Etablissement Al Irfane
1 SM
Dérivabilité
I) Dérivabilité en un point
1. Activité
( )
Prof : Ahmed Kaddi
( )
Déterminer la limite de
lorsque 𝑥 tend vers 𝑎 dans les cas suivants :
1- 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 𝑥 + 5 et 𝑎 = −2
2- 𝑓(𝑥) =
et 𝑎 = 2
3- 𝑓(𝑥) = sin 𝑥 et 𝑎 =
4- 𝑓(𝑥) = |2𝑥 + 𝑥 − 3| et 𝑎 = 1
5- 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑎𝑛𝑥 et 𝑎 = .
2. Définitions :
Soit 𝑓 une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert de centre 𝒂.
On dit que 𝑓 est dérivable en 𝒂 si la limite lim
( )
→
( )
existe et est finie.
Dans ce cas on appellera cette limite le nombre dérivé de la fonction 𝑓 en 𝑎 et se note
𝑓 (𝑎).
Exemple : On considère la fonction f dénie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 𝑥 − 3.
Justifier que 𝑓 est dérivable en −2 et préciser 𝑓 (−2)
1. Solution :
𝑓(𝑥) − 𝑓(−2)
𝑥 +𝑥−3+1
lim
= lim
→
→
𝑥 − (−2)
𝑥+2
= lim
→
= lim
(
)(
)
→
= lim 𝑥 − 1 = −3 = 𝑓 (−2)
→
Donc 𝑓 est dérivable en en −2 et le nombre dérivé dans ce cas est 𝑓 (−2) = −3
Remarque :
Si 𝑓 est dérivable en 𝑎 et lim
( )
( )
→
= 𝑓 (𝑎)
On pose ℎ = 𝑥 − 𝑎 , donc si 𝑥 tend vers 𝑎, alors ℎ tend vers 0 et on obtient :
lim
(
→
)
( )
= 𝑓 (𝑎)
Application : Calculer le nombre dérivé de 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 𝑥 en 𝑎 = 1 en utilisant la
deuxième formulation de la dérivabilité.
Solution
: lim
→
(
)
( )
(
= lim
)
→
= lim
→
(
)
( )
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= lim
→
= lim
= lim ℎ + 3ℎ + 4 = 4 = 𝑓 (1)
→
3. Dérivabilité à droite dérivabilité à gauche
Activité : Soit 𝑓 la fonction définie sur ℝ par :
1) Montrer que lim
→
( )
2) Que peut-on conclure ?
( )
= 3 et que lim
→
( )
→
𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 𝑥; si 𝑥 < 0
𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 3𝑥; si 𝑥 ≥ 0
( )
=1
Solution :
𝑓(𝑥) − 𝑓(0)
−2𝑥 + 3𝑥
= lim
= lim − 2𝑥 + 3 = 3 = 𝑓 (0)
→
→
→
𝑥−0
𝑥
3 s'appelle le nombre dérivé de la fonction 𝑓 à droite de 0
On dit que 𝒇 est dérivable à droite en 0
𝑓(𝑥) − 𝑓(0)
3𝑥 + 𝑥
lim
= lim
= lim 3𝑥 + 1 = 1 = 𝑓 (0)
→
→
→
𝑥−0
𝑥
1 s'appelle le nombre dérivé de la fonction 𝑓 à gauche de 0
On dit que 𝒇 est dérivable à gauche en 0
Mais on remarque que : 𝑓 (0) ≠ 𝑓 (0). Donc 𝒇 n'est pas dérivable en 0.
lim
Définition :
1) Soit 𝑓 une fonction définie sur un intervalle de la forme [𝑎, 𝑎 + 𝑟[ où 𝑟 > 0
On dit que 𝑓 est dérivable à droite de 𝑎 si la limite 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
𝒇(𝒙) 𝒇(𝒂)
𝒙 𝒂
existe et est finie, dans ce
cas on appelle cette limite le nombre dérivé de la fonction 𝑓 à droite de 𝑎 et on le note :
𝑓 (𝑎)
2) Soit 𝑓 une fonction définie sur un intervalle de la forme] 𝑎 − 𝑟, 𝑎] où 𝑟 > 0
On dit que 𝑓 est dérivable à gauche de 𝑎 si la limite 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
𝒇(𝒙) 𝒇(𝒂)
𝒙 𝒂
existe et est finie, dans
ce cas on appelle cette limite le nombre dérivé de la fonction 𝒇 à gauche de 𝑎 et on le
note : 𝑓 (𝑎)
Théorème :
Soit 𝑓 une fonction définie sur un intervalle ouvert de centre 𝑎.
𝑓 est dérivable en 𝑎 si et seulement si elle dérivable à droite et à gauche de 𝑎 et
𝑓 (𝑎) = 𝑓 (𝑎)
𝑓(𝑥) = √𝑥; si 𝑥 ≥ 1
Exemple 1 : Soit 𝑓 une fonction définie par :
𝑓(𝑥) = 𝑥 + ; si 𝑥 < 1
Étudier la dérivabilité de 𝑓 en 𝑥 = 1
Solution : On a 𝑓(1) = √1 = 1
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lim
( )
( )
→
= lim
√
→
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= lim
→
√
(√ )
= lim
→
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√
= = 𝑓 (1)
Donc 𝑓 est dérivable à droite en 1.
1
3
𝑥 + −1
𝑓(𝑥) − 𝑓(1)
1
1
4
4
lim
= lim
= lim (𝑥 + 1) = = 𝑓 (1)
→
→
→ 4
𝑥−1
𝑥−1
2
Donc 𝑓 est dérivable à gauche en 1.
Et on a : 𝑓 (1) = 𝑓 (1). Donc 𝑓 est dérivable en 1 et 𝑓 (1) =
Exemple 2 : Soit 𝑓 une fonction définie par : 𝑓(𝑥) = 𝑥 − |𝑥|
Étudier la dérivabilité de 𝑓 en 𝑥 = 0
Solution :
lim
( )
( )
→
lim
= lim
= lim 𝑥 − 1 = −1 = 𝑓 (0). Donc 𝑓 est dérivable à droite en 0
= lim
= lim 𝑥 + 1 = 1 = 𝑓 (0). Donc 𝑓 est dérivable à gauche en 0
→
( )
→
( )
→
→
→
Mais on a : 𝑓 (0) ≠ 𝑓 (0). Donc : 𝑓 n'est pas dérivable en 0
𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 𝑥; 𝑥 < 0
Exercice 1 : Soit 𝑓 la fonction définie sur ℝ par :
𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 3𝑥; 𝑥 ≥ 0
1- Montrer que 𝑓 est dérivable en 𝑎 = −2.
2- 𝑓 est-elle dérivable en 0.
Exercice 2 : Soit 𝑓 la fonction définie sur ℝ par : 𝑓(𝑥) = |𝑥 − 2𝑥 − 3| + 2𝑥
1 - Ecrire une expression de 𝑓 sur ℝ sans valeur absolu.
2- Etudier la dérivabilité de 𝑓 à droite et à gauche de −1
3- 𝑓 est-elle dérivable en −1
II) Interprétation géométrique
1. Rappel
Déterminer l'équation réduite de la droite qui passe par 𝐴(−1,3) et de Coefficient
directeur −2
2. La fonction affine tangente à une fonction.
Soit 𝑓 une fonction dérivable en 𝑎 et 𝑓 (𝑎) son nombre dérivé en 𝑎.
