‫אלגברה לינארית תרגיל בית ‪9‬‬
‫אודיסאה תשפ“ד‬
‫בן בסקין‬
‫יש להגיש את המטלות במודל‪ ,‬בכתב ברור ובסריקה ברורה‪ .‬מועד ההגשה‪ :‬יום ראשון‪ 04.02.24 ,‬עד השעה‬
‫‪.22:00‬‬
‫‪ .1‬תהא ‪ f : A → B, g : B → C‬פונקציות‪ .‬נגדיר פונקציה חדשה ‪ g ◦ f : A → C‬המקיימת‬
‫))‪ .∀a ∈ A g ◦ f (a) := g (f (a‬פונקציה זו נקראת ההרכבה של ‪ g‬על ‪.f‬‬
‫)א( הוכיחו ש־ ‪ g ◦ f‬היא פונקציה )צריך להוכיח שלכל איבר ב־‪ A‬יש תמונה יחידה ב־‪ C‬תחת ‪.(g ◦ f‬‬
‫)ב( הוכיחו שאם ‪ g, f‬חח“ע אז ‪ g ◦ f‬חח“ע גם היא‪.‬‬
‫)ג( הוכיחו שאם ‪ g, f‬על אז ‪ g ◦ f‬על גם היא‪.‬‬
‫)ד( עבור הסעיפים הקודמים‪ ,‬הראו שהתנאים הכרחיים )למשל‪ ,‬בסעיף ב'‪ ,‬אם אחת מ־ ‪ g, f‬אינה חח“ע‬
‫אז ‪ g ◦ f‬אינה בהכרח חח“ע‪ .‬יש למצוא דוגמה כאשר ‪ f‬אינה חח“ע וכאשר ‪ g‬אינה חח“ע‪ .‬אין צורך‬
‫בדוגמאות מסובכות‪ ,‬אפשר למצוא קבוצות ‪ A, B, C‬עם מספר קטן של איברים(‪.‬‬
‫‪ .2‬תהא ‪ f : A → B‬פונקציה‪ .‬נאמר שהיא הפיכה משמאל אם קיימת ‪ g : B → A‬כך ש־ ‪.g ◦ f = IdA‬‬
‫נאמר שהיא הפיכה מימין אם קיימת ‪ h : B → A‬כך ש־ ‪.f ◦ g = IdB‬‬
‫נאמר שהיא הפיכה אם קיימת ‪ g : B → A‬כך ש־ ‪ g ◦ f = IdA‬וגם ‪.f ◦ g = IdB‬‬
‫הערה‪ IdA : A → A :‬היא פונקציית הזהות המקיימת ‪.∀a ∈ A f (a) = a‬‬
‫)א( הוכיחו ש־ ‪ f‬הפיכה אם“ם היא הפיכה מימין ומשמאל )שימו לב‪ ,‬שלפי הגדרה‪ ,‬אם ‪ f‬הפיכה גם מימין‬
‫וגם משמאל‪ ,‬לאו דווקא מדובר באותה הפונקציה שהופכת אותה(‪.‬‬
‫)ב( הוכיחו ש־ ‪ f‬חח“ע אם“ם היא הפיכה משמאל‪.‬‬
‫)ג( הוכיחו ש־ ‪ f‬על אם“ם היא הפיכה מימין‪.‬‬
‫)ד( הוכיחו ש־ ‪ f‬הפיכה אם“ם היא חח“ע ועל‪.‬‬
‫)ה( הוכיחו שאם ‪ f‬הפיכה אז ההופכית שלה יחידה‪.‬‬
‫)ו( מצאו דומגה ל־‪ g, h : B → A ,f : A → B‬כך ש־ ‪ ,g ◦ f = h ◦ f = IdA‬אבל ‪.g ̸= h‬‬
‫‪ .3‬תהא ‪ .C1 , C2 ⊆ A ,f : A → B‬עבור ‪ ,C ⊆ A‬נגדיר }‪ .f (C) := {f (c) ∈ B | c ∈ C‬אילו מהטענות‬
‫הבאות נכונות?‬
‫)א( אם ‪ C1 ⊆ C2‬אז ) ‪.f (C1 ) ⊆ f (C2‬‬
‫)ב( אם ) ‪ f (C1 ) ⊆ f (C2‬אז ‪.C1 ⊆ C2‬‬
‫)ג( אם ) ‪ f (C1 ) ⊆ f (C2‬ו־ ‪ f‬חח“ע‪ ,‬אז ‪.C1 ⊆ C2‬‬
‫‪1‬‬
‫ נניח‬.f −1 (D) := {a ∈ A | f (a) ∈ D} ‫ נגדיר‬D ⊆ B ‫ עבור‬.D1 , D2 ⊆ B ,f : A → B ‫ תהא‬.4
?‫ אילו הטענות הבאות נכונות‬.D1 ⊆ D2 ‫ש־‬
.f −1 (D1 ) ⊆ f −1 (D2 ) ‫ חח“ע אז‬f ‫)א( אם‬
.f −1 (D1 ) ⊆ f −1 (D2 ) ‫ על אז‬f ‫)ב( אם‬
.C ⊆ A, D ⊆ B ,f : A → B ‫ יהיו‬.5
.‫ מצאו דוגמה שבה ההכלה אינה שוויון‬.C ⊆ f −1 (f (C))‫)א( הוכיחו ש־‬
.‫ מצאו דוגמה שבה ההכלה אינה שוויון‬.f (f −1 (D)) ⊆ D‫)ב( הוכיחו ש־‬
‫ הוכיחו‬.(‫ בהתאמה )לאו דווקא סופיים‬U, W ‫ בסיסים של‬B1 , B2 ‫ יהיו‬.U, W ≤ V ,F ‫ מ“ו מעל‬V ‫ יהא‬.6
.Span (U ∪ W ) = Span (B1 ∪ B2 ) = U + W ‫ש־‬
:‫ המוגדרים באופן הבא‬U, W ≤ R5 ‫ יהיו‬.R ‫ כמ“ו מעל‬R5 ‫ נתבונן ב־‬.7











