Co l l e g e Ma t h e ma t ic s
14
CHAPTER
!
14.1f
"
#
$ ! " #
f& ' f(
%
> ? ' f@
J
$
A
*
B
+
un[
\
f/
.
fD E f0
C
o]
f-
,
fufn懃 f$
K
L
)
1
fG
.
fufn驅 f$
+
$
H
_
f`
'
a
f2
,
3
f5 6 tf$
4
(Z, y)!
7
f" 8 9 f:
;
f= f
<
fF 6 t
I
fG fn懃 fy) E M ' fN
L
^
F
0
$
fO
,
P
Q
R
fS > $ fT U f14.1 V
>
fW $ fX
Y
Z
fN
I
f
.
jj fGc,y)dxdy
(14.1)
b
R
fW
4 fD
fd e ' f"
c
k
#
f
g
fO
fT U f14.2s t fn &
P
fi $ R tf$ f" # ' f&
g
h
fu
3
v
I
j
k
f+
l
"
f> " $ fw x M f] fky z fu
f
3
g
fm
fn fo p 9 f F q fr f
fv ' f G f ! E M f F
O
,
z} }
z } ~ f Chapter 14 ! " #
{ F | fn} rf~
oH
fF 6 tf$ • f4.1 8 ' f€
I
J
n
f"
sn
•
f@
V
‚
F
ƒ
un짠‐# $ # % & fAk
(14.2)
i
a =
f„
k
F
f… f(14.1)' f† ‚ ‡ $ fˆ fi $ R tf$ • fR'
>
f•
E fŒ † • Ž > M fnk
L
•
Ž
rfD
>
fD
–
F
>
f›
cU g
œ
f$ f"
#
f+
fŸ R tf r
•
ž
fŠ
|
fu 3 ' f >
‹
"
fv f
k
fi $ R tf$ 7
n’
“
=
flim maxfc{A71jJ=0)
n—oo
f$ ! " # (double integral)$
k
F
n—<o S/
i Wt ) AA,
fUm
f
n”
$ f•
#
f… f(14.1)E fG G fL • $ f‘
c
uufu(x,y)dxdy
~
fG G f‰
H
f`
I
—
tf| q M fdxdy ˜ ™ f>
R
JJ f (x,y)dA = jj f (x,y)dxdy
"
š
f
(14.3)
$ R t
p÷f• – F | f$ ! " # $ f•
… f(14.2)' f¡
1
+
$
!
$
R
fi $ R tfT
]
²
!
"
"
f$
O
i
c
f§
¨
u
£
f¢
•
#
u
£
c
fun¤
fB C f ¥ E M f / 0 f
uoL
c
f~ © Y M f ª / 0 1 + ' f $ ! " # ž f•
fp
-
–
•
f+
f°
±
fŸ R t
' f« ¬
#
#
V
¦
–
fw& f* + E f˜
c
fW
f«
c
¬
fL
k
; € f• 14.1 $
!
Z
"
#
f;
:
I
'
"
#
k
:
"
#
fŸ R t
f«
¬
nwo
JJ kf(x,y)dA = kJJ f(x,y)dA
nx o
R
/iGw) ´
(k.
f³ ' ' f?
+
of
R
ux nµ 、uo¶
z f fIT fJ=y)dA ( f[[ f2(x,y)dA
R
(3)f D
f& j $ q f 7 ® E f 5 ¯ ' f ;
R
R
E M f/Gm/) · f0$ > rfJJ f( x,y)dA^Q
R
(4)E
M fA (a:, y) ¸ fu2 czM)$ > rfJJ fSx,y)dA < JJ f2(x,y)dA
R
(5)f ¹
$
㉺ ◆f 2, CRiPlº
f= 0)» f7
nT
U
R
f14.3),
IT f(x,y)dA= [f /(:r,?/)cL4+ //* f(x,y)dA
V
L
Z
g
f
14.1 $ ! " # fz } ₩
T U f14.3 # • < fB C
$
!
"
#
uᴎ 斤 À
fA
'
f½ ¾
¼
fD E M f / 0 ] fÁ Â E f $
L
F | f驅 \ f%
f*
q M > "y ¸
f52 z b
#
F
fT
I
R
²
fF
f!
+
O
f z E f˜ 4 f"
E
"
#
c
fI Ã 4 Ä l E M f•
o
fÇ È fI ; • É fA ¼ : R tfJ
,
fW $ f ;
!
4
Z
ᴎ T U f14.4 , Â
>
fFubini' f;
.
€
f$
,
;
•
Ž
f Ì fE f ˜ 4 f Ç È f " f
I
tf r
# : R
! ! f
fb fg2(x)
uuff(x,y)dA= uf u
f(x,y)dydx
m
) fR
J aJ gi(x)
tfÍ > E fB C fR# fc * fy +
fW $ f A ¼ : R
V
Ÿ
F
f
ᴎ T U f14.5 , Â
>
f $ , fI
Ë
;
•
Ž
I
(14.4)
, wrfhSy— x * fM$
f 軀 fE f ˜ 4 fÇ È f "
#
F
I
fT
R
fW $ f;
²
b
E
4
f+
¬
f $ fE f ˜ 4 f"
f
#
f
f< R tf r
>
h2(y)
fA
k
J
—
f
Æ
fB C fÊ $ fa<x<b,
K
fI
fz ,
Ë
Å
Ó
¼
K
ᴏ fÕ
F
(14.5)
f< R t
>
fD $ f Î ‚ 3 d f d
r
uf(x,y)dx dy
L
f»
;
F
Ö
g
e
ᴎ T U f14.6 H > fŠ
‹
fx Ï
.
f、uᴏ E f˜ 4 f~
Ñ
㉺r
ᴎÏ
.
fÒ
Ó
Ô
D
f
z ~v f Chapter 14 ! " #
fW $ f 5
b
R
f×
Ø
F
(14.6)
uf(x,y)dx dy
uf(x,y)dydx
fA ¼ < R t
ƒ
Ù • fw
} 、$ fv fÚ f t ¸ fwrfwfÚ f$ f¸ fx » f7 fJ?k
Ü
fJJ x2 Ý 、ux ᴏ h, f„
F
H
fS
>
f
g
fF
I
fN
$
L
fz = x2 q Ì x f
fX
g
t
R
R- f v f f x
fwrfwf¸ f9 ¸ fx ' fÎ ‚ 3 d $ Ö g
ff Gr2W)cL4 = Jf
ydx
. . (x2 +y2)dnan
▼A/ R
6.
. - 6 .dx
ぢ
1
g fA ¼ : R tfÏ . f" # Þ M , fß à Y r
jjn』 x f. / mofdA= J y 0 1 f. 2 ofdxdy fJ g - Ý
á
1
dy
0
^+£12 = 8
b
3
fW $ f A ¼ : R t
3 · f3
Y
Û
f^
_
'
f` a f
14.1 $ ! " # f6: 3
Ù • fx
S * $ fT U f14.7s t fX Y Z I fn•
`
a
$
L
ffM =2- ⓛ g
fX Y ¬ f7 rf$ fâ _ ' f
f„ F H t
,
[
uofE M ' fN
ã $
B C D $
} T ‐fv f fx
fx
fwrf v f fy
f2 — x
fx rfv f fy
} 、x ᴠ fwf fx
b fW $ f„ # ˆ f+ fŸ f Ö g f; € f14.1 ' fn{ o, f$ Æ : R tf3 fB C E f˜ 4 f" # F >
.
5. nda
f
f(x,y)dA =
Jβ f
pdudx
z -
(2 —x — └"dydx
-
o-
.
.
