Método de Cardano
Recordatorio: (𝑎 − 𝑏)3 = 𝑎3 − 32 𝑏 + 3𝑎𝑏 2 − 𝑏 3
Para desarrollar el método de Cardano
𝑥 3 + 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
𝑎
𝑥 =𝑦−
3
Se sustituye ese valor de 𝑥 en la ecuación original, para llegar a una
ecuación de la forma:
𝑞 3 + 𝑝𝑦 + 𝑞 = 0
De donde se obtienen los valores de 𝑝 y 𝑞, luego:
∆= 27𝑞 2 + 4𝑝3
𝑞
∆
𝑧 = − ±√
2
108
𝑞
∆
2
108
𝑧1 = − + √
𝑞
∆
2
108
𝑧2 = − − √
=𝐴
3
3
𝑦1 = √𝐴 + √𝐵
3
3
𝑦2 = 𝜔 √𝐴 + 𝜔2 √𝐵
3
3
𝑦1 = 𝜔2 √𝐴 + 𝜔 √𝐵
Para obtener 𝜔:
(𝑔3 − ℎ3 ) = (𝑔 − ℎ)(𝑔2 + 𝑔ℎ + ℎ2 )
∆= ℎ2 − 4𝑔ℎ
𝑥=
−ℎ ± √∆
2
𝜔=
−ℎ ± √∆
2
=𝐵
𝜔 = 𝑟𝑒 𝑖θ
𝜔2 = 𝑟𝑒 2𝑖θ
|𝜔| = √𝑎2 + 𝑏 2
𝑏
𝜃 = 𝐴𝑟𝑔(𝜔) = tan−1 ( )
𝑎
Para obtener 𝑥:
𝑎
3
𝑎
𝑥2 = 𝑦2 −
3
𝑎
𝑥3 = 𝑦3 −
3
𝑥1 = 𝑦1 −
Otra manera de obtener Cardano:
𝑥 3 + 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
3𝑏 − 𝑎2
𝑝=
3
2𝑎3 − 9𝑎𝑏 + 27𝑐
𝑞=
27
𝑞 2
𝑝 3
∆= ( ) + ( )
4
3
Con el discriminante ∆ se presentan los siguientes casos:
I.
∆ > 0 (Una raíz real y dos complejas):
II.
𝑞
𝑞
3
3
𝑢 = √− + √∆ 𝑣 = √− − √∆
2
2
𝑎
𝑥1 = 𝑢 + 𝑣 −
3
𝑢 + 𝑣 𝑎 √3
𝑥2,3 = −
− ±
(𝑢 − 𝑣)𝑖
2
3
2
∆ < 0 (Tres raices reales):
𝑞
𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 cos ( 2 )
𝑝
√−
3
−
III.
𝑝
𝜃 + 2𝜋𝑘
𝑥1,2,3 = 2√− cos (
) 𝑐𝑜𝑛 𝑘 = 0,1,2
3
3
∆=0
III.A 𝑝𝑞 = 0 (Única solución)
𝑍=−
III.B 𝑝𝑞 ≠ 0 (Dos soluciones)
3𝑞 𝑏
𝑥1 = −
−
2𝑝 3
𝑏
3
4𝑝2 𝑏
𝑥2 = −
−
𝑞
3
Método de Ferrari
y 3 − by 2 − y(4d − ac) − c 2 + 4bd − a2 d = 0
Ecuación cúbica resolvente
x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + d = 0
Sustituir los valores de 𝑎, 𝑏, 𝑐 y 𝑑 en la ecuación resolvente para resolver
por Cardano.
3𝑏 − 𝑎2
𝑝=
3
2𝑎3 − 9𝑎𝑏 + 27𝑐
𝑞=
27
∆ = 27𝑞 2 + 4𝑝3
∆ > 0 (Una raíz real y dos complejas):
Se utiliza:
𝑞
∆
𝐴 =− +√
2
108
3
𝑞
∆
𝐵 =− −√
2
108
3
𝑦1 = √𝐴 + √𝐵 −
𝑎1
3
𝑒=√
𝑎2
−𝑏+𝑦
4
𝑒=√
𝑎𝑦 − 2𝑐
4𝑒
Ecuaciones cuadradas
𝑎
𝑦
𝑥 2 + ( ± 𝑒) 𝑥 + ( ± 𝑓) = 0
2
2
Primero todos los positivos y luego todos los negativos.