Escuela Superior
Politécnica del Litoral
Guayaquil - Ecuador
Campus Gustavo Galindo Velasco - Km. 30.5 Vía Perimetral - Pbx: (593-4) 2269 269
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS
CURSO DE ÁLGEBRA LINEAL MATG1049
TALLER 3 – FORMATIVO -SOLUCIÓN
Guayaquil, OCT del 2023
TEMA 1(20p):
Considere el conjunto 𝑀2𝑥2 (ℝ) y el cuerpo de los números complejos ℂ , con la suma
𝑎 𝑏
𝑎 𝑏
habitual de matrices y el producto escalar definido por 𝛼⨀ (
)=(
)∀ 𝛼 ∈
𝑐 𝑑
𝑐 𝛼𝑑
ℂ, se cumple la distributividad del vector, es decir,
𝒂 𝒃
𝒂 𝒃
𝒂 𝒃
∀𝜶, 𝜷 ∈ ℂ, ∀ (
) ∈ 𝑴𝟐𝒙𝟐(ℝ): (𝜶 + 𝜷)⨀ [(
)] = [𝜶⨀ (
)] +
𝒄 𝒅
𝒄 𝒅
𝒄 𝒅
𝒂 𝒃
[𝜷⨀ (
)]
𝒄 𝒅
a) Verdadero
b) Falso
Solución:
𝒂
𝒃
𝒂 𝒃
)]
(𝜶 + 𝜷) ⊙ [(
)] = [(
𝒄
(𝜶
+
𝜷)𝒅
𝒄 𝒅
= [(
𝒂
𝒃
𝒂
𝒂 𝒃
)] ≠ (
)+(
𝒄 𝜶𝒅 + 𝜷𝒅
𝒄
𝒄 𝜶𝒅
𝒃
)
𝜷𝒅
𝒂 𝒃
𝒂 𝒃
𝒂 𝒃
Es decir, (𝜶 + 𝜷) ⊙ [(
)] ≠ [𝜶 ⊙ (
)] + [𝜷 ⊙ (
)]
𝒄 𝒅
𝒄 𝒅
𝒄 𝒅
Luego, NO se cumple la distributividad del vector.
TEMA 2 (20p):
Sea 𝑉 = ℝ3 y 𝐾 = ℝ consideremos:
𝑊1 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0}
𝑊2 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3 /𝑥 = 𝑧}
𝑊3 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3 /𝑥 = 𝑦 = 0}
a) Pruebe que 𝑊2 y 𝑊3 son subespacios vectoriales de
b) Determine 𝑊1 ∩ 𝑊3
Solución:
a)
𝑊2 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3 /𝑥 = 𝑧}
𝑊2 = {(𝑧, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑦; 𝑧 ∈ ℝ}
𝑊2 = {𝑦(0,1,0) + 𝑧(1,0,1)𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑦; 𝑧 ∈ ℝ}
𝑾𝟐 = 𝒈𝒆𝒏{ (𝟎, 𝟏, 𝟎), (𝟏, 𝟎, 𝟏)}
(Además {(0,1,0), (1,0,1)} es linealmente independiente)
3
𝑊3 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3 /𝑥 = 𝑦 = 0}
𝑊3 = {(0,0, 𝑧) ∈ ℝ3 , 𝑧 ∈ ℝ} = {𝑧(0,0,1) ∈ ℝ3 , 𝑧 ∈ ℝ}
𝑊3 = 𝒈𝒆𝒏{ (𝟎, 𝟎, 𝟏)}
𝑇𝑂𝐷𝑂 𝐶𝑂𝑁𝐽𝑈𝑁𝑇𝑂 𝐺𝐸𝑁𝐸𝑅𝐴𝐷𝑂 𝐸𝑆 𝑺𝑼𝑩𝑬𝑺𝑷𝑨𝑪𝑰𝑶 𝑽𝑬𝑪𝑻𝑶𝑹𝑰𝑨𝑳
𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑊2 𝑦 𝑊3 𝑠𝑜𝑛 𝑠𝑢𝑏𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜𝑠 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 ℝ3
b) (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ (𝑊1 ∩ 𝑊3 ) ⇔ (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑊1 ∧ (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑊3
(𝑥, 𝑦, 𝑧) cumple con las ecuaciones de los conjuntos 𝑊1 y 𝑊3
𝑥+𝑦+𝑧 = 0
⇒ 𝑥 = 𝑦 = 𝑧 = 0 ∴ 𝑾𝟏 ∩ 𝑾𝟑 = {(𝟎, 𝟎, 𝟎)}
𝑥=𝑦=0
TEMA 3 (30p):
Considere el siguiente subconjunto de 𝓟𝟐 (ℝ)
𝑩 = {𝟏 , 𝟏 − 𝒙 , 𝟏 − 𝒙 − 𝒙𝟐 }
a) Exprese si es posible el vector (𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝒙𝟐 ) como combinación lineal del
conjunto 𝑩
b) Determine si el conjunto 𝑩 es linealmente independiente.
