UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
FACULTAD DE INGENIERÍA
SECRETARÍA GENERAL
COORDINACIÓN DE PROGRAMAS DE
ATENCIÓN DIFERENCIADA PARA ALUMNOS
COPADI
PROBLEMARIO COPADI
DE CÁLCULO VECTORIAL
COORDINADORES Y COAUTORES
ING. LUIS HUMBERTO SORIANO SÁNCHEZ
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ
ESTUDIANTES COAUTORES
JORGE ALEJANDRO RANGEL RANGEL
PATRICIA MARÍA SÁNCHEZ GÓMEZ
ALEJANDRO FÉLIX REYES
ZEUS HIRAM ZAMORA GUEVARA
JUAN CARLOS ARROYO CASTRO
EDUARDO FABIÁN GÓMEZ RAMÍREZ
ARTURO GUTIÉRREZ LANDA
ISABEL MIRANDA ALVARADO
MÓNICA YADIRA NARVÁEZ CLEMENTE
RHAMID HORTENSIA RODRÍGUEZ DE LA TORRE
PRÓLOGO
La Coordinación de Programas de Atención Diferenciada para Alumnos (COPADI) de la
Facultad de Ingeniería de la UNAM, con algunos de los estudiantes del Programa de Alto
Rendimiento Académico (PARA), y dentro de su Programa de Solidaridad Académica
(PROSOLAC), se dio a la tarea de realizar sus PROBLEMARIOS COPADI. Cada uno, en
una serie de ejercicios resueltos de algunas de las asignaturas que tienen mayor grado de
dificultad para los estudiantes cuando cursan sus asignaturas en la División de Ciencias
Básicas de la Facultad.
Estos ejercicios son planteados y resueltos por nosotros y por estudiantes del PARA, y
revisados por nosotros. Los objetivos de estos PROBLEMARIOS COPADI son, entre otros
los siguientes:
Apoyar el desempeño académico de los estudiantes con ejercicios resueltos que les
pueden ayudar a comprender y aprender los conceptos de que consta el programa
de la asignatura, en este caso, Cálculo Vectorial, y poder así acreditarla y seguir
adelante en sus estudios de ingeniería.
Reafirmar los conocimientos de los autores en asignaturas que ya acreditaron.
Producir material didáctico para la Facultad, como un compromiso en su calidad de
estudiantes del PARA.
Es importante comentar que este Problemario consta de 128 ejercicios de la Asignatura
Cálculo Vectorial, y que además de que se ha revisado el material, se han tratado de
dejar los ejercicios y sus enunciados tal como los hicieron y plantearon los estudiantes, ya
que básicamente se trata de una publicación realizada por estudiantes y dirigida a
estudiantes. Y esto es lo que le da carácter a la publicación. Los coordinadores tuvimos que
sugerir ejercicios cuando se consideró que hacían falta para cubrir un determinado tema.
Los ejercicios están distribuidos de la siguiente forma para cada uno de los temas: 28 de
Extremos de Funciones Escalares de Variable Vectorial, 31 de Funciones Vectoriales, 32 de
Integrales de Línea y 37 de Integración Múltiple.
Es nuestro mejor deseo que este trabajo sea de utilidad para los estudiantes que cursan
Cálculo Vectorial y que también sea motivo de genuino orgullo para los estudiantes que
participaron en su realización, así como lo es para nosotros.
Ing. Luis Humberto Soriano Sánchez
Ing. Pablo García y Colomé
ÍNDICE
Tema
Extremos de funciones escalares de variable vectorial
Página
1
Funciones vectoriales
50
Integrales de línea
75
Integración múltiple
101
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
TEMA I
EXTREMOS DE FUNCIONES ESCALARES DE VARIABLE VECTORIAL
1. Determinar los puntos críticos de
0  x  2 y 0  y  2 .
f ( x , y )  sen x  cos x  sen y  cos y ,
para valores de
Resolución:
En primer lugar, se deriva la función con respecto a " x " y se iguala a cero la derivada para
obtener los puntos críticos. Así,
fx  cos x  sen x ; cos x  sen x  0  1
Una forma adecuada para buscar los puntos críticos cuando se tienen senos y cosenos es dejar todo
en términos de coseno o de seno exclusivamente, por medio de identidades trigonométricas, ya que
si dividiéramos entre senx o cos x ,podríamos eliminar un punto crítico.
Se utilizará la identidad cos 2 x  sen 2 x  1 para despejar el coseno y sustituirlo en la ecuación
1 para encontrar los puntos críticos. Luego,
cos 2 x  1  sen 2 x  1  sen 2 x  sen x  0
Ahora se pasa el seno al segundo miembro de la ecuación y se eleva todo al cuadrado para quitar la
raíz.
1  sen 2 x  sen x  1  sen 2 x  sen 2 x  2sen 2 x  1
sen 2 x 
1
1
 sen x  
2
2
 1 
 x  angsen  

2


2

x  angsen  
; n  0,1,2,...
  x   (2n  1)
4
 2 
Por lo tanto los puntos críticos son:
3
5
7

x1 
; x2 
; x3 
; x4 
4
4
4
4
Si se deriva ahora con respecto a " y " y se iguala a cero la derivada, se obtiene:
fy  cos y  sen y ; cos y  sen y  0 
Como se observa, las ecuaciones
y
 2
tienen la misma forma y por analogía:
3
5
7
; y3 
; y4 
4
4
4
4
Aparentemente hay 16 puntos críticos, que serían todas las combinaciones de x con y, pero como es
sabido, se deben comprobar los valores sustituyéndolos en las derivadas.
Para demostrar que no todas las combinaciones son puntos críticos, se verifican los primeros cuatro
valores en la ecuación 1 .
y1 

1
 2
; y2 
fx  cos x  sen x  0  cos x  sen x
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1
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
x
x


1
2
 

sen  cos 
4
4
2
2

1

sen x  2
 
 sen x   cos x
cos x   1

2

4
3
4
5
4
1

 sen x  cos x  
2

1

sen x  

7
2

x
 
 sen x   cos x
4
cos x  1
2

Con " y " es similar el proceso (se recomienda al lector realizar dicha tarea), por lo que se puede
concluir que los únicos puntos críticos son:
  
  5 
 5  
 5 5 
PC1  ,  ; PC2  ,
 ; PC3  ,  ; PC4  ,

4 4
4 4 
 4 4
 4 4 
x
2. Determinar los extremos de la función:
u  x 2  y 2  z 2  xy  x  2z
Resolución:
Primero se obtienen las derivadas parciales de la función con respecto a todas sus variables y se
igualan a cero. También se determinan las segundas derivadas parciales con respecto a una
variable y las “mixtas”.
u
u
u
 2y  x  0   2  ;
 2z  2  0   3 
 2x  y  1  0  1 ;
y
z
x
 2u
 2u
 2u
 2u
 2u
 2u

;
2
2
;

0
;
1
;
;
2




0
x 2
y 2
x z
y x
z 2
zy
Ahora se resuelve el sistema de ecuaciones que se ha formado con 1 ,  2  y  3  :
De
De
De
 3
1
z 1 
y
 5
 6  en  5  :
 4
;
de
 2

x  2y 
 5
2  2y   y  1  0  3y  1  0  y  
x
 6
2
3
1
 2

Estos son los valores obtenidos hasta el momento:   ,  , 1, f  x , y , z  
3
 3

falta valuar la función:
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1

3
por lo que sólo
2
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CÁLCULO VECTORIAL
 2  1
 2  1   2 
u  x 2  y 2  z 2  xy  x  2z ; u          12            2 1
 3  3
 3  3   3 
4 1
2 6
4
u    1   2  u  
9 9
9 9
3
1
4
 2
Por lo que el único punto crítico es   ,  , 1,  
3
3
 3
Debido a que es una “hipersuperficie”, se utilizará el método generalizado del hessiano para
determinar si se trata de un máximo, un mínimo o un punto silla. Por lo que primero se construye la
matriz:
  2u
 2u
 2u 
 2 y x zx 
 x
  2 1 0 
  2u
 2u
 2u  
2 0 

   1
2
x
y
y
z
y






  0
0 2 

2
2
  2u
u
u 


2
 x z y z z 
Ahora se calculan los valores característicos de esta matriz hessiana:
1
0 
 2 1 0   0 0  2  
3





det  H  I    1 2 0    0  0    1 2  
0    2      2     0
 0 0 2   0 0    0
0
2   
2
2     2     0
2
 2     2   
Para resolver la ecuación que ha quedado se tiene que:
3

2
 1  0

2    0  1  2


de donde
2  3
2

 2     1  0  2    1    1
3

Como se puede apreciar, todos los valores de "  " (valores característicos) son positivos por lo
que este punto es un mínimo. Ya con todos los cálculos hechos se puede concluir que la función
dada tiene un mínimo en
4
 2 1
P   ,  , 1,  
3
 3 3
3. Sea la función f ( x , y )  6x  4 y  x 2  2y 2 . Determinar si f tiene algún extremo relativo.
Resolución:
Como la función es polinomial, sus primeras derivadas existen en todo (x, y) en R 2 por lo que se
tiene que:
f
f
;
 4  4 y
 6  2x
x
y
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3
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
se igualan a cero sus derivadas parciales:
4  4 y  0  1  y  0  y  1
6  2x  0  3  x  0  x  3
y se tiene un punto crítico en el punto  3 ,  1 . Para saber su naturaleza se utiliza el criterio de la
segunda derivada:
 2f
 2
x 2
 2f
 4
y 2
H
 2f
x 2
 2f
y x
2
2
f
x y
f
y 2
 2f
0
y x

2
0
 2f
0
x y
0
8
4
Si H  0 se tiene un máximo o un mínimo relativo. Como H  0 y
relativo en el punto  3, 1 .
 2F
 0 , se tiene un máximo
x 2
4. Obtener los extremos absolutos, los máximos y mínimos relativos, y los puntos silla de la función
f ( x , y )  xy  x  y  3 en la región cerrada triangular R del plano XY cuyos vértices son
A  0, 0  , B  2, 0  y C  0, 4  .
Resolución:
Para obtener los puntos críticos, se calculan las derivadas parciales y se igualan a cero:
fx  y  1  0  y  1 ; fy  x  1  0  x  1
Entonces, el único punto crítico es P 1, 1 , y si se dibuja la región y se sitúa el punto P se tiene:
C  0,4 
y
P 1,1
A
B  2,0 
x
Se ve que el punto crítico P se encuentra dentro de la región de estudio. Sin embargo, para
saber si un punto está dentro de la región es conveniente utilizar la ecuación de la recta BC . Dado
el caso de que el punto quede fuera de la región no interesaría.
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4
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CÁLCULO VECTORIAL
Se procede con el método analítico y en primer lugar se obtiene la ecuación de la recta BC que es:
y  y 1  m  x  x1  ; y  0  2  x  2   y  2x  4
Para x  1 ; y  2 1  4  y  2
y como 2  1 implica que el punto pertenece a la región, es decir, que P  R . Para determinar la
naturaleza del punto se utiliza el Hessiano.
fxx  0 fxy  1
H 
 1  0
fyx  1 fyy  0
Por lo tanto, P 1, 1 es un punto silla.
Ahora se analizará la frontera dada por el triángulo. Para el segmento AB se tiene por ecuación
y  0 y si se sustituye esta ecuación en f  x , y  para obtener f  x  se obtiene:
f ( x )  x  3
Ahora se deriva e iguala a cero, con lo que se obtiene que:
f ''( x )  1
Como es imposible igualar la derivada a cero, se concluye que es una función monótona, es decir,
sin máximos ni mínimos.
Para el segmento BC que tiene por ecuación a y  2x  4 , se sustituye en f  x , y  para
obtener f  x  y derivar. Así,
f ( x )  x ( 2x  4)  x   2x  4   3  f  x   2x 2  4 x  x  2 x  4  3
f  x   2x 2  5x  1
La parábola resultante representa la intersección entre el plano y  2x  4 y la superficie
f ( x , y )  xy  x  y  3 . Se deriva y se iguala a cero con lo que se obtiene el punto Q :
5
f '( x )  4 x  5 ;  4 x  5  0  x 
4
Para obtener el valor de " y " se sustituye el valor de " x " obtenido en la ecuación de la recta
BC .
3
5
5 3
 y  2    4  y 
 Q , 
2
4
4 2
Una vez obtenido el punto Q , se sustituyen sus coordenadas en la función f  x , y  :
17
 5  3  5 3
f ( x , y )        3  f  x , y  
8
 4  2  4 2
Si se analiza la recta CA se tiene que su ecuación es x  0 , de donde, al sustituir este valor en
f  x , y  , se llega a:
f ( y )   y  3 ; f ( y )  1  0
por lo que también es una función monótona.
Por último se analizarán los puntos vértices de la región
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5
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
f ( A)  f (0,0)  f  A   3
f (B )  f (2,0)  f  B   1
f (C )  f (0,4)  f C   1
Si se ven los resultados en su conjunto, se concluye que la función, en la región triangular, presenta
un máximo absoluto M (0, 0)  3 , un mínimo absoluto m (0, 4)  1 y un punto silla en P 1, 1 .
NOTA. En este tipo de ejercicios, los mínimos relativos, máximos relativos y puntos silla se obtienen
en puntos críticos pero de la función original, por lo tanto los obtenidos analizando las fronteras y los
extremos de ellas son los extremos absolutos. Sin embargo se puede dar el caso que un extremo
dentro de la región se convierta en absoluto si es menor o mayor que los de la frontera.
5. Localizar los extremos relativos y los puntos silla de la siguiente función:
f  x, y   ex y
Resolución:
Se calculan las derivadas parciales y se obtienen los puntos para los cuales ambas se anulan o no
existen. Así,
f
 ye x y
xy
x
 ye  0  y  0
  xy
f
 xe  0  x  0
 xe x y
y
En ambos casos, se ve que e x y nunca podrá ser cero.
Se sustituyen los valores de x  0 y y  0 en la función original y se llega a:
f  x , y   e  0 0  1
Entonces el punto donde las derivadas parciales se hacen cero es P  0, 0, 1
Con la finalidad de saber si es dicho punto es un máximo relativo, un mínimo relativo o un punto silla,
se aplica el criterio de la segunda derivada.
 2f
 2f
2 xy
;
y
e

0
x 2
x 2 x  y 0
 2f
 x 2e x y
2
y
 2f
y 2
;
f
 xye x y  e x y
y x
2
x  y 0
f
y x
0
2
;
x  y 0
1
y se tiene que
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6
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CÁLCULO VECTORIAL
 2 f  2f   2 f 
g  x, y   2 2  

x y  y x 
2
 g  x , y    y 2e x y  x 2e x y    e x y  xye x y 
2
g  0, 0   02 e 00  02 e 00   e 00  0  0  e 00   1  0
por lo tanto P  0, 0, 1 es un punto silla.
2
6. Calcular los puntos críticos de la siguiente función y determinar su naturaleza:
f  x , y   10  x 3  y 3  3 y  3x 2  9 x
Resolución:
Se deriva parcialmente la función y se igualan a cero las derivadas parciales para obtener los
puntos críticos:
f
 3x 2  6x  9
x
3 x 2  6x  9  0  x 2  2x  3  0   x  3  x  1  0  x1  3; x 2  1
f
 3 y 2  3
y
2
3 y  3  0  y 1  1; y 2  1
Los puntos críticos son:
P1 1, 1 , P2 1,  1 , P3  3, 1 y P4  3,  1
 2f
 2f
 2f
 2f







6
x
6;
6
y
;
0
x 2
y 2
y x
x y
Por el criterio de la segunda derivada:
 2f
 2f
2
x 2 y x  2f  2f   2f 
H  x, y   2
 2 2 
 ; H  x , y   36xy  36y
x y  y x 
f
 2f
x y
y 2
 2f
 0  Máximo relativo 1, 1, 17  .
x 2
Para P2 1,  1 ; H 1,  1  0  Punto silla 1,  1, 13  .
Para P1 1, 1 ; H 1, 1  0 ;
Para P3  3, 1 ; H  3, 1  0  Punto silla  3, 1,  15  .
Para P4  3,  1 ; H  3,  1  0 ;
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 2f
 0  Mínimo relativo  3,  1,  19  .
x 2
7
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
7. Determinar los extremos, tanto relativos como absolutos, de la función f  x , y   x 2 y 2 , cuya
gráfica se muestra en la figura.
Resolución:
Se deriva parcialmente la función y se igualan a cero las derivadas parciales para obtener los puntos
críticos:
f
 2xy 2 ; 2xy 2  0  x  0 o y  0
x
f
 2x 2 y ; 2x 2 y  0  x  0 o y  0
y
En este caso las derivadas parciales se anulan cuando x  0 , y  0 o cuando ambas son nulas.
Luego:
Puntos críticos:  0, y    y  x  , 0 
Por el criterio de la segunda derivada:
 2f
 2f
 2f
 2f
2
2
 2y ;
 2x ;
 4 xy 
x 2
y 2
y x
x y
H  x , y   fxx fyy  fxy2
Para los puntos críticos:
 H  x , y    2 y 2  2x 2    4 xy 
H  x , y   12 x 2 y 2
2
g  x , y   0 , por lo que el criterio no decide.
Sin embargo, de la figura se concluye que la función tiene un infinito número de mínimos en todos
los puntos de los ejes " x " y " y " , incluyendo el origen, lo que analíticamente también se ve ya que
para todos los demás puntos f  x , y   0 . Esto es:
Además,
f  0, y   0 ; f  x ,0   0 ; f  0,0   0 .
 x , y    0, y 

f  x , y   0   x , y    x ,0 
  x , y    0,0 

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8
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CÁLCULO VECTORIAL
8. Obtener los puntos críticos de la siguiente función escalar de variable vectorial y determinar su
naturaleza.
1
z  f  x , y   y 3  x 2 y  2x 2  2y 2  6
3
Resolución:
Se deriva parcialmente la función y se igualan a cero las derivadas parciales para obtener los
puntos críticos:
z
 2xy  4 x ; 2xy  4 x  0  2x  y  2   0  x  0 o y  2
x
z
 y 2  x 2  4y ; y 2  x 2  4y  0
y
y  0
. Los puntos críticos son: P1  0, 0  y
Si x  0  y 2  4 y  0  y  y  4   0  
y  4
P2  0, 4  .
 x  2
. Los puntos críticos son: P3  2, 2  y
Si y  2  4  x 2  4  2   0  x 2  4  
 x 2
P4  2, 2  .
Por el criterio de la segunda derivada:
2z
2z
2z
2z
 2 y  4;
 2y  4;
 2x 
x 2
y 2
y x
x y
H  x , y    2y  4  2y  4    2x 
 g  x , y   4 y 2  16 y  16  4 x 2
2
H  0, 0   4  0   16  0   16  4  0   16  0; z xx  4  0 
2
2
 0, 0, 6  .
2
2
H  0, 4   4  4   16  4   16  4  0   16  0;
14 

 0, 4,   .
3

z xx  4  0 
Máximo
relativo
Mínimo
relativo
2
2
2

H  2, 2   4  2   16  2   16  4  2   16  0  Punto silla  2, 2,  .
3

2
2
2

H  2, 2   4  2   16  2   16  4  2   16  0  Punto silla  2, 2,  .
3

9. Dada la siguiente función, determinar sus puntos críticos así como la naturaleza de los mismos.
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9
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
z  f  x , y   4 x 2 y  8 y 2  2 x 2  2 y 3  1
Resolución:
Se procede a obtener los puntos críticos
z
 8xy  4 x
x
 x 0

8xy  4 x  0  8xy  4 x  0  2xy  x  0  x  2y  1  0  
1
 y   2
z
 4 x 2  16y  6y 2
y
3
4 x 2  16 y  6y 2  0   x 2  4 y  y 2  0  1
2
y  0
3 2

3

x  0 en 1 ;  4 y  y  0  y  y  4   0  
8
2
2

 y  3

19
2
x  
1
19
8

 1 3 1
y 
en 1 ;  x 2  4         0   x 2   0  
2
8
 2 2 2
 x  19

8
1
 8   19
,   ;
 0,  ;  
8
2
 3 
De donde, al sustituir en la función original, se obtiene:
z  0, 0  1
 0, 0  ;
Así se tienen los puntos críticos:
512 1024
485
8
8
 0  8   0  2   1  

1 
 8
9
27
27
 0, 
3
3
 3
2
z
3
3
 19   1   1 2  19 
19
19 1
5
 1
 4  
     8     2  
  2     1   2    1  
19 1 
8   2  2
8 
4
4 4
4
,  
 2


8
2
2
z
 19
1
,  

2
 8

 

2
2z
2z
2z








 8x
z
y
z
y
8
4;
16
12
;
xx
yy
x 2
y 2
y x
Ahora se obtiene H  x , y 
H  x , y   z xx z yy  z xy 2  H  x , y    8y  4  16  12y    8x 
2
H  x , y   128y  96y 2  64  48 y  64 x 2  H  x , y   80 y  96y 2  64 x 2  64
Se evalúa H para cada punto crítico y;
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10
COPADI
Para
CÁLCULO VECTORIAL
 0, 0 
; H  0, 0   64  0 y z xx

 0, 0  
4  0
Máximo relativo:
 0, 0, 1
1216
2
 8
 8
8
8
 8
0
 0,  ; H  0,   80    96    64  0   64  H  0,   
3
 3
 3
3
3
 3
 8 485 
 Punto silla:  0, , 

27 
 3
2
Para
2
 19 1 
 19 1 
 19 
 1
 1
,   ; H  
,    80     96     64  
 
  64  152  0
8 2
8 2
8 
 2
 2



 19 1 5 
 Punto silla:  
,  ,  
8
2 4

2
Para
2
 19 1 
 19 1 
 19 
 1
 1
 8 ,  2  ; H  8 ,  2   80   2   96   2   64  8   64  152  0






 19 1 5 
,  ,  
 Punto silla: 
2 4
 8
2
Para
10. Obtener los puntos críticos de la función
z  f  x , y    x 3 y  xy 3  xy
naturaleza, sobre la región limitada por  1  x  0 ;  1  y  0 .
y determinar su
Resolución:
Se deriva parcialmente la función y se igualan a cero las primeras derivadas para obtener los puntos
críticos:
z
 3x 2 y  y 3  y  0
y  3x 2  y 2  1  0
x
;
z
3
2
x  x 2  3y 2  1  0
  x  3xy  x  0
y
de donde se obtiene:
x  0
 P1  0, 0 

y  0
P2  0, 1
x 0

2
  3  0   y 2  1  0  y  1 

2
2
P3  0,  1
 3x  y  1  0
P4 1, 0 
y 0
2

  x 2  3  0   1  0  x  1 
 2
2
P5  1, 0 
  x  3y  1  0
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11
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL

3 x 2  y 2  1  0
1
y 

2
2
2
2




x
y
3
1
0
3x  9y  3  0

2 

;
 2
2
2
1
8y  2  0
 x  3y  1  0
x

2
 1 1
P6  , 
2 2
 1 1
P7  ,  
2 2
 1 1
P8   , 
 2 2
 1 1
P9   ,  
 2 2
De los nueve puntos obtenidos, solamente cuatro pertenecen a la región considerada: P1 , P3 y P5
 1 1
en su frontera y P9 en su interior, por lo que el único punto crítico es P9   ,  
 2 2
2z 2z  2z 
Como se sabe, H  x , y   2 2  
 y, además, las segundas derivadas parciales, así
x y  y x 
como las mixtas están dadas por:
2z
2z
2z
 6xy ;
 6xy ;
 3 x 2  3 y 2  1
2
2
x
y
y x
de donde
2
g  x , y    6xy  6xy    3x 2  3 y 2  1
2

g  x , y   36x 2 y 2  9x 4  9y 4  1  18x 2 y 2  6x 2  6y 2
g  x , y   18x 2 y 2  9  x 4  y 4   6  x 2  y 2   1
Ahora se evalúa H para cada punto crítico de la región considerada:
2
2
 1  4  1  4   1  2  1  2 
 1 1
 1  1
H   ,    18        9          6          1  2  0
 2 2
 2  2
 2   2    2   2  
y
2z
x 2
 1 1
 ,  
 2 2
3
 1 1 1
 1  1 
 6         0  Máximo relativo   ,  , 
2
 2 2 8
 2  2 
11. Los cursos de dos ríos, dentro de los límites de una región determinada y con respecto a un
sistema coordenado, son en forma aproximada, una parábola y  x 2 y una recta x  y  2  0 .
¿Cuál es la menor longitud de un canal recto con el que se pueden unir y cuáles son las
coordenadas del canal en su unión con los ríos?
Resolución:
El modelo geométrico es el siguiente:
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12
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
y  x2
y
y  x 2
 x1 , y 1 

 x2 , y 2 
x
La distancia entre los dos ríos esta dada por:

 x 2  x1    y 2  y 1 
2
Pero y 2  x 2  2 y y 1  x12
De donde
2
; sea L   2; L   x 2  x1    y 2  y 1 
2
L   x 2  x1    x 2  2  x12 
2
2
2
L  x14  5x12  2x12 x 2  2x 22  2x1x 2  4 x 2  4
Se deriva parcialmente la función y se igualan a cero las derivadas parciales para obtener los puntos
críticos:
L
 4 x13  10x1  4 x1x 2  2x 2
x1
L
 2x12  4 x 2  2x1  4
x 2
4 x13  10x1  4 x1x 2  2 x 2  0;  2x12  4 x 2  2x1  4  0
De
En
x2 x
L
 0 , se tiene: x 2  1  1  1
2 2
x 2
L
0
x1
 x2 x
  x2 x

4 x13  10x1  4 x1  1  1  1  2  1  1  1  0
 2 2
  2 2

:
2 x13  3x12  5x1  2  0
Por división sintética
5
2 3
1
1
1
2
2
4
2

2
2
0
1 2

 x1    2 x 1  2 x1  4   0 
2

(las otras dos raíces son complejas)
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x1 
1
1
 y1 
2
4
13
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
 1
1
 
11
5
2
Por lo tanto: x 2     2  1  x 2 
 y2  
2
2
8
8
Por el criterio de la segunda derivada:
 2L
 2L
 2L
 2L
2
12
x
4
x
10;
4;
4
x
2








1
2
1
x12
x 22
x 2 x1
x1x 2
2
H  x1 , x 2   4 12x12  4 x 2  10    4 x1  2 
H  x1 , x 2   32x  16x1  16 x 2  32
2

