‫אלגברה לינארית ‪1‬‬
‫‪2112-2112‬‬
‫אלגברה לינארית ‪1‬‬
‫על‪-‬פי הרצאות פרופ' יבגני סטרחוב‬
‫סיכום‪ :‬נחי א‪.‬‬
‫הסיכום נכתב במתכונת הקורס אלגברה לינארית ‪ 1‬למתמטיקאים (קורס ‪,)43108‬‬
‫האוניברסיטה העברית‪2312-2310 ,‬‬
‫הסיכום לא עבר את אישור פרופ' סטרחוב והוא לא מוגה‪ ,‬ועם זאת אני רוצה להודות לכל מי ששלח‬
‫הערות ותיקונים‪ ,‬ובמיוחד ל‪:‬‬
‫נעמה בויאר‪ ,‬אייל גור‪ ,‬הדר גורודיסקי‪ ,‬רון הברמן‪ ,‬זהר כהן‪ ,‬מאיה לשקוביץ ורעות שאבו‪.‬‬
‫‪nachman.avraham@mail.huji.ac.il‬‬
‫להערות‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫תוכן עניינים‪:‬‬
‫פרק ‪ :1‬שדות‪.........................................................................................................................................‬עמוד ‪2‬‬
‫פרק ‪ :2‬מרחבים וקטוריים‪.......................................................................................................... ............‬עמוד ‪11‬‬
‫פרק ‪ :2‬העתקות לינאריות‪.......................................................................................................................‬עמוד ‪11‬‬
‫פרק ‪ :1‬מערכות משוואות ומטריצות‪.........................................................................................................‬עמוד ‪11‬‬
‫פרק ‪ :1‬דטרמיננטות‪..............................................................................................................................‬עמוד ‪41‬‬
‫‪2‬‬
‫פרק ‪ – 1‬שדות‬
‫‪‬‬
‫שדה‬
‫קבוצה נקראת "שדה"‪ ,‬כאשר פעולות "חיבור" ו"כפל" מוגדרות בה‪ ,‬ומתקיימים הכללים הבאים‪:‬‬
‫א‪ .‬תכונות של פעולת החיבור‪:‬‬
‫‪ .a‬אם ‪ , a, b‬אז קיים ‪ c ‬יחיד‪ ,‬כך שמתקיים ‪a  b  c‬‬
‫‪ .b‬קומוטטיביות (חילופיות)‪ :‬לכל‬
‫‪ .c‬אסוציאטיביות (קיבוציות)‪ :‬לכל‬
‫‪ a, b‬מתקיים ‪a  b  b  a‬‬
‫‪a, b, c ‬‬
‫מתקיים ‪ a  b   c  a   b  c ‬‬
‫‪ .d‬קיום איבר האפס‪ :‬קיים איבר ‪ , 0‬כך שלכל‬
‫‪ a ‬קיים איבר‬
‫‪ .e‬קיום איבר נגדי‪ :‬לכל‬
‫ב‪.‬‬
‫‪ a ‬מתקיים ‪a  0  a‬‬
‫‪ , a ‬כך שמתקיים ‪a   a   0‬‬
‫תכונות של פעולת הכפל‪:‬‬
‫‪ .f‬לכל ‪ a, b‬קיים איבר ‪ c ‬יחיד‪ ,‬כך שמתקיים ‪ab  c‬‬
‫‪ .g‬קומוטטיביות‪ :‬לכל ‪ a, b‬מתקיים ‪ab  ba‬‬
‫‪a, b, c ‬‬
‫‪ .h‬אסוציאטיביות‪ :‬לכל‬
‫‪.i‬‬
‫‪.j‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪‬‬
‫קיום איבר היחידה‪ :‬קיים איבר‬
‫קיום איבר הופכי‪ :‬אם‬
‫דיסטריבוטיביות‪ :‬לכל‬
‫מתקיים ‪ ab  c  a  bc ‬‬
‫‪ , 1 ‬כך שלכל‬
‫‪ , a  0 , a ‬אז קיים איבר‬
‫‪ a ‬מתקיים ‪a 1  a‬‬
‫‪ , a1 ‬כך שמתקיים ‪aa 1  1‬‬
‫‪ a, b, c ‬מתקיים ‪a  b  c   ab  ac‬‬
‫תכונות השדה‬
‫שדה כלשהו‪.‬‬
‫יהי‬
‫‪.1‬‬
‫‪ 0‬הוא יחיד‬
‫‪.2‬‬
‫‪ 1‬הוא יחיד‬
‫‪.0‬‬
‫‪ a 1‬הוא יחיד‬
‫הוכחה (של תכונה ‪ :)1‬נניח בשלילה שקיימים ‪ 0 ' , 0‬שונים‪ ,‬ושניהם אפס של השדה‬
‫נכתוב‪:‬‬
‫‪0  0'  0‬‬
‫'‪0'  0  0‬‬
‫בגלל הקומוטטיביות ניתן להסיק‬
‫‪0‬‬
‫'‬
‫‪.‬‬
‫‪0 0  0 0 0  0‬‬
‫'‬
‫'‬
‫הוכחה (של תכונה ‪ :)2‬נניח בשלילה שקיימים ‪ 1' , 1‬שונים‪ ,‬ושניהם איברי יחידה של השדה‬
‫נכתוב‪:‬‬
‫‪1 1'  1‬‬
‫'‪1' 1  1‬‬
‫‪.‬‬
‫'‪1 1'  1' 1  1  1‬‬
‫בגלל הקומוטטיביות של הכפל ניתן להסיק‬
‫ההוכחה של תכונה ‪ 0‬באופן דומה‪.‬‬
‫טענה‪:‬‬
‫שדה כלשהו‪,‬‬
‫יהי‬
‫‪ , 0 ‬אזי לכל‬
‫‪ a ‬מתקיים ‪. a  0  0‬‬
‫הוכחה‪ :‬מאקסיומות השדה עולה כי ניתן לכתוב ‪ a  0‬‬
‫נשתמש בנגדי של ‪ a  0‬ונקבל‪:‬‬
‫‪  a0‬‬
‫‪. a  0  a 0  0‬‬
‫‪0  a  0  a  0  a  0  a  0  a  0  a  0‬‬
‫טענה‪:‬‬
‫שדה כלשהו‪ ,‬ונניח כי ‪ , 0  1‬אזי‬
‫יהי‬
‫כלומר‪ ,‬ל‪-‬‬
‫מקיים תמיד‬
‫‪  1 ‬‬
‫‪ 0‬‬
‫‪.‬‬
‫יש איבר יחיד‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬נניח בשלילה שהשדה‬
‫מכיל גם את האיבר ‪ , a‬כך ש‪. a  0  1 -‬‬
‫מאקסיומות השדה עולה כי ‪ . a 1  a , a  0  0‬נתון כי ‪ , 0  1‬ולכן נסיק‬
‫‪‬‬
‫‪.a 0‬‬
‫שדה המספרים המרוכבים ‪-‬‬
‫הקבוצה תוגדר כך‪ x, y  x, y   :‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ,‬כאשר ‪  x, y ‬הם זוג סדור‪ .‬כלומר‪.  x, y    y , x  ,‬‬
‫"שוויון" ‪  x1 , y1    x2 , y2 ‬מתקיים כאשר ‪ x1  x2‬וגם ‪y1  y2‬‬
‫"חיבור" יוגדר כך‪ x1 , y1    x2 , y2    x1  x2 , y1  y2  :‬‬
‫"כפל" יוגדר כך‪:‬‬
‫‪ x1 , y1    x2 , y2    x1x2  y1 y2 , x1 y2  x2 y1 ‬‬
‫‪8‬‬
‫‪‬‬
‫טענה‪:‬‬
‫הקבוצה‬
‫‪ ,‬שמוגדרות עליה הפעולות ‪  , ‬מהווה שדה‪.‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫כדי להוכיח שזה שדה‪ ,‬נוודא שמתקיימים התנאים שמגדירים שדה‪:‬‬
‫א‪ a.‬פעולת החיבור ‪ ‬מוגדרת היטב ובאופן יחיד‪ ,‬מכיוון שהיא מוגדרת על‪-‬ידי פעולת החיבור בממשיים‬
‫‪ , ‬שמוגדרת היטב ובאופן יחיד‪.‬‬
‫א‪b.‬‬
‫‪ x1 , y1    x2 , y2    x1  x2 , y1  y2 ‬‬
‫קומוטטיביות מתקיימת‪:‬‬
‫‪ x2 , y2    x1 , y1    x2  x1 , y2  y1 ‬‬
‫מכיוון שפעולת החיבור קומוטטיבית בשדה הממשי‪ ,‬התוצאות זהות‪.‬‬
‫א‪ c.‬אסוציאטיביות מתקיימת‪:‬‬
‫‪ x , y    x , y    x , y    x  x , y  y    x , y   x  x‬‬
‫‪ x , y    x , y    x , y    x , y    x  x , y  y   x  x‬‬
‫‪ x3 , y1  y2  y3 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ x3 , y1  y2  y3 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫מכיוון שפעולת החיבור אסוציאטיבית בשדה הממשי‪ ,‬התוצאות זהות‪.‬‬
‫א‪ d.‬נגדיר את איבר האפס באופן הבא‪0   0, 0  :‬‬
‫‪ x, y    0,0   x  0, y  0   x, y ‬‬
‫א‪ e.‬נגדיר את האיבר הנגדי באופן הבא‪  x, y     x,  y  :‬‬
‫‪ x, y      x, y     x, y     x,  y    x    x  , y   y    0, 0 ‬‬
‫ב‪ a.‬פעולת הכפל ‪ ‬מוגדרת היטב ובאופן יחיד‪ ,‬מכיוון שהיא מוגדרת על‪-‬ידי פעולת הכפל בממשיים ‪, ‬‬
‫שמוגדרת היטב ובאופן יחיד‪.‬‬
‫ב‪ b.‬קומוטטיביות מתקיימת‪:‬‬
‫‪ x1 , y1    x2 , y2    x1x2  y1 y2 , x1 y2  x2 y1 ‬‬
‫‪ x2 , y2    x1 , y1    x2 x1  y2 y1 , x2 y1  x1 y2 ‬‬
‫מכיוון שפעולות החיבור והכפל קומוטטיביות בשדה הממשי‪ ,‬התוצאות זהות‪.‬‬
‫‪5‬‬
 x , y    x , y    x , y    x x
1
1
2
2
3
3
:‫ אסוציאטיביות מתקיימת‬c.‫ב‬
1 2
 y1 y2 , x1 y2  x2 y1    x3 , y3  
   x1 x2  y1 y2  x3   x1 y2  x2 y1  y3 ,  x1 x2  y1 y2  y3  x3 x1 y2  x2 y1  
 x1 , y1     x2 , y2    x3 , y3     x1 , y1    x2 x3  y2 y3 , x2 y3  x3 y2  
  x1  x2 x3  y2 y3   y1  x2 y3  x3 y2  , x1  x2 y3  x3 y2   x2 x3  y2 y3  y1 
‫ התוצאות‬,‫ האסוציאטיביות והדיסטריבוטיביות של הכפל והחיבור בשדה הממשי‬,‫בגלל הקומוטטיביות‬
.‫זהות‬
1  1, 0  :‫ נגדיר את איבר היחידה באופן הבא‬d.‫ב‬
1,0   x, y   1 x  0  y,1 y  x  0    x, y 
:‫ נגדיר את האיבר ההופכי באופן הבא‬e.‫ב‬
 x, y 
1
 x
y 
 2
, 2
‫ ולכן ניתן להגדיר‬, x2  y 2  0 ‫ אז גם‬ x, y   0 ‫אם‬
2
2 
x y x y 
 x
y 
  x, y    2
, 2

2
2 
x y x y 
x  y
 x2
 y2
xy 
- ‫נבדוק את קיום תכונת איבר היחידה‬

, 2
 2

 2
2
2
2
2
2 
x

y
x

y
x

y
x

y


 x, y    x , y 
1
 x2  y 2
xy
xy 
 2
, 2
 2
  1, 0 
2
2
x  y2 
x y x y
:‫ דיסטריבוטיביות מתקיימת‬.‫ג‬
 x1 y1     x2 , y2    x3 , y3     x1 y1    x2 , y2    x1 y1    x3 , y3 
b
a
:‫נבדוק כל אחד מהצדדים ונראה כי התוצאות זהות‬
a
 x1 y1     x2 , y2    x3 , y3     x1 y1    x2  x3 , y2  y3  
  x1  x2  x3   y1  y2  y3  , x1  y2  y3    x2  x3  y1  
  x1 x2  x1 x3  y1 y2  y1 y3 , x1 y2  x1 y3  x2 y1  x3 y1 
b
 x1 y1    x2 , y2    x1 y1    x3 , y3    x1 x2  y1 y2 , x1 y2  x2 y1    x1x3  y1 y3 , x1 y3  x3 y1  
  x1 x2  y1 y2  x1 x3  y1 y3 , x1 y2  x2 y1  x1 y3  x3 y1 
.‫ התוצאות זהות‬,‫ האסוציאטיביות והדיסטריבוטיביות של הכפל והחיבור בשדה הממשי‬,‫בגלל הקומוטטיביות‬
6
‫‪‬‬
‫טענה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫השדה הממשי מהווה תת‪-‬קבוצה של השדה המרוכב‪:‬‬
‫נימוק‪ :‬נתבונן בקבוצה הבאה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪  x, 0 x ‬‬
‫*‬
‫‪def‬‬
‫קבוצה זו היא תת‪-‬קבוצה של‬
‫‪ ,‬מכיוון ש‪ 0 -‬עצמו הוא איבר בשדה המרוכב‪.‬‬
‫נבדוק את הגדרות החיבור והכפל בקבוצה זו‪:‬‬
‫‪ x1 ,0    x2 ,0    x1  x2 ,0 ‬‬
‫‪ x1 ,0    x2 ,0    x1 x2  0, x1  0  x2  0    x1 x2 ,0 ‬‬
‫קיבלנו שהתוצאות שמתקבלות בפעולות החיבור והכפל מוגדרות בדיוק כמו שהן מוגדרות בשדה הממשי‪:‬‬
‫‪ x1 , 0    x2 , 0   x1  x2‬‬
‫‪ x1 , 0    x2 , 0   x1 x2‬‬
‫מסקנה‪ :‬השדה הממשי הוא תת‪-‬שדה של השדה המרוכב‪.‬‬
‫‪‬‬
‫המספר ‪i‬‬
‫נגדיר ‪ i   0,1‬ונחשב את ערך הביטוי ‪: i  i  i 2‬‬
‫‪def‬‬
‫‪def‬‬
‫‪i 2   0,1   0,1   0  0  11,0 1  0 1   1,0 ‬‬
‫בהתאם למסקנה הקודמת כי השדה הממשי הוא תת‪-‬שדה של השדה המרוכב‪ ,‬נוכל לבטא ‪. i 2  1‬‬
‫‪‬‬
‫הצגות שונות של מספרים מרוכבים‬
‫‪‬‬
‫הצגה אלגברית של מספרים מרוכבים‬
‫ניתן להציג כל מספר ‪, z   x, y ‬‬
‫נימוק‪:‬‬
‫‪ , z ‬באופן הבא‪z   x,0   i   y,0  :‬‬
‫‪ x, 0   i   y, 0    x, 0    0,1   y, 0  ‬‬
‫‪ x, 0    0  y  1 0, 0  0  y 1   x, 0    0, y    x, y   z‬‬
‫‪7‬‬
‫בהתאם למסקנה הזו נבחן את הפולינום הבא‪:‬‬
‫‪ x1  iy1    x2  iy2    x1 x2  y1 y2   i  x1 y2  x2 y1 ‬‬
‫התקבל ביטוי מהצורה ‪ , z   x,0   i   y,0 ‬שמייצג את המספר המרוכב ‪.  x1 x2  y1 y2 , x1 y2  x2 y1 ‬‬
‫מכאן שמספרים מרוכבים ניתנים להצגה אלגברית באופן הבא‪z   x, y   x  iy :‬‬
‫‪‬‬
‫הצגה גאומטרית של מספרים מרוכבים‬
‫נצייר מערכת צירים קרטזית שמייצגת את המישור המרוכב‪.‬‬
‫‪ ‬נגדיר כי ציר ה‪ x -‬מייצג את החלק הממשי של המספר המרוכב ‪-‬‬
‫‪ ‬נגדיר כי ציר ה‪ y -‬מייצג את החלק המדומה של המספר המרוכב ‪I -‬‬
‫‪ ‬נגדיר כי ‪z  x2  y 2‬‬
‫‪ ‬חיבור גאומטרי של מספרים מרוכבים מתבצע כמו חיבור וקטורים‪ .‬כלומר‪ ,‬הרכיב הממשי הוא סכום‬
‫הרכיבים הממשיים‪ ,‬והרכיב המדומה הוא סכום הרכיבים המדומים‪.‬‬
‫‪‬‬
‫הצגה פולארית של מספרים מרוכבים‬
‫‪ ‬נגדיר את ‪ r‬להיות הגודל של הוקטור‪ ,‬נגדיר את ‪ ‬להיות הזווית שבין ציר ה‪ x -‬לבין הוקטור‪ ,‬ונגדיר כי‬
‫‪.    0, 2 ‬‬
‫‪x  r cos ‬‬
‫‪y  r sin ‬‬
‫לפיכך ניתן לכתוב את השוויונים הבאים‪:‬‬
‫‪z  r cos   ir sin   r  cos   i sin  ‬‬
‫‪ ‬סימון‪ei  cos   i sin  :‬‬
‫(נניח בינתיים כי הגודל של הווקטור הוא ‪.) 1‬‬
‫‪def‬‬
‫‪‬‬
‫טענה א'‪:‬‬
‫‪ei1  ei2  ei1 2 ‬‬
‫‪ei1  ei2   cos 1  i sin 1    cos  2  i sin  2  ‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫‪ cos 1 cos 2  sin 1 sin 2    i sin 1 cos 2  i sin 2 cos 1  ‬‬
‫‪cos 1   2   i sin 1   2   ei  ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫טענה ב'‪:‬‬
‫‪ei1‬‬
‫‪ ei1 2 ‬‬
‫‪i 2‬‬
‫‪e‬‬
‫‪4‬‬
‫‪1‬‬
1
‫ ראשית נבדוק את הביטוי‬:‫הוכחה‬
ei 2
cos  2
sin  2
1
1
  cos  2  i sin  2  
i
 cos  2  i sin  2
i 2
2
2
2
e
cos  2  sin  2
cos  2  sin 2  2
–
1
  cos 1  i sin 1  cos  2  i sin  2  
ei2
 cos 1 cos 2  sin 1 sin 2    i sin 1 cos  2  i sin  2 cos 1   - ‫נציב את התוצאה ונחשב‬
ei1
 cos 1   2   i sin 1   2   ei1 2 
 cos   i sin  
n
 cos  n   i sin  n  :'‫טענה ג‬

- ‫ ניתן להסיק מטענה א' את המסקנה הבאה‬:‫הוכחה‬
i  2 
i  n 
i
i
i
i
i
ei1  ei2  ei1 2   e  e  e
 e  e  ...e  e
n
– ‫לפיכך נסיק‬
 cos   i sin  
n
  cos   i sin     cos   i sin    ...   cos   i sin    ei  ei  ...ei  ei n 
n
n
z n  r n  cos   i sin    r n  cos  n   i sin  n   :‫מסקנה כללית‬

‫ כדי לבדוק יחסים בין מספרים מרוכבים יש לבדוק את היחס לפי הערך המוחלט שלהם כפי‬:'‫טענה ד‬

n
. z1  z2 ,‫ כלומר‬. z 
x2  y 2 ‫שהגדרנו‬
. z1  z2  z1  z2 ‫ מההצגה הגאומטרית של המספרים המרוכבים ניתן להסיק‬,‫כהמשך לטענה זו‬
. z1  z2  ...  zn  z1  z2  ...  zn - ‫ולכן גם‬
‫שדות עם מספר סופי של איברים‬