◆å y s+ Ý x ©
$ Ö g rf„ F . f` a . f
Þ
"
M
,
#
Þ
fì
M
fß
L
fí
î
Y
ç
ï
>
2
2—x
2y_xy_ 3
xdx
dx
ӳf
æ
w
w
x f
、$ R t
f$ ! " # ' fA ¼ $ f è
f: R tfR
²
fÙ
•
,
fð
ñ
fé
5
Â
6
t
ê
Y
¬
f+
ž
fŸ
f
Ö
g
fA ¼ $ fØ
€
F
ž
ë
f
z ~x f Chapter 14 ! " #
Ù • fげ
fxò
} 、k
f7 fJJ4
fÎ Ë f$ f= zᴒ Î Ë fx = lg fô ¦ õ ] fö 3 d fB C nT U f14.8)$ H f•
V
dA6
5
f
„ F H t
(b)
(a)
T U f14.8 Ù • fy
ã $
Â Ë f} 、k fv f¸ fx ÷ fwrfv f¸ fᴥ uf¸ fzb fW $ fx, fÇ È fI ; • Ž I f$ ' f~ Ñ rfr fÕ r , f„ F . f½ … ᵁ … f
g f" # k f4 f5 6 tfT ¦ >
(14.4) $ Æ rfT U f14.8(a) f
x sinx rfI rf
㉺! 鉤f
＼f ⓚú f u
=
w
 wfsinx
o
û
sinxdx =—cos(l) q wf÷ f0.46
fW $ f ü ý ƒ f A ¼ $ f < R t
V
T þ ÿ fJ K f} 、k fv fÚ fᴥ ufÚ fwrfy Ú fx ¸ fwV fW $ fÇ È f$ , fI ; • Ž I fû ' fL ! fÕ r , f„ F | f" f
# k fF > ᵁ … f(14.5) $ Æ rfT U f14.8(b)
E M f v ` ' f " # k f+ " • f+ f # Y f $ % " ] f" # ‡ k f„ • f+ f# ƒ f< R t
$
!
"
#
f$ Æ F |
k
fB C fû ' f > " f •
Â
Ë
.
f„
•
fN
$
f+
fŸ
.
f^
,
fwg fI
;
€
&
•
Ž
f… f(14.2)E M fu fw$ fÅ Y
>
n
'
$
Ö
fA = j
g
cMb
fW $ f ( k f+
g
R
`
)
ž
fî
*
•
+
fŸ R tf
r
Z " Ü fA
f f
k= 3
fŸ R tf$
i
c
fN
$
L
fw» f7 f`
a
S
>
"
$
fÅ
.
fi
f
f
14.1 $ ! " # fz ~y
C fD ' f> " ‐f+ f fJJ dA
(a)f B
R
Ï
f1
:
E
M
fuf' f=
'
,
‡
fR
k
V
fW $ f„
•
f+
rf2
ƒ
n¬
&
²
fŸ R t
fJJ fM
M ' fuf' f= , ‡ f f7
AE
(b)
fD E M f; ' ˆ f7 fD
fufL
+
R
J
f-
K
ž
f᾿ 軀 . oL fX
+
f3
of mass)c
(c)f B
1
Y
Z
fB C fD ' f¬ & rfw/ Š
>
0
1
!
3
!
rfcentre
3
3
C fû ' f¬ & ‐fM= jj 8(x,y)dA
R
fŠ 0 1 ‐f+ z f fff yd^x^dA, My= ff x6(x,y)dA
(d)f wf/
R
fW $ f A ¼ ˆ f +
V
7
f2
.
7
8
ƒ
_
!
3
E
ᵁ ! 4 $ f»
R
fâ _ ' f!
$
M
fŸ
f9
'
:
R
E
(moment of inertia; x /
Z
fŠ
F
Ö
f2
g
(centroid)$ f<
3
;
;
fê
O
0
1
o.
ƒ
!
3
f3
fò
f
g
f¬
&
!
3
V
f» 5 : R tf-
ž
f»
L
;
•
f
ᵃt
R
(beam)' fÁ
5
c
`
)
f< ' f A ¼ E f$
ž
'
f > f€
•
?
k
Æ
Å
f$ Æ F | fR
.
²
f=
«
V
fW $ f A
Š
0
f
1
¼
f
< R t
(f)f =
« Š 0 1 ‐fz f fjj y26(x,y)dA
(zò
E
f˜ 4 of
R
z f fu쩔 f
n~ ò E f˜ 4 o
R
k
@ G E f˜
f¡ = « Š 0 1 (polar moment of inertia)ž
:
f$ Æ F | f@
(g)f ¡
=
«
Š
0
‚
1
F
ƒ
f @ G f g ` ) ' f > € • ? f r2
f„ : R t
f¨ f fJJ nA fq fY fB 謳 . C + f¸ ff fq f+
f+
fÝ f\ x f
z ~z f Chapter 14 ! " #
Ù • fこ
} 、‐fy = x, y = z2 f
g fô ¦ õ ] fB C nw‚ #
o$
>
H
•
7
f} 、' f> " V f2 ƒ ! 3 k f„ F H t
L ã $ fJ
B C c fT U f14.9b fW f Ö g f> " c
a
u
』
1d# dx=D
‐x fE
uᴠ ᴎ ⓛ x ᴏ E
=[f - z ÷v
I
$ fÅ I f$ i c f- ž 1 + L fw» f7 ' f} 、' f¬ & f} \ V fW R tf3 fò E f˜ : fw/ fŠ 0 1 . f3 3
á
y dy dx
Mx
f f•] /*ᴎ 』 x s x4
f ] ◆⒫F Ô
1
15
x dy dx =
$
Ö
g
2
ƒ
!
3
㉺ f•
c fz = T
fw
、rfr
G
◆g `
)
L f< R
Ù • fご
‰ fH Z G $ f3 3 f@ G V fnwrv orfnwrx o] fÎ 3 ö 3 d fŠ I ' fJ c fK $ fŸ . ÿ f- ž 1 + L f
5(z,y)
fL
x fH I f: R tf$ fK ' f2 ƒ rf= , - ž rf2 ƒ ! 3 rf= « Š 0 1 , f„ F H t
T U f14.10 Ù • f{ ' fB C
14.1 $ ! " # fz ~{
[
ã $
X Y Û fB C c fT U f14.wv V
fW R tfÂ Ë f¬ & c
n
2x
o
! "ち
fI x
xy1 dy dx
"o
$ R tfB C ' fM $ L
fI 2xdxdy =1 ᴎ Ï
dxdy
A
$ Ö g f= , - ž ᴎ
ᴏ . f2 ƒ b f: » : f f
F
n
n
n
2x
. fö 3 d ' f M $ N … f$ Æ ᴏ
"o
"
fˆ fi $ R tfÏ : fw/ fŠ 0 1 . f3 3
$
! "ち"
# "2x
y Gry2) dydx = /
/
軀 fÌ
dy dx
yf
"
0
"0
0
2i
o Ο "
2T
pl
x2 y2 dy dx = I x2
"o
o
M..
√"
$ fÅ I rfO H M f2 ƒ ! 3 c fz
』 ò rf$ ò E f˜ : f=
P 쩌
Q
1V1
15
wv f
_
ᴒ Ì f f·
Mx f
5
R
1V1
$
R
tf
« Š 0 1 . f3 3
ix=[Txmw ? 쩍 [2xx== /M4
JoJo
"o
n
# "ち"
! "2x
2x
x2 (x^) dy dx
fI
$ f Å I f¡ = « Š 0 1 . fz f fz q z f fV
/ X ® •
14.1
[01-02] "
# f B C k fT € I f" # F H t
Y fuf/*
4 —、ux ᴏ fdydx
"
"
I
"0 "
0
"
o
T
U
å
S
’
"o
$ づ
軀 f—
q ff
f$ f < R t
fW
! "7r
Q% f I
px
I x siny dydx
"だ" "
だ
v y w‚ # > E M fhZ
ⓒfh
ff
x g fô ¦ õ ] f B C E M f '
wⓒf¸
> E M fÎ Ë fw + u = lE f' 4 fJ
[05-06] Î
2
"
"
0
"o * "
o
v z fw‚ #
\
dx = f Ê
L5 o
"o
ê
Y
Z
.
f" # F H t
=: ,
fö 3 d E M ff u,v =v—[
,
f" # F H t
\ ] › A E M ' fR ² f" # B C k fT € I f" # F H t
ZW- =
> ᴏ
v | ff3/4 Y
"だ" "
ӯ ぢ
P 8
! こオ
㉺ dvdu
2W- =
> ᴏf
6: 8"Chapter 14 ! " #
[0?-10] R ² f$ ! " # ' f" # B C k fT € I rf" # fÞ M , fÍ ˜ g f: f$ ! " # fd e , fF H t
^ f^ _ ' fS > $ fz/ = 3x, y = 4 —』 x E f' 4 fô ¦ õ ] f = > f? ' fB C $ I rfN
wf fY
7 rf$ f^ _ ' f`
Ý
Â
E
L
fz = z + 4» f
f„ F H t
f' 4 f; 4 ¬ f7 rf^ _ ' f`
a
3
d
k
f S > f g f - . f^ _ E M fN
$
L
f„ F H t
,
Y Û fÎ Ë V f_ Ë E f' 4 f2 ` fB C k fT € I rfB C ' f> " k fA ¼ F H t
[13© f4] X
Ë f 軀 Ý $ f fx b
wy fÎ
,
E M fy = x, x = 0, I fq f\ f fx E f' 4 fJ ê Y Z . fö
wx fz~ s = > f?