Posons :
𝜙(𝑥) =
( )
( )
− 𝑓 (𝑎) ; 𝑥 ≠ 0
𝜙(𝑥) = 0 ; 𝑥 = 0
On a : (𝑥 − 𝑎)𝜙(𝑥) = −𝑓 (𝑎)(𝑥 − 𝑎) + 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)
Par suite : 𝑓(𝑥) = 𝑓 (𝑎)(𝑥 − 𝑎) + 𝑓(𝑎) + (𝑥 − 𝑎)𝜙(𝑥)
Posons : 𝑢(𝑥) = 𝑓 (𝑎)(𝑥 − 𝑎) + 𝑓(𝑎) on aura : 𝑓(𝑥) = 𝑢(𝑥) + (𝑥 − 𝑎)𝜙(𝑥)
La fonction 𝑢 est une fonction affine et s'appelle la fonction affine tangente en 𝒂.
Propriété : Si 𝑓 une fonction dérivable en 𝑎, alors la fonction 𝑓 admet une fonction
affine tangente en 𝑎 de la forme : 𝒖(𝒙) = 𝒇 (𝒂)(𝒙 − 𝒂) + 𝒇(𝒂)
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Application : Déterminer une fonction affine tangente en -3 de la fonction 𝑓(𝑥) =
Remarques :
1) La fonction affine tangente en 𝑎 d'une fonction dérivable en 𝑎 est une approximation
de 𝑓 au voisinage de 𝑎. On peut écrire alors : 𝑓(𝑥) ∼ 𝑓 (𝑎)(𝑥 − 𝑎) + 𝑓(𝑎) au voisinage de 𝑎
2) Si on pose 𝑥 = 𝑎 + ℎ; on aura 𝑓(𝑎 + ℎ) ∼ 𝑓 (𝑎)ℎ + 𝑓(𝑎) , qui dit que si on ne connait
pas 𝑓(𝑎 + ℎ) et si ℎ est petit, on peut l’approximer par " 𝑓 (𝑎)ℎ + 𝑓(𝑎) ».
Exemple : Donner une approximation de sin 3 !
Solution : Si on veut une approximation de sin 3, on peut prendre 𝑓(𝑥) = sin 𝑥 et 𝑎 = 𝜋
(car 𝜋 est un élément proche de 3 dont le sinus est connu)
ℎ = 3 − 𝜋 (Pour avoir : 3 = 𝜋 + ℎ )
On a alors 𝑓(𝑎) = sin 𝜋 = 0 et 𝑓 (𝑎) = cos 𝜋 = −1 (à prouver), ce qui donne :
sin 3 = sin (𝜋 + ℎ) ∼ −1 × (3 − 𝜋) = 𝜋 − 3. (Voir dérivée de 𝑠𝑖𝑛 et 𝑐𝑜𝑠)
Exercice 3 : Soit 𝑓 une fonction définie sur] − 𝜋; 𝜋[ par :
𝑓(𝑥) =
; si 𝑥 ≠ 0
𝑓(0) = 0
1) Etudier la dérivabilité de 𝑓 en 0.
2) Donner une valeur approchée du nombre : 𝑓(10 )m !!!ll !llmp !m !okllmlm:
Solution : lim
→
( )
( )
= lim
= lim
→
→
= lim 2 ×
→
= lim 2 ×
→
= 2 × = 2,
avec le changement de variable 𝑋 = , d’où 𝑥 → 0 ⟺ 𝑋 → 0
Donc 𝑓 est dérivable en 0 et 𝑓 (0) = 2
2) On a 𝑓(𝑎 + ℎ) ∼ 𝑓 (𝑎)ℎ + 𝑓(𝑎). Donc 𝑓(0 + 10 ) ∼ 𝑓(0) + 10 𝑓 (0)
Où 𝑎 = 0 , ℎ = 10 , 𝑓(0) = 0 et 𝑓 (0) = 2
Donc 𝑓(10 ) ∼ 2.10
3. Interprétations géométriques
Dans tout ce qui suit, le plan est muni d’un repère orthonormé (𝑶, ⃗, ⃗)
3.1 Tangente en un point :
Soit 𝑓 une fonction dérivable en M(𝑎, 𝑓(𝑎))
Soit 𝑥 un élément de 𝐷𝑓 différent de 𝑎 et N(𝑥, 𝑓(𝑥)) (Δ) = (𝑀𝑁); le coefficient directeur
( )
( )
de (Δ) est le réel : 𝑚 =
En faisant tendre 𝑥 vers 𝑎 et à la position limite une
droite (𝑇) qui passe par M(𝑎, 𝑓(𝑎)) et qui a pour
coefficient directeur : lim
→
( )
𝑓 (𝑎) (car 𝑓 est dérivable en 𝑎 )
( )
qui n'est que
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Donc (𝑇): 𝑦 = 𝑓 (𝑎)𝑥 + 𝑝 et puisque (𝑇) passe par 𝐴(𝑎, 𝑓(𝑎)), alors : 𝑓(𝑎) = 𝑓 (𝑎)𝑎 + 𝑝 ,
donc 𝑝 = 𝑓(𝑎) − 𝑓 (𝑎)𝑎 et on peut conclure que (𝑇): 𝑦 = 𝑓 (𝑎)𝑥 + 𝑓(𝑎) − 𝑓 (𝑎)𝑎
Finalement on trouve : (𝑇): 𝑦 = 𝑓 (𝑎)(𝑥 − 𝑎) + 𝑓(𝑎)
La droite (T) s'appelle la tangente à la courbe 𝐶 en 𝑨(𝒂, 𝒇(𝒂))
Théorème :
Si 𝑓 est dérivable en 𝑎, alors sa courbe représentative 𝐶 admet une tangente (𝑇) au
point 𝐴(𝑎, 𝑓(𝑎)) d'équation (𝑇) ∶ 𝑦 = 𝑓 (𝑎)(𝑥 − 𝑎) + 𝑓(𝑎)
Exemple :
Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de 𝑓(𝑥) = sin 𝑥 en 𝐴(0, 𝑓(0))
Solution : lim
( )
→
( )
= lim
→
= 1 = 𝑓 (0)
Donc 𝑓 est dérivable en en 0, (𝑇): 𝑦 = 𝑓 (0)(𝑥 − 0) + 𝑓(0) est l'équation de la tangente à
la courbe en 𝐴(0, 𝑓(0)) est : (𝑻): 𝒚 = 𝒙
Remarque :
1) La tangente (T) à la courbe 𝐶 en 𝐴(𝑎, 𝑓(𝑎)) ce n'est que la droite qui représente la
fonction affine tangente à la fonction 𝑓 en 𝑎 et qui est 𝑢(𝑥) = 𝑓 (𝑎)(𝑥 − 𝑎) + 𝑓(𝑎)
et : 𝑃𝑀 = 𝑓(𝑥) − (𝑓 (𝑎)(𝑥 − 𝑎) + 𝑓(𝑎)) = 𝜑(𝑥)(𝑥 − 𝑎)
2) En pratique au lieu de représenter la droite (𝑇) on Représente seulement une partie de
(𝑇) avec deux flèches de direction et ceci afin de ne pas trop charger le graphe.