2
1
L
 1 11 
 0  L Mínima.
H  ,   0;
x 22
2 8 
Luego los puntos pedidos son:
1 1
 11 5 
P1  ,  , P2  ,   y la longitud mínima del canal de unión es:
8
8
2 4
2
2
2
7 2
 11 1   11
 1 
   1.24 unidades de longitud.
  L       2     
8
 8 2   8
 2  
12. Se desea construir un ducto desde el punto P hasta el punto S (ver la figura). Los costos
por cada kilómetro de ducto son $ 30,000 en el tramo PQ , $ 20,000 en el tramo QR y
$ 10,000
mínimo.
en el tramo RS . Determinar las dimensiones de " x " y " y " para que el costo sea
Resolución:
P
2 km
Q
R
1 km
x
S
y
10 km
La función costo es: C  30,000 PQ  20,000 QR  10,000 RS
y de la figura se tiene que:
C  x , y   30,000 22  x 2  20,000 12  y 2  10,000 (10  x  y )
Se deriva parcialmente con respecto a
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"x" y "y "
14
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
 2x
C x  30,000 
2
2 4  x
De 1

  10,000  0 

1
 2y 
C y  20,000 
  10,000  0 
2
 2 1  y 
 2
30,000x  10,000 4  x 2  0  3x  4  x 2
De
 2
20,000y  10,000 1  y 2  0  2y  1  y 2
 9x 2  4  x 2  x  
1
2
 4y 2  1  y 2  y  
1
3
Dado que las distancias no pueden ser negativas, se desechan los valores negativos para " x " y
1
1
km ; y 
" y " . Entonces: x 
km
2
3
Como se observa, solamente se tiene un punto crítico y se evidencia que es el correspondiente al
costo mínimo.
13. Demostrar que el rectángulo de perímetro fijo que tiene área máxima es un cuadrado (utilizar el
método de los multiplicadores de Lagrange).
Resolución:
Geométricamente se representa el problema como se muestra en la figura:
y
x
El área del rectángulo está dada por: A  xy
Por otro lado su perímetro es: P  2 x  2 y
Empleando el método de los multiplicadores de Lagrange:
L  xy    2x  2y  P 
Lx  y  2  0    
Ly  x  2    
L  2x  2y  P  0
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x
2
y
...
2
...
...
1
 2
 3
15
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
De las ecuaciones 1 y  2  :

y
x

 y x
2
2
Sustituyendo el valor de y  x en la ecuación  3  ;
2x  2x  P  0  4 x  P  0  x  y 
P
4
Por lo que se observa el rectángulo de perímetro fijo que tiene área máxima es un cuadrado
x  y .
14. Una caja rectangular descansa sobre el plano XY con un vértice sobre el origen y dos aristas
sobre los ejes " x " y " y " . Calcular el volumen máximo de la caja si el vértice opuesto está situado
en el plano 6 x  4 y  3z  24 .
Resolución:
El modelo geométrico es el siguiente:
z
8
P  x,y ,z 
6
4
x
El volumen de la caja rectangular está dado por: V  xyz ...
1
Se tiene que un vértice se localiza sobre el plano 6 x  4 y  3z  24 
Sustituyendo en 1 :
y
z
1
 24  6x  4 y 
3
xy
4
 24  6x  4 y   V  8xy  2x 2 y  xy 2
3
3
Se deriva parcialmente la función y se igualan a cero las derivadas parciales para obtener los puntos
críticos:
V
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16
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
1
1 
4
4

Vx  8 y  4 xy  y 2 ; 8y  4 xy  y 2  0  2 y  xy  y 2  0  y  2  x  y   0
3
3 
3
3

 1
y 0

 1
 3 y  2  x   2

8
8
4
4 

Vy  8x  2x 2  xy ; 8x  2 x 2  xy  0  4 x  x 2  xy  0  x  4  x  y   0
3
3 
3
3

x  0
  3

 
4
 4  x  3 y  0   4

1 y  3  ; 1 y  4  ;  2  y  3  implican la no existencia de caja, por lo que
únicamente se analizan las expresiones
obtiene:
 2
 3  . Luego, al sustituir  2 
y
en
 4
, se
4

4
x 
 
4  x  42  x   0  x 
3 , que es el punto crítico en estudio. Así, por el
3
 y  2
criterio de la segunda derivada:
8
8
Vxx  4 y ; Vyy   x ; Vxy  8  4 x  y  Vyx
3
3
H  x , y   VxxVyy  V
2
xy
32
8 

 g  x , y   xy   8  4 x  y 
3
3 

2

 4  32  4 
 4  8  192
H  , 2      2   8  4     2  
 0; Vxx  8  0  V máximo.
9
3  3 3
3 3 

1
 24
4 
4
Para  ,2  ; z  24  6    4  2   
3
3 
3
 9
64
unidades de volumen.
Volumen máximo =
9
2
15. Se va a construir una caja en forma de paralelepípedo rectangular. El material de la base cuesta
$75.00 por m2, y el de los lados cuesta $150.00 por m2. Determinar las dimensiones de la caja de
mayor volumen, sin tapa, que se puede construir con $3,600.00 y calcular también el mayor
volumen.
Resolución:
Sean x , y , z las dimensiones de la caja, como se muestra en la figura siguiente:
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17
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
z
y
x
La función a optimizar es V  xyz
La restricción es:
Costo : C  75 xy  2(150) xz  2(150) yz  3600
Luego, si se utiliza el método de los “multiplicadores de Lagrange”, se tiene que la ecuación de
Lagrange está dada por:
L  xyz    75xy  300xz  300yz  3600 
de donde
L
 yz    75y  300z  ; yz    75y  300z   0  1
x
L
 xz    75x  300z  ; xz    75x  300z   0   2 
y
L
 xy    300x  300y  ; xy    300x  300y   0   3 
z
L
 75 xy  300 xz  300 yz  3600 ; 75xy  300xz  300yz  3600  0   4 

Para resolver este sistema de ecuaciones, se puede despejar al multiplicador  en las tres
primeras, se igualan las ecuaciones obtenidas y después se utiliza la ecuación  4  . Así,
De
 3   
1 :

yz
75y  300z
;
de:
 2

xz
75 x  300z
;
de
xy
300 x  300y
yz
xz


 75xy  300yz  75xy  300xz  y  x
75 y  300z
75 x  300z
1
yz
xy


 300 xz  300 yz  75 xy  300 xz  z  x
75 y  300z
300x  300y
4
Se sustituyen estos resultados en  4  :
75 x 2  300
x2
x2
 300  3600  0  75x 2  75x 2  75 x 2  3600  0  225x 2  3600  x  4
4
4
Es evidente que no hay dimensiones negativas para la caja, por lo que las dimensiones para la caja
de mayor volumen son
x  4 m ; y  4 m ; z  1m
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18
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
y el volumen máximo es V  4  4  1  16 m 3 .
16. Un contenedor en forma de cilindro circular recto, ha de tener un volumen de 2000 litros.
Determinar las dimensiones de modo que el costo sea el mínimo posible, si la base cuesta
$ 600.00 / m 2 , la tapa $ 250.00 / m 2 y la superficie lateral $ 500.00 / m 2 . Determinar también el
costo mínimo.
Resolución:
Nuestra función objetivo es el costo y la restricción es el volumen. Haciendo un modelo del
contenedor se tiene:
y
x
Antes de comenzar a resolver el problema es necesario trabajar con las mismas dimensiones por lo
que si los costos son por m 2 , entonces el volumen equivale a
V  1000 lt  1000 dm 3  1 m 3
C  600  x 2   250  x 2   500  2 xy   C  850 x 2  1000 xy
Aquí la función objetivo es el Costo que se expresa como:
y la restricción es:
V   x 2y  1
L  850 x 2  1000 xy    x 2 y  1
La función de Lagrange está dada por:
se obtienen las derivadas parciales y se resuelve el sistema. Así,
L
 1700 x  1000 y  2 xy  ; 1700 x  1000 y  2 xy   0 
x
L
 1000 x   x 2  ; 1000 x   x 2   0 
y
L
  x 2y  1 ;  x 2y  1  0

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
 3
 2
1
19
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
 2  , se igualan las expresiones obtenidas, se despeja una variable en
términos de la otra y se sustituye en  3  . Luego,
Se despeja  en
1
y
1700 x  1000 y  2 xy   0  850x  500y  xy   0   
1000 x   x 2   0  1000  x   0    
850x  500y
xy
1000
x
1000
850x  500y

  850 x 2  500xy  1000xy  17x 2  10xy  0  x 17x  10y   0
xy
x
El valor de x  0 no se considera ya que no se tendría contenedor. Luego,
17x  10y  y  1.7x
 x 2 1.7 x   1  0  1.7 x 3  1  x 
3
 x ฀ 0.572 ; y ฀ 1.7  0.572   y ฀ 0.972
1
1.7
Por lo tanto las dimensiones del contenedor son:
Diámetro de la base: 1.144 m y altura: 0.972 m y el Costo mínimo es:
C  850 x 2  1000 xy  C  850  0.572   1000  0.572  0.972   C ฀ $ 2,620.37
2
17. Determinar los extremos absolutos de la función f  x , y   xy en la región R
dada por:


x2 y2
R   x , y    1; x , y   
4
9


Resolución:
Primero se analizará la función en el interior de la región dado que posiblemente ahí se localice un
extremo relativo -máximo o mínimo- que pudiera ser mayor o menor que los determinados en a
frontera mediante el método de los multiplicadores de Lagrange.
y 0
 Punto crítico  0, 0 
f  x , y   xy ; fx  y ; fy  x ;
x 0
Se observa que el punto  0, 0  pertenece a la región, por lo que se determina su naturaleza:
H  x , y   fxx fyy   fxy 
fxx  0; fyy  0; fxy  1
2
; H  x , y   0  0  1  1  0  Punto silla
2
 0, 0, 0 
Ahora se estudia la frontera para localizar extremos condicionados. La ecuación de Lagrange, sus
derivadas parciales y la resolución del sistema al igualarlas a cero, quedan como:
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20
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
 L
x
2y
y  0   
 1


x
x
2

 x 2 y 2   L
2y
9x
L  xy      1 ;   x    0    
  2
9
2y
 4 9
  y

L x 2 y 2
   1  0   3

 4 9

2y
9x
9
3
 
 4 y 2  9x 2  y 2  x 2  y   x
2y
4
2
x
se sustituye en  3  :
3
x2 1  9 2 
x2 x2
  x  1 
  1  x2  2  x   2 y y   2
4 9 4 
4 4
2
Por lo tanto, si se evalúa la función en estos puntos se tendrán los siguientes valores:




3 2
3 2
3 2
3 2
f   2, 
  3; f  2,
  3; f   2,
  3; f  2, 
  3
2
2
2
2








Se concluye entonces que esta función tiene dos máximos absolutos condicionados en los puntos:


3 2 
3 2 
M1   2, 
, 3  y M 2  2,
, 3 
2
2




y dos mínimos absolutos condicionados en los puntos:




3 2
3 2
m1   2,
,  3  y m2  2, 
,  3 
2
2




La función en estudio, esto es, f  x , y   xy , es un paraboloide hiperbólico con su punto silla en el
origen de coordenadas y rotado 45 por lo que resulta lógica la presencia de sus extremos
condicionados absolutos. Para ilustrar esto, considérese la siguiente figura:
y
m1
M2
x
M1
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m2
21
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
18. Encontrar el valor mínimo de la función f ( x , y )  x 2  y 2 sujeta a la restricción x  y  1 .
Resolución:
Se trata de un paraboloide circular o de revolución con vértice en el origen de coordenadas, y de un
plano paralelo al eje " z " , cuya traza con el plano xy es la recta x  y  1 . Luego, dadas las
características del problema, la simetría de la superficie con el eje " z " y el plano, es lógico suponer
1
que el valor mínimo se encontrará en el centro de la traza del plano, es decir, en x  y  . Si se
2
resuelve el problema se tiene que la función de Lagrange está dada por:
L  x 2  y 2    x  y  1
Para determinar los puntos críticos, se obtiene y resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:
1
Ly  2 y    0   2 
L  x  y  1  0   3 
Lx  2 x    0
De
1

y  2  se obtiene:   2x ;   2y ;  2 x  2y  y  x
se sustituye en
 3 :
x  x  1  0  2x  1  x 
 1 1
con lo cual, el único punto crítico es: P  , 
2 2
1
1
; y
2
2
Con esto bastaría, ya que el resultado en sí mismo induce que se trata de un mínimo como ya se
había establecido. Una forma alternativa para comprobar su naturaleza es la siguiente: se obtiene el
valor de
"  " que resulta igual a " 1" , con el cual se forma la función de Lagrange
correspondiente:
L  x 2  y 2   1 x  y  1  L  x 2  y 2  x  y  1
Se calculan sus derivadas parciales primera, segunda y mixta:
Lx  2 x  1 ; Lxx  2 ; Ly  2 y  1 ; Lyy  2 ; Lxy  0
con lo cual el determinante de la matriz hessiana es: H  x , y   fxx fyy   fxy 
Lxx Lxy 
2
H 
 ; H  0, 0   
Lyx Lyy 
0
2
0
2 
se forma la ecuación característica det  H  I   0 con la que se obtienen los valores
característicos de H . Así,
2
0
0
2
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0 
2   
2
0 
1  2
2  2
22
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
y como los valores característicos son positivos, se trata de un mínimo cuyas coordenadas son
 1 1 1
P , , 
2 2 2
19. Se construirá un tanque cerrado en forma de prisma rectangular para almacenar 500,000 litros
de crudo. El material empleado para la base y la tapa tiene un costo de $1000 / m 2 y para los lados
de $800 / m 2 . ¿Qué dimensiones debe tener para que el costo del material empleado en su
construcción sea mínimo?
Resolución:
La forma geométrica del tanque que se desea construir es:
z
y
x3
Del cual su volumen es: V  xyz  500000   500 m
El costo para la construcción del tanque esta dado por: C  2 xy 1000   2 xz  800   2 yz  800  , es
C  2000xy  1600 xz  1600yz
Por el método de los multiplicadores de Lagrange:
L  2000 xy  1600 xz  1600 yz    xyz  500 
decir,
2000y  1600z
...
yz
2000 x  1600z
Ly  2000 x  1600z   xz  0    
...
xz
1600x  1600y
Lz  1600x  1600y   xy  0    
...
xy
L  xyz  500  0
...
Lx  2000y  1600z   yz  0    
Al igualar 1 y  2  , se tiene:

1
 2
 3
 4
2000y  1600z
2000x  1600z

 2000 xy  1600xz  2000 xy  1600 yz  y  x ...
yz
xz
Al igualar  2  y  3  , se tiene:
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23
 5
COPADI

CÁLCULO VECTORIAL
2000x  1600z
1600 x  1600y

xz
xy
 2000xy  1600yz  1600xz  1600yz  2000y  1600z
z
20
5
y  y ...
16
4
Se sustituyen  5  y  6  en la ecuación  4  :
 6
5
5
xyz  500  0  y  y  y  500  y 3  400  x  y  3 400; z  3 400
4
4
por lo que los valores pedidos son:
x  y  7.368 m ; z  9.21 m
20. Determinar los extremos de la función f ( x , y )  x 2  3 y 2 en la región
R
x  2x  y  3  0 .
2
definida por
2
Resolución:
Se trata de un paraboloide elíptico con vértice en el origen sujeto a la restricción dada por la región
R , que es un círculo, cuya circunferencia tiene como ecuación canónica la siguiente:
x 2  2x  y 2  3  0  x 2  2x  1  1  y 2  3  0 
 x  1
Lo frontera de R es una circunferencia con centro en el punto C 1, 0 
2
 y2  4
y radio 2 . Esto hace
pensar que dentro del círculo, el paraboloide presenta un mínimo relativo, que sería el vértice. Por
ello, primero se verificará esto y después se determinarán los extremos en la frontera del círculo, es
decir, en la circunferencia que se denotará con " C " .
Se obtienen los puntos críticos de la función situados dentro del círculo:
f  x 2  3y 2 ;
fx  2x  0
 P1 (0, 0)  R
fy  6y  0
y se verifica que se trata de un mínimo relativo:
fxx  2 ; fyy  6 ; fxy  0  fyx
H  x , y   fxx  fyy   fxy 
2
; H  0, 0   2  6  02  12  0 y fxx  0, 0   2  0
por lo que se trata de un mínimo relativo en el punto  0, 0, 0 
Ahora se determinan los puntos críticos de la función condicionados por el contorno del círculo,
mediante el análisis de la función de Lagrange, donde la función objetivo es f ( x , y )  x 2  3 y 2 y
la restricción x 2  2 x  y 2  3  0 .
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24
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
L  x  3y    x  2x  y  3 
2
2
2
2
Lx  2 x   2x  2    0 
Ly  6 y  2 y   0

L  x 2  2 x  y 2  3  0

1
 2
 3
y se resuelve el sistema de la siguiente forma:
x  1

2
 y  0 en  3   x  2x  3  0  x  3
De  2  : 2 y  3     0 
  3 en 1  2x  2x  2 3  0  x  3


 

2
Se sustituye x 
3
en
2
 3 :
3
15
3
3
x
;    2   y 2  3  0  y  
2
4
2
2
2
Por lo que los puntos críticos, incluyendo el obtenido al analizar el interior del círculo, son:
3
P1  0, 0  ; P2 ( 1, 0); P3 (3, 0); P4  ,
2
3
15 
15 
 ; P5  , 

4 
4 
2
Ahora se calcula y compara el valor de la función en cada uno de los puntos críticos:
3
f (0, 0)  0; f ( 1, 0)  1; f (3, 0)  9; f  ,
2
3
15  27
5  27
  ; f  , 

4  2
4  2
2
de donde se concluye que el mínimo absoluto es el punto
3
presenta en los puntos  ,
2
21. Determinar los puntos
3
15 27 
15 27 
,  y  , 
, .
4 2
4 2 
2
 x, y , z 
 0, 0, 0 
y el máximo absoluto se
del elipsoide 100x 2  36y 2  225z 2  900
tales que la
suma del doble de su primera coordenada más las dos restantes sea la mayor y la menor posible.
Solución:
La función objetivo es
La ecuación de condición es:
Suma  2x  y  z
100x 2  36y 2  225z 2  900
Se aplica el método de los multiplicadores de Lagrange y su ecuación es:
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25
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
L  2x  y  z   100x 2  36y 2  225z 2 - 900 
Se deriva parcialmente con respecto a cada una de las variables:

Lx  2  200 x   0
Ly  1  72 y   0

Lz  1  450z  0

1
 2
 3
 4
L  100x 2  36 y 2  225z 2 - 900  0 
1
1
1
; 
; 

100x
72y
450z
1
1
25


 72y  100 x  y  x
100 x
72y
18
1
1
2


 450z  100 x  z  x
100 x
450z
9
Se sustituyen estas expresiones en  4  :
625 2 100 2
 25 
2 
100 x 2  36  x   225  x   900  0  100x 2 
x 
x  900  0
9
9
 18 
9 
18
900x 2  725x 2  8100  1625x 2  8100  x  
65
25  18 
25
2  18 
4
y  
 y 
 z
; z  


18 
9
65 
65
65 
65
De aquí se obtienen dos puntos:
25
4 
25
4 
 18
 18
,
,
,
,

 y 

65
65 
65
65
65 
 65

Al sustituir en la función objetivo:
 18   25   4  65
Suma  2 x  y  z  SM =2 
 Suma máxima 



65
 65   65   65 
2
2
65
 18   25   4 
Suma  2 x  y  z  Sm =2  
 Suma mínima 



65  
65  
65 
65

Para comprobar que dichos puntos pertenecen al elipsoide se sustituyen en la ecuación del mismo:
 18 
 25 
 4 
100x 2  36y 2  225z 2  900 ; 100 
  36 
  225 
  900  900  900
 65 
 65 
 65 
Lo mismo sucede con el otro punto, y así queda resuelto el problema.
2
2
2
22. Determine los puntos de la curva x 2  y 2  xy  4 más cercanos al origen.
Resolución:
La distancia de cualquier punto
 x, y 
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al origen de coordenadas está dada por
26
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
d  x2  y 2
Como se sabe, es factible trabajar con el cuadrado de la distancia. Así
D  d2  D  x2  y 2
Que es la función objetivo y la restricción es la ecuación de la curva. Entonces, la ecuación de
Lagrange es:
L  x 2  y 2    x 2  y 2  xy  4 
De donde:
Lx  2 x   2 x  y    0 
Ly  2 y   2 y  x    0 
L  x 2  y 2  xy  4  0 
1
2
 3
En 1 y  2  se despeja  , se igualan las expresiones obtenidas y se tiene que:

2x
2y
2x
2y
; 
;

 4 xy  2x 2  4 xy  2y 2  y   x
2x  y
2y  x 2x  y 2y  x
al sustituir y  x en  3  , se tiene:
x 2  x 2  x 2  4  0  3x 2  4  x  
2
3
se obtienen los puntos:
2   2
2 
 2
,
,


 y 
3 
3
3
 3
Al sustituir y   x en  3  , se tiene:
x 2  x 2  x 2  4  0  x 2  4  x  2
se obtienen los puntos:
 2, 2 
y
 2,2 
 2, 2 
 d 8 ;
Al evaluar la distancia en los cuatro puntos se tiene:
8
2 
8
 2 2 
 2
,
,

  d  3 ; 
  d 3
3
3
 3 3

 2,2 
 d 8
2 
 2 2 
 2
Por lo tanto, los puntos más cercanos al origen son: 
,  y 
,
.
3
3
 3 3

23. Se va a construir una ventana con la siguiente forma: un rectángulo con un triángulo isósceles en
la parte superior. Dada el herraje con que se cuenta, su perímetro tiene que ser de 4 m . ¿Cuáles
deben ser las dimensiones del rectángulo y cuál el valor de los ángulos iguales de la parte triangular,
de tal modo que el área de luz sea la mayor posible? Calcular también el valor de esa área máxima.
Resolución:
Primero se presenta una figura de la ventana en donde se señalan las dimensiones requeridas.
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27
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL

p

y
h
x
2
x
Se denominará con " A " al área de luz de la ventana, es decir, a la suma del área del rectángulo
más el área del triángulo. Como se observa en la parte triangular, su área " a" equivale a:
x
x  tan
xh
x
x2
2
 a  tan
; h  tan ; a 
a
2
2
2
4
x
cada uno de los dos lados iguales del triángulo mide: p  sec 
2
Para resolver este problema se utilizará el método de los multiplicadores de Lagrange. Entonces, la
función objetivo y la restricción son, respectivamente:
x2
tan ; x  2y  x sec   4
A  xy 
4
Luego, la función de Lagrange es:
x2
tan   ( x  2y  x sec   4)
L  xy 
4
Ahora se obtienen las derivadas parciales y se igualan a cero. Así,
x
Lx  y  tan  1  sec     0  1
2
  2
Ly  x  2  0
x2
sec 2   x sec  tan   0   3 
4
  4
L  x  2y  x sec   4  0
L 
Para resolver este sistema, se realizan las siguientes operaciones algebraicas:
x
De  2  :   
2
Se sustituye este valor en 1 y  3  y se llega a las siguientes expresiones:
x
x
x x
 x
y  tan  1  sec       0  y  tan   sec   0   5 
2
2
2 2
 2
2
2
2
x
x
x
 x
sec 2   x sec  tan     0  sec 2   sec  tan  0   6 
4
4
2
 2
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28
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
x2
sec   sec   2tan   0
4
De esta expresión se puede decir que x no puede valer cero ya que no se tendría ventana y por
otro lado, sec  nunca es cero. De esto se deduce que:
sen
   300
tan 1
1
1
1
cos

sec   2tan  0 
 
  sen     angsen  
0
1
sec  2
2
2
2
  150
cos
0
Se desecha   150
Se sustituye   300 en  4  :
De
 6 :
 2 
x  2y  x sec 300  4  x  2y  x 
4 
 3
Se sustituye   300 en

 5 :
2  3  x  2
3y  4 3 
3x  2 3y  2x  4 3
 7
x
x x
x 1  x x 2 
y  tan300   sec 300  0  y  
 
0
2
2 2
2  3  2 2  3 
De
en
 8 :
 7 :
2 3y  x  3x  2x  0 
y
1  3  x
 2  3  x  1  3  x  4
2 3
3 
 1  3  x  2
3y  0 
3  2 3  x  4
3  x
1  3   3 4 23 3  1  3  4 3 2



y
2 3
2 3 3  2 3  2

 x

 8
4 3
32 3
3 2
3 3
6.93
5.46
 1.07 m y y 
 0.845 m
6.46
6.46
Finalmente, el área máxima de la ventana se presenta para:
x  1.07 m ; y  0.845 m y   300
Para comprobar este resultado, se sustituyen los valores de x ; y ;  en la ecuación de
restricción:
 2 
x  2y  x sec   4  1  07  2  0.845   1.07 
4  44
 3
24. Determinar un vector en ฀ 3 , de magnitud 12 , tal que la suma de sus tres componentes sea
máxima.
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29
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
Resolución:
Sean " a ", " b " y " c " las componentes del vector. Si se utiliza el método de los multiplicadores
de Lagrange, la función objetivo es
S a bc
y la restricción está dada por
a 2  b 2  c 2  12  a 2  b 2  c 2  144 . Entonces la ecuación de Lagrange, sus derivadas
parciales y el sistema a resolver, son los siguientes:
L  a  b  c    a 2  b 2  c 2  144 
L
 1  2a  0  1
a
L
 1  2b  0   2 
b
L
 1  2c  0   3 
c
L
 a 2  b 2  c 2  144  0   4 

De 1 ,  2  y  3  se tiene que:

1
1
1
;  ;  ;
2a
2b
2c
se sustituyen estos resultados en  4  :

1
1
   b  a;
2a
2b

1
1
  c a
2a
2c
a 2  a 2  a 2  144  3a 2  144  a  
12
3
Evidentemente la suma máxima se da cuando las tres componentes son iguales y positivas. Por lo
tanto, el vector pedido es
12  12  12 
v
i 
j 
k
3
3
3
36
.
y la suma máxima de las componentes es
3
25. La intersección del plano x  y  z  12 con el paraboloide
Determinar los puntos de mayor y menor cota de dicha elipse.
z  x2  y 2
es una elipse.
Solución:
En la siguiente figura se puede ver, de manera aproximada cómo es la elipse intersección del
paraboloide circular con vértice en el origen, con el plano dado.
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30
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
z
paraboloide
elipse
y
x
Mediante multiplicadores de Lagrange, la función objetivo es
f  x, y , z   z
son el plano y el paraboloide, por lo que la ecuación de Lagrange es:
L  z  1  x  y  z  12   2  x 2  y 2  z 
y las restricciones
Se calculan las derivadas parciales, se igualan a cero y se resuelve el sistema. De esta forma, se
obtiene lo siguiente:
Lx  1  2x 2  0
 1
Ly  1  2y 2  0
Lz  1  1  2  0


