Sommaire :
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A) Produit scalaire dans l’espace
1) Expression du produit scalaire
2) Orthogonalité dans l’espace
3) Vecteur normal
B) Géométrie analytique de l’espace :
1) Produit scalaire de deux vecteurs
2) Equation cartésienne d’un plan
3) Distance d’un point à un plan
4) Représentation paramétrique d’une droite
C) Intersection : droites, plans :
1) Intersection de deux plans
2) Intersection d’une droite et un plan
3) Intersection de trois plans
D) Sphère :
1) Sphère définit par son centre et son rayon
2) Sphère définit par diamètre
3) Intersection d’une sphère et une droite
E) Produit vectoriel :
1) Orientation de l’espace
2) Définition du produit vectoriel
3) Analytique du produit vectoriel
4) Distance d’un point à une droite
 I  Produit scalaire dans l’espace
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1) Expressions du produit scalaire
A B.A C  A B.A H
où H est le projeté orthogonal de C sur  A B 
  AB.AH
 A B . A C . c o s( B A C )
Donc :
u .v  u
v c o s ( )
2) Orthogonalité dans l’espace

Deux vecteurs u et v sont orthogonaux si et seulement si u .v  0

Deux droites ( D ) et ( D ) de vecteurs directeurs u et v sont perpendiculaires si et seulement si u .v  0

Une droite ( D ) est perpendiculaire au plan de base ( u , w ) si et seulement si u .v  0 et u . w  0
'
3) Vecteur normal
Définition : Un vecteur directeur d’une droite perpendiculaire au plan  P  est appelé vecteur normal à  P 
Propriété :
Soit A un point de l’espace  et n un vecteur non nul.
L’ensemble  M   / A M .n  0  est le plan passant par le point A et de vecteur normal n
 II  Géométrie analytique dans l’espace
On considère l’espace  est muni d’un repère orthonormé  O , i , j , k  .
Produit scalaire de deux vecteurs
'
'
'
Définition : Le produit scalaire des deux vecteurs u ( x , y , z ) et v ( x , y , z ) est le nombre u .v  x x  y y  z z
'

2
u
 x²  y²  z²
 u 
x²  y²  z²
'
'
AB 
Exercice2 : Soient
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( x B  x A )²  ( y B  y A )²  ( z B  z A )²
;
Démontrer que le triangle
;
trois points de l’espace
est équilatéral.
2) Equation cartésienne d’un plan
Soit un plan ( P ) passant par un point A ( x 0 , y 0 , z 0 ) de l’espace  et n ( a , b , c ) un vecteur normal au plan ( P ) .
M ( x, y , z )  P ( A, n )  n.A M  0
 a .( x  x 0 )  b .( y  y 0 )  c ( z  z 0 )  0
Propriété :  Tout plan de l’espace admet une équation de la forme a x  b y  c z  d  0 et n ( a , b , c ) un vecteur
normal à ce plan.

Réciproquement :
Soient a , b , c , d quatre réels tels que ( a , b , c )  ( 0 , 0 , 0 ) .
L’ensemble des points M ( x , y , z ) de l’espace vérifiant a x  b y  c z  d  0 est un plan de vecteur
normal n ( a , b , c ) .
Exercice3 : Soient deux points
et
de l’espace
Donner une équation cartésienne du plan
.
passant par le point
et orthogonal à la
droite
Distance d’un point à un plan
Propriété :
Soit un plan P d’équation a x  b y  c z  d  0 et A ( x 0 , y 0 , z 0 ) un point de l’espace  .
La distance de A à P est donnée par d ( A , P ) 
Exercice4 : Calculer la distance du point
ax0  by0  cz0  d
a²  b²  c²
au plan
d’équation
4) Représentation paramétrique d’une droite
Définition : La droite ( D ) passant un point A ( x 0 , y 0 , z 0 ) et de vecteur directeur u (  ,  ,  ) est l’ensemble
 x  x0   t
des points M ( x , y , z ) tels que :  S  :  y  y   t
0

 z  z0   t
t  IR
(t est une paramètre)
Le système est appelé une représentation paramétrique de la droite
Exercice5 : Donner une représentation paramétrique de la droite passant par les points
et
 III  Intersection : Droites et plans
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1) Intersection de deux plans
Le point de vue géométrique :
Deux plans sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs normaux sont parallèles.
Le point de vue algébrique :
'
'
'
Soient deux plans  P  et  Q  d’équations a x  b y  c z  d  0 et a x  b y  c ' z  d  0

Si ( a , b , c ) et ( a , b , c ) sont proportionnels alors  P  et  Q  sont parallèles (confondus ou séparés)