3) Cas particulier si 𝑓 est dérivable en 𝑎 et 𝑓 (𝑎) = 0 alors l'équation de la tangente est :
(𝑇) : 𝑦 = 𝑓(𝑎) c'est une droite parallèle à l'axe (𝑂𝑥) b) Le vecteur directeur de la tangente
en 𝐴(𝑎, 𝑓(𝑎)) est 𝑢⃗(1; 𝑓 (𝑎)). Donc pour tracer une tangente on peut Seulement à partir
de 𝐴 tracer le vecteur 𝑢⃗
3.2 Demi-tangente
Par la même façon que le paragraphe précédent on peut montrer le théorème suivant :
Théorème :
1) Si 𝑓 est une fonction dérivable à droite de 𝑎, alors son graphe admet une demitangente à droite de 𝑎 : (𝑇 ): 𝑦 = 𝑓 (𝑎)(𝑥 − 𝑎) + 𝑓(𝑎): 𝒙 ≥ 𝒂
2) Si 𝑓 est une fonction dérivable à gauche de 𝑎, alors son graphe admet une demitangente à gauche de 𝑎 :
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𝑇 : 𝑦 = 𝑓 (𝑎)(𝑥 − 𝑎) + 𝑓(𝑎): 𝒙 ≤ 𝒂
Exemple : 𝑓(𝑥) = |−2𝑥 + 𝑥 + 1|
On a : 𝑓 est dérivable à droite de 1 et 𝑓 (1) = 3 (à
prouver) et est dérivable à gauche de 1 et 𝑓 (1) = −3 donc
la courbe représentative de 𝑓 admet deux demi-tangentes
en 𝐴(1, 𝑓(1)) d’équations cartésiennes :
(𝑇 ): 𝑦 = 3(𝑥 − 1) 𝒙 ≥ 𝟏 et 𝑇 : 𝑦 = −3(𝑥 − 1)𝑥 ≤ 1
Qu'on peut représenter par : Voir Ci-contre
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4. Remarque :
Dans cet exemple, au voisinage de 𝑎, on ne peut pas
confondre la courbe avec un segment ( 𝑓 n'est pas
dérivable en 𝑎 ) on dit que la courbe représente un point
anguleux en 𝐴(1, 𝑓(1))
𝑓(𝑥) = (1 + 𝑥)√1 − 𝑥 , si 0 ≤ 𝑥 ≤ 1
Exercice 4 : Soit 𝑓 une fonction définie par :
𝑓(𝑥) = √𝑥 − 𝑥, si 𝑥 ≻ 1
1) Déterminer le domaine de définition de f
2) Etudier la dérivabilité de 𝑓 à droite en 𝑥 = 0 et donner une interprétation géométrique
du résultat.
3) Etudier la dérivabilité de 𝑓 à droite et à gauche en 𝑥 = 1 et donner une interprétation
géométrique.
Solution :
1) 𝑥 ∈ 𝐷 ⇔ 1 − 𝑥 ≥ 0 et 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 ou 𝑥 − 𝑥 ≥ 0 et 𝑥 > 1
𝑥 ∈ 𝐷 ⇔ −1 ≤ 𝑥 ≤ 1 ou 𝑥 > 1
𝑥 ∈ 𝐷 ⇔ 𝑥 ∈ [0; +∞[ , donc : 𝐷 = [0; +∞[
2) Etude de la dérivabilité de 𝑓 à droite de 𝑥 = 0
On a : 𝑓(0) = 1
( )
( )
=
=
(
)√
√
√
= √1 − 𝑥 −
= √1 − 𝑥 −
Donc : lim
→
( )
( )
√
√
= 1 = 𝑓 (0)
Donc 𝑓 est dérivable à droite en 0
Interprétation géométrique du résultat :
La courbe de f admet un demi-tangente en 𝐴(0,1) de coefficient directeur 1 = 𝑓 (0)
3)a) Etude de la dérivabilité de 𝑓 à gauche en 𝑥 = 1
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On a : 𝑓(1) = 0 . Soit 0 ≤ 𝑥 ≤ 1 :
( )
( )
=
=
(
)√
(
)(
(
)√
)
=
(
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)
√
Et puisque : lim √1 − 𝑥 = 0 et lim − (1 + 𝑥) = −4
Alors : lim
→
→
(
→
)
( )
= −∞ , donc : lim
√
( )
→
= −∞
Donc 𝑓 n'est pas dérivable à gauche en 𝑥 = 1
b) Soit 𝑥 ≻ 1 :
( )
( )
=
=
√
(
(
)(
)√
)
=
√
Et puisque : lim √𝑥 − 𝑥 = 0 et lim 𝑥 + 𝑥 = 2
→
Alors : lim
→
√
→
= +∞ donc : lim
( )
( )
→
= +∞
Donc 𝑓 n'est pas dérivable à droite en 𝑥 = 1
Interprétation géométrique du résultat :
La courbe de f admet une demi-tangente en 𝐴(1,0) Parallèle à l'axe des ordonnées dirigée
vers le haut.
Exercice 5 : Soit 𝑓 une fonction définie par : 𝑓(𝑥) = |𝑥 − 1|
1) Etudier la dérivabilité de 𝑓 à droite en 𝑥 = 1 et donner une interprétation géométrique
du résultat.
2) Etudier la dérivabilité de 𝑓 à gauche en 𝑥 = 1 et donner une interprétation
géométrique du résultat.
3) Etudier la dérivabilité de 𝑓 en 𝑥 = 1 et donner une interprétation géométrique du
résultat.
4) Donner l'équation de la demi-tangente à droite a la courbe de 𝑓 en en 𝑥 = 1
4) Donner l'équation de la demi-tangente à gauche de la courbe de 𝑓 en en 𝑥 = 1
Solution :
1) 𝑓(𝑥) = |𝑥 − 1|, étude du signe de : 𝑥 − 1
𝑥 − 1 = 0 ⇔ (𝑥 − 1)(𝑥 + 1) = 0 ⇔ 𝑥 = −1 ou 𝑥 = 1
𝑓(𝑥) = 𝑥 − 1; 𝑥 ∈] − ∞; −1] ∪ [1; +∞[
Donc :
et 𝑓(1) = |1 − 1| = 0
𝑓(𝑥) = −(𝑥 − 1); 𝑥 ∈ [−1; 1]
1) Etude de la dérivabilité de 𝑓 à droite en 𝑥 = 1
lim
→
( )
( )
= lim
→
= lim
→
(
)(
)
= lim 𝑥 + 1 = 2
→
Donc 𝑓 est dérivable à droite en 𝑥 = 1 et 𝑓 (1) = 2
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Interprétation géométrique du résultat : La courbe de f admet un demi-tangente à droite
en 𝐴(1,0) et de coefficient directeur 𝑓 (1) = 2
2) lim
( )
→
( )
= lim
(
)
→
= lim
→
(
)(
)
= lim − (𝑥 + 1) = −2
→
Donc 𝑓 est dérivable à gauche en 𝑥 = 1 et 𝑓 (1) = −2
Interprétation géométrique du résultat : La courbe de f admet un demi-tangente à gauche
en 𝐴(1,0) et de coefficient directeur 𝑓 (1) = −2
3) 𝑓 n'est pas dérivable en 𝑥 = 1 car : 𝑓 (1) ≠ 𝑓 (1)
Interprétation géométrique du résultat :
La courbe admet un point anguleux en 𝐴(1,0).