‫סימון והגדרות בסיסיות‬
-
 1, 2,3,... ‫קבוצת המספרים הטבעיים היא‬
‫ היא‬0 -‫ וקבוצת המספרים השלמים שגדולים או שווים ל‬,
.
n
. m
0
, n
0
 0,1, 2,...
 0,1, 2,..., n 1 :‫נסמן את הקבוצה הבאה‬
‫ כאשר‬, n -‫ ב‬m ‫נגדיר פעולה שהתוצאה שלה היא שארית החלוקה של‬
R5 12   2 :‫ לדוגמה‬. Rn  m  :‫נסמן אותה באופן הבא‬
9
‫הפעולות המדולריות‬
‫‪-‬‬
‫נגדיר פעולות חיבור וכפל מודולריות עבור‬
‫‪k  n m  Rn  k  m ‬‬
‫‪ k , m‬באופן הבא‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫‪k  n m  Rn  k  m ‬‬
‫‪def‬‬
‫‪def‬‬
‫דוגמאות‪5  2 7  R2 12   0 :‬‬
‫‪-‬‬
‫‪7  3 8  R3  56  2‬‬
‫טענה‪:‬‬
‫יש קבוצה‬
‫‪ ,‬עבור ‪ n‬כלשהו‪ ,‬שאינה שדה‪.‬‬
‫‪n‬‬
‫הוכחה‪ :‬נבחר למשל ‪ , n  4‬ונבדוק את פעולות החיבור והכפל המודולריות‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪0‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫אם כך מצאנו שפעולות החיבור והכפל מוגדרות היטב‪ ,‬והתוצאות שלהן שייכות לשדה‪.‬‬
‫איבר האפס מוגדר היטב‪ 0 :‬‬
‫‪4‬‬
‫‪.0‬‬
‫האיבר הנגדי מוגדר היטב‪ 4 3  1 :‬‬
‫‪ 41  3‬‬
‫‪ 42  2‬‬
‫‪ 40  0‬‬
‫איבר היחידה מוגדר היטב‪1 4  1 :‬‬
‫איבר הופכי אינו מוגדר היטב‪ ,‬כי אין בטבלה איבר הופכי ל‪21  4 2  1 4  1 : 2 -‬‬
‫מסקנה‪ :‬הקבוצה‬
‫‪‬‬
‫‪4‬‬
‫‪ ,‬עם הפעולות ‪  4 ,  4‬אינה שדה‪.‬‬
‫משפט‪:‬‬
‫לכל ‪ n‬ראשוני‪,‬‬
‫‪n‬‬
‫‪  4 ,  4 ,‬מהווה שדה‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬לפני ההוכחה עצמה‪ ,‬נשתמש בטענת‪-‬עזר שתסייע בחלקים מסוימים מההוכחה‪.‬‬
‫נגדיר‬
‫‪0‬‬
‫‪,‬‬
‫‪ , k , m ‬ונשים לב כי ניתן לבטא‬
‫‪0‬‬
‫טענה (א)‪ :‬לכל‬
‫‪0‬‬
‫‪,‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪A‬‬
‫‪m  A  n  Rn  m ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪B‬‬
‫‪k  B  n  Rn  k ‬‬
‫‪ , k , m ‬מתקיים ‪m  n k  Rn  m  k   Rn  m   n Rn  k ‬‬
‫‪bydef‬‬
‫‪13‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫‪m  n k  Rn  m  k   Rn  A  n  Rn m   B  n  Rn k   ‬‬
‫‪ Rn  Rn  m   Rn  k    Rn  m   n Rn  k ‬‬
‫המעבר השלישי מבוסס על העובדה שהביטויים ‪ B  n , A  n‬אינם תורמים לשארית‪ ,‬שכן הם כפולות‬
‫שלמות וחיוביות של ‪. n‬‬
‫טענה (ב)‪ :‬לכל‬
‫‪,‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ , k , m ‬מתקיים ‪m  n k  Rn  m  k   Rn  m   n Rn  k ‬‬
‫‪bydef‬‬
‫‪m     B  n  Rn k    ‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ A  n  R‬‬
‫‪m  n k  Rn  m  k   Rn‬‬
‫‪ Rn  ABn 2  A  n  Rn  k   Rn m   B  n  Rn m   Rn k   ‬‬
‫‪ Rn  Rn  m   Rn  k    Rn  m   n Rn  k ‬‬
‫המעבר הרביעי מבוסס על העובדה שהביטויים ‪ Rn  m   B  n , A  n  Rn  k  , ABn2‬אינם תורמים‬
‫לשארית‪ ,‬שכן הם כפולות שלמות וחיוביות של ‪. n‬‬
‫מסקנה‪ :‬קיבלנו שתי נוסחאות מעבר עבור חיבור וכפל מודולריים –‬
‫‪m  n k  Rn  m   n Rn  k ‬‬
‫‪m  n k  Rn  m   n Rn  k ‬‬
‫ההוכחה עצמה‪:‬‬
‫כדי להוכיח את המשפט נעבור על ‪ 11‬אקסיומות השדה ונוודא שהן מתקיימות‪.‬‬
‫‪ .1‬חיבור מוגדר היטב ובאופן יחיד עבור‬
‫‪ , k , m‬כך‪:‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪m  n k  Rn  m  k  ‬‬
‫‪ .2‬מתקיימת קומוטטיביות של החיבור‪m  n k  Rn  m  k   Rn  k  m   k  n m :‬‬
‫‪ .0‬מתקיימת אסוציאטיביות של החיבור‪ :‬עבור‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ , k , m, l ‬מתקיים –‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪m  n k  nl  Rn  m   n Rn k  nl  Rn  m   n Rn  Rn  k  l   ‬‬
‫‪ Rn  m   n Rn  k  l   m  n  k  l   Rn  m   k  l   ‬‬
‫‪ Rn   m  k   l    m  k   nl‬‬
‫המעבר הראשון מבוסס על הנוסחה שהוכחנו לעיל‪.‬‬
‫המעבר השלישי מבוסס על כך ששארית של שארית היא בדיוק השארית‪.‬‬
‫המעבר הרביעי מבוסס על הנוסחה שהוכחנו לעיל‪.‬‬
‫‪ .8‬איבר אפס יוגדר ‪ 0‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ . 0‬נבדוק שמתקיימת ההגדרה‪:‬‬
‫‪def‬‬
‫‪0  n m  Rn  0  m   Rn  m   m‬‬
‫‪11‬‬
‫‪ .5‬איבר נגדי יוגדר ‪ .  n m  n  m‬נבדוק שמתקיימת ההגדרה‪:‬‬
‫‪def‬‬
‫‪m  n  n  m   R  m   n  m    Rn  n   0‬‬
‫‪ .6‬כפל מוגדר היטב ובאופן יחיד עבור‬
‫‪n‬‬
‫‪ , k , m‬כך‪:‬‬
‫‪m  n k  Rn  m  k  ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ .7‬מתקיימת קומוטטיביות של הכפל‪m  n k  Rn  m  k   Rn  k  m   k  n m :‬‬
‫‪ .4‬מתקיימת אסוציאטיביות של הכפל‪ :‬עבור‬
‫‪n‬‬
‫‪ , k , m, l ‬מתקיים –‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪m  n k  nl  Rn  m   n Rn k  nl  Rn  m   n Rn  Rn  k  l   ‬‬
‫‪ Rn  m   n Rn  k  l   m  n  k  l   Rn  m  kl    Rn   mk  l  ‬‬
‫‪  m  k   nl  Rn  m  k   n Rn  l   Rn  Rn  m  k    n Rn  l  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ Rn m  n k  n Rn  l   m  n k  nl‬‬
‫המעבר הראשון מבוסס על הנוסחה שהוכחנו לעיל‪.‬‬
‫המעבר השלישי מבוסס על כך ששארית של שארית היא בדיוק השארית‪.‬‬
‫המעבר הרביעי מבוסס על הנוסחה שהוכחנו לעיל‪.‬‬
‫המעבר השישי מבוסס על האסוציאטיביות של הכפל בשדה הממשי‪.‬‬
‫המעבר השמיני מבוסס על הנוסחה שהוכחנו לעיל‪.‬‬
‫המעבר התשיעי מבוסס על כך ששארית של שארית היא בדיוק השארית‪.‬‬
‫המעבר העשירי מבוסס על הנוסחה שהוכחנו לעיל‪.‬‬
‫‪ .9‬איבר היחידה יוגדר ‪ 1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ . 1‬נבדוק שמתקיימת ההגדרה‪:‬‬
‫‪1  m  Rn 1 m   Rn  m   m‬‬
‫‪ .13‬איבר הופכי קיים‪ .‬לא נמצא נוסחה למציאת האיבר ההופכי‪ ,‬אולם נוכיח את הקיום שלו‪.‬‬
‫תהי ‪ 0,1, 2,..., n  1‬‬
‫כך שמתקיים ‪ n k  1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n0‬‬
‫‪ ,‬נרצה להוכיח שעבור כל האיברים של הקבוצה ‪ k  1, 2,..., n  1‬קיים ‪, k 1‬‬
‫‪( . k‬לאיבר האפס אין הופכי ולכן הוא לא נכלל ב‪.) k -‬‬
‫‪12‬‬
‫מתווה ההוכחה לקיום איבר הופכי‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫נתבונן בקבוצה הבאה‪  0  n k ,1  n k , 2  n k ,...,  n 1  n k :‬‬
‫הקבוצה ‪ ‬מכילה ‪ n‬איברים‪ ,‬כמו הקבוצה‬
‫כל איברי הקבוצה ‪ ‬שייכים לקבוצה‬
‫שייכת לקבוצה‬
‫‪n0‬‬
‫‪n0‬‬
‫‪ ,‬כפי שנובע מהגדרתה‪.‬‬
‫‪ ,‬מכיוון שמוגדרת עליהם פעולת כפל מודולרי‪ ,‬והשארית תמיד‬
‫‪.‬‬
‫‪n0‬‬
‫כל איברי הקבוצה ‪ ‬שונים‪ ,‬כפי שנוכיח מיד‪.‬‬
‫אם בקבוצה ‪ ‬קיימים בדיוק ‪ n‬איברים שונים שכולם קטנים מ‪ , n -‬בהכרח שבדיוק אחד מהאיברים הוא ‪. 1‬‬
‫כלומר‪ ,‬קיים איבר‬
‫‪n0‬‬
‫‪ k 1 ‬כך ש‪ n k 1  1 -‬‬
‫‪1‬‬
‫‪.k‬‬
‫נוכיח את עובדה ‪:iii‬‬
‫נניח בשלילה שקיימים ‪ 2‬מספרים‬
‫‪n0‬‬
‫‪ , 0  l  m  n  1 , l , m ‬כך שעבור ‪ l  n k , m  n k  ‬מתקיים‬
‫‪. l  nk  m  nk‬‬
‫מהשוויון נובע שלמספרים ‪ l , m‬יש את אותה השארית (כך מוגדרת הפעולה ‪ ,)  n‬ולכן את שניהם ניתן לבטא‬
‫באופן הבא‪. m  k  B  n  g , l  k  A  n  g :‬‬
‫‪l  m  l  k  m  k  A n  g  B  n  g ‬‬
‫‪ A n  g   A n   B  n  g   B  n ‬‬
‫‪ l  k  A n  m  k  B  n ‬‬
‫‪ml‬‬
‫‪k‬‬
‫‪B A‬‬
‫‪B  n  A n  m k  l  k  n ‬‬
‫‪ml‬‬
‫אם כך הוכחנו כי ‪ k  n  B  A  k  m  l ‬‬
‫‪B A‬‬
‫‪n‬‬
‫ההגדרה של מספר ראשוני היא שלא ניתן לבטא אותו כמכפלה של שני מספרים טבעיים‪.‬‬
‫מההגדרה של ‪ B, A‬עולה כי הם שלמים‪ ,‬וכן ‪ , m  l  B  A‬מכאן שבהכרח ‪. B  A  1‬‬
‫אם ‪ ,. n  B  A   k  m  l ‬וגם ‪ n‬ראשוני‪ ,‬הרי ש‪ n -‬גורם של ‪ k‬או של ‪ , m  l‬אך נתון כי גם ‪ k  n‬וגם‬
‫‪ , m  l  n‬ולכן הגענו לסתירה‪.‬‬
‫מסקנה‪ :‬לא ייתכן שעבור ‪ n‬ראשוני יתקיים כי ‪ . l  n k  m  n k‬לכן בהכרח קיים ‪ k 1‬כך ש‪ n k 1  1 -‬‬
‫‪ .11‬מתקיימת דיסטריבוטיביות‪ :‬יהיו ‪. m, l , k  0,1,..., n  1‬‬
‫‪10‬‬
‫‪1‬‬
‫‪.k‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪m  n l  n k  Rn  m   n Rn l  n k  Rn  m   n Rn  Rn  l  k   ‬‬
‫‪ Rn  m   n Rn  l  k   m  n  l  k   Rn  m  l  k    Rn  ml  mk  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ml  n mk  Rn  ml   n Rn  mk   m  nl  n m  n k‬‬
‫המעבר הראשון מבוסס על הנוסחה שהוכחנו לעיל‪.‬‬
‫המעבר השלישי מבוסס על כך ששארית של שארית היא בדיוק השארית‪.‬‬
‫המעבר הרביעי מבוסס על הנוסחה שהוכחנו לעיל‪.‬‬
‫המעבר השישי מבוסס על הדיסטריבוטיביות של השדה הממשי‪.‬‬
‫המעבר השמיני מבוסס על הנוסחה שהוכחנו לעיל‪.‬‬
‫‪‬‬
‫משפט‪:‬‬
‫‪‬‬
‫יהי ‪ n‬מספר פריק‪ ,‬אזי ‪,  n ,  n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫אינו שדה‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬נניח בשלילה על‪-‬אף ש‪ n -‬פריק‪ ,‬זה מהווה שדה‪.‬‬
‫מהעובדה ש‪ n -‬פריק נובע שניתן לבטא אותו כך ‪ , n  k  m -‬כאשר מתקיים‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪, k , m‬‬
‫‪n‬‬
‫‪, k, m  1‬‬
‫‪k, m  0‬‬
‫מההנחה שמדובר בשדה נובע שקיים ל‪ k -‬איבר הופכי ‪. k 1‬‬
‫נתבונן בביטוי הבא ‪-‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ k  m   k‬‬
‫‪k 1  n k  n m  k 1  n Rn  k  m   k 1  n Rn  n   k 1  n 0  0‬‬
‫‪‬‬
‫‪ nk  nm  1 n  nm  m‬‬
‫‪‬‬
‫הגענו לסתירה‪ ,‬ולכן בהכרח אם ‪ n‬פריק‪,  n ,  n ,‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫אינו שדה‪.‬‬
‫מסקנה כללית‪ :‬משני המשפטים האחרונים עולה‪ n :‬ראשוני ‪‬‬
‫‪‬‬
‫יהי‬
‫‪n‬‬
‫‪k 1  n‬‬
‫‪‬‬
‫‪,  n,  n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫המציין של השדה‬
‫שדה כלשהו‪.‬‬
‫המציין של השדה‬
‫הוא המספר המינימלי ‪ , m‬שעבורו מתקיים ‪1  1  ...1  0‬‬
‫‪n‬‬
‫‪18‬‬
‫מהווה שדה‪.‬‬
‫אם אין ‪ m‬המקיים את זה‪ ,‬כלומר לכל ‪ k‬מתקיים ‪ , 1  1  ...1  0‬אזי המציין של השדה‬
‫מוגדר‬
‫‪k‬‬
‫להיות ‪. 0‬‬
‫נסמן‪ :‬אם ‪ m‬הוא המציין של השדה‬
‫‪‬‬
‫דוגמה‪ :‬המציין של השדה ‪,  n ,  n‬‬
‫‪m‬‬
‫‪ ,‬נכתוב‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪) characteristic ( . char ‬‬
‫הוא ‪. n‬‬
‫‪1  n1  Rn  2   2‬‬
‫‪1  n1  n1  Rn  3  3‬‬
‫נימוק ‪-‬‬
‫‪1  n1  n ...  n1  Rn  n   0‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫יהי‬
‫טענה‪:‬‬
‫שדה כלשהו‪ 0 ,‬‬
‫הוכחה‪ :‬נניח שמתקיים‬
‫‪ , 1‬אזי מתקיים תמיד ‪  n  char    0‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ n , char ‬ראשוני‪.‬‬
‫‪ n , char ‬פריק‪. n  0 ,‬‬
‫אם ‪ n‬הוא המציין של השדה‪ ,‬אזי ‪1  1  ...  1  0‬‬
‫‪n‬‬
‫מהנתון ש‪ n -‬פריק עולה כי ניתן לכתוב ‪, n  k  m‬‬
‫‪‬‬
‫‪ . k , m‬ולכן נבטא זאת כך ‪-‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪1  1  ...  1  1  1  ...  1  1  1  ...  1 ‬‬
‫‪m‬‬
‫‪k‬‬
‫‪‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ 1  1  ...  1  1  1  ...  1  1  1  ...  1  1  1  ...  1‬‬
‫‪k m‬‬
‫‪n‬‬
‫‪m‬‬
‫‪m‬‬
‫‪k‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫נסמן ‪b  1  1  ...  1 , a  1  1  ...  1‬‬
‫‪m‬‬
‫‪k‬‬
‫מהנתון כי ‪ , 1  1  ...  1  0‬נקבל את הביטוי הבא ‪-‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪a  b  1  1  ...  1  1  1  ...  1  1  1  ...  1  0‬‬
‫‪n‬‬
‫‪k‬‬
‫‪m‬‬
‫אם כך מתקיים ‪ , a  b  0‬ומכיוון ש‪ , k , m  n -‬אחד מהם הוא המציין של השדה‪ ,‬בסתירה להנחה‬
‫ש‪ n -‬הוא המציין של השדה‪.‬‬
‫‪15‬‬
‫‪‬‬
‫טענה‪:‬‬
‫יהי‬
‫שדה סופי כלשהו‪ . 1  0 ,‬מספר האיברים ב‪-‬‬
‫אם‬
‫‪n2‬‬
‫‪n2‬‬
‫‪ a  0 , a ‬אזי מתקיים תמיד ‪-‬‬
‫הוא ‪. n‬‬
‫‪1‬‬
‫‪a 1   n  2‬‬
‫‪a‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫‪-‬‬
‫אם ‪ , n  2‬אזי מכיוון ש‪-‬‬
‫הוא שדה‪ ,‬בהכרח מתקיים‬
‫‪‬‬
‫‪ 0 ,1‬‬
‫‪ .‬מהנתון ש‪ a  0 -‬נובע כי‬
‫‪. a 1‬‬
‫לא ייתכן שמתקיים ‪ , a 1  0‬כי אז ‪ a  a 1  0‬וגם ‪ , a  a 1  1‬בסתירה להנחה ‪ , 1  0‬ולכן‬
‫‪. a 1  1‬‬
‫‪-‬‬
‫אם ‪ , n  2‬נתבונן בקבוצה הבאה ‪ , B  b1 , b2 ,..., bn 1 -‬קבוצה זו מוגדרת לכלול את איבריה של‬
‫‪ ,‬למעט ‪ , 0‬ולכן כל איבריה שונים‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫נתבונן בקבוצה נוספת ‪, B '  a  b1 , a  b2 ,..., a  bn 1 -‬‬
‫‪. a‬‬
‫שתי הקבוצות הללו‪ , B ' , B ,‬כוללות את אותם האיברים‪ ,‬מכיוון שעל‪-‬פי הגדרת שדה‪ ,‬התוצאה של‬
‫כפל שמבוצע בתוך השדה מוגדרת גם היא על ידי איבר בשדה‪.‬‬
‫לכן גם כל איברי ' ‪ B‬שונים‪.‬‬
‫נסיק מכך את הביטוי הבא –‬
‫‪‬‬
‫‪B  B '  b1 , b2 ,..., bn 1  a  b1 , a  b2 ,..., a  bn 1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ b1  b2  ,...,  bn 1  a  b1  a  b2  ...  a  bn 1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪ b1  b2  ,...,  bn 1  a n 1 b1  b2  ,...,  bn 1 ‬‬
‫‪ a n 1  1  a n  2  a  1  a n  2  a 1‬‬
‫דוגמה‪ :‬נבחר את השדה ‪ 0,1, 2,3, 4‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ . n  5 ,‬נבחר למצוא את ההופכי של ‪. a  3‬‬
‫לפי המשפט האחרון מתקיים ‪. a 1  a n2  31  352  31  33  31  3  3  3‬‬
‫נבדוק שאכן הביטוי ‪ a 1  3  3  3‬הוא ההופכי של ‪ , a  3‬כלומר נוודא כי ‪ 1‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪:a a‬‬
‫‪‬‬
‫‪3  3  3  3  3  R5  3  3  3  3  4  3  3   R5  4  3   3  2  R5 3  2   1‬‬
‫‪16‬‬
‫פרק ‪ :2‬מרחבים וקטוריים‬
‫‪‬‬
‫מרחב וקטורי‬
‫שדה‪ . 1F  0F ,‬הקבוצה ‪ V‬נקראת "מרחב וקטורי מעל לשדה‬
‫יהי‬
‫א‪.‬‬
‫" אם‪:‬‬
‫פעולת החיבור ופעולת ה"כפל בסקלר" מוגדרות בתוכה‪ ,‬ובאופן חד‪-‬משמעי‪.‬‬
‫כאשר "כפל בסקלר" היא פעולה בין ‪ v V‬כלשהו ובין ‪  ‬כלשהו‪.‬‬
‫עשרת התנאים הבאים מתקיימים לכל ‪ v1 , v2 , v3 V‬ולכל‬
‫ב‪.‬‬
‫‪.i‬‬
‫סגירות של החיבור‪ v , v1  v2  v V :‬יחיד‪.‬‬
‫‪.ii‬‬
‫קומוטטיביות של החיבור‪v1  v2  v2  v1 :‬‬
‫‪:,  ‬‬
‫‪ v1  v2   v3  v1   v2  v3 ‬‬
‫‪.iii‬‬
‫אסוציאטיביות של החיבור‪:‬‬
‫‪.iv‬‬
‫קיום איבר האפס‪ :‬קיים איבר ‪ , 0v V‬כך שמתקיים ‪v1  0v  v1‬‬
‫‪.v‬‬
‫קיום איבר נגדי‪ :‬קיים איבר ‪ , v V‬כך שמתקיים ‪v1   v1   0v‬‬
‫‪.vi‬‬
‫סגירות של הכפל בסקלר‪  v  v1 V :‬‬
‫‪.vii‬‬
‫אסוציאטיביות של כפל בסקלר‪     v       v  :‬‬
‫דיסטריבוטיביות של וקטורים‪   v1  v2     v1    v2 :‬‬
‫דיסטריבוטיביות של סקלרים‪     v    v    v :‬‬
‫‪.viii‬‬
‫‪.ix‬‬
‫‪.x‬‬
‫קיום איבר היחידה‪ :‬קיים ‪ , 1  F‬כך שמתקיים ‪1  v  v‬‬
‫בהגדרת המרחב הווקטורי מופיעים לעתים סימנים שנראים זהים אך מוגדרים באופן שונה‪ .‬כך‬
‫לדוגמה בתנאי ‪ vii‬מופיע הביטוי ‪    ‬לצד הביטוי ‪ .    v ‬הכפל בביטוי הראשון מוגדרת על ידי‬
‫פעולת הכפל בשדה‬
‫(כפל בסקלר)‪.‬‬
‫‪ ,‬ואילו הכפל בביטוי השני מוגדר על ידי פעולת הכפל במרחב הווקטורי ‪V‬‬
‫כלומר‪ ,‬כאשר מבוצעת פעולה כלשהי בין ‪‬‬
‫לבין ‪ , ‬היא מוגדרת על ידי הפעולות בשדה‬
‫‪ .  ,  ‬לעומת זאת כאשר מבוצעת פעולה כלשהי בין ‪ v‬לבין ‪‬‬
‫‪ ,‬כי‬
‫(או ‪ ,) ‬היא מוגדרת על ידי‬
‫הפעולות במרחב הווקטורי ‪ , V‬כי ‪ , v V‬ובהגדרת המרחב הווקטורי דרשנו את הקיום של הפעולות‬
‫הייחודיות למרחב הווקטורי‪.‬‬
‫‪17‬‬
‫‪‬‬
‫דוגמאות למרחבים וקטוריים חשובים‪:‬‬
‫דוגמה ‪1‬‬
‫יהיו השדה‬
‫‪‬‬
‫והקבוצה‬
‫‪.V ‬‬
‫‪0‬‬
‫נגדיר את פעולת החיבור‪ v1  v2  v1  v2 :‬נגדיר את פעולת הכפל בסקלר‪  v1  v1 :‬‬
‫‪def‬‬
‫‪def‬‬
‫‪-‬‬
‫טענה‪ :‬הקבוצה ‪ V‬עם הפעולות הללו מהווה מרחב וקטורי‪.‬‬
‫‪-‬‬
‫הוכחה‪ :‬נעבור על עשרת התנאים של מרחב וקטורי ונוודא שהם מתקיימים‪.‬‬
‫‪v1  v2  v1  v2 ‬‬
‫‪.i‬‬
‫סגירות של החיבור‪:‬‬
‫‪.ii‬‬
‫קומוטטיביות של החיבור‪v1  v2  v1  v2  v2  v1  v2  v1 :‬‬
‫‪  v1  v2   v3   v1  v2   v3 ‬‬
‫‪v  v   v‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪.iii‬‬
‫אסוציאטיביות של החיבור‪:‬‬
‫‪.iv‬‬
‫קיום איבר האפס‪ :‬נגדיר ‪ , 0v  1‬ומתקיים ‪v1  0v  v1  1  v1 1  v1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ v1   v2  v3   v1   v2  v3   v1  v2  v3‬‬
‫‪def‬‬
‫‪.v‬‬
‫קיום איבר נגדי‪ :‬נגדיר ‪ , v  v 1‬כך שמתקיים‬
‫‪v1   v1   v1  v11 ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 1  0V‬‬
‫‪def‬‬
‫‪ v1  v‬‬
‫‪  v1  v1  0,‬‬
‫‪.vi‬‬
‫סגירות של הכפל בסקלר‪:‬‬
‫‪.vii‬‬
‫אסוציאטיביות של כפל בסקלר‪:‬‬
‫‪.viii‬‬
‫דיסטריבוטיביות של וקטורים‪ v1  v2   v1    v2   :‬‬
‫‪v1 ‬‬
‫‪ v  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪     v  v  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪   v       v‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪  v1  v2     v1  v2  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ v  v  ‬‬
‫‪ v1  v2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪   v1    v2‬‬
‫‪     v  v  ‬‬
‫‪.ix‬‬
‫דיסטריבוטיביות של סקלרים‪:‬‬
‫‪.x‬‬
‫קיום איבר היחידה‪ :‬נגדיר ‪ , 1F  1‬כך שמתקיים ‪1F  v  1  v  v1  v‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ v  v    v    v‬‬
‫דוגמה ‪2‬‬
‫‪14‬‬
‫יהי‬
‫שדה כלשהו‪.‬‬
‫נגדיר "פולינום מעל לשדה " להיות הפונקציה ‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ , p  x   a0 x  a1x  a2 x  ...  a n x‬כאשר ‪, n‬‬
‫‪ P :‬שמוגדרת על ידי הביטוי הבא‪:‬‬
‫נתבונן בקבוצת כל הפולינומים שמעל לשדה‬
‫טענה‪ :‬קבוצת כל הפולינומים שמעל לשדה‬
‫‪. a0 , a1 ,..., an  ‬‬
‫‪ ,‬ונסמן אותה‬
‫‪,‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ ,  ‬מהווה מרחב וקטורי מעל לשדה‬
‫‪.‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫א‪ .‬נבדוק את פעולת החיבור ‪-‬‬
‫נבחן את ‪p 2  x  , p1  x ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x   a0 x  a1 x  a2 x  ...  an  x‬‬
‫כאשר‪:‬‬
‫‪p 2  x   a0 2 x 0  a1 2  x1  a22  x 2  ...  am2   x m‬‬
‫‪n‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ...   a    a    x‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪p‬‬
‫‪‬‬
‫‪ a    a    x  a    a    x  a    a    x‬‬
‫‪p 1  x   p  2  x   a01 x 0  a11 x1  a21 x 2  ...  an1  x n  a0 2 x 0  a1 2 x1  a2 2 x 2  ...  am 2  x m‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ...  an 1  an  2 x n‬‬
‫‪m‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪m‬‬
‫‪2‬‬
‫‪m‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫השתמשנו בתכונות הקומוטטיביות והדיסטריבוטיביות של המרחב הווקטורי‪ ,‬וקיבלנו‬
‫מפעולת החיבור ביטוי שמורכב מאיברים שמקיימים הגדרה של פולינום מעל לשדה‬
‫‪.‬‬
‫ב‪ .‬נבדוק את פעולת הכפל בסקלר ‪-‬‬
‫‪  p  x      a0 x 0  a1 x1  a2 x 2  ...  an x n     a0 x 0    a1x1    a2 x 2  ...    an x n‬‬
‫השתמשנו בתכונת הדיסטריבוטיביות של המרחב הווקטורי‪ ,‬וקיבלנו מפעולת הכפל בסקלר‬
‫ביטוי שמורכב מאיברים שמקיימים הגדרה של פולינום מעל לשדה‬
‫מסקנה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪  ‬מהווה מרחב וקטורי מעל לשדה‬
‫‪.‬‬
‫דוגמה ‪:0‬‬
‫יהיו‬
‫‪‬‬
‫‪,‬‬
‫‪.V ‬‬
‫‪.‬‬
‫מהווה מרחב וקטורי מעל לשדה‬
‫טענה‪ :‬הקבוצה‬
‫נימוק‪ :‬פעולת החיבור מוגדרת היטב ‪ z1  z2  -‬‬
‫פעולת הכפל מוגדרת היטב ‪-‬‬
‫‪z1 , z2 ‬‬
‫‪z  ,     z ‬‬
‫‪19‬‬
‫‪.‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫תכונות של מרחבים וקטוריים‬
‫יהי ‪ V‬מרחב וקטורי מעל לשדה‬
‫‪ .‬אזי לכל ‪ v V‬מתקיים –‬
‫‪ .1‬איבר האפס ‪ 0V‬הוא יחיד‬
‫‪ .2‬האיבר הנגדי ‪ v‬הוא יחיד‬
‫‪ .0‬מתקיים כי ‪0  v  0V‬‬
‫‪ .8‬מתקיים כי לכל‬
‫‪0  v  0V ,  ‬‬
‫‪ .5‬מתקיים כי ‪v   1   v‬‬
‫הוכחות‪:‬‬
‫‪ .1‬נניח שקיימים ‪ 0V ' , 0V‬ששניהם איברי האפס של המרחב הווקטורי ‪. V‬‬
‫' ‪0V  0V  0V '  0V ' 0V  0V‬‬
‫‪ .2‬נניח שקיימים ‪ v ' , v‬ששניהם איברים נגדיים של ‪. v V‬‬
‫' ‪v  v  0  v ' v  0  v  v  v ' v  v  v‬‬
‫‪ .0‬מהגדרת איבר האפס נובע כי ‪-‬‬
‫‪0  v  0  v  0  v  0  v   0  v   0  v  0  v   0  v   0  v‬‬
‫מכיוון שהאיבר ‪ , 0  v V‬מתקיים כי ‪0  v   0  v   0V‬‬
‫לכן ניתן להסיק כי ‪0V  0  v‬‬
‫‪  0V    0V    0V    0V     0V     0V    0V     0V   0V    0V .8‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪ v   1  1   v  0  v  0  0V‬‬
‫‪ 1   v  v   1   v  1‬‬
‫‪23‬‬
‫‪‬‬
‫תת‪-‬מרחב וקטורי‬
‫יהי ‪ V‬מרחב וקטורי מעל‬
‫‪.‬‬
‫‪ U‬היא תת‪-‬מרחב וקטורי של המרחב הווקטורי ‪ , V‬אם מתקיימים שני תנאים ‪-‬‬
‫‪‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.U  V‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪ U‬היא מרחב וקטורי מעל‬
‫‪.‬‬
‫אפיון שקול של תת‪-‬מרחב וקטורי‬
‫הטענות ‪ A‬ו‪ B -‬שקולות –‬
‫‪ U  V .A‬היא תת מרחב וקטורי של ‪ V‬מעל השדה‬
‫‪ .B‬שלושת התנאים הבאים מתקיימים ‪-‬‬
‫‪0V U .1‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪u1, u2 U  u1  u2 U‬‬
‫‪  u U .0‬‬
‫‪‬‬
‫‪uU‬‬
‫‪uU‬‬
‫הוכחה‪) B  A ( :‬‬
‫נניח כי ‪ U  V‬היא תת מרחב וקטורי של ‪ V‬מעל השדה‬
‫‪.‬‬
‫תנאי ‪ 1‬מתקיים‪ ,‬כי מהנתון ש‪ U -‬הוא מרחב וקטורי מעל‬
‫נובע כי ‪ . 0U  u  u‬נסיק כי‬
‫‪ , 0V  u  0U  u  0V  0U‬ולכן נובע מידית כי ‪. 0V U‬‬
‫תנאי ‪ 2‬ותנאי ‪ 0‬מתקיימים באופן טריוויאלי מעצם ההגדרה של‬
‫כמרחב וקטורי מעל‬
‫‪.‬‬
‫הוכחה‪) A  B ( :‬‬
‫נניח כי מתקיימים ‪ 0‬התנאים ‪-‬‬
‫‪0V U .1‬‬
‫‪u1 , u2 U  u1  u2 U .2‬‬
‫‪  u U .0‬‬
‫‪‬‬
‫‪uU‬‬
‫סגירות לחיבור ולכפל בסקלר‪ ,‬קומוטטיביות‪ ,‬אסוציאטיביות ודיסטריבוטיביות‪ ,‬נובעות מהתנאים הללו‬
‫ומכך ש‪ U -‬מוגדרת להיות תת‪-‬קבוצה של ‪. V‬‬
‫קיום איבר האפס נובע מתנאי ‪.1‬‬
‫קיום איבר נגדי נובע מתנאי ‪ :0‬נתון כי ‪   u U‬לכל‬
‫תנאי איבר היחידה נובע מידית מתנאי ‪. 0‬‬
‫‪21‬‬
‫‪ .  ‬נבחר ‪ ,   1‬ונקבל כי ‪. u U‬‬
‫‪‬‬
‫דוגמה‪ :‬נגדיר שדה‬
‫‪ ,‬ונגדיר מרחב וקטורי ‪‬‬
‫נגדיר את ‪ U‬להיות תת‪-‬קבוצה של ‪- V‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x1 , x2 , x3 , x4 x1,2,3,4 ‬‬
‫‪ x3  5x4  b‬‬
‫‪4‬‬
‫‪.V ‬‬
‫‪‬‬
‫‪U  x1 , x2 , x3 , x4 x1,2,3,4 ‬‬
‫נוכיח כי ‪ U‬היא תת‪-‬מרחב וקטורי של ‪ V‬אמ"מ ‪. b  0‬‬
‫הוכחה‪( :‬צד א' של הגרירה)‬
‫נניח כי ‪ U‬היא תת‪-‬מרחב וקטורי של ‪. V‬‬
‫מהמשפט אודות תת‪-‬מרחבים וקטוריים נובע כי ‪. 0V U‬‬
‫‪ . 0V   0, 0, 0, 0 ‬מהדרישה ‪ x3  5x4  b‬בקבוצה ‪ , U‬נובע כי ‪. 0  5  0  b  b  0‬‬
‫הוכחה‪( :‬צד ב' של הגרירה)‬
‫נניח כי ‪ . b  0‬נוכיח כי מתקיימים ‪ 0‬התנאים ששקולים להגדרת תת‪-‬מרחב וקטורי ‪-‬‬
‫‪ .1‬נבדוק שמתקיים התנאי הראשון שקובע ‪. 0V U‬‬
‫מכיוון ש‪ , b  0 -‬ניתן להסיק כי ‪. x3  5x4  b  b  0  x3  5  x4‬‬
‫האיבר ‪ 0V   0, 0, 0, 0 ‬מקיים את הדרישה ‪ , x3  5  x4‬ולכן מתקיים ‪. 0V U‬‬
‫‪ .2‬נבדוק שמתקיים התנאי השני שקובע ‪. u1  u2 U‬‬
‫נגדיר איברים ‪-‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ x1 2 , x2 2  , x32  , x4 2  , u 1  x11 , x21 , x31 , x4 1‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪.u‬‬
‫נגדיר את הסכום של שני האיברים ‪-‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪z   z1 , z2 , z3 , z4   x11 , x21 , x31 , x41  x1 2 , x2 2 , x3 2 , x4 2‬‬
‫‪def‬‬
‫נוכיח שמתקיים התנאי ‪- z3  5  z4‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪ , 5  z4  5  x4  x4‬ונקבל כי מתקיים‬
‫‪, z3  x3  x3‬‬
‫נשתמש בהגדרה‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x31  5 x41  x3 2  5 x4 2  x31  x3 2  5  x41  x4 2‬‬
‫‪ .0‬נבדוק שמתקיים התנאי השלישי שקובע ‪.   u U‬‬
‫‪   x1 , x2 , x3 , x4     x1 ,   x2 ,   x3 ,   x4 ‬‬
‫מהנתון ‪ x3  5  x4‬נובע גם כי ‪ ,   x3  5    x4 ‬ולכן ‪.   u U‬‬
‫‪22‬‬
‫‪‬‬
‫תת‪-‬מרחב מינימלי‬
‫יהי ‪ V‬מרחב וקטורי מעל השדה‬
‫‪ ,‬ותהי ‪ U‬תת‪-‬מרחב של ‪ . V‬נאמר כי ‪ U‬היא תת‪-‬מרחב‬
‫מינימלי של ‪ , V‬אם לכל ' ‪ U‬שמהווה תת‪-‬מרחב וקטורי של ‪ V‬מתקיים ‪. U  U‬‬
‫'‬
‫‪‬‬
‫‪Span‬‬
‫יהי ‪ V‬מרחב וקטורי מעל השדה‬
‫‪.‬‬
‫תהי ‪ v1 , v2 ,..., vn V‬קבוצת וקטורים סופית‪.‬‬
‫‪ 1 , 2 ,..., n ‬קבוצת סקלרים סופית‪.‬‬
‫תהי‬
‫‪ Span‬של הקבוצה ‪ v1 , v2 ,..., vn ‬הוא קבוצת כל האיברים שמתקבלת על ידי צירופים לינאריים של‬
‫‪. v1 , v2 ,..., vn ‬‬
‫"צירוף לינארי" הוא סכום של וקטורים ‪ v1 , v2 ,..., vn ‬מוכפלים בסקלרים ‪. 1 ,  2 ,...,  n ‬‬
‫כלומר ‪span v1 , v2 ,..., vn   u u  1  v1   2  v2  ...   n  vn  -‬‬
‫‪def‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫או באופן שקול ‪span v1 , v2 ,..., vn   u    i vi  i  , vi  v1, v2 ,... , vn  -‬‬
‫‪def ‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪‬‬
‫לדוגמה‪ Span :‬של קבוצת שני הווקטורים ‪ v1 , v2 ‬שנמצאים במישור‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫הוא המישור‬
‫‪.  x, y , 0 x, y ‬‬
‫משפט‬
‫יהי ‪ V‬מרחב וקטורי מעל השדה‬
‫‪ ,‬ותהי ‪ v1 , v2 ,..., vn V‬קבוצת וקטורים סופית ‪.‬‬
‫נגדיר ‪ , U  span v1 , v2 ,..., vn  -‬אזי ‪-‬‬
‫‪ U .1‬היא תת‪-‬מרחב וקטורי של ‪V‬‬
‫‪v1 , v2 ,..., vn ‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪ U‬היא תת‪-‬מרחב וקטורי המינימלי שמכיל את‬
‫‪.0‬‬
‫‪ U‬היא תת‪-‬מרחב וקטורי המינימלי היחיד שמכיל את‬
‫‪20‬‬
‫‪v1 , v2 ,..., vn ‬‬
‫הוכחה‪ )1( :‬הוכחנו כי קיימים ‪ 0‬תנאים שקולים להגדרה של תת‪-‬מרחב וקטורי –‬
‫‪0V U .8‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪u1, u2 U  u1  u2 U‬‬
‫‪  u U .6‬‬
‫‪‬‬
‫‪uU‬‬
‫‪uU‬‬
‫נוכיח ששלושת התנאים מתקיימים –‬
‫‪.i‬‬
‫מההגדרה ‪ U  span v1 , v2 ,..., vn ‬נובע כי ‪ U‬מכילה כל צירוף לינארי של‬
‫‪ v1 , v2 ,..., vn ‬עם כל סקלר‪ .‬נבחר את הסקלר‬
‫‪ , 0 ‬ונקבל –‬
‫‪ . 0V  0  v1  0  v2  ...  0  vn‬ולכן ‪. 0V U‬‬
‫‪.ii‬‬
‫נניח כי ‪ , u1 , u2 U‬מהגדרת ‪ span‬נובע כי ניתן לבטא אותם כך –‬
‫‪u1  1  v1   2  v2  ...   n  vn‬‬
‫‪u2  1  v1   2  v2  ...   n  vn‬‬
‫נסיק כי גם את הסכום ניתן לבטא כצירוף לינארי ‪-‬‬
‫‪u1  u2  1  v1   2  v2  ...   n  vn    1  v1   2  v2  ...   n  vn  ‬‬
‫‪ 1  1   v1   2   2   v2  ...   n   n   vn‬‬
‫ולכן ‪. u1  u2 U‬‬
‫‪.iii‬‬
‫מהגדרת ‪ span‬נובע כי ‪ . u  1  v1  2  v2  ...  n  vn‬נכפיל בסקלר‬
‫‪- ‬‬
‫‪   u    1  v1   2  v2  ...   n  vn     1  v1     2  v2  ...     n  vn‬קיבלנו‬
‫צירוף לינארי של איברי הקבוצה ‪ U‬עם הסקלר ‪.   ‬‬
‫מתכונת הסגירות לכפל בשדה נובע כי‬
‫‪ ,  ,       ‬ולכן גם הביטוי החדש שייך‬
‫ל‪. U -‬‬
‫הוכחה‪ )2( :‬נניח כי * ‪ U‬הוא תת‪-‬מרחב של הווקטור ‪ , V‬כך ש‪. v1 , v2 ,..., vn   U -‬‬
‫*‬
‫נרצה להוכיח כי * ‪( U  U‬מוכלת או שווה)‪ ,‬ולכן ‪ U‬תת‪-‬מרחב מינימלי‪.‬‬
‫*‬
‫מהנתון ‪ v1 , v2 ,..., vn   U‬ומהנתון * ‪ U‬הוא תת‪-‬מרחב וקטורי‪ ,‬נובע כי –‬
‫* ‪1  v1   2  v2  ...   n  vn U‬‬
‫כי כל תת‪-‬מרחב וקטורי הוא מרחב וקטורי ולכן הוא סגור לכפל בסקלר ולחיבור‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫לכן נסיק ‪. 1  v1   2  v2  ...   n  vn  U   1  v1   2  v2  ...   n  vn  U *  U  U * -‬‬
‫‪28‬‬
‫הוכחה‪ )0( :‬נניח בשלילה שקיים עוד תת‪-‬מרחב מינימלי ‪ U $‬שמקיים ‪. v1 , v2 ,..., vn   U‬‬
‫‪$‬‬
‫נרצה להוכיח כי ‪ U  U $‬וכך נסיק כי ‪ U‬יחיד‪.‬‬
‫מחלק ‪ 2‬של המשפט נובע ש‪ U -‬הוא תת‪-‬מרחב מינימלי‪ ,‬ולכן ‪. U  U $‬‬
‫מחלק ‪ 2‬של המשפט נובע ש‪ U $ -‬הוא תת מרחב מינימלי‪ ,‬ולכן ‪. U $  U‬‬
‫מסקנה‪. U  U $ :‬‬
‫‪‬‬
‫תלות לינארית‬
‫יהי ‪ V‬מרחב וקטורי מעל השדה‬
‫‪.‬‬
‫תהי ‪ v1 , v2 ,..., vn V‬קבוצת וקטורים סופית‪.‬‬
‫תהי‬
‫‪ 1 , 2 ,..., n ‬קבוצת סקלרים סופית‪.‬‬
‫‪ .1‬נגדיר כי הווקטורים ‪ v1 , v2 ,..., vn V‬תלויים לינארית‪ ,‬אם קיימים הסקלרים‬
‫‪ , 1 , 2 ,..., n ‬ולא כל הסקלרים שווים ל‪ , 0 -‬כך שמתקיים –‬
‫‪1v1  2v2  ...  nvn  0V‬‬
‫‪ .2‬נגדיר כי הווקטורים ‪ v1 , v2 ,..., vn V‬בלתי תלויים לינארית‪ ,‬אם מתקיים השוויון הנ"ל‪ ,‬רק‬
‫כאשר כל הסקלרים שווים ל‪. 0 -‬‬
‫לדוגמה‪ :‬כל קבוצה שמכילה את וקטור ה‪ 0 -‬בהכרח תלויה לינארית‪.‬‬
‫כלומר‪ ,‬הקבוצה ‪ v1 ,..., 0V ,..., vn ‬תלויה לינארית‪ ,‬כי ניתן לבטא את כל איבריה באופן הבא ‪-‬‬
‫‪. 0  v1  ...  1  0V  ...  0  vn  0V‬‬
‫לדוגמה‪ :‬קבוצת הווקטורים ‪1, 0, 0  ,  0,1, 0  ,  0, 0,1‬‬
‫במרחב‬
‫‪3‬‬
‫בלתי תלויה לינארית‪ ,‬כי אם‬
‫מתקיים ‪ , 1  1, 0, 0    2   0,1, 0    3   0, 0,1  0V   0, 0, 0 ‬ניתן להסיק כי –‬
‫‪1  1, 0, 0   0  1  0‬‬
‫‪ 2   0,1, 0   0   2  0‬‬
‫‪ 3   0, 0,1  0   3  0‬‬
‫בניגוד לתנאי שלא כל הסקלרים שווים ל‪. 0 -‬‬
‫‪25‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫אם נוסיף לקבוצת הווקטורים וקטור כלשהו ‪ , 1, 0, 0  ,  0,1, 0  ,  0, 0,1 ,  x, y, z  -‬הקבוצה‬
‫תהפוך לתלויה לינארית‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫הסיבה לכך היא שכאשר ישנם ארבעה וקטורים במרחב‬
‫שלושת הווקטורים האחרים‪ ,‬ולכן ‪. v4  e1v1  e2v2  e3v3‬‬
‫‪ ,‬ניתן להציג כל וקטור כצירוף לינארי של‬
‫מכאן שניתן לבטא ‪ , 1  v4  e1v1  e2v2  e3v3  0 -‬בהתאם להגדרת תלות לינארית‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪Linear Dependence Lemma‬‬
‫יהי ‪ V‬מרחב וקטורי מעל השדה‬
‫‪.‬‬
‫יהיו ‪ v1 , v2 ,..., vn V‬וקטורים תלויים לינארית‪ ,‬וגם מתקיים ‪. v1  0V‬‬
‫אזי –‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .1‬קיים אינדקס ‪ , 2  j  n , j‬כך שמתקיים ‪. v j  span v1 ,..., v j 1‬‬
‫‪ .2‬כמו כן מתקיים כי ‪span v1 ,..., vn   span v1 ,..., v j 1 , v j 1 ,..., v j 1‬‬
‫הוכחה‪ )1( :‬נתון כי הווקטורים ‪ v1 , v2 ,..., vn V‬תלויים לינארית‪ ,‬משמע קיימים הסקלרים‬
‫‪ , 1 , 2 ,..., n ‬לא כולם שווים ‪ , 0‬כך שמתקיים ‪. 1v1  2v2  ...  nvn  0V‬‬
‫נוכיח שבקבוצת הסקלרים ‪ 2 ,..., n‬לא כל האיברים שווים ל‪. 0 -‬‬
‫נניח בשלילה שכל האיברים שווים ל‪ , 0 -‬אזי נקבל כי –‬
‫‪1v1  2v2  ...  nvn  0V  1v1  0 v2  ...  0 vn  0V  1v1  0V‬‬
‫מהתנאי ‪ v1  0V‬נובע כי ‪. 1v1  0V  1  0‬‬
‫קיבלנו תוצאה שבה גם הסקלרים ‪ 2 ,...,n  0‬וגם ‪ , 1  0‬בסתירה לתנאי להגדרת תלות‬
‫לינארית שלא כל הסקלרים שווים ל‪. 0 -‬‬
‫נסיק כי לא כל הסקלרים ‪ 2 ,..., n‬שווים ל‪. 0 -‬‬
‫נבחר את הסקלר בעל האינדקס המקסימלי שאינו ‪ , 0‬ונגדיר את האינדקס שלו להיות ‪. j‬‬
‫נסיק כי ‪. 1v1  ...   j 1v j 1   j v j   j 1v j 1...   n vn  0V‬‬
‫לפי הבחירה של ‪  j‬נסיק כי ‪ ,  j 1 ,...,  n  0‬ולכן –‬
‫‪26‬‬
1v1  ...   j 1v j 1   j v j  0V   j v j   1v1  ...   j 1v j 1  
 v j   1v1  ...   j 1v j 1    j 1  v j    j 1  1  v1  ...    j 1   j 1  v j 1

