Paul Oliver Aycaya Layme Paul
Diego Tito Apaza
Soncco Soncco Edison Oliver
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INDICE
RESUMEN ................................................................................................................................... 4
INTRODUCCION ........................................................................................................................ 4
1.- OBJETIVOS ............................................................................................................................ 4
1.1.- OBJETIVO GENERAL.................................................................................................... 4
1.2.-OBJETIVOS ESPECÍFICOS ............................................................................................ 5
2.- CINEMÁTICA DE PARTICULAS ........................................................................................ 5
2.1.- ESPACIO Y TIEMPO ...................................................................................................... 5
2.2.- SISTEMAS DE REFERENCIA ....................................................................................... 5
2.3.- PARTÍCULA .................................................................................................................... 6
3.- TRAYECTORIA Y LEY HORARIA ..................................................................................... 6
3.1.- POSICIÓN INSTANTÁNEA ........................................................................................... 6
3.2.- DESPLAZAMIENTO ...................................................................................................... 7
3.3.- TRAYECTORIA .............................................................................................................. 7
5.- VELOCIDAD .......................................................................................................................... 8
5.1.- VELOCIDAD MEDIA ..................................................................................................... 8
5.2.- MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME ..................................................................... 8
6.- ACELERACIÓN ..................................................................................................................... 9
6.1.- DEFINICIÓN ................................................................................................................... 9
7.- COMPONENTES INTRÍNSECAS ....................................................................................... 10
7.1.- VELOCIDAD. VECTOR TANGENTE ......................................................................... 10
7.2.- ACELERACIÓN ............................................................................................................ 10
7.2.1.- VECTOR NORMAL ............................................................................................... 11
7.3.-RADIO DE CURVATURA ............................................................................................ 11
8.- EJEMPLOS DE MOVIMIENTOS ........................................................................................ 13
8.1.- RECTILÍNEO ................................................................................................................. 13
8.1.1.- RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO ............................................. 13
8.1.2.- RECTILÍNEO Y UNIFORME ................................................................................ 14
8.2.- PARABÓLICO ............................................................................................................... 14
8.3.- CIRCULAR .................................................................................................................... 15
8.3.1.- VELOCIDAD ANGULAR ..................................................................................... 15
8.3.2.- ACELERACIÓN ANGULAR................................................................................. 16
8.3.3.- MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME ............................................................ 16
8.4.- ARMÓNICO SIMPLE ................................................................................................... 17
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9.- EJERCICIOS RESUELTOS .......................................... ¡Error! Marcador no definido.
RECOMENDACIONES ...................................................................................................... 18
CONCLUSION .................................................................................................................... 19
BIBLIOGRAFIA ........................................................................................................................ 19
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RESUMEN
La cinemática de partículas es una rama de la física que se encarga del estudio del
movimiento de objetos puntuales, sin considerar las fuerzas que actúan sobre ellos.
Algunos conceptos clave en la cinemática de partículas incluyen el desplazamiento, la
velocidad, la aceleración y la trayectoria.
En el movimiento rectilíneo, la partícula se desplaza en línea recta. Si la velocidad es
constante, se trata de un movimiento rectilíneo uniforme (MRU). Si la velocidad varía de
manera uniforme, se denomina movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA
o también MRUV).
En el movimiento en dos dimensiones, la partícula se desplaza en un plano. Puede
descomponerse en componentes horizontal y vertical. Algunos ejemplos de movimiento
en dos dimensiones incluyen el movimiento parabólico y el movimiento circular
uniforme.
La cinemática de partículas tiene diversas aplicaciones, como el estudio del movimiento
de proyectiles, el análisis del movimiento en sistemas mecánicos y el estudio del
movimiento de objetos en caída libre.
INTRODUCCION
En la cinemática de partículas, nos centramos en aspectos como el desplazamiento, la
velocidad y la aceleración de una partícula en movimiento. Estos conceptos nos permiten
describir y analizar el comportamiento de las partículas en términos de su posición y
cambio de posición en el tiempo.