L1  x  y  z  12  0 
L2  x 2  y 2  z  0
De
 3  : 1  2  1 ; se sustituye este valor en 1
 2
 3
 4
 5
y  2  , obteniéndose, respectivamente:

2  1  2x 2  0  2  2 x  1  1  2 
1
2x  1
1
2  1  2y 2  0  2  2 y  1  1  2 
2y  1
se igualan estas expresiones y el resultado se sustituye en  4  y  5  , de donde:
1
1

 2y  1  2x  1  y  x
2x  1 2y  1
x  x  z  12  0  2x  z  12  0   6 
x 2  x 2  z  0  2x 2  z  0 
al resolver este sistema, se obtiene:
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 7
31
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
z  2x 2 ; 2x  2x 2  12  0  x 2  x  6  0

 x  3  x  2   0
Por lo tanto, se tiene:
Punto de mayor cota:

 3,  3, 18 
x  3  z  2  3 
x  2  z  2  2
y
2
2
 z  18
 z8
Punto de menor cota:
 2, 2, 8 
26. Determinar cuál es la mínima distancia que se presenta entre el origen y la recta que se forma de
la intersección de los planos 2 x  6z  1 y 3 x  2y  8 . Desarrollar este problema utilizando
los multiplicadores de Lagrange.
Resolución:
Se utiliza el método de los multiplicadores de Lagrange y entonces, se plantea la función de
Lagrange con la función objetivo dada por la distancia al cuadrado del origen a un apunto de la
intersección de los planos y éstos son las dos restricciones del problema. Así, se tiene que:
L  x 2  y 2  z 2  1  2x  6z  1  2  3x  2y  8 
Ahora se deriva parcialmente, se igualan las derivadas a cero y se resuelve el sistema.
L
 2x  21  32  0  1
x
L
 2y  22  0
  2
y
L
 2z  61  0
  3
z
L
 2 x  6z  1  0
  4
1
L
 3x  2y  8  0   5 
2
Es conveniente resolver este sistema de ecuaciones lineales por el método de Gauss Jordan:







2
0
0
2
0
0
0
0
2
2
0
6
3
2
0
2
0
3
2
6
0
0
0
0
0
0  1  1   4 
0   2 

0  3 

1   4 
8   5 
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






2
0
0
2
0
0
2
0
3
2
0
0
2
0
0
6
6
2
0
3
3
2
0
0
0
0  1  1/ 2
0   2 
0  3 

1   6 
8   5 
32
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL














1
0



 0

 0
 0







1
0
0
2
0
0
0
0
2
0
0
6
6
2
3
3
2
0
0
0
1
0
0
2
0
0
1
0
0
0
2
0
0
6
6
3/2
2
0
2
0
3
1
0
0
2
0
0
0
0
0
0
2
6
0
0
0







0
2
0
0
0
2
0
0
0
0
1
0
3/2
2
0
0
2
3
9 / 2
1
0
6
2
3
1
0
6
20
3
3/2
2
0
3
13 / 2
3/2
2
0
3
13 / 2
1
0
0
1
0
2
0
0
0
0
0
0
2
0
6
20
0
0
0
0
0   7   3   5 
0   2 

0   3

1   6 
8   5 
0   7
0   2   1   8 

0   3

1   6 
8   8 
0  7
0   2 
0   3  3   6 

1   6 
8   9 
0   7
0   2 

0   3

1  10   ( 3 / 20)   9 
8   9 
3/2
0 
2
0 
0
0 

3
1 
121/ 20
163 / 20 
De esta matriz se puede escribir:
3
121
163
x  1  2  0; 2 y  22  0; 2z  61  0;  201  32  1; 
2 
2
20
20
y se obtienen los valores numéricos:
163
 163  20 
2  
 1.3471
 
  2  
121
 20  121 
489
61
 163 
201  3  
 1  1 
 0.2521
  1   201 
121
242
 121 
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33
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
183
 61 
 0.7562
2z  6 
0  z
242
 242 
163
 163 
 1.3471
2y  2  
0  y 
121
 121 
61 3  163 
214
x
 
 1.7686
0  x 
242 2  121 
121
Entonces, los valores mínimos obtenidos son:
x  1.7686
y  1.3471
z  0.7562
Si se calcula la distancia mínima al origen, se llega a:
d  x2  y 2  z2 
1.7686   1.3471   0.7562 
2
2
2
 2.3483
27. Calcular el nivel de producción máximo si el costo total del trabajo (a $ 48 la unidad) y del
capital (a $ 36 la unidad) está limitado a $ 100,000 , siendo " x " el número de unidades de
trabajo y " y " el número de unidades de capital. La función de producción está dada por:
P  x , y   100 x 0.25 y 0.75
P  x , y   100 x 0.25 y 0.75
Resolución:
Función objetivo (maximizar):
El límite al costo impone la restricción:
48 x  36y  100,000
En este caso la función de Lagrange es:
L  100x 0.25 y 0.75    48x  36y  100,000 
1
Ly  75x y
 36  0   2 
L  48x  36y  100,000  0   3 
 de las ecuaciones 1 y  2  , se tiene que:
y sus derivadas parciales, igualadas a cero, son:
Lx  25 x 0.75 y 0.75  48  0 
0.25
al despejar
0.25
25 x 0.75 y 0.75
75 x 0.25 y 0.25
25x 0.25 y 0.25
25x 0.75 y 0.75
25x 0.25 y 0.25
; 
; 


48
36
12
48
12
0.25 0.25
0.75  0.25
0.25  0.75
0.75 0.75
 x y  4x y
 y
 4x
 y  4x
sustituyendo en la ecuación  3  :

48x  36  4 x   100,000  192 x  100,000  x 
 x
y, además
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3125
6
3125
unidades de trabajo
6
34
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
6250
 3125 
unidades de capital
y  4
  y
3
 6 
Se sustituyen estos valores en la función objetivo y se obtiene finalmente, el nivel de producción
máximo:
 3125 6250 
 3125 
P
,
  100 

3 
 6
 6 
0.25
 6250 


 3 
0.75
 147,313.9127
28. Usar multiplicadores de Lagrange para determinar las dimensiones de la caja rectangular de
volumen máximo que se puede inscribir (con sus aristas paralelas a los ejes coordenados) en el
elipsoide
x2 y 2 z2
  1
a 2 b2 c 2
Resolución:
Es conveniente una gráfica aproximada del paralelepípedo inscrito en el elipsoide.
z
 x,y ,z 
y
x
Función objetivo (maximizar): Si se considera que el vértice del paralelepípedo en el primer octante
tiene por coordenadas  x , y , z  , entonces su volumen estará dado por
V  8xyz
Sujeto a la restricción del elipsoide que se puede escribir como:
b 2c 2 x 2  a 2 c 2 y 2  a 2 b 2 z 2  a 2 b 2 c 2
La función de Lagrange es
L  8xyz    b 2c 2 x 2  a 2c 2 y 2  a 2 b 2 z 2  a 2 b 2c 2 
se calculan las derivadas parciales, se igualan a cero y se obtiene el sistema a resolver. Así:
Lx  8 yz  2b 2c 2  x  0  1
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35
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
Ly  8xz  2a 2c 2  y  0 
Lz  8xy  2a b  z  0 
2 2
 2
 3
1 ,  2  y  3  , se relacionan las variables
correspondientes sustituciones en  4  , con lo que se obtiene lo siguiente:
Se despeja

4
L  b 2c 2 x 2  a 2c 2 y 2  a 2 b 2 z 2  a 2 b 2c 2  0 
de


4 yz
4 xz
;  2 2
2 2
bc x
ac y
4 yz
4 xz
 2 2
2 2
bc x
ac y
; 
y se realizan las
4 xy
a 2b 2 z
 a 2 y 2  b2 x 2  y 2 
b2 2
x
a2
4 yz
4 xy
c2 2
2 2
2 2
2
 2 2  2 2  a z c x  z  2 x
bc x
abz
a
2
2
b
c
b 2c 2 x 2  a 2 c 2 2 x 2  a 2 b 2 2 x 2  a 2 b 2c 2  b 2c 2 x 2  b 2 c 2 x 2  b 2 c 2 x 2  a 2 b 2 c 2
a
a
a2
a
3b 2 c 2 x 2  a 2 b 2 c 2  x 2 
 x
3
3
b2  a2 
b
c2  a2 
c
2




;
y
z

  z
2 
2 
a  3
a  3
3
3
Es evidente que los signos que se consideran son los positivos ya que se partió de un punto
 x, y, z  en el primer cuadrante. Luego, las dimensiones que conducen al máximo volumen del
y2 
paralelepípedo inscrito en el elipsoide dado son:
a
b
c
x
; y
; z
3
3
3
y el volumen máximo es:
8abc
 a  b  c 
Vmax  8xyz  Vmax  8 


  Vmax 
3 3
 3  3  3 
29. Determinar los extremos de la función
restricciones:
u  x2  y 2  z2
que cumplan con las siguientes
x2 y 2 z2
  1 y 0  c  b  a
a 2 b2 c 2
Resolución:
Debido a que los extremos se encuentran condicionados, el método a utilizar deberán ser los
multiplicadores de Lagrange. Debido a esto el primer paso es formar la ecuación de Lagrange:
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36
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
 x2 y 2 z2 
L  x 2  y 2  z 2    2  2  2  1
b c
a

El siguiente paso es derivar con respecto a todas nuestras variables e igualarlas a cero y después
resolver el sistema de ecuaciones obtenido:
L
 2x 
 2x   2    0
 1
x
a 
L
 2y 
 2y   2    0
  2
x
b 
L
 2z 
 2z   2    0
  3
x
c 
L x 2 y 2 z 2
    1  0   4
 a 2 b 2 c 2
De 1 ,  2  y  3  :
 2x 
 
2x   2    0  2x  1  2   0  x  0
a 
 a 
 2y 
 
2y   2    0  2y  1  2   0  y  0
b 
 b 
 2z 
 
2 z   2    0  2z  1  2   0  z  0
c 
 c 
Con estos valores y la ecuación  4  , se analizan todas
o   a 2 (esto no es posible)
o   b 2 (esto no es posible)
o   c 2 (esto no es posible)
las posibilidades que se pueden formar
para determinar los extremos de la función:
0 2 02 z 2
z2
x  0 y y  0  2  2  2  1  2  1  z  c
a b c
c
2
2
2
0 y
0
y2
x  0 y z  0  2  2  2  1  2  1  y  b
a b c
b
2
2
2
x
0 0
x2
y  0 y z  0  2  2  2  1  2  1  x  a
a b c
a
Y con cada una de las posibilidades se evalúa la función a optimizar:
 0, 0,  c ,  u  02  02  c 2  u  c 2  u  0, 0,  c   c 2
 0,  b, 0 
 a, 0, 0 
 u  02  b 2  02  u  b 2  u  0,  b, 0   b 2
 u  a 2  02  02  u  a 2  u  a , 0, 0   a 2
Resulta evidente que de estos seis puntos críticos, si se toma en consideración la segunda
restricción, los máximos y mínimos son:
y
mínimos:  0, 0,  c , 0 
Máximos:  a, 0, 0, a 2 
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37
COPADI
CALCULO VECTORIAL
30. Determinar los extremos de la función u  xyz , condicionada por: x  y  z  5 y
xy  yz  xz  8
Resolución:
Este caso involucra multiplicadores de Lagrange debido a que hay condiciones (restricciones). En
este caso, la ecuación de Lagrange es:
L  xyz  1  x  y  z  5   2  xy  yz  xz  8 
Y el sistema que se obtiene a continuación es el de sus derivadas parciales igualadas a cero:
L
 yz  1   y  z  2  0  1
x
L
 xz  1   x  z  2  0   2 
y
L
 xy  1   x  y  2  0   3 
z
L
 x y z 5  0
 4
1
L
 xy  yz  xz  8  0   5 
2
De
1 ,  2 
 3 ,
1   yz   y  z  2 ; 1   xz   x  z  2 ; 1   xy   x  y  2
y
se tiene que:
yz   y  z  2  xz   x  z  2  yz  y 2  z2  xz  x2  z2  y  z  2   x  z  2   y  x
yz   y  z  2  xy   x  y  2  yz  y 2  z2  xy  x2  y 2  z  y  2   x  y  2   z  x
 xy z
ahora se analizan todas las posibilidades que existen y esto se hace de la siguiente manera:
xy
I 
en  II  :
 xy z 5

 2x  z  5
 z  5  2x 

I 
;
xy  yz  xz  8
x 2  2xz  8 
 II 
x 2  2x  5  2x   8  x 2  10x  4 x 2  8   3x 2  10 x  8  x 2 
 x1  2
2
10
25
8 25
5 1
5
1


 x   
 x 
 
x  x  
4
3
9
3 9
3 9
3
3

 x 2  3
 z1  5  2  2   1

En  I  : 
4 7
 z2  5  2  3   3
 

10
8
x
3
3
2
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38
COPADI
CALCULO VECTORIAL
se obtienen los puntos:
Para x  z :
 III 
en  IV  :
 xy z 5

 y  2z  5
 y  5  2z 

 2,2,1
 III 
4 4 7
y  , , 
3 3 3
;
xy  yz  xz  8
z 2  2yz  8 
 IV 
z 2  2z  5  2z   8  z 2  10z  4z 2  8   3z 2  10z  8  z 2 
10
8
z
3
3
 z1  2
2
10
25
8 25
5 1
5
1


2
 z  z  
 z   
 z 
 
4
3
9
3 9
3 9
3
3

z 2  3
 y1  5  2  2  1

En  III  : 
4 7
 y 2  5  2 3   3
 

se obtienen los puntos:
4 7 4
 2,1,2  y  , , 
3 3 3
 xy z 5
xy  yz  xz  8

Para y  z
;
 x  2y  5
y 2  2xy  8  VI 
 x  5  2y  V
 

V  en VI 
y 2  2y  5  2 y   8  y 2  10 y  4 y 2  8   3y 2  10 y  8  y 2 
10
8
y 
3
3
 y1  2
2
10
25
8 25
5 1
5
1


2
 y  y  
 y   
 y 
 
4
3
9
3 9
3 9
3
3

 y 2  3
 x1  5  2  2   1

En V  : 
4 7
 x2  5  2  3   3
 

se obtienen los puntos:
7 4 4
1,2,2  y  , , 
3 3 3
Para determinar los extremos, se valuará la función principal con los datos obtenidos:
 2, 2, 1, u   u   2  2 1  4  u  2, 2, 1  4
4 4 7 
 4  4  7  112
 4 4 7  112
 u , ,  
 , , , u   u      
3 3 3 
 3  3  3  27
 3 3 3  27
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39
COPADI
CALCULO VECTORIAL
 2, 1, 2, u 
 u   2 1 2   4  u  2, 1, 2   4
4 7 4 
 4  7  4  112
 4 7 4  112
 u , ,  
 , , , u   u      
3 3 3 
 3  3  3  27
 3 3 3  27
1, 2, 2, u   u  1 2  2   4  u 1, 2, 2   4
7 4 4 
 7  4  4  112
7
 u ,
 , , , u   u      
3 3 3 
 3  3  3  27
3
Por comparación:
112
4
27
Entonces
 4 4 7 112   4 7 4 112 
Máximos:  , , ,
,  , , ,
,
 3 3 3 27   3 3 3 27 
Mínimos:  2, 2, 1, 4  ,  2, 1, 2, 4  , 1, 2, 2, 4 
4 4  112
, 
3 3  27
 7 4 4 112 
 , , ,

 3 3 3 27 
31. Entre todos los triángulos de perímetro igual a "2p " , determinar el que tiene mayor área.
Resolución:
La fórmula de Herón relaciona el área de un triángulo con sus lados: A  s  s  a  s  b  s  c  ,
donde A es el área del triángulo y s 
abc
es el semiperímetro del triángulo, con
2
“a”, “b” y
“c” como sus lados.
En este caso, la función a maximizar es el área A del triángulo, mientras que la restricción es el
perímetro del triángulo. Entonces, si "2p " es el perímetro, es posible escribir que:
2p
 p y A  p  p  a  p  b  p  c 
a  b  c  2p , por lo que: s 
2
Aquí se sugiere que, para no complicar los cálculos con la raíz del área, sólo se optimice el
radicando sin la primera " p " es decir:  p  a  p  b  p  c  (hay que recordar que esto sólo se
puede hacer si y sólo si no hay variables involucradas). Para facilitar un poco más los cálculos se
desarrolla el producto:
 p  a  p  b  p  c  ;  p 2  bp  ap  ab   p  c  ;
p
3
 bp 2  ap 2  cp 2  abp  bcp  acp  abc 
Ahora se establece la ecuación de Lagrange:
L   p 3  bp 2  ap 2  cp 2  abp  bcp  acp  abc     a  b  c  2p 
se deriva respecto a cada variable y se iguala a cero cada derivada, con lo que se obtiene:
La   p 2  bp  cp  bc    0  1
Lb   p 2  ap  cp  ac    0 
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 2
40
COPADI
CALCULO VECTORIAL
 3
  4
1 ,  2  y  3 
Lc   p 2  bp  ap  ab    0 
Si se despeja
p 
2
L  a  b  c  2p  0
de cada una de las ecuaciones
es posible formar una
triple igualdad que quedaría como sigue:
bp  cp  bc  ap  cp  ac  bp  ap  ab
Como se sabe, en estos casos hay tres sistemas de dos ecuaciones. Se trabajará con:
bp  cp  bc  ap  cp  ac  bp  bc  ap  ac  b  p  c   a  p  c   b  a
ap  cp  ac  bp  ap  ab
 c p  a  bp  a  c  b
 cp  ac  bp  ab
Y por la propiedad de transitividad tenemos que:
a bc
Esto quiere decir que el triángulo que tiene mayor área con un perímetro igual a 2p, es aquel que
tiene sus tres lados iguales, esto es: un triángulo equilátero.
x2 y 2
  1 la tangente a ésta forma con los ejes coordenados el
a2 b2
triángulo de menor área? Calcular el valor de esta área mínima.
32. ¿En qué punto de la elipse
Solución:
y
b
a
a
b
x
y
v
x
u
Como se sabe, la pendiente de la recta tangente a cualquier curva, es la derivada de su expresión
matemática, por lo que lo primero que se deberá hacer es derivar la ecuación de la elipse y
determinar el valor de la pendiente de su recta tangente:
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41
COPADI
CALCULO VECTORIAL
dy
xb 2
2x 2y dy




m
0

dx
ya 2
a 2 b 2 dx
El área del triángulo está delimitada por las coordenadas en donde cruza esta recta a los ejes. Si a
estos lados se les llama u y v (base y altura), se puede calcular el área del triángulo, pues se
trataría de un triángulo rectángulo.
La definición de pendiente de una recta (como se vio en los cursos de geometría analítica plana) es:
y y
m  2 1 . Las coordenadas de los vértices del triángulo que están sobre los ejes coordenados
x 2  x1
son:
u, 0
y
 0, v  ;
entonces, la pendiente de la recta tangente está dada por:
0v
v
 m   . Se iguala con la obtenida de la derivada y se tiene que:
u 0
u
v
xb 2
v xb 2
  2 

u
ya
u ya 2
por igualdad de fracciones: v  xb 2 y u  ya 2 . Y de esta forma, el área del triángulo a maximizar
es:
uv xya 2b 2
A

2
2
Ahora se plantea la ecuación de Lagrange:
 xya 2 b 2 
 x2 y 2 


L

 2  2  1
b
 2 
a

Se deriva con respecto a cada una de las variables, se iguala a cero y se tiene que:
ya 2b 2 2x
Lx 
 2   0  1
a
2
2 2
xa b 2y
Ly 
 2   0   2
b
2
2
2
x
y
L  2  2  1  0   3 
a
b
De las dos primeras ecuaciones se despeja el multiplicador de Lagrange "  " y se igualan las
expresiones resultantes, de donde:
2x
ya 2 b 2 2x
ya 2 b 2
ya 4 b 2
 2  0 







2
2
a
a2
4x
2 2
2 2
2y
xa b 2y
xa b
xa 2 b 4
 2  0 







2
2
b
b2
4y
m
xa 2 b 4
ya 4 b 2

 x 2a 2 b 4  y 2 a 4 b 2 
4y
4x
a
xy
 I 
b
Se sustituye este resultado en la restricción:

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x2  y 2
a2
b2

42
COPADI
CALCULO VECTORIAL
 a
 y  y 2
 b   1 
a2
b2
se sustituye  II  en  I  :
2
y2 y2
 1 
b2 b2
b
2y 2
1  y  

2
b
2
 II 
a
 b a
x   
b  x  
2
2

Por lo tanto, los puntos críticos son:
b 
b 
b 
b 
 a
 a
 a
 a
,
,
,
,
P1 
 ; P2 
 ; P3  
 ; P4  

2
2
2
2
2
2
 2
 2


que son los cuatro puntos de la elipse, correspondientes a los cuatro cuadrantes, donde la tangente
geométrica forma con los ejes coordenados el triángulo de menor área. Y esta área mínima es igual
a:
a b
ab
Amin  2 2 
2
4
33. Para conducir agua para riego, a través de una barranca, se necesita construir un canal de
sección trapezoidal y esto se hace con una hoja de lámina cuyo ancho es de 90 cm . Calcular la
longitud de la sección del canal en su base, así como el ángulo de inclinación de sus taludes, de tal
manera que el canal tenga máxima capacidad.
Solución:
En problemas como éste, los modelos geométrico y matemático, así como una adecuada asignación
de variables, es fundamental. Así, para este caso, se sugiere lo siguiente:
90  2 x  2 x cos
x

90  2x
x

x sen
La máxima capacidad se presenta con la máxima área de la sección, por lo que la función a
maximizar es el área que equivale, según el modelo y las variables en él contenidas, al área de un
1
trapecio ( A   B  b  h : luego,
2
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43
COPADI
CALCULO VECTORIAL
1
1
A   90  2x  2 x cos    90  2 x   xsen  180  4 x  2x cos  xsen 
2
2
  90  2 x  x cos  xsen 
A  90 xsen   2 x 2 sen   x 2 sen  cos 
Ahora, se deriva parcialmente con respecto a las variables " x " y " " , con lo que se obtiene:
A
 90 sen   4 xsen   2 xsen  cos   2 sen   45  2 x  x cos    0  1
x
A
 90 x cos   2 x 2 cos   x 2 sen 2  x 2 cos 2 

 90 x cos   2 x 2 cos   x 2 1  cos 2    x 2 cos 2 
 90 x cos   2 x 2 cos   x 2  2 x 2 cos 2 
De las ecuaciones
1

x  90 cos   2 x cos   x  2 x cos 2    0 
y  2  se tiene que sen y x no pueden valer cero ya que no se tendría
canal, luego estas expresiones quedan como:
45  2 x  x cos   0   3  ,
90 cos   2 x cos   x  2 x cos 2   0 
Ahora, de
 3
se despeja cos y se sustituye en
 4  , de donde se llega a:
4 
2 x  45
 2 x  45 
 2 x  45 
 2 x  45 
cos  
; 90 
  2x 
  x  2x 
 0
x
x
x
x






180 x 2  4050 x  4 x 3  90 x 2  x 3  8 x 3  360 x 2  4050 x  0
 x 0
3 x 3  90 x 2  0  3 x 2  x  3 0   0  
 x  30
el valor de x  0 no se toma por la razón antes expuesta, por lo que el único valor factible es
x  30
Se obtiene ahora el correspondiente valor del ángulo  :
2  30   45
2 x  45
cos  
; cos  
   ang cos  0.5     60 0
30
x
Con estos valores, que constituyen el único punto crítico, se asume que la capacidad es máxima. Si
se calculara el valor del área para otros valores cercanos a los obtenidos, se vería que conducen a
valores menores del área. Luego, la capacidad del canal es máxima cuando la longitud de su
sección en la base es de 90  2  30   30 cm y el ángulo de sus taludes es de 600 .
2
34. Determinar el máximo absoluto y el mínimo absoluto de la función
región:
f  x , y   2x  3y , en la
x2
 y2 1
4
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44
2
COPADI
CALCULO VECTORIAL
Resolución:
f
f
Como
2 y
 3 , no hay puntos críticos para f , lo que es obvio ya que se trata de un
x
y
plano. Por lo que el máximo y el mínimo absolutos deben presentarse en la frontera
Las ecuaciones paramétricas de esta elipse son:
x  2cos y y  sen ; 0    2
Entonces, en la frontera se tiene que:
f  x , y   g    4cos  3sen
de donde:
x2
 y 2  1.
4
3
4

sen  
y cos  

3

5
5

tan  
4
sen    3 y cos  4

5
5
dg
 4sen  3cos  0 
d
5
3

4
y por lo tanto, los puntos críticos en la “curva frontera” son:
 8 3
8 3
  ,  y  ,   , ya que
 5 5
5 5
 x  2cos

 y  sen
Se evalúa la función en estos puntos y se obtienen los extremos absolutos solicitados. Así,
8 3
 8 3
Máximo absoluto: M  ,    5
y
Mínimo absoluto: m   ,   5
5 5
 5 5
Este problema también se podría haber resuelto por medio de los multiplicadores de Lagrange,
partiendo de la ecuación:
 x2

L  2 x  3 y     y 2  1
 4

Nota. El lector puede resolverlo de esta forma y comprobar resultados.
 x , y  x
 x,y   ฀ 2
35. Determinar el máximo absoluto y el mínimo absoluto de la función
cuyo dominio se restringe a: Df 
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2
 y2 1 ;
f  x , y   x 2  x  2y 2
45
COPADI
CALCULO VECTORIAL
Resolución:
Si se analiza la función f para máximos y mínimos, se tiene que:
f
f
1
 4y ; 4y  0  y  0
 2 x  1; 2 x  1  0  x  ;
y
x
2
1 
Luego se tiene un punto crítico que es  , 0  , que satisface la restricción x 2  y 2  1 . Luego,
2 
por el criterio de la segunda derivada se tiene que:
 2f
 2f
 2f
 2f




