaillement.
De même que pour l’identification de σ0N, l’évolution de τ0N peut être dérivée des équations
précédentes appliquées aux fibres orientées à 45°. On trouve :
𝛕𝐍𝟎 =
𝛕𝐍
Equation 90
𝟏
𝟐 𝟐
𝟏
𝛔𝐍
( )
𝐍
[[−𝐥𝐧(𝐓𝟒𝟓° )] 𝐦 −( 𝐍 ) ]
𝛔𝟎
67
𝐍
𝐀𝟒𝟓° ∗𝐥𝐧(
)
𝐍
𝐍−𝟏
Avec 𝐓𝟒𝟓°
=𝟏−
𝟏−𝐀 ∗𝐥𝐧(𝐍−𝟏)+𝐁
𝟒𝟓°
Equation 91
𝟒𝟓°
Ainsi, le critère de rupture interfacial peut être réécrit en intégrant des valeurs des
résistances locales normales et de cisaillement évoluant d’un cycle à l’autre en fonction des
valeurs de contraintes cycliques locales. Les états d’endommagement successifs peuvent alors
être définis et les baisses de raideurs progressives sous chargement cycliques peuvent être
prévues par le modèle micromécanique.
III.5.1 Prévision de la baisse de rigidité
Des essais de fatigue ont été effectués et simulés pour plusieurs valeurs de déformation
macroscopique imposée, ce qui permet de tracer l'évolution de la baisse de raideur relative lors
d'un chargement cyclique. La figure 33 illustre la comparaison entre la baisse de rigidité
simulée et la baisse de rigidité expérimentale pour les trois niveaux de déformation imposés
(0,64%, 0,8% et 0,87%). La bonne corrélation expérience- simulation montre la pertinence de
l’approche proposée.
0,64
%
0,8%
0,87
%
Figure 33 :Comparaison entre les baisses de raideurs expérimentales et numériques avec des
amplitudes imposées : 0,64%, 0,8% et 0,87%.
68
III.6
Conclusion :
De nombreuses études ont montré que le mécanisme d'endommagement dominant lors de
la déformation des SMC est la décohésion interfaciale. Sous une sollicitation de fatigue, ces
décohésions qui se produisent très tôt et de façon diffuse au sein du matériau occasionnent une
diminution des propriétés mécaniques, c'est-à-dire une diminution progressive de la rigidité. La
propagation et la coalescence de cet endommagement conditionnent aussi la durée de vie.
Trois approches de modélisation de la fatigue des SMC fondée sur un modèle
micromécanique avec la prise en compte des dommages interfaciaux sont présentés. En effet,
le mécanisme d’endommagement dominant est la décohésion interfaciale, qui conduit à la
dégradation progressive des propriétés mécaniques. La formulation du modèle micromécanique
constitutif intégrant l’endommagement interfacial est présentée. Ce modèle est basé sur un
critère statistique quadratique interfacial exprimé en fonction des contraintes locales normales
et tangentielles à l’interface fibre-matrice.
Les deux premières approches de la fatigue des SMC couplent le modèle micromécanique
d’endommagement interfacial à une approche phénoménologique. Ces deux modèles ont été
identifiés et validés dans le cas des A-SMC.
La troisième vise essentiellement à prédire la réduction de la rigidité en fonction du nombre de
cycles. Ce modèle est aussi basé sur le même critère interfacial quadratique exprimé en termes
de contraintes locales normales et de cisaillement à l'interface fibre-matrice associées à leurs
valeurs de rupture correspondantes. L’évolution de ces derniers en fonction de l'état de
contrainte local à l’interface constitue l’originalité de l’approche car elle permet de refléter les
effets locaux des sollicitations répétées à l’échelle de l’interface fibre-matrice. Cette troisième
approche a été validée par comparaison expérience-simulation des baisses de raideur d’un SMC
standard soumis à un chargement cyclique.
En conclusion, remarquons que ces trois approches prédictives de la fatigue des SMC
présentent chacune des intérêts spécifiques. En effet, la première méthode hybride présentée
permet, quel que soit la microstructure considérée, de prédire la durée de vie du composite
(courbe de Whôler complète) grâce à une modélisation de la courbe de traction et un essai
unique de fatigue.
La seconde méthode hybride permet de prédire les courbes de Whöler de n’importe
quelle microstructure à partir d’une courbe de Whöler maîtresse unique. Elle permet aussi
69
d’accéder aux critères limites pour la modélisation des structures et leur évolution au fur et à
mesure du cyclage, ce qui est primordial pour la simulation de structure réelle.
Enfin la troisième méthode permet d’accéder à la baisse de raideur progressive lors de
la fatigue, ce qui est aussi primordial pour le calcul de structure. Notons en effet qu’en raison
de sa nature locale, le critère d’endommagement d’interface proposé est indépendant du
chargement tridimensionnel macroscopique appliqué. Par conséquent, il peut être identifié sur
la base de résultats de charge cyclique simple et être appliqué à une conception de structure
réelle pour la prédiction de la baisse de rigidité anisotrope.
En perspective de ce travail, il serait intéressant de coupler ces trois approches afin de tirer
les avantages de chacune dans un calcul de structure réelle.
IV. Modélisation et prédiction de la durée de vie de l’A-SMC en dynamique
IV.1
Contexte général
La notion de comportement dynamique est vaste, il est possible de séparer le régime
dynamique en trois zones avec des essais de caractérisations distinctifs :
Impact basse vitesse : entre 0 et 50 s-1
Ces impacts dus typiquement à la chute d’un outil lors des phases de maintenance ou de
la percussion de débris présents sur la piste et projetés sur la structure durant les phases de
roulage. Il s’agit aussi de chocs mous, pour les débris de pneus éclatés notamment.
C’est le plus proche du régime quasi statique, les essais peuvent être effectués à l’aide
d’une machine hydraulique, pneumatiques ou mécaniques.
Impact à vitesse modérée : entre 50 et 200 s-1
Dans cette gamme de vitesse, on retrouve tout d’abord les chocs à l’oiseau lors des
phases de décollage et d’atterrissage qui sont des chocs mous mais avec des énergies élevées.
Il y a aussi les impacts de grêle qui touchent la structure tout entière et qui sont des chocs durs
mais avec des niveaux d’énergies plus faibles que pour le choc à l’oiseau. Les essais sont
réalisés à l’aide de machines hydrauliques ou pneumatiques.
Impact à vitesse élevée : entre 200 et 1000 s-1
Ces impacts sont à prendre en compte pour les aéronefs militaires car il s’agit pour la
plupart d’impacts balistiques. Les essais sont effectués à l’aide de barres de Hopkinson,
d’impact ou d’explosion.
70
Dans notre étude, nous visons une plage de vitesse allant de quasi-statique jusqu’à 200 s-1
qui correspond aux applications automobiles.
IV.2
Comportement dynamique et endommagement à l’interface fibre-matrice
De nombreuses études portant sur les polymères renforcés de fibres discontinus révèlent
que la décohésion à l’interface fibre-matrice est généralement le principal mécanisme
d’endommagement locale (2,3,16,19,20,33,35,47,47,53,57). Les travaux expérimentaux
montrent que c’est aussi le cas lorsque les matériaux composites SMC sont soumis à des
chargements
dynamiques
caractérisés
par
de
grandes
vitesses
de
déformation
(2,3,16,19,20,32,33,35,57). Ces études ont montré que la vitesse de déformation a une forte
influence sur les caractéristiques mécaniques macroscopiques des matériaux SMC de tous
types. Par conséquent, l’effet de la vitesse de déformation sur l’endommagement à l’interface
fibre-matrice devrait être clairement pris en compte pour une utilisation efficace des SMC dans
les structures.
Cependant, on montre que le module Young reste presque insensible à la vitesse de
déformation pour une plage de vitesse allant de quasi-statique jusqu’à 200 s-1. En outre, il a été
démontré que l’augmentation de la vitesse de déformation entraîne, d’une part, une
augmentation du seuil d’endommagement et, d’autre part, une diminution de la cinétique
d’endommagement (33) conduisant à une augmentation de la contrainte et de la déformation à
rupture. En fait, l’aspect visqueux de l’endommagement à l’interface fibre-matrice est
clairement démontré par des essais interrompus (23,57,3).
L’origine du visco-endommagement peut être interprété par une sensibilité de la résistance
de l’interface fibre-matrice à la vitesse de sollicitation. Par ailleurs, l’effet observé est aussi
probablement dû à des effets dynamiques locaux.
Dans ce contexte, l’objectif de cette partie est de développer un critère d’endommagement
à l’interface fibre-matrice prenant en compte les effets de la vitesse du chargement. Jendli (3) a
proposé une première approche formulant le critère quadratique de rupture à l’interface fibrematrice en fonction de la vitesse de déformation macroscopique. Il obtient de bon résultats sur
des SMC standard. Toutefois, afin de proposer un modèle indépendant du chargement
tridimensionnel appliqué macroscopiquement, le critère local doit être écrit en fonction des
vitesses de chargement locaux.
71
IV.3
Procédure de prévision de l’endommagement à l’interface Fibre/Matrice à grande
vitesse
Les résultats expérimentaux obtenus sur les composites SMC sous une charge appliquée à
grande vitesse montrent qu’une grande vitesse de déformation macroscopique appliquée
conduit à un retard du dommage progressif des interfaces fibre-matrice et à paradoxalement à
un ralentissement de sa propagation. En effet, à l’échelle locale, la zone d’interface (ou
interphase) est soumise à une vitesse locale (57) de chargement. Chaque point d’interface est
soumis à une vitesse locale de contraintes normales et de cisaillement (σ et τ). L’amplitude et
la vitesse locales du chargement interfacial dépendent, entre autres facteurs, de la
microstructure, de la charge macroscopique imposée et de l’orientation locale de la fibre
considérée.