x f f'
a
$
f„ ò rfy9
wz fx
f
f$ x rfx = 2y — y2
[15-16] " # fB C k fT € I rf" # fA ¼ k f¯ 4 fB C ' f> " k f„ F H t
て"
r 2y
1
"͐ ぢσっ"
J
＼
、fuᴎ 驅 \ ᴏ f fW' f=
# "ぢ"
P 1—x
"—ち" "~2x
"だ" "—x/2
, ‡ k fv f÷ fz Ú fwrfv fÚ f$ fÚ fwf] f; ‚ 3 d E M rfÏ fz2+y2
# @ E M f A ¼ F I fT fa
^ Ë f$ f= 2 —z2V
w~ f c
# "だ"
P 1—x
381" 1"dydx+ ufuf dydx
uf dxdy
q
,
fw' fw‚ #
> f? ' f ‚
f
fb \ F H t
fÎ Ë fx = 0 d f$ f= xg
fô ¦ õ ] f B C $ f - ž f { f fy k
fL ¬ f7 rf$ fB C ' f2
ƒ
!
f
3 k f„ F H t
Ë fx + ^ = 3V
w₩f Î
fxò rf$ ò f g f$ e Y Z . fö 3 d fB C E M f- ž 1 + L f { ᴎ Â r\ ᴏ f=xÝ x‐. g
7 f¬ & rf= , - ž rf2
xvf
Š
_ Ë f û f fÂ
0
1
,
f„ F H t
b
ƒ
!
3
centroid , =
«
Š
0
1
,
fX Y ¬ f
f„ F H t
fD f fx \ Ô Â f g fô ¦ õ ] fB C E M f- ž 1 + L f{ f fx $ fq fwg fX Y ¬ f7 f2
ƒ
!
3
V
f= «
14.2 ] › f* f fz ~}
14.2
] › f* f
$ ! " # E M f* + ' f*
4 f¬
+
Ÿ
R
f
f¯
k
tfR ² ' fÙ
,
5
fB
4
C
fm
k
fn f”
Þ
F
fJ
ƒ
ê
f+
f Ÿ f > fA ¼ $ fè
7
rfE
f×
Â
f
Ø
t
6
Ù • fw
D $ fÍ Z g $ fw$ I
!
3
f@ G ] fw‚ #
$
>
?
f@ ' fv
'
`
H
I
•
h
q\
x ok ,
„
F
f
H
nT U f14.11).
B C f9A$ f0<x<l . "0<y< 93-x2 b fW $ f› œ ˆ f+ fŸ f Ö g f@ F . f" # c
$ R tfF Z J f° Z i f" # c f× ” F ƒ fA ¼ Å Z fj . R t
Ù • fw' f"
g
g
#
k
fA ¼ F q fr 4 M rfB
fß à Y f5 6 tf
fÎ
f7 ' f3
f$ g f›
fm
k
ž
\
]
›
œ
A
F
'
fG fn驅 f$
I
fT U f14.11 ' f‚
#
@
f›
k
,
œ
F
.
fÎ \ ] › A fnk f\ o, f¡
f@ G f g ` ) '
f > € f rV
]
fI ' fzò
›
k
A
f(r,0)
fq
l
f
>
frcosd rfy
x
$ fÅ
C
'
fv
`
fr sin#
.
7T
0<r<l,0<6»< —
(14.7)
f
z ~~ f Chapter 14 ! " #
fW $ f ›
b
# $ fn
T
œ
f×
Ø
fT
f8 E f ]
rf$
i
o
¦
O
§ ¨ : ÿ
R tf$ fB
<
F
C
f+
ƒ
"
›
A
f* f E fO
'
fJacobianf
c
Ö
f@ Ñ ' fB
g
C
E
M
R
f$ ! " f
f=
A
5
fŸ R t
f+
ˆ
fÅ
f(r, v o= > E M fÎ ‚ 3 d $
c
f›
g
œ
fB C ' f > " f *
—
<
tf»
R
Í
"
f
p
f; p 9 f › œ 4 fX
,
fB C f$
f(w,r)= > E M '
g
.
…
$
f
fn軀 rf\ o= f
L
> E M ' fB C fR:
fg(u,v)rfy= h(u,v)
x
E f' 4 f » ˜ » f*
f
<
R
fF 6 tf$ f1
I
+
ê
fwA fØ
'
ž
1
+
f•
L
–
f7 fJacobian
•
f" q … f(determinant)
.
dx dx
j(w,r) = f
d(u,v)
r
dy
fs
dy
f
(14.8)
du dv
f;
g
$
u
'
E
Å
.
M
rf1
ÿ
f$ frft f, / ' f1A fØ
+
fv $ fÅ Z f j
.
.
R
fD
>
E
ž
M
jj f (x,y)dxdy
fW $ f /
=
v
$ • f… f(14.7)V
fW
fŠ
#
L
f/
%
0
$
f$ E M ' f"
V
fJacobian$ f@
I
#
:
&
'
fI ) G f
c
fJJ f (g(u,v \ h(u,v)) \ j(u,v) \ dudv
(14.9)
Q
fŸ R t
f5 » f+
k
+
f"
'
R
b
1
f¡
c
]
f* f ' fJacobiank
›
f„
f5 6 t
4
dx d x
T(r n㉺ f9r w f
m
w rⓒ
x fs fdy_ dy_
dr
-
_ /
2n+„-2nA_r
— r (cos €/Ý fsin x f r
COSd—rsin^
㉺ fsiM rcosa
dQ
$ fÅ Ö g r
f/(rcos^,rsin^) rdrdO
fi f(x,y)dxdy= E
Q
r
t
$ f« ) : R
… f(14.10)' f¡
‚
"
' f=
f
fÎ
A
g
L
(14.10)
‚
f(
Y
3
Û
d
]
f*
f
›
g
R ǹ z
f
f×
X
{
fT U f14.12,
c
'
F
>
f>
f¥ ' f |
"
š
f dA
.
$
f5 > f Î = " f g f$
.
fÍ
Z
g
4
f(rd0) (dr)V
fW $ f›
fx 3
fq
ž
³
k
fŸ R tfx
f+
•
}
F
6
œ
Å
ot
Ö
g
y
:
f`
f dA
#
k
f†
frdrdO
f
14.2 ] › f* f f6: ;
S . iSiFaptyp
prcosD
서
=
dydx
rsin θ
X 로어르고
J ing rrdrdo
'
.
.
in
do
γ
drf
is
3
.
.
Ù • f E M fA 0
:
"
5
daf
.
Ù • fwk f¡ ] › g f* f F | fA ¼ F 6 tf Ë
π
8
=
x
frcos^ rfy = rsina
$ Ö g fx2q f\ x f=r2$ f< R tfT U f14.11 ' fwuz f@ ' fv ` fB C k f¡ ] › g f› œ F >
v f fr
7T
fwrf0<e< —
$ f Å Ö g f@ F . f" # c
7T/2
o
'Prdrdd f
7rσぢ"
6 o
o
o
ち
σ
dO
9" ’'2 1
÷
f
だ
4
f= Ü
w
7F
8
f× ” 9 fA ¼ < R tf| q M fT U f14.11 ' f@ fB C f} 、$ fT U f14.13' fÎ ‚ 3 d fB C f$ g fß ç ~ ²
g
k
X
•
F
tf
H
T U f
Â
@
V
f@
fØ € F R
‚
:
fd e ' f_
tf$ 7 f> "
Ë
f
g
14.13 Î ‚ 3 d fB C fQ
fB C $ f›
œ
Å
.
fÁ
Â
E
.
f¡
]
›
,
f$
Æ
:
f$ ! " # $ fè f
z ₩v f Chapter 14 ! " #
A — 11
fB C $ f¡
ž
]
›
f›
g
œ
Å
dxdy
>
/"/Z r drdO
A
(14.11)
ⓚ• fQ
fA
g
¼
•
fŸ R t
+
Ù • f2
! 3 $ f@ G ] f” r @ ' fu ` b f3 - d (cardioid) r=l + cos(9 ' fv ` g f$ e Y Z . fB C ' f> " f
k
„
F
nT
H
U
f14.14).