2;
4;
0
x 2
y 2
y x
x y
de donde:
 2f  2f   2 f 
 2f
H  x , y   2 2  
 0  mínimo relativo en
 ; H  x , y   8  0 y
x x  y x 
x 2
1
1 
m , 0  
4
2 
Para analizar la frontera, esto es x 2  y 2  1 , se utiliza el método de los multiplicadores de
Lagrange. Así, la ecuación de Lagrange, sus derivadas parciales y el sistema a resolver quedan
como:
L  x , y ,    x 2  x  2 y 2    x 2  y 2  1
2
L
1
 1
 2x  1  2 x ; 2 x  1  2 x  0  x 
x
2  2
L
 4 y  2 y ; 4 y  2 y  0  2 y  2     0   2 
y
De estas ecuaciones 1 y  2  se tiene que:
 f 1,0   0
Si y  0 en x 2  y 2  1 : x  1  
f  1,0   2
Si   2, en
1
; x
1
en
2
  1
3 9
f   , 
 
2
2
3


 4
 
x2  y2  1 ; y  
2
  1 3 9
 f   2 , 2   4

 
 1
 1 3
3
  , 
 y   ,
 . El
2 
 2
 2 2 
1
1 
mínimo absoluto se presenta en el punto  , 0  y su valor es  .
4
2 
donde el máximo absoluto es
9
y se presenta en los puntos
4
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46
COPADI
CALCULO VECTORIAL
36. Determinar los puntos de la esfera
P 1, 2, 3  .
x 2  y 2  z 2  1 , más cercanos y más lejanos al punto
Resolución:
La función que relaciona la distancia del punto a la esfera está dada por:
2
2
2
f  x , y , z    x  1   y  2    z  3   d 2
Por el método de los multiplicadores de Lagrange:
2
2
2
L   x  1   y  2    z  3     x 2  y 2  z 2  1
L
x 1
 2  x  1  2x   0    
... 1
x
x
L
y 2
 2  y  2   2y   0    
...  2 
y
y
L
z 3
 2  z  3   2z   0    
...  3 
z
z
L
 x2  y 2  z2 1  0
...  4 

Igualando la ecuación 1 con la ecuación  2  , se tiene:
x 1
y 2

 xy  y  xy  2 x  y  2 x ...
x
y
Igualando la ecuación 1 con la ecuación  3  , se tiene:

x 1
z 3

 xz  z  xz  3x  z  3 x ...
x
z
Sustituyendo en la ecuación  4  :

 5
 6
x 2  y 2  z 2  1  0  x 2   2 x    3x   1  0  14 x 2  1  x  
2
Al sustituir el valor de x  
y 
1
14
2
 5
en las ecuaciones
y
 6
1
14
se obtiene:
2
3
; z
14
14
Los puntos críticos son:
2
3 
2
3 
 1
 1
P1 
,
,
,
,
 y P2  
.
14
14 
 14 14 14 
 14
Se evalúa la función objetivo en los puntos críticos:
2
2
2
2
3   1
 1
  2
  3

f
,
,
 1  
 2  
 3   7.52

 14 14 14   14   14
  14

2
3   1
 1
  2
  3

f 
,
,
 1   
 2   
 3   22.48
  
14
14   14   14
 14
  14

2
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2
2
47
COPADI
CALCULO VECTORIAL
2
3 
 1
Por lo tanto, el punto más cercano es P1 
,
,
 y el punto más lejano es
 14 14 14 
2
3 
 1
P2  
,
,
.
14
14 
 14
37. Si T  x , y , z   20  2x  2y  z 2 representa la temperatura en los puntos del hemisferio
x 2  y 2  z 2  11  z  0  . Determinar la temperatura máxima sobre la curva de intersección del
plano x  y  z  3  0 con el hemisferio.
Resolución:
Por el método de los multiplicadores de Lagrange:
L  20  2x  2y  z 2    x  y  z  3     x 2  y 2  z 2  11
L
 2    2x   0    2  2x 
x
L
 2    2y   0    2  2y 
y
L
 2z    2z   0    2z  2z 
z
L
 x  y z 3  0

L
 x 2  y 2  z 2  11  0

Igualando la ecuación 1 con la ecuación  2  se tiene:
...
...
...
...
...
1
 2
 3
 4
 5
2  2x   2  2 y   1  x   1  y   y  x ...
Sustituyendo la ecuación  6  en la ecuación
 4
se tiene:
x  x  z  3  0  2 x  z  3  0  z  3  2x ...
Sustituyendo la ecuación  6  y  7  en la ecuación
 5  se tiene;
 6
 7
x 2  y 2  z 2  11  0  x 2  x 2   3  2x   11  0  6x 2  12 x  2  0  3 x 2  6x  1  0
2
 6 
 4  3  1
Se resuelve la ecuación de segundo grado:
x
Para
z  0 ).
x
6
2
2 3

6  48 3  2 3

6
3
32 3 
32 3
4
; z  3  2 
3  0 (no es posible por la restricción
  3  2 
3
3
 3 
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48
x
COPADI
Para x 
CALCULO VECTORIAL
 32 3  34 3
32 3
; z  3  2 
 0.
 
3
3
 3 
32 3
32 3
en la ecuación  6  : y 
3
3
El punto de mayor temperatura es:
 32 3 32 3 34 3 
P 
,
,

3
3
3 

La temperatura máxima es, por consiguiente:
Se sustituye el valor de x 
 3  2 3   3  2 3   3  4 3  91
Temperatura Máxima = 20  2 
  2 
  
   30.33
3
 3   3   3 
2
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49
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
TEMA II
FUNCIONES VECTORIALES
1. Discutir la continuidad de la siguiente función y calcular, si existe, el límite.
 x ,y  0,0 
lim
 xy 2
x2  y 4
Resolución:
Como se observa, la función es continua en todo punto
 x , y  , excepto en el origen (0,0).
Ahora, para calcular el límite, se observa que no se puede hacer directamente, ya que obtendríamos
una indeterminación, por lo tanto consideraremos varios caminos diferentes para aproximarnos a
(0,0).
1ª Opción: Se probará con x  y 2
 y ,y  0,0
2
lim
1
y 2 y 2
y 4
y 4




lim
lim
2 2
4
4
4
4
(y )  y
2
 y 2 ,y  0,0 y  y  y 2 ,y  0,0 2y
Sin embargo, si (x,y) tiende a (0,0) a lo largo de la parábola x   y 2 , obtenemos
1
y4
y4
(  y 2 ) y 2



lim
lim
2 2
4
4
4
4
2
2
,
0,0
,
0,0
,
0,0
y
y
y
y
y
y






2
    ( y )  y     y  y     2y
Como se observa, los dos valores obtenidos son distintos, por lo tanto, el límite no existe.
lim
2
2. Estudiar la continuidad de la siguiente función vectorial:
v  x, y ,z  

3 xy ˆ 2yz 3 ˆ  xy 4
i
j 
 2  kˆ
x
y
 z

Resolución:
Se podría pensar que simplificando la función, se eliminaría la discontinuidad en x  0 , sin
embargo cuando simplificamos estamos cambiando una función por otra equivalente, pero NO
estamos trabajando con la ecuación original, por lo que este procedimiento no sería válido. Sin
embargo a simple vista se nota que dicha función es discontinua en: x = 0 ; y = 0 ; z = 0 .
3. Determinar el intervalo de continuidad de la siguiente función vectorial:
5
6t ˆ
r  t   t  4 iˆ  jˆ 
k
t
t
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50
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
Resolución:
Se analiza la función por sus componentes vectoriales:
Para la componente en iˆ necesitamos que el radicando sea mayor o igual a cero. A simple vista
vemos que esto se logra en t  4 .
Para la componente en ĵ podemos apreciar que no es continua en t  0 .
Ahora, para la última componente, de nuevo tenemos una discontinuidad en t  0 y, además,
necesitamos que el radicando sea mayor que cero, lo que se obtiene con 6  t .
Por lo que el intervalo en que es continua la función es:
 4,0    0,6
Nótese que en ambos casos el intervalo es abierto en t  0 , ya que no incluye el 0 como parte
del intervalo de continuidad.




4. Sea r  t    t  2  i   2t 2  3  j  t 3 k . Para t  1 , calcular:


a) r 1 y r  2 

b ) ¿Para qué valores de t el vector de posición r  t  está en uno de los planos coordenados?
Resolución:

a) Para t  1 , se sustituye este valor de t en la ecuación r  t 


r 1  1  2  i  2 1  3 j  1 k  r 1  3 i  j  k

Para t  2 , se sustituye este valor de t en la ecuación r  t 





  
2
3
r  2    2  2  i  2  2   3 j   2  k  r  2   4i  5 j  8k


2


3




b) Para estar en el plano XY , la componente en z debe ser cero, por lo que t 3  0 , entonces
t  0.
Para estar en el plano YZ , la componente en x debe ser cero, por lo que t  2  0 , entonces
t  2 .
Para estar en el plano XZ , la componente en y debe ser cero, por lo que 2t 2  3  0 , entonces
 3 2
t   .
2
1
5. Sea r  t   In  t  i  e 3t j  t 2 k , determinar :



a) El dominio de r y determinar los intervalos donde r es continua.
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51
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
b) r ´ t  y r ´´ t  .
Resolución:
a) Como In  t 
In  t 
no está definido para
positivos, ya que el
t  0 , el dominio de
r
es el conjunto de los reales
de un numero negativo no está definido para el conjunto de los
números reales.
b) Para obtener la derivada de una función vectorial, se deriva cada una de sus componentes, por lo
que:


1
r ´ t   i  3e 3t j  2t k
t
y para obtener la segunda derivada, se deriva otra vez:


1
r ´´ t    2 i  9e 3t j  2 k
t
6. Una partícula P
gira alrededor del eje z sobre una circunferencia de radio
z  h . La rapidez angular
se encuentra en el plano
vector    k que está dirigido a lo largo del eje


z
velocidad angular de P . Demostrar que la velocidad


vectorial
de
con
el
r  t   k cos  t  i  ksen  t  j  h k
Resolución:




vector

de
dh
dt
k
que
es una constante  . El
y tiene por magnitud a  , es la

v t 
posición

r t 
de
P , es el producto
de
P,
donde:

i
j
k


  r t  
0
0
  k sen  t  i  k cos  t  j
k cos  t  ksen  t  h
y como:
Vemos que:
r ´ t   k sen  t  i  k cos  t  j

r ´ t   v  t     r  t 

Q.E.D.
7. Probar que la función z  sen ct  sen  x  satisface la ecuación de onda
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52
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
2
 2z
2  z
c

t 2
x 2
Resolución:
Se tienen que desarrollar las diferentes derivadas parciales.
z
  c cos ct  sen  x 
t
2z
2
  c  sen ct  sen  x 
2
t
z
 sen ct  cos  x 
x
2z
  2 sen ct  sen  x 
x 2
Al sustituir las expresiones, se tiene:
2
 c  sen ct  sen  x   c 2   2 sen ct  sen  x  
 c  sen ct  sen  x    c  sen ct  sen  x 
2
2
con lo que queda demostrado que la función dada satisface la ecuación de onda.
8. Para la curva representada por r  t    asent  i   a cos t  j ,
0  t  2 , obtener sus
 
vectores T , N (tangente y normal, respectivamente) en los puntos para los cuales

3
, y representarlos gráficamente.
t  0, ,  ,
2
2

Resolución:



dr
  a cos t  i   asent  j 
dt

dr
a
dt
dr


T  dt   cos t  i   sent  j
dr
dt


dT
  sent  i   cos t  j 
dt
dT
 sen 2t  cos2 t  1
dt
dT


 dt
  sent  i   cos t  j
N
dT
dt
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53
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
Para t  0 :
para t 

2
A  0, a 
: B  0, 0 
para t   :
para t 


N j
Ti,


C  0,  a 
T   j , N  i

3
: D  a, 0 
2

T  i , N  j

T  j,

Ni
Representación gráfica:
y
T
A
N
T
N
N
B
x
D
T
N
T
C
9. Una partícula se mueve a lo largo de una curva representada por la ecuación vectorial


 
r  t   t i  e t j  tk
Determinar las componentes tangencial y normal del vector aceleración.
Resolución:
Al calcular los vectores velocidad y aceleración, se obtiene:



 
v  t   Dt r  t   i  e t j  k  v  t   2  e 2t



a  t   Dt v  t   e t j  a  t   e t
ds
 2  e 2t
dt
Por lo tanto,
aT  t  
e 2t
2  e 2t
y

d 2s
e 2t

dt 2
2  e 2t
aN  t  
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
a t 
2
 aT  t    e 2t 
2
e 4t
2e t

2  e 2t
2  e 2t
54
COPADI



r  t   1  cos t  i  1  cos t  j 
10. Sea la curva de ecuación

CÁLCULO VECTORIAL


2sent k . Determinar las
coordenadas de los puntos de la curva en la que la tangente sea perpendicular al vector de
posición.
Resolución:




dr
El vector tangente se determina mediante:
 sent i  sent j  2 cos t k
dt

dr 
Para que sean perpendiculares;
r  0
dt
sent  sent cos t  sent  sent cos t  2sent cos t  0
00
por lo que en este problema, la tangente siempre es perpendicular al vector de posición.
11. Sea C la curva de ecuaciones x 
t4
t3
t2
, y  , z  . Obtener los puntos de C donde su
4
3
2
tangente es paralela al plano x  3y  2z  1  0 .
Resolución:
 t4 t3  t2 
Ecuación vectorial: r  i  j  k
4
3
2




dr
 t 3 i  t 2 j  t k , vector tangente a la curva
dt   
n  i  3 j  2k , vector normal al plano

dr 
Para que la tangente y el plano sean paralelos se debe cumplir que
n  0
dt

    
t 3 i  t 2 j  t k  i  3 j  2k  0



t 0

t  3t  2t  0  t  t  3t  2   0  t  t  1 t  2   0   t  1
t  2

3
2
2
Los puntos donde la tangente a la curva es paralela al plano son:
8 
 1 1 1

Para t  0 : A  0,0,0  ; Para t  1 : B  ,  ,  ; Para t  2 : C  4,  ,2 
3 
4 3 2

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55
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
12. Para la hélice circular dada por la función vectorial
  y el radio de torsión  
vectores unitarios T , N y B , así como la curvatura
T 





r '  cos t i  sent j  k ; r '  2 ; T 
B


, la torsión
r'
r'
cos t  sent  1 
1  1 
i
j
k ; T  4  
i
k
2
2
2
2
2
r ' r ''
r ' r ''


r '  4   i  k ; r ''  t    sent i  cos t j ; r ''  4    j ; r ' r ''  1

 
, el radio de curvatura
, en el punto donde t  4 .
Resolución:

k 
r  t   sen t i  cos t j  t k , calcular los

i


j
k


1  ik
0
0 1 0
1  1 
i
k
2
2
r ' r ''  2 ; B 
N 

 r ' r ''  r '  1
i
k
r ' r ''
r'
3


j
k
1 0
1
 r ' r ''   r '
 r ' r ''   r '

0 1  2 j ;
 r ' r ''  r '  2
r ' r ''  2 ; r '  2 ; k 
 
2 1
;

2 2 2



r ' r '' r '''
r ' r ''
1
1
  2
1
k
2
2
r '''   cos t i  sent j ; r '''  4    i ; r ' r '' r '''  1 ;  


; Nj
1
;
2

1

 2
  
13. Sea la curva C de ecuaciones x  3cos t , y  3sen t , z  4t . Obtener T , N , B , k ,  , , ,
plano rectificador, plano normal y plano oscilador.
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56
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
Resolución:




La ecuación de la curva es: r  t   3cos t i  3sent j  4tk
Al derivar:
r '  t   3sent i  3cos t j  4 k ; r '  t   9sen 2t  9cos2 t  16  25  5



r ''  t   3cos t i  3sent j


r '''  t   3sent i  3cos t j


El vector tangente unitario se determina como sigue:



r'
3sent i  3cos t j  4 k
T

5
|r'|
Para obtener la curvatura, se tiene:
 3
 4 
3
 T   sent i  cos t j  k
5
5
5


dT
3
3
 cos t i  sent j


dT
dT dT dt
3
3
3
3
5
  cos t i  sent j 

 dt  5
  cos t i  sent j
dt
ds dt ds r '  t 
5
5
5
25
25


3
dT
 3
  3

 k
   cos t     sent  
25
ds
 25
  25

1 25
Por lo que el radio de curvatura es:     8.33
k 3
De las fórmulas de Frenet-Serret, se determina el vector normal:




1 dT 25  3
3
dT

 kN  N 
   cos t i  sent j    cos t i  sent j
3  25
25
ds
k ds

dT
 kN 
ds
dT
k N
ds
2


i
j
3
Por definición: B  T  N  B   sent
5
 cos t
3
cos t
5
sent
2

k
 4
 3
4 4
 sent i  cos t j  k
5 5
5
5
0
 4
 3
4
B  sent i  cos t j  k
5
5
5


4
4
dB
cos t i  sent j


4
4
dB dB dt
5

 ds  5
 cos t i  sent j
5
25
25
ds dt ds r '  t 
De las fórmulas de Frenet-Serret, se determina la torsión:
dB
  N 
ds
Por lo que:
dB
 N
ds
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4
dB
 4
  4

 
  cos t    sent  
25
ds
 25
  25

2

1


2
225
 6.25
36
57
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
 3
 4 
 3

La ecuación del plano normal es:   sent i  cos t j  k    x  x 0 , y  y 0 , z  z 0   0
5
5 
 5




La ecuación del plano rectificador es:  cos t i  sent j    x  x 0 , y  y 0 , z  z 0   0



 3
4
4

La ecuación del plano oscilador es:  sent i  cos t j  k    x  x 0 , y  y 0 , z  z 0   0
5
5 
5
x  4 cos t ;
14. dada la curva de ecuaciones
T , N , B , k ,  , ,  para t  
i)
a partir del parámetro " t "
Resolución:



r  4 cos t i  3t j  4 sent k
ii )

r '  16 sen 2 t  9  16 cos 2 t





r' 5 ; T 




16  12 
j
k
20
20

i
N  B T  0
0
r '  r ''
k

r'

r '''  4 sent i  4 cos t k
3


j
4

5
3
5
 k

r'
r '    3 j  4 k

 T   

3 4
j k
5
5

r '  r ''  20
B    
4 3
j k
5
5

k
3  16 9  
 

i 
5  25 25 
4

5

N i
20
4
25
 k
 
125
25
4
r '''    4 k
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r'

r ''    4 i
i j k


r '  r ''  0 3 4  16 j  12 k 
4 0 0
B    
, determinar
a partir del parámetro “longitud de arco”
r '  4 sent i  3 j  4 cos t k
r ''   4 cos t i  4 sent k

y  3t ; z  4 sent

;



  
r '  r ''  r '''    16 j  12 k    4 k    48

 

58
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
 
r '  r ''  r '''
r '  r ''

2
 
 48
400
ii ) s   16sen 2t  9  16 cos 2 t dt
 

3
25
;
 
25
3
 s   5 dt  s  5t  t 
t
t
s
5
s  3s 
s
 r  s   4 cos i 
j  4sen k
5
5
5
dr
s 3 4
s 
4
3 4
T 
  sen i  j  cos k ; t    s  5  T  j  k
5
5
5
5
5
5
5
ds
dT
s 4
s
dT
dT
4
4
4
25
sen k ;
cos i 
; k
; 


 k
ds
ds
ds
25
5
25
5
25
25
4
0
dT
 kN
ds



i
B TN  0
1
j
3
5
0
0
N   cos

s
s 
i  sen k
5
5
k
4
4 3
   j k
5
5
5
0


s
4
B  T  N   sen
5
5
s
 cos
0
5
3
s 4
s 4
s 3
s
  sen i   sen 2  cos 2  j  cos k
5
5 5
5 5
5 5
5
dB
ds
;
dB
s 3
s
3
sen k
cos i 

ds
25
5
25
5

B

N i
4 3
j k
5
5

j
3
5
i
 


k
s
4
cos
5
5
s
 sen
5
3
s 4 3
s
  sen i  j  cos k
5
5 5
5
5
dB
3
3

  
ds
25
25
;  
25
3
15. Calcular la longitud de arco de la curva representada por:




r  t    3cos t  i   3sent  j   4t  k
desde el punto donde t  0 , hasta el punto donde t   .
Resolución:
Se tiene que:
Entonces:
ds 
 r'
dt

 s   r ' dt
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59
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
r '  t    3sent  i   3cos t  j   4  k 



r' 5
S   5 dt  S  5 unidades de longitud
Por tanto, la longitud de arco de curva se expresa como:

0
16. Calcular la longitud de arco de la espiral de Arquímedes de ecuación polar   a , en el
intervalo  0, 2  .
Resolución:
La diferencial de longitud de arco en el sistema polar está dada por la expresión
2
2
2
 ds    d     2  d 
En este caso:
d   ad 
por lo que
 ds 
2
 a 2  d   a 2 2  d   a 2 1   2   d 
2
2

2
 ds  a 1   2 d

1


s  a  1   d  a  1   2  ln   1   2 
0
2
2
o
1


s  a  1  4 2  ln 2  1  4 2   21.2563 a
2


2

2

2
17. Obtener una ecuación vectorial de la Tierra considerándola como una esfera de radio
r  6400 km .
Resolución.
La ecuación pedida es de la forma:
r  u, v   x u, v  i  y u, v  j  z u, v  k 
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


1
60
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
z
r
v
y
u
x
Así pues, de la figura podemos apreciar que:
r   u , v    6400cos v cos u  i   6400cos v senu  j   6400senv  k



la cual es una ecuación de un esfera de radio r  6400 y centro en el origen.
Comprobación:
Basándonos en la ecuación 1 :
x  6400cos v cos u
y  6400cos v senu
z  6400 senv
Para eliminar los parámetros y obtener la ecuación cartesiana:
x 2  64002 cos2 v cos2 u
y 2  64002 cos2 v sen 2u
z 2  64002 sen 2v
Sumando las tres ecuaciones y factorizando, se obtiene:
x 2  y 2  z 2  64002 cos2 v  cos2 u  sen 2u   sen 2v

x 2  y 2  z 2  64002  cos2 v (1)  sen 2v 

x 2  y 2  z 2  64002 1 ; x 2  y 2  z 2  64002 (correcto)
18. Dadas las siguientes funciones vectoriales de variable vectorial, graficarlas mediante la
identificación de superficie que representan y dar las ecuaciones cartesianas de dichas superficies:
i ) F  u ,v   u cos v i  u 2 j  u senv k

Resolución:


;
ii ) F  u ,v   senu cos v i  senu senv j  cos u k



i ) F  u ,v   u cos v i  u 2 j  u sen v k .



Unas ecuaciones paramétricas de la superficie son:
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61
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
x  u cos v ; y  u 2 ; z  u senv
Por la identidad trigonométrica sen 2v  cos2 v  1 , con la primera y la tercera ecuaciones:
x2
z2
x2 z2

 1  x2  z2  u2
cos 2 u  2 ; sen 2v  2 ;
u
u
u2 u2
y por la segunda ecuación paramétrica se llega finalmente a la ecuación de la superficie, esto es:
y  x 2  z 2 que es la ecuación de un paraboloide circular o de revolución, con vértice en el origen
de coordenadas y eje de simetría el eje y . Su gráfica aproximada es la siguiente:
z
y
x
ii ) F  u ,v   senu cos v i  senu senv j  cos u k .



Las ecuaciones paramétricas de la superficie son:
x  senu cos v ; y  senu senv ; z  cos u
2
2
Como sen v  cos v  1 , de las dos primeras ecuaciones, se tiene que.
x2
y2
x2
y2
2
2
cos v 
; sen v 
;

 1  x 2  y 2  sen 2u
2
2
2
2
sen u
sen u
sen u sen u
2
2
como sen u  cos u  1 , con la expresión obtenida y la tercera ecuación paramétrica, se llega a:
cos2 u  z 2  x 2  y 2  z 2  1 , que es la ecuación de una esfera con centro en el origen de
coordenadas y radio igual a uno. Su gráfica aproximada se muestra a continuación:
z
y
x
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62
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
19. Obtener la ecuación del plano tangente a la siguiente superficie: z  ln x 2  y 2 en el punto
 3, 4, ln 5  .
Resolución:
Si se considera que:
h  x , y , z   ln x 2  y 2  z
se tiene que las derivadas parciales son:
1/ 2
1 2
x  y 2   2x 

x
hx  x , y , z   2
 2
2
2
x  y2
x y
1/ 2
1 2
x  y 2   2y 

y
hy  x , y , z   2
 2
x  y2
x2  y 2
hz  x , y , z   1
y en el punto  3, 4, ln 5  estas derivadas parciales son:
hx  3, 4, ln5  
3
3

2
3 4
25
4
4
hy  3, 4, ln 5   2 2 
3 4
25
hz  3, 4, ln 5   1
2
Luego, la ecuación del plano tangente en el punto  3, 4, ln 5  es:
3
4
3
4
 x  3    y  4   1 z  ln5   0 
 x  3    y  4   z  ln5  0
25
25
25
25
3  x  3   4  y  4   25z  25ln5  3x  9  4 y  16  25z  25ln5
3 x  4 y  25z  25  25ln5  3x  4 y  25z  25 1  ln5 
20. Dada la transformación
x  u v
...
y  u  2v ...
1
 2
a) Obtener las ecuaciones para la transformación inversa.
b) Dibujar las regiones R x y y Ru v si 0  u  1 y 0  v  1 .
c) Calcular los jacobianos de la transformación.
Resolución:
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63
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
a) Se pide u  u  x , y  y v  v  x , y 
De 1 : u  x  v 
Se sustituye
 3
en
 3
 2 :
y   x  v   2v  x  3v  v 
Se sustituye  4  en  3  :
xy
3
...
 4
xy 2
1
2x  y
 x y  u
3
3
3
3
Las ecuaciones de la transformación inversa son:
2x  y
xy
y v
u
3
3
b) R x y (región en el plano xy ) ; Ru v (región en el plano uv )
ux
uv
A  0, 0  
B 1, 0  
C 1, 1 
D  0, 1 
v
A '  0, 0 
xy
B ' 1, 1
C  2,  1
D ' 1,  2 
y
C
D
B'
R xy
A'
A
B
u
x
Ruv
C'
D'
Hay que tener en cuenta que la transformación es lineal, por lo que si tenemos rectas, al transformar
en términos de u , v también se obtienen rectas.
c) Los jacobianos de la transformación son:
 x, y  1 1
 3
J

 u, v  1  2
 u , v  2 / 3 1/ 3
2 1
1
J
  

9 9
3
 x , y  1/ 3  1/ 3
Obsérvese cómo se cumple que:
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64
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
 u, v 
1
J

 x, y  J  x, y 


 u, v 
21. El campo de velocidades de un fluido esta dado por:
V  x , y , z    xy  i   yz  j   xz  k


m 
donde V , esta en   y x , y , z en  m  . Calcular la rapidez de cambio instantáneo de la
s
velocidad en el punto P  4, 2, 2  y en dirección en la de un ángulo de 60 con el eje x y 45 con
el eje y .
Resolución:
Se utiliza la definición de derivada direccional:
dV
 V  e
ds  
donde:
V  es la matriz gradiente y e representa el vector unitario.
 