Afin de refléter l’effet du visco-endommagement de l’interface fibres- matrice, les
contraintes locales normales et de cisaillement limites devraient être augmentées
progressivement en fonction de la vitesse locale du chargement. Par conséquent, sous une
charge macroscopique, on peut considérer que les contraintes locales de l’interface-interphase
(σ et τ) et leur évolution en fonction du temps lors d’un incrément de temps ∆𝑡. On peut alors
connaitre à chaque instant du chargement les vitesses locales du chargement interfacial en
contrainte normale et cisaillement : 𝜎̇ et 𝜏̇ . Afin de traduire les effets du visco-endommagement
de l’interface à l’échelle locale, nous proposons d’écrire que les résistances de l’interface en
contrainte normale et de cisaillement, (σ0, τ0), sont dépendants des vitesses locales du
chargement (𝜎̇ , 𝜏̇ .). On propose les formes mathématiques suivantes :
𝒃
𝝈𝟎 = 𝒂 ∗ 𝑬𝒙𝒑(𝝈̇ )𝒄
𝒆
𝝉𝟎 = 𝒅 ∗ 𝑬𝒙𝒑(𝝉̇ )𝒇
Avec
𝝈̇ =
Avec
𝝉̇ =
𝝈𝒏 −𝝈𝒏−𝟏
∆𝒕
𝝉𝒏 −𝝉𝒏−𝟏
∆𝒕
Equation 92
Equation 93
Où a, b, c, d, e et f sont des paramètres matériau à identifier.
Une fois que l’évolution des paramètres de la contrainte normale et de cisaillement est
identifiée, nous pouvons utiliser le modèle micromécanique présenté ci-dessus pour prédire la
baisse de raideur à différente vitesse. A cette fin, nous proposons un algorithme illustré à la
figure 34. Les données d’entrée incluent les caractéristiques élastiques des différentes phases,
la distribution d’orientation de la fibre, les paramètres de la contrainte interfaciale initiale (σ0,
τ0), la déformation macroscopique imposée 𝜀 ⅈ𝑚𝑝 et l’incrément de temps ∆𝑡 .
72
Les champs de contrainte interfaciaux σ (θ, φ), τ (θ, φ) peuvent être calculés pour chaque
emplacement d’interface fibre-matrice (θ, φ). Ainsi, la valeur maximale de la probabilité de
rupture interfaciale peut être déterminée pour chaque orientation de fibre afin de calculer les
nouvelles fractions volumiques correspondantes de fibres non endommagées. Dans le même
temps, les distributions de densité des fibres actives (contribuant toujours à la rigidité
composite) et des microcracks interfaciaux sont calculées. Par conséquent, l’homogénéisation
du premier stade, y compris les fibres actives seulement, est effectuée. Ensuite, la deuxième
étape d’homogénéisation permet de déterminer l’ensemble du composite endommagé, y
compris les fibres actives et les micro-fissures à l’interface fibre-matrice pour un nombre
d’incréments bien déterminé et la déformation macroscopique imposée. Après les incréments,
une nouvelle valeur du temps appliqué est définie, et cette procédure est répétée.
Le résultat obtenu se rapporte alors aux propriétés mécaniques du matériau composite
endommagé. L’approche décrite permet, entre autres, de prédire les pertes de rigidité du
composite dans toutes les directions, et elle permet également de simuler la courbe contraintedéformation.
73
Données d’entrée
𝜟𝒕 = 𝜟𝒕 + 𝟏

𝜟𝒕
𝒊𝒎𝒑
𝑪𝒎 , 𝑪𝒓 , 𝒇𝜽 , 𝝈𝜟𝒕
, 𝜟𝒕
𝟎 , 𝝉𝟎 , 𝜺

𝝈𝜟𝒕 (𝜽, 𝝋), 𝝉𝜟𝒕 (𝜽, 𝝋)

𝜟𝒕
Les nouvelles valeurs de (𝝈𝜟𝒕
𝟎 , 𝝉𝟎 ) = 𝒇°(𝝈𝜟𝒕 , 𝝉𝜟𝒕 , 𝜟𝒕)

Probabilité de rupture
𝟐 𝐦
𝟐
𝐦𝐚𝐱(𝝈𝜟𝒕
𝐦𝐚𝐱(𝝉𝜟𝒕
𝜽 )
𝜽 )
𝜟𝒕
𝑷𝒓 (𝛉, 𝛗) = 𝟏 − 𝐞𝐱𝐩 (− ((
) +(
) ) )
𝜟𝒕
𝜟𝒕
𝛔𝟎
𝛕𝟎

Détermination de la fraction volumique des fibres non
endommagées :
𝜟𝒕
𝒇𝜽𝒏𝒅 = (𝟏 − 𝐦𝐚𝐱(𝑷𝒓 𝜟𝒕
)) ∗ 𝒇𝒏𝒅
𝜽
𝜽
Détermination de la fraction volumique des fibres
qui contribuent encore à la rigidité du composite:
𝜟𝒕−𝟏
Détermination de la fraction des fissures à
l’interface fibre-matrice :

𝜟𝒕 𝜟𝒕=𝟎
𝒇𝒂𝒄𝒕
𝜽 (𝜟𝒕) = (𝟏 + (𝒌 − 𝟏) × 𝒅𝜽 )𝒇𝜽
𝜟𝒕
𝒇𝒎𝒄
= 𝒇𝒎𝒄
𝜽
𝜽
𝜟𝒕−𝟏
+ 𝒉. 𝐦𝐚𝐱(𝑷𝒓 𝜟𝒕
). 𝒇𝜽𝒏𝒅
𝜽
Première étape de l’homogénéisation

Tenseur de rigidité du composite sans la
prise en compte des fissures
Deuxième étape de l’homogénéisation
𝑪𝒐𝒎𝒑
𝑪𝑫
(𝜟𝒕)
Calculs du tenseur de rigidité endommagés
Figure 34 : Algorithme de la construction du modèle micromécanique à grande vitesse avec la prise
en compte de l’endommagement à l’interface fibre/matrice
74
𝜟𝒕−𝟏
IV.4
Identification, discussion et résultats
La procédure décrite ci-dessus est basée sur les contraintes locales calculées à l’interface
fibre/matrice. Cependant, comme présenté dans la section II, le modèle multi-échelle (MoriTanaka) permet d’accéder aux champs de contrainte locaux (σ et τ) à l’interface fibre/matrice.
la Figure 35 illustre l’évolution des contraintes normales et tangentielles, respectivement, qui
sont calculées pour chaque incrément de temps Δt et pour une vitesse macroscopique appliquée
égale à 60 s-1.
Figure 35 : Evolution de la contrainte normale et tangentielle pour 𝜽 ∈ [𝟎°, 𝟗𝟎°], 𝝋 = 𝟎°
L’idée principale de notre approche est d’identifier l’évolution de la contrainte limite à
l’interface fibre-matrice lors d’un chargement à grande vitesse. Comme ce phénomène se
produit à l’échelle locale, cette évolution devrait être indépendante de la charge macroscopique
imposée. En effet, les équations du (σ0, τ0) indiquent clairement que l’évolution de la contrainte
limite interfaciale est liée aux contraintes locales (𝛔∆t , 𝛕∆t ) et à la vitesse de ces contraintes
(𝜎̇∆𝑡 , 𝜏̇∆𝑡 ) qui augmentent chaque incrément.
Une fois le critère est identifié en fonction de la contrainte locale, la procédure de
modélisation, décrite dans les paragraphes précédents, permet de simuler les courbes contraintedéformation pour différentes vitesses de déformation. La figure 36 montre des courbes
contrainte-déformation simulées par rapport à celles obtenues expérimentalement pour deux
vitesses de déformation différentes. On peut noter une bonne corrélation entre eux pour
différentes vitesses de déformation. Le modèle identifié à l'échelle microscopique est validé à
l'échelle macroscopique.
75
Figure 36 : Modélisation de la corrélation: exemples de courbes macroscopiques contrainte-déformation pour
deux vitesses de déformation : 1 et 60 s -1.
IV.5
Conclusion :
L'approche expérimentale a montré que pour le composite A-SMC l'effet de la vitesse de
déformation conditionne principalement le seuil et la cinétique de rupture notamment au niveau
de l'interface fibre – matrice. En d'autres termes, la décohésion de l'interface est principalement
sensible à la vitesse de déformation. En effet, l'effet de la vitesse de déformation sur la
défaillance de l'interface est obtenu grâce à la proposition d'un critère quadratique local sensible
à la vitesse de déformation en terme de seuil et cinétique. L'identification est réalisée à l'échelle
locale et le modèle est validé à l'échelle macroscopique sur la base des résultats des essais
dynamiques. Ainsi, le travail présenté dans cette partie est une évolution vers une version
dynamique qui traite n’importe quel type de chargement appliqué macroscopiquement (bitraction, cisaillement, forme complexe ...). Les résultats obtenus sont en très bonne adéquation
avec l'expérience.
76
Conclusion générale
Cette thèse a été menée entre deux laboratoires PIMM (Arts et Métiers, Paris) et LMS
(ENISo, Sousse). Elle vise à proposer une approche de dimensionnement des structures
composites automobiles sous des sollicitations diverses. En outre, un outil prédictif pertinent
capable de décrire la réponse aux différents types de chargement (monotone quasi-statique et
dynamique, fatigue) a été proposé.
Ce travail s’appuie sur des résultats de caractérisation expérimentale obtenues dans le
cadre de deux thèses effectuées au sein des deux laboratoires associés dans cette étude
(Tamboura (1), Shirinbayan (2)). Ces résultats concernent les matériaux SMC standards et ASMC soumis à des chargements cycliques et monotones rapides. Sur la base de ces résultats
expérimentaux, un modèle micromécanique intégrant l’endommagement à l’échelle locale a été
formulé afin de prendre en compte l’effet des diverses conditions de charge précitées.
Dans un premier temps, une étude bibliographique a été menée sur le comportement et
la tenue à la fatigue et à l’impact des matériaux composites. Concernant le comportement, les
approches micromécaniques proposées sont basées sur la technique d’homogénéisation qui
permet de déterminer les propriétés élastiques macroscopiques de nos matériaux. Dans un
deuxième temps, une étude expérimentale et numérique a été réalisée sur le comportement du
composite sous différentes sollicitations.
En fatigue, le comportement des deux types de composites a été modélisés. Le premier
est
l’A-SMC,
pour
lequel
deux
approches
de
modélisations
hybrides
(phénoménologique/micromécanique) ont été développées. Elles sont toute les deux basées sur
un modèle micromécanique qui permet de prédire le comportement du matériau d’étude sous
chargement monotone avec la prise en compte de la microstructure et de l’endommagement à
l’interface fibre/matrice. Pour ce faire, un critère local statistique d’endommagement à
l’interface fibre-matrice est introduit dans un modèle de Mori et Tanaka. Dans les deux
approches hybrides proposées, la prédiction de la durée de vie en fatigue des SMC est fondé
sur la mise en évidence de l’existence d’une équivalence entre l’endommagement sous
chargement monotone et l’endommagement en fatigue. En d’autres termes, la description des
relations multi-échelles de l’endommagement établies sous chargement monotone reste
globalement valide et généralisable aux chargements cycliques. Cette hypothèse permet de
mettre en place deux démarches menant rapidement à la prédiction des durées de vie en ne
nécessitant qu’un nombre limité d’essais et une simulation micromécanique du chargement
77
monotone uniquement. Il est à noter que cette démarche a été testée et validée au PIMM sur
d’autres types de matériaux, le SMC standard et sur le propylène chargé en fibres de verre
(PPGF40) qui est un composite à matrice thermoplastique (polypropylène).
