Lineaire Algebra en Differentiaalvergelijkingen
TUDelft
'MmÊ
4052LADIFVY (herkansing)
Donderdag 6 november 2014, 14.00-17.00 uur
•
•
•
•
•
Gebruik van een calculator is toegestaan.
Elk antwoord dient duidelijk beargumenteerd te worden.
Een tabel met Laplace-getransformeerden is bijgevoegd.
Het getal (score4-6)/6, op de gebruikelijke wijze afgerond, geeft het tentamencijfer.
Normering:
vr. 1 6
vr. 2a 3
vr. 3 a 2 opg. 4 5
vr. 2b 4
vr. 3b 2
vr. 5 6
vr. 6 7
vr. 7 8
vr. 8 8
vr. 3 c 3
1. Herschrijf de differentiaalvergelijking y' + -^y = óy'^x'^ tot een lineaire differentiaalvergelijking, door de transformatie y(x) =
uit te voeren, en los die vervolgens
op. (Ter info: de gegeven differentiaalvergelijking is een zgn. BemouUivergelijking)
2. Bewijs of weerleg de volgende 2 beweringen:
a. Als A een « X 7ï - matrix is met de eigenschap
A = 0.
= O, de nulmatrix, dan geldt
b. Als A een n X n - matrix is met de eigenschap A^ = O, de nulmatrix, dan volgt
/„ + A is in verteerbaar en (/„ + A)"^ = ƒ„ - A.
3. De matrices A =
2
4
-5
2
-3
3
6
-8
3
-5
0
0
9
0
-3
-6
-7
-3
1 2 - 5 1 - 4
0 0
5
0
5
9
0 0
0
0
0
-10
0 0
0
0
0
en 5
zijn
rij-equivalent, dus A kan via het veegproces omgezet worden tot B en vice versa (dit
hoeft u niet na te gaan).
a. Geef een basis van de kolomruimte van A.
b. Geef een basis van de rijruimte van A.
C. Geef een basis van de nulruimte van A.
Z.O.Z.
Universiteit Leiden
2 3 6
4. Berelcen
O 1 2
door de definitie van het concept determinant te gebruiken (dus
1 5 O
niet door cofactorontwikkelingen uit te rekenen)
5. Bepaal de algemene oplossing van het stelsel lineaire differentiaalvergelijkingen
x' = Ax waarbij A =
-2
0
0
1
-3
-1
-1
1
-1
6. Bepaal, m.b.v. de methode van variatie van constanten, de algemene oplossing van
8
/-4y =
e'^' + 1
-2x
(Hint: f - f ^ d x = i l n ( e 2 - + 1) - x - U'^' + C met C e M)
7. Los het volgende beginwaardeprobleem op:
y" + 4y =
r
git)
< y(0) = O
O
als O < ? < 5
waarbij g{t) = <( iit-5)
1
y'(0) = O
8. Los het volgende golfprobleem op:
4uxx
<
= Utt
als O < X < 30 en ? > O
u(0,?) = u(30,0 = O voor t > O
w(x,0)=/(x)
alsO<x<30
w,(x,0) = 0
alsO<x<30
als5 < ï < 10
als t > 10
.-1
UA
l.Jv_4^
_^WX r-
l[ör„ i/).
^
V^O
loS
oö
r
J_
^1
_u
— ^
u(x) —
"2,
X
tX^ i " ^ ^
^vva C
_C X ~!__vvt^t:
1
H^v.«b
C-èTR
3
q.
VVLCsO/V^
V-A
_
O
tc£v\
W s i ^ A/W^
pC^oL
==17
I
(Ol i^l
koLo vVXiA/tef't-i
\S
q
5"^.
\SCiV\
X^_
X 3
X
•
-•
""j
-
"
„0
1
„
4- X i_j
_
I
O
6
G
t
ö
O
. 1
0
I
0
0
I
._
•a
3
L
1' 5 ::2: i ^ cr ( 371;-! )^
—
~L
~2ö
=
-20
_
^
_
c:r-(3,^;r) r^^
_
1
____
0
Qp|£_
f
J-=_. —
-^__-p>rA_va
^3
-1
t
<
—
»
-1
X i t ) .=
1
OV] •
e
o
I
r
^ Vr
f n : V V - - - '^yo
' 1¬
- I
7 vi^*^-^ V.^^
0 ~"
I
1
" I
I
o
o
=~—
0^
/
A
O
(•
o
-±
•
\
/
- 1 ^ 1
—
'7
i
o
o
i
O
M e t c\^c\,c-, ëlR
n
t^cr^Acf'
U/xW
L-UNJ
VI
4 f,
(X)
=
<£5
-V C... <ci
e:'"''.-^ C / x )
1
•21X
2.
I
//
-2-X
/
/
'Z X
c,
e
/
^
-^x
^
/
—2-X
—
^x
(9_
X
"2 ''^'1'' 6)
^
I
'2X
4
^-ZX-
4
e
-2-
-z-X
6
1
-
^
^^^^
-ax
4-
-:^x -A - /
2X
IZ1ZII== 1^13 it itv.
X_
A
"ZX
—
^
--^X
-
(
/-zx
. u -4t) (i,.^--^.
4
.2,
ll
O
O
5~
^
.i:^.feH^
^
-1•d.
12
Ci+P
(A^+M)
-
E
5_ S-'i,
/J_
I
'2-Ö
12. C3
P
Uit) ^
M /t) (t-^) - ± t t (t) ^in(z(-t
"7¬
_
- ^ Xf,<VXi-LV
u(x,tJ
ZX^v^ A/u Ü^r^.
x£
_ cL? ^ZP'D-X/ qpc^LL<^i\cvkv
A- - - ----^ ^-^ ^ "
-L- ^ "
^ X " + "5,^ = °
« r r - —^^^
V e v 2 L \ A [ e v 4 W ^ ___ cA4L^
U_ ^ J r l _ _ ^ _ X / a j _ T ( : t i ~ P
><7ö^_:^P_
VJ;QCH^ i _ > O
U hciv-tl
'Xi3o):TfH=o____^^
f V J C S _ ^èociWfc-M (':rvxYvix^\^K, __\/s^^
X
)
(30^ .^o
^ixï
Ux
_ X M ,^X/3ol^Q
<P{<tJi^\A
^.^-=eL^\ ^
X(>< V
_ c^-=.x^^ö
A
-'^
j ^^Ce.i.kG^ xA
C j
VoO'f p - k _ C i 2 ö v;X_ SJërv:\Jc';lö:<£r^S . _
X
— O _. .
/ ^
^
^
T])rAV^_
^
x^^^
^zr
Ni"^'J-|T.- -.
^
^-^
S\
O
^i.-X.
—O
vak^>< j
. X(3
)__;rr..O_ _
__
-
X-^'^f^.
3Ci
Ai!ékAAJi<öA<i£yx .
^
^^^A^A^^_^__
U (x,ol:::=_X„C,,_SAV.-/r^N<:\_^4!^3
-
30
v\
3o
cie^-^oV/^V^
eXi
„
A
a
op'^oSSxVvl
AS
Ö^OVS
)
„ „