x
−
x
+
2x
+
x
=
0
1
2
3
4






5
 ∈ R | −2x1 + 3x2 − 3x3 − 2x4 − x5 = 0








x1 − 3x2 + x4 + 2x5 = 0















U= 










x1
x2
x3
x4
x5


x1






x

 2

W =  x3





 x4



x5





x + x3 − x4 − x5 = 0


 1

 ∈ R5 | −x + x + x − x + 2x = 0
1
2
3
4
5





2x1 + x2 + 4x3 − 3x4 − 2x5 = 0
















.U + W ‫מצאו בסיס ל־‬
 






 

U = Span 
 







1
2
0
−1
−1
 
 
 
 
,
 
 
 
−1
−1
−2
2
1
:‫ המוגדרים באופן הבא‬U, W ≤ R5 ‫יהיו‬
 
 
 


0









 





  1 

 
 
 
 ,  −1   , W = Span  
 
 
 




 

0




 
 





−1
.R ‫ כמ“ו מעל‬R5 ‫נתבונן ב־‬
 
 
1
0
1
 
 
3   3   1
 
 
 −2  ,  0
,
−1 
 
 
 
 
−1   0   −2
−1
−1
−2
.8
 






 
 
 







.U ∩ W ‫מצאו בסיס ל־‬
:‫ המוגדרות באופן הבא‬f, g, l ∈ RR ‫ יהיו‬.R ‫ כמרחב וקטורי מעל‬RR ‫ נתבונן ב־‬.9
f (x) = 1, g (x) = x2 − 1, l (x) = x3 + x2
:‫ המוגדרים באופן הבא‬U, W ≤ RR ‫יהיו‬
{
}
U = Span ({f, g, l}) , W = h ∈ RR | h (0) = h (1)
.U ∩ W ‫מצאו בסיס ל־‬
2