Dans le cas du second matériau SMC (standard), les résultats d’essais de fatigue
interrompus obtenus dans le cadre de la thèse de Tamboura (1) ont permis de quantifier
l’évolution de l’endommagement à l’interface fibre/matrice en fonction du nombre de cycles.
Sur la base de ces résultats, un modèle micromécanique permettant de prédire la réduction de
la rigidité macroscopique de notre matériau a été identifié.
Classiquement, les paramètres du critère local ou de la loi d’évolution de
l’endommagement sont déterminés par méthode inverse. Cela consacre l’avantage d’une
identification rapide, facilement utilisable en industrie et dont le résultat final reproduit
correctement le comportement mais sans forcément correspondre à une description acceptable
de la réalité physique, ce qui peut conduire à des écarts significatifs en particulier dans le cas
de chargement tridimensionnels. En effet, il n’y a pas d’unicité de solution dans les jeux de
paramètres des lois identifiées.
L’idée donc est d’exprimer le critère quadratique de rupture interfaciale en fonction de
contraintes limites locales normales et de cisaillement à l'interface fibre-matrice. Par
conséquent, le critère proposé étant exprimé complètement à l’échelle locale, il est indépendant
du chargement tridimensionnel macroscopique appliqué. Par conséquent, il nous a été possible,
grâce aux résultats de Tamboura (1), d’identifier le critère d’endommagement interfacial sur la
base de résultats de chargement cyclique en traction simple. Une fois le critère local identifié
de cette façon, il peut être appliqué au cas de chargement tridimensionnels quelconques utiles
à la conception de structure réelle afin d’évaluer les baisses anisotropes des rigidités des
structures SMC sous chargement cyclique.
En dynamique, les essais expérimentaux effectués dans le cadre de la thèse de
Shirinbayan (2) ont montré que pour le composite A-SMC l'effet de la vitesse de déformation
conditionne principalement un retard du seuil de l’endommagement suivi d’une cinétique
légèrement réduite notamment au niveau de l'interface fibre – matrice. En d'autres termes, la
décohésion de l'interface est principalement sensible à la vitesse de déformation.
En suivant la même idée que dans le cas cyclique, le critère a été formulé en fonction
des vitesses locale du chargement à l’interface fibre-matrice. Ce modèle permet donc de traduire
l'effet de la vitesse de déformation sur la défaillance de l'interface grâce à la proposition d'un
critère quadratique local sensible à la vitesse. L'identification est réalisée à l'échelle locale et le
78
modèle est validé à l'échelle macroscopique sur la base des résultats des essais expérimentaux.
Les effets de la vitesse en termes de seuil et de cinétique sont bien représentés. Il faut noter que
le travail présenté dans cette partie est une évolution vers une version dynamique qui traite
n’importe quel type de chargement tridimensionnel appliqué macroscopiquement.
En résumé, ce travail a contribué au développement d’outils permettant la prédiction du
comportement micromécanique des composites en fatigue et en dynamique rapide. Il est fondé
sur la modélisation du phénomène d’endommagement à l’interface fibre-matrice à travers un
critère local. Les différents aspects microstructuraux des composites étudiés sont pris en
compte.
Perspectives
Plusieurs pistes pour continuer cette étude peuvent être envisagées.
En premier lieu, nos approches devraient être validées expérimentalement dans le cas
de chargements complexes comme la bi-traction, le cisaillement, etc.
Le second porte sur l’adaptation de nos approches sur d’autres types de matériaux
composites tels que les matériaux à matrice thermoplastique. Pour ce faire, la prise en compte
de la viscoélasticité et de la viscoplasticité devrait être introduite dans la démarche. De même,
adapter ce type de méthodologie aux cas des architectures de composites à renforts continus
tels que les stratifiés serait intéressant.
Enfin, le dernier axe concerne le développement d’une approche dans le cas de
chargements couplant l’effet de la vitesse et des sollicitations cycliques en se basant sur les
critères quadratiques exprimés en fonction des valeurs locales. En effet, une telle approche
serait capable de traiter la question de l’effet d’une sollicitation cyclique sur les propriétés des
matériaux à grande vitesse et inversement.
79
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Approaches to Fatigue Modeling of Advanced-Sheet Molding Compounds (A-SMC)
Composite.
Appl
Compos
Mater
[Internet].
https://doi.org/10.1007/s10443-019-09793-3.
3
janv
2020;
Disponible
sur:
Author's personal copy
Applied Composite Materials
https://doi.org/10.1007/s10443-019-09793-3
Two Hybrid Approaches to Fatigue Modeling
of Advanced-Sheet Molding Compounds
(A-SMC) Composite
H. Ayari 1,2 & J. Fitoussi 1 & A. Imaddahen 1 & S. Tamboura 2 & M. Shirinbayan 1 &
H. Ben Dali 2 & A. Tcharkhtchi 1
Received: 30 April 2019 / Accepted: 11 November 2019/
# Springer Nature B.V. 2020
Abstract
To reinforce the environmental standards, we need to strengthen the lightening of vehicles
and to generalize new composite materials in order to reduce weight. To use these
innovative composite materials in the mass production of automotive parts, it is essential
to propose a predictive approach of the S-N curves, which must be established for each
new composite formulation and for several types of microstructure within real components. Although these preliminary characterizations consume time and money, this paper
proposes two hybrid methodologies to predict the fatigue life during the fatigue test. Both
methodologies are based on micromechanical modeling which is developed under monotonous loading with fatigue effects under different amplitudes. The suggested methodology is based on an experimental analysis of monotonic behavior under fatigue loading
and on multi-scale modeling of damage. In the results, the proposed model and the used
approaches are in good agreement with the experimental results.
Keywords SMC . Fatigue . Micromechanical modeling
1 Introduction
Advanced Sheet Molding Compounds (A-SMCs) are materials typically formulated to meet
customer requirements. They exhibit a lot of desirable characteristics, excellent chemical
resistance and tensile strength, as well as cost competitiveness. For an effective design, several
types of damage must be considered by manufacturers during dimension calculation. Fatigue
loading may be one of the most critical failure modes that strongly affects the component life.
The direct calculation of the behavior of these structures raise important difficulties, essentially
due to the great number of mechanical characteristics to be considered. The origin of these
* H. Ayari
houssem.ayari@ensam.eu
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difficulties is in the anisotropy and heterogeneity of these materials. On the other hand, there are
still obstacles to the industrial use of fiber-reinforced organic composites, such as the lack of
knowledge of the links between the microstructure and macroscopic properties, the prediction of
the damage evolution, and the realization of structural calculations adapted to this type of materials.
For a composite part subjected to repeated loading, engineers often face many difficulties
because of the lack of information on the mechanical behavior, especially the damage
mechanisms. Thus, it is essential to develop rapid methodologies for pre-dimensioning
composite structures, which allows quickly identifying the appropriate material formulation
for each component in the automobile. These methodologies must therefore be pragmatic to
meet industrial needs. For components subjected to fatigue loading, this is a critical problem
because of the long and costly experimental campaigns required to establish S-N curves.
Indeed, the mechanical properties of these materials strongly depend on their composition [1]:
the type of matrix (thermoplastic or thermosetting), the volume fraction of the reinforcement
phase, the geometry, and the spatial distribution [2–11].
Therefore, due to the complexity of the local mechanisms involved in loading, the chosen
approaches should be based on a very good knowledge of these different phenomena. For
composites reinforced by short fibers, like the Sheet Molding Compound (SMC), it has been
widely demonstrated that local damage begins at the fiber matrix interface [12, 13].
However, for fatigue behavior, the effects of load conditions (stress ratio [14, 15], cycling
frequency [16, 17]) are very importance. Hence, the chosen methodologies should be adapted
to predict the life of these materials in different complex conditions.
The existing predictive fatigue models are generally classified into three categories [6, 18,
19]: an empirical model based on S-N curves (macroscopic resistance), a phenomenological
model based on residual resistance, and a micromechanical model based on the description of
the mechanisms of microscopic damage.
Great efforts have been made to develop new methods that significantly reduce the cost and
time spent on characterizing fatigue behavior [20–26].
Jain et al. [27, 28] proposed an approach based on a micromechanical model associating the
state of macroscopic damage under a quasi-static load to the state of macroscopic damage reached
at a certain point of the S-N curve. The authors suggested a methodology to predict the S-N curves
for other composite microstructures from the knowledge of the “master curve” which corresponds
to the S-N curve established for a specific microstructure taken as a reference [29].
Jain et al. developed a new approach called the “master” S-N curve [30] based on a master
Wöhler curve, from which Wöhler curves could be reconstructed for other microstructures by
linking damage at the microscopic scale with macroscopic fatigue properties. Such a model
required the establishment of a “master” S-N curve while considering a reference microstructure.
Guo et al. [31–35] proposed a constitutive model for the micromechanical damage to the
SMC composite under monotonic loading. Le Pen et al. [36] developed a Mori-Tanaka model
that included a law on damage caused by fibers in composite fatigue.
In this article, two modeling approaches applied on an A-SMC composite under fatigue
loading. In order to take into consideration the microstructure and effect of damage, the model
suggested in this paper relies, among other things, on the model of Jendli et al. [37], presented
in the following. This model was developed in the context of damage to SMC materials under
rapid stress. The main interest of this model is the integration of local damage mechanisms
experimentally observed in the micromechanical model. The model proposed in this study
integrates the damage to fiber / matrix interfaces as a predominant phenomenon responsible for
the macroscopic damage to the material. The state of damage is reflected by several
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populations of heterogeneities at the local scale including micro-cracks. Thus, it makes it
possible to get as close as possible to the macroscopic real behavior of the material. This model
is based on an approach of Mori and Tanaka [38], where the phenomenon of cracking the fiber
/ matrix interface was integrated at the local scale.
