Inhoudsopgave
Voorwoord
3
1 Complexe lineaire algebra
1.1 De lineaire structuur van Cn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Complexe Matrixalgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Complexe eigenwaarden en eigenvectoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
7
9
2 De
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
15
15
22
24
30
34
40
3 Lineaire afbeeldingen
3.1 Afbeeldingen van Rn naar Rm . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Lineaire afbeeldingen tussen vectorruimten . . . . . . . .
3.3 Eigenschappen Lineaire afbeeldingen . . . . . . . . . . . .
3.4 Operaties op lineaire afbeeldingen en inverteerbaarheid . .
3.5 Matrixrepresentaties van lineaire afbeeldingen . . . . . . .
3.6 Lineaire operatoren, eigenvectoren en eigenwaarden . . . .
3.7 Bepalen eigenwaarden als V oneindig–dimensionaal is . .
3.8 Bepalen van eigenwaarden: het eindig dimensionale geval
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
45
45
49
53
57
61
68
72
74
4 Cn met zijn inwendigproduct structuur
4.1 Het standaard Inwendig Product op Cn . . . . . . . . . .
4.2 Orthogonaliteit in Cn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Spectraal eigenschappen Speciale Matrices . . . . . . . . .
4.4 Symmetrische Matrices en de reële Spectraaldecompositie
4.5 Unitaire Diagonaliseerbaarheid . . . . . . . . . . . . . . .
4.6 Normale matrices en de complexe Spektraaldecompositie .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
77
77
80
84
86
91
95
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
(vervolg)
. . . . . .
. . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
97
97
99
100
105
108
112
117
5
lineaire structuur op een vectorruimte
Vectorruimten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
De afhankelijkheid van de vectorruimte axioma’s
Lineaire Opspanning en Deelruimten . . . . . . .
Lineaire (On)Afhankelijkheid . . . . . . . . . . .
Basis, Coördinaten en dimensie . . . . . . . . . .
Coördinatentransformaties . . . . . . . . . . . . .
Inwendig productruimten
5.1 Inwendig producten . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Standaard inwendig producten . . . . . . . . . .
5.3 Niet standaard inwendig producten . . . . . . . .
5.4 Meetkunde met behulp van een inwendig product
5.5 Meetkunde met behulp van een inwendig product
5.6 Orthogonale verzamelingen en de Grammatrix .
5.7 De Orthogonale projectie . . . . . . . . . . . . .
i
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
INHOUDSOPGAVE
6
1
5.8
5.9
Het bepalen van Orthogonale projecties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
Maximaal Orthogonale verzamelingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
De
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
geadjungeerde van een lineaire operator
De geadjungeerde van een lineaire afbeelding . . . . .
De geadjungeerde van een lineaire operator . . . . . .
Zelfgeadjungeerde (hermitische) operatoren . . . . . .
Hilbertruimten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
De spectraalstelling voor zelfgeadjungeerde operatoren
Unitaire en orthogonale operatoren . . . . . . . . . . .
Normale operatoren en de spectraalstelling . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
129
129
132
136
140
142
143
147
Toegift 1: Een voorbeeld van een unitaire matrix, de discrete Fourrier transformatie
151
Toegift 2: Commuterende matrices en simultaan diagonaliseerbaarheid
155
Toegift 3: Gegeneraliseerde eigenvectoren, de Jordan normaalvorm
159
Voorwoord
Het is de bedoeling dat het onderdeel lineaire algebra van het vak ???? goed aansluit bij het dictaat
lineaire algebra, deel 1. Net als in het dictaat van deel 1 zullen er in ook dit deel nog vele taal en
wiskundige foutjes (zo niet fouten of blunders) staan. Daarom blijft ook voor dit dictaat de oproep
uit deel 1 geldig aan de studenten. Ziet u fouten, geef deze dan aan mij door, opdat toekomstige
studenten een beter dictaat verkrijgen.
De volgende onderwerpen zullen aan bod komen.
1. Ophalen kennis lineaire algebra via Cn .
2. De algemene vectorruimten (reeel en complex) worden geı̈ntroduceerd.
3. De lineaire structuur op algemene vectorruimten wordt bestudeerd, via:
• Deelruimten, opspanning en basis.
• Coördinatentransformaties en overgangsmatrix.
4. Lineaire afbeeldingen tussen vectorruimtes worden bestudeerd, via:
• Lineaire afbeeldingen en transformatiematrix.
• Eigenwaarden, eigenruimtes van een lineaire operator.
Bovenstaande zijn de onderwerpen van het eerste deeeltentamen (tesamen met de onderwerpen
differentiaalvergelijkingen).
Het tweede deeltentamen betreft inwendigproductstructeren op vectorruimten (tesamen met de
onderwerpen differentiaalvergelijkingen).
1. Het standaard inwendigproduct op Cn en op andere vectorruimten wordt geı̈ntroduceerd.
2. Inwendig product ruimten worden geı̈ntroduceerd (reeel en complex).
3. Basisrepresentatie inwendigproduct.
4. Projecteren op eindig dimensionale deelruimten.
5. De spectraalstellingen voor reële en complexe matrices.
6. Operatoren theorie, geadjungeerde van een operator, zelfgeadjungeerde operatoren, normale
operatoren.
3
Hoofdstuk 1
Complexe lineaire algebra
1.1
De lineaire structuur van Cn
We worden allen geacht vertrouwd te zijn met de complexe getallen en met de elementaire operaties
op C zoals: optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen en conjugatie (complex toegevoegde). Ook
de polaire vorm (notatie) van een complex getal (d.w.z. z = |z|eiφ ) wordt u geacht te kennen en
ermee te kunnen rekenen. Zo niet, bekijk dan de appendix die op blackboard staat over complexe
getallen 1 .
In deel 1 hebben we de complexe tegenhanger van Rn (die uit alle reële n × 1 matrices bestaat) al
ontmoet, namelijkCn . Deze
bestaat uit alle complexe n × 1 matrices.

z1


We schrijven z =  ...  ∈ Cn . Op Cn definiëren we een optelling en een scalaire vermenigvuldizn
ging (een lineaire structuur) via: als: z, w ∈ Cn en c ∈ C, zeg:



z1



z =  ...  en w = 
zn





w1
z1 + w1
cz1

 . 
..  dan z + w = 
..

 en cz =  .. 
. 
.
wn
zn + wn
czn
Merk op dat op C één operatie bestaat die we reëel niet kennen (of liever, die reëel weinig zinvols
oplevert): de conjugatie z (als z = a + bi dan z = a − bi). We definiëren de conjugatie op Cn
alsvolgt: als z ∈ Cn , zeg:


z1



z =  ...  dan z = 
zn


z1
.. 
. 
zn
Met deze optelling en (complexe )scalaire vermenigvuldiging blijkt Cn een zogeheten (complexe)
vectorruimte te zijn, waarmee we bedoelen dat aan de 8 rekenregels uit deel 1 voldaan is.
1 Naar
een handout van Dr. H.A.W.M. Kneppers
5
6
Hoofdstuk 1. Complexe lineaire algebra
STELLING 1.1. De optelling + voegt aan ieder tweetal z, w ∈ Cn en aan iedere scalair
c ∈ C een vector z + w ∈ Cn en cz ∈ Cn toe, die voldoet aan de volgende 8 rekenregels.
1. z + w = w + z.
( commutatieve eigenschap)
2. (z + w) + v = z + (w + v).
( associatieve eigenschap)
3. Er is een nulvector 0 met de eigenschap z + 0 = 0 + z = z.
4. Voor elke z bestaat een tegengestelde −z zo dat z + (−z) = 0.
5. c(z + w) = cz + cw.
( distributieve eigenschap 1)
6. (c + d)z = cz + dz.
( distributieve eigenschap 2)
7. c(dz) = (cd)z.
8. 1z = z.
De hele theorie zoals eerder behandeld is voor Rn kan herhaald worden voor Cn met letterlijk
dezelfde stellingen en dezelfde bewijzen. Want aan puur symbolisch rekenen kan men niet zien of
in R of in C gerekend wordt (zolang geen ongelijkheden worden gebruikt; de uitspraak x2 ≥ 0 is
waar in R, niet in C). Bijvoorbeeld, het oplossen van complexe stelsels [A|b] (of Az = b) gaat
hetzelfde als bij reële stelsels. Dit hebben we bij deel 1 al gezien en daar hebben we ook ingezien
dat het oplossen van complexe stelsels, hoewel methodisch hetzelfde, rekentechnisch toch een extra
inspanning vraagt. We geven een lijst met de opbouw van de complexe lineaire algebra.
• Als (z1 , z2 , . . . , zk ) een stelsel vectoren in Cn is en als c1 , c2 , . . . , ck scalairen in C zijn, dan
wordt de vector van de vorm
c1 z1 + c2 z2 + · · · + ck zk
een lineaire combinatie van het stelsel genoemd.
 Een lineaire combinatie wordt ook genoteerd

c1
met het matrixvectorproduct: [z1 · · · zk ]  | .
ck
De verzameling van alle lineaire combinaties van dit stelsel heet de “(lineaire) opspanning
van (z1 , . . . , zk )”) en wordt genoteerd met: Span{z1 , . . . , zk }.
• Als z1 , z2 , . . . , zk een stelsel vectoren in Cn is dan zeggen we dat dit dit stelsel lineair onafhankelijk is als de eis: c1 z1 + c2 z2 + · · · + ck zk noodzakelijk impliceert dat c1 = c2 = · · · = ck = 0.
Als dit niet zo is dan heet dit een afhankelijk stel vectoren.
• Een deelverzameling W ⊂ Cn heet een lineaire deelruimte van Cn als:
1. 0 ∈ W ,
2. Als z1 , z2 ∈ W , dan ook z1 + z2 ∈ W , voor alle z1 , z2 ∈ W ,
3. Als z ∈ W en c ∈ C, dan ook cz ∈ W , voor alle z ∈ W en c ∈ C.
• De lineaire deelruimtes van Cn zijn precies die deelverzamelingen die te schrijven zijn als
Span{z1 , . . . , zk }.
• Als W een deelruimte is van Cn dan heet de verzameling B = {b1 , . . . , bk } een basis voor
W als:
1. Span{b1 , . . . , bk } = W .
1.2. Complexe Matrixalgebra
7
2. De verzameling {b1 , . . . , bk } is lineair onafhankelijk.
• Stel dat W een deelruimte is van Cn . Dan bestaat er een basis voor W en twee verschillende
bases van W zullen hetzelfde aantal vectoren hebben. Dit aantal wordt de dimensie van W
genoemd en wordt genoteerd met dim(W ).
• We merken nog op dat de standaardeenheids vectoren vectoren {e1 , e2 , . . . , en } een basis voor
Cn vormen, ook hier de standaardbasis geheten, waaruit volgt dat dim(Cn ) = n. (Hoewel
C = C1 meetkundig wordt voorgesteld met een vlak, is de (algebraı̈sche !) dimensie van C1
dus 1.)
• Ook in de complexe lineaire algebra geldt de uitbreidingsstelling, de uitdunningsstelling en
de dimensiestelling voor deelruimtes.
• Aan een complexe m × n matrix A = [a1 . . . ak ] kunnen we de deelruimtes Col(A) =
Span{a1 , . . . , ak } ⊂ Cm en Nul(A) = {z ∈ Cn |Az = 0} ⊂ Cn toevoegen. Op de ons bekende wijze is een basis te bepalen voor deze ruimtes. De pivotkolommen van A vormen een
basis van Col(A), de richtingsvectoren van de oplossing van het stelsel Az = 0 vormen een
basis van Nul(A).
• Voor een complexe m×n matrix A geldt ook: dim(Col(A))+dim(Nul(A)) = n en dim(Col(A)) =
dim(Col(AT )). Dit laatste getal wordt ook de rang van A genoemd.
1.2
Complexe Matrixalgebra
De complexe matrixalgebra is het evenbeeld van de reële matrixalgebra. Letterlijk dezelfde definitie
van de som en het product van twee matrices geldt. De inverse van een matrix en de inverse matrix
stelling kan letterlijk complex gebruikt worden. Echter, we hebben complex een extra operatie die
we kunnen overhevelen naar de matrices, de operatie conjugeren.
Dit levert bij de complexe matrixalgebra de (nieuwe
operatie de conjugatie van een matrix. A is de
)
matrix A met geconjugeerde kentallen, dus A i,j = ai,j .

1
i
Voorbeeld 1.2. Als A = 
4 − 5i


1−i
1
5 + 2i  dan A =  −i
4 + 5i
4 + 5i

1+i
5 − 2i .
4 − 5i
Bij het bewijs van het volgende lemma zijn de rekenregels voor voor de geconjugeerde z nodig.
(Dit zijn: z = z, z1 + z2 = z1 + z2 en z1 z2 = z1 z2 .)
LEMMA 1.3. Laat A, B matrices zijn. Dan geldt:
1. A + B = A + B,
2. AB = A B,
3. A is een reële matrix als en slechts als A = A.
Het transponeren van complexe matrices gaat zonder enig probleem. Echter, transponeren blijkt
voor de complexe algebra een minder belangrijke operatie te zijn. Wat daarvoor in de plaats komt
is het zogeheten ”Hermitisch2 transponeren”.
2 Charles Hermite 1822-1901. Hij had moeite met zijn studie en heeft 5 jaar over zijn kandidaatsexamen gedaan.
Hij heeft een belangrijke bijdrage geleverd op het gebied van de elliptische functies. Verder heeft hij als eerste het
transcendent zijn van e aangetoond.
8
Hoofdstuk 1. Complexe lineaire algebra
Definitie: Laat A een (complexe) m × n-matrix zijn. De Hermites getransponeerde of
geconjugeerd getransponeerde A∗ van A is de matrix die uit A verkregen wordt door A
te transponeren en van elk kental de complex geconjugeerde te nemen, dus
A∗ = (A)T = (AT ).
Voorbeeld 1.4. De Hermites getransponeerde van de matrix
[
A=
wordt gegeven door de matrix
1 2+i
3
i
0
1−i
]

1
3
A∗ =  2 − i −i  .
0
1+i

De volgende stelling bevat de rekenregels voor Hermites transponeren. Deze rekenregels (eigenschappen) zijn niet moeilijk te bewijzen.
STELLING 1.5 (Eigenschappen van het Hermites transponeren). Als A en B twee (complexe)
matrices zijn, dan geldt
1. (A∗ )∗ = A,
2. (A + B)∗ = A∗ + B ∗ ,
3. (cA)∗ = cA∗ voor ieder complex getal c,
4. (AB)∗ = B ∗ A∗ .
5. A is een reële matrix als en slechts als A∗ = AT .
Met behulp van transponeren zijn in deel 1 op diverse plaatsen speciale typen reële matrices
gedefinieerd. We herhalen deze definities nog even.
Definitie: Laat A een reële matrix zijn. A heet
• symmetrisch als AT = A,
• scheefsymmetrisch als AT = −A.
Afspraak Als we praten over een symmetrische of scheefsymmetrische matrix A, dan zal daarmee
zonder verdere uitleg aangenomen worden dat de matrix A een reële matrix is!
Vervolgens gaan we de (scheef)symmetrische matrices generaliseren met behulp van de definitie
van de Hermites getransponeerde.
1.3. Complexe eigenwaarden en eigenvectoren
9
Definitie: Laat A een matrix zijn. A heet
• Hermites als A∗ = A,
• scheefhermites als A∗ = −A.
Opmerking: We sommen een aantal eigenschappen op:
• A is Hermites als en slechts als aij = aji , (voor alle i, j).
• Als A Hermites is dan staan op de hoofddiagonaal reële getallen.
• A is scheefhermites als en slechts als aij = −aji , (voor alle i, j).
• Als A scheefhermites is dan staan op de hoofddiagonaal zuiver imaginaire getallen.
• A is scheefhermites als en slechts als iA Hermites is.
• Er geldt: een (noodzakelijk reële) symmetrische matrix is Hermites en een (noodzakelijk
reële) scheefsymmetrische matrix is scheefhermites.
Voorbeeld 1.6. Bekijk de matrices




3
1 + i −2
0
1 −2
i 
0
3 
A =  1 − i −5
B =  −1
−2
−i
0
2 −3
0
[
]
[
]
[
]
1
i
1−i
1
1+i
i i
C=
D= √
E=
.
−1 − i
2i
i i
3 1 − i −1
Er geldt: A is Hermites en niet scheefsymmetrisch. B is zowel scheefhermites als scheefsymmetrisch,
maar niet symmetrisch of Hermites. C is scheefhermites, maar niet Hermites. D is Hermites, maar
niet scheefhermites. E is scheefhermites, niet Hermites, niet symmetrisch, niet scheefsymmetrisch.
1.3
Complexe eigenwaarden en eigenvectoren
We willen nog even speciale aandacht vestigen op de theorie van eigenwaarden, eigenvectoren en
diagonaliseerbaarheid. Deel 1 heeft zich beperkt tot de (reële) eigenwaarden van reële matrices.
Als we dit complex gaan doen moeten we eerst de definities geven en/of aanpassen in het geval
ook complexe eigenwaarden worden toegelaten.
Definitie: Een eigenwaarde van een vierkante (complexe) n × n matrix A is een scalar
λ ∈ C waarvoor geldt dat de vergelijking Az = λz een niet-triviale oplossing heeft (met
andere woorden, er bestaat een niet-nulvector z ∈ Cn met de eigenschap dat Az = λz).
Zo’n niet-triviale oplossing z heet een bij λ behorende eigenvector van A.
Als λ een eigenwaarde van A is, dan heet de verzameling oplossingen van Az = λz met z ∈ Cn
de eigenruimte van A bij eigenwaarde λ, en wordt genoteerd met Eλ .
De verzameling eigenwaarden heet het spectrum SP (A) van A.
10
Hoofdstuk 1. Complexe lineaire algebra
Voor een gegeven n × n matrix A hebben we weer:
• Het karakteristiek polynoom pA (λ) (in de variabele λ) van A is het nde –graads polynoom
pA (λ) = det(A − λI).
• De eigenwaarden van de matrix A zijn precies de oplossingen van de karakteristieke vergelijking pA (λ) = det(A − λI) = 0.
• De algebraı̈sche multipliciteit van een eigenwaarde λ0 van A is de multipliciteit van λ0 als
nulpunt van het karakteristiek polynoom. We schrijven hiervoor: a.m.(λ0 ) = k.
• De sommatie van de algebraı̈sche multipliciteiten van de verschillende eigenwaarden van A
is dus de graad van het polynoom, is dus n. Dus:
∑
a.m.(λ) = n
λ∈SP (A)
• Als λ0 een eigenwaarde is van A dan geldt:
Eλ0 = Nul(A − λ0 I)
• De dimensie van de eigenruimte Eλ0 heet de meetkundige multipliciteit van A. We schrijven
hiervoor: m.m.(λ0 ) = dim(Eλ0 ). (In deel 1 is het bewijs hiervan niet gegeven, en het bewijs
is gewoon lastig.)
• Altijd geldt: als λ0 een eigenwaarde van A dan 1 ≤ m.m.(λ0 ) ≤ a.m.(λ0 ).
• Daarom zal altijd gelden:
∑
m.m.(λ) ≤ n
λ∈SP (A)


0 0 −1
0 . We doorlopen voor deze
Voorbeeld 1.7. Beschouw de complexe matrix: A =  0 i
1 0
0
matrix bovenstaande stappen. We bepalen eerst het karakteristiek polynoom.
−λ
0
−1
−λ −1
0 i−λ 0
pA (λ) =
= (i − λ)
= −(λ − i)(λ2 + 1) = −(λ − i)2 (λ + i). We
1 −λ
1
0
−λ
zien: λ = i is eigenwaarde van A met algebraı̈sche multipliciteit a.m.(λ = i) = 2 en λ = −i is een
eigenwaarde van A met algebraı̈sche multipliciteit a.m.(λ = −i) = 1.
Inderdaad, de som van de algebraı̈sche multipliciteiten is 3.
We bepalen Ei en E−i door een basis van beide ruimtes te bepalen.
Ei = Nul(A − iI) levert
 dat de vectorenin Ei precies de oplossing
 is van
 het
 stelsel:



1 0 −i 0
iz3
0
i
−i 0 −1 0
 0 0 0 0  ∼  0 0 0 0 . Dit geeft z =  z2  = z2  1  + z3  0 .
z3
0
1
1 0 −i 0  0 0 0 0
i 
 0
Dus:  1  ,  0  is een basis Ei en we zien m.m.(λ = i) = 2.


0
1
Evenzo:
E−i = Nul(A

 + iI) levert dat de vectoren in E
 −i precies
 de oplossing

 is vanhet
 stelsel:

i 0 −1 0
1 0 i 0
−iz3
−i
 −i 
 0 2i 0 0  ∼  0 1 0 0 . Dit geeft z = 
0  = z3  0 . Dus:  0 


z3
1
1 0
i 0
0 0 0 0
1
is een basis E−i en we zien m.m.(λ = −i) = 1.
1.3. Complexe eigenwaarden en eigenvectoren
11
We vragen ons af of de matrix uit voorafgaand voorbeeld diagonaliseerbaar is. We herinneren ons:
Definitie: Een (eventueel complexe) n × n-matrix A heet (complex) diagonaliseerbaar
als er een (eventueel complexe) inverteerbare matrix P en een (eventueel complexe) diagonaalmatrix D bestaan zo dat A = P DP −1 .
De stellingen uit deel 1 (zie college 13) wat betreft het diagonaliseren van reële matrices hebben alle
een vertaling naar de nieuwe situtie van het diagonaliseren van complexe matrices. We vermelden
expliciet:
LEMMA 1.8. Stel dat A een complexe n × n matrix is.
Als P = [ p1 . . . pn ] een (niet noodzakelijk inverteerbare) n × n matrix is en D = diag(d1 , . . . , dn )
een diagonaalmatrix, dan zijn de volgende uitspraken equivalent:
1. AP = P D,
2. Ieder diagonaalkental di van de matrix D heeft de eigenschap: Api = di pi (i = 1, . . . , n) en
als pi ̸= 0 dan is di dus een eigenwaarde van A.
En dus:
STELLING 1.9. Zij A een (eventueel complexe) n × n matrix. Dan geldt: A is complex diagonaliseerbaar als en slechts als A n (eventueel complexe) lineair onafhankelijke eigenvectoren heeft.
Weer geldt:
STELLING 1.10. Zij A een (eventueel complexe) n × n matrix. Dan geldt: eigenvectoren bij
verschillende (eventueel complexe) eigenwaarden zijn lineair onafhankelijk.
En dus:
STELLING 1.11. Zij A een (eventueel complexe) n × n matrix. Dan geldt: als A n verschillende
eigenwaarden heeft dan is A complex diagonaliseerbaar.
Weer geldt:
STELLING 1.12. Zij A een (eventueel complexe) n × n matrix. Er geldt: A is diagonaliseerbaar
als en slechts als voor iedere eigenwaarde van A geldt dat de meetkundige multipliciteit gelijk is
aan de algebraı̈sche multipliciteit. Dit is equivalent met de uitspraak:
∑
m.m.(λ) = n
λ∈SP (A)
Voorbeeld 1.13. We concluderen dat de matrix A uit voorbeeld 1.7 diagonaliseerbaar is. Inderdaad, daar is de som van de meetkundige multipliciteiten gelijk aan 2 + 1 = 3 en A is een 3 × 3
matrix.


0 i −i
0 
Een diagonalisering is te vinden op de gebruikelijke manier: A = P DP −1 met P =  1 0
0 1
1


i 0
0
0  (de overeenkomstige eigenwaarden in de diagonaal(de eigenvectoren in P ) en D =  0 i
0 0 −i
matrix D).
12
Hoofdstuk 1. Complexe lineaire algebra
2
Een diagonalisering is handig om te hebben, bijvoorbeeld
om An te bepalen.
Hier zien we:


 A =
2
(i)
0
0
−1
0
0
0 (i)2
0  =  0 −1
0  = −I3
P DP −1 P DP −1 = P D2 P −1 en omdat D2 = 
2
0
0 (−i)
0
0 −1
volgt: A2 = P D2 P −1 = P (−I)P −1 = −P P −1 = −I.
Wat de terminologie van deel 1 over diagonaliseren van reële matrices moeten we iets voorzichtiger
zijn. We geven eerst een voorbeeld:
Voorbeeld 1.14. Bekijk de matrix

1
 0
A=
 0
0

0 0
0
1 0
0 
.
0 0 −1 
0 1
0
De eigenwaarden van deze matrix vinden we uit de vergelijking
det(A − λI) = (1 − λ)2 (λ2 + 1) = 0.
In deel 1 zouden we zeggen: λ = 1 is de enige eigenwaarde van A met meetkundige multipliciteit
2 (ga na) en dus is de matrix A niet diagonaliseerbaar.
Nu kunnen we zeggen: de eigenwaarden zijn dus i, −i en 1 (met algebraı̈sche multipliciteit 2).
Ga na dat de vectoren
 


1
0
 0 
 1 



u1 = 
 0  en u2 =  0 
0
0
een basis vormen voor de eigenruimte bij eigenwaarde 1. De vectoren
 


0
0
 0 
 0 



u3 = 
 1  en u4 =  1 
i
−i
vormen bases voor de eigenruimten bij respectievelijk de eigenwaarden −i en i. Als we nu definieren




1 0 0 0
1 0 0 0
 0 1 0 0 
 0 1 0 0 



P =
 0 0 1 1  en D =  0 0 −i 0 
0 0 i −i
0 0 0 i
dan geldt A = P DP −1 en de matrix A is opeens wel diagonaliseerbaar geworden, maar complexe
getallen zijn nodig.
Kennelijk moeten we enige voorzichtigheid betrachten met wat we bedoelen “A is diagonaliseerbaar”, als de matrix A reëel is. Daarom:
Definitie: Laat A een reële n × n matrix zijn.
De matrix A heet reëel diagonaliseerbaar als er een reële inverteerbare matrix P en een
reële diagonaalmatrix D bestaan zo dat A = P DP −1 .
De matrix A heet complex diagonaliseerbaar als er een (eventueel complexe) inverteerbare
matrix P en een (eventueel complexe) diagonaalmatrix D bestaan zo dat A = P DP −1 .
1.3. Complexe eigenwaarden en eigenvectoren
13
Opmerking: Een reëel diagonaliseerbare matrix is ook complex diagonaliseerbaar.
De reële matrix A uit bovenstaand voorbeeld 1.14 is niet reëel diagonaliseerbaar, maar wel complex
diagonaliseerbaar.
Opmerking: Een reële matrix A kan om twee redenen niet reëel-diagonaliseerbaar zijn, namelijk:
A heeft een niet-reële eigenwaarde of er bestaat een eigenwaarde λ waarvan de dimensie van de
eigenruimte kleiner is dan de algebraı̈sche multipliciteit van λ.
Echter, een matrix A kan slechts om één reden niet complex-diagonaliseerbaar zijn, namelijk: er
bestaat een eigenwaarde λ waarvan de dimensie van de eigenruimte kleiner is dan de algebraı̈sche
multipliciteit van λ.
Herinner: Een matrix die een eigenwaarde λ heeft waarvan de meetkundige multipliciteit strikt
kleiner is dan de algebraı̈sche multipliciteit, heet defect (in λ).
Hoofdstuk 2
De lineaire structuur op een
vectorruimte
2.1
Vectorruimten
Tijdens voorafgaande colleges in de lineaire algebra zijn de vectorruimten Rn en de Cn geı̈ntroduceerd
tezamen met hun deelruimten. De denkwereld van de lineaire structuur die daar gecreëerd is, blijkt
ook in andere “ruimten” dan alleen Rn of Cn toepasbaar te zijn.
Bij het rekenen en redeneren in de lineaire structuur van Rn of Cn spelen de rekenoperaties optelling
en scalaire vermenigvuldiging (vermenigvuldiging met een reëel of complex getal) een rol. Waarom
zou dit alleen met kolommen kunnen? Inderdaad, er zijn veel meer objecten waarvoor een optelling
en een scalaire vermenigvuldiging gedefinieërd zijn: matrices van gelijke afmeting, getalrijen (eindig
of oneindig lang) en reëel- of complexwaardige functies (zie ook de voorbeelden verderop). Het
blijkt dat allerlei theorie, die reeds ontwikkeld is voor Rn of Cn , ook geldt in deze gevallen.
Om iets concreter te worden: bij differentiaalvergelijkingen bestaat de oplossing vaak uit lineaire
combinaties van bepaalde basisoplossingen. Als we bijvoorbeeld kijken naar de vergelijking y ′′ +y =
0, dan vinden we als oplossing y = A cos t + B sin t. Hier zijn cos t en sin t de basisoplossingen en
A en B zijn vrij te kiezen coëfficiënten. Naar analogie van de lineaire combinatie in Rn zouden we
deze basisoplossingen met hun lineaire combinaties ook graag als vectoren willen zien en praten
over Span{cos t, sin t}.
Om precies vast te leggen in welke situaties we kunnen spreken over vectoren, wordt het begrip
vectorruimte geı̈ntroduceerd. De eerste die in een boek een axiomatische definitie gaf van een
vectorruimte (wat ook wel lineaire ruimte genoemd wordt) was Peano.1 Dit boek werd gepubliceerd
in Turijn in 1888. Er is in de definitie sprake van twee verzamelingen. De vectorruimte is een
verzameling en de elementen hieruit zullen vectoren heten, De vectoren worden in dit dictaat weer
aangeduid met een dik gedrukte letter. De tweede verzameling zijn elementen uit een zogeheten
scalairen–lichaam, waarvan de elementen scalairen 2 worden genoemd, en de verzameling L.
Meestal zal dit R of C zijn. In de informatica is dit vaak {0, 1}.
1 Giuseppe Peano (1858-1932). In het boek “Calcolo geometrico secondo l’Ausdehnungslehre di H. Grassmann
preceduto dalle operazioni della logica deduttiva”, waarin hij de definitie van een vectorruimte gaf, introduceerde
hij tevens de notaties ∩, ∪ en ∈ voor doorsnede, vereniging en ‘is element van’.
2 Het uit het Frans overgenomen woord scalair (wordt ook op zijn Duits skalar genoemd) is verwant met het
Nederlandse woord (peil)schaal. Een scalair is dan ook een schalingsfactor.
15
16
Hoofdstuk 2. De lineaire structuur op een vectorruimte
Definitie: Een reële vectorruimte (of een reële lineaire ruimte) is een niet-lege verzameling V waarop twee operaties gedefinieërdd zijn:
• Een optelling die bij elk tweetal v, w ∈ V een element v + w ∈ V maakt;
• Een scalaire vermenigvuldiging die bij elk tweetal c ∈ R en v ∈ V een element cv ∈ V
maakt.
Deze optelling en scalaire vermenigvuldiging moeten voldoen aan de volgende acht axioma’s
(eisen), die moeten gelden voor iedere u, v, w in V en voor iedere c, d in R:
(1) u + v = v + u
(2) (u + v) + w = u + (v + w)
(commutatieve eigenschap)
(associatieve eigenschap)
(3) Er is een element e in V met de eigenschap dat e + v = v voor alle v ∈ V
(4) Bij ieder element v ∈ V bestaat een element w in V zo dat v + w = e
(5) c(dv) = (cd)v
(6) 1v = v
(7) (c + d)v = cv + dv
(distributieve eigenschap 1 )
(8) c(v + w) = cv + cw
(distributieve eigenschap 2 )
Een complexe vectorruimte (of een complexe lineaire ruimte) wordt op dezelfde manier
gedefinieërd, met dit verschil dat de scalairen nu uit C gekozen worden. In bovenstaande moet
elke R dus door C vervangen worden.
Een reële vectorruimte wordt ook wel een vectorruimte over R genoemd en een complexe
vectorruimte een vectorruimte over C.
Elementen van een vectorruimte worden vectoren genoemd. De vector e uit de derde rekenregel wordt de nulvector van V genoemd en genoteerd met 0. De vector w uit de vierde
rekenregel wordt de tegengestelde van v genoemd en genoteerd met −v.
Opmerking: (Voor hen die een theoretische interesse hebben.) Het is belangrijk dat bij de optelling het resultaat (v + w) weer in de verzameling V ligt. Men zegt wel: V is gesloten ten opzichte
van de optelling. Dit moet je controleren. Hetzelfde geldt voor de scalaire vermenigvuldiging: V
moet ook gesloten zijn t.o.v. de scalaire vermenigvuldiging, d.w.z het resultaat cv moet weer tot
V behoren (voor alle c uit R of C en v uit V ).
Om na te gaan of een gegeven verzameling met twee operaties een vectorruimte is, moeten uiteindelijk elf zaken worden nagegaan. Voordat de acht “rekenaxioma’s” gecontroleerd worden, moet
je namelijk laten zien dat V niet leeg is en dat V gesloten is onder de optelling en de scalaire
vermenigvuldiging.
Tenslotte merken we nog op dat we inderdaad mogen praten over de nulvector en de tegengestelde
van een vector, omdat deze uniek zijn. Zie Stelling 2.1.
Rekenregels
Wij hebben in dit dictaat gekozen voor scalairen uit R of C. Afhankelijk van de toepassing zijn
ook andere keuzen mogelijk. Zo kiest men in de digitale wereld (informatica, coderingstheorie,
2.1. Vectorruimten
17
cryptografie) de scalairen vaak gelijk aan 0 of 1 en wordt in plaats van R of C dus {0, 1} genomen.
Niet elke keuze van scalairen levert een vectorruimte op. De eis die op de verzameling van scalairen
gelegd moet worden is dat het een zogenaamd lichaam moet zijn. Dat is een verzameling waarop
een “nette” optelling en vermenigvuldiging zijn gedefinieërd. Wat precies een scalairen–lichaam is
zullen we niet zeggen. Wel zeggen we dat zo’n lichaam tenminste een 0 en een 1 moet bevatten,
en aan de eigenschap: “voor iedere c ̸= 0 moet een c′ in het lichaam bestaan zo dat cc′ = 1”
moet voldoen. De verzameling gehele getallen Z is dan ook GEEN lichaam. Er bestaan dus geen
vectorruimtes over Z. Wij beperken ons in dit dictaat tot R of C. Deze keuze is in het algemeen
geschikt voor natuurkundige en elektrotechnische toepassingen.
In het vervolg zullen we regelmatig spreken over vectorruimten over L waarbij voor L in principe
elk lichaam ingevuld kan worden. Voor ons volstaat het dan om slechts te denken aan R of C. De
volgende stelling, waarin enkele rekenregels geformuleerd worden die in elke vectorruimte gelden,
is daar een voorbeeld van.
STELLING 2.1. Zij V een vectorruimte over L. Dan gelden de volgende regels voor willekeurige v ∈ V en c ∈ L.
(a) De nulvector is uniek.
(b) Elke vector heeft precies één tegengestelde
(c) Voor elke vector v uit V geldt −(−v) = v
(d) Voor elk drietal vectoren v, x en y uit V geldt: uit v + x = v + y volgt x = y
(e) 0v = 0,
(f ) c0 = 0,
(g) (−1)v = −v,
(h) cv = 0 =⇒ c = 0 of v = 0.
Bewijs: Omdat we willen aantonen dat bovenstaande regels in elke vectorruimte gelden, zullen
we ons zeer strak aan de definiërende rekenregels (1) t/m (8) van vectorruimten moeten houden.
Daarom wordt bij elke stap vermeld waarom deze goed is.
(3)
(1)
(3)
(a): Als 0 en 0′ nulvectoren zijn, dan volgt: 0′ = 0 + 0′ = 0′ + 0 = 0. Bij het eerste =-teken
hebben we (3) gebruikt voor 0 en bij het derde =-teken voor 0′ .
(b): Stel dat b en c tegengestelden zijn van a, dus a + b = 0 en a + c = 0. Dan volgt:
(3)
(1)
(2)
(1)
(3)
b = 0 + b = (a + c) + b = (c + a) + b = c + (a + b) = c + 0 = 0 + c = c.
(1)
(4)
(c): Er geldt (−v) + v = v + (−v) = 0. Hiermee volgt uit (4) en (b) dat v de tegengestelde is
van −v. Anders gezegd: v = −(−v).
(d): Als geldt v + x = v + y, dan tellen we aan beide zijden van de vergelijking (−v) op. Links
komt er dan:
(2)
(1)
(4)
(3)
(−v) + (v + x) = (−v + v) + x = (v + (−v)) + x = 0 + x = x,
en net zo komt er rechts: (−v) + (v + y) = y. Dus volgt nu:
x = (−v) + (v + x) = (−v) + (v + y) = y.
18
Hoofdstuk 2. De lineaire structuur op een vectorruimte
(7)
(4)
(e): 0v = (0 + 0)v = 0v + 0v. Tel nu aan beide zijden (−0v) op. Links komt er 0v + (−0v) = 0
(2)
(4)
(3)
en rechts: (0v + 0v) + (−0v) = 0v + (0v + (−0v)) = 0v + 0 = 0v. Dus 0v = 0.
(3)
(8)
(f): c0 = c(0 + 0) = c0 + c0. Door weer aan beide zijden (−c0) op te tellen, volgt nu, net als bij
het bewijs van (e), 0 = c0.
(6)
(7)
(e)
(g): v +(−1)·v = 1·v +(−1)·v = (1−1)·v = 0v = 0. Vanwege de uniciteit van de tegengestelde
(uitspraak (b)) volgt nu het gestelde.
(h): Stel dat cv = 0. Als c = 0, dan zijn we klaar. Daarom nemen we aan dat c ̸= 0 (en dus
bestaat 1c ) en we tonen aan dat volgt: v = 0. Als volgt: cv = 0 ⇒ 1c (cv) = 1c 0 en uit rekenregel
(6)
(5) en uit (f) volgt: ( 1c c)v = 0 ⇒ (1)v = 0 ⇒ v = 0. De conclusie volgt.
Standaard Reële Vectorruimten
We geven nu een tamelijk uitputtende lijst van standaardvoorbeelden van reële vectorruimten.
Deze voorbeelden zullen we in de rest van het dictaat regelmatig gebruiken.
Voorbeeld 2.2. Het eerste voorbeeld is natuurlijk Rn . Dit voorbeeld is de afgelopen tijd uitputtend besproken.
Voorbeeld 2.3. We noteren met Mm×n (R) de verzameling van m × n matrices met kentallen
in R. Twee matrices uit Mm×n (R) kunnen we bij elkaar optellen door de kentallen op de corresponderende plaatsen telkens bij elkaar op te tellen. Een matrix kan met een reëel getal worden
vermenigvuldigd door elk van de kentallen met dat reële getal te vermenigvuldigen. Het is eenvoudig in te zien dat Mm×n (R) met deze bewerkingen een vectorruimte is. De vectoren uit deze
vectorruimte zijn hier dus matrices. Als illustratie controleren we voor M2×2 (R) de zevende rekenregel:
[
] [
]
[
]
[
]
c2 a11 c2 a12 def.opt.
a11 a12
a11 a12 def.sc.verm. c1 a11 c1 a12
=
+
=
c1
+ c2
c1 a21 c1 a22
c2 a21 c2 a22
a21 a22
a21 a22
[
]
[
]
c1 a11 + c2 a11 c1 a12 + c2 a12 eig.van R (c1 + c2 )a11 (c1 + c2 )a12 def.sc.verm.
=
=
=
c1 a21 + c2 a21 c1 a22 + c2 a22
(c1 + c2 )a21 (c1 + c2 )a22
[
]
a11 a12
= (c1 + c2 )
.
a21 a22
De uitspraak: “kies een m × n matrix A met reële coëfficienten” kan met de ingevoerde notatie
worden afgekort tot: “kies A ∈ Mm×n (R)”.
Voorbeeld 2.4. Bekijk de verzameling van alle oneindige rijtjes (voor het gemak horizontaal
geschreven) van reële getallen gedefinieerd door
{(a0 , a1 , a2 , a3 , · · · ) | a0 , a1 , a2 , a3 , · · · ∈ R}.
In de Elektro heten zulke rijtjes vaak “tijd discrete signalen”.
De optelling en scalaire vermenigvuldiging definieëren we coördinaatsgewijs:
(a0 , a1 , a2 , · · · ) + (b0 , b1 , b2 , · · · ) = (a0 + b0 , a1 + b1 , a2 + b2 , · · · )
c(a0 , a1 , a2 , · · · = (ca0 , ca1 , ca2 , · · · ).
De verzameling is gesloten ten opzichte van deze optelling en scalaire vermenigvuldiging. Verder
voldoet deze verzameling aan alle vectorruimte-axioma’s. Het is daarmee een vectorruimte over R.
In feite zijn vectoren nu kolommen (of rijen) met oneindig veel reële kentallen en in die zin is het
een uitbreiding van Rn . Deze vectorruimte wordt dan ook als R∞ genoteerd.
2.1. Vectorruimten
19
Door de indices van −∞ tot ∞ te laten lopen, kan nog een rijtjesruimte gemaakt worden. De
verzameling is dan
{(· · · , a−2 , a−1 , a0 , a1 , a2 , · · · ) | · · · , a−2 , a−1 , a0 , a1 , a2 , · · · ∈ R}.
De optelling en scalaire vermenigvuldiging worden weer coördinaatsgewijs gedefinieërd:
(· · · , a−1 , a0 , a1 , · · · ) + (· · · , b−1 , b0 , b1 , · · · ) = (· · · , a−1 + b−1 , a0 + b0 , a1 + b1 , · · · )
c(· · · , a−1 , a0 , a1 , · · · ) = (· · · , ca−1 , ca0 , ca1 , · · · ).
Deze vectorruimte van de reële dubbel oneindige rijtjes wordt genoteerd met R±∞ .
Voorbeeld 2.5. Als X een formele variabele is, dan heet
p(X) = a0 + a1 X + a2 X 2 + · · · + an X n
met ai ∈ R
een reëel polynoom van de graad tenhoogste n. De verzameling van alle reële polynomen van graad
tenhoogste n wordt genoteerd met
Pn (R)
Pas op, men wordt niet geacht waarden aan de X toe te kennen, reëel polynoom betekent dat de
coëfficienten ak reëel zijn, niet de X.
De graad van p(X) ∈ Pn (R) is de grootste k ≤ n met ak ̸= 0. Mochten alle ak gelijk zijn aan 0,
dan zeggen we dat het polynoom van de graad −1 is.
Op Pn (R) definiëren we alsvolgt een optelling en een scalaire vermenigvuldiging: als p(X) =
a0 + a1 X + a2 X 2 + · · · + an X n en q(X) = b0 + b1 X + b2 X 2 + · · · + bn X n dan is
p(X) + q(X) = (a0 + b0 ) + (a1 + b1 )X + (a2 + b2 )X 2 + · · · + (an + bn )X n
cp(X) = (ca0 ) + (ca1 )X + (ca2 )X 2 + · · · + (can )X n .
De verzameling Pn (R) is gesloten ten opzichte van deze optelling en scalaire vermenigvuldiging.
Verder voldoet deze verzameling aan alle vectorruimte-axioma’s. Het is daarmee een vectorruimte
over R.
Als we de afspraak maken dat in de notatie van p(X) die termen ak X k van p(X) met ak = 0
weggelaten mogen worden (behalve als alle ak nul zijn, dan schrijven we p(X) = 0), dan geldt:
Pn (R) ⊂ Pn+1 (R)
(dit in tegenstelling tot Rn : er geldt NIET: Rn ⊂ Rn+1 ).
Het volgende voorbeeld beschrijft de belangrijkste en MEEST voorkomende vectorruimten, namelijk de functieruimten. Juist deze ruimten zijn de reden van de uitbreiding van Rn tot algemene
vectorruimten en ze zijn voor fysische toepassingen van groot belang. Voordat we overgaan tot de
precieze formulering eerst even wat constateringen.
Voorbeeld 2.6. We bekijken straks de verzameling V van alle functies naar R met een vast
domein, bijvoorbeeld R, dus V = {f |f : R → R}. De functies f1 , f2 en f3 met de voorschriften
f1 (x) = 5x2 − 2x + 8,
f2 (x) = 4
√
3|x|,
1
f3 (x) = |x − |
2
behoren bijvoorbeeld tot deze verzameling V . Ook de functie f4 met voorschrift
{
0 als x ∈ Q
f4 (x) =
1 als x ̸∈ Q
20
Hoofdstuk 2. De lineaire structuur op een vectorruimte
behoort tot V . De functie f5 met voorschrift f5 (x) = 2 ln(−5x) behoort niet tot V .
Twee functies van [0, 1] naar R kunnen we optellen. Dit levert een nieuwe functie van [0, 1] naar
R. Zo geldt bijvoorbeeld dat f1 + f2 de functie g is met voorschrift
√
g(x) = 5x2 − 2x + 8 + 4 3x.
Overigens is het onnodig om de letter g te gebruikten als naam voor de somfunctie, f1 + f2 is
eigenlijk veel duidelijker:
√
(f1 + f2 )(x) = 5x2 − 2x + 8 + 4 3|x|.
Op dezelfde manier is f2 + f4 de functie met voorschrift
{ √
4√3|x|
(f2 + f4 )(x) =
4 3|x| + 1
als x ∈ Q
als x ∈
̸ Q.
Een functie kan ook met een reëel
3f1 is de functie met voorschrift
√ getal vermenigvuldigd worden:
√
(3f1 )(x) = 15x2 − 6x + 24 en − 2f2 heeft voorschrift −4 6x.
Bovenstaand voorbeeld geeft aanleiding tot een som en scalaire vermenigvuldiging op een verzameling functies met vast domein en dus ook tot een vectorruimtestructuur.
Voorbeeld 2.7. We bekijken hier de verzameling van alle functies van een vast domein D naar
R. Deze wordt genoteerd als
F(D, R)
Twee functies f1 en f2 van D naar R kunnen we bij elkaar optellen tot een functie f1 + f2 van D
naar R, door in ieder punt van het domein D de twee functiewaarden bij elkaar op te tellen, dus
(f1 + f2 )(x) = f1 (x) + f2 (x)
voor alle x ∈ D.
Verder kunnen we een functie f in zijn geheel met een scalair c ∈ R vermenigvuldigen zodat we de
functie cf krijgen via
(cf )(x) = c · f (x)
voor alle x ∈ D.
Met deze optelling en scalaire vermenigvuldiging voldoet de functieruimte F(D, R) aan alle axioma’s van een vectorruimte over R. De nulfunctie die elk punt van het domein op 0 ∈ R afbeeldt,
fungeert daarbij als de nulvector. Deze functie wordt vaak (verwarrend) genoteerd met 0. Deze
0 staat dus niet voor het getal nul maar voor een functie, waar je dus waarden voor kunt invullen. (Dus: 0(x) = 0, voor alle x ∈ D) Na invullen van zo’n waarde krijg je wel het getal
nul. [In het vervolg zullen we vaak een berekening in de trend van “bepaal alle scalairen c en d
zo dat c sin x + d cos x = 0” tegenkomen. Bedoeld wordt dan dat de functie f met voorschrift
f (x) = c sin x + d cos x gelijk moet zijn aan de nulfunctie. De gelijkheid moet dus gelden voor alle
x ∈ D. Vaak kunnen c en d dan bepaald worden door enkele verstandige waarden voor x in te
vullen. Hier werken x = 0 en x = 12 π bijvoorbeeld goed. Die waarden leveren respectievelijk d = 0
en c = 0.]
De tegengestelde van een functie f is gelijk aan de functie (−1)f want
f (x) + ((−1)f )(x) = f (x) + (−f (x)) = 0 = 0(x)
voor alle x.
Merk op dat dit eigenlijk onderdeel (g) van Stelling 2.1 is, dus eigenlijk hadden we dit al bewezen!
Standaard Complexe Vectorruimten
We geven eveneens een lijst van standaardvoorbeelden van complexe vectorruimten. Deze voorbeelden zullen we in de rest van het dictaat regelmatig gebruiken.
2.1. Vectorruimten
21
Voorbeeld 2.8. Het eerste voorbeeld is natuurlijk Cn . Dit voorbeeld is de afgelopen tijd uitputtend besproken, en we worden geacht experts te zijn op dit gebied.
Voorbeeld 2.9. We noteren met Mm×n (C) de verzameling van m × n matrices met kentallen
in C. Twee matrices uit Mm×n (C) kunnen we bij elkaar optellen door de kentallen op de corresponderende plaatsen telkens bij elkaar op te tellen. Een matrix kan met een complex getal
worden vermenigvuldigd door elk van de kentallen met dat complexe getal te vermenigvuldigen.
Het is eenvoudig in te zien dat Mm×n (C) met deze bewerkingen een vectorruimte over C is. De
uitspraak: “kies een m × n matrix A met complexe coëfficienten” kan met de ingevoerde notatie
worden afgekort tot: “kies A ∈ Mm×n (C)”.
Voorbeeld 2.10. Bekijk de verzameling van alle oneindige rijtjes (voor het gemak horizontaal
geschreven) van complexe getallen gedefinieërd door
{(a0 , a1 , a2 , a3 , · · · ) | a0 , a1 , a2 , a3 , · · · ∈ C}.
De optelling en scalaire vermenigvuldiging definieëren we weer coördinaatsgewijs:
(a0 , a1 , a2 , · · · ) + (b0 , b1 , b2 , · · · ) = (a0 + b0 , a1 + b1 , a2 + b2 , · · · )
c(a0 , a1 , a2 , · · · ) = (ca0 , ca1 , ca2 , · · · ).
De verzameling is gesloten ten opzichte van deze optelling en scalaire (uit C) vermenigvuldiging.
Verder voldoet deze verzameling aan alle vectorruimte-axioma’s. Het is daarmee een vectorruimte
over C. Deze vectorruimte wordt als C∞ genoteerd.
Door de indices van −∞ tot ∞ te laten lopen, kan nog een rijtjesruimte gemaakt worden. De
verzameling is dan
{(· · · , a−2 , a−1 , a0 , a1 , a2 , · · · ) | · · · , a−2 , a−1 , a0 , a1 , a2 , · · · ∈ C}.
De optelling en scalaire vermenigvuldiging worden weer coördinaatsgewijs gedefinieërd:
(· · · , a−1 , a0 , a1 , · · · ) + (· · · , b−1 , b0 , b1 , · · · ) = (· · · , a−1 + b−1 , a0 + b0 , a1 + b1 , · · · )
c(· · · , a−1 , a0 , a1 , · · · ) = (· · · , ca−1 , ca0 , ca1 , · · · ).
Deze vectorruimte van de reële dubbel oneindige rijtjes wordt genoteerd met C±∞ .
Voorbeeld 2.11. Als X een formele variabele is, dan heet
p(X) = a0 + a1 X + a2 X 2 + · · · + an X n
met ai ∈ C
een complex polynoom van de graad tenhoogste n. De verzameling van alle complexe polynomen
van graad tenhoogste n wordt genoteerd met
Pn (C)
Op Pn (C) wordt op dezelfde manier als op Pn (R) een optelling en een scalaire vermenigvuldiging
gedefiniëerd en wordt daarmee een vectorruimte over C.
De voor ons weer belangrijkste vectorruimten zijn de complexe functieruimten.
Voorbeeld 2.12. We bekijken hier de verzameling van alle functies van een vast domein D naar
C. Deze wordt genoteerd als
F(D, C)
22
Hoofdstuk 2. De lineaire structuur op een vectorruimte
Twee functies f1 en f2 van D naar C kunnen we bij elkaar optellen tot een functie f1 + f2 van D
naar C, door in ieder punt van het domein D de twee functiewaarden bij elkaar op te tellen, dus
(f1 + f2 )(x) = f1 (x) + f2 (x)
voor alle x ∈ D.
Verder kunnen we een functie f in zijn geheel met een scalair c ∈ C vermenigvuldigen zodat we de
functie cf krijgen via
(cf )(x) = c · f (x)
voor alle x ∈ D.
Met deze optelling en scalaire vermenigvuldiging voldoet de functieruimte F(D, C) aan alle axioma’s van een vectorruimte over C. De nulfunctie die elk punt van het domein op 0 ∈ C afbeeldt,
fungeert daarbij als de nulvector.
Merk op dat bij bijvoorbeeld F([a, b], C) functies bekeken worden van een reële variabele x, echter
de functiewaarde f (x) zit in C!
De Grote L2 ruimten
In de wiskunde (en in de quantum-mechanica) neemt de Grote L2 ruimte een bijzonder belangrijke
plaats in. Echter, om deze goed te behandelen zouden we eigenlijk eerst een college echte analyse
moeten geven, over maattheorie en over de Lebesque–integraal.
Een functie f : [a, b] → R (of C) heet kwadratisch integreerbaar over het interval [a, b] als
∫
b
|f (x)|2 dx < ∞.
a
∫b
Hier staat a f (x) dx voor de Lebesque–integraal van f . Voor alle functies waarmee natuurkundigen
werken is dit gelijk aan de ons bekende Riemann integraal.
De verzameling van alle reële (resp. complexe) kwadratisch integreerbare functies op [a, b] wordt
genoteerd met
L2 ([a, b], R) respectievelijk L2 ([a, b], C)
Dat dit inderdaad een vectorruimte is, valt niet mee om aan te tonen. (Waarom, als f, g kwadratisch
integreerbaar zijn, is ook f + g kwadratisch integreerbaar?)
De reden dat L2 ([a, b], R) (en L2 ([a, b], C)) verschillend is van F([a, b], R) (respectievelijk F([a, b], C))
(of liever verschillend is van de verzameling kwadratisch integreerbare functies in F([a, b], R)) is de
volgende aanname die we zullen doen.
“Functies in L2 ([a, b], R) die slechts in eindig veel punten van het domein verschillen zullen we
identificeren.”
Dit is U niet vreemd, dit bent U ook al gewend van het college voortgezette analyse. Daar
identificeerde u twee “piecewise–continuous functions” als ze slechts in eindig veel punten verschilde.
Wiskundig correct zou zijn functies te identificeren die slechts op een verzameling van maat 0
verschillend waren. Maar dan is kennis van de maattheorie nodig.
2.2
De afhankelijkheid van de vectorruimte axioma’s
Opmerking: Deze paragraaf betreft enkele opmerkingen aangaande het verschil tussen axioma’s
en stelling. Het is zeker geen tentamenstof.
Wat is nu het verschil tussen de 8 axioma’s (eisen) uit de definitie van een vectorruimte en de 8
stellingen (uitspraken) uit Stelling 2.1?
2.2. De afhankelijkheid van de vectorruimte axioma’s
23
Welnu, de uitspraak
(−1)v = −v
is een bijzonder gewenste identiteit. Deze hoeft echter niet als een negende axioma aan de definitie
worden toegevoegd, want deze is al een GEVOLG van de eerste 8 axioma’s (zie stelling 2.1).
Zo kan men zich ook afvragen: zou men axioma 6:
1v = v
niet mogen weglaten uit de axioma’s en deze als negende resultaat aan Stelling 2.1 kunnen toevoegen?
Het volgende voorbeeld laat zien dat niet mag. Dit is een voorbeeld van een “soort lineaire structuur”, een optelling en een scalaire vermenigvuldiging, die aan de axioma’s 1 tot en met 5, 7 en
8 voldoet, maar NIET aan axioma 6. En dit voorbeeld laat zien dat axioma 6 GEEN gevolg kan
zijn van de overigen axioma’s en dat dit axioma dus echt nodig is (tenminste, als men echt altijd
wilt dat 1v = v).
Voorbeeld 2.13. Beschouw V = R2 met de standaard optelling u + v maar de niet standaard
scalaire vermenigvuldiging
cv = 0 voor alle v ∈ R2 en c ∈ R.
Het is eenvoudig in te zien dat deze optelling en scalaire vermenigvuldiging aan alle axioma’s
voldoet, behalve aan axioma 6. Dit is dus GEEN voorbeeld van een vectorruimte.
Opmerking: Het is wellicht een ziekte onder de wiskundigen, maar die willen er van overtuigd
zijn dat iedere axioma van de lijst echt nodig is. Bij de opgaven kunt u nog twee voorbeelden
vinden van een “soort lineaire structuur”, een optelling en een scalaire vermenigvuldiging, die aan
precies 7 van de 8 axioma’s voldoen.
In ongeveer 1910 werd ontdekt dat de axioma’s van een vectorruimte niet onafhankelijk van elkaar
zijn. Axioma 1 (x + y = y + x) is af te leiden uit de overige axioma’s. En wel op de volgende
manier.
Bewijs: Kies x en y uit V en fixeer deze.
Merk op: 2x = (1 + 1)x = 1x + 1x = x + x. (Gebruikt: axoima 7 en 6.)
In het bijzonder geldt:
2(x + y) = x + y + x + y. (We gebruiken axioma 2 door geen haakjes te gebruiken!)
Ook geldt volgens axioma 8:
2(x + y) = 2x + 2y = (1 + 1)x + (1 + 1)y = x + x + y + y
We concluderen: x + x + y + y = x + y + x + y (**)
Vervolgens gebruiken we axioma 3 en 4 door bij deze identiteit linska een x en rechts een y af te
snoepen, door:
−x + x + x + y + y − y = −x + x + y + x + y − y
Via de associatieve wet (axioma 2) krijgen we:
(−x + x) + (x + y) + (y − y) = (−x + x) + (y + x) + (y − y)
en dus:
0 + (x + y) + 0 = 0 + (y + x) + 0
d.w.z.
x + y = y + x.
Toch wel een slim en leuk bewijs.
24
2.3
Hoofdstuk 2. De lineaire structuur op een vectorruimte
Lineaire Opspanning en Deelruimten
In deze paragraaf komen we tot de bestudering van de fundamentele begrippen van de lineaire
algebra.
Lineaire Combinaties en Lineaire Omhulsels
Voordat we de betreffende definities geven, eerst de volgende terminologie. We noemen een geordende verzameling van een eindig stel niet noodzakelijk verschillende vectoren v1 , v2 , . . . , vn uit
een vectorruimte V een stelsel vectoren Als de volgorde van de vectoren van belang is, wordt dit
stelsel vectoren genoteerd als
(v1 , v2 , . . . , vn ),
Als de volgorde niet van belang is, kan het stelsel ook genoteerd worden als
{v1 , v2 , . . . , vn }.
en spreken we van een verzameling vectoren. Een stelsel vectoren kan eventueel leeg zijn.
We benadrukken nog eens dat in een stelsel vectoren eventueel twee of meer gelijke vectoren kunnen
voorkomen.
Definitie: Als (v1 , v2 , . . . , vn ) (of {v1 , v2 , . . . , vn } ) een niet leeg stelsel (of verzameling)
vectoren uit een vectorruimte V over R (respectievelijk. C) is en als c1 , c2 , . . . , cn getallen in
R (respectievelijk C) zijn, dan wordt een vector van de vorm
c1 v1 + c2 v2 + · · · + cn vn
een lineaire combinatie van het stelsel genoemd en de getallen c1 , c2 , . . . , cn de gewichten van
de lineaire combinatie.
Als het stelsel leeg is, kunnen we een dergelijke uitdrukking niet opschrijven. Desondanks
noemen we in dat geval de nulvector 0 een lineaire combinatie van dit lege stelsel.
De verzameling U van alle lineaire combinaties van het stelsel heet het lineaire omhulsel (of
het lineaire opspansel of kortweg de span van (v1 , v2 , . . . , vn ), of de span van {v1 , v2 , . . . , vn }).
Notatie:
Span(v1 , . . . , vn ) of Span{v1 , . . . , vn }.
We zeggen vaak dat het stelsel de verzameling U voortbrengt of opspant.
Het is je waarschijnlijk al opgevallen dat bovenstaande definitie al eerder gegeven is voor vectoren
uit Rn en Cn . Realiseer je verder dat deze definitie zeer belangrijk is en dat de begrippen lineaire
combinatie en lineair omhulsel de sleutel zijn tot het begrijpen van de lineaire algebra.
Opmerking: Uit bovenstaande definitie volgt dat het lineair omhulsel van het lege stelsel uit
één vector bestaat, namelijk de nulvector: Span() = Span{} = {0}.
Een lineaire combinatie van een stelsel dat uit slechts één vector v bestaat, is een scalair veelvoud
van die vector. Met andere woorden, Span{v} (de verzameling van alle lineaire combinaties van
dit stelsel dus) bestaat precies uit de vectoren van de vorm cv met c ∈ L. In Rn is dat de rechte
lijn door 0, in de richting van v.
2.3. Lineaire Opspanning en Deelruimten
25
Bekijk nu een verzameling {u, v} van twee vectoren in Rn , waarbij de ene vector geen veelvoud is
van de andere. De verzameling Span{u, v} van alle lineaire combinaties van dit stelsel is dan een
vlak
Opmerking: Soms zal het niet à priori duidelijk zijn “welke span” we bedoelen. Als we zonder
verdere informatie praten over
{[
] [ ]}
1
0
Span
,
0
1
dan is het mogelijk dat we de span in de reële vectorruimte R2 bedoelen, maar ook is het mogelijk
dat we de span in de complexe vectorruimte C2 bedoelen. Om deze te onderscheiden schrijven we
soms
{[ ] [ ]}
{[
] [
]}
1
0
1
0
SpanR
,
dan wel SpanC
,
0
1
0
1
[ ] [ ]
1
0
om aan te geven dat we lineaire combinaties van
,
bekijken met reële gewichten dan
0
1
wel met complexe gewichten. Dus:
{[
] [
]}
{[
] [ ]}
1
0
1
0
2
SpanR
,
= R en SpanC
,
= C2
0
1
0
1
Meestal is het uit de context duidelijk welke van de twee bedoeld wordt.
De afgelopen tijd zijn al vele voorbeelden gegeven die betrekking hadden op Rn en Cn . Wij geven
nu een voorbeeld dat betrekking heeft op functieruimten.
Voorbeeld 2.14. In de vectorruimte V = F([0, 2π], C) beschouwen we de vier functies f1 , f2 , f3
en f4 gedefinieërd door
f1 (x) = sin x,
f2 (x) = cos x,
f3 (x) = sin2 x,
en f4 (x) = cos2 x.
We stellen de volgende vraag: “behoren de functies
f (x) = sin 2(x + π/4) en
g(x) = cos 2(x + π/4)
dan tot het lineair omhulsel U = Span{f1 , f2 , f3 , f4 } van de verzameling {f1 , . . . , f4 }?”
Uit de definitie van lineair omhulsel volgt dat we moeten nagaan of f en g lineaire combinaties
zijn van f1 t/m f4 . We kunnen eerst proberen met de bekende sinus- en cosinus-regels f en g als
lineaire combinaties van de opspannende functies te schrijven:
f (x) = sin 2(x + π/4) = sin(2x + π/2) = cos 2x = cos2 x − sin2 x
g(x) = cos 2(x + π/4) = cos(2x + π/2) = − sin 2x = −2 sin x cos x.
Hieruit volgt dat f = −f3 + f4 en dus een lineaire combinatie is van het stelsel {f1 , . . . , f4 }.
Bijgevolg behoort f tot U . Voor g weten we dat nog niet!
Stel nu dat g wel in U zit, dus stel dat
g = a1 f1 + a2 f2 + a3 f3 + a4 f4
waarbij de ai scalairen zijn, hier dus complexe getallen. (Want V is een complexe vectorruimte.)
Dit is een gelijkheid van functies, dus zou dit voor elke x in [0, 2π] een gelijkheid moeten opleveren:
cos 2(x + π/4) = a1 sin x + a2 cos x + a3 sin2 x + a4 cos2 x
26
Hoofdstuk 2. De lineaire structuur op een vectorruimte
We vullen de punten 0, 12 π, π, 32 π in.

