MATHEMATIQUES
2ème Sc. Pilote
Prof : Missaoui Anis
Série d’exercices
5:
N°2/2
2021**2022
Géométrie analytique
le plan est muni d’un repère orthonormé (𝑂, 𝑖⃗; 𝑗⃗)
Exercice 1 Soit les points 𝐴(−2, 3) 𝐵(1, −2 2) 𝑒𝑡 𝐶(2, 5)
1) Montrer que A, B et C ne sont pas alignés.
2) Déterminer les coordonnées du point G barycentre de (A, -2) et (B, 3)
3) a) Ecrire une équation cartésienne de la droite  passant par C et parallèle à (AB)
b) Soit𝑢
⃗⃗ = 𝑖⃗ + 7𝑗⃗. Trouver les coordonnées du point 𝐴′ = 𝑡𝑢⃗⃗ (𝐴)
c) Vérifier que 𝐴’  . En dédire l’image de la droite (AB) par 𝑡𝑢⃗⃗
Exercice 2
Soit les points 𝐴(−1,3) 𝑒𝑡 𝐵(1,2).
1/ Déterminer une équation cartésienne de la droite (AB).
2/ Déterminer une équation cartésienne de la droite  médiatrice de [𝐴𝐵].
)
3/ Déterminer une équation cartésienne de la droite ’ passant par A et de vecteur directeur 𝑢
⃗⃗(−1
5
4/ Déterminer une équation cartésienne de ’’ parallèle à (AB) et passant par 𝐶(2, −4).
Exercice 3 On donne les droites 𝐷𝑚 d’équations :
(𝑚 – 2)𝑥 + (2𝑚 – 1)𝑦 – 3 = 0
1) Montrer que toutes les droites 𝐷𝑚 passent par un point fixe A.
2) Soit  la droite passant par le point B(1, 3) et parallèle à 𝐷𝑚 , donner une équation cartésienne
de .
3) Soit C le point d’abscisse 6 non situé sur (AB)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) est une base de l’ensemble des vecteurs V du plan
a) Montrer que (𝐴𝐵
 
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
b) Déterminer les coordonnées de i et j dans la base (𝐴𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
c) Soit le vecteur 𝑢
⃗⃗ = 4𝑖⃗ + 3𝑗⃗ . Trouver les coordonnées de 𝑢
⃗⃗ dans la base (𝐴𝐵
Exercice N°4 :Soit m  IR, m l’ensemble des points M(x, y) tel que
𝑚 : (𝑚 − 1)𝑥 + 𝑚𝑦 + 3𝑚 – 1 = 0.
1/ a- Montrer que pour tout réel m, m est une droite.
b- Soient les droites 𝐷 : 𝑥 + 2𝑦 + 6 = 0 𝑒𝑡
𝐷’ : 2𝑥 – 𝑦 + 1 = 0.
Montrer que 2 est parallèle à D et perpendiculaire à D’.
2/ Montrer que les droites 𝑚 passent par un point fixe I que l’on déterminera.
3/ On donne les points A (0,2) et B (-2,2).
Montrer que la droite 0 est la médiatrice de [AB].
4
4/ Montrer que si 𝑑(𝑂, 𝑚 ) = 1 alors 𝑚 ∈ {0, 7}
Exercice N°5 :
Soit les droites : 2𝑥 + 𝑦– 2 = 0 𝑒𝑡 ’ : 4𝑥 + 𝑦 + 2 = 0.
1/ Montrer que les droites  et ’ sont sécantes au point A, déterminer ses coordonnés.
Professeur : MISSAOUI ANIS
2ème SC-PILOTE
A .S : 2021**2022
Géométrie analytique
Série 2/2
2/ Soit 𝑚 : (𝑚 + 1)𝑥 + (𝑚 + 5)𝑦 – 𝑚 + 7 = 0.
a- Montrer que pour tout réel m, 𝑚 passe par le point B(3,-2).
b- Pour quelle valeur de m, 𝑚 passe par le point 𝐶(1,4).
c- Pour quelle valeur de m, 𝑚 est parallèle à .
d- Pour quelle valeur de m, 𝑚 est perpendiculaire à .
)
Exercice N°6 :On considère le point A (2,-3) et le vecteur 𝑢
⃗⃗(−1
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1. Ecrire une équation cartésienne de la droite (∆) passant par A et de vecteur directeur u
2. Déterminer l’équation cartésienne de la droite (∆’) passant par A et perpendiculaire à la droite
(∆).