Para calcular la matriz gradiente, se tiene que:
 V1

 x
 dV dV dV   V2
V   

 
 dx dy dz    x
 V3

 x
V1
y
V2
y
V3
y
V1 

z 
 Px
V2  
  Qx
z  
R x
V3  

z 
Py
Qy
Ry
Pz 

Qz 
Rz 
donde V  x , y , z   V1  x , y , z  i  V2  x , y , z  j  V3  x , y , z  k



luego, la matriz gradiente de nuestra función es:
y x 0 

V    0 z y 
  

 z 0 x 
Ahora, calculamos e por medio de la definición de cosenos directores;
e  cos2 60O  cos2 45O  cos2   1
1
 1 2 2
 1 2
de donde cos    1  cos2 60O  cos2 45O    1         
2
 4 4
4
1
Para dar una única solución, consideremos que   , por lo que el vector e , es el siguiente,
2
1
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1
65
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
1
2 1
e  i
j k
2
2
2
y podemos comprobar que su módulo es 1, es decir, que e  1
Podemos tomar al vector anterior como e P , es decir, como el vector e valuado en el punto P ,
para proceder a disponerlo en columna y multiplicarlo por la matriz gradiente valuada en el punto:
 1 
 2 
2 4 0    1  2 2 

 dV 

 2 
   0 2 2      2  1 
 ds  P 2 0 4   2   3 

 1

  
 2 
 

 




 dV 
Disponiendo el resultado de manera vectorial, se obtiene:    1  2 2 i  2  1 j  3 k
 ds  P
Así, podemos concluir que:
m 
 P aumenta a razón de 1  2 2   por cada metro que se avance en dirección de e a
s
partir del punto P .
m 
 Q aumenta a razón de 1  2   por cada metro que se avance en dirección de e a
s
partir del punto Q .
m 
 R aumenta a razón de 3   por cada metro que se avance en dirección de e a partir
s
del punto R .

8x 3 y 4  xyz  x 2 
i
j   x  3y  z  k que define el campo de
4z
z
velocidades del helio 3 a 1.32 K  , determinar la rapidez de crecimiento de la velocidad en el punto
22. Dada la función
g  x, y ,z  
1

 0, 1,  y en la dirección del vector e de ángulos directores:   60 y   30 .
2

Resolución:
Este problema es un caso típico de derivada direccional, ya que se nos da una función y un punto.
Por ello lo primero que debemos hacer es determinar g que se define como:
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66
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
 g1

 x
  g
g   2
 x
 g 3
 x

g1
y
g 2
y
g 3
y
g1   24 x 2 y 4
z   z

g 2   yz  2x

z   4z

g 3  
z   1
8x 3 y 4 
z 2 
x2 
 2 
4z


1 

32x 3 y 3
z
x
4
3
donde g  x , y , z   g1  x , y , z  i  g 2  x , y , z  j  g 3  x , y , z  k


Se evalúa la función en el punto dado:
 24 x 2 y 4 32x 3 y 3
 z
z

x
 yz  2x
g  
4z
4


 1
3


8x 3 y 4 
z 2   0
x2   1
 2 
4z
4
 

  1
1 

0
0
3
0

0

1 
Ya con la función valuada, procederemos a definir e . Como vemos, alfa y beta nos permiten
trabajar con cosenos directores. Esto es una gran ayuda, pues podemos encontrar el tercer ángulo,
y además podemos definir e en términos de estos cosenos:
1
1
3
cos  cos600 
; cos   cos300 
; cos    1  cos2   cos2   2  0
2
2
1
 
 2 
 
 3
Y con ellos formaremos e   
2
 
 0 
 
 
Por lo que la derivada direccional en este punto es:
 1 
 0 0 0  2 
m 
1
 3   0  
 
0 0     0.125   s 
g e  
4
 2
m 
 1 3 1  0   0   

 
 
 
23. Calcular la divergencia y el rotacional del campo vectorial
F   cos y  y cos x  i   senx  xseny  j  xyz k

Divergencia
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

67
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
 
Rotacional
    
div F    F   , ,    cos y  y cos x , senx  xseny , xyz 
 x y z 
   F   ysenx  x cos y  xy

 
i

rot F    F 
x
cos y  y cos x

j

y
senx  xseny

k

z
xyz
  xz  0  i   yz  0  j  cos x  seny    seny  cos x   k



  F  xz i  yz j   cos x  seny  seny  cos x  k





   F  xz i  yz j
24. Sea la función f  x , y , z   x 2  y 2  z 2  e z ; utilizar coordenadas esféricas para calcular:
a) El gradiente de f
b) El laplaciano de f
c) El rotacional del gradiente de f
Resolución:
En coordenadas esféricas, se tiene que: f  r , ,   r 2  e r cos . Entonces:
a) El gradiente en esféricas está dado por:
f
1 f
1 f
f  e r 
e 
e
r
r 
r sen 
f
f
f
 2r  cos e r cos ;
 r sen e r cos ;
0
r


 f   2r  cos e r cos  e r 
r sen e r cos
e   2r  cos e r cos  e r   sen e r cos  e
r
b) El laplaciano en esféricas está dado por:
1  2
f   
f    1 f  
 f   2f  2
  r sen  
 sen



r   
    sen   
r sen  r 





1  2

r sen  2r  cos e r cos  
sen  r sen e r cos  

r sen  r



1 

 2
r sen 2 e r cos  
2r 3 sen  r 2 sen cos e r cos  




r sen  r


2
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68
COPADI

CÁLCULO VECTORIAL
2
2
r cos 
  2rsen cos e r cos 
1 6r sen  r sen cos  cos e
 2
r sen  r sen 2  r sen e r cos   2rsen cos e r cos



1
6r 2 sen  r 2 sen cos 2  e r cos  2rsen cos e r cos  r 2 sen 3 e r cos  2r sen cos e r cos 
r sen 
 6  cos2  e r cos  sen e r cos
2
c) rot grad f    f 

er
1
r sen
2

r
2r  cos e r cos
r e


rsen e r cos
rsen e


o


1 
r sen e r cos  
2r  cos e r cos   r sen e



r sen  r


1
  r sen cos  e r cos  sen e r cos  cos  r sen e r cos   e r cos  sen   e
r
0
2
25. El flujo de un campo de velocidades está determinado por:
Determinar si es irrotacional.
 1   1 
J  x,y   
i
j
xy  xy 
Resolución:
Por la definición de campo irrotacional calculamos el producto vectorial:
J 



x
1
xy

y
1
xy
i
j

k


z
0
 
  1   
  1     1    1  
i
0
  0  




 

 j  
 
 k
z  x  y    x
z  x  y    x  x  y  y  x  y  
 y
 1   

   
1    1     1

k
 0 i  0 j  




k  0



  x  y 2   x  y 2  
 x  x  y  y  x  y  



Por lo tanto es irrotacional, ya que el rotacional del campo de velocidades es igual a 0 .
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69
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
u  u  x , y , z  . Demostrar que el rotacional del gradiente de u es
26. Dada la función escalar
nulo.
Resolución:
 
u 


i

rot u    u 
x
u
x
u  u  u 
i
j k
x y
z

j

y
u
y
k
   2u
 2u     2u
 2u     2u
 2u  




i
 j 
k
z  y z zy   zx x z   x y y x 
u
z



 0 i  0 j  0k  0
Q.E.D.
27. Para los campos vectoriales u  x , y , z   z i  x j  y k y v  x , y , z    yz i  xz j  xy k






Demostrar que se cumple la siguiente identidad:
  (u  v )  v   u  u   v
Resolución:
Se calcula el lado izquierdo de la identidad:


i
u v  z
 yz

j
x
k



y  (  x 2 y  xyz ) i  (  xyz  y 2 z ) j  ( xz 2  xyz ) k
xz  xy





    
2
2
2
  (u  v )   ,
,
  (  x y  xyz )i  (  xyz  y z ) j  ( xz  xyz )k
 x y z 
  (u  v )  2xy  yz  xz  2yz  xy  2 xz   xy  3yz  3xz   A 
Se calcula el lado derecho de la identidad:

i

rot u 
x
z

j

y
x

k
   
 i  j k
z
y
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



   
 v  rot u    yz i  xz j  xy k    i  j  k 

 

70
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL

i

rot v 
x
 yz

j

y
xz

k



 2x i  2z k
z
 xy
 u  rot v  2xz  2zy
Por lo tanto:
v  rot u  u  rot v   yz  xz  xy  ( 2xz  2zy )   xy  3yz  3xz 
Se observa que
 A  B 
B 
, por lo que ambos lados de la identidad son iguales, con lo que queda
demostrada dicha identidad.
28. Supóngase que R es el radio de la Tierra, M su masa, O su centro y G la constante de

gravitación universal. Sea P un punto del espacio y r el vector de posición respecto a O de P . A


la longitud r del vector r se le indica simplemente con r . Por la física clásica se sabe que el
 
campo vectorial V  r  debido a la gravedad (llamado campo de fuerzas gravitacionales de la Tierra
y que da la fuerza por unidad de masa) está dado para r  R por la expresión:
 
GM 
V r    3 r
r
Demostrar que para r  R dicho campo es solenoidal.
Resolución:

Para que el campo sea solenoidal debe cumplirse que  V  0
Por propiedades del operador  , se tiene:
GM
 GM 
 V   3   r     3   r
r
 r 
Como r  R entonces r  0 y las derivadas anteriores existen.
Si r  x i  y j  z k  r   x 2  y 2  z 2  , y así:



1/ 2


  

2 x i  2 y j  2z k  



3
/
2
3
 GM 

   3   GM   x 2  y 2  z 2    GM   
2
2
2 5/2


r
2



 x  y  z  





3GM
3
GM



 x i  y j z k   5 r
2
2
2 5/2 
r

x  y  z 
Por lo tanto:
3GM
3GM
3GM
 GM 
 GM  
  3  r   5 r  r r  r  r 2    3   r   5 r 2   3
r
r
r
 r 
 r 
Por otra parte, r  3 y finalmente
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71
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
 V  
por lo que queda demostrado.
GM
GM
GM
 GM 
  r     3   r  3 3  3 3  0
3
r
r
r
 r 
29. Demostrar que la función  
1
x  y 2  z2
es armónica.
2
Resolución:
Debemos calcular     2
Sea  
1

, en donde   x 2  y 2  z 2 , siendo  

r
r 
1
        2     2      3 r




 
 2        p  3 r     3   r  r      3 
pero:
    
r   ,
,
   x, y , z   1 1 1  3
 x y z 



r 
  2  3   3  r  3   4   3   3  r   3   4 




 
 3   3  3r    5 r  3   3  3  5 r  r  3   3  3   5   2   3   3  3   3  0
  es armónica por lo que queda demostrado.
30. Las funciones complejas tienen la siguiente forma binómica:
w  z   u  x, y   v  x, y  i ,
donde “ u ” y “ v ” son las partes real e imaginaria de la función (ambas de variable real). Se dice que
una función compleja es analítica si tanto su parte real como su parte imaginaria son armónicas.
Determine si la siguiente función es analítica:
w  z    e 2 x cos2y    e 2 x sen 2y  i
Resolución:
 2u  2u
 2v  2v

 0.
Para que sea analítica, la función debe cumplir con:

 0 y con
x 2 y 2
x 2 y 2
Por lo tanto primero trabajaremos con “ u ”.
u
 2u
 2e 2 x cos2y
 4e 2 x cos2y
2
x
x
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72
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
u
 2e 2 x sen 2y
y
 2u
 4e 2 x cos2y
2
y
Así:
 2u  2u

 4e 2 x cos2y  4e 2 x cos2 y  0
x 2 y 2
Por lo que la parte real es armónica.
Ahora analicemos la parte imaginaria “ v ”.
v
 2v
 2e 2 x sen 2y
 4e 2 x sen 2y
x
x 2
v
 2e 2 x cos2y
y
 2v
 4e 2 x sen 2y
y 2
 2v  2v
 2  4e 2 x sen2y  4e 2 x sen 2y  0
2
x
y
Por lo que la parte imaginaria también es armónica.
Debido a esto, podemos decir que la función es analítica. Es importante señalar que cualquier
función compleja es armónica si es analítica (esto se verá a detalle en cursos posteriores).
31. Se desea construir una pila que genere un campo eléctrico dado por:
E  x,y ,z  
x
x2  y 2  z2

i


z
j 
 5  z k

x 2  y 2  z 2  x 2  y 2  z 2


y
¿Es posible producir tal fuente de energía?
Resolución:

Para que esto sea posible, E debe ser el gradiente de una función de potencial eléctrico. Por lo
tanto trataremos de hallar esta función a la que denominaremos .
Primero que nada sabemos que:

x

...  I 
2
x
x  y 2  z2


y


z
y
x  y 2  z2
z
2
...
 II 
 5  z ...  III 
x2  y 2  z2
Si nos detenemos un poco podremos apreciar que esto se asemeja mucho a una ecuación
diferencial exacta, por lo que el método a seguir será muy sencillo:
Primero integremos con respecto a “ x ” la ecuación  I  ;
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73
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
     
x
x y z
2
2
2
x  x 2  y 2  z 2  c  y   c  z 
Si derivamos con respecto a “ y ” se obtiene  y y se compara con la ecuación
cy  .
Por lo que derivando:


y
Y ahora comparando:
y
x  y 2  z2
2
y
x y z
2
2

 c ' y 
y
x  y 2  z2
 II 
para definir
 c ' y 
c '  y   0  c  y   c1
2
2
Y ahora sólo nos falta determinar c  z  . Así que primero derivaremos con respecto a “ z ”:


z
Y ahora comparando con  III  :
z
 c ' z  
z
z
x2  y 2  z2
5z
 c ' z 
c '  z   5  z  c  z   5z 
x2  y 2  z2
x2  y 2  z2
Por lo que sustituyendo los valores de las constantes en  :
;
z2
 c2
2
  x , y , z   x 2  y 2  z 2  5z 
z2
C
2
Que es la función de potencial eléctrico, por lo que sí se podría producir este tipo de energía.
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74
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CÁLCULO VECTORIAL
TEMA III
INTEGRALES DE LÍNEA
 yzdx  xzdy  xydz
1. Evaluar
C
, donde C está dada por:
x  t ; y  t2 ; z  t3 ; 0  t  3
Resolución :
dx  dt ; dy  2tdt ; dz  3t 2dt
Sustituyendo en la integral tenemos:
 t dt  2t dt  3t dt  
3
5
5
0
 y dx  xy dy
2
2. Evaluar
c
5
3
0
6t 5dt  t 6   729
0
3
suponiendo que C tiene las siguientes ecuaciones paramétricas:
 x  3t  1
; 1 t  2

2
 y  3t  2t
Resolución:
Tenemos que: x  3t  1 ; dx  3 dt ; y  3t 2  2t ; dy   6t  2  dt
2
2
2
2
2
y
dx

xy
dy

c
1  3t  2t   3    3t  1  3t  2t   6t  2  dt
Luego,
  27t 4  36t 3  12t 2   3t  1 18t 3  6t 2  12t 2  4t   dt
1
2
  27t 4  36t 3  12t 2  54t 4  18t 3  36t 3  12t 2  18t 3  6t 2  12t 2  4t  dt
1
2
 81 t 5 108t 4 42t 3 4t 2   81 t 5

   81 t  108t  42t  4t  dt  




 27t 4  14t 3  2t 2 

1
4
3
2 1  5
 5
1
81
2511
796
 2592
  81
 2592
 432  112  8     27  14  2  
 328   15 
 343 

5
5
5
5
 5
 5

2
2
4
3
2
2
3. Evaluar la integral de línea
 3 cos x dx  2 xyz dy  15 e
z
dz , donde C es la curva dada
c
por:
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75
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
y  2t 2
x  3t 3
1 t  4
z= t
Resolución:
Tenemos que:
x  3t 3  dx  9t 2dt ; y  2t 2  dy  4tdt ; z  t  dz  dt
Se sustituye en la integral de línea y:
 3cos xdx  2xyzdy  15e dz   [3cos  3t  9t   2  3t   2t  t  4t   15e ] dt 
4
z
3
2
3
2
t
1
4
t8 
 3 cos  3t  9t  dt  48 t dt  15 e dt  3  sen  3t    48    15 e t  
1
1
1
1
1
 8 1
1

 65535 
 3  sen 192   sen  3    48 8192    15 e 4  e1   3  0.496058   48 
  15  51.879868 
8

 8 
c
4
3
4
2
4
7
4
4
3
t
 1.488174  393210  778.19802  392430.31
4. Calcular el trabajo realizado por el campo de fuerzas
F  x , y , z   x 2 i  2yz j  z k



en el
movimiento de un objeto a lo largo de la recta que va de (1,1,1) a ( 4,4,4) .
Resolución:
Las ecuaciones paramétricas de la recta que va del punto (1,1,1) al punto ( 4,4,4) , están dadas
por:
x y z t
dx  dy  dz  dt
;
;
1 t  4
Por lo que la integral que define al trabajo es:
t2 t3 
64 1 1 15
27
2
W ฀
F

dr

t
dt

t
dt

tdt

t

t
dt

C
1
1
1
1    2  3   8  3  2  3  2  21   2
1
4
2
4
2
4
4
4
2
5. Calcular el trabajo total realizado por el campo de fuerzas F  x , y , z   3z i  3 x 2 j  2xy k en el

desplazamiento de una partícula a lo largo de la curva
t  1 hasta el punto determinado por t  1.
Resolución:
De las ecuaciones paramétricas:
x  t 2  dx  2 tdt ; y  2 t  1 
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

 x  t2

C :  y  2t  1 , desde el punto en que
 z  2t 3

dy  2 dt
; z  2t 3

dz  6 t 2 dt
76
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
de donde






F  3(2t 3 ) i  3(t 2 )2 j  2(t 2 )(2t  1) k  6t 3 i  3t 4 j  (4t 3  2t 2 ) k
y





 

d r  dx i  dy j  dz k   2 t i  2 j  6 t 2 k  dt


Por lo que el trabajo queda:
3
4
3
2
2
4
5
W ฀
C F  dr  1 (6t )(2t )  (3t )(2)  (4t  2t )(6t ) dt  1 30t  24t  dt
1
1
5
6
W ฀
C F  dr  6t  4t  1  6  4  6  4  12 unidades de trabajo
1
6. Evaluar
 2,1
a
 xy dx  x dy
 4,1
2
c
, suponiendo que C
consta de los segmentos de recta que van de
y de (4,1) a (4,5) .
Resolución:
La gráfica aproximada de la trayectoria C se muestra en la siguiente figura.
y
 4,5 
C2
C1
 4,1
 2,1
x
Se divide C en dos partes C1 y C2 ; sus respectivas ecuaciones paramétricas, así como sus
diferenciales son:
C1 : x  t ; dx  dt ; y  1 ; dy  0 ; 2  t  4
C2 : x  4 ; dx  0 ; y  t ; dy  dt ; 1  t  5
Para C1 tenemos:

xydx  x dy 
2
c1
Para C2 tenemos:

c2
Finalmente se tiene que:

4
2
1 
t 1  dt  t  0    t 2   6
 2 2
4
2
 4t  0  16dt  16t   64
 xydx  x dy   xydx  x dy   xydx  x dy  6  64  70
xydx  x 2 dy 
5
5
1
1
2
C
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2
C1
2
C2
77
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
7. Calcular el valor de
฀ F  dr
donde: F  x , y , z   (2x  y 2 ) i  (3 y  4 x ) j y C es el

C

triángulo formado por los puntos A(0,0), B (2,0), y D(2,1) .
Resolución.
La gráfica de la trayectoria se muestra a continuación:
y
D  2,1
C3
C2
A  0,0 
B  2,0 
x
C1
C1 : y  0  dy  0 ; 0  x  2
C2 : x  2  dx  0 ; 0  y  1
C3 : x  2y  dx  2dy ; 0  y  1
฀ F  dr  F  dr   F  dr   F  dr
 F  dr  (2x  y )dx  (3y  4x )dy  2xdx   x
C1
c
B
C1
C2
2
C3
2
2
0
A
  4
0
2
 3y 2
 3
13
C2 F  dr B (2x  y )dx  (3y  4x )dy  0 (3y  8)dy   2  8y   2  8   2
0
D
1
1
2
 2y 3 3y 2 
13
2 3
F
dr
(2
x
y
)
dx
(3
y
4
x
)
dy
(8
y
2
y
3
y
8
y
)
dy










 3  2    3  2    6
C3
D
1



1
13 13
14
 ฀
c F  dr C1 F  dr  C2 F  dr  C3 F  dr  4  2  6   3
A
0
2
0
2
8. Evaluar la integral de línea IC    2 y  x  dx   3 x  y  dy para cada una de las siguientes
trayectorias y graficarlas:
a ) La recta que va de  0,0  a
C
1,1 .
b) La parábola y  x 2 de  0,0  a 1,1 .
c ) Los segmentos de recta de  0,0  a 1,0 
d ) La curva x  y 2 de  0,0  a 1,1 .
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y de
1,0 
a
1,1 .
78
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
Resolución:
a)
y
1,1
x  t  dx  dt ; y  t  dy  dt ; 0  t  1
y x
 5t 2  5
IC    2t  t    3t  t   dt    
0
 2 0 2
x
1,1
b)
1
1
y  x2
x
x  t  dx  dt ; y  t 2  dy  2t dt ; 0  t  1
IC    2t 2  t    3t  t 2   2t   dt    2t 3  8t 2  t  dt
0
0
1
1
 t 4 8t 3 t 2 
1 8 1 8
IC1   
     
 2 3 2 0 2 3 2 3
1
1,1
c)
C1 : x  t  dx  dt ; y  0  dy  0 ; 0  t  1
 t2 
1
IC1    t   dt      
0
2
 2 0
C2 : x  1  dx  0 ; y  t  dy  dt ; 0  t  1
C2
C1
1
1
1,0 
x

t2  7
IC2    3  t   dt  3t   
0
2 0 2

1 7
 IC  IC1  IC2     3
2 2
1
1
1,1
d)
y x
x
x  t 2  dx  2tdt ; y  t  dy  dt ; 0  t  1
 t 4 7t 3 t 2  7
  
IC    2t  t   2t    3t  t   dt    
0
 2 3 2 0 3
1
1
9. Evaluar
ò 3 xy
c
2
2
2
dx + 5 xyz dy + 4 z 5 dz , con la curva determinada por:
x  t2  1
;
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y  t4
;
zt
;
0£ t £ 1
79
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
Resolución:
Tenemos que:
dx  2tdt
dy  4t 3dt
dz  dt
Sustituyendo los parámetros y las diferenciales tenemos que:
2
5
2
4 2
2
4
3
5
c 3xy dx  5xyzdy  4z dz  02 3  t  1 t   2t   5  t  1 t  t  4t    4t  dt

  2  t 2  1 6t 9   20  t 2  1 t 8    4t 5   dt   2  6t 11  6t 9  20t 10  20t 8  4t 5  dt


0
0
3
20
20
4 
1 3 20 20 2
1
  t 12  t 10  t 11  t 9  t 6        5.79
5
11
9
6  0 2 5 11 9 3
2
1


10. Dado el campo vectorial F ( x , y )  y i  x 2 j , evaluar la integral de línea
una de las curvas parabólicas siguientes.
a) C1 ; r 1 (t )   4  t  i   4t  t 2  j ;

b) C2 ; r 2 (t )  tiˆ   4t  t 2  jˆ ,

 F  dr
C
para cada
0t3
;
1t4
Resolución :
a) Al ser



 

dr1    i   4  2t  j  dt y F ( x (t ), y (t ))  (4t  t 2 ) i  (4  t )2 j , vemos que:


2
F  dr   1 4t  t 2    4  2t  4  t   dt   4t  t 2   4  2t  16  8t  t 2   dt


2
2
  4t  t  64  32t  4t  32t  16t 2  2t 3  dt   2t 3  21t 2  68t  64  dt
 t4

81
69
3
2
C F  dr  0  2t  21t  68t  64  dt   2  7t  34t  64t    2  189  306  192  2
0






b) Como dr 2   i   4  2t  j  dt y F ( x (t ), y (t ))  (4t  t 2 ) i  t 2 j , resulta:


2
F  dr   4t  t   4  2t  t 2  dt   4t  t 2  4t 2  2t 3  dt   2t 3  3t 2  4t  dt
3
3
3
2
 t4 3
255
69
 256
  1

2






2
3
4
F
dr
t
t
t
dt


  2  t  2t     2  64  32     2  1  2    2  93   2
C
1
 


1 
4
4
11. Calcular
3
2
  dr , si   x , y   x y
3
C
2
 2 y , de
1,1,0 
a
 2,4,0  , a lo largo de la recta
que
une estos puntos.
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80
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
Resolución:






r  x i  y j  z k  dr  dx i  dy j  dz k
Las ecuaciones de la recta C son:





 y  3x  2
; dr  dx i  dy j  dz k  dr  dx i  3dx j
C :
z  0

C
2
 dr    x 3 y 2  2y   dx i  3dx j     x 3  3x  2   2  3x  2    dx i  3dx j 




2




   9x 5  12x 4  4 x 3  6 x  4  dx i    27 x 5  36x 4  12x 3  18x  12  dx j
C
2
1

1

2

1
12
36
3

9

  x 6  x 5  x 4  3x 2  4 x  i   x 6  x 5  3 x 4  9x 2  12x 
5
5
2
1  2
1
384
1152

   3 12
 
   9 36

 16  12  8  i     1  3  4  i   288 
 48  36  24  j     3  9  12  j
 96 
5
5

 2 5
 
 2 5







384   3 12  
1152   9 36 
401 1203

i
j
  116 
 i     i   348 
 j    j 
5  2 5  
5  2 5 
10
10

2
12. Calcular el valor de
฀ F  d r
_

2
a lo largo de una vuelta completa de la curva
C
de
c
ecuaciones:
x  1  sen
y  2 cos
t
2t
z  3 cos
t
donde F  x , y , z   ( 6 x y  2 z 2  2 ) i  ( 3 x 2  z ) j  (  4 x z  y  1) k



Resolución:
Se calcula el rotacional del campo vectorial para investigar si se trata de un campo conservativo.