 

, span v1 ,..., v j 1  u u  1  v1  ...   j 1  v j 1 ‫ היא‬span ‫נשים לב שההגדרה של‬
 


- ‫ ניתן להסיק‬1 ,...,  j 1   j 1  1 ,...,  j 1   j 1 ‫ולכן אם נבחר‬
v j    j 1  1  v1  ...    j 1   j 1  v j 1  v j  span v1 ,..., v j 1


‫ נוכיח הכלה‬span v1 ,..., vn   span v1 ,...v j 1 , v j 1 ,..., vn ‫) כדי להוכיח את השוויון‬2( :‫הוכחה‬
.‫הדדית‬


. span v1 ,..., vn   span v1 ,...v j 1 , v j 1 ,..., vn ‫הוכחה כי‬
.‫א‬
- ‫ נסיק כי ניתן לבטא‬. v  span v1 ,..., vn  ‫נניח כי‬
v  1v1  ...   j 1v j 1   j v j   j 1v j 1  ...   n vn
- ‫ של המשפט כי‬1 ‫ ונשתמש במסקנה מחלק‬,‫ של המשפט‬1 ‫ כמו שבחרנו בחלק‬j ‫נבחר את‬
v j  1v1  ...   j 1v j 1
- ‫ולכן‬
v  1v1  ...   j 1v j 1   j v j   j 1v j 1  ...   n vn 
 v  1v1  ...   j 1v j 1   j  1v1  ...   j 1v j 1    j 1v j 1  ...   n vn 
 v  v  1v1  ...   j 1v j 1   j 1  v1   j  j 1  v j 1   j 1v j 1  ...   n vn 
 v  span v1 ,...v j 1 , v j 1 ,..., vn 
‫ ולכן מהמסקנה עולה כי‬, v  span v1 ,..., vn  ‫נזכור כי הנחת המוצא של ההוכחה הייתה כי‬
v  span v1 ,..., vn   v  span v1 ,...v j 1 , v j 1 ,..., vn 

-

. span v1 ,..., vn   span v1 ,...v j 1 , v j 1 ,..., vn ‫מגרירה זו נובע כי‬
– ‫באופן טריוויאלי ניתן להסיק מהגדרת הקבוצות כי מתקיים‬
.‫ב‬
span v1 ,...v j 1 , v j 1 ,..., vn   span v1 ,..., vn 
span v1 ,..., v j 1  span v1 ,...v j 1 , v j 1 ,..., vn  :‫מסקנה‬
27
‫‪‬‬
‫מרחב וקטורי נוצר‪-‬סופית‬
‫יהי ‪ V‬מרחב וקטורי מעל השדה‬
‫‪ ,‬ויהיו ‪ v1 ,..., vn V‬מספר סופי של וקטורים‪.‬‬
‫אם מתקיים ‪ , V  span v1 , ..., vn ‬נאמר ש‪" V -‬מרחב וקטורי נוצר‪-‬סופית"‪.‬‬
‫‪‬‬
‫דוגמאות‬
‫א‪.‬‬
‫‪,V ‬‬
‫‪3‬‬
‫הווקטורי‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .‬תמיד מתקיים כי ‪ , V  span 1, 0, 0  ,  0,1, 0  ,  0, 0,1‬ולכן המרחב‬
‫‪ V ‬נוצר‪-‬סופית‪.‬‬
‫ב‪ . V  P  x  .‬קבוצת הפולינומים מעל לשדה‬
‫כלשהו אינה מרחב וקטורי נוצר‪-‬סופית‪ ,‬כי לא ניתן‬
‫להציג את כל המרחב הווקטורי ‪ V‬באמצעות ‪ span‬של מספר סופי של וקטורים‪.‬‬
‫נימוק‪ :‬נניח בשלילה שניתן להציג ‪. V  span  p1 ,..., pk ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫כל פולינום מהמרחב הווקטורי שמעלתו גדולה מ‪ , m  max deg  p1  ,..., deg  pk  -‬לא שייך ל‪-‬‬
‫‪ , span  p1 ,..., pk ‬ולכן ‪. V  span  p1 ,..., pk ‬‬
‫‪‬‬
‫משפט‬
‫יהי ‪ V‬מרחב וקטורי מעל השדה‬
‫‪.‬‬
‫נניח כי ‪ V‬מרחב וקטורי נוצר‪-‬סופית‪ .‬כלומר ‪. V  span v1 , ..., vn ‬‬
‫נבחר ‪ m‬וקטורים מהמרחב ‪. u1 ,..., um V‬‬
‫אם ‪ u1 ,..., um‬בלתי תלויים לינארית‪ ,‬אז ‪. m  n‬‬
‫[המחשה‪ :‬את המרחב הווקטורי‬
‫‪3‬‬
‫‪ V ‬מעל לשדה‬
‫‪‬‬
‫ניתן להציג כ‪ span -‬של שלושה‬
‫וקטורים‪( .‬כמו בדוגמה א לעיל)‪.‬‬
‫מהמשפט ינבע שכל קבוצת וקטורים בלתי תלויים לינארית שנבחר תכיל לא יותר משלושה איברים‪].‬‬
‫‪-‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫‪ .1‬נניח בשלילה שהווקטורים ‪ u1 ,..., um V‬בלתי תלויים לינארית‪ ,‬ובכל זאת ‪. m  n‬‬
‫‪ .2‬מהנתון כי ‪ u1 ,..., um V‬בלתי תלויים לינארית נובע בפרט ‪. u1  0V‬‬
‫[נימוק‪ :‬הוכחנו שכל קבוצת וקטורים שמכילה את האיבר ‪ 0V‬תלויה לינארית‪].‬‬
‫‪ .0‬מהגדרת מרחב נוצר‪-‬סופית נובע כי אם ‪ u1 V‬אזי ‪ . u1  span v1 ,..., vn ‬כלומר‪ ,‬ניתן להציג‬
‫את ‪ u1‬כצירוף לינארי של האיברים ‪ , v1 ,..., vn‬ולכן –‬
‫‪u1  1v1  ...   n vn  1  u1  1v1  ...   n vn   0V‬‬
‫מביטוי זה נובע שהווקטורים ‪ u1 , v1 ,..., vn‬תלויים לינארית‪.‬‬
‫‪24‬‬
‫‪ .8‬נשתמש במשפט שקובע כי עבור קבוצת וקטורים תלויה לינארית‪ ,‬והראשון שונה מאפס‪ ,‬קיים‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫אינדקס ‪ , 2  j  n , j‬כך שמתקיים ‪. v j  span v1 ,..., v j 1‬‬
‫נסיק כי במקרה שלנו‪ ,‬עבור הווקטורים ‪ u1 , v1 ,..., vn‬קיים ‪ 1  j1  n‬שמקיים‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪. v j1  span v1 ,..., v j1 1‬‬
‫נשים לב שממסקנה זו נובע‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪V  span v1 ,..., vn   span u1 , v1 , ..., vn   span u1 , v1 ,..., v j1 1 , v j1 1 ,..., vn‬‬
‫[נימוק‪ :‬השוויון הראשון מבוסס על ההנחה ש‪ V -‬מרחב וקטורי נוצר‪-‬סופית‪.‬‬
‫השוויון השני מבוסס על כך שתוספת של וקטור ‪ u1‬לא משנה‪ ,‬כי בין כה וכה מההנחה ש‪V -‬‬
‫מרחב נוצר‪-‬סופית מתקיים ‪. u1  V  span v1 ,..., vn ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫השוויון השלישי מבוסס על כך ש‪ , v j1  span v1 ,..., v j1 1 -‬ולכן אפשר להסיר אותו‪].‬‬
‫‪ .5‬מהנתון כי ‪ u1 ,..., um V‬בלתי תלויים לינארית נובע בפרט ‪( . u2  0V‬מאותו נימוק שבשלב ‪.)2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪u2 V  u2  span v1 ,..., vn   span u1 , v1 ,..., vn   span u1 , v1 ,..., v j1 1 , v j1 1 , ..., vn‬‬
‫מהגדרת מרחב נוצר‪-‬סופית נובע כי אם ‪ u2 V‬אזי ‪. u2  span v1 ,..., vn ‬‬
‫כמו כן הראינו כי ‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪. u2  span v1 ,..., vn   u2  u1 , v1 ,..., v j1 1 , v j1 1 , ..., vn‬‬
‫ולכן ניתן להציג את ‪ u2‬כצירוף לינארי של האיברים ‪ , u1 , v1 ,..., v j1 1 , v j1 1 ,..., vn‬ולכן –‬
‫‪u2   0u1  1v1  ...   n vn  1  u2   0u1  1v1  ...   n vn   0V‬‬
‫מביטוי זה נובע שהווקטורים ‪ u2 , u1 , v1 ,..., v j1 1v j1 1 ,,..., vn‬תלויים לינארית‪.‬‬
‫‪ .6‬נשתמש שוב במשפט שקובע כי עבור קבוצת וקטורים תלויה לינארית‪ ,‬והראשון שונה מאפס‪ ,‬קיים‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫אינדקס ‪ , 2  j  n , j‬כך שמתקיים ‪. v j  span v1 ,..., v j 1‬‬
‫נסיק כי במקרה שלנו‪ ,‬עבור הווקטורים ‪ u2 , u1 , v1 ,..., v j1 1v j1 1 ,,..., vn‬קיים ‪1  j2  n‬‬
‫‪ , j2  j1‬שמקיים‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪. v j2  span u2 , u1 , v1 ,..., v j1 1v j1 1 , ..., v j2 1‬‬
‫נשים לב שממסקנה זו נובע‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪V  span v1 ,..., vn   span u2 , u1, v1,..., vn  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ span u2 , u1 , v1 ,..., v j1 1, v j1 1,..., v j2 1, v j2 1,.. ., vn‬‬
‫[נימוק‪ :‬השוויון הראשון מבוסס על ההנחה ש‪ V -‬מרחב וקטורי נוצר‪-‬סופית‪.‬‬
‫‪29‬‬
‫השוויון השני מבוסס על כך שתוספת של וקטורים ‪ u1 , u2‬לא משנה‪ ,‬כי בין כה וכה מההנחה ש‪-‬‬
‫‪ V‬מרחב נוצר‪-‬סופית מתקיים ‪. u1 , u2  V  span v1 ,..., vn ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫השוויון השלישי מבוסס על כך ש‪ v j1  span v1 ,..., v j1 1 -‬ועל כך ש‪, v j2  span v1 ,..., v j2 1 -‬‬
‫ולכן אפשר להסיר אותם‪].‬‬
‫‪ .7‬רק בגלל שהנחנו בשלילה כי ‪ , m  n‬נובע שניתן לחזור על התהליך הזה ‪ n‬פעמים ועבור כל ‪v‬‬
‫לקבל ‪ , u‬כך ש‪-‬‬
‫‪V  span v1 ,..., vn   V  span un ,..., u1‬‬
‫[נימוק‪ :‬אם ‪ , m  n‬כאשר נגיע להחלפה מספר ‪ m‬לא נוכל להמשיך‪].‬‬
‫‪ .4‬נבחר ‪. um V‬‬
‫משלב ‪ 7‬נובע כי ‪. um  V  um  span v1 ,..., vn   um  span un , ..., u1‬‬
‫כלומר‪ ,‬ניתן לבטא את ‪ um‬באופן הבא ‪-‬‬
‫‪um   0u1  ...   nun ‬‬
‫‪ 1  um   0u1  ...   nun   0V‬‬
‫מכאן נובע כי ‪ u1 ,..., um‬תלויים לינארית‪ ,‬בסתירה להנחה שהם בלתי תלויים לינארית‪.‬‬
‫מסקנה‪. m  n :‬‬
‫‪‬‬
‫משפט‬
‫יהי ‪ V‬מרחב וקטורי מעל השדה‬
‫‪.‬‬
‫נניח כי ‪ V‬מרחב וקטורי נוצר‪-‬סופית‪ .‬כלומר ‪. V  span v1 , ..., vn ‬‬
‫יהי ‪ U‬תת מרחב וקטורי של ‪. V‬‬
‫אזי ‪ U‬מרחב וקטורי נוצר‪-‬סופית‪.‬‬
‫‪-‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫א‪ .‬אם‬
‫‪U  0V ‬‬
‫המשפט מתקיים באופן טריוויאלי‪ ,‬כי תמיד‬
‫‪0V  span 0V ‬‬
‫‪.‬‬
‫ב‪ .‬אם ‪ , U  0V ‬אזי קיים ‪ , u1 U‬כך שמתקיים ‪. u1  0V‬‬
‫‪ .a‬אם ‪ U  span u1‬המשפט מתקיים מהגדרת מרחב נוצר‪-‬סופית‪.‬‬
‫‪ .b‬אם ‪ U  span u1‬אזי קיים ‪ , u2 U‬כך שמתקיים ‪. u2  span u1‬‬
‫ניתן להסיק כי הווקטורים ‪ u1 , u2‬בלתי תלויים לינארית‪.‬‬
‫‪03‬‬
‫[נימוק‪ :‬נניח בשלילה כי ‪ u1 , u2‬תלויים לינארית‪ .‬משמע קיימים ‪ , 1 ,  2‬לא שניהם אפס‪,‬‬
‫כך שמתקיים ‪. u11  u22  0V‬‬
‫נבחר ‪ , 2  0V‬ונקבל כי ‪u1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪. u11  u2 2  0V  u2 ‬‬
‫בסתירה לטענה כי ‪]. u2  span u1‬‬
‫‪ .i‬אם ‪ U  span u1 , u2 ‬המשפט מתקיים מהגדרת מרחב נוצר‪-‬סופית‪.‬‬
‫‪ .ii‬אם ‪ U  span u1 , u2 ‬אזי קיים ‪ , u3 U‬כך שמתקיים ‪. u3  span u1 , u2 ‬‬
‫באותו אופן ניתן להסיק שהווקטורים ‪ u1 , u2 , u3‬בלתי תלויים לינארית‪.‬‬
‫ג‪ .‬מהמשפט הקודם נובע שהתהליך מסתיים אחרי מספר סופי של שלבים‪.‬‬
‫[נימוק‪ :‬נניח שהתהליך לא מסתיים אחרי מספר סופי של שלבים‪ ,‬נקבל כי קיים מספר ‪ m‬גדול‬
‫יותר מ‪ , n -‬של וקטורים שהם בלתי תלויים לינארית‪ ,‬בסתירה למשפט הקודם‪].‬‬
‫‪‬‬
‫בסיסים‬
‫יהי ‪ V‬מרחב וקטורי מעל השדה‬
‫‪ ,‬ויהיו ‪ v1 ,..., vn V‬מספר סופי של וקטורים‪.‬‬
‫הרשימה ‪  v1 ,..., vn ‬נקראת "בסיס" של ‪ , V‬אם –‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪ V‬מרחב וקטורי נוצר‪-‬סופית‪ ,‬כלומר מתקיים ‪, V  span v1 , ..., vn ‬‬
‫הווקטורים ‪ v1 ,..., vn V‬בלתי תלויים לינארית‪,‬‬
‫["רשימה" היא איברים סדורים‪].  u1 ,..., un    v1,..., vn    u1  v1,..., u n  vn  :‬‬
‫למשל‪ :‬עבור המרחב הווקטורי‬
‫‪n‬‬
‫‪ , V ‬הרשימה הבאה מהווה בסיס סטנדרטי‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1, 0,..., 0  ,  0,1, 0,..., 0  ,...,  0,...0,1 ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪  n  ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪  n  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪01‬‬
‫‪‬‬
‫יחידות ההצגה‬
‫‪ v1 ,..., vn V‬הם בסיס של ‪ , V‬אמ"מ לכל וקטור ‪ v V‬קיימת הצגה יחידה ‪, v  1v1  ...  nvn‬‬
‫‪. 1 ,..., n ‬‬
‫‪-‬‬
‫הוכחה‪ v1 ,..., vn V ( :‬בסיס ‪ ‬קיימת הצגה יחידה)‬
‫מהנתון כי ‪ v1 ,..., vn V‬מהווים בסיס נובע כי מתקיים ‪ , V  span v1 , ..., vn ‬ולכן עבור כל וקטור‬
‫‪ v V‬קיימת הצגה ‪. v  1v1  ...  nvn‬‬
‫נניח בשלילה שקיימת הצגה נוספת של ‪ , v V‬כך ש‪. v  1v1  ...  nvn -‬‬
‫נקבל כי מתקיים ‪-‬‬
‫‪0V  v  v  1v1  ...   n vn    1v1  ...   n vn   1  1  v1  ...  1   n  vn‬‬
‫מהנתון כי ‪ v1 ,..., vn V‬מהווים בסיס נובע כי הם בלתי תלויים לינארית‪ ,‬ולכן בהכרח מתקיים‬
‫‪ . 1  1 ,...,  n  n‬כלומר‪ ,‬קיימת הצגה יחידה‪.‬‬
‫‪-‬‬
‫הוכחה‪( :‬קיימת הצגה יחידה ‪ v1 ,..., vn V ‬בסיס)‬
‫נוכיח שמתקיים התנאי הראשון של בסיס‪. V  span v1 , ..., vn  :‬‬
‫מצד אחד ‪ v1 ,..., vn V‬ולכן מתקיים כי ‪( . span v1 ,..., vn   V‬כי ‪ span‬הוא הכפלה בסקלרים‬
‫וחיבור של וקטורים‪ ,‬ומרחב וקטורי לפי הגדרתו סגור לפעולות הללו)‪.‬‬
‫מצד שני נתון כי עבור כל וקטור ‪ v V‬קיימת הצגה ‪ , v  1v1  ...  nvn‬ולכן כל וקטור מקיים‬
‫‪ . v  span v1 , ..., vn ‬כלומר‪. V  span v1 , ..., vn  ,‬‬
‫נסיק באופן כללי כי ‪span v1 ,..., vn   V  V  span v1 ,..., vn   V  span v1 , ..., vn ‬‬
‫נוכיח שמתקיים התנאי השני של בסיס‪ v1 ,..., vn V :‬בלתי תלויים לינארית‪.‬‬
‫נניח בשלילה שהווקטורים ‪ v1 ,..., vn‬תלויים לינארית‪ .‬כלומר‪. 0V  1v1  ...  nvn ,‬‬
‫ידוע גם כי ‪ . 0V  0 v1  ...  0 vn‬מיחידות ההצגה נסיק כי ‪ . 1  0 ,..., n  0‬כלומר‪,‬‬
‫‪ v1 ,..., vn‬בלתי תלויים לינארית‪.‬‬
‫‪02‬‬
‫‪‬‬
‫בניית בסיס באמצעות השמטת וקטורים תלויים‬
‫יהי ‪ V‬מרחב וקטורי מעל‬
‫‪ .‬נניח גם כי מתקיים ‪ , V  span v1 , ..., vn ‬אך ‪ v1 ,..., vn ‬אינה בסיס‬
‫של ‪( V‬כלומר‪ v1 ,..., vn  ,‬תלויים לינארית)‪.‬‬
‫ניתן להשמיט מהקבוצה ‪ v1 ,..., vn ‬וקטור אחד או יותר כך שיתקבל בסיס של ‪. V‬‬
‫‪-‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫נבנה קבוצה חדשה ‪ , B‬שמכילה את הווקטורים ‪ , v1 ,..., vn ‬באופן הבא ‪-‬‬
‫‪ .1‬אם ‪ , v1  0V‬נשמיט אותו מהקבוצה‪.‬‬
‫אם ‪ , v1  0V‬נשאיר אותו בקבוצה‪.‬‬
‫‪ .2‬וכך הלאה עבור אינדקס כלשהו ‪- 2  j  n , j‬‬
‫אם ‪‬‬
‫‪‬‬
‫אם ‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ , v j  span v1 ,..., v j 1‬נשמיט אותו מהקבוצה‪.‬‬
‫‪ , v j  span v1 ,..., v j 1‬נשאיר אותו בקבוצה‪.‬‬
‫‪ .0‬אחרי ‪ n‬צעדים נקבל שהקבוצה ‪ B‬בלתי תלויה לינארית וגם ‪. V  span  B‬‬
‫[נימוק‪ B :‬בלתי תלויה לינארית‪ ,‬כי אם היא הייתה תלויה לינארית אז לפי משפט קודם קיים‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫אינדקס ‪ , 2  j  n , j‬כך ש‪ . v j  span v1 ,..., v j 1 -‬אולם הסרנו את כל הווקטורים‬
‫שמקיימים את זה‪.‬‬
‫‪ V  span  B‬כי הסרנו רק את הווקטורים שמתקבלים על ידי ‪ span‬של הקודמים להם‪ ,‬ולכן‬
‫לפי אותו משפט קודם אפשר להשמיט אותם מה‪ span -‬של המרחב הווקטורי‪].‬‬
‫מסקנה מהמשפט‪ :‬אם ‪ V‬מרחב וקטורי נוצר‪-‬סופית מעל‬
‫‪ .‬כלומר ‪ . V  span v1 , ..., vn ‬אזי‬
‫קיים ל‪ V -‬בסיס‪.‬‬
‫‪‬‬
‫יחידות גודל הבסיס‬
‫יהי ‪ V‬מרחב וקטורי נוצר‪-‬סופית מעל‬
‫‪.‬‬
‫יהיו ‪ B2 , B1‬בסיסים של ‪ , V‬כך ש‪ span v1 ,..., vn  -‬‬
‫אזי ‪. n  m‬‬
‫‪00‬‬
‫‪ ,B‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫*‪. B2  span v1* ,..., vm‬‬
‫‪-‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫‪ .1‬ידוע כי ‪ , V  span v1 , ..., vn ‬כי ‪ B1‬בסיס של ‪. V‬‬
‫ידוע גם כי *‪ v1* ,..., vm‬בלתי תלויים לינארית‪ ,‬כי ‪ B2‬בסיס של ‪. V‬‬
‫מכאן נובע לפי משפט קודם שמתקיים ‪. n  m‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .2‬ידוע כי *‪ , V  span v1* ,..., vm‬כי ‪ B2‬בסיס של ‪. V‬‬
‫ידוע גם כי ‪ v1 ,..., vn‬בלתי תלויים לינארית‪ ,‬כי ‪ B1‬בסיס של ‪. V‬‬
‫מכאן נובע לפי משפט קודם שמתקיים ‪. n  m‬‬
‫‪ .0‬מסקנה‪n  m  n  m  n  m :‬‬
‫‪‬‬
‫בניית בסיס באמצעות השלמה לקבוצה פורשת‬
‫יהי ‪ V‬מרחב וקטורי נוצר‪-‬סופית מעל‬
‫‪. V  span v1 , ..., vn  ,‬‬
‫תהי ‪ , U  u1 ,..., um ‬קבוצה בת"ל‪ ,‬כך ש‪ , U  V -‬וגם ‪ U‬אינה בסיס של ‪. V‬‬
‫אזי ניתן להשלים את הקבוצה ‪ U‬להיות בסיס של ‪. V‬‬
‫כלומר‪ ,‬קיימים הווקטורים ‪ , um1 ,..., um p V‬כך שמתקיים שהקבוצה‬
‫‪‬‬
‫‪-‬‬
‫‪‬‬
‫‪ U  u1 ,..., um , um 1 ,..., um  p  V‬מהווה בסיס של ‪. V‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫‪ .1‬נגדיר ‪ u1 ,..., um ‬‬
‫‪ 0‬‬
‫‪.B‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ 0‬‬
‫‪ , v1  span B‬נגדיר ‪. B   B ‬‬
‫‪ .2‬אם‬
‫‪ ‬‬
‫אם ‪ , v1  span B 0‬נגדיר ‪ B  0  v1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪.B‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪. v1  span B‬‬
‫נקבל כי בכל מקרה‬
‫‪1‬‬
‫למה‪ B  :‬בלתי תלויה לינארית‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫הוכחה‪ :‬נניח בשלילה כי ‪ B ‬תלויה לינארית‪ .‬ממשפט קודם נובע שאחד מהווקטורים הבאים‬
‫‪ u2 ,..., um , v1‬מהווה צירוף לינארי של קודמיו‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪08‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ 0‬‬
‫‪. v1  span B‬‬
‫אולם גם הווקטור ‪ v1‬אינו צירוף לינארי של קודמיו‪ ,‬כי‬
‫וכן גם אף אחד מהווקטורים ‪ u2 ,..., um‬אינו צירוף לינארי של קודמיו‪ ,‬כי הם בלתי תלויים‬
‫לינארית‪.‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ n‬‬
‫‪. v1 ,..., vn  span B‬‬
‫‪ .0‬לאחר ‪ n‬צעדים נקבל קבוצה ‪ B ‬בלתי תלויה לינארית‪ ,‬וגם‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ span v ,..., v   span B     V  span B   ‬‬
‫‪v1 ,..., vn  span B n   1v1  ...   n vn  span B n  ‬‬
‫‪.8‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ n‬‬
‫‪ span B‬כולה מורכבת מווקטורים ששייכים ל‪ , V -‬ולכן הוכחנו הכלה הדדית‪ ,‬משמע‬
‫הקבוצה‬
‫‪ ‬‬
‫‪ n‬‬
‫‪. V  span B‬‬
‫‪‬‬
‫ממד (‪ )dimension‬של מרחב וקטורי‬
‫יהי ‪ V‬מרחב וקטורי מעל‬
‫א‪.‬‬
‫אם ‪ , V  0V ‬נגדיר‬
‫ב‪.‬‬
‫אם ‪. V  0V ‬‬
‫‪.‬‬
‫‪. dim V  0‬‬
‫‪def‬‬
‫‪ .a‬אם ‪ V‬מרחב וקטורי נוצר‪-‬סופית‪ ,‬לפי מסקנה ממשפט קודם יש לו בסיס ‪. v1 ,..., vn ‬‬
‫נגדיר ‪. dim V  n‬‬
‫‪def‬‬
‫‪ .b‬אם ‪ V‬מרחב וקטורי שאינו נוצר‪-‬סופית‪ ,‬נגדיר ‪. dim V  ‬‬
‫‪def‬‬
‫למשל‪ :‬אם‬
‫‪‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ , V ‬אז ‪ . dimV  n‬אם ‪ , V  P  x ‬אז ‪. dimV  ‬‬
‫משפט‬
‫יהי ‪ V‬מרחב וקטורי נוצר‪-‬סופית‪ ,‬ותהי ‪ U‬תת‪-‬מרחב וקטורי של ‪ , V‬אזי ‪. dimU  dimV‬‬
‫‪-‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫‪ .1‬מהנתון ש‪ V -‬נוצר‪-‬סופית נובע כי ל‪ V -‬יש בסיס ‪. v1 ,..., vn‬‬
‫‪ .2‬מהנתון ש‪ U  V -‬עולה כי גם ‪ U‬נוצר‪-‬סופית‪ ,‬ולכן ל‪ U -‬יש בסיס ‪. u1 ,..., um‬‬
‫‪ .0‬הווקטורים ‪ u1 ,..., un ‬בלתי תלויים לינארית כי הם בסיס‪ ,‬ולכן ממשפט קודם נובע כי ‪. m  n‬‬
‫‪05‬‬
‫‪‬‬
‫משפט‬
‫יהי ‪ V‬מרחב וקטורי נוצר‪-‬סופית‪. dimV  n .‬‬
‫אם ‪ v1 ,..., vn   V‬היא קבוצה בלתי תלויה לינארית‪ ,‬אזי ‪ v1 ,..., vn ‬מהווה בסיס‪.‬‬
‫‪-‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫נניח בשלילה כי ‪ v1 ,..., vn ‬אינה בסיס‪.‬‬
‫ממשפט קודם ניתן להסיק כי אפשר להשלים לבסיס‪ ,‬ונקבל כי ‪ v1 ,..., vn , vn 1 ,..., vt ‬בסיס‪ .‬בבסיס‬
‫זה ‪ , t  n‬כלומר ‪ , dimV  t‬בסתירה להנחה ‪. dimV  n‬‬
‫‪‬‬
‫משפט‬
‫יהי ‪ V‬מרחב וקטורי נוצר‪-‬סופית‪. dimV  n .‬‬
‫א‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪-‬‬
‫אם ‪ , V  span v1 , ..., vn ‬אזי ‪ v1 ,..., vn ‬מהווה בסיס‪.‬‬
‫אם‬
‫‪v1 ,..., vn ‬‬
‫בלתי תלויה לינארית‪ ,‬אזי ‪ v1 ,..., vn ‬מהווה בסיס‪.‬‬
‫הוכחה‪( :‬א)‬
‫נניח בשלילה כי ‪ v1 ,..., vn ‬אינה בסיס‪.‬‬
‫ממשפט קודם נובע שניתן להשמיט ממנה וקטור אחד או יותר ולקבל בסיס‪ ,‬ונקבל כי ‪dimV  n‬‬
‫בסתירה להנחה‪.‬‬
‫‪-‬‬
‫הוכחה‪( :‬ב)‬
‫נניח בשלילה כי ‪ v1 ,..., vn ‬בלתי תלויה לינארית‪ ,‬והיא אינה בסיס‪.‬‬
‫משפט קודם נובע שניתן להשלים אותה ולקבל בסיס‪ ,‬ונקבל כי ‪ dimV  n‬בסתירה להנחה‪.‬‬
‫‪‬‬
‫משפט‬
‫יהי ‪ V‬מרחב וקטורי נוצר‪-‬סופית‪ ,‬ויהי ‪ U  V‬תת‪-‬מרחב וקטורי של ‪. V‬‬
‫אם ‪ dimV  dimU‬אזי ‪. V  U‬‬
‫‪-‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪ U‬מרחב וקטורי נוצר‪-‬סופית‪ .‬כלומר ל‪ U -‬יש בסיס ‪. u1 ,..., un‬‬
‫‪ , U  span u1 , ..., un ‬ולכן ‪. dimU  n‬‬
‫‪06‬‬
‫‪ .2‬הווקטורים ‪ u1 ,..., un ‬בלתי תלויים לינארית כי הם בסיס‪ ,‬ולפי סעיף ב' של המשפט האחרון‬
‫נובע כי ‪ u1 ,..., un ‬מהווים בסיס של ‪. V‬‬
‫‪.0‬‬
‫‪-‬‬
‫‪. U  span u1 ,..., un   V‬‬
‫הערה‪ :‬נניח כי ‪ V‬מרחב וקטורי נוצר‪-‬סופית‪ ,‬וכי ‪ W , U‬שני תתי‪-‬מרחבים של ‪. V‬‬
‫‪dimV  dimU  V  U‬‬
‫‪dimV  dimW  V  W‬‬
‫‪dimU  dimW  U  W‬‬
‫‪‬‬
‫סכום של תתי‪-‬מרחבים‬
‫יהי ‪ V‬מרחב וקטורי נוצר‪-‬סופית‪ ,‬ויהיו ‪ W , U‬תתי‪-‬מרחבים של ‪. V‬‬
‫סכום תתי המרחבים מוגדר כך ‪ -‬‬
‫‪‬‬
‫‪. U  W  v v  u  w, u U , w W‬‬
‫‪def‬‬
‫‪‬‬
‫חיתוך של תתי‪-‬מרחבים‬
‫יהי ‪ V‬מרחב וקטורי נוצר‪-‬סופית‪ ,‬ויהיו ‪ W , U‬תתי‪-‬מרחבים של ‪. V‬‬
‫חיתוך תתי המרחבים מוגדר כך ‪-‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪. U  W  v v U  v W‬‬
‫‪def‬‬
‫‪‬‬
‫משפט‬
‫הקבוצה ‪ U  W‬היא תת‪-‬מרחב של ‪. V‬‬
‫‪-‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫נוודא שמתקיימים שלושת התנאים ששקולים להגדרת תת‪-‬מרחב וקטורי –‬
‫‪ .1‬נבדוק ‪. 0V U  W‬‬
‫מהנתון כי ‪ W , U‬תתי‪-‬מרחבים של ‪ V‬נובע כי ‪. 0V W , 0V U‬‬
‫מתקיים גם כי ‪ , 0V  0V  0V‬ולכן לפי ההגדרה ‪. 0V U  W‬‬
‫‪ .2‬נבדוק סגירות לחיבור‪.‬‬
‫נניח כי ‪ . v1 , v2 U  W‬מתקיים כי ‪ v1 U  W  v1  u1  w1‬וגם‬
‫‪ , v2 U  W  v2  u2  w2‬ולכן ‪. v1  v2  u1  w1  u2  w2  u1  u2  w1  w2 -‬‬
‫מכיוון ש‪ W , U -‬תתי‪-‬מרחבים של ‪ V‬הרי ש‪ u1  u2 U -‬וגם ‪ , w1  w2 W‬ולכן‬
‫‪. v1  v2 U  W‬‬
‫‪07‬‬
‫‪ .0‬נבדוק סגירות לכפל בסקלר‪.‬‬
‫נניח כי ‪. v U  W‬‬
‫מתקיים כי ‪. v  u  w    v     u  w     u    w‬‬
‫מכיוון ש‪   u U -‬וגם ‪ ,   w W‬הרי ש‪.   v U  W -‬‬
‫‪‬‬
‫משפט‬
‫הקבוצה ‪ U W‬היא תת‪-‬מרחב של ‪. V‬‬
‫‪-‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫נוודא שמתקיימים שלושת התנאים ששקולים להגדרת תת‪-‬מרחב וקטורי –‬
‫‪ .1‬נבדוק ‪. 0V U W‬‬
‫מהנתון כי ‪ W , U‬תתי‪-‬מרחבים של ‪ V‬נובע ‪0V U  0V W  0V U W‬‬
‫‪ .2‬נבדוק סגירות לחיבור‪.‬‬
‫נניח כי ‪ . v1 , v2 U W‬מתקיים כי ‪ , v1 U W  v1  U  v1  W‬וגם מתקיים כי‬
‫‪. v2 U W  v2  U  v2  W‬‬
‫ולכן ‪. v1  v2 U  v1  v2 W  v1  v2 U W -‬‬
‫‪ .0‬נבדוק סגירות לכפל בסקלר‪.‬‬
‫נניח כי ‪ . v U W‬מתקיים כי ‪. v U  v W    v U    v W    v U W‬‬
‫‪‬‬
‫משפט‬
‫יהי ‪ V‬מרחב וקטורי נוצר‪-‬סופית‪ ,‬ויהיו ‪ W , U‬תתי‪-‬מרחבים של ‪. V‬‬
‫אזי מתקיים ‪dim U  W   dim U  dim W  dim U  W ‬‬
‫‪-‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫‪ .1‬הוכחנו קודם כי ‪ U W , U  W‬הם תת מרחבים וקטוריים של ‪. V‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪ U W‬מרחב וקטורי נוצר‪-‬סופית‪ ,‬ולכן קיים עבורה בסיס ‪.  N1 ,..., N k ‬‬
‫‪.0‬‬
‫‪ , U W U‬ולכן ‪ U W‬תת‪-‬מרחב של ‪( U‬כי ‪ U‬היא מרחב וקטורי)‪.‬‬
‫‪ , U W W‬ולכן ‪ U W‬תת‪-‬מרחב של ‪( W‬כי ‪ W‬היא מרחב וקטורי)‪.‬‬
‫‪04‬‬
.‫ לכל מרחב וקטורי נוצר סופית קיים בסיס‬,‫ לפי משפט קודם‬.8
 N1 ,..., N k , u1 ,..., um  : U
‫ להיות בסיס של‬ N1 ,..., N k  ‫נשלים את‬
 N1 ,..., N k , w1 ,..., wn  : W
‫ להיות בסיס של‬ N1 ,..., N k  ‫נשלים את‬
. U  W  span  N1 ,..., N k , u1 ,..., um , w1 ,..., wn  ‫ נוכיח שמתקיים‬.5
. U  W ‫ בסיס של‬B ‫ ונראה כי‬, B   N1 ,..., N k , u1 ,..., um , w1 ,..., wn  ‫נסמן‬
. u  w  span  B ‫נוכיח כי‬
.‫א‬
. w W , u U ‫ כאשר‬, v  u  w ‫ מתקיים‬v U  W ‫עבור‬
u U  u  span  N1 ,..., N k , u1 ,..., um  
 u  1 N1  ...   k N k  c1u1  ...  cmum
- ‫נסיק שמתקיים‬
w W  w  span  N1 ,..., N k , w1 ,..., wm  
 w  1 N1  ...   k N k  d1w1  ...  d n wm
- ‫וכן מתקיים‬
– ‫משתי המסקנות נובע שמתקיים‬
v  u  w  1 N1  ...   k N k  c1u1  ...  cmum    1 N1  ...  k N k  d1w1  ...  d n wm  
 v  1  1  N1   k   k  N k  c1u1  ...  cmum  d1w1  ...  dn wm 
 V  span B  u  w  span B
. span  B  u  w ‫נוכיח כי‬
.‫ב‬
– ‫ מתקיים כי‬v  span  B ‫עבור‬
v  1 N1  ...   k Nk  1u1  ...  mum  c1w1  ...  cn wm
U
W
. v2 W , v1 U ‫ כאשר‬, v  v1  v2 ,‫כלומר‬
. span  B  U  W ‫ ולכן‬, v U  W ‫ מתקיים‬v  span  B ‫נסיק כי‬
. span  B  U  W :‫מסקנה כללית‬
.‫ בלתי תלויה לינארית‬B ‫ נראה כי‬.6
‫ מתקיים‬1 N1  ...  k Nk  1u1  ...  mum  c1w1  ...  cn wm  0V ‫נוכיח שאם‬
. 1  ...  k  1  ...  m  c1  ...  cn  0
09
- ‫ראשית נשים לב כי הווקטור שמהווה את הצירוף הלינארי הבא של אברי הבסיס‬
‫ כי הוא‬, W -‫ וגם ל‬U -‫ שייך גם ל‬, 1 N1  ...  k Nk  1u1  ...  mum  c1w1  ...  cn wm
. W ‫ ואת הבסיס של‬U ‫מכיל את הבסיס של‬
‫ וגם‬, 1 N1  ...  k Nk  c1w1  ...  cn wm W ,‫כלומר‬
. 1 N1  ...  k Nk  1u1  ...  mum U
- ‫שנית נשים לב כי אם מתקיים‬
‫ נוכל להסיק כי‬, 1 N1  ...  k Nk  1u1  ...  mum  c1w1  ...  cn wm  0V
‫ ומביטוי זה נובע‬, 1 N1  ...   k N k  1u1  ...   mum    c1w1  ...  cn wm 
1N1  ...  k Nk  1u1  ...  mum W ‫ וגם‬, c1w1  ...  cn wm U
‫ וגם‬, c1w1  ...  cn wm U W - ‫נסיק באופן כללי כי‬
. 1 N1  ...  k Nk  1u1  ...  mum U W
‫ שהיא הבסיס של‬ N1 ,..., N k  ‫ משמע שבאמצעות‬, c1w1  ...  cn wm U W ‫אם‬
o
. c1w1  ...  cn wm  d1 N1  ...  dk Nk ‫ ניתן לבטא‬, U W
. c1w1  ...  cn wm   d1 N1  ...  d k N k   0V - ‫נסיק‬
‫ ולכן היא בלתי תלויה‬, W ‫ היא הבסיס של‬ N1 ,..., N k , w1 ,..., wn  ‫נשים לב כי הקבוצה‬
– ‫ משמע‬.‫לינארית‬
c1w1  ...  cn wm   d1 N1  ...  d k N k   0V  c1  ...  cn  d1  ...  d k  0V
‫ משמע שבאמצעות‬, 1 N1  ...  k Nk  1u1  ...  mum U W ‫ אם‬,‫באותו אופן‬
o
‫ ניתן לבטא‬, U W ‫ שהיא הבסיס של‬ N1 ,..., N k 
1N1  ...  k Nk  1u1  ...  mum  b1N1  ...  bk Nk
1 N1  ...   k N k  1u1  ...   mum  b1 N1  ...  bk N k   0V - ‫נסיק‬
‫ ולכן היא בלתי‬, U ‫ היא הבסיס של‬ N1 ,..., N k , u1 ,..., um  ‫נשים לב גם כי הקבוצה‬
– ‫ משמע‬.‫תלויה לינארית‬
1 N1  ...   k N k  1u1  ...   mum   1 N1  ...   k N k   0V 
 1  ...   k  1  ...   m  ...   k  0V
dim U  W   k  m  n   k  m    k  n   k 
 dim U  dim W  dim U  W 
83
:‫ מסקנה‬.7
‫פרק ‪ :3‬העתקות לינאריות‬
‫‪‬‬
‫העתקה לינארית‬
‫יהיו ‪ W , V‬שני מרחבים וקטוריים ממימד כלשהו‪ ,‬לא בהכרח סופי‪ ,‬שניהם מעל אותו שדה‬
‫תהי ‪ T‬פונקציה ‪. T : V  W‬‬
‫‪ T‬נקראת "העתקה ליניארית" אם מתקיימים שני תנאים‪:‬‬
‫‪.‬‬
‫‪v1 ,v2 V T  v1  v2   T  v1   T  v2  .1‬‬
‫‪T  v    T  v  .2‬‬
‫‪-‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪vV‬‬
‫הערה‪ :‬שני התנאים להגדרת העתקה לינארית שקולים לתנאי הבא –‬
‫‪T 1v1   2v2   1T  v1    2T  v2 ‬‬
‫‪-‬‬
‫‪‬‬
‫‪vV‬‬
‫סימון‪ :‬נסמן את קבוצת כל ההעתקות הלינאריות ממרחב ‪ V‬למרחב ‪ W‬באחד מהסימונים הבאים ‪-‬‬
‫‪. £ V , W  , hom V , W ‬‬
‫‪‬‬
‫דוגמאות‬
‫‪-‬‬
‫דוגמה ‪:1‬‬
‫‪‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪  x, y ‬‬
‫נגדיר מרחב וקטורי ‪‬‬
‫‪y ‬‬
‫‪‬‬
‫נגדיר העתקה מסוימת‬
‫‪2‬‬
‫‪ x, y     y, x ‬‬
‫‪ , V ‬ונעסוק בפונקציה כלשהי‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.T :‬‬
‫‪ . T‬נוכיח שהעתקה זו היא העתקה לינארית‪ ,‬באמצעות‬
‫‪def‬‬
‫וידוא ששני התנאים שמגדירים העתקה לינארית מתקיימים‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪T   x1 , y1    x2 , y2    T   x1  x2 , y1  y2     y1  y2 , x1  x2  ‬‬
‫‪  y1 , x1    y2 , x2   T   x1 , y1    T   x2 , y2  ‬‬
‫‪T   x, y    T   x,  y     y,  x     y , x    T  x, y  .2‬‬
‫‪-‬‬
‫דוגמה ‪:2‬‬
‫‪‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪  x, y ‬‬
‫נגדיר מרחב וקטורי ‪‬‬
‫‪y‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ , V ‬ונעסוק בפונקציה כלשהי‬
‫‪81‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.T :‬‬
  x, y     x , y 
2
‫ כי לא‬,‫ נוכיח שהעתקה זו אינה העתקה לינארית‬. T
2
‫נגדיר העתקה מסוימת‬
def
:‫מתקיים בה התנאי השני‬