1.1 Material Description and Methods of Analysis
A-SMCs consist of a vinyl ester resin reinforced with glass fibers and filled with calcium
carbonate fillers (CaCO3). The glass fibers have a weight content of 50% and are in the form of
bundles. Each bundle contains about 250 fibers. These fibers have a length of 25 mm with a
diameter of about 15 μm. The families of fibers that have the same volume fraction and
orientation have been defined.
In this study, the materials are provided by Plastic Omnium auto exterior services. Samples
are prepared in the dimension, which is shown in Fig. 1. For more details, the manufacturing
process was discussed in the article of Shirinbayan [39].
Two types of A-SMC materials from the same prepreg are studied: One microstructure is
“Highly Oriented” (HO) and the other one is “Randomly Oriented” (RO). For HO samples, the
tests are carried out according to two main directions: the longitudinal direction (or 0°)
corresponding to the direction of the creep during the hot compression, and the transverse
direction (90°) corresponding to the perpendicular direction.
The experimental database required to establish the hybrid model is derived from the
following mechanical tests:
• First, tensile tests to failure.
• Second, quasi-static (strain rate of 2 mm / min) loading-unloading tests with progressive
increase in the maximum loading at each cycle to failure. All the performed tests define the
minimum stress at the reloading, which is equal to 10% of the last reached maximum stress.
• Third, tension-tension fatigue tests (R = 0.1, f = 10 Hz) up to failure for different
maximum-load levels. All fatigue tests are preceded by an elastic loading-unloadingreloading cycle, which allows for a more precise determination of Young’s E0 and E1 moduli.
Both latter respectively correspond to the stiffness of undamaged material and the residual
stiffness after the first cycle.
The analysis of these three types of tests respectively gives access to the following data:
• Tensile-to-failure curves that particularly permit the identification of the failure stresses for
each configuration;
• Loss-stiffness curves as a function of the applied loading, whose main objective is to trace
the relative decrease in stiffness as a function of the applied loading;
• Stiffness reduction curves according to the applied cycles and the Wöhler curves.
• Through these results and using our micromechanical model, we can implement our
methodologies.
Fig. 1 Specimen dimension obtained from optimized procedure results
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These tests are performed within the framework of the Ph.D. of Shirinbayan [40].
1.2 Micromechanical Modeling
The chosen model can be divided into three essential phases:
The estimation of the global rigidity tensor of the material from the properties of the
various constituents, using the average field approach proposed by Mori and Tanaka, is
coupled with Eshelby’s equivalent inclusion model. Therefore, the field of stress, which is
local and around inclusion, is estimated and it enables identifying normal and tangential
interfacial stresses. A criterion of local damage (estimation and quantification of the density
of interfacial cracks) and a law of damage evolution are integrated. Global behavior is
modeled through the integration of the initial anisotropy caused by the presence of
reinforcements and its evolution due to damage.
The equations of the micromechanical model are recalled in what follows. These
equations present the theoretical framework for estimating the overall mechanical behavior
of the material as well as the local constraints at the fiber-matrix interface.
Using the Mori-Tanaka theory, adopted later by Benvensite [40], we manage to predict
the overall three-dimensional effective rigidity tensor of the staple fiber composite material
as well as the average stress fields inside and outside reinforcements at the level of the
matrix [36]. The reinforcement is modeled as an ellipsoidal inclusion and is characterized
by its slenderness (length/diameter) and isotropic elastic properties. The reinforcements,
which are present as inclusions, are transformed into an equivalent matrix thanks to the
Eshelby tensor reformulated and readapted by Mura [41]. This tensor is necessary for the
identification of the overall rigidity of the composite.
Eshelby’s equivalent inclusion techniques [42] and classical homogenization methods
lead to the formulation of the overall rigidity tensor (Eq. 1.1):
h
i−1
C Comp ¼ C m I þ f hQiðI þ f hðS−I ÞQiÞ−1
ð1:1Þ
where Cm and S are respectively the rigidity tensor of the matrix and Eshelby’s tensor, f is the
volumetric fraction of reinforcement, and Q presents the average value of the “pseudo-tensor
of localization” defined for each family of reinforcement iwhose expression is as follows:
Qi ¼
−1 i m C m −C i S i −I −C i
C −C
ð1:2Þ
where Sipresents Eshelby’s tensor of the ith reinforcement family which depends on the
mechanical properties of the matrix and the spatial arrangement and geometry of reinforcement, and tensor Cirepresents the rigidity of families of reinforcement marked by index i.
For A-SMCs, a family of reinforcement is distinguished by its orientation in the plane.
Different work [42–44] treated the stress discontinuity at a leap in the fiber/matrix interface.
When loading the material with macroscopic stress Σ, the matrix phase remains isotropically
elastic, so it is necessary to calculate stress at the level of all points of the interface.
σi ¼ C m I þ S i −I Qi ðI þ f hðS−I ÞQiÞC m−1 ∑
ð1:3Þ
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Fig. 2 Stress exerted on fiber as a function of its orientation, θ (°) relative to direction of loading
By adopting the condition of the continuity of normal stress during the transition between the
fiber and the matrix, we can then deduce its expression at the interface. As a function of stress
in the fiber (Eq. 1.3), normal stress at the interface will therefore have the following form:
!
n
σn ¼ T :!
ð1:4Þ
With Eqs. 1.3 and 1.4, we get:
!
T ¼ σi :!
n
τi ¼
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
r
!
2:
T −ðσn Þ
where !
n is the normal vector at the considered point of the interface (Fig. 2).
The interfacial failure probability for each fiber orientation family θi is given by:
Pr ðθ; φÞ ¼ 1−exp −
σ
σ0
2
þ
τ
τ0
2 !m !
ð1:5Þ
where m is a material parameter related to the scatter of microstructure, and normal stress σ and
shear stress τ depend on the macroscopic stress, the fiber orientation, the volume fraction, the
aspect ratio of the fiber, the elastic properties of the matrix, and the fiber.
As a consequence, at each n calculation step, local interface failure probabilities are
calculated and they give access to the amounts of the remaining active fiber f act
n . This includes
,
the
part
of
the
debonded
fiber
which continues
the volume fraction of undamaged fibers f ND
n
participating in composite reinforcement, and the micro-cracks volume fraction to be introduced. Therefore, the local damage state is described at each n step by the following equations:
ND
n
f ND
n ¼ 1−Pr *f n−1
ð1:6Þ
(1.7)
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mc
n ND
f mc
n ¼ f n−1 þ h:P r : f n−1
ð1:8Þ
where k is a reduction coefficient applied to partially debonded fibers. This parameter is
evaluated by finite-element calculations performed on a representative cell containing a
partially debonded fiber and is equal to 0.9. Moreover, h is the ratio between the volume of
the introduced penny shape (representing an interfacial microcrack) and the fiber evaluated by
geometric considerations.
1.3 Implementation of First Method
The proposed model combines two types of approaches, phenomenological and
micromechanical, to take advantage of each of them. The objective is to seek an optimal
compromise between the industrial applicability of the predictive model used and the relevance of the description of the physical phenomena taken into account while requiring only a
limited number of experimental data.
Consequently, this model must demonstrate its ability to rapidly produce lifetime predictions by requiring only a limited number of tests. Hence, the duration of the optimization cycle
of the material and the pre-dimensioning phase will be shortened.
This suggested methodology relies also on the experimental analysis and micromechanical
modeling of monotonic behavior in order to predict fatigue life under loading. Unlike the
second approach, the intrinsic relationship between the two types of loading is microscopically
evaluated. The proposed approach is based on the following considerations:
&
&
When we notice a decrease in stiffness, it is directly related to the overall density of
microcracks present in the material. Thus, there is a mathematical relationship that links
these two magnitudes.
In addition, the increase in the crack density leads to a reduction in the resistant surface
(see the global theory of damage). When this resistant surface becomes too small, the
existing cracks catastrophically coalesce, which results in a break in the Representative
Elementary Volume (REV). The latter is therefore attained when the overall density of
crack “d”, considered as a local indicator of damage, reaches a critical value “dc”.
Accordingly, it seems natural to propose a criterion of break in the REV based on a value of
critical microscopic damage: When the “dc” value is reached, the density of cracks is such that
the resistant surface is no longer enough and there is a break in the REV.
In this second approach, we propose to establish a state equation connecting a local damage
rate (d/dc) to the rate of macroscopic damage (relative stiffness decrease E/E0). As already
expressed, we suppose that this equation, established under monotonous loading, can be also
exploited under cyclic loading.
This hypothesis, which forms the basis of our approach, leans on the fact that the same
phenomena of damage are observed for both types of loading. Generally, the same states of
damage are found during these two types of loading.
When damage at the microscopic and macroscopic scales is expressed in a relative value,
the intrinsic relation should also be relatively independent of the microstructure. In other
words, we assume that two composite samples with equivalent relative rigidity loss, by
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applying a monotonic load (for the first one) and a fatigue load (for the second one), are
subjected to an equivalent local damage rate.
Final failure occurs when the micro crack density reaches a certain critical value [36, 44].
This value can be represented as a local damage rate, d/dc, where d is related to the damage
density at the fiber-matrix interface and dc is the maximum critical value. For SMC composite
materials, the phenomenon of pseudo-delamination, which always appears just before breaking
[38, 45, 46], can occur when this local damage rate is equal to 1:
d=dc ¼ 1
The whole methodology is represented schematically in Fig. 3.
The four steps for predicting the Wohler curve are as follows:
First step: The micromechanical model described above makes it possible to predict the
evolution of the properties of the equivalent homogeneous material. As a result, we can
easily trace the evolution of the progressive reduction in rigidity during a tensile test. The
key question of the micromechanical model lies in the identification of the failure
criterion parameters of the local fiber-matrix interface. The latter is identified by reverse
engineering based on 0 and 90° results. They are then validated on the other orientations.
The results of the decrease in simulated stiffness compared to the experiments are shown
in Fig. 4. A power function can be chosen to represent the average evolution of the loss of
rigidity. The relative rigidity loss during a tensile load can be expressed by:
E
¼
E0
σ
σs
b
forσ≥σS
ð1:9Þ
where σS is the threshold stress, b is a kinetic parameter, and σ is the applied stress.