3. Soit la droite D : 3x +2y = 0. Calculer les coordonnées du point d’intersection de (D) et (∆).
4. Soit 𝑚 : (m-3) x + (m-2) y + m = 0. où m est un paramètre réel.
5. Montrer que pour tout réel m, 𝑚 ) est une droite.
6. Déterminer le réel m pour que les droites (D), (∆) et (𝑚 ) soient concourantes.
7. Pour quelle valeur de m la droite (𝑚 ) est globalement invariante par la translation de vecteur 𝑢
⃗⃗.
8. Déterminer le réel m pour que les droites (∆) et (𝑚 ) soient perpendiculaires.
9. Montrer que pour tout réel m, la droite (𝑚 ) passe par un point fixe.
Exercice N°7 :Soit les points 𝐴(−1,0) 𝑒𝑡 𝐵(2,2).
1/ Déterminer une équation cartésienne de la droite (AB).
2/ Soit C = A  B. Déterminer une équation cartésienne de la droite  passant par C et de vecteur
1
directeur : 𝑢
⃗⃗ = 2 𝑖⃗ − 2𝑗⃗
3/ Soient 𝐺(1, −1) 𝑒𝑡 𝐷(2, 𝑏).
a) Vérifier que G   et calculer b pour que D  .
b) Montrer alors que G est le centre de gravité du triangle ABD.
4/ Soit m  IR, (𝑚 ) l’ensemble des points 𝑀(𝑥, 𝑦) tel que :
(𝑚 ) : (2𝑚 − 4)𝑥 + (𝑚 − 1)𝑦 + 3 – 𝑚 = 0.
a) Montrer que pour tout réel m, m est une droite.
b) Montrer que les droites (𝑚 )passent par un point fixe I que l’on déterminera.
c) Déterminer m pour que : (𝑚 ) (AB).
Exercice N°8 :Le plan est muni d’un repère orthonormé (O,𝑖⃗, 𝑗⃗) . On donne les points
𝐴(−3, −5), 𝐵(1, 3).
Soit ζ = {𝑀(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑃𝑡𝑒𝑙𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑀𝐴2 + 𝑀𝐵2 = 60}
1) Montrer que ζ est un cercle de centre I milieu de [AB] et de rayon R=√10.
Professeur : MISSAOUI ANIS GSM :98372875
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2ème SC-PILOTE
A .S : 2021**2022
Géométrie analytique
Série 2/2
2) Calculer les coordonnées des points E et E’ d’intersection de ζ et de la droite des ordonnées
sachant que 𝑦𝐸 > 0 .
3) Calculer les coordonnées des points F et F’ d’intersection de ζ et de la droite des abscisses
sachant que 𝑥𝑓 > 0 .
4)
a. Montrer que le quadrilatère EFE’F’ est un trapèze isocèle.
b. Calculer l’aire du trapèze EFE’F’ .
5) Soit ζ′ le cercle de centre A et de rayon R’= √30
a. Montrer que ζ et ζ′ sont sécants . On notera H et K leurs points d’intersections .
b. Sans chercher les coordonnées de H et K , Montrer que AHBK est losange .
Exercice N°9: On donne les points 𝐴(0, 1), 𝐵(6, 3), 𝐶 (4, 9).
1.
a. Vérifier que le triangle ABC est rectangle .
b. Ecrire une équation cartésienne du cercle ζ circonscrit au triangle ABC . On
désignera par I le centre de ζ.
2. Ecrire une équation carésienne de la droite (BC) .
3. Soit 𝚫 la droite d’équation : x + y − 5 = 0 .
a. Montrer que 𝚫 et ζ sont sécants et déterminer les coordonnées de leurs point
d’intersection E et F . (𝑥𝐹 < 0 .
b. Soit K (8, -3) . Vérifier que K est éxterieur à ζ et que K ∈ 𝛥 ∩ (𝐵𝐶 ).
c. Montrer que KB.KC = KE.KF= 𝐼𝐾 2 − 20
4. Soit 𝐷𝑚 une droite passant par K et de coéfficient directeur m avec m∈ 𝑅
a. Ecrire, en fonction de m une équation cartésienne de 𝐷𝑚 .
b. Déterminer alors les équations cartésiennes des tangentes à ζ issues du point K .
Bon travail et plein de réussite
Professeur : MISSAOUI ANIS GSM :98372875
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