T   x, y    T   x,  y     y  ,  x    2  y 2 , x 2    2T  x, y   T  x, y 
2
2
:0 ‫דוגמה‬
]. raxr 1 ‫ איברים ממשיים) היא‬r ,  ,‫ משתנה ממשי‬x ( ax r ‫ נגזרת של הביטוי‬:‫[הערה‬
:‫נגדיר שני מרחבים וקטוריים‬
V   n,
 x   a0  a1 x1  ...  an1 x n1  an x n
W   n 1,
ak 

 x   a0  a1 x1  ...  an1 x n1 ak 

. T : V  W ‫נעסוק בפונקציה כלשהי‬


1
n 1
n
n 1
. T a0  a1 x  ...  an 1 x  an x  a1  ...  an 1 x ‫נגדיר העתקה מסוימת‬
def
‫ נוכיח שהעתקה זו היא העתקה‬.‫ של פולינום כלשהו מעבירה אותו לנגזרת שלו‬T ‫ ההעתקה‬,‫כלומר‬
:‫ באמצעות וידוא ששני התנאים שמגדירים העתקה לינארית מתקיימים‬,‫לינארית‬


T  a0  a1 x  ...  an 1 x n 1  an x n   b0  b1 x  ...  bn 1 x n 1  bn x n  
 T   a0  b0    a1  b1  x  ...   an 1  bn 1  x n 1   an  bn  x n  
  a1  b1   ...   n  1 an 1  bn 1  x n 2  n  an  bn  x n 1 
 a1  b1  ...   n  1 an 1 x n 2   n  1 bn 1 x n 2  nan x n 1  nb1 x n 1 
.1
  a1  ...   n  1 an 1 x n  2  nan x n 1   b1  ...   n  1 bn 1 x n  2  nbn x n 1  
 T  a0  a1 x  ...  an 1 x n 1  an x n   T  b0  b1 x  ...  bn 1 x n 1  bn x n 


T   a0  a1 x1  ...  an 1 x n 1  an x n   T  a0   a1 x1  ...   an 1 x n 1   an x n  
  a1  ...   n  1  an 1 x n 2  n an x n 1     a1  ...   n  1 an 1 x n 2  nan x n 1  
 T  a0  a1 x1  ...  an 1 x n 1  an x n 
82
.2
-
‫‪‬‬
‫גרעין של העתקה לינארית‬
‫תהי ‪. T  hom V ,W ‬‬
‫נגדיר את הגרעין של ‪ T‬להיות‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪. Null T   v v V , T  v   0W‬‬
‫‪def‬‬
‫‪-‬‬
‫דוגמה ‪:1‬‬
‫‪‬‬
‫‪,V ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪.T :‬‬
‫נגדיר העתקה לינארית באופן הבא ‪ x , x , x ...   x , x ... -‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.T‬‬
‫‪def‬‬
‫מתקיים כי‬
‫‪-‬‬
‫‪‬‬
‫‪. Null T    x, 0, 0,... x ‬‬
‫דוגמה ‪:2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪,V ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.T :‬‬
‫נגדיר העתקה לינארית באופן הבא ‪ x, y     y, x  -‬‬
‫‪.T‬‬
‫‪def‬‬
‫מתקיים כי‬
‫‪‬‬
‫‪ 0, 0 ‬‬
‫‪( Null T  ‬הגרעין מכיל איבר יחיד)‪.‬‬
‫משפט‬
‫יהיו ‪ W , V‬שני מרחבים וקטוריים שניהם מעל אותו שדה‬
‫‪.‬‬
‫תהי ‪ , T : V  W‬ונניח ‪. T  hom V ,W ‬‬
‫אזי ‪ Null T ‬מהווה תת‪-‬מרחב וקטורי של ‪. V‬‬
‫‪-‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫נוכיח שמתקיימים שלושת התנאים ששקולים להגדרת תת‪-‬מרחב וקטורי‪.‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪. 0V  Null T ‬‬
‫מתקיים כי ‪. T  0V   T  0  0V   0  T  0V   0  0W -‬‬
‫‪. v1 ,v2Null T  v1  v2  Null T  .2‬‬
‫מההגדרת של גרעין נובע כי ‪. v1 , v2  Null T   T  v1   0W  T  v2   0W‬‬
‫לפיכך מתקיים כי ‪. T  v1  v2   T  v1   T  v2   0W  0W  0W -‬‬
‫‪80‬‬
‫‪. vNull T    v  Null T  .0‬‬
‫מתקיים כי ‪. T  v    T  v     0W  0W -‬‬
‫‪‬‬
‫העתקה חד‪-‬חד ערכית‬
‫יהיו ‪ W , V‬שני מרחבים וקטוריים שניהם מעל אותו שדה‬
‫‪.‬‬
‫תהי ‪. T  hom V ,W ‬‬
‫‪ T‬נקראת העתקה חד‪-‬חד ערכית אם מתקיים ‪. T  v1   T  v2   v1  v2‬‬
‫‪‬‬
‫משפט‬
‫יהיו ‪ W , V‬שני מרחבים וקטוריים שניהם מעל אותו שדה‬
‫‪.‬‬
‫תהי ‪ , T : V  W‬ונניח ‪. T  hom V ,W ‬‬
‫אזי התנאים הבאים שקולים‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪ T‬היא העתקה חד‪-‬חד ערכית‪.‬‬
‫‪Null T   0V  .2‬‬
‫‪-‬‬
‫הוכחה‪)2  1( :‬‬
‫א‪.‬‬
‫הראינו קודם כי ‪ , 0V  Null T ‬ולכן מהגדרת גרעין נובע כי ‪. T  0V   0W‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מהנתון כי ‪ T‬חד‪-‬חד ערכית נובע שאין ‪ v  0V , v V‬כך ש‪ , T  v   0W -‬ולכן‬
‫‪. Null T   0V ‬‬
‫‪-‬‬
‫הוכחה‪)1  2( :‬‬
‫א‪.‬‬
‫נניח בשלילה כי מתקיים ‪ , Null T   0V ‬ובכל זאת ‪ T‬אינה חד‪-‬חד ערכית‪ .‬כלומר‪,‬‬
‫קיימים ‪. T  v1   T  v2  , v1  v2 , v1 , v2 V‬‬
‫‪T  v1   T  v2   T  v1   T  v2   0W  T  v1    1 T  v2   0W ‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪ T  v1   T  v2   0W  T  v1  v2   0W  v1  v2  Null T  ‬‬
‫‪ v1  v2  0W  v1  v2‬‬
‫בסתירה להנחה ‪. v1  v2‬‬
‫‪88‬‬
‫‪‬‬
‫תמונה‬
‫יהיו ‪ W , V‬שני מרחבים וקטוריים שניהם מעל אותו שדה‬
‫‪.‬‬
‫תהי ‪ , T : V  W‬ונניח ‪. T  hom V ,W ‬‬
‫נגדיר תמונה (או ‪ ) Range‬של‬
‫‪-‬‬
‫‪ T‬כך ‪ -‬‬
‫‪‬‬
‫‪. Range T   w w W , w  T  v  , v V‬‬
‫דוגמה ‪:1‬‬
‫נגדיר מרחב וקטורי ‪ , V  P  x ‬ונעסוק בפונקציה כלשהי ‪. D : V  V‬‬
‫נגדיר העתקה מסוימת‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n 1‬‬
‫‪. D a0  a1 x  ...  an x  a1  ...  nan x‬‬
‫‪def‬‬
‫טענה‪ :‬מתקיים כי ‪. Range  D   P  x ‬‬
‫נימוק‪ :‬כל פולינום ניתן להציג כנגזרת של פולינום אחר‪ ,‬ולכן קבוצת האיברים שמתקבלים מ‪-‬‬
‫‪ Range  D ‬היא העתקה לינארית‪.‬‬
‫‪-‬‬
‫דוגמה ‪:2‬‬
‫נגדיר מרחב וקטורי ‪ , V  P  x ‬ונעסוק בפונקציה כלשהי ‪. T : V  V‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫נגדיר העתקה מסוימת ‪. T p  x   x 2 p  x ‬‬
‫‪def‬‬
‫‪m  2‬‬
‫מתקיים כי ‪‬‬
‫‪a ‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪m‬‬
‫‪. Range  D   a2 x  ...  am x‬‬
‫‪‬‬
‫כלומר‪ ,‬לא ניתן לקבל באמצעות ההעתקה פולינום שמכיל איבר חופשי ו‪. x -‬‬
‫‪‬‬
‫משפט‬
‫יהיו ‪ W , V‬שני מרחבים וקטוריים שניהם מעל אותו שדה‬
‫תהי ‪ , T : V  W‬ונניח ‪. T  hom V ,W ‬‬
‫אזי ‪ Range T ‬היא מרחב וקטורי מעל ‪. W‬‬
‫‪85‬‬
‫‪.‬‬
‫‪-‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫‪ Range T ‬היא תת‪-‬קבוצה של ‪ , W‬ולכן נוכיח ששלושת התנאים לקיום של תת‪-‬מרחב וקטורי‬
‫מתקיימים‪.‬‬
‫נוכיח שמתקיימים שלושת התנאים ששקולים להגדרת תת‪-‬מרחב וקטורי‪.‬‬
‫‪ .8‬הוכחנו קודם ש‪ , T  0V   0W -‬ולכן ‪. 0W  Range T ‬‬
‫‪ .5‬צריך להוכיח כי ‪.  , RangeT  1  2  Range T ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1  T  v1   2  T  v2   1  2  T  v1   T  v2   T  v1  v2 ‬‬
‫ידוע כי ‪ , v1  v2 V‬ולכן מתקיים ‪. 1  2  T  v1  v2   Range T ‬‬
‫‪ .6‬צריך להוכיח כי ‪. RangeT     Range T ‬‬
‫‪    T  v   T  v ‬‬
‫‪.  T v   ‬‬
‫ידוע כי ‪ ,  v V‬ולכן מתקיים ‪.   T  v   Range T ‬‬
‫‪‬‬
‫משפט המימדים‬
‫יהיו ‪ W , V‬שני מרחבים וקטוריים שניהם מעל אותו שדה‬
‫‪ ,‬נניח גם כי ‪ V‬נוצר‪-‬סופית‪.‬‬
‫תהי ‪ , T : V  W‬ונניח ‪. T  hom V ,W ‬‬
‫אזי ‪dim V  dim  Null T    dim  Range T   -‬‬
‫‪-‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫‪ .1‬הוכחנו כי ‪ Null T ‬הוא תת‪-‬מרחב מעל ‪. V‬‬
‫נתון כי ‪ V‬נוצר‪-‬סופית‪ ,‬לכן בהכרח גם תת המרחב שלו ‪ Null T ‬נוצר‪-‬סופית‪.‬‬
‫אם ‪ Null T ‬נוצר סופית אזי יש לו בסיס‪.‬‬
‫‪ .2‬נסמן את הבסיס של ‪ Null T ‬כך ‪. u1 ,..., um  -‬‬
‫‪ .0‬הקבוצה ‪ u1 ,..., um ‬היא בסיס של ‪ , Null T ‬ולכן היא תת‪-‬קבוצה בלתי תלויה לינארית של‬
‫‪.V‬‬
‫אם היא בלתי תלויה לינארית ניתן להשלים אותה לבסיס של ‪. V‬‬
‫‪86‬‬
. u1 ,..., um , v1 ,..., vn  - ‫ כך‬V ‫נסמן את הבסיס של‬
. Range T  ‫ נבנה את הבסיס של‬.8
. T  v1  ,..., T  vn  - ‫נתבונן בקבוצה הבאה‬
. Range T  ‫קבוצה של‬-‫קבוצה זו היא תת‬
. Range T  ‫ היא בסיס של‬T  v1  ,..., T  vn  :‫ למה‬.5
‫ וגם כי‬, Range T   span T  v1  ,..., T  vn  ‫ צריך להוכיח שמתקיים‬:‫נימוק‬
.‫ בלתי תלויה לינארית‬T  v1  ,..., T  vn 
.‫כיוונית‬-‫ נוכיח הכלה דו‬Range T   span T  v1  ,..., T  vn  ‫ כדי להוכיח את השוויון‬.6
- '‫צד א‬
o
. span T  v1  ,..., T  vn  -‫ ששייך ל‬, 1T  v1   ...   nT  vn  ‫נתבונן בווקטור‬
– ‫זו העתקה לינארית ולכן מתקיים‬
1T  v1   ...   nT  vn   T 1v1  ...   n vn  W  1v1   n vn  Range T 
‫ שייך גם‬, span T  v1  ,..., T  vn  -‫ ששייך ל‬1T  v1   ...   nT  vn  ‫נסיק כי כל וקטור‬
. span T  v1  ,..., T  vn   Range T  ‫ ולכן‬, Range T  -‫ל‬
– '‫צד ב‬
. Range T  -‫ ששייך ל‬ ‫נתבונן בווקטור כלשהו‬
.   T  v  ‫ משמע‬, Range T  -‫ שייך ל‬ ‫אם‬
‫ ולכן נסיק‬, V ‫ להיות בסיס של‬u1 ,..., um , v1 ,..., vn  ‫מצד שני הגדרנו את הקבוצה‬
. v  1u1  ...   mum  1v1  ...  nvn - ‫שמתקיים‬
.   T  v   T 1u1  ...   mu m  1v1  ...   nvn  - ‫ולכן‬
- ‫בגלל שזו העתקה לינארית מתקיים כי‬
T  v   T 1u1  ...   mum   1T  v1   ...   nT  vn 
. T 1u1  ...   mum   oW ‫ ולכן‬Null T  ‫ בסיס של‬u1 ,..., um  ‫נזכור שהגדרנו כי‬
  T  v   1T  v1   ...   nT  vn     T  v   span T  v1  ,..., T  vn  - ‫ולכן‬
87
o
‫ ולכן‬span T  v1  ,..., T  vn  -‫ שייך גם ל‬Range T  -‫ ששייך ל‬ ‫נסיק כי כל וקטור‬
Range T   span T  v1  ,..., T  vn 
‫ בצד ב' הוכחנו‬,
span T  v1  ,..., T  vn   Range T 
– ‫ ולכן‬,
‫ בצד א' הוכחנו‬:‫ מסקנה‬.7
Range T   span T  v1  ,..., T  vn 
Range T   span T  v1  ,..., T  vn 
.‫ קבוצה בלתי תלויה לינארית‬T  v1  ,..., T  vn  ‫ נוכיח כי‬.4
- ‫תלות לינארית נבחן את הצירוף הלינארי הבא‬-‫כדי להוכיח אי‬
. 1 ,...,  n  0V ‫ ונוכיח שמתקיים לכל המקדמים שלו‬, 1T  v1   ...   nT  vn   0V
– ‫בגלל שזו העתקה לינארית ניתן להסיק כי‬
1T  v1   ...   nT  vn   0V  T 1v1  ...   n vn   0V 
 1v1  ...   n vn  Null T   1v1  ...   n vn  1u1  ...   mum 
 1v1  ...   n vn   1u1  ...   mum   0V
]. Null T  ‫ בסיס של‬u1 ,..., um  ‫[המעבר הרביעי מתבסס על כך שהגדרנו‬
‫ ולכן זו קבוצה בלתי תלויה‬, V ‫ להיות בסיס של‬u1 ,..., um , v1 ,..., vn  ‫נזכור שהגדרנו את‬
.‫לינארית‬
1v1  ...   n vn   1u1  ...   mum   0V 
 1  ...   n   1  ...    m  0
- ‫משמע‬
.‫ קבוצה בלתי תלויה לינארית‬T  v1  ,..., T  vn  ‫ולכן‬
. Null T   m ‫ ולכן‬Null T  ‫ היא בסיס של‬u1 ,..., um  )2 ‫ (מסעיף‬.9
. dim  Range T    n ‫ ולכן‬Range T  ‫ היא בסיס של‬T  v1  ,..., T  vn  )5 ‫(מסעיף‬
. dimV  n  m ‫ ולכן‬, V ‫ היא בסיס של‬u1 ,..., um , v1 ,..., vn  )0 ‫(מסעיף‬
dim V  n  m  dim  Null T    dim  Range T   :‫מסקנה כללית‬
84
‫‪‬‬
‫מסקנה ממשפט הממדים‪:‬‬
‫יהיו ‪ W , V‬שני מרחבים וקטוריים שניהם מעל אותו שדה‬
‫סופית‪.‬‬
‫‪ ,‬נניח גם כי שניהם מרחבים נוצרים‪-‬‬
‫תהי ‪ , T : V  W‬ונניח ‪. T  hom V ,W ‬‬
‫אם ‪ dimW  dimV‬אזי ‪ T‬אינה חד‪-‬חד ערכית‪.‬‬
‫‪o‬‬
‫‪.i‬‬
‫נימוק‪:‬‬
‫כדי להראות ש‪ T -‬אינה חד‪-‬חד ערכית‪ ,‬מספיק להוכיח ש‪ , Null T   0V  -‬כי הוכחנו במשפט‬
‫קודם שקיימת שקילות בין הטענות הללו‪.‬‬
‫‪.ii‬‬
‫כדי להוכיח ש‪ , Null T   0V  -‬מספיק להוכיח ש‪. dim  Null T    0 -‬‬
‫[כי אם ‪ Null T   0V ‬אזי ‪]. dim  Null T    0‬‬
‫‪.iii‬‬
‫‪ Range T ‬היא תת‪-‬מרחב וקטורי של ‪ , W‬ולכן ‪. dim  Range T    dim W‬‬
‫‪.iv‬‬
‫מהמשפט שהוכחנו ‪ , dim V  dim  Null T    dim  Range T  ‬נסיק באמצעות העברת‬
‫אגפים כי ‪. dim  Null T    dim V  dim  Range T  ‬‬
‫מכאן נובע ש‪. dim  Null T    dim V  dim W -‬‬
‫‪.v‬‬
‫הנחנו כי ‪ , dimW  dimV‬ולכן ‪ , dim  Null T    dim V  dim W  0‬כלומר‬
‫‪ , dim  Null T    0‬כמו שרצינו להוכיח בסעיף ‪.ii‬‬
‫‪‬‬
‫העתקה "על"‬
‫יהיו ‪ W , V‬שני מרחבים וקטוריים שניהם מעל אותו שדה‬
‫‪.‬‬
‫תהי ‪ , T : V  W‬ונניח ‪. T  hom V ,W ‬‬
‫אם ‪ Range T   W‬אזי ‪ T‬היא העתקה "על"‪.‬‬
‫‪‬‬
‫מסקנה נוספת מהמשפט הקודם‪:‬‬
‫יהיו ‪ W , V‬שני מרחבים וקטוריים שניהם מעל אותו שדה‬
‫סופית‪.‬‬
‫‪ ,‬נניח גם כי שניהם מרחבים נוצרים‪-‬‬
‫תהי ‪ , T : V  W‬ונניח ‪ . T  hom V ,W ‬אם ‪ dimV  dimW‬אזי ‪ T‬אינה על‪.‬‬
‫‪89‬‬
:‫נימוק‬
‫ נסיק באמצעות העברת אגפים‬, dim V  dim  Null T    dim  Range T   ‫מהמשפט שהוכחנו‬
. dim  Range T    dim V  dim  Null T   ‫כי‬
. dim  Range T    dim V ‫ ולכן‬, dim  Null T    0 ‫בכל מקרה מתקיים‬
‫ ולכן נוכל להסיק כי מתקיים‬Range T   W ‫ כלומר‬,‫ היא העתקה על‬T ‫נניח בשלילה כי‬
. dim W  dim  Range T    dim V
. dimV  dimW ‫וזאת בסתירה לנתון‬
53
‫פרק ‪ :4‬מערכות משוואות ומטריצות‬
‫‪‬‬
‫מערכת משוואות לינאריות‬
‫מערכת משוואות לינאריות היא קבוצה של משוואות מהצורה הבאה –‬
‫‪a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  c1‬‬
‫‪a x  a x  ...  a x  c‬‬
‫‪ 21 1 22 2‬‬
‫‪2n n‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪am1 x1  am 2 x2  ...  amn xn  cm‬‬
‫‪1  ci  m , ci ‬‬
‫‪1  j  n , 1  i  m , aij ‬‬
‫השאלה הבסיסית שבודקים במערכות משוואות לינאריות היא האם קיימים ‪ ,  x1 , x2 ,..., xn ‬כך שאם‬
‫נציב אותם במערכת השוויון יתקיים‪ ,‬ואם כן מהם‪.‬‬
‫כל ‪  x1 , x2 ,..., xn ‬כזה שמקיים את השוויון נקרא "פתרון" של המערכת‪.‬‬
‫‪‬‬
‫מערכת משוואות לינאריות כהעתקה לינארית‬
‫ניתן להתייחס למערכת משוואות לינארית כאל העתקה‪.‬‬
‫כלומר‪ ,‬ההעתקה מקבלת את הווקטורים ‪  x1 , x2 ,..., xn ‬מהמרחב‬
‫שהיא למעשה וקטור מהמרחב‬
‫נגדיר את ההעתקה‬
‫‪m‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪am, j x j‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪j‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪,‬‬
‫‪‬‬
‫‪ am ,1 x1  am ,2 x2 ... am ,n xn ‬‬
‫‪‬‬
‫‪n‬‬
‫‪m‬‬
‫‪ ,‬ומחזירה מערכת לינארית‪,‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ T :‬בצורה הבאה –‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪,‬‬
‫‪n‬‬
‫‪xj‬‬
‫‪a‬‬
‫‪2, j‬‬
‫‪j 1‬‬
‫‪ a2,1 x1  a2,2 x2 ... a2,n xn‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪n‬‬
‫‪T   x1 , x2 ,..., xn      a1, j x j‬‬
‫‪‬‬
‫‪j 1‬‬
‫‪,‬‬
‫‪ a x  a x ... a x‬‬
‫‪1,1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1,2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1,‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫קל לוודא שהעתקה מסוג כזה היא העתקה לינארית‪.‬‬
‫‪‬‬
‫הערה‬
‫יהיו‬
‫‪n‬‬
‫‪,V ‬‬
‫‪m‬‬
‫‪ W ‬מרחבים‪ ,‬ותהי ‪ T : V  W‬העתקה לינארית שמחזירה מערכת משוואות‪.‬‬
‫התנאים הבאים שקולים –‬
‫‪  c1 , c2 ,..., cm  ‬קיים פתרון ‪  x1 , x2 ,..., xn ‬של מערכת המשוואות‪.‬‬
‫א‪.‬‬
‫עבור‬
‫ב‪.‬‬
‫‪ c1 , c2 ,..., cm   Range T ‬‬
‫‪m‬‬
‫‪51‬‬
‫טענה זו נובעת מכך שהמשמעות ש‪  x1 , x2 ,..., xn  -‬הוא פתרון למערכת המשוואות‪ ,‬היא שהפעלה‬
‫של ההעתקה הלינארית ‪ T   x1 , x2 ,..., xn  ‬תחזיר את ‪ ,  c1 , c2 ,..., cm ‬ולכן לפי ההגדרה של‬
‫תמונה מתקיים ‪.  c1 , c2 ,..., cm   Range T ‬‬
‫‪-‬‬
‫מסקנה‪:‬‬
‫יהיו ‪, V  n‬‬
‫משוואות לינארית‪.‬‬
‫‪m‬‬
‫‪ W ‬מרחבים וקטוריים‪ ,‬ותהי ‪ T : V  W‬העתקה לינארית שמחזירה מערכת‬
‫מתקיים ‪. dimV  n , dimW  m‬‬
‫אם ידוע כי ‪ , n  m‬ניתן להסיק כי ‪ , Range T   W‬ולכן ההעתקה ‪ T‬אינה על‪.‬‬
‫כלומר‪ ,‬קיימים וקטורים ‪  c1 , c2 ,..., cm   W‬שעבורם אין פתרונות של מערכת המשוואות‪.‬‬
‫‪‬‬
‫מטריצה של העתקה לינארית‬
‫‪.‬‬
‫יהיו ‪ W , V‬מרחבים וקטוריים נוצרים סופית‪ ,‬שניהם מעל לשדה‬
‫תהי ‪. T  hom V ,W  , T : V  W‬‬
‫‪ V‬נוצר‪-‬סופית ולכן קיים לו בסיס ‪( , BV  v1 ,..., vn ‬כלומר ‪.) dimV  n‬‬
‫‪ W‬נוצר‪-‬סופית ולכן קיים לו בסיס ‪( , BW  1 ,..., m ‬כלומר ‪.) dimW  m‬‬
‫נשים לב ש‪ T -‬מקבלת וקטור מ‪ V -‬ומחזירה וקטור מ‪ , W -‬ובגלל של‪ W -‬יש בסיס‪ ,‬נוכל להסיק כי‬
‫מתקיים –‬
‫‪ ‬‬
‫‪T v   a‬‬
‫‪T v 1  a1, 1 1  a2, 1 2  ...  am, 1 m‬‬
‫‪1  a2, 2 2  ...  am, 2 m‬‬
‫‪1, 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪T v n  a1, n 1  a2, n 2  ...  am, n m‬‬
‫‪1 i  m‬‬
‫‪, ai , j ‬‬
‫‪1 j  n‬‬
‫נגדיר מטריצה ‪ , M‬על העתקה ‪ T‬ביחס לבסיסים ‪- BW , BV‬‬
‫‪52‬‬
 a1,1 a1,2

a2,1 a2,2
M T , BV , BW   

def

 am,1 am,2
a1,n 

a2, n 


am,n 
.‫ בשורות של המטריצה מופיעים הסקלרים שבעמודות של מערכת המשוואות‬:‫הסבר‬
.‫ בעמודות של המטריצה מופיעים הסקלרים שבשורות של מערכת המשוואות‬- ‫או באופן זהה‬
‫דוגמה‬
‫ וממעלה‬n ‫ (מרחבי הפולינומים ממעלה‬.