El desplazamiento se refiere al cambio de posición de una partícula con respecto a un
punto de referencia. La velocidad, por otro lado, se define como la tasa de cambio del
desplazamiento en el tiempo. La aceleración representa la tasa de cambio de la velocidad
en el tiempo y puede ser positiva (aceleración) o negativa (desaceleración).
La cinemática de partículas también abarca el estudio de trayectorias, que son las curvas
descritas por las partículas en su movimiento. Estas trayectorias pueden ser rectilíneas,
curvas o incluso parabólicas, dependiendo de las fuerzas y condiciones presentes en el
sistema.
1.- OBJETIVOS
1.1.- OBJETIVO GENERAL
• Comprender y analizar el movimiento de partículas sin considerar las fuerzas que
actúan sobre ellas, utilizando conceptos como desplazamiento, velocidad y
aceleración.
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1.2.-OBJETIVOS ESPECÍFICOS
•
•
•
Describir y aplicar los conceptos fundamentales de la cinemática de
partículas, como el desplazamiento, la velocidad y la aceleración.
Analizar y resolver problemas de movimiento rectilíneo uniforme (MRU) y
movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA).
Descomponer el movimiento en dos dimensiones y analizar el movimiento
parabólico y el movimiento circular uniforme.
2.- CINEMÁTICA DE PARTICULAS
que describe geométricamente el movimiento sin atender a sus causas.
2.1.- ESPACIO Y TIEMPO
El espacio y el tiempo son conceptos primitivos, que no pueden definirse más que por la
experiencia: el espacio es lo que miden las reglas y el tiempo lo que miden los relojes.
Conjuntamente constituyen el espacio-tiempo, que es el marco en que se produce el movimiento.
Independencia entre espacio y tiempo
Dado que no vamos a considerar mecánica relativista, admitiremos que el espacio y el tiempo son
magnitudes independientes, medidas separadamente. Es lo que se conoce como espacio-tiempo
galileano.
Tiempo uniforme
Admitimos que el tiempo fluye uniformemente y es el mismo para todos los observadores, de
forma que si dos eventos son simultáneos para un observador, lo son para todos los demás
observadores (esto deja de ser cierto en relatividad).
Espacio euclídeo
Admitimos que el espacio es
•
•
•
•
Homogéneo: posee las mismas propiedades en todos sus puntos.
Isótropo: todas las direcciones son equivalentes
Tridimensional: Existen tres dimensiones, que podemos denominar largo, ancho y alto.
Plano: que no significa que sea bidimensional, sino que cualquier recta puede prolongarse
indefinidamente, manteniendo constante su dirección.
Todas estas propiedades son abstracciones, que no resultan de forma inmediata de nuestra
experiencia. En la mayoría de los problemas de mecánica, el espacio con el que se trata no es ni
homogéneo (no es lo mismo estar sobre el suelo que bajo él), ni isótropo (pues hay una dirección
preferida, la dada por la gravedad), ni tridimensional (si se trata de una partícula que rueda por la
superficie terrestre), ni plano (por ser curvada la superficie terrestre). Es a base de
generalizaciones y abstracciones que se llega al modelo del espacio euclídeo.
2.2.- SISTEMAS DE REFERENCIA
Dado un punto del espacio, O, que tomamos como origen de coordenadas, tomamos tres planos
que pasan por dicho punto y que sean ortogonales entre sí, que denominaremos XY, XZ e YZ.
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Definimos entonces las coordenadas cartesianas de cualquier otro punto como las distancias
(con signo), x, y, z a estos planos coordenados (x la distancia al YZ, y al XZ, y z al XY).
Los planos se cortan en tres rectas, también ortogonales entre sí, que denominamos ejes de
coordenadas X, Y y Z. Los vectores unitarios tangentes a estos ejes forman una base
ortonormal
, conocida como base canónica, de forma que la posición de cualquier punto
P puede expresarse mediante su vector de posición
2.3.- PARTÍCULA
La partícula o punto material es un modelo matemático consistente en un punto geométrico (sin
dimensiones) dotado de una masa finita y distinta de cero (densidad másica infinita). La utilidad
de este modelo radica en que:
3.- TRAYECTORIA Y LEY HORARIA
3.1.- POSICIÓN INSTANTÁNEA
Cuando una partícula se mueve por el espacio en cada instante ocupará una posición, que irá
cambiando de forma continua con el tiempo (ya que la partícula no puede desmaterializarse o
teleportarse a otra posición).