4) L’équation de la demi-tangente à droite a la courbe de 𝑓 en en 𝑥 = 1 est :
𝑦 = 𝑓(𝑥 ) + 𝑓 (𝑥 )(𝑥 − 𝑥 )
5) L'équation de la demi-tangente à gauche a la courbe de 𝑓 en en 𝑥 = 1 est :
𝑦 = 𝑓(𝑥 ) + 𝑓 (𝑥 )(𝑥 − 𝑥 )
𝑦 = 𝑓(1) + 𝑓 (1)(𝑥 − 1) ⇔ 𝑦 = 0 − 2(𝑥 − 1)
⇔ Δ : 𝑦 = −2𝑥 + 2
III) Fonction dérivée d’une fonction numérique
1) Introduction
Exemple : Soit 𝑓 la fonction définie par : 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 𝑥
Soit 𝑥 un réel quelconque, déterminons le nombre dérivé de 𝑓 en 𝑥 (il est préférable
d'utiliser la deuxième définition de la dérivabilité en un point)
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
2(𝑥 + ℎ) + 𝑥 + ℎ − 2𝑥 − 𝑥
lim
= lim
→
→
ℎ
ℎ
= lim
→
= lim
(
)
→
= lim 4𝑥 + 2ℎ + 1
→
= 4𝑥 + 1
= 𝑓 (𝑥)
On peut remarquer donc que 𝑓 est dérivable en tout point 𝑥 de ℝ, la fonction qui associe 𝑥
à son nombre dérivé 𝑓 (𝑥) S'appelle la fonction dérivée de la fonction 𝑓 sur ℝ et se note
par 𝒇 .
Activités :
1) Déterminer la fonction dérivée de la fonction sin sur ℝ.
2) Déterminer la fonction dérivée de la fonction 𝑥 ↦
sur ℝ∗ et sur ℝ∗
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2) Dérivabilité sur un intervalle
Définition : Soit 𝑓 une fonction dont l'ensemble de définition est 𝐷 , 𝑎 et 𝑏 deux
éléments de 𝐷 tels que : 𝑎 < 𝑏
1- On dit que 𝑓 est dérivable sur l'ouvert ]𝑎, 𝑏[, si elle est dérivable en tout point de ]𝑎, 𝑏[
2- On dit que 𝑓 est dérivable sur le semi-ouvert [𝑎, 𝑏[, si elle est dérivable sur ]𝑎, 𝑏[ et
dérivable à droite de 𝑎
3- On dit que 𝑓 est dérivable sur le fermé [𝑎, 𝑏], si elle est dérivable sur ]𝑎, 𝑏 [ et dérivable
à droite de 𝑎 et à gauche de 𝑏
Remarque : Une fonction qui est dérivable sur [ 𝑎, 𝑏] et dérivable [𝑏, 𝑐] n'est pas
nécessairement dérivable sur [𝑎, 𝑐] sauf si 𝑓 (𝑏) = 𝑓 (𝑏)
3) Fonction dérivée d'une fonction
Définition : Soit 𝑓 une fonction dérivable sur un intervalle ouvert 𝑰.
La fonction qui associe à tout élément 𝑥 son nombre dérivé 𝑓 (𝑥) s'appelle la fonction
dérivée de la fonction 𝒇 sur 𝑰.
4) Fonctions dérivées de quelques fonctions usuelles :
Exercices : Déterminer les fonctions dérivées des fonctions :
1. 𝑥 ↦ 𝐶 sur ℝ
2. 𝑥 ↦ 𝑥 sur ℝ
3. 𝑥 ↦ √𝑥 sur ℝ∗
4. 𝑥 ↦ 1/𝑥 sur ℝ∗ et sur ℝ∗ 5. 𝑥 ↦ sin 𝑥 sur ℝ
5. 𝑥 ↦ cos 𝑥 sur ℝ
Tableau des dérivées des fonctions usuelles :
Fonction 𝑓
Dérivée 𝑓
𝑓(𝑥) = 𝑘
𝑓 (𝑥) = 0
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥
𝑓 (𝑥) = 𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏
𝑓 (𝑥) = 𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑥
𝑓 (𝑥) = 𝑛𝑥
1
𝑓(𝑥) =
𝑥
𝑓 (𝑥) =
𝑓(𝑥) = √𝑥
𝑓(𝑥) = cos 𝑥
𝑓 (𝑥) = −sin 𝑥
𝑓(𝑥) = sin 𝑥
𝑓 (𝑥) = cos 𝑥
𝑓(𝑥) = cos (𝑎𝑥 + 𝑏)
𝑓 (𝑥) = −𝑎sin (𝑎𝑥 + 𝑏)
𝑓(𝑥) = sin (𝑎𝑥 + 𝑏)
𝑓 (𝑥) = 𝑎cos (𝑎𝑥 + 𝑏)
∗
𝑛∈ℤ
1
𝑓 (𝑥) − −
𝑥
𝑓(𝑥) = tan 𝑥
𝑓 (𝑥) =
Exemples : Déterminer les fonctions dérivées des fonctions suivantes :
1) 𝑓(𝑥) = 11
2) 𝑓(𝑥) = 7𝑥 + 15
3) 𝑓(𝑥) = 𝑥
4) 𝑓(𝑥) = sin (5𝑥 − 1)
1
2√𝑥
1
= 1 + tan 𝑥
cos 𝑥
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Solution :
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1) 𝑓 (𝑥) = (11) = 0
2) 𝑓 (𝑥) = (7𝑥 + 15) = 7
3) 𝑓 (𝑥) = (𝑥 ) = 3𝑥
= 3𝑥
4) 𝑓 (𝑥) = (sin (5𝑥 − 1)) = (5𝑥 − 1) cos (5𝑥 − 1) = 5cos (5𝑥 − 1)
IV) Opérations sur les fonctions dérivées
Rappelle : A partir de deux fonctions 𝑓 et 𝑔 on peut définir :
1. La somme : ∀𝑥 ∈ 𝐷 ∩ 𝐷 (𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)
2. Le produit : ∀𝑥 ∈ 𝐷 ∩ 𝐷 (𝑓 × 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) × 𝑔(𝑥)
3. L'inverse : ∀𝑥 ∈ 𝐷
si 𝑥 ≠ 0 , alors :
(𝑥) =
( )
4. Le quotient : ∀𝑥 ∈ 𝐷 ∩ 𝐷
si 𝑥 ≠ 0 , alors
5. La racine carrée : ∀𝑥 ∈ 𝐷
si 𝑥 ≥ 0 , alors ( 𝑓)(𝑥) =
(𝑥) =
( )
( )
𝑓(𝑥)
1) Dérivée de la somme :
Soit 𝑓 et 𝑔 deux fonctions dérivables en 𝑎, étudions la dérivabilité de la fonction (𝑓 + 𝑔)
en 𝑎.
