Établissement Al Irfane
1. SMF
Exercice 1 :
On considère la fonction numérique 𝑓
définie sur ℝ par :
𝑓(𝑥) = 𝑥√𝑥 − 1, 𝑥 ≥ 1
𝑓(𝑥) = sin (𝜋𝑥), 𝑥 < 1
1. Montrer que 𝑓 est dérivable en 2, puis
donner l'équation de la tangente (𝑇) à la
courbe 𝐶 au point d'abscisse 2.
2. Étudier la dérivabilité de 𝑓 à droite et à
gauche point 1, puis interpréter
géométriquement le résultat obtenu.
Exercice 2 :
Soit 𝑓 la fonction numérique définie sur
l'intervalle ] − 𝜋, 𝜋[ par :
𝑓(𝑥) = 2
𝑓(𝑥) =
( )
|
( )
|
,0 < 𝑥 < 𝜋
, −𝜋 < 𝑥 ≤ 0.
1. Montrer que 𝑓 est dérivable en 0, puis
donner l'équation de la tangente (𝑇) à la
courbe 𝐶 au point d'abscisse 0.
Pr. Ahmed Kaddi
Exercice 4 :
On considère la fonction numérique 𝑓
définie par :
𝑓(𝑥) = 𝑥sin (𝑥)sin
𝑓(𝑥) =
,𝑥 < 0
𝑥 + 4 − 2√𝑥 + 4, 𝑥 ≥ 0
1. Montrer que 𝐷 = ℝ
2. Calculer les limites :
lim 𝑓(𝑥) , lim 𝑓(𝑥) et lim 𝑓(𝑥)
→
→
→
3. Étudier la dérivabilité de 𝑓 à droite et à
gauche en 0, puis interpréter
géométriquement le résultat obtenu.
Exercice 5 :
Soit 𝑛 ∈ ℕ∗ et 𝑓 une fonction numérique
dérivable en 𝑎. Calculer les limites
suivantes :
lim
→
2. Étudier la dérivabilité de 𝑓 à droite et à
gauche point -1, puis interpréter
géométriquement les résultats obtenus.
𝑥
−1
√𝑥 + 2𝑥 + 1 − 2
; lim
;
→
𝑥−1
𝑥−1
8 cos (𝑥) − 4 sin (𝑥) − 4
;
3𝑥 − 𝜋
lim
→ →
lim
Exercice 3 :
→
Déterminer les valeurs de 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ pour
que la fonction numérique 𝑓 définie sur
𝑓(𝑥) = √𝑥, 0 ≤ 𝑥 ≤ 1
ℝ par :
soit
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 1, 𝑥 > 1
dérivable soit dérivable sur ℝ∗ .
lim
cos (𝑥) − 1
;
(2 − 𝑥) − (2 + 𝑥)
lim
𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎 − ℎ)
;
2ℎ
→
→
lim
→
(1 + 𝑥) − (−1)
𝑥+2
( )
( )
; lim
→
( )
( )
( )
( )
.
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Exercice 6 :
lim 𝑓(𝑥) = +∞, Soit 𝐴 > 0.
Déterminer le domine de dérivabilité des
fonctions suivantes ainsi que ses fonctions
dérivées :
1. 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 2𝑥 − 1) 5 −
4. 𝑓(𝑥) =
(
5. 𝑓(𝑥) =
𝑓(𝑥) =
,
)
.
→
2. a) Montrer que 𝑓 est dérivable sur
ℝ et calculer 𝑓 (𝑥) pour tout 𝑥 ∈ ℝ .
6. 𝑓(𝑥) = 𝑥 − cos tan 𝑥 −
7. 𝑓 (𝑥) = 𝑥√1 − 𝑥 − , 𝑛 ∈ ℕ∗ .
Exercice 7 :
Soit 𝑓 une fonction numérique définie et
dérivable sur ℝ∗ tels que : 𝑓 (𝑥) =
𝑓(1) = 0
et
1. Construire le tableau de variation de 𝑓.
2. Montrer que 𝑓(𝑥) ≤ 0 , ∀𝑥 ∈]0,1], et
que 𝑓(𝑥) ≥ 0 pour tout 𝑥 ∈ [1, +∞[.
a. Montrer pour tout 𝑥 ∈ ℝ∗ , on ait :
𝑓(𝑥) = −𝑓
(
1. Calculer la limite : lim 𝑓(𝑥).
( )
√
Montrer qu'il existe 𝑛 ∈ ℕ tel que :
𝑓(2 ) > 𝐴. Conclure.
