Tensor de tensiones
Dr. J. E. Ortiz
Tensión y Deformación
Ensayo carga-desplazamiento.
P
σ=
A
A: área transversal de la probeta
K: rigidez
P
σ
φ2
K3
K2
u
ε=
L
φ1
P=K.u
K1
E
u
σ=E.ε
ε
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Fuerzas internas
Supongamos que tenemos un cuerpo (una biela, cigüeñal, etc) que se
encuentra en equilibrio, con cargas aplicadas sobre el mismo. Si le
hacemos un corte transversal imaginario dividiéndolo en dos partes,
observaremos que deben generarse fuerzas internas en su sección
transversal para que pueda mantenerse en equilibrio. Estas fuerzas internas
tienen un carácter continuo pero no uniforme.
Tensor de tensiones
Si consideramos un elemento
diferencial cuadrado, notaremos que
éste tiene seis caras, y que en cada una
de ellas puede existir un esfuerzo
normal y dos esfuerzos cortantes.
En la figura mostrada, se
muestran solo los esfuerzos de las
caras visibles. En las caras paralelas no
visibles, deben ocurrir esfuerzos de la
misma magnitud y sentido contrario para
que el elemento esté equilibrado.
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Estado plano de tensiones
El estado plano de tensiones o esfuerzos, el cual ocurre cuando
todos los esfuerzos que actúan sobre el elemento diferencial pueden
visualizarse en una representación plana, como se muestra en la figura.
Note que en el elemento diferencial tridimensional sólo se muestran los
esfuerzos en las caras visibles, de forma análoga al caso anterior.
Transformación de esfuerzos planos
Consideremos un elemento diferencial sometido al estado plano de
esfuerzos que se muestra en la figura. Si realizamos un corte sobre él,
deben aparecer en el plano de corte un esfuerzo normal (σθ) y uno cortante
(σθθ ’) para que el elemento se mantenga en equilibrio. El ángulo θ indica la
dirección normal al plano de corte.
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Asumiendo como unitaria la profundidad del elemento, podemos
establecer las ecuaciones para que se mantenga el equilibrio en el elemento
diferencial. En primer lugar, establezcamos las fuerzas que ejercen σx, σy y
τxy sobre el elemento:
Px = −σ x ⋅ dy − τ xy ⋅ dy ⋅ tan θ
Py = −σ y ⋅ dy ⋅ tan θ − τ xy ⋅ dy
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Si proyectamos estas fuerzas sobre la dirección θ, podremos
obtener el valor del esfuerzo σθ:
∑ Fθ = Px ⋅ cosθ + Py ⋅ sin θ + σ θ ⋅
dy
=0
cos θ
Luego, al desarrollar la expresión nos queda:
σ θ = σ x ⋅ cos 2 θ + σ y ⋅ sin 2 θ + 2 ⋅τ xy ⋅ sin θ ⋅ cos θ
Si utilizamos la identidades trigonométricas:
cos 2 θ =
1 + cos 2θ
2
; sin
2
θ=
1 − cos 2θ
2
;
2 ⋅ sin θ ⋅ cos θ = sen2θ
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Podemos plantear finalmente:
 σ x +σ y   σ x −σ y 
 + 
 ⋅ cos 2θ + τ xy ⋅ sin 2θ
σ θ = 
 2   2 
Esta expresión nos permite hallar el esfuerzo normal sobre
cualquier plano de un elemento diferencial con una inclinación θ respecto a
la dirección x.
queda:
Si planteamos la misma expresión para un ángulo θ’=θ+90º, nos
 σ x +σ y   σ x −σ y 
 + 
 ⋅ cos(2θ + 180) + τ xy ⋅ sin( 2θ + 180)
σ θ ' = 
 2   2 
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Recordando que trigonométrica mente se cumple que:
cos(α ) + cos(α + 180) = 0
sin(α ) + sin(α + 180) = 0
cumple:
Hallaremos que para las expresiones planteadas anteriormente se
σ x + σ y = σ θ + σ θ ' = ctte
Esto quiere decir que, en un elemento diferencial sometido a un
estado de esfuerzos plano, la suma de los esfuerzos normales producidos
en dos planos perpendiculares entre sí es siempre constante.
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Ahora buscaremos una expresión que nos permita hallar el
esfuerzo cortante sobre el plano θ. Si proyectamos ahora las fuerzas Px y Py
sobre la dirección θ ’ (perpendicular a θ ), tenemos:
∑ Fθ ' = Px ⋅ sin θ − Py ⋅ cosθ + τ θθ ' ⋅
dy
=0
cos θ
Desarrollando la expresión nos queda:
τ θθ ' = −(σ x − σ y ) ⋅ cos θ ⋅ senθ − τ xy ⋅ sin 2 θ + τ xy ⋅ cos 2 θ
Recordando las identidades trigonométricas:
1 + cos 2θ
cos θ =
2
2
1 − cos 2θ
; sin θ =
2
2
;
2 ⋅ sin θ ⋅ cos θ = sen2θ
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Podemos plantear finalmente:
τ θθ '
 σ x −σ y 
 ⋅ sin 2θ + τ xy ⋅ cos 2θ
= −
 2 
Esta expresión nos permite hallar el esfuerzo cortante sobre
cualquier plano de un elemento diferencial con una inclinación θ respecto a
la dirección x.
queda:
Si planteamos la misma expresión para un ángulo θ’=θ+90º, nos
τ θ 'θ
 σ x −σ y 
 ⋅ sin( 2θ + 180) + τ xy ⋅ cos(2θ + 180)
= −
 2 
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Recordando que trigonométrica mente se cumple que:
cos(α ) + cos(α + 180) = 0
sin(α ) + sin(α + 180) = 0
cumple:
Si sumamos los esfuerzos cortantes para θ y θ ‘ veremos que se
τ θθ ' + τ θ 'θ = 0
;
τ θθ ' = −τ θ 'θ
Esto quiere decir que, en un elemento diferencial sometido a un
estado de esfuerzos plano, se cumple que en dos planos cualesquiera
perpendiculares entre sí los esfuerzos cortantes serán de la misma
magnitud. El cambio de signo se debe a que en un plano, el esfuerzo
cortante trata de hacer girar al elemento en sentido horario, y en el otro
plano ocurre al revés.
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Esfuerzos Principales
En el diseño y análisis de esfuerzos, con frecuencia se requiere
determinar los esfuerzos máximos en un elemento para garantizar la
seguridad del miembro cargado.
La ecuación que muestra la variación del esfuerzo en un elemento
diferencial para cualquier plano depende de la variable θ. Por ello podemos
derivar dicha ecuación para conseguir la dirección de los esfuerzos
máximos:
dσ θ
d σ x +σ y