F 
i


j
k



x
y
z
2
2
6xy  2z  2 3x  z 4 xz  y  1
  F  1  1  i    4 z  4 z  j   6 x  6 x  k  0



Por lo tanto, F es conservativo y como la curva " C " es cerrada, se tiene que
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฀ F  dr  0 .
C
81
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
13. Calcular el valor de la integral de línea


฀
C
F d r
donde el campo vectorial F está dado por:

F  (4 xz  3 x 2 y 2 ) i  (2 yz  2 x 3 y ) j  ( y 2  2 x 2 ) k y C es la trayectoria cerrada dada por la
intersección de la superficie x 2  y 2  z 2  a 2 con el plano x  0 .
Resolución:
Para determinar si el campo es conservativo se calcula el rotacional de F :
F 



x
4 xz  3x 2 y 2

y
2yz  2 x 3 y
i

j
k


z
y 2  2x 2

  




  
  ( y 2  2x 2 )  (2yz  2x 3 y )  i   ( y 2  2 x 2 )  (4 xz  3x 2 y 2 )  j   (2yz  2x 3 y )  (4 xz  3x 2 y 2 )  k
z
z
y
  x
 y
  x




 (2y  2y ) i  (4 x  4 x ) j  ( 6x 2 y  6x 2 y ) k  0
฀ F  d r  0
por lo tanto el campo es conservativo y
C
ya que la trayectoria es cerrada.
F  x , y , z    6 xyz  2 y 2 z  yz 2  i   3 x 2 z  4 xyz  xz 2  j   3 x 2 y  2 xy 2  2 xyz  k
14. Sea el campo de fuerzas:



a ) Verificar que se trata de un campo conservativo.
b ) Como el campo es conservativo, admite potencial; obtener éste y a través de él obtener el
trabajo que realiza el campo para transportar una partícula del origen de coordenadas al punto
1,2,3  .
c ) Calcular el trabajo requerido en el inciso anterior utilizando la trayectoria que en líneas rectas
va de  0,0,0  A 1,0,0  ; de 1,0,0  A 1,2,0  y de 1,2,0  A 1,2,3  .
Resolución:
 
a ) rot F    F 



x
6 xyz  2 y 2 z  yz 2

y
2
3 x z  4 xyz  xz 2
i
j

k

z
2
3 x y  2 xy 2  2 xyz
   3 x 2  4 xy  2 xz    3 x 2  4 xy  2 xz   i    6 xy  2 y 2  2 yz    6 xy  2 y 2  2 yz   j

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
82
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
   6 xz  4 yz  z 2    6 xz  4 yz  z 2   k

   F  0 , por lo que es un campo irrotacional y por lo tanto conservativo.
Sea f el potencial de F tal que f  F ; luego
f
 M  6 xyz  2 y 2 z  yz 2
x
f
 N  3 x 2 z  4 xyz  xz 2
y
f
 P  3 x 2 y  2 xy 2  2 xyz
z
se integra M con respecto a " x " y se llega a:
f    6 xyz  2 y 2 z  yz 2  dx  3 x 2 yz  2 xy 2 z  xyz 2  h  y , z 
b)
Para evaluar la constante
h  y , z  , se deriva la expresión obtenida con respecto a
"y "
y se
g  z  , se deriva la expresión anterior con respecto a
"z "
y se
h  y , z 
f
 3 x 2 z  4 xyz  xz 2 
y
y
h  y , z 
h  y , z 
 3 x 2 z  4 xyz  xz 2 
 0  h y,z   g z 
3 x 2 z  4 xyz  xz 2 
y
y
por lo que f  3 x 2 yz  2 xy 2 z  xyz 2  g  z 
iguala a N , de donde
Para evaluar a la constante
iguala a P , luego
f
 3 x 2 y  2 xy 2  2 xyz  g '  z 
z
2
2
3 x y  2 xy  2 xyz  g '  z   3 x 2 y  2 xy 2  2 xyz  g '  z   0  g  z   C
por lo que finalmente el potencial es igual a : f  3 x 2 yz  2 xy 2 z  xyz 2  C
y el trabajo requerido equivale a:
1,2,3 
W   3 x 2 yz  2 xy 2 z  xyz 2 
 18  24  18  60
 0,0,0 
c)
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 W  60 unidades de trabajo
83
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
z
W   F  dr
C
1,2,3 
C3
 0,0,0 
1,0,0 
x
 x t

C1 :  y  0

 z0
 x 1 ;

C2 :  y  t ;

 z0 ;
1,2,0 
C1
; dx  dt
y
C2
; dy  0 ; 0  t  1 ;
; dz  0
F0

d r  i dt
 WC1  0

dx  0
F   3t  2t 2  k
dy  dt ; 0  t  2 ;
 WC2  0

d r  j dt
dz  0



 x  1 ; dx  0
F   20t  2t 2  i  11t  t 2  j  14  4t  k

C3 :  y  2 ; dy  0 ; 0  t  3 ;

 z  t ; dz  dt
d
r
k
dt


 WC3   14  4t  dt
3
0
WC3  14t  2t 2   42  18  60
0
finalmente W  WC1  WC2  WC3  0  0  60  W  60 unidades de trabajo .
3
15. Un campo de fuerzas del tipo gravitacional,
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F , está dado por:
84
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
F(x,y ,z) 
k
3
r
r
Calcular el trabajo realizado por F cuando su punto de aplicación se mueve a lo largo del eje
" x " , desde A (1,0 ,0 ) hasta B ( 2 ,0 ,0 ) . Si x  t ; y  0 ; z  0 ; 1  t  2
Resolución:






r  x i  y j  z k  dr  dx i  dy j  dz k



k
(x i  y j  z k )
F (x,y ,z)  2
2
2 3/2
(x  y  z )
k
por la definición de trabajo: W   F  dr   2
( xdx  ydy  zdz )
2
c
c ( x  y  z 2 )3 / 2
sustituyendo tenemos: W  
2
1
k
3
(t 2 ) 2
t dt  
2
1
2
k
k k 3
 k 
dt   k t 3dt    2      k
3
1
8 2 8
t
 2t 1
2
16. Calcular el trabajo realizado por el campo de fuerzas
v  x , y , z   (2xy  yz ) i  ( x 2  xz ) j  ( xy  9z 2 ) k



al desplazarse una partícula del punto P0  0,0,0  al punto P1 1,1,1 .
a) Siguiendo la trayectoria del punto
P0
al punto
sobre los segmentos de recta que unen estos puntos.
b) Sobre la recta que une P0 con P1
P2 1,0,0  , de P2 a P3 (1,0,1) y de P3 a P1
Resolución:
Lo que podemos hacer es ver si hay independencia de la trayectoria para así solamente calcular el
trabajo por la trayectoria más fácil, que en este caso es la del inciso b).
Para saber si hay independencia de la trayectoria:
v  x , y , z   (2xy  yz ) i  ( x 2  xz ) j  ( xy  9z 2 ) k



P  2 xy  yz ; Q  x 2  xz ; R  xy  9z 2
Sus derivadas parciales cruzadas tienen que ser iguales
P
Q
P
R
Q
R
;
;
 2x  z 
y 
x
y
x
z
x
z
y
Por lo tanto, como son iguales, hay independencia de la trayectoria, así que el resultado de ambos
incisos es el mismo por lo cual solamente calcularemos el del segundo inciso.
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85
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
u  P0P1  (1,1,1)
Unas ecuaciones paramétricas de C son:
x  t

C : y  t ; 0  t  1
z  t

F  d r  ( 2 x y  y z )d x  ( x 2  x z )d y  ( x y  9 z 2 )d z
 ( 2 t 2  t 2 )d t  (t 2  t 2 )d t  (t 2  9 t 2 )d t  1 5 t 2 d t
W   15t 2dt  5t 3   5 unidades de trabajo
0
0
1
1


17. Calcular el trabajo realizado por el campo de fuerzas F ( x , y )  4 xy i  2x 2 j en el movimiento
de una partícula, de (0,0) a (1,1) a lo largo de las trayectorias (dibujarlas en cada caso):
a) C 1 : y  x
;
b)
C2 : x  y 2
Resolución:
a) La trayectoria se muestra en la siguiente figura:
y
;
c)
C3 : y  x3
1,1
C: y x
 0,0 
Sea
x  t  dx  dt
0  t  1 , de modo que:

dr   i

Entonces, el trabajo realizado es
x
y  t
;

j  dt


 F  dr   6t dt  2t

y
dy  dt
;



r (t )  t i  t j
para

F (t )  4 t 2 i  2t 2 j
 2 unidades de trabajo.
0
b) La trayectoria se muestra en la siguiente figura:
1
C
2
3 1
0
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86
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
1,1
y
C : x  y2
 0,0 
x
Sea x  t 2  dx  2tdt ; y  t  dy  dt ; r  t   t 2 i  t j para 0  t  1 , de

modo que:
  
dr   2t i  j  dt


Luego, el trabajo realizado es igual a:
 F  dr   10t dt  2t
1
4
0
C
c) La trayectoria se muestra a continuación
y
y

F  t   4t 3 i  2t 4 j


  2 unidades de trabajo.
0
5 1
1,1
C : y  x3
 0,0 
x
Sea
x t 
para 0  t  1 , de modo que:

d r   i  3t 2

Entonces
dx  dt

j  dt


 F  dr   10t dt  2t
1
0
C
Nota. El campo vectorial
trayectoria.
F
4
;
y
y  t3
 dy  3 t 2 dt



; r (t )  t i  t 3 j

F (t )  4 t 4 i  2t 2 j
  2 unidades de trabajo.
0
5 1
es conservativo y por lo tanto, el resultado es independiente de la
18. Calcular el trabajo hecho por el campo de fuerzas
F  x , y   e y i  1  2xe y  j , en el
movimiento de una partícula a lo largo de la curva cuya ecuación es
0t  2.
FACULTAD DE INGENIERÍA.UNAM


r  t   te t i   2  t  j ,


87
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
Resolución:
El trabajo realizado por un campo de fuerzas, sobre una partícula, se calcula con la integral de línea

dr 
W   F d r   F 
 dt .
C
C
dt 

 
dr
  te t  e t  i  j
dt
x  te t ,
y  2t
Se debe poner en términos del parámetro a la integral y luego resolverla. Así,


 
2
2
 

W    e 2t i  1  2  te t  e 2t j     te t  e t  i  j  dt   e 2t  te t  e t   1  2te 2 2t   dt
0
0

 



W    te 2 2t  e 2 2t  1  2te 2 2t  dt    3te 2 2t  e 2 2t  1 dt
2
2
 3  te
0
2
0
2 2t
dt   e
2
22t
0
dt   dt  3e
2
0
2

te 2t dt  e 2  e 2t dt   dt
0
2
0
2
2
0
0
Se resuelven las integrales y se tiene que:
1 w
1 w
1 2t
2t
 e dt  2  e dw  2 e  C  2 e  C
w  2t ; dw  2dt
 te
1
1
1
1
dt  te 2t   e 2t dt  te 2t  e 2t  C
2
2
2
4
1
u  t , du  dt ; dv  e 2t dt ;, v  e 2t (integración por partes)
2
2t
1 
1
1 
W  3e  te dt  e  e dt   dt  3e  te 2t  e 2t   e 2  e 2t   t  20
0
0
0
4 0
2
 2 0
1
1  1
1 
1  1 
W  3e 2   2e 4  e 4     0  e 0  e 0    e 2   e 4    e 0    2
4  2
4 
 2
 2  2  
3
3
1
1
11
1
W  3e 6  e 6  e 2  e 6  e 2  2  e 6  e 2  2  W  1 113.28
4
4
2
2
4
4
2
2
2t
2
2
19. Evaluar la integral de línea:
2
2
2t
 y dx   x
3
2
2
3
C
 3 xy 2  dy
donde C es la circunferencia r  t    3cos t  i   3sent  j ; 0  t  2


Resolución:
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88
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
Como x  3 cos t y y  3 sen t , se tiene que: dx  3sen t dt y dy  3cos t dt . Por lo
tanto, la integral de línea es:
3
3
2
฀ Mdx  Ndy  ฀ y dx   x  3xy  dy
 81
2
0

 cos
   27sen t   3sent    27cos 3 t  81cos t sen 2t   3cos t   dt
0
2
4
C
C
3
t  sen 4 t  3cos2 t sen 2t  dt  81 cos 4 t dt  81 sen 4t dt  243  cos2 t sen 2t dt
sen 2 2t
 3t sen 2t sen 4t 
 5t sen 4t sen2t 
81
243
 81 








 4 dt
4
8 
32
4 
4
8
405 243
367
243  t sen 4t   648 243
124

t
sen2t 
sen 4t 
t
sen 2t 
sen 4t   162
 

8
8
32
4 2
8   8
8
32
0
฀ x dy  y dx
20. Calcular
2
a lo largo de la circunferencia de radio R , con centro en el origen.
C
Resolución.
y
x
Para la trayectoria C se tiene que:
x  R cos  dx  Rsen d ; y  Rsen  dy  R cos d
฀ x dy  y dx  0  R cos  R cos    Rsen  Rsen  d  0
2
2
 R 2  d  R 2    2R 2
C
21. Sea el campo vectorial:
Calcular
฀ F  dr
C
F  x,y  
, donde C
2
2
0
0
R
2
cos2   R 2 sen 2  d
x 
y 
i 2
j
2
x y
x  y2
2
es la trayectoria circular de ecuación x 2  y 2  R 2
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89
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
Resolución:
y
C
x
Las ecuaciones paramétricas de la trayectoria, así como la expresión de dr son:
x  R cos  dx  Rsen d ; y  Rsen  dy  R cos d




dr   Rsen i  R cos j  d


Por lo que sustituyendo en la integral:




2 
R cos
Rsen
 



F
dr
i
j
Rsen
i
R
j  d
cos









฀C
0  R 2 cos2   R 2sen2 R 2 cos2   R 2sen 2  


2
0
22. Evaluar
( 2,1,0)
฀ F  dr
C
si
2
R 2 sen 2  R 2 cos2 
2
d   d   0  2
2
0
R
F  x , y   3xy i  2y k


y
x 2  z 2  4

C : y  1
z  0

recorrida de (2,1,0) a
Resolución:
Primero habrá que determinar unas ecuaciones paramétricas de la curva dada. Lo más sencillo es
hacerlo con senos y cosenos y en términos del ángulo “”, pues como podemos observar es una
media circunferencia. Por lo mismo, el intervalo de integración debe ir de 0 a  para cumplir
con los puntos dados.
z
x2  z2  4
2
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2
x
90
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
x  2cos  dx  2sen d ; z  2sen  dz  2cos d
De donde F y dr quedan como:
F  3  2cos 1 i  2 1 k  6cos i  2 k








dr   2sen i  2cos k  d


Luego, la integral de línea pedida es:
฀ F  dr  12sen cos  4cos d

0
C
Como vemos el segundo término de la integral es una integral inmediata, mientras que el primero, si
se podrá resolver de manera
utilizamos la identidad trigonométrica
sen 2  2sen cos
inmediata.
 12cos sen  4cos d  3


0
0
23. Calcular

C
F dr
2sen2 d  4  cos d  3 cos2 0  4  sen 0  0




F  2 xy 2 i  2( x 2 y  y ) j
para

0
desde
P1 (0,0,0) hasta
P2 (2, 4,0) , a lo largo de las trayectorias siguientes:
 y  2x

 z0
y  x 2

 z 0
;
Utilizar el rotacional del campo conservativo para saber si se trata de un campo conservativo y en
caso de serlo, calcular el valor de la integral a través del potencial.
Resolución:
F 



x
2xy 2

y
2
2x y  2y
i

j


k

z
0

  F  ( 0 ) i  ( 0 ) j  ( 4 xy  4 xy) k  0
Como es un campo conservativo, entonces el integrando es una diferencial exacta y el campo
admite potencial. Para calcularlo se hace lo siguiente:
P2
฀ F  d r   d   P    P2     P1 
C
  x y
2
Luego
 2 xy
y  const
2

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dx  2
C
2
1

x  const
(x y  y ) 
2
2
2
(x 2 y  y)dy
  x 2y 2  y 2  c
91
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
฀ F  d r   d      x y  y     80
es conservativo, ฀
 F  dr es independiente de la trayectoria y, por lo tanto,
P2
C
Ya que F
฀ F  dr  80
C
2
2
2
 2,4 ,0 
P1
C
0,0,0
C
para C1 y para C2 .
24. Evaluar la integral de línea
de ecuaciones x    sen 4
 y
2
 y cos x  dx   2 xy  senx  dy , donde C

; y    e  , entre los puntos  0 ,1 y 1,
C

e
.
es la curva
Resolución:
Como se observa, la parametrización de la integral de línea en términos del parámetro  es muy
complicada, por lo que antes de intentarlo, se debe verificar si la integral de línea es independiente
de la trayectoria. De ser así, la integral puede ser valuada por cualquier curva que una a dichos
puntos o por la función potencial F x , y  valuada en los puntos, tal que dF  x , y   Mdx  Ndy .
Para determinar si la integral es independiente de la trayectoria basta con determinar si:
M   y 2  y cos x  
M N

y x
M
N
;
N   2xy  senx  
 2y  cos x
 2y  cos x
y
x
Como las derivadas son iguales, podemos asegurar que la integral de línea es independiente de la
trayectoria. Para evaluarla, obtengamos la función potencial F  x , y  .
F
; F   Mdx    y 2  y cos x  dx  y 2  dx  y  cos x dx  xy 2  ysenx  C  y 
x
2
dC  y 
F   xy  ysenx  C  y  

 2xy  senx 
 N  2xy  senx
dy
y
y
de lo que se obtiene lo siguiente:
dC  y 
 0 ;  dC  y    0dy  C  y   C ; C  
dy
entonces: F  x , y   xy 2  ysenx  C
M
 y
Por lo tanto,
C
2
1, e 
 y cos x  dx   2 xy  senx  dy   xy 2  ysenx 
 e  esen 1 ฀ 4.1056
 0,1
25. Demostrar que si F  x , y , z   y 2 cos x i   2 ysenx  e 2 z  j  2 ye 2 z k , entonces la integral


C
F d r


es independiente de la trayectoria y encontrar una función de potencial f
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para F .
92
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
F es un campo de fuerzas, calcular el trabajo realizado por F al llevar una partícula a lo
1 



,3,2  .
largo de la curva " C " , del punto  0 ,1,  al punto 
2 
 2


Si
Resolución:
La integral es independiente de la trayectoria si existe una función escalar de variable vectorial
diferenciable f  x , y , z  tal que  f  x , y , z   F  x , y , z  , es decir, que:
f
f
f
 y 2 cos x ;
 2 ysenx  e 2 z ;
 2 ye 2 z
x
y
z
Ahora, se integra la primera expresión con respecto a " x " y se tiene que
f   y 2 co s x d x  y 2 se n x  Q  y , z 
Para evaluar la función " Q " se deriva f con respecto a " y " y se iguala a
Q  y , z 
Q  y , z 
f
 2 ysenx 
 2 ysenx  e 2 z
; 2 ysenx 
y
y
y
se integra con respecto a " y " y se llega a:
Q y ,z  
e
2z

dy

f
. luego,
y
Q  y , z 
Q  y , z   ye 2 z  R  z 
Se sustituye este resultado en la función " f " y se tiene que
f  y 2sen x  ye 2z  R z 
Para obtener la función " R " se deriva f
con respecto a " z " y se iguala a
y
 e 2z
f
. luego,
z
dR  z 
dR  z 
dR  z 
f
 2 ye 2 z 
 2 ye 2 z 
0
; 2 ye 2 z 
z
dz
dz
dz
se integra con respecto a " z " y se llega a
R  z   C , que al sustituirse en la función " f "
da como resultado
f  y 2senx  ye 2z  C
que es la función potencial para F .
Entonces el trabajo realizado que se pide equivale a:
W 

C
F  d r   y sen x  ye 
2

2z


 ,3 ,2 
2

1

 0 ,1, 
2

  9  3e 4    0  e   9  3e 4  e
W  1 7 0  u n id a d e s d e tra b a jo 
26. Sean las funciones:
M ( x , y )  sec 2 x sec y  cos x cos y
N ( x , y )  tan x sec y tan y  sen x sen y
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93
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
 
  
y los puntos P   0,  y Q   ,  :
 6
3 4
a) Evaluar  M ( x , y ) dx  N ( x , y ) dy si C consta de dos segmentos de recta C1 y C2 ,
 
  
  
  
 0,  a  ,  , y de  ,  a  ,  .
 6
3 6
3 6
3 4
b) Verificar que Mdx  Ndy es una diferencial exacta.
c) Obtener F ( x , y ) , tal que dF  Mdx  Ndy .
C
que van de
d) Calcular
 Mdx  Ndy
C
     
mediante la evaluación de F  ,   F  0,  .
3 4  6
Resolución:
a)
Para C1 : x  t  dx  dt
;
y

6
 dy  0
a0 ; b
;

3
De donde:


 2

3


2
2
3
3
M
x
y
dx
N
x
y
dy
t
t
dt
t
t
(
,
)
(
,
)
sec
sec
cos
cos
sec
cos








C1
0 

 dt
0 
6
6
2
 3


y para C2 : x 
 2
3
3
2
sent  
  tan t 
2
3
 3
0

 dx  0
3
;
 3
3 3
3 11

  2  
2  2 
4 4
y  t  dy  dt
;
a

6
; b

4
De donde:




3



4
4
(
,
)
(
,
)
tan
sec
tan
3 sec t tan t 
M
x
y
dx
N
x
y
dy
t
t
sen
sent
dt
sent  dt




 

C2
6  3


3
2

6 



4




3
3
3
cos t   3 sec 
cos  3 sec 
cos
  3 sec t 
2
4
2
4
6 2
6


 3
 2
 
3 2
3 3
6
3 5 6 11
 2 

2 


  3 

  6 

2  2 
4
4
4
4
 3 2  2 
6
11 5 6 11 5 6

 
4
4
4
4
M
N


. Excepto cuando x 
, o bien y  .
 sec 2 x sec y tan y  cos x sen y 
b)
y
x
2
2
Sin embargo, los puntos P y Q quedan contenidos en un sinnúmero de conjuntos abiertos
Por lo tanto,
C1
C2

simplemente conexos que no se intersectan con las rectas x 

2
y y

2
. Por lo tanto se trata
de una diferencial exacta en cualesquiera de esos conjuntos.
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94
COPADI
c)
CÁLCULO VECTORIAL
Como Mdx  Ndy
es una diferencial exacta, se deberá cumplir que
F
F
N.
M y
y
x
Integrando M con respecto a x:
F    sec 2 x sec y  cos x cos y  dx  tan x sec y  sen x cos y  K ( y )
siendo K (y) una función arbitraria de “y” pero independiente de “x”. Si se deriva con respecto
a “y” y se iguala a N:
F
 tan x sec y tan y  sen x sen y  K ( y )  tan x sec y tan y  sen x sen y
y
K ( y )  0
K (y )  C


donde C es una constante arbitraria. Por lo tanto, F  x , y   tan x sec y  sen x cos y  C
d)
  
 






 Mdx  Ndy  F  3 , 4   F  0, 6   tan 3 sec 4  sen 3 cos 4  tan  0  sec 6  sen0cos 6
C
 3 2
27. Demostrar que la integral de línea
3 2
6 5 6
 2   3
 0
 0 

  6 

2 2
4
4
 3  2 
  4 x  2y  z  dx   2x  2y  z  dy    x  y  2z  dz
C
es
independiente de la trayectoria, y evaluar la integral si C es una curva suave en pedazos de
( 4 ,  2 ,1 )
a
(  1,2 ,0 ) .
Resolución:
Sean M , N , R dadas por:
M ( x , y , z )  4 x  2 y  z ; N ( x , y , z )  2 x  2 y  z ; R ( x , y , z )   x  y  2z
Las derivadas para investigar si hay independencia de la trayectoria, son:
;
;
Nx (x, y ,z)  2
R x ( x , y , z )  1
My (x,y ,z)  2
M z ( x , y , z )  1
Como:
;
M y (x, y ,z)  Nx (x, y ,z)
Nz ( x , y ,z )  1
Ry ( x , y , z )  1
;
M z ( x , y , z )  Rx ( x , y , z )
;
N z ( x , y , z )  Ry ( x , y , z )
;
luego hay independencia de la trayectoria y entonces el integrando se puede interpretar como el
campo vectorial
 4 x  2 y  z  i   2 x  2 y  z  j    x  y  2z  k



que es conservativo. Se
considerará la trayectoria como el segmento de recta de ( 4 ,  2 ,1 ) a
(  1, 2 , 0 ) . Un
conjunto de números directores de la recta que contiene a esos dos puntos es  5,4, 1 . Por
tanto las ecuaciones de la recta son:
x 1 y  2 z