En principio podemos etiquetar cada posición por una letra A, B, C,... Sin embargo, es más
práctico identificar cada posición por su vector de posición cuyas componentes cartesianas son
las distancias (con signo) a los planos coordenados.
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Aquí x(t), y(t) y z(t) son ciertas funciones continuas del tiempo.
Cuando se da la posición de la partícula como función del tiempo se dice que se conocen las
ecuaciones horarias del movimiento.
3.2.- DESPLAZAMIENTO
El desplazamiento de una partícula en un intervalo Δt es la diferencia (vectorial) entre la posición
al final del intervalo y la posición inicial
Es importante hacer la distinción entre el desplazamiento y la distancia recorrida. Una partícula
que recorra una curva cerrada tendrá un desplazamiento nulo, aunque la distancia recorrida no sea
nula.
3.3.- TRAYECTORIA
Una partícula, al evolucionar en el tiempo, salvo cuando se encuentre en reposo, describe una
curva en el espacio. Esta curva se conoce como la trayectoria de la partícula. Las ecuaciones
horarias sirven como ecuaciones paramétricas de la trayectoria, siendo el tiempo el
parámetro.Noobstante, a una misma trayectoria le pueden corresponder infinitas ecuaciones
horarias, dependiendo del ritmo con el que se recorre la curva. Por ejemplo, las ecuaciones
horarias
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y
corresponden a la misma trayectoria, una circunferencia horizontal.
En ocasiones, para indicar la trayectoria es preferible usar ecuaciones implícitas. En estas, se dan
dos funciones (una sola, si el movimiento es plano), tales que
Así, los dos ejemplos anteriores verifican
5.- VELOCIDAD
5.1.- VELOCIDAD MEDIA
Se define la velocidad media como el cociente entre el desplazamiento en un intervalo de tiempo
y la duración de dicho intervalo
De esta definición se deduce que:
La velocidad instantánea es un vector: posee módulo, dirección y sentido.
Las unidades de la velocidad instantánea son la de una distancia dividida por un tiempo, en el SI
m/s, aunque otras unidades como km/h son de uso frecuente.
La velocidad instantánea es un vector tangente a la trayectoria en cada punto.
5.2.- MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME
Como ilustración supongamos el movimiento circular
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La celeridad la calculamos como el módulo de la velocidad
El parámetro arco es entonces, suponiendo que empezamos a medir desde t = 0
Invirtiendo esta relación
lo que nos da la parametrización natural de la circunferencia
6.- ACELERACIÓN
6.1.- DEFINICIÓN
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Del mismo modo que se define la velocidad como la derivada de la posición respecto al
tiempo, se define la aceleración instantánea como la derivada de la velocidad respecto al
tiempo
Esto quiere decir que la aceleración es la segunda derivada del vector de posición respecto al
tiempo, lo que se indica con dos puntos sobre la magnitud
7.- COMPONENTES INTRÍNSECAS
7.1.- VELOCIDAD. VECTOR TANGENTE
De la definición de velocidad se deduce que se trata de un vector siempre tangente a la trayectoria,
ya que un desplazamiento infinitesimal a lo largo de la trayectoria es un vector en la dirección de
esta. Esto nos permite definir un vector unitario tangente a la trayectoria normalizando la velocidad
o, dicho de otra forma
La velocidad instantánea es un vector. La información sobre el módulo se recoge en la celeridad,
mientras que la dirección y el sentido los da el vector unitario tangente a la trayectoria.
7.2.- ACELERACIÓN
A diferencia de la velocidad, la aceleración puede formar un ángulo cualquiera con la trayectoria.