0



0
0



0
Dit geeft het stelsel vergelijkingen:
=
=
=
=
+a2
+a1
−a1
−a2
+a4
+a3
+a4
+a3
Lossen we dit stelsel op, dan vinden we a1 = a2 = a3 = a4 = 0. Maar dan zou g gelijk zijn aan de
nulfunctie. Dat is echter niet zo, omdat bijvoorbeeld g( 14 π) = −1. Blijkbaar is g geen element van
U.
Merk nog op dat de relatie f = −f3 + f4 voor f ook gevonden had kunnen worden door — net als
bij g gedaan is — punten in te vullen en de coëfficiënten van de lineaire combinatie uit te rekenen.
Dit kan handig zijn als we de eigenschappen van de functie niet zouden kennen. In dat geval weten
we echter nog niet of de zo gevonden relatie voor alle x geldt. Daarvoor is dan nog een bewijs
nodig zoals hierboven voor f gegeven is.
Opmerking: In het vorige voorbeeld hebben we het stelsel nogal omslachtig gedefinieërd via de
functies genaamd f1 , . . . , f4 . Daarmee is nadruk gelegd op het feit dat de vectoren hier functies zijn
en dat gelijkheid van twee functies betekent dat deze dan ook in ieder punt aan elkaar gelijk zijn.
In het vervolg zullen we om een functie aan te duiden voor het gemak vaak alleen het voorschrift
gebruiken. In bovenstaand voorbeeld wordt het stelsel dan {sin x, cos x, sin2 x, cos2 x}. Ofschoon
hier eigenlijk waarden staan, bedoelen we dan (tenzij anders vermeld) functies.
We beëindigen deze paragraaf met een generalisatie van het begrip span. In de oorspronkelijke
definitie nemen we namelijk de span van een eindig stel vectoren. We kunnen ook spreken over de
span van een oneindige verzameling vectoren.
Definitie: Zij S een verzameling vectoren in een vectorruimte V over R (of C) (S kan dus
oneindig veel vectoren bevatten). Een vector v ∈ V is een lineaire combinatie van S als
v = c1 v1 + c2 v2 + · · · + cn vn
voor zekere vectoren v1 , v2 , . . . , vn uit S en zekere scalairen c1 , c2 , . . . , cn uit R (of C).
De verzameling Span S van alle lineaire combinaties van S heet het lineaire omhulsel (of het
lineaire opspansel of kortweg de span) van S.
Let op, ondanks het feit dat S oneindig veel vectoren kan bevatten, blijven we toch werken met
lineaire combinaties van eindig veel vectoren, zogenaamde eindige lineaire combinaties
Voorbeeld 2.15. Als in F([0, 2π], R) de oneindige verzameling
S = {1, cos x, sin x, cos2 x, sin2 x, cos3 x, sin3 x, . . .}
genomen wordt, dan bestaat Span S uit alle functies van de vorm
f (x) = a0 + a1 cos x + b1 sin x + a2 cos2 x + b2 sin2 x + · · · + an cosn x + bn sinn x
waarbij n een natuurlijk getal is en de ai en bi reële getallen zijn.
Lineaire Deelruimten
2.3. Lineaire Opspanning en Deelruimten
27
We hebben in de vorige paragraaf vectorruimten ingevoerd. Nu blijkt dat een heleboel deelverzamelingen van deze vectorruimten zelf ook vectorruimten zijn (waarbij we de optelling en de scalaire
vermenigvuldiging hetzelfde nemen als de “moedervectorruimte”). Het vervelende is dat telkens
alle eisen van vectorruimte nagegaan moeten worden om te bepalen of zo’n deelverzameling werkelijk een vectorruimte is. We zullen zo zien dat dit helemaal niet nodig is, omdat de axioma’s
(1) t/m (8) kado krijgen, want deze gelden in de “moedervectorruimte”. De volgende definitie
representeert dit.
Definitie: Een deelverzameling U van een vectorruimte V over een lichaam L heet een
deelruimte van V , als:
(1) U bevat de nulvector van V .
(2) x + y ∈ U voor elke keuze van x en y uit U
(3) cx ∈ U voor elke keuze van x uit U en c uit L
Merk op dat deze definitie inderdaad overeenkomt met de definitie van vectorruimte zonder de acht
rekenregels. Dat komt omdat de eerste eis (dus U bevat de nulvector van V ) equivalent is met de
eis “U is niet leeg”. Met de derde eis volgt dan namelijk vanzelf dat U de nulvector van V moet
bevatten.
Zoals beloofd hebben deelruimten de volgende eigenschap.
STELLING 2.16. Een deelruimte van een vectorruimte over L is zelf ook een vectorruimte
over L.
Bewijs: Neem een deelruimte U van een vectorruimte V over L. Allereerst is U dan door eigenschap (1) (uit de definitie van deelruimte) niet leeg en door de eigenschappen (2) en (3) (opnieuw uit
de definitie van deelruimte) gesloten ten opzichte van de optelling en de scalaire vermenigvuldiging.
Nu moeten nog de acht rekenregels uit de definitie van vectorruimte gecontroleerd worden. De
eigenschappen (1), (2), (5), (6), (7) en (8) erft U al gelijk van de grotere ruimte V . Verder zit
de nulvector van V op grond van de eerste eis van een deelruimte in U en er is dus aan (3)
voldaan. Tenslotte bestaat er, vanwege de vectorruimte-eigenschappen van V , voor elk element v
in U een tegengestelde −v in V . Maar ligt −v dan ook in U ? Met stelling 2.1(g) weten we dat
−v = (−1) · v en dit zit in U op grond van eis (3) voor deelruimten. Daarmee is aan alle eisen
voor een vectorruimte voldaan.
Het moge nu duidelijk zijn dat het zinvol is om, bij het aantonen dat een verzameling een vectorruimte is, eerst na te gaan of deze misschien een deelruimte is van een bekende vectorruimte. Het
is namelijk veel sneller om de drie eigenschappen van een deelruimte te controleren dan de elf van
een vectorruimte. Bovendien zijn deze drie toch eigenschappen die we ook voor een vectorruimte
hadden moeten nagaan!
Er zullen nu vele voorbeelden van, soms belangrijke, deelruimten volgen.
28
Hoofdstuk 2. De lineaire structuur op een vectorruimte
Voorbeeld 2.17. In iedere vectorruimte V zit een nulelement 0. De deelverzameling {0} van V
is een deelruimte van V , de nulvectorruimte3 {0}.
De volgende stelling, die we voor eindige opspannende verzamelingen ook bij het eerste deel van
lineaire algebra al zijn tegengekomen, kan handig zijn om snel te concluderen dat bepaalde verzamelingen, namelijk lineaire omhulsels, deelruimten zijn.
STELLING 2.18. Als S een (eventueel oneindig grote) verzameling vectoren is in een vectorruimte V dan is het lineair omhulsel Span S een deelruimte van V .
Bewijs: De nulvector behoort tot het lineair omhulsel. Neem maar een eindig stel vectoren u1 ,
u2 , . . . , um in S. Dan is 0 = 0v1 + · · · + 0vn een lineaire combinatie van deze vectoren en behoort
dus tot Span S.
Verder geldt voor elk tweetal vectoren u en v uit het lineair omhulsel dat er vectoren v1 , v2 , . . . , vn
in S bestaan en getallen ci en di (i = 1, . . . , n) zo dat u = c1 v1 +· · ·+cn vn en v = d1 v1 +· · ·+dn vn .
Ga dit na! De som is dan u + v = (c1 + d1 )v1 + · · · + (cn + dn )vn en behoort dus ook tot het
lineair omhulsel.
Tenslotte geldt voor een vector u uit Span S en een scalar c dat ook cu tot Span S behoort, omdat
er in die situatie eindig veel vectoren w1 , w2 , . . . , wk in S bestaan en scalairen ci (i = 1, . . . , k)
zo dat u = c1 w1 + · · · + ck wk , waaruit volgt dat cu = (c · c1 )w1 + · · · + (c · ck )wk . Er is dus aan
de drie eisen voor deelruimte voldaan.
Als het stelsel vectoren leeg is, klopt bovenstaande stelling ook: het lineaire opspansel van het
lege stelsel is immers gelijk aan de nulvectorruimte (op grond van definitie 2.3) en dus ook een
deelruimte van V .
Deelruimten van Rn en Cn
Als het goed is, is men hiermee vertrouwd. We weten dat iedere deelruimte W in Rn op te vatten
is als kolomruimte van een matrix A ∈ Mn×m (R) (met m ≥ dim(W )), of als nulruimte van een
matrix B ∈ Mk×n (R) (met k ≥ n − dim(W )).
Evenzo, iedere deelruimte W in Cn is op te vatten als kolomruimte van een matrix A ∈ Mn×m (C)
(met m ≥ dim(W )), of als nulruimte van een matrix B ∈ Mk×n (C) (met k ≥ n − dim(W )).
Opmerking: Laat A = [a1 . . . am ] ∈ Mn×m (R) een reële matrix zijn. Wees dan voorzichtig met
het begrip “de kolomruimte van A”. Men kan bedoelen
Col(A) = Span{a1 , . . . am } ⊂ Rn
maar ook
Col(A) = Span{a1 , . . . am } ⊂ Cn
Vaak is uit de context duidelijk welke van de twee kolomruimtes bedoeld wordt.
Deelruimten van R∞ en C∞
We zullen later zien dat dat de ruimten R∞ en C∞ geen “mooie vectorruimten” zijn omdat er een
natuurlijk (standaard) inwendig product mist. Er zijn twee deelruimten waar dit wel mogelijk is,
zullen we zien, de zogeheten “kleine ℓ2 -ruimten”.
3 In
het Engels: zero space
2.3. Lineaire Opspanning en Deelruimten
Definitie:
dat
29
ℓ2 (R) bestaat uit alle reële rijtjes x = (x1 , x2 , . . . , xn , . . .) ∈ R∞ met de eigenschap
∞
∑
x2n < ∞
n=1
(De zogeheten “kwadratisch sommeerbare rijtjes”.) Evenzo: ℓ2 (C) bestaat uit alle complexe
rijtjes x = (x1 , x2 , . . . , xn , . . .) ∈ C∞ met de eigenschap dat
∞
∑
|xn |2 < ∞
n=1
En inderdaad, ℓ2 (R) is een lineaire deelruimte van R∞ en ℓ2 (C) is een lineaire deelruimte van C∞ .
Deelruimten van functieruimten
Binnen de vectorruimte F(D, L) (waarbij L is R of C) van functies kunnen we veel deelruimten
maken. Zo zijn er bij de functies van het interval [a, b] naar L in ieder geval de volgende deelruimten:
• de ruimte van alle reële/complexe polynomen van de graad tenhoogste n op [a, b],
notatie Poln ([a, b], R) of/en Poln ([a, b], C),
(Pas op: als p ∈ Poln ([a, b], C), zeg p(x) = a0 + a1 x + · · · an xn , dan is x een reële variabele,
want x ∈ [a, b]. Echter, de coëfficienten ai (en dus ook p(x)) zijn uit C.)
• De ruimte van alle reële polynomen Pol([a, b], R) en de ruimte van alle complexe polynomen
Pol([a, b], C).
• de ruimte van alle continue functies op [a, b] naar L,
notatie: C([a, b], R) of/en C([a, b], C).
• de ruimte van alle differentieerbare functies op [a, b],
notatie: D([a, b], R) of/en D([a, b], C).
• de ruimte van alle continu-differentieerbare functies op [a, b], dat wil zeggen, differentieerbare
functies met continue afgeleide,
notatie: C 1 ([a, b], R) en/of C 1 ([a, b], C).
• de ruimte van n-maal continu-differentieerbare functies op [a, b], dat wil zeggen, die functies
f die n-maal differentieerbaar zijn en waarvan de nde afgeleide f (n) continu is,
notatie: C n ([a, b], R) en/of C n ([a, b], C).
In het bijzonder geldt dat
Poln ([a, b], R) ⊂ Pol([a, b], R) ⊂ C n ([a, b], R) ⊂ C 1 ([a, b], R) ⊂ D([a, b], R) ⊂ C([a, b], R) ⊂ F([a, b], R)
Poln ([a, b], C) ⊂ Pol([a, b], C) ⊂ C n ([a, b], C) ⊂ C 1 ([a, b], C) ⊂ D([a, b], C) ⊂ C([a, b], C) ⊂ F([a, b], C).
Dat het werkelijk deelruimten van F([a, b], C) zijn, volgt uit eigenschappen van continue, differentieerbare en continu-differentieerbare functies, die bekend zijn uit de analyse. De nulfunctie van
[a, b] naar C is continu, differentieerbaar, enzovoorts en behoort dus tot alle genoemde verzamelingen. Verder geldt voor elk tweetal continue functies dat de som ook weer continu is en dat het
product van een continue functie met een (complex) getal ook weer continu is. Voor C([a, b], C)
is dus voldaan aan de tweede eis en de derde eis van deelruimte. Hetzelfde geldt voor de andere
verzamelingen.
30
Hoofdstuk 2. De lineaire structuur op een vectorruimte
Deelruimten van L2 ([a, b], R) en/of L2 ([a, b], C)
De ruimte die bestaat uit alle stuksgewijs continue functies op [a, b],
notatie: P C([a, b], R) (resp. P C([a, b], C)) is een lineaire deelruimte van L2 ([a, b], R) (resp. L2 ([a, b], C)).
2.4
Lineaire (On)Afhankelijkheid
De begrippen lineaire afhankelijkheid en lineaire onafhankelijkheid zijn “de absolute basisbegrippen” uit de lineaire algebra. Dit willen we definiëren in een willekeurige vectorruimte.
Definitie:
Laat V een vectorruimte zijn. Dan:
1. De lege verzameling S = ∅ zullen we een onafhankelijke deelverzameling van V noemen.
2. Een niet leeg eindig stelsel S = {v1 , . . . , vp } ⊂ V heet onafhankelijk als de vectorvergelijking
c1 v1 + · · · + cp vp = 0
alleen de triviale oplossing c1 = 0, . . . , cp = 0 heeft.
3. Een oneindige verzameling S = {vi }i∈I ⊂ V heet onafhankelijk als iedere eindige deelverzameling van S onafhankelijk is.
Tenslotte, een deelverzameling die niet onafhankelijk is, zullen we afhankelijk noemen.
Er volgt direct dat een niet leeg eindig stelsel S = {v1 , . . . , vp } ⊂ V afhankelijk is, als de vectorvergelijking
c1 v1 + · · · + cp vp = 0
een niet–triviale oplossing c1 , . . . , cp heeft. In het geval van afhankelijkheid wordt een relatie
c1 v1 + c2 v2 + · · · + cp vp = 0 met niet alle ci gelijk aan nul een afhankelijkheidsrelatie genoemd.
Vóórdat we overgaan tot het geven van voorbeelden presenteren we eerst een zeer handig criterium
waarmee lineaire (on)afhankelijkheid in één keer nagegaan kan worden. In de gangbare literatuur
wordt deze stelling meestal als definitie van afhankelijkheid en onafhankelijkheid gebruikt, terwijl
bovenstaande definitie dan een stelling is.
STELLING 2.19 (of definitie). Laat V een vectorruimte zijn. Dan geldt: Een stelsel vectoren
S = {vi }i∈I ⊂ V is afhankelijk als tenminste één van de vectoren uit S een lineaire combinatie
is van de overigen.
Bewijs: Als S leeg is, dan is de verzameling onafhankelijk, dus de stelling is niet van toepassing.
We bekijken nu het geval dat S eindig maar niet leeg is.
Als S uit één vector bestaat, zeg S = {v} dan is S afhankelijk als cv = 0 een niet triviale oplossing
heeft, dus als en slechts als v = 0. Aan de andere kant, de uitspraak “tenminste één van de
vectoren uit S een lineaire combinatie is van de overigen” voor deze S is equivalent met “v is een
lineaire combinatie van de lege verzameling” dus evenzo equivalent met v = 0. De conclusie volgt.
2.4. Lineaire (On)Afhankelijkheid
31
Nu het geval dat S eindig is maar tenminste uit twee vectoren bestaat. Zeg S = {v1 , v2 , . . . , vp }
met p ≥ 2. Als tenminste één een lineaire combinatie van de andere vectoren, zeg vk . Dit betekent
dat er getallen c1 , c2 ,. . . , ck−1 , ck+1 ,. . . , cp bestaan, zo dat
vk = c1 v1 + · · · + ck−1 vk−1 + ck+1 vk+1 + · · · + cp vp ,
hetgeen herschreven kan worden tot
c1 v1 + · · · + ck−1 vk−1 + ck vk + ck+1 vk+1 + · · · + cp vp = 0,
met ck = −1. Blijkbaar heeft de vectorvergelijking
x1 v1 + x2 v2 + · · · + xp vp = 0
meer dan alleen de triviale oplossing (x1 = c1 , x2 = c2 , etc is immers een oplossing waarbij ck ̸= 0),
en dus is S afhankelijk.
Nu andersom: neem aan dat de vectorvergelijking
x1 v1 + x2 v2 + · · · + xp vp = 0
een niet-triviale oplossing heeft. Als ck ̸= 0 dan halen we de andere vectoren (die er zijn) naar de
andere kant en we krijgen
ck vk = −c1 v1 − · · · − ck−1 vk−1 − ck+1 vk+1 − · · · − cp vp ,
dus (ck is immers ongelijk aan nul)
vk = (−
c1
ck−1
ck+1
cp
)v1 + · · · + (−
)vk−1 + (−
)vk+1 + · · · + (− )vp
ck
ck
ck
ck
en hier staat dat vk een lineaire combinatie is van de overigen in S.
Tenslotte bekijken we het geval dat S oneindig is. S is afhankelijk als en slechts als een eindige
deelverzameling van S afhankelijk is, en hiermee volgt alles uit het eindige geval.
Hoe gaan we na of een stel vectoren {a1 , . . . , ak } (on)afhankelijk zijn? We moeten zien of de
vectorvergelijking
c1 a1 + · · · + ck ak = 0
wel of niet een niet-trivale oplossing heeft.
In Rn en Cn reduceert dit, zoals ons bekend is, tot het oplossen van het stelsel vergelijkingen
[a1 . . . ak |0].
Ook in Mn×m (R) of in Mn×m (C) wordt dit probleem gereduceerd tot het oplossen van een een
stelsel vergelijkingen.
[
]
[
]
1 1
1 2
Voorbeeld 2.20. Ga na of de matrices (vectoren) A1 =
, A2 =
en A3 =
0 1
3 4
[
]
2
1
in M2×2 (R) lineair onafhaneklijk zijn.
−3 −1
Antwoord. Stel:
[
]
0 0
c1 A1 + c2 A2 + c3 A3 = 0 =
0 0
En dus:
[
c1
1
0
1
1
]
[
+ c2
1
3
2
4
]
[
+ c3
2
−3
1
−1
]
[
=
0
0
0
0
]
32
Hoofdstuk 2. De lineaire structuur op een vectorruimte


c1 + c2 + 2c3 = 0
1 0
3



 0 1 −1
c1 + 2c2 + c3 = 0
wat leidt tot het stelsel:
∼
 0 0
3c2 − 3c3 = 0
0



c1 + 4c2 − c3 = 0
0 0
0
triviale oplossing c1 = 3, c2 = −1 en c3 = −1 leidt. Of te wel, A1 , A2 en
3A1 − A2 − A3 = 0 is een afhankelijkheidsrelatie tussen A1 , A2 en A3 .

| 0
| 0 
 wat tot de niet
| 0 
| 0
A3 zijn afhankelijk en
Echter, voor functieruimten zullen we toch wel andere technieken moeten gebruiken. Veel lineaire
afhankelijkheidsrelaties kunnen van formules bekend van de middelbare school ontdekt worden.
Voorbeeld 2.21. Is de verzameling functies (vectoren) {f, g, h} met f (x) = sin(x), g(x) = cos(x)
en h(x) = sin(1 + x) lineair afhankelijk of niet in de vectorruimte V = F(R, R).
Antwoord. Van de middelbare school kennen we de formule:
sin(α + β) = sin(α) cos(β) + cos(α) sin(β)
In het bijzonder geldt:
h(x) = sin(1 + x) = sin(1) cos(x) + cos(1) sin(x) = sin(1)g(x) + cos(1)f (x)
Of te wel, f, g en h zijn afhankelijk en cos(1)f +sin(1)g−h = 0 =nulfunctie is een afhankelijkheidsrelatie tussen f, g en h. Het zal duidelijk zijn dat als de formule voor sin(α + β) niet bekend is,
het zogoed als onbegonnen werk is om de afhankelijkheidsrelatie (en dus de afhankelijkheid) te
ontdekken. Hoe zou men ooit de gewichten sin(1), cos(1), −1 kunnen vinden?
Voorbeeld 2.22. Is de verzameling functies (vectoren) {f, g, h} met f (x) = sin(x), g(x) = cos(x)
en h(x) = sin(2x) lineair afhankelijk of niet in de vectorruimte V = C([0, 2π], R)?
Antwoord. We kennen de regel sin(2x) = 2 sin(x) cos(x), echter, dit is GEEN afhankelijkheidsrelatie tussen de functies f, g en h. Daarom: stel c1 f + c2 g + c3 h = 0 =nulfunctie. Dan:
c1 sin(x) + c2 cos(x) + c3 sin(2x) = 0 voor iedere x ∈ [0, 2π]
Als we achteréén de waarden x = 0, π/4 en π/2 uit [0, 2π] invullen, verkrijgen we de vergelijkingen:

 √0c1 +
√1c2 + 0c3 = 0
1
1
2c
+
1
2 2c2 + 1c3 = 0
 2
1c1 +
0c2 + 0c3 = 0
We concluderen dat c1 = c2 = c3 = 0 en dus zijn de functies f, g en h lineair onafhankelijk.
Opmerking: Men kan de techniek van voorbeeld 2.22 kunnen toepassen op de functies van
voorbeeld 2.21. Stel c1 f + c2 g + c3 h = 0 =nulfunctie. Dan:
c1 sin(x) + c2 cos(x) + c3 sin(x + 1) = 0 voor iedere x ∈ R
We kunnen nu honderden x-waarden gaan invullen, en zo honderden vergelijkingen met slechts
3 onbekenden verkrijgen. Echter, altijd zal de in voorbeeld 2.21 gevonden niet triviale oplossing
blijven bestaan. Bovendien zal de aldaar gevonden niet triviale oplossing bijna zeker niet gevonden
worden.
Een ander probleem bij functieruimtes die we vanuit Rn niet kennen, is dat lineaire afhankelijkheid
voor een stel gegeven functies kan afhangen van het domein waarop de functies bekeken worden.
Voorbeeld 2.23. Beschouw de functies f en g met f (x) = x en g(x) = x2 . Oftewel, bekijk de
functies x en x2 , en wel op het twee–punts domein D = {0, 1}. In de vectorruimte F(D, R) zijn
de twee functies x en x2 hetzelfde (want ze hebben dezelfde functiewaarde in ieder punt van het
domein. Maar dan is {x, x2 } een afhankelijke verzameling in F({0, 1}, R).
2.4. Lineaire (On)Afhankelijkheid
33
Opmerking: In verband met het vorige voorbeeld het volgende. In opgave 5 wordt aangetoond
dat als het domein D tenminste n + 1 punten bevat, dat dan de eindige verzameling functies
{1, x, . . . , xn } onafhankelijk is in de vectorruimte F(D, R). Merk op dat dit impliceert dat de
oneindige verzameling
{1, x, . . . , xn , . . . . . .}
onafhankelijk is in F([a, b], R), voor ieder interval [a, b], met a < b.
Er bestaat nog een methode om de lineaire onafhankelijkheid van functies te bepalen, een methode
gevonden door Wronski4 .
Als f1 , . . . , fk een k-tal functies is dat k − 1 maal gedifferentiëerd kan worden op een domein [a, b]
(of heel R) dan heet de determinant
f1 (x)
f1′ (x)
..
.
W (x) =
(k−1)
f1
(x)
f2 (x) . . .
fk (x)
f2′ (x) . . .
fk′ (x)
..
..
. ...
.
(k−1)
(k−1)
f2
(x) . . . fk
(x)
de Wronskiaan van de functies f1 , . . . , fk , en wordt soms ook genoteerd met W [f1 , . . . , fk ](x).
Merk op dat als de functies f1 , . . . , fk afhankelijk zijn, zeg c1 f1 + c2 f2 + . . . + ck fk = 0 (niet alle
ci nul) dan kan dit (k − 1) maal gedifferentieerd worden, en we verkrijgen:
c1 f1 (x)
c1 f1′ (x)
..
.
(k−1)
c1 f1
en dus

+
+
(x) +
f1 (x)
f1′ (x)
..
.


c1 

(k−1)
f1
(x)

c2 f2 (x)
c2 f2′ (x)
..
.
(k−1)
c2 f2

+
+
...
...
+ ck fk (x)
+ ck fk′ (x)
..
.
(x) +
...
+ ck fk
f2 (x)
f2′ (x)
..
.




 + c2 


(k−1)
f2

(k−1)

(x)
fk (x)
fk′ (x)
..
.




 + · · · + ck 


(k−1)
(x)
= 0
= 0
..
.
fk
=

0

 
 
=
 
(x)
0
0
..
.





0
(met niet alle ci = 0) en we concluderen dat W [f1 , . . . , fk ](x) = 0, voor iedere x. In contrapositief
gesteld hebben we de volgende stelling bewezen.
STELLING 2.24. (Wronski’s test) Als er een x bestaat met Wronskiaan W [f1 , . . . , fk ](x) ̸=
0, dan zijn de functies f1 , . . . , fk lineair onafhankelijk.
Voorbeeld 2.25. Ga na of de drie functies f, g, h met f (x) = 1, g(x) = ex en h(x) = e2x
onafhankelijk zijn in F(R, R).
Antwoord. Omdat
W [f, g, h](x) =
1 ex
0 ex
0 ex
e2x
2e2x
4e2x
= 2e3x ̸= 0 (ga na.)
volgt dat deze drie functies onafhankelijk zijn.
4 Jozef Hoëné de Wronski (1778-1853) Deze Pool/Fransman heeft een leven vol conflicten en controversies uitgevochten over zijn werk. Veel van zijn werk is totaal vergeten en hij is overleden in grote armoede.
34
Hoofdstuk 2. De lineaire structuur op een vectorruimte
Jammer genoeg geldt de omkering van Stelling 2.24 NIET. Als W [f1 , . . . , fk ](x) = 0, voor alle x,
dan zijn de functies f1 , . . . , fk niet noodzakelijk lineair afhankelijk. Bij de opgaven kan men een
voorbeeld tegenkomen. Dit voorbeeld heeft een ietwat “geforceerd karakter”, en dat is geen toeval
want men kan aantonen dat voor “een k-tal natuurlijke functies” de omkering wel geldt. Wat
“natuurlijke functies” zijn vertellen we niet, dit zou te ver voeren.
2.5
Basis, Coördinaten en dimensie
Basis
Definitie: Een verzameling vectoren B in een vectorruimte V heet een basis voor V als het
stelsel V opspant (dus Span B = V ) en het stelsel B bovendien onafhankelijk is.
Let op! Deelruimten van vectorruimten zijn ook vectorruimten. In bovenstaande definitie hoeft V
dus geen standaardvectorruimte te zijn, maar kan het ook een deelruimte van zo’n vectorruimte
zijn.
Opmerking: We zullen een eindige basis algemeen noteren met B = {b1 , . . . , bk }. Merk op
dat deze notatie een ordening geeft op de basisvectoren uit B. Zo’n basis zullen we “geordende
basis” noemen. Aangezien we meestal geı̈nteresseerd zijn in een geordende basis, zullen we meestal
bij iedere eindige basis de ordening meteen vastleggen en dit noteren met B = (b1 , . . . , bk ). Als
u deze opmerking niet begrijpt, bekijk dan goed Voorbeeld 2.30 waar een natuurlijke basis op
Mm×n (R) gedefiniëerd wordt zonder natuurlijke ordening. De reden voor de ordenig zal blijken
bij de coördinatisering, daarvoor is een ordenig nodig.
Definitie: Een vectorruimte V heet eindig dimensionaal als V een eindige basis
B = (v1 , . . . , vk ) heeft.
We zullen onze aandacht eerst beperken tot de eindig dimensionale vectorruimten.
Voorbeelden van bases
Voorbeeld 2.26. Beschouw de kleinst mogelijke vectorruimte V = {0}. Merk op dat de verzameling {0} geen basis is voor V , want deze verzameling is afhankelijk. Echter, de lege verzameling
S = ∅ is wel een basis, want we hebben afgesproken dat de lege verzameling onafhankelijk is en
dat Span ∅ = {0} = V .
2.5. Basis, Coördinaten en dimensie
35
Voorbeeld 2.27. Net als in Rn is ook in Cn het stelsel
  



1
0
0
 0   1 
 0 
  



 0   0 
 0 
  



 ..  ,  ..  , . . . ,  ..  = (e1 , e2 , . . . en )
 .   . 
 . 
  



 0   0 
 0 
0
0
1
een (geordende) basis, want het is onafhankelijk en elke vector in Cn kan als lineaire combinatie van
deze vectoren worden geschreven. Deze basis heet de natuurlijke basis voor Cn , of ook de standaardbasis of kanonieke basis. Dus: Rn = SpanR {e1 , e2 , . . . en } en Cn = SpanC {e1 , e2 , . . . en }.
Voorbeeld 2.28. Zowel in Poln ([a, b], R) als in Poln ([a, b], C) is het stelsel
(1, x, x2 , . . . , xn )
een (geordende) basis. We hebben al in de opgaves gezien dat dit stelsel onafhankelijk is. Verder is het duidelijk dat elke veelterm met graad ≤ n te schrijven is als een lineaire combinatie van deze vectoren, zodat Poln ([a, b], R) = SpanR (1, x, x2 , . . . , xn ) en Poln ([a, b], C) =
SpanC (1, x, x2 , . . . , xn ). Deze basis wordt de natuurlijke basis voor Poln ([a, b], R) (of Poln ([a, b], C))
genoemd. Ook de termen standaardbasis en kanonieke basis worden gebruikt.
Voorbeeld 2.29. In voorbeeld 2.22 hebben we gezien dat het stelsel functies
(sin x, cos x, sin 2x)
in F(R, C) onafhankelijk is.
Daaruit volgt dan direct dat het een basis is voor V = Span(sin x, cos x, sin 2x). Dat het stelsel de
ruimte V opspant is dan namelijk door de definitie van V waar.
Voorbeeld 2.30. Een basis voor Mm×n (R) (of Mm×n (C)) is bijvoorbeeld het stelsel E dat bestaat
uit de matrices waarvan één kental gelijk is aan 1, terwijl de andere kentallen nul zijn. Ga na dat
deze verzameling vectoren onafhankelijk is en Mm×n (R) (of Mm×n (C)) opspant.
Echter, om een geordende basis te zijn is ook een ordening op deze basis nodig. Als Ei,j die matrix
in Mm×n (R) (of Mm×n (C)) is met (i, j)de kental 1 en andere kentallen 0, dan spreken we de
volgende ordening af:
E = (E1,1 , E1,2 , . . . , E1,n , E2,1 , E2,2 , . . . , E2,n , E3,1 . . . , Em,1 , . . . , Em,n )
Ook de basis E wordt de natuurlijke basis, de standaardbasis en/of de kanonieke basis genoemd.
De deelruimte Symmn (R) (of Symmn (C)) van symmetrische n × n matrices (d.w.z. AT = A) heeft
als basis

 



1 0 ··· 0
0 1 ··· 0
0 0 ··· 0
 0 0 · · · 0   1 0 · · · 0 
 0 0 · · · 0 

 



 ..
..  ,  ..
..  , . . . ,  ..
.. 
 .




.
.
.
.
. 
0 0 ··· 0
0 0 ··· 0
0 0 ··· 1
(dit zijn de matrices waarbij de kentallen aij en aji voor één paar (i, j) gelijk zijn aan 1, terwijl de
rest gelijk is aan 0). U mag zelf een ordening bepalen.
Bij bovenstaande voorbeelden lag het voor de hand hoe een basis kon worden gekozen. Het ligt
niet altijd zo voor de hand. Met name niet als de vectorruimte geen eindige basis heeft. Verder is
36
Hoofdstuk 2. De lineaire structuur op een vectorruimte
het zo dat als er een basis is, deze niet uniek is. Sterker nog: als een vectorruimte een (niet lege)
basis heeft dan zijn er zelfs oneindig veel.
Voor deelruimten die als lineair omhulsel van een eindig stel vectoren gegeven zijn hebben we een
recept om bases te vinden: verwijder net zo lang vectoren die combinaties zijn van de overigen,
tot een onafhankelijk stelsel overblijft. Dit kan echter een vervelend karwei zijn. In het eerste deel
van lineaire algebra hebben we gezien hoe het vinden van een basis handig kan voor deelruimten
van Rn , als deze als lineair omhulsel (kolomruimte, rijruimte) of als nulruimte gegeven zijn. Deze
methoden gelden ook als we in Cn werken.
Coördinaten t.o.v. een basis
Eén van de redenen waarom bases zo handig zijn is de volgende stelling
STELLING 2.31. Een stelsel vectoren (v1 , . . . , vp ) (mag oneindig groot zijn) is een basis
voor een vectorruimte V (reëel of complex) als en slechts als elke vector uit V
op precies één manier te schrijven is als een lineaire combinatie van de vectoren uit het stelsel.
Dit leidt tot:
Definitie: Stel dat V een eindig dimensionale vectorruimte is (over R of C), zeg met basis
B = (v1 , . . . , vn ). Uit bovenstaande stelling volgt dat bij iedere vector v ∈ V een uniek stel
scalairen c1 , c2 ,. . . , cn in R of C bestaat zo dat
v = c1 v1 + · · · + cn vn .
Deze getallen worden de coördinaten van v ten opzichte van de basis B genoemd. Bij
v maken we dan een vector in Rn of Cn door de getallen c1 tot en met cn in een kolom te
zetten. Deze kolomvector noteren we als [v]B , dus


c1


[v]B =  ... 
cn
en noemen we de coördinatisering van v ten opzichte van de basis B.
Bewijs: van Stelling 2.31 Ga er eerst van uit dat (v1 , . . . , vp ) een basis voor V is. Omdat de
basisvectoren V opspannen is elke vector uit V op tenminste één manier als lineaire combinatie
van de basisvectoren te schrijven.
Stel nu dat voor een vector v uit V geldt dat
v = a1 v1 + · · · + ap vp
en ook
v = b1 v1 + · · · + bp vp .
Dan volgt
0 = v − v = (a1 − b1 )v1 + · · · + (ap − bp )vp .
2.5. Basis, Coördinaten en dimensie
37
Uit de onafhankelijkheid van (v1 , . . . , vp ) volgt dan direct dat ai − bi = 0 en dus dat ai = bi , voor
alle i. Maar dat wil zeggen dat de twee lineaire combinaties voor v hetzelfde zijn en v dus op één
manier te schrijven is als lineaire combinatie van de basisvectoren.
Nu andersom, neem dus aan dat elke vector uit V op precies één manier te schrijven is als een
lineaire combinatie van de vectoren uit het stelsel. Duidelijk is dat het stelsel dan V opspant! Nu
moeten we nog inzien dat het ook onafhankelijk is. Neem daartoe een combinatie van v1 ,. . . ,vp
die 0 oplevert. Volgens het gegeven is er maar één zo’n combinatie mogelijk. Dat moet dus
0v1 + · · · + 0vp zijn, waaruit onafhankelijkheid volgt.
Voorbeeld 2.32. In Pol3 ([0, 1], R) met de standaardbasis B = (1, x, x2 , x3 ) zijn de coördinaten
van het polynoom p(x) = −3 + x − x2 + 3x3 de getallen −3, 1, −1 en 3 (in deze volgorde!), wat
genoteerd wordt met


−3
 1 

[p]B = 
 −1  .
3
Voor de geordende basis C = (x3 , x2 , x, 1) geldt

3
 −1 

[p]C = 
 1 .
−3

Opmerking: Om de coördinatisering op een unieke manier te bepalen, moet de volgorde van het
basisvectoren vastliggen. Dit is de reden geweest voor het invoeren van een stelsel vectoren (en
daarmee een basis) als een geordende verzameling.
[
]
1+i
∈ Mn×n (C) t.o.v. de standaardbasis
4 

1−i
 1+i 
.
B = (E1,1 , E1,2 , E2,1 , E2,2 ) (zie Voorbeeld 2.30) is: [A]B = 

2 
4
Voorbeeld 2.33. De coördinaten van A =
1−i
2
Het zal nu duidelijk zijn dat het gebruik van coördinaten ten op zichte van een gegeven basis
B = (b1 , . . . , bn ) op de ruimte V , bij een vectorruimte over R een afbeelding V
Rn en bij een
n
vectorruimte over C een afbeelding V
C geeft, in beide gevallen gedefinieerd door
x
[x]B
(Deze afbeelding heeft, afgezien van de “coördinatisering” geen naam.) De volgende stellingen
gaan over het gedrag van deze afbeelding t.o.v. de basisbegrippen.
STELLING 2.34. V is een eindig dimensionale vectorruimte met basis B = (b1 , . . . , bn ).
Dan geldt voor iedere u, v ∈ V en iedere scalar c:
1. [u + v]B = [u]B + [v]B
2. [cu]B = c[u]B
38
Hoofdstuk 2. De lineaire structuur op een vectorruimte
Bewijs: Merk op dat in de eerste te bewijzen formule, de eerste + staat voor de vectorieële
n
n
optelling in de vectorrruimte
V , terwijl
de



 tweede + staat voor die in R (of C ).
c1
d1
 .. 
 .. 
Stel dat [u]B =  .  en [v]B =  . , dus stel dat u = c1 b1 + . . . + cn bn en v = d1 b1 + . . . +
cn
dn bn . Er volgt dat
dn
u + v = (c1 + d1 )b1 + . . . + (cn + dn )bn en cu = cc1 b1 + . . . + ccn bn
en dus dat



cc1
c 1 + d1


 . 
..
[u + v]B = 
 = [u]B + [v]B en [cu]B =  ..  = c[u]B
.
cn + dn
ccn

De conclusie volgt.
STELLING 2.35. V is een eindig dimensionale vectorruimte met basis B = (b1 , . . . , bn ).
Dan geldt voor een stel vectoren: (u1 , . . . , uk ) in V :
1. (u1 , . . . , uk ) zijn onafhankelijk in V als en slechts als de coördinaten ([u1 ]B , . . . , [uk ]B )
onafhankelijk zijn in Rn (respectievelijk in Cn ).
2. De vectoren (u1 , . . . , uk ) spannen V op als en slechts als de coördinaten ([u1 ]B , . . . , [uk ]B )
de ruimte Rn (respectievelijk Cn ) opspannen.
3. (u1 , . . . , uk ) is een basis van V als en slechts als de coördinaten ([u1 ]B , . . . , [uk ]B ) een
basis van Rn (respectievelijk Cn ) is.
Bewijs: Onderdeel 1. is een opgave. We bewijzen 2. en dan is 3. een rechtstreeks gevolg van 1.
en 2.
Stel dat de vectoren (u1 , . . . , uk ) V opspannen. Kies x ∈ Rn (respectievelijk, kies x ∈ Cn .)
willekeurig. We tonen aan dat x ∈ Span{[u1 ]B , . . . , [uk ]B }.
Alsvolgt, beschouw de vector v = x1 b1 + . . . + xn bn ∈ V . Merk op dat [v]B = x. Omdat
(u1 , . . . , uk ) V opspant, bestaan er scalairen c1 , . . . , cn zodat v = c1 u1 + · · · + ck uk en daarom
x = [v]B = [c1 u1 + · · · + ck uk ]B = c1 [u1 ]B + · · · + ck [uk ]B
en dus: x ∈ Span{[u1 ]B , . . . , [uk ]B }, voor iedere x.
Omgekeerd: stel dat de coördinaatvectoren ([u1 ]B , . . . , [uk ]B ) de ruimte Rn (respectievelijk Cn )
opspannen. Kies v ∈ V willekeurig en beschouw [v]B . Er bestaan c1 , . . . , ck zodat
[v]B = c1 [u1 ]B + · · · + ck [uk ]B = [c1 u1 + · · · + ck uk ]
en dus
v = c1 u1 + · · · + ck uk ∈ Span{u1 , . . . , uk },
voor iedere v ∈ V , d.w.z. Span{u1 , . . . , uk } = V .
Deze stellingen maken het mogelijk om onze kennis over Rn (respectievelijk, over Cn ) in de reële
(respectievelijk, complexe) vectorruimte V te stoppen. We krijgen als eerste resultaat:
2.5. Basis, Coördinaten en dimensie
39
GEVOLG 2.36. Stel dat V een eindig dimensionale vectorruimte is met basis
B = (b1 , . . . , bn ). Dan geldt: iedere basis van V bestaat precies uit n vectoren.
Deze stelling maakt het mogelijk om het begrip dimensie voor algemene vectorruimten in te voeren.
Definitie: Stel dat V een eindig dimensionale vectorruimte is met basis B = (b1 , . . . , bn ).
Dan zeggen we: de dimensie van V is n en noteren we dit met dim(V ) = n.
Als V geen eindige basis dan heet V oneindig dimensionaal en dit noteren we met: dim(V ) = ∞
Voorbeeld 2.37. Als we het aantal elementen in de standaardbasis tellen van de vectorruimten
Poln ([a, b], R), Poln ([a, b], C), Mm×n (R) en Mm×n (C) dan verkrijgen we:
dim(Poln ([a, b], R)) = n + 1
en
dim(Poln ([a, b], C)) = n + 1
dim(Mm×n (R)) = mn
en
dim(Mm×n (C)) = mn .
Natuurlijk bestaat er veel meer kennis over Rn en Cn die we kunnen terughalen naar V , zoals de
dimensiestelling, de uitbreidingsstelling en de uitduningsstelling.
STELLING 2.38. Stel dat V een eindig dimensionale vectorruimte is met dim(V ) = n. Dan
geldt:
1. Ieder n-tal onafhankelijke vectoren in V is een basis van V .
2. Ieder n-tal opspannende vectoren in V is een basis van V .
2
De volgende stelling is ook waar in een oneindig dimensionale vectorruimte, het bewijs is dan niet
zo simpel meer. In de opgaven mag U het eindig dimensionale geval bewijzen.
STELLING 2.39. Stel dat V een eindig dimensionale vectorruimte is met dim(V ) = n. Dan
geldt:
1. Ieder onafhankelijk aantal vectoren van V is uit te breiden tot een basis.
2. Ieder opspannend aantal vectoren van V is uit te dunnen tot een basis.
2
40
Hoofdstuk 2. De lineaire structuur op een vectorruimte
Opmerking: Het bewijs laat ook zien hoe je een stel opspannende vectoren kan reduceren tot
een basis. Stap over op de coördinaten en reduceer die via vegen tot een basis. Ga nu weer terug
naar V .
STELLING 2.40. Stel dat V een eindig dimensionale vectorruimte is met dim(V ) = n. Dan
geldt:
1. Ieder n + 1 tal vectoren in V is afhankelijk.
2. Ieder onafhankelijk stelsel bestaat uit tenhoogste n vectoren.
2
Opmerking: Uit bovenstaande stelling volgt dat als een vectorruimte V oneindig veel onafhankelijke vectoren bevat, dan moet deze ruimte oneindig dimensionaal zijn.
Oneindige Dimensionale vectorruimten
We herhalen: de vectorruimte V is oneindig dimensionaal als er geen eindige basis is.
Voorbeeld 2.41. De ruimten F([a, b], R), C([a, b], R) en C n ([a, b], R) zijn voorbeelden van oneindig dimensionale vectorruimten over R.
Evenzo zijn F([a, b], C), C([a, b], C) en C n ([a, b], C) voorbeelden van oneindig dimensionale complexe vectorruimten. Dat dit inderdaad zo is volgt uit het feit dat de verzameling
{1, x, x2 , . . . . . . , xn , . . . . . .}
een oneindige lineair onafhankelijke verzameling is in ieder van deze zes vectorruimten.
Dat C([a, b], R) oneindig dimensionaal is merken we dagelijks bij het vak Analyse. Niemand heeft
daar een eindig lijstje met functies waarmee alle functies te maken zijn. Zelfs een oneindige lijst is
niet te maken.
Hoewel oneindige dimensionale ruimten wel een basis hebben, deze worden dan vaak “Hamelbasis” genoemd, spelen deze in het oneindig dimensionale geval een minder prominente rol dan in
het eindig dimensionale geval.
2.6
Coördinatentransformaties
Het gebeurt regelmatig dat voor verschillende doeleinden verschillende bases interessant zijn en op
dat moment is het handig als we snel van de coördinaten ten opzichte van de ene basis kunnen
overstappen naar de coördinaten ten opzichte van de andere basis.
Wanneer in een n-dimensionale vectorruimte V zowel een basis B als een basis C gegeven is, hebben
we voor een vector v uit V twee coördinatiseringen: [v]B en [v]C . Overgang van de ene naar de
andere schrijfwijze wordt een coördinatentransformatie genoemd en blijkt weer te maken te
hebben met een matrixvermenigvuldiging. De volgende stelling maakt dit precies.
2.6. Coördinatentransformaties
41
STELLING 2.42. Voor een n dimensionale vectorruimte V met bases B en C geldt dat de
omzetting van [v]B naar [v]C (met v ∈ V ) berekend kan worden via de matrixvermenigvuldiging
P [v]B = [v]C ,
waarbij P de n × n matrix over is die als kolommen de coördinatisering van de basisvectoren
uit B ten opzichte van de basis C heeft. Dus als B = (b1 , b2 , . . . , bn ) dan
[
]
P = [b1 ]C [b2 ]C · · · [bn ]C .
Deze matrix wordt de overgangsmatrix (of transformatiematrix) van B naar C genoemd
en wordt meestal met P genoteerd.
C←B
Bovendien geldt: als A een n × n met de eigenschap dat
[v]C = A[v]B voor alle v ∈ V
dan geldt: A = P .
C←B
Bewijs: Kies maar v ∈ V en schrijf deze als lineaire combinatie van de vectoren uit B:
v = c1 b1 + c1 b2 + · · · + cn bn .
Uit de lineariteit van de coördinatisering volgt dan
[v]C = c1 [b1 ]C + c2 [b2 ]C + · · · + cn [bn ]C =


c1
[
]

= [b1 ]C [b2 ]C · · · [bn ]C  ...  = P [v]B .
C←B
cn
De uniciteit van de overgangsmatrix matrix volgt ook. Stel dat A een matrix is met
[v]C = A[v]B , voor alle v ∈ V . Kies v = bi , voor i = 1, . . . , n. Omdat [bi ]B = ei , voor
i = 1, . . . , n, volgt: [bi ]C = A[bi ]B = Aei = ie kolom van A, voor i = 1, . . . , n. Dus zien we dat A
en P dezelfde ie kolom heeft (voor i = 1, . . . , n). Kortom: A = P .
C←B
C←B
De eigenschappen om te onthouden zijn dus:
P
C←B
=
[
[b1 ]C
[b2 ]C
···
[bn ]C
]
en
[v]C = P [v]B (voor alle v ∈ V ).
C←B
([
1
i
] [
])
−1
,
en tweede basis
0
Voorbeeld 2.43. Beschouw C met als eerste basis B =
([
] [ ])
1
0
C=
,
. Om de overgangsmatrix P van de basis B naar de basis C te bepalen
−1
i
C←B
moeten de vectoren van B gecoördinatiseerd worden ten opzichte van C. De eerste kolom van P
C←B
[ ]
1
is immers de coördinaatvector van b1 =
ten opzichte van de basis C, welke gevonden wordt
i
door de vectorvergelijking
[ ]
[
]
[ ]
1
1
0
= x1
+ x2
i
−1
i
2
42
Hoofdstuk 2. De lineaire structuur op een vectorruimte
op te lossen. Vegen van de aangevulde matrix
[
]
1 0 | 1
−1 i | i
tot gereduceerde echelonvorm levert dan x1 = 1 en x2 = 1 − i, de kentallen van de eerste kolom
van P . Op dezelfde manier moeten we voor de tweede kolom de aangevulde matrix
C←B
[
1 0
−1 i
| −1
|
0
]
vegen, hetgeen de kentallen −1 en i oplevert. Blijkbaar is
[
]
1
−1
.
P = 1−i i
C←B
We merken nog op dat de twee stelsels in één keer opgelost hadden kunnen worden:
] [
]
[
1 0 |
1
−1
1 0 | 1 −1
∼
−1 i | i
0
0 1 | 1−i i
Er is geveegd totdat links de eenheidsmatrix staat. Rechts staan [dan de] twee kolommen
van ]de
[
−2
−2
−
i
gevraagde matrix P . Als nu v een vector in C2 is met [v]B =
(dus v =
),
i
−2i
C←B
dan is [v]C snel te vinden, immers
[
][
] [
]
1
−1
−2
−2 − i
[v]C = P [v]B =
=
.
1−i i
i
−3 + 2i
C←B
De volgende stelling is handig.
STELLING 2.44. Als B, C en D bases zijn voor een eindig dimensionale vectorruimte V ,
dan geldt
(
)−1
1. P is inverteerbaar en P =
.
P
C←B
2.
P
D←B
B←C
= P
D←C
C←B
· P
C←B
Bewijs: 1. Omdat de vectoren {b1 , . . . , bn } onafhankelijk zijn, zijn de coördinaten {[b1 ]C , . . . , [bn ]C }
dat ook en dus is de vierkante matrix P inverteerbaar.
C←B
Omdat [v]C = P [v]B voor alle v ∈ V geldt ook:
C←B
(
)−1
[v]C = [v]B voor alle v ∈ V
P
C←B
(
)−1
en dus: P =
.
P
B←C
C←B
2. We controleren dat de tweede matrix ook de eigenschap:
[v]D = P [v]B heeft, voor alle v ∈ V,
D←B
2.6. Coördinatentransformaties
de eigenschap die P
43
karakteriseert.
D←B
Welnu: ( P
P )[v]B =
D←C C←B
P ( P [v]B ) =
D←C C←B
P [v]C = [v]D , voor alle v ∈ V en de conclusie
D←C
volgt.
Voorbeeld 2.45. We bepalen
nog een keer voor de situatie van Voorbeeld 2.43, maar nu
([ ] [ ])
1
0
door deze matrix uit te rekenen via de standaardbasis basis E =
,
. Het aardige
0
1
hiervan is dat de overgangsmatrices P en P direct zijn op te schrijven omdat de vectoren uit
P
C←B
E←B
E←C
B en C al gecoördinatiseerd gegeven zijn ten opzichte van de standaardbasis! Er geldt
[
]
[
]
1 −1
1 0
=
en
=
.
P
P
i
0
−1 i
E←B
E←C
Met bovenstaande stelling volgt dan
(
)−1
P = P P =
P
P
C←B
C←E E←B
E←C
[
=
E←B
1 0
−1 i
]−1 [
1 −1
i
0
]
[
=
1
1−i
−1
i
]
.
Een handige truc die toepasbaar is met ruimtes die een standaardbasis E hebben. Dan kan P
C←B
(
)−1
berekend worden als P =
P
P .
C←B
E←C
E←B
Nu horen we te weten dat als we het stelsel A|B (met A een n × n inverteerbare matrix) vegen
naar In |?, dat in de rechterkolom de matrix A−1 B verschijnt, de oplossing van AX = B. Dus:
[A|B] ∼ [In |A−1 B]
GEVOLG 2.46. Als B, C geordende bases zijn voor een eindig dimensionale vectorruimte
V met een geordende standaardbasis E, dan geldt: P is te berekenen door [ P | P ] te
C←B
vegen naar [In | P ].
E←C E←B
C←B
Voorbeeld 2.47. We bepalen
P
nog een keer voor de situatie van Voorbeeld 2.43, maar nu
C←B
door [ P | P ] te vegen naar [I2 | P ]. Welnu: even vegen en we zien:
E←C E←B
[
[ P | P ]=
E←C E←B
[
en dus P
C←B
=
1
−1
1−i i
C←B
1
−1
0 | 1
i | i
−1
0
]
[
∼
1 0
0 1
|
1
| 1−i
−1
i
]
]
.
Voorbeeld 2.48. Voor P2 ([0, 1], R) nemen we de twee geordende bases C = (1, x−1, 1+x−x2 ) en
B = (x − 1, x2 + 1, 2x2 − x). Om P te bepalen beschouwen we de standaardbasis E = (1, x, x2 )
C←B
en kennelijk

P
E←C

1 −1
1
1
1 
= 0
0
0 −1

en
P
E←B
−1
= 1
0
1
0
1

0
−1 
2
44
Hoofdstuk 2. De lineaire structuur op een vectorruimte
Om P
te bepalen, vegen we
C←B

1
[ P | P ]= 0
E←C E←B
0

1
Dit levert:  0
0
0
1
0
0 | 0
0 | 1
1 | 0
−1
1 |
1
1 |
0 −1 |
−1
1
0
1
0
1


0
3
3
3
1
1
1  en dus P =  1
C←B
0 −1
−1 −2

0
−1 
2

3
1 .
−2
Hoofdstuk 3
Lineaire afbeeldingen
3.1
Afbeeldingen van Rn naar Rm
We gaan er van uit dat de student bekend is met het functiebegrip, dus “een functie f : A → B”.
Een functie wordt bepaald door een domein A, een zogeheten codomein B en een functievoorschrift f (a), een voorschrift die aan iedere a ∈ A een element f (a) ∈ B toevoegt. We schrijven
“de functie f : A → B met functievoorschrift f (a)”. In het algemeen: f is de naam van de functie,
f (x) het functievoorschrift.
Zoals in de Analyse functies f : R → R bestudeerd worden (bijvoorbeeld met voorschrift f (x) =
sin(2 ln(x2 + 1))), worden in de lineaire algebra functies (of ook transformaties) T : Rn → Rm
bekeken, functies dus met domein Rn en codomein Rm . Maar welke functies? Laten we ons
realiseren dat we al functies bekeken hebben. Projecteren op een lineaire deelruimte W geeft
een afbeelding projW : Rn → Rn en evenzo, spiegelen t.o.v. een lineaire deelrumte W geeft
een afbeelding SW : Rn → Rn . beide konden beschreven worden met een matrix: projW (x) =
[projW ]x en SW (x) = [SW ]x. Hierbij staan [projW ] en [SW ] voor de bijbehorende projectiematrix
en spiegelingsmatrix.
Laten we ons nu realiseren dat iedere m × n matrix A een afbeelding TA : Rn → Rm oplevert via
het functievoorschrift:
TA (x) = Ax.
Dit soort afbeeldingen worden ook wel matrixtransformaties genoemd en dit blijken precies die
functies te zijn (tussen Rn en Rm ) waarin men in de lineaire algebra geı̈nteresseerd is.
[
]
1 2 −3
Voorbeeld 3.1. De matrix A =
geeft een matrixtransformatie TA : R3 → R2 .
2 2 −1
Deze heeft als functievoorschrift:


[
]
x1
x1 + 2x2 − 3x3




x2
TA
=
2x1 + 2x2 − x3
x3
Aan het functievoorschrift van een functie is vaak in één opslag te zien of de betreffende functie
een matrixtransformatie is.