4
5
1
En consecuencia, las ecuaciones paramétricas del segmento de recta son:
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95
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
x  5t  1
Así,
dx  5 dt
;
y  4t  2
dy  4 dt
z  t
dz  dt
;
;
1  t  0
  4x  2y  z  dx   2x  2y  z  dy   x  y  2z  dz
   4  5t  1  2  4t  2    t    5dt    2  5t  1  2  4t  2    t    4dt  
     5t  1   4t  2   2  t   ( dt )    28t  27  dt   14t  27t   13
C
0
0
1
0
1
0
1
2
1
28. Determinar si el campo de fuerzas
1
F  x , y   2e y cos  2 x  i   e y sen2x  y  j

conservativo. En caso afirmativo encontrar la función escalar
 
  ,0   5 .
4

0
  x,y 

es
de la cual procede, si

Resolución:
Para determinar si la función F es un campo conservativo, se debe cumplir la siguiente identidad:
f
g

y
x
en donde:
f
f  2e y cos 2 x ;
 2e y cos 2 x
y
g
g  e y sen 2 x  y ;
 2 e y cos 2 x
x
La identidad se cumple, por lo que podemos decir que F es conservativo. Debido a esto último,
ahora debemos calcular la función escalar de la cual procede. Para ello trataremos la función como
una ecuación diferencial exacta.
Entonces:

 f  2 e y cos 2 x       2 e y cos 2 x dx    e y sen 2 x  C  y    I 
x

 g  e y sen2x  y . Así,
Ahora se deriva con respecto a " y " y se iguala con la expresión
y

 e y sen 2 x  C '  y 
y
f
 g , se tiene que:
Y ahora al igualar con
y
e y sen2x  C '  y   e y sen 2x  y  C '  y    y
C  y    C '  y  dy    ydy
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 C y   
y2
C
2
96
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
Y al sustituir en
I  :
  e y sen2x 
y2
C
2
Con esto hemos encontrado la función  . Ahora sólo sustituiremos las condiciones iniciales dadas
para determinar el valor de " C " :
y2
  x , y   e y sen2x   C   II 
2
2
2
 
  0
  0
 
  ,0   5  e 0 sen2     C
;
5  e 0 sen2     C
;
5  sen    C  C  4
4 
4 2
4 2
2
2
y
Y finalmente, se sustituye en  II  :   x , y   e y sen2 x   4
2
que es la función pedida.
29. Evaluar la siguiente integral de ( 1,1,1)

C
 x 3  y 3  z3 2
x 2dx
3
Resolución:
M
 x 3  y 3  z3 2
x2
;
3
M

y
x 2

a
( 1,5 ,3 ) , verificando si es una diferencial exacta:
 x 3  y 3  z 3 2
N
y 2dy
3

 x 3  y 3  z3 2
 x 3  y 3  z3 2
y2
3
z 2dz
3
;
O
1
3 3
3
3 2


x
y
z

  3y 2 
9x 2 y 2
2

3
3
2 x 3  y 3  z 3 
 x3  y 3  z3 
 x 3  y 3  z3 2
z2
3
N
9x 2 y 2

3
x
2 x 3  y 3  z 3 
9x 2 z 2
M

3
z
2 x 3  y 3  z3 
9x 2 z 2
O

3
x
2 x 3  y 3  z 3 
N
9y 2 z 2

3
z
2 x 3  y 3  z 3 
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97
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
9y 2 z 2
O

3
y
2 x 3  y 3  z 3 
Como se tiene que:
M N
M O
N O
;
;



z
x
y x
z y
el integrando es una diferencial exacta.
Por lo tanto es una diferencial total de una función potencial F , es decir, que:
x 2dx
y 2dy
z 2dz


dF 
3
3
3
3
3
3 2
3
3
3 2
3
3
3 2
x

y

z
x

y

z
x

y

z

 
 

de donde
F
M 
x
x
x2
3
y z
3

3
3 2
F
O 
z
F
N 
y
;
x
 y 3  z3 2
z2
3
x
y2
3
y z
3

3
3 2
;
3
Ahora se puede integrar la segunda expresión para obtener la función F
3
1
y2
2 3
3
3
3 2 2
3
3 2
F
dy    x  y  z  y dy    x  y  z   m  x,z 
3
3
3
3
3 2
x  y  z 
1

2 3
x  y 3  z 3  2  m  x,z 

3
Se deriva con respecto a " x " y se iguala con la expresión que define a M :
3
3


m  x,z 
F 1 3
  x  y 3  z 3  2  3x 2  
 x2  x3  y 3  z3  2 
x 3
x
m  x,z 
 0  m  x,z   h  z 
x
Así tenemos que:
1

2
F    x3  y 3  z3  2  h z 
3
Se deriva con respecto a " z " y se iguala con la expresión que define a O :
3
3


h  z 
F 1 3
  x  y 3  z 3  2  3z 2  
 z2  x3  y 3  z3  2 
z 3
z
h z 
 0  h z   C
z
2
Por lo tanto, tenemos que la función potencial F es: F  
C
3
3 x  y3  z3
Se aplica ahora la regla de Barrow, de ( 1,1,1) a ( 1,5 ,3 ) :
F
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98
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL

c
x  y  z
x 2dx
3
30. Calcular
3

3
3 2

x  y  z

y 2dy
3
3
3
3 2

 x 3  y 3  z3 2
z 2dz
3
 0.053896   0.3849   0.3310
 xy ds


2
 
 3 x 3  y 3  z 3
R  0.3310
1,5,3 


 1,1,1
para el arco de circunferencia que se muestra en la figura.
c
y
C : x 2   y  1  1
1
2
1
x
Resolución:
dr
 dr 
 
ds  r 2    d ; x 2  ( y  1)2  1  r  2sen ;
 2cos ;   0, 
d
 d 
 4
2

 dr 
I   r cos sen r    d   4 r 2 cos sen
0
 d 
4sen 2  4cos2  d
2
2
2
I   2r cos sen d  8

4
0
2
31. Evaluar la integral de línea

4
0

3
y  t   cos 3 t en el intervalo 0  t 
C
 2 1
sen  cos d  2sen    2 
 
 2  2
3
4

4
4
0
xy ds , donde C es la parte del astroide

2
x  t   sen 3t ,
.
Resolución:
Para evaluar la integral se debe expresar la integral en términos del parámetro.
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99
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
 dx   dy 
ds       dt
 dt   dt 
dy
dx
 3sen 2t cos t ;
 3cos 2 t sen t
dt
dt
2
2
 3sen t cos t    3cos t sen t 
ds  3 sen t cos t  sen t  cos t  dt
ds 
2
2
2


2
2
dt  ds  9sen 4t cos 2 t  9cos 4 t sen 2 t dt
 ds  3 sen 2t cos2t dt  ds  3sen t cos t dt
2
xyds   2 3 sen 3t cos3 t  3sen t cos t  dt  3 2 sen t cos t  sen t cos t  dt

3



3 2
3 2 1  cos 4t
 sen2t 
2
xyds  3  2 sen 2t cos2 t dt  3 2 
dt
sen
t
dt
dt


2

0
0
4 0
4 0
2
 2 
0
C
C
2
2
0
2
3

3 
3  sen 4t  2 3    3
  2 1  cos 4t  dt  t 
  
0
8
8
4  0 8  2  16



C
3
xyds  
3
16

32. Calcular el trabajo realizado por la fuerza constante F   i  j que actúa sobre un objeto que
se mueve a lo largo de la trayectoria r  t   t i  t 2 j , desde el punto
 

Para ello, utilizar la expresión W   F T dS .
C

 0,0 
Resolución:
Para calcular T se hace lo siguiente:
T
r'
r'
;


r '  i  2t j ; r '  1  4t

 

     i  2t j 
entonces F  T    i  j  


  1  4t 2 


Por otro lado,
dx

1 
;
x t

dt

dy
 2t 
y  t2
;

dt
por lo tanto
2  1  2t
W   F  T dS   
2
C
0
 1  4t
 
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
2
T
1  2t

al punto
 2,4 
.

i  2t j
1  4t 2
1  4t 2
 dx   dy 
dS       dt  1  4t 2 dt
 dt   dt 
2
;
2
2

2
2 2
 1  4t dt  0  1  2t  dt   t  t  0  6

100
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
CAPÍTULO IV
INTEGRACIÓN MÚLTIPLE
1. Calcular la integral reiterada
 
2
Resolución:
 
2
0

3
3 sen
3
3 sen
0
 d  d  
2
0
 d  d
2
2  3
r2 
32 sen 2 
d
d



2
0  2
2 
  3 sen
3
9 2
9 2  1 1
9 2
9 2
9 2






d
cos2
d
d
d
cos2 d






2 0
2 0  2 2
2 0
4 0
4 0
9
9
9
9
9

      sen 2    2   
4
8
4
2
2
0
2
2. Calcular el valor de
 e
 x2 y 2
dA donde R es la región del plano XY
localizada entre las
circunferencias de ecuaciones x 2  y 2  4 y x 2  y 2  16 .
R
Resolución:
Como x 2  y 2   2 en coordenadas polares, tenemos:
R:  2 ;  4

2
0
x
 e
2
 1 4 2
  2 e
R
2  1
2
2 
e    d  d     e    d

0
2
0
R
 2
2
2
1 2
1
1
2
 e 2  d   e 4  e 16   d   e 4  e 16   0    e 4  e 16 
0
2
2
2

y 2
dA   e    d  d  
2
2
4
4
3. Sea R la región anular situada entre las circunferencias x 2  y 2  1 y x 2  y 2  5 . Calcular
la integral
  x
R
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2
 y  dA
101
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
Resolución:
La región R es:
y
x2  y2  5
x
R
x2  y2  1
La región R en coordenadas polares es: 1    5 y 0    2 . Así pues, resulta
  x
 y  dA  
  x
R
2
 y  dA  
2
0
 
5
1
2
cos2    sen   d  d
5
 2    cos2
 
 sen  d  d 
 2   cos2   sen  d d     2    
1
2
 
 0 2
Cambiamos el orden de integración, para obtener
R
2

5
1

2
0
5
4
   sen2

 

 cos  d     2    d   
1
4
4
 2
0
5
2
2
1
5
 6
1
4. Calcular el área A de la región " R " en el plano " XY " limitada por las gráficas de x  y 3 ,
xy 2 y y 0 .
Resolución:
La gráfica aproximada de la región es:
y
x  y3
xy 2
2
1,1
R
2
x
Para calcular el área, se utiliza la siguiente integral doble:
A
1

2 y
0 y3
dxdy    x y 3
1
2 y
0
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
y2 y4 
5
dy   (2  y  y )dy  2y     u 2
0
2
4 0 4

1
1
3
102
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
5. Calcular el área de la región R interior a las curvas:
x2 y 2
 3
9 25
y
y  3x 2
Resolución:
Es recomendable graficar de manera aproximada las curvas para tener la región pedida.
a 2  75  a  5 3
x2 y 2
x2 y2
 3 
 1 ;
9 25
27 75
b 2  27  b  3 3
La primera curva es una elipse con centro en el origen, semi eje menor en el eje " x " y de longitud
3 3 ; y semi eje mayor en el eje " y " , de longitud 5 3 . La segunda es una parábola con vértice
en el origen y que abre en el sentido positivo del eje " y " .
Habrá que determinar la intersección entre ambas curvas para obtener los límites de integración.
Así,
y
  y2
2
2
y
x
y
y y2
3

2
2
 3 
 3 
 3
;
y  3x  x 
3
9 25
9
25
27 25
 y  8.209657
27 y 2  25y  2025  0   1
 y 2  9.135582
Nos centraremos sobre el primer punto que está contenido en ambas curvas. Como determinamos el
punto en el eje " y " por facilidad, calculemos los puntos que le corresponden sobre el eje “x”.
1.65425
y
8.209657


3
3
1.65425
y
8.7 1.65,8.2 
 1.65,8.2 
x
y  3x 2
x2 y 2
 3
9 25
R
x
5.2
5.2
Como se observa en la gráfica, es simétrica con respecto al eje “y”. Esto quiere decir que si
multiplicamos por dos el área encerrada en el primer cuadrante, obtendremos el área encerrada por
las dos curvas.
Luego, la integral doble que resuelve el problema planteado es la siguiente, junto con su resolución.
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103
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
2
 5 27  x 2

1.65425 5 27  x
1.65425
2
dydx
x
dx
dx
2
2
3
2
2
3x 2dx







0  3


0
0
0
3


1.65425
10 1.65425
 
x 2dx
27  x 2 dx  6
0
0
3
La primera integral se deberá resolver por sustitución trigonométrica, mientras que la segunda se
resolverá de manera inmediata. Así,
1.65425
5 27  x 2
3
3x2
1.65425

3 3
x
27  x 2 dx
x  3 3 seny ; dx  3 3 cos y dy :
27  x 2  3 3 cos y
y
3
27  x 2
27
27
1 1

3 cos y 3 3 cos y dy  27  cos 2 y dy  27    cos2y  dy   dy   cos2y dy
2
2
2 2

27
27
27
27
x
 y  sen2y  C  angsen
 seny cos y  C
2
4
2
3 3 2
27
27  x  27  x 2
27
x
x
x 27  x 2
 



C
angsen
C
angsen

2
2
2
3 3 2 3 3 3 3
3 3
Por lo que la integral para calcular el área requerida es:



5x 27  x 2
x
Área=  45 angsen

 2x 3 
3
3 3

 0
1.65425
 19.1069 u 2
6. Calcular el área de la porción de la superficie x 2  y 2  z 2  5 ; z  0 , interior a la superficie
x2  y2  4 .
Resolución:
La figura aproximada de esta porción es:
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104
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
z
área requerida
x2  y2  4
x2  y 2  z2  5
R
y
x
Para obtener el valor del área requerida, que se observa en la figura, se utiliza la expresión para el
cálculo de áreas de superficies y es conveniente emplear coordenadas esféricas. Entonces:
 z   z 
A  S    1       dA
 x   y 
R
z
z
x
y


z  5  x2  y 2 ;
;
2
2
x
y
5x y
5  x2  y2
2
2
A  S    1 
1
x2
y2

dA  5 
dA
2
2
2
2
5x y
5x y
5  x2  y 2
R
R
2
2 2
2
1
A S   5  
 d  d  5    5   2  d
0
0
0 
0
5  2
A S   5


5 1
2
0
d  5


5  1 2  17.37 u 2
7. Calcular el volumen de la región limitada por los planos
z  2x  y ; x  0 ; y  0 ; z  0 ; x  2y  2
Resolución:
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0  x  2  2 y
R: 
 0 y 1
105
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
Vol   z dA  
1

2 2 y
(2x  y ) dx dy   ( x 2  yx ) 
0
0
2 2 y
1
dy   (2  2y )2  y (2  2 y )  dy
0
1
2 
2 5

   4  6y  2y  dy   4 y  3 y 2  y 3   4  3   u 3
0
3 0
3 3

0 0
1
1
2
8. Calcular el volumen del sólido que es limitado en la parte superior por el plano z  3 y en la
parte inferior por la región en el plano " XY " comprendida entre los ejes " x " y " y " , así
como por la recta 6 x  y  12 .
Resolución:
La gráfica aproximada de el volumen pedido se muestra en la siguiente gráfica:
y
z3
12
y
6
6 x  y  12
x
El volumen se obtiene mediante la siguiente integral doble reiterada:
V 
12
0

12  y
6
0
3 dx dy    3 x 
12
0
12  y
6
o
dy  
12
0

y2 
12  y
dy  6y    72  36  36 u 3
2
4 0

12
9. Calcular el volumen del sólido que se encuentra debajo de la superficie z  3  cos  x 2  y 2  y
en la parte superior de la región en el plano
circunferencias x 2  y 2  4 y x 2  y 2  9 .
" XY "
que se encuentra limitada por las
Resolución:
Como se observa, la función escalar de variable vectorial que define a la superficie dada es continua
en todos los reales de ฀ 2 y es positiva, por lo que en el dominio dado por las circunferencias
x 2  y 2  4 y x 2  y 2  9 se tiene un volumen, el que se calcula con una integral doble y con
el auxilio de las coordenadas polares que simplifican significativamente todas las operaciones de
integración y otro cálculos.
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106
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
y
x2  y 2  9
x
x2  y2  4
V 
  3  cos    d  d     3    cos   d  d
Se cambia a coordenadas polares (mediante el Jacobiano de la transformación):
2
3
2
2
3
2
2  3
1
sen 4  2

 27 sen 9
6
V     2  sen  2  d   
 d
0
2
2
2  0
2
2
 2
 V  15  sen 9  sen 4   u 3
0
2
0
2
3
10. Calcular el volumen en el primer octante del sólido que está limitado por los planos coordenados
y por la superficie de ecuación:
z
 2  4 x  6y 
1
4
Resolución:
Como la superficie siempre está por encima del plano " XY " , la región R
por:
R   x, y  0  x   ; 0  y   ; x, y  
es infinita y está dada
entonces la integral doble impropia, así como su resolución, son:
dA
V  
4
R
 2  4 x  6y 
V  lim

m
lim 
n
m  0 n  0
V  lim

m
m  0
 2  4 x  6y 
1
4
dydx  lim



1
lim  
 dx
3
n 
 18  2  4 x  6y   0
n
m
m  0



m
1
1
1

lim  
 dx  lim 0 
 dx
3
3
3
n 
m 
 18  2  4 x  6n  18  2  4 x  
 18  2  4 x  



1
1
1 

V  lim  
  lim  
2
2
2
m 
 144  2  4 x   0 m   144  2  4m  144  2  
m
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107
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
V
144  2 
1
2
1
 0.001736 u 3 
576

11. Calcular el volumen de la región limitada superiormente por la superficie z  x 2  y 2 ,
inferiormente por el plano " XY " y localizada sobre la región " R " limitada por las curvas
x2  y2  1
y
x2  y 2  9
Resolución:
La superficie es un paraboloide circular o de revolución cuyo vértice está en el origen de
coordenadas, y la gráfica de la región R es la que se encuentra entre las dos circunferencias
dadas y que se muestra en la siguiente figura:
y
x2  y2  1
x2  y 2  9
x
R
El volumen requerido se obtiene a partir de V    x 2  y 2  dA . Dada la forma de la ecuación de
R
la superficie y de las curvas que limitan la región, resulta conveniente utilizar coordenadas polares,
por lo que la doble integral para obtener el volumen queda como:
V 
y al resolverla se llega a:
V 
 
2
0
3
1
 d  d 
3

2
0
 
2
0
4 
 4  d 

1
3
3
1

2
0
 2  d  d
2
2
 81 1 
3
  d   20 0 d   20  0  40 u
 4 4
12. Calcular el volumen del sólido limitado por el paraboloide circular x  y 2  z 2 y el plano x  1 .
Resolución.
El sólido cuyo volumen se pide se muestra en la figura de manera aproximada:
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108
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
z
x  y 2  z2
x 1
y
x
Así, considerando la región R en el plano "YZ " , se observa que la función del integrando
equivale al volumen detrás del plano vertical x  1 , menos el volumen detrás del paraboloide
circular. Entonces, aprovechando la simetría, el volumen se calcula mediante la siguiente integral
doble:
V  4
1
0

1 z 2
0
1  x  dy
dz  4 
1
0

1 z 2
0
1  y
2
 z 2  dy dz  4 
1
0


y3
y

 yz 2 

3

0
3


2 2
1
1

1
z
1 


2 2
2
2 2 
 4   1  z  
 z 1  z   d z
0
3




Esta integral se puede resolver mediante la sustitución z  sen , de la siguiente forma:





cos 3 
cos 3 
V  4  2  cos  
 sen 2  cos   cos  d  4  2  cos  1  sen 2   
0
0
3
3




8 2
2 2
2 2
2
4
cos
d
1
cos2
d
1  2cos2  cos 2 2  d













0
0
0
3
3
3
2 
 2
3 0
1 z 2

 cos  d


1 1
2 3
sen4  2


 1  2cos2   cos 4  d     sen2 
2 2
3 2
8  0


2 3 
sen2  2 3   3
     sen 
    u
3 2 2 
8  3 2 2 2
13. Calcular la masa de la lámina correspondiente a la porción del primer cuadrante del círculo
x 2  y 2  4 , siendo la densidad en el punto  x , y  proporcional a la distancia entre el punto y el
centro del círculo.
Resolución:
En un punto cualquiera
 x,y  ,
la densidad de la lámina es :
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dz
109
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
  x,y   k
 x  0   y  0
2
2
 k x2  y 2
Puesto que 0  x  2 y 0  y  4  x 2 , la masa viene dada por
m   k x 2  y 2 dA  
2
0
R


4x 2
0
k x 2  y 2 dy dx
Para simplificar la integración, pasamos a coordenadas polares, usando los límites
0  
Así pues,
M   k x  y dA  
2
R
2

2
0

2
0
2
y 0 2
k   d  d  
2

2
0

2
0
k  d  d  
2

2
0
8k 2
8k  4 k
M   d   02 
3 0
3
3
k 3 
 3  d

0
2
14. Determinar el Centro de Masa de la lámina correspondiente a la región parabólica
0  y  4  x 2 , donde la densidad en el punto  x , y  es proporcional a la distancia entre el punto
y el eje " x " .
Resolución:
La región parabólica, de manera aproximada, es:
y
lámina
y  4  x2
x
  x , y   k y , el centro de masa está en el eje
Como la lámina es simétrica con respecto al eje
lámina es igual a
" y " y la densidad en un punto cualquiera de la
" y " . Luego
x  0 . Para
obtener y , primero se calcula la masa de la lámina:
2 4x 2
4x 2
k 2
k 2
M    kydydx    y 2  dx   16  8x 2  x 4  dx
0
2 0
2 2
2 2
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110
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
k
k
8x 3 x 5 
64 32  k 
64 32  256
M  16x 
k
    32      32    
2
3
5  2 2 
3 5  2
3 5  15
A continuación, se calcula el momento respecto al eje " x " :
2 4 x 2
4x 2
k 2
k 2
Mx    y (ky )dydx    y 3  dx    64  48x 2  12x 4  x 6  dx
0
2 0
3 2
3 2
2
k
12x 5 x 7 
4096k
  
M x  64 x  16x 3 
3
5
7  2
105
2
Así pues,
y
y por lo tanto, el centro de masa es:
Mx 4096k /105 16


m
256k /15
7
 16 
CM  0, 
 7
15. Una lámina tiene la forma de un triángulo rectángulo isósceles cuyos lados iguales miden " a "
unidades. Calcular su masa y el centro de masa si la densidad de área en cualquier punto " P " es
directamente proporcional al cuadrado de la distancia de " P " al vértice opuesto a la hipotenusa.
Resolución:
Resulta conveniente introducir un sistema coordenado, donde el vértice del triángulo es el origen de
coordenadas y la hipotenusa está sobre la recta de ecuación x  y  a . Considérese entonces la
siguiente figura:
y
a
xy a
x
a
  x , y   k  x 2  y 2  , y la masa se obtiene mediante la integral doble
Si se denota como " k " a la constante de proporcionalidad, entonces la densidad se expresa como
M 
M  k
 k  x
0
 y 2  dA 
 2
y3 

x
y

 dx  k
3 0

R
a
2
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ax
 
a
0

a
0
ax
k x 2  y 2  dy dx
3
 2
a  x 

 x a  x  
 dx
3


0
111
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
M k
 2
a 3 3a 2 x 3ax 2 x 3 
3
ax

x



  dx
0 
3
3
3
3 
a
 ax 3 x 4 a 3 x a 2 x 2 ax 3 x 4 
M k
 



4
3
2
3 12  0
 3
 a 4 a 4 a 4 a 4 a 4 a 4  ka 4
M k






4
3
2
3 12 
6
 3
Para calcular el momento estático con respecto al eje " y " , se procede mediante la siguiente
integral doble:
a
My 
 x k  x
R
2
 y 2  dA 
 
a
ax
x k  x 2  y 2  dy dx  k 
a
 x
ax
3
 xy 2  dy dx
ax
3
a 
x a  x  
 3
xy 3 
3
M y  k  x y 
dx  k   x  a  x  
 dx
0
0
3  0
3



3
2 2
3
4
a
3a x
3ax
a x
x 
M y  k   ax 3  x 4 



 dx
0
3
3
3
3 

0
0
0
0
a
 ax 4 x 5 a 3 x 2 a 2 x 3 ax 4 x 5 
My  k 
 


 
5
6
3
4
15  0
 4
a
 a 5 a 5 a 5 a 5 a 5 a 5  ka 5
My  k        
 4 5 6 3 4 15  15
ka 5
M
2
Entonces la abscisa del centro de masa está dad por: x  y  154  a . Por simetría la
ka
5
M
6
2 
 2
ordenada tiene el mismo valor. Luego, el centro de masa es: C M  a , a 
5 
 5
16. Mediante el teorema de Green calcular el valor de
฀ (3x
C
3
)dx  (6xy  y 3 )dy
donde " C "
está formada por los segmentos de recta que unen a los puntos:
P0  0,0  a P1  2,1 ; de P1  2,1 a P2  2,4  y de P2  2,4  a P0  0,0 
Resolución:
La trayectoria se representa en la siguiente figura:
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112
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
 2,4 
y
C
 2,1
R
x
Por el teorema de Green, se utiliza la integral doble en lugar de la de línea. Así:
P
Q
P  3x 3 
;
Q  6xy  y 3 
0
 6y
y
x
Entonces:
2
2 2x
2  6y 
2
 Q P 
3 2
2
Pdx
Qdy
6
dx
dy
y
dy
dx
dx






x




฀c
R  x y 
0 2
0  2  x 0  12x  4 x  dx
2x
 45  x 3   45  8 
 Q P 




 30
Pdx
Qdy
dx
dy
   
฀c
R  x y 
12
 4  3 0
2

17. Evaluar
฀ (4  e
C
2
x
)dx  (seny  3x 2 )dy
donde C
es la frontera de la región R
en el
primer cuadrante, limitada por los arcos de las circunferencias con centro en el origen y radios
" a " y " b " tales que b  a .
Resolución:
La región " R " , con la frontera C es:
y
C
R
x
b
a
Aplicando el teorema de Green y cambiando a coordenadas polares se tiene que:
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113
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
3
 (6x  0)dA   2  (6  cos )  d  d  2 2  cos  d
R

b

b
0
a
0
a
  2 2(b 3  a 3 )cos d 2(b 3  a 3 )  sen 02  2(b 3  a 3 )


0
18. Demostrar que el área de una región cerrada simple, en coordenadas polares, está dada por
A
1
 2d
฀

2c
x   cos  dx    sen d ; y   sen  dy   cos d
1
1
A ฀
xdy  ydx  A  ฀
(  cos )(  cos )d  (  sen )(   sen )d

2c
2 c
Resolución:
 Queda demostrado.