Podemos escribir entonces el vector aceleración como suma de dos componentes, una en la
dirección de movimiento, tangente a la velocidad, y un resto perpendicular a ella. Estas dos
componentes se denominan aceleración tangencial y aceleración normal. Estas son las
denominadas componentes intrínsecas de la aceleración.
Podemos obtener una expresión para la aceleración tangencial proyectando la aceleración sobre el
vector tangente, unitario en la dirección de la velocidad
Conocida la aceleración y calculada la aceleración tangencial, podemos hallar la aceleración
normal simplemente restando
o bien directamente multiplicando vectorialmente dos veces por el vector velocidad
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7.2.1.- VECTOR NORMAL
A partir de la aceleración normal podemos definir un vector normal a la trayectoria
Como el vector unitario tangente, el unitario normal es una propiedad puramente geométrica y no
depende de la rapidez con que se recorra la trayectoria.
7.3.-RADIO DE CURVATURA
La aceleración normal puede escribirse en la forma
donde R(t) es el llamado radio de curvatura de la trayectoria en ese instante. Este radio de
curvatura es el radio de la llamada circunferencia osculatriz que es la que describiría una partícula
que se moviera circularmente y tal que en ese instante ocupara la misma posición, tuviera la misma
velocidad y la misma aceleración que la partícula real. El centro de esta circunferencia (centro de
curvatura) está en cada instante en
Vector tangente
es el unitario tangente a la trayectoria, que se puede obtener normalizando la velocidad
También puede calcularse considerando la derivada de la posición respecto a cualquier parámetro,
no necesariamente el tiempo
En particular, si se emplea como variable el parámetro natural
Vector normal
es el unitario en la dirección de la aceleración normal
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También puede hallarse normalizando la derivada del vector tangente respecto al tiempo o
cualquier otra variable
Vector binormal
Para completar la base ortonormal podemos obtener un tercer vector multiplicando vectorialmente
los dos anteriores
Alternativamente, el vector binormal puede hallarse directamente a partir de la velocidad y la
aceleración
El vector binormal apunta en la dirección perpendicular al plano definido por la velocidad y la
aceleración.
Alternativamente, dado que el vector binormal es más fácil de calcular a partir de la velocidad y
la aceleración que el vector normal, es preferible hallar primero
y luego
como
Cualquier vector ligado a la partícula podrá escribirse entonces como la combinación lineal
Hay que destacar que el triedro de Frenet es dependiente de la posición. El vector tangente en un
punto de la trayectoria será diferente del vector tangente en otro punto, y por tanto las componentes
de los vectores irán cambiando de un punto a punto, aunque el vector no cambie.
Componentes intrínsecas en el tiro parabólico
Los vectores de la base definen tres ejes coordenados (prolongando en la dirección de cada vector)
y tres planos coordenados (combinando linealmente dos de ellos). Entre estos destaca.
Recta tangente
Si en un instante dado t0 la partícula ocupa la posición
y se mueve con velocidad
la recta
tangente a la trayectoria se obtiene prolongando hacia adelante y hacia atrás en la dirección de
(o de la velocidad, que apunta en la misma dirección)
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Esta es la recta que seguiría una partícula que se moviera uniformemente y que pasar por el
mismo punto y a la misma velocidad que la partícula real.
Plano osculador
Es el definido por los vectores tangente y normal. Si en un instante dado la partícula se encuentra
en la posición
, tiene velocidad
y aceleración
, el plano osculador tiene la ecuación
o, en términos de la velocidad y la aceleración
La ecuación vectorial de este plano es
Una trayectoria es plana cuando se encuentra contenida siempre en el mismo plano, que será
necesariamente el plano osculador (que está definido por la velocidad y la aceleración). Por ello,
la condición matemática de curva plana es que
8.- EJEMPLOS DE MOVIMIENTOS
8.1.- RECTILÍNEO
Un movimiento rectilíneo, como su nombre indica, es aquel cuya trayectoria es una recta.