S foFzafairz dudxdz
'
.
fS
:
-z
x dxda
2
-
Ix ㆍ x - 5 x 31 FAFz dz
⇒
그
ã $ fr
.
T U f14.14E M f5 € $ ff . f ᴡ ¸ ff f ff
fW $ f ; 4 Z Ö g
fl + cos0b
wf fr
p/2쩔 wq pf
σ"
rdrdO
ᴝ "=
r/2 [r2]1+c0sP
fI
—
(
/
Ì
fÕ r E fŸ I fY , fI ; • ‚ f7 rff ' fÕ r . f
'
でちでぢ$ fち"
f
u÷
Ì
q„
ƒ
f-7F/2L f
ㅤ
f…
f
쩐 ち"
†
!
P'2 (1 + COS0)2 —1 =
/
ΠΠΠΠΠΠΠΠΠΠΠΠΠΠΠΠΠΠΠ-- ΠΠΠΠΠΠΠΠΠΠΠΠΠΠΠΠΠΠd0
"=
4
f-t t /2
$
q ‡
≠D
r fx Ý
f
‐
L f( Y Û R tf11.38 ' f¡ ] › E M ' f> " k f„ F . f½ ¾ k f$ Æ F | f: y fˆ • 4 f5 H t
$
!
"
#
c
f»
*
+
f1
+
'
f"
#
E
ž
f‰
Æ
ˆ
f+
fŸ R tfÂ
Ë
fR
²
fÙ
•
,
f5 6 t
14.2 ] › f* f fz ₩w
Ù • fげ
＼
ⓛf
J
— OO
f„ F H t
Š fÝ + fdxdy6
!
ú mf— O O
SB
x = rcos0, ^/ = rsin0g f‹
v fÚ f$ f¸ fx k rfv f fr
f
!
$
I f¡ ] › f* f F > f軀 x Ý y2 =r2$ I rfX Y Û f8 _ f= > ' f" # B C c f
g f› œ ˆ f+ fŸ f Ö g
f
re - ^dxdy= r Pe - rdrdO
f—ocV -oo
r
fだ"
$
$
だ"
P \~
f
Ì
dO
oL2
o
27r 1
=L 1d
L f< R tf
Ù • fこ
f
e~x dx = VG f³
k
f5
|
t
H
oo
f
Ì
쩝 ã $ f쩟
Î Œ f" # F q L fª L ! F Ö g f" # k f• ? F | fÙ • fy ' fŒ V , f$ Æ : R tf r
$ Ö g fX Y Û fŒ V L f( Y Û R tf
Ù • fz ' fŒ
V
.
fD / 1 + (error function)b
f; G # c 1 + n/
X
fŸ R tfR
fÙ
• f14.2' fwx rfwy oE f$
®
Æ
f
< R t
q
]
f]
P
›
*
›
f
c
*
f
f¡
]
›
f*
f
fu
E
ž
fR
I
F
ƒ
f‚
Æ
ˆ
f+
²
,
f5 6 t
Ù • fご
p ち"~ pfち"—X ≤≤≤≤≤
uf uf Vx + y (y —2x)3dydxk
Ì
„
F
H
t
fだ"$ fだ
쨌 fã $ f
J
X Y Û f? e g . f" # $ fª L ! F Ö g f* + * f k f• ž 4 f• R tfX Y Û f1 + ' fd e E M fŽ 1 , f( Y f
u=
+
Ì f fÌ Ô x 軀 g f* f 4 f5 6 tfT ¦ >
z ₩x f Chapter 14 ! " #
f•
ᴒ
u
v
x $ fᴒ fÌ
≤、ᴒ " = T+I
g f› œ ˆ fi $ I f@ Ñ ' f• us = > E M ' fÎ 3 ö 3 d fŠ I ' f" # B C fR- fT U f14.15b
fW $ fiw- = > E f
M ' fB C fQ: f* f ˆ fi $ R tf$ i c f‰ fH Z G fnvrvorfnwrvorfnv rwo$ f3 3 fnvrvorf(1,-2), nwrwog f* F f
. fi f g ` ) fý ƒ f@ î 4 f‘ f+ fŸ . ÿ rf" # B C k fo p 9 f› œ F q fr 4 f‰ fÁ A Ë ' f* p , f5 6 t
2?i
v
$ f fv nS * o» f7 f$ T fP s q ÷ T f E M fV= - 2u
o
o
f 7 f D f f÷
軀 f= 0(N $ o»
7/
O
Ô
7
÷
û q Ì f fwn’ * o» f7 fI q $ f f•
$ fÅ Ö g f" # B C c fv f f -U
fwrf—2u ; fv < fu:
dx
du
dy
du
J u,v
v E M fv = u
O
} uf
} of
x } uf
㉺m
↓m
Ý s ↓s q •
qj
wE M fU = 1
f› œ ˆ f+ fŸ R tf$ • fJacobiank f„ F >
dx
dv
dy
dv
ӳ ≤ӳ
f fӳ f_“
7 y
$ f Å Ö g fX Y Û f" # c
$ f< R tf$ b f2 = : fŠ ‹ fi k f? + g f{ Ã F I f” Ó ' f" # k fÇ È f+ " F >
/*
"
f f}[u4 — 16w4] =—–
v3 •
x»f
fu4
z
zf
$ Ö g fX Y Û f " # ‡ c
σで
" —
$
v ff
Ô
f
2u
m
k
y 141d
＼f˜ f＼f
{u
ㅤ
ᴎT
M•
vf
fuf
˜
$
f
× f‚
f= - f
u
ㅤ
•
f =— f
‚
$
f
vf
L f< R t
F
』
f f f3
-
y - 2U- q
3 f
」
fy
f
」
f3
』 q yf
f
』 - O
T U f14.15 Ù • f5. B C ' f* f
ぎぞ
f
f
Ü
14.2 ] › f* f f6; 5
14.2
/ X ® •
[01-04] R ² f" # k f¡ ] › f" # f g fß à Y fA ¼ F H t
쩔 fK←
Y
"sw
"だ" "
だ
25
□4 /*
dxdy
J -1
f a aaaaaaaaaaaaaa
"ӯ "y/1-y
27 "_ Ë fr = 2(2-sin2a)172V f] › ò $ fw‚ # > E M fJ ¸ . fB C ' f> " k f„ F H t
z
fxò ' fI ' f„ × E f' 4 fô ¦ õ ] fš › $ fœ ¬ fŠ I fB C ' f> " k f„ F H t
f• ™ fv fÚ f$ f¸ f27rb
Ë fr
v | f_
? - ž 1 + L f{ fM
fӳ f» f 7 f @ f r f y ' f u ` b f@ f r
r
- d fr=l + cos9E f' 4 fô ¦ õ ] fB C ' f2
v ~ f3
ƒ
!
f6sin0 ' fv ` g fô
3
k
f fu = x — y, v = 2o: +~ , fx, Ì E f˜ : fu, • ' f…
v ₩fnwof*
¦ õ ] fB C ' f¬ & k f„ F H tf
f„ F H t
f
g
f› œ F I f
f„ F H t
,
懃 fB C f} 、$ f$ =—2x + 4, $ =—2 t + 7, y = x — 2, $ f= x + l E f' 4 f; 4 Z . fw‚ # > ' fB C $ H f
I f•
wv fnwof*
nx of"
＼
＼
f*
f7 f" # fJJ$2x2 - xy - y2)dxdy6
f fx = u; f\ f fm; ' fJacobiank
fŒ V , f$ Æ F | fA ¼ F H t
f勤 '
f„ F I ftw- = > E M fB C fG ᴠ fwf fn
fx rfwᴠ Ú fmiw ¸ fx f,
fT ž H t
f d= k fⓕE M ' f$ ! " # f g f› œ F I f% f" # k fŠ % fA ¼ F H t
#
f fx=u +}
rf$ f f• , f‚ Æ F | f$
4"
J
!