([
])
2x1 − 5x2
x1
Voorbeeld 3.2. Bekijk de functie T : R2 → R3 met functievoorschrift T
=  3x1 + 4x2 .
x2
−x1 + x2
Aan dit functievoorschrift is inderdaad meteen te zien dat dit een matrixtransformatie betreft en
45
46
Hoofdstuk 3. Lineaire afbeeldingen


2 −5
4  is.
dat de bijbehorende matrix A =  3
−1
1
([
Daarentegen, de functie T : R2 → R2 met functievoorschrift T
x1
x2
])
[
=
x21 − 5x32
3x1 + x22
]
gevoelsmatig toch geen matrixtransformatie. Is dat voldoende bewijs?
Als geen functievoorschrift gegeven is, maar een
meetkundige beschrijving van de afbeelding wordt
het nog lastiger.
Beschouw de afbeelding R : R2 → R2 die iedere
vector x over dezelfde hoek θ (linksom) in het vlak
draait naar R(x).
Is deze afbeelding een matrixtransformatie?
We zoeken een criterium om aan een afbeelding te
kunnen zien of deze deze afbeelding een matrixtransformatie is.
Definitie:
R(x)
θ
x
Een afbeelding T : Rn → Rm heet een lineaire afbeelding als:
1. T (u + v) = T (u) + T (v), voor alle u, v ∈ Rn .
2. T (cu) = cT (u), voor alle u ∈ Rn en alle c ∈ R.
STELLING 3.3. (i) Iedere matrixtransformatie T : Rn → Rm is een lineaire afbeelding.
(ii) Stel dat T : Rn → Rm een lineaire afbeelding is. Dan is er een unieke m × n matrix A
zodat
T (x) = Ax, voor alle x ∈ Rn .
We noteren A = [T ] en er geldt:
A = [T ] = [ T (e1 ) . . . T (en ) ].
Bewijs: Beschouw de standaardbasis ( e1 , . . . , en ) van Rn . Als x ∈ Rn dan
x = x1 e1 + x2 e2 + · · · + xn en
en dus
T (x) = T (x1 e1 + x2 e2 + · · · + xn en ) = x1 T (e1 ) + · · · + xn T (en ) = [ T (e1 ) . . . T (en ) ]x
De uniciteit: stel dat C een m × n matrix is zodat T (x) = Cx voor alle x ∈ Rn . Dan geldt:
de ide kolom van C = Cei = T (ei ) = de ide kolom van [T ]
voor i = 1 . . . n en dus C = [T ].
is
3.1. Afbeeldingen van Rn naar Rm
47
De matrix A = [T ] in Stelling 3.3 heet de standaardmatrix van T en de basiseigenschap van de
standaardmatrix [T ] is:
T (x) = [T ]x.
(Omdat de formule van [T ] gerelateerd is aan de standaardbasis, heet [T ] de standaardmatrix van
T .) Deze stelling levert ook het antwoord op de vraag gesteld aan het begin van deze paragraaf.
De functies T : Rn → Rm waar wij in geı̈nteresseerd zijn zien er uit als T (x) = Ax.
We kunnen nu de vragen beantwoorden uit Voorbeeld 8.9.
([
]
]) [ 2
x1
x1 − 5x32
2
2
Antwoord 1. De functie T : R → R met functievoorschrift T
is geen
=
x2
3x1 + x22
matrixtransformatie, want het is geen
afbeelding. Enig simpel rekenwerk laat zien dat
[ lineaire
]
1
T (2x) ̸= 2T (x) als bijvoorbeeld x =
.
1
Antwoord 2. De afbeelding R : R2 → R2 draait
iedere vector over dezelfde hoek θ (linksom) in het
vlak. Om in te zien dat R lineair is moeten we
een meetkundig argument gebruiken. Neem twee
vectoren x en y en we laten zien dat
R(x)
x
R(x + y) = R(x) + R(y).
θ
Beschouw in de schets de vectoren x en y en hun
beelden R(x) en R(y) verkregen door over dezelfde
hoek θ te draaien. Maar dan geldt: als men het
parallellogram opgespannen door x en y draait
over de hoek θ (linksom) dan gaat dit over in het
parallellogram opgespannen door R(x) en R(y).
Dus draait het hoekpunt x + y naar het hoekpunt
R(x) + R(y). Dus:
x+y
R(x) + R(y)
y
R(x)
x
R(y)
R(x + y) = R(x) + R(y).
Evenzo laat men zien dat R(cx) = cR(x).
We concluderen dat de roteren een matrix transformatie is. De standaardmatrix wordt:
[R] = [ R(e1 ) R(e2 )]
[
]
cos(θ)
Omdat R(e1 ) =
en R(e2 )
sin(θ)
[
]
− sin(θ)
geldt:
cos(θ)
[
e2
=
R(e1 )
R(e2 )
θ
θ
e1
]
cos(θ) − sin(θ)
sin(θ)
cos(θ)
([
]) [
][
] [
]
x
cos(θ) − sin(θ)
x
x cos(θ) − y sin(θ)
En dus: R
=
=
.
y
sin(θ)
cos(θ)
y
x sin(θ) + y cos(θ)
[
]
cos(θ) − sin(θ)
Een matrix van de vorm
heet een rotatie-matrix. We hebben een expliciete
sin(θ)
cos(θ)
formule gevonden voor de rotatie linksom van een vector over een gegeven hoek, en dus kunnen we
[R] =
48
Hoofdstuk 3. Lineaire afbeeldingen
nu iedere vector roteren over welke hoek[dan]ook. Dit is de kracht van de standaardmatrix.
1
Bijvoorbeeld: willen we de vector x =
over een hoek van 60 graden linksom roteren dan
2
wordt het resultaat:
√ ][
[
][
] [ 1
] [ 1 √ ]
− 12 3
− 3
cos(60) − sin(60)
1
1
2
R(x) =
= 1√
= 12√
.
1
sin(60)
cos(60)
2
2
3
2
2
2 3+1
De lineaire afbeeldingen waarvan de standaardmatrix een orthogonale matrix is vertonen een heel
mooi gedrag, zoa;ls de volgende stelling laat zien.
STELLING 3.4. Stel T : Rn → Rn is een lineaire afbeelding met standaardmatrix A, d.w.z.
T (x) = Ax, voor alle x ∈ Rn . Equivalent zijn:
1. A is een orthogonale matrix.
2. ∥T (x)∥ = ∥x∥, voor alle x ∈ Rn .
3. ⟨T (x), T (y)⟩ = ⟨x, y⟩, voor alle x, y ∈ Rn .
Bewijs: 1.⇒3. Stel dat A orthogonaal is. Dan geldt AT A = I en dus: ⟨T (x), T (y)⟩ = ⟨Ax, Ay⟩ =
(Ax)T (Ay) = xT AT Ay = xT y = ⟨x, y⟩.
3.⇒2. Als geldt: ⟨T (x), T (y)⟩ = ⟨x, y⟩, voor alle x, y ∈ Rn dan kunnen we deze uitspraak
beperken tot de situatie y = x. We verkrijgen zo: ⟨T (x), T (x)⟩ = ⟨x, x⟩, voor alle x ∈ Rn en dus
∥T (x)∥2 = ∥x∥2 , voor alle x ∈ Rn . De conclusie volgt.
2.⇒1. (Dit is het lastige deel van dit bewijs!) Stel dat ∥T (x)∥ = ∥x∥, voor alle x ∈ Rn en bekijk
de standaardmatrix A = [a1 . . . an ] met ai =√T (ei ). Dan: ∥ai ∥ = ∥T (ei )∥ = ∥ei ∥ = 1 voor i√=
1, . . . , n. Fixeer nu i ̸= j. Omdat ∥ei + ej ∥ = 2 geldt: ∥ai + aj ∥ = ∥T (ei + ej )∥ = ∥ei + ej ∥ = 2
en dus: 2 = ∥ai + aj ∥2 = ⟨ai + aj , ai + aj ⟩ = ∥ai ∥2 + ∥aj ∥2 + 2 ⟨ai , aj ⟩ = 2 + 2 ⟨ai , aj ⟩. En dus:
⟨ai , aj ⟩ = 0. Kortom, A is vierkant en de kolommen zijn orthonormaal, d.w.z. A is een orthogonale
matrix.
Hetzelfde verhaal kan men ophouden over functies T : Cn → Cm . Om precies te zijn:
• Een (complexe) m×n matrix A geeft een afbeelding (matrixtransformatie) TA : Cn → Cm met
het functievoorschrift:
TA (x) = Ax.
• Een afbeelding T : Cn → Cm heet een lineaire afbeelding als:
1. T (u + v) = T (u) + T (v), voor alle u, v ∈ Cn .
2. T (cu) = cT (u), voor alle u ∈ Cn en alle c ∈ C.
• Stelling. De matrixtransformaties T : Cn → Cm zijn precies de lineaire afbeeldingen
L : Cn → Cm . Ook hier heet de unieke m × n matrix A zodat
T (x) = Ax, voor alle x ∈ Cn .
de standaardmatrix van T en wordt genoteerd met [T ]. Er geldt weer:
A = [T ] = [ T (e1 ) . . . T (en ) ].
Het bewijs is hetzelfde als in het reële geval.
3.2. Lineaire afbeeldingen tussen vectorruimten
49
• De volgende stelling geldt weer: als T : Cn → Cm een lineaire afbeelding is, dan zijn
equivalent:
1. [T ] is unitair.
2. ∥T (x)∥ = ∥x∥, voor alle x ∈ Cn .
3. ⟨T (x), T (y)⟩ = ⟨x, y⟩, voor alle x, y ∈ Cn .
Hiervan is het bewijs van de stappen 1.⇒3. en 3.⇒2. letterlijk hetzelfde als in het reële
geval. De stap 2.⇒1. is weer de lastige stap.
We bekijken weer de standaardmatrix A = [a1 . . . an ] met ai = T (ei ). Weer geldt: ∥ai ∥ =
∥T (ei )∥ = ∥ei ∥ = 1 voor i = 1, . . . , n.
√
Fixeer nu i ̸= j. We bekijken√weer ei + ej . Omdat ∥ei + ej ∥ = 2 geldt: ∥ai + aj ∥ =
∥T (ei + ej )∥ = ∥ei + ej ∥ = 2 en dus: 2 = ∥ai + aj ∥2 = ⟨ai + aj , ai + aj ⟩ = ∥ai ∥2 +
∥aj ∥2 + ⟨ai , aj ⟩ + ⟨aj , ai ⟩ = 2 + ⟨ai , aj ⟩ + ⟨aj , ai ⟩. Omdat we nu geen commutativiteit van
het inwendig product hebben, kunnen we slechts concluderen dat ⟨ai , aj ⟩ + ⟨aj , ai ⟩ = 0. (a)
Oftewel: ⟨ai , aj ⟩ is zuiver imaginair.
√
In het complexe geval bekijken we ook de
√ vector ei + iej . Omdat2 ∥ei + iej ∥ = 2 geldt:
∥ai + iaj ∥ = ∥T (ei + iej )∥ = ∥ei + iej ∥ = 2 en dus: 2 = ∥ai + iaj ∥ = ⟨ai + iaj , ai + iaj ⟩ =
∥ai ∥2 + ∥aj ∥2 + i ⟨ai , aj ⟩ − i ⟨aj , ai ⟩ = 2 + i ⟨ai , aj ⟩ − i ⟨aj , ai ⟩.
We zien nu: ⟨ai , aj ⟩ − ⟨aj , ai ⟩ = 0. (b)
Uit de beide gelijkheden (a) en (b) volgt nu ook dat ⟨ai , aj ⟩ = 0.
Kortom, A is vierkant en de kolommen zijn orthonormaal, d.w.z. A is een unitaire matrix.
3.2
Lineaire afbeeldingen tussen vectorruimten
In het vorige college zijn functies tussen Rn en Rm bekeken, maar ook functies tussen Cn en
Cm . De voor de lineaire algebra geschikte afbeeldingen waren de matrix transformaties en deze
afbeeldingen konden precies gekarakteriseerd worden als de de lineaire afbeeldingen (zie college 9).
Nu willen we afbeeldingen tussen vectorruimten gaan bekijken, maar welke? Matrixtransformaties
tussen functieruimten bestaan niet. Het ligt voor de hand om de karakterisering te gebruiken van
deze afbeeldingen uit college 9.
Definitie: Een lineaire afbeelding L : V → W tussen twee vectorruimten V en W over R
(of beide over C) is een afbeelding L van V naar W met de eigenschappen:
• L(u + v) = L(u) + L(v), voor elke u en v uit V
• L(cv) = cL(v), voor elke v uit V en elke c uit R (dan wel c ∈ C).
Opmerking: Een lineaire afbeelding kan bestaan tussen twee reële vectorruimten of twee complexe vectorruimten. Echter NIET van een reële naar een complexe vectorruimte en ook NIET van
een complexe naar een reële vectorruimte.
Opmerking: Merk op dat het begrip matrixtransformatie in eerste instantie niet bestaat tussen
twee vectorruimten.
50
Hoofdstuk 3. Lineaire afbeeldingen
Opmerking: Een afbeelding (of functie of transformatie) L van V naar W is een voorschrift
dat aan elk element v van V precies één element van W koppelt. Dit element wordt genoteerd
met L(v) en wordt het beeld van v onder L genoemd. Andersom, als w uit W het beeld is van
een vector v uit V (dus w = L(v)), dan wordt v een origineel van w genoemd. Merk op dat w
meerdere originelen kan hebben (of niet één).
Nu volgt een waslijst aan voorbeelden. Bestudeer deze intensief. Kijk of je overal begrijpt hoe de
afbeelding gedefinieërd is (dat wil zeggen: snap van welke vectorruimte V naar welke vectorruimte
W de afbeelding gaat en zie in dat het beeld van een vector uit V inderdaad een vector in W is)
en waarom deze lineair is.
Voorbeeld 3.5. De nulafbeelding van een vectorruimte V naar een vectorruimte W is de afbeelding
O : V → W gedefinieërd door O(v) = 0 , voor alle v ∈ V.
Dit is een lineaire afbeelding, want
O(u + v) = 0 = 0 + 0 = O(u) + O(v)
en
O(cv) = 0 = c0 = cO(v).
Ook de identieke afbeelding op V of de identiteit op V
Id : V → V gedefinieërd door Id(v) = v , voor alle v ∈ V
is een lineaire afbeelding, want Id(u + v) = u + v = Id(u) + Id(v) en Id(cv) = cv = cId(v).
Voorbeeld 3.6. De afbeelding
L : F([−1, 1], R) → R gedefinieërd door L(f ) = f (0)
is een lineaire afbeelding. Immers:
L(f + g) = (f + g)(0) = f (0) + g(0) = L(f ) + L(g)
L(cf ) = (cf )(0) = cf (0) = cL(f ).
voor alle f en g uit F([−1, 1], R) en c uit R.
Vraag: Is de afbeelding L : F([−1, 1], R) → R gedefinieërd door
afbeelding?
L(f ) = f (1) een lineaire
Voorbeeld 3.7. We definiëren nu twee schuif-afbeeldingen op R∞ . Eerst het “terugschuiven”: dit
is de afbeelding
L1 : R∞ → R∞ gedefinieërd door L1 (x0 , x1 , . . . ) = (x1 , x2 , . . . ).
Deze afbeelding wordt “de shift” genoemd. Dat dit een lineaire afbeelding is, volgt uit
(
)
L1 (x0 , x1 , . . . ) + (y0 , y1 , . . . ) = L1 (x0 + y0 , x1 + y1 , . . . )
= (x1 + y1 , x2 + y2 , . . . )
= (x1 , x2 , . . . ) + (y1 , y2 , . . . )
= L1 (x0 , x1 , . . . ) + L1 (y0 , y1 , . . . )
en
(
)
L1 c(x0 , x1 , . . . ) = L1 (cx0 , cx1 , . . . ) = (cx1 , cx2 , . . . ) = c(x1 , x2 , . . . ) = cL1 (x0 , x1 , . . . ).
3.2. Lineaire afbeeldingen tussen vectorruimten
51
Het “heenschuiven” is de afbeelding
L2 : R∞ → R∞ gedefinieërd door L2 (x0 , x1 , . . . ) = (0, x0 , x1 , . . . ).
Dit is eveneens een lineaire afbeelding (zie de opgaven).
Vraag: Is de afbeelding L3 : R∞ → R∞ gedefinieërd door L3 (x0 , x1 , . . . ) = (1, x0 , x1 , . . . ) een
lineaire afbeelding?
52
Hoofdstuk 3. Lineaire afbeeldingen
De volgende afbeeldingen spelen een grote rol bij de theorie over differentiaal– en integraalvergelijkingen.
Voorbeeld 3.8. De eerste afbeelding is de afbeelding D die elke continu differentieerbare functie
afbeeldt op zijn afgeleide:
D : C 1 ([a, b], R) → C([a, b], R) gedefinieërd door D(f ) = f ′ .
Dat deze afbeelding lineair is volgt uit de bekende regels (f + g)′ = f ′ + g ′ en (cf )′ = cf ′ .
Voorbeeld 3.9. De tweede afbeelding is de afbeelding I die elke continue functie f afbeeldt op
die primitieve van f die nul is in a:
∫
x
I : C([a, b], R) → C 1 ([a, b], R) gedefinieërd door I(f )(x) =
f (t)dt.
a
Merk allereerst op dat deze afbeelding goed gedefinieërd is. Immers, de primitieve van een continue
functie bestaat en is continu-differentieerbaar (dit is de hoofdstelling van de integraalrekening,
bekend van het vak analyse). Verder is I een lineaire afbeelding, hetgeen volgt uit de rekenregels
voor het primitiveren, bekend uit de analyse.
Voorbeeld 3.10. De eerste afbeelding is de afbeelding D die elke continu differentieerbare functie
afbeeldt op de afgeleide in een vast punt x0 ∈ [a, b]:
D : C 1 ([a, b], R) → R gedefinieërd door D(f ) = f ′ (x0 ).
Dat deze afbeelding lineair is volgt uit de bekende regels (f +g)′ (x0 ) = f ′ (x0 )+g ′ (x0 ) en (cf )′ (x0 ) =
cf ′ (x0 ).
Voorbeeld 3.11. De vierde afbeelding is de afbeelding J die elke continue functie f afbeeldt op
∫b
het getal a f (t)dt, de bepaalde integraal van f over [a, b].
∫
b
J : C([a, b], R) → R gedefinieërd door I(f ) =
f (x)dx.
a
Ook is J een lineaire afbeelding, hetgeen volgt uit de rekenregels voor de onbepaalde integraal,
bekend uit de analyse.
Het volgende voorbeeld zullen we in het vervolg veelvuldig gebruiken en kan gedefinieërd bij elke
eindig dimensionale vectorruimte.
Voorbeeld 3.12. In §2.5 hebben we bij elke vector uit een eindig dimensionale vectorruimte V
over R (dan wel C) met basis B = (b1 , . . . , bn ) de coördinatisering [v]B gedefinieërd. Dit geeft
aanleiding tot een afbeelding van V naar Rn (dan wel Cn ), die v koppelt aan [v]B , de zogeheten
“coördinaatsafbeelding”. Notatie
v 7→ [v]B .
We kunnen dit de afbeelding [ ]B : V → Rn ([ ]B : V → Cn ) noemen.
Uit Stelling 2.34 volgt dat deze coördinatisering een lineaire afbeelding is, want: [u + v]B =
[u]B + [v]B en [cu]B = c[u]B .
3.3. Eigenschappen Lineaire afbeeldingen
3.3
53
Eigenschappen Lineaire afbeeldingen
Het wordt nu tijd om te laten zien dat er ook niet-lineaire afbeeldingen zijn.
Voorbeeld 3.13. De afbeelding f : R → R gedefinieërd door f (x) = x + 1 is niet lineair, want
f (2 · 1) = f (2) = 3 en 2f (1) = 2 · 2 = 4 ̸= f (2 · 1).
De afbeelding g : C → C met g(x) = ix is wel lineair: g(x + y) = i(x + y) = ix + iy = g(x) + g(y)
en g(cx) = icx = cix = cg(x).
De afbeelding h : R2 → R gedefinieërd door
{ 2
x /y als y ̸= 0
h(x, y) =
0
als y = 0
is ook niet lineair. Er geldt wel h(c(x, y)) = h(cx, cy) = (cx)2 /(cy) = c · x2 /y = c · h(x, y) (als
y ̸= 0), en h(c(x, 0)) = h(cx, 0) = 0 = c · 0 = c · h(x, 0). Aan de andere eigenschap is echter niet
voldaan: h((1, 1) + (1, 0)) = h(2, 1) = 4 en h(1, 1) + h(1, 0) = 1 + 0 = 1 ̸= 4.
Het nagaan of een afbeelding lineair is, kan natuurlijk door de beide definieërende voorwaarden
te controleren. Een andere mogelijkheid is inzien dat het een reeds bekende lineaire afbeelding is
(bijvoorbeeld door een afbeelding van Rn naar Rm te schrijven als matrixtransformatie). Aantonen
dat een afbeelding niet lineair is betekent in het algemeen een voorbeeld geven waaruit blijkt dat
aan tenminste één van de twee definieërende voorwaarden niet voldaan is. Het volgende criterium
kan in sommige gevallen ook uitkomst bieden.
STELLING 3.14. Als voor een afbeelding T : V → W geldt dat T (0) ̸= 0 dan is T geen
lineaire afbeelding (ofwel, als T lineair is, dan T (0) = 0).
Bewijs: Als T wel lineair zou zijn, dan
T (0) = T (00) = 0T (0) = 0
hetgeen in tegenspraak is met het gegeven. Overigens is bij dit bewijs alleen de tweede eigenschap
van lineaire afbeeldingen gebruikt.
Bij de afbeelding f uit het vorige voorbeeld hadden we deze stelling kunnen gebruiken, er geldt
immers f (0) = 1 en f is dus niet lineair. Let op: draai de stelling niet om! Als het beeld van de
nulvector wél de nulvector is, hoeft de afbeelding niet lineair te zijn! Dit geldt bijvoorbeeld voor
de afbeelding h uit bovenstaand voorbeeld.
Voorbeeld 3.15. Een translatie T : R2 → R2 over een niet-nulvector a, dat wil zeggen T (x) =
x + a, is niet lineair, want T (0) = a ̸= 0.
Andere eigenschappen van een lineaire afbeelding L : V → W die we zullen gebruiken, zijn de
volgende. Je mag ze zelf bewijzen in de opgaven.
• L(−x) = −L(x), voor alle x ∈ V .
• Als L : V → W lineair is, dan geldt L(x − y) = L(x) − L(y), voor alle x, y ∈ V .
• L : V → W is lineair als en slechts als
L(c1 x1 + c2 x2 + · · · + ck xk ) = c1 L(x1 ) + c2 L(x2 ) + · · · + ck L(xk )
voor alle x1 , x2 , . . . , xk ∈ V en c1 , c2 , . . . , ck ∈ L.
54
Hoofdstuk 3. Lineaire afbeeldingen
• Als L : V → W lineair is en de verzameling vectoren {x1 , x2 , . . . , xk } ⊂ V is afhankelijk in
V , dan is de verzameling vectoren {L(x1 ), L(x2 ), . . . , L(xk )} ⊂ W afhankelijk in W .
• Als L : V → W lineair is en de verzameling vectoren {L(x1 ), L(x2 ), . . . , L(xk )} ⊂ W is
onafhankelijk in W , dan is de verzameling vectoren {x1 , x2 , . . . , xk } ⊂ V onafhankelijk in V .
We komen nu tot twee belangrijke verzamelingen die bij een lineaire afbeelding gedefinieërd kunnen
worden, namelijk het beeld (te vergelijken met het bereik van een functie) en de kern (te vergelijken
met de nulpunten van een functie). Deze twee verzamelingen leggen veel eigenschappen van de
bijbehorende lineaire afbeelding vast.
Definitie: De kern van een lineaire afbeelding L : V → W tussen vectorruimten V en W
is de verzameling vectoren uit V die door L op 0 worden afgebeeld. De kern wordt genoteerd
als Ker(L) en er geldt dus:
Ker(L) = {v ∈ V | L(v) = 0}.
Het beeld of bereik van L is de verzameling van alle beelden onder L en wordt genoteerd
als Im(L), als L[V ] of als L(V ). Er geldt dus
Im(L) = {L(v) | v ∈ V } = {w ∈ W | er is een v ∈ V met L(v) = w}
Voorbeeld 3.16. De kern van de nulafbeelding O : V → W is heel V en het beeld is {0}, de
nulvector van W (en niet meer). Voor de identieke afbeelding Id : V → V geldt Ker(Id) = {0} en
Im(Id) = V .
Voorbeeld 3.17. De kern van de matrixtransformatie LA : Rm → Rn met A ∈ Mm×n (R) (dus
LA (x) = Ax met x ∈ Rm ) is precies de nulruimte van de matrix A en het beeld is precies de
kolomruimte van de matrix A, dus
Ker(LA ) = Nul(A) en Im(LA ) = Col(A).
Zo geldt voor de matrixtransformatie L : R3 → R2 uit voorbeeld 3.1 dat de kern de nulruimte van
de matrix
[
]
1 2 −3
A=
2 2 −1
is (hier Span{(−16, 5, 2)T }) en het beeld de kolomruimte (in dit geval heel R2 , dus L is surjectief).
Voorbeeld 3.18. De kern van de schuif-afbeelding L1 uit voorbeeld 3.7 bestaat uit alle vectoren
van de vorm (x0 , 0, . . . ) (en is dus Span{(1, 0, 0, . . .)}) en het beeld is heel R∞ . Voor de schuifafbeelding L2 geldt Ker(L2 ) = {0} en het beeld bestaat uit alle vectoren van de vorm (0, x0 , x1 , . . . ).
Voor de differentieer-afbeelding D : C 1 ([a, b], R) → C([a, b], R) uit voorbeeld 3.8 geldt dat de kern
uit de functies bestaat waarvan de afgeleide de nulfunctie is, en dat zijn precies de constante
functies (in dit geval van [a, b] naar R). Het beeld van D is heel C([a, b], R). De hoofdstelling van
de integraalrekening zegt immers dat elke continue functie f : [a, b] → R een primitieve F heeft die
zelfs continu-differentieerbaar is. Blijkbaar geldt D(F ) = f . Elke f is dus een beeld en behoort
dus tot Im(D).
Dat de kern van de integraal-afbeelding I : C([a, b], R) → C 1 ([a, b], R) ( uit voorbeeld 3.9) slechts
uit de nulfunctie bestaat, volgt ook uit de hoofdstelling van de integraalrekening. Als f namelijk
3.3. Eigenschappen Lineaire afbeeldingen
55
tot de kern van I behoort, is I(f ) de nulfunctie en dus is
∫ x
f (t) dt = 0 , voor alle x.
a
Als we het linkerlid differentiëren naar x vinden we met de genoemde hoofdstelling f (x), terwijl
het rechterlid 0 oplevert. Blijkbaar is f de nulfunctie. Voor het beeld van I zie de opgaven.
De kern en het beeld van een lineaire afbeelding L : V → W zijn niet zomaar deelverzamelingen
van de vectorruimten V en W , het zijn zelfs deelruimten. Dit is je misschien bij bovenstaande
voorbeelden al opgevallen. Het wordt bewezen in de volgende stelling.
STELLING 3.19. De kern Ker(L) van een lineaire afbeelding L : V → W is een deelruimte
van V en het beeld Im(L) is een deelruimte van W .
Bewijs: De kern en het beeld bevatten beide de nulvector: 0V ∈ Ker(L) en 0W ∈ Im(L), want
uit de lineariteit van L volgt dat L(0V ) = 0W
Verder geldt voor de kern: als v1 en v2 in de kern zitten, dan
L(v1 + v2 ) = L(v1 ) + L(v2 ) = 0W + 0W = 0W .
en zit de som van v1 en v2 dus ook in de kern. Als verder c ∈ R (dan wel c ∈ C) en v ∈ Ker(L),
dan volgt
L(cv) = cL(v) = c0W = 0W .
en dus is ook cv element van de kern. Blijkbaar is de kern een deelruimte van V .
Voor het beeld geldt: als w1 en w2 in het beeld zitten, dan zijn er vectoren v1 en v2 in V zo dat
w1 = L(v1 ) en w2 = L(v2 ). Er volgt:
w1 + w2 = L(v1 ) + L(v2 ) = L(v1 + v2 ) ∈ Im(L).
Neem tenslotte c ∈ R (dan wel c ∈ C) en w ∈ Im(L). Dan is er weer een vector v in V zo dat
w = L(v) en dus
cw = cL(v) = L(cv) ∈ Im(L),
waarmee ook Im(L) een deelruimte is, nu van W .
De volgende stelling, die het verband tussen de dimensies van de kern en het beeld geeft, staat
bekend als de dimensiestelling. Een gevolg van deze stelling is: hoe groter de kern, hoe kleiner het
beeld.
STELLING 3.20 (dimensiestelling). Als L : V → W een lineaire afbeelding van de
eindig dimensionale vectorruimte V naar de vectorruimte W is, dan geldt
dim Ker(L) + dim Im(L) = dim V.
Bewijs: Als deelruimte van V is ook Ker(L) eindig-dimensionaal. Er is dus een basis (u1 , . . . , us )
voor de kern van L (waarvan de dimensie dus s is). Deze is aan te vullen tot een basis
(u1 , . . . , us , v1 , . . . , vr )
56
Hoofdstuk 3. Lineaire afbeeldingen
voor V (waarvan de dimensie dus r + s is). Eventueel mag het aantal r of s nul zijn. De bewering
is nu dat het stelsel (L(v1 ), . . . , L(vr )) een basis vormt voor Im(L). In dat geval is bovenstaande
dimensieformule duidelijk, want dan geldt dim V = r + s = dim Im(L) + dim Ker(L). Om te
laten zien dat het inderdaad een basis is voor Im(L), moet aangetoond worden dat het stelsel
onafhankelijk is en dat het Im(L) opspant.
Onafhankelijkheid: Stel c1 L(v1 ) + · · · + cr L(vr ) = 0. Uit de lineariteit volgt voor deze lineaire
combinatie dat L(c1 v1 + · · · + cr vr ) = 0 en is het dus een element van de kern van L. Deze is dan
te schrijven als lineaire combinatie van de vectoren uit de basis voor de kern:
c1 v1 + · · · + cr vr = d1 u1 + · · · + ds us .
Dit kan herschreven worden tot
d1 u1 + · · · + ds us − c1 v1 − · · · − cr vr = 0.
De vectoren uit deze relatie vormen echter een basis voor V en zijn dus onafhankelijk. Alle
coëfficiënten moeten daarom nul zijn en er volgt dat c1 = · · · = cr = 0. De vectoren L(v1 ), . . . , L(vr )
zijn blijkbaar onafhankelijk.
Opspannen: Kies een w uit Im(L). Dan is w te schrijven als w = L(v). De vector v kunnen we
schrijven als lineaire combinatie van de basisvectoren van V :
v = a1 u1 + · · · + as us + b1 v1 + · · · + br vr .
De afbeelding L toepassen geeft:
w = L(v) = a1 L(u1 ) + · · · + as L(us ) + b1 L(v1 ) + · · · + br L(vr ) = b1 L(v1 ) + · · · + br L(vr ).
omdat de ui tot de kern van L behoren. Daarmee is w geschreven als lineaire combinatie van de
vectoren L(v1 ), . . . , L(vr ).
Het komt nogal eens voor dat men geı̈nteresseerd is in vergelijkingen van het type L(x) = b voor
een lineaire afbeelding L van een vectorruimte V naar een vectorruimte W . Hierbij is b een vector
uit W en wordt gezocht naar alle x ∈ V die op b afgebeeld worden. Een voorbeeld hiervan is de
bekende matrixvergelijking Ax = b.
STELLING 3.21. Voor een lineaire afbeelding L : V → W tussen vectorruimten V en W
en een vector b uit W geldt dat de oplossingsverzameling van de vergelijking L(x) = b gelijk
is aan
a + Ker(L) = {a + v | v ∈ Ker(L)}.
Hierbij is a een vector waarvan het beeld b is, met andere woorden, a is een (vaste) oplossing
van de vergelijking.
Bewijs: We moeten aantonen dat twee verzamelingen gelijk zijn: de verzameling S van alle x
waarvoor L(x) = b en de verzameling a + Ker(L). Neem daartoe eerst x in S, wat betekent dat
L(x) = b. Merk op dat
L(x − a) = L(x) − L(a) = b − b = 0
zodat x − a een element van Ker(L) is. Maar dan is x ∈ a + Ker(L).
Nu andersom: neem een vector x uit a + Ker(L), zeg x = a + v. Dan
L(x) = L(a + v) = L(a) + L(v) = b + 0 = b.
3.4. Operaties op lineaire afbeeldingen en inverteerbaarheid
57
Blijkbaar behoort x tot S.
Het mooie van bovenstaande stelling is het volgende: in veel situaties is de kern van een afbeelding
L relatief snel te vinden. Als dan ook nog één oplossing van de vergelijking L(x) = b bekend is, is
meteen ook de volledige oplossing van die vergelijking bekend. Tel die ene oplossing maar op bij
de vectoren uit de kern!
Voorbeeld 3.22. Beschouw de vectorruimte V = C ∞ (R, R) en de lineaire afbeelding L : V → V
met:
L(y) = y ′′ − 2y ′ − 3y
Dit is een lineaire afbeelding en als we willen oplossen: L(y) = x (dit geeft de differentiaalvergelijking y ′′ − 2y ′ − 3y = x) dan zegt bovenstaande stelling dat de oplossing eruit zal zien als: één
echte oplossing + de kern. Bij analyse noemde we dit: een particuliere oplossing plus de homogene
oplossing!!
3.4
Operaties op lineaire afbeeldingen en inverteerbaarheid
In het algemeen kunnen afbeeldingen L1 : U → V en L2 : V → W , zoals bekend, na elkaar
uitgevoerd worden:
U
u
L
1
−→
V
7→ L1 (u)
L
2
−→
(W )
7→ L2 L1 (u)
u uit U wordt
( via L
) 1 naar L1 (u) in V gestuurd, die vervolgens via L2 doorgestuurd wordt naar
de vector L2 L1 (u) in W . Dit levert een nieuwe afbeelding van U naar W , die de samenstelling
of compositie van L1 en L2 wordt genoemd en genoteerd wordt als L2 ◦ L1 (spreek uit: L2 na
L1 ). De vraag die nu rijst is of de samenstelling van twee lineaire afbeeldingen weer lineair is. Het
antwoord wordt gegeven in de volgende stelling.
STELLING 3.23. Als L1 : U → V en L2 : V → W lineaire afbeeldingen zijn tussen vectorruimten over R (of C), dan is ook de compositie L2 ◦ L1 : U → W een lineaire afbeelding.
Bewijs: De lineaire afbeelding L2 ◦ L1 is gedefinieërd door (L2 ◦ L1 )(u) = L2 (L1 (u)). Het bewijs
van de stelling volgt direct door uitschrijven van de eigenschappen die moeten gelden voor lineaire
afbeeldingen. Daarbij maken we gebruik van de lineariteit van L1 en L2 :
(
)
(L2 ◦ L1 )(u1 + u2 ) = L2 L1 (u1 + u2 )
(
)
= L2 L1 (u1 ) + L1 (u2 )
(
)
(
)
= L2 L1 (u1 ) + L2 L1 (u2 )
= (L2 ◦ L1 )(u1 ) + (L2 ◦ L1 )(u2 )
en
(
)
(
)
(
)
)
(L2 ◦ L1 )(cu) = L2 L1 (cu) = L2 cL1 (u) = cL2 L1 (u) = c(L2 ◦ L1 )(u .
In beide gevallen hebben we bij het tweede =-teken de lineariteit van L1 gebruikte en bij het derde
=-teken die van L2 .
Voorbeeld 3.24. De twee schuif-afbeeldingen L1 en L2 uit voorbeeld
we op twee
( 3.7 kunnen
)
manieren samenstellen. Het moge duidelijk zijn dat (L1 ◦ L2 )(v) = L1 (L2 (v) = v voor alle
58
Hoofdstuk 3. Lineaire afbeeldingen
v ∈ R∞ hetgeen we beknopt kunnen formuleren als L1 ◦L2 = Id (waarbij Id de identieke afbeelding
is, gedefinieërd in voorbeeld 3.5). Omgekeerd geldt
(
)
(L2 ◦ L11 )(x0 , x1 , . . . ) = L2 L1 (x0 , x1 , . . . ) = L2 (x1 , x2 . . . ) = (0, x1 , x2 . . . )
en dus is L2 ◦ L1 niet de identieke afbeelding. Ga nog na dat beide samenstellingen inderdaad
lineaire afbeeldingen zijn.
Voorbeeld 3.25. Ook de differentieer-afbeelding D : C 1 ([a, b], R) → C([a, b], R) en de integreerafbeelding I : C([a, b], R) → C 1 ([a, b], R) uit voorbeeld 3.8 kunnen we op twee manieren samenstellen. De compositie D ◦ I = Id, want toepassing van deze compositie op een functie uit C([a, b], R)
betekent dat eerst een primitieve bepaald wordt, die daarna gedifferentieerd wordt. Volgens de
hoofdstelling van de integraalrekening geeft dit weer de oorspronkelijke functie.
Verder: I ◦D =
̸ Id. Neem maar de constante functie f (x) = 3 uit C 1 ([a, b], R). Dan geldt D(f ) = 0,
dus ook I(D(f )) = 0 ̸= f .
Uit de relatie D ◦ I = Id kunnen Ker(I) en Im(D) nog op een elegante manier bepaald worden
(vergelijk met voorbeeld( 3.18):
) als f namelijk element is van Ker(I), dan moet I(f ) = 0 (de
nulfunctie!) en dus is D I(f ) = 0. Maar dit laatste is (D ◦ I)(f ) = Id(f ) = f en dus is f = 0.
Conclusie de kern van I( bevat
) alleen de nulfunctie. Neem nu een functie g in C([a, b], R). Omdat
D ◦ I = Id, volgt g = D I(g) en dus behoort g, als D-beeld van I(g), tot Im(D). Blijkbaar geldt
Im(D) = C([a, b], R).
Herinner dat we een afbeelding L : U → V inverteerbaar noemen als er een “omkeerafbeelding”
bestaat. Dat is een afbeelding T : V → U met de volgende eigenschap: Als L de vector u naar v
stuurt, dan stuurt T de vector v naar u en andersom. Anders gezegd:
Definitie: Een afbeelding (niet per se lineair!) L : U → V is inverteerbaar als er een
afbeelding T : V → U bestaat zodat
L ◦ T = IdV (de identieke afbeelding op V ) en
T ◦ L = IdU (de identieke afbeelding op U ).
In dat geval wordt T een inverse van L genoemd en L een inverse van T .
Herinner verder dat een inverteerbare afbeelding L : U → V precies één inverse heeft. Dit noemen
we dan de inverse van L, en deze afbeelding wordt dan genoteerd met L−1 : V → U . Merk op dat
de inverse afbeelding een vector L(u) terugstuurt naar u.
Inverteerbare lineaire afbeeldingen hebben de prettige eigenschap dat hun inverse ook weer lineair
is:
STELLING 3.26. De inverse van een inverteerbare lineaire afbeelding is ook weer lineair.
Bewijs: Neem aan dat L : U → V een inverteerbare lineaire afbeelding tussen vectorruimten is
en laat T : V → U de inverse zijn. We laten zien dat ook T een lineaire afbeelding is.
Met de lineariteit van L volgt
(
)
(
)
(
)
L T (u) + T (v) = L T (u) + L T (v) = u + v
3.4. Operaties op lineaire afbeeldingen en inverteerbaarheid
en
59
(
)
(
)
L cT (u) = cL T (u) = cu.
Pas hier T op toe en gebruik dat T ◦ L = IdU . Dan volgt direct:
T (u) + T (v) = T (u + v)
cT (u) = T (cu),
en T is dus lineair.
Hoe is na te gaan of een gegeven afbeelding T : U → V inverteerbaar is? Als U en V oneindig
dimensionaal zijn en zit er waarschijnlijk niets anders op dan terug te vallen op de volgende stelling.
Een afbeelding is inverteerbaar als en slechts als deze bijectief (dat wil zeggen injectief
én surjectief) is.
(Herinner: een afbeelding L : U → V is injectief (of één-één) als u ̸= v impliceert dat ook
L(u) ̸= L(v) (met andere woorden: verschillende originelen hebben verschillende beelden). De
afbeelding is surjectief als het bereik (beeld) heel V is, dus als Im(L) = V .)
STELLING 3.27. Een lineaire afbeelding L : V → W is injectief als en slechts als Ker(L) =
{0}.
Bewijs: Als L injectief is, dan moet Ker(L) = {0}. Zo niet, dan zouden twee verschillende
vectoren uit Ker(L) op 0 afgebeeld worden.
Omgekeerd, stel dat Ker(L) = {0}. Als zou gelden: L(u) = L(v), dan L(u−v) = L(u)−L(v) = 0.
Dus u − v ∈ Ker(L), en daarom bij aanname u − v = 0, d.w.z. u = v.
Voorbeeld 3.28. Ondanks het feit dat de differentieer-afbeelding D en de integreer-afbeelding I
uit voorbeeld 3.8 de eigenschap hebben dat D ◦ I = Id (vb 3.25), zijn ze niet inverteerbaar: D is
niet injectief, kijk maar naar de kern (zie vb 3.18 of 3.25) en I is niet surjectief, kijk maar naar
het beeld (zie de opgaven).
Iets dergelijks geldt ook voor de schuifafbeeldingen op R∞ .
Als U en V eindig dimensionaal zijn zullen we een simpelere methode ontwikkelen om in te zien if
T : U → V inverteerbaar is. We zien nu:
Voorbeeld 3.29. Zij V een vectorruimte met basis B = (v1 , . . . , vn ). De coördinatisering v 7→
[v]B is inverteerbaar. We kunnen namelijk direct zijn inverse opschrijven:


c1
 .. 
 .  7→ c1 v1 + · · · + cn vn .
cn
Definitie: We zeggen dat de vectorruimten U en V , beide over R (of beide over C) isomorf
zijn als er een inverteerbare lineaire afbeelding L : U → V bestaat. Zo’n afbeelding wordt een
isomorfisme genoemd.
60
Hoofdstuk 3. Lineaire afbeeldingen
Opmerking: Merk op dat in de situatie van de definitie ook de inverse van L een isomorfisme is
en dat V en U (verwisselde volgorde) dan ook isomorf zijn.
Isomorfe vectorruimten zijn qua vectorruimte-structuur hetzelfde. Eigenschappen die in de ene
ruimte gelden worden via het isomorfisme overgeheveld naar de andere. Zo geldt bijvoorbeeld
dat een basis voor U door het isomorfisme overgaat naar een basis voor V Het gevolg is dat
berekeningen binnen U eventueel gedaan kunnen worden in V door eerst alles “naar V over te
hevelen”. Vergeet in zo’n situatie niet het eindantwoord weer terug te sturen naar U .
Uit voorbeeld 3.29 volgt dat elke eindig dimensionale vectorruimte V over R (of C) door middel van
de coördinatisering isomorf is met Rn (of Cn ) waarbij n de dimensie van V is. Wat vectorruimteeigenschappen betreft, zijn ieder tweetal n-dimensionale vectorruimte over R (of C) aan elkaar
gelijk. Het algemene begrip vectorruimte lijkt voor eindig-dimensionale vectorruimten dus niets
nieuws opgeleverd te hebben in vergelijking met de Rn en Cn die we al hadden!
Een voorbeeld uit de differentiaal vergelijkingen.
Van het college differentiaalvergelijkingen zijn we bekend met de stelling:
STELLING 3.30. Beschouw de lineaire homogene differentiaal vergelijking
y (n) + cn−1 (x)y (n−1) + · · · + c1 (x)y ′ + c0 (x)y = 0
met beginvoorwaarden: y (n−1) (x0 ) = rn−1 , . . . , y ′ (x0 ) = r1 , y(x0 ) = r0 , waarbij
c0 (x), . . . , cn−1 (x) continue functies zijn op het interval [a, b] en x0 ∈ [a, b].
Dan bestaat er een unieke oplossing y ∈ C n ([a, b], R) van dit beginwaardeprobleem.
Met behulp van deze stelling kunnen we nu bewijzen.
STELLING 3.31. Beschouw de lineaire homogene differentiaal vergelijking
y (n) + cn−1 (x)y (n−1) + · · · + c1 (x)y ′ + c0 (x)y = 0
waarbij c0 (x), . . . , cn−1 (x) continue functies zijn op het interval [a, b]. Dan is de oplossingsverzameling O een n-dimensionale deelruimte van C n ([a, b], R).
Bewijs: Dat O een lineaire deelruimte is, volgt rechtstreeks en is een opgave. Maar waarom is
deze n-dimensionaal? Daartoe fixeren we een punt x0 ∈ [a, b] en beschouwen we de afbeelding



gedefinieerd door: L(y) = 

y(x0 )
y ′ (x0 )
..
.

L : O → Rn


. De afbeelding is lineair (ga na). Uit Stelling 3.30 volgt

y (n−1) (x0 )
dat de afbeelding surjectief (omdat er een oplossing is) en injectief (vanwege de uniciteit van een
oplossing) en daarom zal O isomorf met Rn zijn en daarom dimensie n hebben. Dus inderdaad,
er volgt dat er n lineair onafhankelijke oplossingen zullen bestaan, oplossingen die bij het college
differentiaal vergelijkingen gezocht werden.
3.5. Matrixrepresentaties van lineaire afbeeldingen
61
Tenslotte kunnen we y (n) + cn−1 (x)y (n−1) + · · · + c1 (x)y ′ + c0 (x)y beschouwen als een lineaire
afbeelding L : C n ([a, b], R) → C([a, b], R) via:
L(y) = y (n) + cn−1 (x)y (n−1) + · · · + c1 (x)y ′ + c0 (x)y
Merk op dat de Kern van deze afbeelding eigenlijk de algemene oplossing is van de bijbehorende
homogene vergelijking y (n) + cn−1 (x)y (n−1) + · · · + c1 (x)y ′ + c0 (x)y = 0!
Stelling 3.21 levert ons nu dat de oplossing van de differentiaalvergelijking
y (n) + cn−1 (x)y (n−1) + · · · + c1 (x)y ′ + c0 (x)y = p(x)
(met p(x) continu) gelijk is aan een particuliere oplossing + de homogene oplossing
3.5
Matrixrepresentaties van lineaire afbeeldingen
We weten dat iedere lineaire afbeelding T : Rn → Rm bepaald wordt door een matrix, de standaardmatrix [T ] via T (x = [T ]x. Er geldt: [T ] = [T (e1 ) · · · T (en )].
Er is al eerder gezegd dat lineaire afbeeldingen tussen willekeurige vectorruimtes niet op deze
manier door een matrix bepaald kunnen worden. Tenslotte, wat is Af als f ∈ F([0, 1], R) en A
een matrix? Echter, als B een basis is van de vectorruimte, dan bestaat A[v]B wel. Zouden die
coördinaten gebruikt kunnen worden om een matrix met een lineaire algebra te associeren?
We zullen zien dat, na keuze van bases in domein en codomein, een lineaire afbeelding tussen
eindig dimensionale vectorruimten met behulp van coördinatiseringen altijd gezien kan worden als
een matrixtransformatie.
STELLING 3.32. Als L : U → V een lineaire afbeelding is tussen de eindig dimensionale
vectorruimten U en V (over L) en als B = (u1 . . . un ) een basis voor U is en C = (v1 . . . vm )
een basis voor V , dan geldt voor elke u uit U dat de coördinatisering van het beeld L(u)
berekend kan worden via een matrixvermenigvuldiging:
[L(u)]C = A[u]B
Hierbij is A de m × n matrix waarvan de ie kolom gelijk is aan de coördinatisering van het
beeld van de ie basisvector uit B ten opzichte van de basis C, dus
[
]
A = [L(u1 )]C [L(u2 )]C · · · [L(un )]C .
Door de eigenschap [L(u)]C = A[u]B wordt de matrix A volledig bepaald en A wordt genoteerd
als:
[L]
C←B
en wordt de (transformatie)matrix van L ten opzichte van de bases B en (naar) C
genoemd.
Bewijs: Neem een vector u ∈ U . Omdat B een basis voor U is, is u op precies één manier te
schrijven als lineaire combinatie van u1 ,. . . ,un , zeg
u = c1 u1 + c2 u2 + · · · + cn un .
Uit de lineariteit van L volgt dan
L(u) = c1 L(u1 ) + c2 L(u2 ) + · · · + cn L(un ).
62
Hoofdstuk 3. Lineaire afbeeldingen
Dit is een vector uit V die we dus kunnen coördinatiseren ten opzichte van de basis C. We krijgen
dan
[L(u)]C = [c1 L(u1 ) + c2 L(u2 ) + · · · + cn L(un )]C
= c1 [L(u1 )]C + c2 [L(u2 )]C + · · · + cn [L(un )]C

=
[
[L(u1 )]C
[L(u2 )]C
···
[L(un )]C
]



c1
c2
..
.



