L IMITE
L IMITE D ’ UNE
ET CONTINUITÉ D ’ UNE FONCTION COMPOSÉE
FONCTION COMPOSÉE
Définition :
Soit u une fonction définie sur un ensemble I et v une fonction définie sur un ensemble J tel que
u(I) est inclus dans J.
La fonction notée v ◦ u, définie sur I par v ◦ u(x) = v(u(x)), est appelée fonction composée de u
et v.
Activité 1
Dans chacun des cas suivants, déterminer deux fonctions u et v telles que : f = v ◦ u.
1
f : x 7−→ cos(πx + 1)
3
2
π
f : x 7−→ tan
2x
4
1 – cos(sin x)
sin2 x
1
f : x 7−→ x sin
x
f : x 7−→
Théorème
Soit
u et v deux fonctions. Soit a, b et c finis ou infinis.


 lim u(x) = b
Si x→a
alors lim v ◦ u(x) = c c’est-à-dire lim v(u(x)) = c.
x→a
x→a


 lim v(x) = c
x→b
Activité 2
Dans chacun des cas suivants, étudier la limite de la fonction f.
1
2
πx + 1
f : x 7−→ cos
en +∞
x+3
√
sin( x – 1)
f : x 7−→ √
en 1
x–1
1 – cos(sin x)
en 0
sin2 x
1
f : x 7−→ x sin
en –∞
x
f : x 7−→
3
4
Activité 3
On donne ci-contre le tableau de variation d’une fonction f définie et continue sur R.
Déterminer les limites suivantes :
√
–∞
x
1
1
lim f( x).
+∞
x→+∞
3
2
3
sin x
lim f
x→0
x
√
lim f( x2 + 1 – 2x)
f
–∞
2
x→+∞
P ROF : M ERSANI I MED
-1/2-
C ONTINUITÉ
ET LIMITES
Activité 4
Soit f la fonction définie sur R \ {3} par : f(x) = sin
π(x2 – 4x + 3)
. La fonction f est-elle
x–3
prolongeable par continuité en 3 ?
C ONTINUITÉ D ’ UNE
FONCTION COMPOSÉE
Théorème
La composée de deux fonctions continues est une fonction continue.
plus précisément : si u est continue sur un intervalle I et v une fonction continue sur intervalle
J telle que u(I) ⊂ J alors la fonction v ◦ u est continue sur l’intervalle I.
En particulier si J = R alors la condition u(I) ⊂ J devient unitile.
Activité 5
Étudier dans chaque cas la continuité de f sur l’intervalle I.
1
2
√
π
, I = [0, +∞[
x+
4
x+1
f : x 7−→ cos
, I =] – ∞, 1[.
x–1
f : x 7−→ sin
3
f : x 7−→ tan
π x
, I =]1, +∞[
Exercice

√

 x2 + 9 + 5 si x ⩽ 0
Soit la fonction f définie sur R par f(x) =
. On désigne par Cf la courbe
sin 2x

si x > 0
 √
x+
2 4 –→
− →
−
représentative de f dans un repère orthonormé O, i , j du plan
1
a
x→–∞
obtenus.
b
2
3
a
f(x)
et lim f(x) + x . Interpréter graphiquement les résultats
x→–∞
x→–∞ x
Calculer lim f(x), lim
Montrer que pour tout x > 0, √
–1
⩽ f(x) ⩽ √
1
.
x+4–2
x+4–2
En déduire lim f(x). Interpréter graphiquement le résultat obtenu.
x→+∞
√
x+4–2
Calculer lim+
et déduire lim+ f(x).
x→0
x→0
x
b La fonction f est-elle continue en 0 ? Justifier.
Dans la figure
on a tracé, dans le repère
ci-contre,
→
− →
−
orthonormé O, i , j , la courbe représentative Cg
d’une fonction g définie et continue sur R.
On sait que l’axe des abscisses est une asymptote à la
courbe Cg au voisinage de –∞ et +∞.
2
Cg
→
−1
j O
−1
–4 –3 –2 –1 0 →
i
–1
2
3
4
Calculer les limites suivantes :
lim g ◦ f(x), lim f ◦ g(x) et lim g ◦ f(x).
x→–∞
x→–∞
P ROF : M ERSANI I MED
x→+∞
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C ONTINUITÉ
ET LIMITES