"
#
upf/*
$ y (2x —$ oe(2j—$ f• ©c懃 , fA ¼ F H tf
y/2
34 D / 1 + . ferf(x) = - | ^ Pe - 1 du: f; ' < R tfÙ • fz , f$ Æ F | ferf(=) = l³ k f5 | H t
」 7r 9 fo
wf "› l
; G # c ' fp
Ÿ
-
ž
1
+
.
f/(x)
f—·
e"2/2$ R tfÙ
」 27r
• fz ,
f$ Æ F | f쩍 ∫ ff(x)dx = l = ' f
-oo
"
5 | H t
36"R ² f" # ' fB C k fT € I fA ¼ F H t
x2 dydx q
i/v
x2dydx q
軀 x fdydx
z ₩z f Chapter 14 ! " #
14.3
ö ! " #
= > ? ' fB C E f˜ 4 f$
;
'
8 _ fB
"
#
f;
k
fŸ R tfuf(a urT o, fy /
f+
•
!
C
k
n’ ‐rfï
fh&
'
fu
I
fF
>
ofH
3
f
£
fi
:
fN
@
fO
g
'
×
?
fI $ fA ¼ ˆ f+
c
(smooth surface)f
¦
õ
fuL
K
fŸ f > rfŠ
|
fN
ƒ
×
fB
.
"
k
?
fB C E f ˜ 4 fö
'
쩔 ƒ M f;
C
f
fu
'
KrfT
f1
3
<
+
fu
‹
oo
fW $ f+
b
ö
!
"
¨
#
F
fÅ . ÿ
ƒ
i
쩔 ƒ M f/
3
ê
f_
'
"
0
1
+
$
fv f
k
I
!
"
[ff kfdV=k
+ f t/eAz rp
nwo
#
f°
V
±
/dr n©
y
t/tAz
L
.
c/tA/ rp
(3)
TE
(4)f
+
f¥
g
|
(5)
TL
fè
¤
:
f_
>
Z
³
fR ² ' f «
g
'
f?
'
¬
H
I
k
f; ' : R t
f- . R t
+ of
t/tA/ 'J-'
fµ frfà
fg
f#
•
f7 r
ˆ
JJf fdV= Jjf fW+j]]' fdV
? J@ J? J rp
ö
!
"
#
k
f$ Æ F | f3/
@
fN
×
?
E
‰
M
:
f_
f q k f2
>
u=/2 $ > rf[[[ f1d」 ; f[[[ f2dV
M
fG
M
L
M fuf> 0$ > rfJjJ fdV> f0
E
f:
¤
fff J \ ±f2dV= fff fidV ±fff f2dV
懃
fF 6 tf
fè
.
f
k
I
fTL
ᴝ
fö ! " # (triple integrals)$
k
f" # rf$
fw* +
ž
rf$
#
F
f f[[[ f(x,y,z)dV
"
n
H
"
f0
E
9 f ¦ § f7
lim~
!
k
f
u(xk,yk,zk)& fVk
3
fŸ k fi $ R tfJ
fô
g
F
f¡ ¢ fŸ
'
n
fW
‚
fky z fu 3 ' f_
I
sn ? ""
k=
b
f@
V
2n
rp
f¡ ¢ f Ÿ
.
f B C f T' f `
ㅤ
a
,
f
>
:
f
14.3 ö ! " # fz ₩{
fW $ f„
b
•
fW $ f „
b
Ù • f
•
f+
fŸ I rf=
f+
fŸ R t
>
E
M
f°
b
±
L
Z
fTE M ' fu'
g
f=
,
‡
c
3
« > _ fB C E M f1 + fun驅 À ª of f軀 h'
v f¸ fx ¸ fwrv f÷ f$ f¸ fx rfv f÷ fª f÷ fy ' fÎ
f=
,
‡
k
„
H t
F
쩝ã $
Î « > _ ' f` a . fwf• x ftfy f f| $ I fÎ « > _ fB C E M ' fu'
1.1 ӳ xyz dxdydz =
$ Ö g f= , ‡ c fE
Â
#
E
M
fX
.
Â
Y
f" # ' fÞ
Ë
M
f
B
E
Y
fâ
Û
_
fâ _ g ` ) f3
Û
,
fX
.
f$
!
"
#
E
M
b
fÎ
L
«
fW
V
fÞ
nwof X
c
Y
M
fA
g
¼
_
|
f " # ' fÕ
M
ⓚ
fF :
fW $ f "
f› œ F q f ý
#
r\
Õ
r
rª
,
o•
r
f(
k
Þ
m
.
fi $ f¬
.
ž
f;
ë
fd e ' f"
C懃 á
f”
L
#
F
f+
k
9
|
ÿ
f5 ¯ ' fö
f
f»
c
f~
tf
"
:
R
R
K
f
>
f˜ & fR
f
nB
C
f:
ï
©
tfJ
R
fF ƒ f< R t
k
fâ _ f懃 , f‐r@- ]
Û
>
fD rfÌ rfT ] › ' f?
" # $ fµ f$ rfÂ Þ f g f; 4 - M fJJJ unD
²
fn
fn $
$
z
r ' fÙ • fw' fÁ
"
dydz=] [ ufyzdydz
ⓒ
=7⒫$ R tf
|f
!
f" # ‡ c
›
A
E
fÜ
M
®
5
F
f¤ us = > E fO
I
P
O
fT
.
U
6
fD o,
f
¯
f
T ž f• R ±T U f14.16(a)].
' ' fG fn懃 \ oE M fT ' fF
nx of ³
> fx f fZ n驅 \ ob f°
¯
• f = > ' fT
ny of $
f„
g
F
fz' fÕ
I
&
U
r
_
6
,
>
:
fz
fB C f ±
f?
V
:
fh (z,$
M
fa ÷ f軀 f÷ fbb
f„
k
g
:
f›
tf$ ê c f»
R
œ
;
"
f
fâ _ ' f~
g
Ñ
&
_
fi $ R ±T U f14.16(b)].
ˆ
f$ ' fF : rf?
fW $ fp
Í
:
:
f3
k
˜
$
!
f?/ = p(a:)b
3
"
#
E
M
b
fW
fy= q(x) d e f
c
f½
…
rfT U f
14.16(c)].
• f"
nz of $
#
k
q(x)
fufuf
+
pGr) $
"
:
R t
ph(x,y)
uf f(x,y,z)dzdydx :
f
I (x,y)
f‹
I
fL
-
f”
Ó
f; " # ` ) f /
²
g
z ₩| f Chapter 14 ! " #
2
_
>
fz = x2+3$ fV
fz = 8-x2 - Â
f
g
fô
¦
õ
]
f B C f T' f `
a
,
f„
F
H
t
쩝 ã $ f쩟
T U f14.17E M f5 € $ fT' f& d c f~ ³ > $ f2 = x2Ý y $ x rf° > $ fT f= 8 —x2 —š $ I rf% f_ > $ fJ O f
. f\ Ë ' f´ s = > ' f; ‚ B c f8 —』 x f㉺ Â f=x2 + 3$ x rf fP @ fû x fq fx \ x f z $ R t
T U f14.17 Ù • fx
_ > ' f… E M fzL f$ Y f軀 µ ' f1 + g f› œ Å Y fŸ f Ö g f[ fᴥ uL fI ; Å Y fŸ k f7 ' fT f' fÕ r , f„ F f
> fz2+3?/2 Ú fx fÚ f8 —』 x f㉺ Y f$ f< R tfR ² f = > E f¶ B < f; ‚ B k f$ Æ F | fD f, fI ; • Ž I fy
' fÕ r , f; F > rfP @ fh fq fx $ x f z g ` ) fÔ fV 4 —x2 /2 ÷ fy
. fÔ x f÷ fx Ú fx g f( Y Û R tf$ • f$ fÕ r , f" Æ F |
f a/ 4 — t 2 /2 L
f( Y Z I f x ' fÕ r f
14.3 ö ! " # fz ₩}
\/ 4 —x 2 /2
dz dy dx =
」 f fjg
!