On a : lim
( )
( )
( )
( )
→
= lim
( )
→
( )
= lim
→
= lim
( )
( )
( )
( )
( )
→
( )
+ lim
= 𝑓 (𝑎) + 𝑔 (𝑎)
= (𝑓 + 𝑔 )(𝑎)
En général :
+
( )
( )
( )
( )
→
Si 𝑓 et 𝑔 sont dérivables sur un intervalle ouvert 𝐼 , alors la fonction (𝑓 + 𝑔) est dérivable
sur 𝐼 et (𝒇 + 𝒈) = 𝒇 + 𝒈
Exemple :
Déterminer la fonction dérivée de la fonction suivante : 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 7𝑥 + 15 − + √𝑥
Solution :
= (𝑥 ) + (7𝑥 + 15) −
𝑓 (𝑥) = 𝑥 + 7𝑥 + 15 − + √𝑥
𝑥 + 7𝑥 + 15 − + √𝑥
= 2𝑥 + 7 +
+
+ (√𝑥) 𝑓 (𝑥) =
√
2) Dérivée du produit :
Soit 𝑓 et 𝑔 deux fonctions dérivables en 𝑎, étudions la dérivabilité de la fonction (𝑓 × 𝑔)
en 𝑎.
On a : lim
→
( )× ( )
( )× ( )
= lim
→
( )× ( )
( )× ( )
( )× ( )
( )× ( )
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= lim
( )( ( )
→
= lim 𝑓(𝑥)
( ( )
→
Prof : Ahmed Kaddi
( ))
( ))
( )( ( )
( ))
+ lim 𝑔(𝑎)
( ( )
( ))
→
= 𝑔 (𝑎) × 𝑓(𝑎) + 𝑓 (𝑎) × 𝑔(𝑎)
= (𝑓 𝑔 + 𝑔 𝑓)(𝑎)
En général :
Si 𝑓 et 𝑔 sont dérivables sur un intervalle ouvert 𝐼, alors la fonction (𝑓 × 𝑔) est dérivable
sur 𝐼 et : (𝒇 × 𝒈) = 𝒇 𝒈 + 𝒈 𝒇
En particulier :
Si 𝑓 est dérivable sur un intervalle ouvert 𝐼 et 𝑘 ∈ ℝ , alors la fonction k𝑓 est dérivable sur
𝐼 et : (k𝒇) = k𝒇
Exemples :
Déterminer la fonction dérivée de la fonction suivante : 𝑓(𝑥) = (5𝑥 + 1)(3𝑥 − 1)
On utilise la formule : (𝑢 × 𝑣) = 𝑢 × 𝑣 + 𝑢 × 𝑣
𝑓 (𝑥) = (5𝑥 + 1)(3𝑥 − 1) = (5𝑥 + 1) × (3𝑥 − 1) + (5𝑥 + 1) × (3𝑥 − 1)
𝑓 (𝑥) = 10𝑥 × (3𝑥 − 1) + 3(5𝑥 + 1) = 30𝑥 − 10𝑥 + 15𝑥 + 3
𝑓 (𝑥) = 45𝑥 − 10𝑥 + 3
3) Puissance
En utilisant la propriété précédente et par récurrence prouver que : (𝑓 ) = 𝑛𝑓 𝑓
Exemple : Déterminons la fonction dérivée de la fonction : 𝑓(𝑥) = (3𝑥 + 4)
On utilise la formule : (𝑢 ) = 𝑛𝑢
×𝑢
𝑓 (𝑥) = ((3𝑥 + 4) ) = 3 × (3𝑥 + 4)
× (3𝑥 + 4) = 3 × 3 × (3𝑥 + 4)
= 9(3𝑥 + 4)
4) Dérivée de l'inverse :
Soit 𝑓 une fonction dérivable en 𝑎 et 𝑓(𝑎) ≠ 0 , étudions la dérivabilité de la fonction
en 𝑎.
On a : lim
( )
→
( )
= lim
( ( )
( ))
( ) ( )
( ) ( )
→
= lim
→
=−
( )
( )
= −
×
( ) ( )
(𝑎)
En général :
Si 𝑓 est dérivable sur un intervalle ouvert 𝐼 et 𝑓 ne s'annule pas sur 𝐼, alors :
Exemple : Déterminer la fonction dérivée de la fonction : 𝑓(𝑥) =
On utilise la formule :
𝑓 (𝑥) =
=−
=−
(
)
(
)
=−
(
)
=−
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5) Dérivée du Quotient :
En remarquant que :
Prof : Ahmed Kaddi
et en utilisant les propriétés du produit et de l'inverse on
=𝑓×
peut montrer que : Si 𝑓 et 𝑔 sont dérivables sur un intervalle ouvert 𝐼 et 𝑔 ne s'annule pas
sur 𝐼 alors :
×
=
×
Exemple : Déterminer la fonction dérivée de la fonction : 𝑓(𝑥) =
On utilise la formule :
=
𝑓 (𝑥) =
=
(
=
)(
(
) (
)
(
×(
(
)
)(
)
)
)
=
(
)
Remarque :
∀𝑥 ∈ ℝ ∖ −
,
=(
)
Application :
Montrer que la fonction 𝒕𝒂𝒏 est dérivable sur les intervalles de la forme
𝐼 =] − 𝜋/2 + 𝑘𝜋, 𝜋/2 + 𝑘𝜋[(𝑘 ∈ ℤ) et que (∀𝑥 ∈ 𝐼 )(tan 𝑥 = 1 + tan 𝑥).
6) La racine :
Soit 𝑓 une fonction dérivable en 𝑎 et 𝑓(𝑎) > 0 , étudions la dérivabilité de la fonction
en 𝑎.
On a : lim
( )
→
( )
= lim
(
( )
( ))(
(
( )
( ))(
( ) ( )
→
= lim
( )
( ) (
( ) ( )
→
= lim
→
=
( )
(
( )
( )
)
(
=
( )
( ))
)
(On a multiplié par le conjuguais)
)
( ))
(𝑎)
En général :
Si 𝑓 est dérivable sur un intervalle ouvert 𝐼 et strictement positif sur 𝐼 , alors la fonction
𝑓 est dérivable sur 𝐼 et ( 𝑓) =
Exemple : Déterminer la fonction dérivée de la fonction : 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 8𝑥
On utilise la formule : (√𝑢) =
√
, 𝑓 (𝑥) = √𝑥 + 8𝑥
=
(
)
√
=
√
Exercice 6 : Soit 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 𝑥
Etudier le domaine de dérivabilité de 𝑓 et déterminer sa fonction dérivée.
Solution : 𝐷 = − ∞; 0 ∪ [1; +∞[
On a : 𝑓(𝑥) =
𝑢(𝑥) avec 𝑢(𝑥) = 𝑥 − 𝑥
=
√
𝑓
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Et on a 𝑢(𝑥) > 0 ∀𝑥 ∈ 𝐷 − {0; 1}, donc f est dérivables sur 𝐷 \{0; 1}
∀𝑥 ∈ 𝐷 \{0; 1}: 𝑓 (𝑥) = √𝑥 − 𝑥
=
(
)
√
=
√
8) Remarque :
Pour calculer la dérivée de |𝑓|, on procède comme suit :
- Exprimer |𝑓| sans le symbole de la valeur absolue sur des intervalles de 𝐷𝑓
- Calculer la dérivée des fonctions obtenues sur ces intervalles.
Exercice : Déterminer la dérivée de la fonction 𝑓(𝑥) = |3𝑥 + 𝑥 − 4|
9) Propriété :
1- Toute fonction polynôme est dérivable sur ℝ.