 = A[u]B .

cn
Bij het tweede =-teken hebben we de lineariteit van de coördinaatafbeelding gebruikt en bij het
derde =-teken de definitie van de matrix-vector vermenigvuldiging.
Tenslotte, zij D een matrix met de eigenschap: [L(u)]C = D[u]B , voor alle u ∈ U . We tonen aan
dat D = [L] . Merk eerst op dat D een m × n matrix moet zijn. Als we voor u de vector ui ∈ B
C←B
invullen, dan lezen we: [L(ui )]C = D[ui ]B , voor i = 1 . . . n. Omdat [ui ]B = ei en omdat Dei = ide
kolom van D volgt:
de ide kolom van D is [L(ui )]C , voor i = 1 . . . n
en dus D = [L] .
C←B
Opmerking: We moeten kunnen inzien dat de standaardmatrix [T ] van een lineaire afbeelding
T : Rn → Rm eigenlijk een transformatiematrix van type [T ] is. Maar wat zijn de bases B en C
C←B
dan? Merk op: als En = {e1 , . . . , en } de standaardbasis is van Rn dan geldt: x = [x]En .
En dus vertaald de eigenschap: T (x) = [T ]x naar:
[T (x)]Em = [T ][x]En
Kortom:
[T ] =
[T ]
Em ←En
De standaardmatrix is de transformatiematrix t.o.v. de standaardbases!
Voordat we een voorbeeld geven nog het volgende: de stelling zegt eigenlijk twee dingen: ten eerste
hoe de matrix [L] gemaakt moet worden en ten tweede hoe hij gebruikt moet worden!
C←B
Voorbeeld 3.33. Zij L : Pol2 (C) → Pol3 (C) de afbeelding gedefinieërd door
∫ x
′
L(p)(x) = xp (x) +
p(t) dt.
1
Ga zelf na dat L goed gedefiniëerd en lineair is. Voordat we de matrix van L ten opzichte van de
standaardbases gaan bepalen, berekenen we eerst even het beeld van het polynoom p gegeven door
p(x) = 1 − 2ix + 3x2 . Dat is (volgens het voorschrift)
∫ x
L(p)(x) = x(−2i + 6x) +
(1 − 2it + 3t2 ) dt = (−2 + i) + (1 − 2i)x + (6 − i)x2 + x3 .
1
Laat nu B = (1, x, x2 ) de standaardbasis voor Pol2 (C) zijn en C = (1, x, x2 , x3 ) de standaardbasis
voor Pol3 (C). De matrix [L] is volgens stelling 3.32
C←B
[L] =
C←B
[
[L(1)]C
[L(x)]C
[L(x2 )]C
]
.
3.5. Matrixrepresentaties van lineaire afbeeldingen
63
Eerst moet kennelijk de functiewaarden van de basisvectoren 1, x en x2 berekend worden:
L(1) = −1 + x
1
1
L(x) = − + x + x2
2
2
1
1
2
2
L(x ) = − + 2x + x3
3
3
na het bepalen van de coördinaten van deze beelden ten opzichte van de basis C vinden we


−1 −1/2 −1/3

1
0 
.
[L] =  1

0
1/2
2 
C←B
0
0
1/3
Dat deze matrix gebruikt kan worden voor het berekenen van L-beelden illustreren we door het
net berekende beeld van p(x) = 1 − 2ix + 3x2 nog een keer te bepalen,
nu met [L]C←B . Hiervoor

1
zijn de coördinaten van p ten opzichte van B nodig en die zijn  −2i . Met de formule voor de
3
bepaling van de C-coördinaten van het L-beeld uit stelling 3.32 volgt nu





−1 −1/2 −1/3 
−2 + i
1
 1


1
0 
  −2i  =  1 − 2i  .
[L(p)]C = [L] [p]B = 




0
1/2
2
6
−
i
C←B
3
0
0
1/3
1
Dit zijn dus de coördinaten van L(p) ten opzichte van de basis C. Daaruit kan geconcludeerd
worden dat
L(p)(x) = (−2 + i) + (1 − 2i)x + (6 − i)x2 + x3 .
Dit komt, zoals te verwachten, overeen met het eerder gevonden antwoord. Het voordeel van deze
laatste berekening moge duidelijk zijn!
Opmerking: De matrix van een lineaire afbeelding L : U → V hangt natuurlijk af van de bases
die voor U en V gekozen worden.
Net als bij lineaire afbeeldingen van Rn naar Rm (of van Cn naar Cm ) geldt ook nu dat de matrix
van de compositie van lineaire afbeeldingen het product van de matrices van de afzonderlijke
afbeeldingen is:
STELLING 3.34. Als L1 : U → V en L2 : V → W lineaire afbeeldingen tussen eindig
dimensionale vectorruimten over R (of C) zijn en als B, C en D bases zijn voor respectievelijk
U , V en W , dan geldt
[L2 ◦ L1 ] = [L2 ] [L1 ] .
D←B
D←C C←B
Bewijs: Beschouw de formules [L1 (u)]C = [L1 ] [u]B , voor alle u ∈ U en [L2 (v)]D = [L2 ] [v]C ,
C←B
D←C
voor alle v ∈ V . Omdat L1 (u) een element van V is, mag in de laatste formule v vervangen worden
door L1 (u). Dit geeft aanleiding tot
(
)
[(L2 ◦ L1 )(u)]D = [L2 L1 (u) ]D = [L2 ] [L1 (u)]C = [L2 ] [L1 ] [u]B .
D←C
D←C C←B
64
Hoofdstuk 3. Lineaire afbeeldingen
Anderzijds geldt
[(L2 ◦ L1 )(u)]D = [L2 ◦ L1 ] [u]B .
D←B
Omdat de matrix [L2 ◦ L1 ] uniek is en [L2 ] [L1 ] “hetzelfde doet”, moet nu gelden dat deze twee
D←B
D←C C←B
matrices gelijk zijn. Hiermee is de stelling bewezen.
We kunnen nu de inverteerbaarheid van de lineaire afbeelding koppelen aan de inverteerbaarheid
van de bijbehorende matrixrepresentatie van de afbeelding.
STELLING 3.35. Als L : U → V een lineaire afbeelding is tussen eindig dimensionale
vectorruimten U en V over R (of over C) en als B = (u1 . . . un ) een basis voor U is en
C = (v1 . . . vm ) een basis voor V , dan geldt:
1. Als u ∈ U dan: u ∈ Ker(L) ⇔ [u]B ∈ Nul( [L] ).
C←B
2. Als v ∈ V dan: v ∈ Im(L) ⇔ [v]C ∈ Col( [L] ).
C←B
3. Merk op dat de identiteit uit Stelling 3.20: dim(U ) = dim(Ker(L)) + dim(Im(L) nu volgt
uit de identiteit: als A een m × n matrix, dan n = dim(Col(A)) + dim(Nul(A)).
Bewijs:
1. u ∈ Ker(L) ⇔ L(u) = 0 ⇔ [L(u)]C = [0]C = 0 ⇔ [L] [u]B = 0 ⇔ [u]B ∈ Nul( [L] ).
C←B
C←B
2. v ∈ Im(L) ⇔ er bestaat u ∈ U zo L(u) = v ⇔ er bestaat u ∈ U zo [L(u)]C = [v]C
⇔ er bestaat u ∈ U zo [L] [u]B = [v]C ⇔ [v]C ∈ Col( [L] ).
C←B
C←B
3. Als dim(U ) = n en dim(V ) = m dan is [L] een m × n matrix.
C←B
Volgens 1.
is de coördinatisering een isomorfisme tussen Ker(L) en Nul( [L] ) en dus:
C←B
dim(Ker(L)) = dim(Nul( [L] )).
C←B
Volgens 2. is de coördinatisering een isomorfisme tussen Im(L) en Col( [L] ) en dus:
C←B
dim(Im(L)) = dim(Col( [L] )).
C←B
En dus volgt de identiteit n = dim(U ) = dim(Ker(L))+dim(Im(L) inderdaad uit de identiteit
n = dim(Nul( [L] )) + dim(Col( [L] )).
C←B
C←B
3.5. Matrixrepresentaties van lineaire afbeeldingen
65
STELLING 3.36. Als L : U → V een lineaire afbeelding is tussen eindig dimensionale
vectorruimten U en V over R (of over C) en als B = (u1 . . . un ) een basis voor U is en
C = (v1 . . . vm ) een basis voor V , dan geldt:
De afbeelding L : U → V is inverteerbaar (als afbeelding) als en slechts als de matrix [L]
C←B
inverteerbaar is (als matrix). Bovendien geldt: als [L] inverteerbaar is dan:
C←B
[L−1 ] =
)−1
(
[L]
B←C
C←B
Bewijs: Stel dat de afbeelding L : U → V inverteerbaar is. Dan bestaat T = L−1 : V → U
zodat T ◦ L = IdV en L ◦ T = IdW . (Merk op dat [IdV ] = I en [IdW ] = I. Daarom geldt:
B←B
C←C
I = [IdV ] = [T ◦ L] = [T ] [L] en I = [IdW ] = [L ◦ T ] = [L] [T ] . Er volgt dat de matrix [L]
B←B
B←C C←B
C←C
B←C
C←B
B←B
C←C
(
)C←B
−1
vierkant is, inverteerbaar is en dat [T ] = [L−1 ] = [L]
.
B←C
B←C
C←B
Omgekeerd, stel dat de matrix [L] inverteerbaar is. We definieëren T : V → U via de coordinaten
C←B
door:
(
[T (v)]B =
)−1
[L]
C←B
[v]C .
We claimen dat T een lineaire afbeelding is.
Om in te zien dat T (v1 + v2 ) = T (v1 ) + T (v2 ), is het voldoende om in te zien dat [T (v1 + v2 )]B =
[T (v1 ) + T (v2 )]B . Omdat [T (v1 ) + T (v2 )]B = [T (v1 )]B + [T (v2 )]B moeten we laten zien:
[T (v1 + v2 )]B = [T (v1 )]B + [T (v2 )]B .
(
)−1
(
)−1
(
)−1
Welnu: [T (v1 + v2 )]B = [L]
[v1 + v2 ]C = [L]
[v1 ]C + [L]
[v2 ]C = [T (v1 )]B +
C←B
C←B
C←B
[T (v2 )]B . Evenzo wordt de identiteit T (cv) = cT (v) aangetoond.
(
)−1
[L]
Tenslotte, omdat [T ] =
zal gelden: T ◦ L = IdV en L ◦ T = IdW . Daarom zal L
B←C
C←B
inverteerbaar zijn met inverse L−1 = T .
Voorbeeld 3.37. Beschouw de functieruimte C(R, R) en de deelruimte V opgespannen door de
drie functies e3x , xe3x , x2 e3x , i.e. V = Span{e3x , xe3x , x2 e3x }. Beschouw de lineaire afbeelding
D : V → V gedefinieerd door:
D(p)(x) = p′ (x)
(Merk op: dit is inderdaad een afbeelding naar V , want de afgeleide van de functies e3x , xe3x , x2 e3x
zitten in V en de rekenregels voor afgeleide geeft dat dit inderdaad een lineaire afbeelding is.)
Vragen:
1. Laat zien dat B = {e3x , xe3x , x2 e3x } een basis voor V is.
2. Bepaal [D] .
B←B
3. Bepaal een expliciete
formule voor de afbeelding D. (Hiermee bedoelen we: als p ∈ V met

x1
[p]B =  x2  dan [D(p)]B = . . . .) Bepaal hiermee de afgeleide van p(x) = e3x +xe3x +x2 e3x .
x3
66
Hoofdstuk 3. Lineaire afbeeldingen
4. Is de afbeelding D : V → V inverteerbaar? Zo ja, bepaal een expliciete formule voor de
inverse afbeelding.
5. Bepaal een primitieve van p(x) = e3x + xe3x + x2 e3x in V .
Antwoorden 1. Per definitie van V spant B de ruimte V op en onafhankelijkheid van de drie
functies e3x , xe3x , x2 e3x in B volgt bijvoorbeeld via de Wronskiaan (ga na). Dan is B dus een
basis.
 
3
2. Omdat D(e3x ) = 3e3x volgt [D(e3x )]B =  0 .
0 

1
Omdat D(xe3x ) = e3x + 3xe3x volgt [D(xe3x )]B =  3 .
0  
0
Omdat D(x2 e3x ) = 2xe3x + 3x2 e3x volgt [D(x2 e3x )]B =  2 .
3
En dus:


3 1 0
[D] = [ [D(e3x )]B [D(xe3x )]B [D(x2 e3x )]B ] =  0 3 2 
B←B
0 0 3





3 1 0
x1
3x1 + x2
3. [D(p)]B = [D] [p]B =  0 3 2   x2  =  3x2 + 2x3 . De afgeleide van de gegeven
B←B
0 0 3
x3
  3x3
4
1
p ∈ V is D(p). Omdat [p]B =  1  volgt [D(p)]B =  5  en dus is de afgeleide:
3
1
3x
3x
2 3x
4e + 5xe + 3x e .
4. Volgens stelling 3.36 is de afbeelding D : V → V inverteerbaar (als afbeelding) als en slechts als
de matrix [D] inverteerbaar is (als matrix). Dit laatste is het geval, want det( [D] ) = 33 ̸= 0.
B←B
B←B
(
)−1
Omdat [D−1 ] = [D]
volgt:
B←B
B←B

−1 

0
1/3 −1/9 2/27
2  =
0
1/3 −2/9  (ga na).
3
0
0
1/3


x1
Voor de expliciete formule van de inverse krijgen we: als p ∈ V met [p]B =  x2  dan
x3


  1

1
2
1/3 −1/9 2/27
x1
3 x1 − 9 x2 + 27 x3
2
1
.
0
1/3 −2/9   x2  = 
[D−1 (p)]B = [D−1 ][p]B = 
3 x2 − 9 x3
B←B
1
0
0
1/3
x3
x
3
3
3
[D−1 ] =  0
B←B
0
1
3
0
5. Merk op: als p ∈ V dan is q = D−1 (p) ∈ V is kennelijk een functie in V metp =D(q) = q ′ ,
1
d.w.z. q is een primitieve van V . Omdat (als p(x) = e3x + xe3x + x2 e3x ) [p]B =  1  geldt dat
1
de B–coördinaten van een primitieve van p zijn:


  8 
∫
1/3 −1/9 2/27
1
27
0
1/3 −2/9   1  =  91  .
[ e3x + xe3x + x2 e3x dx]B = 
1
0
0
1/3
1
3
3.5. Matrixrepresentaties van lineaire afbeeldingen
∫
en dus:
e3x + xe3x + x2 e3x dx =
67
12 3x 1 3x 1 2 3x
e + xe + x e .
27
9
3
We laten vervolgens zien dat de overgangsmatrix P
uit college 8 eigenlijk een matrixrepresentatie
B←C
van een afbeelding is.
STELLING 3.38. Laat V een vectorruimte zijn met basis B voor V en met een andere
basis C voor V . Beschouw de identeit op V , d.w.z. de lineaire afbeelding Id : V → V met
Id(v) = v, voor alle v ∈ V . Dan geldt:
[Id] = P .
C←B
C←B
Bewijs: Dit moet in ieder geval duidelijk zijn uit de formules van beide matrices. Als B =
{b1 , . . . , bk } dan:
P = [[b1 ]C . . . [bk ]C ]
C←B
en
[Id] = [[Id(b1 )]C . . . [Id(bk )]C ].
C←B
Omdat Id(bi ) = b1 volgt de gelijkheid van de twee matrices.
Tenslotte presenteren we de relatie tussen matrixrepresentaties van dezelfde afbeelding t.o.v. verschillende bases.
STELLING 3.39. Als L : U → V een lineaire afbeelding tussen eindig dimensionale vectorruimten over L is, en als B1 een basis voor U en C1 een basis voor V is, dan is
[L]
C1←B1
de matrix van L ten opzichte van deze bases. Als we voor U en voor V een andere basis kiezen,
zeg B2 en C2 , dan geldt voor de matrixrepresentatie van L ten opzichte van deze nieuwe bases
dat
[L] = P
[L]
P .
C2←C1 C1←B1 B1←B2
C2←B2
Bewijs: Een formele manier om dit te zien is als samenvoeging van stelling 3.38 en stelling 3.34.
Omdat L = Id ◦L ◦ Id volgt via de tweede en dan de eerste stelling dat
[L]
= [Id]
C2←B2
[L]
[Id] =
C2 ←C1 C1←B1 B1 ←B2
P
[L]
P
.
C2←C1 C1←B1 B1←B2
Een andere manier wordt verkregen door na te gaan dat de matrix D =
P
[L]
P
voldoet
C2←C1 C1←B1B1←B2
aan de eigenschap [L(u)]C2 = D[u]B2 , de eigenschap die
P
[L]
P
C2←C1 C1←B1B1←B2
[u]B2 =
P
[L] (
P
[L]
volledig karakteriseert. Inderdaad:
C2←B2
C2←C1 C1←B1 B1←B2
[u]B2 ) =
P
[L] [u]B1 =
C2←C1 C1←B1
68
Hoofdstuk 3. Lineaire afbeeldingen
P
( [L] [u]B1 ) =
C2←C1 C1←B1
P
C2←C1
[L(u)]C1 = [L(u)]C2 .
Voorbeeld 3.40. Beschouw R3 met basis B = {b1 , b2 , b3 } waarbij
 




2
1
1
b1 =  1  , b2 =  2  en b3 =  1  .
1
1
2
Vraag: Bepaal de standaardmatrix van de lineaire afbeelding L : R3 → R3 met de eigenschap
L(b1 ) = b1 + b2 , L(b2 ) = b1 + b2 + b3 en L(b3 ) = b1 − b2 .
Antwoord: Laat E = {e1 , e2 , e3 } de standaardbasis van R3 zijn. De vraag is [L] = [L] te bepaE←E
len. In eerste instantie denk je wellicht dat hiervoor L(ei ) berekend moet worden en rechtstreeks
uit de gegevens is dat heel wat rekenwerk.
Veel slimmer is je te realiseren dat eigenlijk [L] eigenlijk gegeven is, want er staat [L(b1 )]B =


 
 B←B

1
1
1
 1 , [L(b2 )]B =  1  en [L(b3 )]B =  −1  en dus:
0
1
0


1 1
1
[L] =  1 1 −1 
B←B
0 1
0


2 1 1
Merk op dat P =  1 2 1  en daarom:
E←B
1 1 2


1
2
−1
[L] = [L] = P [L] P = P [L] ( P )−1 =  3/2 5/2 −5/2  (ga na).
E←B B←BB←E
E←B B←B E←B
E←E
1/2 5/2 −3/2
3.6
Lineaire operatoren, eigenvectoren en eigenwaarden
Definitie: Een lineaire afbeelding L met hetzelfde domein als codomein wordt een lineaire
operator genoemd.
Dus L : V → V is een lineaire operator. Voor lineaire operatoren kunnen we het begrip eigenvector
en eigenwaarden definiëren.
Definitie: Een vector v ̸= 0 uit een vectorruimte V over L heet een eigenvector van de
lineaire operator L : V → V als er een scalar λ in L bestaat zo dat
L(v) = λv.
De scalar λ ∈ L wordt de bijbehorende eigenwaarde genoemd.
3.6. Lineaire operatoren, eigenvectoren en eigenwaarden
69
Opmerking: Merk op dat de eigenwaarden en eigenvectoren van een n×n matrix A ook bestaan.
Zijn dat adere objecten? Eigenlijk niet. Als A een reële n × n matrix dan zijn de eigenvectoren en
eigenwaarden van de matrix A zoals gedefinieerd in Lineare Algebra deel 1, precies de eigenwaarden
en eigenvectoren van de operator LA : Rn → Rn gedefinieerd door LA (v) = Av (de operator die
de matrix A als standaardmatrix heeft).
Als A een complexe n × n matrix dan zijn de eigenvectoren en eigenwaarden van de matrix A, zoals
gedefinieerd in college 1, precies de eigenwaarden en eigenvectoren van de operator LA : Cn → Cn
gedefinieerd door LA (v) = Av.
De complexe eigenwaarden en eigenvectoren van een reële n × n matrix A, zoals gedefinieerd in
college 1, zijn precies de eigenwaarden en eigenvectoren van de operator LA : Cn → Cn gedefinieerd
door LA (v) = Av (een operator op Cn die een reële matrix als standaardmatrix heeft).
Opmerking: Merk op dat volgens onze definitie een reële operator L : Rn → Rn alleen reële
eigenwaarden en eigenvectoren kan hebben.
Eigenwaarden en eigenvectoren spelen in zeer vele toepassingen een centrale rol. U zult dit tegenkomen bij bij het oplossen van stelsels differentiaalvergelijkingen, maar ook bij een vak als
kwantummechanica.
Een andere context is het volgende: het komt vaak voor dat een vector een bepaalde toestand voorstelt, bijvoorbeeld als de kentallen van een vector in Rn de aantallen aanhangers voorstellen van de
verschillende politieke partijen, of, in de kwantummechanica, waar een toestand wordt aangegeven
door een (vector)functie Ψ(x, t) (wat betekent dat ∥Ψ(x, t)∥2 de kans is dat een deeltje zich op tijdstip t in positie x bevindt). Een lineaire operator L representeert dan een toestandsverandering
(bijvoorbeeld een bepaalde gebeurtenis die de aanhangers van een partij naar een andere partij
doet overlopen, of in het kwantummechanische voorbeeld de impuls, waarbij de operator gelijk is
d
d
aan −i dx
en Ψ(x, t) dus veranderd wordt in −i dx
Ψ(x, t)). Men kan dan geı̈nteresseerd zijn in een
stabiele toestand v, waarin de operator geen effect heeft, dus waarvoor L(v) = v, d.w.z. v is een
eigenvector bij de eigenwaarde λ = 1. 1 .
Voorbeeld 3.41. Beschouw de operator L : Pol(R, R) → Pol(R, R) die gedefinieerd is door
L(p)(x) = x
dp
= xp′ (x).
dx
Het is niet al te moeilijk in te zien dat alle polynomen van de vorm p(x) = xk eigenvectoren zijn
van deze operator L, en wel bij de eigenwaarde k. Er geldt immers dat:
L(p)(x) = x k xk−1 = k xk = k (p)(x).
Inderdaad, L(p) = k (p) en dus is p een eigenvector van de operator L bij de eigenwaarde k.
De eerste les uit dit voorbeeld is: nagaan of een gegeven vector een eigenvector is, is in het algemeen
vrij eenvoudig.
Hoe op het idee te komen dat p(x) = xk wel eens een eigenvector zou kunnen zijn is natuurlijk een
tweede. Deze vraag is natuurlijk een stuk lastiger en we zullen dit beantwoorden via de vraag:
“zijn de vectoren p(x) = xk resp. de getallen k = 0, 1, 2, . . ., alle eigenvectoren, resp alle eigenwaarden, van deze opertor”?
Stel dat p een polynoom is bij de eigenwaarde λ. Dan: L(p) = λ (p), dus L(p)(x) = λ (p)(x) en
dus
xp′ (x) = λ p(x).
We herkennen dit als een separabele differentiaalvergelijking, en hiermee kunnen we niet alleen de
polynomen (wat de vraag is) maar zels alle functies y(x) bepalen met xy ′ (x) = λ y(x).
1 De termen eigenvector, eigenwaarde en eigenfunctie zijn afkomstig uit het Duits en zijn overgenomen uit artikelen
over kwantummechanica van omstreeks 1920.
70
Hoofdstuk 3. Lineaire afbeeldingen
y ′ (x)
λ
Aldus: xy (x) = λ y(x) ⇒
= ⇒
y(x)
x
dus:
′
∫
1
dy =
y
∫
λ
dx ⇒ ln |y| = λ ln |x| + C ′ = ln |Cxλ | en
x
y(x) = Cxλ .
Conclusie: de differentiaalvergelijking heeft veel meer oplossingen (bijvoorbeeld y(x) = x4/3 ), maar
de polynoomoplossingen van de differentiaalvergelijking, de eigenvectoren van L, zijn precies de
polynomen van de vorm p(x) = Cxk . (Dus ëssentieel”zijn p(x) = xk precies de eigenwaarden) en
k = 0, 1, 2, . . . zijn precies de eigenwaarden.
Voor het volgende voorbeeld introduceren we de vectorruimte L[[X]], de verzameling van alle
“formele machtreeksen” van de vorm
∞
∑
ak X k
k=0
in de formele variabele X met ak ∈ L.
We noemen dit een formele machtreeks omdat we de machtreeks niet als functie zullen beschouwen
(dus een vraag over het convergentiegebied zullen we niet stellen) maar puur als een formele
∞
∞
∑
∑
oneindige sommatie. We zeggen wel: twee machtreeksen
ak X k en
bk X k zijn gelijk als
k=0
ak = bk , voor k = 0, . . . , ∞. Met de operaties:
•
∞
∑
ak X k +
k=0
• c
∞
∑
k=0
∞
∑
bk X k =
k=0
ak X k =
∞
∑
∞
∑
k=0
(ak + bk )X k ,
k=0
(cak )X k
k=0
maken we L[[X]] inderdaad tot een vectorruimte over L.
Voorbeeld 3.42. Om alle eigenwaarden en eigenvectoren van de differentiatie operator D :
L[[X]] → L[[X]], die gedefinieerd is door
D(
∞
∑
k=0
ak X k ) =
∞
∑
kak X k−1 =
k=1
∞
∑
(k + 1)ak+1 X k
k=0
∑∞
op te zoeken, stellen we dat de niet-nulreeks k=0 ak X k een eigenvector bij eigenwaarde λ is. Dat
betekent dat er geldt
∞
∞
∞
∑
∑
∑
k
k
(k + 1)ak+1 X = λ
ak X =
λak X k .
k=0
k=0
k=0
Hieruit volgt dat de coëfficiënten voor k ≥ 0 moeten voldoen aan:
(k + 1)ak+1 = λak .
We herschreven dit tot:
ak+1 =
λ
ak .
k+1
2
3
λ
λ
Hier staat dus dat als a1 = λ1 a0 , dat dan: a2 = λ2 a1 = 2·1
a0 , a3 = λ3 a2 = 3·2·1
a0 , enzovoorts. Bij
gegeven a0 liggen dus alle coëfficiënten van de eigenvector–machtreeks bij λ vast, er geldt namelijk
dat
λk
ak = a0 .
k!
3.6. Lineaire operatoren, eigenvectoren en eigenwaarden
71
Voor elke a0 ̸= 0 uit L is de reeks
∞
∑
∞
a0
k=0
∑ λk
λk k
X = a0
Xk.
k!
k!
k=0
dus een eigenvector van D bij eigenwaarde λ.
De conclusie is dat elke λ ∈ L een eigenwaarde van D is en dat de bijbehorende eigenvectoren de
∞
∑
λk k
X zijn, op de nul–machtreeks na.
scalaire veelvouden van de machtreeks
k!
k=0
Opmerking: We zouden bovenstaande operator ook kunnen bekijken als een operator D :
Pol(R, R) → Pol(R, R) via D(p)(x) = p′ (x). Willen we eigenwaarden en eigenvectoren bekijken
dan leidt dit tot de differentiaalvergelijking:
y ′ = λy.
Deze heeft geen polynoom als oplossing, dus de operator D : Pol(R, R) → Pol(R, R) heeft geen
eigenwaarden/eigenvectoren.
De oplossing van de differentiaalvergelijking zijn welbekend, y(x) = C eλ x . Merk op dat de machtreeksontwikkeling van deze functies wordt:
y(x) = C
∞
∑
(λ x)k
k=0
k!
=C
∞
∑
λk
k=0
k!
xk .
Zie de overeenkomst met de formele machtreeks gevonden in het vorige voorbeeld.
Vorige voorbeelden wekken de suggestie dat de verzameling van eigenvectoren bij gelijke eigenwaarde een deelruimte is als de nulvector toegevoegd wordt. Dat is ook zo, vandaar de volgende
definitie.
Definitie: Als λ een eigenwaarde is van een operator L op een vectorruimte V over L, dan
heet de verzameling Eλ , die bestaat uit alle vectoren v waarvoor L(v) = λv de eigenruimte
van L bij de eigenwaarde λ.
Merk op dat de eigenruimte Eλ bij een eigenwaarde λ uit de bijbehorende eigenvectoren én de
nulvector (die geen eigenvector is!) bestaat. Verder geldt dat een vector v tot Eλ behoort als en
slechts als L(v) = λv. Dit kan herschreven worden tot L(v) − λv = 0. Merk op dat L(v) − λv
het beeld is van v onder de operator L − λ Id. Blijkbaar behoort v tot Eλ als en slechts als
(L − λ Id)(v) = 0, wat wil zeggen dat
Eλ = Ker(L − λ Id).
(3.1)
Hieruit volgt dat de scalar λ een eigenwaarde is zodra de kern van de operator L − λ Id uit meer
dan alleen de nulvector bestaat én er volgt dat eigenruimten van een operator op een vectorruimte
V deelruimten van V zijn. Dat betekent dat elke lineaire combinatie van eigenvectoren van een
operator L bij dezelfde eigenwaarde ook weer een eigenvector bij die eigenwaarde is (tenzij het de
nulvector is). We formuleren dit alles in een stelling:
72
Hoofdstuk 3. Lineaire afbeeldingen
STELLING 3.43. De eigenruimte Eλ bij een eigenwaarde λ van een lineaire operator L
op een vectorruimte V is de kern van de operator L − λ Id en is dus een deelruimte van V .
Deze deelruimte bevat precies de nulvector van V én alle eigenvectoren met eigenwaarde λ. Er
geldt blijkbaar dat elke lineaire combinatie van eigenvectoren bij eigenwaarde λ ook weer een
eigenvector bij eigenwaarde λ is (tenzij het de nulvector is).
3.7
Bepalen eigenwaarden als V oneindig–dimensionaal is
In feite geeft de definitie of (3.1) aan hoe eigenvectoren bij een gegeven eigenwaarde berekend
kunnen worden. Zo’n berekening hebben we al gezien in voorbeeld 3.41 en voorbeeld 3.42. De
vraag is hoe eigenwaarden gevonden kunnen worden. Voor oneindig dimensionale vectorruimten
is geen speciale methode beschikbaar en zal de definitie van de operator gebruikt moeten worden,
zoals al gedaan is in voorbeeld 3.41 en in voorbeeld 3.42. Nog een laatste wat lastiger voorbeeld.
Voorbeeld 3.44. Op de vectorruimte Pol(R, C) wordt de lineaire operator D gedefinieerd door
D(p)(x) = (1 − x2 )
d2 p
dp
− 2x
= (1 − x2 )p′′ (x) − 2xp′ (x).
2
dx
dx
Vaak wordt dit kortweg genoteerd als
D = (1 − x2 )
d2
d
− 2x .
dx2
dx
De bijbehorende differentiaalvergelijking die de eigenwaarde bepaalt luidt:
(1 − x2 )y ′′ − 2xy ′ = λ y
en kennelijk zoeken we de polynoom–oplossingen van deze differentiaalvergelijking. Echter, we
zijn (nog?) niet in staat deze differentiaalvergelijking op te lossen. Daarom zullen we een ad-hoc
methode toepassen gebaseerd op de definitie van de operaotor.
We gaan de eigenwaarden en eigenvectoren berekenen. Neem daarvoor aan dat het niet-nulpolynoom
p een eigenvector is van de graad n bij eigenwaarde λ, dus D(p) = λp.
Dan zijn er scalairen a0 , . . . , an in C, met an ̸= 0, zo dat
p(x) =
n
∑
ak xk
met
an ̸= 0.
k=0
Ga na dat
D(p)(x) = p′′ (x) − x2 p′′ (x) − 2xp′ (x)
=
=
=
n−2
∑
n
∑
(k + 2)(k + 1)ak+2 xk −
k=0
k=2
n−2
∑
n
∑
(k + 2)(k + 1)ak+2 xk −
k=0
k=0
n−2
∑
n
∑
k=0
k=0
(k + 2)(k + 1)ak+2 xk −
k(k − 1)ak xk −
n
∑
2kak xk
k=1
k(k − 1)ak xk −
n
∑
k=0
(k 2 + k)ak xk
2kak xk
3.7. Bepalen eigenwaarden als V oneindig–dimensionaal is
73
∑n−2
(hierbij moet aangetekend worden dat de term met k=0 alleen aanwezig zijn als n ≥ 2). Dit
moet gelijk zijn aan
n
∑
λak xk
λp(x) =
k=0
en dat is het geval als de coëfficiënten van xn tot en met x0 in D(p)(x) en λp(x) twee aan twee
gelijk zijn. Gelijkheid van de coëfficiënten van xn levert
−(n2 + n)an = λan
en omdat an ̸= 0 volgt hieruit dat λ = −n2 − n. Hiermee zijn de eigenwaarden van D gevonden,
het zijn precies de getallen:
λ = −(n2 + n),
voor
n = 0, 1, 2, . . . .
Ook hebben we al gezien dat een eigenvector bij λ = −(n2 + n) een ne graads polynoom moet zijn.
Nu kunnen ook de bijbehorende eigenvectoren nog bepaald worden. Daarvoor moeten we verder
gaan met het gelijkstellen van de diverse coëfficiënten. Gelijkheid van die van xn−1 (die overigens
alleen voorkomt als n > 0) levert
(
)
− (n − 1)2 + (n − 1) an−1 = λan−1 .
en dus: −(n2 − 2n)an−1 = λan−1 . Omdat λ = −(n2 + n) volgt hieruit dat nan−1 = 0 en omdat
n > 0 geldt dus an−1 = 0. Voor de coëfficiënten van alle andere machten xk met k = 0, . . . , n − 2
moet vervolgens gelden dat
(k + 2)(k + 1)ak+2 − (k 2 + k)ak = λak
dus
(k + 2)(k + 1)
ak+2 .
(k 2 + k) + λ
Dit is een recurrente betrekking (een relatie die een verband legt tussen een willekeurige term van
de rij en één of meer voorgaande termen). Met zo’n betrekking is de rij te construeren vanuit één
of meer gegeven termen van de rij.
Hier kan met gegeven an achtereenvolgens an−2 , an−4 , enzovoorts berekend worden.
Omdat bekend is dat an−1 = 0, kunnen tevens an−3 , an−5 , enzovoorts berekend worden en er volgt
dat deze laatste allemaal nul zijn. De eigenvectoren zijn dus polynomen met óf alleen even machten
(als het polynoom even graad heeft), óf alleen oneven machten (als het polynoom oneven graad
heeft). Hieronder zijn de eigenwaarden en bijbehorende “eigenpolynomen” uitgerekend voor n = 0,
1, 2, 3 en 4 (door telkens een willekeurige an te nemen, waarmee vervolgens an−2 , an−4 , enzovoorts,
uitgerekend kunnen worden; de andere coëfficiënten zijn, zoals hierboven vermeld, gelijk aan nul):
ak =
n = 0 : λ = 0;
p(x) = a0
n = 1 : λ = −2;
p(x) = a1 x
1
a2
p(x) = a2 (x2 − ) = (3x2 − 1)
3
3
3
a3
n = 3 : λ = −12; p(x) = a3 (x3 − x) = (5x3 − 3x)
5
5
6 2
6
a4
4
n = 4 : λ = −20; p(x) = a4 (x − x + ) =
(35x4 − 30x2 + 3)
7
70
35
We eindigen dit voorbeeld met de opmerking dat deze “eigenpolynomen” bij geschikte keuze van
a0 , a1 , a2 , . . . , de Legendre polynomen Pn genoemd worden. De genoemde keuze moet zo zijn dat
voor alle gevonden polynomen geldt dat p(1) = 1. Voor bijvoorbeeld a4 moet dan 35/8 genomen
worden en P4 is dan 81 (35x4 − 30x2 + 3). Later komen we terug op Legendre polynomen.
n = 2 : λ = −6;
74
3.8
Hoofdstuk 3. Lineaire afbeeldingen
Bepalen van eigenwaarden: het eindig dimensionale geval
In het eindig dimensionale geval kunnen we het begrip diagonaliseerbaar introduceren.
Definitie: Een lineaire operator L : V → V heet diagonaliseerbaar als V een basis B heeft
bestaande uit eigenvectoren van L.
De volgende stelling verklaart de naam diagonaliseerbaar.
STELLING 3.45. Beschouw de lineaire operator L : V → V . Equivalent zijn:
1. De operator L : V → V is diagonaliseerbaar.
2. Er is een basis B op V zodat [L] een diagonaalmatrix is.
B←B
Bewijs: Stel (1) is gegeven. Dat wil zeggen dat er een basis B = {b1 , . . . , bn } van V bestaat
met bi een eigenvector van L, zeg L(bi ) = λi bi . Dan geldt kennelijk [L(bi )]B = [λi bi ]B = λi ei .
Maar dan is kennelijk [L] = [[L(b1 )]B . . . [L(bn )]B ] een diagonaalmatrix met op de diagonaal de
B←B
getallen λ1 , . . . , λn , precies de eigenwaarden!
Omgekeerd, stel dat (2) gegeven is, zeg dat [L] een diagonaalmatrix is met op de diagonaal de
B←B
getallen d1 , . . . , dn . Dan geldt kennelijk voor de ide kolom [L(bi )]B van deze matrix: [L(bi )]B =
di ei en dus: L(bi ) = di bi (voor i = 1, . . . n). Inderdaad, de basisvectoren uit de basis B zijn
eigenvectoren.
Het bepalen van de eigenwaarden en eigenvectoren van een operator L op een eindig dimensionale
vectorruimte V gaat als volgt: kies namelijk een basis B voor V en maak de matrix A = [L] . De
B←B
eigenwaarden van L zijn dan volgens de volgende stelling precies de eigenwaarden van de matrix
A.
STELLING 3.46. Als L een lineaire operator op een eindig dimensionale vectorruimte V is
en als B een basis is voor V , dan geldt:
• λ is een eigenwaarde van de operator L als en slechts als λ een eigenwaarde is van de
matrix A = [L] en
B←B
• v is een eigenvector van de operator L als en slechts als [v]B een eigenvector is van de
matrix A = [L]
B←B
3.8. Bepalen van eigenwaarden: het eindig dimensionale geval
75
Bewijs: Er geldt
L(v) = λv ⇐⇒ [L(v)]B = [λv]B ⇐⇒ [L] [v]B = λ[v]B ⇐⇒ A[v]B = λ[v]B
B←B
Omdat ook nog geldt dat v ̸= 0 als en slechts als [v]B ̸= 0, volgt het gestelde.
Tenslotte verkrijgen we:
STELLING 3.47. Stel dat L : V → V een lineaire operator op een vectorruimte V met
dim(V ) = n < ∞. Als B een basis is voor V , dan geldt dat equivalent zijn:
1. De operator L : V → V is diagonaliseerbaar.
2. De matrix [L] is diagonaliseerbaar.
3.
∑
B←B
dim Eλ ( [L] ) = n
B←B
λ
4.
∑
dim Eλ (L) = n
λ
Bewijs: Stel dat (1) geldt. Laat C een basis zijn voor V bestaande uit eigenvectoren. Dan is [L]
C←C
kennelijk een diagonaalmatrix, zeg dat D = [L] . Volgens stelling 3.39 geldt
C←C
[L] = P
[L]
P .
B←C C←C C←B
B←B
en dus: [L] = P DP −1 , d.w.z. de matrix [L] is diagonaliseerbaar.
B←B
B←B
Omgekeerd, stel (2), dus stel dat de matrix [L] diagonaliseerbaar is, d.w.z. er is een basis
B←B
{p1 , . . . , pn } van Rn bestaande uit eigenvectoren van de matrix [L] . Als [L] pi = di pi , P =
B←B
B←B
[p1 . . . pn ] en D = diag(d1 , . . . , dn ) dan geldt: [L] = P DP −1 . Kies vi ∈ V met [vi ]B = pi en
B←B
stel dat C = {v1 , . . . , vn }. Leg zelf uit dat C een basis van V is (gebruik het inverteerbaar zijn
van de matrix P ). Merk op dat P = [[v1 ]B . . . [vn ]B ] = [p1 . . . = pn ] = P (!). Maar dan via
B←C
stelling 3.39:
[L] = P
C←C
[L]
P
C←B B←B B←C
= P −1 [L] P = D.
B←B
Kortom, C is een basis van V met [L] een diagonaalmatrix en dus is de operator L : V → V
C←C
diagonaliseerbaar.
De equivalentie van (2) en (3) komt van de ons bekende uitspraak dat een n × n matrix (in dit
geval [L] ) diagonaliseerbaar is als en slechts als de som van de meetkundige multipliciteiten gelijk
B←B
is aan n.
De equivalentie van (3) en (4) is de gelijkheid van dimensie van de eigenruimte Eλ van de matrix
[L] (die we hier aanduiden met Eλ ( [L] )) en de dimensie van de eigenruimte Eλ van de operator
B←B
B←B
L (die we hier aanduiden met dim Eλ (L)).
76
Hoofdstuk 3. Lineaire afbeeldingen
Voorbeeld 3.48. Definieer de lineaire operator L : Pol2 (R) → Pol2 (R) door
L(p)(x) = p(1) + p(x) + (1 + x)p′ (x).
De eigenwaarden van deze operator zijn precies de eigenwaarden van de matrix A van L op een
basis B voor Pol2 (R). We kunnen voor B de standaardbasis {1, x, x2 } nemen. Ga na dat dan


2 2 1
A= 0 2 2 
0 0 3
en omdat dit een bovendriehoeksmatrix is, staan de eigenwaarden van deze matrix op de diagonaal
(zie lineaire algebra deel 1). De eigenwaarden van L zijn dus 2 en 3, dezelfde als die van A.
Nu de eigenwaarden bekend zijn kunnen de bijbehorende eigenruimten E2 en E3 bepaald worden.
We hebben al eerder gezien dat dit de oplossingsverzamelingen zijn van de vergelijkingen L(p) =
2p en L(p) = 3p, ofwel E2 = Ker(L − 2 Id) en E3 = Ker(L − 3 Id). Het bepalen hiervan kan
handig gedaan worden via coördinatisering ten opzichte van de basis B: bereken de eigenruimten
E2 = Nul(A − 2I) en E3 = Nul(A − 3I) van A. Deze bestaan uit de eigenvectoren van A en dit
zijn volgens de zojuist behandelde stelling coördinatiseringen van de eigenvectoren van L. Als de
gevonden vectoren uit R3 dus omgezet worden naar polynomen, dan zijn de eigenvectoren van L
gevonden.
Ga na dat
 
  
 1 
 5 
Nul(A − 2I) = Span  0 
en Nul(A − 3I) = Span  2  .




0
1
Terugvertalen naar polynomen levert de eigenruimten
E2 = Span{1}
en E3 = Span{5 + 2X + X 2 }.
van L. Merk op dat A en dus ook L niet diagonaliseerbaar zijn. Inderdaad, de meetkundige
multipliciteit van λ = 2 is kleiner dan de algebraı̈sche multipliciteit.
Tenslotte nog de volgende opmerking. Laat L : V → V een lineaire operator zijn op V en neem
aan dat op V de bases B1 en B2 voorhande zijn. Volgens Steliing 3.39 wordt het verband tussen
de verschillende matrices voor L, de matrices [L] en [L] dan:
B1 ←B1
[L]
B2 ←B2
Schrijven we P =
P
B2 ←B1
, dan geldt
=
P
B1 ←B2
[L]
P
[L]
B2 ←B2
en
[L]
B1 ←B1
P
B2 ←B1 B1 ←B1 B1 ←B2
.
= P −1 en dus
B2 ←B2
De matrices
B2 ←B2
[L]
= P [L]
B1 ←B1
P −1 .
voldoen aan een speciale relatie, namelijk die van de vorige formule.
Matrices die aan zo’n relatie voldoen werden in deel 1 gelijkvormig genoemd.
We kunnen nu concluderen: bij een lineaire operator zijn alle matrices, die we kunnen maken door
een basis te kiezen, gelijkvormig. Omgekeerd, als een matrix A gelijkvormig is met [L] , zeg
B1 ←B1
A = P [L]
B1 ←B1
P −1 voor een zekere matrix P , dan kunnen we P beschouwen als een overgangsmatrix,
waarbij in de kolommen de coördinaten staan van de oude basis B1 ten opzichte van een nieuwe
basis B2 (en dus staan in P −1 de coördinaten van de nieuwe basis B2 ten opzichte van de oude
basis B1 ). De matrix A is dan de matrix van L ten opzichte van deze nieuwe basis B2 . We vinden
daarmee:
A is de matrix van L ten opzichte van een basis B2 ⇐⇒ A is gelijkvormig met
[L] .
B1 ←B1
Hoofdstuk 4
Cn met zijn inwendigproduct
structuur
4.1
Het standaard Inwendig Product op Cn
De behandelde theorie wat betreft het standaard inwendig product op de Euclidische ruimte Rn
gaat niet geheel door voor de unitaire ruimte Cn . We willen namelijk dat een inwendig product op
Cn de lengte van een vector bepaald door de wortel van het inwendig product van die vector met
zichzelf, dus net als in Rn :
√
∥v∥ = v · v.
Hieruit volgt al dat het standaard inwendige product uit Rn niet zomaar overgenomen kan worden
naar Cn , want we zien als we dit zouden doen dat bij de vector
[ ]
1
z=
i
zou gelden dat:
⟨z, z⟩ = 1 · 1 + i · i = 0.
Merk op dat in C1 = C het begrip lengte ons bekend via de formule:
|z|2 = zz.
Dit motiveert de volgende definitie (waarbij we opmerken dat het standaard inwendige product op
Cn genoteerd zal worden met ⟨, ⟩):
Definitie:
Laat


u1


u =  ... 
un

en

v1


v =  ... 
vn
twee vectoren in Cn zijn. Het (standaard) inwendig product van u en v is het complexe
getal
⟨u, v⟩ = u1 v1 + u2 v2 + · · · + un vn .
77
Hoofdstuk 4. Cn met zijn inwendigproduct structuur
78
Opmerking: Jammer genoeg wordt in de literatuur niet eenduidig het standaard inwendig product gekozen. Sommige kiezen voor conjugatie op het tweede kental, dus ⟨u, v⟩ = u1 v 1 + u2 v 2 +
· · · + un v n . Anderen, zoals wij, kiezen voor de conjugatie op het EERSTE kental, nogmaals:
⟨u, v⟩ = u1 v1 + u2 v2 + · · · + un vn .
[
Voorbeeld 4.1. Als z =
1
i
]
[
en w =
⟨z, z⟩ = 1 · 1 + (−i) · i = 2,
1+i
3i
]
dan geldt
⟨w, w⟩ = (1 − i) · (1 + i) + (−3i) · 3i = 11,
en
⟨z, w⟩ = 1 · (1 + i) + (−i) · 3i = 4 + i,
⟨w, z⟩ = (1 − i) · 1 + (−3i) · i = 4 − i.
Het lijkt erop dat het inwendig product van een vector met zichzelf inderdaad reëel en niet-negatief
is.
Herinner: in Rn kon het standaardinwendig product geschreven kan worden als een matrixproduct
via x · y = xT y. Hetzelfde geldt in Cn , want:
⟨u, v⟩ = u∗ v
Dat wil zeggen dat ook dit inwendig product een matrix product is, en sommige van de rekenregels
volgen rechtstreeks uit de rekenregels voor producten van matrices.
Het valt in bovenstaand voorbeeld op dat het standaard inwendig product op Cn niet commutatief
is, dat wil zeggen er geldt niet ⟨v, u⟩ = ⟨u, v⟩. Dit in tegenstelling tot het standaard inwendig
product op Rn . Blijkbaar heeft dit inwendig product niet dezelfde eigenschappen (=rekenregels)
als het inwendig product op Rn . We formuleren de eigenschappen in de volgende stelling. Vergelijk
ze met de eigenschapppen voor het standaard inwendig product op Rn .
STELLING 4.2 (Rekenregels van het standaard inwendig product op Cn ). Als u, v en w
vectoren in Cn zijn en als c een complexe scalar is, dan geldt:
1. ⟨u, v⟩ = ⟨v, u⟩,
2. ⟨u, v + w⟩ = ⟨u, v⟩ + ⟨u, w⟩,
3. ⟨u, cv⟩ = c ⟨u, v⟩,
4. ⟨u, u⟩ ∈ R en ⟨u, u⟩ ≥ 0. Bovendien: ⟨u, u⟩ = 0 als en slechts als u = 0.
Voor het bewijs van deze stelling verwijzen we naar de opgaven.
Merk op dat het inwendig product inderdaad aan de eerder genoemde twee eisen voldoet. Verder
geldt dat het inwendig product “lineair in de tweede factor” is (zie rekenregels 2. en 3.). Het
inwendig product op Rn is ook lineair in de eerste factor. Het volgende gevolg laat zien dat dit op
Cn niet het geval is:
4.1. Het standaard Inwendig Product op Cn
79
GEVOLG 4.3. Laat u, v en w vectoren in Cn zijn en laat c een complexe scalar zijn. Dan
geldt:
1. ⟨u + v, w⟩ = ⟨u, w⟩ + ⟨v, w⟩,
2. ⟨cu, v⟩ = c ⟨u, v⟩,
Ook voor dit bewijs verwijzen we naar de opgaven.
We definieren nu de lengte of norm ∥v∥ van een vector v in Cn door
√
∥v∥ = ⟨v, v⟩.
Vanwege eigenschap 4 is de wortel goed gedefinieerd. Toon zelf aan dat:
∥cv∥ = |c| ∥v∥
Vectoren van lengte 1 heten weer eenheidsvectoren. Vectoren kunnen genormeerd worden, d.w.z.
bij iedere vector z bestaat een scalair veelvoud van die vector met lengte 1, en wel:
1
z
∥z∥
In het reële geval bestonden er twee scalaire veelvouden van z met lengte 1, namelijk
±1
z. In het
∥z∥
complexe geval zijn dit er veel meer, namelijke alle vectoren van de vorm
α
1
z
∥z∥
(α ∈ C met |α| = 1).
Hoeken tussen vectoren kunnen in Cn niet op een zinvolle manier gedefinieërd worden. Alleen de
hoek van 90 graden blijkt van belang te zijn.
Definitie: De vectoren u en v in Cn heten orthogonaal (of ook loodrecht) als hun inwendig
product nul is, dus als ⟨u, v⟩ = 0.
Notatie: u⊥v als u en v orthogonaal zijn.
Merk op dat als geldt dat u en v orthogonaal zijn, dus ⟨u, v⟩ = 0, dat dan ook geldt dat ⟨v, u⟩ =
⟨u, v⟩ = 0. Dus als u en v orthogonaal zijn, dan zijn v en u ook orthogonaal (gelukkig wel).
Tenslotte: de drie basisstellingen voor het inwendig product gelden ook in Cn . Om precies te zijn:
STELLING 4.4. (Cauchy-Schwarz)
Als u, v ∈ Cn dan:
| ⟨u, v⟩ | ≤ ∥u∥ ∥v∥
Hoofdstuk 4. Cn met zijn inwendigproduct structuur
80
(De ongelijkheid van Cauchy-Schwarz zal later bewezen worden.)
Tenslotte wordt op Cn een afstandsbegrip tussen vectoren ingevoerd evenals op Rn . We zeggen
afstand tussen de vectoren u, v is het getal:
d(u, v) = ∥u − v∥
De belangrijkste ongelijkheid bij het afstandsbegrip luidt alsvolgt:
STELLING 4.5. (Driehoeks-ongelijkheid)
Als u, v, w ∈ Cn dan:
∥u − v∥ ≤ ∥u − w∥ + ∥w − v∥
Ook van de driehoeksongelijkheid kan in college 13 een bewijs gevonden worden. Tenslotte formulieren we nog de stelling van Pythagoras.
STELLING 4.6. (De stelling van Pythagoras)
Als u, v ∈ Cn met u⊥v dan:
∥u + v∥2 = ∥u∥2 + ∥v∥2
4.2
Orthogonaliteit in Cn
Als in deel 1 definiëren we:
Definitie:
van W :
Als W ⊂ Cn een deelruimte is van Cn , dan is het orthogonaal complement
{z ∈ Cn : ⟨z, w⟩ = 0, voor alle w ∈ W }
en deze verzameling wordt genoteerd met W ⊥ .
In de unitaire ruimte Cn gelden dezelfde resultaten als in Rn wat betreft W ⊥ (maar een bewijs is
natuurlijk wel nodig).
4.2. Orthogonaliteit in Cn
81
STELLING 4.7. Laat W een lineaire deelruimte zijn van Cn . Dan geldt:
1. Als W = Span{a1 . . . ak }, dan:
z ∈ W⊥
als en slechts als ⟨z, ai ⟩ = 0, voor i = 1 . . . k.
2. W ⊥ is ook een lineaire deelruimte van Cn .
3. (W ⊥ )⊥ = W .
4. W ∩ W ⊥ = {0}.
Herinner dat in Rn geldt: Col(A)⊥ = Nul(AT ). Dit geldt niet in Cn ! De volgende stelling
demonstreert een fenomeen wat we nog vaak zullen tegenkomen en wel:
“als in een algemene reële formule AT staat, dan wordt in de algemene complexe formule transponeren vervangen door Hermitisch transponeren!”
Inderdaad, dit zagen we al bij het standaard inwendigproduct. Op Rn geldt: a · b = aT b maar op
Cn wordt dit: ⟨a, b⟩ = a∗ b.
STELLING 4.8. Laat A een complexe n × m matrix zijn. dan geldt:
1. Col(A)⊥ = Nul(A∗ ),
2. Nul(A)⊥ = Col(A∗ ).
Met behulp van deze stelling kunnen we van iedere gegeven lineaire deelruimte W van Cn een basis
bepalen voor zijn orthogonaal complement. Tevens volgt:
dim(W ) + dim(W ⊥ ) = n.
Vervolgens presenteren we §9.2 (die voor Rn was) voor Cn .
Definitie:
Een verzameling (of stelsel) vectoren {u1 , . . . , uk } in Cn heet orthogonaal als
ui ⊥uj , voor alle i, j = 1, . . . , k met i ̸= j.
Die verzameling vectoren heet orthonormaal als deze orthogonaal is en bovendien geldt:
∥ui ∥ = 1, voor i = 1, . . . , k.
Net als in Rn geldt:
Hoofdstuk 4. Cn met zijn inwendigproduct structuur
82
STELLING 4.9. Een orthogonaal stelsel {u1 , . . . , uk } met ui ̸= 0 (i = 1, . . . , k) in Cn is
lineair onafhankelijk.
Ook geldt dat ieder orthogonaal stelsel niet nulvectoren te normeren is tot een orthonormaal stelsel!
Definitie: Laat W een lineaire deelruimte van Cn zijn met basis B = {b1 , . . . , bk }. De
basis B heet een orthogonale basis als B bovendien (behalve het basis zijn) een orthogonale
verzameling is. Evenzo: de basis B heet een orthonormale basis (of unitaire basis) als B
bovendien een orthonormale verzameling is.
Definitie:
Laat a1 · · · ak enkele vectoren uit Cn zijn en A = [ a1 · · · ak ]. De k × k matrix
A∗ A
heet de Grammatrix van de vectoren a1 · · · ak .
Opmerking: Wellicht onnodig om op te merken, maar mochten a1 · · · ak vectoren uit Rn zijn,
dan is de Grammatrix (=namelijk AT A), zoals gedefiniëerd in §9.2, gelijk aan de Grammatrix zoals
gedefiniëerd in deze paragraaf.
STELLING 4.10. Als a1 · · · ak enkele vectoren uit Cn zijn en A =
dan:


⟨a1 , a1 ⟩ ⟨a1 , a2 ⟩ · · · ⟨a1 , ak ⟩
 ⟨a2 , a1 ⟩ ⟨a2 , a2 ⟩ · · · ⟨a2 , ak ⟩ 


A∗ A = 

..
..
..