=
dθ
dθ  2
 d
 +
 dθ
 σ x −σ y
 d

(τ xy ⋅ sin 2θ )
⋅ cos 2θ  +
 2
 dθ
De lo que resulta:
dσ θ σ x − σ y
=
⋅ 2 ⋅ sin 2θ + τ xy ⋅ 2 ⋅ cos 2θ
2
dθ
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Igualando la ecuación anterior a cero, para obtener los valores
máximos y minimos, queda:
tan 2θ p =
− 2 ⋅τ xy
σ x −σ y
Donde θp es la orientación del plano principal. Recordando que la
función tanθ se repite cada 180º, la función tan2θ se repetiría cada 90º, por
lo que habrían dos soluciones. La ecuación anterior podemos visualizarla
también de la forma:
sin 2θ p
cos 2θ p
=
− 2 ⋅τ xy
σ x −σ y
Donde el término -2τxy representaría el cateto opuesto de un
triángulo rectángulo con ángulo interno 2θp, y el término σx-σy representaría
el cateto adyacente.
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Podemos entonces hacer una representación de ese triángulo y
hallar las expresiones para sin2θ y cos2θ.
De la figura puede definirse
la hipotenusa de triángulo:
2
 σ x −σ y 
 + τ xy 2
H = 
 2 
Finalmente, se puede plantear para θp1:
sin 2θ p1 =
τ xy
H
;
cos 2θ p1 =
σ x −σ y
2⋅ H
Para θp2 las expresiones serían las mismas, pero con signo
contrario.
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Al introducir estas expresiones en la ecuación de σθ, obtenemos:
σ 1, 2
 σ x −σ y 