Si ( a , b , c ) et ( a , b , c ) ne sont pas proportionnels alors l’intersection de  P  et  Q  est une droite que
'
'
'
'
'
'
 ax  by  cz  d  0
l’on définit par le système  S  : 
a x  b y  c z  d  0
Exercice6 : Considérons les deux plans :
a)
'
'
'
'
et
Démontrer que les deux plans sont sécants
b) Donner une représentation paramétrique de la droite
et
2) Intersection d’une droite et un plan
Soient une droite    et un plan  P  :
l’intersection de
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Exercice7 : Soit un plan
d’équation
et la droite
pour représentation
Paramétrique :
a)
Etudier l’intersection de la droite
b) Déterminer
et le plan
le projeté orthogonal du point
sur le plan
Intersection de trois plans
Le point de vue géométrique :
Soient  P  ,  Q  ,  R  trois plans dans l’espace :
Le point de vue algébrique : On peut résoudre le système :
 ax  by  cz  d  0
 '
'
'
'
a x  b y  c z  d  0
 ''
''
''
''
a x  b y  c z  d  0
formé d’équations de trois plans .
Exercice8 :
a)
Soient trois plans de l’espace
;
,
Etudier l’intersection de ces trois plans.
b) Même question pour :
;
,
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 IV  La sphère
1) Sphère définit par son centre et son rayon
Définition :
Soit un point  un point de l’espace  et R un réel positif.
L’ensemble des points M de l’espace  vérifiant  M  R s’appelle une sphère
De centre  et de rayon R .

Equation cartésienne d’une sphère
Soit la sphère S (  , R ) tel que  ( a , b , c )
M ( x, y , z )  S ( , R )   M
²
 R²
 ( x  a )²  ( y  b )²  ( z  c )²  R ²
 ( x  a )²  ( y  b )²  ( z  c )²  R ² est une équation du sphère de centre  ( a , b , c ) et de rayon R .
 L’ensemble de points M ( x , y , z ) vérifiant x ²  y ²  z ²  2 a x  2 b y  2 c z  d  0 est une sphère
si a ²  b ²  c ²  d  0 dont le centre  ( a , b , c ) est et de rayon
Exercice9 : Démontrer que
a²  b²  c²  d
est une équation d’une sphère.
Déterminer Son centre et son rayon.
2) Sphère définit par l’un de ses diamètre
Définition :
Soit deux points A et B distincts de l’espace  .
L’ensemble de points M vérifiant A M . B M  0 s’appelle une sphère de diamètre  A , B 

Equation cartésienne du sphère
Soit la sphère S la sphère de diamètre  A , B 
M ( x , y , z )  S   A , B    A M .B M  0
 ( x  x A )( x  x B )  ( y  y A )( y  y B )  ( z  z A )( z  z B )  0
3) Intersection d’une sphère et un plan
Soit une sphère S (  , R ) tel que  ( a , b , c ) et un plan  P  : a x  b y  c z  d  0
Soit d la distance du point  au plan  P  :
Si d
R
alors S (  , R )
 P    « pas de point commun »
Si d  R alors le plan  P  est tangent au sphère S (  , R ) en un point H .
tel que H est le projeté orthogonal de  sur  P 
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Si d
R alors l’intersection du plan  P  et la sphère S (  , R ) est un cercle   
de rayon  
R²  d²
Exercice10 : Soit une sphère
et soit un plan
et de centre le point H le projeté orthogonal de  sur  P 
d’équation :
d’équation :
a) Déterminer le centre et le rayon de
b) Démontrer que
est tangent au sphère
en un point
qu’il faut déterminer ses coordonnés.
Exercice11 : : Soit une sphère
et soit un plan

d’équation :
d’équation :
Démontrer que l’intersection de
déterminer son rayon et son centre.
 V  Produit vectoriel
1) Orientation de l’espace
et
est un cercle dont il faut
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Définition : Le produit vectoriel de deux vecteurs u et v dans cet ordre est le vecteur noté par u  v
qui vérifie :
La base  u , v , u  v  est directe
Le vecteur u  v est orthogonal à u et à v
Autrement dit :  u  v  .u  0 et  u  v  .v  0

u  v  u . v . s in 
:   (u , v )
 2  
Remarque :
Si u et v sont colinéaires alors u  v  0
car   ( u , v )  0   
Si u et v sont orthogonaux alors u  v  u v
car   ( u , v ) 

2
 
3) Analytique du produit vectoriel
On considère que l’espace  est muni d’un repère orthonormé direct  O , i , j , k 
Définition :
Soient deux vecteurs u ( x , y , z ) et v ( x , y , z )
'
u  v 
Exercice12 : Soient
y
y
z
z
'
'
i 
x
x
'
z
z
'
j 
;
;
'
x
x
y
y
'
'
'
k
trois points de l’espace
a) Calculer les coordonnés du vecteur
et en déduire
que les points
;
et
ne sont pas colinéaires.
b) Déterminer une équation du plan
c) Soit un point
Déterminer une équation du sphère de centre
plan
.
tangente au
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4) Distance d’un point à une droite
Propriété :
Soit une droite  D  passant par un point A et de vecteur directeur n (non nul) .
La distance d’un point M à la droite  D  vaut : d ( M , D ) 
AM  n
Remarque : Si M   D  alors A M  n  0 et bien sûr d ( M , D )  0
Exercice13 : Soit
Soit
une droite qui a pour représentation paramétrique :
un point de l’espace .
a) Montrer que
b) Calculer la distance du point
à la droite
n