‫ מעל שדה‬W  P , n 1  x  , V  P ,n  x  ‫נגדיר‬
.) n  1
– ‫נבחר בבסיסים סטנדרטיים‬








BW   1 , x ,..., x n 1   dim W  n , BV   1 , x ,..., x n   dim V  n  1
n1 
 vn 
1 2




v1 v2
– ‫ באופן הבא‬D : V  W ‫נגדיר העתקה‬
D  a0  a1 x  a2 x 2  a3 x3 ...  an x n   a1  2a2 x  3a3 x 2  ...  nan x n 1
.)‫ מחזירה את מרחב הנגזרות‬D (
– BW , BV ‫ ביחס לבסיסים‬D ‫נחשב את המטריצה על ההעתקה‬
D 1  0 
0 1  0  x  0  x 2  0  x3  ...  0  x n 1
D  x  1 
11  0  x  0  x 2  0  x 3  ...  0  x n 1
D  x 2   2 x  0 1  2  x  0  x 2  0  x3  ...  0  x n 1
D  x3   3x 2  0 1  0  x  3  x 2  0  x 3  ...  0  x n 1
D  x n   nx n 1  0 1  0  x  0  x 2  0  x 3  ...  n  x n 1
0

0
M  D, BV , BW    0


0

1 0 0
0 2 0
0 0 3
0 0 0
0 

0 

0   dim W


n  
dimV  n 1
50
 n
- ‫נבטא את המטריצה שקיבלנו‬

‫סכום של העתקות לינאריות‬
T1  T2  v   T1 v   T2 v 

- ‫סכום של העתקות מוגדר כך‬
def
‫מטריצה על סכום של העתקות‬
.‫ שניהם נוצרים סופית‬,

‫ מרחבים וקטוריים מעל‬W , V ‫יהיו‬
. BW  1 ,..., m  , BV  v1 ,..., vn  ‫נסמן‬
.‫ העתקות לינאריות‬T2 , T1 ‫יהיו‬
- ‫יהיו המטריצות הבאות מוגדרות על ההעתקות הלינאריות‬
 b1,1

M T2 , BV , BW   
b
 m,1
 a1,1
b1, n 


 , M T1 , BV , BW   
a
bm, n 
 m,1
a1,n 


am,n 
– ‫אזי‬
T1  T2  hom V , W 
 a1,1  b1,1

M T1  T2 , BV , BW   
a b
 m,1 m,1
a1,n  b1,n 


am,n  bm,n 
.‫א‬
.‫ב‬
)'‫ (א‬:‫הוכחה‬
.‫ מקיימת את ההגדרה של העתקה לינארית‬T1  T2 ‫נראה כי‬
T1  T2  v1  v2   T1 v1  v2   T2 v1  v2   T1 v1   T1 v2   T2 v1   T2 v2  
 T1  v1   T2  v1   T1 v2   T2 v2   T1  T2 v1   T1  T2 v2 
T1  T2  v   T1  v   T2  v   T1 v   T2 v  
  T1  v   T2  v     T1  T2 v 
58
- ‫חיבור‬
- ‫כפל בסקלר‬
-
)'‫ (ב‬:‫הוכחה‬
-
T1  T2  v1   T1  v1   T2  v1    a j ,1 j   b j ,1 j    a j ,1  b j ,1  j
m
m
m
j 1
j 1
j 1
T1  T2  v2   T1  v2   T2  v2    a j ,2 j   b j ,2 j    a j ,2  b j ,2   j
m
m
m
j 1
j 1
j 1
T1  T2  vn   T1  vn   T2  vn    a j ,n j   b j ,n j    a j ,n  b j ,n   j
m
m
m
j 1
j 1
j 1
– ‫ולכן נסיק‬
T1  T2  v1     a j ,1  b j ,1  j   a1,1  b1,1  1   a2,1  b2,1  2  ...   am,1  bm,1  m
m
j 1
T1  T2  v2     a j ,2  b j ,2   j   a1,2  b1,2  1   a2,2  b2,2  2  ...   am,2  bm,2  m
m
j 1
T1  T2  vn     a j ,n  b j ,n   j   a1,n  b1,n  1   a2,n  b2,n  2  ...   am,n  bm,n  m
m
j 1
‫ כמו שטענו‬,‫אם נבנה את המטריצה של מערכת המשוואות הזו נקבל מטריצה של סכומי המקדמים‬
.‫במשפט‬
‫סכום של מטריצות‬
‫ מסיבה זו‬.‫ראינו שמטריצה על סכום של העתקות מוגדרת כסכום של כל המקדמים של ההעתקות‬
.‫יהיה נוח להגדיר כך גם סכום של מטריצות‬
 b1,1

B
b
 m,1
 a1,1
b1,n 


 ,A
a
bm,n 
 m,1
 a1,1  b1,1

A B  
a b
 m,1 m,1
a1,n 

 - ‫יהיו שתי מטריצות‬
am,n 
a1, n  b1, n 

 - ‫סכום של שתיהן מוגדר כך‬
am, n  bm, n 
55

‫‪‬‬
‫כפל של העתקה לינארית בסקלר‬
‫כפל של העתקה לינארית בסקלר מוגדר כך ‪-‬‬
‫‪T  v   T  v ‬‬
‫‪def‬‬
‫‪‬‬
‫מטריצה על כפל של העתקה בסקלר‬
‫באותו אופן שהוכחנו עבור מטריצה על סכום של העתקות‪ ,‬ניתן להוכיח כי מטריצה על כפל של‬
‫‪  a1,1‬‬
‫‪‬‬
‫‪M T , BV , BW   ‬‬
‫‪ a‬‬
‫‪ m,1‬‬
‫‪ a1,n ‬‬
‫‪‬‬
‫העתקה לינארית בסקלר היא ‪ -‬‬
‫‪ am,n ‬‬
‫‪‬‬
‫כפל מטריצה בסקלר‬
‫ראינו שמטריצה על כפל של העתקה בסקלר מוגדרת ככפל בסקלר של כל המקדמים של ההעתקות‪.‬‬
‫מסיבה זו יהיה נוח להגדיר כך גם כפל של מטריצה בסקלר‪.‬‬
‫‪ a1,1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ , A  ‬ויהי‬
‫‪a‬‬
‫‪ m,1‬‬
‫‪a1, n ‬‬
‫‪‬‬
‫תהי המטריצה ‪ -‬‬
‫‪am,n ‬‬
‫‪‬‬
‫‪  a1,1‬‬
‫‪‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ a‬‬
‫‪ m,1‬‬
‫‪ a1, n ‬‬
‫‪‬‬
‫כפל של המטריצה בסקלר מוגדר כך ‪ -‬‬
‫‪ am,n ‬‬
‫‪‬‬
‫הרכבה של העתקות לינאריות‬
‫יהיו ‪ V ,W ,U‬מרחבים וקטוריים‪ ,‬כולם מעל אותו שדה‬
‫‪.‬‬
‫יהיו ‪ T , S‬העתקות לינאריות‪ ,‬כך ש‪. T : V  W , S : W  U -‬‬
‫נגדיר הרכבה של ‪ T , S‬שנסמן ‪ S T‬באופן הבא –‬
‫‪S T  v   S T  v    S     u‬‬
‫‪def‬‬
‫נשים לב שקיבלנו העתקה מ‪ V -‬ל‪( U -‬דרך ‪.) W‬‬
‫‪56‬‬
‫מטריצה של הרכבה‬
.

‫ כולם מעל אותו שדה‬,‫סופית‬-‫ מרחבים וקטוריים נוצרים‬V ,W ,U ‫יהיו‬
. BU  u1 ,..., uk  , BW  1 ,..., m  , BV  v1 ,..., vn  ‫יהיו‬
. S : W  U , T : V  W -‫ כך ש‬,‫ העתקות לינאריות‬T , S ‫יהיו‬
 a11

) 1  j  n , 1  i  m ( , M T , BV , BW    aij  

a
 m1
a1n 


amn 
 b11

, 1  l  m ( , M  S , BW , BU    bsl  

b
 k1
b1m 


bkm 
)1  s  k
  ‫עבור מטריצה של הרכבת ההעתקות‬
‫ מתקיים שהאינדקסים הם‬, M  S T , BV , BU   cij
‫ היא‬cij ‫ ) ומתקיים כי הנוסחה עבור כל איבר‬U ‫ (המימד של‬1  i  k ) V ‫ (המימד של‬1  j  n
. cij 
m
b a
l 1
il lj
:‫הוכחה‬
-
m
k
k
k
 m
 m
 m

S T  v j   S T  v j   S   aiji    aij  S i    aij   bliul     bli aij ul   clj ul
i 1
l 1
l 1  i 1
l 1
 i 1
 i 1



 clj
def
– ‫ ולכן מתקיים‬,‫ העתקה לינארית‬S -‫השוויון השלישי מבוסס על הנתון ש‬
 k

S   aiji   S  a1 j1  a2 j2  ...  akjk  
 i 1

 S  a1 j1   S  a2 j2   ...  S  akjk  
k
 a1 j S 1   a2 j S 2   ...  akj S k    aij  S i 
i 1
57
‫נרשום את הנוסחה כמטריצה מפורשת‪:‬‬
‫נתונות המטריצת הבאות –‬
‫‪a1n ‬‬
‫‪‬‬
‫‪a2 n ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪amn ‬‬
‫‪a12‬‬
‫‪a22‬‬
‫‪am 2‬‬
‫‪b1m ‬‬
‫‪ a11‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪b2 m ‬‬
‫‪ a21‬‬
‫‪M‬‬
‫‪T‬‬
‫‪,‬‬
‫‪B‬‬
‫‪,‬‬
‫‪B‬‬
‫‪‬‬
‫‪, ‬‬
‫‪V‬‬
‫‪W ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪bkm ‬‬
‫‪ am1‬‬
‫‪ b11 b12‬‬
‫‪‬‬
‫‪ b21 b22‬‬
‫‪M‬‬
‫‪S‬‬
‫‪,‬‬
‫‪B‬‬
‫‪,‬‬
‫‪B‬‬
‫‪‬‬
‫‪. ‬‬
‫‪W‬‬
‫‪U ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ bk 1 bk 2‬‬
‫אז מטריצת ההרכבה שלהם תהיה ‪-‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪m‬‬
‫‪‬‬
‫‪b2i ain ‬‬
‫‪‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪m‬‬
‫‪bki ain ‬‬
‫‪‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪m‬‬
‫‪b a‬‬
‫‪1i in‬‬
‫‪‬‬
‫‪m‬‬
‫‪ b1i ai 2‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪m‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪2i i 2‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪m‬‬
‫‪b a‬‬
‫‪ki i 2‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪ m‬‬
‫‪  b1i ai1‬‬
‫‪ i 1‬‬
‫‪ m‬‬
‫‪b a‬‬
‫‪M  S T , BV , BU    i 1 2i i1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ m‬‬
‫‪ b a‬‬
‫‪  ki i1‬‬
‫‪ i 1‬‬
‫מכפלת מטריצות‬
‫ראינו שמחישוב מטריצה על הרכבה של העתקות לינאריות עולה כי היא סכום על מכפלות הסקלרים‬
‫של שתי ההעתקות‪ .‬מסיבה זו יהיה נוח להגדיר כך גם מכפלה של מטריצות‪.‬‬
‫‪a1n ‬‬
‫‪‬‬
‫‪a2 n ‬‬
‫אם נתונות שתי מטריצות –‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪amn ‬‬
‫אז המכפלה שלהן תהיה ‪-‬‬
‫‪b1m ‬‬
‫‪ a11 a12‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪b2 m ‬‬
‫‪ a21 a22‬‬
‫‪A‬‬
‫‪‬‬
‫‪,‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪bkm ‬‬
‫‪ am1 am 2‬‬
‫‪ b11 b12‬‬
‫‪‬‬
‫‪ b21 b22‬‬
‫‪B‬‬
‫‪‬‬
‫‪,‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ bk1 bk 2‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ , A  B  clj‬כאשר ‪. 1  j  n , 1  l  k‬‬
‫‪def‬‬
‫‪m‬‬
‫כאשר הנוסחה עבור ‪ clj‬כלשהו היא‬
‫‪b a‬‬
‫‪li ij‬‬
‫‪i 1‬‬
‫‪. clj ‬‬
‫‪-‬‬
‫הערה ‪ :1‬ניתן להגדיר כפל מטריצות רק כאשר מספר העמודות ב‪( B -‬שמסומן על‪-‬ידי האינדקס ‪) m‬‬
‫שווה למספר השורות ב‪( A -‬שמסומן גם הוא על‪-‬ידי האינדקס ‪ .) m‬אחרת אין מספיק איברים בכדי‬
‫לבצע את ההכפלה של כל העמדה בכל השורה‪.‬‬
‫‪-‬‬
‫הערה ‪ :2‬בכפל מטריצות ‪. A  B  B  A‬‬
‫‪54‬‬
‫דוגמאות‬
 a11

. A  a21

a
 31
a12 
 b11 b12

a22  , B  
 b21 b22
a32 
 b a b a b a
B  A   11 11 12 21 13 31
 b21a11  b22 a21  b23 a31
b13 
 - ‫נתונות המטריצות הבאות‬
b23 
.‫א‬
b11 a12  b12 a22  b13 a32 
 - ‫המכפלה היא‬
b21 a12  b22 a22  b23 a32 
)‫ (הכפלה במטריצת היחידה‬:‫דוגמה נוספת‬
 1 0 0   a11 a12


 0 1 0    a21 a22
0 0 1  a a

  31 32
1 a11  0  a21  0  a31

  0  a11  1 a21  0  a31
 0  a  0  a  1 a
21
31
 11

.‫ב‬
a13 a14 

a23 a24  
a33 a34 
1 a12  0  a22  0  a32 1 a13  0  a23  0  a33 1 a14  0  a24  0  a34 

0  a12  1 a22  0  a32 0  a13  1 a23  0  a33 0  a14  1 a24  0  a34  
0  a12  0  a22  1 a32 0  a13  0  a23  1 a33 0  a14  0  a24  1 a34 
 a11 a12 a13 a14 


  a21 a22 a23 a24 
a a a a 
 31 32 33 34 
)‫(המטריצה נשארה ללא שינוי לאחר ההכפלה‬
‫מטריצה של וקטור‬
.

‫סופית מעל השדה‬-‫ מרחב וקטורי נוצר‬V ‫יהי‬
. v  1v1  ...  nvn - ‫ ולכן לכל וקטור מתקיים‬, BV  v1 ,..., vn  ‫נניח כי‬
 a1 
  - ‫ כך‬B ‫נגדיר מטריצה עבור וקטור בבסיס‬
. M  v, BV  
v
V
 
a 
 n
‫משפט‬
.
‫ כולם מעל אותו שדה‬,‫סופית‬-‫ מרחבים וקטוריים נוצרים‬V ,W ‫יהיו‬
.‫ העתקה לינארית‬T : V  W ‫ תהי‬. BW  1 ,..., m  , BV  v1 ,..., vn  ‫יהיו‬
. M T  v  , BW   M T , BV , BW   M v , BV  - ‫ מתקיים‬v V ‫אזי לכל‬
59

:‫הוכחה‬
 a1 
 
v  1v1  ...   n vn  M  v, BV    
a 
 n
 n

T  v   T 1v1  ...   n vn   T   a j v j  
 j 1

n
n
m
m  n

  a jT  v j    a j  bkjk     bkl a j k
j 1
j 1
k 1
k 1  j 1

-
.1
.2
 c1   b11a1   b1n an 
n
  
 ‫ נשים לב כי‬, b a  c ‫ נסמן‬.0
.

kl j
k
 

j 1
 c   b a  ...  b a 
m1 n 
 m   m1 1
 c1 
 b11
 

.   
c 
b
 m
 m1
 M T  v , BV 
b1n 


bmn 
 M T , BV , BW 
 a1 
 
  - ‫ נסיק כי מתקיים‬.8
a 
 n
 M  v , BV 
‫העתקה הפוכה‬
.‫ העתקה לינארית‬T : V  W ‫ תהי‬.

‫ מרחבים וקטוריים מעל אותו שדה‬W , V ‫יהיו‬
S T  S T  v    IV , T S  T  S     I W -‫ כך ש‬S : W  V ‫אם קיימת העתקה‬
.‫ היא העתקה הפיכה‬T ‫ וכי‬, T -‫ היא העתקה הפוכה ל‬S ‫אז נאמר כי‬
]. IV  v   v ,‫ כלומר‬.‫) היא העתקת הזהות‬Identity( I ‫ העתקה‬:‫[הערה‬
‫תכונה של העתקה הפוכה‬
,‫ העתקה לינארית הפיכה‬T : V  W ‫ ותהי‬,
‫ מרחבים וקטוריים מעל אותו שדה‬W , V ‫יהיו‬
. S : W  V ‫שההעתקה ההפוכה שלה היא‬
.‫ היא העתקה לינארית‬S ‫אזי‬
63

‫‪-‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫כדי להראות שמדובר בהעתקה לינארית נוכיח ששני התנאים שבהגדרת העתקה לינארית מתקיימים‪.‬‬
‫‪ .1‬יהיו ‪ . 1 , 2 W‬נגדיר את הווקטורים ‪ , v1 , v2 V‬כך ש‪. S 2   v2 , S  1   v1 -‬‬
‫מהגדרת העתקה הפוכה עולה ‪. T  v2   T S 2   2 , T  v1   T S 1   1‬‬
‫לכן נוכל להסיק ‪-‬‬
‫‪S 1  2   S T  v1   T v2    S T v1  v2   ‬‬
‫‪ S T  v1  v2   IV v1  v2   v1  v2  S 1   S 2 ‬‬
‫[נימוק‪ :‬השוויון השני מבוסס על כך ש‪ T -‬העתקה לינארית‪.‬‬
‫השוויון הרביעי מבוסס על הנתון ש‪ S -‬פונקציה הפוכה‪].‬‬
‫‪ .2‬יהיו ‪,  W‬‬
‫‪ .  ‬נגדיר את הווקטור ‪ v V‬כך ש‪. S  v    -‬‬
‫כלומר‪ ,‬לפי הגדרת העתקה הפוכה מתקיים ‪T  v   T S     -‬‬
‫לכן ‪S    S  T  v    S T  v    S T  v   IV  v    v   S   -‬‬
‫‪‬‬
‫משפט‬
‫יהיו ‪ W , V‬מרחבים וקטוריים מעל אותו שדה‬
‫‪.‬‬
‫תהי ‪ T : V  W‬העתקה לינארית‪.‬‬
‫אזי התנאים הבאים שקולים –‬
‫א‪.‬‬
‫‪ T‬הפיכה‬
‫ב‪.‬‬
‫‪ T‬חד‪-‬חד ערכית ועל‬
‫[העתקה חח"ע‪ T :‬היא העתקה חד‪-‬חד ערכית אם ‪]. T  v1   T  v2   v1  v2‬‬
‫[העתקה על‪ T :‬היא העתקה "על" אם ‪]. Range T   W‬‬
‫‪-‬‬
‫הוכחה‪( :‬א ‪ ‬ב)‬
‫‪ .1‬נוכיח כי ‪ T‬העתקה חח"ע‪.‬‬
‫יהיו ‪ , v1 , v2 V‬ונניח כי ‪. T  v1   T  v2 ‬‬
‫ידוע כי ‪ T‬הפיכה‪ ,‬ולכן מתקיים ‪. S T  v2   v2 , S T  v1   v1 -‬‬
‫‪61‬‬
‫נסיק כי ‪. T  v1   T  v2   S T  v1   S T  v2   v1  v2 -‬‬
‫‪ .2‬נוכיח כי ‪ T‬העתקה על‪.‬‬
‫יהי ‪ .  W‬נבחר ‪ v V‬כך ש‪. S     v -‬‬
‫נשים לב שמהנתון ש‪ T -‬הפיכה עולה כי ‪. T  v   T  S     T S    ‬‬
‫כלומר‪ ,‬לכל ‪  W‬שנקבל ניתן למצוא ‪ v V‬כך ש‪. T  v    -‬‬
‫‪-‬‬
‫הוכחה‪( :‬ב ‪ ‬א)‬
‫‪ .1‬נתון כי ‪ T‬העתקה על‪ ,‬ולכן לכל וקטור ‪  W‬קיים ‪ v V‬כך ש‪. T  v    -‬‬
‫נתון כי ‪ T‬העתקה חח"ע‪ ,‬ולכן הווקטור ‪ v V‬יחיד‪.‬‬
‫‪ .2‬נגדיר העתקה חדשה ‪ S : W  V‬באופן הבא ‪. S    v -‬‬
‫‪def‬‬
‫מסעיף ‪ 1‬נובע כי העתקה זו מוגדרת באופן חד‪-‬משמעי‪.‬‬
‫‪ .0‬נסיק שמתקיימת העתקה הפוכה ‪-‬‬
‫‪‬‬
‫‪T S    T  S     T  v     IW‬‬
‫‪S T  v   S T  v    S    v  IV‬‬
‫יחידות ההעתקה ההפוכה‬
‫יהיו ‪ W , V‬מרחבים וקטוריים מעל אותו שדה‬
‫שההעתקה ההפוכה שלה היא ‪. S : W  V‬‬
‫‪ ,‬ותהי ‪ T : V  W‬העתקה לינארית הפיכה‪,‬‬
‫אזי ‪ S‬יחידה‪.‬‬
‫‪-‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫נניח כי ‪ S ' , S‬העתקות הפוכות של ‪. T‬‬
‫מהגדרת העתקה הפוכה עולה כי מתקיים עבור כל אחת מההעתקות ההפוכות –‬
‫נסיק מכך –‬
‫‪S T  IV‬‬
‫‪S ' T  IV‬‬
‫‪T S  IW‬‬
‫‪T S '  IW‬‬
‫‪S '     ‬‬
‫‪T‬‬
‫‪S    S  IW     S IW     S‬‬
‫‪   S T  S '    IV S '    IV  S '     S '  ‬‬
‫‪62‬‬
‫[נימוק‪ :‬נזכיר שוב כי בהעתקת הזהות מתקיים ‪. IV  v   v‬‬
‫השוויון הרביעי מוצדק כי ‪S '  S T S '  S T  S '   S T  S '   S T  S ' -‬‬
‫‪‬‬
‫‪T‬‬
‫‪]. S‬‬
‫משפט‬
‫‪ ,‬ותהי ‪ T : V  V‬העתקה לינארית‪.‬‬
‫יהי ‪ V‬מרחב וקטורי נוצר‪-‬סופית מעל השדה‬
‫אזי התנאים הבאים שקולים –‬
‫א‪.‬‬
‫‪ T‬הפיכה‬
‫ב‪.‬‬
‫‪ T‬חח"ע‬
‫ג‪.‬‬
‫‪ T‬על‬
‫במשפט קודם הוכחנו כי לכל העתקה לינארית מתקיים כי א ‪( ‬ב ‪ ‬ג)‪.‬‬
‫לכן מספיק להוכיח במקרה הזה שמתקיים ב ‪ ‬ג‪ ,‬ונוכל להסיק שמתקיימת גרירה בין כל שלוש‬
‫הטענות ‪ -‬א ‪ ‬ב ‪ ‬ג‪.‬‬
‫לצורך ההוכחה נזכור משפט שהוכחנו לגבי כל העתקה לינארית ‪ , T : V  W‬לפיו התנאים הבאים‬
‫שקולים ‪-‬‬
‫‪.0‬‬
‫‪ T‬היא העתקה חד‪-‬חד ערכית‬
‫‪Null T   0V  .8‬‬
‫‪-‬‬
‫הוכחה‪( :‬ב ‪ ‬ג)‬
‫נתון כי ‪ T‬חח"ע‪ ,‬ולכן ‪. Null T   0V ‬‬
‫ממשפט המימדים נובע כי ‪ , dim V  dim  Null T    dim  Range T  ‬ובמקרה שלנו מכיוון ש‪-‬‬
‫‪ , Null T   0V ‬נסיק כי מתקיים ‪. dim V  dim  Range T  ‬‬
‫נשים לב כי ‪ T : V  V‬ולכן ‪. Range T   V‬‬
‫במשפט קודם הוכחנו ש‪ Range T  -‬היא תת‪-‬מרחב של ‪. V‬‬
‫במשפט קודם נוסף הוכחנו כי אם המימד של המרחב והמימד של תת המרחב שווים‪ ,‬אז המרחב‬
‫שווה לתת המרחב‪.‬‬
‫נסיק כי מכיוון שמתקיים ‪ , dim V  dim  Range T  ‬אזי ‪. V  Range T ‬‬
‫‪60‬‬
‫‪-‬‬
‫הוכחה‪( :‬ג ‪ ‬ב)‬
‫נתון כי ‪ T‬העתקה על‪ ,‬ולכן ‪. Range T   V‬‬
‫אם ‪ Range T   V‬משמע מתקיים ‪. dim  Range T    dim V ‬‬
‫ממשפט המימדים נובע כי ‪. dim V  dim  Null T    dim  Range T  ‬‬
‫ולכן נסיק כי ‪. Null T   0V ‬‬
‫כאמור‪ Null T   0V  ,‬היא טענה שקולה לטענה כי ‪ T‬חח"ע‪.‬‬
‫‪‬‬
‫איזומורפיזם‬
‫יהיו ‪ W , V‬מרחבים וקטוריים מעל אותו שדה‬
‫‪ ,‬ותהי ‪ T : V  W‬העתקה לינארית הפיכה‪.‬‬
‫אזי ‪ W , V‬מרחבים איזומורפיים‪.‬‬
‫‪‬‬
‫משפט‬
‫יהיו ‪ W , V‬מרחבים וקטוריים נוצרים‪-‬סופית מעל אותו שדה‬
‫‪.‬‬
‫הטענות הבאות שקולות –‬
‫‪-‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪ W , V‬מרחבים איזומורפיים‬
‫ב‪.‬‬
‫‪dimV  dimW‬‬
‫הוכחה‪( :‬א ‪ ‬ב)‬
‫‪ .1‬נתון כי ‪ W , V‬איזומורפיים‪ ,‬ולכן קיימת העתקה לינארית הפיכה ‪. T : V  W‬‬
‫‪ .2‬נתון כי ‪ W , V‬נוצרים‪-‬סופית‪ ,‬ולכן ‪ T‬היא העתקה חח"ע ועל (כפי שהוכחנו במשפט קודם)‪.‬‬
‫‪.0‬‬
‫‪ T‬העתקה על‪ ,‬ולכן לפי ההגדרה מתקיים כי ‪. Range T   W‬‬
‫‪.8‬‬
‫‪ T‬העתקה חח"ע‪ ,‬ולכן לפי ההגדרה מתקיים כי ‪. Null T   0V ‬‬
‫‪ .5‬ממשפט המימדים עולה כי ‪ , dim V  dim  Null T    dim  Range T  ‬ולכן נוכל‬
‫להסיק ‪. dim V  dim  Null T    dim  Range T    dim W -‬‬
‫‪68‬‬
‫‪-‬‬
‫הוכחה‪( :‬ב ‪ ‬א)‬
‫צריך להראות שקיימת העתקה לינארית ‪ T : V  W‬שהיא הפיכה‪.‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪ W , V‬נוצרים‪-‬סופית וגם ‪ , dimV  dimW‬ולכן קיימים הבסיסים ‪, BV  v1 ,..., vn ‬‬
‫‪. BW  1 ,..., n ‬‬
‫‪ .2‬נגדיר העתקה ‪ T : V  W‬באופן הבא ‪T  v   11  ...   nn -‬‬
‫‪def‬‬
‫ההעתקה ‪ T‬שהגדרנו היא העתקה לינארית –‬
‫[נשים לב שמתקיים ‪]. vV v  1v1  ...  nvn‬‬
‫תנאי א' ‪-‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪T  v  v*   T 1v1  ...   n vn   1*v1  ...   n*vn  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ T 1  1*  v1  ...   n   n*  vn  1  1*  1  ...   n   n*  n ‬‬
‫‪ 11  ...   nn   1*1  ...   n*n   T  v   T  v* ‬‬
‫תנאי ב' ‪-‬‬
‫‪T   v   T   1v1  ...   n vn    T  1v1  ...   n vn  ‬‬
‫‪ 11  ...   nn   11  ...   nn   T  v ‬‬
‫‪ .0‬נוכיח שההעתקה ‪ T‬שהגדרנו היא העתקה על‪.‬‬
‫‪ W‬נוצר‪-‬סופית‪ ,‬ולכן עבור כל וקטור ‪  W‬מתקיים ‪.   11  ...  nn‬‬
‫נשים לב כי אם נבחר וקטור ‪ , v V‬כך ש‪ , v  1v1  ...  nvn -‬נקבל לפי ההעתקה ‪T‬‬
‫שהגדרנו שמתקיים ‪. T  v   ‬‬
‫לכן מתקיימת ההגדרה של העתקה על‪ :‬לכל וקטור ‪  W‬קיים וקטור ‪ v V‬כך ש‪-‬‬
‫‪.T v  ‬‬
‫‪ .8‬נוכיח שההעתקה ‪ T‬שהגדרנו היא העתקה חח"ע‪.‬‬
‫‪ ‬‬
‫*‬
‫יהיו ‪ . v V , v V‬צריך להראות כי *‪. T  v   T v*  v  v‬‬
‫נשים לב שלפי ההגדרה של ההעתקה ‪ T‬מתקיים –‬
‫‪v  1v1  ...   n vn  T  v   11  ...   nn‬‬
‫‪v*  1*v1  ...   n*vn  T  v*   1*1  ...   n*n‬‬
‫‪ ‬‬
‫ולכן אם *‪ T  v   T v‬נוכל להסיק –‬
‫‪65‬‬
‫*‪T  v   T  v*   11  ...   nn  1*1  ...   n*n  1  1* ,..., n   n*  v  v‬‬
‫[נימוקים‪ :‬הגרירה השנייה מבוססת על כך שקיימת הצגה יחידה של כל וקטור באמצעות צ"ל‬
‫של וקטורי הבסיס‪.‬‬
‫הגרירה השלישית נובעת מכך ש‪]. v*  1*v1  ...   n*vn , v  1v1  ...  nvn -‬‬
‫‪.5‬‬
‫‪-‬‬
‫‪ T‬העתקה חח"ע ועל ולכן הפיכה (לפי משפט קודם)‪ ,‬משמע ‪ W , V‬איזומורפיים‪.‬‬
‫מסקנה‪ :‬אם ‪ V‬מרחב וקטורי נוצר‪-‬סופית מעל‬
‫למרחב הווקטורי‬
‫‪‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ ,‬כך ש‪ , dimV  n -‬אזי ‪ V‬תמיד איזומורפי‬
‫‪.‬‬
‫איזומורפיזם של מרחב ההעתקות ושל מרחב המטריצות‬
‫הגדרות מונחים‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫יהיו ‪ W , V‬מרחבים וקטוריים נוצרים‪-‬סופית מעל אותו שדה‬
‫‪ ,‬ותהי ‪T : V  W‬‬
‫נניח כי ‪ dimV  n‬כך ש‪. BV  v1 ,..., vn  -‬‬
‫נניח כי ‪ dimW  m‬כך ש‪. BW  1 ,..., n  -‬‬
‫ב‪.‬‬
‫נתייחס למרחב הווקטורי שכולל את כל ההעתקות הלינאריות מ‪ V -‬ל‪. W -‬‬
‫נסמן אותו ‪. hom V , W ‬‬
‫נתייחס למרחב הווקטורי שכולל את כל המטריצות מעל השדה‬
‫עמודות‪ .‬נסמן אותו ‪‬‬
‫‪. MAT  m, n,‬‬
‫[הערה‪ :‬קל לבדוק ש‪hom V , W  -‬‬
‫ג‪.‬‬
‫‪ ,‬שהן בעלות ‪ m‬שורות ו‪n -‬‬
‫ו‪ -‬‬
‫‪ MAT  m, n,‬הם מרחבים וקטוריים‪].‬‬
‫נגדיר העתקה לינארית חדשה ‪ , ‬מהמרחב הווקטורי של ההעתקות הלינאריות למרחב הווקטורי‬
‫של המטריצות‪ .‬כלומר ‪-‬‬
‫‪‬‬
‫‪.  : hom V , W   MAT  m, n,‬‬
‫נגדיר את הפעולה של ההעתקה ‪ ‬באופן הבא ‪ T   M T , BV , BW  -‬‬
‫‪def‬‬
‫כלומר‪ ,‬ההעתקה ‪ ‬מקבלת העתקה ‪ , T‬ומחזירה את המטריצה שלה‪.‬‬
‫‪‬‬
‫טענה‪  :‬היא העתקה לינארית הפיכה‪.‬‬
‫במילים אחרות‪ :‬המרחבים הווקטוריים‬
‫‪ , hom V , W ‬‬
‫‪66‬‬
‫‪ MAT  m, n,‬איזומורפיים‪.‬‬
‫‪-‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫‪ .1‬נוכיח כי ‪ ‬היא העתקה לינארית‪.‬‬
‫תנאי א' ‪-‬‬
‫‪ T1  T2   M T1  T2 , BV , BW  ‬‬
‫‪M T1 , BV , BW   M T2 , BV , BW    T1    T2 ‬‬
‫תנאי ב' ‪ T   M T , BV , BW    M T , BV , BW    T  -‬‬
‫‪ .2‬נוכיח כי ל‪  -‬קיימת העתקה הופכית‪.‬‬
‫הוכחנו במשפט קודם כי קיום העתקה הופכית שקול לקיום התכונות חח"ע ועל‪.‬‬
‫לכן נוכיח כי ‪ ‬העתקה חח"ע ועל‪.‬‬
‫‪.i‬‬
‫הוכחה ש‪  -‬העתקה חח"ע‪:‬‬
‫הוכחנו במשפט קודם שמתקיימת שקילות בין התכונה של חח"ע לבין הטענה כי‬
‫‪‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪. Null   0homV ,W ‬‬
‫‪ ‬‬
‫נשים לב כי ההעתקה ‪ ‬מחזירה מטריצה‪ ,‬ולכן כדי לדעת מהו ‪ Null ‬נבדוק מתי‬
‫‪0 ‬‬
‫מתקיים ‪  -‬‬
‫‪ m‬‬
‫‪0  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪, BW ‬‬
‫‪.  T   0homV ,W   0M T , B‬‬
‫‪V‬‬
‫‪n‬‬
‫לפי ההגדרה של מטריצה‪ ,‬כדי לקבל את מטריצת האפס מוכרח להתקיים –‬
‫‪T  v1   0  1  ...  0  m  0W‬‬
‫‪T  vn   0  1  ...  0  m  0W‬‬
‫לכן הווקטור היחיד שייתן לנו את מטריצת האפס הוא ההעתקה ‪. T  v   0W‬‬
‫נסיק כי ‪‬‬
‫‪.ii‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪ , Null   0homV ,W ‬ולכן ‪ ‬חח"ע‪.‬‬
‫הוכחה ש‪  -‬העתקה על‪:‬‬
‫‪a1n ‬‬
‫‪‬‬
‫‪a2 n ‬‬
‫נתבונן במטריצה כללית כלשהי ‪-‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪amn ‬‬
‫‪67‬‬
‫‪a12‬‬
‫‪a22‬‬
‫‪am 2‬‬
‫‪ a11‬‬
‫‪‬‬
‫‪a‬‬
‫‪M T , BV , BW    21‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ am1‬‬
‫נרצה להראות שתמיד קיימת העתקה ‪ , T‬שאם נפעיל עליה את ההעתקה ‪ ‬נקבל‬
‫את המטריצה‪.‬‬
‫תהי ההעתקה ‪ , T  v ‬כך שאם נפעיל אותה על ‪ v‬כלשהו נקבל –‬
‫‪T  v   T 1v1  ...   n vn   1T  v1   ...   nT  vn ‬‬
‫‪def‬‬
‫‪T  v1   111  ...   m1m‬‬
‫נגדיר את פעולת ההעתקה על איברי הבסיס ‪-‬‬
‫‪T  vn   1n1  ...   mnm‬‬
‫התקבלה העתקה כלשהי‪ ,‬שהמטריצה שלה היא בדיוק כפי שדרשנו מלכתחילה‪.‬‬
‫אם כך מצאנו שלכל מטריצה‬
‫‪‬‬
‫‪ M T , BV , BW   MAT  m, n,‬קיימת העתקה‬
‫‪ , T  hom V ,W ‬כך ש‪ ,  T   M T , BV , BW  -‬ולכן ‪ ‬העתקה על‪.‬‬
‫‪.0‬‬
‫מסקנה‪ :‬הוכחנו כי העתקה הלינארית ‪‬‬
‫‪  : hom V ,W   MAT  m, n,‬היא חח"ע ועל‪,‬‬
‫וממשפט קודם נסיק כי היא הופכית‪.‬‬
‫כלומר‪ ,‬המרחבים הווקטוריים‬
‫‪-‬‬
‫‪ , hom V , W ‬‬
‫‪ MAT  m, n,‬איזומורפיים‪.‬‬
‫מסקנה מהמשפט‪:‬‬
‫‪ MAT  m, n,‬מרחבים וקטוריים איזומורפיים‪ ,‬ניתן להסיק על פי משפט‬
‫מהנתון כי ‪ , hom V , W ‬‬
‫קודם שמתקיים ‪. dim  hom V , W    dim  MAT  m, n,  ‬‬
‫נשים לב כי‬
‫‪‬‬
‫‪ dim  MAT  m, n,‬הוא מספר הווקטורים שצריך כדי לפרוש מטריצה בעלת ‪m‬‬
‫שורות ו‪ n -‬עמודות‪ .‬מספר זה הוא בדיוק ‪. n  m‬‬
‫לכן נסיק כי מרחב ההעתקות הלינאריות ‪ hom V , W ‬הוא מרחב וקטורי נוצר‪-‬סופית‪ ,‬וכי מתקיים‬
‫‪. dim  hom V ,W    n  m‬‬
‫‪‬‬
‫מטריצת מעבר בסיס‬
‫יהיו ‪ W , V‬מרחבים וקטוריים נוצרים‪-‬סופית מעל אותו שדה‬
‫‪.‬‬
‫נניח כי ‪ BV  v1 ,..., vn ‬וכי ‪. BW  1 ,..., m ‬‬
‫תהי ההעתקה ‪ , T : V  W‬שהמטריצה שלה היא ‪. M  T , BV , BW ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫כעת נבחר בסיסים חדשים של ‪ , W , V‬שנסמן *‪. BW *  1* ,..., n* , BV *  v1* ,..., vn‬‬
‫‪64‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫קיבלנו מטריצה חדשה * ‪. M T , BV * , BW‬‬
‫ננסה לאפיין את הקשר בין המטריצות הללו‪ ,‬ונבנה נוסחת מעבר ביניהן‪.‬‬
‫נסמן את ההעתקות הבאות –‬
‫‪o‬‬
‫* ‪( IW : W  W‬כאשר * ‪ W‬הוא ‪ W‬בבסיס * ‪) BW‬‬
‫‪o‬‬
‫‪( T : V  W‬ללא שינוי)‬
‫‪o‬‬
‫‪( IV : V *  V‬כאשר * ‪ V‬הוא ‪ V‬בבסיס * ‪) BV‬‬
‫נשים לב שמכיוון שהמרחבים ‪ W , V‬נפרשים על ידי שני הבסיסים‪ ,‬אין כל הבדל בין ‪ V‬לבין * ‪ , V‬ובין‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ W‬לבין * ‪ . W‬במילים אחרות‪. span v1 ,..., vn   span v1* ,..., vn*  V :‬‬
‫נשים לב כי ‪T I V v  -‬‬
‫‪W‬‬
‫‪  I‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ , T  v     IW    IW T  v   I W T I V v ‬ולכן‬
‫מתקיים ‪. T  IW T IV -‬‬
‫נסיק משוויון זה ‪-‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫* ‪. M T , BV * , BW *  M IW T IV , BV * , BW‬‬
‫מתכונות כפל מטריצות ומהאופן שהגדרנו את ההעתקות הללו לעיל‪ ,‬נסיק כי –‬
‫‪M  IW T IV , BV * , BW *   M  IW , BW , BW *   M T , BV , BW   M  IV , BV * , BV ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫קיבלנו נוסחה שקושרת בין המטריצה ‪ M  T , BV , BW ‬למטריצה * ‪- M T , BV * , BW‬‬
‫‪M T , BV * , BW *   M  IW , BW , BW *   M T , BV , BW   M  IV , BV * , BV ‬‬
‫‪-‬‬
‫נציג את הנוסחה באמצעות מטריצות מפורשות‪:‬‬
‫א‪.‬‬
‫נניח ‪ T : V  W‬העתקה לינארית‪ ,‬וקיימים הבסיסים הבאים –‬
‫‪BW  1 ,..., m ‬‬
‫‪BV  v1 ,..., vn ‬‬
‫‪BV *  v1* ,..., vn*‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪BW *  1* ,..., m*‬‬
‫‪‬‬
‫נשתמש בנוסחה שפיתחנו ‪-‬‬
‫‪, BW , BW   M T , BV , BW   M  IV , BV * , BV ‬‬
‫*‬
‫ג‪.‬‬
‫‪‬‬
‫נרצה למצוא את הקשר בין המטריצות ‪ M  T , BV , BW ‬ו‪. M T , BV * , BW * -‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫נבנה את המטריצה * ‪: M IW , BW , BW‬‬
‫‪69‬‬
‫‪W‬‬
‫‪  M I‬‬
‫*‬
‫‪M T , BV , BW‬‬
‫*‬
b1m  