2- Toute fonction rationnelle est dérivable sur tout intervalle inclus dans son domaine de
définition
10) Tableau des opérations sur les fonctions dérivées
Fonction 𝑓
𝑓(𝑥) = tan 𝑥
La dérivée 𝑓
𝑓 (𝑥) =
1
= 1 + tan 𝑥
cos 𝑥
𝑓(𝑥) = 𝑢 + 𝑣
𝑓 (𝑥) = 𝑢 + 𝑣
𝑓(𝑥) = 𝑢 − 𝑣
𝑓 (𝑥) = 𝑢 − 𝑣
𝑓(𝑥) = 𝑢𝑢
𝑓(𝑥) =
1
𝑢
𝑓(𝑥) =
𝑢
𝑣
𝑓(𝑥) = √𝑢
𝑓(𝑥) = 𝑘 ⋅ 𝑢
𝑓 (𝑥) = 𝑘 ⋅ 𝑢
𝑓(𝑥) = 𝑢 × 𝑣
𝑓 (𝑥) = 𝑢𝑢 × 𝑣 + 𝑢 × 𝑣
𝑓 (𝑥) = 𝑚𝑢 × 𝑢
𝑓 (𝑥) = −
𝑓 (𝑥) =
𝑢
𝑢
𝑢 ×𝑣−𝑢×𝑣
𝑣
𝑓 (𝑥) =
𝑢
2√𝑢
V) Équations différentielles du type 𝑦 + 𝜔 𝑦 = 0
1) Solution générale :
Définition : Une équation différentielle est une équation liant une fonction et sa ou ses
dérivée(s). Résoudre une telle équation signifie déterminer toutes les fonctions qui satisfont
à l’égalité.
Théorème 1 :
Soit 𝑦 + 𝜔 𝑦 = 0 une équation différentielle linéaires du second ordre à coefficient
constant 𝜔 positif. Les solutions de cette équation différentielle sont les fonctions définies
et deux fois dérivables sur ℝ vérifiant : 𝑓(𝑥) = 𝐴. cos(𝜔𝑥) + 𝐵. sin (𝜔𝑥), où 𝐴 et 𝐵 sont
des constantes réelles.
Exemples :
a) Résolution de l'équation différentielle (E): 𝑦 + 4𝑦 = 0 :
→ (E) s'écrit aussi 𝑦 + 2 𝑦 = 0, on prend donc 𝜔 = 2.
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→ Les solutions sont du type 𝑓(𝑥) = 𝐴. cos(2𝑥) + 𝐵. sin (2𝑥) où 𝐴 et 𝐵 sont deux réelles.
b) Résolution de l'équation différentielle : 27𝑦 + 3𝑦 = 0 :
→ Cette équation peut s'écrire 𝑦 +
→ Ou encore 𝑦 +
𝑦 = 0,
𝑦 = 0, on prend 𝜔 = .
→ Les solutions sont du type 𝑓(𝑥) = 𝐴. cos
constantes réelles.
𝑥 + 𝐵. sin
𝑥 où 𝐴 et 𝐵 sont des
Remarque
Il peut arriver que, pour plus de facilité, on doive transformer l'écriture de la solution
𝑓(𝑥) = 𝐴 . cos(𝜔𝑥) + 𝐵. sin (𝜔𝑥) en 𝑓(𝑥) = 𝐾. cos (𝜔𝑥 + 𝜑).
Pour cela, on utilisera la formule trigonométrique : cos(𝑎 + 𝑏) = cos 𝑎 . cos 𝑏 − sin 𝑎 . sin 𝑏
Exemple 5
Soit 𝑓(𝑥) = 4. cos
−
, montrons que 𝑓(𝑥) peut aussi s'écrire 2√3. cos
+ 2. sin
:
→ Le plus simple est de partir de la forme "factorisée" pour obtenir la forme "développée" :
𝑥 𝜋
𝑥
𝜋
𝑥
𝜋
𝑥 1
𝑥
√3
−
= 4 cos cos + sin sin
=4
cos + sin
3 6
3
6
3
6
2
3 2
3
→ 4cos
→ Ainsi: 4cos
−
= 2√3cos
+ 2sin .
2) Unicité de la solution sous condition initiale
Théorème 2 :
L'équation différentielle 𝑦 + 𝜔 𝑦 = 0 admet une unique solution 𝑓 définie sur ℝ vérifiant
deux conditions initiales données.
Exemple :
On considère l'équation (E) : 4𝑦 + 𝜋 𝑦 = 0 dont la solution vérifie les conditions initiales
𝑓
=
√
et 𝑓
= 0.
 Résolution de l'équation différentielle générale :
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→ (E) ⟺ 𝑦 +
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𝑦 = 0.
→ Les solutions sont donc de la forme : 𝑓(𝑥) = 𝐴. cos
𝑥 + 𝐵. sin
𝑥 .
 Utilisation de la première condition :
→𝑓
= 𝐴cos
+ 𝐵sin
→ Sachant que 𝑓
=
√
=𝐴
√
+𝐵
√
=
√
(𝐴 + 𝐵).
, on obtient 𝐴 + 𝐵 = 1.
 Utilisation de la seconde condition :
→ 𝑓 (𝑥) = − 𝐴sin
→𝑓
= − 𝐴sin
→ Sachant que 𝑓
𝑥 + 𝐵cos
+ 𝐵cos
𝑥 .
=− 𝐴
√
+ 𝐵
√
=
√
(−𝐴 + 𝐵).
= 0, on obtient −𝐴 + 𝐵 = 0.
 Résolution du système d'équations :
 Conclusion :
→ 𝑓(𝑥) = cos
𝑥 + sin
𝑥 .
Application
Dans chaque cas Déterminer la solution de l’équation différentielle
1 - 𝑦" + 9𝑦 = 0, tel que: 𝑦′(0) = 7; 𝑦(0) = 2
2 - 2𝑦" + 𝑦 = 0, tel que: 𝑦′(0) = −1; 𝑦(0) = 3
EXERCICE
1. Résoudre l'équation différentielle : 4𝑦 + 𝑦 = 0.
2. Déterminer la solution particulière de cette équation différentielle vérifiant
𝑓(𝜋) = √3
𝑓(0) = 1.
3. Montrer que cette solution 𝑓 vérifie, pour tout 𝑥 réel : 𝑓(𝑥) = 2cos
− .
4. Résoudre dans l'ensemble des nombres réels l'équation d'inconnue 𝑥: 𝑓(𝑥) = 1; en
donner les solutions appartenant à l'intervalle [0; 4𝜋[.
Exercice 7 :
Calculer les fonctions dérivées des fonctions suivantes
4.
1. 𝑓(𝑥) = 4𝑥 − 𝑥 − 𝑥 + 1
5.
2. 𝑓(𝑥) =
6.