1
1
 2d
(  2 cos2    2 sen 2 )d  ฀
฀

2c
2 c
19. Calcular el área de la parte del paraboloide x 2  y 2  z que está por debajo del plano z  2 .
Resolución:
La gráfica se muestra a continuación:
z
z2
x2  y 2  z
y
x
En problemas como este conviene proyectar el paraboloide sobre el plano " XY " , y después
aplicar la expresión para calcular el área de la superficie pedida. Es factible utilizar coordenadas
cilíndricas.
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114
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
z
 2x
x
z
 2y
y
;
 z   z 
2
2
2
2
2
      1  4 x  4 y  1  4( x  y )  1  4   1
 x   y 
Haciendo simultaneas las ecuaciones del paraboloide y el plano:
2
2
S

R  ,
S
2
0
 x,y
 z   z 
     1 J 
 x   y 
  ,
2
2

0
2

 d  d ; R  , 

  ,  0   
4  2  1  d  d ; u  4  2  1 ; du  8  d  ;
2,0    2

1
1  2 23 
u
du

 u  C
8
8 3 
3

1 2  2
1 2
13
13
S     4  2  1 2  d    27  1 d   2   
0
0
8 3
12
6
3
0
2
Por lo que el área de dicha superficie es
13
 unidades de área.
3
20. Verificar que el área de la superficie de una esfera de radio r es igual a 4 r 2 .
Resolución:
Considérese una esfera con centro en el origen de coordenadas y radio r .
z
x2  y 2  z2  r 2
y
La expresión para calcular el área de la superficie z  f  x , y  es:
x
S   dS  
R
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R
 z   z 
1       dA
 x   y 
2
2
115
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
z  r 2  x2  y 2
como

z
z
x
y
;


x
r 2  x 2  y 2 y
r 2  x2  y2
;
luego, si se
considera la región circular x 2  y 2  r 2 y se trabaja en un cuarto de ella, se tiene que el área de
la superficie viene dada por:
S  8
r
0
S  8r

r 2 x2
0

r
0
1
r
x2
y2
dy dx  8 

2
2
2
2
2
2
0
r x y
r x y

 angsen



r 2  x 2 0
y
r2 x2

0
r2 x2
r
r2  x2  y2
dy dx
dx  8 r  angsen 1  dx  4  r  x 0  4  r 2
r
r
0
21. Calcular el área del sólido que se forma por la intersección de los siguientes cilindros:
x2  z2  1
y
y 2  z2  1
Resolución:
La gráfica aproximada de la intersección de los cilindros dados, en el primer octante es:
z
x2  z2  1
y 2  z2  1
y
R
intersección
x
Por simetría, sólo calcularemos en el primer octante y multiplicando por 8 encontraremos la solución.
También hay simetría con respecto al plano x  y por lo que no sólo hay simetría en los ocho
octantes, sino que también la hay en cada octante. Debido a esto podremos analizar sólo el área de
un cilindro en el primer octante y multiplicarla por 16. El cilindro que analizaremos será y 2  z 2  1
sobre la región correspondiente del plano
XY , que es el triángulo formado por las rectas
x  0 ; y  1 ; x  y . Así,
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116
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
z  1 y 2
2
2

y
 z   z 
ds  1       dA  1  0   
2

 x   y 
 1 y
S  16 
1

y
0 0

1
y2
dA 
dA
 dA  1 
2
2

1
y

1
y


2
 x 
1
y
dx dy  16 
dy
 dy  16 
2
2
0
0
1 y
1 y 2
 1  y  0
y
1
1
S  16   1  y 2   16 1  16 unidades de área

0
1
2az  4a 2  x 2  y 2  0 , que se
22. Calcular el área de la superficie del paraboloide de ecuación
encuentra por arriba del plano XY .
Resolución:
Una figura aproximada del paraboloide es:
z
x 2  y 2  2a  z  2a 
R
y
x 2  y 2  4a 2
x
Para simplificar considerablemente las operaciones, se resolverá en coordenadas cilíndricas:
 x 2  y 2  4a 2   2

 2a
z
2a
2a
S  
R
1  z x 2  z y 2 dx dy  
 

1
3a
R
( 2 x ) 2 ( 2 y ) 2
4x 2  4y 2
1



dxdy
R 4a 2  1 dxdy
4a 2
4a 2
1
1
 2  a 2  d  d   
 2  a 2  d  d 
Ra
a
0 0

2
0
53 a 6  a 6 d 
2 2 a

2
1 2
2
2 3 
 (   a )  d
2a  3
0
2a
5 5 1 3
5 5 1 2
2 a 2
(5 5  1) u 2 
a  d 
a (2 ) 
3a
3
3
0
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2
0
117
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
23. Se tiene una lámina en forma de superficie cónica, cuya ecuación es
x2 y 2 z2
  0 ; 0z 3
16 16 9
Calcular su masa y su densidad media si ésta, en un punto  x , y  de la lámina, es igual a
  x,y   x 2  y 2
Resolución:
Aquí se utilizará una integral de superficie. Una representación aproximada de la lámina cónica, así
como de la región sobre la que se integrará, se muestran a continuación:
z
y
x 2  y 2  16
x
R
x
x2 y 2 z2
  0
x
16 16 9
Para calcular la masa, se hace uso de la integral de superficie siguiente:
 z   z 
M     x , y  dA     x , y  1       dA
 x   y 
S
R
3 2
z
3x
z
3y
z
x  y2 
y


2
2
4
x 4 x  y
y 4 x 2  y 2
2
Luego,
M   x 2  y 2 1 
R
Se cambia a coordenadas polares:
2
9x 2
9y 2
5

dA   x 2  y 2 dA
2
2
2
2
4 R
16  x  y  16  x  y 
5 2 4
5 2 4
5 2   3 
80 2
80 2 160
M     2  d  d     2 d  d     d   d   0 
4 0 0
4 0 0
4 0  3 0
3 0
3
3
Por el teorema del valor medio para las integrales dobles:
4
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118
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
   x , y  dA    x
M
S
,y M  AR 
160
10
;   xM , y M   3 
16
3
que es la densidad media de la lámina cónica.
24. Calcular el volumen del sólido limitado por los cilindros x 2  z 2  1
primer octante.
y
x 2  y 2  1 , en el
Resolución:
La gráfica aproximada es la siguiente:
z
x2  z2  1
x2  y 2  1
y
R
x
Luego, el volumen se obtiene a partir de la siguiente triple integral, sobre la región R señalada en
la figura:
V   dV  
R
1

1 x 2
0 0

0
1 x 2
dz dy dx  
V    1 x 2 y 
0
0
1
1

0 0
1 x 2
1 x 2
 z 0
1 x 2
dy dx  
1

0 0
1 x 2

x3  2
dx   1  x  dx   x    u 3
0
3 0 3

1
1  x 2 dy dx
1
2
25. Una compañía produce un objeto esférico con un radio de 5 cm . Un hoyo, cuyo radio es de
4 cm , es taladrado a través del centro del objeto. Determinar el volumen del objeto.
Solución:
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119
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
Por comodidad situaremos a la esfera con centro en el origen, por lo que: x 2  y 2  z 2  25 . De
igual manera si tratamos al hoyo de radio 4 como un cilindro que cruza a la esfera por su centro
(el origen) y que su eje de simetría es el eje " z " , su ecuación es: x 2  y 2  16 .
Se realiza una gráfica aproximada en el primer octante y:
z
x 2  y 2  z 2  25
x 2  y 2  16
y
x 2  y 2  25
x
Si nos imaginamos la figura podemos ver que es simétrica con respecto a los planos coordenados,
por lo que podremos trabajar sólo con el primer octante y el resultado lo multiplicaremos por 8. En la
gráfica podemos observar la región que se encuentra precisamente entre el cilindro y la esfera; es
decir, se toma el área de la esfera, pero le quitamos la del “hoyo” que ha hecho el taladro.
Se utilizan coordenadas cilíndricas y se obtiene:
De donde,
V  8

2
0

5
4
0
V  8 2 

5
0
4

25   2
0
 dz d  d
5
3
8 2 
2 2
 dz d  d  8   25   d  d     25     d
4
4
3 0 


8
8
 
V   25  16   d   27   02  72    36 cm 3

25   2
2
0
3
2
2
2
3
5
0
3
2
26. Para los datos del problema anterior, determinar la superficie del objeto.
Resolución:
Utilizaremos las mismas ecuaciones del ejemplo anterior. La superficie a analizar es la esfera, de
donde: z  25  x 2  y 2
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120
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
2
2

x
 dz   dz 
ds  1       dA  1   

 dx   dy 
25  x 2  y 2

 1
 
y
 
 
25  x 2  y 2
 
2
5
x2
y2
dA 
dA

2
2
2
2
25  x  y
25  x  y
25  x 2  y 2
Con coordenadas cilíndricas:
5
5
5


2
2
2
2
25  x  y
25   2
25  x  y


 dA 


2

Ahora calculemos el área de la superficie con los límites de integración que ya hemos definido:



5
5
5
 
S  8 2  
d  d  40 2  25   2  d  40  3   2 d  120    60 cm 2
2
0 4
0 
0

4
2
25  
27. Determinar el centroide de la región W limitada en el primer octante por la superficie esférica
de centro el origen y radio " a " , y los planos coordenados.
Resolución:
La gráfica de esta región, aproximadamente, es la que se muestra en la figura:
z
x 2  y 2  z2  a2
y
R
x
El momento con respecto al plano " XY " , utilizando coordenadas esféricas, está dado por:
M xy   z dz dy dx  

2
0
R
a4

4
 

2
0
a
0
r cos r sen dr d d  
2
a4
2 2

cos
sen
d
d




0 0
4


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
2
0



2
0
r 4

 4 sen cos   d d

0
 sen 2  2
a4
2

d

0  2 
8
0

a


2
0
d 
a 4
16
121
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
a 4
M
3a

z  xy  16
3
a
V
8
6
Por lo que, dado que existe simetría, se obtiene:
 3a 3a 3a 
C , , 
 8 8 8 
28. Ubicar el centroide de la región W limitada por el paraboloide z  4  x 2  y 2 y el plano z  0
Resolución:
La región aproximada se puede ver el la siguiente figura:
z
z  4  x2  y 2
y
x2  y2  4
x
Por simetría, x  y  0 , por lo que sólo se calculará z , mediante la expresión: z 
Luego, utilizando coordenadas cilíndricas, se llega a:
V   (4  x  y )dx dy  
2
2
2
0
R
M xy  
2
0

 (4  
2
0
2
)  d  d  
2
0
M xy
V
.
2
 2 4 
2   4  d  4 0 d  4  2   8

0
2
2

1 2 2
z  dz d  d  
  d  d      4   2  d  d
0
2 0 0
0
3 2
1 2
64 2
16
32
    4   2   d   d   2  
0
12 0 
12 0
3
3
2
4  2
0
0
2
 z2
0  2
2
4  2
32
4
4

Por lo tanto, z  3  , y entonces el centroide es: C  0,0, 
3
8
3

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122
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
29. Calcular el volumen y el centro de masa del sólido limitado superiormente por la esfera
x 2  y 2  z 2  9 e inferiormente por la hoja superior del cono z 2  x 2  y 2 . Supóngase que el
sólido tiene densidad uniforme.
Resolución:
En la siguiente figura se aprecia en forma aproximada el sólido considerado.
z
x2  y 2  z2  9
z  x2  y 2
y
x
La ecuación de la esfera en coordenadas esféricas está dada por:
r 2  x 2  y 2  z 2  9 o sea r  3
además, la esfera y el cono se cortan cuando
x 2  y 2   z 2  9 ; x 2  y 2  z 2   z 2  9  z 2  2z 2  9  z 
por lo tanto, como z  r cos se deduce que
3
1

 
cos   2    ang cos
3
4
2
y entonces el volumen se calcula mediante la integral triple:
3
2
r3

V   dV     r sen dr d  d      sen  d  d 
0
0
0
0
0
3
0
R


2
2
2 
9

 9  d
V    4 9 sen d  d     9 cos  04 d    
0
0
0
0
2


 9
 2  9 2  9 
 9   0  
V  
 2  9 2  9 2  16.56
2
2 



Por la simetría del sólido, el centro de masa está sobre el eje " z " y, por consiguiente, sólo es
M
necesario calcular la cota z del centro de masa, lo que se hace mediante la expresión z  z ;
V
como z  r cos , entonces:
2

4
3
2
2

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
3
4

123
COPADI
Mz 
CÁLCULO VECTORIAL
 z dV      r cos   r
2
0
R

3
4
0
sen dr d  d 
2
0

 
2
0

4
0
r4

 4 sen cos   d  d

0
3
81 2   sen 2  4
81 2
81 2 
 81

M z    4  sen cos   d  d   
d   d   0  31.81

0
0
4 0  2 0
16 0
16
 4

31.81
de donde z 
 1.92 y entonces las coordenadas del centro de masa son
16.56
 0 , 0 , 1 .9 2  .

2
30. Un sólido tiene la forma de un cilindro circular recto cuyo radio es " a " y su altura " h " . Ubicar
su centro de masa si la densidad en un punto " P " es directamente proporcional a la distancia de
" P " a la base . Resolver este problema con dos sistemas coordenados.
Resolución:
Es conveniente ubicar un sistema coordenado con el cilindro como sigue:
z
zh
x 2  y 2  a2
y
x
Como se observa en la figura, el sólido está limitado por las gráficas de
x 2  y 2  a 2 ; z  0 y z  h . De acuerdo con los datos, la densidad en un punto  x , y , z 
es
  x , y , z   k z para algún valor de " k " . Evidentemente el centro de masa está en el eje
z
" z " y entonces es suficiente calcular
M xy
. Además, por la simetría de su distribución de
M
densidad "  " y la simetría del sólido, se pueden calcular M y M xy en el primer octante y
multiplicar por "4" . Por otro lado, como se trata de un cilindro, es posible utilizar coordenadas
cilíndricas; luego se tiene que:
M  4

2
0
M xy  4 

0
2

a
h
0
0

a
h
0
0
kzr dz dr d  4 k 

2
0
kz r dz dr d  4 k 
2
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
0
2

2

 rz 2 
2 2 r 
2 2
2


dr
d
kh
d
kh
a



2


0  2 
0  2 
0
0
0
kh 2a 2
M
2
h
a
a

 rz 3 
4 kh 3
dr
d


 3 
3

0
h
a
0


0
2

r2 
2 kh 3 a 2
2
d





2
0
3
 0
a
124
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
M xy 
kh 3a 2
3
2h
2h 

. Luego, las coordenadas del centro de masa son: CM  0,0,  .
3 
3
M

Si se hubiera resuelto mediante coordenadas cartesianas, sin aprovechar las ventajas del sistema
coordenado cilíndrico ortogonal, se tendría el siguiente cálculo, que, como se observa, se dificulta
más que el anterior:
2
a
a2  x2 h
a
a2  x 2 h
a
M  4 
k
z
dz
dy
dx

k
dy dx  2 kh 2  a 2  x 2 dx
4



0 0
0
0 0
0
2
Se resuelve la integral por sustitución trigonométrica y se tiene que:
Finalmente, z 

M xy

a 2  x 2 dx
a
y
x
a2  x 2
x  a seny ; dx  a cos y dy ;

a 2  x 2  a cos y
1

2
2
2  1
 a cos y  a cos y dy  a  cos y dy  a   2  2 cos 2 y  dy
a2
x a2  x  a2  x2
a2
a2
a2
a2
C
angsen   
y  sen 2 y  C 
y  seny cos y  C 
a
a
2
2 a
2
4
2
2
2
a2
  2 kh 2 a 2 k  h 2 a 2
x x a2  x2 
2 a
luego:

M  2 kh 2  angsen 
  2 kh  .  
a
2
4
2
 2 2
 2
 0
por otro lado,
3
a
a2  x 2 h
a
a2  x2 h
k h 3a 2
4 kh 3 a 2
2
M xy  4  
z
kz
dz
dy
dx
k
dy
dx
a
x
dx
4






0
0 0
0 0
3
3 0
3
M
2h
2h 

z  xy 
 CM  0,0, 
3
M
3 

a
31. Ubicar el centro de masa del cubo unidad 0  x  1 ; 0  y  1 ; 0  z  1 , si la densidad
en cualquier punto
 x,y ,z 
es directamente proporcional al cuadrado de su distancia al origen.
Resolución:
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125
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
z
1
1
  x , y , z   k  x 2  y 2  z 2  . Entonces, la masa se calcula
1
x
y
La densidad del cubo está dada por:
de la siguiente forma:

z3 
M     k  x  y  z  dz dy dx  k    x 2 z  y 2 z   dy dx 
0 0 0
0 0
3 0

1
1
1
2
2
1
2
1
1
1
1
 x 3 2x 
1
2
y3 y 

k    x 2  y 2   dy dx k   x 2 y 
  dx  k   x 2   dx  k  
0 0
0
0
3
3
3 0
3
3  0



 3
 M k
El momento con respecto al plano "YZ " es:
1 1 1
1
1 1
M yz  k    x  x 2  y 2  z 2  dz dy dx  k  x     x 2  y 2  z 2  dz dy  dx 
0 0 0
0
 0 0

1
1
1
1
1 
1
 x4 x2 
2
2
2x 
7k

 k  x  x 2   dx  k  x  x 2   dx  k   x 3 
dx

k
   M yz 


0
0
0
3
3
3 
3 0
12



 4
luego la abscisa del centro de masa es igual a:
7k
M yz
7
 12 
x 
12
M
k
y por simetría, la ordenada y la cota del centro de masa tienen el mismo valor, es decir
7
7
y
; z  . Finalmente
12
12
7
7 
 7
CM 
,
,

 12 12 12 
1
1
32. Sea " C " el triángulo formado por las trazas del plano 2x  2y  z  6 con los planos
coordenados, con el sentido antihorario. Verificar el Teorema de Stokes para el campo vectorial
F  x, y ,z   y 2 i  z j  x k .



FACULTAD DE INGENIERÍA.UNAM
126
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
Resolución:
La figura aproximada de este triángulo, con los datos necesarios para verificar el Teorema de
Stokes, se muestra a continuación:
z
 0,0,6 
2x  z  6
2y  z  6
n
C2
C3
 0,3,0 
y
 3,0,0 
x
El Teorema de Stokes establece que:
xy 3
C1
฀ F  dr     F   n dS
C
Primero se resolverá la integral de superficie
s

F 
    F   n dS
S

i

x
y 2
j

y
z

k
 


  i  j  2y k
z
x



2 i  2 j k
f  x , y , z   2x  2y  z  6  0  n 
3
z
z
z  6  2x  2y 
 2 ;
 2
x
y
 z   z 
dS  1       dA  1  4  4 dA  3 dA  dS  3dA
 x   y 
2
2
Por lo tanto
    F   n dS   
s
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3
3 y
0
0

  
    



i
j
y
k
2

   2 i  2 j  k  dx dy

 

127
COPADI

3
0
CÁLCULO VECTORIAL
  2y  4  dx dy   2yx  4x 
3 y
3
3y
0
0
0

 2 2y 3

dy   10y  2y  12  dy  5y 
 12y   9
0
3

0
3
3
2
    F   n dS  9
฀ F  dr
s
Si se evalúa ahora la integral de línea
, se tiene que:
C1 : x  t  dx  dt ; y  3  t  dy  dt ; z  0  dz  0
C
3
0
   3  t 2  dt   9t  3t 2  t   9


F
dr
฀C
3 

3 3

1
C2 : x  0  dx  0 ; y  t  dy  dt ; z  6  2t  dz  2dt
0
฀ F  dr   6  2t dt  6t  t
2
฀ F  dr    2t  dt  t
3
0
3
  9
3
0
C3 : x  t  dx  dt ; y  0  dy  0 ; z  6  2t  dz  2dt
C2
3
C3
2
  9
0
฀ F  dr  9  9  9  9
0

C
Y se verifica el Teorema
33. Calcular
฀ x dy dz  y dz dx  2z dx dy
donde
"S "
es la superficie formada por las
s
superficies S1 y S2 , representadas por:
s1 : x 2  y 2  1  z
s2 : z  0
y
Resolución:
NOTA: El Teorema de la Divergencia establece que el flujo total hacia fuera desde una región
cerrada " D " a través de una superficie " S " , es igual a la integral triple de la divergencia calculada
en la región " D " limitada por la superficie " S " . Entonces:
P
Q
R
1 ;
1 ;
2
x
y
z
P Q R


 div f  4
x y z
P  x ; Q  y ; R  2z ;
I   4dv  4  Volumen de "S"   4 
Rxy
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1 x 2  y 2
0
dzdAxy  4  1  ( x 2  y 2 )dAxy   4 
Rxy
2
0
 (1  r
1
0
2
)rdrd  2
128
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
34. El campo de velocidades de un fluido está dado por F  x , y , z   5z k , y S es la esfera de

ecuación x 2  y 2  z 2  16 . Calcular el flujo de F a través de S .
Resolución:
Si en lugar de calcular el flujo de F a través de S como
฀ F  n dS  ฀ F  n1 dS  ฀ F  n2 dS ;
S
S1
S2
Donde S1 es la mitad superior de la esfera y S2 es la mitad inferior, n1 es un vector normal
unitario a la mitad superior y
es un vector normal unitario a la mitad inferior. Usamos el
n2
Teorema de la Divergencia de Gauss, para calcular el flujo de F a través de S , que es:
฀ F  N dS   divF dV

 5z  ; esto es, divF  5 .
z
1280
3
4
De este modo: ฀
dV  5  Volumne de D   5    4   

S F  N d  5
3
3

D
1280
.
Por tanto la tasa de flujo del fluido a través de la esfera es
3
S

D
Como F ( x , y , z )  5z k , entonces divF 
35. Calcular el flujo de
F  x , y , z   xy i  yz j  xz k


forma en el primer octante con los planos:
Teorema de la Divergencia o de Gauss.

a través de la superficie del cubo que se
x  1 ; y  1 ; z  1.
Utilizar para esto el
Resolución:
La gráfica del cubo se muestra en la siguiente figura:
z
1
1
x
y
1
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129
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL


Para calcular el flujo de F a través de la superficie del cubo, habría que evaluar la integral de
superficie  F  n d S , la cual habría que calcular en las seis caras del cubo, pero, como se
S
pide en el enunciado del problema, por el Teorema de la Divergencia, calcular el valor de dicha
integral equivale a evaluar la triple integral de la divergencia de F sobre la región interior al cubo. y
este Teorema de Gauss expresa lo siguiente:
 F  n d S   d iv F d V ; div F  y  z  x


 z2

  div F dV      z  y  x  dz dy dx       y  x  z  dy dx
0 0 0
0 0
2
0
D
S
D
1 1 1
1

     y  x  dy dx 
0 0 2


1
1
1
1 1
y y2

0  2  2  xy  dx 
0
1
1

1 3
x2 
1



 1 
x
dx
x




0
2 0
2 2

1
1
36. Usar el Teorema de la Divergencia para calcular el volumen del elipsoide de ecuación:
x2 y 2 z2
  1
a 2 b2 c 2
Resolución.
Se sabe que
   F dV  ฀ F  n dS donde n  cos i  cos  j  cos  k .

R

Si se hace F  x i


S
   F   dV  V  ฀  x ,0,0   n dS
se obtiene:
D
V ฀
 y cos  dS
D
S
y de manera semejante:
 V ฀
 x cos dS
S
y
S
V ฀
 z cos  dS
S
Para resolver el problema basta usar sólo una de las integrales. Además, se calculará la octava
parte del volumen y el resultado se multiplicará por 8.
z
C
c
b
a
x
A
FACULTAD DE INGENIERÍA.UNAM
O
B
y
x2 y 2
 1
a2 b2
130
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
V ฀
 z cos  dS
Se tiene que
V     z cos  dS    z cos  dS    z cos  dS  
z cos  dS 
AOB
BOC
elipsoide
 AOC

S
Para las caras AOC y BOC; cos   0 ya que  es el ángulo entre n y k . Para la cara AOB,
cos   1 y z  0 ; por lo tanto

puesto que dS 
dA
.
cos 
Entonces:
Por fórmula:
V  8฀

V  8
b
0
elipsoide

a 2 2
b y
b
0
z cos  dS  8
elipse
z dx dy  8
b
0

a 2 2
b y
b
0
z dA

x2 y 2 
 c 1  2  2  dx dy

a b 


y 2a 2
2
2
a x  2


4c b
y 2a 2
y 2a 2 
b
V    x a 2  2  x 2   a 2  2  ang sen
2 2
a 0
b
b
y a


a2  2

b

y3 
4c b  a 2 2
2 ac  2
4
2
y
dy
b
y
V 
b



  a bc u 3 




2
2
a 0 2b
b 
3 o 3
b




0
a
b2  y 2
b
37. Sea " q " la región limitada por el cilindro z  4  x 2 , el plano y  z  5 y los planos
" XY " y " XZ " , y sea " S " la superficie de la región " q " . Si se tiene el campo vectorial
F  x , y , z    x 3  sen z  i   x 2 y  cos z  j  e x

calcular el valor de la integral de superficie
 F  n dS

2
y 2

k ,
.
S
Resolución:
A continuación se muestra una figura aproximada de la región planteada:
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131
COPADI
CÁLCULO VECTORIAL
z
z  4  x2
4
N
y z 5
N
5
2
y
x
N
Como se observa en la figura, la región " q " tiene muchos vectores normales unitarios externos,
por lo que sería un trabajo sumamente complicado evaluar la integral de superficie pedida de forma
directa. Sin embargo, si se usa el teorema de Gauss o de la Divergencia, que se representa
mediante la expresión:  F  n dS     F dV , dado que el campo vectorial tiene derivadas
S
Q
parciales continuas en la región " q " , entonces se tiene que el cálculo de la integral de superficie
pedida equivale al cálculo de la integral triple siguiente:
2
2
2
  3 x  x  dV   4 x dV
Q
Esta integral triple equivale a:
 
2


2
4x2
 
2
2
0
4x

2
5z
Q
4 x 2 dy dz dx 
2
2 2
2  20 x z  2 x z  0
2

2
2
0
 80x
4x2
2
 20x 4  32x 2
 
4x2
 4 x 2 y 
0
5z
 20 x  4 x z  dz dx
dx    20 x  4  x   2 x  4  x   dx


 16 x  2x  dx    48x  4 x  2 x  dx
4 x 2  5  z  dz dx 
0
2
2
2
 
2
2
4x
2
2
2
2
2
6
dz dx
0
2
2
4
0
2
2 2
2
2
4
6

4 x 5 2x 7 
128 256  
128 256  4608

 16x 3 

  128 


 131.7
   128 


5
7  2 
5
7  
5
7 
35

por lo tanto, se tiene que  F  n dS  131.7
2
S
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132