τ xy
 σ x +σ y   σ x −σ y   2 
 ± 
 ⋅
= 
± τ xy ⋅
H
H
 2   2 
Finalmente queda:
σ 1, 2 =
σ x +σ y
2
2
 σ x −σ y 
 + τ xy 2
± 
 2 
Donde σp1,2 son los esfuerzos de mayor magnitud que pueden
darse en el elemento diferencial y se denominan esfuerzos principales.
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Si sustituimos sin(2θp1,2) y cos(2θp1,2) en la expresión referente a
τθθ’, obtenemos:
τ θp θp
1
2
 σ x −σ y 


2 
 σ x − σ y   τ xy 

 ⋅   ± τ xy ⋅
=0
= 
H
 2  H 
Esto quiere decir que en los planos principales, sólo existen
esfuerzos normales, pues el esfuerzo cortante es nulo.
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También podemos obtener expresiones para determinar los
esfuerzos cortantes máximos en el elemento. Si derivamos la expresión del
esfuerzo cortante que depende del ángulo θ:
dτ θθ ' (σ x − σ y )
=
⋅ 2 ⋅ cos 2θ + τ xy ⋅ (−2 ⋅ sen2θ ) = 0
2
dθ
Finalmente queda:
sin 2θ p
σ x −σ y
=
tan 2θ p =
cos 2θ p
2 ⋅τ xy
De forma análoga al caso de esfuerzos normales principales,
existen dos ángulos solución para esta ecuación. Podemos establecer las
expresiones para sin2θp y para cos2θp.
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Se cumple que:
 σ x −σ y 
H = 

2
2
 + τ xy 2

Por lo tanto:
cos 2θ =
τ xy
H
sin 2θ =
σ x +σ y
2⋅ H
Al sustituir esta expresión en la expresión de τθθ’, nos queda:
2
τ max
 σ x −σ y 
 + τ xy 2
= 
 2 
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Si sustituimos sin(2θ) y cos(2θ) en la expresión referente a σθ,
obtenemos:
σθ = σθ ' =
σ x +σ y
2
= σ prom
Esto quiere decir que en los planos donde el esfuerzo cortante es
máximo, se origina un esfuerzo normal que designaremos esfuerzo normal
promedio (σprom).
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Círculo de Mohr
Círculo de Mohr para estado de Esfuerzo Plano
Observemos las ecuaciones que describen cómo varían los
esfuerzos normales y cortantes en función de la dirección del plano en el
que actúen:
σ x +σ y 
 σ x −σ y 


 ⋅ cos 2θ + τ xy ⋅ sin 2θ
σθ − 
= +

 2 
 2 
τ θθ '
queda:
 σ x −σ y 
 ⋅ sin 2θ + τ xy ⋅ cos 2θ
= −
 2 
Si elevamos ambas expresiones al cuadrado y las sumamos,
2
2