m
b2 m  
m ‫ ולכן‬, IW   j    j   bij i ‫נתון‬


i 1

bmm  
 b11 b12

b
b22
M  IW , BW , BW *    21


 bm1 bm 2
m

: M IV , BV * , BV
 ‫נבנה את המטריצה‬
.‫ד‬
a1n  

n
a2 n  
*
n
‫ולכן‬
,
I
v

v

aij vi ‫נתון‬



V
j
j
 
i 1

ann  
 a11 a12

a
a22
*
M  IV , BV , BV    21


 an1 an 2
n
- ‫נציב בנוסחה‬
 b11 b12

b
b22
*
*
M T , BV , BW    21


 bm1 bm 2
b1m 
 a11 a12


b2 m 
a
a22
 M T , BV , BW    21




bmm 
 an1 an 2
.‫ה‬
a1n 

a2 n 


ann 
:‫דוגמה‬
.‫ העתקה לינארית‬T : V  V ‫ ותהי‬,‫ מרחב וקטורי‬V 
.‫נגד כיוון השעון‬
2
‫יהי‬

‫ כסיבוב בזווית של‬T ‫נגדיר את ההעתקה‬
4
– ‫נבחר את שני הבסיסים הבאים‬
.‫ קבוע‬k 
‫ כאשר‬, BV *   0, k  ,  k , 0  , BV   k , 0  ,  0, k 
– ‫ עבור הבסיס הראשון‬T ‫נבנה את המטריצה של‬
.T
  o, k    
1
1
1
1
 k , 0    0, k  , T   k , 0     k , 0    0, k 
2
2
2
2


M T , BV , BV   



73
1
2
1
2

1 
2 
- ‫ולכן‬
1 

2 
-
– ‫ עבור הבסיס השני‬T ‫נבנה את המטריצה של‬
.T
  k , 0   
1
1
1
1
 0, k    k , 0  , T   0, k     0, k    k , 0 
2
2
2
2
 1
 2
M T , BV * , BV *   
 1

2

1 
2 
- ‫ולכן‬
1 

2
- ‫כעת נרצה לאפיין את הקשר בין המטריצות באמצעות הנוסחה שפיתחנו‬
M T , BV * , BV *   M  IV , BV , BV *   M T , BV , BV   M  IV , BV * , BV 
]. T : V  V ‫[נשים לב כי‬

. M IV , BV * , BV
 , M I
V
, BV , BV *  ‫לשם כך נגדיר את המטריצות‬
IV   k , 0     k , 0   0   0, k   1  k , 0 
IV   0, k     0, k   1  0, k   0   k , 0 
‫מתקיים כי‬
 0 1
M  IV , BV , BV *   
 ‫ולכן נסיק‬
 1 0 
IV   0, k     0, k   0   k , 0   1  0, k 
IV   k , 0     k , 0   1  k , 0   0   0, k 
‫מתקיים כי‬
 0 1
M  IV , BV * , BV   
 ‫ולכן נסיק‬
 1 0 
– ‫נציב בנוסחה הכללית‬
M T , BV * , BV *   M  IV , BV , BV *   M T , BV , BV   M  IV , BV * , BV 
 1

2

 1

 2
 1
 2
.
 1

2

1 

2
1 

2
 0 1


 1 0 






1
2
1
2

1 

2
1 

2 
 0 1


 1 0 
1 
2 
‫נחשב את המכפלה של המטריצות ונקבל שהתוצאה היא אכן‬
1 

2
71
‫פתרונות של מערכת משוואות‬

a11 x1  a12 x2   a1n xn  b1
a x  a x   a x  b

2n n
2
A   21 1 22 2
‫נתונה מערכת המשוואות הלינארית‬

am1 x1  am 2 x2   amn xn  bm
 a11 a12

a21 a22
.  A  


 am1 am 2
a1n 

a2 n 
- ‫ נסמן‬A ‫ את המטריצה של המערכת‬.1


amn 
 x1 
 

x
x   2  - ‫ את וקטור המשתנים נסמן‬.2

def 
 
 xn 
 a11 
 


a
a1   21  , , an
 
 
 am1 
 a1n 
 
a
  2 n  – ‫ את וקטור העמודות של המקדמים הסקלריים נסמן‬.0
 
 
 amn 
 b1 
 

b2
. b    - ‫ את וקטור המקדמים החופשיים נסמן‬.8

def 
 
 bm 
 a11 a12

    a21 a22
A
b


 



 am1 am 2
a1n
a2 n
amn
b1 

b2 
- ‫ נגדיר מטריצה חדשה‬.5


bm 






rank c  A  dim  span a1,..., an  - ‫ נגדיר עוד‬.6
def


– ‫סימון אלה מתקבל כי‬-‫נשים לב שלפי כללי‬


 A  x  b
72
- ‫ כולה מסומנת כך‬A ‫מערכת המשוואות‬
-
‫‪ A   a1 ,..., an ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪-‬‬
‫המטריצה ‪  A‬מסומנת כך ‪-‬‬
‫‪-‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪   ‬‬
‫‪‬‬
‫‪A‬‬
‫‪b‬‬
‫‪‬‬
‫‪a‬‬
‫‪,...,‬‬
‫‪a‬‬
‫המטריצה החדשה שהגדרנו מסומנת כך ‪n , b  -‬‬
‫‪‬‬
‫‪  1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫קיום ומספר הפתרונות של מערכת משוואות לינאריות‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ A  x  0‬‬
‫‪ A  x  b‬‬
‫אפשרות שלא‬
‫תיתכן‬
‫אין פתרון‬
‫יש פתרון יחיד‬
‫יש פתרון יחיד‬
‫* ‪rank c  A  n‬‬
‫יש יותר‬
‫מפתרון אחד‬
‫יש יותר מפתרון‬
‫אחד‬
‫* ‪rank c  A  n‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪rank c  A  rank c  A b ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪rank c  A =rank c  A b ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫* ‪ n‬הוא מספר המשתנים במערכת המשוואות‬
‫נוכיח את הטענות שבטבלה באמצעות ‪ 0‬משפטים‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫תחילה נוכיח כי ממד מרחב הפתרונות של המערכת ההומוגנית ‪ ,  A  x  0‬שווה לביטוי‬
‫‪ , n  rank c  A‬ומזה נסיק כי כאשר ‪ rank c  A  n‬קיים פתרון יחיד‪ ,‬וכאשר ‪ rank c  A  n‬יש‬
‫יותר מפתרון אחד‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫בשלב השני נוכיח כי קיום פתרון עבור מערכת ‪  A  x  b‬שקול לכך ש‪rank c  A  rank c  A b  -‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ומזה נסיק את התנאי הכללי שמופיע בטבלה‪.‬‬
‫לבסוף נרחיב את המסקנה של המשפט הראשון שממד מרחב הפתרונות שווה לביטוי ‪n  rank c  A‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫גם עבור מערכת לא הומוגנית מהצורה ‪ ,  A  x  b‬ונקבל את התנאי השני גם עבור מערכת לא‬
‫הומוגנית‪.‬‬
‫‪‬‬
‫משפט‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ממד מרחב הפתרונות של המערכת ‪ ,  A  x  0‬שווה לביטוי ‪. n  rank c  A‬‬
‫כאשר ‪ n‬הוא מספר המשתנים במערכת המשוואות‪.‬‬
‫‪70‬‬
].‫ היא מרחב וקטורי‬A ‫ לא קשה לבדוק שקבוצת הפתרונות של‬:‫[הערה‬
:‫הוכחה‬
. TA  v    A  v -‫ כך ש‬, TA :
n

m
‫ נגדיר העתקה לינארית‬.1
def


.  A  x  0 ‫ הוא מרחב הפתרונות של‬Null TA  -‫מההגדרה של גרעין נובע מידית ש‬
].‫ לא קשה לבדוק שזו העתקה לינארית‬:‫[הערה‬




.)‫ (הוכחת הלמה בסוף ההוכחה‬Range TA   span a1 ,..., an :‫ למה‬.2
. dim V  dim  Null T    dim  Range T   ,‫ נשתמש במשפט הממדים‬.0
.) TA :
n

m

‫ (כי הגדרנו‬dimV  n ‫במקרה הנוכחי‬







. n  dim Null T   dim  span a1 ,..., an  - ‫לכן נסיק‬








. n  dim  Null T    rank c  A - ‫ ולכן‬rank c  A  dim  span a1 ,..., an  ‫הגדרנו‬


:‫הוכחת הלמה‬




Range TA   span a1 ,..., an ‫ נוכיח כי‬:‫ צד ראשון‬o
. TA  v   u -‫ כך ש‬, v 
-
n
n
‫ וקיים וקטור‬, u 
m
‫ אזי‬, u  Range TA  ‫נניח‬
‫ נוכל לייצג אותו עם הבסיס הסטנדרטי של‬, v 
n
-‫נשים לב שבגלל ש‬
1
 0
 0
 
 
 
0
1
0


v  c1 
 c2 
 ...  cn   
 
 
 
 
 
 
 0
 0
1
– ‫ולכן באופן כללי נסיק כי‬
 1
1
0
0
0
0
  
 
 
 
 
 
0
1
0
0
1
0








TA  v   TA c1 
 c2 
...  cn 
 c1  TA
 c2  TA
 ...  cn  TA    
  
 
 
 
 
 
  
   
   
   
 
  
0
1
 0
0
0
1
78
-
- ‫ נסיק שמתקיים‬TA ‫לפיכך מהגדרת ההעתקה‬
1
0
0
 
 
 
0
1
0
TA  v   c1   A     c2   A     ...  cn   A    
 
 
 
 
 
 
0
0
1
1
0
0
a1n   
a1n   
a1n   
 a11
 a11
 a11

 0

 1

 0
 c1  
     c2  
     ...  cn  
  
a




amn   
am1
amn   
am1
amn   
 m1


0
 0
1
 a1n 
 a11 
 a12 


 


 a2 n 
 a21 
 a22 





  c1  a1  c2  a2  ...  cn  an  span a1 ,..., an
  ...  cn  
 c1    c2 


 


 amn 
 am1 
 am 2 
 




 






].‫[השוויון השלישי מבוסס על כללי כפל מטריצות‬










. u  TA  v   u  span a1 ,..., an ‫ ולכן‬, TA  v   span a1 ,..., an ‫נסיק כי‬


span a1 ,..., an  Range TA  ‫ נוכיח כי‬:‫ צד שני‬o







. v  c1  a1  c2  a2  ...  cn  an ,‫ כלומר‬. v  span a1 ,..., an ‫נניח כי‬
 1
0
0





 



0
1
0



c1  a1  c2  a2  ...  cn  an  TA c1 
 c2 
...  cn     - ‫בסעיף קודם הוכחנו‬
  
 
 
  
 
  
0
1
 0
  c1  
 1
0
0
 
  
 
 
c
0
1
0




v  TA c1 
c 
...  cn 
 TA   2    Range TA  - ‫נסיק כי‬

   2  

 
 
   
  
 
  
0
1
 0
  cn  
)1'‫ שורה ב‬,'‫ (עמודה א‬:‫מסקנה‬
. dim  Null T    0 ‫ אזי‬, n  rank c  A ‫אם‬
75
-
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫כלומר‪ Null T  ,‬שמהווה את מרחב הפתרונות של ‪  A  x  0‬מכיל רק את הפתרון הטריוויאלי‬
‫‪0‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪x ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪-‬‬
‫מסקנה‪( :‬עמודה א'‪ ,‬שורה ב'‪)2‬‬
‫אם ‪ , rank c  A  n‬אזי ‪. dim  Null T    0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫כלומר‪ Null T  ,‬שמהווה את מרחב הפתרונות של ‪  A  x  0‬מכיל יותר מאשר הפתרון‬
‫‪0‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪0‬‬
‫הטריוויאלי ‪x   ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫משפט קרונקר‪-‬קפלי‬
‫התנאים הבאים שקולים –‬
‫‪-‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ A  x  b‬‬
‫א‪.‬‬
‫למערכת משוואות‬
‫ב‪.‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪rank c  A  rank c  A b ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫קיים פתרון‬
‫הוכחה‪( :‬א' ‪ ‬ב')‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫נניח כי הווקטור ‪ c‬הוא פתרון של מערכת המשוואות ‪ .  A  x  b‬כלומר‪.  A  c  b ,‬‬
‫‪a1n   c1   b1 ‬‬
‫‪    ‬‬
‫נכתוב את זה באופן מפורש ‪a2 n   c2   b2  -‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪    ‬‬
‫‪    ‬‬
‫‪amn   cn   bm ‬‬
‫נשים לב –‬
‫‪76‬‬
‫‪a12‬‬
‫‪a22‬‬
‫‪am 2‬‬
‫‪ a11‬‬
‫‪‬‬
‫‪ a21‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ am1‬‬
a1n   c1   c1a11 c2 a12
cn a1n 
 a11 a12

   

a2 n   c2   c1a21 c2 a22
cn a2 n 
 a21 a22




   


   

amn   cn   c1am1 c2 am 2
cn amn 
 am1 am 2
 a11 
 a12 
 a1n 









a
a
a
 c1  21   c2  22   ...  cn  2 n   c1 a1  c2 a2  ...  cn an












 am1 
 am 2 
 amn 









. b  c1 a1  c2 a2  ...  cn an  b  span a1 , a2 ,..., an




– ‫ ולכן מתקיים‬, a1 , a2 ,..., an

















‫נסיק כי‬

‫ תלוי לינארית בקבוצה‬b -‫מכאן ש‬







. dim  span a1 , a2 ,..., an   dim  span a1 , a2 ,..., an , b   rank c  A  rank c  A b 


)'‫ א‬ '‫ (ב‬:‫הוכחה‬











span a1 , a2 ,..., an , b ‫מרחב של‬-‫ הוא תת‬span a1 , a2 ,..., an ‫ נשים לב שמתקיים כי‬.1

















‫ ולכן נסיק ממשפט קודם‬, dim  span a1 , a2 ,..., an   dim  span a1 , a2 ,..., an , b  ‫נתון כי‬