Second step: Determining an accurate local damage indicator:
The approach proposed in this article is based on the definition of a local damage indicator. Its
critical value corresponds to a state of critical damage leading to the ruin of the material. Thus,
the definition of the local indicator of damage d and its associated critical value dc should be
Experimental characterization of
stiffness thresholds and kinetic in
monotonous tension and fatigue
Equation
of thresholds
and
Equation
of thresholds
and kinetics
of
kinetics
of stiffness
stiffness
drop
Micromechanical modeling of
monotonic test
Master curve
Relationship between local damage
state and macroscopic stiffness
Phenomenological
modeling
integrating
the
parameters
identified
the
micromechanical
model
Phenomenological
modeling
integrating
parameters
identified
byby
the
micromechanical
model
Fig. 3 Presentation of first proposed method
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Fig. 4 Comparison between simulation and model: RO-A-SMC
related to the local parameters describing the state of local damage, namely the micro-crack
density dglob and the remaining active fibers Factives, which are the output of micromechanical
modeling.
To allow the indicator of local damage d be independent of the microstructure, several
formulations have been proposed: d1, d2 and d3. These formulations use microscopic parameters, Factives, FND and FMC, which are derived from micromechanical modeling and they
describe the damage state of the microstructure.
d1 ¼ F actives *d glob
ð1:10Þ
d2 ¼ F ND *d glob
ð1:11Þ
d3 ¼ F MC *d glob
ð1:12Þ
The chosen indicator is:
d1 ¼ F actives *d glob
Third step: Identification state equation under monotonic loading:
The micromechanical model permits tracing the evolution of the local damage rate, d/dc as a
function of the decrease in macroscopic stiffness E/E0 (Fig. 5). As aforementioned, this
relationship is considered as a state equation linking the state of microscopic-macroscopic
damage to the degradation of properties. Therefore, this relationship is believed to be accurate
even for other load schemes, such as fatigue, since this relationship is independent of the
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1,0
0,8
d/dc
0,6
0,4
RO,TD,LD
Polynomial Function
0,2
0,0
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
E/E0
Fig. 5 Evolution of local damage rate as a function of loss in stiffness
microstructure. It is easy to describe the state equation as a polynomial function of the second
degree:
d
¼α
dc
E
E0
2
þβ
E
E0
þγ
ð1:13Þ
where α, β and γ are micromechanical parameters (HO-90°, HO-0° and RO).
Fourth step: Hybrid model and prediction of fatigue life:
The relative loss of rigidity during fatigue can be broken down into two terms:
E
E
E1
*
¼
E0
E1
E0
The first term, E/E1, is defined by the loss in fatigue stiffness:
B
E
N
¼
E1
Ns
ð1:14Þ
ð1:15Þ
If we take eq. E/E0 and integrate it into equation d/dc, an analytical expression of the evolution
of the rate of local damage d/dc under loading fatigue is brought out:
2
d
E
E
þ γi
¼ αi
þ βi
dc
E0
E0
ð1:16Þ
This expression describes the evolution of the state of the local damage d/dc for each
considered cycle number N applied to the considered maximum. As defined previously, a
macroscopic crack occurs when d/dc = 1 and N = Nr, where Nr is the number of break cycles.
The resolution of the preceding equation leads to the expression of the number of break cycles
as a function of the applied stress:
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2
3 B1
6
Nr ¼ Ns *6
4
G
b
σ
σs
1þ
7
7
5
ð1:17Þ
with:
G¼
−β þ
pffiffiffiffiffiffi
β2 −4αðγ−1Þ
2α
ð1:18Þ
This expression is used to draw the S-N curves for all microstructure configurations.
To validate our methodology, a series of fatigue tests is completed for the three
microstructures. Finally, the last phase is the validation of our methodology by comparing between the experimental and digital Wöhler curves (Fig. 6).
Experience-related differences can be reduced by the good control of the experimental conditions, the refinement of the local-break criterion and the anisotropy of
damage.
1.4 Cumulative Damage Calculation
The method is summarized in two steps:
First step: Identification of threshold parameters and damage kinetics
Our model requires the determination of three parameters: σs, b and B involved in the
definition of losses of stiffness under monotonic stress and fatigue:
E
¼
E0
E
E1
σ
σs
N
¼
b
N
Ns
B
ð1:19Þ
ð1:20Þ
where Ns presents the number of cycles from which we have a stabilization of information
acquisition: It is a parameter relative to the machine. It is interesting to measure these
parameters when implementing variable amplitude tests. Thus, each fatigue sequence is
preceded by quasi-static loading. This allows us to identify the threshold stress value and
the kinetics of stiffness b.
Quasi-static loading is followed by fatigue loading up to a defined number of cycles.
Then, the kinetics of fatigue stiffness “B” can be easily identified. Note that the relative
stiffness is always determined in relation to the residual stiffness reached at the end of the
previous sequence.
Second step: Establish the state equation and determinate d/dc
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Fig. 6 Comparison between experimental-digital Wöhler curves (a) HO-90°, (b) RO, and (c) HO-0°
In accordance with our model, the expression of relative stiffness as a function of fatigue
amplitude for each loading sequence (with a variable amplitude) can be identified as follows:
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1,2
1,0
d/dc
0,8
0,6
25 MPa
30 MPa
35 MPa
40 MPa
45 MPa
0,4
0,2
0,0
2
3
10
4
10
10
5
6
10
10
N(cycles)
Fig. 7 Developments in d / dc for different loading levels for HO-90°-A-SMC
E
E0
¼
i
σ
σs
b B
N
*
Ns
ð1:21Þ
This enables us to calculate the evolution of the relative crack density during each loading
sequence i:
" ! #2
" !#
d
σ b N B
σ b N B
þ γi
ð1:22Þ
¼ αi
*
þ βi
*
dc i
σs
Ns
σs
Ns
i
Fig. 8 Presentation of second
proposed method
i
Identification of experimental reference
curves
( , ) ,(
, )
Identification of rupture criterion
parameters from reference
microstructure
Establish the curve of ( , ) up to
chosen macroscopic stress =
Recognition of macroscopic damage
value Ds for = (Extracted directly
from modeled target curve ( , ) )
Identification of number of cycles at
rupture, Nr, corresponding to D = DS
identified on curve (DN_1, Nr) Ref
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The cumulative damage state was calculated by the new model with a constant maximal
applied stress chosen according to the proposed microstructure. The accumulation of damage
is calculated and cumulated step by step through the calculation of the local damage rate’s
evolution from the relative state equation (Eq. 1.13). α, β and γ indicate the micromechanical
parameters dependent on the microstructure identified by the reverse method. The state
equation (d/dc) shows the evolution of the rate of local damage under fatigue loading for
several stress levels applied in relation to the number of cycles (Fig. 7).
This hybrid methodology converts the evolution of the decrease in phenomenological
macroscopic stiffness into an indicator of local fatigue damage.
1.5 Implementation of Second Method
In this second approach, we use the macroscopically highlighted equivalence of damage
between monotonous loading and fatigue. This methodology requires the experimental establishment of a Wöhler curve for a selected reference microstructure. The micromechanical
model developed under monotonic loading then makes it possible to establish the Wöhler
curves for any other targeted microstructure.
The second methodology is represented schematically in Fig. 8.
Identification of experimental reference curves
(D, σ)Ref, (DN1, NR)Ref
Identification of rupture criterion parameters from reference microstructure
Establish the curve of (D, σ) up to chosen macroscopic stress σ = S
Recognition of macroscopic damage value Ds for σ = S (Extracted directly from modeled
target curve (D, σ)Ref)
Identification of number of cycles at rupture, Nr, corresponding to D = DS identified on
curve (DN_1, Nr) Ref
To perform the monotonous-fatigue coupling, we need a master curve (Fig. 9), which is the
first decrease in stiffness measured during the first cycle as a function of the service life.
Once the model of micromechanical damage is identified and the (DN1, NR) curve is
established using the selected reference microstructure, the following numerical procedure can
be proposed to establish the S-N curve for each other targeted microstructure.
The predictive methodology for fatigue life presented above is essentially based on the
following steps:
0,25
0,20
D=1-E/E0
0,15
0,10
RO, TD, RD
Logarithmic Function
0,05
0,00
1
10
2
10
3
10
4
5
10
10
6
10
Nr
Fig. 9 Master curve linking density of crack and number of break cycles
7
10
8
10
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Fig. 10 Comparison of experimental-digital Wöhler curves (a) Transverse direction, (b) Disoriented, (c) Longitudinal direction (second approach)
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Once the model is identified, the monotonic-loading tensile test for any selected microstructure is modeled. The modeling of the microscopic damage is validated by the simulation
of the curves of the evolution of the macroscopic damage as a function of the applied stress (D,
σ) for the chosen microstructure, where D is the damage parameter of Kachanov. The value of
the DS macroscopic damage reached for stress σ = S is read on the curve resulting from model
(D,σ). After that, the corresponding number of break cycles NR is read directly on curve (D,
NR). We record the value pair (S, NR). These successive steps are repeated for other stress
values S in order to establish the S-N curve of the chosen microstructure.
The developed methodology is validated by comparison with the experimental
results of the Wöhler curves obtained on A-SMC (Fig. 10).
1.6 Comparison of Two Approaches
The two proposed hybrid models fall under a common idea: Whatever the type of applied
stress (monotonic or cyclic), the material goes through the same successive damaged states
to final failure. The central idea of these two approaches is therefore to base the fatigue life
prediction on the simulation results of damage under monotonic stress. Thus, both approaches use a micromechanical model to predict local damage to A-SMCs as a function of
the microstructure. However, both models are distinguished by their methodologies. At this
level, the two methods coincide well with the experimental results, so we can validate our
approach. The first proposed methodology is also based on the experimental analysis and
micromechanical modeling of the monotonous behavior to predict the fatigue-type loading
life. However, unlike the second approach, the intrinsic relationship involves a microscopic
scale. Indeed, the same damage states follow each other until failure, regardless of the type
of loading. A state equation, based on micromechanical modeling linking a local damage
rate to a monotonous loading macroscopic damage rate, can easily be generalized to a
cyclic loading state. The final rupture occurs when the density of the micro cracks reaches
a certain critical value. The S-N curve can therefore be estimated for all microstructure
configurations. The suggested procedure is applied for three different microstructural
configurations: HO-90°, HO-0° and RO. A very good experience-simulation correlation
demonstrates the effectiveness of the proposed methodology. Note that the parameters to be
identified are six, Five of them are directly determined by the micromechanical modeling
under monotonous loading (α, β, γ, bi and σsi ); the last parameter (Bi) has to be identified
experimentally through some fatigue tests, which do not necessarily have to be carried out
until rupture.
2 Conclusion
For the A-SMC material studied here, the dominant damage mechanism is interracial
decohesion, which leads to the degradation of mechanical properties and to reduced rigidity.