.
.
.
⟨ak , a1 ⟩ ⟨ak , a2 ⟩ · · · ⟨ak , ak ⟩
Via deze stelling verkrijgen we:
[
a1
a2
···
ak
]
4.2. Orthogonaliteit in Cn
83
GEVOLG 4.11. Als A een matrix is, dan:
1. Een (complexe) m × n-matrix A heeft orthogonale kolommen als en slechts als A∗ A een
diagonaalmatrix is.
2. Een (complexe) m×n-matrix A heeft orthonormale kolommen als en slechts als A∗ A = I.
Dit leidt tot het begrip unitaire matrix, het complexe equivalent van “orthogonale matrix”.
Definitie: Laat A een (complexe) matrix zijn. A heet unitair (een unitaire matrix) als A
vierkant is en als A∗ A = I.
Unitaire matrices hebben de volgende eigenschappen (vergelijk de situatie met reële orthogonale
matrices).
STELLING 4.12. Voor een vierkante (complexe) matrix U zijn de volgende uitspraken
equivalent:
1. U is unitair,
2. U ∗ U = I,
3. De kolommen van U zijn orthonormaal,
4. De kolommen van U vormen een orthonormale basis voor Cn ,
5. U is inverteerbaar en U −1 = U ∗ ,
6. U U ∗ = I,
7. De rijen van U zijn orthonormaal,
8. De rijen van U vormen een orthonormale basis voor Cn ,
9. U ∗ is unitair.
Voor het bewijs verwijzen we weer naar de opgaven.
Afspraak: als we over orthogonale matrices spreken dan zullen we het altijd over reële matrices
hebben. Een unitaire matrix is complex en mag dus ook reëel zijn.
De volgende stellingen mag u in de opgaven over dit college bewijzen.
Hoofdstuk 4. Cn met zijn inwendigproduct structuur
84
STELLING 4.13. Het product van twee unitaire matrices is weer unitair.
STELLING 4.14. Laat U een unitaire n × n matrix zijn en z, w vectoren in Cn . Dan geldt:
1. ∥z∥ = ∥U z∥.
2. ⟨z, w⟩ = ⟨U z, U w⟩.
4.3
Spectraal eigenschappen Speciale Matrices
Zoals we (horen te) weten is het spectrum van een matrix gelijk aan de verzameling eigenwaarden
van die matrix. Spectrale eigenschappen van een matrix zijn dus eigenschappen die de eigenwaarden
van die matrix betreffen. Ook worden hiermee vaak eigenschappen van de eigenruimten van die
matrix bedoeld.
We gaan eerst spectrale eigenschappen van complexe matrices bekijken en die toepassen in het reële
geval. We gaan eerst Hermitese en/of scheef Hermitese matrices bestuderen, en het zal blijken dat
eigenwaarden en eigenvectoren van deze speciale matrices mooie eigenschappen hebben. Al de
komende bewijzen zijn gebaseerd op de identiteit
⟨Ax, y⟩ = ⟨x, A∗ y⟩
(Deze identiteit is bijna triviaal: ⟨Ax, y⟩ = (Ax)∗ y = (x∗ A∗ )y = x∗ (A∗ y) = ⟨x, A∗ y⟩ )
We beginnen met de Hermitese matrices:
STELLING 4.15. Laat A een Hermitese n × n-matrix zijn. Dan geldt
1. A heeft slechts reële eigenwaarden,
2. eigenvectoren bij verschillende eigenwaarden zijn orthogonaal.
Bewijs: 1. We merken eerst op dat A Hermitisch is, d.w.z. A∗ = A en dit levert nu dat geldt:
⟨z, Aw⟩ = ⟨Az, w⟩ ,
voor alle z, w ∈ Cn .
Laat λ ∈ C een eigenwaarde zijn en x ∈ Cn met x ̸= 0 een bijbehorende eigenvector, dus Ax = λx.
Dan geldt:
⟨Ax, x⟩ = ⟨x, Ax⟩ ⇒ ⟨λx, x⟩ = ⟨x, λx⟩ ⇒ λ ⟨x, x⟩ = λ ⟨x, x⟩ ⇒ λ∥x∥2 = λ∥x∥2
Dus λ∥x∥2 = λ∥x∥2 en omdat x ̸= 0 (dus ∥x∥ ̸= 0) volgt λ = λ, hetgeen betekent dat λ reëel is.
2. Laat x1 ̸= 0 een eigenvector bij eigenwaarde λ1 zijn en x2 ̸= 0 een eigenvector bij eigenwaarde
λ2 zijn, waarbij λ1 ̸= λ2 . Dan geldt (op dezelfde manier als bij het bewijs van 1.):
⟨Ax1 , x2 ⟩ = ⟨x1 , Ax2 ⟩ ⇒ ⟨λ1 x1 , x2 ⟩ = ⟨x1 , λ2 x2 ⟩ ⇒ λ1 ⟨x1 , x2 ⟩ = λ2 ⟨x1 , x2 ⟩ ⇒ λ1 ⟨x1 , x2 ⟩ = λ2 ⟨x1 , x2 ⟩
4.3. Spectraal eigenschappen Speciale Matrices
85
(De laatste stap is correct omdat we net bewezen hebben dat de eigenwaarden van een Hermitese
matrix reëel zijn). Uit λ1 ⟨x1 , x2 ⟩ = λ2 ⟨x1 , x2 ⟩, ofwel (λ1 − λ2 ) ⟨x1 , x2 ⟩ = 0, volgt, omdat λ1 ̸= λ2 ,
dat ⟨x1 , x2 ⟩ = 0, d.w.z. dat x1 en x2 orthogonaal zijn.
Voor scheefhermitese matrices geldt iets dergelijks:
STELLING 4.16. Laat A een scheefhermitese n × n-matrix zijn. Dan geldt
1. A heeft slechts zuiver imaginaire eigenwaarden,
2. eigenvectoren bij verschillende eigenwaarden zijn orthogonaal.
Bewijs: De uitspraken 1 en 2 kunnen op dezelfde manier bewezen worden als in de vorige stelling.
We kunnen echter ook als volgt te werk gaan: Definieer B = iA. Dan is B een Hermitese matrix.
Laat λ een eigenwaarde zijn van A met eigenvector x ̸= 0. Dan geldt
Bx = iAx = iλx.
We zien dus: Als λ een eigenwaarde van A is, dan is iλ een eigenwaarde van B (en andersom), en
als x een eigenvector van A is, dan is x ook een eigenvector van B (en andersom). Hieruit volgt
het gestelde.
Zelfs voor unitaire matrices kunnen we iets dergelijks zeggen:
STELLING 4.17. Laat U een unitaire n × n-matrix zijn. Dan geldt
1. Elke eigenwaarde van U heeft modulus 1,
2. eigenvectoren bij verschillende eigenwaarden zijn orthogonaal.
Bewijs: Voor de eerste uitspraak realiseren we ons eerst dat stelling 2.14 impliceert dat uit U x =
λx (met x ̸= 0) volgt dat ∥x∥ = ∥U x∥ = ∥λx∥ = |λ|∥x∥. Maar dat kan alleen als |λ| = 1 (want
x ̸= 0).
Voor uitspraak 2 nemen we twee eigenvectoren x ̸= 0 en y ̸= 0 bij twee verschillende eigenwaarden
λ en µ. Voordat we het eigenlijke bewijs geven, merken we even op dat |λ|2 = λλ = 1 en dus dat
λ=
1
.
λ
Hieruit volgt namelijk
⟨x, y⟩ = ⟨U x, U y⟩ = ⟨λx, µy⟩ = λµ ⟨x, y⟩ =
Omdat
(want µ ̸= λ) moet gelden ⟨x, y⟩ = 0.
µ
̸= 1
λ
µ
⟨x, y⟩ .
λ
86
Hoofdstuk 4. Cn met zijn inwendigproduct structuur
[
Voorbeeld 4.18. De eigenwaarden van de orthogonale matrix
1
0
0
−1
]
zijn 1 en −1. Ze hebben
dus inderdaad modulus 1 en zijn in dit geval[reëel.
]
0 −1
zijn i en −i. Ook deze hebben modulus 1,
De eigenwaarden van de orthogonale matrix
1
0
maar deze zijn nu niet-reëel.
STELLING 4.19. Laat A een hermitese, scheef–hermitese of een unitaire matrix zijn. Dan geldt
dat: “eigenruimten Eλ1 en Eλ2 van A met λ1 ̸= λ2 onderling orthogonaal zijn”.
4.4
Symmetrische Matrices en de reële Spectraaldecompositie
Herinner dat een matrix A symmetrisch is als A = AT èn als A een reële matrix is. (Dit laatste
hebben wij afgesproken, maar is absoluut geen universele afspraak.) We zullen om vergissingen
te voorkomen steeds spreken over “reële symmetrische matrices”. Deze komen veel voor in de
praktijk en we zullen zien dat er rondom deze symmetrische reële matrices een erg mooie theorie
ontwikkeld is.
We beginnen met de opmerking dat een reëel symmetrische matrix Hermitesch is, en daarom levert
Stelling 4.15 ons:
STELLING 4.20. Zij A een reële symmetrische matrix. Dan geldt: het karakteristiek polynoom pA (λ) van A heeft alleen reële nulpunten.
en
STELLING 4.21. Zij A een reële symmetrische matrix. Dan geldt: eigenvectoren bij verschillende eigenwaarden zijn orthogonaal.
De volgende stelling, waarvan het bewijs lastig is, maar opgeschreven is voor hen die geı̈nteresseerd
zijn, vertelt ons dat iedere reële symmetrische matrix diagonaliseerbaar is.
STELLING 4.22. Zij A een reële symmetrische matrix. Dan geldt: voor iedere eigenwaarde
van A zijn de algebraı̈sche multipliciteit en de meetkundige multipliciteit gelijk.
Bewijs: (Dit bewijs is lastig, maar is toch maar toegevoegd.) We bewijzen de uitspraak met
inductie naar afmetingen van A. De uitspraak is zeker waar voor alle (symmetrische) 1×1 matrices.
Stel nu dat de uitspraak waar is voor alle symmetrische k × k matrices.
Laat A een symmetrische (k + 1) × (k + 1) matrix zijn en stel dat λ = λ0 een eigenwaarde is van
A met algebraı̈sche multipliciteit n0 . Als n0 = 1 dan zijn zeker de algebraı̈sche multipliciteit en de
meetkundige multipliciteit van λ0 gelijk.
Er bestaat zeker één eigenvector q1 ∈ Rk+1 bij λ0 (genormeerd op lengte 1, dus |q1 | = 1) van
4.4. Symmetrische Matrices en de reële Spectraaldecompositie
87
A. Breidt {q1 } uit tot een orthonormale basis {q1 , . . . , qk+1 } van Rk+1 . (Waarom kan dat?) en
beschouw de orthogonale (k + 1) × (k + 1) matrix Q = [q1 . . . qk+1 ]. Dan:




qT1
qT1




B = QT AQ =  ...  A[q1 . . . qk+1 ] =  ...  [Aq1 . . . Aqk+1 ] =

qTk+1

qT1

=  ...
qTk+1
qTk+1

λ0
 0

 [λ0 q1 Aq2 . . . Aqk+1 ] = 
..
.

0 ...

B1

We merken op:
• B is een symmetrische matrix, want B T = (QT AQ)T = QT AT (QT )T = QT AQ = B; en dus
is B1 ook een symmetrische (k × k) matrix.
• B en A zijn gelijkvormig (nodig: Q is orthogonale matrix), want B = QT AQ = Q−1 AQ en
dus hebben A en B hetzelfde karakteristiek polynoom en dezelfde eigenwaarden met dezelfde
(algebraı̈sche en meetkundige) multipliciteiten.
• In het bijzonder, λ0 is een eigenwaarde van B met algebraı̈sche multipliciteit n0 > 1. Merk
op dat e1 ∈ Rk+1 een eigenvector is van B bij λ0 .


λ0 − λ
0 ...


0
B1 − λIk
• Omdat B − λIk+1 = 
 geldt:
..
.
pA (λ) = pB (λ) = det(B − λIk+1 ) = (ontwikkelen naar eerste kolom) =
(λ0 − λ) det(B1 − λIk ) = (λ0 − λ)pB1 (λ)
• Omdat λ0 een nulpunt is van pB (λ) met multipliciteit n0 > 1, zal λ0 een nulpunt zijn van
pB1 (λ) met multipliciteit n0 − 1.
Op de symmetrische k ×k matrix B1 kunnen we de inductie verondersrelling los laten: de meetkundige multipliciteit van λ0 t.o.v. B1 zal ook n0 − 1 zijn. Laat[v1 , . ]
. . , vn0 −1 onafhankelijke eigenvec0
k
toren in R zijn van B1 t.o.v. λ0 . Als we definieren wi =
∈ Rk+1 voor (i = 1, . . . , n0 − 1)
vi
dan zijn
e1 , w1 , . . . , wn0 −1
n0 lineair onafhankelijke eigenvectoren van B t.o.v. de eigenwaarde λ0 (ga na). We concluderen
dat de meetkundige multipliciteit van λ0 ook t.o.v. B inderdaad n0 is, en dit zal dan ook gelden
t.o.v. A.
Merk op dat uit de voorafgaande Stelling 4.20 en Stelling 4.22 volgt dat iedere reële symmetrische
matrix reëel diagonaliseerbaar is.
Orthogonale Diagonalisering van reële matrices
Definitie: Een vierkante matrix A heet orthogonaal diagonaliseerbaar als A reeël is
en als er een (reële) orthogonale matrix Q bestaat en een (reële) diagonaal matrix D zodat
A = QDQ−1 .
Hoofdstuk 4. Cn met zijn inwendigproduct structuur
88
STELLING 4.23. Stel dat A een reële n × n matrix is. Dan geldt:
A is symmetrisch als en slechts als A orthogonaal diagonaliseerbaar is.
Bewijs: Als A orthogonaal diagonaliseerbaar is, dan bestaat een orthogonale matrix Q en een
diagonaal matrix D zodat A = QDQ−1 . Omdat Q−1 = QT (want Q is een orthogonale matrix)
geldt: A = QDQ−1 = QDQT en dus:
AT = (QDQT )T = (QT )T DT QT = QDQT = A
dat wil zeggen: A is een symmetrische matrix.
Omgekeerd: stel dat A symmetrisch is. Beschouw het karakteristiek polynoom pA (λ). Volgens
Stelling 4.20 zijn alle nulpunten reëel, zeg λ1 , . . . , λk . Zeg ook dat λi algebraı̈sche multipliciteit ni
(i = 1, . . . , k). Kennelijk geldt:
n1 + · · · + nk = n
Volgens Stelling 4.22 is de meetkundige multipliciteit van λi ook gelijk aan ni (i = 1 . . . k) en dus
kunnen we voor de eigenruimte Eλi een orthonormale basis, zeg Bi = {q(i,1) , . . . , q(i,ni ) } bepalen,
(voor i − 1, . . . , k). Beschouw
B = B 1 ∪ . . . ∪ Bk
B bestaat uit eenheidsvectoren en daarom zegt Stelling 4.21 dat B een orthonormale verzameling is
van n eigenvectoren. Daarom geldt: als we vectoren uit B in een matrix stoppen verkrijgen we een
orthogonale matrix Q en als D de diagonaal matrix wordt met op de diagonaal de overeenkomstige
eigenwaarden, dan geldt:
A = QDQ−1 = QDQT
en dus is A orthogonaal diagonaliseerbaar.
Merk op dat het bewijs ons precies vertelt hoe een symmetrische matrix orthogonaal gediagonaliseerd moet worden. Bepaal voor iedere eigenwaarde λ van de symmetrische matrix A een
orthonormale basis van de eigenruimte Eλ en ga met deze bases dan verder met het standaard
diagonalisering proces!
Voorbeeld 4.24. Bepaal een orthogonale diagonalisering van de symmetrische matrix


2 1 1
A= 1 2 1 
1 1 2
als gegeven is dat het karakteristiek polynoom pA (λ) = −(λ − 4)(λ − 1)2 is.
Antwoord:
Uit pA (λ) = −(λ − 4)(λ − 1)2 = 0 zien we dat λ = 4 en λ = 1 de eigenwaarden zijn met
a.m.(λ = 4) = 1 en met a.m.(λ = 1) = 2.
De volgende stap bestaat uit het bepalen van een basis van de eigenruimten E4 en E1 .
Basis voor E
4= Nul(A
 − 4I) wordt bepaald door het oplossen van het stelsel [A − 4I|0] en dit
 1 
levert C1 =  1  = {b1 } als basis.


1
Evenzo: een basis 
voor
−I)
 wordt bepaald door het oplossen van het stelsel [A − I|0]
 E1 =
 Nul(A

−1 
 −1
en dit levert C2 =  0  ,  1  = {b2 , b3 } als basis.


1
0
4.4. Symmetrische Matrices en de reële Spectraaldecompositie
89




1 −1 −1
4 0 0
0
1  en D =  0 1 0 
Vroeger waren we nu klaar, we zouden zeggen: als P =  1
1
1
0
0 0 1
−1
dan is A = P DP
een diagonalisering van A. Maar dit is GEEN orthogonale diagonalisering,
want de matrix P is GEEN orthogonale matrix.
Merk op dat b1 ⊥b2 en b1 ⊥b3 , want eigenvectoren bij verschillende eigenwaarden zijn orthogonaal
bij een symmetrische matrix. Echter, b2 en b3 zijn niet orthogonaal (dit zijn eigenvectoren bij
dezelfde eigenwaarde!).
Een orthonormale
√ basis voor E4 is makkelijk, we hoeven alleen maar te normeren. Dit levert:

1/

√3 

B1 =
1/√3  = {q1 }


1/ 3


−1/2
b3 ·w2
1 , wat na
Bij E1 is het Gram-Schmidt proces nodig. w2 = b2 en w3′ = b3 − w
w2 = 
2 ·w2
−1/2




−1
−1
schaling w2 =  0  en w3 =  2  oplevert. Dus {w2 , w3 } is een orthogonale basis voor E1
1
−1
√ 

√  
−1/√6 
 −1/ 2
  2/ 6  = {q2 , q3 }.
en na normeren verkrijgen we de orthonormale basis 
√0 ,
√


1/ 2
−1/ 6
Tenslotte: als we definiëren
√
√
√ 



1/√3 −1/ 2 −1/√6
4 0 0
Q =  1/√3
2/√6  en D =  0 1 0 
√0
0 0 1
1/ 2 −1/ 6
1/ 3
dan is A = QDQ−1 = QDQT de gezochte orthogonale diagonalisering van A.
△
De Spektraaldecompositie stelling
Laat A een symmetrische n × n matrix zijn. Stel dat λ1 , . . . , λn de eigenwaarden zijn van A en
laat {q1 , . . . , qn } een orthonormale basis zijn van Rn , waarbij qi een eigenvector is van λi (voor
i = 1, . . . , n). Schrijven we Q = [q1 . . . qn ] en D =diag(λ1 , . . . , λn ) dan geldt:
 T 
 T 

q1
λ1
0
0
q1





.
. 
T
.
..
A = QDQ = [q1 . . . qn ]  0
0   ..  = [λ1 q1 . . . λn qn ]  .. 
0
···
λn
qTn
qTn
Passen we op dit laatste product kolom-rij expansie toe dan krijgen we vorm 1 van de spectraal
decompositie:
STELLING 4.25. (De Spektraaldecompositie Stelling, vorm 1)
Laat A een reële symmetrische n × n matrix zijn. Dan bestaat een orthonormale basis B =
{q1 , . . . , qn } van Rn bestaande uit eigenvectoren van A, zeg Aqi = λi qi , voor i = 1, . . . , n. Er
geldt:
A = λ1 q1 qT1 + · · · + λn qn qTn
Met andere woorden: A is een lineaire combinatie van projectiematrices op één dimensionale
eigenruimtes. Bovenstaande decompositie van A heet “een spektraaldecompositie van A”.
Hoofdstuk 4. Cn met zijn inwendigproduct structuur
90
Voorbeeld 4.26. (Vervolg Voorbeeld 4.24) Beschouw de matrix A uit Voorbeeld 4.24. Een spektraaldecompositie van deze matrix is:
 √ 
1/√3 [
√
√
√ ]
A = λ1 q1 qT1 + λ2 q2 qT2 + λ3 q3 qT3 = 4  1/√3  1/ 3 1/ 3 1/ 3 +
1/ 3
√ 
√ 


−1/√6 [
−1/ 2 [
√
√ ]
√
√
√ ]
 −1/ 2 0 1/ 2 + 1  2/ 6  −1/ 6 2/ 6 −1/ 6 =
1
√0
√
1/ 2
−1/ 6






1/3 1/3 1/3
1/2 0 −1/2
1/6 −2/6
1/6
0 0
0  + 1  −2/6
4/6 −2/6 
4  1/3 1/3 1/3  + 1 
1/3 1/3 1/3
−1/2 0
1/2
1/6 −2/6
1/6
Merk op dat deze decompositie NIET uniek is. Een andere orthonormale bases {q′2 , q′3 } voor de
eigenruimte E1 leidt tot een andere spektraal decompositie.
△
Voorbeeld 4.27. Het gebrek aan uniciteit van de spektraaldecompositie stelling vorm 1 wordt
met name duidelijk geı̈llustreerd door de eenheidsmatrix A = I. Omdat bij A = I iedere vector
(ongelijk nulvector) een eigenvector is bij de eigenwaarde λ = 1. Dus geldt voor iedere orthonormale
basis B = {q1 , . . . , qn } van Rn :
I = q1 qT1 + · · · + qn qTn
Er bestaat een tweede vorm van de spektraaldecompositie die als voordeel heeft dat deze wel uniek
is. Om deze te vinden gebruiken we de notatie uit het bewijs van Stelling 4.23. Dus:
A is een symmetrische matrix, λ1 , . . . , λk zijn de eigenwaarden van A, λi heeft multipliciteit ni
(i = 1, . . . , k) en Bi = {q(i,1) , . . . , q(i,ni ) } is een orthonormale basis van de eigenruimte Eλi , voor
i = 1, . . . , k. Als we schrijven Qi = [q(i,1) . . . q(i,ni ) ] dan weten we uit deel 1 dat de projectie op
de eigenruimte Eλi de standaardmatrix:
[projEλ ] = q(i,1) qT(i,1) + · · · + q(i,ni ) qT(i,ni ) = Qi QTi
i
heeft. Als we in vorm 1 van de spektrale decompositie van A de projectiematrices bij dezelfde
eigenwaarden bij elkaar nemen krijgen we:
A = λ1 [projEλ ] + · · · + λk [projEλ ]
1
k
Dit heet de spectraal decompositie van A, vorm 2. Met andere woorden:
“de matrix A is de lineaire combinatie van de projectiematrices op de (onderling loodrechte)
eigenruimtes met als gewichten: de bijbehorende eigenwaarden!”
STELLING 4.28. (De Spektraaldecompositie Stelling, vorm 2)
Laat A een reële symmetrische n × n matrix zijn met eigenwaarden λ1 , . . . , λk . Beschouw de
orthogonale projecties projEλ : Rn → Rn op de eigenruimtes Eλi . Dan geldt:
i
A = λ1 [projEλ ] + · · · + λk [projEλ ]
1
k
4.5. Unitaire Diagonaliseerbaarheid
91
Voorbeeld 4.29. (Vervolg Voorbeeld 4.24 en 4.26) Beschouw de matrix A uit Voorbeeld 4.24.
Vorm 2 van de spektrale decompositie van A wordt:
A = 4[projE4 ] + 1[projE1 ] = 4[q1 ][q1 ]T + 1[q2 q3 ][q2 q3 ]T =
√ 
√
√ 


√
1/√3 [
−1/ 2 −1/√6 [
√
√
√ ]
−1/√2




√0
4 1/√3
1/ 3 1/ 3 1/ 3 + 1
2/√6
√0
−1/ 6 2/ 6
1/ 3
1/ 2 −1/ 6




1/3 1/3 1/3
2/3 −2/6 −2/6
2/3 −2/6 
4  1/3 1/3 1/3  + 1  −2/6
1/3 1/3 1/3
−2/6 −2/6
2/3
en dit laatste is de gewenste decompositie van A.
4.5
√ ]
1/√2
=
−1/ 6
△
Unitaire Diagonaliseerbaarheid
In het vorige college is voor reële matrices we het begrip “orthogonale diagonaliseerbaarheid”.
Herinner:
Definitie: Een reële matrix A heet orthogonaal diagonaliseerbaar als er een reële
diagonaalmatrix D en een orthogonale matrix Q bestaan zo dat
A = QDQ −1 (= QDQ T ).
Het ligt nu voor de hand om te definiëren:
Definitie: Een (eventueel complexe) matrix A heet unitair diagonaliseerbaar als er een
(eventueel complexe) diagonaalmatrix D en een unitaire matrix U bestaan zo dat
A = UDU −1 (= UDU ∗ ).
In deze context spreekt men ook vaak over unitaire gelijkvormigheid: Twee matrices A en B heten
unitair gelijkvormig als er een unitaire matrix U bestaat zo dat A = UBU −1 (= UBU ∗ ). Merk
op dat een matrix unitair diagonaliseerbaar is als en slechts als deze matrix unitair gelijkvormig is
met een diagonaalmatrix.
We weten precies welke reële matrices orthogonaal diagonaliseerbaar zijn, want we herinneren ons
uit het vorige college:
“Een reële matrix A is orthogonaal diagonaliseerbaar als en slechts als A symmetrisch is”.
De vraag is welke matrices unitair diagonaliseerbaar zijn.
In tegenstelling tot “gewone” diagonaliseerbaarheid bestaat hiervoor een eenvoudig criterium. Het
vergt wel wat werk om dit te bewijzen! De stelling die hierbij een centrale rol speelt is het
zogenaamde lemma van Schur. Dit lemma zegt dat elke vierkante matrix unitair gelijkvormig met
een driehoeksmatrix is.
Hoofdstuk 4. Cn met zijn inwendigproduct structuur
92
LEMMA 4.30. [Lemma van Schur] Elke vierkante matrix is unitair gelijkvormig met een
bovendriehoeksmatrix, m.a.w. bij een (eventueel) complexe n × n-matrix A bestaat een unitaire
matrix U en een bovendriehoeksmatrix R zo dat A = URU ∗ .
Bewijs: We bewijzen dit met inductie naar de afmetingen van A. Voor n = 1 is de stelling duidelijk
(een 1×1-matrix is namelijk een bovendriehoeksmatrix, en dus kan voor U de 1×1-eenheidsmatrix
genomen worden en voor R de matrix A zelf). We veronderstellen nu dat de stelling waar is voor
alle (n − 1) × (n − 1)-matrices. We bewijzen dat het dan ook geldt voor een n × n-matrix.
We weten dat A tenminste één eigenwaarde λ1 heeft. Laat v1 een bijbehorende eigenvector zijn
met lengte 1. Met de methode van Gram-Schmidt kunnen we vectoren v2 , . . . , vn vinden, zo dat
{v1 , v2 , . . . , vn } een orthonormale basis voor Cn is. Definieer de unitaire matrix U1 nu door
[
]
U1 = v1 v2 · · · vn .
Dan geldt
AU1 =
[
λ1 v1
···
Av2
Avn
]
.
Hiermee kunnen we U1∗ AU1 als volgt als blokmatrix schrijven



U1∗ AU1 = 

v1∗
v2∗
..
.


[

 λ1 v1

···
Av2
Avn
]
vn∗


=


···
λ1
0
..
.


.

A1
0
Hierbij is A1 een (n − 1) × (n − 1)-matrix, waarop we de inductieveronderstelling kunnen toepassen.
Deze zegt dat er een unitaire (n − 1) × (n − 1)-matrix C bestaat, en een bovendriehoeksmatrix B
zo dat
A1 = CBC ∗ ofwel B = C ∗ A1 C .
Maak nu de matrix



U2 = 

1
0
..
.
0 ···
C
0



.

0
Omdat C unitair is, is U2 dit ook. Omdat het product van twee unitaire matrices weer unitair is
(zie de opgaven over unitaire matrices, §8.3), volgt dat de matrix U = U1 U2 unitair is. Er geldt



U ∗ AU = U2∗ (U1∗ AU1 )U2 = U2∗ 

λ1
0
..
.
0
···
A1






 U2 = 


λ1
0
..
.
···
B



.

0
De laatste gelijkheid is te verifieren door U2∗ en U2 ook als blokmatrices te schrijven en vervolgens
het product uit te schrijven. Omdat B een bovendriehoeksmatrix is, is R = U ∗ AU ook een
bovendriehoeksmatrix. Hiermee is de inductie voltooid.
We voeren nu een speciale klasse van vierkante matrices in, namelijk de zogenaamde normale
matrices. We zullen laten zien dat dit precies de unitair diagonaliseerbare matrices zijn.
4.5. Unitaire Diagonaliseerbaarheid
93
Definitie: Een (eventueel complexe) vierkante matrix A heet normaal als A∗ A = AA∗ (dus
als A commuteert met zijn hermites getransponeerde).
Voorbeeld 4.31. Alle Hermitese, scheefhermitese, unitaire, symmetrische, scheefsymmetrische en
orthogonale matrices zijn normaal. Een voorbeeld van een normale matrix die niet van één van
deze typen is, is

√ 
0
0
2
 1
1
0 .
1 −1
0
Bedenk zelf een niet-normale vierkante matrix.
Opmerking: Het lijkt wellicht op het eerste gezicht niet zo een zware eis voor een matrix om
normaal te zijn. Echter, de meeste matrices zijn niet normaal. In de eerste plaats blijkt dit uit
de komende toegift: commuterende (diagonaliseerbare) matrices A en B zijn gemeenschappelijk
diagonaliseerbaar, d.w.z. dat er een matrix P bestaat zo dat dat A = P D1 P −1 en B = P D2 P −1 .
Dus de kolommen van P vormen een basis van Cn die zowel bestaat uit eigenvectoren van A als uit
eigenvectoren van B. De laatste stelling van deze paragraaf laat zien dat voor een normale matrix
A geldt dat A en A∗ precies dezelfde eigenvectoren hebben.
LEMMA 4.32. We hebben de volgende eigenschappen:
1. Als de matrix A normaal is en unitair gelijkvormig met een matrix B, dan is B ook
normaal,
2. Een normale bovendriehoeksmatrix is een diagonaalmatrix.
Bewijs: We bewijzen uitspraak 1: Schrijf B = U AU ∗ met U unitair. Dan geldt
BB ∗ = (UAU ∗ )(UAU ∗ )∗ = (UAU ∗ )(UA∗ U ∗ ) = UA(U ∗ U )A∗ U ∗ = UAA∗ U ∗
en
B ∗ B = (UAU ∗ )∗ (UAU ∗ ) = (UA∗ U ∗ )(UAU ∗ ) = UA∗ (U ∗ U )AU ∗ = UA∗ AU ∗ .
Omdat A normaal is geldt dat AA∗ = A∗ A. Hieruit volgt direct dat BB ∗ = B ∗ B en dus dat B
normaal is.
Voor uitspraak 2 nemen we een normale n × n bovendriehoeksmatrix A. Schrijf C = AA∗ = A∗ A,
dus



a11 a12 · · · a1n
a11



a22 · · · a2n 


  a12 a22
C = 



.
.
.
.
.
..
..   ..
..
..





= 

ann
a11
a12
..
.
a22
..
.
a1n
a2n




..
.
···

ann
a1n
a2n
···
ann
a11
a12
a22
···
···
..
.
a1n
a2n
..
.
ann



.

Hoofdstuk 4. Cn met zijn inwendigproduct structuur
94
We kunnen de kentallen van C dus op twee manieren uitrekenen. We doen het voor de kentallen
op de hoofddiagonaal:
c11 = a11 a11 + a12 a12 + · · · + a1n a1n = a11 a11
Hieruit volgt dat
a12 a12 + · · · + a1n a1n = |a12 |2 + · · · + |a1n |2 = 0.
Dit kan alleen als a12 = · · · = a1n = 0. Op dezelfde manier vinden we
c22 = a22 a22 + a23 a23 + · · · + a2n a2n = a12 a12 + a22 a22
Omdat a12 = 0 volgt hieruit dat
a23 a23 + · · · + a2n a2n = |a23 |2 + · · · + |a2n |2 = 0.
Dit kan alleen als a23 = · · · = a2n = 0. Op dezelfde manier kunnen we, via de berekening van
c33 aantonen dat a34 = · · · = a3n = 0, enzovoorts. Zo blijkt dat alle kentallen van A boven de
diagonaal nul moeten zijn. A is dus een diagonaalmatrix.
Met dit lemma kunnen we het eerder genoemde criterium bewijzen:
STELLING 4.33. Een matrix A is unitair diagonaliseerbaar als en slechts als A normaal
is.
Bewijs: Neem eerst aan dat A unitair diagonaliseerbaar is. Dat betekent dat A unitair gelijkvormig is met een diagonaalmatrix. Omdat een diagonaalmatrix normaal is, volgt uit de eerste
uitspraak van Lemma 4.32 dat A ook normaal is.
Neem nu aan dat A normaal is. Volgens het Lemma van Schur (Lemma 4.30) is A unitair gelijkvormig met een bovendriehoeksmatrix B. Volgens de eerste uitspraak van het Lemma 4.32 is B dus
ook normaal. Uit de tweede uitspraak van hetzelfde lemma volgt dan dat B een diagonaalmatrix
is. We concluderen dat A unitair diagonaliseerbaar is.
GEVOLG 4.34. Alle Hermitese, scheefhermitese, unitaire, symmetrische, scheefsymmetrische en orthogonale matrices zijn unitair diagonaliseerbaar.
In het complexe geval zijn de unitair diagonaliseerbare matrices dus precies de normale matrices.
Maar pas op: een reële matrix A kan unitair diagonaliseerbaar zijn zonder (reëel) orthogonaal
diagonaliseerbaar te zijn. Neem maar een niet symmetrische orthogonale (reële) matrix A. Dan: A
is reëel maar niet symmetrisch, dus NIET orthogonaal diagonaliseerbaar. Maar: A is orthogonaal,
dus normaal dus unitair diagonaliseerbaar!
STELLING 4.35. Laat A een normale matrix zijn. Dan geldt dat A en A∗ precies dezelfde
eigenvectoren hebben.
4.6. Normale matrices en de complexe Spektraaldecompositie
95
Bewijs: Laat A een normale matrix zijn. Stel dat u een eigenvector van A is, zeg Au = λu.
u
. Breidt deze ene vector uit tot een orthonormale basis van de
Beschouw de vector u1 =
∥u∥
eigenruimte Eλ en daarna tot een orthonormale basis B = {u1 , . . . , un } van Cn van eigenvectoren
van A, door orthonormale bases van andere eigenruimtes toe te voegen. Als U = [ u1 . . . un ], dan
is U een unitaire matrix en er bestaat een diagonaalmatrix D zodat A = U DU −1 = U DU −1 =
U DU ∗ . Dan A∗ = (U DU ∗ )∗ = (U ∗ )∗ DU ∗ = U DU −1 . maar dan zegt lemma 13.4 dat U bestaat
u
uit eigenvectoren van A∗ . Dus u1 =
is eigenvector van A∗ en dus u ook.
∥u∥
Omgekeerd, ook A∗ is normaal en hetzelfde bewijs laat daarom zien dat een eigenvector van A∗
ook eigenvector is van (A∗ )∗ = A. De conclusie volgt.
4.6
Normale matrices en de complexe Spektraaldecompositie
Laat A een normale n × n matrix zijn. A heeft een unitaire diagonalisering, daarom stel dat
λ1 , . . . , λn de eigenwaarden zijn van A en laat {u1 , . . . , un } een orthonormale basis zijn van
Cn , waarbij ui een eigenvector is van λi (voor i = 1, . . . , n). Schrijven we U = [u1 . . . un ] en
D =diag(λ1 , . . . , λn ) dan geldt:



 ∗ 
λ1
0
0
u1 ∗
u1





.
∗
.
..
..  = [λ1 u1 . . . λn un ]  ... 
A = U DU = [u1 . . . un ]  0

0 
0
···
λn
un ∗
u∗n
Passen we op dit laatste product kolom-rij expansie toe dan krijgen we: A = λ1 u1 u∗1 +· · ·+λn un u∗n .
We hebben bewezen:
STELLING 4.36. (De (complexe) Spektraledecompositie Stelling, vorm 1)
Laat A een normale n × n matrix zijn. Dan bestaat een orthonormale basis B = {u1 , . . . , un }
van Cn bestaande uit eigenvectoren van A, zeg Aui = λi ui , voor i = 1, . . . , n. Er geldt:
A = λ1 u1 u∗1 + · · · + λn un q∗n
Echter, de conclusie: “A is een lineaire combinatie van projectiematrices op één dimensionale
eigenruimtes” kunnen we nog niet trekken want projecteren in Cn is nog niet besproken, dus
projectiematrices ook nog niet. We zullen zien dat de conclusie wel juist is. Lees verder in sectie
5.8
Hoofdstuk 5
Inwendig productruimten
5.1
Inwendig producten
Ooit zijn de standaard inwendig producten op Rn en Cn ingevoerd. Dit doet wellicht vermoeden
dat er ook zoiets zal bestaan als een “niet–standaard inwendig product op deze ruimten”. En
inderdaad, dit is het geval. We gaan zelfs inwendig producten op een vectorruimte bekijken.
De reden waarom we geı̈nteresseerd zijn in inwendig producten op vectorruimten is dat er veel
meetkunde gekoppeld is aan het inwendig product. Kijk maar naar de inhoud van college 2 en 3,
alle geı̈ntroceerde meetkunde in Cn is gebeurd aan de hand van het standaard inwendig product.
(Evenzo in deel 1 voor Rn .) We willen dit gaan zien, en wel in iedere vectorruimte met een
zogeheten “ inwendig product–structuur” er op. (Niet alle vectorruimtes hebben dat.)
Dan volgt nu de definitie van een inwendig product. (Vergelijk de definitie overigens ook met het
tijdens voortgezette analyse ingevoerde inwendig product.)
Definitie: Een inwendig product op een vectorruimte V over L (waarbij L = R of L = C) is
een voorschrift dat aan elk tweetal vectoren u en v een getal uit L toekent. Dit getal wordt
genoteerd1 met ⟨u, v⟩en moet de volgende eigenschappen hebben:
1. ⟨u, v⟩ = ⟨v, u⟩ voor alle u en v in V
2. ⟨u, v1 + v2 ⟩ = ⟨u, v1 ⟩ + ⟨u, v2 ⟩ voor alle u, v1 en v2 in V
3. ⟨u, cv⟩ = c ⟨u, v⟩ voor alle u, v in V en c ∈ L
4. ⟨u, u⟩ is reëel en ⟨u, u⟩ > 0 voor elke u ̸= 0 uit V .
(Positief definiet)
Een vectorruimte met een inwendig product heet een inwendig productruimte. Een inwendig
product op een complexe vectorruimte wordt ook wel een hermitisch2 product genoemd en de
vectorruimte in dat geval een hermitisch productruimte.
de natuurkunde wordt vaak de notatie ⟨u|v⟩ gebruikt voor een inwendig product.
zijn boeken waarbij de eisen 2 en 3 niet voor de tweede factor, maar voor de eerste geformuleerd worden.
Hier moet je altijd alert op zijn.
2 Charles Hermite 1822-1901. Hij had moeite met zijn studie en heeft 5 jaar over zijn kandidaatsexamen gedaan.
Hij heeft een belangrijke bijdrage geleverd op het gebied van de elliptische functies. Verder heeft hij als eerste het
transcendent zijn van e aangetoond.
0 In
1 Er
97
98
Hoofdstuk 5. Inwendig productruimten
Opmerking: Als we een inwendig product op een reële vectorruimte V hebben, is ⟨u, v⟩ voor
elke u en v uit V een reëel getal en dus is ⟨u, v⟩ = ⟨u, v⟩. De eerste eigenschap van het inwendig
product kan dan dus vervangen worden door
⟨v, u⟩ = ⟨u, v⟩ .
Met andere woorden: een inwendig product op een reële vectorruimte V is een voorschrift dat aan
elk tweetal vectoren u en v een getal uit R toekent. Dit getal wordt genoteerd met ⟨u, v⟩ en moet
de volgende eigenschappen hebben:
1. ⟨u, v⟩ = ⟨v, u⟩ voor alle u en v in V
2. ⟨u, v1 + v2 ⟩ = ⟨u, v1 ⟩ + ⟨u, v2 ⟩ voor alle u, v1 en v2 in V
3. ⟨u, cv⟩ = c ⟨u, v⟩ voor alle u, v in V en c ∈ L
4. ⟨u, u⟩ is reëel en ⟨u, u⟩ > 0 voor elke u ̸= 0 uit V .
(Positief definiet)
Rekenregels voor een inwendig product
De eigenschappen 2 en 3 zeggen dat een inwendig product lineair is in de tweede variabele. Hoe
zit dat met de eerste variabele? De volgende stelling, waarin nog een aantal rekenregels verwoord
worden, laat zien dat het in het reële geval wel zo is, maar in het complexe geval niet. Scalaire
vermenigvuldiging in de eerste variabele is in het complexe geval namelijk niet altijd gelijk aan
vermenigvuldiging van het inwendig product met die scalar.
STELLING 5.1 (Rekenregels voor een inwendig product). Voor een inwendig product op
een inwendig productruimte V over L geldt
1. ⟨u1 + u2 , v⟩ = ⟨u1 , v⟩ + ⟨u2 , v⟩ voor alle u1 , u2 en v in V .
2. Als L = C dan ⟨cu, v⟩ = c ⟨u, v⟩ voor alle u, v in V en c ∈ C.
Als L = R dan ⟨cu, v⟩ = c ⟨u, v⟩ voor alle u, v in V en c ∈ R.
3. ⟨u, 0⟩ = ⟨0, u⟩ = 0 voor alle u in V .
4. ⟨u, u⟩ = 0 als en slechts als u = 0.
5. Als voor alle u in V geldt dat ⟨x, u⟩ = ⟨y, u⟩, dan x = y
Bewijs:
1. ⟨u1 + u2 , v⟩ = ⟨v, u1 + u2 ⟩ = ⟨v, u1 ⟩ + ⟨v, u2 ⟩ = ⟨v, u1 ⟩ + ⟨v, u2 ⟩ = ⟨u1 , v⟩ + ⟨u2 , v⟩.
(1)
(3)
(1)
2. Als c ∈ L dan volgt: ⟨cu, v⟩ = ⟨v, cu⟩ = c ⟨v, u⟩ = c · ⟨v, u⟩ = c ⟨u, v⟩ .
De reële situatie volgt hier direct uit omdat voor reële c geldt dat c = c.
3. ⟨u, 0⟩ = ⟨u, 00⟩ = 0 ⟨u, 0⟩ = 0. Evenzo:
⟨0, u⟩ = ⟨00, u⟩ = 0 ⟨0, u⟩ = 0.
4. Als u ̸= 0 dan per definitie ⟨u, u⟩ > 0.
5.2. Standaard inwendig producten
99
5. Neem voor het bewijs van de vijfde rekenregel aan dat ⟨x, u⟩ = ⟨y, u⟩ voor alle u in V .
Daaruit volgt dat
0 = ⟨x, u⟩ − ⟨y, u⟩ = ⟨x, u⟩ + ⟨−y, u⟩ = ⟨x − y, u⟩
voor alle u in V (hier zijn respectievelijk de tweede rekenregel van deze stelling en de tweede
eis uit de definitie van een inwendig product gebruikt). In het bijzonder geldt dus dat
⟨x − y, x − y⟩ = 0. Uit de vierde rekenregel van deze stelling volgt dan dat x − y = 0 en dus
dat x = y
5.2
Standaard inwendig producten
Voorbeeld 5.2. Het standaard inwendig product op Rn is gedefinieerd door
⟨x, y⟩ = xT y.
Vaak wordt dit ook wel het dot product van x en y genoemd en genoteerd met x · y. Voor
x = (x1 , . . . , xn ) en y = (y1 , . . . , yn ) geldt dus dat
⟨x, y⟩ = x · y = xT y = x1 y1 + · · · + xn yn .
Ga zelf na dat dit inderdaad een inwendig product op Rn definieert. (Dat wil zeggen, ga na dat
aan de voorwaarden van de definitie “reëel inwendig product” voldoet.)
Voorbeeld 5.3. Het standaard inwendig product op Cn is gedefinieerd door
⟨u, v⟩ = uT v = u∗ v = u1 v1 + u2 v2 + · · · + un vn .
Ga zelf nog eens na dat dit inderdaad een inwendig (hermitisch) product op Cn definieert.
Voorbeeld 5.4. Op de ruimte R∞ is geen ‘natuurlijk inwendig product te definiëren, dit in
tegenstelling tot ℓ2 (R) en ℓ2 (C). Dit is het grote voordeel van de ruimte ℓ2 (R) boven R∞ (resp.
ℓ2 (C) boven C∞ ). De volgende uitdrukking definieert een inwendig product op ℓ2 (R) die het
standaard inwendig product op ℓ2 (R)genoemd wordt:
⟨(x1 , x2 , . . . ) , (y1 , y2 , . . . )⟩ = x1 y1 + x2 y2 + · · · =
∞
∑
xn yn .
n=1
Dat het aan de vier eisen van een inwendig product voldoet is geheel analoog aan het standaard
inwendig product op Rn . Omdat we hier te maken hebben met een oneindige som (een reeks dus),
moeten we alleen eerst nog nagaan of dit inwendig product wel altijd een eindige uitkomst heeft
(met andere woorden, we moeten nagaan of de reeks convergent is).
∞
∑
∞
Merk daartoe ten eerste op dat als x = {xn }∞
en
y
=
{y
}
uit
ℓ
(R)
zijn,
dat
dan
|xn |2 <
n
2
n=1
n=1
n=0
∞
∑
|yn |2 < ∞ en omdat |xn yn | = |xn ||yn | ≤ 12 |xn |2 + 12 |yn |2 (want: (|xn | − |yn |)2 ≥ 0), volgt
∑
dat de reeks
xn yn absoluut convergent, en dus convergent is.
∞ en
n=0
n≥0
De volgende uitdrukking wordt het standaard inwendig (hermitisch) product op ℓ2 (C) genoemd:
⟨(x1 , x2 , . . . ) , (y1 , y2 , . . . )⟩ = x1 y1 + x2 y2 + · · · =
∞
∑
n=1
xn yn .
100
Hoofdstuk 5. Inwendig productruimten
De convergentie van de reeks
1
2
2 |yn |
∞
∑
xn yn volgt ook uit de ongelijkheid |xn yn | = |xn ||yn | ≤ 12 |xn |2 +
n=1
en het feit dat ook voor complexe reeksen geldt: absoluut convergente reeksen zijn conver-
gent.
Voorbeeld 5.5. Bij het vak voortgezette analyse uit het eerste jaar zijn we al het standaard
inwendig product op C([a, b], R) en C([a, b], C) tegengekomen. Op C([a, b], R) is dit:
∫
b
⟨f, g⟩ =
f (x)g(x) dx.
a
En op C([a, b], C) wordt dit:
∫
b
⟨f, g⟩ =
f (x)g(x) dx.
a
Dat dit inderdaad een inwendig product is, is niet zo lastig aan te tonen. De eerste drie eisen zijn
∫b
∫b
rechtstreeks te verifiëren. De vierde eis: ⟨f, f ⟩ = a f (x)f (x) dx = a |f (x)|2 dx ≥ 0 en tenslotte:
stel dat ⟨f, f ⟩ = 0. Als f niet de nulfunctie zou zijn, zeg f (x0 ) ̸= 0 met x0 ∈ [a, b], dan, vanwege de
continuı̈teit van f , is er een heel deelinterval [p, q] met x0 ∈ [p, q] ⊂ [a, b] zodat |f (x)|2 ≥ 12 |f (x0 )|2
∫b
als x ∈ [p, q]. Maar dan zou gelden dat ⟨f, f ⟩ = a |f (x)|2 dx > 0, dit in tegenspraak met de
aanname dat ⟨f, f ⟩ = 0. Kortom, f moet wel de nulfunctie zijn.
∫b
Opmerking: Een voor de hand liggende vraag is: waarom kan de formule ⟨f, g⟩ = a f (x)g(x) dx
niet als inwendig product gebruikt worden op de vectorruimte F ([a, b], R), de vectorruimte van alle
functies op [a, b]?
∫b
Welnu, het eerste probleem is dat er veel functies bestaan waarvoor de integraal ⟨f, g⟩ = a f (x)g(x) dx
domweg niet bestaat. Dit probleem zou nog te vermijden zijn door niet alle functies te nemen,
maar je te beperken tot de vectorruimte van de integreerbare funcies op [a, b].
Maar dan doemt een tweede probleem op: aan de eis “⟨f, f ⟩ = 0 ⇒ f = 0” moet voldaan worden.
Beschouw de functie
{
0
x ̸= a+b
2
f (x) =
1
x = a+b
2
∫b
Deze functie f is integreerbaar op [a, b] en heeft de eigenschap: ⟨f, f ⟩ = a (f (x))2 dx = 0. Maar
f is zeker niet de nulfunctie. Er is maar één manier om aan deze eis te voldoen, functies die in
eindig veel punten uit het domein verschillen hetzelfde verklaren. Dit gebeurt in de vectorruimten
∫b
P C([a, b], R) en L2 ([a, b], R), en inderdaad, op deze vectorruimten vormt ⟨f, g⟩ = a f (x)g(x) dx
een inwendig product.
5.3
Niet standaard inwendig producten
We bekijken eerst niet standaard inwendig producten op Rn . Laten we maar beginnen met een
voorbeeld.
Voorbeeld 5.6 (Andere inwendig producten op Rn ). De uitdrukking
⟨x, y⟩ = 3x1 y1 + x1 y2 + x2 y1 + x2 y2
definieërt een inwendig product op R2 . Uit het feit dat deze uitdrukking te schrijven is in de vorm
⟨x, y⟩ = xT Ay
5.3. Niet standaard inwendig producten
101
met A de symmetrische matrix
[
A=
3 1
1 1
]
,
(ga na of je dit inziet!)(maar zie ook de volgende stelling). Via deze schrijfwijze volgt direct de
eerste, tweede en derde eis voor een inwendig product, en wel volgen deze uit de rekenregels voor
de matrixvermenigvuldiging en transponeren. De eerste eis bewijs je bijvoorbeeld als volgt:
⟨y, x⟩ = (⟨y, x⟩)T = (yT Ax)T = xT AT (yT )T = xT Ay = ⟨x, y⟩ .
Bij het eerste =-teken werd gebruikt dat het inwendig product een (in dit geval) reëel getal is,
wat dus gelijk is aan zijn getransponeerde en bij het vierde =-teken dat A symmetrisch is (dus
AT = A). Rest aan te tonen dat de uitdrukking positief definiet is. Schrijf daartoe
⟨x, x⟩ = 3x21 + 2x1 x2 + x22 = (x1 + x2 )2 + 2x21 .
Het is duidelijk dat dit altijd ≥ 0 is en alleen gelijk aan 0 als x1 + x2 = 0 én x1 = 0, dus alleen
als x = 0. Kortom, dit is een niet–standaard inwendig product op R2 . Merk op dat op dit nieuwe
inwendig product niet geldt dat ⟨e1 , e2 ⟩ = 0 of ⟨e1 , e1 ⟩ = 1.
Bovenstaande aanpak is geen toeval, want:
STELLING 5.7. Ieder inwendig product ⟨x, y⟩ op Rn is te schrijven als ⟨x, y⟩ = xT Ay, met
een unieke symmetrische matrix A. Bovendien geldt dat ⟨x, y⟩ te schrijven is
n ∑
n
∑
xi yj ⟨ei , ej ⟩
i=1 j=1
Bewijs: Om dit in te zien, schrijven we:
⟨x, y⟩ = ⟨x1 e1 + · · · + xn en , y⟩ = x1 ⟨e1 , y⟩ + · · · + xn ⟨en , y⟩ =

=
[
x1

...
xn

⟨e1 , y⟩
]
..  = [ x

1
. 
⟨en , y⟩

⟨e1 , y1 e1 + · · · + yn en ⟩
]
.. 