.‫ בהכרח הם שווים‬,‫מרחב שווה לממד של המרחב‬-‫כי אם הממד של תת‬





. b  span a1 , a2 ,..., an





. a1 , a2 ,..., an








‫ נובע‬1 ‫ ולכן מסעיף‬, b  span a1 , a2 ,..., an , b



- ‫ ברור כי‬.2

‫ מהווה צירוף לינארי של‬b ,‫כלומר‬

. c1 a1  c2 a2  ...  cn an  b -‫ כך ש‬c1 , c2 ,..., cn  ‫ קיימים‬,‫משמע‬







.‫ הוא פתרון‬c - ‫ כלומר‬, c1 a1  c2 a2  ...  cn an  b   A  c  b - ‫נסיק‬
77
-
‫‪‬‬
‫משפט‬
‫התנאים הבאים שקולים –‬
‫‪-‬‬
‫א‪.‬‬
‫קיים פתרון יחיד למערכת‬
‫ב‪.‬‬
‫‪n  rank c  A‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ A  x  b‬‬
‫הוכחה‪( :‬א' ‪ ‬ב')‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .1‬מהמשפט הקודם עולה כי מכיוון שקיים פתרון עבור המערכת ‪ ,  A  x  b‬ניתן להסיק כי ‪-‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪. rank c  A  rank c  A b ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .2‬נתון כי הפתרון עבור ‪  A  x  b‬הוא יחיד‪.‬‬
‫נניח בשלילה כי ‪. rank c  A  n‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .0‬הוכחנו כי עבור המערכת ‪ ,  A  x  0‬אם ‪ rank c  A  n‬קיימים שני פתרונות‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫נסמן פתרון אחד ‪ ,  A  y  0‬ופתרון שני ‪.  A  z  0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫נסמן ב‪ x0 -‬את הפתרון של המערכת ‪.  A  x  b‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .8‬נגדיר את הביטויים הבאים ‪. x 2   x0  z , x1  x0  y -‬‬
‫נשים לב כי מתקיים ניתן למצוא שני פתרונות שונים עבור המערכת‬
‫‪ A  x1   A  x0  y    A  x0   A  y  b 0  b‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪  A  x0  z    A  x0   A  z  b 0  b‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ A  x 2‬‬
‫בסתירה להנחה כי למערכת ‪  A  x  b‬קיים פתרון יחיד‪.‬‬
‫‪74‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ A  x  b‬‬
‫‪-‬‬
‫‪-‬‬
‫הוכחה‪( :‬ב' ‪ ‬א')‬
‫‪ .1‬נניח כי ‪ , n  rank c  A‬ונניח בשלילה שלמערכת‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ A  x  b‬‬
‫קיימים שני פתרונות‪.‬‬
‫‪‬‬
‫נסמן ‪.  A  c2  b ,  A  c1  b‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .2‬נתבונן בביטוי הבא ‪.  A   c1  c2    A  c1   A   c2  b  b  0 -‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫כלומר‪ ,‬הווקטור ‪ c1  c2‬הוא פתרון עבור המערכת ‪.  A  x  0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .0‬הוכחנו כי אם ‪ , n  rank c  A‬למערכת ‪  A  x  0‬יש פתרון יחיד‪ , 0 ,‬ולכן בהכרח‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪. c1  c2  0  c1  c2‬‬
‫‪‬‬
‫משפט‬
‫תהי ‪ A‬מערכת משוואות לינארית עם ‪ m‬משוואות ו‪ n -‬משתנים‪.‬‬
‫תהי ‪  A‬המטריצה שלה‪ ,‬בעלת ‪ m‬שורות ו‪ n -‬עמודות‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫נסמן את העמודות ‪ , a1 ,..., an‬ואת השורות ‪. a1 ,..., am‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫תהי דרגת מרחב העמודות ‪, rank c  A  dim  span a1 ,..., an ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ותהי דרגת מרחב השורות ‪. rank r  A  dim  span a1 ,..., am ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫אזי ‪. rank c  A  rank r  A‬‬
‫‪-‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫‪ .1‬נניח כי ‪ . rank r  A  l‬כלומר‪ ,‬קיימים ‪ l‬אינדקסים ‪ , 1  k1  ...  kl  m‬כך שהווקטורים‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ak 1 ,..., akl‬מהווים בסיס של ‪. span a1 ,..., am‬‬
‫‪ .2‬נתבונן בשתי מערכות המשוואות הבאות –‬
‫‪79‬‬
‫‪ a1n xn  0‬‬
‫‪a11 x1  a12 x2 ‬‬
‫‪ a2 n xn  0‬‬
‫‪a21 x1  a22 x2 ‬‬
‫‪ amn xn  0‬‬
‫‪am1 x1  am 2 x2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ak1n xn  0‬‬
‫‪ak11 x1  ak1 2 x2 ‬‬
‫‪ ak2 n xn  0‬‬
‫‪ak2 1 x1  ak2 2 x2 ‬‬
‫‪ akl n xn  0‬‬
‫‪akl 1 x1  akl 2 x2 ‬‬
‫‪‬‬
‫נשים לב כי מערכת המשוואות ‪ ‬מתקבלת על‪-‬ידי כך שהסרנו ממהמערכת ‪ ‬את המשוואות‬
‫שמתקבלות כצירוף לינארי של משוואות אחרות‪ ,‬ולכן ‪ ‬כוללת רק את ‪ l‬המשוואות שמהוות‬
‫בסיס של מערכת המשוואות‪.‬‬
‫מכאן שמרחב הפתרונות של ‪ ‬שקול למרחב הפתרונות של ‪ , ‬כי המשוואות הנוספות‬
‫שקיימות ב‪  -‬ולא ב‪ ,  -‬הן רק משוואות כאלו שמהוות צירוף לינארי של משוואות שקיימות ב‪-‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ .0‬המטריצה של מערכת המשוואות ‪ ‬היא ‪.  A‬‬
‫‪ ak11 ak1 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ak 1 ak2 1‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ak 1 ak 2‬‬
‫‪l‬‬
‫‪ l‬‬
‫‪ak1n ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ak2 n ‬‬
‫נגדיר מטריצה ל‪  -‬‬
‫‪‬‬
‫‪akl n ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪  A‬ונסמן ‪.  A  a1 ,..., an ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .8‬נשים לב כי לפי הגדרת המטריצה ‪ , A ‬מתקיים ‪l‬‬
‫‪ , a1 ,..., an ‬ולכן גם‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪l‬‬
‫‪l‬‬
‫)‪.‬‬
‫‪( span a1 ,..., an  ‬זה תת‪-‬מרחב של‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫נסיק כי ‪ l   l‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪. dim  span a1 ,..., an    dim‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫כלומר – ‪rank c  A  dim  span a1 ,..., an   l‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫בסעיף ‪ 2‬הראינו שמרחב הפתרונות של ‪ ‬שקול למרחב הפתרונות של ‪ , ‬ולכן נסיק כי‬
‫‪. rank c  A  rank c  A‬‬
‫‪‬‬
‫בסעיף ‪ 1‬הגדרנו ‪ , rank r  A  l‬ולכן נוכל להסיק כי ‪rank c  A  rank r  A‬‬
‫‪ .5‬נגדיר מטריצה חדשה‪ ,‬שבה נחליף את השורות עם העמודות (טרנספוזיציה) –‬
‫‪am1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪am 2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪amn ‬‬
‫‪a21‬‬
‫‪a22‬‬
‫‪a2 n‬‬
‫‪ a11‬‬
‫‪ T ‬‬
‫‪a‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪a12‬‬
‫‪ T‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪T‬‬
‫‪T‬‬
‫‪T‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪  A   ‬נסמן אותה ‪.  A   a1 ,..., an    ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪   ‬‬
‫‪‬‬
‫‪anT ‬‬
‫‪ a1n‬‬
‫‪43‬‬
‫‪ .6‬מסעיף ‪ 8‬נובע באופן כללי כי ‪ , rank c  A  rank r  A‬נסיק כי גם עבור מטריצה זו מתקיים‬
‫‪. rank c  AT   rank r  AT ‬‬
‫נשים לב כי מהגדרת המטריצה ‪  AT ‬נובע כי מתקיימים שני השוויונים ‪-‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪rank c  AT   dim  span a1T ,..., anT    dim  span a1 ,..., am   rank r  A‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪rank r  AT   dim  span a1T ,..., amT    dim  span a1 ,..., an   rank c  A‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ולכן אם ‪ , rank c  AT   rank r  AT ‬הרי ש‪. rank r  A  rank c  A -‬‬
‫‪ .7‬מאי השוויון בסעיף ‪ 8‬ומאי השוויון בסעיף ‪ 6‬נסיק כי ‪rank c  A =rank r  A‬‬
‫‪‬‬
‫דירוג מטריצות – שיטת החילוץ של גאוס‬
‫דירוג מטריצות או שיטת החילוץ של גאוס‪ ,‬היא שיטה למציאת הפתרונות של מערכת משוואות‬
‫לינאריות‪.‬‬
‫תהי מערכת המשוואות‬
‫‪a1n ‬‬
‫‪‬‬
‫‪a2 n ‬‬
‫כך ש‪-‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪amn ‬‬
‫‪a12‬‬
‫‪a22‬‬
‫‪am 2‬‬
‫‪ a1n xn  b1‬‬
‫‪a11 x1  a12 x2 ‬‬
‫‪ a2 n xn  b2‬‬
‫‪a21 x1  a22 x2 ‬‬
‫‪ amn xn  bm‬‬
‫‪am1 x1  am 2 x2 ‬‬
‫‪A‬‬
‫‪ b1 ‬‬
‫‪ a11‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪b2 ‬‬
‫‪a21‬‬
‫‪‬‬
‫‪ b ‬היא מטריצת‬
‫‪  A  ‬היא מטריצת המקדמים הסקלריים‪ ,‬ו‪-‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ am1‬‬
‫‪ bm ‬‬
‫המקדמים החופשיים‪.‬‬
‫‪-‬‬
‫פעולות אלמנטריות‪:‬‬
‫במהלך הפעלת האלגוריתם נבצע את הפעולות הבאות –‬
‫א‪.‬‬
‫"החלפת שורות" ‪ -‬החלפת סדר של שתי שורות‬
‫ב‪.‬‬
‫כפל של שורה בסקלר (ששונה מאפס)‬
‫ג‪.‬‬
‫הוספת כפולה של שורה אחת לשורה אחרת‬
‫פעולות אלה משנות את הצורה בלבד של מערכת המשוואות‪ ,‬אך מרחב הפתרונות של מערכות‬
‫המשוואות החדשות שמתקבלות שקול למרחב הפתרון של המערכת המקורית‪.‬‬
‫סימונים‪ R :‬הוא סימון לשורה‪ i ,‬הוא אינדקס השורות‪ C .‬הוא סימון לעמודה‪ j ,‬הוא אינדקס‬
‫העמודות‪.‬‬
‫‪41‬‬
‫‪-‬‬
‫האלגוריתם‪:‬‬
‫‪( Ri  R1 .3‬שורות) ‪( C j  C1‬עמודות)‬
‫‪ .1‬עבור המקדם ‪ aij‬נבצע את הפעולה הבאה ‪-‬‬
‫‪ .a‬אם ‪ , aij  0‬נחליף את ‪. Ri  Ri k‬‬
‫‪ i  k‬מסמן את האינדקס של השורה הראשונה הבאה שבה ‪. ail  0‬‬
‫‪ .b‬אם ‪ aij  0‬לכל ‪ , Ri‬אז ‪. C j  C j 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ .2‬אם ‪ , aij  1‬אז ‪ Ri‬‬
‫‪aij‬‬
‫‪. Ri ‬‬
‫‪ .0‬עבור כל שורה ‪ Ri‬שאחרי השורה ‪ , R1‬נבצע את הפעולה הבאה –‬
‫‪ .a‬אם ‪ , aij  a1 j‬אז ‪Ri  R1  Ri‬‬
‫‪ .b‬עד שמקבלים שהעמודה ‪ C j‬מכילה ‪ 1‬בראשה‪ ,‬וכל השאר ‪. 0‬‬
‫‪.c‬‬
‫‪ , C j  C j 1‬וחזרה לשלב ‪.1‬‬
‫‪ ‬הסבר ביניים‪:‬‬
‫אנחנו מתעלמים מהשורות ומהעמודות שבהן כל האיברים הם אפס‪ ,‬ולא מתייחסים אליהן כחלק‬
‫מהמטריצה‪.‬‬
‫בשלב הזה תתקבל מטריצת מדרגות‪ ,‬שבה כל האיברים שמתחת לאלכסון הראשי שווים לאפס‪.‬‬
‫כלומר‪ ,‬לכל ‪ j  i‬מתקיים ‪. aij  0‬‬
‫כמו‪-‬כן‪ ,‬האיברים שעל האלכסון שווים אחד או אפס‪ .‬כלומר‪ ,‬לכל ‪ i  j‬מתקיים ‪. aij  0  1‬‬
‫לגבי האיברים שמעל לאלכסון‪ ,‬אין לנו מידע‪ .‬‬
‫‪. Ri  R1 , C j  C1 .8‬‬
‫‪ .5‬עבור השורה ‪ Ri‬נבצע את הפעולה הבאה –‬
‫‪ .a‬אם ‪ , ai 1, j 1  ai , j 1‬אז ‪. Ri 1  Ri 1  ai , j 1‬‬
‫‪Ri  Ri  Ri 1 .b‬‬
‫‪ .c‬אם ‪ , ai  2, j  2  ai , j  2‬אז ‪Ri  2  Ri  2  ai , j  2‬‬
‫‪42‬‬
‫‪Ri  Ri  Ri 2 .d‬‬
‫‪ .e‬אם ‪ , ai  2, j  2  ai 1, j  2‬אז ‪Ri  2  Ri  2  ai 1, j  2‬‬
‫‪.f‬‬
‫‪Ri 1  Ri 1  Ri 2‬‬
‫חוזרים על התהליך הזה באופן איטרטיבי‪ ,‬כך שמחסרים כל שורה מכל השורות שמעליה‪ :‬את‬
‫השנייה מהראשונה‪ ,‬את השלישית מהראשונה ואחר‪-‬כך מהשנייה‪ ,‬את הרביעית מהראשונה‬
‫ואחר‪-‬כך מהשנייה ואחר‪-‬כך מהשלישית‪ ,‬וכן הלאה‪.‬‬
‫‪ ‬הסבר‪ :‬בשלב הזה נקבל כי ‪-‬‬
‫החיסור של השורה השנייה מהראשונה מאפס את המשתנה השני בראשונה‬
‫החיסור של השורה השלישית מהראשונה מאפס את המשתנה השלישי בראשונה‬
‫החיסור של השורה השלישית מהשנייה מאפס את המשתנה השלישי בשנייה‬
‫החיסור של השורה הרביעית מהראשונה מאפס את המשתנה הרביעי בראשונה‬
‫החיסור של השורה הרביעית מהשנייה מאפס את המשתנה הרביעי בשנייה‬
‫החיסור של השורה הרביעית מהשלישית מאפס את המשתנה הרביעי בשלישית‬
‫וכן הלאה‪...‬‬
‫מה שמתקבל מזה הוא –‬
‫בשורה הראשונה כל המקדמים מתאפסים למעט הראשון‬
‫בשורה השנייה כל המקדמים מתאפסים למעט השני‬
‫בשורה השלישית כל המקדמים מתאפסים למעט השלישי‬
‫וכן הלאה‪...‬‬
‫התקבל פתרון עבור כל אחד מהמשתנים במערכת‪.‬‬
‫‪40‬‬
‫פרק ‪ :5‬דטרמיננטות‬
‫‪‬‬
‫תמורה‬
‫תהי ‪ 1, 2,..., n‬קבוצה סופית של מספרים טבעיים‪.‬‬
‫ההעתקה ‪  : 1, 2,..., n  1, 2,..., n‬נקראת "תמורה"‪ ,‬אם היא העתקה חד‪-‬חד ערכית‪.‬‬
‫הערה‪ :‬קל לראות שמספר התמורות האפשריות של קבוצה בעלת ‪ n‬איברים הוא !‪. n‬‬
‫נימוק‪ :‬האיבר הראשון יכול להיות מועתק ל‪ n -‬איברים‪ ,‬האיבר השני יכול להיות מועתק ל‪n  1 -‬‬
‫איברים (כי זו העתקה חד‪-‬חד ערכית‪ ,‬ולכן האיבר שבחרנו עבור האיבר הראשון כבר תפוס)‪ ,‬וכן‬
‫הלאה‪.‬‬
‫‪-‬‬
‫‪n ‬‬
‫סימון‪ :‬תמורה ‪ ‬של הקבוצה ‪ 1, 2,..., n‬נסמן כך ‪-‬‬
‫‪  n  ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪  1   2 ‬‬
‫נסמן את קבוצת כל התמורות של קבוצות בעלות ‪ n‬איברים ‪. S  n  -‬‬
‫מההערה לעיל נובע כי כלומר ! ‪. S  n   n‬‬
‫‪-‬‬
‫דוגמה‬
‫תהי הקבוצה ‪ . 1, 2,3‬נראה שמתקיים ‪. S  3  3!  6‬‬
‫‪1 2 3  1 2 3   1 2 3   1 2 3   1 2 3   1 2 3  ‬‬
‫‪S  3  ‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 2 3  1 3 2   2 1 3   3 1 2   2 3 1   3 2 1  ‬‬
‫‪‬‬
‫כפל תמורות‬
‫תהי הקבוצה ‪ , 1, 2,..., n‬ויהיו התמורות ‪.  ,   S  n ‬‬
‫נגדיר כפל של תמורות כמו הרכבה של העתקות‪ .‬כלומר ‪-‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪. k k  1, 2,..., n ,    k      k ‬‬
‫נכתוב באופן מפורש‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫אם נתונות ‪, 1, 2,..., n    1 ,   2  ,...,   n   , 1, 2,..., n    1 ,   2  ,...,   n ‬‬
‫‪48‬‬
‫אז התמורה ‪  ‬היא העתקה מהצורה הבאה –‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1, 2,..., n    1 ,   2  ,...,   n      1  ,    2   ,...,    n   ‬‬
‫‪‬‬
‫תמורה טריוויאלית‬
‫תהי הקבוצה ‪ , 1, 2,..., n‬ותהי ‪.   S  n ‬‬
‫התמורה ‪ ‬נקראת תמורה טריוויאלית‪ ,‬אם מתקיים ‪. k1,2,...,n   k   k‬‬
‫‪‬‬
‫תמורה הופכית‬
‫תהי הקבוצה ‪ , 1, 2,..., n‬ותהי התמורה ‪.   S  n ‬‬
‫התמורה ‪ ‬נקראת תמורה הופכית לתמורה ‪ , ‬אם מתקיים כי ‪.    ‬‬
‫כלומר‪ ,‬ההרכבה שלהן היא התמורה הטריוויאלית‪.‬‬
‫נסמן את התמורה ההופכית של ‪‬‬
‫‪‬‬
‫באמצעות ‪.  1‬‬
‫מציאת תמורה הופכית‬
‫‪2‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪  1   2 ‬‬
‫‪n ‬‬
‫נניח כי נתונה התמורה ‪ , ‬כך ש‪-‬‬
‫‪  n  ‬‬
‫‪.‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪) ‬‬
‫נוסיף בסוף את התמורה הטריוויאלית – ‪  n   1  ‬‬
‫‪) ‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪.   1   2 ‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫נשים לב כי המעבר מהשורה הראשונה לשנייה הוא התמורה ‪ , ‬המעבר מהשורה הראשונה‬
‫לשלישית הוא התמורה הטריוויאלית‪ ,‬ולכן המעבר מהשורה השנייה לשלישית הוא התמורה ההופכית‬
‫של ‪. ‬‬
‫‪45‬‬
‫‪‬‬
‫תכונות של קבוצת התמורות ‪S  n ‬‬
‫‪.      ‬‬
‫‪  ‬‬
‫א‪.‬‬
‫כפל של תמורות מקיים אסוציאטיביות לכפל‪ .‬כלומר‬
‫ב‪.‬‬
‫מההנחה שלכל קבוצה ‪ 1, 2,..., n‬קיימת תמורה טריוויאלית‪ ,‬ניתן להסיק מהאופן שבו הסברנו‬
‫לעיל כיצד למצוא תמורה הופכית‪ ,‬שלכל תמורה יש תמורה הופכית‪.‬‬
‫‪‬‬
‫מחזור (‪)cycle‬‬
‫‪‬‬
‫"מחזור" הוא תמורה מהצורה ‪ -‬‬
‫‪‬‬
‫‪k‬‬
‫‪k 1‬‬
‫‪k 1 k  2‬‬
‫‪k  m 1 k  m‬‬
‫‪k m‬‬
‫‪k‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫כלומר‪ :‬המחזור מקבל קבוצה של איברים (שיכולה להיות שקולה או חלקית לקבוצה ‪,) 1, 2,..., n‬‬
‫והוא מעביר כל איבר ממנה לאיבר הבא אחריו‪.‬‬
‫את האיבר האחרון באיברי הקבוצה‪ ,‬המחזור מעתיק לאיבר הראשון בקבוצה‪.‬‬
‫למשל‪ ,‬נתונה הקבוצה ‪ . 1, 2,3, 4,5, 6‬המחזור ‪  345 ‬מקיים ‪ ,  345    453‬ונקבל כי הפעלת‬
‫המחזור ‪  345 ‬על ‪ , 1, 2,3, 4,5, 6 ‬יתן לנו את ‪. 1, 2, 4,5,3, 6 ‬‬
‫‪‬‬
‫טרנספוזיציה‬
‫"טרנספוזיציה" ‪ ,    pq ‬היא החלפה בין שני האיברים ‪ p‬ו‪- q -‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪n‬‬
‫‪q 1‬‬
‫‪q 1‬‬
‫‪q‬‬
‫‪p‬‬
‫‪q 1‬‬
‫‪q 1‬‬
‫‪p 1‬‬
‫‪p 1‬‬
‫‪p‬‬
‫‪q‬‬
‫‪p 1‬‬
‫‪p 1‬‬
‫‪1 2‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 2‬‬
‫למשל‪ ,‬הפעלת הטרנספוזיציה ‪    35 ‬על ‪ 12345 ‬תיתן את ‪. 12543 ‬‬
‫הערה‪ :‬בסימון הטרנספוזיציה מתעלמים מהאיברים שהטרנספוזיציה לא משנה אותם‪.‬‬
‫‪-‬‬
‫דוגמה לביטוי של תמורה כמכפלת טרנספוזיציות‪:‬‬
‫‪-‬‬
‫‪ 1 2 3 4 5‬‬
‫התמורה ‪‬‬
‫‪ 2 5 4 3 1‬‬
‫‪ ‬שקולה להפעלת כפל הטרנספוזיציות‬
‫‪15  34 ‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ ) 12    21 ‬‬
‫‪5‬‬
‫‪‬‬
‫‪ . 1, 2,3, 4,5‬כלומר ‪) 15   51  12  15  34  -‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ )  34    43  ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪46‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪4‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪5‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ 12 ‬על‬
‫‪‬‬
‫משפט‬
‫עבור ‪ , n  2‬כל תמורה ניתנת להצגה ככפל של טרנספוזיציות‪.‬‬
‫‪-‬‬
‫הוכחה‪( :‬באינדוקציה)‬
‫‪1 2   1 2 ‬‬
‫‪,‬‬
‫‪ .1‬עבור ‪ n  2‬מתקיים ‪ , S  n   2!  2‬ולכן קיימות שתי תמורות ‪ -‬‬
‫‪1 2   2 1 ‬‬
‫‪.‬‬
‫‪1 2‬‬
‫‪1 2 ‬‬
‫‪ , ‬ולשנייה מתקיים ‪  12 ‬‬
‫לתמורה הראשונה מתקיים ‪  12  12 ‬‬
‫‪2 1‬‬
‫‪1 2 ‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ .2‬נניח כי כל תמורה ‪ ,   n  1‬כלומר תמורה של ‪ , 1, 2,..., n  1‬ניתנת להצגה כמכפלת‬
‫טרנספוזיציות‪.‬‬
‫נרצה להוכיח כי גם תמורה ‪ ,   n ‬כלומר תמורה של ‪ 1, 2,..., n‬תינתן להצגה כמכפלת‬
‫טרנספוזיציות‪.‬‬
‫‪ .0‬נדון בשני מקרים‪:‬‬
‫‪ .a‬אם ‪ ,   n   n‬אז מתקיים באופן טבעי כי‬
‫‪ nn ‬‬
‫‪ .   n     n  1‬מהנתון כי‬
‫‪   n  1‬ניתנת להצגה כמכפלת טרנספוזיציות‪ ,‬נקבל כי גם ‪   n ‬היא מכפלת‬
‫טרנספוזיציות‪.‬‬
‫‪ .b‬אם ‪ , k  n ,   n   k‬נקבל תמורה מהצורה הבאה –‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪k‬‬
‫‪m‬‬
‫‪n‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪  1   2 ‬‬
‫[נימוק‪ n :‬עובר ל‪ , k -‬ולכן קיים איזשהו איבר אחר‪ , m ,‬שצריך לעבור ל‪]. n -‬‬
‫נגדיר טרנספוזיציה חדשה ‪ ,    nk ‬ונפעיל אותה על התמורה –‬
‫‪def‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪k‬‬
‫‪n ‬‬
‫‪m‬‬
‫‪n‬‬
‫‪k‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ nk     1   2 ‬‬
‫‪  1   2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪k‬‬
‫‪m‬‬
‫‪n‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪  1   2 ‬‬
‫נשים לב כי אם מרכיבים על התמורה ‪   n   k‬את הטרנספוזיציה ‪  nk ‬מקבלים תמורה‬
‫שעבורה ‪ ,   n   n‬ולגביה הוכחנו בסעיף א' שהיא ניתנת לביטוי כמכפלה של‬
‫טרנספוזיציות‪ ,‬ולכן התמורה ‪   n   k‬מהווה כפל של מכפלת הטרנספוזיציות של‬
‫‪   n   k‬עם הטרנספוזיציה ‪.  nk ‬‬
‫‪47‬‬
‫‪‬‬
‫זוגיות של תמורה‬
‫תהי הקבוצה ‪ , 1, 2,..., n‬והתמורה ‪.   S  n ‬‬
‫הוכחנו שכל תמורה ניתנת לביטוי כמכפלה של טרנספוזיציות‪ .‬נסמן ‪.   1  2 ...  m -‬‬
‫נגדיר ‪-‬‬
‫‪m‬‬
‫‪sgn     1‬‬
‫‪def‬‬
‫‪‬‬
‫יחידות הזוגיות‬
‫תהי ‪ ,   S  n ‬ונניח כי ‪   1'  2' ...  m' ,   1  2 ...  s‬הם שני פירוקים שונים של ‪‬‬
‫למכפלות של טרנספוזיציות‪.‬‬
‫אזי ‪ .  1   1‬כלומר‪ sgn   ,‬מוגדרת באופן חד‪-‬משמעי לכל תמורה‪.‬‬
‫‪s‬‬
‫‪-‬‬
‫‪m‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫‪ .1‬נגדיר את הפולינום הבא ‪ t j  -‬‬
‫‪i‬‬
‫‪ t‬‬
‫‪V  t1 ,..., tn  ‬‬
‫‪def 1i  j  n‬‬
‫מכל איבר מפחיתים כל אחד מהאיברים בעלי אינדקס גבוה יותר‪ .‬למשל ‪-‬‬
‫‪ t2  t1  t3  t1  t4 t2  t3 t2  t4 t3  t4 ‬‬
‫‪ .2‬נגדיר מכפלה של ‪‬‬
‫עם ‪- V‬‬
‫‪ t  t   t‬‬
‫‪j‬‬
‫‪1‬‬
‫‪i‬‬
‫‪1i  j  4‬‬
‫‪  t    t   ‬‬
‫‪ i‬‬
‫‪ j‬‬
‫‪1i  j  n‬‬
‫‪‬‬
‫‪V  t1 , t2 , t3 , t4  ‬‬
‫‪ V  t1 ,..., tn   V t 1 ,..., t  n  ‬‬
‫‪def‬‬
‫ניתן לראות שמתקיים תמיד ‪ V  t1 ,..., tn   V  t1 ,..., tn ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫[נימוק‪ :‬נשים לב לשקילות ‪. 1, 2,..., n   1 ,...,   n ‬‬
‫שקילות זו נובעת מכך שתמורה משנה את סדר האיברים ולא את שיוכם לקבוצה‪ .‬לכן ההבדל בין‬
‫‪  V‬לבין ‪ V‬הוא רק סדר הסכימה בתוך איברי המכפלה‪].‬‬
‫‪ .0‬למה‪ :‬עבור ‪ , 1  k  l  n‬טרנספוזיציה בעלת החלפה אחת מהצורה ‪    kl ‬משנה את סימן‬
‫הפולינום‪ .‬כלומר ‪( .  kl  V  t1 ,..., tn   V  t1 ,..., t n ‬הוכחת הלמה בסוף ההוכחה)‪.‬‬
‫‪ .8‬אם ‪   1 ...  s‬אז ‪ V  t1 ,..., tn    1 ...  s V  t1 ,..., tn    1 V  t1 ,..., tn ‬‬
‫‪s‬‬
‫אם ‪   1 ...  m‬אז ‪ V  t1 ,..., tn    1 ...  m V  t1 ,..., tn    1 V  t1 ,..., tn ‬‬
‫‪m‬‬
‫נקבל כי ‪ ,  1 V  t1 ,..., tn    1 V  t1 ,..., tn ‬ולכן ‪.  1   1‬‬
‫‪s‬‬
‫‪m‬‬
‫‪44‬‬
‫‪s‬‬
‫‪m‬‬
‫‪-‬‬
‫הוכחת הלמה‪:‬‬
‫נתבונן בפולינום הבא ‪. V  t1 ,..., tk ,..., tl ,..., tn ‬‬
‫נכתוב את המכפלות שכוללות את ‪ k‬או את ‪ , l‬כי רק עליהן הטרנספוזיציה ‪  kl ‬משפיעה –‬
‫‪.i‬‬
‫‪ t1  t2  t1  t3  ...  t1  tk ‬‬
‫‪ t2  t3  t2  t4  ...  t2  tk ‬‬
‫‪ tk 1  tk ‬‬
‫‪.ii‬‬
‫‪ t k  tl ‬‬
‫‪.iii‬‬
‫‪ tk  tk 1  ...  tk  tl 1 ‬‬
‫‪.iv‬‬
‫‪ tk  tl 1  ...  tk  tn ‬‬
‫‪.v‬‬
‫‪ t1  t2  ...  tk 1  tl ‬‬
‫‪.vi‬‬
‫‪ tk 1  tl  ...  tl 1  tl ‬‬
‫‪.vii‬‬
‫‪ tl  tl 1  ...  tl  tn ‬‬
‫נבדוק את השפעת הטרנספוזיציה ‪  kl ‬על כל אחת מהמכפלות –‬
‫‪.i‬‬
‫‪  kl  i‬נותן את ‪v‬‬
‫‪.ii‬‬
‫‪  kl  ii‬נותן את ‪-ii‬‬
‫‪.iii‬‬
‫‪  kl  iii‬נותן את ‪ ,  1  vi‬כאשר ‪‬‬
‫‪.iv‬‬
‫‪  kl  iv‬נותן את ‪vii‬‬
‫‪.v‬‬
‫‪  kl  v‬נותן את ‪i‬‬
‫‪.vi‬‬
‫‪  kl  vi‬נותן את ‪ ,  1  iii‬כאשר ‪‬‬
‫‪.vii‬‬
‫‪  kl  vii‬נותן את ‪iv‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫הוא מספר האיברים ב‪vi-‬‬
‫הוא מספר האיברים ב‪iii-‬‬
‫נשים לב שכל המכפלות הללו נשארות בעלות אותו סימן‪ ,‬למעט מכפלות ‪ iii‬ו‪ ,vi-‬שהסימן שלהן תלוי ב‪,  -‬‬
‫ומכפלה ‪ ii‬שמשנה סימן‪.‬‬
‫מספר האיברים במכפלות ‪ iii‬ו‪ vi-‬שווה‪ ,‬ולכן מכפלת שתיהן חיובית‪ ,‬ולכן נותר סימן שלילי יחיד‪.‬‬
‫‪49‬‬
‫דטרמיננטה‬
 a11

a21
‫) מעל לשדה‬.‫ (מספר העמודות שווה למספר השורות‬ A  


 an1
a12
a22
an 2

a1n 

a2 n 
‫תהי המטריצה‬


ann 
det  A  a11 ‫ נגדיר את הדטרמיננטה‬n  1 ‫אם‬
def
det  A 

def  S  n 
sgn    a
1 1

 a2  2  ...  an  n  ‫ נגדיר את הדטרמיננטה‬n  2 ‫אם‬
‫חישוב דטרמיננטות קטנות‬

. det  A  a11 ‫ לפי הגדרה‬: 11 ‫דטרמיננטה של מטריצה‬
-
1 2   1 2  
 a11 a12 
,
  .  A   a a  : 2  2 ‫דטרמיננטה של מטריצה‬
 21 22 
1 2   2 1  
-
. S  2   
1 2
1 2

  12   sgn  
   1
2 1
 2 1
det  A 

 S  2 
sgn    a
1 1
 1 2  
1 2 

  12  12   sgn  
 1
1 2 
 1 2  

 a2 2   1  a11  a22   1  a12  a21 - ‫ולכן‬
 a11 a12 a13 


.  A   a21 a22 a23  : 3  3 ‫דטרמיננטה של מטריצה‬
a a a 
 31 32 33 
.S
 1 2 3  1 2 3   1 2 3   1 2 3   1 2 3   1 2 3  
,
,
,
,
,

 2 3  1 3 2   2 1 3   2 3 1   3 2 1   3 1 2  
3  1
– ‫נחשב את הסימן של כל התמורות‬
93
-
 1 2 3  
1 2 3 

  12  12   sgn  
 1
1 2 3 
 1 2 3  
  1 2 3 
 1 2 3

  12   sgn  
   1
 2 1 3
  2 1 3 
 1 2 3  
1 2 3 

   23  sgn  
   1
1 3 2 
 1 3 2  
 1 2 3 
1 2 3

  13  sgn  
   1
3 2 1
3 2 1
1 2 3
1 2 3

  12   23  sgn  
 1
3 1 2
3 1 2
  1 2 3 
 1 2 3

  12  13  sgn  
 1
 2 3 1
 2 3 1
– ‫נקבל את הדטרמיננטה הבאה‬
det  A 
 sgn    a     a     a     
1 1
 S  3
2
2
3
3
 1 a11  a22  a33   1  a12  a21  a33   1  a11  a23  a32 
  1  a13  a22  a31   1 a13  a21  a32  1 a12  a23  a31
‫משפט‬
.‫כלשהו‬
 a11

a
 AT    12


 a1n
a21
a22
a2 n
 a11

‫ מעל לשדה‬A   a21
  

 an1
a12
a22
an 2

a1n 

a2 n  ‫תהי המטריצה‬


ann 
an1 

an 2  - ‫ באופן הבא‬ A  ‫נגדיר מטריצה כטרנספוזיציה של‬


ann 
)‫(החלפת השורות והעמודות‬
det  A  det  AT  ‫אזי‬
:‫הוכחה‬
 
. 1  i, j  n ,  AT   bij
- ‫ נסמן את המטריצה כך‬.1
. bij  a ji - ‫נשים לב שמתקיימת הנוסחה הבאה‬
91
-
det  AT  


 S  n 

 S  n 
sgn    b
1 1

 b2 2  ...  bn  n  
- ‫ נציב בדטרמיננטה‬.2
sgn    a    a   ...  a   
 11
 22
 n n
– ‫ כך שמתקיים כי‬, k1 , k2 ,..., kn   1, 2,..., n ‫ מהגדרת תמורה נובע שקיימים‬.0
  k1   1,   k2   2,...,   kn   n
  k1   1   1 1
  k2   2   1  2 
- ‫ ולכן מתקיים‬,‫ידוע שלכל תמורה קיימת תמורה הפוכה‬
  kn   n   1  n 
– ‫ כך‬2 ‫ נובע שניתן לכתוב את הדטרמיננטה שקיבלנו בסעיף‬0 ‫ מסעיף‬.8

 S  n 

sgn    a    a    ...  a       sgn    a  

 S  n 
 11
sgn    a
 22
1 1 1
 n n
 k1 k1
 S n
 a2 1  2  ...  an 1  n 

 a  k2 k2  ...  a  kn kn 

].‫[נשים לב שרק החלפנו את סדר האיברים במכפלה‬
.    1 - ‫ את התמורה ההופכית שלו‬  S  n  ‫ נסמן לכל‬.5
   1      1         1   ‫מתקיים כי‬
- ‫ ונקבל‬,8 ‫נציב את מה שסימנו בדטרמיננטה שקיבלנו בסעיף‬
T
. det  A  
sgn    a    a
 


1
1 1
S n
2  2 
 ...  an  n 

‫ אולם איננו יודעים‬, det  A ‫ שווים לסקלרים של‬det  AT  ‫לכן מתקיים כי הסקלרים של‬
 
. sgn  1 ‫מהו הערך של‬
 
. sgn    sgn  1
:‫ למה‬.6
 
. det  AT   det  A ‫ ולכן‬,) sgn  1  sgn   ‫מהלמה נסיק כי‬
- ‫ מתקיים כי‬,‫ מכיוון שכל תמורה ניתנת להצגה כמכפלה של טרנספוזיציות‬:‫נימוק‬
92
 1      s  s 1 ...  2  1   1  2 ...  s 1  s    
  s  s 1 ...  2   1  1   2 ...  s 1  s    

  s  s 1 ...  2  2  ...  s 1  s     ...   s  s  

 
. sgn    sgn  1 ‫ ולכן‬,‫ שווים‬ ‫ ו של‬ 1 ‫לכן מספר הטרנספוזיציות של‬
:‫דוגמה מספרית‬
– ‫ הוא מהצורה‬2  2 ‫נזכור שהראינו קודם שמבנה הדטרמיננטה של מטריצה‬
det  A 

 S  2 
sgn    a
1 1

 a2  2  1 a11  a22   1  a12  a21
1 2
  det  A  11 4  1 2  3  2
3 4
o
1 3
T
 AT   
  det  A   11 4  1 3  2  2
2
4


o
 A  
90
-
‫משפט‬
 a11

a21
).‫ (מספר העמודות שווה למספר השורות‬ A  


 an1
  
 a1 


  
a 
 i 1 
 a 
 j 
  
 ai 1  :‫נגדיר‬
*

 A   
  
a 
 j 1 
  
 ai 
  
 a j 1 




 a 
 1 
a12
a22
an 2

a1n 

a2 n 
‫תהי המטריצה‬


ann 
  
 a1 


  
a 
 i 1 
 a 
 i 
  
 ai 1  :‫נסמן את המטריצה לפי שורות‬
 A   

a 
 j 1 
  
 aj 
  
 a j 1 




 a 
 1 


) a j -‫ ב‬ai ‫(החלפה של‬
. det  A*    det  A ‫אזי‬
:‫הוכחה‬
-  A*  ‫ נכתוב את הדטרמיננטה של‬.1
det  A*  
sgn    a
 


S n
*
1 1
 ...  a*i 1 i 1  a* j  j   a*i 1 i 1  ...  a* j 1  j 1  a*i i   a* j 1  j 1  ...  a*n  n 

‫ באופן כללי מתקיים עבור‬, i , j ‫ נשים לב שמכיוון שההחלפה התבצעה עבור האינדקסים‬.2
a
*
lk
l  i, k  i
l i
l j
 alk

  a jk
a
 ik
- ‫ כלשהם‬lk ‫אינדקסים‬
. a* j  j   ai  j  , a*i i   a j i  ‫ולכן נסיק כי‬
98
-
– 2 ‫ נרשום את הדטרמיננטה שהתקבלה לאחר השינוי שבסעיף‬.0
det  A * 

 S  n 
sgn    a
1 1
 ...  ai 1 i 1  ai  j   ai 1 i 1  ...  a j 1  j 1  a j i   a j 1  j 1  ...  an  n 

. i , j ‫ למעט‬,‫ לא מחליפה אף אינדקס‬ ‫ כלומר‬.    ij  ‫ להיות‬ ‫ נגדיר טרנספוזיציה‬.8
‫ עם‬ ‫ כאשר האינדקסים כולם מהווים הרכבה של‬,8 ‫ נרשום את הדטרמיננטה שקיבלנו בסעיף‬.5
.)‫ אין כל שינוי‬i , j -‫ (נשים לב שעבור כל האינדקסים ששונים מ‬. 
det  A*  


 S  n 
sgn    a
1  1
 ...  ai 1  i 1  ai  i   ai 1  i 1  ...  a j 1   j 1  a j   j   a j 1   j 1  ...  an   n 
.     ,‫ תמורה חדשה‬  S  n  ‫ נגדיר לכל תמורה‬.6
.                 - ‫נשים לב כי‬

-  ‫ הפעם באמצעות התמורה‬,‫ נכתוב שוב את הדטרמיננטה‬.7
det  A*  
  sgn     a     ...  a
i 1  i 1
1 1
 S  n 
 ai i   ai 1 i 1  ...  a j 1  j 1  a j  j   a j 1  j 1  ...  an  n 

.‫ כי הפעלנו עוד טרנספוזיציה אחת בדיוק‬, sgn      sgn   ‫נשים לב כי‬
*
.‫ כמבוקש‬, det  A   
  sgn    a     ...  a       det  A
1 1
 S  n 
n n
– ‫ לכן נסיק‬.4
‫משפט‬
 a11

a21
).‫ (מספר העמודות שווה למספר השורות‬ A  


 an1










a1n 

a2 n 
‫תהי המטריצה‬


ann 
a12
a22
an 2


:‫ נגדיר‬,  A   a1 ,..., ai 1, ai , ai 1,..., a j 1, a j , a j 1,..., an  :‫נסמן את המטריצה לפי עמודות‬














) a j -‫ ב‬ai ‫ (החלפה של‬.  A*    a1 ,..., ai 1 , a j , ai 1,..., a j 1, ai , a j 1,..., an 
. det  A*    det  A ‫אזי‬
95


‫‪-‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫במשפט קודם הראינו כי ‪ , det  A  det  AT ‬כאשר ‪ AT‬מוגדרת כמטריצה שבה מחליפים את‬
‫השורות בעמודות‪.‬‬
‫‪ T ‬‬
‫‪an1   a1 ‬‬
‫‪   ‬‬
‫‪an2   aT ‬‬
‫נכתוב את המטריצה ‪ 2 -‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪ann    ‬‬
‫‪ aT ‬‬
‫‪ n‬‬
‫‪a21‬‬
‫‪a22‬‬
‫‪a2 n‬‬
‫‪ a11‬‬
‫‪‬‬
‫‪a12‬‬
‫‪,  AT   ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ a1n‬‬
‫‪ani‬‬
‫‪‬‬
‫‪T‬‬
‫‪i‬‬
‫‪. a  a1i‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪ a1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪a ‬‬
‫‪ i 1 ‬‬
‫‪ a ‬‬
‫‪ j ‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪ ai 1 ‬‬
‫‪*T‬‬
‫‪.  A*T   ‬‬
‫אם‪-‬כך נוכל להציג את המטריצה ‪  A ‬באמצעות עמודות – ‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪a ‬‬
‫‪ j 1 ‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪ ai ‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪ a j 1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ a ‬‬
‫‪ 1 ‬‬
‫מכיוון שמתקיים ‪ , det  A*T   det  A* ‬נסיק מהמשפט הקודם ‪. det  A*    det  A‬‬
‫‪-‬‬
‫מסקנה‪ :‬אם במטריצה ‪  A‬יש שתי שורות זהות או שתי עמודות זהות‪ ,‬אז ‪. det  A  0‬‬
‫נימוק‪ :‬ניתן להחליף בין שתי השורות הזהות או בין שתי העמודות הזהות‪ ,‬ונקבל כי מתקיים‬
‫‪ , det  A   det  A‬משמע ‪. det  A  0‬‬
‫‪96‬‬
‫משפט‬



 a1






 a

i 1


‫תהי מטריצה מהצורה‬

 m
 A     k bk 
 k 1

 a

i 1







 a

n



m
.