A formulation of a constitutive model of micromechanical damage is presented to predict the
decrease in rigidity as a function of the number of fatigue cycles. This model is based on an
interfacial quadratic criterion expressed in terms of local stress normal and tangential to the
fiber-matrix interface. To evaluate the capacity of the model, three tests are considered in the
set of experimental data.
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In this article, we have started by describing a new type of A-SMC composite material
developed by our partner, PLASTIC OMNIUM, passing through the presentation of our
common micromechanical model for both approaches. This model can translate a direct
relationship between the successive states of damage at the macroscopic and microscopic
scales. This relationship is subsequently considered intrinsic and independent of the type of
loading: implicitly in the first proposed approach and explicitly in the second one.
Indeed, two phenomenological-micromechanical hybrid modeling approaches have been
proposed. They are both based on micromechanical modeling, which allows the behavior of
the studied material to be translated under monotonic loading, while considering the microstructure and the damage (fiber / matrix interface).
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Publisher’s Note Springer Nature remains neutral with regard to jurisdictional claims in published maps and
institutional affiliations.
Affiliations
H. Ayari 1,2 & J. Fitoussi 1 & A. Imaddahen 1 & S. Tamboura 2 & M. Shirinbayan 1 & H. Ben
Dali 2 & A. Tcharkhtchi 1
J. Fitoussi
joseph.fitoussi@ensam.eu
A. Imaddahen
mohamed-amine.imaddahen@ensam.eu
S. Tamboura
sahbi.tamboura@gmail.com
M. Shirinbayan
mohammadali.shirinbayan@ensam.eu
H. Ben Dali
hachmi.bdaly@gmail.com
A. Tcharkhtchi
abbas.tcharkhtchi@ensam.eu
1
Arts et Métiers ParisTech, PIMM – UMR CNRS 8006, 151 Boulevard de l’Hôpital, 75013 Paris, France
2
University of Sousse, Ecole Nationale d’Ingénieurs de Sousse, LMS, Pôle technologique, Route de
Ceinture, 4054 Sousse, Tunisia
Article N°2:
Tamboura S, Ayari H, Shirinbayan M, Laribi M-A, Bendaly H, Sidhom H, Tcharkhtchi A,
Fitoussi J. Experimental and numerical multi-scale approach for Sheet-MoldingCompound
composites fatigue prediction based on fiber-matrix interface cyclic damage. International
Journal of Fatigue. Volume 135, 105526. juin 2020;
Article N°3:
Ayari H, Shirinbayan M, Imaddahen A, Tamboura S, Dali HB, Tcharkhtchi A, Fitoussi J.
Micromechanical Modelling of Dynamic Behaviour of A-SMC Composite. Appl Compos
Mater. 27, pages321 - 335 (2020).
Applied Composite Materials
https://doi.org/10.1007/s10443-020-09811-9
Micromechanical Modelling of Dynamic
Behavior of Advanced Sheet Molding Compound
(A-SMC) Composite
H. Ayari 1,2 & M. Shirinbayan 1,3
A. Tcharkhtchi 1 & J. Fitoussi 1
1
2
2
& A. Imaddahen & S. Tamboura & H. Ben Daly &
Received: 5 March 2020 / Accepted: 1 May 2020/
# Springer Nature B.V. 2020
Abstract
Passive safety, particularly in the transport industry, requires maximizing the dissipation
of energy and minimizing the decelerations undergone by a vehicle following a violent
impact (crash). This paper proposes a strategy for identifying an anisotropic local damage
criterion in a moderate dynamic loading for Advanced Sheet Molding Compound (ASMC) composite materials. Multi-scale damage modelling based on the Mori-Tanaka
approach is put forward. Previously, the results of an experimental campaign carried out
on a range of strain rates varying from quasi static to 200 s−1 were used to identify a
probabilistic local damage criterion based on Weibull’s formulation and integrate the
effect of damage at a fiber-matrix interface scale. Therefore, the progressive local damage
occurring under a fast loading may be described. A two-step homogenization procedure
allows describing the strain rate effect on the stress-strain curves. The model gives also
rise to the prediction of the progressive anisotropic loss of stiffness. Comparing between
the experimental and numerical results confirms the ability of the proposed approach to
describe the visco-damage effect (delay of damage threshold and decrease in damage
kinetics) emphasized in A-SMC composites.
Keywords Short-fiber composites . Interface . Multiscale modeling . High strain rate tensile test
1 Introduction
The development of composite structures with discontinuous reinforcements is progressing in
numerous sectors. These parts can withstand increasing thermomechanical loadings [1, 2].
Predicting the properties of the structure in terms of strain, damage and rupture becomes
essential [3]. This requires knowledge of the behavior laws of these materials. However, the
* M. Shirinbayan
mohammadali.shirinbayan@ensam.eu
Extended author information available on the last page of the article
Applied Composite Materials
variability in the microstructure due to manufacturing processes makes global approaches
imprecise. For example, the material flow inside a mold leads to a specific orientation of fibers
in certain directions and causes the heterogeneity of the local fiber volume fractions and
sometimes even porosity. This main orientation results in local anisotropy, which varies from
one location to another [4].
In addition, the recommendations for an automotive structural design require
maximizing energy dissipation and minimizing the decelerations undergone by the
passengers of the vehicle during violent impacts. In this context, the analysis and
prediction of the mechanical behavior of materials and structures under a dynamic
loading as a function of the microstructure become very important. Indeed, the effect
of the strain rate effect on damage is generally analyzed at different scales, [5–9]. At
the local scale, a better understanding of the physical mechanisms directly related to
the progressive degradation of the composite materials at a macroscopic scale may
contribute to a better formulation of multi-scale damage modelling under dynamic
condition. To this end, a specific experimental campaign should be used in order to
quantify the threshold and kinetics of each local damage mechanism and its impact on
the residual macroscopic properties [4, 10].
A lot of studies dealing with discontinuous fiber-reinforced polymers reveal that fibermatrix interface debonding is generally the main local damage mechanism [8, 10–18]. The
experimental multi-scale analysis of tensile tests has shown that interface damage generally
begins at the most misoriented fibers versus tensile direction. Indeed, the normal local stress is
maximal at this location. Then, it progressively propagates to more oriented fibers. Therefore,
fiber-matrix interface damage may be described by coupling the normal and shear stresses at
the interface [8].
The experimental work on the dynamic behavior of Sheet Molding Compound (SMC)
materials is relatively rare [7, 10, 17–23]. Such studies have demonstrated that the strain rate
has a strong influence on the macroscopic mechanical characteristics of the SMC materials of
all types. Therefore, the effect of this parameter should be clearly considered for efficient use
of the material in structures.
This shows that Young’s modulus remains almost insensitive to the strain rate ranging from
almost static up to 200 s−1. Moreover, it has been proved that the increase in the strain rate
leads to a rise in the threshold and a decrease in the damage kinetics [7]. In fact, the viscous
aspect of damage to the fiber-matrix interface is clearly demonstrated by interrupted tests. This
aspect is expressed by a delay in the initiation phase and by a decline in the damage kinetics
during the propagation phase. Such behavior is described as “visco-damaging”; a concept
proposed by Fitoussi et al. [10].
A later study [22] indicated that the other SMC types (advanced-SMC with high volume
reinforcement fraction and low-density SMC) showed the same trends. The origin of viscodamage can be attributed to the sensitivity of the fiber-matrix interface to speed and to local
dynamic effects. The following trends can be observed to conclude when the loading speed
increases [24–28]:
&
&
&
The slope at the origin of the stress/strain curve increases as viscous effects tend to
saturate.
The stress at break increases.
The fracture strain decreases.
Applied Composite Materials
The main goal of the developed methodology is to set up a micromechanical model. In order to
describe the visco-damage effect described above, the latter should relate the effects of the
strain rate on the overall behavior in terms of elastic properties, damage and ultimate
characteristics to the local physical mechanisms involved in the initiation and growth of
damage.
Thus, a homogenization technique generally based on Eshelby’s equivalent inclusion [29]
should be used. For polymers reinforced by discontinuous fibers, the approach proposed by
Mori and Tanaka [30] and generalized by Benveniste [31] is classically used. This model rests
on the detailed description of the microstructure, the orientation distribution, and the volume
fraction of fibers. It also considers the mechanical behavior of each phase [32].
Local damage may be introduced into Mori and Tanaka approach by an interface failure
criterion given in Weibull’s probabilistic form, in order to consider the statistical aspects of
local failure [33].
Meraghni and Benzeggagh [34] investigated damage propagation in randomly oriented,
discontinuous, fiber reinforced composites. Their experimental studies involving the amplitude
analysis of acoustic emission signals and microscopic observations revealed one dominant
damage mechanism: the interface damage. Several other authors [7, 10, 35] have confirmed
that fiber-matrix interface debonding is the primary damage mechanism in SMC composites.
Jendli et al. [7] qualitatively analyzed the influence of the strain rate on the damage
threshold and accumulation. Performing monotonic and interrupted tensile tests at different
strain rates, Jendli et al. [12] showed that both damage onset and kinetics are sensitive to the
strain rate, such that the interface failure strength increases with increasing strain rate. Similar
findings were obtained by Fitoussi et al. [10] and Shirinbayan et al. [18].
Moreover, Fitoussi et al. [36] suggested a micromechanical model based on an equivalent,
anisotropic inhomogeneity approach for damaged fibers. Their fiber-matrix interface
debonding model was based on a criterion with the linear coupling of the local shear and
normal stress on the interface [37]. This work was followed by an extension that considered
local strain and stress fluctuations, and a probabilistic interface-strength distribution [33].
Meraghni et al. [38] developed a similar model that combined a microcrack density parameter
with fiber-matrix decohesion in order to decrease the fiber strain localization tensor.
Along with their experimental findings, Desrumaux et al. [32] introduced a two-step
homogenization damage model for a randomly oriented fiber composite based on a numerically determined Eshelby tensor. In the first step, an anisotropic, equivalently damaged matrix
is calculated by considering the undamaged matrix and microcracks. In the second step, the
fibers were embedded in the damaged matrix using a numerical Eshelby tensor. A comparable
two-step homogenization framework was pursued by Jendli et al. [29] and Kammoun et al.
[39], who followed approaches for interfacial decohesion and pseudo-grain sub-regions.
Meraghni et al. [40] further developed the probabilistic strength model.
Despite the enormous work already carried out in the context of research on
micromechanical modelling under dynamic stresses for polymers reinforced with staple fibers,
some shortcomings are still observed. Some of these shortcomings are resolved in this paper.