. 
⟨en , y1 e1 + · · · + yn en ⟩

. . . xn


y1 ⟨e1 , e1 ⟩ + · · · + yn ⟨e1 , en ⟩
⟨e1 , e1 ⟩ · · ·



.
..
..  = [x1 . . . xn ] 
= [x1 . . . xn ] 
.
y1 ⟨en , e1 + · · · + yn ⟨en , en ⟩⟩
⟨en , e1 ⟩ · · ·


⟨e1 , en ⟩
y1
  .. 
..
 . 
.
⟨e1 , en ⟩
yn
De uniciteit van de matrix A volgt uit het feit dat ⟨ei , ej ⟩ = eTi Aej = [A]i,j . Tenslotte, als we het
product uitwerken volgt de laatste claim.
Als we moeten nagaan of een gegeven formule een inwendigproduct op Rn is, dan moeten we ons
realiseren dat de formule een sommatie van termen ai,j xi yj is. De aanpak zal zijn: schrijf deze
formule als xT Ay, ga na of A symmetrisch is (zo niet, dan niet aan eis (1) voldaan). Vervolgens
moeten we eis 4 controleren
102
Hoofdstuk 5. Inwendig productruimten
Definitie: Laat A een reële symmetrische n×n matrix zijn. De matrix heet positief definiet,
als xT Ax > 0, voor alle x ̸= 0.
Merk op dat de definiet positive symmetrische matrices precies die matrices zijn waarvoor de
formule xT Ay een inwendig product op Rn geeft.
Om voor een gegeven symmetrische matrix A na te gaan of de formule
⟨x, y⟩ = xT Ay
inderdaad een inwendig product op Rn geeft (dus om eis 4 te controleren) volstaat vaak kwadraatafsplitsen in xT Ax. Toch kan dit soms vrij lastig zijn. We geven eerst nog twee voorbeelden.
Voorbeeld 5.8. De uitdrukking
⟨x, y⟩ = x1 y1 + x1 y2 + x2 y1 + x2 y2
definieert geen inwendig product op R2 .
Om dit in te zien schrijven we eerst:
⟨x, y⟩ = x1 y1 + x1 y2 + x2 y1 + x2 y2 =
[
x1
x2
]
[
1
1
1
1
][
y1
y2
]
Er volgt direct dat aan de eerste, tweede en derde eis voor een inwendig product voldaan is.
Tenslotte zien we in dat niet aan eis vier voldaan is.
⟨x, x⟩ = x21 + 2x1 x2 + x22 = (x1 + x2 )2 .
[
Het is duidelijk dat dit altijd ≥ 0 is. Maar we zien ook dat als x =
terwijl x ̸= 0.
1
−1
]
dat dan ook ⟨x, x⟩ = 0
Tenslotte nog een voorbeeld op R3 .
Voorbeeld 5.9. Laat zien dat de uitdrukking
⟨x, y⟩ = 2x1 y1 + 2x2 y2 + 5x3 y3 − x1 y2 − x2 y1 − 2x1 y3 − 2x3 y1 + x2 y3 + x3 y2
een inwendig product op R3 definieert.
Om dit in te zien schrijven we eerst:
⟨x, y⟩ =
[
x1
x2
x3
]



2 −1 −2
y1
 −1
2
1   y2 
−2
1
5
y3
Er volgt direct dat aan de eerste, tweede en derde eis voor een inwendig product voldaan is.
Tenslotte controleren we of aan eis vier voldaan is.
⟨x, x⟩ = 2x21 + 2x22 + 5x23 − 2x1 x2 − 4x1 x3 + 2x2 x3 =
Ga dit schrijven als sommatie kwadraten, hierbij uitgaande van de dubbelproducten:
= (x1 − x2 )2 + (x1 − 2x3 )2 + (x2 + x3 )2
5.3. Niet standaard inwendig producten
103
Het is duidelijk dat dit altijd ≥ 0 is. We zien ook dat als ⟨x, x⟩ = 0 dat dan volgt: x1 − x2 = 0,
x1 − 2x3 = 0 en x2 + x3 = 0. Uit oplossen van het stelsel volgt snel dat x = 0. Dus de conclusie
volgt.
Wil het via kwadraat afsplistsen niet lukken dan willen de volgende stellingen nog wel eens helpen.
We presenteren geen bewijs.
STELLING 5.10. Laat A een reële symmetrische n × n matrix zijn. Equivalent zijn:
1. De matrix A is definiet positief.
2. Alle eigenwaarden van A zijn (strikt) positief.
STELLING 5.11. Laat A een reële symmetrische n × n matrix zijn. Equivalent zijn:
1. De matrix A is definiet positief.
2. Alle determinanten van de linksboven k × k ondermatrices van A zijn (strikt) positief.
Loop zelf de drie bovenstaande voorbeelden opnieuw door met de twee criteria en beslis zelf hoe u
het wilt doen.
Hoe ziet een niet–standaard inwendig product op Cn eruit?
STELLING 5.12. Ieder inwendig product ⟨x, y⟩ op Cn is te schrijven als ⟨x, y⟩ = x∗ Ay,
met een unieke Hermitische matrix A. Bovendien geldt dat ⟨x, y⟩ te schrijven is
n ∑
n
∑
xi yj ⟨ei , ej ⟩
i=1 j=1
Bewijs:
⟨x, y⟩ = ⟨x1 e1 + · · · + xn en , y⟩ = x1 ⟨e1 y, +⟩ · · · + xn ⟨en y, =⟩




⟨e1 , y⟩
⟨e1 , y1 e1 + · · · + yn en ⟩
]
[
..  = [ x . . . x ] 
.. 
= x1 . . . xn 

1
n
. 
. 
⟨en , y⟩
⟨en , y1 e1 + · · · + yn en ⟩





y1 ⟨e1 , e1 ⟩ + · · · + yn ⟨e1 , en ⟩
⟨e1 , e1 ⟩ · · · ⟨e1 , en ⟩
y1

  .. 
..  = [x . . . x ] 
..
..
= [x1 . . . xn ] 
 . 
1
n 
. 
.
.
y1 ⟨en , e1 + · · · + yn ⟨en , en ⟩⟩
⟨en , e1 ⟩ · · · ⟨e1 , en ⟩
yn
De uniciteit van de matrix A volgt uit het feit dat ⟨ei , ej ⟩ = eTi Aej = [A]i,j en dit laat ook zien
dat de matrix A Hermitisch is. Tenslotte, als we het product uitwerken volgt de laatste claim.
104
Hoofdstuk 5. Inwendig productruimten
Definitie: Laat A een Hermitische n × n matrix zijn. De matrix heet positief definiet, als
x∗ Ax > 0, voor alle x ̸= 0.
STELLING 5.13. Laat A een Hermitische n × n matrix zijn. Equivalent zijn:
1. De matrix A is definiet positief.
2. Alle eigenwaarden van A zijn (strikt) positief.
3. Alle determinanten van de linksboven k × k ondermatrices van A zijn (strikt) positief.
Om bij een gegeven formule eis 4 na te gaan in het complexe geval via kwadraat afsplitsen is in
het algemeen bijzonder lastig. We zullen één voorbeeld geven.
Voorbeeld 5.14. Beschouw de uitdrukking op C2 , gedefinieerd door
⟨x, y⟩ = 2x1 y1 + (1 + i)x1 y2 + (1 − i)x2 y1 + x2 y2 = xT Ay = x∗ Ay
]
2
1+i
met A =
. Ga na of dit een inwendig product is op C2 .
1−i
1
Merk op dat A Hermitisch is (dus A∗ = A). De notatie ⟨x, y⟩ = x∗ Ay geeft dat aan de eisen (2)
en (3) voldaan is. Ook aan eis (1) is voldaan, want:
[
∗
⟨y, x⟩ = ⟨y, x⟩ = (y∗ Ax)∗ = x∗ A∗ y = x∗ Ay = ⟨x, y⟩ .
(overigens kan dit natuurlijk ook ingezien worden door ⟨y, x⟩ uit te schrijven en te constateren dat
het resultaat hetzelfde is als ⟨x, y⟩).
We moeten nu alleen nog na gaan of het product positief definiet is. Daartoe schrijven we ⟨x, x⟩
uit:
⟨[
] [
]⟩
x1
x1
,
= 2|x1 |2 + (1 + i)x1 x2 + (1 − i)x1 x2 + |x2 |2 = |(1 − i)x1 + x2 |2 .
x2
x2
(Hierbij vind ik de laatste stap lastig!) Aan deze laatste
[ vorm]zien we dat ⟨x, x⟩ altijd ≥ 0 is.
−1
Maar we zien ook dat bijvoorbeeld voor de vector x =
geldt: ⟨x, x⟩ = 0 terwijl x ̸= 0.
1−i
Deze constatering toont aan dat de uitdrukking geen inwendig product is.
Merk op dat criterium 3 van Stelling 5.13 ons wel makkelijk doet inzien dat in bovenstaand
voorbeeld
geen]inwendig product gegeven wordt door de formule. Inderdaad, de matrix A =
[
2
1+i
heeft twee linkerboven ondermatrices, de matrix [2], die een positieve determi1−i
1
nant en de matrix A zelf, die determinant nul heeft.
Het komt niet zo heel erg vaak voor dat op Rn en Cn andere inwendig producten dan de standaard
inwendig producten gebruikt worden. Als met functieruimten gewerkt wordt gebeurt dit wel veel
vaker. Het volgende voorbeeld geeft verschillende inwendig producten op functieruimten. Zie
overigens ook voortgezette analyse.
Voorbeeld 5.15. Als ρ een positieve (dus ρ(x) > 0 voor alle x uit het domein) continue functie
op [a, b] is, dan is elke uitdrukking van de vorm
∫ b
⟨f, g⟩ =
ρ(x)f (x)g(x) dx
a
5.4. Meetkunde met behulp van een inwendig product
105
een inwendig product op C([a, b], L). In één van de opgsven mag u dit controleren. (Maar het is
ook een inwendig product op P C([a, b], L) of op L2 ([a, b], L).) Een speciaal geval hiervan is het
veel voorkomende inwendig product op C([0, 2π], L) gedefinieerd door
∫ 2π
1
f (x)g(x) dx
⟨f, g⟩ =
2π 0
(voor ρ is dus een constante functie genomen).
Soms werken we bij functieruimten niet met functies waarvan het domein een interval van de vorm
[a, b] is, maar met functies waarvan het domein onbegrensd is. Je moet dan net even iets kritischer
zijn omdat de integraal die het inwendig product definieert dan moet convergeren. Zo is
∫ ∞
⟨f, g⟩ =
f (x)g(x)e−x dx
0
een inwendig product op deelruimten van functies uit F([0, ∞), L) die de eigenschap hebben dat
bovenstaande integraal convergeert voor elke tweetal functies uit die deelruimte. In dit geval is de
verzameling P ol([0, ∞), L) van alle polynomen een voorbeeld van zo’n deelruimte.
Evenzo is
∫ ∞
⟨f, g⟩ =
f (x)g(x)e−x dx
2
−∞
een inwendig product op P ol((−∞, ∞), L)
5.4
Meetkunde met behulp van een inwendig product
In de ruimten Rn en Cn is het standaard inwendig product gebruikt om allerlei meetkundige
aspecten als lengte van een vector, afstand tussen twee vectoren, loodrechte stand van vectoren en
orthogonale projecties op deelruimten te definiëren. In deze en de volgende paragraaf zullen we
dit allemaal nog eens over doen, maar nu voor een willekeurige inwendig productruimte en er zal
blijken dat vrijwel alles wat in Rn en Cn is gedaan, zogoed als letterlijk is over te nemen, tot aan
de bewijzen toe.
Als eerste zal de lengte of norm van een vector gedefinieerd worden.
Lengte van een vector
Definitie:
In een inwendig productruimte V wordt het getal
√
∥v∥ = ⟨v, v⟩.
de lengte of norm van een vector v genoemd.
Omdat een inwendig product per definitie positief definiet is kan de wortel van ⟨v, v⟩ altijd genomen
worden en is de lengte blijkbaar goed gedefinieerd.
Voorbeeld 5.16. Om de lengte van de functie f , met voorschrift f (x) = sin x, uit C([0, 2π], R)
voorzien van het standaard inwendig product te berekenen, moet eerst
∫ 2π
⟨f, f ⟩ =
sin2 x dx
0
106
Hoofdstuk 5. Inwendig productruimten
bepaald
worden. Ga na dat dit π is. De lengte van sin x is in deze inwendig productruimte dus
√
π. Realiseer je overigens dat deze lengte NIETS met de lengte van de grafiek van f te maken
heeft!
Voor de lengte van fn (x) = einx (n een geheel getal) als functie uit C([0, 2π], C) voorzien van het
inwendig product
∫ 2π
1
⟨f, g⟩ =
f (x)g(x) dx
2π 0
geldt
∥fn ∥2 = ⟨fn , fn ⟩ =
1
2π
∫
2π
fn (x)fn (x) dx =
0
1
2π
∫
0
2π
e−inx einx dx =
1
2π
∫
2π
1 dx = 1
0
en dus ∥fn ∥ = 1.
We merken nog op dat de lengte van een vector niet alleen van de vector afhangt, maar ook van het
gekozen inwendig product! Als we op R3 dus een ander inwendig product kiezen dan het standaard
inwendig product, is de lengte van een vector in het algemeen niet de natuurlijke lengte.
De volgende stelling geeft een aantal eigenschappen van de norm. Ga na dat dit allemaal eigenschappen zijn, die we, op basis van onze intuı̈tie voor het begrip lengte, ook zouden willen
hebben!
STELLING 5.17. (Rekenregels voor lengte)
Voor alle vectoren v en w en voor elke scalar c uit een inwendig productruimte V over L geldt:
• ∥v∥ ≥ 0;
• ∥v∥ = 0 ⇐⇒ v = 0;
• ∥cv∥ = |c|∥v∥.
Eenheidsvector en normaliseren van een vector
b met lengte 1 maken die dezelfde
Bij een vector v ongelijk aan nul willen we vaak een vector v
richting heeft als v. De manier waarop deze gevonden wordt volgt direct uit de eigenschappen
van norm: zoek een positieve reële scalar c zo dat 1 = ∥cv∥ = |c|∥v∥ = c∥v∥. Blijkbaar voldoet
1
c = ∥v∥
en we concluderen
1
b=
v.
v
∥v∥
Dit proces om van een vector een vector met lengte 1 te maken die dezelfde richting heeft, noemen
b wordt wel de bij v horende genormaliseerde vector genoemd. Een vector
we normaliseren en v
met lengte 1 heet ook wel een eenheidsvector.
Voorbeeld 5.18. De functie fb(x) = √1π sin x is de bij f (x) = sin x horende functie van lengte 1
die dezelfde “richting” heeft als f (x) = sin x, tenminste, als we werken in C([0, 2π], R) voorzien
van het standaard inwendig product.
Afstand tussen vectoren
Nu we de lengte van een vector hebben, kunnen we ook de afstand tussen twee vectoren definiëren.
5.4. Meetkunde met behulp van een inwendig product
107
Definitie: In een inwendig productruimte V over L wordt de afstand d(v, w) tussen de
vectoren v en w uit V gedefinieerd door
d(v, w) = ∥v − w∥.
Voorbeeld 5.19. De afstand tussen f (x) = sin x en g(x) = cos x in C([0, 2π], R) voorzien van het
standaard inwendig product is de wortel van
∫
∫
2π
∥f − g∥2 =
0
dus
2π
2
(f (x) − g(x)) dx =
(sin2 x + cos2 x − 2 sin x cos x) dx = 2π,
0
√
2π.
√∫
2π
0
2
(f (x) − g(x)) dx. Omdat de wortel en
∫ 2π
het kwadraat niet tegen elkaar wegvallen, zal dit niet gelijk zijn aan 0 |f (x) − g(x)| dx, de
oppervlakte tussen de grafieken. Toch is dit wel een goede intuı̈tie: “de afstand tussen twee
functies is klein, als de oppervlakte tussen de grafieken klein is”.
Opmerking:
De afstand tussen f en g is dus
Loodrechte stand van vectoren
We definiëren weer:
Definitie: We zeggen dat vectoren v en w uit een inwendig productruimte V loodrecht op
elkaar staan of orthogonaal zijn als
⟨v, w⟩ = 0.
We noteren dit als v ⊥ w.
Voorbeeld 5.20. In C([0, 2π], C) voorzien van het inwendig product
⟨f, g⟩ =
1
2π
∫
2π
f (x)g(x) dx
0
geldt dat voor verschillende gehele getallen n en m de functies fn (x) = einx en fm (x) = eimx
orthogonaal zijn:
1
⟨fn , fm ⟩ =
2π
=
∫
2π
einx eimx
0
1
dx =
2π
1
ei(m−n)x
2πi(m − n)
∫
2π
ei(m−n)x dx
0
2π
=0
0
Eén van de meest bekende stellingen die met loodrechte stand te maken heeft is de stelling van
Pythagoras. Deze blijkt in elke inwendig productruimte te gelden!
108
Hoofdstuk 5. Inwendig productruimten
STELLING 5.21 (Stelling van Pythagoras). Als in een inwendig productruimte V de vectoren u en v orthogonaal zijn, dan geldt
∥u∥2 + ∥v∥2 = ∥u + v∥2 .
In een reële inwendig productruimte geldt de omkering ook, dus als daar bovenstaande gelijkheid geldt, dan volgt daaruit dat u en v orthogonaal zijn.
Het bewijs mag je zelf geven in een opgave.
5.5
Meetkunde met behulp van een inwendig product (vervolg)
Als op een vectorruimte V een inwendig product ⟨, ⟩ aanwezig is, hebben we tot nu toe gedefinieerd:
• De lengte of norm van een vector: ∥v∥ =
√
⟨v, v⟩.
• Eenheidsvectoren
• Normaliseren van een vector v ̸= 0.
• Afstand d(v, w) = ∥v − w∥ tussen de vectoren v, w.
• Loodrechte stand van vectoren.
• De stelling van Pythagoras.
De orthogonale projectie
Ook in inwendig product ruimten willen we de orthogonale projectie van de vector x op de vector
u definiëren. Deze zullen we noteren met:
proju (x).
Het is duidelijk dat proju (x) een scalair veelvoud
zal zijn van u. We stellen daarom:
x − λu
x
proju (x) = λu
en het zal dat scalaire veelvoud zijn van u zo dat
x − λu ⊥ u.
Hieruit is λ te bepalen. Inderdaad:
u ⊥ x − λu ⇒ ⟨u, x − λu⟩ = 0 ⇒ ⟨u, x⟩ −
λ ⟨u, u⟩ = 0 en dus
λ=
⟨u, x⟩
⟨u, u⟩
λu
O
u
5.5. Meetkunde met behulp van een inwendig product (vervolg)
109
Definitie: Laat x en u vectoren in de inwendig productruimte V zijn met u ̸= 0. De
orthogonale projectie van x op u is gelijk aan de vector:
(
)
⟨u, x⟩
u.
proju (x) =
⟨u, u⟩
De coëfficiënt
⟨u,x⟩
⟨u,u⟩
heet de Fourier-coëfficiënt bij de projectie.
Beroemde ongelijkheden
We beginnen met de beroemde onglijkheid van Cauchy3 -Schwarz4 .
STELLING 5.22 (De ongelijkheid van Cauchy-Schwarz ). Voor alle vectoren v en w uit een
inwendig productruimte V over L geldt:
| ⟨v, w⟩ | ≤ ∥v∥ · ∥w∥.
Verder geldt: er treedt gelijkheid op (dus | ⟨v, w⟩ | = ∥v∥ · ∥w∥) als en slechts als v en w
afhankelijk zijn.
Bewijs: Als w = 0 dan is de ongelijkheid
duidelijk.
Neem daarom aan dat w ̸= 0. Beschouw nu
(
)
⟨w, v⟩
de projectie van v op w: projw (v) =
w. Daarom: v − projw (v)⊥w. Pythagoras geeft:
⟨w, w⟩
∥v − projw (v)∥2 + ∥ projw (v)∥2 = ∥v∥2
en dus: ∥ projw (v)∥2 ≤ ∥v∥2 en dus ∥ projw (v)∥ ≤ ∥v∥. Dus:
(
en dus:
(
⟨w, v⟩
⟨w, w⟩
| ⟨w, v⟩ |
∥w∥2
)
w ≤ ∥v∥
)
∥w∥ ≤ ∥v∥
en de ongelijkheid volgt.
Stel nu dat | ⟨v, w⟩ | = ∥v∥ · ∥w∥. Bekijk bovenstaand bewijs. Als w = 0 (dan is er gelijkheid) dan
zijn v, w duidelijk afhankelijk. Als w ̸= 0, dan laat het bewijs zien dat gelijkheid impliceert dat
∥v − projw (v)∥ = 0 en dus v − projw (v) = 0. Omdat dan projw (v) = v en omdat projw (v) zeker
een scalair veelvoud van w is, volgt: v is een scalair veelvoud van w. Dus v, w zijn afhankelijk.
3 Augustin Louis Cauchy (1789-1857). Abel schreef in 1826 over hem: “Cauchy is gek en daar is niets aan te
doen, maar hij is op dit moment de enige die weet hoe wiskunde gedaan moet worden.” Cauchy heeft zich met veel
beziggehouden. Hij heeft onder andere de theorie ontwikkeld voor Fourier-getransformeerden en diagonalisatie van
matrices.
4 Karl Herman Amandus Schwarz (1843-1921). Hij schreef ter gelegenheid van de 70-ste verjaardag van Weierstrass een Festschrift, waarin onder andere de ongelijkheid van Cauchy-Schwarz voorkomt en waar Picard zijn
existentie-bewijs van oplossingen van differentiaalvergelijkingen op gebaseerd heeft.
110
Hoofdstuk 5. Inwendig productruimten
STELLING 5.23 (De driehoeksongelijkheid ). Voor alle vectoren v en w uit een inwendig
productruimte V over L geldt:
∥v + w∥ ≤ ∥v∥ + ∥w∥
Bewijs: Voor het bewijs van de driehoeksongelijkheid wordt ∥v + w∥2 uitgewerkt. Hierbij passen
we bij de eerste ongelijkheid toe dat voor complexe getallen z geldt dat Re z ≤ |z| en bij de tweede
de ongelijkheid van Cauchy-Schwarz.
∥v + w∥2 = ⟨v + w, v + w⟩
= ⟨v, v⟩ + ⟨v, w⟩ + ⟨w, v⟩ + ⟨w, w⟩
= ⟨v, v⟩ + ⟨v, w⟩ + ⟨v, w⟩ + ⟨w, w⟩
= ⟨v, v⟩ + 2 Re(⟨v, w⟩) + ⟨w, w⟩
≤ ⟨v, v⟩ + 2| ⟨v, w⟩ | + ⟨w, w⟩
= ∥v∥2 + 2| ⟨v, w⟩ | + ∥w∥2
≤ ∥v∥2 + 2∥v∥ · ∥w∥ + ∥w∥2
= (∥v∥ + ∥w∥)2
Door nu aan beide zijden de wortel te nemen vinden we de gezochte ongelijkheid.
Voorbeeld 5.24. Als we Rn voorzien van het standaard inwendig product, dan geldt voor de
vectoren v = (1, 1, . . . , 1) en w = ( 11 , 12 , . . . , n1 ) dat
√
√
1 1
1
1 1
1
∥v∥ = n, ∥w∥ =
+ + · · · + 2 en ⟨v, w⟩ = + + · · · + .
1 4
n
1 2
n
Uit de ongelijkheid van Cauchy-Schwarz volgt dan
(
) √
1
1 1
1 1
1
1
√
+ + ··· +
≤
+ + ··· + 2.
n
1 4
n
n 1 2
Juist voor dit type ongelijkheden wordt Cauchy-Schwarz vaak gebruikt.
Er is ook nog een zogenaamde omgekeerde driehoeksongelijkheid Zie hiervoor opgave ??.
Orthogonaal complement
Loodrechte stand van vectoren kunnen we uitbreiden tot loodrechte stand van een vector op een
deelruimte.
Definitie: We zeggen dat een vector x uit een inwendig productruimte V loodrecht op de
deelruimte W van V staat als x loodrecht staat op iedere vector uit W . Notatie: x ⊥ W .
Het orthogonale complement van W is de verzameling die bestaat uit alle vectoren die loodrecht
staan op W . We noteren deze verzameling als W ⊥ .
Voorbeeld 5.25. Het is duidelijk dat in een inwendig productruimte V geldt dat elke vector
loodrecht staat op de nulvector. Dat betekent dat het orthogonale complement van de deelruimte
{0} heel V is, dus {0}⊥ = V . Ga zelf na dat V ⊥ = {0}.
5.5. Meetkunde met behulp van een inwendig product (vervolg)
111
Voorbeeld 5.26. Ondanks het feit dat in Pol(R) met inwendig product
∫ 1
⟨f, g⟩ =
f (x)g(x) dx
−1
geldt dat het polynoom x2 loodrecht staat op het polynoom x (ga dit na), behoort x2 niet tot het
orthogonale complement van W = Span{1, x}. Dat komt omdat x2 niet loodrecht staat op elke
vector uit W . Zo geldt bijvoorbeeld dat x2 niet loodrecht staat op het constante polynoom 1 (ga
dit ook na).
De vector p(x) = 3x2 − 1 behoort wel tot het orthogonale complement van W : snel is in te zien dat
deze vector loodrecht staat op beide opspannende vectoren 1 en x van W , waaruit geconcludeerd
kan worden dat 3x2 − 1 dan ook loodrecht staat op elke vector uit W . Deze zijn namelijk van de
vorm c1 · 1 + c2 · x en
⟨p(x), c1 · 1 + c2 · x⟩ = c1 ⟨p(x), 1⟩ + c2 ⟨p(x), x⟩ = 0
waaruit het volgt.
Bovenstaand voorbeeld kan gegeneraliseerd worden tot de volgende stelling, die een handige methode geeft om voor een eindig dimensionale deelruimte W het orthogonale complement W ⊥ te
berekenen of te bepalen of een vector loodrecht op W staat (met andere woorden, bij het bepalen
of die vector tot het orthogonale complement W ⊥ behoort).
STELLING 5.27. Het orthogonale complement van een deelruimte W van een inwendig
productruimte V is een deelruimte van V .
Het bewijs van deze stelling mag je zelf geven.
Ook geldt weer:
STELLING 5.28. Als W een deelruimte van een inwendig productruimte V is, zeg W =
Span{v1 , v2 , . . . , vp , . . .}, dan behoort w tot W ⊥ als en slechts als w ⊥ vi voor alle i.
Ook deze stelling mag je zelf bewijzen.
Veel eigenschappen die we kennen uit het eindig dimensionale geval, gelden nog steeds. Bijvoorbeeld:
W ∩ W⊥ = ∅
Andere eigenschappen niet, zoals het volgende voorbeeld laat zien.
Voorbeeld 5.29. Beschouw V = ℓ2 (R) met het standaard inwendig product. Beschouw de deelruimte W = Span{e1 , . . . , en , . . .}. Er geldt: W ̸= V maar er geldt ook: W ⊥ = {0}.
Want: als x = (x1 , . . . , xn , . . .) ∈ W ⊥ , dan x⊥ei voor alle i, dus 0 = ⟨x, ei ⟩ = xi voor alle i. Als
xi = 0 voor alle i, dan x = 0.
Merk op dat Voorbeeld 5.29 geldt:
( ⊥ )⊥
W
̸= W.
( ⊥ )⊥
Inderdaad, W
= {0}⊥ = V ̸= W .
Opmerking:
112
5.6
Hoofdstuk 5. Inwendig productruimten
Orthogonale verzamelingen en de Grammatrix
We bouwen door op orthogonaliteit, op dezelfde manier zoals we in Rn en Cn gedaan hebben met
het standaard inwendig product. We “herhalen” de volgende definitie.
Definitie: Een (eventueel oneindige) verzameling vectoren S in V heet een orthogonale verzameling vectoren als elk tweetal vectoren uit S orthogonaal is. Als ook nog geldt dat elke
vector een eenheidsvector is (dus lengte 1 heeft), dan wordt het ook wel een orthonormale
verzameling genoemd.
Voorbeeld 5.30. Uit voorbeeld 5.20 blijkt dat de functies f0 , f1 , f−1 , f2 , f−2 ,. . . met voorschrift
fn (x) = einx een (oneindige) orthogonale verzameling vormen in C([0, 2π], C) voorzien van het
inwendig product
⟨f, g⟩ =
1
2π
∫
2π
f (x)g(x) dx.
0
Uit voorbeeld 5.16 blijkt bovendien dat elke fn een eenheidsvector is, en dus vormen de functies
zelfs een orthonormale verzameling5 .
De eerste, van Rn en Cn bekende,prettige eigenschap van orthogonale verzamelingen is dat deze
onafhankelijk zijn (tenminste. . . , als ze de nulvector niet bevatten).
STELLING 5.31. Een (eventueel oneindige) orthogonale verzameling niet-nulvectoren is
lineair onafhankelijk.
Het bewijs van deze stelling mag U zelf geven.
Net als in Rn en Cn introduceren we het begrip orthogonale basis.
Definitie: Een (eventueel oneindige) basis B van een vectorruimte V heet een orthogonale
basis (respectievelijk een orthonormale basis) als deze, behalve basis, als verzameling orthogonaal (respectievelijk orthonormaal) is
Eén van de prettige eigenschappen is dan dat de coördinaten van vectoren ten opzichte van zo’n
orthogonale basis relatief snel te vinden zijn. Net als in Rn en Cn geldt:
5 Mede
om deze reden zijn deze functies bruikbaar voor het bepalen van Fourierreeksen, zie voortgezette analyse.
5.6. Orthogonale verzamelingen en de Grammatrix
113
STELLING 5.32. Als B = {b1 , . . . , bn } een eindige orthogonale basis is van de vectorruimte
V , dan geldt voor iedere x ∈ V :
x=


met andere woorden, [x]B = 
⟨b1 , x⟩
⟨bn , x⟩
b1 + · · · +
bn ,
⟨b1 , b1 ⟩
⟨bn , bn ⟩

c1
..  met c = ⟨bi , x⟩ , voor i = 1, . . . , n.
i
. 
⟨bi , bi ⟩
cn
Het bewijs van deze stelling mag U zelf geven.
Merk op dat de vorige stelling zegt de i-de kental van [x]B de Fourier–coëfficiënt is van de projectie
van x op de vector bi . Als de basis bovendien orthonormaal is dan krijgen we:


⟨b1 , x⟩
 ⟨b2 , x⟩ 


[x]B = 

..


.
⟨bn , x⟩
Ook het bepalen van de transformatiematrix matrix [L] van een lineaire afbeelding L : V → W
B←B
gaat snel als W een inwendig productruimte is met een eindige orthonormale basis B. Dat komt
omdat de kolommen van deze matrix coördinatiseringen van vectoren uit W ten opzichte van de
basis B zijn en deze zijn snel te berekenen.
Voorbeeld 5.33. Beschouw R3 (met standaard inwendig product) met orthonormale basis {b1 , b2 , b3 },
waarbij:






1
1
−1
1 
1
1
0  , b2 = √  1  en b3 = √  2 
b1 = √
2 1
3 −1
6
1
Definieer de operator L : R3 → R3 door

 

x1
2x1 − x2
L(x) = L  x2  =  x1 + x2 + x3  .
x1 − x3
x3
We bepalen de matrix van L ten opzichte van de basis B, dus de matrix [L] . (Merk op dat
B←B
de matrix [L] (hier is E de standaardbasis), de standaardmatrix dus, zo is af te lezen: [L] =
E←E 
E←E

2 −1
0
 1
1
1 . Vroeger zouden we [L] berekend hebben via: [L] = P [L] P .)
B←E E←EE←B
B←B
B←B
1
0 −1


2
De eerste kolom is de coördinatisering van L(b1 ) = √12  2  ten opzichte van de basis B en dat
0
is, net als bij bovenstaand voorbeeld

 

1√
⟨b1 , L(b1 )⟩
[L(b1 )]B =  ⟨b2 , L(b1 )⟩  =  4/√ 6  .
⟨b3 , L(b1 )⟩
2/ 12
114
Hoofdstuk 5. Inwendig productruimten


1
De tweede kolom is de coördinatisering van L(b2 ) = √13  1  ten opzichte van de basis B, dus
2
√ 
 

⟨b1 , L(b2 )⟩
3/ 6
,
0
[L(b2 )]B =  ⟨b2 , L(b2 )⟩  = 
√
⟨b3 , L(b2 )⟩
3/ 18


−4
en, tenslotte, de derde kolom is de coördinatisering van L(b3 ) = √16  2  ten opzichte van de
−2
basis B, dus


 
√
⟨b1 , L(b3 )⟩
−6/ 12
.
[L(b3 )]B =  ⟨b2 , L(b3 )⟩  = 
0
⟨b3 , L(b3 )⟩
1
Blijkbaar

 
1√
⟨b1 , L(b1 )⟩ ⟨b1 , L(b2 )⟩ ⟨b1 , L(b3 )⟩
[L] =  ⟨b2 , L(b1 )⟩ ⟨b2 , L(b2 )⟩ ⟨b2 , L(b3 )⟩  =  4/ 6
√
B←B
⟨b3 , L(b1 )⟩ ⟨b3 , L(b2 )⟩ ⟨b3 , L(b3 )⟩
2/ 12
√
3/ 6
0
√
3/ 18
√

−6/ 12

0
1
Opmerking: In bovenstaand voorbeeld gold voor de matrix van L ten opzichte van de basis B
dat het kental van de i-de rij j-de kolom gelijk is aan ⟨bi , L(bj )⟩. Dit is geen toeval: als B een
eindige orthonormale basis voor de inwendig productruimte V is, dan geldt dit voor elke operator
L:V →V.
Gram-matrices
In een eindig dimensionale inwendig productruimte bestaat een eindige basis B. In dit geval kan
de (voor de hand liggende) vraag gesteld worden of het inwendig product van twee vectoren x en
y berekend kan worden via de B-coördinaten [x]B en [y]B . Tenslotte, dit doen we ook in Rn (en
Cn ), maar dan via de coördinaten t.o.v. de standaardbasis. Dit blijkt inderdaad te kunnen, het
inwendig product kan geassocieerd worden via een matrix met de coördinaten. Die matrix wordt
de Grammatrix van het inwendig product bij die basis genoemd. In het voorgaande is deze matrix
al een paar keer gebruikt. We geven nu eerst de nette definitie.
Definitie: In een eindig dimensionale inwendig productruimte V van dimensie n met basis
B = (v1 , . . . , vn ) wordt de Gram-matrix van het inwendig product ten opzichte van de basis
B gedefinieerd door


⟨v1 , v1 ⟩ · · · ⟨v1 , vn ⟩


..
..
GB = 
.
.
.
⟨vn , v1 ⟩ · · ·
⟨vn , vn ⟩
Voorbeeld 5.34. Ga na dat op Rn of Cn (met het standaard inwendig product) de Gram-matrix
van de standaardbasis {e1 , . . . , en } de n × n eenheidsmatrix is.
Ga na dat de matrices uit de voorbeelden 5.6 en 5.14 de Gram-matrices van de betreffende inwendig
producten ten opzichte van de standaardbases zijn.
5.6. Orthogonale verzamelingen en de Grammatrix
115
De volgende stelling geeft aan hoe het inwendig product van vectoren te berekenen via de coördinaten
t.o.v. een of andere basis B.
STELLING 5.35. In een eindig dimensionale inwendig productruimte V met basis B =
{v1 , . . . , vn } geldt voor alle vectoren u en w dat
T
∗
⟨u, w⟩ = ([u]B ) GB [w]B = ([u]B ) GB [w]B .
Bewijs: Beschouw de vectoren u en w. Er zijn scalairen a1 ,. . . , an en b1 ,. . . , bn zo dat u =
a1 v1 + · · · + an vn en w = b1 v1 + · · · + bn vn . Er volgt:
=
[
a1
⟨u, w⟩ = ⟨a1 v1 + · · · + an vn , w⟩ = a1 ⟨v1 , w⟩ + · · · + an ⟨vn , w⟩ =




⟨v1 , w⟩
⟨v1 , b1 v1 + · · · + bn vn ⟩
]
[
]



..
..
· · · an 
 = a1 · · · an 
=
.
.
⟨vn , w⟩
⟨vn , b1 v1 + · · · + bn vn ⟩


b1 ⟨v1 , v1 ⟩ + · · · + bn ⟨v1 , vn ⟩
[
]

..
= a1 · · · an 
=
.

=
[
a1
···
an
]

⟨v1 , v1 ⟩
..
.
b1 ⟨vn , v1 ⟩ + · · · + bn ⟨vn , vn ⟩


· · · ⟨v1 , vn ⟩
b1
T
  .. 
..
  .  = ([u]B ) GB [w]B ,
.
⟨vn , v1 ⟩
···
⟨vn , vn ⟩
bn
hetgeen te bewijzen was.
Nu wat eigenschappen wat de Grammatrix.
STELLING 5.36 (Eigenschappen van de Gram-matrix). In het volgende is GB de Grammatrix van een inwendig product op een eindig dimensionale inwendig productruimte ten opzichte van een basis B voor die ruimte. Dan geldt
• GB is inverteerbaar
• GB is Hermitisch, dus G∗B = GB . In het reële geval is G symmetrisch.
• GB is definiet positief.
• De getallen op de diagonaal van GB zijn reëel en positief.
• B is een orthogonale basis als en slechts als GB een diagonaalmatrix is.
• B is een orthonormale basis als en slechts als GB de eenheidsmatrix is.
Bewijs: We bewijzen de eerste uitspraak. We tonen aan dat de Gram–matrix GB inverteerbaar is
door te laten zien dat Nul(GB ) = {0}. Alsvolgt: stel dat GB x = 0. Dan geldt zeker x∗ GB x = 0.
Kies v ∈ V met [v]B = x. Volgens Stelling 5.35 geldt:
∗
⟨v, v⟩ = [v]B A[v]B = x∗ Ax = 0
116
Hoofdstuk 5. Inwendig productruimten
Dus er geldt zeker: v = 0 en dus ook x = [v]B = [0]B = 0.
De inverteerbaarheid van GB volgt.
De derde uitspraak. Kies z ∈ Cn en beschouw w = z1 b1 +· · ·+zn bn ∈ V . Dan [w]B = z. Daarom:
∗
∗
z∗ GB z = ([w]B ) GB [w]B = ⟨w, w⟩ ≥ 0 en 0 = z∗ GB z impliceert dat ([w]B ) GB [w]B =
⟨w, w⟩ = 0 dus w = 0 en dus z = [w]B = 0.
De rest van de uitspraken is bijna triviaal.
Nu komt een mijns inziens bijzonder verrassend resultaat. Stel dat we het inwendig product willen
gaan berekenen via de coördinaten van een orthonormale basis B van een eindig dimensionale
ruimte V . Dat ligt voor de hand want de voorafgaande stelling zegt dat dan GB = I, de eenheidsmatrix, en dan is er altijds iets moois te verwachten.
Als v en w vectoren in V zijn, zeg




a1
b1




[v]B =  ...  en [w]B =  ...  ,
an
bn
dan volgt dat
T
⟨v, w⟩ = ([v]B ) I [w]B = a1 b1 + · · · + an bn .
Ten opzichte van deze basis is het product op de coördinatisering dus gelijk aan het standaard
inwendig product op Ln ! Deze constatering is belangrijk genoeg om in een aparte stelling te
vermelden.
STELLING 5.37. Het inwendig product op een n-dimensionale reële (complexe) vectorruimte V komt in de coördinatisering ten opzichte van een orthonormale basis B overeen met
het standaard inwendig product op Rn (dan wel Cn ).
We hebben eerder gezien bij een eindigdimensionale vectorruimte V met basis B, dat de
coördinatisering afbeelding
x
[x]B
de lineaire structuur van V op de lineaire structuur van Rn (of Cn ) wordt gelegd. En dit gebeurt
zodanig dat de lineaire structuren niet te onderscheiden (isomorf) zijn.
Nu zien we dat als V een eindig dimensionaal inwendig product ruimte is en als voor B een
orthonormale basis gekozen wordt, de coördinatisering niet alleen de lineaire structuur bewaart,
maar ook de inwendig product structuur van V op die van Rn (of Cn ) gelegd wordt.. Onder de
coördinatisering wordt V gewoon als Rn (of Cn ) gezien met het standaard inwendig product. Alle
resultaten van Rn (of Cn ) aangaande het standaard inwendig product kunnen naar V teruggehaald
worden. En eigenlijk hebben we dat in de vorige paragrafen al zitten doen; lengte, Pythagoras,
Cauchy-Schwarz etc. Eindig dimensionaal is niets nieuws te verwachten.
Een ander voorbeeld hiervan:
GEVOLG 5.38. Als V een eindig dimensionaal inwendig productruimte is met dim(V ) = n,
en als W een deelruimte van V is, dan geldt:
dim V = dim W + dim W ⊥ .
5.7. De Orthogonale projectie
117
(Maar we moeten nog wel aantonen dat iedere eindig dimensionale inwendig product ruimte V
ook echt een orthonormale basis heeft.) Nieuwe lineaire algebra is te verwachten in de oneindig
dimensionale inwendig product ruimten.
5.7
De Orthogonale projectie
Evenals in Rn en Cn zouden we de orthogonale projectie van een vector op een deelruimte W willen
definiëren. We gebruiken dezelfde definitie als in deze vectorruimtes
Definitie: Gegeven zijn een deelruimte W van een inwendig productruimte V en een vector
x uit V . Een loodrechte of orthogonale projectie van x op W is een vector w in W met de
eigenschap dat x − w ⊥ W (ofwel x − w ∈ W ⊥ ). We noteren w = projW (x).
Merk op dat op dit moment niet duidelijk is of projecties altijd zullen bestaan. Eenvoudige voorbeelden laten zien dat dit niet het geval is.
Voorbeeld 5.39. Beschouw nogmaals voorbeeld 5.29. Hier werd de ruimte V = ℓ2 (R) (met het
standaard inwendig product) bekeken met de deelruimte W = Span{e1 , . . . , en , . . .}. We hebben
daar laten zien dat W ̸= ℓ2 (R) en W ⊥ = {0}. Dit laatste zal tot gevolg hebben dat als x ∈
/ W,
dat er geen w ∈ W zal bestaan met x − w ∈ W ⊥ . (Inderdaad, als x − w ∈ W ⊥ dan x − w = 0 en
dus w = x ∈
/ W . maar dan bestaat er dus geen orthogonale projectie van x op W !
Ook is het in eerste instantie niet duidelijk of de projectie, als die bestaat, uniek zal zijn. Dat
geldt gelukkig wel.
STELLING 5.40. Als de orthogonale projectie van x op W bestaat, dan is deze uniek.
Het bewijs van deze stelling mag U zelf geven in opgave ?? van deze paragraaf. (Het is letterlijk
hetzelfde bewijs als bij Cn .
Nu de eigenschap die het nut van projecties verklaart:
STELLING 5.41. Als de orthogonale projectie van een vector x uit een inwendig productruimte V op een deelruimte W bestaat, dan is het precies die vector uit W waarvoor de afstand
tot x zo klein mogelijk is.
Het bewijs van deze stelling mag U zelf geven in opgave ?? van deze paragraaf. Ook hier geldt dat
het bewijs bekend van Cn gecopiëerd kan worden.
Voorbeeld 5.42. Beschouw nogmaals het voorbeeld 5.39. Bovenstaande stelling maakt ook duidelijk dat een vector x = (x1 , . . . , xn , . . .) ∈
/ W niet op W geprojecteerd kan worden. Bekijk
118
Hoofdstuk 5. Inwendig productruimten
namelijk wn = (x1 , . .v
. , xn , 0, 0, 0, . . .) ∈ W . Het zal duidelijk zijn dat ∥x − wn ∥, de afstand van x
u ∑
u ∞
tot wn , gelijk is aan t
x2k en dus lim ∥x − wn ∥ = 0. Dit laatste zal tot gevolg hebben dat
n→∞
k=n+1
er geen punt in W zal bestaan met kleinste afstand tot x, en dus bestaat er geen projectie.
Voorbeeld 5.43. In Pol(R) met inwendig product
∫
⟨f, g⟩ =
1
f (x)g(x) dx
−1
is de orthogonale projectie van f (x) = x3 op de deelruimte W = Pol2 (R) gelijk aan p(x) = 35 x. Er
geldt namelijk dat p(x) tot W behoort en dat f (x) − p(x) = x3 − 35 x tot W ⊥ behoort. Het eerste
is
het feit⟩dat W = Span{1, x, x2 } en dat de inwendig producten
⟨ duidelijk
⟩en⟨het 3tweede
⟩volgt⟨ uit
3
3
3
2
1, x − 5 x , x, x − 5 x en x , x3 − 35 x allemaal nul zijn, zodat f (x) − p(x) loodrecht op de
opspannende vectoren van W staat en dus (volgens stelling 5.28) inderdaad tot W ⊥ behoort. Uit
bovenstaande stelling volgt dat het polynoom p(x) = 35 x het polynoom van graad 2 of minder is,
dat het dichtst bij het polynoom f (x) = x3 ligt, tenminste, als we werken met het afstandsbegrip
dat bepaald wordt door het inwendig product uit het voorbeeld. In dit geval is p dus het polynoom
van graad 2 of minder waarbij
∫
∥f − p∥2 =
1
−1
(
)2
f (x) − p(x) dx
(5.1)
zo klein mogelijk is. Meetkundig zou je dus kunnen zeggen dat p(x) = 35 x het polynoom van graad
twee of minder is, waarvoor de oppervlakte tussen de grafieken van p(x) en f (x) = x3 op het
interval [−1, 1] zo klein mogelijk is. Dit laatste is natuurlijk niet helemaal waar omdat het om de
integraal van het kwadraat van de verschilfunctie gaat, maar als de oppervlakte tussen grafieken
klein is, is ook de integraal van het kwadraat van de verschilfunctie klein, en andersom.
Overigens is met formule (5.1) ook te begrijpen dat een ander inwendig product leidt tot een andere
projectie.
Dit voorbeeld laat zien dat het relatief eenvoudig is om te controleren of een gegeven vector de
orthogonale projectie is van een andere gegeven vector op een deelruimte W . Het voorbeeld laat
niet zien hoe de projectie berekend kan worden.
Tenslotte:
STELLING 5.44. (Decompositiestelling eindig dimensionale deelruimtes) Als V een inwendig productruimte is met een eindig dimensionale deelruimte W , dan geldt: Iedere x uit V is
te schrijven als:
x = w + w♯
(met w ∈ W en w♯ ∈ W ⊥ ) op unieke wijze. En dus bestaat de orthogonale projectie projW :
V → V op iedere eindig dimensionale deelruimte.
Bewijs: Het bewijs is een copie van het bewijs voor Cn . Dus neem een orthogonale basis B =
{b1 , . . . , bn } van W en beschouw
w=
⟨b1 , x⟩
⟨bn , x⟩
b1 + · · · +
bn .
⟨b1 , b1 ⟩
⟨bn , bn ⟩
5.8. Het bepalen van Orthogonale projecties
119
Laat zien dat x − w ∈ W ⊥ door aan te tonen dat x − w⊥b1 , voor i = 1, . . . , n.
Tenslotte:
STELLING 5.45. De afbeelding projW : V → V is voor een eindig dimensionale deelruimte
W van V een goed gedefinieerde lineaire afbeelding.
Bewijs: Dat de afbeelding goed gedefinieerd is, is hierboven al vermeld. Rest het aantonen van
lineariteit. Neem daarvoor x en y in V en schrijf p = projW (x) + projW (y). We moeten laten
zien dat p = projW (x + y) dus dat p ∈ W en (x + y) − p ∈ W ⊥ . Het eerste is triviaal omdat W
een deelruimte is en omdat projW (x) en projW (y) tot W behoren. Het tweede volgt uit het feit
dat W ⊥ een deelruimte is en het feit dat zowel x − projW (x) als y − projW (y) tot W ⊥ behoren.
Dat geldt dan namelijk ook voor de som van deze twee vectoren en dat is (x + y) − p.
Neem nu x in V en c ∈ L. Schrijf p = c projW (x). We moeten laten zien dat p = projW (cx) dus
dat p ∈ W en cx − p ∈ W ⊥ . Het eerste is duidelijk omdat W een deelruimte is en het tweede is
waar omdat W ⊥ ook een deelruimte is en cx − p = c(x − projW (x)).
Tenslotte de vraag: “Wat zijn nu precies de deelruimtes waarop we kunnen projecteren”. Zonder
bewijs vermelden we:
STELLING 5.46. (Decompositiestelling eindig dimensionale deelruimtes) Als V een inwendig productruimte is en W een deelruimte, dan geldt: de orthogonale projectie projW : V → V
op W bestaat als en slechts als: W = (W ⊥ )⊥ .
5.8
Het bepalen van Orthogonale projecties
In het vorig college is de projectie van een vector op een (eindig dimensionale) deelruimte geı̈ntroduceerd.
Nu willen we de projectie effectief berekenen.
Methode 1
Als we bij de deelruimte W een orthogonale basis tot onze beschikking hebben, dan kunnen we de
projectie van x verkrijgen door op iedere basis vector orthogonaal te projecteren en de projecties
op te tellen. Het probleem van deze methode is wel dat een orthogonale basis voor W nodig is.
Als die er in eerste instantie niet is, dan zal deze bepaald moeten worden. Een probleem wat we
ook al in Cn kende.
STELLING 5.47. Als {b1 , . . . , bn } een orthogonale basis voor een deelruimte W van de
inwendig productruimte V is dan geldt voor x ∈ V dat
projW (x) =
⟨bn , x⟩
⟨b1 , x⟩
b1 + · · · +
bn .
⟨b1 , b1 ⟩
⟨bn , bn ⟩
Bewijs: Zie het bewijs van de decompositiestelling uit college 13.
120
Hoofdstuk 5. Inwendig productruimten
Voorbeeld 5.48. We gaan de projectie van f (x) = x3 uit Pol(R) op W = Pol2 (R) bepalen. Hier
∫1
is Pol(R) voorzien van het inwendigproduct ⟨p, q⟩ = −1 p(x)q(x)dx.
Echter, de standaard basis B = {1, x, x2 } is niet orthogonaal. Die moeten we dan eerst maken.
Straks volgt een structurele methode om er één te vinden, maar voor W hebben we er eigenlijk
al één gezien in voorbeeld 5.26. Daar is namelijk geconstateerd dat 3x2 − 1 loodrecht staat op
de polynomen 1 en x. Omdat 1 en x ook loodrecht op elkaar staan, volgt dat {1, x, 3x2 − 1}
een orthogonale verzameling niet nulvectoren is. Volgens stelling 5.31 zijn deze drie polynomen
onafhankelijk en omdat ze duidelijk in de drie-dimensionale ruimte Pol2 (R) liggen vormen ze een
basis voor W . We hebben dus een orthogonale basis voor W te pakken en kunnen de orthogonale
projectie uitrekenen met de formule van de vorige stelling:
⟨ 2
⟩
3x − 1, f (x)
⟨1, f (x)⟩
⟨x, f (x)⟩
projW (f ) =
·1+
·x+
· (3x2 − 1)
⟨1, 1⟩
⟨x, x⟩
⟨3x2 − 1, 3x2 − 1⟩
3
2/5
· x + 0 · (3x2 − 1) = x
=0·1+
2/3
5
hetgeen op basis van voorbeeld 5.26 te verwachten was.
Methode 2
We beschouwen het vorige voorbeeld nogmaals met de nieuwe methode.
Voorbeeld 5.49. We laten zien hoe in Pol(R) de orthogonale projectie p(x) van f (x) = x3 op
W = Pol2 (R) berekend kan worden als het inwendig product gedefinieerd is door
∫
⟨f, g⟩ =
1
f (x)g(x) dx.
−1
Voor deze berekening hebben we een basis voor W nodig, bijvoorbeeld de standaardbasis B =
{1, x, x2 }. Omdat p(x) tot W moet behoren, is p(x) een lineaire combinatie van de drie basisvectoren, dus
p(x) = c1 + c2 x + c3 x2
voor zekere getallen c1 , c2 en c3 .
Verder moet f (x) − p(x) loodrecht op W staan, wat betekent dat de inwendig producten van
f (x) − p(x) met de basisvectoren uit B nul moeten zijn, dus
⟨1, f (x) − p(x)⟩ = 0 ofwel
⟨1, p(x)⟩ = ⟨1, f (x)⟩
⟨x, f (x) − p(x)⟩ = 0 ofwel
⟨x, p(x)⟩ = ⟨x, f (x)⟩
⟨ 2
⟩
⟨ 2
⟩ ⟨
⟩
x , f (x) − p(x) = 0 ofwel x , p(x) = x2 , f (x)
Invullen van p(x) = c1 + c2 x + c3 x2 leidt tot de volgende drie vergelijkingen met de onbekenden
c1 , c2 en c3 :
⟨
⟩
c1 ⟨1, 1⟩ +c2 ⟨1, x⟩ +c3 ⟨1, x2 ⟩ = ⟨1, f (x)⟩
c1 ⟨⟨x, 1⟩ ⟩ +c2 ⟨⟨x, x⟩ ⟩ +c3 ⟨x, x2 ⟩ = ⟨x,
⟨ f (x)⟩ ⟩
c1 x2 , 1 +c2 x2 , x +c3 x2 , x2 = x2 , f (x)
Al de inwendig producten in deze vergelijkingen kunnen berekend worden (f (x) is immers x3 ), wat
het volgende stelsel lineaire vergelijkingen oplevert:
2c1
2
3 c1
+
+
2
3 c2
+ 23 c3 = 0
= 25
2
+ 5 c3 = 0
5.8. Het bepalen van Orthogonale projecties
met oplossing c1 = 0, c2 =
is met voorbeeld 5.43.
3
5
121
en c3 = 0. Daaruit volgt dat p(x) = 35 x, hetgeen in overeenstemming
STELLING 5.50. Stel B = {b1 , . . . , bn } een basis is voor een eindig dimensionale deelruimte
W van een inwendig productruimte V . Als x een vector is uit V , dan bestaat zijn orthogonale
projectie
projW (x) = c1 b1 + · · · + cn bn
en kunnen we de ci vinden door het volgende lineaire stelsel op te lossen:


 

⟨b1 , b1 ⟩ · · · ⟨b1 , bn ⟩
c1
⟨b1 , x⟩

  ..  

..
..
..

