Sumário
1. Problema Proposto
3
2. Modelagem e Parametrização
3
3. Pontos Notáveis
5
4. Ilustração da Curva
7
5. Comprimento
8
6. Área
10
7. Referências Bibliográficas
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2
1. Problema Proposto
Foi proposto o estudo da curva hipocicloide, com a razão de
a
b
= 7 , sendo b o raio de uma
circunferência que rola dentro de outra circunferência de raio a .
Nesse estudo, passaremos pelas seguintes fases:
●
Modelagem e parametrização da curva;
●
Pontos de cúspide e pontos nos quais a tangente se encontra vertical ou horizontal (pontos
notáveis);
●
Cálculo do comprimento e da área, com confirmação por métodos computacionais;
●
Implementação da forma da curva com o auxílio de algum método computacional.
2. Modelagem e Parametrização
Considere a imagem da figura 1:
Fig 1.​ Definição de pontos importantes para parametrização.
3
No contexto da figura 1, para descobrir o posicionamento do ponto P, podemos dizer:
Como o ponto C é o centro do círculo menor e OB e OA são, respectivamente, a distância até o centro
em x e em y, temos que:
Como α é o ângulo em
e OD é uma reta, temos que:
e
Assim:
É possível, portanto, dizer que, no triângulo CHP, temos:
Ao substituirmos na primeira equação obtida, temos que:
Porém, como não há deslizamento em nenhum momento, temos que o arco do círculo menor
arco do círculo maior
eo
devem possuir a mesma distância, sendo assim é possível definir α como:
α = Rtr
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Assim, a parametrização da hipociclóide de razão 7 é:
3. Pontos Notáveis
Nesta seção, temos como objetivo encontrar pontos relacionados tanto às cúspides quanto aos pontos
em que a reta é tangente verticalmente ou horizontalmente.
Ao nos referirmos às cúspides da curva de razão ba = 7 , podemos encontrar todos os pontos de cúspide
ao variarmos o ângulo da circunferência em 2π
7 rad . Isso funciona pois o raio da circunferência menor é
sete vezes menor que o da circunferência maior, resultando em sete cúspides equidistantes.
Considerando que o ponto inicial​ é A (cos(0), sen(0)) , os pontos de cúspide são:
2π
A (cos(0), sen(0)) ; B (cos ( 2π
;
7 ) , sen ( 7 ))
6π
6π
;
;
C (cos ( 4π7 ) , sen ( 4π
7 )) D (cos ( 7 ) , sen ( 7 ))
10π
10π
;
;
E (cos cos ( 8π7 ) , sen ( 8π
7 )) F (cos ( 7 ) , sen ( 7 ))
12π
.
G (cos cos ( 12π
7 ) , sen ( 7 ) )
Para os pontos onde a tangente é vertical ou horizontal, podemos fazer que:
x′(t) = − 67 sen (t) − 67 sen (6t) = 0
ou
y ′(t) = 67 cos (t) − 67 cos (6t) = 0
Quando x′(t) = 0 acharemos as tangentes verticais e com y ′ (t) = 0 acharemos as tangentes horizontais.
Assim, para x′ (t) = 0 , temos que:
− sen (t) = sen (6t)
Assim, podemos definir os pontos de tangência por meio de uma ferramenta computacional, sendo
assim os pontos de tangência vertical são:
5
6
π
1
6π
;
H ( 67 cos ( π5 ) + 17 cos ( 6π
5 ) ; 7 sen ( 5 ) − 7 sen ( 5 ))
6
3π
1
18π
;
I ( 67 cos ( 3π5 ) + 17 cos ( 18π
5 ) ; 7 sen ( 5 ) − 7 sen ( 5 ))
J ( 67 cos (π) + 17 cos (6π) ; 67 sen (π) − 17 sen(6π)) ;
6
7π
1
42π
;
K ( 67 cos ( 7π5 ) + 17 cos ( 42π
5 ) ; 7 sen ( 5 ) − 7 sen ( 5 ))
6
9π
1
54π
;
L ( 67 cos ( 9π5 ) + 17 cos ( 54π
5 ) ; 7 sen ( 5 ) − 7 sen ( 5 ))
E para y ′ (t) = 0 , temos que:
cos (t) = cos (6t)
Assim, podemos definir os pontos de tangência por meio de uma ferramenta computacional, sendo
assim os pontos de tangência vertical são:
6
2π
1
12π
;
M ( 67 cos ( 2π5 ) + 17 cos ( 12π
5 ) ; 7 sen ( 5 ) − 7 sen ( 5 ))
6
4π
1
24π
;
N ( 67 cos ( 4π5 ) + 17 cos ( 24π
5 ) ; 7 sen ( 5 ) − 7 sen ( 5 ))
6
6π
1
36π
;
O ( 67 cos ( 6π5 ) + 17 cos ( 36π
5 ) ; 7 sen ( 5 ) − 7 sen ( 5 ))
6
8π
1
48π
;
P ( 67 cos ( 8π5 ) + 17 cos ( 48π
5 ) ; 7 sen ( 5 ) − 7 sen ( 5 ))
6
4. Ilustração da Curva
Fig 3. ​Definição de pontos de cúspide.