3. 𝑓(𝑥) = 4√𝑥 − 1
:
𝑓(𝑥) = cos 2𝑥 + 3sin 3𝑥
𝑓(𝑥) = (3𝑥 + 2)(7𝑥 + 1)
𝑓(𝑥) =
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7. 𝑓(𝑥) =
Solutions :
1. 𝑓 (𝑥) = 4𝑥 − 𝑥 − 𝑥 + 1
2. 𝑓 (𝑥) =
= 3×
= 4 × 4𝑥
= 3× −
3. 𝑓 (𝑥) = (4√𝑥 − 1) = 4 ×
=
−0=
√
− × 3𝑥 − 1 + 0 = 16𝑥 − 𝑥 − 1
√
=
√
4. 𝑓 (𝑥) = (cos 2𝑥 + 3sin 3𝑥) = −2sin 2𝑥 + 3𝑥 + 3cos 3𝑥 = −2sin 2𝑥 + 9cos 3𝑥
5. 𝑓(𝑥) = (3𝑥 + 2)(7𝑥 + 1)
On utilise la formule : (𝑢 × 𝑣) = 𝑢 × 𝑣 + 𝑢 × 𝑣
𝑓 (𝑥) = (3𝑥 + 2) × (7𝑥 + 1)
= (3𝑥 + 2) × (7𝑥 + 1) + (3𝑥 + 2) × (7𝑥 + 1)
= 6𝑥 × (7𝑥 + 1) + 7(3𝑥 + 2)
= 42𝑥 + 6𝑥 + 21𝑥 + 14
= 63𝑥 + 6𝑥 + 14
7. 𝑓(𝑥) =
On utilise la formule :
=
𝑓 (𝑥) =
=
)(
(
=
=
)
(
)
(
(
)
×
)
(
=(
(
)
)
)
Exercice 8 : Calculer les fonctions dérivées des fonctions suivantes ;
1. 𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 𝑥 + 5𝑥 + 𝑥 + 1
2. 𝑓(𝑥) = (3𝑥 + 1)(2𝑥 + 3)
3. 𝑓(𝑥) =
5. 𝑓(𝑥) =
√
6. 𝑓(𝑥) =
4. 𝑓(𝑥) =
Exercice 9 : Déterminer 𝑓 (𝑥) dans les cas suivants :
1. 𝑓(𝑥) = 9𝑥 + 2
2. 𝑓(𝑥) = 5𝑥 − 3𝑥 + 2
3. 𝑓(𝑥) = 𝑥 +
4. 𝑓(𝑥) =
5. 𝑓(𝑥) =
6. 𝑓(𝑥) =
(
)
7. 𝑓(𝑥) = (5𝑥 − 3)
8. 𝑓(𝑥) = √2𝑥 − 6𝑥 + 4
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√
9. 𝑓(𝑥) =
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15. 𝑓(𝑥) =
√
(
10. 𝑓(𝑥) = 𝑥 +
16) 𝑓(𝑥) =
)
16. 𝑓(𝑥) = 1 + 𝑥 +
11. 𝑓(𝑥) =
√
17. 𝑓(𝑥) =
12. 𝑓(𝑥) = 𝑥cos 𝑥
13. 𝑓(𝑥) = tan 𝑥
14. 𝑓(𝑥) = cos 𝑥 × sin 𝑥
Exercice 10 : Etudier le domaine de dérivabilité de 𝑓 et déterminer sa fonction dérivée
dans les cas suivants :
1. 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 3𝑥 − 1
6. 𝑓(𝑥) =
2. 𝑓(𝑥) = 4sin 𝑥
7. 𝑓(𝑥) =
3. 𝑓(𝑥) = 𝑥 cos 𝑥
8. 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 4
4. 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 𝑥
9. 𝑓(𝑥) = (2𝑥 + 3)
5. 𝑓(𝑥) =
√
Solution :
1. 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 3𝑥 − 1 , 𝐷 = ℝ
𝑓 est une fonction polynôme donc dérivable sur ℝ :
∀𝑥 ∈ ℝ 𝑓 (𝑥) = (𝑥 ) + (3𝑥 − 1) = 2𝑥 + 3
2. 𝑓(𝑥) = 4 sin 𝑥 , 𝐷 = ℝ, D’où 𝑓(𝑥) = 4𝑢(𝑥) , avec 𝑢(𝑥) = sin 𝑥
Puisque 𝑢 est dérivable sur ℝ alors 𝑓 est une fonction dérivable sur ℝ
∀𝑥 ∈ ℝ: 𝑓 (𝑥) = 4(𝑢(𝑥)) = 4cos 𝑥
3. 𝑓(𝑥) = 𝑥 cos 𝑥, 𝐷 = ℝ
Donc : 𝑓(𝑥) = 𝑢(𝑥) × 𝑣(𝑥) , avec 𝑢(𝑥) = 𝑥 et 𝑣(𝑥) = cos 𝑥
Puisque 𝑢 et 𝑣 sont dérivables sur ℝ , alors 𝑓 est une fonction dérivable sur ℝ
On utilise la formule : (𝑢 × 𝑣) = 𝑢 × 𝑣 + 𝑢 × 𝑣
𝑓 (𝑥) = (𝑥 ) × (cos 𝑥) = (𝑥 ) × (cos 𝑥) + (𝑥 ) × (cos 𝑥)
𝑓 (𝑥) = 4𝑥 × (cos 𝑥) − 𝑥 × sin 𝑥 = 4𝑥 cos 𝑥 − 𝑥 × sin 𝑥
4. 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 𝑥 𝐷 = ℝ = [0; +∞[
On a 𝑓(𝑥) = 𝑢(𝑥) + 𝑣(𝑥) , avec 𝑢(𝑥) = √𝑥 et 𝑣(𝑥) = 𝑥
Puisque 𝑢 est dérivables sur ℝ∗ et 𝑣 est dérivables en particulier sur ℝ∗ , alors 𝑓 est une
fonction dérivable sur ℝ∗
2
∀𝑥 ∈ ℝ∗ : 𝑓 (𝑥) = (𝑢(𝑥)) + (𝑣(𝑥)) =
+ 3𝑥
2√ 𝑥
5. 𝑓(𝑥) =
𝐷 = ℝ∗ =]0; +∞[
√
On a : 𝑓(𝑥) =
( )
, avec 𝑢(𝑥) = √𝑥
Puisque 𝑢 est dérivables sur ℝ∗ ; alors 𝑓 est dérivables sur ℝ∗
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En utilisant la formule
6. 𝑓(𝑥) =
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, alors ∀𝑥 ∈ ℝ∗ ∶ 𝑓 (𝑥) =
=−
√
, on a 𝐷 = ℝ\ −1;
Puisque 𝑓 est une fonction rationnelle, alors il dérivable sur 𝐷 = ℝ\ −1;
Et est on a 𝑓(𝑥) =
1
𝑢(𝑥)
𝑓 (𝑥) = 6
( )
, avec 𝑢(𝑥) = 4𝑥 + 3𝑥 − 1
=6 −
7. 𝑓(𝑥) =
𝑢
𝑢
= −6
(4𝑥 + 3𝑥 − 1)
8𝑥 + 3
−6
(4𝑥 + 3𝑥 − 1)
(4𝑥 + 3𝑥 − 1)
, et 𝐷 = ℝ\
Puisque 𝑓 est une fonction rationnelle alors il dérivable sur 𝐷 = ℝ\
𝑓(𝑥) =
( )
( )
, avec 𝑢(𝑥) = 4𝑥 − 3 et 𝑣(𝑥) = 2𝑥 − 1
On utilise la formule :
𝑓 (𝑥) =
𝑓 (𝑥) =
=
(
)
(
(
×(
)
=
)(
) (
(
)
=
)(
)
)
(
)
=
(
=
(
)
(
(
)
)
)
8. 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 4 ; 𝐷 = − ∞; −2 ∪ [2; +∞[