Lj つ"χ z 2 /2
/• 8 —x2 —y
I
dz dy dx
"仲 ぢ"ゥ
"っ ぢ
V 4 —x 2 /2
≤≤≤≤≤≤ ᴎ ~ f㉺ fx 軀 x f㉺ fz # ぢ "dydx
σぢ
7 4—Ӱ
≤ᴠ \ y
ᴎ ~ f㉺ fxv ᴠ x ᴏ \
p/= \/ 4 —x *
2 /2
ⓒf
dx
3/ = 0
f 4 —x2 34
'2• ©f= f Y pff
=
3
3
J _2
=8V2" t t
—
J o
$ R tf| q M f° Z i f" # c fx = 2sin@g f5 f F | fA ¼ : R t
" # ' fÞ
Þ
M
E
fO
H
M
.
fØ ' E fO
H
fß
f? s fF : $ f R » ƒ f ›
fŸ R tf~ Ñ fÙ • E M fº
f+
¹
œ
Å
.
fi
k
fð
ñ
5
6
W
c
fâ
_
ᴎ T U f14.18 L
f"
#
f
t
Ù • fげ
T U f14.18V
fW c f â _ ' f ` a . f" # fÞ M , f· ß ¸ fR ² V fW c f | L Z f " # E f ' 4 f „ 4 ¬ f +
% "ち"
% "1-y
ᴎ x ᴏ fuf uf
%
ぢ
uf dx dz dy
"だ"# "
だ""
だ
p ぢ"
% "ち"
% "1 — z
ᴎ z ᴏ fuf uf
uf
dydzdx
# "だ" "
だ"# "
だ"
σ│
ぢ"
/* ち"
% "1-y
ᴎ | ᴏ fuf uf uf dzdydx
"だ" "
だ" "
だ
T U f14.18 Ù • fy
fŸ R t
z ₩~ f Chapter 14 ! " #
^
€
$
&
!
fA
'
"
#
f°
V
±
L
Z
fö
g
!
"
#
Ã
af B
C fT â _ ᴏ ' f` a ‐fK=
f˜
:
fW $ f „
b
3
•
f3
c
×
' f^
?
€
&
ê
fA
k
¼
F
fÿ f$ Æ < R tf14.1 8 E M f
.
g
M ' f; ' < f1
TE
fN
ž
$ Y f¼
b
!
¼
fŸ
+
fJ
I
f-
K
ff dV
f= , ‡ f f■쩜 ‰
u'
+
ž
1
f{ ᴎ µ
+
½
fX
xᴏ L
Y
Z
fâ _ fr' f¬ & rfw/ fŠ
>
0
1
rf2 ƒ f
3
f8dV
cf â
_ fT' f¬ & ‐fM= ¾
df 3
f] › f= > E f˜ : fw/ fŠ 0 1 ‐
Mxz= [[[ y6dV,
Myz= I'l'f x6dV,
Mxy= [[f z8dV
,짠f
M..z _
Mt z _
MT1,
e f 2 ƒ ! 3 ‐fCr, y, ª ᴏ rf軀 f= s A
rfy = ㉺ 6 Ô frfª f f㉺ ¿ Ô
fW $ f A ¼ ˆ f+
b
R
²
V
W
Š
0
1
fŠ
ᴎ x/
0
f3
ᴏ.
1
±
fò
f
g
`
)
'
f>
€
•
?
k
f$ Æ F | f
fA ¼ < R t
$
L
Z
fW $ f„
Â
À
fq fÁ
zf
f¾
zf
쩜 7rlex fÝ f+
Â
>
Ã
懃ò
ᴏ { f$ T ᴎ x ò
fG fᴎ 軀rfÌ rfª ᴏ E M fÎ Ë fZ• Z ' f>
g
E
E
˜
ᴏ
4
˜
€
4
4
ᴏ
,
ᴏ
fU 驅 À ª ᴏ H
I
fF >
: f= « Š 0 1 ‐fz f fJ]JTr26dV
g f Ä E f˜
b
«
« Š 0 1 ‐fz f fJ]JT y2 + z2 6dV X9 B f˜
ff =
°
fŸ R tf=
fŸ R t
f+
•
Ù • fこ
fò E f í
Å
F R I f•
f7 f 2
3
~
fŸ . f3
ƒ
b
f3
f* ' f| $ L fa, b, c] fÎ « > _ d ' fI _ E M ᴎ T U f14.19 - ž L f{ g f» ; f
fò E f ˜ : f= « Š 0 1 , f„ F H t
14.3 ö ! " # fz ₩₩
T U f14.19 Ù • fz
Â Ë f$ fÎ « > _ ' f2 ƒ . f` a E f- ž , f? 4 fM=<5abcL fˆ fi $ R tf$ •
p b
pc
Ix= I
I (y2 + z2) 6dxdydz
"
0 #
"
0
pc
= 5 /
/• a
I
"0
#
/• a
p b
pc
/ (y2 +^2)( I dx) dydz = 6(1 I
"だ "
だ"
#
"0
#
"
0
"0#
P b
/ nC f+ D
E fdydz
] ÿ
»쨌 ᵁ ‡ Ý • oÆ f€ ‐Ý ; ⓛ S Ý fF
X("2 w
$ Ö g fz
zf f
f
C
ú
3 F nl x fq fv x oL f< R tf$ b f@ ‚ F ƒ fA ¼ F | fz f fF
◆≠
or
(a2 q fM
F (a2+b ), f( . R tf
2
^
2
c
Ù • f{
ƒ
_
fz = 4- z2 - Â
!
>
3
k
f„
F
H
b
´
s=
>
f
g
ô
¦
õ
]
fâ
_ nT
t
T U f14.20 Ù • f{
U
f14.20)' f-
ž
L
f{ g
f»
;
F
R
I
•
7
f
{ vv f Chapter 14 ! " #
ã $ f
J
T U f14.20E M f5 € $ fX Y Û fc ^ _ > $ fx ‡ $ f» ; : f= > E M . fT ò k f! 3 f g fF . f@ $ fÅ Ö g f
≤f
≤f
≤f
M
x v rf$ f v $ fˆ fi $ R tf$ • fP , f„ 4 f5 6 tfx fÇ
f$ Ö g fö ! " # k f+ " 4 ï fF . ÿ f Â Ë fâ f
_ ' fS > $ fÈ us = > ? E fŸ ƒ fÅ Ö g fz. fv f¸ fx f÷ fz f㉺ fI x f㉺ Â g f: ; < R tfS > ' fB C ' fÉ % € . f
2 = 4 —x2㉺ f$ x b
fª f fv n。 s = > o' f\ Ë f4 —』 x f㉺ Y f v rf f@ fÊ Ý D f z $ fÅ Y fS > ' fB C c f@ Í f
} 、fᴠ fx2 q f$ x fÚ fz L
f< R tfO H M
! ! f쩍 —x2 —/ f
n|
+ z Ë f fuufuf
z6dzdxdy= W 7T7
E
p 4 - x2 - y2 2dxdy
だ
] ÿ f B C $ f @ Í $ Ö g f$ ! " # k f¡ ] › f* f k fF |
-
f wl2%
w| { ffx 7rMi
327r5
◇
u쩔 f | - w ¶ 4-r
2 3 dO^ - —dd^— 0
Í f $ fo
f
u
v x nz s r2)2r •
z!
Ï :
~ y*
! fz ≤Ì x ≤\ x
M— wf uf
! f27r Î fぢ
f| fjj (4 —軀 x f㉺ y2 dxdy = 6 uf
| dzdxdy
f! f27r
| —i(4—r2Hg z Ð
f
d6
uf 4 —r2 rdrcÏ
f~ Ò { f
0
o,o,
㉺ f4
L fÅ Ö g fx fJL f( Y - fŒ Ñ f2 ƒ ! 3 c
L f< R t
■ 14.3
[01-04] R ² f" # k fA ¼ F H t
! fっ" ! fÍ ど⒯
Ì ぢ" ! f
24" 1" 1"
Y fum
fupfupf, F fm7 y2 . x 、G fdzdydx
Ì fだ"$ fだ"$ fだ
Ì fだ"$ fだ"
! fち"~ f2 —x
P 2 — x—y
uf
dzdydx
$ fだ"$ fだ"
$ fだ
pt t /4
2Ó f$ frf
1"
$ fだ
—
dzdydx
Î fInsecv p 2t
26" 1" 1"
$ f0 $ f0
1"ext=h;
H "-oo
f i—y
□5 R ² fB C E f˜ : f" # fy y] f
dzdydx 6 fR ² V fW $ fÞ M , fß à Y f› œ F H t
!