Pour chaque entier 𝑛 ≥ 2, on considère la
fonction numérique 𝑓 définie sur ℝ par :
)
√
→
Exercice 8 :
,
2. 𝑓(𝑥) = 𝑥√𝑥 − 𝑥 −
3. 𝑓(𝑥) =
Pr. Ahmed Kaddi
.
∗
b. Montrer pour tout 𝑛 ∈ ℤ et 𝑥 ∈ ℝ , on
ait : 𝑓(𝑥 ) = 𝑛𝑓(𝑥).
b) Montrer que 𝑓 atteint un minimum
sur ℝ que l'on déterminera.
3. a) En déduire l'inégalité suivante :
(1 + 𝑥) ≤ 2 (1 + 𝑥 ), ∀𝑥 ∈ ℝ .
b) Montrer que pour tout ∀𝑥 ∈ ℝ et
∀𝑦 ∈ ℝ on a : (𝑥 + 𝑦) ≤ 2 (𝑥 + 𝑦 )
Exercice 9 :
On désigne par 𝑓 la fonction définie sur
l'intervalle 𝐼 = [0, 𝜋] par :
𝑓(𝑥) =
𝑓(𝑥) =
( )
, si 𝑥∈ 0, 𝜋
𝑓(0) = 1
c. Montrer que :
1. Étudier les variations de 𝑓 sur ]0, 𝜋], en
déduire le tableau de variation.
∀𝑥 ∈ [1, +∞[ , 0 ≤ 𝑓(𝑥) ≤ √𝑥 − 1
2. Montrer que : ∀𝑥 ∈ ℝ, sin (|𝑥|) ≤ |𝑥|.
d. Calculer la limite : lim
→
∗
( )
. On en
déduire pour tout 𝑛 ∈ ℕ la limite
lim 𝑥 𝑓(𝑥)
→
e. On souhaite montrer que :
3. Montrer que :
∀𝑥 ∈]0, [∶
𝑥 ≤ sin (𝑥) ≤ 𝑥
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4. Soit 𝜑 la fonction numérique définie
sur ℝ par :
𝜑(𝑥) = sin (𝑥) − 𝑥 +
a) Calculer 𝜑 (𝑥), 𝜑 (𝑥) et 𝜑( ) (𝑥).
b) On en déduire le signe de 𝜑 sur ℝ
c) En déduire de questions 𝑎 ), b) que 𝑓 est
dérivable à droite en 0 et donner 𝑓 (0).
Exercice 10 :
Soit 𝑓 une fonction numérique définie sur
ℝ tels que : 𝑓(𝑥 + 𝑦) = 𝑓(𝑥) + 𝑓(𝑦), pour
tout (𝑥, 𝑦) ∈ ℝ × ℝ. On suppose que 𝑓 est
dérivable en 0.
Montrer que 𝑓 est dérivable sur ℝ, puis
déduire que 𝑓(𝑥) = 𝑓(1)𝑥, ∀𝑥 ∈ ℝ.
Soit 𝑓 une fonction numérique définie sur
ℝ et non nulle tels que :
𝑓(𝑥 + 𝑦) = 𝑓(𝑥)𝑓(𝑦), ∀(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ × ℝ.
On suppose que 𝑓 est dérivable en 0.
Montrer que 𝑓 est dérivable sur ℝ et que
𝑓 (𝑥) = 𝑓 (0)𝑓(𝑥), pour tout 𝑥 ∈ ℝ.
Exercice 12 :
Soit 𝑓 une fonction numérique définie et
dérivable sur ℝ tels que : 𝑓(0) = 0 et
𝑓 (0) = 1. Calculer la limite :
∏
(
→
Exercice 13 :
1. Montrer que si 𝑓 est impaire, alors 𝑓
est paire.
2. Montrer que si 𝑓 ' est paire et 𝑓(0) = 0
, alors 𝑓 est impaire.
Exercice 14 :
1. Montrer que :
∀𝑥 ∈ ℝ , ∀𝑛 ∈ ℕ; (1 + 𝑥) ≥ 1 + 𝑛𝑥
2. Montrer que :
∀𝑥 ∈ ℝ : 1 −
)
, 𝑛 ∈ ℕ∗ .
Soit 𝑓 une fonction numérique définie et
dérivable sur ℝ.
𝑥
𝑥
𝑥
≤ cos (𝑥) ≤ 1 − +
2
2 24
Exercice 15 :
Calculer la dérivée nième de 𝑓 dans
chacun des cas suivants :
𝑓(𝑥) =
Exercice 11 :
lim 𝑓(𝑥
Pr. Ahmed Kaddi
1
1
; 𝑓(𝑥) =
;
1−𝑥
1+𝑥
𝑓(𝑥) = cos (𝑥); 𝑓(𝑥) = sin (𝑥)