However, the developed model is based on a quadratic interfacial criterion which is
independent of the applied macroscopic three-dimensional load, due to its local nature.
Therefore, it can be identified based on a simple dynamic load and it can be applied to an
actual structural design for the prediction of the decrease in anisotropic stiffness, which is not
the case for Jendli [18] who worked with a limiting stress that varied according to the value of
the applied macroscopic strain rate.
Applied Composite Materials
We conclude that the main objective is to identify a numerical form of the evolution of
normal local stresses and shear stresses at the fiber-matrix interface under dynamic loading.
1.1 Description of Material and Experimental Methods
1.1.1 Material
The studied material is an Advanced SMC (A-SMC) composite used in the automotive
industry and provided by Plastic Omnium auto exterior services. It consists of an unsaturated
vinylester matrix reinforced by a 50% glass fibers weight content (corresponding to a 38.5%
volume content). The fibers are presented in the form of bundles of constant length (L =
25 mm). Approximately, each bundle contains 250 glass fibers of about 15 μm in diameter.
Before compression, non-reticulated A-SMC sheets containing randomly oriented bundles are
deposited on the mold surface. For more details, the manufacturing process was discussed in
the article of Shirinbayan [17, 18].
1.1.2 Methods of Mechanical Characterization
The mechanical testing samples are cut from the plate to the geometry indicated in Fig. 1. In a
previous study [18], a recursive optimization procedure originally proposed by Fitoussi et al.
[9] was used to determine the specimen’s optimal geometrical parameters for high-speed
tensile tests. Indeed, the dynamic loading generates spatiotemporal variations of the stress
and strain fields coming from the propagation of mechanical waves. Consequently, an
optimization of the specimen geometry is needed in order to assure homogeneous strain field
and constant high strain rate during the mechanical test. To this end, Finite Element (FE)
simulation using an explicit resolution in order to take into account inertial effects is used. The
specific anisotropy of the specimen is considered. This procedure is used an A-SMC and leads
to the optimized geometry illustrated in Fig. 1.
Dynamic tensile tests are applied on A-SMC specimens for strain rates ranging from quasistatic to up to 200 s−1. A hydraulic uniaxial tensile machine (Shenck) allowing high speed
displacement to control up to 20 m/s, as presented in Fig. 2. The maximum capacity is five
tonnes. A non-contact strain measurement using a high-speed camera (Photron) is performed
through monitoring the relative displacement of two marks placed on the surface of the active
zone of the tensile specimen (see [18] for more details).
The experimental campaign confirms a drastic reduction in the perturbations due to the
propagation of stress waves. Indeed, homogeneous strain fields and a constant high strain rate
are obtained. Figure 3 shows that, independently of the strain rate, the macroscopic stressstrain response always evolves according to three consecutive phases. Indeed, after a linear
Fig. 1 Specimen dimension obtained from optimized procedure [17, 18]
Applied Composite Materials
Fig. 2 Hydraulic uniaxial tensile machine (Shenck) and b) Interrupted tensile tests dispositive
elastic stage, the tensile response of A-SMC composites is characterized by a damage
threshold corresponding to the first non-linearity. The non-linear phase around the “knee
point” is associated with the initiation of damage mechanisms. Finally, an anelastic and
relatively linear phase corresponds to the intensification and propagation of the damage
phenomena until final failure.
It should be highlighted that for the studied composite material (A-SMC), the elastic stage
of the stress-strain curve seems insensitive to the strain rate.
However, a delay of the damage threshold can be noticed when increasing the strain rate.
Moreover, damage kinetics (characterised by the slope of the second linear phase) decrease
with the strain rate. On the other hand, the failure stress increases at high strain rates. These
strain rate effects were largely described in [18]. The authors introduced the concept of the
visco-damage effect which was studied at both macroscopic and macroscopic scales (Fig. 4).
Fig. 3 Effect of strain rate on tensile behavior of A-SMC
Applied Composite Materials
Fig. 4 Stresses exerted on fiber as a function of its orientation, θ (°) relative to direction of loading
At the macroscopic scale, the progressive stiffness reduction of the A-SMC should be
characterized by E0 and ED, which are the Young’s modulus of the virgin and damaged
materials, respectively.
1.2 Presentation of the Used Model
The chosen model can be divided into three essential phases:
1- The estimation of the global stiffness tensor of the material from the mechanical and
geometrical properties of the constituents, using the approach of the mean field proposed
by Mori and Tanaka, coupled with Eshelby’s equivalent inclusion model.
2- The integration of a local damage criterion which allows the estimation and quantification
of the density of interfacial cracks. It is worth noting that the average local stress fields
inside the inclusions are also estimated and enables identifying the normal and tangential
stresses at any fiber-matrix interface point.
3- Modelling of the global behavior integrating the initial anisotropy due to the presence of
reinforcements and its evolution caused by damage.
The equations of the micromechanical model are recalled in the following. These equations
present the theoretical framework which permits the estimation of the overall mechanical
behavior (three-dimensional (3D) stiffness tensor) of the material as well as the local stresses at
the fiber-matrix interface and at the matrix level [19]. It was originally proposed by MoriTanaka and subsequently adapted by Benvensite [31]. The reinforcement is modelled as an
ellipsoidal inclusion and is characterized by its aspect ratio (length/diameter) and isotropic
elastic properties. Eshelby’s equivalent inclusion method [41] is used into a classical homogenization method and leads to the formulation of the global stiffness tensor of the composite
(Eq. 1):
h
i−1
ð1Þ
C Comp ¼ C m I þ f hQiðI þ f hðS−I ÞQiÞ−1
where Cm et S are respectively the matrix stiffness tensor and Eshelby’s tensor, f is the
reinforcement volume fraction, and Q presents the mean value of the “pseudo-tensors of
localization” defined for each family of reinforcement [19], i, by:
Applied Composite Materials
Qi ¼
−1 i m C m −C i S i −I −C i
C −C
ð2Þ
In these expressions, Si presents Eshelby’s tensor of the ith reinforcement family, which
depends on the mechanical properties of the matrix and the spatial arrangement and geometry
of the reinforcement. Tensors Ci represent the stiffness of the reinforcement families identified
by index i. For A-SMC composites, a reinforcing family is distinguished by its orientation in
the plane.
Different studies [41–43] have treated the stress discontinuity just out of the fiber/matrix
interface. When the material is subjected to a macroscopic stress ∑, the average stress field
inside a fiber is given by (Eq. 3):
ð3Þ
σi ¼ C m I þ S i −I Qi ðI þ f hðS−I ÞQiÞC m−1 ∑
Considering the condition of the continuity of the normal stress at the fiber-matrix interface
[19], the normal stress can be computed as follows:
!
n
σn ¼ T :!
ð4Þ
!
Where T corresponds to the stress vector at the considered interfacial point defined by the
normal !
n.
!
T ¼ σi :!
n
ð5Þ
ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi
r
!
2
T −ðσn Þ
ð6Þ
According to Eqs. 4 and 5:
τi ¼
The probability of the fiber-matrix interface failure is given for each family of the fiber
orientation θ by [19]:
2 2 !m !
σ
τ
Pr ðθ; φÞ ¼ 1−exp −
ð7Þ
þ
σ0
τ0
where m is a statistic parameter related to the dispersion of the microstructure. The normal
stress σ and the shear stress τ depend on the macroscopic stress and orientation of the fiber, the
volume fraction, the aspect ratio of the fiber, and the elastic properties of the matrix and the
fiber.
Consequently, at each calculation step, n, the local interface failure probabilities are
calculated and give access to the quantities of fibers damage. As a result, the local state of
damage is described at each calculation step, n, by:
The proportion of non-damage fibers is as follows [14]:
ND
n
ð8Þ
f ND
n ¼ 1−Pr *f n−1
The proportion of “active fibers” including the “non-damage” ones and a part of the damaged
ones which continue participating to the global stiffness is as follows [14]:
Applied Composite Materials
n
ND
i ND
f act
n ¼ f n þ k ∑ Pr : f i−1
ð9Þ
i¼1
where k is a stiffness contribution parameter evaluated by an FE calculation performed on a
unit cell [44].
Two kind of unit cell containing a unique fiber are modelized using the periodic homogenization technique. The first one considers a perfect interface, whereas the second one
includes a partially debonded interface. The comparison between the two obtained results
leads to an average value of k.
The proportion of micro-cracks which are modelled by penny-shape zero-stiffness heterogeneities is as follows [14]:
mc
n ND
f mc
n ¼ f n−1 þ h:P r : f n−1
ð10Þ
where h corresponds to the ratio between the volume of the penny shape and that of the
damage fiber.
1.3 Micromechanical Modeling of Damage at Fiber-Matrix Interface
Despite the enormous work already conducted within the research of discontinuous fiber
reinforced polymers, some deficiencies still exist. Some of those deficiencies are addressed by
the presented model. Few-models, for example, are physically motivated and take the microscale into account, but they are still efficiently applicable to calculations of structural components (e.g., parts that are of interest to the industry [45–48]).
Our model is based on a quadratic interfacial criterion [14, 19, 49] expressed in terms of
normal and shear local stresses at the fiber-matrix interface associated to their corresponding
failure values. In order to reflect the effect of the strain rate loading at a fiber-matrix interface
scale, the local normal and shear failure stresses should progressively increase.
Moreover, the principal aims are to identify the mathematical form of the evolution of the
proposed fiber-matrix interface failure criterion parameters.
It should be mentioned that this criterion is independent of the macroscopic tridimensional
applied loading, due to its local nature. Therefore, it may be identified on the basis of simple
tensile dynamic loading results and applied to a real structure design for anisotropic stiffness
reduction prediction, which was not the case for Jendli [20] who worked with a boundary
stress that varies from one loading strain rate to another.
The experimental results obtained on SMC composites under a high-speed load show that
an applied macroscopic strain rate leads to the progressive diffuse damage of fiber-matrix
interfaces. Indeed, at a local scale, the interface zone (or interphase) is subjected to local speed
loading [9]. Each interface location is submitted to a specific displacement speed of normal
local stresses and of shear (σ and τ). The local amplitude can be evaluated by Eqs. (3–6).
Hence, the local interfacial load depends, among other factors, on the microstructure, the
imposed macroscopic load and the local orientation of the considered fiber.