Cinemáticamente, esto se caracteriza porque su aceleración normal, responsable del cambio de
dirección en la velocidad, es siempre nula. La velocidad y la aceleración son siempre paralelas en
un movimiento rectilíneo
En el caso de un movimiento rectilíneo, el paramétro arco no es más que la distancia medida sobre
la recta en que se desplaza la partícula, de forma que la posición, velocidad y aceleración en
cualquier instante se pueden escribir como
8.1.1.- RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO
Un caso particular de movimiento rectilíneo es aquel en que la aceleración es una constante
En este movimiento la celeridad aumenta linealmente con el tiempo
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y la posición varía de forma cuadrática con el tiempo
8.1.2.- RECTILÍNEO Y UNIFORME
Otro caso particular de movimiento es el que tiene aceleración nula. En este caso
En el caso de una velocidad constante, el movimiento resultante es siempre rectilíneo y uniforme.
8.2.- PARABÓLICO
Cinemática del tiro parabólico
El movimiento parabólico, característico del tiro de un proyectil, se caracteriza por tener una
aceleración constante debida a la gravedad
(tomando como eje Z el perpendicular al suelo y dirigido hacia arriba). Integrando esta ecuación
una vez obtenemos la velocidad instantánea
y una nueva integración nos da la posición instantánea:
Este movimiento es plano, ya que su vector binormal es constante
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Si tomamos el eje X como el que pertenece al plano de movimiento podemos escribir la
posición instantánea como
Esta ecuación puede leerse como que el movimiento parabólico es una superposición de un
movimiento uniforme en la dirección horizontal y uno uniformemente acelerado en la dirección
vertical.
Eliminando el tiempo entre las dos coordenadas obtenemos una ecuación para la trayectoria
Al tratarse de un polinomio de segundo grado, es claro que la trayectoria es una parábola dirigida
hacia abajo.
8.3.- CIRCULAR
Un movimiento circular es aquel cuya trayectoria es una circunferencia. Esto implica que •
El movimiento es plano: Existe un vector constante
•
tal que
El radio de curvatura permanece constante:
Estas dos condiciones pueden reducirse a una sola:
•
El centro de curvatura permanece constante:
8.3.1.- VELOCIDAD ANGULAR
En cualquier movimiento, se verifica en todo instante que
en el caso particular de un movimiento circular R y
cuadrado esta expresión
son constantes, por lo que si elevamos al
y derivamos respecto al tiempo
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esto es, la velocidad es siempre perpendicular al vector de posición relativa al centro de la
circunferencia. Esta ortogonalidad permite escribir la velocidad como
8.3.2.- ACELERACIÓN ANGULAR
Derivando en la expresión anterior para la velocidad
El vector
es la aceleración angular del movimiento. En el sistema internacional, sus unidades son rad/s².
8.3.3.- MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME
El movimiento circular uniforme es el que ocurre a celeridad constante
En este movimiento la velocidad no es constante, puesto que su dirección está cambiado. La
aceleración es puramente normal
lo que implica que la aceleración va en la dirección de la posición relativa al centro de la
circunferencia, y dirigida hacia adentro y puesto que estos dos vectores son de módulo constante
se cumple
En un movimiento circular uniforme la velocidad angular es constante
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y la aceleración angular es nula
La aceleración puede escribirse en términos de la velocidad angular como
Un movimiento circular uniforme es periódico, siendo el periodo de revolución el tiempo necesario
para dar una vuelta completa
Al número de vueltas que la partícula da por segundo se le denomina la frecuencia natural
8.4.- ARMÓNICO SIMPLE
El movimiento armónico simple (M.A.S.) es un caso particular de movimiento rectilíneo (que, por
tanto, se puede describir mediante cantidades escalares), caracterizado por la ecuación de
movimiento
siendo ω una constante.
La expresión general de un posible desplazamiento que verifique esta ecuación es
siendo A y β dos constantes que se pueden calcular a partir de la posición y la velocidad inicial.
El movimiento armónico simple también se puede definir de forma alternativa como el obtenido
al proyectar un movimiento circular uniforme sobre un diámetro cualquiera de la circunferencia.