つ
y=-
』
ӳ 짠Ô
—
ᴎ wrfwrv ᴏ
c
Õ
ⓕ
f -1,1,0
14.3 ö ! " # f{ vw
06 R
nwofdydzdx
nx ofdydxdz
nz ofdx dz dy
n{ ofdz dx dy
²
py
/ dzdydx 6
f1 f 0
/
fT U ' f B C E f ˜ : f" #
/
v"
ny ofdxdydz
f~ Ñ b f W $ f Þ
g(0, - wrwof
∫ⓒ
÷
·
nz ofdx dz dy
(5) dz dx dy
=
>
V
ⓒ
짠
≠Ö
f
nx ofdydxdz
›
fß à Y f › œ F H t
x
× 4
nwofdydzdx
fò $ f I ] f` # E M f ‰ f ]
,
z
hpf× f
× f
0? 3
M
—+┗
で"
だ
ⓒ
Ü
ny ofdxdydz
f= > fÌ + z = 2b
f_ > f x = fz s • g fô ¦ õ ] f â _ ' f `
a
,
f„
F H n~ Ñ fT U f× u ot
ⓒ
J÷
v ~ f3
fò $ f I ] f ` # E M f %
f& ' f@ ¯ fÔ fÝ D f fwV fx2 + ?
fw' fN
Z
x2 4- y2
fw
š f÷ ≠+
"
: ぢ"ゥ
"Z2 ガ
©f …
x
¯ ` # ' f` a , f„ F H n~ Ñ fT U f× u ot
{ vx f Chapter 14 ! " #
09 @ G V fI ' f[ $ Ô ò E fŒ 4 M f‹ | fŸ . fÎ « > _ L fŸ R tf3 fx,y,z9 f½ Ø ' fŠ M € ' f| $ L f3 3 f
I f- ž L fw$ H f• f7 f3 fò E f˜ : f= « Š 0 1 , f„ F H t
a,6,c$
32"° > $ f= > fz = 4, ~ ³ > $ f_ > fz = 4y2, I Ó fÙ > $ f3 3 f= > fx = l,x=—wfg fi ¢ fŸ . f- ž L f
; : f â _ E M f 2 ƒ ! 3 V f 3 fò E f ˜ : f= « Š 0 1 , f„ F H t
wg f»
33"° > $ f= > f—4, ~ Ñ L f_ > fz = x2+?/2g fi Ž f- ž fw] fâ _ E M
nwof
2 ƒ ! 3 k f„ F H t
nx of
$ f â _ , f ` a L f W ž ë f % f ` # f g f ì H f X . f = > f x f f C, f „ F H t
34"3 fò $ fI ] f` # E M f‰ f] › = > V f= > fI fq f$ Ý x f fx g fô ¦ õ ] fâ _ ' f- ž 1 + L f5(w z) =2x
H f• f 7 f 2 ƒ ! 3 k f„ F H t
14.4
@
q
»
Í
Ú
"
]
f
›
f„
d
fUUW- N
g
×
]
›
fB C fÛ
'
fW $ f» ˜ » f* f $ f<
R
×
fF 6 tf$ f1
I
fB C ' fD:
'
f1
fg, h, A;E f' 4
+
fh(u@w)rfz = k( u,v,w)
fg(u,v,w)rfy
x
b
f02- N
L
+
ê
fwA fØ
'
ž
1
+
L
f•
–
f7 fJacobian
•
f" q …
J(u,v,w)!
d(x,y,z)
J(u,v,w)
d(u,v,w)
dX
dx
du
dy
du
dz
dv dw
dy dy
dx
(14.12)
dv dw
dz dz
du dv dw
f;
g
k
f•
'
Å
u
F
.
rf1
ÿ
I
fD rft rfA ' f1A fØ
+
fv $ f Å Z f j
.
.
J uf(x,y,z)dxdydz
1
+
fŠ
L
> rfÜ E M ' f"
R
#
=
v
k
f5
»
f+
E
0
$
I
fP E M ' f "
fJacobian$ f@
#
:
&
'
fI ) G
c
fŸ R tf$ 7 fÝ 9
"rsin^, z = z
x — rcosdrfy
A
f/
G
fW $ f /
' f=
V
%
fJ f (g{uTV,w \ h(u,v,w),k(u,v,w)) L7(u,v,w) | dudvdw
D
b
ž
f'
:
f(r, ~ rfª o' f]
›
A
,
f@ q Ú f ]
›
A
(cylindrical coordinate system)H
(14.13)
I
f`
—
f
14.4 @ q Ú f] › fd f„ f] › f{ vy
R tf$
i
fT U f14.21 E M f5
F q f¬
c
fÎ « > _ fd
9
e
fi
.
fW
V
f› œ F | f"
g
f@ ¯ d ' f â
c
#
F
ž
dz
dz
Þ
$ fÅ . ÿ f˜ ` # ' fÁ
<
R
f¡
J
]
›
tf$ fÁ
fß à Y f"
g
fJacobianc
Â
ž
Å
Ö
g
f {xjyjZ^dx dy dz = JJJ f (g(r,O,z),h(r,6,z),k(r,0,z)) dzrdrdO
f< R tfß
L
nÙ • fwf×
•
ò
Ï
:
N
#
fA
k
¼
f7
•
E
.
fT rfr, f Þ f g f;
f"
#
)
' f| $ fpb
„
×
k
F
A
,
Jacobianc
fi $ f Ø
.
?
Ø
fG f(z,À T o, f@
f
'
g
`
)
' f3
f $ f,
G
f$
f
Æ
g
F
|
`
nT
U
f„ ò fI ' f½
Ø
f
g
€
F
R
f
f( Y f„ f] › A (spherical coardinate system) (p, 0, 0),
fp2sin0 $ fÅ
Y
n/
X
®
•
`
)
'
f3
fv rfx
f14.22)
x ? "psin0cos0 . "y ? "psin^sin^, ! ₃? "pcos0
' f=
(14.14)
ot
u
×
fI ' f½
f$ f"
g
f
#
dz
fI ' fÕ r E M f I
fr c
Â
â
>
cos@ —rsind 0
= sin0 rcosd 0 = r
0
0
1
k fk
au
dz
fw =
,
f• ž E M f ž
.
dX dx
~d0 dz
dx
_
f14.4' f₩o
fJ
ê
(14.15)
f+
fŸ . ÿ f $ 7 ' f
{ vz f Chapter 14 ! " #
ff (g(p,(l ) ,e'),h(p,<f) ,e'),k(p,G,ey ) p2slnC> dpdtpdO (14.16)
fff f ( x,y,z)dxdydz = J@
D
G
fW $ f* f < R tf$ f"
b
ᴎ Ù • fx f ×
I
f•
ž
F
ᴏ tf|
u
I
fŸ
²
q
k
M
fX
#
f]
ž
•
F
fA
k
›
¼
*
f7
f
•
k
f¯
4
.
f"
#
„
×
fâ _ ' fŠ
f¹ rfv rf~ Þ f g f;
k
I
k
fÎ « > _ fd
e
F
g
.
fi $ fØ
€
F
R
f
fß à Y f" # F ž f
H t
T U f14.22 „ f] › A
Ù • f
3
T U f14.23V
W
$
fÙ > $ f@ ¯ > fI x fq fD f z $ I rf° > $ fc ^ _ > fT T Í q  rfS > $ fD à = > ] f
- ž L f » ; : f^ _ f + ' f 2 ƒ ! 3 k f„ F H t
ã $ f
J
T U f14.23E M f5 € $ fâ _ L fzò k f! 3 f g f7 8 F . f˜ á " fd e $ Ö g f2 ƒ ! 3 ' fx, $ ] › . fŠ f
% fv $ fˆ fi $ R tf$ • f＼
, f„ 4 ï fF . ÿ f- ž , fwg f‹ ~ ž f° ± L Z $ Ö g fÂ Ë fM= ~ E fdzdydx
, f„ 4 f5 6 tf$ fö ! " # ' fB C k f" 8 9 f› œ 4 ï fF . ÿ fÂ Ë f~ Ñ rf° > $ fo â F Ö g fQ<z<x2 + y2
$ fÅ . fi c fý ƒ fã ä • f+ fŸ R tfÏ : f• us = > E fO P O . fT U 6 . f@ G $ f! 3 ] f@ $ fÅ Ö g f
x=rcos0, $ f= rsin@g f‹
I f¡ ] › , f$ Æ F . fi $ fØ € F R tf rf8 _ " f g f@ q Ú f] › A , f$ Æ f
F | f0<z< x2 + y2 =r2, v f fr
fx rf0 < 0 < 27r b
fW $ fB C k f› œ • f+ fŸ R tf$ •
rdrdO
/
' 27r
o
$ f( Y Û R tf° ± L Z g
z I fd0 = 8t v
14.4 @ q Ú f] › fd f„ f] › f { v{
L fÅ Y
-
M
327r wf
ⓚた æ
z
$ Ö g f2 ƒ ! 3 c f o,o,g f( Y Û R t
QMOaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa
° > $ fP fwf] f„ > f g f~ ³ > $ fv f fᴡ f] f@ å g fô ¦ õ ] f^ _ f+ ᴎ T U f14.24 ' f`
˜ : f= « Š 0 1 , f„ F H tf3
[
a
b
f zò E f
fG ' f- ž . fwg f, » F R I fL ; F 6 t
ã $
Â Ë fT U f14.24b
fW $ fâ _ , fT ž f5 I fxà = > E f¶ B < fT U 6 ž fT æ R tfâ _ ' fd e , f5 > f„ ' f
» ` $ Ö g f„ f] › A , f‚ Æ F . fi $ fØ € F R I fã ä • f+ fŸ R tfO H M f` a .