m
m
m
k 1
k 1
k 1

  k bk    k bk1    k bk 2  ...    k bkn ‫ ולכן‬, bk  bk1,..., bkn  ‫כאשר‬
k 1
  
 a1 


  
a 
 i 1 
m

det  A    k  det  b  - ‫אזי מתקיים כי‬
 k 
k 1
  
 ai 1 


  
a 
 n 
:‫הוכחה‬
m
- ‫ ונכתוב את הדטרמיננטה‬,


  k bk  ai ‫ לצורך הנוחות נסמן‬.1
k 1
det  A 
‫ ולכן נוכל לכתוב‬, ai  i  
m

 S  n 
sgn    a
1 1

 ...  ai 1 i 1  ai i   ai 1 i 1  ...  an  n 
m


  k bk i ‫ ולכן‬, ail    k bkl ‫ נשים לב כי לפי ההגדרה מתקיים‬.2
k 1
k 1
– ‫את הדטרמיננטה באופן הבא‬
97
-
‫‪m‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪det  A    sgn    a1 1  ...  ai 1 i 1    k bk i   ai 1 i 1  ...  an  n   ‬‬
‫‪ S  n  ‬‬
‫‪k 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪a1n ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ai 1 n ‬‬
‫‪‬‬
‫‪bkn ‬‬
‫‪ai 1 n ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ann ‬‬
‫‪ a11‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ai 11‬‬
‫‪m‬‬
‫‪‬‬
‫‪   k  det  bk1‬‬
‫‪k 1‬‬
‫‪ ai 11‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ n1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ bk i   ai 1 i 1  ...  an  n ‬‬
‫‪  sgn    a     ...  a‬‬
‫‪i 1  i 1‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪ S  n ‬‬
‫‪m‬‬
‫‪ k‬‬
‫‪k 1‬‬
‫[השוויון האחרון אינו טריוויאלי‪ .‬מומלץ לבדוק שהוא מתקיים באמצעות כתיבת המטריצה‬
‫שמופיעה בסוף‪ ,‬ולראות כיצד מתקבלת הדטרמיננטה‪].‬‬
‫‪-‬‬
‫מסקנות‪ :‬תהי המטריצה ‪.  Ann‬‬
‫א‪.‬‬
‫אם ב‪  A -‬קיימת שורה שהיא צירוף לינארי של שורה אחרת‪ ,‬או עמודה שהיא צירוף לינארי של‬
‫עמודה אחרת‪ ,‬אזי ‪. det  A  0‬‬
‫נימוק‪ :‬מהמשפט האחרון נובע שניתן להציג את הדטרמיננטה כסכום של דטרמיננטות של כל‬
‫אחד מהווקטורים שמהווים את הצירוף הלינארי‪.‬‬
‫מכיוון שכך‪ ,‬נקבל כי בכל אחת מהדטרמיננטות של הסכום קיימים שני וקטורים זהים‪ ,‬וממסקנה‬
‫של משפט קודם נובע כי הדטרמיננטה מתאפסת‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫אם ‪ rank  A  n‬אזי ‪. det  A  0‬‬
‫נימוק‪ :‬מכיוון שכאשר ‪ rank  A  n‬אזי לפחות אחת השורות\עמודות תלויה באחרת‪ ,‬וממסקנה‬
‫א' נובע שהדטרמיננטה מתאפסת‪.‬‬
‫‪‬‬
‫נוסחת קרמר‬
‫‪ a1n xn  b1‬‬
‫תהי מערכת המשוואות‬
‫‪ a2 n xn  b2‬‬
‫‪ ann xn  bn‬‬
‫‪a1n b1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪a2 n b2 ‬‬
‫והמטריצה‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ann bn ‬‬
‫‪a11 x1  a12 x2 ‬‬
‫‪a x  a x ‬‬
‫‪ 21 1 22 2‬‬
‫‪.A‬‬
‫‪‬‬
‫‪an1 x1  an 2 x2 ‬‬
‫‪ a11 a12‬‬
‫‪‬‬
‫‪a21 a22‬‬
‫‪(  A  ‬מספר העמודות שווה למספר השורות‪.).‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ an1 an 2‬‬
‫‪94‬‬
 a1l 
 b1 
 



 
 
. al    , b    ‫ כאשר‬,  A   a1 ,..., an , b  - ‫נסמן את המטריצה לפי עמודות‬


a 
b 
 nl 
 n


  





xi  det  a1 ,..., an   det  a1,..., ai 1, b, ai 1, , an  - ‫ מתקיים‬1  i  n ‫אזי לכל‬




:‫הוכחה‬



. b  x1 a1  ...  xn an 

n
x
k
k 1
-
ak ‫ נשים לב כי‬.1






det  A  det  a1,..., ai 1, b, ai 1, , an  


n






 det  a1,..., ai 1,  xk ak , ai 1, , an   – ‫ נחשב את הדטרמיננטה‬.2
k 1






  xk det  a1,..., ai 1, ak , ai 1,

k 1
n


, an 

)‫(השוויון השני נובע ממשפט קודם‬






. det  a1 ,..., ai 1, ak , ai 1,


, an  - ‫ נתבונן בדטרמיננטה הבאה‬.0

‫ וממשפט קודם נובע‬,‫ קיימות שתי עמודות שוות בדטרמיננטה‬, k  i ‫נשים לב שכאשר‬
. k  i ‫ רק כאשר‬0 -‫ לכן הערך של הדטרמיננטה שונה מ‬.‫שהדטרמיננטה מתאפסת‬
- ‫לכן‬
n
x
k 1
k

det  a1 ,..., ai 1 , ak , ai 1 ,










, an   x1  0  ...  xi  det  a1 ,..., ai 1 , ak , ai 1 ,







. det  a1 ,..., ai 1, b, ai 1,




, an   ...  xn  0







, an   xi det  a1,..., ai 1, ak , ai 1,





, an  - ‫ונסיק‬

.‫ שנתון באמצעות נוסחת קרמר‬,‫ אז קיים פתרון יחיד‬det  A  0 ‫ אם‬:‫מסקנה‬






det  a1 ,..., ai 1 , b, ai 1 , , an 

 ‫ אז הביטוי‬det A  0 ‫ אם‬:‫נימוק‬
.‫ מוגדר היטב‬xi 
 




det  a1 ,..., an 


 det A
99
-
‫פיתוח מטריצה לפי שורה‬
 a11

a21
- ‫ מתקיים תמיד‬.  A  


 an1
 a11

n
a
k 1
det  A    1  a1k  det  21
k 1

 an1

n
det  A    1
k 1
k 1
a1n 

a2 n 
‫תהי המטריצה‬


ann 
a12
a22
an 2
a1k 1
a1k
a1k 1
a2 k 1
a2 k
a2 k 1
ank 1
ank
ank 1
 a21

 a1k  det 
a
 n1
a1n 

a2 n 


ann 
a2 n 


ann 
a2 k 1 a2 k 1
ank 1
ank 1
- ‫כלומר‬
– ‫ נשים לב שהמשפט שקול לטענה הבאה‬:‫הערה‬
 a11


a
 i 11
n
k i
det  A    1  aik  det  ai1

k 1
 ai 11


a
 n1
a1k 1
a1k
a1k 1
ai 1k 1
ai 1k
ai 1k 1
aik 1
aik
aik 1
ai 1k 1
ai 1k
ai 1k 1
ank 1
ank
ank 1
a1n 


ai 1n 
ain 

ai 1n 


ann 
‫ נשים לב כי לשם כך יש לבצע‬. 1 ‫ תעבור להיות שורה‬i -‫ נבצע החלפת שורות כך שהשורה ה‬:‫נימוק‬
‫ נסיק לפי משפט קודם שמתקיים‬,  A*  ‫ לכן אם נסמן את המטריצה החדשה‬,‫ החלפות‬i  1
. det  A   1
i 1
133

det  A* 
-
:‫הוכחה‬
n

     a1k ek 
 a1 
k 1

  






a
. ek   0,..., 0, 1 , 0,..., 0  ‫ כאשר‬,  A   2    a2
 - ‫ נסמן מטריצה‬.1
 
index  k



  




a 
 n   an 
– ‫נשים לב שעבור הדטרמיננטה מתקיים‬




a
e

1
k
k

0
 ek 
 k 1


a
  n
   n
a
2
det  A  det  a2    a1k  det     a1k  det  21

  k 1

 k 1


  
 an1
a 
 a

n

n


n
0
a2 k 1
1
a2 k
0
a2 k 1
ank 1
ank
ank 1
0 
a2 n 


ann 
– ‫ ונקבל‬,)‫ הזזות‬k  1 ( ‫ להיות העמודה הראשונה‬k -‫נזיז את העמודה ה‬
 1
a
k 1
det  A    1  a1k  det  2 k

k 1

 ank
n
1
c
21
. det 


 cn1
0
c22
cn 2
0
a21
0
0
a2 k 1
a2 k 1
an1
ank 1
ank 1
0
 c22
c2 n 
 det 

cn 2

cnn 
0 
a2 n 


ann 
c2 n 
 - ‫ באופן כללי מתקיים‬:‫למה‬

cnn 
. C  ‫ באות‬,‫ נסמן את המטריצה עליה הפעלנו את הדטרמיננטה‬:‫נימוק‬
. det C  

 S n
sgn   c1 1  c2  2  ...  cn  n  - ‫מהגדרת הדטרמיננטה נובע‬
c1 1  c11 ‫ למעט כאשר‬,‫ תמיד‬0 ‫ איבר זה שווה‬C  ‫ עבור המטריצה‬. c1 1 ‫נתבונן באיבר‬
. c11  1 ‫ ) אז מתקיים‬ 1  1 ‫(כלומר‬
. det C  


 S  n
 1 1
sgn   c2  2  ...  cn  n - ‫לכן‬

‫ ששקולה לקבוצה‬,   S  n   1  1 ‫ הדטרמיננטה מוגדרת עבור הקבוצה‬:‫כלומר‬
.‫ ולכן אין שינוי בערך הדטרמיננטה‬ 1  1 ‫ כי‬,   n  n  2,3,..., n
131
-
.‫ כמבוקש‬,‫מתקבלת נוסחה של דטרמיננטה מהשורה השנייה ומהעמודה השנייה‬
- ‫ מהמסקנה מתחילת ההוכחה בצירוף הלמה נקבל את השוויון המבוקש‬:‫מסקנה‬
1
a
k 1
det  A    1  a1k  det  2 k

k 1

 ank
n
n
   1
k 1
k 1
 a21
 a1k  det 
 an1
0
a21
0
0
a2 k 1
a2 k 1
an1
ank 1
ank 1
a2 k 1
a2 k 1
ank 1
ank 1
0 
a2 n 



ann 
a2 n 


ann 
‫מינור של מטריצה‬
 Amn
 al1 j1

 al j
A  l1 ,..., lk j1 ,..., jk   det  2 1
def

 alk j1
al1 j2
al2 j2
alk j2
 a11

a
  21


 am1
a12
a22
am 2
a1n 

a2 n 
‫תהי המטריצה‬


amn 
al1 jk 

al2 jk 
 - ‫ להיות‬ A ‫נגדיר מינור של‬

alk jk 
. k  k ‫ מתקבלת דטרמיננטה של מטריצה מגודל‬,‫ כלומר‬.
1  l1  ...  lk  m
1  j1  ...  lk  n
‫כאשר‬
1 2 3 4 5
3 5 


.‫ הוא מינור‬A 1, 2 3,5   det 
 ‫ למשל‬.  A   6 7 8 9 10  :‫דוגמה‬
 8 10 
11 12 13 14 15 


132
-

‫‪‬‬
‫מינור בסיסי‬
‫נאמר כי מינור ‪ A  l1 ,..., lk j1 ,..., jk ‬של המטריצה ‪  Amn‬הוא מינור בסיסי‪ ,‬אם שני התנאים‬
‫הבאים מתקיימים –‬
‫‪‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪A  l1 ,..., lk j1 ,..., jk   0‬‬
‫ב‪.‬‬
‫כל מינור מסדר גבוה יותר מ‪ k  k -‬שווה ל‪. 0 -‬‬
‫אי‪-‬יחידות המינור הבסיסי‬
‫מינור בסיסי אינו בהכרח יחיד‪.‬‬
‫‪ 1 1 2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫למשל עבור המטריצה ‪ ,  A   1 1 2 ‬קיימים שני מינורים בסיסיים‪:‬‬
‫‪0 1 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ 1  1 1   1 1 0  0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ 1  1  0   1  2 1  0‬‬
‫‪0 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪A  2,3 1, 2   det ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪A 1,3 2,3  det ‬‬
‫‪1‬‬
‫משפט‬
‫תהי המטריצה ‪ ,  Amn‬ונניח כי ‪ A  l1 ,..., lk j1 ,..., jk ‬הוא מינור בסיסי שלה‪.‬‬
‫אזי כל עמודה במטריצה היא צירוף לינארי של עמודות המטריצה שיש להן אינדקס ששייך למינור‬
‫בסיסי‪.‬‬
‫[הערה‪ :‬נשים לב שאלו לא העמודות עצמן של המינור הבסיסי‪ ,‬אלא עמודות המטריצה שהאינדקס‬
‫שלהם שייך למינור‪].‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫כלומר‪ :‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ a1 jk‬‬
‫‪ a1 j1 ‬‬
‫‪ a1 j2 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ a2 jk‬‬
‫‪ a2 j1 ‬‬
‫‪ a2 j2 ‬‬
‫‪ai    a j1    a j2  ...    a jk    ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪...‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ amj ‬‬
‫‪ amj ‬‬
‫‪ amj‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪ 2‬‬
‫‪ k‬‬
‫‪130‬‬
‫‪-‬‬
‫הקדמה להוכחה‪ :‬כדי להוכיח את המשפט מספיק להוכיח אותו עבור מינור בסיסי מהצורה‬
‫‪-‬‬
‫נימוק‪ :‬ראשית נביא את המינור להיות מהצורה ‪ A 1,..., lk 1,..., jk ‬באמצעות החלפת שורות‬
‫‪ . A 1,..., lk 1,..., jk ‬כלומר‪ ,‬מינור שממוקם בחלק השמאלי‪-‬עליון של המטריצה‪.‬‬
‫ועמודות‪ ,‬עד שהמינור ממוקם בחלק השמאלי‪-‬עליון של המטריצה‪.‬‬
‫נוכיח שהטענה שעמודה כלשהי היא צירוף לינארי של עמודות המטריצה שיש להן אינדקס ששייך‬
‫למינור הבסיסי ‪ , A  l1 ,..., lk j1 ,..., jk ‬שקולה לטענה שעמודה כלשהי היא צירוף לינארי של עמודות‬
‫המטריצה שיש להן אינדקס ששייך למינור הבסיסי ‪. A 1,..., lk 1,..., jk ‬‬
‫‪ a1 ‬‬
‫‪ ‬‬
‫נניח שעבור וקטור ‪ a2 ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ap ‬‬
‫‪ a1 ‬‬
‫‪ b11 ‬‬
‫‪ b12 ‬‬
‫‪ b1q ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪a2 ‬‬
‫‪b21 ‬‬
‫‪b22 ‬‬
‫‪b2 q‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ 1 ‬‬
‫‪ 2 ‬‬
‫כלשהו מתקיים ‪ ...   m    -‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ap ‬‬
‫‪ bp1 ‬‬
‫‪ bp 2 ‬‬
‫‪ bpq ‬‬
‫‪ a1   a 1 ‬‬
‫‪  a ‬‬
‫‪a2‬‬
‫‪   2 ‬‬
‫‪.    ‬‬
‫נגדיר תמורה כלשהי ‪ ,   S  n ‬שהפעולה על הווקטור היא ‪ -‬‬
‫‪  def‬‬
‫‪‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪a‬‬
‫‪‬‬
‫‪ p   a  p  ‬‬
‫אם נפעיל את התמורה ‪ ‬על שני צידי המשוואה נקבל –‬
‫‪ a 1 ‬‬
‫‪ b 11 ‬‬
‫‪ b 12 ‬‬
‫‪ b 1q ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ a  2 ‬‬
‫‪ b  21 ‬‬
‫‪ b  22 ‬‬
‫‪ b  2q ‬‬
‫‪‬‬
‫‪  1  ‬‬
‫‪  2  ‬‬
‫‪  ...   m  ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ a p ‬‬
‫‪ b p 1 ‬‬
‫‪ b p 2 ‬‬
‫‪ b p q ‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪   ‬‬
‫‪   ‬‬
‫‪   ‬‬
‫לכן נסיק שהחלפת עמודות ושורות לא משנה לגבי פרישת וקטור כלשהו‪.‬‬
‫‪-‬‬
‫הוכחת המשפט‪:‬‬
‫‪a1s ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .1‬נגדיר את הדטרמיננטה ‪‬‬
‫‪aks ‬‬
‫‪‬‬
‫‪als ‬‬
‫‪a1k‬‬
‫‪...‬‬
‫‪... akk‬‬
‫‪... alk‬‬
‫‪ a11‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 l  m‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ , D  det ‬כאשר‬
‫‪ ak1‬‬
‫‪1 s  n‬‬
‫‪def‬‬
‫‪‬‬
‫‪ al1‬‬
‫‪ D‬היא מינור בסיסי‪ ,‬בתוספת שורה ‪ l‬כלשהי למטה ועמודה ‪ s‬כלשהי מימין‪.‬‬
‫נוכיח שכל איבר בעמודה ‪ s‬הוא צירוף לינארי של איברי השורה שלו‪.‬‬
‫‪ .2‬נוכיח כי בכל מקרה ‪: D  0‬‬
‫‪138‬‬
‫א‪.‬‬
‫מקרה ראשון‪ :‬אם ‪ , 1  l  k‬אז יש שתי שורות שוות בדטרמיננטה‪ ,‬וממשפט קודם נובע‬
‫כי ‪. D  0‬‬
‫ב‪.‬‬
‫מקרה שני‪ :‬אם ‪ . k  l  m‬נניח בשלילה ‪ , D  0‬נקבל שקיים מינור בסיסי מסדר גדול‬
‫יותר מאשר ‪ , k  k‬בסתירה להנחה כי ‪ A  l1 ,..., lk j1 ,..., jk ‬מינור בסיסי‪.‬‬
‫‪ .0‬נרשום פיתוח של הדטרמיננטה ‪ D‬לפי השורה ‪ , l‬לפי נוסחה כללית שהוכחנו במשפט קודם‪.‬‬
‫הנוסחה הכללית של פיתוח דטרמיננטה לפי שורה ‪ , i‬היא ‪ aik  det  cik  -‬‬
‫‪k i‬‬
‫‪n‬‬
‫‪det  A    1‬‬
‫‪k 1‬‬
‫‪ ,‬כאשר ‪ det  cik ‬היא הדטרמיננטה שמתקבלת ממחיקת השורה ה‪ i -‬והעמודה ה‪ k -‬במטריצה‪.‬‬
‫לכן במקרה שלנו עבור הדטרמיננטה ‪ , D‬פיתוח לפי השורה ‪ l‬יראה מהצורה הבאה –‬
‫‪ als  det  cls ‬‬
‫‪ k 1   k 11‬‬
‫‪ ali  det  cli    1‬‬
‫‪k  i 1‬‬
‫‪k‬‬
‫‪D    1‬‬
‫‪i 1‬‬
‫כאשר ‪ det  cli ‬היא הדטרמיננטה המתקבלת ממחיקת השורה ה‪ k  1 -‬במטריצה של‬
‫הדטרמיננטה ‪( D‬שבחרנו אותה להיות השורה ה‪.) l -‬‬
‫נשים לב שעבור ‪ det  cs ‬מתקיים ‪ , det  cs   A 1,..., lk 1,..., jk ‬שלפי ההנחה זה מינור‬
‫בסיסי ולכן הוא שונה מ‪ , 0 -‬נסיק כי ‪. det  cs   A 1,..., lk 1,..., jk   0‬‬
‫‪ .8‬בסעיף ‪ 2‬הראינו כי בכל מקרה ‪ , D  0‬ולכן נסיק –‬
‫‪ als  det cls   0‬‬
‫‪k 1l‬‬
‫‪ alk  det  clk    1‬‬
‫‪k l‬‬
‫‪D   1  al1  det  cl1   ...   1‬‬
‫‪1l‬‬
‫‪‬‬
‫‪ als  det  cls ‬‬
‫‪k 1l‬‬
‫‪ alk  det  clk     1‬‬
‫‪k l‬‬
‫‪ al1  det  cl1   ...   1‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪1l‬‬
‫‪‬‬
‫‪ alk  det  clk ‬‬
‫‪k l‬‬
‫‪ al1  det  cl1   ...   1‬‬
‫‪ det  cls ‬‬
‫‪k 1l‬‬
‫‪  1‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪1l‬‬
‫‪als‬‬
‫לכן כל איבר ‪ als‬שנבחר הוא צירוף לינארי של עמודות המטריצה שיש להן אינדקס ששייך למינור‬
‫בסיסי‪.‬‬
‫‪-‬‬
‫מסקנה‪det  A  0  rank  A   n :‬‬
‫[נימוק‪ :‬אם ידוע כי ‪ , rank  A  n‬משמע יש עמודות שתלויות לינארית באחרות‪ ,‬ולכן הסדר של‬
‫המינור הבסיסי קטן מ‪ , n -‬כי כשיש עמודות תלויות לינארית הדטרמיננטה היא ‪. 0‬‬
‫אם ידוע כי ‪ det  A  0‬אז המינור הבסיסי חייב להיות מסדר קטן מ‪ , n -‬ומהמשפט שהראינו כעת‬
‫נובע כי שאר העמודות תלויות לינארית בעמודות של המינור הבסיסי‪ ,‬ולכן ‪. rank  A  n‬‬
‫‪135‬‬
‫‪‬‬
‫משפט‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫תהי המטריצה ‪ ,  A‬ונניח כי ‪. V  span a1 ,..., an‬‬
‫‪def‬‬
‫אם ‪ A  l1 ,..., lk j1 ,..., jk ‬הוא מינור בסיסי של ‪ ,  A‬אזי הקבוצה‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ a j1 ,..., a jk‬היא בסיס של‬
‫הקבוצה ‪. V‬‬
‫לכן ‪. rank  A  k‬‬
‫‪-‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫‪ .1‬במשפט קודם הוכחנו שכל עמודה במטריצה תלויה לינארית בעמודות המטריצה שיש להן אינדקס‬
‫‪‬‬
‫שמופיע במינור הבסיסי‪ .‬לכן כדי להראות שהקבוצה‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ a j1 ,..., a jk‬היא בסיס‪ ,‬מספיק להראות‬
‫שהיא בלתי תלויה לינארית‪.‬‬
‫‪ .2‬נניח בשלילה שהווקטורים‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ a j1 ,..., a jk‬תלויים לינארית‪ .‬כלומר –‬
‫‪‬‬
‫מתקיים כי ‪ , 1 a j1  ...   k a jk  0‬וגם ‪ 1 ,...,  k‬לא כולם שווים ל‪. 0 -‬‬
‫‪1a1 j  ...   k a1 j  0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪k‬‬
‫‪1ai j  ...   k ai j  0‬‬
‫‪1 k‬‬
‫‪1 1‬‬
‫נרשום במפורש את המשוואות של כל המטריצה‪:‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1ai j  ...   k ai‬‬
‫‪k jk‬‬
‫‪k 1‬‬
‫‪1amj  ...   k amj  0‬‬
‫‪k‬‬
‫‪ 0‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪ 0‬‬
‫נתבונן בשורות ‪ , i1 ,..., ik‬ונרשום אותן כך ‪    -‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪ 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ ai1 jk‬‬
‫‪ ai1 j1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ai2 jk‬‬
‫‪ ai2 j1 ‬‬
‫‪1 ‬‬
‫‪‬‬
‫‪...‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪k‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ai j ‬‬
‫‪ ai j‬‬
‫‪ k1‬‬
‫‪ kk‬‬
‫הנחנו בשלילה כי ‪ 1 ,...,  k‬לא כולם שווים ל‪ , 0 -‬ולכן מהתוצאה האחרונה נובע כי עמודות‬
‫המינור הבסיסי תלויות לינארית‪.‬‬
‫ממשפט קודם נובע כי אם במינור יש עמודות תלויות לינארית‪ ,‬המינור הוא ‪ , 0‬ולכן זו סתירה‬
‫להנחה כי ‪ A  l1 ,..., lk j1 ,..., jk ‬הוא מינור בסיסי‪.‬‬
‫‪136‬‬
‫‪‬‬
‫משפט‬
‫יהי ‪ V‬מרחב וקטורי נוצר‪-‬סופית שהבסיס שלו הוא ‪, BV  v1 ,..., vn ‬‬
‫ותהי ‪ A : V  V‬העתקה לינארית‪.‬‬
‫אזי התנאים הבאים שקולים –‬
‫‪-‬‬
‫א‪.‬‬
‫‪ A‬העתקה הפיכה‪ .‬כלומר‪ ,‬קיימת ‪ A1‬כך ש‪. A1 A  I -‬‬
‫ב‪.‬‬
‫‪det  m  A, Bv , Bv    0‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫‪ .1‬לפני ההוכחה עצמה‪ ,‬נראה טענת עזר‪.‬‬
‫הוכחנו במשפט קודם כי ‪ A‬הפיכה אם ורק אם היא חח"ע ואם רק אם היא על‪.‬‬
‫לכן הטענה ש‪ A -‬הפיכה שקולה לכך שלכל ‪  V‬קיים ‪ v V‬יחיד כך ש‪A  v    -‬‬
‫מכיוון ש‪ V -‬נוצר‪-‬סופית‪ ,‬נסמן ‪-‬‬
‫‪v  1v1  ...   n vn‬‬
‫‪  1v1  ...   n vn‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪‬‬
‫‪j 1‬‬
‫‪k 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪n‬‬
‫ולכן ‪ k vk    k A vk       jv j -‬‬
‫‪‬‬
‫‪. A v     A v   A ‬‬
‫‪ k 1‬‬
‫‪n‬‬
‫נשים לב שלכל וקטור ‪ vk‬מהבסיס של המרחב מתקיים ‪v j‬‬
‫‪jk‬‬
‫‪a‬‬
‫‪j 1‬‬
‫‪ , A  vk  ‬ולפי האופן שבו‬
‫הגדרנו מטריצה של העתקה לינארית‪ ,‬מתקיים כי ‪ a jk‬הוא האיבר הכללי במטריצת ההעתקה ‪A‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫ולכן ‪ k A  vk    a jkk      j v j -‬‬
‫‪j 1‬‬
‫‪k 1 j 1‬‬
‫‪.‬‬
‫‪k 1‬‬
‫כלומר‪ ,‬לכל שורה ‪ 1  j  n‬מתקיים ‪ k   j‬‬
‫‪n‬‬
‫‪jk‬‬
‫‪a‬‬
‫‪.‬‬
‫‪k 1‬‬
‫נתרגם את המשוואה ‪ A  v   ‬לצורתה המטריציונית‪ ,‬עבור שורה ‪ j‬כלשהי –‬
‫‪a1n   1   1 ‬‬
‫‪    ‬‬
‫‪     ‬‬
‫‪ann    n    n ‬‬
‫‪137‬‬
‫‪ a11‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ n1‬‬
‫‪a1n   1   1 ‬‬
‫‪    ‬‬
‫‪ .2‬הראינו כי המשוואה ‪ A  v   ‬שקולה למטריצה ‪      ‬‬
‫‪ann    n    n ‬‬
‫‪ a11‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ n1‬‬
‫‪( .a‬א' ‪ ‬ב') בכיוון אחד נסיק שאם ‪ A‬העתקה הפיכה אז היא חח"ע ועל‪ ,‬ולכן למערכת‬
‫‪a1n   1   1 ‬‬
‫‪    ‬‬
‫‪ A  v   ‬פתרון יחיד‪ ,‬משמע ל‪       -‬‬
‫‪ann    n    n ‬‬
‫‪ a11‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬פתרון יחיד‪,‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ n1‬‬
‫כלומר ‪ rank  A  n‬ולכן ‪. det  A  0‬‬
‫‪( .b‬ב' ‪ ‬א') בכיוון ההפוך‪ ,‬אם ‪ det  A  0‬אז ‪ , rank  A  n‬ולכן למערכת‬
‫‪a1n   1   1 ‬‬
‫‪    ‬‬
‫‪     ‬‬
‫‪ann    n    n ‬‬
‫פתרון יחיד כלומר ‪ A‬חח"ע ועל‪ ,‬ולכן הפיכה‪.‬‬
‫‪ a11‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬פתרון יחיד‪ ,‬ומכאן שגם למערכת ‪ A  v   ‬קיים‬
‫‪a‬‬
‫‪ n1‬‬
‫‪‬‬
‫נוסחה למציאת מטריצה הפוכה‬
‫‪a1n ‬‬
‫‪ a11‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ,  A  ‬ונניח כי ‪( det  A  0‬כלומר‪  A ,‬הפיכה)‪ .‬ותהי‬
‫תהי המטריצה ‪‬‬
‫‪a‬‬
‫‪amn ‬‬
‫‪ m1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0 1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪.  B   A ‬‬
‫המטריצה ‪  B ‬מטריצה הפוכה שמקיימת –‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0 0‬‬
‫אזי האיבר ה‪ bij -‬שבשורה השורה ה‪ i -‬והעמודה ה‪ j -‬במטריצה ‪ ,  B ‬מתקבל ע"י הנוסחה הבאה –‬
‫‪ det  Aji ‬‬
‫‪det  A  bij   1‬‬
‫‪i j‬‬
‫כאשר ‪ det  A ji ‬היא ‪ det  A‬לאחר מחיקת השורה ה‪ j -‬והעמודה ה‪. i -‬‬
‫‪134‬‬
:‫הוכחה‬
 a11

 a21


 an1
1
0
.  ij  
a1n 

a2 n 


ann 
 b11

 b21


 bn1
b1n   1 0

b2 n   0 1

 
 
bnn   0 0
-
0

0
‫נתון כי‬


1
n
i j
‫ כאשר‬, 1  i, j  n ,  aik bkj   ij ‫נסמן את המשוואה‬
i j
k 1
 0 

a1n   b1 j  

  


1
    ind j  – ‫ כלשהי מתקיים‬j ‫נשים לב שעבור עמודה‬

amn   bnj  

 0 


 a11


a
 m1
 
– ‫ ונקבל שמתקיים‬,‫ של המערכת‬bij ‫נשתמש בנוסחת קרמר כדי למצוא את הפתרון‬
 0


 



 
 

j -‫ בשורה ה‬1 ‫ כאשר‬det  A  bij   det  a1 ,..., ai 1 ,  1  , ai 1 ,..., an  
 


 
 0


– ‫ של מטריצה הפוכה יתקבל מהנוסחה הבאה‬bij ‫לכן האיבר‬
 0


 
  

 
 
det  A  bij   det  a1 ,..., ai 1 ,  1  , ai 1 ,..., an   
 


 
 0


 a11


 a j 11

 det  a j1
 a j 11


a
 n1
a1i 1
a j 1i 1
a ji 1
a j 1i 1
ani 1
a1n 
a1 j 1 0 a1 j 1
a1n 
 a11






 a j 11
0 a j 1i 1
a j 1n 
a j 1i 1 0 a j 1i 1
a j 1n 


i j

1 a ji 1
a jn    1 1 det  a j1
a ji 1 1 a ji 1
a jn 
 a j 11
0 a j 1i 1
a j 1n 
a j 1i 1 0 a j 1i 1
a j 1n 








0 ani 1
ann 
ani 1 0 ani 1
ann 
 an1
]. i -‫ ובעמודה ה‬j -‫[השוויון האחרון הוא פיתוח של הדטרמיננטה לפי האיבר שבשורה ה‬
0
a1i 1
139
:‫דוגמה‬
-
1 0
1 0
 ‫ ונניח כי‬det  A  1 1 1   1  0  2  1 ,‫ מטריצה‬ A  

0 1
2 1
.  B    A  
.‫ לפי הנוסחה שפיתחנו‬ B  ‫נחשב את המטריצה‬
1
11
b11   1 det 
2
1
2 1
b21   1 det 
2
0
 1
1
 1 0
det 
0
 2 1
1 0
2 2
b22   1 det 
 1
2 1
b12   1
1 2
0
  2
1
 1 0
 - ‫ולכן‬
 2 1 
 B  
‫כפליות הדטרמיננטה‬

  ,  A   a  ‫יהיו המטריצות‬
. 1  i, j  n ‫ כאשר‬,  B   bij
ij
det  A   B   det  A  det  B  - ‫אזי‬
:‫הוכחה‬
. 1  i, j  n , cij 
n
a
k 1
b ‫ מטריצה‬ c    cij  ‫ כאשר‬, det  A   B   det  c  ‫נסמן‬
ik kj
- ‫מתקיים כי‬
det  c  

 S  n 
n
n
k1 1
kn 1

sgn    c1 1  ...  cn  n  
 n

 n

sgn


a
b

...



  ankn bkn  n   




1k1 k1 1
 S  n 
 k1 1

 kn 1

   sgn    b
 
  ... a1k1  ...  ankn 
 S n
k1 1

 ...  bkn  n  
bk1n  
 bk11
bk1n  
n



  ... a1k1  ...  ankn
a1k1  ...  ankn  det 
  

k1 1 kn 1
1 k1 ... kn  n
 b
bkn n  
bkn n  

 kn 1

‫ כי יש בה‬,‫ים שווים הדטרמיננטה מתאפסת‬- k ‫ השוויון האחרון נובע מכך שכאשר קיימים שני‬:‫[נימוק‬
n
n


 bk11

 det 
 b
 kn 1


].‫שתי שורות שוות‬
113
-
1 2
 k1 k2
n
 - ‫נגדיר תמורה מהצורה הבאה‬
kn 
– ‫ ונקבל‬,   
 a
n
1 k1 ... kn  n
1k1
 ...  ankn

 b 11
bk1n  


    a1 1  ...  an  n   det 
 S  n 
 b
bkn n  
   n 1

 bk11

 det 
 b
 kn 1


b 1n  


b  n n  

.‫ כמבוקש‬, det  A  det  B  ‫נסביר למה הביטוי האחרון שקיבלנו שקול לביטוי‬
 b 11

det 
 b
   n 1
b 1n  
 b11


   sgn    det 
 bn1
b  n n  

b1n  
  - ‫ ככלל מתקיים‬:‫למה‬

bnn  
:‫נימוק‬
  k    i1 j1   i2 j2  ...  ik 1 jk 1   ik jk  - ‫ טרנספוזיציות‬k ‫ כמכפלה של‬ ‫ נציג את‬.1
  k 1   i1 j1   i2 j2  ...  ik 1 jk 1 
- ‫ ונקבל‬   -‫נתבונן בתמורות חלקיות ל‬
k

1
  i1 j1 
 

k 
k 
. B  1 ,...,   n  1,..., n
- ‫ נקבל את הקשר‬,  

k 1

- ‫ באופן הבא‬det  B  ‫ נציג את‬.2
‫נשים לב שאם נציג את הדטרמיננטה באמצעות התמורה‬


k 
k 
 k 1
‫ כי ההבדל בין‬, B  1 ,...,   n  1,..., n  1 B 
1 ,...,   k 1  n  1,..., n
.‫ הוא ביצוע של טרנספוזיציה אחת‬ 
k 1
‫ לבין‬ 

k
‫ לאחר‬det  B  ‫ לבין‬det  B  ‫ נקבל שהקשר בין‬,‫לכן אם נמשיך את הפיתוח באותו האופן‬
.‫ כמבוקש‬, sgn   ‫כדי הסימן‬-‫ הוא שוויון עד‬,  ‫שהפעלנו עליה את‬
.  A  A1   I n -‫ כך ש‬,‫ המטריצה ההפוכה‬ A1  ‫ ותהי‬,‫ מטריצה‬ A ‫ תהי‬:‫מסקנה‬
. det  I n   det  A  A1    det  A  det  A1   1 - ‫ ולכן‬, det  I n   1 ‫ידוע כי‬
det  A1  
111
1
- ‫או בצורה נוחה יותר‬
det  A
-