La velocidad y la aceleración instantáneas se calculan derivando la expresión de x(t):
Si representamos la posición a lo largo del eje X como función del tiempo obtenemos una función
periódica
con T el periodo de oscilación. La forma de la función es sinusoidal. Este movimiento se
caracteriza por los siguientes variables y constantes: Elongación, x(t)
es la posición instantánea, considerada como distancia (con signo) respecto a la posición central
del movimiento.
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Fase, φ = ωt + β
Indica en que punto del ciclo se encuentra el sistema. Para un periodo varía entre 0 y 2π rad.
Amplitud, A es la máxima elongación del movimiento. Se mide en m en el SI.
Frecuencia angular, ω
En el SI se mide en rad/s.
Periodo, T
Es el intervalo necesario para una oscilación completa. Se calcula a partir de la frecuencia angular
como
En el SI el periodo se mide en s. Frecuencia
natural, f
mide el número de oscilaciones que el sistema realiza en la unidad de tiempo. Es la inversa del
periodo
En el SI se mide en hercios, Hz, equivalentes a 1 ciclo/s o simplemente a 1 s−1.
Constante de fase, β
La velocidad y la aceleración de este movimiento son también funciones oscilatorias, con el mismo
periodo pero desfasadas, un cuarto de periodo la velocidad y medio periodo la aceleración. En un
periodo de oscilación, cuando la elongación es máxima, la velocidad es nula y la aceleración es
máxima (pero de signo contrario a la elongación). En el punto central la elongación y la aceleración
son nulas, mientras que la velocidad es máxima.
RECOMENDACIONES
•
•
•
Conoce los conceptos básicos: Familiarízate con los conceptos fundamentales de la
cinemática de partículas, como el desplazamiento, la velocidad y la aceleración.
Comprender estos conceptos te ayudará a construir una base sólida para el estudio de
la cinemática.
Practica con ejercicios: Realiza una variedad de ejercicios y problemas relacionados
con la cinemática de partículas. Esto te ayudará a aplicar los conceptos teóricos y a
desarrollar habilidades para resolver problemas de movimiento de partículas.
Utiliza recursos visuales: Recurre a recursos visuales como diagramas, gráficas y
animaciones para visualizar el movimiento de las partículas. Estos recursos pueden
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ayudarte a comprender mejor los conceptos y a visualizar cómo cambian las
variables de movimiento a lo largo del tiempo.
•
Estudia casos prácticos: Examina casos prácticos y aplicaciones reales de la
cinemática de partículas. Esto te ayudará a comprender cómo se aplica la cinemática
en situaciones del mundo real, como el lanzamiento de proyectiles o el movimiento de
objetos en sistemas mecánicos.
CONCLUSION
En conclusión, la cinemática de partículas es una herramienta fundamental para
comprender y analizar el movimiento de objetos puntuales sin tener en cuenta las fuerzas
que actúan sobre ellos. A través del estudio de conceptos como el desplazamiento, la
velocidad y la aceleración, podemos describir y predecir el comportamiento de las
partículas en movimiento.
La cinemática de partículas nos permite analizar el movimiento en diferentes contextos,
ya sea en una dimensión o en dos dimensiones. Podemos estudiar el movimiento rectilíneo
uniforme (MRU), donde la partícula se desplaza en línea recta con velocidad constante,
así como el movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA), donde la velocidad
varía de manera uniforme.
El conocimiento de la cinemática de partículas es esencial en muchas áreas de la física y
la ingeniería. Nos proporciona las bases para comprender fenómenos naturales, como el
movimiento de los planetas en el sistema solar, así como para diseñar sistemas y máquinas
que requieren un análisis preciso del movimiento de las partículas.
En fin, la cinemática de partículas es una herramienta fundamental para describir y analizar
el movimiento de objetos puntuales. A través del estudio de conceptos como el
desplazamiento, la velocidad y la aceleración, podemos comprender y predecir el
comportamiento de las partículas en movimiento, lo que nos permite avanzar en nuestro
conocimiento y aplicación de la física y la ingeniería.