V
\
f dxdydz — JjJ p2sin0dp
fW $ fA ¼ < R tf * ' f" # k fF q fr 4 fL - fÇ È fP' fÕ r , f„ 4 ï fF . ÿ fT U f14.24s t f@ G E f
M fI ' fª ò V f$ e . f3 $ fD ] f½ ‚ Ë fF k fT ž f• R tfY · f½ Ø ' f½ ‚ Ë k fT € ‹ Z fX Y Û fâ _ fv
7T
E M . fM' f| $ L fv ` ) fwf‚ $ L fv k fç f+ fŸ . ÿ f$ g ` ) fv f¸ fp ÷ fw³ k fã ä : R tfÏ : fD L f• f
7F
5 R fa > fâ _ , fè Y O ƒ fÅ Ö g fv f÷ fv f¸ fJ$ fÅ Y ï f: R tf° Z i f g f$ ' fÕ r . rfMk fx?/- = > f
E f ; ‚ B k fv æ fÎ Ë f+ $ f $ E fO H fT U 6 f B C ] f @ Í f û k f: fß é fê f+
< R tfO H M
fŸ f Ö g fv f f≠f f27rL f
{ v| f Chapter 14 ! " #
III jsin / dpd l dO f,
" ₃27r
V=
! ₃27r ! # ぎっ"ち
% ₃o^o
o
$
! ₃1
" ₃7r/3
n ᴎ ë v fw
wf7t /3
l
"
s 1c
o
%
/
— sin />
% ₃o
&
ぢでⅸ
₩Ô
fú f
| fy
だ
L f< R tf$ • fª ò E f˜ : f= « Š 0 1 , fA ¼ F 6 tf Ë
x2
$ ᴏ x f+ psim/>sin0 2 = p2sin20
+y2
f psin0cos
$ Ö g
prp
Iz = HI
"J D
! ₃27r
& "27r
G f dxdydz = /
x2 + 1
p 1
Il
P 7r/3
σ»7t /3
& "1
/
"0
#
" 0
! ₃27r
는
% 0'% ₃o^o
p4sin30
p2sin / dpd j dO
p2sin2 />
/
" 0
/*7r/3 j
dpd f d0 — /
% ₃o*
/
! fsin30 dqW
o5
L f( Y Û R t
T U f14.24 Ù • fx
„
f]
›
p = a: !
f›
g
3
$
œ
f@
p=2acos0: !
v f ff
fì f& ' f_ > ' fÙ
<
G
$
3
I
$
E f:
Ó
fê
fÍ Z g $ fa] f„
>
ᴎ v rv ra $
‐fH Z G $ f@
~ f f{ ᴠ fx ò
,
G
fŠ
M
$
L
²
V
f| v ž
,
f$
fW R t
V
fÍ Z g $ fa] f„
fI ' fzò
I
€
I
fR
>
>
e
fI ; Å Y fŸ I fI ' fxò
fr
.
V
Ó
f| v ž
f
,
g
fí æ f@
f$ e . fr
å
Ó
>
f
g
fí æ fÍ = >
14.4 @ q Ú f] › fd f„ f] › f{ v}
f]
3
f‚ $ ' f *
›
@
q
f
f]
Ú
=
A
f¨
,
f ㅤfÎ
›
\
K
]
F
fR
>
²
fW R t
V
›
x ? "rcosd, y ? "rsind, z ? "ª
f㉺ fÎ
f]
„
›
\
]
›
<r ? "psin0cos2"."y = psin^>sin0, 2 = pcos />
f]
„
›
f‫ ְך‬f@
q
Ú
f]
›
r ? "psin0, z = pcos</>, 0 — 0
`
a
š
volume element
dK= dx dy dz = rdrdO dz = p? sin / dpd j dO
q
f* f
P
@
q
f]
Ú
›
O
f„
f]
›
fu E f Ø ' E fO
H
fR
I
:
f* f $ fL ! F R tfR
²
fÙ
,
f5 6 t
Ù • fげ
(X— —+z) dxdydz6
(1)f T
˜ g fA ¼ 4 f 5 I
ぇけえ u = x — & ,v = y, w = z :
f* f F | fA ¼ 4 f5 H t
ï
D x ff
× fp=S//2 + l
t +H+'H— d y dz
ち
懃 f X Y Û f* f E M f
" = V,Z = W ' f= A L f( Y Z Ö g f" # q ¥ f” ' f… c f Ý
‫“ ְך‬W
L fÅ I fJacobianc
J U,V,W
f01g
fw
v fv fw
L f< R tf" # „ × c fû f ff ⒫f» f7 fð f fv rfy — f M hw» f7 fu fw$ Ö g fv f÷ fu ¸ fw$ f( Y Z I fv, w
{ v ~ f Chapter 14 !
" #
' fÁ Â . f@ Ñ ' f$ rfT ' f„ × V fW R tfO H M fX Y Û f" # c
X—
Gz q fwᴏ fdnᴎ ñ
＼
fJ fZ \ dxdydZ =
fdw
fy f/MH
dw
f₩
L f< R t
/ X ® •
14.4
[01-04] R
² f @ q Ú f] › f" # k f A ¼ F H t
3 dzrdrdO
r^cos20 q fz2 rdO dr dz
[05-08] R
' • 7r
v { fI
² f„ f] › f " # k f A ¼ F H t
p 7T ! ₃2sin</>
I
p2 sin / dp d ^d0
OB
% ₃ 0 % ₃0 $ ₃0
! ₃ぢ"
! ₃だ"
" ₃7r/2
v
K fI
I
% ₃だ"% ₃(
%
uf
₃7r/4
p3sin2 /
OB
d l dOdp
09 … f 14.16 E M fJacobian$ fp2sin0L
" ₃7r
) ぉ₃27r
/• 1 —C0S</> /2
/
I
% ₃0
% ₃0 % ₃0
/
p2sin />
! ₃1 ! ₃7r " ₃7r/4
I
I
I
12psin30
% ₃0 % ₃0 * % ₃0
dpd l d6
d j d6dp
f v k f5 | H t
Z g $ fr] f„ ' f` a , f„ F . fö ! " # k f3 3 fnwof„ f] › rfnx of@ q Ú f] › rfny ofÎ \ ] › , f$ Æ f
wv fÍ
F | fJ ê Y f5 H t
Ó $ fc ^ > (paraboloid) z = 5 - x2 - y2, ~ Ñ Ó $ fc ^ > f_z = 4x2+4$ x f g fô ¦ õ ] fâ _ ' f` a f
I ＼fr
f„ F H t
,
fwk f„
qD
Ý
f@ å > fv ff
b
fv f fs
¯ fx2+y2
wy f „
fr 쭈 E
wz f r
Ó $ f@ å > fx f
w{ f P
@ _ fz q ÷q z
M
、f z $ fì H Q f` # ' f` a , f„ F H t
> fÔ
wx f @
'
f ‚ $ E f ò f ` # ' f ` a , f„ F H t
rf~ Ñ Ó $ f„ > fr = 2cos0g fô ¦ õ ] fâ _ ' f` a , f„ F H t
w' f`
a , fA ¼ F H t
nŽ 1 ‐fx = auy y = bv, ª f= wH f‹ I fww- N × ' f" ó : fB C fr E M f" # F H tof
14.4 @ q Ú f] › fd f„ f] › f{ v₩
IB nwofz ô
s N × ? ' fB C f+
ᴠ wf¸ fx¸ fx rv fÚ f´
gg
(2) $ f"
Ú
fx rv ÷ fT f f◆E f˜ 4 fR ² f" # k fA ¼ F H t
(x2y + 3xyz) dxdy dz
# k fu = x, v = 軀\ rfw = 3ª g f* f F | fA ¼ F I f勤 V
fb \ F H t