Solución:
a) Es posible si existen los escalares 𝛼, 𝛽, 𝛾 ∈ ℝ tal que
𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝒙𝟐 = 𝜶(𝟏) + 𝜷(𝟏 − 𝒙) + 𝜸(𝟏 − 𝒙 − 𝒙𝟐 )
𝜶+𝜷+𝜸=𝟐
−𝜷 − 𝜸 = −𝟑 } ⇒ 𝜶 = −𝟏 , 𝜷 = 𝟒, 𝜸 = −𝟏 (−1)(1) + (4)(1 − x) + (−1) (1 − x − x 2 )
−𝜸 = 𝟏
∴ 𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝒙𝟐 = (−𝟏)(𝟏) + (𝟒)(𝟏 − 𝒙) + (−𝟏)(𝟏 − 𝒙 − 𝒙𝟐 )
b) B, será linealmente independiente si se cumple:
𝜶(𝟏) + 𝜷(𝟏 − 𝒙) + 𝜸(𝟏 − 𝒙 − 𝒙𝟐 ) = 𝟎 ⇒ 𝜶 = 𝟎 ∧ 𝜷 = 𝟎 ∧ 𝜸 = 𝟎
𝜶+𝜷+𝜸=𝟎
−𝜷 − 𝜸 = 𝟎 ⌋ ⇒ 𝜶 = 𝟎 ∧ 𝜷 = 𝟎 ∧ 𝜸 = 𝟎
−𝜸 = 𝟎
∴ 𝑩 es linealmente independiente
TEMA 4 (30p):
Sean los Sub-Espacios vectoriales de
3
𝑊 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧): 𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 0}
{ 1
𝑊2 = 𝑔𝑒𝑛{(1,3,1), (1,4,3)}
Determine una base y su dimensión para 𝑊1 ∩ 𝑊2
Solución:
a) Primero se determinarán ecuaciones que caractericen a cada uno de los
Subespacios, para el subespacio 𝑊2 , se tiene que si (𝒙, 𝒚, 𝒛) ∈ 𝑊2 deben existir
𝑎, 𝑏 ∈ ℝ de manera que
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑎(1,3,1) + 𝑏(1,4,3)
(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑎 + 𝑏, 3𝑎 + 4𝑏, 𝑎 + 3𝑏)
𝑎+𝑏 = 𝑥
{3𝑎 + 4𝑏 = 𝑦
𝑎 + 3𝑏 = 𝑧
𝑥
𝑥
1 1 𝑥
1 1
1 1
(3 4| 𝑦) (−3𝐹1 + 𝐹2 ) → (−𝐹1 + 𝐹3 ) (0 1| −3𝑥 + 𝑦) (−2𝐹2 + 𝐹3 ) (0 1| −3𝑥 + 𝑦 )
1 3 𝑧
0 2 −𝑥 + 𝑧
0 0 5𝑥 − 2𝑦 + 𝑧
El sistema es consistente si y solo si, 5𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 0 por lo que el subespacio 𝑊2
queda expresado como: 𝑊2 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3 : 5𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 0}
En consecuencia, 𝑊1 ∩ 𝑊2 sería:
𝑊1 ∩ 𝑊2 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3 : 𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 0 ∧ 5𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 0}
Para encontrar una base para 𝑊1 ∩ 𝑊2 , resolvemos el sistema de ecuaciones de las
𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 0
condiciones del subespacio: {
5𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = 0
1
(
5
2 −1 0 (
1
| ) −5𝐹1 + 𝐹2 ) (
−2 1 0
0
1 2 −1
2
−1 0 −1
−1| 0)
| ) ( 𝐹2 ) (
0 1
−12 6 0 12
0
2
1 0
(−2𝐹2 + 𝐹1 ) (
0
−1| 0)
0 1
0
2
𝑥=0
Entonces tenemos: {𝑦 + −1 𝑧 = 0
2
→
𝑥=0
{
𝑧 = 2𝑦
Por lo tanto, el espacio generado 𝑊1 ∩ 𝑊2 puede ser expresado como:
𝑊1 ∩ 𝑊2 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3 : 𝑥 = 0 ∧ 𝑧 = 2𝑦}
𝑊1 ∩ 𝑊2 = {(0, 𝑦, 2𝑦) ∈ ℝ3 : 𝑦 ∈ ℝ}
Todo vector en 𝑊1 ∩ 𝑊2 puede ser expresado (0, 𝑦, 2𝑦) = 𝑦(0,1,2)
∴ 𝑊1 ∩ 𝑊2 = 𝑔𝑒𝑛({(0,1,2)}) y {(0,1,2)} es linealmente independiente
∴ Base 𝑊1 ∩𝑊2 = {(0,1,2)} ∧ 𝑑𝑖𝑚( 𝑊1 ∩ 𝑊2 ) = 1