 .  = 
.
.
.
.
⟨bn , b1 ⟩ · · · ⟨bn , bn ⟩
cn
⟨bn , x⟩
Bewijs: We merken eerst op dat de coëfficiënten matrix van dit stelsel de Gram–matrix GB is.
Volgens Stelling 5.36 is deze matrix inverteerbaar, en dus is er een unieke oplossing van dit stelsel.
Beschouw de unieke oplossing c1 , . . . , cn en de vector:
w = c1 b1 + · · · + cn bn
Als we kunnen aantonen dat x − w ∈ W ⊥ , dan geldt per definitie van de projectie:
projW (x) = c1 b1 + · · · + cn bn
Om x − w ∈ W
⊥
aan te tonen is voldoende te laten zien dat
⟨bi , x − w⟩ = 0, voor i = 1, . . . , n.
Welnu, ⟨bi , x − w⟩ = ⟨bi , x⟩−⟨bi , w⟩ = ⟨bi , x⟩−⟨bi , c1 b1 + · · · + cn bn ⟩ = ⟨bi , x⟩−(c1 ⟨bi , c1 b1 ⟩+
· · · + cn ⟨bi , bn ⟩) = ⟨bi , x⟩ − ⟨bi , x⟩ = 0, voor i = 1, . . . , n.
Projecteren in Cn en projectiematrices
Omdat Cn een complexe inwendigproduct ruimte is, kunnen we ook op deelruimtes W van Cn
projecteren. De bijbehorende projectie projW : Cn → Cn is een lineaire afbeelding en de standaardmatrix van deze afbeelding heet weer een projectiematrix en wordt genoteerd met [projW ].
Kortom: de formule projW (z) = [projW ]z geldt ook complex. Hoe deze projectiematrix te verkrijgen?
STELLING 5.51. Stel W een deelruimte is van Cn en stel dat {u1 , . . . , uk } een orthonormale basis
is voor W en schrijf U = [u1 . . . uk ]. Dan geldt:
1. Als S de ééndimensionale deelruimte Span{u1 } is, dan: [projS ] = u1 u∗1 .
2. [projW ] = u1 u∗1 + · · · + uk u∗k = U U ∗ .
Bewijs: 1. Volgens stelling 5.47 geldt dat:
projS (x) =
⟨u1 , x⟩
⟨u1 , x⟩
u1 =
u1 = ⟨u1 , x⟩ u1 = (u∗1 x)u1 = u1 (u∗1 x) = (u1 u∗1 )x
⟨u1 , u1 ⟩
∥u1 ∥2
122
Hoofdstuk 5. Inwendig productruimten
Merk op dat de scalaire vermenigvuldiging cx weer als matrixproduct xc geschreven is.
2. Volgens stelling 5.47 en eerste deel dit bewijs geldt dat:
projW (x) =
⟨u1 , x⟩
⟨uk , x⟩
u1 + · · · +
un = (u1 u∗1 )x + · · · + (uk u∗k )x =
⟨u1 , u1 ⟩
⟨uk , uk ⟩
= (u1 u∗1 + · · · + uk u∗k )x = U U ∗ x
Merk op dat kolom-rij expansie is toegepast.
Een bestudering van het bewijs van stelling 5.50 levert de volgende formule die de projectiematrix
via een willekeurige basis geeft.
STELLING 5.52. Stel dat W een deelruimte is van Cn en stel dat {a1 , . . . , ak } een basis is
voor W en schrijf A = [a1 . . . ak ]. Dan geldt:
projW (x) = A(A∗ A)−1 A∗ x.
We zijn uiteindelijk in staat de spectraalstelling voor normale bases te geven. Herinner:
STELLING 5.53. (De (complexe) Spektraledecompositie Stelling, vorm 1)
Laat A een normale n × n matrix zijn. Dan bestaat een orthonormale basis B = {u1 , . . . , un }
van Cn bestaande uit eigenvectoren van A, zeg Aui = λi ui , voor i = 1, . . . , n. Er geldt:
A = λ1 u1 u∗1 + · · · + λn un q∗n
Met andere woorden: A is een lineaire combinatie van projectiematrices (van projecties op onderling
loodrechte eigenvectoren)! Dit heet een spektrale decompositie van A Maar als een eigenwaarde
een hogere multipliciteit heeft is deze spectraal decompositie niet uniek. Het extreme voorbeeld
hiervan is weer de eenheidsmatrix.
Voorbeeld 5.54. Iedere orthonormale basis {u1 , . . . , un } van Cn is een orthonormale basis van
Cn bestaande uit eigenvectoren (bij λ = 1) van de eenheidsmatrix I en dus geldt:
I = u1 u∗1 + · · · + un u∗n
Ook complex bestaat een vorm van de spektraaldecompositie stelling die als voordeel heeft dat deze
wel uniek is. A is een normale matrix, λ1 , . . . , λk zijn de eigenwaarden van A, λi heeft multipliciteit
ni (i = 1, . . . , k) en Bi = {u(i,1) , . . . , u(i,ni ) } is een orthonormale basis van de eigenruimte Eλi ,
voor i = 1, . . . , k. Als we schrijven Ui = [u(i,1) . . . u(i,ni ) ] dan weten we van Stelling 5.51 dat de
projectie op de eigenruimte Eλi de standaardmatrix:
[projEλ ] = u(i,1) u∗(i,1) + · · · + u(i,ni ) u∗(i,ni ) = Ui Ui∗
i
heeft. Als we in vorm 1 van de spektrale decompositie van A de projectiematrices bij dezelfde
eigenwaarden bij elkaar nemen krijgen we:
A = λ1 [projEλ1 ] + · · · + λk [projEλ ]
k
5.8. Het bepalen van Orthogonale projecties
123
Met andere woorden: A is de lineaire combinatie van de projectiematrices (van projecties op al de
onderling loodrechte eigenruimtes) met als gewichten: de bijbehorende eigenwaarden!
STELLING 5.55. (De Spektraaldecompositie Stelling, vorm 2)
Laat A een normale n × n matrix zijn met eigenwaarden λ1 , . . . , λk . Beschouw de projecties
projEλ : Cn → Cn op de eigenruimtes Eλi . Dan geldt:
i
A = λ1 [projEλ ] + · · · + λk [projEλ ]
1
k
Het Gram-Schmidt orthogonaliseringsproces
Op dezelfde manier als in Rn en Cn kunnen we bij een gegeven eindige basis van een inwendig
productruimte V om zetten naar een orthogonale basis voor W . Eerst een voorbeeld.
Voorbeeld 5.56. Voor de constructie van een orthogonale basis voor V = Pol2 ([−1, 1], R), voorzien van het inwendig product
∫
⟨f, g⟩ =
1
f (x)g(x) dx.
−1
wordt begonnen met de standaardbasis B = {1, x, x2 } voor V . Het geluk is dat de polynomen
1 en x al orthogonaal zijn. Definieer daarom de deelruimte W2 = Span{1, x} van V . Als aan
{1, x} een niet-nulvector uit V wordt toegevoegd die loodrecht staat op W2 , dan is een orthogonale
verzameling van drie niet-nulvectoren in de drie-dimensionale V gevonden. Deze drie vectoren
vormen onmiddellijk een orthogonale basis voor V . En . . . deze derde vector is snel gevonden:
volgens het voorgaande is x2 − projW2 (x2 ) namelijk zo’n vector! [Waarom behoort deze vector tot
Pol2 ([−1, 1], R)?]
Omdat {1, x} een orthogonale basis voor W2 is, geldt volgens stelling 5.47
⟨
⟩
⟨
⟩
1, x2
x, x2
projW2 (x ) =
·1+
· x.
⟨1, 1⟩
⟨x, x⟩
2
Als derde basisvector kan dus
⟨
x2 −
⟩
⟨
⟩
1, x2
x, x2
2/3
1
·1−
· x = x2 −
· 1 − 0 · x = x2 −
⟨1, 1⟩
⟨x, x⟩
2
3
genomen worden. Dus bijvoorbeeld {1, x, x2 − 13 } is een orthogonale basis voor Pol2 ([−1, 1], R),
√
√ √
maar natuurlijk ook {1, x, 3x2 − 1} of { 12 2, 12 x 6, 10( 34 x2 − 14 }. De laatste is zelfs een orthonormale basis voor Pol2 ([−1, 1], R).
Dan nu het Gram-Schmidt orthogonaliseringsproces.
124
Hoofdstuk 5. Inwendig productruimten
STELLING 5.57 (Gram-Schmidt orthogonaliseringsproces). Als {v1 , . . . , vn } een basis is
voor een deelruimte W van een inwendig productruimte V , dan vormen de vectoren
w 1 = v1
⟨w1 , v2 ⟩
w1
⟨w1 , w1 ⟩
⟨w1 , v3 ⟩
⟨w2 , v3 ⟩
w 3 = v3 −
w1 −
w2
⟨w1 , w1 ⟩
⟨w2 , w2 ⟩
..
.
w 2 = v2 −
wn = vn −
⟨w1 , vn ⟩
⟨wn−1 , vn ⟩
w1 − · · · −
wn−1
⟨w1 , w1 ⟩
⟨wn−1 , wn−1 ⟩
een orthogonale basis voor W .
Bewijs: Net als in voorbeeld 5.56 wordt de orthogonale basis stapje voor stapje opgebouwd via
orthogonale projecties op verschillende deelruimten van W , namelijk de deelruimten
W1 = Span{v1 },
W2 = Span{v1 , v2 },
W3 = Span{v1 , v2 , v3 },
etc.
Merk op dat Wn = W . We laten zien dat voor k = 2, . . . , n het in de stelling geconstrueerde stelsel
vectoren {w1 , . . . , wk } een orthogonaal stelsel is dat Wk opspant. Voor het geval k = n hebben we
dan de geldigheid van de stelling bewezen, want de wk ’s spannen W op en hun aantal is precies
dim W . Ze vormen dus een basis voor W .
⟨w1 ,v2 ⟩
We beginnen met k = 2. Merk op dat uit het feit dat w1 = v1 volgt dat ⟨w
w1 volgens stelling
1 ,w1 ⟩
5.47 precies de loodrechte projectie projW1 (v2 ) van v2 op W1 is. Daarom staat v2 −projW1 (v2 ) (en
dat is precies w2 !) loodrecht op W1 en daarmee op w1 . Het stelsel {w1 , w2 } is dus orthogonaal.
Nu moet nog aangetoond worden dat Span{w1 , w2 } = W2 . Het is duidelijk dat w1 = v1 tot W2
behoort. Verder zijn v2 en projW1 (v2 ) elementen van W2 en w2 als lineaire combinatie van deze
twee dus ook. Blijkbaar Span{w1 , w2 } ⊂ W2 . Andersom is het duidelijk dat v1 tot Span{w1 , w2 }
⟨w1 ,v2 ⟩
behoort en omdat v2 = w2 + ⟨w
w1 een lineaire combinatie van w1 en w2 is, volgt dit ook
1 ,w1 ⟩
voor v2 . Blijkbaar W2 = Span{v1 , v2 } ⊂ Span{w1 , w2 }.
Zo kunnen we doorgaan: nu we bewezen hebben dat {w1 , w2 } een orthogonaal stelsel is dat W2
opspant, kunnen we laten zien dat hetzelfde geldt voor {w1 , w2 , w3 } en W3 . Daaruit kunnen we
dan weer laten zien dat {w1 , . . . , w4 } een orthogonaal stelsel is dat W4 opspant, enzovoorts.
Gelukkig hoeven we niet elke stap apart op te schrijven, maar kunnen we dat in één keer doen.
Als we namelijk bewezen hebben dat {w1 , . . . , wk } een orthogonaal stelsel is dat Wk opspant is
de vector wk+1 volgens stelling 5.47 gelijk aan de vector vk+1 − projWk vk+1 en die staat daarom
loodrecht op Wk en dus loodrecht op w1 , . . . , wk . Omdat de laatst genoemde vectoren al een
orthogonaal stelsel vormden, is {w1 , . . . , wk+1 } ook een orthogonaal stelsel.
Dat Span{w1 , . . . , wk+1 } = Wk+1 volgt op dezelfde manier als de situatie k = 2. Het is namelijk
duidelijk dat w1 tot en met wk tot Wk+1 behoren omdat Wk ⊂ Wk+1 . Verder is wk+1 het
verschil van vk+1 , die in Wk+1 ligt, en projWk vk+1 , die in Wk en dus ook in Wk+1 ligt. Dus
wk+1 behoort ook tot Wk+1 , waarmee Span{w1 , . . . , wk+1 } ⊂ Wk+1 . Andersom geldt dat v1
tot en met vk tot Wk en dus tot Span{w1 , . . . , wk+1 } behoren. Ook is duidelijk dat vk+1 =
⟨wk ,vk+1 ⟩
1 ,vk+1 ⟩
wk+1 + ⟨w
⟨w1 ,w1 ⟩ w1 +· · ·+ ⟨wk ,wk ⟩ wk tot dit lineair omhulsel behoort, zodat Span{v1 , . . . , vk+1 } =
Wk+1 ⊂ Span{w1 , . . . , wk+1 }. Blijkbaar is {w1 , . . . , wk+1 } een orthogonaal stelsel dat Wk+1
opspant!
5.8. Het bepalen van Orthogonale projecties
125
Het volgende voorbeeld is als illustratie toegevoegd vanwege het feit dat er iets verrassends kan
gebeuren. Laat je niet afleiden door het alternatieve inwendig product dat gekozen is, omdat het
fenomeen dat optreedt niet veroorzaakt wordt door de keuze van het inwendig product.
Voorbeeld 5.58. De bedoeling is dat een orthogonale basis gevonden gaat worden voor de deelruimte van C3 opgespannen door de vectoren






1
1 + 5i
0
 en v3 =  5 − i 
0
v1 =  i  , v2 = 
1
4i
−1 − i
waarbij C3 voorzien is van het inwendig product
⟨x, y⟩ = x∗ Ay


1 i 0
A =  −i 2 1  .
0 1 3
De orthogonale basis wordt uiteraard gevonden door toepassen van Gram-Schmidt en voor de
eerste vector wordt dus w1 = v1 = (1, i, 1) genomen. Om de tweede vector te bepalen zijn de
inwendig producten



1 + 5i
1 i 0
[
]
 = 4 + 12i
0
⟨w1 , v2 ⟩ = 1 −i 1  −i 2 1  
4i
0 1 3
en

 
1 i 0
1
[
]



1
−i
1
−i
2
1
i  = 4.
⟨w1 , w1 ⟩ =
0 1 3
1
nodig. Er volgt



  
2i
1 + 5i
1
⟨w1 , v2 ⟩
 − 4 + 12i  i  =  3 − i  .
0
w2 = v2 −
w1 = 
⟨w1 , w1 ⟩
4
−1 + i
4i
1
met
Voor de derde vector worden eerst de inwendig producten
⟨w1 , v3 ⟩ = −8i,
⟨w2 , v3 ⟩ = 34
en
⟨w2 , w2 ⟩ = 34
berekend, zodat
w3 = v3 −
⟨w1 , v3 ⟩
⟨w2 , v3 ⟩
−8i
34
w1 −
w2 = v3 −
w1 − w2 = 0,
⟨w1 , w1 ⟩
⟨w2 , w2 ⟩
4
34
en dat is verrassend! Het gevonden stelsel {w1 , w2 , w3 } is weliswaar orthogonaal, maar het is
geen basis! Hoe kan dat? Daarvoor moet je je realiseren dat w3 = v3 − projW2 (v3 ) waarbij
W2 = Span{v1 , v2 } = Span{w1 , w2 } (dit staat in het bewijs van Gram-Schmidt). Omdat w3 = 0
is v3 blijkbaar gelijk aan zijn orthogonale projectie op W2 . Dat betekent dat v3 een element van
W2 = Span{v1 , v2 } is, waaruit volgt dat het stelsel {v1 , v2 , v3 } dat W opspant afhankelijk is en
dus zelf al geen basis was voor W . Omdat v1 en v2 wel onafhankelijk zijn vormen deze twee
vectoren een basis voor W . Daaruit kan geconcludeerd worden dat {w1 , w2 } een orthogonale basis
voor W is. Tenslotte: { 21 w1 , √134 w2 } is een orthonormale basis voor W .
Een generalisatie van het geconstateerde in bovenstaand voorbeeld leidt tot het volgende: als
het Gram-Schmidt proces begonnen wordt met een afhankelijk stel vectoren, dan wordt op zeker
moment een nulvector wk gevonden, wat betekent dat vk een lineaire combinatie is van zijn
voorgangers. Als we vk en de nulvector wk in het vervolg van het proces weglaten, kunnen we
doorgaan met Gram-Schmidt en vinden we zo doorgaand vanzelf een orthogonale basis.
126
5.9
Hoofdstuk 5. Inwendig productruimten
Maximaal Orthogonale verzamelingen
Laat V een inwendig product ruimte zijn.
Definitie: Een verzameling S van niet–nulvectoren in V heet maximaal orthogonaal , als
deze orthogonaal is, en er is geen niet nulvector v ∈ V zodat de verzameling S ∪ {v} ook
orthogonaal is.
Evenzo definiëren we het begrip maximaal orthonormaal.
Opmerking: Maximaal orthogonale (orthonormale) verzamelingen worden ook wel volledige
(complete) orthogonale verzamelingen genoemd. Ook worden ze wel orthogonale basis genoemd,
hoewel dit een onjuiste benaming. Het volgende voorbeeld laat al zien dat in een oneindig dimensionale ruimte een maximaal orthogonale verzameling geen basis hoeft te zijn.
We zullen eerst het meest simpele voorbeeld van dit verschijnsel bestuderen.
Voorbeeld 5.59. Beschouw V = ℓ2 (R) met standaard inwendigproduct. Bekijk ook de orthonormale verzameling E = {e1 , . . . , en , . . .} in V . We hebben ooit aangetoond dat Span{E}⊥ = {0}.
Dat betekent dat aan de verzameling E geen enkele vector x ̸= 0 toegevoegd kan worden zonder
de orthogonaliteit te verpesten. Merk dus op dat E een maximaal orthogonale verzameling is in
ℓ2 (R), maar merk ook op dat E geen basis is voor ℓ2 (R).
Voorbeeld 5.60. (Vervolg) Beschouw nogmaals V = ℓ2 (R) met de maximaal orthonormale verzameling E = {e1 , . . . , en , . . .}. Stel x = (x1 , x2 , . . . , xn , . . .) ∈ ℓ2 (R). Hoewel x niet in Span(E)
hoeft te zitten, kunnnen we x wel krijgen als een limiet van een rij van elementen uit E, en wel op
de volgende manier.
Beschouw Wn = Span{e1 , . . . , en }. Wn is eindig dimensionaal, en dus kunnen we projecteren op
Wn . Beschouw
wn = projWn (x) = (x1 , x2 , . . . , xn , 0, 0, 0, . . .)
We verkrijgen op deze manier een rij {wn }∞
n=1 waarvoor geldt:
lim wn = x.
n→∞
Hoewel dit in dit geval intuı̈tief duidelijk zal zijn, merken we op dat lim wn = x een limiet is in
n→∞
de ruimte ℓ2 (R). We moeten zeggen wat we hiermee bedoelen! Hiermee bedoelen we dat voor de
(reële) rij {∥wn − x∥}∞
n=1 geldt:
lim ∥wn − x∥ = 0
n→∞
Inderdaad, de vectoren wn in ℓ2 (R) komen op den duur op voorgeschreven afstand ε > 0 van x,
en dit voor iedere ε > 0.
Als V eindig dimensionaal is, dan is het niet moeilijk in te zien dat de maximaal orthogonale
verzamelingen precies de orthogonale bases van V zijn.
Oneindig dimensionaal geldt dat niet meer. Een beroemd voorbeeld van een maximaal orthogonale
verzameling is de volgende:
5.9. Maximaal Orthogonale verzamelingen
127
Voorbeeld 5.61. De verzameling
1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, . . . , cos nx, sin nx, . . . . . .
is een maximaal orthogonale verzameling in C([−π, π], R) (met standaard inwendig product). Zelfs
in de inwendig product ruimte L2 ([0, 2π], R) is deze verzameling maximaal orthogonaal. Dat deze
verzameling orthogonaal is, is niet moeilijk aan te tonen via de product formules voor cos px cos qx,
etc. Dat deze verzameling maximaal orthogonaal is, is echt lastig en zullen we U besparen.
Na normeren verkrijgen we de volgende maximaal orthonormale verzameling:
cos nx sin nx
1 cos x sin x cos 2x sin 2x
√ , √ , √ , √ , √ ,..., √ , √ ,......
π
π
π
π
π
π
2π
In de Fourier analyse wordt deze maximaal orthonormale verzameling veel gebruikt, en wel op de
volgende manier. Beschouw de eindig dimensionale deelruimte:
Wn = Span{1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, . . . , cos nx, sin nx}.
Neem een functie f ∈ C([0, 2π], R). Omdat Wn eindig dimensionaal is kunnen we Fn = projWn (f )
bekijken. Omdat de gegeven opspannende vectoren van Wn orthogonaal zijn, geldt:
Fn (x) = projWn (f )(x) = a0 +
n
∑
ak cos(kx) +
k=1
n
∑
bk sin(kx)
k=1
∫ π
1
⟨1, f ⟩
=
f (x)dx,
⟨1, 1⟩
2π −π
∫
1 π
⟨cos(kx), f ⟩
=
f (x) cos(kx)dx, voor k = 1, . . . , n
en: ak =
⟨cos(kx), cos(kx)⟩
π −π
∫ π
⟨sin(kx), f ⟩
1
en: bk =
=
f (x) sin(kx)dx, voor k = 1, . . . , n.
⟨sin(kx), sin(kx)⟩
π −π
De functie Fn wordt wel de nde orde Fourier benadering van f genoemd. Als in het vorige voorbeeld
zal weer gelden:
lim Fn = f wat betekent:
lim ∥Fn − f ∥ = 0
met: a0 =
n→∞
n→∞
(Het zij opgemerkt dat dit NIET hoeft te betekenen dat lim Fn (x) = f (x), voor alle x ∈ [−π, π].)
n→∞
Het is wel gebruikelijk om de Fourierreeks F (x) van de functie f
F (x) = lim Fn (x) = a0 +
n→∞
∞
∑
k=1
ak cos(kx) +
n
∑
bk sin(kx)
k=1
te beschouwen.
Voorbeeld 5.62. De verzameling
1, cos x, cos 2x, . . . , cos nx, . . . . . .
is een maximaal orthogonale verzameling in C([0, π], R) (met standaard inwendig product). Zelfs
in de inwendig product ruimte L2 ([0, π], R) is deze verzameling maximaal orthogonaal. Dit is vrij
makkelijk te bewijzen als de familie uit Voorbeeld 5.61 verondersteld wordt maximaal orthogonaal
te zijn.
Na normeren verkrijgen we de volgende maximaal orthonormale verzameling:
√
√
√
1
2 cos x
2 cos 2x
2 cos nx
√ , √
√
√
,
,...,
,......
π
π
π
π
128
Hoofdstuk 5. Inwendig productruimten
Zoals beschreven in de vorige voorbeelden kan men een gegeven functie f ∈ C([0, π], R) projecteren
op Wn = Span{1, cos x, cos 2x, . . . , cos nx}. De functie Cn = projWn (f ) heet de nde Fourier cosinus
benadering van f en in de ruimte C([0, π], R) geldt weer: lim Cn = f (dus lim ∥Cn − f ∥ = 0).
n→∞
n→∞
Merk op:
∫
n
∑
⟨1, f ⟩
1 π
Cn (x) = a0 +
ak cos(kx) met a0 =
=
f (x)dx
⟨1, 1⟩
π 0
k=1
∫ π
⟨cos(kx), f ⟩
1
en ak =
=
f (x) cos(kx)dx
⟨cos(kx), cos(kx)⟩
2π 0
De reeks C(x) = a0 +
∞
∑
an cos(nx) heet de cosinusreeks van f op het interval [0, π]
n=1
Voorbeeld 5.63. De verzameling
1, sin x, sin 2x, . . . , sin nx, . . . . . .
is een maximaal orthogonale verzameling in C([0, π], R) . Zelfs in de inwendig product ruimte
L2 ([0, π], R) is deze verzameling maximaal orthogonaal. Dit is vrij makkelijk te bewijzen als de
familie uit Voorbeeld 5.61 verondersteld wordt maximaal orthogonaal te zijn.
Na normeren verkrijgen we de maximaal orthonormale verzameling in C([0, π], R):
√
√
√
2 sin x
2 sin 2x
2 sin nx
1
√ , √
√
√
,
,...,
,......
π
π
π
π
Als in het vorige voorbeeld kan de nde Fourier sinus benadering Sn van f ∈ C([0, π], R) geı̈ntroduceerd
worden en de sinusreeks.
Voorbeeld 5.64. De verzameling
1, eix , e−ix , e2ix , e−2ix , . . . , einx , e−inx , . . . . . .
is een maximaal orthogonale verzameling in C([−π, π], C) . Zelfs in de inwendig product ruimte
L2 ([−π, π], C) is deze verzameling maximaal orthogonaal. Dit is vrij makkelijk te bewijzen als de
familie uit Voorbeeld 5.61 verondersteld wordt maximaal orthogonaal te zijn.
Na normeren verkrijgen we de maximaal orthonormale verzameling in C([−π, π], C):
1
eix e−ix e2ix e−2ix
enix e−nix
√ , √ , √ , √ , √ ,..., √ , √ ,......
2π
2π
2π
2π
2π
2π
2π
Als in voorbeeld 5.61 kan de nde exponentiëele benadering van f ∈ C([−π, π], C) geı̈ntroduceerd
worden en de exponentiëele reeks.
Hoofdstuk 6
De geadjungeerde van een lineaire
operator
6.1
De geadjungeerde van een lineaire afbeelding
Op eindig dimensionale ruimten Rn (en Cn ) hebben we aan de ene kant m × n matrices bekeken.
Ook de lineaire afbeeldingen L : Rn → Rm zijn aan bod gekomen. De begrippen zijn aan elkaar
gekoppeld via de standaardmatrix. Er zijn wiskundigen die zeggen: “matrices, daar draait het
om”maar er is ook een groep die zegt: “nee hoor, lineaire afbeeldingen, die moeten centraal staan”.
Merk op dat voor de oneindig dimensionale lineaire algebra er eigenlijk geen keus is. Lineaire
afbeeldingen, daar draait het om. Ook voor het oneindig dimensionale geval willen we alle theorie
die voor de matrices voor hande is op de lineaire afbeeldingen kunnen loslaten.
Veel begrippen zijn zowel voor vierkante matrices als voor operatoren bekeken, zoals: eigenwaarden,
eigenvectoren en diagonaliseren voor operatoren besproken.
Maar andere begrippen, zoals symmetrisch, Hermitisch, orthogonaal, unitair, normaal · · · hebben
we alleen voor matrices, maar in ieder geval in het eindig dimensionale geval zouden die ook voor
de afbeeldingen moeten bestaan.
Er is één operatie die we voor matrices kennen, maar niet voor afbeeldingen. Dat is het (Hermitisch)
transponeren. Een m × n matrix A induceert een afbeelding LA : Cn → Cm (via LA (x) = Ax)
terwijl de n × m matrix A∗ een afbeelding LA∗ : Cm → Cn oplevert (via LA∗ (y) = A∗ y).
Probleem: hoe de afbeelding LA∗ uit de afbeelding LA te herkennen?
Welnu, in college 4 zijn veel eigenschappen uit de volgende eigenschap verkregen. Voor elke tweetal
vectoren x ∈ Cn en y ∈ Cm geldt namelijk
⟨Ax, y⟩ = ⟨x, A∗ y⟩
Dit volgt uit het feit dat het standaard inwendig product op Cn als matrixproduct geschreven kan
worden via ⟨u, v⟩ = uT v = u∗ v. Hieruit en uit de eigenschappen voor Hermitisch transponeren
blijkt dat
⟨Ax, y⟩ = (Ax)∗ y = (x∗ A∗ )y = x∗ (A∗ y) = ⟨x, A∗ y⟩ .
Maar hebben we een relatie tussen LA en LA∗ verkregen: voor elke tweetal vectoren x ∈ Cn en
y ∈ Cm geldt namelijk
⟨LA (x), y⟩ = ⟨x, LA∗ (y)⟩
Dit alles geeft aanleiding tot de volgende definitie.
129
130
Hoofdstuk 6. De geadjungeerde van een lineaire operator
Definitie: Zij L : V → W een lineaire afbeelding tussen de inwendig productruimtes V en
W . Een lineaire afbeelding L∗ : W → V met de eigenschap
⟨L(v), w⟩ = ⟨v, L∗ (w)⟩ voor alle v ∈ V en w ∈ W ,
(6.1)
wordt de (een?) geadjungeerde afbeelding L∗ van L genoemd.
Opmerking: (i) Merk op dat ⟨L(v), w⟩ het inwendig product in W betreft, terwijl ⟨v, L∗ (w)⟩
het inwendig product in V betreft. We noteren dit soms met:
⟨L(v), w⟩W = ⟨v, L∗ (w)⟩V .
(ii) We kunnen inderdaad spreken over de geadjungeerde afbeelding, want als deze bestaat, is hij
uniek. Stel namelijk dat zowel L1 als L2 een geadjungeerde van L is. Neem een vector w ∈ W .
Volgens vergelijking (6.2) moet dan voor alle v uit V gelden:
⟨L(v), w⟩ = ⟨v, L1 (w)⟩ en ⟨L(v), w⟩ = ⟨v, L2 (w)⟩
en daarom zal voor alle v uit V gelden:
⟨v, L1 (w) − L2 (w)⟩ = ⟨v, L1 (w)⟩ − ⟨v, L2 (w)⟩ = ⟨L(v), w⟩ − ⟨L(v), w⟩ = 0.
Dit kan alleen als L1 (w) − L2 (w) = 0 (neem maar v = L1 (w) − L2 (w)) waaruit volgt dat
L1 (w) = L2 (w), en wel voor alle w uit W . Blijkbaar zijn L1 en L2 gelijke afbeeldingen.
(iii) Wat niet duidelijk is of iedere lineaire afbeelding L : V → W ook inderdaad een geadjungeerde
heeft. En inderdaad, dit hoeft niet zo te zijn in het oneindig dimensionale geval. Zelfs niet als
W = V (dus als L een operator is). We zullen hiervan geen voorbeeld geven. In het algemeen
geldt dat “mooi gedefinieerde operatoren een geadjungeerde hebben”.
(iv) Merk op dat de geadjungeerde afbeelding van het inwendig product afhangt. Als op de
inwendig product ruimte V of W het inwendig product veranderd wordt, dan verandert ook de
geadjungeerde afbeelding L∗ van een gegeven lineaire afbeelding L : V → W .
(v) Merk op dat dat de uitdrukking ⟨L(v), w⟩ = ⟨v, L∗ (w)⟩ (voor alle v ∈ V en w ∈ W ) via
de rekenregels van het inwendig product (eerst ⟨L(v), w⟩ = ⟨v, L∗ (w)⟩) geeft dat: ⟨w, L(v)⟩ =
⟨L∗ (w), v⟩, voor alle v ∈ V en w ∈ W .
We zeggen:
L mag door het inwendig product gehaald worden en wordt L∗ .
STELLING 6.1. Stel dat V, W een inwendig product ruimtes zijn. Als L : V → W een
geadjungeerde heeft dan:
1. heeft L∗ : W → V dat ook en (L∗ )∗ = L.
2. heeft cL : V → W dat ook en (cL)∗ = cL∗ .
Bewijs: De lineaire afbeelding L : V → W heeft een geadjungeerde, d.w.z. er is een (unieke)
lineaire afbeelding L∗ : W → V met
⟨L(v), w⟩ = ⟨v, L∗ (w)⟩
voor alle v ∈ V en w ∈ W .
6.1. De geadjungeerde van een lineaire afbeelding
131
1. Beschouw nu L∗ : W → V . Omdat bovenstaande identiteit geeft dat:
⟨L∗ (w), v⟩ = ⟨w, L(v)⟩
voor alle w ∈ W en v ∈ V .
bestaat er kennelijk een afbeelding, namelijk L, die voldoet aan de eis van de geadjungeerde van
L∗ . Dus: L = L∗ ∗ .
2. Omdat ⟨(cL)(v), w⟩ = ⟨c(L(v)), w⟩ = c ⟨L(v), w⟩ = c ⟨v, L∗ (w)⟩ = ⟨v, c(L∗ (w))⟩ = ⟨v, (cL∗ )(w)⟩,
voor alle v ∈ V en w ∈ W , volgt het gestelde.
STELLING 6.2. Stel dat V, W, Z een inwendig product ruimtes zijn.
1. Als de afbeeldingen Li : V → W (i = 1, 2) geadjungeerde hebben, dan heeft de afbeelding
L1 + L2 : V → W dat ook en (L1 + L2 )∗ = (L1 )∗ + (L2 )∗ .
2. Als de afbeeldingen L1 : V → W en L2 : W → Z geadjungeerde hebben, dan heeft de
afbeelding L2 ◦ L1 : V → Z dat ook en (L2 ◦ L1 )∗ = (L1 )∗ ◦ (L2 )∗ .
3. Id : V → V heeft een geadjungeerde en Id∗ = Id.
U mag de bewijzen zelf leveren in de opgaven.
Tenslotte zullen we nog geadjungeerden van structureel simpele afbeeldingen bepalen.
Voorbeeld 6.3. Laat V een rëel inwendig product ruimte zijn. We bekijken lineaire afbeeldingen
L : R → V . Merk op dat R een inwendig product ruimte is met ⟨r, s⟩R = rs.
Fixeer v ∈ V en definieer de afbeelding φv : R → V bekijken gedefiniëerd door: φv (r) = rv. Merk
op dat de afbeelding φv : R → V inderdaad een lineaire afbeelding is. (Ga na!)
We willen de geadjungeerde afbeelding bepalen. Kennelijk heeft deze geadjungeerde afbeelding
φ∗v : V → R de eigenschap:
⟨φv (r), u⟩V = ⟨r, φ∗v (u)⟩R ,
for all r ∈ R, u ∈ V
Hieruit kunnen we de formule van φ∗v (u) halen.
Links lezen we: ⟨φv (r), u⟩ = ⟨rv, u⟩ = r ⟨v, u⟩.
Rechts lezen we: ⟨r, φ∗v (u)⟩R = rφ∗v (u), dus kennelijk geldt:
r ⟨v, u⟩ = rφ∗v (u),
en dus:
for all r ∈ R, u ∈ V
φ∗v (u) = ⟨v, u⟩
Herinner: als q ∈ Rn met ∥q∥ = 1 dan is qqT de projectiematrix van de projectie op Span{q}
d.w.z.
projSpan{q} (x) = qqT (x)
(Dus: qqT is de standaardmatrix van de projectie op Span{q}. Een zelfde soort uitspraak hebben
we nu gekregen in een oneindig dimensionaal inwendig product ruimte!
STELLING 6.4. Laat V een rëel inwendig product ruimte zijn. Als q ∈ V met ∥q∥ = 1 dan
geldt voor W = Span{q} dat:
projW = φq ◦ φ∗q
132
Hoofdstuk 6. De geadjungeerde van een lineaire operator
Bewijs: We kennen de formule voor de projectie op W , omdat {q} een orthonormale basis is voor
W . We concluderen:
(
)
(
)
⟨q, x⟩
⟨q, x⟩
projW (x) =
q=
q = (⟨q, x⟩)q
⟨q, q⟩
∥q∥2
Aan de andere kant: we kunnen φq ◦ φ∗q (x) uitwerken met de formules uit Voorbeeld 14.15. Dit
zijn: φq (r) = rq en φ∗q (x) = ⟨q, x⟩. Dan verkrijgen we:
(φq ◦ φ∗q )(x) = φq (φ∗q (x) = φq (⟨q, x⟩) = (⟨q, x⟩)q = projW (x)
De conclusie volgt.
Tenslotte bepalen we de geadjungeerde van de projectie projW zelf.
STELLING 6.5. Laat V een (rëel of complex) inwendig product ruimte zijn. Als W een
eindig dimensionale deelruimte is en de projectie projW wordt beschouwd als projW : V → V
(dus niet als projW : V → W ), dan geldt:
projW ∗ = projW
Bewijs: Het is voldoende aan te tonen:
⟨projW (x), y⟩ = ⟨x, projW (y)⟩ , voor alle x, y ∈ V.
Om dit in te zien⟨schrijven we: ⟩x = w1 + w1♯ en⟨ y = w2⟩+ w2♯ met wi ∈ W en wi♯ ∈ W ⊥ . We zien:
⟨projW (x), y⟩ = w1 , w2 + w2♯ = ⟨w1 , w2 ⟩ + w1 , w2♯ = ⟨w1 , w2 ⟩.
⟩
⟨
Evenzo: ⟨x, projW (y)⟩ = w1 + w1♯ , w2 = ⟨w1 , w2 ⟩. De conclusie volgt.
6.2
De geadjungeerde van een lineaire operator
De algemene definitie van de geadjungeerde van een afbeelding L : V → W is gepresenteerd. Wij
zijn echter het meest geı̈nteresseerd in de situatie V = W , dus als L : V → V een operator is. We
herhalen de definitie voor dit speciale geval.
Definitie: Stel L : V → V een lineaire operator op de inwendig productruimtes V . Een
lineaire operator L∗ : V → V met de eigenschap
⟨L(v), u⟩ = ⟨v, L∗ (u)⟩ voor alle v, u ∈ V
(6.2)
wordt de geadjungeerde operator L∗ van L genoemd.
Als L : V → V een geadjungeerde operator heeft, dan loopt de geadjungeerde operator L∗ ook
van V naar V . Toch is het soms goed voor het inzicht dat men zich realiseert dat L∗ : V → V de
omgekeerde richting heeft van L : V → V . We geven enkele voorbeelden.
6.2. De geadjungeerde van een lineaire operator
133
Voorbeeld 6.6. In college 14 hebben we gezien dat de geadjungeerde L∗ van de operator L(x) =
Ax op Cn met standaard inwendig product bestaat. Er geldt L∗ (x) = A∗ x. Hierbij is A een
(eventueel complexe) n × n matrix.
De geadjungeerde van de afbeelding L op Rn (met standaard inwendig product) gedefinieerd door
L(x) = Ax is de afbeelding L∗ op Rn met L∗ (x) = AT x.
Voorbeeld 6.7. Bekijk de operator L op Beschouw de vectorruimte C([−1, 1], C) voorzien van
∫1
het standaard inwendig product ⟨f, g⟩ = −1 f (t)g(t) dt. Bekijk de operator L op C([−1, 1], C) die
gedefinieerd wordt door
∫ 1
∫ 1
x−t
x
L(f )(x) =
e f (t) dt = e
e−t f (t) dt.
−1
−1
Dus L voegt aan iedere functie f een veelvoud van de exponentiële functie ex toe. We laten zien
dat de operator L∗ gedefinieerd door
∫ 1
∫ 1
L∗ (f )(x) =
et−x f (t) dt = e−x
et f (t) dt.
−1
−1
de geadjungeerde van L is. Dit doen we door ⟨L(f ), g⟩ en ⟨f, L∗ (g)⟩ te berekenen en vervolgens te
beredeneren dat ze gelijk zijn.
)
∫
∫ ( ∫
1
⟨L(f ), g⟩ =
−1
∫
1
L(f )(x)g(x) dx =
(∫
1
=
e
e−t f (t)
−1
∫
1
=
e−t f (t) dt g(x) dx =
−1
−1
)
1
x
1
ex
−1
e−t f (t) dt
∫
(∫
)∫
1
e−t f (t)
dt g(x) dx =
1
ex g(x) dx =
dt
−1
−1
1
ex g(x) dx.
−1
−1
en
⟨f, L∗ (g)⟩ =
∫
1
f (x)L∗ (g)(x) dx =
−1
1
∫
∫
−1
1
−1
1
et g(t)dt
=
∫
f (x) e−x
(∫
1
)
et g(t)dt dx
−1
e−x f (x) dx
−1
Het is wellicht niet duidelijk dat deze integralen hetzelfde opleveren. Maar als we in de eerste
integraal de variabele x de naam t en de variabele t de naam x geven, dan verschijnt de tweede
intergraal (met omgekeerde integratie volgorde). En dus hebben beide integralen dezelfde waarde.
Dus volgt dat ⟨L(f ), g⟩ = ⟨f, L∗ (g)⟩, hetgeen we wilden aantonen.
In bovenstaand voorbeeld bestaat de geadjungeerde van de gegeven operator. Het zal iedereen
duidelijk zijn dat het (bij dit voorbeeld) verdraaid lastig zal zijn om de geadjungeerde operator
zelf te verzinnen (in het voorbeeld werd de formule van de geadjungeerde gegeven). Met name als
je niet van te voren zou weten of deze wel bestaat. De vraag is natuurlijk: bestaan ze altijd en als
de geadjungeerde bestaat, hoe vind je die dan?
Eindig dimensionaal zal de geadjungeerde altijd bestaan (zie stelling 6.9) en eigenlijk geeft deze
stelling ook een methode hoe de geadjungeerde dan te vinden.
In de opgaven vindt u een voorbeeld van een operator op een oneindig-dimensionale inwendig
productruimte die geen geadjungeerde heeft. Ook bestaat in het oneindig-dimensionale geval geen
standaardprocedure die de geadjungeerde oplevert. Je bent dan aangewezen op de definitie en op
je puzzelend vermogen. We geven een voorbeeld.
134
Hoofdstuk 6. De geadjungeerde van een lineaire operator
Voorbeeld 6.8. Laat V een complex inwendig productruimte zijn. Fixeer a ∈ V . Definieer de
operator L : V → V via
L(x) = ⟨a, x⟩ a
Bepaal een formule voor de geadjungeerde operator L∗ . (U mag zelf nagaan dat de afbeelding
lineair is.) Er moet gelden:
⟨L(x), y⟩ = ⟨x, L∗ (y)⟩
De eerste kunnen we bepalen. ⟨L(x), y⟩ = ⟨⟨a, x⟩ a, y⟩ en kennelijk moeten we dit omschrijven
naar ⟨x, ??⟩, waarbij ?? gelijk is aan L∗ (y). Welnu:
⟨L(x), y⟩ = ⟨⟨a, x⟩ a, y⟩ = ⟨a, x⟩ ⟨a, y⟩ = ⟨x, a⟩ ⟨a, y⟩ = ⟨x, ⟨a, y⟩ a⟩
Kennelijk L∗ (y) = ⟨a, y⟩ a. Opmerkelijk, kennelijk geldt: L en L∗ zijn dezelfde afbeelding!
Dan nu de stelling voor het eindig-dimensionale geval:
STELLING 6.9. De geadjungeerde van een lineaire operator L op een eindig-dimensionale
inwendig productruimte V over L bestaat (en is uniek).
Als voor V een orthonormale basis B gekozen wordt en als A de matrix van L ten opzichte van
deze basis is, dan geldt dat A∗ de matrix van L∗ is ten opzichte van B. Met andere woorden:
∗
[L∗ ] = [L] .
B←B
B←B
mits de basis B orthonormaal is.
Bewijs: Definieer L∗ via coördinatisering ten opzichte van B door [L∗ (x)]B = A∗ [x]B . We zullen
laten zien dat deze operator op V de geadjungeerde van L is. Daarmee is dan aangetoond dat deze
bestaat (uniciteit was al bekend).
Omdat B een orthonormale basis is, hebben we ⟨v, w⟩ = ([v]B )∗ [w]B (zie stelling 5.37). Dus voor
alle x en y uit V geldt dat
⟨L(x), y⟩ = ([L(x)]B )∗ [y]B = (A[x]B )∗ [y]B = ([x]B )∗ (A∗ [y]B ) = ([x]B )∗ [L∗ (y)]B = ⟨x, L∗ (y)⟩
waarmee het gestelde volgt.
Opmerking: Als gewerkt wordt op een reële vectorruimte komt hermitisch transponeren overeen
met transponeren. Dus kan in bovenstaande de “*” overal vervangen worden door “T”. Behalve
dan bij L∗ . Ook in het reële geval wordt de geadjungeerde van een operator L, L∗ genoemd en
dus niet LT .
De stelling zegt niet alleen dat de geadjungeerde van operatoren op eindig-dimensionale vectorruimten altijd bestaat, maar geeft zelfs een methode om de geadjungeerde in die situatie te bepalen.
Deze methode werkt als je een orthonormale basis voor de vectorruimte hebt. In het volgende
voorbeeld laten we zien hoe dat gaat.
R2 met
product en beschouw de operator
Voorbeeld 6.10. Beschouw([
])het [standaardinwendig
]
x1
x2
2
2
L : R → R gegeven door L
=
. We bepalen L∗ : R2 → R2 .
x2
x1
[
]
0 1
Beschouw E = {e1 , e2 }, de standaardbasis. Kennelijk geldt dat [L] =
. Omdat E =
1 0
E←E
6.2. De geadjungeerde van een lineaire operator
135
(
{e1 , e2 } een orthonormale basis is, geldt: [L∗ ] =
E←E
] [
]
[
][
0 1
x1
x2
=
. U ziet: L∗ = L.
1 0
x2
x1
)T
[L]
E←E
[
=
0
1
1
0
]
([
. En dus: L∗
x1
x2
])
=
Voorbeeld 6.11. Voorzie nu R2 van het inwendig product
⟨x, y⟩ [= x1 y]1 + x1 y2 + x2 y1 + 2x2 y2 .
([
])
x
x2
1
Bekijk weer de operator L op R2 gegeven door L
=
. We bepalen opnieuw
x2
x1
∗
2
2
∗
L : R → R (en zullen inzien [dat inderdaad
L afhangt van het i.p.)
]
0
1
Er geldt nog steeds dat [L] =
, maar nu is E geen orthonormale basis. Om de geadjun1 0
E←E
geerde afbeelding te vinden, voeren we de volgende stappen uit:
1. Bepaal een orthonormale basis: via Gram-Schmidt vinden we, vanuit de standaardbasis E, de
orthonormale basis (ga na!):
([ ] [
])
1
−1
B=
,
.
0
1
2. Bepaal ten opzichte van B de matrix van L:
[
]−1 [
][
1
−1
0
1
1
[L] = P [L] P =
0
1
1
0
0
B←E E←EE←B
B←B
−1
1
]
[
=
1
0
1 −1
]
.
3. Bepaal de hermitisch getransponeerde: dat is dan de matrix van L∗ ten opzichte van B. Dus:
[
]
1
1
∗
[L ] =
.
0 −1
B←B
4. Ten opzichte van de standaardbasis is de matrix van L∗ dan
[
][
][
]−1 [
]
1
1
1 −1
1
3
[L∗ ] = P [L∗ ] P = 1 −1
=
.
0
1
0 −1
0
1
0 −1
E←B B←BB←E
E←E
([
]) [
]
x1
x1 + 3x2
∗
Er geldt dus L
=
.
x2
−x2
Er is nog een tweede methode om de geadjungeerde van een operator te bepalen. Deze werkt met
een willekeurige basis en maakt gebruik van de Grammatrix van het inwendig product ten opzichte
van die basis.
STELLING 6.12. Als L een lineaire operator op een eindig-dimensionale inwendig productruimte V over L is en als B een basis is voor V , dan geldt
)∗
(
[L∗ ] = GB [L] GB −1 .
B←B
B←B
Bewijs: We gebruiken Stelling 5.35 om de inwendige producten te berekenen.
)∗
(
)∗
(
∗
∗
[
]
[
]
⟨L(x), y⟩ = [L(x)]B GB [y]B =
L [x]B GB [y]B = ([x]B )
L
GB [y]B
B←B
en
B←B
⟨x, L∗ (y)⟩ = ([x]B )∗ GB [L∗ (y)]B = ([x]B )∗ GB [L∗ ] [y]B .
B←B
136
Hoofdstuk 6. De geadjungeerde van een lineaire operator
(
Omdat deze twee voor elke x en y gelijk zijn, volgt:
[L∗ ] = G−1
B
B←B
(
)∗
[L]
)∗
[L]
B←B
(
GB =
B←B
GB = GB [L∗ ] , zodat
GB [L] GB −1
B←B
)∗
B←B
,
(we gebruiken hier dat de matrix GB Hermitisch is) hetgeen bewezen moest worden.
Voorbeeld 6.13. Als bovenstaande stelling toegepast wordt op de operator en inwendig productruimte uit Voorbeeld 6.11 t.o.v. de standaardbasis E, dan hebben we
[
]
[
]
1 1
0 1
GE =
en M =
,
1 2
1 0
zodat
[L∗ ] =
E←E
(
)∗ ([
1
−1
[
]
GE L GE
=
1
E←E
1
2
][
0 1
1 0
][
2
−1
−1
1
])∗
[
=
1
0
Dit is in overeenstemming met het resultaat van Voorbeeld 6.11.
6.3
3
−1
]
.
Zelfgeadjungeerde (hermitische) operatoren
We zullen in deze paragraaf de klasse van zogenaamde zelfgeadjungeerde operatoren definiëren. Er
zal in deze paragraaf blijken dat bij dit soort operatoren een orthogonale eigenbasis (dat is een dus
een volledig uit eigenvectoren bestaande orthogonale basis) bestaat voor de vectorruimte waarop
de operator werkt, mits deze eindig dimensionale is.
Definitie: Een lineaire operator L op een inwendig productruimte V heet
zelfgeadjungeerd als L gelijk is aan zijn geadjungeerde L∗ , wat wil zeggen dat
⟨L(v), w⟩ = ⟨v, L(w)⟩ , voor alle v en w in V .
Als V een reële vectorruimte is, noemen we zo’n operator ook wel symmetrisch en als V een
complexe vectorruimte zeggen we wel dat de operator hermitisch is.
Voorbeeld 6.14. Uit de inleiding van §6.1 (of Stelling 6.9) volgt dat een matrixtransformaties T : Cn → Cn (met standaard inwendig product) met T (x) = Ax een zelfgeadjungeerde lineaire operator is als en slechts als A een hermitische matrix is.
Evenzo is een matrixtransformatie T : Rn → Rn (met standaard inwendig product) met T (x) = Ax
zelfgeadjungeerd als en slechts als A een symmetrische matrix is.
De volgende stelling, die bij eindig dimensionale inwendige productruimten gebruikt kan worden
om na te gaan of een operator zelfgeadjungeerd is, volgt direct uit stelling 6.9.
STELLING 6.15. Een lineaire operator op een eindig-dimensionale inwendig productruimte
is zelfgeadjungeerd als en slechts als de matrix ten opzichte van een orthonomale basis hermitisch is (in het complexe geval) of symmetrisch (in het reële geval).
6.3. Zelfgeadjungeerde (hermitische) operatoren
137
Herinner hierbij dat symmetrische matrices per definitie reëel zijn.
Nagaan of een operator op een oneindig-dimensionale vectorruimte zelfgeadjungeerd is, zal met de
definitie moeten gebeuren, zie het volgende voorbeeld.
Voorbeeld 6.16. We laten zien dat de lineaire operator D : Pol(R) → Pol(R) uit voorbeeld 3.44,
die gedefinieerd werd door
D(p)(X) = (1 − X 2 )
dp
d2 p
− 2X
= (1 − X 2 )p′′ (X) − 2Xp′ (X),
dX 2
dX
een symmetrische operator is, mits Pol(R) voorzien wordt van het inwendig product
∫ 1
⟨p, q⟩ =
p(x)q(x) dx.
−1
Er geldt namelijk
∫
⟨D(p), q⟩ =
1
D(p)(x)q(x) dx
−1
∫ 1
=
∫
−1
1
(
)
(1 − x2 )p′′ (x) − 2xp′ (x) q(x) dx
)
d (
(1 − x2 )p′ (x) q(x) dx
−1 dx
∫ 1
[
]1
= (1 − x2 )p′ (x)q(x) −1 −
(1 − x2 )p′ (x)q ′ (x) dx
=
∫
=−
−1
1
−1
(1 − x2 )p′ (x)q ′ (x) dx.
Bij het één na laatste =-teken is partieel geı̈ntegreerd. Als in deze uitdrukking p en q omgewisseld
worden verandert er niets!! Dat betekent dat ⟨D(p), q⟩ = ⟨D(q), p⟩. Verder werken we hier met een
inwendig product op een reële vectorruimte zodat ⟨D(q), p⟩ = ⟨p, D(q)⟩. Dus ⟨D(p), q⟩ = ⟨p, D(q)⟩
en daaraan zien je dat D een symmetrische operator is1 .
Eigenwaarden en eigenvectoren van zelf geadjungeerde operatoren
We herinneren ons de stelling dat iedere Hermitische (symmetrische) matrix A reële eigenwaarden
heeft en (unitair) diagonaliseerbaar is, en dat de ruimte Cn (of Rn ) een orthogonale basis van
eigenvectoren van A heeft( zie Stelling 4.33). Dan vertelt Stelling 6.15 ons:
STELLING 6.17. Stel L : V → V is een zelfgeadjungeerde lineaire operator op een eindigdimensionale inwendig productruimte V . Dan zijn alle eigenwaarden van L reëel en V heeft
een orthogonale basis van eigenvectoren van L.
Bewijs: Laat B een orthonormale basis van V zijn en we beschouwen de coördinatisering via deze
basis B. Volgens Stelling 5.37 geldt:
⟨v, u⟩V = ⟨[v]B , [u]B ⟩Cn
Beschouw de matrixtransformatie [L]
B←B
1 De
∗. We weten:
hier geschetste methode wordt in het bij kwantummechanica gebruikte boek toegepast.
138
Hoofdstuk 6. De geadjungeerde van een lineaire operator
1. λ is eigenwaarde van de matrix [L] als en slechts als λ eigenwaarde is van de operator L, en
B←B
2. v is eigenvector van L bij λ als en slechts als [v]B eigenvector is van de matrix [L] bij λ.
B←B
Tenslotte geeft stelling 6.15 dat de matrix [L] Hermitisch is. Dan zijn de eigenwaarden van
B←B
[L] reëel, dus geeft 1. dat die van L dat ook zijn. Tenslotte, een orthogonale basis van Cn van
B←B
eigenvectoren van [L] levert volgens 2. (een basis van V van) eigenvectoren van L op. Volgens ∗
B←B
is dat zelfs een orthogonale basis van V .
We willen soortgelijke resultaten voor het oneindig dimensionale geval. Het bewijs van de volgende
reultaten is hetzelfde als dat Stelling 4.15 in § 4.3.)
STELLING 6.18. Een zelfgeadjungeerde (hermitische, symmetrische) operator L op een
inwendig product ruimte V heeft de volgende eigenschappen:
(i) de eigenwaarden zijn allemaal reëel;
(ii) eigenvectoren bij verschillende eigenwaarden staan loodrecht.
Bewijs: Neem een eigenwaarde λ en een bijbehorende eigenvector v. Dan hebben we:
λ ⟨v, v⟩ = ⟨v, λv⟩ = ⟨v, L(v)⟩ = ⟨L(v), v⟩ = ⟨λv, v⟩ = λ ⟨v, v⟩ .
Omdat een eigenvector per definitie niet nul is, is ⟨v, v⟩ = ∥v∥2 ook ongelijk aan nul. De gevonden
vergelijking kan dus door ⟨v, v⟩ gedeeld worden, zodat overblijft λ = λ. Dat betekent dat λ reëel
is, waarmee de eerste uitspraak bewezen is.
Voor de tweede uitspraak nemen we eigenvectoren v1 bij eigenwaarde λ1 en v2 bij eigenwaarde λ2
met λ1 ̸= λ2 . Dan volgt
λ2 ⟨v1 , v2 ⟩ = ⟨v1 , λ2 v2 ⟩ = ⟨v1 , L(v2 )⟩ = ⟨L(v1 ), v2 ⟩ = ⟨λ1 v1 , v2 ⟩ = λ1 ⟨v1 , v2 ⟩ .
en dus geldt
(λ2 − λ1 ) ⟨v1 , v2 ⟩ = 0.
Omdat λ1 vanwege de eerste uitspraak reëel is, hebben we λ1 = λ1 en omdat λ1 ̸= λ2 volgt dat
(λ2 − λ1 ) ̸= 0. Maar dan ⟨v1 , v2 ⟩ = 0, wat zegt dat v1 en v2 loodrecht op elkaar staan.
Tenslotte, is de eigenschap dat iedere Hermitische (symmetrische) matrix A unitair diagonaliseeerbaar is (equivalent: Cn (of Rn ) heeft een orthonormale basis van eigenvectoren van A) te vertalen
naar de oneindig dimensionale situatie? Het antwoord is ja. Echter, we hebben niet voldoende
kennis ontwikkeld om de volgende stelling te bewijzen.
STELLING 6.19. Stel dat L : V → V een zelfgeadjungeerde (hermitische, symmetrische)
operator op een inwendig product ruimte V is. Dan bestaat er in V een maximaal orthonormale
verzameling bestaande uit eigenvectoren van L.
6.3. Zelfgeadjungeerde (hermitische) operatoren
139
Voorbeeld 6.20. Kijk nog eens naar de operator D uit de voorbeelden 3.44 en 6.16. In het
tweede voorbeeld hebben we gezien dat D een symmetrische operator is. We weten dus dat de
eigenwaarden reëel zijn en dat eigenvectoren bij verschillende eigenwaarden loodrecht op elkaar
staan. In voorbeeld 3.44 hebben we berekend dat de getallen van de vorm −n2 − n voor n =
0, 1, 2, . . . de eigenwaarden van D zijn. Deze zijn inderdaad reëel. Ook hebben we gezien dat het
ne -graads (Legendre–)polynoom Pn de eigenruimte bij eigenwaarde −n2 − n opspant.
Met bovenstaande stelling volgt nu dat de polynomen P0 , P1 , P2 , . . . een oneindige orthogonale
verzameling vormt. Het zijn immers eigenvectoren bij verschillende eigenwaarden van een symmetrische operator.
In college 11 werd beweerd dat we deze Legendre–polynomen ook vinden als het Gram-Schmidt
proces toegepast wordt op 1, X, X 2 , X 3 , . . . . We zullen nu laten zien dat dit (op een factor na)
inderdaad zo is.
Immers: als Gram-Schmidt wordt toegepast op 1, X, X 2 , X 3 , . . . vind je achtereenvolgens polynomen
p0 van graad 0,
p1 ∈ Span{p0 }⊥ = Span{1}⊥ van graad 1,
p2 ∈ Span{p0 , p1 }⊥ = Span{1, X}⊥ van graad 2,
p3 ∈ Span{p0 , p1 , p2 }⊥ = Span{1, X, X 2 }⊥ van graad 3,
enzovoorts.
Er geldt dus dat pn een polynoom is van graad n uit Span{1, X, . . . , X n−1 }⊥ . Kijk nu naar het
polynoom Pn : deze heeft graad n en staat loodrecht op de ruimte opgespannen door P0 , . . . , Pn−1 .
Omdat dit n − 1 onafhankelijke polynomen zijn in het lineair omhulsel van 1, X, X 2 , . . . , X n−1 en
omdat de dimensie hiervan n−1 is, vormen P0 , . . . , Pn−1 een basis voor Span{1, X, X 2 , . . . , X n−1 }.
Blijkbaar is de ruimte opgespannen door P0 , . . . , Pn−1 precies gelijk aan Span{1, X, X 2 , . . . , X n−1 }
en geldt dus dat Pn en pn polynomen van graad n uit Span{1, X, . . . , X n−1 }⊥ zijn. Omdat
dim(Span{1, X, . . . , X n−1 }) = n − 1 vormen de polynomen van graad n die loodrecht op deze
span staan een 1-dimensionale ruimte. Dat betekent dat pn en Pn scalaire veelvouden van elkaar
zijn en dus op een factor na precies hetzelfde zijn.
Beschouw dit als winst: toepassen van Gram-Schmidt betekent relatief veel rekenwerk terwijl
het produceren van de eigenvectoren (en dus van de Legendre polynomen) met de methode van
voorbeeld 3.44 veel makkelijker gaat. Tenslotte merken we op dat uit stelling 6.19 volgt dat
de verzameling Legendre-polynomen {p0 , p1 , . . . , pn , . . .} een maximale orthogonale verzameling in
Pol(R) is.
Toepassing in de kwantummechanica
De zelfgeadjungeerde operatoren spelen een grote rol in de kwantummechanica. De meetbare grootheden (positie, impuls, energie van een deeltje) worden namelijk door zelfgeadjungeerde operatoren
beschreven. De eigenwaarden van deze operatoren zijn de waarden die deze meetbare grootheden
kunnen aannemen (bij energie zijn het de energieniveaus). Deze operatoren zijn dus van groot belang in de fysica en een voorname reden om zo ver te gaan met lineaire algebra. In voorbeeld 6.21
gaan we hier iets verder op in (dit voorbeeld is niet van belang voor het vak, maar slechts bedoeld
om een link te leggen tussen lineaire algebra en kwantummechanica).
Voorbeeld 6.21. We kunnen er niet aan ontkomen om één van de belangrijkste toepassingen
van de theorie van hermitische operatoren aan te stippen, namelijk de kwantummechanica. In
de kwantummechanica worden toestanden van een deeltje aangegeven door functies die genoteerd
worden als Ψ(x). Hierbij is x de plaats (dus element van Rn ) en Ψ(x) een element van Cn . Met
zo’n toestandsfunctie kan de kans om een deeltje binnen een bepaald volume V aan te treffen
berekend worden. Deze kans is gelijk aan
∫
∫
∥Ψ(x)∥2 dx =
Ψ(x)Ψ(x) dx.
V
V
140
Hoofdstuk 6. De geadjungeerde van een lineaire operator
De kans om het deeltje ergens in de hele ruimte aan te treffen is natuurlijk 1. De vectorruimte
U opgespannen door alle toestandsfuncties is een hermitisch-productruimte als we het inwendig
product definiëren door2
∫
⟨f, g⟩ =
f (x)g(x) dx.
R3
De toestandsfuncties zijn dan genormeerde vectoren uit U .
Alle te meten waarden van grootheden als impuls en plaats blijken eigenwaarden te zijn van lineaire
operatoren die werken op de toestandsfuncties. Als Ψ(x1 , x2 , x3 ) = (ψ1 , ψ2 , ψ3 ) dan wordt de
lineaire operator p̂ : U → U die de impuls “representeert” gedefinieerd door