Fig 4. ​Definição de pontos onde a tangente é vertical
7
Fig 5. ​Definição de pontos onde a tangente é horizontal.
5. Comprimento
Para o cálculo do comprimento, foi considerada a fórmula para calcular comprimento de arco no
intervalo, com t variando entre [0, 2π] :
Assim:
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Assim, substituindo na fórmula, temos:
Para solucionar essa situação, pode-se multiplicar a expressão √1 − 1・cos(7t) por
√1+1・cos(7t)
:
√1+1・cos(7t)
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Sabendo que essa expressão só é válida se 𝜃 ≠ π, podemos dividir essa expressão em duas:
Podemos, assim, usar substituição:
Assim, foi possível achar que o comprimento do arco dessa curva é:
L = 6.8571
O que, por meio do GeoGebra, é confirmado como verdadeiro, chegando ao resultado:
L = 6.86
6. Área
Para o cálculo da área da região limitada pela nossa hipocicloide, foi necessário a consulta do [1], p.586,
onde foi possível encontrar a fórmula:
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Onde, usando as equações paramétricas, temos que:
Assim, temos que:
Sabendo, pela tabela de integrais retirados do [1], as seguintes integrais:
b
((a−b)u)
sen ((a+b)u)
− 2(a+b)
∫ sen au·sen bu du = sen2(a−b)
a
b
∫ sen2 u・du = 12 u − 14 sen (2u)
a
Podemos considerar que:
0
∫ sen(t)·sen (6t) dt =
2π
sen(−5t)
sen(7t) 0
−
−10
14 | 2π
∴
0
sen(7·0)
sen(−5•2π)
sen(7·2π)
− 14 ] − [ −10 −
∫ sen(t)·sen (6t) dt = [ sen(−5·0)
]∴
−10
14
2π
0
∫ sen(t)·sen (6t) dt = 0
2π
11
E que:
0
0
∫ sen2 (t) dt = 12 t − 14 sen (2t) |2π ∴
2π
0
∫ sen2 (t) dt = [ 12 ·0 − 14 sen (2·0) ] − [ 12 ·2π − 14 sen (2 • 2π) ] ∴
2π
0
∫ sen2 (t) dt =− π
2π
Podemos considerar que​ u = 6t e que​ du = 6 dt ∴ dt =
0
∫ sen
2π
2
(6t) dt = 16
du
6
, podemos afirmar que:
0
0
∫ sen2 (u) du = 16 ( 12 u − 14 sen (2u)) |12π ∴
12π
0
∫ sen2 (6t) dt = [ 16 ( 12 ·0 − 14 sen (2·0))] − [ 16 ( 12 ·12π − 14 sen (2·12π))] ∴
2π
0
∫ sen2 (6t) dt = − [ 16 ( 12π
2 )] ∴
2π
0
∫ sen2 (6t) dt = − π
2π
Voltando para a equação principal, temos que:
36π
A =− 6π
49 + 49
A = 30π
49
Usando o Wolfram Alpha para a confirmação, chegamos em:
A = 30π
49 ou A≈1, 9234
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7. Referências Bibliográficas
[1] ​STEWART, James. Cálculo - Volume II.
[2] Base teórica para a construção da parametrização:
http://www.professores.uff.br/katiafrensel/wp-content/uploads/sites/115/2017/08/ga2-aula3.pdf
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