 σ x + σ y 
 σ x −σ y 
2
 + τ θθ ' = 
 + τ xy 2
σ θ − 
 2 
 2 

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Como la parte derecha de la ecuación está compuesta de términos
constantes, podemos escribirla de la forma:
2
 σ x −σ y 
 + τ xy 2
R = 
 2 
2
De modo que la ecuación podríamos rescribirla de la forma:
[σ
θ
]
2
2
− σ prom + τ θθ ' = R 2
Esta ecuación puede graficarse como una circunferencia, la cual se
conoce como el Círculo de Mohr. Cada uno de los puntos que conforman
esta circunferencia representa un plano, y las coordenadas de dicho punto
indican los esfuerzos normales y cortantes que actúan sobre el mismo.
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Método para graficar el círculo de Mohr
A continuación describiremos un procedimiento para graficar el
círculo de Mohr para un elemento diferencial sometido a un estado plano de
esfuerzos.
Su tomarán la siguiente convenciones:
- Los esfuerzos normales se representarán en la abscisa y los esfuerzos
cortantes en la ordenada.
- Los esfuerzos normales de tracción (positivos) se ubicarán en la parte
derecha de la abscisa.
- Los esfuerzos cortantes se tomarán como positivos si en su plano de
acción hacen girar al elemento en sentido contrario a las agujas del reloj.
- Los esfuerzos cortantes positivos se ubicarán en la parte superior de las
ordenadas.
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Los pasos a seguir son:
1. Graficar los puntos (σx,τxy) y (σy,τyx), que indican los esfuerzos
que actúan sobre los planos x e y respectivamente.
Note que en este
caso, τxy hace girar al
elemento
en
sentido
antihorario y τyx lo hace
girar en sentido contrario,
por lo cual el primero se
ubica en el sector positivo
de
las
ordenadas,
siguiendo la convención
establecida.
También es importante señalar que para el caso mostrado, ambos
esfuerzos normales (σx y σy) son de tracción.
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2. Trazar una línea que una los puntos (σx,τxy) y (σy,τyx) y definir la
dirección x, como se muestra. Observe que la línea trazada corta el eje de
las abscisas en el valor σprom.
3. Con centro en el punto (σprom,0), trazar una circunferencia que
pase por los puntos (σx,τxy) y (σy,τyx).
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Ventajas de trabajar con el círculo de Mohr
Para definir el círculo de Mohr, sólo necesitan conocerse los
parámetros σx, σy y τxy, pero a partir de él pueden determinarse de forma
rápida precisa:
- El esfuerzo normal y cortante para cualquier plano del elemento
diferencial.
- Los esfuerzos principales (σ1 y σ2).
- Las orientaciones de los planos donde ocurren los esfuerzos principales
(θp1 y θp2).
- El esfuerzo cortante máximos (τmax)
- Las orientaciones de los planos donde ocurre el esfuerzo cortante
máximo.
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Para determinar el esfuerzo normal y cortante de cualquier plano
con dirección θ, se traza un radio que corte el círculo y esté inclinado un
ángulo igual a 2θ respecto al eje x. Las coordenadas del punto de corte son
los valores de los esfuerzos σθ y τθθ’ en el plano en cuestión.
Es importante acotar que se
considerarán positivos los ángulos
medidos en sentido antihorario.
Note que para el caso
mostrado, el esfuerzo σθ es de
tracción (+) y el esfuerzo cortante
τθθ’ trata de hacer girar el elemento
en sentido antihorario, según las
convenciones establecidas.
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Los esfuerzos principales son los cortes de la circunferencia con el
eje de las abscisas (σ). Las orientaciones de los planos principales se
miden desde el eje x hasta el eje horizontal.
Note que en los planos
donde ocurren los esfuerzos
principales, el esfuerzo cortante es
nulo.
Observe también que para
cualquier círculo de Mohr, el ángulo
entre los planos principales 1 y 2
siempre es 2θ=180º, es decir,
θ=90º.
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El esfuerzo cortante máximo puede determinarse trazando un radio
perpendicular al eje de las abscisas.
Puede observarse que es
posible determinar la orientación del
plano donde ocurre este esfuerzo
respecto al eje x.
Note que para cualquier
círculo de Mohr, entre los planos
donde
ocurren
los
esfuerzos
principales y los esfuerzos cortantes
máximos existe siempre un ángulo
2θ=90º, es decir, θ=45º.
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