p̂(Ψ) = −i 

dψ1
dx1
dψ2
dx2
dψ3
dx3




(kort genoteerd: p̂ = −i∇ = (−i dxd 1 , −i dxd 2 , −i dxd 3 )) en de operator x̂ : U → U die de plaats
“representeert” gedefinieerd door
x̂(Ψ) = (x1 ψ1 , x2 ψ2 , x3 ψ3 )
(kort genoteerd: x̂ = (x1 , x2 , x3 )).
Dit alles is zo geconstrueerd dat de verwachtingswaarde van de impuls in een toestand Ψ gelijk is
aan ⟨Ψ, p̂(Ψ)⟩ en die van de plaats aan ⟨Ψ, x̂(Ψ)⟩. Als Ψ een eigenvector is (van p̂ respectievelijk
x̂) is deze verwachtingswaarde precies de eigenwaarde.
Bij kwantummechanica zal (met stellingen uit de lineaire algebra) blijken dat de eerder genoemde
operatoren zelfgeadjungeerd zijn en dus reële eigenwaarden hebben, hetgeen te verwachten is omdat
verwachtingen ook reëel zijn. Ook bestaat er (zoals we in §6.7 zullen zien) bij de operatoren een
basis voor U die volledig uit eigenvectoren bestaat. Het gevolg daarvan is dat elke toestand een
lineaire combinatie is van eigenvectoren en de verwachtingswaarden dezelfde combinatie, maar dan
van de bijbehorende eigenwaarden.
Om deze reden wordt in de kwantummechanica van alle meetbare grootheden (=operatoren) geëist
dat ze hermitisch zijn.
6.4
Hilbertruimten
De vertaling van de eindigdimensionale resultaten naar het oneindig dimensionale geval is vrij
succesvol. Om deze nog verder te verbeteren moeten we ook inzien wat er fout kan gaan. Waar we
ons in het eindig dimensionale geval nooit zorgen hoefde te maken was continuı̈teit van afbeeldingen.
Een lineaire afbeelding L : Rn → Rm is gewoon continu. Tuusen oneindig dimensionale ruimtes is
dat echter niet het geval. Maar waarschijnlijk zien we op dit moment nog helemaal niet in wat dat
zal betekenen.
Omdat we op een inwendig product ruimte V een afstandsbegrip hebben via d(u, v) = ∥u − v∥,
kunnen we op een V het begrip:“limiet van een rij” introduceren.
2 Het product wordt ook vaak geschreven als ⟨f |g⟩ en een verwachtingswaarde van p als ⟨Ψ|p|Ψ⟩. De (toestands)functies worden vaak geschreven als |Ψ⟩ en deze worden kets genoemd. De complex geconjugeerde (toestands)functies worden dan geschreven als ⟨Ψ| en worden bra’s genoemd. Aan elkaar geplakt geven de bra ⟨f | en de ket
|g⟩ het product ⟨f |g⟩, net als de woorden aan elkaar geplakt het woord bra(c)ket opleveren.
6.4. Hilbertruimten
141
Definitie: Laat V een inwendig product ruimte zijn en stel dat {vn }n∈N een rij van vectoren
in V is. We zeggen dat deze rij in V convergent is (met limiet ℓ ∈ V ), als geldt: voor iedere
ε > 0 bestaat een n0 ∈ N met de eigenschap: d(vn , ℓ) < ε, voor iedere n > n0 .
We schrijven weer: lim vn = ℓ. Men kan weer aantonen dat als een rij een limiet heeft, dan
n→∞
is die limiet uniek bepaald. (Merk op dat dit precies de definitie van limiet is die we kennen in
R.) Omdat het afstandsbegrip in V gekoppeld is aan de norm op V , heet de rij {vn } ook wel:
“convergent in de norm”.
We zijn dit al eerder tegengekomen op C([−π, π], R). Aan een continue functie f : [−π, π] → R
kunnen we de Fourier rij {Fn }n≥1 in C([−π, π], R) toevoegen.
n
∑
(Herinner: Fn (x) = a0 +
(ak cos(kx) + bk sin(kx)).) In de ruimte V = C([−π, π], R) zal gelden:
k=1
lim Fn = f
n→∞
Nu we het limiet begrip hebben kunnen we continuı̈teit definiëren.
Definitie: Laat L : V → W een lineaire afbeelding zijn tussen de inwendig product ruimtes
V en W . De afbeelding L heet continu als voor iedere rij {vn } in V met lim vn = ℓ geldt:
n→∞
lim L(vn ) = L(ℓ).
n→∞
De continue lineaire afbeeldingen blijken de belangrijke lineaire afbeeldingen te zijn. Projecties ijn
altijd continu. Men kan aantonen:
STELLING 6.22. Laat L : V → W een continue lineaire afbeelding zijn tussen de inwendig
product ruimtes V en W . De afbeelding L heeft een geadjungeerde afbeelding L∗ : W → V .
Vervolgens zal men ook kritischer zijn op de te bestuderen inwendig productruimtes. Daarom:
Definitie: Laat V een inwendig product ruimte zijn en stel dat {vn }n∈N een rij van vectoren
in V is. We zeggen dat deze rij een Cauchyrij is als geldt: voor iedere ε > 0 bestaat een n0 ∈ N
met de eigenschap: d(vn , vm ) < ε, voor alle n, m > n0 .
Intuı̈tief: een rij is een Cauchyrij als de termen op den duur willekeurig dicht bij elkaar komen. In
het bijzonder zal gelden dat convergente rijen Cauchyrijen zijn.
142
Hoofdstuk 6. De geadjungeerde van een lineaire operator
Men kan aantonen dat in sommige ruimten ook het tegenovergestelde geldt:
STELLING 6.23. Een Cauchyrij in R zal convergent zijn. Dit geldt ook in Rn en Cn .
Inwendig productruimtes met deze eigenschap worden volledig genoemd en blijken de interessante
ruimtes te zijn.
Definitie: Een Hilbertruimte V is een inwendig productruimte met de eigenschap dat iedere
Cauchyrij convergent is.
Welke ruimtes te we zijn tegengekomen zijn Hilbertruimtes? Niet al te veel!
STELLING 6.24. Eindig dimensionale inwendigproduct ruimtes zijn Hilbertruimtes. Van de
oneindig domensionale ruimtes die we zijn tegengekomen zijn alleen ℓ2 (R), ℓ2 (C), L2 ([a, b], R)
en L2 ([a, b], C) Hilbertruimtes.
6.5
De spectraalstelling voor zelfgeadjungeerde operatoren
Herriner de spectraalstelling voor Hermitische matrices, en wel vorm 1 van deze stelling.
STELLING 6.25. (Spectraalstelling, vorm 1) Laat A een hermitische n×n matrix zijn. Laat
B = {q1 , . . . , qn } een orthonormale basis zijn van Cn bestaande uit eigenvectoren van A, zeg
Aqi = λi qi met λi ∈ R (i = 1, . . . , n). Dan geldt:
A=
n
∑
i=1
λi qi qi ∗ =
n
∑
λi [projSpan{qi } ]
i=1
De Hermitische matrix is een lineaire combinatie van projectiematrices qi qi ∗ = [projSpan{qi } ] van
projecties op onderling loodrechte Span{qi } ⊂ Eλi met gewichten: de (reële) eigenwaarden.
En nu de zelfgeadjungeerde operatoren L : V → V . We weten uit stelling 6.19 dat V een maximaal
orthonormale familie eigenvectoren heeft. In stelling 6.4 hebben we geleerd de projectie op de 1
dimensionale deelruimte W = Span{q} (met ∥q∥ = 1) te beschrijven als projW = φq ◦ φ∗q .
En ja, de stelling is nog steeds waar in het oneindig dimensionale geval. Echter, er zijn wat
restricyies nodig (die in het eindig dimensionale geval geen extra eisen zijn). De operatoren moeten continu zijn en de onderliggende inwendig product ruimte moet een Hilbertrumte zijn. Voor
bewijzen verwijzen we naar de literatuur.
6.6. Unitaire en orthogonale operatoren
143
STELLING 6.26. (Spectraalstelling, vorm 1) Stel dat L : V → V een continue zelfgeadjungeerde operator is op een Hilbertruimten V . Laat {qi |i ∈ I} een maximaal orthonormale
verzameling in V zijn, bestaande uit eigenvectoren van L, zeg L(qi ) = λi qi met λi ∈ R (i ∈ I).
Dan geldt:
∑
∑
L=
λi (φqi ◦ φ∗qi ) =
λi projSpan{qi }
i∈I
i∈I
De zelfgeadjungeerde operator is een oneindige som van van projecties op onderling loodrechte
Span{qi } ⊂ Eλi met gewichten: de (reële) eigenwaarden.
Merk op dat er, afgezien van de afwezigheid van het bewijs, nog een probleem aan deze stelling
kleeft. Er wordt gesproken over een oneindige som van operatoren en eigenlijk weten we op dit
moment niet wat daarmee bedoelt wordt (omdat geen afstandsbegrip op de vectorruimte van alle
operatoren van V naar V geintroduceerd is).
We weten dat een nadeel van vorm 1 van de spectraalstelling is dat deze decompositie i.h.a. niet
uniek is. Daarvoor hadden we vorm 2. Herriner voor Hermitische matrices:
STELLING 6.27. (Spectraalstelling, vorm 2) Laat A een hermitische n × n matrix zijn, zeg
met (reëele) eigenwaarden λ1 , . . . , λk en eigenruimten Eλi (i = 1, . . . , k). Dan geldt:
A=
k
∑
λi [projEλ ]
i
i=1
Voor operatoren luidt vorm 2 als volgt.
STELLING 6.28. (Spectraalstelling, vorm 2) Stel dat L : V → V een continue zelfgeadjungeerde operator is op een Hilbertruimte V . Zeg met eigenwaarden {λi : i ∈ I}. Dan geldt:
∑
L=
λi projEλ
i
i∈I
Tenslotte merken we op dat ook hier een probleem is. Natuurlijk, afwezigheid van het bewijs en
aanwezigheid van een oneindige sommatie. Maar hier staat ook de projectie op de deelruimte Eλ .
Die bestaat kennelijk, ook als Eλ oneindig dimensionaal is. Met onze opgebouwde kennis kunnen
wij op dit moment niet inzien waarom die projectie zou bestaan. Daarvoor moet je de literatuur
inzien.
6.6
Unitaire en orthogonale operatoren
We behandelen nu een tweede type operator waarvoor ook geldt dat eigenvectoren bij verschillende
eigenwaarden loodrecht staan. Dit wordt de vertaling van het begrip unitaire matrix (of orthogonale
matrix, in het reële geval) naar de operatoren toe. Stelling 3.4 en de laatste stelling van college 8
144
Hoofdstuk 6. De geadjungeerde van een lineaire operator
kunnen ons op het idee brengen van de volgende definitie.
Definitie: Een lineaire operator L op een inwendig of productruimte V is een unitaire operator (als V een complexe vectorruimte is) of orthogonale operator (als V een reële vectorruimte
is) als
⟨L(v), L(w)⟩ = ⟨v, w⟩ voor alle v en w in V .
Voordat we voorbeelden van unitaire/orthogonale operatoren geven, zullen we een stelling bewijzen die lijkt op Stelling 4.17 voor unitaire matrices. Merk op dat het bewijs hetzelfde is als in
Stelling 4.17
STELLING 6.29. Een unitaire of orthogonale operator L op een inwendig product ruimte
V heeft de volgende eigenschappen:
(i) de eigenwaarden hebben allemaal modulus 1 (dus als λ een eigenwaarde is, dan |λ| = 1);
(ii) eigenvectoren bij verschillende eigenwaarden staan loodrecht.
Bewijs: Neem een eigenwaarde λ en een bijbehorende eigenvector v. Er geldt dan
⟨v, v⟩ = ⟨L(v), L(v)⟩ = ⟨λv, λv⟩ = λλ ⟨v, v⟩ = |λ|2 ⟨v, v⟩
Omdat een eigenvector per definitie niet nul is, is ⟨v, v⟩ = ∥v∥2 ook ongelijk aan nul. De gevonden
vergelijking kan dus door ⟨v, v⟩ gedeeld worden, zodat overblijft |λ|2 = 1 en dus |λ| = 1. Hiermee
is de eerste uitspraak bewezen.
Voor de tweede uitspraak nemen we eigenvectoren v1 bij eigenwaarde λ1 en v2 bij eigenwaarde λ2
met λ1 ̸= λ2 . Merk op dat λ1 λ1 = |λ1 |2 = 1 en dus λ1 = 1/λ1 . Er volgt
⟨v1 , v2 ⟩ = ⟨L(v1 ), L(v2 )⟩ = ⟨λ1 v1 , λ2 v2 ⟩ = λ1 λ2 ⟨v1 , v2 ⟩ =
λ2
⟨v1 , v2 ⟩
λ1
en dus
(1 −
Omdat λ1 ̸= λ2 volgt dat (1 −
op elkaar staan.
λ2
λ1 )
λ2
) ⟨v1 , v2 ⟩ = 0.
λ1
̸= 0. Maar dan ⟨v1 , v2 ⟩ = 0, wat zegt dat v1 en v2 loodrecht
Merk op dat uit de definitie volgt een een unitaire operator L : V → V injectief is. Inderdaad, als
L(v) = 0, dan geeft de identiteit 0 = ⟨0, 0⟩ = ⟨L(v), L(v)⟩ = ⟨v, v⟩ dat ∥v∥ = 0 en dus v = 0.
We hebben aangetoond dat Ker(L) = {0}, d.w.z. L is injectief. Als V eindig dimensionaal is, zal
een unitaire operator L : V → V injectief zijn en dus ook surjectief en dus inverteerbaar. Oneindig
dimensionaal hoeft dat niet.
Voorbeeld 6.30. De shift Σ2 : ℓ2 (R) → ℓ2 (R) met
Σ2 (x1 , . . . , xn , . . .) = (0, x1 , . . . , xn , . . .)
6.6. Unitaire en orthogonale operatoren
145
is orthogonaal (ga na), maar niet surjectief (ga na) dus niet inverteerbaar. Evenzo, de shift
Σ2 : ℓ2 (C) → ℓ2 (C) is unitair, maar niet inverteerbaar. Omdat deze shift niet inverteerbaar is, kan
dus ook niet gelden: L∗ = L−1 !
Wel geldt het volgende:
STELLING 6.31. Laat L : V → V een operator zijn. Equivalent zijn:
1. L : V → V is een surjectieve unitaire operator.
2. L heeft een geadjungeerde en er geldt: L∗ = L−1
Bewijs: Stel dat L : V → V is een surjectieve unitaire operator. Omdat L ook injectief is, en
surjectief, zal L zeker inverteerbaar zijn. Als we in de identiteit
⟨L(v), L(w)⟩ = ⟨v, w⟩ , voor alle v, w
de variable L(v) even p noemen, dan kan p iedere waarde in V aannemen, want L is surjectief, en
er geldt: v = L−1 (p). De identiteit leest dus als:
⟨
⟩
⟨p, L(w)⟩ = L−1 (p), w , voor alle p, w ∈ V
Dit was de L∗ definieërende karakteristieke eigenschap uit § 6.1 en dus: L∗ = L−1 .
Omgekeerd, stel dat L∗ = L−1 . Dan is L inverteerbaar en dus surjectief. Als we in de eigenschap:
⟨v, L(w)⟩ = ⟨L∗ (v), w⟩ , voor alle v, w ∈ V
van L∗ , voor L∗ L−1 lezen, krijgen we:
⟨
⟩
⟨v, L(w)⟩ = L−1 (v), w , voor alle v, w ∈ V.
Lezen we nu voor L−1 (v), zeg z, dan kan ook z iedere waarde in V aannemen (want ook L−1 is
surjectief) dan v = L(z) en we lezen:
⟨L(z), L(w)⟩ = ⟨z, w⟩ , voor alle z, w ∈ V.
Hier staat dat L unitair is.
Unitaire en orthogonale afbeeldingen hebben allerlei eigenschappen. Zo geldt bijvoorbeeld dat ze
lengtebewarend zijn (en orthogonale afbeeldingen ook nog hoekbewarend (zie de opgaven). Dat
wil zeggen dat het beeld van een vector dezelfde lengte heeft als de oorspronkelijke vector (en
dat de hoek tussen twee beelden hetzelfde is als de hoek tussen de oorspronkelijke vectoren). In
feite is dat niet zo verrassend: lengtes en hoeken hebben met inwendig producten te maken en
unitaire (orthogonale) afbeeldingen zijn per definitie “inwendig-product-bewarend”. Genoemde
eigenschappen verklaren ook de naamgeving voor deze afbeeldingen: “orthogonale afbeelding”
omdat twee onderling loodrechte vectoren door een orthogonale afbeelding weer worden afgebeeld
op onderling loodrechte vectoren en “unitair” omdat eenheidsvectoren weer op eenheidsvectoren
worden afgebeeld.
De volgende stelling laat zien dat zelfs geldt dat elke lengtebewarende operator unitair (orthogonaal) is.
146
Hoofdstuk 6. De geadjungeerde van een lineaire operator
STELLING 6.32. Voor een lineaire operator L op een inwendig productruimte V zijn de
volgende voorwaarden equivalent.
(i) L is unitair;
(ii) ∥L(v)∥ = ∥v∥ voor alle v in V ;
(iii) L beeldt eenheidsvectoren af op eenheidsvectoren.
Bewijs: De bewijzen van “(i)⇒(ii)” en van “(ii)⇒(iii)” mag je zelf geven (zie opgave ??). We
bewijzen nu eerst dat “(iii)⇒(ii)”. Neem daartoe een vector v uit V . Als v ̸= 0 kunnen we de
1
eenheidsvector v̂ = ∥v∥
v maken, waarvoor op grond van (iii) geldt dat ∥L(v̂)∥ = 1. Omdat L
lineair is volgt
1
L(v̂) =
L(v),
∥v∥
dus ∥L(v)∥ = ∥v∥. Natuurlijk geldt (ii) ook als v = 0: omdat L lineair is weten we dat L(0) = 0
en dus ook ∥L(0)∥ = ∥0∥
Nu het lastigste deel van het bewijs: (ii)⇒(i). We bewijzen het voor de situatie dat V een complexe
vectorruimte is. Neem v en w uit V . Uit (ii) volgt dat ∥L(v + w)∥2 = ∥v + w∥2 . Dit uitwerken
met behulp van inwendig producten levert
∥L(v)∥2 + ∥L(w)∥2 + 2Re ⟨L(v), L(w)⟩ = ∥v∥2 + ∥w∥2 + 2Re ⟨v, w⟩ .
Omdat, wederom op grond van (ii), ∥L(v)∥ = ∥v∥ en ∥L(w)∥ = ∥w∥, volgt hieruit
Re ⟨L(v), L(w)⟩ = Re ⟨v, w⟩ .
Nu moet nog aangetoond worden dat ook Im ⟨L(v), L(w)⟩ = Im ⟨v, w⟩. Dat gaat op dezelfde
manier door in plaats van w de vector iw in te vullen. Je vindt dan namelijk
Re ⟨L(v), L(iw)⟩ = Re ⟨v, iw⟩
dus
Re(i ⟨L(v), L(w)⟩) = Re(i ⟨v, w⟩).
Gebruik nu dat voor complexe getallen z geldt dat Re(iz) = − Im(z).
Voorbeeld 6.33. Neem een functie h in C([0, 2π], C) (met standaard inwendig product) die de
eigenschap heeft dat |h(x)| = 1 voor alle x ∈ [0, 2π] en definieer de operator L op C([0, 2π], C)
door L(f ) = hf (dus L(f )(x) = h(x)f (x)). Dan geldt
∫
2π
∥L(f )∥2 = ⟨L(f ), L(f )⟩ =
h(x)f (x)h(x)f (x) dx
0
∫
2π
=
h(x)h(x)f (x)f (x) dx
∫
0
2π
|h(x)|2 f (x)f (x) dx
=
∫
0
2π
f (x)f (x) dx = ∥f ∥2 .
=
0
De operator is blijkbaar lengtebewarend en dus unitair.
6.7. Normale operatoren en de spectraalstelling
147
GEVOLG 6.34. De samenstelling van twee unitaire (orthogonale) operatoren is weer unitair
(orthogonaal). (Dit geldt niet voor zelfgeadjungeerde operatoren.)
Bewijs: Dit is direct duidelijk als we het derde criterium van stelling 6.32 bekijken: als v een
eenheidsvector is, is L2 (v) ook een eenheidsvector en L1 (L2 (v)) dus ook. De samenstelling L1 ◦ L2
is dus lengtebewarend en daarom unitair. Dat dit niet geldt voor zelfgeadjungeerde operatoren
blijkt onder andere uit het feit dat het product van symmetrische matrices niet weer symmetrisch
hoeft te zijn.
Uit de definitie volgt nog een karakterisering die straks handig blijkt te zijn:
We hebben nog niet gekeken naar matrixrepresentaties van unitaire (orthogonale) operatoren in
de situatie dat ze werken op eindig-dimensionale inwendig productruimten. Dat gaan we nu doen.
Wel is het dan handig om ten opzichte van een orthonormale basis te werken.
STELLING 6.35. Stel dat V een eindig-dimensionale inwendig productruimte is met orthonormale basis B en laat L : V → V een operator zijn. Dan geldt: de operator L : V → V is
een unitaire (orthogonale) operator als en slechts als de transformatiematrix [L] ten opzichte
B←B
van de orthonormale basis B een unitaire (orthogonale) matrix.
6.7
Normale operatoren en de spectraalstelling
In deze paragraaf gaan we het begrip normale matrix op operator niveau bekijken. en we gaan het
begrip normale operator introduceren.
Definitie: Een lineaire operator L op een inwendig productruimte V is normaal als L en
L∗ commuteren, dus als
L ◦ L∗ = L∗ ◦ L.
Voorbeeld 6.36. Alle zelfgeadjungeerde operatoren en alle surjectieve unitaire (en orthogonale)
operatoren zijn normaal.
Een niet surjectieve unitaire operator hoeft niet normaal te zijn.
Voorbeeld 6.37. De shift Σ2 : ℓ2 (C) → ℓ2 (C) met
Σ2 (x1 , . . . , xn , . . .) = (0, x1 , . . . , xn , . . .)
is unitair maar niet surjectief. We weten ook dat Σ2 ∗ = Σ1 (met Σ1 (x1 , . . . , xn , . . .) = (x2 , . . . , xn , . . .).
Maar dan geldt: Σ2 ∗ ◦ Σ2 = Σ1 ◦ Σ2 = Id ̸= Σ2 ◦ Σ1 = Σ2 ◦ Σ2 ∗ .
De volgende stelling geeft het verband tussen normale operatoren op een eindig dimensionale ruimte
en normale matrices:
148
Hoofdstuk 6. De geadjungeerde van een lineaire operator
STELLING 6.38. Een operator LV → V op een eindig-dimensionale complexe inwen- dig
productruimte V is normaal als en slechts als de transformatiematrix [L] van L ten opzichte
B←B
van een orthonormale basis B een normale matrix is.
Bewijs: Dit volgt direct uit het feit dat A∗ de matrix van L∗ is ten opzichte van de basis (het is
namelijk een orthonormale basis) en het feit dat de matrix van de samenstelling van twee lineaire
afbeeldingen ten opzichte van de basis het product van de matrices is.
We weten:
STELLING 6.39. Een vierkante (eventueel complexe) matrix A is normaal als en slechts als
in Cn een orthonormale basis van eigenvectoren van A bestaat. Dat wil zeggen, als en slechts
als er een unitaire matrix U en een diagonaalmatrix D bestaan zo dat A = U DU −1 = U DU ∗ .
In operatortaal wordt dat:
STELLING 6.40 (De spectraalstelling, eenvoudige formulering). Een lineaire operator L :
V → V op een eindig-dimensionale complexe inwendig productruimte V is een normale operator als en slechts als in V een orthonormale basis van eigenvectoren van L bestaat.
Tenslotte de spectraalstellingen. Eerst vorm 1.
STELLING 6.41. (Spectraalstelling, vorm 1) Stel dat L : V → V een continue normale
operator is op een Hilbertruimten V . Dan bestaat een maximaal orthonormale verzameling
{qi |i ∈ I} in V zijn, bestaande uit eigenvectoren van L, zeg L(qi ) = λi qi met λi ∈ C (i ∈ I).
Dan geldt:
∑
∑
L=
λi (φqi ◦ φ∗qi ) =
λi projSpan{qi }
i∈I
i∈I
Merk op dat stelling 6.26 een onderdeel van stelling 6.41 is. Echter bij stelling 6.26 is er sprake
van reele eigenwaarden. Bij stelling 6.41 kunnen de eigenwaarden complex zijn.
We weten dat een nadeel van vorm 1 van de spectraalstelling is dat deze decompositie i.h.a. niet
uniek is. Daarvoor hadden we vorm 2.
Voor operatoren luidt vorm 2 als volgt.
6.7. Normale operatoren en de spectraalstelling
149
STELLING 6.42. (Spectraalstelling, vorm 2) Stel dat L : V → V een continue normale
operator is op een Hilbertruimte V . Zeg met eigenwaarden {λi : i ∈ I}. Dan geldt:
∑
L=
λi projEλ
i
i∈I
Toegift 1: Een voorbeeld van een
unitaire matrix, de discrete
Fourrier transformatie
De discrete Fourrier transformatie (de DFT) is een lineaire afbeelding F : CN → CN . Deze voert
een rij complexe getallen (z0 , z1 , · · · , zN −1 ) ter lengte N om in een rij (Z0 , Z1 , · · · , ZN −1 ) van
complexe getallen ter lengte N , via de formule:
Zk =
N
−1
∑
zn e−
2πi
N kn
k = 0, 1, · · · , N − 1
,
n=0
Dit is niet de enige formule die men tegenkomt in de literatuur, ook de formules:
Zk =
en
N −1
2πi
1 ∑
zn e− N kn ,
N n=0
N −1
2πi
1 ∑
Zk = √
zn e− N kn ,
N n=0
k = 0, 1, · · · , N − 1
k = 0, 1, · · · , N − 1
zijn gebruikelijke “DFT’s”. Wij kiezen voor de laatste formule omdat dit wiskundig gezien de
mooiste is. Ook zullen we trouw blijven aan de lineaire algebra notatie, de vector wordt vertikaal
geschreven engenummerd
van 1 tot 
N (i.p.v.

 0 tot N − 1).
z1
Z1
N
 z2 
 Z2 
2πi
1 ∑




Dus als z =  . , dan F (z) = 
= Z met Zk = √
zn e− N (k−1)(n−1) ,
k =

.
.
.
 . 

N n=1
. 
zN
ZN
1, 2, · · · , N .
2πi
2πi
Als we schrijven ζ = e− N (en omdat ζ k = e− N k (en ζ 0 = 1)) verkrijgen we zo:




z1 +
z2
+
z3
+ ··· +
zN
Z1
 z1 +
 Z2 
z2 ζ
+
z3 ζ 2
+ ··· +
zN ζ N −1 



2
4
1 
 z1 +
 Z3 
z2 ζ
+
z3 ζ
+ · · · + zN ζ 2(N −1) 
F (z) = Z = 
=
= √ 


.
..
..
..
.. 
N
 .. +


.
+
.
+ ··· +
.
. 
ZN


1 

=√ 
N

1
1
1
..
.
z1
+ z2 ζ N −1
1
ζ
ζ2
..
.
1
ζ2
ζ4
..
.
1 ζ N −1
ζ 2(N −1)
+ z3 ζ 2(N −1) +

···
1
z1
 z2
···
ζ N −1 


· · · ζ 2(N −1) 
  z3
  ..
..
 .
···
.
···
151
ζ (N −1)
2
zN
···

+



 = Uz


zN ζ (N −1)
2
152
Toegift 1: Een voorbeeld van een unitaire matrix, de discrete Fourrier transformatie
We hebben laten zien dat de discrete Fourrier transformatie inderdaad een lineaire transformatie is
met standaardmatrix bovenstaande matrix U . Om te laten zien dat U = [ u1 · · · , uN ] een unitaire
matrix is volstaat het om te laten zien dat de verzameling {u1 · · · , uN } orthonormaal is. Merk op
dat
2πi
1
Ui,j = √ e− N (i−1)(j−1)
N
Daarom
⟨uℓ , uk ⟩ =
N
N
1 ∑ + 2πi (ℓ−1)(j−1) − 2πi (k−1)(j−1)
1 ∑ − 2πi (ℓ−1)(j−1) − 2πi (k−1)(j−1)
e N
e N
=
e N
=
e N
N j=1
N j=1
N
N
1 ∑ ( − 2πi (k−ℓ) )(j−1)
1 ∑ − 2πi (k−ℓ)(j−1)
=
e N
e N
N j=1
N j=1
Hier staat de som van een meetkundige reeks en omdat 1 + a + · · · + aN −1 =
⟨uℓ , uk ⟩ =
1 − aN
volgt:
1−a
2πi
N
1 ∑ ( − 2πi (k−ℓ) )(j−1)
1−1
1 1 − (e− N (k−ℓ) )N
1 1 − e−2πi(k−ℓ)
1
e N
=
=
=
=0
2πi
2πi
−
−
(k−ℓ)
(k−ℓ)
N j=1
N 1−e N
N 1−e N
N 1 − e− 2πi
N (k−ℓ)
Dus inderdaad, uℓ ⊥uk , als k ̸= ℓ. Vervolgens:
∥uℓ ∥2 = ⟨uℓ , uℓ ⟩ =
N
N
N
1 ∑ − 2πi (ℓ−1)(j−1) − 2πi (ℓ−1)(j−1)
1 ∑ + 2πi (ℓ−1)(j−1) − 2πi (k−1)(j−1)
1 ∑
e N
e N
=
e N
e N
=
1=1
N j=1
N j=1
N j=1
Dus inderdaad, ∥uℓ ∥ = 1, voor ℓ = 1 · · · N . We hebben aangetoond dat {u1 , . . . , uN } een orthonormale verzameling in CN is en we concluderen dat U een unitaire matrix is.
Opmerking:
{u1 , . . . , uN } is een veel gebruikte orthonormale basis voor CN .
Nu is de inverse operator ook te bepalen. Merk op dat U T = U en we zien dat voor de unitaire U
geldt: U −1 = U ∗ = U .
Omdat Z = F (z) = U z volgt: z = U −1 Z = U Z, m.a.w.:
N
2πi
1 ∑
zk = √
Zn e+ N kn ,
N n=1
Opmerking:
k = 1, · · · , N
Als de DFT formule
Zk =
N
∑
zn e−
2πi
N kn
,
k = 1, · · · , N
n=1
gebruikt wordt, dan ziet de inverse formules er als volgt uit. Kennelijk geldt nu: Z = Bz met
√
√
1
1
B = N U . Daarom B −1 = ( N U )−1 = √ U −1 = √ U en dus:
N
N
zk =
N
2πi
1 ∑
Zn e+ N kn ,
N n=1
k = 1, · · · , N
Toegift 1: Een voorbeeld van een unitaire matrix, de discrete Fourrier transformatie
153
Omdat de DF T matrix unitair is geldt: ⟨F (v), F (w)⟩ = ⟨v, w⟩ (zie opgave ?? van college 2) en
dus:
N
N
∑
∑
V n Wn =
vn wn (formule Plancherel)
n=1
en
∥V∥2 =
n=1
N
∑
Vn Vn =
n=1
Opmerking:
N
∑
vn vn = ∥v∥2
(formule Parseval)
n=1
Als de DFT formule
Zk =
N
∑
zn e−
2πi
N kn
,
k = 1, · · · , N
n=1
gebruikt wordt, dan zien de formules van Plancherel en Parseval er als volgt uit.
N
N
∑
1 ∑
V n Wn =
vn wn
N n=1
n=1
en
(formule Plancherel)
N
N
∑
1
1 ∑
Vn Vn =
vn vn = ∥v∥2
∥V∥2 =
N
N n=1
n=1
(formule Parseval)
Toegift 2: Commuterende
matrices en simultaan
diagonaliseerbaarheid
Definitie: De reële matrices A en B heten simultaan reëel diagonaliseerbaar als een reële inverteerbare matrix P bestaat en twee reële diagonaalmatrices D1 en D2 zodat A = P D1 P −1 en
B = P D2 P −1 .
Simultane reële diagonaliseerbaarheid van A en B is equivalent met het bestaan van een basis van
Rn die zowel bestaat uit eigenvectoren van A als uit eigenvectoren van B. Evenzo:
Definitie: De matrices A en B heten simultaan (complex) diagonaliseerbaar als een (complexe) inverteerbare matrix P bestaat en twee (complexe) diagonaalmatrices D1 en D2 zodat
A = P D1 P −1 en B = P D2 P −1 .
Simultane (complexe) diagonaliseerbaarheid van A en B is equivalent met het bestaan van een
basis van Cn die zowel bestaat uit eigenvectoren van A als uit eigenvectoren van B
LEMMA 8.1. Laat A en B twee simultaan diagonaliseerbare matrices zijn. Dan geldt: AB = BA.
Bewijs: Stel D1 en D2 zijn diagonaalmatrices en P een matrix zodat geldt: A = P D1 P −1 en
B = P D2 P −1 . Dan geldt:
AB = P D1 P −1 P D2 P −1 = P D1 D2 P −1 en BA = P D2 P −1 P D1 P −1 = P D2 D1 P −1 .
Omdat voor diagonaalmatrices geldt D1 D2 = D2 D1 concluderen we: D1 D2 = D2 D1 .
Verrassend voor mij geldt ook het omgekeerde. Hieraan is al af te lezen dat commutativiteit van
het product van twee matrices een strenge eis is op A en B.
STELLING 8.2. 1. Laat A en B twee reëel diagonaliseerbare matrices zijn met: AB = BA.
Dan geldt: A en B zijn simultaan reëel diagonaliseerbaar.
2. Laat A en B twee diagonaliseerbare matrices zijn met: AB = BA. Dan geldt: A en B zijn
simultaan diagonaliseerbaar.
We zullen alleen het bewijs leveren voor het reële geval. Het complexe geval gaat letterlijk hetzelfde,
vervang Rn steeds door Cn . Het bewijs is echter niet geheel triviaal en vergt enkelijke lemma’s.
155
156
Toegift 2: Commuterende matrices en simultaan diagonaliseerbaarheid
Definitie: Laat A een n × n matrix zijn. We zeggen dat een deelruimte W van Rn invariant is
onder A (of: A-invariant is) als geldt: als w ∈ W dan ook Aw ∈ W , voor alle w ∈ W .
LEMMA 8.3. Laat A een reële n × n matrix zijn en W een A-invariante deelruimte van Rn .
Dan geldt: als v1 , . . . vk eigenvectoren van A zijn bij verschillende eigenwaarden λ1 , . . . , λk met
v1 + · · · + vk ∈ W , dan vi ∈ W , voor i = 1, . . . , k.
Bewijs: We tonen dit aan met inductie naar k.
Als k = 1 dan is de uitspraak duidelijk correct.
Stel de uitspraak is juist bij ieder k-tal vectoren van A bij verschillende eigenwaarden.
Neem nu een k+1-tal eigenvectoren bij verschillende eigenwaarden, zeg de eigenvectoren v1 , . . . vk , vk+1
bij de onderling verschillende eigenwaarden λ1 , . . . , λk , λk+1 met
v1 + · · · + vk + vk+1 ∈ W. (1)
Onze aannames impliceren dat A(v1 + · · · + vk + vk+1 ) ∈ W ⇒ A(v1 ) + · · · + A(vk ) + A(vk+1 ) ∈ W
en dus:
λ1 v1 + · · · + λk vk + λk+1 vk+1 ∈ W. (2)
Vermenigvuldig de eerste formule met λk+1 en trek de tweede formule hiervan af. We verkrijgen:
(λk+1 − λ1 )v1 + · · · + (λk+1 − λk )vk ∈ W.
Omdat λk+1 − λi ̸= 0 zijn (λk+1 − λi )vi (i = 1, . . . , k) k-veel eigenvectoren bij verschillende
eigenwaarden λi (i = 1, . . . , k).
De inductieaanname geeft dat (λk+1 −λi )vi ∈ W voor (i = 1, . . . , k). En dus (omdat λk+1 −λi ̸= 0)
volgt ook dat vi ∈ W voor (i = 1, . . . , k). Tenslotte hebben we dan ook vk+1 ∈ W , als verschil
van de twee vectoren v1 + · · · + vk + vk+1 en v1 + · · · + vk uit W .
Hiermee is ook de uitspraak voor k + 1 vectoren bewezen.
LEMMA 8.4. Laat A een reëel diagonaliseerbare n × n matrix zijn en W een A-invariante
deelruimte van Rn . Dan geldt: W heeft een basis bestaande uit eigenvectoren van de matrix A.
Bewijs: De matrix A is reëel diagonaliseerbaar, dus bestaat er een basis B = {v1 , . . . , vn } van
Rn bestaande uit eigenvectoren van A.
De deelruimte W heeft ook een basis, zeg w1 , . . . , wk .
Iedere van deze vectoren wi is een sommatie van de basis van Rn bestaande uit eigenvectoren van
A. Door in deze sommatie eigenvectoren bij dezelfde eigenwaarden bij elkaar te nemen en te zien
als één eigenvector, zien we: “iedere vector wi is te schrijven als:
wi = V1i + · · · + Vℓi i
waarbij V1i , . . . , Vℓi i eigenvectoren van A zijn bij verschillende eigenwaarden.
Via het vorige lemma (hier gebruiken we dat W A-invariant is) kunnen we concluderen dat de
eigenvectoren V1i , . . . , Vℓi i in W moeten zitten.
We kunnen concluderen dat W wordt opgespannen door eindig veel eigenvectoren van A. Via de
uitdunningsstelling kunnen we hieruit een basis (van eigenvectoren van A) voor W kiezen.
We hebben genoeg bagage ingeladen om stelling 8.2 te bewijzen.
Bewijs: Laat A en B commuterende reëel diagonaliserende matrices zijn.
Beschouw de eigenruimten van B, zeg Eλ1 , . . . , Eλk .
Claim: ieder van deze eigenruimtes is A-invariant.
Om deze claim te bewijzen is het commuteren AB = BA nodig. Kies Eλ , een eigenruimte van B,
en kies x ∈ Eλ . Dan geldt zeker Bx = λx.
Toegift 2: Commuterende matrices en simultaan diagonaliseerbaarheid
157
Uit AB = BA volgt: ABx = BAx, dus Aλx = BAx en dus λ(Ax) = B(Ax). We lezen hieruit:
Ax is een eigenvector van B bij de eigenwaarde λ, d.w.z. Ax ∈ Eλ .
Hiermee is de claim bewezen.
Nu passen we lemma 8.4 toe en concluderen dat iedere eigenruimte Eλ van B een basis heeft
bestaande uit eigenvectoren van A. Deze basis bestaat natuurlijk ook uit eigenvectoren van B.
Als we op deze manier alle eigenruimtes van B doorlopen vinden we een basis van Rn bestaande
uit zowel eigenvectoren van A als van B, en daarmee is de simultane diagonalisering van A en B
gevonden.
Opmerking: Pas op. In bovenstaande situatie kan men niet concluderen dat A en B dezelfde
eigenruimtes hebben. Neem maar B = I en A een matrix met meerdere eigenruimtes.
Bovenstaande stelling gaat ook op als meerdere matrices commuteren. Om precies te zijn:
STELLING 8.5. Laat A1 , . . . , Ak diagonaliseerbare matrices zijn met: Ai Aj = Aj Ai , voor
alle i, j. Dan geldt: A1 , . . . , Ak zijn simultaan diagonaliseerbaar (d.w.z. er is één matrix P
zodat Ai = P Di P −1 , voor alle i).
Toegift 3: Gegeneraliseerde
eigenvectoren, de Jordan
normaalvorm
Herinner: een vector v ∈ Cn heet een eigenvector van de matrix A bij de eigenwaarde λ als
(A − λI)v = 0. We weten: een matrix A is (complex) diagonaliseerbaar als en slechts als Cn een
basis heeft bestaande uit eigenvectoren van A.
Wat als zo’n basis niet bestaat? Kennelijk is A dan niet te diagonaliseren. Maar bestaat er dan
wellicht wel een andere vorm/type standaard matrix waarmee A gelijkvormig is?
Definitie: Laat λ ∈ C een getal zijn. Een k × k

λ 1
0
 0 λ
1

 ..
 . 0
λ

 . .
..
 .. ..
.
0 0 ···
matrix van de vorm:

··· 0
··· 0 


··· 0 


..
. 1 
0 λ
heet een Jordanblok en wordt genoteerd met Jλk of kortweg Jλ of zelfs J.
Merk op: bij het Jordanblok Jλ bestaat de diagonaal uit louter lambda’s en daarboven een “bovendiagonaal” van énen. De rest van de kentallen zijn 0.
Definitie: Een matrix A heet in Jordannormaalvorm als deze bestaat uit Jordanblokken over
de diagonaal en de rest louter uit nullen
Voorbeeld 9.1. De matrices A1 en

1 0 0
 0 2 1

 0 0 2
A1 = 
 0 0 0

 0 0 0
0 0 0
A2 met:
0
0
0
3
0
0
0
0
0
1
3
0
0
0
0
0
1
3








 A2 = 






2
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
1
2
0
0
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
1
2
0
0
0
0
0
1
2








zijn matrices in Jordannormaalvorm. Inderdaad, de matrix A1 bestaat op de diagonaal uit de
Jordanblokken:


[
]
3 1 1
[ ]
2 1
 0 3 1 .
1
0 2
0 0 3
159
160
Toegift 3: Gegeneraliseerde eigenvectoren, de Jordan normaalvorm
Evenzo: A2 bestaat uit de Jordanblokken:
[
2
]
[
2 1
0 2
]

2 1
 0 2
0 0

1
1 .
2
Men kan bewijzen:
STELLING 9.2. Iedere matrix A is gelijkvormig met een matrix in Jordannormaalvorm
Het bewijs van bovenstaande stelling is verdraaid lastig en presenteren we niet. We zullen wel
enige stappen aangegeven hoe een matrix op Jordannormaalvorm te brengen is. Als eerste stap
geven we de volgende stelling.
STELLING 9.3. Als de matrix A gelijkvormig is met de matrix J in Jordannormaalvorm
bestaande uit de Jordanblokken Jλℓ11 , . . . , Jλℓkk , dan zijn λ1 , . . . , λk precies de eigenwaarden van
A.
Bewijs: Omdat A en J gelijkvormig zijn hebben ze hetzelfde karakteristiek polynoom. H Het
karakteristiek polynoom van J is simpel te bepalen:
pA (λ) = pJ (λ) = (λ1 − λ)l1 · · · (λk − λ)ℓk
(ga na)
en de conclusie volgt.
Om tot de volgende stappen te komen beschouwen we de matrices A1 en A2 uit Voorbeeld 9.1
nogmaals.
Voorbeeld 9.4. (Vervolg) Bekijk nogmaals de matrix A1 . Dan:
1. De vector e1 is eigenvector van A1 bij λ = 1, dus: Ae1 = 1e1 , equivalent: (A1 − 1I6 )e1 = 0.
2. De vector e2 is ook een eigenvector van A1 , echter bij de eigenwaarde λ = 2.
Dus: (A1 − 2I6 )e2 = 0.
3. De vector e3 is geen eigenvector van A1 , wel geldt: (A1 − 2I6 )e3 = e2 . (A1 − 2I6 )2 e3 = 0.
4. De vector e4 is weer een eigenvector van A1 en wel bij de eigenwaarde λ = 3.
Dus: (A1 − 3I6 )e4 = 0.
5. De vector e5 is geen eigenvector van A1 , wel geldt: (A1 − 3I6 )e4 = e3 . (A1 − 3I6 )2 e5 = 0.
6. De vector e6 is geen eigenvector van A1 , wel geldt: (A1 − 3I6 )e6 = e5 . (A1 − 3I6 )3 e6 = 0.
Min of meer dezelfde observaties zijn geldig voor A2 , met dat verschil dat al de eigenwaarden 2
zijn. Er geldt bijvoorbeeld: (A2 − 2I6 )3 e6 = 0.
We stellen vervolgens de vraag: bij een gegeven lineaire afbeelding T : Cn → Cn : wat moet gelden
voor een basis B = {b1 , . . . , bn } opdat de transformatiematrix [T ] = [ [T (b1 )]B · · · [T (bn )]B ]
een Jordanblok Jλn is?
De volgende stelling is simpel te verifiëren.
B←B
Toegift 3: Gegeneraliseerde eigenvectoren, de Jordan normaalvorm
161
STELLING 9.5. Gegeven een afbeelding T : Cn → Cn en een basis B = {b1 , . . . , bn }. Equivalent
zijn:
1. De transformatiematrix [T ] = is een Jordanblok Jλn .
B←B
2. Er geldt: (T − λI)(b1 ) = 0 en (T − λI)(bk ) = bk−1 voor k = 2, . . . , n.
Hier staat dus: b1 is eigenvector van T bij λ en b2 is een oerbeeld b1 onder T − λI etc. In het
bijzonder zal gelden voor de basis B uit Stelling 9.5: (T − λI)k (bk ) = 0.
Definitie: Laat A een n × n matrix zijn. Een vector b ∈ Cn heet een gegeneraliseerde eigenvector van A bij de eigenwaarde λ als k ∈ N bestaat zodat (A − λI)k (b) = 0.
Een cykel van gegeneraliseerde eigenvectoren van A is een rij b1 , . . . , bℓ van gegeneraliseerde eigenvectoren met: (A − λI)(b1 ) = 0 en (A − λI)(bk ) = bk−1 voor k = 2, . . . , ℓ.
De cykel wordt genoteerd met
bℓ → · · · → b2 → b1 → 0
Hier staat de pijl voor de operatie (afbeelding) A − λI. Merk op dat in deze notatie van de cykel
alleen de laatste vector b1 een eigenvector is.
Zonder bewijs vermelden we:
STELLING 9.6. Laat A een n × n matrix zijn.
1. Als bℓ → · · · → b2 → b1 → 0 een cykel in A is dan zijn de vectoren b1 , . . . , bℓ lineair
onafhankelijk.
2. Als biℓi → · · · → bi 1 → 0 (i = 1, . . . , k) cykels in A zijn waarvan de eigenvectoren
{bi1 |i = 1..k} onafhankelijk zijn, dan is de hele verzameling gegeneraliseerde eigenvectoren
{bij |j = 1..ℓi , i = 1..k} onafhankelijk.
STELLING 9.7. Laat A een n × n matrix zijn. Dan heeft Cn een basis B die puur bestaat uit
cykels van gegeneraliseerde eigenvectoren van A. Zeg dit zijn de cykels biℓi → · · · → bi 1 → 0 bij λi
(i = 1, . . . , k). Als
P = [ b11 · · · b1ℓ1 b21 · · · b2ℓ2 · · · · · · , ]
dan is A = P JP −1 met J een matrix in Jordannormaalvorm bestaande uit de Jordanblokken
Jλℓ11 , . . . , Jλℓkk . Op de volgorde van de Jordanblokken na, is de matrix J uniek. Die heet dan ook de
Jordaannormaalvorm van A.
Een matrix op Jordannormaalvorm brengen is dus een zoektocht naar de cykels van de matrix.
Voorbeeld 9.8. (Zie § 7.8,
 opgave 17 uitBoyce, duPrima.)
1 1
1
Beschouw de matrix A =  2 1 −1 . Enig rekenwerk laat zien dat pA (λ) = (2 − λ)3 . De
−3 2
4
enige
eigenwaarden
van
A
is
dus
λ
=
2 en enig rekenwerk laat zien dat dim(E2 ) = 1 en dat


0 

 1  een basis voor de eigenruimte is. Tot zover niets nieuws.


−1
Nu kunnen we met onze nieuwe kennis concluderen dat dit moet betekenen dat de Jordannormaalvorm van A moet bestaan uit één Jordanblok, en wel


2 1 0
J23 =  0 2 1 
0 0 2
162
Toegift 3: Gegeneraliseerde eigenvectoren, de Jordan normaalvorm
Vervolgens zoeken we een bijbehorende cykel.


0
Het eindpunt van de cykel moet (een veelvoud van) b1 =  1  zijn. Omdat (A − 2I)(b2 ) = b1


 −1 
 
1
0
1
lossen we op (A − 2I)x = b1 wat levert: x =  1  + c  1 . Kies b2 =  1 . (We moeten
0
−1
0
een b2 nemen die onder A − 2I een oerbeeld heeft. Gelukkig doet dat hier er niet toe, iedere keuze
van b2 zal zo’n oerbeeld hebben!)






2
0
2
Oplossen van (A − 2I)x = b2 levert x =  0  + c  1 . Neem dus bijvoorbeeld b3 =  0 .
3
−1
3
Dan is b3 → b1 → b
cykel.
1 → 0 de gezochte

0 1 2
Conclusie: als P =  1 1 0  dan A = P J23 P −1 .
−1 0 3
Voorbeeld 9.9. (Zie § 7.8,opgave 18 uit Boyce,
duPrima.)

5 −3 −2
Beschouw de matrix A =  8 −5 −4 . Enig rekenwerk laat zien dat pA (λ) = (1 − λ)3 .
−4
3
3
De
van A is dus λ = 1 en enig rekenwerk laat zien dat dim(E1 ) = 2 en dat
 enige

 eigenwaarden

0 
 1
 0  ,  2  een basis voor de eigenruimte is. Tot zover niets nieuws.


−3
2
Nu onze nieuwe kennis. Omdat dim(E1 ) = 2 zullen er dus twee cykels zijn. Op dot moment zien
we dat de Jordannormaalvorm uniek bepaald moet zijn, namelijk

1 0
J = 0 1
0 0

0
1 
1
Voor de cykelter lengte twee
we dus een eigenvector met oerbeeld onder A − I nodig.
 hebben

1
0
Echter, noch  0 , noch  2  blijken zo’n oerbeeld te hebben. (Deze kunnen dus allebei als
2
−3
cykel ter lengte één
gebruikt
worden.)



 Een eigenvector met oerbeeld onder A − I zal er uit moeten
1
0
zien als v = c1  0  + c2  2 . We moeten dus nagaan voor welke c1 , c2 de vergelijking
2
−3
(A − I)x = v consistent is. Omdat:

4 −3 −2
 8 −6 −4
−4
3
2
 
4 −3 −2
c1
∼ 0
2c2
0
0
2c1 − 3c2
0
0
0

c1
2c2 − 2c1 
3c1 − 3c2

zien we dat dit het geval is als c1 = c2 .

Oplossen (A − I)x = b21 levert x = 
0
0
−1

2
Nemen we c1 = c2 = 2 dan krijgen we b21 =  4 .
−2

 


1
0
 + d1  0  + d2  2 .
2
−3
Toegift 3: Gegeneraliseerde eigenvectoren, de Jordan normaalvorm
163


0
Neem bijvoorbeeld b22 =  0 .
−1


1
2
0
4
0  dan: A = P JP −1 .
Conclusie: als P =  0
2 −2 −1
In het algemeen kunnen we als in bovenstaande voorbeelden een matrix naar Jordannormaalvorm
brengen. Dus:
Stap 1: Bepaal alle eigenwaarden λ met hun algebraı̈sche multpliciteit a.m.(λ).
Stap 2: Bepaal alle meetkundige multipliciteiten m.m.(λ).
Stap 3.
1. Als m.m.(λ) = a.m.(λ): geen probleem.
2. Als m.m.(λ) = 1 geen probleem, er is 1 cykel te vinden als in voorbeeld 9.8.
3. Als 1 < m.m.(λ) < a.m.(λ) is i.h.a. het lastige geval. Als bijvoorbeeld m.m.(λ) = 3 en
a.m.(λ) = 5 dan zijn er 3 cykels op te speuren die tesamen een 5 × 5 matrix vullen. Het is
altijd goed om je eerst voor te stellen waar je naar moet gaan zoeken. Hier hebben we de
keuze tussen:
of twee cykels ter lengte één en één cykel ter lengte drie
of één cykel ter lengte één en twee cykels ter lengte twee.
Voorzichtig speuren als in voorbeeld 9.9 volgt.