On a : 𝑓(𝑥) = 𝑢(𝑥), avec 𝑢(𝑥) = 𝑥 − 4
Et on a 𝑢(𝑥) > 0 , ∀𝑥 ∈ 𝐷 \{−2; 2}
Donc 𝑓 est dérivables sur 𝐷 \{−2; 2}
∀𝑥 ∈ 𝐷 \{−2; 2} ∶ 𝑓 (𝑥) = √𝑥 − 4
=
(
)
√
=
√
9. 𝑓(𝑥) = (2𝑥 + 3) , 𝐷 = ℝ
On pose 𝑓(𝑥) = (𝑢(𝑥)) , avec 𝑢(𝑥) = 2𝑥 + 3
On utilise la formule : (𝑢 ) = 𝑛𝑢
×𝑢
𝑓 (𝑥) = ((2𝑥 + 3) ) = 5 × (2𝑥 + 3)
× (2𝑥 + 3) = 5 × 2 × (2𝑥 + 3) = 10(2𝑥 + 3)
Exercice 11 : Soit 𝑓 une fonction définie sur 𝐼 =] − 𝜋; 𝜋[ par :
; si 0 < 𝑥 < 𝜋
𝑓(𝑥) = 2
𝑓(𝑥) =
|
|
; si − 𝜋 < 𝑥 ≤ 0
1) Monter que 𝑓 est dérivable en 𝑥 = 0 et donner l'équation de la tangente a la courbe de
𝑓 en 𝑥 = 0
2) a) Etudier la dérivabilité de 𝑓 en 𝑥 = −1
b) Donner les équations des demi-tangentes à a la courbe de 𝑓 en en 𝑥 = −1
Solution :
1) Etude de la dérivabilité de 𝑓 à droite en 𝑥 = 0
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𝑓(𝑥) − 𝑓(0)
cos 𝑥 − 1
1 − cos 𝑥
1
lim
= lim 2
= lim − 2
×
sin 𝑥
→
→
→
𝑥−0
𝑥sin 𝑥
𝑥
𝑥
𝑓(𝑥) − 𝑓(0)
1
lim
= −2 × × 1 = −1 = 𝑓 (0)
→
𝑥−0
2
Donc 𝑓 est dérivable à droite en 𝑥 = 0 et 𝑓 (0) = −1
𝑓(𝑥) − 𝑓(0)
|𝑥 + 1|
𝑥+1
lim
= lim
= lim
= −1 = 𝑓 (0)
→
→
→
𝑥−0
𝑥−1
𝑥−1
Donc 𝑓 est dérivable à gauche en 𝑥 = 0 et 𝑓 (0) = −1
Et puisque : 𝑓 (0) = 𝑓 (0)
Donc 𝑓 est dérivable à en 𝑥 = 0 et 𝑓 (0) = −1
Interprétation géométrique du résultat :
La courbe de 𝑓 admet une tangente en O(0,0) de coefficient directeur 𝑓 (0) = −1
l'équation de la tangente a la courbe de 𝑓 en 𝑥 = 0 est : 𝑦 = 𝑓(𝑥 ) + 𝑓 (𝑥 )(𝑥 − 𝑥 )
𝑦 = 𝑓(0) + 𝑓 (0)(𝑥 − 0)
𝑦 = 0 − 1(𝑥 − 0) ⇔ (𝑇): 𝑦 = −𝑥
( ) ( )
2. lim
= lim
= = 𝑓 (−1)
→
→
Donc 𝑓 est dérivable à droite en 𝑥 = −1 et 𝑓 (−1) =
𝑓(𝑥) − 𝑓(−1)
−𝑥
1
lim
= lim
= − = 𝑓 (−1)
→
→
𝑥+1
𝑥−1
2
Donc 𝑓 est dérivable à gauche en 𝑥 = −1 et 𝑓 (−1) = − , mais on a 𝑓 (−1) ≠ 𝑓 (−1)
Donc 𝑓 n'est pas dérivable en 𝑥 = −1
Interprétation géométrique du résultat : La courbe admet un point anguleux en 𝐴(−1,0).
b) l'équation de la demi-tangente à droite a la courbe de 𝑓 en en 𝑥 = −1 est :
𝑦 = 𝑓(−1) + 𝑓 (−1)(𝑥 + 1) , avec 𝑥 ≥ −1
𝑦 = 0 + (𝑥 + 1) ⇔ (𝑇 ): 𝑦 = 𝑥 + , avec 𝑥 ≥ −1
L’équation de la demi-tangente à gauche a la courbe de 𝑓 en en 𝑥 = −1 est :
𝑦 = 𝑓(−1) + 𝑓 (−1)(𝑥 + 1), avec 𝑥 ≤ −1
𝑦 = 0 − (𝑥 + 1) ⇔ 𝑇 : 𝑦 = − 𝑥 −
, avec 𝑥 ≤ −1
Exercice 12 : soit 𝑓 une fonction définie par : 𝑓(𝑥) = √3𝑥 − 2
1) Déterminer le domaine de définition 𝐷 de 𝑓
2) Déterminer le domaine de dérivabilité de 𝑓 et déterminer sa fonction dérivée
Solution :
1) 𝑥 ∈ 𝐷 ⇔ 3𝑥 − 2 ≥ 0 et 𝑥 − 1 ≠ 0. Donc : 𝐷 = [ ; 1[∪]1; +∞[
2) On a 𝑓(𝑥) = 𝑔(3𝑥 − 2) × ℎ(𝑥)
Avec : ℎ(𝑥) =
et 𝑔(𝑥) = √𝑥
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On sait que : 𝑔 est dérivable sur ℝ∗ et la fonction polynôme 𝐷 𝑥 → 3𝑥 − 2 est dérivable sur
𝐷 3𝑥 − 2 > 0 ⇔ 𝑥 > donc la fonction 𝑥 ⟼ 𝑔(3𝑥 − 2) est dérivable sur 𝐷 \
Donc : f est dérivable sur 𝐷 \
c-à-d 𝐷 = 𝐷 \
∀𝑥 ∈ 𝐷 : 𝑓 (𝑥) = (𝑔(3𝑥 − 2)) × ℎ(𝑥) + 𝑔(3𝑥 − 2) × (ℎ(𝑥))
Or (𝑔(3𝑥 − 2)) = (3𝑥 − 2) × 𝑔 (3𝑥 − 2) = 3 ×
D’où : (ℎ(𝑥)) = 3
Donc : 𝑓 (𝑥) =
et
×
×
√
=
+ √3𝑥 − 2
(
√
(
, car : 𝑔 (𝑥) = (√𝑥) =
)(
) (
(
)(
)
)
=
(
√
)
)
Exercice 13 :
En utilisant la dérivée calculer les limites suivantes :
1.
lim
(
)
→
2. lim
→
Solution :
1) on pose : 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 2)
𝑓(−1) = (−1 + 2)
=1
(
Donc : lim
)
on a : 𝑓 est dérivable sur ℝ en particulier en -1 et
( )
= lim
→
(
(
→
)
)
= 𝑓 (−1)
Et puisque : 𝑓 (𝑥) = 2024(𝑥 + 2)
(𝑥 + 2) = 2024(𝑥 + 2)
Ainsi : 𝑓 (−1) = 2024 × 1
= 2024
Donc : lim
(
)
= 2024
→
2) lim
on pose 𝑓(𝑥) = 2sin 𝑥
→
On 𝑎 : 𝑓 est dérivable sur ℝ en particulier en
Donc : lim
→
= lim
( )
→
=𝑓
Et puisque : 𝑓 (𝑥) = 2cos 𝑥
Donc : 𝑓
Donc : lim
→
= 2cos
=2
= √3
√
= √3
et 𝑓
= 2sin
=1