As a consequence, we can consider that the local stresses of the interface-interphase (σ and
τ) undergone with a time increment Δt by the interface zone can modify the limiting stresses
(σ0, τ0) (Eqs. 11 and 12) due to two local phenomena:
&
The decohesion of the interface mainly sensitive to the strain rate [48–51]
Applied Composite Materials
&
The redistribution of local stresses due to diffuse damage on other interfacial sites
c
b
σn −σn−1
Δt
ð11Þ
f
e
τ n −τ n−1
τ 0 ¼ d*Exp
where τ̇ ¼
Δt
τ̇
ð12Þ
σ0 ¼ a*Exp
σ̇
where σ̇ ¼
where a, b, c, d, e and f are material parameters to be identified.
The parameters of this local criterion are identified by reverse engineering based on the
experimental results described in the Sect. 2.
As a result, to take into account, the local effect of the load applied to the apparent
resistance of the fiber-matrix interface, we can consider that the associated local failure
criterion requires a progressive increase in the parameters of the interfacial resistance (σ0,
τ0). This development should relate to:
&
&
&
Local and tangential interfacial stress amplitudes (σ and τ)
Applied strain rate
Speed of normal and tangential stresses
1.3.1 High-Speed Damage Predicting Procedure
Since the evolution of the parameters of the interfacial resistance is identified, we can use the
micromechanical damage model presented above to predict speed damage. To this end, we
propose an algorithm illustrated in Fig. 5. The input data include the elastic characteristics of
the different phases, the orientation distribution of the fiber, the parameters of the initial
interfacial resistance (σ0, τ0), the imposed macroscopic strain, εⅈmp, the applied strain rate,
and the time increment Δt.
The interfacial stress fields σ (θ, φ), τ (θ, φ) can be calculated for each fiber-matrix
interface location (θ, φ). Thus, the maximal value of the probability of the interfacial
failure can be determined for each fiber orientation so as to calculate the corresponding
new volume fractions of undamaged fibers. At the same time, the density distributions of
active fibers (always contributing to the composite stiffness) and of interfacial
microcracks are calculated. Therefore, first stage homogenization, including active fibers
only, is carried out. Then, the second homogenization step permits determining the whole
of the damaged composite, including the active fibers and the micro-cracks at the
interface of the fiber matrix for the considered number of increments and the imposed
macroscopic strain. After the increments, a new value of the applied time is defined, and
this procedure is repeated.
The obtained result then relates to the mechanical properties of the damaged composite
material. The described approach allows, among other things, estimating the losses in composite stiffness in all directions as the mechanical loading changes, and it allows also clearing
the stress-strain curve.
Applied Composite Materials
Fig. 5 Micromechanical dynamic damage prediction algorithm
2 Identification: Results and Discussion
The procedure described below is based on the local stresses calculated at the fiber/matrix
interface. However, as presented in Sect. 3, the multi-scale model (Mori-Tanaka) allows access
to local stress fields (σ and τ) in the fiber and at the fiber/matrix interface from the
macroscopic strain applied to the composite RVE.
For a well-defined applied macroscopic strain rate, Fig. 6 depicts the profiles of normal and
tangential stresses, respectively, which are calculated for each time increment for 60 s−1.
The main idea of our approach is to identify the evolution of the limit stress at the fibermatrix interface during a periodic loading. As this phenomenon occurs on a local scale, this
evolution should be independent of the imposed macroscopic load. Indeed, Eqs. 11 and 12
clearly indicate that the evolution of the interfacial force is linked to the local interfacial
stresses (σΔt,τΔt) and to the speed of these stresses (σ̇Δt ;τ̇ Δt ) which rise with the increment of
the applied time. Once the interfacial stress fields σ (θ, φ), τ (θ, φ) are calculated and their
Applied Composite Materials
Fig. 6 Normal local stress and shear stress profile for θ ∈ [0°, 90°], φ = 0°
evolution is brought out, then we can directly calculate the limiting stresses (σ0, τ0) through
(Eqs. 11 and 12) implemented in the model. This allows us to calculate the damaged rigidity
matrix during each calculation step where the principle has been already detailed in Fig. 5.
Once the criterion is identified as a function of the strain rate, the modeling procedure,
described in the previous paragraphs, allows the stress-strain curves to be simulated for
different strain rates [17]. Figure 7 shows simulated stress-strain curves compared to those
obtained experimentally for two different strain rates. We can note a good correlation between
them for various strain rates. The model identified at the microscopic scale is validated at the
macroscopic scale for the tensile tests.
The developed multi-scale model makes it possible to predict the reduction in 3D stiffness
caused by the high-speed load obtained at different crosshead speeds (Fig. 8). Furthermore, the
micromechanical model is used to determine the evolution of the macroscopic criterion of
damage for an SMC composite subjected to different paths of a 3D loading: proportional and
no proportional. A macroscopic law of 3D visco-damage for an anisotropic material is
established taking into consideration the anisotropy evolution due to the multi-axial load.
The determination of the macroscopic criterion is therefore based on the obtained experimental
data.
According to the model results, we can see that when the strain rate rises, the material
resists more. Therefore, the threshold stress increases, which validates our results.
Fig. 7 Comparison of experimental results and modeling at macroscopic: stress-strain curves for two strain rates:
(a) 1 and (b) 60 s−1
Applied Composite Materials
Fig. 8 Predicted stiffness reduction (E33, E22 and G23) at three strain rates (0.82 and 60 s−1)
3 Conclusion
The experimental approach has ensured for the A-SMC composite that the strain rate effect has
mainly conditioned the threshold and kinetics of deterioration, at the fiber-matrix interface.
Indeed, the strain rate effect on the interface failure is got thanks to the proposal of a local
statistical criterion sensitive to the strain rate in terms of threshold and kinetics. Identification
has been carried out at the local scale, and the model has been validated at the macroscopic
scale based on the results of rapid traction. Thus, the work presented in this article is an
evolution towards a dynamic version of models statically developed on these materials. The
obtained results are in good agreement with the experiments.
The present work constitutes a contribution to the prediction of the macroscopic behavior of
staple fiber composites subjected to a dynamic load. In fact, these approaches can be useful for
configuring behavior data, which are used in dynamic FE codes. It can be introduced as a law
user or it can identify a macroscopic behavior law. Moreover, the micromechanical model can
describe the degradation of directional stiffness under a general loading path.
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Publisher’s Note Springer Nature remains neutral with regard to jurisdictional claims in published maps and
institutional affiliations.
Applied Composite Materials
Affiliations
H. Ayari 1,2 & M. Shirinbayan 1,3 & A. Imaddahen 1 & S. Tamboura 2 & H. Ben Daly 2 & A.
Tcharkhtchi 1 & J. Fitoussi 1
H. Ayari
houssem.ayari@ensam.eu
A. Imaddahen
mohamed-amine.imaddahen@ensam.eu
S. Tamboura
sahbi.tamboura@gmail.com
H. Ben Daly
hachmi.bdaly@gmail.com
A. Tcharkhtchi
abbas.tcharkhtchi@ensam.eu
J. Fitoussi
joseph.fitoussi@ensam.eu
1
Arts et Metiers Institute of Technology, CNAM, PIMM, HESAM University, F-75013 Paris, France
2
University of Sousse, Ecole Nationale d’Ingénieurs de Sousse, LMS, Pôle technologique, Route de
Ceinture, 4054 Sousse, Tunisia
3
Arts et Metiers Institute of Technology, CNAM, LIFSE, HESAM University, F-75013 Paris, France
Modélisation micromécanique de l’effet des chargements cycliques et de la vitesse de déformation
sur l’endommagement de l’interface fibre-matrice dans les composites SMC.
Résumé :
L’objectif de cette étude est de modéliser les réponses mécaniques de deux matériaux composites SMC
soumis à des sollicitations de types fatigue et dynamique. Pour mener à bien cet objectif, une étude
bibliographique a été menée sur les propriétés et la modélisation des comportements dynamique et cyclique
des matériaux composites à renforts discontinus. L’endommagement à l’interface fibre-matrice apparait
comme étant le phénomène moteur dans les composites SMC dont le comportement peut être qualifié
d’élastique endommageable. Ainsi, un modèle micromécanique basé sur une technique d’homogénéisation
dans lequel un critère local statistique de rupture à l’interface fibre-matrice a été introduit a été développé et
a permis de traduire le comportement monotone des SMC étudiés a été développé. Les résultats
expérimentaux extraits de la littérature ont permis l’extension du modèle micromécanique aux cas des
chargements cycliques et dynamiques. Quatre approches complémentaires tous fondé sur la prise en compte
des dommages interfaciaux ont été développées. Notamment, le critère a été formulé en fonction des
contraintes limites normales et tangentielles locales, des vitesses de chargement locales correspondantes et
du nombre de cycle afin de prédire le comportement dynamique et cyclique. Ainsi, les réponses mécaniques
sous chargement monotone, la dégradation progressive des propriétés mécaniques sous chargement
dynamique et cyclique et la durée de vie des deux composites SMC étudiés ont pu être prédites avec une
bonne concordance avec les résultats expérimentaux obtenus à l’échelle microscopique et macroscopique.
Mots clés : Modélisation multi-échelles, Interface fibre-matrice, Composite SMC, Endommagement,
Fatigue, Dynamique.
Micromechanical modelling of the effect of cyclic loads and strain rate on fibre-matrix interface
damage in SMC composites.
Abstract :
The aim of this study is to model the mechanical behavers of two SMC composite materials subjected to
fatigue and dynamic loadings. To achieve this goal, a bibliographic study was carried out on the modeling of
the dynamic and cyclic behavior of SMC composite. Fiber-matrix interface decohesion is a main local
damage mechanism in SMC composites. This phenomenon is introduced in the Mori and Tanaka approach
through a local damage criterion which defines step by step the number of micro-cracks to be introduced in
the homogenization scheme of this model during loading until final failure.
Indeed, this model allows predicting the monotonic behavior of the studied SMCs. The experimental results,
extracted from literature, have allowed the extension of the micromechanical model in the cases of cyclic and
dynamic loadings. Four complementary approaches, all based on the consideration of interfacial damage,
have been developed as a function of the local normal and tangential stress values, the corresponding strain
rate and the number of cycles.
Thus, the mechanical response under monotonic loading at different strain rates from quasi-static to dynamic
was also predicted. For the fatigue loading, the progressive degradation of the mechanical properties and the
fatigue lifetime of the two investigated SMC composites were predicted in good agreement with the
experimental results obtained at microscopic and macroscopic scale.
Keywords : Multiscale Model, Fiber-matrix interface, SMC composite, Damage, Fatigue, Dynamic.