BIBLIOGRAFIA
•
http://tesla.us.es/wiki/index.php/Cinem%C3%A1tica_de_la_part%C3%ADcula_(G.
I.T.I.)
•
https://digibuo.uniovi.es/dspace/bitstream/handle/10651/56956/JCL_cinem%C3%A
1tica.pdf?sequence=1&isAllowed=y
•
https://es.wikipedia.org/wiki/Movimiento_rectil%C3%ADneo_uniformemente_acel
erado#:~:text=En%20f%C3%ADsica%2C%20el%20movimiento%20rectil%C3%A
Dneo,sometido%20a%20una%20aceleraci%C3%B3n%20constante.
•
https://es.scribd.com/document/647468226/Informe-de-cinematica-de-particulas
•
https://www.docsity.com/es/informe-fisica-i-cinematica-de-la-particula/10244210/
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EJERCICIO RESUELTO:
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Problema N°2
El movimiento de una partícula está definido por la relación x=
1.5t2+30t2+5t+10donde x y t se expresan en metros y segundos respectivamente,
determine:
la posición, la velocidad y la aceleración de la partícula cuando t=4s
SOLUCIÓN
Posición para todo t ≥ 0:
𝑋 = 1.5𝑡 4 − 30𝑡 2 + 5𝑡 + 10
Luego:
Velocidad para todo t ≥ 0:
𝑣=
𝑑𝑥
= 6𝑡 3 − 60𝑡 + 5
𝑑𝑡
Aceleración para todo t ≥ 0:
𝑎=
𝑑𝑣
= 18𝑡 2 − 60
𝑑𝑡
Se pide:
Posición en t=4 s, luego:
𝑥 = 1.5 (4)4 − 30(4)2 + 5(4) + 10 = −66𝑚
Entonces:
𝑋 = −66.0𝑚
Velocidad en t=4 s, luego:
𝑣 = 6(4)3 − 60(4) + 5 = 149𝑚/𝑠
Entonces:
𝑣 = 149.0𝑚/𝑠
➢
Aceleración en t= 4 s, luego:
𝑎 = 18 (4)2 − 60 = 228𝑚/𝑠
Entonces:
𝑎 = 228.0𝑚/𝑠
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Problema N°3
La aceleración de una partícula está dada por la expresión 𝑎 = 𝑐𝑣 2 . Donde es constante y
la partícula parte del reposo. Determinar su velocidad en función de la altura.
Solución:
La aceleración es la variación de la velocidad respecto al tiempo:
𝑎=
𝑑𝑉
𝑑𝑡
La expresión de la aceleración se multiplica y divide entre el diferencial total de posición,
encontrando:
𝑎=
𝑑𝑉 𝑑𝑌
⋅
𝑑𝑡 𝑑𝑌
Utilizando la regla de la cadena para expresar la aceleración en función de la velocidad y
la posición, se tiene:
𝑎=
𝑑𝑉 𝑑𝑌
⋅
𝑑𝑡 𝑑𝑡
La variación de la posición respecto al tiempo es la velocidad.
𝑑𝑌
𝑑𝑡
𝑉=
Reemplazando la velocidad en la expresión de la aceleración, se tiene:
𝑎=𝑉
𝑑𝑉
𝑑𝑌
Reemplazando la expresión de la aceleración dada, se tiene:
𝐶𝑉 2 = 𝑉
𝑑𝑉
𝑑𝑌
Separando variables se tiene que:
𝑑𝑌 =
𝑉 𝑑𝑉
𝐶𝑉 2
por lo tanto:
𝑑𝑌 =
𝑑𝑉
𝐶𝑉
Ubicando el origen para el sistema de ejes cartesianos en el origen del movimiento para
la partícula, teniendo en cuenta que la partícula parte del reposo e integrando, se tiene:
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𝑌0 = 0
𝑌
𝜈
∫ 𝑑𝑌 = ∫
0
0
𝑌−0=
1
𝑑𝑉
𝐶𝑉
1
(ln 𝑉 − ln 0)
𝐶
𝑦=
1
𝐿𝑛𝑉
𝐶
Problema N°4
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