Escuela Superior Politécnica del Litoral Guayaquil - Ecuador Campus Gustavo Galindo Velasco - Km. 30.5 Vía Perimetral - Pbx: (593-4) 2269 269 FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS CURSO DE ÁLGEBRA LINEAL MATG1049 TALLER 3 – FORMATIVO -SOLUCIÓN Guayaquil, OCT del 2023 TEMA 1(20p): Considere el conjunto π2π₯2 (β) y el cuerpo de los números complejos β , con la suma π π π π habitual de matrices y el producto escalar definido por πΌβ¨ ( )=( )∀ πΌ ∈ π π π πΌπ β, se cumple la distributividad del vector, es decir, π π π π π π ∀πΆ, π· ∈ β, ∀ ( ) ∈ π΄πππ(β): (πΆ + π·)β¨ [( )] = [πΆβ¨ ( )] + π π π π π π π π [π·β¨ ( )] π π a) Verdadero b) Falso Solución: π π π π )] (πΆ + π·) β [( )] = [( π (πΆ + π·)π π π = [( π π π π π )] ≠ ( )+( π πΆπ + π·π π π πΆπ π ) π·π π π π π π π Es decir, (πΆ + π·) β [( )] ≠ [πΆ β ( )] + [π· β ( )] π π π π π π Luego, NO se cumple la distributividad del vector. TEMA 2 (20p): Sea π = β3 y πΎ = β consideremos: π1 = {(π₯, π¦, π§) ∈ β3 π‘ππ ππ’π π₯ + π¦ + π§ = 0} π2 = {(π₯, π¦, π§) ∈ β3 /π₯ = π§} π3 = {(π₯, π¦, π§) ∈ β3 /π₯ = π¦ = 0} a) Pruebe que π2 y π3 son subespacios vectoriales de b) Determine π1 ∩ π3 Solución: a) π2 = {(π₯, π¦, π§) ∈ β3 /π₯ = π§} π2 = {(π§, π¦, π§) ∈ β3 π‘ππ ππ’π π¦; π§ ∈ β} π2 = {π¦(0,1,0) + π§(1,0,1)π‘ππ ππ’π π¦; π§ ∈ β} πΎπ = πππ{ (π, π, π), (π, π, π)} (Además {(0,1,0), (1,0,1)} es linealmente independiente) 3 π3 = {(π₯, π¦, π§) ∈ β3 /π₯ = π¦ = 0} π3 = {(0,0, π§) ∈ β3 , π§ ∈ β} = {π§(0,0,1) ∈ β3 , π§ ∈ β} π3 = πππ{ (π, π, π)} πππ·π πΆπππ½ππππ πΊπΈππΈπ π΄π·π πΈπ πΊπΌπ©π¬πΊπ·π¨πͺπ°πΆ π½π¬πͺπ»πΆπΉπ°π¨π³ πππ ππ π‘πππ‘π π2 π¦ π3 π ππ π π’πππ ππππππ π£πππ‘πππππππ ππ β3 b) (π₯, π¦, π§) ∈ (π1 ∩ π3 ) ⇔ (π₯, π¦, π§) ∈ π1 ∧ (π₯, π¦, π§) ∈ π3 (π₯, π¦, π§) cumple con las ecuaciones de los conjuntos π1 y π3 π₯+π¦+π§ = 0 ⇒ π₯ = π¦ = π§ = 0 ∴ πΎπ ∩ πΎπ = {(π, π, π)} π₯=π¦=0 TEMA 3 (30p): Considere el siguiente subconjunto de ππ (β) π© = {π , π − π , π − π − ππ } a) Exprese si es posible el vector (π − ππ + ππ ) como combinación lineal del conjunto π© b) Determine si el conjunto π© es linealmente independiente. Solución: a) Es posible si existen los escalares πΌ, π½, πΎ ∈ β tal que π − ππ + ππ = πΆ(π) + π·(π − π) + πΈ(π − π − ππ ) πΆ+π·+πΈ=π −π· − πΈ = −π } ⇒ πΆ = −π , π· = π, πΈ = −π (−1)(1) + (4)(1 − x) + (−1) (1 − x − x 2 ) −πΈ = π ∴ π − ππ + ππ = (−π)(π) + (π)(π − π) + (−π)(π − π − ππ ) b) B, será linealmente independiente si se cumple: πΆ(π) + π·(π − π) + πΈ(π − π − ππ ) = π ⇒ πΆ = π ∧ π· = π ∧ πΈ = π πΆ+π·+πΈ=π −π· − πΈ = π ⌋ ⇒ πΆ = π ∧ π· = π ∧ πΈ = π −πΈ = π ∴ π© es linealmente independiente TEMA 4 (30p): Sean los Sub-Espacios vectoriales de 3 π = {(π₯, π¦, π§): π₯ + 2π¦ − π§ = 0} { 1 π2 = πππ{(1,3,1), (1,4,3)} Determine una base y su dimensión para π1 ∩ π2 Solución: a) Primero se determinarán ecuaciones que caractericen a cada uno de los Subespacios, para el subespacio π2 , se tiene que si (π, π, π) ∈ π2 deben existir π, π ∈ β de manera que (π₯, π¦, π§) = π(1,3,1) + π(1,4,3) (π₯, π¦, π§) = (π + π, 3π + 4π, π + 3π) π+π = π₯ {3π + 4π = π¦ π + 3π = π§ π₯ π₯ 1 1 π₯ 1 1 1 1 (3 4| π¦) (−3πΉ1 + πΉ2 ) → (−πΉ1 + πΉ3 ) (0 1| −3π₯ + π¦) (−2πΉ2 + πΉ3 ) (0 1| −3π₯ + π¦ ) 1 3 π§ 0 2 −π₯ + π§ 0 0 5π₯ − 2π¦ + π§ El sistema es consistente si y solo si, 5π₯ − 2π¦ + π§ = 0 por lo que el subespacio π2 queda expresado como: π2 = {(π₯, π¦, π§) ∈ β3 : 5π₯ − 2π¦ + π§ = 0} En consecuencia, π1 ∩ π2 sería: π1 ∩ π2 = {(π₯, π¦, π§) ∈ β3 : π₯ + 2π¦ − π§ = 0 ∧ 5π₯ − 2π¦ + π§ = 0} Para encontrar una base para π1 ∩ π2 , resolvemos el sistema de ecuaciones de las π₯ + 2π¦ − π§ = 0 condiciones del subespacio: { 5π₯ − 2π¦ + π§ = 0 1 ( 5 2 −1 0 ( 1 | ) −5πΉ1 + πΉ2 ) ( −2 1 0 0 1 2 −1 2 −1 0 −1 −1| 0) | ) ( πΉ2 ) ( 0 1 −12 6 0 12 0 2 1 0 (−2πΉ2 + πΉ1 ) ( 0 −1| 0) 0 1 0 2 π₯=0 Entonces tenemos: {π¦ + −1 π§ = 0 2 → π₯=0 { π§ = 2π¦ Por lo tanto, el espacio generado π1 ∩ π2 puede ser expresado como: π1 ∩ π2 = {(π₯, π¦, π§) ∈ β3 : π₯ = 0 ∧ π§ = 2π¦} π1 ∩ π2 = {(0, π¦, 2π¦) ∈ β3 : π¦ ∈ β} Todo vector en π1 ∩ π2 puede ser expresado (0, π¦, 2π¦) = π¦(0,1,2) ∴ π1 ∩ π2 = πππ({(0,1,2)}) y {(0,1,2)} es linealmente independiente ∴ Base π1 ∩π2 = {(0,1,2)} ∧ πππ( π1 ∩ π2 ) = 1